GUIA CIU MATEMATICA III by Maria Celeste Urbano

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR SEDE DEL LITORAL

Ciclo de Iniciación Universitaria (C.I.U) Matemática III

Abril-Julio 2011

Presentación

La guía práctica de matemáticas III del CIU (Ciclo de Iniciación Universitaria), aspira a contribuir a la enseñanza- aprendizaje de esta asignatura, con un enfoque didáctico.

“La matemática es el lenguaje en el que Dios ha escrito el universo.” Galileo

Autores: José Viloria Andrés Hernández

Contenido 1

Funciones 1.1

La existencia de funciones..………………………………1

1.2

Definición de Función ……………………………………. 2

1.3

Evaluación de Función…………………………………… 3

1.4

Obtención del dominio de una función ………………….4

1.5

El rango o recorrido de una función…………………….. 6

1.6

La gráfica o curva de una función….………………….. ..7

1.7

Definición de la gráfica de una función real …………… 7

1.8

Criterio geométrico para la gráfica de una función real .9

1.9

Problemas que inducen una función …………………..10

Ángulos 2.1

Definición…………………………………...................... 13

2.2

Medida de un ángulo.………………………………….. 14

2.3

Clasificación de los ángulos …………………………….16

2.4

Relaciones entre ángulos ……………………………….18

2.5

Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos correspondientes……………………………………….. 19

2.6

Ejemplos de aplicación……………………................... 20

3 Vectores en R3 3.1 Definición………………………………………………… 24 3.2 Vectores equipolentes..……………………................

3.3 Operaciones con vectores..…………………………..... 27 3.4 Combinación lineal……………………………………… 33 3.5 Vectores linealmente independientes y linealmente dependiente ……………..……………………………………………

3.6 Base………………….……………………….................

Triángulos 4.1

Definición……………………………………................ 36

4.2

Suma de los ángulos internos de un triángulo……… 36

4.3

Clasificación de los triángulos según sus lados.…….. 37

4.4

Clasificación

los

triángulos

según

sus

ángulos

……………………………………………………………..38 4.5

Aplicación del Teorema de Pitágoras ………………….42

4.6

Ejercicios ………………………………………………….44

4.7

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo… 45

4.8

Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo…………………………………………………

4.9

Congruencia entre triángulos…………………………

4.10

Criterios de congruencia de triángulos………………

4.11

Ejercicios………………………………………………..

5 Trigonometría 5.1

Definición…………………………………….. …………. 52

5.2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo ………..52

5.3

Razones trigonométricas inversas ……………………..54

5.4

Razones trigonométricas para ángulos notables ……. 55

5.5

Identidades trigonométricas …………………………… 58

5.6

Fórmulas de razones trigonométricas ………………… 62

5.7

Razones trigonométricas para ángulos negativos …...68

5.8

Ejercicios …………………………………………………72

5.9

Ley de los cósenos...…………………………………….. 72

5.10

Teorema del Seno ……………………………………….. 74

internos

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CICLO DE INICIACIÓN UNIVERSITARIA SEDE DEL LITORAL MATEMÁTICA III 1. DATOS GENERALES Asignatura:

Código

Matemáticas III

FC-3001

Departamento:

Unidades crédito: 3

Formación General y Ciencias Básicas Horas semanales: 4

Trimestre: Abril-Julio 2011

Autores: Andrés Hernández y José Viloria

2. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN El propósito del CIU, es ofrecer un programa de formación para el ingreso a las carreras universitarias que se dictan en la Universidad Simón Bolívar, con el fin de facilitar, enriquecer y consolidar los conocimientos y la formación integral de los aspirantes a estas carreras.

El plan de estudio presenta una secuencia de contenidos orientados al desarrollo y consolidación de estrategias para resolver problemas geométricos y sobre trigonometría. En tal sentido, el curso de Matemáticas III cierra este ciclo de formación.

Se trata de una asignatura teórico-práctica, orientada a consolidar los contenidos programáticos, no estudiados o no consolidados en el bachillerato. En esta etapa se espera afianzar esos contenidos para que el estudiante desarrolle un pensamiento lógico formal en la resolución de problemas de estos tópicos.

3. PROPÓSITO Consolidar en los estudiantes conocimientos básicos, destrezas y habilidades matemáticas para el éxito en las carreras universitarias seleccionadas y desarrollar en ellos una actitud positiva hacia el estudio y hacia su persona que contribuya al fortalecimiento de un profesional integral con un alto compromiso con el desarrollo del país.

4. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Desarrollar el razonamiento abstracto y concreto de los estudiantes garantizando la comprensión de los problemas referente a geometría y a trigonometría, así como el planteamiento de sus soluciones. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Definir conceptos necesarios para resolver los diferentes tipos de ejercicios. 2. Definición de funciones, dominio y rango. 3. Identificar los puntos de corte de una función. 4. Identificar los tipos de funciones. 5. Identificar y resolver problemas aplicando la definición de ángulos. 6. Realizar operaciones con vectores en el plano y en el espacio. 7. Resolver problemas en los cuales se utilicen relaciones entre los elementos de un triángulo. 8. Reconocer y calcular diferentes formas de ecuaciones utilizadas en la trigonometría. 9. Propiciar la participación en clases de los estudiantes para la resolución de problemas.

5. CONTENIDO PROGRAMÁTICO Capítulo 1  Existencia de función  Definición de función  Evaluación de función.  Obtención de dominio de una función.  El rango o recorrido de una función.  La gráfica o curva de una función.  Definición de la gráfica de una función.  Criterio geométrico para la gráfica de una función real.  Problemas que inducen a una función

Capítulo 2  Definición de ángulo.  Medida de un ángulo.  Clasificación de los ángulos.  Relaciones entre ángulos.  Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos correspondientes

Capítulo 3  Definición de vectores.  Vectores equipolentes.  Operaciones con vectores.  Combinación lineal.  Vectores linealmente independiente y linealmente dependiente.  Base.

Capítulo 4  Definición de triángulo.  Suma de los ángulos de un triangulo.  Clasificación de los triángulos según sus lados.  Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos  Aplicación del Teorema de Pitágoras.  Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo.  Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un triángulo  Congruencias entre triángulos.  Criterios de congruencias

Capítulo 5  Definición de trigonométria.  Razones trigonométricas  Identidades trigonométricas.  Fórmulas para las razones trigonométricas.  Ley del coseno.  Teorema del Seno. 6. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE Por parte del profesor:  Iniciar el desarrollo de la clase dando definiciones, y posteriormente ejemplos que van desde lo más simple hasta lo más complejo.  Por medio de lluvias de ideas los estudiantes realizaran un resumen de la clase anterior.  Consignarles a los estudiantes distintos tipos de ejercicios para resolver en sus casas y después corregir esos ejercicios en el pizarrón, en la siguiente clase.

 Por parte de los alumnos:  Poner atención a la exposición dada por el docente sobre los contenidos programáticos.  Participar activamente en clase a fin de aclarar cualquier duda que se le presente.  Resolver ejercicios variados, aplicando la teoría vista en el aula de clases.  Prepararse para los exámenes parciales, resolviendo diversos ejercicios dados por el profesor.

7. ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN El plan de Evaluación se organizara en la escala de 1 a 100 puntos. Se realizaran tres evaluaciones departamentales durante el trimestre, en las semanas 4,8 y 11 con una ponderación de 30, 30 y 25 puntos, respectivamente y 15 puntos para intervenciones y asistencia

Actividades

Puntuación

1ª evaluación

2ª evaluación

3ª evaluación

Examen final

Total actividades

100

8. BIBLIOGRAFIA BÁSICA Buron Orejas, Javier (1993). Enseñar a aprender: Introducción a la metacognición. Bilbao: Ediciones mensajero Hoffmann, Jorge G. (1998). Matemática. Caracas: Editorial Sphinx Mendiola, Esteban. (1998). Matemática 7º. Caracas: Editorial Biosfera Suárez Bracho, Estrella. (2002). Matemática 7º. Caracas: Editorial Santillana

Capítulo 1 Funciones 1.1 La existencia de funciones. En nuestro entorno existen innumerables situaciones en las que un hecho depende de otro o de otros; esto conduce a un estado de “dependencia de”. También se interpreta como que un hecho está dado en función de otro(s). En aquellas situaciones en que una cantidad dependa de otra se les llama función. Así como ejemplo de situaciones que representan una función tenemos: El costo de un pasaje en función de los kilómetros recorridos. El recorrido de un vehiculo en función del tiempo. El nivel de peligrosidad de una enfermedad en función del número de pacientes. El cubo de un número real. En vista de lo arraigado que está la noción de función a nuestra vida cotidiana tiene gran importancia su estudio, para así comprender las diferentes situaciones en las que esta se presenta. Comencemos por establecer la asignación de una letra que represente la regla que describe la función, por lo general se usan: f , g , h, etc . Así por ejemplo diremos que la función f es la regla que asigna a cada número real x el cubo de éste y lo expresaremos como:

f ( x)

Esta expresión algebraica se le conoce como la generalización de la regla y se lee; “efe de equis es igual al cubo de equis”. De manera que, por ejemplo, para los números reales: 3, 1 2 y 5 se tiene que. f ( 3)

( 3) 3

f ( 1 2)

( 1 2) 3

f ( 5)

3. 3. 3

13 23

( 5)3

1 8 5. 5. 5

Y se interpreta que f relaciona a: -3

con

f ( 3)

27 .

125

con

f ( 1 2)

con

f ( 5)

1 8 125

1.2 Definición de función. Una función f es toda regla que asigna a cada elemento x A exactamente un único elemento f ( x) B . Los conjuntos A y B son llamados partida y llegada, respectivamente. Cada elemento x en el conjunto de partida A de una función f se le llama preimagen (es considerado un valor independiente) y su correspondiente elemento f (x) en el conjunto de llegada B será la imagen y es considerado un valor dependiente y se escribe y f (x) . El dominio de la función f , representado como Dom( f ) , será el conjunto formado por todas las preimagenes (un subconjunto de A ) y el rango de la función f , que representamos como Rgo( f ) , será el conjunto formado por todas las imágenes (un subconjunto de B ).

Ejemplo Se tiene la relación entre los conjuntos; el de unas personas (partida) y el de las edades (llegada)

Basándonos en ella nos preguntamos ¿Es ésta una función?. Argumente su respuesta. La relación dada en esta gráfica asigna a cada persona su edad, y se sabe que no existe persona alguna que tenga dos edades. Lo que nos dice que cada elemento en el conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento en el conjunto de llegada y por tanto dicha relación si representa una función.

Estamos interesados en el estudio de funciones donde los conjuntos de partida y llegada son los números reales, las cuales llamamos funciones reales. Cuando decimos que f es una función real lo expresamos.

f :R

1.3 Evaluación de función. Al presentarse la necesidad de conocer, para una función real f, el valor de la correspondiente imagen de una preimagen dada a, se procede a sustituir el valor de la variable independiente x por ese valor a. y luego de efectuar las diferentes operaciones obtenemos el valor de la imagen buscada f (a ) .

x 2 entonces para esta función se tiene que:

Ejemplo 1. Para f ( x) i)

El dominio es: Dom( x 2 )

Dom( f )

Al evaluar f ( 4) , f (3 5 ) y f ( 32

ii)

f ( 4) f (3 5 )

iii)

3 2

3 5 3 2

)

16 2

3 . 5 2

3 2 2

9.5

45 2

3 2

2. .

9 4

La preimagen de 3 (en esta parte argumente lo que sucede).

Este ejercicio plantea el problema de encontrar la preimagen x para que la correspondiente imagen sea 3, es decir que:

f ( x) 3 Ya que x resultados.

es una ecuación de segundo grado y por tanto tiene dos

En el caso en que la preimagen sea un valor no numérico (alguna letra) o alfa numérico se procede a sustituir de igual manera como se plantea en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Para la función g ( x) g ( m h) . Evaluando tenemos que:

5 2 x 3 evalúe o determine: g (m) , g ( m) y

g (m) 5 2.(m) 3

5 2.m 3

g ( m) 5 2.( m) 3

5 2m 3 .

5 2. m 3

5 2m 3 . Ya que; ( m) 3

( m).( m).( m)

g (m h) 5 2.(m h) 3 .

En consecuencia de todo esto nos preguntamos ¿usando la evaluación podremos determinar el dominio de una función real? La respuesta es no ya que el dominio es un subconjunto de los números reales y por lo general éste contiene infinitas preimagenes. Para ello, como vemos a continuación, se estudia la regla dada por f (x) .

1.4 Obtención del dominio de una función. Como una preimagen de una función real f se ha definido cada valor real x Dom( f ) tal que esté relacionada con un solo valor real f (x) llamado imagen de x. Esto quiere decir que el dominio de una función f está conformado por todo número real tal que f ( x) R . Caso contrario que f (m) no sea un número real decimos que el número real m no es preimagen y por tanto no pertenece al dominio de f. Ejemplo. Determine el dominio de las funciones:

g ( x) i)

f ( x)

x 2 , h( x )

x y

x 2 . 3x x 2 La función cuadrática es la que asigna a cada número real el cuadrado f ( x) x 2 , ella tiene dominio; de éste y su regla es

Dom( f )

Dom( x 2 )

R , ya que todo número real se puede elevar al

cuadrado. ii)

x . Esto nos La función raíz cuadrada viene dada por la regla h( x) dice que la imagen de cada preimagen a será el número real no negativo a , pero esto será posible siempre que a no sea un número real negativo es decir que el dominio de esta función está formado por todos los números reales positivos y por el cero.

Dom( f ) iii)

Para la función g ( x)

Dom( x ) R 0 x 2 se tiene que, por estar definido como un 3x x 2

cociente, g (x ) será un valor real siempre que su denominador no se haga cero, es decir;

Dom( g )

Dom

x 2 3x x 2

R / 3x x 2

0,3

Ya que 3x x 2

0 siempre que x no sea 3 ni 0.

x. 3 x

Por lo general una función viene dada mediante una regla muy complicada y es por ello que para obtener el dominio de una función se requiere de un conocimiento mas profundo sobre funciones reales que en cursos mas avanzados veremos.

Ejercicios. 1-. Para la función f ( x) 2-. Sabiendo que h( x) i) h(a) 1 iv) h(a)

; 0

x x

. Determine f ( 32 ) , f (1 m) y f ( 3) .

2 x 3 , encuentre en cada caso el valor de

ii) h(a) ;

5 2 2

v) h( a 2 3 )

;

iii) h(1 a)

;

a tal que:

vi) h(1 a)

3-. En cada gráfica indique si la relación f representa una función, de no serlo justifique por qué y de serlo determine para cada preimagen su correspondiente imagen. i)

iii)

ii)

iv)

4-. Plantee una situación de su vida cotidiana que represente una función y otra que no.

5-. Determine el dominio de las funciones definidas por las fórmulas siguientes:

a) f ( x)

2x 1

e) h( x)

b) g (u )

u2 1 2

f) f ( x)

x 3

c) T ( x) d) f ( x)

x x

i) T ( y )

y y 3

j) L( x) x

g) g (t ) h) U ( x)

1 5t

k) h( x)

1 x 1

2 x2

x a bx c

1.5 El rango o recorrido de una función Como hemos visto, al evaluar un valor en una función real no sólo determinamos si éste es preimagen sino que en el caso que lo sea, el valor real que se obtiene es su correspondiente imagen. Definición. Lamamos rango (o recorrido) de una función real f al subconjunto de R formado por todas las imágenes. Este conjunto está representado como Rgo(f). El rango de una función real no es tan fácil de obtener. Más aún, no a cualquier función real se le puede determinar su rango.

1.6 La gráfica ó curva de una función. Una función puede visualizarse mediante la gráfica que ésta tiene. La gráfica de una función f siempre será la representación geométrica (lugar geométrico) de todos los puntos en el Plano Cartesiano dado por cada par ordenado P x, y donde x es cada preimagen y el valor y f (x) es la correspondiente única imagen. Cuando el dominio de la función f es un conjunto que puede numerarse (pueda que tenga infinitos elementos) la gráfica será un conjunto de puntos separados y si

f es una función real (su dominio no puede numerarse) la gráfica asociada es una curva. ▪

▪

▪ ▪

f ▪

b ▪ Gráfica de función f con dominio no numerable dado por el intervalo a, b

Gráfica de función f con dominio numerable a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6

Con todo esto decimos que todo punto P que pertenezca a la curva de una función f es el par ordenado dado por:

P preimagen , imagen

1.7 Definición de la gráfica de una función real.

R su gráfica o curva es el lugar geométrico en el plano Para una función f : R formado por todos los puntos x, f ( x) , es decir la representación geométrica del conjunto.

x, y Si en particular

R2 / y

f ( x)

f (x) es un polinomio de primer grado, es decir que

f ( x) m.x b entonces la gráfica de f es una recta ya que su curva es y m.x b y se le llama función lineal. Y la gráfica será una parábola si la función está dada por un polinomio de segundo grado.

Ejemplo 1. Para la función f ( x)

2 x 1 su gráfica es la recta formada por todos

los puntos x, y donde y 2x 1 . Y en vista de que para representar una recta sólo necesitamos dos puntos de ella, entonces para:

2x 1

Si x 1 Evaluando.

f (1) 2.(1) 1 2 1 3

Y el punto es Si x 2 Evaluando.

P1 1,3

-2 -1

f ( 2) 2.( 2) 1

Y el punto es

4 1

-3

2, 3

Ejemplo 2. La gráfica de la función g ( x)

3x x 2 es la parábola formada por

todos los puntos x, y donde y 3x x . Para representarla necesitamos mas de dos puntos de ella (se suelen representar almenos 5 puntos de ésta) entonces para:

x -1

g ( x) 3 x x 2

3( 1) ( 1)

(x,y)

3 1

y 3x x 2

1, 4

-1

3(0) (0) 2

0 0

0,0

3(3) (3) 2

9 9

3,0

3(1) (1) 2

3 1 2

1,2

3(2) (2) 2

6 4

2,2

-4

Otras funciones cuya gráfica tiene curva predeterminada son entre otras:

Cúbica y x 3

Constante y k

Raíz Cuadrada y

Es importante establecer la importancia de conocer la gráfica de una función ya que visualmente podemos analizar el comportamiento de la situación que ésta describe. Por otra parte es responsabilidad de los autores informar que existen funciones reales mucho más “complejas” y por ende su gráfica no es fácil de determinar, es por ello que se requieren nociones y técnicas más avanzadas que se verán en cursos posteriores.

1.8 Criterio geométrico para la gráfica de una función real. Observe que la curva de una función real f JAMÁS podría ser cortada (intersectada) en mas de un punto por recta vertical alguna. Es por ello que afirmamos que

A B

Usando el anterior criterio geométrico la de la izquierda no es la curva de una función pero la ubicada en la derecha si es la curva de una función. En efecto, en la curva de la izquierda el 0 le corresponderían dos valores; tanto A como B y esto no ocurre en ninguna función ya que por definición una función es aquella que siempre hace corresponder una preimagen con una sóla imagen.

En virtud de este criterio visual aseguramos por ejemplo que una circunferencia no es la curva de una función. Tampoco una elipse.

1.9 Problemas que inducen una función. En todas las actividades del hombre se presentan situaciones en que se registran valores y éstas modelan una función. Llamamos esto problemas relativos a funciones y le aplicamos los diferentes términos y estudio que acá hemos dado; como lo es: el domino, el rango, la gráfica y las evaluaciones. En esta parte se pretende plantear algunos de estos problemas. Problema 1. En un laboratorio se cultivan bacterias y se cuenta el número de ellas que diariamente se genera. Se quiere analizar los registros de una semana tomada al azar donde se obtuvo:

Día

Nº de Bacterias(mil)

Lunes

103

Martes

206

Miércoles

812

Jueves

824

Viernes

348

Sábado

996

Domingo

592

Esta actividad representa una función (representémosla como f) ya que no existen dos o más registros para un mismo día. Llamando los conjuntos de partida y llegada por D y NB respectivamente, entonces tenemos.

f :D

Es claro que el dominio es el mismo conjunto de partida y el de llegada es

103, 206, 348, 592, 812, 824, 996

La gráfica de esta función es: ▪

996 824 812

▪ ▪ ▪

592 348

▪

206 103

▪ ▪

Lun Mar Mier Jue Vie

Sáb Dom

La altura mayor es 996 y se alcanza en la preimagen “Sábado” es decir que;

f Sábado

996

Lo que nos dice visualmente que la mayor producción de bacterias se obtuvo el sábado y el lunes la menor (103).

Ejercicios de problemas. 1. En una competencia atlética se lanza un disco cuya altura alcanzada está determinada en metros por la función: f t

5t 2

alcanza el disco a los 3 segundos de ser lanzado.

24t

3 2

. Calcule la altura que

2. En una empresa de publicidad se estima que el numero h de personas informadas, después de t semanas de haber lanzado un comercial por televisión, esta dado por h(t )

25 3 2

5 t 2

a. ¿Cuántas personas se habrán informado después de 3 semanas? b. Si se informó a 520.000 personas, ¿Cuántas semanas transcurrieron después del lanzamiento del comercial? 3. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias, al cabo de t horas tendremos C t

5000 .2 2t bacterias. ¿Cuánto tiempo se

necesitará para que C sea 1.000.000? 4. Suponga que el costo total de fabricar n unidades de un mismo producto está dado por C n

5n 2

n 32 . Determine:

i) El costo de fabricar 12 productos. ii) El costo de fabricar el décimo producto.

Capítulo 2 ÁNGULOS 2.1 Definición Un ángulo es la porción del plano encontrada entre dos segmentos de rectas (ó semi-rectas) que se cortan en un punto llamado vértice del ángulo.

ángulo vértice

Donde una semi-recta es la parte de una recta formada por el conjunto de todos los puntos de la recta que se ubican hacia un lado de un punto fijo perteneciente a la misma recta (que denominaremos origen). Una semi-recta.

Sentido de un ángulo. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas, se considera que el ángulo es negativo.

Sentido negativo

Sentido positivo

2.2 Medida de un ángulo. Los ángulos se miden en: Grados sexagesimales. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales llamamos un grado sexagesimal a cada una de estas partes. En consecuencia decimos que recorrer una circunferencia equivale a girar 360º sexagesimales.

Radianes. Al considerar la fórmula de longitud de cualquier una circunferencia, ésta es:

Donde r es el radio.

2. .r

Como el ángulo es el mismo, independientemente del radio, podemos considerar la circunferencia de radio 1 y por tanto se tiene que ésta tiene longitud Lc

2. .

Luego se tiene que al girar en sentido positivo toda una circunferencia se ha recorrido una longitud de

y equivalentemente se ha girado 360º

sexagesimales, lo que nos plantea una relación entre estas dos medidas. 2.

360 º 180 º

La medida del ángulo a lo largo de su arco la llamamos radianes.

Radianes Gdos Sexag

Es por ello que afirmamos que; “ 1 rad equivale (a menudo se dice que es igual) a 180º ”.

Ejemplos. a) Los ángulos: 30º y 125º medidos en radianes equivalen a: Para 30º.

180 º x

30 º

30º. 180 º

30. 180

2.3.5. 2.2.3.3.5

Para 125º.

180 º x b) Los ángulos: Para

125 º

125 º. 180 º

5.5.5. 2.2.3.3.5

25 36

5 medidos en grados sexagesimal equivalen a: 4

180 x

Para

.180

60 .

5 4

180 x

5 4

5 .180 4

225 .

225

2.3

Clasificaciรณn de los รกngulos.

Segรบn la medida de un รกngulo รฉste puede clasificarse en: Un รกngulo llano es el que mide la mitad de un giro completo; es decir, 180 ยบ รณ radianes.( Ver figura)

Figura. Representaciรณn grรกfica de un รกngulo llano. La mitad de un รกngulo llano es un รกngulo recto y mide 90ยบ รณ

2 radianes. (Ver

figura)

Figura. Representaciรณn grรกfica de un รกngulo recto. Un รกngulo de medida menor que la del รกngulo recto (90ยบ), se llama รกngulo agudo; es decir, si

es el รกngulo, entonces 0

90 .(Ver figura)

Figura. Representaciรณn grรกfica de un รกngulo agudo.

Un ángulo cuya medida está comprendida entre 90º y 180º se llama ángulo obtuso; es decir, si

es un ángulo obtuso entonces 90

180 .(Ver figura).

Figura. Representación gráfica de un ángulo obtuso.

2.4 Relaciones entre ángulos Dos ángulos son adyacentes si el lado final de uno es el lado inicial del otro.

Los ángulos a0ˆ b y b0ˆ c son adyacentes. El lado final de a0ˆ b es la semi-recta Ob y coincide con el lado inicial de b0ˆ c . Dos ángulos adyacentes cuya suma es 180º ó suplementarios.

radianes, se les llama ángulos

Dos ángulos adyacentes cuya suma es 90º ó

radianes se les llaman ángulos

complementarios.

Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

a0ˆ b y a`0ˆ b`son opuestos por el vértice. b`0ˆ a y a`0ˆ b también son ángulos

opuestos por el vértice.

Como a0ˆ b + b0ˆ a` = 180º y b0ˆ a` + a`0ˆ b`= 180º tenemos que:

a0ˆ b + b0ˆ a` = b0ˆ a` + a`0ˆ b`. Por lo tanto: a0ˆ b = a`0ˆ b`, entonces los ángulos opuestos por el vértice tienen iguale medida. Para decir que dos ángulos usa la expresión

son opuestos por el vértice se

OPV .

2.5 Ángulos alternos internos, ángulos alternos externos y ángulos correspondientes.

Dadas dos rectas paralelas, l1 y l2, cortadas por una recta secante “d", se forman ocho ángulos indicados en la siguiente figura:

2.6 Ejemplos de aplicación

Ejercicios 1. Dadas las siguientes medidas de ángulos en grados sexagesimal, hallar sus equivalentes en radianes: a) 30º

e) 120º

b) 60º

f ) 180º

c) 45º

g) 270º

d) 90º

h) 390º

2. Dadas las siguientes medidas en radianes, halle sus equivalentes en grados sexagesimales: a) b) 1 radián

c) 3 /2 radianes

e) 2 radianes

f) ½ radianes

/6 radianes

/12 radianes

3. Encuentre, en cada caso, el ángulo complementario al ángulo dado: a) 27º

c) 80º

4. Encuentre, en cada caso, el ángulo suplementario al ángulo dado: a) 32º

c) 120º

d) 3/4

5. Dada la figura, encuentre los valores de los ángulos:

6. Dada la figura:

Encuentre los valores de los ángulos. 7. En la figura:

AB = AC, x =?

8. Dada la figura:

Donde

= 60º ¿Cuánto mide cada ángulo? (Justifique su respuesta)

9. En la siguiente figura las rectas m y n son paralelas (m||n) y el ángulo 1 = 65º. ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ?

Considerando esta misma figura, ¿Podríamos afirmar que los pares de ángulos 3 y 8, 2 y 7 son suplementarios? Argumente su respuesta.

Capítulo 3 Vectores 3.1 Definición.  n Un vector v es n -upla n números reales, es decir el vector se puede escribir  de la siguiente manera: v a1 , a2 , a3 ,..., an , donde cada ai con i 1,2,3,..., n

Cada a i con i 1,2,3,..., n , se llaman componente del vector. Para este curso se va a trabajar con los espacios 3 (Tridimensional), es decir; cuando n 2 ó n 3 Para n

(Bidimensional) y

 2 Un vector v ,es un par ordenado xa , y a , con xa , y a , donde x a representa la componente x e y a representa la componente y del vector. (Ver figura 1)

Eje y ya

 v Eje x xa

Figura 1.Representación gráfica de un vector en Para n

 Un vector v

, es una terna xa , y a , z a , con xa , y a , z a , donde x a representa la componente x , y a representa la componente y y z a representa la componente z del vector (Ver figura 2).

Figura 2. Representación gráfica de un vector en

Vector fijo. Un vector fijo AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo), en el que hay que distinguir tres características: dirección: la de la recta que lo contiene sentido: el que va de su origen a su extremo, marcado por una punta de flecha módulo: la longitud del segmento Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas AB , que indica su origen y extremo respectivamente se hallan de la siguiente manera: Para n

2 sean los puntos A xa , y a y B xb , yb , entonces las componentes de

AB Para n de

xb 2

xa , yb

3 sean los puntos A xa , y a , z a y B xb , yb , z b , entonces las componentes

xa , yb

ya , zb

Ejemplos. Hallar las componentes de los vectores fijos en los siguientes puntos a) P 2,3 y A 4, 1 PA

4 ( 2), 1 3

4 2, 1 3

6, 4

b) Q 1,3, 1 y R 4, 1,3 2

4 ( 1), 1 3,3

1 2

4 1, 1 3,3

5, 4,

7 2

Vector libre se caracteriza porque su punto origen es el 0,0 (para n=2) ó 0,0,0 (para n=3) y el extremo tiene como coordenadas las mismas componentes de éste. Un vector libre no se altera al trasladarlo paralelamente a sí mismo, o de otra manera, puede representarse por cualquier vector equipolente. Denotamos  cualquier vector libre mediante una letra minúscula, como: v , u , w , etc.

3.2 Vectores equipolentes. Dos o más vectores son equipolentes si siendo paralelos, tienen el mismo sentido y la misma longitud o módulo. Todos los vectores que son equipolentes tienen las mismas componentes, o de otra manera, dadas las componentes de un vector, dichas componentes son las componentes de todos los vectores paralelos del mismo sentido y longitud que el vector dado.

   Geométricamente si dos vectores a y b equipolentes se expresa a L1 A F

 w

Figura 3. Vectores Equipolentes.

 b.

 Son equipolentes los vectores fijos: BA, CD y EF y el vector libre w . Un vector es nulo cuando el punto de origen A , coinciden con el punto de extremo B , es decir, que las componentes del vector fijo son nulas (0). Para n

 El vector nulo es: 0

Para n

0,0

 El vector nulo es: 0

0,0,0

3.3) Operaciones con vectores   n 1) Adición: Dados dos vectores a , b , cuyas componentes son     a a1 , a2 , a3 ,..., an y b b1 , b2 , b3 ,..., bn , se define la adición a con b y se   anota a b al vector cuyas componentes son las sumas de las componentes de dichos vectores

  a b   a b

Para n

a1 , a 2 , a3 ,..., a n a1 b1 , a 2

b1 , b2 , b3 ,..., bn

b2 , a 3

b3 ,..., a n

b2 , a3

b3 ,..., a n

 Dados los vectores a   a b xa , y a xb , y b Para n 3  Dados los vectores a   a b xa , y a , z a xb , y b , z b

 xa , y a y b

  ii) c d

4, 1,2

  a d

2, 3

3,1, 5

xb , y b , entonces:   yb a b x a xb , y a

xb , y a

 xa , y a , z a y b

 Ejemplos. Dados los vectores a   5,1 2 i) a b 2, 3

iii)

a1 b1 , a 2

xb , y a

xb , y b , z b , entonces:   yb , z a z b a b x a xb , y a

 2, 3 , b

 5,1 , c

5, 3 1

3, 2

4 3, 1 1,2

 4, 1,2 y d

yb , z a

3,1, 5

7,0, 3

3,1, 5 (No se puede resolver ya que para que se cumpla la adición los vectores deben pertenecer al mismo espacio)

Propiedades de la adición de vectores     n a) Conmutativa. Si a , b entonces a b    b) Asociativa. Si a , b , c

 c) Elemento Neutro. Si a ,0

  b c

 entonces a n

  b a

  entonces a 0

  a b

  0 a

 c

 a

  a a1 , a2 , a3 ,..., an d) Elemento opuesto. Si a a1 , a2 , a3 ,..., an y       a a a 0 , al vector a se denomina vector opuesto entonces a  de a .

Figura 4. Representación geométrica de la adición de dos vectores

 Ahora la diferencia entre dos vectores se puede ver como la adición de a con  el opuesto de b (teniendo en cuenta que las componentes de un vector opuesto tiene sus mismas componentes pero con signo contrario), entonces:     a b a b (Ver figura 5 )  b

 a

 b

 a  a

 b

 Figura 5. Representación gráfica de a

 b

  Ejemplos. Dados los vectores a 2, 3 , b     b a b a 5,1 2,3 i)   b a 8,4   c d   c d

ii)

4, 1,2

3, 1,5

 4, 1,2 y d

 5,1 , c 5

3 ,1 3

3, 1

1 ,2 5

3,1, 5

8,4

1, 2,7

 n 2) Producto de un número real por un vector. Dado un vector a y un  número real k denominamos producto de dicho número por el vector a a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las componentes del vector dado por el número real.  k.a

k. a1 , a2 , a3 ,..., an

Ejemplos.    7, 3,2 y c Dados los vectores a 2, 3 , b  i) 2.a 2 2, 3 2. 2 ,2 3 4, 6 ii) iii)

 3.b

3  .d 2

3 2

7, 3,2

4,0,2, 1

3 . 2

k.a1 , k.a2 , k.a3 ,..., k.an

4,0,2, 1

7 , 3. 3 , 3. 2

3 3 3 4, .0, .2, . 1 2 2 2

21,9, 6

6,0,3,

3 2

  Geométricamente el vector k.a es un vector paralelo al vector a ; de mayor  1,1 el vector k.a tamaño que éste si k 1 ó k 1 y en el caso en que k  tiene menor tamaño que a . Para k 1 .

Figura 6. Representación gráfica del producto de un número real por un vector.

Propiedades del Producto de un número por un vector.   n Para todo k, p y a, b se cumple.     a) k . a b k .a k .b    b) Los vectores a y k.a son paralelos si a

 p k .a

 d) p. k.a

0 y k

  p.a k.a

 p.k .a

3) Magnitud o Norma de un vector    n Sea v , y v a1 , a2 , a3 ,..., an se define la magnitud o norma de un vector ( v ), como un número real no negativo que se obtiene calculando la raíz cuadrada de la suma de las componentes al cuadrado, es decir;  2 2 2 2 v a1 a 2 a3 ... a n

Para n

 Sea a

 x a , y a , entonces a

Para n

 Sea a

 xa , y a , z a , entonces a

Ejemplos. Hallar las normas de los siguientes vectores  a) a 2, 3

 b) h

 a

4 9

 a

1, 4,2

 h

1 16 4

 h

Propiedades a) La norma de un vector siempre es un número no negativo. Cuando el vector es nulo su norma es cero.  Si a

 , entonces a

 0 y cuando a

 0

 a

b) La norma de un vector que está multiplicado por un número real es igual al valor absoluto del número real por la norma de éste.   y k , entonces k .a k . a c) La norma de una suma de vectores es menor ó igual que la suma de las normas de cada sumando.

 Si a

  Si a , b

  , entonces a b

 a

 b

 Un vector se llama unitario cuando su norma es igual a 1; es decir, sea v   2 2 2 2 a1 a 2 a3 ... a n 1 , entonces v es unitario. que; v

, tal

existen infinitos vectores unitarios y entre ellos están los llamados vectores

iˆ

canónicos;

1,0

y 3

Análogamente para

ˆj

0,1

se tiene que:

iˆ

1,0,0

;

ˆj

0,1,0

Ejemplos. Para cada vector diga si es unitario.     1 1 , 1,4, 2 , m Sea a , b 1, 3 , j 2 2

 a

 b  j  m

1 2 2

1 0

1 2

1 9 2 0

1 2

2 2

kˆ

0,0,1

0, 1,0

 1 1 , entonces a es unitario

 10 , entonces b no es unitario  1 16 4 21 , entonces j no es unitario  0 1 0 1 1 , entonces m es unitario.

   4) Producto escalar de dos vectores ( a.b ). Dados los vectores a , b

, se

define el producto escalar de estos vectores como el número real que se obtiene de la siguiente manera

 a.b

Para n

a1 , a2 , a3 ,..., an . b1 , b2 , b3 ,..., bn

a1.b1 a2 .b2

a3 .b3 ... an .bn

 Sean a

 xa , y a y b

 xb , y b , entonces a.b

x a .xb

y a . yb

Para n

3  xa , y a , z a y b

 Sean a

 xb , y b , z b , entonces a.b

x a .xb

y a . yb

z a .z b

Ejemplos. Calcular el producto escalar de cada uno de los siguientes pares de vectores:   1, 23 a) a 2, 3 y b  a.b

2 3

2, 3 . 1,

 2,1, 3 y h

 b) d

 d .h

2,1, 3 .

4,2,

2. 1  a.b 1 4,2, 3

1 3

2 3

4 1. 2  d .h 9

1 3

8 2

Propiedades del producto escalar     n a) Si a , b , entonces a.b b .a    b) Si a , b , c

   ,entonces a. b c

  y a, b

c) Si p  d) Si a

 , entonces p. a.b

 , entonces a.a

También, si se conoce el ángulo puede definir como: Cuando los vectores 90 , entonces 2  a.b 0 , es decir, que  ( a.b 0 ) es nulo.

  a.b a.c   p.a .b

  a. p.b

0   entre los vectores a y b el producto escalar se

 a.b

  a . b . cos

  a y b son perpendiculares (ortogonales) se tiene que cos( ) cos(90º ) 0 , lo que trae como consecuencia que   n a, b son ortogonales si y solo si su producto escalar

 a.b

   a , b son ortogonales ( a

 En el ejemplo anterior (a) son ortogonales los vectores a

 b)  2, 3 y b

2 3

3.4 Combinación lineal Definición: Un vector n

v1 , v2 , v3 ,..., vr

se dice combinación lineal de r vectores

, si existen r escalares k1 , k 2 , k 3 ,..., k r k1.v1 k 2 .v2

 v

 w

  Ejemplos. Sean los vectores a 1,2, 1 , b componentes de los siguientes vectores:

1,2, 1

 b) e

3  a b 4

1,0, 2 . Calcular las

2 0,2,1

1,0, 2

1,2, 1

0, 4, 2

1,0, 2

1 0 1,2 4 0, 1 2 2

2, 2, 5

3 1,2, 1 4 3 4

 e

 0,2,1 y c

   a 2b c

 d  d

 e

k3 .v3 ... k r .vr

 Figura 7. Representación gráfica del vector w ,    donde w 3v 2u

 u

 a) d

tales que:

 c 2 0,2,1

1 1,0, 2 2

3 3 3 , , 4 2 4

0, 2, 1

1 ,0, 1 2

1 3 3 , 2 o, 1 1 2 2 4 5 1 11 , , 4 2 4 0

  En estos dos ejemplos se evidencia que los vectores d y e están expresados    como combinación lineal de los vectores a , b y c

 Ejemplos. ¿El vector z 2,1 , puede expresarse como combinación lineal de los   vectores w 3, 2 y y 1,4 ?



Esto es cierto en la medida que existan escalares a y b tales que: z En efecto;

a.w b. y .

2,1 2,1

a 3, 2 b 1,4 3a, 2a b,4b

2,1

3a b, 2a 4b 2

Entonces de aquí se plantea el siguiente sistema: solución única; a

1 y b 2

3a b 2a 4b

, que tiene

1 . 2

3.5) Vectores linealmente independientes. n En un conjunto de r n vectores (distintos del nulo) se dicen que son linealmente independientes si al expresar el vector nulo como combinación lineal de éstos, la única solución de los escalares es la trivial. Es decir que para;      k1 .v1 k 2 .v2 k 3 .v3 ... k r .vr 0 , tenemos que sólo; k1 k 2 ... k r 0

 Ejemplo: Los siguientes vectores son linealmente independientes; w  y 1,4 . En efecto; Para, .w

0 3 0 2

3, 2

 0 se tiene que:

2 0 3 3 0 2

0 6 0 6

2 12

Y como;

 Luego w

 3, 2 y y

0 3

1,4 son dos vectores linealmente independientes.

En caso que no todos éstos escalares sean cero decimos que los r vectores son linealmente dependientes. Una propiedad para vectores del plano es que dos vectores son linealmente  dependientes si y sólo si sus componentes son proporcionales; es decir para a 0   y k con k 0 , si b k.a entonces tenemos que       0 .a .b .a . k .a .a .k .a .k .a Y se cumple que; .k

3.6) Base n Definición: En una base es un conjunto de n vectores linealmente independientes. En n existen muchas bases. Así por ejemplo se tiene para 2 que dos bases B1 y B2 son:

1 2

, 1 ; v2

3,1

iˆ

1,0 ; ˆj

0,1

Capítulo 4 TRIÁNGULOS 4.1 Definición Tres puntos no alineados de un plano, A;B y C determinan el triángulo

ABC .

Todo triángulo tiene:

* 3 vértices, los puntos A, B y C. ____

____

* 3 lados, los segmentos AB , BC ____

y AC .

* 3 ángulos interiores ó internos:

4.2 Suma de los ángulos internos de un triángulo Un resultado importante sobre los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es el siguiente.

Proposición: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es un ángulo llano, 180º. Demostración: Prolongamos el segmento BC y trazamos por C una paralela al segmento BA Entonces se tiene que el ángulo: BCˆ A y x 180 º

C B

 Y como miden igual los ángulos x y ABC por ser correspondientes.  También miden igual los ángulos y y BAC por ser alternos internos. Lo que nos dice que:   180 º BCˆ A y x BCˆ A BAC ABC

4.3 Clasificación de los triángulos según sus lados Según la medida de sus lados: Un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales, AB = AC. Los ángulos

opuestos a los

lados iguales, son iguales

Un triángulo es equilátero si tiene sus tres lados iguales. En este caso sus tres ángulos son iguales.

Un triángulo es escaleno si tiene sus tres lados distintos.

4.4 Clasificación de los triángulos según sus ángulos internos. Según la medida de sus ángulos internos:

Un triángulo es acutángulo si sus tres ángulos son agudos, es decir que cada uno mide menos de 90 º

Un triángulo es obtusángulo si uno de sus tres ángulos es obtuso, es decir que tiene un ángulo interno que mide más de 90 º

C B El triángulo

ABC es obtusángulo ya que

Un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos internos es recto, es decir que mide igual a 90 º

 ABC

180 º .

Pitágoras, sabio griego que vivió 500 años antes de Cristo, observó que si tres cuadrados de lado a, b y c se pueden colocar de forma que estos lados formen un triángulo rectángulo entonces hay uno de ellos cuya área resulta la suma de las áreas de los otros dos.

Además se tiene que dado el triángulo rectángulo

ABC .

El lado mayor se conoce como hipotenusa ( c ) y los otros dos lados como catetos ( a y b ). Y se tiene el siguiente resultado conocido como el teorema de Pitágoras. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de los catetos". Y en el anterior triángulo se cumple que:

Nota: Observe que esta expresión cambia en la medida que llamemos distinto los lados del triángulo rectángulo.

De la anterior igualdad se desprende que:

Así por ejemplo se tienen los cuadrados de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud:

Donde la hipotenusa es b

5 (el

lado más largo) y los catetos son

3y a

Entonces se cumple que: b2

En efecto

25 9 16

Ejemplo 1. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de a .

4 3

Acá se tiene que: La hipotenusa es 4 3 y los catetos son a y 5. Entonces 4 3

a 5

4 3

16.3 25 48 25 a 23

Ejemplo 2. En el siguiente triangulo rectángulo halle el valor de m .

5 m

Acá se tiene que: La hipotenusa es 5 m 0 y los catetos son 4 y 1. Entonces 2 5 m 4 2 12 5

2. 5 . m

m 2

25 10m m m 2 10m 8

16 1

17 0

En vista de que se ha llegado a una ecuación de 2do grado se tiene aplicando resolvente que: m

b 4. a . c 2. a

donde b c

1 10 8

Luego 10

10 2. 1

4. 1 . 8

100 32 2

Luego de estos dos resultados sólo m cumple que 5 m

68 2

5 4,1

5 4,1 0,9 . Ya que éste valor

Ejemplo 3. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo en base a los siguientes datos: Los catetos miden a = 20cm y b = 15cm.

La hipotenusa del triángulo mide 25cm.

Ejemplo 4. Calcula los catetos (a ò b) en los siguientes triángulos rectángulos:

i) c = 15cm; a = 12cm; b =? ii)c = 169cm; b = 65cm; a = ?

Solución: i )b

b= 9cm

225 144

ii)

169

24336

156

a= 156cm

4.5 Aplicación del Teorema de Pitágoras Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la medida del lado de un triángulo rectángulo o calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia.

Ejemplo 1: Calculemos el valor de x aplicando el teorema de Pitágoras: (x + 2)2 = x 2 + (x + 1)2 x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1 X2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x +1) = 0 a) x – 3 = 0

x=3

b) x + 1 = 0

x=-1

Tomamos el valor positivo x = 3 para determinar las medidas de los lados. a=x+2

a=3+2=5

a=5

b = x +1

b=3+1=4

b=4

c=x

c=3

Ejemplo 2: Calcular el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio r

5 2cm Como el radio r es la medida de los catetos, formamos el triángulo AOB. La hipotenusa del triángulo AOB coincide con la longitud del lado AB del cuadrado.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

AB AB AB AB

2r 2

100 cm 2

r2 AB

2 5 2

100 cm 2

AB 10cm Luego, el perímetro es el siguiente: P = 4 AB = 4(10cm) P = 40cm

4.6 Ejercicios 1. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 7 cm.

2. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm.

3. Una persona camina 10 Km hacia el Norte, luego 2 Km hacia el Oeste y después 2 Km hacia el Sur, ¿a qué distancia está el punto de partida?

4. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual a 3/4 del otro cateto y la suma de ambos es 14 cm. Calcula la longitud de cada uno de los catetos y de la hipotenusa.

5. En un triángulo isósceles la base mide 24 cm y el perímetro 50 cm. Calcula el área del triángulo.

6. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado que tiene la misma área que un rectángulo de lados 9 cm y 4 cm?

7. Un poste de 2 m da una sombra de 3 m. ¿Cuál será la altura de otro poste que en el mismo instante da una sombra de 4,5 m ?

8. Halla la medida de la hipotenusa AB en el siguiente triángulo rectángulo:

4.7 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo

____

Dado un segmento XY , llamamos Mediatriz a la recta m perpendicular al segmento en su punto medio M.

Se prueba que para todo punto P perteneciente a m, se cumple PX = PY. Además si un punto Z del plano es tal que ZX = ZY, entonces Z debe estar sobre la mediatriz del segmento XY.

4.8 Mediatrices, bisectrices, medianas y alturas de un Triángulo Llamamos mediatriz de un triángulo a la mediatriz de un lado. Un triángulo tiene tres mediatrices. Se prueba que las tres mediatrices son concurrentes en un punto 0, que puede ser interior, exterior o estar sobre un lado del triángulo.

Llamamos bisectrices de un triángulo a las 3 bisectrices de cada uno de sus ángulos. Las tres bisectrices son Concurrentes en un punto I, que siempre es interior al triángulo.

Llamamos mediana de un triángulo al Segmento que une un vértice al punto medio del lado opuesto. Se demuestra que las tres medianas de un triángulo concurren en un punto interior al triángulo, G, llamado baricentro.

El segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto se llama altura del triángulo. Si el triángulo es acutángulo, como el de la figura, las tres alturas se cortan en un punto interior al triángulo, H, llamado ortocentro.

Si el triángulo ABC es rectángulo en A el ortocentro coincide con A. Si el triángulo ABC tiene un ángulo obtuso , H es exterior al triángulo.

4.9 Congruencia entre triángulos Triángulos congruentes: Puede ocurrir que dos triángulos tengan igual “tamaño” o área, pero no necesariamente la misma forma, como lo muestra la siguiente figura:

También puede ocurrir que los triángulos tengan la misma forma pero no el mismo tamaño. Por ejemplo:

Estos triángulos son rectángulos isósceles pero tienen tamaño o área diferente. Los triángulos de la siguiente figura tienen el mismo tamaño y la misma forma:

Si se calca uno de estos triángulos y se superpone sobre el otro, coincidirían exactamente. Se dice que los triángulos ABC y A´ B´C´ son congruentes. Puede ocurrir también que A

C´

B´

A´

4.10 Criterios de congruencia de triángulos a) Primer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si sus tres lados homólogos son congruentes. Ejemplo: En el cuadrilátero que veremos a continuación, los triángulos ∆abc y ∆adc son congruentes porque sus lados homólogos también lo son:

En este caso, el lado ac es común para ambos triángulos.

b) Segundo criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen dos de sus lados homólogos congruentes y el ángulo comprendido entre los mismos.

c) Tercer criterio de congruencia: Dos triángulos son congruentes si tienen uno de sus lados homólogos congruente y los dos ángulos adyacentes a dicho lado.

4.11 Ejercicios 1. ¿Consideras que todo triángulo isósceles es también un triángulo equilátero? Justifica tu respuesta. 2. ¿Cuántas losas se necesitan para pavimentar una sala de 36m2 de área, con losas triangulares de 20 cm de base y 12 cm de altura? 3. Sabiendo que el perímetro de un triángulo no es más que la suma de sus lados, ¿cuál sería el perímetro de un triángulo isósceles si uno de sus lados iguales mide 6cm y el otro lado mide 8cm?

4. Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 21m, ¿cuánto miden los lados del triángulo? 5. Calcula las coordenadas del vértice A, sabiendo que ∆ABC es isósceles de área 12cm2.

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

7. Demostrar, usando los criterios de congruencia de triángulos, que ∆abd y ∆bcd son congruentes.

8. Según cuál de los criterios de congruencia de triángulos afirmarías que los triángulos ∆abc y ∆cda, de la siguiente figura son congruentes:

Capítulo 5 TRIGONOMETRÍA 5.1 Definición La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición ó estudio de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida. Este estudio está basado en las relaciones que existen entre los ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo de valores o medidas encontrados en éste.

5.2 Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

En un triángulo rectángulo, si

es uno de sus ángulos agudos diferenciamos sus

catetos como adyacente si éste es uno de los lados de

y opuesto si no. En

función de esto definimos para cualquiera de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo las siguientes tres razones trigonométricas:

El seno del ángulo: sen( )

Cat.Opuesto Hipotenusa

El coseno del ángulo: cos( )

Cat. Adyacente Hipotenusa

La tangente del ángulo: tg ( )

Cat.Opuesto Cat. Adyacente

Es importante destacar el hecho que las razones sen( ) y cos( ) son dos valores reales positivos menores que 1 ya que la hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de los catetos.

Así tenemos que para el siguiente triángulo rectángulo que: Las razones trigonométricas son: Cat.Opuesto a sen( ) Hipotenusa c Cat. Adyacente b cos( ) Hipotenusa c Cat.Opuesto a tg ( ) Cat. Adyacente b

Proposición 1: La tangente puede expresarse como el cociente; Demostración: como para cualquier ángulo interno agudo

sen( ) . cos( )

de un triángulo

rectángulo se define tg ( )

Cat.Op Cat. Ady

Entonces al dividir, tanto el numerador como el denominador, entre el valor de la hipotenusa se tiene que

tg ( )

Cat.Op Hipotenusa Cat. Ady Hipotenusa

sen( ) cos( )

Que era lo que quería demostrar.

Proposición 2: El valor de las razones trigonométricas son números reales que sólo dependen del ángulo interno agudo lados del triángulo.

y no de las longitudes a; b; c de los

Demostración: Si tenemos dos triángulos rectángulos donde

es comúnmente

uno de sus ángulos internos agudo, es decir:

Entonces:

sen( )

a c

a ; c

b c

cos( )

b c

tg ( )

a b

5.3 Razones trigonométricas inversas. Para cada una de las tres razones trigonométricas se define su razón trigonométrica inversa.

La cosecante: es la inversa del seno y se define como.

cosec( )

1 sen( )

Hipotenusa Cat.Op

La secante: es la inversa del seno y se define como.

sec( )

1 cos( )

Hipotenusa Cat. Ady

La cotangente: es la inversa del seno y se define como.

ctg( )

1 tg ( )

cos( ) sen( )

Cat. Ady Cat.Op

Por lo antes dicho podemos asegurar que al conocer, para un ángulo agudo, el valor del seno y coseno entonces se pueden deducir el valor de las otras cuatro razones trigonométricas.

5.4) Razones trigonométricas para ángulos notables. Llamamos ángulos notables a aquellos que el valor de las razones trigonométricas seno y coseno están predeterminadas. Estos ángulos son:

; 30

; 45

; 60

; 90

Donde se tiene que el valor de las razones seno y coseno estan dados en la siguiente tabla.

0 seno 0 cos eno 1

1 2 3 2

2 2 2 2

3 2 1 2

90 1 0

Ejemplo 1: calcule; sec(30 ) , ctg( 4 ) y sec(90 ) . i) sec(30 )

1 cos(30 )

ii) ctg( 4 )

cos(4 ) 1 sen( 4 )

iii) sec(90 )

1 cos(90 )

2 3

2. 3 3. 3

2 3 3

(Ya que para

" No existe"

45 el seno y coseno son iguales)

(Ya que cos(90 )

Ejemplo 2: para el siguiente triángulo rectángulo halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

a 4 b 5

Como se trata de un triangulo rectรกngulo y conocemos dos de sus lados usamos el teorema de Pitรกgoras para hallar el otro (la hipotenusa).

b 5

Ahora calculemos el valor del seno y coseno.

sen( ) cos( )

Cat.Opuesto Hipotenusa

a c

4 41

Cat. Adyacente b Hipotenusa c

5 41

4. 41 41. 41 5. 41 41. 41

4 41 41

5 41 41

Luego

tg ( )

sec( )

sen( ) cos( )

4 41 41 5 41 41

1 cos( )

4 5

1 5 41

cos ec( )

41 5

ctg( )

1 sen( )

1 tg ( )

1 4 5

1 4 41

41 4

5 4

Ejemplo 3: para el siguiente triรกngulo rectรกngulo halle el valor de los elementos que le faltan.

3 2 30

Como se trata de un triangulo rectángulo y conocemos sólo uno de sus lados (la hipotenusa) y uno de sus ángulos internos agudo usamos el seno ó el coseno para hallar el cateto opuesto ó adyacente, respectivamente.

sen( )

b c

sen(30 )

b 3 2.

3 2

1 2

3 2 2

Ahora usamos el coseno para hallar el cateto adyacente. cos( )

a c

cos(30 )

3 2

Para hallar el ángulo que falta

3 2.

3 2

3 6 2

usamos el hecho que la suma de los tres ángulos

internos de un triangulo es 180°. Entonces.

180

5.5 Identidades trigonométricas. Definición Se entiende por identidad trigonométrica una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo, la cual se cumple para todo valor que se atribuya a dicho ángulo. Así por ejemplo, las siguientes son dos identidades trigonométricas:

sen( ). cosec( ) 1

ii) cos( ).tg( ) sen( ) 0

Ya que se sabe que c sec( ) Ya que se sabe que tg ( )

1 sen( ) sen( ) cos( )

Existe un gran número de identidades trigonométricas. Daremos y estudiaremos algunas de éstas. Para ello construyamos el siguiente círculo unitario

Círculo Trigonométrico. El círculo trigonométrico, es la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es la unidad.

y (0,1) 90° r=1

P (x,y) y

α (1,0) 180°

(1,0) 0°

270° (0,- 1)

Observe que en este círculo, para los ángulos: 0 , 90 , 180 , 270 y 360 se tiene que:

sen(0 )

0 y cos(0 ) 1

sen(90 ) 1 y cos(90 ) 0 sen(180 ) 0 y cos(180 )

sen(270 )

1 y cos(270 ) 0

Y para 360 se cumple lo mismo que para 0 ya que son ángulos equivalentes, es decir que al girar 360 se llega a la misma posición de 0 .

Para el punto P x, y

que está en círculo trigonométrico se tiene el triangulo

rectángulo de vértices: 0,0 , x,0 y x, y se sabe que:

es uno de sus ángulos

agudos internos, la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es y y el adyacente es x, Luego se tiene que:

sen( ) cos( )

Cat.Op y y Hip 1 Cat. Ady x x Hip 1

Y como esto se cumple para cualquiera sea ese punto P entonces se tiene, por el teorema de Pitágoras que:

sen 2 ( ) cos2 ( ) 1

(I)

Esta identidad se conoce como la identidad trigonométrica fundamental. A partir de esta identidad y de la definición de las razones trigonométricas se obtienen otras identidades trigonométricas de gran utilidad. Al dividir la anterior identidad entre sen 2 cos2

sen( ) cos( )

cos2 ( )

obtenemos:

cos2 cos2

1 cos2 2

cos( ) cos( )

1 cos( )

Obteniéndose

tg 2 ( ) 1 sec2 ( ) De manera análoga, pero al dividir (I) entre

ctg 2 ( ) 1 c sec2 ( )

sec2 ( ) tg 2 ( ) 1 sen 2 ( ) , encontramos que:

c sec2 ( ) ctg 2 ( ) 1

Signos de las razones trigonométricas. Los ángulos positivos son medidos a partir del semi-eje positivo “ x ” y según su medida se dicen que pertenecen ó encuentran en uno de los 4 cuadrantes del plano (I, II, III ó IV). De acuerdo a la ubicación del ángulo (en qué cuadrante se encuentra), el signo de cada razón trigonométrica variará. Así se tiene que para:

I Cuad

90 (agudo) y se tiene que.

Las 6 razones trigonométricas son positivas ya que lo son el seno y coseno.

II - Cuad

ii)

180

(obtuso) y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo son positivas el seno y su inversa.

III - Cuad

iii)

180

270

y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo la tangente y su inversa son positivas.

IV - Cuad

iv)

270

360

y se tiene que.

De las 6 razones trigonométricas sólo el coseno y su inversa son positivas.

Cuando el ángulo es mayor de 360 (más de una vuelta) éste vuelve a caer en alguno de los cuadrantes. Si el ángulo

360

se determina el cuadrante

donde cae el ángulo considerando el residuo (resto) al dividir éste es un ángulo que equivale a

360

ya que

, siendo el cociente el número de vueltas que

dá.

Ejemplo: Determine el cuadrante donde se encuentran los siguientes ángulos:

840 ,

9 y 2130 . 4

Para 840 . 840

360

120

Por lo que se tiene 840° equivalen a 2 vueltas y 120°. Por tanto

840

120

II - Cuad

Para

9 4

405 . Por lo que se tiene

405

360

9 equivalen a 1 vuelta y 45°. 4

Por tanto

9 4

405

I - Cuad

Para 2130 . 2130 330

Por lo que se tiene 2130° equivalen a 5 vueltas y 330°. Por tanto

360

2130

330

IV - Cuad

5.6 Fórmulas de razones trigonométricas. Unas herramientas de gran importancia en el cálculo del valor de una razón trigonométrica la representan las siguientes fórmulas trigonométricas.

Razones trigonométrica de la suma de dos ángulos. Para las razones trigonométricas seno y coseno. a) sen

sen

. cos

cos

.sen

b) cos

cos

. cos

sen

.sen

Ejemplo 1. Calcule cos 150

y sen 75

i) Como 150 º 90º 60º entonces cos 150 cos 150

cos 90 . cos 60

sen 90 .sen 60

ii) Como 75º 30º 45º entonces sen 75 sen 75

sen 45 . cos 30

cos 45 .sen 30

cos 90 0.

1 2

sen 45 2 3 . 2 2

60 , luego: 1.

3 2

30 , luego: 2 1 . 2 2

6 4

2 4

Razones trigonométrica de la diferencia de dos ángulos. Para las razones trigonométricas seno y coseno. c) cos

cos

. cos

sen

.sen

d) sen

sen

. cos

cos

.sen

y cos 15

Ejemplo 2. Calcule sen 15

i) Como 15º 60º 45º entonces sen 15 sen 15

sen 60 . cos 45

3 2 . 2 2

cos 60 .sen 45

ii) Como 15º 45º 30º entonces cos 15

cos 15

cos 45 . cos 30

45 , luego:

sen 60

1 2 . 2 2

2 4

6 4

2 4

2 3 . 2 2

2 1 . 2 2

Para la razón trigonométrica tangente para la suma y diferencia de dos ángulos. tg 1 tg

tg .tg

Ejemplo 3. Hallar tg 75 Tenemos que tg 75 tg 75

tg 75

3 9 3

Tenemos que tg 15

tg .tg

y tg 15

30 , entonces:

tg 45

tg 45 tg 30 1 tg 45 .tg 30

tg 1 tg

3 3

1 1

9 6 3 6

tg 45

3 3

3 12

1 1 6 3 6

3 3 3 3

3 3

3 6

30 , entonces:

2 4

30 , luego:

cos 45

sen 45 .sen 30

6 4

2 4

tg 15

tg 45

tg 15

3 9 3

9 6 3 3 6

3 3

tg 45 tg 30 1 tg 45 .tg 30

3 3

1 1.

12 6 3 6

3 3 3 3

1 3

3 3 3

3 3

Razones trigonométricas del ángulo doble. Cuando el ángulo es el doble de otro se tiene. a)

cos2

cos 2

sen 2

Ejemplo 4. Hallar cos 120

cos 120

cos 2.60

sen 2

cos 60

2 cos

1 2

sen 60

3 2

1 4

3 4

.sen

Ejemplo 5. Hallar sen 120 sen 120

sen 2.60

tg 2

2 cos 60 .sen 60

1 3 . 2 2

2 3 4

3 2

2tg 1 tg 2

Ejemplo 6. Hallar tg 120 tg 120

tg 2.60

2.tg 60 1 tg 2 60

2. 3 1

2 3 1 3

2 3 2

2 4

1 2

3 3 . 3 3

3 3

Razones trigonométricas de mitad de ángulo a)

cos

sen

c) tg

1 cos 2

1 cos 1 cos

Reducción de ángulos al primer cuadrante Dado un ángulo situado en alguno de los cuadrantes II, III ó IV queremos ver si existe una relación entre éste y algún ángulo encontrado en el primer cuadrante.

-. Para

II - Cuad . Se tiene que: y

α 180º-α

Donde el ángulo ángulos y :

sen( ) cos( )

180

90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los

sen(180 º cos(180 º

)

Ya que el seno en el II-Cuad es positivo.

) Ya que el coseno en el II-Cuad es negativo.

-. Para

III - Cuad . Se tiene que: y

α-180º

Donde el ángulo ángulos y :

90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los

180

sen( )

sen(

180 º )

cos( )

-. Para

IV - Cuad . Se tiene que:

cos(180 º

Ya que el seno en el III-Cuad es negativo.

) Ya que el coseno en el III-Cuad es negativo.

x 360º-α

Donde el ángulo ángulos y :

360 º

sen( )

sen(360 º

sen( )

90º . Luego se tiene la siguiente relación entre los

)

Ya que el seno en el IV-Cuad es negativo.

cos( ) cos( ) cos(360 º

) Ya que el coseno en el IV-Cuad es positivo.

En general, si se quiere calcular el valor de una razón trigonométrica para un ángulo en los cuadrantes II, III ó IV se procede a preguntar: i)

¿En qué cuadrante se encuentra éste ángulo?

ii) ¿Cuál es el signo de esa razón en ese cuadrante?

Ejemplo 1. Hallar cos 150 . Como 150 º II - Cuad y el coseno en este cuadrante es negativo entonces: cos 150 º

cos 180 º 150

cos(30 º )

3 2

cos 150

Ejemplo 2. Hallar sen 225 . Como 225º III - Cuad y el seno en este cuadrante es negativo entonces: sen 225 º

sen 225 º 180 º

sen(45º )

2 2

sen 225

Ejemplo 3. Hallar sec 300 . Como 300

IV - Cuad y la secante en ese cuadrante es positiva entonces sec 300 º

sec 360 º 300

sec(60 º )

1 cos(60 º )

Ejemplo 4. Calcular el valor de la siguiente expresión: x

cos2 120 cos 225 cos 45 cos2 330

Como se tiene que:

cos 120

cos 180

120

cos 60

1 2

1 1 2

cos 225

cos 330

cos 360

180 330

2 2

cos 45 3 2

cos 30

Entonces,

1 2

cos2 120 cos 225 cos 45 cos2 330

2 2

1 4

2 2 2 3 2 4

2 2

3 2

1 2 2 4 2 2 3 4

1 2 2 2 2 3

Y al racionalizar este resultado x

1 2 2 2 2

2 2

3 8 6 2 8 9

4 2 5 1

5 4 2

5.7 Razones trigonométricas para ángulos negativos. Se sabe que un ángulo es negativo si es medido (desde el semi-eje positivo “ x ”) en sentido contrario a como giran las agujas del reloj. En esta parte queremos expresar razones trigonométricas de ángulo negativo en función de la misma razón trigonométrica pero para ese mismo ángulo positivo.

Como se sabe que las razones: secante, cosecante, tangente y cotangente pueden expresarse en función del seno y/o coseno, es por ello que estudiamos el seno y coseno de un ángulo negativo. Consideremos dos puntos P y P el círculo trigonométrico de manera que ellos determinen dos ángulos opuestos respectivamente. y

P cos( ), sen( )

α -α x

P cos(

), sen(

)

De la gráfica deducimos que:

cos(

) cos( )

sen(

)

sen( )

A partir de estos dos resultados se cumple que:

sec(

) sec( )

csc(

)

tg(

)

ctg(

csc( ) tg( )

)

ctg( )

Ejemplo: Calcule: csc( 60 ) y sec

Como se trata de razones trigonométricas de ángulos negativos aplicamos la correspondiente fórmula dada anteriormente.

csc( 60 )

sec(

)

1 sen(60 )

csc(60 )

sec( 45 )

sec(45 )

cos2 300 cos 210

b) sec 240 . cos2 150

sec 225 cos2 270 sec 300

3 2

1 cos(45 )

Ejercicios. Efectúe. 2 cos 150 cos2 135

sec 360 cos 45

sec 150

2 3 1 2 2

2. 3 3. 3 2 2

2. 2 2. 2

2 3 3 2 2 2

2sen 2 135 sen 2 240

2tg 225 tg 330

sen3 180 2sen 330 tg 2 150 tg 3 60 tg 2 45 tg 210

3.tg 300 tg 3 120

cot 2 300 tg 150

sen 120 cos 240

cos2 30 .sen 1230 tg 2 45 sec 135

i) 1 sen 2 870

1 sen 30 1 cot 60

sen 45 sec 840 1 cos 30 .ctg 225

tg 1740 sen 60

5.8 Ejercicios 1. Teniendo como referencia el siguiente triรกngulo rectรกngulo:

Sabiendo que;

a) b = 14; c = 18. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas. b) c = 90; β = 60º. Halle el valor de los elementos que faltan.

c) b = 22;

= 45º. Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

30 y

45 y c

45 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

2 . Halle el valor de los elementos que faltan.

5 y a

2 . Halle el valor de las 6 razones trigonométricas.

2. Calcule. a) tg (210 ) 2 3

b) sec(960 )

ctg(

)

cos(75 )

e) h)

c) cos( 105 )

csc(116 )

sec2 ( 390 )

f) i)

sen(15 )

cos2 ( 59 ) sen2 (100 )

3. Dado la razón y el cuadrante donde se encuentra el ángulo calcule el valor de las otras 5 razones trigonométricas. a) tg ( )

sen( )

c) sec( ) d) cos( ) e) ctg( ) f) csc( )

2 5

2 3

II - Cuad . y

3 y 2 7 y 5 3

III - Cuad .

IV - Cuad .

III - Cuad . II - Cuad .

I - Cuad .

5.9 Ley de los cosenos. Es una generalización del Teorema de Pitágoras para los triángulos no rectángulos que se utilizan, normalmente en trigonometría. La ley dice lo siguiente: “En todo triangulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman”. Dado un triangulo ABC , siendo , , los ángulos internos y a, b, c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos (ver figura), entonces:

2ab. cos

2bc. cos

2ac. cos

a b

Ejemplo 1. Dos lados de un triangulo ABC miden 6cm y 10cm, y el ángulo entre ellos es 120 . Hallar el tercer lado. Por la Ley de Cosenos tenemos que:

c2 c2

a2 10

b2 2

2ab cos C

2 6 10 cos 120

36 100 2 6 10

136 60 196

1 2 c

196

c 14

Ejemplo 2. Un triangulo ABC tiene lados Determine las medidas de sus ángulos.

3 cm,1 cm y 2cm respectivamente.

3 cm, a 1 cm y b 2cm los lados del triangulo. Entonces aplicando la Sean c Ley de Cosenos obtenemos:

a2 3

b2 1

2ab cos C 2

3 1 4 4 cos C

2 1 2 . cos C 1 cos C 2

Por otra parte tenemos:

a2 1

b2 2

c2 2

2bc cos A 3

1 4 3 4 3 cos A

3 . cos A cos A

4 3

2 3

3 3

3 3 2.3

3 2

Ahora utilizando la propiedad de que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180° entonces: A B C 180 B 180 30 60 B 90

Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.

5.10 Teorema del seno En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Teorema: Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b y c , (ver figura).

Entonces se cumple.

a sen A

b sen B

c sen C

Con este teorema; conocidos dos lados de un triangulo y el ángulo entre ellos se pueden obtener los otros elementos del triangulo. También si conocemos dos ángulos internos y un lado.

Ejemplo 1. Sea triángulo ABC definido por: A 34 , B 52 y el lado c 12cm . Hallar el ángulo y los lados restantes. Como la suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es 180°, tenemos que: A B C 180 C 180 52 34 C 94 Aplicando el teorema del seno obtenemos: Observe que los ángulos que acá aparecen no son notables, es por ello que necesariamente se requiere del uso de la calculadora.

a sen 34

b sen 52

12cm sen 94

Entonces:

a sen 34

12cm sen 94

12cm.sen 34 sen 94

6,72cm

b sen 52

12cm sen 94

12cm.sen 52 sen 94

9,47 cm

Ejercicios sobre Teorema del coseno. 1) En los siguientes ejercicios a, b, c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que

, ,

son las medidas de los ángulos opuestos a

esos lados respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a 10cm b 12cm b) a

7m b

6m c

c) c 10cm

d) a 12cm b 16cm

30,5cm

47,2mm

Ejercicios sobre Teorema del seno. 1) En los siguientes ejercicios a, b, c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que A, B, C son las medidas de los ángulos de los vértices del triángulo. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a

20cm B 110

b) a 15m B

c) b

24cm B

d) c

9m A 110

e) a 10cm B f)

a 12cm A 64

A 40 C C

62 60

b 18cm

5cm