TRANSFORMADA DE FOURIER
INTRODUCCION El espectro de frecuencias de una función se le conoce como transformada de Fourier.
Matematico Frances Joseph Fourier (1768-1830)
Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal.
Transformada de Fourier
Definición formal Sea f una función Lebesgue integrable:
o La transformada de Fourier de f es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F (f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F (f) es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.
Aplicaciones de la Transformada de Fourier
Temperatura de la tierra
Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie. Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una función f periódica en el tiempo t y de periodo 1 (un año). La temperatura u (t; x) en el tiempo t 0 y profundidad x 0 es tambien periódica en t y es natural asumir que . Bajo estas circunstancias u (t; x) puede ser expandida mediante una serie de Fourier para cada fijo como sigue
Coeficiente de Fourier
Sabemos que la función u satisface la ecuación diferencial parcial
Ecuación de calor
Por lo tanto, ”
En otras palabras, los coeficientes
satisfacen la ecuación
Tomando el signo positivo o negativo de acuerdo a si n
,
por otra parte, sabemos que Resolviendo la ecuación obtenemos que:
Y por lo tanto resuelta finalmente
Supongamos por ejemplo que la temperatura de la supercie viene dada por una función sinusoidal simple f (t) = sin (2 t) (lo cual significa que la temperatura anual media f (0) =
).En este caso, la
función u vendrá dada por:
Esta fórmula nos dice que la temperatura a la profundidad x = queda afectada por el factor y está completamente fuera de fase con respecto a las estaciones como lo indica la siguiente figura.
Ecuaci贸n de Ondas
La ecuaci贸n de ondas viene dada por:
Con condiciones de borde El procedimiento para resolver esta ecuaci贸n ya nos es familiar; primero aplicamos la transformada de Fourier:
Despu茅s
encontramos ^u:
Y luego invertimos para finalmente obtener:
Esta es la llamada formula de D'Alembert.
Flujo del Calor
El problema del flujo del calor se describe mediante la ecuaci贸n:
Con condici贸n de borde para la soluci贸n de este problema. Primero aplicamos la transformada de Fourier en ambos lados de la ecuaci贸n:
Luego calculamos ^u:
Finalmente al invertir obtenemos:
Donde
es el llamado kernel de Gauss