Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada Sea f una función continua con ecuación
, definida en un intervalo
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo
.
.
En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1. Creciente en los intervalos 2. Decreciente en los intervalos
, ,
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la funciónf crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece. Note además que en los puntos , y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos. En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
Teorema 1
Sea f una función continua en un intervalo cerrado intervalo abierto
.
y derivable en el
1. Si en
, entonces la función f es creciente
para toda x en
, entonces la función f es decreciente
.
2. Si en
para toda x en
.
Demostración:
Al final del capítulo.
Ejemplos: 1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación . Para ello calculemos la primera derivada de
.
Como
, o sea si
, entonces f es creciente para
Como
, o sea si
, entonces f es decreciente para
En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
. .
2. Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación con
.
La derivada de f está dada por
que puede escribirse como
Como
entonces:
es positivo para toda x en
y
Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.
3. Luego:
si
por lo que la función f crece en el
intervalo Además: intervalo
. si
de donde la función f decrece en el .
La representaciรณn grรกfica de la funciรณn es la siguiente: 4.
5. 6. Determinar los intervalos en que crece o decrece la funciรณn f con ecuaciรณn , con
.
La derivada de f es Como
es mayor que cero para x en
entonces para x en
.
para todo x en ,
,
, y ademรกs
, por lo que la funciรณn f es decreciente
. La siguiente, es la representaciรณn grรกfica de dicha funciรณn:
Valor mรกximo y valor mรญnimo de una funciรณn
Si f es una función dada, entonces
es un valor máximo relativo de f, si existe un
intervalo abierto tal que dominio de la función.
y
para
Si para toda x en el dominio de f, entonces máximo de fo máximo absoluto. Similarmente, abierto
, siendo x un valor del
es el valor
es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo
tal que
y
para
, con x en el dominio de f.
Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.
es el valor
Ejemplo:
Considere una función f definida en un intervalo siguiente:
Note que , es un máximo relativo y en el intervalo en que está definida.
, cuya representación gráfica es la
es el máximo valor que toma la función
Similarmente, función en
es un valor mínimo relativo y
es el mínimo absoluto de la
.
Teorema 2
Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si
es un valor máximo relativo de f y si existe
Prueba:
al final del capítulo.
entonces
.
Ejemplo: Considere la función f definida por
Su representación gráfica es la siguiente:
Puede observarse que cuando x toma el valor de
entonces la función tiene un valor
máximo. En este caso
es precisamente el vértice de la parábola con
ecuación:
.
Según el teorema anterior debe cumplirse que
En efecto, como
es igual a cero.
, al sustituir x por -2 se obtiene que , que era lo que quería comprobarse.
Teorema 3
Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si mínimo relativo de f y si
existe, entonces
es un valor .
La demostración es similar a la del teorema anterior.
Ejemplo:
Considere la función f definida por:
Su representación gráfica es la siguiente:
Note que la función f tiene un valor mínimo en
dado por
. El
punto
es el vértice de la parábola con ecuación
De acuerdo con el teorema Como valor mínimo.
debe cumplirse que
entonces
. sea igual a cero.
y se verifica lo enunciado respecto al
Observación: El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que exista un máximo o un mínimo. sea igual a cero, no implica que en Por ejemplo, para la función f con ecuación
, se tiene que
,
y si ; sin embargo, en no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede observarse en la siguiente representación gráfica de la función.
Definición
Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f, aquellos en los que
es igual a cero o en los que
no existe.
Ejemplo: Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones: a.
,
b.
,
Solución: a. Como Ahora:
, entonces si y solo si
o sea si
, ó,
, ó,
Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.
b. Como
Luego
entonces
, de donde
Por lo tanto el valor crítico de f es
si y solo si
, o sea, si
.
Note que aunque se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función. Observación: Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un valor a.
será un valor crítico de x para la función f si: ó
b.
no existe ó c. c es un extremo del intervalo k.
En este último caso, si si
entonces "a" y "b" son valores críticos. Si
entonces "a" es un valor crítico. Si
, o si
o entonces "b"
es un valor crítico. Si , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).
Criterio de la primera derivada para determinar los máximos y los mínimos de una función En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
Teorema 4
Sea f una función continua en un intervalo cerrado en todo punto del intervalo abierto Sea c en
tal que
o
, que es derivable
. no existe.
a. Si
es positiva para todo
entonces
, y negativa para todo
es un valor máximo relativo de
,
.
b. Si
es negativa para toda
entonces
, y positiva para toda
es un mínimo relativo de
,
.
c. Si
es positiva para todo
o si entonces
es negativa para todo
y también lo es para todo y a su vez para todo
; ,
no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo
relativo de . Prueba: Al final del capítulo.
Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse grĂĄficamente como sigue:
MĂĄximo relativo en
MĂnimo relativo en
En
no hay ni máximo ni mínimo relativo.
En los siguientes ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya ecuación se da. Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan los valores críticos y por último se aplica el teorema anterior. 1.
Note que f está definida para Como
entonces
Los valores críticos son
si y solo si , y , x=-2.
,ó
.
Determinemos ahora cuándo Como ,
y cuándo
, se deben resolver las desigualdades: . Nos ayudamos con la tabla siguiente:
Como para valor mínimo. Como máximo.
.
para
y
y
para
para
La representación gráfica de la función es la siguiente:
entonces
entonces
es un
es un valor
Note que es un mínimo relativo y que en el dominio de la función.
es un máximo relativo,
2.
En este caso
Luego,
(¡Compruébelo!)
si y solo si
Además,
, ó,
no existe si
.
Los valores críticos de f son Como
,
es positivo para todo , y cuando
,
. entonces para determinar cuando
, basta con analizar la expresión
.
Utilizamos la siguiente tabla:
i.
Como
para
entonces
y como f es continua sobre ese intervalo,
es creciente sobre
Por lo tanto
por lo que
si
.
en un valor mĂnimo relativo de f.
ii.
Como .
para
y
para
, entonces
es un valor mĂĄximo relativo de f.
iii.
Como
si
y como f es continua sobre
decreciente sobre , y por tanto es un valor mĂnimo relativo de f.
cuando
entonces fes . Luego
3. ,
Se tiene que
(¡Compruébelo!)
Ahora,
si y solo si
es decir, si
Los valores críticos de f son intervalo.
Como
,
, y,
para todo de x.
,
,
entonces el signo de
.
, estos últimos por ser extremos del
, y,
son expresiones positivas
estará determinado por la variación
Luego se tiene:
i. Como
para
sobre de f.
. Luego
y f es continua en para
,y
entonces f es decreciente es un máximo relativo
ii. Como para mínimo relativo de f.
y
para
, entonces
es un
iii. Como
para
Luego
y f es continua en
para
y
entonces f es creciente en
.
es un máximo relativo de f.
Ejercicio: Hacer un estudio similar para: a.
b. ,
C.
;
Concavidad y puntos de inflexión La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada A.
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo
y cóncava hacia abajo en el intervalo
Teorema 5
Si f es una función tal que
cuando
cóncava hacia arriba sobre
, entonces la gráfica de f es
.
Demostración:
Si sobre
y como
, entonces se tiene que
es creciente
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,
se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6
Si f es una función tal que cóncava hacia abajo sobre Demostración:
cuando .
, entonces la gráfica de f es
De la hipótesis:
, y como
decreciente sobre
, se obtiene que
es
por lo que según la definición dada sobre concavidad, la
gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre
.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si
entonces
Luego,
si
, y, y,
Como
, entonces
en ellos es positiva. Además es negativa.
si
es creciente en los intervalos
, pues
es decreciente en el intervalo
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo en el intervalo
.
.
La representación gráfica de la función
es la siguiente:
pues en el
y cóncava hacia abajo
Representación gráfica de la función
Observe que
es creciente en
y
y decreciente en
Representación gráfica de la función f:
Representación gráfica de la función f
.
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos el intervalo
y cóncava hacia abajo en
.
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición
Se dice que
es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si
existe un intervalo sobre
tal que
, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba
, y cóncava hacia abajo sobre
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos:
1. El punto
es un punto de inflexión de la curva con ecuación
pues
es positiva si
, y negativa si
arriba para
, y cóncava hacia abajo para
, de donde f es cóncava hacia .
Gráficamente se tiene:
2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
Se tiene que
Resolvamos las desigualdades
por lo que
,
Como si arriba en esos intervalos.
entonces la grรกfica de f es cรณncava hacia
La grรกfica de f es cรณncava hacia abajo en el intervalo
pues en รฉl
.
Luego los puntos y son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son puntos de inflexiรณn. La grรกfica de la funciรณn f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexiรณn separa una parte de la curva que es cรณncava hacia arriba de otra secciรณn de la misma que es cรณncava hacia abajo. En un punto de inflexiรณn, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de
inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
Teorema 7
Si
es un punto de inflexión de la gráfica de f y si
existe,
entonces Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplo: Considere la función f con ecuación La segunda derivada de f es
Note que
si
. .
, y,
Luego, f es cóncava hacia arriba para
si
, y cóncava hacia abajo para
Se tiene entonces que
es un punto de inflexión.
Evaluando la segunda derivada de f en verifica lo expresado en el teorema anterior.
resulta que
con lo que se
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8
Si: i. f es una función continua sobre un intervalo I, ii. es un punto interior de I tal que
,ó
existe, y
iii. Si existe un intervalo
1.
con
cuando
,
y
tal que:
cuando
, entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 2.
cuando
y
cuando
, entonces
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 3.
cuando bien,
y
cuando
entonces
cuando y
cuando
no es un punto de inflexión de la gráfica de f.
Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4,
sustituyendo f por
,o
,y
por
.
Ejemplos:
1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es
, que es igual a cero si y solo si
ó
.
Así Observemos la solución de las desigualdades siguiente tabla:
2. Como
para
entonces
y
,y
por medio de la
para
es un punto de inflexión según el punto l del Teorema 8.
De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como y
para
, entonces
para
es un punto de inflexión.
3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
Como se tiene que
Además
es mayor que cero para
nunca se hace cero y que
no existe.
, por lo que f siempre es cóncava
hacia arriba en su dominio, y por lo tanto
no es punto de inflexión.
Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto.
Teorema
Sea f una función con dominio D. Si
está definida para
con a.
donde
y si
entonces: es un valor máximo relativo de f si se cumple
que es un valor mínimo relativo de f si se cumple
b. que
Demostración: Al
final del capítulo.
Ejemplos: Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:
1. ,
Note que la función f no está definida en
La derivada de f está dada por
,
Los valores críticos de f se obtienen cuando solo si
,ó
. En este caso,
.
Ahora, la segunda derivada de f es Vamos a evaluar
a.
b.
; como relativo de f.
; como máximo relativo de f.
en
y en
entonces
es un valor mínimo
entonces
Gráficamente se tiene en el intervalo
es un valor
si y
2.
Se tiene que La primera derivada de g está dada por
Como cuando críticos de g.
y cuando
entonces estos son los valores
La segunda derivada de g es Evaluando
en
se tiene que
que es mayor que cero, por lo que
es un valor mínimo relativo de g.
Observe que no puede evaluarse en pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada.
Analizando
se obtiene que
para
y para por lo que al no existir cambio de signo resulta que no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.
Trazo de curvas La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas. Asíntotas
Dada una curva con ecuación es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.
Definición
Cuando el punto de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva.
Gráficamente:
Asíntota horizontal: Sea la función con ecuación Si ó horizontal de la gráfica de f.
, entonces la recta con ecuación
es una asíntota
Ejemplo:
1. Sea
la ecuación de una curva.
Como: entonces la recta con ecuación
es una asíntota horizontal de la curva.
2. entonces la recta con ecuación
es una asíntota horizontal de la curva.
Gráficamente se tiene:
Asíntota vertical: La recta con ecuación ecuación
es una asíntota vertical de la gráfica de una función con
, si se cumple alguna de las siguientes condiciones. i.
iii.
ii.
iv.
Si la recta con ecuación es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces fes discontinua en "a". Ejemplo:
Sea
la ecuación de una curva.
Observe que el dominio es el conjunto:
Como
y
entonces la recta con ecuación
es una asíntota vertical de la gráfica de la curva.
Gráficamente:
Note que la recta con ecuación
, (eje x), es asíntota horizontal de la curva.
Asíntota oblicua
Si los límites:
y
existen, entonces la recta con ecuación aparece al final del capítulo)
es una asíntota oblicua. (La justificación
Ejemplo:
La curva con ecuación
posee asíntota oblicua pues:
a. , de donde b. , de donde
Así la ecuación de la asíntota es La representación gráfica es la siguiente:
Note que la recta con ecuación
, (eje y), es asíntota vertical de la curva.
Especificaremos ahora los pasos a seguir para hacer el análisis y la gráfica de una función f cuya ecuación se da. 1. Calcular el dominio de f. 2. Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados. Si
es la ecuación de la curva, los puntos de intersección con el eje x se
determinan resolviendo la ecuación
, los puntos de intersección con el eje Y se
calculan dándole a x el valor cero. 3. Sentido de variación Se hace el estudio de la primera derivada.
a. b.
Se calcula Para determinar los valores críticos se resuelve
c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se resuelven las desigualdades
, y,
4. Estudio de la segunda derivada de f.
a. b.
Se calcula Se determinan los puntos de inflexión resolviendo
c. Para determinar los intervalos en que f es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo, se resuelven las desigualdades
y
Los puntos máximos y los puntos mínimos se pueden establecer ya sea utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.
5. Estudio de los límites
Se calculan los siguientes límites:
,
y donde 6. Estudio de las asíntotas: Se determina si la curva posee asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
7. Se hace el cuadro de variación. Este es un cuadro en el que se resume todo el análisis anterior.
8. Gráfica de la función. Con los datos señalados en el cuadro de variación se dibuja la gráfica de
.
Ejemplos:
Hacer el análisis, cuadro de variación y gráfica de la curva con ecuación: a.
1. Dominio: 2. Intersección con los ejes:
, luego
es el punto de intersección con el eje Y, y
con el eje X. 3. Sentido de variación: i.
Como ii.
es positivo para
, basta con analizar el numerador.
valor crítico. iii. ; luego f crece si iv. , luego f decrece si que
. De i. y iv. se deduce
es un máximo relativo.
4. Estudio de la segunda derivada: i.
ii. para toda Para determinar si f es cóncava hacia arriba o hacia abajo se deben resolver las desigualdades
y
Como intervalo.
para
Como
para
para lo que utilizamos la siguiente tabla.
entonces f es cóncava hacia arriba en ese
entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
5. Estudio de los límites:
a.
b. c.
d.
e. f.
6. Asíntota: De a. y b. del punto anterior, la recta con ecuación
es una asíntota horizontal.
Del punto anterior también se obtiene que las rectas con ecuaciones asíntotas verticales.
,
Como pero: asíntota horizontal.
entonces la asíntota oblicua coincide con la
7. Cuadro de variación: resumen de lo estudiado
son
8. Representación Gráfica:
b.
1. Dominio: 2. Intersección con los ejes: para que la curva interseque al eje x se necesita que pero esto sucede únicamente si hay intersección con el eje X.
, es decir, si
pero
Para la intersección con el eje Y, x debe ser igual a cero, pero
por lo que no
, por lo que
,
tampoco hay intersección con el eje y. 3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada,
a a.
b. c.
Para determinar los intervalos en que crece o decrece la función debemos resolver
y
Como
es mayor que cero para
de
. Para ello utilizamos el siguiente cuadro.
Como
para
Como
para
Además en
entonces f crece en ese intervalo. entonces f decrece en ese intervalo.
, hay un mínimo relativo.
4. Estudio de la segunda derivada
a.
, basta analizar el comportamiento
b. c.
, luego f es c贸ncava hacia arriba si
d.
, luego f es c贸ncava hacia abajo si
5. Estudio de los l铆mites
a. (forma
Si
)
entonces
y
(forma
, por lo que:
por lo que puede aplicarse la
Regla de L'H么pital)
b.
, pues si
entonces
c.
Si
entonces
y
y
d. , pues
y
6. Asíntotas Existe asíntota vertical dada por la recta con ecuación a.
, por el resultado del límite
No hay asíntota horizontal. Asíntota Oblicua i.
de donde ii.
(forma
por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)
, de donde Por tanto, la recta con ecuación
es una asíntota oblicua.
7. Cuadro de variación: resumen de lo anterior.
8. 9. Gr谩fica:
c.
1. Dominio: 2. Intersecci贸n con los ejes a. eje Y: no hay intersecci贸n, pues x debe tomar el valor de cero, pero b.
eje X: intersección con este eje.
, pero
, por lo que no hay
3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada a.
b.
ó
, estos son los valores
críticos de f. c. Como:
Se tiene que
si
si Entonces f es creciente si
y f es decreciente
si Luego,
, es un valor máximo y
4. Estudio de la segunda derivada: a. b.
es un valor mínimo.
c.
, entonces f es cóncava hacia arriba si
d.
; luego, f es cóncava hacia abajo si
5. Estudio de los límites: a.
b.
c.
d.
6. 7. Asíntotas De a. y b. del punto anterior se concluye que la recta con ecuación vertical.
es una asíntota
De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asíntota horizontal. Asíntota oblicua i.
de donde ii.
de donde
Luego, la recta con ecuaci贸n
8. Cuadro de variaci贸n
9. Gr谩fica
c.
1. Dominio
es una as铆ntota oblicua.
Se necesita: lo cual se cumple cuando 2. Intersección con los ejes: Eje X:
, luego en el punto
interseca al eje x.
Como también en interseca al eje Y. 3. Sentido de variación o estudio de la primera derivada a.
(¡Compruébelo!)
Como determinar
es positivo para
, analizamos únicamente el numerador para
y
Como es mayor que cero para esos intervalos.
entonces f es creciente en
Como es menor que cero para decreciente en esos intervalos.
entonces f es
Además en
y
4. Estudio de la segunda derivada
hay dos valores mínimos relativos.
a. b.
y
por lo que f siempre es cóncava
hacia arriba.
5. 6. 7. Estudio de los límites a.
b.
8. 9. 10. Asíntotas Del punto a. anterior se obtiene que no hay asíntota horizontal. Del punto b. anterior se obtiene que
y
son las ecuaciones de asíntotas
verticales. Determinemos si existen asíntotas oblicuas: 1. a.
de donde
b.
, de donde
La recta con ecuación 2. a.
es una asíntota oblicua.
.
de donde b.
, de donde Luego, la recta con ecuaci贸n 11. Cuadro de variaci贸n:
12. Gr谩fica
.
es otra as铆ntota oblicua.
13.
Resolución de problemas de máximos y mínimos: En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos: • • • • •
• • • • •
Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra. Hacer un dibujo cuando sea necesario. Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo. Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar) Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función. Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos. Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos. Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema. En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:
1.
Círculo de radio r con centro en Ecuación: Circunferencia: Área:
2. Sector circular; Área: donde es el ángulo central medio en radianes.
Área: donde s es la longitud del arco AB 3. Trapecio
Área: , donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.
4.
Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Ă rea lateral: Ă rea total:
Ver en ambiente 3D
5.
Cono circular recto de altura h y radio de la base r. Volumen: Superficie lateral: . L donde L es la generatriz estĂĄ dada por:
Ver en ambiente 3D
6.
Esfera de radio r. Volumen: Superficie:
Ver en ambiente 3D
c. Ejemplos:
1. Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible. Solución: Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos. Sean estos números: x, y Luego Como la suma de esos números es 10, entonces auxiliar, de donde
es la ecuación
.
Entonces:
Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función
Derivando:
Valores críticos: En se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo.
Como valor máximo.
entonces
por lo que en
se tiene un
Si entonces . Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.
2. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima? Solución: Se debe maximizar el área A de un rectángulo:
Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. Luego
Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es:
de donde
.
Luego
Como crítico.
y
entonces
es un valor
Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.
Como valor máximo.
y
, entonces
es un
Si entonces por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.
3. Una recta variable que pasa por el punto eje Y en . Hallar el área del triángulo suponiendo A y B positivos. Solución: Se debe minimizar el área T de un triángulo. Gráficamente se tiene:
corta al eje X en
y al
de superficie mínima,
El triángulo es rectángulo y su área está dada por
La recta pasa por los puntos dada como sigue:
,
y
, por lo que la pendiente está
i.
Tomando
y
:
y
:
ii.
Tomando
Luego:
es la ecuación auxiliar, de donde
Entonces
,
(*)
Como
entonces
ó Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores críticos son máximos o mínimos:
Del cuadro anterior, como T decrece para para Si
entonces en entonces
y crece
se tiene un valor mínimo.
(al sustituir en (*))
Luego el área del triángulo es Además, la ecuación de la recta es
4. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima? Solución:
En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica:
Se han señalado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana.
El área de la ventana está dada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo.
Área del triángulo: Área del rectángulo:
Área total: Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces: donde
de
es una ecuación auxiliar.
Luego: Se tiene en el triángulo:
. Debemos escribir h también en términos de x.
,
Luego:
Determinamos los valores crĂticos
Luego:
El valor crítico es
Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que
,y,
de donde
es un valor máximo.
Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser ventana tenga el área máxima.
La altura del rectángulo debe ser: .
para que la
y el lado del triángulo es
5. Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a
, y puede cambiar
a , dónde debe desembarcar en la costa, para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible? Solución: Se debe minimizar el tiempo de recorrido Gráficamente la situación es la siguiente:
Sea C el punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia . es la distancia en que debe remar desde A hasta C es la distancia en que debe caminar desde C hasta B
Note que
y
AdemĂĄs se tiene que la distancia S recorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea;
de donde
La distancia
.
es recorrida con una velocidad de
con una velocidad de
, y la distancia
, por lo que el tiempo total de recorrido serĂĄ:
siendo esta la funciĂłn a minimizar.
Luego:
Para determinar los valores crĂticos hacemos
Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico es un mínimo.
, evaluando en
por lo que
se obtiene
es un valor mínimo.
Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que está a de punto C, para llegar a la tienda en el menor tiempo posible. 6. Determinar las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente:
Km.
Ver en ambiente 3D
Solución: Hay que maximizar el área lateral del cono inscrito. Las dimensiones de éste son: x radio de la base, h altura y se especifican en la figura de la siguiente manera:
El área lateral de un cono es
.
Una ecuación auxiliar se puede obtener por medio de semejanza de triángulos de la siguiente forma:
Además
Sustituyendo en la ecuación del área lateral
Determinemos los puntos críticos:
,ó
Por lo tanto, los valores críticos son
y
Determinemos cuál de esos valores es un valor máximo utilizando el criterio de la primera derivada.
Como
crece para
y decrece para
entonces
y crece para
entonces
es un valor máximo.
Como
decrece para es un valor mínimo.
Luego el valor que nos interesa es
Por lo tanto, el radio de la base del cono inscrito es altura es
cm., y la
cm.
7. Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera. Solución: Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito. Si el radio de la base del cono es x y su altura es h, su volumen está dado por: Gráficamente se tiene:
Ver en ambiente 3D
Haciendo un corte transversal se tiene:
Podemos utilizar semejanza de tri谩ngulo para obtener una ecuaci贸n auxiliar:
de donde
Sustituyendo en la ecuaci贸n del volumen del cono:
Utilizando el criterio de la primera derivada, analicemos cuál valor crítico corresponde a un valor mínimo:
Como
decrece para
y crece para
entonces corresponde a un valor mínimo que era lo que nos interesaba. Luego, las dimensiones del cono circunscrito a la esfera son: radio de la base
, altura
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