PROGRESSÃO ARITMÉTICA – (P.A.) Chamaremos progressão aritmética (P.A.) toda sequência de números reais, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, denominada razão r. A representação formal de uma sequência é
( a1 , a2 , a3 , ..., an ), onde:
a1 : é o primeiro termo n : é o número de termos r : é a razão Para determinar a razão de uma P.A., basta calcular a diferença entre um termo, a partir do segundo, e seu antecessor.
Classificação de uma P.A. r > 0 – Crescente – Uma P.A.é crescente quando a razão r for positiva. Exemplo: (2, 7,12, ,,,) é uma P.A. crescente, pois r > 0 (r maior que zero), r = 5.
r = 0 – Constante – Uma P.A.é constante quando a razão r for igual a zero. Exemplo: (3, 3, 3, ,,,) é uma P.A. constante, pois r = 0 (r igual a zero).
r < 0 – Decrescente – Uma P.A.é decrescente quando a razão r for negativa. Exemplo: (9, 4, -1, ,,,) é uma P.A. decrescente, pois r < 0 (r menor que zero), r = - 5.
Exercícios 1) Verifique quais sequências abaixo formam uma P.A.; determine o primeiro termo ( a1 ), a razão ( r ) e classifique-as em crescente, decrescente ou constante.
a) ( 5, 7, 9, ...)
b) ( 3, 11, 2,...)
c) ( 7, 7, 7, ...)
É P.A.
Não é P.A.
É P.A.
a1 = 5 r = a2 – a1 = 7 – 5 = 2
a1 = 7 r = a2 – a1 = 7 – 7 = 0
É crescente, pois a razão é maior que zero.
d) ( 12, 8, 4, ...)
É constante, pois a razão é igual a zero.
e) ( - 2, 4, - 8, ...)
f) ( -35, -30, -25, ...)
Termo Geral de uma P.A.
an = a1 + ( n – 1).r , onde:
an = Termo geral a1 = Primeiro termo n = Número de termo r = razão
Exemplo: 1) Determinar o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7, ...).
a12 = ? a1 = 3 n = 12 r = a2 – a1 = 5 – 3 = 2
an = a1 + ( n – 1).r a12 = 3 + ( 12 – 1).2 a12 = 3 + 11.2 a12 = 3 + 22 a12 = 25
Exercícios: 1) Determinar o oitavo termo da P.A. ( 4, 8, 12, ...).
2) Determinar o décimo sexto termo da P.A. ( - 2, 1, 4, ...).
Soma dos n termos de uma P.A. Sn = (a1 – an).n , onde: 2
a1 = Primeiro termo an = Termo geral n = Número de termo Sn = Soma dos n termos
Exemplo: 1) Calcular a soma dos 11 primeiros termos da P.A. ( 2, 5, 8, ...).
S12 = ? a12 = (Temos que calcular) a1 = 2 n = 11 r = a2 – a1 = 5 – 2 = 3
an = a1 + ( n – 1).r a11 = 2 + ( 11 – 1).3 a11 = 2 + 10.3 a11 = 2 + 30 a11 = 32
Sn = Soma dos n termos
Exercícios: 1) Calcular a soma dos 11 primeiros termos da P.A. ( 2, 5, 8, ...).
2) Calcular a soma dos 11 primeiros termos da P.A. ( 2, 5, 8, ...).