TRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función. Definición formal Sea f una función Lebesgue integrable:
o La transformada de Fourier de f es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F (f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F (f) es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.
Aplicaciones de la Transformada de Fourier
Temperatura de la tierra Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de periodo 1 (un año). La temperatura u (t; x) en el tiempo t 0 y profundidad x 0 es tambien periódica en t y es natural asumir que . Bajo estas circunstancias u (t; x) puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada fijo como sigue
Coeficiente de Fourier
Sabemos que la función u satisface la ecuación diferencial parcial
Ecuación de calor
Por lo tanto, ”
En otras palabras, los coeficientes
satisfacen la ecuación
Tomando el signo positivo o negativo de acuerdo a si n
,
por otra parte, sabemos que Resolviendo la ecuación obtenemos que:
Y por lo tanto resuelta finalmente
Supongamos por ejemplo que la temperatura de la supercie viene dada por una función sinusoidal simple f (t) = sin (2 t) (lo cual significa que la temperatura anual media f (0) = función u vendrá dada por:
).En este caso, la
Esta f贸rmula nos dice que la temperatura a la profundidad x = queda afectada por el factor con respecto a las estaciones
y est谩 completamente fuera de fase