HABLEMOS UN POCO DE LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA “EL LÍMITE Y SU CONCEPTO A TRAVÉS DEL TIEMPO” Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez. ÁREA: Historia de la Matemática RESUMEN El concepto del límite es tal vez uno de los temas más importantes del cálculo diferencial, ya que junto con el estudio de la continuidad de una función constituyen la base para el estudio de cualquier curso de cálculo. Este artículo presenta una pequeña reseña histórica de cómo fue evolucionando este concepto desde las primeras nociones que René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) hacen al respecto, pasando por Pierre Simón de Laplace, (1749-1827), Isaac Newton (16421727), quien hace sus primeras contribuciones a las matemáticas en términos de series infinitas, y estudia diferentes aplicaciones como la velocidad de cambio o fluxiones de magnitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, etc., que las asocia bajo el nombre común de "mi
método". Luego se tienen en cuenta los aportes que hace Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), quien también hace sus primeros aportes al igual que Newton sobre las series infinitas, pero en este caso, numéricas; y ya en el siglo
XIX
Carl
Friedrich
Gauss,
(1777-1855)
“el
príncipe
de
las
matemáticas”, al igual que Augustin Louis Cauchy, (1789-1857) dan al cálculo la forma que tiene hoy. Pero son Karl Theodor Weierstrass, (1815-1897) y Eduard Heine, (18211881), quienes finalmente contribuyeron al cálculo dando una definición depurada de lo que se conoce hoy como Concepto de Límite.
PALABRAS CLAVES Evolución del concepto de Límite. EL LÍMITE Y SU CONCEPTO A TRAVÉS DEL TIEMPO Esp. Martha Edilma Márquez Gutiérrez. El concepto del límite es tal vez uno de los temas más importantes del cálculo diferencial, ya que junto con el estudio de la continuidad de una función constituyen la base para el estudio de cualquier curso de cálculo. Los operadores matemáticos fundamentales en el estudio del cálculo son la diferenciación y la integración, que se basan en la determinación de la derivada y la integral definida, y estas a la vez dependen del concepto de límite. Los operadores matemáticos fundamentales en el estudio del cálculo son la diferenciación y la integración, que se basan en la determinación de la derivada y la integral definida, y estas a la vez dependen del concepto de límite. A René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665) se les atribuye el inicio de la geometría analítica, puesto que por la misma época, cada uno por su lado, descubrieron el mismo método para resolver problemas por medio de lugares geométricos. Descartes en su obra La géométrie presenta un método para hallar la tangente o normal a una curva, problema que consideraba de gran importancia: Sugería que para hallar la normal a una curva en un punto fijo P de dicha curva, se debería tomar un segundo punto variable Q sobre la curva, y
hallar la circunferencia con centro en el eje de coordenadas (usa un único eje de abscisas) y que pase por los puntos P y Q.
Igualando a cero el
discriminante de la ecuación que determina las intersecciones de la circunferencia con la curva, puede hallarse el centro de la circunferencia tal que Q coincide con P y, conocido el
centro,
puede
determinarse
fácilmente tanto la normal como la tangente a la curva en el punto P.
Pero el método que desarrolla no era tan directo ni fácil de aplicar como el que planteaba Fermat en el tratado titulado "Método para hallar máximos
y mínimos " (Methodus ad disquirendam maximan et miniman). Hacia 1629, Fermat había estado estudiando lugares geométricos dados por ecuaciones de la forma y= xn (en notación moderna) conocidas como "parábolas de Fermat" si n es positivo e "hipérbolas de Fermat" si n es negativo. Fermat profundizó más en el estudio de funciones y planteó curvas de orden superior, a él se le atribuye el hecho de que el eje de ordenadas se toma generalmente perpendicular al eje de las abscisas. Para curvas polinómicas de la forma y= f (x) descubrió un método para hallar los puntos en los que la función toma un valor máximo o mínimo. El método de Fermat consistía en comparar el valor de f (x) en un cierto punto con el valor de f ( x + E) en un punto próximo; estos valores son claramente diferentes, pero en una "cumbre" o en el "fondo" de una curva, la diferencia debe ser imperceptible. Por lo tanto para hallar los puntos que corresponden a los valores máximos o mínimos de una función, Fermat
iguala f (x) a f ( x + E) , cuanto más pequeño sea el intervalo E, entre los dos puntos, más cerca estará dicha igualdad de ser una verdadera ecuación; luego de dividir todo por E, hace E = 0. Este resultado le permite calcular las abscisas de los puntos máximos y mínimos de la función polinómica. En esencia el método de Fermat es equivalente al que ahora conocemos f ( x + E) − f ( x) =0 . E E →0
como proceso de diferenciación, que es lim
De acuerdo con esto, Laplace (Pierre Simon de, 1749-1827) cataloga a Fermat como el verdadero descubridor del cálculo diferencial. El procedimiento de Fermat que consiste en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.
Fermat
también descubrió cómo aplicar su procedimiento de valores próximos de la variable, para hallar la tangente a una curva de la forma y= f (x) . Si P es un punto de la curva
y = f (x) en el que se desea hallar la
tangente,
y
si
las
coordenadas de P son
(a,b) ,
entonces un punto próximo P' sobre la curva de coordenadas
(a + E, f (a + E)) ,
estará
tan
próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente. Por lo tanto, si la subtangente en el punto P es TQ = c , entonces los triángulos TPQ
y TP'Q' los podemos
considerar como semejantes aproximadamente, y de esto obtenemos la proporción
b f (a + E) = , a partir de la cual, multiplicando en cruz, c c+ E
simplificando los términos iguales por ser b= f (a), dividiendo todo por E y haciendo, por último, E = 0 , se puede calcular finalmente la subtangente c que nos determina unívocamente, con el punto P, la tangente buscada. f (a + E) − f (a) es la E E →0
Este método resulta equivalente a decir que el lim pendiente de la curva en el punto x= a .
Pero Fermat no explicó este procedimiento de manera satisfactoria, limitándose a decir simplemente que era análogo a su método para determinar máximos y mínimos. Isaac Newton (1642-1727), alrededor de 1665 hace sus primeras contribuciones originales a las matemáticas, aparte de expresar funciones en términos de series infinitas, estudia la velocidad de cambio o fluxiones de magnitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas, etc., que las asocia bajo el nombre común de "mi método". Durante 1665 y 1666, Newton hace cuatro de sus principales aportes, a saber: teorema del binomio, el cálculo, la ley de gravitación y la naturaleza de los colores. En cuanto a las velocidades, Newton consideraba a ο como un intervalo de tiempo muy pequeño, y a pο y qο como los incrementos pequeños que experimentan x e y durante dicho intervalo. La razón
p era por lo tanto q
la razón entre las velocidades instantáneas del cambio de y y de x , es decir, la pendiente de la curva f ( x, y) = 0.
En 1676, en la exposición llamada "De quadratura curvarum" Newton presenta su teoría sobre las llamadas "razones primeras y últimas" en la cual calcula "la razón primera de incrementos naciente" o la "razón de cambio evanescentes" de la siguiente manera: n
Supongamos se quiere hallar la razón entre las variaciones de x y de x ; llamemos ο a un incremento dado a la variable x , y sea
(x +ο )n − xn el
n
incremento correspondiente a x . Entonces la razón de estos incrementos será:
1 n(n −1) n−2 nxn−1 + οx +... 2 y para hallar la razón primera y última se debe dejar desvanecerse a ο , con
lo que la razón buscada será
1 . nxn−1
El primer trabajo de Newton que apareció publicado fue en 1687, en el
"Philisophiae naturalis principia mathematica", es el tratado científico más admirado de todos los tiempos, porque en él presenta los fundamentos de la física y de la astronomía formulados en el lenguaje de la geometría pura; así en la sección I del libro I que se titula "el método de las razones primeras
y últimas cantidades, con la ayuda del cual demostramos las proposiciones que siguen", incluye el lema I: "Cantidades, y la razón de cantidades, que en cualquier intervalo finito de tiempo convergen continuamente a la igualdad, y que antes del final de dicho tiempo se aproximan una a la otra más que cualquier diferencia dada, se hacen finalmente iguales". 1
Esto demuestra que Newton estaba muy cerca del concepto de límite. 1
Ibid., p. 500.
En el libro II, en el lema II, Newton presenta los algoritmos del cálculo con la siguiente formulación: "El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".
Para Newton la expresión genitum es lo que llamamos "término"
y la
palabra momentos de un gentium, se entiende por un incremento de él infinitamente pequeño. Entonces si a representa el momento de A y
b el momento de B, Newton
muestra que el momento de AB es aB+bA, el momento de A n es naA n−1 , y el de
1 −a es 2 . A A
Estas expresiones son equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso respectivamente, y constituyen el primer pronunciamiento oficial de Newton sobre el cálculo. Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco en ver las relaciones que existían entre estas operaciones, su descubrimiento consistió en la generalización de un algoritmo aplicable a todas las funciones, tanto algebraicas como trascendentes. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), empieza a hacer sus aportes en 1667, al igual que Newton sobre las series infinitas, pero en este caso son numéricas. Gracias a un amigo suyo, Huygens que fue quien le propuso el problema de calcular la suma de los números inversos triangulares, es decir la suma de los números de la forma
2 , que Leinbniz con gran n(n +1)
habilidad la descompuso como
2 1 1 = 2 − , llegó a la conclusión n(n +1) n n +1
que la suma infinita de estos términos es 2.
Leibniz al igual que Newton determina que la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias, así como las cuadraturas dependen de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área bajo la curva. Leibniz se preocupa por hacer una notación clara para ayudar a los procesos de pensamiento, así finalmente eligió dx y dy para representar las diferencias más pequeñas posibles (las diferenciales) de la x y la y . La primera exposición que hace Leibniz del cálculo diferencial lo fue en 1684, bajo el título "Un nuevo método para máximos y mínimos, y también
para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por los irracionales" (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qua fractus nec irrationales quantitates moratur). En este documento presenta las fórmulas generales para la diferenciación del producto, potencia (raíces) y cociente de funciones, como se usan en el cálculo actualmente.
dxy = xdy + ydx dxn = nxn−1dx x ydx − xdy d = y2 y La notación de Leibniz fue mejor aceptada aunque los razonamientos de Newton eran más próximos a la fundamentación moderna del cálculo.
En el siglo XIX Gauss (Carl Friedrich, 1777-1855) “el príncipe de las matemáticas”, en su tesis doctoral demostró que toda ecuación polinómica y = f (x) tiene al menos una raíz, ya sea con coeficientes reales o complejos.
Cauchy (Augustin Louis, 1789-1857), era más pedagogo que Gauss, le gustaba enseñar, y a diferencia de Gauss, siempre que descubría algo lo hacía publicar. En cuanto al cálculo infinitesimal, Cauchy en sus libros, el
"Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1821) , el "Résumé des lecons sur le calcul infinitesimal" (1823) y las "Lecons sur le calcul defferentiel" (1829) dio al cálculo la forma que tiene hoy. Tomó como fundamental el concepto de límite de d'Alembert, y le dio un carácter aritmético que lo hizo más preciso. Su definición es: "Cuando los sucesivos valores que toma la variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama límite de todos los demás".
Cauchy considera un infinitésimo como una variable y no como un número constante, que hasta el momento los matemáticos así lo habían hecho, y presenta la siguiente definición: “Diremos que una cantidad variable se hace infinitamente pequeña cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de manera que converge hacia el límite cero”.
Los conceptos fundamentales para Cauchy lo constituyen el de función y el de límite de una función. “Para definir la derivada de la función y = f (x) con respecto a x , le da a la variable x un incremento ∆x= i y forma el cociente
∆y f (x + i)− f (x) = ∆x i y al límite de este cociente de diferencias cuando i tiende a cero, lo define como la derivada f '( x) de y con respecto a x , y expresa que: Si
dx es
una cierta cantidad finita, entonces la correspondiente diferencial dy de
y = f (x) se define como f '( x) ”.
Una definición para la función continua f (x) es:
“ f (x) es continua entre límites dados de la variable x , si entre sus límites un incremento infinitamente pequeño i de la variable x siempre da lugar a un incremento infinitamente pequeño f ( x + i) − f ( x) de la función misma”.
Que es completamente análoga a la que se utiliza hoy. La derivada de Cauchy mostraba claramente que no existiría la derivada en un punto anguloso de la curva, o en un punto en que la función fuese discontinua. Weierstrass (Karl Theodor, 1815-1897) y Heine (Eduard, 1821-1881), contribuyeron al cálculo con una definición depurada del concepto de límite. Puesto que la definición de Cauchy era pedagógicamente bastante clara, Heine con ayuda de unas notas de Weierstrass, en sus "Elemente" (1872), presenta una definición precisa para el límite de una función f (x) en un punto x0 , así: "Si dado cualquier
ε , existe un η0 tal que para 0 <η <η0 , la diferencia
f (x0 ±η )− L es menor en valor absoluto que
límite de f (x) para x0 “.
ε , entonces se dice que L es el
Con esta definición quedan a un lado los puntos moviéndose sobre curvas, las cantidades infinitamente pequeñas a despreciar, solo quedan números reales, las operaciones suma y resta y la relación "menor que" entre números reales. La
η de Heine y Weierstrass fue reemplazada por δ en la definición de
límite, y esta es la que actualmente se encuentra en los libros de cálculo. Este proceso histórico acerca de la evolución del concepto de límite, nos invita a reflexionar sobre el aporte de la historia en el quehacer docente, el cual debe motivar a seguir avanzando en la generación del conocimiento. El relacionar los conocimientos con algún hecho trascendental o histórico permite apreciar las dificultades, logros y nuevos enfoques que inciden en la maduración del pensamiento. Muchos temas del cálculo en la universidad, incluso en programas de matemáticas, se han venido desarrollando de una forma mecánica, llevando a los estudiantes a memorizar fórmulas y hacer cálculos sin ningún razonamiento de estos. Es necesario hacer que los estudiantes comprendan los conceptos matemáticos y los asimilen como algo propio, natural, y puedan hacerlos aplicables a su carrera y en el futuro a su vida profesional.
La historia
puede usarse también como una estrategia lúdica, complementaria que motivará no solo a consultar sobre los temas que se están estudiando, sino que permitirán profundizar y avanzar en los temas que más interesen.
BIBLIOGRAFÍA
AABOE, Asger. Matemáticas: Episodios históricos. Random House - Ed. Norma. 1964. BOYER, Carl B. Historia de la Matemática. Ed. Alianza Universidad Textos. 1992. GROVE, E.A. & LADAS, G. Introduction to Complex Variables. Houghton Mifflin Company. Boston. 1974. LEITHOLD, Louis. El cálculo con geometría analítica. Ed. Eccga. 7ª Edición. 1994.