Monografia Isadora by Marisa Cavalcante

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Física

O Limite Clássico da Mecânica Quântica

Isadora Migliori Hossri

São Paulo/2008

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Física

O Limite Clássico da Mecânica Quântica

Isadora Migliori Hossri

Monografia apresentada como parte dos requisitos para a conclusão do curso de graduação de bacharel em Física.

Orientadora: Profa. Dra. Sonia Geraij Mokarzel

São Paulo/2008 2

Agradecimento

A professora Sonia por em todos os momentos descortinar a beleza da física, nos dando entusiasmo e muito conhecimento sempre com clareza e alegria. A professora Maria Inês que nos deu boas aulas de apoio. Aos amigos e familiares, sem os quais a realização deste trabalho não seria possível. Ao PIBIC, pelo apoio financeiro fornecido para a execução deste projeto.

Valeu a pena? Tudo Vale a pena se a alma nĂŁo ĂŠ pequena (...) Fernando Pessoa

Resumo Neste trabalho será apresentada uma breve recapitulação de conceitos básicos de estrutura da matéria e mecânica quântica, que serão ferramentas necessárias para a realização da análise do problema da medição quântica. A abordagem da decoerência será utilizada para análise de tal questão. A diferença entre do tempo de perda de coerência e do tempo de dissipação de energia de um sistema serão calculados analiticamente neste trabalho As técnicas da álgebra de Lee descrita ao longo do texto, serão um caminho para a construção do formalismo matemático da teoria.

Sumário

1. OBJETIVOS ........................................................................................................ 8 2. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9 3. METODOLOGIA ............................................................................................... 11 4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................. 11 4.1 Radiação do Corpo negro ............................................................................ 11 4.2 Efeito Fotoelétrico ........................................................................................ 13 4.3 Efeito Compton ............................................................................................ 15 4.4 Átomo de Hidrogênio ................................................................................... 16 5. A TEORIA QUÂNTICA ...................................................................................... 19 5.1 Dualidade onda-partícula ............................................................................. 19 5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg .......................................................... 21 5.3 Equação de Schrödinger ............................................................................ 22 5.3.1 Autovalores e autofunções .................................................................... 24 5.3.2 Superposição de estados ...................................................................... 25 5.4 Espaço de Hilbert......................................................................................... 26 5.5 Operadores .................................................................................................. 27 5.5.1 Operadores hermitianos ........................................................................ 27 5.5.2 Representação matricial de um operador .............................................. 28 5.5.3 Relação da completeza ......................................................................... 29 5.5.4 Operador unitário .................................................................................. 30 5.6 Oscilador harmônico ................................................................................... 30 5.7 Quantização do campo eletromagnético...................................................... 33 5.7.1 Estado de Fock ...................................................................................... 35 5.7.2 Estados coerentes ................................................................................. 36 5.8 Operador densidade .................................................................................... 37 5.9 Evolução temporal de um sistema quântico ................................................ 40 6. RESULTADOS .................................................................................................. 45 6.1 O Problema da Medição .............................................................................. 45 6.2 Coerência e decoerência ............................................................................. 47 6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estado de “gato” .................. 49 7. CONCLUSÃO ................................................................................................... 50 8. APÊNDICE ........................................................................................................ 51 6

A – Efeito Comton .............................................................................................. 51 B – Átomo de hidrogênio ................................................................................... 52 C - Pacote de onda ............................................................................................ 54 D – Princípio da Incerteza .................................................................................. 56 E – Equação de Schrödinger ............................................................................. 57 F – Autovalores e autofunções .......................................................................... 58 G - Espaço de Hilbert......................................................................................... 59 H – Oscilador harmônico ................................................................................... 60 I – Técnicas da Álgebra de Lee ......................................................................... 61 J – Evolução temporal de um estado coerente .................................................. 65 2 K – Cálculo de Trρ (t ) ....................................................................................... 66

L – Tempo de dissipação ................................................................................... 68 M – Tempo de perda de coerência .................................................................... 69 9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................. 70

1. OBJETIVOS Compreender o problema da medição quântica, que é um dos problemas ainda em aberto e sob investigação na literatura atual, que se refere à não observação de superposições no mundo clássico. Aprofundar as reflexões sobre o problema da não localidade na Mecânica Quântica. Ter contato com experimentos que comprovam tal modelo. Para tanto será necessário o contato com algumas técnicas matemáticas adequadas.

2. INTRODUÇÃO

Um dos problemas mais sutis da física contemporânea é a relação entre o mundo macroscópico, descrito pela física clássica, e o mundo microscópico, regido pelas leis da física quântica. Classicamente, uma descrição completa do estado de uma partícula[1] é obtida dando-se a posição e o momento que é igual ao produto da massa pela velocidade da partícula. Se as forças que atuam na partícula dependerem também de sua velocidade a relação entre momento e velocidade já não é tão simples. Conhecendo-se as forças que atuam sobre a partícula, e que representam a interação da partícula com o resto do Universo, é possível em princípio a partir das informações iniciais obter a posição e a velocidade (ou momento) da mesma em qualquer instante futuro, ou seja, o estado futuro da partícula. Dizemos assim que a física clássica é determinística (ainda que freqüentemente o movimento futuro do sistema possa ser extremamente sensível a uma pequena variação das condições iniciais, como ocorre no comportamento caótico). Descrições probabilísticas são muitas vezes adotadas na física clássica, quando não temos uma informação completa sobre o sistema em questão. Por exemplo, se tivermos muitas partículas de um gás em uma caixa, é praticamente impossível conhecer a posição e a velocidade de cada partícula, por isso recorremos a uma descrição estatística. Mas admitimos sempre que, caso conhecêssemos as interações entre as partículas, e suas posições e velocidades em um dado instante, seria possível prever exatamente o valor dessas quantidades em qualquer instante futuro. Na teoria quântica, por outro lado, devemos abrir mão da descrição do estado de uma partícula [2] em termos da posição e do momento, uma vez que essas duas grandezas não podem ser conhecidas simultaneamente: a determinação da posição de uma partícula modifica de forma não controlada o seu momento,ou seja, à medida em que a determinação da posição da partícula torna-se mais precisa, a incerteza de seu momento aumenta. O produto das duas incertezas satisfaz à desigualdade de Heisenberg[3]: não pode nunca ser menor que uma certa constante universal, a constante de Planck, que estabelece uma escala fundamental para o mundo microscópico. O estado do sistema é descrito 9

por uma função de onda, em termos da qual pode ser calculada a probabilidade da partícula ser encontrada em alguma região do espaço, ou então com velocidade (ou momento) dentro de uma certa faixa. Essa função de onda tem uma amplitude maior nas regiões do espaço onde é mais provável encontrar a partícula. Segundo o grande físico dinamarquês Niels Bohr (1885-1962), as medidas de posição e momento são excludentes, e satisfazem ao princípio da complementaridade:

exigem

para

sua

realização

arranjos

experimentais

diferentes, que exibem aspectos complementares do sistema observado. Além disso, embora em cada experimento seja possível obter um certo valor da posição (ou do momento), a repetição do experimento com as mesmas condições iniciais (isto é, com a partícula sendo preparada da mesma maneira inicialmente) leva em geral em cada realização a resultados diferentes, de modo que o conjunto de experimentos deve ser descrito por uma distribuição estatística, que caracteriza as probabilidades de obtenção dos diversos valores observados[4]. Essa distribuição de probabilidades é obtida a partir da função de onda da partícula[5], e constitui-se em aspecto essencial do mundo quântico: não é possível eliminar esse comportamento probabilístico através de um conhecimento mais completo do sistema. A função de onda de um sistema engloba tudo que se pode conhecer sobre ele.

3. METODOLOGIA Para a realização do presente trabalho foi necessário o estudo aprofundado dos seguintes conceitos: radiação do corpo negro, efeito fotoelétrico, efeito Compton, espectro do átomo de hidrogênio, pacotes de ondas e as relações de incerteza[6], equação de Schrödinger [7], autofunção e auto vetor, operadores e variáveis dinâmicas, notação de Dirac[8], oscilador harmônico, operadores de projeção, matriz densidade[9] e técnicas de álgebra de Lie. Análise sobre o problema da medição quântica[10] na abordagem da decoerência, utilizando o formalismo matemático adequado.

4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA 4.1 Radiação do Corpo negro A superfície de um corpo negro é um caso limite, em que toda a energia incidente desde o exterior é absorvida, e toda a energia incidente desde o interior é emitida. No entanto, um corpo negro pode ser substituído com grande aproximação por uma cavidade com uma pequena abertura. A energia radiante incidente através da abertura, é absorvida pelas paredes em múltiplas reflexões e somente uma mínima proporção escapa (se reflete) através da abertura. Podemos portanto dizer, que toda a energia incidente é absorvida. Consideremos uma cavidade cujas paredes estão a uma certa temperatura[6]. Os átomos que compõem as paredes estão emitindo radiação eletromagnética e ao mesmo tempo absorvem a radiação emitida por outros átomos das paredes. Quando a radiação encerrada dentro da cavidade alcança o equilíbrio com os átomos das paredes, a quantidade de energia que emitem os átomos na unidade de tempo é igual a que absorvem. Em conseqüência, a densidade de energia do campo eletromagnético existente na cavidade é constante.

A cada freqüência corresponde uma densidade de energia que depende somente da temperatura das paredes e é independente do material de que são feitas. Se for aberto um pequeno orifício no recipiente, parte da radiação escapa e pode ser analisada. O orifício é visto muito brilhante quando o corpo está a alta temperatura, e se vê completamente negro a baixas temperaturas. Historicamente, o nascimento da Mecânica Quântica, se situa no momento no qual Max Panck explica o mecanismo que faz com que os átomos radiantes produzam a distribuição de energia observada. Max Planck sugeriu em 1900 que: A radiação dentro da cavidade está em equilíbrio com os átomos das paredes que se comportam como osciladores harmônicos de freqüência dada f . Cada oscilador pode absorver ou emitir energia da radiação em uma quantidade proporcional

Quando

oscilador

absorve

emite

radiação

eletromagnética, sua energia aumenta ou diminui em uma quantidade hf . A segunda hipótese de Planck, estabelece que a energia dos osciladores é quantizada. A energia de um oscilador de freqüência f só pode ter certos valores que são múltiplos inteiros de hf 1 A distribuição espectral de radiação é contínua e tem um máximo dependente da temperatura. A distribuição espectral pode ser expressa em termos do comprimento de onda ou da freqüência da radiação.

dE f / df é a densidade de energia para a freqüência f da radiação contida em uma cavidade a temperatura absoluta T. Sua unidade é(J·m-3)·s.

8πh = 3 df c

dE f

hf KT

−1

onde k é a constante de Boltzmann cujo valor é k=1.3805·10-23 J/K.

dEλ / dλ é a densidade de energia por unidade de comprimento de onda para o comprimento de onda λ da radiação contida em uma cavidade a temperatura absoluta T. Sua unidade é (J·m-3)·m-1.

f = 1

Onde h é a Constante de Planck h=6,62609x10-34J.s

df c =− 2 dλ λ

dE f df 8πhc dE λ =− = 5 dλ df dλ λ

1 e

hc λKT

−1

4.2 Efeito Fotoelétrico Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física, a discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da eqüipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em temperaturas baixas. Depois, as idéias da quantização da energia foram aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula. O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por Lenard em 1900. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no catodo, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons atingirem o anodo, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença de potencial entre o catodo e o anodo, quando V for positivo, todos os elétrons emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo. Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz, quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo e

mv 2 somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais maiores que 2 |eV| podem atingir o anodo. Então se V for menor que –Vo, nenhum elétron consegue chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial frenador o qual está relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície pela relação: 13

1 2  mv  = eV0 2  máx O resultado experimental, da independência de Vo em relação à intensidade da luz incidente, era surpreendente. Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos. Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no espaço, mas fosse quantizada , como pequenos pulsos, cada qual denominado um fóton. A energia de cada fóton é hν , onde ν é a freqüência e h a constante de Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a energia necessária de um único fóton. Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência(ν ), for aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se Ф for a energia necessária para remover um elétron de uma superfície metálica, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será

1 2  mv  = eV0 = hν − φ 2  máx Esta equação é conhecida como a equação do efeito fotoelétrico. A grandeza φ é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão energias cinéticas menores que hν - φ em virtude da perda de energia que sofrem ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que o coeficiente angular da reta Vo x ν deve ser igual a

h . e

Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de Einstein:

•

A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.

•

Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal.

•

A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção do fotoelétron. A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil.

Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck. Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda correspondente podem ser relacionados à função trabalho φ , igualando-se a zero a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein.

4.3 Efeito Compton Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto por A. H. Compton (1923). Compton estudou o espalhamento de raios-x em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de energia e momento, obteve (Apêndice A)

φ  ∆λ = λ ′ − λ = λ0 sen 2   onde λ0 = 2h cm0 2 15

Ou seja, há variação do comprimento de onda e conseqüentemente da freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton. Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron. Com isto, mostrou-se que a descrição do efeito Compton fica bem estabelecida quando a sua interpretação é feita a partir do choque entre um fóton e um elétron, assumindo o comportamento corpuscular da luz.

4.4 Átomo de Hidrogênio A radiação emitida por qualquer fonte de luz pode ser estudada para determinar que comprimento de onda ou freqüência estão presentes neste sistema. Por exemplo, uma lâmpada incandescente exibe um espectro contínuo de radiação. Por outro lado, muitas outras fontes de luz emitem apenas em algumas freqüências bem definidas denominadas "linhas espectrais". Em particular observa-se que o gás hidrogênio emite radiações em um espectro reduzido e limitado. Antes do desenvolvimento da teoria quântica, esses complicados espectros de linha foram tomados como evidência de uma estrutura interna mais envolvida por átomos. Acreditava-se então que os átomos tinham muitos modos possíveis de oscilações, como cordas de violinos ou tubos de órgãos, e que a excitação destes modos dava origem à radiação correspondente às suas freqüências individuais. Até 1885, 14 linhas espectrais de hidrogênio tinham sido identificadas e seus comprimentos de onda precisamente medidos. Johann Balmer então conseguiu achar uma expressão matemática empírica que descreveu precisamente todos estes comprimentos de ondas conhecidos. Ele achou que as séries observadas de comprimentos de onda espectrais poderiam ser expressa por Balmer:

1   1 = R 2 − 2  λ n  2 1

n = 3, 4, 5 .....

onde R é uma constante que agora é denominada de constante de Rydberg. Na época o valor desta constante era de R =1,09678 x 107 m-1.

Em seguida outras séries espectrais foram determinas teoricamente com base na expressão de Balmer. A primeira delas foi apresentada por Paschen (1908) usando a relação;

1   1 = R 2 − 2  λ n  3 1

Paschen

n = 4, 5, 6 .....

Em seguida vieram as séries de Lyman e Brackett, as quais referiam a região do ultravioleta e infravermelho do espectro de emissão do gás de hidrogênio, respectivamente. Estes espectros podem ser descrito pelas equações de Balmer modificada,

Lyman

1  1 = R 2 − 2  λ n  1

n = 2, 3, 4 .....

Brackett

1   1 = R 2 − 2  λ n  4

n = 5, 6, 7 .....

Assim determinou-se, empiricamente, que os espectros de linhas distintos emitidos pelo hidrogênio poderiam ser ajustados pela relação de Balmer generalizada;

1   1 = R 2 − 2  λ n  m 1

n>m

onde m e n são números inteiros. Como λ é positivo, os inteiros m e n devem satisfazer a desigualdade m < n. Investigações do espectro de hidrogênio levaram Niels Bohr a postular que as órbitas circulares dos elétrons fossem quantizadas, ou seja, que os seus momentos angulares pudessem assumir apenas múltiplos inteiros de um certo valor básico. Bohr propôs um modelo de átomo de hidrogênio, com notável sucesso no cálculo dos comprimentos de onda das linhas do espectro conhecido do hidrogênio e na previsão das linhas do espectro nas regiões do infravermelhos e do ultravioleta. O modelo de Bohr, embora deficiente sob diversos aspectos ilustra as idéias da quantização dentro da moldura matemática mais simples da Física Clássica. As teorias clássicas vigentes na época e usadas na descrição das 17

órbitas eletrônicas eram incapazes de explicar o espectro do átomo de hidrogênio. Usando a idéia dos osciladores de Planck, Bohr propôs um modelo que explicasse o espectro do átomo de hidrogênio. De acordo com Bohr, neste átomo, só existem estados estacionários, nos quais não há irradiação, mesmo que os elétrons estejam em movimento. A irradiação só aparece quando o átomo efetua uma mudança de um dado estado, de energia Ek, para outro de menor energia Ej. Matematicamente podemos equacionar esta hipótese por,

hν = E k − E j onde hν é o quantum de energia associado ao fóton que é emitido pelo átomo durante a processo de emissão de luz. Para saber as freqüência permitidas, na equação de Bohr será necessário conhecer as energias dos diversos estados estacionários em que um átomo de hidrogênio pode existir. Esse cálculo foi efetuado, pela primeira vez, por Bohr baseando-se em um modelo específico do átomo de hidrogênio por ele imaginado. O modelo de Bohr teve sucesso apenas no caso do átomo de hidrogênio, mas mesmo assim influenciou muito o desenvolvimento posterior na Física Quântica. Bohr supôs que o elétron do átomo de hidrogênio percorra uma órbita circular de raio r, concêntrica com o núcleo. Admitiu, ainda, que o núcleo, que consiste de um único próton que tenha uma massa muito superior à do elétron. Neste caso, pode-se considerar que o centro de massa do átomo esteja na posição do núcleo. Usando as leis de Newton, é possível escrever as equações que relacionam o movimento do elétron em torno do núcleo e obter (Apêndice B)

m( qe) 2 1 E=− 8 ∈02 h 2 n 2 Seja por exemplo dois níveis eletrônicos k e j, sendo j superior a k, então a diferença de energia para ir de j até k deve ser emitida pelo átomo na forma de luz cuja freqüência pode ser determinada calculando a diferença de energia entre os dois níveis, como a seguir

m(qe) 2 E j − Ek = − 2 2 8 ∈0 h se k = 1 e j = 2, tem-se que

 1 1  m(qe) 2  2 − 2  = k  8 ∈02 h 2 j

 1 1   2 − 2  j  k

m(qe) 2  1 1  3m(qe) 2 E 2 − E1 = = hν  − = 8 ∈02 h 2  12 2 2  32 ∈02 h 2 A freqüência da radiação associada no processo de transição destes níveis é

ν j →k

3m(qe) 2 = 32 ∈02 h 3

Analisando a equação para a diferença de energia, nota-se que para níveis altos ou n grande, o espaçamento entre eles passa a ser quase um contínuo. Este limite seria, em princípio, um dos limites entre a teorias clássica e quântica. Pode-se mostrar matematicamente, usando a equação para diferença de energia, que para n no infinito é obtido um contínuo na separação entre os níveis.

5. A TEORIA QUÂNTICA 5.1 Dualidade onda-partícula Bohr ao elaborar seu modelo para explicar as linhas espectrais foi obrigado a impor determinadas restrições ao movimento do elétron em torno do núcleo. Para de Broglie, tais restrições eram mais do que sintomas para a necessidade de uma nova concepção do comportamento da natureza. Segundo ele, a natureza essencialmente descontínua da quantização, expressa pelo surgimento de números quânticos inteiros, apresentava um estranho contraste com a natureza contínua dos movimentos suportados pela dinâmica newtoniana e mesmo pela dinâmica einsteiniana. Portanto, seria necessário uma nova mecânica onde as idéias quânticas ocupassem um lugar de base, e não fossem acessoriamente postuladas, como na antiga teoria quântica. Um aspecto que chamou a atenção de de Broglie, foi o fato de que as regras de quantização envolviam números inteiros. Ora, sabia-se, desde muito tempo, que os números inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física onde fenômenos ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica e ótica. Eles são necessários para explicar a existência de ondas estacionárias, de interferência e de ressonância. Seria, portanto, permitido pensar que a 19

interpretação das condições de quantização conduziriam à introdução de um aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos. Dever-se-ia fazer um esforço para atribuir ao elétron, e mais geralmente a todos os corpúsculos, uma natureza dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de um aspecto ondulatório e de um aspecto corpuscular interligados pelo quantum de ação (a constante de Planck). Para chegar à sua relação fundamental, de Broglie na espectativa intuitiva de que a natureza é simétrica, afirmou que a equação para o comprimento de onda de um fóton é

λ=

h p

e para a energia é

E = hν

São estas formulas gerais, aplicada tanto a partículas materiais como a fotons. O momento de uma partícula de massa m e velocidade v é dado por

p = mv

, onde

m = γm0 e

γ =

1 v2 1− 2 c

Conseqüentemente o comprimento de onda de de Broglie é

λ=

h e a velocidade de onda de de Broglie será então V = λν mv Dado que então

ν=

E 2 e E = mc h V =

c2 >> c !!! v

Acontece que a onda associada à partícula móvel corresponde a um pacote de onda (Apêndice C), cuja velocidade é dada por V =

dw , ou seja, o dk

grupo de onda de de Broglie associado ao corpo desloca-se com a mesma velocidade do corpo. O valor extremamente pequeno da constante h explica porque o aspecto ondulatório da matéria é muito difícil de ser observado. A hipótese de de Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos após a data em que de Broglie fez sua proposta), por Davisson e Germer ao estudarem a natureza da superfície de um cristal de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem 20

um feixe de elétrons (partículas) contra a superfície do crista, ao invés de haver reflexão difusa, houve uma reflexão similar à observada na incidência de raios X. A incidência de raios X num cristal geram uma forte reflexão a certo ângulo de tal maneira que haja interferência construtiva e um reforço seja perceptível. Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os ângulos nos quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas situações os elétrons possuíam o exato comprimento de onda proposto por de Broglie.

5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg O Princípio da Incerteza marca o rompimento definitivo com a “velha” mecânica quântica que tentou preservar a mecânica clássica. Ela foi formulada inicialmente em 1927 por Werner Heisenberg, impondo restrições à precisão com que se podem efetuar medidas simultâneas de uma classe de pares de observáveis. O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear pi não pode ser inferior, em grandeza, à constante de Planck normalizada. Em termos matemáticos, exprime-se assim:

h ∆xi ∆pi ≥ 2

(1)

Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Quando se quer determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição. Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior freqüência) maior é a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e freqüência da radiação E = hν o elétron então sofrerá um recuo tanto maior

quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como conseqüência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao contrário do que afirmaria a mecânica clássica. Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não totalmente previsível. Pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada[4]. Expressando o princípio da incerteza na notação de operadores (Apêndice D), temos:

[x, p] = ih Quando dois operadores possuem a mesma auto função, então eles comutam. Fazendo o comutador do momento linear com a energia cinética, é obtido o seguinte resultado: [ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2] [ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2] f = - ħ3/2mi ·(d/dx d2/dx2 - d2/dx2 d/dx) f = - ħ3/2mi (f ''' - f ''') = 0 Logo, conclui-se que o operador linear p comuta com o operador da energia cinética

p2 . Ou seja, ao medirmos o momento linear de uma partícula é 2m

possível obter informações precisas sobre sua energia cinética.

5.3 Equação de Schrödinger Nos itens anteriores foi mostrado a necessidade de se construir uma nova mecânica para os sistemas atômicos e moleculares, para os quais a teoria de Newton ou mecânica Newtoniana não se aplicava. Devido a fatos tais como, a quantização da radiação emitida por um corpo negro, a quantização do átomo de Bohr, a dualidade onda corpúsculo tanto para a luz quanto para o elétron, assim como o princípio da incerteza de Heisenberg a nova mecânica deveria ter uma formulação compatível com estes fatos. A primeira formulação para esta nova teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1926. De acordo 22

com Schrödinger devido a dualidade onda-corpúsculo da matéria, mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. Neste sentido, uma onda na nova mecânica (mecânica quântica) elimina o conceito de trajetória da mecânica clássica, sendo representada por uma função denominada função de onda, ψ (psi). Nesta mesma época Schrödinger propôs uma equação diferencial, nas coordenadas espaciais e no tempo cuja solução era a função de onda. Esta equação ficou conhecida como equação de Schrödinger. ih

d h2 ∂2 ψ ( x, t ) = [ − + V ( x, t )]ψ ( x, t ) dt 2m ∂x 2

Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão (Apêndice E). A mecânica quântica tem como base à solução da equação de Schrödinger que é uma equação diferencial nas coordenadas espaciais e temporal [7]. As grandezas físicas observáveis são representadas, nesta nova teoria, por operadores que são entes matemáticos abstratos. Para tornar este procedimento abstrato um pouco mais concreto, é necessário aplicá-lo dentro das novas regras da mecânica quântica, no sentido de obter as grandezas físicas realmente observáveis. Este procedimento pode ser resumido pela seguinte definição: Definese como observável (O) toda grandeza real que podem ser medida em laboratório e, dentro da nova teoria quântica, é representada por operador, tal como;

xˆ = x

pˆ x =

h d i dx

E=−

h d i dt

que representam a posição da partícula no eixo x, o seu momento linear e a sua energia dependente do tempo, respectivamente. Estes operadores terão realização física quando aplicados na função de onda, o que nos leva a concluir que o observável posição opera apenas aplicando o operador xˆ sobre a função de onda, enquanto os outros dois, momento e energia, são obtidos por derivadas da função de onda.

5.3.1 Autovalores e autofunções Para extrair informações sobre um dado sistema quântico é necessário resolver a equação de Schrödinger, cuja solução é uma função de onda (ψ). Neste sentido se diz que ψ é uma autofunção do operador Hamiltoniano Hˆ , isto é, satisfaz a equação

Hˆ ψ = Eψ onde E é a energia que é o autovalor do operador Hˆ . Resumidamente, diz-se que a equação de Schrödinger é uma equação de autovalor da forma; (operador)(função) = (fator constante) x (a mesma função) ou simbolicamente,

Oˆ ψ = oψ onde o fator constante o é o autovalor do operador. Desta forma, podemos dizer que: resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e autofunções do operador hamiltoniano do sistema. Os autovalores de um dado operador representam os valores das grandezas físicas observáveis permitidos. Temos assim que a função linear ( pˆ ) e que a função

ψ = Ae ikx

ψ = Aeikx

é uma autofunção do operador momento

não é autofunção de pˆ . (Apêndice F)

Então, na prática, em mecânica quântica, procura-se sempre por funções que são autofunções de um dado operador, especialmente do operador hamiltoniano usado para se calcular a energia, isto é (operador hamiltoniano) (função de onda) = (energia) x (a mesma função de onda) Este procedimento é aplicável a qualquer observável física. Isto significa que os autovalores de um dado operador devem ser reais, caso contrário eles não representarão observáveis que possam ser medidas em laboratório. Em resumo, as autofunções de um dado operador geram sempre autovalores reais e, portanto são observáveis físicas.

5.3.2 Superposição de estados É fácil verificar que a função de onda ψ = 2 Acos kx é uma solução da equação de Schrödinger e autofunção do operador energia, isto é;

h2 d 2 h2 d 2 h2 d d h2k 2 ˆ Hψ = − ψ =− (2 A cos kx) = − [ ( 2 A cos kx)] = ψ 2m dx 2 2m dx 2 2m dx dx 2m ou

h2k 2 2m

Agora será verificado se esta função de onda é também autofunção do operador momento pˆ . Para isto, basta aplicar o operador pˆ em ψ , isto é;

pˆ ψ =

h dψ h d 2kh = (2 A cos kx) = − Asenkx i dx i dx i

Claramente percebe-se que esta expressão não é uma equação de autovalor para o operador p, por que a função de onda do lado direito é diferente da função do lado esquerdo. Com isto, conclui-se que nem todas as funções que são soluções da equação de Schrödinger e são autofunções da energia são autofunções do momento linear. Analisando o seguinte caso: Por definição de funções trigonométricas complexas temos que:

e ikx = cos kx + isenkx

e − ikx = cos kx − isenkx

Somando estas duas equações tira-se que o cosseno pode ser escrito como uma combinação de funções exponenciais complexas, isto é;

e ikx + e − ikx = 2 cos kx Com este resultado se pode reescrever a função de onda do caso anterior da seguinte forma,

ψ = 2 A cos kx = A(e ikx + e −ikx ) = ψ 1 + ψ 2 Agora se esta função é autofunção do operador momento.

pˆ ψ =

h dψ h d h d h d = A(e ikx + e −ikx ) = Ae ikx + Ae −ikx i dx i dx i dx i dx

h h pˆ ψ = ikAe ikx − ikAe −ikx = khAe ikx − khAe −ikx = p1ψ 1 + p 2 Ψ2 i i 25

onde

p1 = + hk

e p 2 = −hk são os valores do momento da partícula nas

direções +x em –x, respectivamente. Este é um resultado bastante interessante que leva a seguinte conclusão: Quando a função de onda de uma partícula não é uma autofunção de um dado operador, a propriedade que corresponde ao operador não tem valor definido. Contudo, no exemplo em questão, o momento não está completamente indefinido porque a função cosseno pode ser escrita como uma combinação linear de funções que são autofunções do operador

pˆ , isto é, uma soma de

ikx − ikx funções ψ 1 = e eψ2 = e as quais são individualmente autofunção de pˆ

com estados bem definidos. Isto leva a pensar que a função de onda, no seu caso mais geral, pode ser expressa por uma combinação linear de autofunções dos operadores, isto é

ψ = c1ψ 1 + c 2 ψ 2 + ... = ∑ c nψ n n

onde cn são coeficientes numéricos e ψ n corresponde aos diferentes estados do momento ou valores que ele pode assumir. Neste caso, a probabilidade de medir o observável em um particular estado ou autovetor é dada pelo quadrado do 2

módulo dos coeficientes c k .

5.4 Espaço de Hilbert Na Mecânica Quântica, o estado de uma partícula é representado matematicamente por um vetor num espaço vetorial complexo, chamado espaço de Hilbert (H). Será usada aqui a notação de Dirac: ket: Ig> = g(x); bra: <f I = f*(x); braket: <f I g> = ∫f*g dx. As operações no espaço de Hilbert seguem determinadas regras. (Apêndice G)

5.5 Operadores 5.5.1 Operadores hermitianos São três as propriedades dos operadores hermitianos que são de máxima importância: 1.Os operadores hermitianos possuem autovalores reais. 2. As autofunções de um operador hermitiano são, ou podem ser escolhidas de tal forma que sejam ortogonais. 3. As autofunções de um operador linear hermitiano formam um conjunto completo e ortogonal de funções. Um operador O é hermitiano se para todo par de funções f e g se cumpre a igualdade ∫ f * (Og ) dv = ∫ (Of ) * gdv . Na notação de Dirac: f O g = Of g = f O g Diz-se que O+ é um operador adjunto de O quando se verifica que

f Og = O+ f g Quando O+ = O, diz-se que o operador é autoadjunto ou hermitiano. Na Mecânica Quântica todos os operadores que representam grandezas físicas são hermitianos, o que nos possibilita realizar medidas de observáveis em laboratório, porem respeitando o princípio da incerteza de Heisenberg. Demonstração de que a hamiltoniana é hemitiana Se ψ0 é normalizada

∫ dqψ

d d dψ   dψ * 2 ψ ψ ψ ψ ψ dq = dq * = + *  dq ∫  dt dt ∫ dt ∫ dt 

Substituindo a equação de Schrödinger

H (t ) ψ (t ) = i

( 0 = i (∫ dqψ * ( H

h ∂ ψ (t ) 2π ∂t

)

0 = i ( ∫ dqψ H +ψ + − ∫ dqψ + Hψ )

)ψ − ∫ dqψ * Hψ

)

i (ψ * ( H + − H )ψ h

H = H + , H é hermitiano, ou seja, podemos medir a energia de uma partícula!

5.5.2 Representação matricial de um operador Seja Ô um operador linear num espaço vetorial ε e uma base

{êK } de

dimensão n, isto é, com K= 1,2,3...,n. Se aplicarmos Ô a um elemento da base teremos um novo vetor do espaço, que pode ser expandido na base dada. Esta expansão é escrita: n r r Ôei = ∑ O ji e j j =1

Onde os base

O ji são números complexos, denominados elementos de matriz de Ô na

{êK } .

Seja um vetor qualquer de ε, tal que,

r n r v = ∑ vi ei i =1

, então

n n n n n r r r r  r Ô v{ = Ô ∑ vi ei = ∑ vi Ôei = ∑ ∑ vi Ô ji e j vi ⇒  Ô v  = ∑ vi O ji { i =1 j =1   j i =1 subst . i =1 i =1 subst .

De posse dos elementos da matriz Ô é possível determinar a ação deste operador sobre qualquer vetor. Assim, escolhida uma base, o operador pode ser substituído pelo conjunto de seus elementos de matriz. Se representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos são as suas componentes, podemos representar assim

 O11  r  O21 Ôv =  ...  O  n1

O12 O22 ... On 2

... O1n  v1    ... O2 n  v2  ... ...  ...    ... Onn  vn 

A matriz que representa um operador hermitiano é hermitiana, logo 28

* Omn = Onm ⇒ Ô = Ô* = ÔT* ≡ Ô + T

^  Seja  f K  uma outra base, então   n r Ôf i = ∑ (O f j =1

)

r fj

As matrizes Of e Oe são ditas equivalentes pois representam o mesmo operador em bases distintas {f} e {e} respectivamente.

5.5.3 Relação da completeza Quando um operador atua sobre um ket, produz outro ket

ψ =Ôφ Uma base no espaço de Hilbert é constituída por um conjunto completo de kets

{ e } ortonormais onde para índices discretos escrevemos i

Um ket arbitrário ψ

ei e j = δ ij .

{ } na forma:

pode ser expandido em termos da base ei

ψ = ∑ c k ek k

Para acharmos os coeficientes da expansão, multiplicamos por e n obtendo

e n ψ = ∑ c k en ek

Fazendo uso da ortonormalidade da base

en ψ = ∑ c k en ek = ∑ c k δ nk =c n ⇒ c k = ek ψ k

Substituindo na expansão





ψ = ∑ c k ek = ∑ ek e k ψ =  ∑ ek ek  ψ k

∑e k



ek = 1 ⇒ Relação de completeza



5.5.4 Operador unitário Os operadores unitários são a generalização dos operadores ortogonais num espaço complexo de qualquer dimensão, inclusive infinita. Eles satisfazem a condição

Û −1 = Û *T = Û + ,com isto UU + = U +U = І Propriedades do operador unitário Um operador unitário ao atuar sobre um vetor, não altera o produto escalar nem a norma. Seja

ψ~ = Û ψ

~ e φ = Û φ , então

~ ~

+ ψ~ φ = ψ Û Û φ = ψ φ ⇒ φ φ = φφ { =1

2) O operador unitário transforma os vetores de uma base ortonormal

{n }

em outra base também ortonormal

n~ = Û n mantendo a relação da

completeza. 3) A representação de um operador na nova representação será:

~ ~ = O Û n m Û + = Û ( O n m )Û + ⇒ Ô Õ = ∑ Omn n~ m = ÛÔÛ + ∑ mn ∑ mn 144244 3 Ô

4) A transformação unitária não altera os autovalores de um operador. 5) Se Û u n = u n u n Logo

então

u n = e iα n

u n Û +Û u n = u n u n = 1 = u n* u n

, αn real

Isto sugere escrever o operador unitário na forma

Û = e iÂ ⇒ Û −1 = Û + = e − iÂ

5.6 Oscilador harmônico O estudo do oscilador harmônico para sistemas microscópicos é igualmente importante ao estudo de sistemas oscilatórios macroscópicos. Em particular o movimento vibracional de dois átomos numa molécula diatômica é bem representado por um oscilador harmônico. A análise do oscilador harmônico em mecânica quântica envolve a determinação das soluções da equação de 30

Schrödinger para uma partícula de massa m e coordenada x movendo-se numa região onde a energia potencial V(x) tem a forma do oscilador harmônico da pela equação;

x2 V (x ) = C 2

Energia potencial do oscilador esboçada em função do deslocamento das partículas[9].

No caso macroscópico, a constante C define a dureza da mola do oscilador. Num sistema macroscópico a “mola” pode envolver forças elétricas ou nucleares, cuja “dureza” pode ser expressa pelo valor da constante C. Mas, como a equação de Schrödinger envolve a energia potencial do sistema, e não a força agindo sobre a partícula, é melhor pensar em C como uma constante que descreve quão bruscamente a energia potencial do sistema aumenta do seu valor de referência V = 0 na posição de equilíbrio x = 0, à medida que a partícula se afasta do ponto de equilíbrio. O oscilador harmônico unidimensional de massa m e constante de mola C é regido pela Lagrangiana 2  • 1 • 1 L  x , x  = m x − Cx 2 2   2

onde x é a posição da partícula. O momento canonicamente conjugado a x é

∂L •

∂x

•

=mx.

O hamiltoniano do oscilador pode ser escrito como (Apêndice H) 1  H = hw N +  2 

, onde N=a+a, é o operador número.

Definem-se os operadores a e a+ na forma a=

1 2

( x + ip )

a+ =

1 2

( x − ip )

Podemos assim obter as relações de comutação entre H e os operadores a e a+

[H , a ] = hwa

[H , a] = −hwa Se φ

é um autovetor de H com energia E, então a+ φ

e aφ

autovetores de H com energias E + hw e E − hw , respectivamente, pois

[H , a ] φ +

= hwa + φ ⇒ Ha + φ = (E + hw)a + φ

[H , a ] φ

= hwa φ ⇒ Ha φ = (E − hw)a φ

Logo, a aniquila um quantum de energia hw e a+ cria o mesmo quantum. O espectro de N é formado por inteiros não negativos. Conseqüentemente, os níveis de energia são discretos e dados por  E n = hw n + 

1  2

n=(0,1,2,...)

A menor energia permitida é a chamada energia de ponto zero

E0 = 32

1 hw 2

são

O estado fundamental, denotado por 0 , é tal que a 0 = 0 pois o operador a não pode criar níveis com energia menor do que E0. A atuação dos operadores de criação e aniquilação sobre os auto-estados do oscilador harmônico é dada por a+ n = n +1 n +1

a n = n n −1

Assim, o n-ésimo estado excitado é construído a partir do estado fundamental, aplicando-se o operador de criação n vezes sobre o estado fundamental

n =

1 n!

(a )

+ n

onde

é a constante de normalização.

Pode-se demonstrar que a função de onda do estado n é dada por

φ n ( x ) = x n = H n (x )e

−

1 mw 2 x 2 h

onde Hn(x) é o polinômio de Hermite de ordem n.

5.7 Quantização do campo eletromagnético Em uma cavidade refletora, podem existir infinitos modos normais de vibração das ondas estacionárias e o campo eletromagnético pode ser expandido em termos desses modos. Cada termo da expansão obedece as equações diferenciais de osciladores harmônicos, cada um vibrando com a mesma freqüência do modo normal da cavidade. O campo eletromagnético escrito em termos do potencial vetor A(r,t) é dado por

r r r B = ∇× A

Escolhendo um potencial vetor A de modo que ∇ ⋅ A = 0 (calibre de Coulomb). Na ausência de carga V = 0, podemos escrever E=−

∂A ∂t

E ainda que o potencial vetor A(r,t) satisfaz a uma equação de onda

∇ 2 A(r , t ) =

1 ∂ 2 A(r ) c 2 ∂t 2

A expansão em série de Fourier do campo será realizada em termos de um conjunto discreto de funções, os modos normais, ortogonais Uk(r), isto é A(r , t ) =

1 ∞  h ∑ 2 k = 0  ω k ε 0

 c k (t )u k (r )  

Onde os coeficientes ck se tornarão operadores quando o campo for quantizado, satisfazendo regras de comutação específicas. Essa equação tem solução do tipo c k (t ) = a k e Da equação acima podemos verificar que

− iω k t

+ bk e iω k t .

u k (r ) = u −* k e que estas funções

formam um conjunto completo, ou seja,

∫u v

* −k

( r )u k´ ( r ) dr = δ kk ´

É verificado que cada modo de k satisfaz as equações

∇ 2 u k (r ) = ±

wk2 u k (r ) c2

d 2 ck dt 2

= ± wk2 c k (t )

Com ωk representando a freqüência de cada modo do campo eletromagnético. Desta forma, o campo pode ser escrito como B=

1 ∞  h ∑ 2 k =0  wk ε 0

  a k ∇ × u k (r )e −iwk t + a * k ∇ × u * k (r )e iwk t  

[

]

A quantização do campo é feita substituindo ak e a*k por operadores mutuamente adjuntos ak e a+k. 34

Uma vez que os fótons são bósons, as relações de comutação apropriadas para tais operadores são dadas por

[a , a ] = [a k

k´

+ k

]

, a k+´ = 0

+ k

]

, a k+´ = δ kk ´

O Hamiltoniano do campo eletromagnético substituindo os operadores e utilizando na forma quantizada é ∞ 1  H = ∑ wk h a k+ a k +  2  k

Portanto, o campo eletromagnético é equivalente a um conjunto de osciladores harmônicos independentes.

5.7.1 Estado de Fock Os estados de Fock formam uma base completa para o espaço de estados do campo. Se nos limitamos, por simplicidade, a um sistema com um só tipo de partícula e um só modo, um estado de Fock [11] representa-se por |n>, onde n é um valor inteiro. Isto significa que existem n quanta de excitação nesse modo. Assim, |0> corresponde ao estado fundamental (sem excitação), ou estado que representa o vazio quântico (isto é diferente de 0, que é o vetor nulo que não é um estado possível do sistema por não ser um vetor unitário - ver mais abaixo). Os estados de Fock formam a forma mais conveniente de base do espaço de Fock.

a+ n = n +1 n +1 n =

a n = n n −1

( )

1 a+ n!

onde a é o operador de aniquilação e a+ o de criação. Os estados de número são, por definição, autoestados do operador número de fótons N= a†a. Se aplicarmos este operador a um estado de número como n que satisfaça as relações acima pode-se comprovar que:

a + a n = a + (a n ) = a + n n − 1 = n a + n − 1 = n isto permite comprovar que

(n − 1) + 1 n

=nn

a + a = n , de fato os estados de Fock são

autovetores do operador número de partículas e, por tanto, (a†a)=0. Isto implica 35

que a medida do número de partículas N = a†a num estado de Fock sempre resulta num valor definido, sem flutuações. A variável canonicamente conjugada ao operador número é a fase, assim, uma completa definição no número de fótons implica em uma completa indefinição na fase do campo associado. 5.7.2 Estados coerentes Introduzido por Glauber [12][13] e Sudarshan [14], os estados coerentes possuem o número de fótons indefinido, mas, uma fase razoavelmente definida. Estes estados são definidos como auto-estados do operador de aniquilação de fótons, isto é

âα =αα

α â + = α α*

Como â não é hermiteano, o autovalor a é um número complexo,

a = α e iq .

O estado coerente do oscilador pode ser expresso em termos do operador deslocamento de Glauber D(a) atuando no vácuo

α = D(α ) 0

onde

D(α ) = e (αa

−α *a

)

Usando a formula de Zassenhaus para operadores dada por:

ˆ +B ˆ A

=e e e ˆ A

ˆ B

−

[

1 ˆ ˆ A, B 2

]

Le C

onde Cn constitui uma soma de produtos de

comutadores de n-ésimo grau, tomando

[A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 concluímos que Assim

D (α ) = e

1 − α 2

e αa e −α a *

A = αa +

B = −α* a ⇒

α = D (α ) 0 = e =e

2 1 α 2

αa +

2 1 α 2

(− α a ) ∑

142n!43

n=0

αn ∑ n=0 n! ∞

e α a e − α* a 0 = +

∞

(1 − α

0 =e

2 1 α 2

e αa 0 +

a +L )

 (a + )n    0  n!  142 43 n

α =e Calculando

αn n ∑ n=0 n!

2 1 ∞ α 2

β α iremos obter:

β α =e

1 2

αn

∞

∑

n, m = 0

1 2

α n β ∗m

∞

∑

n, m = 0

1 2

∞

∑

β ∗m m!

m n =e

1 2

∞

∑

n, m = 0

α n β ∗m n!

δ mn

(αβ )

∗ n

142n! 43

n =0

e αβ

∗

 − 

⇒ β α =e

α 2

β 2

 − 2αβ ∗  

5.8 Operador densidade O operador densidade [15] é usado para indicar que nosso conhecimento é incompleto devido às imperfeições na preparação dos estados (estados mistos), ou devido a nossa impossibilidade do conhecimento completo do estado quântico do sistema (por vezes só temos acesso a uma parte do sistema total). Quando conhecemos o vetor de estado do sistema, este é descrito por um estado puro. Por exemplo:

ψ = α1 ψ 1 + α 2 ψ 2

pode exibir efeitos de interferência (termos cruzados)

ψ ψ = (α 1* ψ 1 + α 2* ψ 2 )(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 2

)

= α1 ψ 1 + α 2 ψ 2 + α1*α 2 ψ 1 ψ 2 + α 2*α1 ψ 2 ψ 1 2

ψ , descrito pela equação, ψ = α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 , está numa

Neste caso

ψ1 e ψ 2 .

superposição coerente dos estados

Existem situações nas quais não se sabe em que estado o sistema se encontra, há apenas uma probabilidade

p do sistema ser encontrado no estado

ψ . Mais precisamente, supondo que um sistema quântico esteja em algum estado maneira

ψ i de um conjunto de estados, com respectiva probabilidade p i . Desta

ψ1

}

é um conjunto de estados puros. O operador densidade

ρ para o sistema é definido como:

ρ = ∑ pi ψ i ψ i i

onde 0 ≤ p i ≤ 1 como esperado para os pesos probabilísticos. Por exemplo, se a evolução de um sistema quântico fechado é descrita pelo operador unitário U e se o sistema estava inicialmente no estado

ψ i com

probabilidade p i , então, após a evolução ter ocorrido o sistema estará no estado

U ψ i , com probabilidade p i . Assim a evolução do operador densidade é descrito pela equação:

ρ = ∑ pi ψ i ψ i i

→∑ p U ψ i

ψ i U + = U ρU +

Medições são descritas facilmente na linguagem do operador densidade. Ao efetuarmos uma medição descrita pelo operador de medição M m , se o estado inicial era

ψ i , então a probabilidade de ter o resultado m é:

(

p (m i ) = ψ i M m+ M m ψ i = tr M m+ M m ψ i ψ i

)

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de obter o resultado m é: 38

(

)

(

p (m ) = ∑ p (m i ) p i = ∑ p i tr M m+ M m ψ i ψ i = tr M m+ M m ρ i

)

Qual é o operador densidade do sistema depois de obter o resultado m

ψ i então o estado final é:

de uma medição? Se o estado inicial era

Mm ψi

ψ im =

ψ i M m+ M m ψ i

Assim, após a medição que leva ao resultado m temos um conjunto de estados

com respectivas probabilidade p(i m ) . O operador densidade

ψ im

correspondente ρ m é:

ρ m = ∑ p(i m) ψ

m i

= ∑ p(i m)

M m ψ i ψ i M m+

ψ i M m+ M m ψ i

Mas pela teoria elementar da probabilidade, p (i m ) =

p (m, i ) p (m i ) p i = p (m ) p (m )

Substituindo as equações acima obtemos:

ρ m = ∑ pi

M m ψ i ψ i M m+

(

tr M m+ M m ρ

O sistema quântico cujo estado

)

M m ρM m+ = tr M m+ M m ρ

(

)

é conhecido exatamente, é dito

ser um estado puro. Nesse caso, o operador densidade é simplesmente

ρ=ψ ψ

. Se não,

ρ está num estado de mistura, isto é, está em uma mistura

dos diferentes estado puros do conjunto para

ρ.

Qualquer operador densidade ρ satisfaz as seguintes propriedades:

ρ é hermitiano +

  ρ =  ∑ pi ψ i ψ i  = ∑ pi ψ i ψ i = ρ i  i  +

ρ é um operador positivo semidefinido, isto é, 



ψ i ρ ψ i = ψ i  ∑ p i ψ i ψ i  ψ i = ∑ p i ψ ψ i ψ i ψ =∑ p i ψ ψ i 



≥0

tr (ρ ) = 1 Esta prova segue do fato de que as probabilidades são normalizadas. Isto é:

∑p

Então podemos ver que:  tr (ρ ) = tr ∑ p i ψ i ψ i  i

} =∑ pi tr ψ i

ψi

} =∑ p i

Algumas propriedades podem ser derivadas desse teorema:

ρ2 = ρ

se e somente se

Todos os autovalores de

ρ é um estado puro.

ρ estão no intervalo [1,0] .

O cálculo do valor esperado de um operador A é dado por:

  A = ∑ pi tr {A ψ i ψ i } = tr  A∑ pi ψ i ψ i  = tr {Aρ } i  i  Se derivarmos o operador densidade em relação ao tempo obtemos:



•



ρ = ∑ pi  ψ i ψ i + ψ i ψ i  



A equação de Schrödinger para o estado

ψi

• é dada por: ψ i = − i H ψ i ,

com isto obtemos a equação de movimento para a matriz densidade •

ρ (t ) = −

i [H , ρ (t )] h

Definindo o superoperador linear de Liouville i L• =− [H,•] h

teremos

dρ = Lρ dt

Conhecida como equação de Von Newmann, sendo mais geral que a equação de Schrödinger, pois utiliza o operador densidade ao invés de um vetor de estado específico

ψi

. Assim podemos obter informações estatísticas da

mecânica quântica envolvida no sistema.

5.9 Evolução temporal de um sistema quântico A evolução temporal de um sistema pode ser escrita na representação de Schrödinger, onde os vetores de estado evoluem no espaço de Hilbert, ou na 40

representação de Heisenberg quando assumimos que o operador evolui no espaço de Hilbert. Estes dois aspectos podem ser observados na equação abaixo, onde Ô não depende explicitamente do tempo

[

]

1 d m Oˆ n = m Oˆ , Hˆ n dt ih Obtida a partir da evolução temporal dos elementos de matriz Omn=<m|Ô|n> de um operador quântico arbitrário Ô: d ∂ ˆ d  d  m Oˆ n = m O n + m Oˆ n + m Oˆ  n  dt ∂t  dt   dt 

Para um estado genérico |n> a equação de Schrödinger na notação de Dirac é dada por: ih

d n = Hˆ n dt

e seu hermitiano conjugado é

- ih

d m = m Hˆ dt

Substituindo os termos acima a equação fica

[

]

d ∂ 1 m Oˆ n = m Oˆ n + m Oˆ , Hˆ n dt ∂t ih Podemos notar que a matriz que representa qualquer variável dinâmica na representação da energia, ou seja em termos dos autovalores do hamiltoniano H|n>=En|n>,terá os elementos da diagonal constante e fora dela os elementos oscilam com a freqüência de Bohr. Seja a matriz do operador Ô representada na base |ne>, dos autovalores de energia, H n e = E n e n e , substituindo teremos:

[

]

d 1 m e Oˆ n e = m e Oˆ , Hˆ n e dt ih 1 1 = m e Oˆ Hˆ n e − m e Hˆ Oˆ n e ih ih 1 1 = m e Oˆ E n e n e − m e E m e Oˆ n e ih ih 1 = E n e − E m e m e Oˆ n e = iω m e n e m e Oˆ n e . ih ⇓

(

)

− iω t m e Oˆ n e = (const )e neme

Se tomarmos os elementos da diagonal ,me=ne, então

n e Oˆ n e = cte Dirac introduziu uma representação intermediária as duas anteriores, que chamou de representação de interação, na qual o vetor de estado evolui devido apenas a presença das interações. Seja o hamiltoniano do sistema dado por: H=H0+Hint onde H0 é o hamiltoniano das partículas (ou campos) livres e Hint é o hamiltoniano de interação entre elas. Para tanto é necessário construir uma transformação unitária Û(t) definida em termos do hamiltoniano livre e com ela passaremos da descrição de Schrödinger para a descrição de interação. Então:

ψ I = Uˆ (t) ψ S

Uˆ (t) = e

onde

Substituindo na equação de Schorödinger ih

∂ψS ∂t

(

)

= Hˆ 0 + Hˆ int ψ S ⇒ ih

∂ψI ∂t

= ih

(

∂ Uˆ (t) ψ S

(

∂t

ˆ t H 0 h

) =  ih ∂Uˆ (t)  ψ  

∂t 

)

 ∂ψS + Uˆ (t) ih ∂t 

   

= − H 0 Uˆ (t) ψ S + Uˆ (t) Hˆ 0 + Hˆ int ψ S 1 424 3 ψI

= − H 0 ψ I + Uˆ (t) Hˆ 0 ψ S + Uˆ (t) Hˆ int ψ S

Como

Uˆ (t) Hˆ 0 = Hˆ 0Uˆ (t) ih

∂ψI ∂t

( )

= Hˆ int

∂ψI ∂t

Uˆ + (t)Uˆ (t) = Uˆ (t)Uˆ + (t) = 1, então

= − H 0 ψ I + Hˆ 0 Uˆ (t) ψ S + Uˆ (t) Hˆ int Uˆ + (t)Uˆ (t) ψ S 1 424 3 1 424 3 ψI

ψI

(Hˆ )

,onde

int I

ψI

= Uˆ (t) Hˆ int Uˆ + (t)

O vetor de estado na descrição de interação evolui devido apenas a interação dos subsistemas. Por outro lado se ÔS representa um operador arbitrário na descrição de Schrödinger, na descrição de interação terá a forma ÔI=Û(t)ÔSÛ+(t).

(

)

(

) (

)

dOˆ I d Uˆ (t)Oˆ SUˆ + (t) dUˆ (t) ˆ ˆ + dUˆ + (t) ˆ ˆ ih = ih = ih OSU (t) + ih U (t)OS dt dt dt dt = - Hˆ 0 Uˆ (t)Oˆ SUˆ + (t) + Uˆ (t)Oˆ SUˆ + (t) Hˆ 0 142 4 43 4 142 4 43 4 Oˆ I

Oˆ I

⇒

[

dOˆ I = Oˆ I , Hˆ 0 dt

]

A evolução de ÔI se dá devido apenas ao hamiltoniano intrínseco do sistema, H0. Para realizar o estudo da dissipação de energia de um sistema devemos considerar no momento dos cálculos, o sistema em si, o ambiente, e a interação entre eles, assim será possível retirar informações diretamente de suas equações dinâmicas. Se considerarmos um sistema acoplado a um reservatório (banho) térmico (R) onde a energia dissipada é armazenada, de modo que o sistema mais o banho tenham energia conservada. O hamiltoniano referente a este caso é dado por: servatorio RS RS H = H Sistema + H Reservatório + H Sistema/Re = H S + H R + H int ≡ H 0 + H int interação

A quantização canônica não permite dissipação, isto é, ela não permite termos que não possam ser escritos como uma potencia, este é o motivo da inserção do termo

RS H int no hamiltoniano acima.

Para analisar a dinâmica apenas do sistema S será necessário escrever o operador densidade reduzido ρ S definido por

ρ S (t) = TrR ρ (t) Evoluindo este operador no tempo teremos H t H t −i 0  d d d  i h0 + i h ρI = i h UρU = i h  e ρ e h  dt dt dt  

(

ρ& I (t) =

)

1 [H I , ρ I (t)] ih

Que é a equação Liouville-von Neumann na representação de interação. Ao calcularmos o traço da equação Liouville-von Neumann na representação de interação sobre os graus de liberdade do reservatório, vamos obter

∂ 1 ρ SI (t) = −iTrR [H I (t ′), ρ I (0)] − 2 TrR ∫ dt ′[H I (t), [H I (t ′), ρ I (t ′)]] + L ∂t h 0 t

Onde é possível observar que o sistema é não markoviano, pois o futuro de ρ SI depende sempre do passado, isto é, exibe efeito de memória. As aproximações utilizadas na literatura [16] são: •

Considerar o reservatório grande o suficiente para que não seja afetado pelo sistema durante toda evolução,isto é, não sofra mudança de seu estado inicial durante a interação, assim podemos escrever o operador densidade por

•

ρ I (t) ≅ ρS (t) ⊗ ρ R (0)

Assumir que o reservatório é um ensemble canônico em equilíbrio térmico a temperatura T, assim podemos escrever −

ρR =

−

tr(e •

HR k BT HR k BT

; KB é a constante de Boltzmann

)

Particularizar o sistema quântico por um oscilador interagindo com um reservatório representado por um banho osciladores e uma interação linear na aproximação de ondas girantes RWA. Onde os hamiltonianos individuais serão dados por

1  H S = hω0  a + a + , 2  •

H R = ∑ hω j b +j b j

(

RS H int = ∑ γ j a +b j + γ ∗j ab +j

)

Assumir que o sistema é markoviano, seu o futuro é determinado pelo presente e não pelo passado, assegurando assim que a energia que vai para o reservatório não volte mais para o sistema. Com isso, escreve-se para um banho frio, a equação mestra

markoviana do sistema S na representação de Schrödinger

d −i ρS (t) = [H S , ρS (t)] + k 2aρS (t)a + − a + aρS (t) − ρS (t)a + a dt h

(

liuvilliano

correspondente,

escrito

)

linguagem

superoperadores, será dado por

L = - iω0 (M - P ) + k(2J - M - P ) A álgebra de Lee nos permite escrever L em forma de multiplicação, o que nos é muito conveniente. Obtemos então a exponencial eLt na forma completamente desacoplada [20] 44

e Lt = e j(t) J t e m(t)M t e p(t)P t Onde

j(t) = e 2kt − 1

m(t) = - (iω0 + k ) p(t) = (iω0 − k )

(Apêndice I)

Temos agora ferramentas suficientes para calcular a evolução temporal de um estado coerente.Seja o operador densidade de um estado coerente

ρ (0) = α α Ao realizar a evolução temporal deste operador, obtemos

eLt α α = β (t) β (t) onde β (t) = α e-(iω0 +k )t (Apêndice J) Vemos com o resultado, que o estado coerente foi mantido, acrescido de uma fase.

6. RESULTADOS 6.1 O Problema da Medição De acordo com a mecânica quântica os objetos quânticos sempre têm indefinidos os valores de algumas de suas propriedades. O problema da medida resulta quando se investiga o que ocorre quando se efetua uma medida de uma propriedade cujo valor é indefinido. Tomaremos como exemplo a medida da propriedade que chamaremos S. Quando medimos S, sempre encontramos um valor preciso, +1 ou -1. Como a teoria quântica não permite que este valor seja interpretado como uma propriedade intrínseca do objeto quântico, nele presente antes da efetivação da medida, temos que atribuir o seu surgimento à interação entre o objeto e o aparelho de medida. Apontamos que o resultado assim “criado” pela interação entre o objeto e o aparelho de medida, é completamente aleatório; a teoria quântica simplesmente não o prevê. Isto representa um rompimento com o determinismo das teorias clássicas, o que já é algo notável. 45

No entanto, ainda não chegamos ao maior problema, que surge quando aplicamos a lei da evolução temporal dos estados quânticos ao estado do objeto quântico antes da medida. Tal lei se expressa através de uma equação diferencial parcial, a equação de Schrödinger, que é a equação fundamental da teoria quântica. Analogamente ao que ocorre na mecânica newtoniana, a especificação do estado quântico em um dado instante, juntamente com as forças que atuam sobre o objeto quântico, possibilita, através dessa equação, a dedução do estado quântico em um instante posterior qualquer. Nesse sentido, dizemos que a evolução de estado regida pela equação de Schrödinger é determinista[18]. Inserindo porém o estado pré-medida do objeto quântico nessa equação, obtemos o resultado de que a medida simplesmente nunca ocorre! Isto acontece porque, segundo a descrição quântica da interação entre o objeto (microscópico) e o aparelho de medida (macroscópico) a indefinição das propriedades do objeto transmite-se, ou “contamina”, o estado do aparelho: o ponteiro deste, que deveria marcar ou +1 ou -1, assume uma posição indefinida. É

importante

não

confundir

isso

com

posição

oscilante,

intermediária: trata-se de uma completa indefinição. É extremamente difícil para nós, quase impossível, visualizarmos ou concebermos um ponteiro neste estado.

Este problema foi descoberto pelo próprio Schrödinger, em 1935. Ele destacou sua gravidade através de um exemplo dramático. A seguir uma versão adaptada do problema. Imaginemos que ao nosso aparelho de medida da propriedade S seja acoplado um “mecanismo infernal” (expressão de Schrödinger) tal que, se o ponteiro marcar +1, nada ocorre, mas se marcar -1, aciona-se um relê, que liga um motor, que aciona um martelo, que quebra uma garrafa cheia de um gás letal no interior de uma caixa fechada na qual foi colocado um gato vivo. Assim, o resultado +1 significa que o gato continuará vivo. e o resultado -1 acarreta a morte do gato. Ora, se o aparelho medir a propriedade S de um objeto quântico, já vimos que a teoria rigorosamente prevê que o próprio ponteiro do aparelho ficará em uma posição indefinida. E isso significa que o pobre gato também ficará em uma posição indefinida de mistura de vida e de morte![15] (Não se deve confundir esse estado com um trivial estado de doença grave.) Parece óbvio, que sempre que inspecionarmos a caixa encontraremos o gato ou vivo ou morto, nunca no bizarro e inimaginável estado previsto pela teoria. E mais: se continuarmos aplicando a equação de Schrödinger ao sistema físico ampliado ¾ objeto quântico, aparelho, mecanismo infernal, gato e nós próprios, a teoria prevê que se abrirmos a caixa para inspecionar o gato, nós também entraremos em um estado indefinido, em uma superposição quântica de alguém que tem a consciência de haver observado um gato vivo e de alguém que tem a consciência de haver observado um gato morto. Aparentemente, alguma coisa deve estar errada.

6.2 Coerência e decoerência Quando colocamos um sistema em estado emaranhado dizemos que ele permanece coerente enquanto não for possível encontrar estados individuais para cada parte do sistema independente do resto do sistema. Isso é quase o mesmo que dizer que o sistema permaneceu isolado sem interagir com nenhum outro sistema. Quando é efetuada uma medição, essa interação entre o sistema e o aparato de medição é que faz o sistema perder a coerência. Essa interação pode ocorrer com qualquer sistema quântico. 47

Estudar o mecanismo da decoerência é verificar como ocorre essa transição de um sistema em um estado superposto para um estado específico, ou quando tratamos de muitos sistemas, para uma mistura estatística. Antes de medir dois elétrons descritos por uma superposição, eles não possuem valores definidos. Se forem descritos por uma mistura estatística, possuiriam valores definidos, mas não saberíamos quais. À medida que a ordem de grandeza de um sistema vai aumentando, o número de interações desse sistema também cresce, e o tempo que leva para perder a coerência diminui. No caso de sistemas macroscópicos o tempo é quase instantâneo. De fato não é verdade que o sistema efetivamente deixa de ser coerente. Ele continua sendo, porém envolvendo um número infinitamente grande de sistemas, e como não é possível correlacionar todos eles para identificar a superposição, parece que o sistema se tornou decoêrente. O emaranhamento é um dos fenômenos tipicamente quânticos, sem nenhuma correspondência clássica. Quando dizemos que um sistema esta emaranhado, isto significa que partes distintas do sistema não possuem comportamento individual independente um do outro. Ou seja, se fizermos dois sistemas quânticos interagirem, esses sistemas passam a ser descritos por uma única função de onda, e dessa forma seus comportamentos permanecem interligados. O exemplo utilizado em experimentos como o do gato de Schrödinger, (descrito no item 6,1) é o de uma superposição entre gato vivo e gato morto, cada possibilidade com 50% de chance. Quando a teoria quântica prevê esse tipo de resultado para um sistema microscópico (um elétron estar em dois lugares ao mesmo tempo, por exemplo) isso não é tão complicado para nossa intuição, pois não somos tão familiarizados com elétrons e assim aceitamos que talvez isso realmente aconteça com elétrons. Porém nós conhecemos gato muito bem, e sabemos que não existem gatos mortos-e-vivos ao mesmo tempo. Uma teoria que prevê um resultado desse tipo está em desacordo com a nossa mais simples intuição de que não existe nada morto e vivo ao mesmo tempo. Em termos mais técnicos, nossa intuição nos diz que há algo errado com a previsão de superposição de estados quânticos em escala macroscópica, ou que superposições próprias do mundo quântico não devem aparecer no domínio clássico. 48

Essa situação é conhecida como o problema da medição quântica.

6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estado de “gato”

Ao observarmos a evolução temporal de um estado de “gato” ( apêndiceJ)

ρ (θ , t ) =

{

com β(t) = αe − i ( w +k )t = αe kt e −iw t podemos constatar que: 0

•

A perda de coerência é dada quando o termo

e − 2( α

− β( t )

→ 0 . Para

grandes amplitudes |α|>>1 e numa escala de tempo pequena kt<<1 encontramos (apêndice M)

Tdec = •

1 4α k

A Amplitude αe kt é atenuada, devido ao termo –kt, numa escala de tempo 1/kt. Por outro lado, definindo a entropia linear ou índice de pureza δ(t),

δ (t) = 1 - trρ 2 (t) Correspondente aos primeiros termos da expansão da entropia de von Neumann, que é uma generalização da entropia de Boltzmann da mecânica estatística Clássica. Calculando para a evolução temporal do operador densidade, (Apendice K ), iremos obter:

1  e-4 β (t) + e -4 ( α − β (t) ) + 2e -2 α cos θ  δ(t) = 1 −  2 2   1 + e -2 α cos θ 2

(

)

Iremos obter o instante em que a entropia linear atinge seu valor máximo[19] (Apêndice L):

tdiss =

ln 2 2k

Assim constatamos que, o sistema já estará descrito por uma mistura estatística dos estados gato par e impar com probabilidade ½ . 49

}

2 2 1 β (t ) β (t ) + − β (t ) − β (t ) + e iθ e −2( α − β ( t ) ( β (t ) − β (t ) + − β (t ) β (t ) ) 2 N0

7. CONCLUSÃO

Os conceitos fundamentais abordados ao longo do trabalho nos conduziram a uma reflexão sobre como se comportam sistemas quântico e qual a conjectura atual da mecânica quântica. Ao realizar a evolução temporal de um estado coerente foi possível identificar o momento em que a superposição se transforma em uma mistura estatística clássica, a qual pode ser estudada com técnicas conhecidas de mecânica estatística. Sendo possível assim analisar qual será o comportamento probabilístico futuro do sistema. Os resultados alcançados no cálculo do tempo de perda de coerência, e no tempo de dissipação de energia de um sistema, mostram que a perda de coerência ocorre muito antes que a dissipação da energia. Estes resultados explicam o porque não observamos superposições no mundo macroscópico, pois quanto maior o sistema mais interações com o ambiente ocorrerão e mais rápido ele perderá a coerência. Experimentos como o realizado na Ecole Normale Supérieure [20], em Paris, que não apenas levou à construção de uma superposição coerente de dois estados classicamente distintos do campo eletromagnético em uma cavidade, como possibilitou pela primeira vez o acompanhamento em tempo real do processo de perda de coerência, e a medida do tempo característico desse processo, verificando-se em particular que esse tempo decresce quando a distância entre os estados aumenta (ou seja, quando aumenta o número médio de fótons em cada estado). Os resultados experimentais confirmaram com extrema precisão as previsões teóricas, publicadas anteriormente [15]. De fato, os estados construídos continham um número pequeno de fótons, da ordem de cinco, e portanto não poderiam ainda ser considerados como macroscópicos. Não obstante, o experimento permitiu acompanhar o processo pelo qual a superposição quântica transforma-se em uma mistura estatística clássica (ou seja, a transformação de um sistema capaz de exibir interferência em um sistema que exibe apenas uma alternativa clássica), explorando assim a fronteira sutil entre o mundo microscópico e quântico de um lado, e o mundo macroscópico e clássico do outro. 50

8. APÊNDICE A – Efeito Comton Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é dada por m =

m0 v2 1− 2 c

sendo mo a massa de repouso, c a velocidade da luz.

As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por;

E = hν + mc 2

E = hν ′ + mc 2

Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtem-se: - Sobre a conservação da energia

hν + m0 c 2 = hν ′ + mc 2

+ m0 c 2 = h

c + mc 2 λ′

Reorganizando a equação acima e elevando ambos lados ao quadrado obtem-se 2

 1 1  2 2 4 hc λ − λ ′  + m0 c  = m c     2

1 1  1 1  h c  −  + 2hc 3 m 0  −  + m02 c 4 = m 2 c 4  λ λ′  λ λ′ 2

- Sobre a conservação do momento linear Conservação do momento linear componente x e componente y respectivamente

h cos φ + mv cos θ λ′

h senφ + mvsenθ λ′

Eliminando os termos contendo θ nas equações acima. Para isto faz-se o quadrado de ambos lados das duas equações acima.

 1 cos φ  2 2 2 h  −  = m v cos θ ′ λ λ   2

h2 sen 2φ = m 2 v 2 sen 2θ 2 λ′

somando ambas equações,

h2  1 cos φ  h2  − + sen 2φ = m 2 v 2 cos 2 θ + m 2 v 2 sen 2θ = m 2 v 2  2 λ′  λ′ λ 2

multiplicando por c2 ambos lados da equação acima, chega-se a

c2h2 c 2 h 2 2c 2 h 2 cos φ c 2 h 2  1 cos φ  2 2 2 2 c h  − sen = c m v → − + = m 2v 2c 2 φ  + 2 2 2 λλ ′ λ′  λ′ λ (λ ′) λ 2

Subtraindo as duas equação acima

−

2 2 2h 2 c 2  1 1  2h c + m02 c 4 + 2hc 3 m0  −  + cos φ = m 2c c 4 − m 2 v 2 c 2 λλ ′ λλ ′  λ λ′ 

O segundo membro da equação acima pode ser rescrito

m 02 c 2 m c − m v c = m c (c − v ) = 2 (c 2 − v 2 ) = m02 c 4 2 (c − v ) c2 2

Com isto a equação acima assume a forma

λ′ − λ 2h 2 c 2 1 1  (1 − cos φ ) = 2hc 3 m0  −  = 2hc 3 m0 λλ ′ λλ ′  λ λ′  Simplificando ambos lados da equação acima

∆λ = λ ′ − λ =

h 2h φ  sen 2   (1 − cos φ ) = cm0 cm0 2

onde foi usado a relação trigonométrica

φ  φ  φ φ  1 − cos φ = 1 − cos +  = 1 − cos   + sen 2   2 2 2 2 2

Definindo λ 0 =

2h como sendo o comprimento de onda de Compton, temos que cm0

φ  ∆λ = λ ′ − λ = λ0 sen 2   2

B – Átomo de hidrogênio Para o elétron ficar na órbita circular é necessário que as forças centrípeta e coulombiana sejam iguais;

qe qe v2 =m →v= 2 r 4π ∈0 mr 4π ∈0 r onde q é a carga do núcleo, e é a carga do elétron e v é a velocidade do elétron em torno do núcleo. Com isto pode-se calcular as energias cinética e potencial do elétron, por 52

qe 1 mv 2 = 2 8π ∈0 r

U = −eV = −

qe 4π ∈0 r

onde r é o raio da órbita do elétron e ∈0 a constante dielétrica. Dessa forma a energia total é igual a E = k +U =

qe qe qe − =− 8π ∈0 r 4π ∈0 r 8π ∈0 r

Dado que a freqüência, o momento linear e o momento angular, são respectivamente

ν=

qe v = 3 2πr 16π ∈0 mr 3

p = mv =

qe 4π ∈0 r

L = pr =

mqer 4π ∈0

Conclui-se que conhecendo-se r, todos os parâmetros da órbita discutidos acima serão determinados. Até este estágio, Bohr não dispunha de regras que o orientassem, de modo que foi forçado a fazer a hipótese de quantização do momento angular, isto é, o momento angular deveria ser igual a um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2π.

L=n

Assim,

h = nh 2π

n=1,2,3...

onde n é um número inteiro ou um número quântico. Combinando esta equação com a equação anterior para o momento angular percebemos que r será quantizado,

h 2 ∈0 r=n = n 2 r0 πmqe 2

n=1,2,3...

Onde ro é o raio de Bohr. Substituindo r na equação para a energia total obtemse:

m( qe) 2 1 E=− 2 2 2 8 ∈0 h n O sinal menos indica que é necessário ceder energia ao átomo para fazer a transição eletrônica para níveis superiores. Com isto os valores das energias dos estados estacionários permitidos podem ser determinados. Procedendo de forma análoga ao que foi feito na quantização da energia pode-se encontrar uma equação para a freqüência de transição

m(qe) 2 ν= 8 ∈02 h 2

 1 1   2 − 2  k  j

sendo k e j (números inteiros), que descrevem duas órbitas consecutivas. Para um elétron passar de um nível para outro ele deve emitir ou receber energia em quantidade bem determinada, isto é receber um quantum de energia.

C - Pacote de onda Uma onda plana, propagando no eixo x, pode ser representada por uma função senoidal tal como:

F ( x, t ) = A cos(kx − wt ) que é solução da equação da onda com velocidade v.

∂2F ∂2F ∂2F 1 ∂2F + 2 + 2 = 2 ∂x 2 ∂y ∂z v ∂t 2 a função F oscila no tempo, e a freqüência de oscilação é dada por

w 2π

o número de onda k é relacionado com o comprimento de onda λ por

λ 2π

A velocidade de propagação é dada por

v = λf =

w . K

Uma função igualmente válida é a função seno ou uma função exponencial com expoente imaginário, como

F ( x, t ) = Ae i ( Kx − wt ) que é solução da equação da onda com

w K

Uma onda descrita desta forma possui uma única freqüência e é chamada harmônica pura ou onda plana. Vamos construir uma forma de onda 54

mais complexa adicionando termos que são múltiplos inteiros da freqüência fundamenta w:

F ( x, t ) =

∑A e

n =− x

instante

f ( x) =

forma

∑A e

n=− x

in ( Kx − wt )

que é também solução da equação da onda. Num dado

inKx

onda

periódica

pode

ser

representada

por:

Através de uma escolha apropriada da constante An, é

possível representar qualquer função periódica pela soma da forma de uma onda plana (funções harmônicas) chamadas série de Fourier. O coeficiente é obtido multiplicando cada lado da igualdade por e-imkx e integrando sobre um período: 2π k

∫ dxF ( x)e

− imkx

2π k

+∞

n = −∞

= ∫ dx ∑ An e −i ( m − n ) Kx

A integral à direita só não é zero se n = m. 2π k

∫ dxF ( x)e

− imkx

2π k

= ∫ dxAm =

2πAm k

An =

k 2π

2π k

∫ dxF ( x)e

− imkx

Um pacote de onda é uma forma de onda não periódica que é diferente de zero em uma região localizada do espaço. A onda formada é composta por

e ikx termos onde k é tratado como uma variável contínua. A distribuição dos k (número de onda) é dado por uma função g(k). A função Ψ(x) é escrita em termos de g(k) como :

ψ ( x) =

1 2π

+∞

∫ dkg (k )e

− ikx

, onde g ( k ) =

−∞

1 2π

+∞

∫ dxψ ( x)e

ikx

−∞

A operação pode ser descrita como o mapeamento da função g(k) no espaço k para uma outra função Ψ(x) no espaço x e ela é chamada transformada de Fourier. Como exemplo vamos calcular a distribuição do número de ondas g(k) para uma onda quadrada correspondendo a igual probabilidade da partícula ser encontrada no intervalo –L<x<L, ou seja Ψ(x)=C. Da condição de normalização (área sobre a curva |Ψ(x)|2 vale 1) +∞

∫ dxψ ( x)

−∞

= 1 = 2 LC 2 obtemos C =

1 2L

e a função de onda normalizada será ψ ( x ) =

1 2L

. A função g(k) será dada pela

transformada de Fourier

g (k ) =

1 2π

+∞

∫ dxψ ( x)e

ikx

−∞

1 2π

+∞

∫ dx

−∞

1 2L

e ikx =

1 sen(kL) k πL

sen(ax) =a. x →0 x

Note que lim

Uma propriedade geral de funções que são transformadas de Fourier umas das outras é que a largura das distribuições em x e em k sempre são maiores que 1, ou seja, ∆x∆k ≥ 1 .

[3]

D – Princípio da Incerteza Sejam xnl e pnl elementos de matrizes hermitianas, que descreve as coodenadas espaciais dos átomos e momenum associados a cada possível transição, dados por:

xnl = X nl e iw nlt = x& nl

elemento da matriz hermitiana x

pnl = mx& nl = imw nl e iwnl t = imwnl xnl 56

wnl=- wnl

Substituindo na relação de Heisenberg

h = h = 2m∑ wnl x&nl xnl ⇒ h = m∑ (wnl x& nl xnl + wnl x&nl xnl ) 2π n n

   h = −i ∑  xln imwnl xnl − imwnl xnl xln  ⇒ ∑ (xln pnl − pln xnl ) = ih 1 424 3 14243  n  n pnl pln   A regra de comutação entre matrizes de posição e momentum é a relação fundamental na conexão entre a mecânica clássica e quântica

[x. p] = ih E – Equação de Schrödinger Podemos chegar a equação de Schrödinger partindo da relação de dispersão. Se considerarmos a equação de uma onda eletromagnética em uma direção ∂ 2ψ ( x, t ) 1 ∂ 2ψ ( x, t ) − 2 =0 ∂x 2 c ∂t 2

Cuja solução é uma onda plana

ψ = Ae i ( wt −kx ) Substituindo a solução na equação da onda eletromagnética, obtemos a relação de dispersão w2 = c 2 k 2

Por outro lado, dada a relação de dispersão podemos chegar a equação da onda fazendo as seguintes substituições w→i

∂ ∂t

k →i

∂ ∂x

Ou seja −

2 2 ∂2 ∂2 2 ∂ 2 ∂ c ψ ( x , t ) c ψ ( x, t ) = − → = ∂t 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂x 2

Schrödinger escreveu a relação de dispersão para uma partícula livre p2 , assim foi obtido o seguinte resultado cuja energia é E = 2m 57

p = hk → hw =

E = hw

h2k 2 hk 2 →w= 2m 2m

Substituindo: ∂ E = w→i ∂t h

p ∂ = k → −i ∂x h

Obtem-se ih

∂ h2 ∂2 ψ ( x, t ) = − ψ ( x, t ) ∂t 2m ∂x 2

Para uma partícula sujeita a um potencial V(x), sua energia será dada classicamente por E =

p2 + V ( x) . Escrevendo a relação da dispersão: 2m hw =

h2k 2 + V ( x, t ) 2m

Substituindo w→i

∂ ∂t

k →i

∂ ∂x

Encontra-se ih

d h2 ∂2 ψ ( x, t ) = [ − + V ( x, t )]ψ ( x, t ) dt 2m ∂x 2

Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão.

F – Autovalores e autofunções Para esclarecer estes novos conceitos será mostrado que a função

ψ = Ae ikx

é uma autofunção do operador momento linear ( pˆ ) e que a função

ψ = Aeikx

não é autofunção de pˆ .

Para verificar isto basta aplicar o

operador pˆ na função de onda, como a seguir. Por definição o operador momento é igual a;

pˆ x =

h d i dx

Então:

pˆ xψ = 58

h d h d h ψ= ( Ae ikx ) = ikAe ikx = hk ( Aeikx ) = hkψ i dx i dx i

que pode ser reescrita na forma,

pˆ xψ = hkψ = pψ Assim é possível dizer que a função de onda

ψ = Ae ikx

é autofunção

do operador pˆ com autovalor hk . Como o número de onda k pode ser escrito em termos do comprimento de onda λ , temos que;

p = hk =

h h 2π h k= = 2π 2π λ λ

que é equivalente ao resulto obtido por Bohr na quantização do átomo de hidrogênio. A agora será verificado que a funçãoψ

= Ae ikx

não é autofunção do

operador pˆ .

pˆ xψ =

2 2 2 h d h ( Ae ikx ) = (2ikx) Ae ikx = 2hkx( Ae ikx ) = (2hkx)ψ i dx i

Analisando o último termo entre parêntese na equação acima nota-se que ele não é uma constante, mas sim depende da posição. E se esta equação fosse escrita por;

pˆ xψ = 2hk ( xψ ) = 2hkψ ′ Ela seria uma equação de autovalor? Não, mesmo nesta forma ela não é uma equação de autovalor por que as funções ψ e ψ ′ são diferentes.

G - Espaço de Hilbert As operações no espaço de Hilbert seguem as seguintes regras: H é um conjunto de objetos, com uma operação de soma de vetores definida de tal forma que: Se dois vetores If> e Ig> Є H então a soma If> + Ig> também é um vetor de H. A soma é comutativa e associativa: If > + Ig> = Ig> + If> e (If> + Ig>) + Ih> = If> + (Ig> + Ih> ). Existe em H um vetor chamado nulo de tal forma que: If> + 0 = If> para qualquer If> Є H.

Também está definida uma operação de produto escalar de tal forma que, se α e β pertencem ao conjunto dos complexos, e If> e Ig> são elementos de H, então: α If> Є H (αβ) If>= α (β If>) (α +β) If>= α If>+ β If> α(If>+ Ig>) = α If>+ α Ig> 1. If>= If> H tem um produto interno, ou seja, pode-se definir uma operação entre dois vetores If> e Ig> que fornece um escalar, denotada por, If>. Ig> que possui as seguintes propriedades: (If>. Ig>) = (Ig>. If>)* (If>. Ig>+ Ih>) = (If>. Ig>) + (If>. Ih>) (If>. αIg>) = α(If>. Ig>) (αIf>. Ig>) = α*(If>. Ig>) (If>. If>) ≥ 0 e (If>. If>) = 0 se e somente se If> = 0 ( vetor nulo )

H – Oscilador harmônico O Hamiltoniano, que deve ser escrito como função de x e p, é

H ( x, p ) = p x − L =

p2 1 2 + Cx 2m 2

A quantização do movimento da partícula é feita associando-se a x e p operadores Hermitianos que satisfazem a relação de comutação canônica

[x, p] = ih . Queremos encontrar as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo

H φ =Eφ

onde os valores de E são as energias permitidas do sistema. Para isso, definemse os operadores adimensionais

onde w =

mw x h

1 mhw

c , que satisfazem [x , p ] = i . O Hamiltoniano fica então m

(

1 hw p 2 + x 2 2

)

Definem-se os operadores a e a+ na forma a=

1 2

( x + ip )

a+ =

p=−

( x − ip )

Invertendo essas relações, obtemos x=

[

1 2

(a + a ) +

(a − a ) +

]

E ainda a + a + = 1 Substituindo e

, obtemos H na forma

1  H = hw N +  2 

, onde N =a+a é o operador número.

I – Técnicas da Álgebra de Lee Uma álgebra de Lee é definida por um conjunto de operadores

ˆ = {A ˆ 1 , Aˆ 2 , Aˆ 3 ,...} fechado sob comutação, [Aˆ i , Aˆ j ] = ∑ cijk Aˆ k , onde o número de A N k

elementos da álgebra N, define sua dimensionalidade e

cijk são denominadas

constantes de estrutura da álgebra que satisfaz a identidade de Jacobi, 61

l m l m l m ∑ ( cij clk + cik cli + cki clj ) = 0

l ,m

Considerando que o hamiltoniano descrito pela soma dos hamiltonianos de um sistema, de um reservatório no qual o sistema está imerso e da interação entre eles seja dado por H = H S + H A + H SA

Cada hamiltoniano pode ser escrito individualmente como 1  H S = hω 0  a + a +  2  1  H A = h ∑  ω k c k+ c k +  2 k  + + + H SA = ∑ γ k ac k + γ k a c k k

Concentrando a atenção no hamiltoniano apenas do sistema fazemos:

dρ s ( t ) i = − [H S ,ρ s ( t )] + k ( 2aρ s a + − aa + ρ s − ρ s aa + ) dt h dρ s ( t ) = Lρ s ( t ) ⇒ ρ s ( t ) = ρ s ( 0 )e Lt dt Obtendo assim

L = −iω0[a + a ,•] + k( 2a • a + − aa + • − • aa + )

Definindo as operações da álgebra de Lee

[a•, a •] = 1 [• a,•a ] = −1 [• a, a •] = 0 [a•, a •]ρ = (a • a +

• − a + • a •) ρ s ⇒

⇒ (a • a + ρ s − a + • aρ s ) ⇒ (aa + ρ s − a + aρ s ) ⇒ . ⇒ (aa + − a + a ) ρ s ⇒ aa + − a + a = 1

[

]

∴ a•, a + • = 1 c.q.d . E ainda a 2 • = ( a • )² = ( a • )( a• )a 2 • = ( a• )² = ( a• )( a • ) • a² = ( •a )² = ( •a )( •a )

a 2 • = (a•)² = (a•)(a•)a 2 • = (a•)² = (a•)(a•) • a ² = (•a )² = (•a )(•a ) (a • a + ) = (a•)(•a + ) = (•a )(a + •) (a + a•) = (a + •)(a•) (a + a•)² = (a + a•)(a + a•) Podendo definir assim

ˆ a + a• = M • a + a = Pˆ a + • a = Jˆ E aplicar as propriedades

[Mˆ , Jˆ ] = − Jˆ = [Pˆ, Jˆ ] [Mˆ , Pˆ ] = [Pˆ,Pˆ ] = [Mˆ , Mˆ ] = 0

Podemos escrever L na forma

ˆ (− k − iw0 ) + Pˆ (iw0 − k ) + Jˆ 2k L =M Reescrevendo L na forma exponencial

e Lt = e j(t)J e m(t)M e p(t)P ˆ

de Lt d j(t)Jˆ m(t)Mˆ p(t)Pˆ = (e e e ) dt dt d d ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d ˆ ˆ ˆ Le Lt = (e j(t)J )(e m(t)M e p(t)P ) + e j(t)J (e m(t)M )(e p(t)P ) + (e j(t)J e m(t)M ) (e p(t)P ) dt dt dt ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Le Lt = j&(t)Jˆ(e m(t)M e p(t)P ) + m&(t)e j(t)J Mˆ e p(t)P + e j(t)J e m(t)M p&(t)Pˆe p(t)P Para

resolver

esta

equação

encontrarmos

coeficientes

utilizaremos a fórmula de Baker – Campbell –Hausdorff (BCH) que é dado por

[ ]

[ [ ]]

x² ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e xA Bˆ e − xA = Bˆ + x Aˆ , Bˆ + A, A, B + ... 2! Assim reescrevendo

Jˆ ˆ − j(t)Jˆ j(t)Jˆ m(t)Mˆ p(t)Pˆ j(t)Jˆ m(t)Mˆ ˆ −m(t)Mˆ m(t)Mˆ p(t)Pˆ Le Lt = j&(t)Jˆe Lt + m&(t) e1j(t)4 M e e e e + e e P e e p & (t)e 14243 243 II

Calculando I: e

II:

j(t)Jˆ

[ ]

[ [ ]]

j(t)² ˆ ˆ ˆ ˆ J, J, M + ... = Mˆ + j(t)Jˆ Mˆ e − j(t)J = Mˆ + j(t) Jˆ, Mˆ + 2!

[

]

[ [

]]

m(t)² ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e m(t)M Pˆe −m(t)M = Pˆ + m(t) Mˆ , Pˆ + M, M, P + ... = Pˆ 2!

A equação fica então Jˆ ˆ − j(t)Jˆ j(t)Jˆ m(t)Mˆ p(t)Pˆ Le Lt = j&(t)Jˆe Lt + m&(t)[Mˆ + j(t)Jˆ]e Lt + p&(t) e1j(t)4 P e4 2 3e e e III

Calculando III

[ ]

[ [ ]]

j(t)² ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e j(t)J Pˆe − j(t)J = Pˆ + j(t) Jˆ, Pˆ + J, J, P + ... = Pˆ + j(t)Jˆ 2! Obtemos assim

Le Lt = j&(t)Jˆe Lt + m&(t)[Mˆ + j(t)Jˆ]e Lt + p&(t) (Pˆ + j(t)Jˆ )e Lt

L = j&(t)Jˆ + m&(t)[Mˆ + j(t)Jˆ] + p&(t) (Pˆ + j(t)Jˆ )

Relacionando

L = j&(t)Jˆ + m&(t)[Mˆ + j(t)Jˆ] + p&(t) (Pˆ + j(t)Jˆ )

L = Mˆ (− k − iw0 ) + Pˆ (iw 0 − k ) + Jˆ2k Obtemos

j(t) = e 2kt − 1

m(t) = - (iω0 + k ) p(t) = (iω0 − k ) Podemos então escrever

e Lt = e (2kt −1 )e −(iw 0 k )tMe (iw 0 −k )tP

J – Evolução temporal de um estado coerente Dado que

ρ(t) = e Lt ρ(0) = e ( 2 kt −1)J e − ( iw k )tM e ( iw − k )tP ρ(0) 0

tomemos um estado inicial coerente α , cujo operador densidade é dado por

ρ(0 ) = α α Utilizando o operador deslocamento de Glauber

α = D(α ) 0 , onde 0 é o estado fundamental do fóton.

α =e

1 − α 2

e αa e − α a 0 +

1 − α 2

(− α a ) ∑

αa +

∞

0 n ! 14 4244 3

n =0

a atuando em zero não tem o que abaixar

=e =e

1 − α 2

2 +

e αa 0 2

(αa ) ∑

+ n

∞

n =0

0 =e

 α n  (a + )   0 ∑ n =0 n!  n!  14243 n

1 2 ∞ - α 2

α =e

αn n ∑ n=0 n!

1 2 ∞ - α 2

Dado que

m ( t )M

(m(t )a =∑ ∞

a •)

n =0

(m (t )n )

∞

n =∑

n =0

∞

n = ∑ e m ( t )n n n=0

Podemos então escrever

m ( t )M

α =e

n m( t ) 1 1 ∞ α ∞ (αe - α - α α n m ( t )M ) n m ( t )n 2 2 e n =e e n =e ∑ ∑ ∑ n=0 n=0 n =0 n! n! n!

1 2 ∞ - α 2

1 2 - α 2

1 m( t ) 2 αe 2

(αe ) ∑

m( t ) n

2 1 ∞ - αe m ( t ) 2

e n n =0 1444 24n! 443 αe m ( t )

⇒e

m ( t )M

α =e

1 2 - α 2

1 m( t ) 2 αe 2

αe m ( t )

Realizando operação análoga para os demais termos chegamos que

e Lt α α = β( t ) β( t ) onde β( t ) = αe −i ( w +k )t 0

Considerando agora um estado coerente dado por

ρ( t ) = α − α obtemos e Lt α = α = e − 2

(α

− β( t )

)

β( t ) − β( t )

Dado um estado inicial

ψ =

1 ( α + e iθ − α Nθ

)

 gato par → θ = 0 onde a função é conhecida por  gato ímpar → θ = π Da codição de normalização ψ ψ = 1 obtemos

(

N θ = 2 1 + e iθ e − 2 α

)

O operador densidade ficará

ρ0 = ψ ψ = =

1 ( α + e iθ − α )( α ) + e −iθ − α 2 Nθ

1 ( α α + e −iθ α − α ) + e iθ ( − α α ) + − α − α 2 Nθ

Assim, a evolução temporal do operador densidade será:

ρ (θ , t ) =

{

}

2 2 1 β (t ) β (t ) + − β (t ) − β (t ) + e iθ e −2( α − β ( t ) ( β (t ) − β (t ) + − β (t ) β (t ) ) 2 N0

2 K – Cálculo de Trρ (t )

Sabendo que

{

)}

2 2  1  - 2 ( α − β (t) ) iθ β β β β ( t ) ( t ) + − ( t ) − ( t ) + e e β (t ) − β (t ) + e −iθ − β (t ) β (t )  • 2 N 

ρ 2 (t ) = 

(

)}

2 2  1  - 2 ( α − β (t) ) iθ β ( t ) β ( t ) + − β ( t ) − β ( t ) + e e β (t ) − β (t ) + e −iθ − β (t ) β (t )  N 2  

(

Para calcular trρ 2 (t) , separaremos os traços •

Tr β (t ) β (t ) β (t ) β (t ) = Tr β (t ) β (t ) = Tr β (t ) β (t ) = 1 14243 1

•

Tr β (t ) β (t ) − β (t ) − β (t ) = e 14 4244 3 e− 2 β

Tr β (t ) − β (t ) = e

−4 β 2

e iθ e −2α e 2 β Tr β (t ) β (t ) β (t ) − β (t ) = e iθ e −2α e 2 β Tr β (t ) − β (t ) 14243 2

•

−2 β 2

= e iθ e −2α e 2 β Tr − β (t ) β (t ) = e −2 β e iθ e −2α e 2 β = e −iθ −2α 2

e − iθ e −2α e 2 β Tr β (t ) β (t ) − β (t ) β (t ) = 14 4244 3 2

e− 2 β

•

− iθ

=e e •

− 2α 2

2β 2

− 25 β 2

Tr β (t ) β (t ) = e

− iθ − 2 α 2

Tr − β (t ) − β (t ) − β (t ) − β (t ) = Tr − β (t ) − β (t ) = 1 1442443 1

•

iθ

e e

− 2α 2

2β 2

Tr − β (t ) − β (t ) β (t ) − β (t ) = e 14 4244 3 e− 2 β

e − iθ e iθ e

−2 ( α − β ) 2

Tr β (t ) − β (t ) β (t ) − β (t ) = 14 4244 3 e− 2 β

•

= e − iθ e iθ e

−2 ( α − β ) 2

− iθ − 2 α 2

Tr β (t ) − β (t ) = cos 2 θe

Tr β (t ) − β (t ) − β (t ) β (t ) = Tr β (t ) β (t ) = e 1442443 1

Para finalmente escrever

− iθ − 2 α 2

−4( α − β ) 2

−4 ( α − β ) 2

− 4 (α 2 − β 2 ) 1  −4 β 2 −iθ − 2α 2 2 − 4 (α 2 − β 2 ) − 4 β 2  Trρ (t ) = 4  2 + 2e + 8e + 2 cos θe e + 2e  N 

    2 2 2 − 4 (α − β ) 1 − 2α 2 2 − 4 (α 2 − β 2 ) − 4 β 2  Trρ 2 (t ) = 4  2 + 2e −4 β + 41cos θ e + 2 cos θ e e + 2 e 4243 N   N4    4 

( (

1 2 cos θe −2α + e −4 β + e −4 (α − β ) 2 Trρ (t ) = + 2 2 2 4 1 + 2 cos 2 e −4α + 2 cos θe −2α 2

) )

L – Tempo de dissipação 2 d −4 BB* d 4 BB* −4 α e +e e =0 dt dt

−4

2 d d 4 BB* −4 α BB * e −4 BB* + 4e e =0 dt dt

B = αe − (ω −kt ) BB* = α e −2 kt 2

−4

−e

{

−4 α e −2 kt 2

− 4 α e −2 kt 2

}

2 d −4 α BB * − e −4 BB* + e e 4 BB* = 0 dt

−4 α

4 α e −2 kt 2

(1−e ) −2 kt

(

− 4 α e −2 kt = −4 α 1 − e −2 kt 2

2e −2 kt = 1

e − 2 kt =

t diss =

ln 2 2k

1 2

) − 2kt = ln

1 2

Tempo de dissipação

2kt = ln 2

M – Tempo de perda de coerência −2 α + 2 β 2

−2 α

(1−e

1 − e − 2 kT =

Tdec =

→0

−2 kT

1 2α

1 4α k

)→0

−2 α + 2 α e −2 kT 2

(

→0

)

1 − 2 α 1 − e −2 kT = 0 2

2kT =

1 2α

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] L. Davidovich, EINSTEIN E A MECÂNICA QUÂNTICA, Instituto de Física – Universidade

Federal

Rio

Janeiro.

Disponível

em:

http://omnis.if.ufrj.br/%7Eldavid/arquivos/Einstein%20e%20a%20Mecanica%20Qu antica%20-%20Ciencia%20e%20Meio%20Ambiente.pdf. Acesso em 23/05/2008.

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