Caro professor, Este material foi organizado pensando em você. Ele possui todas as resoluções dos exercícios da coleção; assim, ficará mais fácil identificar a complexidade de cada exercício, agilizando seu trabalho em sala de aula. O formato em CD permite a impressão seletiva, auxiliando a elaboração e a correção de provas e trabalhos.
Os autores
SUMÁRIO 6. ano o
O homem vive cercado por números.................................................................................................................................. 5 Calculando com números naturais.................................................................................................................................. 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................................................................................. 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais.................................................................................................................. 32 A forma decimal dos números racionais. ........................................................................................................................ 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................................................................................. 59 Volume e capacidade.............................................................................................................................................................. 67 Medindo a massa.................................................................................................................................................................... 70
7 .o ano Potências e raízes. ................................................................................................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros. .................................................................................................................................... 84 O conjunto dos números racionais................................................................................................................................... 102 Estudando as equações........................................................................................................................................................ 117 Estudando as inequações..................................................................................................................................................... 147 Estudando os ângulos. ........................................................................................................................................................ 155 Estudando triângulos e quadriláteros........................................................................................................................... 165 Razões e proporções.............................................................................................................................................................. 167 Grandezas proporcionais..................................................................................................................................................... 185 Porcentagem............................................................................................................................................................................ 200
8 .o ano Os números reais.................................................................................................................................................................... 207 Introdução ao cálculo algébrico..................................................................................................................................... 211 Estudo dos polinômios. ........................................................................................................................................................ 214 Estudo das frações algébricas........................................................................................................................................... 230 Equações do 1o. grau com uma incógnita......................................................................................................................... 236 Porcentagem e juro simples.................................................................................................................................................. 245 Sistema de equações do 1o. grau com duas incógnitas. ................................................................................................ 248 Geometria................................................................................................................................................................................. 259 Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal. ....................................................................... 262 Polígonos................................................................................................................................................................................. 265 Estudando os triângulos.................................................................................................................................................... 270 Estudando os quadriláteros. ............................................................................................................................................. 276 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 282
9 .o ano Noções elementares de estatística.................................................................................................................................... 291 Estudando as potências e suas propriedades.................................................................................................................. 296 Calculando com radicais. ................................................................................................................................................... 304 Equações do 2o. grau.............................................................................................................................................................. 338 Função polinomial do 1.o grau............................................................................................................................................ 388 Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática).............................................................................................. 397 Segmentos proporcionais. .................................................................................................................................................... 411 Semelhança.............................................................................................................................................................................. 419 Estudando as relações trigonométricas no triângulo retângulo.......................................................................... 430 Estudando as relações trigonométricas nos triângulos........................................................................................... 442 Estudando as áreas das figuras geométricas planas................................................................................................... 453 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 465
SUMÁRIO 6. ano o
O homem vive cercado por números.................................................................... 5 Calculando com números naturais.................................................................... 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................... 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais....................................................... 32 A forma decimal dos números racionais............................................................. 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................... 59 Volume e capacidade.......................................................................................... 67 Medindo a massa............................................................................................... 70
O HOMEM VIVE CERCADO POR NÚMEROS Explorando, página 10.
4.
1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto. 3. Resposta pessoal.
1 − Uma história muito antiga 1. a3; b1; c4; d2 2. Resposta em aberto. 3. a) 8h19min b) 1, 2, 3, 4 e 5 c) X
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
302 1 12 322 45 667 100 1 000 10 000 100 000 901 19 900
8 1 3 5
6.
b)
a) 887 b) 99 c) 9 470
d) 0 e) 11 999 f) 7 000
a) 1 001 b) 20 010
c) 4 002 d) 6 006
7.
c) d) Editoria de arte
3 4 5 6
5.
Exercícios, página 14.
Desafio!, página 15.
e) f) g) h)
a) b) c) d)
8.
e)
a) 636 e 640 b) 1 324 e 1 328 c) 19 552 e 19 556
Brasil real, página 16. 9.
1. a) XVIII b) XIX
a) 1 001 e 1 005 b) 9 007 e 9 011 c) 20 219 e 20 223
c) MDCCLXXXVII d) 1889 MDCCLXXXIX
2. MDCCCXL 1840; MDCCCLXXXIX 1889; MDCCCLXXIX 1879; MDCCCLIV 1854; MDCCCLII 1852
2 – E o nosso sistema de numeração? Exercícios, páginas 19 e 20.
10. Resposta em aberto. 11. a) b) c) d)
4 algarismos; 7, 5, 0 e 4 4 algarismos; 1 e 0 4 algarismos; 5 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0
1. a) São iguais.
b) cinco; 5
Tratando a informação, página 21.
2. Resposta em aberto.
1. “Os campeões em cada copa”
3. sete; 7;
2. Os anos da copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões.
.
Existem outras maneiras.
5
3. www.fifa.com
2. a) Oito mil e quatrocentos quilômetros. b) Cinquenta mil quilômetros quadrados. c) Dois milhões, cento e sessenta e seis mil e oitenta e seis quilômetros quadrados. d) Vinte e quatro mil, quatrocentos e trinta; vinte e dois mil e cinquenta.
4. a) 5 b) 2 c) 2 d) 4
e) 3 f) 1 g) 1 h) 0
a) 10
b) 7
5. c) 1
6. 6
3. Resposta em aberto. 4. a) Nove milhões, novecentos e trinta mil, quatrocentos e setenta e oito. b) Cento e sessenta e nove milhões, setecentos e noventa e nove mil, cento e setenta. c) Resposta em aberto.
Explorando, página 22. 1. Desenhar: a) 10 bolinhas, b) 13 bolinhas, c) 21 bolinhas, d) 11 bolinhas. 2. a) Desenhar 1 bolinha, 31 bolinhas, 12 bolinhas e 11 bolinhas. b) Somente no caso do item b, em que houve um aumento de 18 . c) Nos casos dos itens a e c. No item a, diminuição de 9 ; no item c, diminuição de 9 .
5. a) b) c) d) e)
600 000 e 600 6 000 6 6 000 000 60 000 000 Exercícios, páginas 26 e 27.
3. a) Diminuiu. b) 5; 70
c) 50; 7
4.
1. 257, 275, 527, 572, 725, 752 a) 752 b) 257
a) Diminuiu. b) Passou de 800 para 8. c) Passou de 1 para 100.
2.
a) Trocá-lo de lugar com o 0; 7 650. b) Trocá-lo de lugar com o 5; 7 065. c) Trocá-lo de lugar com o 6; 6 057.
3. Resposta em aberto.
5.
a) Mil e vinte e sete. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. 4. Resposta em aberto. 5. 2 106 504 6. Quatro números: 126, 345, 567 e 789.
Brasil real, páginas 25 e 26. 1. a) Rússia: Dezessete milhões, setenta e cinco mil e duzentos. Canadá: Nove milhões, novecentos e oitenta e quatro mil, seiscentos e setenta. Estados Unidos: Nove milhões, seiscentos e trinta e um mil, quatrocentos e dezoito. China: Nove milhões, quinhentos e noventa e oito mil e setenta e sete. b) 8 514 215 km2; oito milhões, quinhentos e quatorze mil, duzentos e quinze quilômetros quadrados
6
Chegou a sua vez!, página 28. 1. Resposta pessoal. 2. Resposta em aberto. Desafio!, página 28. a) O número é 99. b) Acima: 34, 42 e 50; abaixo: 66, 74 e 82. c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17... d) 217 e 218. e) 8 números; resposta em aberto.
Calculando com números naturais 3. a) Representam as regiões brasileiras. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. d) Resposta em aberto.
1. a) b) c) d) e) f) g)
Multiplicação. Subtração. Adição. Subtração. Divisão. Multiplicação. Divisão.
Chegou a sua vez!, página 38. a) 23 1 21 1 22 1 25 1 21 1 24 5 136 R R 136 nascimentos b) Abril. c) Fevereiro e maio.
2. a) 6 3 3 5 18 R 18 ovos • Resposta em aberto. b) • 205 2 005 102 1 102 alunos • sobrou 1 pera. c) • 27 1 3 5 30 R 30 camelos • 30 1 35 1 15 5 80 R 80 camelos d) 95 2 7 5 88 R 88 camelos
3 – Ideias associadas à adição Brasil real, páginas 35 a 37. 1. a) 91 1 38 1 14 1 101 5 244 R 244 km b) 28 596 1 244 5 28 840 R 28 840 km c) 28 840 1 244 5 29 084 R 29 084 km d) 30 000 2 29 084 5 916 R 916 km 2. a) Argentina: 247 1 270 1 340 5 857 R R 857 medalhas Brasil: 186 1 244 1 336 5 766 R R 766 medalhas Canadá: 308 1 501 1 629 5 1 438 R R 1 438 medalhas Cuba: 723 1 494 1 444 5 1 661 R R 1 661 medalhas EUA: 1 671 1 1 213 1 817 5 3 701 R R 3 701 medalhas México: 137 1 193 1 379 5 709 R R 709 medalhas b) Resposta pessoal. c) EUA, Cuba, Canadá, Argentina, Brasil, México. d) 5.o lugar
Exercícios, páginas 39 e 40. 1. a) Ivo: 9 070 1 13 620 1 10 090 5 32 780 R R 32 780 pontos Beto: 8 230 1 14 740 1 9 980 5 32 950 R R 32 950 pontos Guto: 10 060 1 12 900 1 10 120 5 33 080 R R 33 080 pontos b) Ivo: 13 620 1 10 090 5 23 710 R R 23 710 pontos Beto: 14 740 1 9 980 5 24 720 R R 24 720 pontos Guto: 12 090 1 10 120 5 22 210 R R 22 210 pontos 2. 54 307 1 6 128 5 60 435 R 60 435 habitantes 3. 376 1 1 144 5 1 520 R 1 520 livros 4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Exemplo: 90 5 54 1 36 ? d a 90 54
e b
84 36
c 110
48
121 62
59
Editoria de arte
Chegou a sua vez!, páginas 31 a 33.
a 5 90 1 84 ⇒ a 5 174 b 5 84 1 110 ⇒ b 5 194 c 5 110 1 121 ⇒ c 5 231 d 5 174 1 194 ⇒ d 5 368 e 5 194 1 231 ⇒ e 5 425 ? 5 368 1 425 ⇒ ? 5 793
7
5. N 5 330 1 792 1 428 R N 5 1 550 R R N 5 1 550 crianças
1a coluna: 12 1 16 5 28 ? 5 39 2 28 R ? 5 11
6. 215 1 175 1 245 1 175 5 810
3a coluna: 10 1 14 5 24 ? 5 39 2 24 R ? 5 15
7. 965 1 1 028 1 692 5 2 685 R 2 685 pessoas 8. 11 296 1 1 649 5 12 945 R 12 945 crianças 9.
2. a) 875 b) Não é possível. c) Não é possível. d) 0
a) 319 1 426 1 565 5 1 310 R 1 310 pessoas b) Hidroginástica. c) 565 2 319 5 246 R 246 pessoas Desafio!, página 40.
3. Em 2007; 2 010 2 1 692 5 318 R R 318 participantes a mais
7
8
3
2
6
10
4. 36 290 2 27 545 5 8 745 R 8 745 reais
9
4
5
5. 2 590 2 2 431 5 159 R 159 m3
4 – Ideias associadas à subtração
Exercícios, página 45. 1. 3 002 2 1 496 5 1 506 2. a) 9 105 2 5 299 5 3 806 b) 10 210 2 6 226 5 3 984
Brasil real, página 43. 1. 1 891 2 66 5 1 825
3. a) ? 5 6 991 1 6 429 R ? 5 13 420 b) ? 5 15 000 2 7 995 R ? 5 7 005
2. a) região Norte b) 151 107, cento e cinquenta e um mil, cento e sete. 133 717, cento e trinta e três mil, setecentos e dezessete. 105 203, cento e cinco mil, duzentos e três. 85 606, oitenta e cinco mil, seiscentos e seis. 3. a) Resposta pessoal. b) 4 282 2 3 736 5 546 R 546 metros c) 10 912 2 9 218 5 1 694 R 1 694 metros 4. 99 999 999 2 60 141 715 5 39 858 284 R R 39 858 284 veículos Exercícios, página 44. 1. 12 1 13 1 14 5 39 1a linha: 12 1 17 5 29 ? 5 39 2 29 R ? 5 10
Chegou a sua vez!, página 45. 1. a) 120 b) 18
c) 150 d) 60
2. a) 85 2 8 5 73 (1a vez) 73 2 8 5 65 (2a vez) . . . 13 2 8 5 5 (10a vez) b) 19 3. Alternativa b. 7 000 1 700 1 700 1 70 1 70 1 7 1 7 5 5 8 554
Chegou a sua vez!, página 47. 3 linha: 9 1 14 5 23 ? 5 39 2 23 R ? 5 16 a
8
a) 3 530 2 3 048 5 482 R 482 quilowatts-hora
b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.
Editoria de arte
b)
5 – Ideias associadas à multiplicação Explorando, páginas 50 e 51.
Exercícios, página 48. 1. 58 2 46 1 20 5 5 12 1 20 5 32
1. Todas as parcelas são iguais. 2. a) 6 b) 4 c) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 d) Todas as parcelas são iguais. e) 24
2. 50 2 (10 1 25) 2 1 3. (53 2 38 1 40) 2 51 1 (90 2 7 1 82) 1 101 5
5 (15 1 40) 2 51 1 (83 1 82) 1 101 5 5 55 2 51 1 165 1 101 5 4
1 165 1 101 5 270
3.
4. 50 2 (71 2 37 1 6) 5. Respostas possíveis: a) 11 1 20 2 (10 1 15) b) 10 1 11 1 15 1 20 c) 15 1 11 1 20 2 10 d) 10 1 20 2 (11 1 15)
a) 4 3 6 5 24 R 24 tipos tipos de pão
4. a) 1 3 1 5 1 b) 2 3 2 5 4 c) 3 3 3 5 9 d) 4 3 4 5 16 e) 5 3 5 5 25 f) 6 3 6 5 36
6. 40 2 25 212 1 10 2 7 1 8 5 14
Chegou a sua vez!, páginas 49 e 50. 1. a) Para representar fenômenos físicos, químicos, sociais, econômicos etc. Para explicar símbolos ou cores usados nos gráficos, mapas etc. b) Unesco, Embaixada de Cuba e Ministério da Educação. c) Há quanto tempo alguns países oferecem escola para todas as crianças. d) Resposta em aberto. e) Países; tempo (em anos) em que todas as crianças daquele país estão na escola. f) 134 2 6 5 128 R 128 anos 44 2 6 5 38 R 38 anos 2. a) • 1 927 2 1 804 5 123 R 123 anos • 1 960 2 1 927 5 33 R 33 anos • 1 974 2 1 960 5 14 R 14 anos • 1 987 2 1 974 5 13 R 13 anos • 1 999 2 1 987 5 12 R 12 anos
recheios
b) Respostas em aberto.
5. a) 3 3 4 5 12 ou 4 3 3 5 12 b) 2 3 6 5 12 ou 6 3 2 5 12 c) 6 3 2 5 12 ou 2 3 6 5 12 d) 1 3 8 5 8 ou 8 3 1 5 8 e) 7 3 7 5 49 f) 3 3 5 5 15 ou 5 3 3 5 15 6. a) 2 3 6 5 12 R 12 maçãs (Seu Agenor) 2 3 12 5 24 R 24 maçãs (Dona Berta) b) 5 3 6 5 30 R 30 maçãs (Seu Agenor) 5 3 12 5 60 R 60 maçãs (Dona Berta) c) Resposta em aberto. Exercícios, páginas 55 e 56. 1. 6 3 50 5 300 R 300 laranjas 2. 13 3 43 5 559 R 559 azulejos 3. 27 560 3 4 5 110 240 R 110 240 habitantes
9
4. São 6 opções diferentes. blusa
saia
branca
amarela
vermelha
preta cinza
Saia preta
blusa branca blusa amarela blusa vermelha
blusa branca blusa amarela blusa vermelha
saia cinza 5.
a) 16 3 6 5 96 R 96 trens b) 96 3 125 5 12 000 R 12 000 passageiros
6. Quantidade de pães
1
2
3
4
5
6
7
Preço total
2 reais
4 reais
6 reais
8 reais
10 reais
12 reais
14 reais
7. a) 3 7 3 8 2 9 6
45 3 (90 1 2) (45 3 90) 1 (45 3 2) 4 050 1 90 4 000 1 50 1 90 4 000 1 140 5 4 140 d) 92 3 45 92 3 (40 1 5) (92 3 40) 1 (92 3 5) 3 680 1 460 3 600 1 80 1 400 1 60
4 000 1 80 1 60 4 000 1 140 5 4 140
a) 7 3 8 5 56 b) 8 3 6 5 48 Chegou a sua vez!, página 60. 1. a) (1 1 2 1 4 1 8) 3 48 5 720 b) (1 1 4 1 8) 3 23 5 299
8. 12 3 9 5 108 R 108 litros
2.
9.
a) 27 323 1a vez vertical: 64 3 2 5 128 3a vez 256 3 2 5 512
2a vez
128 3 2 5 256 4a vez 512 3 2 5 1 024
1a vez 2a vez horizontal: 32 3 2 5 64 64 3 2 5 128 4a vez 3a vez 128 3 2 5 256 256 3 2 5 512 10.
10
353 (20 1 4) (35 3 20) 1 (35 3 4) 700 1 140 700 1 100 1 40 800 1 40 5 840 c) 45 3 92
Chegou a sua vez!, página 57.
b) 3 7 3 4 8 2 9 6 1 4 8 0 1 7 7 6
b) 35 3 24
a) 24 3 35 24 3 (30 1 5) (24 3 30) 1 (24 3 5) 720 1 120 700 1 20 1 100 1 20
700 1 100 1 40 5 840
3 2
2
7
12
1
0 4
17
3
0
5
6
8
0
0
6
3
9
1
3
7
0
2
3
b) 18 872 1
3
4
0
0
1
0
3
1
0
4
1
2
8
8
0 11
1
7
8
3
4
0
8
1
6
3
2
4
2
Exercícios, páginas 61 e 62. 1. 81 2 7 3 11 5 81 2 77 5 4 2. a 5 10 1 3 3 2 ⇒ a 5 10 1 6 ⇒ a 5 16 b 5 10 3 3 1 2 ⇒ b 5 30 1 2 ⇒ b 5 32 ab
3. (12 1 8) 3 5 5 100
Brasil real, página 65. a) Ouro: hipismo, vela (nas categorias laser e star), vôlei masculino, vôlei de praia masculino; Prata: vôlei de praia feminino e futebol feminino; Bronze: judô masculino e atletismo masculino. b) Sim. c) Não, quintuplicou. d) I. (4 2 4) 3 (4 1 4) 1 1 5 0 3 8 1 1 5 5 0 1 1 5 1 (Tóquio) II. 3 3 2 2 4 1 3 3 (3 2 3) 5 6 2 4 1 1330562410521052 (Montreal ou Munique) III. 4 2 4 1 4 2 1 5 0 1 4 2 1 5 4 2 1 5 5 3 (Barcelona ou México) IV. 4 2 0 3 4 2 (2 2 2) 5 4 2 0 2 0 5 4 (Moscou) V. 2 3 2 2 4 1 3 3 3 2 3 5 4 2 4 1 1 9 2 3 5 0 1 9 2 3 5 9 2 3 5 6 (Seul) VI. 4 1 4 2 4 1 4 5 8 2 4 1 4 5 4 1 4 5 8 (Los Angeles) VII. (3 1 2) 3 (9 2 7) 5 5 3 2 5 10 (Atenas) VIII. 2 3 (3 1 4) 2 2 5 2 3 7 2 2 5 14 2 2 5 5 12 (Sidney) IX. 4 3 4 2 (5 2 4) 5 16 2 1 5 15 (Atlanta) e) Resposta em aberto.
4. 50 2 (6 3 8 1 2) 5 50 2 (48 1 2) 5 50 2 50 5 0 5. (20 2 3 3 6) 3 2 5 (20 2 18) 3 2 5 2 3 2 5 4 6. (3 3 7 1 2 3 15) 3 (81 2 4 3 20) 5 (21 1 30) 3 3 (81 2 80) 5 51 3 1 5 51 7. a) 4 3 2 1 4 3 5 b) 3 3 (3 1 3 1 2) c) 2 3 (8 1 8) 1 3 3 4. Existem outras respostas. 8. a) 150 1 5 3 25 b) 150 1 5 3 25 5 150 1 125 5 275 R R 275 reais 9. a) 30 3 2 1 30 3 3 b) 30 3 2 1 30 3 3 5 60 1 90 5 150 R R 150 balões 10. a) Alex b) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 c) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 5 30 1 50 1 60 5 5 140 R 140 reais d) 360 2 140 5 220 R 220 reais Desafio!, página 62.
5
12
6
2
3
10
30
4
15
6 – Ideias associadas à divisão Explorando, páginas 66 e 67. 1.
Chegou a sua vez!, página 63. a)
1
2
7
M1
2
1
1
1
5
1
1
b)
1
5
3
4
7
M1
1
2
3
1
9
M1 MR
933
c)
2
1
3
1
2
M1
1
3
3
1
0
M2 MR
122
d)
5
8
M1
5
1
3
1
1
2
1
6
1
1
M2 MR
9
a) Sim. 72 4 (divisão exata) 32 18 0 b) Número de candidatos em cada grupo: 18 72 4 32 18 0
80
M2 MR 23
Chegou a sua vez!, página 64. 1. Vale 150 milhões. 2. 106 716 367 669 3. a) 1 200 2 1 5 1 119 anos b) 1 750 2 1 200 5 550 anos c) 1 850 2 1 750 5 100 R 100 anos d) 1950 2 1 750 5 200 R 200 anos e) 2 005 2 1 950 5 55 R 55 anos
2. a) 6 3 12 5 72 R 72 perguntas b) 72 32 R 2 perguntas 8 2 c) Como são 2 perguntas por participante e há 32 candidatos, são 64 perguntas. Como havia 72 perguntas, sobrarão 8 perguntas.
11
3.
Exercícios, página 71. a) 8 2 0 4 b) • 6 2 0 3 • 8 2 0 4 c) Não; sobra um pedaço de 2 quadrinhos roxos. 3 3 4 5 12 R 12 quadrinhos roxos 12 10 2 1 d) Não; fica faltando um pedaço de 1 quadrinho para completar a barrinha azul. 4 3 2 5 8 R 8 quadrinhos vermelhos e) • 9 : 3 5 3 R cabem 3 barrinhas verde-claras em uma barrinha azul. • 10 : 5 5 2 R cabem 2 barrinhas amarelas em uma barrinha alaranjada. • 7 4 R faltam 3 quadrinhos para 3 1 a barrinha roxa completar a barrinha preta.
1. a) n 5 9 3 7 1 2 n 5 63 1 2 n 5 65 b) n 5 11 3 16 1 5 n 5 176 1 5 n 5 181 c) n 5 64 3 25 1 10 n 5 1 600 1 10 n 5 1 610 2. n 5 45 3 17 n 5 765 3. Se o divisor é 12, o resto maior possível é 11, então: n 5 12 3 9 1 11 n 5 108 1 11 n 5 119 4. n 5 6 3 35 1 5 n 5 210 1 5 n 5 215 R 215 laranjas Exercícios, página 72.
Exercícios, páginas 68 e 69.
5. 476 : 50 5 9 R 9 cupons e resta 26 reais. 50 2 26 R 24 reais
1. x 5 (20 : 4) 3 5 x5535 x 5 25 y 5 20 : (4 3 5) y 5 20 : 20 y51 a) x 1 y 5 25 1 1 5 26 b) x 3 y 5 25 3 1 5 25 c) x : y 5 25 : 1 5 25
6. 10 000 : 400 5 25 R 25 voltas
2.
1. 75 : 15 5 15 R 15 vezes 2. a) Resposta em aberto. b) 184 : 4 5 46 R 46 papéis 3. 1 352 : 4 5 338 4. 344 : 8 5 43 R 43 reais
7. 6 970 : 85 5 82 R 82 toneladas 8. 6 160 : 560 5 11 R 11 viagens Exercícios, página 70. 1. 8 : 0 2. 12 : 24 3. 0 : 10 4. 1 5. 32 : 8 5 4 32 3 5 5 160 160 : ? 5 4 ⇒ ? 5 160 : 4 ⇒ ? 5 40, logo devo multiplicar o divisor por 5, porque 40 5 8 3 5.
12
a) 105 : 5 1 30 5 21 1 30 5 51
b) 201 2 64 : 4 5 201 2 16 5 185 c) 65 : 5 2 10 5 13 2 10 5 3 d) 162 : 9 3 9 5 18 3 9 5 162
3. N 5 85 : 5 1 3 3 15 2 50 N 5 17 1 45 2 50 N 5 62 2 50 N 5 12
4. a) (7 3 7 1 5) : (18 2 15 : 3 1 5) 3 2 5 5 (49 1 5) : (18 2 5 1 5) 3 2 5 5 54 : (13 1 5) 3 2 5 5 54 : 18 3 2 5 533256 b) (30 2 5 3 6) : (7 1 2 3 10) 3 (40 2 30 1 5) 5 5 (30 2 30) : (7 1 20) 3 (10 1 5) 5 5 0 : 27 3 15 5 5 0 3 15 5 0
c) 100 formigas (1 000 000 : 10 000) d) Resposta possível: As formigas são muito úteis, pois comem os parasitas das plantas.
7 – Resolvendo problemas Brasil real, páginas 77 a 79. 1. a) Washington; Atlético-PR b) Paulo Nunes e Renaldo; 18 gols (34 2 16 5 18) c) maior: Vasco (22 1 21 1 29 5 72); menor: São Paulo (19); diferença: 53 gols d) 29 2 16 5 13 R 13 gols e) Sim. Washington (34) em 2004 fez o dobro de Souza (17) em 2006.
5. a 5 (36 : 6 2 5) 3 2 a 5 (6 2 5) 3 2 a5132 a52 b 5 36 : (6 2 5) 3 2 b 5 36 : 1 3 2 b 5 36 3 2 b 5 72 b : a 5 72 : 2 5 36
2. a) • 8 • 17; 10 • PDT
6. 2 1 30 : 5 1 (9 3 6 2 4) : 5 2 (40 : 10 1 3) 5 5 2 1 6 1 (54 2 4) : 5 2 (4 1 3) 5 5 2 1 6 1 50 : 5 2 7 5 5 2 1 6 1 10 2 7 5 5 8 1 10 2 7 5 5 18 2 7 5 11 N 5 3 ? 11 5 33 20 1 (40 2 30) : 5 Brasil real, página 73. 1.
2. 316 2 00 12 7 6 26350 R 26 350 pacientes 4 2 6 0 0 0
1
2
PPS
2
—
2
1
—
1
PSB
1
2
3
PMDB
4
3
7
PSBD
4
2
6
PP
—
1
1
PT
4
1
5
b) PT (5), PSDB (6) e PMDB (7). São números naturais consecutivos. c) Nenhum dos três, pois todos elegeram 4 governadores no 1o turno. d) O PSB elegeu 3 governadores. O único partido que elegeu 6 governadores (dobro de 3) foi o PSDB. e) Nenhum, pois dos partidos que elegeram 5 ou mais governadores, o máximo abrangido foi 4 regiões (das 5 regiões brasileiras).
7.
236 296 4 3 6 59 074 R 59 074 domicílios 0 2 9 1 6 0
1
PFL
Exercícios, páginas 79 a 81. 1. a) 4 1 5 1 3 1 1 5 13 R 13 alunos b) 4 1 5 1 3 1 1 1 2 1 5 5 20 R 20 alunos 2. 340 3 6 5 2 040 R 2 040 metros 3. 320 2 (87 1 218) 5 5 320 2 305 5 15 R 15 alunos 4.
3. a) 18 000 2 10 000 5 8 000 R 8 000 espécies b) 18 000 : 2 000 5 9 R 9 vezes
125 3 (3 2 2) 1 230 3 (6 2 4) 1 312 3 (8 2 5) 5 5 125 3 1 1 230 3 2 1 312 3 3 5 5 125 1 460 1 936 5 1 521 R 1 521 reais
13
5. a) 1 hora 5 60 minutos e 1 minuto 5 60 segundos, logo: 1 hora 5 60 3 60 5 3 600 segundos 7 3 (3 600 : 20) 5 7 3 180 5 1 260 R 1 260 vezes b) em 1 hora goteja 1 260 vezes, em 2 horas: 2 3 1 260 5 2 520 R 2 520 vezes c) 30 minutos é igual à metade de uma hora, então: 1 260 : 2 5 630 vezes d) 90 minutos é o triplo de 30 minutos, então: 630 3 3 5 1 890 R 1 890 vezes 6. 9 3 (7 2 1) 3 8 3 12 5 5 9 3 6 3 8 3 12 5 5 54 3 8 3 12 5 5 432 3 12 5 5 184 R 5 184 reais 7. 10 1 (10 1 2) 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 20 1 5 5 47 R 47 crianças 8. 12 3 450 1 20 3 750 1 8 3 1 200 5 5 5 400 1 15 000 1 9 600 5 30 000 R R 30 000 reais 9. Arrecadado na venda: 250 3 40 gasto na produção: 250 3 12 1 4 000 lucro obtido 5 arrecadado – gasto: 250 3 40 2 (250 3 12 1 4 000) 5 5 10 000 2 (30 000 1 4 000) 5 10 000 2 7 000 5 3 000 R 3 000 reais
14
12. 1-a fileira: 1, então 64 2 1 5 63, sobram 63 bandeiras. 2 -a fileira: 1 1 2 5 3, então 63 2 3 5 60, sobram 60 bandeiras. 3-a fileira: 3 1 2 5 5, então 60 2 5 5 55, sobram 55 bandeiras. 4-a fileira: 5 1 2 5 7, então 55 2 7 5 48, sobram 48 bandeiras. a 5- fileira: 7 1 2 5 9, então 48 2 9 5 39, sobram 39 bandeiras 6-a fileira: 9 1 2 5 11, então 39 2 11 5 28, sobram 28 bandeiras. 7-a fileira: 11 1 2 5 13, então 28 2 13 5 15, sobram 15 bandeiras. a 8- fileira: 13 1 2 5 15, então 15 2 15 5 0. 13. Gastou na 1-a loja: 300 : 2 1 2 5 5 150 1 2 5 152 5 Ao sair da 1-a loja tinha: 300 2 152 5 148 Gastou na 2-a loja: 148 : 2 1 2 5 5 74 1 2 5 76 Ao sair da 2-a loja tinha: 148 2 76 5 72 Gastou na 3-a loja: 72 : 2 1 2 5 5 36 1 2 5 38 Ao sair da 3-a loja tinha: 72 2 38 5 34 R 34 reais 14. Número no visor: 347 Ao apertar a tecla D: 347 3 2 5 694 Ao apertar a tecla S: 694 1 1 5 695 Ao apertar a tecla D: 695 3 2 5 1 390
10. (15 3 50 1 10 3 100) 3 3 5 5 (750 1 1 000) 3 3 5 5 1 750 3 3 5 5 250 R 5 250 reais
15. (28 3 50) : 100 5 5 1 400 : 100 5 14 R 14 notas
11. 108 horas com programação 160 2 108 R horas com consertos quantia recebida: 108 3 40 1 (160 2 108) 3 25 5 108 3 40 1 52 3 25 5 4 320 1 1 300 5 5 620 R 5 620 reais
16. Gastou na livraria Todas as Letras: 9 3 24 5 216 Gastaria na livraria Escrita (um livro): 24 2 6 5 18 Teria comprado na livraria Escrita: 216 : 18 5 12 R 12 livros
17. Se vendeu 82 assinaturas, vendeu 32 assinaturas a mais que 50. 50 3 15 1 32 3 20 1 600 5 5 750 1 640 1 600 5 1 990 R 1 990 reais
2. 209 3. a) 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 b) 37 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 2 187 c) 110 5 1. Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.
Chegou a sua vez!, página 83. 1. couraçado: (M, 2), (M, 3), (M, 4), (M, 5) e (M, 6). submarino: (N, 10). cruzador: (D, 12), (E, 12), (F, 12) e (G, 12). destroyer: (K, 13) e (L, 13). hidroavião: (F, 5), (E, 6) e (G, 6).
d) 150 5 1. O número 1 multiplicado cinquenta vezes dá 1. e) 0100 5 0. O número 0 (zero) multiplicado cem vezes dá 0 (zero). f) 106 5 1 000 000. Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
2. Praça do Sol, alternativa a. 3. D4, E3, F4, E5, alternativa d.
8–P otenciação de números naturais
4. a) 52 5 25 e 25 5 32, logo 52 25 b) 74 5 2 401 e 103 5 1 000, logo 74 . 103
Explorando, página 84.
c) 43 5 64 e 29 5 512, logo 43 29 d) 110 5 1 e 101 5 10, logo 110 101
1. a) 3 3 3 5 9 b) 5 3 5 5 25 c) 7 3 7 5 49
5. 4 3 4 ou 42
3.
14243 5
c) 7 3 7 3 7 5 343
a) 38 000 000 5 38 3 10 ; 6 000 000 5 6 3 10 ; 17 000 000 5 17 3 106 b) 180 5 18 3 10; 330 000 5 33 3 104; 6 000 000 5 6 3 106; 1 000 5 103 6
2. a) 23 5 8 R Curitiba b) 32 5 9 R Belo Horizonte c) 6 3 22 5 6 3 4 5 24 R Recife d) 52 5 25 R Brasília ou Fortaleza e) 52 5 25 R Salvador
Exercícios, páginas 89 a 91.
6
1442443 8
d) 8
144424443 11
11
Editoria de arte
1.
144424443
b)
Brasil real, páginas 88 e 89.
1. 5 3 5 3 5 3 5 ou 54
10
144424443 10 1442443
a) 5 3 5 3 5 5 125 b) 9 3 9 3 9 5 729
c)
5
144424443
a)
14243
6.
2. Todos os fatores são iguais.
7. 62 5 36 63 5 216, logo n 5 3 8. Não, todas estão corretas. 9. a) 72
b) 63
10. 100 000 é formado de 5 zeros, então o expoente dessa potência é 5. 11. Sim; 169 5 144 1 25
15
12. a) 4 3 10 5 4 3 10 000 000 5 40 000 000 (quarenta milhões) b) 9 3 105 5 9 3 100 000 5 900 000 (novecentos mil) c) 106 5 1 000 000 (um milhão) d) 2 3 103 5 2 3 1 000 5 2 000 (dois mil) 7
2. 302 : (72 3 3 2 102 2 2) 5 5 900 : (49 3 3 2 100 2 2) 5 5 900 : (147 2 100 2 2) 5 5 900 : (47 2 2) 5 5 900 : 45 5 20 3.
13. Se 1 000 m 5 1 km e 108 5 100 000 000, então 100 000 000 : 1 000 5 5 100 000 R 100 000 km Logo, 3 3 108 5 3 3 100 000 5 300 000 R R 300 000 km
a) 72 2 40 1 18 : 32 2 100 5 5 49 2 40 1 18 : 9 2 1 5 5 49 2 40 1 2 2 1 5 5 9 1 2 2 1 5 11 2 1 5 10 b) (62 2 52) 3 33 2 102 5 5 (36 2 25) 3 27 2 100 5 5 11 3 27 2 100 5 5 297 2 100 5 197
14. a) 400 000 5 4 3 100 000 5 4 3 105 R R 4 3 105 km b) 120 mil 5 120 000 5 12 3 10 000 5 12 3 104 150 mil 5 150 000 5 15 3 10 000 5 15 3 104 c) 2 500 5 25 3 100 5 25 3 102 d) 100 mil 5 100 000 5 105 3 milhões 5 3 000 000 5 3 3 106 37 milhões 5 37 000 000 5 37 3 106
c) 62 : (23 1 1) 3 (32 2 5) 5 5 36 : (8 1 1) 3 (9 2 5) 5 5 36 : 9 3 4 5 5 4 3 4 5 16 d) (7 3 3 1 112) 3 103 5 5 (7 3 3 1 121) 3 1 000 5 5 (21 1 121) 3 1 000 5 5 142 3 1 000 5 142 000
Exercícios, página 92.
e) (7 3 32 2 1) : (82 2 2 3 31) 5 5 (7 3 9 2 1) : (64 2 2 3 31) 5 5 (63 2 1) : (64 2 62) 5 5 62 : 2 5 31
1. a) A raiz quadrada de 81 é 9, porque 9 3 9 5 81. b) A raiz quadrada. 2. a)
4 5 2 , pois 22 5 4
b)
49 5 7 , pois 7 5 49
c)
64 5 8 , pois 82 5 64
d)
121 5 11 , pois 112 5 121
e)
144 5 12 , pois 122 5 144
f)
225 5 15 , pois 152 5 225
2
3. 9, 16, 36, 49 e 64, pois possuem raízes quadradas exatas no conjunto dos números naturais. 4. 169 5 13 R 13 metros, pois 132 5 169
Exercícios, página 93. 1. N 5 412 1 312 1 212 ⇒ N 5 1 681 2 961 1 1 441 ⇒ N 5 720 1 441 R N 5 1 161, então temos: 1 1 1 1 6 1 1 5 9
16
4. a) 25 1 42 2 23 3 3 5 5 32 1 16 2 8 3 3 5 5 32 1 16 2 24 5 5 48 2 24 5 24 b) (25 1 42 2 23) 3 3 5 5 (32 1 16 2 8) 3 3 5 5 (48 2 8) 3 3 5 5 40 3 3 5 120 c) 25 1 (42 2 23) 3 3 5 5 32 1 (16 2 8) 3 3 5 5 32 1 8 3 3 5 5 32 1 24 5 56 5. (34 2 26 2 100) : (52 2 23) 5 5 (81 2 64 2 1) : (25 2 23) 5 5 (17 2 1) : 2 5 5 16 : 2 5 8 Logo, 82 5 64.
f) 220 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3232323232323232323 3 2 3 2 3 2 5 1 048 576
Brasil real, páginas 93 e 94. 1. a)
81 3 2 3 102 1 19 3 22 5 5 9 3 2 3 100 1 19 3 4 5 5 18 3 100 1 76 5 5 1800 1 76 5 1876, século XIX b) 1877 c) Resposta em aberto.
Chegou a sua vez!, página 96. 1. a) • verde; • azul e verde; • não consta no gráfico b) 9 2 5 5 4 R 4 times c) 1988, 1990, 1995, 1997
2. a) A segunda expressão. • (2 3 36 )2 1 23 3 (103 22) 2 (34 3 2 1 144 ) 5 5 (2 3 6)2 1 8 3 (1 000 : 4) 2 (81 3 2 1 12) 5 5 122 1 8 3 250 2 (162 1 12) 5 5 144 1 8 3 250 2 174 5 5 144 1 2 000 2 174 5 5 2 144 2 174 5 1 970 • 112 2 100 1 54 3 (93)0 1 (15 2 40 8)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 30 1 (15 2 5)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 1 1 103 1 210 5 5 121 2 10 1 625 1 1 000 1 210 5 5 111 1 625 1 1 000 1 210 5 5 736 1 1 000 1 210 5 5 1 736 1 210 5 1 946 b) 1 970 1 13 5 1 983 c) (210 2 25 ) 3 4 5 5 (1 024 2 5) 3 2 5 5 1 019 3 2 5 2 038 d) Até 2006 o Brasil foi pentacampeão, como em 1970 ele já foi tricampeão, o Brasil ganhou duas vezes a nova taça. 3. 5 3 202 2 103 : 52 1 32 5 5 5 3 400 2 1 000 : 25 1 9 5 5 2 000 2 40 1 9 5 5 1 960 1 9 5 1 969 a) Resposta em aberto. b) 2006 Chegou a sua vez!, página 95. a) 56 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 15 625 b) 65 5 6 3 6 3 6 3 6 3 6 5 7 776 c) 97 5 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 5 5 4 782 969 d) 79 5 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 40 353 607 e) 210 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 5 1 024
2. 1ª partida: 2 . 0 (vitória) 2ª partida: 1 4 (derrota) 3ª partida: 3 5 3 (empate) 4ª partida: 0 5 (derrota) 5ª partida: 2 . 1 (vitória) 6ª partida: 3 . 1 (vitória) 7ª partida: 2 5 2 (empate) 8ª partida: 1 . 0 (vitória) 9ª partida: 0 5 0 (empate) 10ª partida: 3 . 0 (vitória) São 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas, então: 533133112305 5 15 1 3 1 0 5 18 R 18 pontos
Retomando o que aprendeu, páginas 97 e 98. 1. Alternativa c. 3 exercícios em 10 minutos 6 5 3 3 2; então, 6 exercícios em 10 3 2 minutos 6 exercícios em 20 minutos 2. Alternativa b. 2 3 20 2 2 3 8 5 5 40 2 16 5 24 R 24 reais 3. Alternativa b. (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40) (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52) Termos comuns: 16, 28 e 40. 4. Alternativa a. 60 6 00 10 60 7 4 8
17
60 8 4 7
Paula: 1 3 16 1 0 3 32 1 2 3 64 5 5 16 1 0 1 128 5 5 144 R 144 pontos
60 11 5 5
Marcos: 1 3 16 1 0 3 32 1 4 3 64 5 5 16 1 0 1 256 5 5 272 R 272 pontos
A única divisão exata é 60 : 6. 5. Alternativa c. 62 143 5 5 36 164 5 5 100 510
Brasil real, páginas 98 e 99. 6. Alternativa b. (43 1 42 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 32 1 33) 5 5 (64 1 16 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 9 1 27) 5 5 84 : 7 1 2 3 39 5 5 12 1 78 5 90 7. Alternativa d. Eu: 1 320 figurinhas Meu primo: 1 320 : 2 5 660 R 660 figurinhas Minha irmã: 660 3 3 5 1 980 R 1 980 figurinhas
1. a) 3 estados: Rio Grande do Sul, Santa Catarina e Amapá. b) Santa Catarina e Rio Grande do Sul. c) São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro. d) Entre 4 701 e 10 900. 2. a) • região Norte • região Nordeste • região Norte • região Sudeste b) 449 1 466 1 1 793 1 1 668 1 1 188 5 5 5 564 R 5 564 municípios c) 1 371 236 1 3 349 405 1 4 919 940 1 1 21 509 157 1 8 708 546 5 5 39 858 284 R 39 859 284 veículos d) 191 094 1 85 284 1 116 436 1 14 758 1 1 32 982 5 440 554 R 440 554 pessoas
8. Alternativa b. 3 3 5 3 10 5 15 3 10 5 150 R 150 mililitros Logo, são necessários 2 frascos do medicamento. 9. Alternativa d. 2 1 3 5 5 5 8 5 11 5 14 5 17 5 20 5 23 5 26 5 29 5 32 10. Alternativa a. 1ª) 838 1 162 5 1 000 2ª) 160 3 15 5 2 400 3ª) 3 600 : 2 5 1 800 4ª) 1 864 2 17 5 1 847 11. Alternativa d. Fernanda: 1 3 16 1 1 3 32 1 3 3 64 5 5 16 1 32 1 192 5 240 R 240 pontos Rita: 1 3 16 1 1 3 32 1 1 3 64 5 5 16 1 32 1 64 5 112 R 112 pontos
18
3. A região Nordeste tem 9 estados. O 9 é um quadrado perfeito porque 9 5 32. A região Norte tem 7 estados. O 7 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 7. A região Centro-Oeste e a região Sudeste têm 4 estados cada uma. O 4 é um quadrado perfeito porque 4 5 22. A região Sul tem 3 estados. O 3 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 3. Assim, somente nas regiões Nordeste, Centro-Oeste e Sudeste o número de estados é um quadrado perfeito.
Divisibilidade: divisores e múltiplos 9 – Noção de divisibilidade
3.
Explorando, página 102. 1. a) b) c) d)
e) f) g) h)
36 ; 2 5 18 36 ; 3 5 12 36 ; 4 5 9 36 ; 6 5 6
36 ; 12 5 3 36 ; 18 5 2 36 ; 36 5 1 36 ; 1 5 36
2. a) 23 ; 1 5 23 b) 23 ; 23 5 1 c) Nenhum.
b) 900 20 100 45 0 (sim)
e) 900 40 100 22 20 (não)
c) 900 25 150 36 00 (sim)
f) 900 60 300 15 00 (sim)
a) 1 305 3 10 435 15 0 (sim)
4. 1 e 13. 5. 1, 3, 5 e 15. 1, 5 e 25. 1 e 19. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
b) 1 1 3 1 0 1 5 5 9, e 9 é divisível por 3. 5. 297
6. 20, 18, 264 e 1 000. Os números pares são divisíveis por 2. 7. 1 Exercícios, página 104. 1. a) 109 3 19 36 1 (não)
c) 202 11 92 18 4 (não)
b) 119 9 29 13 2 (não)
d) 310 5 10 62 0 (sim)
2. 37 9 1 4 (não)
45 9 0 5 (sim)
62 9 8 6 (não)
72 9 0 8 (sim)
81 9 0 9 (sim)
d) 900 30 00 30 (sim)
4.
3. 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
a) b) c) d)
a) 900 15 00 60 (sim)
54 9 0 6 (sim)
79 9 7 8 (não)
93 9 03 10 (não)
99 9 09 11 0 (sim)
6. 555 7. a)
719 23 029 31 6
b)
706 13 56 54 4
Para ser divisível, o resto deve ser 0, como o resto é 6, então, este é o menor número que deve ser subtraído.
Se sobra 4 para se ter 13 que é o divisor e assim obter resto 0 (para ser divisível), o menor número natural que se deve adicionar é 9.
8. 3 9. Números entre 40 e 50: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49. O único número que é divisível por 6 e 7 ao mesmo tempo é 42. 10. De 10 a 15, o número 60 é divisível por 10, 12 e 15; então, temos: 60 10 0 6
6 grupos de 10 equipes
60 12 0 5
5 grupos de 12 equipes
19
60 15 0 4
4 grupos de 15 equipes
10 – Critérios de divisibilidade Exercícios, página 110.
Chegou a sua vez, página 105. 1. a) 42 5 2 8 b) 43 5 3 8 c) 44 5 4 8
1. a) 259, 295, 529, 592, 925, 952 b) Para ser divisível por 2, o número deve ser par, então são divisíveis por 2 os números 592 e 952. c) Para ser divisível por 3, o número deve ter por soma de seus algarismos um número divisível por 3. Como todos os números são formados por 2, 5 e 9, e 2 1 5 1 9 5 16, que não é divisível por 3, então nenhum deles é divisível por 3.
d) 45 5 0 9
e) 46 5 1 9
2.
2. Quociente
Resto
32
6
32
3
32
12
3. 56 373 236 47 2 238 09 17 7 08 2 093 1 888 205
a) Sim, porque 12 756 é um número par. b) Sim, porque 1 1 2 1 7 1 5 1 6 5 21 é divisível por 3. c) Sim, porque: 56 4 16 14 0 d) Não, porque não termina em 0 ou 5. e) Sim, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 756 8 f) Não, porque: 36 94 4 3. a) 5 1 0 1 0 1 1 5 6, não é divisível por 9. b) 5 1 n 1 0 1 1 5 n 1 6 n 1 6 deve ser um número divisível por 9 e o menor possível; logo, n 1 6 5 9; então, n 5 3.
Desafio, página 105. Pelas informações dadas, o total de exercícios é um número: a) que está entre 50 e 100; b) divisível por 7, porque se contar de 7 em 7 não sobra resto; c) ímpar, porque contando de 2 em 2 sobra 1; d) não é divisível por 3, porque sobra 1 quando contado de 3 em 3. Os números que atendem às informações acima são 77 e 91, mas como 77 ao ser dividido por 5 deixa resto 2; então, o número de exercícios que João resolveu é 91, porque: 77 5 27 15
2 20
91 5 41 18
1
4. a) b)
• 3? Sim, porque 4 1 0 1 3 1 0 1 2 1 0 5 9. • 4? Sim, porque 20 é divisível por 4. • 8? Não, porque 020 não é divisível por 8. O menor número formado pelos três últimos algarismos que é divisível por 8 é 24; logo, devemos substituir n por 4.
5. a) 3 000 e 3 300 b) 3 000 6. Números entre 50 e 60: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59. Divisível por 2: 52, 54, 56 e 58. Divisível por 3: 5 1 1 5 6; 5 1 4 5 9; 5 1 7 5 12. O número procurado é 54, porque, para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
7.
6. Sim. a) Para ser divisível por 2, d pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8, mas como deve também ser divisível por 3, 3 1 2 1 5 1 d 5 10 1 d, deve ser o menor número possível divisível por 3, então d 5 2. b) Para ser divisível por 9: 7 1 0 1 b 1 1 3 5 10 1 b deve ser o menor número possível divisível por 9, então b 5 8.
7. a) 22 R 1 3 22; 2 3 11 b) 60 R 1 3 60; 2 3 30; 3 3 20; 4 3 15; 5 3 12; 6 3 10 c) 17 R 1 3 17 8. a) 22 R 1, 2, 11 e 22 b) 60 R 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 c) 17 R 1 e 17
Brasil real, página 111. 1. a) Várias respostas possíveis; por exemplo: 1902, 1905, 1908, 1971, 2001. b) 1908 e 1980. 2.
9. Os fatores de um número são também seus divisores. Exercícios, páginas 115 e 116. 1.
a) Divisíveis por 2: 250, 1 050, 340, 350, 188, 60, 90 e 202. Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo: 1 050, 60 e 90. b) Seis. c) Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 4: 340, 188 e 60. Divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo: 60. d) 90 e 171. Chegou a sua vez!, página 112.
3.
12 1 5 1 29 1 13 1 11 70 5 5 14 R 14 reais 5 5 a) Sendo 4 bimestres e 6 a média de aprovação, a soma mínima para aprovação é: 4 ? 6 5 24 b) 24 2 (5 1 8 1 8) 5 24 2 21 5 3
11 – D ivisores, fatores e múltiplos de um número natural Explorando, página 113. 1. 1 e 10; 2 e 5; isto é, 1, 2, 5 e 10. 2. 1, 2, 5 e 10. 3. Os fatores de um número são também seus divisores. 4. 1 3 20 5 20; 2 3 10 5 20; 4 3 5 5 20 5. 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Não. c) 26 5 1 3 26 26 5 2 3 13 Sim. 48 5 1 3 48 48 5 2 3 24 48 5 3 3 16 48 5 4 3 12 d) 48 5 6 3 8
a)
Sim. 92 5 1 3 92 92 5 2 3 46 92 5 4 3 23
Sim. 72 5 1 3 72 72 5 2 3 36 72 5 3 3 24 72 5 4 3 18 72 5 6 3 12 72 5 8 3 9 Não. 86 5 1 3 86 86 5 2 3 43
2.
13 1 23 1 22 1 27 1 22 1 25 132 5 5 22 1. 6 6 2.
a) b)
b) Não. c) Não. d) Sim.
3. a) b) c) d) e)
2, porque 14 5 2 3 7 2, 3, 6 e 9, porque 18 5 2 3 9 e 18 5 3 3 6 5, porque 25 5 5 3 5 3, 5 e 9, porque 45 5 3 3 15 e 45 5 5 3 9 2, 3, 6 e 9, porque 54 5 2 3 27, 54 5 3 3 18 e 54 5 6 3 9 f) 2, 5 e 10, porque 70 5 2 3 35, 70 5 5 3 14 e 70 5 10 3 7 4. Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 Divisores de 25: 1, 5 e 25 Divisores de 15 e também de 25: 1 e 5 5. Divisores de 14: 1, 2, 7 e 14. Divisores de 35: 1, 5, 7 e 35. a) Os divisores de 14 que não são divisores de 35: 2 e 14 b) Os divisores de 35 que não são divisores de 14: 5 e 35 c) Os divisores de 14 que são também divisores de 35: 1 e 7
21
Por 2, porque 5 148 é par. Por 3, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18. Por 4, porque 48 é divisível por 4. Por 6, porque é divisível por 2 e por 3. Por 9, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18.
6. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Maior divisor de 60 sem ser 60 é 30. 7. 0, 15, 30, 45, 60, 75 8. 300 13 40 23 1
2. Resposta em aberto.
Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, tirando 1, que é o resto, de 300, o número obtido será o maior múltiplo de 13 menor que 300. 300 2 1 5 299
12 – Números primos Exercícios, página 120 1. a) 15 b) 5 casas c) Século 21, 21 não é um número primo.
9. 100 13 09 7 Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, adicionando a 100 o que falta para o resto ser 13 (13 2 9 5 4), obtemos o menor múltiplo de 13 maior que 100. 100 1 4 5 104 10. a) b) c) d) e) f)
202 36 0 0e4 4 Números naturais menores que 500 e com 3 algarismos iguais: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2: 222 e 444. Múltiplos de 3: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2 e 3: 222 e 444.
11. Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 e 30. Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30. Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15 e 30. 12. 15 13. a) b) c)
2008 e 2020 três: 1992, 1996 e 2000 Década de 1980: 1984, 1988 Década de 1990: 1992, 1996 e 2000 Desafio!, páginas 116 e 117.
1.
1
2
5
3
4
1
6
4
7
8
3
0
2
2
5
5
8
9
22
3. a) 26 1 3 5 5 64 1 3 5 67 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, e prosseguindo as divisões: 67 11 1 6 R quociente menor que o divisor b) 42 1 52 5 5 16 1 25 5 41 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 41 7 6 5
R quociente menor que o divisor
c) 472 2 372 2 272 5 5 2 209 2 1 369 2 529 5 5 840 2 529 5 311 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 311 7 31 44 3 311 13 51 23 12
311 11 91 28 3 311 17 141 18 05
311 19 121 16 R quociente menor que o divisor 07
6 5
2. Não, pois é divisível por 7.
2 0
4. 47 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 47 7 R quociente menor que o divisor 5 6
51 não é primo, é divisível por 3. 69 não é primo, é divisível por 3. 83 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 83 11 83 7 R quociente menor 7 7 13 11 que o divisor
6. O “segredo” é que o número de cima é igual à soma dos dois números abaixo dele: 63 5 33 1 30; 47 5 30 1 17; 38 5 17 1 21 a) a 5 63 1 47 5 110 b 5 47 1 38 5 85 c 5 110 1 85 5 195 b) Não, pois 195 é divisível por 5. Brasil real, página 121.
91 não é primo, é divisível por 7.
1. Nenhum deles é primo. O 15 é divisível por 5, o 36 e o 1 532 são pares.
91 7 21 13 0 97 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 97 7 97 11 27 13 9 8 R quociente menor 6 que o divisor 39 não é primo, é divisível por 3. 24 não é primo, é divisível por 2. 99 não é primo, é divisível por 3. 5. a) 131 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 131 7 131 11 61 18 21 11 R quociente igual 5 0 ao divisor b) 253 não é primo porque é divisível por 11: 253 7 253 11 43 36 33 23 1 0 c) 211 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 211 7 211 11 01 30 101 19 2 211 13 81 16 03
211 17 41 12 R quociente menor 7 que o divisor d) 391 não é primo porque é divisível por 17: 391 7 391 11 41 55 61 35 7 6 391 13 01 30
391 17 51 23 0
2. Sim (7 1 3 1 6 1 7 5 23), 23 é primo porque só tem dois divisores naturais: o 1 e ele mesmo. 3. a) 23, 31, 131, 5 e 13. b) Não, pois 299 (que é o total) é múltiplo de 13 (299 ; 13 5 23). 4. Um, o 17.
13 – Decomposição em fatores primos Exercícios, página 123. 1. a) 2 3 23 5 46 b) 5 3 17 5 85
c) 3 3 19 5 57 d) 7 3 11 5 77
2. b) 32 3 5 3 17 c) 24 3 32 3 11 d) 72 3 11 Alternativas b, c e d. 3. Não; 3 3 22 3 11 4. 112 56 28 14 7 1
2 2 2 2 7
112 5 24 3 7
5. (152 1 255) ; (32 1 1) 5 48 5 (225 1 255) ; (9 1 1) 5 24 5 480 ; 10 5 48 12 6 3 1
2 2 2 2 3
48 5 24 3 3
6. a) 24 3 3
23
b) 50 2 25 2 5 5 1 c)
d)
80 40 20 10 5 1
50 5 2 3 52
2 80 5 24 3 5 2 2 2 5
99 3 99 5 32 3 11 33 3 11 11 1
e) 108 54 27 9 3 1
2 108 5 22 3 33 2 3 3 3
f) 132 66 33 11 1
2 132 5 22 3 3 3 11 2 3 11
g) 210 105 35 7 1
2 210 5 2 3 3 3 5 3 7 3 5 7
h) 180 90 45 15 5 1
2 180 5 22 3 32 3 5 2 3 3 5
i) 234 117 39 13 1
2 234 5 2 3 32 3 13 3 3 13
7. 23 3 53 8.
24
1 200 600 300 150 75 25 5 1
2 1 200 5 24 3 3 3 52 2 a 5 4, b 5 1, c 5 2 2 a1b1c54111257 2
9. 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 10. 1 620 810 405 135 45 15 5 1
240 5 24 3 3 3 5 x54
2 1 620 5 22 3 34 3 5 2 n 5 34 3 3
3 3 5
11. a) b) c)
22 3 5 3 112 5 5 4 3 5 3 121 5 5 20 3 121 5 2 420 22 3 7 3 13 5 5 4 3 7 3 13 5 5 28 3 13 5 364 33 3 17 5 5 27 3 17 5 459 Brasil real, página 124.
75 3 25 5 5 5 1
1.
75 5 3 3 52
2. a) América Latina b) A coluna vermelha indica a expectativa de vida de 1965 a 1970, e a coluna azul indica a expectativa de vida de 2000 a 2005. c) África d) 44 2 44 5 22 3 11 22 2 11 11 1
3 5 5
49 7 7 7 1
49 5 72
54 27 9 3 1
54 5 2 3 33
2 3 3 3
70 2 35 5 7 7 1
70 5 2 3 5 3 7
15 000 7 500 3 750 1 875 625 125 25 5 1
67 5 1 3 67 (número primo) 59 5 1 3 59 (número primo) 71 5 1 3 71 (número primo)
76 2 38 2 19 19 1
76 5 22 3 19
56 28 14 7 1
56 5 23 3 7
2 2 2 7
b) Resposta possível: As principais causas dessa ameaça são a caça, o comércio clandestino, no qual as aves são capturadas enquanto filhotes, ainda no ninho, e a degradação em seu hábitat natural.
65 5 5 3 13
Exercícios, página 127. 1. 54, 72 2 R fator comum 27, 36 2 27, 18 2 27, 9 3 R fator comum 9, 3 3 R fator comum 3, 1 3 1, 1
a)
15 000 5 23 3 3 3 54
14 – Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum
65 5 13 13 1 3.
2 2 2 3 5 5 5 5
1 580 790 395 79 1
2 2 5 79
1 580 5 22 3 5 3 79
650 325 65 13 1
2 5 5 13
650 5 2 3 52 3 13
4 000 2 000 1 000 500 250 125 25 5 1
2 2 2 2 2 5 5 5
4 000 5 2 3 5
20 2 10 2 5 5 1
m.d.c. (54, 72) 5 2 3 32 5 18 2. a)
5
3
50, 75 2 25, 75 3 25, 25 5 5, 5 5 1, 1
R fator comum R fator comum
m.d.c. (50, 75) 5 52 5 25
b)
112, 70 2 R fator comum 56, 35 2 28, 35 2 14, 35 2 7, 35 5
20 5 22 3 5
7,
7 7 R fator comum
1, 1 m.d.c. (112, 70) 5 2 ? 7 5 14
25
c) 150, 250 75, 125 25, 125 5, 25 1, 5 1, 1
m.d.c. (150, 250) 5 2 ? 5 5 50
d)
90, 225 2 45, 225 3 R fator comum 15, 75 3 R fator comum 5, 25 5 R fator comum 1, 5 5 1, 1 m.d.c. (90, 225) 5 32 ? 5 5 45
e)
56, 28, 14, 7, 7, 7, 1,
f)
84, 42, 21, 21, 7, 7, 1,
210 105 105 105 35 7 1
2 R fator comum 2 2 3 5 7 R fator comum
504, 252, 126, 63, 21, 7, 1, 1,
588 294 147 147 49 49 7 1
2 2 2 3 3 7 7
R fator comum
ExercĂcios, pĂĄgina 128. 1.
b)
144, 216, 288 2 R fator comum 72, 108, 144 2 R fator comum 36, 54, 72 2 R fator comum 18, 27, 36 2 9, 27, 18 2 9, 27, 9 3 R fator comum 3, 9, 3 3 R fator comum 1, 3, 1 3 1, 1 1 m.d.c. (144, 216, 288) 5 23 ? 32 5 72
R fator comum
2 ? 32 5 18
R fator comum
39, 65, 91 3 13, 65, 91 5 13, 13, 91 7 13, 13, 13 13 R fator comum 1, 1, 1 m.d.c. (39, 65, 91) 5 13
R fator comum R fator comum R fator comum R fator comum
90, 126 2 R fator comum 45, 63 3 R fator comum 15, 21 3 R fator comum 5, 7 5 1, 7 7 1, 1
R fator comum R fator comum
g)
4.
m.d.c. (56, 84, 210) 5 2 ? 7 5 14
m.d.c. (504, 588) 5 22 ? 3 ? 7 5 84
h)
96, 144, 240 2 48, 72, 120 2 24, 36, 60 2 12, 18, 30 2 6, 9, 15 2 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 N 5 24 ? 3 5 48
a)
3.
2
26
2 R fator comum 3 5 R fator comum 5 R fator comum 5
c)
30, 75 2 15, 75 3 5, 25 5 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (30, 75) 5 2 ? 3 ? 52 5 150 18, 60 2 9, 30 2 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (18, 60) 5 22 ? 32 ? 5 5 180 66, 102 2 33, 51 3 11, 17 11 1, 17 17 1, 1 m.m.c. (66, 102) 5 2 ? 3 ? 11 ? 17 5 1 122
d)
36, 54, 90 2 18, 27, 45 2 9, 27, 45 3 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1
m.m.c. (36, 54, 90) 5 22 ? 33 ? 5 5 540
48, 20, 40, 36 2 24, 10, 20, 18 2 12, 5, 10, 9 2 6, 5, 5, 9 2 3, 5, 5, 9 3 1, 5, 5, 3 3 1, 5, 5, 1 5 1, 1, 1, 1
7.
8.
8, 10 2 4, 5 2 2, 5 2 1, 5 5 1, 1
12, 6, 3, 3, 1, 1,
15, 24 2 15, 12 2 15, 6 2 15, 3 3 5, 1 5 1, 1
m.m.c. (12, 15, 24) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 múltiplos comuns de 12, 15 e 24: { 120, 240, 360, ...} 17 17 17 127 247 367 Como a quantidade de figurinhas está entre 200 e 300, só pode ser 247. 2 1 4 1 7 5 13
m.m.c. (8, 10) 5 23 ? 5 5 80
3. 12, 20 2 6, 10 2 3, 5 3 1, 5 5 1, 1
Brasil real, página 129.
m.m.c. (12, 20) 5 22 ? 3 ? 5 5 60 4. 15, 15, 15, 15, 5, 1, 1,
5, 10 2 5, 5 2 5, 5 5 1, 1
m.m.c. (4, 5, 10) 5 22 ? 5 5 20
m.m.c. (48, 20, 40, 36) 5 24 ? 32 ? 5 5 720 2.
4, 2, 1, 1,
25, 40 2 25, 20 2 25, 10 2 25, 5 3 25, 5 5 5, 1 5 1, 1
a) Números destacados: 165, 13, 2 000, 10, 20, 25, 45. 6 são divisíveis por 5, porque terminam em zero ou 5. b) 165 3 55 5 11 11 1 1 Divisores de 165 R 1, 3, 5 e 11.
m.m.c. (15, 25, 40) 5 2 ? 3 ? 5 5 600 600 minutos 5 10 horas 3
2
5. 20, 24, 30 2 10, 12, 15 2 5, 6, 15 2 5, 3, 15 3 5, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (20, 24, 30) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 6. 15, 18 2 15, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 m.m.c. (15, 18) 5 2 ? 32 ? 5 5 90 Os ônibus partirão juntos depois de 90 minutos, ou seja, 1 hora e 30 minutos, depois das 8 horas, ou seja, às 9 horas e 30 minutos.
c) (I) 80, 40, 20, 10, 5, 1, 1,
50 25 25 25 25 5 1
2 R fator comum 2 2 2 5 R fator comum 5
m.d.c. (80, 50) 5 2 ? 5 5 10 80 m (II) 10
20
30
40
50
60
70
80
10 20 50 m
30 40 50
Editoria de arte
e)
9 1 6 1 9 1 6 5 30 30 2 4 5 26 mudas Contamos 4 árvores 2 vezes.
27
Retomando o que aprendeu, página 130. 1. múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo 5 5 múltiplos de 6. M6 5 {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 8 casas: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 2. 12c5 Divisível por 3 ⇒ 1 1 2 1 c 1 5 R deve ser múltiplo de 3 1121c15581c c pode ser: 1 (8 1 1 5 9) 4 (8 1 4 5 12) 7 (8 1 7 5 15) 1 1 4 1 7 5 12 3. 90, 135 2 45, 135 3 15, 45 3 5, 15 3 5, 5 5 1, 1 m.m.c. (90, 135) 5 270 múltiplos de 270 5 {0, 270, 540, 810, 1 080, ...} 3 algarismos: 270, 540 e 810. 4. Alternativa a. 2, 3, 5 2 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (2, 3, 5) 5 30 Como sobra 1, possíveis resultados: {31, 61, 91, 121, ...} Como é múltiplo de 7: 91 exercícios 5. Alternativa d. 1 800 900 450 225 75 25 5 1
2 2 2 3 3 5 5
1 800 5 23 ? 32 ? 52 1 800 5 2a ? 3b ? c2 Temos: a 5 3 b52 c55 Portanto: a 1 b 1 c 5 3 1 2 1 5 5 10
28
6. Alternativa d. N 5 488a9b 488a9b é múltiplo de 5, portanto b 5 0 ou b 5 5. 488a9b é múltiplo de 3, portanto 4 1 8 1 8 1 1 a 1 9 1 b deve ser múltiplo de 3. 29 1 a 1 b deve ser múltiplo de 3. Possibilidades: b
a
a1b
0
1
1
0
4
4
0
7
7
5
2
7
5
5
10
5
8
13
7. Alternativa e. n.o exibido: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Total de bolas: 4 1 8 1 12 1 16 1 20 1 24 5 84 8. Como (213466917 2 1) e (230402457 2 1) são primos, o m.m.c. (a) será igual ao produto dos dois e o m.d.c. (b) será igual a 1, portanto: ba 5 1a 5 1 9. Alternativa b. 6, 15 2 3, 15 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (6, 15) 5 2 ? 3 ? 5 5 30 30 55 linha A R 6 10. Alternativa c. 18, 48 2 9, 24 2 9, 12 2 9, 6 2 9, 3 3 3, 1 3 1, 1 m.m.c. (18, 48) 5 24 ? 32 5 144
Geometria: As ideias intuitivas 15 – Ponto, reta e plano Chegou a sua vez!, página 134.
3.
a) BC ou BD ou AC b) AB ou AC c) AB ou CD ou BC
2. Respostas em aberto. 5.
a) AB e MN b) BN , BC ou CN c) AB e AM ou AC e AB
Exercícios, página 136. 1. c; c; a; b; c; b 2. Plana.
6. 10 segmentos.
3.
7. Nas figuras 3, 6 e 7. b) Não plana.
a) Plana.
c) 4
4.
1. Respostas em aberto. 3. Respostas em aberto.
b) 7
a) 8
8. c) V d) V
a) V b) F
Desafio!, página 137. 1. a, b, d, f e h.
Desafio!, página 144.
Editoria de arte
2. f
16 – A reta Exercícios, página 140. 1. Infinitas retas. Exercícios, página 146.
2. Uma única reta. 3. Inclinada.
1. a) 6 unidades.
4. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes.
d) Paralelas. e) Concorrentes.
a) Vertical.
b) Concorrentes.
5.
Desafio!, página 141.
b) 2 unidades.
2. a) 4u b) 2u c) 1u d) 6u e) 6u f) 10u
1. Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli, na rua Comandante Marcondes Salgado.
3. 38 quarteirões.
2. Paralelas.
17 – Giros e ângulos
3. Não.
4. Figuras a, d, e, h
Explorando, página 147. Exercícios, páginas 143 e 144. 1. Seis: PA, PB, PC, PD, PE e PF .
1. Em todas elas, há a ideia de volta ou giro em torno de algo.
2. PA, PB, PC, PD, PE, PF, EF; 7 segmentos.
2. a e C; b e A; c e D; d e B.
29
b) Tanto em Estação Central do Brasil (nos postes, por exemplo) como em São Paulo (nos prédios e estruturas, por exemplo) aparecem representações de retas paralelas e de retas concorrentes. c) Estruturas com triângulos, telhados, janelas dos prédios, por exemplo. d) Estação Central do Brasil: triângulos, quadriláteros e pentágonos. A Lua: nenhum; São Paulo: quadriláteros e triângulos.
Exercícios, página 149. 1. Alternativa a. 2. A 5 908; B 5 458; C 5 1308; D 5 958
18 – Polígonos Explorando, páginas 150 e 151. 1. A, simples; B, simples; C, simples; D, não simples, E não simples. 2. A, D; B, C, E. 3. Quando a origem da linha coincide com a sua extremidade, é fechada; quando não coincide, é aberta.
19 – Triângulos e quadriláteros Chegou a sua vez!, página 157. Editoria de arte
4. B, C. 5. Resposta em aberto. 6. Quadro B.
Sim, há dois lados paralelos.
Não há lados paralelos.
Sim, os lados opostos são paralelos.
Exercícios, páginas 153 e 154. 1. Sim; é uma figura geométrica plana limitada por uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta. 2. Porque ela não é limitada por uma linha formada por segmentos de reta. 3.
Exercícios, páginas 158 e 159. 1. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles. 2. a) 1 e 3
3. Triângulo equilátero. 4.
a) Sim. b) Quadrilátero.
a) Triângulo isósceles. b) Triângulo escaleno.
4. Sim; polígono não convexo.
5.
5.
a) 6 triângulos.
a) Octógono. b) Quadrilátero.
b) 6 (A, C, D, E, G, J)
8. Sim.
c) 1 (C)
9. Como os polígonos são regulares, todos os lados têm a mesma medida.
5 cm
5 3 6 5 30 30 unidades
3 3 8 5 24 24 unidades
d) 2 (A, J) 7.
3 cm
1. a) Não, em A Lua não temos nenhum deles.
Editoria de arte
Brasil real, páginas 154 e 155.
B
A D
C E H
F
G I
J
Editoria de arte
a) 4 (B, F, H, I)
7. Triângulo.
Editoria de arte
b) Equilátero.
6.
6. 6 lados; hexágono.
30
b) 2 e 4
8.
Brasil real, páginas 160 e 161. 1.
Editoria de arte
a) Alagoas e Sergipe. b) Maranhão, Piauí, Rio Grande do Norte, Paraíba e Pernambuco. c) Pentágono. d) 8 lados; octógono. e) Resposta em aberto. 2. a) Retângulo: espera-se que os alunos, pelo menos, reconheçam que um retângulo é um polígono de 4 lados (quadrilátero) com 4 ângulos internos retos (que medem 90o). Outras características ainda podem ser citadas: é um polígono convexo, é um paralelogramo etc. Losango: quadrilátero, paralelogramo, os quatro lados têm mesma medida. b) 1: Amazonas 2: Pará 3: Amapá c) Resposta em aberto.
Desafio!, página 160. A
L
K
B
C
I
D
H
F
Editoria de arte
M J
E
Chegou a sua vez!, página 162.
G
São 20 triângulos, a saber: 2 triângulos grandes de lados G1: AE , EI e IA; G2: CG, GK e KC.
1.
2. Resposta pessoal. 3. Editoria de arte
12 triângulos pequenos de lados: P1: AB , BL e LA P2: BC , CD e DB P3: DE , EF e FD P4: FG , GH e HF P5: HI , IJ e JH P6: JK , KL e LJ P7: BD , DM , e MB P8: DF , FM e MD P9: FH , HM e MF P10: HJ , JM e MH P11: JL , LM e MJ P12: LB , BM e ML
Editoria de arte
6 triângulos médios de lados: M1: AD , DJ e JA M2: BE , EH e HB M3: CF , FL e LC M4: DG , GJ e JD M5: FI , IL e LF M6: HK , KB e BH
4.
5. Há várias possibilidades. 6. Resposta em aberto.
31
A forma fracionária dos números racionais 20 – A ideia de fração
9. c, b, d
Explorando, página 165. 1. b) 5
a) 3
Brasil real, páginas 169 e 170. 1.
2. Mesa 1 – comidos 4 4 dos 8 ou 8 sobraram 4 4 dos 8 ou 8
Mesa 2 – comidos 2 2 dos 8 ou 8 sobraram 6 6 dos 8 ou 8
b) 26 estados
Mesa 3 − comidos 5 5 dos 8 ou 8 sobraram 3 3 dos 8 ou 8
c) A região Nordeste é composta de 9 9 estados, então a fração é . 26 d) A região Sul é composta de 3 estados, 3 então a fração é . 26 e) A região Norte é composta de 7 estados, e a região Nordeste, de 9, então juntas têm 16 estados, portanto mais que a metade dos estados brasileiros (26).
Mesa 3. Exercícios, página 168. 1. a, b, d, e, f, h, i 2. 1 a) 4 3. a) 7 ; 1 8 8 b) 3 ; 7 10 10 4.
32
2. 1 b) 10 7 5 ; 12 12 1 5 d) ; 6 6
6.
7 12
7.
5 12
8.
17 30
b)
a) 10 partes b)
5 10
c) Resposta em aberto.
c)
3.
a) 22 carros deram a largada, e 5 carros não completaram a corrida. Então: 22 5 17 17 carros completaram a corrida. 17 é a fração dos participantes Logo, 22 dessa corrida que completaram o circuito.
b) Nesse período, 6 pilotos brasileiros venceram o GP Brasil de F1, em Interlagos, de 24 corridas realizadas. 6 Assim, a fração correspondente é . 24
1 8
5. 3 a) 7
a) Norte: Acre, Amazonas, Roraima, Rondônia, Pará, Amapá e Tocantins Sudeste: Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro e São Paulo Sul: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul Centro-Oeste: Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal Nordeste: Maranhão, Piauí, Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergipe e Bahia
6 7
b) 60 questões
21 – Resolvendo problemas que envolvem frações
c) 30 questões d) total de questões: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60 5 12 12 5 questões
Brasil real, páginas 172 e 173. 1. a) arremessos: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60 5 12 5 3 corresponde a 3 12 36 36 5 arremessos
e) total de questões: 60
acertou: 60 20 40 40 fração de acerto: 60 24 f) 60
b) Se acertou 60 arremessos e 36 foram de 3 pontos, então acertou:
60 36 24 24 arremessos de 2 pontos Exercícios, páginas 173 e 174.
c) 3 36 1 2 24
108 48 156 156 pontos
12 30 b) No primeiro dia foram 30 testes: a)
4. a)
9 corresponde a 36 9 1 corresponde a 36 9 = 4 4 alunos 9
3.
1. Número de alunos: 36
2. 40 a) 670
errou: 20
5 corresponde a 30 5 1 corresponde a 30 5 6 5 3 corresponde a 3 6 18 18 testes 5 No segundo dia foram 40 testes: 8 corresponde a 40 8 1 corresponde a 40 8 5 8 5 corresponde a 5 5 25 25 testes 8 Na segunda fase este candidato acertou: 18 25 43 43 testes
2. a) 1 litro 1 000 mililitros
3. 4.
Número de questões
Área do conhecimento
14
Língua Portuguesa
6
Língua Estrangeira
6
Geografia
6
História
10
Matemática
6
Física
6
Química
6
Biologia
5 corresponde a 1 000 5 1 corresponde a 1 000 5 200 5 200 mililitros 250 b) 1000 c) 500
1 corresponde a 16 3 3 corresponde a 3 16 48 48 cocos 3 6 corresponde a 24 6 1 corresponde a 24 6 4 4 faltas 6 Compareceram: 24 4 20 20 candidatos
5. 3 corresponde a 42 a) 3 1 corresponde a 42 3 14 14 alunos 3
33
b) 42 14 28 28 alunos 6.
1 corresponde a 75 6 6 corresponde a 6 75 450 6 N 450 brinquedos
7. Primeiro colocado:
2 corresponde a 600 2 1 corresponde a 600 2 300 300 reais 2
11.
3 corresponde a 9 8 1 corresponde a 9 3 3 8 8 corresponde a 8 3 24 24 alunos 8 2 corresponde a 12 000 7 1 corresponde a 12 000 2 6 000 7
7 corresponde a 7 6 000 42 000 7 42 000 pessoas
Segundo colocado: 3 corresponde a 600 3 1 corresponde a 600 3 200 200 reais 3
12.
5 corresponde a 120 8
Terceiro colocado:
1 corresponde a 120 5 24 8
600 (300 200)
600 500 100 100 reais
8 corresponde a 8 24 192 192 8 candidatos
8. 1a redução: 2 corresponde a 2 048 e 1 024 2 1 corresponde a 2 048 2 = 1 024 e 2 1 024 2 512
9.
34
10.
2a redução: 2 corresponde a 1 024 e 512 2 1 corresponde a 1 024 2 512 e 2 512 2 256 3a redução: 2 corresponde a 512 e 256 2 1 corresponde a 512 2 256 e 2 256 2 128
13.
a)
2 corresponde a 18 2
1 corresponde a 18 2 9 9 2 quadradinhos
b)
3 corresponde a 18 3 1 corresponde a 18 3 6 3
2 corresponde a 2 6 12 12 3 quadradinhos
c)
6 corresponde a 18 6 1 corresponde a 18 6 3 6
5 corresponde a 5 3 15 15 6 quadradinhos
d)
9 corresponde a 18 9 1 corresponde a 18 9 2 9 4 corresponde a 4 2 8 8 9 quadradinhos
Então, n é 3. 4 corresponde a 2 400 000 4 1 corresponde a 2 400 000 4 600 000 4 3 corresponde a 3 600 000 1 800 000 4 1 800 000 reais
10 corresponde a 30 10 1 corresponde a 30 10 3 10 7 corresponde 7 3 21 10
14.
Faltaram: 30 − 21 = 9 → 9 dias 15. 1a loja: 4 corresponde a 300 4 1 corresponde a 300 4 75 4 Gastou: 75 2 77 2a loja e 3a loja: Gastou: 77 Restam: 300 3 77 300 231 69 69 reais
22 – Comparando números fracionários Explorando, páginas 175 e 176. 1. 1 2 3 4 5 a) ; ; ; ; 5 5 5 5 5 b)
1 2 3 4 5 5 5 5 5 5
2. 1 1 1 1 1 1 1 a) 10 8 6 5 4 3 2 2 1 b) 2 partes; 4 2 6 3 c) 6 partes; 10 5 4 8 d) 8 partes; 4 8 3.
1 2 3 4 5 2 4 6 8 10
2. Sim. 3. O metrô. 4. 1 1 a) (V) 3 6 2 1 6 6 1 2 b) (V) 3 6 2 2 6 6 1 3 c) (V) 3 6 2 3 6 6 2 1 d) (F) 3 3 2 3 (F) e) 3 3 1 2 f) (V) 5 10 2 2 10 10 2 3 (F) g) 3 6 4 3 6 6 2 2 h) (V) 3 6 4 2 6 6
23 – Obtendo frações equivalentes Exercícios, página 179. 1.
Exercícios, página 177. 1. a) 2, 3 e 4. b) Os dois comeram a mesma quantidade. 1 1 c) Sara: ; Lara: 4 8 d) • 3; 5 • 2; 3
3
2
2 6 16 8 a) e d) e 7 21 10 5 3 (sim) 2 (sim) 3
b)
4
5 15 8 2 e e) e 9 18 4 1 2 (não) 4 (sim) 7
3
3 21 15 5 c) e f) e 10 70 12 2 7 (sim) 6 (não)
35
2.
3
a)
5 9
7 x 21 e) então: x 21 7 x 3 7 49
5
15
27
c)
5 8
3
25
40
37
5
4
11 3
b)
3.
44
4
3
3 9 g) então: x 15 3 x 5 x 15
4. 10 1 10 2 20 10
então: a 5 4 a 20
3
5
x 5 h) então: x 5 5 x = 1 4 20
5 25 4 20 5
Exercícios, páginas 180 e 181.
3 12 5 20
1.
4
2
9 18 10 20
4
3
6. 2
7 14 então: x 9 2 x 18 9 x 2
a)
3
3 9 então: x 11 3 x 33 11 x 3 1 x então: x 1 4 x 4 8 32
4
7
7 x d) então: x 7 7 x 49 2 14
2.
2
2 1 10 5
4
2
2
5 irredutível 6
10 5 8 4
5
1 irredutível 3
2 5
20 25
a)
b)
20 4 25 5 5
15 3 3. 20 4
5
4.
a)
105 calculando o m.d.c. (105, 63), temos: 63 105, 35, 35, 7, 1,
63 21 7 7 1
3 fator comum 3 5 7 fator comum
m.d.c. (105, 63) 3 7 21 21
105 5 63 3
7
36
4
4 1 12 3
4
c)
3 irredutível 7
2
5. 7 a) A maior é . 8 3 b) 4 5 20 7 21 6 24 8 24
5
4
5
5 30 então: x 8 6 x 48 8 x 6
4
b)
f)
4
6
12
5 a 9 36
21
tarde: 6 40 240 240 alunos
b) m.d.c. (63, 105) = 21
21
63 3 105 5
21
m.d.c. (240, 300) 60
240 4 300 5
5.
5
5 1 1 a) h 60 12 12
5
b)
60 30 15 5 1
2 2 3 fator comum 5 fator comum
m.d.c. (15, 60) 3 5 15 15 1 15 1 h 4 60 4
15
30 c) m.d.c. (30, 60) 30 60
30
b) 8 4 10 22 22 meninos 2 22 11 40 20 2 c) 40 22 18 18 meninas 2 18 9 40 20 2 d) 4 12 16 8
m.d.c. (16, 40) 8
16 2 40 5 8 4
e)
4 1 12 3 4
10 m.d.c. (10, 60) 10 60
d)
10
10 1 1 h 60 6 6
10
45 m.d.c. (45, 60) 15 60 15
e)
45 3 3 h 60 4 4
15
60 f) 60
60
7. a) 8 5 4 12 10 1 40 40 alunos
30
30 1 1 h 60 2 2
15 60 m.d.c. (15, 60) 15, 15, 15, 5, 1,
60
60
60 1 60 1
→1h
60
6. manhã: 10 30 300 300 alunos
Brasil real, páginas 181 e 182. 1. a) Itália: 8 medalhas b) 6 medalhas. 6 3 c) 8 4 6 d) ; essa fração não pode ser 17 simplificada. 2. a) 52a quinquagésima segunda; 16a décima sexta 5 1 b) ou 285 57 c) Estados Unidos, China, Rússia e Austrália d) 35 32 27 17 111 111 medalhas
37
e)
6 2 12 g 3 6 g 18 3 g
111 m.d.c. (111, 285) 3 285 3
111 37 285 95 7 44 f) ; essa fração não pode ser 285 simplificada.
6
24 – Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador Exercícios, página 184.
Desafio!, página 183. a 54
12 g
*
24 e d 24
c 12
Editoria de arte
36 b
f 60
60 90
m.d.c. (60, 90) 30 30 60 2 2 2 ∗ → ∗ 90 3 3 3 30 18 2 a → a 2 18 a 36 3 54 18
2
1 2 2 4
2
2 1 e 4 4
b)
m.m.c. (2, 4) 4
1 1 , 6 8 4 1 4 6 24 4 4 3 , 24 24
m.m.c. (6, 8) 24 3
1 3 8 24 3
18 2 36 b 3 18 b 54 3 b
3 5 7 , , m.m.c. (8, 6, 12) = 24 8 6 12 3 4 2 3 9 5 20 7 14 8 24 6 24 12 24 3 4 2 9 20 14 , , 24 24 24
18 4
d)
2 c c24c8 3 12 4 8 2 d d 2 8 d 16 3 24 8 12 2 24 e 3 12 e 36 3 e 12 20 2 f f 2 20 f 40 3 60 20
38
1 1 e a) 2 4
c)
3 5 2 1 , , , m.m.c. (4, 18, 9, 6) 36 4 18 9 6 9 2 4 6 3 27 4 36 9
5 10 18 36 2
2 8 1 6 9 36 6 36 4
6
27 10 8 6 , , , 36 36 36 36
3 2 9 11 e) , , , m.m.c. (7, 5, 14, 10) 70 7 5 14 10 14 5 7 10
3 30 2 28 9 45 7 70 5 70 14 70 10
14
30 28 45 77 , , , 70 70 70 70
5
11 77 10 70 7
f)
7 14 9 11 , , , 20 15 10 30 m.m.c. (20, 15, 10, 30) 60 4 6 3
3
6
2
21 56 54 22 , , , 60 60 60 60 Chegou a sua vez!, página 185.
4
1 2 1 4 5 5 8 13 1 20 20 20
2
7 21 14 56 9 54 11 22 20 60 15 60 10 60 30 60
6.
7. 5 a) 9
10 5 6 3
Exercícios, páginas 190 e 191.
b)
a)
8 5 b) 9 8
c) 0
d)
1 2 e) 2 15
4. 6 1 6 2 4 a) 12 6 12 12 12 Editoria de arte
6 12
����� 1 � 2 6 12
4 12
3 1 3 2 5 1 1 8 4 8 8 8 ������ 3
2
8 8 ����� 5 8
Editoria de arte
b)
������
5. 2 1 1 3 4 8 3 11 1 12 12 12
3 5 1 1 4 6 2 9 10 6 1 12 12 12 19 6 13 12 12 12
5 1 1 6 2 3 5 3 2 6 6 6 2 2 0 6 6
1 1 5 3 1 m.m.c. (2, 3, 6, 4) 12 2 3 6 4 6 4 10 9 1 12 12 12 12 2 10 9 1 12 12 12 12 9 3 12 12 12 :3 3 1 12 4 3
c)
m.m.c. (6, 2, 3) 6
d)
9. 1 1 1 1 2 10 1 5 1 1 10 10 1
m.m.c. (3, 4) 12
m.m.c. (4, 6, 2) 12
7 5 2 7 7 7
3.
2
b)
25 – Adição e subtração
2. 7 3 4 a) 9 9 9
4 9
2
5 6 11 b) 1 12 12 12
b)
8. 1 1 5 1 1 a) m.m.c. (2, 3, 6) 6 2 3 6 3 2 5 10 6 1 6 1 6 6
5 1 Azul: (livros); cor-de-rosa: (DVDs); 8 4 1 amarelo: (CDs) 8
1. 3 3 6 a) 1 7 7 7
m.m.c. (4, 5) 20
m.m.c. (10, 2) 10
6 10 6 4 10 10 10 10
2
4 2 10 5
2
39
10. Sim.
1 4
1
1 b
5
1 1
5 1
a
1 2
2 4
1 5 4
5
5 1
c
Editoria de arte
Desafio!, página 191.
5
1 5 2 5 7 1 ⇒d5 1 ⇒d5 2 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1a 5 ⇒ a 5 ⇒ a5 ⇒ a5 4 2 2 4 4 4 4 2 5 5 2 3 b1 5 ⇒ b5 ⇒ b5 4 4 4 4 4 7 7 7 4 3 1 1c 5 ⇒ c 5 1 ⇒ c 5 ⇒c5 4 4 4 4 4
26 – A forma mista Exercícios, página 194. 1. a)
3. 1 1 6 1 7 1 51 1 5 1 5 6 6 6 6 6 7 13 35 26 9 3 5 5 5 6 15 30 30 30 10
d
5
d5
21 1 54 5 5
2 3 2 15 2 17 51 5 1 5 3 3 3 3 7 d) 1 10 7 10 7 17 11 5 1 5 10 10 10 10 c) 5
4. 1 1 15 1 12 5 2 3 1 1 5 15 1 1 12 1 5 2 3 1 1 5 27 1 1 5 2 3 3 2 5 27 1 1 5 6 6 5 5 5 5 27 1 5 27 → 27 quilômetros 6 6 6 5. 4 2 7 1 11 1 5 5 3 10 4 2 7 51 1 11 1 1 5 5 3 10 30 24 30 20 21 5 1 1 1 1 5 30 30 30 30 30 5
17 2 55 3 3
Brasil real, página 195. 1 3 3 1 1 3 2 2 1 4 4 4 2 2 1 1 3 , e b) 2 3 4 c) Elas são iguais. 1 d) No bolo de rolo; 4 . 4 e) A maior soma é a do bolo de rolo. a) 4
c)
Editoria de arte
b)
3
3 10
d) 15 1 57 2 2 2.
40
125 25 5 30 6
1 a) 5 4 1 20 1 21 51 5 1 5 4 4 4 4 1 b) 10 3 1 30 1 31 10 1 5 1 5 3 3 3 3
Cuca de manteiga
1 1 3 3 1 13 1 5 3 2 4 4 5
1 1 3 3 1 131 1 5 3 2 4 4
5
4 6 36 9 9 1 1 1 1 5 12 12 12 12 12
5
64 16 1 5 55 12 3 3
Exercícios, página 201.
Bolo de rolo 1 3 1 4 12 12 4 4 2 41
1.
9 1
2 1
2
3
4
5
6
3
6
9
12
15
18
1 1 9 2 2
1 1 9 5 2 3
2.
g) Resposta em aberto.
2. Resposta em aberto.
Desafio!, página 196.
27 – Multiplicação Explorando, página 197. 1 5 → 2,5 quilos ou dois quilos e 2 2 meio
a) 5
b) 8 3 2,5 5 20 → 20 reais 2. a) 6 metades de maçã b) 5 metades de maçã 5 1 ou 2 2 2
4
5
6
2
3
4
5
6
4
6
8
10
12
3
6
9
12
15
18
8
12
16
20
24
5
10
15
20
25
30
6
12
18
24
30
36
3 12 5 5 4 8 b) 2 9 9 1 1 c) 5 10 2 a) 4
5 12 10 6 1 e) 10 5 2 2 22 11 f) 3 3 d)
1
3 2 1 3. 4 2 3 2 1 4. 1 1 1 4 4 9 4 1 a) e) 3 7 21 10 8 45
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , 1. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Editoria de arte
7 cheios + 7 pela metade → 1 1 em 10 ; 3 2 2 cada bandeja ou
3
4
1
Chegou a sua vez!, página 196.
c)
1
4 1 8 1 1 4 2
f) Resposta em aberto.
2
1 3 1 12 1 12 1 4 4 2
1.
Fração irredutível
7 3 21 b) 8 2 16
1
1
f)
2
5
1
1
5 5
2 2
4 9 1 10 8 45
3 5 1 c) g) 45 8 10 5 3 9 4 9 1 3 1 1 2 5 1 2 11 11 8 45 d) h) 10 7 7 4 2 9 1 1 1 2 2 5. 10 4 → 4 quilogramas quilogramas 5 1
6.
7.
1 1 2 2 2 3 5 15 3 3 ou 3 → 3 de xícara de chá 2 2 4 4 4 1
1 5 8 2
1
4 1 5 2 1
d) 3; 5 ou 2 1 2 2
8. 1 12 5 4
e) 5 amigas
3
12
21 63 quilômetros 63 → 63 4
1
41
28 – Divisão Explorando, página 202. 1.
1 4 7 11 1 1 • 4 1 11 7 5 4 13 10 1 1 • • 4 5 10 13 a) 1 b) Os dois fatores são frações nas quais o numerador de uma é igual ao denominador da outra, e vice-versa. •
2. a) 2 vezes
b) 3 vezes
c) 4 vezes
3. a) 2 vezes
b) 4 vezes
c) 6 vezes
Exercícios, páginas 205 e 206. 1. 2.
7 4 , inverso de 4 7 4 15
3. 1 4 a) 5 5 20 4 1 1 2 b) 7 7 14 2 1 1 1 1 1 c) 5 4 4 5 20 1 1 1 1 d) 7 2 2 7 14 5 5 1 5 e) 2 8 8 2 16 1 7 7 1 1 f) 14 10 10 20 14
7. 1 1 10 1 11 1 5 51 2 2 2 2 2 1 11 1 11 2 11 � 11 aventais 2 2 1 2 1 8. 1 1 12 1 13 1 a) 6 6 1 2 2 2 2 2 1 13 1 13 2 13 2 2 1 2 1 1 2 b) 10 10 20 2 1 9. 1 2 1 3 3 a) 4 3 4 2 8 1 4 1 7 7 b) 5 7 5 4 20 1 1 5 5 5 3 1 c) 6 3 5 2 6 2 1 1 7 1 7 4 7 d) 8 4 1 2 8 2 2 1 3 9 3 10 2 e) 5 10 5 3 9 1 3 3 1 1 1 30 3 f) 40 30 1 4 40 4 10.
2
11 4 g) 1 1 4 11 4 11 1 h) 1 11 4 5 9 i) 0 0 0 9 5
2 1 2 26 5. 3 6 3 1 4 � 4 copos 1
155
1
12.
a) b)
1 5 5 2 8 4
b)
1
2 5 1 1 3 4 2
3
1
4
10 9 15 10 8 4 3 8 3 9 4 1 4 4 5 1 5 5 1 1
1
2
1
1 1 0 2 2
1 2 4 8 → 8 pa cot es 2 1 5
1
1 5 4 2 5 8
2
5 1 1 6 2 5 3 1 8 4 6 6 6 3 11. 4
3 4 465 620 � 620 620 pacotes 4 3
2 4 1 1 3 5 2
4 11 11 4
1 5 4. 4 4 20 → 20 xícaras 5 1
6. 465
42
a)
Brasil real, página 210. 1 7 7 1 1 c) 6 1 6 6 7
a) Quantidade de transplantes 1 000
Desafio!, página 206.
928
900
Sandra: 20 anos 1 20 Virgínia: 20 10 2 1 20 20 10
800
20 2 18 18 anos
200
792
700 600 500 400
361
1
Editoria de arte
300
100
Maria: 2 18 2 18 36 36 anos Eu: 9
3 36 27 27 anos 4
1999
2003
29 – As frações e a porcentagem
Ano
1 928 232 25% de 928 4 em 2006: 928 232 1 160 1 160 transplantes 61% de 6 200 61 1% de 6 200
61 62 3782 6 200 3 782 2 418 2 418 pacientes
232
1
2004
b) c)
6 200 100 62
30 – Resolução de problemas
Exercícios, páginas 209 e 210. Exercícios, páginas 215 e 216.
1. 8 100 19 b) 19% 100 2. 50%
a) 8%
43 100 120 d) 120% 100 c) 43%
3. setor A
1. 1 a) 24 000 000 3 000 000 3 milhões 8 de reais 4 800 000 3 b) 24 000 000 14 400 000 5 14 400 000 reais
4. Alternativa a.
c) 24 000 000 (3 000 000 14 400 000) 24 000 000 17 400 000 6 600 000 6 600 000 reais
5. Alternativa d. 6. a) 6% de 35 000 6 1% de 35 000
2.
35 000 100 350 6% de 35 000 6 350 2 100 2 100 eleitores b) 35 000 2 100 32 900 32 900 eleitores
7. 1 650 pessoas
3.
8. 9 250 reais
9. a) 2; 25%
b) 4; 50%
c) 75%;
6 3 ou 8 4
1 2 1 III 7 6 3 1 3 1 II IV 4 12 4 Frações equivalentes: II e IV I
1 2 7 6 13 1 1 3 7 21 21 21 21 13 8 21 21 21
43
4.
70
560
4 1 40 1 2 2 40 5 2 8 2 16 16 latas 40 5
3 210 8 1
560 210 770 770 alunos 5.
3 30 000 56 1 30 000 3 10 000 56 56 56 10 000 560 000 56 560 000 habitantes
6. 3 1 15 4 11 4 5 20 20 20 11 44 20 1 44 11 4 20 20 20 4 80 80 litros 20 7. 2 1 8 5 13 1 1 5 4 20 20 20 13 65 20 1 6513 5 20 20 20 5 100 100 quilômetros 20 (comprimento da estrada) 100 65 35 35 quilômetros (faltam duplicar) 8. 8 5 3 a) 8 8 8 5 25 b) 8 1 255 5 8 3 3 5 15 15 litros 8 c)
44
1 5 8 8 8 5 40 40 litros 8
1 2 1 40 2 1 2
d) 40 2
8 40 21 1 40 8 5 21 21 21 5 105 105 reais 21
1
9.
2 1 8 5 1 1 5 4 20 20 20 13 7 7 20 20 20 20 7 1 400 20 1 1 400 7 200 20
13 13 (quanto 20 20 foi vendido da peça) (o que sobra da peça)
20 20 200 4 000 R$ 4 000, 00 (preço 20 de toda a peça) 4 000 5 800 800 metros
10. 180
a) 3600
1 180 180 eleitores 20 deixaram de votar 1
b) 3 600 180 3 420 3 420 eleitores votaram 171 1 171 171 eleitores 3 420 20 1 votaram em branco 285
1 285 285 eleitores c) 3 420 12 anularam o voto 1
684 3 d) 3 420 2 052 2 052 votos para o 5 candidato vencedor 1
3 420 (2 052 285 171) 3 420 2 508 912 912 votos para o candidato que perdeu
e) 2 052 912 1 140 1 140 votos 200
11. 800
1 200 R$ 200,00 (metade do 4 meu salário)
1 2 200 400 R$ 400,00 (meu salário)
12. 3 a) 1o dia: 5 5 3 2 (percurso que falta) 5 5 5 2o dia: 2 2 4 3 5 15 3 4 9 4 13 13 (fração 1 1 → 5 15 15 15 15 15 do percurso rodado nestes dois dias) b)
2 600 15 1 600 2 300 15 15 500 quilômetros 15 300 4 500 �44 500 15 (percurso total) 13. a) Estado A 2 400 000 4 = 9600000 9 600 000 12 000 000 5 toneladas 1 Estado B 3200 000 2 6 400 000 6 400 000 9 600 000 3 toneladas 1
Produção do estado A 9 600 000 toneladas
Produção do estado B 6 400 000 toneladas
O estado A produz mais trigo.
b) 9 600 000 6 400 000 3 200 000 O estado A produz 3 200 000 toneladas a mais que o estado B.
240
3 180 180 meninas 4 1
120
240
1 120 120 (número de meninas 2 pensado pelo gerente) 1
180 120 60 60 meninas não ganharão brinde
Chegou a sua vez!, página 217. 1. Alternativa b. 2. Resposta em aberto.
Retomando o que aprendeu, páginas 217 e 218. 1. 1 15 33 3 1 15 33 1 3 99 1 15 1 3 3 15 2.
100 500 500 rotações 3
:12
12 1 60 5 :12 3. Alternativa d. 13
1 13 13 cartas entregues 5 1 no 1o andar 65 13 52 52 cartas 65
14.
60
15 13 2 2 → (fração do 15 15 15 15 percurso que ainda falta para completar a viagem)
c)
15.
14 9 5 5 (fração dos alunos → 14 14 14 14 que obtiveram notas maiores que 6,0) 5 300 14 1 300 5 60 14 14 14 60 840 840 alunos 14 participaram da olimpíada
4. Alternativa d.
60
420
5 300→ 300 candidatos rejeitados 7 1
420 300 120 → 120 candidatos aceitos
45
Fábrica C: 170 (51 102) = 170 153 17 17 kg
5. Alternativa c. 1 parte pintada 5
9. 1o termo 1
20
1 20 20% 5 100
1 metade do 1o termo 2 1 1 1 1 3o termo 2 metade do 4 2 2 2 2o termo 2o termo
20
1 19 1 1 1 1 6. 2 7 2 6 19 14
O segredo desta sequência é: O termo seguinte é igual à metade do termo anterior.
3 1 1 1 6 6
1 1 1 1 2 4 4 2 8 1 1 1 1 5o termo 2 8 8 2 16 1 1 1 1 2 6o termo 16 16 2 32 4o termo
19 2 1 1 14 6
7
57 14 71 1 1 1 5 →5 está entre 14 14 14 14 14 os números naturais 5 e 6.
7. Alternativa a. 3 1 9 5 14 1 1 5 3 15 15 15 15 14 1 1 → fração que representa 15 15 15 15 o número de jogos que perdeu 1 2 15 15 15 2 30 → 30 (total de jogos do 15 torneio) 3 30 18 18 jogos vencidos 5 1 30 10 10 jogos empatados 3 18 3 1 10 1 54 1 10 64 64 (total de pontos da equipe) 8. Alternativa c. Fábrica A:
17 3 170 51 51 kg 10
1
Fábrica B: Dobro de 51 102 102 kg
46
A soma do 5o e do 6o termos é:
57 11 14
1 1 2 1 3 1 1 16 32 32 32 32 10. Alternativa d. 100 (45 20) 100 65 35 35 bolas amarelas 35 porcentagem de bolas amarelas 100 11. Alternativa d.
Editoria de arte
3
19 6 11 2 14
25%
25 1 100 4
=
3 16
6 3 16 8
3 1 16
4 1 16 4
A forma decimal dos números racionais 31 – Trocando dinheiro Exercícios, página 223. 1. água: trinta e cinco reais e trinta e nove centavos; luz: sessenta e cinco reais e trinta e seis centavos. 2. a) R$ 9,04
b) R$ 6,23
c) R$ 29,37
d) R$ 57,28
e) R$ 128,09
3. Resposta em aberto. 4. a) 3 3 0,10 5 0,30; 6 3 0,05 5 0,30; 1 3 0,25 1 1 3 0,05 5 0,30 b) 35 centavos; qualquer produto, menos o cappuccino; posso adquirir, também, leite e carioca ou dois cariocas (sobrando ainda 5 centavos) etc. Brasil real, página 224. 1. Resposta em aberto. 2. a) R$ 0,04; quatro centavos b) R$ 0,32; trinta e dois centavos c) R$ 0,47; quarenta e sete centavos
d) R$ 1, 25; um real e vinte e cinco centavos e) R$ 0,05; cinco centavos f) R$ 13,50; treze reais e cinquenta centavos
3. Resposta em aberto. 4. R$ 930,00; resposta em aberto.
32 – Representação decimal Explorando, página 225. 1 . 10
Uma placa representa a décima parte ou
Uma barra representa a centésima parte ou
1 . 100 1 Um cubinho representa a milésima parte ou . 1000 Exercícios, páginas 230 e 231.
1.
415 5 400 10 5 1 5 5 400 1 10 1 5 1 1 541 1 5 4,15 100 100 100 100 100 10 100 4 inteiros 1 décimo 5 centésimos
47
2.
a)
b)
d)
5 inteiros
2 décimos
52 50 1 2 50 2 5 2 5 5 1 5 1 5 0, 52 100 100 100 100 10 100
c)
52 50 1 2 50 2 2 5 5 1 551 5 5, 2 10 10 10 10 10
5 décimos
2 centésimos
77 7 70 7 7 5 70 1 5 1 571 5 7, 7 10 10 10 10 10 7 inteiros
7 décimos
77 70 1 7 70 7 7 7 5 5 1 5 1 5 0, 77 100 100 100 100 10 100
e)
7 5 0, 7 10 7 5 0, 07 f) 100
7 décimos
7 centésimos
3. 3 3 10 3 13 51 1 5 1 5 a) 1, 3 5 1 10 10 10 10 10 13 b) 100 13 c) 1 000 2 2 4 000 2 4 002 d) 4, 002 5 4 541 5 1 5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 85 e) 1 000 3 f) 10 47 47 200 47 247 521 5 1 5 g) 2, 47 5 2 100 100 100 100 100 135 h) 1 000 4. a) Um real e dezenove centavos. b) Cinco reais e vinte e nove centavos. c) Sete reais e quarenta e seis centavos. 5. a)
8 5 0, 8 10 ;2
22 11 5 6. a) 2, 2 5 10 5 ;2 ;4 44 11 5 b) 0, 44 5 100 25 ;4
48
b)
42 5 0, 42 100
d) Três reais e cinquenta e quatro centavos. e) Sessenta e seis centavos.
c)
225 5 2, 25 100
d)
406 5 4, 06 100
;25
25 1 5 c) 0, 25 5 100 4 ;25 ;2 4 20 4 24 12 5 1 5 5 d) 2, 4 5 2 10 10 10 10 5 ;2
;50
e) 2, 50 5 2
50 50 200 50 250 5 521 5 1 5 5 100 100 100 100 100 2
;50
;2
6 6 60 6 66 33 f) 6, 6 5 6 561 5 1 5 5 10 10 10 10 10 5 ;2
7. a) 0,35 trinta e cinco centésimos b) 18,427 dezoito inteiros e quatrocentos e vinte e sete milésimos c) 0,004 quatro milésimos d) 5,9 cinco inteiros e nove décimos 8.
350
e) f) g) h)
3,6 e 3,601 3,6 3,601, pois 3,6 5 3,600 e 600 601 0,95 5 0,9500 1,37 e 1,037 1,37 1,037, pois 1,37 5 1,370 e 370 37 0,064 e 0,12 0,064 0,12, pois 0,12 5 0,120 e 64 120
7. a) entre 0 e 0,5: 0,016; 0,405; 0,057 b) entre 0,5 e 1: 0,98; 0,71 c) entre 1 e 1,5: 1,02; 1,1
1 50 5 5 0, 50 2 100 350
33 – Propriedade geral dos números decimais
8. Caixa B, pois: 4,5 4,28 4,5 5 4,50 e 50 28 9. O portão da frente, pois: 4,3 4,18 4,3 = = 4,30 e 30 18
Exercícios, páginas 232 e 233. Brasil real, página 233.
1. As duas, porque 1,50 5 1,5. 2. 2,03; 2,030; 2,0300 3. a) 0,07000 e 0,07 5 b) 6 e 6,000 5 c) 0,015 e 0,150
d) 9,32 e 9,3200 5 e) 2,025 e 2,25 f) 9 e 9,00 5
4. 5,010 5 5,01 5 5,0100 5 5,01000 5. a) b) c) d) 6. a) b) c) d)
3,7; 7,01; 3,016; 10,01; 1,0004 0,605; 0,28; 0,095 0,605 0,095 9,4 e 4,9 9,4 4,9, pois 9 4 7 e 7,1 7 7,1, pois 7 5 7,0 e 0 1 4,230 5 4,23 2,081 e 2,0095 2,081 2,0095, pois 2,081 5 2,0810 e 810 95
1. a) b)
Não, pois apesar do aumento do número de habitantes da Grande Rio, esse número ainda não ultrapassa a marca que a região da Grande São Paulo tinha em 2000. 23,2 milhões 21,1 milhões 20,4 milhões 17,8 milhões 11,9 milhões 10,6 milhões c) Resposta em aberto. Tratando a informação, página 234. a) 2005 b) 33,220 milhões 33,644 milhões 33,818 milhões 34,649 milhões 35,139 milhões c) Resposta em aberto. d) 1980: 25 inteiros e 23 milésimos; 1990: 28 inteiros, seiscentos e vinte e oito milésimos; década: série de 10; decênio, período de 10 anos.
49
Exercícios, páginas 236 e 237. 1.
amarelo: d 5 a 1 b 5 9,7 1 6,3 5 16 e 5 b 1 c 5 6,3 1 8,1 5 14,4 azul: f 5 d 1 e 5 16 1 14,4 5 30,4
a) 16,9 1 7,6 5 24,5 16,9 1 7,6 24,5 b) 35,2 2 9,8 5 25,4 35,2 2 9,8 25,4 c) 0,85 1 1,376 5 2,226 0,850 11,376 2,226 d) 25 2 18,25 5 6,75 25,00 218,25 6,75 e) 2,33 1 2,033 1 2,666 5 7,029 2,330 2,033 12,666 7,029 f) 15 2 9,85 1 3,275 5 5 5,15 1 3,275 5 8,425 15,00 2 9,85 5,15
5,150 13,275 8,425
2.
0,381 10,589 0,970 menor, pois 0,970 1 0 1
3.
3,000 21,899 1,101
4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Ex.: 6,1 5 3,4 1 2,7 verde: a 5 6,1 1 3,6 5 9,7
50
b 5 3,6 1 2,7 5 6,3 c 5 2,7 1 5,4 5 8,1
f d a 6,1 3,4
e b
c
3,6 2,7
2,7 0,9
5,4 1,8
3,6
Editoria de arte
34 – Adição e subtração de números decimais
5. a) Equipe B; 0,716 0,698, pois 716 698 b) 0,716 2 0,698 5 0,018 0,716 20,698 0,018 6. 7,4 2 4,78 5 2,62 2,62 m 7,40 24,78 2,62 7. 2,5 − 1,35 5 5 1,15 1,15 m 2,50 21,35 1,15 8. Comprimento: 0,25 1 1,70 1 0,15 1 3,80 1 1 0,15 1 4,10 1 0,25 5 10,40 10,40 m 0,25 1,70 0,15 3,80 ou 0,15 4,10 1 0,25 10,40 Largura: 0,25 1 3,80 1 0,15 1 4,50 1 0,25 5 5 8,95 8,95 m 0,25 3,80 0,15 4,50 10,25 8,95
9.
a) 1,4 1 5 10 5 10 2 1,4 5 8,6
10,0 2 1,4 8,6
b) 80,75 1 5 100 5 100 2 80,75 5 19,25 c) 345,27 1 5 1 000 5 1 000 2 345,27 5 654,73
100,00 2 80,75 19,25
Desafio!, página 237. Soma 5 1,6 1 2,1 1 1,4 5 5,1 A 5 5,1 2 (2,1 1 1,3) A 5 5,1 2 3,4 A 5 1,7 B 5 5,1 2 (1,5 1 A) B 5 5,1 2 (1,5 1 1,7) B 5 5,1 2 3,2 B 5 1,9 C 5 5,1 2 (1,6 1 1,5) C 5 5,1 2 3,1 C 5 2,0 D 5 5,1 2 ( C 1 1,3) D 5 5,1 2 ( 2,0 1 1,3) D 5 5,1 2 3,3 D 5 1,8 Brasil real, página 238. a) b) c) d)
1950 2 1960 1920 2 1940 2,99 2 1,50 5 1,49 Verdadeira.
a) b) c) d)
18 a 39 anos 36,4 2 35,3 5 1,1 1,1% 22,1 2 17,8 5 4,3 4,3% 20,8 2 16,7 5 4,1 4,1%
2.
Exercícios, páginas 241 e 242. 1. 108 108 5 5 10,8 10 100 572 572 5 5 57,2 b) 100 3 0,572 5 100 3 10 1000 92 92 5 5 9,2 c) 10 3 0,92 5 10 3 10 100 29 29 d) 1000 3 0, 0029 5 1 000 3 5 5 2,9 10 10 000 a) 10 3 1, 08 5 10 3
1000,00 2 345,27 654,73
10. x 5 (51,7 1 8,36) 2 (16,125 1 7,88) x 5 60,06 2 24,005 x 5 36,055 51,70 16,125 60,060 1 8,36 1 7,880 224,005 60,06 24,005 36,055
1.
35 – Multiplicação de números decimais
2. 22,5 cm 5 0,225 m 0,225 3 1 000 5 225 225 m 3. a) 5 3 9, 5 95 5 3 95 475 5 3 10 5 10 5 10 5 47, 5 b) 7 3 1, 25 125 7 3 125 875 7 3 100 5 100 5 100 5 8, 75 c) 12 3 8,3 8,3 12 166 1830 9 9,6 3
d) 25 3 0,64 0,64 3 25 320 1 1280 16,00 e) 3 3 0,989 0,989 33 2,967 f) 7,2 3 4,8 7, 2 34, 8 576 12 8 8 0 3 4, 5 6 g) 0,9 3 10,5 1 0 , 5 3 0 , 9 9, 4 5
51
A 1 B 5 1,542 1 3,075 A 1 B 5 4,617
h) 7,25 3 0,6 7, 2 5 3 0, 6 4, 3 5 0
257 30, 0 0 6 1, 5 4 2
i) 9,9 3 5,5
a) 9,05 2 2,5 3 2,5 5 5 9,05 2 6,25 5 2,80 2, 5 9, 0 5 32, 5 26, 2 5 1 2 5 2, 8 0 5 0 0 6, 2 5 b) (6 2 1,07) 3 3,1 5 5 4,93 3 3,1 5 5 15,283
j) 0,96 3 0,5 0,9 6 3 0,5 0, 4 8 0 4. a) 0,7 3 0,9 3 3,5 5 5 0,63 3 3,5 5 5 2,205 0, 7 0, 6 3 3 0, 9 33, 5 0, 6 3 315 1890 2, 2 0 5 b) 14,2 3 0,4 3 2,5 5 = 5,68 3 2,5 = = 14,2 5, 6 8 3 2, 5 2840 11 1 3 6 0 1 4, 2 0 0
c) 3,21 3 0,9 3 1,07 5 = 2,889 3 1,07 = = 3,09123 3, 2 1 3 0, 9 2, 8 8 9
2, 8 8 9 3 1, 0 7 20223 12 8 8 9 0 0 3, 0 9 1 2 3
d) 1,7 3 3 3 5,29 5 5 5,1 3 5,29 5 5 26,979 1, 7 33 5, 1
5, 2 9 3 5, 1 529 12 6 4 5 0 2 6, 9 7 9
5. A 5 257 3 0,006 e B 5 3 3 1,025 A 1 B 5 (257 3 0,006) 1 (3 3 1,025)
52
1, 5 4 2 13, 0 7 5 4, 6 1 7
6.
9,9 3 5,5 495 14 9 5 0 54,4 5
1 4, 2 3 0, 4 5,6 8
1, 0 2 5 33 3, 0 7 5
6, 0 0 21, 0 7 4, 9 3
4, 9 3 33, 1 493 11 4 7 9 0 1 5, 2 8 3
7. 4 3 22,6 1 8 3 13,8 5 5 90,4 + 110,9 5 5 200,8 200,8 cm 2 2, 6 34 9 0, 4
1 3, 8 38 1 1 0, 4
1
1 1 0, 4 9 0, 4 2 0 0, 8
8. 3,8 × 31 5 5 117,8 117,8 h 3, 8 33 1 38 11 1 4 0 1 1 7, 8 9. 12 3 (199 3 3,3 2 651) 5 5 12 3 (656,7 2 651) 5 5 12 3 5,7 5 5 68,4 68,4 anos 199 3 3, 3 597 1 5 9 7 0 6 5 6, 7 10. a) b) c) d) e)
6 5 6, 7 2 6 5 1, 0 5, 7
5, 7 31 2 114 15 7 0 6 8, 4
Estimativa: 30; valor exato: 30,6. Estimativa: 150; valor exato: 148,5. Estimativa: 63; valor exato: 63,9. Estimativa: 56; valor exato: 55,3. Estimativa: 72; valor exato: 73,08.
Brasil real, páginas 242 a 244. 1. a) Verdadeira, pois: 3,5 3 145,4 5 508,9 . . 509 1 4 5, 4 3, 5 7270 4 3 6 2 0 5 0 8, 9 0
b) (138,1 3 4) 2 509 5 5 552,4 2 509 5 43,4 43,4 m 5 5 2, 4 2 5 0 9, 0 4 3, 4
d) 5 006 ; 1 000 5 5,006 É o mesmo que multiplicar por 0,001. A vírgula é deslocada três casas para a esquerda. e) 5,7 ; 10 5 0,57
c) 160 1 138,1 5 298,1 2 3 140,8 5 281,6 298,1 281,6 1 6 0, 0 1 1 3 8, 1 2 9 8, 1
b) 502 ; 100 5 5,02 É o mesmo que multiplicar por 0,01. A vírgula é deslocada duas casas para a esquerda. c) 37 ; 10 5 3,7 É o mesmo que multiplicar por 0,1. A vírgula é deslocada uma casa para a esquerda.
3
1 3 8, 1 34 5 5 2, 4
f) 106,2 ; 100 5 1,062 2. De 6,1 para 0,61 a vírgula foi deslocada uma casa para a esquerda. É o mesmo que multiplicar por 0,1 ou dividir por 10.
1 4 0, 8 32 2 8 1, 6
d) Resposta em aberto. 2. a) b) 3. a)
b) c)
3. C D U d 1 2 4 ,1 1 7 312 + 304 + 287 903 Consumo médio 5 = = 301 � 301 0 5 1 7 , 3 7,3 litros 3 3 5 301 301 kWh 0 U d Meta de consumo 5 consumo médio 3 0,8 Meta de consumo 5 301 3 0,8 5 240,8 240,8 kWh 3 100 4. 140,40 ; 2,16 5 14 040 ; 216 5 3 100 5 65 4,8 1 70,0 1 16,2 1 12,0 1 120 1 45 1 1 6,0 1 1,1 1 7,0 1 13,5 5 DM UM C D U 5 295,6 295,6 kWh 1 4 0 4 0 2 1 6 295,6 3 0,40 5 118,24 R$ 118,24 1 0 8 0 6 5 65 dólares Redução do consumo: 0 D U 295,6 3 20% 5 20 5 295,6 3 5 5. 162,80 ; 2,96 5 55 55 litros 100 5 295,6 3 0,20 5 DM UM C D U 1 6 2 8 0 2 9 6 5 59,12 → 59,12 kWh 1 4 8 0 5 5 Economia em reais: 0 D U 59,12 3 0,40 5 23,648 23,65 R$ 23,65
36 – Divisão de números decimais
[
[
Exercícios, páginas 249 e 250. 1 1. a) 63, 5 ; 10 5 63, 5 3 5 63, 5 3 0,1 5 6, 35 10
1 5 0,1 10
6. N 3 3,5 5 91 N 5 91 ; 3,5 5 910 ; 35 5 26 N 5 26 9 1 0 3 5 2 1 0 2 6 0
53
7. 62,1 ; 27 5 2,3
f ) 171,6 ; 26 5 6,6
C DU d 2 7 0 6 2 1 8 1 0 2,3 0 U d
UM C D U d 2 6 0 1 7 1 6 1 5 6 0 6,6 0 U d
8. A 5 (17,25 2 8,47) ; 2 A 5 8,78 ; 2 A 5 4,39 2
1 7,2 5 8,4 7 8,7 8
11. 1468,32 ; 552 5 2,66 R$ 2,66 CM DM UM 1 4 6 3 6 3
C DU d c 2 0 0 8 7 8 7 8 0 4,3 9 1 8 0 0 U d c 0
D 3 3 1
U d c 5 5 2 0 0 2 2 0 2,6 6 2 0 0 U d c 0
12. 897 ; 78 5 11,5
9. a) 37 ; 100 5 0,37 0,37 metro b) 1,50 ; 100 5 0,015 0,015 metro
C DU d 78 8 9 7 1 1 7 1 1,5 3 9 0 DU d 0
10. a) 10,6 ; 2 5 5,3 C DU d 2 0 1 0 6 6 0 5,3 0 U d
13. a) 70,8 ; 0,6 5 118 C DU 6 7 0 8 1 0 118 4 8 0
b) 7,25 ; 5 5 1,45 C DU d c 5 0 0 7 2 5 2 2 5 0 1,4 5 2 5 0 0 U d c 0
DU d c 3 0 0 3 6 3 6 0 0,1 2 6 0 0 U d c 0 d) 14,4 ; 12 5 1,2 C DU d 1 2 0 1 4 4 2 4 0 1,2 0 U d e) 30,6 ; 20 5 1,53 C DU d c 2 0 0 3 0 6 1 0 6 0 1,5 3 6 0 0 U d c 0
d) 21,4 ; 2,14 5 10 UM C D U 2 1 4 0 214 0 0 10
b) 5 ; 0,8 5 6,25 DU d c 8 5 0 2 0 6,2 5 4 0 U dc 0
c) 0,36 ; 3 5 0,12
54
C 8 4 3
e) 0,14 ; 2,8 5 0,05 DU d c 1 4 0 0 280 0 0,0 5 U dc
c) 13 ; 5,2 5 2,5
f) 5,12 ; 0,064 5 80
C DU d 52 1 3 0 2 6 0 2,5 0 U d
UM C D U 5 1 2 0 64 0 0 80
14. a) (1,2 1 4,8) ; 0,24 5 5 6,0 ; 0,24 5 25 1
1, 2 1 4, 8 6, 0
6 0 0 24 1 2 0 25 0
b) 24,8 ; 4 1 45,5 ; 5 5 5 6,2 1 9,1 5 15,3 2 4 8 0 8 0 0
40 6,2
Exercícios, página 251. 4 5 5 0 50 0
1.
50 9,1
6 a) 7 3 1 3 1 2,1 6 1 0 4 0 4
6, 2 1 9, 1 1 5, 3
b) 2 9 1 0 3
c) (0,05 ; 0,005) ; 0,5 5 5 10 ; 0,5 5 20 5 10
5 0 0 0
1 0 0 5 0 0 20
7 c) 1 1 4 0 1, 5 7 1 5 0 1 0 3
d) (2 3 1,1 1 3,83) ; 0,9 5 5 (2,2 1 3,83) ; 0,9 5 5 6,03 ; 0,9 5 6,7 1, 1 32 2, 2
1 3, 8 3 + 2, 2 0 6, 0 3
6 0 3 6 3 0 0
90 6,7
33 d) 1 0 0 1 0 0 0, 3 0 3 1
15. 512 ; 1,6 5 320 320 milhas 5 1 2 0 3 2 0 0
e) 1,3 ; 0,6 5 13 ; 6
16 320
6 1 3 1 0 2,1 4
16. D 5 (0,012 1 1,5) ; 1,68 D 5 1,512 ; 1,68 D 5 0,9 0, 0 1 2 11, 5 0 0 1, 5 1 2
15120 1680 0 0, 9
2.
0, 9 33 2, 7
Logo: 3 3 D 5 3 3 0,9 5 2,7 17. 9,9 ; 0,55 5 18 18 metros 9 9 0 4 4 0 0 0
55 18
18. a) 15,7 ; 3,14 5 5 1 5 7 0 0
7 4,1
314 5
b) Em cada oscilação completa, o pêndulo passa pelo observador duas vezes; logo, neste intervalo, ele vê o pêndulo passar 10 vezes.
7 a) 2 6 5 0 3,7 1 1 0 3 b) 67,2 ; 13 5 672 ; 130 1 3 0 6 7 2 2 2 0 5,1 6 9 0 0 1 2 0 11 c) 7 2 6 0 6, 5 4 5 0 6 d) 8,7 ; 2,3 5 87 ; 23 2 3 8 7 1 8 0 3,7 8 1 9 0 4
55
37 – Os números decimais e o cálculo de porcentagens
1,20 3 2 500 5 3 000,00 5 3 000 2500 1, 2 0 50000 12 5 0 0 0 0 3 0 0 0, 0 0 3
Exercícios, páginas 252 e 253. 1.
3 3 5 0, 03, então 3% 5 e 100 100 5 0,03 16 16 5 0,16, então 16% 5 b) 16% 5 e 100 100 5 0,16 21 21 c) 21% 5 e 5 0, 21, então 21% 5 100 100 5 0,21 a) 3% 5
42 42 5 0, 42, então 42% 5 d) 42% 5 e 100 100 5 0,42 55 55 5 0, 55, então 55% 5 e) 55% 5 e 100 100 5 0,55 150 150 f) 150% 5 e 5 1, 50, então 150% 100 100 5 1,50
4. 35% de 1 020 telhas 1 020 3 0,35 5 357 357 telhas 1020 0, 3 5 5100 13 0 6 0 0 3 5 7, 0 0 3
5. a) 85% de 16,8 metros quadrados 16,8 3 0,85 5 14,280 5 14,28 metros quadrados 1 6, 8 0, 8 5 840 11 3 4 4 0 1 4, 2 8 0 3
2. Custo atual: 980,00 1 15% de 980,00 150 15% 5 5 0,15 100 15% de R$ 980,00 é o mesmo que 980,00 3 0,15:
b) 16,8 2 14,28 5 2,52 2,52 metros quadrados 1 6, 8 0 2 1 4, 2 8 2, 5 2
980,00 3 0,15 5 147,0000 5 147,00 9 8 0, 0 0 0, 1 5 490000 1 980000 1 4 7, 0 0 0 0 3
9 8 0, 0 0 1 1 4 7, 0 0 1 1 2 7, 0 0 Custo atual: 980,00 1 147,00 5 1 127,00 R$ 1 127,00 3.
6. 8% 5
40% 5
40 5 0, 40 100
8% de 40% 5 0,08 3 0,40 5 0,032 0,0 8 3 0,4 0 0, 0 3 2 0 7. (3% de 250) 1 (7% de 150) 2 (4% de 90) 5 5 (0,03 3 250) 1 (0,07 3 150) 2 (0,04 3 90) 5 5 7,5 1 10,5 2 3,6 5 18,0 2 3,6 5 14,4 8.
a) 51% de 3 340 é o mesmo que 0,51 3 3 340:
a) 88 100% x 35%
0,51 3 3 340 5 1 703,40 5 1 703,4 3340 3 0, 5 1 3340 11 6 7 0 0 0 1 7 0 3, 4 0 b) 120% de 2 500 é o mesmo que 1,20 3 2 500:
56
8 5 0, 08 100
88 100 88 ⋅ 35 5 → x5 → x 35 100
x 5 30,80 R$ 30,80
b) uma calça R$ 88,00 2 R$ 30,80 5 5 R$ 57,20
duas calças 2 3 R$ 57,20 5 5 R$ 114,40
38 – Potenciação de números decimais Exercícios, página 253. 1. a) (3,7)2 5 3,7 3 3,7 5 13,69 b) (0,6)3 5 0,6 3 0,6 3 0,6 5 0,216
1 290 692,5 3 0,073 5 94 220,552 94 220,552 quilômetros quadrados, aproximadamente c) 1 290 692,5 2 94 220,552 5 1 196 472 1 196 472 quilômetros quadrados, aproximadamente d) Espírito Santo, Paraná, Rio de Janeiro e Santa Catarina.
c) (2,5)2 5 2,5 3 2,5 5 6,25 e) (2,7) 5 1 0
f) (4,1)2 5 4,1 3 4,1 5 16,81 g) (1,5)3 5 1,5 3 1,5 3 1,5 5 3,375 h) (3,02)1 5 3,02 2. (0,4)3 5 0,064 1 2 0,064 5 0,936 Falta 0,936.
Retomando o que aprendeu, páginas 255 e 256. 1. Alternativa c. Espaço ocupado pelas 16 pessoas: 16 3 0,30 5 4,8 Espaço entre as 16 pessoas: 1a 2a 3a 15a
16a
...
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d) (0,3)4 5 0,3 3 0,3 3 0,3 3 0,3 5 0,0081
3. a) (1,2)2 1 (0,9)2 5 1,44 1 0,81 5 2,25 b) (1,2 1 0,9)2 5 (2,1)2 5 2,1 3 2,1 5 4,41 5 5 0, 05 e (0,05)2 5 0,05 3 0,05 5 100 5 0,0025
4. 5% 5
5. x 5 (0,6)2 1 (0,8)2 x 5 3,6 1 6,4 5 1,0 5 1 6. a 5 4 ; (0,4) a 5 4 ; 0,16 5 25 2
b 5 0,4 3 42 b 5 0,4 3 16 5 6,4 Logo, a b. 7. (0,8 2 0,15 ; 0,3)3 ; 5,4 1 (0,5)2 5 5 (0,8 2 0,5)3 ; 5,4 1 0,25 5 5 (0,3)3 ; 5,4 1 0,25 5 5 0,027 ; 5,4 1 0,25 5 5 0,005 1 0,25 5 0,255
Brasil real, página 254. a) 11% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados 1 290 692,5 3 0,11 5 141 976,17 141 976,17 quilômetros quadrados b) 7,3% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados
1
2
15
15 3 0,55 5 8,25 Comprimento da fila: 4,8 1 8,25 5 13,05 13,05 m 2. Alternativa b. 52 2 3 3 (4,1 2 1,8) 5 5 52 2 3 3 2,3 5 52 2 6,9 5 45,1 3. Alternativa c. 5,00 2 (3 3 0,20 1 1,50) 5 5 5,00 2 (0,60 1 1,50) 5 5 5,00 2 2,10 5 2,90 R$ 2,90 4. Alternativa e. Pessoas com curso universitário completo: 75% de 320; logo, 0,75 3 320 0,75 3 320 5 240 240 pessoas Total de pessoas do grupo: 320 Pessoas sem curso universitário completo: 320 2 240 5 80 80 pessoas 5. Alternativa a. Quantidade de vinho na pipa: 63 3 0,7 5 44,1 44,1 litros Quantidade de garrafas de 0,9 litro que a pipa pode encher: 44,1 ; 0,9 5 49 49 garrafas
57
6. 1 dólar vale R$ 2,85, 1 500 dólares valem: 1 500 3 2,85 5 4 275 R$ 4 275,00 7. Em um quilômetro lança 27,7 gramas, em 8 quilômetros lança: 8 3 27,7 5 221,6 221,6 gramas 8. Alternativa a. ; 4
40
; 4
10
;4
2,5
?
? 5 2,5 ; 4 ? 5 0,625 9. Valdir andou 41,04 quilômetros. Irmão de Valdir andou a terça parte de 41,04 quilômetros: 41,04 ; 3 5 13,68 13,68 quilômetros 10. Preço do litro de suco de laranja na indústria A: 1,80 ; 1,50 5 1,20 R$ 1,20 o litro Preço do litro de suco de laranja na indústria B: 1,20 ; 0,80 5 1,50 R$ 1,50 o litro Como 1,20 1,50, a indústria A vende o suco mais barato.
1 m 5 100 cm; logo, 48,6 m é 48,6 3 100 5 5 4 860 4 860 cm Total de pedaços de fita medindo 18 cm: 4 860 ; 18 5 270 270 pedaços 16. Expectativa de vida: (3,5 3 416 2 715) ; 10 5 (1 456 2 715) ; 10 5 5 741 ; 10 5 74,1 74,1 anos 17. Alternativa b. Comprimento da estrada de A a B: 103,2 quilômetros Comprimento da estrada de B a C: 3 3 de 103,2 3 103,2 4 4
3 25
Sendo
3 75 5 5 0, 75, logo: 4 100 3 25
3 3 103, 2 5 0, 75 3 103, 2 5 77, 4 4 77,4 quilômetros Comprimento da estrada de A a C: 103,2 + 77,4 5 180,6 180,6 quilômetros 18.
12. Alternativa a. 37,8 2 0,5 5 37,3 37,3 graus 13. Alternativa d. 1o número decimal (9 ; 2 1 4 3 1,25) 5 (4,5 1 5,0) 5 9,5 2o número decimal: (2 3 1,05 2 6,4 ; 4) 5 5 (2,10 2 1,6) 5 0,5 Produto desses dois números: 9,5 3 0,5 5 4,75 14. Alternativa b. 1320 ; 40 5 1320 3
3 25
1 , mas 40
1 25 25 1 5 5 3 40 1 000 100 10 3 25 0,25 0,1 Logo: 1 320 ; 40 5 1 320 3 0,25 3 0,1. 15. Alternativa b. Total de metros de fita: 4,86 3 10 5 48,6 48,6 m Total de centímetros de fita:
58
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11. Alternativa b. 185,8 2 176,9 5 8,9 8,9 milhões
1a árvore
2a árvore
1a distância
3a árvore ...
2a distância
10a 11a árvore árvore 10a distância
105 ; 10 5 10,5 10,5 metros 19. Alternativa c. Preço da passagem em janeiro de 2005: R$ 1,50 Reajuste da passagem em janeiro de 2006: 20 20% de R$ 1,50 3 1, 50 100 20 3 1, 50 5 0, 20 3 1, 50 5 0, 30 100 Preço da passagem em janeiro de 2006: 1,50 1 0,30 5 1,80 R$ 1,80 Desconto para estudante: 10 3 1, 80 10% de R$ 1,80 100 10 3 1, 80 5 0,10 3 1, 80 5 0,18 100 Preço da passagem para estudante em janeiro de 2006: 1,80 2 0,18 5 1,62 R$ 1,62
Medindo comprimentos e superfícies 39 – Unidades de medida de comprimento Explorando, páginas 258 e 259. 1. Resposta pessoal. 2. Mariana, porque encontrou a menor quantidade de palmos. 3. Marcos, porque encontrou o menor valor em pedaços de barbante. Exercícios, página 262. 1. a) km
b) m
c) mm
d) cm
2. Distância em que se originou o relâmpago: 340 3 5 5 1 700 R 1 700 metros 3. Distância entre as duas cidades: 74 milhas Valor de uma milha: 1,609 km, aproximadamente Distância entre as duas cidades, em quilômetros: 74 3 1,609 5 119,066 R 119,066 km, aproximadamente 4. Comprimento do meu passo: 56 cm Comprimento do meu pé: 24 cm Comprimento do móvel: 1 passo e 2 pés Comprimento do móvel em centímetros: 56 1 2 3 24 5 56 1 48 5 104 R 104 cm 5. Distância do ponto A ao ponto B: 84,5 km Distância do ponto B ao ponto C: 3 3 84,5 5 253,5 R 253,5 km 6. a) Maior: Júpiter, com 143 000 km; menor: Mercúrio, com 4 860 km. b) 12 756 km c) 12756 . 1, 8 6800 d) 365 − 122 5 243 R 243 dias Desafio!, página 263. Alternativa b. Reginaldo: 600 metros Lúcia: 700 metros
40 – T ransformação das unidades de medida de comprimento Exercícios, páginas 265 e 266. 1. Alternativa b. 43,2 R 43,2 3 100 5 4 320 R 4 320 cm 4 320 ; 24 5 180 R 180 lacinhos 2. Comprimento da sala: 5 400 mm Se 1 mm 5 0,001 m, então: 5 400 3 0,001 5 5,4 R 5,4 m Se 1 mm 5 0,000001 km, então: 5 400 3 0,000001 5 0,0054 R 0,0054 km A unidade de medida mais conveniente para medir a sala é o metro. 18 3. 18 mm 5 (18 ; 10) cm 5 cm 5 10 5 (18 3 0,1) cm 5 1,8 cm 4. Meu passo corresponde a 56 cm. Meu pé corresponde a 25 cm. Comprimento do terreno: 18 passos e 2 pés 18 3 56 1 2 3 25 5 1 008 1 50 5 1 058 R R 1 058 cm 1 058 m5 1 058 cm 5 (1 058 ; 100) m 5 100 5 (1 058 3 0,01) m 5 10,58 m 5. a)
1 5 m5 m 5 0,5 m 5 (0,5 3 100) cm 5 2 10 5 50 cm
2 4 m5 m 5 0,4 m 5 (0,4 3 100) cm 5 5 10 5 40 cm 9 225 c) km 5 km 5 2,25 km 5 4 100 5 (2,25 3 1 000) m 5 2 250 m b)
d)
18 360 m5 m 5 3,60 m 5 (3,60 ; 1 000) km 5 5 100 5 (3,60 3 0,001) km 5 0,0036 km
6. 1 polegada 5 25 mm 1 polegada 5 5 polegada 10 2 5 mm 5 (25 3 0,5) mm 5 25 mm 5 25 3 10 5 12,5 mm Sendo 1 mm 5 0,1 cm, então: 12,5 mm 5 (12,5 3 0,1) cm 5 1,25 cm
( )
59
7. 1 milha 5 1 609 m Se 1 m 5 0,001 km, então: 1 milha 5 (1 609 3 0,001) km 5 1,609 km 85 milhas 5 (85 3 1,609) km 5 136,765 km 8. 64 m correspondem a 6 400 cm Para ter 20 retalhos, cada um deve medir: 6 400 ; 20 5 320 R 320 cm 9. 10 km correspondem a 10 000 m Logo: 10 000 1 150 5 10 150 R 10 150 m
17. Alternativa c. 1 m corresponde a 100 m, logo 4 m correspondem a: 4 3 100 5 400 R 400 m
41 – Perímetro de um polígono Explorando, página 266.
10. Comprimento da tábua: 3,10 m Uma das partes tem 98 cm de comprimento, correspondendo a 0,98 m. Restam: 3,10 − 0,98 5 2,12 R 2,12 m As duas outras partes têm o mesmo comprimento, logo cada uma mede: 2,12 ; 2 5 1,06 R 1,06 m
1. frente: 35 m; fundo: 22 m metragem do fio: 35 1 22 1 35 1 22 5 5 114 R 114 m
11. Os 385 metros foram medidos com 97 cm, o que corresponde a 0,97 m, logo há 0,03 m de tecido a menos em cada metro vendido. Então: 385 3 0,03 5 11,55 R 11,55 m de tecido a menos
3. 30 1 40 1 50 5 120 R 120 m
12. a) Se cada centímetro corresponde a 10,5 km, então a distância real entre as duas cidades é: 10,5 3 15 5 157,5 R 157,5 km b) 68 250 m correspondem a 68,250 km, logo a distância desta cidade ao mar, no mapa, é: 68,250 ; 10,5 5 6,5 R 6,5 cm 13. Respostas em aberto. 14. Respostas em aberto. 15. Alternativa a. Dois armários de 1,60 m de comprimento ocupam: 1,60 3 2 5 3,20 R 3,20 m Comprimento da parede: 5 m Espaço livre: 5 − 3,20 5 1,80 R 1,80 m Comprimento da estante: 1 m 1,80 − 1 5 0,80 R 0,80 m (sobra) 16. Alternativa b. Percorreu no Brasil: 12,5 km Percorreu na Inglaterra: 9 milhas Uma milha corresponde a 1 600 m, e 1 600 m correspondem a 1,6 km, então na Inglaterra percorreu: 9 3 1,6 5 14,4 R 14,4 km Comparando o que percorreu nos dois países, temos:
60
12,5 , 14,4 e 14,4 − 12,5 5 1,9 R 1,9 km a mais
2. frente: 30 m; fundo: 30 m metragem do fio de arame: 30 3 4 5 5 120 R 120 m
Exercícios, páginas 267 e 268. 1. a) 3 1 4,1 1 1,5 1 3,8 5 12,4 R 12,4 cm b) triângulo equilátero R três lados de mesma medida 2,9 3 3 5 8,7 R 8,7 cm c) Reduzindo todas as unidades a cm, temos: 0,3 dm corresponde a 3 cm 12 mm correspondem a 1,2 cm 25 mm correspondem a 2,5 cm 3 1 3,6 1 1,2 1 3,1 1 2,5 5 13,4 R 13,4 cm 2. medida do comprimento: 10,2 cm medida da largura: metade do comprimento 10,2 ; 2 5 5,1 R 5,1 cm perímetro do retângulo: 10,2 1 5,1 1 10,2 1 5,1 5 30,6 R 30,6 cm 3. lajota hexagonal: 6 lados medindo 65 cm 65 cm correspondem a 0,65 m perímetro da lajota: 6 3 0,65 5 3,90 R 3,90 m 4. medida do comprimento: 12 m 1 do comprimento medida da largura: 3 1 12 3 5 4 R 4 m 3 extensão do muro: 12 3 2 1 4 3 2 5 24 1 8 5 32 R 32 m 5. Se a medida dos lados são três números consecutivos, e o menor é 5, então os outros dois são 5 1 1 e 5 1 1 1 1, isto é, 6 e 7; logo, o perímetro deste triângulo é: 5 1 6 1 7 5 18 R 18 cm
6.
Brasil real, página 269. a) O perímetro do retângulo e o do quadrado são iguais, então esse perímetro é: 7,2 3 2 1 10,6 3 2 5 14,4 1 21,2 5 35,6 R R 35,6 cm b) Tendo o quadrado quatro lados de mesma medida, o lado do quadrado mede: 35,6 ; 4 5 8,9 R 8,9 cm
1. a) 1 km corresponde a 1 000 m, logo 30 223 km correspondem a 30 223 000 m. 22 069 km correspondem a 22 069 000 m. 14 500 km correspondem a 14 500 000 m. 1 916 km correspondem a 1 916 000 m. b) São 30 223 km de linhas de tráfego, sendo 1 916 km de linhas eletrificadas, logo: 30 223 2 1 916 5 28 307 R 28 307 km são linhas de trens movidos a diesel. c) 30 223 km de linhas de tráfego 14 500 km de linhas estão em São Paulo, Minas Gerais e Rio Grande do Sul Logo: 30 223 2 14 500 5 15 723 R R 15 723 km não pertencem às três cidades acima citadas.
7. a) b) 8.
medida do lado da praça: 24,5 m perímetro da praça: 24,5 3 4 5 98,0 R 98 m 4 voltas ao redor da praça: 98 3 4 5 392 R 392 m medida do comprimento do pé de Ana: 0,8 m número de passos dados: 392 ; 0,8 5 490 R 490 passos
2. a) Se 1 m corresponde a 0,001 km, então 8 836 m correspondem a 8,836 km. b) Se a extensão total da ponte é 13 290 m e 8 836 m estão sobre o mar: 13 290 2 8 836 5 4 454 R 4 454 m estão sobre a terra. Como 1 m corresponde a 0,001 km, a extensão da ponte sobre a Terra é 4,454 km. c) largura total da ponte: 26,60 m Como 1 m corresponde a 100 cm, a largura da ponte, em cm, é 2 660 cm.
perímetro do quadrado: 20 cm medida do lado do quadrado: 20 ; 4 5 5 R 5 cm Este triângulo equilátero tem como medida de lado a mesma medida do lado do quadrado, então seu perímetro é: 3 3 5 5 15 R 15 cm
9. Total de metros de arame: 70 a) terreno quadrado de 17,2 m de lado perímetro do terreno: 17,2 3 4 5 68,8 R 68,8 m (sim) b) terreno retangular com 24,5 m de comprimento e 11,8 m de largura perímetro do terreno: 2 3 24,5 1 2 3 11,8 5 49 1 23,6 5 5 72,6 R 72,6 m (não) 10. Alternativa d. perímetro da folha retangular: 40 cm medida de um lado: 4 cm soma das medidas de outros lados: 40 2 4 2 4 5 32 R 32 cm dois lados de mesma medida: 32 ; 2 5 16 R 16 cm medidas dos outros lados: 16 cm, 4 cm e 16 cm 11. Alternativa d. medida do lado do quadradinho 5 1 cm figura X tem 20 lados: seu perímetro é 20 3 1 5 20 R 20 cm figura Y tem 18 lados: seu perímetro é 18 3 1 5 18 R 18 cm figura Z tem 32 lados: seu perímetro é 32 3 1 5 32 R 32 cm
3. a) Rio Amazonas: 6 868 km que correspondem a 6 868 000 m. rio Nilo: 6 695 km que correspondem a 6 695 000 m. 6 868 000 2 6 695 000 5 173 000 R R 173 000 m a mais b) 6 868 ; 65 . 105,66 c) Se 20 km correspondem a 1 cm, então 65 km correspondem a: 65 ; 20 5 3,25 R 3,25 cm 4. a) 1 m corresponde a 0,001 km, então 250 000 m correspondem a 250 km b) o quilômetro 5. a) b) c) d)
Londres e Nova Iorque; 400 km São Paulo; 60 km 450 km linha de Paris: 200 km linha de Chicago: 150 km 200 2 150 5 50 R 50 km
61
42 – U nidades de medida de superfície
7. 7 km2 correspondem a 7 000 000 m2. 7 000 000 m2 correspondem a 700 ha. 60% de 700 ha ⇒ 60 ⇒ 3 700 5 0, 6 3 700 5 420 ha 100
Explorando, página 271. 1. 61
b) 700 2 420 5 280 R 280 ha
2. 69 Exercícios, página 272. 1. Alternativa d. 2. Alternativa b.
Brasil real, páginas 275 e 276. 1. 3 370 2 1 300 5 2 070 R 2 070 kg/ha 2. a) Minas Gerais b) Amapá c) estado de maior área (Minas Gerais): 1 888 922 ha estado de menor área (Amapá): 87 581 ha 1 888 922 2 87 581 5 1 801 341 R R 1 801 341 ha 1 801 341 ha correspondem a 18 013 410 000 m2.
3. A figura possui 22 quadrados. Como a área de cada um corresponde a 1 cm2, logo a área da figura é 22 cm2. Exercícios, página 274. 1. a) 1 dm2 corresponde a 0,01 m2, logo 21 dm2 correspondem a 0,21 m2. b) 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2, logo 1 250 cm2 correspondem a 0,125 m2. c) 1 km2 corresponde a 1 000 000 m2. d) 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, logo 0,72 hm2 corresponde a 7 200 m2.
3. a) 225 000 ; 2,5 5 90 000 R R$ 90 000,00 b) Em São Paulo, 1 alqueire corresponde a 2,42 ha. 2,5 alqueires correspondem a 2,5 3 2,42 5 6,05 R 6,05 ha. c) Na Bahia, 1 alqueire corresponde a 96 800 m2. 2,5 alqueires correspondem a: 2,5 3 96 800 5 242 000 R 242 000 m2
2. 1 dm2 corresponde a 0,01 m2. 3. 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, que representa a área de um quadrado de 100 m de lado: 100 3 100 5 10 000 R 10 000 m2 4. 1,3 km2 corresponde a 1 300 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 103 ha correspondem a 1 030 000 m2. Então: 1,3 km2 103 ha 5. 1 600 cm2 correspondem a 0,16 m2. 100 caixas com 2 dúzias de piso: 100 3 24 5 2 400 R 2 400 pisos 2 400 3 0,16 5 384 R 384 m2 de piso 6. 10 000 m2 correspondem a 1 ha. 70 000 m2 correspondem a 7 ha. 1 ha é ocupado por 20 bois. 7 ha: 7 3 20 5 140 R 140 bois
62
4. a) b) c) d)
na região Norte 160 alqueires por R$ 595,00 o alqueire 595 3 160 5 95 200 R R$ 95 200,00 1 alqueire corresponde a 27 225 m2 160 alqueires correspondem a: 160 3 27 225 5 4 356 000 R 4 356 000 m2 1 alqueire corresponde a 2,7225 ha 160 alqueires correspondem a 435,6 ha 435,6 ha para 20 trabalhadores dá: 435,6 ; 20 5 27,78 R 21,78 ha para cada um
5. 1 alqueire corresponde a 48 400 m2. 3,5 alqueires correspondem a: 3,5 3 48 400 5 169 400 R 169 400 m2 6. 4,84 ha correspondem a 1 alqueire. 31,46 ha correspondem a: 31,46 ; 4,84 5 6,5 R 6,5 alqueires
7. a)
5 822 km2 correspondem a 5 822 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2. 5 822 000 000 m2 correspondem a: 5 822 000 000 ; 10 000 5 582 200 R R 582 200 ha b) 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 582 200 ha correspondem a: 582 200 ; 4,84 5 120 289,25 R R 120 289,25 alqueires 8. a) b)
1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2. 38 000 ha correspondem a: 38 000 3 0,01 5 380 R 380 km2 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 38 000 ha correspondem a: 38 000 ; 4,84 . 7 851,24 R R 7 851,24 alqueires, aproximadamente
43 – Áreas das figuras geométricas planas Explorando, página 277. a) b) c) d)
Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Exercícios, páginas 282 e 283.
1. a) b) c)
medida do lado: 8 m área: 8 3 8 5 64 R 64 m2 medida da base: 12 cm medida da altura: 6 cm área: 12 3 6 5 72 R 72 cm2 medida da base menor: 4 cm medida da base maior: 6 cm medida da altura: 3 cm (6 1 4) 3 3 5 área: 2 10 3 3 5 5 15 R 15 cm2 2 d) medida da base menor: 5 cm medida da base maior: 7 cm medida da altura: 4 cm (7 1 5) 3 4 5 área: 2 12 3 4 5 24 R 24 cm2 5 2
2. medida da base: 8 cm medida da altura: 5,2 cm 8 3 5, 2 área: 5 2 41, 6 5 5 20, 8 R 20,8 cm2 2 3. medida da base: 10 cm 1 de 10 cm medida da altura: 2 1 3 10 5 5 R 5 cm 2 área: 10 3 5 5 50 R 50 cm2 4. medida da base: 18 cm 2 de 18 cm medida da altura: 3 2 3 18 5 12 R 12 cm 3 18 312 5 108 R 108 cm2 área: 2 5. a) medida do lado: 15 cm área: 15 3 15 5 225 R 225 cm2 b) 45 m2 correspondem a 450 000 cm2 450 000 ; 225 5 2 000 R 2 000 pisos 6. medida da base: 25 cm medida da altura: 16 cm 25 3 16 área: 5 200 R 200 cm2 2 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2 200 cm2 correspondem a: 200 3 0,0001 5 0,02 R 0,02 m2 80 peças de 0,02 m2 de área cada uma: 80 3 0,02 5 1,6 R 1,6 m2 7. medida do comprimento: 8 m medida da altura: 2,75 m área: 8 3 2,75 5 22 R 22 m2 1 lata pinta 10 m2. 2 latas pintam 20 m2. Sobraram 2 m2, então é necessária uma 3a lata. 8.
a) b)
área da sala: 4,20 3 4,50 5 18,9 R 18,9 m2 área do corredor: 2,50 3 1,50 5 3,75 R 3,75 m2 área do 1o dormitório: 3 3 4,5 5 13,5 R R 13,5 m2 área do 2o dormitório: 4 3 4 5 16 R 16 m2 Carpete necessário: 18,9 1 3,75 1 13,5 1 16 5 52,15 R 52,15 m2 área do banheiro: 2,50 3 3 5 7,50 R 7,50 m2 área da cozinha: 4 3 4 5 16 R 16 m2 área da área de serviço: 1,70 3 4 5 5 6,80 R 6,80 m2 cerâmica necessária: 7,50 1 16 1 6,80 5 5 30,30 R 30,30 m2
63
Exercícios, páginas 284 e 285. 1.
12. área do telhado: 2 3 10 3 40 5 800 R 800 m2 Para cobrir 1 m2 usam-se 20 telhas. Para cobrir 800 m2: 800 3 20 5 1 600 R 1 600 telhas
A1: 4 3 3 5 12 R 12 cm2 A2: 2 3 5 5 10 R 10 cm2 Atotal 5 12 1 10 5 22 R 22 cm2
3 cm
A1
Editoria de arte
5 cm
b)
A2
2 cm 7 cm
A1: 5 3 3 5 15 R 15 cm2 332 A2: cm22 5 3 �R 33cm 2 Atotal 5 15 1 3 5 18 R 18 cm2
2.
1m
A1
A2
1m
A3
1m
5m
3m
1m
A1: 1 3 1 5 1 R 1 m2 A2: 1 3 5 5 5 R 5 m2 A3: 1 3 1 5 1 R 1 m2 Atotal 5 1 1 5 1 1 5 7 R 7 m2 3. Alternativa a. 5
4m 1m
m
A3
A2
a) cor-de-rosa: 3 u por 8 u; verde: 2 u por 12 u b) Não, o perímetro do retângulo cor-de-rosa é 22 u, e o do retângulo verde é 28 u. c) Ambos têm medida de área igual a 24 u2. d) Há várias soluções.
5 cm
2 cm
13.
64
A2
4m 4m
A1
4m
4m
2m
Editoria de arte
11. Alternativa b. área total: 17 3 24 3 2 1 5 3 24 3 2 1 17 3 5 3 2 5 5 816 1 240 1 170 5 1 226 R 1 226 cm2
A1
Editoria de arte
3 cm
9. área das paredes da frente e do fundo: 4 3 2,70 5 10,80 R 10,80 m2 área das paredes laterais: 3 3 2,70 5 5 8,10 R 8,10 m2 área total para revestir: 2 3 10,80 1 2 3 8,10 − (2 3 1,60 1 2) 5 5 21,60 1 16,20 − 5,20 5 5 37,80 − 5,20 5 32,60 R 32,60 m2 10. área das paredes da frente e do fundo: 8 3 4 5 32 R 32 m2 área das paredes laterais: 3 3 5 5 15 R 15 m2 área da porta: 1,5 3 2 5 3,0 R 3,0 m2 área da janela: 3 3 1 5 3 R 3 m2 área do teto: 8 3 5 5 40 R 40 m2 área a ser pintada: 2 3 32 1 2 3 15 1 40 − (3 1 3) 5 5 64 1 30 1 40 − 6 5 5 134 − 6 5 128 R 128 m2 1 lata pinta 40 m2. 2 latas pintam 80 m2. 3 latas pintam 120 m2. Sobram 8 m2, então é necessária mais uma lata R 4 latas
6 cm
a)
Editoria de arte
c) medida da frente: 4,20 1 2,50 1 3 5 5 9,70 R 9,70 m medida dos fundos: 4,50 1 4 5 8,50 R 8,50 m área do apartamento: 9,70 3 8,50 5 5 82,45 R 82,45 m2 preço do apartamento: 82,45 3 500 5 5 41 225 R R$ 41 225,00
A1: 4 3 4 5 16 R 16 m2 4 33 A2 ; 5 6 → 6 m2 2 A3 ; 4 3 3 5 12 R 12 m2 Atotal 5 16 1 6 1 12 5 34 R 34 m2 4. Alternativa c. perímetro da figura: 3 1 4 1 5 1 4 1 4 1 4 1 4 5 28 R 28 m largura da porta: 1 m rodapé: 28 2 1 5 27 R 27 m 5. Alternativa d.
m
20
m
20
16 m
16 m
Editoria de arte
10 m
34 m
6.
(34 1 10) 3 16 5 A; 2 44 3 16 5 5 352 → 352 m2 2 a) Aquadra: 18,29 3 36,57 5 668,8653 R R 669 m2, aproximadamente b) Ajogo: 10,97 3 23,77 5 260,7559 R R 261 m2, aproximadamente c) Tela: (17,07 3 2 1 34,77 3 2) 3 3 5 5 (34,14 1 69,54) 3 3 5 5 103,68 3 3 5 311,04 R 311,04 m2
7. área da quadra oficial: 20 3 12 5 240 R 240 m2 área do pátio da escola: 40 3 32 5 1 280 R 1 280 m2 área livre que restou no pátio: 1 280 2 240 5 1 040 R 1 040 m2 Brasil real, página 286. 1. a) b)
área do campo: 110 3 75 5 8 250 R 8 250 m2 placas de grama necessárias: 8 250 ; 3,5 . 2 357 R aproximadamente 2 357 placas de grama c) Sim. d) Resposta em aberto.
b) total de metros a percorrer: 305 909 total de quilômetros a percorrer: 305 909 metros correspondem a 305,909 quilômetros c) total de metros percorridos: 305 909 total de voltas dadas: 71 metros percorridos em cada volta: 305 909 ; 71 . 4 308,6 R 4 308,6 m, aproximadamente d) total de voltas a percorrer: 71 total de voltas dadas: 53 total de voltas que faltaram dar: 71 2 53 5 18 R 18 voltas metros percorridos aproximadamente em cada volta: 4 308,6 4 308,6 m correspondem a 4,3086 km quilômetros que faltavam para completar o circuito: 4,3086 3 18 . 77,55 R 77,55 km, aproximadamente Chegou a sua vez!, página 287. 1. 20 habitantes por quilômetro quadrado 2. densidade demográfica brasileira: 169799170 habi tan tes 5 19,94 8514204 km2 habitantes por quilômetro quadrado d5
3. 20 2 19,94 5 0,06 4. Resposta em aberto. Tratando a informação, página 288. a) b) c)
no período 1994-1995 período 2002-2003: 23 750 km2 período 2001-2002: 23 260 km2 km2 a mais de desmatamento: 23 750 2 23 260 5 490 R 490 km2 Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de terras públicas e a exploração predatória de madeira. d) Mato Grosso e Pará e) Resposta em aberto. Desafio!, página 289.
2. a)
ano de inauguração: 1960 ano da 1a corrida: 1978 tempo que levou para receber a 1a corrida: 1978 2 1960 5 18 R 18 anos
1. Todas têm a mesma área. 2. 16 3. 8
65
iguais. Então a distância entre cada telefone será: 612 ; 20 5 30,6 R 30,6 km
Retomando o que aprendeu, páginas 289 e 290. 1. Alternativa b. 1a hora: 512 m
5. Alternativa c. 2 km2 correspondem a 2 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 2 000 000 m2 correspondem a: 2 000 000 ; 10 000 5 200 R 200 ha
:2 2 hora: 256 m a
:2 3a hora: 128 m :2 4a hora: 64 m :2 5a hora: 32 m Distância percorrida: 512 1 256 1 128 1 64 1 32 5 992 R 992 m 2. Alternativa c. de comprimento: 85 cm correspondem a 0,85 m 5 mesas de largura: 60 cm correspondem a 0,60 m metros necessários para cada mesa: 2 3 0,85 1 2 3 0,60 5 5 1,70 1 1,20 5 2,90 R 2,90 m metros necessários para as 5 mesas: 5 3 2,90 5 14,50 R 14,50 m 6 mesas quadradas de lado 70 cm correspondem a 0,70 m necessários para cada mesa: 4 3 0,70 5 2,80 R 2,80 m metros necessários para as 6 mesas: 6 3 2,80 5 16,80 R 16,80 m total de metros necessários para todas as mesas: 14,50 1 16,80 5 31,30 R 31,30 m 3. Alternativa a. largura: 3,50 m; comprimento: 6,30 m contorno da sala: 2 3 3,50 1 2 3 6,30 5 5 7,0 1 12,6 5 19,6 R 19,6 m comprimento da peça de gesso: 70 cm que correspondem a 0,7 m. total de peças de gesso necessárias: 19,6 ; 0,7 5 28 R 28 peças
1
2
3
4
5
......................
19o telefone
......................
18o telefone
4o telefone
3o telefone
2o telefone
km 28
1o telefone
Editoria de arte
4. Alternativa d.
km 640
18 19 20
640 � 28 � 612 � 612 km
Para serem colocados os 19 telefones, é preciso dividir a distância acima calculada, de acordo com a figura, em 20 partes
66
6. área da cartolina: 75 3 30 5 2 250 R 2 250 cm2 área recortada da cartolina: 20 3 10 3 10 5 2 000 R 2 000 cm2 área restante: 2 250 2 2 000 5 250 R 250 cm2 7. Alternativa a. área reservada para o plantio de laranja: 3 3 600 5 450 → 450 ha 4 1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2, então 450 ha correspondem a: 450 3 0,01 5 4,5 R 4,5 km2 8. a) área da placa: 1 1 1 1 3 5 → m2 que corresponde a 0,25 m2 2 2 4 4 1 m2 de piso necessita: 1 ; 0,25 5 4 R 4 placas b) área a ser coberta: 55 m2 área da placa: 0,25 m2 quantidade de placas usadas: 55 ; 0,25 5 220 R 220 placas 9. Alternativa e. quantidade de pisos na caixa: 12 3 1,5 5 18 R 18 pisos área ocupada pelos pisos de uma caixa: 18 3 0,25 5 4,5 R 4,5 m2 área ocupada pelos pisos das 20 caixas: 20 3 4,5 5 90 R 90 m2 10. Alternativa b. área a ser gramada: 5 3 4200 5 3000 → 3000 m2 7 quantidade de placas necessárias: 3 000 ; 2 5 1 500 R 1 500 placas 11. Alternativa c. área da região A: 8 3 8 5 64 R 64 m2 área da região B: 4 3 4 5 16 R 16 m2 quantidade de vezes que a região A representa a região B: 64 ; 16 5 4 R 4 vezes
VOLUME E CAPACIDADE 44 – Medindo o espaço ocupado Explorando, página 293. Figura A: 42 Figura B: 210 Figura C: 24 Figura D: 12
45 – Volume do paralelepípedo retângulo Exercícios, página 296. 1. V 5 30 3 18 3 12 5 6 480 R 6 480 m3 2. V 5 2,5 3 2,5 3 2,5 5 (2,5)3 5 15,625 R R 15,625 m3 3. V 5 8 3 5 3 1,5 5 60 R 60 m3 4. Vcubo 5 4 3 4 3 4 5 64 R 64 m3 Vparalelepípedo 5 8 3 4 3 2 5 64 R 64 m3 Os volumes são iguais. 5. V 5 3,40 3 2,10 3 0,80 5 5,712 R 5,712 m3 6. V 5 0,20 3 0,10 3 0,05 5 0,001 R 0,001 m3
46 – Unidades de medida de volume Exercícios, página 297. 1. a) b)
1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 840 dm3 correspondem a: 840 3 0,001 5 0,840 R 0,840 m3 1 mm3 corresponde a 0,000 000 001 m3. 14 500 000 mm3 correspondem a: 14 500 000 3 0,000 000 001 5 0,0145 R R 0,0145 m3 c) 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 1 000 dm3 correspondem a: 1 000 3 0,001 5 1 R 1 m3 2. a) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 3,5 m3 correspondem a: 3,5 3 1 000 5 3 500 R 3 500 dm3 b) 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 1 250 3 correspondem a: 1 250 3 0,001 5 1,25 R 1,25 dm3
c) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 m3 corresponde a: 4 1 3 1 000 5 250 R 250 dm3 4 3. V 5 1 3 1 3 1 5 1 R 1 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 4. volume máximo de um bujão: 13,5 dm3 2 volume gasto: 3 13, 5 5 9, 0 → 9, 0 dm3 3 volume que resta: 13,5 2 9,0 5 4,5 R 4,5 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 4,5 dm3 correspondem a: 4,5 3 0,001 5 0,0045 R 0,0045 m3 5. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 golpe retira 100 dm3. 7 golpes retiram: 7 3 100 5 700 R 700 dm3 resta de ar após o 7o golpe: 1 000 2 700 5 300 R 300 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 300 dm3 correspondem a: 300 3 0,001 5 0,3 R 0,3 m3 Brasil real, página 298. 1. a) b) c)
97% de água salgada; resta 3% de água doce 1,36 bilhão 5 1,36 3 1 000 000 000 5 5 1 360 000 000 R 1 360 000 000 km3 volume de água do planeta: 3% 3 1 360 000 000 5 5 0,03 3 1 360 000 000 5 5 40 800 000 R 40 800 000 km3 volume de água doce do Brasil: 13,7% 3 40 800 000 5 0,137 3 40 800 000 5 5 5 589 600 R 5 589 600 km3 volume de água doce na bacia do Paraná: 7% 3 5 589 600 5 0,07 3 5 589 600 5 5 391 272 R 391 272 km3 d) volume de água doce no Brasil: 5 589 600 km3 volume de água doce em São Paulo: 89 434 km3 porcentagem de água doce brasileira em São Paulo:
67
89 434 ; 5 589 600 0,016 R aproximadamente, 1,6%
b) leitura do hidrômetro da esquerda: 1 088,9808 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 1 088,9808 m3 correspondem a 1 088 980,8 L. leitura do hidrômetro da direita: 79,6569 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 79,6569 m3 correspondem a 79 656,9 L. c) Resposta em aberto.
2. leitura do mês: 1 946 m3 leitura do mês seguinte: 2 018 m3 consumo: 2 018 2 1 946 5 72 R 72 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 72 m3 correspondem a 72 000 dm3.
47 – Unidades de medida de capacidade Exercícios, página 301. 1. V 5 10 3 7 3 2,5 5 175 R 175 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 175 m3 correspondem a 175 000 L.
2. desperdício de água em um dia: 1 600 L desperdício de água em 7 dias: 1 600 3 7 5 11 200 R 11 200 L desperdício de água em 30 dias: 1 600 3 30 5 48 000 R 48 000 L 3. a) ducha gasta: 135 L 1 chuveiro gasta da ducha: 3 1 3 135 5 45 → 45 L 3 b) Usando ducha, gastam-se: 30 3 135 5 4 050 R 4 050 L usando chuveiro, gastam-se: 30 3 45 5 1 350 R 1 350 L c) em 15 minutos, gastam-se: 45 L em 5 minutos, gastam-se: 15 L em 30 dias, economizam-se: 30 3 15 5 450 R 450 L
2. V 5 10 3 10 3 10 5 1 000 R 1 000 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 L. 1 000 cm3 correspondem a 1 L. 3. V 5 1,2 3 1,2 3 1,2 5 1,728 R 1,728 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 1,728 m3 corresponde a 1 728 L. gasto diário: 432 L dias necessários para esvaziar a caixa-d’água: 1 728 432 5 4 R 4 dias 4. a) 1,6 m corresponde a 16 dm. 50 cm correspondem a 5 dm. 45 cm correspondem a 4,5 dm. volume da banheira: 16 3 5 3 4,5 5 360 R 360 dm3 ou 360 L b) água para o banho: 16 3 5 3 3 5 240 R 240 dm3 ou 240 L c) R$ 1,50 o metro cúbico de água: 1 dm3 corresponde a 0,001 dm3. 240 dm3 correspondem a 0,240 m3. preço do banho: 1,50 3 0,240 5 0,36 R R R$ 0,36 5. Alternativa c. V 5 1,00 3 1,20 3 0,80 5 0,96 R 0,96 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,96 m3 corresponde a 960 dm3 ou 960 L. Brasil real, páginas 302 e 303. 1. a) Registro no hidrômetro: 98,6777 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 98,6777 m3 correspondem a 98 677,7 dm3 ou 98 677,7 L.
68
4. Com a torneira aberta, gastam-se de água: 12 L Com a torneira aberta apenas para molhar a escova e enxaguar a boca: 2 L economia de água: 10 L Em uma quinzena, com 4 escovações por dia, economizam-se: 15 3 4 3 10 5 600 R 600 L 5. gasto diário de uma torneira malfechada: 48 L desperdício em um mês: 48 3 30 5 1 440 R 1 440 L desperdício em uma hora: 48 ; 24 5 2 R 2 L 6.
1 de a) gasto de uma torneira aberta, 4 volta, por 15 minutos: 108 L 1 gasto de uma torneira aberta, de 4 volta, por 5 minutos: 108 ; 3 5 36 R 36 L b) gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 15 minutos: 380 L gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 30 minutos: 380 3 2 5 760 R 760 L
c) gasto de uma torneira aberta meia-volta por 15 minutos: 280 L gasto de uma torneira aberta meia-volta, por 3 minutos: 280 ; 5 5 56 R 56 L litros de água ingeridos por dia por uma pessoa: 2 L quantidade de dias para ingerir 56 L: 56 ; 2 5 28 R 28 dias
Desafio!, página 304. 1. O volume também dobra. 2. Em ambos os casos o volume também dobraria. 3. O volume do bloco ficaria multiplicado por 8.
48 – O utras medidas para medir capacidade Exercícios, página 306. 1. a) b) c) d) e) f)
1 mL corresponde a 0,001 L. 1 200 mL correspondem a 1,2 L. 1 cL corresponde a 0,01 L. 85 cL correspondem a 0,85 L. 1 hL corresponde a 100 L. 2 hL correspondem a 200 L. 1 dm3 corresponde a 1 L. 87 dm3 correspondem a 87 L. 1 m3 corresponde a 1 000 L. 3,5 m3 correspondem a 3 500 L. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L.
2. 1 mL corresponde a 0,001 L. 1 L. 500 mL correspondem a 0,5 L ou 2 3. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,36 m3 corresponde a 360 L. 4. 1 L corresponde a 1 dm3. 400 L correspondem a 400 dm3. 1 dm3 corresponde a 1 000 cm3. 400 dm3 correspondem a 400 000 cm3. capacidade de cada frasco: 50 cm3 quantidade de frascos necessários: 400 000 ; 50 5 8 000 R 8 000 frascos
5. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L. 7 500 000 cm3 correspondem a 7 500 L. 6. 1 cL corresponde a 0,01 L. 33 cL correspondem a 0,33 L. 7. volume do tanque: 0,06 m3 volume de gasolina no tanque: 3 3 0, 06 5 0, 045 → 0, 045 m3 4 falta para encher o tanque: 0,06 – 0,045 5 0,015 R 0,015 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 0,015 m3 corresponde a 15 L. 8. 1 L corresponde a 1 000 mL. 10 000 L corresponde a 10 000 000 mL. quantidade de garrafas usadas: 10 000 000 ; 250 5 40 000 R 40 000 garrafas
Desafio!, página 306. 1. Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte suficiente para completá-lo. O que restar no balde menor será 1 litro de água. 2. Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita.
Retomando o que aprendeu, página 307. 1. medidas do sólido R comprimento: 40 cm; largura: 20 cm; altura: 60 cm V 5 40 3 20 3 60 5 48 000 cm3 2. volume do 1o sólido: 1,2 m3 volume do 2o sólido: 5 3 1, 2 5 0, 75 R →0 , 75 m 0,75 m33 8 3. volume do cubo A: 2 3 2 3 2 5 8 R 8 cm3 volume do cubo B: 0,5 3 0,5 3 0,5 5 0,125 R 0,125 cm3 quantidade de vezes em que o cubo B cabe no cubo A: 8 ; 0,125 5 64 R 64 vezes
69
4. volume da caixa: 6 3 3 3 2 5 36 R 36 cm3 volume do paralelepípedo: 2 3 1,5 3 1 5 3 R 3 cm3 quantidade de paralelepípedos para encher a caixa: 36 ; 3 5 12 R 12 paralelepípedos
8. suco consumido em cada refeição: 750 mL suco consumido diariamente: 750 3 2 5 1 500 R 1 500 mL suco consumido em uma semana: 1 500 3 7 5 10 500 R 10 500 mL 1 mL corresponde a 0,001 L, logo 10 500 mL correspondem a 10,5 L.
5. volume do reservatório após a evaporação: 5 3 1,20 3 (1,20 – 0,05) 5 5 5 3 1,20 3 1,15 5 6,9 R 6,9 m3
9. volume da caixa-d’água: 105 m3 consumo diário: 4 3 105 5 84 → 84 m3 / dia 5 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 84 m3/dia correspondem a 84 000 L/dia.
6. 1 hora equivale a 60 minutos. 1 minuto equivale a 60 segundos, logo 1 hora equivale a: 60 3 60 5 3 600 R 3 600 segundos a cada 20 segundos goteja 7 vezes, logo em 3 600 segundos vai gotejar: (3 600 ; 20) 3 7 5 180 3 7 5 1 260 R 1 260 gotas volume de cada gota: 0,2 cm3 volume total de água que vaza: 1 260 3 0,2 5 252 R 252 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 252 cm3 correspondem a 0,252 dm3. 7. volume do reservatório: 10 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 10 m3 correspondem a 10 000 dm3 ou 10 000 L. Retirando 2 200 L, restam: 10 000 – 2 200 5 7 800 R 7 800 L 2a retirada de água: 1 3 7800 5 2600 → 2600 L 3 Restam: 7 800 – 2 600 5 5 200 R 5 200 L
10. quantidade de gotas a cada 5 minutos: 100 gotas quantidade de gotas em 1 minuto: 100 ; 5 5 20 R 20 gotas 1 hora corresponde a 60 minutos. quantidade de gotas em 1 hora: 60 3 20 5 1 200 R 1 200 gotas volume de cada gota: 3 mL volume total das gotas em 1 hora: 1 200 3 3 5 3 600 R 3 600 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 3 600 mL correspondem a 3,6 L. 3,6 L > 1 L 11. quantidade de óleo comprada: 100 3 120 5 12 000 R 12 000 L capacidade de cada recipiente: 750 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 750 mL correspondem a 0,75 L. quantidade necessária de recipientes: 1 200 ; 0,75 5 16 000 R 16 000 recipientes
Medindo a massa 49 – Unidades de medida de massa
b) c) d) e) f)
Chegou a sua vez!, página 310. 1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto.
50 – T ransformação das unidades de medida de massa Exercícios, página 312. 1. a) um pacote de arroz: quilograma;
70
carga de um caminhão: tonelada; um comprimido: miligrama; laje de concreto: tonelada; uma pessoa: quilograma; ovo de codorna: grama
2. a) g
b) kg
c) g
d) g
e) kg
3. a) 1 kg corresponde a 1 000 g. 2,3 kg correspondem a 2 300 g. 3 kg corresponde a: b) 4 3 3 1000 5 750 → 750 g 4
f) kg
c) d)
1 mg corresponde a 0,001 g. 950 mg correspondem a 0,95 g. 1 quilate corresponde a 0,2 g. 24 quilates correspondem a: 24 3 0,2 5 4,8 R 4,8 g
4. 3,6 ; 0,2 5 18 R 18 quilates 5. a) b)
1 sanduíche é feito com 270 g. 200 sanduíches são feitos com: 200 3 270 5 54 000 R 54 000 g 1 g corresponde a 0,001 kg. 54 000 g correspondem a 54 kg. 1 kg corresponde a 1 000 g. 17,55 kg correspondem a 17 550 g. 270 g de carne para 1 sanduíche R R 17 550 de carne para: 17 550 ; 270 5 65 R 65 sanduíches
b) 1 L corresponde a 1 kg. 30 000 L correspondem a 30 000 kg. 2. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 40 m3 correspondem a 40 000 L. Se em cada litro (dm3) há 0,5 kg, em 40 000 L há: 40 000 3 0,5 5 20 000 R 20 000 kg 1 tonelada corresponde a 1 000 kg. 20 000 kg correspondem a 20 toneladas. 3. Seis embalagens de 0,5 kg correspondem a: 6 3 0,5 5 3,0 R 3 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 3 kg correspondem a 3 000 g. quantidade de embalagens de 250 g: 3 000 ; 250 5 12 R 12 embalagens 4. a) b)
6. 1 kg corresponde a 0,001 t. 83 000 kg correspondem a: 83 000 3 0,001 5 83 R 83 t 7. 1 kg corresponde a 1 000 g. 6 kg correspondem a 6 000 g. quantidade de pedaços de 750 g cada: 6 000 ; 750 5 8 R 8 pedaços 8. 1 kg corresponde a 1 000 g. 1 000 g custam R$ 5,00. 100 g custam: 5 ; 10 5 0,50 R R$ 0,50 700 g custam: 7 3 0,50 5 3,50 R R$ 3,50 9. Alternativa a. 64 kg correspondem a 64 000 g. Emagreceu 450 g, ficou com: 64 000 – 450 5 63 550 g 63 550 g correspondem a 63,550 kg ou 63 kg e 550 g.
5. 1,5 m corresponde a 15 dm. 1,20 m corresponde a 12 dm. 80 cm correspondem a 8 dm. volume do tanque: 15 3 12 3 8 5 1 440 R 1 440 dm3 ou 1 440 L 1 litro tem 0,7 kg, 1 440 L têm: 1 440 3 0,7 5 1 008 R 1 008 kg 1 kg corresponde a 0,001 t. 1 008 kg correspondem a: 1 008 3 0,001 5 1,008 R 1,008 t 6. a) 1,20 m de comprimento correspondem a 12 dm. 80 cm de largura correspondem a 8 dm. 45 cm de altura correspondem a 4,5 dm. volume de água no reservatório: 12 3 8 3 4,5 5 432 R 432 dm3 ou 432 L b) massa de 1 L de água: 1 kg massa de 432 L de água: 432 kg
10. Alternativa b. quantidade de goiabada: 2 kg correspondem a 2 000 g. quantidade consumida: 250 1 200 1 450 5 900 R 900 g quantidade que restou: 2 000 – 900 5 1 100 R 1 100 g Exercícios, páginas 313 e 314. 1. a)
volume do reservatório: 30 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 30 m3 correspondem a: 30 3 1 000 5 30 000 R 30 000 L
25 cm correspondem a 0,25 m. volume da laje: 5 3 3,2 3 0,25 5 4 R 4 m3 4 m3 correspondem a 4 000 dm3. Se 1 dm3 corresponde a 1,5 kg, 4 000 dm3 correspondem a: 4 000 3 1,5 5 6 000 R 6 000 kg
Brasil real, página 314. 1. a)
1 quarta corresponde a 12 kg. 45 quartas correspondem a: 45 3 12 5 540 R 540 kg 1 @ corresponde a 15 kg. 540 kg correspondem a: 540 ; 15 5 36 R 36 @
71
1 de um quintal corresponde a 1 @. 4 1 @ corresponde a 15 kg. 1 quintal corresponde a: 4 3 15 5 60 R 60 kg c) 1 @ corresponde a 15 kg. 30,5 @ correspondem a: 30,5 3 15 5 457,5 R 457,5 kg d) boi: 510 kg 510 kg correspondem a: 510 ; 15 5 34 R 34 @ 1 @ custa R$ 46,00, 34 @ custam: 34 3 46 5 1 564 R R$ 1 564,00 vaca: 465 kg 465 kg correspondem a: 465 ; 15 5 31 R 31 @ 1 @ custa R$ 42,00, 31 @ custam: 31 3 42 5 1 302 R R$ 1 302,00 preço pago pelos animais: 1 564 1 1 302 5 2 866 R R$ 2 866,00 2. a) 1 t corresponde a 1 000 kg. 28,5 milhões de toneladas correspondem a: 28,5 milhões 3 1 000 5 28,5 bilhões R R 28,5 bilhões de quilogramas b) aumento de produção: 30 400 000 – 28 500 000 5 1 900 000 R R 1,9 milhão de toneladas 1 @ corresponde a 15 kg. 1 tonelada corresponde a 1 000 kg ou, em arrobas: 1 000 ; 15 . 66,67 @ 1 900 000 toneladas correspondem a: 1 900 000 3 66,67 126 673 000 R R 126,7 milhões de arrobas b)
Desafio!, página 315. 1. 1 pote de fermento equivale a 5 caixas de gelatina. 2 potes de fermento equivalem a 10 caixas de gelatina. 1 pote de chocolate equivale a 2 potes de fermento, logo: 1 pote de chocolate equivale a 10 caixas de gelatina. 4 potes de chocolate equivalem a 40 caixas de gelatina. 2 kg de açúcar equivalem a 40 caixas de gelatina.
72
2. 2 kg de açúcar correspondem a 2 000 g de açúcar. 4 potes de chocolate equivalem a 2 000 g. 1 pote de chocolate equivale a: 200 ; 4 5 500 R 500 g 3. Resposta em aberto. Retomando o que aprendeu, página 315. 1 1. 1 bloco tem 1 t, 20 blocos têm: 4 1 5 3 20 5 3 20 5 25 R 25 t 1 4 4 2. 1 m3 tem 150 g de massa. 1,2 kg corresponde a 1 200 g, logo 1 200 correspondem a: 1 200 ; 150 5 8 R 8 m3 de massa 3. massa da laje: 42 toneladas 42 toneladas correspondem a 42 000 kg. quantidade de blocos que formam a laje: 28 massa de cada bloco: 42 000 ; 28 5 1 500 R 1 500 kg 4. A produção dobra a cada ano. Em 2002, a produção foi de 125 kg. 2 toneladas correspondem a 2 000 kg, logo em 2003 a produção foi de 250 kg, em 2004 foi de 500 kg, em 2005 foi de 1 000 kg e, em 2006, a produção foi de 2 000 kg. 5. cada bolinha: 0,25 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 0,25 kg corresponde a: 0,25 3 1 000 5 250 g 28 bolinhas têm: 28 3 250 5 7 000 R 7 000 g caixa com as bolinhas: 7,35 kg ou 7 350 g caixa tem: 7 350 2 7 000 5 350 R 350 g 6. 1 pacote de feijão equivale a 500 g. 12 pacotes de feijão equivalem a: 12 3 500 5 6 000 R 6 000 g consumo de feijão por semana: 1,5 kg corresponde a 1 500 g. 6 000 g serão consumidos em: 6 000 ; 1 500 5 4 R 4 semanas 7. a) b)
volume de concreto na laje: 20 3 8 3 0,25 5 40 R 40 m3 1 m3 de concreto tem 1 000 kg. 1 000 kg correspondem a 1 t, logo: 1 m3 de concreto tem 1 t, 40 m3 de concreto têm 40 t.
SUMÁRIO 7.o ano Potências e raízes.............................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros....................................................................... 84 O conjunto dos números racionais. ................................................................... 102 Estudando as equações...................................................................................... 117 Estudando as inequações................................................................................... 147 Estudando os ângulos....................................................................................... 155 Estudando triângulos e quadriláteros.............................................................. 165 Razões e proporções. ......................................................................................... 167 Grandezas proporcionais................................................................................... 185 Porcentagem...................................................................................................... 200
Potências e raízes b) 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 5 (0,9)5 c) 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 710 2 2 2 2 d) 3 5 5 5 5
Abertura, página 7. • Pra pensar, sem se cansar: Com quantos cubinhos se faz um cubo? Depende do tamanho do cubo. • Procure no dicionário: Qual a diferença entre censo e recenseamento? Censo: conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade, província, estado, nação etc., com todas as suas características. Recenseamento: arrolamento de pessoas ou de animais. • Número quadrado: E quantos quadradinhos terá o próximo número da sequência? A sequência começa com 4 quadradinhos, depois passa para 16 e depois para 256. Logo, o próximo número da sequência será 65 536. • Preste bem a atenção e conte de forma certeira: Quantos são os quadrados? São 14 quadrados no total: nove quadrados com 1 palito, quatro quadrados com 2 palitos e um quadrado com 3 palitos.
e) 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 ... 1,5 5(1,5)20 20 fatores
3 3 3 3 3 f) 3 3 3 5 7 7 7 7 7 g) 1 3 1 3 1 3 1 3 ... 3 1 5 1100 100 fatores
2. a) 46 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 b) (0,7)3 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 2
1 1 1 c) 5 3 8 8 8 d) 104 5 10 3 10 3 10 3 10 3. De acordo com as figuras, temos: a) 4 3 4 5 42 b) 2 3 2 3 2 5 23 4. a) 63 5 6 3 6 3 6 5 216 b) 105 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 100 000 c) 72 5 7 3 7 5 49 d) 112 5 11 3 11 5 121 e) 90 5 1 f) (0,3)3 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,027 g) (1,8)2 5 (1,8) 3 (1,8) 5 3,24
1 – Potência de um número racional Explorando, página 8. a) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 8 partes iguais. b) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 16 partes iguais. c) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 32 partes iguais. d) De acordo com os itens anteriores, se dobrarmos a folha: • 6 vezes, ela ficará dividida em 64 partes iguais. • 7 vezes, ela ficará dividida em 128 partes iguais. • 8 vezes, ela ficará dividida em 256 partes iguais. Resposta em aberto. Exercícios, páginas 10 e 11. 1. a) 10 3 10 3 10 5 103
4
1
5
1
1
1
1
1
1
h) 5 3 3 3 3 5 2 2 2 2 2 32 2 4
16 2 2 2 2 2 i) 5 3 3 3 5 5 5 5 5 5 625 j) (2,5)0 5 1 5. De acordo com a figura, cada aresta tem 8 cubinhos; logo, o total de cubinhos será: 83 5 8 3 8 3 8, ou seja, 512 cubinhos. 6. De acordo com a figura, temos: 132 5 13 3 13 5 169 7. a) (0,2)2 5 (0,2) 3 (0,2) 5 0,04 b) Escrevendo 0,04 na forma de fração irredutível, temos: 44 1 0, 04 5 5 100 4 25
75
c) Escrevendo 0,04 na forma percentual, temos: 0,04 3 100 5 4%.
c) • 25 : 23 5 32 : 8 5 4 • 22 5 4 • 35 : 32 5 243 : 9 5 27 • 33 5 27
8. Das expressões, temos: (11 1 3)2 5 (14)2 5 14 3 14 5 196 112 1 32 5 121 1 9 5 130 Logo, as expressões não são iguais, pois 196 ≠ 130.
d) • 25 : 23 5 4 e 22 5 4 Logo, 25 : 23 5 22. • 35 : 32 5 27 e 33 5 27 Logo, 35 : 32 5 33.
9. De acordo com o enunciado, vem: N 5 2 3 (0,9) 2 (0,9)2 N 5 1,8 2 0,81 N 5 0,99
e) • (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 • 26 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 • (32)2 5 (9)2 5 9 3 9 5 81 • 34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 • (22)3 5 (4)3 5 4 3 4 3 4 5 64 • 26 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64
10. a) x 5 24 3 22 x 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 y 5 28 y 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 256 Logo, x y. b) x 5 22 3 52 x 5 2 3 2 3 5 3 5 5 100 y 5 (5 3 2)2 y 5 (10)2 y 5 10 3 10 5 100 Logo, x 5 y.
f) • (23)2 5 26, pois (23)2 5 64 e 26 5 64. • (32)2 5 34, pois (32)2 5 81 e 34 5 81. • (22)3 5 26, pois (22)3 5 64 e 26 5 64. 3. a) • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 33 5 3 3 3 3 3 5 27 • 23 3 33 5 8 3 27 5 216 • (2 3 3)3 5 (6)3 5 6 3 6 3 6 5 216
11. Como 40% 5 0,4, então, o quadrado de 40% será: (0,4)2 5 (0,4) 3 (0,4) 5 0,16
b) • 32 5 3 3 3 5 9 • 52 5 5 3 5 5 25 • 32 3 52 5 9 3 25 5 225 • (3 3 5)2 5 (15)2 5 15 3 15 5 225
12. 10 5 100 ou 10 5 10 ⇒ x 5 2 8o 5 y ⇒ y 5 1 Logo, x 2 y 5 2 2 1 5 1. x
x
2
c)
2 – Propriedades da potenciação
• 53 5 5 3 5 3 5 5 125 • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 53 3 23 5 125 3 8 5 1 000 • (5 3 2)3 5 (10)3 5 10 3 10 3 10 5 1 000
Explorando, páginas 11 e 12. 1. De acordo com o esquema, temos: 33 5 3 3 3 3 3 5 27 Portanto, Larissa usou 27 cubinhos. 2. De acordo com os resultados obtidos por Carlos, temos: a) • 22 3 23 5 4 3 8 5 32 • 25 5 32 • 34 3 32 5 81 3 9 5 729 • 36 5 729 b) • 22 3 23 5 32 e 25 5 32 Logo, 22 3 23 5 25. • 34 3 32 5 729 e 36 5 729 Logo, 34 3 32 5 36.
76
d) • 22 5 2 3 2 5 4 • 42 5 4 3 4 5 16 • 22 3 42 5 4 3 16 5 64 • (2 3 4)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 Resposta em aberto. Exercícios, página 16. 1. a) 75 3 74 5 75 + 4 5 79 b) (132)6 5 132 3 6 5 1312 c) 85 : 84 5 85 2 4 5 81 d) (x10)3 5 x10 3 3 5 x30 e) (0,6)10 : (0,6)7 5 (0,6)10 2 7 5 (0,6)3
7.
3
3 3 3 3 3 3 3 9 f) 5 5 4 4 4 20
15
7 7 7 g) 5 9 9 9
20 2 15
7 5 9
a) 35 000 5 35 3 103 b) 60 000 000 5 6 3 107 c) 920 000 5 92 3 104 d) 92 000 000 000 5 92 3 109
5
h) (0,9)8 3 (0,9) 3 (0,9)3 5 (0,9)8 + 1 + 3 5 5 (0,9)12 4
8. 9 5 32; 27 5 33; 729 5 36 (9 3 27) 729 5 (32 3 33) 36 5 (32 1 3) 36 5 35 36 5
i) (1,7)10 5 (1,7)10 3 4 5 (1,7)40 2. a 5 213; b 5 27; c 5 25 a) a 3 b 5 213 3 27 5 213 1 7 5 220 b) b : c 5 27 : 25 5 27 2 5 5 22 c) a 3 c 5 213 3 25 5 213 1 5 5 218 d) a : b 5 213 : 27 5 213 2 7 5 26 e) a2 5 (213)2 5 213 3 2 5 226 f) b3 5 (27)3 5 27 3 3 5 221 g) a 3 b 3 c 5 213 3 27 3 25 5 213 1 7 1 5 5 225 h) a : c 5 213 : 25 5 213 2 5 5 28 i) c4 5 (25)4 5 25 3 4 5 220 3. Sendo x 5 104 e y 5 103, temos: x3 5 (104)3 5 104 3 3 5 1012 y4 5 (103)4 5 103 3 4 5 1012 Logo, x3 5 y4. 4. a) (5 3 11 3 23)3 5 53 3 113 3 233 b) (23 3 3)4 5 (23)4 3 34 5 212 3 34 c) (35 : 52)2 5 (35)2 : (52)2 5 310 : 54 3
3
3
3
3
3
45 )44(23,1 4(5 2,3 (2)4,33 )(42,(1,1) 1 (2)5,1)55 (5 2,3 ((0,6) 2)4,3 (2(1,1) )5,1)55 2,3 (2)12 ,35 2,1 )12(5 (2)15 ,1)15 d) ((0,6) 7
7
e) 1 3 2 5 1 3 2 7 3 3 7 3
3
35 1 5 35 2 6 5 321 5 3 36
5
7
9. a) (29 3 211 3 23) : (27)3 5 (29 1 11 1 3) : 27 3 3 5 5 223 : 221 5 223 2 21 5 22 5 4 10 b) (0, 4)2 (0, 4)9 3 (0, 4)7 3 (0, 4) 5 (0, 4)2 3 10 (0, 4)9 1 7 1 1 5 5 (0,4)20 : (0,4)17 5 (0,4)20 2 17 5 (0,4)3 5 5 (0,4) 3 (0,4) 3 (0,4) 5 0,064 10. a 5 27 3 34 3 72; b 5 25 3 32 3 7; c 5 25 3 3 3 7 a) a : b (27 3 34 3 72) : (25 3 32 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 2 3 3 72 2 1 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252 b) a : c (27 3 34 3 72) : (25 3 3 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 1 3 3 72 2 1 5 22 3 33 3 7 5 5 4 3 27 3 7 5 756 c) b : c (25 3 32 3 7) : (25 3 3 3 7) 5 25 2 5 3 32 2 1 3 3 71 2 1 5 20 3 31 3 70 5 51333153 11. (104 )7 104 3 7 1028 5 5 5 (108 3 10)3 108 3 3 3 103 1024 3 103
3
f) (2,3)4 (2,1)5 5 (2,3)4 (2,1)5 5 (2,3)12 5 (2,1)15
5
5. a) a2 3 b2 5 (a 3 b)2 Como a 3 b 5 6, temos: a2 3 b2 5 62 5 36 b) a3 3 b3 5 (a 3 b)3 Como a 3 b 5 6, temos: a3 3 b3 5 63 5 216 6. giga: 1 000 000 000 5 109 mega: 1 000 000 5 106 miria: 10 000 5 104 quilo: 1 000 5 103 hecto: 100 5 102 deca: 10 5 101
1028 1028 5 27 5 24 1 3 10 10
5 1028 : 1027 5 1028 2 27 5 101 5 10 12. Sabendo que 1 024 5 210 e 64 5 26, temos: 1 0242 : 643 5 (210)2 : (26)3 5 210 3 2 : 26 3 3 5 5 220 : 218 5 220 2 18 5 22 5 4 13. a) Se o raio do Sol é 7 3 1010 cm e 1 km 5 5 105 cm, então, o raio do Sol será: 7 3 1010 : 105 5 7 3 1010 2 5 5 7 3 105 5 5 7 3 100 000 5 700 000 Logo, o raio do Sol tem aproximadamente 700 000 km.
77
b) 150 000 000 km 5 15 3 107 km c) A distância da Terra à Lua é 384 000 km; logo, sendo 1 km 5 103 m, temos: d 5 384 3 103 3 103 5 384 3 103 1 3 5 5 384 3 106 d 5 384 3 106 m d) O raio da Lua é aproximadamente 1 700 km; logo, sendo 1 km 5 105 cm, temos: rLua 5 1 700 3 105 5 17 3 102 3 105 5 5 17 3 102 1 5 rLua 5 17 3 107 cm e) O raio da Terra é 3,765 vezes maior que o raio da Lua. Como o raio da Lua é aproximadamente 1 700 km, o raio da Terra será, aproximadamente: 3,765 3 1 700 km 5 6 400,5 km
A: 36; B: 24; C: 64; D: 25; E: 72 b) Os quadrados são as figuras: A, C e D. c) Os números correspondentes às áreas dos quadrados são: A: 36; C: 64; D: 25 Exercícios, página 21. 1.
1 cm
a) Sim, basta formar 5 fileiras com 5 quadrados em cada uma. b) 25 é um quadrado perfeito, pois 25 5 52. c) Não, pois o número de quadrados em cada linha e em cada coluna não será o mesmo. d) Não, pois não há número natural que elevado a 2 resulte em 29.
Brasil real, página 18. a) De acordo com a tabela de referências, a maior distância entre os extremos do Brasil é de Norte a Sul. b) Sendo 1 km 5 103 m, temos: 4 402 km 4 402 3 103 m 4 325 km 4 325 3 103 m Chegou a sua vez!, página 19. a) 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 128 b) 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 729 c) 35 3 36 5 35 1 6 5 311 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5 7
1 cm
2. a)
11 vezes
5 531441 e) 26 3 26 5 26 1 6 5 212 5 2 3 2 3 2 3 2 3 ... 3 2 5 4 096 12 vezes
f) (0,3)6 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,000729 g) (0,7)7 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 5 0,0823543 h) (2,25)5 5 (2,25) 3 (2,25) 3 (2,25) 3 3 (2,25) 3 (2,25) 5 57,665038 i) (32)4 5 32 3 4 5 38 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 6 561 j) (4)7 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 16 384
3 – Números quadrados perfeitos Explorando, página 19. a) Contando os quadradinhos de cada figura, temos:
78
2 2 3 3 5 2 2 3 32 3 5
Como o fator 5 não apresenta expoente par, 180 não é um quadrado perfeito.
5 177147 d) 310 3 32 5 310 + 2 5 312 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5 12 vezes
180 90 45 15 5 1
b)
225 75 25 5 1
3 3 5 5 3 2 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 225 é um número quadrado perfeito. c)
729 243 81 27 9 3 1
3 3 3 3 3 3 36
Como o fator apresenta expoente par, 729 é um número quadrado perfeito.
d)
1 000 500 250 125 25 5 1
2 2 2 5 5 5 23 3 53
Como os fatores não apresentam expoente par, 1 000 não é um número quadrado perfeito. e)
1 024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 210
Como o fator apresenta expoente par, 1 024 é um número quadrado perfeito. f)
1 225 245 49 7 1
5 5 7 7 52 3 72
Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 225 é um número quadrado perfeito. g)
1 600 800 400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 2 2 5 5 26 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 600 é um número quadrado perfeito. h)
2 000 1 000 500 250 125 25 5 1
i)
2 025 675 225 75 25 5 1
3 3 3 3 5 5 34 3 52
Como todos os fatores apresentam expoente par, 2 025 é um número quadrado perfeito. 3. Para que 24 3 5x 3 112 seja um número quadrado perfeito, devemos ter todos os expoentes pares. Logo, os possíveis valores para o expoente x, dentre os números apresentados, são 6 e 10. 4. 38 3 114 é um quadrado perfeito, pois todos os fatores apresentam expoente par. 5. Para que 2n 3 76 não seja um número quadrado perfeito, basta que n seja um número ímpar. 6. Os números quadrados perfeitos entre 100 e 300 são: 112 5 121; 122 5 144; 132 5 169; 142 5 196; 152 5 225; 162 5 256; 172 5 289 Logo, existem 7 números quadrados perfeitos entre 100 e 300. 7. Entre 450 e 500, há um único quadrado perfeito; logo, N vale 484. Desafio!, página 22. a) A figura é formada por 42 ou 24 quadrados com lados medindo um palito. b) A figura é formada por 32 quadrados com lados medindo dois palitos. c) A figura possui 22 quadrados formados por três palitos. d) Para que não restem quadrados, devem ser removidos da figura 32 palitos.
2 2 2 2 5 5 5 24 3 53
Como o fator 5 não apresenta expoente par, 2 000 não é um quadrado perfeito.
79
2
81 34 (32)2 (9)2 9 9 9 5 2 5 5 5 3 2 2 2 5 100 10 10 10 2 35 (2 3 5) (10) 2 81 34 (32)2 (9)2 9 9 9 5 3 5 0,81 5 5 2 5 5 5 2 2 2 100 10 10 10 2 35 (2 3 5) (10)
Exercícios, página 24. 1. a) 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 26
0,81 5
5 (0,9) 3 (0,9) Logo, 0,81 5 0,9 . f) 36 2 18 2 9 3 3 3 1 22 3 32
26 5 (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 Logo, 64 5 8 .
100 50 25 5 1
b) 49 7 7 7 1 72 72 5 7 3 7 Logo, 49 5 7 .
2
36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2 6 6 6 5 3 5 2 2 5 2 5 2 5 100 1 0 10 10 2 35 (2 3 5) (10) 2 36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2 6 6 6 5 3 5 0,36 5 5 2 5 2 5 2 5 100 10 10 2 35 (2 3 5) (10)2 10
c) 25 5 5 5 1 52
0,36 5
5(0,6) 3 (0,6) 2
1 1 1 1 1 5 2 5 5 3 25 5 5 5 5 2
1 1 5 . 25 5
Logo, d) 49 7 7 7 1 72 9 3 3 3 1 32
2
49 72 7 7 7 5 2 5 5 3 9 3 3 3 3 49 7 5 . 9 3
Logo, e) 81 3 27 3 9 3 3 3 1 34 100 50 25 5 1
80
2 2 5 5 22 3 52
2 2 5 5 22 3 52
0, 0004 5
Logo, 0,36 5 0,6 . g)
4 2 2 2 1 22 10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1 0, 0004 5
2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54 4 22 (2)2 (2)2 (2)2 5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2 2
4 22 (2)2 (2)2 (2)2 2 5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 2 5 10000 100 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100) 2 2 5 3 5 (0, 02) 3 (0, 02) 100 100 Logo, 0, 0004 5 0, 02 . h) 16 2 8 2 4 2 2 2 1 24
10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1
c) 676 2 338 2 169 13 13 13 1 22 3 132
2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54
22 3 133 5 (2 3 13)2 5 (26)2 5 26 3 26 Logo, 676 5 26 .
256 d) (4 16 24 (22)2 (4)2 )2 5 4 4 5 2 22 5 2 5 128 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2 64 4 22 2 2 16 2 (2 ) (4) (4) 5 4 32 4 5 2 22 5 2 5 2 5 000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100) 16 2 8 4 4 4 5 5 3 5 (0, 04) 3 (0, 04) 4 100 100 100 2 Logo, 0, 0016 5 0, 04 . 1 0, 0016 5
28 5 (24)2 5 (16)2 5 16 3 16 Logo, 256 5 16 .
2. 2
169 13 169 13 5 , pois 5 400 20 400 20 Sendo x 5 3.
e) 1 764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7 1 22 3 32 3 72
13 169 . , chegamos em x 5 20 400 2
121 (11)2 11 11 11 5 5 3 2 5 196 14 14 14 (14) 11 Logo, n 5 . 14 n2 5
1 764 5 22 3 32 3 72 5 (2 3 3 3 7)2 5 5 (42)2 5 42 3 42 Logo, 1764 5 42 .
4. 210 3 52 3 72 5 (25 3 5 3 7)2 5 (1 120)2 5 5 (1 120) 3 (1 120)
f) 2 304 2 1 152 2 576 2 288 2 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 2 8 3 32
Logo, 210 3 52 3 72 5 1120 . 5. a) 484 2 242 2 121 11 11 11 1 22 3 112 22 3 112 5 (2 3 11)2 5 (22)2 5 22 3 22 Logo, 484 5 22 . b) 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 36
2 52 2 2 2 2 2 2 28
28 3 32 5 (24 3 3)2 5 (16 3 3)2 5 (48)2 5 5 48 3 48 Logo, 2304 5 48 . 6.
2
a) 4,84 5
484 (22)2 22 22 22 5 (2,2) 3 (2,2) 5 5 3 2 5 100 10 10 10 (10)
2
484 (22)2 22 22 22 5 (2,2) 3 (2,2) 4,84 5 5 5 5 3 100 10 10 (10)2 10 36 5 (33)2 5 (27)2 5 27 3 27
Logo, 729 5 27 .
Logo, 4,84 5 2,2 .
81
2
c) 60 bananas valem 5 moedas de prata, 729 (27)2 27 27 27 5 (2,7) 3 (2,7) 5 5 5 3 já que cada 12 bananas valem uma 100 10 10 (10)2 10 2 moeda de prata. 2 729 (27) 27 27 27 5 (2,7) 3 (2,7) 29 5 5 5 3 2 5 d) Transformando dúzias em unidades, 100 10 10 10 (10) temos: Logo, 7,29 5 2,7 . 1 dúzia 5 12 unidades. 2 676 (26)2 26 26 26 c) 6,76 5 5 ( , ) 3 ( ,6)dúzias e 1 5 54 unidades. 2 6 2 5 5 5 3 10 10 4 100 (10)2 10 2 2 2 Como 6 laranjas valem 2 moedas de ouro, 676 (26) 26 26 26 5 (2,6) 3 (2,6) 76 5 5 5 3 54 laranjas valem 18 moedas de ouro. 2 5 100 10 10 10 (10) 1 e) 3 quilogramas e de café valem 21 Logo, 6,76 5 2,6 . 2 1 2 moedas de prata, pois quilograma 256 (16)2 16 16 16 2 5 (1,6) 3 (1,6) 5 5 3 d) 2,56 5 2 5 100 10 10 10 (10) de café vale 3 moedas de prata. 2 2 f) 3 leitões valem 30 moedas de ouro, pois 256 (16) 16 16 16 5 (1,6) 3 (1,6) 56 5 5 5 5 3 1 leitão vale 10 moedas de ouro. 100 10 10 (10)2 10 g) Não é possível responder a essa Logo, 2,56 5 1,6 . questão, pois faltam dados. 2 1764 (42)2 42 42 42 e) 0,1764 5 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Chegou a sua vez!, página 26. 2 1764 (42)2 42 42 42 a) Gráfico A: matrículas na Educação 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Básica em 2006; b) 7,29 5
Logo,
0,1764 5 0, 42 .
Gráfico B: matrículas na Educação Básica em 2005 e 2006; 2304 (48) 48 48 48 f) 0,2304 5 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5 2 5 10000 100 100 Gráfico C: matrículas na EJA entre 2000 100 (100) e 2006. 2 2304 (48)2 48 48 48 b) Gráfico A: gráfico de setores; 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5 5 10000 100 100 (100)2 100 Gráfico B: gráfico de barras; Logo, 0,2304 5 0, 48 . Gráfico C: gráfico de linhas. 12 c) Sim, pois, de acordo com o gráfico A, 7. Se x 5 2 , temos: 12 6 2 2 59,5% dos alunos foram matriculados 2 5 (2 ) 5 (64) 5 64 3 64 no Ensino Fundamental. Logo, x 5 64. d) Não; de acordo com as informações do 8. gráfico B, a quantidade de matrículas 1 521 3 na EJA permaneceu a mesma. 507 3 e) De acordo com o gráfico C, a 169 13 quantidade de matrículas na EJA vem 13 13 crescendo no período apresentado. 1 32 3 132 2
2
n2 5 1 521 5 32 3 132 5 (3 3 13)2 5 (39)2 5 5 39 3 39 Logo, n 5 39. Desafio!, página 24. a) 36 ovos valem 12 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade de ovos, a quantidade de moedas de ouro também triplica. b) 54 galinhas valem 21 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade inicial de galinhas, a quantidade de moedas de ouro também triplica.
82
Retomando o que aprendeu, página 27. 1. Alternativa c. Pelo sistema “mata-mata”, 8 times chegam às quartas de final, ou seja, 23 times estão participando dessa etapa. 2. Alternativa b. I) (3 1 5)2 5 32 1 52 (8)2 5 9 1 25 64 5 34 (Falso.) II) (102)3 5 105 106 5 105 (Falso.)
III) 7 72 5 73 73 5 73 (Verdadeiro.) IV) 100 5 0 1 5 0 (Falso.) Apenas a igualdade III é verdadeira. 3. Alternativa a. 1a expressão: (25 : 22) : 22 5 (25 2 2) : 22 5 23 : 22 5 21 5 2 2a expressão: 25 : (22 : 22) 5 25 : (22 2 2) 5 25 : 20 5 25 5 32 a) Verdadeiro, pois 2 32. b) Falso, pois 2 32. c) Falso, pois 2 32. 4. Alternativa d. (27 : 24) 2 22 5 (27 2 4) 2 4 5 23 2 4 5 8 2 4 5 4 Logo, n 5 4. 5. Alternativa e. a 5 (102 3 10)7 : (104)5 a 5 (102 1 1)7 : 1020 a 5 (103)7 : 1020 a 5 1021 : 1020 a 5 1021 2 20 a 5 101 a 5 10
8. Alternativa b. Para que um número seja quadrado perfeito, todos os expoentes dos fatores devem ser par. Dentre os fatores dados, o 5 é o único que tem expoente ímpar; portanto, se multiplicarmos 24 3 32 3 53 por 5, obteremos um número quadrado perfeito: (24 3 32 3 53) 3 5 5 24 3 32 3 54 9. Alternativa d. 2 916 1 458 729 243 81 27 9 3 1
2 2 3 3 3 3 3 3 22 3 36
22 3 36 5 (2 3 33)2 5 (2 3 27)2 5 (54)2 5 5 54 3 54 Logo, 2916 5 54 .
10. Alternativa a. 2 2704 (52)2 52 52 52 3 5 (5,2) 3 (5,2) 27, 04 5 5 5 5 100 10 10 (10)2 10 2 2704 (52)2 52 52 52 27, 04 5 5 5 10 5 10 3 10 5 (5,2) 3 (5,2) 2 100 2 ( 10 ) b 5 47 3 410 3 4 (45)7 2 Logo, 27, 04 5 5,2 . b 5 47 1 10 1 4 435 2 11. Alternativa e. b 5 418 : 435 64 121 4 1 0,64 2 1,21 5 2 1 2 5 b 5 436 : 435 100 100 8 11 b 5 436 2 35 52 1 2 5 2 1 0,8 2 1,1 5 1,7 10 10 1 b54 Logo, 4 1 0,64 2 1,21 5 1,7 . b54 12. Alternativa c. Logo, a + b 5 10 + 4 5 14. 81 9 x 5 0,81 5 5 5 0,9 6. Alternativa a. 100 10 x 5 36 5 729 121 11 y 5 0, 0121 5 5 5 0,11 y 5 93 5 729 10000 100 Logo, x 5 y.
Logo, x 2 y 5 0,9 2 0,11 5 0,79.
7. Alternativa c. Se x 5 27 3 38 3 7 e y 5 25 3 36, então: x 5 (27 3 38 3 7) : (25 3 36) 5 27 2 5 3 38 2 6 3 y 3 7 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252 x Logo, 5 252. y
83
O conjunto dos números inteiros Abertura, página 28.
Pontos ganhos
Time
• O que é maior?: 7 graus Celsius abaixo de zero ou 70 graus Celsius abaixo de zero? 27 8C > 270 8C, pois 7 graus Celsius abaixo de zero está mais próximo do marco zero do que 70 graus Celsius abaixo de zero.
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
Cruzeiro
53
52
45
17
Atlético-PR
48
61
62
21
Corinthians
53
41
46
25
Santa Cruz
28
41
76
235
Fonte: <www.cbfnews.uol.com.br >. Acesso em: 18 jul. 2007.
e) Colocando as informações dos dois times em uma tabela, vem:
4 – A ideia de números inteiros Explorando, página 29. 1. a) O andar térreo é indicado pelo número zero (0). b) Os botões que indicam os andares acima do térreo são: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 110 c) Os botões que indicam os andares abaixo do térreo são: 21, 22, 23, 24, 25, 26 d) Resposta em aberto. 2. a) Os times com saldo de gols positivo são: São Paulo, Vasco e Cruzeiro. Já os times com saldo de gols negativo são: Corinthians, Atlético-PR e Santa Cruz. b) Os saldos de gols positivos foram indicados com o sinal de mais (1), e os saldos negativos, com o sinal de menos (2). c) Como o saldo de gols é a diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos, temos: 5
2 621 39 223
Como a quantidade de gols sofridos foi maior, representamos o saldo de gols da seguinte forma: 223. d) Não; para que os times ficassem ordenados do maior saldo de gols para o menor, a tabela deveria ser organizada da seguinte forma: Time
84
Pontos ganhos
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
São Paulo
78
66
32
134
Vasco
59
57
50
17
Time
Gols marcados
Gols sofridos
Saldo de gols
Flamengo
44
48
24
Palmeiras
58
70
212
De acordo com essa tabela, o Flamengo possui o maior saldo de gols.
Exercícios, página 34. 1. Representando as situações por números inteiros, temos: a) 28 pontos. b) 26 c) 1550 reais. d) 11 200 m e) 142 8C f) 121 gols. g) 24 000 m 2. Como Heródoto nasceu em 484 antes de Cristo, podemos representar essa data da seguinte forma: 2484. 3. Como a equipe marcou 17 gols e sofreu 20 gols, o saldo de gols será indicado por: 23. 4. O nível do mar é representado pelo número 0; logo, 395 metros abaixo do nível do mar é representado por: 2395. 5. Como o monte Aconcágua tem 6 959 m de altura, podemos representar sua altura da seguinte forma: 16 959 m. 6. Considerando o saldo inicial de R$ 300,00 e efetuando as operações para cada situação, temos: a) 1300 2 250 5 150 R 150 reais. b) 1300 1 200 5 1500 R 1500 reais. c) 1300 1 100 5 1400 R 1400 reais. d) 1300 2 320 5 220 R220 reais.
5 – O conjunto dos números inteiros
5. De acordo com o exercício 3 e considerando que cada intervalo na reta representa a distância de 100 km, vem: a) distância entre as cidades A e C R 200 km, pois há 2 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. b) distância entre as cidades A e D R 500 km, pois há 5 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. c) distância entre as cidades B e A R 600 km, pois há 6 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. d) distância entre as cidades E e B R 300 km, pois há 3 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. e) distância entre as cidades B e D R 1 100 km, pois há 11 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. f) distância entre as cidades E e A R 900 km, pois há 9 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades.
Exercícios, página 37. 1. a) A profundidade é indicada por um número negativo. Logo, a profundidade referida será: 2300 m. b) A altura é indicada por um número positivo. Logo, a altura referida será: 115 000 m. c) A situação descrita será representada por: 21 700 m. d) A representação da profundidade que o submarino alcança é: 2609 m. 2. Avião A: 250 km
Avião B: 1150 km
3. De acordo com a figura, temos as seguintes posições para as cidades em relação à capital: a) cidade A R 14 b) cidade B R 22 c) cidade C R 16 d) cidade D R 19 e) cidade E R 25
6. a) 12, pois corresponde ao ponto R. b) O ponto S, pois corresponde ao número 21. c) o ponto Q, pois corresponde ao número 14. d) 25, pois corresponde ao ponto P.
4. Se cada intervalo do exercício anterior corresponder a 100 km, as posições das cidades B e C em relação à capital serão: Cidade B R 2200 km Cidade C R 1600 km
7. Fazendo a reta e localizando nela os pontos, temos: c) B 27
26
25
24
23
b) R
f) P
22
21
Brasil real, página 38. 1. 23 000 m e 26 915 m. 2. a) • A profundidade da exploração da pesca na costa brasileira deve ser
0
11
12
a) A
e) C
13
14
d) S 15
16
17
indicada com número inteiro negativo: 2200 m. • A menor temperatura registrada oficialmente na cidade de Caçador é indicada por um número inteiro negativo: 214 8C.
85
• A altitude do Pico da Neblina seria indicada por um número inteiro positivo: 13 014 m. b) A temperatura máxima no deserto do Saara durante o dia pode alcançar: 151 8C. c) A temperatura noturna mínima no deserto do Saara pode chegar a 24 8C.
d) 1500 R o módulo é 500. e) 0 R o módulo é 0. f) 111 R o módulo é 111. 4. Os dois números inteiros diferentes que possuem módulo igual a 20 são: 120 e 220. 5. a) 111 5 11 R Módulo de mais onze é igual a onze. b) 2 30 5 30 R Módulo de menos trinta é igual a trinta.
6 – Módulo de um número inteiro Exercícios, páginas 40 e 41. 1. a) De 15 a 0, há cinco intervalos; logo a distância é 5. b) De 28 a 0, há oito intervalos; logo a distância é 8. c) De 23 a 0, há três intervalos; logo a distância é 3. d) De 17 a 0, há sete intervalos; logo a distância é 7. e) De 22 a 15, há sete intervalos; logo a distância é 7. f) De 29 a 21, há oito intervalos; logo a distância é 8. g) De 12 a 17, há cinco intervalos, logo a distância é 5. h) De 24 a 14, há oito intervalos; logo a distância é 8.
6. Não, pois o módulo de um número inteiro está associado à distância; logo é sempre positivo. 7. a) 2 7 1 3
b) 2 35 1 60
3. Sendo o módulo de um número inteiro a distância desse número até o zero, vem: a) 131 R o módulo é 31. b) 2300 R o módulo é 300. c) 228 R o módulo é 28.
86
2 35 5 35 e 1 60 5 60 R 35 < 60
c) 213 110
213 5 13 e 110 5 10 R 13 > 10
d) 2 50 5 1 50
2 50 5 50 e 1 50 5 50 R 50 5 50
8. Os números inteiros que têm módulo menor que 3 são: 22, 21, 0, 11, 12.
2. a) De 90 km a oeste até 50 km a leste são 140 quilômetros, pois de 90 km até a origem são 90 km, e da origem até 50 km são 50 km. b) De 3 8C abaixo de zero até 12 8C acima de zero há 15 graduações, pois de 3 8C abaixo de zero até zero há 3 graduações, e de zero até 12 8C há 12 graduações. c) De 80 km ao norte até 30 km ao sul são 110 quilômetros, pois de 80 km até a origem são 80 km, e da origem até 30 km são 30 km. d) De 251 8C até 227 8C são 24 graduações: 51 2 27 5 24.
27 5 7 e 13 5 3 R 7 > 3
2 2 5 2; 21 5 1; 0 5 0; 11 5 1; 1 2 5 2 9. a) Dentre os números inteiros dados, os que têm módulo menor que 30 são: 213, 120, 127, 225.
213 5 13; 1 20 5 20; 2 25 5 25; 1 27 5 27
b) Dentre os números inteiros dados, os que possuem módulo entre 30 e 50 são: 232 e 240.
2 32 5 32 e 2 40 5 40
c) Dentre os números inteiros dados, 151 é o único que tem módulo acima de 50. 1 51 5 51. 10.
217 1 1 33 2 2 50 17 1 33 2 50 50 2 50 0
11.
b) 220 < 210, pois 220 está mais distante de zero que 210. c) 27 < 11, pois todo número positivo é maior que um número negativo.
a) O simétrico de 226 é 126, pois ambos estão à mesma distância do zero.
(
)
b) O módulo de 265 é 65 2 65 5 65 , e o oposto de 65 é 265, pois 65 e 265 estão à mesma distância do zero. 12. 81 34 1 30 81 81 1 1 111 2 O oposto de 2 é 22. 13. O oposto de 24 é 14.
22
21
0
11
12
13
14
15
14. De acordo com o enunciado, esses números são chamados números opostos ou simétricos.
7 – Comparação de números inteiros
2. De acordo com a reta numérica, temos: a) a > 0, pois a está à direita de zero. b) b < 0, pois b está à esquerda de zero. c) c > 0, pois c está à direita de zero. d) 0 > d, pois 0 está à direita de d. e) a > b, pois a é positivo, e b é negativo. f) a > c, pois a está à direita de c. g) d < a, pois d é negativo, e a é positivo. h) b < c, pois b é negativo, e c é positivo. i) b > d, pois b está mais próximo de zero que d. 3. a) O menor número inteiro positivo da figura é 128. b) O maior número inteiro negativo da figura é 221. c) O maior número inteiro da figura é 175. d) O menor número inteiro da figura é 296. 4. a) b) c) d) e)
Explorando, página 41. 1. a) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Montevidéu (122 8C). b) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Tóquio (0 8C). c) Estava mais quente em Tóquio (0 8C) que em Londres (23 8C). d) Estava mais quente em Londres (23 8C) que em Oslo (210 8C). e) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Oslo (210 8C). f) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Londres (23 8C). 2. De acordo com a tabela, nesse dia fez mais frio em Oslo (Noruega).
Exercícios, páginas 44 e 45. 1. a) 22 > 26, pois 22 está mais próximo de zero que 26.
0 < 17 111 > 0 0 > 29 213 < 0 12 > 219
f) g) h) i) j)
230 < 16 17 < 120 211 > 230 21 < 15 220 < 23
5. O saldo nulo é igual a um saldo de gols zero. Como a equipe A teve um saldo negativo, e o número zero é maior que qualquer número negativo, a equipe que tem o maior saldo de gols é a equipe B. 6. Quanto mais à direita um número está do outro, maior será esse número; logo, colocando na ordem indicada, temos: a) 2100, 270, 210, 0, 120, 180 b) 112, 17, 11, 2100, 2160, 2300, 2500 7. a) Como o time Alegre sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 27. b) Como o time Bonito sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 25.
87
c) Como 25 está à direita de 27, 25 é maior que 27. Logo, a equipe Bonito é que passou para a fase seguinte do torneio.
20 8C e subiu 8 8C, a temperatura máxima em Brasília nesse dia foi: (120 8C) 1 (18 8C) 5 28 8C. b) Como a temperatura era 21 8C e aumentou em 6 8C, a temperatura ao meio-dia era: (21 8C) 1 (6 8C) 5 5 8C. c) Como a temperatura era 28 8C à meia-noite e subiu 7 8C ao meio-dia, a temperatura ao meio-dia era: (28 8C) 1 1 (17 8C) 5 21 8C.
8. Como 213 é menor que 29, pois 29 está à direita de 213, a equipe que deverá ser rebaixada é a equipe A.
10.
a) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 24, 21, 0, 12 e 16, pois todos esses números estão à direita de 25. b) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 220, 27, 24, 21 e 0, pois todos esses números respeitam a condição x 0.
2. a) Em Seul, a temperatura variou de 25 8C até 0 8C; logo, a temperatura variou em 5 8C. Em Buenos Aires, a temperatura variou de 18 8C até 21 8C; logo, a temperatura variou em 3 8C. Em Berlim, a temperatura variou de 23 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 5 8C. Em Moscou, a temperatura variou de 26 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 4 8C. No Cairo, a temperatura variou de 21 8C até 33 8C; logo, a variação da temperatura foi de 12 8C. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.
a) b) c)
A 5 {x | x 2 20} R Forma simbólica. A 5 {219, 218, 217, 216, 215, 214, ...} R R Nomeação dos elementos. B 5 {x | x 2 7} R Forma simbólica. B 5 {... 213, 212, 211, 210, 29, 28} R Nomeação dos elementos. C 5 {x | 2 5 x 1 3} R Forma simbólica. C 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} R Nomeação dos elementos.
11.
12.
a) P 5 {x | x 2 3} R P 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, ...} b) Q 5 {x | 2 9 x 2 6} → Q 5 {28, 2 7, 2 6}
Desafio!, página 51.
c) R 5 {x | x 2100} R R 5 {..., 2106, 2105, 2104, 2103, 2102, 2101}
1. Analisando a pirâmide, verificamos que a soma dos dois números inferiores é igual ao número acima.
A 5 {x | 2 6 x 1 3}
2. Como a pirâmide segue o mesmo segredo da anterior, temos:
A 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} a) Nesse conjunto, há três números inteiros não negativos. b) Nesse conjunto, há dois números inteiros positivos. c) O conjunto * é dos inteiros não nulos; logo, pertencem ao conjunto A os elementos: 25, 24, 23, 22, 21, 11 e 12.
216 116 216
1. a) Como a temperatura mínima era de
88
0 116
212 24 14 112 28 24
8 – Adição de números inteiros Explorando, páginas 45 e 46.
0
0 14 18
Exercícios, páginas 53 e 54. 1. a) (111) 1 0 5 111 b) 0 1 (213) 5 213 c) (234) 1 (23) 5 237
Editoria de arte
9.
2.
3.
d) e) f) g) h) i) j)
(28) 1 (251) 5 259 (121) 1 (121) 5 142 (149) 1 (260) 5 211 (2130) 1 (2125) 5 2255 (149) 1 (1121) 5 1170 (1820) 1 (2510) 5 1310 (2162) 1 (2275) 5 2437
a) b) c) d) e)
Para térreo 2 3 6, temos: (12) 1 (13) 1 (26) 5 (15) 1 (26) 5 21 Para térreo 2 1 3, temos: (22) 1 (21) 1 (13) 5 (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo 3 3, temos: (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo 3 4 3 6, temos: (23) 1 (14) 1 (13) 1 (26) 5 (23) 1 (26) 1 1 (14) 1 (13) 5 (29) 1 (17) 5 22 Para térreo 1 6 6 1, temos: (21) 1 (16) 1 (26) 1 (11) 5 (21) 1 (11) 1 1 (16) 1 (26) 5 0 (térreo)
a) De acordo com a tabela, cada grupo obteve: A R (113) 1 (118) 5 131 B R (212) 1 (134) 5 122 C R (23) 1 (125) 5 122 D R (128) 1 (25) 5 123 E R (121) 1 (118) 5 139 b) De acordo com a pontuação total obtida no item anterior, os três primeiros colocados foram respectivamente os grupos E, A e D.
4. Representando o valor que Caio tem por um número positivo, e o valor da retirada, por um número negativo, temos: (13 600) 1 (24 000) 5 2400. Portanto, se Caio fizer essa retirada, seu saldo será de 2400 reais. 5. Representando o prejuízo por um número negativo (212), e o lucro, por um número positivo (1 29), vem: (212) 1 (129) 5 117 Logo, a florista teve um lucro de 17 reais. 6. Representando a data de nascimento de Júlio César por 2100 e sabendo que ele morreu com 56 anos, calculamos o ano de sua morte: (2100) 1 (156) 5 244 Logo, Júlio César morreu no ano 244 ou 44 a.C.
7. Representando 31 a.C. por 231 e sabendo que Marco Antônio morreu com 51 anos, calculamos o ano de seu nascimento: (231) 1 (251) 5 282 Logo, Marco Antônio nasceu em 282 ou 82 a.C. 8. Em 10 km há 10 000 m, pois 1 km 5 1 000 m. Em 10 000 m há 50 vezes 200 m, pois 10 000 200 5 50. Como a temperatura diminui cerca de 1 grau a cada 200 m de afastamento da superfície terrestre, temos: (120) 1 (250) 5 230 Logo, a temperatura na atmosfera a uma altura de 10 km é 230 graus. 9. Valor ganho com as respostas corretas: 52 × 20 5 1 040 R R$ 1 040, 00 Como Carlos acertou 52 perguntas de um total de 100, ele errou 48 perguntas; logo, Carlos pagou pelas respostas erradas o valor de: 48 × 22 5 1 056 R R$ 1 056, 00 Fazendo a diferença, vem: (11 040) 1 (21 056) 5 216 Logo, Carlos perdeu 16 reais no programa. 10. Para determinar o valor de x em cada caso, basta somar o resultado de cada igualdade com o simétrico das parcelas conhecidas. Assim, temos: a) (113) 1 (29) 5 14 b) (210) 1 (16) 5 24 c) 0 1 (17) 5 17 d) (13) 1 (13) 5 16 e) (23) 1 (27) 5 210 f) (218) 1 (120) 5 12 11. De acordo com as operações do extrato, podemos escrever: (17 200) 1 (110 000) 1 (213 000) 1 (28 000) 1 1 (15 000) 5 5 (17 200) 1 (110 000) 1 (15 000) 1 1 (213 000) 1 (28 000) 5 5 (122 200) 1 (221 000) 5 11 200 Logo, o saldo de Sérgio no dia 6 de junho era de 1R$ 1 200,00. 12. a) (127) 1 (113) 1 (228) 5 5 (140) 1 (228) 5 112
89
3. a) b) c) d) e) f)
c) (190) 1 (275) 1 (247) 5 5 (190) 1 (2122) 5 232 d) (211) 1 (120) 1 (135) 1 (227) 5 5 (211) 1 (227) 1 (120) 1 (135) 5 5 (238) 1 (155) 5 117 e) (132) 1 (268) 1 (222) 1 (148) 5 5 (132) 1 (148) 1 (268) 1 (222) 5 5 (180) 1 (290) 5 210
4. A soma dos dois números inferiores é igual ao número acima; com essa regra preenchemos as linhas que faltam:
f) (199) 1 (2100) 1 (2100) 1 (198) 1 (210) 5 5 (199) 1 (198) 1 (2100) 1 (2100) 1 1 (210) 5 5 (1197) 1 (2210) 5 213
275 2170 2140
g) (273) 1 (222) 1 (245) 1 (292) 1 (1250) 5 5 (2232) 1 (1250) 5 118 13. Como a e b são números inteiros opostos, o resultado da adição de a 1 b é 0, pois como a 5 2b, temos: (2b) 1 (1b) 5 0. 14. Sim; se a e b são números inteiros positivos, a soma de a 1 b também será positiva. 15. Sendo a 5 273, b 5 151 e c 5 217, temos: a) a 1 b R (273) 1 (151) 5 222 b) a 1 c R (273) 1 (217) 5 290 c) b 1 c R (151) 1 (217) 5 134 d) a 1 b 1 c R (273) 1 (151) 1 (217) 5 5 (290) 1 (151) 5 239
Exercícios, páginas 55 e 56. 1. a) b) c) d) e)
(120) 1 (218) 5 20 2 18 5 12 (230) 1 (121) 5 230 1 21 5 29 (281) 1 (217) 5 281 2 17 5 298 (137) 1 (152) 5 37 1 52 5 189 (215) 1 (122) 1 (26) 5 215 1 22 2 6 5 5 215 2 6 1 22 5 221 1 22 5 11
2. De acordo com a figura, vem: A R (27) 1 (210) 5 27 2 10 5 217 B R (217) 1 (19) 5 217 1 9 5 28 C R (28) 1 (120) 5 28 1 20 5 112
90
g) 31 1 14 5 145 h) 21 1 30 5 129 i) 40 2 63 5 223 j) 91 2 57 5 134 l) 290 1 10 5 280 m) 2100 1 104 5 14
7 1 17 5 124 28 2 2 5 210 29 1 14 5 15 24 2 4 5 28 19 2 23 5 24 240 2 11 5 251
280 230
230
260
250
195 1125
130
210
195
140
155
Editoria de arte
b) (250) 1 (230) 1 (212) 5 5 (280) 1 (212) 5 292
5. a) b) c) d) e) f)
7 1 20 2 4 5 27 2 4 5 23 217 1 14 1 3 5 217 1 17 5 0 27 2 16 2 10 5 27 2 26 5 11 225 2 21 2 40 5 246 2 40 5 286 35 1 18 1 62 5 53 1 62 5 1115 275 1 70 1 50 2 61 5 275 2 61 1 70 1 1 50 5 2136 1 120 5 216 g) 84 2 79 2 81 1 86 5 84 1 86 2 79 2 81 5 5 170 2 160 5 110 h) 264 2 96 2 77 1 200 5 2237 1 200 5 5 237 i) 292 1 17 1 34 1 20 5 292 1 71 5 221 j) 76 1 92 2 104 2 101 1 94 5 76 1 92 1 1 94 2 104 2 101 5 1262 2 205 5 157 l) 17 2 40 2 30 2 60 1 100 5 17 1 100 2 2 40 2 30 2 60 5 117 2 130 5 213 m) 81 1 19 2 95 2 105 1 260 2 110 5 81 1 1 19 1 260 2 95 2 105 2 110 5 5 1360 2 310 5 150
9 – Subtração de números inteiros Exercícios, página 58. 1. Para sabermos quantos anos Alexandre viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte:
(2323) 2 (2356) 5 2323 1 356 5 33 Logo, Alexandre viveu 33 anos. 2. Para sabermos quantos anos Pitágoras viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte: (2496) 2 (2570) 5 2496 1 570 5 74 Logo, Pitágoras viveu 74 anos.
6. Resposta em aberto. Brasil real, páginas 59 e 60. 1. a) (130) 2 (210) 5 130 1 10 5 140 R 40 graus. b) (143) 2 (137) 5 143 2 37 5 16 R 6 graus. c) (143) 2 (212) 5 143 1 12 5 155 R 55 graus.
3. a) A diferença entre os pontos das duplas B e A é dada por: (1230) 2 (2150) 5 5 1230 1 150 5 5 1380 Logo, a dupla B fez 380 pontos a mais que a dupla A. b) • Rodada 2 R (1300) 2 (260) 5 300 1 1 60 5 360 A dupla A ganhou a rodada 2 com 360 pontos a mais. • Rodada 3 R (1280) 2 (2120) 5 1280 1 1 120 5 400 A dupla B ganhou a rodada 3 com 400 pontos a mais. • Rodada 4 R (1220) 2 (1150) 5 1220 2 2150 5 70 A dupla A ganhou a rodada 4 com 70 pontos a mais. c) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe A é: (2150) 1 (1300) 1 (2120) 1 (1220)
d) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe B é: 230 1 (260) 1 (1280) 1 (1150)
4. A diferença entre as temperaturas é dada por: (125) 2 (29) 5 125 1 9 5 34 Logo, a diferença é de 134 graus.
2. a) A menor temperatura mundial ocorreu na Antártida, na estação Vostok. A temperatura foi de 289 8C. (212) 2 (289) 5 212 1 89 5 177 Logo, a diferença das temperaturas mínimas de Xanxerê e Vostok é de 77 graus. b) (17) 2 (249) 5 17 1 49 5 156 Logo, a diferença de temperaturas ocorridas em Browning, em 1916, foi de 56 graus. c) (158) 2 (289) 5 158 1 89 5 1147 Logo, a diferença entre a maior e a menor temperatura registrada no mundo foi de 147 graus. d) Registrando as temperaturas negativas em ordem crescente, temos: 289 < 249 < 212 < 210
10 – Adição algébrica Exercícios, páginas 62 e 63. 1.
5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
0 2 (217) 5 0 1 17 5 117 (29) 2 (116) 5 29 2 16 5 225 (113) 2 (120) 5 113 2 20 5 27 0 2 (118) 5 0 2 18 5 218 (21) 2 (219) 5 21 1 19 5 118 (120) 2 (19) 5 120 2 9 5 111 (24) 2 (117) 5 24 2 17 5 221 (140) 2 (180) 5 140 2 80 5 240 (111) 2 (262) 5 111 1 62 5 173 (272) 2 (281) 5 272 1 81 5 19
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2 (19) 5 29 2 (211) 5 111 1 (213) 5 213 1 (121) 5 121 3 2 (22) 5 3 1 2 2 (21 1 10) 5 11 2 10 7 1 (6 2 3) 5 7 1 6 2 3 1 2 (21 1 5) 5 1 1 1 2 5 9 1 (24 2 2) 5 9 2 4 2 2 2(1 1 1 2 4) 5 21 2 1 1 4
a) b) c) d)
27 1 (113) 5 27 1 13 5 16 10 2 (220) 5 10 1 20 5 130 211 2 (26) 5 211 1 6 5 25 32 1 (240) 5 32 2 40 5 28
2.
91
3. Como Lucca considerou os valores borrados como sendo a média aritmética dos valores vizinhos, vem: a) Às 9 horas R [(214) 1 (210)] 2 5 5 [224] 2 5 212 Logo, a temperatura às 9 horas era de 212 8C. b) Às 11 horas R [(210) 1 (28)] 2 5 5 [218] 2 5 29 Logo, a temperatura às 11 horas era de 29 8C. 4. a) 6 1 (29 1 1) 5 6 2 9 1 1 5 7 2 9 5 22 b) 8 2 (26 1 10) 5 8 1 6 2 10 5 14 2 10 5 5 14 c) 210 1 (6 2 4) 5 210 1 6 2 4 5 214 1 1 6 5 28 d) 2 1 (2 1 5 2 7) 5 2 1 2 1 5 2 7 5 9 2 7 5 5 12 e) 25 1 (2 2 4) 2 (7 2 1) 5 25 1 2 2 4 2 2 7 1 1 5 216 1 3 5 213 f) (25 1 3) 2 (5 2 9) 1 (8 2 1) 2 11 5 25 1 1 3 2 5 1 9 1 8 2 1 2 11 5 222 1 20 5 5 22 5. x 5 1 2 [4 1 (4 2 2 2 5) 2 (27 1 3)] x 5 1 2 [4 1 4 2 2 2 5 1 7 2 3] x51242412152713 x 5 111 2 15 x 5 24 y 5 2 2 [7 2 (21 2 3 1 6) 2 8] y 5 2 2 [7 1 1 1 3 2 6 2 8] y522721231618 y 5 16 2 11 y 5 15 Como x 5 24 e y 5 15, temos x < y. 6.
92
a)
30 1 [216 2 (27 1 10)] 5 5 30 1 [216 1 7 2 10] 5 5 30 2 16 1 7 2 10 5 5 37 2 26 5 5 111
b)
210 2 [11 1 (210 2 6) 1 1] 5 5 210 2 [11 2 10 2 6 1 1] 5 5 210 2 11 1 10 1 6 2 1 5 5 222 1 16 5 5 26
c)
18 2 (14 1 15) 2 [13 2 (16 2 21)] 5 5 18 2 14 2 15 2 [13 2 16 1 21] 5 5 18 2 14 2 15 2 13 1 16 2 21 5 5 134 2 63 5 5 229
d)
2(222) 2 [29 1 (27 2 23 2 26) 2 28] 5 5 122 2 [29 1 27 2 23 2 26 2 28] 5 5 122 2 29 2 27 1 23 1 26 1 28 5 5 199 2 56 5 5 143
e) 9 2 (210) 2 [221 2 (213 2 13 1 25)] 2 2 (218) 5 5 9 1 10 2 [221 1 13 1 13 2 25] 1 18 5 5 9 1 10 1 21 2 13 2 13 1 25 1 18 5 5 183 2 26 5 5 157 f) 11 1 [217 2 (222 1 16) 1 (229)] 2 2 (246 1 54) 5 5 11 1 [217 1 22 2 16 2 29] 1 46 2 54 5 5 11 2 17 1 22 2 16 2 29 1 46 2 54 5 5 179 2 116 5 5 237 7. Calculando o saldo de figurinhas para cada dia da semana que João jogou, vem: • 2a-feira R 217 1 43 1 14 1 23 2 45 5 5 262 1 80 5 118 • 3a-feira R 24 2 7 2 8 2 10 2 4 1 31 2 2 19 5 155 2 48 5 17 • 4a-feira R 19 2 21 1 36 2 100 2 35 1 1 100 5 1155 2 156 5 21 • 5a-feira R 223 1 24 2 25 1 26 2 27 1 1 28 5 275 1 78 5 13 • 6a-feira R 210 1 60 2 126 1 63 2 208 1 1 117 5 1450 2 334 5 1116 • Sábado R 299 1 85 2 121 2 310 1 420 1 1 115 5 2530 1 620 5 190 a) João ganhou mais figurinhas na 6a-feira. b) João se saiu pior na 4a-feira. c) De acordo com os saldos de figurinhas, em cada dia da semana, vem: 118 1 7 2 1 1 3 1 116 1 90 5 234 2 1 5 5 1233 Logo, a quantidade de figurinhas de João aumentou em 233. Desafio!, página 63. Resposta em aberto.
11 – Multiplicação de números inteiros
7. a) x ? (216) 5 216 R x 5 11, pois 11 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. b) x ? (25) 5 (25) ? (19) R x 5 19, pois pela propriedade comutativa, temos: (19) ? (25) 5 (25) ? (19). c) x ? (28) 5 0 R x 5 0, pois a multiplicação de um número inteiro por zero é sempre zero. d) x ? (11) 5 111 R x 5 111, pois todo número inteiro multiplicado por 11 resulta no próprio número.
Exercícios, página 67. a) (18) ? (29) 5 272 b) (26) ? (25) 5 130 c) (17) ? (14) 5 128 d) (19) ? (17) 5 163 e) (28) ? (16) 5 248 f) (15) ? (211) 5 255 g) 0 ? (113) 5 0 h) (26) ? (218) 5 1108 i) (13) ? (121) 5 163 j) (28) ? 0 5 0 l) (211) ? (221) 5 1231 m) (220) ? (117) 5 2340 n) (117) ? (117) 5 1289 o) (25) ? (232) 5 1160
8. a) x ? (12) 5 26 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 26 (12) R x 5 23 Logo, x deve ser substituído por 23. b) (25) ? x 5 150 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 150 (25) R x 5 210 Logo, x deve ser substituído por 210. c) x ? (25) 5 210 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 210 (25) R x 5 12 Logo, x deve ser substituído por 12.
2. Segredo: a multiplicação dos dois números inferiores é igual ao número acima. 212 000
115 23
180
210 25
28 12
24
Editoria de arte
2150
Esses itens poderiam também ser resolvidos da seguinte forma:
a) x ? (12) 5 26
x ? (12) 5 (12) ? (23)
a) (27) ? (111) ? (22) 5 (277) ? (22) 5 1154
Logo, x 5 23.
b) (29) ? (25) ? (23) 5 (145) ? (23) 5 2135
b) (25) ? x 5 150
c) (212) ? (26) ? (13) 5 (172) ? (13) 5 1216
(25) ? x 5 (25) ? (210)
d) (29) ? (29) ? (24) ? (21) 5 (181) ? (14) 5 5 1324
Logo, x 5 210.
e) (28) ? (110) ? (17) ? (12) 5 (280) ? (114) 5 5 21 120
x ? (25) 5 (25) ? (12)
Logo, x 5 12.
3.
f) (28) ? (16) ? 0 ? (211) 5 (248) ? 0 5 0 4. Respostas em aberto. 5. 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (22) 5 114 ou 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (16) 1 (27) ? (28) 5 242 1 56 5 114 6. 25 ? (28 1 5) 5 25 ? (28) 1 (25) ? (15) 5 5 140 2 25 5 15
c) x ? (25) 5 210
9. a) O produto de dois números inteiros é positivo quando esses dois números possuem sinais iguais. Logo, em 8 quadradinhos, o resultado será positivo. b) O produto de dois números inteiros é negativo quando esses dois números possuem sinais diferentes. Logo, em
93
8 quadradinhos, o resultado será negativo.
5 (114) 1 (210) 5
5 14
b) xy 1 2x, para x 5 26 e y 5 23: Exercícios, página 68.
26 ? (23) 1 2 ? (26) 5
a) 81 1 (220) ? (14) 5
5 2(218) 1 (212) 5
5 81 1 (280) 5
5 118 2 12 5
5 81 2 80 5
5 16
5 11
c) 3a 2 7b, para a 5 18 e b 5 27:
b) (24) ? (27) 2 30 5
3 ? (18) 2 7 ? (27) 5
5 (128) 2 30 5
5 (124) 2 (249) 5
5 128 2 30 5
5 124 1 49 5
5 22
5 173
c) 223 2 (26) ? (13) 5
d) 2a 1 5b 2 10, para a 5 110 e b 5 22:
5 223 2 (218) 5
2 ? (110) 1 5 ? (22) 2 10 5
5 223 1 18 5
5 (120) 1 (210) 2 10 5
5 25
5 120 2 20 5
50
d) (29) ? (16) 2 (12) ? (227) 5
5 (254) 2 (254) 5
e) 3a 2 5b 1 4c, para a 5 21, b 5 21 e c 5 21:
5 254 1 54 5
3 ? (21) 2 5 ? (21) 1 4 ? (21) 5
50
5 (23) 2 (25) 1 (24) 5
e) 19 2 (24) ? (15) 5
5 23 1 5 2 4 5
5 19 2 (220) 5
5 27 1 5 5
5 19 1 20 5
5 22
5 139
f) 10 2 a 1 ab 2 2b, para a 5 21 e b 5 13:
f) 7 ? (23) 2 9 ? (26) 1 11 ? (22) 5
10 2 (21) 1 (21) ? (13) 2 2 ? (13) 5
5 (221) 2 (254) 1 (222) 5
5 10 2 (21) 1 (23) 2 (16) 5
5 221 1 54 2 22 5
5 10 1 1 2 3 2 6 5
5 243 1 54 5
5 11 2 9 5
5 111
5 12
g) (15) ? (111) 2 37 2 (22) ? (114) 5
5 (155) 2 37 2 (228) 5
5 155 2 37 1 28 5
5 183 2 27 5
5 146
h) 18 2 3 ? (27) 1 9 ? (24) 2 20 5
5 18 2 (221) 1 (236) 2 20 5
5 18 1 21 2 36 2 20 5
5 139 2 56 5
5 217
2. a) 2x 1 5y, para x 5 17 e y 5 22:
94
2 ? (17) 1 5 ? (22) 5
Desafio!, página 69. 1. As possíveis multiplicações de dois números inteiros em que o resultado dá 120 são: (11) ? (120); (21) ? (220); (12) ? (110); (22) ? (210); (14) ? (15); (24) ? (25) Para encontrar esses fatores, basta fatorar o número 20: 20 10 5 1
2 2 5 22 ? 5
2. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 16 são: (11) ? (16); (21) ? (26); (12) ? (13); (22) ? (23). Como a soma deve ser 25, os dois números inteiros procurados são: 22 e 23. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 210 são: (21) ? (110); (11) ? (210); (22) ? (15); (12) ? ?(25). Como a soma deve ser 13, os dois números inteiros procurados são: 15 e 22. Chegou a sua vez!, página 70. O gasto de Beto com o material escolar foi: 1 ? 2 1 5 ? 6 1 1 ? 5 1 1 ? 7 1 4 ? 1 5 2 1 30 1 1 5 1 7 1 4 5 48 R R$ 48,00 Como Beto levou R$ 50,00, ele conseguirá comprar tudo o que precisa, e ainda sobrarão 2 reais.
• 0 (15) 5 0 R 0 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. • (17) 0 R A divisão não é definida para o divisor zero, portanto não pode ser efetuada em Z. 3. Na divisão x (28) 5 12, x 5 216, pois (28) ? (12) 5 16. 4. Sim; Todo número dividido por ele mesmo dá 1. Se o quociente for 21, é porque os números têm mesmo módulo e sinais contrários, ou seja, são opostos. 5. Resposta em aberto. 6. Resposta em aberto. 7. a) (29) (13) 5 23 b) (211) (211) 5 11 c) (121) (17) 5 13
12 – Divisão de números inteiros Exercícios, página 73.
d) (136) (24) 5 29 e) 0 (120) 5 20 f) (231) (131) 5 21 g) (145) (23) 5 215
1. a) Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o resultado da divisão será negativo. b) Zero dividido por qualquer número inteiro negativo será sempre zero. c) Como o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o resultado da divisão será positivo. d) A divisão de zero por qualquer número inteiro estritamente positivo será sempre zero.
h) (152) (12) 5 126 i) (265) (25) 5 113 j) (290) (16) 5 215 l) (164) (116) 5 14 m) (239) (213) 5 13 n) (196) (224) 5 24 o) (2200) (125) 5 28 p) (163) (121) 5 13 q) (181) (227) 5 23 8. Resolvendo as divisões do quadro, vem:
2. • (19) (29) 5 21 R 21 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. • (22) (11) 5 22 R 22 Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. 3 3 R Z; logo, essa • (23) (22) 5 2 2 divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro). 11 11 R Z; logo, • (111) (15) 5 5 5 essa divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro).
(2120) (210) 5 112 (2200) (250) 5 14 (260) (112) 5 25
(196) (216) 5 26
(180) (28) 5 210
(148) (124) 5 12
(1150) (115) 5 110 (2121) (111) 5 211 Somando os resultados obtidos, temos: (112) 1 (25) 1 (210) 1 (110) 1 (14) 1 (26) 1 1 (12) 1 (211) 5 5 112 2 5 2 10 1 10 1 4 2 6 1 2 2 11 5 5 128 2 32 5 24 Logo, a soma dos resultados dessas divisões dá 24.
95
d) (21)4 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 11
Exercício, página 74.
e) (11)6 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) 5 11
a) 31 1 (240) (12) 5
5 31 1 (220) 5
5 31 2 20 5
5 111
f) (21)6 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) 5 11
b) 210 2 20 (14) 5
g) (11)3 5 (11) ? (11) ? (11) 5 11
5 210 2 (15) 5
h) (21)3 5 (21) ? (21) ? (21) 5 21
5 210 2 5 5
5 215
i) (11)5 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 5 11
c) (130) (26) 1 (218) (13) 5
5 (25) 1 (26) 5
5 25 2 6 5
5 211
j) (21)5 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 5 21 l) (11)7 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) ? (11) 5 11
d) 7 (27) 1 2 ? (26) 1 11 5
5 (21) 1 (212) 1 11 5
5 21 2 12 1 11 5
5 213 1 11 5
5 22
m) (21)7 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) 5 21 2. a) Podemos notar que, quando o expoente é um número par, a potência é sempre um número inteiro positivo. b) Podemos notar que, quando o expoente é um número ímpar, o sinal do resultado vai depender do sinal da base.
e) (236) (24) 1 3 ? (23) 5
5 (19) 1 (29) 5
519295
50
f) 35 2 6 ? (16) 1 (154) (26) 5
5 35 2 (136) 1 (29) 5
5 35 2 36 2 9 5
5 35 2 45 5
5 210
g) 2 1 (275) (25) 2 4 ? (21) 5
5 2 1 (115) 2 (24) 5
5 2 1 15 1 4 5
5 17 1 4 5
5 121
Exercícios, páginas 76 e 77. 1. Como x é um número inteiro negativo e o expoente é par, a potência será sempre um número inteiro positivo. Logo, x2 será um número inteiro positivo. 2. Como a é um número inteiro negativo e o expoente é ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base. Logo, a3 será um número inteiro negativo. 3. a) (217)2 5 (217) ? (217) 5 1289
13 – Potenciação de números inteiros
b) (115)3 5 (115) ? (115) ? (115) 5 13 375
Chegou a sua vez!, página 74.
e) (25)4 5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) 5 1625
a) (11)2 5 (11) ? (11) 5 11 b (21)2 5 (21) ? (21) 5 11 c) (11) 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 11 4
96
c) (140)2 5 (140) ? (140) 5 11 600 d) (230)3 5 (230) ? (230) ? (230) 5 227 000 f) (13)5 5 (13) ? (13) ? (13) ? (13) ? (13) 5 5 1243 g) (15)4 5 (15) ? (15) ? (15) ? (15) 5 1625
4.
d) (19) ? (19)11 ? (19)8 5 (19)1 1 11 1 8 5 (19)20 a) (19)2 5 (19) ? (19) 5 181
e) (213)20 (213)14 5 (213)20 2 14 5 (213)6
b) (29)2 5 (29) ? (29) 5 181
f) (17)4 5 (17)4 ? 3 5 (17)12 g) (110)5 ? (110) ? (110)8 5 (110)5 1 1 1 8 5 5 (110)14
3
c) (19)3 5 (19) ? (19) ? (19) 5 1729 d) (29)3 5 (29) ? (29) ? (29) 5 2729 e) (12)5 5 (12) ? (12) ? (12) ? (12) ? (12) 5 5 132 f) (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 5 232 g) (21)10 5 11 R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. h) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 181 i) (27)3 5 (27) ? (27) ? (27) 5 2343 j) (2100)0 5 11 l) (21)101 5 21R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é negativo. m) (225)2 5 (225) ? (225) 5 1625 n) (110)6 5 (110) ? (110) ? (110) ? (110) ? ? (110) ? (110) 5 11 000 000
h) (120)7 (120)6 5 (120)7 2 6 5 (120)1 7.
2
a) ( 24)7 ? (24)10 ? (24) (24)8 5 5 (24)7 1 10 1 1 (24)16 5 5 (24)18 (24)16 5
5 (24)18 2 16 5
5 (24)2 5
5 (24) ? (24) 5
5 116 2
6 6 2 b) (22) (22) ? (22) ? (22) 5 5 (22)6 ? 2 (22)6 1 2 1 1 5 5 (22)12 (22)9 5
5 (22)12 2 9 5
5 (22)3 5
5 (22) ? (22) ? (22) 5
5 28
o) (21)9 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 21 p) (21)200 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. q) (11)99 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é positivo. 5. Para a 5 (21)100 5 11 e b 5 (21)101 5 21, temos: a) a 1 b 5 (11) 1 (21) 5 0 b) a 2 b 5 (11) 2 (21) 5 11 1 1 5 12 6. a) (28)5 ? (28) ? (28)4 5 (28)5 1 1 1 4 5 (28)10 2
b) (12)6 5 (12)6 ? 2 5 (12)12 c) (210)9 (210)6 5 (210)9 2 6 5 (210)3
Exercício, página 77. a)
(29)2 2 (15) ? (116) 5 5 181 2 (180) 5 5 181 2 80 5 5 11
b)
(22)4 (116) ? (21)7 5 5 (116) (116) ? (21) 5 5 (11) (21) 5 5 21
c)
(26)2 2 (27)2 1 130 5 5 136 2 (149) 1 1 5 5 136 2 49 1 1 5 5 137 2 49 5 5 212
d)
52 2 (23)3 1 (24)2 5 5 25 2 (227) 1 (116) 5 5 25 1 27 1 16 5 5 52 1 16 5 5 168
97
e)
4 ? (25)3 1 (220)2 5 5 4 ? (2125) 1 (1400) 5 5 2500 1 400 5 5 2100
f)
112 2 4 ? (25)2 1 100 5 5 121 2 4 ? (125) 1 1 5 5 121 2 100 1 1 5 5 122 2 100 5 5 122
g)
17 2 3 ? (22) 2 (26) ? (21) 5 5 17 2 3 ? (14) 2 (136) ? (21) 5 5 17 2 12 2 (236) 5 5 17 2 12 1 36 5 5 53 2 12 5 5 141
h)
7 ? (22)2 2 5 ? (22)3 2 102 5 5 7 ? (14) 2 5 ? (28) 2 100 5 5 28 1 40 2 100 5 5 68 2 100 5 5 232
2
2
3. a)
36 5 6
b) 2 64 52 (18) 52 8 c)
100 5 10
d) 2 49 52 (17) 52 7 4. a)
400 5 20, pois 202 5 400.
b) 2 900 52 (130) 52 30, pois 302 5 900. 7
c) 2 2500 52 (150) 52 50, pois 502 5 2 500. d)
144 5 12, pois 122 5 144.
(
5. p 5 1 2 2 100 p 5 1 2 (210)
)
p 5 1 1 10 p 5 111 Logo, p 5 111. 6. x 5 81 (42 2 52) x 5 9 (16 2 25) x 5 9 (29) x 5 21
14 – Raiz quadrada exata de números inteiros
Logo, x 5 21. 7. Não, pois não existe em Z raiz quadrada de número negativo.
Exercícios, página 79. 1. a)
25 5 5
b)
64 5 8
c)
281 R Não existe em Z.
d)
1 51
15 – Expressões numéricas Exercício, página 80. a) (27 2 4) ? (29 1 2) 2 (272 1 2) (25 2 5) 1 1 (29 2 4 1 6) 5
2.
9 R É um número inteiro, pois
9 5 3.
25 R É um número inteiro, pois 25 5 5. 37 R Não é um número inteiro, pois 62 5 5 36 e 72 5 49, e entre 6 e 7 não há números inteiros.
5 (211) ? (27) 2 (270) (210) 1 (27) 5
5 177 2 (17) 2 7 5
5 177 2 7 2 7 5
5 177 2 14 5
5 163
b) (29 2 3)(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (25 1 4) 1 (236)(21 2 3) 5 64 R É um número inteiro, pois 64 5 8. (29 2 3)(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (2 5 1 4) 1 (236)(21 2 3) 5 80 R Não é um número inteiro, pois 82 5 64 e 92 5 81, e entre 8 e 9 não há 5 (212)(16) 2 10 2 (27) ? (21) 1 (236)(24) 5 números inteiros. 5 2 2 2 10 2 (17) 1 (19) 5 Logo, 37 e 80 não representam 5 2 2 2 10 2 7 1 9 5 números inteiros. 5 22 2 10 1 7 2 9 5
98
5 221 1 7 5
5 214
c) (21 2 4) ? (210 1 16) 2 (28)(12) 2 7 2 (21) ? (15) 5
1 16) 2 (28)(12) 2 7 2 (2 1) ? (15) 5 5 (25) ? (16) 2 24 2 7 2 (25) 5 5 2 30 2 24 2 7 1 5 5
b) Como para um homem de 50 anos com um estilo de vida saudável podemos abater 15 anos, um homem de 50 anos pode aparentar 35 anos. c) O gráfico ficaria da seguinte forma: A idade biológica menor que a cronológica 0 25
5 230 1 4 1 7 2 5 5
210
5 235 1 11 5
215
5 224
5 5 2 20 2 6 2 (235)(25) 5 5 5 2 20 2 6 2 (17) 5
5 5 2 [20 2 6 2 7] 5
5 5 2 20 1 6 1 7 5
5 18 2 20 5
5 22
5 23 1 27 2 2 2 1 5
5 26 1 27 5
5 121
f) (22 2 3)2 (225) 1 30 2 (210 1 36 )2 (22)3 2 52 5 5 (25)2 (225) 1 30 2 (210 1 6)2 (28) 2 25 5 30 2 (24)2 (28) 2 25 5 5 25 ( 2 25 ) 1 5 2 1 1 30 2 ( 1 16 ) ( 2 8 ) 2 25 5 5 21 1 30 2 (22) 2 25 5
5 21 1 30 1 2 2 25 5
5 21 1 30 1 2 2 25 5
5 226 1 32 5
5 16
Chegou a sua vez!, páginas 81 e 82. 1. a) A mulher, pois ela consegue abater mais anos da idade cronológica.
212 213
215 216
221 223
225 230
227 229
235 Homens Mulheres
2. a) A fábrica teve lucro nos meses de maio, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro. A fábrica teve prejuízo nos meses de janeiro, fevereiro e março. b) O lucro foi maior em novembro. c) Os meses que apresentam lucro zero são os meses de abril e junho. d) Lucro: 110 1 15 1 26 1 32 1 15 1 50 1 1 30 5 1178 Como o lucro da fábrica é dado em milhares de reais, o lucro total nos meses de lucro foi de R$ 178 000,00. Prejuízo: 220 2 10 2 5 5 235 O valor absoluto do prejuízo total em milhares de reais, foi de R$ 35 000,00. Portanto, o lucro foi maior em R$ 143 000,00.
e) (26)2 (212) 2 (23)3 1 (22)5 (24)2 2 50 5 5 36 (212) 2 (227) 1 (232) (116) 2 1 5 5 23 1 27 1 (22) 2 1 5
25 26
220
d) (250)(25 2 5) 2 20 1 (242)(17) 2 (235)(21 2 16 ) 5 5) 2 20 1 (242)(17) 2 (235)(21 2 16 ) 5 5 (250)(210) 2 20 1 (26) 2 (235)(21 2 4) 5
30 anos 40 anos 50 anos 60 anos 70 anos
Editoria de arte
3. a) No eixo horizontal, a grandeza representada é o tempo. No eixo vertical, a grandeza representada é a temperatura. b) • A temperatura média é maior em julho. • A temperatura média é menor em janeiro e fevereiro. c) Em dezembro, a temperatura média era de 0 8C e, em fevereiro, a temperatura média era de 23 8C; logo, a temperatura em dezembro é maior que a temperatura em fevereiro, pois 0 8C > 23 8C.
99
d) • De abril para maio, a temperatura variou em 16 8C, pois 110 8C 2 4 8C 5 16 8C. Portanto, houve um aumento de 6 8C nesse período. • De dezembro para janeiro, a temperatura variou em 23 8C, pois 23 8C 2 0 8C 5 23 8C. Portanto, houve uma queda de 3 8C. e) A média da temperatura no 1o semestre é dada pela soma das temperaturas médias de cada mês dividido por 6:
(23) 1 (23) 1 (21) 1 (14) 1 (110) 1 (115) 6 5 5 23 2 3 2 1 1 4 1 10 1 15 6 5 5 27 1 29 6 5 5 22 6 . 3,6 R .3,6 8C Logo, a média da temperatura no 1o semestre foi de aproximadamente 3,6 8C.
• A média de temperatura no 2o semestre é dada por:
(118) 1 (117) 1 (112) 1 (17) 1 (13) 1 0 6 5 5 18 1 17 1 12 1 7 1 3 1 0 6 5
5 57 6 5 9,5 R 9,5 8C
Logo, a média da temperatura no 2o semestre foi de 9,5 8C.
Retomando o que aprendeu, páginas 82 e 83. 1. Alternativa b. (23) 2 (21) 5 23 1 1 5 22 Logo, o simétrico do número obtido é 12. 2. Alternativa c. A variação de temperatura é dada pela diferença entre a temperatura final e a inicial: (22 8C) 2 (14 8C) 5 22 8C 2 4 8C 5 26 8C Logo, a temperatura baixou 6 graus nesse período. 3. Alternativa a. (21)2 5 11 (I) (21)3 5 21 (II) Logo, a soma de (I) e (II) será: 11 2 1 5 0 4. Alternativa e.
100
Os números inteiros menores que 24 estão à sua esquerda. Daí vem: 24 > 27 > 210 > 212 Logo, dentre a sequência de números apresentada, há 3 números menores que 24. 5. Alternativa b. Primeiro, verificamos os resultados para as potências apresentadas: (13)5 5 1243
242 5 216
(21)10 5 11
(27)2 5 149 (22)3 5 28 Logo, há duas potências que representam números inteiros negativos. 6. Alternativa c. I) 224 5 (22)4 R Falsa, pois 224 5 216 e (22)4 5 116. II) 220 5 (22)0 R Falsa, pois 220 5 21 e (22)0 5 11. III) 223 5 (22)3 R Verdadeira, pois 223 5 28 e (22)3 5 28. IV) (12)6 5 (22)6 R Verdadeira, pois (12)6 5 132 e (22)6 5 132.
Logo, há 2 sentenças verdadeiras.
7. Alternativa c. De acordo com os saldos do quadro, vem: 12 400 1 850 2 680 1 450 2 1 720 2 750 5 5 3 700 2 1 750 5 5 1550 R Crédito de R$ 550,00. 8. Alternativa b. De acordo com o extrato bancário de Roberto, vem: 1236 2 51 2 400 1 1 320 2 92 2 813 2 45 2 2 184 2 90 1 352 2 150 2 46 2 120 5 5 11 908 2 1 991 5 283 Logo, o saldo da conta de Roberto no dia 10/8 ficou negativo em 83 reais. 9. Alternativa b. De acordo com o enunciado, podemos escrever: (210)2 ? x 5 2500 100 ? x 5 2500 100 ? x 5 25 ? 100 x 5 25 10. Alternativa d. a3 2 3 ? a2 ? x2, para a 5 10 e x 5 2, temos: (10)3 2 3 ? (10)2 ? (2)2 5
15. Alternativa a.
5 1 000 2 3 ? 100 ? 4 5 5 1 000 2 1 200 5
x 5 2(23)3 2 (22)3
5 2200
x 5 2(227) 2 (26) x 5 27 2 (64)
11. Alternativa a.
x 5 27 2 64
(23)2 ? 29 1(23)3 (23)2 5 5 9 ? 29 1(227) 9 5
x 5 237 y 5 (22)3 2 (23)2 2 (25)0 1 (22)4
5 9 ? 29 2 27 9 5
y 5 28 2 (19) 2 (11) 1 (116)
5 2324 9 5
y 5 218 1 16
y 5 28 2 9 2 1 1 16
5 9 ? 236 9 5
y 5 22
5 236
Logo, x ? y 5 (237) ? (22) 5 174.
12. Alternativa d. (210)3 2 9 ? (210)2 ? (22)2 5 5 21 000 2 3 ? (100) ? (4) 5
16. Alternativa b. a3 2 (b 2 c)3, para a 5 29, b 5 12 e c 5 110: 3
5 21 000 2 3 ? (400) 5
(29)3 2 (12) 2 (110) 5
5 21 000 2 1 200 5
5 2 729 2 12 2 10 5 3 5 2 729 2 28 5 5 2 729 2 2512 5
3
5 2 2 200 Logo, a metade do valor da expressão é: 22 200 2 5 21 100
5 2729 1 512 5
13. Alternativa e.
5 2217
A 5 (22)3 2 (28) (22)
17. Alternativa d.
A 5 28 2 (14)
x 52 2 21 1 (23 1 4) 2 (22 2 6) 2 (23 1 5)
A 5 28 2 4 A 5 212 B 5 (22) ? (21) ? (11) ? (12) ? (21) ? (12) ? (22) B5 B5
(12) ? (12)
?
(22) ? (22)
(14) ? (14)
B5
116
x 52 2 21 1 (11) 2 (28) 2 (12)
x 52 2 21 1 1 1 8 2 2 x 52 2 18 2 2 x522822 x 5 28
Logo, o quadrado de x será 64, pois x2 5 (28)2 5 64.
Logo, A 1 B 5 212 1 16 5 14. 14. Alternativa b. (212)2 (27 2 11) 2 (24 1 2 2 1) ? (23)2 1 1 (22)4 ? (1 2 2)3 5 5 (1144) (218) 2 (25 1 2) ? (19) 1 (116) ? ? (21)3 5 5 28 2 (23) ? (19) 1 (116) ? (21) 5 5 28 2 (227) 1 (216) 5 5 28 1 27 2 16 5 5 224 1 27 5 5 13
101
O conjunto dos números Racionais Abertura, páginas 84 e 85.
5. a) 1
5 • 1 1 é maior, menor, igual ou diferente 10 de 11,5? 5 5 0,5, então São iguais, pois 10 1 1 0,5 5 1,5. 5 é maior, menor, igual ou 10 diferente de 21,5? 5 52 0,5, então São iguais, pois 2 10 21 2 0,5 5 21,5.
b) 1
6 12
6
10 30
10
c) 2 5 40
6
51
10
51
5 5
1 2
52
1 3
1 8
d) 2 9 15
3
e) 1 16 40 f) 2 33 44
8
212
16 – O conjunto dos números racionais Exercícios, página 88. 1.
6. a) 1 2 → 10 2 0 0,5 1 Logo, 2 52 0,5. 2 b) 13 4 → 13
10 3,25 20 0 13 Logo, 1 51 3,25. 4
a) Racionais inteiros: 1, 2, 11, 12, 21 e 22.
c) 21 5 → 21
b) Racionais escritos na forma 5 5 fracionária: 1 ,2 . 10 10 c) Racionais escritos na forma decimal: 11,5; 21,5.
5
10 4,2 0 Logo,1
21 51 4,2. 5
d) 61 10 → 61
2. b) 17 pertence a IN, Z e Q. 3 c) 1 pertence a Q. 8 d) 22,7 pertence a Q. 3. Sim; o zero é um número racional, pois podemos escrevê-lo na forma racional, 0 0 etc. como por exemplo: ; 7 12 4. a) 24 IN
g) 16 [ IN
b) 24 [ Z
h) 16 [ Z
c) 24 [ Q
i) 16 [ Q
4 IN 9 4 e) 1 Z 9 4 f) 1 [ Q 9 d) 1
j) 21,6 IN
Logo,2
61 52 6,1. 10
e) 1 20 → 100 0
Logo, 1
20 0, 05
1 51 0, 05. 20
f) 350 → 300 50 0 0, 06
Logo, 2
3 52 0, 06. 50
g) 27100 → 270
l) 21,6 Z m) 21,6 [ Q
10
10 6,1 0
a) 25 pertence a Z e Q.
102
4
100
700 0,27 0 27 Logo, 1 51 0,27. 100
3
52
3 5
2 5 3 52 4 11 51
8 11
Logo, 2
39 52 6,5. 6
i) 23;10 → 23
10
30 2,3 0 7.
Logo,2
23 52 2,3. 10
9 a) 10,9 51 10 ;5 15 3 52 b) 21,5 52 10 ;5 2 ; 25 25 1 52 c) 20,25 52 100 ;25 4 ;2 18 9 d) 11,8 51 51 10 ;2 5 ;2 2 1 52 e) 20, 002 52 1000 ;2 500 ;5 55 11 f) 15,5 51 51 10 ;5 2
Desafio!, página 89. 2 Um litro de água completa apenas da 3 1 jarra. É fácil perceber que em da jarra 3 cabe 0,5 litro de água. Logo, na jarra toda cabe 1,5 litro de água.
17 – A reta numérica Exercícios, página 90. 1. Respondendo aos itens de acordo com a reta numérica, vem: 4 a) 1 R Ponto R. 3 1 b) Ponto B R 2 . 3 2 5 c) Ponto S R 2 ou 21 . 3 3 2 d) 1 R Ponto A. 3 e) 13 R Ponto M. 2. Respondendo aos itens de acordo com a
3. Fazendo a reta numérica e representando nela os pontos, vem: S 23
D 22
B
A 0
21 3 2 5
21,4 ou 2 2
9 ou 22 1 4 4
7 52 5 10;2 14;2
C 11
10,9 ou 1 9 10
12
R 13
Editoria de arte
reta numérica, vem: a) Abscissa do ponto A R 12 3 1 b) Abscissa do ponto B R 2 ou 21 . 2 2 c) Imagem geométrica do número 7 1 1 ou 1 3 R Ponto D. 2 2 d) Imagem geométrica do número 5 1 2 ou 2 2 R Ponto E. 2 2 1 e) Abscissa do ponto C R 1 2
6 h) 39 ;6 → 39 30 6,5 0
1 7 ou 1 2 1 3 3
4. Resposta em aberto.
Desafio!, página 91. 1. Alternativa d. a) 0,40 < 0,31 R Comparação falsa, pois 0,40 está à direita de 0,31 na reta numérica; logo, 0,40 > 0,31. 1 b) 1 R Comparação falsa, pois 1 está 2 1 à direita de na reta numérica; logo, 2 1. 1 2 4 c) 0, 4 R Comparação falsa, pois 10 4 5 0, 4. 10 d) 2 > 1,9 R Comparação verdadeira, pois 2 está à direita de 1,9 na reta numérica; logo, 2 > 1,9. 2. Alternativa a. De acordo com as posições marcadas na figura, o ponto A está na metade entre os pontos 0 e 1 km; logo, o ponto A representa 1 a posição km ou 0,5 km. 2 O ponto B está na metade entre os pontos 1,5 km e 2 km; logo, o ponto B representa a 3 posição 1,75 km 5 1 km. 4
103
Brasil real, páginas 91 e 92. 1.
2.
104
a) De acordo com a tabela, a produção industrial apresentou queda em relação ao mês anterior em 4 meses. b) De acordo com a tabela, a produção industrial apresentou crescimento em 5 meses. c) O crescimento foi maior no mês de junho. d) O maior número racional é 1,6% 5 16 5 5 0, 016, e o menor número 1000 21 52 0, 021. racional é 22,1% 5 2 1000 e) Colocando os números racionais da tabela em ordem decrescente, temos: 1,6% > 1,5% > 1,2% > 0,9% > 0,1% > > 20,5% > 21,5% > 22,0% > 22,1%
b)
c) d)
e) f) g)
Logo, a diferença, em módulo, entre as temperaturas estimadas para o Monte Roraima é de 5,24 m. 4 picos: Pico da Neblina, Pico 31 de Março, Pico do Cristal e Monte Roraima. 3 picos: Pico da Bandeira, Pico da Pedra da Mina e Pico das Agulhas Negras. A maior diferença se deu entre as medições do Pico da Pedra da Mina; essa diferença é para mais. Pico da Bandeira. 2 739,3 < 2 770,0 < 2 780,0 < 2 787,0 < < 2 889,8 < 2 992,4 < 3 014,1 No Amazonas.
18 – Adição algébrica de números racionais
a) Fazendo altitude nova menos a antiga, vem: Pico da Neblina R 2 993,78 2 3 014,1 5 Exercícios, página 94. 5 220,32 1. Logo, a diferença, em módulo, entre as 3 5 9 10 29 1 10 1 a) 2 1 52 1 5 51 temperaturas estimadas para o Pico da 4 6 12 12 12 12 Neblina é de 20,32 m. b) 12,35 2 3 5 20,65 Pico 31 de Março R 2 972,66 2 2 992,4 5 5 219,74 c) 2 1 1 3 52 5 1 6 5 25 1 6 51 1 4 10 20 20 20 20 Logo, a diferença, em módulo, entre as d) 20,48 2 1,6 5 22,08 temperaturas estimadas para o Pico 31 de Março é de 19,74 m. e) 11,55 1 4,75 5 16,30 Pico da Bandeira R 2 891,98 2 2 889,8 5 7 8 21 16 221 1 16 5 52 5 2,18 f) 2 6 1 9 52 18 1 18 5 18 18 Logo, a diferença entre as temperaturas estimadas para o Pico da g) 17,35 2 10 5 22,65 Bandeira é de 2,18 m. Pico da Pedra da Mina R h) 22,91 1 3,07 5 10,16 R 2 770,0 2 2 787,0 5 28,39 2. Logo, a diferença entre as temperaturas estimadas para o Pico da a) 2 1 5 2 1 5 4 1 5 2 3 5 4 1 5 2 3 5 6 511 3 6 2 6 6 6 6 6 Pedra da Mina é de 28,39 m. 2 5 1 4 5 3 4 1523 6 Pico das Agulhas1Negras R 1 2 5 2 5 5 511 3 6 2 6 6 6 6 6 R 2 791,55 2 2 787,0 5 4,55 b) 1 2 0,47 2 1,9 1 0,63 5 Logo, a diferença entre as 5 1,63 2 2,37 5 temperaturas estimadas para o Pico 5 20,74 das Agulhas Negras é de 4,55 m. Pico do Cristal R 2 769,76 2 2 780,0 5 c) 24,7 1 2 2 1,75 1 1,48 5 5 210,24 5 26,45 1 3,48 5 Logo, a diferença, em módulo, entre as 5 22,97 temperaturas estimadas para o Pico Cristal é de 10,24 m. d) 7 2 5 2 2 1 1 5 14 2 15 2 12 1 9 5 14 2 15 2 12 1 9 5 9 6 3 2 18 18 18 18 18 Monte Roraima R 2 734,06 2 2 739,3 5 5 25,24
5
23 2 27 4 52 18 18
;2 ;2
52
Brasil real, páginas 95 e 96. 2 9
3. A 5 14,75 1 (17,21) 1 (210,92) A 5 14,75 1 7,21 2 10,92 A 5 11,96 2 10,92 A 5 11,04
1. a) De acordo com as informações do enunciado, podemos organizar a seguinte tabela: Campeonato Sul-Americano de Atletismo Classificação
País
1o
4. Para saber quantos graus a temperatura aumenta, devemos fazer temperatura final menos temperatura inicial. Assim, temos: a) (123,5) 2 (111,8) 5 123,5 2 11,8 5 11,7 Logo, a temperatura aumentou 11,7 graus. b) (11,5) 2 (28,5) 5 11,5 1 8,5 5 10 Logo, a temperatura aumentou 10 graus. 5. Para x 5 20,67 e y 5 20,75, temos: a) x 1 y 5 20,67 1 (20,75) 5 20,67 2 2 0,75 5 21,42 b) x 2 y 5 20,67 2 (20,75) 5 20,67 1 1 0,75 5 10,08 c) 1 2 x 2 y 5 1 2 (20,67) 2 (20,75) 5 1 1 1 0,67 1 0,75 5 12,42 6. A distância do ponto A até o ponto P é o módulo de 210,75 m; logo, A está a 110,75 m de P. A distância do ponto P até o ponto B é 113,65 m. Portanto, a distância do ponto A ao B é dada: 10,75 m 1 13,65 m 5 24,40 m 7. Para a 5 21,75; b 5 13,6 e c 5 24,21, temos: a 2 b 1 c 5 21,75 2 (13,6) 1 (24,21) 5 5 21,75 2 3,6 2 4,21 5 5 29,56 8. Como a temperatura caiu 6 graus, temos: 13,5 8C 2 6 8C 5 22,5 8C Logo, a temperatura registrada às 18 horas nessa cidade era de 22,5 8C. 9. 2,5 2 [0,2 1 (23,7 1 5) 2 1,4] 5 5 2,5 2 [0,2 2 3,7 1 5 2 1,4] 5 5 2,5 2 0,2 1 3,7 2 5 1 1,4 5 5 17,6 2 5,2 5 5 12,4 Logo, o menor número inteiro maior que 12,4 é 13.
Medalhas Ouro
Prata
Bronze
Total de Medalhas
Total de Pontos
Brasil
26
11
17
54
498
2o
Colômbia
9
18
10
37
317
3o
Argentina
5
3
5
13
151
Medalhas conquistadas no Campeonato Sul-Americano de Atletismo em 2006
b) 30 25
26
20
18
15 10 5 0
17
11
9 5 Ouro
10 3
Prata
5
Brasil Colômbia Argentina
Editoria de arte
1 14 15 12 9 14 2 15 2 12 1 9 5 2 2 1 5 5 2 18 18 18 18 18
Bronze
2. a) 53,89 m 2 33,81 m 5 20,08 m b) 85,50 m 2 71,53 m 5 13,97 m R 1 397 cm 3. a) Sim. A diferença entre as marcas dos dois atletas é 4,32 m (58,21 m 2 53,89 m); Passaram-se 100 anos (2006 2 1906). b) Sendo o dardo arremessado do local onde o dardo da atleta anterior caiu, a distância entre o local de arremesso da primeira colocada e o da última colocada será encontrada somando-se a distância obtida por cada atleta: 58,21 1 46,91 1 45,95 1 45,50 1 44,99 1 1 43,99 1 41,76 1 41,54 1 35,66 5 5 404,51 Portanto, a distância seria de 404,51 m. c) A diferença entre as marcas obtidas pelas duas atletas é dada por: 58,21 2 71,53 5 213,32 Logo, o módulo dessa diferença é 13,32 m.
Desafio!, página 96. Aplicando a operação inversa da adição para descobrir os valores desconhecidos, completamos o quadro:
105
b) Triplo de 10,8: 3 ? (10,8) 5 12,4 0,8 3 2, 4
3 1 3 2 1 2 5 2 5 4 2 4 4 4 1 4
1 2
1
1
1
2 3
1
Editoria de arte
1
1 2
5 11 12
3 4
5
5
7 6
5
5
1 1
d) Dobro de 26,5: 2 ? (26,5) 5 213 16,5 2 13 ,0
23 11 12 2 5 51 12 12 12
23 12
5
→
;2
23 3 23 9 14 7 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 ;2 6 → 12
→
7 c) Quádruplo de 1 : 6 2 7 14 51 4 ? 1 6 3 3
1 2 1 1 5 2 5 2 2 2 2
3.
;4
11 1 11 3 8 2 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 ; 4 3
19 – Multiplicação de números racionais
d) (20,8) ? (20, 45) ? (20,5) 5 5 (10,36) ? (20,5) 5 20,18
Exercícios, página 98. 1.
2 2 4 a) 1 ? 2 52 15 5 3 3 12 51 b) (24) ? 2 11 11 c) 1 1 ? 1 3 51 3 2 4 8 5 5 d) 2 ? (20, 4) 5 2 8 8
()
4. (25) ? (21,8) 2 (17) ? (11,2) 5 5 19 2 (18,4) 5 5 19 2 8,4 5 5 10,6 1 ? 2 4 51 1 4 10 2 2
1
e) (26,4) ? (11,5) 5 29,60 2 6, 4 1,5 320 64 1 9,60 f) (20,7) ? (22,1) 5 11,47 2,1 0,7 1, 47
2.
106
5 a) Dobro de 2 : 8 1 5 5 52 2 ? 2 4 84
1 3 1 3 ? 2 52 a) 22 ? 2 4 2 7 14 1 1 7 2 1 1 51 b) 2 ? 1 ? 2 9 7 1 6 3 27 c) (21,5) ? (10,36) ? (12,7) 5 5 (20,54) ? (12,7) 5 21,458
5. O dobro de 6,25 m é: 2 ? 6,25 m5 12,50 m. Como se trata de profundidade, podemos representar esse valor pelo número racional relativo: 212,50 m. 6. Se a cada quilômetro rodado consome-se 0,12 , de combustível, em 82,5 quilômetros serão consumidos: 82,5 ? 0,12 5 9,9 R 9,9 , 7. 5 ? (22,24) 1 3 ? (13,25) 5 5 (211,2) 1 9,75 5 5 211,2 1 9,75 5 5 21,45 8. a)
1 1 5 4 1 5 ? 2 1 2 ? 1 4 2 41 9
5 1 10 9 210 1 9 1 52 1 52 1 5 52 9 2 18 18 18 18 10 9 210 1 9 1 52 1 5 52 18 18 18 18
b)
10 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1c) 6 5 1 ? 1 2 1 ? 2 52 2 2 52 1 52 1 52 (21,7) 5 5 6 5 6 (17,31) 30 ;30 30(173,1) ; (217) 5 24,3 31 10 5 2 3
c)
1 1 1 ? 2 52 1 2 2 1 52 1 1 1 52 6 1 5 52 1 2 3 30 5 6 5 6 30 30 d)
(20,28) ? (11,5) 2 (10,7) ? (20,72) 5 5 20,42 2 (20,504) 5 5 20,42 1 0,504 5 5 10,084
e)
0,625 2 (10,84) ? (10,6) 5 5 0,625 2 (10,504) 5 5 0,625 2 0,504 5 5 10,121
12 1 5 5 52 5 (26 ) ? 1 f) (26);1 5 12 2 2
a)
10
(12) ; (20,5) 5 (120) ; (25) 5 24
100
180 36 000 0,5
100 e) (10,66) ; (11,1) 5 (166) ; (1110) 5 10,6 100
660 110 000 0,6 10
f) (230,4) ; (14) 5 (2304) ; (140) 5 27,6 10
304 40 240 7,6 000 100
g) (21,44) ; (20,24) 5 (2144) ; (224) 5 16 100
10
h) (16) ; (22,5) 5 (160) ; (225) 5 22,4
2.
73,1 17 051 4,3 00
100 d) (20,18) ; (10,36) 5 (218) ; (136) 5 20,5
Exercícios, páginas 100 e 101. 2 1 6 9 6 7 2 a) 1 ;2 5 1 52 ? 2 7 7 7 1 9 3 3 2 3 11 3 14 6 ? 1 51 51 b) 1 ;1 7 14 7 1 11 11 1 1 5 10 5 9 1 5 2 ;2 c) 2 ? 2 51 27 9 27 3 102 6 1 1 d) 2 5 ;1 25 5 2 5 ? 1 8 52 1 8 8 8 1 25 5 5 2 4 4 1 2 e) 1 ;(12) 5 1 51 ? 1 7 7 7 2 1
10
20 – Divisão de números racionais 1.
(22,1) ; (22,8) 5 (221) ; (228) 5 10,75
10 210 28 140 0,75 0
b) 7 2 5 ? (11,5) 5 5 7 2 7,5 5 5 20,5
10
60 100 000
10
25 2,4
3. Metade de 21,8% R (21,8) ; 2 5 20,9% Logo, a queda foi de 20,9%.
10
107
4.
21 2 ; 25 14 1 15
2 5 8 5 1 12
5 1 3 3 3 1 5 12 21 15 3 9 3 10 ? 2 5 2 5 2 ? 1 ; 2 5 2 ; 2 ? 1 5 8 2 5 1 25 5 14 2 2 10 2 1 9 3 5 51 3
5 5 21 14 ;1 5 ; 2 5 2 ;1 8 12 25 15
5.
3 10
x 5 (15) (212,5) 5 (150) (2125) 5 20,4
5
1 1 4 10 5 10 10 10 52 2 ? 2 ? 2 2 2 5 9 4 1 3 5 1 9 3
10 10 10 30 210 1 30 20 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 500 125 10 10 10 30 2 10 1 30 20 000 0,4 52 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 1 1 Sendo x 5 20,4, temos: 4 3 1 3 2 e) ;( 2 2 ) 1 1 ? 2 2 1 ; 2 5 a) Triplo de x R 3 ? (20,4) 5 21,2 3 1 8 2 4 2 3 3 10 1 1 2 1 1 1 2 5 ? 2 1 2 2 1 ? 2 5 b) Metade de x R (20,4) 2 5 (24) (20) 5 20,2 3 2 1 2 4 2 3 3 10 1 1 1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 40 20 52 2 22 52 2 1 52 2 1 5 3 2 6 3 2 6 6 6 6 6 00 0,2 3 10
52
;2 1 1 1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 1 4 2 52 2 22 52 52 2 1 5 52 52 1 2 1 1 4 8 3 25 6 4 3 5 2 6 64 6 6 6 6 ;2 3 2 5 a) 2 ;1 2 (12);2 5 2 12)? ? 1 2 (1 5 5 5 4 5 1 8 2 1 1 21, 44);(10, 48) 2 (20,9);(11,2) 5 f) ( 4 5 4 5 2);2 5 2 12)? 2 5 ? 1 2 (1 5 4 5 1 8 2 5 23 2 (20,75) 5 1 8 1 8 5 16 25 1 16 11 55 23 52 22 52 1 52 1 5 51 1 0,75 5 2 5 2 5 10 10 10 10 1 8 5 16 25 1 16 11 22,25 1 5 51 52 1 52 2 5 10 10 10 10 4 8 1 8 1 3 7. 2 2 (10,8) (10,5) 5 b) 1 ;(12) 2 3 ? 2 5 1 2 2 5 ? 2 5 2 2 (11,6) 5 5 4 5 2 1 4 4 5 2 2 1,6 5 1 8 1 3 2 2 5 2 3 ? 2 5 1 ? 2 5 10,4 4 5 2 1 4 4 3 16 15 216 1 15 1 a) Valor da expressão na forma 52 1 52 1 5 52 ;2 5 4 20 20 20 20 4 2 fracionária: 1 51 . 16 15 216 1 15 1 10 ;2 5 52 1 5 52 20 20 20 20 b) Valor da expressão na forma decimal:
6.
c) (25,6) (22,8) 2 (10,25) (20,5) 5 5 12 2 (20,5) 5 5 12 1 0,5 5 12,5
10,4.
8. x 5 (10,2) (20,04) 2 3 ? (21,6) x 5 25 2 (24,8) 4 5 4 4 5 5 d) ;(20, 4) 2 ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2 5 x 5 25 1 4,8 9 3 9 10 3 10 x 5 20,2 5 4 4 5 5 ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2 5 3 9 10 3 10
108
Desafio!, página 101. 1. Podemos representar o salário de Marcos 7 na forma de fração: . 7 Depois de pagar a prestação
d) (10,05) ? (10,05) ? (10,05) 5 (0,05)1 1 1 1 1 5 5 (0,05)3 2.
1 2 1 1 1 a) 2 5 2 ? 2 51 9 9 9 81
da casa, sobram para Marcos: 7 3 723 4 4 2 do salário. 2 5 5 → 7 7 7 7 7 b) 1 1 5 1 1 ? 1 1 51 1 4 4 4 16 4 Com metade de ele paga a prestação do 6 7 carro: c) 2 1 5 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 51 1 2 64 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 4 do salário. ;2 5 ? 5 → 6 7 7 7 7 1 21 1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ? 2 ? 2 51 5 2 ? 2e a ?casa, 2 pagar Dessa forma, após 2 2 2 2 2 2 64 2 o carro sobram para Marcos: d) (20,7)3 5 (20,7) ? (20,7) ? (20,7) 5 7 3 2 7 3 1 2 7 5 725 2 2 5 20,343 2 1 5 2 5 → 5 2 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 0 12 7 5 725 2 2 e) 2 511 5 → do salário. 11 5 2 5 7 7 7 7 7 7 f) (10,9)3 5 (10,9) ? (10,9) ? (10,9) 5 2 representa De acordo com o enunciado, 5 10,729 7 R$ 276,00; pois é o que sobra para Marcos. 7 1 7 g) 1 51 1 3 3 Logo, representa R$ 138,00. 7 7 1 h) (24,2)2 5 (24,2) ? (24,2) 5 117,64 representa R$ 138,00; Como 7 7 i) (21,4)2 5 (21,4) ? (21,4) 5 11,96 representa: j) (16,2)0 5 11 7 ? 138 5 966 6 2 6 6 36 l) 1 5 1 ? 1 51 5 5 5 25
Portanto, o salário de Marcos é R$ 966,00. 2. Alternativa d. Duas fotos coloridas custam: 2 ? R$ 3,60 5 5 R$ 7,20. Logo, sobram para as cópias simples: R$ 10,00 2 R$ 7,20 5 R$ 2,80 Como uma cópia simples custa R$ 0,15, com R$ 2,80 poderei pagar: 2,80 : 0,15 5 18 Portanto, poderei pagar por 18 cópias simples.
2 m) 2 3 5 2 3 ? 2 3 51 9 10 10 10 100 3.
2 a) 2 5 5 2 5 ? 2 5 51 25 7 7 7 49 b) (10,8)3 5 (10,8) ? (10,8) ? (10,8) 5 5 10,512 4 c) 2 1 5 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 51 1 2 2 2 2 2 16 d) (22,5)2 5 (22,5) ? (22,5) 5 16,25
21 – Potenciação de números racionais
4. 1 x 5 2 ;(12) 2
Exercícios, páginas 105 e 106. 1.
9 9 9 9 1 1 1 1 1 9 3 5 1 a) 1 ? 1 ? 1 5 1 10 10 10 10 10 b) (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) 5 5 (22,4)1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (22,4)5 1 11 2 c) 2 11 ? 2 11 5 2 11 5 2 11 8 8 8 8
1 1 x 5 2 ? 1 2 2 1 x 52 4 a) Quadrado do número x: 1 2 1 1 2 5 2 ? 2 51 1 4 4 4 16 b) Cubo do número x:
109
5.
3 2 9 a) 2 ;2 5 4 8
1 1 9 8 1 5 1 ? 2 52 16 2 9 1 2
7 7 5 2 b) 2 ;2 2 2 5 9 6 6 1 2 7 6 25 5 2 ? 2 2 1 5 9 3 7 1 36
51
2 25 24 25 1 2 51 2 52 3 36 36 36 36 3
2
1 1 c) 3 ? 2 2 (212) ? 2 5 2 4 1 3 1 5 3 ? 2 2 (212 ) ? 1 16 4 8 3 3 3 3 3 6 3 52 2 2 52 1 52 1 51 8 4 8 4 8 8 8 2 2 2 2 4 d) 2 ? (210) 2 2 ;1 5 5 3 9
1 3 1 1 1 2 5 2 ? 2 ? 2 52 1 4 4 4 4 64
7. A 5 (20,25) : (22)2 2 (20,5)2 : (22) A 5 (20,25) : (14) 2 (10,25) : (22) A 5 20,0625 2 (20,125) A 5 20,0625 1 0,125 A 5 10,0625 8. (10,8) : (20,2)2 1 (22,7) : (20,3)2 5 5 (10,8) : (20,04) 1 (22,7) : (10,09) 5 5 20 1 (230) 5 5 20 2 30 5 210 9.
1 2 1 16 a 5 8 5 ? 52 1 b 1 81 16 Portanto, o quociente de a por b é 2. Logo,
10.
52
1 1 8 4 9 8 2 1 ? 1 5 2 2 (11) 5 5 9 1 4 1 5
11.
8 8 5 13 2 1 52 2 52 5 5 5 5
2 3 16 27 5 1 7)5 ? 2 2 (27 9 1 8 1
5 26 2 (27) 5 26 1 7 5 11
2
1 1 1 1 a) 3 22 5 5 ? 5 3 3 3 9 2
1 1 1 1 22 7b) 8 5 81 5 8 ? 8 5 64 ? (125 ) 5 25 1 3 1 1 1 1 1 c) (24) 23 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 4 4 4 4 64 d) (210)
22
2 1 1 1 1 5 2 5 2 ? 2 51 10 10 10 10 1
1 1 e) (29) 21 5 2 52 9 9 3
6. a) (22)3 2 (20,5)3 5 5 28 2 (20,125) 5 5 28 1 0,125 5 27,875 b) (22)2 2 (20,5)2 5 5 14 2 (10,25) 5 5 14 2 0,25 5 13,75 c) (22)2 2 (22) ? (20,5) 1 (20,5)2 5
110
1 1 ; y 5 9 21 5 6 9 1 1 3 2 5 x1y5 1 5 1 5 6 9 18 18 18 5 Logo, x 1 y 5 . 18 x 5 6 21 5
4 2 2 3 7 16 8 2 e) 2 ;2 2 2 ;2 2 2 ? (15) 5 1 3 3 25 9 27 2 3 16 8 7 4 2 7 2 ? (125 )1 5 2 ; ;2 2 2 2 2 ? (15) 5 1 3 3 25 9 27 25 1
1 3 1 1 2 1 a 5 2 2 3 5 5 ; b 5 4 2 2 5 5 2 8 4 16
4 4 2 4 ? (210 ) 2 1 ;1 5 5 1 25 5 9 9 52
5 14 2 (11) 1 (10,25) 5 5 14 2 1 1 0,25 5 5 4,25 2 1 5 13,25
1 1 1 1 1 f) 10 23 5 5 ? ? 5 10 10 10 10 1000 2 21 1 1 5 g) 1 5 51 5 2 2 5 22 h) 2 3 5 1 4 3 2 4
2 4 2 4 4 16 5 2 5 2 ? 2 51 3 3 3 9
3 23 1 i) 2 5 3 2 2 2 2 3 2 2 2 8 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 3 3 3 3 27
3 2 3 2 2 2 8 5 2 5 2 ? 2 ? 2 52 27 3 3 3 3
22 – Raiz quadrada exata de números racionais
Exercícios, página 108. 5 5 5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 1. 32De acordo com as figuras geométricas, vem: 5 a) 36 5 6, pois 6 ? 6 ou 62 5 36. 5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 32 b) 0, 49 5 0,7, pois 0,7 ? 0,7 ou (0,7)2 5 0,49. 2 2 4 12. Para cada casa decimal que a vírgula 2 2 4 2 5 . c) , pois ou ? 5 se desloca à direita, diminuímos uma 3 9 3 3 9 3 unidade negativa no expoente de base 10. 2. Daí vem: a) 2 304 2 a) 0,01 5 1022 c) 0,0015 1023 1 152 2 b) 0,00001 5 1025 d) 0,000001 5 1026 576 2 13. 288 2 5 22 6 2 6 6 36 511, 44 a) 1 5 1 5 1 ? 1 51 144 2 25 6 5 5 5 72 2 4 1 1 1 1 1 1 24 b) 10 5 5 ? ? ? 5 5 0, 0001 36 2 10 10 10 10 10 10000 4 18 2 1 1 1 1 1 5 ? ? ? 5 5 0, 0001 9 3 10 10 10 10 10000 3 3 3 1 1 1 1 1 c) 2 23 5 5 ? ? 5 5 0,125 1 28 ? 32 2 2 2 2 8 25 j) 2 1 5 1 2 1 2 2
d) 4 21 5
1 5 0,25 4
2 304 5 28 ? 32 5 (24 ? 3)2 5 (16 ? 3)2 5 (48)2 5 5 48 ? 48
Como 2 304 5 48 ? 48, temos, pela 23 23 23 3 1 3 2 2 a) 1 2 5 2 5 1 5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13definição, ) 51 27 que 2304 5 48. 3 3 3 3 23 23 3 3 2 1 2 5 1 5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13) 51 27 b) 676 2 3 3 3 24 24 24 4 5 3 2 3 3 3 3 338 5 2 3 81 b) 2 1 5 2 5 1 5 1 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 51 3 169 13 3 3 3 2 2 2 2 2 16 24 24 4 13 13 3 3 3 3 3 2 3 81 2 5 1 5 1 5 1 ? 1 ? 1 ? 1 51 1 22 ? 132 2 2 2 2 2 3 3 16 676 5 22 ? 132 5 (2 ? 13)2 5 (26)2 5 26 ? 26 22 22 1 22 2 1 1 3 2 c) 2 5 2 5 2 5 (26) 5 (26) ? (26) 51Como 36 676 5 26 ? 26, temos, pela 3 6 6 2 6 22 22 2 1 2 3 definição, que 676 5 26. 2 5 2 5 (26) 5 (26) ? (26) 51 36 6 6 6 21 21 21 c) 1 764 2 10 6 4 4 5 d) 2 2 5 2 5 1 51 5 5 882 2 5 5 6 441 3 15. 147 3 a) 56 5 22 1 33 1 52, pois 56 5 4 1 27 1 25. 49 7 b) 154 5 21 1 33 1 53, pois 154 5 2 1 27 1 125. 7 7 c) 385 5 23 1 32 1 52 1 73, pois 385 5 8 1 1 22 ? 32 ? 72 1 9 1 25 1 343. 1 764 5 22 ? 32 ? 72 5 (2 ? 3 ? 7)2 5 (42)2 5 42 ? 42 d) 160 5 22 1 30 1 52 1 72 1 92, pois 160 5 5 4 1 1 1 25 1 49 1 81. Como 1 764 5 42 ? 42, temos, pela definição, que 1764 5 42. 14.
111
d) 2 500 1 250 625 125 25 5 1
2 2 5 5 5 5 22 ? 54
2
1 1 1 1 1 1 5 4 5 2 2 5 5 ? 5 (0, 04) ? (0, 04) 25 25 25 625 5 (5 )
2 1 1 1 1 1 1 5 4 5 2 2 5 5 ? 5 (0, 04) ? (0, 04) 25 25 25 625 5 (5 ) Daí, vem que x 5 0,04.
e) Sendo x 5 25 , então x 5 5, pois 5 ? 5 5 5 25. 36 6 f) Sendo x 5 , então x 5 , pois 49 7 6 6 36 . ? 5 7 7 49
2 500 5 22 ? 54 5 (2 ? 52)2 5 (2 ? 25)2 5 (50)2 5 5 50 ? 50 Como 2 500 5 50 ? 50, temos, pela definição, que 2500 5 50 . 3.
4. a) 12,25 5
1225 100
; 25
2
49 72 7 7 7 5 5 2 5 5 ? 5 (3,5) ? (3,5) 4 ; 25 2 2 2 2
a) Sendo x2 5 100, então x 5 10, pois: 2 ; 25 1225 49 72 7 7 7 100 2 12,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (3,5) ? (3,5) 2 2 2 100 ;25 4 2 50 2 49 5 3,5 ? 3,5; temos, pela Como 12,25 5 25 5 4 5 5 definição: 12,25 5 3,5. 1 22 ? 52 2
;4 1296 324 182 18 18 18 5 5 2 5 5 ? 5 (3,6) ? (3,6) 5 5 5 100 ; 4 25 5 2 ;4 2 18 18 18 1296 324 18 b) Sendo x2 5 121,12 então ,96 5x 5 11, pois: 5 5 2 5 5 ? 5 (3,6) ? (3,6) 5 5 5 100 ; 4 25 5 121 11 324 Como 12,96 5 5 3,6 ? 3,6; temos,pela 11 11 25 2 1 11 definição: 12,96 5 3,6. 121 5 112 5 11 ? 11 2 ; 25 Portanto, x 5 11. 3025 121 112 11 11 11 c) 30,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (5,5) ? (5,5) 2 2 2 1 100 ;25 4 1 2 2 c) Sendo x2 5 , então x 5 ,;pois: 25 2 4 3025 121 11 11 11 11 16 30,25 5 5 5 2 5 5 ? 5 (5,5) ? (5,5) 2 2 2 100 ;25 4 16 2 2 8 2 121 Como 30,25 5 5 5,5 ? 5,5; temos, 4 2 4 2 2 pela definição: 30,25 5 5,5. 1 24 2 ;4 2916 729 272 27 27 27 2 1 1 1 29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4) d) 1 1 1 5 5 5 100 ; 4 25 5 4 5 2 2 5 5 ? 52 16 4 4 4 2 ; 4 2 (2 ) 2916 729 272 27 27 27 29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4) 2 1 5 5 5 100 ; 4 25 5 Portanto, x 5 . 4 729 5 5, 4 ? 5, 4 ; temos, Como 29,16 5 ;16 16 1 25 d) Sendo x2 5 0, 0016 5 , 5 10000 ;16 625 pela definição: 29,16 5 5, 4 . 1 então x 5 ou x 5 0,004; pois: ;16 7 2 7 7 25 784 49 72 e) 0, 0784 5 5 5 2 5 5 ? 5 (0,28) ? (0 25 25 25 10000 ;16 625 25 625 5 2 ;16 2 7 7 7 784 49 7 125 5 0, 0784 5 5 5 2 5 5 ? 5 (0,28) ? (0,28) 25 25 25 10000 625 25 25 5 ;16 49 5 5 Como 0, 0784 5 5 0,28 ? 0,28; temos, 625 4 1 5 pela definição: 0, 0784 5 0,28 .
100 5 22 ? 52 5 (2 ? 5)2 5 (10)2 5 10 ? 10 Portanto, x 5 10.
112
b) 12,96 5
4 0
f) 0,1024 5
2
;16
5 ;16
8 8 7. 8 441 5 21, pois 21 ? 21 5 441. 64 82 5 2 5 5 ? 5 (0,32) ? (0,32) 625 25 25 25 256 5 16, pois 16 ? 16 5 256. 25
2
;16
5 ;16
1024 10000
8 8 8 64 82 5 2 5 5 ? 5 (0,32) ? (0,32) 25 25 25 625 25 64 Como 0,1024 5 5 0,32 ? 0,32; temos, 625 pela definição: 0,1024 5 0,32.
900 5 30 , pois 30 ? 30 5 900. Então, temos: 441 1 256 2 900 5 21 1 16 2 30 5 37 2 30 5 7 Logo, o valor da expressão é 7.
6. a10 ? b4 5 (a5 ? b2)2 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2) Como a10 ? b4 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2), temos, pela definição, que
8 64 ; então x 5 , pois 15 225 8 8 ? 5 64 . 15 15 225 8 . Logo, x 5 15
8. Se x 5
11 121 5. Se a 5 ; então a 5 , pois 4 196 11 11 121 ? 5 4 14 196 .
a10 ? b4 5 a5 ? b2 .
23 – Estudo das médias Exercícios, página 110. 1. Para determinar a média aritmética, basta somar os cinco números e dividir essa soma por cinco: 2 25 1 (222) 1 (213) 1 15 1 30 225 2 22 2 13 1 15 1 30 260 1 45 5 5 5 5 5 5 15 52 52 3 5 2. Calculando a média aritmética ponderada, vem: 8 ? 2 1 15 ? 2 1 20 ? 1 1 16 1 30 1 20 66 5 5 5 13,2 2 12 11 5 5 3. Calculando a média ponderada para compra de Cristina, vem: 3 ? 21 1 2 ? 12 63 1 24 87 5 5 5 17, 4 312 5 5 Logo, o preço médio por caneta foi R$ 17,40. 4. Calculando a média aritmética, vem: 2 1 3 8 2 9 19 1 1 1 1 3 6 4 5 12 12 12 5 12 5 19 ? 1 5 19 3 3 3 12 3 36 5. Calculando a altura média dos jogadores, vem: 1,90 1 1,99 1 2, 01 1 2, 08 1 2,12 10,1 5 5 2, 02 5 5 Logo, a altura média dos jogadores é 2,02 m.
113
6. Para calcularmos o custo de cada copo de refresco, devemos calcular a média ponderada para o custo. Daí, vem: 8 ? 50 1 2 ? 85 400 1 170 570 5 5 5 57 8 12 10 10 Logo, o custo de cada copo de refresco é 57 centavos. 7. Nos cinco resultados, o primeiro valor refere-se aos gols marcados pelo clube, e o segundo valor refere-se aos gols sofridos por esse clube. Assim, temos: Gols marcados R 4 1 3 1 2 1 4 1 1 5 14 Gols sofridos R 2 1 3 1 3 1 0 1 1 5 9 a) O clube marcou 14 gols. b) O clube sofreu 9 gols. c) A média de gols marcados é dada por: 4 13 12 1 4 11 14 5 5 2,8 5 5 Logo, a média de gols marcados por esse clube foi de 2,8 gols. d) A média de gols sofridos é dada por:
2 13 13 1 0 11 9 5 5 1,8 5 5 Logo, a média de gols sofridos por esse clube foi de 1,8 gol.
8. Calculando a idade média dos jogadores dessa equipe, vem: 3 ? 20 1 2 ? 26 1 2 ? 23 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 5 3 12 12 11 11 11 11 11 5
60 1 52 1 46 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 285 5 5 23,75 12 12
Logo, a idade média dos jogadores dessa equipe é 23,75 anos. 9. De acordo com as notas, calculamos a média do aluno no bimestre: 4 ? 6 1 3 ? 8 1 2 ? 7,5 1 1 ? 9 24 1 24 1 15 1 9 72 5 5 5 7,2 4 13 12 11 10 10 Logo, a média desse aluno foi 7,2. 10. O preço médio do produto é dado por: 3500 ? 30 1 8 500 ? 24 105000 1 204 000 309 000 5 5 5 25,75 3500 1 8500 12000 12000 Logo, o preço médio desse produto, por unidade, foi R$ 25,75.
Brasil real, página 111. 1. a) De acordo com a tabela e com os dados do texto, em 2005 o IDH do Brasil estava médio. b) Como em 2005 o IDH era 0,792 e em 2004 era 0,790 (e 0,792 > 0,790), o IDH brasileiro foi maior em 2005. c) Melhorou; porque quanto maior o IDH, melhor é a qualidade de vida da população.
114
2. a) b)
Calculando a média dos indicadores medidos em 2000, temos: 0,502 1 0,615 1 0, 408 1,525 5 0,508 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2000 era 0,508. Calculando a média dos indicadores medidos em 2005, temos: 0, 420 1 0,648 1 0,540 1,608 5 5 0,536 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2005 era 0,536. Tratando a informação, páginas 112 e 113.
1. a) Resposta em aberto.
b) Resposta em aberto.
c) Resposta em aberto.
2. a) De acordo com o gráfico, nasceram nessa maternidade nesse dia: 4 1 2 1 2 1 1 1 1 5 10 R 10 crianças. b) De acordo com o gráfico, 4 crianças nasceram com mais de 50 cm de altura: duas com 51 cm, uma com 52 cm e uma com 53 cm. c) Nenhuma. d) Calculando a média das alturas das crianças que nasceram nesse dia, temos:
491 4 ? 47 1 2 ? 48 1 2 ? 51 1 52 1 53 188 1 96 1 102 1 52 1 53 5 5 49,1 5 5 10 4 12 12 11 11 10 Logo, a média de altura das crianças foi 49,1 cm.
3. a) Calculando a média das alturas do time feminino, vem:
1,70 1 1,76 1 1,77 1 1,80 1 1,82 1 1,82 1 1,83 1 1,87 1 1,97 1 2, 00 1 1,94 1 1,92 22,2 5 5 1,85 12 12
Logo, a altura média do time era 1,85 m.
b) Calculando a média das alturas do time masculino, vem: 2, 00 1 1,86 1 2,11 1 2,11 1 1,92 1 1,91 1 1,91 1 2,11 1 2, 04 1 2,11 1 2, 06 1 2,11 5 12 5 24,25 2, 02 12 Logo, a altura média do time era 2,02 m. c) 2,02 2 1,85 5 0,17 Logo, o time masculino é 0,17 m ou 17 cm mais alto que o time feminino. d) De acordo com a tabela, a jogadora mais alta da seleção feminina é Alessandra. e) De acordo com a tabela, a jogadora mais baixa da seleção feminina tem 1,70 m de altura. f) A maior altura dos jogadores do time masculino é 2,11 m, e cinco jogadores possuem essa altura. g) Jogador mais baixo: 1,86 m. Jogadora mais alta: 2,00 m. A diferença entre essas alturas é: 1,86 m 2 2,00 m 5 20,14 m O número racional negativo indica que o jogador é mais baixo do que a jogadora. h) Iziane e Janeth possuem a mesma altura (1,82 cm). i) De acordo com a tabela, 4 jogadores possuem altura inferior a 2,0 m.
115
Retomando o que aprendeu, páginas 113 e 114.
1.
2.
3.
1 1 3 1 2 5 (22 ) ? 2 4 2 2 2
4.
9 8 1 5 2 1 ;2 5 2 8 2 Alternativa a. 4 (0,1 2 0,01) : (0,2 2 0,02) 5 1 1 1 8 ? 2 5 2 ;2 5 2 514 5 (0,09) : (0,18) 5 10,5 2 8 2 1 1 8. Alternativa a. Alternativa d. Fazendo a diferença entre os pontos x 5 2(22)2 2 9 ; (21)100 2 2 considerados, temos: x 5 [2(14) 2 3] ; [11 2 2] 21,5 2 (26,35) 5 x 5 [24 2 3] ; [21] 5 21,5 1 6,35 5 14,85 x57 Logo, a distância entre os dois pontos 1 Se x 5 7, então x21 51 . considerados é 4,85 m. 7 9. Alternativa c. Alternativa d. 3 ? 12 1 18 ? 13 1 9 ? 14 36 1 234 1 126 396 5 5 5 13,2 5 1 3 1 18 1 9 30 30 x 5 (21 2 1) ? 2 2 2 3 ? 12 1 18 ? 13 1 9 ? 14 36 1 234 1 126 396 4 2 5 5 5 13,2 18 5 31 1 8 119 3 30 1 3 301 Logo, 2 a média das idades dos alunos é 2 51 2 5 5 x 5 (22) ? 2 2 5 (22 ) ? 2 1 4 4 2 2 4 2 2 2 13,2 2 anos. 3 1 2 10. Alternativa e. 51 2 5 5 1 2 2 2 106 1 125 1 95 1 104 430 Sendo x 5 1, o cubo de x será: 5 5 107,5 4 4 3 (1) 5 (1) ? (1) ? (1) 5 1. Logo, a média de pontos da equipe A nesse torneio é 107,5 pontos. Alternativa b. 3 2 2 1 ? 3 2 1 5 2 3 2 2 ? 3 2 2 5 2 2 2 2 2 2 5 1 5 5 2 ? 52 521,25 2 2 4 21,25 está entre os inteiros 22 e 21.
5. Alternativa c. 1 x 5 621 5 6 1 2 1 1 1 22 y 5 6 5 5 ? 5 6 6 6 36 1 1 6 1 7 x1y5 1 5 1 51 6 36 36 36 36 6. Alternativa e. 0,25 1 0,19 : (4 2 0,8 : 0,5 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 1,6 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 2,1) 5 5 0,25 1 0,19 : (1,9) 5 5 0,25 1 0,1 5 0,35
11. Alternativa a. 1 2 2 2 1 1 1 ;2 3 5 2 1 1 4 2 4 2 5 21 1 2 2 2 1 1 4 ;2 3 5 4 4 4 4 2 3 4 3 5 21 1 2 1 ;2 5 4 4 4 2 1 3 5 21 1 1 ;2 5 4 4 1 3 ; 2 5 5 21 1 16 4
16 1 3 ; 2 5 5 2 1 16 4 16 5 1 15 3 15 4 5 ;2 5 2 5 2 ? 2 51 4 16 4 16 4 3 1
7. Alternativa e. 12. Alternativa d. 2 3 22 ? 2 3 1 22 ;2 1 5 211,6 1 13,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14, 2 5 2 12 5 1 9 211 ,6 1 1 4 ;2 1 13 5,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 5 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14,2 1 15, 4 5 5 22 ? 1 8 4 2 12 5
116
9 1 5 2 1 4 ;2 5 2 8
236,5 1 29,2 7,3 52 521, 46 5 5 Logo, a média aritmética é 21,46.
5
ESTUDANDO AS EQUAÇÕES b) 132 2 122 5 42 1 32 Da equação, vem: 1o membro R 132 2 122 2o membro R 42 1 32
Abertura, páginas 115 e 116. • Qual o número cujo triplo mais 6 dá 21? 5, pois o triplo de 5 é 15 com mais 6 dá 21. • No dicionário Aurélio, o significado das palavras são: Equivalente R de igual valor; aquilo que equivale. Equilíbrio R manutenção de um corpo na posição normal, sem oscilações ou desvios; igualdade de forças opostas. Equilátero R que tem os lados iguais entre si. Equidistante R que dista igualmente. Equilibrista R pessoa que se conserva em equilíbrio. • Você já ouviu falar em “incógnita”? x 1 y 5 67 e x 2 2y 5 46 x 1 y 5 67 → x 5 67 2 y I x 2 2y 5 46 II Substituindo I em II, temos: 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221 (2 1) 3y 5 21 21 y5 3 y57 x 1 y 5 67 x 1 7 5 67 x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, x 5 60 e y 5 7.
24 – Igualdade
2. Sendo a 5 b e b 5 27, pela propriedade transitiva, a 5 27. 3. Pedro apenas mudou os termos de membro, passando o termo do 1o membro para o segundo e o do segundo para o 1o. Logo, Pedro utilizou a propriedade simétrica. 4. Sim, pois, pela propriedade simétrica, 21 5 x 1 1 R x 1 1 5 21. 5. Sendo x 5 3y e 3y 5 z 2 2, pela propriedade transitiva, x 5 z 2 2. 6.
2o– membro
7. Adicionando 26 ao 1o membro, o 2o membro também deverá ser adicionado de 26. Daí, vem: 8 2 6 ou 2 2o– membro
8. a) x 1 2 5 6 → x 1 2 2 2 5 6 2 2 x54 b) x 1 2 521 → x 1 2 2 2 521 2 2 x 5 23
As idades de Eva e Ivo Sendo os dois números ímpares, a diferença entre eles 6, e ainda a soma 40, depois de algumas tentativas concluímos que as idades são 17 e 23 anos. Exercícios, página 119 e 120.
1 ,o 7 o 2 membro também deverá ser multiplicado 1 por . Daí, vem: 7 (21) ? 17 ou 3 Multiplicando o 1o membro por
9. a) 3x 5 21 →
1. a) 82 1 2 5 6 ? 11 Da equação, vem: 1o membro R 82 1 2 2o membro R 6 ? 11
21 3 x57
1 1 ? 3 x 5 21 ? 3 3
x5
b) 3x 5215 →
15 3 x 5 –5
1 1 ? 3 x 5215 ? 3 3
x 52
117
25 – Equações
5. De acordo com as situações, escrevemos: a) x 1 31 5 100 b) x 2 8 5 41 c) 2x 1 31 5 73 d) 3x 2 13 5 47 1 1 e) x 1 x 5 35 2 3 f) 4x 5 x 1 72
Explorando, página 120. 1.
2.
3.
Como cada sorvete custa R$ 3,00, temos: a) 5 sorvetes custam: 5 ? 3 5 15 R 15 reais b) 10 sorvetes custam: 10 ? 3 5 30 R 30 reais c) 15 sorvetes custam: 15 ? 3 5 45 R 45 reais d) x sorvetes custam: 3x reais 6. Como o ponteiro da balança indicou 90 kg: a) se ganhar 10 kg R 90 1 10 5 100 R 100 kg b) se ganhar x kg R (90 1 x) R (90 1 x) kg c) se perder 5 kg R 90 2 5 5 85 R 85 kg d) se perder y kg R (90 2 y) R (90 2 y) kg Sendo a quantidade de carros no pátio da concessionária igual a 30, temos: a) se houvesse 3 vezes mais carros R 3 ? 30 5 90 R 90 carros b) se houvesse t vezes mais carros R 30 ? t c) se a quantidade de carros fosse dividida por 3 revendedores R 30 : 3 5 5 10 R 10 carros d) se a quantidade de carros fosse dividida por n revendedores R 30 : n Exercícios, página 123.
1.
2.
3.
4.
118
Idade atual de Karina: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 10 5 28 7. Massa de uma das caixas: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 4x 5 20 8. Largura: x; comprimento: x 1 10 Sendo o triplo da largura igual ao dobro do comprimento, temos: 3x 5 2(x 1 10)
26 – Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
Sim, é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 1 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1 0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 1 1 0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 2 1 0 R não é uma equação, pois não expressa uma igualdade. x 5 21 R é uma equação, pois representa uma igualdade. 25 1 23 5 22 ? 10 Embora seja uma igualdade, essa sentença não apresenta número desconhecido. Só há uma incógnita na equação, a incógnita x.
Explorando, páginas 123 e 124. 1. O número cujo triplo mais 6 dá 21 é o número 5. Representando a situação na forma de equação, temos: 3 ? x 1 6 5 21, sendo x o número desconhecido. 2.
3.
O número cuja metade mais o seu dobro dá 20 é o número 8. Representando a situação na forma da equação, temos: x 1 2x 5 20 , sendo x o número desconhecido. 2 O número que diminuído do seu triplo é igual ao quádruplo do número menos 18 é o número 3. Representando a situação na forma da equação, temos: x 2 3x 5 4x 2 18, sendo x o número desconhecido.
Exercícios, página 127. 1. a) x 2 7 5 0 x57 S 5 {7} b) x 1 9 5 0 x 5 29 S 5 {29} 3 c) x 2 5 0 8 3 x5 8 3 S5 8 d) x 1 1 5 0 x 5 21 S 5 , pois 21 IN. e) x 2 10 5 3 x 5 3 1 10 x 5 13 S 5 {13} f) x 2 6 5 210 x 5 210 1 6 x 5 24 S 5 {24} g) 2x 5 216 16 x 52 2 x 5 28 S 5 {28}
h) 4x 5 240 40 x 52 4 x 5 210 S 5 {210} i) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} j) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} x l) 3 5 4 x53?4 x 5 12 S 5 {12} 1 2 m) x 1 5 3 3 2 1 x5 2 3 3 1 x5 3 1 S5 3
2. a) 7x 2 6 5 5x 1 4 7 ? (5) 2 6 5 5 ? (5) 1 4 35 2 6 5 25 1 4 29 5 29 R sentença verdadeira Logo, o número 5 é raiz da equação 7x 2 6 5 5x 1 4. x b) 3x 2 1 5 1 20 6 (6) 1 20 3 ? (6) 2 1 5 6 18 2 1 5 1 1 20 17 5 21 R sentença falsa Logo, o número 6 não é raiz da equação x 3x 2 1 5 1 20 . 6 c) 8 1 5x 5 0 1 8 8 1 5 ? 2 50 5 1 8 1 (28) 5 0 82850 0 5 0 R sentença verdadeira 8 é raiz da equação 8 1 5x 5 0. Logo, 2 5
d) y2 2 3y 5 8 2 y (22)2 2 3 ? (22) 5 8 2 (22) 4165812 10 5 10 R sentença verdadeira Logo, 22 é raiz da equação y2 2 3y 5 8 2 y. 1 1 5 3x 2 6 2 1 2 1 2 1 2? 1 5 3 ? 2 3 6 3 1 2 4 1 1 1 52 2 3 6 2 8 1 4 1 1 5 2 6 6 2 2
e) 2x 1
3
9 3 5 6 3 2 3 3 5 → sentença verdadeira 2 2 2 Logo, é raiz da equação 3 1 1 . 2x 1 5 3x 2 6 2 3. Para x 5 0: (0)2 2 5 ? (0) 1 6 5 0 0201650 6 5 0 R sentença falsa Para x 5 1: (1)2 2 5 ? (1) 1 6 5 0 1 2 5 1 6 5 0 2 5 0 R sentença falsa Para x 5 2: (2)2 2 5 ? (2) 1 6 5 0 4 2 10 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Para x 5 3: (3)2 2 5 ? (3) 1 6 5 0 9 2 15 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Logo, 2 e 3 são as raízes da equação x2 2 5x 1 6 5 0. 4. Para x 5 1 : 2 1 1 1 1 2 2 ? 2 53? 2 2 3 2 1 2 1 3 2 5 2 2 2 3 1 9 4 2 5 2 2 6 6 5 5 → sentença falsa 6
12 2 2 1 2
119
c) x 2 5 5 0 e x 5 25 x2550 x 2 5 1 5 50 15 x 5 15 x 5 25 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. d) 2x 5 18 e x 5 9 2x 18 5 2 2 x59 x59 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. e) 5x 5 215 e x 5 3 5x 5 215 5x 15 52 5 5 x 5 23 x53 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. f) x 2 1 5 23 e x 5 22 x 2 1 5 23 x 2 1 1 1 52 3 1 1 x 5 22 x 5 22 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. g) 4x 5 16 e x 5 4 4x 5 16 4x 16 5 4 4 x54 x54 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. h) x 1 2 5 25 e x 5 27 x 1 2 5 25 x 1 2 1 2 2 52 5 1 (22) x 5 25 2 2 x 5 27 x 5 27 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.
1 : 3 1 1 2 1 1 2? 2 5 3 ? 2 3 2 3 1 3 2 1 2 2 51 2 3 2 3 4 3 3 2 2 5 2 6 6 3 3 1 1 5 → sentença falsa 6 3 1 Para x 5 : 6 1 1 1 1 1 2 2 ? 2 5 3 ? 2 6 2 3 6 3 2 1 1 1 2 2 5 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 5 2 6 6 6 6 1 1 2 52 → sentença verdadeira 6 6 1 2 1 Logo, é raiz da equação 2x 2 5 3x 2 . 2 3 6 Para x 5
5. Substituindo x por 25 na equação, temos: 3 ? (25 1 2) 2 5 ? (25 1 3) 5 1 3 ? (23) 2 5 ? (22) 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R sentença verdadeira Logo, 25 é raiz da equação 3 ? (x 1 2) 2 5 ? ? (x 1 3) 5 1, pois, substituindo x por 25, obtemos uma igualdade verdadeira.
27 – Equações equivalentes Exercícios, página 132. 1. a) x 1 4 5 7 e x 5 7 2 4 x1457 x 1 4 1 ( 24 ) 5 7 1 (24) x5724 x53 x5724Rx53 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. b) x 1 2 5 9 e x 5 7 x1259 x 1 2 1 ( 22 ) 5 9 1 (22) x5922 x57 x57 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.
120
( )
2.
a) x 1 2 5 5 x 1 2 2 2 5522 x53 S 5 {3} b) x 2 11 5 0 x 2 11 1 11 5 0 1 11 x 5 11 S 5 {11}
c) 4x 5 28 4x 8 52 4 4 x 5 22 S 5 {22} d) x 2 2 5 21 x 2 2 1 2 521 1 2 x51 S 5 {1} e) 6x 5 6 6x 6 5 6 6 x51 S 5 {1} f) 4x 5 3x 1 9 4x 2 3x 5 3x 1 9 2 3x x59 S 5 {9} g) 3x 5 7 3x 7 5 3 3 7 x5 3 7 S5 3 h) 5x 1 1 5 16 5x 1 1 2 1 5 16 2 1 5x 15 5 5 5 x53 S 5 {3} x 3 5 i) 4 10 2 x 3 4? 5 ?4 4 10 5 6 x5 5 6 S5 5 j) 10x 2 2 5 7x 10x 2 2 1 2 5 7x 1 2 10x 2 7x 5 7x 1 2 2 7x 3x 2 5 3 3 2 x5 3 2 S5 3 l) 6x 1 5 5 6 6x 1 5 2 5 5 6 2 5 6x 1 5 6 6
1 6 1 S5 6 m) 8x 1 4 5 0 8x 1 4 2 4 5 0 2 4 8x 4 52 8 8 4 4 1 x 52 52 8 4 2 1 S 5 2 2 x5
28 – Equações do 1°- grau com uma incógnita Exercícios, página 137. 1. a) 2x 2 8 5 8 2x 5 8 1 8 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8} b) 3x 1 1 5 19 3x 5 19 2 1 3x 5 18 18 x5 3 x56 S 5 {6} c) 7y 2 4 5 10 7y 5 10 1 4 7y 5 14 14 y5 7 y52 S 5 {2} d) 2t 1 1 5 28 2t 5 28 2 1 2t 5 29 9 t 52 2 9 S 5 2 2 e) 11 2 3y 5 2 23y 5 2 2 11 23y 5 29 ? (21) 3y 5 9 9 y5 3 y53 S 5 {3}
121
f) 3x 5 27 1 x 3x 2 x 5 27 2x 5 27 7 x 52 2 7 S 5 2 2 g) 9x 1 5 5 4x 9x 2 4x 1 5 5 0 5x 5 25 5 x 52 5 x 5 21 S 5 {21} h) 20 5 26x 1 32 0 5 2 6x 1 32 2 20 6x 5 12 12 x5 6 x52 S 5 {2}
9 S 5 2 2 e) 20x 2 13 5 20 1 9x 20x 5 20 1 9x 1 13 20x 5 33 1 9x 20x 2 9x 5 33 11x 5 33 33 x5 11 x53 S 5 {3} f) 21x 1 1 5 11x 1 6 21x 5 11x 1 6 2 1 21x 5 11x 1 5 21x 2 11x 5 5 10x 5 5 5 5 1 x5 5 10 5 2 1 S5 2 g) 9x 2 23 5 13x 2 27 9x 5 13x 2 27 1 23 9x 5 13x 2 4 9x 2 13x 5 24 24x 5 24 ? (21) 4x 5 4 4 x5 4 x51 S 5 {1} h) 0,8 1 2x 5 x 1 3,5 2x 5 x 1 3,5 2 0,8 2x 5 x 1 2,7 2x 2 x 5 2,7 x 5 2,7 S 5 {2,7}
2. a) 7x 1 1 2 5x 5 9 2x 1 1 5 9 2x 5 9 2 1 2x 5 8 8 x5 2 x54 S 5 {4} b) y 1 9y 1 5 5 215 10y 1 5 5 215 10y 5 215 2 5 10y 5 220 20 y 52 10 y 5 22 S 5 {22} c) 17x 2 1 5 15x 1 3 17x 5 15x 1 3 1 1 17x 5 15x 1 4 17x 2 15x 5 4 2x 5 4 4 x5 2 x52 S 5 {2} d) 16 2 x 5 x 1 25 2x 5 x 1 25 2 16 2x 5 x 1 9 2x 2 x 5 9 22x 5 9 ? (21) 2x 5 29 9 x 52 2
122
3. Resolvendo as equações, temos: 10y 1 4 5 16y 2 8 9x 2 4 5 6x 1 8 10y 5 16y 2 8 2 4 9x 5 6x 1 8 1 4 10y 5 16y 2 12 9x 5 6x 1 12 10y 2 16y 5 212 9x 2 6x 5 12 26y 5 212 ? (21) 3x 5 12 6y 5 12 x54 12 S 5 {4} y5 6 y 5 2 S 5 {2} a) O valor do número y é 2. b) O valor do número x é 4. c) O produto de y por x: y?x52?458
d) O quociente de y por x: 2 y 2 1 5 5 x 4 2 2
c) 7x 2 3 ? (x 2 2) 5 3 ? (x 1 4) 7x 2 3x 1 6 5 3x 1 12 4x 1 6 5 3x 1 12 4x 5 3x 1 12 2 6 4x 5 3x 1 6 4x 2 3x 5 6 x56 S 5 {6} d) 2 ? (y 2 2) 1 5 ? (2 2 y) 5 23 ? (2y 1 2) 2y 2 4 1 10 2 5y 5 26y 2 6 23y 1 6 5 26y 2 6 23y 5 26y 2 6 2 6 23y 5 26y 2 12 23y 1 6y 5 212 3y 5 212 12 y 52 3 y 5 24 S 5 {24} e) 2 ? (1 2 t) 1 1 5 3 ? (t 2 3) 2 2t 2 2 2t 1 1 5 3t 2 9 2 2t 22t 1 3 5 t 2 9 22t 5 t 2 9 2 3 22t 5 t 2 12 22t 2 t 5 212 23t 5 212 ? (21) 3t 5 12 12 t5 3 t54 S 5 {4} f) 5 ? (m 1 1) 2 3 ? (2m 1 1) 5 4 ? (5 2 m) 5m 1 5 2 6m 2 3 5 20 2 4m 2m 1 2 5 20 2 4m 2m 5 20 2 4m 2 2 2m 5 18 2 4m 2m 1 4m 5 18 3m 5 18 18 m5 3 m56 S 5 {6}
4. 2x 2 6 5 10 3x 2 5 5 4 5x 2 7 5 8 2x 5 10 1 6 3x 5 4 1 5 5x 5 8 1 7 2x 5 16 3x 5 9 5x 5 15 16 9 15 x5 x5 x5 2 3 5 x 5 8 x 5 3 x53 S 5 {8} S 5 {3} S 5 {3} Logo, as equações equivalentes são: 3x 2 5 5 4 e 5x 2 7 5 8, pois apresentam a mesma solução. 5. Chamando o número desconhecido de x, vem: 3x 1 90 5 5x 3x 5 5x 2 90 3x 2 5x 5 290 22x 5 290 ? (21) 2x 5 90 90 x5 2 x 5 45 S 5 {45} Logo, o número é 45. Exercícios, página 139. 1. a) 3 2 (3x 2 6) 5 2x 1 (4 2 x) 3 2 3x 1 6 5 2x 1 4 2 x 23x 1 9 5 x 1 4 23x 5 x 1 4 2 9 23x 5 x 2 5 2 3x 2 x 5 25 24x 5 25 ? (21) 4x 5 5 5 x5 4 5 S5 4 b) 4 ? (x 2 2) 5 4 1 2 ? (x 2 1) 4x 2 8 5 4 1 2x 2 2 4x 2 8 5 2x 1 2 4x 5 2x 1 2 1 8 4x 5 2x 1 10 4x 2 2x 5 10 2x 5 10 10 x5 2 x55 S 5 {5}
2.
Para que a expressão seja igual a zero, devemos ter: x 2 2 ? (3 2 2x) 5 0 x 2 6 1 4x 5 0 5x 2 6 5 0 5x 5 6 6 x5 5 6 S5 5 6 Logo, devemos ter x 5 . 5
123
3. 3 ? (1,4 2 x) 1 5x 5 2 (x 2 4,8) 4,2 2 3x 1 5x 5 2x 1 4,8 4,2 1 2x 5 2x 1 4,8 2x 5 2x 1 4,8 2 4,2 2x 5 2x 1 0,6 2x 1 x 5 1 0,6 3x 5 0,6 0,6 x5 3 x 5 0,2 S 5 {0,2} Logo, x 5 0,2. 4. (m 2 3 ) ? x 1 3x 1 4 ? (m 2 5) 5 0 Sendo x 5 2, temos: (m 2 3) ? 2 1 3 ? 2 1 4 ? (m 2 5) 5 0 (m 2 3) ? 2 1 6 1 4 ? (m 2 5) 5 0 2m 2 6 1 6 1 4m 2 20 5 0 6m 2 6 1 6 2 20 5 0 6m 5 20 20 :2 10 m 5 :2 5 3 6 10 S5 3 10 Logo, a letra m é expressa pelo número . 3 5. Sendo as expressões iguais, temos: 3 ? (1,2x 2 2,4) 5 2 ? (1 1 1,5x) 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 2 1 3x 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 4,8 1 3x 3,6x 5 4,8 1 3x 1 7,2 3,6x 5 12 1 3x 3,6x 2 3x 5 12 0,6x 5 12 12 x5 0,6 x 5 20 S 5 {20} Logo, x 5 20. Exercícios, página 140. 1.
x 5 12 5 5x x 60 1 5 5 5 5 5x 1 x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 S 5 {10}
a) x 1
124
x 52 3 7 7x x 21 2 52 7 7 7 7x 2 x 5 221 6x 5 221 3 21 7 x 52 52 6 3 2 7 S 5 2 2 x x 1 5 21 c) 5 2 2x 5x 210 1 52 10 10 10 2x 1 5x 5 210 7x 5 210 210 x5 7 x 5 30 S 5 {30} 5 d) 5 5 2 3x 7 35 5 21x 5 2 7 7 7 35 5 5 2 21x 0 5 5 2 21x 2 35 21x 5 230 3 30 10 x 52 52 21 3 7 10 S 5 2 7 1 x 2x 1 e) 2 52 1 6 2 3 4 2 6x 8x 3 2 52 1 12 12 12 12 2 2 6x 5 28x 1 3 26x 5 28x 1 3 2 2 26x 5 28x 1 1 26x 1 8x 5 1 2x 5 1 1 x5 2 1 S5 2 3y 5 y 5 2 5 2 f) 8 6 3 2 9y 20 8y 60 2 5 2 24 24 24 24 9y 2 20 5 8y 2 60 9y 5 8y 2 60 1 20 9y 5 8y 2 40 9y 2 8y 5 240 y 5 240 S 5 {240} b) x 2
2. Para A 5 B, temos: x 2 3x 1 51 2 2 5 4 10x 8 20 15x 1 5 2 20 20 20 20 10x 1 8 5 20 2 15x 10x 5 20 2 15x 2 8 10x 5 12 2 15x 10x 1 15x 5 12 25x 5 12 12 x5 25 12 S5 25 3.
4.
5.
Chamando o número de x, temos: 3 1 2 ?x1 5 ?x 5 2 3 18x 15 20x 1 5 30 30 30 18x 1 15 5 20x 18x 5 20x 2 15 18x 2 20x 5 215 22x 5 215 ? (21) 2x 5 15 15 x5 ou x 5 7,5 2 15 S 5 ou S 5 {7,5}. 2 Chamando o número desconhecido de x: x x 1 5 x 2 56 4 6 3x 2x 12x 672 1 5 2 12 12 12 12 3x 1 2x 5 12x 2 672 5x 5 12x 2 672 5x 2 12x 5 2672 27x 5 2672 ? (21) 7x 5 672 672 x5 7 x 5 96 S 5 {96} Representando o número por x: x x 1 5 2x 2 30 5 5x x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 x 5 10x 2 150 6x 5 10x 2 150 6x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150
x5
150 4
2 2
5
75 ou x 5 37,5 2
6. Se a pessoa calça 38, temos que N 5 38, então: 5x 38 5 17 4 152 5x 28 5 1 4 4 4 152 5 5x 1 28 0 5 5x 1 28 2 152 0 5 5x 2 124 25x 5 2124 ? (21) 5x 5 124 124 x5 5 x 5 24,8 24,8 cm Exercícios, página 142. 1.
x14 50 3 1 ? (x 1 4) 3x 12 2 2 50 3 3 3 3x 2 12 2 1 ? (x 1 4) 5 0 3x 2 12 2 x 2 4 5 0 2x 2 12 2 4 5 0 2x 2 16 5 0 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8}
a) x 2 4 2
b)
c)
x 28 245x 2 1 ? (x 2 8) 8 2x 2 5 2 2 2 1 ? (x 2 8) 2 8 5 2x x 2 8 2 8 5 2x x 2 16 5 2x x 5 2x 1 16 x 2 2x 5 16 2x 5 16 ? (21) x 5 216 S 5 {216} x 22 x24 5 8 3 3 ? (x 2 2) 8 ? (x 2 4) 5 24 24 3 ? (x 2 2) 5 8 ? (x 2 4) 3x 2 6 5 8x 2 32 3x 5 8x 2 32 1 6 3x 5 8x 2 26 3x 2 8x 5 226 25x 5 226 ? (21)
125
5x 5 26 26 x5 5 26 S5 5 4x 3 x 23 2 5 d) 3 2 3 2 ? (x 2 3) 8x 9 2 5 6 6 6 8x 2 9 5 2 ? (x 2 3) 8x 2 9 5 2x 2 6 8x 5 2x 2 6 1 9 8x 5 2x 1 3 8x 2 2x 5 3 6x 5 3 3 3 1 x5 5 6 3 2 1 S5 2 32 x x 11 x e) 5 2 8 4 3 3 ? (3 2 x) 6 ? (x 1 1) 8x 5 2 24 24 24 3 ? (3 2 x) 5 6 ? (x 1 1) 2 8x 9 2 3x 5 6x 1 6 2 8x 23x 5 6x 1 6 2 8x 2 9 23x 5 22x 2 3 23x 1 2x 5 23 21x 5 23 ? (21) x53 S 5 {3} f)
2.
126
t 25 1 t 3t 1 14 2 5 2 2 3 3 12 6 ? (t 2 5) 1 ? (3t 1 14) 4 4t 2 5 2 12 12 12 12 6 ? (t 2 5) 2 4 5 4t 2 1 ? (3t 1 14) 6t 2 30 2 4 5 4t 2 3t 2 14 6t 2 34 5 t 2 14 6t 5 t 2 14 1 34 6t 5 t 1 20 6t 2 t 5 20 5t 5 20 20 t5 5 t54 S 5 {4}
2 ? (x 1 1) 52 2 x 3 2 ? (x 1 1) 6 3x 5 2 3 3 3
2 ? (x 1 1) 5 6 2 3x 2x 1 2 5 6 2 3x 2x 5 6 2 3x 2 2 2x 5 23x 1 4 2x 1 3x 5 4 5x 5 4 4 x5 5 4 S5 5 4 5 0,8 , e se encontra entre os 5 números inteiros 0 e 1. Logo, x 5
3. 2 x 1 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? (4x 2 1) 1 11 3 2 6 ? 5 ? (2x 2 3) 3 ? 3 ? (4x 2 1) 4x 66 1 5 1 6 6 6 6 4x 1 6 ? 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? 3 ? (4x 2 1) 1 66
4x 1 6 ? [10x 2 15] 5 3 ? [12x 2 3] 1 66 4x 1 60x 2 90 5 36x 2 9 1 66 64x 2 90 5 36x 1 57 64x 5 36x 1 57 1 90 64x 5 36x 1 147 64x 2 36x 5 147 28x 5 147 7 147 21 x5 5 28 7 4 21 S5 4 7m 2 1 m24 5 2 3 6 ? 3 ? (m 2 2) 3 ? (7m 2 1) 2 ? (m 2 4) 2 5 6 6 6 6 ? 3 ? (m 2 2) 2 3 ? (7m 2 1) 5 2 ? (m 2 4)
4. 3 ? (m 2 2) 2
6 ? [3m 2 6] 2 21m 1 3 5 2m 2 8 18m 2 36 2 21m 1 3 5 2m 2 8 23m 2 33 5 2m 2 8 23m 5 2m 2 8 1 33 23m 5 2m 1 25 23m 2 2m 5 25 25m 5 25 ? (21) 5m 5 225 25 m 52 5 m 5 25 Logo, a solução da equação é um número negativo.
5.
a)
x24 x 22 21 5 3 8 8 ? (x 2 4) 3 ? (x 2 2) 24 2 5 24 24 24 8 ? (x 2 4) 2 24 5 3 ? (x 2 2) 8x 2 32 2 24 5 3x 2 6 8x 2 56 5 3x 2 6 8x 5 3x 2 6 1 56 8x 5 3x 1 50 8x 2 3x 5 50 5x 5 50 50 x5 5 x 5 10
340 1 4x 5 1 400 4x 5 1 400 2 340 4x 5 1 060 1 060 x5 4 x 5 265 Logo, foram atendidas 265 pessoas nesses meses.
2. De acordo com o enunciado: capacidade do 1 reservatório: 1 x Esvaziou−se : x 3 3 1 1 1 1 −se : x Esvaziou Esvaziou−se Retirou : x−se 400 de água capacidade total do reservatório 3 1 13 3 3 litros − capacidade Esvaziou se −se: 400 x litros−se do reservatório litros de água rvatório de400 Retirou total do resetotal 3 capacidade água 3 3Retirou Restou u no reservatório : x 5 3 do reservatório −se 400 litros de água 3 capacidade Os números naturais divisores deRetirou 10 u no reservatório : total x Restou Restou u no reservatório : x 5 são: 1, 2, 5 e 10. 5 3 Restou u no reservatório: x 1 3 5 b) Sendo x 5 10, o valor numérico da x 1 400 1 x 5 x 3 5 1 expressão 0,1 será: 5 x 6 000 9x 15x x 1 1 5 15 15 15 15 1 0,1 5 0,1 0,1 5 1 5x 1 6 000 1 9x 5 15x x 14x 1 6 000 5 15x c) Sendo x 5 10, o quadrado de x será: 2 14x 5 15x 2 6 000 10 5 10 ? 10 5 100 14x 2 15x 5 26 000 Desafio!, página 143. 2x 5 26 000 ? (21) De acordo com as dicas, podemos escrever: x 5 6 000 idade de Eva R x Logo, cabem no reservatório 6 000 litros de idade de Ivo R x 1 6 água. soma das idades igual a 40 R x 1 x 1 6 5 40 2x 1 6 5 40 3. De acordo com o enunciado: 2x 5 40 2 6 trabalham na matriz: x 2x 5 34 trabalham nas filiais: 4x 34 x 5 Como o total de funcionários é 1 365, 2 temos: x 5 17 x 1 4x 5 1 365 Logo, Eva tem 17 anos, e Ivo tem 23 (17 1 6) anos de idade. 5x 5 1 365 1 365 x5 5 x 5 273
29 – Usando equações na resolução de problemas Exercícios, páginas 148 e 149.
Logo, na matriz trabalham 273 funcionários e nas filiais trabalham 1 092 (4 ? 273) funcionários
1. De acordo com o enunciado: 4. De acordo com o enunciado: janeiro: 180 atendimentos total de eleitores pesquisados: x fevereiro, março, abril e maio tiveram a mesma quantidade de atendimento. Sendo 40 votos no candidato A, 40no % do total : 40A,x votos candidato x para cada mês, o total de atendimento 100 40 votos no candidato A, 40% do total40 : x A,candidato 40% do total :40% do xtotal total:: 40100 votos no A,40% x nesses meses é 4x. votos no candidato 35 100 100 B,% 35do % do total : 35x x total de eleitores pesquisados votos no candidato votos no candidato A , 40 total : x total de eleitores pesquisados junho: 160 atendimentos B, 100 B35 , 35% docandidato total35 : 100 votos no candidatovotos total datono B, candi 35% do total xno total: de eleitores votos no candi 100 ato B, :35100 % do x total de eleitores pesquisados votos pesquisados indecisos :d3500 Como o total de atendimentos no 35 total: 100 x total de eleitores pesquisados 35% do d ato B , 35 % do total : votos no candi indecisos : 3500 o pessoas: 1 semestre foi de 1 400 indecisos : 3500 100 indecisos : 3500 3 500 indecisos: 180 1 4x 1 160 5 1 400 indecisos : 3500
127
40x 35x 1 1 3 500 5 x 100 100 40x 35x 350 000 100x 1 1 5 100 100 100 100 40x 1 35x 1 350 000 5 100x 75x 1 350 000 5 100x 75x 5 100x 2 350 000 75x 2 100x 5 2350 000 225x 5 2350 000 ? (21) 25x 5 350 000 350000 x5 25 x 5 14 000 Logo, foram pesquisados 14 000 eleitores.
1 3 x 1 46,2 5 x 5 4 4x 924 15x 1 5 20 20 20 4x 1 924 5 15x 4x 5 15x 2 924 4x 2 15x 5 2924 211x 5 2924 ? (21) 11x 5 924 924 x5 11 x 5 84 Logo, a capacidade total do tanque é de 84 litros.
5. De acordo com o enunciado: 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte diagrama: total de pérolas: x um sexto do total1caiu Turistas 1: x um sexto do total caiu paradireita a direita um sexto do total caiupara paraaadireita: : 6 x Inglês Espanhol 6 1 um sexto do total caiu para a direita : x x 1 um a 6 1 1 para 42 � x 30 � x um sexto total caiu paraquinto a:direita um ququ intdo o para a easquerda : x1x : 6 x int esquerda um o para 5 5 esquerda um qu int o para aesquerda: 1 : 5x 1 16 � não falam inglês nem espanhol. int osegurou squerda : direita x um para a ecom 1 total de pérolas no colar umqu terço a mão : x total de pérolas 5 segurou um terço com 3: 1x dedepérolas um A soma desses valores é o total de turistas total pérolasno nococlar umterço terçosegurou seguroucom coma amão mãodireita direita olar total 1 :3 3 x colar no 1 total a mão direita: de pérolas no c um terço segurou com a mão direita : x o lar pesquisados. Assim, montamos a equação: : x um décimo segurou com a mão esquerda 3 10 11 décimosegurou segurou com amão mão esquerda umdécimo x um décimo segurou com a esquerda um 1: : 10 (42 2 x) 1 x 1 (30 2 x) 1 16 5 70 x 6 pérolas ficar am presas colar . 1xx décimo segurou com ano mão esquerda : 10 um com a mão esquerda: 10 6 pérolas ficaram presas no colar. 42 2 x 1 x 1 30 2 x 1 16 5 70 10 6 pérolas ficar m presas no colar . 6 pérolas ficar amapresas colar . ficaram seisnopérolas 2x 1 88 5 70 presas no colar. 2x 5 70 2 88 1 1 1 1 2x 5 218 ? (21) x1 x1 x1 x 16 5 x 6 5 3 10 x 5 18 5x 6x 10x 3x 180 30x 1 1 1 1 5 Logo, 18 turistas falavam inglês e espanhol 30 30 30 30 30 30 ao mesmo tempo. 5x 1 6x 1 10x 1 3x 1 180 5 30x 8. Do enunciado, podemos escrever: 24x 1 180 5 30x comprimento da tábua maior: x 24x 5 30x 2 180 3 comprimento da tábua menor: x 24x 2 30x 5 2180 5 26x 5 2180 ? (21) A soma das duas partes da tábua é igual a 120 cm de comprimento, então: 6x 5 180 3 180 x 1 x 5 120 x5 5 6 5x 3x 600 x 5 30 1 5 5 5 5 Logo, esse colar tinha 30 pérolas. 5x 1 3x 5 600 6. De acordo com o enunciado: 8x 5 600 600 capacidade do tanque: x x5 8 1 ponteiro indicava: x x 5 75 5 colocou: 46,2 litros comprimento da tábua maior: 75 cm ou 3 0,75 m nova indicação: x 4 comprimento da tábua menor: A soma do que o ponteiro indicava com 15 3 o que foi colocado corresponde à nova ? 75 5 45 cm ou 0,45 m 5 1 indicação. Então:
128
Portanto, o comprimento da menor parte da tábua é 0,45 cm. 9. Se 6 alunos escrevem apenas com a mão esquerda, e 2 escrevem com as duas mãos, podemos dizer que x escrevem apenas com a mão direita. Assim: 6 1 2 1 x 5 30 x 5 30 2 6 2 2 x 5 22 Logo, 22 alunos escrevem apenas com a mão direita. 10. Do enunciado, podemos escrever: percurso total: x 3 primeiro dia: x 5 4 segundo dia: x 15 terceiro dia: 800 km Somando os três dias, teremos o percurso total: 3 4 x1 x 1 800 5 x 5 15 9x 4x 12 000 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 4x 1 12 000 5 15x 13x 1 12 000 5 15x 13x 2 15x 5 212 000 22x 5 2 12 000 ? (21) 2x 5 12 000 12 000 x5 2 x 5 6 000 Logo, o percurso total foi 6 000 km. Portanto, a aeronave voou 3 600 km 3 1 200 ? 6000 5 3 600 no primeiro dia. 5 1 11. De acordo com o enunciado, podemos escrever: pontos na região A: x x pontos na região B: 2 a) Como Caio acertou 5 flechas na região A e 4 na região B, perfazendo 140 pontos, temos: 2 x 5? x 1 4 ? 5 140 21 5x 1 2x 5 140 7x 5 140 140 x5 7 x 5 20 Logo, cada flecha certeira na região A vale 20 pontos.
b) Lucca acertou 8 flechas na região A e 5 na região B. Logo, ele fez: 10
8 ? 20 1 5 ?
20 ? 160 1 50 5 210 pontos 21
Como Caio fez 140 pontos e Lucca 210 pontos, Lucca fez 70 pontos (210 2 140 5 5 70) a mais que Caio. 12. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 1o bimestre: x 2o bimestre: 2x 3o bimestre: 4x 4o bimestre: 8x 5o bimestre: 16x 6o bimestre: 32x O ano tem 6 bimestres e os acessos dobravam a cada visita. Sendo o total de visitas 756, podemos escrever: x 1 2x 1 4x 1 8x 1 16x 1 32x 5 756 63x 5 756 756 x5 63 x 5 12 Logo, foram feitas 12 visitas no 1o bimestre de 2007. 13. Do enunciado, podemos escrever: total de entrevistados: x 1 entrevistados que liam a revista A: ? x 3 2 entrevistados que liam a revista B: ? x 5 entrevistados que liam a revista C: 832 Somando os entrevistados das revistas A, B e C, teremos o total de pessoas entrevistadas: 1 2 x 1 x 1 832 5 x 3 5 5x 6x 12 480 15x 1 1 5 15 15 15 15 5x 1 6x 1 12 480 5 15x 5x 1 6x 2 15x 5 212 480 24x 5 212 480 ? (21) 4x 5 12 480 12480 x5 4 x 5 3 120 Logo, foram entrevistadas 3 120 pessoas. 14. Do enunciado, podemos escrever: Tiago ficou com x figurinhas.
129
Guilherme ficou com (x 1 20) figurinhas. Como foram rasgadas 36 das 200 figurinhas, sobraram 164 figurinhas (200 2 36 5 164). Então: x 1 (x 1 20) 5 164 x 1 x 1 20 5 164 x 1 x 5 164 2 20 2x 5 144 144 x5 2 x 5 72 Logo, Tiago tem 72 figurinhas, e Guilherme tem 92 figurinhas (72 1 20 5 92). 15. Sabemos que 1 hora 5 60 minutos, então: 12 horas 5 12 ? 60 5 720 minutos Do enunciado, podemos escrever: volume de água drenada pelo encanamento 1: 720 ? 30 5 21 600 litros de água volume de água drenada pelo encanamento 2: 720 ? x Como o total de água drenada é de 72 000 litros: 21 600 1 720x 5 72 000 720x 5 72 000 2 21 600 720x 5 50 400 50 400 x5 720 x 5 70 Logo, o segundo encanamento drena 70 litros de água por minuto. Brasil Real, página 150. 1. Do enunciado, vem: • 200 000 ligações com doação de 7 reais: 7 ? 200 000 5 1 400 000 • 100 000 ligações com doação de 15 reais: 15 ? 100 000 5 1 500 000 Como foram arrecadados 4 400 000 reais com todas as ligações, podemos escrever que as doações de 30 reais foram: 1 400 000 1 1 500 000 1 30 ? x 5 4 400 000 30x 5 4 400 000 2 1 400 000 2 1 500 000 30x 5 1 500 000 1500000 x5 30 x 5 50 000 Logo, foram 50 000 ligações com doação de 30 reais.
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2. Sendo o total arrecadado em 2006 de 4 400 000 reais, e 4 840 projetos sociais apoiados por essa campanha, podemos escrever: 4 400000 909,10 4840 Logo, se o total arrecadado foi dividido igualmente entre os projetos sociais apoiados, cada um receberia, aproximadamente, R$ 909,10. 3. Se 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 30 reais cada uma, podemos escrever: 73 000 ? 3 ? 30 5 6 570 000 Logo, seria arrecadado R$ 6 570 000,00. 4. Se os 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 7, de 15 e de 30 reais cada uma, o total arrecadado seria: 73 000 ? 3 ? 7 1 73 000 ? 3 ? 15 1 73 000 ? 3 ? 30 5 5 1 1 533 000 1 3 285 000 1 6 570 000 5 5 11 388 000 Logo, seria arrecadado R$ 11 388 000,00. Desafios, página 150. 1. I. Alternativa e. Realizando uma única pesagem, podemos separar a massa de 24 kg em dois pratos com embalagens de 12 kg cada uma. Logo, é possível montar pacotes de 12 kg cada um. II. Alternativa c. Realizando exatamente duas pesagens, podemos na primeira pesagem distribuir 12 kg entre os dois pratos, de modo que a balança atinja novamente o equilíbrio. Para uma segunda pesagem, podemos formar pacotes de 6 kg. Com um pacote de 12 kg e outro de 6 kg, podemos montar um pacote de 18 kg. Logo, realizando duas pesagens, podemos montar pacotes de 6 kg, 12 kg e 18 kg. 2. De acordo com o enunciado, podemos escrever: total de abelhas: x 1 total numa flor de Kadamba: ?x 5 1 pousou numa flor de Silinda: ?x 3 1 1 voa sobre uma flor da Krutaja: 3 ? x 2 5 3
x
A abelha que sobra voa atraída pelo perfume do jasmim. Como o total de abelhas é x: 1 1 1 1 ? x 1 ? x 1 3 ? x 2 x 1 1 5 x 5 3 5 3 1 1 3x 5x x 1 x 13? 2 11 5 x 5 3 15 15 1 2x 1 1 x1 x1 3 ? 11 5 x 5 3 15 5
1 1 2x x1 x1 11 5 x 5 3 5 3 1 x 1 x 11 5 x 5 3 9x 5x 15 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 15 5 15x 9x 1 5x 2 15x 5 215 2x 5 215 ? (21) x 5 15 Logo, o número de abelhas é 15.
30 – Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas Explorando, página 151. 1. Contando o número de quadradinhos que forma cada figura, temos: a) A figura é composta por 24 quadradinhos. b) A figura é composta por 9 quadradinhos. c) A figura é composta por 6 quadradinhos. d) A figura é composta por 16 quadradinhos. Para calcular, bastou contar o número de quadradinhos que formava cada figura. 2. Se cada quadradinho tem 1 cm de lado, sua área será 1 ? 1 5 cm2. Logo, a área de cada figura será: • figura a: 24 cm2, pois é formada por 24 quadradinhos. • figura b: 9 cm2, pois é formada por 9 quadradinhos. • figura c: 6 cm2, pois é formada por 6 quadradinhos. • figura d: 16 cm2, pois é formada por 16 quadradinhos. 3. Resposta em aberto.
Exercícios, página 153. 1. Do enunciado, podemos escrever: altura do retângulo: x medida da base: 2 ? x Sendo o perímetro do retângulo 60 cm, podemos escrever: x 1 2x 1 x 1 2x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 Logo, a altura do retângulo é 10 cm, e a medida da base é 20 cm (2 ? 10). 2. Sendo as medidas dos lados desse triângulo expressas por três números inteiros consecutivos, e sabendo que um dos lados mede x, podemos escrever: x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 5 27 x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 27 3x 1 3 5 27 3x 5 27 2 3 3x 5 24 24 x5 3 x58 Logo, as medidas dos lados desse triângulo são: 8 cm, 9 cm e 10 cm. 3. Sendo π 5 3,14, o comprimento da circunferência igual a 314 cm, e sabendo que esse comprimento é expresso por C 5 2 ? π ? r: 314 5 2 ? 3,14 ? r 314 5 6,28r 6,28r 5 314 (simétrica) 314 r5 5 50 6,28 Logo, o raio da circunferência é 50 cm. 4. Sendo a área do trapézio expressa por: (B 1 b) ? h , em que a base maior (B) A5 2 mede 20 cm, a altura (h) mede 15 m e a área (A) vale 270 m2, temos: (20 1 b) ? 5 270 5 2 (20 1 b) ? 15 5 270 2 300 1 15b 5 270 2 300 1 15b 540 5 2 2
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300 1 15b 5 540 15b 5 540 2 300 15b 5 240 240 b5 15 b 5 16 Logo, a base menor do terreno mede 16 m. 5. Chamando de x a frente do terreno, podemos escrever: frente do terreno: x lateral do terreno: 3x Como o contorno do terreno mede 80 metros: x 1 3x 1 x 1 3x 5 80 8x 5 80 80 x5 8 x 5 10 Logo, se for colocada grade na frente do terreno, serão necessários 10 metros de grade. 6. Sabemos que a área A de um retângulo é dada por comprimento “a” vezes a largura “b”. Sendo uma das dimensões igual a 12 m, e área igual a 360 m2, temos: A5a?b 360 5 12 ? b 12b 5 360 (simétrica) 360 b5 12 b 5 30 Logo, a outra dimensão mede 30 m. 7. Sabemos que o perímetro de uma figura é a soma das medidas dos lados. Logo, de acordo com a figura, podemos escrever: 3x 1 2 1 3x 1 6 1 3x 1 2 1 3x 1 2 5 36 12x 1 12 5 36 12x 5 36 2 12 12x 5 24 24 x5 12 x52 Portanto, o valor de x é 2 cm. Retomando o que aprendeu, páginas 153 a 155. 1. Alternativa c. Resolvendo a equação, temos: 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3
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3 ? (3x 1 5) 2 ? (2x 2 9) 48 2 5 6 6 6 48 3 ? (3x 1 5) 2 2 ? (2x 2 9) 5 6 9x 1 15 2 4x 1 18 5 48 5x 1 33 5 48 5x 5 48 2 33 5x 5 15 15 x5 5 x53 Verificando as alternativas: a) 3 x 5215 15 x 52 525 3 b) 3x 5 27 27 x5 59 3 c) 3x 5 9 9 x5 3 x53 d) 3x 5 15 15 x5 55 3 e) 3x 529 9 x 52 3 x 523 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3 é, também, raiz da equação 3x 5 9. Logo, a raiz da equação
2. Alternativa a. 2x 1 x 1 (x 1 4) 5 116 R soma dos três números 2x 1 x 1 x 1 4 5 116 4x 1 4 5 116 4x 5 112 112 x5 4 x 5 28 Portanto, os três números são: 28, 56 (2 ? 28 5 56) e 32 (28 1 4 5 32). Logo, o produto desses três números é 28 ? 56 ? 32 5 5 50 176. 3. Alternativa b. 3x 2 (x 1 1) 5 2x 1 1 3x 2 x 2 1 5 2x 1 1 2x 2 1 5 2x 1 1
2x 5 2x 1 1 1 1 2x 5 2x 1 2 2x 1 x 5 2 3x 5 2 2 x5 3 Logo, o valor de x é
2 . 3
4. Alternativa a. 2 ? (1 2 0,4) 1 x 5 4 ? (0,1x 2 0,4) 2 2 0,8x 1 x 5 0,4x 2 1,6 2 1 0,2x 5 0,4x 2 1,6 0,2x 5 0,4x 2 1,6 2 2 0,2x 5 0,4x 2 3,6 0,2x 2 0,4x 5 23,6 20,2x 5 23,6 ? (21) 0,2x 5 3,6 3,6 x5 0,2 x 5 18 Logo, o valor de x é 18. 5. Alternativa e. Sendo 4 ônibus na excursão, e cada ônibus com 35 alunos, temos: 4 ? 35 5 140 Portanto, participaram da excursão 140 alunos. Como havia, ao todo, 150 pessoas na excursão, concluímos que 10 pessoas (150 2 140 5 10) eram professores. Logo, 10 professores foram a esse passeio. 6. Alternativa b. Capacidade total do tanque: x Escoou 68 litros de água, ficando a terça 1 parte da capacidade total: ?x 3 Com isso, podemos escrever: 1 x 1 68 5 x 3 1 204 3x 1 5 3 3 3 1x 1 204 5 3x 1x 5 3x 2 204 1x 2 3x 5 2204 22x 5 2204 ? (21) 2x 5 204 204 x5 2 x 5 102 Logo, a capacidade do tanque é 102 litros.
7. Alternativa c. Sendo o valor da média 12,5: (x 2 4) 1 x 1 2x 1 2 (x 1 6) 5 12,5 4 x 2 4 1 x 1 2x 1 2x 1 12 5 12,5 4 6x 1 8 5 12,5 4 6x 1 8 50 5 4 4 6x 1 8 5 50 6x 5 50 2 8 6x 5 42 42 x5 6 x57 Logo, o número x é 7. 8. Alternativa d. Do enunciado, vem: total de jogos: x 3 venceu: ?x 5 1 ?x empatou: 3 Perdeu 2 jogos. Daí, podemos escrever: 3 1 1 x 12 5 x 5 3 9x 5x 30 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 30 5 15x 9x 1 5x 5 15x 2 30 9x 1 5x 2 15x 5 230 14x 2 15x 5 230 2x 5 230 ? (21) x 5 30 3 dos jogos que A equipe venceu 5 disputou, logo: 6 3 ? 30 51 Portanto, a equipe venceu 18 jogos. 9. Alternativa b. Sendo x a hora adicional e R$ 21,00 o valor pago, temos: 6 1 3x 5 21 3x 5 21 2 6 3x 5 15 15 x5 3 x55 Logo, o carro ficou no estacionamento 5 horas adicionais mais a primeira hora, ou seja, 6 horas (1 1 5 5 6).
133
10. Alternativa a. Sendo o número x, temos: 1 x 1 x 5 2x 2 30 5 5x 1x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 1x 5 10x 2 150 5x 1 1x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150 150 x5 4 x 5 37,5 Logo, o número é 37,5. 11. Alternativa e. total de recenseadores: x Se cada recenseador visitar 100 residências, faltariam 60 residências: 100 ? x 1 60 Se cada recenseador visitar 102 residências, todas seriam visitadas: 102 ? x Daí, podemos escrever: 100x 1 60 5 102x → total de residências
total de residências
100x 5 102x 2 60 100x 2 102x 5 260 22x 5 260 ? (21) 2x 5 60 60 x5 2 x 5 30 Logo, foram contratados 30 recenseadores. 12. Alternativa c.
5 2 3x 50 2 2 ? 2 (x 2 5) 1 ? (5 2 3x) 6x 0 2 2 5 2 2 2 2 6x 2 2 ? 2 (x 2 5) 2 1 ? (5 2 3x) 5 0 3x 2 2 (x 2 5) 2
6x 2 2 ? [2x 2 10] 2 5 1 3x 5 0 6x 2 4x 1 20 2 5 1 3x 5 0 5x 1 15 5 0 5x 5 215 15 x 52 5 x 5 23 Logo, o valor de x é 23.
13. Alternativa a. custo da bola de vôlei: x custo da bola de basquete: x 1 40 Como foram compradas 6 bolas de basquete e 10 bolas de vôlei, podemos escrever:
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10 ? x 1 6 ? (x 1 40) 5 1 280 10x 1 6x 1 240 5 1 280 16x 1 240 5 1 280 16x 5 1 280 2 240 16x 5 1 040 1 040 x5 16 x 5 64 O custo de cada bola de basquete foi 105 reais (65 1 40 5 105). Como o professor comprou 6 bolas de basquete, temos: 6 ? 105 5 630 Logo, foram gastos R$ 630,00 com as bolas de basquete. 14. Alternativa b. • total de amigos: x • Se cada amigo recebeu 2 convites, sobrarão 25 R 2x 1 25 • Se cada amigo recebeu 3 convites, faltarão 15 R 3x 2 15 Daí, vem: 2x 1 25 5 3x 2 15 2x 5 3x 2 15 2 25 2x 5 3x 2 40 2x 2 3x 5 240 2x 5 240 ? (21) x 5 240 A quantidade de convites disponíveis é: 2 ? 40 1 25 5 80 1 25 5 105 Logo, são 40 amigos e 105 convites. Se cada amigo recebeu 4 convites, serão necessários 160 convites (4 ? 40 5 160). Como só há 105 convites disponíveis, ainda faltariam 55 convites (160 2 105 5 55). 15. Alternativa c. Do enunciado, podemos escrever: 1a pergunta, ganhou: x 2a pergunta, ganhou: 2x 3a pergunta, ganhou: 3x 4a pergunta, ganhou: 4x O candidato recebeu R$ 15 000,00 por ter acertado as perguntas. Então: x 1 2x 1 3x 1 4x 5 15 000 10x 5 15 000 15 000 x5 10 x 5 1 500 Logo, o prêmio inicial era de R$ 1 500,00.
16. Alternativa b. 1a parte da tábua: 1,80 m 2a parte da tábua: 2x 3a parte da tábua: x Como o comprimento total da tábua é de 5,85 metros, temos: 1,80 1 2x 1 x 5 5,85 1,80 1 3x 5 5,85 3x 5 5,85 2 1,80 3x 5 4,05 4, 05 x5 3 x 5 1,35 Logo, o comprimento da segunda parte, em metros, é 2,70 (2 ? 1,35 5 2,70).
31 – Equação do 1°- grau com duas incógnitas Exercícios, páginas 158 e 159. 1. De acordo com cada situação, podemos escrever: a) x 1 y 5 61 b) 2x 2 7 5 y c) 3x 1 5y 5 100 d) x 5 y 1 7 ou x 2 y 5 7 1 e) ? x 5 2y 2 2 3 f) ? x 2 ? y 51 3 5 2. Sendo x a idade de Mariana e y a idade de Gabriela podemos escrever: x2y52 3. Sendo x o preço do livro e y o preço do caderno: a) x 1 y 5 32 b) x 5 y 1 25 c) x 5 6 ? y d) 2 ? x 1 5 ? y 5 60 4. Sendo x o número de carros e y o número de motos: a) Como no estacionamento há 20 veículos, temos: x 1 y 5 20 b) Sendo o número de carros igual ao triplo do número de motos, temos: x 5 3y c) Como o número de carros supera o número de motos em 12, podemos escrever: x 5 y 1 12
d) Sendo a metade do número de carros igual a cinco vezes o número de motos: 1 ? x 55? y 2 e) Como no estacionamento há 42 rodas, podemos escrever: 4x 1 2y 5 42 5. Sendo a equação 9 ? x 1 y 5 1: a) (0, 1) R 9 ? 0 1 1 5 1 01151 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. b) (1, 0) R 9 ? 1 1 0 5 1 91051 9 5 1 R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. c) (1, 28) R 9 ? 1 1 (28) 5 1 92851 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. d) (21, 10) R 9 ? (21) 1 10 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 6. Sendo a equação 2x 1 3y 5 1, vem: a) (21, 21) R 2 ? (21) 1 3 ? (21) 5 1 22 2 3 5 1 25 5 1 R R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. b) (21, 1) R 2 ? (21) 1 3 ? (1) 5 1 22 1 3 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 7. Sendo x a medida do lado do quadrado e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: a) perímetro do quadrado: 4x perímetro do triângulo: 3y Logo, 4x 5 3y. b) Se o lado do quadrado mede 15 cm, o lado do triângulo medirá:
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4 ? 15 5 3y 60 5 3y 3y 5 60 60 y5 3 y 5 20 Logo, o lado do triângulo medirá 20 cm. b) Se o lado do triângulo mede 12 cm, o lado do quadrado medirá: 4x 5 3 ? 12 4x 5 36 36 x5 4 x59 Logo, o lado do quadrado medirá 9 cm. 8. Depois de algumas tentativas, o único par ordenado que é solução das equações x 1 y 5 3 e x 2 y 5 1, é o par (2, 1). x1y53 21153 3 5 3 R verdadeira x2y51 22151 1 5 1 R verdadeira Outra maneira para a resolução seria: Como o par ordenado tem de satisfazer as duas equações, podemos isolar x na primeira equação e substituí-lo na segunda, ou seja: x 1 y 5 3 R x 5 3 2 y (I) e x 2 y 5 1 (II) Substituindo (I) em (II): 32y2y51 22y 5 1 2 3 22y 5 22 ? (21) 2y 5 2 2 y5 2 y51 Sendo x 5 3 2 y e substituindo o valor de y, temos: x5321 x52 Logo, o par ordenado que satisfaz as equações é (2, 1). 9. Sendo as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 5 7, temos: • (3, 22) em x 1 2y 5 1 R 3 1 2 ? (22) 5 21 3 2 4 5 21 21 5 21 R R igualdade verdadeira
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• (3, 22) em x 2 2y 5 7 R 3 2 2 ? (22) 5 7 31457 757R R igualdade verdadeira Logo, o par (3, 22) é solução para as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 7. 10. Existem várias possibilidades de resposta. Três possíveis respostas seriam os pares: (7, 1); (3, 3); (5, 2) • (7, 1) em x 1 2y 5 9 R 7 1 2 ? 1 5 9 71259 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (3, 3) em x 1 2y 5 9 R 3 1 2 ? 3 5 9 31659 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (5, 2) em x 1 2y 5 9 R 5 1 2 ? 2 5 9 51459 9 5 9 R R igualdade verdadeira 11. Sendo a equação 4x 1 y 5 20, temos: a) se x 5 0 R 4 ? 0 1 y 5 0 0 1 y 5 20 y 5 20 Logo, quando x 5 0, uma solução é o par ordenado (0, 20). 1 3 3 1 y 5 20 b) se x 52 → 4 ? 2 4 4 1 23 1 y 5 20 y 5 20 1 3 y 5 23 3 , uma solução é o 4 3 par ordenado 2 , 23. 4 Logo, quando x 52
12. Sendo a equação 10x 2 3y 5 7: a) se y 5 1 R 10x 2 3 ? 1 5 7 10x 2 3 5 7 10x 5 7 1 3 10x 5 10 10 x5 10 x51 Logo, quando y 5 1, uma solução é o par ordenado (1, 1).
1 13 13 b) se y 5 → 10x 2 3 ? 57 3 3 1 10x 2 13 5 7 10x 5 7 1 13 10x 5 20 20 x5 10 x52 13 , uma solução é o Logo, quando y 5 3 13 par ordenado 2, . 3
13. Sendo x 5 5y 1 6, o valor de y em cada uma das equações será: a) 2 ? x 1 y 5 34 2 ? (5y 1 6) 1 y 5 34 10y 1 12 1 y 5 34 11y 1 12 5 34 11y 5 34 2 12 11y 5 22 22 y5 11 y52 b) 3 ? x 2 2 ? y 5 221 3 ? (5y 1 6) 22y 5 221 15y 1 18 2 2y 5 221 13y 1 18 5 221 13y 5 2 21 2 18 13y 5 239 39 y 52 13 y 5 23 c) 5 ? x 5 y 5 ? (5y 1 6) 5 y 25y 1 30 5 y 25y 5 y 2 30 25y 2 y 5 230 24y 5 230 6 30 5 y 52 52 24 6 4
32 – Sistemas de duas equações do 1°- grau com duas incógnitas Explorando, página 159. 1. De acordo com o enunciado, podemos considerar as seguintes possibilidades:
Número de partidas vencidas
Número de partidas perdidas
Número de partidas disputadas (soma das partidas vencidas com as partidas perdidas)
0
4
01454
0 ? (2) 1 4 ? (1) 5 4
1
3
11354
1 ? (2) 1 3 ? (1) 5 5
2
2
21254
2 ? (2) 1 2 ? (1) 5 6
3
1
31154
3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7
4
0
41054
4 ? (2) 1 0 ? (1) 5 8
Soma dos pontos de acordo com as partidas disputadas
2. O único par que satisfaz as duas condições apresentadas é o par (3, 1), pois 3 1 1 5 4 é o número de partidas disputadas e 3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7 corresponde aos pontos somados. 3. Sendo x o número de partidas vencidas e y o número de partidas perdidas, e sabendo que a equipe disputou 30 jogos no total e somou 51 pontos, podemos escrever as seguintes equações para essa situação: x 1 y 5 30 Arte: I e 2 ? x 1 1 ? y 5 51 Arte: II Depois de algumas tentativas verificamos que o único par ordenado que satisfaz as equações I e II é o par (21, 9), ou seja, a equipe venceu 21 partidas e perdeu 9. Logo, a equipe teve 21 vitórias e 9 derrotas. Exercícios, páginas 164 e 165. 1. a) Chamando a quantidade de figurinhas de Carlos de x, e as de Celso de y, temos: x 1 y 5 201 x 5 2y b) Chamando a quantidade de livros com espessura de 3 cm de x, e com espessura de 5 cm de y, temos: x 1 y 5 15 3x 1 5y 5 50 2. Sendo o par ordenado (8, 1) e o sistema x 2 8y 5 0 , vem: x 2 3y 5 5 (8, 1) em x 2 8y 5 0 R 8 2 8 ? (21) 5 0 82850 050R R igualdade verdadeira (8, 1) em x 2 3y 5 5 R 8 2 3 ? (1) 5 5 82355 555R R igualdade verdadeira
137
Logo, o par (8, 1) satisfaz as duas equações e, por isso, é solução do sistema.
y 5 23 Substituindo y em (I): x 5 2y x 5 2 ? (23) x 5 26
3. Sendo o par ordenado (23, 5) e o sistema 23x 1 2y 5 12 , vem: 3x 1 8y 5 31 (23, 5) em 2x 1 2y 5 12 R 2(23) 1 2 ? (5) 5 12 13 1 10 5 12 13 5 12 R igualdade falsa (23, 5) em 3x 1 8y 5 31 R 3 ? (23) 1 8 ? (5) 5 31 29 1 40 5 31 31 5 31 R igualdade verdadeira Logo, o par (23, 5) satisfaz apenas a equação 3x 1 8y 5 31 e, por isso, não é solução do sistema, pois não satisfaz a primeira equação. 4. x 1 y 5 20 a) x 2 3y 52 12
(II)
Da primeira equação, vem: x 1 y 5 20 R x 5 20 2 y (I) Substituindo I em II: x 2 3y 5 212 (220y) 2 3y 5 212 20 2 y 2 3y 5 212 24y 5 212 2 20 24y 5 232 ? (21) 4y 5 32 32 y5 4 y58 Substituindo y em (I): x 5 20 2 y x 5 20 2 8 x 5 12 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (12, 8). x 5 2y (I) b) 2x 2 5y 5 3 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 2x 2 5y 5 3 2 ? (2y) 2 5y 5 3 4y 2 5y 5 3 2y 5 3 ? (21)
138
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 23). 5. x 1 y 5 10 a) x 1 3y 5 14 Da primeira equação: x 1 y 5 10 R x 5 10 2 y Da segunda equação, temos: x 1 3y 5 14 R x 5 14 2 3y
(I) (II)
Comparando as equações (I) e (II): 10 2 y 5 14 2 3y 2y 5 14 2 3y 2 10 2y 5 4 2 3y 2y 1 3y 5 4 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x 5 10 2 y x 5 10 2 2 x58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2). y 5 6x (I) b) 3x 2 2y 5 54 Da segunda equação, temos: 3x 2 2y 5 54 22y 5 54 2 3x ? (21) 2y 5 254 1 3x 254 1 3x y5 (II) 2 Comparando as equações (I) e (II): 254 1 3x 6x 5 2 1 ? (254 1 3x) 12x 5 2 2 12x 5 1 ? (254 1 3x) 12x 5 254 1 3x 12x 2 3x 5 254 9x 5 254
54 9 x 5 26 x 52
Substituindo x em (I): y 5 6x y 5 6 ? (23) 5 236 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 236). 6.
x 1 y 5 6 (I) a) x 5 y 1 2 (II) Substituindo (II) em (I): x1y56 y121y56 2y 5 6 2 2 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (II): x5y12 x5212 x54 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 2). x 5 2y (I) b) 2x 1 5y 5 9 (II) Substituindo a equação (I) em (II): 2x 1 5y 5 9 2 ? (2y) 1 5y 5 9 4y 1 5y 5 9 9y 5 9 9 y5 9 y51 Substituindo y em (I): x 5 2y x52?1 x52 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). x 1 y 5 5 c) x 2 y 5 1 (II) Da primeira equação, temos: x1y55Rx552y (I)
Substituindo (I) em (II): x2y51 (5 2 y) 2 y 5 1 5 2 y 2y 5 1 22y 5 1 2 5 22y 5 24 ? (21) 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x552y x5522 x53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (3, 2). 2x 2 y 5 3 d) 3x 1 2y 5 8 (II) Da primeira equação, temos: 2x 2 y 5 3 2y 5 3 2 2x ? (21) y 5 23 1 2x (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 2y 5 8 3x 1 2 ? (23 1 2x) 5 8 3x 2 6 1 4x 5 8 7x 5 8 1 6 7x 5 14 14 x5 7 x52 Substituindo x em (I): y 5 23 1 2x y 5 23 1 2 ? (2) y 5 23 1 4 y51 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). y 5 3x 1 2 (I) e) 2x 2 y 524 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 24 2x 2 (3x 1 2) 5 24 2x 2 3x 2 2 5 24 2x 5 24 1 2 2x 5 22 ? (21) x52
139
Substituindo x em (I): y 5 3x 1 2 y 5 3 ? (2) 1 2 y5612 y58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 8). 2x 1 y 5 5 f) 8x 2 y 5 5 (II) Da primeira equação, temos: 2x 1 y 5 5 R y 5 5 2 2x (I) Substituindo (I) em (II): 8x 2y 5 5 8x 2 (5 2 2x) 5 5 8x 2 5 1 2x 5 5 10x 5 5 1 5 10x 5 10 10 x5 10 x51 Substituindo x em (II): 8x 2 y 5 5 8 ? (1) 2 y 5 5 82y55 2y 5 5 2 8 y 5 23 ? (21) y53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (1, 3). 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema, sendo x carros e y motos: x 1 y 5 22 4x 1 2y 5 74 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 4x 1 2y 5 74 4 ? (22 2 y) 1 2y 5 74 88 2 4y 1 2y 5 74 22y 5 74 2 88 22y 5 214 ? (21) 2y 5 14 14 y5 2 y57
140
Substituindo y em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 7 x 5 15 Logo, na revendedora há 15 carros e 7 motos. 8. Sendo x o preço do sorvete e y o preço do doce: x 2 y 5 4 x 1 2y 5 13 (II) Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I) Substituindo (I) em (II): x 1 2y 5 13 (4 1 y) 1 2y 5 13 4 1 y 1 2y 5 13 3y 5 13 2 4 3y 5 9 9 y5 3 y53 Substituindo y em (I): x541y x5413 x57 Logo, o preço do sorvete é 7 reais. 9. Chamando a lapiseira de x e a caneta de y: x 5 3y (I) x 1 y 5 24 (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 24 3y 1 y 5 24 4y 5 24 24 y5 4 y56 Substituindo y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (6) x 5 18 Logo, a lapiseira custa 18 reais, e a caneta custa 6 reais.
Substituindo a equação (I) em (II), temos: x 1 y 5 160 5 y 1 y 5 160 3 5y 3y 480 1 5 3 3 3
10. Sabendo que o mais velho tem x anos, podemos dizer que o mais novo tem y anos. Assim: x 2 y 5 4 x 1 y 5 20 (II) Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I)
5y 1 3y 5 480 8y 5 480 480 y5 8 y 5 60
Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 20 (4 1 y) 1 y 5 20 4 1 y 1 y 5 20 2y 5 20 2 4 2y 5 16 16 y5 2 y58 Substituindo y em (I): x541y x5418 x 5 12
Substituindo y em (I): 5 x5 ?y 3 20 5 x5 ? 60 31 x 5 100 Logo, já foram lidas 100 páginas do livro. 13. De acordo com o enunciado: x 5 4y () I x 1 y 5 30 (II)
Logo, os filhos do professor têm 12 e 8 anos. 11. Do enunciado, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 2,85 (II) x 5 y 1 0,93 () I
Substituindo a equação (I) em (II): x 1 y 5 30 4y 1 y 5 30 5y 5 30 30 y5 5 y56
Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 2,85 (y 1 0,93) 1 y 5 2,85 y 1 0,93 1 y 5 2,85 2y 5 2,85 2 0,93 2y 5 1,92 1,92 y5 2 y 5 0,96 Substituindo y em (I): x 5 y 1 0,93 x 5 0,96 1 0,93 x 5 1,89 Logo, o comprimento da parte menor é 0,96 m, e o comprimento da parte maior é 1,89 m. 12. De acordo com o enunciado: 5 I x 5 3 ? y () x 1 y 5 1,60 (II)
Substituindo y em (I): x 5 4y x 5 4 ? (6) x 5 24 Logo, 6 professores ensinam Matemática nesse colégio. Desafio!, página 165. 1. De acordo com as balanças, a soma de um cubo com duas esferas equivale a 8 kg, e uma esfera equivale à soma de um cubo com 1 kg. Daí, podemos montar o seguinte sistema, sendo a esfera x e o cubo y: 2x 1 y 5 8 () I x 5 y 1 1 (II)
141
Substituindo (II) em (I): 2x 1 y 5 8 2 ? (y 1 1) 1 y 5 8 2y 1 2 1 y 5 8 3y 5 8 2 2 3y 5 6 6 y5 3 y52 Substituindo y em (II): x5y11 x5211 x53 Logo, como a esfera pesa 3 quilogramas, para equilibrar a balança, serão necessários 3 pesos de 1 quilograma. 2. Chamando de x o peso do cubo, de y o peso da esfera e de z o peso da pirâmide, de acordo com os valores marcados nas balanças, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 1 z 5 23 (III) y 1 z 5 11 2x 1 y 5 28
Da segunda equação, vem: y 1 z 5 11 R z 5 11 2 y (I) Da terceira equação, temos: 2x 1 y 5 28 R y 5 28 2 2x (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 1 z 5 23 x 1 y 1 (11 2 y) 5 23 x 1 y 1 11 2 y 5 23 x 1 11 5 23 x 5 23 2 11 x 5 12 Substituindo x em (II): y 5 28 2 2x y 5 28 2 2 ? (12) y 5 28 2 24 y54 Substituindo y em (I): z 5 11 2 y z 5 11 2 (14) z 5 11 2 4 z57
142
Logo: a) o cubo tem 12 kg. b) a pirâmide tem 7 kg. c) a esfera tem 4 kg. Brasil real, página 166. 1. Resolvendo o sistema: x 1 y 5 67 x 2 2y 5 46 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 67 R x 5 67 2 y (I) Substituindo (I) em (II): x 2 2y 5 46 (67 2 y) 2 2y 5 46 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221 ? (21) 3y 5 21 21 y5 3 y57 Substituindo y em (I): x 5 67 2 y x 5 67 2 (7) x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, o 14 Bis percorreu 60 metros, durante 7 segundos. 2. Resolvendo o sistema: x 2 y 5252 10x 2 y 5 2 (II) Da primeira equação, temos: x 2 y 5 252 R 2 y 5 252 2 x ? (21) y 5 52 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 10x 2 y 5 2 10x 2 (52 1 x) 5 2 10x 2 52 2 x 5 2 9x 5 2 1 52 9x 5 54 54 x5 9 x56 Substituindo x em (I): y 5 52 1 x y 5 52 1 6 y 5 58 Logo, D. Pedro II foi aclamado imperador com 6 anos de idade e reinou durante 58 anos.
3. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema:
e) O produto que apresentou maior queda de preço foi a caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores). f) De acordo com a tabela de variação de preço, o produto que apresentou maior aumento de preço foi o lápis de cor (caixa com 12 cores).
y 5 x 1 21 (I) 2x 2 y 5 1 840 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 1 840 2x 2 (x 1 21) 5 1 840 2x 2 x 2 21 5 1 840 x 5 1 840 1 21 x 5 1 861
Retomando o que aprendeu, páginas 168 e 169.
Substituindo x em (I): y 5 x 1 21 y 5 1 861 1 21 y 5 1 882 Logo, o primeiro volume de Machado de Assis foi impresso em 1861 e Papéis avulsos, em 1882. Tratando a informação, página 167. a) De acordo com a tabela, o produto que manteve o preço médio nos dois períodos foi: caderno universitário/capa dura/espiral/1 matéria com 96 folhas. b) Os produtos que apresentam queda no preço médio foram a caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores) e o caderno brochura 1/4 de capa dura com 96 folhas. c) Completando a tabela com as diferenças de preço, temos: Produto
Preço médio (em reais) Janeiro 2006 Janeiro 2007
Variação de preço
o
Lápis preto n 2 (unidade)
0,31
0,36
0,05
Lápis de cor (caixa com 12 cores)
2,43
2,60
0,17
Caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores)
5,08
4,80
20,28
Caneta esferográfica cristal (unidade)
0,50
0,58
0,08
Borracha branca – látex (unidade)
0,22
0,28
0,06
Cola bastão (10 g)
2,48
2,55
0,07
Cola branca lavável (40 g)
0,94
0,95
0,01
Régua plástica cristal (30 cm)
0,96
1,03
0,07
Caderno universitário/capa dura/ espiral/1 matéria (96 folhas)
8,56
8,56
0
Caderno universitário/capa dura/ espiral / 10 matérias (200 folhas)
14,63
14,72
0,09
Caderno brochura 1/4 de capa dura (96 folhas)
2,22
2,16
20,06
Fonte: <www.procon.sp.gov.br>. Acesso em: 23/04/2007
d) As variações de preços que tiveram queda estão indicadas com valores negativos.
1. Alternativa c. De acordo com o enunciado, Caio ganhou x e Celso ganhou y, então: 2x 2 3y 5 10 2. Alternativa d. I) (2 7,5) em 8x 1 5y 5 231 R R 8 ? (27) 1 5 ? (5) 5 231 256 1 25 5 231 231 5 231 (igualdade verdadeira) Logo, I é verdadeira. II) (10, 25) em 4x 2 5y 5 65 R R 4 ? (10) 2 5 ? (25) 5 65 40 1 25 5 65 65 5 65 (igualdade verdadeira) (10, 25) em x 5 2y R 10 5 2 ? (25) 10 5 210 (igualdade falsa)
Logo, II é falsa, pois (10, 25) não é 4x 2 5y 5 65 . solução do sistema x 5 2y
III) x 5 y 1 6 (I) 5x 2 4y 5 10 (II) Substituindo (I) em (II): 5 (y 1 6) 2 4y 5 10 5y 1 30 2 4y 5 10 y 5 10 2 30 y 5 220 Logo, a afirmativa III é verdadeira. 1 IV) 27, em 3x 1 2y 5 220 R 2 1 1 → 3 ? (27) 1 2 ? 5220 2 1 221 1 1 5220 de verdadeira) 220 5220 (igualdad Logo, a afirmativa IV é verdadeira. Portanto, há três afirmações verdadeiras.
143
3. Alternativa e. Resolvendo o sistema: 3x 2 y 5 4 (II) x 2 y 5 8 Da equação x 2 y 5 8, temos: x 2 y 5 8 R x 5 8 1 y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 2 y 5 4 3 ? (8 1 y) 2 y 5 4 24 1 3y 2 y 5 4 2y 5 4 2 24 2y 5 220 20 y 52 2 y 5 210 Colocando y em (I): x581y x 5 8 1 (210) x 5 8 2 10 x 5 22 Logo: x 1 y 5 22 1 (210) x 1 y 5 22 2 10 x 1 y 5 212 4. Alternativa b. 2x 2 y 523 (II) 2x 1 y 522 Da segunda equação, temos: 2x 1 y 5 22 R y 5 22 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 23 2x 2 (22 1 x) 5 23 2x 1 2 2 x 5 23 x 5 23 2 2 x 5 25 Substituindo x em (I): y 5 22 1 x y 5 22 1 (25) y 5 27 Logo, x 2 y 5 25 2 (27) x 2 y 5 25 1 7 x 2 y 5 2. 5. Alternativa a. Montando um sistema com as duas equações:
144
3x 1 4y 5 3 (II) x 1 6y 5 8 Da equação x 1 6y 5 8, temos: x 1 6y 5 8 R x 5 8 2 6y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 4y 5 3 3 ? (8 2 6y) 1 4y 5 3 24 2 18y 1 4y 5 3 214y 5 3 2 24 214y 5 221 ? (21) 14y 5 21 7 21 3 y5 5 14 7 2 Colocando y em (I): 3 3 x 58 2 6 ? 2 1
x5829 x 5 21 Logo:
3 3 x3 2 y3 5 (21) 2 2 27 x3 2 y3 521 2 8
3
27 8 8 27 3 3 x 2 y 52 2 8 8 35 3 3 x 2 y 52 8 x3 2 y3 521 2
6. Alternativa d. Sendo o preço da calça x e o preço da camiseta y: x 1 y 5 55 3x 1 2y 5 140 (II) Da equação x 1 y 5 55, vem: x 1 y 5 55 x 5 55 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 3x 1 2y 5 140 3 ? (55 2 y) 1 2y 5 140 165 2 3y 1 2y 5 140 2y 5 140 2 165 2y 5 225 ? (21) y 5 25
Colocando y em (I): x 5 55 2 y x 5 55 2 25 x 5 30 Logo, o preço da calça é R$ 30,00, e o da camiseta é R$ 25,00. 7. Alternativa c. Chamando de x os candidatos aceitos e de y os candidatos não aceitos, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 420 (II) y 5 5x (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 420 x 1 5x 5 420 6x 5 420 420 x5 6 x 5 70 Colocando x em (I): y 5 5x y 5 5 ? (70) y 5 350 Logo, foram aceitos 70 candidatos. 8. Alternativa d. Chamando de x os DVDs de música brasileira e de y os de música estrangeira, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 36 (II) x 5 3y (I) Aplicando a equação (I) em (II): x 1 y 5 36 3y 1 y 5 36 4y 5 36 36 y5 4 y59 Colocando y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (9) x 5 27 Logo, são 27 DVDs de música brasileira. 9. Alternativa a. Chamando os carros de x e as motos de y, podemos montar o seguinte sistema de equações: x 1 y 5 36 4x 1 2y 5 126 (II)
Da equação x 1 y 5 36, vem: x 1 y 5 36 R x 5 36 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 4x 1 2y 5 126 4 ? (36 2 y) 1 2y 5 126 144 2 4y 1 2y 5 126 22y 5 126 2 144 22y 5 218 ? (21) 2y 5 18 18 y5 2 y59 Colocando y 5 9 em (I): x 5 36 2 y x 5 36 2 (9) x 5 36 2 9 x 5 27 Logo, existem no pátio 27 carros. 10. Alternativa d. Do enunciado, vem: x 1 y 5 x 2 y 5
1 2 3 (II) 2
1 Da equação x 1 y 5 , vem: 2 1 1 x 1 y 5 2 → x 5 2 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 3 x2y5 2 3 1 2 2 y 2 y 5 2 1 3 2y2y5 2 2 3 1 22y 5 2 2 2 2 22y 5 2 22y 5 1 ? (21) 2y 5 21 1 y 52 2 1 Colocando y 52 em (I): 2 1 x5 2y 2 1 1 x 5 2 2 2 2
145
Então: 1 1 1 2 2 2 x5 2 x51 x5
Logo, o menor desses dois números é 2
1 . 2
11. Alternativa c. Chamando de x a área do lote maior e de y a área do lote menor: x 1 y 5 2 600 (II) x 2 y 5 200 Da equação x 1 y 5 200, vem: x 2 y 5 200 R x 5 200 1 y (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 2 600 (200 1 y) 1 y 5 2 600 200 1 y 1 y 5 2 600 2y 5 2 600 2 200 2y 5 2 400 2 400 y5 2 y 5 1 200 Colocando y 5 1 200 em (I): x 5 200 1 y x 5 200 1 1 200 x 5 1 400 Logo, a área do lote maior é de 1 400 metros quadrados. 12. Alternativa a. Chamando de x os livros com 3 cm de espessura e de y os livros com 7 cm de espessura, temos: x 1 y 5 22 3x 1 7y 5 106 (II) Da equação x 1 y 5 22, vem: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I)
146
Substituindo (I) em (II): 3x 1 7y 5 106 3 ? (22 2 y) 1 7y 5 106 66 2 3y 1 7y 5 106 4y 5 106 2 66 4y 5 40 40 y5 4 y 5 10 Colocando y 5 10 em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 10 x 5 12 Logo, foram colocados 12 livros com espessura de 3 cm nessa pilha. 13. Alternativa c. Somando uma das diagonais, encontramos o número 2 1 5 1 8 5 15. Logo, a soma das horizontais, verticais e diagonais deverá ser 15. Pegando a primeira e a segunda linha, podemos montar o seguinte sistema: 2 1 3y 1 2x 5 15 → 2x 1 3y 5 15 2 2 → 2x 1 3y 5 13 (II) x 1 5 1 5 1 y 5 15 → x 1 y 5 15 2 5 2 5 → x 1 y 5 5
Da equação x 1 y 5 5, vem: x 1 y 5 5 R x 5 5 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 2x 1 3y 5 13 2 ? (5 2 y) 1 3y 5 13 10 2 2y 1 3y 5 13 y 5 13 2 10 y53 Colocando y 5 3 em (I): x552y x 5 5 2 (3) x52 Logo: x2 2 y2 5 (2)2 2 (3)2 x2 2 y2 5 4 2 9 x2 2 y2 5 25
Estudando as inequações Introdução, página 170. De acordo com o dicionário Aurélio, o significado das palavras é; • Inequação; desigualdade. • Inegável; não negável; evidente. • Ineficiente; sem eficiência. • Inenarrável; inarrável. • Inelegibilidade; não elegível. • Inegociável; que não se pode negociar. Todas as palavras começam com o prefixo “in”, que é um prefixo que indica negação.
33 – Desigualdade Exercícios, página 174. 1. De acordo com a situação exposta no enunciado, se Isa também levar sua mochila, que tem as mesmas coisas e é idêntica à de Bel, não muda nada, segundo o princípio aditivo. 2. Sendo a desigualdade 52 1 22 , (5 1 2)2, seu primeiro membro será 52 1 22. 3. Se x . 18 e 18 . y, concluímos, pela propriedade transitiva, que x . y. 4. Se a . x, não podemos afirmar que x . a. 5. Sim; pelo princípio aditivo. Sendo x 2 1 , 10, podemos escrever x 2 1 1 1 , 10 1 1.
8. Dada a desigualdade 2x , 7, se multiplicarmos ambos os membros por 21; 2x , 7 ? (21) 1x . 27 x . 27 Logo, a nova desigualdade é x . 27. 9. Dada a desigualdade 4x . 20, se 1 multiplicarmos ambos os membros por ; 4 4x . 20 5 1 1 ? 4 x . 20 ? 4 41 x.5 Logo, a nova desigualdade será x . 5.
34 – Inequação Explorando, página 175. a) De acordo com as falas, o interessado que tem a maior quantia é Nílton. b) De acordo com as falas, podemos afirmar a respeito das quantias de cada um; • Ana tem menos de 6 000, pois se dobrasse a quantia que tem não alcançaria 12 000. • Nílton tem mais de 24 000, pois com metade do valor que tem ele compraria o carro e ainda lhe sobraria dinheiro. • Ricardo tem 11 000, pois se comprasse o carro por 11 000 não lhe sobraria nada. • Kátia tem menos de 18 000, pois um terço de suas economias não atingiria a metade do valor pedido por Vágner, ou seja, 6 000 reais.
c) Não é possível afirmar que quantia Kátia tem exatamente, pois ela pode 6. Sendo a desigualdade x 1 9 . 20, se ter qualquer quantia abaixo de 18 000 adicionarmos 29 aos dois membros, reais. Ricardo tem 11 000 reais, pois se teremos; houvesse um desconto de 1 000 reais no x 1 9 1 (29) . 20 1 (29) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11 preço do carro ele compraria o carro e lhe 9) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11. Logo, obtemos a desigualdade sobrariam 1 000 reais. x . 11. d) O máximo que Ana pode ter é a terça 7. Sendo 3x , 12, podemos afirmar, pelo parte do máximo que Kátia pode ter, pois princípio multiplicativo, que x , 4. Então; Kátia tem no máximo 6 000 reais, o que 4 não corresponde à metade do valor do 1 1 ? 3x , 12 ? →x,4 carro, e Ana tem menos de 6 000, pois se 3 3
147
dobrasse o que ela tem, ainda assim não conseguiria comprar o carro. e) De acordo com as falas, podemos fazer as seguintes correspondências entre os possíveis compradores e as sentenças matemáticas; x . 12000 R Nílton 2 W 5 11 000 R Ricardo 2y , 12 000 R Ana m , 6000 R Kátia 3 f) O único interessado em uma situação que pode ser traduzida por uma equação é Ricardo.
Exercícios, páginas 177 e 178. 1. Sim, 3x 2 2 , 1 é uma inequação, pois representa uma desigualdade e tem um elemento desconhecido. 2. (2 1 10) ; (2 1 4) , 2 1 10 ; 2 1 4 Não é uma inequação, pois, embora represente uma desigualdade, não possui elemento desconhecido. 3. O 1o membro é o lado esquerdo do sinal de desigualdade, e o 2o membro é o lado direito. Então; 2 a) 1 2 4x , x 1 3 1o membro 2o membro
b)
x x 1 21 . 1 2 3 6 o o
1 membro 2 membro
4. Sendo x o número de letras e verificando se a inequação x , 5 pode ser aplicada à palavra; a) matemática R não, pois tem 10 letras e 10 . 5. b) zero R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. c) lado R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. d) área R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. e) quadrado R não, pois tem 8 letras e 8 . 5. f) par R sim, pois tem 3 letras e 3 , 5. 5. De acordo com cada item, podemos montar as seguintes desigualdades; a) 2x 1 7 . 20 2 x , 2y b) 3 c) 4x 2 1 . 20 4 d) x 1 x , 1 5
148
e) 3x 2
1 x .1 2
6. Se o lado do quadrado mede x, seu perímetro p1 será; p1 5 x 1 x 1 x 1 x R p1 5 4x Como os lados do retângulo medem 7 m e 3 m, seu perímetro será; p2 5 7 1 3 1 7 1 3 R p2 5 20 Sendo o perímetro do quadrado maior que o perímetro do retângulo, podemos escrever; p1 . p2 R 4x . 20 7. a) Sendo o custo da caneta x, e o custo da lapiseira y; x 1 y . 10, pois as duas juntas custam mais de 10 reais. b) Como o preço de três canetas é menor que o preço de 5 lapiseiras; 3x , 5y 8. Sendo x o comprimento do terreno e 30 metros a medida da largura, temos; a) o perímetro do terreno tem menos de 500 metros; x 1 30 1 x 1 30 , 500 2x 1 60 , 500 b) A área do terreno tem mais de 300 metros quadrados, então; 30 ? x . 300 30x . 300 9. Do enunciado, podemos escrever; capacidade do recipiente; x Retirando 3 litros, temos x 2 3. 1 metade da capacidade do recipiente; x 2 Retirando 3 litros desse recipiente ainda sobra menos da metade da capacidade do recipiente, então; 1 x 23 , x 2
35 – Inequação do 1°. grau com uma incógnita Desafio!, página 180. O salário de Paulo é obtido pela soma de uma parte fixa de R$ 500,00 e uma parte variável que corresponde a R$ 20,00 por aparelho vendido.
a) Se Paulo vendeu 54 aparelhos, seu salário será; 500 1 20 ? 54 5 500 1 1 080 5 1 580 R R R$ 1 580,00 b) Sendo o salário mensal s, quando ele vende p ou mais unidades todo mês, temos; s 500 1 20p
;2
g) 3 ? (x 2 1) 2 2x 13 3x 2 3 2 2x 13 x 2 3 13 x 13 1 3 x 16
Exercícios, página 180.
S 5 {x ∈ Q x 16}
1.
h)
9 ? (x 2 2) 2 5 ? (x 2 3) , 1 9x 2 18 2 5x 1 15 , 1 4x 2 3 , 1 4x , 1 1 3 4x , 4 4 x, 4 x,1 S 5 {x ∈ Q | x , 1}
a) x 1 15 . 21 x . 21 2 15 x.6 S 5 {x ∈ Q x . 6} b)
x 2 18 , 223 x , 223 1 18 x , 25 S 5 {x ∈ Q x ,25}
c)
17 2 x , 30 2x , 30 2 17 2x , 13 ? (21) 1x . 213 x . 213 S 5 {x ∈ Q x .213}
d) 11 2 9x 2x 29x 2x 2 11 29x 2 2x 211 211x 211 ? (21) 111x 111 x 11 11 x1 S 5 {x ∈ Q x 1} e) 8x 1 19 10x 1 11 8x 10x 1 11 2 19 8x 10x 2 8 8x 2 10x 28 22x 28 ? (21) 12x 28 8 x 2 x4 S 5 {x ∈ Q | x 4} f) 13x 2 1 , 9x 1 1
13x , 9x 1 1 1 1 13x , 9x 1 2 13x 2 9x , 12 14x , 2
2 1 5 4 ;2 2 1 S 5 x ∈ Q | x , 2 x,
2. Do enunciado, podemos escrever; perímetro do retângulo; 5 x 1 5 1 x 5 5 2x 1 10 perímetro do quadrado; 11 1 11 1 11 1 11 5 5 44 Para o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do quadrado, devemos ter;
2x 1 10 . 44 2x . 44 2 10 2x . 34 34 x. 2 x . 17 Logo, a medida do comprimento do retângulo deve ser maior que 17 cm.
3. De acordo com o enunciado; recipiente cheio; x Tirando 2 litros, restam; x 2 2 Restará no recipiente uma quantidade 3 da capacidade do recipiente; menor que 5 3 x 5 Com essas informações, podemos escrever; 3 x 22 , x 5 5x 10 3x 2 , 5 5 5
149
5x 2 10 , 3x 5x , 3x 1 10 5x 2 3x , 10 2x , 10 10 x, 2 x,5 Como do recipiente foram retirados 2 litros, podemos afirmar que a capacidade do mesmo é; x > 2 litros. Logo, os possíveis valores racionais de x são; 2 < x , 5
e)
4. a)
b)
x 5 2 1 x ,21 2 3 3x 10 6x 6 2 1 ,2 6 6 6 6 3x 2 10 1 6x , 26 9x 2 10 , 26 9x , 26 1 10 9x 4 4 x, 9 4 S 5 x ∈ Q | x , 9 x 21 x .11 2 3 3 (x 2 1) 6 2x . 1 6 6 6 3(x 2 1) . 6 1 2x 3x 2 3 . 6 1 2x 3x . 6 1 2x 1 3 3x . 9 1 2x 3x 2 2x . 9 x.9 S 5 {x ∈ Q| x . 9} x 1 22x . 2 5 4 2 10 ? (2 2 x) 4x 5 . 2 20 20 20
c) 4x . 5 2 10 ? (2 2 x) 4x . 5 2 20 1 10x 4x . 215 1 10x 4x 2 10x . 215 26x . 215 ? (21) 6x , 15 ;3
15 5 5 6 ;3 2 5 S 5 x ∈ Q | x , 2 x,
150
d)
x 11 x 22 4 8 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 2 2) 8 8 2 ? (x 1 1) < 1 ? (x 2 2) 2x 1 2 < x 2 2 2x < x 2 2 2 2 2x < x 24 2x 2 x < 24 x < 24 S 5 {x [ Q | x < 24} x . 2 ? (1 2 x) 2 2 ? 2 ? (1 2 x) x . 2 2 x . 2 ? 2 ? (1 2 x)
x . 2 ? [2 2 2x] x . 4 2 4x x 1 4x . 4 5x . 4 4 x> 5 4 S 5 x ∈ Q | x . 5 x 21 1 x 22 f) .2 1 4 6 3 3 ? (x 2 1) 4 ? (x 2 2) 2 .2 1 12 12 12 3 ? (x 2 1) .2 2 1 4 ? (x 2 2) 3x 2 3 .2 2 1 4x 2 8 3x 2 3 .210 1 4x 3x .210 1 4x 1 3 3x .2 7 1 4x 3x 2 4x .2 7 2 x .2 7 ? (21) 1 x ,1 7 x ,7 S 5 {x ∈Q | x , 7} 5. Resolvendo a inequação; 1 x ? (x 2 2) , 21 3 2 2 ? (x 2 2) 3x 6 , 2 6 6 6 2 ? (x 2 2) , 3x 2 6 2x 2 4 , 3x 2 6 2x , 3x 2 6 1 4 2x , 3x 2 2 2x 2 3x , 22 2x , 22 ? (21)
R$ 3,50 e o km rodado é R$ 1,15. Sendo v o valor da viagem e x o quilômetro rodado, podemos escrever; v 5 3,50 1 1,15x d) Em São Paulo, o valor da bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 2,10. Sendo vs o valor da viagem e x o quilômetro rodado, podemos escrever; v 5 3,50 1 2,10x Logo, em São Paulo, uma pessoa com 20 reais poderá percorrer; v 5 3,50 1 2,10x 20 5 3,50 1 2,10x 22,10x 1 20 5 3,50 22,10x 5 3,50 2 20 22,10x 5 216,5 ? (21) 2,10x 5 16,5 16,5 x 5 2,10 x 7,86
1x . 12 x.2 Fazendo a verificação, temos; • para 3, temos; 3 . 2 (sentença verdadeira) Logo, o número 3 pertence ao conjunto solução da equação. 6. Resolvendo a inequação; 3 ? (2x 2 1) , 5x 2 1 6x 2 3 , 5x 2 1 6x , 5x 2 1 1 3 6x , 5x 1 2 6x 2 5x , 2 x,2 Fazendo a verificação dos números em questão; • para 26, temos; 26 , 2 (sentença verdadeira) • para 23, temos; 23 , 2 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 , 2 (sentença verdadeira) • para 3, temos; 3 , 2 (sentença falsa) • para 6, temos; 6 , 2 (sentença falsa) Logo, os números 26, 23 e 0 pertencem ao conjunto solução da inequação, e os números 3 e 6 não pertencem a esse conjunto.
Portanto, em São Paulo, uma pessoa poderá percorrer de táxi 7 km, sem gastar todo o seu dinheiro (R$ 20,00).
Utilizando a equação do item c, em Curitiba, uma pessoa com 20 reais poderá percorrer; vc 5 3,50 1 1,15x 20 5 3,50 1 1,15x 20 2 1,15x 5 3,50 21,15x 5 3,50 2 20 21,15x 5 16,5 ? (21) 1,15x 5 16,5 16,5 x5 1,15 x 14,35
Brasil real, página 181. 1. a) Sendo o percurso de 12 quilômetros, o valor em cada cidade será; • São Paulo; 3,50 1 12 ? 2,10 5 3,50 1 1 25,2 5 28,70; pois a bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 2,10. Logo, o valor pago será R$ 28,70. • Rio de Janeiro; 4,30 1 12 ? 1,14 5 4,30 1 1 13,68 5 17,98; pois a bandeirada é R$ 4,30 e o km rodado é R$ 1,14. Logo, o valor pago será R$ 17,98. • Curitiba; 3,50 1 12 ? 1,15 5 3,50 1 1 13,80 5 17,30; pois a bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 1,15. Logo, o valor pago será R$ 17,30. b) O valor da bandeirada é maior na cidade do Rio de Janeiro, mas só esse fato não garante que a corrida seja mais cara no Rio, pois o valor do quilômetro rodado não é o maior das três cidades. c) Em Curitiba, o valor da bandeirada é
Portanto, em Curitiba, uma pessoa poderá percorrer de táxi 14 km, sem gastar todo o seu dinheiro (R$ 20,00).
a)
Resolvendo a equação; 145 1 5 ? (x 1 571) . 64 2 7 ? (68 2 x) 145 1 5x 1 2 855 . 64 2 476 1 7x 5x 1 3 000 . 2412 1 7x 5x . 2412 1 7x 2 3 000 5x . 23 412 1 7x 5x 2 7x . 23 412 22x . 23 412 ? (21) 12x , 13 412 3412 x, 2 x , 1 706
2.
151
0
Logo, o maior número inteiro que satisfaz a equação dada é 1 705.
Portanto, a Música do Parnaso foi impresso em 1705.
b) Resolvendo as inequações; 552 2 5 ? (x 2 221) , 8 ? (x 2 3) 2 11 ? (x 1 1 10) 2 221 552 2 5x 1 1 105 , 8x 2 24 2 11x 2 110 2 2 221 25x 1 1 657 , 23x 2 355 25x , 23x 2 355 2 1 657 25x , 23x 2 2 012 25x 1 3x , 22 012 22x , 22 012 ? (21) 12x . 12 012 2012 x. 2 x . 1 006 2 ? (105 2 y) y 1 86 40 13 1 1 , 2 2 12 9 4 18 36 2 ? 2 ? (105 2 y) 3 ? (y 1 86) 160 117 1 1 , 2 2 36 36 36 36 36
,
2 ? 2 ? (105 2 y) 117 1 2 2 36 36 36 3 ? (y 1 86) 1 160 , 117 2 2 ? 2 ? (105 2 y) 2 1
3y 1 258 1 160 , 117 2 2 ? [210 2 2y] 2 1 3y 1 418 , 117 2 420 1 4y 2 1 3y 1 418 , 2304 1 4y 3y , 2304 1 4y 2 418 3y , 2722 1 4y 3y 2 4y , 2722 2y , 2722 ? (21) 1 y . 1 722 y . 722 Logo, o menor número natural que satisfaz a primeira inequação é 1 007, e o menor número natural que satisfaz a segunda inequação é 723. Portanto, a história de Genji foi escrita em 1007, e Barbara Cartland escreveu 723 romances.
Tratando a informação, página 182. a) Observando os gráficos, podemos concluir que o gráfico 1 é de barras ou colunas, e o gráfico 2 é de linha.
152
b) O gráfico 1 trata da esperança de vida do brasileiro ao nascer; o gráfico 2 trata da evolução da esperança de vida no país, de 1960 a 2004. c) IBGE significa Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. d) De acordo com o gráfico 1, vemos que, em 1980 e em 2004, o sexo feminino é o que tem maior esperança de vida. e) Em relação a 1980, o brasileiro está vivendo, em média, mais 9 anos no ano de 2004 (71,7 2 62,7 5 9). f) De acordo com o gráfico, os anos em que a esperança de vida do brasileiro foi maior do que 60 anos foram os anos de 1980, 1991, 2000 e 2004.
Retomando o que aprendeu, página 183. 1. Sendo x o número de funcionários residentes na cidade A e sabendo que 50 trabalhadores vieram de outras cidades, temos; x . 50, pois o número de funcionários que residem na cidade A deve ser sempre maior que o número de funcionários vindos de outras cidades. 2. Multiplicando os dois membros da inequação 25x . 1 por (21);
25x . 1
15x , 21
5x , 21
? (21)
3. Resolvendo a inequação; x 13 x 2 2 ? (x 1 1) , 5 5 ? 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 1 3) 5x 2 , 5 5 5 5x 2 5 ? 2 ? (x 1 1) , 1 ? (x 1 3) 5x 2 5 ? [2x 1 2] , x 1 3 5x 210x 2 10 , x 1 3 25x 2 10 , x 1 3 25x , x 1 3 1 10 25x , x 1 13 25x 2 x , 1 13 26x , 213 ? (21) 16x . 213 13 x .2 6 13 S 5 x ∈ Q | x .2 6
4. Resolvendo a inequação; x 27 x 1 1 5 10 2 ? (x 2 7) x 10 1 10 10 10 2 ? (x 2 7) 1 x < 10 2x 2 14 1 x < 10 3x 2 14 < 10 3x < 10 1 14 3x < 24 24 x 3 x<8 Fazendo a verificação; • para 23, temos; 23 < 8 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 < 8 (sentença verdadeira) • para 5, temos; 5 < 8 (sentença verdadeira) • para 8, temos; 8 < 8 (sentença verdadeira) • para 9, temos; 9 < 8 (sentença falsa) Logo, os números 23, 0, 5 e 8 fazem parte do conjunto solução da inequação, e o número 9 não faz parte desse conjunto. 5. De acordo com o enunciado; 11 7 1 x2 , 18 15 12 110x 84 15 2 , 180 180 180
23x , 4x 2 8 1 33 23x , 4x 1 25 23x 2 4x , 25 27x , 25 ? (21) 17x . 225 25 x .2 7 25 Sendo x .2 2 3,57, então os números 7 inteiros negativos que fazem parte do conjunto solução da inequação são 23, 22 e 21. 7. Resolvendo a inequação; 4x 2 1 , 2 1 3x 4x , 2 1 3x 1 1 4x , 3 1 3x 4x 2 3x , 3 x,3 S 5 {0, 1, 2} Logo, sendo U 5 IN, o conjunto solução da inequação são os naturais 0, 1 e 2. 8. Do enunciado, podemos escrever; perímetro do triângulo; x 1 x 1 12 5 2x 1 1 12 perímetro do quadrado; 5 1 5 1 5 1 5 5 20 Sendo o perímetro do triângulo menor que o perímetro do quadrado, temos; 2x 1 12 , 20 2x , 20 2 12 2x , 8 8 x, 2 x,4 Logo, o valor inteiro de x é 3, pois x , 4.
110x 2 84 , 15 110x , 15 1 84 9. Resolvendo a inequação; 110x , 99 ;11 3 ? (2x 1 1) 10 ? (x 1 2) 99 9 2x 1 1 6x 2 1 x, 5 2 . 2 110 ;11 10 2 6 3 2 3 ? (2x 1 1) 10 ? (x 1 2) 3 ? 2 ? 1 ? 2 x 1 1 ( ) Logo, os valores de x que satisfazem o 2 2 3 ? (6x 2 1) . 9 6 6 6 6 problema são os valores de x , . 10 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 ? 10 ? (x 1 2) 1 ? (2x 1 1) 3 ? (6x 2 1) 2 . 2 6. Resolvendo a inequação; 6 6 6 6 7x 2 1 2x 2 4 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 1 ? (2x 1 1) . 2 ? 10 ? (x 1 2) 2 3 ? (6x 2 1) 3 ? (x 2 2) 2 , 2 3 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 1 ? (2x 1 1) . 2 ? 10 ? (x 1 2) 2 3 ? (6x 2 1) 6 ? 3 ? (x 2 2) 3 ? (7x 2 1) 2 ? (2x 2 4) 3 ? [6x 1 3] 2 2x 2 1 . 2 ? [10x 1 20] 2 18x 1 2 , 6 6 6 13 6 ? 3 ? (x 2 2) 2 3 ? (7x 2 1) , 2 ? (2x 2 4) 18x 1 9 2 2x 2 1 . 20x 1 40 2 18x 1 3 16x 1 8 . 2x 1 43 6 ? [3x 2 6] 2 21x 1 3 , 4x 2 8 16x . 2x 1 43 2 8 18x 2 36 2 21x 1 3 , 4x 2 8 16x . 2x 1 35 23x 2 33 , 4x 2 8
153
16x 2 2x . 35 14x . 35 ;7 35 5 x. 5 14 ;7 2
x,
3x x , 3 3 3x , x
5 S 5 x ∈ Q | x . 2
3x 2 x , 0
10. Alternativa d. Resolvendo a inequação; 3x 2 7 . 3 ? (21 1 2x) 2 2x 3x 2 7 . 23 1 6x 2 2x 3x 2 7 . 23 1 4x 3x . 23 1 4x 1 7 3x . 4 1 4x 3x 2 4x . 4 2x . 4 ? (21) 1x , 24 x , 24 S 5 {x [ Q | x , 24} Analisando as alternativas; a) 0 [ S R falsa, pois 0 . 24. b) 23 [ S R falsa, pois 23 . 24. c) 24 [ S R falsa, pois 24 5 24. d) 25 [ S R verdadeira, pois 25 , 24. 11. Do enunciado, podemos escrever a seguinte inequação; 0,5 ? x 1 1,75 . 4 0,5x . 4 2 1,75 0,5x . 2,25 2,25 x. 0,5 x . 4,5 S 5 {x [ Q | x . 4,5} Logo, x pode assumir valores maiores que 4,5. 12. 2x . 0 ? (21) 1x , 0 x,0 Assim, todos os números racionais negativos são solução dessa inequação. Portanto, a afirmação é verdadeira. 13. Sendo a inequação x ,
154
x 3
x , temos; 3
2x , 0 0 x, 2 x,0 Fazendo a verificação para os números dados; • para 29, temos; 29 , 0 (sentença verdadeira) • para 26, temos; 26 , 0 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 , 0 (sentença falsa) • para 3, temos; 3 , 0 (sentença falsa) • para 12, temos; 12 , 0 (sentença falsa) Logo, os números 29 e 26 fazem parte do conjunto solução da inequação, e os números 0, 3 e 12 não fazem parte da solução dessa inequação. 14. Alternativa c. Resolvendo as inequações; 5n 1 25 . 5 500 5n . 5 500 2 25 5n . 5 475 5475 n. 5 n . 1 095 28n 1 3 501 . 210 2 5n 28n . 210 2 5n 2 3 501 28n . 25n 2 3 291 28n 1 5n . 23 291 23n . 23 291 ? (21) 13n , 13 291 3291 n, 3 n , 1 097 Logo, o número de foguetes é um número natural entre 1 095 e 1 097, portanto 1 096 foguetes.
Estudando os Ângulos Abertura, página 184.
ˆ ) 5 2x, temos: med (AÔB) 5 508 e med (MPQ ˆ med (AÔB) 5 med (MPQ ) ⇒ 50 5 2x 2x 5 50 50 x5 2
• O que eles têm em comum? As figuras têm o formato em comum, mas existem várias possibilidades de respostas.
x 5 25
36 – O ângulo e seus elementos 37 – Medida de um ângulo Exercícios, páginas 191 e 192. 1. De acordo com os elementos dos ângulos, vem: a) Vértice: B; lados: BA e BC. b) Vértice: O; lados: OM e ON. 2. De acordo com a figura, os ângulos são: AÔB, AÔC, BÔC 3. As medidas dos ângulos indicados são: a) med (AÔB) 5 208 b) med (AÔC) 5 488 c) med (AÔD) 5 558 d) med (AÔE) 5 908 e) med (AÔF) 5 1208 f) med (AÔG) 5 1808 g) med (BÔE) 5 med (AÔE) 2 med (AÔB) 5 5 908 2 208 5 708 h) med (EÔF) 5 med (AÔF) 2 med (AÔE) 5 5 1208 2 908 5 308
Logo, x 5 258. 9. Sendo as medidas de dois ângulos congruentes expressas por (2x 2 108) e (x 1 208), vem: 2x 2 10 5 x 1 20 2x 5 x 1 20 1 10 2x 5 x 1 30 2x 2 x 5 30 x 5 30 Logo, x 5 308. Desafio!, página 192. Às 6 horas, o ângulo de abertura formada pelos ponteiros do relógio será maior e corresponderá a um ângulo de 1808, ou seja, será um ângulo de meia-volta. Portanto, o ângulo aumentou e passou a ser 1808.
38 – O perações com medidas de ângulos
4. Sabemos que uma volta corresponde a 3608; logo, meia-volta corresponde a 1808. 5. Um ângulo de uma volta mede 3608. 6. Utilizando um transferidor, encontramos as seguintes medidas: ˆ ) 5 458 a) med (ABC ˆ ) 5 1308 b) med (GHI ˆ ) 5 208 c) med (JLM ˆ ) 5 1308 d) med (NOP ˆ ) 5 208 e) med (DFE ˆ ) 5 908 f) med (QRS ˆ . ˆ NOP ˆ JLM ˆ e GHI 7. DFE ˆ são 8. Sabendo que os ângulos AÔB e MPQ congruentes e ainda que
Exercícios, página 195. 1. a)
18’ Como 1’ 5 60’’, temos: 18 ? 60 5 1 080 R 1 080’’ Logo, 18’ 5 1 080’’.
b)
2’ 15’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 2 ? 60 5 120 R 120’’ Logo, 2’ 15’’ 5 120’’ 1 15’’ 5 135’’.
c)
38 Como 18 5 60’ e 1’ 5 60’’, temos: 18 5 60 ? 60 5 3 600 R 3 600’’ Logo, 38 5 3 ? 3 600 5 10 800’’.
155
2. a)
408 Como 18 5 60’, temos: 40 ? 60 5 2 400 R 2 400’ Logo, 408 5 2 400’.
b)
128 37’ Como 18 5 60’, temos: 12 ? 60 5 720 R 720’ Logo, 128 37’ 5 720’ 1 37’ 5 757’.
c) 2 040’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 2 040 ; 60 5 34 R 34’ 2040 60
240 34 00 Logo, 2 040’’ 5 34’.
a)
5 710’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 5 710 ; 60 5 95’ 10’’ 5710 60
310 95 → 60 ? 95 1 10 10 95’ R Como 18 5 60’, temos: 95 ; 60 5 18 35’ 95 60
35 1 → 60 ? 1 1 35 Logo, 5 710’’ 5 95’ 10’’ 5 18 35’ 10’’.
b)
53 400’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 53 400 ; 60 5 890’ 53400 60
540 890 → 60 ? 890 000 890’ R Como 18 5 60’, temos: 890 ; 60 5 148 50’ 890 60
724’ 31’’ R Como 18 5 60’, temos: 724 ; 60 5 128 4’ 724 60
124 12 → 60 ? 12 1 4 4 Logo, 43 471’’ 5 724’ 31” 5 128 4’ 31’’.
4. Para comparar as medidas, devemos trabalhar em uma mesma unidade, daí vem: a) 1 080’ Como 18 5 60’, temos: 1 080 ; 60 5 188 1080 60 480 18 → 60 ? 18 00 Logo, 208 é maior que 1 080’, pois 1 080’ 5 188. b) 720’ Como 18 5 60’, temos: 720 ; 60 5 128 720 60
3.
120 12 00 Logo, 128 e 720’ são iguais, pois 720’ 5 128.
5. Simplificando as medidas, vem: 20’’ a) 80 ’’ 5 1’ 20’’, pois 1’ 5 60’’ . 1’ 25’’ b) 12’ 145’’ 5 14’ 25’’, pois 1’ 5 60’’. 2’ 20’ c) 200 ’ 5 38 20’, pois 1° 5 60’. 38 30’’
31’
d) 18 90’ 90 ’’ 5 18 91’ 30’’ 5 28 31’ 30’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. 290 14 → 60 ? 14 1 50 1’ 18 30’’ 31’ 50 18 90’ 90 ’’ 5 18 91’ 30’’ 5 28 31’ 30’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. Logo, 53 400’’ 5 890’ 5 148 50’. 1’ 18 40’’ c) 43 471” 5 8 100 ’’ 5 58 1’ 40’’, pois 1’ 5 60’’ . e) Como 1’ 5 60’’, temos: 1’ 43 471 ; 60 5 724’ 31’’ 43471 60 10’’ 1’
156
147 724 → 60 ? 724 1 31 f) 88 120’ 70 ’’ 5 88 121’ 10’’ 5 108 1’ 10’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. 271 1’ 28 10’’ 1’ 31 88 120’ 70 ’’ 5 88 121’ 10’’ 5 108 1’ 10’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. 1’
28
h) (418 50’ 14’’) ; 2 41º 50' 14'' 2 1°1 60’ 208 55’ 7’’
Exercícios, página 196 a 197. 1. a) 138 12’ 1 418 10’ 20’’ 138 12’ 00’’ 1 418 10’ 20’’ 548 22’ 20’’ Logo, 138 12’ 1 418 10’ 20’’ 5 548 22’ 20’’.
b) 358 20’ 2 108 15’ 30’’ 19’ 60’’ 358 20' 00’’ 358 19’ 60’’ 2 108 15’ 30’’ 2 108 15’ 30’’ 258 4’ 30’’ Logo, 358 20’ 2 108 15’ 30’’ 5 258 4’ 30’’.
c) 908 2 378 40’ 20’’ 59’ 60’’ 898 60’ 908 00’ 00’’ 898 60' 00’’ 898 59’ 60’’ 2 378 40’ 20’’ 2 378 40’ 20’’ 2 378 40’ 20’’
528 19’ 40’’ Logo, 908 2 378 40’ 20’’ 5 528 19’ 40’’. d) 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 468 61’ 62’’ 2’’ 2’ 468 61’ 62'' 5 468 62' 2’’ 5 478 2’ 2’’ 1’ 18 Logo, 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 5 478 2’ 2’’.
e) 2 ? (508 19’) 508 19’ 3 2 1008 38’ Logo, 2 ? (508 19’) 5 1008 38’. f) 4 ? (108 24’ 45’’) 2
108 24’ 45'' 3 4 408 96’ 180’’ 00’’ 39’ 408 96’ 180'' 5 408 99' 5 41o 39’ 3’ 18 Logo, 4 ? (108 24’ 45’’) 5 418 39’.
g) (278 36’ 33’’) ; 3 27° 36' 33'' 3 00 00 00 98 12’ 11’’ Logo, (278 36’ 33’’) ; 3 5 98 12’ 11’’.
110’ 0 14’’ 0 Logo, (418 50’ 14’’) ; 2 5 208 55’ 7’’. i) 1808 2 548 12’ 49’’ 598 60’ 1798 60’ 1808 00’ 00’’ 1798 60' 00’’ 1798 59’ 60’’ 2 548 12’ 49’’ 2 548 12’ 49’’ 2 548 12’ 49’’
1258 47’ 11’’ Logo, 1808 2 548 12’ 49’’ 5 1258 47’ 11’’.
j) 5 ? (28 55’ 30’’) 28 55’ 30’’ 3 5 108 275’ 150’’ 30’’ 37’ 108 275’ 150'' 5 108 277’ 30’’ 5 148 37’ 30’’ 2’ 48 Logo, 5 ? (28 55’ 30’’) 5 148 37’ 30’’.
2. a) 158 12’ 35’’ 1 278 18’ 1 138 51’ 30’’ 158 12’ 35’’ 278 18’ 00’’ 1 138 51’ 30’’ 558 81’ 65’’ 5”
22’
558 81’ 65 ” 5 55° 82’ 5’’ 5 568 22’ 5’’ 1° 1’ Logo, 158 12’ 35’’ 1 278 18’ 1 138 51’ 30’’ 5 5 568 22’ 5’’. b) (508 2 158 20’) ; 5 49° 60 ' 50 ° 00' 49° 60 ' → 2 15° 20 ' 2 15° 20 ' 34°40 ' 34°
40 ' 5
1 240 6° 56 ' 4° 280 0 Logo, (508 2 158 20’) ; 5 5 68 56’. c) 2 ? (188 15’ 1 308 27’ 40’’) 2 818 17’ 30’’ 188 15’ 00’’ 488 42’ 40’’ 1 30o 27’ 40’’ 3 2 488 42’ 40’’ 968 84’ 80’’
157
968 84’ 80’’ 2 818 17’ 30’’ 158 67’ 50’ 7’77 ’’
15 15 15 8 88 67 50 ” ”5 ”55 16 16 16 8 8787 ’750 ’ ’50 50 ” ”” 67 67 ’ 50 ’ ’50
1811 88
Logo, 2 ? (188 15’ 1 308 27’ 40’’) 2 818 17’ 30’’ 5 5 168 7’ 50’’. 3. A metade de 158 19’ 10’’ é: 158158 19’19’ 10”10” 2 2 1 60’ 1 60’ 78 39 78 ’39 35’ ”35” 18 1879’79’ 10”10” 11 60” 60”
7. Se dois ângulos somados medem 808, e um deles mede 278 18’ 14’’, o outro ângulo mede: 808 2 278 18’ 14’’ 5 59’ 60’’ 798 60’ 80° 00’ 00’’ 798 60' 00’’ 798 59’ 60’’ 2 278 18’ 14’’ 2 278 18’ 14’’ 2 278 18’ 14’’
8. Se x representa cada uma das medidas a, b, c e d, escrevemos: a 1 b 1 c 1 d 5 4428 x 1 x 1 x 1 x 5 4428 4x 5 4428
1’ 1’
4428 4 x 51108 30’
70”70”
x5
Logo, a metade de 158 19’ 10’’ é 78 39’ 35’’.
4428 4 28 120’ 1108 30’ 0
4. Sendo a terça parte do ângulo 98 29’ 5’’, o ângulo procurado será: 98 29’ 5’’ 3 3 278 87’ 15’’
Logo, a, b, c e d valem 1108 30’.
27' 27'
'15’’ 278 8787 ' 5 288 27’ 15’’ 18 18
Logo, o ângulo é 288 27’ 15’’. 5. Dividindo 1458 em 4 partes, vem: 1458 4 18 60' 368 15' 0
2 de 378 40’, vem: 3
378 40’ 3 2 748 80’ 758 20’
20’
0
158
598 20’ 00’’ 1 358 50’ 20’’ 948 70’ 20’’
18
3
2 de 378 40’ é 258 6’ 40’’. 3
1418 35’
10. Sendo a soma das medidas dos ângulos Â, Bˆ e Cˆ igual a 1808, podemos escrever: 598 20’ 1 358 50’ 20’’ 1  5 1808 948 70’ 20’’ 1  5 180o  5 1808 2 948 70’ 20’’  5 1808 2 958 10’ 20’’  5 848 49’ 40’’
748 80’ 5 758 20’
0 20’ 258 6’ 40” 2’ 120”
Logo,
9. A soma de x com 388 25’ é igual a 1808, daí vem: x 1 388 25’ 5 1808 x 5 1808 2 388 25’ x 5 1418 35’ 1798 60’ 1808 00’ 1798 60’ 2 388 25’ 2 388 25’ Logo, x 5 1418 35’.
Logo, dividindo 1458 por 4, encontramos 36° 15’’. 6. Calculando
528 41’ 46’’ Logo, o outro ângulo mede 528 41’ 46’’.
10’
948 70’ 20” 5 958 10’ 20” 18
1798 60’ 59’ 60” 180° 00’ 00’’ 1798 60' 00’’ 1798 59’ 60’’ 2 958 10’ 20’’ 2 958 10’ 20’’ 2 958 10’ 20’’
848 49’ 40’’
Logo, o ângulo  mede 848 49’ 40’’.
1. Utilizando um transferidor para determinar a medida do ângulo, concluímos que a lancha deve girar 308 para a direita para atracar no cais. 2. Mesmo utilizando a lente de aumento, o ângulo continuará medindo 308, pois permanece com a mesma abertura.
39 – ângulos consecutivos e ângulos adjacentes
Construindo os ângulos, vem: a) 458 Bissetriz de 458
bissetriz
b) 308
Bissetriz de 308
30�
bissetriz
c) 758
Bissetriz de 758
bissetriz
75�
Logo, cada ângulo obtido mede 378 30’. 4. Um ângulo raso tem 1808, então sua bissetriz terá: 0 908
Chegou a sua vez!, página 201.
45�
758 2 18 60 ' 378 30 ' 0
1808 2
40 – Bissetriz de um ângulo
3. A bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais. Daí vem:
Ilustrações: Editoria de arte
Desafio!, página 197.
Logo, traçando a bissetriz de um ângulo raso, encontramos dois ângulos de 908. 5. De acordo com a figura, vem: med (MÔB) 5 med (AÔM) 5 238, pois OM é bissetriz de AÔB. med (AÔB) 5 2 ? med (MÔB), pois OM é bissetriz de AÔB. med (AÔB) 5 2 ? 23° 5 468 Logo, med (AÔM) 5 238 e med (AÔB) 5 468. 6. De acordo com a figura, vem: med (AÔN) 5 med (NÔB) 5 158, pois ON é bissetriz de AÔB. med (BÔM) 5 med (MÔC) 5 20o, pois OM é bissetriz de BÔC. med (AÔC) 5 med (AÔN) 1 med (NÔB) 1 1 med (BÔM) 1 med (MÔC) med (AÔC) 5 158 1 158 1 208 1 208 5 708 Logo, a medida do ângulo é 708. 7. Resposta em aberto.
d) 1208
Bissetriz de 1208
41 – Â ngulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso
bissetriz
120�
Desafio!, página 204.
Exercícios, página 202. 1. Existem várias possibilidades de resposta. Uma delas seria: AÔB e BÔC são ângulos consecutivos. 2. De acordo com a figura, vem: a) AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. ˆ e D BC ˆ são ângulos adjacentes. b) A BD
Na foto 1, o ângulo em destaque é reto. Na foto 2, o ângulo em destaque é maior que um ângulo nulo e menor que um reto; logo, é um ângulo agudo. Na foto 3, o ângulo em destaque é maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso; logo, é um ângulo obtuso. Chegou a sua vez!, página 205. Resposta em aberto.
159
y5
1. a) Cada uma das partes indica um ângulo de 1808. b) Recortando ao meio as duas figuras do item anterior, encontramos ângulos de 908. 2. De acordo com as dobraduras do círculo, vem: a) Um ângulo de 1808 determina metade do círculo. b) A quarta parte do círculo determina um ângulo de 908. c) Dividindo o círculo em oito partes iguais, formamos ângulos de 458.
Ilustrações: Editoria de arte
3608 4 y 5 90° Assim, temos: Joaquina R y R 90° Joana R 2y R 2 ? 90° 5 180° y 908 R Jussara R 5 458 2 2 y 908 5 458 Júlia R R 2 2 Portanto, podemos construir o seguinte gráfico:
Tratando a informação, página 206 a 207.
Jussara Júlia
3. Possível resposta:
Joana Joaquina 180� 90� 45�
42 – Â ngulos complementares e ângulos suplementares
45�
4. 1 dobra R divide o círculo em 2 partes iguais; 2 dobras R divide o círculo em 4 partes iguais; 3 dobras R divide o círculo em 8 partes iguais; 4 dobras R divide o círculo em 16 partes iguais. Logo, para dividir o círculo em 16 partes iguais, serão necessárias no mínimo 4 dobras.
Exercícios, página 210. 1.
Medida do ângulo que cada parte representa
2
1808
4
908
8
458
16
22,58 ou 228 30’
y 2
Júlia R
y 2
A soma de todas essas partes corresponde a 3608 em um círculo; logo, escrevemos: y y 2y 1 y 1 1 5 3608 2 2 2y 3y 1 5 360o 2 3y 1 y 5 360° 4y 5 360°
160
a) b) c)
Suplemento de 908 R 1808 2 908 5 908 Suplemento de 1508 R 1808 2 1508 5 308 Suplemento de 188 43’ R 1808 2 188 43’ 5 5 1618 17’
3.
6. Possível resposta: Se considerarmos que Joaquina ganhou y, podemos escrever: Joana R 2y Jussara R
Complemento de 88 R 908 2 88 5 828 Complemento de 358 18’ R 908 2 358 18’ 5 5 548 42’ Complemento de 898 R 908 2 898 5 18
2.
5. Fazendo a tabela, vem: Número de partes em que o círculo foi dividido
a) b) c)
a) Complemento do ângulo R 908 2 x b) Suplemento do ângulo R 1808 2 x c) Metade do suplemento do ângulo R 1808 2 x R 2 d) O quíntuplo do suplemento desse ângulo R 5 ? (1808 2 x) 4. Complemento de 578 R 908 2 578 5 338 Metade de 338 R 338 ; 2 5 16,58 ou 168 30’ Logo, a metade do complemento de 578 é 168 30’. 5. Sabemos que dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 908. Logo, o ângulo cuja medida é igual à medida do seu complemento será a bissetriz de 908, portanto 458.
6. a) Como os ângulos são adjacentes complementares, escrevemos: 358 1 x 5 908 x 5 908 2 358 x 5 558 b) Como os ângulos são adjacentes suplementares, escrevemos: x 1 1408 5 1808 x 5 1808 2 1408 x 5 408 c) Como os ângulos são adjacentes suplementares, escrevemos: x 1 1408 5 1808 2 x 2808 3608 1 5 2 2 2 d)
x 1 280° 5 360° x 5 360° 2 280° x 5 80° Como os ângulos são adjacentes complementares, escrevemos: 3x 1 2x 5 90° 5x 5 90° 908 x5 5 x 5 18°
7. Como os ângulos são complementares, escrevemos: x 2x 2 308 1 1 368 5 908 3 x 2x 1 1 68 5 908 3 6x x 188 2708 1 1 5 3 3 3 3 6x 1 x 1 18o 5 270o 7x 5 270° 2 18° 7x 5 252° 2528 x5 7 x 5 36° Logo, o valor de x é 368. 8. med (BÔP) 5 med (PÔC) 5 658, pois OP é bissetriz de BÔC. Como os ângulos BÔC e AÔC são suplementares, escrevemos: 658 1 658 1 med (AÔC) 5 1808 med (AÔC) 5 1808 2 1308 med (AÔC) 5 508 Logo, med (AÔC) 5 508.
9. Chamando o ângulo de x, podemos indicar o triplo da medida de seu complemento por 3 ? (908 2 x) e escrever: 3 ? (90°2 x) 5 111° 270° 2 3x 5 111° 23x 5 111° 2 270° 23x 5 2159° ? (21) 3x 5 159° 1598 x5 3 x 5 53° Logo, a medida desse ângulo é 538. 10. Chamando o ângulo procurado de x, como os ângulos são suplementares, escrevemos: x 1 938 50’ 5 1808 x 5 1808 2 938 50’ x 5 868 10’ Logo, o outro ângulo mede 868 10’. 11. Chamando o ângulo de x, o triplo da medida de seu suplemento será 3 ? (1808 2 x); assim, temos: 3 ? (180°2 x) 5 x 540° 2 3x 5 x 23x 2 x 5 2540° 24x 5 2540° ? (21) 4x 5 540° 5408 x5 4 x 5 135° Logo, o ângulo mede 1358. 12. med (AÔB) 5 med (BÔC) 5 x, pois OB é a bissetriz de AÔC. Como AÔD e DÔE são suplementares, escrevemos: x 1 x 1 90° 1 40° 5 180o 2x 1 130° 5 180o 2x 5 1808 2 130° 2x 5 508 508 x5 2 x 5 258 Logo, a medida de x é 258.
43 – Ângulos opostos pelo vértice Exercícios, página 213. 1. a) De acordo com a figura, os pares de ângulos congruentes são: x e z, w e y, pois são opostos pelo vértice.
161
b) De acordo com a figura, os pares de ângulos suplementares são: x e y, y e z, z e w, w e z, pois são ângulos adjacentes suplementares.
2. Os outros ângulos formados são 458, 1358 e 1358, pois 458 é oposto pelo vértice a 458, e 1358 é suplementar a 458. Logo, os três ângulos formados por essas retas são 458, 1358 e 1358.
3. Nas figuras os ângulos destacados são postos pelo vértice; assim, temos: a) 3x 2 608 5 2x 3x 2 2x 5 608 x 5 608 b) 5x 2 98 5 2x 1 15° 5x 2 2x 5 15° 1 9° 3x 5 24° 248 x5 3 x 5 8° 4. Como os ângulos são opostos pelo vértice, podemos escrever: 6x 2 218 5 3x 1 40° 6x 2 3x 5 40° 1 21° 3x 5 61° 61o x5 3 x 5 20° 20’ 618 3 18 60 ' 208 20 ' 0 Logo, a medida de x é 208 20’. 5. a) x 1 1108 5 1808 (x e 110° são ângulos suplementares.) x 5 1808 2 1108 x 5 708 Se x 5 708, então a 5 708, pois a e x são ângulos opostos pelo vértice. Se o ângulo oposto a y é 110°, então y 5 1108. Logo, a 5 708, x 5 708 e y 5 1108. b) x 5 458, pois o ângulo x é oposto pelo vértice ao ângulo de 45° indicado na figura. y 1 458 5 1808 (y e 45° são ângulos suplementares.) y 5 1808 2 458 y 5 1358 a 1 908 5 1808 (a e 90° são ângulos suplementares.)
162
a 5 1808 2 908 a 5 908 Se a 5 908, então b 5 908, pois a e b são ângulos opostos pelo vértice. Logo, x 5 458, y 5 1358, a 5 908 e b 5 908. Brasil real, páginas 213 e 214.
a) Resposta em aberto. b) Resposta possível: • Na Praça dos Viajantes, Londrina (PR). • Relógio de sol equatorial, em Santa Catarina. • Relógio de sol de Areia Preta, em Natal (RN). • Relógio solar de reclinação Sul, Oficina Cerâmica Francisco Brennand, em Recife (PE). • No Mosteiro de São Bento (1847), na cidade do Rio de Janeiro. • Na Igreja de Santo Antônio (1712), em Tiradentes (MG). • Na Praça Nossa Senhora da Conceição (1886), em Franca (SP). • Na Praça Tiradentes (1857), na cidade de Curitiba (PR). • Em Sobral (CE), de 1989. • Em Tefé (AM), de 1991. • Em Feira de Santana (BA), de 1993. c) Do texto, temos que, a cada 1 hora, o Sol se desloca 15 graus; assim: • em 2 horas R 2 ? 158 5 308. • em 5 horas R 5 ? 158 5 758. • em 8 horas R 8 ? 158 5 1208. • em 12 horas R 12 ? 158 5 1808. • em 18 horas R 18 ? 158 5 2708. Retomando o que aprendeu, página 215. 1. Alternativa b. Como o ângulo é 228 30’, seu dobro será: 228 3 448
30’ 2 60’
00
448 60 ’5 458 18
Logo, o ângulo mede 458. 2. Alternativa c. Como os ângulos são congruentes, escrevemos: 9x 2 438 5 7x 1 318 9x 2 7x 5 31° 1 438 2x 5 748
748 2 x 5 378 Logo, o valor de x é 378.
Logo, cada um dos ângulos obtidos medirá 148 17’ 55’.
x5
3. Alternativa a. Escrevendo 278 58’ 120’’ na sua forma mais simples, temos: 00”
7. Alternativa d. 3 med (AÔB), temos: Como mede (AÔC) 5 4 3 med AÔC 5 248 12’ 36’’ 4 248 12’ 36’’ 3 3 728 36’ 108’’
00’
278 58’ 120” 5 278 60’ 5 288 2’
18
Logo, a forma mais simples do ângulo será 288.
med (AÔC) 5
4. Alternativa e. De acordo com o enunciado, temos: med (AÔC) 5 med (AÔB) 1 med (BÔC) med (AÔC) 5 258 1 47’ 28’’ 1 138 1 26’ 52’’ med (AÔC) 5 388 1 73’ 80’’ 258 47’ 28’’ 1 138 26’ 52’’ 388 73’ 80’’ 20”
)
(
48”
728 36’ 108’’ 4
728 36’ 108” 5 728 37’ 48” 18
728 37’ 48’’ 4 48” 4
med (AÔC) 5
728 37’ 1’1 60” 188 9’ 27” 0 108” 0
14’
388 73’ 80” 5 388 74’ 20” 5 398 14’ 20”
med (AÔC) 5188 9’ 27’’
Logo, o ângulo AÔC mede 398 14’ 20’’.
Da figura, temos: med (BÔC) 5 med (AÔB) 2 med (AÔC) 5 5 248 12’ 36’’ 2 188 9’ 27’’
18
1’
5. Alternativa a. Como A 5 358 1 58’ 1 (808 53’ 2 528 27’), temos: A 5 358 1 58’ 1 (288 26’) A 5 358 1 58’ 1 288 26’
248 12’ 36’’ 2 188 9’ 27’’ 68 3’ 9’’ Logo, med (BÔC) 5 68 3’ 9’’.
24’
A 5 638 1 84’ 5 648 24’ 1°
808 2 528 288 358 1 288 638
4
1
5 3’ 27’ 26’
8. Alternativa c. 528 10’ 2 (818 50’ 2 358 10’) 5 5 528 10’ 2 (468 40’) 5 5 528 10’ 2 468 40’ 5 5 58 30’ 818 2 358 468
58’ 26’ 84’
Logo, A 5 648 24’. 6. Alternativa b. Dividindo 718 29’ 35’’ em cinco ângulos congruentes, temos: 718 29’ 35’’ 5 18 160’ 148 17’ 55’’ 89’ 35’’ 4’ 1240’’ 275’’ 0
50’ 10’ 40’
518 60’ 528 10’ 518 70’ 2 468 40’ 2 468 40’
58 30’ Logo, multiplicando 6 por 58 30’, temos: 0’ 58 30’ 30 8 180 ’ 5 338 3 6 38 308 180’ Portanto, seis vezes o valor da expressão resulta em 338.
163
9. Alternativa b. O complemento de 378 28’ 50’’ é: 908 2 378 28’ 50’’ 59’ 60’’ 898 60’ 90°°° 00 00’’’ 00 00””” 898 60’ 00’’ 898 59’ 60’’ 90 00 00 90 2 378 28’ 50’’ 2 378 28’ 50’’ 2 378 28’ 50’’
528 31’ 10’’ Sendo 908 2 378 28’ 50’’ 5 528 31’ 10’’, então, o dobro do valor será: 2’ 528 31’ 10’’ 104 8 62 ’ 20” 5 1058 2’ 20” 3 2 18 1048 62’ 20’’ Logo, o ângulo é 1058 2’ 20’’.
10. Alternativa c. Com base no enunciado, temos: Ângulo desconhecido R x Terça parte da medida do suplemento 180o 2 x . desse ângulo R 3 Como a soma desses dois ângulos é 948, escrevemos: 1808 2 x x1 5 948 3 3x 1808 2 x 2828 1 5 3 3 3 3x 1 18082 x 5 2828 2x 5 2828 2 1808 2x 5 1028 1028 x5 2 x 5 518 Logo, a medida desse ângulo é 518. 11. Alternativa d. Como os ângulos são adjacentes suplementares, temos: 5x 1 2x 1 688 5 1808 7x 5 1808 2 688 7x 5 1128 1128 x5 7 x 5 168 Sendo os ângulos 5x e 2x 1 688, obtemos: 5 ? 16 5 808 2 ? 168 1 688 5 328 1 688 5 1008 Logo, o maior desses dois ângulos é 1008. 12. Alternativa e. De acordo com a figura, temos: 508 5 x 1 208 (Ângulos opostos pelo vértice.) x 1 208 5 508 x 5 50o 2 20o
164
x 5 30o 508 1 y 5 1808 (Ângulos adjacentes suplementares.) y 5 1808 2 508 y 5 1308 Logo, y 2 x 5 1308 2 308 5 1008. 13. Alternativa d. De acordo com a figura, temos: 1508 1 x 5 1808 (Ângulos adjacentes suplementares.) x 5 1808 2 1508 x 5 308 x 1 y 5 1508 (Ângulos opostos pelo vértice.) 30 1 y 5 1508 y 5 1508 2 308 y 5 1208 Logo, o valor de y é 1208. 14. Alternativa a. Como os ângulos são opostos pelo vértice, podemos escrever: a 5 b R 3x 2 208 5 2x 1 108 3x 2 2x 5 108 1 208 x 5 308 Então, temos: a 5 3x 2 208 a 5 3 ? 308 2 208 a 5 908 2 208 a 5 708 b 5 2x 1 108 b 5 2 ? 308 1 108 b 5 608 1 108 b 5 708 Logo, o valor de a 1 b 5 708 1 708 5 1408. 15. Alternativa c. De acordo com a figura, temos: med (BÔE) 5 208 med (DÔE) 5 med (BÔE) 5 208, pois OE é bissetriz de DÔB. med (CÔD) 5 908 med (BÔC) 5 med (BÔE) 1 med (DÔE) 1 1 med (CÔD) med (BÔC)5 208 1 208 1 908 5 1308 Como os ângulos AÔC e BÔC são suplementares, temos: med (AÔC) 1 med (BÔC) 5 1808 med (AÔC) 1 1308 5 1808 med (AÔC) 5 1808 2 1308 med (AÔC) 5 508 Logo, o ângulo AÔC mede 508.
Estudando triângulos e quadriláteros 44 – Reconhecendo triângulos
6.
45 – Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo Exercícios, páginas 220 e 221. 1. Fazendo as medições dos lados dos triângulos, temos: a) Como AB AC, AB BC e AC BC, o triângulo é escaleno. b) Como AB AC BC, o triângulo é equilátero. c) Como AB AC, o triângulo é isósceles. 2. Fazendo as medições dos ângulos dos triângulos, temos: a) Todos os ângulos são menores que 908, logo o triângulo é acutângulo. b) O triângulo possui um ângulo de 908, logo o triângulo é retângulo. c) O triângulo possui um ângulo maior que 908 e menor que 1808; logo, o triângulo é obtusângulo. 3. Chamando o terceiro ângulo de x, podemos escrever: x 1 358 1 558 5 1808 x 5 1808 2 358 2 558 x 5 908 Logo, o terceiro ângulo mede 908. 4. Não, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 1808. 5. Sendo x a medida do ângulo desconhecido, podemos escrever: x 1 x 1 508 5 1808 2x 5 1808 2 508 2x 5 1308 1308 x5 2 x 5 658 Logo, a medida dos ângulos congruentes é 658.
a) Como 458, 908 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: 458 1 908 1 x 5 1808 x 5 1808 2 1358 x 5 458 b) Como x, x e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: x 1 x 1 x 5 1808 3x 5 1808 1808 x5 3 x 5 608 c) Como 608, 388 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: 608 1 388 1 x 5 1808 x 5 1808 2 988 x 5 828 d) Como x 1 1, x 1 2 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: x 1 18 1 x 1 28 1 x 5 1808 3x 5 1808 2 38 3x 5 1778 177o x5 3 x 5 598 Desafio!, página 221. Resposta em aberto. Chegou a sua vez!, página 222. Resposta em aberto.
46 – Reconhecendo quadriláteros Exercícios, página 225. 1. a) De acordo com a ilustração, os paralelogramos são as figuras 1, 3 e 4, pois apresentam lados opostos paralelos dois a dois. b) Entre os paralelogramos, o retângulo é a figura 4, pois possui quatro ângulos retos. Entre os paralelogramos, o quadrado é a figura 3, pois possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes, todos ângulos retos.
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c) Entre os quadriláteros desenhados, os trapézios são as figuras 2 e 5, pois possuem apenas dois lados paralelos. d) O trapézio retângulo é a figura 2, pois possui dois ângulos internos retos. 2. A união dos vértices C, M, L e C com segmentos de reta forma um triângulo equilátero, pois CM ML LC. A união dos vértices, A, M, L, O e A, nessa ordem, forma um quadrilátero, que é retângulo, pois possui quatro ângulos retos e os lados AM LO e ML AO. Logo, os polígonos formados são um triângulo equilátero e um quadrilátero, que é retângulo. Alternativa d. Brasil real, página 226. a) Resposta em aberto. b) Na 1a pintura: trapézio, retângulo e triângulos. Na 2a pintura: quadrados, triângulos, paralelogramos, trapézios e um círculo. c) Resposta em aberto.
47 – Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero Exercícios, páginas 227 e 228. 1. O quadrilátero em questão não é um paralelogramo, pois os lados opostos não são paralelos. 2. O paralelogramo em questão é um quadrado, pois ele é retângulo e losango. Daí, traçando uma de suas diagonais,
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o quadrado ficará dividido em dois triângulos retângulos isósceles. Logo, esses triângulos são retângulos isósceles. 3. Sabendo que o retângulo possui quatro ângulos retos, ou seja, ângulos que medem 908, e sendo a, b, c e d as medidas dos quatro ângulos internos do retângulo, vem: a 5 908, b 5 908, c 5 908 e d 5 908 Daí, temos: a 1 b 1 c 1 d 5 908 1 908 1 908 1 908 5 3608 Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 3608. 4. Utilizando um transferidor, podemos verificar as seguintes medidas para a, b, c e d: a 5 608, b 5 608, c 5 1208 e d 5 1208 Daí, temos: a 1 b 1 c 1 d 5 608 1 608 1 1208 1 1208 5 5 3608 Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 3608. Tratando a informação, página 230. Observando o mapa, temos: a) A Universidade de São Paulo se encontra delimitada por um trapézio retângulo. b) Sim, por exemplo, Rodovia Raposo Tavares e Avenida Politécnica. c) Sim, por exemplo, Rodovia Raposo Tavares, a Avenida Politécnica e a Avenida Corifeu de Azevedo Marques formam um triângulo retângulo. d) Resposta em aberto. e) Resposta em aberto. f) Não, nesse mapa não encontramos triângulos. Encontramos vários quadriláteros, entre eles o trapézio retângulo.
Razões e proporções Abertura, página 231. • De acordo com o Novo dicionário da língua portuguesa, de Aurélio Buarque de Holanda, os significados das palavras são, entre outros: Razoável conforme à razão; moderado, comedido. Arrazoar expor ou defender (causa, assunto, argumento etc.) alegando razões; censurar, repreender, arguir. Raciocinar fazer raciocínio; pensar, refletir, considerar.
48 – Razão Explorando, página 233. 1. Acertos 12 e erros 20 2 12 5 8 a) Utilizando uma fração para comparar a quantidade de acertos com o total de 4 12 3 questões, vem: 5 . 20 4 5 12 b) Transformando em decimal, 20 chegamos a 0,6. c) Comparando as questões que Renata errou com o número total de questões, 4 8 2 temos: 5 . 20 4 5 8 d) Transformando em decimal, 20 chegamos a 0,4. 3 e) Como Renata acertou das questões, 5 se a atividade valesse 10 pontos no total, a pontuação obtida por Renata 2 3 seria: 10 5 6 R 6 pontos. 51 2. Como Roberto acertou 76, vem: a) Comparando o número de acertos com o total de questões, temos: 4 76 19 5 100 4 25 b) O percentual de acertos foi de 76%. 19 c) Como Roberto acertou das 25 questões, se fossem 50 testes, ele teria 2 19 50 5 38 R 38 testes. acertado: 25 1
d) Se fossem 25 testes, ele teria acertado: 1 19 25 5 19 R 19 testes. 25 1 Exercícios, páginas 236 e 237. 1. Determinando as razões, vem: 5 1 a) 5 20 4 b) Transformando 0,5 m em cm, vem: 0,5 m 5 50 cm 10 1 Logo, a razão será: 5 . 50 5 12 4 c) 5 15 5 d) Transformando 2 kg em g, vem: 2 kg 5 2 000 g 800 2 Logo, a razão será: 5 . 2000 5 e) Transformando 1 m2 em cm2, vem: 1 m2 5 1 m 1 m 5 100 cm 100 cm 5 5 10 000 cm2 10000 2 Logo, a razão será: 5 . 5000 1 f) Transformando 200 km em cm, vem: 200 km 5 20 000 000 cm Logo, a razão será: 4 1 5 5000000 20000000 2. Do enunciado, vem: número de participantes em 2006 880 11 5 5 número de participantes em 2005 800 10 Logo, a razão entre o número de participantes em 2006 e o número de 11 participantes em 2005 é . 10 3. Do enunciado, vem: comprimento 72 9 5 5 5 0,9 medida da envergadura 80 10 Logo, a razão entre o comprimento e a envergadura desse tipo de avião é 0,9. 4. Do enunciado, vem: a) A razão entre as medidas dos lados dos quadrados é: 20 2 5 30 3 b) O perímetro do quadrado 1 é dado por: 20 cm 1 20 cm 1 20 cm 1 20 cm 5 80 cm; o perímetro do quadrado 2 é dado por: 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 5 120 cm
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c) A área do quadrado 1 é 400 cm2 (20 20 400); a área do quadrado 2 é 900 cm2 (30 30 900). Daí a razão entre a área do quadrado 1 e a área do 400 4 quadrado 2 será: 900 9
8. Do enunciado vem que a razão entre o fluxo de saída e o fluxo de entrada de água expressa a eficiência do sistema. De acordo com a tabela, podemos escrever: • Sistema I 15 1 fluxo de saída 0,33 45 3 fluxo de entrada • Sistema II fluxo de saída 10 1 0,25 fluxo de entrada 40 4
5. Tendo a equipe disputado 60 pontos e acumulado 45 pontos, podemos escrever: 45 3 pontos acumulados 0,75 60 4 pontos disputados
• Sistema III 5 1 fluxo de saída 0,125 40 8 fluxo de entrada • Sistema IV fluxo de saída 10 1 0,5 fluxo de entrada 20 2
Logo, o índice de aproveitamento dessa equipe é 0,75. 6. De acordo com o esquema, as quantidades de lajotas são: • Total de lajotas pretas 2 20 5 40, pois há 20 colunas verticais com 2 lajotas pretas cada uma. • Total de lajotas brancas 8 20 5 160, pois há 20 colunas verticais com 8 lajotas brancas cada uma. • Total de lajotas brancas e pretas 200 lajotas (160 1 40 5 200). a) Para o revestimento serão necessárias 200 lajotas. número de lajotas pretas 40 1 b) total de lajotas 200 5 c)
número de lajotas brancas 160 4 total de lajotas 200 5
d)
número de lajotas pretas 40 1 número de lajotas brancas 16 60 4
e) A razão obtida no item d significa que, para cada lajota preta, há 4 lajotas brancas. 7. Do enunciado vem que o índice de produtividade é a razão entre o lucro (L) e o número de funcionários (n). De acordo com a tabela, podemos escrever: L 68000 4250 • 2004 n 16 • 2005
L 54 000 4500 n 12
L 86400 4320 • 2006 n 20 Logo, o índice de produtividade foi maior em 2005.
168
• Sistema V 5 1 fluxo de saída 0,25 20 4 fluxo de entrada Logo, entre os sistemas testados pela indústria, o que apresenta maior eficiência é o sistema IV, pois apresenta a maior razão. Brasil real, páginas 237 e 238. 1.
a) Determinando as razões entre a população estimada de 2050 e a população estimada de 2007 para os Estados Unidos e o Brasil, temos: 410 41 • Estados Unidos 300 30 250 25 • Brasil 190 19 Logo, a maior razão é a dos Estados 41 25 Unidos, pois 1,37 1,32. 30 19 b) A razão entre a população da Índia em 2007 e a previsão da população indiana 1130 113 em 2050 será de: . 1530 153 c) De acordo com a tabela, podemos fazer o seguinte gráfico: 2000
População estimada em milhões de habitantes 2007 2050
1500 1000 500 0
Índia República Popular da China
Estados Unidos
Brasil
Editoria de arte
Daí a razão entre o perímetro do quadrado 1 e o perímetro do quadrado 2 será: 80 2 120 3
d) Observando o gráfico, podemos concluir que os países que apresentam menor crescimento populacional no período dado são: República Popular da China e Brasil. 2.
a) Calculando as razões entre a produção efetiva anual de energia elétrica e a potência instalada para as usinas, temos: • Itaipu 90000000000 50000 5 7142,85 12600000 7 • Três Gargantas 84 000000000 60000 5 4615,38 18200000 13
b) Sabendo que 1 minuto 5 60 segundos, 500 25 500 segundos serão: de 5 60 3 minuto, ou seja, 8 minutos e 20 segundos. Logo, a luz do Sol leva cerca de 8 minutos e 20 segundos para chegar à Terra. 3. Se a velocidade média do veículo é 95 km/h, a cada hora ele percorrerá 95 km. Então: a) Em 1 hora, ele percorrerá 95 km. b) Em 2 horas, ele percorrerá 190 km (2 ? 95 5 190). c) Em 2 horas e meia, ele percorrerá 237,5 km (2,5 ? 95 5 237,5).
4. Calculando a velocidade média, temos: Logo, a razão é maior na usina hidrelétrica de Itaipu. 10 distância percorrida 00 m 8,33 m / s 5 velocidade média 5 tempo gasto 12 s b) Calculando a razão entre a potência distância percorrida 10 00 m instalada e a área inundada velocidade média 5 pelo 5 8,33 m / s tempo gasto 12 s reservatório para as usinas, temos: • Itaipu 12600000 28000 5 9333,33 1350 3 • Três Gargantas 18200000 4550000 5 16789,66 1084 271 Logo, a razão é maior na usina hidrelétrica de Três Gargantas.
Logo, a velocidade média de Adriano foi aproximadamente 8,33 m/s. 5. Do enunciado, temos: • Comprimento no desenho 5 cm. • Comprimento real R R 3 m 5 (3 ? 100) cm 5 300 cm.
comprimento no desenho 5 1 5 5 5 1 60 comprimento real 300 60 comprimento no desenho 5 1 escala 5 5 5 5 1 60 comprimento real 300 60 lgumas razões especiais 1 Logo, a escala utilizada foi de ou 1 60. Exercícios, página 242. 60 escala 5
49 – A
6. Do enunciado, temos: distância percorrida 51 10 km 5 5 85 km / h tempo gasto 6 h • Comprimento real R distância percorrida 51 10 km R 2 m 5 (2 ? 100) cm 5 200 cm. 5 5 85 km / h tempo gasto 6h • Escala utilizada R 1 ; 40 Logo, a velocidade média do automóvel no • Comprimento no desenho R x percurso foi de 85 km/h. comprimento no desenho escala 5 2. comprimento real a) De acordo com as informações, a Assim, temos: luz do Sol leva 500 segundos para percorrer 150 000 000 km; assim temos: 1 x 35 5 40 200 distância percorrida 15 5 0000000 km velocidade média 5 5 1 s x 5 300000 km / s 5 x tempo gasto 500 R x 5 5 cm ou 5 5 40 200 200 200 distância percorrida 15 50000000 km a5 5 5 300000 km / s 55 x tempo gasto 500 s 35 x 5 5 → x 5 5 cm Logo, a velocidade da luz no vácuo é 300 000 km/s. Logo, a largura da miniatura é 5 cm. 1. velocidade média 5
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Brasil real, páginas 242 e 243. 1. Sabendo que distância percorrida velocidade média 5 tempo gasto e que a distância de São Paulo a Brasília é 1 150 km, podemos escrever: a) Para o tempo de 15 horas R 1150 km R 76,7 km / h 15 h b) Para o tempo de 12 horas e 30 minutos R 1150 km R 5 92 km / h 12,5 h
• Se a distância de Boa Vista a Governador Valadares é 5 064 km e o consumo de combustível foi 442 litros, temos: 5064 km 12 km / consumo médio 5 422 • Se a distância de Araraquara ao Rio de Janeiro é 694 km e o consumo de combustível 50 litros, temos: 694 km 13,9 km / consumo médio 5 50 • Se a distância de Mossoró a Vitória é 2 268 km e o consumo de combustível foi 156 litros, temos: 2268 km 14,5 km / consumo médio 5 156
2. Com base no enunciado, temos: • Comprimento real R 408 km 5 5 (408 ? 100 000) cm 5 40 800 000 cm • Comprimento no desenho R 20,4 cm comprimento no desenho 20, 4 1 escala 5 5 5d) Se a distância de São Luís a Campina comprimento real 4 0800000 2000000 Grande é 1 530 km e o tempo para omprimento no desenho 20, 4 1 percorrê-la foi 30 horas, temos: 5 ou 1 ; 2 000 000. 5 comprimento real 40800000 2000000 d 1530 km vm 5 � vm 5 5 51 km / h Logo, a escala do mapa é 1 ; 2 000 000. t 30 h 3. Logo, a velocidade média do caminhão a) Sabendo que foi 51 km/h. velocidade média 5 distância percorrida, e) Com base no enunciado, temos: tempo gasto • Comprimento real R 2 268 km 5 d ou seja, v m 5 , temos: 5 (2 268 ? 100 000) cm 5 226 800 000 cm t • De acordo com a tabela, a distância • Comprimento no desenho R 11,34 cm de Caruaru a Fortaleza é 855 km. Se o comprimento no desenho 11,34 1 escala 5 5 5 tempo de viagem é de 11 horas, temos: comprimento real 226800000 200000 855 km comprimento no desenho 11,34 1 77,7 km / h vm 5 . ou escala 5 5 5 11 h comprimento real 226800000 20000000 • De acordo com a tabela, a distância de 1 ; 20 000 000. Brasília a Picos é 1 622 km. Se o tempo de viagem é 21 horas, temos: Logo, a escala utilizada no mapa é 1 ; 20 000 000. 1662 km 79,1 km / h. vm 5 21 h f) Com base no enunciado, temos: • De acordo com a tabela, a distância • Comprimento real R 991 km 5 de Aracaju a Anápolis é 1 800 km. Se o 5 (991 ? 100 000) cm 5 99 100 000 cm tempo de viagem é 22,5 horas, temos: • Comprimento no desenho R x 1800 80 km / h. vm 5 comprimento no desenho 1 x 22,5 escala 5 → 5 comprimento real 1000 00000 991000 b) Se a distância de Palmas a Bom Jesus 3 9,91 da Lapa é 1 598 km e a velocidade média da motocicleta é 79,9 km/h, ele comprimento no desenho 1 x percorrerá 79,9 km aescala cada5 hora. Então, → 5 → x 5 9,91 → x 5 9,91 cm comprimento real 1000 00000 99100000 para percorrer 1 598 km, ele levará: 1598 km 5 20 h. Portanto, o percurso 3 9,91 79,9 h comprimento no desenho 1 x foi feito em 20 horas. escala 5 → 5 → x 5 9,91 → x 5 9,91 cm comprimento real 1000 00000 99100000 c) Com base no enunciado, temos: distância percorrida Logo, a distância no mapa entre Chuí e consumo médio 5 litros consumido s Florianópolis é 9,91 cm.
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c) Os estados com a população de até 1 milhão de habitantes são três: Acre, Roraima e Amapá. d) Resposta em aberto.
Chegou a sua vez!, página 244. Fazendo a pesquisa, concluímos que a densidade do ouro é douro 5 19,32 g/cm3 e da prata é dprata 5 10,49 g/cm3. Exercícios, página 245.
3.
a) Calculando a densidade demográfica para cada região, temos: 1. De acordo com o enunciado, temos: 14698878 hab. 14 kg 3 3,8 hab. • Norte R densidade demográfica 5 densidade 5 5 0 , 56 kg / dm 3860000 km2 25 dm3 14698878 hab. 5 3,8 hab./ km2 Logo, a densidade do bloco é 0,56densidade kg/dm3. demográfica 3860000 km2 2. De acordo com o enunciado, temos: 51019091 hab. 32,7 7 • Nordeste R densidade demográfica 5 8,1 g 3 1560000 km2 densidade 5 5 2 7 g cm , / 51019091 hab. 3 cm3 densidade demográfica 5 32,7 7 hab./ km2 2 1560000 km Logo, a densidade dessa pedra é 2,7 g/cm3. 78 472017 hab. 3. De acordo com o enunciado, temos: 84,3 h • Sudeste R densidade demográfica 5 930000 km2 4,3 g 3 78472017 hab. densidade 5 5 21,5 g /cm densidade demográfica 5 84,3 hab./ km2 0,2 cm3 930000 km2 Logo, a densidade desse metal é 21,5 g/cm3. 26973511 hab. 46,7 hab./ • Sul R densidade demográfica 5 4. De acordo com os dados dos bairros, 577 000 km2 temos: 26973511 hab. densidade demográfica 5 46,7 hab./ km2 125000 hab. 2 2 5208 ,3 hab / kmkm • Bairro A R densidade demográfica 5 577./000 2 24 km 125000 hab. 2 densidade demográfica 5 5208,3 hab.// km • Centro-Oeste R 24 km2 13020767 hab. 83800 hab. densidade demográfica 5 8, 0 hab./ km2 2 2 • Bairro B R densidade demográfica 5 5 5237 5 hab , ./k k m 1610000 km 2 16 km 13020767 hab. 83800 hab. 8, 0 hab./ km2 2densidade demográfica 5 2 densidade demográfica 5 5 5237 5 hab , ./k k m 1610000 km 2 16 km b) Resposta em aberto. Logo, o bairro B possui a maior densidade demográfica. Exercícios, página 249. Brasil real, página 246. 1. Escrevendo as frações na forma percentual, temos: 1. De acordo com o enunciado, temos: 13815 hab. 24, 4951 hab./ km2 • Bahia R densidade demográfica 5 564200 km2 a) 100 5 51% 13815 hab. densidade demográfica 24, 49 hab./ km2 5 564200 km2 6 10262000 habb) . 5 6% 5 51 ,52 hab./ km2 • Paraná R densidade demográfica 5 100 19200 km2 10262000 hab. 15, 4 densidade demográfica 5 5 51,52 hab./ km2 2 5 15, 4% c) 19200 km 100 Logo, a densidade demográfica da Bahia é 24,49 hab./km2 e a do Paraná é 51,52 hab./km2.
d)
2. De acordo com o mapa e sua legenda, temos: a) O estado brasileiro que atingiu 40 milhões de habitantes em 2004 foi São Paulo. b) Os estados com a população de 10 milhões a menos de 20 milhões de habitantes são quatro: Rio Grande do Sul, Minas Gerais, Rio de Janeiro e Bahia.
35
11 55 5 5 55% 20 100 35
e)
3 20
1 20 5 5 20% 5 100 3 20
171
f)
3 25 3 75 5 5 75% 4 100
3 25 3 0,375 100 5 0,375 5 5 37,5% g) 8 100 h)
7 0, 4375 100 5 0, 4375 5 5 43,75% 16 100
i)
2 0,666 100 0,666 5 5 66,6% 3 100
2. Escrevendo os números decimais na forma percentual, temos: 3 5 3% a) 0, 03 5 100 35 5 35% b) 0,35 5 100 142 5 142% c) 1, 42 5 100 62,5 5 62,5% d) 0,625 5 100 4,5 e) 0, 045 5 100 5 4,5% 22,8 5 22,8% f) 0,228 5 100 3. A figura está dividida em 25 partes iguais, das quais 9 partes estão pintadas de vermelho, ou seja, temos a razão 9 para 25. Daí:
34
9 36 5 5 36% 25 100 34
Logo, a área pintada de vermelho representa 36% da área total. 4. A equipe acumulou 34 pontos dos 40 pontos disputados, ou seja, uma razão de 34 para 40. Daí: 34 0,85 100 5 0,85 5 5 85% 40 100 Logo, o índice de aproveitamento dessa equipe foi 85%. 5. Do enunciado, temos a razão 5 para 60, pois 1 hora tem 60 minutos. Então: 5 0, 083 100 0, 083 5 5 8,3% 60 100 Logo, 5 minutos representam 8,3% de uma hora.
172
6. Do enunciado, temos a razão 19 para 200. Então: 19 0, 095 100 0, 095 5 5 9,5% 200 100 Logo, 19 pessoas representam 9,5% de 200 pessoas. 7. Podemos representar a quantidade de itens de plásticos recolhidos por meio da razão 250 para 400. Daí: 250 0,625 100 5 0,625 5 5 62,5% 400 100 Logo, a quantidade percentual de itens de plásticos recolhidos representa 62,5% do total. 8. De acordo com o gráfico, podemos representar a quantidade de jogadores que concluíram o Ensino Médio por meio da razão 68 para 112. Lembrar que o total de 68 jogadores que concluíram o Ensino Médio inclui os jogadores que possuem o superior incompleto. Temos, então: 68 0,60 100 0,60 5 5 60% 12 100 Logo, o percentual de jogadores que concluíram o Ensino Médio é aproximadamente 60%. Alternativa d. 9. Com base no enunciado, temos: a) Numeração cuja soma dos algarismos é 8: 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 e 80 R R 9 números. Logo, esse livro tem 9 páginas cuja soma dos algarismos é 8. b) A razão entre o número de páginas com soma dos algarismos 8 e o total de páginas é de 9 para 80. Então: 9 0,1125 100 5 0,1125 5 5 11,25% 100 80 Logo, essa numeração representa 11,25% do número total de páginas do livro. 10. Do enunciado, podemos escrever: • Total de fichas R 25 • Fichas ímpares R 13 • Fichas pares R 25 2 13 5 12 A razão entre o número de fichas pares e o total de fichas é 12 para 25. Temos, então:
34
12 48 5 5 48% 25 100 34
Logo, as fichas com números pares representam 48% do total de fichas.
11. De acordo com o gráfico, temos: a) Estudantes inscritos por área: • Engenharia → 8 1 6 5 14 • Computação → 6 1 5 5 11 Total 5 14 1 11 1 15 5 40 estudantes • Matemática → 11 1 4 5 15
Logo, o total de estudantes que se inscreveram para fazer o estágio é 40. b) A razão entre o número de estudantes de Matemática e o total de estudantes é 15 para 40. Daí: 15 0,375 100 5 0,375 5 5 37,5% 40 100
Logo, os universitários de Matemática representam 37,5% do total de inscritos. Tabela de descontos
Brasil real, página 250. 1. a) Em 1995, a participação feminina entre os pesquisadores brasileiros era 39% e em 2000 esse percentual foi para 44%. Logo, nesse período houve um aumento absoluto de 5% na participação feminina entre os pesquisadores brasileiros. b) De acordo com a tabela, a participação feminina é maior que a masculina nas áreas de: Ciências Biológicas, Ciências Humanas, Ciência da Saúde e Linguística, Letras e Artes. a) Calculando a taxa percentual de vitórias de cada piloto é: • Emerson Fittipaldi R 14 0, 0972 100 0, 0972 5 5 9,72% 100 144
23 0,113 100 0,113 5 5 11,3% 204 100
• Ayrton Senna R 41 0,255 100 0,255 5 5 25,5% 161 100 b) O melhor índice de aproveitamento foi de Ayrton Senna, com 25,5% de vitórias.
50 - Proporção Explorando, página 251. a) Fazendo a tabela, temos:
Descontos (em R$)
10
1
20
2
30
3
40
4
50
5
60
6
70
7
80
8
90
9
100
10
b) De acordo com a tabela do item anterior, temos: • Desconto para 40 litros R R$ 4,00 • Desconto para 60 litros R R$ 6,00 • Desconto para 90 litros R R$ 9,00 c) De acordo com a tabela, um desconto de R$ 10,00 corresponde a 100 litros de gasolina. d) Sendo o desconto de R$ 1,00 para cada 10 litros completos de gasolina, temos que para 420 litros de gasolina o desconto será de R$ 42,00, pois
2.
• Nelson Piquet R
Litros
3 42
1 x . 5 10 420 3 42
e) As razões estabelecidas com base na tabela são: 1 10 • Desconto de 2 reais para 20 litros R 2 1 5 10 20 • Desconto de 1 real para 10 litros R
• Desconto de 3 reais para 30 litros R 3 1 5 30 10
173
• Desconto de 4 reais para 40 litros R 4 1 R 5 40 10 • Desconto de 5 reais para 50 litros R 5 1 5 R 50 10 • Desconto de 6 reais para 60 litros R 6 1 5 R 60 10 • Desconto de 7 reais para 70 litros R 7 1 5 R 70 10
• Desconto de 8 reais para 80 litros R 8 1 R 5 80 10 • Desconto de 9 reais para 90 litros R 9 1 5 R 90 10 • Desconto de 10 reais para 100 litros R 10 1 R 5 100 10 f) Comparando as razões obtidas, 1 concluímos que são todas iguais a . 10
51 – P ropriedade fundamental das proporções Exercícios, página 256. 1. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: a) Produto dos extremos : → 8 ? 80 5 640 8 ? 80 5 20 ? 32 Produto dos meios : → 20 ? 32 5 640 Logo, os números 8, 20, 32 e 80, nessa ordem, formam uma proporção. b) Produto dos extremos : → 1,2 ? 36 5 43,2 1,2 ? 36 5 6 ? 7,2 Produto dos meios : → 6 ? 7,2 5 43,2 Logo, os números 1,2; 6; 7,2 e 36, nessa ordem, formam uma proporção. c) Produto dos extremos : → 5 ? 2, 4 5 12 5 ? 2, 4 6 ? 1,5 Produto dos meios : → 6 ?1 1,5 5 9
Logo, os números 5; 6; 1,5 e 2,4 não formam uma proporção.
2. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 5 3,5 5 8 x 5x 5 8 ? 3,5 5x 5 28
x5
150 6
x 5 25 Logo, a quarta proporcional dos números 6, 10 e 15 é o número 25.
x5
28 5 x 5 5,6
b) 0, 4 1,2 5 x 0,6
Logo, o valor de x é 5,6.
0,4x 5 0,6 ? 1,2
0,4x 5 0,72
3. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: a) 6 15 5 x 10 6x 5 10 ? 15 6x 5 150
174
x5
0,72 0, 4
x 5 1,8 Logo, a quarta proporcional dos números 0,4; 0,6 e 1,2 é o número 1,8.
4. a)
x 8 5 3 12 12x 5 3 ? 8 12x 5 24
24 x5 12 x52
x b) 10 5 7 2 ,1 7x 5 10 ? 2,1 7x 5 21
21 7 x53
x5
c) 2x 15 5 3 2 2 ? 2x 5 3 ? 15 4x 5 45 45 x5 4 x 5 11,25 d) e)
x 16 2 5 x 26 3 3 ? (x 1 6) 5 2 ? (x 2 6) 3x 1 18 5 2x 2 12 3x 2 2x 5 212 2 18 x 5 230 1 x 2 1,5 5 5 x 1 1,5 1 ? ( x 1 1,5) 5 5 ? (x 2 1,5) x 1 1,5 5 5x 2 7,5 x 2 5x 5 27,5 2 1,5 24x 5 29 ? (21) 4x 5 9 9 x5 4 x 5 2,25 1 2 x
3 4 5 1 3 3 x5 4
3 1 x5 4 6
f)
1 1 3 2
6 ? 3x 5 4 ? 1 18x 5 4 4 2 x5 5 18 9
5. Com base no enunciado, temos: 2 x 5 0,5 2 0,5x 5 2 ? 2 0,5x 5 4 4 x5 0,5 x58 Logo, serão necessários 8 ovos. 6. De acordo com o exposto, temos: 5 x 5 3 72 3x 5 5 ? 72 3x 5 360 360 x5 3 x 5 120 R x 5 120 cm ou 1,2 m Logo, a altura do bastão é 1,2 m. 7. De acordo com o exposto, temos: 1 12 5 25 x 1x 5 25 ? 12 x 5 300 R x 5 300 cm ou 3 m Logo, o comprimento real é 3 m. 8. Do exposto pelo enunciado, temos: 1 30 5 2500 x 1x 5 2 500 ? 30 x 5 75 000 R x 5 75 000 habitantes Logo, a população dessa cidade é 75 000 habitantes. 9. De acordo com o enunciado, temos: 2 x 5 5 16 5x 5 2 ? 16 5x 5 32 32 x5 5 x 5 6,4 R x 5 6,4 m/s Logo, a velocidade de A é 6,4 m/s. 10. De acordo com o enunciado, temos: 3 9 5 5 x 3x 5 5 ? 9 3x 5 45
175
45 3 x 5 15 R x 5 15 copos de água Logo, deverão ser misturados 15 copos de água. x5
11. De acordo com o enunciado, temos: • Para a medida real de 6,5 m ou 650 cm: 1 x 5 650 50 50x 5 650 ? 1 50x 5 650 650 x5 50 x 5 13 R x 5 13 cm • Para a medida real de 4,2 m ou 420 cm: 1 x 5 50 420 50x 5 420 ? 1 50x 5 420 420 x5 50 x 5 8,4 R x 5 8,4 cm Logo, as dimensões da cozinha no desenho serão 13 cm e 8,4 cm. Brasil real, página 257. 1. a) Se o interior de São Paulo tem 1 médico para 659 habitantes e a quantidade de médicos é 43 490, então a população do interior é aproximadamente: 1 43490 5 x 659 x 5 659 ? 43 490 x 5 28 659 910 R x 5 28 659 910 habitantes Logo, a população aproximada do interior de São Paulo é 28 659 910 habitantes. b) No estado de São Paulo a razão do número de habitantes por médico é 1 médico para 459 habitantes, que é maior que a dos padrões internacionais (1 médico para 1 000 habitantes). No Brasil a razão do número de habitantes por médico é 1 médico para 610 habitantes, que é maior que a dos padrões internacionais (1 médico para 1 000 habitantes). 2. A medida no mapa da Rua Maria Antônia é 3 cm e a escala do mapa é 1 ; 12 500. Daí, temos:
176
1 3 5 12500 x 1x 5 3 ? 12 500 x 5 37 500 R x 5 37 500 cm ou 375 m Logo, o comprimento real da Rua Maria Antônia é aproximadamente 375 m. 3. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 1 14,6 5 1450000 x 1x 5 14,6 ? 1 450 000 x 5 21 170 000 R x 5 21 170 000 cm ou 211,7 km Logo, a distância real entre as cidades é 211,7 km.
52 – Outras propriedades das proporções Exercícios, página 262. x 5 1. Do enunciado temos 5 e y 3 x 1 y 5 32. Aplicando as propriedades das proporções, temos: x 5 x1y 513 x1y 8 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 32, temos: 32 8 5 y 3 8y 5 3 ? 32 8y 5 96 96 y5 8 y 5 12 x 1 y 5 32 x 1 12 5 32 x 5 32 2 12 x 5 20 Logo, x 5 20 e y 5 12. a 7 5 e aplicando as propriedades b 8 das proporções, temos: a) a 1 b 5 45 a 7 a1 b 718 a1 b 15 5 → 5 → 5 b 8 b 8 b 8 Como a 1 b 5 45, temos: 45 15 5 b 8 15b 5 8 ? 45 15b 5 360
2. Sendo
b)
360 15 b 5 24 b5
a 1 b 5 45 a 1 24 5 45 a 5 45 2 24 a 5 21 Logo, a 5 21 e b 5 24. a 2 b 5 25 a 7 a2 b 728 a2 b 1 → 5 → 5 52 b 8 b 8 b 8
Como a 2 b 5 −5, temos: 5 1 2 52 b 8 2b 5 25 ? 8 2b 5 240 ? (21) b 5 40
a 2 b 5 25 a 2 40 5 25 a 5 25 1 40 a 5 35 Logo, a 5 35 e b 5 40.
3. De acordo com o exposto, temos: x y x2y x x2y x 5 → 5 → 5 5 2 522 5 3 5 Como x 2 y 5 1,5, temos: 1,5 x 5 3 5 3x 5 5 ? 1,5 3x 5 7,5 7,5 x5 3 x 5 2,5 x 2 y 5 1,5 2,5 2 y 5 1,5 2y 5 1,5 2 2,5 2y 5 21 ? (21) y51 Logo, os dois números são x 5 2,5 e y 5 1. 4. De acordo com o exposto, temos: a b c a 1 b 1c a a 1 b 1c a 5 5 → 5 → 5 8 5 2 8 1512 8 15 8 Como a soma a 1 b 1 c 5 90, temos: 90 a 5 15 8 15a 5 8 ? 90
15a 5 720 720 15 a 5 48 R a 5 48 cm
a5
Tomando as igualdades duas a duas, temos: 48 b 5 8 5 8b 5 5 ? 48 8b 5 240 240 8 b 5 30 R b 5 30 cm b5
48 c 5 8 2 8c 5 2 ? 48 8c 5 96 96 c5 8 c 5 12 R c 5 12 cm Logo, os segmentos medem a 5 48 cm, b 5 30 cm e c 5 12 cm. 5. Sendo os números x e y, temos: • Soma de dois números é 15,4 R x 1 y 5 15,4. x y • Razão R 5 7 4 Aplicando as propriedades das proporções, temos: x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 7 4 71 4 7 11 7 Como x 1 y 5 15,4, vem: 15, 4 x 5 11 7 11x 5 7 ? 15,4 11x 5 107,8 107,8 x5 11 x 5 9,8 x 1 y 5 15,4 9,8 1 y 5 15,4 y 5 15,4 2 9,8 y 5 5,6 Logo, o maior desses números é 9,8 e o menor desses números é 5,6. 6. Aplicando as propriedades das proporções, temos:
177
a)
6 x y 55 x 2 y 5 15
x 6 x2y 6 25 x2y 1 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y 5
Como x 2 y 5 15, temos: 15 1 5 y 5 y 5 5 ? 15 y 5 75 x 2 y 5 15 x 2 75 5 15 x 5 15 1 75 x 5 90
{
}
S 5 (90, 75) b) 7 x y 55 x 1 y 5 24
x 7 x1y 715 x1y 12 5 → 5 → 5 y 5 y 5 y 5 Como x 1 y 5 24, temos: 24 12 5 y 5
12y 5 5 ? 24 12y 5 120 120 y5 12 y 5 10
x 1 y 5 24 x 1 10 5 24 y 5 24 2 10 x 5 14
{
}
S 5 (14, 10) c) x y 5 3 4 x 1 y 5 35
178
x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 3 4 31 4 3 7 3 Como x 1 y 5 35, temos: 35 x 5 7 3
7x 5 3 ? 35 7x 5 105 105 x5 7 x 5 15 x 1 y 5 35 15 1 y 5 35 y 5 35 2 15 x 5 20
{
}
S 5 (15, 20) d) x y 5 5 2 y 2 x 5 5
x y y2x x y2x x → 5 → 5 5 2 5 522 2 3 2
Como y 2 x 5 6, temos: 6 x 5 3 2 3x 5 2 ? 6 3x 5 12 12 x5 3 x54
y2x56 y2456 y5614 y 5 10
S 5 (4, 10)
{
}
7. Conforme o enunciado, podemos escrever: • Suco de limão R x e água R y • Proporção R x 5 2 y 9 • Limonada R x 1 y 5 5,5 Aplicando as propriedades das proporções, temos: x 2 x1y 2 19 x1y 11 5 → 5 → 5 y 9 y 9 y 9 Como x 1 y 5 5,5, temos: 5,5 11 5 y 9 11y 5 9 ? 5,5 11y 5 49,5 49,5 y5 11 y 5 4,5 R y 5 4,5 litros de água
x 1 y 5 5,5 x 1 4,5 5 5,5 x 5 5,5 − 4,5 x 5 1 R x 5 1 litro de suco de limão Logo, serão necessários 1 litro de suco de limão e 4,5 litros de água. 8. De acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 y 5 16 R soma das idades dos dois filhos 5 x 5 R razão entre as idades 3 y Das propriedades das proporções, temos: x 5 x1y 513 x1y 8 → 5 → 5 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 16, vem: 16 8 5 y 3 8y 5 3 ? 16 8y 5 48 48 y5 8 y 5 6 R y 5 6 anos x 1 y 5 16 x 1 6 5 16 x 5 16 2 6 x 5 10 R x 5 10 anos Logo, as idades são 10 anos e 6 anos. 9. Denominando x os CDs clássicos e y os CDs de música popular, podemos escrever: x 1 y 5 45 R total de CDs x 1 R razão entre o número de CDs 5 y 4 Das propriedades das proporções, temos: x 1 x1y 114 x1y 5 5 → 5 → 5 y 4 y 4 y 4 Como x 1 y 5 45, vem: 45 5 5 y 4 5y 5 4 ? 45 5y 5 180 180 y5 5 y 5 36 R y 5 36 CDs
x 1 y 5 45 x 1 36 5 45 x 5 45 2 36 x 5 9 R x 5 9 CDs Logo, são 9 CDs clássicos e 36 CDs de música popular. 10. Chamando os bombons de nozes de x e os de frutas de y, podemos escrever: x 1 y 5 60 R total de bombons x y R razão entre os bombons 5 7 5 Das propriedades das proporções, temos: x y x1y x x1y x → 5 → 5 5 7 5 715 7 12 7 Como x 1 y 5 60, vem: 60 x 5 12 7 12x 5 7 ? 60 12x 5 420 420 x5 12 x 5 35 R x 5 35 bombons de nozes x 1 y 5 60 35 1 y 5 60 y 5 60 2 35 y 5 25 R y 5 25 bombons de frutas Logo, há nessa caixa 35 bombons de nozes e 25 bombons de frutas. 11. Chamando diesel de x e álcool de y, podemos escrever: x 2 5 R razão entre diesel e o álcool y 3 x 1 y 5 40 R total da mistura Das propriedades das proporções, temos: x 2 x1y 2 13 x1y 5 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 40, temos: 40 5 5 y 3 5y 5 3 ? 40 5y 5 120 120 y5 5 y 5 24 R y 5 24 litros de álcool
179
x 1 y 5 40 x 1 24 5 40 x 5 40 2 24 x 5 16 R x 5 16 litros de diesel Logo, há na mistura 24 litros de álcool e 16 litros de diesel.
12. Chamando a massa de alumínio de x e a massa de oxigênio de y, podemos escrever: x 7 R razão entre massas de alumínio 5 y 8 e oxigênio
x 1 y 5 51 R total de óxido de alumínio Das propriedades das proporções, temos: x 7 x1y 718 x1y 15 → 5 → 5 5 y 8 y 8 y 8 Como x 1 y 5 51, temos: 51 15 5 y 8 15y 5 8 ? 51 15y 5 408 y5
408 15
y 5 27,2 R y 5 27,2 g de oxigênio x 1 y 5 51 x 1 27,2 5 51 x 5 51 2 27,2 x 5 23,8 R x 5 23,8 g de alumínio Logo, a massa de alumínio será 23,8 g e a massa de oxigênio será 27,2 g. Brasil real, página 263. 1. a) Chamando o número de homens eleitos de x e o número de mulheres de y, podemos escrever: x 1 y 5 27 R total de unidades federativas y 1 5 R razão entre o número x 8 de mulheres eleitas e o número de homens eleitos
180
Das propriedades das proporções, temos: y1x 1 18 y1x 9 5 → 5 x 8 x 8
Como x 1 y 5 27, temos: 27 9 5 x 8 9x 5 8 ? 27 9x 5 216 216 x5 9 x 5 27 R x 5 27 homens
x 1 y 5 27 24 1 y 5 27 y 5 27 2 24 y 5 3 R y 5 3 mulheres Logo, foram eleitas 3 mulheres para o governo em 2006. b) Fazendo a pesquisa, verificamos que os estados do Brasil em que foram eleitas governadoras em 2006 foram: Rio Grande do Sul, Rio Grande do Norte e Pará. 2. O total de deputados federais é 517; desse total, 46 são mulheres. Daí a porcentagem de mulheres eleitas foi: 46 0, 089 100 0, 089 5 5 8,9% 517 100 Logo, a porcentagem de mulheres eleitas deputadas federais foi 8,9%. 3. Conforme o enunciado, temos: • Estados que não elegeram mulheres em qualquer dos cargos R 6 • Estados que elegeram 4 mulheres ou mais R 3 Logo, a razão entre os estados que elegeram 4 ou mais mulheres e os que não 3 1 elegeram mulheres é 5 . 6 2 4. Calculando 51,53% de 125 913 479: 51,53 125913479 64883216 mulheres 100 Logo, aproximadamente 64 883 216 mulheres estavam aptas a votar nas eleições de 2006. 5. De acordo com o enunciado, temos: • Não houve candidatura feminina R 9 unidades federativas • Total de unidades federativas R 27 Logo, a razão entre as unidades da Federação com nenhuma candidatura feminina e o total de unidades da 9 1 Federação é 5 . 27 3
6. Com base no enunciado, temos: E a superfície da região Sul é 199 314,9 1 281 748,5 1 95 346,2 5 • Total de candidaturas aprovadas pelo 5 576 409,6 R 576 409,6 km2. TSE R 16 038 c) A densidade demográfica é a razão • Candidaturas aprovadas de mulheres entre a população de uma região e a R 3 717 área dessa região. Daí: Daí a porcentagem de mulheres nessa 26973511 hab. 2 densidade demográfica 5 eleição foi: 2 46, 8 hab. / km 576409 6 km , 26973511 hab. 2 0,2318 100densidade demográfica 3717 5 0,2318 5 5 23,18% 2 46, 8 hab. / km 576409 6 km , 100 16038 Logo, a densidade demográfica da Logo, a porcentagem de mulheres região Sul do Brasil é 46,8 hab./km2. candidatas em 2006 foi 23,18%. d) A população da região Norte é: 669 736 1 594 587 1 3 232 330 1 Tratando a informação, páginas 264 e 265. 1 6 970 586 1 1 534 594 1 391 317 1 1 1 305 728 5 14 698 878 R 14 698 878 1. habitantes. E a área dessa região é: a) De acordo com o gráfico, o assunto 152 581,4 1 142 814,6 1 1 570 745,7 1 de maior interesse das mulheres é 1 1 247 689,5 1 237 576,2 1 224 299,0 1 Notícias do momento. 1 277 620,9 5 3 853 327,3 R 3 853 327,3 km2. b) De acordo com o gráfico, a expectativa Logo, a população e a superfície da de vida das mulheres é 74,29 anos. região Norte são, respectivamente, 14 698 878 habitantes e 3 853 327,3 km2. c) Somando as mulheres eleitas em 2004 nos cargos de vereadoras e prefeitas, e) A densidade demográfica da região temos: 6 549 1 408 5 6 957. Norte é: 14698878 hab. 2 Logo, em 2004 o total de mulheres densidade demográfica 5 2 3, 8 hab. / km 3853327 3 km , eleitas foi 6 957. 14698878 hab. 2 densidade demográfica 5 2 3, 8 hab. / km d) De acordo com o gráfico, o estado civil 3853327 3 km , da maioria das mulheres é solteira. Logo, a densidade demográfica da e) Sim, pois o número de mulheres eleitas região Norte é 3,8 hab./km2. em 2002 para deputada estadual foi f) A região que possui maior 129 e o de homens eleitos foi 906, o que superfície é a região Norte, pois corresponde a pouco mais de 7 vezes 3 853 327,3 . 576 409,6. 129. g) A região que possui a maior densidade 2. demográfica é a região Sul, pois a) Reproduzindo a tabela, temos: 46,8 . 3,8. Estado População Área (km ) Sigla Capital h) Sabemos que a densidade demográfica Acre 669 736 152 581,4 AC Rio Branco é a razão entre a população total de Amapá 594 587 142 814,6 AP Macapá uma região e a superfície dessa região. Amazonas 3 232 330 1 570 745,7 AM Manaus Logo, montando uma tabela com as Pará 6 970 586 1 247 689,5 PA Belém densidades demográficas aproximadas Paraná 10 261 856 199 314,9 PR Curitiba dos estados da região Norte e da região Rio Grande 10 845 087 281 748,5 RS Porto Alegre do Sul Sul, temos: 2
Rondônia
1 534 594
237 576,2
RO
Porto Velho
Roraima
391 317
224 299,0
RR
Boa Vista
Estados
Densidade demográfica (hab./km2)
Florianópolis
Acre
4,3
Palmas
Amapá
4,2
Amazonas
2,1
Santa Catarina Tocantins
5 866 568 1 305 728
95 346,2 277 620,9
SC TO
b) Os estados que compõem a região Sul são Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. A população dessa região é 10 261 856 1 10 845 087 1 1 5 866 568 5 26 973 511 R 26 973 511 habitantes.
Pará
5,6
Paraná
51,5
Rio Grande do Sul
38,5
Rondônia
6,5
Roraima
1,7
Santa Catarina
61,5
Tocantins
4,7
181
200d 5 3 ? 900 200d 5 2 700
i) Aproveitando os dados da tabela, elaboramos o gráfico de barras a seguir.
2700 200 d 5 13,5 Logo, o valor de d é 13,5. Alternativa a.
d5
Densidade demográfica (hab./km2)
Editoria de arte
Estados Tocantins Santa Catarina Roraima Rondônia Rio Grande do Sul Paraná Pará
4. De acordo com o enunciado, temos: 1 x 5 75 12 75x 5 1 ? 12 75x 5 12 12 x5 75 x 5 0,16 R x 5 0,16 m ou 16 cm Logo, o comprimento do muro na maquete será 16 cm. Alternativa d.
Amazonas Amapá Acre 0
10
20
30
40
50
60
70
(hab./km2)
j) Observando o gráfico, o estado que possui a maior densidade demográfica é Santa Catarina e o estado que possui a menor densidade demográfica é Roraima. Retomando o que aprendeu, páginas 266 e 267. 1. Com base no enunciado, temos: • Total de pessoas R 80 (I) • Usam óculos R 25 (II) Razão entre (II) e (I): 25 5 5 5 0,3125 80 16
distância percorrida , tempo gasto
200 m 5 8 m / s. 25 s Logo, a velocidade média desse corredor é 8 m/s. Alternativa e.
temos
d 3 e v 5 30, temos: 2 5 200 v d 3 d 3 → 5 2 5 200 900 200 (30)
182
3 ? (x 2 2) 5 1 ? (x 1 4) 3x 2 6 5 x 1 4 3x 2 x 5 4 1 6 2x 5 10 10 x5 2 x55 Logo, o quadrado de x é 25. Alternativa b. 6. Sendo x o número de homens e y o número de mulheres, temos: x 9 5 R razão entre homens e mulheres y 7 Das propriedades das proporções, temos:
2. Sabendo que
3. Se a proporção é
1 3 , aplicando a propriedade 5 x 22 x14 fundamental da proporção, temos:
x 1 y 5 320 R total de pessoas
Logo, a razão é 0,3125. Alternativa c.
velocidade média 5
5.
x 9 x1y 9 17 x1y 16 5 → 5 → 5 y 7 y 7 y 7 Como x 1 y 5 320, temos: 320 16 5 y 7 16y 5 7 ? 320 16y 5 2 240 y5
2240 16
y 5 140
x 1 y 5 320 x 1 140 5 320 x 5 320 2 140 x 5 180 Logo, o número de homens é 180. Alternativa c. 7. Com base no enunciado, temos: 1 14 5 300 x 1x 5 14 ? 300 x 5 4 200 R x 5 4 200 cm ou 42 m Logo, o comprimento real desse avião é 42 m. Alternativa b. 8. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 2x 4 5 x 23 3 3 ? 2x 5 4 ? (x 2 3) 6x 5 4x 2 12 6x 2 4x 5 212 2x 5 212 12 x 52 2 x 5 26 2 6 5 y 15 6y 5 2 ? 15 6y 5 30 y 52
30 6
x55 Logo, x2 1 y2 5 (26)2 1 (5)2 5 36 1 25 5 61. Alternativa a. 9. De acordo com o enunciado, temos: 1 9 5 50 x 1x 5 9 ? 50 x 5 450 R x 5 450 cm ou 4,5 m 1 10 5 50 y 1y 5 50 ? 10 y 5 500 R y 5 500 cm ou 5 m Logo, as dimensões reais dessa cozinha são 4,5 m e 5 m. Alternativa b.
10. Conforme o enunciado, temos: x 6 x1y 6 15 x1y 11 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y 5 Como x 1 y 5 550, temos: 550 11 5 y 5 11y 5 5 ? 550 11y 5 2 750 2750 y5 11 y 5 250 x 1 y 5 550 x 1 250 5 550 x 5 550 2 250 x 5 330 Logo, o diâmetro da cratera de Vredefort é 300 km. Alternativa c. 11. De acordo com o enunciado, podemos montar a seguinte proporção: x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 11 5 11 1 5 11 16 11 Como x 1 y 5 1448, temos: 144 x 5 16 11 16x 5 144 ? 11 16x 5 1 584 1584 16 x 5 99 R x 5 998 x5
x 1 y 5 144 99 1 y 5 144 y 5 144 2 99 y 5 45 R y 5 458 Logo, x 2 y 5 998 2 458 5 548. Alternativa c. 12. Conforme o enunciado: • Distância entre A e B R 800 m 5 0,8 km • Tempo gasto R 0,025 h 0,8 km velocidade média 5 5 32 km / h 0, 025 h Logo, a velocidade média da composição nesse trecho é 32 km/h. Alternativa a. 13. Com base no enunciado, temos: 2 x 2 15 x1y 7 x1y 5 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y
183
Como x 1 y 5 112, temos: 7 112 5 5 y 7y 5 5 ? 112 7y 5 560 560 y5 7 y 5 80 R y 5 80 mm
16. Sendo o primeiro maratonista x e o segundo, y, podemos escrever: x 2 y 5 3 R diferença entre velocidade média x 6 5 R razão entre velocidades y 5
x 1 y 5 112 x 1 80 5 112 x 5 112 2 80 x 5 32 R x 5 32 mm Logo, y − x 5 80 2 32 5 48 mm. Alternativa d. 14. Pelo enunciado, temos: a 2 a1 b 2 13 a1 b 5 → 5 → 5 5 b 3 b 3 b 3 Como a 1 b 5 908, pois o triângulo é retângulo, vem: 90 5 5 b 3 5b 5 3 ? 90 5b 5 270 270 5 b 5 54 R b 5 548 a 1 b 5 90 a 1 54 5 90 a 5 90 2 54 a 5 36 R a 5 368 Logo, essas medidas são: a 5 368 e b 5 548. Alternativa d. 15. Conforme o enunciado, podemos escrever: x R aroma de limão y R aroma de coco x 5 x1y 513 x1y 8 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 2 400 (total de frascos), temos:
184
Das propriedades das proporções, temos: 5 6 25 1 x x2y x2y → 5 → 5 5 6 5 5 y y y Como x 2 y 5 3, temos: x2y53 3 1 5 y 5 x 2 15 5 3 x 5 3 1 15 1y 5 3 ? 5 x 5 18 y 5 15 Logo, a velocidade média do maratonista mais veloz é 18 km/h. Alternativa b. 17. Sendo x a altura da ladeira e y o afastamento, podemos escrever: x x 10 x 1 R 5 10% → 5 → 5 y y 100 y 10 R declividade da ladeira
b5
2400 8 5 y 3 8y 5 3 ? 2 400 8y 5 7 200 7200 y5 8 y 5 900
Logo, foram adquiridos 1 500 frascos de detergente cujo aroma é limão. Alternativa d.
x 1 y 5 2 400 x 1 900 5 2 400 x 5 2 400 2 900 x 5 1 500
Como o afastamento é de 50 m, vem: x 1 5 50 10 10x 5 1 ? 50 10x 5 50 50 x5 10 x55Rx55m Logo, a altura da ladeira é 5 m. Alternativa b. 18. Sabemos que 13 km 5 1 300 000 cm, e conforme o enunciado podemos escrever: 1 x 5 500000 1300000 500 000x 5 1 ? 1 300 000 500 000x 5 1 300 000 x5
1300000 500000
x 5 2,6 Logo, o comprimento dessa estrada no mapa é 2,6 cm. Alternativa e.
Grandezas Proporcionais Introdução, página 269. Se um luthier demora 30 dias para fazer um violino, 30 luthiers demorariam 1 dia para fazer um violino.
53 – Números direta e inversamente proporcionais Explorando, página 270. 1. a) Sim, pois cada convidado que chega à festa deve levar duas garrafas de suco. b) Como cada convidado deve levar duas garrafas de suco, 6 convidados levaram 6 ? 2 5 12 garrafas de suco. c) Se tivesse chegado o dobro de convidados seriam 24 garrafas de suco. Pois, como o número de convidados dobrou, o número de garrafas de suco também dobrará. 2. De acordo com as cenas, temos: a) • cena 1 R cada pessoa receberá 12 pirulitos. • cena 2 R cada pessoa receberá 6 pirulitos. • cena 3 R cada pessoa receberá 3 pirulitos. b) Sim, pois aumentando o número de pessoas, diminuirá a quantidade de pirulitos que cada pessoa vai receber. c) Se há 3 pessoas e 12 pirulitos, cada pessoa receberá 4 pirulitos. d) Se o número de pessoas dobrar, cada pessoa receberá 2 pirulitos. Pois, dobrando o número de pessoas, o número de pirulitos recebidos reduzirá pela metade. Exercícios, página 275. 1. Fazendo a verificação se os números são diretamente proporcionais, temos: 4 1 9 1 7 1 a) 5 5 5 16 4 36 4 28 4 4 9 7 1 Como 5 5 5 , os números 16 36 28 4 4, 9 e 7 são diretamente proporcionais aos números 16, 36 e 28.
2 35 7 7 5 b) 175 10 2 50 7 2 , os números 7, 2 e 35 Como 50 175 não são diretamente proporcionais aos números 50, 175 e 10. 6 3 12 18 9 c) 5 5 14 7 7 4 2 3 12 Como , os números 6, 12 e 28 7 7 não são diretamente proporcionais aos números 14, 7 e 4. d)
2 1,5 3 2, 4 24 5 5 3 4 8 2,5 25 3 2 Como , os números 1,5; 2 e 2,4 8 3 não são diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2,5.
2. Do enunciado, podemos escrever: x y 32 5 5 40 72 128 Daí, temos: x 32 5 40 128 128x 5 40 ? 32 128x 5 1 280 1280 x5 128 x 5 10 y 32 5 72 128 128y 5 32 ? 72 128y 5 2 304 2304 y5 128 y 5 18 Logo, x 5 10 e y 5 18. 3. Do enunciado, podemos escrever: 3x 5 12 ? 30 5 104 Daí, temos: 3x 5 12 ? 30 3x 5 360 360 x5 3 x 5 120 10y 5 12 ? 30 10y 5 360
185
360 ⇒ y 5 36 10 Logo, os valores de x e y são respectivamente 120 e 36. y5
4. Representando as parcelas por x, y e z, podemos escrever: x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 3 7 4 3171 4 3 14 3 y 1z x x 1 y 1z x 5 ⇒ 5 14 3 14 3 Como a soma das três parcelas é igual a 420, temos: 420 x 5 14 3 14x 5 3 ? 420 14x 5 1 260 1260 x5 14 x 5 90 90 y 5 3 7 3y 5 7 ? 90 3y 5 630 630 y5 3 y 5 210 90 z 5 3 4 3z 5 4 ? 90 3z 5 360 360 z5 3 z 5120 Logo, as três parcelas são x 5 90, y 5 210 e z 5 120. 5. Representando as parcelas por a, b e c, podemos escrever: 2a 5 5b 5 4c 5 x Daí, podemos tirar: 2a 5 x ⇒ a 5 x 2 x 5b 5 x ⇒ b 5 5 x 4c 5 x ⇒ c 5 4 Como a soma das três parcelas deve ser 380, temos: a 1 b 1 c 5 380 x x x 1 1 5 380 2 5 4 10x 4x 5x 7600 20 1 20 1 20 5 20
186
10x 1 4x 1 5x 5 7 600 19x 5 7 600 7600 x5 19 x 5 400 Substituindo x, obtemos: x 400 5 5 200 2 2 x 400 b5 5 5 80 5 5 x 400 c5 5 5 100 4 4 Logo, as três parcelas são 200, 80 e 100.
a5
6. Sendo a parte de Divo x e a parte de Dalva y, temos: a) Para a divisão em partes diretamente proporcionais a 8 e 5, vem: y x1y x x1y x x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 8 15 8 13 8 8
Como a soma das três parcelas é 4 550, temos: 4 550 x 5 13 8 13x 5 8 ? 4 550 13x 5 36 400 36 400 x5 13 x 5 2 800 x 1 y 5 4 550 2 800 1 y 5 4 550 y 5 4 550 2 2 800 y 5 1 750 Logo, se a divisão for feita em partes diretamente proporcionais, Divo receberá R$ 2 800,00 e Dalva receberá R$ 1 750,00.
b) Para a divisão em partes inversamente proporcionais a 5 e 2, vem: 5x 5 2y 5 k Daí, obtemos: k k 5x 5 k ⇒ x 5 e 2y 5 k ⇒ y 5 5 2 Como x 1 y 5 4 550, temos: k k 1 5 45500 2 5 5k 45550 2k 1 5 10 10 10 2k 1 5k 5 45 500 7k 5 45 500 k 5 45500 7
x 5 6 500 Substituindo k, obtemos: k 6500 x5 5 5 1300 5 5 k 6500 y5 5 5 3250 2 2 Logo, se a divisão for feita em partes inversamente proporcionais, Divo receberá R$ 1 300,00 e Dalva receberá R$ 3 250,00.
7. Sendo x a massa do cobre e y a massa do zinco, vem: x y x1y x x1y x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 7 3 713 7 10 7 Como x 1 y 5 40, temos: 40 x 5 10 7
315 3 y 5 105 y5
45 z 5 3 2 3z 5 2 ? 45 3z 5 90 90 z5 3 z 5 30 Logo, a 1a parte do treino durou 45 minutos, a 2a parte durou 105 minutos e a 3a parte durou 30 minutos.
9. Do enunciado, podemos escrever: • cimento R x • saibro R y • areia R z Daí, temos: 10x 5 7 ? 40 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 10x 5 280 1 2 4 1 12 1 4 1 7 1 280 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x x5 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 10 1 2 4 1 12 1 4 1 7 1 Como x 1 y 1 z 5 420, pois é massa total x 5 28 da mistura, vem: x 1 y 5 40 420 x 5 28 1 y 5 40 7 1 y 5 40 2 28 7x 5 1 ? 420 7x 5 420 y 5 12 420 Logo, serão necessários 28 kg de cobre e x5 7 12 kg de zinco. x 5 60 8. Do enunciado, podemos escrever: 60 y 5 • preparação física R x 1 2 • treino de jogadas R y y 5 2 ? 60 • “racha” entre os jogadores R z y 5 120 Daí, temos: 60 z x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 3 5 7 5 2 ⇒ 31712 5 3 ⇒ 1 4 12 3 z 5 4 ? 60 z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 z 5 240 2 31712 3 12 3 Logo, serão necessários 60 kg de cimento Como x 1 y 1 z 5 180, pois é o tempo total para o preparo da mistura. do treino, vem: 180 x 10. Do enunciado, podemos escrever: 5 12 3 • transporte R x 12x 5 3 ? 180 • compras R y 12x 5 540 • hospedagem R z 540 x5 Daí, temos: 12 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x x 5 45 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 3 2 51312 5 10 5 45 y x 5 y 5 z ⇒ x 1 y 1z 5 x ⇒ x 1 y 1z 5 x 5 3 2 51312 5 10 5 3 7 5 3y 5 7 ? 45 Como x 1 y 1 z 5 3 000, pois é o total 3y 5 315 separado, vem:
187
3000 x 5 10 5 10x 5 5 ? 3 000 10x 5 15 000 15000 x5 10 x 5 1 500 1500 y 5 5 3 5y 5 3 ? 1 500 5y 5 4 500 4500 y5 5 y 5 900 1500 z 5 5 2 5z 5 2 ? 1 500 5z 5 3 000 3000 z5 5 z 5 600 Logo, separei R$ 1 500,00 para transporte, R$ 900,00 para compras e R$ 600,00 para hospedagem. 11. Do enunciado, podemos escrever: • prêmio de Adriano R x • prêmio de Beto R y • prêmio de Carlos R z Daí, temos: 5x 5 8y 5 4z 5 k Logo, podemos tirar: k k ; 8y 5 k ⇒ y 5 ; 5x 5 k ⇒ x 5 8 5 k 4z 5 k ⇒ z 5 4 Como o prêmio é de 460 reais, temos: x 1 y 1 z 5 460 k k k 1 1 5 460 5 8 4 8k 5k k 18 400 1 1 5 40 40 40 40 8k 1 5k 1 10k 5 18 400 23k 5 18 400 18 400 k5 23 k 5 800 Substituindo k, obtemos: k 800 x5 5 5 160 5 5
188
k 800 5 5 100 8 8 k 800 z5 5 5 200 4 4 y5
Portanto, Adriano receberá R$ 160,00; Beto receberá R$ 100,00 e Carlos receberá R$ 200,00. Brasil Real, página 276. a) Sendo a área do parque x e 95 representando 95% por , temos: 100 95 8400 100 5 x 95x 5 100 ? 8 400 95x 5 840 000 840000 x5 95 x 8842 ,1 Logo, a área aproximada do parque é de 8 842,1 metros quadrados. b) Chamando de x a quantidade de cajus produzidos por um dos cajueiros e y a quantidade de cajus do outro cajueiro, vem: x y x1y x x1y x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 3 497 3 1 497 3 500 3 Como os dois cajueiros produzem 80 000 frutos, temos: 80000 x 5 500 3 500x 5 3 ? 80 000 500x 5 240 000 240000 x5 500 x 5 480 x 1 y 5 80 000 480 1 y 5 80 000 y 5 80 000 2 480 y 5 79 520 Logo, cada árvore produz aproximadamente 480 e 79 520 cajus. c) Resposta em aberto. Exercícios, páginas 280 e 281. 1. De acordo com a tabela, vem: 4 2 a) 5 10 5 600 2 b) 5 1500 5 c) As razões dos itens a e b são iguais.
d) Como as razões dos itens a e b são iguais, as grandezas são diretamente proporcionais. 2. De acordo com a tabela, vem: 2 1 a) 5 6 3 15 3 b) 5 5 1 c) As razões dos itens a e b são inversas. d) Como as razões dos itens a e b são inversas, as grandezas são inversamente proporcionais. 3. a) Sendo o comprimento do retângulo 40 cm e a largura 8 cm, temos: A 5 8 ? 40 5 320 cm2 Logo, a área do retângulo é 320 cm2. b) Se a largura for 6 cm, a área do retângulo será: A 5 6 ? 40 5 240 cm2 Logo, se a largura do retângulo for 6 cm a área será de 240 cm2. c) Se a largura passar de 8 cm para 6 cm, 8 4 5 a razão será: 6 3 320 4 5 d) As áreas variam na razão: 240 3 e) As razões dos itens c e d são iguais. f) Podemos verificar nos itens c e d que as razões são iguais, logo as grandezas são diretamente proporcionais. 4. De acordo com a tabela, temos: 150 3 5 a) 200 4 300 3 5 b) 400 4 c) A razões dos itens a e b são iguais. d) Podemos verificar nos itens a e b que as razões são iguais, logo as grandezas são diretamente proporcionais. 5. De acordo com a tabela, temos: 60 6 a) 5 50 5 80 5 b) 5 96 6 c) As razões dos itens a e b são inversas. d) Podemos verificar nos itens a e b que as razões são inversas, logo as grandezas são inversamente proporcionais.
Desafio!, página 282. 1. De acordo com o gráfico, as grandezas
envolvidas são: consumo de gasolina (em litros) e distância percorrida (em quilômetros). 2. De acordo com o gráfico, as grandezas são diretamente proporcionais, porque, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... e assim por diante. 3. De acordo com o gráfico, com 1 litro de gasolina, o carro percorre 15 km, como as grandezas são diretamente proporcionais, com 7 litros de gasolina, Fabrício percorrerá 7 ? 15 5 105 km. 4. Como as grandezas são diretamente proporcionais, se o carro percorrer 90 56 90 quilômetros ele consumirá 15 litros de gasolina, pois a cada 15 km ele consome 1 litro de gasolina.
54 – Regra de três simples Exercícios, páginas 284 e 285. 1. Representando por x o tempo procurado, temos: Tempo
Clientes
5
3
x
36
Se duplicarmos o atendimento, o tempo também duplicará. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: 5 x 5 3 36 3x 5 5 ? 36 3x 5 180 180 x5 3 x 5 60 Logo, Onofre vai levar 60 minutos ou 1 hora para atender os 36 clientes. 2. Representando por x a altura do edifício, temos: Altura (m)
Sombra (m)
2
0,8
x
12
Se duplicarmos a sombra, também duplicará a altura. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
189
Daí, temos: 0,7 x 5 600 5 ⇒ 100x 5 0,7 ? 8 000 ⇒ 100x 5 5 600 ⇒ x 5 5 56 2 x 100 8 000 100 5 0,8 12 Portanto, serão retidos 56 gramas de 0,8x 5 2 ? 12 poeira. 0,8x 5 24 6. Representando por x o comprimento 24 x5 5 30 verdadeiro do fio, temos: 0,8 Portanto, a altura do edifício é de 30 m. 3. Representando por x o número de páginas procurado, temos:
Corda (m)
Fio (m)
2
40
2,05
x
Duplicando o comprimento do fio, também duplicará o comprimento da 30 x corda. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Se duplicarmos o número de linhas, a Daí, temos: quantidade de páginas cairá pela metade. 2 2, 05 82 5 ⇒ 2x 5 40 ? 2, 05 ⇒ 2x 5 82 ⇒ x 5 5 41 Logo, as grandezas são inversamente 40 x 2 proporcionais. 2 2, 05 82 5 ⇒ 2x 5 40 ? 2, 05 ⇒ 2x 5 82 ⇒ x 5 5 41 Daí, temos: 40 x 2 30x 5 45 ? 280 Portanto, o comprimento verdadeiro do fio 30x 5 12 600 é 41 m. 12 600 x5 7. Representando por x a concentração de 30 álcool procurada, temos: x 5 420 Concentração Portanto, seriam necessárias 420 páginas. Lata de cerveja (gramas por litro) Linhas
Páginas
45
280
4. Representando por x o comprimento procurado, temos: Largura (cm)
Comprimento (cm)
3
4
10,5
x
1
0,3
5
x
Duplicando a ingestão de cerveja, também duplicará a concentração de álcool no sangue. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: 1 5 5 ⇒ x 5 5 ? 0,3 ⇒ x 5 1,5 0,3 x
Duplicando a largura, também duplicará o comprimento. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: Portanto, a concentração de álcool no 3 10,5 42 5 ⇒ 3x 5 4 ? 10,5 ⇒ 3x 5 42 ⇒ x 5 5 14 sangue seria de 1,5 grama por litro. x 3 42 4 ,5 ⇒ 3x 5 42 ⇒ x 5 5 14 8. Representando por x a quantidade de dias 3 procurada, temos: Portanto, o comprimento da foto ampliada Comprimento (c) Dias será de 14 cm. 5. Representando por x a massa de poeira procurada, temos:
600
x
180
6
Duplicando o comprimento da rua, também duplicarão os dias trabalhados. x 8 000 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Duplicando o volume, também duplicará Daí, temos: o ar filtrado. Logo, as grandezas são 600 180 3 600 5 ⇒ 180x 5 6 ? 600 ⇒ 180x 5 3 600 ⇒ x 5 5 20 diretamente proporcionais. x 6 180 Daí, temos: 3 600 0,7 x 600 5 180 ⇒ 180x 5 6 ? 600 ⇒ 180x 5 3 600 ⇒5x600 5 5 56 5 20 5 ⇒ 1006x 5 0,7 ? 8 000 ⇒ 100x 5 5 600 ⇒ x 5 x 100 8 000 100 180
190
Massa (gramas)
Volume (m3)
0,7
100
Para concluir a obra serão necessários 20 dias. Como já foram trabalhados 6 dias, faltam 14 dias para concluir a obra. Portanto, o trabalho estará terminado em 14 dias. 9. Representando por x a velocidade média procurada, temos: Velocidade (km/h)
Tempo (min)
75
40
x
50
Duplicando o tempo, a velocidade cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 3000 50x 5 75 ? 40 ⇒ 50x 5 3000 ⇒ x 5 5 60 50
12. Representando por x a quantidade de caminhões procurada, temos: Caminhões
Capacidade (m3)
16
5
x
4
Duplicando a capacidade dos caminhões, a quantidade de caminhões cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 80 4x 5 5 ? 16 ⇒ 4x 5 80 ⇒ x 5 5 20 4 Portanto, seriam necessários 20 caminhões.
13. Como a velocidade média do piloto é de 153 km/h, temos que o piloto percorre 153 km a cada hora. Transformando 153 km para metros, vem 153 000 m. Daí, temos: Portanto, a velocidade média do ônibus distância percorrida 15 53000 será de 60 km/h. velocidade média 5 5 5 42,5 m/s tempo gasto 3600 10. Representando por x a distância de distância percorrida 15 53000 velocidade 5 5 42,5 m/s Brasília a Salvador, nomédia mapa,5temos: tempo gasto 3600 Real (km) Desenho (cm) Logo, a velocidade média do piloto foi de 1 600 24 42,5 m/s. 1 200
x
14. De acordo com o enunciado, o problema Duplicando a distância real, a distância no é inversamente proporcional, pois desenho duplicará. Logo, as grandezas são duplicando a quantidade de operários o diretamente proporcionais. tempo cairá pela metade. Representando Daí, temos: por x o tempo procurado, temos: 1600 1200 28800 5 ⇒ 1600x 5 1200 ? 24 ⇒ 1600x 5 28800 ⇒ x 5Operários 5 18 Dias 24 x 1 600 16 48 28800 30 x 0x 5 1200 ? 24 ⇒ 1600x 5 28800 ⇒ x 5 5 18 1 600 30x 5 25 ? 48 Portanto, no mapa a distância que separa 30x 5 1 200 Brasília de Salvador é de 18 cm. 1 200 x5 11. Representando por x a quantidade de 30 água procurada, temos: x 5 40 Comprimento (m)
Volume (litros)
8
45 000
10
x
Logo, a cobertura estaria pronta em 40 dias.
15. Como a velocidade do piloto é de 25 m/s, Duplicando o comprimento, também temos que o piloto percorre 25 metros a duplicará o volume. Logo, as grandezas são cada segundo. Transformando 25 metros diretamente proporcionais. para quilômetros, vem 0,025 km, e Daí, temos: transformando 1 segundo em hora, vem 8 10 450000 1 5 ⇒ 8x 5 10 ? 45000 ⇒ 8x 5 450000 ⇒ x 5 5 56250 45000 x 8 hora 3 600 10 450000 Daí, temos: 5 ⇒ 8x 5 10 ? 45000 ⇒ 8x 5 450000 ⇒ x 5 5 56250 x 8 3 600 0, 025 velocidade 5 5 0, 025 ? 5 90 km/h 1 1 Portanto, cabem na piscina 56 250 litros de 3 600 água. Logo, a velocidade é de 90 km/h.
191
16. De acordo com o enunciado, o problema 1,5 10,5 556,5 5 ⇒ 1,5x 5 53 ? 10,5 ⇒ 1,5x 5 556,5 ⇒ x 5 5 371 é inversamente proporcional, pois 53 x 1,5 duplicando o tempo cairá 1,5a velocidade 10,5 556,5 5 ⇒ 1,5x 5por 53 ? 10 ,5 ⇒ 1,5x 5 556,5 ⇒ x 5 5 371 pela metade. Representando x o 53 x 1,5 tempo procurado, temos: Logo, o comprimento da sombra seria de Velocidade (km/h) Tempo (horas) 371 cm ou 3,71 m. 450
4
800
x
800x 5 4 ? 450 800x 5 1 800 1 800 x5 800 x 5 2,25 Logo, o avião levaria 2,25 h ou 2h15min. 17. De acordo com o enunciado, o problema é diretamente proporcional, pois duplicando o comprimento do muro também duplicará o tempo. Como já foram construídos 14 m do muro, ainda faltam 35 m, e sendo x o tempo para construir o restante do muro, temos:
20. De acordo com o enunciado, o problema é inversamente proporcional, pois duplicando a largura o comprimento cairá pela metade. Sendo x o comprimento procurado, temos: Comprimento (m)
Largura (m)
50
1,20
x
3
60 ⇒ x 5 20 3 Logo, o comprimento da outra tela é de 20 m.
3x 5 50 ? 1,2 ⇒ 3x 5 60 ⇒ x 5
21. De acordo com a tabela, o problema é diretamente proporcional, pois duplicando a área pintada também Comprimento (m) Tempo (dias) duplicará o tempo e a quantidade de tinta 14 4 usados. Sendo x o tempo procurado e y a 35 x quantidade de tinta gasta, temos para o tempo: 14 35 140 5 ⇒ 14x 5 4 ? 35 ⇒ 14x 5 140 ⇒ x 5 5 10 4 x 14 Área (m ) Tempo (h) 10 2 140 14x 5 4 ? 35 ⇒ 14x 5 140 ⇒ x 5 5 10 200 x 14 10 200 400 Logo, o restante do muro será construído 5 ⇒ 10x 5 2 ? 200 ⇒ 10x 5 400 ⇒ x 5 5 40 2 x 10 em 10 dias. 2
200 400 18. De acordo com 10 o enunciado, 5 ⇒ 10oxproblema 5 2 ? 200 ⇒ 10x 5 400 ⇒ x 5 5 40 2 x 10 é diretamente proporcional, pois duplicando a área também duplicará Para a quantidade de tinta, temos: a quantidade de azulejos. Sendo x a Área (m ) Tempo (ℓ) quantidade de azulejos procurada, temos: 10 1 2
Área (m2)
Quantidade de azulejos
3 ? 6,5 5 19,5
390
200
y
10 200 200 5 ⇒ 10y 5 1 ? 200 ⇒ 10y 5 200 ⇒ y 5 5 20 1 y 10 15 x 10 200 200 5 ⇒ 10y 5 1 ? 200 ⇒ 10y 5 200 ⇒ y5 5 20 19,5 15 5 850 10 5 ⇒ 19,15x 5 15y? 390 ⇒ 19,5x 5 5 850 ⇒ x 5 5 300 390 x 19Logo, ,5 o tempo será de 40 horas e serão 5 850 gastos 20 litros de tinta. 15 ? 390 ⇒ 19,5x 5 5 850 ⇒ x 5 19,5 5 300 Alternativa d. 19. De acordo com o enunciado, o problema é diretamente proporcional, pois Brasil Real, página 286. duplicando o comprimento da tábua 1. De acordo com a tabela, vem: duplicará sua sombra. Sendo x o a) Se 100 gramas de açaí tem 250 comprimento da sombra procurada, temos: quilocalorias, então 50 gramas terá 125 Comprimento (m) Sombra (cm) quilogramas, pois se a massa caiu pela 1,5 53 metade as calorias também caíram 10,5 x pela metade.
192
b) As frutas apresentadas na tabela que contêm menor quantidade de: • carboidrato R caju • proteínas R guaraná e maracujá • quilocalorias de energia R caju e pitanga • gordura R maracujá e pitanga
Logo, o suco continha 4,2 g de gordura. f) Chamando de x a quantidade de proteínas que o atleta deve ingerir e transformando 65 kg para gramas, temos: Consumo (g)
Massa do corpo (g)
1,5
1 000
x 65 000 c) Sendo x a quantidade de carboidratos procurada no abacaxi e y a quantidade 1,5 x 9 5 ⇒ 1000x 5 1,5 ? 65000 ⇒ 1000 x 5 97500 ⇒ x 5 procurada no guaraná, vem: 1000 65000 1,5 x 97 500 Carboidratos 5 ⇒ 1000x 5 1,5 ? 65000 ⇒ 1000x 5 97500 ⇒ x 5 5 97,5 Consumo (gramas) (gramas) 1000 65000 1000 100 12 Logo, um atleta de 65 kg deve ingerir 120 x 97,5 g de proteínas diariamente. 100 120 1 440 5 ⇒ 100x 5 12 ? 120 ⇒ 100x 5 1 440 ⇒ x 5 Chamando 5 14, 4 de y a quantidade de polpa 12 x 100 de cupuaçu necessária para ingerir 0 1 440 97,5 g de proteína, temos: ⇒ 100x 5 12 ? 120 ⇒ 100x 5 1 440 ⇒ x 5 5 14, 4 100
Para a polpa de guaraná: Consumo (gramas)
Consumo (g)
Carboidratos (gramas)
Proteínas (g)
100
1,7
y
97,5
100 y 9 750 5 ⇒ 1,7y 5 100 ? 97,5 ⇒ 1,7y 5 9 750 ⇒ y 5 5 1 , 7 97 , 5 1,7 80 y 100 y 9 750 100 80 5 ? 17,5⇒⇒1100 ,7y 5 100 ? 97,⇒ 5⇒ 1,71y400 5 9 750 5 ⇒ 100 y5 1 400 y5 5 14⇒ y 5 1,7 5 735 1,y75 8097 ,5 17,5 y 100 1 400 Logo, seria necessária a ingestão de ⇒ 100y 5 80 ? 17,5 ⇒ 100y 5 1 400 ⇒ y 5 5 14 5 735 g de cupuaçu. 100 Logo, foram consumidos 14,4 g de carboidratos no abacaxi e 14 g de carboidratos na polpa de abacaxi, ou seja, a pessoa consumiu 14,4 1 14 5 28,4 g de carboidratos. Exercícios, páginas 288 e 289. d) Sendo x a quantidade de proteínas ingeridas com o consumo do cupuaçu, 1. Indicando por x a quantidade de dias vem: procurada, podemos escrever: 100
17,5
55 – Regra de três composta
Consumo (gramas)
Proteínas (gramas)
Dias
Táxis
Consumo ()
100
1,7
30
25
100 000
7
x
x
36
240 000
100 7 132,6 5 ⇒ 100x 5 78 ? 1,7 ⇒ 100x 5 132,6 ⇒ x 5 As grandezas 5 1,326 número de táxis e quantidade 1,7 x 100 de dias são inversamente proporcionais e 132,6 as grandezas número de dias e consumo de x 5 78 ? 1,7 ⇒ 100x 5 132,6 ⇒ x 5 5 1,326 100 combustível são diretamente proporcionais. Logo, a pessoa ingeriu 1,326 g ou Daí, temos: 1 326 mg de proteínas. 30 36 100 000 30 3 600 000 5 ? ⇒ 5 x 25 240 000 x 6 000 000 e) Sendo x a quantidade de gordura contida na polpa de açaí, temos: 3 600 000x 5 30 ∙ 6 000 000 Consumo (g) Gorduras (g) 3 600 000x 5 180 000 000 100 12 180 000 000 x5 35 x 3 600 000 100 35 420x 5 50 5 ⇒ 100x 5 12 ? 35 ⇒ 100x 5 420 ⇒ x 5 5 4,2 12 x 100 Logo, uma frota de 36 táxis consumiria 420 240 000 , de combustível em 50 dias. 00x 5 12 ? 35 ⇒ 100x 5 420 ⇒ x 5 5 4,2 100
193
2. Indicando por x a quantidade de litros de água desperdiçados, podemos escrever: Gotas por minuto
Dias
Água ()
20
30
100
30
50
x
As grandezas número de dias e gotas por minuto são diretamente proporcionais à quantidade de água desperdiçada. Daí, temos: 20 2 30 1 100 2 100 ? 5 ⇒ 5 x x 5 30 1 50 5 2x 5 5 ∙ 100 2x 5 500 500 x5 2 x 5 250 Logo, foram desperdiçados 250 litros de água. 3. Indicando por x o número procurado, podemos escrever: Altura (m)
Comprimento (m)
Dias
2,5
30
24
2
25
x
As grandezas altura do muro e comprimento do muro são diretamente proporcionais ao número de dias. Daí, temos: 2,5 30 15 24 37,5 24 ? 5 → 5 25 x 25 x 21 37,5x 5 25 ∙ 24 37,5x 5 600 600 x5 37,5 x 5 16 Logo, o grupo de operários ergueria o muro em 16 dias. 4. Chamando a quantidade de operários de x, podemos escrever: Operários
Horas
Calçados
16
8
240
x
10
600
A grandeza horas trabalhadas é inversamente proporcional a número de operários e a grandeza pares de calçados é diretamente proporcional a número de operários. Daí, temos:
30x 5 16 ∙ 60 30x 5 960 960 x5 30 x 5 32 Logo, serão necessários 32 operários. 5. Chamando o número de dias de x, podemos escrever: Digitadores
Páginas
Dias
6
720
18
8
800
x
As grandezas número de digitadores e número de dias são inversamente proporcionais; as grandezas número de páginas e número de dias são diretamente proporcionais. Daí, temos: 1 8 720 120 18 120 18 ? 5 → 5 x x 100 6 1 800 100 120x 5 18 ∙ 100 120x 5 1 800 1 800 x5 120 x 5 15 Logo, em 15 dias 8 digitadores prepararão 800 páginas. 6. Sendo x o tempo procurado, podemos escrever: Velocidade (km/h)
Horas por dia
Dias
60
8
6
80
9
x
As grandezas velocidade e dias são inversamente proporcionais; as grandezas número de horas por dia e dias são inversamente proporcionais. Daí, temos: 10
80 9 6 90 6 ? 5 → 5 x x 60 60 81 90x 5 6 ∙ 60 90x 5 360 360 x5 90 x54 Logo, o mesmo percurso seria feito em 4 dias. 7. Sendo x a quantidade de caixas que o outro funcionário leva, podemos escrever: Caixas por vez
Tempo (min.)
Total de caixas
4
3
240
6
5
x
30
16 10 1 240 16 30 ? 5 → 5 30 x x 81 600 60
194
As grandezas número de caixas por vez e total de caixas são diretamente proporcionais;
as grandezas tempo e total de caixas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 4 5 240 20 240 ? 5 → 5 6 3 18 x x 20x 5 18 ∙ 240 20x 5 4 320 4320 x5 20 x 5 216 Logo, o funcionário mais devagar leva 216 caixas. Desafio!, página 289. a) Do enunciado temos que, o total de cimento gasto para construir a laje de 6 cm de espessura foi de 30 ? 40 5 5 1 200 kg de cimento. Sendo x a quantidade de cimento gasto em uma laje de 5 cm de espessura, temos: Espessura (cm)
Aumento (kg)
6
1 200
5
x
proporcionais. Daí, temos: 180
100 28 1260 100 5040 5 ? → 5 630 630 x x 71 5 040x 5 100 ∙ 630 5 040x 5 63 000 63000 x5 5040 x 5 12,5 Logo, 12,5 milhões de celulares sendo carregados simultaneamente utilizam a energia que pode abastecer por uma semana 630 residências. 2. Chamando de x o número de livros procurado, temos: Minutos por mês
Usuários (milhões)
Livros
Páginas
80
100
4 900 000
475
16
2
x
95
As grandezas minutos por mês, número de usuários e quantidade de livros são inversamente proporcionais. Enquanto as grandezas número de páginas e quantidade de livros são inversamente proporcionais. Daí, temos: 40 25 80 100 95 4900000 95000 4900000 ? ? → 5 5 x 475 1900 x 16 4 21
As grandezas espessura e cimento são diretamente proporcionais, pois dobrando a espessura da laje também 40 25 dobrará a quantidade de cimento 80 100 95 4900000 95000 4900000 ? ? → 5 5 utilizado. x 475 1900 x 16 4 21 Daí, temos: 95 000x 5 1 900 ∙ 4 900 000 6 5 6000 5 ⇒ 6x 5 5 ? 1200 ⇒ 6x 5 6000 ⇒ x 5 5 1000 5 9 310 000 000 95 000x 1200 x 6 9310000000 6000 x5 ⇒ 6x 5 5 ? 1200 ⇒ 6x 5 6000 ⇒ x 5 5 1000 95000 6 x 5 98 000 Logo, se a laje fosse de 5 cm de Logo, seriam necessários 98 000 livros. espessura seria economizado 1 200 2 1 000 5 200 kg de cimento. b) Se cada saco de cimento contivesse Tratando a Informação, páginas 290 e 291. 50 kg e a laje tivesse 5 cm de 1000 5 20 espessura, seriam utilizados 1. 50 sacos de cimento, pois a laje precisaria a) Em cada 100 entrevistados, 18 de 1 000 kg de cimento. afirmaram trabalhar em empresas que estimulam a amizade entre funcionários. Brasil Real, página 290. Para 300 000 entrevistados, 54 000 fariam tal afirmação, pois 1. Sendo x o número de celulares, podemos 18 escrever: 18% de 300000 → ? 300000 5 54 000 100 Número de celulares (milhões)
Dias
Residências
100
28
1 260
x
7
630
As grandezas número de celulares, número de dias e residências são diretamente
b) Do resultado, temos que menos de uma em cinco pessoas considera-se amiga do chefe. Sendo x o número de pessoas que se considera amiga do chefe em um grupo de 55 pessoas, temos:
195
Logo, menos de 11 pessoas se consideram amigas do chefe em um grupo de 55 pessoas. c) Calculando um terço de 210 1 ? 210 5 70 funcionários, temos: 3 funcionários. Como a empresa promoveu atividades para estimular a amizade entre seus colaboradores e de acordo com o quadro I, o número máximo de empregados satisfeitos que a empresa deverá esperar será: (50% de 70) 70. Daí, temos: 50 100 ? 70 5 35 Logo, o número máximo de empregados satisfeitos será de 35 1 70 5 105 funcionários. 2.
Se 130 crianças morrem, 5 000 2 130 5 5 4 870 crianças sobrevivem. Logo, para 5 000 nascimentos no Brasil espera-se que 4 870 crianças sobrevivam. c) Espera-se que sobrevivam menos crianças, pois a tabela mostra que a taxa de mortalidade nesse município é maior que a taxa de mortalidade nacional. Espera-se que sobrevivam 12 crianças a menos, em cada 1 000 nascimentos.
1 x 55 5 ⇒ 5x 5 55 ⇒ x 5 5 11 5 55 5
3. a) Sendo x o tempo procurado, podemos escrever: Brasileiro
Tempo (min.)
Mês
1
80
1
3
x
5
Como as grandezas número de brasileiros e meses são diretamente proporcionais à grandeza tempo, vem: 1 1 80 1 80 ? 5 → 5 x 15 x 3 5 x 5 15 ∙ 80 ⇒ x 5 1 200 min ou 20 h Logo, os brasileiros falam, em média, 1 200 min ou 20 h ao celular durante 5 meses. b) Representando por x a quantidade de megawatts/hora procurada, temos:
a) De acordo com a tabela, para cada 1 000 nascimentos, em São Francisco do Conde, 38 crianças morrem. Duplicando o número de nascimentos também duplicará o número de crianças mortas. Daí, para 2 000 nascimentos, espera-se que 76 crianças morram, ou seja, 1 924 crianças sobrevivam, pois 2 000 2 76 5 Megawatts/hora Celulares (milhões) 5 1 924. 315 100 Logo, para 2 000 nascimentos espera-se x 2 000 que 1 924 crianças sobrevivam. As grandezas megawatts/hora e Daí, para 3 500 nascimentos e sendo x o número de celulares são diretamente número de crianças mortas, temos: proporcionais. 38 x 133000 5 ⇒ 1000x 5 38 ? 3500 ⇒ 1000x 5 133000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 133 1000 3500 1000 Daí, temos: x 315 x ⇒ 1000x 5 133000 ⇒ x 5 133000 ⇒ x 5 133 ⇒ 1000x 5 38 ? 3500 5 ⇒ 100x 5 315 ? 2000 ⇒ 100x 5 630000 ⇒ 3500 1000 100 2000 315 x 630000 5 ⇒ 100x 5 315 ? 2000 ⇒ 100x 5 630000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 6300 megawatts / hora Se 133 crianças morrem, 100 3 500 20002 133 5 100 630000 5 3 367 crianças sobrevivem. ⇒x5 ⇒ x 5 6300 megawatts / hora 100 Logo, para 3 500 nascimentos espera-se que 3 367 crianças sobrevivam. Sendo y a quantidade de residências b) De acordo com a tabela, para cada procurada, temos: 1 000 nascimentos no Brasil, 26 Megawatts/hora Residências crianças morrem. Daí, para 5 000 315 1 260 nascimentos e sendo x o número de 6 300 y crianças que se espera que morram, temos: As grandezas megawatts/hora e 26 x 0 número13000 de residências são diretamente 5 ⇒ 1000x 5 26 ? 5000 ⇒ 1000x 5 130000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 130 proporcionais. 1000 5000 1000 x 130000 Daí, temos: ⇒ 1000x 5 26 ? 5000 ⇒ 1000x 5 130000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 130 5000 1000
196
k k 315 6300 x 5⇒ ⇒ 200 5 ⇒ k 5 2 ? 200 ⇒ k 5 400 5 ⇒ 315y 5 1260 ? 6300 ⇒ 315y 5 7938000 2 2 1260 y k k 5 400, 400temos: Sendo 300 7938000 y5 ⇒ y5 ⇒ y 5 80 ⇒ 315y 5 1260 ? 6300 ⇒ 315y 5 7938000 ⇒ y 5 ⇒ y 5 25200 residências 5 5 y 315 k 400 y5 ⇒ y5 ⇒ y 5 80 7938000 5 5 ⇒ y5 ⇒ y 5 25200 residências 315 k 400 z5 ⇒ z5 ⇒ z 5 100 4 4 k 400 Logo, seriam abastecidas 25 200 z5 ⇒ z5 ⇒ z 5 100 Logo, 4 x 1 y 1 4z 5 200 1 80 1 100 5 380. residências. Portanto, Caio dividiu o número 380. c) Chamando de x a quantidade de minutos procurada, temos: Alternativa a. Telefones
Tempo (segundos)
2
4
5
8
16
x
Linhas
As grandezas número de linhas e número de telefones são diretamente proporcionais ao tempo. Daí, temos: 1
2
2 4 5 2 5 → ? 5 5 x x 72 18 9 16 8 360 ⇒ 2 ⇒ x 5 180 segundos ou 3 minutos Logo, mantendo a mesma proporção, levariam 3 minutos para vender 18 linhas e 16 telefones. 2x 5 5 ? 72 ⇒ 2x 5 360 ⇒ x 5
Retomando o que aprendeu, página 291. 1. Do enunciado, temos: a 12 15 5 5 28 b 20 Daí, a vem: 15 5 ⇒ 20a 5 15 ? 28 ⇒ 20a 5 420 ⇒ a 15 28 20 5 ⇒ 20a 5 15 ? 28 ⇒ 20a 5 420 ⇒ 420 28 20 ⇒a5 ⇒ a 5 21 420 20 ⇒a5 ⇒ a 5 21 20 12 15 5 ⇒ 15b 5 20 ? 12 ⇒ 15b 5 240 ⇒ 12 15 b 2 0 5 ⇒ 15b 5 20 ? 12 ⇒ 15b 5 240 ⇒ b 2240 0 ⇒ b5 ⇒ b 5 16 240 15 ⇒ b5 ⇒ b 5 16 Logo, a 15 1 b 5 21 1 16 5 37. Alternativa c. 2. Representando por x, y e z as parcelas, podemos escrever: 2x 5 5y 5 4z 5 k k 2x 5 k ⇒ x 5 2 k 5y 5 k ⇒ y 5 5 k 4z 5 k ⇒ z 5 4 Como a primeira parcela é 200, vem:
3. Sendo x, y e z os trechos asfaltados pelas empresas A, B e C, respectivamente, temos: x y z x 1 y 1z z 5 5 ⇒ 5 ⇒ 2 5 3 2 1513 3 x 1 y 1z z ⇒ 5 10 3 Como x 1 y 1 z 5 420, vem: 420 z 5 ⇒ 10z 5 3 ? 420 ⇒ 10z 5 1260 ⇒ 10 3 1260 ⇒ z5 ⇒ z 5 126 10 Logo, o trecho asfaltado pela empresa C foi de 126 km. Alternativa a. 4. Chamando de x, y e z a quantia que cada pessoa vai receber, podemos escrever: 5x 5 2y 5 10z 5 k k 5x 5 k ⇒ x 5 5 k 2y 5 k ⇒ y 5 2 k 10z 5 k ⇒ z 5 10 Como x 1 y 1 z 5 34 000, temos: k k k 1 1 5 34 000 5 2 10 2k 5k k 340000 1 1 5 10 10 10 10 2k 1 5k 1 k 5 340 000 8k 5 340 000 340000 8 k 5 42 500
k5
Daí, temos: k 42 500 x5 ⇒x5 5 8 500 5 5 k 42 500 y5 ⇒ y5 5 21 250 2 2 k 42 500 z5 ⇒ z5 5 4 250 10 10
197
Logo, a maior quantia paga será de R$ 21 250,00. Alternativa b.
5. Do enunciado, podemos escrever a partir da informação II: a b c a 1 b 1c c a 1 b 1c c 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 4 2 51 4 12 2 11 2 b 1c c a 1 b 1c c 5 ⇒ 5 4 12 2 11 2
120 ⇒ x 5 40 3 Logo, seriam necessárias 40 latas. Alternativa d.
3x 5 2 ? 60 ⇒ 3x 5 120 ⇒ x 5
9. Representando por x a quantidade de açúcar procurada, temos: Açúcar (kg)
Frutas (kg)
3
2,5
x
4
Velocidade (km/h)
Tempo (min.)
60
16
x
12
Como a 1 b 1 c 5 33, temos: 33 c 66 As grandezas são diretamente 5 ⇒ 11c 5 2 ? 33 ⇒ 11c 5 66 ⇒ c 5 ⇒ c 56 11 2 11 proporcionais. Daí, vem: 66 3 x 12 33 ⇒ 11c 5 66 ⇒ c 5 ⇒ c 56 5 ⇒ 2,5x 5 3 ? 4 ⇒ 2,5x 5 12 ⇒ x 5 ⇒ x 5 4,8 11 2,5 4 2,5 Daí, vem: 3 x 12 5 ⇒ 2,5x 5 3 ? 4 ⇒ 2,5x 5 12 ⇒ x 5 ⇒ x 5 4,8 b 6 b 5 → 53 ⇒ 2 b,5 5 4 ? 34⇒ b 5 12 2,5 4 2 4 Logo, ela deverá utilizar 4,8 kg de açúcar. a 6 a Alternativa b. 5 → 5 3 ⇒ a 5 5 ? 3 ⇒ a 5 15 5 5 2 10. Representando por x a velocidade média Logo, o filho mais velho tem 15 anos. na volta, temos: Alternativa d. 6. Sendo x o tempo procurado, temos: Watts
Tempo (horas)
40
15
60
x
Se duplicarmos a potência da lâmpada, o tempo cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 600 60x 5 40 ? 15 ⇒ 60x 5 600 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 60 Portanto, a lâmpada deverá funcionar por 10 horas. Alternativa b. 7. Chamando de x o lado menor da foto ampliada, temos:
As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, vem: 960 12x 5 16 ? 60 ⇒ 12x 5 960 ⇒ x 5 ⇒ x 5 80 12 Logo, a velocidade média na volta é de 80 km/h. Alternativa c. 11. Representando por x o tamanho do tecido procurado, temos: Tecido (m)
Largura (cm)
105
50
x
70
As grandezas são inversamente 2,5 x 35 proporcionais. Daí, vem: 5 ⇒ 3,5x 5 2,5 ? 14 ⇒ 3,5x 5 35 ⇒ x 5 ⇒x5 10 3,5 14 3,5 5 250 70x 5 50 ? 105 ⇒ 70x 5 5 250 ⇒ x 5 ⇒ x 5 75 35 70 5x 5 2,5 ? 14 ⇒ 3,5x 5 35 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 5 250 3,5 70x 5 50 ? 105 ⇒ 70x 5 5 250 ⇒ x 5 ⇒ x 5 75 70 Logo, o lado menor da foto ampliada deve Logo, o tecido terá 75 m. medir 10 cm. Alternativa e. Alternativa b. 12. Chamando de x o tempo que o ponteiro 8. Representando por x a quantidade de menor levará para percorrer 42 graus, latas de óleo procurada, temos: temos: Lata (ℓ)
Quantidade de latas
2
60
3
x
As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, vem:
198
Ângulo (graus)
Tempo (min.)
30
60
42
x
As grandezas são diretamente
proporcionais. Daí, vem:
15. Sendo x a quantidade de recenseadores 30 42 2 520 que devem ser contratados, temos: 5 ⇒ 30x 5 60 ? 42 ⇒ 30x 5 2 520 ⇒ x 5 ⇒ x 5 84 Residências Recenseadores 60 x 30
2 520 5 60 ? 42 ⇒ 30x 5 2 520 ⇒ x 5 ⇒ x 5 84 30 Logo, o ponteiro menor levará 84 minutos para percorrer 42 graus. Alternativa e.
102
9
3 060
x
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos:
102 3060 27540 5 ⇒ 102x 5 9 ? 3060 ⇒ 102x 5 27540 ⇒ x 5 ⇒x5 9 x 102 13. Chamando de x o número de pacotes de pão procurado, temos: 102 5 3060 ⇒ 102x 5 9 ? 3060 ⇒ 102x 5 27540 ⇒ x 5 27540 ⇒ x 5 270 9 x 102 Pacotes Sanduíches 7
105
x
150
Logo, precisam ser contratados 270 recenseadores. Alternativa e.
As grandezas são diretamente 16. Sendo x, y e z as quantias a serem pagas, proporcionais. Daí, vem: 7 x 1050podemos escrever: 5 ⇒ 105x 5 7 ? 150 ⇒ 105x 5 1050 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 105 150 105 x 5 y 5 z ⇒ x 1 y 1 z 5 x ⇒ 30 40 50 30 1 40 1 50 30 1050 5 7 ? 150 ⇒ 105x 5 1050 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 x 1 y 1 z x 105 ⇒ 5 120 30 Logo, Cristina usará 10 pacotes de pão de Como x 1 y 1 z 5 90 mil, temos: forma. 90 x Alternativa a. 5 ⇒ 120x 5 30 ? 90 ⇒ 102x 5 2700 ⇒ 120 30 14. Sendo x o comprimento procurado, 2 700 ⇒x5 ⇒ x 5 22,5 5 mil ou 22500 podemos escrever: 120 Comprimento (m)
Largura (m)
80
35
x
25
As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 2 800 25x 5 35 ? 80 ⇒ 25x 5 2 800 ⇒ x 5 ⇒ x 5 112 25 2 800 5x 5 2 800 ⇒ x 5 ⇒ x 5 112 25 Logo, o comprimento deverá passar de 80 m para 112 metros, ou seja, o comprimento deverá ser aumentado de 32 m, pois 112 2 80 5 32. Alternativa d.
Daí, temos: 22500 y 5 ⇒ 30y 5 40 ? 22500 ⇒ 30 40 900000 ⇒ 30y 5 900000 ⇒ y 5 ⇒ y 530000 30 22500 z 5 ⇒ 30z 5 50 ? 22500 ⇒ 30 50 1125000 ⇒ 30z 5 1125000 ⇒ z 5 ⇒ y 5 37500 30 Logo, o maior credor receberá R$ 37 500,00. Alternativa a.
199
Porcentagem 56 – Porcentagem Exercícios, página 296. 1. a) De acordo com a tabela, 10 crianças fazem parte da turma de Roberto. b) • Quantidade de meninos: 6. Logo: 6 0,6 ? 100 5 0,6 5 5 60% 10 100 • Quantidade de meninas: 4. Logo: 4 0, 4 ? 100 5 0, 4 5 5 40% 10 100 • Quantidade de crianças com cabelo preto: 5. Logo: 5 0,5 ? 100 5 0,5 5 5 50% 10 100 • Quantidade de crianças com cabelo loiro: 3. Logo: 3 0,3 ? 100 5 0,3 5 5 30% 10 100 2. De acordo com o enunciado, a turma tem 40 alunos, dos quais 26 têm 12 anos completos. Daí, vem: a) taxa percentual dos alunos que já completaram 12 anos: 26 0,65 ? 100 5 0,65 5 5 65% 40 100 b) Os 40 alunos representam 100% da turma. Como 65% da turma têm 12 anos completos, temos: 100% 2 65% 5 35%
Logo, 35% dos alunos ainda não completaram 12 anos.
3. Do enunciado, temos que em 40 g de óxido de magnésio há 24 g de magnésio. Daí: 24 0,6 ? 100 5 0,6 5 5 60% 40 100 Logo, a taxa percentual de magnésio na substância é de 60%. 4. Do exposto, podemos escrever: a) O clube de Antônio venceu 24 jogos, dos 30 que disputou. Logo, a taxa percentual de vitórias é de: 24 0,8 ? 100 30 5 0,8 5 100 5 80%
200
O clube de Alfredo venceu 21 jogos, dos 28 que disputou. Logo, a taxa percentual de vitórias é de: 21 0,75 ? 100 5 75% 28 5 0,75 5 100 Portanto, o time de Antônio teve 80% de aproveitamento, e o time de Alfredo teve 75% de aproveitamento. b) O que apresentou melhor campanha foi o clube A, o de Antônio. 5. Alternativa a. Representando por x o valor que Luciana ganha com a venda de cada sofá: x 5 1,5% de 8 200 5 0,015 ? 8 200 5 123 Logo, Luciana ganhou R$ 123,00 com a venda do sofá. 6. Sendo 100% o salário da funcionária, 8% são descontados para a Previdência Social. Logo, sobra do salário: 100% 2 8% 5 92% R 92% do salário Chamando de x o salário da funcionária: x 5 92% de 420 5 0,92 ? 420 5 386,40 Portanto, a funcionária recebe R$ 386,40. 7. Com o desconto de 15%, o valor pago pelo aparelho, em porcentagem, foi: 100% 2 15% 5 85% R 85% do valor original Representando o valor original do aparelho por x, podemos escrever: 85% de x 5 102 R 0,85 ? x 5 102 R 102 R x 5 120 R x5 0,85 Logo, o preço original do aparelho de som era R$ 120,00. 8. Representando por x o preço pago pela mercadoria, podemos escrever: • loja 1, desconto de 20% Logo, o valor pago em porcentagem será: 100% 2 20% 5 80% R 80% do valor original, que é 120 reais. Daí, temos: x 5 80% de 120 5 0,8 ? 120 5 96 R R R$ 96,00 Portanto, o valor pago na loja 1 será de R$ 96,00. • loja 2, desconto de 30% Logo, o valor pago em porcentagem será:
100% 2 30% 5 70% R 70% do valor original, que é 140 reais. Daí, temos: x 5 70% de 140 5 0,7 ? 140 5 98 R R R$ 98,00 Portanto, o valor pago na loja 2 será de R$ 98,00. Logo, o preço mais baixo é o da loja 1, R$ 96,00.
9. Representando por x o número de universitários que escolheram computação: x 5 35% de 40 5 0,35 ? 40 5 14 R R 14 universitários Logo, 14 universitários se inscreveram para fazer estágio em computação. 10. Como 45% dos alunos não confirmaram a ida no acampamento: 100% 2 45% 5 55% R 55% dos alunos já confirmaram a inscrição. Chamando de x os alunos que confirmaram a inscrição, temos: x 5 55% de 60 5 0,55 ? 40 5 33 R 33 alunos Logo, 33 alunos confirmaram a inscrição. 11. Do enunciado, podemos escrever: • Estudam no turno da manhã: 15 ? 30 5 5 450 alunos • Estudam no turno da tarde: 20 ? 25 5 5 500 alunos • Total de alunos da escola: 450 + 500 5 5 950 alunos • Como 52% dos alunos são meninas, temos: 100% 2 52% 5 48% R 48% dos alunos são meninos. Representando por x a quantidade de meninos: x 5 48% de 950 5 0,48 ? 950 5 456 Logo, estudam nessa escola 456 meninos. Brasil Real, páginas 297 e 298. 1. a) Das 8 415 apreensões de répteis no Brasil, em 2005, 6 347 foram no estado do Amazonas. Logo, a taxa percentual de apreensões é de: 6347 0,754 ? 100 5 75, 4% 8415 0,754 5 100
Portanto, a porcentagem de animais apreendidos no Amazonas é de 75,4%.
b) Representando por x o número de apreensões feitas no Sudeste brasileiro, temos: x 5 6% de 8 415 5 0,06 ? 8 415 505 R R 505 répteis Logo, no Sudeste brasileiro, foram apreendidos 505 répteis. 2. Representando por x a quantidade de espécies de répteis, temos: x 5 6% de 6 300 5 0,06 ? 6 300 378 R R 378 espécies de répteis Logo, na Amazônia, há 378 espécies de répteis diferentes. 3. De acordo com o texto, temos: a) • Crianças de 5 a 9 anos que trabalham: 280 228 • Crianças de 10 a 15 anos que trabalham: 2 708 066 • Crianças de 16 ou 17 anos que trabalham: 2 450 261 • Total de crianças: 5 438 555 Daí, vem: Percentual de crianças que trabalhavam na idade de 5 a 9 anos:
280228 0, 0515 ? 100 0, 0515 5 5 5,15% 5438555 100
Logo, a porcentagem aproximada das crianças entre 5 e 9 anos que trabalhavam é de 5,15%. b) Sendo x o número que representa 5,1% das crianças que trabalham em via pública: x 5 5,1% de 5 438 555 5 0,051 ? 5 438 555 277 366 Logo, trabalham, em via pública, aproximadamente 277 366 crianças. c) Se 68,6% das crianças que trabalham estão atrasadas na escola, então: 100% 2 68,6% 5 31,4% 31,4% das crianças que trabalham não estão atrasadas na escola. Se 80,5% das crianças que trabalham frequentam a escola, e cerca de 31,4% dessas crianças não estão atrasadas, temos: x 5 31,4% de (80% de 5 438 555) R R x 5 31,4% de (0,805 ? 5 438 555) R R x 5 31,4% de 4 378 036 R R x 5 0,314 ? 4 378 036 R x 5 1 374 703
Logo, das que trabalham e frequentam a escola, 1 374 703 crianças não estão atrasadas nos estudos.
201
d) Resposta em aberto. 4.
Tratando a informação, página 299. 1. Resposta em aberto.
a) A expressão “um em cada vez” representa 10%, pois: 1 0,1 ? 100 5 0,1 5 5 10% 10 100
2. Cada símbolo completo do CD representa 1 000 unidades vendidas. Daí, vem: a) R 500 unidades, pois 500 1 ? 1000 5 500 21
b) Em 2000, um em cada dez chefes de família não ganhavam um único centavo. Esse número representa 10% do total de chefes de família no Brasil. Chamando de x o total de chefes de família, temos: 10% de x 5 2600000 → 0,1 ? x 5 2600000 → 2 600 000 → x5 → x 5 26 000000 0,1
R 250 unidades, pois 250 1 ? 1000 5 250 41
Logo, havia 26 000 000 de chefes de família no Brasil em 2000. c) Se a cada chefe de família corresponde um domicílio, em 2000 havia no Brasil 26 000 000 de domicílios, dos quais 2 600 000 estavam sem rendimentos. d) Se 9,15% do total de residências do país corresponde a 4 099 domicílios sem rendimentos, e sendo x o total de residências do país, temos: 9,15% de x 5 4 099 → 0, 0915 ? x 5 4 099 → 4 099 → x 44 797 → x5 0, 0915
Logo, nessa época, o Brasil tinha 44 797 domicílios. e) • Usando o total de residências do item c, temos: 170000000 26000000 6,5 Logo, com esses dados, havia, em média, 6,5 pessoas em cada domicílio. • Usando o total de residências do item d, temos: 170000000 3 794 44797 Logo, com esses dados, havia, em média, 3 794 pessoas em cada domicílio. f) O mais confiável é o resultado encontrado no item c. g) As informações numéricas desse artigo são contraditórias. h) Resposta em aberto.
202
R 125 unidades, pois 125 1 ? 1000 5 125 81 b) As vendas em cada trimestre foram: 1o trimestre: 3 125 unidades 2o trimestre: 3 625 unidades 3o trimestre: 3 875 unidades 4o trimestre: 4 750 unidades • A venda foi inferior a 3 500 unidades, apenas no 1o trimestre. • A venda foi superior a 3 500 unidades, no 1o, no 2o , no 3o e no 4o trimestre. • No 2o trimestre foram vendidas 500 unidades a mais que no 1o trimestre, pois: 3 625 2 3 125 5 500 • No 2o trimestre foram vendidas 250 unidades a menos que no 3o trimestre, pois: 3 875 2 3 625 5 250 c) Organizando os dados em uma tabela, temos: Trimestre
1o
2o
3o
4o
Número de CDs vendidos
3 125
3 625
3 875
4 750
d) Observando as figuras do gráfico, verificamos que há 15 CDs completos 1 mais 3 partes com de CD. Como cada 8 CD representa 1 000 unidades, temos: 125 1 15 ? 1 000 + 3 ? ? 1000 5 15 000 + 81 375 5 15 375 Logo, foram vendidas, no ano, 15 375 unidades de CDs.
e) Construindo um gráfico de acordo com a tabela indicada, temos: Legenda 1 000 unidades 1º_ trimestre
2º_ trimestre
3º_ trimestre
4º_ trimestre
Retomando o que aprendeu, página 300. 1. Alternativa c. Do enunciado, temos: 1 0,25 ? 100 5 0,25 5 5 25% 4 100 Logo, esse número representa 25% dos alunos da academia. 2. Alternativa d. Do enunciado, temos: 8,5 0, 47 ? 100 0, 47 5 5 47% 18 100 Logo, o Brasil ocupa, aproximadamente, 47% da superfície da América do Sul. 3. Alternativa d. Sabemos que, no gráfico de setores, 360o corresponde a 100% em taxa percentual. Daí, temos que 25% corresponde a um ângulo de 90°. Logo, 75% corresponde a um ângulo de 270o em um gráfico de setores. Observando os gráficos, concluímos que o único gráfico em que 75% corresponde a um ângulo de 270o é o indicado pela alternativa d. 4. Alternativa e. Representando
7 em porcentagem, 2000
temos: 7 0, 0035 ? 100 5 0, 0035 5 5 0,35% 2000 100
Logo, sendo x o novo preço da passagem: x 5 116% de 15 R x 5 1,6 ? 15 R x 5 17,40 Portanto, o preço da passagem passou a ser R$ 17,40. 6. O valor percentual da bicicleta é de 100%; como Luís quer vendê-la com um lucro de 5%, o preço percentual de venda será: 100% + 5% 5 105% Logo, sendo x o preço de venda da bicicleta: x 5 105% de 180 R x 5 1,05 ? 180 R x 5 189 Portanto, o preço de venda da bicicleta será R$ 189,00. 7. Alternativa c. Do enunciado, podemos escrever: 50% de (10%)2 5 0,50 ? (0,10)2 5 0,50 ? 0,01 5 5 0,005 Logo, 50% do quadrado de 10% é 0,005. 8. A entrada do cinema custava R$ 13,00, o que corresponde a 100%. Com o aumento de 20%, o novo preço da entrada passará a ser, em porcentagem: 100% + 20% 5 120% Representando por x o novo preço da entrada: x 5 120% de 13 R x 5 1,20 ? 13 R x 5 15,60 Como a pessoa com 65 anos ou mais paga meia-entrada: 15,60 5 7,80 2 Logo, o preço da entrada desse cinema para uma pessoa com 65 anos ou mais é R$ 7,80. Chegou a sua vez, página 309. 1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto. 3. Resposta em aberto 4. Reproduzindo as figuras e desenhando os eixos de simetria, temos:
Logo, o aumento do comprimento é de 0,35%. 5. Alternativa d. O valor percentual da passagem era de 100%, com o aumento de 16%, esse valor passou a: 100% + 16% 5 116%
5. Sim, pois os ângulos internos desse losango são 60o e 120o, que são diversos de 360o.
203
204
SUMÁRIO 8 . ano o
Os números reais............................................................................................... 207 Introdução ao cálculo algébrico....................................................................... 211 Estudo dos polinômios....................................................................................... 214 Estudo das frações algébricas........................................................................... 230 Equações do 1o. grau com uma incógnita............................................................. 236 Porcentagem e juro simples. ............................................................................... 245 Sistema de equações do 1o. grau com duas incógnitas.......................................... 248 Geometria. ........................................................................................................ 259 Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal..................... 262 Polígonos.......................................................................................................... 265 Estudando os triângulos................................................................................... 270 Estudando os quadriláteros.............................................................................. 276 Estudando a circunferência e o círculo............................................................. 282
206
OS NÚMEROS REAIS c) 36
Abertura, página 7. • Pra pensar, sem se cansar! 169, pois o quadrado é formado por 13 3 13 quadradinhos.
1–R aiz quadrada exata de um número racional Explorando, página 8. 1.
1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36 a) Área 12: 1 3 12, 2 3 6, 3 3 4 b) Área 16: 1 3 16, 2 3 8, 4 3 4
2. Sim, o de medidas 4 3 4.
Exercícios, páginas 14 e 15. 1. a) b) c) d)
3. Não, pois existem números inteiros cujo quadrado seja 18. 4. Sim, um quadrado de lado 6, ou seja, 6 3 6. 5. Resposta pessoal.
2. a) 625 5 54 (Expoente par), sim. b) 784 5 24 3 72 (Expoentes pares), sim. c) 1 200 5 24 3 31 3 52 (Nem todos os expoentes são pares), não. d) 1 156 5 22 3 172 (Expoentes pares), sim. e) 2 000 5 24 3 53 (Nem todos os expoentes são pares), não.
Chegou a sua vez!, página 10. 152 5 225; 252 5 625; 452 5 2 025; 552 5 5 3 025; 652 5 4 225; 752 5 5 625; 852 5 7 225; 952 5 5 9 025. Chegou a sua vez!, página 12. a) 16
b) 25
121 sim, 112 5 121 169 sim, 132 5 169 186 não 441 sim, 212 5 441
3.
1 1 3 1 5 1 7 5 16
a) b) c) d) e) f) g) h)
484 5 222 a raiz é 22. 625 5 252 a raiz é 25. 729 5 272 a raiz é 27. 1 296 5 362 a raiz é 36. 1 849 5 432 a raiz é 43. 3 025 5 552 a raiz é 55. 4 096 5 642 a raiz é 64. 5 625 5 752 a raiz é 75.
a) b) c) d) e) f) g) h)
2,25 5 1,5, pois (1,5)2 5 2,25 3,61 5 1,9, pois (1,9)2 5 3,61 4,41 5 2,1, pois (2,1)2 5 4,41 7,84 5 2,8, pois (2,8)2 5 7,84 10,89 5 3,3, pois (3,3)2 5 10,89 27,04 5 5,2, pois (5,2)2 5 27,04 37,21 5 6,1, pois (6,1)2 5 37,21 51,84 5 7,2, pois (7,2)2 5 51,84
4.
1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25
207
5.
Chegou sua vez!, página 18. a) A 5 9,61 m2 ∴ 5 9,61 5 3,1 m
a) 32 5 32 3 32 3 32 3 32 5 1 048 576 494 5 49 3 49 3 49 3 49 5 5 764 801 Como nos quadrados desses números, as quartas potências também são formadas pelos mesmos algarismos, dispostos em outra ordem. b) Resposta pessoal. 4
2 b) A 5 72,25 m ∴ 5 72,25 5 8,5 m
2–R aiz quadrada aproximada de um número racional Exercícios, página 17. 1. a)
150 12, pois (122 5 144, 132 5 169)
b)
200 14, pois (142 5 196, 152 5 225)
c)
350 18, pois (182 5 324, 192 5 361)
d)
500 22, pois (22 5 484, 23 5 529)
3–O s números racionais e sua representação decimal Explorando, página 19. 1.
a)
3 5 0,6 5
b)
5 5 0, 4545... 11
c)
7 5 1, 4 5
d)
10 5 3,333... 3
g) 320 17,8, pois ((17,8)2 5 5 316,84; (17,9)2 5 320,41)
e)
1 5 0,2 5
h) 450 21,2, pois ((21,2)2 5 5 449,44; (21,3)2 5 453,69)
f)
2 5 0,666... 3
2
2
2. a)
2 1, 4, pois ((1,4)2 5 1,96; (1,5)2 5 2,25)
b)
10 3,1, pois ((3,1)2 5 9,61; (3,2)2 5 10,24)
c) 90 9, 4, pois ((9,4)2 5 88,36; (9,5)2 5 5 90,25) d) 130 11, 4, pois ((11,4)2 5 5 129,96; (11,5)2 5 132,25) e) 20 4, 4, pois ((4,4)2 5 19,36; (4,5)2 5 5 20,25) f) 40 6,3, pois ((6,3)2 5 39,69; (6,4)2 5 5 40,96)
a) 3,6 1,8, pois ((1,8)2 5 3,24; (1,9)2 5 5 3,61)
c) 10,7 3,2, pois ((3,2)2 5 10,24; (3,3)2 5 5 10,89) d) 18,5 4,3, pois ((4,3)2 5 18,49; (4,4)2 5 5 19,36) e) 54,6 7,3, pois ((7,3)2 5 53,29; (7,4)2 5 5 54,76) f) 69,27 8,3, pois ((8,3) 5 5 68,89; (8,4)2 5 70,56) 2
208
5 0,6
50 11 60 0,4545... 50 60 5 7 20 0
5 1,4
10 3 10 3,33... 10 1 10 0
5 0,2
20 3 20 0,666... 20 2 Nos casos a, c e e os decimais são exatos, enquanto nos casos b, d e f temos dízimas periódicas.
3.
b) 7,2 2,6, pois ((2,6)2 5 6,76; (2,7)2 5 5 7,29)
30 0
2. Tanto um como outro apresentam infinitas casas decimais sem que haja repetição periódica de algarismos. Exercícios, página 20. 1. a)
7 5 0,7 10
31 5 3,1 10 6 5 0, 06 c) 100 b)
d)
11 5 0,11 100
162 5 1,62 100 9 f) 5 0, 009 1000
e)
g)
29 5 0, 029 1 000
385 5 0,385 h) 1000 82 5 8,2 i) 10 2. a) b) c) d) e) f)
j)
163 5 16,3 10
427 5 4,27 l) 100 1104 5 1,104 m) 1000
1 5 0,5 2 7 5 2,333... 3 9 5 1,8 5 37 5 1,85 20 35 5 3,1818... 11 11 5 1,222... 9
11 g) 5 1,375 8 33 5 1,32 h) 25 3 5 0,15 i) 20 13 5 0,1444... 90 33 5 8,25 l) 4 25 5 4,1666... m) 6 j)
2. 3.
a) 6,25 (racional) b) 36 5 6 (racional) c) 2,010010001... (irracional) d) 30 5 5, 47722... (irracional) e) 2,4343... (racional) f) 5,02 (racional) g) 5 5 0,714285714285... (racional) 7 h) 6,161661666... (irracional) i) 10 (racional) j) 0,0025 (racional) 4.
39,69 5 6,3 (racional)
5.
5 2,23 ((2,23)2 5 4,9729; (2,24)2 5 5,0176)
6. Racionais: 26; 21,5; 2 2 ; 0; 21 . 3 5 Irracionais: 22,171171117...; 2 . 7. Alternativa d. 30 5 5, 4772255... (infinita e não periódica; irracional) 8. Alternativa a. 50 5 7, 0710678... (infinita e não periódica; irracional) 9. 22 5 3,142857142857142857... 7 período
Exercícios, página 25. a) b) c)
5 5 1,666... R infinita e periódica. 3 7 5 2,645751... R infinita e não periódica. 13 5 2,6 R finita. 5
d) 0,202002000... R infinita e não periódica. 9 5 4,5 R finita. e) 2 f) 2,161616... R infinita e periódica. g)
16 5 4 R finita.
h) 5,131131113... R infinita e não periódica.
período
período
Representação infinita e periódica (período: 142 857); racional.
4 – Os números irracionais 1.
40 5 6,324555320 R infinita e não periódica.
Exercícios, página 29. 1. a) C 5 2 3 3,14 3 9 5 56,52 ⇒ C 5 56,52 cm b) C 5 2 3 3,14 3 1,5 5 9,42 ⇒ C 5 9,42 cm c) C 5 2 3 3,14 3 0,25 5 1,57 ⇒ C 5 1,57 cm 2. C 5 2 pr ⇒ 50,24 5 2 3 3,14 3 r ⇒ 50,24 5 5 6,28 3 r ⇒ r 5 50,24 5 8 ⇒ r 5 8 cm 6,28 3. O comprimento não é da roda, é do pneu. 0,60 5 1,884 ⇒ C 5 1,884 m a) C 5 2 3,14 2 b) d 5 5 000 3 1,884 5 9 420 ⇒ d 5 9 420 m 4. C 5 2 3,14 20 5 125,6 5 31, 4 ⇒ C 5 31, 4 cm 4 4 5. C 5 2 3 3,14 3 6 5 37,68 ⇒ C 5 37,68 cm
209
6. C 5 2pr ⇒ 94,2 5 2 3 3,14 3 r ⇒ 94,2 5 5 6,28r ⇒ r 5 94,2 5 15 ⇒ r 5 15 cm 6,28 Diâmetro: 30 cm
Brasil real, página 32. 25 , 7 a) 1,7 R 2005 foi 1,7 vez a de 2002. 14,9 25,7 1,3 R 2005 foi 1,3 vez a de 2003. 19, 4 25,7 1,1 R 2005 foi 1,1 vez a de 2004. 23,5
5 – Os números reais Exercícios, página 31.
b)
877 29,6 ∴ As exportações foram de aproximadamente 29,6 milhões de dólares.
c) d) e)
2005 - U$ 25 700 000 Crescimento: 2006 - U$ 29 600 000 U$ 3 900 000 Crescimento 3 900 000 25 700 000 0,15 ∴ foi de 15% aproximadamente. Holanda. Resposta em aberto.
1. a) b) c) d)
Pertencem a IN: 0 e 1 Pertencem a Z: 24, 0 e 1 Pertencem a Z, mas não a IN: 24 Pertencem a Q, mas não a Z: 22, 3, 2 1 4 e 0,666...
a) b) c) d)
Reais e naturais: 6 Reais e inteiros: 6 e 26 Reais e racionais: 6, 26 e 6,6 Reais e irracionais: 6
2.
3.
5 5 2,23... 22 5 2, 44... 9 22 é maior que ∴ 9
5
e) 2 9 ∈ IR 29 ∉ IR f) g) 2p IR2 h) 2,66... IR1
a) 100 IR* b) 100 IR1 c) 100 IR2 d) 9 ∈ IR 5. a)
7 1 5 5 2,6 1 2,2 5 4,8
b)
7 2 5 2,6 3 1,4 5 3,6
c)
5 2 2 3 5 2,2 1 1,7 5 3,9
)
d) 8 3 5 8 1,7 5 13,6 e) 2 10 2 2 52 3,1 2 1, 4 52 4,5 f)
10 5 5 3,1 2,2 5 1, 4
g) 21 1 7 521 1 2,6 5 1,6 h) 5 2 5 5 5 2 2,2 5 2,8 6. 2
5 1 5 4
2
5 212 1 5 4
216 1 25 25 21 1 5 5 16 16
210
1. Aro 12 → Diâmetro: 12 polegadas 5 5 12 3 2,54 5 30,48 ⇒ 30,48 cm Raio 5 15,24 cm C 5 2 3 3,14 3 15,24 5 95,7 ⇒ 95,7 cm 2.
4.
(
Chegou a sua vez!, página 34.
1,25 m de altura ⇒ Aro 20 Diâmetro: 20 polegadas 5 20 3 2,54 5 5 50,8 ⇒ 50,8 cm Raio: 50,8 5 25,4 ⇒ 25,4 cm 2 C 5 2 3 3,14 3 25,4 5 159,5 ⇒ 159,5 cm b) A resposta depende da altura do aluno. a)
Retomando o que aprendeu, página 34. 1. 5 1764 5 42 m P 5 4 3 42 5 168 m Alternativa b. 2. Diâmetro: 39 cm ⇒ Raio: 19,5 cm C 5 2 3 3,14 3 19,5 5 122,46 ⇒ 122,46 cm Alternativa a. 3. x 5 51,84 5 7,2 x 2 y 5 7,2 2 6,4 5 0,8 y 5 40,96 5 6, 4 Alternativa d.
4. 1 volta: C 5 2 3 3,14 3 1,5 5 9,42 ⇒ 9,42 cm n.o de voltas: 489,84 5 52 voltas 3 9 216 1 25 25 9, 42 21 1 5 5 5 16 Alternativa e. 4 16 16 9 3 5 16 4
5. 1 volta: C 5 2 3 3,14 3 5 5 31,4 ⇒ 31,4 m 7 voltas 5 7 3 31,4 5 219,8 ⇒ 219,8 m Alternativa c.
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ALGÉBRICO 6–O uso de letras para representar números
3. A 5 (4x) ? (3y) 5 12xy 4. P 5 5x 1 3y
Explorando, páginas 36 e 37.
5. x 2 3y 6. A 5 a2 1 bc
1. Apenas números: a, b, e Número e letras: c, f, g Apenas letras: d
7.
2.
8.
a) b) c)
a) 7x 1 10 b) 12y 1 9
A 5 a ? b ⇒ A 5 3 ? 6 5 18 A 5 2x ? y ⇒ A 5 (2 ? 6,2) ? 2,4 5 5 12,4 ? 2,4 5 29,76 A 5 2 ⇒ A 5 (2,5)2 5 6,25
a) 2x 1 10, inteira. x b) , fracionária. 3y c) a2 2 b3, inteira.
3. Resposta em aberto.
d)
4. a) n 5 5 ⇒ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 5 15 Soma 5 5 ? (5 1 1) 5 5 ? 6 5 30 5 15 2 2 2 A fórmula é verdadeira para n 5 5. n 5 10 ⇒ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1 8 1 9 1 10 5 55 Soma 5 10 ? (10 1 1) 5 10 ? 11 5 110 5 55 2 2 2 A fórmula é verdadeira para n 5 10.
e) f) g) h)
x2 , inteira. 4 x (a 2 b), inteira. 2p 1 m2, inteira. a3 2 b3, inteira. 3b 2 ac, inteira.
8–V alor numérico de uma expressão algébrica
Exercícios, páginas 44 e 45. b) Soma 5 100 ? (100 1 1) 5 100 ? 101 5 10100 5 5050 2 2 2 1. 100 ? (100 1 1) 100 ? 101 10100 5 5 5 5050 2 2 2 a) 4 ? 22 2 2 ? 6 5 4 ? 4 2 2 ? 6 5 16 2 12 5 4 b) 4 ? (0,4)2 2 (0,4) ? (1,2) 5 4 ? 0,16 2 0,48 5 Exercícios, página 38. 5 0,64 2 0,48 5 0,16 2. C 5 10 1 0,3 ? (P 2 1); P 5 18 kg C 5 10 1 0,3 ? (8 2 1) 5 10 1 0,3 ? 7 5 5 10 1 2,1 5 12,1 O custo será de R$ 12,10.
1. a) x b) y3 c) a d) b5
e) b 1 c f) a ? x g) 2y h) m 6
a) 2x 1 2y b) (x 1 y) ? (x 2 y)
c) x 1 y d) x2 1 3x
2
2.
2
3. 2
7 – Expressões algébricas ou literais Exercícios, páginas 41 e 42. 1. 2x 1 5y 2. h 1 m
a) b) c)
5 ? 02 2 18 ? 0 2 8 5 0 2 0 2 8 5 −8 5 ? (1,2)2 2 18 ? (1,2) 2 8 5 5 5 ? (1,44) 2 18 ? (1,2) 2 8 5 5 7,2 2 21,6 2 8 5 −22,4 5 ? (−2)2 2 18 ? (−2) 2 8 5 5 5 ? 4 2 18 ? (−2) 2 8 5 20 1 36 2 8 5 48
4. N 5 103 1 2 ? 10t, t 5 5 N 5 103 1 2 ? 105 5 1 000 1 2 ? 100 000 5 1 000 1 200 000 5 201 000 Compraram o produto 201 000 pessoas.
211
3
3 1 65 1 1 64 1 2 (22) 1 2 (28) 2 x 1 x , x 5 4 2 5. 265 8 8 x g) 5 5 5 8 5 3 64 63 63 1 1 2 18(28) 2 7 2 1 1 1 1 (2 1 2)3 12 8 8 8 2 4 1 4 5 2 4 212 5 2 2 5 5 4 4 4 4 4 1 1 1 28 27 51 50 1 1 1 5 4 5 2 4 12 5 22 5 51 51 5 5 1 4 4 4 4 10 10 10 h) 5 5 5 ? 5 5 10 51 10 2 51 50 1 1 1 10 1 6. N 5 105 ? 24t, t 5 2 5 5 5 51 1 8 50 1 1 51 N 5 105 ? 24 ? 2 5 100 000 51 5 5 1 10 ? 25 5 10 5 10 5 ? 5 5 10 51 10 2 51 50 1 1 1 5 100 000 ? 256 5 25 600 000 10 1 5 5 O número de bactérias5será 25 600 000. 2 2 2 150 3 5 10 ? 1 1 5 1000 ? (1 1 1,5) 5 1000 ? (2,5) 5 1000 ? 6,25 5 6 12. A 5 1 13 1 10 28 7. p 5 ⇒ p 5 14 100 5 5 14 2 2 2 2 2 150 3 p ? (p 2 a) ? (p 2 b) ? (p 5 A5 102? c) 11 5 1000 ? (1 1 1,5) 5 1000 ? (2,5) 5 1000 ? 6,25 5 6250 100 14 ? (14 2 5) (14 2 13) ? (14 2 10) 5
5 14 ? 9 ? 1 ? 4 5 504 8. y 5 6 1 1,2 2 3,2 5 5 1 1,2 2 3,2 5 3 1,2
9. V 5
14, 4 14, 4 5 5 3,2 ⇒ V 5 3,2 1,5 1 3 4,5
5 ? C 1 7, C 5 24 4 5 120 N 5 ? 24 1 7 5 1 7 5 30 1 7 5 37 4 4 120 175 1 7 5 30 1 7 5 37 ⇒ N 5 37 4 11. 2 a) 4 2 2 ? 4 5 16 2 8 5 8 5 4 2 2 4 10. N 5
Tratando a informação, páginas 45 e 46. 1. Na cidade: 186 700 000 ? 0,83 5 5 154 961 000 . 155 milhões No campo: 186 700 000 ? 0,17 5 5 31 739 000 . 31,7 milhões 2. Possível resposta: calculando a porcentagem nos dois casos ou calculando uma e subtraindo o resultado do total. 3.
a) Brancos 5 186 700 000 ? 0,499 5 5 93 163 300 . 93,2 milhões 2 2 1 1 2 1 16 1 8 1 1 25 b) 5Pardos 5 186 700 000 ? 0,431 5 b) (21) 2 2 ? (21) ? 1 5 1 1 1 5 4 4 4 16 16 516 80 467 700 . 80,5 milhões 2 1 1 2 1 16 1 8 1 1 25 c) Negros 5 186 700 000 ? 0,063 5 ? 1 51 1 1 5 5 4 4 4 16 16 16 5 11 762 100 . 1108 milhões 2 d) Outros 5 186 700 000 ? 0,007 5 8 1 8 ? 10 64 1 80 144 c) 5 5 5 16 5 4 5 1 306 900 . 1,3 milhão 9 9 9 10 64 1 80 144 5 5 5 16 5 4 4. Gráfico pictórico ou pictograma. 9 9 2 2 Não, pois, por exemplo, o percentual d) 3 ? ((−2) 2 (−2) ) 2 10 ? ((−2) 1 (−2)) ? de negros é nove vezes o percentual de ? ((−2) 2 (−2)) 5 3 ? (4 2 4) 2 10 ? (−4) ? outros, isso significa que o número de ? 0 5 3 ? 0 1 40 ? 0 5 0 1 0 5 0 homenzinhos que representa os negros 2 2 2 (12) 2 1 2deveria 9 28ser nove vezes o número de 2 2 2 2 3 1 1 e) 5 3 2 1 2 (21) 5 3 21 5 3 21 5 9 21 5 homenzinhos 9 9 que representa os outros (2), 2 2 2 o que não acontece. 2 1 29 28 1 21 2 23 2 1 2 (21) 5 21 5 21 5 21 5 5 9 9 9 3 3 5. 2 • 2 homenzinhos para outros 1 2 (0,5) 1 2 0,25 0,75 f) 5 5 52 0,25 • 18 homenzinhos para negros (6,3% é 24 1 1 23 0,5 ? (28) 1 1 nove vezes 0,7%) 3 • 123 homenzinhos para pardos (43,1% é 3 1 65 1 1 1 64 2 (22) aproximadamente 61,5 vezes 0,7%) 8 2 2 ( ) 265 g) 2 8 g) 5 5 8 5 5 8 • 3 63 142 homenzinhos para brancos (49,9% 63 1 1 2 64 2 1 (28) 1 1 (22)3 é aproximadamente 71,2 vezes 0,7%) 8 8 8 2
212
9 – Uma consideração importante
c) Região Norte. 3000 d) 2,1 (Aproximadamente o dobro) 1400
Exercícios, página 47. 1.
Retomando o que aprendeu, páginas 49 e 50. 1. (2( 2 2) 2 ( 2 2)) ? (( 2 2) 1 ( 2 2)) 1 ( 2 2) ? ( 2 2)3 2
a) x 2 4 5 0 ⇒ x 5 4 1 2 b) 1 2 3a 5 0 ⇒ −3a 5 −1 ⇒ a 5 22 (2( 22) 2 ( 22)) ? (( 22) 1 ( 23 2)) 1 ( 22) ? ( 22)3 2 ( 22) 55 (2 1 2) ? (22 2 2) 1 (22) ? (28) 2 242 5 2 c) 2 1 5x 5 0 ⇒ 5x 5 −2 ⇒ x 5 2 5 4 ? (24) 1 16 1 2 5216 1 16 1 2 5 2 5 d) 2 2 2b 5 0 ⇒ −2b 5 −2 ⇒ b 5 1 Alternativa a. 2. a) x 1 y 5 0 ⇒ x 5 −y b) x 2 2y 5 0 ⇒ x 5 2y y c) 2x 1 y 5 0 ⇒ 2x 5 −y ⇒ x 5 2 2 Chegou a sua vez!, página 48.
2.
5
3. y 5 20 ? x 1 30 Alternativa d.
2. 8 1 x 1 7 5 18 ⇒ x 5 18 2 8 2 7 ⇒ x 5 3
5. A 5 4 ? ax 2 2 ? a2x 5 4 ? ax 2 2 ? (ax)2 5 4 ? 10 2 2 ? 102 5 4 ? 10 2 2 ? 100 5 5 40 2 200 5 −160 Alternativa b. 3 150 ? 50 1 40 5 1 40 5 75 1 40 5 115 6. 2 2 Alternativa c.
1.
22
0,2 52 2 0, 4 2 0,5 2 0,1 Alternativa e.
4. (−2)3 1 2 ? (−2)2 5 −8 1 2 ? 4 5 −8 1 8 5 0 Alternativa c.
Brasil real, páginas 48 e 49.
2
(0, 4) ? (0,5) 5
1. Não, porque 8 1 0 1 7 5 15 não é divisível por 9. 3. xy 5 10x 1 y 5 9x 1 (x 1 y) As parcelas são divisíveis por 9, então a soma também o é.
(22)
2 (29) 1 (29) 2 4 ? 5 ? (22) 9 1 81 1 40 9 1 11 a) Total: 86 700 000 1 83 200 000 1 16 800 000 5 5 5 52 7. x 5 ? 2 5 10 10 5 186 700 000 (Aproximadamente 2 2 (29) 1 (29) 2 4 ? 5 ? (22) 9 1 81 1 40 186,7 milhões de habitantes) 9 1 11 x5 5 5 52 2?5 10 10 86700000 5,16 (Aproximadamente b) Alternativa a. 16800000 5 vezes) 21 2144 ? 122 1 4 ? 12 1 10 5 1 48 1 10 52 24 1 48 1 10 5 34 º C 8. T1 5 c) 16 800 000 ? 1,5 5 25 200 000 6 6 21 2 144 2 T1 5 ? 12 1 4 ? 12 1 10 5 de 1 48 1 10 52 24 1 48 1 10 5 34 º C (Aproximadamente 25,2 milhões 6 6 idosos) 21 2324 T2 5 ? 182 1 4 ? 18 1 10 5 1 72 1 10 52 54 1 72 1 10 5 28 º C d) Solteiros: 79 900 000 6 6 20100 12 6 200 000 1 4 900 2324 Outros: T 50 700 ? 18 1 4 ? 18 1 10 5 000 5 1 72 1 10 52 54 1 72 1 10 5 28 º C 25 6 6 5 61 800 000 A temperatura diminuiu 6 8C. 79 900 000 2 61 800 000 5 18 100 000 Alternativa d. Existem 18 100 000 solteiros a mais que 1 1 2 1 2 328 25 os outros. 5 9. A 5 ? 2 5 2 5 2 2 3 4 3 12 12 e) 186 700 000 ? 0,736 5 137 411 200 1 2 2 2 1 2 2 3 católicos B5 ? 2 52 2 5 521 2 3 3 3 3 3 73,6% f) 4,8 5 25 1 12 17 15, 4% A 2 B 52 11 5 5 12 12 12 A área é 4,8 vezes maior, Alternativa b. aproximadamente. Justificativa em aberto. 2
2. a) Os suecos. b) 2o lugar.
10. 11 ? (11 2 1) 1 1 5 11 ? 10 1 1 5 110 1 1 5 5 111 jogos Alternativa e.
213
ESTUDO DOS POLINÔMIOS 10 – Monômio ou termo algébrico
Coeficiente : 20, 06 d) 3 Parte literal : bc
Explorando, página 52.
1 Coeficiente : 5 e) Parte literal : m4
1. a) A 5 x ? y b) P 5 x 1 y 1 x 1 y 5 2x 1 2y c) O item b apresenta uma soma de dois “termos” e o item a apresenta um único “termo”.
Coeficiente : 1 f) 3 5 2 Parte literal : a x y Coeficiente : 6,2 g) 3 3 Parte literal : x y
2. P1 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 5x P2 5 x 1 x 1 x 1 y 1 y 5 3x 1 2y
Coeficiente : 220 h) 4 3 Parte literal : a bc
3. a) b) c) d)
(I) A 5 2a ? 3a 5 6a2 (II) A 5 a ? 2a 5 2a2 , 5 3a 1 a 5 4a A 5 4a ? 2a 5 8a2 A área do retângulo ABCD é a soma da área (I) com a área (II): 8a2 5 6a2 1 2a2 Exercícios, página 55.
2. a ? b 3. V 5 (2a) ? (2a) ? (2a) 5 8a3 4. 6,20 ? x ? y 5.
6.
Sim. Sim. Não. Sim. Não. Sim. Não. Sim. Não. Não.
Coeficiente : 7 a) 3 Parte literal : a Coeficiente : 21 b) 5 Parte literal : xy 2 Coeficiente : 2 3 c) Parte literal : m2n4
214
Exercícios, página 56. 1. Grau 4: 5a3b, 26m2n2 2. 10a3x3y é do 7o grau.
1. 5x
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
12 Coeficiente : i) 5 tem. Parte literal : Nao
3. m5x3y4 é do 3o grau em relação à variável x. 4. 2 1 n 1 2 5 13 ⇒ n 1 4 5 13 ⇒ n 5 9 5. x6 é o monômio de maior grau. 6. 28a4, 26a3, 7a2, 10a, 5 Exercícios, páginas 58 e 59. 1.
1 2 xy 5 b) 4xy, 2xy 1 c) 2 x2, 10x2 2 a) 3x2y,2
2.
a) a2 1 6a2 2 2a2 5 5a2 b) 17ax 2 18ax 5 2ax 3 5xy 1 3xy 8xy c) xy 1 xy 5 5 5 5 5 2 2 2 d) 0,7x y1 3,1x y 5 3,8x y e) 10bc 2 12bc 1 7bc 2 3bc 5 2bc 2x2y2 1 2 2 4 2 2 5 2 2 6x2y2 1 8x2y2 2 15x2y2 f) xy 1 xy 2 xy 5 5 18 3 9 6 18 2x2y2 1 2 2 4 2 2 5 2 2 6x2y2 1 8x2y2 2 15x2y2 x y 1 x y 2 x y 5 5 3 9 6 18 18
3 4ay 1 3ay 2 16ay 9ay ay 2 4ay 5 52 4 4 4 4ay 1 3ay 2 16ay 9ay 2 4ay 5 52 4 4 h) 0,9ab3 1 2,5ab3 2 5,2ab3 5 21,8ab3
b)
g) ay 1
% bicicletas 44
3. a) b) c)
0,6ab2 2 ab2 1 0,3ab2 1 0,5ab2 5 0,4ab2 0,4 ? (21) ? (26)2 5 0,4 ? (21) ? 36 5 214,4 0,4 ? (0,4) ? (20,2)2 5 0,4 ? (0,4) ? (0,04) 5 5 0,0064
26
14 8
4. 5x2y2 1 P 5 9x2y2 ⇒ P 5 5 9x2y2 2 5x2y2 ⇒ P 5 4x2y2
0
Sudeste
5. a) 2ax b) 22ax 6.
7.
8. 9.
1. 2.
a) b)
c) 3ax d) 7ax
7x 2 (22x 1 x) 1 (23x 1 5x) 5 5 7x 2 (2x) 1 2x 5 10x 5y2 2 (24y2 1 7y2) 1 (2y2 1 9y2 2 11y2) 5 5 5y2 2 3y2 1 (23y2) 5 2y2
c)
Nordeste
Sul
Centro-Oeste
Norte
região
Transporte: 60 000 000 ? 0,53 5 5 31 800 000 Infantil: 60 000 000 ? 0,29 5 17 400 000 Lazer: 60 000 000 ? 0,17 5 10 200 000 Esporte: 60 000 000 ? 0,01 5 600 000
3.
a) Bicicletas. b) Bicicletas. c) 10ab 2 3ab 2 (ab 1 2ab 2 5ab) 2 8ab 5 3 3x 1 10x 1 20x 1 10 1000 5 10ab 2 3ab 2 (22ab) 2 8ab 5 c) x 1 x 1 (2x 1 1) 5 100 ⇒ 5 10 10 10 5 10ab 2 23ab 5 13ab 3 3x 1 10x 1 20x 1 10 1000 ⇒ x 1 x 1 (2x 1 1) 5 100 5 d) 2xy 1 25xy 1 2xy 2 (xy 1 4xy 210 2xy) 2 8xy 5 10 10 5 2xy 1 25xy 1 2xy 2 3xy 2 8xy 5 ⇒ 33x 1 10 5 1000 ⇒ 33x 5 990 ⇒ x 5 30 5 2xy 1 2 14xy 5 212xy Portanto: Carros: 30% 3 Motos: ? 30 5 9% a) 20bc 2 27bc 2 (11bc 2 40bc 2 6bc) 1 5bc 5 10 5 20 bc 2 2 7 bc 2 ( 2 35 bc ) 1 5 bc 5 Bicicletas: 2 ? 30 1 1 5 61% 5 20bc 2 33bc 5 213bc Exercícios, páginas 63 e 64. b) 15bc 1. 1,2ax 2 (20,6ax 1 3,4ax 2 2,9ax) 2 a) b8 2 (7,3ax 2 0,8ax) 5 1,2ax 2 (20,1ax) 2 b) 5x7 2 6,5ax 5 25,2ax c) 14y2 2y 1 5y 1 3y 5 10y d) 21,2a3 e) 20,75x2y3 Brasil real, páginas 59 a 61. m2n f) 2 14 d 5 9x 1 5x 1 18x 5 32x g) 2a5m2 a) Porcentagem da frota de bicicletas por região Região
Quantidade estimada
Porcentagem
Sudeste
26 400 000
44%
Nordeste
15 600 000
26%
Sul
8 400 000
14%
Centro-Oeste
4 800 000
8%
Norte
4 800 000
8%
2. a) b) c) d) e) f) g)
20a6b3c5 23ax3y2 1,35y7 0,1x5y3 40m3n3p2 x4y4z3 21,96a2m3n2
215
3. P 5 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n P 5 48n
i) 21,9xy4 j) 4n l) 21,6b 1 m) 2 b2 4 3 n) y 2 o) 10ax2 p) x2 q) 0,125mx
4. A 5 (3,5x) ? (1,6x) ⇒ A 5 5,6x2 5. a) produto: (22a2x) ? (21,6ax) 5 3,2a3x2 b) 3,2 ? (20,5)3 ? (20,5)2 5 5 3,2 ? (20,125) ? (0,25) 5 20,1 5 5 6. (2ax) ? 2 ax2 5 (a2x) 52 a4x4 2 4 5 5 v.n. 5 2 ? ( 2 2)4 ? (21)4 52 ? 16 ? 1 52 40 2 2 7. 4a
2. 4xy 3. (30a7x3) (6a4x2) 1 (26a3x) 5 5 5a3x 2 6a3x 5 2a3x
4. (220xy) ? (5x2y3) (10xy2) 5 100x3y4 (10xy2) 5 10x2y2 8. (2a) ? (2m) ? (2m3) ? (2a) 5 a2m4 2 3 2 3 4 2 2 2 2 1 (220xy4 ) ? (51x y ) (10xy ) 5 100x y (10xy ) 5 10x y v.n. 5 ? (22) 5 ? 16 5 1 16 4 5. (20a4m2) (29am 1 5am) 5 3 5 (20a4m2) (24am) 5 25a3m 9. 2 a2b 4 6. (210x3y) (22xy) 5 5x2 10. 5ab, 10a3b2, 20a5b3 Resposta errada. Regra: multiplicar por 2a2b 11 6 7. (2x6 1 x6) (2x3) 5 (3x6) (2x3) 5 23x3 b Próximos termos: 40a7b4, 80a9b5, 160a Resposta certa. último termo 11.
xy2 1 2xy2 1 6xy2 1 2 9 xy 1 xy2 1 3xy2 5 5 xy2 2 2 2
12. a) b) c) d)
A 5 x ? (0,5x) 5 0,5x2 Aamarelos 5 12 ? (0,5x2) 5 6x2 Aazuis 5 12 ? (0,5x2) 5 6x2 Atotal 5 24 ? (0,5x2) 5 12x2
8. 23a3b3 Exercícios, página 67. 1.
a10 4x8 2125y9 100a4b2 81x8y4 1 m4n2 f) 25 g) 0,25a2b4 h) a4m20x12 4 6 4 xy i) 9 j) a14c21 x 4y 4 l) 25 m) 0,01p10
Explorando, página 64. V1 5 a 1 2a 5 3a3 V2 5 a3 1 2a3 1 4a3 5 7a3 V3 5 2 ? (4a3) 1 2 ? (2a3) 1 2 ? a3 5 5 8a3 1 4a3 1 2a3 5 14a3 V4 5 2 ? (4a3) 1 2 ? (2a3) 1 2 ? a3 5 5 8a3 1 4a3 1 2a3 5 14a3 3
3
Exercícios, página 66. 1. a) b) c) d) e)
a5 x 1 4x3 23y3 1 3 ax f) 2 g) 24xy2 1 h) 3
216
a) b) c) d) e)
2.
a) (1,5b2c3)2 5 2,25b4c6 b) (0,4a5b3)3 5 0,064a15b9
1 x 2 3 2 4. (27y 1 10y 1 2y) (210y 2 15y2) 5 5 (5y)3 (225y2) 5 (125y3) (225y2) 5 25y 3. (22xy)2 (8xy2) 5 (4x2y2)(8xy2) 5
5.
a) (210x3)2 5 100x6 b) (100x6) (5x4) 5 20x2
4 2 1 8 20 1 8 18 c) 2 7a 1 5b 2 9c 1 13b 1 10c 2 5a 2 8b 1 c 5 1 2 5 1 4 9 2 6. 2 2 a c 2 4 a c 1 c 5 16 a c 16 a c 1 c 5 5 2a 1 10b 1 2c 4 2 d) 6x 2 5y 1 3xy 1 2xy 2 5x 1 9y 1 4x 2 1 8 20 1 8 18 1 a2c5 2 a4c9 1 c2 5 ac a c 1 c2 5 2 xy 2 y 5 5x 1 3y 1 4xy 16 16 4 e) 8x2 2 6x 1 1 1 7x 2 6x2 2 3 2 3x 2 x2 2 5 5 2 2 2 5 c 1 c 5 2c 5 x2 2 2x 2 7
Retomando o que aprendeu, página 68. (5x) ? (2,5x) 12,5x2 5 5 6,25x2 2 2 Alternativa d.
1. A 5
2. x2 2 0,2ax 1 2,5x2 2 a2 2 4,1ax 2 2x2 2 1,2a2 5 5 1,5x2 2 4,3ax 2 2,2a2 (trinômio) 3. a) x2 1 ax 1 ax 1 ax 1 x2 b) A 5 x ? x 1 a ? x 1 a ? x 1 a ? x 1 x ? x 5 2x2 1 3ax
5x 1 x 1 1 1 2. x 1 x 2 x ? 5 5 2 x ? 5 5 5 2 5 2 4. 0,5a 1 (2b 2 0,6ab 1 0,8a) 2 (0,7b 2 1,2ab) 5 7x 7x 1 6x 12x 2 5x 3 ,5 5 x 5 0,5a 1 2b 2 0,6ab 1 0,8a 2 0,7b 1 1,2ab 5 5 5 5 2 x ? 5 5 ? 5 ? 5 5 2 10 10 2 5 5 1,3a 1 1,3b 1 0,6ab 7x 7x 12x 2 5x 5x 5. ? 5 5 10 ? 5 5 2 5 3,5 10 a) 7a2 2 5a2 1 9a 2 2 2 2a 1 a2 2 1 5 Alternativa c. 5 3a2 1 7a 2 3 3. Menor: 3,5x b) 8ab 2 a 2 7b 1 5 2 5ab 1 2 2 b 1 4a 1 Maior: 30 ? (3,5x) 5 10,5x 1 2ab 2 6b 5 5ab 1 3a 2 14b 1 7 Produto: (3,5x) ? (10,5x) 5 36,75x2 c) 5a 1 3b 2 5a 1 a 2 4b 1 b 5 a Alternativa b. d) 2x2 2 2xy 2 x2 1 3xy 1 y2 2 2y2 2 xy 5 5x 14x 1 5x 19x 5 x2 2 y2 5 5 5 9,5x 4. 7x 1 2 2 2 6. Alternativa a. a) Binômios: a2 2 b2, x 1 2a b) Trinômios: y2 2 2y 1 1, x2y2 1 4xy 1 4
11 – Polinômios
7. a) b)
Exercícios, página 70. 1. 2x 1 3y 2. 45 1 0,50x
23r2 1 5rs 1 9r2 1 rs 2 6s2 2 14s2 1 1 6r2 1 5rs 1 8s2 5 12r2 1 11rs 2 12s2 12 ? (0,5)2 1 11 ? (0,5) ? (0,2) 2 12 ? (0,2)2 5 5 3 1 1,1 2 0,48 5 3,62
3. 4x 1 2y
Exercícios, páginas 72 e 73.
4.
1. 6o grau.
a) 10x 1 y b) 10y 1 x
2. 3o grau em relação a x.
5.
3. 2x 1 x3 2 9x2 2 2 5 x3 2 9x2 1 2x 2 2
a) 2a 1 b b) 2a 2 b
4. Incompleto; x3 1 0x2 1 0x 2 1.
6. a ? a 1 b ? a 1 b ? a 1 b ? b 5 a2 1 2ab 1 b2
5. a) 5x5 1 7x4 1 2x3 2 5x2 2 x 1 3 b) 5o grau.
Exercícios, página 71.
6. x5 1 0x4 1 0x3 1 0x2 1 0x 1 1
1. a) 5y 1 4y3 2 1 1 2y2 2 y3 2 y 1 7y2 2 1 5 5 3y3 1 9y2 1 4y 2 2 b) a2x 2 5a2x2 1 3a2x 2 7ax2 1 a2x2 2 2 2a2x 1 5ax2 5 2a2x 2 4a2x2 2 2ax2
7. a) 4o grau. b) Incompleto. c) x4 1 0x3 2 10x2 1 0x 1 9
217
Desafio!, página 73.
9.
1. a) As medidas indicadas correspondem aos perímetros. b) 6x 2. P1 5 6x; P2 5 6x 1 6; P3 5 6x 1 12
10.
3. a) 6 ? (5x) 5 30x b) 10 ? (6x) 5 60x Exercícios, páginas 75 e 76. 1. x2 2 9x 1 5 1 3x2 1 7x 2 1 5 4x2 2 2x 1 4 2. a) b) c) d)
2x 1 5y 3x 1 2y 2x 1 5y 1 3x 1 2y 5 5x 1 7y 5 ? 60 1 7 ? 300 5 300 1 2 100 5 2 400 Juntos gastaram R$ 2 400,00.
11.
3. D 5 (5ax 2 10x 2 9a) 2 (3ax 2 8x 2 12a) 5 5 5ax 2 10x 2 9a 2 3ax 1 8x 1 12a 5 5 2ax 2 2x 1 3a 4.
1 2a a 1 4x 1 1 3x 1 a 1 3x 1 a 5 2 3 3a 1 4a 1 6a 1 6a 19a 5 13x 1 5 13x 1 6 6
a) P 5 3x 1
b) 13 ? 1 1
12.
19 ? 6 5 13 1 19 5 32 6
5. a) b) c) d)
0,6x 2 1 0,4x 1 2 0,6x 2 1 1 0,4x 1 2 5 x 1 1 (0,6x 2 1) 2 (0,4x 1 2) 5 0,2x 2 3
a) b) c)
Loja A: 0,6x 1 2y Loja B: 0,4x 1 3y Diferença: (0,6x 1 2y) 2 (0,4x 1 3y) 5 5 0,2x 2 y
a) Oposto: 28x3 1 5x2 1 9x 2 4 b) A soma de qualquer número com seu oposto é zero. c) (8x3 2 5x2 2 9x 1 4) 2 (28x3 1 5x2 1 9x 2 4) 5 5 16x3 2 10x2 2 18x 1 8 a) b) c) d)
P1 1 P2 1 P3 5 (a 1 b 1 c) 1 (a 2 b 1 c) 1 1 (a 1 b 2 c) 5 3a 1 b 1 c P1 1 P2 2 P3 5 (a 1 b 1 c) 1 (a 2 b 1 c) 2 2 (a 1 b 2 c) 5 a 2 b 1 3c P1 2 P2 1 P3 5 (a 1 b 1 c) 2 (a 2 b 1 c) 1 1 (a 1 b 2 c) 5 a 1 3b 2 c P1 2 P2 2 P3 5 (a 1 b 1 c) 2 (a 2 b 1 c) 2 2 (a 1 b 2 c) 5 2a 1 b 1 c
a) b)
P 1 Q 5 x2 1 a2 2 2ax 1 2x2 1 5ax 1 3a2 5 5 3x2 1 4a2 1 3ax v.n. 5 3 ? (24)2 1 4 ? 102 1 3 ? 10 ? (24) 5 5 3 ? 16 1 4 ? 100 2 120 5 5 48 1 400 2 120 5 328 P 2 Q 5 x2 1 a2 2 2ax 2 2x2 2 5ax 2 3a2 5 5 2x2 2 2a2 2 7ax v.n. 5 2(1,2)2 2 2 ? (0,5)2 2 7 ? (0,5) ? (1,2) 5 5 21,44 2 2 ? (0,25) 1 4,2 5 5 21,44 2 0,5 1 4,2 5 2,26
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
6a 2 15b 1 7c 7y2 2 4ay 1 5a2 22a3 1 5a2b 2 ab2 2 5b3 2x2 1 2y2 1 4x2y2 0,2a2 2 0,6b2 2 0,8c2 4a2 2 4ab 1 5b2 1 2c2 0,2x3 1 0,3x2 1 0,4x 2 6 2ab 1 2a2b2 3y3 2 6y2 1 3
6.
Exercícios, páginas 81 e 82. 1. a) b)
(ab 1 6) (ab 2 2) 5 a2b2 2 2ab 1 6ab 2 12 5 5 a2b2 1 4ab 2 12 (x 2 20) (x 1 9) 5 x2 1 9x 2 20x 2 180 5 5 x2 2 11x 2 180
7. (13x2 2 11x 2 15) 1 (27x2 2 2x 1 16) 5 5 6x2 2 13x 1 1 2. Ax2 1 Bx 1 C a) 2bx (1 2 a) 1 2x (a 2 b 2 c) 2 2x (a 2 c) 5 A 5 6, B 5 213, C 5 1 5 2bx 2 2abx 1 2ax 2 2bx 2 2cx 2 2ax 1 2cx 2 2ax 1 2cx 52 A1B1C561 1 5126 5(213) 2bx 21 2abx 2ax 2 2bx 2 2cx 2 2ax 1 2cx 2 2ax 1 2cx 52 2abx b) 3a (2a 2 b) 2 a (6a 2 3b) 2 b (3a 2 5b) 5 2 2 8. (7x 1 2xy 1 3y 2 2x y ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (6x 2 13xy 1 2y 2 x y ) 5 5 6a 2 3ab 2 6a 1 3ab 1 3ab 2 5b 5 3ab 2 5b 2 2 2 2 2 2 5 x 1 15xy 1 y 2 x5y 6a 2 3ab 2 6a 1 3ab 1 3ab 2 5 b 5 3ab 2 5b
218
2 4 2 y ? (2x 2 y) 5 xy 2 y2 3 3 3 2 2 2 4. a ? (a 2 ab 1 b ) 1 b ? (a 2 ab 1 b2) 5 5 a3 2 a2b 1 ab2 1 a2b 2 ab2 1 b3 5 a3 1 b3 3. A verde 5
5. 10 ? (x 1 4y) 5 10x 1 40y 6. V 5 3x ? y ? (x 1 y) 5 3x2y 1 3xy2 7. A 5 (3x 1 2y) ? (3x 2 y) 5 5 9x2 2 3xy 1 6xy 2 2y2 5 5 9x2 1 3xy 2 2y2
d) (x 1 y)3 5 (x 1 y) (x 1 y) (x 1 y) 5 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 14. VI 5 x ? (3x 1 1) ? 2x 5 6x3 1 2x2 VII 5 (x 1 1) ? x ? (x 1 3) 5 x3 1 4x2 1 3x VI 1 VII 5 7x3 1 6x2 1 3x 15. A 5 (a 1 x)(a2 2 ax 1 x2) 5 a3 2 a2x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3
A 5 (a 1 x)(a2 2 ax 1 x2) 5 a3 2 a2x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3 B 5 (a 2 x)(a2 1 ax 1 x2) 5 a3 1 a2x 1 ax2 2 a2x 2 ax2 2 x3 5 a3 2 x3
B 5 (a 2 x)(a2 1 ax 1 x2) 5 a3 1 a2x 1 ax2 2 a2x 2 ax2 2 x3 5 a3 2 x3 8. A 5 (a 1 b)2 5 (a 1 b) (a 1 b) 5 5 a2 1 2ab 1 b2 A 2 B 5 (a3 1 x3) 2 (a3 2 x3) 5 2x3 2 2 v.n. 5 4 1 2 ? 4 ? 2 1 2 5 16 1 16 1 4 5 36 16. 9. Averde 5 (3x 1 y) ? (2x 2 y) 5 a) (x 2 2) (x 2 3) 2 (x 2 4) (x 2 5) 5 5 6x2 2 3xy 1 2xy 2 y2 5 6x2 2 xy 2 y2 5 (x2 2 5x 1 6) 2 (x2 2 9x 1 20) 5 4x 2 14 v.n. 5 6 ? 22 2 2 ? 1 2 12 5 24 2 2 2 1 5 21 b) (a3 2 b3)(2a 1 b) 2 (a2 1 b2)(a2 2 b2) 5 a4 1 a3b 2 ab3 2 b4 2 a4 1 a2b 2 (1,2a 1 0,5b)(1,2a 1 0,5b) 5 1,44a 2 0,6ab 1 0,6ab 1 0,6ab 10. 2 2 0,25b 4 3 3 4 4 2 2 2 2 4 (a3 2 b3)(a 1 b) 22(a2 1 b2)(a2 2 b ) 5 a 1 a b 2 ab 2 b 2 a 1 a b 2 a b 1 b 5 2 ,2a 1 0,5b)(1,2a 13 0,5b) 5 1,44a 2 0,6ab 1 0,6ab 1 0,6ab 2 0,25b (a 2 b3)(a 1 b) 22 (a2 1 b2)(2a2 2 b2) 5 a4 1 a3b 2 ab3 2 b4 2 a4 1 a2 b2 2 a2b2 1 b4 5 5 a3b 2 ab3 51,44a 2 0,25b c) (a 2 2b) a (b 2 3) 1 b (1 2 a) 5 (a 2 2b) ab 2 3a 1 b 2 ab 5 11. (a 2 2b) a (b 2 3) 1 b (1 2 a) 5 (a 2 2b) ab 2 3a 1 b 2 ab 5 a) (x 1 7) (x 1 5) 5 x2 1 12x 1 35 2 2 2 2 5 (a 2 2b) 23a 1 b 52 3a 1 ab 1 6ab 2 2b 52 3a 1 7ab 2 2b b) (y 2 6) (y 1 5) 5 y2 2 y 2 30 c) (2a 1 b) (a 2 5 2b) 52b) 23a 1 b 52 3a2 1 ab 1 6ab 2 2 b2 52 3a2 1 7ab 2 2b2 (a 2 2 5 2a 2 4ab 1 ab 2 2b2 5 2a2 2 3ab 2 2b2 d) (x 2 1)(x 1 1) 1 3(x 2 1)(x 2 1) 1 3(x 2 1) 1 1 5 d) (3a 2 1,5x) (0,7a 2 5x) 5 2 2 2 5 x 1 x 2 x 2 1 1 3x 2 3x 1 3x 1 3 1 3x 2 3 1 1 5 4x 2 3x 2 5 2,1a2 2 15ax 2 1,05ax 1 7,5x 5 5 x2 1 x 2 x 2 1 1 3x2 2 3x 1 3x 1 3 1 3x 2 3 1 1 5 4x2 2 3x 5 2,1a2 2 16,05ax 1 7,5x2 e) (2x 1 1) (26x2 2 5x 1 3) 5 17. (x2 2 xy 1 y2)(x2 1 xy 1 y2)(x2 2 y2) 5 5 212x3 2 10x2 1 6x 2 6x2 2 5x 1 3 5 5 (x4 1 x3y 1 x2y2 2 x3y 2 x2y2 2 xy3 1 x2y2 1 xy3 1 y4)(x2 2 y2) 5 5 212x3 24 16x32 1 x 1 3 5 (x 1 x y 1 x2y2 2 x3y 2 x2y2 2 xy3 1 x2y2 1 xy3 1 y4)(x2 2 y2) 5 (x4 1 x2y2 1 y4)(x2 2 y2) 5 x6 2 x4y2 1 x4y2 2 x f) (a2 2 1) (2a2 2 2a 1 1) 5 2 2 4 2 2 6 4 2 4 2 2 4 2 4 6 6 6 5 (x24 1 5 2a4 2 2a3 1 a2 2 2a2 1 2a 1x 5 y 1 y )(x 2 y ) 5 x 2 x y 1 x y 2 x y 1 x y 2 y 5 x 2 y 5 2a4 2 2a3 2 a2 1 2a 2 1 v.n. 5 26 2 (21)6 5 64 2 1 5 63
2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 g) (a 1 x)(a 2 ax 1 x ) 5 a 2 a x 1 ax 1 a x 2 ax 1 x 5 a 1 x 2 3 2 2 2 2 3 3 3 (a 1 x)(a 2 ax 1 x ) 5 a 2 a x 1 ax 1 a x 2 ax 1 x 5 a 1 x Desafio!, página 83. 2 x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3 Pela ponta esquerda, na ordem: 12. (2x2 2 x 2 3) (3x2 1 x 2 2) 5 BRDRCRA 5 6x4 1 2x3 2 4x2 2 3x3 2 x2 1 2x 2 9x2 2 Pela ponta direita, na ordem: 2 3x 1 6 5 6x4 2 x3 2 14x2 2 x 1 6 A 5 ARCRDRB 5 6; B 5 21; C 5 214; D 5 21 e E 5 6, logo: A 1 B 1 C 1 D 1 E 5 6 2 1 2 14 2 1 1 6 5 24 Brasil real, páginas 84 e 85. 13. 1. a) (x 1 6)2 5 (x 1 6) (x 1 6) 5 x2 1 12x 1 36 2 a) Nordeste: x; Norte: x 1 1,3; Centrob) (a 2 2b) 5 (a 2 2b) (a 2 2b) 5 -Oeste: x 1 4; Sudeste: x 1 5; Sul: x 1 5. 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 b) Nordeste: y; Norte: y 1 2,7; Centro-Oeste: c) (1 1 3xy) 5 (1 1 3xy) (1 1 3xy) 5 y 1 4,3; Sudeste: y 1 4; Sul: y 1 5,3. 5 1 1 6xy 1 9x2y2 2
219
2.
(82,2 1 0,2 1 80,2 1 79,6 1 78,9 1 78,5 1 77,5 1 75,3 1 71,9 1 70,8 1 65,2 1 65,2 1 63,6 1 47,0) 13 950,9 Média 5 13 5 73,14 anos
a) Média 5 b) c) d)
Maior esperança de vida: 82,2 anos no Japão Menor esperança de vida: 47 anos na África do Sul Variação da esperança: 82,2 2 47 5 35,2 anos. Variação Japão/Brasil: 82,2 2 70,8 5 11,4 anos Segundo dados do PNUD, a pior expectativa de vida ao nascer do planeta é a Suazilândia, na África, com 31,3 anos. Exercícios, páginas 89 e 90.
7.
12x2 1 5x 2 2 3x 1 2
1. a) b) c) d) e)
27x2 1 2 a 2 b2 7x2 2 4ax 5y4 2 8y3 2 3 (x4y4 1 x4y6 2 x5y5) (x4y4) 5 1 1 y2 2 xy 3 f) a3b 2 a 2 5 g) 2x4 2 x2 1 x 2 3 3 1 2 2 5 h) 2 3 a b 1 4 ab
212x2 2 8x 2 3x 2 2 3x 1 2 0 8.
2x4 2 9x3 2 6x2 1 16x 2 3 2 2x4 2 x3 1 3x2
(60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4) (10ax) 5 5 6a3x 2 4ax3 1 9a3x3 (60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4) (10a2x2) 5 5 6a2 2 4x2 1 9a2x2 (60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4) (210a2x) 5 5 26a2x 1 4x3 1 9a2x3
3. (12a2x3 1 15a3x2) (3ax) 5 4ax2 1 5a2x
x2 2 5x 1 1
10x3 1 5x2 2 15x 2x2 1 x 2 3 2 2x2 2 x 1 3 0 P 5 x2 2 5x 1 1 v.n. 5 52 2 5 ? 5 1 1 5 1 9.
a)
x3 2 3x2 2 x 1 6
x 22
4. (x3y3 1 4x2y2 2 x2y) 1 (23x2y2 1 2x2y 2 xy2 2 xy) (xy) 5 2 x3 1 2x2 (x y 1 4x y 2 x2y) 1 (23x2y2 1 2x2y 2 xy2 2 xy) (xy) 5 2 x2 2 x 1 6 3 3 2 2 2 2 2 2 5 x y 1 x y 1 x y 2 xy 2 xy (xy) 5 x y 1 xy 1 x 2 y 2 1 x2 2 2x 2 2 2 2 2 1 x y 2 xy 2 xy (xy) 5 x y 1 xy 1 x 2 y 2 1 2 3x 1 6 3 3
x2 2 x 2 3
2 2
5 4 3 2 3 2 5. (2a 2 8a 2 20a )(2a ) 2 (a 1 4a 2 10a) 5 5 a3 2 4a2 2 10a 2 (a3 1 4a2 2 10a) 5 2 8a2
6. (6x2 1 13x 2 5) (3x 2 1) v.n. para x 5 20,5 6x2 1 13x 2 5 3x 2 1 26x2 1 2x
0 v.n. 5 2 ? (20,5) 1 5 5 21 1 5 5 4
220
3x 2 6 0 2 Q5x 2x23 R50 b) 2x2 1 7x 2 15 22x2 2 10x
2x 1 5
15x 2 5 215x 1 5
2x2 1 x 2 3
2 10x3 2 3x2 1 16x 2 3
2. a) b) c)
4x 2 1
2 3x 2 15 3x 1 15 0 Q 5 2x 2 3 R50
x 15 2x 2 3
c) x3 1 2x2 2 3x 2 5 3 2 2 x 2 x 1 2x
11. 2
x 1 x 22
2x3 2 7x2 1 11x 2 10
x 11
3
22x 1 4x
x2 2 x 2 5
2 x 2 x 12
Q5x11 R 5 22x 2 3
2x2 2 3x 1 5
23x2 1 11x 2 10
2
Ax2 1 Bx 1 C
3x2 2 6x 5x 2 10 2 5x 1 10
2 2x 2 3
∴ A 5 2, B 52 3, C 5 5
0 5A 1 3B 1 2C 5 10 2 9 1 10 5 11
d) x3 2 1
x 21
3
2x 1 x
2
12.
2
x 1 x 11
x5
2
x 21
2 x3 1 5x2
2 2x4
2
2 x 1x
5
4
3
(1)
2 6x 1 30 3
2
x 2 2x 1 5x 1 7x 2 16x 1 30 5
2x 1 2x4 2 6x3
0
1 2x2 2 10x 6x
x 21 2x 11
x 22
2
x2 2 2x 1 6 x3 2 x 1 5
2x3 1 7x2 2 16x 1 30
Q 5 x2 1 x 1 1 R50
x3 2 2x2 1 6x 2
15x 2 10x 1 30
e) 5
4
3
2
6x 1 3x 2 13x 2 4x 1 5x 1 3 26x
5
3
1 4x 1 2x 4
3
2
25x2 1 10x 2 30
3
3x 2 2x 2 1
0
3 2x2 1 x 23
v.n. 5 (22)3 2 (22) 1 5 5
2
3x 2 9x 2 2x 1 5x 1 3 23x4
5 28 1 2 1 5 5 21
1 2x2 1 x 2 9x3
1 6x 1 3
1 9x3
2 6x 2 3 0
Q 5 2x 1 x 2 3 R50 2
13. 9x3 2 36x2 1 29x 2 6 x 2 3 29x3 1 27x2 29x2 1 29x 2 6 9x2 2 27x 2x 2 6 2 2x 1 6
10. 22x4 1 5x2 1 2x 1 4 2x4 2 8x2
x2 2 4 2 2x2 2 3
2
2 3x 1 2x 1 4 3x2
9x2 2 9x 1 2
212 2x 2 8
Q 5 22x2 2 3 R 5 2x 2 8 Q 1 R 5 22x2 1 2x 2 11
0 2
1 1 v.n.5 9 ? 2 2 9 ? 2 1 2 5 3 3 59 ?
1 9 1 12 5 9 3
51 13 12 56 14. (2x 1 3) ? (x 2 1) 1 6 5 5 2x2 2 2x 1 3x 2 3 1 6 5 2x2 1 x 1 3
221
15. 3x3 2 2x2 2 41x 1 60
x 23
23x3 1 9x2
3x2 1 7x 2 20
2
7x 2 41x 1 60
2
23x 2 12x
27x2 1 21x
3x 2 5
2 5x 2 20
2 20x 1 60
5x 1 20
20x 2 60
¨
x14
0
0 O terceiro fator é 3x 2 5. 16. P 5 (x2 2 1) ? (x 1 2) 1 (x 2 3) 5 x3 1 2x2 2 x 2 2 1 x 2 3 P 5 x3 1 2x2 2 5 x3 1 2x2 2 5
x 22
2x3 1 2x2
x2 1 4x 1 8
4x2 2 5 24x2 1 8x 8x 2 5 28x 1 16 Q 5 x2 1 4x 1 8 R 5 11 17.
11
3x3 2 15x2 2 12x 1 60 23x3
1 12x
x2 2 4 3x 2 15 5 P1
215x2
1 60
15x2
2 60 0
3x3 2 15x2 2 12x 1 60 x2 2 7x 1 10 23x3 1 21x2 2 30x
3x 1 6 5 P2
2
6x 2 42x 1 60 26x2 1 42x 2 60 0 P1 ? P2 5 (3x 2 15) ? (3x 1 6) 5 5 9x2 1 18x 2 45x 2 90 5 9x2 2 27x 2 90 Tratando a informação, páginas 90 e 91. 1.
222
(74, 4 2 66,8) 1 (74,7 2 67) 1 (74,9 2 67,3) 1 (75,2 2 67 7,6) 1 (75,5 2 67,9) 1 (75,8 2 68,2) 6 7,6 1 7,7 1 7,6 1 7,5 1 7,6 1 7,6 45,6 Média 5 5 5 7,6 anos 6 6 75,8 1 68,2 144 b) Em 2005: Média 5 5 5 72 2 2 74, 4 1 66,8 141,2 Em 2000: Média 5 5 5 70,6 2 2 Diferença: 72 2 70,6 5 1,4 ano
a) Média 5
c)
Idade (em anos)
Expectativa de vida ao nascer 78 76 74 72 70 68 66
74,4
74,7
66,8 67,0
74,9
67,3
75,2
75,5
75,8
67,6
67,9
68,2
1 2 1 1 x 6. 1 1 x 1 2 x 5 1 2 16 4 4 1 16 v.n.5 1 2 ? 42 5 1 2 51 21 5 0 16 16 7. (2a 1 3)2 1 (a 2 5)2 5 4a2 1 12a 1 9 1 a2 2 2 10a 1 25 5 5a2 1 2a 1 34 2
05
03
02
01
04
20
20
20
20
20
20
00
8. (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 2 2(x2 2 1) 5 x2 1 2x 1 1 1 x2 2 2x 1 1 2 2x 1 2 5 2 (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 2 2(x2 2 1) 5 x2 1 2x 1 1 1 x2 2 2x 1 1 2 2x 1 2 5 4 9. Ano Homens Mulheres a) Verdadeira. b) Falsa; (3y 2 a) (3y 1 a) 5 9y2 2 a2. 2. c) Falsa; (2c 1 a)2 5 4c2 1 4ac 1 a2. a) Mais: Distrito Federal d) Verdadeira. Menos: Alagoas 10. (2a 1 b)2 2 6ab 2 (a 2 b)2 5 4a2 1 4ab 1 b2 2 6ab 2 a2 1 2ab 2 b2 5 b) Não, apenas o 2o e o 3o lugares: Santa 2a 1 b)2 2 6ab 2 (a 2 b)2 5 4a2 1 4ab 1 b2 2 6ab 2 a2 1 2ab 2 b2 5 3a2 Catarina e Rio Grande do (Sul. 11. (3xy 1 7) (3xy 1 7) 5 (3xy 1 7)2 5 1921,1 c) Média 5 5 71,1 anos 5 9x2y2 1 42xy 1 49 27 Abaixo da média estão 14 estados. d) Resposta em aberto.
12. ((x 1 4)2 2 (x2 1 8x) 5 x2 1 8x 1 16 2 x2 2 8x 5 16
13. (a 2 2b)2 2 (a2 2 2ab 1 4b2) 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 a2 1 2ab 2 4b2 52 2a (a 2 2b)2 2 (a2 2 2ab 1 4b2) 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 a2 1 2ab 2 4b2 52 2ab
12 – Os produtos notáveis Exercícios, páginas 97 e 98. 1. a) 49a2 2 1 b) 4 1 36x 1 81x2 c) 36x2 2 12xy 1 y2 4 d) 9x2 1 4ax 1 a2 9 e) a8 2 m8 f) a6 1 12a3y2 1 36y4 g) m4 1 4m2n3 1 4n6 1 h) b2c2 2 a2 9 i) 9a2b2 1 6ab 1 1 2. a) (2a2 1 0,6b) (2a2 2 0,6b) 5 4a4 2 0,36b2 b) (1 1 0,5x) (1 2 0,5x) 5 1 2 0,25x2 c) (abc 1 1,6) (abc 2 1,6) 5 a2b2c2 2 2,56
14. x2 1 y2 5 153; xy 5 36 (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 x2 1 y2 1 2xy 5 5 153 1 2 ? 36 5 153 1 72 5 225 15. a2 1 4b2 5 30; ab 5 5 (a 2 2b)2 5 a2 2 4ab 1 4b2 5 5 a2 1 4b2 2 4ab 5 30 2 4 ? 5 5 5 30 2 20 5 10 16. O outro é b 1 c, pois (b 2 c) (b 1 c) 5 b2 2 c2. 17. (b3 2 a) (b3 1 a) 1 (b2 2 a) (b2 1 a) 1 1 (b 2 a) (b 1 a) 5 5 b6 2 a2 1 b4 2 a2 1 b2 2 a2 5 5 b6 1 b4 1 b2 2 3a2 v.n. 5 (21)6 1 (21)4 1 (21)2 2 3 ? (21)2 5 5111112350 18. O quadrado da soma de dois números mais 5: (x 1 y)2 1 5. Alternativa c. 19.
3. (3x 1 5) (3x 2 5) 5 9x2 2 25 Alternativa a. 4. (2x 2 y3)2 5 4x2 2 4xy3 1 y6 A resposta de Caio está errada.
a) 6x b) 6x c) x2 1 6x 1 6x 1 36 5 x2 1 12x 1 36
20.
a) (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 5. (a 2 b)2 1 (a 1 b)(a 2 b) 2 (a 1 b)2 5 b) (1 2 2a)3 5 1 2 6a 1 12a2 2 8a3 2 2 2 2 2 2 2 5 a 2 2ab 1 b 1 a 2 ab 1 ab 2 b 2 a 2 2ab 2 b 5c) a2 2 4ab (2x 12 y)b3 5 8x3 1 12x2y 1 6xy2 1 y3 2 2 2 2 2 2 a 2 ab 1 ab 2 b 2 a 2 2ab 2 b 5 a 2 4ab 2 b d) (4y 21)3 5 64y3 2 48y2 1 12y 2 1
223
s) x (a 1 b) 1 y2 (a 1 b) 2 z (a 1 b) 5 21. (a 2 b)3 2 (a3 2 b3) 1 4ab (a 2 b) 5 5 (a 1 b) (x 1 y 2 z) 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 2 a3 1 b3 1 4a2b 2 4ab2 5 a2b 2 ab2 2 5 3 3 2 1 2 2 b3 2 a3 1 b3 1 4a2b 2 4ab2 5 a2b 2 ab2 t) x 2 x 5 x (5x 2 3) 4 4 4
13 – Fatorando polinômios Exercícios, página 100.
2. a) 2mx2 2 2my2 5 2m (x2 2 y2) b) v.n. 5 2 ? 10 ? 16 5 320
1. a) 30 5 2 ? 15 5 3 ? 10 5 5 ? 6 b) 60 5 2 ? 30 5 3 ? 20 5 6 ? 10 c) 48 5 2 ? 24 5 3 ? 16 5 4 ? 12 d) 120 5 2 ? 60 5 3 ? 40 5 4 ? 30 Existem outras possibilidades. 2. a) b) c) d)
180 5 22 ? 32 ? 51 420 5 22 ? 31 ? 51 ? 71 200 5 23 ? 52 648 5 23 ? 34
ab a2b ab2 ab 1 a 1 2 5 1 2 b 8 4 2 2 4 2
u)
3. xy3 1 7xy2 23xy 5 xy ? (y2 1 7y 2 3) v.n. 5 6 ? (20 2 3) 5 6 ? 17 5 102 4. a (2x 2 y) 1 b (2x 2 y) 1 c (2x 2 y) 5 5 (2x 2 y) (a 1 b 1 c) v.n. 5 20 ? 12 5 240 5.
semiperímetro
3x y 1 3xy 53xy ? (x 1 y) 2
2
área
3. ax 1 ay 5 a ? (x 1 y)
v.n.5 3 ? 32 ?
4. a) x2 2 y2 5 (x 1 y) (x 2 y) b) b2 2 c2 5 (b 1 c) (b 2 c)
24 5 1152 2 Desafio!, página 104.
ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 Exercícios, páginas 102 e 103. soma dos + velhos ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 (c 1 d) (a 1 b) 1. soma dos 1 novos a) 10a 1 10b 5 10 (a 1 b) ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 59 ? 34 5 2 006 b) 4a 2 3ax 5 a ? (4 2 3x) 2 c) a 1 5ab 5 a ? (a 1 5b) Exercícios, página 105. d) xy 1 y2 2 y 5 y ? (x 1 y 21) e)
1 1 1 1 a 1 b 5 a 1 b 3 6 3 2
f) 35c 1 7c2 5 7c ? (5 1 c) g) 24x5 2 8x4 2 56x3 5 8x3 (3x2 2 x 2 7) h) p ? a2 1 pab 1 pb2 5 p (a2 1 ab 1 b2) i) 35x3y2 2 14x2y3 5 7x2y2 ? (5x 2 2y) j) y 1 y3 1 y5 1 y75 y (1 1 y2 1 y4 1 y6) l) xy 2 x3y3 5 xy ? (1 2 x2y2) m) 120ax3 2 100ax2 1 60ax 5 5 20ax (6x2 2 5x 1 3) n) a (m 1 1) 2 b (m 1 1) 5 (m 1 1) (a 2 b) o) x (n 1 h) 1 y (n 1 h) 5 (n 1 h) (x 1 y) p) b2m2 1 4b2mn 5 b2 ? m (m 1 4n) 2 5 8 3 2 3 2 q) a 1 a 5 a (a 1 4) 3 3 3 3 5 a a a a r) 1 1 5 ? (1 1 a2 1 a4) 2 2 2 2
224
(c 1 d)
soma dos + velhos
1. a) b) c) d) e) f) g)
a2 1 ab 1 ax 1 bx 5 5 a (a 1 b) 1 x (a 1 b) 5 (a 1 b) (a 1 x) ax 2 x 1 ab 2 b 5 5 x (a 2 1) 1 b (a 2 1) 5 (a 2 1) (x 1 b) a5 1 a3 1 2a2 1 2 5 5 a3 (a2 1 1) 1 2 (a2 1 1) 5 5 (a2 1 1) (a3 1 2) bx2 2 2by 1 5x2 2 10y 5 5 b (x2 2 2y) 1 5 (x2 2 2y) 5 5 (x2 2 2y) (b 1 5) cx 1 x 1 c 1 1 5 5 x ? (c 1 1) 1 1 ? (c 1 1) 5 (c 1 1) (x 1 1) 2b2 1 2 2 b2k 2 k 5 5 2 (b2 1 1) 2 k (b2 1 1) 5 (b2 1 1) (2 2 k) 5y3 2 4y2 1 10y 2 8 5 5 y2 (5y 2 4) 1 2 (5y 2 4) 5 (5y 2 4) (y2 1 2)
(a 1 b)
soma dos 1 novos
a g) 49h2 2 81p2 5 (7h 1 9p) (7h 2 9p) 2 1 1 1 h) 2 x2y2 5 1 xy 2 xy 100 10 10 2 c c c i) b2 2 5 b1 ? b 2 16 4 4 a2 1 a 1 a 1 j) 2 5 1 ? 2 25 4 2 5 2 5 4 4 2 2 2 2 l) x 2 y 5 (x 1 y ) (x 2 y ) m) a2b4 2 x2 5 (ab2 1 x) (ab2 2 x) n) a6 2 b6 5 (a3 1 b3) (a3 2 b3) 1 o) x10 2 100 5 (x5 1 10) (x5 2 10) 1 y 2 p) y8 2 9 5 (y4 1 3) (y4 2 3) q) r2 2 81s4 5 (r 1 9s2) (r 2 9s2)
ax a a 2 5 1 (x 2 1) 1 (x 2 1) 5 (x 2 1) 1 1 2 2 2 a a a 2 5 1 (x 2 1) 1 (x 2 1) 5 (x 2 1) 1 1 2 2 2 h) x 2 1 1
i) 15 1 5y 1 2ay 1 6a 5 5 5 (3 1 y) 1 2a (y 1 3) 5 (y 1 3) (5 1 2a) j) a12 1 a8 2 a4 2 1 5 a8 (a4 1 1) 2 1 ? (a4 1 1) 5 5 (a4 1 1) (a8 2 1) l) 2an 1 n 2 2am 2 m 5 5 n (2a 1 1) 2 m (2a 1 1) 5 (2a 1 1) (n 2 m) 1 1 1 m) 1 x 1 xy 1 y 5 (1 1 x) 1 y (x 1 1) 5 (x 1 1) 2 2 2 1 1 y 1 y 5 (1 1 x) 1 y (x 1 1) 5 (x 1 1) 1 y 2 2 2. ac 2 bc 1 ad 2 bd 5 5 c (a 2 b) 1 d (a 2 b) 5 (a 2 b) (c 1 d) v.n. 5 (21, 1) ? (2, 5) 5 22,75
2.
3. a) b) c)
ax 2 bx 1 cx 1 ay 2 by 1 cy 5 5 x (a 2 b 1 c) 1 y (a 2 b 1 c) 5 5 (a 2 b 1 c) (x 1 y) am 1 bm 1 m 2 an 2 bn 2 n 5 5 m (a 1 b 1 1) 2 n (a 1 b 1 1) 5 5 (a 1 b 1 1) (m 2 n) a (x 1 y) 1 b (x 1 y) 1 x (a 1 b) 1 y (a 1 b) 5 5 (x 1 y) (a 1 b) 1 (a 1 b) (x 1 y) 5 5 2 (a 1 b) (x 1 y)
4. a) x2 2 xz 1 2xy 2 2yz 5 5 x (x 2 z) 1 2y (x 2 z) 5 (x 2 z) (x 1 2y) b) v.n. 5 5 ? 27 5 135 5.
5x 1 2y 5 29 2x 2 2y 5 13
1
7x 5 42 ⇒ x 5 6
v. n. 5
18 26 ? 5 9 ? 13 5 117 2 2
a) b) c) d) e) f)
(x 2 5)2 2 16 5 (x 2 5 1 4) (x 2 5 2 4) 5 5 (x 2 1) (x 2 9) (y 1 1)2 2 9 5 (y 1 1 1 3) (y 1 1 2 3) 5 5 (y 1 4) (y 2 2) (a 1 b)2 2 c2 5 (a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) (m 1 5)2 2 25 5 5 (m 1 5 1 5) (m 1 5 2 5) 5 m (m 1 10) (3x 2 1)2 2 x2 5 5 (3x 2 1 1 x) (3x 2 1 2 x) 5 5 (4x 2 1) (2x 2 1) (x3 1 2)2 2 x6 5 5 (x3 1 2 1 x3) (x3 1 2 2 x3) 5 5 2 (2x3 1 2)
a) b)
x2 2 (x 2 y)2 5 (x 1 x 2 y) (x 2 (x 2 y)) 5 5 (2x 2 y) ? y x2 2 (x 1 2)2 5 (x 1 x 1 2) (x 2 (x 1 2)) 5 5 (2x 1 2) (22)
3.
4. a2b2 2 x2 5 (ab 1 x) (ab 2 x) v.n. 5 7 ? 3 5 21 5. 9x2 2 y2 5 (3x 1 y) (3x 2 y) v.n. 5 (26) ? (212) 5 72
Exercícios, página 107. 1. a) x2 2 81 5 (x 1 9) (x 2 9) b) 100 2 a2 5 (10 1 a) (10 2 a) 4 2 2 c) b2 2 5 b 1 b 2 25 5 5 d) 1 2 m2n2 5 (1 1 mn) (1 2 mn) e) 16x2 2 9y2 5 (4x 1 3y) (4x 2 3y) 1 1 1 f) 2 4y2 5 1 2y 2 2y 9 3 3
Exercícios, páginas 109 e 110. 1. a) b) c) d)
Sim; (x 1 3y)2. Sim; (4a 2 3x)2. Não. Sim; (2x 2 1)2.
2. 4x2 1 16x 1 16 5 4 ? (x2 1 4x 1 4) 5 5 4 ? (x 1 2)2
Alternativa d.
225
x 5 0 3. x 1 10x 1 25 5 (x 1 5) O lado mede b) x 2 12x 5 0 ⇒ x (x 2 12) 5 0 ⇒ ou x 2 12 5 0 ⇒ x 5 12 x 1 5. x 5 0 2 x 2 12x 5 0 ⇒ x (x 2 12) 5 0 ⇒ ou 4. x 2 12 5 0 ⇒ x 5 12 a) 4x2 2 12xy 1 9y2 5 (2x 2 3y)2 2 2 b) y 1 10y 1 25 5 (y 1 5) x 5 0 2 2 2 c) x 1 5x 5 0 ⇒ x (x 1 5) 5 0 ⇒ ou c) 81n 2 18n 1 1 5 (9n 2 1) x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 x 5 0 d) 4a2 1 16ax 1 16x2 5 (2a 1 4x)2 2 e) 121x2y2 1 44xy 1 4 5 (11xy x1 1 2)52 x 5 0 ⇒ x (x 1 5) 5 0 ⇒ ou 2 x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 2 1 1 f) x2 2 x 1 5 x 2 x 1 1 5 0 ⇒ x 521 5 25 5 2 d) x 2 1 5 0 ⇒ (x 1 1)(x 2 1) 5 0 ⇒ ou g) 100p2 2 20np 1 n2 5 (10p 2 n)2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 x 1 1 5 0 ⇒ x 521 h) y2 1 14y 1 49 5 (x 1 7)2 2 0 ⇒ ou 6 3 3 2x 2 1 5 0 ⇒ (x 1 1)(x 2 1) 5 i) a 1 12a 1 36 5 (a 1 6) 2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 1 1 1 1 1 j) m2 2 m 1 5 m 2 4 3 9 2 3 x 1 8 5 0 ⇒ x 52 8 2 l) 4p2 2 28p 1 49 5 (2p 2 7)2 e) x 2 64 5 0 ⇒ (x 1 8)(x 2 8) 5 0 ⇒ ou x 2 8 5 0 ⇒ x 5 8 m) 16x4 1 8x2y 1 y2 5 (4x2 1 y)2 x 1 8 5 0 ⇒ x 52 8 2 2 n) x2 2 2bcx 1 b2c2 5 (x 2 xbc) 2 64 5 0 ⇒ (x 1 8)(x 2 8) 5 0 ⇒ ou x 2 8 5 0 ⇒ x 5 8 o) m10 1 4m5n3 1 4n6 5 (m5 1 2n3)2 x 5 0 5. 2 f) x 2 9 x 5 0 ⇒ x ( x 2 9 ) 5 0 ⇒ ou a) Sim; (x 1 8y)2. x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 x 5 0 b) v.n. 5 102 5 100 x2 2 9x 5 0 ⇒ x (x 2 9) 5 0 ⇒ ou 6. (x2 1 2xy 1 y2) 1 (x2 2 2xy 1 y2) 5 x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 5 (x 1 y)2 1 (x 2 y)2 x 1 9 5 0 ⇒ x 52 9 v.n. 5 (29)2 1 132 5 81 1 169 5 250 g) x2 2 81 5 0 ⇒ (x 1 9)(x 2 9) 5 0 ⇒ ou 7. x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 x 1 9 5 0 ⇒ x 52 9 a) 11 2 x 2 81 5 0 ⇒ (x 1 9)(x 2 9) 5 0 ⇒ ou b) 112x x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 c) 12a x 5 0 d) 2abx h) x2 2 x 5 0 ⇒ x (x 2 1) 5 0 ⇒ ou e) 19 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 x 5 0 f) 1x 2 x 2 x 5 0 ⇒ x (x 2 1) 5 0 ⇒ ou 8. 4a2 2 12a 1 9 5 (2a 2 3)2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 2 v.n. 5 (27) 5 49 x 1 0,6 5 0 ⇒ x 52 0,6 i) x2 2 0,36 5 0 ⇒ (x 1 0,6)(x 2 0,6) 5 0 ⇒ ou Exercício, página 110. x 2 0,6 5 0 ⇒ x 5 0,6 x 1 0,6 5 0 ⇒ x 52 0,6 3 3 22 2 a) a 1 b 5 (a 1 b) (ax 2 ab 20 ,3615b0)⇒ (x 1 0,6)(x 2 0,6) 5 0 ⇒ ou b) m3 2 n3 5 (m 2 n) (m2 1 mn 1 n2) x 2 0,6 5 0 ⇒ x 5 0,6 c) x3 2 8 5 (x 2 2) (x2 1 2x 1 4) d) a3 1 1 5 (a 1 1) (a2 2 a 1 1) Exercícios, página 112. Exercício, página 111. x 1 5 5 0 ⇒ x 52 1. 5 a) x2 2 25 5 0 ⇒ (x 1 5)(x 2 5) 5 0 ⇒ ou a) a4 2 b4 5 (a2 1 b2) (a2 2 b2) 5 2 2 x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 5 (a 1 b ) (a 1 b) (a 2 b) 2 25 5 0 ⇒ (x 1 5)(x 2 5) 5 0 ⇒ ou b) 3x2 2 6x 1 3 5 3 ? (x2 2 2x 1 1) 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 5 3 ? (x 2 1)2 2
226
2
2
c) d)
m2x 2 x 5 x ? (m2 2 1) 5 5 x ? (m 1 1) (m 2 1) 5a2 1 30ab 1 45b2 5 5 5 (a2 1 6ab 1 9b2) 5 5 ? (a 1 3b)2
14 – Cálculo do m.m.c. de polinômios
e) x3y 2 xy3 5 xy(x2 2 y2) 5 5 xy ? (x 1 y) (x 2 y) f) m8 2 n8 5 (m4 1 n4) (m4 2 n4) 5 5 (m4 1 n4) (m2 1 n2) (m2 2 n2) 5 5 (m4 1 n4) (m2 1 n2) (m 1 n) (m 2 n) g)
Exercícios, páginas 114 e 115. 1. a) m.m.c. (54, 72) 5 23 ? 33 5 216 54 5 21 ? 33 72 5 23 ? 32
x3 2 xy2 1 x2y 2 y3 5 5 x (x2 2 y2) 1 y (x2 2 y2) 5 5 (x2 2 y2) (x 1 y) 5 5 (x 1 y) (x 2 y) (x 1 y) 5 5 (x 1 y)2 (x 2 y)
b)
m.m.c. (200, 100, 80) 5 24 ? 52 5 400 200 5 23 ? 52 100 5 22 ? 52 80 5 24 ? 5
c) m.m.c. (42, 63, 105) 5 2 ? 32 ? 5 ? 7 5 630 42 5 2 ? 3 ? 7 63 5 32 ? 7 1 105 1 1 51 3 ? 5 ? 7 p2 1 2 p2 5 1 1 p2 1 1 p 1 2 p 2d) m.m.c. 2 (18, 4 4 24, 36, 72) 5 23 ? 32 5 72 1 18 5 2 ? 32 p 1 2 p 2 24 5 23 ? 3
h) a4 2 ax3 5 a (a3 2 x3) 5 5 a (a 2 x) (a2 1 ax 1 x2) 1 4 1 p 5 1 1 16 4 1 1 1 1 p4 5 1 1 p2 1 2 p 2 5 1 1 p2 1 1 4 4 4 2 i) 1 2
2 36 5 22 ? 32 4 2 4 4 4 2 y 1 y 5 y y2 1 y 1 5 y y 1 72 5 23 ? 32 3 9 3 9 3 2 4 4 4 2 1 y 5 y y2 1 y 1 5 y y 1 x 5 5 ? 72 2 2 9 3 9 3 2. ⇒ m.m.c. (x, y) 5 2 ? 5 ? 7 5 2 450 y 5 2 ? 52 ? 7 l) x3y 2 y 5 y (x3 2 1) 5 y (x 2 1) (x2 1 x 1 1)
j) y3 1
m) ax2 2 a 1 bx2 2 b 5 5 a (x2 2 1) 1 b (x2 2 1) 5 5 (x2 2 1) (a 1 b) 5 5 (x 1 1) (x 2 1) (a 1 b) 2. 5x2 2 10xy 1 5y2 5 5 (x2 2 2xy 1 y2) 5 5 5 (x 2 y)2 v.n. 5 5 ? 62 5 5 ? 36 5 180 3. ab2 2 ac2 1 b3 2 bc2 5 5 a (b2 2 c2) 1 b (b2 2 c2) 5 5 (b2 2 c2) (a 1 b) 5 (b 1 c) (b 2 c) (a 1 b) 4. x3y 1 2x2y2 1 xy3 5 xy (x2 1 2xy 1 y2) 5 5 xy (x 1 y)2 v.n. 5 10 ? (25)2 5 10 ? 25 5 250 5. ax3 2 ax 1 bx3 2 bx 5 5 ax (x2 2 1) 1 bx (x2 2 1) 5 5 (x2 2 1) (ax 1 bx) 5 5 (x 1 1) (x 2 1) x (a 1 b) 5 5 x (a 1 b) (x 1 1) (x 2 1)
3.
4.
x 5 23 ? 3 ? 11 3 2 ⇒ m.m.c. (x, y) 5 2 ? 3 ? 5 ? 11 5 3 960 y 5 32 ? 5 ? 11
a 5 25 ? 53 7 3 ⇒ m.m.c. (a, b) 5 2 ? 5 5 16000 b 5 27 ? 52
5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l)
m.m.c. (xy6, x4y5) 5 x4y6 m.m.c. (a5x2, a2y) 5 a5x2y m.m.c. (xy3, x2y2, x4y) 5 x4y3 m.m.c. (3x6, 5x4) 5 15x6 m.m.c. (ab3, a4c2, bc) 5 a4b3c2 m.m.c. (x3y3, x4y2, x2y5) 5 x4y5 m.m.c. (9x3, 6ax2) 5 18ax3 m.m.c. (4a, 6a2b, 9b3) 5 36a2b3 m.m.c. (18a2b3, 24ab4) 5 72a2b4 m.m.c. (12b2c, 16bc5, 20b3c) 5 240b3c5 m.m.c. (15m3x, 10mx3, 20m2x2) 5 5 60m3x3 m) m.m.c. (14a2p6, 21a4p3, 42a5p5) 5 42a5p6
227
6.
8x2 2 a) m.m.c. 5 8x (x 2 5) 2x 2 10 5 2 (x 2 5) b)
c)
2 3 m.m.c. 5 x y (x 1 y) x 1 x y 5 x (x 1 y) xy3 3
2
2
8. 6x2 2 4xy 2 9px 1 6py 5 5 2x (3x 2 2y) 2 3p (3x 2 2y) 5 5 (3x 2 2y) (2x 2 3p) 4x2 2 12px 1 9p2 5 (2x 2 3p)2 m.m.c. 5 (3x 2 2y) (2x 2 3p)2
m.m.c. 5 a (x 1 a)(x 2 a) x 2 a 5 (x 1 a)(x 2 a)
ax 2 a2 5 a (x 2 a) 2
Retomando o que aprendeu, páginas 115 e 116.
2
m.m.c. 5 x (y 1 5)2 d) 2 2 y 1 10y 1 25 5 (y 1 5) xy 1 5x 5 x (y 1 5)
1. Custo do sanduíche: 1 1 2x 1 5x 7x x1 x5 5 5 2 10 10
e) x 2 x 5 x (x 2 1) m.m.c. 5 5ax (x 2 1) ax 2 a 5 a (x 2 1) 5ax
Custo de 50 sanduíches: 50 ?
2
2a 2 2b 5 2 (a 2 b)(a 2 b) f) 3a 1 3b 5 3(a 1 b) m.m.c. 5 6 (a 1 b)(a 2 b) a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b) g) x 2 49 5 (x 1 7)(x 2 7) m.m.c. 5 2x (x 1 7)(x 2 7) 2x 1 14 5 2 (x 1 7) x2 2 7x 5 x (x 2 7) 2
h)
2x2 1 2x2y 5 2x2 (1 1 y) 2 m.m.c. 5 6x (1 1 y) 6x 1 6xy 5 6x (91 1 y)
x2 2 6x 1 9 5 (x 2 3)2 3 3 i) (x 2 3)3 m.m.c. 5 x (x 2 3) x4 2 3x3 5 x3 (x 2 3)
Lucro: 50x 2 35x 5 15x Alternativa c.
7x 5 35x 10
2. n 5 1 ⇒ 12 1 3 ? 1 1 1 5 1 1 3 1 1 5 5 n 5 2 ⇒ 22 1 3 ? 2 1 1 5 4 1 6 1 1 5 11 n 5 3 ⇒ 32 1 3 ? 3 1 1 5 9 1 9 1 1 5 19 (5, 11, 19, ...) Alternativa b. 3. V 5 2a ? (0,5a) ? (4,5a) 5 4,5a3 Alternativa b. 4. v.n. 5 2 ? (23)2 1 8 5 2 ? 9 1 8 5 5 18 1 8 5 26 Alternativa c. 5.
xy x2y 3 , , x y, 2x4y, 4x5y, 8x6y, 16x7y 4 2 O 7o termo será 16x7y. Alternativa a.
5a 1 10 5 5(a 1 2) 6. (2x 1 3)2 2 (2x 2 1)2 5 40 ⇒ 4x2 1 12x 1 9 2 4x2 1 4x 2 1 5 40 ⇒ j) 2a 1 4 5 2 (a 1 2) m.m.c. 5 30 (a 1 2) (2x 1 3)2 2 (2x 2 1)2 5 40 ⇒ 4x2 1 12x 1 9 2 4x2 1 4x 2 1 5 40 ⇒ 3a 1 6 5 3(a 1 2) ⇒ 16x 1 8 5 40 ⇒ 16x 5 32 ⇒ x 5 2 2 a 2 25 5 (a 1 5)(a 2 5) 7. P 5 2 (x 2 3) 1 2 (2x 1 1) 5 l) a2 2 10a 1 25 5 (a 2 5)2 m.m.c. 5 (a 1 5)2 (a 2 5)2 5 2x 2 6 1 4x 1 2 5 6x 2 4 a2 210a 1 25 5 (a 1 5)2 Alternativa a. x2 2 2x 1 1 5 (x 2 1)2 3 m) (x 2 1)3 m.m.c. 5 2 (x 2 1) 2x 2 2 5 2 (x 2 1)
8. A 5 (b 1 c) (a 1 10) 5 5 ab 1 ac 1 10b 1 10c Alternativa a.
9. (x 1 y)2 2 (2x 1 y)(2x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2 1 2x2 2 2xy 1 xy 2 y2 5 7. a6 2 a5 1 a 2 1 5 a5 (a 2 1) 1 1 (a 22 1) 5 (x 1 y) 2 (2x 1 y)(2x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2 1 2x2 2 2xy 1 xy 2 y2 5 5 (a 2 1) (a5 1 1) 5 3x2 1 xy 5 x (3x 1 y) a10 1 2a5 1 1 5 (a5 1 1)2 Alternativa b. m.m.c. 5 (a 2 1) (a5 1 1)2
228
10.
3x3 2 15x2 2 12x 1 60 23x3
112x
x2 2 4 3x 2 15 Q1
215x2
160
15x2
260
Alternativa a.
2
23x3 1 21x2 2 30x
3x 1 6 Q2
6x
2
Soma dos coeficientes: 22 1 8 2 4 1 15 5 17
0 3x 2 15x 2 12x 1 60 x2 2 7x 1 10 3
14. (3x3 2 4x 1 6) 2 (5x3 2 8x2 2 9) 5 5 22x3 1 8x2 24x 1 15
2 42x 1 60
15. a2x 1 b2x 1 a2y 1 b2y 5 5 x (a2 1 b2) 1 y (a2 1 b2) 5 (a2 1 b2) (x 1 y) v.n. 5 (2,25) ? (0,8) 5 1,8 Alternativa b. 16. A 5 x2 2 9 5 (x 1 3) (x 2 3)
26x2 1 42x 2 60 0 Produto: Q1 ? Q2 5 (3x 2 15) (3x 1 6) 5 5 9x2 2 27x 2 90 Alternativa d. 28,8 28,8 5 5 6, 4 1,5 1 3 4,5 Alternativa e.
11. V 5
P 5 2 (x 1 3) 1 2 (x 2 3) 5 32 ⇒ ⇒ 2x 1 6 1 2x 2 6 5 32 ⇒ ⇒ 4x 5 32 ⇒ x 5 8 A 5 82 2 9 5 64 2 9 5 55 ⇒ 55 cm2 Alternativa d.
17. A 5 (a 2 1)2 ? (a2 2 1) 5 (a2 2 2a 1 1)(a2 2 1) 5 a4 2 a2 2 2a3 1 2a 1 a2 2
A 5 (a 2 1)2 ? (a2 2 1) 5 (a2 2 2a 1 1)(a2 2 1) 5 a4 2 a2 2 2a3 1 2a 1 a2 2 1 12. A 5 a ? c Alternativa a. A 5 a4 2 2a3 1 2a 2 1 13. P 5 (8x2 1 1) (3x 2 1) 1 (4x 2 2) 5 5 24x3 2 8x2 1 3x 2 1 1 4x 2 2 5 5 24x3 2 8x2 1 7x 2 3 P (x 2 1) : 24x3 2 8x2 1 7x 2 3 x 2 1 224x3 1 24x2
24x2 1 16x 1 23
16x2 1 7x 2 3 216x2 1 16x
a4 2 2a3 1 2a 2 1 2 a4 1 3a3 1 a2
a2 1 a 1 4
a3 1 a2 1 2a 2 1 2a3 1 3a2 1 a 2 4a 1 3a 2 1
24a2 1 12a 1 4 15a 1 3
23x 2 3 223x 1 23 Resto: 20
a2 2 3a 2 1
20
Resto: 15a 1 3 Alternativa b.
229
Estudo das frações algébricas 15 – Fração algébrica Exercícios, página 119.
16 – Simplificação das frações algébricas
50 1. x 2.
Desafio!, página 123. O erro está na divisão por zero. Como partimos da informação de que a 5 b, no passo em que dividimos ambos os lados da igualdade por (b 2 a), estamos na verdade dividindo por zero, o que é um absurdo.
x2y n
3. a) x 0 b) x 0 c) a 1 4 0 ⇒ a −4 1 d) 2x 2 1 0 ⇒ x 2 c 4. 2x 1 y 5. a)
Exercícios, páginas 123 e 124. 1.
15x2y 5 5x2 3y
2x3 2 6x2 5 x2 2 3x 2x (x 1 3) (x 2 3) x2 2 9 5 5 x 23 c) x 13 x 13 b)
a2 2 8a 1 15 5a 25 d) a 23 6.
2.
x 2a x Brasil real, página 120.
1. 8 850 hectares 5 8 850 hm2 5 88,50 km2 2. 305 km em 5 horas. 305 v5 5 61 km / h 5 3. Se considerarmos que Fortaleza localiza-se entre Jericoacoara e Canoa Quebrada, teremos d 5 305 1 182 5 487 ⇒ 487km. 487 6 h 81
a)
5 11 5 5 17 11 17
b)
2 3 7 2 5 55 3 5 7 11
c)
25 36 22 4 3 7 5 1 5 3 2 3 3
d)
25 57 113 2 2 5 2 5 4 9 3 25 5 2 5 11
2 5 7 7 a) 70 5 2 5 220 22 2 5 11 80 24 5 2 b) 5 3 2 5 200 5 2 5 c)
135 33 5 3 3 5 2 2 5 2 5 180 4 2 2 3 5
d)
98 2 72 7 7 5 2 5 5 140 25 10 2 57
a)
5a b a 5 4c 20 bc
b)
x 4y y 5 2 x6 x
c)
12m2x 6m 5 5x 10mx2
d)
2a3b2c 2c 5 2 a4 b4 ab
e)
2m10n7 2m5 5 7 5 5 5m n
f)
x2y2 y 5 6x 6x3y
3.
∴ Saindo às 10 h, chegará às 16 h. 4.
182 x 182 b) x 11 a)
5. Carol, pois fez o percurso em menos tempo.
230
5
4.
g)
8 8 2 5 5 4a 2 4x 4 (a 2 x) a2x
h)
2h3 2h3 2h 5 2 5 2 h 21 h 2h h (h 2 1)
17 – Adição e subtração de frações algébricas
3
Exercícios, páginas 127 e 128.
(a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) a 1 b 2c (a 1 b)2 2 c2 5 5 b 1c 2a (b 1 c)2 2 a2 (b 1 c 1 a) (b 1 c 2 a)
1.
(a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) a 1 b 2c 5 b 1c 2a (b 1 c 1 a) (b 1 c 2 a)
a)
3a 5a 9a 1 10a 19a 1 5 5 2b 3b 6b 6b
7b 2a 28bx 1 6a 1 5 3x 4x2 12x2 2 x y x 2 y2 2 5 c) 2y 2x 2xy b)
5. a)
ac 2 c c (a 2 1) a 21 5 5 2 c ( c 2 1 ) c 21 c 2c
b)
3x 1 3y 3(x 1 y) x1y 5 5 3 2 3a 3(1 2 a) 1 2a
c)
(a 1 b) (a 2 b) a2 2 b2 a1 b 5 5 3 2 a 2a b a2 a2 (a 2 b)
(m 1 5) (m 2 5) m2 2 25 m 15 d) 5 5 7m 2 35 7 7 (m 2 5)
d)
1 1 1 m 1 2 2 m2 1 2 2 5 2m 2 2m2 m
e)
3 1 3y 2 2x2y 1 x 2 2x 1 5 x y xy
f)
x 1a a2x ax 1 a2 2 ax 1 x2 a2 1 x2 2 5 5 x a ax ax
e)
x2 2 8x 1 16 (x 2 4)2 x24 5 5 2 ( x 1 4 )( x 2 4 ) x14 x 2 16
g)
x 12 x 21 x2 1 2x 1 3x 2 3 x2 1 5x 2 3 1 5 5 2 2 3x x 3x 3x2
f)
a2 (a 1 2) a3 1 2a2 a2 5 5 2 2 a 12 a 1 4a 1 4 (a 1 2)
h)
a1 b a2 b ab 1 b2 1 a2 2 ab b2 1 a2 1 5 5 2a 2b 2ab 2ab
g)
x (x 1 5a) x2 1 5ax x 5 5 3x 1 15a 3 3 (x 1 5a)
a)
2c c 2c (x 2 1) 1 c (x 1 1) 2cx 2 2c 1 cx 1 c 3 1 5 5 5 x 11 x 21 (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1) (x 1
h)
(xy 1 1)2(xy x2y2 2 1 c 2 1) 5 c xy 221c (x 2 1) 1 c (x 1 1) 2cx 2 2c 1 cx 1 c 3cx 2 c 5 1 5 5 5 2xy 1 2 2 (xy x 1 1) x 2 1 2 (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1)
2.
2x 7 2x 2 7(x 2 3) 2x 2 7x 1 21 25x 1 21 b) 2 2 5 5 5 x 1 3 ( x 1 3 )( x 2 3 ) ( x 1 3 )( x 2 3 ) ( x 1 3)(x 2 3) y (y 1 x) x 2y9 x 1 (y 1 x)(y 2 x) 1 xy x 1 y 2 x 1 xy a) 5 5 5 2x (x(y 21 3)x) 2x22 7x 1 21 25x 1 21 2y 1 2x 2 (y 7 1 x) 2x 2 72 2 5 5 5 2 2 2 2 2 x 1 3 ( x 1 3 )( x 2 3 ) ( x 1 3 )( x 2 3 ) ( x 1 3)(x 2 3) xy (2 9 x) y1 x 1 (y 1 x)(y 2 x) 1 xy x 1 y 2 x 1 xy y 5 5 5 2y 1 2x 2 (y 1 x) 2 2 (y 1 x) x24 5(x2 1 1) 2 (x 2 4) 5x2 1 5 2 x 1 4 5x2 2 x 1 9 52 2 5 5 5 c) 2 2 x 11 x 11 x 11 x2 1 1 (a2 2 1) 1 (a 1 1) a2 1 a a (a 1 1) a 11 5 5 5 b) 2 2 21 (a 2 1) 2 (a 2 1) a2 2 a xa2(a42 1) 5(xa 1 1) 2 (x 2 4) 5x2 1 5 2 x 1 4 5x2 2 x 1 9 52 2 5 5 5 x 11 x2 1 1 x2 1 1 x2 1 1 a (x 2 y) ax 2 ay a 5 2 y2 2 4 2 2 y2 2 6 (y 1 2)(y 2 2) 2 2 c) x (x 2 y) 2 y (x 2 y) 5 x2y (x 2 y) (x 2 y) 5 5 5 d) y 1 2 2 y 22 y 22 y 22 y 22 6.
2
2
2
2
2 (x 2y22 y2) 4 2 2 y2 2 6 x 222y 12y) (x52(yy112)( yy ) 2 2) 2 x (x 2 y)2 2 y2 y (1 5 5 x d) 5 y 22 y 25 2 y 22 5 y 22 2y) (x 2 x 1 2y x (x 2 4) 2 4 (y2 2 x) (x 1 2y) x2 2 4x 2 4y2 1 4x
2 2 2 2 (x 2 y 1 y) (x 2 y 1 y) x (x 2 2y) (x 2 y)2 2 y2 xe) x 2 y 1 2x 5 (x 2 y) 1 2x (x 1 y) 5 x 2 2xy 1 y 1 2x 1 2x 5 5 5 x2y (x 1 y)(x 2 y) (x 1 y)(x 2 y) x 1 2y x 1 y x (x 2 4) 2 4 (y2 2 x) x2 2 4x 2 4y2 1 4x (x 1 2y) (x 2 2y) 2 2 2 2 2 2 (x 2 y 1 y) (x 2 y 1 y) x (x 2 2y) x 2 y 1 x 2x 5 (x 2 y) 1 2x (x 1 y) 5 x 2 2xy 1 y 1 2x 1 2xy 5 3x 1 y 5 5 5 (x 1 y)(x 2 y) (x 1 y)(x 2 y) (x 1 y)(x 2 y) x 1 2yx 2 y x2 2 4x 2 4y2 1 4x (x 1 2y) (x 2 2y) x 1 y
231
2a 2 8 3a 2 4 1 3a 2 4 2 (a 1 4) 3a 2 4 2 a 2 4 2x 2 2 2 (x 2 1) 2 5 5 x 2 1 2 x 2 1 1 2x 5 5 2 5 5 5 2 1 214)()x 2 1) ( )( ) ( 1 4 )( a 2 4 ) ( a 4()(xa1 a 4 a 1 4 a 2 4 a 2 ( x 1 )( x 1 ) ( x 1 1 ) ( x 2 1 ) x 1 1 1 2 a 2 16 x 2 1 2 x 2 1 1 2 x 2 x 2 2 2 ( x 2 1 ) 2 1 3a 2 4 2 (a 1 4) 3a 2 4 2 a 2 4 2a 2 8 5 5 5 5 5 5 2 5 (x41 (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1) x 11 (a 1 4)(a 2 4) (a 1 4)(a 2 4) 2x42 a24 (a 1 )(a1)( ) 1) 2 (a 2 4) 2 5 5 6. a14 (a 1 4) (a 2 4) 2a2 2a 2a2 2 2a (a 2 b) 2a2 2 2a2 1 2ab 2ab 5 5 2 5 2 2 a1 b (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 4x2 12x 11x 4x2 2 (1 2 x)2 1 (1 1 x)2 a 2 b g) 5 5 1 2 (1 1 x)(21 2 x) 11x 1 22 x 1 2 x2 2a 2 2a 2a 2 2a (a 2 b) 2a2 2 2a2 1 2ab 2ab 2ab 2 2 2 5 2 5 5 5 2 1x )2 4x 12x 11x 4x 2 (1 2 x) 1a(12 2 a1 b (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) b a 2 b2 5 1 5 2 (1 1 x)(1 2 x) 11x 12x 1 2 x2 4x (x 1 1) 4x2 2 1 1 2x 2 x2 1 1 1 2x 1 x2 4x2 2 4x 7. 4x 5 5 5 2 2 n2 5m2 2 n2 1 n2 m2 (1 1 x)(1 2 x) (1 1 x)(1 2 x) m 1 2x (1 1 x) (11 ) 2nx5 5 n n n 4x (x 1 1) 1 1 2x 2 x2 1 1 1 2x 1 x2 4x2 2 4x 4x (25)2 25 1 5 5 5 v.n. 5 5 5 (1 1 x)(1 2 x) (1 1 x)(1 2 x) 12x (1 1 x) (1 2 x) 100 100 4 2 2 2 2 a a a (a 1 b) 2 a a 1 ab 2 a ab h) 2 2 5 5 8.5 a2 b (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a a 2 b) (a 1 b )(a 2 b) a 2 b2 2x2 2 3xy 1 y2 2x2 2 3xy 1 y2 2 2 (x 2 y)2 2 2 2 2 2 2 (x 2 y) 5 5 a a (a 1 b) 2 a a 1 ab 2 a ab x2y x2y 2 2 5 5 2 5 (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a a 2 b) (a 1 b)(a 22b) a 2b 2x 2 3xy 1 y2 2x2 2 3xy 1 y2 2 2 (x 2 y)2 2 2 (x 2 y) 5 5 x2y x2y 3. 2 2 2 2 2 3x x 2 3ax 3x (x 1 a) 1 x 2 3ax 3x 1 3ax 1 x2x2 3 2ax 3xy51 y2 2 2x2 1 4xy 2 2y2 xy 2 y2 y (x 2 y) 1 2 5 5 5 5 5y 2 5 x 2a (x 1 a)(x 2 a) (x 1 a)(x 2 a) x 2a x2y x2y x2y 3x (x 1 a) 1 x2 2 3ax 3x2 1 3ax 1 x2 2 3ax 2x2 2 3xy 1 y2 2 2x2 1 4xy 2 2y2 xy 2 y2 y (x 2 y) 5 5 5 5 5 5 5y (x 1 a)(x 2 a) (x 1 a)(x 2 a) x2y x2y x2y f)
5
4x2 4x2 5 2 (x 1 a)(x 2 a) x 2 a2
9.
2a2 1 b2 a (a 1 b)2 a2 1 a2 1 2ab 1 b2 2 2ab 1 22 5 5 4 42 4 16 64 16 b ab ab ab v.n. 5 5 5 5 (4 1 2)(4 2 2) 2 6 2 3 212 2 2 2 2 2a 1 b a (a 1 b) a 1 a 1 2ab 1 b 2 2ab 1 22 5 5 b ab ab ab 4. b 1 2a 1 2 1 5 10. ab a2 a2b a b c 1 1 5 4 12 2 414 8 1 ( a 2 b )( a 2 c ) ( b 2 c )( a 2 b ) ( a 2 c )( b 2 c) v.n.5 5 5 5 2 44 16 2 2 4 a (b 2 c) 1 b (a 2 c) 1 c (a 2 b) ab 2 ac 1 ab 2 bc 1 ac 2 bc 5 5 5 ( a 2 b )( a 2 c )( b 2 c ) (a 2 b)(a 2 c)(b 2 c) 5. a) a (b 2 c) 1 b2 (a 22c) 1 c (a 2 b ab 2 ac2 1 ab22 bc 1 ac 2 bc2 x)2 1 x1y y x (x 1 y) 2 y 2 2xy x 5 25 5 2xy 1 y 2 y 2 2xy 2 2 5 (a 2 b)(a 2 c)(b 2 c)5 (a 2 b)(a 2 c)(b 25 c) y x 1 y x 1 y y ( x 1 y ) y ( x 1 y ) y ( x 1 y) 2b (a 2 c) 2 2 2 2b 2 2 2 2ab 2 2bc x 1 2xy 1 y 2 y 2 2xy 5 x x1y y (x 1 y) 2 y 2 2xy 2x 5 5 2 2 5 5 5 (a 2 b)(a 2 c)(b 2 c) (a 2 b)(b 2 c) ( a 2 b ) ( a 2 c ) ( b 2 c ) y x1y x 1 y y (x 1 y) y (x 1 y) y (x 1 y) 2 2 2 22bc 2b 2 ab 2 2 22b (a 2 c) x 152xy 1 y 2 y 2 2xy 5 (x 1 y) 2 y 2 2xy x 2x 5 5 5 (a 2 b)(b 2 c) (a 2 b)(a 2 c)(b 2 c) 5 (a 2 b) (a 2 c) (b 2 c) 1y y (x 1 y) y (x 1 y) y (x 1 y) 11. 1 1 2x (x 2 1) 2 (x 1 1) 1 2x 2 1 2 5 5 2a (x 1 1) 1 a 2 x 5 2a (x 1 1) 1 (a 2 x)(a 2 1) 5 x 11 x 21 (x 1 1)(x 2 1) 1 x 2 a 11 (a 1 1)(a 2 1) a2 2 1 2 1 1 2x (x 2 1) 2 (x 1 1) 1 2x 2ax 1 2a 1 a 2 a 2 ax 1 x ax 1 a 1 a2 1 x 2 1 2 5 5 5 5 5 x 11 x 21 (x 1 1)(x 2 1) x 2 1 (a 1 1)(a 2 1) (a 1 1)(a 2 1) b)
232
(a 1 1) (x 1 a) ax 1 x 1 a2 1 a x (a 1 1) 1 a (a 1 1) x 1a 5 5 5 8x2y3 ab8 8ab8x2y3 (a 1 1)(a 2 1) (a 1 1)(a 2 1) 5 2b2x (a 1 1) (a 2 1) e) a 2 16 3 5 ab 4xy 4ab6xy3 (a 1 1) (x 1 a) a x (a 1 1) 1 a (a 1 1) x 1a 6a2 abc 6a3bc 3a3 5 5 5 f) 5 5 (a 1 1)(a 2 1) a 21 (a 1 1) (a 2 1) 5bc 2 10bc 5 5
12.
2
2
2 1a 2 2a (2 1 a) 2 (2 2 a) 5 5 2 2 2a 2 1a (2 2 a)(2 1 a)
3.
a3m x2y a3mx2y my 5 2 4 5 a x a a4x2
4.
8m3 4bm2 8m3 3x2 24m3x2 2m 5 5 2 2 2 2 5 ab 3ax 3x 3ax 4bm 12abm2x2
4 1 4a 1 a2 2 4 1 4a 2 a2 8a 5 (2 2 a)(2 1 a) (2 2 a)(2 1 a) 5. 86 8 6 6 3 v.n. 5 5 52 52 (2 2 6)(2 1 6) 4 2 (24) 8 a y 1 axy xy a2c 2x 4y 5 2a2cx 4y 5 2ac 4y
5
18 – M ultiplicação e divisão de frações algébricas
1 a y y 1 axy xy a2c 2x 4y 5 2a2cx 4y 5 2ac 4y 5 8acy 5 8ac y 1 5 5 8acy 8ac
6. a)
x 12 x 22 (x 1 2)(x 2 2) x2 2 4 5 5 x 2x 2x2 2x2
b)
a 5ab 5a2b 5a2b 5 5 2 a 1 2b a 2 2b (a 1 2b)(a 2 2b) a 2 4b2
Chegou a sua vez!, página 131. 1. Comprimento: 11,5 m; peso: 4 a 6 toneladas. 21 5 0, 0525 2. Razão: 400 143 5 0,1144 3. Razão: 1250 143 5 1, 04 4. Razão: 138 Exercícios, páginas 132 e 133.
a (a 1 4) (a 2 4) a a2 2 16 a14 5 c) a 2 4 ax 5 x ax (a 2 4) d)
(a 1 1) (a 2 1) 2 (x 1 y) a2 2 1 2x 1 2y a 11 5 5 2a 2 2 x2y x2 2 y2 (x 1 y) (x 2 y) 2 (a 2 1) e)
1.
(a 1 1) (a 2 1) 2 (x 1 y) a2 2 1 2x 1 2y a 11 5 5 2 2 2 a 2 2 x 2y x 2y (x 1 y) (x 2 y) 2 (a 2 1)
3 15a y (x 1 2) 15a xy 1 2y 3y 5 5 2 5 a x 22 x 24 (x 1 2) (x 2 2) 5a
2a 3b 6ab 5 2 x3 7 (x 2 y) x3 7x 2 7y 7x2 7x xy 7x y f) 5 5 2 y y x 2 xy x (x 2 y) y x4 2x3 2x7 b) 2 5 3 3y 5y 15y 3 x3 2 a (a 2 1) 2a2 2 2a 2 g) 2x 5 5 5 2 ax2 xy2 ax3y2 3 3 2 5 3 3 c) a 2a x 1 x x 11 a (a 2 1) x (x 1 1) bc b2c2 b c3 2 x3 2 a (a 2 1) x 2 a 2 2 a 2 3 2 2 5 5 2 9m3 x2 9m 29m x x5 1 x32 x 11 d) 5a 2 a 4 5 a (a 2 1) x3 (x2 1 1) 4 10m x 10mx 10x x (a 1 1) 3 (m 1 n) ax 1 x 3m 1 3n 3x a3b2 x2y a3b2x2y ax h) 5 5 2 2 5 5 5 e) a 11 m2n m 2n ( m n ) ( m n ) ( a 1 ) 1 2 1 3 2 2 2 2 3 2 xy ab a b xy y x (a 1 1) 3 (m 1 n) 3x ax 1 x 3m 1 3n 3 3 7 3 3 7 4 ab c a bc c 5 5 2 2 3 5 5 3 5 3 5 2 f) m2n a 11 m 2 n 3 ( m n ) ( m n ) ( a 1 ) 1 2 1 c ab a bc b a)
2. a) b) c) d)
7. 3x 2x 6x2 (x 1 y) (x 1 a) 2 (a 2 4) x2 1 xy 1 ax 1 ay 2a 2 8 2 (x 1 y) 5 2 5 2 5 7a b 7ab ab 2 4b b (a 2 x) a 2x b (a 2 4) (a 1 x) (a 2 x) 5a c 5ac a 5 5 2 x2 1 xy 1 ax 1 ay 2a 2 8 (x 1 y) (x 1 a) 2 (a 2 4) 2 (x 1 y) b2c 10 10b2c 2b 2 5 2 5 ab b 2 4 b (a 2 x) a x 2 b a 2 4 ) ( a 1 x ) ( a 2 x ) ( 3a 4b 12ab 3 5 5 5 4 5 8b a 8a b 2a 2 (22) 2 (1 1 (23)) 2 1 v.n. 5 5 5 5 21xy 2ab2 42ab2xy 3bx 2 ( 2 ) 2 5 1 4 2 5 5 2 2 4 8ab 7y3 56aby3 4y2
233
8.
1 12. x y2 a 4 ay2 2 4 a 1 3 b (2a 2 4b) 1 (2a 1 7b) 5x y 5x a) y 5 x 5 2 5 53 x 2xy 8a 2 (4a 2 3b) 2xy 4a 1 3b a 2 x1 (a 1 b) (a 2 b) 2y 4a 1 3b a2 2 b2 2y a2 b a 1 7b) 5x2y 5x2y 5x 5 5 5 5 b) xy 2a 1 2b xy x 8a 2 (4a 2 3b) 2xy 2 2 (a 1 b) 4a 1 3b 2 2 ( a b ) ( a b ) 2 y 1 2 a 2b 2y a2 b 5 5 9. xy 2 a 1 2 b xy x 2 ( a 1 b ) 2 (a 1 1) (a 2 1) x a 21 x a 21 a) 5 5 4 4 3 a 11 x x x a 11 13. (a 1 1) (a 2 1) a 13 a 23 1 x a 21 a 13 a 23 2a5 2a5 5 5 2 5 5 2a3 4 3 a a a a x x a 29 a 11 (a 1 3) (a 2 3) x 1 y a 1 3 7xa 2 3 x1y 7x 15 a 13 a 23 2a5 b) 2 5 5 22a 5 5 2a3 x2 7x 2 7y x 1 xy a a 7 (x 2 y) ax (x 1 ya) a 2y9 (a 1 3) (a 2 3) x1y x1y 7x 7x 1 2 5 5 v.n. 5 2 (25)3 5 2 (2125) 52 250 x2y 7x 2 7y x 1 xy 7 (x 2 y) x (x 1 y) (a 1 1) (a 2 1) 3 (x 1 y) 14. 3(a 1 1) a2 2 1 3x 1 3y c) 2 5 5 a2 1 a x2 2 1 x2 2 x a (a 1 1) (x 1 1) (x 2 1) a (a 2 1) (x 2 y)(a 2 1) x 2 y2 a2 2 2a 1 1 (x 1 y) (x 2 y) (a 2 1)2 x2 1 x a2 2 1 a2 2 a 5 x (x x 1 1) (a 1 1) (a 2 1) x (x 2 1) 2 a 1 a 1 3 x 1 y ) 1 2 ( ) ( ) ( a 21 3x 1 3y 3(a 1 1) 5 5 a (a 1 1) (x 1 1) (x 2 1) a (a 2 1) x2 2 y2 a2 2 2a 1 1 )2a2 1 a(x 2xy2 )( (x 1 y) (x 2 y) (a 2 1 2a12 1) x2 2 x a2 5 5 x2 1 x a2 2 1 a2 2 a x2 x (x x 1 1) (a 1 1) (a 2 1) x (x 2 1) (m 1 6) (m 2 6) x y2 m2 2 36 xy2 m 26 5 5 d) 2m 1 12 x2y2 2 (m 1 6)15. 2x x2 y2 y 21 y2 1 1 y 2 1 y2 2 1 (m 1 6) (m 2 6) x y2 m2 2 36 xy2 m 26 a) 1 2 1 2 2 5 5 5 5 2 y y y y y (y 1 1) (y 2 1) 2m 1 12 2x x2y2 2 (m 1 6) x2 y2 2 2 2 y 21 4 1 y 2 1 2 y 2 1 y y 3a4 2x 1 21 2 1 3 a 1 2 22 (x51 1) 5 2 a 5 5 2 e) 7 5 1 1 y y y y y 3 2 (y 1 1) (y 2 1) x 1 x6 9a2 3x6 y x6 (x 1 1) 9a 2 2 (x 1 1) 12 3a 4 2a2 x2y2x2y x2y1x1y x2y x2y 5 6 3 2 5 6 2 1 11 5 b) 5 3x x1y x (x 1 1) x1y x1y x1y 9a ) (xy2 2 1) xx2 2 1y 2 x 2 y x 2 y 1 x 1 y x2 1xx2 1y1 (x2 1x12 x2 1 x 1 1 x4 2 1 f) 2 1 5 2x 1 y 11 5 x x 1 y 5 x1y x2 1 1 x3 1 x2 1 x x 2x111 y x (x 1 x 1 1 ) 2 2y x 1 y x2 1 x 1 1 (x2 1 1) (x2 2 1) y x2 2 1 x2 1 x 1 1 x4 2 1 5 5 5 2x 52 x 2 3 2 2 2 x x 11 x 1x 1x x1y x 11 x (x 1 x 1 1)
2
c) a b a2 b a2 2 b2 a 2 b 1 a 1 b x (x 2 1) a1 b x2 2 x x2 2 1 2x 1 1 5 5 5 5 a2 a 1 b a1 b ab b ax 1 bx 1 a 1 b a 1 b ( x 1 1 ) (a 1 b) (x 1 1) (x 1 1) (x 2 1 ) b a2 b a2 2 b2 a 2 b 1 a 1 b a 2 2 x x 1 2 ( ) a b 1 x 2x x 21 x2 1 1 5 5 5 5 b 2a a 1 b a1 b ab x 1 bx 1 a 1 b a 1 b (x 1 1) (a 1 b) (x 1 1) (x 1 1) (x 2 1) (a 2 b) (a 1 b) 2a 2 (a 2 b) 5 5 11. b a b a 1 b 3 a3 a9 a) 5 3 b b 2 Tratando a informação, páginas 133 a 135. 2a 4a2 b) 2 5 4 2 xy 1. x y 2 a) Nos dias: 1, 6, 7, 8,14, e 15. x2 2 2xy 1 y2 x2y 5 c) 2 b) Abaixo da meta vigente. 4x 16x c) Houve queda no consumo. 3 x3 2 3x2 1 3x 2 1 x 21 d) Houve aumento no consumo. d) 5 x x3 e) Resposta em aberto. 10.
234
2. Consumo da lâmpada:
4. (0,7 1 x) (0,7 2 x) 0, 49 2 x2 0,7 2 x 5 5 1, 4 1 2x 2 2 (0,7 1 x)
9000 100 3 30 5 5 9 ⇒ 9 kWh 1000 1000
Alternativa c.
Consumo do chuveiro: 4 400 1 30 132 000 5 5 132 ⇒ 132 kWh 1000 1 000 3. a) Custo:
5.
2 1 x2y 2 1 5 x2y xy x
y 1 2x 5 y 1 2x x2y
200 1 30 6 000 a. 0,28 5 0,28 5 1,68 ⇒ R$ 1Alternativa ,68 1000 1 000
200 1 30 6 000 0, 28 5 0,28 5 1,68 ⇒ R$ 1,68 1000 1 000
6.
a 2 a2 a a (1 2 a) a 2 a (a 1 1) 2 a 5 5 2 a 11 (a 1 1)(a 2 1) a 11 1 a 2 900 1 30 27 000 b) Custo: 0,28 5 0,28 5 7,56 ⇒ R$ 7,56 1000 1 000a 2 a2 a a (1 2 a) a 2 a (a 1 1) 2 a 5 5 2 900 1 30 27 000 ( )( ) 1 1 1 a 1 a 1 a 2 a 11 1 a 2 0, 28 5 0,28 5 7,56 ⇒ R$ 7,56 1000 1 000 a (1 2 a) a 11 a (1 2 a) 1 5 5 5 2 2 60 1 30 1800 a (a 1 1) (a 2 1) a 2 a 2 a (1 2 a) a 0,28 5 0,28 5 0,504 ⇒ R$ 0,50 c) Custo: 1000 1000 1 30 1800 Alternativa c. 0,28 5 0,28 5 0,504 ⇒ R$ 0,50 000 1000 7. 4. Lâmpada de 75 W ⇒ consumo: 2 2 2y 1 2x 2 (y 1 x) 1 5 5 75 4 30 9 000 5 5 9 ⇒ 9 kWh x2y xy2 x2y2 (xy)2 1000 1 000 28 16 v.n.5 2 5 51 Lâmpada eletrônica ⇒ consumo: 16 4 13 4 30 1560 Alternativa d. 5 5 1,56 ⇒ 1,56 kWh 1000 1000 Economia: 9 2 1,56 5 7,44 ⇒ 7,44 kWh
8.
x2y3 2 y 1 xy
x2 y3 (y 1 x) (y 2 1 1 x2y3 y2 2 x2 2 2 2 5 5 y (y 1 x) y x2y2 y (y 1 x) x x2 y2
Retomando o que aprendeu, página 136. x2 y3 (y 1 x) (y 2 x) 1 x2y3 1 x2y3 y2 2 x2 2 2 2 5 5 5y2x5 2 2 2 1. y (y 1 x) y 1 xy x y xy y (y 1 x) x2 y2 1 1 b 2a 5ab 2 5 5 55 a b ab ab 5 −1 (x 2 y) Alternativa a. v.n. 5 −10 Alternativa c. 2. 2 x x 3 2 ( ) x 2 3x x 5 5 9. 2x 2 6 2 2 (x 2 3) A x 2x 5 A B 5 1 1 21 2 5 B x 2 1 12x Alternativa c. 3.
2 x 1 1 2 x 2 2 x 1 1 2 x 1 2 2x x 2 1 a2 2 2ab 1 b2 1 a2 1 2ab 15 b22 2a2 (a 2 b)2 1 (a 1 b)2 2 2a2 2 5 1 2 x 1 2 2x 5 b 1 25x x 21 2 5 5 2 2 2 2 2 (a 1 b) 2 (a 2 b)(a 1 b) 2ab 1 2b a 1 2ab 1 b 2 a 1 b 2 x 1 1 2 x 2 x 1 1 2 x 1 2 2 x x 21 2 2 2 2 2 2 a 2 2ab 1 b 1 a 5 1 2ab 1 b 2 2a (a 2 b)2 1 (a 1 b)2 2 2a2 22b1 5 1 2 x 1 2 2x 5 1 2 x x 5 5 5 (a 1 b)2 2 (a 2 b)(a 1 b) 2ab 1 2b2 a2 1 2ab 1 b2 2 a2 1 b2 21 (1 2 x) 1 2 2x 1 a2 1 2ab 1 b2 2 2a2 2b2 2b2 b 5 521 5 5 5 12x 1 2 2x 2 2 2 2 2 1 1 b ( a b ) a b 2 ab 1 2 b b1 b 2 a 1 b Alternativa b.
Alternativa b.
235
Equações do 1.o grau com uma incógnita 19 – E quações do 1.o grau com uma incógnita
f) 5 (x 1 2) 2 2 (3x 2 1) 5 13 5x 1 10 2 6x 1 2 5 13 5x 2 6x 5 13 2 10 2 2 2x 5 1 Explorando, página 138. x 5 21 35 5 40 ⇒ 35 1 5 5 40 O número é 35. 1. 35 1 S 5 {21} 7 g) 7 (2 1 x) 5 35 1 5 (x 2 1,2) 32 32 2. 32 1 1 5 56 ⇒ 32 1 16 1 8 5 56 14 1 7x 5 35 1 5x 2 6 2 4 7x 2 5x 5 35 2 6 2 14 A quantidade é 32. 2x 5 15 2 3 120 180 3. 60 1 60 1 60 5 145 ⇒ 60 1 1 5 145 ⇒ 60 1 40 15 1 45 5 145 5 7,5 3 4 3 4 x5 2 2 3 120 180 1 60 1 60 5 145 ⇒ 60 1 1 5 145 ⇒ 60 1 40 1 45 5 145 S 5 {7,5} 3 4 3 4 120 180 h) 3 (x 1 1) 2 2 (x 2 1) 5 2(x 1 5) 60 1 1 5 145 ⇒ 60 1 40 1 45 5 145 3 4 3x 1 3 2 2x 1 2 5 2x 2 5 A quantidade é 60. 3x 2 2x 1 x 5 25 2 3 2 2 Exercícios, páginas 142 e 143. 2x 5 210 1. x 5 25 a) 11x 2 13 5 64 S 5 {25} 11x 5 64 1 13 2. 11x 5 77 x 20 x 1 5 a) x57 4 1 3 S 5 {7} 3x 1 240 4x 5 b) 17x 1 50 5 7x 12 12 17x 2 7x 5 250 3x 2 4x 5 2240 10x 5 250 2x 5 2240 x 5 25 x 5 240 S 5 {25} S 5 {240} c) 13x 2 12 5 9x 1 16 2 3 3 13x 2 9x 5 16 1 12 b) y2 5 y 5 4 20 4x 5 28 8y 2 15 3y x57 5 20 20 S 5 {7} 8y 2 3y 5 15 d) 12x 1 21 5 10x 1 16 5y 5 15 12x 2 10x 5 16 2 21 y53 2x 5 25 S 5 {3} 5 x 52 x 1 2 c) 1 2 5 2 x 1 2 2 3 5 S 5 2 2 6 2 3 x 2 2x 1 12 5 6 6 e) 1,9x 2 3,6 5 x 2 10,8 23x 1 2x 5 12 2 6 1,9x 2 x 5 210,8 1 3,6 2x 5 6 0,9x 5 27,2 x 5 26 x 5 28 S 5 {26} S 5 {28}
236
d) e) f)
x 2 10 x 1 5 10 9 6 2x 2 20 1 3x 180 5 18 18 2x 1 3x 5 180 1 20 5x 5 200 x 5 40 S 5 {40} x 13 x 21 7 2 5 4 3 2 3x 1 9 2 4x 1 4 42 5 12 12 3x 2 4x 5 42 2 9 2 4 2x 5 29 x 5 229 S 5 {229} 4x 2 1 4 22x 22 5 2 10 5 4 8x 2 2 2 40 16 2 10 1 5x 5 20 20 8x 2 5x 5 16 2 10 1 2 1 40 3x 5 48 x 5 16 S 5 {16}
3. 2m 1 400 5 4m 1 200 2m 2 4m 5 200 2 400 22m 5 2200 2m 5 200 m 5 100 Cada maçã tem 100 g. 4. p 5 3x 1 8 p 5 38 38 5 3x 1 8 23x 5 8 2 38 23x 5 230 3x 5 30 x 5 10 A criança de 38 quilogramas tem 10 anos. 5.
x 12 x 21 2 51 4 5 5x 1 10 2 4x 1 4 20 5 20 20 5x 2 4x 5 20 2 10 2 4 x56 O número deve ser 6.
6. n 5
5 x 17 4
5 x 1 7 5 38 4 5x 1 28 152 5 4 4
5x 5 152 2 28 5x 5 124 x 5 24,8 O pé 38 mede 24,8 cm. 7. (x 2 5) 1 (2x 2 9) 1 (3x 2 13) 1 (4x 2 3) 5 90 x 2 5 1 2x 2 9 1 3x 2 13 1 4x 2 3 5 90 x 1 2x 1 3x 1 4x 5 90 1 5 1 9 1 13 1 3 10x 5 120 x 5 12 Os números são: 7, 13, 23 e 45; logo, o maior é 45. 8. c 5 10 1 0,3 (p 2 1) c 5 11,65 10 1 0,3 (p 2 1) 5 11,65 10 1 0,3p 2 0,3 5 11,65 0,3p 5 11,65 2 10 1 0,3 0,3p 5 1,95 p 5 6,5 A massa da encomenda foi de 6,5 quilogramas. 9. A 5 (x 1 5) 7 5 105 7x 1 35 5 105 7x 5 105 2 35 7x 5 70 x 5 10 O comprimento do retângulo é 15 cm. 10.
x 1 2 (x 1 3) 58 3 x 1 2x 1 6 24 5 3 3 x 1 2x 5 24 2 6 3x 5 18 x56 Karina tirou 6 na 1a fase e 9 na 2a fase.
11. 0,5x 1 0,3x 1 1 000 5 x 0,5x 1 0,3x 2 x 5 21 000 20,2x 5 21 000 0,2x 5 1 000 x 5 5 000 A indústria produziu 5 000 aparelhos. 12. V1 5 ∴
x 5
V1 1 20 5
x x ⇒ V1 5 2 20 4 4
x x 4x 5x 2 400 5 2 20 ⇒ 5 ⇒ 4x 2 5x 52 400 ⇒ 5 4 20 20
4x 5x 2 400 n 5 x38 x ∴ 5 2 20 ⇒ 5 ⇒ 4x 2 5x 52 400 ⇒ 5 4 20 20 ⇒ 2x 5 2400 ⇒ ⇒ x 5 400 A distância é de 400 km.
237
13. v 1 d 5 7 ⇒ d 5 7 2 v 2v 1 1d 5 12 ⇒ 2v 1 7 2 v 5 12 ⇒ ⇒ 2v 2 v 5 12 2 7 ⇒ v 5 5 d572552 Foram cinco vitórias e duas derrotas. 14. x 1 0,8x 5 900 1,8x 5 900 x 5 500 0,8 500 5 400 Rafael recebeu R$ 500,00, e Pedro recebeu R$ 400,00. 15.
6x 5 180 x 5 30 O colar tinha 30 pérolas. Brasil real, página 144. 1. Médio. 2. a) Em renda e em educação. b) Em renda. c) América Latina: 0,79; mundo: 0,74; países ricos: 0,94.
3. a) x 1 4 5 2x 2 7 x 2 2x 5 27 2 4 x 1 0,87 1 0,93 0,92 5 2x 5 211 ⇒ x 5 11 3 Roberto tem R$ 11,00. b) Preço: 11 1 4 5 15 O chaveiro custa R$ 15,00. x 2000 5 7000 100 2 400 1 3 000 1 20x 5 7 000 20x 5 7 000 2 2 400 2 3 000 20x 5 1 600
16. 0,8 3000 1 0,6 5000 1
x5
1600 5 80 20
A montadora C vendeu 80% da produção. Desafio!, página 143. 1.
x 1 0,87 1 0,93 x 1 1,8 2,76 x 1 1,8 ⇒ 0,92 5 ⇒ 5 ⇒ 3 3 3 3 x 1 1,8 2,76 x 1 1,8 ⇒ 0,92 5 ⇒ 5 ⇒ 3 3 3 ⇒ 2,76 2 1,8 5 x ⇒ x 5 0,96 O índice educacional é 0,96. 0,92 5
20 – E quação fracionária do 1.o grau com uma incógnita Exercícios, página 148. 1. a)
3 1 11 1 5 4 x 12 9x 1 12 11x 5 12x 12x
9x 2 11x 5 212 22x 5 212 2x 5 12 x 9x 1 x 180 3x 1 1 5 60 ⇒ 5 ⇒ 10x 5 180 ⇒ x 5 18 x 5 6 3 3 3 S 5 {6} ⇒ 10x 5 180 ⇒ x 5 18 x 13 1 2 3x O Paraná clube venceu 18 partidas, b) 51 1 x 2x empatou 6 e perdeu 14. 2 (x 1 3) 2x 1 (1 2 3x) 3 x 1 1 (38 2 x 2 4) 5 78 5 2x 2x 3x 1 38 2 x 2 4 5 78 3x 2 x 5 78 2 38 1 4 2x 1 6 5 2x 1 1 2 3x 2x 5 44 2x 2 2x 1 3x 5 1 2 6 x 5 22 3x 5 25 O São Paulo teve 22 vitórias, 4 derrotas 5 x 52 e 12 empates. 3
a) 19 2 5 38 ⇒ 38 jogos b) x 9x 1 x 180 5 60 ⇒ 5 3 3 3 c)
2.
x x x x 1 1 1 16 5 x 6 5 3 10 5x 1 6x 1 10x 1 3x 1 180 30x 5 30 30 5x 1 6x 1 10x 1 3x 2 30x 5 2180 26x 5 2180
238
5 S 5 2 3 1 3 x 21 c) 1 5 6x 2x 4x2 2x 1 18x 3(x 2 1) 5 12x2 12x2
d)
x 23 3 5 x 13 5
5(x 2 3) 3(x 1 3) 5 5(x 1 3) 5(x 1 3)
5x 2 15 5 3x 1 9 5x 2 3x 5 9 1 15 2x 5 24 x 5 12 S 5 {12}
e)
2.
8x 5 7
2 (2 2 x) 1 6 22x 5 2 (2 2 x) 2 (2 2 x) 4 2 2x 1 6 5 2 2 x 22x 1 x 5 2 2 4 2 6 2x 5 28 x58 S 5 {8} x 21 1 x 5 1 12x 2 12x 2 (x 2 1) (1 2 x) 1 2x 5 2 (1 2 x) 2 (1 2 x)
2x 2 2 5 1 2 x 1 2x 2x 1 x 2 2x 5 1 1 2 x53 S 5 {3} 3.
3y2 2 3y2 1 12y 2 2y 528 10y 5 28 y 52
8 4 52 10 5
4 S 5 2 5 1 3 2 5 2 x 21 x 22 x 23
4.
(x 2 2)(x 2 3) 3(x 2 1)(x 2 3) 2 2 (x 2 1)(x 2 2) ⇒ 5 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3) (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3) (x 2 2)(x 2 3) 3(x 2 1)(x 2 3) 2 2 (x 2 1)(x 2 2) 5 ⇒ (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3) (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)
2 5 ⇒ x2 2 3x 2 2x 1 6 5 5 2x 2 1 x 11 5 3x2 2 9x 2 3x 1 9 2 2x2 1 4x 1 2x 2 4 ⇒ 2 (x 1 1) 5(2x 2 1) 5 ⇒ x2 2 3x 2 2x 2 3x2 1 9x 1 3x 1 2x2 2 4x 2 2x 5 9 2 4 2 6 ⇒ (2x 2 1)(x 1 1) (2x 2 1)(x 1 1) ⇒1x222 x 22 2x52 3x2 1 9x 1 3x 1 2x2 2 4x 2 2x 5 9 2 4 2 6 ⇒ 2x 5310x ⇒ x 5 21 2x 2 10x 5 25 2 2 S 5 {21} 28x 5 27
7 x5 8 7 S5 8 3 1 f) 1 1 5 22x 2
3y2 5 3y2 2 12y 1 2y 2 8
3 S 5 2 17
3y2 3y (y 2 4) 1 2 (y 2 4) 5 y (y 2 4) y (y 2 4)
2x 1 18x 5 3x 2 3 2x 1 18x 2 3x 5 23 17x 5 23 3 x 52 17
3y 2 531 y24 y
5. a)
5 3 52 x 13 x2 2 9
5 3 52 (x 1 3)(x 2 3) x 13
5 2 3(x 2 3) 5 (x 1 3)(x 2 3) (x 1 3)(x 2 3)
5 5 23x 1 9 3x 5 9 2 5 3x 5 4 4 x5 3 4 S5 3 2 1 1 b) 2 5 x 22 x 12 x
2x (x 1 2) 2 x (x 2 2) (x 1 2)(x 2 2) 5 x (x 1 2)(x 2 2) x (x 1 2)(x 2 2)
2x2 1 4x 2 x2 1 2x 5 x2 2 2x 1 2x 2 4
2x2 1 4x 2 x2 1 2x 2 x2 1 2x 2 2x 52 4
6x 5 24 4 2 x 52 52 6 3
2 S 5 2 3
239
c)
4 1 1 1 5 x 1 x 2 x 24 4 1 1 1 5 (x 1 2)(x 2 2) x 12 x
4x 1 x2 2 2x 5 x2 2 4
4x 1 x2 2 2x 2 x2 52 4
2x 5 24 x 5 22 Como x ≠ 22, S 5 .
4x 1 x (x 2 2) (x 1 2)(x 2 2) 5 x (x 1 2)(x 2 2) x (x 1 2)(x 2 2)
d)
g)
2
1 2 7 1 5 2 y 15 y 25 y 2 25 1 2 7 1 5 y 15 y 25 (y 1 5)(y 2 5)
6.
4 (t 2 2) 1 4 (t 1 2) 2t 5 (t 1 2)(t 2 2) (t 1 2)(t 2 2) 4t 2 8 1 4t 1 8 5 2t 4t 1 4t 2 2t 5 8 2 8 6t 5 0 t50 S 5 {0} 5x 1 1 1 2 50 (x 1 1)(x 2 1) x 21 x 11 5x 1 (x 1 1) 2 (x 2 1) 0 5 (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1)
(y 2 5) 1 2 (y 1 5) 7 5 (y 1 5)(y 2 5) (y 1 5)(y 2 5)
5x 1 x 1 1 2 x 1 1 5 0 5x 1 x 2 x 5 21 2 1 5x 5 22 2 x 52 5 2 O valor é 2 . 5
y 2 5 1 2y 1 10 5 7 y 1 2y 5 7 1 5 2 10 3y 5 2 2 y5 3 2 S5 3
4 4 2t 1 5 2 t 12 t 22 t 24 4 4 2t 1 5 t 12 t 22 (t 1 2)(t 2 2)
7.
3 1 4 1 5 x 21 x 23 x 22
e) 5x 2 22 1 3 2 1 5 0 3(x 2 3)(x 2 2) 1 (x 2 1)(x 2 2) 4 (x 2 1)(x 23 3) x 13 32 x 92x 5 ⇒ (x 2 1)(x 2 3)(x 2 2) (x 2 1)(x 2 3)(x 2 2) 5x 2 2 3 1 1 2 50 (3 1 x)(3 2 x) 3 1 x 3(x32 23x)(x 2 2) 1 (x 2 1)(x 2 2) 4 (x 2 1)(x 23 3) 5 ⇒ ( x 2 1 )( x 2 3 )( x 2 2 ) ( x 2 1 )( x 2 3 )( x 2 2) 5x 2 2 1 3(3 2 x) 2 (3 1 x) 0 5 (3 1 x)(3 2 x) (3 1 x)(3 2 x) ⇒ 3x2 2 6x 2 9x 1 18 1 x2 22x 2 x 1 2 5 5 4x2 2 12x 2 4x 1 12 ⇒ 5x 2 2 1 9 2 3x 2 3 2 x 5 0 5x 2 3x 2 x 5 2 2 9 1 3 ⇒ 3x2 2 6x 2 9x 1 x2 2 2x 2 x 2 4x2 1 12x 1 4x 5 12 2 18 2 2 ⇒ x 5 242 ⇒ 3x 2 6x 2 9x 1 x2 2 2x 2 x 2 4x2 1 12x 1 4x 5 12 2 18 2 2 ⇒ S 5 {24} ⇒ 22x 5 28 ⇒ f)
3y 5 y2 2 1 2 y2 1 y
3y 2 y2 1 y2 2 y 521
2y 5 21 1 y 52 2 1 S 5 2 2
240
3y (y 1 1)(y 2 1) 2 y (y 2 1) 5 y (y 1 1)(y 2 1) y (y 1 1)(y 2 1)
⇒ 2x 5 8 ⇒ ⇒x54 S 5 {4}
3 1 1 5 2 y y 11 y2 2 1 3 1 1 5 2 (y 1 1)(y 2 1) y y 11 8.
4 3 2 5 1 a a a 21 4 (a 2 1) 3(a 2 1) 1 2a 5 a (a 2 1) a (a 2 1) 4a 2 4 5 3a 2 3 1 2a 4a 2 3a 2 2a 5 23 1 4 2a 5 1 a 5 21 A expressão é verdadeira para a 5 21.
1 4 1 59 2 x 5 2 4 224 y 2 12 ⇒ 2 2 (y 2 12) 9. 128 5 224 ⇒ 128 (x 1 6) 5 x x 16 x (x 1 6) x (x 1 6) ⇒ 128x 1 768 5 224x ⇒ ⇒ 128x 2 224x 5 2768 ⇒ ⇒ 296x 5 2768 ⇒ ⇒ 96x 5 768 ⇒ x58 c) Colônia A: 8 grupos. Colônia B: 8 1 6 5 14 ⇒ 14 grupos 10. C 5 F 1 8x 2000 1 8x 12x 2000 1 8x 12 5 ⇒ 5 ⇒ x x x ⇒ 12x 2 8x 5 2 000 ⇒ ⇒ 4x 5 2 000 ⇒ x 5 500 Devem ser produzidas 500 camisetas. 320 300 11. 5 x x 22 320 (x 2 2) 300x 5 x (x 2 2) x (x 2 2) 320x 2 640 5 300x 320x 2 300x 5 640 20x 5 640 x 5 32 O 7o ano A tem 32 alunos, e o 7o ano B tem 30 alunos. 12.
240 400 5 t t 12 240 (t 1 2) 400t 5 t (t 1 2) t (t 1 2) 240t 1 480 5 400t 240t 2 400t 5 2480 2160t 5 2480 160t 5 480 t53 t corresponde a 3 horas.
⇒
y 2 12 2 16 2 (y 2 12) 2 118 5 ⇒ 4 (y 2 12) 4 (y 2 12)
⇒ y 2 12 2 16 5 2y 2 24 2 118 ⇒ ⇒ y 2 2y 5 224 2 118 1 12 1 16 ⇒ ⇒ 2y 5 2114 ⇒ y 5 114 Mangue Seco dista 114 km de Aracaju. 3 4 1 1 1 2 1 5 1 z 5z 15 10 5z 90 2 24 1 2z 3z 1 6 5 30z 30z 2z 2 3z 5 6 2 90 1 24 2z 5 260 z 5 60 O comprimento da tartaruga-oliva é 60 cm.
21 – Equações literais do 1o grau na incógnita x Exercícios, página 151. 1. a) 5x 2 3a 5 12a 5x 5 12a 1 3a 5x 5 15a x 5 3a S 5 {3a} b) 6x 1 p 5 4x 1 2p 6x 2 4x 5 2p 2 p 2x 5 p p x5 2 p S5 2 a1x 4a 2 x c) 1a 5 2 3
3a 1 3x 1 6a 8a 2 2x 5 6 6 3x 1 2x 5 8a 2 3a 2 6a Brasil real, página 149. 5x 5 2a a 3x 15 x 3x 2 150 75 1 2x x75 52 a) 215 5 1 ⇒ 5 ⇒ 3x 2 2 x 5 1 150 ⇒ 5 10 2 5 10 10 a 3x 15 x 3x 2 150 75 1 2x S 5 2 215 5 1 ⇒ 5 ⇒ 3x 2 2x 5 75 1 150 ⇒ 10 2 5 10 10 5 x 3x 2 150 75 1 2x ⇒ 3x 2 2x 5 75 1 150 ⇒ ⇒ 5 x1b b2x x 5 d) 1 1 50 10 10 5 3 10 ⇒ x 5 225 Mangue Seco dista 225 km de Salvador. 6x 1 6b 1 10b 2 10x 1 3x 0 5 30 30 1 4 1 59 y 2 12 2 16 2 (y 2 12) 2 118 b) 2 5 2 ⇒ 5 ⇒ 4 y 2 12 2 2 (y 2 12) 6x122) 10x 1 3x 5 26b 2 10b 4 (y 2 12) 4 (y 2
241
2x 5 216b x 5 16b S 5 {16b} e) 5bx 1 2a 5 bx 1 3a 5bx 2 bx 5 3a 2 2a 4bx 5 a
a x5 4b
a S5 , b 0 4b f) 3 (ax 1 b) 5 2 (ax 2 b) 3ax 1 3b 5 2ax 2 2b 3ax 2 2ax 5 22b 2 3b ax 5 25b
2. 6hx 1 14 5 18 1 2hx 6hx 2 2hx 5 18 2 14 4hx 5 4
x 52
5b a
5b S 5 2 , a 0 a g) (x 1 b) (x 2 b) 5 x (x 2 b3) x2 1 b2 5 x2 2 xb3 x2 2 x2 1 xb3 5 b2
xb3 5 b2
x5
b2 b3 1 x5 b
3.
4.
2ax 5 2a
2a x5 2a
x51 S 5 {1}
i)
x x 5c 1 a 2a 2x 2ac 1 x 5 2a 2a 2x 2 x 5 2ac x 5 2ac S 5 {2ac}
j) am 1
242
x ax 2 5b m b
abm2 1 bx 2 amx b2m 5 bm bm bx 2 amx 5 b2m 2 abm2
x5
1 h
b1x b2x 2x 1 5 5 3 10
x 2a x2b 52 2 b a ax 2 a2 2ab 2 bx 1 b2 5 ab ab 2 ax 1 bx 5 a 1 2ab 1 b2 x (a 1 b) 5 (a 1 b)2
1 S 5 , b 0 b h) (a 2 b) x 1 (a 1 b) x 5 2a ax 2 bx 1 ax 1 bx 52a
4 4h
6b 1 6x 1 10b 2 10x 23x 5 30 30 6x 2 10x 1 3x 5 26b 2 10b 2x 5 216b x 5 16b O número deve ser 16b.
x5
1 S 5 , h 0 h
x (b 2 am) 5 bm (b 2 am) bm (b 2 am) x5 (b 2 am) x 5 bm S 5 {bm}
x5
(a 1 b)2 (a 1 b)
x5a1b S 5 {a 1 b} 5.
x 5a 2bx 2 5 a2 b a1 b (a 1 b)(a 2 b) x (a 1 b) 2 5a (a 2 b) 2bx 5 (a 1 b)(a 2 b) (a 1 b)(a 2 b) ax 1 bx 2 5a2 1 5ab 5 2bx ax 1 bx 2 2bx 5 5a2 2 5ab ax 2 bx 5 5a2 2 5ab x (a 2 b) 5 5a (a 2 b) x5
5a (a 2 b)
(a 2 b)
x 5 5a 6. (m 2 n) x 1 (m 1 n) x 5 10m x (m 2 n 1 m 1 n ) 510m
2mx 5 10m
7x 2 5x 1 3 2 2x 2 1 2 10 5 x 2 3
10m x5 2m x55 O número x vale 5. Tratando a informação, páginas 151 e 152. 1. Maior: Norte Menor: Sul
7x 2 5x 2 3 1 2x 1 1 1 10 5 x 2 3 7x 2 5x 1 2x 2 x 5 2 3 1 3 2 1 2 10 3x 5 211 11 x 52 3 Alternativa b. 2. x
3x 4x 2 20 3 ⇒ 3x 2 4x 52 20 ⇒ 5 x 25 ⇒ 5 4 4 4
3x 4x 2 20 3 2. Maior: Sudeste x 5 x 25 ⇒ 5 ⇒ 3x 2 4x 52 20 ⇒ 4 4 4 Menor: Centro-Oeste ⇒ 2x 5 220 ⇒ ⇒ x 5 20 3. 5 5y 3y 1 18 População y 5 y 16 ⇒ 5 ⇒ 5y 2 3y 5 18 ⇒ Superfície Região Estimada (em n de 3 3 3 (Área em km ) habitantes) 5 5y 3y 1 18 y 13 000 000 5 y 16 ⇒ 5 ⇒ 5y 2 3y 5 18 ⇒ Centro-Oeste 1 600 000 3 3 3 Nordeste 1 600 000 52 000 000 ⇒ 2y 5 18 ⇒ Norte 3 900 000 15 000 000 ⇒y59 Sudeste 900 000 80 000 000 x 2 y 5 20 2 9 5 11 Sul 600 000 27 000 000 Alternativa d. 13000000 2 4. Centro-Oeste: 8,1 hab./ km 3x 2 3x2 3x (x 2 4) 1 2 (x 2 4) 1600000 3. 531 ⇒ 5 ⇒ x24 x x (x 2 4) x (x 2 4) 52000000 Nordeste: 5 32,5 hab./ km2 3x 2 3x2 3x (x 2 4) 1 2 (x 2 4) 1600000 531 ⇒ 5 ⇒ x24 x x ( x 2 4 ) x (x 2 4) 15000000 2 Norte: 3,8 hab./ km 3900000 ⇒ 3x2 5 3x2 2 12x 1 2x 2 8 ⇒ 3x2 2 3x2 1 12x 2 2x 52 8 ⇒ 80000000 ⇒ 3./ x2km 5 32x2 2 12x 1 2x 2 8 ⇒ 3x2 2 3x2 1 12x 2 2x 52 8 ⇒ Sudeste: 88,9 hab 900000 8 4 ⇒ 10x 52 8 ⇒ x 52 ⇒ x 52 27000000 2 10 5 Sul: 5 45 hab./ km 600000 5 23 5 2 3(y 2 3) 5 ⇒ 5 ⇒ ( y 1 3 )( y 2 3 ) y 1 3 (y 1 3)(y 2 3) (y 1 3)(y 2 3) 5. Maior: Sudeste 5 23 5 2 3(y 2 3) Menor: Norte 5 ⇒ 5 ⇒ (y 1 3)(y 2 3) y 13 (y 1 3)(y 2 3) (y 1 3)(y 2 3) a 6. 1 situação: A densidade demográfica 4 ⇒ 5 52 3y 1 9 ⇒ 3y 5 9 2 5 ⇒ 3y 5 4 ⇒ y 5 diminui. 3 2a situação: A densidade demográfica 4 ⇒ 5 52 3y 1 9 ⇒ 3y 5 9 2 5 ⇒ 3y 5 4 ⇒ y 5 aumenta. 3 4 7. 2 (x 2 25,3) 5 67,5 2 3 (x 2 14,8) 2 x 5 52 4 3 52 3 5 2x 2 50,6 5 67,5 2 3x 1 44,4 5 5 y 4 4 2x 1 3x 5 67,5 1 44,4 1 50,6 3 5x 5 162,5 Alternativa a. x 5 32,5 4. 280 1 3x 5 400 1 x Região Nordeste. 3x 2 x 5 400 2 280 8. Resposta em aberto. 2x 5 120 x 5 60 ⇒ 60 km 9. Resposta em aberto. Alternativa a. Retomando o que aprendeu, página 153. n 13 n 17 5. 5 (n 1 3)(n 1 12) 5 (n 1 7)(n 1 7) n 17 n 1 12 1. 7x 2 5x 1 3 2 (2x 1 1) 2 10 52 (2x 1 3)n 1 3 n 17 (n 1 3)(n 1 12) 5 (n 1 7)(n 1 7) 5 n 17 n 1 12 2
o
243
n2 1 12n 1 3n 1 36 5 n2 1 7n 1 7n 1 49 2
2
n 1 12n 1 3n 2 n 2 7n 2 7n 51 49 2 36 n 5 13 n 1 3 5 13 1 3 5 16 5 4 Alternativa d.
7. 0,25x 1 0,45x 1 12 5 x 0,7x 2 x 5 212 20,3x 5 212 0,3x 5 12 x 5 40 0,45x 5 0,45 40 5 18 ⇒ 18 jovens Alternativa e.
100 1 10t 2 100 100 60 1 6t ⇒ 5 ⇒ 8. 13000 5 4 000 ⇒ 13000 5 4 000 ⇒ 10 1 t 10 1 t 10 1 t 10 10 1 2x 12 x x 100 1 10t 2 100 100 60 1 6t 6 5 10 2 ⇒ 5 ⇒ 13000x 10 1 t 10 1 t 10 1 t ⇒ 5 4 000 ⇒ 13000x 5 4 000 (10 1 2x) ⇒ 10 1 2x ⇒ 6t 2 10t 5 260 ⇒ 24t 5 260 ⇒ ⇒ 13 000x 5 40 000 1 8 000x ⇒ ⇒ t 5 15 ⇒ 15 anos ⇒ 5 000x 5 40 000 ⇒ x 5 8 Alternativa d. Alternativa c. 6. 6 5 10 2
244
PORCENTAGEM E JURO SIMPLES 22 – Porcentagem
b) 1 000
Exercícios, páginas 157 e 158. 38 1. Acerto: 5 0,76 ou 76% 50
800 600 400 200 0
7 2. Falta: 5 0,35 ou 35% 20 17000 5 0,34 ou 34% 50000
3. Desconto: 4. Meninos:
Bom:
Ruim: 6.
400 200 0
1. Utilização
Quantidade (litros)
Consumo
54
Higiene
50
Lavagem de roupa
24
Descarga
66
Outras
6
60 Século XIX
a) b)
0,18 ? 55 000 5 9 900 9 900 habitantes têm mais de 50 anos. 55 000 − 9 900 5 45 100 45 100 habitantes têm 50 anos ou menos.
3. 0,227 ? 110 000 5 24 970 R$ 24 970,00 4. 0,035 ? 4 800 − 168 168 veículos por hora. 5. a) b)
4.
Jovens: 0,48 ? 200 000 5 96 000 Homens adultos: 0,25 ? 200 000 5 50 000 Mulheres adultas: 0,27 ? 200 000 5 54 000 Jovens com E.F. completo 5 5 0,20 ? 96 000 5 19 200 Adultos com superior completo 5 5 0,05 ? 50 000 1 0,03 ? 54 000 5 5 2 500 1 1 620 5 4 120
6. Época
Consumo diário de água
100 anos a.C.
12 litros
Romano antigo
20 litros
Século XIX
60 litros
Século XX
800 litros
Século XX
2.
110 0,1326 ou 13,26% 829 a)
20 Romano antigo
1. 0,24 ? 25 5 6 6 professores.
2. Resposta em aberto. 3.
12 100 anos a.C.
Exercícios, página 161.
396 5 0,88 ou 88% 450
Brasil real, páginas 158 e 159.
800
600
a) 396 1 9 1 18 1 27 5 450 kg b) Plástico:
Século XX
800
100 5 0, 40 ou 40% 250
15 5 0, 06 ou 6% 250
Século XIX
Consumo diário de água (em litros)
720 5 0, 45 ou 45% 1600
30 Regular: 5 0,12 ou 12% 250
100 anos Romano a.C. antigo
1 000
105 5 0, 42 ou 42% 250
5. Ótimo:
Consumo diário de água (em litros)
a) 0,45 ? x 5 27 ⇒ x 5
27 ⇒ x 5 60 alunos 0, 45
b) 0,55 ? 60 5 33 33 alunos 7. 0,65 ? x 5 26 ⇒ x 5
26 5 40 40 partidas 0,65
245
d) Precisa diminuir: 337 000 000 − 300 000 000 5 37 000 000 t x ? 337 000 000 5 37 000 000 ⇒ 37000000 0,11 ⇒ x5 337000000 O Brasil precisa reduzir em 11% suas emissões de CO2.
8. Não acertos de A: 0,10 ? 60 5 6 Não acertos de B: 0,30 ? 60 5 18 Não acertos de C: 0,55 ? 60 5 33 Total de não acertos: 57 9.
427 a) 0,81 ? x 5 427 ⇒ x 5 527 0,81 527 espécies 427 4744 b) 0,09 ? y 5 427 ⇒ y 5 0, 09 4 744 espécies
23 – Juro Simples Explorando, página 165.
Desafio!, página 162. 1. [(0,24 ? 8 000) ? 0,25] ? 0,15 5 5 [1 920 ? 0,25] ? 0,15 5 480 ? 0,15 5 72 72 entrevistados 2. 0,24 ? 0,25 ? 0,20 5 0,012 1,2% dos entrevistados Brasil real, páginas 162 e 163. 1. a) 0,98 ? 600 000 5 588 000 casos de malária. b) Aumento: 52 566 − 50 027 5 2 539 casos 2539 0, 05 50027
x ? 50 027 5 2 539 ⇒ x 5
O aumento foi de 5% em relação a 2006.
2. 0,40 ? 1 200 5 480 Pagaria R$ 480,00. Restaria para pagar: 1 200 − 480 5 720 R$ 720,00. 3. Desconto: 0,10 ? 1 200 5 120 Preço a pagar: 1 200 − 120 5 1 080 Pagaria R$ 1 080,00. Exercícios, página 168. 1.
2. a) Diminuição: 12 318 − 10 943 5 1 375 km2 b) Queda: x ? 12 318 5 1 375 ⇒ 1375 ⇒ x5 0,111 12318 Queda de aproximadamente 11%. c) Maior desmatamento: Mato Grosso Total: 0,461 ? 10 943 . 5 045 km2 3. a) Diferença: 5 912 2 4 707 5 1 205 milhões de toneladas de CO2. 1205 0,25 x ? 4 707 5 1 205 ⇒ x 5 4707 Aumento de 25%. b) 0,08 ? 5 800 000 000 5 464 000 000 de toneladas de CO2. Total da China: 5 800 000 000 1 464 000 000 5 6 264 000 000 O total da China foi de aproximadamente 6,2 bilhões de toneladas de CO2. 337 c) Brasil: 2,6 127 O Brasil lança 2,6 vezes a média mundial.
246
1. Resposta pessoal. O aluno concluirá que juro é uma espécie de “aluguel” que se paga pelo uso de dinheiro emprestado ou quando se paga uma mercadoria em prestações.
a) Juros ao mês para pagar: 0,015 ? 5 200 5 78 reais b) Total em 5 meses: 78 ? 5 5 390 reais Total pago: 5 200 1 390 5 5 590 reais. 2. a) b)
Ao mês: 0,023 ? 1 800 5 41,40 reais Em 5 meses: 5 ? 41,40 5 207 reais Ao mês: 0,0196 ? 2 450 5 48,02 reais Em 2 meses: 2 ? 48,02 5 96,04 reais
3. Rendeu ao mês: 3 000 3 5 1 000 reais. Taxa: x ? 40 000 5 1 000 ⇒ 1000 5 0, 025 2,5% ao mês ⇒ x5 40000 4. Rendimento por ano: 389,12 2 5 194,56 reais Total: 0,256 ? x 5 194,56 ⇒ ⇒ x5
194,56 5 760 reais 0,256
5. Total de juros: 69 − 60 5 9 reais Taxa: x ? 60 5 9 ⇒ x 5
9 5 0,15 60
A taxa de juros é de 15%.
6. Juro ao mês: 931 2 5 465,50 reais Total: 0,019 ? x 5 465,50 ⇒ ⇒ x5
465,50 5 24500 reais 0, 019
Tratando a informação, páginas 169 e 170. 1.
2. Alternativa a. 3.
a) Gráfico de colunas triplas ou de múltiplas colunas ou de colunas comparativas. b) Maior superfície: região Norte (45,3%) Mais recursos hídricos: região Norte (68,5%) 2a menor concentração de população: região Norte (6,98%) c) Região Nordeste (3,3%) d) Região Sudeste (42,65%) e) Não, pois a região Norte possui a maior superfície (45,3%) e a segunda menor concentração de população (6,98%). f) A região Sudeste tem 6% do total brasileiro, que por sua vez tem 12% do total mundial, logo, a região Sudeste tem 6% de 12% da água do planeta, ou seja, 0,06 ? 0,12 5 0,0072 ou 0,72%. g) Não. Maiores recursos hídricos: região Norte (68,5%) Maior população: região Sudeste (42,65%). 2. a) Resposta em aberto. b) • Geleiras e neves eternas: 0,689 ? 0,025 . 0,0172 ou 1,72%. • Rios e lagos: 0,003 ? 0,025 . 0,0001 ou 0,01% aproximadamente. • Águas subterrâneas: 0,299 ? 0,025 . 0,0075 ou 0,75%. • Solos, pântanos e geadas: 0,009 ? 0,025 . 0,00025 ou 0,025%. 3.
Retomando o que aprendeu, páginas 170 e 171. 1 1. 5 0,2 ou 20% 5 Alternativa c.
Distribuição de água no corpo humano sangue
81%
rins
83%
coração
75%
músculos
75%
fígado
86%
pulmões
86%
cérebro
75%
15 5 0, 04 ou 4% 375 Alternativa c.
4. V 5 3,5 ? 2,5 ? 2 5 17,5 m3 Falta 20% da capacidade para encher: 0,20 ? 17,5 5 3,5. 3,5 ? 1 000 5 3 500 L Alternativa e. 5. Número de meninos (x) menos 3 é igual a 60% do número de meninas (y). (x – 3) 5 0,6 ? y x 1 y 5 35 ⇒ y 5 35 − y x − 3 5 0,6 ? (35 − x) ⇒ ⇒ x − 3 5 21 − 0,6x ⇒ x 1 0,6x 5 21 1 3 ⇒ 24 5 15 ⇒ 1,6x 5 24 ⇒ x 5 1,6 A classe tem 15 meninos. Alternativa d. 6. 0,3 ? 0,4 ? 0,5 5 0,06 ou 6%. Alternativa d. 7. Antes da liquidação: 60 1 0,2 ? 60 5 60 1 12 5 72 reais. Durante a liquidação: Desconto: 0,2 ? 72 5 14,40 reais. Preço: 72 − 14,40 5 57,60 reais. Alternativa d. 8. Juro ao mês: 0,04 ? 2 400 5 96 reais Alternativa c. 9. Juro ao mês: 310 10 5 31 reais 31 5 620 reais Preço: 0,05 ? x 5 31 ⇒ x 5 0, 05 Alternativa b. 10. Juro pago: 49 000 − 25 000 5 24 000 reais Juro pago ao mês: 24 000 20 5 1 200 Taxa: x ? 25 000 5 1 200 ⇒ ⇒ x5
1200 5 0, 048 ou 4,8% a.m. 25000
Alternativa d.
247
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1.o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS ⇒ 2y 5 42 2 48 ⇒ 2y 5 26 ⇒ y 5 6 Solução: (8, 6) b) y 5 0 ⇒ 6x 5 42 ⇒ x 5 7 Solução: (7, 0)
24 – Equação do 1º grau com duas incógnitas Explorando, página 173. 1. a) x 1 5 1 x 1 5 5 4 ? y ou 2x 1 10 5 4y b) x 5 7 e y 5 6 Sim, pois 2 ? 7 1 10 5 24 e 4 ? 6 5 24
6. 4 ? (23) 1 3 ? 5 5 212 1 15 5 3, sim. 2 ? (23) 2 5 ? 5 5 26 2 25 5 231, sim. É solução das duas equações. 7. (4, 1)
2. a) 4x 1 2y 5 48 b) x 5 10, y 5 4 Sim, pois 4 ? 10 1 2 ? 4 5 40 1 8 5 48.
25 – S istema de equações do 1º grau com duas incógnitas Exercícios, páginas 177 e 178.
Exercícios, página 174. 1.
1. a) 3 ? 3 1 9 5 9 1 9 5 18, sim. b) 3 1 2 ? 9 5 3 1 18 5 21, sim. c) 2 ? 3 1 3 ? 9 5 6 1 27 5 33 ≠ 30, não. 2. y 5 2x 2 5 a) 3x 1 2 (2x 2 5) 5 4 ⇒ 3x 1 4x 2 10 5 4 ⇒ ⇒ 3x 1 4x 5 4 1 10 ⇒ ⇒ 7x 5 14 ⇒ x 5 2 b) x 2 4 (2x 2 5) 5 21 ⇒ ⇒ x 2 8x 1 20 5 21 ⇒ ⇒ x 2 8x 5 21 2 20 ⇒ ⇒ 27x 5 221 ⇒ x 5 3 3. 5x 2 3y 5 31 a) y 5 3 5x 2 3 ? 3 5 31 ⇒ 5x 5 31 1 9 ⇒ ⇒ 5x 5 40 ⇒ x 5 8 Solução: (8, 3) b) x 5 5 5 ? 5 2 3y ⇒ 23y 5 31 2 25 ⇒ ⇒ 23y 5 6 ⇒ y 5 22 Solução: (5, 22) 4. 7x 1 1 5 50 ⇒ 7x 5 50 2 1 ⇒ ⇒ 7x 5 49 ⇒ x 5 7 Solução: (7, 1) 5. 6x 2 y 5 42 a) x 5 8 6 ? 8 2 y 5 42 ⇒ 48 2 y 5 42 ⇒
248
x 5 2y a) x 1 y 5 30 x 1 y 5 25 b) x 2 y 5 13 x 1 y 5 150 c) 2 x 5 3 y x 1 y 5 50 d) x 5 2y 2 1
x 1 y 5 1 300 e) 5 x 5 4 y x 1 y 5 500 f) x 5 0,7y x 1 y 5 8 g) 5x 1 10y 5 55 x 1 y 5 23 h) 2x 1 4y 5 82 3 ? 10 2 2 ? 7 5 30 2 14 5 16 2. 2 ? 10 2 3 ? 7 5 20 1 21 5 41 Sim, (10, 7) é solução. 4 ? (2 3) 1 3 ? 5 52 12 1 15 5 3 3. 2 ? (2 3) 2 5 ? 5 52 6 2 25 52 31 Sim, (23, 5) é solução.
3 ? (10 2 y) 2 y 5 18 ⇒ 30 2 3y 2 y 5 18 ⇒ 2 3y 2 y 5 18 2 30 2 ?1 22 52 22 50 3 4. 3 ? (10 2 y) 2 y 5 18 ⇒ 30 2 3y 2 y 5 18 ⇒ 2 3y 2 y 5 18 2 30 3?1 12 ?2 531 4 57 8 ⇒ 2 4y 52 12 ⇒ y 5 3 (1, 2) não é solução. x 5 10 2 3 5 7 2 ? 2 21 5 4 21 5 3 3?2 12 ?1 56 12 58
{ }
S 5 (7, 3)
2x 1 y 52 3 ⇒ y 52 3 2 2x c) x 2 3y 52 26 5. (3, 2) x 2 3 (23 2 2x) 52 26 ⇒ x 1 9 1 6x 52 26 ⇒ x 1 6x 52 26 2 9 ⇒ x 2 3 2 3 2 2 x 52 26 ⇒ x 1 9 1 6x 52 26 ⇒ x 1 6x 52 26 2 9 ⇒ ( ) 22 4 2 1 8 7 1 ? 52 1 5 x 2 3 (23 2 2x) 52 26 ⇒ x 1 9 1 6x 52 26 ⇒ x 1 6x 52 26 2 9 ⇒ 6. 2 ⇒ 7x 52 35 ⇒ x 52 5 2 2 2 2 52 2 2 1 52 3 2 y 52 3 2 2 ? (25) 52 3 1 10 5 7 (22, 2) não é solução. S 5 (25, 7) (2, 1) é solução.
{
}
x 1 5y 52 24 ⇒ x 52 24 2 5y d) 3x 2 2y 52 4 1 3 ? (224 2 5y) 2 2y 52 4 ⇒ 2 72 2 15y 2 2y 52 4 ⇒ 215y 2 2y 52 x 1 3 y 5 110 3 ? (224 2 5y) 2 2y 52 4 ⇒ 2 72 2 15y 2 2y 52 4 ⇒ 215y 2 2y 52 4 1 72 ⇒ 1 x 1 y 53110 ? (224 2 5y) 2 2y 52 4 ⇒ 2 72 2 15y 2 2y 52 4 ⇒ 215y 2 2y 52 4 1 72 ⇒ 4 ⇒ 217y 5 68 ⇒ y 52 4 Alternativa b. x 52 24 2 5 ? (2 4) 52 24 1 20 52 4 A incógnita x representa a quantia S 5 (24, 2 4) economizada por Bento, e a incógnita y y x a quantia economizada por Antônio. 5 10 1 e) 5 2 1 x 2 y 5 29 ⇒ x 5 29 1 y 80 1 3 ? 90 5 80 1 30 5 110 29 1 y y 58 1 2y 100 1 5y 1 ? 80 1 90 5 20 1 90 5 110 5 10 1 ⇒ 5 ⇒ 2y 2 5y 5 100 2 58 ⇒ 5 2 4 10 10 O par correto é (80, 90). 29 1 y y 58 1 2y 100 1 5y 5 10 1 ⇒ 5 ⇒ 2y 2 5y 5 100 2 58 ⇒ 5 2 Alternativa a. 10 10 29 1 y y 58 1 2y 100 1 5y ⇒ 2y 2 5y 5 100 2 58 ⇒ 10 1 ⇒ 5 Bento economizou:5 R$ 5 80,00. 2 10 10 ⇒ 2 3y 5 42 ⇒ y 52 14 Antônio economizou: R$ 90,00. x 5 29 1 (2 14) 5 15 S 5 (15, 2 14) Desafio!, página 178.
1.
2.
3.
4.
26 – R esolução de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas Exercício, página 181. x 1 y 5 20 a) x 2 y 5 8 ⇒ x 5 8 1 y
}
}
{
}
3x 2 5y 5 2 (x 2 y) 1 1 f) ⇒ 3y 2 3 (x 2 3y) 1 x 52 2 2 3y 3x 2 5y 5 2x 2 2y 1 1 ⇒ ⇒ 3y 2 3x 1 3y 1 x 52 2 2 3y
(8 1 y) 1 y 5 20 ⇒ y 1 y 5 20 2 8 ⇒ 2y 5 12 ⇒ y 5 6 ) 1 y 5 20 ⇒ y 1 y 5 20 2 8 ⇒ 2y 5 12 ⇒ y 5 6 x 5 8 1 6 5 14 S 5 (14, 6) 3x 2 y 5 18 b) x 1 y 5 10 ⇒ x 5 10 2 y
{
{
3x 2 5y 5 2x 1 2y 5 1 ⇒ ⇒ 3y 2 3x 1 3y 1 x 1 3y 52 2 x 2 3y 5 1 ⇒ x 5 1 1 3y ⇒ 2 2x 1 9y 52 2 22 ? (1 1 3y) 1 9y 5 22 ⇒ 22 2 6y 1 1 9y 5 22 ⇒ 26y 1 9y 5 22 1 2 ⇒ ⇒ 3y 5 0 ⇒ y 5 0 x5113?0511051 S 5 (1, 0)
{
}
249
x2y x1y 5 5 3 g) x 5 y 1 2 ⇒ x 5 2y 1 4 2
7x 1 6y 5 23 1 25x 2 6y 5 221
2x 5 2 3 3 4 5 4 y 1 y 1 x 5 1 ( ) ( ) 2y 1 4 1 y 2y 1 4 2 y ⇒ 9y 1 12 5 5y 1 20 ⇒ 5 ⇒ 5 5 3 15 15 7 ? 1 1 6y 5 23 3 (3y 1 4) 5 (y 1 4) 2y 1 4 1 y 2y 1 4 2 y 6y 5 23 2 7 ⇒ ⇒ 9y 1 12 5 5y 1 20 ⇒ 5 5 5 3 15 15 6y 5 16 3 (3y 1 4) 5 (y 1 4) y ⇒ 9y 1 12 5 5y 1 20 ⇒ ⇒ 5 16 8 y5 5 15 15 ⇒ 9y 2 5y 5 20 2 12 ⇒ 4y 5 8 ⇒ y 5 2 6 3 x 52 ?2 1 4 5 4 1 4 58 8 S 5 1, S 5 (8, 2) 3
{
}
x 5 2 (y 1 2) ⇒ x 5 2y 1 4 h) x 2 y x 10 5 2 1 2 2y 1 4 2 y 2y 1 4 y14 10y 1 20 1 20 5 12 ⇒ 5 10 2 10 10 2y 1 4 2 y 2y 1 4 y14 10y 1 20 1 20 2⇒ 5 1 5 ⇒ 10 2 10 10 ⇒ y 2 10y 5 20 1 20 2 4 ⇒ 2 9y 5 36 ⇒ y 52 4 ⇒ y 2 10y 5 20 1 20 2 4 ⇒ 2 9y 5 36 ⇒ y 52 4 x 5 2 ? (2 4) 1 4 52 8 1 4 52 4 S 5 (24, 4)
{
}
Exercícios, páginas 184 e 185. 1.
x 1 y 5 32 1 a) x 2 y 5 18 2x x
5 50 5 25
25 1 y 5 32 y 5 32 2 25 y57 S 5 (25, 7)
{
}
6x 2 3y 5 20 1 b) 4x 1 3y 5 40
10x 5 60 x 5 6 4 ? 6 1 3y 5 40 3y 5 40 2 24 3y 5 16 16 y5 3 16 S 5 6, 3
7x 1 6y 5 23 c) 5x 1 6y 5 21
250
8x 1 5y 5 11 d) 4x 1 5y 5 3 ? (2 1) 8x 1 5y 5 11 ⇒ 1 24x 2 5y 5 23 4x 5 8
x 5 2 8 ? 2 1 5y 5 11 5y 5 11 2 16 5y 5 25 y 5 21 S 5 (2, 2 1)
{
}
2x 2 3y 5 11 e) 2x 1 7y 5 1 ? (2 1) 2x 2 3y 5 11 1 22x 2 7y 5 21 210y 5 10 y 5 21
2x 2 3 ? (2 1) 5 11 2x 5 11 2 3 2x 5 8 x54 S 5 (4, 2 1)
{
}
2x 2 y 5 12 2x 2 y 5 12 (? 3) f) x y 2x 1 3y 36 ⇒ 5 2x 1 3y 5 36 3 1 2 56 ⇒ 6 6
2x 2 y 5 12 2x 2 y 5 12 (? 3) ⇒ y 2x 1 3y 36 x 5 2x 1 3y 5 36 3 1 2 56 ⇒ 6 6 6x 2 3y 5 36 1 2x 1 3y 5 36 ? (2 1)
8x x
5 72 5 9
2 ? 9 2 y 5 12 2 y 5 12 2 18 2 y 52 6 y 56 S 5 (9, 6)
{
}
3 (x 2 2) 5 2 (y 2 3) 3x 2 6 5 2y 2 6 g) ⇒ ⇒ 18 (y 2 2) 1 y 5 3 (2x 1 3) 18y 2 36 1 y 5 6x 1 9
3 (x 2 2) 5 2 (y 2 3) 3x 2 6 5 2y 2 6 ⇒ ⇒ 18 (y 2 2) 1 y 5 3 (2x 1 3) 18y 2 36 1 y 5 6x 1 9
3x 2 2y 5 0 (? 2) 3x 2 2y 52 6 1 6 ⇒ ⇒ 2 6x 1 18y 1 y 5 9 1 36 2 6x 1 19y 5 45
3x 2 2y 5 0 (? 2) 3x 2 2y 52 6 1 6 ⇒ ⇒ 2 6x 1 18y 1 y 5 9 1 36 2 6x 1 19y 5 45 6x 2 4y 5 0 1 26x 1 19y 5 45 15y 5 45 y5 3
3x 2 2 ? 3 5 0 3x 5 6 x 52 S 5 (2, 3)
3x 2 y 52 4 1 20 3x 2 y 5 16 ⇒ ⇒ 2x 2 3y 2 x 5 6 2 2 x 2 3y 5 4 ? (23) 3x 2 y 5 16 1 23x 1 9y 5 212 8y 5
4
y5
4 1 5 8 2
3x 2
1 5 16 2
6x 2 1 32 5 2 2 6x 5 32 1 1 6x 5 33 33 11 x5 5 6 2 11 1 S 5 , 2 2
20x 25x 2 10 1 2y 2 6 y 23 5x 2 2 5 1 5 2x 2 10 10 5 ⇒ b) ⇒ 7 (y 2 1) 1 x 2 5 5 2y 21y 2 21 1 2x 2 10 5 12y 2 3 6 6
{ }
20x 25x 2 10 1 2y 2 6 y 23 5x 2 2 5 1 5 2x 2 10 10 5 ⇒ ⇒ 5x 2 5y 2 x 2 2 y x2y x2y 5 7 (y 2 1) 1 x 2 5 5 2y 21y 2 21 1 2x 2 10 5 12y 5 2x 2 2y 2 5x 15y 5 0 6 2 ⇒ 10 102 6 h) 5 ⇒ 3 3 x 2 2 y 52 4 3 x 3 x 2 y 2 4 5 y 22 5 5x 1 2y 5 16 25x 1 2y 2 20x 5 10 1 6 2 2 2 ⇒ ⇒ 2 x 2 2 y 5 x 2 5 y y 5 21y 1 2x 2 12y 5 21 1 10 2x 1 9y 5 31 10 2x 2 2y 2 5x 1 5y 5 0 10 ⇒ ⇒ 25x 1 2y 2 20x 5 10 1 6 5x 1 2y 5 16 ? (2 2) 3x 2 2y 52 4 3x 5 2y 2 4 ⇒ ⇒ 2 2 21y 1 2x 2 12y 5 21 1 10 2x 1 9y 5 31 ? (5) 23x 1 3y 5 0 1 3x 2 2y 5 24 210x 2 4y 5 232 1 y 5 24 10x 1 45y 5 155
2 3x 1 3 ? (2 4) 5 0 2 3x 5 12 x 524 S 5 (2 4, 2 4)
{
}
2. 3x 2 20 5 y 2 4 3x 2 20 5 y 2 4 a) x 1 1 ⇒ 3y 1 6 1 x 2x 1 2 y 12 x 5 ⇒ 3 5 2 1 6 6 6 3x 2 20 5 y 2 4 3x 2 20 5 y 2 4 ⇒ 3y 1 6 1 x 2x 1 2 x 11 y 12 x ⇒ 5 6 3 5 2 1 6 6
? (2 2) ? (5)
41y 5 123 3 y5
5x 1 2 ? 3 5 16 5x 5 16 2 6 5x 5 10 x 52 S 5 (2, 3)
{ }
120 4x 2 4y 1 3x 1 3y x1y x2y 5 6 1 8 55 24 24 c) ⇒ ⇒ 5 x 1 5 y 2 4 x 1 4 y 200 x 1 y x 2 y 5 2 5 10 5 4 20 20
251
2x 2 5 ? 10 52 10 2x 52 10 1 50 2x 5 40 x 520 a) x ? y 5 20 ? 10 5 200 b) x2 1 y2 5 202 1 102 5 400 1 100 5 500
120 4x 2 4y 1 3x 1 3y x1y x2y 5 6 1 8 55 24 24 ⇒ ⇒ 5 x 1 5 y 2 4 x 1 4 y 200 x 1 y x 2 y 5 2 5 10 5 4 20 20
7x 2 y 5 120 ⇒ x 1 9y 5 200
(? 9) ⇒
63x 2 9y 5 1080 1 x 1 9y 5 200
64x x
20 1 9y 5 200 9y 5 200 2 20 9y 5 180 y 520 S 5 (20, 20)
{
5 1280 5 20
}
x 1 y 5 18 3. 1 2x 2 y 5 12 5 30 3x x 5 10 10 1 y 5 18 y 5 18 2 10 y 58 x 2 2y 1 z 52 12 10 2 2 ? 8 1 z 52 12 z 52 12 2 10 1 16 z 526
c)
x 20 5 52 y 10
2 (x 1 2) 2 3 (y 2 1) 5 5,6 2x 1 4 2 3y 1 3 5 5,6 5. x ⇒ 2x 1 y ⇒ 1,8 y 5 2 1 4 5 0, 45 4 4 2 (x 1 2) 2 3 (y 2 1) 5 5,6 2x 1 4 2 3y 1 3 5 5,6 ⇒ 2x 1 y ⇒ 1,8 x y 5 4 2 1 4 5 0, 45 4 2x 2 3y 5 5,6 2 4 2 3 2x 2 3y 52 1, 4 ⇒ ⇒ 2x 1 y 5 1,8 2x 1 y 5 1,8 2x 2 3y 5 5,6 2 4 2 3 2x 2 3y 52 1, 4 ⇒ ⇒ 2x 1 y 5 1,8 2x 1 y 5 1,8
? (2 1)
22x 1 3y 5 1, 4 1 2x 1 y 5 1,8 4y 5 3,2 y 5 0,8
2x 1 0,8 5 1,8 2x 5 1,8 2 0,8 2x 5 1 10y 2 5y 2x 1 10 y x 15 5 1 5 y 2 10 10 x 5 5 0,5 2 4. 5 ⇒ ⇒ 2 5x 1 3 (y 2 10) 5 5 (x 2 10) 5x 1 6y 2 60 5 10x 2 100 x3 2 y3 5 2 2 2 5 (0,5)3 2 (0,8)3 5 2 x 1 10 10 y 2 5 y 15 y 5 0,125 2 0,512 5 5 5y2 10 10 5 2 52 0,387 ⇒ ⇒ 5x 1 6y 2 60 10x 2 100 1 3 (y 2 10) 5 5 (x 2 10) 5 x 1 y 5 15 2 2 1 z 5 11 1 2x 2 5y 52 10 (?6. 5) x 2x 2 10y 1 5y 52 10 y1z5 6 ⇒ ⇒ 5x 1 6y 2 10x 52100 1 60 2 5x 1 6y 52 40 (? 2) 2x 1 2y 1 2z 5 32 (2) ⇒ x 1 y 1 z 5 16 2x 2 5y 52 10 (? 5) 2 10y 1 5y 52 10 ⇒ 1 6y 2 10x 52100 1 60 2 5x 1 6y 52 40 (? 2) Desafio!, página 185. 10x 2 25y 5 250 1 210x 1 12y 5 2 80 213y 5 2130 13y 5 130 y 5 10
252
1. 4a linha: 4 1 4 1 4 1 5 20 ⇒ 58 a 4 coluna: 8 1 1 8 1 8 5 26 ⇒ 52 2a linha: 8 1 1 2 1 2 5 18 ⇒ 5 6 2a coluna: 4 1 6 1 1 4 5 26 ⇒ 5 12 3a linha: 4 1 12 1 1 8 5 38 ⇒ 5 14
? (2 1)
2. Usando a para Andréa, b para Balu e c para Carlos, temos: c 1 b 5 87 ⇒ c 5 87 2 b (substituindo na 2a equação) c 1 a 5 123 a 1 b 5 66 87 2 b 1 a 5 123 a 2 b 5 123 2 87 ⇒ ⇒ a 1 b 5 66 a 1 b 5 66 ⇒ a 2 b 5 36 1 a 1 b 5 66 5 102 2a a 5 51 51 1 b 5 66 b 5 66 2 51 b 5 15 c 5 87 2 b c 5 87 2 15 c 5 72 Andréa tem 51 kg, Balu tem 15 kg e Carlos tem 72 kg. Exercícios, páginas 187 e 188. x 1 y 5 169 1. 1 x 2 y 5 31 2x x
5 200 5 100
100 1 y 5 169 y 5 169 2 100 y 569 Os números são 100 e 69.
x 1 y 5 10 ? (21) 4. 2x 1 y 5 16 2x 2 y 5 210 1 2x 1 y 5 16 x
5
6
6 1 y 5 10 y 5 10 2 6 y54 Usando x para número de vitórias e y para número de derrotas, a equipe ganhou 6 jogos. 5. 3a parte: x 85 1 2x 1 x 5 235 2x 1 x 5 235 2 85 3x 5 150 x 5 50 ⇒ x 5 50 cm A segunda parte mede 100 cm e a terceira, 50 cm. 6. Certos: x; errados: y (? 2) x 1 y 5 36 5x 2 2y 5 110 2x 1 2y 5 72 1 5x 2 2y 5 110
7x 5 182 x 5 26 26 1 y 5 36 y 5 36 2 26 y 510 O jogador acertou 26 arremessos. 7. Se x é o número de galinhas e y o número de ovelhas, temos:
x 1 y 5 110 2. x 1 y 5 21 ? (2 2) x 5 3y 1 18 2x 1 4y 5 50 (3y 1 18) 1 y 5 110 ⇒ 3y 1 y 5 110 2 18 ⇒ 4y 5 92 ⇒ y 523 22x 2 2y 5 242 110 ⇒ 3y 1 y 5 110 2 18 ⇒ 4y 5 92 ⇒ y 5 23 1 x 5 3 ? 23 1 18 5 69 1 18 5 87 2x 1 4y 5 50 Os números são 87 e 23. 2y 5 8 2x 1 2y 5 128 4 y5 3. x 5 y 1 20 x 1 4 5 21 2 (y 1 20) 1 2y 5 128 ⇒ 2y 1 40 1 2y 5 128 ⇒ 2y 1 2y 5 128 221 402 ⇒4 x5 28 ⇒ 2y 1 40 1 2y 5 128 ⇒ 2y 1 2y 5 128 2 40 ⇒ x 517 ⇒ 4y 5 88 ⇒ y 5 22 Há no terreiro 17 galinhas e 4 ovelhas. x 5 22 1 20 5 42 8. x – nível avançado; y – nível intermediário Área do retângulo: A 5 42 ? 22 5 924 As dimensões do retângulo são x 1 y 5 300 ? (20, 4) 42 m ? 22 m e sua área é de 924 m2. 0, 4x 1 0, 05y 5 50
253
20, 4x 2 0, 4y 5 2120 1 0, 4x 2 0, 05y 5 50 20,35y 5 2 70 y 5 200 x 1 200 5 300 x 5 300 2 200 x 5100 Alunos do intermediário que escolheram Espanhol: 0,05 ? 200 5 10. Não escolheram Espanhol 190 alunos do nível intermediário. 9. x: mais velha; y: mais jovem
5 90 5 45
120 12
x 2 18 5 y x 2 0,2x 5 y x 2 18 5 x 2 0,2x x 2 x 1 0,2x 5 18 0,2x 5 18 x 590 90 2 18 5 y y 572 A mercadoria custa R$ 90,00 na loja A e R$ 72,00 na loja B.
10. x: campeão; y: vice x 1 y 5 173 ⇒ x 5 y 1 7 x 1 y 5 173 1 x 2 y 5 7 5 180 5 90
90 1 y 5 173 y 5 173 2 90 y 583 O campeão somou 90 pontos e o vice, 83 pontos. 11. x – caixas com capacidade para 50 livros. y – caixas com capacidade para 70 livros. x 1 y 5 27 ? (2 50) 50x 1 70y 5 1 650 250x 2 50y 5 21350 1 50x 1 70y 5 1650
254
220x 2 20y 5 2480 1 20x 1 30y 5 600
13. x – preço na loja A y – preço na loja B
45 1 y 5 70 y 5 70 2 45 y 525
20y 5 y5
? (220) x 1 y 5 24 20x 1 30y 5 600
x 1 12 5 24 x 5 24 2 12 x 512 12 vãos de 20 cm e 12 vãos de 30 cm.
x 1 y 5 70 1 x 2 y 5 20
2x x
12. x – prateleiras com vão de 20 cm. y – prateleiras com vão de 30 cm.
10y 5 y5
x 1 y 5 70 ⇒ x 2 10 5 y 1 10
2x x
x 1 15 5 27 x 5 27 2 15 x 512 Foram utilizadas 12 caixas de 50 livros e 15 caixas de 70 livros.
300 15
Chegou a sua vez!, página 189. 1. Outras soluções: a 5 2, b 5 2, c 5 4; a 5 5, b 5 1,25, c 5 6,25; a 5 6, b 5 1,2, c 5 7,2. 2. Resposta em aberto. Brasil real, página 189. x 1 y 5 56,7 1 1. x 2 y 5 3,5 2x x
5 60,2 5 30,1
Em 2000, o índice de mortalidade infantil foi de 30,1 (30,1% ou 30,1 por 1 000).
2. 30,1 1 y 5 56,7 2x 2 3y 5 2 2x 5 2 1 3y y 5 56,7 2 30,1 x 23 y 21 ⇒ ⇒ 1 1 5 5 y 5 26,6 y 2 1 y 2 1)(x 2 3) x 23 (y 2 1)(x 2 3) ( Em 2005 o índice foi de 26,6, ou seja, 26,6% ou 26,6 por 1 000. 2x 2 3y 5 2 2x 2 3y 5 2 ⇒ ⇒ 3. Haverá uma diminuição de % (22) x 2 y 52 1 1 3 x 2 y 5 2 (26,6% 2 19,8% ). 2x 2 3y 5 2 1 Exercícios, página 191. 22x 1 2y 5 24 1.
2 y 5 22 y5 2
y 13 2x 1 1 2x 1 1 5 5 1 y 13 y 13 y 13 a) ⇒ ⇒ 2y x 12 y 51 5 2 x 1 2 2 (x 1 2) 2 (x 1 2) 2x 2 y 5 3 2 1 2x 2 y 5 2 ⇒ ⇒ ( 2) 2 x 1 2y 5 2 2x 1 2y 5 2
2x 2 y 5 2 1 22x 1 4y 5 4 3y 5 6 y5 2
2x 2 2 5 2 2x 5 2 1 2 2x = 4 x 52 S 5 (2, 2)
{
}
2x 1 y x 1 y x2y 3x 1 7
2x 2 3 2 5 2 2x 5 2 1 6 2x 5 8 x54 S 5 (4, 2)
{
}
2x 1 2y 6x 1 3y 2 2x 1 y 3 x1y 5 3 x1y 5 x 1 y ) ( ) 3 ( ⇒ d) ⇒ 2x 2 2y 5 3x 1 7 x2y 5 1 2 3x 1 7 2 (3x 1 7) 2 (3x 1 7) 2x 1 2y 6x 1 3y 2 3 x1y 5 3 x1y 5 ) ( ) 3 ( ⇒ ⇒ 2x 2 2y 3x 1 7 1 5 5 2 2 (3x 1 7) 2 (3x 1 7)
6x 1 3y 2 2x 2 2y 5 0 4x 1 y 5 0 ⇒ ⇒ 2x 2 2y 5 7 2x 2 2y 2 3x 5 7
x 1 y 5 9 x 1 y 5 9 9 3y 2 2x 2 2y 5 0 4x 1 y 5 0 x 1y65 x1 ( 2) 2y ⇒ ⇒ ⇒ x b) x ⇒ 5 2 0 2 1 5 1 x 2 y 5 ( ) 2 x 2 2 y 2 3 x 5 7 2 x 2 2 y 5 7 2y 2y 2y x 1 y 5 9 x 1 y 5 9 8x 1 2y 5 0 x 1 y 5 9 1 2 y ⇒ ⇒ x x 2x 2 2y 5 7 5 2 0 2 1 5 1 x 2 y 5 ( ) 2y 2y 2y 7x 57 x 1 y 5 9 x 51 1 2x 1 2y 5 0 4 1 1 y 5 0 y 5024 3y 5 9 y 52 4 y53 S 5 (1, 2 4) x 1359 x14 x 59 23 x14 5 y 1 3 5 1 y 1 3 x 56 2. ⇒ S 5 (6, 3) 2y 5 4 2y 5 x 1 2 x 1 2 x1 23 2x 2x 5 2 1 3y 4y 5 2 x 1 4 5 y 1 3 51 y 13 y 2y1 1 3 ⇒ x 2 y 5 3 2 4 c) 1 1 ⇒ y 1x3 2 3 ⇒ ⇒ 5 ⇒ 5 y 2 1 2 y 1 x 3 y 2 2 x 23 2y )( ) 2(y 51)(4xx213)8 24x 1 2y 5 8 ( 54 x 1 2 x 12 x 1 2
{
{ }
( 2)
}
y 13 y 13 4x 1 8 x 12
x 2 y 5 3 2 4 ⇒ ⇒ 24x 1 2y 5 8
255
x 12 5 x 2 y 521 (y? 21) 2 ⇒ 2 x 2⇒ 5 24x 1 2y 5 8 y 2 2 2x 2 2y 5 22 1 24x 1 2y 5 8 22x x
5y 1 10 6x 1 12 5 6 y 12 5 6 y 12 ) ( ) 6x 2 5y 5 10 2 12 6 ( ⇒ ⇒ ⇒ 1 22 1 4 2x 2 y 52 2x 2 4 5 y 2 2 2 2 (y 2 2) 2 (y 2 2) 6x 2 5y 52 2 ⇒ ⇒ ? (2 3) 2x 2 y 5 2 6x 2 5y 5 22 1 26x 1 3y 5 26
5 6 5 23
23 2 y 521 2y 521 1 3 2y 5 2 y 522 a) y 2 x 5 22 2 (23) 5 22 1 3 5 1 b) x y 5 (23)(22) 5
22y 5 28 2y 5 8 y5 4 2x 2 4 5 2 2x 5 2 1 4 2x 5 6 x 53 3 x 5 4 y
3 2
c) (x 1 y) (x 2 y) 5 (23 2 2)(23 1 2) 5 5 (25) ? (21) 5 5 3. Fração:
x y
7y 4x 7 x 4y 5 4y y 5 4 0 4x 2 7y 5 1. ⇒ ⇒ 2x 3y 1 6 2x 2 3y 5 6 x 53 5 y 1 2 2 2 (y 1 2) 2 (y 1 2) 7y 4x 7 x 5 5 4y y 4 4y 4x 2 7y 5 0 ⇒ ⇒ 2 x 3 y 1 6 2x 2 3y 5 6 x 53 5 2 y 1 2 2 (y 1 2) 2 (y 1 2) 7y 4x 5 4y 4y 4x 2 7y 5 0 ⇒ 2x 3y 1 6 ? (2 2) 2x 2 3y 5 6 5 2 (y 1 2) 2 (y 1 2) 4x 2 7y 5 0 1 24x 1 6y 5 212
? (2 2)
x y
? (2 2)
Produto
Variação em %
Alimentação Arroz – tipo 2 (5 kg)
2 0,16
Feijão carioquinha (1 kg)
1,49
Açúcar refinado (5 kg)
0,89
Café em pó (500 g)
2 2,35
Farinha de trigo (1 kg)
2 0,79
Farinha de mandioca (500 g)
0,76
Batata (kg)
5,79
Cebola (kg)
2,48
Alho (kg)
2 2,03
Ovos brancos (dz)
1,60
Margarina (250 g)
2 5,13
Extrato de tomate (350-370 g)
2 3,62
Biscoito maisena (200 g)
2 4,08
Carne de primeira (kg)
1,41
Queijo mozarela fatiado (kg)
0,75
Limpeza
2y 5 212 y 5 12 4x 2 7 ? 12 5 0 4x 5 84 x 521 x 21 5 y 12 4. Fração:
Chegou a sua vez!, página 193.
Sabão em pó (1 kg)
2 0,63
Sabão em barra (unidade)
2 2,13
Detergente líquido (500 mL)
1,41
Higiene pessoal Papel higiênico (4 unidades)
2 0,61
Creme dental (90 g)
2 0,93
Sabonete (unidade 90-100 g)
2,17
Desodorante spray (90-100 mL)
2 1,16
2.
a) 11 produtos 5y 1 10 6x 1 12 5 x 12 5 b) 11 produtos 6 y 12 y 1 2 5 6 ) 6 (y 1 2) 6x 2 5y 5 10 2 12 ( 3. ⇒ ⇒ ⇒ 22 1 4 2x 2 y 52 2x 2 4 5 y 2 2 x 22 5 1 a) Batata (5,79%) 2 y 2 2 2 (y 2 2) 2 (y 2 2) b) Margarina (25,13%)
256
4.
Variação da cesta básica no estado de São Paulo no período de 29/03/2007 a 04/04/2007 Desodorante spray Creme dental Papel higiênico Sabão em barra Sabão em pó Biscoito maisena
2x 1 3 ? 1 5 7 2x 5 7 2 3 2x 5 4 x 52 y 1 Razão 5 5 0,5 x 2 Alternativa a.
Sabonete Detergente líquido Queijo mozarela Carne de primeira Extrato de tomate
Margarina
Ovos brancos
Alho
Cebola Farinha de mandioca
Farinha de trigo Café em pó Arroz �8,00% �6,00% �4,00% �2,00% 0,00%
v 2 c 5 5000 2. c 5 0,75v v 2 0,75v 5 5000 0,25v 5 5000
Batata
Açúcar refinado Feijão carioquinha 2,00% 4,00%
6,00%
8,00%
v5
5. 1,38x 1 0,78y 5 8, 46 a) 1, 43x 1 0,74y 5 8,63 1,38x 1 0,78y 5 8, 46 (? 0,74) b) (?2 0,78) 1, 43x 1 0,74y 5 8,63 1, 0212x 1 0,5772y 5 6,2604 1 21,1154x 2 0,5772y 5 26,7314
5000 0,25
v 520000 20000 2 c 5 5000 2c 5 5000 2 20000 2c 5 215000 c 515000 O preço de custo é R$ 15 000,00. Alternativa c.
v 2 3p 5 0 v 5 3 ? p v 2 3p 5 0 20, 0942x 5 20, 4710 ⇒ ⇒ 3. v 2 26 5 p 2 2 v 2 p 52 2 1 26 v 2 p 524 0, 0942x 5 0, 4710 0, 4710 x5 5 5 v 5 3 ? p v 2 3p 5 0 ? (2 1) v 2 3p 5 0 0, 0942 ⇒ ⇒ ⇒ 1,38 ? 5 1 0,78y 5 8,v462 26 5 p 2 2 v 2 p 52 2 1 26 v 2 p 524 0,78y 5 8, 46 2 6,9 2v 1 3p 5 0 0,78y 5 1,56 1 v 2 p 5 24 1,56 y5 52 0,78 2p 5 24 Noêmia comprou 5 latas de extrato p 5 12 de tomate e 2 potes de margarina. v 5 3 ? 12 v 536 Retomando o que aprendeu, página 193. Há 36 bolas vermelhas na caixa. Alternativa d. 3 2x 2 4 1 3y y 1 x 22 5 1 5 6 6 2 2 ⇒ A 5 4B 1. 3 ⇒ 4. y 2 1 2 x 2 y 1 1 4 x 2 A 1 B 5 260 52 5 2 2 2 4B 1 B 5 26 2x 1 3y 5 3 1 4 2x 1 3y 5 7 ⇒ ⇒ 2x 2 y 5 4 2 1 2x 2 y 5 3 2x 1 3y 5 7 1 22x 1 y 5 23 4y 5 y5
4 1
? (2 1)
? (2 1)
5B 5 260 B 552 A 5 4 ? 52 A 5208 Diferença: A 2 B 5 208 2 52 5 156. A diferença entre os valores das assinaturas é de R$ 156,00. Alternativa b.
257
⇒
5. Usando f para massa do frasco e r para massa do remédio, temos: f 1 r 5 420 ? (2 1) f 1 r 5 420 ⇒ 2f 1 r 470 r f 1 2 5 235 2 5 2 2f 2 r 5 2420 2f 1 r 5 470 f 550 g O frasco tem 50 g. Alternativa e.
2x5 24 x54
4 2 8 22 6 3 x y 2 5 2 5 5 5 2 4 4 4 2 y x
Alternativa b. 7. Para x igual a ingresso de não estudante e y para ingresso de estudante, temos: x 1 y 5 100 ? (24) ⇒ 8 x 1 4 y 5 620
24x 2 4y 5 2400 ⇒ 1 y 21 x 23 1 1 8x 1 4y 5 620 x 23 y 21 5 x 23 y 21 x 23 5 y 21 )( ) ( ) ( ) ⇒ 6. ⇒ ( 5 220 4x 3y 5 2x 2 2 3y 5 2 x 2 1) 5 55 x x 1 y 5100 y 21 x 23 1 1 x 23 y 21 5 x 23 y 21 x 23 5 y 21 55 1 y 5 100 )( ) ( ) ( ) ⇒ ⇒ ( y 5 100 2 55 3y 5 2x 2 2 3y 5 2 x 2 1) y 5 45 ? (2 2) 2 x 1 y 52 3 1 1 2 x 1 y 52 2 Foram vendidos 45 ingressos de estudante. ⇒ ⇒ Alternativa a. 2 2x 1 3y 52 2 2 2x 1 3y 52 2
(
(
2x 2 2y 5 4 1 2 2x 1 3y 52 2 y 52 2 x 1 2 52 2 2 x 52 2 2 2
258
a1 b 5 1200 8. a 1 c 5 1500 1 b 1 c 5 1100 2a 1 2b 1 2c 5 3 800 (2) ⇒ a 1 b 1 c 5 1900 Alternativa c.
GEOMETRIA 27 – Introdução
10. a) CD ou GF b) DF ou CG c) BD ou AC
28 – A reta Chegou a sua vez!, página 202. 1. São paralelas.
29 – Ângulos Chegou a sua vez!, página 211.
2. São paralelas.
Na 1. figura: a 5 c 5 d 5 908 1 458 5 1358 b 5 458 1 908 1 458 1 458 5 2258 e 5 1808 1 458 5 2258 Na 2.a figura: f 5 1358 1 908 5 2258 g 5 458 1 458 5 908 h 5 i 5 j 5 908 1 458 5 1358 a
3. Os segmentos são do mesmo comprimento. As setas nas extremidades criam a ilusão de que AB é maior que CD. 4. Nenhum. Exercícios, páginas 203 e 204. 1. Por um ponto de um plano passam infinitas retas. 2. 6 semirretas: AB, AC, BA, BC, CA, CB
Exercícios, página 211. 1. Um reto e dois agudos.
Editoria de arte
2. B
A
a) b) c) d)
C
3. Por dois pontos distintos de um plano passa uma única reta. 4. Concorrentes (se a intersecção for com um único ponto) ou coincidentes (se a intersecção for com todos os pontos). 5. a) 5
b) 6
a) 12
b) 9
c) 4
6. 7. med (MN)5
x1y 2
8. 6 segmentos (AB, AC, AD, BC, BD, CD) 9. a) C externo a AB: med (AC) 5 11 1 7 5 18 ⇒ ⇒ 18 cm b) C interno a AB: med (AC) 5 11 2 7 5 4 ⇒ ⇒ 4 cm
4 retos. 2 agudos e 2 obtusos. 2 retos, 1 agudo e 1 obtuso. 2 agudos e 2 obtusos.
3. a 1 b 5 1808 17x 2 168 1 7x 1 48 5 1808 17x 1 7x 5 1808 1 168 2 48 24x 5 1928 x 5 88 a 5 17 ? 88 2 168 5 1368 2 168 5 1208 e b 5 7 ? 88 1 48 5 568 1 48 5 608 4. 408 1 x 5 908 ⇒ x 5 908 2 408 ⇒ x 5 508 2y 1 158 1 408 1 508 1 y 5 1808 ⇒ ⇒ 2y 1 y 5 1808 2 158 2 408 2 508 ⇒ ⇒ 3y 5 758 ⇒ y 5 258 5. a) b)
208 1 x 1 408 5 908 x 5 908 2 208 2 408 x 5 308 x 1 68 1 x 5 908 x 1 x 5 908 2 68 2x 5 848 x 5 428
259
c) d) e)
4x 1 4x 1 x 1 908 5 3608 4x 1 4x 1 x 5 3608 2 908 9x 5 2708 x 5 308 608 1 x 1 808 5 1808 x 5 1808 2 608 2 808 x 5 408 12x 1 108 1 5x 5 1808 12x 1 5x 5 1808 2 108 17x 5 1708 x 5 108 x f) 1 x 1 3x 5 90o 2 x 1 2x 1 6x 180o 5 2 2 9x 5 1808 x 5 208 g) x 1 x 1 1008 1 2x 1 x 1 1108 5 3608 x 1 x 1 2x 1 x 5 3608 2 1008 2 1108 5x 5 1508 x 5 308 h) x 1 1268 1 2x 5 1808 x 1 2x 5 1808 2 1268 3x 5 548 x 5 188 6. (2x 1 208) 1 (x 1 408) 1 (2x 2 508) 1 1 (3x 2 908) 5 3608 2x 1 x 1 2x 1 3x 5 5 3608 2 208 2 408 1 508 1 908 8x 5 4408 x 5 558 Os ângulos medem: (2x 1 208)5 (2 55 1 208) 5 1308 (x 1 408) 5 (55 1 408) 5 958 (2x 1 508) 5 (2 558 2 508) 5 608 (3x 2 908) 5 (3 558 2 908) 5 758 Exercícios, página 214. o
o
50 70 1. x 5 1 5 25o 1 35o 5 60o 2 2 2. OB é bissetriz de AÔC ⇒ y 5 238 208 1 x 1 238 1 238 5 1808 ⇒ ⇒ x 5 1808 2 208 2 238 2 238 ⇒ ⇒ x 5 1148 3. OM é bissetriz de CÔD ⇒ x 5 388 y 1 388 1 388 1 y 2 308 5 1808 ⇒ ⇒ y 1 y 5 180o 2 38o 2 38o 1 30o 2y 5 1348 y 5 678
260
4. PN é bissetriz de BPC ⇒ x 5 8y ⇒ MPB 5y PM é bissetriz de APB 8y 1 x 1 y 1 y 5 180o ⇒ ⇒ x 1 10y 5 1808 x 5 8y x 1 10y 5 1808 ⇒ 8y 1 10y 5 1808 ⇒ ⇒ 18y 5 1808 y 5 108 x 5 8y ⇒ x 5 8 108 5 808 Exercícios, página 216. 1. 508 1 x 5 908 x 5 908 2 508 x 5 408 2. x 1 508 5 1808 ⇒ x 5 1308 y 1 1008 5 1808 ⇒ y 5 808 3. a) 908 2 358 5 558 b) 908 2 428 5 488 c) 908 2 228 30’ 5 678 30’ d) 908 2 698 40’ 5 208 20’ 4. a) 1808 2 758 5 1058 b) 1808 2 828 30’ 5 978 30’ c) 1808 2 1358 5 458 d) 1808 2 1298 50’ 5 508 10’ 5. x 5 (908 2 x) 1 708 x 1 x 5 908 1 708 2x 5 1608 x 5 808 180o 2 x 3x 180o 2 x ⇒ 5 3 3 3 3x 1 x 5 1808 4x 5 1808 x 5 458
6. x 5
7. x 5 4 (908 2 x) x 5 3608 2 4x x 1 4x 5 3608 5x 5 3608 x 5 728 8. 3x 5 2 (1808 2 x) 3x 5 3608 2 2x 3x 1 2x 5 3608 5x 5 3608 x 5 728 9. 1808 2 x 5 4 (908 2 x) 1808 2 x 5 3608 2 4x
b)
2x 1 4x 5 3608 2 1808 3x 5 1808 x 5 608 o x 1 y 5 90o x 1 y 5 90 10. ⇒ ⇒ 1 o o 2x 5 y 1 30 2x 2 y 5 30 3x 5 120o
x 5 40o 408 1 y 5 908 ⇒ y 5 908 2 408 ⇒ y 5 508 x 1 y 5 180o o x 1 y 5 180 11. x y 5x 7y ⇒ 5x 2 7y 5 0 7 5 5 ⇒ 35 5 35
(? 7) ⇒
7x 1 7y 5 1 260o ⇒ 1 5x 2 7y 5 0 12x 5 1 260o x 5 105o 1058 1 y 5 1808 y 5 1808 2 1058 ⇒ y 5 758 Brasil real, páginas 216 e 217. 1. Latitude: 218 40’ a 218 43’ Sul Longitude: 438 52’ a 438 54’ Oeste 2. 90 5 3.
270 90t 270 270 ⇒ 5 ⇒t5 5 3 horas t 90 t t
Editoria de arte
Distância (em km) do Parque Estadual de Ibitipoca Brasília Vitória São Paulo Belo Horizonte Rio de Janeiro Juiz de Fora 0
200 400 600 800 1000 1200
4. A maior altitude é 1 784 m. 5. 218 40’ 2 208 19’ 5 18 21’ Sul 438 52’ 2 418 43’ 5 28 9’ Oeste 6. É o terceiro pico mais alto do país.
x5y x 1 408 5 1808 x 5 1808 2 408 x 5 1408 x 5 y 5 1408
c)
x 5 708 708 1 y 5 1808 y 5 1808 2 708 y 5 1108
2. x 5 z y 5 408 x 1 408 5 1808 x 5 1808 2 408 x 5 1408 x 5 z 5 1408 y 5 408 3. a) 2x 2 1008 5 x 1 308 2x 2 x 5 308 1 1008 x 5 1308 1308 1 308 1 y 5 1808 y 5 1808 2 1308 2 308 y 5 208 b)
x 1 y 5 100o x 2 y 5 80o
1
2x 5 180o x 5 90o 908 1 y 5 1008 y 5 1008 2 908 y 5 108 4. OM bissetriz de AÔB ⇒ med (AÔB) 5 2x 2x 5 488 x 5 248 x 5. 1 x 5 180o 3 x 1 3x 540o 5 3 3 4x 5 5408 x 5 1358 135o 3 ) 5 458 med (AMD ) 5135o med (AMC ) 5 45o med (BMC med (BMD) 5135o Chegou a sua vez!, página 220.
Exercícios, página 219. 1. a)
x 5 808 y 1 808 5 1808 y 5 1808 2 808 y 5 1008
1. di 60 – fr 25 – di 50 – fr 18 – es 120 – fr 20 – – di 130 – fr 60 2. Possível resposta: di 30 – fr 80 – di 120 – – fr 80 – di 120 – fr 80. 3. Resposta em aberto. 4. Resposta em aberto.
261
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS COM UMA TRANSVERSAL 30 – Reta transversal a) b) c) d) e)
Explorando, página 222. ˆ3, 4ˆ , 5ˆ e 6ˆ 1ˆ , 2ˆ , 7ˆ e 8ˆ 1ˆ , 4ˆ , 5ˆ e 8ˆ ou 2ˆ , 3ˆ , 6ˆ e 8ˆ 1ˆ e 5ˆ ou 2ˆ e 6ˆ 3ˆ e 7ˆ ou 4ˆ e 8ˆ
d)
(x 2 1008) 1 (x 1 408) 5 1808 x 1 x 5 1808 1 1008 2 408 2x 5 2408 x 5 1208
4. a 5 758 (alternos internos) c 5 558 (alternos internos) 758 1 b 1 558 5 1808 ⇒ ⇒ b 5 1808 2 758 2 558 ⇒ b 5 508 5. a) b)
31 – Ângulos correspondentes 32 – Ângulos alternos 33 – Ângulos colaterais Exercícios, páginas 232 a 234. 1. ˆ e nˆ ou pˆ e q. ˆ a) o.p.v.: m b) adjacentes suplementares: ˆ pˆ e oˆ ou oˆ e q. ˆ e pˆ ou nˆ e q. ˆ c) correspondentes: m ˆ d) alternos internos: nˆ e p. ˆ e q. ˆ e) alternos externos: m ˆ f) colaterais internos: nˆ e o.
6. 5x 1 208 5 2x 1 508 5x 2 2x 5 508 2 208 3x 5 308 x 5 108 7.
o.p.v. adjacentes suplementares correspondentes correspondentes alternos internos colaterais internos
3. a) b) c)
262
3x 5 1358 x 5 458 x 1 258 5 758 x 5 758 2 258 x 5 508 3x 2 458 5 x 1 458 3x 2 x 5 458 1 458 2x 5 908 x 5 458
2x 5 x 2 15o 3 2x 3x 2 45o 5 3 3 2x 2 3x 5 2458 2x 5 2458 x 5 458
2. a) b) c) d) e) f)
708 1 a 5 1808 a 5 1808 2 708 a 5 1108 1528 1 a 5 1808 a 5 1808 2 1528 a 5 288
b5
2 2 90o x 5 45o 5 5 30o 3 3 3
x 2 158 1 a 5 1808 458 2 158 1 a 5 1808 a 5 1808 2 458 1 158 a 5 1508 8.
x 5 60o o ⇒ x 1 y 1 z 5 180 y 5 40o
9. a) b)
a 5 558 b 5 558 c 5 1808 2 558 5 1258 a 5 1808 2 1408 5 408 b 5 1408 c 5 408
c) d)
a 5 1808 2 1308 5 508 c 5 708 508 1 b 1 708 5 1808 b 5 1808 2 508 2 708 b 5 608 a 5 1808 2 1058 5 758 b 5 408 c 5 408
a) b)
a 5 1208 b 5 1808 2 1208 5 608 d 5 1808 2 1308 5 508 e 5 508 608 1 c 1 508 5 1808 ⇒ ⇒ c 5 1808 2 608 2 508 ⇒ c 5 708 a 5 1808 2 1358 5 458 b 5 608 c 5 1358 458 1 d 1 608 5 1808 ⇒ ⇒ d 5 1808 2 458 2 608 ⇒ d 5 758 e 5 758
10.
11. (3x 2 508) 1 (2x 2 108) 5 1808 3x 1 2x 5 1808 1 508 1 108 5x 5 2408 x 5 488 3x 2 508 5 3 488 2 508 5 1448 2 508 5 948 2x 2 108 5 2 488 2 108 5 968 2 108 5 868 Os ângulos medem 948 e 868. 12. 4 ângulos medem 558 e 4 ângulos medem 1258. 13. x 5 308 y 5 1808 2 1308 5 508 x 1 y 5 308 1 508 5 808 14. x 5 (1808 2 1608) 1 708 x 5 208 1 708 x 5 908 15. a) b)
m 5 (1808 2 1408) 1 (1808 2 1508) m 5 408 1 308 m 5 708 m 5 408 1 (1808 2 1388) m 5 408 1 428 m 5 828
16. (2m 1 308) 5 (3m 2 208) 2m 2 3m 5 2208 2 308 2m 5 2508 m 5 508
17.
x 1 y 5 1808 x 2 y 5 208
1
2x 5 2008 x 5 1008 1008 1 y 5 1808 y 5 1808 2 1008 y 5 808 18. Cada ângulo agudo mede 1928 4 5 488. x 5 y 5 180 2 488 5 1328 Desafio!, página 234. a) b)
a5e b5f b 1 d 5 1808 ⇒ ⇒ 3x 1 108 1 9x 2 108 5 1808 3x 1 9x 5 1808 2 108 1 108 12x 5 1808 x 5 158 a 5 2x 1 58 5 2 158 1 58 5 308 1 58 5 358 b 5 3x 1 108 5 3 158 1 108 5 458 1 108 5 558
c)
a 5 e o ⇒ a 1 b 1 c 5 e 1 f 1 c 5 180 b 5 f
ˆ – reto ˆ – agudo; ACB d) BÂC – agudo; ABC e) Complementares. Retomando o que aprendeu, páginas 234 e 235. 1. b 5 c 5 328 a 5 908 2 328 5 588 Alternativa a. 2.
1 x 1 2x 1 135o 5 180o 2 x 1 4x 1 270o 360o 5 2 2 x 1 4x 5 3608 2 2708 5x 5 908 x 5 188 Alternativa d.
3. 3x 2 118 5 2x 1 68 3x 2 2x 5 68 1 118 x 5 178 y 1 (2x 1 68) 5 1808 y 1 (2 178 1 68) 5 1808 y 1 408 5 1808 y 5 1808 2 408 y 5 1408 Alternativa c.
263
x 1 y 5 180o ⇒ 4. x 5 3y ⇒ 3y 1 y 5 1808 4y 5 1808 y 5 458 x 5 3 458 x 5 1358 x 2 y 5 1358 2 458 5 908 Alternativa a. 5. y 5 1808 2 1258 5 558 x 1 558 5 908 x 5 908 2 558 5 358 y 2 x 5 558 2 358 5 208 Alternativa e. 6. z 5 1808 2 1278 5 538 x 5 y 5 428 x 1 y 1 z 5 428 1 428 1 538 5 1378 Alternativa c. 7. 2x 1 4x 5 1208 6x 5 1208 x 5 208 4x 1 y 51808 4 20 1 y 5 1808
264
y 5 1808 2 808 y 5 1008 Alternativa a. 8. x 1 z 5 1808 y 1 508 1 z 5 1808 ⇒ y 1 z 5 1808 2 508 ⇒ ⇒ y 1 z 5 1308 Somando (x 1 z) 1 (y 1 z) 5 1808 1 1308 ⇒ ⇒ x 1 y 1 2z 5 3108 x 1 2 1 2z 5 3408 ⇒ x 1 y 1 2z 5 3108 (21) x 1 2y 1 2z 5 340o ⇒ 1 2 x 2 y 2 2z 5 310o y 5 30o Alternativa a. 9. 3ˆ 5 1ˆ 1 2ˆ ⇒ (med Bˆ ) 5 45o 1 55o 5 100o Alternativa c. 10. Se med (DÂC) 5 x, então med (BÂC) 5 2x. med (DÂC) 1 med (BÂC) 5 908 ⇒ ⇒ x 1 2x 5 908 ⇒ 3x 5 908 ⇒ ⇒ x 5 308 a 5 608 e b 5 308 Logo: a 2 b 5 608 2 308 5 308. Alternativa c.
POLÍGONOS 34 – O polígono e seus elementos Chegou a sua vez!, página 241. 1. Quadriláteros N de peças do tangram
Triângulos
Quadrados
não é possível
não é possível
Retângulos
Paralelogramos
Trapézios
4 peças
6 peças
Editoria de arte
5 peças o retângulo ao lado
7 peças
Desafio!, página 244.
2. hexágonos
1.
2.
Editoria de arte
pentágono
Editoria de arte
3.
Brasil real, páginas 241 e 242. 1. a) Retângulos e trapézios. b) Retângulos: 9; trapézio: 1. c) Um deles tem 5 lados e o outro tem 6 lados. 2. Barsotti: triângulos e losango. Sued: retângulos e trapézios. 3. Resposta em aberto. 4. Resposta em aberto.
35 – Perímetro de um polígono Exercícios, página 244. 1. P 5 2 1 1,3 1 1,3 1 2 1 1,3 1 1,3 5 9,2 ⇒ ⇒ 9,2 cm 2. P 5 8x 8x 5 180 ⇒ x 5 22,5 ⇒ 22,5 cm 3. P 5 12,5 cm 1 8,5 cm 1 9 cm P 5 30 cm 4. P 5 6,70 1 3,80 1 4,50 1 5,00 5 20 ⇒ 20 m Custo: 20 ? 2,50 5 50 Deverei gastar: R$ 50,00.
36 – Diagonais de um polígono Exercícios, página 247. 1.
a) Triângulo. b) Quadrilátero.
2. n 2 3 5 15 ⇒ n 5 18 O polígono tem 18 lados. 3. Número de lados do polígono
8
15
20
28
Número de diagonais
d1
d2
d3
d4
d1 5
8 ? (8 2 3) 8?5 5 5 20 2 2
d2 5
15 ? (15 2 3) 15 ? 12 5 5 90 2 2
d3 5
20 ? (20 2 3) 20 ? 17 5 5 170 2 2
d4 5
28 ? (28 2 3) 28 ? 25 5 5 350 2 2
265
4. n 5 d5 5. a) b)
60 5 10 ⇒ 10 lados 6
10 ? (10 2 3) 10 ? 7 5 5 35 ⇒ 35 diagonais 2 2
n (n 2 3) n (n 2 3) 2n 5n ⇒ 5 ⇒ 2 2 2 ⇒ n2 2 3n 5 2n n (n 2 3) 5 2 n n 2352 n 55 Pentágono n (n 2 3) n (n 2 3) 8n 5 4n ⇒ 5 ⇒ 2 2 2 ⇒ n 2358 n 511 Undecágono
6. n 5 9 9 (9 2 3) 9?6 54 d5 5 5 5 27 2 2 2 n ? d 5 9 ? 27 5 243
37 – Ângulos de um polígono convexo Exercícios, páginas 251 e 252. 1. a) m 1 c 5 1808 b) a 1 b 1 c 5 1808 2. a) b) c) d) e)
266
x 1 608 1 608 5 1808 x 5 1808 2 608 2 608 x 5 608 2x 1 x 1 908 5 1808 3x 5 1808 2 908 3x 5 908 x 5 308 x 1 108 1 x 1 208 1 x 1 308 5 1808 x 1 x 1 x 5 1808 2 108 2 208 2 308 3x 5 1208 x 5 408 x 1 x 1 1508 5 1808 2x 5 1808 2 1508 2x 5 308 x 5 158 4x 1 5x 1 3x 5 1808 12x 5 1808
f)
x 5 158 x 1 26o 1 x 1 (180o 2 110o) 5 180o x 1 x 5 180o 2 26o 2 180o 1 110o 2x 5 84o x 5 42o
3. 818 1 288 1 x 5 1808 x 5 1808 2 818 2 288 x 5 718 4. b 5 1808 2 1358 5 458 c 5 1808 2 1588 5 228 a 1 458 1 228 5 1808 a 5 1808 2 458 2 228 a 5 1138 5. c 1 608 1 568 5 1808 c 5 1808 2 608 2 568 c 5 648 b5c b 5 648 a 5 568 ˆ )5100o 6. med (M med (Pˆ )5 180o 2 125o 5 55o x 1 1008 1 558 5 1808 x 5 1808 2 1008 2 558 x 5 258 7. a 5 2b 5 2 ? (3c) 5 6c b 5 3c 6c 1 3c 1 c 5 1808 10c 5 1808 c 5 188 8. x 5 288 1 468 5 748 ou a 1 x 1 b 5 1808 Onde 908 1 468 1 a 5 1808 a 5 1808 2 908 2 468 ⇒ a 5 448 e 908 1 288 1 b 5 1808 b 5 1808 2 908 2 288 ⇒ b 5 628 448 1 x 1 628 5 1808 x 5 1808 2 448 2 628 x 5 748 9. 348 1 a 1 x 5 1808 a 5 1808 2 348 2 x a 5 1468 2 x 638 1 b 1 y 5 1808 b 5 1808 2 638 2 y b 5 1178 2 y Como a 5 b: 1178 2 y 5 1468 2 x x 2 y 5 1468 2 1178 x 2 y 5 298
x 1 y 1 20o 5 180o 10. 1 o o z 1 w 1 30 5 180 x 1 y 1 z 1 w 1 20o 1 30o 5 180o 1 180o x 1 y 1 z 1 w 5 180o 1 180o 2 20o 2 30o x 1 y 1 z 1 w 5310o 11. c 5 458 b 1 958 5 1808 ⇒ b 5 1808 2 958 ⇒ b 5 858 b 2 c 5 858 2 458 5 408 x 1 y 1 90o 5 180o 12. ⇒ o x 2 y 5 18 x 1 y 5 908 ⇒ 1 x 2 y 5 908 2x 5 1088 x 5 548 54o 1 y 5 90o y 5 90o 2 54o y 536o
4. Si 1 Se 51 080o Si 5 1 080o 2 360o Si 5720o (n 2 2) ? 180o 5 720o 720o n 22 5 180o n 2 2 5 4 ⇒ n 5 6 ⇒ 6 lados Hexágono 5. S5 5 5408 2x 1 3x 1 1508 1 1358 1 1208 5 5408 2x 1 3x 5 5408 2 1508 2 1358 2 1208 5x 5 1358 x 5 278 ˆ )5 2x 5 2 ? 27o 5 54o med (EAB ˆ )5 3x 5 3 ? 27o 5 81o med (ABC 6.
Explorando, página 252.
Soma das medidas dos ângulos internos
1 4408
1 8008
2 1608
2 3408
Número de lados do polígono
10
12
14
15
(n 2 2) ? 180
o
Polígono
No de lados
Quadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
No de triângulos na decomposição
Soma dos ângulos internos
(n 2 2) ? 1802 5 1 440 o
o
3
⇒3608 n 22 5 5408
4
7208
Heptágono
7
5
9008
Octógono
8
6
1 0808
Eneágono
9
(n 2 2) ? 1807 5 1 800 o
o
⇒1 2608 n 22 5
1 440o ⇒ n 2 2 5 8 ⇒ n 5 10 180o
1 440o ⇒ n 2 2 5 8 ⇒ n 5 10 180o
(n 2 2) ? 180
o
5 1 800o ⇒ n 2 2 5
1 800o ⇒ n 2 2 5 10 ⇒ n 5 12 180o
1 800o ⇒ n 2 2 5 10 ⇒ n 5 12 180o
(n 2 2) ? 180
o
Exercícios, página 256.
5 1 440o ⇒ n 2 2 5
5 2 160o ⇒ n 2 2 5
2 160o ⇒ n 2 2 5 12 ⇒ n 5 14 180o
2 160o o o 180 5⇒2 160 ⇒ n 22 5 ⇒ n 2 2 5 12 ⇒ n 5 14 1. n 2 2 5 8 ⇒ n 5(n82 12)2? 5 10 10 lados 180o Decágono 2 340o o o n 2 2 ? 180 5 2 340 ⇒ n 2 2 5 ⇒ n 2 2 5 13 ⇒ n 5 15 ( ) 2. 180o Polígono Pentágono Eneágono 2 340o o o Icoságono n 2 2 ? 180 5 2 340 ⇒ n 2 2 5 ⇒ n 2 2 5 13 ⇒ n 5 15 ( ) Soma das medidas 180o S S S dos ângulos internos 360o 24o n 360o 360o o ⇒ 5 ⇒n5 ⇒ n 5 15 ⇒ 15 lados 7. 24 5 n 24o n n S1 5 (5 2 2) ? 1808 5 3 ? 1808o 5 5408 360o 24o n 360o 360o 24 5 ⇒ 5 ⇒n5 ⇒ n 5 15 ⇒ 15 lados 2608 S2 5 (9 2 2) ? 1808 5 7 ? 1808 5 1 n 24o n n S3 5 (20 2 2) ? 1808 5 18 ? 1808 5 3 2408 15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 d5 5 5 5 90 ⇒ 90 diagonais o o 2 2 2 3. (n 2 2) ? 180 5 1 620 o15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 180o ? n 2 360o 5 1 d620 5 5 5 5 90 ⇒ 90 diagonais 2 2 2 o o o 180 n 5 1 620 1 360 o o 180 n 5 1 980 1
1 980o 180o n 511 ⇒ 11 lados Undecágono n5
2
3
38 – Ângulos de um polígono regular Chegou a sua vez!, página 260. Resposta em aberto.
267
Exercícios, página 261.
2.
360o 5 36o ⇒ 36o n 5 360o ⇒ n 5 10 ⇒ 10 lados a) S 5 (8 2 2) ? 1808 5 6 ? 1808 5 1 0808 n o o o o 1 080oAe 5 360 b) Ai 5 5 135on 5 36 ⇒ 36 n 5 360 ⇒ n 5 10 ⇒ 10 lados Decágono regular 8 2. Caminhou: 10 ? 120 m 5 1 200 m ou 1,2 km. c) Se 5 3608 o 1200 360 3. ? 11 5 150 ? 11 5 1650 ⇒ 1650 passos d) Ae 5 5 45o 8 8 1. Ae 5
Chegou a sua vez!, página 264. a) Si 5 (6 2 2) ? 1808 5 4 ? 1808 5 7208 b) Se 5 3608 7208 c) Ai 5 5 1208 6 d) Ae 5 Si 5 (5 2 2) ? 1808 5 3 ? 1808 5 5408
3. Triângulo: Ai 5 608 ⇒ Ae 5 1808 2 608 5 1208 Octógono: Ai 5 1358 ⇒ Ae 5 1808 2 1358 5 458 x 5 1208 1 458 5 1658 4. n 2 3 5 5 ⇒ n 5 8 a) Si 5 (8 2 2) ? 1808 5 6 ? 1808 5 1 0808
1. a) Maior produção: março de 2007. Maior quantidade vendida: dezembro de 2006. b) Dezembro de 2006 a janeiro de 2007. c) Junho a julho de 2006 e outubro a dezembro de 2006. 2. a)
Desmatamento (em quilômetros quadrados)
10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0
km2
1080o b) Ai 5 5 135o 8 5. Si 5 (5 2 2) ? 180o 5 3 ? 180o 5 540o 540o Ai 5 5 108o y 5 108o 5 x 1 x 1 1088 51808 2x 5 1808 2 1088 2x 5 728 x 5 368 y 2 x 5 1088 2 368 5 728 6. (n 2 2) ? 180o 5 4 ? 360o (n 2 2) ? 180o 5 1 440o 1 440o n 22 5 180o n 22 58 n 510 Decágono 7. Ângulo interno do pentágono: Ai 5 1088. No triângulo: x 1 (1808 2 1088) 1 (1808 2 1088) 5 1808 x 1 728 1 728 5 1808 x 5 1808 2 728 2 728 x 5 368 360o 8. Ângulo externo do hexágono: Ae 5 5 60o 6 o 360 Ae 5 5 60o 6 360o Ângulo externo do octógono: Ae 5 5 45o 8 x 5 608 1 458 5 1058
268
Editoria de arte
1.
Chegou a sua vez!, página 262.
Acre
Amazonas
Pará
Mato Rondônia Grosso
Estados
2004
2006
400 2 130 b) Acre; 5 2, 08 ou 208% 130 ou 208% aproximadamente 6 500 2 2 700 5 0,58 ou 58% 6 500 ou 58% aproximadamente.
c) Pará;
Retomando o que aprendeu, páginas 265 e 266. 1. P 5 3,9 cm 1 5,3 cm 1 5,0 cm 1 x 1 x 5 22,6 cm x 1 x 5 22,6 cm 2 3,9 cm 2 5,3 cm 2 5 cm 2x 5 8,4 cm x 5 4,2 cm Alternativa d. 2. P 5 4 ? 62 cm 1 4 ? 40 cm 5 5 248 cm 1 160 cm 5 408 cm P 5 4,08 m Alternativa a. 3. n 2 3 5 9 ⇒ n 5 9 1 3 ⇒ n 5 12 ⇒ 12 lados Alternativa c. 12 ? (12 2 3) 12 ? 9 108 5 5 5 54 ⇒ 54 2 2 2 diagonais Alternativa a.
4. d 5
11 ? (11 2 3) 11 ? 8 88 5 5 5 44 ⇒ 44 2 2 2 diagonais
5. d 5
Alternativa c. 6 ? (6 2 3) 6?3 5 5 9 ⇒ 9 diagonais 2 2 Total: diagonais 1 lados 5 9 1 6 5 15 Serão 15 estradas. Alternativa b.
6. d 5
12. 858 5 458 1 x ⇒ x 5 858 2 458 5 408 Alternativa a. x 1 y 5 4m 13. y 1 2m 5 5m ⇒ y 5 5m 2 2m ⇒ y 5 3m Substituindo na 1.a equação, temos: x 1 3m 5 4m x 5 4m 2 3m x5m Alternativa d.
7. 3x 1 x 1 6x 5 1808 14. (n 2 2) ? 180o 5 2160o 10x 5 1808 2160o x 5 188 n 22 5 ⇒ n 2 2 5 12 ⇒ n 5 12 1 2 ⇒ n 5 14 180o Maior ângulo: 6x 5 6 ? 188 5 1088 2160o Alternativa e. n 22 5 ⇒ n 2 2 5 12 ⇒ n 5 12 1 2 ⇒ n 5 14 ⇒ 14 lados 180o Alternativa a. 2 8. 50o 1 x 1 x 5 180o 3 15. S 5 (6 2 2) ? 1808 5 4 ? 1808 5 7208 150o 1 3x 1 2x 540o 5 3 3 3x 1 2x 5 540o 2 150o 5x 5 390o x 578o Alternativa d.
6
x 1 x 1 1608 1 x 1 x 1 1608 5 7208 x 1 x 1 x 1 x 5 7208 2 1608 2 1608 4x 5 4008 x 5 1008 Alternativa b.
9. x 1 (1808 2 1008) 1 (1808 2 1108) 5 1808 360o 360o 24o n 360o o 16. A 5 5 24 ⇒ 5 ⇒ n 5 5 15 ⇒ 15 lados e x 1 808 1 708 5 1808 n 24o n n x 5 1808 2 808 2 708 360o 360o 24o n 360o o A 5 5 24 ⇒ 5 ⇒ n 5 5 15 ⇒ 15 lados e x 5 308 n 24o n n Alternativa c. 15 ? (15 2 3) 15 ? 12 180 d5 5 5 5 90 ⇒ 90 10. a 1 a 1 508 5 1808 2 2 2 a 1 a 5 1808 2 508 diagonais 2a 5 1308 Alternativa a. a 5 658 b 5 1808 2 658 17. ai 5 1208 ⇒ ae 5 608 b 5 1158 360o 360o 60o n 360o 360o o Ae 5 ⇒ 60 5 ⇒ 5 ⇒ n 5 5 6 ⇒ 6 lad b 2 a 5 1158 2 658 5 508 n n 60o n n Alternativa e. 360o 360o 60o n 360o 360o Ae 5 ⇒ 60o 5 ⇒ 5 ⇒n5 5 6 ⇒ 6 lados n n 60o n n 11. x 5 418 1 748 x 5 1158 Alternativa b. x 1 y 5 1808 18. S6 5 (6 2 2) ? 180o 5 4 ? 180o 5 720o y 5 1808 2 1158 720o y 5 658 Ai 5 5 120o 6 x 2 y 5 1158 2 658 x 5 120o 2 90o 5 30o x 2 y 5 508 Alternativa e. Alternativa d.
269
Estudando os triângulos 39 – Elementos de um triângulo
Desafio!, página 273. Mínima: 24 km (maior que 55 2 32 5 23). Máxima: 86 km (menor que 55 1 32 5 87).
Explorando, páginas 268 e 269. 1. Triângulo. 2. d) 2 e) 4
a) 1 b) 2, 3 e 4 c) 5 3.
400 m2 5 200 m2 a) A1 5 A2 5 2
B1 5 B2 5
600 m2 5 300 m2 2
C1 5 C2 5
500 m2 5 250 m2 2
41 – Os ângulos no triângulo Exercícios, páginas 276 e 277. 1. a 1 b 5 180° (externo e interno são suplementares). a 5 c 1 d (externo é a soma dos internos não adjacentes). b 1 c 1 d 5 180° (soma dos internos de um triângulo qualquer). 2. a) BC
b) Forma triangular.
40 – Condição de existência de um triângulo Chegou a sua vez!, página 271.
4.
1. Sim, nos itens b e c.
x 1 2x 5 270° 1 156° 3x 5 426° x 5 142° x 142o med (Bˆ )5 5 5 71o 2 2
Exercícios, páginas 272 e 273. 1.
2.
d) Não (7 5 5 1 2). e) Não (15 > 8 1 6). f) Sim.
a) BC b) AB c) Bˆ
3. Não é possível, pois 120 cm > 70 cm 1 48 cm. 4. As possíveis medidas do 3.o lado são 8 cm ou 9 cm. 5. A medida mínima para o 3.o lado deve ser 4 cm. 6. Como as medidas de dois lados são 7 cm e 4 cm, a medida do terceiro lado deve ser um valor entre 4 cm e 10 cm. 7. O maior lado pode medir 10 cm ou 11 cm.
270
x 1 x 2 78o 5 135o 2 x 1 2x 2 156o 270o 5 2 2
2. Poderá ter medidas que variam de 2 a 8 cm, ou seja, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 cm.
a) Sim. b) Sim. c) Sim.
b) PN
ˆ ) 1 med (N ˆ) 3. med (Pˆ ) 5 med (M ˆ) 117° 5 72° 1 med (N ˆ) 117° 2 72° 5 med (N ˆ med (N) 5 45°
5. a) x 1 x 5 130° 2x 5 130° x 5 65° b) x 1 90° 5 160° x 5 160° 2 90° x 5 70° 6. x 1 x 2 20° 5 116° x 1 x 5 116° 1 20° 2x 5 136° x 5 68° ˆ )5 180o 2 116o 5 64o med (A med (Bˆ )5 x 568o med (Cˆ )5 x 2 20o 5 68o 2 20o 5 48o
42 – Classificação dos triângulos Chegou a sua vez!, página 279. a) b) c) d) e)
Retângulo, escaleno. Acutângulo, equilátero. Acutângulo, isósceles. Obtusângulo, isósceles. Obtusângulo, escaleno. Exercícios, página 280.
1.
7. x 5 y, pois ambos são ângulos da base. Desafio!, página 281. 1.
2. 16 pequenos 7 médios 3 grandes 1 maior Total: 27 triângulos
43 – altura, mediana e bissetriz de um triângulo Explorando, página 283. 1. med (AB) 53,5 cm 2. Todos os triângulos traçados têm a mesma altura relativa ao lado AB: 6,1 cm.
Escaleno. Isósceles. Equilátero. Isósceles.
3.
a) Obtusângulo. b) Retângulo. c) Acutângulo.
1.
a) b) c) d) 2.
a) Menor perímetro: AFB. b) Maior perímetro: ACB e AIB. Explorando, páginas 285 e 286. a) O ângulo será de 908. b)
3. x 1 x 1 x 5 18 cm ⇒ 3x 5 18 cm ⇒ x 5 6 cm Os lados medem 6 cm. 4.
O
a) b) c) d)
Equilátero e acutângulo. Escaleno e retângulo. Isósceles e acutângulo. Isósceles e obtusângulo.
2. a)
5. a) Se o triângulo é isósceles, o 3.o lado deve medir 5 cm ou 7 cm. b) Se o 3.o lado for 5 cm: P 5 5 cm 1 5 cm 1 7 cm 5 17 cm
Editoria de arte
a 2 b 5 10o 1 o a 1 b 5 290 2a 5 300° a 5 150° 150° 1 b 5 290° b 5 290° 2 150° b 5 140°
6. (x 1 3) 1 (x 1 3) 1 x 5 15,6 x 1 x 1 x 5 15,6 2 3 2 3 3x 5 9,6 x 5 3,2 ⇒ 3,2 cm
C
Editoria de arte
8. (180° 2 a) 1 (180° 2 b) 1 (180° 2 70°) 5 180° 2a 2 b 5 180o 2 180o 2 180o 2 180o 1 70o 2a 2 b 5 2290° (? 21) a 1 b 5 290°
Se o 3.o lado for 7 cm: P 5 5 cm 1 7 cm 1 7 cm 5 19 cm
Editoria de arte
7. x 1 60° 5 2x 1 10° x 2 2x 5 10° 2 60° 2x 5 250° x 5 50°
b) Sim.
271
Editoria de arte
a)
G
6. No ABC, temos: x 1 60° 1 40° 5 180° x 5 180° 2 60° 2 40° x 5 80° No triângulo que contém y, temos: 60o 40o 1y1 5 180o 2 2 30° 1 y 1 20° 5 180° y 5 180° 2 30° 2 20° y 5 130°
1 b) A razão é . 2
I
Editoria de arte
4. a e b.
c) Sim. Exercícios, páginas 287 e 288. 1. a) b) c) d) e) f)
Mediana. Altura. Mediana. Bissetriz. Altura. Altura, bissetriz e mediana.
2. P 5 6 cm 1 8 cm 1 4 cm 1 4 cm 5 22 cm 3. x 1 70° 5 90° x 5 90° 2 70° x 5 20° y 1 40° 5 90° y 5 90° 2 40° y 5 50° ˆ ) 5 180o 4. 35o 1 45o 1 med (M o ˆ med (M)5 180 2 35o 2 45o ˆ )5100o med (M o ˆ )5 100 5 50o med (PMA 2 5. a 1 60° 1 90° 5 180° a 5 180° 2 60° 2 908 a 5 30° b 5 a 5 30° b 1 c 1 90° 5 180° 30° 1 c 1 90° 5180° c 5 180° 2 30° 2 90° c 5 60°
272
7. No triângulo que contém a, temos: 35° 1 a 1 30° 5 180° a 5 180° 2 35° 2 30° a 5 115° a e c são suplementares: 115° 1 c 5 180° c 5 180° 2 115° c 5 65° No triângulo que contém b, temos: 35° 1 b 1 65° 5 180° b 5 180° 2 35° 2 65° b 5 80° A
8.
Editoria de arte
3.
x B
60°
20° H
ˆ )5 180o 2 60o 2 20o 5 100o med (A ˆ )5 180o 2 90o 2 60o 5 30o med (BAH ˆ) med (A ˆ ) x5 2 med (BAH 2 100o x5 2 30o 5 50o 2 30o 5 20o 2 9. ABM: med (Bˆ ) 1 90o 1
ˆ) med (A 5 180o 2
med (Bˆ )1 90o 1
80o 5 180o 2
med (Bˆ )5 180o 2 90o 2 40o med (Bˆ )550o O mesmo se aplica para med (Cˆ ). med (Cˆ )550o 10. AD é altura: a 5 90°. ˆ ) 5 180° 45° 1 358 1 med (A ˆ med (A) 5 180° 2 45° 2 35° ˆ ) 5 100° med (A
C
ˆ) med (A 2 100o b5 5 50o 2
b5
No ACD, temos: 50° 1 35° 1 c 5 180° c 5 180° 2 50° 2 35° c 5 95° ˆ ) 5 180° 11. 40° 1 50° 1 med (A ˆ ) 5 180° 2 40° 2 50° med (A ˆ ) 5 90° med (A ˆ ) 5 45° (bissetriz) med (BAS No AHB (retângulo), temos: ˆ ) 5 180° 40° 1 90° 1 med (BAH ˆ med (BAH) 5 180° 2 40° 2 90° ˆ ) 5 50° med (BAH ˆ ) 2 med (BAS ˆ ) 5 50° 2 45° 5 5° x 5 med (BAH 12. x 1 628 5 908 x 5 908 2 628 x 5 288 y 1 288 5 908 y 5 908 2 288 y 5 628 Tratando a informação, página 288. 1. Escala e rosa dos ventos (simplificada). 2. 1 : 37 000 000, ou seja, cada centímetro no mapa corresponde a 37 000 000 cm (370 km) no real. 3. Aproximadamente: 3,1 cm, 3,5 cm e 3,5 cm. 4. Medidas reais: 3,1 ? 370 km 5 1 147 km 3,5 ? 370 km 5 1 295 km P 5 1 147 km 1 1 295 km 1 1 295 km 5 5 3 737 km
44 – Congruência de triângulos Exercícios, páginas 294 e 295. 1. Caso LAL; x 5 608; y 5 308. 2. x 5 4 cm; y 5 5 cm ˆ ) 5 med (CBD ˆ ) 5120o , BD 3. AB BC, med (ABD é comum. ADB CDB ˆ M ˆ (90o). Então, ˆ eA 4. Se AC MN, Cˆ N pelo caso ALA os triângulos ABC e MPN são congruentes, logo AB PM.
5. a, b e c: Como AB AC, BD DC e AD é lado comum, os triângulos ABD e ACD são congruentes (LLL). Logo: x 5 y, Bˆ Cˆ e AD é altura, bissetriz e mediana relativa ao lado BC. 6. Alternativa b. (AB AC; Bˆ Cˆ e BD EC 2 LAL) ˆ Bˆ , AM MB, AMC ˆ BMD ˆ (opv) 2 ALA 7. A AMC BMD Logo, CM MD ou M é ponto médio de CD. 8. ABCD é um retângulo; logo, O é ponto médio das diagonais. Daí: OB OD , ˆ COD ˆ (o.p.v.), OC OA. Pelo caso AOB LAL, os triângulos AOB e COD são congruentes. 9. a) LLL b) x 5 y 5 908 (pois x 5 y e x 1 y 5 1808) BM MC Pelo caso LAL, 10. Bˆ Cˆ temos : DMC AMB. CD BA AM DM e o AMD é isósceles. 11. Alternativa a. (caso LAAo) 12. Alternativa c. (VA MO e LA AO)
45 – Propriedades do triângulo isósceles e do triângulo equilátero Exercícios, páginas 299 e 300. 1. Triângulo retângulo isósceles: um ângulo reto e dois agudos iguais (458). 2. 378 1 378 1 x 5 1808 x 5 1808 2 378 2 378 x 5 1068 Os ângulos são: 378, 378 e 1068, e o triângulo é obtusângulo. 3. Se MNP é equilátero, M N P , e mede 608 cada um. ˆ) med (M 60o 5 5 30o x 5 608 e y 5 2 2 4. Se AB BC, o triângulo é isósceles; logo, x 5 678. y 1 x 1 678 5 1808 y 1 678 1 678 5 1808 y 5 1808 2 678 2 678 y 5 468
273
5. AB BC o ABC é isósceles. 508 1 x 1 x 5 1808 x 1 x 5 1808 2 508 2x 5 1308 x 5 658 6. x 1 x 1 1358 5 1808 2x 5 1808 2 1358 2x 5 458 x 5 228 30’ 7. ABC é isósceles. c 5 b 5 1808 2 1108 5 708 x 1 708 1 708 5 1808 x 5 1808 2 708 2 708 x 5 408 ˆ ) 5 40o 8. ABC isósceles med (Cˆ ) 5 med (A BM é mediana, altura e bissetriz. 408 1 408 1 2x 5 1808 2x 5 1808 2 408 2 408 2x 5 1008 x 5 508 9. x 5 608 med (Bˆ )560o Seu suplemento é 1208. Como ABD também é isósceles, temos: 1208 1 y 1 y 5 1808 y 1 y 5 1808 2 1208 2y 5 608 y 5 308 10. AB // CD ⇒ a 5 208 (alternos internos) a 1 a 1 (180o 2 b) 5 180o 20o 1 20o 1 180o 2 b 5 180o 2 b 5 180o 2 20o 2 20o 2 180o o
2b 52 40
b 5 40o 208 1 1108 1 c 5 1808 c 5 1808 2 208 2 1108 c 5 508 11. x 5 608 (ABE é equilátero.) x 1 y 5 908 608 1 y 5 908 y 5 908 2 608 y 5 308 Como ADZ é isósceles, então: 308 1 z 1 z 5 1808 z 1 z 5 1808 2 308 2z 5 1508 z 5 758
274
12. S5 5 (5 2 2) ? 180o 5 3 ? 180o 5 540o 540o Ai 5 5 108o 5 ˆ ) 5 108o med (A Como AE AB, o ABE é isósceles. x 1 x 1 1088 5 1808 x 1 x 5 1808 2 1088 2x 5 728 x 5 368 Brasil real, página 301. 1. Acre R 2 triângulos retângulos e escalenos. Minas Gerais R um triângulo acutângulo e equilátero. Pará R 2 triângulos retângulos e escalenos. Rio Grande do Sul R 2 triângulos retângulos e escalenos. Mato Grosso do Sul R um triângulo retângulo e isósceles. 2. Sim. 3. Acre e Pará – região Norte. Minas Gerais – região Sudeste. Rio Grande do Sul – região Sul. Mato Grosso do Sul – região Centro-Oeste. 4. Todas as bandeiras são retângulos. Além disso: Acre – decágono (estrelinha); Pará – hexágono e decágono; Rio Grande do Sul – paralelogramo; Mato Grosso do Sul – trapézios (um isósceles e um retângulo) e decágono. 5. Bahia, Paraná, Rondônia, Roraima e Tocantins. 6. Resposta em aberto. Retomando o que aprendeu, páginas 302 e 303. 1. Os lados são 3 cm e 11 cm; portanto, o 3.o lado pode ser 9 cm, 10 cm, 11 cm, 12 cm ou 13 cm. Alternativa c. 3 13,5 2. 18 cm; ? 18 5 13,5 cm; 5 6,75 4 2 Sim, Caio pode construir um triângulo. 3. Alternativa d. 4. Alternativa a. 5. x 1 x 1 2 (x 1 x) 5 1808 x 1 x 1 4x 5 1808
6x 5 1808 x 5 308 A 5 2 ? (308 1 308) 5 1208 Alternativa e. 6. med (Cˆ ) 5 180o 2 155o 5 25o ˆ ) 5 25o (ABC isósceles) med (A med (Bˆ )52x 2x 1 258 1 258 5 1808 2x 5 1808 2 258 2 258 2x 5 1308 x 5 658 Alternativa c. 7. BDC é equilátero; logo, cada ângulo interno tem 608. med (Bˆ ) 5 20o 1 60o 5 80o med (Cˆ ) 5 15o 1 60o 5 75o 80o 1 75o 1 x 5 180o o
o
o
x 5 180 2 80 2 75 o
x 5 25
Alternativa d.
2y 5 808 y 5 408 x 1 y 5 508 1 408 5 908 Alternativa a. 10. Se o ABC é retângulo e isósceles, Bˆ e Cˆ medem 458. No ABC, temos: 45o 1 med (Pˆ ) 1 22o 30’ 5 180o med (Pˆ ) 5 180o 2 45o 2 22o 30’ med (Pˆ ) 5 112o 30’ ˆ ) 5 112o 30’ med (BPC Alternativa d. 11. a) O MNP também é equilátero, e cada ângulo interno tem 608. b) Equilátero. 12. Alternativa a. ˆ Eˆ 13. CD EF ; Cˆ Fˆ ; D CDG ≅ FEG med (DG) 5 4,5 cm; med (CG) 5 5,1 cm e
8. y 1 1208 5 1408 y 5 1408 2 1208 y 5 208 x 1 908 1 208 5 1808 x 5 1808 2 908 2 208 x 5 708 x 2 y 5 708 2 208 5 508 Alternativa b.
med (CD) 5 3,9 cm 1 5,1 cm 5 1,7 cm ⇒ med (AC) 5 ? 5,1 cm 5 3 3 ⇒ med (AG) 5 5,1 cm 1 1,7 cm 5 6,8 cm
9. Como ABC é isósceles, PQ é bissetriz e altura med (Cˆ )5 y No ABP, temos: 208 1 z 1 z 5 1808 2z 5 1808 2 208 2z 5 1608 x 5 808 Em P: z 1 2x 5 1808 808 1 2x 5 1808 2x 5 1808 2 808 2x 5 1008 x 5 508 No ABC, temos: 2x 1 y 1 y 5 1808 1008 1 y 1 y 5 1808 2y 5 1808 2 1008
⇒ med (BG) 5 6 cm 1 6 cm ∴ med (BD) 5 ? 6 cm 5 5 1,5 cm 4 4
5,1 cm 4,5 cm 5 ⇒ 6,8 cm BG ⇒ 5,1 cm ? BG 5 6,8 cm ? 4,5 cm ⇒ ⇒ 5,1 cm ? BG 5 30,6 ⇒
5,1 cm 4,5 cm 5 ⇒ 6,8 cm AB ⇒ 5,1 cm ? AB 5 3,9 cm ? 6,8 cm ⇒ ⇒ 5,1 cm ? AB 5 26,52 cm ⇒ ⇒ med (AB) 5 5,2 cm Perímetro de ABCD: P 5 5,2 cm 1 1,5 cm 1 1 3,9 cm 1 1,7 cm 5 12,3 cm Alternativa b. 14. a 1 x 5 1808 5x 1 x 5 1808 6x 5 1808 x 5 308 a 5 5 ? 308 5 1508 Alternativa e.
275
Estudando os quadriláteros 46 – O quadrilátero e seus elementos Explorando, página 305. 1. Quadriláteros. 2. a) Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3. b) Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4. c) Fig. 1, Fig. 2, Fig. 3. d) Fig. 4. e) Nenhuma. f) Fig. 1. Exercícios, páginas 307 e 308. 1. a) b) c)
P PS PR e QS
2. x 1 2x 1 34 cm 1 24 cm 5 103 cm x 1 2x 5 103 cm 2 34 cm 2 24 cm 3x 5 45 cm x 5 15 cm med (AB)5 AB 5 x 515 cm med (BC)2 BC 5 2x 5 2 ? 15 cm 5 30 cm 3. 3x 1 1 1 2x 1 7 1 4x 2 3 1 3x 2 2 5 51 3x 1 2x 1 4x 1 3x 5 51 2 1 2 7 1 3 1 2 12x 5 48 x 5 4 ⇒ x 5 4 cm Lados: 3x 1 1 5 3 ? 4 1 1 5 13 ⇒ 13 cm 2x 1 7 5 2 ? 4 1 7 5 15 ⇒ 15 cm 4x 2 3 5 4 ? 4 2 3 5 13 ⇒ 13 cm 3x 2 2 5 3 ? 4 2 2 5 10 ⇒ 10 cm 4. 738 1 1028 1 988 1 x 5 3608 x 5 3608 2 738 2 1028 2 988 x 5 878 O quarto ângulo mede 878. 5. x 1 5x 1 2x 1 4x 5 3608 12x 5 3608 x 5 308 Os ângulos medem 308, 1508, 608 e 1208.
276
6. x 1 x 1
x 1 75o 5 360o 2
2x 1 2x 1 x 1 150o 720o 5 2 2 2x 1 2x 1 x 5 720o 2 150o 5x 5 570o x 5114o Os ângulos são 1148, 1148 e 578. 7. 2x 1 358 1 x 1 258 1 3x 1 x 1 208 5 3608 2x 1 x 1 3x 1 x 5 3608 2 358 2 258 2 208 7x 5 2808 x 5 408 Ângulos: 2x 1 358 5 2 ? 408 1 358 5 1158 x 1 258 5 408 1 258 5 658 3x 5 3 ? 408 5 1208 x 1 208 5 408 1 208 5 608 8. b 5 c 5 3a e d 5 2a a 1 3a 1 3a 1 2a 5 3608 9a 5 3608 a 5 408 Assim: a 5 408 b 5 c 5 1208 d 5 808 9. 3x 2 248 1 x 1 68 1 x 1 128 1 x 2 128 5 3608 3x 1 x 1 x 1 x 5 3608 1 248 2 68 2 128 1 128 6x 5 3788 x 5638 Ângulos: 3x 2 248 5 3 ? 638 2 248 5 1658 x 1 68 5 638 1 68 5 698 x 1 128 5 638 1 128 5 758 x 2 128 5 638 2 128 5 518 y 2 x 5 808 1 10. y 1 x 5 1808 2y 5 2608 y 5 1308 1308 1 x 5 1808 x 5 1808 2 1308 x 5508 Os ângulos são: 508, 908, 908 e 1308.
47 – Os paralelogramos
5x 5 18 x 5 3,6 ⇒ x 5 3,6 cm 3,6 1 2y 5 10 2y 5 10 2 3,6 2y 5 6,4 y 5 3,2 ⇒ y 5 3,2 cm
Exercícios, página 310. 1. 758, 1058 e 1058. 2. 4x 1 18 5 6x 2 218 4x 2 6x 5 2218 2 18 22x 5 2228 2x 5 228 x 5 118 Ângulos: 4 ? 118 1 18 5 458 458 1808 2 458 5 1358 1358 ˆ ) 5 med (Bˆ ) 5808 3. med (D 808 1 708 1 x 5 1808 x 5 1808 2 808 2 708 x 5308 4. O ângulo interno do pentágono vale 1088 (ex. 5 – p. 261). O menor ângulo do paralelogramo vale 1808 2 1088 5 728. Os ângulos medem: 728, 728, 1088 e 1088. 5. x 1 35o 1 (180o 2 82o) 5 180o x 5 180o 2 35o 2 180o 1 82o x 5 478 6. y 5 35 cm a) x 5 21 cm b) P 5 21 cm 1 35 cm 1 50 cm P 5 106 cm 7. x 5 y5
med (BD) 21 cm 5 5 10,5 cm 2 2 med (AC) 15 cm 5 5 7,5 cm 2 2
x 5 2y 8. ⇒ x 2 y 5 4 ⇒ 2y 2 y 5 4 y 5 4 ⇒ y 5 4 cm x52?4 x 5 8 cm AC 5 16 cm BD 5 8 cm x 1 2y 5 10 9. ⇒ 2x 2 y 5 4 (? 2) x 1 2y 5 10 ⇒ 1 4x 2 2y 5 8
Exercícios, páginas 313 e 314. 1. a) b) c) d) e) f)
V F V F V V
2. a) P 5 2 ? (3x 1 2y) 1 2 ? (2x 1 y) 5 5 6x 1 4y 1 4x 1 2y P 5 10x 1 6y b) A 5 (3x 1 2y) ? (2x 1 y) 5 5 6x2 1 3xy 1 4xy 1 2y2 A 5 6x2 1 7xy 1 2y2 3. a) P 5 4 ? (5x 2 y) 5 20x 2 4y b) A 5 (5x 2 y)2 5 25x2 2 10xy 1 y2 4. AC 5 2 ? (5x 1 3y) 5 10x 1 6y 5. AP PB ⇒ 5x 2 28 5 52 5x 5 52 1 28 5x 5 80 x 5 16 ⇒ x 5 16 cm 6. a) b)
x 5 16 e y 5 12 PAMB 5 12 1 16 1 20 5 48 PABC 5 20 1 20 1 24 5 64 PABD 5 20 1 20 1 32 5 72
2x 1 y 5 11 7. 1 2x 2 y 5 5 4x 5 16 x54 2 ? 4 1 y 5 11 8 1 y 5 11 y 5 11 2 8 y 53 8. x 5 908, y 5 458 9. x 1 x 1 (1808 2 1258) 5 1808 x 1 x 5 1808 2 1808 1 1258
277
2x 5 1258 x 5 628 30’ y 1 628 30’ 5 908 y 5 908 2 628 30’ y 5 278 30’
17. (2x 1 58) 1 (x 1 408) 1 (2x 1 58) 1 (x 1 408) 5 3608 2x 1 x 1 2x 1 x 5 3608 2 58 2 408 2 58 2 408 6x 5 2708 x 5 458 2x 1 58 5 2 ? 458 1 58 5 958 x 1 408 5 458 1 408 5 858 Os ângulos são 958, 958, 858 e 858.
10. x 1 408 5 908 x 5 908 2 408 x 5 508 y 1 x 1 908 5 1808 y 1 508 1 908 5 1808 y 5 1808 2 508 2 908 y 5 408
18. O ângulo interno do hexágono mede 1208 (ex. 2 – p. 261). x 5 608 (suplemento de 1208) x 1 x 1 y 1 y 5 3608 608 1 608 1 y 1 y 5 3608 y 1 y 5 3608 2 608 2 608 2y 5 2408 y 5 1208
11. 398 1 908 1 x 5 1808 x 5 1808 2 398 2 908 x 5 518 12. Os ângulos que a diagonal menor forma 110o com os lados medem 5 55o . 2 O 3.o ângulo é: 558 1 558 1 x 5 1808 x 5 1808 2 558 2 558 x 5 708 Os ângulos são: 558, 558, 708. 13. x 1 x 1 1148 5 1808 x 1 x 5 1808 2 1148 2x 5 668 x 5 338 y 1 y 1 668 5 1808 y 1 y 51808 2 668 2y 5 1148 y 5 578 x
y
14. a 1 y 5 908 a 1 x 1 908 5 1808 a 1 x 5 1808 2 908 a 1 x 5 908 a 1 y 5a 1 x ⇒ y 5 a 1 x 2a ⇒ y 5 x 15. 608, 608, 1208, 1208 16. b é ângulo externo do ABD. Portanto: a 1 a 5 b (soma dos ângulos internos não adjacentes) 2a 5 b a5
278
b 2
1. 3608 2. 788 1 1028 1 988 1 x 5 3608 x 5 3608 2 788 2 1028 2 988 x 5 828
4. Editoria de arte
114� 66�
Exercícios, páginas 317 e 318.
3. Dois valem 748; os outros dois valem: x 1 x 1 748 1 748 5 3608 x 1 x 5 3608 2 748 2 748 2x 5 2128 x 5 1068 Os ângulos são 748, 748, 1068 e 1068.
x y
48 – Os trapézios
o x 2 y 5 62 ⇒ o o o x 1 y 1 90 1 90 5 360
x 2 y 5 62o ⇒ 1 o x 1 y 5 180 2x 5 242o x 5121o 1218 2 y 5 628 2y 5 628 2 1218 2y 5 2598 y 5 598 5. x 1 1188 1 908 1 908 5 3608 x 5 3608 2 1188 2 908 2 908 x 5 628 6. x 1 308 1 708 5 1808 x 5 1808 2 308 2 708 x 5 808
37� 37�
Editoria de arte
x 1 y 1 508 5 1808 21 cm 1 12 cm 33 cm med (MN) 5 5 5 16,5 cm 2 2 808 1 y 1 508 5 1808 y 5 1808 2 808 2 508 9,36 cm 1 5,92 cm 15,28 cm b) med (MN) 5 5 5 7,64 cm y 5 508 2 2 4 4 15,28 cm 7. x 1 x 1 x 1 x 5 360omed (MN) 5 9,36 cm 1 5,92 cm 5 5 7,64 cm 5 5 2 2 o 5x 1 5x 1 4x 1 4x 1800 5 2 5 5 13. x 1 10 5 24 3 18x 5 1800o 2 x 1 30 72 5 x 5100o 3 3 4 400o o 2 x 5 72 2 30 5 80 x5 5 5 2x 5 42 Os ângulos são 1008, 1008, 808 e 808. x 5 21 ⇒ x 5 21 cm x 1 12,9 8. Chamando de y os ângulos da base, 14. 16,7 5 2 teremos: 1068 1 1068 1 y 1 y 5 3608 33, 4 x 1 12,9 5 y 1 y 5 3608 2 1068 2 1068 2 2 2y 5 1488 33, 4 2 12,9 5 x ⇒ x 5 20,5 ⇒ x 5 20,5 cm y 5 748 x1y ˆ os ângulos da Como AM é bissetriz de A, 15. 25 5 ⇒ x 1 y 5 50 2 748 base do AMB valem 5 378. Logo: x 1 y 5 50 2 1 x 1 378 1 378 5 1808 x 2 y 5 14 x 5 1808 2 378 2 378 2x 5 64 x 5 1068 x 5 32 9. 32 1 y 5 50 x y 5 50 2 32 y 518 x 1 908 1 908 1 748 5 3608 x 5 3608 2 908 2 908 2 748 x 5 1068 Os ângulos são 1068, 908, 908 e 748. 10. a 1 228 1 908 5 1808 a 5 1808 2 908 2 228 a 5 688 b 5 688 c 5 908 1 228 c 5 1128
16. a) Sim; caso LAAo. b) BE c) FE 5 16 cm 28 cm 2 16 cm 12 cm d) AF 5 5 5 6 cm 2 2 Brasil real, páginas 319 e 320. 1. Triângulos, quadriláteros (retângulos, quadrados, losangos e trapézios) e ainda algumas figuras irregulares.
2. 11. ABC é retângulo e isósceles, logo os ângulos da base AC medem 458. Como a) Os acutângulos: o ACD também é isósceles, os ângulos da base também valem 458, portanto 1,15 ? 0,90 1, 035 A5 5 5 0,5175 ⇒ 0,5175 m2 ˆ )5 458 . med (D 2 2 1,15 ?ˆ 0,90 1, 035 ˆ Bˆ com 908, oAângulo C mede Sendo A 5 5 5 0,5175 ⇒ 0,5175 m2 2 2 1358. Os obtusângulos: 12. Sendo MN a base média, temos: 1,8 ? 0,575 1, 035 A5 5 5 0,5175 ⇒ 0,5175 m2 2 2 21 cm 1 12 cm 33 cm a) med (MN) 5 ,5 cm 1,85 ? 0,575 5 1,16 035 2A 5 2 5 5 0,5175 ⇒ 0,5175 m2 2 2
279
b) São iguais. c) 4 triângulos e 12 trapézios.
2. x 5 3 cm ⇒ x 1 y 5 3 cm 1 2 cm 5 5 cm y 5 2 cm Alternativa a.
a) Jogo de dados (Geraldo de Barros). b) Losangos; cubos.
a 1 b 5 160o 3. ⇒ a 5 160o 2 b 3a 5 7b
3.
4. Não.
3(160o 2 b) 5 7b ⇒ 480o 2 3b 5 7b ⇒ 480o 5 7b 1 3b ⇒
5. Perímetro: 3(160o 2 b) 5 7b ⇒ 480o 2 3b 5 7b ⇒ 480o 5 7b 1 3b ⇒ P 5 2,96 m 1 4,85 m 1 2,96 mo1 4,85 m 5 15,62om 3(160 2 b) 5 7b ⇒ 480 2 3b 5 7b ⇒ 480o 5 7b 1 3b ⇒ Área: A 5 2,96 m ? 4,85 m 5 14,356 m2 ⇒ 10b 5 480o ⇒ b 5 48o 6. Projeto para uma paixão sem fim: a 5 160o 2 48o 5 112o A 5 1,80 ? 1,15 5 2,07 m2 b 2 c 5 22o ⇒ 48o 2 c 5 22o ⇒ 48o 2 22o 5 c ⇒ c 5 26o Sem título: A 5 2,96 m ? 4,85 m 5 14,356 m2 o b 2mc 5 ⇒m 482 o 2 c 5 22o ⇒ 48o 2 22o 5 c ⇒ c 5 26o Raios de sol: A 5 4,40 m ? 4,00 522 17,6 a 1 b 1 c 1 d 5 3608 Jogo de dados: A 5 2,63 m ? 21,70 m 5 57,071 m2 Desafio!, página 320. Base média 5
15 m 1 25 m 40 m 5 5 20 m 2 2
Área 5 A 5 20 m ? 24 m 5 480 m2 Valor total: 480 ? 50 5 24 000 O valor total do terreno é R$ 24 000,00. Tratando a informação, páginas 321 a 323. 1. a) Espera-se que se observe o seguinte: na faixa de 0 a 14 anos os homens apresentam maior porcentagem da população brasileira. b) De 30 a 34 anos; a mais para as mulheres (0,48%). 2. a) De 0 a 5 anos de idade e de 20 a 25 anos de idade. b) Espera-se que seja percebido o envelhecimento da população brasileira e, pela projeção de 2050, o aumento da expectativa de vida. 3.
1128 1 488 1 268 1 d 5 3608 d 5 3608 2 1128 2 488 2 268 d 5 1748 Alternativa c. x 1 3y 5 40 4. ⇒ x 1 y 5 30 (21) x 1 3y 5 40 1 2x 2 y 5 230 2y 5 10 y 55 x 1 5 5 30 x 5 30 2 5 x 5 25 x 2 y 5 25 2 5 5 20 Alternativa c. 5. P 5 (x 2 3) 1 (2x 1 1) 1 (x 2 3) 1 (2x 1 1) 5 6x 2 4 Alternativa a. 6. x 5
40 cm 1 28 cm 68 cm 5 5 34 cm 2 2
x1y 34 cm 1 y 56 cm 34 cm 1 y 28 cm 5 ⇒ 28 cm 5 ⇒ 5 ⇒y 2 2 2 2 a) Homens; de 0 a 4 anos. b) Homens. x1y 34 cm 1 y 56 cm 34 cm 1 y 28 cm 5 ⇒ 28 cm 5 ⇒ 5 ⇒ y 5 56 cm 2 34 cm 522 cm c) Resposta em aberto. 2 2 2 2 x1y 34 cm 1 y 56 cm 34 cm 1 y 28 cm 5 Retomando ⇒ 28o que cmaprendeu, 5 ⇒ 5 ⇒ y 5 56 cm 2 34 cm 522 cm 2 2páginas 323 e 324. 2 2 x 2 y 5 34 cm 2 22 cm 5 12 cm 1. 60% de 15: 0,6 ? 15 5 9 Alternativa c. Os lados do retângulo são 9 e 15 cm, 7. r // s portanto seu perímetro será: Portanto, o ângulo externo a Bˆ vale 1158. P 5 9 cm 1 15 cm 1 9 cm 1 15 cm 5 48 cm. ˆ também mede Como AD // BC , o ângulo A Se o quadrado tem o mesmo perímetro, 1158 (correspondente). seus lados medem 12 cm. Alternativa e. Alternativa b.
280
8. No quadrilátero, temos: x1
x 3x 1 2x 1 5 360o 2 2
2x 1 x 1 4x 1 3x 720o 5 2 2 10x 5 720o x 5 72o Bˆ 5 2 ? 72o 5 144o No BMN, temos: 1448 1 y 1 y 5 1808 y 1 y 5 1808 2 1448 2y 5 368 y 5 188 Alternativa d. 9. No ABD, temos: 728 1 (218 1 y) 1 (218 1 y) 5 1808 (CBD – isósceles)
y 1 y 5 1808 2 728 2 218 2 218 2y 5 668 y 5 338 Alternativa c. ˆ ) 582o. 10. AB // CD No CDE, temos med (D No trapézio: 82o 1 (180o 2 82o) 1 118o 1 y 5 360o y 5 360o 2 82o 2 180o 1 82o 2 118o y 562o No CDE, temos: (180o 2 118o) 1 82o 1 (180o 2 x) 5 180o 62o 1 82o 1 180o 2 x 5 180o 2 x 5 180o 2 62o 2 82o 2 180o 2 x 52144o x 5144o x 1 y 5 1448 1 628 5 2068 Alternativa a.
281
Estudando a circunferência E o Círculo 3.
B
Explorando, página 326. 1. Círculo. C
A
2.
Editoria de arte
49 – A circunferência
a) Em linha reta, até o bebedouro. b) Todos percorrerão a mesma distância. 3. Em linha reta, na direção de Gílson. 4. Sim, 10 metros. Exercícios, página 328. 1. a) b) c) d)
OA e OB AB Não. Sim, pois OA OB.
2. a) d 5 2 ? 15 cm 5 30 cm b) d 5 2 ? 0,75 cm 5 1,50 cm
3.
c) d 5 2 ?
1 1 cm 5 cm 4 2
d) d 5 2 ?
3 cm 5 3 cm 2
54 cm 5 27 cm a) r 5 2 b) r 5
11 cm 5 5,5 cm 2
4. AB 5 PB 2 PA AB 5 72 cm 2 38 cm 5 34 cm (diâmetro) 34 cm r5 5 17 cm 2 5. a) r 5 10,5 cm ⇒ , 5 2 ? 10,5 cm 5 21 cm 61 cm 5 30,5 cm 2 6. Média mínima: 2 ? 6 cm 5 12 cm b) , 5 61 cm ⇒ r 5
Explorando, páginas 328 e 329.
282
Exercícios, página 331. 1. a) x . 10 (externo) b) x , 10 (interno) c) x 5 10 (na circunferência) 2. 3x 1 5 5 20 3x 5 20 2 5 3x 5 15 x 5 5 ⇒ x 5 5 cm 3. 7x 1 33 . 75 7x . 75 2 33 7x . 42 x.6 Portanto, o menor valor inteiro será x 5 7. Desafio!, página 331. a) z 5 8 600 1 16 800 5 25 400 eleitores b) Total 5 2 ? 25 400 5 50 800 eleitores Brasil real, página 332. 1. O raio é 4 metros. x 1 10 2. 2 (x 2 1) 2 x 5 3 6 (x 2 1) 2 3x x 1 10 5 3 3 6x 2 6 2 3x 5 x 1 10 6x 2 3x 2 x 5 10 1 6 2x 5 16 x58 O diâmetro mede 8 m. C 5 2 ? p ? r ⇒ C 5 2 ? 3,14 ? 4 m 5 25,12 m
1. São iguais.
3. Curitiba: raio é 4 m. Garanhuns: raio é 2 m, logo o diâmetro é 4 m.
2. Sim.
4. Uma das respostas possíveis: 6 horas.
5.
6. a) Poços de Caldas (MG), Blumenau (SC) e Aparecida do Norte (SP). b)
a)
5x 1 30 12x 1 9 5 3 3 5x 2 12x 5 9 2 30 27x 5 221 7x 5 21 x 5 3 ⇒ x 5 3 cm b) PA 5 4 ? 3 1 3 5 12 1 3 5 15 ⇒ 15 cm c) PB 5 PA 5 15 cm d) P 5 15 cm 1 15 cm 1 7 cm 1 7 cm P 5 44 cm
Cidades brasileiras com relógios de flores Cidade
Estado
Ano
Curitiba
PR
1972
8m
Petrópolis
RJ
1972
8m
Diâmetro
Garanhuns
PE
1979
4m
Poços de Caldas
MG
1972
2m
Blumenau
SC
2000
4m
Aparecida do Norte
SP
2003
9m
Cidades brasileiras com relógios de flores e os respectivos raios
6. 11 10
8.
Curitiba Petrópolis
a) b)
7 6 5 4
Garanhuns
Blumenau
Poços de Caldas
3 2 1 0
Editoria de arte
Raios (em metros)
8
7. P 5 x 1 x 1 y 5 2x 1 y
Aparecida do Norte
9
Cidades
50 – O círculo
Exercícios, páginas 335 e 336.
2.
a) b) c) d) e) f)
rex set Não. C é ponto de tangência. Reta t. OC
a) b) c) d)
Lado: 16 cm P 5 4 ? 16 cm 5 64 cm A 5 (16)2 5 256 ⇒ 256 cm2 r 5 8 cm
3. O maior valor inteiro é 9 cm (r , 10). 4. Se r é tangente e AO é raio, então x 5 908. x 1 y 1 308 5 1808 908 1 y 1 308 5 1808 y 5 1808 2 908 2 308 y 5 608 5. x 5 y
a 5 11 cm b 5 25 cm (CP CN) c 5 31 cm (BN BM) P 5 (11 1 31) cm 1 (11 1 25) cm 1 1 (25 1 31) cm P 5 42 cm 1 36 cm 1 56 cm P 5 134 cm
a) b)
x 5 12 cm 1 8 cm 5 20 cm (BM BP e CM CN) AN 5 AP 5 y Perímetro: P 5 (12 1 y) 1 20 1 (8 1 y) 5 46 y 1 y 5 46 2 12 2 20 2 8 2y 5 6 y 5 3 ⇒ y 5 3 cm AN 5 3 cm
a) b) c) d)
BM BP BM 1 r 5 8 61r58r52 P54?258 P 5 8 1 (6 1 a) 1 (a 1 2) 5 2a 1 16 P 5 6 1 2 1 2 1 6 5 16
9.
51 – Posições relativas de uma reta e uma circunferência 1.
5 x 1 10 5 4x 1 3 3
10.
52 – Posições relativas de duas circunferências Exercícios, páginas 338 e 339. 1. a) b) c) d)
Externas. Secantes. Tangentes internamente. Tangentes externamente.
283
2.
4. a) b) c) d) e)
a) x 5 1208 b) x 5 458
Uma é interna a outra. Tangentes externamente. Tangentes internamente. Secantes. Externas.
5. x 1 358 1 358 5 1808 x 5 1808 2 358 2 358 x 5 1108 3. x 5 14 cm 1 20 cm 5 34 cm y 5 x 5 1108 o ) 5 360 5 120o ) 5 med (BC ) 5 med (CA 4. 18 cm 1 37 cm 1 r 5 65 cm 6. a 5 b 5 c 5 med (AB 3 o r 5 65 cm 2 18 cm 2 37 cm ) 5 med (BC ) 5 360 5 120o a 5 b 5 c 5 med (AB ) 5 med (CA 3 r 5 10 cm 7. Se ABC é equilátero, cada ângulo 5. P 5 (13 1 7) cm 1 (7 1 9) cm 1 (13 1 9) cm interno mede 608. P 5 20 cm 1 16 cm 1 22 cm ) 560o med (AB P 5 58 cm 6. a) Externas. b) Tangentes externamente. c) Tangentes internamente. 7. x 5 OB 2 OA 5 10,0 cm 2 6,5 cm 5 3,5 cm
8. x 5 1808 2 1358 5 458 ) 5 80o ⇒ x 5 80o 9. med (BC y 5 180o 2 80o 5 100o 10. a) São congruentes pelo caso LLL. b) x 5 y, são o.p.v. RS . c) Sim; AB
8. a) O1O2 5 O1A 1 AB 1 BO2 5 4 cm 1 7 cm 1 1 4 cm 5 15 cm P 5 4 ? 15 cm 5 60 cm b) A 5 (15)2 5 225 ⇒ 225 cm2 c) P 5 15 cm 1 7 cm 1 15 cm 1 7 cm 5 5 44 cm 9. Distância: d 5 x 1 y 1 x 5 2x 1 y 10. a) Tangentes externamente (26 5 10 1 16). b) Externas (30 . 16 1 10). c) Tangentes internamente (6 5 16 2 10).
53 – Arco de circunferência e ângulo central Exercícios, páginas 341 e 342. 1.
Chegou a sua vez!, página 344. 1. Vôlei: 0,45 ? 3608 5 1628 Basquete: 0,20 ? 3608 5 728 Futebol: 0,35 ? 3608 5 1268 2. a)
Por que os carros param 7,5%
mede 75º. AB mede 285º (360º 2 75º). ACB mede 90º. AB ACB mede 270º (360º 2 90º).
O arco O arco O arco O arco mede 90º. 2. O arco DE mede 45º O arco BC
(360º 2 90º 2 20º 2 135º 2 70º 5 45º). ) 5 120o (180o 2 60o) 3. med (AB med (CD) 5 60o (90o 2 30o) ) 560o (AOF ˆ e BOC ˆ são o.p.v.) med (FA o o o med (EF) 5 30 (90 2 60 )
12%
17,5% 63%
Falha mecânica Pneu furado Falta de combustível Pane elétrica
b) Falha mecânica.
Editoria de arte
a) b)
284
11. 2x 1 2x 1 208 1 2x 1 408 5 3608 2x 1 2x 1 2x 5 3608 2 208 2 408 6x 5 3008 x 5 508 a 5 2 ? 508 5 1008 b 5 2 ? 508 1 208 5 1008 1 208 5 1208 c 5 2 ? 508 1 408 5 1008 1 408 5 1408
54 – Ângulo inscrito Exercícios, páginas 348 e 349. 1. p – inscrito t – central t p5 2 2. a) x 5
134o 5 67o 2
b) x 5 2 ? 438 5 868 3. x 5
92o 5 46o 2
e RCD . a) Inscritos: ABS ˆ e COD ˆ . b) Centrais: ROD ˆ c) RCD
o ) 5 1 ? 60o 5 72o x 5 72 5 36o 5. med (AB 5 2 o ) 5 1 ? 360o 5 60o y 5 60 5 30o med (CD 6 2
6. a 5 b5
60o 1 48o 108o 5 5 54o 2 2 60o 1 142o 202o 5 5 101o 2 2
110o 1 142o 252o c5 5 5 126o 2 2 48o 1 110o 158o 5 5 79o 2 2 ) 5 360o 2 60o 2 48o 2 110o med (RV d5
) 5142o med (RV ˆ )560o 7. med (AOB o ˆ )5 60 5 30o med (APB 2 8. a 5 1408 Como ROS é isósceles, b 5 c. a 1 b 1 c 5 1808 ⇒ 1408 1 b 1 b 5 1808 b 1 b 5 1808 2 1408 2b 5 408 b 5 c 5 208 x 5 1808 2 1408 5 408 9. 7x 5
10. s 5 2 ? 528 5 1048 BOC é isósceles: 1048 1 t 1 t 5 1808 t 1 t 5 1808 2 1048 2t 5 768 t 5 388 ) 5 med (BDC ) 11. med (BAC 5x 5 25º x 5 5º
y 5 928 4.
14x 2 10x 5 48º 4x 5 48º x 5 12º O ângulo central (10x 1 488) mede 1688, e o inscrito (7x) mede 848.
o
10x 1 48 2
14x 10x 1 48o 5 2 2
12. x 1 2o 5
x 1 62o 2
2x 1 4o x 1 62o 5 2 2 2x 2 x 5 62º 2 4º x 5 58º O ângulo inscrito (x 1 28) mede 608. ˆ – central 13. BOC ˆ – inscrito BAD ˆ )5 x AD / / OC ⇒ med (BAD ˆ ) 5 med (BOD) med (BAD 2 x5
x 1 45o 2
2x 5 x 1 45º 2x 2 x 5 45º x 5 45º 2 720o 14. Arco : ? 360o 5 5 144o 5 5 a) Central: 1448 b) Inscrito :
144o 5 72o 2
15. 2x 1 3x 1 x 1 308 1 x 1 508 5 3608 2x 1 3x 1 x 1 x 5 3608 2 308 2 508 7x 5 2808 x 5 408 ) 5 80o, med (BC ) 5 120o, med (AB ) 5 70o, med (DA ) 5 90o med (CD o
ˆ )5 a) med (BAC
120 5 60o 2
ˆ )5 b) med (BCD
90o 1 80o 170o 5 5 85o 2 2
285
c) 8%. d) Maior para as mulheres, pois a porcentagem é maior. e) Mulheres: não, pois 16% é bem inferior a 50% (1808). Homens: correta, pois 54% é maior que 50%.
Explorando, página 350. 1.
) 5180o a) med (BC b) a 5
180o 5 90o 2
c) Triângulo retângulo. 2.
b) d 5
180o 5 90o 2
c) Triângulo retângulo.
55 – Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Exercícios, páginas 351 e 352. 1.
) ) med (AB med (CD t s t 1s 1 5 1 5 a) x 5 2 2 2 2 2 ) ) med (AB med (CD t s t 1s x5 1 5 1 5 2 2 2 2 2
) ) med (AB med (CD t s t 2s 2 5 2 5 2 2 2 2 2 med (AB) med (CD) t s t 2s x5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 b) x 5
2. a 5 b5
125o 65o 125o 2 65o 60o 2 5 5 5 30o 2 2 2 2 125o 65o 125o 1 65o 190o 1 5 5 5 95o 2 2 2 2
c 5 185o 2 95o 5 85o 3. a) x 5
86o 28o 2 5 43o 1 14o 5 57o 2 2
92o 56o 2 5 46o 2 28o 5 18o 2 2 ) 157o med (CD 4. 35o 5 2 2 ) 70o 157o 2 med (CD 5 2 2 o o ) 70 2 157 52 med (CD b) x 5
) 587o med (CD Brasil real, página 352. 1. Gráficos de setores. 2. a) Homens: 54%, mulheres: 16%. b) Não, homens: 11% e mulheres: 38%.
286
Retomando o que aprendeu, páginas 353 e 354.
) 5180o a) med (EF
1. 3x 1 5x 2 2 1 2x 1 6 5 24 3x 1 5x 1 2x 5 24 1 2 2 6 10x 5 20 x52 Diâmetro: 2x 1 6 5 2 ? 2 1 6 5 10 ⇒ 10 cm O raio é 5 cm. Alternativa e. 2.
1 2 2 3x 52 1 x 3 3 1 2 9x 2 2 1 3x 5 3 3 29x 2 3x 5 22 2 1 212x 5 23 12x 5 3 x5
3 1 5 5 0,25 ⇒ 0,25 m 12 4
Se a medida do raio é 0,25 m, o diâmetro será 0,5 m (2 ? 0,25 m). Alternativa c. 3. Diâmetro: 40 cm ⇒ raio: 20 cm 4 1 x 1 11 5 x 1 26 3 2 8x 1 66 3x 1 156 5 6 6 8x 2 3x 5 156 2 66 5x 5 90 x 5 18 AD 5 20 cm AB 5 20 cm CD 5
4 ? 18 1 11 5 35 ⇒ 35 cm 3
BC 5
1 ? 18 1 26 5 35 ⇒ 35 cm 2
P 5 20 cm 1 20 cm 1 35 cm 1 35 cm 5 110 cm Alternativa a. 4. P 5 AB 1 AC 1 BC 5 (a 1 b) 1 (a 1 b) 1 1 (b 1 b) 5 2a 1 4b Alternativa c.
x 1 y 5 17 1 5. x 2 y 5 3 2x 5 20 ⇒ x 5 10 ⇒ x 5 10 cm
120º 5 3x x 5 40º ) 5 5x 5 5 ? 40o 5 200o med (AC Alternativa d.
Alternativa a. 3x 1 y 1 2x 1 y 5 29 5x 1 2y 5 29 ⇒ 6. x 2 y 5 6,5 x 2 y 5 6,5 (? 2) 5x 1 2y 5 29 1 2x 2 2y 5 13 7x 5 42 ⇒ x 5 6 Como x 2 y 5 6,5 ⇒ ⇒ y 5 6 2 6,5 ⇒ ⇒ y 5 20,5. Alternativa e. ˆ )575o 7. med (O ˆ ) 5 360o 75o 1 90o 1 90o 1 med (OTB o o ˆ )5 360 2 75 2 90o 2 90o med (OTB ˆ )5105o med (OTB Alternativa b.
11. x 5 2y; Cˆ mede
120o 5 60o . 2
x 1 y 1 608 5 1808 2y 1 y 1 608 5 1808 2y 1 y 5 1808 2 608 3y 5 1208 y 5 408 x 5 808 x 2 y 5 808 2 408 5 408 Alternativa b. 12. DAC é isósceles: 1148 1 y 1 y 5 1808 y 1 y 5 1808 2 1148 2y 5 668 y 5 338
114o x 5 5 57o 2 120o y 120o 2 y 2x 120o 2 y o 8. x 5 2 5 ⇒ 5 ⇒ 2x 1 y 5 120 2 2 2 2 2 x 2 y 5 578 2 338 5 248 o o o 120 y 120 2 y 2x 120 2 y Alternativa a. 2 5 5 ⇒ 2x 1 y 5 120o ⇒ 2 2 2 2 2 13. No ABP, os ângulos internos são: 120o 200o 120o 1 y y 100o 5 1 ⇒ 5 ⇒ 200o 2 120o 5 yˆ ⇒ 2 2 B com 85o, Pˆ com 60o (sup lementar de 120o) e 2 2 o o 200 120 1 y y ˆ com 35o (18 ⇒ 5 ⇒ 200o 2 120o 5 y ⇒ y 5 80º A 80o 2 85o 2 60o). 2 2 2 ) 5 2 ? 35o 5 70o med (BC Substituindo, temos: 70o 2x 1 808 5 1208 x5 5 35o 2 2x 5 408 x 5 208
Alternativa e. o
x 20 5 o 5 0,25 y 80 Alternativa c. A razão
9. ADB é isósceles: 208 1 y 1 208 5 1808 y 5 1808 2 208 2 208 (y – ângulo do vértice) y 5 1408 x5
140° 5 70° 2
Alternativa b. 10. 120o 5
5x x 1 2 2
120o 5
x 1 5x 2
120o 5
6x 2
14. y 5 2x (inscritos) x 1 y 1 908 5 1808 (pois o triângulo é retângulo) x 1 y 5 1808 2 908 x 1 y 5 908 y 5 2x o o o o x 1 y 5 90 ⇒ x 1 2x 5 90 ⇒ 3x 5 90 ⇒ x 5 30 Como y 5 2x, temos: y 5 2 ? 308 5 608. Alternativa c. ) 5 2 ? 658 5 1308. 15. Como Rˆ é inscrito, med (PQ ) 5628. ˆ é central, med (MN Como MON x5
130o 62o 2 5 65o 2 31o 5 34o 2 2
Alternativa d.
287
Chegou a sua vez!, página 362. 1. Conservação. 2. Segurança e informações sobre cuidados no uso. 3. Respostas em aberto. 4. Praticidade no abrir e resistência no guardar. 5. Que não estragam por ação do tempo.
288
6. a) b) c) d) e) f)
Reciclável. Frágil. Não expor à luz. Inflamável. Manter fora do alcance de crianças. Desaconselhável para crianças de 0 a 3 anos. g) Para cima. h) Não molhar. 7. 8 caixas.
SUMÁRIO 9 . ano o
Noções elementares de estatística. .................................................................... 291 Estudando as potências e suas propriedades....................................................... 296 Calculando com radicais................................................................................... 304 Equações do 2o. grau.......................................................................................... 338 Função polinomial do 1.o grau............................................................................ 388 Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática)....................................... 397 Segmentos proporcionais. .................................................................................. 411 Semelhança....................................................................................................... 419 Estudando as relações trigonométricas no triângulo retângulo....................... 430 Estudando as relações trigonométricas nos triângulos..................................... 442 Estudando as áreas das figuras geométricas planas........................................... 453 Estudando a circunferência e o círculo............................................................. 465
Noções elementares de Estatística Abertura, páginas 7 e 8. • Quer saber a média de anos de estudo que os brasileiros têm? Média de anos de estudo dos brasileiros com 7 ou mais anos de idade: 0,2 1 0,9 1 1,7 1 2,4 1 3,2 1 4,0 1 4,7 1 5,4 1 6,1 1 6,7 1 7,2 1 7,8 1 8,1 1 8,2 1 6,1 M5 5 4,8 15 M 5 4,8 anos. Logo, os brasileiros com 7 anos ou mais de idade têm 4,8 anos de estudo em média. • Mate a curiosidade: Quais são os países mais populosos do mundo? Observando o gráfico, nos três anos (1980, 1991 e 2000), o país mais populoso do mundo é a China, seguido da Índia. • Qual o número médio de pessoas nas famílias brasileiras? O número médio de pessoas nas famílias brasileiras é dado por: 4,3 1 3,9 1 3,3 N5 5 3,83 → N 3,8 pessoas. 3
1 2 Organizando os dados Exercícios, página 13. 1. Resposta em aberto. 2.
4.
QUANTIDADE DE VEZES QUE CADA NÚMERO DO DADO APARECE Faces
Frequência
1
2
IDADES DOS ALUNOS ESCOLHIDOS Idades
Frequência
10%
11
2
5%
6
15%
Porcentagem
b) n > 5 R n 5 4 1 2 1 5 1 2 1 2 5 15 15 p5 0,5769 → p 57,7% 26 c) Observando a tabela, a nota com maior frequência é 7 (5 alunos), que corresponde a 19,2%. Porcentagem
2
5
25%
12
3
2
10%
13
8
20%
4
2
10%
14
12
30%
10
25%
5
5
25%
15
6
4
20%
16
2
5%
Total
20
100%
Total
40
100%
5.
3.
ALTURA DOS ATLETAS Altura
Frequência
Porcentagem
Porcentagem
Menos de 1,80 m
11
27,5%
De 1,80 m até menos de 2,00 m
22
55%
2,00 m ou mais
7
17,5%
Total
40
100%
NOTAS DOS ALUNOS NA PROVA DE MATEMÁTICA Notas
Frequência
1
1
3,8%
2
2
7,7%
3
4
15,4%
4
4
15,4%
5
4
15,4%
6
2
7,7%
7
5
19,2%
8
2
7,7%
9
2
7,7%
Total
26
100%
a) n < 5 R n 5 1 1 2 1 4 1 4 5 11 11 alunos obtiveram notas menores que 5.
2 2 Estudando gráficos Exercícios, páginas 19 a 21. 1. a) Analisando o gráfico, temos que os fogões elétricos são os mais eficientes, alcançando uma eficiência de 60%.
291
horta pomar
c) Ainda pelo gráfico, observamos que a eficiência dos fogões a gás é de cerca de 53%, e os elétricos chegam a 60%. 2. a) Observando o gráfico, temos que em julho/agosto foram vendidas 40 000 unidades do produto B. b) A venda do produto A foi de 20 000 unidades em novembro/dezembro. c) O índice de vendas mais baixo do produto B ocorreu em janeiro/fevereiro e foi de 10 000 unidades. d) Não; o número de unidades vendidas de A foi igual ao de B num dado momento entre agosto e setembro, mas não perdurou em nenhum dos bimestres especificados. 3. a) 1 aluno R 19 anos; 2 alunos R 20 anos; 5 alunos R 21 anos Total 5 1 1 2 1 5 5 8 Logo, 8 alunos têm no mínimo 19 anos. b) 4 alunos R 16 anos; 5 alunos R 17 anos; 3 alunos R 18 anos; 8 alunos R 19 anos ou mais Total 5 4 1 5 1 3 1 8 5 20 Logo, no curso de inglês há 20 alunos.
casa
6. Total de empregados R 180 a) 40% preferiram o café. 40% de 180 5 72 Logo, 72 empregados preferiram o café. b) 30% preferiram o chá. 30% de 180 5 54 Logo, 54 empregados preferiram o chá. c) A bebida que teve a menor preferência foi o leite (10%). d) 20% dos funcionários não manifestaram preferência por qualquer bebida. 20% de 180 5 36 Logo, 36 funcionários não manifestaram preferência por qualquer bebida. 7. a) 6 ex-alunas R sem filhos 8 ex-alunas R 1 filho 4 ex-alunas R 2 filhos 2 ex-alunas R 3 filhos 2 ex-alunas R 4 filhos ou mais Total 5 6 1 8 1 4 1 2 1 2 5 22 Logo, 22 ex-alunas participaram do encontro. b) Pela análise do gráfico, 8 ex-alunas têm apenas um filho. c) 6 ex-alunas R sem filhos Total R 22 ex-alunas 6 5 0,2727 → p 27,3% p5 22
4. a) O setor que só mostrou crescimento ao longo das décadas indicadas é o representado no gráfico pelas barras azuis (Comércio e serviços). b) O setor que teve queda contínua ao longo das décadas indicadas é o representado no gráfico pelas barras verdes (Agropecuária). 5.
292
Construção da casa R 25%
Pomar R 50%
Horta R 20%
Jardim R 100% 2 ( 25% 1 50% 1 20% ) 5 5%
O gráfico que representa essa divisão é o da alternativa d:
Editoria de arte
jardim
b) Também pela análise do gráfico, podemos dizer que os fogões a lenha são os menos eficientes, com uma eficiência de cerca de 28%.
Logo, aproximadamente 27,3% não têm filhos.
8. Para 1 200 < n < 1 300, observando o gráfico, temos:
Fevereiro R 1 200 ligações Março R 1 250 ligações Abril R 1 300 ligações Junho R 1 220 ligações Julho R 1 200 ligações Setembro R 1 220 ligações Outubro R 1 200 ligações Novembro R 1 300 ligações Total R 8 meses
Ilustrações: Editoria de arte
9.
correspondente ao arco de uma volta (3608) equivale a 100%, calculamos as medidas dos ângulos centrais dos respectivos setores: Voleibol R 50% de 3608 5 1808 Basquetebol R 17% de 36085 61,28 618 Futebol R 8% de 3608 5 28,88 298 Natação R 4% de 3608 5 14,48 148 Outros R 21% de 3608 5 75,68 768
O número de ligações foi maior ou igual a 1 200 e menor ou igual a 1 300 em 8 meses. Idade
Número de alunos
14
4
15
12
16
8
17
1
Idade dos alunos do coral
Atividade esportiva na escola (preferência dos alunos)
17 Idade (em anos)
outros; 21%
16 15
natação; 4%
14
voleibol; 50%
futebol; 8% 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 Número de alunos
10. Mulheres matriculadas no curso de informática
o
Ano
Número de matrículas
2002
10
2003
15
2004
30
2005
40
2006
60
basquetebol; 17%
Usando legendas, temos: Atividade esportiva na escola (preferência dos alunos) 21%
4%
Outros Voleibol Basquetebol Futebol Natação
50%
8%
Mulheres matriculadas no de curso de informática
n matrículas
17%
60
Brasil real, página 22.
50
20 10 2002 2003 2004 2005 2006
anos
11. Atividade esportiva na escola (preferência dos alunos)
Atividade esportiva
Número de alunos
Voleibol
600
Basquetebol
200
Futebol
100
Natação
50
Outros
250
O total de alunos é dado por: 600 1 200 1 100 1 50 1 250 5 1 200 R R 1 200 alunos Determinando as taxas percentuais, temos: Voleibol R 600 de 1 200 5 50% Basquetebol R 200 de 1 200 5 16,7% 17% Futebol R 100 de 1 200 5 8,3% 8% Natação R 50 de 1 200 5 4,2% 4% Outros R 250 de 1 200 5 20,8% 21% Lembrando que o ângulo central
1. a) 2000 R 11 milhões de dólares 2001 R 13 milhões de dólares Logo, o aumento foi de: 13 2 11 5 2 R 2 milhões de dólares b) Para 2007, analisando o gráfico, a meta a ser atingida é de 40 milhões de dólares. 2. Ano/local
Número de participantes
1984/Los Angeles
22
1988/Seul
35
1992/Barcelona
51
1996/Atlanta
66
2000/Sydney
94
2004/Atenas
122
Participação feminina nos Jogos Olímpicos 2004/Atenas
122
2000/Sydney Ano/local
40 30
94
1996/Atlanta
66
1992/Barcelona
51
1988/Seul 1984/Los Angeles
35 22 Número de participantes
293
3. a)
3. 3 3 20 5 60 R 60 reais
Número de medalhas brasileiras em Jogos Pan-americanos
170 160
150 140
130 Número total de medalhas
120 110
2 3 15 5 30 R 30 reais 60 1 30 90 M5 5 5 18 312 5 Em média, Karina pagou 18 reais por caneta.
1,98 1 2, 02 1 2, 08 1 1,92 1 1,95 9,95 5 5 1,99 5 5 1,98 1 2, 02 1 2, 08 1 1,92 1 1,95 9,95 M5 5 5 1,99 5 5 A média de altura dos jogadores dessa equipe é de 1,99 m.
100
4. M 5
90 80 70 60 50 40 30 20
5. 3 500 3 30 5 105 000 R 105 000 reais
10
b)
00
de
Do
mi ng o
Ja ne iro /2
/20
7
03
9
Rio
Ma
Sa nto
rd
el P lata /
Wi nn ipe g/1
99
95 19
91 Ha van a/1 9
Ind
ian óp
olis
/19
87
0
8 500 3 24 5 204 000 R 204 000 reais 105 000 1 204 000 309 000 5 5 25,75 M5 3 500 1 8 500 12 000 O preço médio por unidade desse produto foi R$ 25,75.
6.
Número de medalhas brasileiras em Jogos Pan-americanos
Número de funcionários
Salário
Soma
12
800
9 600
5
1 200
6 000
3
2 000
6 000
61 Ilustrações: Editoria de arte
161 79
Indianópolis/1987
9 600 1 6 000 1 6 000 21 600 5 5 1 080 12 1 5 1 3 20 Winnipeg/1999 9Santo 600Domingo/2003 1 6 000 1 6 000 21 600 M 5 Rio de Janeiro/2007 5 5 1 080 12 1 5 1 3 20 O salário médio dos empregados dessa empresa é R$ 1 080,00. Havana/1991
Mar del Plata/1995
82 123 101
M5
26 1 28 1 34 1 40 1 28 1 30 1 38 1 32 256 5 5 32 8 8 26 1 28 1 34 1 40 1 28 1 30 1 38 1 32 256 M5 5 5 32 8 8 Exercícios, páginas 24 e 25. A idade média dos professores desse colégio é 32 anos. 7. M 5
3 2 Estudando médias 1.
8. 8 3 80 5 640 2a feira
3a feira
4a feira
5a feira
6a feira
Sábado
13
23
22
27
22
25
13 1 23 1 22 1 27 1 22 1 25 132 M5 5 5 22 6 6 A média diária durante a semana foi de 22 livros vendidos.
2 3 130 5 260 640 1 260 900 M5 5 5 90 812 10 O custo de cada copo é de 90 centavos.
22 ? 4,8 1 13 ? 4 105,6 1 52 157,6 5 5 5 4,5028 4,5 22 1 13 35 35 22 ? 4,8420 1 13 ? 4 105,6 1 52 157,6 104 1 96 1 117 1 103 M5 5 5 4,5028 4,5 2. M 5 5 5 1055 22 1 13 35 35 4 4 A nota média da classe foi, 105 pontos foi a média de pontos marcados por essa equipe. aproximadamente, 4,5.
294
9. M 5
0,551 1 0, 402 1 x 3 3 3 0,507 5 0,551 1 0,402 1 x
x 5 1,521 2 0,551 2 0,402
x 5 0,568
O índice de educação dessa região é 0,568.
10. 0,507 5
Desafio!, página 25.
Alternativa b. 5 ? 20 1 15 ? 30 1 30 ? 40 1 40 ? 50 1 6 ? 60 1 3 ? 70 1 1 ? 80 5 5 1 15 1 30 1 40 1 6 1 3 1 1 100 1 450 1 1 200 1 2 000 1 360 1 210 1 80 4 400 5 5 5 44 100 100 A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é 44 km/h. M5
Brasil real, páginas 26 e 27.
27 1 29 1 30 1 38 1 46 170 5 5 34 5 5 1. Mantendo o ritmo de crescimento de 1980 A idade média dessa equipe é 34 anos. a 1990, a altura do homem brasileiro no ano 2000 é 0,02 m a mais, ou seja, 1,77 m. 8 ? 4 1 4 ?8 1 5 ? 11 1 3 ? 15 32 1 32 1 55 1 45 164 3. a) M1 5 5 5 5 814 1513 20 20 2. Considerando o casal com a média de 8 ? 4 1 4 ?8 1 5 ? 11 1 3 ? 15 32 1 32 1 55 1 45 164 idades de 30 anos, temos: M1 5 5 5 5 8,2 814 1513 20 20 1,82 1 1,68 h5 1 0,10 5 1,75 1 0,10 5 1,85 10 ? 4 1 5 ? 8 1 10 ? 11 1 12 ? 15 40 1 40 1 110 1 180 2 b) M2 5 5 5 10 1 5 1 10 1 12 37 Assim, a provável altura do filho na idade 40 1 40 1 110 1 180 370 adulta é 1,85 m. M2 5 10 ? 4 1 5 ? 8 1 10 ? 11 1 12 ? 15 5 5 5 10 10 1 5 1 10 1 12 37 37 3. Considerando o casal com média de 8,2 M1 c) M 5 10 5 0,82 idades de 20 anos, temos: 2 1,78 1 1,64 2 ? 3 1 3 ? 4 1 1 ? 6 6 1 12 1 6 24 h5 2 0, 03 5 1,71 2 0, 03 5 1,68 4. M5 5 5 54 2 2 1311 6 6 Então, a provável altura de Juliana aos 18 A massa média desses objetos é de 4 kg. anos é 1,68 m. 5. Idade dos frequentadores 4. Considerando a mesma proporção, em 25 Número de pessoas Idade(anos) anos, teremos:
2. M 5
41,5 2 39 5 2,5 R 2,5 cm
Logo, em 2015, o número médio será:
41,5 1 2,5 5 44
O número médio do calçado masculino em 2015 será 44.
14
30
27
26
35
5
42
Total 5 72
Lembrando que o ângulo central é o arco de uma volta (3608), que corresponde a 72 pessoas, calculamos a medida do ângulo central correspondente ao setor 14 anos e 11 pessoas assim:
72 R 3608 11 R a 11 ? 360 a5 5 55 72 Logo, a 5 558.
Retomando o que aprendeu, página 28. 1. PREFERÊNCIA POR ESPORTE Esporte
11
Número de pessoas
Porcentagem
Voleibol
5
25%
Futebol
12
60%
Basquetebol
3
15%
Total
20
100%
295
Estudando as potências e suas propriedades Abertura, página 29. • Pra pensar, sem se cansar: E se você lançar 3 moedas ao mesmo tempo, quantos serão os resultados? Chamando a face cara de C e a face coroa de K, se lançarmos três moedas ao mesmo tempo, teremos as seguintes possibilidades: 1a moeda 2a moeda C C K C K K
3a moeda C K C K C K C K
CCC CCK CKC CKK KCC KCK KKC KKK
Logo, lançando 3 moedas ao mesmo tempo, teremos 8 resultados possíveis: CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC e KKK. • Tantas dobras, quantas partes? E se fosse possível dobrar ao meio 10 vezes consecutivas, em quantas partes ela estaria dividida? 1 vez R 2 partes 5 21 2 vezes R 4 partes 5 22 3 vezes R 8 partes 5 23 4 vezes R 16 partes 5 24 [...] 10 vezes R 210 5 1 024 partes Se a folha fosse dobrada ao meio por 10 vezes consecutivas estaria dividida em 1 024 partes. • Qual é o maior? Qual é o menor? 1 1 5 7 5 1027 10 000 000 10 Esses números são todos iguais. 0, 0000001 5
4 – Potência de um número real com expoente natural Chegou a sua vez!, página 31. 1.
296
No de dobras ao meio
No de partes de mesmo tamanho obtidas
Potências de 2
1
2
21
2
4
22
3
8
23
4
16
24
2. 6 dobras R 26 5 64 partes 3. n dobras R 2n partes Exercícios, página 32. 1. a) 72 5 7 ? 7 5 49 b) (211)2 5 (211) ? (211) 5 121 c) (25)3 5 (25 ) ? (25 ) ? (25 ) 5 2125 2
4 2 2 2 d) 2 5 2 ? 2 5 5 5 5 25 e)
( 3)
1
5 3
5
1 1 1 f) 2 5 2 ? 2 ? 2 2 2
(22,3)2 5 (22,3) ? (22,3) 5 5,29 262 5 2 6 ? 6 5 236 35 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243 (20,6)3 5 (20,6) ? (20,6) ? (20,6) 5 20,216
2. (22)3 2 (21)2 1 (23)2 2 (22)5 5 5 (22) ? (22) ? (22) 2 (21) ? (21) 1 (23) ? ? (23) 2 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 5 28 2 1 1 9 2 (232 ) 5 5 32 2 2 1 1 3. (22)2 2 2 ; (13)2 1 2 5 6 2 1 5 (22) ? (22) 2 2 2
1 na equação, temos: 3 2 1 1 3 ? 2 2 2 ? 2 2 1 5 0 3 3 1 2 3? 1 21 50 9 3 1 2 3 1 21 50 → 21 50 3 3 3 1 Logo, 2 é raiz da equação. 3
7. Substituindo 2
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 5 2 32 2 2 2 g) h) i) j)
Logo, esse campeonato tem 380 jogos.
8.
a) b) c) d)
1 ? 2 ; 2
1 1 ;(3) ? (3) 1 2 ? 2 5 6 6 1 1 1 1 542 ;9 1 542 1 5 4 36 36 36 54
72 5 49 e (27)2 5 (27) ? (27) 5 49 Logo, 72 5 (27)2. 292 5 281 e (29)2 5 81 Logo, 292 (29)2. (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 5 232 e 225 5 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 232 Logo, (22)5 5 225. (24)3 5 (24) ? (24) ? (24) 5 264 e 243 5 5 2 4 ? 4 ? 4 5 264 Logo, (24)3 5 243. Chegou a sua vez!, página 33.
n2 2 3n 2 a) Polígono de 6 lados R n 5 6
1. 112 5 121 113 5 1 331 114 5 14 641
62 2 3 ? 6 36 2 18 5 59 2 2 O polígono de 6 lados possui 9 diagonais. b) Polígono de 10 lados R n 5 10
2. 115 5 161 051 116 5 1 771 561 Logo, o fato não se repete para esses números.
4. d 5
d5
d5
102 2 3 ? 10 100 2 30 5 5 35 2 2 O polígono de 10 lados possui 35 diagonais.
5.
x 5 [(21) 2 (21) ? (21) ] 1 (21) x 5 [(21) 2 (21) ? (1)] 1 (21) x 5 [21 1 1] 2 1 x 5 21
y 5 (22)4 ; 23 2 42 ; (22)2 y 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ; 8 2 16 ; 4 y 5 16 ; 8 2 16 ; 4 y5224 y 5 22
xy 5 (21 ) ? (22 ) 5 2
6.
n 5 x2 2 x n 5 202 2 20 n 5 400 2 20 n 5 380
3
5
4
Exercícios, página 36. 1. a) b) c) d) e)
7
f) g) h) i) j)
29 ? 25 5 29 1 5 5 214 310 ; 37 5 310 – 7 5 33 (1,4)6 ? (1,4)4 5 (1,4)6 1 4 5 (1,4)10 (2,7)5 ; (2,7) 5 (2,7)5 – 1 5 (2,7)4 58 ? 5 ? 54 5 58 1 1 1 4 5 513 7 5 725 2 1 1 1 1 5 2 ; 2 5 2 2 10 8 2 (0,1) ? (0,1) ? (0,1) 5 (0,1)10 1 8 1 2 5 5 (0,1)20 (53)7 5 53 ? 7 5 521 [(1,3)4]5 5 (1,3)4 ? 5 5 (1,3)20 [(26)2]2 5 26 ? 2 ? 2 5 224
2. a) (x ? y)3 5 x3y3 b) (a ? b2)2 5 a1 ? 2 ? b2 ? 2 5 a2b4
297
c) (x3 ? y2)4 5 x3 ? 4 ? y2 ? 4 5 x12y8 d) (a2 ? b5 ? c3)2 5 a2 ? 2 ? b5 ? 2 ? c3 ? 2 5 a4b10c6
5.
3 3 53 0 5 1 (2x 1 1)
3. a) b) c) d) e) f) g)
x2 ? x ? x8 ? x3 (x 0) 5 x2 1 1 1 8 1 3 5 x14 x12 ; x9 (x 0) 5 x12 2 9 5 x3 (x5)4 (x 0) 5 x5 ? 4 5 x20 a ? a7 ? a2 (a 0) 5 a1 1 7 1 2 5 a10 p4 ; p3 (p 0) 5 p4 2 3 5 p x10 ? x7 ? x8 (x 0) 5 x10 1 7 1 8 5 x25 [(x5)2]4 (x 0) 5 x5 ? 2 ? 4 5 x40
Desafio!, páginas 38 e 39. 1. Nº de moedas lançadas
4. a) b)
a 5 (32)3 ? (33 ; 32)4 5 32 ? 3 ? (33 2 2)4 5 5 36 ? (31)4 5 36 1 4 5 310 b 5 (39)2 ; (34 ? 32)2 5 39 ? 2 ; (34 ? 2 ? 32 ? 2) 5 5 318 ; (38 ? 34 )5 318 2 12 5 36 a ; b 5 310 ; 36 5 310 2 6 5 34 5 81 [(25)3]2 5 25 ? 3 ? 2 5 230 [(25)2]3 5 25 ? 3 ? 2 5 230
c)
210 5 210 2 1 5 29 2 Exercícios, página 37.
3.
1 3 11 1 2 5 2 5 2 1 21 2 20 23 4 4 4.
298
2 5 21
2 moedas
4 5 22
3 moedas
8 5 23
4 moedas
16 5 24
5 moedas
32 5 25
6 moedas
64 5 26
7 moedas
128 5 27
8 moedas
256 5 28
9 moedas
512 5 29
10 moedas
1 024 5 210
2. Para 100 moedas, n 5 2100. Para n moedas, n 5 2n.
5 – Potência de um número real com expoente inteiro negativo Exercícios, página 42.
1.
2.
Nº de resultados possíveis
1 moeda
a) b) c) d)
50 5 1 250 5 21 (25)0 5 1 2(25)0 5 21
a) b) c)
A 5 (20 1 21 1 22 1 23 1 24) cm2 A 5 (20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27) cm2 A10 5 (20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 1 26 1 27 1 28 1 29) cm2 A9 5 (20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 1 26 1 27 1 28) cm2 Então, calculamos A10 2 A9: (20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 1 28 1 29) 2 (20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 1 25 1 26 1 27 1 28) 5 29 5 512 cm2
1. a) b) c) d) e)
34 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 81 33 5 3 ? 3 ? 3 5 27 32 5 3 ? 3 5 9 31 5 3 0 0 0 a) 25 1 3 2 (24) 5 21 1 1 2 1 5 21 30 5 1 1 1 1 6 f) 321 5 b) 1 (0,17)0 5 1 1 5 3 25 5 5 2 1 1 1 1 22 1 1 3 0 3 5 g) 3 5 3 ? 3 5 9 2 1 11 2 5 2 5 2 5 3 ; 2 3 5 3 ? 2 4 5 2 2 2 4 1 2 20 1 21 2 3 23 1 3 1 1 1 1 23 h) 3 5 5 ? ? 5 4 4 4 27 3 3 3 3 2. 5 3 ; 2 3 5 3 ? 2 4 5 2 2 2 4 2 3 1 a) 221 5 2 5
1 1 b) 225 5 5 32 2 2
1 1 c) (22)22 5 2 5 4 2 4
1 1 d) 2224 5 5 2 16 2 3
1 1 1 e) 2(24)23 5 2 2 5 2 2 5 4 64 64 1 1 5 f) 2(210)21 5 22 10 10
3
1 1 g) 1023 5 5 10 1 000 h) 3. a) b) c) d) e) f) g)
30 5 1 ? 25 5 32 225 2 2 1 1 2(27)22 52 − 52 27 1 1 49 f) 922 ? 33 5 ? 27 5 5 7 81 3 9 5 1 1 5 3 5 4 ? 5 6. (40 1 421) ; (40 2 421) 5 1 1 ; 1 2 5 ; 5 21 4 3 3 4 4 4 4 1 2 5 2 1 5 3 5 4 5 1 0 21 0 21 ? 5 (4 1 4 ) ; (4 2 4 ) 5 1 1 ; 1 2 5 ; 5 4 4 4 4 3 3 4 22 1 2 1 5 3 5 1 4 5 2 4 5 5 2 ? 5 (40 1 421) ; (40 2 421) 5 1 1 ; 1 2 5 ; 5 4 4 4 4 4 3 3 22 1 2 7. 2 3 5 (23) 5 9 3 1 1 21 a) (2x2)23 5 2 5 1 2x 8x6 2 4 5 (24) 5 2 4 2 x2 x2 1 21 51 ? b) (3a2x21)22 5 4 5 1 3 2 9a4 9a 3a2 ? 3 5 2 x 22 2 2 25 5 2 1 21 21 2 5 5 2 2 5 4 c ab 5 b2 c) 5 2 2 c 23 3 a 1 ac 27 3 5 b 2 3 5 2 5 5 2 125
1 h) 22 6
21
1 i) 22 3
−2
3 j) 22 2
23
e)
3
1 y6 d) (x y ) 5 5 12 2 1 x x4 y 21 1 a2 e) a22 ? b3 5 5 3 2 1 b ? b3 a 4 22 23
5 2(26) 5 6 5 2(23)2 5 2 9
(
3
8 8 2 5 2 2 5 2 2 5 27 27 3
)
2
1 x x22 a 5 f) 21 5 2 1 bx a b ?b a
4. a) b) c) d) e) f)
1 5 1022 102 1 5 723 73 1 5 526 56 1 5 227 27 1 5 624 64 1 5 1028 108
8. 1 4 1 a) (23)21 1 (21)23 5 2 1 (21)3 5 2 2 1 5 2 3 3 3 1 4 1 (23)21 1 (21)23 5 2 1 (2 1)3 5 2 2 1 5 2 3 3 3 4
1 63 1 2 4 52 b) 224 2 22 5 2 4 5 16 16 2 21
c) (4
5.
21
1 5 24 5 16 224 2 b) 22 5 2 ? 42 5 2 ? 16 5 32 4 a)
3
7 1 c) 2 ? 7 5 ; 7 5 8 2 23
d)
223 52 25 5 22 5 8 5 23
(4
3 1 1 1 2 ) 5 1 2 4 23 21
21
3 1 1 12 ) 5 1 2 4
1 1 5 1 8 4
21
3 5 8
21
1 2 d) (622 ? 32)21 5 ? 9 6 9.
21
23 21
5 21
1 1 5 1 8 4
21
3 5 8
21
5
8 3
8 3
9 5 36
21
54
1 2 1 3 x y x a) (xy22) ; (x23y) 5 x ? ; ? y 5 2 ; 3 5 2 y x y y x
299
?
1 2 1 3 x y x y) 5 x ? ; ? y 5 2 ; 3 5 2 y x y x y a b) (a2b21)22 ? b 21
22
a2 b ? 5 a b
22
21
x3 x4 ? 5 y3 y
1 5 a2 b
22
?
b 5 a
b) (3 ? 102)21 5 321 ? 1022 c) (224 ? 54)22 5 2(24) ? (22) ? 54 ? (22) 5 28 ? 528 22 2 2 (7b21 ? x)b233 5 7(21) ? (23) ? x23 5 73 ? x23 a b bd) ? 5 ? 5 5 b a 5. a4 a a
a) (8 ; 3)22 5 822 ; 322 b) (3 ; 8)22 5 322 ; 822 c) (622 ; 5)24 5 6(22) ? (24) ; 524 5 68 ; 524 1 10. 20 1 (22)4 ? 422 2 (22)3 5 1 1 16 ? 2 (28) 5 1 1 1 1 8 5 1022 16 d) (7 ; 221)23 5 7(22) ? (23) ; 2(21) ? (23) 5 76 ; 23 1 20 1 (22)4 ? 422 2 (22 )3 5 1 1 16 ? 2 (28) 5 1 1 1 1 8 5 10 6. 16 a) (25 ? 75) 5 (2 ? 7)5 R Verdadeira. a b 11. 21 1 21 5 ab 1 ba 5 2ab b) x ; x2 5 x1 2 2 5 x21 R Verdadeira. b a 22 c) x5 ? y10 5 (x ? y2)5 R Falsa. 1 2 22 1 d) xy21 5 (x21 ? y)21 R Verdadeira. 3 5 5 24 1 32 5 5 52 12. 22 6 216 1 9 1 1 26 7. a 5 1027; b 5 1011; c 5 1024 224 1 (23)2 1 40 1 2 a) a ? b 5 1027 ? 1011 5 1027 1 11 5 104 3 5 5 24 1 3 5 5 5 2 b) a ? c 5 1027 ? 1024 5 10(27) 1 (24) 5 10211 6 216 1 9 1 1 26 3)2 1 40 c) b ? c 5 1011 ? 1024 5 10(11) 1 (24) 5 107 xy 1 1 1 x1 21 d) a ? b ? c 5 1027 ? 1011 ? 1024 5 1027 1 11 2 4 5 xy 1 1 x1y y y 5 5 13. 21 5 5 100 5 1 xy 2 1 xy 2 1 1 x2y x2 y y 8. a2n 2 1 ? an 1 1 5 a(2n 2 1) 1 (n 1 1) 5 a3n a ? b
1 5 a2 b
?
b b2 b b3 5 4 ? 5 5 a a a a
Para x 5 y 5 3, temos: 9 11 10 5 5 5 9 21 8 4
9.
Exercícios, página 44.
2
1 1 b) 23 ? 225 5 23 2 5 5 222 5 5 2 2 2
1. a) b) c) d) e)
79 ? 726 5 79 2 6 5 73 1029 ? 10 ? 105 5 1029 1 1 1 5 5 1023 83 ? 826 5 83 2 6 5 823 x3 ? x25 ? x4 5 x3 2 5 1 4 5 x2 a8 ? a28 ? a21 5 a8 2 8 2 1 5 a21
2
52 1 1 224 5 522 5 5 2 4 55 5 5 5 1 2 ? (23) 2 23 26 d) (10 ) 5 10 5 10 5 6 10 1 1 2 2 5 e) 2 5x y (xy)22 1 xy 1 f) 624 ? 63 5 624 1 3 5 621 5 6 c)
2.
3.
a) 64 ; 65 5 6 4 2 5 5 621 b) 27 ; 222 5 27 2 (22) 5 27 1 2 5 29 c) 724 ; 721 5 724 2 (21) 5 724 1 1 5 723 1023 23 2 25 d) 5 10 ( ) 5 1023 1 5 5 102 1025 x6 e) 5 x6 2 (22) 5 x6 1 2 5 x8 x22 a9 f) 5 a9 2 11 5 a22 a11 a) b) c) d)
(621)4 5 621 ? 4 5 624 (106)22 5 106 ? (22) 5 10212 (521)23 5 5(21) ? (23) 5 53 (x6)22 5 x6 ? (22) 5 x212
4. a) (5 ? 11)22 5 522 ? 1122
300
2
10 1 5 1 1 a) (5 ) 5 5 5 10 5 5 5 25 2
10. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
2x ? 23 5 2x 1 3 7x ; 73 5 7x 2 3 (5x)3 5 53x 83x ? 822x 5 83x 2 2x 5 8x 103x ; 1022x 5 103x 2 (22x) 5 103x 1 2x 5 105x 7x ? 7x 1 3 5 7x 1 x 1 3 5 72x 1 3 2n 5 2n 2 (n 2 1) 5 2n 2 n 1 1 5 21 2n 2 1 (22)x 2 1 5 22 ? (x 2 1) 5 22x 2 2 3x 1 1 ? 3x 2 1 5 3x 1 1 1 x 2 1 5 32x 10x 1 3 5 10x 1 3 2 x 5 103 10x
1 5 6 ? 1022 100 2 x2 1 a) 23 5 x2 2 (23) 5 (x5)2 5 x10 c) 0, 00007 5 7 ? 0, 00001 5 7 ? 5 7 ? 1025 x 100 000 b) (x23 ? x)21 5 ( x23 1 1)21 5 ( x22 ) 21 5 x22 ? (21) 5 x2 1 5 2 ? 1023 d) 0, 002 5 2 ? 0, 001 5 2 ? 1 000 1 c) (xn 1 1 ? x2 2 n)22 5 (xn 1 1 1 2 2 n)22 5 (x3)22 5 x26 5 6 1 x e) 0, 000009 5 9 ? 0, 000001 5 9 5 9 ? 1026 1 000 000 1 11 2 2 n 22 n 1 1 1 2 2 n 22 3 22 26 1 ? x ) 5 (x ) 5 (x ) 5 x 5 6 0, 000009 5 9 ? 0, 000001 59 5 9 ? 1026 x 1 000 000 1 f) 0,5 5 5 ? 0,1 5 5 ? 5 5 ? 1021 10 11.
b) 0, 06 5 6 ? 0, 01 5 6
2
(
)
6 – Transformando e simplificando uma expressão Exercícios, página 46. 1.
7. Decompondo 9, 27 e 243 em fatores primos, temos:
9 5 32 27 5 33 243 5 35
3 4 27 23 3 4 27 6 12 27 11 Então: 9 2? 127 ? 32 5 (3 ) 2?1(3 ) 5?23 5 3 ?231 ?103 5 3 9 5 311 2 9 3 ? 243 3 ? (3 ) 3 ?3 3 6 12 27 11 3 ?3 ?3 3 5 5 9 5 311 2 9 5 32 321 ? 310 3
a) Decompondo 64 em fatores primos, 93 ? 274 ? 327 (32)3 ? (33)4 ? 3 27 temos: 64 5 26. 5 21 ? 2432primos, 321 ? (35)2 b) Decompondo 128 em 3fatores temos: 128 5 27. 8. Decompondo 125 e 25 em fatores primos, 1 1 27 temos: Logo: 5 7 52 128 2 25 5 52 125 5 53 c) Decompondo 512 em fatores primos, 6 (53)6 ? (52)23 512 ? 2523 518 ? 526 12 2 8 temos: 512 5 29. Então: 125 5 5 54 5 5 2 23 7 26 27 26 14 8 55 ( ) ( ) 5 ? 5 5 5 ? 25 5 ? 5 1 1 Então: 5 9 5 229 512 (53)6 ? (52) 23 512 1256 ? 2523 518 ? 526 2 5 26 14 5 8 5 512 2 8 5 54 2 23 7 5 26 27 (5 ) ? 25 5 ?5 5 d) Decompondo 2 048 em fatores primos, 5 ? (5 ) temos: 2 048 5 211. 9. Decompondo 16, 64 e 1 024 em fatores 2. Decompondo 729 em fatores primos, primos, temos: 6 temos: 729 5 3 .
Então é possível escrever 729 na forma de potência de 3: 729 5 36
3. Decompondo 625 em fatores primos, temos: 625 5 54. 1 1 Logo: 5 4 5 524 625 5 4.
16 5 24 64 5 26 1 024 5 210
Então: (162 ? 643) ; 1 0242 5
5 (24)2 ? (26)3 ; (210)2 5 28 ? 218 ; 220 5
5 28 1 18 2 20 5 26
10.
a a 5 1626 b 5 823 c 5 4210 b?c Decompondo 4, 8 e 16 em fatores primos, temos:
a) 100 000 000 5 108 1 1 b) 0, 00001 5 5 5 = 1025 100 000 4 5 22 8 5 23 16 5 24 10 27 1 1 a (24)26 2224 5 7 5 10 c) 0, 0000001 5 5 5 5 2224 1 9 1 200 5 25 5 32 3 2 3 2 2 10 2 9 10 000 000 10 b?c (2 ) ? (2 ) 2 ? 2220 d) 1 000 5 103 a (24)26 2224 224 1 9 1 20 0 5 25 5 32 5 3 23 2 210 5 29 220 5 2 b ? c ( 2 ) ? ( 2 ) 2 ? 2 5. Decompondo 81 em fatores primos, temos: 81 5 34. 6.
11.
1 Então: (81) 5 (3 ) 5 3 5 8 3 22
4 22
28
a)
y3 (x22 ? y)25 x10 ? y25 25 2 (28) 10 2 12 22 3 x y 5 x ? y 5 5 5 ? x2 (x23 ? y2)24 x12 ? y28
y3 (x22 ? y)25 x10 ? y25 10 2 12 ? y25 2 ( 28) 5 x22 ? y3 5 2 23 2 224 5 12 28 5 x x (x 7 ?? 10 y) x ?y a) 700 5 7 ? 100 5
301
g) 32 000 000 5 3,2 ? 107 h) 0,01 5 1 ? 1022
6 22 5 30 210 b) (x7 ? y24)3 5 x21 ? y212 5 x30 2 21 ? y210 2 (212) 5 x9y2 (x ? y ) x ?y
(x6 ? y22)5 x30 ? y2 10 5 x30 2 21 ? y210 2 (212) 5 x9y2 7 24 3 5 (x ? y ) x21 ? y212
Brasil real, páginas 49 e 50. Resposta em aberto.
23 24 ? 108 1 12. 6 ? 10 ?210 5 1023 2 4 1 8 2 (21 1 4) 5 1022 5 2 1 6 ? 10 ? 104 10
? 108 1 5 1023 2 4 1 8 2 (21 1 4) 5 1022 5 2 04 10 Brasil real, página 47. 1. E 5 2 800 km 5 2 800 000 m 5 5 28 ? 105 m 5 280 ? 104 m 2. A 5 641 000 km2 5 641 000 000 000 m2 5 5 641 ? 109 m2 3. L 5 4 ? 1 m3 5 4 m3 5 4 000 000 cm3 5 5 4 ? 106 cm3 5 40 ? 105 cm3 5 400 ? 104 cm3 4. V 5 240 m 5 240 000 dm 5 240 000 , 5 5 24 ? 104 , 5 240 ? 103 , 3
3
Desafio!, página 48. 1.
1 5 12 1 1 3 5 4 5 22 1 1 3 1 5 5 9 5 32 1 1 3 1 5 1 7 5 16 5 42
A soma dos 20 primeiros números ímpares naturais é dada por: S 5 1 1 3 1 5 1 7 1 ... 5 202 5 400
Tratando a informação, página 50. 1. A notícia quer dizer que, em 2006, os investimentos do Brasil no exterior foram maiores do que os aplicados pelos estrangeiros no país. 2. Os investimentos estrangeiros aplicados no Brasil foram maiores em 2000: 33 bilhões de dólares contra 2,3 bilhões de dólares, ou seja, 30,7 bilhões de dólares a mais do que o aplicado pelos brasileiros. 3. Observando o gráfico, podemos calcular, ano a ano, a diferença entre os investimentos:
2003 R diferença de 9,9 bilhões de dólares;
2004 R diferença de 8,3 bilhões de dólares;
2005 R diferença de 12,6 bilhões de dólares.
Logo, em 2004, os investimentos brasileiros no exterior se aproximaram mais dos investimentos estrangeiros no Brasil.
4.
2. A soma dos 100 primeiros números ímpares naturais é dada por: S 5 1 1 3 1 5 1 ... 5 1002 5 10 000
INVESTIMENTOS Ano
3. A soma dos n primeiros números ímpares naturais é dada por: S 5 n2 4. S 5 900 5 n2 Logo: n 5 900 5 30 900 é a soma dos 30 primeiros números ímpares naturais. Chegou a sua vez!, página 49. 1. a) b) c) d) e) f)
302
1 000 000 5 1 ? 106 23 000 000 000 000 000 000 000 5 5 2,3 ? 1022 1 500 000 000 5 1,5 ? 109 6 800 5 6,8 ? 103 205 000 000 5 2,05 ? 108 0,0000000106 5 1,06 ? 1028 300 000 5 3 ? 105
Investimento estrangeiro no Brasil (em dólares)
Investimento brasileiro no exterior (em dólares)
2000
3,3 ? 1010
2,3 ? 109
2001
2,24 ? 1010
2,3 ? 109
2002
1,66 ? 1010
2,5 ? 109
2003
10
1,01 ? 10
2,0 ? 108
2004
1,81 ? 1010
9,8 ? 109
2005
1,51 ? 1010
2,5 ? 109
2006
1,55 ? 10
2,6 ? 1010
10
Retomando o que aprendeu, página 51. 1. Alternativa c. 4 A5 r3 3 Para π 5 3,14 e r 5 13, temos: 4 A5 ? 3,14 ? 33 5 113, 04 3 2. Alternativa a.
(x2)3 ? (x4)5 ? (x3)27 5 x6 ? x20 ? x221 5
5 x6 1 20 2 21 5 x5
3. Alternativa d. 4 7 23 (1023)4 2? 3(102)7 3 22 3 10212 1 14 (0,9001 2)25? 100 ? (0,01)3 5 32 5 2 ? (10 ) 5 2 5 5 2 210 1 8 1 410 5 1 5 8 1 23 10 10 ( ) 2 10 1 2 2 23
23 3 322 2 5 5 1 5 8 2 210 1 8 1 4 4. Alternativa b.
26 23 26 29 ? 10 5 10 ? 10 5 10
9. Alternativa b.
a ? b22 ? (a21 ? b2)4 ? (a ? b21)2 a ? b22 ? a24 ? b8 ? a2 ? b22 a21 ? b4 5 2 5 3 5 2 2 21 2 21 21 −1 a ? b?a ? b ?a ? b a ? b?a ? b ?a ? b a ?b −1 21 23 21 25 0,1 ? (0, 001) ? 10 10 ? 10 2? 210 21 10 1 2 4 a ? b ? (a 5? b2)42?3 (a5?10 b22 15)21 3 5 a ?0a,201 ?5b8 ? a2 ? b22 a21 ? b4 5 10?2b225 5 5 5 a24 b3 10 ? (0, 0001) 100 10 ? 10224 10 a ? b ? a2 ? b−1 ? a21 ? b a2 ? b ? a2 ? b21 ? a21 ? b a3 ? b 21 10−1 1021 ? 1023 ? 10 1025 1 25 1 3 5 5 5 1022 5 0, 01 5 10. Alternativa e. 24 23 5 10 1) 100 10 ? 10 10 38 ? 44 38 ? (22)4 38 ? 28 27 5 33 ? 221 5 5 13,5 5. Alternativa e. 4 5 2 4 5 2 6 ? 12 2 ? 3 ? (2 ? 3) 35 ? 29 1 38 2 ? 44 38 ? (22xy )4 38 2? y28 27 3 21 2? 2 ? x21 2 5 5 13,5 5 5 x x 4 2 4 5 5 9 53 ?2 5 5 5 ? 2 ? 12 2 x? 3 ? (x 2 2? 32)y 3x 2 ? 22y x6 2 1 1 2y y21 2 2x21 22? xy y x 11. Alternativa c. 1 2 2? xy 2 2y 1 2 1 2 x x 6 6 6 6 6 5 5 ? 5 A 5 26 1 2 23 1 8y 5 26 1 26 1 8y 5 y 1 2 ? y 1 8y 5 1 x 2 2y x x 2 2y x 2 2y 1 1 y y y y ( ) 22? xy y x 1 2 1 2 A 5 26 1 2 23 1 8 y6 5 26 1 26 1 8y6 5 y6 1 2 ? y6 1 8y6 5 11y6 6. Alternativa a. y y y (y ) a 5 (22)3 5 26 12. Alternativa b. b 5 82 5 (23)2 5 26 1 x 57 y5 z52 c 5 1623 5 (24)23 5 2212 3 22 22 22 a ? b ? c 5 26 ? 26 ? 2212 5 26 1 6 2 12 5 20 5 1 1 y 1 5 2 744 1 5 2 744 1 62 5 2 780 8x3 1 5 8 ? 73 1 3 z 6 7. Alternativa b. 4 2 1 1 A 5 (921 ? 323)21 ? 2 5 9 ? 33 ? 4225 3 22 22 3 3 y 1 1 8x3 1 5 8 ? 73 1 5 2 744 1 5 2 744 1 62 5 2 780 3 z 6 8. Alternativa d. 2 27 4 7 23 4 10212 1 14 26 23 26 29 (0, 001) 5? 100 ? (0, 01)3 5 (10 ) ?5(10 ) ? (1022)3 513. Alternativa 105 ? 10d. 5 10 ? 10 5 10 10 10 s t 1 5 s ? t 1 t ? s 1 1 ? ts 5 3st 21 1 21 1 27 212 1 14 4 7 23 4 t s (ts)21 (10 ) ? (10 ) 10 (0, 001) ? 100 3 22 3 26 23 26 29 ? (0, 01) 5 ? (10 ) 5 105 s ? 10 t 5 10 1 ? 10 5 10 105 105 5 s ? t 1 t ? s 1 1 ? ts 5 3st 1 21 1 t21 s (ts)21
303
Calculando com radicais 7 – Raiz enésima de um número real Exercícios, páginas 55 e 56. 1. a)
3
28 , 10 1 , 5 32 , 49 , 3 2125 , 7 21 , 8 256
b)
4
216 , 21
2. a)
49 → É definida em IR.
b)
121 → É definida em IR.
c)
225 → Não é definida em IR.
d)
64 → É definida em IR.
e)
10 → É definida em IR.
f)
29 → Não é definida em IR.
3. Para a 5 10, b 5 21 e c 5 23, temos: b2 2 4ac 5 (21)2 2 4 ? 10 ? (23) 5 1 1 120 5 121 5 11 Assim, verifica-se que para esses valores de a, b e c a expressão dada representa um número real. 4. Para x 5 5 e y 5 4, temos: x2 1 y2 5 52 2 42 5 25 2 16 5 9 5 3 Logo, a expressão dada é definida em IR. 5. a)
25 5 5
b)
(26)2 5 36 5 6
c) d)
5
232
Decompondo, temos: 32 5 25. Lembrando que (22)5 5 232, fazemos: 5
232 5
5
(225) 5 5 (22)5 52 2 2
1 1 0, 01 5 (10)22 5 5 5 0,1 10 10
e ) 24 81
Decompondo: 81 5 34.
4 4 4 Substituindo: 2 81 52 3 52 3 .
f) 23 28
Decompondo: 8 5 23. Lembrando que (22)3 5 28, calculamos:
23 28 52 3 (22) 52 (22) 5 2 3
304
g)
6
64
Decompondo: 64 5 26.
Substituindo:
6
64 5 6 26 5 2.
2 h) 2 (22) 52 2
121 5 11
i)
j) 23 2125
6.
Decompondo: 125 5 53. Lembrando que (25)3 5 2125, substituímos: 23 2125 52 3 (25)3 5 5
a)
4
16 2 3 28 5 4 24 2 3 (22) 5 2 2 (22) 5 2 1 2 5 4
b)
3
2125 2 4 1 1 (23)2 5 3 (25) 2 4 1 3 52 5 2 4 1 3 52 5 2 4 1 3 52 6
c)
5
32 2 3 227 1 6 1 5 5 25 2 3 2(3) 1 1 5 2 1 3 1 1 5 6
d)
7
21 2 16 2 3 264 521 2 4 2 (24) 521
(
3
3
3
) ( 6 1 8 ) 5 (5
2 3 3 e) 5 2 2 3 ;
2
2
3
)
8 2 9 ; 36 1 64 5 5 (21);10 52
1 2
(24)2 1 (23)2 2 3 252 1 17 5 16 1 9 2 3 225 1 17 5 5 2 (22) 5 7
f)
7. a 5 36 1 64 5 6 1 8 5 14
b 5 36 1 64 5 100 5 10
Logo, a ≠ b. 8. x 5
2(22)22 2 3 227 24 2 (23) 21 5 5 511 21 1 22 20 2 2
x2 ? y2 5 xy
9.
Chegou a sua vez!, página 56. 1. a)
169 5 13 e 961 5 31
Logo, o fato se repete com esse par de números. b) c) d)
12544 5 112 e 44521 5 211 Logo, o fato se repete com esse par de números. 12769 5 113 e 96721 5 311 Logo, o fato se repete com esse par de números. 14884 5 122 e 48841 5 221 Logo, o fato se repete com esse par de números.
2. Trabalho em grupo.
305
8 – Radical aritmético e suas propriedades Exercícios, páginas 60 e 61. 1. a)
102 5 10
b)
5
35 5 3
c)
9
29 5 2
d)
3
73 5 7
e)
6
(2x)6 5 2x
f)
7
(2 ? 5)7 5 2 ? 5 5 10 (5a2)2 5 5a2
g) h)
4
(x2y)4 5 x2y
2. a) 49 5 72
49 5 72 5 7.
Logo,
b) 729 5 36
Logo,
6
729 5 6 36 5 3 .
c) 625 5 54
Logo,
4
625 5 4 54 5 5 .
d) 1 024 5 210
Logo,
1024 5 10 210 5 2 .
10
e) 81 5 34
Logo,
4
81 5 4 34 5 3 .
f) 343 5 73 343 5 3 73 5 7 .
Logo,
a)
15
25 5
15; 5
25;5 5 3 2
b)
14
37 5
14 ; 7
37;7 5 3
c)
16
104 5
d)
9
x6 5
9;3
e)
10
58 5
10 ; 2
f)
20
a12 5
g)
8
y4 5 8 ; 4 y4 ; 4 5 y
h)
21
614 5
3
3.
306
16 ; 4
104 ; 4 5 4 10
x6 ; 3 5 3 x 2 58;2 5 5 54
20 ; 4
21 ; 7
a12; 4 5 5 a3
614 ;7 5 3 62
4. 28 5 x 24 → O expoente do 2 deve ser 4.
a)
14
14 ; 2
28;2 5 7 24 5 x 24 Logo, x 5 7. 105 5 3 10x → O índice deve ser 3.
b)
15
15; 5
105;5 5 3 10 5 3 10x Logo, x 5 1. 54 5 5x → O índice deve ser 2.
c)
8
8; 4
54 ; 4 5 2 5 5 5x Logo, x 5 1. 6x 5 5 6 → O índice deve ser 5.
d)
10
10 ; 2
x:251→x512→x52
6x ;2 5 5 6x ;2 5 5 6
5. a) 32 5 25
10
32 5 10 25 5
10 ; 5
25;5 5 2
b) 27 5 33
9
27 5 9 33 5
9;3
33;3 5 3 3
c) 81 5 34
16
81 5 16 34 5
16 ; 4
34 ; 4 5 4 3
d) 16 5 24
6
16 5 6 24 5
6;2
24 ;2 5 3 22
8;2
26;2 5 4 23
e) 64 5 26
8
64 5 8 26 5
f) 1 024 5 210
12
1024 5 12 210 5
12 ; 2
210 ;2 5 6 25
6. a)
5
b)
x 5 10 x 6 54 6
c)
4 3
a 5 12 a
d)
3 3
2 59 2
e)
8
10 5 16 10
f)
2
58 2
7. a)
4 3
b)
5
64 5 12 26 5
12 ; 6
243 5 10 35 5
26;6 5 2
10 ; 5
35;5 5 3
307
8. a) b)
4 6
x 58 x 2x 5 12 2x
c)
3
d)
7 3
x5 5 21 x5
a)
x 6
10 5 24 10
6x
b)
5 x
5x
x
5 12 x
9. 10 5 24 10 → 6 ? x 5 24 → x 5 4 3 5 15 3
3 5 15 3 → 5 ? x 5 15 → x 5 3
10. 5?7 5 5 ? 7
a) b)
3
ax 5 3 a ? 3 x
c)
7
32 ? 11 5 7 32 ? 7 11
d)
6
x?y 56 x ? 6 y
e) f)
2ab 5 2 ? a ? b 3
x2y 5 3 x2 ? 3 y
11. a) 10 5 2 5 10 5 2 ? 5 5 2 ? 5
b) 21 5 3 7
6
21 5 6 3 ? 7 5 6 3 ? 6 7
c) 35 5 5 7
9
35 5 9 5 ? 7 = 9 5 ? 9 7
d) 30 5 2 3 5
7
30 5 7 2 ? 3 ? 5 5 7 2 ? 7 3 ? 7 5
e) 15 5 3 5
10
15 5 10 3 ? 5 5 10 3 ? 10 5
f) 154 5 2 7 11
3
154 5 3 2 ? 7 ? 11 5 3 2 ? 3 7 ? 3 11
12. 3 ? 5 5 3 ? 5 5 15
a) b)
3
2 ? 3 7 5 3 2 ? 7 5 3 14
c)
6
3 ? 6 13 5 6 3 ? 13 5 6 39
d)
308
2 ? 5 ? 7 5 2 ? 5 ? 7 5 70
13. 12 ; 6
a)
12
x5 ? 12 x 5 12 x5 ? x 5 12 x6 5
b)
20
y3 ? 20 y 5 20 y3 ? y 5 20 y4 5 20 ; 4 y4 ; 4 5 5 y
c)
15
x4y2 ? 15 xy3 5 15 x5 ? y5 5 15 (x ? y)5 5 15;5 (x ? y)5;5 5 3 x ? y
d)
14
y3 ? 14 y3 ? 14 y 5 14 y3 ? y3 ? y 5 14 y7 5 14 ;7 y7;7 5 y
x6;6 5 x
14. 11 5 6
a)
3
b)
3
7 5 5
c)
8
3 5 11
3
7 5 8 8
13 5 2
d) e)
6
2 5 13
f)
7
4 5 5
15. 6 a3 5
6;3
b6 5
12
11 6
3 11 13 2
6 6 7 7
2 13
4 5
a3;3 5 a
12 ; 6
b6;6 5 b
a ? b 5 ab Chegou a sua vez!, página 61. 1234321 5 1111
1. 2. a) b)
123454321 5 11111 12345654321 5 111111
9 – Simplificando radicais: extração de fatores do radicando Exercícios, página 64. 1. 2 ? 72 5 2 ? 72 5 7 2
a) b)
5
35 ? 11 5 5 35 ? 5 11 5 3 ? 5 11
c)
3
23 ? 3 ? 53 5 3 23 ? 3 3 ? 3 53 5 2 ? 5 ? 3 3 5 103 3
d)
103 5 102 ? 10 5 102 ? 10 5 10 10
e)
27 5 2 ? 22 ? 22 ? 22 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 8 2
f)
3
23 ? 54 5 3 23 ? 3 53 ? 5 5 3 23 ? 3 53 ? 3 5 5 2 ? 5 ? 3 5 5 103 5
309
2.
x5 5 x2 ? x 2 ? x 5 x 2 ? x 2 ? x 5 x ? x ? x 5 x 2 x
a) b)
3
x9 5 x 2 ? x 2 ? x 2 ? x 2 ? x 5 x ? x ? x ? x ? x 5 x 4 x
c) d)
5
y12 5 5 y5 ? y5 ? y2 5 y ? y ? 5 y2 5 y2 5 y2 x2y3 5 x2 ? y2 ? y 5 x2 ? y2 ? y 5 xy y
e)
3.
y4 5 3 y3 ? y 5 3 y3 ? 3 y 5 y 3 y
f)
5
x5y7 5 5 x5 ? y5 ? y2 5 5 x5 ? 5 y5 ? 5 y2 5 xy 5 y2
g)
9
y10 5 9 y9 ? y 5 y 9 y
h)
10
x13 5 10 x10 ? x3 5 10 x10 ? 10 x3 5 x 10 x3
a) 75 5 3 52 75 5 3 ? 52 5 3 ? 52 5 5 3
b) 700 5 22 52 7 700 5 22 ? 52 ? 7 5 22 ? 52 ? 7 5 2 ? 5 ? 7 5 10 7
c) 250 5 2 53 3
250 5 3 2 ? 53 5 3 53 ? 3 2 5 5 ? 3 2
d) 192 5 26 3 5
192 5 5 26 ? 3 5 5 25 ? 2 ? 3 5 5 25 ? 5 2 ? 3 5 2 5 6
e) 176 5 24 11 4
176 5 4 24 ? 11 5 4 24 ? 4 11 5 2 4 11
f) 800 5 25 52 800 5 25 ? 52 5 22 ? 22 ? 2 ? 52 5 22 ? 22 ? 2 ? 52 5 2 ? 2 ? 5 ? 2 5 20 2
g) 1800 5 23 32 52 1800 5 22 ? 2 ? 32 ? 52 5 22 ? 2 ? 32 ? 52 5 2 ? 3 ? 5 ? 2 5 30 2
h) 375 5 3 53 3
375 5 3 3 ? 53 5 3 3 ? 3 53 5 5 3 3
i) 2 700 5 22 33 52 2700 5 22 ? 32 ? 3 ? 52 5 22 ? 32 ? 3 ? 52 5 2 ? 3 ? 5 ? 3 5 30 3
j) 640 5 27 5 6
640 5 6 26 ? 2 ? 5 5 6 26 ? 6 10 5 2 6 10
4. x 5 5184 5 184 5 26 34 5184 5 26 ? 34 5 22 ? 22 ? 22 ? 32 ? 32 5 22 ? 22 ? 22 ? 32 ? 32 5 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 5 72 Logo, x 5 72. 5.
310
2 5 1, 41; 3 5 1,73; 5 5 2,23; 6 5 2, 44 a)
50 5 2 ? 52 5 2 ? 5 5 5 ? 1, 41 5 7, 05
b)
27 5 32 ? 3 5 3 ? 3 5 1,73 ? 3 5 5,19
c)
80 5 24 ? 5 5 22 ? 22 ? 5 5 2 ? 2 ? 5 5 4 ? 2,23 5 8,92
d)
150 5 2 ? 3 ? 52 5 6 ? 5 5 5 ? 2, 44 5 12,2
e)
200 5 22 ? 2 ? 52 5 2 ? 5 ? 2 5 10 ? 1, 41 5 14,1
f)
500 5 22 ? 52 ? 5 5 2 ? 5 ? 5 5 10 ? 2,23 5 22,3
g)
294 5 2 ? 3 ? 72 5 7 ? 6 5 7 ? 2, 44 5 17, 08
h)
675 5 32 ? 3 ? 52 5 3 ? 5 ? 3 5 15 ? 1,73 5 25,95
a)
9a3 5 32 ? a2 ? a 5 3 ? a ? a 5 3a a
6.
b) b ? 20b2 5 b ? 22 ? 5 ? b2 5 2 ? b ? b ? 5 5 2b2 5 c) ab 3 27a4 5 a ? b ? 3 33 ? a3 ? a 5 a ? b ? 3 ? a ? 3 a 5 3a2b 3 a d) ab a2b5 5 a ? b ? a2 ? b5 5 a ? b ? a2 ? b2 ? b2 ? b 5 a ? b ? a ? b ? b ? b 5 a2b3 b e)
1 2
f)
1 ab
12a4 b3 5
g)
1 a2
50a7 5
176a4 5
1 2
22 ? 22 ? 11 ? a2 ? a2 5
1 ? 2 ? 2 ? a ? a ? 11 5 2a2 11 2
1 1 ? 22 ? 3 ? a2 ? a2 ? b2 ? b 5 ? 2 ? a ? a ? b ? 3b 5 2a 3b ab ab
1 a2
2 ? 52 ? a2 ? a2 ? a2 ? a 5
1 ? 5 ? a ? a ? a ? 2a 5 5a 2a a2
h) 1 a2b 48a2b4 5 1 a2b 22 ? 22 ? 3 ? a2 ? b2 ? b2 5 1 a2 ? b ? 2 ? 2 ? a ? b ? b ? 3 5 a3b3 3 4 4 4 7. a 5 4 096
b 5 4 1296
4 096 5 212 → a 5 4 096 5
c 5 3 3375 2;2
212;2 5 26 5 64
1 296 5 24 34 → b 5 4 1296 5 4 24 ? 34 5 2 ? 3 5 6 3 375 5 3353 → c 5 3 3375 5 3 33 ? 53 5 3 ? 5 5 15 a 1 b 1 c 5 64 1 6 1 15 5 85 8. 6
729 1 5 1024 2 3 125
729 5 36 →
6
36 5 3
1 024 5 210 → 125 5 53 → 6
3
5
1024 5 5 25 ? 25 5 2 ? 2 5 4
125 5 3 53 5 5
729 1 5 1024 2 3 125 5 3 1 4 2 5 5 2
9. A 5 3 1728
B 5 6 64
A 5? B
1 728 5 23 23 33 → A 5 3 1728 5 3 23 ? 23 ? 33 5 2 ? 2 ? 3 5 12 64 5 26 → B 5 6 64 5 6 26 5 2 A 12 5 56 B 2
311
10. 3 5 1,73 e 10 5 3,16 1000 2 27 5? 1000 5 22 ? 2 ? 52 ? 5 5 2 ? 5 ? 2 ? 5 5 10 10 5 10 ? 3,16 5 31,6
1 000 5 23 53 → 27 5 33 →
27 5 32 ? 3 5 3 ? 3 5 3 ? 1,73 5 5,19
1000 2 27 5 31,6 2 5,19 5 26, 41 11. a) 5 1 50 50 5 2 ? 52 5 2 ? 5 5 5 2
(
515 2 55? 1 1 2 b) 3 2 18
18 5 2 ? 32 5 3 2
(
323 2 53? 1 2 2
) )
c) 10 2 8 8 5 22 ? 2 5 2 2
(
10 2 2 2 5 2 ? 5 2 2
)
d) 10 1 200 200 5
22 ? 2 ? 52 5 2 ? 5 ? 2 5 10 2
(
10 1 10 2 5 10 ? 1 1 2 12.
6
)
1728 6;3 1728 56 5 6 27 5 33;3 5 3 64 64
6
13. A 59800 m2 2 5 1, 41 9800 5 23 ? 52 ? 72 A 5 ,2 → , 5 9800 5 22 ? 2 ? 52 ? 72 5 2 ? 5 ? 7 ? 2 5 2 ? 5 ? 7 ? 1, 41 5 98,7 Logo, , 5 98,7 m. 14. E 5 ab 1 c a 5 40; b 5 25; c 5 200 E 5 40 ? 25 1 200 5 1200 5 24 ? 3 ? 52 5 22 ? 22 ? 3 ? 52 5 2 ? 2 ? 5 ? 3 5 20 3 15. A 5 32 ? (0, 0004) ? 25000 ; 5 5 2,23 4 22 1 5 4 4 5 2 4 ; 25000 5 23 ? 55 10000 2 ?5 2 ?5 1 32 ? (0, 0004) ? 25000 5 25 ? 2 4 ? 23 ? 55 5 26 ? 5 2 ?5 32 5 25; 0, 0004 5
A 5 26 ? 5 5 22 ? 22 ? 22 ? 5 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 5 8 5 5 8 ? 2,23 5 17,84
312
16. a) b)
3
4 096
5 12 4 096 5 12 1212 5 2
10000 5 4 10000 5 4 24 ? 54 5 2 ? 5 5 10 Brasil real, página 65.
1. 1,2 milhão de quilômetros quadrados 5 1 200 000 km2 70% de 1 200 000 5 0,7 1 200 000 5 840 000 Logo, aproximadamente 840 000 km2 do Aquífero Guarani estendem-se pelo Brasil. 2. Porcentagem ocupada pelo Aquífero Guarani Paraguai 6%
Uruguai 5%
Editoria de arte
Argentina 19%
Brasil 70%
3. a) 45 000 000 000 000 000 5 45 1015 Notação científica 5 4,5 1016 litros de água. b) 45 105 5 32 5 105 (Não é um quadrado perfeito.)
22 500 5 22 32 52 52 (É um quadrado perfeito.) 22 500 5 22 ? 32 ? 52 ? 52 5 2 ? 3 ? 5 ? 5 5 150
c) Menores números: 50 e 1 800.
50 5 2 ? 52 5 2 ? 5 5 5 2 1 800 5 22 ? 2 ? 32 ? 52 5 22 ? 2 ? 32 ? 52 5 2 ? 3 ? 5 ? 2 5 30 2
10 – Introduzindo um fator externo no radicando Exercícios, página 66. 1. a) 9 2 5 92 ?2 5 162
313
b) 2 7 5 22 ?7 5 28 c) 10 5 5 102 ?5 5 500 d) 53 2 5 3 53 ?2 5 3 250 e) 25 2 5 5 25 ?2 5 5 64 f) 8 a 5 82 ?a 5 64a g) 2a a 5 22a2a 5 4a3 h) x10 x3 5 10 x10 ? x3 5 10 x13 i) 6b3 2b 5 3 63 ? b3 ? 2 ? b 5 3 432b4 2. a)
6
x 5 x2y3 5
b) 3.
a b
3
4.
x 3 x2 5 6
a b
x3 y
y x
x3 ? x2 5 18 x5 5
x5 ? x2 ? y3 510 x7y3 2
53
3 3 3 5 3
5.
3
3
a a a 6;3 a b ? b 5 6 b 5 b 32 ? 3 5 3 4 33 5 2
5
x3 y y ? x
54
4
3 3;3
a b
5
34 ? 33 5 8 37
x5 x4 ? x 54 5x y y
4
x y
11 – Adicionando algebricamente dois ou mais radicais Exercícios, páginas 69 e 70. 1. a)
7 1 7 52 7 → Verdadeira.
b)
6 1 5 5 11 → Falsa.
c) 11 2 5 3 → Falsa. 10 1 10 1 10 53 10 → Verdadeira.
d) 2.
a) 9 10 2 5 10 5 4 10 b) 2 5 1 7 5 2 16 5 52 7 5 c)
6 1 6 1 6 53 6
d) 6 2 2 10 3 2 52 4 3 2 3
e) 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 5 8 x f)
4
3 1 7 4 3 2 11 4 3 1 2 4 3 52 4 3
g) 5a 10 1 7a 10 2 9a 10 5 3a 10 h) 2 1 7 6 1 2 6 2 1 5 1 1 9 6 i) 2 7 1 2 1 7 2 3 2 7 5 2 7 2 1
314
j) 2 5 1 8 2 2 6 2 1 8 5 2 2 2 5 10 5 3. a)
12 1 75 2 9 3 1 27 1 48 12 5 22 3
Logo:
75 5 3 52
Logo:
27 5 33
Logo:
48 5 24 3
Logo:
Agora, calculamos:
12 5 22 ? 3 5 2 3 . 75 5 3 ? 52 5 5 3 . 27 5 32 ? 3 5 3 3 . 48 5 22 ? 22 ? 3 5 4 3 .
12 1 75 2 9 3 1 27 1 48 5 2 3 1 5 3 2 9 3 1 3 3 1 4 3 5 5 3
b) 4 125 1 3 45 2 30 5
125 5 53
Logo:
45 5 32 5
Logo:
Agora, calculamos:
4 125 1 3 45 2 30 5 5 4 ? 5 5 1 3 ? 3 5 2 30 5 5
125 5 52 ? 5 5 5 5 . 45 5 32 ? 5 5 3 5 .
5 20 5 1 9 5 2 30 5 52 5 c)
54 1 6 2 150 1 2 24
54 5 2 33
Logo:
150 5 2 3 52
Logo:
24 5 23 3
Logo:
Agora, calculamos:
54 5 2 ? 32 ? 3 5 3 6 . 150 5 2 ? 3 ? 52 5 5 6 . 24 5 22 ? 2 ? 3 5 2 6 .
54 1 6 2 150 1 2 24 5 3 6 1 6 2 5 6 1 2 ? 2 6 5 58 6 25 6 53 6
4. p 5 28 1 112 1 175 28 5 22 7 Logo:
28 5 22 ? 7 5 2 7 .
112 5 24 7 Logo:
112 5 22 ? 22 ? 7 5 4 7 .
175 5 52 7 Logo:
175 5 52 ? 7 5 5 7 .
315
Então: p 5 28 1 112 1 175 5 2 7 1 4 7 1 5 7 5 11 7 5. A 5 18 1 3 50 1 98 ; 2 5 1, 41 18 5 2 32 Logo:
18 5 2 ? 32 5 3 2 .
50 5 2 52 Logo:
50 5 2 ? 52 5 5 2 .
98 5 2 72 98 5 2 ? 72 5 7 2 A 5 18 1 3 50 1 98 5 3 2 1 3 ? 5 2 1 7 2 5 3 2 1 15 2 1 7 2 5 25 2 Como é dado 2 5 1, 41, fazemos: A 5 25 2 5 25 ? 1, 41 5 35,25 6. a)
16x 1 9x 2 36x 16x 5 22 ? 22 ? x 5 4 x 9x 5 32 ? x 5 3 x 36x 5 22 ? 32 ? x 5 6 x 16x 1 9x 2 36x 5 4 x 1 3 x 2 6 x 5 x
b)
8a3 1 72a3 2 18a3 8a3 5 23 ? a3 5 22 ? 2 ? a2 ? a 5 2a 2a 72a3 5 23 ? 32 ? a3 5 22 ? 2 ? 32 ? a2 ? a 5 6a 2a 18a3 5 2 ? 32 ? a2 ? a 5 3a 2a 8a3 1 72a3 2 18a3 5 2a 2a 1 6a 2a 2 3a 2a 5 5a 2a
c) 3x x2y 2 2 x4y 1 6x2 y 5 3x ? x y 2 2x ? x y 1 6x2 y 5 7x2 y d) 3a ab3 2 7b a3b 1 ab 4ab 5 5 3a a ? b2 ? b 2 7b a2 ? a ? b 1 ab 22 ? a ? b 5 3ab ab 2 7ab ab 1 2ab ab 52 2ab ab 53 1 1 1 48 1 243 2 4 2 6 48 5 22 ? 22 ? 3 5 4 3
7. x 5
12
243 5 32 ? 32 ? 3 5 9 3 12 5 22 ? 3 5 2 3 1 1 1 x5 48 1 243 2 12 4 2 6 1 1 1 x 5 ? 4 3 1 ?9 3 2 ?2 3 5 2 6 4 9 1 6 3 1 27 3 2 2 3 31 3 3 2 3 5 5 5 3 1 2 3 6 6 8. p 5 4 486 1 4 96 1 5 216 486 5 2 ? 35 5 2 ? 32 ? 32 ? 3 5 9 6 96 5 25 ? 3 5 22 ? 22 ? 2 ? 3 5 4 6
316
216 5 23 ? 33 5 22 ? 2 ? 32 ? 3 5 6 6 p 5 4 486 1 4 96 1 5 216 5 36 6 1 16 6 1 30 6 5 82 6
486 5 2 ? 35 5 2 ? 32 ? 32 ? 3 5 9 6 96 5 25 ? 3 5 22 ? 22 ? 2 ? 3 5 4 6 216 5 23 ? 33 5 22 ? 2 ? 32 ? 3 5 6 6
p 5 4 486 1 4 96 1 5 216 5 36 6 1 16 6 1 30 6 5 82 6 28 1 175 63
9.
28 5 22 ? 7 5 2 7 175 5 52 ? 7 5 5 7 63 5 32 ? 7 5 3 7 7 7 7 28 1 175 2 7 15 7 5 5 5 3 3 7 63 3 7 10. p 5 2 ? 250 1 2 ? 40 250 5 2 ? 52 ? 5 5 5 10 40 5 22 ? 2 ? 5 5 2 10 p 52 ? 5 10 1 2 ? 2 10 5 10 10 1 4 10 5 14 10 p 5 14 10 cm 11. x 5 3 250 2 3 16 1 3 54 2 3 2 3
250 5 3 2 ? 53 5 5 3 2
3
16 5 3 24 5 3 23 ? 2 5 2 3 2
3
54 5 3 2 ? 33 5 3 3 2
x 5 3 250 2 3 16 1 3 54 2 3 2 x 55 3 2 22 3 2 13 3 2 2 3 2 55 3 2 12.
50 2 18 200 50 5 2 ? 52 5 5 2 18 5 2 ? 32 5 3 2 200 5 23 ? 52 5 22 ? 2 ? 52 5 10 2 5 2 23 2 2 2 1 50 2 18 5 5 5 5 10 2 10 2 200
13.
3 20 1 80 22 45 8 20 5 22 ? 5 5 2 5 80 5 24 ? 5 5 22 ? 22 ? 5 5 4 5 45 5 32 ? 5 5 3 5 6 5 1 4 5 26 5 5 3 20 1 80 2 2 45 5 5 8 8 2
14. x 5 2 ; y 5 98 2 32 2 8 98 5 2 ? 72 5 7 2 32 5 25 5 22 ? 22 ? 2 5 4 2 8 5 23 5 22 ? 2 5 2 2 x 1 y 5 2 17 2 2 4 2 22 2 52 2
317
15. a 5 1 2 27 ; b 5 1 1 75 ; c 5 2 2 108 27 5 33 5 32 ? 3 5 3 3 75 5 3 ? 52 5 5 3 108 5 22 ? 33 5 2 ? 3 3 5 6 3 a) a 1 b 1 c 5 1 2 3 3 1 1 1 5 3 1 2 2 6 3 5 4 2 4 3
(
) (
) (
)
b) a 2 b 2 c 5 1 2 3 3 2 1 1 5 3 2 2 2 6 3 5 5 1 2 3 3 2 1 2 5 3 2 2 1 6 3 52 2 2 2 3 16. 5 5 2,23; 2 5 1, 41 x 5 5000 1 500 1 50 1 5 5000 5 23 ? 54 5 2 ? 5 ? 5 ? 2 5 50 2 500 5 22 ? 53 5 2 ? 5 ? 5 5 10 5 50 5 2 ? 52 5 5 2 x 5 5000 1 500 1 50 1 5 x 5 50 2 1 10 5 1 5 2 1 5 5 55 2 1 11 5 x 5 55 ? 1, 41 1 11 ? 2, 23 x 5 77, 55 1 24, 53 5 102, 08 17. A 5 243 2 162 ; B 5 300 2 50 243 5 32 ? 32 ? 3 5 9 3 162 5 2 ? 34 5 9 2 300 5 22 ? 3 ? 52 5 10 3 50 5 2 ? 52 5 5 2 A 5 9 3 2 9 2 ; B 5 10 3 2 5 2
(
) (
)
A 1 B 5 9 3 2 9 2 1 10 3 2 5 2 5 19 3 2 14 2 18.
3 5 1, 7; 2 5 1, 4 4 3 2 7 18 1 5 48 1 200 18 5 2 ? 32 5 3 2 48 5 24 ? 3 5 4 3 200 5 23 ? 52 5 10 2 4 3 2 7 18 1 5 48 1 200 5 5 4 3 2 21 2 1 20 3 1 10 2 5 5 24 3 2 11 2 5 5 24 ? 1,7 2 11 ? 1, 4 5 5 40,8 2 15, 4 5 25, 4
12 – Multiplicando expressões com radicais de mesmo índice Exercícios, página 72. 1. a) b)
318
5 ? 7 5 5?7 5 5
35
2a ? 5 7a 5 5 2a ? 7a 5 5 14a2
c) 3 ? 2 ? 9 3 5 27 ? 2 ? 3 5 27 6 d)
3
xy ? 3 xy 5 3 xy ? xy 5 3 x2y2
2. a)
6 ? 3 5 18 5 2 ? 32 5 3 2
b)
28 ? 21 5 588 5 22 ? 3 ? 72 5 2 ? 7 ? 3 5 14 3
c)
10 ? 20 5 200 5 23 ? 52 5 2 ? 5 ? 2 5 10 2
d) 2 21 ? 5 2 ? 7 5 10 ? 294 5 10 2 ? 3 ? 72 5 70 6 3. a) p 5 2 ? 9 2 1 2 ? 5 2 5 18 2 1 10 2 5 28 2 p 528 2 cm b) A 5 9 2 ? 5 2 5 45 ? 2 ? 2 5 90 A 5 90 cm2 4 A 5 (9 5 ) 5 9 5 ? 9 5 5 81 ? 52 5 81 ? 5 5 405 A 5 405 unidades de área. 2
5. A 5
b?h 2
15 22 ? 3 5 6 ?3 2 15 12 15 ? 2 ? 3 5 5 5 5 15 3 2 2 2 2 A 5 15 3 5 15 ? 1,73 5 25,95 A5
A 5 25,95 cm2 6. A 5 A5
(B 1 b) ? h 2 (3 5 + 2 5 ) ? 5 5 5? 5 5?5 25 5 5 5 5 12,5 2 2 2 2
7. V 5 a b c V 5 12 ? 6 ? 3 5 12 ? 6 ? 3 5 216 5 23 ? 33 5 2 ? 3 6 5 6 6 V 5 6 6 5 6 ? 2, 45 5 14,7 V 5 14,7 cm3 8. a)
3
x2 ? 3 x 2 5 3 x2 ? x 2 5 3 x 4 5 x 3 x
b)
6
a5 ? 6 a3 ? 6 a5 5 6 a5 ? a3 ? a5 5 6 a13 5 6 a6 ? a6 ? a 5 a ? a 6 a 5 a2 6 a
c)
4
st3 ? 4 t 5 4 st 4 5 t 4 s
d)
5
a4 b ? 5 ab6 5 5 a5b7 5 ab 5 b2 a ? x
e) f) g)
8
ab 5 x
a2b a 5 2 x x
b
x3y7 ? 8 2x5y 5 8 2x8y8 5 xy 8 2 2a ? n
2x ? 3
2ax 5 n
23 ? a2 ? x2 2?a? x 5 n 3 ? n2
2 2ax 5 3 n
2 3
319
Exercícios, página 74. 1. b)
( 7 ?(
c)
10 ? 5 2 2 3 10 5 10 ? 5 2 2 3 ? 10 ? 10 5 5 20 2 3 100 5
a)
) 2 )5
6 2 3 5 2 ? 6 2 2 ? 3 5 12 2 6 5 22 ? 3 2 6 5 2 3 2 6
2 ?
(
71
7 ? 7 1 7 ? 2 5 49 1 14 5 7 1 14
)
2
5 5 ? 2 ? 5 2 3 ? 10 5 10 5 2 30
(
)
d)
5 ? 71 5 57? 5 1 5 ? 5 57 5 15
e)
15 ?
(
)
3 1 5 5 15 ? 3 1 15 ? 5 5 45 1 75 5 32 ? 5 1 3 ? 52 5
53 5 15 3
(
2. a)
)
8 ? 2 2 6 5 2 ? 8 2 8 ? 6 5 2 ? 23 2 48 5 4 2 2 24 ? 3 5 4 2 2 4 3
f)
(
)(
)
2 2 6 ?
2 12 6 5 2 ? 2 1 2 ?2 6 2 6 ? 2 22 6 ? 6 5
5 2 1 2 12 2 12 2 2 ? 6 5 5210 1 12 5210 1 22 ? 3 5210 1 2 3
( (3
)( 5 2 2) ? (
)
b) 5 2 7 ? 5 1 7 5 52 2 c)
)
( 7 ) 5 25 2 7 5 18 2
5 13 53 5 ? 5 19 5 22 5 26 5
53?517 5 26 59 17 5
(
)(
) ( 13 ) 5 16 2 13 5 3 6 ( 2 1 1) 2 2 ( 3 2 6 ) 5 12 1 6 2 6 1 2
d) 4 1 13 ? 4 2 13 5 42 2 3. A 5
12 5
5 2 12 5 2 ? 22 ? 3 5 4 3
(
)(
)
4. x 5 3 2 2 3 ? 1 1 3 5 3 1 3 3 2 2 3 2 2 3 ? 3 5 531 3 26 5 3 26 5.
(
)
(
)
a) p 5 2 ? 5 1 5 1 2 ? 6 2 5 5 10 1 2 5 1 12 2 2 5 5 22
p 5 22 cm
( )( ) A 5 (25 1 5 ) cm
b) A 5 5 1 5 ? 6 2 5 5 30 2 5 5 1 6 5 2 5 5 25 1 5 6.
2
(
)
2
a) 1 1 5 5 12 1 2 ? 1 ? 5 1
51 12 5 15 56 12 5
(
)
2
( 5) 5 2
( )
2
b) 2 2 3 5 22 2 2 ? 2 ? 3 1 3 5
320
5 4 2 4 3 13572 4 3
c)
(
) ( 5 ) 12 ?
5 5 1 2 15 1 3 5 8 1 2 15
2
51 3 5
2
d)
(
5 7 2 2 14 1 2 5 9 2 2 14
72 2
) 5( 7 ) 22 ?
5? 31
2
2
7? 2 1
( 3) 5 2
( 2) 5 2
7.
(7 1 5 ) ? (7 2 5 ) 5
71 5 ? 72 5 5
72 2
( 5)
2
5 49 2 5 5
5 44 5 22 ? 11 5 2 11 8.
10 1 10 ? 10 2 10 5
(10 1
)(
)
10 ? 10 2 10 5 102 2
(
10
)
2
5 100 2 10 5
5 90 5 2 ? 32 ? 5 5 3 10
(
)(
)
9. 25 1 2 7 ? 4 1 7 2 3 7 52 20 2 5 7 1 8 7 1 14 2 3 7 5 52 6 1 3 7 2 3 7 52 6
(
)(
10. 4 2 1 3 ?
)
2 21 5 4 2 ? 2 24 2 13 2 23 5
58 2 2 23552 2 Considerando 2 5 1, 41, temos: 5 2 2 5 5 2 1, 41 5 3,59
(41 2 ) ? (4 2 2 ) 5 4 2 ( 2 ) (3 1 3 ) ? (3 2 3 ) 3 2 ( 3 )
2
2
11. 12.
2
2
5
16 2 2 14 7 5 5 9 23 6 3
a) 2 ? x 5 6 ? 24 2x 5 144 2x 5 24 ? 32 2x 5 4 ? 3 12 x5 2 x 56 b) 9? x 5
(
)( 9x 5 ( 13 ) 2 ( 10 ) 13 2 10 ? 2
13 1 10
)
2
9x 5 13 2 10 3 x5 9 1 x5 3 13. V 5 9 ? 6 2 2 ? 6 1 2 5 9 ? 62 2 V 5 306 cm3
(
)(
)
( 2 ) 5 9 ? (36 2 2) 5 306 2
13 – Dividindo expressões com radicais de mesmo índice Exercícios, página 75. 1. a)
15 ; 3 5
15 5 5 3
321
4
b)
21 ; 4 7 5 4
21 54 3 7
c)
162 ; 3 5
162 5 54 5 2 ? 33 5 3 6 3
d)
240 ; 6 5
240 5 40 5 22 ? 2 ? 5 5 2 10 6
e)
90 ; 5 5
90 5 18 5 2 ? 32 5 3 2 5
f)
5
x9 ; 5 x 3 5 5
x9 5 5 x6 5 5 x 5 ? x 5 x 5 x x3
g)
3
a8 ; 3 a3 5 3
a8 5 3 a5 5 3 a3 ? a2 5 a 3 a2 a3
h)
4
a5b2 ; 4 ab 5 4
a5b2 5 4 a4 b 5 a 4 b ab
8 ? 20 2
2.
8 5 23 5 22 ? 2 5 2 2 20 5 22 ? 5 5 2 5 8 ? 20 2 2 ?2 5 5 54 5 2 2 3. a)
40 5 5
40 5 8 5 23 5 22 ? 2 5 2 2 5
b)
54 5 3
54 5 18 5 2 ? 32 5 3 2 3
c)
486 5 3
486 5 162 5 2 ? 34 5 9 2 3
d)
150 5 3
150 5 50 5 2 ? 52 5 5 2 3
x11
x11 5 7 x8 5 7 x 7 ? x 5 x 7 x x3
e)
7 7
x3
972x6
f)
3x
g) h)
57
5
3
225a3 5 5a
225a3 5 45a2 5 32 ? 5a2 5 3a 5 5a
192b7
192b7 5 5 64b5 5 5 26 ? b5 5 2b5 2 3b2
5
3b2
4. 2 1 3 ; 21 6 5
322
972x6 5 324x3 5 22 ? 34 ? x3 5 2 ? 32 ? x x 5 18x x 3x3
5
55
6 22 2 1 3 5 ? 3 2 1 6
2 3 13 2 3 13 5 2 2 6 2 4 16 22 6
(
) )(
21 3 ? 3 3 5 5 6 22 2 1 6 ? 6 22
(
)
14 – Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes Exercícios, página 77. 1. a)
3
2, 3
m.m.c.(3, 2) 5 6
Logo:
b)
7
6
22 , 6 33 .
a3 , 3 b2
m.m.c.(7, 3) 5 21
Logo: 21 a9 , 21 b14 .
c)
5
32 , 4 33
m.m.c.(5, 4) 5 20
Logo: 20 38 , 20 315 .
d)
14
m.m.c.(14, 21) 5 42
Logo: 42 215 , 42 218 .
e)
10
m.m.c.(10, 6, 15) 5 30
Logo:
f)
5
25 , 21 29
32 , 6 2 , 15 24 30
36 , 30 25 , 30 28 .
34 , 10 6 , 2
m.m.c.(5, 10, 2) 5 10
Logo:
a)
10
m.m.c.(10, 15) 5 30
30
23 e 30 24
30
23 , 30 24 → 10 2 , 15 22
b)
12
310 e 18 311
m.m.c.(12, 18) 5 36
10
38 , 10 6 , 10 25 .
2. 2 e 15 22
36
330 e 36 322
36
330 . 36 322 → 12 310 . 18 311
c)
6
25 e 9 27
m.m.c.(6, 9) 5 18 18
215 e 18 214
18
215 . 18 214 → 6 25 . 9 27
d)
8
23 e 6 23
m.m.c.(8, 6) 5 24
24
29 e 24 212
24
29 , 24 212 → 8 23 , 6 23
323
Exercícios, página 77. 1. a)
3
10 ? 5 10
m.m.c.(3, 5) 5 15
15
b)
105 ? 15 103 5 15 105 ? 103 5 15 108 7 ;5 7
m.m.c.(2, 5) 5 10
10
75 ; 10 72 5 10 75 ;72 5 10 73
c)
4
3? 3
m.m.c.(4, 2) 5 4 4
d)
3 ? 4 32 5 4 33 2 ; 20 27
m.m.c.(2, 20) 5 20
20
210 ; 20 27 5 20 23
e)
6
52 ; 10 53
m.m.c.(6, 10) 5 30
30
510 ; 30 59 5 30 5
f)
6
75 ; 3 72
m.m.c.(6, 3) 5 6
6
75 ; 6 74 5 6 7
g)
4
23 ? 5 24 ? 10 27
m.m.c.(4, 5, 10) 5 20
20
215 ? 20 216 ? 20 214 5 20 245 5 20 220 ? 220 ? 25 5 2 ? 2 20 25 5 44 2
h)
8
65 ; 12 62
m.m.c.(8, 12) 5 24
24
615 ; 24 64 5 24 611
a)
8
a5b3 ; 6 ab2
2.
m.m.c.(8, 6) 5 24
24
a15b9 ; 24 a4 b8 5 24 a11b
b)
9
a7b6 ; 6 a3b2
m.m.c.(9, 6) 5 36
36
a28b24 ; 36 a18b12 5 36:2 a10 : 2b12 : 2 5 18 a5b6
15 – Potenciação de uma expressão com radicais Exercícios, páginas 79 e 80. 1. a)
324
( 17 ) 5 2
17 ? 17 5 172 5 17
b) c)
2.
( 2 ) 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 2 5 2 ?2 52 2 (6 2 ) 5 6 2 ? 6 2 536 ? 2 ? 2 5 36 ? 2 5 36 ? 2 5 72 4
3
3
3
3
3
3
4
3
3
3
2
2
2
1 10 5 4
1 10 ? 2
1 10 5 2
1 d) 2
10 ? 10 5
5 1 ? 10 5 2 4
( ) 5 (a b ) ? (a b ) 5 a ? b 5 a b ab a b) (b a ) 5 (b a ) ? (b a ) ? (b a ) ? (b a ) 5 b ? a 5 b ? a ? a 5a c) (ab b ) 5 (ab b ) ? (ab b ) ? (ab b ) ? (ab b ) 5 a ? b ? b 5 a b b a) a b
2
2
4
3
3
4
3
3
3
2
( 2 ) 54 3
2
3
4
4
4
3
a2 ab 5 2 b
a ab ? b
3
4
3
3
a ab 5 b
a d) b 3. 4 8 2
3
2
a2b2 5
4
3
3
3
4
43
4 53
a3 a?a ?a? b 5 b b? b
23 2 23 5 3 23 5 3 22 ? 2 5 3 ? 2 ? 2 5 6 2
4. x 5 2 3 ; y 5 3 2
( ) ( ) 52 2
x2 ? y2 5 2 3 ? 3 2
3 ? 2 3 ? 3 2 ? 3 2 5 36 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 5
3 ? 3 ? 2 ? 2 5 36 ? 3 ? 2 5 216
536 ?
5. a 5 10 e b 5 2 5 a2 2 b2 1 10 5 6.
2
(
10
) 2 (2 5 ) 1 10 5 10 2 2 ? 2
2
2
52 1 10 5 20 2 20 5 0
( 3 1 2 ) 5( 3 ) 12 ? 3 ? 2 1( 2 ) 5312 6 12 5512 b) (1 2 7 ) 5 1 2 2 ? 1 ? 7 1 ( 7 ) 5 1 2 2 7 1 7 5 8 2 2 7 c) (4 2 1 5)(4 2 2 5) 5 (4 2 ) 2 5 5 16 ? 2 2 25 5 32 2 25 5 7 d) (2 1 10 ) 5 2 1 2 ? 2 ? 10 1 ( 10 ) 5 4 1 4 10 1 10 5 14 1 4 e) ( 11 1 7 )( 11 2 7 ) 5 ( 11 ) 2 ( 7 ) 5 11 2 7 5 4 f) (3 3 1 2 ) 5 (3 3 ) 1 2 ? 3 3 ? 2 1 ( 2 ) 5 2
a)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
10
2
2
2
5 (9 ? 3) 1 6 6 1 2 5 29 1 6 6
( )( ) ( 19 ) 5 49 2 19 5 30 h) (23 5 1 1)(23 5 2 1) 5 (23 5 ) 2 1 5 45 2 1 5 44 i) (2 7 1 3 5 ) 5 (2 7 ) 1 2 ? 2 7 ? 3 5 1 (3 5 ) 5 g) 7 1 19 7 2 19 5 72 2
2
2
2
7.
2
(
)
2
( 3 ) 59 16 2
3 13 5 12 1 6 3
A 5 12 1 6 3
(
)
2
b) A 5 5 2 7 5 52 2 2 ? 5 ? 7 1
2
5 (4 ? 7) 1 12 35 1 (9 ? 5) 5 28 1 12 35 1 45 5 73 1 12 35
a) A 5 3 1 3 5 32 1 2 ? 3 ? 3 1
2
( 7 ) 5 25 2 10 2
7 1 7 5 32 2 10 7
A 5 32 2 10 7
325
8. a 5 5 1 3 a2 5
(
) ( 5 ) 12 ? 2
2
51 3 5
9. x 5 3 1 2
(
5? 31
( 3 ) 5512 2
) 26 2 5 53 12 ?3? 2 1( 2 ) 26 2 59 16 2 12 26 x 2 4x 2 4 5 (3 1 2 ) 2 4 (3 1 2 ) 2 4 5 5 3 1 2 ? 3 ? 2 1 ( 2 ) 2 12 2 4 2 2 4 5
2 a) x 2 6 2 5 3 1 2
2
2
2
2 5 11
2
2
b)
15 1 3 5 8 1 2 15
2
2
5 9 1 6 2 1 2 2 12 2 4 2 2 4 5
52 5 1 2 2
10. x2 2 4x 1 2 5 0, se x 5 2 1 2
(2 1 2 ) 2 4 (2 1 2 )12 5 2 1 2 ? 2 ? 2
2
2 1
( 2 ) 28 2 4 2
2 12 5
5 4 1 4 2 12 28 2 4 2 12 58 28 1 4 2 2 4 2 50 Portanto, a igualdade é verdadeira. 11.
a 5 8 1 6 e b 58 2 6 a2 1 b2 5 (8 1 6 )2 1 (8 2 6 )2 5
( )
2 5 82 1 2 ? 8 ? 6 1 6 1 82 2 2 ? 8 ? 6 1 5 64 1 16 6 1 6 1 64 2 16 6 1 6 5 5 140
12.
(
14.
) ( 21 2 13 ) 2 ( 10 1 7 ) ? ( 10 2 7 ) 5 5 ( 21 ) 2 ( 13 ) 2 ( 10 ) 2 ( 7 ) 5 21 2 13 2 10 2 7 5 8 2 3 5 5 2
(3 1 2 5 ) 2 2
2
2
720 2 18 5
( )
2 5 32 1 2 ? 3 ?2 5 1 2 5 2 22 ? 22 ? 32 ? 5 2 18 5 5 9 1 12 5 1 4 ? 5 2 2 ? 2 ? 3 5 2 18 5 29 1 12 5 2 12 5 2 18 5 11
(
) ( 2
71 5 2
( )
)( 7 2 5 ) 5 5 1 ( 5 ) 2 ( 7 ) 2 ( 5 ) 5
71 5
5 7 1 2 ? 7 ? 5 7 1 2 35 1 5 2 7 2 5 5 5 10 1 2 35 2
15.
( 5
326
2
21 1 13 ? 2
13.
( 6 ) 5
(
6 1 2
)(
71 3 ?
)
2
72
2
2
2
( 6 ) 12 ? 6 ? 2 1( 2 ) 5 3) ( 7 ) 2( 3 ) 2
2
2
2
8 1 2 22 ? 3 6 1 2 12 1 2 814 3 5 5 52 1 3 723 4 4
5
Exercícios, página 81. 1. a)
(
3x 5 6 (x 0) 3x
) 56 2
2
3x 5 36 x 5 12 Verificação:
x 5 12 (Satisfaz a condição x 0.)
3x 5 6 3 ? 12 5 6
6 5 6 → Logo, x 5 12 vale como solução: S 5 {12}.
b)
(
3x 2 2 5 5 (3x 2 2 0) 3x 2 2
) 55 2
2
3x 2 2 5 25 3x 5 25 1 2 27 59 x5 3 Verificação: 3x 2 2 0, para x 5 9: 3?9 22 0 27 2 2 0 25 0 → x 5 9 satisfaz a condição 3x 2 2 0. 3x 2 2 5 5 3?9 22 55
25 5 5 5 5 5 → Logo, x 5 9 vale como solução: S 5 {9}.
c)
(
2x 1 1 52 3 (2x 1 1 0) 2x 1 1
) 5 (23) 2
2
2x 1 1 5 9 2x 5 8 x54 Verificação: 2x 1 1 0, para x 5 4: 2 ? 4 11 0 9 0 → x 5 4 satisfaz a condição 2x 1 1 0. 2x 1 1 52 3 2 ? 4 1 1 52 3
9 52 3 3 52 3 → Logo, x 5 4 não vale co omo solução: S 5 .
327
d) 2 x 5 4 (x 0)
(2 x ) 5 4 2
2
4x 5 16 x54 Verificação: x 5 4 (Satisfaz a condição x 0.) 2 x 54
2 4 54 2?254 4 5 4 → Logo, x 5 4 vale como solução: S 5 {4}.
e) 3 x 5 12 (x 0)
(3 x ) 5 12 2
2
9x 5 144 x 5 16 (Satisfaz a condição x 0.)
Verificação: 3 x 5 12
3 16 5 12 3 ? 4 5 12 12 5 12 → Logo, x 5 16 vale como solução:: S 5 {16}.
f)
(
x2 1 3x 2 9 5 x x2 1 3x 2 9
) 5x 2
x2 1 3x 2 9 5 x2 3x 5 9 x 53
Verificação:
2
x2 1 3x 2 9 5 x 32 1 3 ? 3 2 9 5 3 9 19 29 53
9 53 3 5 3 → Logo, x 5 3 vale com mo solução: S 5 {3}.
g)
(
328
2x 1 5 5 x 1 8
) ( 2
2x 1 5 5
2x 1 5 5 x 1 8 2x 2 x 5 8 2 5 x 53
x 18
)
2
Verificação: 2x 1 5 5 x 1 8 2 ?315 5 318 11 5 11 → Logo, x 5 3 vale como solução: S 5 {3}.
h)
3 2x 5 6
(3
2x
) 56 2
2
9 ? 2x 5 36 18x 5 36 x 52 Verificação:
3 2x 5 6 3 2 ?2 56 3?2 56 6 5 6 → Logo, x 5 2 vale como solução: S 5 {2}.
2.
(
x2 1 2 5 x 1 1 x2 1 2
) 5 (x 11) 2
2
x2 1 2 5 x2 1 2x 1 1 22x 521 1 x5 2 Verificação: x2 1 2 5 x 1 1 2
1 1 2 1 2 5 2 1 1 1 3 12 5 4 2 9 3 5 4 2 1 1 3 3 5 → Logo, x 5 vale como solução: S 5 . 2 2 2 2
{}
3.
(
5x 1 2 5 26 1 9x 5x 1 2
) 5( 2
26 1 9x
)
2
5x 1 2 52 6 1 9x 5x 2 9x 52 6 2 2 24x 52 8 x 52 Verificação: 5x 1 2 5 26 1 9x 5 ? 2 1 2 5 26 1 9 ? 2
12 5 12 → Logo, x 5 2 vale como solu ução: S 5 {2}.
329
4. x 25 5
3 x 25
2 3 x − 5 5 x 25 9 x 255 x 25
(
)
2
(x 2 5) 5 9 2
x2 2 10x 1 25 2 9 5 0 x2 2 10x 1 16 5 0 (x 2 8) ? (x 2 2) 5 0 x 5 8 ou x 5 2 Verificação:
3 3 → 8 25 5 → 3 ? 3 53 → 353 x 25 8 25 Logo, x 5 8 vale como solução. 3 3 3 Para 5 2 → x 2 5 5 → 2 25 5 → 23 5 x 25 2 25 23 Para x 5 8 →
Não existe
x 25 5
23 em IR; logo, x 5 2 não vale como solução.
Portanto, S 5 {8}.
16 – Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária Exercícios, página 85. 1. a)
2 5 10
b)
6 6 5 ? 6 6
6 6 6 5 5 6 6 62
c)
9 9 5 ? 3 3
3 9 3 5 53 3 3 32
d)
5 5 2
2 5 2
5 ? 2
e)
20 20 5 ? 2 5 2 5
f)
3 3 5 ? 6 6
g)
330
2 ? 10
10 2 10 2 10 5 5 5 2 10 10 10
1 1 5 ? 7 7
i)
2 3 2 3 5 ? 5 2 5 2
2
2
5
10 2
5 10 5 5 52 5 5 52 6 3 6 6 5 5 2 6 62
20 20 5 ? 3 10 3 10
h)
10
10 5
10 20 10 20 10 2 10 5 5 5 2 ? 3 10 3 10 3 ? 10
7 7 5 7 7 2 2 6 6 5 5 5 2 5 22
7 3 7 3 5 ? 2 7 2 7
j) 2.
7 7 21 5 5 7 2 72
12 3 (1 2 3 ) 5 ? 3 3 32 2 b) 3 − 2 5 ? 2 2
3 5 3
a)
(
51 2 5 5
c) 3.
)
(
21 2
32 3? 3 5 3? 3
3 23 3
2 3 2 2 2 ? 2 3 2 22 5 5 2 2 2 ? 2
51 2 5
)?
5 5 5
5? 51 2 ? 5 5 1 10 5 5 5? 5
x x x x x 5 ? 5 5 x x x x x y x y x y x x 5 ? 5 5 b) 2 2y 2 y 2 y y 2 y a)
xy xy 5 ? 5 x 5 x
x xy x xy x y x 5 5 5 2 5 x 5 x 5 x x y x y x xy x xy xy x d) 5 ? 5 5 5 2 yx y y x y x x y x c)
4.
a)
3 5 10
b)
5 5 3
c)
1 5 2
d)
1 5 8
e)
0,9 5
f)
5 5 8
5.
3 ? 10
10 30 30 5 5 2 10 10 10 5?3 5 3 15 ? 5 5 2 3 3 3 3 1 2 2 2 ? 5 5 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 5 ? 5 5 2 2 4 2 2 2 2 ?2 2 2 9 5 10 5
9 5 10
5
2
2 ?2
3 ? 10
10 3 10 3 10 5 5 2 10 10 10 2 10 10 5 5 2 4 2 2 2
5 ? 2 2
6 5 2, 449; 2 5 1, 414; 10 5 3,162 a)
3 5 2
3 ? 2
2 5 2
b)
2 5 5
2 ? 5
5 5 5
c)
1 5 2
1 ? 2
2 5 2
6. a) b) c)
1 5
3
6
5
1 5
3
6
15 15 5 3 ? 3 5 5 2 9
27
5
2 9
27
? 3 3
5
62
5
2
2 10
5
52 9
22 22
10 3, 162 5 5 0,632 5 5
5
2
5 2
5
2
2 5
6 2, 449 5 5 1, 224 2 2
5
2
5
62
5
5
6
2 1, 414 5 5 0,707 2 2 5
5
3
2
9
?
6
6
5
15 52
5
3
53
2 9 22 9
29
62 6
5
15 3 52 5 3 3 52 5
5
2 9 22 5 9 22 2
331
d) e) f) 7. a)
6 10
35 4
5
83
4
20 108
11
5
10
6 10
35
5
83
?
20 11
10 4
4 4
?
108
4
35 35
5
6 10 35 10
5
310
6 10 35 5 2 10 35 3
4 8 44 8 44 8 8 5 4 4 5 5 8 2 8 8 11
?
11
103 103
5
20 11 103 11
1011
5
20 11 103 5 2 11 103 10
31 6 1 1 31 6 5 ? 5 2 32 6 32 6 31 6 3 2 6 2 5 51 3
b)
2 ? 5 1 3
31 6 31 6 5 9 26 3
5
( ) 2( 5 2 3 ) 3 5 3 ( 5 ) 2( 3 )
52 52
2
2
2
5
2
(
52 3 523
52 3
c)
41 5 1 1 41 5 5 ? 5 42 5 42 5 41 5 42 2 5
d)
11 11 2 3 1 1 11(2 3 1 1) 11(2 3 1 1) 5 52 3 11 5 ? 5 2 11 2 2 3 21 2 3 21 2 3 11 2 3 21
e)
2 2 2 3 2 2 6 2 2 2 2 3 2 1 22 22 2 8 25 2 5 5 2 ? 5 7 2 31 2 31 2 32 2 3 2 2
f)
2 22 2 2 1 2 2 22 2 4 1 2 2 2 4 2 2 2 22 4 22 2 2 4 5 ? 5 5 52 2 2 4 22 22 2 22 2 21 2 22 2 2
( )
2
5
( )
( )
11 5 11 5 5 ? 31 5 31 5
32 5 5 3 2 5
3 2 5 1 15 2 52
( ) ( ) 2
3 2
5
2
5
3 2 5 1 15 2 5 5 2 3 1 5 2 15 5 325 2
5
41 5 11
( )
g)
h) 32 2 5 31 2
5
32 2 ? 3 1 2
32 2 5 3 2 2
32 2 2 3 ? 2 1 22
( 3 ) 2( 2 ) 2
2
5
312 22 6 5522 6 322
17 – Simplificando expressões com radicais Exercícios, página 87. 1 1 31 3 132 3 6 6 1 5 5 51 2 5 9 3 2 2 3 3 3 3 2 1 3 3 3 3 2 1 ( ) 3 3 2 2 2 2 13 3 2 23 3 2 2 3 3 4 2 27 223 2. ? 5 5 5 2 2 2 2 2 2 1.
)(
(
3. 10 2 ?
(
( )
)
2 1 2 ? 2 2 2 5 10 2 ?
5 10 2 ? 2 5 20
332
)5
)
( 21
)
22 2 2 5 10 2 ?
(
)
2 12 22 5
4.
(
) (
)
22 3 1 21 3 1 1 4 1 5 5 2 21 3 22 3 (2 1 3 ) ? (2 2 3 ) 2 − 3 2 1 3
5.
2 2 52 52 3 3
3 2 2
6. A 5
2 5 3
3 ? 3 21 1 2
7.
2 52 3
2 ? 3
( )
2
5
4 54 4−3
3 2 6 2 6 5 5 2 3 3 3
32 2 22 322 1 5 5 ? 2 ? 3 6 6
3 2 2 5 2 3 1 5 3 2 1
6 6 5 6 6
5
3 ? 3 21 1 2
1 3 ( 3 1 1) ? 5 ? 3 21 1 2 3 2 1 ( 3 1 1)
5
3 ? 3 21 1 2
3 3 3 21 3 11 3 2 3 22 1 3 11 5 ? 5 2 ? 5 2 3 − 1 2 2
5
92 3 4
2 3 31 1 5 22 3 21 3
8.
2 2( 3 ) 2
2
)
( )
(
)
2 3 ? 22 2 ( 3 ) 1 2 ? 2 1 3 1 3 ? 2 2 3 5 22 3 ? 21 3
3 ? 1 1 4 1 2 3 1 2 3 2 32
5
( )(
3 11 5 2 3 2 12
(
5
)
3 1 4 1 4 3 23 5 3 11 5 55 3 11 4 23 1
18 – Potências com expoente racional Exercícios, página 90. 1. 3
a)
7
23 5 2 7
b)
5
104 5 10 5
c)
3
72 5 7 3
4
2
5
d)
25 5 2 2 1
e)
6
2 52 6
f)
9
5 55 9 1
g) h)
1
11 5 11 2 4
3
23 5 2 4
2. 2
a) 5 3 5 3 52 5
b) 3 7 5 7 35 3
c) 10 4 5 4 103 1
d) 7 2 5 7 4
e) 6 3 5 3 64 5
f) 8 7 5 7 85
333
3
g) 6 2 5 63 4
h) 7 9 5 9 74 1
1
1
4.
( )
a) 3
1 1 2 3
2
1
1 6
−
1 2 2
1
53 6 +
1 6
1 6
( ) 53 5 (3 ) 5 3
1
5
5
5 x 6 5 6 x5
53 3
c) 27 6 5 33 d) 9 4
?
53 3
b) 3 3 ;3
1 3
+
3. x 2 ? x 3 5 x 2
5 2 4
5
53 6 3 6
10 4
1
1
532 5
53 2
1
3
1 1 2 3 6 6 5. ( 10 ) 5 ( 10 ) 5 (10) 2 5 10 4
6.
1 4
1 4
1 4
(
) ( ) ( ) ( )
(
) 5 (2 ) (a ) (b )
a) 16x4y8 b) 4a6b10
5 24
1 2 2
1 2
x4
y8
1 4
1 10 2
1 6 2
1
5 2xy2 5 2a3b5
1
1
2 2 2 2 2 2 c) (t + 1) .(t − 1)2 5 (t + 1) (t − 1) 5 (t 1 1)(t 2 1) 5 t2 2 1
7.
1 4 4
1 4
( ) (x ) (y )
1
28 256x4 4 d) 5 8 y
5
1 8 4
22x 4x 2 5 y y2
4
4
a) 8 3 5 (23) 3 5 24 5 16 25
1
2 8 0,25 8 b) 256 5 (2 ) 100 5 (2 ) 4 5 2 5 4 3
3
c) 64 2 5 (26) 2 5 29 5 512
( )
8. 625 20,5 5 54
−
1 2
2
1 1 5 5 22 5 5 25 5
Tratando a informação, páginas 90 e 91. 1. Maior temperatura registrada: 9,4 °C. Menor temperatura registrada: 3,6 °C. T 5 9,4 °C 2 36 °C 5 5,8 °C. Logo, a variação entre as temperaturas foi de 5,8 °C. 2. Analisando a tabela, verificamos que a maior temperatura ocorreu no bairro Consolação, e a menor temperatura ocorreu em Parelheiros. 9, 4 1 8,5 1 8,2 1 7,9 1 7,7 1 7,3 1 6,9 1 6,6 1 5,2 1 3,6 71,3 3 3. M 5 5 5 7,13 10 10 A temperatura média foi de 7,13º 4. A temperatura mais próxima da temperatura média ocorreu na Freguesia do Ó (7,3 °C).
334
5. a) Bairro
Temperatura (em °C)
Desvio
Consolação
9,4
9,4 2 7,13 5 2,27
Ermelino Matarazzo
8,5
8,5 2 7,13 5 1,37
Capela do Socorro
8,2
8,2 2 7,13 5 1,07
Itaquera
7,9
7,9 2 7,13 5 0,77
Campo Limpo
7,7
7,7 2 7,13 5 0,57
Freguesia do Ó
7,3
7,3 2 7,13 5 0,17
Butantã
6,9
6,9 2 7,13 5 20,23
Santana
6,6
6,6 2 7,13 5 20,53
Perus
5,2
5,2 2 7,13 5 21,93
Parelheiros
3,6
3,6 2 7,13 5 23,53
b) Considerando o valor absoluto, o maior afastamento foi em Parelheiros (3,53 °C), e o menor foi na Freguesia do Ó (0,17 °C). 6. Bairro
Temperatura
Desvio
Consolação
9,4
2,27
Quadrado do desvio 5,1529
Ermelino Matarazzo
8,5
1,37
1,8769
Capela do Socorro
8,2
1,07
1,1449
Itaquera
7,9
0,77
0,5929
Campo Limpo
7,7
0,57
0,3249
Freguesia do Ó
7,3
0,17
0,0289 0,0529
Butantã
6,9
20,23
Santana
6,6
20,53
0,2809
Perus
5,2
21, 93
3,7249
Parelheiros
3,6
23,53
12,4609
5,1529 1 1,8769 1 1,1449 1 0,5929 1 0,3249 1 0, 0289 1 0,0 0529 1 0,2809 1 3,7249 1 12, 4609 10 25,641 Md 5 5 2,5641 10
Md 5
2,5641 1,6 .
Desvio padrão:
Retomando o que aprendeu, páginas 91 e 92. 1. Alternativa c. 5?
(
)(
51 5 ?
)
2 5 2 5 5 5 ? 5 1 5 ? 5 2 5 5 5 ? 52 2 ( 5 ) 5
(
)(
)
5 5 ? 20 5 5 ? 22 ? 5 5 5 ? 2 ? 5 5 2 52 5 2 ? 5 5 10 2. Alternativa a. 5
31 1 6 10 2 83 2 4
5 5 31 1 6 10 2 83 2 2
5 5 31 1 6 10 2 81
5
5 5 31 1 6 10 2 9 5 5 31 1 6 1 5 5 31 1 1 5 5 32 5 2 3. Alternativa e. 1
1
1 2
1 5 5
( ) + (2 )
81 2 1 32 5 5 34
5 32 1 2 5 11
4. Alternativa b. a a
5
a? a a ? a
5
a? a a2
5
a? a a
5
a 54 a
335
5. Alternativa d. 2 1 x 5 4 2 ; 3 ? y 55 6 x 5 4 2 2 2 → x 53 2 6 5 6 → y 55 → y 55 2 3 3 x 1 y 53 2 15 2 58 2 y5
6. Alternativa c. a 5 24 5 23 ? 3 5 22 ? 2 ? 3 5 2 6 b 5 4 36 5 4 22 ? 32 5
4 ;2
62;2 5 6
a ? b 5 2 6 ? 6 5 2 ? 62 5 2 ? 6 5 12 7. Alternativa e.
(
3 6
) ?( 5
29
6 3
) 5 ( 2 ) ? ( 2 ) 5 (2 ) 5 (2 ) 5
29
18
8. Alternativa a. 32 1 4 8 2 50 2
5
9
18
9
9 18
5
10
1 2
10
5 25 5 32
( 2) 5 3
5 25 1 4 ? 22 ? 2 2 2 ? 52 2 22 ? 2 5 5 4 ? 2 1 4 ?2 2 25 2 22 2 5 55 2 9. Alternativa b. a 5 16 e b 5 1,25 → ab 5 161,25 5 24
( )
125 100
( )
5 24
5 4
5 25 5 32
10. Alternativa d. x 5 1 2 3 ; y 521 1 3
( ) ( 3 ) 51 22 3 13 5 4 22 3 y 5 (21 1 3 ) 5 (21) 1 2 ? (21) ? 3 1 ( 3 ) 5 1 2 2 3 1 3 5 4 2 2 x 2 y 5 (4 2 2 3 ) 2 (4 2 2 3 ) 5 4 2 2 3 2 4 1 2 3 5 0 2
x2 5 1 2 3 5 12 2 2 ? 1 ? 3 1 2
2
2
2
2
2
2
11. Alternativa a. y
x
2 5 12 2 ; 3
x
2 5 12 2 → 2x 2 5 12 2 → 2x 5 12 → x 5 6
5 5 15 5
3y
3 y
5 5 15 5 → 5 5 15 5 → 3y 5 15 → y 5 5 x 2 y 56 25 51 12. Alternativa b.
1
236 5 2p; 10q 5 0, 0001; r 5 25 2 36
236 5 2p → 2 2 5 2p → p 5 10q 5 0, 0001 → 10q 5 1
( )
r 5 25 2 → r 5 52
1 2
1 → 10q 5 1024 → q 52 4 10000
→ r 55
p 1 q 1 r 5 18 2 4 1 5 5 19
336
36 → p 5 18 2
3
13. Alternativa c. (x 1 y)2 2 4xy 5 2x 2 2y (x 2 y) 1 5 5 2(x 2 y) 2
x2 1 2xy 1 y2 2 4xy 5 2(x 2 y)
14. Alternativa d. 3 10 2
10 5 3 10 2 10 2 3
x2 2 2xy 1 y2 (x 2 y)2 5 2(x 2 y) 2(x 2 y)
( 10 1 3) 5 3 ( 10 2 3) ? ( 10 1 3) 10 ?
10 2
10 1 3 10 5 10 2 9
5 3 10 2 10 2 3 10 5210 15. Alternativa c. 1
4
1
A 5 8 3 1 16 4 2 ( 2 2)2 1 8 3 1
4
1
A 5 (23) 3 1 (24) 4 2 4 1 (23) 3 A 5 2 1 2 2 4 1 24 5 16 16. Alternativa a. E5
x2 x x 11
x2 x E5 ? x 11
x 21 x x 2 x 2 x2 1 x x x 2 2x 1 x 5 5 2 2 x 21 x 21 x 2 (1)
( )
Quando x 5 2, temos : E5
2 2 22 ?2 1 2 53 2 2 4 2 21
17. Alternativa e. 1 2 3 1 5 3 3 1 3 2 3 5 3 ? 52 1 ? 1 5 3 3 3 3 2 3 15 3 1 3 1 2 3 18 3 55 3 1 1 5 5 56 3 3 3 3 3 75 1
337
Equações do 2.O grau g) 2x4 1 5 5 0 não é uma equação do 2.o grau, pois existe o termo x4. h) 0x2 2 5x 1 6 5 0 não é uma equação do 2.o grau, pois não existe o termo x2.
Abertura, página 93. • Pra você pensar!: Qual o valor de dois números inteiros, sabendo-se a soma e o produto deles? Exemplo: soma 5 e produto 6. Se pensarmos em dois números naturais, temos três possibilidades para que a soma seja 5: 0 e 5; 1 e 4 ou 2 e 3. Como queremos o produto igual a 6, podemos dizer que 2 e 3 são os números cuja soma é 5 e o produto é 6.
19 – Equação do 2.o grau com uma incógnita
2.
a) x2 2 7x 1 10 5 0 R Completa. b) 22x2 1 3x 2 1 5 0 R Completa. c) 24x2 1 6x 5 0 R Incompleta. d) x2 2 x 2 12 5 0 R Completa. e) 9x2 2 4 5 00 R Incompleta. f) 7x2 1 14x 5 0 R Incompleta. 3. a) 10x2 1 3x 2 1 5 0 a 5 10; b 5 3;c 5 21 b) x2 1 2x 2 8 5 0 a 5 1; b 5 2; c 5 28 c) y2 2 3y 2 4 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 24 d) 7p2 1 10p 1 3 5 0 a 5 7; b 5 10; c 5 3 e) 24x2 1 6x 5 0 a 5 24; b 5 6; c 5 0 f) r2 2 16 5 0 a 5 1; b 5 0; c 5 216 g) 26x2 1 x 1 1 5 0 a 5 26; b 5 1; c 5 1 h) 5m2 2 10m 5 0 a 5 5; b 5 210; c 5 0
Explorando, página 94. a) Área do quadrado: x2. Área do retângulo: 3x. x2 2 3x 5 4 b) x
x2 2 3x 5 4
2
22 2 3 ? 2 5 22 (Não satisfaz.)
5
52 2 3 ? 5 5 10 (Não satisfaz.)
9
92 2 3 ? 9 5 54 (Não satisfaz.)
6
62 2 3 ? 6 5 18 (Não satisfaz.)
4
42 2 3 ? 4 5 4 (Satisfaz.)
8
82 2 3 ? 8 5 40 (Não satisfaz.)
7
72 2 3 ? 7 5 28 (Não satisfaz.)
10
102 2 3 ? 10 5 70 (Não satisfaz.)
12
122 2 3 ? 12 5 108 (Não satisfaz.)
Logo, o valor que satisfaz a equação é o número 4.
4. a) a 5 1; b 5 6; c 5 9 x2 1 6x 1 9 5 0 b) a 5 4; b 5 26; c 5 2 4x2 2 6x 1 2 5 0 c) a 5 4; b 5 0; c 5 225 4x2 2 25 5 0 d) a 5 221; b 5 7; c 5 0 221x2 1 7x 5 0
Exercícios, página 97. 1. a) 3x2 2 5x 1 1 5 0 é uma equação do 2.o grau. b) 10x4 2 3x2 1 1 5 0 não é uma equação do 2.o grau, pois existe um termo x4. c) 2x 2 3 5 0 não é uma equação do 2.o grau, pois não existe o termo x2. d) 2x2 2 3x 1 2 5 0 é uma equação do 2.o grau. e) 4x2 2 x 5 0 é uma equação incompleta do 2.o grau. f) 9x2 2 1 5 0 é uma equação incompleta do 2.o grau.
338
Logo, as equações dos itens a, d, e, f são do 2.o grau com uma incógnita.
Exercícios, página 99. 1.
x2 1 3x 5 x 1 35 x2 1 3x 2 x 2 35 5 0 x2 1 2x 2 35 5 0 A equação reduzida que se pode formar com os dados é: x2 1 2x 2 35 5 0.
2.
x2 2 x 2 2 5 54 x2 2 x 2 56 5 0
a) x 2 7 5 x 1 5 x2 2 x 2 7 2 5 5 0 n(n 2 3) 6. d 5 x2 2 x 2 12 5 0 2 b) x2 1 11x 5 16x 2 6 n(n 2 3) 10 5 2 x2 1 11x 216x 1 6 5 0 2 2 20 5 n 2 3n x 2 5x 1 6 5 0 2 2 c) x(x 2 6) 1 x 5 (x 2 5 )(x 1 2) n 2 3n 2 20 5 0 x2 2 6x 1 x2 5 x2 2 3x 2 10 x2 2 3x 1 10 5 0 d) (x 2 10)2 1 x( x 1 17) 5 104 x2 2 20x 1 100 1 x2 1 17x 2 104 5 0 o 2x2 2 3x 2 4 5 0 2 2 x 1 1 6x 2 2 e) x2 2 5 x2 → 5 → 5x2 2 2 5 0 3 6 6 6 Exercícios, página 103. x2 1 1 2 6x2 2 2 2 2 x 2 5 x → 5 → 5x 2 2 5 0 1. 3 6 6 6 a) x2 2 12x 5 0 2 2 2 2 x x x 1 5x 1 2 4x 1 10x 2 f) 1 5 1 → 5 → x 2 10x 1 22512) 0 50 x(x 4 10 5 2 20 20 x 5 0 ou x2 x2 x 1 5x2 1 2 4x2 1 10x 1 5 1 → 5 → x2 2 10x 1 2 5 0 x 2 12 5 0 4 10 5 2 20 20 x 5 12 4x (x 2) g) x 1 6 5 S 5 {0, 12} x −2 4x (x 2 2)(x 1 6) b) x2 2 1 5 0 5 → x 22 x 22 x2 56 1 → x 561 2
20 – Resolvendo equações incompletas do 2. grau
→ x2 1 4x 2 12 5 4x → x2 2 12 5 0
x 1 x 2 3x2 (x 1, x 21) 1 5 2 h) x 21 x 11 x 21
S 5 {21, 1} c) x2 2 16 5 0 x2 5 16
x 1 x 2 3x2 1 5 (x 1 1)(x 2 1) x 21 x 11
x 56 16 x 56 4 S 5 {24, 4}
x(x 1 1) 1 x 2 1 x 2 3x2 5 (x 1 1)(x 2 1) (x 1 1)(x 2 1) x2 1 x 1 x 2 1 5 x 2 3x2 2
4x 1 x 2 1 5 0 3.
, 5 (3x 2 1) cm A 5 64 cm2 ,2 5 A (3x 2 1)2 5 64 9x2 2 6x 1 1 5 64 9x2 2 6x 2 63 5 0 3x2 2 2x 2 21 5 0
4. (x 2 3)2 5 5x 2 1 x2 2 6x 1 9 5 5x 21 x2 2 11x 1 10 5 0 5.
A 5 54 m2 c 5 (x 1 1) cm , 5 (x 2 2) cm c?,5A (x 1 1)(x 2 2) 5 54
d) 5x2 2 3x 5 0 x(5x 2 3) 5 0 x 5 0 ou 5x 2 3 5 0 → x 5
{ }
3 5
S 5 0, 3 5 e) f )
x2 1 x 5 0 x(x 1 1) 5 0 x 5 0 ou x 1 1 5 0 R x 5 21 S 5 {21, 0} x2 2 64 5 0 x2 5 64 x 56 64 x 56 8 S 5 {28, 8}
339
g) x2 1 16 5 0
c) d) e) f)
2
x 5216 x 56 216 (Não existe −16 em IR.) S 5 { } h) 7x2 2 x 5 0 x(7x 2 1) 5 0 x 5 0 ou 7x 2 1 5 0 → x 5
{ }
1 7
1 7
S 5 0,
2 i) 9x 5 25 25 x2 5 9 25 5 → x 56 x 56 9 3 5 5 S5 2 , 3 3
{
j) l)
}
24x2 1 28x 5 0 4x(2x 1 7) 5 0 4x 5 0 R x 5 0 ou 2x 1 7 5 0 R x 5 7 S 5 {0, 7} x2 2 20 5 0 x2 5 20 x 56 20 56 22 ? 5 → x 56 2 5
{
}
S 5 22 5 , 2 5 m) 215x2 2 5x 5 0 25x(3x 1 1) 5 0 25x 5 0 → x 5 0 ou 3x 1 1 5 0 → x 52
{
S5 2 2.
340
a) b)
}
1 3
1 ,0 3
(x 1 5)(x 2 6) 5 51 2 x x2 2 x 2 30 2 51 1 x 5 0 x2 2 81 5 0 x2 5 81 x 56 81 x 569 S 5 {29, 9} x2 1 3x(x 2 12) 5 0 x2 1 3x2 2 36x 5 0 4x2 2 36x 5 0 4x(x 2 9) 5 0 4x 5 0 R x 5 0 ou x2950Rx59 S 5 {0, 9}
3.
(x 2 5)2 5 25 2 9x x2 2 10x 1 25 5 25 2 9x x2 2 10x 1 9x 5 0 x2 2 x 5 0 x(x 2 1) 5 0 x 5 0 ou x2150Rx51 S 5 {0, 1} 2x(x 1 1) 2 x(x 1 5) 5 3(12 2 x) 2x2 1 2x 2 x2 2 5x 5 36 2 3x x2 2 36 5 0 x2 5 36 x 56 36 x 566 S 5 {26, 6} (x 1 2)(x 2 16) 1 (x 1 7)2 5 89 x2 2 14x 2 32 1 x2 1 14x 1 49 2 89 5 0 2x2 2 72 5 0 2x2 5 72 x2 5 36 x 56 36 x 566 S 5 {26, 6} (x 2 4)2 1 5x(x 2 1) 5 16 x2 2 8x 1 16 1 5x2 – 5x – 16 5 0 6x2 2 13x 5 0 x(6x 2 13) 5 0 x 5 0 ou 13 6x 2 13 5 0 → x 5 6 13 S 5 0, 6
{ }
1 5 0 (x 0) 3x 2 9x 2 1 50 3x 2 9x 2 1 5 3x 1 x2 5 9 1 1 x 56 → x 56 9 3 1 1 S5 2 , 3 3 x2 5 b) 2 521 4 2 x2 2 10 24 5 4 4 x2 2 6 5 0 x2 5 6 x 56 6 a) 3x 2
{
}
S 5 {2 6 , 6 }
c)
11x2 3x x 2 5 10 5 2 2 11x 2 6x 5x 5 10 10 11x2 2 11x 5 0 11x(x 2 1) 5 0 11x 5 0 R x 5 0 ou x2150Rx51 S 5 {0, 1}
x 8 x 5 1 d) x 11 3 12x 3x(1 2 x) 5 3(x 1 1)(1 2 x) 8(x 1 1)(1 2 x) 1 3x(x x 1 1) 5 3(x 1 1)(1 2 x) e)
f)
3x 2 3x2 5 8(x 2 x2 1 1 2 x) 1 3x2 1 3x 26x2 5 28x2 1 8 R 2x2 5 8 x2 5 4 R x 56 4 R x 5 62 S 5 {22, 2} x 23 1 11 5 x 22 x2 2 4 1 x 23 11 5 x 22 (x 2 2)(x 1 2) x 12 x 2 3 1 (x 2 2)(x 1 2) 5 (x 2 2)(x 1 2) (x 2 2)(x 1 2) x 2 3 1 x2 2 4 5 x 1 2 x2 2 9 5 0 x2 5 9 x 56 9 → x 56 3 S 5 {23, 3} 3 1 10 − x2 1 5 2 x 25 x 15 x 2 25 3(x 1 5) 1 1(x 2 5) 10 2 x2 5 (x 2 5)(x 1 5) (x 2 5)(x 1 5)
4.
3x 1 15 1 x 2 5 5 10 2 x2 x2 1 4x 5 0 x(x 1 4) 5 0 x 5 0 ou x 1 4 5 0 R x 5 24 S 5 {24, 0}
x2 2 x x 2 x2 5x2 2 3 2 3(x 2 x) 6x 2 2(x 2 x2) 5 6 6 3x2 2 3x 5 6x 2 2x 1 2x2 x2 2 7x 5 0 R x(x 2 7) 5 0 x 5 0 ou x 2 7 5 0 R x 5 7 Como o problema pede o número real positivo, a resposta é 7.
5.
A 5 L, R A 5 899 m2 899 5 (x 1 1)(x 2 1) 899 5 x2 2 1 x2 5 900 x 56 900 x 5630 Como a área é um número positivo, x 5 30. , 5 x 2 1 R , 5 30 2 1 R , 5 29 L 5 x 1 1 R L 5 30 1 1 R L 5 31 As medidas dos lados são: L 5 31 m e , 5 29 m. h2 5 V 5 24 e k 5 2
6. V 5 2k 1
h2 5 120 5 20 1 h2 h2 5 100 h 56 100 h 5610 h 5 10 ou h 5 210 24 5 2 ? 2 1
7. x2 ? y 5 90 a) x 5 50% de 8 R x 5 4 x2 ? y 5 90 42 ? y 5 90 y 5 5,625 b) y 5 10 x2 ? y 5 90 x2 ? 10 5 90 x2 5 9 x 56 9 R x 563 x 5 23 ou x 5 3 8.
x2 5 81 x 56 81 → x 56 9 Como o número é positivo, então x 5 9. 5y 5 y2 y2 2 5y 5 0 y(y 2 5) 5 0 y 5 0 ou y 5 5. Como y é real e positivo, y 5 5. Logo, x 1 y 5 9 1 5 5 14. Chegou a sua vez!, página 104. a) Resposta em aberto. b) Resposta em aberto. m c) IMC 5 2 h 81 25 5 2 h 81 2 h 5 25 81 9 h 56 56 25 5
341
m h2 81 25 5 2 h 81 h2 5 25 81 9 h 56 56 25 5 Como a altura é positiva,
9 5 1,80 m. 5 Logo, a altura da pessoa é 1,80 m.
IMC 5
h5
d) x2 2 12x Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um quadrado de área 62 5 36. x2 2 2 ? 6x 1 36 5 (x 2 6)2 e) x2 1 9x Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um 2
21 – Resolvendo uma equação completa do 2.o grau com uma incógnita Explorando, página 105. a) Mariana precisará de 4 quadradinhos (cada um com 1 cm de lado) para formar o novo quadrado. b) Cada um desses quadradinhos terá a área dada por: A 5 ,2 5 (1 cm)2 5 1 cm2. c) O novo quadrado terá lado igual a: L 5 3 cm 1 1 cm 1 1 cm 5 5 cm Logo, a área do novo quadrado será: A 5 ,2 5 52 5 25 cm2 Exercício, página 107.
x
4
x
4
x2
4x
4x
Editoria de arte
a) x2 1 8x 5 x2 1 2 ? (4x)
Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um quadrado de área 42 5 16. x2 1 8x 1 42 5 (x 1 4)2 b) x2 2 10x Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um quadrado de área 52 5 25. x2 2 2 ? 5x 1 25 5 (x 2 5)2 c) x2 1 2x Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um quadrado de área 12 5 1. x2 1 2 ? x 1 1 5 (x 1 1)2
342
81 9 quadrado de área 5 . 4 2
81 9 5 x 1 x 1 9x 1 4 2
2
2
f) x2 2 5x Para se ter um trinômio quadrado perfeito, devemos acrescentar um 2
25 5 quadrado de área 5 . 2 4 25 5 5 x 2 4 2
x2 2 5x 1
a)
x 1 2x 2 15 5 0 x2 1 2x 5 15 x2 1 2x 1 1 5 15 1 1 (x 1 1)2 5 16 x 1 1 56 16 x 1 1 5 64 x 1 1 5 4 R x 5 3 ou x 1 1 5 24 R x 5 25 S 5 {25, 3}
2
Exercício, página 111. 2
b) x2 1 4x 2 12 5 0 x2 1 2 ? 2x 5 12 x2 1 4x 1 4 5 12 1 4 (x 1 2)2 5 16 x 1 2 56 16 x 1 2 56 4 x 1 2 5 4 R x 5 2 ou x 1 2 5 24 R x 5 26 S 5 {26, 2} c) x2 1 12x 1 32 5 0 x2 1 2 ? 6x 1 62 5 232 1 36 (x 1 6)2 5 4 x 1 6 56 4 x 1 6 5 62 x 1 6 5 2 R x 5 24 ou x 1 6 5 22 R x 5 28 S 5 {28, 24}
x2 2 10x 1 9 5 0 d) x2 1 6x 2 7 5 0 x2 1 2 ? 3x 1 9 5 7 1 9 (x 1 3)2 5 16 x 1 3 56 16 x 1 3 56 4 x 1 3 5 4 R x 5 1 ou x 1 3 5 24 R x 5 27 S 5 {27, 1} e) x2 1 3x 2 10 5 0
x2 2 2 ? 5x 1 52 52 9 1 52 (x 2 5)2 5 16 x 2 5 56 16 x 2 5 56 4 x 5 4 1 5 → x 5 9 ou x 52 4 1 5 → x 5 1 S 5 {1, 9}
2
x2 1 2 ?
b) x2 1 x 2 6 5 0
3 9 3 x 1 5 10 1 2 4 2
x2 1 x 5 6 1 1;2 5 2 2 2 1 1 1 x2 1 2 ? x 1 5 6 1 2 2 2
2
3 49 x 1 2 5 4
3 49 56 2 4 3 7 x 1 56 2 2 3 7 x 1 2 5 2 → x 5 2 ou 3 7 x 1 52 → x 52 5 2 2 S 5 {25, 2} f) x2 1 2x 1 1 5 0 x2 1 2x 5 21 x2 1 2x 1 1 5 21 1 1 (x 1 1)2 5 0 x1150 x 5 21 S 5 {21}
x1
2
1 25 56 2 4 1 5 x 1 56 2 2 5 1 x 5 2 → x 5 2 ou 2 2 5 1 x 52 2 → x 52 3 2 2 S 5 {23, 2} x1
Editoria de arte
x
x � 32
x(x 1 32) 5 4 785 x2 1 2 ? 16x 1 162 5 4 785 1 162 (x 1 16)2 5 4 785 1 256 (x 1 16)2 5 5 041 x 1 16 56 5041 x 1 16 56 71 x 1 16 5 71 R x 5 55 ou x 1 16 5 271 R x 5 287 (Não convém.) As medidas dos lados do cartão são: 55 mm e 87 mm. Exercício, página 114. 2 a) x 2 10x 1 9 5 0 x2 2 10x 52 9 10 ;2 5 5
x2 2 2 ? 5x 1 52 52 9 1 52 2
(x 2 5) 5 16 x 2 5 56 16 x 2 5 56 4 x 5 4 1 5 → x 5 9 ou
2
1 1 1 25 x 1 2 5 6 1 4 → x 1 2 5 4
Chegou a sua vez! página 112.
4 785 mm2
x2 2 10x 52 9 10 ;2 5 5
c) x2 1 4x 2 5 5 0 x2 1 4x 5 5 4 ;2 5 2 x2 1 2 ? 2 ? x 1 22 5 5 1 22 (x 1 2)2 5 9 x 1 2 56 9 x 1 2 56 3 x 1 2 5 3 → x 5 1 ou x 1 2 52 3 → x 52 5 S 5 {25, 1} d) x2 2 10x 1 24 5 0 x2 2 10x 52 24 10 ;2 5 5 x2 2 2 ? 5x 1 52 52 24 1 52 x 2 5)2 5 1 (x x 2 5 56 1 x 2 5 511 → x 5 6 ou x 2 5 521 → x 5 4 S 5 {4, 6} e) 2x2 2 9x 1 4 5 0 Dividindo todos os termos por 2, temos: 9 x2 2 x 1 2 5 0 2 9 2 x 2 x 52 2 2 9 9 ;2 5 2 4 2 2 9 9 9 2 x 2 2 ? x 1 52 2 1 4 4 4
343
2x2 2 9x 1 4 5 0 Dividindo todos os termos por 2, temos: 9 x2 2 x 1 2 5 0 2 9 2 x 2 x 52 2 2 9 9 ;2 5 2 4 2 2 9 9 9 x2 2 2 ? x 1 52 2 1 4 4 4 2
9 49 9 x 2 4 5 16 → x 2 4 56 9 7 x 2 56 4 4 7 9 x 5 1 → x 5 4 ou 4 4 7 9 1 x 52 1 → x 5 4 4 2 1 S5 ,4 2
49 16
{ }
f) x 1 8x 1 16 5 0 x2 1 8x 5216 8 ;2 5 4 x2 1 2 ? 4x 1 42 5216 1 42
• • • •
344
x2 2 3x 2 4 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 24 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (24) D 5 9 + 16 5 25 D.0 x2 2 7x + 15 5 0 a 5 1; b 5 27; c 5 15 D 5 b2 2 4ac D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 15 D 5 49 2 60 5 211 D,0 5x2 + 4x 2 1 5 0 a 5 5; b 5 4; c 5 21 D 5 b2 2 4ac D 5 42 2 4 ? 5 ? (21) D 5 16 + 20 5 36 D.0 x2 + 8x + 16 5 0 a 5 1; b 5 8; c 5 16 D 5 b2 2 4ac D 5 82 2 4 ? 1 ? 16 D 5 64 2 64 5 0 D50
•
9x2 2 6x + 1 5 0 a 5 9; b 5 26; c 5 1 D 5 b2 2 4ac D 5 (26)2 2 4 ? 9 ? 1 D 5 36 2 36 5 0 D50
2.
Exercícios, páginas 119 e 120. 1.
12x2 2 x 2 1 5 0 a 5 12; b 5 21; c 5 21 D 5 b2 2 4ac D (21)2 2 4 ? 12 ? (21) D 5 1 + 48 5 49 D.0
a) Três dessas equações têm raízes reais diferentes (D . 0 ): x2 2 3x 2 4 5 0; 5x2 1 4x 2 1 5 0; 12x2 2x 2 1 5 0 b) Duas dessas equações têm uma única raiz real (D 5 0 ): x2 1 8x 1 16 5 0; 9x2 2 6x 1 1 5 0
2
(x 1 4)2 5 0 → x 52 4 S 5 {24}
•
a)
x2 2 7x 1 6 5 0 a 5 1; b 5 27; c 5 6 D 5 b2 2 4ac R R D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 6 5 49 2 24 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
715 x’ 5 2 5 6 2b 6 D 7 6 25 765 → x5 → 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 7 2 5 5 1 2 715 x’ 5 2 5 6 2b 6 D 7 6 25 765 → x5 5 → x5 2a 2 ?1 2 x” 5 7 2 5 5 1 2
S 5 {1, 6}
b)
x2 2 x 2 12 5 0 a 5 1; b 5 21; c 5 212 D 5 b2 2 4ac R R D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (212) 5 1 + 48 5 49 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 1 17 x’ 5 2 5 4 2b 6 D 1 6 49 1 67 → x5 → 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 1 2 7 52 3 2 1 17 ’ x 5 5 4 1 6 49 1 67 2b 6 D 2 → x5 5 → x5 2a 2?1 2 1 x” 5 2 7 52 3 2
S 5 {23, 4}
c)
x2 2 3x 2 28 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 228 D 5 b2 2 4ac R D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (228) 5 9 + 112 5 121 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
3 1 11 x’ 5 2 5 7 2b 6 D 3 6 121 3 6 11 → x5 → x5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 3 2 11 52 4 2
S 5 {24, 7}
d)
x2 1 12x 1 36 5 0 a 5 1; b 5 12; c 5 36 D 5 b2 2 4ac R D 5 122 2 4 ? 1 ? 36 5 144 2 144 5 0 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real: 2b 212 x5 5 → x 52 6 2a 2 ?1 S 5 {26}
e)
6x2 2 x 2 1 5 0 a 5 6; b 5 21; c 5 21 D 5 b2 2 4ac R D 5 (21)2 2 4 ? 6 ? (21) 5 1 + 24 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
1 15 1 x’ 5 12 5 2 2b 6 D 1 6 25 1 65 x5 5 → x5 → 2a 2?6 12 x” 5 1 2 5 52 1 12 3 1 1 S5 2 , 3 2
f)
9x2 1 2x 1 1 5 0 a 5 9; b 5 2; c 5 1 D 5 b2 2 4ac R D 5 22 2 4 ? 9 ? 1 5 232 Como D é número negativo (D , 0), não há valores reais para x: S 5 .
g)
3x2 2 7x 1 2 5 0 a 5 3; b 5 27; c 5 2 D 5 b2 2 4ac R D 5 (27)2 2 4 ? 3 ? 2 5 49 2 24 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
715 12 x’ 5 6 5 6 5 2 2b 6 D 7 6 25 765 x5 5 → x5 → 2a 2?3 6 x” 5 7 2 5 5 2 5 1 6 6 3 1 S5 ,2 3
h)
25x2 2 10x 1 1 5 0 a 5 25; b 5 210; c 5 1 D 5 b2 2 4ac R D 5 (210)2 2 4 ? 25 ? 1 5 100 2 100 5 0 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real:
2b 2(210) 10 1 5 5 → x5 2a 2 ? 25 50 5 1 S5 5
{
}
{ }
x5
{}
345
3. a)
x2 2 2x 5 2x 2 4 R x2 2 4x 1 4 5 0 a 5 1; b 5 24; c 5 4 D 5 b2 2 4ac R D 5 (24)2 2 4 ? 1 ? 4 5 16 2 16 5 0 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real: 2b 2(24) 4 x5 5 → x 5 52 2a 2?1 2 S = {2}
b)
x2 2 2x 5 x 1 4 R x2 2 3x 2 4 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 24 D 5 b2 2 4ac R D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (24) 5 9 1 16 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
315 8 x’ 5 2 5 2 5 4 3 6 25 365 2b 6 D → x5 → x5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 3 2 5 5 22 5 21 2 2 S 5 {21, 4}
c)
x2 1 10 5 9x 2 10 R x2 2 9x 1 20 5 0 a 5 1; b 5 29; c 5 20 D 5 b2 2 4ac R D 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 20 5 81 2 80 5 1 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
9 11 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 96 1 9 61 → x5 → x5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 9 2 1 5 8 5 4 2 2
S 5 {4, 5}
d)
6x2 1 3x 5 1 1 2x R 6x2 1 x 2 1 5 0 a 5 6; b 5 1; c 5 21 D 5 b2 2 4ac R D 5 12 2 4 ? 6 ? (21) 5 1 1 24 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
21 1 5 1 x’ 5 12 5 3 2b 6 D 21 6 25 21 6 5 x5 5 → x5 → 2a 2?6 12 x” 5 21 2 5 52 1 2 12 1 1 S5 2 , 2 3
e)
9x2 1 3x 1 1 5 4x2 R 5x2 1 3x 1 1 5 0 a 5 5; b 5 3; c 5 1 D 5 b2 2 4ac R D 5 32 2 4 ? 5 ? 1 5 9 2 20 5 211 Como D é um número negativo (D , 0), não há valores reais para x: S 5 .
f)
9x2 2 1 5 3x 2 x2 R 10x2 2 3x 2 1 5 0 a 5 10; b 5 23; c 5 21 D 5 b2 2 4ac R D 5 (23)2 2 4 ? 10 ? (21) 5 9 1 40 5 49 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
317 1 x’ 5 20 5 2 2b 6 D 3 6 49 367 1 1 → x5 → x5 5 → S 5 2 , 2a 2 ? 10 20 2 1 3 7 5 2 x” 5 52 5 20
346
{
}
4. x2 2 2x 2 15 5 0 a 5 1; b 5 22; c 5 215 D 5 b2 2 4ac R D 5 (22)2 2 4 ? 1 ? (215) 5 4 1 60 5 64 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 2 18 x’ 5 2 5 5 2b 6 D 2 6 64 268 → x5 → x5 5 2a 2?1 2 x” 5 2 2 8 52 3 2 S 5 {23, 5} As raízes são –3 e 5. Os inteiros entre elas são: 22, 21, 0, 1, 2, 3 e 4. Logo, existem 7 números entre as raízes. 5. •
x2 2 12x 5 85 R x2 2 12x 2 85 5 0 a 5 1; b 5 212; c 5 285 D 5 b2 2 4ac R D 5 (212)2 2 4 ? 1 ? (285) 5 144 1 340 5 484 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
12 1 22 5 17 x’ 5 12 6 484 12 6 22 2b 6 D 2 → x5 → 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 12 2 22 52 5 2 S 5 {25, 17}
•
x2 1 51 5 20x R x2 2 20x 1 51 5 0 a 5 1; b 5 220; c 5 51 D 5 b2 2 4ac R D 5 (220)2 2 4 ? 1 ? 51 5 400 2 204 5 196 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
20 1 14 5 17 x’ 5 2b 6 D 20 6 196 20 6 14 2 → x5 → 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 20 2 14 5 3 2 S 5 {3, 17} A raiz comum é 17; logo, a soma das raízes não comuns é 25 1 3 5 22.
6. 4x2 2 21x 1 20 5 0 a 5 4; b 5 221; c 5 20 D 5 b2 2 4ac R D 5 (221)2 2 4 ? 4 ? 20 5 441 2 320 5 121 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas:
21 1 11 54 x’ 5 2b 6 D 21 6 121 21 6 11 8 → x5 → x5 5 2a 2?4 8 x” 5 21 2 11 5 10 5 5 8 8 4 5 A raiz fracionária é ; logo, a soma de seus termos é: 5 1 4 5 9. 4
7. x2 2 7x 1 10 5 0 a 5 1; b 5 27; c 5 10 D 5 b2 2 4ac R D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 10 5 49 2 40 5 9 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 713 p 5 2 5 5 2b 6 D 76 9 763 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 q 5 723 52 2 q p 2 5 q p p 1 q 5 5 1 2 → p 1 q 5 25 1 32 pq 1 qp 5 57
347
713 p 5 2 5 5 2b 6 D 76 9 763 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 q 5 723 52 2 pq 1 qp 5 52 1 25 → pq 1 qp 5 25 1 32 pq 1 qp 5 57 8. a) (x 1 2)2 1 x 5 0 → x2 1 4x 1 4 1 x 5 0 → x2 1 5x 1 4 5 0 a 5 1; b 5 5; c 5 4 D 5 b2 2 4ac → D 5 52 2 4 ? 1 ? 4 5 25 2 16 5 9 Como D é positivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 25 1 3 521 x’ 5 2b 6 D 256 6 9 25 6 3 2 x5 5 → 5 2a 2 ?1 2 x” 5 25 2 3 52 4 2 S 5 {24, 21} b) 3x2 5 2(x 2 1)2 1 3 → 3x2 5 2(x2 2 2x 1 1) 1 3 → → 3x2 5 2x2 2 4x 1 2 1 3 → x2 1 4x 2 5 5 0 a 5 1; b 5 4; c 52 5
D 5 b2 2 4ac → D 5 42 2 4 ? 1 ? (25) 5 16 1 20 5 36
Como D é positivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 24 1 6 51 x’ 5 2b 6 D 24 6 36 24 6 6 2 x5 5 → x5 → 2a 2 ?1 2 x” 5 24 2 6 52 5 2 S 5 {25, 1} c) x(x 1 11) 1 2(x 1 21) 5 0 → x2 1 11x 1 2x 1 42 5 0 → x2 1 13x 1 42 5 0 a 5 1; b 5 13; c 5 42 D 5 b2 2 4ac → D 5 132 2 4 ? 1 ? 42 5 169 2 168 5 1 Como o D é positivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 213 1 1 52 6 x’ 5 2b 6 D 213 6 1 213 6 1 2 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 213 2 1 52 7 2 S 5 {27, 2 6} d) 6(x2 2 1) 2 14 5 5x2 1 x → 6x2 2 6 2 14 2 5x2 2 x 5 0 → → x2 2 x 2 20 5 0 a 5 1; b 521; c 52 20 D 5 b2 2 4ac → D 5 (21) 2 4 ? 1 ? (220) 5 1 1 80 5 81 2
Como D é positivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 1 19 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 1 6 81 1 69 → x5 → x5 5 2a 2?1 2 x” 5 1 2 9 52 8 52 4 2 2 S 5 {24, 5} 9. 32 2 [8x 1 (8 2 2x) ? (4 2 x)] 5 8 32 2 [8x 1 (32 2 8x 2 8x 1 2x2)] 5 8 32 2 [8x 1 32 2 16x 1 2x2] 5 8 32 2 8x 2 32 1 16x 2 2x2 2 8 5 0
348
22x2 1 8x 2 8 5 0 2x2 1 4x 2 4 5 0 a 5 21; b 5 4; c 5 24 D 5 b2 2 4ac D 5 42 2 4 ? (21) ? (24) D 5 16 2 16 5 0 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real: x5
2b 2(4) 52 5 2a 2 ? (21)
Logo, para que o valor numérico dessa expressão seja 8, x deve ser 2. 10.
x2 2 4 x 23 2(x2 2 4) 3(x 2 3) → → 5 5 3 2 6 6 → 2x2 2 8 5 3x 2 9 → 2x2 2 3x 1 1 5 0 a 5 2; b 52 3; c 5 1 D 5 b2 2 4ac → D 5 (23)2 2 4 ? 2 ? 1 5 9 2 8 5 1 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 3 11 x’ 5 4 5 1 2b 6 D 36 1 3 61 → x5 5 5 2a 2?2 4 x” 5 3 2 1 5 1 4 2
A maior das raízes é 1, portanto não podemos afirmar que a maior raiz é um número primo.
11. 4 1 5x2 2 4x 1 5 → x5 → 5 5 5 5 → 5x2 2 4x 2 1 5 0 a 5 5; b 52 4; c 521
a) x2 2
D 5 b2 2 4ac → D 5 (24)2 2 4 ? 5 ? (21) 5 16 1 20 5 36
Como D é positivo o (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 4 16 10 x’ 5 10 5 10 5 1 2b 6 D 4 6 36 4 66 x5 → x5 → 5 2a 2?5 10 x” 5 4 2 6 5 2 2 52 1 10 10 5 1 S5 2 ,1 5
{
}
5x 1 x2 1 4 10 x2 1 4 → 52 → 5 5 5 5 → x2 1 5x 2 6 5 0 a 5 1; b 5 5; c 52 6
b) x 1
D 5 b2 2 4ac → D 5 52 2 4 ? 1 ? (26) 5 25 1 24 5 49 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 25 1 7 51 x’ 5 25 6 49 25 6 7 2b 6 D 2 5 5 → x5 2a 2?1 2 x” 5 25 2 7 52 6 2 S 5 {26, 1}
349
c)
x 1 12 x2 3x2 2 2(x 1 12) 12x 2 5 2x → 5 → 2 3 6 6 2 2 → 3x 2 2x 2 24 5 12x → 3x 2 14x 2 24 5 0 a 5 3; b 5214; c 52 24 D 5 b2 2 4ac → D 5 (214)2 2 4 ? 3 ? (224) 5 196 1 288 5 484 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 14 1 22 36 5 56 x’ 5 2b 6 D 14 6 484 14 6 22 6 6 → x5 5 5 2a 2?3 6 x” 5 14 2 22 52 8 52 4 6 6 3 4 S5 2 ,6 3
{
d)
}
x(x 1 1) x 25 5(2x 2 1) 3x(x 1 1) x 25 10(2x 2 1) → 2 5 → 2 5 4 12 6 12 12 12 → 3x2 1 3x 2 x 1 5 5 20x 2 10 → 3x2 2 18x 1 15 5 0 a 5 3; b 5218; c 5 15 D 5 b2 2 4ac → D 5 (218) 2 4 ? 3 ? 15 5 324 2 180 5 144 2
Como D é possitivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 18 1 12 55 x’ 5 18 6 144 18 6 12 2b 6 D 6 → x5 5 5 2a 2?3 6 x” 5 18 2 12 5 1 6 S 5 {1, 5} 12. a) x 1 10 52
9 x
(Com x IR e x 0.)
2
x 1 10x 9 52 → x2 1 10x 1 9 5 0 x x a 5 1; b 5 10; c 5 9 D 5 b2 2 4ac → D 5 102 2 4 ? 1 ? 9 5 100 2 36 5 64 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 210 1 8 521 x’ 5 2b 6 D 210 6 64 210 6 8 2 x5 5 5 → 2a 2 ?1 2 x” 5 210 2 8 52 9 2 S 5 {29, 21} 3x 1 5 (Com x IR e x 1.) x 21 6x(x 2 1) 1 5(x 2 1) 3x 1 5 5 → 6x2 2 6x 1 5x 2 5 5 3x 1 5 → 6x2 2 4x 2 10 5 0 x 21 x 21 a 5 6; b 52 4; c 5210
b) 6x 1 5 5
D 5 b2 2 4ac → D 5 (24)2 2 4 ? 6 ? (210) 5 16 1 240 5 256 Como D é possitivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 4 1 16 20 5 x’ 5 12 5 12 5 3 2b 6 D 4 6 256 4 6 16 x5 5 5 → 2a 2?6 12 x” 5 4 2 16 521 12 5 S 5 21, 3
{ }
350
c)
1 3 1 5 2 (Com x IR, x 0 e x 1.) x 2 x 21 2(x 2 1) 3x(x 2 1) 2 2x 5 → 2x 2 2 5 3x2 2 3x 2 2x → 2 3x2 1 7x 2 2 5 0 2x(x 2 1) 2x(x 2 1) a 52 3; b 5 7; c 52 2 D 5 b2 2 4ac → D 5 72 2 4 ? (23) ? (22) 5 49 2 24 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 27 1 5 22 1 x’ 5 26 5 26 5 3 2b 6 D 27 6 25 27 6 5 x5 5 5 → 2a 26 2 ? (23) x” 5 27 2 5 5 212 5 2 26 26 S5
d)
{ } 1 ,2 3
x 3 3 2 5 (Com x IR, x 1 e x 2.) x 22 x 21 (x 2 2)(x 2 1) 3 x(x 2 1) 2 3(x 2 2) → x2 2 x 2 3x 1 6 5 3 → x2 2 4x 1 3 5 0 5 (x 2 2)(x 2 1) (x 2 2)(x 2 1) a 5 1; b 52 4; c 5 3 D 5 b2 2 4ac → D 5 (24) 2 4 ? 1 ? 3 5 16 2 12 5 4 2
Como D é positivo (D . 0) , a equação tem duas raízes reais distintas: 4 12 6 x’ 5 2 5 2 5 3 2b 6 D 46 4 4 62 x5 5 5 → (Não convém, pois, pelas 4 22 2 2a 2 ?1 2 x” 5 5 51 2 2 condições, x 1 e x 2.) Logo, S = {3}. e)
x 4 1 5 5 (Com x IR, x 1 e x 2.) x 22 x 21 x(x 2 1) 1 4(x 2 2) 5(x 2 2)(x 2 1) → x2 2 x 1 4x 2 8 5 5(x2 2 3x 1 2) → 5 (x 2 2)(x 2 1) (x 2 2)(x 2 1) → x2 1 3x 2 8 5 5x2 2 15x 1 10 → 2 4x2 1 18x 2 18 5 0 → 2x2 2 9x 1 9 5 0 a 5 2; b 52 9; c 5 9 D 5 b2 2 4ac → D 5 (29)2 2 4 ? 2 ? 9 5 81 2 72 5 9 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 9 13 12 x’ 5 4 5 4 5 3 96 9 9 63 2b 6 D → x5 5 5 2a 2?2 4 x” 5 9 2 3 5 6 5 3 4 4 2 S5
{ } 3 ,3 2
351
f)
x 2 22 5 (Com x IR, x 1 e x 21.) x 21 x2 2 1 x 2 22 5 x 21 (x 2 1)(x 1 1) 2 2(x 2 1)(x 1 1) x(x 1 1) 2 5 (x 2 1)(x 1 1) (x 2 1)(x 1 1) (x 2 1)(x 1 1) 2 2 2(x2 2 1) 5 x2 1 x 2 2 2x2 1 2 2 x2 2 x 5 0 23x2 2 x 1 4 5 0 3x2 1 x 2 4 5 0 a 5 3; b 5 1; c 52 4 D 5 b2 2 4ac → D 5 12 2 4 ? 3 ? (24) 5 1 1 48 5 49 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 21 1 7 6 5 5 1 (Não convém.) x’ 5 2b 6 D 21 6 49 27 6 7 6 6 → → x5 5 2a 2?3 6 2 1 2 7 28 4 x” 5 5 52 6 6 3 4 . Logo, S 5 2 3
{ }
g)
3x 3 2 2 5 2 (Com x IR, x 2 e x 2 2.) x 12 x 24 3x 3 3x(x 2 2) 3 2(x 1 2)(x 2 2) → 2 52 → 2 5 (x 1 2)(x 2 2) (x 1 2) (x 1 2)(x 2 2) (x 1 2)(x 2 2) (x 1 2)(x 2 2) → 3x2 2 6x 2 3 5 2(x2 2 4) → 3x2 2 6x 2 3 2 2x2 1 8 5 0 → x2 2 6x 1 5 5 0 a 5 1; b 52 6; c 5 5 D 5 b2 2 4ac → D 5 (26)2 2 4 ? 1 ? 5 5 16 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 614 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 6 6 16 664 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 6 2 4 5 2 5 1 2 2 S 5 {1, 5}
h)
1 1 1 (Com x IR, x 2 e x 3.) 2 5 x 23 2 x 22 2(x 2 3) (x 2 3)(x 2 2) 2(x 2 2) → 2 5 2(x 2 3)(x 2 2) 2(x 2 3)(x 2 2) 2(x 2 3)(x 2 2) → 2x 2 4 2 (x2 2 5x 1 6) 5 2x 2 6 → 2x 2 4 2 x2 1 5x 2 6 2 2x 1 6 5 0 → → 2 x2 1 5x 2 4 5 0 → x2 2 5x 1 4 5 0 a 5 1; b 52 5; c 5 4 D 5 b2 2 4ac → D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 4 5 9 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 513 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 56 9 563 x5 5 5 → 2a 2 ?1 2 x” 5 5 2 3 5 2 5 1 2 2 S 5 {1, 4}
352
82x (Com x 0.) x 2 x 1 x 5 8 2 x → x2 1 2x 2 8 5 0 a 5 1; b 5 2; c 52 8
13. x 1 1 5
D 5 b2 2 4ac → D 5 22 2 4 ? 1 ? (28) 5 36
Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 22 1 6 4 5 52 x’ 5 2b 6 D 22 6 36 22 6 6 2 2 → x5 5 5 2a 2?1 2 x” 5 22 2 6 5 28 52 4 2 2 S1 5 {24, 2}
92x 4 3 1 5 (x 2 1)(Com x 2.) 2 2 x 22 3(x 2 1)(x 2 2) (9 2 x)(x 2 2) 8 → 5 1 2(x 2 2) 2(x 2 2) 2(x 2 2) → 9x 2 18 2 x2 1 2x 1 8 5 3(x2 2 3x 1 2) → → 11x 2 10 2 x2 2 3x2 1 9x 2 6 5 0 → 2 4x2 1 20x 2 16 5 0 → → x2 2 5x 1 4 5 0 a 5 1; b 52 5; c 5 4 D 5 b2 2 4ac → D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 4 5 9 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 513 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 56 9 563 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 5 2 3 5 2 5 1 2 2 S2 5 {1, 4} S1 1 S2 52 4 1 2 1 1 1 4 5 3 6 1 x 2 3 (se y 5 4) x 6 6 1 x2 2 3x 4x 1 x 235 4 → 5 → x x x 2 → x 2 7x 1 6 5 0 a 5 1; b 52 7; c 5 6
14. y 5
D 5 b2 2 4ac → D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 6 5 25 Como D é positivo (D . 0), a equação tem duas raízes reais distintas: 715 12 x’ 5 2 5 2 5 6 2b 6 D 7 6 25 765 → x5 5 5 2a 2?1 2 x” 5 7 2 5 5 2 5 1 2 2
Os valores de x são 1 ou 6.
22 – Resolvendo problemas Exercícios, página 122. 1.
x 5 número procurado x2 5 7x 2 6 x2 2 7x 1 6 5 0 a 5 1; b 5 27; c 5 6
353
D 5 b2 2 4ac D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 6 D 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
715 12 x’ 5 2 5 2 5 6 2b 6 D 7 6 25 765 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 7 2 5 5 2 5 1 2 2
O número é 1 ou 6.
2. (x 2 3)2 5 5x 2 1 x2 2 6x 1 9 2 5x 1 1 5 0 x2 2 11x 1 10 5 0 a 5 1; b 5 211; c 5 10 D 5 b2 2 4ac D 5 (211)2 2 4 ? 1 ? 10 D 5 81 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
11 1 9 20 x’ 5 2 5 2 5 10 11 6 81 11 6 9 2b6 D → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 11 2 9 5 2 5 1 2 2
O número é 1 ou 10.
3. x2 2 7 1 6x 5 6x 1 13 2 x x2 1 x 2 20 5 0 a 5 1; b 5 1 e c 5 220 D 5 b2 2 4ac D 5 12 2 4 ? 1 ? (220) D 5 81 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
8 21 1 9 5 54 x’ 5 2b ± D 21 6 81 21 6 9 2 2 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 21 2 9 5 210 52 5 2 2
Os números são 4 e 25.
4.
p 5 x(x 2 1) p 5 380 x2 2 x 5 380 x2 2 x 2 380 5 0 a 5 1; b 5 21 e c 5 2380 D 5 b2 2 4ac D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (2380) D 5 1 521 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 1 1 39 40 x’ 5 2 5 2 5 20 1 6 1 521 2b 6 D 1 6 39 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 1 2 39 5 238 5219 (Não convém.) 2 2 Logo, 20 equipes participam do torneio.
354
5. x3 1 6x2 2 x 2 6 2x3 2 x2 5x2 2 x 2 6 25x2 2 5x 26x 2 6 6x 1 6 0
x11 x2 1 5x 2 6 5 Q(x)
Q(x) 5 x2 1 5x 2 6 5 0 x2 1 5x 2 6 5 0 a 5 1; b 5 5; c 5 26 D 5 b2 2 4ac D 5 52 2 4 ? 1 ? (26) D 5 25 1 24 D 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2517 51 x’ 5 2b 6 D 25 6 49 25 6 7 2 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 25 2 7 52 6 2 Os valores reais de x que tornam Q(x) 5 0 são: 26 e 1. 6. Seja x o número de crianças e y o número de balas: x ? y 5 240 x ? (y 2 1) 5 x ? x Logo, y 5 1 1 x. x(1 1 x) 5 240 x2 1 x 2 240 5 0 a 5 1; b 5 1 e c 5 2240 D 5 b2 2 4ac D 5 12 2 4 ? 1 ? (2240) D 5 961 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 21 1 31 30 5 5 15 x’ 5 2b 6 D 21 6 961 21 6 31 2 2 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 21 2 31 5 2 32 5216 (Não convém.) 2 2 Logo x 5 15. 1 (x 2 12)2 1 10 10 T 5 9,6 º C 1 9,6 52 (x 2 12)2 1 10 10 96 5 2(x2 2 24x 1 144) 1 100 96 2 100 1 x2 2 24x 1 144 5 0 x2 2 24x 1 140 5 0 a 5 1; b 5 224; c 5 140 D 5 b2 2 4ac D 5 (224)2 2 4 ? 1 ? (140) D 5 576 2 560 5 16
7. T 52
355
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 24 1 4 28 5 5 14 x’ 5 2b 6 D 24 6 16 24 6 4 2 2 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 24 2 4 5 20 5 10 2 2 Como o enunciado pede a hora do período da tarde, temos 14 h. Brasil real, páginas 123 e 124. 1. (I) x2 2 8 100 5 0 x2 5 8 100 x 56 8 100 56 90 Como 290 não convém, são 90 km de praias protegidas. (II) 2x2 2 46x 5 0 2x(x 2 23) 5 0 x 5 0 (Não convém.) x 2 23 5 0 R x 5 23 Logo, Santa Cruz de Cabrália está a 23 km de Porto Seguro. (III) x2 2 15x 2 16 5 0 a 5 1; b 5 215; c 5 216 D 5 b2 2 4ac D 5 (215)2 2 4 ? 1 ? (216) D 5 225 1 64 5 289 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
15 1 17 32 5 5 16 x’ 5 15 6 289 15 6 17 2b 6 D 2 2 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 15 2 17 5 22 521 2 2
Logo, cerca de 16 km de praias paradisíacas desenham a paisagem de Arraial D’Ajuda. (IV) x2 2 50x 1 624 5 0 a 5 1; b 5 250; c 5 624 D 5 b2 2 4ac D 5 (250)2 2 4 ? 1 ? 624 D 5 2 500 2 2 496 5 4 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
50 1 2 52 x’ 5 2 5 2 5 26 2b 6 D 50 6 4 50 6 2 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 50 2 2 5 48 5 24 2 2
Logo, Trancoso fica a 24 km de Arraial D’Ajuda e a 26 km de Porto Seguro.
300 V 5 x 2. 300 V 1 40 5 x 22 300 300 1 40 5 x x 22 300(x 2 2) 1 40x(x 2 2) 300x 5 x(x 2 2) x(x 2 2)
356
300x 2 600 1 40x2 2 80x 5 300x 40x2 2 80x 2 600 5 0 x2 2 2x 2 15 5 0 a 5 1; b 5 22; c 5 215 D 5 b2 2 4ac D 5 (22)2 2 4 ? 1 ? (215) D 5 64 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2 18 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 2 6 64 268 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 2 2 8 5 26 5 2 3 (Não convém.) 2 2 O tempo é de 5 horas. t 17 a) D 5 4 ? 2 21 t 11 D50 t 17 t2 1 1 21 5 0 t 17 51 t2 1 1
Desafio!, página 124.
t2 1 1 5 t 1 7 t2 2 t 2 6 5 0 a 5 1; b 5 21; c 5 26 D 5 b2 2 4ac D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (26) D 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
1 15 6 2b 6 D 1 6 25 1 6 5 t’ 5 2 5 2 5 3 5 5 t5 2a 2 ?1 2 t” 5 1 2 5 5 2 4 52 2 (Não convém.) 2 2
Logo, o carro levou 3 horas para percorrer a distância de A até B. Ds b) V 5 Dt Como o carro percorreu 240 km em 3 horas, temos: 240 V5 5 80 R V 5 80 km/h 3 Exercícios, página 127. 1. 1 100 m2
x
x � 28
A 5 x(x 2 28) 1 100 5 x(x 2 28) x2 2 28x 2 1 100 5 0 a 5 1; b 5 228; c 5 21 100
357
D 5 b2 2 4ac D 5 (228)2 2 4 ? 1 ? (21 100) D 5 784 1 4 400 5 5 184 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 100 x’ 5 2 5 50 28 6 5184 2b 6 D 28 6 72 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 244 52 22 (Não convém.) 2 Como x 5 50 e x 2 28 5 22, as dimensões do terreno são: 50 m e 22 m. 2. V5a?b?c 30 5 3 ? x ? (x 1 3) 3x2 1 9x 2 30 5 0 x2 1 3x 2 10 5 0 a 5 1; b 5 3; c 5 210 D 5 b2 2 4ac D 5 32 2 4 ? 1 ? (210) D 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 4 x’ 5 2 5 2 2b 6 D 23 6 49 23 6 7 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 210 52 5 (Não con nvém.) 2 Logo, x 5 2. n(n 2 3) 2 n(n 2 3) a) 9 5 2 2 18 5 n 2 3n n2 2 3n 2 18 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 218 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (218) D 5 81 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
3. d 5
12 n’ 5 2 5 6 2b 6 D 3 6 81 369 → 5 5 n5 2a 2?1 2 n” 5 26 52 3 (Não convé ém.) 2
Logo, o polígono que tem 9 diagonais é o hexágono (n 5 6). n(n 2 3) 2 40 5 n2 2 3n n2 2 3n 2 40 5 0 a 5 1; b 5 23; c 5 240 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (240) D 5 169
b) 20 5
358
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
16 n’ 5 2 5 8 2b6 D 3 6 169 3 6 13 → 5 5 n5 2a 2 ?1 2 n” 5 2 10 52 5 (Não co onvém.) 2
Logo, o polígono que tem 20 diagonais é o octógono (n 5 8).
4. a)
2m
S
7s
2�x
5m 5�x
(2 1 x)(5 1 x) 5 7 ? 2 ? 5 x2 1 7x 1 10 2 70 5 0 x2 1 7x 2 60 5 0 a 5 1; b 5 7; c 5 260 D 5 b2 2 4ac D 5 72 2 4 ? 1 ? (260) D 5 289 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
10 x’ 5 2 5 5 2b 6 D 27 6 289 27 6 17 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 224 5212 (Nã ão convém.) 2
Logo, as dimensões do novo retângulo são: 7 m (2 m 1 5 m) e 10 m (5 m 1 5 m)
b) Perímetro 5 7 1 7 1 10 1 10 5 34 Logo, o perímetro é 34 m. 5. (x 1 2)(x 1 6) 5 140 x2 1 8x 1 12 5 140 x2 1 8x 2 128 5 0 a 5 1; b 5 8; c 5 2128 D 5 b2 2 4ac D 5 82 2 4 ? 1 ? (2128) R D 5 576 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 16 x’ 5 2 5 8 2b 6 D 28 6 576 28 6 24 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 232 5216 (Nã ão convém.) 2 Logo, as medidas são: 10 m (8 m 1 2 m) e 14 m (8 m 1 6 m). 6. AC 5 x; AB 5 10; BC 5 10 2 x; AC2 5 AB ? BC x2 5 10(10 2 x) x2 1 10x 2 100 5 0 a 5 1; b 5 10; c 5 2100 D 5 b2 2 4ac D 5 102 2 4 ? 1 ? (2100) D 5 500
5 5 2,23
359
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 210 1 10 5 5 6,15 x’ 5 2b 6 D 2 10 6 500 210 6 10 5 2 5 5 → x5 2a 2 ?1 2 x” 5 2 10 2 10 5 5216,15 (Não convém.) 2 Logo, a medida de x é 6,15. 7. x ? x 5 16(x 1 5) x2 5 16x 1 80 x2 2 16x 2 80 5 0 a 5 1; b 5 216 e c 5 280 D 5 b2 2 4ac D 5 (216)2 2 4 ? 1 ? (280) D 5 256 1 320 5 576 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 40 x’ 5 2 5 20 2b 6 ∆ 16 6 576 16 6 24 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 −8 52 4 (Não o convém.) 2 a) O lado do quadrado mede 20, e seu perímetro é 4 ? 20 5 80. b) Os lados do retângulo são 16 e 25 (20 1 5); logo, seu perímetro será: 16 1 16 1 25 1 25 5 82 8. 1 000 5 (50 2 2x)(80 2 2x) 1 000 5 4 000 2 100x 2 160x 1 4x2 4x2 2 260x 1 3 000 5 0 x2 2 65x 1 750 5 0 a 5 1; b 5 265; c 5 750 D 5 b2 2 4ac D 5 (265)2 – 4 ? 1 ? 750 D 5 4 225 2 3 000 5 1 225 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 100 x’ 5 2 5 50 (Não convém..) 65 6 1 225 2b 6 D 65 6 35 x5 5 5 → 2a 2 ?1 2 x” 5 30 5 15 2 Logo, o recuo é de 15 m. 9. 2 400 5 (30 1 2x)(50 1 2x) 2 400 5 1 500 1 60x 1 100x 1 4x2 4x2 1 160x 2 900 5 0 x2 1 40x 2 225 5 0 a 5 1; b 5 40; c 5 2225 D 5 b2 2 4ac D 5 402 2 4 ? 1 ? (2225) D 5 1 600 1 900 5 2 500 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 10 x’ 5 2 5 5 240 6 2 500 2b 6 ∆ 240 6 50 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 290 52 45 (Não convém.) 2 Logo, x 5 5 cm.
360
23 – Estudando as raízes de uma equação do 2.o grau Exercícios, página 129. 1. x2 2 2x 2 8 5 0 x 5 22 R R (22)2 2 2 ? (22) 2 8 5 4 1 4 2 8 5 0 Logo, 22 é raiz da equação. x 5 0 R 0 2 0 2 8 5 28 ≠ 0 Logo, 0 não é raiz da equação. x 5 1 R 12 2 2 ? 1 2 8 5 29 ≠ 0 Logo, 1 não é raiz da equação. x 5 4 R 42 2 2 ? 4 2 8 5 0 Logo, 4 é raiz da equação. Então, apenas os números 22 e 4 são raízes da equação dada. 2. x2 2 4x 2 2 5 0
(2 1 6 ) 2 4 (2 1 6 ) 2 2 5 0 2
4 1 4 6 16 28 2 4 6 22 50 10 2 10 5 0 (Verdadeiiro.) Logo, 2 1 6 é raiz da equação dada. 3. 2x2 1 kx 2 1 5 0 Para k 5 1, temos: 2x2 1 x 2 1 5 0 a 5 2; b 5 1; c 5 21 D 5 b2 2 4ac D 5 12 2 4 ? 2 ? (21) 5 9 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2b 6 D 21 6 9 21 6 3 → 5 5 2a 2?2 4 21 1 3 2 1 5 5 x’ 5 4 4 2 → 2 1 2 3 2 4 x” 5 5 521 4 4 x5
Logo, a menor raiz da equação é o número inteiro 21. 4. x2 2 7x 2 2c 5 0 x 5 23 R (23)2 2 7 ? (23) 2 2c 5 0 9 1 21 2 2c 5 0 2c 5 30 c 5 15 Logo, c 5 15. 5. 2x2 2 bx 1 10 5 0 x 5 5 R 2 ? 52 2 b ? 5 1 10 5 0 50 1 10 5 5b 5b 5 60
b 5 12 Logo, b 5 12. 6. 9x2 2 6x 1 2m 5 0 (Raízes reais R D > 0.) a 5 9; b 5 26; c 5 2m D 5 b2 2 4ac > 0 (26)2 2 4 ? 9 ? 2m > 0 36 2 72m > 0 72m > 236 72m < 36 1 m 2 1 O valor real de m é m . 2 7. 9x2 1 9x 1 k 5 0 (Nenhuma raiz real R D , 0.) a 5 9; b 5 9; c 5 k D 5 b2 2 4ac D 5 92 2 4 ? 9 ? k , 0 81 2 36k , 0 236k , 281 81 k. 36 9 k. 4 Para que a equação dada não tenha raízes 9 reais, k . . 4 8. 2x2 1 bx 1 8 5 0 (Uma única raiz real R D 5 0.) D 5 b2 2 4ac D 5 b2 2 4 ? 2 ? 8 5 0 b2 5 64 b 5 ± 64 b 568 Para b 5 8 ou b 5 28, a equação terá uma única raiz real. 9. 4x2 2 4x 1 2p 2 1 5 0 (Raízes reais e diferentes R D . 0.) a 5 4; b 5 24; c 5 2p 2 1 D 5 b2 2 4ac (24)2 2 4 ? 4(2p 2 1) . 0 16 2 32p 1 16 . 0 232p . 232 32p , 32 p,1 Para p , 1, a equação dada terá duas raízes reais e diferentes. 10. x2 1 (m 2 1)x 1 m 2 2 5 0 (Uma única raiz real R D 5 0.) a 5 1; b 5 m; c 5 m 2 2
361
D 5 b2 2 4ac D 5 (m 2 1)2 2 4 ? 1 ? (m 2 2) 5 0 m2 2 2m 1 1 2 4m 1 8 5 0 m2 2 6m 1 9 5 0 D 5 (26)2 2 4 ? 1 ? 9 5 36 2 36 5 0 m5
2b 6 D 66 0 6 5 5 53 2a 2?1 2
Para m 5 3, a equação dada terá uma única raiz real. 11. (k 2 2)x2 2 6x 2 3 5 0 (Nenhuma raiz real R D , 0.) a 5 k 2 2; b 5 26; c 5 23 D 5 b2 2 4ac (26)2 2 4 ? (k 2 2)(23) , 0 36 1 12(k 2 2) , 0 36 1 12k 2 24 , 0 12k , 212 k , 21 Para k , 21, a equação dada não possui raízes reais.
24 – Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax 2 1 bx 1 c 5 0 Exercícios, página 132. 1. a) x2 2 x 2 20 5 0 2b (21) 52 51 S 5 x’ 1 x” 5 1 a c 220 P 5 x’ ? x” 5 5 52 20 a 1 b) 16x2 1 8x 1 1 5 0 2b 8 1 52 52 S 5 x’ 1 x” 5 16 2 a c 1 P 5 x’ ? x” 5 5 a 16 c) 6x2 2 4x 2 3 5 0 2(24) 2b 2 5 5 S 5 x’ 1 x” 5 a 6 3 23 c 1 P 5 x’ ? x” 5 5 52 a 6 2 d) 10x2 1 3x 2 4 5 0 2b 3 52 S 5 x’ 1 x” 5 10 a c 24 2 P 5 x’ ? x” 5 5 52 10 5 a 2. x2 2 6x 2 16 5 0 2b (26) a) x’ 1 x” 5 52 56 1 a
362
c 216 5 5216 a 1 1 1 x” 1 x’ 6 3 c) 5 52 1 5 x’ x” x” ? x’ 216 8 b) x’ ? x” 5
3.
1 1 5 1 5 x x 11 6 6(x 1 1) 1 6x 5x(x 1 1) 5 6x(x 1 1) 6x(x 1 1) 6x 1 6 1 6x 5 5x2 1 5x 5x2 2 7x 2 6 5 0 2b (27) 7 5− 5 S 5 x’ 1 x” 5 5 5 a 26 c P 5 x’ ? x” 5 5 5 a 7 6 S 5 e P 52 . 5 5
4. x2 2 11x 1 28 5 0 2b (211) 52 5 11 S 5 x’ 1 x” 5 1 a c 28 P 5 x’ ? x” 5 5 5 28 a 1 S 2 P 5 11 2 28 8 5217 5. x2 2 0,8x 2 1,6 5 0 2b 2(20,8) 5 5 0,8 1 a c 21,6 P 5 x’ ? x” 5 5 521,6 a 1 S 0,8 8 1 5 5 52 5 − 0,5 P 21,6 216 2
S 5 x’ 1 x” 5
6. x2 2 4 2 x 1 3 5 0 2b (24 2 ) 52 54 2 a 1 c 3 P1 5 x’ ? x” 5 5 5 3 a 1
S1 5 x’ 1 x” 5
x2 2 2 x 2 3 5 0 (2 2) 2b 52 5 2 a 1 c 23 52 3 P2 5 x’ ? x” 5 5 a 1
S2 5 x’ 1 x” 5
S 5 4 2 1 3 1 (23) 1 2 5 5 2 P 5 4 2 ? 3 ? (23) ? 2 52 72 7. 10x2 2 7x 1 c 5 0 c c 1 P 5 x’ ? x” 5 5 5 a 10 8 10 c5 5 1,25 8
8. 4x2 2 3px 1 p 2 4 5 0 S5P x’ 1 x” 5 x’ ? x” 2b c 5 a a 2(23p) p24 5 4 4 3p 5 p 2 4 2p 5 24 p 5 22
13. 4x2 2 2(k 2 1)x 2 1 5 0 Se x’ 5 2x”, então: x’ 1 x” 5 0. 2b x’ 1 x” 5 a 2 2(k 2 1) 05 4 22k 1 2 5 4 ? 0 2k 2 2 5 0 k51 Desafio!, página 133.
9. x2 2 3mx 1 m 5 0 2b 5 15 S5 a 2(23m) S5 5 15 1 3m 5 15 m55 c m P5 5 a 1 Como m 5 5, P 5 5.
a) x 2 5x 1 6 5 0 S55eP56 S521355 P52?356 As raízes são 2 e 3. b) x2 2 7x 1 10 5 0 S 5 7 e P 5 10 S521557 P 5 2 ? 5 5 10 As raízes são 2 e 5. c) x2 2 10x 1 24 5 0 S 5 10 e P 5 24 S 5 4 1 6 5 10 P 5 4 ? 6 5 24 As raízes são 4 e 6. d) x2 2 8x 1 7 5 0 S58eP57 S511758 P51?757 As raízes são 1 e 7. e) x2 2 4x 2 12 5 0 S 5 4 e P 5 212 S 5 6 1 (22) 5 4 P 5 6 ? (22) 5 212 As raízes são 6 e 22. 2
10. x2 2 2mx 1 m 5 0 P54 c m P5 5 54 R m 5 4 a 1 S5
−b 2(22m) 5 → S 5 2m a 1
Como m 5 4: S 5 2m R S 5 2 ? 4 R S 5 8 11. x2 2 mx 2 5 5 0 (x’ 1 x”) 1 (x’ ? x”) 5 1 2b c 1 51 a a 2(2m) (25) 1 51 1 1 m2551 m56 O valor real de m que satisfaz a condição dada é m 5 6. 12. 2x2 1 5x 1 h 2 5 5 0 1 Se x’ 5 , então: x’ ? x” 5 1. x” c x’ ? x” 5 a c 15 a h 25 15 2 h2552 h57
25 – Escrevendo uma equação do 2.o grau quando conhecemos as duas raízes Exercícios, página 134. 1. a)
5e7 S 5 5 1 7 5 12 P 5 5 ? 7 5 35 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 12x 1 35 5 0
363
b) 6 e 6 S 5 6 1 6 5 12 P 5 6 ? 6 5 36 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 12x 1 36 5 0 c) 22 e 11 S 5 22 1 11 5 9 P 5 (22) ? 11 5 222 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 9x 2 22 5 0 d) 28 e 25 S 5 28 2 5 5 213 P 5 (28) ? (25) 5 40 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 (213)x 1 40 5 0 x2 1 13x 1 40 5 0 e) 28 e 8 S 5 28 1 8 5 0 P 5 (28) ? 8 5 264 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 0x 2 64 5 0 x2 2 64 5 0 f) 29 e 0 S 5 29 1 0 5 29 P 5 (29) ? 0 5 0 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 (29)x 1 0 5 0 x2 1 9x 5 0 g)
1 e 24 2 1 7 S 5 2 4 52 2 2 1 P 5 ? (24) 52 2 2 x2 2 Sx 1 P 5 0 7 x2 1 x 2 2 5 0 2 2x2 1 7x 2 4 5 0
h)
3 3 e 4 4 3 3 6 3 S5 1 5 5 4 4 4 2 3 3 9 P5 ? 5 4 4 16 x2 2 Sx 1 P 5 0 3 9 x2 2 x 1 50 2 16 16x2 2 24x 1 9 5 0
i) 4 1 2 e 4 2 2
S 5 4 1 2 1 4 2 2 58 P 5 (4 1 2 ) ? (4 2 2 ) 5 5 42 2 ( 2 )2 5 16 2 2 5 14
x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 8x 1 14 5 0
j) 2 1 1 10 e 21 2 10 S 521 1 10 1 (2 1 2 10 ) 52 2
P 5 (2 1 1 10 )(2 1 2 10 ) 5 5 (2 1)2 2 ( 10 )2 5 1 2 10 52 9 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 (22)x 1 (29) 5 0 x2 1 2x 2 9 5 0
2. a) S 5 11 e P 5 18 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 11x 1 18 5 0 b) S 5 25 e P 5 284 x2 2 Sx 1 P 5 0 x2 2 (25)x 1 (284) 5 0 x2 1 5x 2 84 5 0 1 1 c) S 5 e P 52 3 3 x2 2 Sx 1 P 5 0 1 1 x2 2 x 2 5 0 3 3 3x2 2 x 2 1 5 0
26 – Equações biquadradas Exercícios, página 136. 1. a)
364
x4 2 8x2 2 9 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 8p 2 9 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (28)2 2 4 ? 1 ? (29) D 5 64 1 36 5 100
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 8 1 10 18 p’ 5 2 5 2 5 9 2b 6 D 8 6 100 8 6 10 → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 8 2 10 5 22 521 2 2 Para p 5 9, temos: x2 5 p R x2 5 9 R x 5 63 Para p 5 21 temos: x2 5 p R x2 5 21 R x 56 21 (Não existe em IR.) Logo, S 5 {23, 3}.
b) x4 2 4 5 3x2 R x4 2 3x2 2 4 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 3p 2 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (24) D 5 9 1 16 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
315 8 p’ 5 2 5 2 5 4 3 6 25 365 2b 6 D → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 3 2 5 5 22 521 2 2 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 5 62 Para p 5 21, temos: x2 5 p R x2 5 21 R x 56 21 (Não existe em IR.) Logo, S 5 {22, 2}.
c) x4 2 16x2 5 0
2 x 5 0 ou x2(x2 2 16) 5 0 → 2 x 2 16 5 0
Para x2 5 0, temos: x 5 0. Para x2 2 16 5 0, temos: x2 5 16 R x 56 16 → x 56 4 Logo, S 5 {24, 0, 4}.
d) x4 2 8x2 1 16 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 8p 1 16 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (28)2 2 4 ? 1 ? 16 D50 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real: 2b 8 p5 5 54 2a 2 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 562 Logo, S 5 { 22, 2}. 2. 11x4 2 6x2 5 x2 1 4 R 11x4 2 7x2 2 4 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: 11p2 2 7p 2 4 5 0
365
D 5 b2 2 4ac D 5 (27)2 2 4 ? 11 ? (24) D 5 49 1 176 5 225 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 7 1 15 22 p’ 5 22 5 22 5 1 2 b6 D 7 6 225 7 6 15 → 5 5 p5 2a 2 ? 11 22 p” 5 7 2 15 5 28 52 4 22 22 11 Para p 5 1, temos: x2 5 p R x2 5 1 R x 56 1 561 4 Para p 52 , temos: 11 4 4 R x 56 2 (Não existe em IR.) x2 5 p R x2 52 11 11 As expressões dadas apresentam valores numéricos iguais para x 5 21 e x 5 1. 3. a)
(x2 2 1)(x2 2 12) 1 24 5 0 R x4 2 13x2 1 12 1 24 5 0 R x4 2 13x2 1 36 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 13p 1 36 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (213)2 2 4 ? 1 ? 36 D 5 169 2 144 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 13 1 5 18 p’ 5 2 5 2 5 9 13 6 25 13 6 5 2b 6 D → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 13 2 5 5 8 5 4 2 2 Para p 5 9, temos: x2 5 p R x2 5 9 R x 56 9 56 3 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 56 4 56 2 S 5 {23, 22, 2, 3}
b) (x2 1 2)2 5 2(x2 1 6) R x4 1 4x2 1 4 5 2x2 1 12 R x4 1 2x2 2 8 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 1 2p 2 8 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 22 2 4 ? 1 ? (28) D 5 4 1 32 5 36 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
22 1 6 4 5 52 p’ 5 2b 6 D 22 6 36 22 6 6 2 2 → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 22 2 6 5 28 52 4 2 2 Para p 5 2, temos: x2 5 p R x2 5 2 R x 56 2 Para p 5 24, temos: x2 5 p R x2 5 24 R x 56 24 (Não existe em IR.)
S5 2 2 , 2
366
{
}
c) (x 1 2)(x 2 2)(x 1 1)(x 2 1) 1 5x2 5 20 (x2 2 4)(x2 2 1) 1 5x2 2 20 5 0 x4 2 5x2 1 4 1 5x2 2 20 5 0 x4 2 16 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 5 16 p 56 16 → p 56 4 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 5 62 Para p 5 24, temos: x2 5 p R x2 5 24 R x 56 24 (Não existe em IR.) S 5 {22, 2} d) x2(x2 2 9) 5 220 R x4 2 9x2 1 20 5 0 Fazendo x2 5 p: p2 2 9p 1 20 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 20 5 1 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
9 11 10 p’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 96 1 9 61 → 5 5 p5 2a 2 2 p” 5 9 2 1 5 8 5 4 2 2 Para p 5 5, temos: x2 5 p R x2 5 5 R x 56 5 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 56 4 → x 56 2
S 5 2 5 , 2 2, 2, 5
{
}
4. x4 2 26x2 1 25 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 26p 1 25 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (226)2 2 4 ? 1 ? 25 D 5 676 2 100 5 576 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 26 1 24 50 5 5 25 p’ 5 26 6 576 26 6 24 2b 6 D 2 2 → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 26 2 24 5 2 5 1 2 2 Para p 5 25, temos: x2 5 p R x2 5 25 R x 56 25 → x 56 5 Para p 5 1, temos: x2 5 p R x2 5 1 R x 56 1 → x 561 As raízes reais positivas da equação dada são 5 e 1; logo, a soma dessas raízes é 6 (S 5 5 1 1 R S 5 6). 6 (Com x ≠ 1 e x ≠ 21.) x2 2 1 (x2 2 2) (x2 2 1) 6 5 2 2 x 21 x 21 (x2 2 2)(x2 2 1) 5 6 R x4 2 3x2 1 2 2 6 5 0 R x4 2 3x2 2 4 5 0
5. x2 2 2 5
367
Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 3p 2 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (24) D 5 9 1 16 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 315 8 p’ 5 2 5 2 5 4 2 b6 D 3 6 25 365 → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 3 2 5 5 22 521 2 2 Para p 5 4, temos: x2 5 p R x2 5 4 R x 56 4 → x 56 2 Para p 5 21, temos: x2 5 p R x2 5 21 R x 56 21 (Não existe em IR.) Logo, a equação dada tem duas raízes reais: 22 e 2. 2 5 3 (Com x 0.) x2 x4 1 2 3x2 5 2 2 x x 4 2 x 2 3x 1 2 5 0 Fazendo x2 5 p, temos: p2 2 3p 1 2 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? 2 5 1 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
6. x2 1
3 11 4 p’ 5 2 5 2 5 2 2b 6 D 36 1 3 61 → 5 5 p5 2a 2?1 2 p” 5 3 2 1 5 2 5 1 2 2 Para p 5 2, temos: x2 5 p R x2 5 2 R x 56 2 Para p 5 1, temos: x2 5 p R x2 5 1 R x 56 1 → x 561
(
)
Todas as raízes da equação dada 2 2 , 21, 2 e 1 são números reais; logo, a afirmação é correta.
27 – Equações irracionais Exercícios, página 138. 1.
x 21 53 2 x
(
x 21
) 5 (3 2 x) 2
x 2 1 5 9 2 6x 1 x2 x2 2 7x 1 10 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (27)2 2 4 ? 1 ? 10 D 5 49 2 40 5 9
368
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 713 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 76 9 763 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 7 2 3 5 4 5 2 2 2 Verificação • Para x 5 5, temos:
x 21 53 2 x
5 2 1 5 3 25
2 5 22 (Falso.) Portanto, x 5 5 não é solução. • Para x 5 2, temos:
x 21 53 2 x
2 21 53 22
1 5 1 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 2 é solução. Logo, S 5 {2}. 2.
(
x2 2 6x 1 16 5 2 2 x2 2 6x 1 16
) 5 (2 2
2)
2
x2 2 6x 1 16 5 4 ? 2 x2 2 6x 1 8 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (26)2 2 4 ? 1 ? 8 D 5 36 2 32 5 4 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 6 12 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 66 4 662 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 6 2 2 5 4 5 2 2 2 Verificação • Para x 5 4, temos:
x2 2 6x 1 16 5 2 2
42 2 6 ? 4 1 16 5 2 2
16 2 24 1 16 5 2 2
8 52 2
2 2 5 2 2 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 4 é solução. • Para x 5 2, temos:
x2 2 6x 1 16 5 2 2 22 2 6 ? 2 1 16 5 2 2 4 2 12 1 16 5 2 2 8 52 2
2 2 5 2 2 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 2 é solução. Logo, S 5 {2, 4}.
369
3. 4 2 x 5 x 1 2 (4 2 x)2 5
(
x 12
)
2
16 2 8x 1 x2 5 x 1 2 x2 2 9x 1 14 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 14 5 81 2 56 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 9 15 14 x’ 5 2 5 2 5 7 2b 6 D 9 6 25 9 65 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 9 2 5 5 4 5 2 2 2 Verificação • Para x 5 7, temos:
4 2 x 5 x 12
•
4 275 712 23 5 3 (Falso.) Portanto, x 5 7 não é solução. Para x 5 2, temos:
4 2 x 5 x 12
4 22 5 2 12 2 5 2 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 2 é solução. Logo, S 5 {2}. 4.
(
x2 2 9 5 x 1 11 x2 2 9
) 5( 2
x 1 11
)
2
x2 2 9 5 x 1 11 x2 2 x 2 20 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (21)2 – 4 ? 1 ? (220) 5 81 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 1 19 10 x’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 1 6 81 169 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 1 2 9 52 8 5 2 4 2 2 Verificação • Para x 5 5, temos:
x2 2 9 5 x 1 11
25 2 9 5 5 1 11
16 5 16 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 5 é solução. • Para x 5 24, temos:
x2 2 9 5 x 1 11
16 2 9 5 24 1 11
7 5 7 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 24 é solução. Logo, para x 5 24 ou x 5 5 as expressões dadas apresentam o mesmo valor.
370
5.
7x 2 3 2 1 5 x
(
7x 2 3 5 x 1 1
)
2
7x 2 3 5 (x 1 1)2
7x 2 3 5 x2 1 2x 1 1 x2 2 5x 1 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 4 5 25 2 16 5 9 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 513 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 56 9 563 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 5 2 3 5 2 5 1 2 2 Verificação • Para x 5 4, temos:
7x 2 3 2 1 5 x 7 ? 4 23 21 5 4
28 2 3 2 1 5 4
25 2 1 5 4
4 5 4 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 4 é solução. • Para x 5 1, temos: 7x 2 3 2 1 5 x
7 ? 1 23 21 51 4 21 51
1 5 1 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 1 é solução. Logo, S 5 {1, 4}. 6.
(
x2 2 x 1 4 5 4
)
2
x2 2 x 1 4 5 42 x2 2 x 1 4 5 16 x2 2 x 2 12 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (212) 5 1 1 48 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 1 17 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 1 6 49 1 67 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 1 2 7 52 6 52 3 2 2 Verificação • Para x 5 4, temos:
x2 2 x 1 4 5 4
16 2 4 1 4 5 4
16 5 4 4 5 4 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 4 é solução.
371
• Para x 5 23, temos:
x2 2 x 1 4 5 4
9 131 4 5 4
16 5 4 4 5 4 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 23 é solução. Logo, o valor real x é x 5 4 ou x 5 23. x 1 x 21 5 7 →
7.
(
x 1 x 21
) 5( 7 ) → 2
2
→ x 1 x 21 57 → x 21 57 2 x → →
(
x 21
) 5 (7 2 x) 2
2
x 2 1 5 49 2 14x 1 x2 x2 2 15x 1 50 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (215)2 2 4 ? 1 ? 50 5 225 2 200 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 15 1 5 20 x’ 5 2 5 2 5 10 2b 6 D 15 6 25 15 6 5 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 15 2 5 5 10 5 5 2 2 Verificação • Para x 5 10, temos:
x 1 x 21 5 7
10 1 9 5 7
13 5 7 (Falso.) Portanto, x 5 10 não é solução. • Para x 5 5, temos:
x 1 x 21 5 7
51 4 5 7
7 5 7 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 5 é solução. Logo, o número real é x 5 5. x 5 42x
8.
42x (Com x 4.) 2
2
x 5 42x
42x 2
2
x 42x 5 42x 2 2x 5 (4 2 x)2 2x 5 16 2 8x 1 x2 x2 2 10x 1 16 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (210)2 2 4 ? 1 ? 16 5 100 2 64 5 36
372
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 10 1 6 16 x’ 5 2 5 2 5 8 2b 6 D 10 6 36 10 6 6 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 10 2 6 5 4 5 2 2 2 Verificação • Para x 58 , temos:
x 5 42x
42x 2
8 5 4 28
4 28 2
22 5 22 (Não existe.) Portanto, x 5 8 não é solução.
• Para x 5 2, temos:
x 5 42x
42x 2
2 5 4 22
4 22 2
1 5 1 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 2 é solução. Logo, S 5 {2}. 9.
(
x 52 2 x
x ) 5 (2 2 x)2 x 5 4 2 4x 1 x2 x2 2 5x 1 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (25)2 2 4 ? 1 ? 4 5 9 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2
513 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 56 9 563 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 5 2 3 5 2 5 1 2 2 Verificação • Para x 5 4, temos:
x 5 4 → x 52 2 x 4 52 2 4 2 5 22 (Falso.) Portanto, x 5 4 não é solução.
• Para x 5 1, temos:
x 52 2 x
1 52 21
1 5 1 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 1 é solução. Logo, x 5 1.
373
10. x 1 x 1 2 5 10
(
x 1 2 5 10 2 x
)
2
x 1 2 5 (10 2 x)2 x 1 2 5 100 2 20x 1 x2 x2 2 21x 1 98 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (221)2 2 4 ? 1 ? 98 5 441 2 392 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 21 1 7 28 x’ 5 2 5 2 5 14 2b 6 D 21 6 49 21 6 7 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 21 2 7 5 14 5 7 2 2 Verificação • Para x 5 14, temos: x 1 x 1 2 5 10 14 1 16 5 10 18 5 10 (Falso.) Portanto, x 5 14 não é solução. • Para x 5 7, temos: x 1 x 1 2 5 10 7 1 9 5 10 10 5 10 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 7 é solução. Logo, x 5 7.
28 – Resolvendo sistemas de equações do 2.o grau Exercícios, página 141. 1.
x 5 2y a) 2 x 1 y 5 35 Substituindo x 5 2y na segunda equação, temos: 2y 1 y2 5 35 y2 1 2y 2 35 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 22 2 4 ? 1 ? (235) 5 4 1 140 5 144 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
374
22 1 12 10 5 55 y’ 5 2b 6 D 22 6 144 22 6 12 2 2 → 5 5 y5 2a 2?1 2 y” 5 22 2 12 5 214 52 7 2 2 • Se y 5 27, temos: x 5 2y R x 5 2 ? 27 R x 5 214 Então, (214, 27) é solução. • Se y 5 5, temos: x 5 2y R x 5 2 ? 5 R x 5 10 Então, (10, 5) é solução. Logo, S 5 {(214, 27); (10, 5)}
x 1 y 5 9 b) xy 5 14 Da primeira equação, temos: y 5 9 2 x. Substituindo y 5 9 2 x na segunda equação: x(9 2 x) 5 14 9x 2 x2 5 14 x2 2 9x 1 14 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (29)2 2 4 ? 1 ? 14 5 81 2 56 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
9 15 14 x’ 5 2 5 2 5 7 2b 6 D 9 6 25 9 65 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 9 2 5 5 4 5 2 2 2 • Se x 5 7, temos: y592xRy5927Ry52 Então, (7, 2) é solução. • Se x 5 2, temos: y592xRy5922Ry57 Então, (2, 7) é solução. Logo, S 5 {(7, 2); (2, 7)}.
x 5 5 2 2y c) 2 y 2 7 52 3x
Substituindo x 5 5 2 2y na segunda equação, temos: y2 2 7 5 23(5 2 2y) y2 2 7 5 215 1 6y y2 2 6y 1 8 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (26)2 2 4 ? 1 ? 8 5 36 2 32 5 4 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 6 12 y’ 5 2 5 4 2b 6 D 66 4 6 62 → 5 5 y5 2a 2?1 2 y” 5 6 2 2 5 2 2 • Se y 5 4, temos: x 5 5 2 2y R x 5 5 2 2 ? 4 R x 5 23 Então, (23, 4) é solução. • Se y 5 2, temos: x 5 5 2 2y R x 5 5 2 2 ? 2 R x 5 1 Então, (1, 2) é solução. Logo, S 5 {(23, 4); (1, 2)}.
x 1 y 5 4 d) 2 x 2 xy 5 6
Da primeira equação, temos: y 5 4 2 x. Substituindo y 5 4 2 x na segunda equação: x2 2 x(4 2 x) 5 6 x2 2 4x 1 x2 2 6 5 0 2x2 2 4x 2 6 5 0
375
x2 2 2x 2 3 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (22)2 2 4 ? 1 ? (23) 5 4 1 12 5 16 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 214 x’ 5 2 5 3 2b 6 D 2 6 16 264 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 2 2 4 521 2 • Se x 5 3, temos: y542xRy5423Ry51 Então, (3, 1) é solução. • Se x 5 21, temos: y 5 4 2 x R y 5 4 2 (21) R y 5 5 Então, (21, 5) é solução. Logo, S 5 {(3, 1); (21, 5)}.
y 5 3 2 x 2. 2 x 1 y(4 2 x) 5 7 Substituindo os valores da primeira equação na segunda, temos: x2 1 (3 2 x)(4 2 x) 5 7 x2 1 12 2 7x 1 x2 2 7 5 0 2x2 2 7x 1 5 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (27)2 2 4 ? 2 ? 5 5 49 2 40 5 9 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 713 10 5 x’ 5 4 5 4 5 2 76 9 763 2b 6 D → 5 5 x5 2a 2?2 4 x” 5 7 2 3 5 4 5 1 4 4 5 • Se x 5 , temos: 2 5 1 y 532 x → y 532 → y 5 2 2
5 1 Então, , é solução. 2 2
• Se x 5 1, temos: y532xRy5321Ry52 Então, (1, 2) é solução. 5 7 a) x1 1 x2 5 1 1 5 2 2 1 5 b) y1 1 y2 5 1 2 5 2 2 y 1 x2 2 5x 5 3 3. y 1 x 52 2 Da segunda equação, temos: y 5 22 1 x. Substituindo y 5 22 1 x na primeira equação, temos: 22 1 x 1 x2 2 5x 2 3 5 0 x2 2 4x 2 5 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (24)2 2 4 ? 1 ? (25) 5 16 1 20 5 36
376
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 4 16 x’ 5 2 5 5 2b 6 D 4 6 36 4 66 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 4 2 6 521 2 • Se x 5 5, temos: y 5 22 1 x R y 5 22 1 5 R y 5 3 Então, (5, 3) é solução. • Se x 5 21, temos: y 5 22 1 x R y 5 22 2 1 R y 5 23 Então, (21, 23) é solução. Logo, S 5 {(5, 3); (21, 23)}. Agora, podemos calcular a soma: x1 1 y1 1 x2 1 y2 5 5 1 3 2 1 2 3 5 4 4.
xy 5 140 x 2 y 5 4 Da segunda equação, temos: y 5 x 2 4. Substituindo y 5 x 2 4 na primeira equação, temos: x(x 2 4) 5 140 x2 2 4x 2 140 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (24)2 2 4 ? 1 ? (2140) 5 16 1 560 5 576 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 4 1 24 5 14 x’ 5 2b 6 D 4 6 576 4 6 24 2 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 4 2 24 5210 2 Como o problema pede números inteiros e positivos, consideramos apenas x 5 14. Se x 5 14 R y 5 14 2 4 5 10 Logo, os números são 14 e 10.
x2 1 y2 5 52 5. y 5 x 2 2 Substituindo a segunda equação na primeira, temos: x2 1 (x 2 2)2 5 52 x2 1 x2 2 4x 1 4 2 52 5 0 2x2 2 4x 2 48 5 0 x2 2 2x 2 24 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (22)2 2 4 ? 1 ? (224) 5 4 1 96 5 100 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2 1 10 x’ 5 2 5 6 2b 6 D 2 6 100 2 6 10 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 2 2 10 52 4 (Nã ão convém.) 2 Se x 5 6 R y 5 6 2 2 R y 5 4 Para x 5 6 e y 5 4, temos: A1 5 x2 5 62 5 36 R A1 5 36 cm2 A2 5 y2 5 42 5 16 R A2 5 16 cm2
377
x 53 6. y y2 5 x 1 10 Da primeira equação, temos: x 5 3y. Substituindo x 5 3y na segunda equação, temos: y2 5 3y 1 10 y2 2 3y 2 10 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (210) 5 9 1 40 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 317 10 y’ 5 2 5 2 5 5 2b 6 D 3 6 49 367 → 5 5 y5 2a 2?1 2 y” 5 3 2 7 5 22 5 21 (Não convém.) 2 2 Se y 5 5 R x 5 3y R x 5 3 ? 5 R x 5 15 Logo, os números são x 5 15 e y 5 5. xy 5 15 7. (x 1 4)(y 1 2) 5 45 xy 5 15 xy 1 2x 1 4y 1 8 2 45 5 0 Da primeira equação, temos: y 5 Substituindo y 5 15 1 2x 1 4 ?
15 . x
15 na segunda equação, temos: x
15 2 37 5 0 x
60 2 22 5 0 x 2x2 1 60 2 22x 5 0 x2 2 11x 1 30 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (211)2 2 4 ? 1 ? 30 5 121 2 120 5 1 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2x 1
11 1 1 x’ 5 2 5 6 2b 6 D 11 6 1 11 6 1 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 11 2 1 5 5 2 15 Se x 5 6 → y 5 5 2,5 6 15 Se x 5 5 R y 5 53 5 Há duas possibilidades para x e y: se x 5 6 cm, y 5 2,5 cm; se x 5 5 cm, y 5 3 cm. 8. Se x é o comprimento, e y é a largura do galpão, escrevemos: xy 5 96 xy 5 96 R ( x 1 3 )( y 1 2 ) 5 150 xy 1 2x 1 3y 1 6 2 150 5 0 Da primeira equação, temos y 5
378
96 . x
Substituindo y 5 96 1 2x 1 3 ? 2x 1
96 na segunda equação, temos: x
96 2 144 5 0 x
288 2 48 5 0 x
2x2 1 288 2 48x 5 0 x2 2 24x 1 144 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (224)2 2 4 ? 1 ? 144 5 576 2 576 5 0 Como D 5 0, a equação tem uma única raiz real: 2b 24 5 5 12 2a 2 96 Se x 5 12 → y 5 58 12 x5
Logo, as dimensões originais são 12 m e 8 m. xy 5 54 9. (x 1 2)(y 1 2) 5 88 xy 5 54 xy 1 2x 1 2y 1 4 5 88 Da primeira equação, temos: y 5 Substituindo y 5 54 1 2x 1 2 ?
54 . x
54 na segunda equação, temos: x
54 2 84 5 0 x
108 2 30 5 0 x 2x2 2 30x 1 108 5 0 x2 2 15x 1 54 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (215)2 2 4 ? 1 ? 54 5 225 2 216 5 9 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2x 1
15 1 3 18 x’ 5 2 5 2 5 9 2b 6 D 15 6 9 15 6 3 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 15 2 3 5 12 5 6 2 2 54 Se x 5 9 → y 5 56 9 Se x 5 6 → y 5
54 59 6
O lado menor do retângulo deve ser 6 cm, e o maior, 9 cm. Brasil real, página 142. 1. a)
x2 2 5x 1 24 5 0 4 x2 2 20x 1 96 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (220)2 2 4 ? 1 ? 96 5 400 2 384 5 16
379
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais:
24 x’ 5 2 5 12 2b 6 D 20 6 16 20 6 4 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 16 5 8 2 A 5 8 e B 5 12.
b)
• A 5 8% de 160 000 000 0,08 ? 160 000 000 5 12 800 000 12 800 000 brasileiros com mais de 60 anos. • B 5 12% de 200 000 000 0,12 ? 200 000 000 5 24 000 000 24 000 000 brasileiros com mais de 60 anos. • 42% 2 24,3% 5 17,7% • 24,3% de 200 000 000 0,243 ? 200 000 000 5 48 600 000 R 48 600 000 jovens.
2. a) D 5 b2 2 4ac D 5 (0,4)2 2 4 ? 1 ? (23,2) 5 0,16 1 12,8 5 12,96 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 20, 4 1 3,6 5 1,6 x’ 5 2b 6 D 20, 4 6 12,96 20, 4 6 3,6 2 → x5 5 5 2a 2 ?1 2 x” 5 20, 4 2 3,6 52 2 (Não convém.) 2 Portanto, a taxa é de 1,6. b) Analisando o gráfico, temos que o maior crescimento populacional ocorreu de 1940 a 1950. c) Analisando o gráfico, temos que a maior queda no crescimento populacional ocorreu de 1980 a 1990. 3. Resposta em aberto.
Tratamento da informação, página 143. 1.
5 4 7 1 5 x x 11 12 60(x 1 1) 1 48x 7x(x 1 1) 5 12x(x 1 1) 12x(x 1 1) 60x 1 60 1 48x 5 7x2 1 7x 7x2 2 101x 2 60 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (2101)2 2 4 ? 7 ? (260) 5 10 201 1 1 680 5 11 881 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 210 x’ 5 14 5 15 101 6 11881 2b 6 D 101 6 109 5 5 → x5 2a 2?7 14 x” 5 28 5 24 (Não convém.) 14 7 Logo, o tempo é de 15 minutos.
2. Resposta em aberto.
380
Retomando o que aprendeu, páginas 144 e 145. 1. Alternativa d. 5x 1 9 5 5 1
1 x
5x2 1 9x 5 5x 1 1 5x2 1 4x 2 1 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 42 2 4 ? 5 ? (21) 5 16 1 20 5 36 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 1 24 1 6 x’ 5 10 5 5 2b 6 D 24 6 36 24 6 6 → 5 5 x5 2a 2?5 10 x” 5 24 2 6 5 210 521 10 10 Logo, a menor raiz da equação é 21. 2. Alternativa a. x(4x 2 1) 5 3(x 1 1) 4x2 2 x 5 3x 1 3 4x2 2 4x 2 3 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (24)2 2 4 ? 4 ? (23) 5 16 1 48 5 64 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 4 18 12 3 x’ 5 8 5 8 5 2 5 1,5 2b 6 D 4 6 64 4 68 → 5 5 x5 2a 2? 4 8 x” 5 4 2 8 5 24 52 1 52 0,5 8 8 2 3. Alternativa c. 12 x2 5 1 (x 0) x x2 2 12 5 x x2 2 x 2 12 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (21)2 2 4 ? 1 ? (212) 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 1 17 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2b 6 D 1 6 49 1 67 → 5 5 x5 2a 2 ?1 2 x” 5 1 2 7 5 26 52 3 2 2 (x’ 2 x”)2 5 [4 2 (23)]2 5 72 5 49 4. Alternativa e. 1 5 5 (x deve ser inteiro e diferente de zero.) x 2 2x2 1 2 5x 5 2x 2x 2x2 2 5x 1 2 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (25)2 2 4 ? 2 ? 2 5 25 2 16 5 9 x1
381
Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 513 8 x’ 5 4 5 4 5 2 2b 6 D 56 9 563 → 5 5 x5 2a 2?2 4 x” 5 5 2 3 5 2 5 1 (N Não convém.) 4 4 2 Considerando a raiz inteira (x 5 2), temos: x3 2
1 1 1 63 3 5 3 52 2 3 58 2 8 8 x 2
5. Alternativa b. x2 1 11 5 12x x2 2 12x 1 11 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (212)2 2 4 ? 1 ? 11 5 144 2 44 5 100 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 12 1 10 22 5 5 11 x’ 5 2b 6 D 12 6 100 12 6 10 2 2 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 12 2 10 5 2 5 1 2 2 Agora, calculamos a média aritmética das raízes encontradas: M5
x’ 1 x” 11 1 1 5 56 2 2
6. Alternativa e. 5x2 1 6 5 31x R 5x2 2 31x 1 6 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (231)2 2 4 ? 5 ? 6 5 961 2 120 5 841 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 31 1 29 60 x’ 5 10 5 10 5 6 2b 6 D 31 6 841 31 6 29 → 5 5 x5 2a 2?5 10 x” 5 31 2 29 5 2 5 1 10 10 5 Soma dos termos da raiz expressa pela fração 7. Alternativa a. h2 V 5 2k 1 (V 5 25 e k 5 2,5.) 5 h2 25 5 2 ? 2,5 1 5 h2 25 5 5 1 5 125 5 25 1 h2 h2 5 100 h 5 610 8. Alternativa d. 4 1 x 2 1 (y 5 2) x 4 2 52 1 x 2 1 x y 52
2x 5 24 1 x2 2 x
382
1 : 1 1 5 5 6. 5
x2 2 3x 2 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (24) 5 9 1 16 5 25 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 315 8 x’ 5 2 5 2 5 4 2 b6 D 3 6 25 365 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 3 2 5 5 22 521 2 2 Logo, o menor valor que verifica a igualdade nas condições dadas é x 5 21. 9. Alternativa c. ax2 2 4x 2 16 5 0 x 5 4 é raiz. a ? 42 2 4 ? 4 2 16 5 0 16 ? a 5 32 a52 2x2 2 4x 2 16 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (24)2 2 4 ? 2 ? (216) 5 16 1 128 5 144 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 4 1 12 16 5 54 x’ 5 4 4 6 144 4 6 12 2b 6 D 4 → 5 5 x5 2a 2?2 4 x” 5 4 2 12 5 28 52 2 4 4 Logo, a outra raiz da equação dada é 22. 10. Alternativa b. x2 1 (2m 2 3)x 1 m2 1 3 5 0 (Duas raízes diferentes R D . 0.) D 5 b2 2 4ac D 5 (2m 2 3)2 – 4 ? 1 ? (m2 1 3) 4m2 2 12m 1 9 2 4m2 2 12 . 0 212m 2 3 . 0 12m 1 3 , 0 12m , 23 1 m ,2 4 11. Alternativa e. px2 2 2(q 2 1)x 1 6 5 0 S 5 23 P53 2b 2(q 2 1) S5 5 52 3 a p c 6 P 5 5 53 → p 52 a p 2(q 2 1) 52 3 p 2(q 2 1) 5 2(23) 2q 2 2 5 26 2q 5 24 q 5 22
383
12. Alternativa a. 2x2 1 5x 2 3 5 0 2b 5 52 a 2 c 23 P5 5 a 2 25 S 5 5 2 5 P 3 23 2 13. Alternativa c. S5
(
2x2 2 4x 1 9 5 2x 2 3
) 5 (2x 2 3) 2
2x2 2 4x 1 9
2
2x2 2 4x 1 9 5 4x2 2 12x 1 9 2x2 2 8x 5 0 2x(x 2 4) 5 0 x 5 0 ou x 5 4 Verificação • Para x 5 0, temos:
2x2 2 4x 1 9 5 2x 2 3
0 20 19 50 23 3 5 23 (Falso.) Portanto, x 5 0 não é solução. • Para x 5 4, temos:
2x2 2 4x 1 9 5 2x 2 3
2 ? 16 2 16 1 9 5 8 2 3
25 5 5 5 5 5 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 4 é solução. Logo, o valor de x que satisfaz a equação dada (x 5 4) está entre 3 e 5. 14. Alternativa b. x 2352 x
(x − 3)2 5 (2 x ) x2 2 6x 1 9 5 4x x2 2 10x 1 9 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (210)2 2 4 ? 1 ? 9 5 100 2 36 5 64 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2
10 1 8 18 x’ 5 2 5 2 5 9 2b 6 D 10 6 64 10 6 8 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 10 2 8 5 2 5 1 2 2 Verificação • Para x 5 9, temos: x 2352 x 9–352 9 6 5 6 (Verdadeiro.) Portanto, x 5 9 é solução.
384
• Para x 5 1, temos: x2352 x 12352?1 22 5 2 (Falso.) Portanto, x 5 1 não é solução. Logo, o valor de x é 9. 15. Alternativa d. 20 541y 31 x x 1 y 5 2 Da segunda equação, temos: y 5 2 2 x. Substituindo y 5 2 2 x na primeira equação, temos: 20 5 4 12 2 x 31 x 20 56 2 x 31 x (3 1 x)(6 2 x) 5 20 18 1 3x 2 x2 2 20 5 0 x2 2 3x 1 2 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? 2 5 9 2 8 5 1 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 3 11 4 x’ 5 2 5 2 5 2 2b 6 D 36 1 3 61 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 3 2 1 5 2 5 1 2 2 • Se x 5 2, temos: y522xRy522250 Então, (2, 0) é solução. • Se x 5 1, temos: y522xRy522151 Então, (1, 1) é solução. 16. Alternativa a. x2 1 3xy 5 0 x 2 y 5 2 Da segunda equação, temos: y 5 x 2 2. Substituindo y 5 x 2 2 na primeira equação, temos: x2 1 3x(x 2 2) 5 0 x2 1 3x2 2 6x 5 0 4x2 2 6x 5 0 2x(2x 2 3) 5 0 x 5 0 ou x 5
3 2
x1 5 0 R y1 5 22 3 3 1 → y2 5 2 2 52 2 2 2 1 24 2 1 5 1 y1 1 y2 522 1 2 52 2 2 5 52 2 2 2 2
x2 5
385
17. Alternativa b. a 2 2b 5 4 2(a 2 3) 2 3(b 1 1) 52 2 Da primeira equação, temos: a 5 4 1 2b. Substituindo a 5 4 1 2b na segunda equação, temos: 2(4 1 2b 2 3) 2 3b 2 3 5 22 8 1 4b 2 6 2 3b 2 3 5 22 b 5 21 a52 Agora, verificamos se (2, 21) é solução de: a) x2 2 x 1 2 5 0 x 5 2 R 4 2 2 1 2 5 4 (Não é raiz.) Logo (2, 21) não é solução de x2 2 x 1 2 5 0. b) x2 2 x 2 2 5 0 x 5 2 R 4 2 2 2 2 5 0 (É raiz.) x 5 21 R 1 1 1 2 2 5 0 (É raiz.) Logo (2, 21) é solução de x2 2 x 2 2 5 0. 18. Alternativa d. V 5 3(3 2 2x)(3 2 x) (V 5 15) 15 5 3(9 2 9x 1 2x2) 5 5 2x2 2 9x 1 9 2x2 2 9x 1 4 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (29)2 2 4 ? 2 ? 4 5 81 2 32 5 49 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 9 17 16 x’ 5 4 5 4 5 4 (Não convém.) 2b6 D 9 6 49 9 67 x5 5 5 → 2a 2?2 4 x” 5 9 2 7 5 2 5 1 5 0,5 4 4 2 Logo, as dimensões são 3 cm, 2 cm e 2,5 cm, e a soma das três dimensões é dada por: S 5 3 cm 1 2 cm 1 2,5 cm 5 7,5 cm 19. Alternativa c. x 2 y 5 1 2 2 x 1 y 5 8,5 Da primeira equação, temos: y 5 x 2 1. Substituindo y 5 x 2 1 na segunda equação, temos: x2 1 (x 2 1)2 5 8,5 x2 1 x2 2 2x 1 1 2 8,5 5 0 2x2 2 2x 2 7,5 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (22)2 2 4 ? 2 ? (27,5) 5 4 1 60 5 64 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 2 18 10 5 x’ 5 4 5 4 5 2 2 6 64 2 68 2b 6 D → 5 5 x5 2a 2?2 4 x” 5 2 2 8 5 26 5 2 3 (Não convém.) 4 4 2
386
5 , temos : 2 5 522 3 → y5 y 5 x 21 → y 5 21 → y 5 2 2 2 Logo, x 1 y vale: Para x 5
5 3 8 1 5 54 2 2 2 20. Alternativa a.
x3 2 2x2 2 21x 2 18 x 1 1 2x3 2 x2 x2 2 3x 218 5 Q(x) 2 3x2 2 21x 2 18 3x2 1 3x 2 18x 2 18 18x 1 18 0 Q(x) 5 x2 2 3x 2 18 5 0 D 5 b2 2 4ac D 5 (23)2 2 4 ? 1 ? (218) 5 9 1 72 5 81 Como D é positivo, a equação tem duas raízes reais: 319 12 x’ 5 2 5 2 5 6 2b 6 D 3 6 81 369 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 3 2 9 5 26 5 2 3 2 2 x’ Logo, a razão vale: x” x’ 6 5 52 2 x” 23
387
Função polinomial do 1.o grau 6. a) A (1, 1); B (5, 1) e C (1, 3) b) O triângulo é retângulo, pois possui um ângulo reto. c) O cateto AB tem 4 uc. d) O cateto AC tem 2 uc.
1. a) (H, 9) e (I, 9). b) (H, 6). 2. a) Casa. b) Posto de gasolina. c) Árvore.
29 – Sistema de coordenadas cartesianas Chegou a sua vez!, página 152.
7. a) O (4, 3) b) O raio tem 3 uc. c) O eixo tangente à circunferência é o eixo x. 8. A (2, 5)
B (23, 6)
C (4, 24)
E (0, 3)
F (29, 23)
D (21, 21)
y
1. 3.a fila horizontal: (2, 3); (4, 3); (6, 3) e (8, 3). 4.a fila horizontal: (1, 4); (3, 4); (5, 4) e (7, 4).
B (�3, 6)
6 5
2. 5. fila horizontal: (1, 5); (3, 5); (5, 5) e ( 7, 5). 6.a fila horizontal: (2, 6); (4, 6); (6, 6) e (8, 6). a
3
3. Se a soma dos números de um par ordenado for ímpar, a casa será preta; se for par, a casa será branca. 4. Se a soma dos quatro números que aparecem nos dois pares ordenados for um número ímpar, as casas terão cores diferentes; se a soma for um número par, as casas terão a mesma cor.
A (2, 5) E (0, 3)
�1 0 �3 �1 2 D (�1, �1)
�9
�3 �4
F (�9, �3)
4
x
C (4, �4)
9. a) A (5, 2) e B (21, 4) b) P (22, 22) e R (3, 24)
Exercícios, páginas 152 a 154.
y
1.
B (�1, 4)
a) (5, 3) b) (3, 2) c) (4, 4)
1 �2 �1 P (�2, �2)
A (5, 4); B (24, 3); C (22,22); D (6, 23); M (25, 0); N (0, 24); P (2, 0) a) (E, 7) b) (F, 6) 4. a) P (4, 2) b) A (6, 0) c) D (0, 22) 5. a) A (22, 22); B (2, 22) ; C (2, 2) e D (22, 2) b) Cada lado tem 4 uc.
388
A (5, 2)
2
2.
3.
4
�1
3
x
5
�2 �4
10.
R (3, �4)
y 4 3 2 1 �2 �1
S (5, 3) T (3, 1) 1 2 3 4 5
R (5, 1) x
a) Sim, o triângulo RST é retângulo em R. b) O triângulo RST é isósceles, pois RT 5 SR 5 2 uc.
Ilustracões: Editoria de arte
Explorando, página 147.
Ilustracões: Editoria de arte
11.
30 – A noção de função
y 5 4 3 2 1 B (0, 0)
A (0, 5)
Exercícios, páginas 156 a 158. 1. Área: y Lado: x Lei de formação que relaciona essas grandezas: y 5 x2.
C (3, 0) x
1 2 3 4 5
O triângulo é retângulo em B. 12.
2. A lei de formação da função estabelecida entre as grandezas y (ganho mensal) e x (total de vendas do mês), se y 5 0,15x, é 15 dada por: y 5 x. 100 3. Valor a pagar: y. Número de dúzias de laranjas compradas: x. Preço da dúzia de laranjas: 3 reais. Lei de formação que relaciona as grandezas: y 5 3x.
y B (�4, 4)
A (4, 4)
4 3 2 1
�4 �3 �2 �1
1 2 3
x
4
�2 �3 C (�4, �4) �4
D (4, �4)
a) O comprimento de cada lado desse quadrado é de 8 uc. b) Perímetro 5 4 ? 8 5 32 R 32 uc Desafio!, página 154. y 5 4 3 2 1
C (5, 4)
1 2 3 4 5
�4 �3�2 �1
x
�2 �3 C (�2, �3) �4
4. Taxa fixa de visita: 25 reais. O valor cobrado pela mão de obra (por hora): 10 reais. O preço total do conserto: y. Horas de mão de obra empregadas: x. Lei de formação que define uma função entre as grandezas: y 5 25 1 10x. 5. Preço pago aos professores por aula dada: 15 reais. Abono mensal fixo: 200 reais. Valor que o professor recebe por mês: y. Total de aulas dadas no mês: x. Lei de formação que relaciona as grandezas: y 5 200 1 15x.
1. Para formar um quadrado, a abscissa do B deve ser a mesma do C; a ordenada deve ser a mesma do A; e a abscissa do D deve ser a mesma do A. Logo: B (5, 23) e D (22, 4).
6. Quantidade de peças produzidas por hora: 1 200 peças. Produção diária de peças: y. Número de horas que a máquina trabalha durante o dia: x. Lei de formação: y 5 1 200x
2.
7. y D (�2, 4)
4
C (5, 4)
3 2 1 �4 �3�2 �1
1 2 3 4
5
x
�2 A (�2, �3) �3
B (5, �3)
3. Medida do lado: 7 Perímetro: 4 ? 7 5 28 Área: ,2 5 72 5 49
8.
a) y 5 3x b) y 5 2x 2 10 1 c) y 5 x d) y 5 x2 2 4 x e) y 5 1 5 2 a) b)
y 5 2,50x Se x 5 3, então: y 5 2,50 ? 3 5 7,50 Logo, na compra de 3 sorvetes, gastam-se R$ 7,50.
389
9. x 50
Editoria de arte
c) y 5 2,50x y 5 12,50 12,50 5 2,50x 12,50 x5 55 2,50 Logo, pagando R$ 12,50, compram-se 5 sorvetes.
10. y 5 51x 1 17 Distâncias percorridas: • x 5 1 hora R y 5 51 ? 1 1 17 5 68 R 68 km • x 5 2 horas R y 5 51 ? 2 1 17 5 119 R 119 km • x 5 3 horas R y 5 51 ? 3 1 17 5 170 R 170 km • x 5 4 horas R y 5 51 ? 4 1 17 5 221 R 221 km R 5 yx
4 800 5 (100 2 0,5x)x R x2 R 2 2 R 9 600 5 200x 2 x R R x2 2 200x 1 9 600 5 0 ∆ 5 b2 2 4ac ∆ 5 (2200)2 2 4 ? 1 ? 9 600 5 5 40 000 2 38 400 5 1 600
R 4800 1 100x 2
200 6 1600 2b 6 ∆ 5 5 2a 2 ?1 200 1 40 240 5 5 120 x’ 5 200 6 40 2 2 5 → 2 x” 5 200 2 40 5 160 5 80 2 2 x5
Nas condições enunciadas, o preço cobrado por unidade de produto vendida é: x’ 5 R$ 120,00 ou x” 5 R$ 80,00.
390
Idade dos filhos x,5
Camping do Sol
Camping dos Pássaros
2 ? 15 ? 7 1 2 ? 14 ? 7 5 406
2 ? 14 ? 14 1 2 ? 12 ? 14 5 728
y , 5 e 5 < x , 15 3 ? 15 ? 7 1 3 ? 14 ? 7 5 609
2 ? 14 ? 14 1 2 ? 12 ? 14 5 728
y , 5 e x > 15
3 ? 15 ? 7 1 3 ? 14 ? 7 5 609
3 ? 14 ? 14 1 1 ? 12 ? 14 5 756
y > 5 e x , 15
4 ? 15 ? 7 1 4 ? 14 ? 7 5 812
2 ? 14 ? 14 1 2 ? 12 ? 14 5 728
5 < y , 15 e x > 15 4 ? 15 ? 7 1 4 1 14 ? 7 5 812 3 ? 14 ? 14 1 1 ? 12 ? 14 5 756 y > 15
4 ? 15 ? 7 1 4 ? 14 ? 7 5 812
4 ? 14 ? 14 5 784
Chegou a sua vez!, página 159.
a) Área: y. Largura: x. Comprimento do retângulo: 50 unidades. Lei de formação que relaciona as grandezas: y 5 50x. b) Se x 5 16,5, a área do retângulo será: y 5 50 ? x R y 5 50 ? 16,5 R R y 5 825 unidades de área. c) Se y 5 1 800 unidades de área, a largura do retângulo será: y 5 50x R 1 800 5 50 ? x R 1800 R x5 → x 5 36 → 36 unidades. 50
11. y 5 100 2 0,5x
12.
1. Se x 5 50, temos: 9 y 5 x 1 32 5 9 y 5 ? 50 1 32 5 y 5 122 9 C 1 32 5 9 86 5 C 1 32 5 9 C 5 54 5 54 ? 5 C5 5 30 → 30 ºC 9
2. F 5
31 – A função polinomial do 1.o grau Exercícios, páginas 162 e 163. 1. y 5 5x 1 3 Para x 5 22, temos: y 5 5(22) 1 3 y 5 27 2. y 5 28x 1 4 Para y 5 0, temos: 0 5 28x 1 4 8x 5 4 4 x5 8 1 x5 2 3. a) x
y 5 4x
5 cm
20 cm
7,2 cm
28,8 cm
11 cm
44 cm
20,5 cm
82 cm
10 3 cm
40 3 cm
b)
b) A imagem de 10 3 é 40 3 . c) O número real cuja imagem é 44 é x 5 11. 4. Quantidade de mercadorias vendidas na semana: y. Número de comerciais de televisão durante a semana: x. 3 Lei de formação da função: y 5 x 1 150. 2 a) Quando x 5 42, o número de mercadorias y foi: 3 y 5 x 1 150 2 3 y 5 ? 42 1 150 R y 5 213 R 213 2 mercadorias. b) Para y 5 240, temos: 3 y 5 x 1 150 2 3 240 5 x 1 150 2 3 x 5 90 2 90 ? 2 x5 5 60 3 Portanto, o comercial apareceu 60 vezes na televisão. 5. a) x 5 0 R y 5 5
1 1 x 22 → y 5 ? 0 2 2 → y 52 2 4 4
1 1 x 2 2 → y 5 ? 0 2 2 → y 52 2 4 4
1 1 b) x 5 4 → y 5 x 2 2 → y 5 ? 4 2 2 → y 521 4 4
y 5 402 y 5 2x 1 144 R 402 5 2x 1 144 R R 2x 5 258 R x 5 129 Logo, o comprimento será 129 cm. Brasil real, página 163.
Este é um bom momento para mostrar que numa função do 1.o grau do tipo y 5 ax 1 b as grandezas não são proporcionais como na função do tipo y 5 ax. 1. Quantidade de minutos de uma ligação no plano PASSO: x. Valor pago por uma ligação nesse plano: y. a) y 5 0,15 1 0,04x b) É uma função polinomial do 1.o grau, pois é do tipo y 5 ax 1 b, com a 5 0,04 0 e b 5 0,15. 2. 7 telefonemas 5 7y x 5 8 minutos y 5 0,15 1 0,04x y 5 0,15 1 0,04 ? 8 5 0,47 7y 5 7 ? 0,47 5 3,29 As ligações custariam R$ 3,29. 3. Minutos
Valor ( em R$) y 5 0,15 1 0,04x
5
0,35
10
0,55
15
0,75
20
0,95
25
1,15
30
1,35
60
2,55
90
3,75
1 1 x 22 → y 5 ? 4 2 2 → y 521 4 4
4. y 5 0,15 1 0,04x 0,83 5 0,15 1 0,04x 1 1 c) x 52 8 → y 5 x 2 2 → y 5 (28) 2 2 → y 52 4 0,04x 5 0,68 4 4 x 5 17 1 1 5 x 2 2 → y 5 (28) 2 2 → y 52 4 4 4 Logo, a ligação durou 17 minutos. 6. 5. a) y 5 19 R y 5 1 2 9x R 19 5 1 2 9x R a) 0,55 2 0,35 5 0,20 R 18 5 29x R x 5 22 A cada 5 minutos, o valor cobrado b) y 5 0,1 R y 5 1 2 9x R 0,1 5 1 2 9x R aumenta R$ 0,20. R 20,9 5 29x R x 5 0,1 b) 2,55 2 1,35 5 1,20 7. A cada 30 minutos, o valor cobrado aumenta R$ 1,20. a) x 5 102 c) x 5 2 horas 5 120 minutos y 5 2x 1 144 R y 5 2 ? 102 1 144 R y 5 0,15 1 0,04x R y 5 348 y 5 0,15 1 4,8 5 4,95 Logo, o perímetro é 348 cm. 5
391
f) y 5 3x 1 1
O valor cobrado será menor que o dobro, pois a função é do tipo y 5 ax 1 b; Esse valor seria o dobro se a função fosse do tipo y 5 ax; O valor cobrado é de R$ 4,95. d) De acordo com o item anterior, fica mais barato fazer uma ligação de 3 horas do que fazer 3 ligações de 1 hora.
y 4 3 2 1 0
3 2 1 0 �1
Exercícios, página 166. 1. Ilustracões: Editoria de arte
x
y
0
1
1
2
2 1 0 �1
2 1 x
1
y
3
x
y
0
2
1
21
y
0
22
0
2
4
2
2
y
x
2
4 3 2 1
x
y
0
4
2
2
x
1 2
d) y 5 1 2 2x y
1
x
y
0
1
1
21
y
0
21
2
3
y � 2x � 1 (1, 1)
0 �1 �2
x
1 2 3 4
O ponto de intersecção das retas é (1, 1). 3. y5x13
y5x22
x
y
x
y
0
3
0
22
1
4
2
2
y 5 y�x�3
4 3
x
1 2
x
y � 3x � 2
4 3 2 1
y 5 2x 2 1
y
y�x�2
2 1 �6 �5 �4 �3 �2 �1 0 �1
e) y 5 24x y
�4
x x
c) y 5 2x 1 4
0
2
x
1
0
2
0 �1 �2 �3
y 2
y 5 3x 2 2
y
0
x 0
2.
b) y 5 x
0
4
x
1 2
y y
0
1
h) y 5 2 2 3x
a) y 5 x 1 1
392
1 x 12 2
y
32 – Gráfico da função polinomial do 1.o grau
y 1
x
1
g) y 5
x 0
1
x
x
y
0
0
1
24
1
2
3
4
5
6
x
�2 �3 �4 �5
As retas não se encontram, ou seja, são retas paralelas.
3.
4. y 5 2x 1 1 y é a posição, em metros, e x é o tempo, em segundos. x
y
0
1
1
3
2
5
y
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5
6 5 4 3 2 1
0
1 2 3
0
5. y 5 6 2 x x
y
x
y
0
22
0
2
6
4
6
4
Ilustracões: Editoria de arte
7 6 y�x�2
4 3 2
(4, 2)
1 �2 �1 0 �1
1
2
3
4
5
6
7
y�6�x
�2 �3 �4 �5
O ponto de encontro é (4, 2). Chegou a sua vez!, página 167. 1. Quantidade de latas de cerveja
Concentração de álcool no sangue (g/,)
1
0,30
2
0,60
3
0,90
4
1,20
5
1,50
6
1,80
7
2,10
8
2,40
9
2,70
10
3,00
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 2
3 4 5 6 7 8 9 Quantidade de latas de cerveja
3 4 5 6 7 8 9 Quantidade de latas de cerveja
10
O gráfico de linhas permite uma melhor visualização da situação, mas nele não são considerados valores intermediários.
x
5. Uma pessoa que tomou 5 latas de cerveja tem uma concentração de álcool no sangue correspondente a 1,50 g/, (5 ? 0,30). Pela tabela dos efeitos, temos os seguintes efeitos para esse valor: instabilidade emocional; decréscimo da inibição; perda do julgamento crítico; enfraquecimento da memória e da compreensão. 6. Como a lei de formação da função que relaciona essas grandezas é y 5 0,30x, temos: 0,30 ? x . 3,5 x . 11,6 Logo, a pessoa deve tomar mais de 11 latas de cerveja seguidamente. Se cada lata de cerveja contém 350 m, cada uma, a pessoa consumiria: 11 ? 350 m, 5 3 850 m, 5 4 ,
33 – Z ero da função polinomial do 1.o grau 1.
Concentração de álcool no sangue
1
2
Exercícios, página 168.
g/l
0
1
4. Sendo y a concentração de álcool no sangue e x a quantidade de latas de cerveja ingeridas, temos y 5 0,30x.
y
2.
x
y5x22
5
Concentração de álcool no sangue g/l
10
a) y 5 x 2 6 x2650Rx56 Logo, o zero da função é dado por x 5 6. b) y 5 2x 2 4 2x 2 4 5 0 R x 5 24 Logo, o zero da função é dado por x 5 24. c) y 5 2x 1 10 2x 1 10 5 0 R x 5 10 Logo, o zero da função é dado por x 5 10.
393
y.0
d) y 5 2x 2 3 3 2 Logo, o zero da função é dado por 3 x5 2 e) y 5 1 2 5x 1 1 2 5x 5 0 → x 5 5
2x 2 3 5 0 → x 5
Logo, o zero da função é dado por 1 x5 . 5 1 f) y 5 x 1 3 2 1 x 1 3 5 0 → x 52 6 2 Logo, o zero da função é dado por x 5 26. 2. a) y 5 x 1 1 Ilustracões: Editoria de arte
y50
y
3
O zero da função é x 5 21.
2
6 y,0
• y 5 0 para x 5 6. • y . 0 para x . 6. • y , 0 para x , 6. b) y 5 x 1 7 a 5 1 R a . 0 (Função crescente.) y 5 0 R x 1 7 5 0 → x 52 7 y.0 y50 27 y,0
• y 5 0 para x 5 27. • y . 0 para x . 27. • y , 0 para x , 27. c) y 5 2x 2 1 a 5 21 R a , 0 (Função decrescente.) y 5 0 R 2x 2 1 5 0 R x 5 21 y.0 21
1
y50
�2 �1 0 �1
1
2
x
3
y,0
�2
b) y 5 2x 1 3 y
3 2
O zero da função é x 5 3.
• y 5 0 para x 5 21. • y . 0 para x , 21. • y , 0 para x . 21. d) y 5 6x 2 6 a 5 6 R a . 0 (Função crescente.) y 5 0 R 6x 2 6 5 0 → x 5 1 y.0
1
y50
�2 �1 0 �1
1
2
3
x
1 y,0
�2
c) y 5 2 2 x y
3 2
O zero da função é x 5 2.
1 �2 �1 0 �1
1
2
3
x
• y 5 0 para x 5 1. • y . 0 para x . 1. • y , 0 para x , 1. e) y 5 2x 2 3 a 5 2 R a . 0 (Função crescente.) 3 y 5 0 R 2x 2 3 5 0 → x 5 2 y.0
�2 y50
34 – Analisando o gráfico de uma função polinomial do 1.o grau Exercício, página 170. a) y 5 x 2 6 a 5 1 R a . 0 (Função crescente.) y 5 0 R x 26 50 → x 56
394
y,0
3 2
3 . 2 3 • y . 0 para x . . 2 3 • y , 0 para x , . 2 • y 5 0 para x 5
Ilustracões: Editoria de arte
f) y 5 10 2 2x a 5 22 R a , 0 (Função decrescente.) y 5 0 R 10 2 2x 5 0 R x 5 5
2.
y A (�4, 1)
B (�4, �2)
y.0
D (2, 1) C (2, �2)
x
5
a) b)
y50 y,0
• y 5 0 para x 5 5. • y . 0 para x , 5. • y , 0 para x . 5. g) y 5 23x 2 12 a 5 23 R a , 0 (Função decrescente.) y 5 0 R 23x 2 12 5 0 R x 5 24
3.
Um retângulo. Lado maior: 4 1 2 5 6 Lado menor: 2 1 1 5 3 Área 5 3 ? 6 5 18 y S (4, 4) P (0, 2)
R (8, 2) x
Q (4, 0)
y.0
O quadrilátero desenhado é um losango.
24 y50
4.
y,0
B (0, 3)
• y 5 0 para x 5 24. • y . 0 para x , 24. • y , 0 para x . 24.
C (0, 0)
1 x 23 2 1 a5 R a . 0 (Função crescente.) 2 1 y50R x 2350 → x 56 2
h) y 5
y.0 y50 6 y,0
• y 5 0 para x 5 6. • y . 0 para x . 6. • y , 0 para x , 6. Retomando o que aprendeu, página 171. 1. a) b) c) d)
M (22, 5) N (24, 21) P (5, 24) Q (7, 0) y M (�2, 5) Q (7, 0) x N (�4, �1) P (5, �4)
y A (3, 3)
D (3, 0)
x
O lado do quadrado tem 3 unidades de comprimento; logo, o perímetro é dado por: P5 4 ? , 5 4 ? 3 5 12 uc 5. y 5 1 2 7x a) Para x 5 23, temos: y 5 1 2 7 ? (23) 5 1 1 21 5 22 Logo, y 5 22. b) Para x 5 0,2, temos: y 5 1 2 7 ? 0,2 5 20,4 Logo, y 5 20,4. c) Para y 5 241, temos: 241 5 1 2 7x R x 5 6 Logo, x 5 6. 6. y 5 2 1 0,53x a) Se x 5 16 R y 5 2 1 0,53 ? 16 R R y 5 2 1 8,48 R y 5 10,48 Logo, a corrida custará R$ 10,48. b) Se y 5 8,36 R 8,36 5 2 1 0,53x R R 6,36 5 0,53x R x 5 12 Bruno percorreu 12 km. 7. y 5 x 2 3 a 5 1 R a . 0 (Função crescente.) Analisando o gráfico, temos: a) y 5 0 para x 5 3. b) y . 0 para x . 3. c) y , 0 para x , 3.
395
8. y 5 2x 1 2 a 5 21 R a , 0 (Função decrescente.) Analisando o gráfico, temos: a) y 5 0 para x 5 2. b) y . 0 para x , 2. c) y , 0 para x . 2.
b) y 5 25x 1 20 a 5 25 R a , 0 (Função decrescente.) y 5 0 R 25x 1 20 5 0 R x 5 4 y.0 4 y50
9.
y,0
a) b)
y5x27 x2750 x57 y 5 4 1 8x 4 1 8x 5 0 8x 5 24 1 x 52 2 c) y 5 3x 2 2 3x 2 2 5 0 2 x5 3 1 d) y 5 x 1 5 2 1 x 1550 2 x 5 210
• y 5 0 para x 5 4. • y . 0 para x , 4. • y , 0 para x . 4. 1 c) y 5 x 1 2 4 1 a5 R a . 0 (Função crescente.) 4 1 y50R x 1 2 5 0 → x 52 8 4 y.0 y50 28 y,0
Ilustracões: Editoria de arte
10. a) y 5 x 2 9 a 5 1 R a . 0 (Função crescente.) y 5 0 R x 29 50 → x 59 y.0
y.0
y50
3 9
y,0
• y 5 0 para x 5 9. • y . 0 para x . 9. • y , 0 para x , 9.
396
• y 5 0 para x 5 28. • y . 0 para x . 28. • y , 0 para x , 28. d) y 5 22x 1 6 a 5 22 R a , 0 (Função decrescente.) y 5 0 R 22x 1 6 5 0 R x 5 3
y50 y,0
• y 5 0 para x 5 3. • y . 0 para x , 3. • y , 0 para x . 3.
Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática)
21 1 23 5 11 x’ 5 2b 6 D 21 6 529 21 6 23 2 → 5 5 x5 2a 2?1 2 x” 5 21 2 23 5 212 2 21 1 23 5 11 x’ 5 2b 6 D 21 6 529 21 6 23 2 → 5 5 5 Exercícios,xpáginas 175 e 176. 2a 2?1 2 x” 5 21 2 23 5 212 2 1. V 5 1 x (x 1 1)
35 – Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática)
y 5 x2 1 x 2. A 5 (x 1 2)(x 1 6) y 5 x2 1 8x 1 12 3. A área da figura é a área do quadrado de lado 5 menos a área do retângulo de lados x e (5 2 x): A 5 52 2 x(5 2 x) y 5 25 2 5x 1 x2
7. y 5 x2 a) x 5 100
5. y 5 6x2 2 x 2 3 1 Para x 5 , temos: 2 2
1 1 y 5 6 ? 2 2 3 R y 5 22 2 2 Logo, a imagem é 22. x2 x 1 2 2 Se x 5 1 000, temos: 10002 1000 1 y5 2 2 1 000 000 1 500 y5 2 y 5 500 000 1 500 y 5 500 500 x2 x 1 b) y 5 2 2 Para y 5 66, temos: x2 x 66 5 R 1 2 2 R 132 5 x2 1 x R x2 1 x 2 132 5 0 ∆ 5 b2 2 4ac ∆ 5 12 2 4 1 (2132) ∆ 5 1 1 528 5 529
y 5 1002 5 10 000
A soma dos 100 primeiros números ímpares positivos é 10 000.
b) y 5 256
4. y 5 x2 2 15x 1 26 Para x 5 10, temos: y 5 102 2 15 10 1 26 R y 5 224 Logo, a imagem é 224.
6.
Como o problema pede um número inteiro positivo, consideramos apenas x’ 5 11.
256 5 x2
x 5 6 256
x 5 ± 16
Como queremos os primeiros números positivos, consideramos apenas
x 5 16
c) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31. Logo, a maior parcela é 31.
a) y 5
Chegou a sua vez!, página 176. 1. Figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Total de quadradinhos
1
4
9
16
25
36
49
64
Quadradinhos roxos
1
2
3
4
5
6
7
8
Quadradinhos azuis
0
2
6
12
20
30
42
56
2. Observando a tabela do exercício 1, temos: a) A figura n tem n2 quadradinhos. b) A figura n tem n quadradinhos roxos. c) A figura n tem n2 2 n quadradinhos azuis. 3. A figura n tem n2 2 n quadradinhos azuis; logo, y 5 n2 2 n.
397
36 – Gráfico da função quadrática no plano cartesiano Exercícios, página 179. 1. a) y 5 x 1 6x 1 8 26 2b → x v 52 3 xv 5 R xv 5 2 ?1 2a yv 5 (23)2 1 6 (23) 1 8 R R yv 5 9 2 18 1 8 R yv 5 21 Logo, V (23, 21). b) y 5 x2 2 2x 2 8 2b 2(22) x v 5 2a → x v 5 2 ? 1 → x v 5 1 2
yv 5 12 2 2 1 2 8 R yv 5 29 Logo, V (1, 29). c) y 5 2x2 1 8x 2 15 2b 28 x v 5 2a → x v 5 2(21) → x v 5 4
h) y 5 x2 2 10x 1 24 2b 2(210) → xv 5 → xv 5 5 xv 5 2a 2 ?1 yv 5 52 2 10 5 1 24 R yv 5 21
Logo, V (5, 21).
i) y 5 2x2 2 4x 2 1 2b 2(24) → xv 5 → xv 5 1 xv 5 2a 2?2 yv 5 2 12 2 4 1 2 1 R yv 5 23
Logo, V (1, 23).
j) y 5 24x2 2 2x 2b 2(22) 1 → xv 5 → x v 52 xv 5 2a 2(24) 4 2 1 1 1 y v 52 4 2 2 2 2 → y v 5 4 4 4
1 1 Logo, V 2 , . 4 4
2. y 5 22x2 1 20x 1 150
a) O valor máximo é dado pelo x do yv 5 2(4)2 1 8 4 2 15 5 R yv 5 1 vértice: Logo, V (4, 1). 2b 220 → xv 5 → xv 5 5 xv 5 d) y 5 24x2 1 6x 2a 2(22) 2b 26 3 Logo, a venda atingiu o valor máximo x v 5 2a → x v 5 2(24) → x v 5 4 depois de 5 dias. 2 9 3 9 18 9 18 3 → y v 52 4 ? → y v 52b) As → y vse 5 reduzem a zero quando 1 1 y v 52 4 1 6 ? 4 4 16 4 4 vendas 4 4 y 5 0. Então, fazemos: 2 9 3 9 18 9 18 3 → y v 52 1 → yv 5 y v 52 4 1 6 ? → y v 52 4 ? 1 22x2 1 20x 1 150 5 0 4 4 16 4 4 4 4 5 b2 2 4ac 18 9 18 9 → y v 52 1 → yv 5 1 5 202 2 4 (22) 150 4 4 4 4 3 9 5 400 1 1 200 Logo, V , . 4 4 5 1 600 e) y 5 x2 1 6x 1 11 x’ 52 5 (Não co 220 6 1600 2b 6 D 220 6 40 2b 26 x5 → 5 5 → xv 5 → x v 52 3 xv 5 2a 2 ? (22) 24 x” 515 2a 2 ?1 2 yv 5 (23) 1 6 (23) 1 11 2 Rb y6v 5D2 m.) x’ 52 5 (Não convém 220 6 1600 220 6 40 → 5 x5 5 2 2 ? ( 2 2 ) 2 4 a Logo, V (23, 2). x” 515 f) y 5 2x2 1 36 2b 20 → xv 5 → xv 5 0 xv 5 2a 2(21) yv 5 202 1 36 R yv 5 36 Logo, V (0, 36). g) y 5 2x2 1 7x 2 10 2b 2(7) 7 → xv 5 → xv 5 xv 5 2a 2(21) 2 2 7 9 7 y v 52 1 7 ? 2 10 → y v 5 2 2 4
398
7 9 V , 2 4
Logo, as vendas se reduziram a zero em 15 dias. Exercício, página 182.
a) y 5 x2 2 1 • Determinamos as coordenadas do vértice:
2b 20 → xv 5 → x v 5 0 2a 2 ?1 V (0, 21) 2 y v 5 0 2 1 → y v 521
xv 5
• Organizamos a tabela: x
y
22
3
21
0
0
21
1
0
2
3
2b 22 → xv 5 → x v 521 2a 2?1 2 y v 5 (21) 1 2 ? (21) 2 8 → V (21, 2 9) → y v 5 1 2 2 2 8 → y v 52 9 xv 5
• Marcamos os pontos: Ilustracões: Editoria de arte
• Determinamos as coordenadas do vértice:
• Organizamos a tabela:
y 3 2 1 �2�1 0 �1
x
1 2
• Construímos o gráfico: y
x
y
23
25
22
28
21
29
0
28
1
25
• Marcamos os pontos: y
3 2
�3 �2 �1 0 �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8
1
�2�1 0 �1
x
1 2
b) y 5 2x2 • Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 20 x v 5 2a → x v 5 2 ? (21) → x v 5 0 V (0, 0) y v 52 02 → y v 5 0
�9
• Construímos o gráfico: y
• Organizamos a tabela x
y
22
24
21
21
0
0
1
21
2
24
• Marcamos os pontos: y
�2 �1 0 �1 �2 �3 �4
1 2
x
x
1 2
�3 �2 �1 0 �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8
1 2
x
�9
d) y 5 x2 2 2x • Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 2(22) → xv 5 → x v 5 1 2a 2?1 V (1, 21) y v 5 12 2 2 ? 1 → y v 521
xv 5
• Construímos o gráfico: • Organizamos a tabela:
y
�2 �1 0 �1 �2 �3 �4
1 2
c) y 5 x 1 2x 2 8 2
x
x
y
21
3
0
0
1
21
2
0
3
3
399
• Marcamos os pontos:
• Determinamos as coordenadas do vértice:
Ilustracões: Editoria de arte
y
3 2 1 �1 0 �1
1 2 3
x
2b 26 → xv 5 → x v 5 3 2a 2 ? (21) V (3, 0) y v 52(3)2 1 6 ? 3 2 9 → → y v 52 9 1 18 2 9 → y v 5 0 xv 5
• Organizamos a tabela: • Construímos o gráfico: y
3 2 1 �1 0 �1
1 2 3
x
x
y
1
24
2
21
3
0
4
21
5
24
• Marcamos os pontos: y
e) y 5 x2 2 2x 1 4 • Determinamos as coordenadas do vértice:
2(22) 2b xv 5 → xv 5 → x v 5 1 2a 2 ?1 V (1, 3) 2 yv 5 1 2 2 ? 1 1 4 → yv 5 3
x
y 7
0
4
1
3
2
4
3
7
1 2 3
x
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3
x
f) y 5 2x2 1 6x 2 9
400
3 4 5
x
a) y 5 x2 2 25 5 b2 2 4ac 5 0 2 4 1 (225) 5 100
y
�1 0
1 2
1.
• Construímos o gráfico:
0 �1 �2 �3 �4
Exercícios, página 185.
7 6 5 4 3 2 1 �1 0
x
37 – Z eros da função polinomial do 2.o grau
y
3 4 5
y
• Marcamos os pontos:
1 2
• Construímos o gráfico:
• Organizamos a tabela: 21
0 �1 �2 �3 �4
10 x’ 5 2 5 5 2 b6 ∆ 2 0 6 100 → 5 x5 2?a 2 x” 5 210 52 5 2 10 x’ 5 2 5 5 2 b6 ∆ 2 0 6 100 → 5 x5 2?a 2 x” 5 210 52 5 2 b)
Os zeros dessa função são: 25 e 5. y 5 x2 2 10x 1 21 5 b2 2 4ac 5 (210)2 2 4 1 21 5 100 2 84 5 16 14 x’ 5 2 5 7 10 6 16 10 6 4 2b 6 ∆ → 5 5 x5 2?a 2?1 2 x” 5 6 5 3 2
h) 14 x’ 5 2 5 7 2b ∆ 10 16 10 4 → 5 5 5 2a 21 2 6 x” 5 5 3 2 Os zeros dessa função são: 3 e 7. c) y 5 2x2 1 6x 5 b2 2 4ac 2 b ∆ 26 36 5 x5 2a 26 5 62 2 4 (21) 0 5 36 26 1 6 x’ 5 22 5 0 x 5 2 b ∆ 5 26 36 → 26 2 6 2a 2 (21) x” 5 56 2 2 2. 26 1 6 x’ 5 22 5 0 2 b ∆ 26 36 a) → 5 5 26 2 6 2a 2 (21) x” 5 56 22 Os zeros da função são: 0 e 6.
5
5
d) e) 2b ∆ 21 25 5 2a 2 (21) f) 2 b ∆ 0 36 5 2a 2 9 g)
y 5 6x2 1 6x 5 b2 2 4ac 5 62 2 4 6 0 5 36
26 1 6 x’ 5 12 5 0 2 b ∆ 26 36 → 5 x5 2a 26 x” 5 26 2 6 521 12 26 1 6 x’ 5 12 5 0 → x” 5 26 2 6 521 12 Os zeros dessa função são: 0 e 21.
y 5 x2 2 2x 2 24 5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4 1 (224) 5 4 1 96 5 100 Como . 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos: 2 y 5 x 1 4x 1 8 12 56 x’ 5 2 2 ∆ 2 100 2 10 b 5 b 2 4ac 2 x5 → 5 5 2 2a 21 2 5 4 2 4 1 8 5 16 2 32 5 216 x” 5 28 52 4 2 Como 0, essa função não tem zeros 12 56 x’ 5 2 ∆ 2 100 2 10 b reais. 2 5 5 x5 → 2a 21 2 2 2 x” 5 8 52 4 y 5 2x 1 x 1 6 2 5 b2 2 4ac A parábola corta o eixo x nos pontos 5 12 2 4 (21) 6 5 25 (6, 0) e (24, 0). 21 1 5 ’ 5 52 2 x 2 b) y 5 x 2 6x 1 9 2b ∆ 21 25 22 → 5 x5 2a 2 (21) 5 b2 2 4ac 2 1 2 5 x” 5 53 22 5 (26)2 2 4 1 9 5 0 21 1 5 ’ 5 52 2 x 22 Como 5 0, a parábola tem apenas → um ponto em comum com o eixo x: x” 5 21 2 5 5 3 22 2b 6 x5 5 53 2a 2 Os zeros dessa função são: 22 e 3. A parábola corta o eixo x no ponto (3, 0). y 5 9x2 2 1 2 c) y 5 2x 1 9x 2 14 5 b2 2 4ac 2 5 b 2 4ac 5 0 2 4 9 (21) 5 36 5 92 2 4 (21) (214) 5 81 2 56 5 25 6 1 ’ 5 5 x 2 b ∆ 0 36 Como . 0, a parábola corta o eixo x 18 3 → 5 x5 2a 29 em dois pontos: 2 6 1 x” 5 29 1 5 52 18 3 6 1 x’ 5 22 5 2 2b ∆ 29 25 ’ 5 5 x → 5 x5 18 3 2a 2 (21) → x” 5 29 2 5 5 7 2 6 1 22 x” 5 52 18 3 A parábola corta o eixo x nos pontos 1 1 Os zeros dessa função são:2 e . (2, 0) e (7, 0). 3 3 d) y 5 x2 2 7x 1 13 y 5 24x2 1 4x 2 1 5 b2 2 4ac 5 b2 2 4ac 5 (27)2 2 4 1 13 5 49 2 52 5 23 5 42 2 4 (24) (21) 5 16 2 16 5 0 Como 0, a parábola não corta o eixo x. 2b 24 1 x5 5 5 3. 2a 2 (24) 2 a) y 5 x2 2 16 Como 5 0, essa função tem um único A parábola corta o eixo x nos pontos 1 zero real: o número . em que y 5 0: 2
401
b)
x2 2 16 5 0 x2 5 16 x 56 16 56 4 x 5 4 ou x 5 24 Logo, as coordenadas são (24, 0) e (4, 0). y 5 2x2 1 12x 2 36 A parábola corta o eixo x nos pontos em que y 5 0: 2x2 1 12x 2 36 5 0 5 b2 2 4ac 5 122 2 4 (21) (236) 5 144 2 144 5 0 Como 5 0, a parábola tem apenas um ponto em comum com o eixo x: 2b 212 x5 5 56 2a 2(21) Logo, as coordenadas desse ponto são (6, 0). c) y 5 3x2 2 21x A parábola corta o eixo x nos pontos em que y 5 0: 3x2 2 21x 5 0 3x(x 2 7) 5 0 x 5 0 ou x 5 7 Logo, as coordenadas são (0, 0) e (7, 0).
38 – Estudando a concavidade da parábola Exercícios, página 186. 1. a) y 5 x2 2 7x 1 10 a 5 1 . 0 R A parábola tem a concavidade voltada para cima. b) y 5 3x2 2 7x 1 4 a 5 3 . 0 R A parábola tem a concavidade voltada para cima. c) y 5 2x2 1 25 a 5 21 0 R A parábola tem a concavidade voltada para baixo. d) y 5 26x2 1 x 1 1 a 5 26 0 R A parábola tem a concavidade voltada para baixo. e) y 5 2x2 2 14x 2 49 a 5 21 0 R A parábola tem a concavidade voltada para baixo. f) y 5 7x2 2 2x a 5 7 . 0 R A parábola tem a concavidade voltada para cima. 2.
c)
d)
e)
f)
39 – Ponto de mínimo e ponto de máximo Exercícios, página 188. 1. a) y 5 x2 2 8x 1 6 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima; logo, a função tem ponto de mínimo. b 8 5 54 2a 2
x v 52
yv 5 42 2 8 4 1 6 5 210 Logo, essa função tem ponto de mínimo: (4, 210).
b) y 5 2x2 1 4x 1 5 a 5 21 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo; logo, a função tem ponto de máximo. b 24 x v 52 5 52 2a 22 yv 5 24 1 4 2 1 5 5 9 Logo, essa função tem ponto de máximo: (2, 9). c) y 5 26x2 1 6x a 5 26 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo; logo, a função tem ponto de máximo. b 26 1 5 5 x v 52 2a 2 ? (26) 2
a) A parábola está com a concavidade
402
b)
voltada para cima e não corta o eixo x; logo, a . 0 e 0. A parábola está cortando o eixo x num único ponto, e a concavidade está voltada para cima; logo, a . 0 e 5 0. A parábola está com a concavidade voltada para baixo e não corta o eixo x; logo, a 0 e 0. A parábola está com a concavidade voltada para baixo e corta o eixo x em dois pontos; logo, a 0 e . 0. A parábola está com a concavidade voltada para cima e corta o eixo x em dois pontos; logo, a . 0 e . 0. A parábola está com a concavidade voltada para baixo e corta o eixo x em um único ponto; logo, a 0 e 5 0.
2
1 3 1 y v 52 6 ? 1 6 ? 5 2 2 2
Logo, essa função tem ponto de 1 3 máximo: , . 2 2 2 d) y 5 x 2 16 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima; logo, a função tem ponto de mínimo. b 20 5 50 xv 5 2a 2?1 yv 5 216 Logo, essa função tem ponto de mínimo: (0, 216). e) y 5 x2 2 4x 2 45 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima; logo, a função tem ponto de mínimo.
x v 52
b 52 2a
2. y 5 3x2 2 6x 2 2 2(26) 2b xv 5 5 51 2a 2?3 yv 5 3 1 2 6 2 2 5 25 As coordenadas desse ponto são (1, 25). 3. y 5 2x2 1 4x A altura máxima é o ponto de máximo da função: b 24 x v 52 5 52 2a 2(21) yv 5 24 1 8 5 4 As coordenadas são (2, 4).
40 – A nalisando a função y 5 ax2 1 bx 1 c quanto ao sinal
Editoria de arte
yv 5 4 2 8 2 45 5 249 Logo, essa função tem ponto de Exercícios, páginas 191 e 192. mínimo: (2, 249). 1. y 5 x2 2 x 2 6 f) y 5 3x2 1 6x a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola a 5 3 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima; logo, a função tem está voltada para cima; logo, a função ponto de mínimo. tem ponto de mínimo. b 2 6 a) y 5 0 x v 52 5 521 2a 2?3 x2 2 x 2 6 5 0 yv 5 3 2 6 5 23 5 b2 2 4ac Logo, essa função tem ponto de 5 (21)2 2 4 1 (26) 5 25 mínimo: (21, 23). Como > 0, a função possui dois zeros: g) y 5 x2 1 9 x’ 5 3 2b 6 ∆ 1 6 25 1 65 a 5 21 0 R A concavidade da → 5 5 x5 2?a 2 2 x” 52 2 parábola está voltada para baixo; logo, ’ 3 x 5 1 6 25 1 65 b6 ∆ a função tem pontox 5 de2 máximo. → 5 5 2 ? 2 2 a x” 52 2 b 0 x v 52 5 50 Logo, a função é nula para x 5 3 ou 2a 2(2 1) x 5 22. yv 5 9 Logo, essa função tem ponto de b) Esboçando o gráfico, temos: máximo: (0, 9). y0 y0 h) y 5 5x2 2 8x 1 3 3 22 y0 a 5 5 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima; logo, a função Então, y . 0 para x 22 ou x . 3. tem ponto de mínimo. c) y 0 para 22 x 3. b 8 4 x v 52 5 5 2a 2?5 5 2. y 5 9x2 2 8x 2 1 2 a 5 9 . 0 R A concavidade da parábola b 8 4 1 4 16 32 4 x v 52 5 5 1 3 52 y 5 5 ? 2 8 ? 1 3 5 5 ? 2 v está voltada para cima; logo, a função tem 2a 2?5 5 5 5 25 5 5 ponto de mínimo. 2 4 16 32 1 4 yv 5 5 ? 2 8 ? 1 3 5 5 ? 1 3 52 2 a) y 5 0 5 25 5 5 5 9x2 2 8x 2 1 5 0 Logo, essa função tem ponto de 5 b2 2 4ac 1 4 mínimo: , 2 . 5 (28)2 2 4 9 (21) 5 100 5 5
403
5
Ilustracões: Editoria de arte
Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 1 x 5 2b 6 ∆ 5 8 6 100 5 8 6 10 1 2?a 2?9 18 x” 52 9 x’ 5 1 2b 6 ∆ 8 6 100 8 6 10 5 5 5 2?a 2?9 18 x” 52 1 9 1 A função é nula para x 5 1 ou 2 . 9 b) Esboçando o gráfico, temos: y0
y0
1 2 __ 9
1
y0
Então, y . 0 para x 2
c) y 0 para2
1 x 1. 9
1 ou x . 1. 9
3. y 5 2x2 1 5x a 5 21 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo; logo, a função tem ponto de máximo. a) y 5 0 2x2 1 5x 5 0 5 b2 2 4ac 5 52 2 4 (21) 0 5 25 Como . 0, a função possui dois zeros:
x5
2b 6 ∆ 25 6 25 25 6 5 x’ 5 0 5 5 2?a 2(21) 22 x” 5 5
2b 6 ∆ 25 6 25 25 6 5 5 5 2?a 2(21) 22
x’ 5 0 x” 5 5
b) Esboçando o gráfico, temos: 5
y0
Analisando o gráfico, vemos que y nunca será maior que zero. c) y 0 para x 5 ou x . 5 ou qualquer x ≠ 5. 5. y 5 x2 2 6x 1 15 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (26)2 2 4 1 15 5 224 0 R A parábola não corta o eixo x. Fazendo um esboço do gráfico, temos: y0
0
y0
5
6. y 5 x2 2 9x 2 10 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (29)2 2 4 1 (210) 5 121 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 10 2b 6 ∆ 9 6 121 9 6 11 → 5 5 2?a 2?1 2 x” 521 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0
4. y 5 2x2 1 10x 2 25 a 5 21 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo; logo, a função tem ponto de máximo. a) y 5 0 2x2 1 10x 2 25 5 0 5 b2 2 4ac 5 102 2 4 (21) (225) 5 0 Como 5 0, a função possui um único zero: 2b 6 ∆ 2b 210 5 5 55 x5 2?a 2?a 2 ? (21)
404
21
y0 y0
10
Logo, y . 0 para x 21 ou x . 10. y0
Então, y . 0 para 0 x 5. c) y . 0 para x . 0 ou x . 5.
y0
Logo, a função será positiva para qualquer valor real de x.
A função é nula para x 5 0 ou x 5 5. b) Esboçando o gráfico, temos: y0
y0
A função é nula (y 5 0) para x 5 5.
7. x2 2 8x 1 16 0 a 5 1 > 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (28)2 2 4 1 16 5 0 Como 5 0, a função possui um único zero, e a parábola tangencia o eixo x: x5
2b6 ∆ 8 5 54 2?a 2 y0
y0 4
Logo, a função nunca será menor que zero, ou seja, não há valores reais x para que y 0, pois ou a função será positiva ou igual a zero (quando x 5 4).
Ilustracões: Editoria de arte
8. y 5 2x2 2 x 1 3 a 5 2 > 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (21)2 2 4 2 3 5 223 Como 0, a parábola não corta o eixo x:
5 b2 2 4ac 5 (25)2 2 4 1 4 5 9 Como . 0, a função possui dois zeros: x´ 5 4 2b 6 ∆ 56 9 563 → 5 5 2?a 2 ?1 2 x´´ 5 1 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0 y0
y0
Para qualquer valor real de x, a função é sempre positiva.
9. x2 1 3x 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 32 2 4 1 0 5 9 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 0 2b 6 ∆ 23 6 9 23 6 3 → 5 5 x5 2?a 2?1 2 x” 52 3 Esboçando o gráfico, temos: y0 23
1
(3x 2 1)(x 2 2) . 2(x2 2 2) 3x2 2 6x 2 x 1 2 2 2x2 1 4 . 0 x2 2 7x 1 6 . 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (27)2 2 4 1 6 5 25 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 6 2b 6 ∆ 7 6 25 765 → 5 5 2?a 2?1 2 x” 5 1 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0
Como a inequação pede y 0, consideramos 23 x 0. Logo, S 5 {x IR 23 x 0}. (x 2 1)2 1 x . 3 x2 2 2x 1 1 1 x 2 3 > 0 x2 2 x 2 2 . 0 a 5 1 > 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (21)2 2 4 1 (22) 5 9 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 2 2b 6 ∆ 16 9 1 63 → 5 5 x5 2?a 2 ?1 2 x” 521 Esboçando o gráfico, temos:
6
13. x2 2 5x 2 36 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (25)2 2 4 1 (236) 5 169 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 9 2b 6 ∆ 5 6 169 5 6 13 → 5 5 2?a 2?1 2 x” 52 4 Esboçando o gráfico: x5
y0 24
2
y0 y0
9
Temos y 0 para 24 x 9. Logo, o menor e o maior inteiro que satisfazem a inequação são 23 e 8, respectivamente.
A inequação pede y . 0; logo, x 21 ou x . 2. Então: S 5 {x IR x 21 ou x . 2}. 11. x3 2 1 x3 2 x2 1 5x 2 5 21 1 x2 2 5x 1 5 0 x2 2 5x 1 4 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima.
y0
Então: S 5 {x IR x 1 ou x . 6}. Portanto, o menor inteiro positivo que verifica a inequação é x 5 7.
y0 y0
y0 1
10.
21
4
12.
0
y0
y0
Logo, y 0 para 1 x 4.
y0 y0
y0
14. y 5 x2 2 10x 1 21 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac
405
Ilustracões: Editoria de arte
5 (210)2 2 4 1 21 5 16 Como . 0, a função possui dois zeros:
Como . 0, a função possui duas raízes reais: x´ 5 3 2b 6 ∆ 24 6 100 24 6 10 x’ 5 7 2b 6 ∆ 10 6 16 10 6 4 → 5 5 x5 → 5 5 x5 2 ? 2 ? 1 2 a x´´ 52 7 2?a 2?1 2 x” 5 3 x´ 5 3 2b 6 ∆ 24 6 100 24 6 10 Esboçando o gráfico, temos → 5 5 x5 2 ? 2 ? 1 2 a y0 y0 x´´ 52 7 3
y0
Esboçando o gráfico, temos:
7
y0
Logo, a função é negativa (y 0) para 3 x 7.
15. 4x2 2 3 12(x 2 1) 4x2 2 3 2 12x 1 12 0 4x2 2 12x 1 9 0 a 5 4 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (212)2 2 4 4 9 5 0 Como 5 0, a função possui um única raiz: 2b 6 ∆ 12 3 x5 5 5 2?a 2? 4 2 Esboçando o gráfico, temos: y0
y0 3 2
Logo, não há x real que satisfaça y 0. 16. 8(x2 2 3) 1 1 5(x2 2 1) 2 6 8x2 2 24 1 1 5x2 2 5 2 6 3x2 2 12 0 a 5 3 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 0 2 4 3 (212) 5 144 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 2 2b 6 ∆ 6 144 612 → 5 5 2?a 6 6 x” 52 2 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0 22
y0 y0
2
Então, y 0 para 22 x 2. Portanto: S 5 { x IR 22 x 2}. 17. Área 5 (x 1 6)(x 2 2) . 9 x2 1 4x 2 12 2 9 . 0 x2 1 4x 2 21 . 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 42 2 4 1(221) 5 100
406
27
y0 y0
3
Então, y . 0 para x 27 (não convém) ou x . 3. Logo, a área do retângulo é maior que 9 para x . 3. Chegou a sua vez, páginas 193 e 194. 1. a) b)
R 5 αD2 1 βD Para D 5 1, temos: R 5 α 1 β. Para D 5 2, temos: R 5 4α 1 2β. α51eβ53 Para D 5 1, temos: R 5 α 1 β R R1 5 1 1 3 R R1 5 4 Para D 5 2, temos: R 5 4α 1 2β R R2 5 4 1 6 R R2 5 10 O valor do aumento é dado por: R2 2 R1 5 10 2 4 5 6 Aumento porcentual 5 valor do aumento 3100 5 valor inicial 6 Aumento porcentual 5 ? 100 5 150 4 Portanto, o aumento foi de 150%.
2. Alternativa a. R 5 αD2 1 βD D 5 1 R R1 5 α 1 β (Valor inicial.) D 5 2 R R2 5 4α 1 2β Valor do aumento é dado por: R2 2 R1 5 (4α 1 2β) 2 (α 1 β) 5 3α 1 β Aumento porcentual 5 valor do aumento 3100 5 valor inicial Aumento porcentual 5 5
(3α 1 β) 100 (3α 1 β) ? 100 → α 1β α 1β
3. Alternativa d. R 5 1,5D2 1 D D 5 1 R R1 5 2,5 D 5 2 R R2 5 8
Valor do aumento 5 8 2 2,5 5 5,5 Aumento porcentual 5
• Organizamos a tabela:
5,5 ? 100 → 220% 2,5
Tratando a informação, página 194. 1. De acordo com a tabela, a maior fonte de energia é o carvão, e a menor fonte é o petróleo. Ilustracões: Editoria de arte
2.
16
11
Petróleo
Carvão
40 10
20
30
40
8
2
5
1 2
x
• Construímos o gráfico: Porcentagem (%)
y
Fonte: Brasil, MCT.
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Retomando o que aprendeu, página 195. 1. y 5
9
1
�2 �1 0
18
0
8
0
y
15
Hidroelétrica
21
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Geradores de energia elétrica no mundo
Gás
y 5
• Marcamos os pontos:
Fonte de energia Nuclear
x 22
1 2 1 x 1 x 2 2
a) Se x 5 40, temos: y 5 1 ? 402 1 1 ? 40 → y 5 820 2 2 A soma dos 40 primeiros números inteiros positivos é 820. b) Quando y 5 210, temos: 1 1 210 5 x2 1 x 2 2 420 5 x2 1 x x2 1 x 2 420 5 0 5 b2 2 4ac 5 1 2 4 1 (2420) 5 1 681
�2 �1 0
1 2
x
b) y 5 x2 2 5x
• Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 5 xv 5 5 5 2a 2 25 ,2 2 V 4 5 25 2 5 y v 5 2 5 ? 52 2 4 2 • Organizamos a tabela: x
y
4
24
5
0
x’ 5 20 21 6 1681 2b 6 ∆ 21 6 41 0 0 → x5 5 5 2?a 2 ?1 2 1 convé 24 x 52 21 ” (Não é m.) 5 25 x’ 5 20 21 6 1681 2b 6 ∆ 21 6 41 2 2 4 5 → 5 2?a 2 ?1 2 ém.) x” 52 21 (Não convé
Logo, 210 é a soma dos 20 primeiros números inteiros positivos.
2. a) y 5 2x2 1 9
• Marcamos os pontos: y
• Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 20 5 5 0 2a 2(21) V (0, 9) yv 5 9
xv 5
0 �1 �2 �3 �4 �5 �6
1 2 3 4 5
x
407
Ilustracões: Editoria de arte
• Construímos o gráfico:
• Organizamos a tabela:
y
0 �1 �2 �3 �4 �5 �6
x
1 2 3 4 5
x
y
22
9 4
21
1 4
1 2
0
2
c) y 5 x 2 4x 2 5
0
1 4
1
9 4
2
• Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 4 xv 5 5 52 2a 2 V (2, 2 9) y v 5 4 2 8 2 5 52 9
• Marcamos os pontos: y 6 5 4 3 2 1
• Organizamos a tabela: x
y
0
25
1
28
2
29
3
28
4
25
�3 �2 �1 0
1 2
x
• Construímos o gráfico: y
• Marcamos os pontos:
6 5 4 3 2 1
y
0 �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8 �9
1 2 3 4
x
• Construímos o gráfico: y
0 �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7 �8 �9
1 2 3 4
x
x
4. a) y 5 x2 2 25 a 5 1 . 0 R A concavidade está voltada para cima; logo, há ponto de mínimo.
1 4
• Determinamos as coordenadas do vértice: 2b 21 1 xv 5 5 52 1 2a 2?1 2 V 2 2 , 0 1 1 1 yv 5 2 1 5 0 4 2 4
408
1 2
3. y 5 (k 2 3)x2 1 x A parábola tem a concavidade voltada para cima se a . 0, então fazemos: k23.0 k.3 Logo, a parábola tem a concavidade voltada para cima quando k . 3.
2b 0 5 5 0 2a 2 ?1 V (0, 2 25) y v 5 25 2 b) y 5 2x 1 25 a 5 21 0 R A concavidade está voltada para baixo; logo, há ponto de máximo. 2b 20 xv 5 5 5 0 2 a 2 ? ( 2 1 ) V (0, 25) y v 5 25
d) y 5 x2 1 x 1
�3 �2 �1 0
xv 5
c) y 5 2x2 1 10x a 5 21 0 R A concavidade está voltada para baixo; logo, há ponto de máximo. 2b 210 xv 5 5 5 5 2 a 2 ? ( 2 1 ) V (5, 25) y v 5 25
1 , 0 R A concavidade da 3 parábola está voltada para baixo. 5 b2 2 4ac
∆5
Como . 0, a função possui dois zeros:
a 52
49 25 1 2 4 ? 2 ? (22) 5 9 9 3
7 25 7 5 2 6 2 6 2 6 ∆ b 3 9 3 3 → x’ 5 1 x5 5 5 2 2?a 21 x” 5 6 2? 2 3 3 2b 24 1 7 25 7 5 xv 5 5 52 1 2 6 2 6 2a 2? 4 2 V 2 b 6, 0∆ 3 9 3 3 → x’ 5 1 5 x 5 2 5 2 2 ? 2 1 a yv 5 1 2 2 1 1 5 0 x” 5 6 2? 2 3 3 5. y 5 2 x2 1 9 Esboçando o gráfico, temos: a 5 21 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo; logo, a função tem y0 1 6 ponto de máximo. y0 y0 d) y 5 4x2 1 4x 1 1 a 5 4 . 0 R A concavidade está voltada para cima; logo, há ponto de mínimo.
a)
Ilustracões: Editoria de arte
2x2 1 9 5 0 5 b2 2 4ac 5 0 2 4 (21) 9 5 36 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 52 3 0 66 2b 6 ∆ → 5 2?a 22 x” 5 3 Esboçando o gráfico, temos: x5
23
y0
3
y0
y0
a) O míssil voa fora da água no intervalo 1 x 6. b) A posição da pedra é o ponto (6, 0). 8. x2 2 36 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 0 2 4 1 (236) 5 144 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 6 2b 6 ∆ 0 6 144 12 → 5 56 2?a 2?1 2 x” 52 6 Esboçando o gráfico, temos:
A função é nula para x 5 23 e x 5 3. b) y . 0 para 23 x 3. c) y 0 para x 23 ou x . 3.
6. x2 1 3x 2 10 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 32 2 4 1 (210) 5 49 Como . 0, a função possui dois zeros: x´ 5 2 2b 6 ∆ 2 3 6 49 23 6 7 → 5 5 2?a 2?1 2 x´´ 52 5 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0 25
y0 y0
2
x5
y0 26
y0 y0
6
S 5 {x IR 26 x 6} 9. y 5 x2 2 2x 1 8 > 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 (22)2 2 4 1 8 5 228 Como 0, a parábola não corta o eixo x. Esboçando o gráfico, temos:
Então, y 0 para 2 5 x 2. Logo, o menor inteiro negativo que satisfaz a inequação é 24. y0
7.
y 52
1 2 7 x 1 x 22 3 3
Então, y . 0 para qualquer x; logo, a afirmação é verdadeira.
409
10.
11. 2 x2 1 13x 2 22 . 0 a 5 21 0 R A concavidade da parábola está voltada para baixo. 5 b2 2 4ac 5 132 2 4 (21) (222) 5 81 Como . 0, a função possui dois zeros:
x’ 5 2 2b 6 ∆ 213 6 81 213 6 9 → 5 5 2?a 2 ? (21) 22 x” 5 11 x’ 5 2 213 6 81 213 6 9 b6 ∆ → 5 5 2?a 2 ? (21) 22 x” 5 11 Ilustracões: Editoria de arte
x5
410
Esboçando o gráfico, temos: 2 y0
y0
V 5 2 x (x 1 3) . 20 2x2 1 6x 2 20 . 0 x2 1 3x 2 10 . 0 a 5 1 . 0 R A concavidade da parábola está voltada para cima. 5 b2 2 4ac 5 32 2 4 1 (210) 5 49 Como . 0, a função possui dois zeros: x’ 5 2 2b 6 ∆ 23 6 49 23 6 7 → 5 5 2?a 2?1 2 x” 52 5 Esboçando o gráfico, temos: x5
y0 11 y0
Então, para y . 0 temos 2 x 11. Logo, o maior inteiro positivo que satisfaz a inequação é 10.
25
y0 y0
2
Então, y . 0 para x 25 (não convém) ou x . 2. Logo, o volume do paralelepípedo retângulo é maior que 20 para x . 2.
Segmentos proporcionais 41 – Razão e proporção Explorando, página 197. 1.
Brasil real, páginas 201 e 202. 1. a) Primeira: Salvador; segunda: Rio de Janeiro.
a) r 5
14 7 5 5 0,7 20 10
21,2 cm 1 b) e 5 21,2 cm = 5 1060 km 106000000 cm 5000000
b) r 5
35 7 5 5 0,7 50 10
c)
A escala é de 1 : 5 000 000. x cm 1 1 → 5 5 10000000 1310 km 10000000 x cm → 5 131000000 cm 131000000 → x5 5 13,10 cm 10000000
2. Sim, a razão entre 14 e 20 é igual à razão entre 35 e 50. 3. Sim, os números 14, 20, 35 e 50. 4. Sim, 14 5 35 . 20 50
42 – Segmentos proporcionais Exercícios, página 199. 1.
AB 8 2 5 5 5 0, 4 CD 20 5
2. 2 m 5 200 cm r5
200 5 5 5 2,5 80 2
3. r 5 0,4 8 cm 5 0,08 m 4 x r 5 0, 4 5 5 10 0, 08 10 x 5 4 0,08 x 5 0,032 m 4. x2 2 24x 1 135 5 0 5 b2 2 4 a c 5 (−24)2 2 4 1 135 5 576 2 540 5 36 x5
x’ 5 15 2b 6 ∆ 24 6 36 24 6 6 → 5 5 2a 2?1 2 x” 5 9
Logo, a 5 9 e b 5 15. Agora, podemos calcular a razão de AB para BC : r5
9 3 5 5 0,6 15 5
A distância entre as duas cidades no mapa é de 13,1 cm. 2. a) Vamos verificar se a razão entre a 14 7 largura e o comprimento é . 5 20 10 175 175 7 1,75 100 r5 5 5 5 250 10 2,5 25 10 Logo, pode-se confeccionar uma bandeira com essas dimensões. 7 x 5 b) r 5 10 30 x 5 21 Se o comprimento for de 30 m, a largura deverá ser de 21 m. c) 7 x r5 5 10 55 7 ? 55 x5 5 38,5 10 A bandeira deverá ter 38,5 m de largura. Exercícios, página 202. 1. AB 5 20 cm; BC 5 50 cm; CD 5 80 cm e DE 5 200 cm. AB 20 2 5 5 BC 50 5 CD 80 2 AB CD 2 5 5 → = 5 DE 200 5 BC DE 5 Os segmentos são proporcionais.
411
2.
2. AB 5 4 cm
CD 5 6 cm
MN 5 8 cm
a) a 40
PQ 5 12 cm AB 4 2 5 5 CD 6 3 MN 8 2 AB MN 2 5 5 → 5 5 PQ 12 3 CD PQ 3
32 b
100
x
c
Logo, os segmentos são proporcionais. 3. MN, RS, PT e XY MN PT 5 RS XY 12 x 5 15 8 12 ? 8 x5 5 6, 4 cm 15 PT mede 6, 4 cm.
Pelo teorema de Tales, temos: 40 32 5 100 x 32 ? 100 x5 5 80 40 x 5 80 b) a
43 – Feixe de retas paralelas
b
c
5,4
4,5
44 – Teorema de Tales Exercícios, página 208.
3 x
Ilustrações: Editoria de arte
1. r x
Pelo teorema de Tales, temos:
2x 1 4
4,5 3 5 5, 4 x 3 ? 5, 4 x5 5 3,6 4,5 x 5 3,6
s
x12
25 t
Pelo teorema de Tales, temos: x 2x 1 4 5 x 12 25 Pela propriedade fundamental da proporção, temos: 25x 5 (x 1 2)(2x 1 4) 25x 5 2x2 1 8x 1 8 2x2 2 17x 1 8 5 0 5 b2 2 4ac 5 (−17)2 2 4 ? 2 ? 8 5 225
3. a 5
x
2,75 b
8
4
c
Pelo teorema de Tales, temos:
5 x x’ 5 8 5 → x 5 2,5 2b 6 ∆ 17 6 225 17 6 15 8 4 x5 5 5 → 1 2a 2?2 4 2,75 x” 5 2 5 0,55 5 → y 5 4, 4 8 y x’ 5 8 2b 6 ∆ 17 6 225 17 6 15 5 5 → 1 x 1 y 5 2,5 1 4,4 5 6,9 2a 2?2 4 x” 5 2 5 0,5
412
y
Ilustrações: Editoria de arte
4. Se AC 5 42 e AB 5 14, temos BC 5 28 e DF 5 x 1 18. A
D 14
B
C
Exercícios, páginas 210 e 211.
a
18
28
45 – Aplicações do teorema de Tales
E x
b
1. a) MP / / BC A
F
c
8
7
P
M 21
Pelo teorema de Tales, temos: 14 18 5 28 x x 5 36 DF 5 36 1 18 5 54
B
B
M 5
a
x N 36
13
C
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 7 8 5 21 x 7x 5 8 ? 21 x 5 24
5. A
x
b
b) PQ / / AB
y
C
A P
5
c
P x
y 5 36 2 x Aplicando o teorema de Tales, temos: 5 x 5(36 2 x) 5 5 13 36 2 x 5 13x 180 2 5x 5 13x 18x 5 5 180 x 5 10 y 5 36 2 x y 5 36 2 10 y 5 26 y 2 x 5 26 2 10 5 16 6. a
b
c
d
x y
z
4 8
B
3
Q
C
x21
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: x x 21 5 5 3 3x 5 5(x 2 1) 3x 5 5x 2 5 22x 5 25 x 5 2,5 c) DE / / BC C
10
10
x541z Pelo teorema de Tales, temos: 4 8 5 → z 55 z 10 x541zx5514x59 Ainda pelo teorema de Tales, temos: y 10 5 → y 5 20 8 4 Logo, x 5 9 e y 5 20.
x D 3 A
x11
E
4
B
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: x 11 3 5 4 x x(x 1 1) 5 12 x2 1 x 2 12 5 0 5 b2 2 4ac 5 12 2 4 ? 1 ? (−12) 5 49
413
x5
x’ 5 3 2 b6 ∆ 21 6 49 21 6 7 3. BC 5 32 cm e y 5 32 2 x 5 5 → 2a 2 ?1 2 x 52 4 ” (Não convém.)
A
6
x’ 5 3 2 b6 ∆ 21 6 49 21 6 7 5 5 → 2a 2 ?1 2 x” 52 4 (Não convém.)
E 10
Então, x 5 3. d) AB // MP
B
D
x
y
C
Ilustrações: Editoria de arte
M
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos:
4x 1 2 A P
3x 2 1 N
6
B
4
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 3x 2 1 4 5 4x 1 2 6 6(3x 2 1) 5 4(4x 1 2) 18x 2 6 5 16x 1 8 2x 5 14 x57
D 60
50 Lote 2
B
A
30
E y C
x14
Lote 1 E
D
14
x
100
x
3 B
6x 5 10(32 2 x) 6x 2 320 1 10x 5 0 16x 5 320 x 5 20 y 5 32 2 x y 5 32 2 20 y 5 12 x 2 y 5 20 2 12 5 8. Logo, x 5 20 cm; y 5 12 cm e x 2 y 5 8 cm. 4. y 5 120 2 x
2. AB 5 x 2 1 1 3 5 x 1 2 e AC 5 5 x 1 4 1 x 5 2x 1 4
x21
x 10 5 32 2 x 6
120
C
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos:
A
x 21 x14 5 3 x
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos:
x(x 2 1) 5 3(x 1 4) x2 2 x 5 3x 1 12 x2 2 4x 2 12 5 0 5 b2 2 4ac 5 (−4)2 2 4 ? 1 ? (−12) 5 64
x 100 5 y 60 x 100 5 120 2 x 60
60x 5 100(120 2 x) x 5 6 ’ 60x 5 12 000 2 100x 2b 6 ∆ 4 6 64 4 68 x5 5 5 → 2a 2?1 2 x 52 2 ” (Não convém.) 160x 5 12 000 x 5 75 x’ 5 6 2b 6 ∆ 4 6 64 4 68 y 5 120 2 75 y 5 45 5 5 → 2a 2?1 2 x” 52 2 (Não convém.) Perímetro do lote 1: AB 5 x 1 2 AB 5 6 1 2 5 8 AB 5 8 cm 30 1 100 1 (120 2 45) 5 205 205 m AC 5 2x 1 4 AC 5 12 1 4 5 16 AC 5 Perímetro do lote 2: 5 16 cm 30 1 50 1 60 1 45 5 185 185 m Perímetro 5 8 1 16 1 14 5 38 38 cm
414
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos:
5. Fazendo um esboço do triângulo, temos:
Ilustrações: Editoria de arte
A
18
4 x 5 5 4 16 x5 5 3,2 5
9
x
E
D y
3
B
A distância procurada é 3,2 m. C
12
Exercícios, página 213.
y 5 18 2 x Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: x 9 5 y 3 x 9 5 18 2 x 3 3x 5 9(18 2 x) 12x 5 162 x 5 13,5 y 5 18 2 x y 5 18 2 13,5 y 5 4,5 Logo, AD 5 13,5 cm e DB 5 4,5 cm.
a) Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 4 2 5 10 x 20 x5 55 4 x 55 b) Pelo teorema da bissetriz interna, temos: x 4 5 11 4 44 x5 5 11 4
m
6.
1.
50
m
80
c) Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
A
60 m
Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 50 60 5 80 x 80 ? 60 x5 50 x 5 96
4 3 5 x 2 8 x5 3 d) Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 6 x 21 5 x+4 x
O outro quarteirão mede 96 m. 7.
6x 5 (x 2 1)(x 1 4) 6x 5 x2 1 3x 2 4 x2 2 3x 2 4 5 0 5 b2 2 4ac 5 (−3)2 2 4 ? 1 ? (24) 5 25
5m
x5 4m
x5 x
4m
x’ 5 4 2b 6 ∆ 3 6 25 365 5 5 → 2a 2 2 x” 521 (Não convém.)
x’ 5 4 2b 6 ∆ 3 6 25 365 → 5 5 2a 2 2 x” 521 (Não convém.) Logo, x 5 4.
415
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 4 x 5 6 y Como y 5 5 2 x, fazemos: 4 x 5 6 52 x
2. Ilustrações: Editoria de arte
A
7,5 cm
B
10 cm
x22
C
x
D
6x 5 4(5 2 x) 10x 5 20 x52 Logo, AD 5 2 cm e DC 5 3 cm.
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 7,5 x 22 5 10 x 7,5x 5 10(x 2 2) 2,5x 5 20 x58 BC 5 x 2 2 1 x 5 2x 2 2 5 8 ? 2 2 2 5 14 Logo, BC 5 14 cm.
5. A
3.
P A
x
6
z
3
M 3
2 B 12 cm
8 cm
4
D
y
a) Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos:
B
x
D
C
y
15 cm
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 8 x 5 12 y 8 x 5 12 15 2 x 12x 5 8(15 2 x) 12x 1 8x 5 120 20x 5 120 x56 y 5 15 2 x y 5 15 2 6 y 5 9 Sabendo que x 5 6 cm e y 5 9 cm, calculamos: y 2 x 5 9 cm 2 6 cm 5 3 cm
6 x 5 2 3 x59 Pelo teorema da bissetriz interna no triângulo APM, temos: 6 z 5 x 3 Como x 5 9, já podemos obter z: 6 z 5 9 3 z52 Pelo teorema da bissetriz interna no triângulo ABC, temos: 6 12 4 5 x 13 y 8 4 5 12 y
4. B
y56 Agora, calculamos: x1y1z591612 x 1 y 1 z 5 17 b) AB 5 8; AC 5 12 e BC 5 10 Perímetro 5 8 1 12 1 10 5 30
6 cm
4 cm
c) AP 5 6; AM 5 9 e PM 5 5 Perímetro 5 6 1 9 1 5 5 20 A
416
C
x
y
D 5 cm
C
x 5 10 2 5 5 10 y
Retomando o que aprendeu, página 214. 1. Alternativa a.
, 5 3 cm
y 5 25 y 2 x 5 25 2 10 5 15
d 5 3 2 cm r5
7. Alternativa c. Aplicando o teorema de Tales, temos: x 5 5 18 15
d 3 2 5 5 2 5 1, 414 , 3
2. Alternativa e. AB 5 32 cm AB 8 5 BC 3
x56 Aplicando o teorema de Tales, temos: y 10 5 x 5
A
B
Como x 5 6, para obter y, fazemos: y 10 5 6 5
C
32 8 96 5 → 8 ? BC 5 32 ? 3 → BC 5 → BC 5 12 BC 3 8 Logo, BC 5 12 cm. 3. Alternativa c. A
x
P
84 � x 84 cm
PA 2 5 PB 5 x 2 5 84 2 x 5 5x 5 2(84 2 x) 7x 5 168 x 5 24 PA 5 24 cm e PB 5 60 cm Agora, calculamos: PB 2 PA 5 60 cm 2 24 cm 5 36 cm 4. Alternativa a. Base maior (M) 5 10 u Base menor (m) 5 6 u m 6 r5 5 5 0,6 M 10 5. Alternativa c. Aplicando o teorema de Tales, temos: a x 5 5a 30 x 5 6, independente do valor de a. 6. Alternativa d. Aplicando o teorema de Tales, temos: 2 5 5 4 x
B
y 5 12 Agora, calculamos: AB 5 18 1 x 1 y AB 518 1 6 1 12 5 36 8. Alternativa a. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 80 60 5 90 x x 5 67,5 Logo, o comprimento do outro quarteirão é 67,5 m. 9. Alternativa e. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 1,5 1 5 6 h h54 A altura da antena é 4 m. 10. Alternativa c. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 10 x 5 20 y Se AE 5 42, então y 5 42 2 x. 10 x 5 20 42 2 x 20x 5 10(42 2 x) 30x 5 420 x 5 14 y 5 42 2 x 5 42 2 14 5 28 Logo, y 5 28 m.
417
11. Alternativa b. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 25 x 1 30 5 x 25 x 1 10 25(x 1 10) 5 (x 2 5)(x 1 30) 25x 1 250 5 x2 1 25x 2 150 x2 5 400 x 5 20 ou x 5 220 (Não convém.) Perímetro do triângulo ABC: P 5 25 1 x 2 5 1 x 1 30 1 x 1 10 1 70 P 5 130 1 3x P 5 130 1 3 20 P 5 190 12. Alternativa a. x 2 y 5 3; então, y 5 x 2 3.
Ilustrações: Editoria de arte
A
x
B
y
6 cm
C
5 cm
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: x 6 5 y 5 x 6 5 x 23 5 5x 5 6(x 2 3) 5x 5 6x 2 18 x 5 18 cm R x 5 18 cm 18 6 5 y 5 6y 5 18 5 6y 5 90 y 5 90 6 y 5 R 15 y 5 15 cm Perímetro do triângulo ABC: P5x1y1615 P 5 18 1 15 1 11 P 5 44 R P 5 44 cm C
A
418
3 cm
y
D
2 cm
y 5 4 R y 5 4 cm Perímetro do triângulo: P 5 6 cm 1 4 cm 1 5 cm P 5 15 cm 14. Alternativa d. A
x
B
9 cm
D
y
6 cm
C
Se o perímetro é 45 cm, temos: x 1 y 5 45 2 9 2 6 R x 1 y 5 30 Logo, y 5 30 2 x. Pelo teorema da bissetriz interna, temos: x 9 5 y 6 x 9 5 30 2 x 6 6x 5 9(30 2 x) 6x 5 270 2 9x 15x 5 270 x 5 18 AC 5 30 2 18 5 12 Logo, AB 5 18 cm e AC 5 12 cm. 15. Alternativa c. Pelo teorema de Tales aplicado no triângulo ADE, temos: x 12 5 36 10 x 5 43,2 Aplicando o teorema de Tales, encontramos y: 10 36 5 y 18 y55 Agora, calculamos: x 2 y 5 43,2 2 5 x 2 y 5 38,2
13. Alternativa c.
6 cm
Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 6 3 5 y 2
B
16. Alternativa e. Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos, temos: 35 2x 1 5 1 5 5 70 5x 2 4x 1 10 5 5x 4x 2 5x 5 2 10 x 5 10
Semelhança 46 – Figuras semelhantes
b) c 5 40 cm e , 5 25 cm 24 3 5 40 5 15 3 r 5 5 25 5 rc 5
Explorando, página 217. a) 6 2 5 9 3 4 2 r 5 5 6 3
Os retângulos são semelhantes
rc 5
b) As razões são iguais. Brasil real, páginas 220 e 221. 1. Resposta em aberto. 2. a) Sendo 30 m a distância correspondente aos braços abertos do Cristo, temos: 1 x r5 5 → x 5 10 → x 5 10 m 3 30
3 3 5 5 5 . 2. Pelas propriedades dos paralelogramos ˆ 708; então, D ˆ 5 180° 2 70° 5 110° Â 5 708 e C5 ˆ e B 5 1108, e o mesmo acontece com os ˆ ’. Concluímos, então, ângulos Â’, Bˆ ’, Cˆ ’ e D que os ângulos correspondentes são congruentes. 3 6 (Verdadeiro.) r5 5 5 10 Logo, os paralelogramos são semelhantes. 3. a) Não. Dois retângulos nem sempre são semelhantes, pois os lados podem não ser proporcionais. b) Sim. Dois quadrados são sempre semelhantes, pois os ângulos são congruentes, e os lados são proporcionais. c) Não. Dois triângulos só serão semelhantes se dois ângulos forem congruentes, e os lados homólogos forem semelhantes. d) Sim. Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes, pois todos os ângulos medem 608, e os lados são proporcionais. e) Sim. Polígonos regulares sempre são semelhantes, pois possuem os lados e os ângulos congruentes, e os lados homólogos proporcionais.
A distância correspondente aos braços abertos do Cristo deve ser 10 m. b) Sendo 30 m a altura da estátua, temos: 1 cm 1 cm 1 5 5 1m 100 cm 100 1 x 5 100 30 30 x5 5 0,30 → x 5 0,30 m 5 30 cm 100 r5
O Cristo terá 30 cm de altura no desenho.
47 – Polígonos semelhantes Exercícios, páginas 226 e 227. 1. a) c 5 30 cm e , 5 20 cm 24 4 5 30 5 15 3 r, 5 5 20 4 rc 5
Os retângulos não são semelhantes 3 4 5 4 .
4. 20 4 5 15 3 b) Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer, portanto a razão entre os perímetros H1 e H2 é dada por: 20 4 r5 5 15 3 a) r 5
419
c) Os ângulos dos polígonos regulares são congruentes; logo, os ângulos dos dois polígonos são todos congruentes.
x5
O lado do outro quadrado mede 12,5 cm. Logo, o perímetro do outro quadrado é dado por: P 5 12,5 ? 4 5 50 R P 5 50 cm
5. A
12 m
B
8m
D
Ilustrações: Editoria de arte
M
C x
N
8. Perímetro do retângulo dado: P 5 2 ? 15 1 2 ? 10 5 50 R P 5 50 cm Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer; logo: 90 9 5 50 5 x 90 5 → x5 → x 5 18 → x 5 18 cm 10 5 y 135 5 → y5 → y 5 27 → y 5 27 cm 15 5
r5 9 5 9 5
y
Q
r5
P
1 4
As medidas dos lados do retângulo ABCD são 27 cm e 18 cm. 9.
1 12 5 4 x x 5 12 ? 4 x 5 48 → x 5 48 m
a) b)
1 8 5 4 y y 54 ?8 y 5 32 → y 5 32 m
6. Se os trapézios são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais. 24 52 a) r 5 12 A razão de semelhança é 2. 30 40 62 5 5 b) r 5 2 5 x y z x 5 15; y 5 20 e z 5 31. c) Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer; logo, r 5 2. 2 5
2 5 5 5 x
3 2
r5
3 2
c) Como os pentágonos são semelhantes ˆ 5D ˆ ’ 5105°. D 10. PI 5 28 1 34 1 26 1 60 5 148 PII 5 37 R5
PI 148 5 54 PII 37
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer; logo, a razão entre os lados também é 4: 28 34 60 26 r545 5 5 5 z y x w Então, z 5 7 cm; y 5 8,5 cm; x 5 15 cm e w 5 6,5 cm.
7. r5
r5
3 2,1 5 2 x 4,2 5 1, 4 → x 5 1, 4 cm x5 3
As dimensões do retângulo MNPQ são 48 m 3 32 m.
420
25 5 12,5 2
11.
13 1 5 52 4 P 5 245 cm r5
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer; logo:
Então, x 5 1 000 510 m. 1 6 5 → y 5 6 ? 200 → y 5 1200 200 y Então, y 5 1 200 cm 5 12 m. Logo, as dimensões reais da sala são 10 m por 12 m. b) Área na planta: A 5 5 cm ? 6 cm R A 5 30 cm2 c) Área real: A 5 10 m ? 12 m R A 5 120 m2
p 1 5 P 4 p 1 5 → 4p 5 245 → p 5 61,25 → p 5 61,25 cm 4 245 12. O terreno maior tem 50 m de frente, e seu contorno é de 400 m. Conhecendo essas medidas, podemos calcular a medida do fundo do terreno maior: P 5 2A 1 2B 400 5 2 ? 50 1 2B 400 5 100 1 2B B 5 150 O terreno maior tem 150 m de fundo. a) 2 r5 5 2 x 5 → 5x 5 100 → x 5 20 5 50 Logo, o terreno menor tem 20 m de frente. 2 y 5 → 5y 5 300 → y 5 60 5 150 Logo, o terreno menor tem 60 m de fundo. Portanto, as dimensões do terreno menor são 20 m por 60 m. b) p 5 2a 1 2b p 5 2 ? 20 1 2 ? 60 p 5 160 O contorno do terreno menor mede 160 m. 13. r5
3 4
3 27 108 5 → 3x 5 27 ? 4 → x 5 → x 5 36 4 x 3 O perímetro do segundo polígono é 36 cm. 14. r5
1 200
a) 1 5 5 → x 5 200 ? 5 → x 5 1000 200 x
48 – Triângulos semelhantes Exercícios, páginas 232 a 234. 1. a) Sim, pois possuem dois ângulos congruentes. b) Não, pois os ângulos não são congruentes. c) Sim, pois possuem dois ângulos congruentes. d) Sim, pois possuem os ângulos congruentes. No primeiro triângulo, o ângulo que falta indicar é 40º, e no segundo, 30º. 2.
a) Sim; os dois triângulos são retângulos; logo, possuem os três ângulos congruentes. b)
BC e DE; AB e EF e AC e DF.
3. Se os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais: AC AB BC 5 5 MN PM PN Substituindo os valores, temos: x y R x2 5 y ? z 5 z x Portanto, é correto escrever x2 5 y ? z. 4. Como os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais. a) AB BC AC 5 5 A’B’ B’C’ A’C’ 18 12 x 5 5 y 9 18 Da primeira igualdade, temos: y5
18 ? 9 5 13,5 12
421
x5 b)
AE EB AB 5 5 CD BD BC 2 3 x 5 5 4 y 8
Da segunda igualdade, temos: 24 x ?6 58 ?3 → x 5 54 6 AB BC AC 5 5 EF DE DF 6 9 10 5 5 y 3 x Da primeira igualdade, temos: 6?3 y5 52 9 Da segunda igualdade, temos: 10 ? 3 10 x5 5 9 3 5. Os lados homólogos são proporcionais; logo, podemos escrever: AB BC AC 5 5 DE DF EF Substituindo os valores dados na primeira igualdade, temos: 12x x 5 1 3 x 5 3(1 − x) x 5 3 − 3x 4x 5 3 3 x5 4 x 5 0,75 6. a) Sim, pois os ângulos são congruentes. b) AC e DE; AB e DF e BC e EF c) x 5 9 4 x 2 x 5 36 x’ 5 6 x 56 36 → x” 52 6 (Não convém.) Logo, x 5 6.
422
B
12 ? 18 5 24 9
Da primeira igualdade, temos: 3? 4 y5 56 2
c)
7.
D
20
A
30
Editoria de arte
Da segunda igualdade, temos:
12
C
E
Nos triângulos ABC e CDE, se AB // CD, então, Â Cˆ 2; se BC // DE, Cˆ 1 Ê. Logo, os triângulos são semelhantes, e os lados homólogos são proporcionais: BC AC 5 DE CE 20 30 5 12 x x 5 18 8. Os lados homólogos são proporcionais AB AC BC 5 5 DE DF EF 6 x 16 y14 5 5 4 6 y Da primeira igualdade, temos: 4(x 1 6) 5 36 x1659 x53 Igualando a primeira e a terceira razão, temos: 6 y14 5 4 y 6y 5 4(y 1 4) 6y 5 4y 1 16 2y 5 16 y58 Logo, x 5 3 e y 5 8. 9. Os triângulos ABC e DEF são semelhantes, pois têm os ângulos congruentes e, portanto, os lados homólogos proporcionais. AB BC AC 5 5 DE EF DF 10 16 x 5 5 4,8 4 y Da primeira igualdade, temos: 4x 5 10 ? 4,8 → x 5 12 Da segunda igualdade, temos: 10y 5 16 ? 4 → y 5 6, 4 Portanto: x 1 y 5 12 1 6,4 5 18,4
10.
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
obelisco A
AB BC 5 A’B’ B’C’ x 14 5 3,5 0,70 3,5 ? 14 x5 0,70 x 5 70 A altura do prédio é 70 m. 12. mastro A Ilustrações: Editoria de arte
pessoa A’
2,10 m x B
C
4,80 m
B’
x
C’
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
pessoa A’
AB BC 5 A’B’ B’C’ 14 4,80 5 2,10 x 14x 5 4,80 ? 2,10 x 5 0,72
1,80 m B
C
B’ C’ 1,20 m
6m
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais. AB BC 5 A’B’ B’C’
A sombra projetada tem 72 m.
x 6 5 1,80 1,20 6 ? 1,80 x5 1,20
11. A prédio
x59 O mastro tem 9 m de altura. 13.
Caio
fã
2,05 m
x
x
ripa
A’
C 14 m
x
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
3,5 m
B
x � 0,80
B’ C’ 0,70 m
2, 05 x 1 0,80 5 x x 2,05x 5 x(x 1 0,80) x2 1 0,80x – 2,05x 5 0
423
x2 − 1,25x 5 0
Da primeira igualdade, temos:
x’ 5 0 x (x 2 1,25) 5 0 → x” 5 1,25 (Não convém.)
100 80 5 40 AM 100 ? 40 AM 5 80 AM 5 50 Da segunda igualdade, temos:
14. Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais. AB AC BC 5 5 DF DE FE Da primeira igualdade, temos: 8 14 5 4 y 14 ? 4 y5 8 y57 Da figura, temos que 2x 1 y 5 14. Substituindo y 5 7 na expressão: 2x 1 y 5 14 2x 1 7 5 14 2x 5 7 x 5 3,5 Portanto, x 5 3,5 e y 5 7. 15. Os triângulos PQR e PSR possuem um ângulo em comum ( Pˆ ) e um ângulo congruente; logo, são semelhantes, e os lados homólogos são proporcionais. PQ QR PR 5 5 PR RS PS Da primeira igualdade, temos: 10 8 5 4 SR 4 ?8 SR 5 10 SR 5 3,2 Usando a primeira e a terceira razão, temos: 10 4 5 4 PS 4?4 PS 5 10 PS 5 1,6 Então, RS 5 3,2 e PS 5 1,6. 16. Os triângulos ABC e AMN são semelhantes, pois possuem um ângulo em comum (Â) e um ângulo de 308. Então, os lados homólogos são proporcionais. AC BC AB 5 5 AM MN AN
424
80 60 5 40 AN 40 ? 60 AN 5 80 AN 5 30 Perímetro 5 AM 1 AN 1 NM Perímetro 5 50 1 30 1 40 5 120 O perímetro do triângulo AMN é 120 m. Desafio, página 235. C x E 12,3 m A
4m 1,5 m
D
B
Toda reta que é paralela a um lado de um triângulo e encontra os outros dois lados em pontos distintos determina com esses lados um triângulo semelhante ao primeiro; logo, ABC ADE. AC BC 5 AE ED 12,3 1 x 4 5 12,3 1,5 (12,3 1 x)1,5 5 4 ? 12,3 18,45 1 1,5x 5 49,2 1,5x 5 30,75 x 5 20,5 A pessoa deve caminhar 20,5 m para atingir o ponto mais alto da rampa. Exercícios, páginas 236 e 237. 1. Sendo MN // BC, usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC AMN AB AC BC 5 5 AM AN MN Usando a primeira igualdade, temos: x 19 9 1 15 5 x 9 24x 5 9(x 1 9) 24x 5 9x 1 81
Editoria de arte
A altura da fã é 1,25 m.
15x 5 81 x 5 5,4 Usando a segunda igualdade, temos:
4x 1 36 5 24 1 6x 2x 5 12 x56
24 y 5 9 6 24 ? 6 y5 9
Usando a segunda igualdade, temos: 4 16 7,5 5 4 y 4y 1 6y 5 4 ? 7,5 10y 5 30
y 5 16 Logo, x 5 5,4 e y 5 16.
y53 Agora, calculamos: x1y5613 x1y59
2. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC CMN
9 x1y 5 6 y 9y 5 6(x 1 y) 9y 5 6x 1 6y 3y 5 6x y 5 2x Logo, a relação y 5 2x é válida. (B 1 b)h . 2 No trapézio ABED, temos B 5 15 e h 5 8 . Vamos, então, determinar b (o lado DE ), usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos: ABC CDE
3. A área do trapézio é dada por A 5
AC AB 5 CD DE 20 15 5 20 2 8 DE 15 ? (20 2 8) DE 5 20 DE 5 b 5 9 Agora, calculamos a área: A5
(B 1 b)h (15 1 9)8 5 2 2
A área do trapézio é 96. 4. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC AMN AC AB BC 5 5 AN AM MN Usando a primeira igualdade, temos: x 1316 41x 5 6 4 4(x 1 9) 5 6(4 1 x)
5. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: Editoria de arte
AB BC 5 MN CN
B
D 136 cm 50 cm A
x
C
75 cm
E
ABE EDC AB AE 5 CD CE 136 x 1 75 5 50 75 50(x 1 75) 5 10 200 x 1 75 5 204 5 AE Logo, AE 5 204 cm. Observe que não foi necessário determinar x para encontrar a medida de AE ; mas, caso haja necessidade, pode-se também primeiro determinar x 5 129 para, depois, somar 75 e obter AE . 6. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ADE ABC AD AE DE 5 5 AB AC CB Usando a primeira igualdade, temos: 42 1 70 x 1 50 5 70 50 112 ? 50 5 70(x 1 50) 5 600 5 70x 1 3 500 2 100 5 70x x 5 30 R EC 5 30
425
Usando a segunda igualdade, temos:
P2 5 16 1 48 1 14 1 60 P2 5 138 Logo, o perímetro do trapézio BCDE é 138 m.
50 1 30 DE 5 50 40 DE 5 64 Logo, EC 5 30 e DE 5 64.
8. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: PDC PAB
7.
PC DC 5 PA AB 200 x 5 80 100 20000 x5 80 x 5 250
A
ym
A largura do lago é 250 m.
56 m
9. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC BPN AC AB 5 PN BP 8 6 5 62y x
Ilustrações: Editoria de arte
Lote 1
E 16 m B
D 48 m Lote 2
60 m
xm
8(6 − y) 5 6x 48 − 8y 5 6x 8y 5 48 − 6x 3 y 56 2 x 4
C
Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC ADE AB BC AC 5 5 AE ED AD
10.
P
Usando a primeira igualdade, temos: y 1 16 60 5 y 48 48(y 1 16) 5 60y 48y 1 768 5 60y 12y 5 768 y 5 64 Usando a segunda igualdade, temos: 60 56 1 x 5 48 56 60 ? 56 5 48(56 1 x) 70 5 56 1 x x 5 14 Perímetro do lote 1 (triângulo ADE): P1 5 y 1 56 1 48 P1 5 64 1 56 1 48 P1 5 168 Logo, o perímetro do triângulo ADE é 168 m. Perímetro do lote 2 (trapézio BCDE): P2 5 16 1 48 1 x 1 60
426
xm
O
rio
25 m
A
30 m
B
40 m
C
Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: PBC POA PB BC 5 PO AO x 1 30 40 5 x 25 40x 5 25(x 1 30) 40x 5 25x 1 750 15x 5 750 x 5 50 A distância do observador em O até o ponto P é de 50 m.
Chegou a sua vez, página 239.
AB BC 5 A’B’ B’C’ x 40 5 2 5 80 x5 5 x 5 16
1. a)
b)
A’B’ 3 5 53 AB 1 B’C’ 4,5 5 53 BC 1,5 D’C’ 7,5 5 53 DC 2,5 6 A’D’ 5 53 2 AD
A altura do prédio é 16 m. 2. Alternativa b. 14 3
As razões são todas iguais a 3.
r5
OA’ 9 5 53 OA 3 OB’ 12 5 =3 4 OB OC’ 12 5 53 OC 4 OD’ 4,5 5 53 1,5 OD
14 x 5 3 0,9 14 ? 0,9 x5 3 x 5 4,2 O comprimento do carro do pai de Caio é 4,2 m. 3. Alternativa c. Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
As razões são todas iguais a 3. 2. Resposta em aberto. Tratando a informação, páginas 239 a 241. 1. Para encontrar a mediana no gráfico, devemos separar os pontos do gráfico. Podemos fazer isso traçando uma reta paralela ao eixo das pedras, deixando metade dos pontos menos um acima da reta e metade dos pontos menos um abaixo dessa reta. Nesse caso, R$ 30,00 é a mediana dos pontos que indicam os preços das pedras no gráfico: 50% dos preços são maiores que R$ 30,00; 50% dos preços são menores que R$ 30,00. 2. Significa que 50% dos preços de venda das gemas são menores ou iguais a R$ 35,00, e os outros 50% dos preços são maiores ou iguais a R$ 35,00. Retomando o que aprendeu, páginas 241 a 243.
Editoria de arte
prédio A
C 40 m
B’
4. Alternativa a. r5
5 2
5 6 5 2 x 12 x5 5 x 5 2, 4 A altura da porta é 2,4 m.
BC AC 5 EC CD 14 12 5 y 3
poste A’ 2m
B
A altura da árvore é 37,5 m.
5. Alternativa e. Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
1. Alternativa d.
x
30 h 5 4 5 5 ? 30 h5 4 h 5 37,5
C’ 5m
Os triângulos são semelhantes; logo, os lados homólogos são proporcionais.
y 5 3,5 x 5 12 − y x 5 12 − 3,5 x 5 8,5
427
6. Alternativa b.
H D 1,80 m A
C 2,70 m
Ilustrações: Editoria de arte
B
8. Alternativa a. Os triângulos são semelhantes, e os lados homólogos são proporcionais. ABC CDE AC AB 5 EC ED 36 60 5 300 x 60 ? 300 x5 36
6,30 m
x 5 500 A largura do lago é 500 m.
Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC ADE
9. Alternativa c.
AC BC 5 AE DE H 2,70 1 6,30 5 2,70 1,80 H 56
H
A altura do poste é 6 m.
1,60 m
7. Alternativa b. O losango é um paralelogramo com os 4 lados congruentes. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: A
2,50 m
Observe que os triângulos que representam as projeções das sombras no esquema são semelhantes, e os lados homólogos são proporcionais. Vamos, então, calcular H: 2,50 1,60 5 10 H H 5 6,4 Logo, a árvore tem 6,4 m de altura.
20 cm
x
M
P x
x x B
5 cm
D
C
ABC AMP AB BC 5 AM MP 20 5 5 20 2 x x 20x 5 5(20 − x) 20x 5 100 − 5x 25x 5 100 x54
10. Alternativa e. Sejam x, y e z as medidas dos lados do triângulo XYZ. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: AB BC AC 5 5 x y z 15 18 27 5 5 x y z Pela propriedade das proporções, fazemos: 15 1 18 1 27 15 18 27 5 5 5 x 1 y 1z x y z Como x 1 y 1 z 5 20, temos:
P 5 4 ? x → P 5 4 ? 4 → P 5 16
60 27 5 20 z z59
Logo, o perímetro do losango é 16 cm.
Portanto, XZ 5 9 cm.
Agora, calculamos o perímetro do losango:
428
10 m
ABD CAD AB AD BD 5 5 AC DC AD Usando a primeira igualdade, temos:
21 − t 5 10,5 t 5 21 − 10,5 t 5 10,5 15. Alternativa e. Seja x o lado do paralelogramo. DE 5 36 − x e como DF 5 8 cm, CF 5 10 cm
6 x 5 8 6, 4 x 5 4,8 Usando a primeira razão com a terceira, temos: 6 y 5 8 4,8 y 5 3,6 Agora, calculamos: x 1 y 5 4,8 1 3,6 x 1 y 5 8,4 12. Alternativa d. Os triângulos possuem um ângulo comum e outro congruente; logo, são semelhantes. AB BC 5 BD AB 4 10 5 4 x x 5 1,6 Logo, BD 5 1,6 cm. 13. Alternativa b. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: ABC APQ AC BC 5 AQ PQ 7 10,5 5 3 x
C
10 1
18
2
F
8 x
36 2 x
A
D
E
BCF FDE, pois BC // DE e F1 F2 (o.p.v.) BC CF 5 DE FD x 10 5 36 2 x 8 8x 5 360 − 10x 18x 5 360 x 5 20 Logo, AD 5 20 cm. 16. Alternativa a.
20
10
x 5 4,5 Perímetro do trapézio: P 5 4,5 1 6,5 1 10,5 1 4 P 5 25,5 14. Alternativa c. Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: AEC ADB EC AE 5 DB AD 500 2 100 21 2 7 5 400 2 100 21 2 t 4 14 5 3 21 2 t
x
B
Ilustrações: Editoria de arte
11. Alternativa c. Os triângulos são semelhantes, e os lados homólogos são proporcionais.
25
r
Usando o teorema fundamental da semelhança de triângulos, temos: 45 r 5 20 10 10 ? 45 r5 20 r 5 22,5 R r 5 22,5 cm
429
Estudando as relações trigonométricas no triângulo retângulo f)
Abertura, páginas 244 e 245. • Pra pensar, sem se cansar: Quantos ângulos retos há no triângulo retângulo? Num triângulo retângulo, há um ângulo reto e outros dois ângulos, que juntos devem somar 908, já que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 1808.
x2 5 4 x52 x2 5 242 1 322 x2 5 576 1 1 024 x2 5 1 600 x 5 1600 x 5 40
1. A1 5 52 5 25
2. O maior lado é 26, então fazemos: 262 5 102 1 242 676 5 100 1 576 676 5 676 Como 262 5 102 1 242, podemos dizer que o triângulo é retângulo.
2. A2 5 42 5 16
3.
49 – O teorema de Pitágoras Explorando, página 246.
3. A3 5 3 5 9 2
4. A1 5 A2 1 A3, pois 25 5 16 1 9. 5. Sim.
a) Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 2 6 2 5 x2 1 x 2
( )
36 ? 2 5 2x2 Exercícios, páginas 251 a 254. 1. a) b) c)
x2 5 212 1 282 x2 5 441 1 784 x2 5 1 225 x 5 35 252 5 x2 1 242 x2 5 625 2 576 x2 5 49 x57 112 5 x2 1 52 x2 5 121 2 25 x2 5 96 x2 5 25 ? 3 x54 6
d) x2 5
(
10
) 1( 2
10
x2 5 10 1 10 x2 5 20 x 5 20 5 22 ? 5 x 52 5
2 e) 29 5 52 1 x2 x2 5 29 2 25
(
430
)
x2 5 36 x 56
b) Como AB BC, um lado do retângulo mede 6; e se F é ponto médio de BE, então BE 5 12. Conhecendo esses valores, calculamos a área do retângulo BCDE: A5b?h A 5 12 ? 6 A 5 72
)
2
4. Os triângulos QMR, QRP e PRN são retângulos; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, determinamos os valores solicitados. a) No triângulo QMR, temos: a2 5 22 1 42 a2 5 4 1 16 a2 5 20
a 5 20
b)
a 52 5 No triângulo PRN, temos: b2 5 82 1 42 b2 5 64 1 16
b) Como AB 5 BD, DC 5 20 1 16 5 36. O triângulo ADC é retângulo em C, de catetos 12 e 36; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos a hipotenusa: y2 5 362 1 122 y2 51 296 1 144 y2 5 1 440 y 5 1440
b2 5 80 b 5 80 b 5 24 ? 5
b54 5 c) No triângulo QRP, temos: c2 5 a2 1 b2 c2 5 2 5 2 1 4 5 2
( ) ( )
2
c 5 4 ? 5 1 16 ? 5
y 5 25 ? 32 ? 5
c2 5 20 1 80
c2 5 100 c 5 100 c 5 10
d) O perímetro do trapézio MNPQ é dado por: P521414181c P 5 18 1 10 P 5 28
(3 41 ) 5 (10 1 x) 1 12 2
a) O triângulo ABC é retângulo em C; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos a medida de AB: x2 5 122 1 162 x2 5 144 1 256 x2 5 400
x 5 400 x 5 20 R AB 5 20
2
2
369 5 100 1 20x 1 x2 1 144 125 2 20x 2 x2 5 0 x2 1 20x 2 125 5 0 ∆ 5 b2 2 4ac D 5 400 2 4 ? 1 ? (2125) D 5 900
6. Seja x o lado BD do triângulo BCD. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADB, temos: 2b 6 ∆ 2 20 6 900 x5 5 2a 2 ?1 x2 5 92 1 122 x2 5 81 1 144 x2 5 225
7.
Logo, AD 512 10 .
8. O triângulo PRQ é retângulo em P; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, determinamos x:
5. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: Q1 5 Q2 1 Q3 900 5 Q2 1 324 Q2 5 576 unidades
x 5 225 x 5 15 Ou seja, BD 5 15. a) Calculamos, então, o perímetro do triângulo BCD: P 5 3 ? 15 P 5 45 b) Calculamos o perímetro do quadrilátero ABCD: P 5 9 1 12 1 15 1 15 P 5 51
y 5 12 10
x’ 5 5 2b 6 ∆ 2 20 6 900 220 6 30 5 5 → 2a 2 ?1 2 x” 52 25 (Não convé x’ 5 5 220 6 30 5 → 2 m.) x” 52 25 (Não convém x5
O triângulo SQP é retângulo em P; portanto, aplicando o teorema de Pitágoras, determinamos y: y2 5 x2 1 122 y2 5 52 1 144 y2 5 169 y 5 13 Logo, x 5 5 e y 5 13.
9. O triângulo EFG é retângulo em G; logo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 102 5 62 1 x2 x2 5 100 2 36 x2 5 64 x58 a) O perímetro do quadrado ABGF é: 4 ? x 5 4 ? 8 5 32. b) O lado do quadrado BCDE é: 6 1 x 5 6 1 8 5 14. Então, o perímetro do quadrado BCDE é: 4 ? 14 5 56. c) O perímetro do polígono ACDEF é dado por:
431
P 5 x 1 x 1 y 1 y 1 y 1 10 P 5 16 1 42 1 10 P 5 68
10. Fazendo um esquema da situação, temos:
Ilustrações: Editoria de arte
A
x
B
160 m
C
120 m
12. Se a base BC mede 48 cm, HC mede 24 cm, e o triângulo AHC é retângulo em H. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: AC2 5 h2 1 HC2 402 5 h2 1 242 h2 5 1 600 2 576 h2 5 1 024 h 5 32 Logo, h 5 32 cm. 13. O triângulo ABC é retângulo em C. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: d2 5 272 1 362 d2 5 729 1 1 296 d2 5 2 025 d 5 2025
x2 5 1602 1 1202 x2 5 25 600 1 14 400 x2 5 40 000
d 5 45 R d 5 45 cm 14.
x 5 40000 x 5 200
a) 80 PM 5 2 5 40 18 MQ 5 59 2 Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 402 1 92 x2 5 1 600 1 81 x2 5 1 681 x 5 41 R x 5 41 cm b) O perímetro do losango é: 4 ? 41 cm 5 164 cm.
Logo, a pessoa andará 200 m, se for pelo terreno baldio. A
11.
30
h
25
B 11
D
C x
O triângulo ADC é retângulo em C. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 1 h2 5 252 (I) O triângulo ABC é retângulo em C. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 302 5 (11 1 x)2 1 h2 900 5 121 1 22x 1 x2 1 h2 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 900 5 121 1 22x 1 252 900 2 121 2 625 5 22x 154 5 22x x57 Substituindo x 5 7 em (I), temos: x2 1 h2 5 252 72 1 h2 5 625 h2 5 576 h 5 24
432
15. A
6
D 7
y 15 E
C x
B
a) AB 5 15 cm e AE 5 7 cm; logo, EB 5 8 cm e EC 5 6 cm. O triângulo BCE é retângulo em E. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 62 1 82 x2 5 36 1 64 x’ 5 10 x2 5 100 → x” 5210 (Não convém.) Então, x 5 10 cm.
b) O triângulo ABD é retângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 5 62 1 152 y2 5 36 1 225 y2 5 261 y 5 261
19. C 20 D y
y 5 3 ? 29 y 5 3 29 → y 5 3 29 cm Ilustrações: Editoria de arte
20
x
2
16. x
12 m
16 m
12
A
x2 5 122 1 162 x2 5 144 1 256 x2 5 400 x 5 20 O terceiro lado do terreno mede 20 m. 17.
B
O triângulo ABD é retângulo em A. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 202 5 x2 1 122 x2 5 400 2 144 x2 5 256 x 5 16 R x 5 16 m O triângulo BCD é retângulo em D. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 5 202 1 202 y2 5 800 y 5 800 y 5 25 ? 52
x
y 5 20 2 → y 5 20 2 m
3m
O perímetro desse terreno é dado por: P 5 x 1 12 1 y 1 20 P 5 16 1 12 1 20 ? 1,4 1 20 P 5 76 R P 5 76 m
4m
x2 5 32 1 42 x2 5 9 1 16 x2 5 25 x55 A trave de madeira mede 5 m.
20. V5
e1 5 V ? t e → f e2 5 (V 1 7) t (V � 7)t
C
18.
V�t x
A
10√ 3
30
(
x2 5 302 1 10 3
)
2
x2 5 900 1 300 x2 5 1 200 x 5 1200 4
13
2
x 5 2 ?3?5
x 5 20 3 Logo, AC 5 20 3 km.
B
Depois de 1 hora, t 5 1. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 132 5 (V 1 7)2 1 V2 169 5 V2 1 14V 1 49 1 V2 2V2 1 14V 2 120 5 0 V2 1 7V 2 60 5 0 2 7 6 72 2 4(260) 2 V’ 5 5 2 7 6 289 → V5 2 V” 5212 (Não convém.) V5
433
Se V 5 5 milhas/hora, então: V 1 7 5 12 milhas/hora. Logo, as velocidades são: 5 milhas/hora e 12 milhas/hora. 21. Fazendo um esquema da situação, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 62 1 82 x2 5 36 1 64 x2 5 100 x 5 10 São necessários 10 m de fio.
Ilustrações: Editoria de arte
24. Fazendo um esquema da situação, temos: x
10 m
x
6m
9�x
1m
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 102 5 x2 1 62 x2 5 100 2 36 x2 5 64 x58Rx58m Em relação ao chão, a altura desse apartamento é de 8 m 1 1 m 5 9 m. 22. Fazendo um esquema da situação, temos:
8m
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: (9 2 x )2 5 x2 1 32 81 2 18x 1 x2 5 x2 1 9 18x 5 72 x54 A altura do tronco que restou em pé é de 4 m.
30 cm
A matemática Chinesa e Bhaskara, página 254. Fazendo um esquema da situação, temos:
90 cm
x 32 2 x x 30 cm 5 � 24 cm
16
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 902 1 1202 x2 5 8 100 1 14 400 x2 5 22 500 x 5 150 O comprimento todo do corrimão é dado por: 30 1 150 1 30 5 210 R 210 cm 5 2,10 m Logo, o corrimão mede 2,10 m.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: (32 2 x )2 5 x2 1 162 1 024 2 64x 1 x2 5 x2 1 256 64x 5 768 x 5 12 O bambu foi quebrado a 12 cúbitos do chão.
23. Fazendo um esquema da situação, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: y2 5 x2 1 x2 y2 5 2x2 y5x 2 2 x x 5 ? y 2 x 2 x x 2 5 2x y
x 6m
8m
434
Desafio!, página 255.
2 x 5 2 y
Exercícios, página 257.
4.
Ilustrações: Editoria de arte
, 3 2 , 3 3 35 2 , 3 52 ?3 3 h5
1. a) d 5 2 5 4 2 R d 5 4 2 cm b) d
�
,5
3 , 5 6 → , 5 6 cm Perímetro 5 3 ? 6 cm 5 18 cm
�
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: d2 5 2 1 2 d2 5 22 d 5 2 R d 5 2 cm R d 5 4 2 cm
2. a) h 5
5. A 5 2 5 225 R 2 5 225 cm2 5 225 5 15 R 15 cm d5 , 2 d 5 15 2
, 3 12 3 5 5 6 3 → h 5 6 3 cm 2 2
b)
d 5 21,15 R d 5 21,15 cm ,?h 2 5 4 cm
6. A 5
h
, 3 2 4 3 h5 5 2 3 → h 5 2 3 cm 2 4 ?2 3 A5 5 4 3 → A 5 4 3 cm2 2 A 5 6,92 cm2
12
h5
6
2?3 3
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 122 5 h2 1 62 h2 5 144 2 36 h2 5 108
7.
P
h 5 108 2
A
Q 3
h 5 2 ?3
D x
h 5 6 3 → h 5 6 3 cm
B
3. x
10
C
a) x 5 10 1 10 x2 5 200 3 2 x 5 200 5 2 ? 5 5 10 2 2
11√ 2
10
2
2
, 510 2 cm b) x Perímetro 5 4 ? 10 2 5 40 2 → Perímetro 5 40 2 cm Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: Perímetro 5 4 ? 10 2 5 40 2 → Perímetro 5 40 2 cm 2 11 2 5 x2 1 x2 c) 2 242 5 2x Área 5 ,2 2 x 5 11 Área 5 10 2 Perímetro 5 4 ? 11 5 44 A medida do lado é 11 cm, e o perímetro Área 5 100 ? 2 é 44 cm. Área 5 200 R Área 5 200 cm2
(
)
(
)
435
p2 5 r ? s x5r1s px 5 y ? z
8. t 5 dq dq 5 , q 2 5 6 2 → 6 2 cm t 5 dq R , t 56 2 cm
2.
3 ht 5 t 2 ht 5
6 2 ? 3 5 3 6 → ht 5 3 6 cm 2
t
Chegou a sua vez!, página 257. x
1
1
Ilustrações: Editoria de arte
1
t2 5 x ? y
1 4�2
y
3.
3
5
A
2
1
1
6 1
7
1
8
t
8
1. C
m
n
B
16
�4 �3 �2 �1
0
1
2 2
2.
4
b2 5 a ? m 82 5 16 ? m 16m 5 64 m54 m 1 n 5 16 n 5 16 2 4 5 12 Logo, m 5 4 e n 5 12.
8 5 23 5 2 2 8 é o dobro de 2 .
Sim; 3.
3 8
12 5 22 ? 3 5 2 3 Logo, para determinar 12 na reta, basta dobrar o valor de 3 e, usando o compasso, transportá-lo para a direita a partir da origem.
4. C 54
50 – As relações métricas no triângulo retângulo
h A
Exercícios, páginas 261 e 262. 1. H
y
A
436
2
s
z
x 5y 1z z2 5 x ? s y2 5 x ? r 2
x
p
2
B
BC 5 54 e BD 5 48 CD 5 54 2 48 5 6 Com esses valores, podemos calcular h: h2 5 m ? n h2 5 6 ? 48 h2 5 288
C r
48
B
h5
288
5 2 h 5 2 ?3
h 5 12 2
2
2
(
b 5 6 1 12 2
7.
)
A
2
7
2
24
h
b 5 36 1 144 ? 2 B
b2 5 324 b 5 324 b 5 18 5.
a) a2 5 72 1 242 a2 5 49 1 576 a2 5 625
a n
b)
9 15
h2 5 m ? n 152 5 9 ? n 225 n5 5 25 9 a5n19 a 5 25 1 9 5 34 Logo, n 5 25 e a 5 34. 6.
B
A
10
B
b
h 36
a 5 625 a 5 25 R a 5 25 cm ah 5 bc 25 ? h 5 7 ? 24 h 5 6,72 R h 5 6,72 cm
8.
A
c
C
a
Ilustrações: Editoria de arte
Agora calculamos b:
64 a
C
h2 5 m ? n h2 5 36 ? 64 h56?8 h 5 48 R h 5 48 mm a 5 36 1 64 a 5 100 R a 5 100 mm c2 5 a ? n c2 5 100 ? 36 c2 5 3 600 c 5 3600 c 5 60 R c 5 60 mm
b
h
5
C
a
a) b)
c2 5 a ? n 102 5 a ? 5 a 5 20 R a 5 20 cm a2 5 b2 1 102 202 5 b2 1 102 b2 5 400 2 100 b2 5 300
c)
b 5 22 ? 52 ? 3
b 5 300 b 5 10 3 R b 5 10 3 cm a?h5b?c 20 ? h 5 10 3 ? 10 h5
100 3 20
h 5 5 3 → h 5 5 3 cm
9. Se BD 5 9 cm e raio 5 8 cm, então OD 5 1 cm e DC 5 7 cm. A
b2 5 a ? m b2 5 100 ? 64 b2 5 6 400 b 5 6400
x
B
h
8
1 9
O
7 D
C
b 5 80 R b 5 80 mm Portanto, a 5 100 mm; b 5 80 mm; c 5 60 mm e h 5 48 mm.
437
12.
h2 5 m ? n h2 5 9 ? 7 h 5 63 x2 5 h2 1 92 x2 5 63 1 81 x 5 144 x 5 12 R x 5 12 cm 10.
64
Ilustrações: Editoria de arte
B
36
h2 5 m ? n h2 5 36 ? 64 h56?8 h 5 48 R h 5 48 cm
z
x 4
9 H
h y
A y
x
C
O
x2 5 642 1 h2 x2 5 4 096 1 2 304 x 5 6400
x2 5 4 ? 9 x 5 36 x 5 6 R x 5 6 cm
x 5 80 R x 5 80 cm
y2 5 x2 1 42 y2 5 62 1 42 y2 5 36 1 16 y 5 52
y 5 3600
y2 5 362 1 h2 y2 5 1 296 1 2 304 y 5 60 R y 5 60 cm Agora, calculamos o perímetro do retângulo: P 5 2x 1 2y
2
y 5 2 ? 13 y 5 2 13 → y 5 2 13 cm
P 5 2 ? 80 1 2 ? 60 P 5 160 1 120 P 5 280 R P 5 280 cm
z2 5 x2 1 92 z2 5 36 1 81
13.
z 5 117
A
z 5 32 ? 13 z 5 3 13 → z 5 3 13 cm 11.
15
A
80
B
B
x
m 100
16 H
C
b2 5 am b2 5 a ? 16
b
n
b
C
a2 5 b2 1 152 a2 5 (16 ? a) 1 225 a2 2 16a 2 225 5 0
c2 5 a ? n 802 5 100 ? m 2(216) 6 256 2 4 ? 1 ? (2 225) a5 m 5 64 2 ?1 Se m 5 64 km, então n 5 36 km. Daí, temos: a’ 5 25 16 6 1156 16 6 34 a5 5 → x2 5 m ? n 2 2 a” 52 9 (Não convém.) x2 5 36 ? 64 a’ 5 25 16 6 1156 16 6 34 x56?8 a5 5 → 2 2 a” 52 9 (Não convém.) x 5 48 R x 5 48 km Logo, a estrada terá 48 km de Logo, a hipotenusa do triângulo ABC mede comprimento. 25 cm.
438
Brasil real, página 263. a) A torre possui 6 triângulos isósceles de lados x e 2.
49 5 y2 2 36 1 x2 x2 1 y2 5 49 1 36 x2 1 y2 5 85
1m
1m
A
x
B
1m E
2m
C
O
F
D
b)
x 51 11 x5 2 m Perímetro de um triângulo: P 5 2 1 2x 5 5 2 1 2 ? 1,41 2 1 2,82 4,82 Como são 6 faces, temos: P 5 6 ? 4,82 28,92 m Cada quadrado tem aproximadamente 10 1,66 m m de lado. 6
16 5 5 4 5 → 4 5 cm 4 , Como CO OD 5 5 2 5 cm. 2 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ODB, temos: r2 5 OD2 1 DB2
Cada uma das diagonais mede:
d 5 , 2 5 1,66 ? 2 2,34 → d 2,34 m Como são 6 quadrados, temos 12 diagonais: 2,34 ? 12 528,08 R 28,08 m Somando os lados dos quadrados, temos: 20 1 7 ? 1,66 1 6 ? 1,66 5 41,58 Temos mais duas diagonais nos quadrados do extremo, logo: 2 ? 2,34 5 4,68 Total de ripas: 28,08 1 41,58 1 4,68 5 74,34 Logo, foram usados 74,34 m de ripa. Supondo que cada metro de ripa tenha custado R$ 20,00, o construtor teria gastado: 74,34 ? 20 5 1 486,80 R R$ 1 486,80
r2 5 2 5 1 4 5
2
2
2
Retomando o que aprendeu, páginas 264 e 265. 1. Alternativa a. II 5 I 1 III 100 5 36 1 III III 5 64 2. Alternativa d. y2 5 h2 1 62 (I) 72 5 h2 1 x2 (II) De (I), temos: h2 5 y2 2 62. Substituindo h2 5 y2 2 62 em (II), temos: 72 5 (y2 2 62) 1 x2
Ilustrações: Editoria de arte
3. Alternativa b.
,5
( ) ( ) 2
2
r2 5 20 1 80 r2 5 100 r’ 5 10 r 5 100 → ão convém.) r” 5210 (Nã Logo, r 5 10. 4. Alternativa c. x 2 7 cm
x 2
x 2 24 cm
x2 5 72 1 242 x2 5 49 1 576 x2 5 625 x’ 5 25 x2 5 625 → x” 52 25 (Não convém.) Logo, x 5 25 cm. A medida da mediana é dada por: x 25 5 5 12,5 R 12,5 cm 2 2 5. Alternativa c. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: AC2 5 AB2 2 BC2 AC2 5 502 2 402 AC2 5 2 500 2 1 600 AC2 5 900 AC 5 30
439
6. Alternativa a. O h é perpendicular à corda AB; logo, H é ponto médio da corda AB. O triângulo OHB é retângulo em H. 16 cm 5 8 cm e OH 5 6 cm 2 Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: r2 5 OH2 1 HB2 r2 5 62 1 82 r2 5 36 1 64 r2 5 100 r’ 5 10 r 5 100 → r” 5210 (Não convém.)
HB 5
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: a?h5b?c 15 ? h 5 9 ? 12 h 5 7,2 9. Alternativa c. Se ABCD é um paralelogramo, AD 5 BC 5 15 cm. No triângulo retângulo KBC denominamos x o lado KB. CD 5 11 1 x A 11 cm
x
12 cm
Logo r 5 10, e o diâmetro mede: D
d 5 2 ? 10 d 5 20
K
B
15 cm C
16 cm
7. Alternativa b. AB2 1 BC2 5 AC2 AB2 5 AC2 2 BC2 AB2 5 10,252 2 2,252 AB2 5 105,0625 2 5,0625 AB2 5 100 AB’ 5 10 AB 5 100 → AB” 5210 (Não convém.)
M
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo KBC, temos: 152 5 x2 1 122 x2 5 225 2 144 x2 5 81 x’ 5 9 x 5 81 → x” 52 9 (Não convém.)
Logo, AB 5 11 1 9 5 20 cm e CD 5 20 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras no 8. Alternativa d. triângulo CDM, temos: x2 2 21x 1 108 5 0 CD2 5 CM2 1 DM2 202 5 CM2 1 162 2(221) 6 212 2 4 ? 1 ? 108 x’ 5 12 21 6 441 2 432 21 6 9 21 6 3 x5 5 5 CM2 5 400 5 2 256 → 2?1 2 2 2 x” 5 9 CM2 5 144 221) 6 212 2 4 ? 1 ? 108 x’ 5 12 CM 5 144 21 6 441 2 432 21 6 9 21 6 3 → 5 5 5 2?1 2 2 2 CM 5 12 R CM 5 12 cm x” 5 9 O perímetro do quadrilátero ABMD é dado x’ 5 12 441 2 432 21 6 9 21 6 3 por: → 5 5 2 2 2 x” 5 9 P 5 16 1 15 1 20 1 15 1 12 P 5 78 R P 5 78 cm Ilustrações: Editoria de arte
AB 5 10 R AB 5 10 m
9
12 h
x
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 92 1 122 x2 5 81 1 144 x2 5 225 x´ 5 15 x 5 225 → x´´ 5215 (Não convém.)
440
10. Alternativa a. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CDB, temos: BD2 5 122 1 162 BD2 5 144 1 256 BD2 5 400 BD2 5 400 BD 5 20 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD, temos: AD2 5 BD2 1 AB2 AD2 5 202 1 152
AD2 5 400 1 225 AD2 5 625 AD 5 625 AD 5 25
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 5 1,52 1 22 x2 5 2,25 1 4 x2 5 6,25
11. Alternativa c.
x 5 6,25
Ilustrações: Editoria de arte
x 5 2,5 R x 5 2,5 m x
y 24 cm
13. Alternativa e. Fazendo um esquema do trajeto, temos: A x
200 km
a
Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: a?h5b?c a ? 24 5 x ? y (I) Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x2 1 y2 5 a2 (II) É dado que x 1 y 5 70, elevando os dois membros ao quadrado, temos: (x 1 y)2 5 702 x2 1 2 ? x ? y 1 y2 5 4 900 (III) Substituindo (I) e (II) em (III), temos: a2 1 2 ? (a ? 24) 5 4 900 a2 1 48 ? a 2 4 900 5 0
6 cm
C D
800 km
y 300 km
12 cm
E 300 km
B
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ACD, temos: x2 5 2002 1 8002 x2 5 40 000 1 640 000 x2 5 680 000 x 5 680000
x 5 824,62 R x 5 824,62 km Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CBE, temos: 2 6 1482 a’ 52 50 248 6 482 2 4 ? 1 ? (24900) 248 6 21904 2y48 5 300 → 1 300 a5 5 5 2 ?1 2 2 90 000 1 52 98 (Não convém.) y2 5 a”90 000
y2 5 180 000 a’ 5 50 6 482 2 4 ? 1 ? (24900) 248 6 21904 248 6 148 → 5 5 y 5 180000 2 ?1 2 2 a” 52 98 (Não convém.) y 5 424,26 R y 5 424,26 km a’ 5 50 00) 248 6 21904 248 6 148 x 1 y 5 824,62 1 424,26 → 5 5 2 2 a” 52 98 (Não convém.) x 1 y 5 1 248,88 R x 1 y 5 1 248,88 km O valor mais próximo é 1 250 km. Calculamos o perímetro do triângulo: P 5 a 1 (x 1 y) P 5 50 1 70 P 5 120 R P 5 120 cm 12. Alternativa c. Fazendo um esquema da situação, temos:
x 1,5 m
14. Alternativa a. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: CB2 5 AB2 1 AC2 102 5 AB2 1 82 AB2 5 100 2 64 AB2 5 36 AB 5 6 R AB 5 6 cm Pelas relações métricas no triângulo retângulo, temos: a?h5b?c 10 ? h 5 6 ? 8 h 5 4,8 R h 5 4,8 cm
2m
441
Estudando as relações trigonométricas medida do cateto oposto a 35º sen 45º 5 nos triângulos medida da hipotenusa 3, 4 5 0,56 6 medida do cateto adjacente a 35º cos 35º 5 medida da hipotenusa 5 cos 35º 5 5 0,83 6 medida do cateto oposto a 35º tg 35º 5 medida do cateto adjacente a 35º 3, 4 tg 35º 5 5 0,68 5 sen 358 5 0,56; cos 358 5 0,83 e tg 358 5 0,68. sen 35º 5
51 – Relações trigonométricas no triângulo retângulo Explorando, página 268. a) São iguais. b) São iguais. c) São iguais. Exercícios, páginas 271 e 272. 1. medida do cateto oposto a β sen β 5 medida da hipotenusa
4. h5
5 2,23 5 5 0,74 3 3 medida do cateto adjacente a β cos β 5 medida da hipotenusa 2 cos β 5 5 0,66 3 medida do cateto oposto a β tg β 5 medida do cateto adjacente a β sen β 5
No triângulo AHC, temos: sen 60º 5
, 3 2 5 , 3 ? 1 5 3 , 2 2 , medida do cateto adjacente a 60º cos 60º 5 medida da hipotenusa , , 1 1 cos 60º 5 2 5 ? 5 , 2 2 , medida do cateto oposto a 60º tg 60º 5 medida do cateto adjacente a 60º
5 2,23 5 5 1,11 2 2 sen 5 0,74; cos 5 0,66 e tg 5 1,11. sen 45º 5
medida do cateto oposto a 45° medida da hipotenusa
, 3 , 3 2 ? 5 3 tg 60º 5 2 5 , , 2 2 3 1 ; cos 60º 5 e tg 60º 5 3 . sen 60º 5 2 2
, , 2 2 5 ? 5 2 , 2 , 2 2 medida do cateto adjacente a 45º cos 45º 5 medida da hipotenusa sen 45º 5
, , 2 2 5 ? 5 2 , 2 , 2 2 medida do cateto oposto a 45º tg 45º 5 medida do cateto adjacente a 45º , tg 45º 5 5 1 , 2 2 sen 45º 5 ; cos 45º 5 e tg 45º 5 1. 2 2
cos 45º 5
3. medida do cateto oposto a 35º medida da hipotenusa 3, 4 sen 35º 5 5 0,56 6 medida do cateto adjacente a 35º cos 35º 5 medida da hipotenusa 5 cos 35º 5 5 0,83 6 medida do cateto oposto a 35º tg 35º 5 medida do cateto adjacente a 35º 3, 4
5. medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa , , 1 1 sen 30º 5 2 5 ? 5 , 2 2 , medida do cateto adjacente a 30º cos 30º 5 medida da hipotenusa sen 30º 5
sen 45º 5
442
medida do cateto oposto a 60º medida da hipotenusa
sen 60º 5
tg β 5
2.
, 3 2
cos 30º 5
, 3 2 5 , 3 ? 1 5 3 , 2 2 ,
sen 30º 5 1 10 5 2 a a 5 20
10 a
medida do cateto adjacente a 30º medida da hipotenusa c cos 30º 5 a 3 c 5 2 20 c 5 10 3
cos 30º 5 medida do cateto oposto a 30º medida do cateto adjacente a 30º , 2 1 3 3 , 2 5 ? 5 ? 5 tg 30º 5 3 2 3 3 , 3 , 3 2 3 3 1 e tg 30º 5 . sen 30º 5 ; cos 30º 5 2 3 2
tg 30º 5
2.
medida do cateto oposto a β medida da hipotenusa 6 sen β 5 5 0,6 10 medida do cateto adjacente a β cos β 5 medida da hipotenusa 8 cos β 5 5 0,8 10 medida do cateto oposto a β tg β 5 medida do cateto adjacente a β 6 tg β 5 5 0,75 8 sen 5 0,6; cos 5 0,8 e tg 5 0,75. sen β 5
y 5 5,39 Agora, calculamos x 1 y: x 1 y 5 4,48 1 5,39 x 1 y 5 9,87
Exercícios, páginas 277 a 280. 1.
3.
a)
sen 60º 5
medida do cateto oposto a 65º sen 65º 5 medida da hipotenusa x sen 65º 5 9 x 0,91 5 9 x 5 8,19 medida do cateto adjacente a 65º cos 65º 5 medida da hipote enusa y cos 65º 5 9 y 0, 42 5 9
medida do cateto oposto a 60º medida da hipotenusa
3 12 3 5 2 a a 5 24 medida do cateto adjacente a 60º cos 60º 5 medida da hipote enusa 1 b 1 b 5 → 5 2 a 2 24 b 5 12 Agora calculamos a razão enunciada: b 12 5 a 24 b 1 5 a 2
y 5 3,78 Logo, x 5 8,19 e y 5 3,78.
b)
medida do cateto oposto a 40º medida da hipotenusa x sen 40º 5 7 x 0,64 5 7 x 5 4, 48 medida do cateto adjacente a 40º cos 40º 5 medida da hipotenusa y cos 40º 5 7 ,77 5 y 0 7 sen 40º 5
4. medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 10 sen 30º 5 a 1 10 5 2 a a 5 20 medida do cateto adjacente a 30º cos 30º 5 medida da hipotenusa c cos 30º 5 a 3 c 5 2 20 c 5 10 3 Assim, a 5 20 e c 5 10 3 .
x
50 cm
37o y
Editoria de arte
6.
Assim, a 5 20 e c 5 10 3 .
443
sen 37º 5 0,60 5
medida do cateto oposto a 37º medida da hipotenusa
x 50
x 5 30 R x 5 30 cm
P 5 2 (3,1 1 9,5) P 5 25,2 Logo, o perímetro do retângulo é 25,2 cm. 7. a) No triângulo ABC, temos: x tg 30º 5 300 3 x 5 3 300
medida do cateto adjacente a 37º cos 37º 5 medida da hipote enusa y 0,80 5 50 y 5 40 R y 5 40 cm Logo, os catetos desse triângulo medem 30 cm e 40 cm. 5.
medida do cateto oposto a α medida da hipotenusa 6 sen α 5 5 0,6 10 medida do cateto adjacente a α cos α 5 medida da hipotenusa 8 cos α 5 5 0,8 10 medida do cateto oposto a α tg α 5 medida do cateto adjacente a α 6 tg α 5 5 0,75 8
x 5 100 3 → x 5 100 3 cm b) No triângulo DCB, temos: x tg 60º 5 y
sen α 5
O triângulo AHC é retângulo em H; logo:
cos 18º 5
medida do cateto adjacente a 18º medida da hipote enusa
x 10 x 5 9,5 R x 5 9,5 cm 0,95 5
O perímetro do retângulo é dado por: P 5 2x 1 2y
444
medida do cateto oposto a 60º medida da hipotenusa
sen 60º 5 3 x 5 2 20
x 5 10 3 5 17,3 cos 60º 5
medida do cateto adjacente a 60º medida da hipote enusa
1 y 5 2 20 y 5 10 Assim, calculamos x 1 y: x 1 y 5 17,3 1 10 x 1 y 5 27,3
medida do cateto oposto a 18º medida da hipotenusa
y 10 y 5 3,1 R y 5 3,1 cm
y 5 100 R y 5 100 cm
8. Bˆ 5 30°, Cˆ 5 60°, pois o triângulo ABC é retângulo em A.
6.
0,31 5
100 3 y
c) AD 5 300 2 y AD 5 300 2 100 AD 5 200 R AD 5 200 cm
a) cos α 1 sen α 5 0,8 1 0,6 5 7 0,8 2 0,6 cos α 2 sen α b) 2 ? tg α 2 ? 0,75 5 (1 1 tg α) ? (1 2 tg α) (1 1 0,75) ? (1 2 0,75) 3 Fazendo 0,75 5 , temos : 4 3 2? 4 5 24 7 7 1 ? 4 4
sen 18º 5
35
9.
x 21 3 3 x 21 5 3 3 3 3 5 3 ? (x 2 1) tg 30º 5
3x 5 3 3 1 3 x5 3 11 x 5 1,73 1 1 x 5 2,73 R x 5 2,73 m
Ilustrações: Editoria de arte
10. Fazendo um esquema da situação, temos:
14.
A supermercado
18 km x 2,55 30° posto B
60o
casa C
y
x
sen 30º 5
medida do cateto oposto a 60º medida do cateto adjacente a 60º 2,55 35 x
tg 60º 5
1 x 5 → x 5 9 → x 5 9 km 2 18 medida do cateto adjacente a 30º cos 30º 5 medida da hipote enusa
x 5 1,5 O comprimento da sombra é 1,5 m. 11.
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
3 y 5 → y 5 9 3 → y 5 9 ? 1,7 → y 5 15,3 km 2 18
h 10 h 0,602 5 10
Indo por AB e BC, Carolina percorre: d 5 15,3 km 1 9 km 5 24,3 km Indo por AC, Carolina percorre 18 km. Logo, indo por AB e BC ela vai percorrer a mais: 24,3 km 2 18 km 5 6,3 km
sen 37º 5
h 5 6,02 Logo, h 5 6,02 m. 12. Seja x a distância AB. medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 1 120 5 2 x
15. a)
x 5 240 R x 5 240 m Arco 2 x 5 376,8 m 2 240 m 5 136,8 m
13. Fazendo um esquema, temos:
b)
medida do cateto oposto a 3º medida da hipotenusa 30 0, 05 5 x sen 3º 5
x 5 600 R x 5 600 m d v 600 t5 5 2,5 → t 5 2,5 minutos 240 t5
16.
A
30,4 m
a 36° x
100 m
x
40 m
a
30, 4 2 x 40 30, 4 2 x 0,72 5 40
2 B
tg 36º 5
30,4 2 x 5 28,8 x 5 30,4 2 28,8 x 5 1,6 R x 5 1,6 m
y
C
â 5 90º 2 2â 1 â 5 180° 3â 5 180° a a 5 60º e 5 30º 2 â1
445
O lado menor está oposto ao ângulo de 308. medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 1 x 5 2 100 x 5 50 R x 5 50 m
d 5 36 1 3 1 34 d 5 73 R d 5 73 km 20. Fazendo um esquema do problema, temos: N
17. Vamos determinar a altura do avião: medida do cateto oposto a 25º sen 25º 5 medida do cateto adjacente a 25º h 0, 47 5 2000
y
x
h 5 940 R h 5 940 m Como o ponto D está a 600 m, fazemos: x 5 940 m 2 600 m 5 340 m
60O A
18.
a)
medida do cateto oposto a 28º tg 28º 5 medida do cateto adjacente a 28º h 0,53 5 12 h 5 6,36 R h 5 6,36 km
Ilustrações: Editoria de arte
b)
B
F
30 km
18 km
3 km 60°
medida do cateto oposto a 60º medida do cateto adjacentea 60º x 35 1200
x 5 1 200 3 5 1 200 ? 1,73 5 2 076 → x 5 2076 m
medida do cateto adjacente a 60º medida da hipote enusa 1 1 200 5 2 y
cos 60º 5
30°
C
D
y
y 5 2 400 R y 5 2 400 m
21. sen 70º 5 0,94 5
No triângulo BCE, temos: medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 1 18 5 2 x x 5 36 R x 5 36 km No triângulo ADF, temos: sen 60º 5
medida do cateto oposto a 60º medida da hipotenusa
3 30 5 2 y y5
446
60 60 5 ? 3 3
B
tg 60º 5
19.
x
1 200 m
h 30
h 30
h 5 28,2 R h 5 28,2 m Em relação ao solo, a escada pode alcançar: 28,20 m 1 2 m 5 30,20 m
52 – Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer Exercícios, páginas 285 e 286.
3 5 20 3 5 20 ? 1,7 5 34 3
1. Aplicando a lei dos senos, temos: x 5 2 5 sen 45º sen 30º 5 2 x 5 1 2 2 2 1 2 x ? 55 2 ? 2 2
x 5 2 5 sen 45º sen 30º 5 2 x 5 1 2 2 2 x?
c2 5 64 1 72 2 96 c2 5 136 2 96 c2 5 40
1 2 55 2 ? 2 2
c 5 40 c 5 2 10 → c 5 2 10 cm
x 5 10
5. Aplicando a lei dos cossenos, temos: ˆ 52 5 82 1 72 2 2 ? 8 ? 7 ? cos N ˆ 25 5 64 1 49 2 112 ? cos N ˆ 5 64 1 49 2 25 112 cos N ˆ 5 88 112 cos N
2. Aplicando a lei dos senos, temos: 20 b a 5 5 sen 30º sen 80º sen 70º Da primeira igualdade, temos: 20 ? sen 80º sen 30º 20 ? 0,98 b5 0,5 b 5 39,2 R b 5 39,2 cm b5
88 112 ˆ 5 11 cos N 14 ˆ5 cos N
Igualando a primeira com a terceira razão, temos: 20 a 5 sen 30º sen 70º 20 ? sen 70º a5 sen 30º 20 ? 0,94 a5 0,5
x5 2(22) 6
(22) 2 4 ? 1 ? 24 2
a 5 37,6 R a 5 37,6 cmx 5 2 Logo, temos a 5 37,6 cm e b 5 39,2 cm. 3. Editoria de arte
6. Aplicando a lei dos cossenos, temos: ˆ 72 5 x2 1 52 2 2 ? x ? 5 ? cos D 49 5 x2 1 25 2 2 ? x ? 5 ? 1 5 x2 2 2x 2 24 5 0
5
2(22) 6
(22) 2 4 ? 1 ? 24 2
2
5
x’ 5 6 2 6 10 → 2 x” 52 4 (Não convém..)
x’ 5 6 2 6 10 → 2 x” 52 4 (Não convém..)
Logo, x 5 6. 7. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
B
x2 5 502 1 802 2 2 ? 50 ? 80 ? cos 60°
30° 20
16 cm
A
3 cm
C
x
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
(
)
2
x2 5 162 1 20 3 2 2 ? 16 ? 20 3 cos 30º x2 5 256 1 1 200 2 2 ? 16 ? 20 ? 3 ? x2 5 1 200 1 256 x 122 960 5 x2 5 496 sen 308 sen 458
3 2
x2 5 2 500 1 6 400 2 2 ? 50 ? 80 ? 1 2 x2 5 8 900 2 4 000 x2 5 4 900 x 5 70 km A distância é de 70 km. 8. Aplicando a lei dos senos, temos: x 12 5 sen 308 sen 458 x5
2 12 ? 12 ? sen 45º 2 5 sen 30º 1 2
5 12 ?
2 ? 2 5 12 2 5 12 ? 1, 4 5 16,8 → 2
2 x 5 496 5 24 ? 31 4 45 31º → x125? 4 31 cm sen 2 12 ?5 2 x5 5 5 12 ? ? 2 5 12 2 5 12 ? 1, 4 5 16,8 → x 5 16,8 cm sen 30º 2 1 4. Aplicando a lei dos cossenos, temos: Como 1 cm equivale a 0,1 km, 2 16,8 equivalem a: c2 5 a2 1 b2 2 2 ? a ? b ? cos 458 x 5 16,8 ? 0,1 5 1,68 R 1,68 km 2 2 c2 5 82 1 6 2 2 2 ? 8 ? 6 2 ? A distância entre as ilhas é de 1,68 km. 2
( )
447
5 x 5 sen 12º sen 33º 5 x 5 0,208 0,545 5 ? 0,545 x5 5 13,10 0,208
9. Fazendo um esquema do brinquedo, temos: A 2m
B
A distância é 13,10 km. b) v5 e t t 5 30 minutos 5 0,5 h
2m
120°
C
x
Aplicando a lei dos cossenos, temos: x2 5 22 1 22 2 2 ? 2 ? 2 ? cos 120°
1 x 5 4 1 4 2 8 ? 2 2 2
v5
13,10 5 26,20 → v 5 26,20 km/h 0,5
transformador
x
casa
30°
x 5 12
72°
2
x 5 2 ?3
78°
A distância é 3,46 m.
galpão
10.
Aplicando a lei dos senos, temos: 50 x y 5 5 sen 30º sen 78º sen 72º
C
24 cm
A
x
60°
Usando as duas primeiras igualdades, temos: 50 x 5 0,5 0,98 49 x5 0,5 x 5 98 → x 5 98 m
B 30 cm
Aplicando a lei dos cossenos, temos: x2 5 242 1 302 2 2 ? 24 ? 30 ? cos 608 x2 5 576 1 900 2 2 ? 24 ? 30 ? 1 2 x2 5 1 476 2 720 x2 5 756
Usando a primeira e a última razão, temos:
x 5 6 21 x 5 6 ? 4,58 5 27, 48
y 50 5 sen 30º sen 72º y 50 5 0,5 0,95 50 ? 0,95 y5 0,5 y 5 95 → y 5 98 m
BC 5 27,48 cm
Logo, x 5 98 m e y 5 95 m.
x 5 756 x 5 22 ? 32 ? 21
11.
S
x 12°
5 km 33° F
448
50 m
y
x 5 2 3 5 2 ? 1,73 5 3, 46 → x 5 3,46 m
a) Aplicando a lei dos senos, temos: x 5 5 sen 12º sen 33º x 5 5 0,208 0,545 5 ? 0,545 x5 5 13,10 0,208
T
13. No triângulo ABO, temos: r AB 3 r 5 3 10 3 3 ? 10 3 r5 3 r 5 10 → r 5 10 cm
tg 30º 5
Ilustrações: Editoria de arte
12.
x2 5 8 1 4 x2 5 12
De acordo com a tabela dada, 2ˆ 5 17°.
( )
30 1 CD 30 1 6,2 tg 1ˆ 1 2ˆ 5 5 5 1,81 20 20
( )
De acordo com a tabela, 1ˆ 1 2ˆ 5 618. Logo, a 5 618 2 178 5 448. 3.
x 5 132 5 22 ? 33 5 2 33 BC 5 2 33 cm 709 m
Chegou a sua vez!, páginas 287 a 288. 1. Fazendo um esquema da escada, temos:
30° d
observador 16 m
h2
709 d 3 709 5 3 d 3 ? 709 d5 3 d 5 1 229,50 → d 1 229,50 m tg 30º 5
30o 16 m 30
sen 30º 5
h1
o
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
h 1 5 1 2 16 h1 5 8 R h1 5 8 cm h1 5 h2 5 8 m Logo, uma pessoa se eleva 16 m. 2.
Ilustrações: Editoria de arte
Seja med BC 5 x. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OBC, temos: x2 5 r2 1 r2 2 2 ? r ? r cos 708 x2 5 100 1 100 2 2 ? 10 ? 10 ? 0,34 x2 5 200 2 68 x2 5 132
F
4.
360 km
30o
N
x
540 km
B R
Aplicando a lei dos cossenos, temos: x2 5 3602 1 5402 2 2 ? 360 ? 540 ? cos 308 x2 5 129 600 1 291 600 2 2 ? 360 ? 540 ? 30
C
A 1,80 m
1
2
D 20 m
No triângulo ACD, temos: CD 5 8 2 1,80 5 6,2 6,2 tg 2ˆ 5 5 0,31 20
x2 5 421 200 2 194 400 3 x2 5 421 200 2 336 312 x2 5 84 888 x 291 R 291 km A distância entre Natal e Recife é de, aproximadamente, 291 km.
3 2
Retomando o que aprendeu, páginas 289 a 291. 1. Alternativa d. medida do cateto oposto a 15º sen 15º 5 medida da hipotenusa x 0,26 5 10 x 5 2,6 R x 5 2,6 m
449
2. Alternativa b.
5. Alternativa e. Aplicando a lei dos senos, temos:
Ilustrações: Editoria de arte
A
18 a b 5 5 sen 64º sen 76º sen 40º 4 cm
5 cm
Usando as duas primeiras igualdades, temos: B
C 6 cm
Num triângulo, ao maior lado, opõe-se o maior ângulo; logo, o maior ângulo do triângulo dado é o Â. Aplicando a lei dos cossenos, temos: 62 5 42 1 52 2 2 ? 4 ? 5 ? cos  36 5 16 1 25 2 40 cos  25 5 240 cos  cos  5 5 5 1 40 8 3. Alternativa a. O triângulo ABD é retângulo em Â. Como Bˆ 5 458, ABD é isósceles; logo, AD 5 2. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: DB2 5 22 1 22 DB2 5 8
18 a 5 0,90 0,97 18 ? 0,97 a5 5 19, 4 → a 5 19, 4 cm 0,90 Usando a primeira e a última razão, temos: 18 b 5 0,90 0,64 18 ? 0,64 b5 5 12,8 → b 5 12,8 cm 0,90 Agora, calculamos a 1 b: a 1 b 5 19,4 1 12,8 5 32,2 R 32,2 cm 6. Alternativa b.
DB 52 2 No triângulo BCD, temos: x sen 30º 5 2 2 1 x 5 2 2 2 x5 2 y cos 30º 5 2 2 3 y 5 2 2 2 2 2 ? 3 y5 2 y5 3 ? 2 y5 6 4. Alternativa c. tg ? 53º 5
60o x
medida do cateto oposto a 60º medida do cateto adjacente a 60º 2,50 35 x 2,50 x5 5 1, 47 3
tg 60º 5
A sombra mede 1,47 m. 7. Alternativa c. Fazendo o esquema do exercício, temos:
50
1,32 5 50 5 66 → 5 66 m
450
2,50 m
12 m
30o
h
medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 1 h 5 2 12 h56 A altura de cada andar é 6 m. 8. Alternativa a. Aplicando a lei dos senos, temos: 100 d 5 sen 45º sen 120º 100 d 5 2 3 2 2 d5
x2 5 72 1 36 x 5 108 5 22 ? 33 5 6 3 → x 5 6 3 cm 11. Alternativa d. O triângulo ABC está inscrito na semicircunferência; logo, é retângulo em C, e AB é o diâmetro da circunferência. medida do cateto oposto a 30º sen 30º 5 medida da hipotenusa 1 12 5 2 d d 5 24 R d 5 24 cm Logo, r 5 24 R r 5 12 R r 5 12 cm. 2
12. Alternativa b. a lei dos cossenos, temos: 2 200Aplicando 6 5 5 50 ? 2, 442 5 122 → d 5122 m 2 2 4d 5 12 1 15 2 2 ? 12 ? 15 ? cos 608 2 d2 5 144 1 225 2 2 ?180 ? 1 2 d2 5 369 2 180 2 200 6 5 5 50 ? 2, 44 5 122 → d 5122 m d2 5189 4 2 d 13,74 R d 13,74 milhas
3 2 5 100 3 ? 2 5 200 3 ? 2 2 2 2 2 2
100 ?
3 2 5 100 3 ? 2 5 200 3 ? 2 2 2 2 2 2 200 6 5 5 50 ? 2, 44 5 122 → d 5122 m 4
13. Alternativa c.
9. Alternativa e. A bissetriz divide o ângulo em dois ângulos de 308; então, temos o triângulo:
A
2m h
Ilustrações: Editoria de arte
20° B
30°
O
sen 30º 5
sen 20º 5
x
30° 2,8 cm
0,34 5 P
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
1 x 5 2 2,8
B
C
x
6 cm
6 cm
D
h 5 0,68 R h 5 0,68 m 14. Alternativa e.
h 5 0,5(40 1 x) h 5 20 1 0,5x (I)
6 cm
120°
h 2
medida do cateto oposto a α medida do cateto adjacente a α h tg α 5 d1x h 0,5 5 40 1 x
10. Alternativa b.
A
medida do cateto oposto a 20º medida da hipotenusa
tg α 5
x 5 1,4
6 cm
C
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABD, temos: x2 5 62 1 62 2 2 ? 6 ? 6 ? cos 1208 x2 5 36 1 36 2 2 ? 36 ? 2 1 2
medida do cateto oposto a β medida do cateto adjacente a β h tg β 5 x h 1,5 5 x tg β 5
451
15. Alternativa c. No triângulo retângulo CDE, temos: tg 30º 5
medida do cateto oposto a 30º medida do cateto adjacente a 30º
3 60 5 3 CE 180 CE 5 ? 3
3 5 60 ? 3 5 102 → CE 5 102 m 3
ABDE é um quadrado de área: Aq 5 602 Aq 5 3 600 Área do triângulo CDE:
17. Alternativa a.
A
B
10 km 60° P
30° x
D
d
C
Ilustrações: Editoria de arte
h 5 1,5x (II) Igualando (I) e (II), temos: 20 1 0,5x 5 1,5x x 5 20 Substituindo x 5 20 em (I), temos: h 5 20 1 0,5x h 5 20 1 0,5 ? 20 h 5 30 Como x 5 20 cm e h 5 30 cm, temos: h 1 x 5 20 1 30 h 1 x 5 50 R h 1 x 5 50 cm
No triângulo PAD, temos: medida do cateto oposto a 60º tg 60º 5 medida do cateto adjacente a 60º 10 x 3 x 5 10 (I) 3 35
tg 30º 5
medida do cateto oposto a 30º medida do cateto adjacente a 30º
3 10 5 3 x 1d 30 5 3 ? (x 1 d) (II) Substituindo (I) em (II), temos: 3 1 d 30 5 3 10 3 30 5 10 1 3 d
60 ? 102 At 5 5 3 060 2
20 3 ? 3 3 20 3 d5 km 3 d5
Área total do terreno: A 5 Aq 1 At A 5 3 600 1 3 060 A 5 6 660 Logo, o terreno tem 6 660 m2. 16. Alternativa d. Se o móvel caminha a uma velocidade constante de 50 km/h, em 3 horas, caminhou 150 km.
18. Alternativa e. Seja x o lado procurado. Aplicando a lei dos cossenos, temos: 72 5 x2 1 32 2 2 ? 3 ? x ? cos 608 49 5 x2 1 9 2 6 ? x ? 1 2 x2 2 3x 2 40 5 0
x’» 5 8 3 6 9 2 4 ? 1 ? (240) 3 6 13 5 → 2 ?1 2 x” 52 5 (Não convém.) x ’» 5 8 3 6 9 2 4 ? 1 ? (240) 3 6 13 x5 5 → 2 ?1 2 x x” 52 5 (Não convém.) x5
C
A
sen 30º 5
30°
Logo, x 5 8 cm. B
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
1 x 5 2 150 x 5 75 Logo, o móvel se encontra a 75 km da semirreta.
452
19. Alternativa b. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABD, temos: x2 5 52 1 82 2 2 ? 5 ? 8 ? cos 608 x2 5 25 1 64 2 2 ? 5 ? 8 ? 1 2 x2 5 89 2 40 x2 5 49 x57 Logo, x 5 7.
Estudando as áreas das figuras geométricas planas b) c) d) e)
Abertura, página 292. • Esta é fácil!: Qual das figuras você acha que ocupa a maior área? As 4 figuras ocupam a mesma área, uma vez que todas são formadas por peças iguais, todas são formadas pelas sete peças do tangram.
53 – Calculando a área de algumas figuras Explorando, página 293.
2. Pelos resultados do exercício anterior, calculamos: a) A 5 4 cm2 1 4 cm2 5 8 cm2 b) Triângulo médio: Améd. 5 2 cm2
Triângulo menor: Amenor 5 1 cm2
Atotal 5 2 ? 1 cm2 1 2 cm2 5 4 cm2
3. a) A 5 4 cm2 1 4 cm2 5 8 cm2
Exercícios, páginas 294 a 296. 1. a) O lote (I) é um retângulo de lados 90 m e 110 m, e sua área é dada por: AI 5 90 ? 110 5 9 900 R AI 5 9 900 m2 O lote (II) é um retângulo de lados 30 m e 122 m, e sua área é dada por: AII 5 30 ? 122 5 3 660 R AII 5 3 660 m2 b) A área total do terreno é dada por: At 5 AI 1 AII At 5 9 900 1 3 660 5 13 560 R R At 5 13 560 m2 2. Podemos dividir a figura que representa o terreno em dois retângulos: 40 m
60 m
A1
60 m A2
30 m
Editoria de arte
1. Seja o quadrado de 1 cm2 o quadrado-padrão. O tangram é construído por 16 desses quadrados. a) O triângulo maior possui quatro desses quadrados de 1 cm2 de área cada um; logo: A 5 4 ? 1 cm2 5 4 cm2 b) O quadrado do tangram (colorido de azul no desenho) possui dois desses quadrados de 1 cm2 de área cada um; logo: A 5 2 ? 1 cm2 5 2 cm2 c) O triângulo médio possui dois desses quadrados; logo: A 5 2 ? 1 cm2 5 2 cm2 d) O triângulo menor possui um quadrado-padrão; logo: A 5 1 cm2 e) O paralelogramo possui dois desses quadrados-padrão; logo: A 5 b ? h 5 2 ? 1 cm2 5 2 cm2
A 5 4 cm2 1 4 cm2 5 8 cm2 A 5 2 cm2 1 1 cm2 1 2 cm2 1 2 cm2 1 1 1 cm2 5 8 cm2 A 5 4 cm2 1 1 cm2 1 2 cm2 1 2 cm2 1 1 2 cm2 1 1 cm2 1 4 cm2 5 16 cm2 A 5 4 cm2 1 4 cm2 1 2 cm2 1 2 cm2 1 1 1 cm2 1 1 cm2 1 2 cm2 5 16 cm2 O triângulo, o paralelogramo e o retângulo, respectivamente dos itens a, b, e c, têm a mesma área (8 cm2); o trapézio e o hexágono, respectivamente dos itens d e e, têm a mesma área (16 cm2).
Primeiro, calculamos a área de cada retângulo: A1 5 40 ? 60 5 2 400 R A1 5 2 400 m2 A2 5 30 ? 60 5 1 800 R A2 5 1 800 m2 Agora, calculamos a área total do terreno: At 5 A1 1 A2 At 5 2 400 1 1 800 5 4 200 R At 5 4 200 m2 3. Área da lona: AL 5 500 ? 1,40 5 700 R AL 5 700 m2
453
Comissão pelos metros vendidos: C 5 700 ? 0,50 5 350 R C 5 R$ 350,00 Nesse caso, o salário do vendedor seria: S 5 300 1 350 5 650 R S 5 R$ 650,00
Agora, já podemos calcular a área do retângulo: A 5 b ? h 5 80 ? 60 A 5 4 800 R A 5 4 800 cm2
medida do cateto oposto a 37º medida do cateto adjacente a 37º x 0,754 5 5 x 5 0,754 ? 5 x 5 3,77 R x 5 3,77 cm A5b?h A 5 5 ? 3,77 A 5 18,85 R A 5 18,85 cm2
4. tg 37º 5
8.
18,25 m 1,25 m 0,75 m
Área total a ser ladrilhada: A 5 18,25 ? (1,25 1 0,75) A 5 36,5 R A 5 36,5 m2 Número de ladrilhos 5
5. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: área total 36,5 (3 5 )2 5 x2 1 32 5 5 5 584 2 , 0625 área de um ladrilho 0 45 5 x 1 9
área total 36,5 5 5 584 área de um ladrilho 0, 0625
Logo, serão colocados no muro 584 ladrilhos.
x2 5 36 x 5 6 R x 5 6 cm A5b?h A56?3 A 5 18 R A 5 18 cm2
9. (x 1 4) ? (x 2 1) 5 594 x2 1 3x 2 4 5 594 x2 1 3x 2 598 5 0
Ilustrações: Editoria de arte
6. Como as raízes da equação dada são as x’ 5 23 23 6 32 2 4 ? 1 ? (2598) 23 6 2401 23 6 49 x5 → 5 5 medidas dos lados da região retangular, 2 ?1 2 2 x” 52 2 a área dessa região será igual ao produto x’ 5 23 3 6 32 2 4 ? 1 ? (2598) 23 6 2401 23 6 49 das raízes da 2 equação: x5 → 5 5 2 ? 1 2 2 A5P x” 52 26 (Não convém.) P 5 x’ ? x” Se x 5 23, os lados do terreno medem: c x 1 4 5 23 1 4 5 27 R 27 m P5 a x 2 1 5 23 2 1 5 22 R 22 m 26 P5 Como a plantação deverá iniciar a uma 1 distância de 1 m das extremidades do P 5 26 terreno, o terreno para plantio terá: 2 Logo, A 5 26 cm . 25 m 3 20 m. C 7. D O espaçamento é de 2,5 m; logo, m 25 36 cm 5 10 espaços que correspondem a M 2 ,5 a b DB � a 64 cm 11 eucaliptos no comprimento, e n 20 h 5 8 espaços que correspondem a 2,5 9 eucaliptos na largura. A B c No triângulo ABD, temos: a 5 100 cm; n 5 64 cm e m 5 36 cm. Com esses valores, calculamos: b2 5 a ? m b2 5 100 ? 36 b 5 60 R b 5 60 cm c2 5 a ? n c2 5 100 ? 64 c 5 80 R c 5 80 cm
454
Exercícios, página 296. 1. Aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos o lado x do quadrado: x2 5 12 1 72 x 5 50 → x 5 50 cm Agora, calculamos a área do quadrado: A 5 ,2 2 A 5 ( 50 ) A 5 50 R A 5 50 cm2
2. Para 20 fileiras de azulejo, cada um com 15 cm de lado, calculamos a largura da parede:
5. 3m
15 cm 15 cm
L 5 20 ? 15 5 300 R L 5 300 cm 5 3 m Para 40 desses azulejos, calculamos o comprimento da parede revestida:
Como a área foi totalmente coberta, temos: 3 m 5 300 cm 300 5 20 R 20 quadrados na lateral 15
Ilustrações: Editoria de arte
C 5 40 ? 15 5 600 R C 5 600 cm 5 6 m
Total de quadrados 5 1 200
6m
1200 5 60 R 60 quadrados de comprimento 20 3m
60 ? 15 5 900 R 900 cm de comprimento 900 cm 5 9 m Logo, o maior lado da região retangular mede 9 m.
Agora, calculamos a área revestida: 6.
A5L?C
D
x
A
A 5 6 ? 3 5 18 R A 5 18 m2 x
3. x 5 x2 2 20 x2 2 x 2 20 5 0 x’ 5 5 1 6 81 x5 → 2 x” 52 4 (Não convém.) x55 Se x 5 ,, então , 5 5; logo: A 5 ,2 A 5 25 4.
x
B
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCM, temos: x 102 5 x2 1 2
2
x2 4 400 5 4x2 1 x2 x2 5 80
x’ 5 4 5 x 56 80 56 24 ? 5 56 4 5 → x” 52 4 5 (Não convém.) A x’ 5 4 5 4 x 56 80 56 2 ? 5 56 4 5 → x” 52 4 5 (Não convém.) x�1
A 5 ,2
x 2
100 5 x2 1
A 5 52
2 5
C
M
10
A1
x
2
A1 5 (2 5 )
2
A 5 20 R A1 5 20 cm2 Como A1 5 A2 e A2 5 x ? (x 1 1), fazemos: x ? (x 1 1) 5 20 x2 1 x 2 20 5 0 x’ 5 4 2 1 6 81 → 2 x” 52 5 (Não convém.) Se um lado do retângulo é x 5 4 cm, o outro lado é x 1 1 5 5 cm. x5
Logo, o perímetro do retângulo é dado por: P52?412?5 P 5 18 R P 5 18 cm
x54 5 x 5 4 ? 2,23 x 5 8,92 Agora, calculamos o perímetro: P54?x P5 4 ? 8,92 P 5 35,68 Por fim, determinamos a área: A 5 x2 A 5 (8,92)2 A 5 79,5664 7. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, determinamos x: 172 5 82 1 x2 x2 5 289 2 64
455
x2 5 225 x 5 15 A 5 x2 A 5 152 A 5 225 R A 5 225 cm2 8. Chamando a medida do lado do quadrado verde de x, temos: (9 1 x) ? (3 1 x) 5 91 27 1 12x 1 x2 5 91 x2 1 12x 2 64 5 0
Brasil real, páginas 297 e 298. 1. a) b) c)
A 5 110 ? 75 5 8 250 R A 5 8 250 m2 A 5 106 ? 76 5 8 056 R A 5 8 056 m2 A 5 16,5 ? (16,5 1 7,3 1 16,5) A 5 40,3 ? 16,5 A 5 664,95 R A 5 664,95 m2
2. a) Região Norte:
3853327 5 45,25% 8514876
1606372 x’ 5 4 212 1 144 1 256 212 6 20 Região Centro-Oeste: 5 18,87% 5 → 8514876 2 2 x 52 16 ” (Não convém.) 1554257 x’ 5 4 144 1 256 212 6 20 Região Nordeste: 5 18,25% 5 → 8514876 2 2 x” 5216 (Não convém.) 924511 5 10,86% Região Sudeste: Então, a medida do lado do quadrado é 8514876 4 cm, e a área desse quadrado é: 576409 Região Sul: 5 6,77% A 5 ,2 8514876 A 5 42 b) Resposta em aberto. A 5 16 R A 5 16 cm2 c) Resposta em aberto. 9. De 1 m2 são aproveitados 9 quadrados de lado 30 cm. Desafio!, página 298. 1 m2 5 10 000 cm2 1. Alternativa d. 9 ? 302 5 9 ? 900 5 8 100 R 8 100 cm2 A área de um quadrado é ,2, então: Logo, são reaproveitados ,2 5 0,4 10 000 cm2 2 8 100 cm2 5 1 900 cm2. , 5 0,6324 R , 5 0,6324 km 5 632,4 m 10. Alternativa a. Logo, a medida dos lados está entre 632 m A área de uma face do cubo tem: e 633 m. Af 5 ,2 2. Af 5 22 a) Área do retângulo inicial: 2 Af 5 4 R Af 5 4 m 35 ? 75 5 2 625 R 2 625 cm2 Como o cubo possui 6 faces, a área total da b) Retirando-se os quatro cantos de área superfície desse cubo é: x2, temos: A 5 6 ? Af 2 625 2 4x2 5 1 725 A 5 6 ? 4 5 24 R A 5 24 m2 4x2 5 900 2 11. Cada peça tem área , . Como são 900 x2 5 400 peças, então: 4 a) A 5 36 5 400 ? ,2 30 x5 2 36 ,2 5 x 5 15 R x 5 15 cm 400 x5
,2 5 0,09
Logo, 0,09 m é a área de cada peça.
3. Alternativa a. 2
b) a 5 0,09 5 ,2
456
, 5 0, 09 R , 5 0,3
Perímetro 5 4 ? , Perímetro 5 4 ? 0,3 5 1,2 Logo, cada peça tem 1,2 m de perímetro.
1
1 1
Editoria de arte
2
1
2
2
1 1 2
1 1
Examinando uma pétala do mosaico, temos, na parte clara, 4 triângulos de lados 2 e 1 e dois quadrados de lado 1. Aclara 5 4 ?
2 ?1 1 2 ? 12 2
Aclara 5 4 1 2 5 6 Aescura 5 32 2 Aclara Aescura 5 9 2 6 5 3 A figura é composta de 16 partes iguais a essa; logo: Aescura 5 16 ? 3 5 48 Aclara 5 16 ? 6 5 96
b?h 2 16 ? 8,2 A5 2 A 5 65,6 → A 5 65,6 cm2
3. A 5
4. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 172 5 x2 1 (x 1 7)2 289 5 x2 1 x2 1 14x 1 49 2x2 1 14x 2 240 5 0 x2 1 7x 2 120 5 0
x’ 5 8 27 6 49 1 480 27 6 23 5 → 2 2 x” 5215 (Não convém.) x’ 5 8 27 6 49 1 480 27 6 23 x5 5 → 2 2 x” 5215 (Não convém.) Exercícios, páginas 300 e 301. Se x 5 8, os catetos do triângulo medem 8 cm e 15 cm (x 1 7). 1. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2 13 5 5 1 x b?h A5 x2 5 169 2 25 2 8 ? 15 x2 5 144 A5 2 x 5 12 R x 5 12 cm A 5 60 → A 5 60 cm2 Considerando um cateto como base e outro como altura, temos: 5. Sendo o triângulo equilátero, D é ponto médio de BC. b?h A5 2 A 12 ? 5 A5 2 A 5 30 → A 5 30 cm2 48 1 Aescura 5 5 96 2 Aclara
x5
12 cm
Ilustrações: Editoria de arte
2. Sendo o triângulo isósceles, D é ponto médio; logo, BD 5 DC 5 12 cm. B
A
20 cm
B
12 cm
h
D
20 cm
12 cm
12 cm
h
6 cm
D
6 cm
C
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, temos: C
122 5 h2 1 62 h2 5 144 2 36
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADC, temos: 202 5 h2 1 122 h2 5 400 2 144 h2 5 256 h 5 16 R h 5 16 cm
h2 5 108
b?h 2 24 ? 16 A5 2 A 5 192 → A 5 192 cm2
A5
A5
h 5 108 h 5 6 3 → h 5 6 3 cm h 5 6 ? 1,73 h 5 10,38 → h 5 10,38 cm b?h 2 12 ? 10,38 A5 2 A 5 62,28 → A 5 62,28 cm2
457
6. ADB e CDB são triângulos de base 100 e altura 60. Ilustrações: Editoria de arte
A 60 80
D
E 20
B
b?h 2 13 ? 4,5 A5 2 A 5 29,25 → A 5 29,25 cm2 A5
60
9. Seja G a projeção de D sobre o eixo OE. A 5 AABOF 1 ACDFG 1 ADGE
C
b?h 100 ? 60 5 5 3000 → 2 2 2 → A ADB 5 3000 cm b?h 100 ? 60 ACDB 5 5 5 3000 → 2 2 → ACDB 5 3000 cm2
ABOF é um retângulo de lados 1 e 2; logo:
A ADB 5
AABOF 5 1 ? 2 5 2 R AABOF 5 2 cm2 CDFG é um quadrado de lado 3; logo: ACDFG 5 32 5 9 R ACDFG 5 9 cm2
A área do quadrilátero será dada por: AQ 5 AADB 1 ACDB AQ 5 3 000 1 3 000 5 6 000 R R AQ 5 6 000 cm2 7. No triângulo ABC, o ângulo Cˆ 5 60° (o.p.v.). medida do cateto oposto a 60º sen 60º 5 medida da hipotenusa 3 x 5 2 2 x5
3 Rx5
3 cm
medida do cateto adjacente a 60º medida da hipote enusa
1 y 5 2 2
2?3 5 3 → ADGE 5 3 cm2 2
A 5 AABOF 1 ACDFG 1 ADGE A 5 2 1 9 1 3 5 14 R A 5 14 cm2 10. A 5 AT 2 At b?h 5?5 5 5 12,5 → AT 5 12,5 km2 2 2 b?h 1 ?1 At 5 5 5 0,5 → At 5 0,5 m2 2 2 A 5 AT 2 At A 5 12 R A 5 12 km2 a) 300 ? 0,001 5 0,3 R 0,3 km2 por dia
b?h A ABC 5 2 3 ?1 A ABC 5 2 3 3 A ABC 5 cm2 → A ABC 5 2 2
9 cm
A 5 A1 1 A2
h 30°
sen 30º 5
13 cm
12 5 10 → 10 dias 1,2
11. O terreno é formado por dois triângulos de base comum igual a 120 m, e alturas são 50 m e 30 m respectivamente.
A
D
12 5 40 → 40 dias 0,3
b) 20 ? 0,06 5 1,2 R 1,2 km2 por dia
8. O triângulo ADC é retângulo.
1 h 5 2 9
ADGE 5
A 5 12,5 2 0,5
y 5 1 R y 5 1 cm
B
DGE é um triângulo de base 2 e altura 3; logo:
AT 5
cos 60º 5
458
h 5 4,5 R h 5 4,5 cm
C
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
b?h 120 ? 50 5 5 3000 → A1 5 3000 m2 2 2 b?h 120 ? 30 A2 5 5 5 1 800 → A2 5 1800 m2 2 2 A1 5
A 5 A1 1 A2 A 5 3 000 1 1 800 A 5 4 800 R A 5 4 800 m2
Desafio!, página 301. 1. A 5 p(p 2 a)(p 2 b)(p 2 c)
Exercícios, página 302. 1. A 5 b ? h A 5 60 ? 43 A 5 2 580 R A 5 2 580 cm2
a) 40 cm, 30 cm e 20 cm. 40 1 30 1 20 2 p 5 45 p5
2.
A 5 45(45 2 40)(45 2 30)(45 2 20)
40 cm
A 5 45 ? 5 ? 15 ? 25
A 5 84375 3
60 cm
D
x x
A
C
N
5
B
A 5 3 ?5
A 5 75 15 → A 5 75 15 cm2 b) 40 cm, 50 cm e 60 cm.
x 5 800
40 1 50 1 60 2 p 5 75 p5
A 5 75(75 2 40)(75 2 50)(75 2 60)
a) x2 1 x2 5 402 2x2 5 1 600 x2 5 800
A 5 75 ? 35 ? 25 ? 15 A 5 32 ? 56 ? 7 A 5 375 7 → A 5 375 7 cm2
x 5 20 2 x 5 20 ? 1, 41 x 5 28,2 R x 5 28,2 cm b) A 5 b ? h A 5 60 ? 28,2 A 5 1 692 R A 5 1 692 cm2 c) A AND 5
B
Ilustrações: Editoria de arte
2.
x2 800 5 5 400 → A AND 5 400 cm2 2 2
d) ABCND 5 1 692 2 400 5 1 292 R D
R ABCND 5 1 292 cm2
C A H
Exercícios, páginas 303 e 304. E
J
I G
F
A área da região verde é a soma das áreas: A 5 AAHI 1 AAHB 1 ABHC 1 ACED 1 ACHEJ 1 AEJF 1 AGHF 3?1 3 5 2 2 3?2 A AHB 5 53 2 1?2 ABHC 5 51 2 1?2 1 ACED 5 5 2 2 ACHEJ 5 1 ? 1 5 1 A AHI 5
1?1 1 5 2 2 1?1 51 AGHF 5 2 3 1 1 A 5 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8,5 → 2 2 2 → A 5 8,5 unidades de área AEJF 5
1. No triângulo retângulo, temos: 102 5 x2 1 (2x)2 100 5 x2 1 4x2 5x2 5 100 x2 5 20 x 52 5 d 5 2x → d 5 2 ? 2 5 → d 5 4 5 D 5 4x → D 5 4 ? 2 5 → D 5 8 5 D?d A5 2 8 5 ?4 5 A5 2 A 5 80 D?d 2 75 ? 50 A5 2 A 5 1875 → A 5 1875 cm2
2. A 5
459
3.
A
x 5 20 3 → x 5 20 3 cm d 5 2y R d 5 2 ? 20 → d 5 40 → d 5 40 cm
Editoria de arte
30 cm 24 cm
x
30 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 302 5 x2 1 242 x2 5 900 2 576 x2 5 324 x 5 324 x 5 18 → x 5 18 cm d 5 2x R d 5 2 ? 18 R d 5 36 R d 5 36 cm D 5 48 cm D?d A5 2 48 ? 36 A5 2 A 5 864 → A 5 864 cm2 D?d 4. A 5 2 110 ? 35 A5 2 A 5 1925 → A 5 1925 cm2 x 1 y 5 31 5. 5x 2 y 5 11 Resolvendo o sistema por adição, temos: 6x 5 42 x 5 7 e y 5 24 d 5 7 e D 5 24 D?d A5 2 24 ? 7 A5 2 A 5 84 → A 5 84 unidades de área 6. sen 30º 5
→ D 5 40 3 → D 5 40 3 cm D?d A5 2 40 3 ? 40 A5 2 A 5 800 3 → A 5 800 3 cm2
C
B 24 cm 30 cm
D 5 2x → D 5 2 ? 20 3 →
30 cm
7. x2 2 13x 1 40 5 0 x’ 5 8 13 6 169 2 160 13 6 3 → 5 2 2 x” 5 5 d55eD58 x5
D?d 2 8?5 A5 2 A 5 20 → A 5 20 unidades de área A5
8. a) No triângulo AHO, temos: sen 30º 5
3 x = 2 40
460
medida do cateto oposto a 60º medida da hipotenusa
3 2 5 2 y 4 3 4 3 → y5 cm 3 3
4 3 → 3 8 3 8 3 →d5 →d5 cm 3 3
b) d 5 2y → d 5 2 ?
D 5 2x → D 5 2 ? 4 → D 5 8 → D 5 8 cm A5
1 y 5 2 40 medida do cateto adjacente a 30º cos 30º 5 medida da hipote enusa
No triângulo HBO, temos:
y5
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
y 5 20 R y 5 20 cm
1 2 5 2 x x 5 4 → x 5 4 cm
sen 60º 5
medida do cateto oposto a 30º medida da hipotenusa
A5
D?d 2 8?8
3 3
2 64 3 3 A5 2 64 3 1 A5 ? 3 2 32 3 32 3 A5 cm2 → A5 3 3
Exercícios, página 305. (B 1 b)h 1. A 5 2 (11,5 1 5,5)6 A5 2 A 5 51 → A 5 51 cm2
5. A
40 m
B 40 m
36 m x
C
E 30 m
(B 1 b)h 2. A 5 2 (13 1 10)7 A5 2 A 5 80,5 → A 5 80,5 cm2
D
ABDE é um trapézio de bases b 5 36 m; B 5 x m e altura h 5 40 m. BCD é um triângulo retângulo de catetos 40 m e 30 m. Logo: Aterreno 5 AABDE 1 ABCD Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos: x2 5 402 1 302 x2 5 1 600 1 900 x2 5 2 500 x 5 50 R x 5 50 m
Ilustrações: Editoria de arte
3. B
10
C
13
h
A
A5
5 15
E
D
(B 1 b)h 2
B 5 15 cm; b 5 10 cm Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo CDE, temos: 132 5 h2 1 52 h2 5 169 2 25 h2 5 144 h 5 12 R h 5 12 cm (15 1 10)12 2 300 A5 2 A 5 150 → A 5 150 cm2 A5
(B 1 b)h 2 (36 1 50)40 A5 2 AABDE 5 1 720 R AABDE 5 1 720 m2 A ABDE 5
b?h 2 40 ? 30 A5 2 ABCD 5 600 R ABCD 5 600 m2 Aterreno 5 AABDE 1 ABCD Aterreno 5 1 720 1 600 Aterreno 5 2 320 R Aterreno 5 2 320 m2 ABCD 5
6. Adisponível 5 Aretângulo 2 Atrapézio Aretângulo 5 b ? h R Aretângulo 5 18 ? 30 R R Aretângulo 5 540 R Aretângulo 5 540 m2 Atrapézio 5
(B 1 b)h (18 1 12)6 → Atrapézio 5 → Atrapézio 5 90 → Atrapézzio 2 2
4. Agramado 5 Atrapézio 2 Aretângulo (B 1 b)h (18 1 12)6 → Atrapézio 5 → Atrapézio 5 90 → Atrapézzio 590 m2 (B 1 b)h 2 2 Atrapézio 5 Adisponível 5 Aretângulo 2 Atrapézio R 2 (35 1 24)22 R Adisponível 5 540 m2 2 90 m2 5 450 m2 Atrapézio 5 2 A concentração é de 5 pessoas a cada Atrapézio 5 649 R Atrapézio 5 649 m2 2 m2; logo: Aretângulo 5 b ? h A 5 ? 450 2250 Aretângulo 5 10,5 ? 6 Participantes 5 5 ? disponível 5 5 5 1125 2 2 2 2 Aretângulo 5 63 R Aretângulo 5 63 m A 5 ? 450 2250 5 ? disponível 5 5 5 1125 Agramado 5 Atrapézio 2 Aretângulo 2 2 2 Agramado 5 649 2 63 Logo, poderão participar do evento no Agramado 5 586 R Agramado 5 586 m2 máximo 1 125 pessoas.
461
7. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos: 152 5 122 1 x2 x2 5 225 2 144 x2 5 81 x 5 9 R x 5 9 unidades de comprimento
Número de municípios dos estados da região Norte Acre; 22 Amapá; 16 Amazonas; 62
(B 1 b)h 2 (29 1 20)12 Atrapézio 5 2 Atrapézio 5 294 → Atrapézio 5 294 unidades de área Atrapézio 5
8. O triângulo BCE é retângulo em B. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: a) x2 1 x2 5 202 2x2 5 400 x2 5 200 x 5 10 2 R x 5 10 2 cm (B 1 b)h Atrapézio 5 2
B 5 6 2 1 10 2 → B 5 16 2 → B 5 16 2 cm
5 6 2 1 10 2 → B 5 16 2 → B 5 16 2 cm
b 56 2 cm
h 5 x 510 2 cm
Atrapézio 5
Atrapézio 5 220 R Atrapézio 5 220 cm2
(16 2 1 6 2 )10 2 2
54 – Usando a malha quadriculada para calcular a área de uma figura plana qualquer Exercício, página 307. A1 5 21 u A2 5 41 u 1 21 u 5 62 u A5
21 u 1 62 u 5 41,5 u 2
A 5 41,5 ? 150 A 5 6 225 R A 5 6 225 km2 Tratando a informação, páginas 307 e 308. 1.
Editoria de arte
Tocantins; 139
Roraima; 15 Pará; 143 Rondônia; 52
c) Não; considerada a distribuição por número de municípios, o estado modal é o que tem maior número de municípios, ou seja, o estado do Pará, com 143 municípios. O estado que tem menor área é o Acre e não é o que tem menor número de municípios, que é Roraima. 2. a) Santa Catarina. b) Rio Grande do Sul. c) Paraná; mulas e burros. Retomando o que aprendeu, páginas 309 e 310. 1. Alternativa c. Área 5 3,45 ? 4,2 5 14,49 Área de cada ladrilho 5 0,302 5 0,09 N5
14, 49 5 161 0, 09
São necessários 161 ladrilhos. 2. Alternativa b. D?d Alosango 5 5 20 2 x ?5 20 5 2 5x 5 40 x58Rx58m 3. Alternativa a. Seja x a medida do lado do quadrado menor. A medida do lado do quadrado maior mede x 1 2. (x 1 2)2 5 25 x2 1 4x 1 4 2 25 5 0 x2 1 4x 2 21 5 0
a) Resposta em aberto. Espera-se que o aluno perceba que o estado representado pelo retângulo mais comprido (Pará) é aquele que tem maior x’ 5 3 24 6 16 1 84 2 4 6 10 x5 frequência, ou seja, é o estado modal. 5 → 2 2 x” 52 7 (Não convém.) b) Espera-se que o aluno perceba que o x 5 3 ’ 2 4 6 16 1 84 2 4 6 10 estado modal é aquele x 5 representado 5 → 2 2 pelo maior setor (Pará). x” 52 7 (Não convém.)
462
Logo, no quadrado menor, , 5 3 m. No quadrado maior, , 5 3 m 1 2 m 5 5 m. Aazul 5 Amaior 2 Amenor Aazul 5 52 2 32 Aazul 5 25 2 9 Aazul 5 16 R Aazul 5 16 m2 4. Alternativa c. O telhado é formado por dois retângulos de dimensões 10 m 3 4 m; logo, a área que será coberta é dada por: A 5 2 ? 10 ? 4 A 5 80 R A 5 80 m2 Então, para cobrir todo o telhado são necessárias: 80 ? 20 5 1 600 R 1 600 telhas. 5. Alternativa b. A caixa de papelão possui: dois retângulos de 17 cm 3 24 cm; dois retângulos de 24 cm 3 5 cm e dois retângulos de 17 cm 3 5 cm. Logo, o papelão necessário para montar essa embalagem terá: A 5 2(17 ? 24 1 24 ? 5 1 17 ? 5) A 5 2(408 1 120 1 85) A 5 1 226 R A 5 1 226 cm2 6. Alternativa e. ABCD é um trapézio: Ilustrações: Editoria de arte
h
60° A
x
60° E
6 cm
7. Alternativa d.
R x
F
x
B
(B 1 b)h (AB 1 DC)h 5 2 2 AB 5 6 cm Os triângulos ADE e CFB são retângulos e congruentes. x 4
1 x 5 2 4 x 5 2 R x 5 2 cm DC 5 6 cm 2 2 cm 2 2 cm 5 2 cm sen 60º 5 3 h 5 2 4
h 4
x
C a 2
S
P
N
x
U x T A
B
aM
Área do quadrado maior: a2 Seja x o lado do quadrado menor. a DN2 5 a2 1 2 DN2 5 a2 1
2
a2 4
5a2 4 5a2 DN 5 4 5 DN 5 a 2 DN2 5
a2 5 DS ? a DS 5
A5
cos 60º 5
a 2
aO
D
DC DN 5 DS DC 5 a a 2 5 DS a
C
h
(B 1 b)h (6 1 2)2 3 5 2 2 A 5 8 3 → A 5 8 3 cm A5
nDNC nDSC
D
4 cm
h 5 2 3 → h 5 2 3 cm
5 2
a2 5 a 2
DS 5 a ? a ?
2 a 5
2a 5 5 Pelo teorema de Tales, temos: DS 5
a DS 5 a x 2 5 2a a 5 5 a x 2 5 x 5a 5
463
Logo, x2 5
a2 5
N5
1 do quadrado ABCD. 5
Ou seja,
7,35 5 60 0,1225
Logo, serão obtidos 60 quadrados. 11. Alternativa a. Aquadrado 5 802 5 6 400 R Aquadrado 5 6 400 cm2
8. Alternativa b. 15 cm 8 cm
A1 5 15 ? 8 5 120 R A1 5 120 cm2 50% de 15 5 0,5 ? 15 5 7,5 15 1 7,5 5 22,5 R 22,5 cm 50% de 8 5 0,5 ? 8 5 4 R 4 cm 8 cm 1 4 cm 5 12 cm Logo, o novo retângulo terá as seguintes medidas: 22,5 cm
Averde 5 2 ? (B 1 b)h 5 (80 1 50)30 5 3900 → 2 R Averde 5 3900 cm2 Arestante 5 Aquadrado 2 Averde Arestante 5 6 400 2 3 900 5 2 500 R R Arestante 5 2 500 cm2 12. Alternativa c. Aregião 5 20 ? 12 5 240 R Aregião 5 240 km2 d 5 240 ? 72 5 17 280 R R d 5 17 280 habitantes
12 cm
13. Alternativa d. A2 5 22,5 ? 12 5 270 R A2 5 270 cm
2
A2 270 9 5 5 A1 120 4
D
C
Ilustrações: Editoria de arte
9. Alternativa e. a
h A 18 cm
32 cm
h2 5 m ? n h2 5 18 ? 32 5 576 h 5 24 R h 5 24 cm b?h A5 2 18 1 32) ? 24 ( A5 2 50 ? 24 A5 2 A 5 600 → A 5 600 cm2 10. Alternativa b. Afaixa 5 7 ? 1,05 5 7,35 R Afaixa 5 7,35 m2 Aquadrado 5 (0,35)2 5 0,1225 R Aquadrado 5 5 0,1225 m2
464
10 cm
a 2
M
B
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: a 102 5 a2 1 2
2
5a2 4 2 a 5 80
100 5
a 5 4 5 → a 5 4 5 cm (B 1 b)H 2 a 3a a 1 2 a ?a 3 ? 80 Atrapézio 5 5 2 5 5 60 → 2 4 2 → Atrapézio 560 cm2
Atrapézio 5
Estudando a circunferência e o círculo 55 – Calculando o comprimento de uma circunferência
b) • Quadrado inscrito:
� 8 cm
Explorando, página 313. a) b) c)
Resposta em aberto. Resposta em aberto. Resposta em aberto. Espera-se que o aluno encontre um número próximo de 3,14, que é o valor de . Exercícios, páginas 316 e 317.
1. r 5 5,25 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 5,25 C 5 32,97 R C 5 32,97 cm
8 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 2 5 82 1 82 2 5 168
5 8 2 R 5 8 2 cm
• Hexágono regular inscrito:
2. Ilustrações: Editoria de arte
r
r
x
�
9 cm
12 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos: x2 5 92 1 122 x2 5 81 1 144 x2 5 225 x 5 15 R x 5 15 cm Logo, r 5 15 cm. C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 15 C 5 94,2 R C 5 94,2 cm 3. C 5 50,24 cm a) C 5 2 ? ? r 50,24 5 2 ? 3,14 ? r 50,24 r5 6,28
r 5 8 R r 5 8 cm
A circunferência possui ângulo central de 360°, e cada triângulo com centro em O será um triângulo equilátero. Logo, o lado do hexágono é 5 r 5 8 cm. • Triângulo equilátero inscrito: A
r � O r
r 2 B
D
� 2
C
Se o triângulo está inscrito na circunferência, o centro será o baricentro do triângulo e divide a altura AD na razão 1 para 3; logo, r OD 5 , OC 5 r e CD 5 . 2 2
465
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ODC, temos: 2
r r2 5 1 2 2
a) Ndianteira 5
2
2 r2 5 r2 2 4 4 2 3r2 5 4 4 5 r 3 → 5 8 3 cm
4. x2 2 10x 2 24 5 0
b) Ntraseira 5
10990 5 5000 → 5000 voltas. 2,198 10990 5 2500 → 2500 voltas. 4,396
9. D 5 0,90 m r 5 0,45 m a) C 5 2 ? ? r C 5 2 ? 3,14 ? 0,45 C 5 2,826 R C 5 2,826 m b) N 5
9891 5 3500 → N 5 3500 voltas. 2,826
x’ 5 12 10 6 100 1 96 10 6 14 5 → 2 2 x” 52 2 (Não convém.) 10. C 5 2 ? ? r x’ 5 12 10 6 100 1 96 10 6 14 10 ? C 5 2 198 x5 5 → 2 2 x” 52 2 (Não convém.) 10 ? 2 ? 3,14 ? r 5 2 198 62,8r 5 2198 Logo, r 5 12 cm. 2 198 C52??r r5 62,8 C 5 2 ? 3,14 ? 12 r 5 35 → r 5 35 m C 5 75,36 R C 5 75,36 cm x5
5. Se o quadrado tem 80 cm de lado, o raio da circunferência é dado por: 80 2 r 5 40 → r 5 40 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 40 C 5 251,20 R C 5 251,20 cm r5
D 5 2r D 5 2 ? 35 D 5 70 → D 5 70 m Logo, o diâmetro desse jardim mede 70 m.
11. • 1.a possibilidade: trajeto em linha reta. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo do esquema dado, temos: AB2 5 602 1 602 6. 1 volta R C 5 2 ? ? r AB2 5 3 600 1 3 600 C 5 2 ? 3,14 ? 25 AB2 5 7 200 C 5 157 R C 5 157 m AB 5 84,6 R AB 5 84,6 km 20 voltas R 20 ? 157 m 5 3 140 m Custo desse trajeto: Custo 5 84,6 ? 2 700 7. 1 volta R 6280 5 3,14 → 1 volta 5 3,14 m Custo 5 228 420,00 R 2000 R Custo 5 R$ 228 420,00 C 5 2 ? 3,14 ? r • 2.a possibilidade: trajeto em arco. 3,14 5 2 ? 3,14 ? r r 5 0,5 R r 5 0,5 m 84,6 r5 2 8. Rodas dianteiras: r 5 42,3 D 5 0,70 cm 2?3? r 2 ? 3 ? 42,3 r 5 0,35 cm C5 5 5 126,9 → C 5 126,9 km 2 2 Rodas traseiras: 2?3? r 2 ? 3 ? 42,3 C5 5 5 126,9 → C 5 126,9 km D 5 1,40 cm 2 2 R 5 0,70 cm Custo 5 126,9 ? 1 600 Cdianteira 5 2 ? 3,14 ? 0,35 5 5 2,198 R Cdianteira 5 2,198 cm Ctraseira 5 2 ? 3,14 ? 0,70 5 5 4,396 R Ctraseira 5 4,396 cm
466
Custo 5 203 040,00 R Custo 5 5 R$ 203 040,00 Logo, o custo do trajeto em arco é o mais barato, pois R$ 203 040,00 R$ 228 420,00.
12. D 5 3 cm r 5 1,5 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 1,5 C 5 9,42 Em cada volta, a moeda percorre 9,42 cm. A moeda rolou por 489,84 cm, então: N5 13. 360° 120°
Desafio!, página 317. a) D 5 30 polegadas. Se cada polegada equivale a 2,54 cm, temos: 30 polegadas 5 30 ? 2,54 5 76,2 R R 30 polegadas 5 76,2 cm D 5 76,2 cm r 5 38,1 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 38,1 239 R C 239 cm b) 4 km 5 400 000 cm Se cada volta corresponde a 239 cm, temos: 400000 N5 1673 → N 1673 voltas. 239 c) 1 volta R 239 cm Se dá 2 000 voltas, ida e volta, então: 1 000 voltas 5 distância casa-clube distância casa-clube 5 1 000 ? 239 cm 5 5 239 000 cm 5 2 390 m 5 2,39 km
489,84 5 52 → N 5 52 voltas. 9, 42 2??r x
120º ? 2 ? π ? r 360º C x5 3 x5
Logo, o comprimento x do arco será: r 5 30 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 30 C 5 188,4 R C 5 188,4 cm C x5 3 188, 4 x5 5 62,8 → x 5 62,8 cm 3 14. 3608 2 45° 5 315° 315° 5 7 ? 45° Logo, o comprimento do arco do come-come é: c360° 2 c45° 5 7c45° r 5 2 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 2 C 5 12,56 R C 5 12,56 cm c45° 5 C 5 12,56 5 1,57 R c45° 5 1,57 cm 8 8 7c45° 5 7 ? 1,57 5 10,99 R 7c45° 5 10,99 cm Logo, o comprimento do arco é 10,99 cm. 15. 360° 2 ? 3,14 ? r 2 11 6 121 1 720 6,28 30° x5 2 360º ? 6,28 r5 5 12 → r 5 12 cm 30º ? 6,28 16. O carro percorreu 3608 2 608 5 3008. 2 ? 3 ? 20 3608 c 3008 300º ? 120 → c 5 100 360º Portanto, o veículo percorreu 100 m. c5
56 – Relações métricas na circunferência Exercícios, páginas 321 e 322. 1. a) b) c) d)
4?x53?8 x56 5(x 1 2) 5 6x 5x 1 10 5 6x x 5 10 (6 1 2)6 5 (x 1 4)4 48 5 4x 1 16 4x 5 32 x58 (8 1 10)10 5 (x 1 11)x 180 5 x2 1 11x x2 1 11x 2 180 5 0 x’ 5 9 2 11 6 121 1 720 211 6 29 x5 5 → 2 2 x” 52 20 (Não convém.) x 5 9 ’ 211 6 29 → 5 2 x” 52 20 (Não convém.) Logo, x 5 9. e) x2 5 (8,1 1 1,9)8,1 x2 5 81 x59 2. x2 5 (10 1 8)8 x2 5 144 x 5 12 (9 1 y)9 5 (10 1 8)8
467
81 1 9y 5 144 9y 5 63 y57
x 1 2x 5 12 3x 5 12 x 5 4 R 2x 5 8
3. 182 5 3r ? r 324 5 3r2 r2 5 108 r 56 3
D A
18 � y
y B 8
4.
C
A 3x 4x � 1
x
P
D
C
x�1
4 ? 8 5 y(18 2 y) 32 5 18y 2 y2 y2 2 18y 1 32 5 0
B
y5 a) 3x(x 1 1) 5 x(4x 2 1) 3x2 1 3x 5 4x2 2 x x2 2 4x 5 0 x’ 5 0 (Não convém.) x(x 2 4) 5 0 → x” 5 4 b)
4
y’ 5 16 18 6 324 2 128 18 6 14 5 → 2 2 y” 5 2
Logo, AB fica determinado por segmentos de 2 cm e 16 cm. 7. Fazendo um esquema, temos: B
8 cm
Logo, x 5 4.
A
12 cm
AB 5 3x 1 x 1 1 AB 5 4x 1 1 AB 5 4 ? 4 1 1 AB 5 17 CD 5 x 1 4x 2 1 CD 5 5x 2 1 CD 5 5 ? 4 2 1 CD 5 19 Logo, AB 5 17 e CD 5 19.
12 cm
6 cm
x P
18 cm
(x 1 8)x 5 (6 1 12 1 12)6 x2 1 8x 5 180 x2 1 8x 2 180 5 0
Ilustrações: Editoria de arte
x’ 5 10 28 6 64 1 720 28 6 28 5 → 2 2 x” 5218 (Não convém.) 5. Fazendo um esquema, temos: x 5 28 6 64 1 720 5 28 6 28 → x’ 5 10 2 2 x” 5218 (Não convém.) P x5
x
T
8 cm A 6 cm B
x2 5 (8 1 6 1 6)8 x2 5 160
Logo, x 5 10 cm. a) Comprimento do segmento: C5x18 C 5 10 1 8 C 5 18 R C 5 18 cm b) Comprimento da parte externa: x 5 10 cm 8. Fazendo um esquema, temos:
x 5 4 10 → x 5 4 10 cm
C 9 cm
6.
D A
r r
x
18 � y
y B 2x C
468
P
3 cm
92 5 (3 1 2r)3 81 5 9 1 6r
72 5 6r r 5 12 R r 5 12 cm
2.
9. Fazendo um esquema, temos: A
5 cm
Editoria de arte
M O
2 cm x 4 cm
B
R P 5 r p 60 x 5 25 150 60 ? 25 x5 150 1500 x5 5 10 → x 5 10 cm 150
6 cm
P A 5 p a
3. 5x 5 2(4 1 6) 5x 5 20 x 5 4 R x 5 4 cm
57 – Polígonos regulares inscritos na circunferência Exercícios, página 325. 1.
48 4 3 5 60 x 60 ? 4 3 x5 48 x 5 5 3 → x 5 5 3 cm 4.
x 2 5 5 20 2 2 ? 20 2 x5 5 x 5 8 2 → x 5 8 2 cm
a) Triângulo equilátero: 3608 3608 ac 5 → ac 5 → ac 5 1208 n 3 R 5 (3 2 2) ? 1808 → a 5 18085.→ pPa 5 (n 2 2) ? 1808 3608 r8 → ai 5 60 → ac 5 → ac 5 1208 ai 5 i i n 3 3 3 28,28 r 5 3 2 2) ? 1808 ( ? 1808 1808 39 , 592 7 → ai 5 → ai 5 → ai 5 608 3 3 28,28 ? 7 r5 b) Quadrado: 39,592 r 5 5 → r 5 5 cm 3608 3608 ac 5 → ac 5 → ac 5 908 n 4 P A (n 2 2) ? 1808 (4 2 2)?? 1808 2 ? 1808 5 3608 p a 5 → a 5 → a 5 → a 5 → ai 5 908 3608 i i i i a n 4 4 4 → ac 5 → ac 5 908 4 28,28 a 5 ? 1808 (4 2 2)?? 1808 2 ? 1808 3608 39 , 592 3 ,5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 908 4 4 4 28,28 ? 3,5 a5 39,592 c) Hexágono regular: a 5 2,5 → a 5 2,5 cm 3608 3608 ac 5 → ac 5 → ac 5 608 n 6 (n 2 2) ? 1808 (6 2 2)?? 1808 4 ? 1808 7208 ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 1208 3608 n 6 6 6 → ac 5 → ac 5 608 6 Exercícios, página 328. ? 1808 (6 2 2)?? 1808 4 ? 1808 7208 → ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 1208 n 6 6 6 1. r 5 40 cm a) Quadrado: d) Octógono regular: 5r 2 3608 3608 → ac 5 → ac 5 458 n 8 5 40 2 → 5 40 2 cm (n 2 2) ? 1808 (8 2 2)?? 1808 6 ? 1808 10808 ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 1358 n 8 8 b) Hexágono 8 regular: ac 5
3608 → ac 5 458 8 ? 1808 (8 2 2)?? 1808 6 ? 1808 10808 → ai 5 → ai 5 → ai 5 → ai 5 1358 8 8 8
→ ac 5
5r 5 40 cm
469
c) Triângulo equilátero:
4. a 5
5r 3 5 40 3 → 5 40 3 cm
2. r 5 15 cm a) Quadrado: 2 a5r 2 2 a 5 15 2 a 5 10,575 → a 5 10,575 cm b) Hexágono regular: 3 a5r 2 3 a 5 15 2 a 5 12,975 R a 5 12,975 cm c) Triângulo equilátero: r a5 2 15 a5 2 a 5 7,5 R a 5 7,5 cm Ilustrações: Editoria de arte
A 32 cm
D
�
C
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, temos: 642 5 2 1 2 22 5 4 096 2 5 2 048 5 32 2 → 5 32 2 cm Conhecendo o valor de , calculamos o perímetro do quadrado: P 5 4 ? 32 2 P 5 128 2 → P 5 128 2 cm Podemos determinar também a área: A 5 ,2
(
A 5 32 2
)
2
A 5 1024 ? 2 A 5 2048 → A 5 2048 cm2
S
O T
M
R
a) RÔS é o ângulo interno do triângulo RST; logo: 360º ai 5 → ai 5 120º 3
B
O
5.
b) RS é a medida do lado do triângulo; logo: 5r 3
3.
470
r 2 r 5 6,25 ? 2 r 5 12,5 → r 5 12,5 cm
6,25 5
9 cm
r 2
5 9 3 → 5 9 3 cm
c) OM é a medida do apótema do triângulo; logo: r a5 2 9 a5 2 a 5 4,5 → a 5 4,5 cm d) SM é a altura do triângulo RST; logo: 3 h5 2 9 3? 3 h5 2 27 h5 2 h 5 13,5 → h 5 13,5 cm 6. 5 r 2 20 2 5 r 2 r 5 20 → r 5 20 cm r 2 2 20 2 a5 2 a 5 10 2 → a 5 10 2 cm a5
7.
Logo, um dos catetos mede 10 3 cm, e o outro mede 5 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
r a) a 5 2 r 15 5 2 r 5 30 → r 5 30 cm
x2 5 (10 3 ) 1 52 2
x2 5 300 1 25
b) 5 r 3
x 5 325
5 30 3 5 30 ? 1,73 5 51,9 → 5 51,9 cm
x 5 5 13 → x 5 5 13 cm 11. 4 cm
8. Ilustrações: Editoria de arte
A G
H
F
B
R
E
C J
I D
O lado do hexágono é o raio da circunferência; então, r 5 50 cm. 4 5 r 2 4 5 50 2 4 5 50 ? 1, 41 4 5 70,5 → 4 5 70,5 cm
a) 4 5 r 2 4 5 4 2 → 4 5 4 2 cm
b) L4 5 2 ? 4 L4 5 8 R L4 5 8 cm c) 4 5 4 2 5 2 L4 8 2 12. C 5 2 ? ? r 6 5 2 ? ? r r 5 3 R r 5 3 cm A B
9. r 5 3 cm a) 6 5 3 cm AB 5 3 cm b) 4 5 r 2 4 53 2 4 5 3 ? 1, 4 4 5 4,2 → 4 5 4,2 cm
c) d 5 dAB 1 dBC d 5 3 1 4,2 d 5 7,2 R d 5 7,2 cm 10. 5 r 3 5 10 3 → 5 10 3 cm r 2 10 a5 2 a5
a 5 5 R a 5 5 cm
D C
4 5 r 2 4 53 2 4 5 3 ? 1, 41 4 5 4,23 → 4 5 4,23 cm 3 5 r 3 3 5 3 3 3 5 3 ? 1,73 3 5 5,19 R 3 5 5,19 cm 3 2 4 5 5,19 2 4,23 3 2 4 5 0,96 Logo, a diferença entre as medidas das cordas é 0,96 cm.
471
Exercícios, página 330.
4. r 5 10 cm cateto oposto hipotenusa
a) sen 18º 5
1. 5 8 cm , 2 tg 36º 5 a
4 0,73 5 a
a . 5,47 R a . 5,47 cm Conhecendo a, calculamos a área do pentágono:
?a A 55? 2
, 0,31 5 2 10 5 3,1 2 5 6,2 R 5 6,2 cm cateto adjacente hipotenusa
cos 18º 5 0,95 5
a 10
a 5 9,5 R a 5 9,5 cm
perímetro 10 ? 6,2 5 5 31 → Semiperímetro 2 2 ,2 8 ? 5, 47 perímetro 10 ? 6 A 5? Semiperímetro 5 5 5 31 → Semiperímetro 531 cm 2 2 2 b) Área 5 semiperímetro ? apótema A . 109,40 R A . 109,40 cm2 Área 5 31 ? 9,5 2. 5 80 cm Área 5 294,5 R Área 5 294,5 cm2 perímetro 80 ? 6 a) Semiperímetro 5 5 5 240 → 240 cm 2 2 perímetro 80 ? 6 tro 5 5 5 240 → 240 cm 2 2 Chegou a sua vez!, página 333. 3 b) a 5 Área do retângulo 5 ? r ? r 5 ? r2 2 Semiperímetro 5
58 – Área de regiões circulares
80 3 2
a5
a 5 40 3 cm → a 5 40 ? 1,73 → a 5
5 69,2 R a 5 69,2 cm
c) Área 5 semiperímetro ? apótema Área 5 240 ? 69,2 Área 5 16 608 R Área 5 16 608 cm2 3. a) r 5 5 18 cm b)
perímetro 6 ? 18 5 5 54 → 54 cm 2 2 r 3 2 18 3 a5 2 a 5 9 3 → a 5 9 3 cm
c) a 5
d) Área 5 semiperímetro ? apótema
472
Área 5 54 ? 9 3 Área 5 486 3 R Área 5 486 3 cm2
Exercícios, páginas 333 e 334. 1. A 5 ? r2
A 5 π ? (6 2 )
2
A 5 3,14 ? 36 ? 2 A 5 226,08 R A 5 226,08 cm2 2. d 5 80 cm r 5 40 cm A 5 ? r2 A 5 ? 402 A 5 5 024 R A 5 5 024 cm2 3. Perímetro do hexágono: 60 cm 60 6 5 → 6 5 10 → 6 5 10 cm 6 r 5 6 A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 102 A 5 314 R A 5 314 cm2 4. a) A região colorida de azul corresponde a 1 do círculo, pois o ângulo central é 90°. 4
b)
Acírculo 4 π ? r2 Aazul 5 4 3,14 ? 82 Aazul 5 4
b) Aazul 5
Aazul 5 50,24 R Aazul 5 50,24 cm
2
48 → 4 5 12 → 4 5 12 cm 4 12 r5 5 6 → r 5 6 cm 2
5. 4 5
A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 62 A 5 113,04 R A 5 113,04 cm2 6. 360° 60° A5
?r A
2
60º ? π ? 62 360º
A 5 6 ? R A 5 6 ? cm2 . 18,84 cm2 7. Pizza grande: d 5 44 cm e r 5 22 cm. A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 222 A 5 1 519,76 R A 5 1 519,76 cm2 Pizza média: d 5 30 cm e r 5 15 cm. A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 152 A 5 706,5 R A 5 706,5 cm2 Como são duas pizzas médias, temos: 2A 5 2 ? 706,5 R A 5 1 413 R A 5 1 413 cm2 Logo, a família que pede a pizza grande come mais, pois 1 519,76 cm2 1 413 cm2. 8. R 5 2x 1 1 r5x23 R 1 r 5 19 2x 1 1 1 x 2 3 5 19 3x 2 2 5 19 3x 5 21 x 5 7 R x 5 7 cm R52?711 R 5 15 R R 5 15 cm R5x23 R5723 R 5 4 R R 5 4 cm a) Área do círculo de centro A: R 5 15 cm A 5 ? R2 A 5 3,14 ? 225 A 5 706,50 R A 5 706,50 cm2
Área do círculo de centro B: r 5 4 cm A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 42 A 5 50,24 R A 5 50,24 cm2
9. Acoroa 5 AR 2 Ar AR 5 ? R2 AR 5 3,14 ? 112 AR 5 379,94 R AR 5 379,94 cm2 Ar 5 ? r2 Ar 5 3,14 ? 72 Ar 5 153,86 R Ar 5 153,86 cm2 Acoroa 5 AR 2 Ar Acoroa 5 379,94 2 153,86 Acoroa 5 226,08 R Acoroa 5 226,08 cm2 10. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo da figura, temos: x2 5 152 1 82 x2 5 225 1 64 x2 5 289 x 5 17 R x 5 17 cm 17 r5 5 8,5 → r 5 8,5 cm 2 A A 5 círculo 2 π ? r2 A5 2 3,14 ? 8,52 A5 2 A 5 113,43 R A 5 113,43 cm2 11. R 5 35 km hab. d5 km2 A 5 ? R2 A 5 3 ? 352 A 5 3 675 R A 5 3 675 km2 700000 d5 → d 5 190,47 hab./km2 3675 12. C 5 282,6 cm C 5 2 ? r 282,6 5 2 ? 3,14 ? r r 5 45 R r 5 45 cm A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 452 A 5 6 358,50 R A 5 6 358,50 cm2 cateto oposto 13. sen 30º 5 hipotenusa
473
? R2 2 3,14 ? 162 A1 5 2 A1 5 401,92 R A1 5 401,92 cm2 ? r2 A2 5 2 3,14 ? 82 A2 5 2 A2 5 100,48 R A2 5 100,48 cm2 A 5 A1 1 A2 A 5 401,92 1 100,48 A 5 502,40 R A 5 502,40 cm2
1 x 5 2 16 x58 r54 cos 30º 5
A1 5
cateto adjacente hipotenusa
3 y 5 2 16 y 5 8 3 → y 5 8 ? 3 → y 5 13,84 A 5 Atriângulo 1 Asemicírculo Atriângulo 5
x?y 2
Atriângulo 5 8 ? 13,84 2 Atriângulo 5 55,36
t 5 a) t 5 4
16. r 5
4 5 r 5 0,4 R r 5 0,4 m b) A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 0,42 A 5 0,5024 R A 5 0,5024 m2 r5
? r2 Asemicírculo 5 2 Asemicírculo 5
3,14 ? 42 2
Asemicírculo 5 25,12
Desafio!, página 335.
A 5 Atriângulo 1 Asemicírculo
Alternativa e. • Tampa grande: r51m Q1 5 Aquadrado 2 Acírculo
A 5 55,36 1 25,12 A 5 80,48 14. A 5 Aretângulo 2 Acírculo Aretângulo 5 b ? h Aretângulo 5 48 ? 28 Aretângulo 5 1 344 R Aretângulo 5 1 344 m2 Acírculo 5 ? r2 Acírculo 5 3,14 ? 82 Acírculo 5 200,96 R Acírculo 5 200,96 m
2
A 5 Aretângulo 2 Acírculo A 5 1 344 2 200,96 A 5 1 143,04 R A 5 1 143,04 m2 1 15. AC 5 CB 5 AB 5 16 cm 2 1 16 DB 5 AC 5 5 8 cm 2 2 A área da figura é a soma das áreas do semicírculo de raio 16 cm (A1) e do semicírculo de raio 8 cm (A2).
474
Q1 5 22 2 ? r2 Q1 5 4 2 3,14 ? 12 Q1 5 0,86 R Q1 5 0,86 m2 • Tampa média: r 5 0,5 m Q2 5 Aquadrado 2 4 ? Acírculo Q2 5 22 2 4 ? ? r2 Q2 5 4 2 4 ? 3,14 ? 0,52 Q2 5 4 2 3,14 Q2 5 0,86 R Q2 5 0,86 m2 • Tampa pequena: R 5 0,25 m Q3 5 Aquadrado 2 16 ? Acírculo Q3 5 22 2 16 ? ? r2 Q3 5 4 2 16 ? 3,14 ? 0,252 Q3 5 4 2 3,14 Q3 5 0,86 R Q3 5 0,86 m2 Q1 5 Q2 5 Q3 5 0,86 m2 Logo, as três entidades recebem iguais quantidades de material.
Brasil real, páginas 335 e 336. 1.
14 70 5 a) 20 x 20 ? 70 x5 14 x 5 100 R x 5 100 cm b) 20 módulos 100 cm 3,5 módulos x cm c)
3,5 ? 100 20 x 5 17,5 R x 5 17,5 cm A 5 ? r2 A 5 3,14 ? 17,52 A 5 961,625 R A 5 961,625 cm2 x5
Aamarelo 5 Alosango 2 Acírculo
Aamarelo 5 0,8798 2 0,385
Aamarelo 5 0,4948 m2 P5
Aretângulo 5 2 ? 1,40
Aretângulo 5 2,80 R Aretângulo 5 2,80 m2
A parte amarela corresponde a 17,67% da área do retângulo da bandeira.
3. r 5 35 cm A 5 ? r2 A 5 ? 352 A 5 3 850 R A 5 3 850 cm2 4. Ceará, Mato Grosso, Paraná, Pernambuco, Rio de Janeiro e São Paulo.
Tratando a informação, página 337.
2m 17 cm
17 cm
1. O gráfico trata da distribuição percentual da produção brasileira de cereais, leguminosas e oleaginosas no ano 2006. 2. É um gráfico de setores (pizza).
17 cm
1,40 m
17 cm
3.
44% ______ 52 464 640 100% ______ T 52 464 640 ? 100 5 119237818,2 toneladas. 44 A produção total foi de aproximadamente 119 237 818 toneladas.
T5
Losango: D 5 2 2 2 ? 0,17 D 5 1,66 R D 5 1,66 m d 5 1,40 2 2 ? 0,17 d 5 1,06 R d 5 1,06 m D?d 1,66 ? 1, 06 5 Alosango 5 2 2 Alosango 5 0,8798 R Alosango 5 0,8798 m2
Averde 5 Aretângulo 2 Alosango
Milho: 360° x
Averde 5 2,80 2 0,8798
x5
Averde 5 1,9202 R Averde 5 1,9202 m2 5
5 1 9202 cm2
b) Aamarelo 5 Alosango 2 Acírculo
Alosango 5 0,8798 m2
R 5 35 cm 5 0,35 m
Acírculo 5 ? r2
Acírculo 5
22 ? 0,352 7
0, 4948 5 0,1768 5 17,67% 2,80
5. Resposta em aberto.
a) Averde 5 Aretângulo 2 Alosango
Editoria de arte
Acírculo 5 0,385 R Acírculo 5 0,385 m2
2.
4. Soja: 100% 360° 44% x 3608 ? 44 x5 5 1588 100
360º ? 36 5 130º 100
Arroz: 360° x x 5 36° Feijão: 3608 x x5
100% 36%
100% 10%
100% 3%
360º ? 3 5 11º 100
475
Trigo: 3608 x x5
2. Alternativa a. AB 5 6 6 5 R 5 10 cm BC 5 4
100% 2%
360º ? 2 5 7º 100
4 5 R 2 5 10 2 cm D 5 AB 1 BC
Demais produtos: 100% 3608 5% x
D 5 10 1 10 2 D 5 10 1 10 ? 1,41 D 5 24,1 R D 5 24,1 cm
360º ? 5 x5 5 18º 100
3. Alternativa a. 6 5 R 6 5 8 cm
5. Área do círculo 5 ? r2 A 5 3,14 ? 52 A 5 78,5 R A 5 78,5 cm2 Soja: 100% 44%
a6 5
78,5 cm2 x
a 5 4 3 5 6,8 → a 5 6,8 cm
44 ? 78,5 x5 5 34,54 → x 5 34,54 cm2 100 Milho: 100% 36% x5
4. Alternativa b. B x
78,5 cm2 x
D
x
A x
O
x C 2 cm
P
36 ? 78,5 5 28,26 → x 5 28,26 cm 100
Arroz: 100% 10% x5
6 3 2
78,5 cm2 x
10 ? 78,5 5 7,85 → x 5 7,85 cm 100
PA ? PB 5 PC ? PD x ? 2x 5 2(2 1 2x) 2x2 5 4 1 4x x2 2 2x 2 2 5 0
Ilustrações: Editoria de arte
x’ 5 1 1 3 5 1 1 1,73 5 2,73 26 4 18 51 6 3 → 2 x” 5 1 2 3 5 1 2 1,73 52 0,73 (Não co Retomando o que aprendeu, páginas 338 a 341. 26 4 18 x’ 5 1 1 3 5 1 1 1,73 5 2,73 x5 51 6 3 → 2 x” 5 1 2 3 5 1 2 1,73 52 0,73 (Não convém.) 1. Alternativa d. Logo, x 5 2,73 cm. D A
15 � x 9 cm P
4 cm
B
x
5. Alternativa c. O quadrado de maior tamanho possível é o quadrado inscrito nesse círculo. 4 5 r 2
C
PA ? PB 5 CP ? PD 36 5 x(15 2 x) 36 5 15x 2 x2 x2 2 15x 1 36 5 0 x5
x’ 5 12 15 6 225 2 144 15 6 9 → 5 2 2 x” 5 3
Como se pede a medida do maior segmento, consideramos x 5 12 cm.
476
x5
4 5 20 2 → 4 5 20 ? 1, 4 → 4 5 28 → 4 5 28 cm 6. Alternativa d. r54 3 6 5 r 6 5 4 3 cm a6 5 a6 5
6 3 2 4 3? 3 12 5 5 6 → a6 5 6 cm 2 2
7. Alternativa b. Ilustrações: Editoria de arte
T
10 cm 30 cm
x B
5 cm A
8 cm
P
(PT)2 5 PA ? PB x2 5 8(8 1 10) x2 5 144 x 5 12 R x 5 12 cm 8. Alternativa b. PQ é lado de um quadrado inscrito na circunferência; logo: 4 5 r 2 45r 2 r 5 2 2 → r 5 2 2 cm 3 5 r 3 3 5 2 2 ? 3 5 2 6 → 3 5 2 6 cm Perímetro 5 3 ? 2 6 5 6 6 → Perímetro 5 6 6 cm 6 5 6 6 → Perímetro 5 6 6 cm 9. Alternativa d. D 5 50 cm r 5 25 cm C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 25 C 5 157 R C 5 157 cm 78,5 m 5 7 850 cm n5
10 cm
7850 5 50 157
Logo, foram dadas 50 voltas pelas rodas desse carro. 10. Alternativa b. De 12 h às 17 h, o ponteiro deu 5 voltas completas. C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 1,5 C 5 9,42 R C 5 9,42 cm Como foram dadas 5 voltas, fazemos: C 5 5 ? 9,42 C 5 47,10 R C 5 47,10 cm 11. Alternativa c. Se os centros estão a 50 cm de distância, temos o esquema:
O comprimento da correia é 50 1 50 1 C, em que C é o comprimento da circunferência de raio 10 cm. Logo, temos: C52??r C 5 2 ? 3,14 ? 10 C 5 62,8 R C 5 62,8 cm Ccorreia 5 50 1 50 1 62,8 Ccorreia 5 162,8 R Ccorreia 5 162,8 cm 12. Alternativa e. 2x 1 1 1 x 2 3 5 19 3x 5 21 x57 R1 5 2 ? 7 1 1 R1 5 15 R R1 5 15 m R2 5 7 2 3 R2 5 4 R R2 5 4 m Saindo de P, contornando as duas circunferências e voltando a P percorre-se o comprimento das duas circunferências, ou seja: C 5 C1 1 C2 C 5 2 ? ? R1 1 2 ? ? R2 C 5 2 ? (R1 1 R2) C 5 2 ? 3,14 ? 19 C 5 119,32 R C 5 119,32 m 13. Alternativa a. 360º 30º 5 12
1 do 12 comprimento da circunferência de raio AO. C52??r C52?3?5 C 5 30 R C 5 30 cm 30 Carco 5 5 2,5 → Carco 5 2,5 cm 12 O comprimento do arco é
14. Alternativa c. A diagonal do quadrado é 6 2 . Como d 5 4 2 , temos: 6 2 5 4 2 4 5 6
4 53 2 Portanto, a pessoa percorre o contorno de 4 Logo, o raio da circunferência é: r 5
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semicircunferências, o que equivale a 2 circunferências: D52?2??r D 5 4 ? 3,14 ? 3 D 5 37,68 R D 5 37,68 unidades de comprimento.
17. Alternativa b. 0,5 5 0,5 1 x x x2 1 0,5x 2 0,5 5 0
x’ 5 0,5 20,5 6 0,25 1 2 20,5 6 2,25 20,5 6 1,5 5 5 → 2 2 2 x” 52 2 (N 15. Alternativa d. x ’ 5 0 , 5 20,5 6 0,25 1 2 20,5 6 2,25 20,5 6 1,5 x5 5 5 → 2 2 2 360º x” 52 2 (Não convém.) 120º 5 3 Considerando x 5 0,5 cm, calculamos a Logo, o arco correspondente a área do círculo: A 5 ? r2 circunferência 120º 5 . A 5 3,14 ? 0,25 3 A 5 0,785 R A 5 0,785 cm2 Ccircunferência 5 2 ? ? r 18. Alternativa a. Ccircunferência 5 2 ? 3 ? 360 At 5 2 ? AB 1 Aretângulo Ccircunferência 5 2 160 R Ccircunferência 5 2 160 m AB 5 ? r2 AB 5 3,1 ? 52 Carco 5 circunferência 5 2160 5 720 → AB 5 77,5 R AB 5 77,5 cm2 3 3 rcunferência 2160 Como o comprimento do retângulo é o 5 5 720 → Carco 5 720 m 3 3 comprimento da circunferência de raio 16. Alternativa d. Caminho 1: 2π ? r 5 94,2 → 94,2 m 2 Caminho 2: Arco de 30° 1 Arco de 60° 1 CD 5 5 Arco 90° 1 CD 2π ? r Arco 90º 5 5 47,1 → 47,1 m 4 O triângulo COD é retângulo em O, portanto, aplicando o teorema de Pitágoras nele, obtemos: CD2 5 302 1 302 CD2 5 1 800 CD 5 1 800 CD 5 3 ? 2 ? 5 2 CD 5 30 2 CD 5 30 ? 1, 4 CD 5 42 → CD 5 42 m Logo, o caminho 2 é: 47,1 m 1 42 m 5 89,1 m Calculamos, então, a diferença: Caminho 2 2 Caminho 1 5 5 94,2 m 2 89,1 m 5 5,1 m Portanto, o caminho 1 é 5,1 m mais longo que o caminho 2.
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x5
5 cm, a área do retângulo é dada por: Aretângulo 5 2 ? ? r ? h Aretângulo 5 2 ? 3,1 ? 5 ? 10 Aretângulo 5 310 R Aretângulo 5 310 cm2 Agora, calculamos a área total da superfície: At 5 2 ? AB 1 Aretângulo At 5 2 ? 77,5 1 310 At 5 465 R At 5 465 cm2 19. Alternativa c. A área da figura é a soma das áreas de dois quadrados de lado 2 e um quarto de um círculo de raio 2: π ? 22 A 5 2 ? 22 ? 4 A 5 8 1 3,14 A 5 11,14 20. Alternativa d. A área ocupada pelos jardins corresponde a quatro vezes o setor de 308, ou seja, a um setor de 1208. A A120º 5 360º 3 d 60 r5 5 5 30 → r 5 30 m 2 2 2 ? 30 A120º 5 5 942 → A1208 5 942 m2 3
3 5 r 3 3 5 10 ? 1,7 3 5 17 R 3 5 17 cm r a5 → a 5 5 cm 2 h 5 5 1 10 h 5 15 R h 5 15 cm A5
b?h 17 ? 15 5 5 127,5 R A 5 127,5 cm2 2 2
Chegou a sua vez!, página 347. 1. Tales mediu a altura das grandes pirâmides por meio da proporção entre as sombras da pirâmide e usando uma estaca fincada perpendicularmente ao chão.
H c B
S
b
22. Alternativa b. H c A área da região colorida de roxo é a área 5 B 1 S b do semicírculo mais a área do triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm. 2. Exemplo: cálculo da altura de um poste. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: BC2 5 62 1 82 BC2 5 36 1 64 h BC 5 10 R BC 5 10 cm c r 5 5 cm a b ? r2 3,14 ? 52 2 Asemicírculo 5 5 5 39,25 → Asemicírculo 5 39,25Hcm c 2 2 5 2 2 a b ?r 3,14 ? 5 b? h 2 6?8 2 2 2 5 5 5 A 5 , cm 39 , 25 → 3 9 25 ? r ? 3 , 14 5 A A c 5 5 5 → 5 m 24 24 2 rculo semicírculo tri â ngulo tri â ngulo 2 2 Asemicírculo 5 2 52 5 39,25 → Asemicírculo 5 39,25 cm 2 2 3. Com o auxílio de um astrolábio, b?h 6?8 2 A c 5 5 5 → 5 m 24 24 b h ? ? 6 8 determina-se o ângulo de elevação da 2 ulo ângulo Atriâtringulo 2 2 5 5 5 24 → Atriângulo 5 24 cm 2 2 árvore. Em seguida, aplica-se a fórmula conveniente (seno, cosseno ou tangente A 5 Asemicírculo 1 Atriângulo 5 de um ângulo) para o cálculo da altura 5 39,25 cm2 1 24 cm2 5 63,25 cm2 correspondente.
Ilustrações: Editoria de arte
21. Alternativa d. r 5 10 cm
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