Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada A.
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo
y cóncava hacia abajo en el intervalo
Teorema 5
Si f es una función tal que de f es cóncava hacia arriba sobre
cuando .
, entonces la gráfica
Demostración:
Si
y como
creciente sobre
, entonces se tiene que
es
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad
de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6
Si f es una función tal que
cuando
de f es cóncava hacia abajo sobre
, entonces la gráfica
.
Demostración:
De la hipótesis: decreciente sobre
, y como
, se obtiene que
es
por lo que según la definición dada sobre concavidad,
la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre
.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si
entonces
Luego,
si
y,
Como
, entonces
en ellos el
, y,
es positiva. Además
si
.
es creciente en los intervalos
, pues
es decreciente en el intervalo
pues en
es negativa.
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo en el intervalo
.
y cóncava hacia abajo
La representación gráfica de la función
es la siguiente:
Representación gráfica de la función
Observe que
es creciente en
Representación gráfica de la función f:
y
y decreciente en
.
Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos abajo en el intervalo
y cóncava hacia
.
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que
es un punto de inflexión de la gráfica de una función f,
si existe un intervalo arriba sobre
tal que
, y la gráfica de f es cóncava hacia
, y cóncava hacia abajo sobre
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos: 1.
El punto pues
es un punto de inflexión de la curva con ecuación es positiva si
hacia arriba para
, y negativa si
, y cóncava hacia abajo para
, de donde f es cóncava .
Gráficamente se tiene:
2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que Resolvamos las desigualdades
por lo que
,
Como si arriba en esos intervalos.
entonces la grรกfica de f es cรณncava hacia
La grรกfica de f es cรณncava hacia abajo en el intervalo .
pues en รฉl
Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexiรณn. La grรกfica de la funciรณn f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexiรณn separa una parte de la curva que es cรณncava hacia arriba de otra secciรณn de la misma que es cรณncava hacia abajo. En un punto de inflexiรณn, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de
inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
Teorema 7
Si
es un punto de inflexión de la gráfica de f y si
existe,
entonces Demostración: Al
final del capítulo.
Ejemplo: Considere la función f con ecuación La segunda derivada de f es
Note que
si
.
, y,
Luego, f es cóncava hacia arriba para
Se tiene entonces que
.
si
, y cóncava hacia abajo para
es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en verifica lo expresado en el teorema anterior.
resulta que
con lo que se
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8
Si: i. f es una función continua sobre un intervalo I, ii. es un punto interior de I tal que
,ó
existe, y
iii. Si existe un intervalo 1.
cuando
con
,
tal que:
y
cuando
, entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 2.
cuando
y
cuando
, entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 3.
cuando bien,
y
cuando
entonces Demostración: Es
cuando y
,o
cuando
no es un punto de inflexión de la gráfica de f. similar a la dada para el Teorema 4,
sustituyendo f por
,y
por
.
Ejemplos:
1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es ó
.
, que es igual a cero si y solo si
Así Observemos la solución de las desigualdades la siguiente tabla:
2. Como
para
entonces
y
,y
por medio de
para
es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.
De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como
para
y para , entonces es un punto de inflexión. 3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
Como se tiene que
Además
nunca se hace cero y que
es mayor que cero para
hacia arriba en su dominio, y por lo tanto
no existe.
, por lo que f siempre es cóncava no es punto de inflexión.
Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor
máximo o un valor mínimo. El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.
Teorema
Sea f una función con dominio D. Si
está definida para
con a.
donde
y si
entonces: es un valor máximo relativo de f si se cumple
que es un valor mínimo relativo de f si se cumple
b. que
Demostración: Al
final del capítulo.
Ejemplos: Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:
1. ,
Note que la función f no está definida en
La derivada de f está dada por
,
Los valores críticos de f se obtienen cuando y solo si
,ó
. En este caso,
.
Ahora, la segunda derivada de f es Vamos a evaluar
a.
b.
; como mínimo relativo de f.
; como máximo relativo de f.
en
y en
entonces
entonces
Gráficamente se tiene en el intervalo
2.
Se tiene que La primera derivada de g está dada por
es un valor
es un valor
si
Como críticos de g.
cuando
y cuando
entonces estos son los valores
La segunda derivada de g es Evaluando
en
se tiene que
que es mayor que cero, por lo que
es un valor mínimo relativo de g.
Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada. Analizando y
se obtiene que para
para
por lo que al no existir cambio de signo resulta
que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.
Gracias a: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node6.html