PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO Laboratório de Física 2 – Engenharia de Produção Profa. Marisa Cavalcante
Medidas Físicas Resumo Teórico ‐ Definições Considerações Iniciais Um engenheiro de produção, diferentemente de outras áreas da engenharia lida com sistemas integrados de homens, equipamentos e materiais e não apenas com tecnologias ou com produtos isoladamente. Muitas vezes para implantação de sistemas de produção é necessário efetuar estudos estatísticos bastante complexos e com uma infinidade de variáveis. Assim é fundamental que se conheça os mecanismos que podem ser adotados no tratamento de dados. Um engenheiro de produção precisa saber processar uma coleta de dados de maneira segura, analisá‐los estatisticamente e interpretar adequadamente os resultados. Identificar variáveis e verificar as correlações existentes devem compor a rotina de profissionais nesta área, tendo em vista que esta é um das etapas necessárias para garantir o controle a eficiência e implantação de sistemas produtivos. Para cada sistema podemos ter muitas variáveis e tal como em um laboratório cientifico será necessário formular hipóteses idealizar um método para testar estas hipóteses, coletar os dados e analisá‐los. Esta será a nossa função neste laboratório e nesta disciplina. Estabelecer uma conduta cientifica que nos garanta dentro de uma margem de segurança comprovar hipóteses e analisar sistemas físicos. Nosso primeiro passo será estudar como podemos representar adequadamente uma grandeza física medida em um laboratório. Todo experimento em Física envolve a medição de uma ou mais variáveis. Os resultados encontrados sempre estarão sujeitos a incertezas. Nesta atividade vamos compreender como podemos estimá‐las e representar a grandeza medida de modo apropriado. Algumas definições serão necessárias. Ao final do texto forneceremos referências biográficas e links em que mais detalhes acerca destas definições poderão ser obtidas. Nos próximos itens adotamos o procedimento indicado no livro : Estimativa e erros em Experimentos de Física dos autores Santoro, A et al da editora UERJ 2005. Qualquer experimento ou sistema que demanda métodos estatísticos de análise apresentará um conjunto de fases para sua execução são elas:
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Concepção Planejamento Simulação
Projeto Construção Calibração Testes
Tomada de dados
Dados Medidas
Tratamento e análise de dados
Resultados
Divulgação
Modelos Hipóteses Teorias Leis
Diagrama de um “experimento” genérico Retirado de “Estimativa e erros em Experimentos de Física”; Santoro, A et al da editora UERJ 2005.
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Etapas para uma análise estatística de dados Para melhor compreensão visualize a planilha em BROFFICE disponível no blog 1. Organização e descrição dos dados (que grandezas estarão envolvidas e o tamanho da amostra que será analisada) Tabela inicial. Por exemplo: Uma empresa quer saber se as carteiras que estão sendo produzidas apresentam o mesmo comprimento – otimizar os custos Amostra 30 carteiras medidas com uma régua de metro 50,3 51,0 50,1
50,1 51,1 49,9
49,9 50,0 49,2
50,2 50,1 49,9
50,1 51,0 50,2
50,1 49,9 51,0
50,1 49,7 50,3
50,2 50,2 50,0
50,1 49,2 50,0
50,4 51,5 50,0
2. Tabelas e histogramas : Com os dados efetuamos uma tabulação e organizamos os dados de acordo com o numero de ocorrências (Freqüência) e contidos num dados intervalo. Para organizar estes dados utilizaremos uma planilha de calculo ( Broffice ou Excel)
2.1 Digite os dados na planilha em uma única coluna 2.2 Selecione a coluna e disponha os dados em ordem crescente [ícone( A Medida
Comprimento (cm)
1
49,2
2
49,2
3
49,7
4
49,9
5
49,9
6
49,9
7
49,9
8
50
9
50
10
50
11
50
12
50,1
13
50,1
14
50,1
15
50,1
Z)]
Observe que os valores estão em ordem crescente facilitando a construção do histograma. No entanto utilizaremos algumas funções disponíveis nas planilhas de calculo que possibilita a visualização automática do histograma para diferentes intervalos fixados. Para este exemplo vou utilizar o BROFFICE que é um software free.
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50,1
17
50,1
18
50,1
19
50,2
20
50,2
21
50,2
22
50,2
23
50,3
24
50,3
25
50,4
26
51
27
51
28
51
29
51,1
30
51,5
A primeira informação que podemos obter é valor máximo e valor mínimo obtidos. Com os dados em ordem crescente é fácil ver que: Amostra= 30 medidas Valor máximo =51,5 cm Valor mínimo= 49,2 cm Chamamos amplitude1 a extensão total em cm que podemos ter na nossa amostra, ou seja: Valor Maximo – valor mínimo = 51,5 – 49,2 cm = 2,3 cm Para fazer o histograma podemos escolher intervalos (classes), por exemplo de 0,5 cm Na sua planilha você abrirá uma célula para a entrada deste intervalo. Vou escolher então iniciar o gráfico a partir de 49 cm (arrendondar para o inferior) Assim buscamos na nossa amostra os seguintes valores e verificamos para cada intervalo o numero de ocorrências. Valores 49 a 49,5 (fechado em 49 e aberto em 49,5) 49,5 a 50 (fechado em 49,5 e aberto em 50) 50 a 50,5 ( fechado em 50 e aberto em 50,5) 1
freqüência (ocorrências) 2 5 18
Amplitude é uma medida da dispersão de uma amostra e será comentada mais adiante 4
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50,5 a 51,0 ( fechado em 50,5 e aberto em 51) 51,0 a 51,5 (fechado em 51,0 e aberto em 51,5)
4 1
Podemos fazer esta operação no BROFFICE utilizando a função “freqüência” e a contagem é efetuada automaticamente para cada intervalo (classes) estabelecido
O 1º passo é constituir uma nova coluna com os intervalos que você deseja obter. Na planilha do nosso exemplo é célula D13 que digitaremos o valor inicial. Na célula D14 entraremos com D13 + D$9 (este $ permite fixar o valor da célula quando copiamos para as demais células, ou seja, com esta equação sempre somaremos 0,5 a célula anterior). Copiamos para as demais células da coluna D.
Para utilizarmos a função freqüência, selecione a célula em que a contagem começará, no exemplo E13 e vá nas funções fx.
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Clicando em Fx abre uma janela indicada na figura seguinte. No ícone dados voce deve selecionar a coluna em que os dados foram digitados ‐ coluna B e no ícone Classes vc deve selecionar a coluna dos intervalos ( no exemplo D13 em diante)
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Na coluna E selecionada surgirão os valores de freqüência para cada intervalo. Com estes valores o histograma finalmente poderá ser construído
Para este gráfico percebe‐se que o maior número de ocorrências está no intervalo de 50 a 50,5 cm Agora altere o valor do intervalo, por exemplo, para 0,2 cm. O gráfico obtido apresentará uma configuração completamente diferente.
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Histograma 12
10
Frequencia
8
6
Coluna E
4
2
0 49 49,249,449,649,8 50 50,250,450,6 50,8 51 51,251,451,651,8 52 52,2
Intervalos
3. Parâmetros de Posição
Média Considerando N valores distintos definimos média como: xm= ∑
=
.....
Para o nosso exemplo: 50,19 cm
Moda O valor mais freqüente da amostra No nosso exemplo : 50,1 cm
Media Quadrática Raiz quadrada positiva da média dos quadrados dos dados 8 marisac@pucsp.br
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1
No nosso exemplo: 50,2 cm
Mediana Valor que divide uma distribuição ordenada de dados, tal que metade dos dados está acima e metade estão abaixo deste valor Para N par .. xmed = xN/2 Para N impar = (xN/2+ xN/2+1)/2 No nosso exemplo: (50,1+50,1)/2=50,1 cm
4. Parâmetros de Dispersão
Amplitude Diferença entre o valor máximo e o mínimo da amostra No nosso exemplo: 51,5 ‐ 49,7= 2,3 cm
Desvio médio Média dos módulos dos desvios de cada medida |
|
|
|
|
|
No nosso exemplo = 0,34 cm Variância
Média dos quadrados dos desvios em relação é media ou desvio médio quadrático
1 No nosso exemplo =0,25 cm2 9 marisac@pucsp.br
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Desvio Padrão Raiz quadrada da variância
1 No nosso exemplo
0,5
Largura a meia altura
Comprimento do intervalo em um histograma, limitado por valores (x1, x2) correspondente a metade da freqüência máxima Γ
|
|
No nosso exemplo: (51,0‐50,0)=1,0 cm
Referências: Santaro, A. et al (2005) “Estimativas e erros em experimentos de Física” editora UERJ – RJ 2005 Vuolo, J.H (1996) “Fundamentos da Teoria de Erros” editora Edgard Blucher LTDA 2ª. Edição revista e ampliada ‐ SP ‐ 1996
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