Paradoja de Zenón

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CALCULO DIFERENCIAL MARCO ANTONIO HERNĂ NDEZ MARTĂ?NEZ MaestrĂ­a en EducaciĂłn MatemĂĄtica

pARADOJA DE ZENON. (SERIES GEOMETRICAS) El mĂĄs rĂĄpido de los hombres, Aquiles, no podrĂĄ alcanzar nunca al mĂĄs lento de los animales, la tortuga, si se da a ĂŠsta una ventaja inicial en una carrera. Pues, mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba por la mencionada ventaja inicial, la tortuga habrĂĄ recorrido otra porciĂłn, aunque mĂĄs pequeĂąa. Cuando Aquiles haya llegado a recorrer esta Ăşltima porciĂłn de camino, la tortuga habrĂĄ avanzado otra porciĂłn mĂĄs pequeĂąa, y asĂ­ la tortuga llevarĂĄ siempre la ventaja hasta en espacios infinitamente pequeĂąos, con lo cual, Aquiles no podrĂĄ alcanzarla nunca.

Con estos argumentos, ZenĂłn combate la doctrina de la escuela pitagĂłrica que afirmaba que los nĂşmeros gobiernan el mundo, que todo guarda una relaciĂłn basada en nĂşmeros.

Podemos observar que la distancia inicial que separa a Aquiles de la tortuga es x metros, entonces cuando Aquiles recorre esos x metros la tortuga avanza xq metros, donde 0<q<1, cuando Aquiles avanza la distancia de xq metros entonces la tortuga avanza xq2 metros, cuando Aquiles recorre la distancia que avanzo la tortuga de xq 2 metros entonces la tortuga ya no se encuentra allĂ­ y avanza nuevamente una distancias de xq3 metros y asĂ­ sucesivamente hasta el infinito, por lo tanto analizando esta serie podemos afirmar que Aquiles jamĂĄs alcanzara a la tortuga ya que aunque la distancia entre ellos cada vez sea menor, pero cuando Aquiles avanza esa distancia pequeĂąa la tortuga ya no se encuentra en ese punto y avanza otra distancia aĂşn mĂĄs pequeĂąa y asĂ­ sucesivamente, hasta el infinito, , es decir Aquiles necesita recorrer: .đ?‘Ľ

+ đ?‘Ľđ?‘ž + đ?‘Ľđ?‘ž² + đ?‘Ľđ?‘žÂł + â‹Ż đ?‘Ľđ?‘ž đ?‘› , đ?‘› ∈ đ?‘? ≼ 0 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘”đ?‘Ž .

ÂżEntonces, cundo Aquiles va alcanzar a la tortuga? Sabemos que Aquiles si va la va alcanzar a la tortuga en un tiempo t. Pero la forma en que planteo el problema ZanĂłn nunca va alcanzar Aquiles a la tortuga, supongamos que la velocidad de Aquiles es v (m/s) y la de la tortuga qv (m/s) , q esta entre 0 < q < 1)

HernĂĄndez MartĂ­nez Marco Antonio

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đ?‘Łđ?‘Ą = đ?‘Ľ + đ?‘žđ?‘Łđ?‘Ą đ?‘Ľ

∴ đ?‘Ą = đ?‘Ł(1−đ?‘ž) đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ Entonces Aquiles necesita correr: đ?‘Ľ

đ?‘Łđ?‘Ą = (1−đ?‘ž) ; đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘Ąđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘”đ?‘Ž. Por el planeamiento de ZenĂłn, entonces Aquiles necesita correr:

đ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘ž + đ?‘Ľđ?‘ž² + đ?‘Ľđ?‘žÂł + â‹Ż đ?‘Ľđ?‘ž đ?‘› , đ?‘› ∈ đ?‘? ≼ 0 Metros para alcanzar a la tortuga, es decir,

đ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘ž + đ?‘Ľđ?‘ž² + đ?‘Ľđ?‘žÂł + â‹Ż đ?‘Ľđ?‘ž

đ?‘›

∞

= ∑ xqđ?‘˜ = k=0

x ; 0<q<1 1−q

ConclusiĂłn: La forma de analizar ZenĂłn este problema, muestra que Aquiles jamĂĄs va alcanzar a la tortuga, debido a que q que es un factor de la distancia que recorre la tortuga y este se encuentra entre o y 1, entonces este al ser factor de la distancia de la tortuga este nĂşmero cada vez se va haciendo mĂĄs pequeĂąo, es decir que cada vez que Aquiles se encuentre en el punto donde estaba la tortuga ella seguirĂĄ avanzando otra distancia aĂşn mĂĄs pequeĂąa, y cuando Aquiles recorra esta distancia mĂĄs pequeĂąa, la tortuga ya no estarĂĄ allĂ­, se encontrara una distancia aĂşn mĂĄs pequeĂąa mĂĄs delante de Aquiles y asĂ­ sucesivamente hasta el infinito, esto es que un nĂşmero finito se puede expresar como una suma de infinitos nĂşmeros, por eso es una Paradoja (ExpresiĂłn o situaciĂłn que parece absurda y sin embargo es razonable!!! Ejemplo: La suma de infinitos nĂşmeros puede ser un nĂşmero finito, (esto se cumple solo si estos nĂşmeros se encuentran entre 0 y 1), piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), tambiĂŠn le quitamos su mitad (1/8). Y asĂ­ sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando, como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Hoja de papel

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Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando:

1 1 1 1 1 1 + + + + + â‹Ż+ đ?‘› = 1 2 4 8 16 32 2

Este es un ejemplos concretos de la suma de todos los tĂŠrminos de una progresiĂłn geomĂŠtrica con razĂłn r ( | r | < 1).

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