Preparatório IME – ITA Listas de Treinamento Prof. Martins Rama
31. Sobre os lados de um triângulo ABC constróem-se externamente os triângulos equiláteros BCD , CAE e ABF . Demonstrar que os segmentos AD , BE e CF são congruentes.
32. Demonstrar que a soma dos segmentos que unem um ponto interno de um triângulo aos seus três vértices está compreendida entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.
33. O perímetro de um triângulo é igual a 14. Determinar as medidas dos lados sabendo que são expressas por números inteiros.
34. M e N são os pontos médios dos lados BC e AD , respectivamente, de um quadrado ABCD . K é um ponto arbitrário, externo ao quadrado, no prolongamento da diagonal AC , a partir de A . O segmento KM intersecta o lado AB em um ponto L . Prove que ∡KNA = ∡LNA .
35. (CN) Observe a figura abaixo. O ponto P do menor
dista 6 cm e 10 cm , respectivamente, das arco AB tangentes AQ e BQ . Qual a distância, em cm, do ponto P à corda AB ?
36. A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s . A reta r é tangente às circunferências C 1 e C 3 , a reta s é tangente às circunferências C 2 e C 3 , e as circunferências tocam-se como também mostra a figura. Se as circunferências C 1 e C 2 têm raios iguais a a e b , respectivamente, qual é o valor do raio da circunferência C 3 ?
Geometria Plana
37. Seja AB um segmento de comprimento 26 cm , e sejam C e D pontos sobre o segmento AB tais que AC = 1 cm e AD = 8 cm .
Sejam
E
e
F
pontos
sobre
a
semicircunferência de diâmetro AB , sendo EC e FD perpendiculares a AB . Quanto mede o segmento EF ?
38. (PUC-RJ) Operários rolam um cubo de granito de 1 m de aresta até ele dar uma volta completa. Ao rolar o cubo, sempre uma de suas arestas fica em contato com o solo sem deslizar. Qual a distância, em metros, percorrida por um vértice desse cubo?
39. Três círculos de centros em A , B e C e de raios respectivamente iguais a r , s e t se tangenciam exteriormente dois a dois. A tangente comum interior aos dois primeiros círculos intersecta o terceiro determinando uma corda MN . Provar que MN =
4t rs r+s
.
40. Que horas o relógio indicado na figura abaixo marca, sabendo que os ângulos α indicados possuem a mesma medida?
41. Em uma coroa circular, conforme a figura abaixo, estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede: a)
b)
c)
d)
e)
Brasília, fevereiro de 2016.
Lista M03-16
1 + sen π/ n 1 − sen π/ n 1 + cos π/ n 1 − sen π/ n 1 + sen 2 π/ n 1 − sen 2 π/ n 1 + cos 2 π/ n 1 − cos 2 π/ n 1 + cos 2 π/ n 1 − sen 2 π/ n
1