COMPREENDENDO A RESSONÂNCIA MAGNÉTICA
ORIENTAÇÃO Marisa Almeida Cavalcante
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Faculdade de Física, Matemática e Tecnologia Bacharelado em Física
São Paulo - SP 2010
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CLECIO ROBERTO VIEIRA DA SILVA
COMPREENDENDO A RESSONÂNCIA MAGNÉTICA
Monografia apresentada ao Curso de Física Médica da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, como requisito à obtenção do título de Bacharel em Física.
Orientador: Profª. Drª. Marisa Almeida Cavalcante
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Agradecimentos Meu agradecimento a Instituição de Ensino a qual venho a concluir meu curso de Física, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Agradeço a minha orientadora Marisa Cavalcante por ter me aceito neste projeto e por ser uma excelente orientadora a qual me cobrou moderadamente conforme a minha disponibilidade e por ter me ajudado na produção desde trabalho. Agradeço também aos meus familiares e amigos conforme se segue. A minha mãe por todas as coisas que fez e por todas que fez por nossa família e também por todas as coisas que fez por mim, obrigado mãe. Ao meu pai por ser um homem tão inteligente e ter permitido aos seus filhos a concepção de mundo e também pelo aprendizado de vida que é responsável pelo que sou hoje, obrigado pai. Agradeço também ao meu irmão Carlos por todas as palavras trocadas e pelo bom exemplo que tem me dado diante de situações à quais a irracionalidade e a angustia predomina, agradeço também pelo apoio que me deu e sempre me dá quando preciso, agradeço também as conversas que trocamos constantemente as quais eu sempre aprendo coisas novas. Ao meu irmão Claudio por ser uma pessoa que de forma indireta tem me ajudado também e que tenho certeza que sempre me ajudara. A minha irmã Camila por ser minha irmã a qual gosto muito e tenho um imenso carinho, a qual é uma pessoa que eu aprendi coisas importantes e boas. Ao meu primo Antonio Erick por ser quase um irmão na minha vida, por ter também caminhado comigo e me ensinado varias coisas as quais não cabem em pequenas linhas e por defender minha razão de ser e pelo que virei a me tornar um dia. Agradeço também ao meu professor Eduardo Narihisa por ter me dado força e por me fazer acreditar em coisas positivas nos momentos em que eu não acreditava mais e também por acreditar em meus objetivos. A ele que eu considero mais que um simples amigo, considero mais que alguém que me mostrou a razão pela qual devemos ser sempre esforçados 1/86
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em nossas conquistas, e devemos ter simplicidade e humildade. Ao professor Eduardo que no momento ao qual ninguém me orientou ele me deu a direção que permite a mim hoje escrever este agradecimento. Ao meu professor Emerson Takase, por ter me mostrado a importância da integridade e da verdade na vida, bem como por ter mostrado alguns conceitos e filosofias que mudaram o meu pensamento e minha forma de viver. Aos meus amigos João Cairo e Cleber, por ser parte de minha história de vida desde o cursinho até os dias atuais e também por terem participado de diversas dificuldades juntos e ainda assim sermos amigos mesmo diante de brigas e discussões. Agradeço também aos dois por me ensinarem varias coisas. Agradeço ainda ao meu amigo Ivanilton por ter sido em quase todas as ocasiões a única pessoa que dizia que eu era contestável, por dizer que nem sempre eu estava certo sobre minhas opiniões, eu agradeço por tudo que contribuiu para o meu desenvolvimento intelectual e pessoal. Agradeço ainda a Maria do Rosário e meu amigo Laercio, por serem pessoas de bem e na qual tem me dado atenção nos momentos de indignação, agradeço a ambos por sempre terem me escutado em diversas ocasiões. Agradeço aos meus colegas de classe e aos colegas que tenho feito nesta jornada, de forma que o aprendizado trocado foi algo que contribuiu de forma satisfatória para uma analise mais detalhada da vida e das pessoas. A TODOS os que eu disse e que eu mencionei ou aqueles que por algum motivo tenha me esquecido eu quero desejar meu grande AGRADECIMENTO por tudo que teve ligação com a minha vida.
Clecio Roberto Vieira da Silva.
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FINALIDADE O objetivo deste trabalho é elaborar recursos didáticos e materiais instrucionais destinados aos profissionais da área de saúde e áreas de interface de modo a propiciar a compreensão do principio básico de funcionamento dos aparelhos de ressonância magnética. Alem de preencher uma lacuna na formação destes profissionais, os recursos desenvolvidos poderão ser utilizados por estudantes do curso de Física Médica e/ou Engenharia Biomédica da PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevância e que compõe a grade curricular destes cursos.
RESUMO Em três de julho de 1977, foi realizada pelo Dr. Raymond Damadian, um médico e cientista, e seus colegas Dr. Larry Minkoff e Dr. Michael Goldsmith a primeira varredura de corpo humano através da ressonância magnética. Foram necessárias quase cinco horas para produzir uma imagem. E se compararmos com os padrões atuais, as imagens eram bem primárias, mas indubitavelmente esta data mudou radicalmente o cenário da medicina em todo o mundo. Até 1982, havia poucos aparelhos de ressonância magnética nos EUA. Hoje, há milhares deles. Hoje podemos gerar em segundos as mesmas imagens que levavam horas antigamente. No entanto, a tecnologia deste exame é bastante complicada e nem todos a compreendem bem. Os profissionais da área de saúde em geral aprendem alguns procedimentos de rotina, mas não são capazes de responder questões simples como: O que acontece com o seu corpo enquanto você está na máquina? O que você pode ver com ela e por que tem de ficar tão imóvel durante o exame? È objetivo deste trabalho elaborar recursos didáticos e material instrucional destinado a profissionais da área de saúde e áreas de interface de modo a propiciar a compreensão do principio básico de funcionamento dos aparelhos de ressonância magnética. Além de preencher uma lacuna na formação destes profissionais, os recursos desenvolvidos poderão ser utilizados por estudantes do curso de Física Média e/ou Engenharia Biomédica da PUC/SP, contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevância e que compõe a grade curricular destes cursos. Este texto ficará disponível na web em blogs criados para disciplinas destinadas ao ensino e aprendizagem de Física Medica da PUC/SP de modo que serão disponibilizados hyperlinks para que o leitor possa interagir como diferentes mídias possibilitando uma maior compreensão dos fenômenos aqui abordados.
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PALAVRAS-CHAVES Ressonância Magnética
Magnéton de Bohr
Spin
Precessão de Larmor
Momento Angular
Stern - Gerlach S
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SUMÁRIO FINALIDADE ........................................................................................................................................................ 3 RESUMO ............................................................................................................................................................... 3 PALAVRAS-CHAVES ......................................................................................................................................... 4 SUMÁRIO .............................................................................................................................................................. 5 LISTA DE ILUSTRAÇÕES ................................................................................................................................. 6 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................ 8 1.1. UM POUCO DA HISTÓRIA DA RESSONÂNCIA MAGNÉTICA. ...................................................................... 9 1.2. MODELOS ATÔMICOS: UMA REVISÃO. .................................................................................................... 11 1.2.1. Teoria Atômica, Esfera de Dalton. .............................................................................................. 11 1.2.2. Modelo de Joseph John Thomson................................................................................................ 12 1.2.3. Teoria do Núcleo Atômico de Rutherford.................................................................................... 12 1.2.4. Modelo Atômico de Rutherford – Bohr. ...................................................................................... 13 1.2.5. Modelo Quântico, Nuvens Eletrônicas de Heisenberg e Outros. ................................................ 16 1.3. MOMENTO DE DIPOLO MAGNÉTICO. ....................................................................................................... 16 1.3.1. Momento De Dipolo Magnético e Magnéton De Bohr................................................................ 16 1.4. PRECESSÃO E FREQUENCIA DE LARMOR. ............................................................................................... 21 1.5. MOMENTO ANGULAR ORBITAL. ............................................................................................................ 24 2. SPIN ............................................................................................................................................................ 30 2.1. MOMENTO MAGNÉTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 30 2.2. EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH. ................................................................................................... 30 2.3. INTERAÇÃO SPIN – ORBITA ................................................................................................................... 37 2.4. ENERGIA DE INTERAÇÃO SPIN – ORBITA E MOMENTO ANGULAR TOTAL. ............................................... 37 2.5. EXPERIMENTO RESSONÂNCIA DE SPIN ELETRÔNICO ............................................................................. 39 2.5.1. Introdução. .................................................................................................................................. 39 2.5.2. Campo Magnético Gerado pelas Bobinas de Helmholtz Aplicado na Amostra. ......................... 43 2.6. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATÓRIO PARA A MONTAGEM EXPERIMENTAL. ....................... 44 2.6.1. Multímetro. .................................................................................................................................. 44 2.6.2. Osciloscópio Digital.................................................................................................................... 45 2.6.3. adaptador De Ressonancia Eletrônica. ....................................................................................... 46 2.6.4. Bobinas de Helmholtz.................................................................................................................. 47 2.6.5. Suporte. ....................................................................................................................................... 47 2.6.6. Unidade De Prova. ...................................................................................................................... 49 2.6.7. Bobinas de Prova. ....................................................................................................................... 50 2.6.8. Amostra Utilizada........................................................................................................................ 51 2.7. MONTAGEM DO SISTEMA E XPERIMENTAL. ........................................................................................... 52 2.8. EXPLICAÇÃO DO CIRCUITO................................................................................................................... 54 3. ESPECIFICAÇÕES DA AMOSTRA ...................................................................................................... 57 3.1. PROPRIEDADES DA AMOSTRA E A RESSONANCIA .................................................................................. 57 4. RESULTADOS OBTIDOS ....................................................................................................................... 59 4.1. DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE GIROMAGNÉTICA. ............................................................................ 59 5. RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR. ......................................................................................... 62 5.1. INTRODUÇÃO À RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR. ........................................................................ 62 5.2. MOMENTO MAGNÉTICO ORBITAL DE SPIN. ............................................................................................. 64 5.3. RESSONANCIA MAGNETICA NUCLEAR ................................................................................................. 65 5.3.1. Tempo de Recuperação e Relaxamento. ...................................................................................... 71 6. CONCLUSÃO ............................................................................................................................................ 81 7. APÊNDICES .............................................................................................................................................. 83 1. VOXEL. .................................................................................................................................................. 83 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................... 86
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LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figuras: Figura 1.1 - Emissão de energia por um elétron que retorna ao seu estado inicial ................................................ 15 Figura 1.2 - Simulador para verificar a indução magnética em uma espira. .......................................................... 17 Figura 1.3 - Elétron em torno do núcleo atômico. ................................................................................................. 18 Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o cálculo da freqüência de precessão ....................................................... 22 Figura 1.5 - Representação dos vetores momento angular para os estados possíveis. ........................................... 28 Figura 1.6 - Representação esquemática do momento angular e momento de dipolo magnético associado, indicando o movimento de precessão do orbital. ......................................................................................... 29 Figura 2.1 - Aplicação de um campo magnético não homogêneo a um dipolo. .................................................... 31 Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern – Gerlach. ................................................................. 31 Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magnético .................................................................... 32 Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnéticos na presença do campo magnético................................................... 33 Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach. ........................................................................................... 33 Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Lítio e o Hidrogênio ................................................................................. 34 Figura 2.7 - Orientação espacial para Ls. .............................................................................................................. 35 Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a contribuição de spin ..................................................................................................................................... 36 Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J. .................................................................................................... 38 Figura 2.10 - Diagramas vetoriais. ........................................................................................................................ 39 Figura 2.11 - Ausência e presença do campo magnético e diferentes níveis de energia........................................ 40 Figura 2.12 - Arranjo básico para a observação de spin eletrônico sobre uma amostra. ...................................... 41 Figura 2.13 - Traços no osciloscópio durante a ressonância de uma amostra. ...................................................... 43 Figura 2.14 - Multímetro. ...................................................................................................................................... 45 Figura 2.15 - Osciloscópio Digital......................................................................................................................... 46 Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR. ........................................................................................ 46 Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz. ..................................................................................................................... 47 Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz. ............................................ 48 Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas. ............................................................................................................. 48 Figura 2.20 - Unidade de prova usada. .................................................................................................................. 49 Figura 2.21 - Posição da unidade de prova entre as bobinas. ................................................................................ 49 Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima............................................................................. 50 Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz)........................................................................ 51 Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH). .................................................................................................................. 51 Figura 2.25 - Molécula de difenil-picra-hidrazil (DPPH). ..................................................................................... 52 Figura 2.26 - Montagem do experimento. ............................................................................................................. 53 Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental. .............................................................. 53 Figura 2.28 - Circuito experimental....................................................................................................................... 54 Figura 2.29 - Senoide do campo magnético nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscópio, a linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente. .......................................... 55 Figura 2.30 - Estados de ressonância da amostra vista na tela do Osciloscópio. ................................................... 56 Figura 3.1 - Reação genérica entre o radical livre DPPH e um antioxidante......................................................... 57 Figura 4.1 - Representação dos valores experimentais encontrados. ..................................................................... 60 Figura 4.2 - Gráfico obtido com os dados experimentais, representação do coeficiente angular gs. ..................... 61 Figura 5.1 - Exemplo tridimensional da obtenção da IRM através da RMN. ........................................................ 63 Figura 5.2 - Obtenção de uma imagem do cérebro através da RMN. .................................................................... 63 Figura 5.3 - Dipolo Magnético Nuclear Fictício.................................................................................................... 65 Figura 5.4 - Spins na ausência e na presença de um campo magnético. ................................................................ 66 Figura 5.5 - Alinhamento paralelo e antiparalelo dos prótons de hidrogênio. ....................................................... 67 Figura 5.6 - Direita: spins alinhados paralelamente e antiparalelamente ao campo magnético externo e vetor resultante. ..................................................................................................................................................... 68 Figura 5.7 - Coordenadas tridimensionais x, y e z................................................................................................. 68 Figura 5.8 - Vetor magnetização M perpendicular a magnetização M devido ao campo B longitudinal. ............. 70 Figura 5.9 - Contraste em DP. ............................................................................................................................... 71 Figura 5.10 - Amplitude do sinal induzido diminuindo com o tempo (tempo de relaxamento T2). ...................... 72
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Figura 5.11 - A medida que perdemos a componente transversal da magnetização, retomamos a magnetização longitudinal devido ao campo B0. ................................................................................................................ 72 Figura 5.12 - Representação gráfica do tempo de recuperação e de relaxamento ................................................. 73 Figura 5.13. Sinal ponderado em T1, onde tecidos com T1 curto examinado com um tempo de repetição (TR) longo. ........................................................................................................................................................... 74 Figura 5.14: Imagem RM ponderada de T2 ........................................................................................................... 75 Figura 5.15- Contraste em diferentes tecidos. ....................................................................................................... 76 Figura 5.16: imagens ponderadas em T2 e T1 e DP comparativamente ................................................................ 80 Figura 5.15 - Simulador sobre RMN disponível em http://phet.colorado.edu/sims/mri/mri_pt.jnlp ..................... 80 Figura 7.1 - Representação de um voxel a esquerda a superposição a formação da imagem . .............................. 83
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1.
INTRODUÇÃO A imagem por ressonância magnética (IRM) é hoje um método de diagnóstico por
imagem estabelecido na prática clínica e em crescente desenvolvimento. Dada a alta capacidade de diferenciar tecidos, o espectro de aplicações se estende a todas as partes do corpo humano e explora aspectos anatômicos e funcionais. A física da ressonância magnética nuclear (RMN), aplicada à formação de imagens, é muito complexa e abrangente, uma vez que tópicos como eletromagnetismo, supercondutividade e processamento de sinais devem ser abordados em conjunto para o entendimento desse método. Este trabalho tem por objetivo explorar de forma introdutória e simplificada a compreensão da física da imagem por ressonância magnética e demonstrar os mecanismos e aplicações da RMN servindo como texto de apoio para o aprofundamento do assunto através deste trabalho” [Mazzola, 2009] Portanto é objetivo deste trabalho elaborar recursos didáticos e materiais instrucionais destinados a profissionais da área de saúde e áreas de interface de modo a propiciar a compreensão do principio básico de funcionamento dos aparelhos de ressonância magnética. Alem de preencher uma lacuna na formação destes profissionais, os recursos desenvolvidos poderão ser utilizados por estudantes do curso de Física Médica e/ou Engenharia Biomédica da PUC/SP, e também de outras instituições de ensino contribuindo para uma melhora na abordagem de um tema de grande relevância e que compõe a grade curricular de diversos cursos. É importante salientar que diferentemente das monografias tradicionais, este texto contará com hyperlinks, tendo em vista que ficará disponível para o publico em geral em blogs das disciplinas de Física Medica da PUC/SP. Sabemos que atualmente em diversos ramos da medicina e da física médica um dos equipamentos mais usado está ligado à Ressonância Magnética Nuclear (RMN) e apesar do grande uso e disseminação desta tecnologia poucos são os profissionais da área da saúde que compreendem o seu principio básico de funcionamento. De outro lado as pessoas que utilizam atualmente a ressonância magnética como exames também desconhecem como se dá a formação de imagem e qual é o tipo de interação que está ocorrendo com o seu corpo no momento da captura de imagens. Isso nos remete ao
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final do século XIX à descoberta dos Raios X, quando a medicina começou a utilizá -los para diagnosticar e tratar os seus pacientes. Naquela época, diferentemente dos tempos atuais, pouco se sabia de fato sobre as propriedades daquele feixe e o desconhecimento era não apenas da população como também da comunidade cientifica que buscava identificar suas propriedades. A história da espectroscopia da Ressonância magnética nuclear (RMN) contribuiu de modo significativo com o desenvolvimento de um conjunto de teorias na física que tiveram aplicações em diversas áreas. Na eletricidade, temos o desenvolvimento de leis da eletricidade que nos fazem compreender como fenômenos elétricos se comportam em determinados sistemas físicos. A compreensão destas leis foi essencial para o desenvolvimento de teorias que nos tornou possível o entendimento de como se comporta a matéria em diferentes estados. Associado ao desenvolvimento do campo elétrico, temos também o surgimento das equações de Maxwell que tiveram grande aplicações no estudo dos campos magnéticos de diferentes materiais, tornando possível a compreensão do surgimento de diferentes campos magnéticos presentes na matéria. Por outro lado o desenvolvimento da mecânica quântica nos propiciou uma maior compreensão dos átomos e de seus núcleos tais como a contribuição magnética atribuída a eles e que serão tratados conceitualmente ao longo deste trabalho
1.1.
UM POUCO DA HISTÓRIA DA RESSONÂNCIA MAGNÉTICA. Já no inicio do Século XX, por volta de 1920, Otton Stern e Walther Gerlach
planejaram um experimento para determinar se partículas tem algum momento angular intrínseco. O experimento procurou determinar se partículas individuais tem algum momento angular de spin quando um feixe de átomos sujeito a um campo magnético não homogêneo é desviado em conformidade com a orientação dos momentos magnéticos presentes em determinados átomos. Porém por volta de 1930 com o aperfeiçoamento dessa experiência foi possível a determinação de momentos magnéticos nucleares. Anos posteriores ao aperfeiçoamento deste experimento, no seguimento destas experiências, por volta de 1939, Rabi e outros pesquisadores submeteram à experiência de Stern-Gerlach um feixe de moléculas de hidrogênio, primeiro a um campo magnético não9/86
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homogêneo e verificaram que, que essas moléculas apresentavam dois tipos de desvios e que caracterizam a existência de duas orientações para o momento de dipolo magnético, resultado este incompatível com o esperado para elementos que apresentam um elétron apenas no termo s de energia. O resultado deste experimento seria, na verdade, a primeira prova observada da existência do spin e a consequente existência de um momento de dipolo magnético intrínseco para o elétron, fator este que justifica a existência do fenômeno de ressonância magnética, como veremos adiante. Em 1945-46 Bloch da universidade de Stanford, e Purcell e colaboradores, na Universidade de Harvard, procurando medir momentos magnéticos nucleares com uma melhor precisão, observaram sinais de absorção da radiofrequência por parte da água e da parafina esse estudo foi essencial para detectarem a presença da ressonância magnética nuclear em amostras liquidas e sólidas. O fenômeno de ressonância magnética viria a interessar varias áreas nos anos posteriores principalmente na área da Química e Bioquímica, pois suas aplicações eram importantes no estudo da espectroscopia de moléculas e átomos. Pouco tempo depois de comprovada a detecção da presença da ressonância magnética nuclear em amostras liquida e sólidas, em 1953 era produzido e colocado no mercado o primeiro espectrômetro RMN, permitindo uma elevada resolução e apreciável sensibilidade, devido a estudos e comprovação da detecção de moléculas de diferentes compostos mostrados pela ressonância magnética nuclear. Desde o desenvolvimento do primeiro equipamento de RMN desenvolveram-se uma quantidade elevada de aplicações de seus fundamentos teóricos e práticos na química e na bioquímica. Um grande salto qualitativo muito importante ocorreu em 1970 com a introdução de técnicas de impulsos de radiofrequências, ou seja, do campo magnético aplicado à amostra, aliadas a técnicas de análise matemática baseadas nas transformações de Fourier, realizadas por computador, daqui podemos então perceber a origem de algo que na década atual foi um grande desenvolvimento para os equipamentos usados e construídos atualmente. A introdução da analise matemática a fenômenos de ressonância magnética nuclear viria a permitir estudar amostras muito mais diluídas e a tornar muito mais acessível a utilização de diferentes núcleos como sondas magnéticas em RMN, e permitiria uma enorme variedade de novas técnicas. 10/86
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A seguir faremos um breve resumo sobre a evolução dos modelos atômicos até a concepção da mecânica quântica que culminará na compreensão do spin e do momento de dipolo magnético atômico, necessário para a compreensão da formação de imagens nos aparelhos de RMN.
1.2.
MODELOS ATÔMICOS: UMA REVISÃO. Para compreendermos os princípios básicos que norteiam o fenômeno de ressonância
magnética necessitamos ter clareza do modelo atômico e particularmente a contribuição magnética a ele associada. Faremos neste item uma revisão geral acerca dos diferentes modelos atômicos em uma rápida retrospectiva histórica.
1.2.1. TEORIA ATÔMICA, ESFERA DE DALTON. Por volta de 1803, John Dalton publicou no seu trabalho Absorção de gases pela água e outros líquidos, os principais conceitos do seu modelo do seu modelo atômico. De acordo com Dalton:
A matéria é formada por partículas muito pequenas designadas átomos.
Átomos de um mesmo elemento possuem propriedades iguais.
Átomos de elementos diferentes possuem propriedades diferentes.
Os átomos são indivisíveis e indestrutíveis.
Os átomos de diferentes elementos combinam-se entre si formando
compostos. Essas são as principais características descritas por Dalton. Em 1808, propôs a teoria do modelo atômico, onde de acordo com sua teoria o átomo é uma minúscula esfera maciça, impenetrável, indestrutível e indivisível onde todos os átomos de um mesmo elemento químico são idênticos. Para Dalton o átomo era um sistema contínuo. Apesar de um modelo simples, Dalton deu um grande passo na elaboração de um modelo atômico, pois foi o que instigou na busca por algumas respostas e proposição de futuros modelos.
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1.2.2. MODELO DE JOSEPH JOHN THOMSON. Anos posteriores surgiria outro modelo que iria mostrar algumas características que o átomo de Dalton não descrevia de forma aceitável determinadas experiências desenvolvidas depois de sua publicação. O modelo atômico de J.J. Thomson foi uma teoria sobre a estrutura atômica, “descobridor” da existência de elétrons antes mesmo da descoberta dos prótons e nêutrons. Neste modelo, o átomo é composto de elétrons “embebidos” numa sopa de carga positiva. No seu estudo sobre o átomo creditava-se que os elétrons distribuíam-se uniformemente no átomo. Postulava-se que o átomo era constituído de uma “massa positiva” que concentrava praticamente toda a massa do átomo e distribuído uniformemente nesta massa se encontravam os elétrons, tal como as “ameixas” em um pudim. Seu modelo foi superado após a experiência de Rutherford, quando foi descoberto o núcleo do átomo, originando um novo modelo atômico conhecido como modelo atômico de Rutherford.
1.2.3. TEORIA DO NÚCLEO ATÔMICO DE RUTHERFORD. As bases para o desenvolvimento da física nuclear foram lançadas por Ernest Rutherford ao desenvolver a sua teoria sobre a estrutura atômica em 1908. Rutherford estudou por três anos o comportamento dos feixes de partículas ou raios X, além da emissão de radioatividade pelo elemento Urânio. Uma das inúmeras experiências realizadas foi a que demonstrava o espalhamento das partículas alfa. Realizando experiências bombardeando lâminas de ouro com partículas alfa (partículas de carga positiva, liberadas por elementos radioativos), Rutherford fez uma importante constatação da qual percebeu que a grande maioria das partículas que atravessava diretamente a lâmina de ouro, algumas sofriam pequenos desvios e outras em número muito pequeno, sofriam grandes desvios, incluindo desvios em 180 graus
A partir das observações, Rutherford chegou às seguintes conclusões:
No átomo existem espaços vazios; a maioria das partículas o atravessava sem
sofrer nenhum desvio. 12/86
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No centro do átomo existe um núcleo muito pequeno e denso onde algumas
partículas alfa que colidiam com esse núcleo voltavam, sem atravessar a lâmina.
O núcleo tem carga elétrica positiva; as partículas alfa que passavam perto dele
eram repelidas e sofriam desvio em sua trajetória.
De acordo com o modelo atômico de Rutherford, o átomo é constituído por um núcleo central que concentra praticamente toda a massa do átomo, dotado de cargas elétricas positivas (prótons), envolvidas por uma nuvem de cargas elétricas negativas (elétrons). Esta foi a base experimental do modelo atômico chamado modelo nuclear onde elétrons orbitavam em torno de um núcleo. De acordo com os resultados experimentais, o raio deste núcleo deveria ser cerca de 10000 vezes menor que o raio atômico.
Portanto o modelo atômico de Rutherford ficou conhecido como modelo planetário, pela sua semelhança com a formação do Sistema Solar. Este modelo foi estudado e aperfeiçoado depois por Niels Bohr, que acabou demonstrando a natureza das partículas alfa como núcleos de hélio.
1.2.4. MODELO ATÔMICO DE RUTHERFORD – BOHR. A teoria orbital de Rutherford encontrou uma dificuldade teórica resolvida por Niels Bohr. No momento em que temos uma carga elétrica negativa composta pelos elétrons girando ao redor de um núcleo de carga positiva, este movimento gera uma perda de energia devido à emissão de radiação constante como é considerado na teoria do eletromagnetismo. Num dado momento, os elétrons vão se aproximar do núcleo num movimento em espiral até que colidirão com o núcleo. No ano de 1911, Niels Bohr publicou uma tese que demonstrava o comportamento eletrônico dos metais. Na mesma época, foi trabalhar com Ernest Rutherford em Manchester, Inglaterra. Lá obteve os dados precisos do modelo atômico, que iriam lhe ajudar posteriormente. Em 1913, observando as dificuldades do modelo de Rutherford, Bohr intensificou suas pesquisas visando uma solução teórica. 13/86
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E em 1916, Bohr retornou para Copenhague para atuar como professor de física, continuando suas pesquisas sobre o modelo atômico de Rutherford. Em 1920, nomeado diretor do Instituto de Física Teórica, Bohr acabou desenvolvendo um modelo atômico que unificava a teoria atômica de Rutherford e a teoria da mecânica quântica de Max Planck. Sua teoria consistia que ao girar em torno de um núcleo central, os elétrons deveriam girar em órbitas específicas com níveis energéticos bem definidos. Que poderia haver a emissão ou absorção de pacotes discretos de energia chamados de quanta ao mudar de uma órbita para a outra. Realizando estudos nos elementos químicos com mais de dois elétrons, concluiu qu e se tratava de uma organização bem definida em camadas. Descobriu ainda que as propriedades químicas dos elementos eram determinadas pela camada mais externa. Bohr propôs o seguinte modelo: No átomo, entre duas órbitas ao qual o elétron mantém seu movimento translacional, temos as zonas proibidas de energia, pois só é permitido que o elétron esteja em uma das órbitas. Ao receber uma quantidade de energia eletromagnética, o elétron salta de uma órbita para a outra, mas não num movimento contínuo, passando pela área entre as órbitas (daí o nome zona proibida). Se um pacote com energia insuficiente para mandar o elétron para órbitas superiores encontrar o elétron no seu caminho, nada ocorre. Fornecemos abaixo alguns links para documentários disponíveis na web permitem compreender a evolução da Física no inicio do século XX:
http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr-um-pouco-dehistoria.html
http://fisicaengdeprodpucsp.blogspot.com/2010/03/modelo-de-bohrdocumentario-da-bbc.html
Mas se esse mesmo pacote de energia tiver a energia exata para que o elétron salte para órbitas superiores, ele certamente o fará, depois, devolvendo a energia absorvida em forma de ondas eletromagnéticas ao retornar para a sua orbita inicial. Os “n” na figura abaixo representam os diferentes níveis de energia para um átomo de hidrogênio. Quando o elétron retorna ao seu estado inicial ocorre a emissão de energia como mostra, Z representa o numero atômico e e a carga do elétron.
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Figura 1.1 - Emissão de energia por um elétron que retorna ao seu estado inicial
http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_atom, acesso em 01/10/2010. Existem na web uma serie de aplicativos em que podemos interagir com os diferentes modelos atômicos e particularmente para o modelo Bohr podemos verificar; a energia de emissão em transições entre os níveis, a relação entre os raios das diferentes orbitas bem como suas velocidades: Selecionamos a seguir dois links para simuladores em que estas constatações podem ser realizadas:
http://fambpucsp.blogspot.com/2010/02/modelo-de-bohr.html.
Neste
simulador você poderá verificar a energia absorvida pelo átomo e bem como a energia envolvida nas transições de diferentes níveis. Um espectrofotômetro pode ser acionado para a observação da linha emitida e sua associação a transição. Outra opção interessante neste aplicativo, é a seleção dos diferentes modelos atômicos.
http://fisicamodernaexperimental.blogspot.com/2009/07/modelo-de-bohrcompare-as-velocidades.html
Neste
applet
você
pode
verificar
comparativamente as velocidades que o elétron apresenta em cada uma das orbitas, a sua energia de ligação e a relação entre os diferentes raios das orbitas circulares permitidas.
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1.2.5. MODELO QUÂNTICO, NUVENS ELETRÔNICAS DE HEISENBERG E OUTROS. Erwin Schrödinger, Louis Victor de Broglie e Werner Heisenberg, reunindo os conhecimentos de seus predecessores e contemporâneos, acabaram por desenvolver uma nova teoria do modelo atômico, além de postular uma nova visão, chamada de mecânica ondulatória. Fundamentada na hipótese proposta por Broglie onde todo corpúsculo atômico pode comportar-se como onda e como partícula, Heisenberg, em 1925, postulou o princípio da incerteza. A idéia de órbita eletrônica acabou por ficar desconexa, sendo substituída pelo conceito de probabilidade de se encontrar num instante qualquer um dado elétron numa determinada região do espaço. O átomo deixou de ser indivisível como acreditavam filósofos gregos antigos e Dalton, portanto, o modelo atômico passou a se constituir na verdade, de uma estrutura complexa. Todos estes modelos foram precursores do atual modelo atômico, cujas órbitas bem definidas dos elétrons foram substituídas por zonas de probabilidade eletrônica.
1.3.
MOMENTO DE DIPOLO MAGNÉTICO. Em seguida faremos um tratamento semi-clássico para compreender a contribuição
magnética atômica. Trata-se de uma simplificação que estabelece uma combinação entre leis do eletromagnetismo clássico com as orbitas de Bohr, adotada em geral nos livros didáticos e que possibilita compreender as características magnéticas atômicas.
1.3.1. MOMENTO DE DIPOLO MAGNÉTICO E MAGNÉTON DE BOHR. A princípio podemos iniciar esse estudo da seguinte forma: Considere um elétron girando ao redor de um núcleo atômico de um único próton em uma orbita circular de raio r.
Uma analogia clássica desta situação seria
uma espira
percorrida por uma corrente elétrica i .
O simulador representado na figura seguinte permite verificar as linhas de campo magnético induzido por uma espira percorrida por corrente. Você pode variar o numero de 16/86
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espiras a tensão aplicada a elas e pode medir a intensidade do campo magnético para cada ponto. O link para acessar este simulador é http://labempucsp.blogspot.com/2010/10/estesimulador-permite-verificar-leis.html
Figura 1.2 - Simulador para verificar a indução magnética em uma espira.
Como no caso em questão estamos analisando a corrente elétrica distribuída apenas em torno de um núcleo atômico teremos que i
dq dt
(1.3.1)
Ou seja i
e T
(1.3.2)
Sendo T o período descrito pelo elétron em torno do átomo, cuja carga elétrica em módulo vale e, portanto sendo a velocidade dada por v
2r teremos que o período para uma T
volta completa é dado por:
T
2r v
(1.3.3)
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Onde r corresponde ao raio da trajetória descrita pelo elétron . Portanto considerando um elétron de massa m e carga e, movendo-se com velocidade de módulo v numa órbita circular de Bohr de raio r, como mostra a Figura 1.3, a carga que circula em uma órbita constitui uma corrente de intensidade i como foi dito anteriormente.
Figura 1.3 - Elétron em torno do núcleo atômico.
A figura mostra o elétron em torno do núcleo atômico, o movimento de rotação faz surgir o que alguns físicos chamam de “dipolo magnético fictício” Teremos que a corrente é i
e ev T 2r
(1.3.4)
Na teoria eletromagnética elementar mostra-se que uma corrente elétrica pode produzir um campo magnético equivalente a grandes distâncias da órbita ao qual essa corrente se desloca, portanto, surge um dipolo magnético localizado em seu centro e orientado perpendicularmente a seu plano como mostra a Figura 1.3.
Para uma corrente i numa orbita de área A o modulo do momento de dipolo magnético orbital µl do dipolo equivalente é dado por
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l iA
(1.3.5)
A direção do momento de dipolo magnético é perpendicular ao plano da orbita, no sentido indicado pela Figura 1.3.
A figura também mostra os dois polos fictícios de um dipolo que produziria um campo magnético idêntico ao real mesmo longe da orbita. A grandeza µl especifica a intensidade do dipolo magnético e é igual ao produto da intensidade dos polos pela distância que os separa. Assim teremos:
l iA
ev 2 evr r 2r 2
(1.3.6)
Sendo v r teremos
1 2
l er 2
(1.3.7)
O momento angular orbital para um átomo de hidrogênio é dado por: L me vr mer 2
(1.3.8)
Onde m e é a massa do elétron que gira em torno do núcleo. Tirando o valor de em L mer 2 e substituindo em l
1 er 2 , obtemos o 2
momento magnético em termos do momento angular:
l
Podemos observar então que a razão
e L 2me
l L
(1.3.9)
e é uma combinação das constantes 2me
universais, da massa do elétron me e a carga do elétron e.
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Escrevendo na forma vetorial, temos:
l
e L 2m e
(1.3.10)
Com isso vemos que a unidade do momento magnético dos átomos é tirada da antiga teoria de Bohr e corresponde ao momento angular de um elétron na primeira órbita de Bohr, do átomo de hidrogênio ao qual no diz que;
L n
(1.3.11)
Sendo n=1, teremos:
L
h 2
(1.3.12)
Este elétron então produz um momento magnético, o Magnéton de Bohr, que é definido em termos das constantes características do elétron:
B
e 0,927 x10 23 amp / m 2 2me e B 2me
(1.3.13)
(1.3.14)
Normalmente os momentos magnéticos dos elétrons são dados em unidades de B .
Assim teremos,
l
gl B L
(1.3.15)
como uma equação vetorial que não só especifica o módulo de l como também sua orientação em ralação à L .
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Devemos notar aqui que a razão entre o modulo µl do momento de dipolo magnético orbital e o módulo L do momento angular orbital do elétron é uma combinação de constantes universais A grandeza B , chamada de magnéton de Bohr, constitui uma unidade natural de medida do momento de dipolo magnético atômico. A grandeza g l é denominada fator g orbital e é introduzida na equação anterior de forma redundante como adotada por uma grande quantidade de livros e experiências, sua importância será mostrada posteriormente.
Aplicando-se um campo magnético B externo ao átomo o dipolo magnético ficará sujeito a um torque que tenderá a alinhar o dipolo com o campo e que associado ao torque há uma energia potencial de orientação
l B
(1.3.16)
sendo assim
Emagnética l B
(1.3.17)
Como o campo magnético B pode possuir angulações diferentes quando o campo B é
aplicado é conveniente escrever conforme a definição E magnética B cos
1.4.
(1.3.18)
PRECESSÃO E FREQUENCIA DE LARMOR.
Como havíamos comentado anteriormente. Quando o momento magnético orbital B se encontra num campo magnético uniforme B , o momento magnético B fica sujeito a um torque que tende a alinhar paralelamente o momento magnético B com o campo magnético B e que tem como objetivo ficar numa configuração de mínima energia como mostra a equação E magnética B cos .
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Sabendo isso podemos definir a precessão e a frequência de Larmor que será importante em nosso estudo. Da definição de torque temos que:
dL dt
(1.4.1)
Acontece que no caso do elétron que gira em órbita em torno do núcleo, o momento magnético é proporcional ao momento angular, e o torque vai produzir uma variação do momento angular, que é perpendicular a ele, ou seja, o momento angular tem a mesma direção que dL , fazendo então com que o elétron se comporte mecanicamente como um giroscópio atômico, e sofra precessão em torno da direção do campo.
Teremos de acordo com a Figura 1.4 que a frequência angular de precessão do elétron em órbita, denominada frequência de Larmor, dado por
d . dt
Figura 1.4 - Diagrama vetorial para o cálculo da freqüência de precessão
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Sendo
dt
dL Lsen
(1.4.2)
Logo
dL dt Lsen
Mas
l
Lsen
l Bsen Lsen
(1.4.3)
(1.4.4)
(1.4.5)
gl B g L l l B L
Então
B
gl B
(1.4.6)
(1.4.7)
A equação escrita anteriormente foi obtida através de um tratamento clássico. Porém se fizermos um tratamento quântico chegaremos aos mesmos resultados, isto é, os valores esperados das componentes perpendiculares ao campo magnético de um momento de dipolo magnético quântico variam de forma cíclica no tempo.
gl B
B
(1.4.8)
Onde (1.4.9)
A variável chama-se razão giromagnético escrevendo na forma vetorial.
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Além do valor de a variável indica que o sentido da precessão é o sentido de B . Este fenômeno é conhecido como precessão de Larmor e é a frequência de Larmor na qual a frequência de é independente do ângulo .
1.5.
MOMENTO ANGULAR ORBITAL. É muito importante que seja compreendido também o conceito de momento angular
como foi apresentado em algumas formula anteriores em que L l (l 1)
Sendo
L l (l 1)
(1.5.1)
O momento angular de uma partícula, em relação à origem de um dado sistema de coordenadas, é a grandeza vetorial L definida pela equação Lrp
(1.5.2)
Na qual r é o vetor posição da partícula e p é o vetor momento linear da partícula,
calculando as componentes do vetor em coordenadas retangulares, vemos que as três componentes retangulares de L são Lx yp z zp y
(1.5.3)
L y zp x xp z
(1.5.4)
Lz xp y yp x
(1.5.5)
onde x, y e z são as componentes de r e p x , p y e p z são as componentes de p . A fim de estudar as grandezas dinâmicas do momento angular em mecânica quântica, construímos os operadores associados.
Lx i y z z i y
(1.5.6) 24/86
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Lˆ y i z x x i z
(1.5.7)
Lˆ z i x y y i x
(1.5.8)
Como temos que utilizar de coordenadas esféricas, essas expressões ficam
Lx i sin cot g cos
L y i cos cot g sin L z i
(1.5.9)
(1.5.10)
(1.5.11)
Como o quadrado do módulo do vetor momento angular L definido como
L2 L2x L2y L2z
(1.5.12)
O operador associado em coordenadas esféricas é:
1 2 1 L2 2 2 sin 2 sin sin
(1.5.13)
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O primeiro passo na dedução das equações do momento angular consiste em usar os operadores para calcular os valores esperados da componente L e o quadrado de seu módulo, para um elétron no estado quântico ml de um átomo de um elétron apenas.
Segundo a extensão tridimensional em mecânica quântica, o valor esperado de L em coordenadas esféricas e analisadas quanticamente por um operado quântico é dado por
2
0
0
0
L
L r 2 sin drdd
(1.5.14)
Sabemos que em mecânica quântica representa o conjugado de reduzindo a expressão em um termo geral encontramos que da r 2 sin drdd em uma representação mais simplificada e
2
0
0
0
o que corresponde ao intervalo total em coordenadas esféricas
de uma partícula que se movimenta em torno de um núcleo.
Disso obtemos que
L
( L )da
(1.5.15)
então
L L ( )da
(1.5.16)
sendo L ml
(1.5.17)
teremos L ml ( )da
(1.5.18)
forma mais simplificada L
ml
26/86
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como foi aplicado anteriormente.
Com isso teremos então que L2 ( L2 )da
(1.5.19)
L2 l (l 1) 2
(1.5.20)
logo
Essas relações nos mostram que qualquer medida do momento angular de um elétron no estado atômico dará m l “sempre” L ml e L l (l 1) . O fato de nlml 1, não descrever um estado com componentes x e y do momento angular orbital definidas é do ponto de vista da mecânica clássica, misterioso. Segundo a lei de conservação do momento angular em mecânica clássica, o vetor momento angular orbital de um elétron que se move sob a influência de um potencial V r esfericamente simétrico de um átomo de um elétron, num espaço livre, estará totalmente fixo, em direção e módulo, e todas as componentes do vetor terão valores definidos.
O fato desse resultado não ser válido na mecânica quântica é uma consequência de um princípio de incerteza que impõe não ser possível conhecer com precisão total, simultaneamente, duas componentes do momento angular. Como a componente z do momento angular orbital tem o valor preciso m , a relação de incerteza exige que os valores das componentes x e y sejam indefinidos.
Verifica-se que Lx Ly 0 . Assim, a orientação do vetor momento angular orbital de um elétron, que se move num potencial esfericamente simétrico, pode ser imaginada como variando sempre de forma a que suas componentes x e y flutuem em torno de um valor médio nulo, enquanto sua componente z e seu módulo permanecem fixos. Esse resultado pode ser chamado de lei de conservação do momento angular orbital da mecânica quântica.
1
Uma abordagem mais completa os estados quânticos não são apenas definidos por ml, mas sim por n, l e ml
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Muitas das propriedades do momento angular orbital em mecânica quântica podem ser representadas por esse modelo vetorial que nos facilita a compreensão como mostra a Figura 1.5.
Figura 1.5 - Representação dos vetores momento angular para os estados possíveis.
A Figura 1.5 apresenta os diferentes estados possíveis para modelo vetorial do momento angular para l=2 e descreve os vetores momento angular para cada um dos cinco estados correspondentes aos cinco valores possíveis de m, para l=2. Se cada um dos estados L x e L y flutuam em torno de seu valor médio nulo, os vetores descrevem os estados de precessão em superfícies cônicas em torno do eixo z, satisfazendo a lei da conservação do momento angular da mecânica quântica.
O número quântico ml determina a orientação espacial do vetor momento angular orbital do átomo de um elétron. Portanto ele determina a orientação espacial do próprio átomo. Como o potencial Colombiano esfericamente simétrico implica que não existe nenhuma direção privilegiada no espaço no qual está situado o átomo, podemos entender porque a teoria prevê que a energia total não depende de m l, que determina sua orientação. E assim podemos entender por que as funções próprias são degeneradas em relação ao número quântico ml. A energia do átomo simplesmente não depende de sua orientação no espaço vazio.
Portanto podemos concluir que as componentes do momento angular na direção z são dadas por: L ml ,
onde ml 0,1,2,3... l 28/86
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e
L l (l 1)
(1.5.21)
Essa interpretação física pode ser vista conforme a Erro! Fonte de referência não encontrada..
A Figura 1.6 no mostra a Quantização direcional onde somente a projeção dos vetores
Figura 1.6 - Representação esquemática do momento angular e momento de dipolo magnético associado, indicando o movimento de precessão do orbital.
L e l sobre uma escolha de z pode ser observado. Na figura podemos verificar que a direção z é a direção de B .
Desta forma enfatizamos que o momento angular orbital está associado ao número quântico magnético a qual pode ter 2l+1 valores diferente. A componente z do momento magnético l , é quantizada de forma que
z
gl B L
(1.5.22)
z
gl B ml
(1.5.23)
z g l B ml
(1.5.24) 29/86
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2.
SPIN Para uma descrição completa da contribuição magnética do átomo, resta-nos estudar a
contribuição do Spin. Não será possível um tratamento totalmente quântico porque exigiria um conhecimento mais aprofundado da teoria eletromagnética e deixaria este trabalho um tanto quanto complexo, assim sendo utilizaremos uma combinação da teoria eletromagnética clássica e a mecânica quântica, uma simplificação normalmente adotada no tratamento didático sobre este tema.
2.1.
MOMENTO MAGNÉTICO ORBITAL DE SPIN. As experiências que medem o momento angular orbital L do elétron atômico não o
fazem diretamente, mas sim através da grandeza a ele relacionada, que é o momento de dipolo magnético orbital l , que interage com o campo magnético aplicado ao átomo. Ao considerar os resultados das medidas dos momentos de dipolo magnético atômicos, descobriremos um fato muito importante: os elétrons têm um momento angular intrínseco chamado spin, e um momento de dipolo magnético de spin a ele associado. De forma resumida, veremos neste capítulo o momento magnético l associado ao momento angular orbital L , o spin S do elétron, que está associado há um momento magnético s , e a experiência de Stern e Gerlach.
2.2.
EXPERIMENTO DE STERN - GERLACH. Vamos considerar um campo magnético não homogêneo conforme a figura abaixo: Se
lançarmos um dipolo magnético em um campo magnético não homogêneo observaremos um desvio decorrente da tendência que este dipolo apresenta para “tentar” se alinhar com o campo magnético presente como mostra a Figura 2.1.
Observando a figura abaixo:
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Figura 2.1 - Aplicação de um campo magnético não homogêneo a um dipolo.
Figura 2.2 - Exemplo da montagem experimental de Stern – Gerlach.
Os dipolos estão sendo lançados a partir do forno com uma componente de velocidade v em direção a tela. Se efetuarmos um “zoom” na região de deformação das linhas de campo, teremos esquematicamente que:
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Figura 2.3 - Comportamento do dipolo dentro do campo magnético
Considerando que estes dipolos apresentam uma orientação definida em relação ao campo externo, isso acarretará em um movimento de precessão. Um movimento de precessão como foi dito anteriormente (Precessão e frequencia de larmor.) consiste numa forma de movimento que ocorre quando se aplica a um corpo em rotação, de tal modo que tende a mudar a direção do seu eixo de rotação. Isto acontece porque a resultante da velocidade angular de rotação e o aumento da velocidade angular produzido pelo momento, é uma velocidade angular em torno de uma nova direção. Geralmente, esta faz variar o eixo do momento aplicado e tem como resultado manter a rotação em torno do eixo inicial. No entanto nestes dipolos ao mesmo tempo surge uma força de translação desviandoos conforme suas orientações:
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Figura 2.4 - Desvios dos dipolos magnéticos na presença do campo magnético.
Teremos duas situações diferentes com orientações up e down (cima e para baixo). Aqueles que tem o seu momento de dipolo com alinhamento para cima segundo o eixo de aplicação do campo serão desviados para baixo e aqueles que apresentarem orientação oposta ao anterior desviarão para cima. Este experimento foi realizado com diferentes átomos e mostraremos aqui os resulta dos obtidos com átomos de Lítio e Hidrogênio. Ambos com um elétron no termo s de energia e com l 0 . Portanto não existindo uma orientação definida para os orbitais s, ou seja, ml 0 . Esperava-se obter, portanto, uma mancha se definição específica na tela, já que ml 0 2
Figura 2.5 - Esquema da Ampola de Stern - Gerlach. 2
Aqui caberia uma pergunta que facilita a compreensão desta ausência de orientação. Para l= 0 o orbital assume a forma geométrica de uma esfera. É possível orientarmos uma esfera no espaço?
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Os resultados obtidos no experimento de Stern-Gerlach podem ser vistos na Figura 2.6, indicando os dois traços para átomos de Lítio e Hidrogênio, apesar de apresentar um valor nulo para o momento angular e numero quântico magnético igual a zero.
Resultados obtidos:
Figura 2.6 - Resultados obtidos para o Lítio e o Hidrogênio
Observe que existem duas faixas para cada um destes átomos e isto é bem mais nítido para o Lítio. Mas se l 0 para estes átomos como podemos justificar estes dois desvios?
A explicação é que, deveria existir alguma outra contribuição magnética para o átomo. Esta contribuição magnética é aquela oferecida pelo momento angular de rotação do elétron ao redor de seu próprio eixo que foi chamado de spin. No orbital s podemos ter dois elétrons, só que cada um deles pode girar em torno de seu próprio eixo em sentidos opostos. Teremos um momento angular de spin dado por:
Ls s(s 1)
(2.2.1)
34/86
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S é o número quântico do momento angular de spin e só pode assumir o valor 1/2. Assim o único valor possível para LS será:
(2.2.2)
Já para a orientação espacial poderemos ter com relação ao eixo z as orientações que correspondem aos vetores: Ls m S
(2.2.3)
1 LSz 2
(2.2.4)
Quando mS 1 / 2 temos Spin-up, para mS 1 / 2 teremos Spin-down.
Figura 2.7 - Orientação espacial para Ls.
Do mesmo modo que o momento angular orbital o momento angular de spin está relacionado com o momento magnético de spin pela relação?
s
g s B Ls
(2.2.5)
Onde gs representa a razão giromagnética do spin ou fato g de spin 35/86
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s z
g s B Lsz
(2.2.6)
s z
g s B ms
(2.2.7)
s z g s B ms
(2.2.8)
Os resultados obtidos através do experimento de Stern Gerlach nos fornecem? g s m s 1
(2.2.9)
gs 2
(2.2.10)
Como mS 1 / 2 teremos?
Experimentos mais precisos nos mostram que g s 2,0023193043 622 3, referência no site do NIST (National Institute of Standards and Technology)
Para complementar os estudos propomos o simulador do experimento de Stern-Gerlach disponível no link: http://phet.colorado.edu/sims/stern-gerlach/stern-gerlach_en.html
Figura 2.8 - Tela do simulador do experimento de Stern-Gerlach em que observa-se os desvios devido a contribuição de spin
3
Referência obtida em http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem|search_for=atomnuc! :NIST (National Institute of Standards and Technology).
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2.3.
INTERAÇÃO SPIN – ORBITA Embora a idéia de spin seja sutil, muitos dos efeitos por ele produzidos não são nada
sutis. Talvez o fato mais importante seja a duplicação do número de elétrons que o “Princípio de exclusão de Pauli”4 permite, para preencher os estados quânticos de um átomo de muitos elétrons. Veremos mais adiante que o estado fundamental dos átomos ficaria muito alterado se os elétrons não tivessem o spin. Isto traria grandes consequências sobre as propriedades periódicas dos átomos, e, portanto em toda a química e na física do estado sólido. Estudaremos adiante os efeitos do spin, sobre o campo magnético interno do átomo e sobre momento angular total.
2.4.
ENERGIA DE INTERAÇÃO SPIN – ORBITA E MOMENTO ANGULAR TOTAL. A interação entre o momento magnético de spin e o campo magnético interno de um
átomo de um elétron. Como o campo magnético interno é consequência do momento angular orbital do elétron, chamaremos a essa interação de interação spin-órbita. Trata-se de uma interação relativamente fraca que é responsável, em parte, pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de um elétron. A interação spin-órbita também ocorre nos átomos com mais de um elétron, mas nesses átomos ela é razoavelmente forte, uma vez que o campo magnético interno é muito forte. Além disso, um efeito totalmente análogo à interação spin-órbita ocorre no núcleo. A interação spin-órbita nuclear é tão forte que ela governa as propriedades periódicas do núcleo. Fica fácil imaginar que a existência de um momento angular de spin ao elétron deve alterar o momento angular total do sistema. Haverá um acoplamento L-S entre estes momentos angulares fornecendo um momento angular total resultante.
O vetor resultante J L Ls deve ser calculado para cada L considerando mS 1 / 2 e mS 1 / 2 . 4
O princípio de exclusão de Pauli constitui um postulado da mecânica quântica, formulado em 1925 pelo físico suíço. Segundo este princípio cada estado quântico de um elétron num sistema físico, isto é, cada estado permitido pela teoria quântica e caracterizado por números quânticos para a energia (o momento - propriedade de um núcleo - e o spin - parte do momento angular de uma partícula) pode ser ocupado, no máximo, por um elétron.
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L l (l 1)
(ver equação 1.5.21)
Ls s(s 1)
(ver equação 2.2.1)
Teremos o numero quântico total dado por: j 1 S e j 1 S
(2.4.1)
Portanto o vetor momento angular total será dado por:
J
j ( j 1)
(2.4.2)
Figura 2.9 - Vetores momento angular L, S e J.
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Exemplo de somas vetoriais como mostra a figura abaixo.
Figura 2.10 - Diagramas vetoriais.
2.5.
EXPERIMENTO RESSONÂNCIA DE SPIN ELETRÔNICO 2.5.1. INTRODUÇÃO. Normalmente, moléculas de compostos dos elementos representativos têm um estado
fundamental no qual todos os elétrons estão emparelhados. Ou seja, em cada orbital podemos ter no máximo dois elétrons com spin oposto, um com +1/2 e outro com -1/2 (principio da exclusão de Pauli como foi dito anteriormente em nota neste trabalho). Elétrons emparelhados quer dizer que estão aos pares nos orbitais.
Compostos com todos os elétrons tendo spin emparelhados não apresentam, em seus espectros eletrônicos, efeitos magnéticos resultantes de dipolos magnéticos de SPIN que sejam significativos. Na presença de um campo magnético, a existência de um dipolo magnético do spin produz uma energia potencial de interação dada pela equação; E g s B ms B
(2.5.1)
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Quando um único elétron está envolvido (como no caso de radicais livres representativos), o vetor do spin total é simplesmente 1/2, e a energia potencial de interação pode ser reescrita em termos do número quântico com mS igual a +1/2 ou -1/2. A figura em seguida nos mostra o esquema representativo da diferença de energia entre dois níveis.
Figura 2.11 - Ausência e presença do campo magnético e diferentes níveis de energia.
Na ausência de um campo magnético B=0, um elétron desemparelhado de um radical livre tem a mesma energia, não importa qual a direção do seu spin. Porém, na presença de um campo magnético B≠0, as duas direções do spin tem energias diferentes, e a radiação eletromagnética pode provocar uma transição entre os dois níveis de energia. Usando a equação E sz B agora para um elemento representativo contendo apenas um elétron, onde sz g s B mS . Assim teremos : E g s B mS B
(ver equação 2.5.1)
Na qual gs representa a razão giromagnética para um elétron ou fator de spin. Se uma amostra que tenha um elétron desemparelhado for introduzida em um campo magnético, ela poderá absorção radiação com o comprimento de onda adequado de tal modo que fará o elétron transitar entre os dois estados de energia possíveis para ms= +1/2 ou ms= -1/2.
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Quando a diferença de energia induzida pela interação magnética entre os dois estados é igual à energia de um fóton, pode ocorrer a absorção de um fóton e dizemos que se estabelece um estado de ressonância.
O arranjo básico que permitirá estudar esta ressonância é mostrado na Figura 2.12.
Figura 2.12 - Arranjo básico para a observação de spin eletrônico sobre uma amostra.
Uma amostra de teste é colocada em um campo magnético uniforme. A amostra é colocada no interior de uma bobina conectada a um gerador de radiofrequência que possibilitará fixarmos a frequência da radiação ressonante. O campo magnético de menor intensidade induzido pela bobina é perpendicular ao campo magnético uniforme entre os dois polos ao qual indica o seu sentido B . Considere, por um momento, um único elétron dentro da amostra de teste. O elétron tem um momento de dipolo magnético s como foi descrito anteriormente e que está relacionado com o seu momento angular intrínseco, ou spin L s, dado por:
s
g s B Ls
(ver equação 2.2.5)
g s = constante característica para o elétron, o fator g de spin.
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As componentes de
s e Ls na direção z respectivamente para l g s B ms ; Z
Lsz ms .
O magnéton de Bohr como foi dito anteriormente B
e 0,927 x1023 amp / m2 . 2m
O momento de dipolo magnético deste elétron interage com o campo magnético uniforme fazendo com que o nível de energia do estado fundamental seja desdobrado em duas componentes, dispostas simetricamente de um lado e de outro do nível de energia do estado fundamental na ausência de campo.
Este desdobramento reflete os dois valores possíveis para a energia potencial orientacional como foi explicado anteriormente e é dado por: 1 E lZ B g s B mSl B g s B B 2
(2.5.2)
A ressonância ocorre quando a frequência do gerador de radiofrequência é sintonizada para um valor frequência , tal que a energia dos fótons irradiados, h é igual à diferença entre os dois estados de energia possíveis para o elétron, ou seja, E h .
Elétrons no estado mais baixo de energia podem absorver um fóton e pular para o estado de energia mais alta como sabemos da mecânica quântica. Esta absorção de energia afeta a permeabilidade da amostra de teste, a qual afeta a indutância da bobina e, portanto, as oscilações do gerador de radiofrequência tem como resultado uma mudança na corrente fluindo através do gerador, a qual pode ser observada. A condição para ressonância é que a energia dos fótons emitidos pelo gerador seja igual à diferença de energia entre os dois estados do spin da amostra de teste, ou seja: hf g s B B
(2.5.3)
Para um elétron com somente dois estados de energia, em um campo magnético de módulo B, seria necessário ajustar o valor da radiofrequência com precisão considerável para ser possível observar a ressonância. Na prática, esta dificuldade é resolvida variando-se o
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módulo do campo magnético em torno de um valor constante. Em nossa montagem, isto é feito suprindo-se uma pequena corrente AC, superposta a uma corrente DC maior, a um par de bobinas de Helmholtz. O resultado é um campo magnético que varia senoidalmente em torno de um valor constante. Se a frequência do gerador é tal que a equação 3 seja satisfeita em algum ponto entre os valores mínimo e máximo do campo magnético com variação senoidal, então, ressonância ocorrerá duas vezes durante cada ciclo do campo. A ressonância é normalmente observada com um osciloscópio de dois canais. Os traços no osciloscópio, durante a ressonância, são mostrados na Figura 2.13.
Figura 2.13 - Traços no osciloscópio durante a ressonância de uma amostra.
O traço superior é uma medida da corrente através das bobinas de Helmholtz, a qual é proporcional ao campo magnético. O traço inferior mostra o sinal de tensão através do gerador de radiofrequência, a qual diminui de maneira pronunciada cada vez que o campo magnético passa através do ponto de ressonância.
2.5.2. CAMPO MAGNÉTICO GERADO PELAS BOBINAS DE HELMHOLTZ APLICADO NA AMOSTRA. Com a aplicação do campo B das bobinas de Helmholtz, retiramos a degenerescência do spin e criamos dos estados de energia: momento de dipolo de spin paralelo a B e antiparalelo.
O sinal de radiofrequência gerado pela bobina menor pode fornecer uma radiação de energia igual à energia necessária para levar o elétron de um estado de menor energia para um 43/86
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estado de maior energia. O que corresponde a dizer que orientamos os pequenos dipolos numa direção preferencial. Esta orientação preferencial para os dipolos presentes na amostra acaba “perturbando” ou interferindo no sinal de tensão fornecido pela bobina de radiofrequência.
Esta perturbação pode ser evidenciada através da observação do sinal em um osciloscópio e está indicada na Figura 2.13. O sinal indica uma redução na indução magnética observada nos terminais da bobina.
2.6.
EQUIPAMENTOS UTILIZADOS EM LABORATÓRIO PARA A MONTAGEM EXPERIMENTAL. Abordaremos aqui neste item a descrição da montagem experimental de nossa para que
seja compreendido cada passo adotado. Para a montagem experimental foi necessário a utilização de equipamentos, como Multímetros, Osciloscópio, amostra e etc. Iremos aqui introduzir esses equipamentos mostrando cada um separadamente.
2.6.1. MULTÍMETRO. O multímetro utilizado em laboratório foi o multímetro da empresa Minipa ET-2700 da qual possui as seguintes características conforme o manual da empresa fabricante: Corrente DC Faixa de 200µA, 2mA, 20mA, 200mA, 20A. Precisão: ±(2,0% Leit.+10Dig.) para a faixa de 20A. ±(0,5% Leit.+5Dig.) para outras faixas. Resolução de 10nA a 1mA.
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Figura 2.14 - Multímetro.
2.6.2. OSCILOSCÓPIO DIGITAL O osciloscópio digital utilizado neste experimento teve por principal objetivo verificar a superposição de ondas da ressonância entre o as ondas geradas pela bobina de Helmholtz e a respostas da substancia usada no experimento. O osciloscópio usado foi o da Empresa Tektronix TDS 210.
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Figura 2.15 - Osciloscópio Digital.
2.6.3. ADAPTADOR DE RESSONANCIA ELETRÔNICA. Unidade Central para Ressonância Eletrônica.
Figura 2.16 - Unidade Central ou de Controle do ESR.
Este equipamento fornece o sinal para as bobinas de Helmholtz, suas componentes DC e AC e efetua o ajuste de fase entre estes sinais e permite a observação através de um osciloscópio duplo feixe.
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2.6.4. BOBINAS DE HELMHOLTZ. As bobinas de Helmholtz utilizada neste experimento foram conectadas a uma corrente alternada AC e uma componente DC de forma que o campo magnético gerador por estas bobinas pudesse agir sobre a substancia de prova. Cada bobina continha 320 espiras. Através da unidade central pode-se ajustar a amplitude do sinal AC e a componente DC que propiciará o valor do campo magnético para desdobramento dos níveis de energia da amostra utilizada.
Figura 2.17 - Bobinas de Helmholtz.
2.6.5. SUPORTE. Também foi utilizado um pequeno suporte para manter a distancia entre as bobinas, fixando-as para que fosse possível uma melhor distribuição uniforme do campo magnético entre elas. O valor desta distancia corresponde numericamente ao valor do raio das espiras de modo a obter um campo uniforme nesta região.
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È muito importante o alinhamento adequado destas espiras e sua conexão em serie para garantir uma boa uniformidade deste campo.
Figura 2.18 - Suporte feito para fixar as distancias entre as bobinas de Helmholtz.
Figura 2.19 - Suporte fixando as bobinas.
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2.6.6. UNIDADE DE PROVA. A unidade de prova foi utilizada estabelecer a frequência do sinal que será aplicado às bobinas de prova e a intensidade de corrente para estas bobinas.
Figura 2.20 - Unidade de prova usada.
Figura 2.21 - Posição da unidade de prova entre as bobinas.
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Figura 2.22 - Unidade de prova entre as bobinas vista de cima.
2.6.7. BOBINAS DE PROVA. Neste experimento utilizamos duas bobinas de prova. Cada bobina apresenta uma faixa de frequência de operação que são bobina 1 de 13 à30 MHz e bobina 2 de 30 à75 MHz.
A amostra foi inserida dentro destas bobinas de provas para gerarmos o sinal de radiofrequência que possibilitará a transição entre os estados de energia criados pela aplicação do campo magnético das bobinas de Helmholtz. Quando a ressonância é estabelecida altera -se a indutância destas bobinas e um sinal é observado. As duas bobinas são vistas abaixo na figura que se segue.
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Figura 2.23 - Bobinas de Prova usadas (13-30MHz e 30-75MHz).
2.6.8. AMOSTRA UTILIZADA. A amostra utilizada foi o Difenil-Picril-Hidrazil (DPPH), especificações sobre esta amostra será abordada adiante. A amostra utilizada estava presa sobre um pequeno tudo de vidro.
Figura 2.24 - Amostra usada (DPPH).
Para entendermos melhor como se dá o processo de ressonancia, vamos verificar algumas de suas propriedades. Um pequeno número de moléculas orgânicas são denominadas de radicais livres por conterem um único elétron desemparelhado, eletrons desemparelhados são pela regra do 51/86
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octeto, átomos que quando apresentam um numero de elétrons inferiores à quantidade de elétrons que devem possuir em seus respectivos níveis de energia ou camadas. A molécula aa-Di-phenyl-b-picryl-hydrazyl (DPPH) foi a substancia usada em nossa experiencia. Todos os seus elétrons, com exceção de apenas um, encontram-se emparelhados, de forma que, há apenas o movimento orbital e o de spin de um elétron presente por molécula. O movimento de spin deste único elétron desemparelhado dá a esta molécula um fator g que é muito próximo ao de um elétron livre (g = 2,0038 no lugar de 2,00232) fator este objeto de estudo neste experimento[6]. A figura 2.25 mostra a molécula difenil-picra-hidrazil, ou DPPH, e o um radical com um elétron desemparelhado em um dos átomos de nitrogênio na ponte. Os elétrons desemparelhados na amostra DPPH não tem momento angular orbital. Desta forma a ressonância de spin pode ser estudada isoladamente. De forma que o momento angular orbital é igual a zero e somente um elétron desemparelhado o que torna a analise experimental com base nesta substancia bastante simples.
Figura 2.25 - Molécula de difenil-picra-hidrazil (DPPH).
2.7.
MONTAGEM DO SISTEMA EXPERIMENTAL.
O equipamento que dispomos em laboratório foi montado conforme mostra abaixo a sequencia de figuras. Os equipamentos devem ser montados como mostrado na Figura 2.26. 52/86
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Figura 2.26 - Montagem do experimento.
Figura 2.27 - Sistema de montado conforme a montagem experimental.
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Podemos iniciar nossa montagem experimental da seguinte forma:
1° - Conectamos as bobinas de Helmholtz em série (Figura 2.26).
2° - Posicionamos as bobinas de Helmholtz tal que elas sejam paralelas e apontando na mesma direção. A separação entre as bobinas deve ser aproximadamente igual a seus raios. Este arranjo produz um campo magnético altamente uniforme na posição central entre as duas bobinas. 3° - Conectamos as fontes, amperímetro, osciloscópio e os demais componentes do circuito mostrados na Figura 2.28.
Figura 2.28 - Circuito experimental.
2.8.
EXPLICAÇÃO DO CIRCUITO. As bobinas de Helmholtz necessitam de uma pequena corrente AC superposta a uma
corrente DC maior. Estas corrente são fornecidas pelas fontes AC e DC conectadas em paralelo. O capacitor de 1000 μF isola a fonte AC da fonte DC para prevenir distorções.
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Por causa da indutância das bobinas de Helmholtz, a corrente nas bobinas está fora de fase com o sinal de voltagem que é observado no osciloscópio. Para corrigir isto, um resistor variável e um capacitor de 0,1 μF são usados para mudar a fase do sinal de voltagem que é mostrado no osciloscópio. Isso permite que o experimentador ajuste a fase entre os traços do osciloscópio, tal que a corrente AC nas bobinas de Helmholtz e os pulsos de ressonância apareçam simétricos, como eles são na realidade. 4° - Ligamos as fontes de voltagem. Ajustamos o valor DC de maneira a produzir uma corrente de aproximadamente 1Ampére nas bobinas de Helmholtz. Ajustando o valor AC para aproximadamente 2V. Com os controles do osciloscópio ajustados para esses valores, o canal 1 do osciloscópio mostrará a corrente nas bobinas de Helmholtz, exceto por uma mudança de fase causada pela indutância das bobinas. O traço é uma senóide simples. Esses traços podem ser visto na Figura 2.29 como mostra na tela do osciloscópio (a figura mostra apenas os sinais senoidais das bobinas de Helmholtz).
Figura 2.29 - Senoide do campo magnético nas bobinas de Helmholtz mostrado na tela de um osciloscópio, a linha reta representa a bobina de prova desprovida de intensidade de corrente.
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5° - Conectamos a Unidade de Prova ao Adaptador para Ressonância Eletrônica e conectando o Adaptador a uma fonte de voltagem, medidor de freqüência (um osciloscópio será usado) e ao osciloscópio, como indicado na Figura 2.28.
6° - Inserimos a amostra de teste na sonda de radiofrequência e colocamos a sonda e a amostra no centro das bobinas de Helmholtz, com o eixo das bobinas perpendicular à amostra (Figura 2.28).
7º - Ajustamos a frequência para um valor desejado (indicado seu valor na unidade de controle) e a amplitude para um valor médio. Feito isso o sinal da Figura 2.30 foi observado.
Figura 2.30 - Estados de ressonância da amostra vista na tela do Osciloscópio.
7° - Caso não seja verificado os pulsos de ressonância, devemos variar lentamente a corrente DC nas bobinas de Helmholtz ou variar o valor da frequência do gerador até que os pulsos apareçam e a medida possa ser feita.
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3.
ESPECIFICAÇÕES DA AMOSTRA Aqui iremos abordar algumas características da amostra utilizada em nosso experimento
para entendermos melhor o processo de ressonância da substancia utilizada.
3.1.
PROPRIEDADES DA AMOSTRA E A RESSONANCIA Como vimos para a molecula DPPH todos os seus elétrons, com exceção de apenas um,
encontram-se emparelhados, de forma que, há apenas o movimento orbital e o de spin de um elétron presente por molécula. O movimento de spin deste único elétron desemparelhado dá a esta molécula um fator g que é muito próximo ao de um elétron livre (g = 2,0038 no lugar de 2,00232) esse fator g é muito importante para determinarmos os estados de ressonancia dessa substancia.
Figura 3.1 - Reação genérica entre o radical livre DPPH e um antioxidante.
Na presença do campo magnético a substancia DPPH apresenta diferentes níveis de energias estando nos estados como descreve os diferentes níveis de energia presente na Figura 2.11. As energias dos níveis de transições podem ser escritos como vimos anteriormente por: hf g s B B
(ver equação 2.5.3)
A probabilidade de transição depende do número de ocupação e dos elementos de matriz. Estes últimos são os mesmos para os processos de absorção e de emissão. Devidos as 57/86
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interações dos spins com a rede ou entre si, os níveis não são definidos de forma exata, e isto conduz a uma largura na linha de transição do espectro de absorção e impede uma equipartição dos níveis (saturação) devido aos processos de relaxação correspondentes.
Os números de ocupação dos diferentes niveis são dados em acordo com a relação de Boltzmann por:
E
N2 e kT e N1
gs B B kT
(3.1.1)
onde k=1,38x10-23J/K é a constante de Boltzmann. De forma geral, o valor de gs é específico da substância medida e traduz, em si, todas as perturbações linearmente dependentes com B. Sua determinação a partir da expressão h g s B B parte do valor pré-determinado de cada frequencia. Desta forma, o campo B
deve ser variado de forma a satisfazer a condição de ressonância. Uma curiosidade relativa à amostra utilizada é que o radical DPPH é estável, de coloração púrpura, porém quando reduzido passa a ter coloração amarela. Devido a esta propriedade esta molécula tem sido utilizada para testar compostos antioxidantes já que sua cor é alterada quando sofre a redução (BRAND-WILLIAMS et al., 1995)[5]. Apenas para exemplificar a relevância destes estudos devemos observar que os antioxidantes são compostos que atuam inibindo e /ou diminuindo os efeitos desencadeados pelos radicais livres e compostos antioxidantes. São importantes porque com o combate aos processos oxidativos tem-se menores danos ao DNA e às macromoléculas, amenizando assim os danos cumulativos que podem desencadear doenças como o câncer, cardiopatias e cataratas (MAIA, et. al., 2007) dentre outras. Os radicais livres, tais como a molécula DPPH, são espécies reativas que estão associadas a causas ou conseqüências de inúmeras patologias. Estudos mostram que várias doenças tem sido freqüentemente associadas com danos oxidativos, pela formação de espécies ativas de oxigênio (EAO) e outros radicais livres que podem ser produzidos por fontes exógenas ou endógenas (HALLIWELL, 1999)[7]. Uma forma adequada de amenizar essa situação é o uso de substâncias antioxidantes. Tais considerações mostram, portanto a relevância de se efetuar estudos sobre as propriedades da molécula DPPH. 58/86
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4.
RESULTADOS OBTIDOS Neste capitulo incluiremos a forma como foi interpretado os nossos dados de forma
simplificada para que fosse possível encontrar valores de g muito próximo ao valor esperado e deduzido teoricamente.
4.1.
DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE GIROMAGNÉTICA. O campo magnético nas bobinas de Helmholtz foi ligado em correntes AC como foi
determinado anteriormente (explicação do circuito). O campo magnético em uma bobina de Helmholtz é dado por 3
4 2 Ni B 0 R 5
(4.1.1)
Onde
0 = Constante de Permeabilidade Magnética igual a 0 1,256 .10 6 m.kg.s 2 . A 2
N = Número de Espiras em cada Bobina igual a 300 i = Corrente elétrica DC fixada nas espiras de Helmholtz R = Raio de cada Bobina igual a 6,8 cm Como vimos anteriormente a variação de energia magnética é dado por hf g s B B
Ou seja
(ver equação 2.5.3) gs
hf B B
Se observarmos a relação acima podemos verificar que existe uma relação linear entre a energia da radiofrequência fixada e o campo magnético fixado nas bobinas de Helmohtz. Portanto, podemos obter o fator g a partir do coeficiente angular da equação da reta que . relaciona a energia da radiação de radiofrequência e o produto B B
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Para obter o valor do campo magnético nas espiras de Helmholtz utilizamos a equação 4.1.1. A tabela 1 abaixo fornece os valores encontrados experimentalmente conforme a variação do valor de corrente ou de frequência.
Tabela1: Dados Obtidos
Figura 4.1 - Representação dos valores experimentais encontrados.
Note que para cada valor especifico de corrente há apenas um valor de frequência correspondente ao estado de ressonância da amostra utilizada.
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Figura 4.2 - Gráfico obtido com os dados experimentais, representação do coeficiente angular gs.
Observando o gráfico é fácil verificar o valor do coeficiente angular da reta que nos fornece o valor de gs igual a (2,025±0,001), lembrando que no capitulo 2.2 gs = 2,002319 (NIST) para o elétron livre e para a amostra utilizada DPPH o fator g corresponde a 2,0038. Observa-se que apesar da elevada precisão na medida sua exatidão nos deixa a desejar, desviando em 1% do valor esperado. Isso nos leva a crer que a montagem apresenta um erro sistemático que muito provavelmente está associado ao posicionamento da amostra e a uniformidade do campo magnetico das espiras de Helmholtz. Para que o leitor possa compreender melhor este experimento o leitor pode acessar ao link, em que disponibilizamos um vídeo com detalhes da montagem experimental: http://fambpucsp.blogspot.com/2010/11/ressonancia-magnetica.html
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5.
RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR. Neste capitulo abordaremos os conceitos básicos atribuídos ao fenômeno de ressonância
magnética nuclear para que possamos compreender como se da a formação de imagem nos aparelhos de IRM. Antes gostaria de apresentar ao leitor um vídeo encontrado na internet que introduz alguns conceitos básicos de funcionamento deste fenômeno. O vídeo presente apresenta-se em três partes, e para tanto o link posto aqui corresponde à primeira parte desta apresentação, caso o leitor queira ver os demais estará no link do próprio site os outros vídeos complementares. O
vídeo
se
chama:
Como
Funciona
a
Ressonância
Magnética
http://www.youtube.com/watch?v=YeVHTjMwVTo&playnext=1&list=PLDD42BDB144049 492&index=68 Neste vídeo há uma pequena introdução básica de seu funcionamento.
5.1.
INTRODUÇÃO À RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR. De forma resumida a Imagem por Ressonância Magnética é praticamente o resultado da
interação do forte campo magnético produzido em equipamentos capaz de gerar campos magnéticos com alta intensidade (utilizados na obtenção de imagens por ressonância magnética) com os prótons de hidrogênio do tecido humano, como mostra Figura 5.1.
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Figura 5.1 - Exemplo tridimensional da obtenção da IRM através da RMN. http://indiahealthtour.com/treatments/health-check-screening/MRI-india.html (acesso 10/10/2010)
O equipamento mostrado na Figura 5.1, de forma 3D, nos mostra uma pessoa sendo introduzida dentro da bobina magnética de forma que o campo magnético criado dentro da bobina atravessa a pessoa. Equipamentos como esses podem ser vistos nos exames de RMN que criando uma condição para que possamos enviar um pulso de radiofrequência, para a obtenção de imagens, após este pulso sofrer alterações devido aos átomos de hidrogênio presente no corpo de uma pessoa inserida dentro deste possa ser coletada estando esta radiofrequência modificada. Este sinal coletado é processado e convertido numa imagem ou informação que pode ser visto abaixo na Figura 5.2.
Figura 5.2 - Obtenção de uma imagem do cérebro através da RMN.
http://www.bitterrootimaging.com/faq.html (acesso 10/10/2010)
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Para entendermos melhor esse processo de formação da imagem bem como uma pessoa é introduzida neste campo magnético de alta intensidade, podemos ver na internet esse processo através
de
um
vídeo
presente
neste
link:
http://www.youtube.com/watch?v=9E1GoWhSlho&feature=related
5.2.
MOMENTO MAGNÉTICO ORBITAL DE SPIN. As propriedades de ressonância magnética têm origem na interação entre um átomo em
um campo magnético externo, como veremos mais adiante, é um fenômeno em que partículas contendo momento angular e momento magnético, exibem um movimento de precessão quando estão sob ação de um campo magnético. Os principais átomos que compõem que estão presentes no corpo humano são: hidrogênio (H), oxigênio (O), carbono (C), fósforo (P), cálcio (Ca), flúor (F), sódio (Na), potássio(K) e nitrogênio(N). Estes átomos, exceto o hidrogênio, possuem no núcleo atômico prótons e nêutrons. Apesar de outros núcleos possuírem propriedades que permitam a utilização em Imagem por Ressonância Magnética, o hidrogênio é o escolhido por três motivos básicos: • É o mais abundante no corpo humano: cerca de 10% do peso corporal se deve ao hidrogênio; • As características de RMN se diferem bastante entre o hidrogênio presente no tecido normal e no tecido patológico; • O próton do hidrogênio possui o maior momento magnético e, portanto, a maior sensibilidade a RMN.
Como sabemos o corpo humano possui cerca de 10% do H, fato que facilita a obtenção da ressonância magnética, pois o átomo de hidrogênio é o que melhor responde à ressonância por possuir o maior momento magnético. O átomo de hidrogênio por ser o mais simples da tabela periódica possui como núcleo o próton sendo ausente de nêutrons. Para o hidrogênio temos também os isótopos Deutério (H2) e Trítio (H3), que correspondem a presença de nêutrons nos seus núcleos, mas estes não são objetos de nosso estudo. Os prótons são partículas carregadas positivamente e que possui uma propriedade chamada SPIN ou Momento Angular. 64/86
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Para exemplificarmos isso veja a Figura 5.3.
Figura 5.3 - Dipolo Magnético Nuclear Fictício.
Para facilitar a compreensão podemos imaginar o próton de hidrogênio como uma pequena esfera (1), que possui um movimento de giro, ou spin, em torno do seu próprio eixo (2); por ser uma partícula carregada positivamente (3), irá gerar um campo magnético próprio ao seu redor (4), comportando-se como um pequeno dipolo magnético (4) ou como um imã (5), com um momento magnético (μ) associado. Para entender melhor isso podemos tentar explicar de forma mais exemplificada verificando sua aplicação física no tecido humano, de forma que a nossa compreensão sobre este assunto torne mais competente e mais fácil de ser analisado, para isso verificamos nos próximo item as questões que envolvem a Física da RMN.
5.3.
RESSONANCIA MAGNETICA NUCLEAR Como o objetivo é ter uma visão simplificada e introdutória da física relacionada à
imagem por ressonância magnética e visto que já comentamos anteriormente algumas propriedades do momento angular do átomo e do elétron em torno do seu núcleo, podemos então a principio admitir que o spin represente o movimento de giro do próton em torno de seu próprio eixo, da mesma forma que um pequeno pião. Para o próton de hidrogênio (H1), o spin pode assumir valores de +1/2 ou -1/2 (veremos isso adiante), o que em nossa analogia clássica representar os prótons girando para um lado ou para o outro. Juntamente com o spin, o próton de hidrogênio possui outra propriedade chamada de momento magnético, que faz com que o mesmo se comporte como um pequeno imã (ver Figura 5.3)
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Esta analogia é valida se visualizarmos o próton como uma pequena esfera carregada positivamente e girando em torno de seu próprio eixo (spin). Como para toda partícula carregada em movimento acelerado surge um campo magnético associado, o próton de hidrogênio se comporta como um dipolo magnético. Podemos utilizar um vetor para descrever cada dipolo magnético.
E o que acontece quando um próton de hidrogênio ou um conjunto de prótons de hidrogênio é colocado sob ação de um campo magnético externo?
Quando um próton ou um conjunto de prótons é colocado sobre a ação de um campo magnético intenso temos o alinhamento deste dipolos ou de spin de forma que o comportamento randômico agora apresenta-se alinhados todos os dipolos. Para podermos entender melhor é importante sabermos que a temperatura média de 36,5 ºC do corpo humano, e sob ação do fraco campo magnético terrestre de 0,3 Gauss (ou 3x10 5 -
Tesla, uma vez que o fator de conversão é de 1,0T=10.000G), os momentos magnéticos não possuem uma orientação espacial definida. Esta distribuição aleatória faz com que a magnetização resultante de um volume de tecido seja igual a zero, como mostra a Figura 5.4.
Figura 5.4 - Spins na ausência e na presença de um campo magnético. http://upgradeimaging.com/page10/page13/Fisica%20da%20RM/Fisica%20da%20RM.html (Acesso 10/10/2010).
Quando o paciente é posicionado no interior do magneto ou da bobina de ressonância magnética (Figura 5.1) e fica sob ação de um campo magnético com uma intensidade alta de aproximadamente, por exemplo, 1,5 T que é a faixa de intensidade utilizado por alguns 66/86
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equipamentos para a obtenção de IRM, os prótons de hidrogênio irão se orientar de acordo com a direção do campo aplicado, como se fossem pequenas bússolas; porém, ao contrário das bússolas, que apontariam seu norte marcado na agulha para o sul magnético, os prótons de hidrogênio apontam tanto paralelamente quanto antiparalelamente ao campo. As duas orientações representam dois níveis de energia que o próton pode ocupar: o nível de baixa energia (alinhamento paralelo) e o nível de maior energia (alinhamento antiparalelo), como mostra a Figura 5.5.
Figura 5.5 - Alinhamento paralelo e antiparalelo dos prótons de hidrogênio.
Vimos no capitulo 1.4 que ao aplicarmos um campo magnético devido a quantização do momento magnético haverá um movimento de precessão com frequência de Larmor dada por:
B
(ver equação 1.4.8)
Onde representa a razão giromagnética associada. Para o hidrogênio, a razão giromagnética é de 42,58 MHz/T, portanto para cada intensidade de campo magnético aplicado podemos ter frequência distintas. Para os valores comumente utilizados temos
Para 0,5 T – a frequência de precessão do H é de 21,28 MHz ( 42,57 MHz x 0,5 T );
Para 1,0 T – a frequência de precessão do H é de 42,57 MHz ( 42,57 MHz x 1,0 T);
Para 1,5 T – a frequência de precessão do H é de 63,87 MHz ( 42,57 MHz x 1,5 T ). 67/86
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A Figura 5.6 nos mostra à direita spins alinhados paralelamente e antiparalelamente ao campo magnético externo aplicado (eixo z), realizando movimento de precessão à esquerda vetor magnetização resultante (M0) de um elemento de volume do tecido.
Figura 5.6 - Direita: spins alinhados paralelamente e antiparalelamente ao campo magnético externo e vetor resultante.
A figura abaixo mostra os eixos de coordenadas (x, y e z) e o vetor que representa o momento magnético de um próton de hidrogênio realizando o movimento de precessão em torno do eixo z, assim como as mesmas coordenadas num típico magneto supercondutor. O eixo z, ou longitudinal, representa a direção de aplicação do campo magnético principal (B 0). O plano xy é chamado de plano transversal.
Figura 5.7 - Coordenadas tridimensionais x, y e z.
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Com a aplicação deste campo teremos, portanto um momento de dipolo magnético M resultante, na direção e sentido do campo aplicado, tendo em vista que os estados de alinhamento paralelo são os mais prováveis e correspondem a estados de menor energia. Apesar de todos os momentos magnéticos individuais precessarem em torno de B0 a uma frequência angular igual a , não existe coerência de fase entre eles e, portanto, não existirá componente de magnetização no plano transversal. Uma bobina posicionada de forma perpendicular ao plano transversal não detectará nenhum sinal, pois não ocorrerá alteração no fluxo magnético. Para que uma corrente elétrica seja induzida em uma bobina posicionada de forma perpendicular ao plano transversal, é necessário que o vetor magnetização como um todo, ou parte dele, esteja no plano transversal e possua coerência de fase. Se todos os momentos magnéticos individuais forem desviados em 90º para o plano transversal e todos estiverem precessando na mesma posição (mesma fase), teremos o máximo de sinal induzido nesta bobina.
Aplicando, portanto um sinal de radiofrequência ressonante em espiras transversais, devemos:
a.
Transferir energia para o vetor magnetização, desviando-o do alinhamento, ou jogando-o para o plano transversal, quando for de 90º;
b. Fazer com que os núcleos precessem, momentaneamente, em fase no plano transversal.
A Figura 5.8 mostra esquematicamente o que ocorre com a aplicação de um sinal de radiofrequência em uma espira perpendicular ao plano transversal.
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Figura 5.8 - Vetor magnetização M perpendicular a magnetização M devido ao campo B longitudinal.
Adicionando o impulso de RF, vai-se assistir não só a um aumento de população de spins alinhados de forma anti-paralela com o campo B0 como também ao alinhamento dos spins em fase; sendo o sinal medido correspondente à componente transversal da magnetização.
O contraste nas imagens se baseia na diferença de intensidade do sinal em áreas de estrutura ou composição diferentes.
Uma imagem tem contraste quando apresenta áreas de sinal intenso (branco na imagem) e áreas de sinal fraco (escuro na imagem).
Sendo assim, podemos ver que um dos fatores que determinará o contraste de uma imagem será a densidade de prótons que deve alterar a componente de magnetização transversal.
Este tipo de contraste de imagem é conhecida por Densidade de Prótons ou DP
A figura abaixo mostra este tipo de contraste
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Figura 5.9 - Contraste em DP.
Observa-se que em lugares onde temos acumulação de água (por exemplo, em edemas) podemos observar “hipersinal” na imagem em contraste de DP (ou pesada em DP) No entanto este não é o único fator que determina a intensidade neste sinal. Estes fatores dizem respeito ao tempo de recuperação dos vetores de magnetização e de relaxamento.
5.3.1. TEMPO DE RECUPERAÇÃO E RELAXAMENTO.
Aplicando um pulso de radiofrequência conseguimos desviar o vetor de magnetização para o plano transverso, com isso, além de fazer alguns dos spins passarem para o nível de maior energia também mudamos a fase dos prótons, de modo que fiquem coerentes (agrupados) e é exatamente devido a esta coerência que conseguimos obter um sinal nas bobinas receptoras. Quando se retira o pulso de RF o núcleo excitado retorna ao equilíbrio liberando energia para o ambiente. Este processo é conhecido por relaxação. Ela ocorre por meio da relaxação spin-rede da relaxação spin-spin, as quais são definidas por duas constantes exponenciais de tempo T1 e T2 respectivamente . Ao retirar-se o pulso RF, o sinal de indução obtido na bobina começa a reduzir o seu valor já que a ação de B1 deixa de ocorrer e os dipolos passam novamente a sofrer a influência de B 0 e tentam realinhar-se com este. Chamamos T2 o tempo de decaimento do sinal na bobina e T1 o tempo de recuperação do campo longitudinal. A figura em seguida mostra a amplitude do sinal induzido mudando sua amplitude com o tempo.
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Figura 5.10 - Amplitude do sinal induzido diminuindo com o tempo (tempo de relaxamento T2).
À medida que a excitação é perdida, a magnetização longitudinal é gradualmente recuperada, por isso ela é conhecida como recuperação (ou relaxação) longitudinal. Como a recuperação longitudinal envolve troca de energia entre os spins nucleares excitados e o ambiente (rede) molecular não-ressonante, ela é também referida como tempo de relaxação spin-rede. Ou seja, a medida que a precessão transversal diminui começamos a retomar a magnetização longitudinal. Este é o chamado tempo de recuperação (T1).
Figura 5.11 - A medida que perdemos a componente transversal da magnetização, retomamos a magnetização longitudinal devido ao campo B0.
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Figura 5.12 - Representação gráfica do tempo de recuperação e de relaxamento
O valor de T1 é dependente da natureza física e química do ambiente que envolve o núcleo excitado. Em geral, moléculas menores, incluindo a água, recuperam-se muito mais lentamente do que moléculas de tamanho médio como os lipídeos. Portanto, a liberação da água ligada em tumores ou em outras lesões pode aumentar os valores de T1. Por exemplo, o valor de T1 para a água pura é de aproximadamente três segundos, enquanto aquele da gordura é geralmente umas poucas centenas de milissegundos. Quando um tecido com T1 curto é examinado usando uma sequencia com um tempo de repetição (TR) do pulso de RF de 90 graus relativamente mais longo, o sinal oriundo desse tecido é intenso. Se o tempo de repetição (TR) for mais curto do que o T1 do tecido, o núcleo não retornará ao equilíbrio antes do próximo pulso de RF, e o tecido é dito como estando saturado (sem sinal). Dessa forma, a intensidade do sinal aumenta à medida que o tempo de relaxação do tecido diminui. O contraste obtido na RMN ocorre por conta da diferença dos sinais gerados, onde sinais mais intensos fornecem pontos mais claros e sinais mais fracos fornecem pontos escuros. A Fig 5.13 mostra um sinal ponderado em T1,onde tecidos com T1 curtos apresentam um sinal mais intenso e aqueles com T1 mais longos apresentam pontos escuros.
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Figura 5.13. Sinal ponderado em T1, onde tecidos com T1 curto examinado com um tempo de repetição (TR) longo.
Relaxação T2
A relaxação spin-spin (T2), que da origem ao decréscimo da componente transversal do campo, ocorre por meio da interação de prótons com os campos magnéticos de outros núcleos e por causa das inomogeneidades inerentes a (Bo). Após a aplicação de um pulso de RF, o núcleo excitado inicialmente precessa em fase em relação aos outros núcleos, resultando em um valor alto de Mxy. Entretanto, a coerência de fase é rapidamente perdida, uma vez que cada um dos núcleos tem seu próprio campo magnético diminuto que interfere nos outros (relaxação spin-spin). A interação spin-spin transfere energia entre os núcleos envolvidos, de forma que a frequência de precessão de alguns esteja atrasada e a frequência de outros esteja acelerada. Dessa forma, a coerência de fase é perdida. A constante de tempo para essa forma de relaxação, chamada de T2, é o período de tempo durante o qual 63,2% do sinal é perdido (Fig. 5.12 ). Os valores de T2 da maioria dos tecidos biológicos estão entre 50 e 100msec, enquanto o valor do líquor é bem maior. Como em T1, a taxa de água livre versus água ligada é o principal determinante de T2 nas lesões. A liberação da água ligada aumenta os valores de T2. Como a relaxação spin-spin (T2) ocorre no plano transverso, ela é conhecida como relaxação transversal. Valores longos estão associados com sinal mais intenso, uma vez que o núcleo não perde a coerência de fase tão rapidamente. Isso contrasta com a relaxação spinrede (T1), na qual um valor de T1 mais longo está associado com a atenuação do sinal. 74/86
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A fig. 5.14 mostra uma IRM ponderada em T2, onde observa-se que regiões ricas em água aparecem com um sinal mais intenso regiões claras e gordura com um sinal menos intenso (regiões escuras)
Figura 5.14: Imagem RM ponderada de T2
O valor de T2 é sempre menor (ou igual) a T1, isto é, a magnetização transversal decresce mais rapidamente do que a magnetização longitudinal demora para voltar ao valor inicial. O valor de T1 e T2 depende da intensidade das interações entre os spins magnéticos e da frequência com que estas interações estão sendo moduladas. Pode se falar que T1 e T2 dependem das propriedades moleculares de cada tecido, e assim podemos diferenciar a gordura, a substância branca, a substância cinzenta, o edema ou o líquor através de seus diferentes tempos de relaxamento, já que T1 e T2 aumentam nesta ordem. Nos sólidos e nas grandes moléculas T2 e curto, enquanto que nos fluidos e mais longo, uma vez que no primeiro caso existem campos magnéticos intrínsecos, que, no segundo, tendem para zero, devido a mobilidade das moléculas. Quanto ao T1 verifica-se que a água apresenta um T1 longo e o colesterol, por exemplo, um T1 curto. O que se deve ao fato de os movimentos das moléculas no segundo caso serem mais lento e, portanto, mais próximos da frequência de Larmor, favorecendo a eficácia de transferência de energia para a rede (veja anexo2). A tabela a seguir mostra a tabela com valores de alguns tempos de relaxamento T1 e T2 para campos da ordem de 1,5 T.
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Tabela: Tempos T1 e T2 para diferentes tecidos, sendo T2 tempo associado ao decaimento do campo transversal e T1 associado a recuperação do campo longitudinal para campos da ordem de 1,5 T.
A figura a seguir mostra em detalhes o contraste de diferentes tecidos. Observe que para o líquor em que temos maior tempo T2 apresenta maior intensidade de sinal (ponto branco) e a intensidade descreve com a redução de T2.
Figura 5.15- Contraste em diferentes tecidos.
O vídeo do link http://www.youtube.com/watch?v=0YBUSOrH0lw&feature=related mostra a uma animação do processo envolvido com a aplicação e a retirada do sinal de RF.
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Equação geral do contraste para IRM
Grande parte da capacidade de contraste na RM pode ser entendida analisandose uma equação genérica da sequencia de pulso chamada de spin-eco dada por: I = N . f(v). (e -(TE/T2 )). (1- e -(TR/T1)), Sendo: I = intensidade de imagem (brilho do pixel); N = densidade de prótons (do tecido); f(v) = função de fluxo (do tecido); TE = tempo de eco (fixado no aparelho); definimos tempo de eco (TE) como o tempo que vai da aplicação do pulso RF ao pico máximo do sinal induzido no fio é medido em ms. O TE determina o grau de declínio da magnetização transversa que pode ocorrer antes de ler-se o sinal. O TE controla, pois o grau de relaxamento T2.
TR = tempo de repetição (fixado no aparelho); definimos tempo de repetição (TR) como o tempo que vai da aplicação de um pulso RF à aplicação do pulso RF seguinte é medido em milissegundos (ms). O TR determina o grau de relaxamento que pode ocorrer entre o término de um pulso RF e a aplicação do pulso seguinte. O TR determina, pois o grau de relaxamento T1 que ocorreu.
T1 = tempo de relaxação longitudinal (do tecido); T2 = tempo de relaxação transversal (do tecido)
Ao contrário dos termos exponenciais que descrevem os efeitos de T1 e T2, o termo densidade de prótons (N) é simplesmente um multiplicador. Embora haja prótons em todos os átomos do corpo, os prótons de interesse para a RM são apenas aqueles que constituem o núcleo do átomo do hidrogênio. De fato, os únicos prótons que contribuem significativamente para o sinal da RM são os núcleos de átomos de hidrogênio em moléculas 77/86
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de água ou em alguns grupos de moléculas lipídicas, também conhecidos como prótons móveis. Na presença de um grande número de prótons móveis, ocorrerá um sinal forte. Esse sinal forte será então afetado pelos outros termos na equação, como T1 e T2, produzindo um sinal mais forte ou mais fraco, dependendo desse outro grupo de fatores. Os materiais com elevada densidade de prótons incluem o tecido adiposo, o líquido cefalorraquidiano (LCR), o sangue e outros líquidos. Por outro lado, na presença de relativamente poucos prótons móveis no tecido, haverá um valor zero ou muito pequeno para o N na equação. Como toda a equação será multiplicada por esse termo zero, os efeitos de T1 e T2 e dos outros parâmetros serão anulados. Por isso, independentemente de como a sequencia de pulso é alterada, na presença de poucos prótons móveis, a imagem terá um sinal de pequena intensidade. Materiais de baixa densidade de prótons geralmente têm um sinal baixo em todas as sequencias. São exemplos o ar, as calcificações, a cortical óssea densa, o tecido fibroso, o plástico e outros materiais implantados. As imagens ponderadas em T1 fornecem um excelente detalhamento anatômico e, as ponderadas em T2, reproduzem com grande fidelidade as condições patológicas, graças ao conteúdo hídrico das mesmas as quais se apresentam com sinais hiperintensos. A tabela abaixo fornece a ordem de grandeza de cada um destes tempos para que possamos obter imagens ponderadas em T1 T2 ou DP.
Tabela: TR e TE para diferentes IRM
Tempo de Repetição (TR)
Tempo de Eco (TE)
Ponderação
TR Curto (<500ms)
TE Curto (5 a 25ms)
T1
TR Longo (>1500ms)
TE Longo (>90ms)
T2
TR Longo (>1500ms)
TE Curto (5 a 25ms)
DP
“Para se obter o máximo de contraste em T1, que é a diferença na intensidade do sinal com base nos tempos T1, o tempo TR na sequencia de pulso é reduzido. Isso leva a uma imagem ponderada em T1. Com um TR mais longo, os tecidos já recuperaram integralmente 78/86
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sua magnetização longitudinal e têm intensidade de sinal semelhante e pouco contraste. Uma sequencia de TR curto aumentará ao máximo o contraste T1, mas isso também afetará outros aspectos da qualidade da imagem. A razão sinal-ruído global diminui com o TR curto, embora o contraste aumente (LUFKIN, 1999). Para se ter uma diferença máxima na intensidade do sinal com base nos tempos T2, o tempo TE na sequencia de pulso é aumentado. Isso leva a uma imagem ponderada em T2. Os tecidos têm intensidade de sinal semelhante e pouco contraste com um TE mais curto. Isso ocorre por não ter transcorrido um tempo suficiente para que as diferenças de T2 causem a defasagem dos spins. Uma sequencia de TE longo, portanto, obterá um contraste em T2 máximo à custa da qualidade de imagem. A razão sinal-ruído global diminui ao aumentar o TE, ainda que o contraste em T2 aumente. Para se produzir uma imagem fortemente ponderada em T1, usa-se um TR curto para se obter um contraste T1 máximo e usa-se um TE curto para um contraste T2 mínimo. Assim, também, para se produzir uma imagem fortemente ponderada em T2, usa-se um TE longo para se obter um contraste T2 máximo e um TR longo para um contraste T1 mínimo. Finalmente, uma sequencia de TE curto e TR longo obteria o máximo de relação sinal-ruído na imagem. Isso é feito à custa do contraste T1 e T2. Devido à ausência de um contraste T1 ou T2 forte, essas imagens de elevada relação sinal-ruído são designadas imagens de densidade de prótons.” [Hage et al, 2009]
Registro de Imagens e escolha de parâmetros
Na hora de registrar o “FID” (Free Induction Decay) decaimento da magnetização transversal, nós podemos escolher certos parâmetros que vão determinar se o contraste da imagem final vai ser ponderado em T1, T2 ou densidade de prótons (DP). Na imagem T1 tecidos com T1 longo (recuperação do campo longitudinal) aparecem com hipossinal e tecidos com T1 curto com hipersinal. Na imagem pesada em T2 tecidos com T2 curto aparecem com hipossinal e tecidos com T2 longo aparecem com hipersinal. Na imagem ponderada em DP, o contraste T1 e T2 é minimizado de tal maneira que o contraste final da imagem representa a densidade de prótons no tecido. Por isso, em lugares onde temos 79/86
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acumulação de água (por exemplo, em edemas) podemos observar hipersinal na imagem pesada em DP. Na RM trabalhamos também com contrastes externos intravenosos. Trata-se de contrastes paramagnéticos, em geral derivados de gadolíneo, cuja função é diminuir os tempos de relaxação dos tecidos com os quais entram em contato. Os elétrons do gadolíneo podem interagir intensamente com os spins magnéticos dos nossos prótons, fazendo com que estes relaxem rapidamente, ou seja, diminuímos o T1 e T2 dos nossos tecidos. Por isso, se obtemos imagens pesadas em T1 após injeção do contraste, podemos observar hipersinal nas regiões onde chega o contraste paramagnético, por exemplo no cérebro, nas regiões onde temos quebra de barreira hemato-encefálica. [Otaduy et al (acesso em 25/10/2010)]
Figura 5.16: imagens ponderadas em T2 e T1 e DP comparativamente
Propomos ainda a utilização do simulador disponível no site da Universidade de Colorado sobre RMN.
Este simulador, podemos alterar a frequência do sinal o campo
magnético do magneto principal e as componentes dos campos transversais e horizontais. Observa-se a formação de contraste no detector a partir do sinal de indução gerado.
Figura 5.17 - Simulador sobre RMN disponível em http://phet.colorado.edu/sims/mri/mri_pt.jnlp
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6.
CONCLUSÃO Vimos que em cada capitulo deste trabalho as resoluções e descrições foram bem
exemplificadas utilizando diversos meios, como figuras, equações e também links que permitem ao leitor compreender conceitos correlacionados ao fenômeno de Ressonância Magnética Nuclear. No capitulo 1 abordamos conceitos básicos fundamentais e desenvolvidos na história do átomo para que o leitor leigo neste assunto possa compreender a estrutura do átomo e sua contribuição magnética. No capitulo 2 abordamos o conceito de spin tão importante para a compreensão do fenômeno RMN objeto de estudo deste trabalho. No capitulo 3 e 4 apresentamos ELETRÔNICO
o experimento
RESSONÂNCIA DE SPIN
que consideramos fundamental para a compreensão do sistema de
radiofrequência utilizado nos aparelhos de RMN. Vimos que o valor encontrado para o fator g experimentalmente é muito próximo do valor determinado pelo NIST para um elétron o que mostra que as medidas feitas estão dentro do esperado e que é valida a experiência bem como seus valores obtidos. Também no fim deste capitulo adicionamos um link para um vídeo do experimento que pode ser visto pela internet que facilitará a compreensão do funcionamento do equipamento utilizado em laboratório. No
capitulo
5
desenvolvemos
as
explicações
teóricas
da
RESSONÂNCIA
MAGNÉTICA NUCLEAR iniciando por um conceito básico, ou seja, inserimos também uma INTRODUÇÃO BÁSICA À RESSONANCIA MAGNÉTICA NUCLEAR. Mostramos como se dá o processo de formação de imagem associando o contraste ao tanto aos tempos de relaxamento T1 e T2 quanto a densidade de prótons. Buscamos neste trabalho atender aos profissionais de diferentes áreas e por esta razão a linguagem adotada está alicerçada basicamente na compreensão de fenômenos físicos, com uma linguagem matemática simples e acessível a um publico leigo em área especificas.
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Julgamos que por esta razão podemos a partir deste trabalho, preencher uma lacuna na área de formação e/ou atualização destes profissionais, já que não se encontra com muita facilidade materiais de apoio com tais características.
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7.
APÊNDICES
1.
VOXEL. Voxel (Volumetric Picture Element) Em uma representação tridimensional, partimos de um conjunto de dados (matriz)
tridimensional, onde cada elemento é chamado de um voxel ou elemento de volume. A imagem latente significa um elemento do volume, é o elemento básico tridimensional isotrópico, para indicar que o objeto possui o mesmo tamanho em todas as dimensões. Um voxel isotrópico é consequentemente um cubo. Voxels são frequentemente usados para a visualização e análise de médicos e científicos de dados. Como mostra a figura abaixo.
Figura 7.1 - Representação de um voxel a esquerda a superposição a formação da imagem . http://Wikipédia/voxel (acesso em 16/10/2010)
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2.
Considerações sobre os tempos de Relaxamento
A rapidez da relação spin-rede (T1) depende, sobretudo da eficiência com que a energia é distribuída novamente ao retículo bioquímico, assim sendo para adicionar energia ao sistema de modo mais eficaz, o campo de RF deve oscilar à frequência de ressonância do sistema, ou seja quando os campos magnéticos do reticulo estiverem flutuando com frequência próxima a RF. Concluímos que quando houver uma correlação estreita entre a frequência de Larmor e a frequência de oscilação do ambiente devido ao movimento molecular, há uma transferência de energia muito eficiente e, portanto, um tempo de T1 curto. Para que o processo de recuperação do campo longitudinal seja eficiente devemos considerar que:
Moléculas menores apresentam maior mobilidade e este movimento de
agitação dificulta a recuperação do campo longitudinal o que torna o tempo T1 longo. Este é o caso das moléculas de água em oposição às moléculas maiores como uma molécula lipídica.
Proximidade da frequência de oscilação das moléculas a frequência de
Larmor. Tal proximidade também aumenta a eficiência na transferência de energia ao reticulo. Se considerarmos o colesterol, exemplo de uma grande molécula lipídica, seus prótons móveis apresentam um movimento muito mais lento devido à maior inércia da molécula maior. Devido a isto oscilam com frequências bem abaixo da frequência ressonante. Contudo, a rotação dos grupos terminais dos ácidos graxos a frequências mais altas possibilita uma relaxação spin-rede (T1) eficiente também para esses lipídeos. Para a água devido a sua grande mobilidade sua oscilação está bem acima da frequencia de Larmor o que reduz a eficiência de transferência spin-rede (T1 longo) No corpo, porém, a maior parte da água não está em estado puro, mas sim presente em soluções de proteínas e outras macromoléculas, isso torna mais lento o movimento molecular, trazendo-o assim mais próximo da frequência de Larmor do sistema e afetando a eficiência da relaxação. Assim sendo, a presença da água numa em torno das macromoléculas leva a uma diminuição do tempo de relaxação de T1. 84/86
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Por esse mecanismo, soluções de água de elevado conteúdo protéico ou com uma grande quantidade de restos celulares podem ter um tempo de relaxação de T1 semelhante ao do colesterol ou outros lipídeos. Esse é um aspecto importante da interpretação da RM: os líquidos podem ter aparências diversas com base em seu conteúdo protéico.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] EISBERG, ROBERT MARTIN; RESNICK, ROBERT. Física Quântica Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, Campus, 1º ed. [2]
GASIOROWICZ, STEPHEN. Mecânica Quântica, Guanabara Dois, 1979
[3] GERTHSEN, C; KNESER; VOGEL, H. Física, Fundação Calouste Gulbenkian, 2ºed., 1998 [4] MAZZOLA, ALESSANDRO A. Ressonância magnética: princípios de formação da imagem e aplicações em imagem funcional. Revista Brasileira de Física Médica. 2009;3(1):117-29. Link: http://www.abfm.org.br/rbfm/publicado/RBFM_v3n1_117-9.pdf (acesso em: 03/04/2010) [5] BRAND-WILLIAMS, W. CUVELIER, M.E.; BERSET, C. Use of a free radical method to evaluate antioxidant activity. Lebensmittel-Wissenschaft undTechnologie, v.28, n.1, p.25-30, 1995 [6] A. ABRAGAM E B. BLEANEY. Electron Paramagnetic Resonance of Transition Ions, Oxford, 1970 [7] HALLIWELL, B. Antioxidant defence mechanisms: from the beginning to the end ( of the beginning). Free Radic Res. Oct; 31 (4) 261-72. 1999 [8] SCAFF, LUIZ A. M. Radiologia – Bases Físicas para Técnicos; São Paulo, Editora Projeto Saber, 2004. [9] Hage, M. C.F.N e Iwasaki. M: Imagem por ressonância magnética: princípios básicos Cienc. Rural vol.39 no.4, 2009, link; http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S010384782009000400051&script=sci_arttext (acesso em: 15/03/2010) [10] http://www.guia.heu.nom.br/spins_e_dominios.htm (acesso em: 16/04/2010) [11] http://prola.aps.org/abstract/PR/v96/i1/p53_1 (tradução da Pasco SPIN.pdf)(acesso em 15/03/2010) [12] Otaduy, M. G.; Leite, C. da C.; Princípios físicos da Ressonância Magnética (RM), disponível em: http://www.hcnet.usp.br/inrad/departamento/graduacao/aula/Fisica%20basica%20da %20ressonancia%20magnetica.doc (acesso em 12/11/2010)
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