Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
Geometria Plana
01. (EN) Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e uma de suas diagonais mede 8 cm . Quanto mede a outra diagonal?
02. Prove que a altura de um trapézio retângulo, cujas diagonais são perpendiculares entre si, é dada pela média geométrica das bases.
03. (ITA) Um triângulo retângulo está simultaneamente circunscrito a uma circunferência C1 e inscrito em uma circunferência
C2 .
Sabendo-se
que
a
soma
dos
comprimentos dos catetos do triângulo vale k cm, qual será a soma dos comprimentos dessas duas circunferências, em função de k ?
04. Três polígonos convexos têm números de lados iguais a três naturais consecutivos. Sabendo que a soma dos números de diagonais dos polígonos é 133, calcule o número de lados do polígono de maior gênero.
05. (CN) Considere um triângulo retângulo e uma circunferência que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x , y e z ( x < y < z ) são as medidas, em graus, dos arcos dessa circunferência, exteriores ao triângulo, que relação existe entre x , y e z ?
06. Seja
ABCD um trapézio de bases
AB = 7 cm
Lista M01-16
09. Pelo ponto de concurso das diagonais de um trapézio traça-se uma reta paralela às bases. Prove que o segmento desta paralela, limitado pelos lados não paralelos, é igual à média harmônica das bases.
10. Sejam ABCD um quadrado de diagonais AC e BD e E um ponto sobre o lado CD , tal que AE = AB + CE . Sendo F o ponto médio do lado CD , prove que ∡EAB = 2 ⋅ ∡FAD .
11. (IME) No triângulo ABC , AH é a altura relativa de BC , com H localizado entre B e C . Seja BM a mediana relativa de AC . Sabendo que BH = AM = 4 , determine a soma dos possíveis valores inteiros de BM .
12. (IME) Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD . A diagonal AC divide o ângulo ∠DAB em dois ângulos, iguais a 30° e 15° . A projeção de cada um dos quatro vértices sobre a reta suporte da diagonal que não o contém forma o quadrilátero A ' B ' C ' D ' . Calcule o perímetro de A ' B ' C ' D ' .
13. (ITA) Num triângulo ABC o lado AB mede 2 cm , a altura relativa ao lado AB mede 1 cm , o ângulo ∡ABC mede 135° e M é o ponto médio de AB . Calcule, em radianos, a medida de ∡BAC + ∡BMC .
e
CD = 3 cm e lados não paralelos AD e BC . Se ∡A = 43° e ∡B = 47° , calcule a distância entre os pontos médios das bases do trapézio.
07. São dados no plano um paralelogramo ABCD , de diagonais AC e BD , e uma reta r que não intersecta ABCD . Sabendo que as distâncias dos pontos A , B e C à reta r são respectivamente iguais a 2 cm , 3 cm e 6 cm , calcule a distância do vértice D a r .
14. (ITA) Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos minutos varre um ângulo x . Qual a medida de x em radianos?
15. (ITA) Em um triângulo de vértices A , B e C , a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C , dividem o ângulo ∠BCA em quatro ângulos iguais. Se ℓ é a medida do lado oposto ao vértice C , calcule a medida da mediana (em função de ℓ ) e as medidas dos ângulos internos do ∆ABC .
08. Na figura abaixo, PP1 = a e P1P2 = b . Calcule o limite da soma PP1 + P1P2 + P2 P3 + P3 P4 + ...
Brasília, fevereiro de 2016.
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Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
Geometria Plana
Lista M01-16
Respostas 01. 2 10 cm 03. k π 04. 12 05. x + y − z = 0 06. 2 cm 07. 5 cm 08.
a
2
a−b
11. 13 12.
13.
(
)
2 + 3 -1 x
π 4
14.
24 π 11 ℓ e
15.
2
π 3π 4 π , , 8 8 8
O professor Martins Rama é formado em Engenharia pelo IME, turma de 2002, possui mestrado em Matemática pela UnB e prepara jovens para as escolas militares desde 2004.
Brasília, fevereiro de 2016.
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