ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ANÁLISIS DE ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE FUNCION LINEAL
RESUMEN Este informe presenta el análisis de errores que cometen estudiantes de grado once de la INSTITUCIÓN EDUCATIVA RAFAEL REYES DE SANTA ROSA DE VITERBO en el aprendizaje de función lineal. Los resultados se basan en un cuestionario inicial aplicado a 12 estudiantes, el cual se diseñó tomando como referencia estudios sobre errores en el aprendizaje de las matemáticas realizados por investigadores como Hitt (1996), Janvier (1978) Leinhardt (1990) Eisenberg (1992) Trigo (1997). Citados por Guzmán R (2006). ABSTRACT This report presents an analysis of mistakes made by students in grade eleven COLLEGE RAFAEL REYES of Santa Rosa Viterbo in learning linear function. The results are based on an initial questionnaire applied to 12 students, which was designed based on studies of errors in the learning of mathematics by researchers and Hitt (1996), Janvier (1978) Leinhardt (1990), Eisenberg (1992) wheat (1997). Citted by Guzman R (2006).
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INTRODUCCIÓN
Este informe es el resultado de una prueba diagnóstica aplicada a estudiantes de grado once de la INSTITUCIÓN EDUCATIVA RAFAEL REYES DE SANTA ROSA DE VITERBO, con el objetivo de identificar los errores que cometen, en el aprendizaje de función lineal. En nuestra formación como docentes es de gran importancia conocer los diferentes errores que cometen los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas. Además, al conocer las causas de los errores, ayuda a que los docentes busquen estrategias adecuadas para modificar las concepciones erróneas que han construido los estudiantes. La información para la elaboración del diagnóstico se tomó de: Guzman, R. (2006). Dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de educación secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal. Acapulco: Universidad Autónoma de guerrero.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA JUSTIFICACIÓN
En el aprendizaje de las matemáticas debemos tener claro el concepto de error ya que es una herramienta muy dinámica para resolver los inconvenientes que se le presenten a nuestros estudiantes en el momento de estudiar cualquier tema. El estudio de los errores en el aprendizaje de la Matemática ha sido de permanente interés por filósofos y grandes matemáticos que en el transcurso de la historia han logrado dar un concepto al referirse al error en matemáticas, observamos como grandes investigadores han presentado diferentes conceptos de error. En las diferentes épocas el análisis y categorización de los errores se ha visto condicionado por las corrientes predominantes en Pedagogía y Psicología, como así también, condicionado por los objetivos y formas de organización del currículo en Matemática. Diversas investigaciones constatan que los estudiantes presentan diferentes dificultades al trabajar con la función lineal. (Janvier, 1978 y 1987; Duval, 1998; Ismenia, 1998; Hitt, 1996). Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica y Eisenberg (1992) señala que la función es un concepto trascendental en la comprensión de la matemática y que desarrollar en los estudiantes una sensibilidad para las funciones debe ser uno de los objetivos primordiales del currículum.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA CONTEXTO
Este estudio se genera por estudiantes de la U.P.T.C. De Duitama inscritos al programa licenciatura en matemáticas y estadística, durante el desarrollo del curso didáctica de la matemática III, orientado por la profesora CECILIA MEDINA. Con el objetivo de Contribuir al mejoramiento de la educación, en las áreas de Matemáticas y Estadística. El estudio se desarrollara en la Institución Educativa Rafael Reyes De Santa Rosa De Viterbo con estudiantes de undécimo grado, el tema que servirá de estudio son funciones lineales, y será preparado por los estudiantes ISAURA CAYACHOA Y MAURICIO BARRERA. Se trabaja en dos partes, inicialmente se diseñara una prueba diagnóstica para analizar los errores de los alumnos en el tema de función lineal, en la segunda parte se buscara por medio de una profundización resolver los errores y dificultades encontrados.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA MARCO TEÓRICO ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE FUNCION LINEAL Hitt (1996), (citado por Guzman, R) en su investigación realizada con profesores de enseñanza media, donde les presenta las funciones representadas gráficamente y les solicita que lo representen en su contexto físico, y viceversa, la articulación de un contexto físico a una representación gráfica. Hitt (1996) (citado por Guzman, R). ; La dificultad de una tarea provoca que al no tener alternativas que ayuden a resolver el problema propuesto durante el proceso de resolución emergen ideas intuitivas (alguna de ellas erróneas) sin que el estudiante tenga conciencia de ello; en este caso se puede observar cuando el estudiante utiliza histogramas al querer representar la función lineal. Janvier (1978), (citado por Guzman, R) menciona que: algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, el estudiante acude, como caso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica correspondiente, a diferencia de estos resultados Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica. Eisenberg (1992) señala que la función es un concepto trascendental en la comprensión de la matemática y que desarrollar en los estudiantes una sensibilidad para las funciones debe ser uno de los objetivos primordiales del currículum. Trigo (1997) señala que cuando un estudiante resuelve un problema, es posible que pueda utilizar un modelo pictórico, y define que este modelo puede incluir figuras, dibujos o diagramas como un medio para representar el problema. González, M. y Hernández, E. (2003) investigación de dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria sobre la representación gráfica de funciones lineales y cuadráticas: universidad de Salamanca. Según esta investigación se encontraron los siguientes errores:
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Los alumnos tienen dificultades para relacionar los coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con las características geométricas de su representación gráfica. Suelen recurrir más a menudo a los cálculos fundamentalmente de la tabla de valores de la función con lo que son más propensos a cometer errores que con una concepción más ajustada de la función no cometerían
cometen numerosos errores al asociar la expresión algebraica de una función a partir de su gráfica no sólo no identificando correctamente sus coeficientes sino incluso confundiendo el tipo de función que están analizando.
Algunos alumnos tienden a utilizar el mismo tipo de justificación en todas las respuestas, bien sean tablas de valores, gráficas o coeficientes de la fórmula.
Sorprendentemente, los alumnos tienen más dificultades con las funciones lineales que con las cuadráticas.
Como conclusión final podemos establecer a la vista de los resultados anteriores que los alumnos manejan el concepto de función desde un punto de vista operativo (Sfard, 1991 citado por González, M ), es decir, como un proceso, por lo que necesitarían que se diseñaran actividades de instrucción específicas para que manejaran las funciones como un objeto, buscando con ello tres objetivos fundamentales: 1. Tener una idea más completa de lo que es una función. 2. Evitar los errores debidos a los cálculos, si su imagen del concepto es exacta los errores serán revisados para que se ajuste a dicha imagen. 3. Preparar el camino para el trabajo con funciones desde un punto de vista más estructural.
Los autores que nos guiaran en nuestro diagnostico serán González, M. y Hernández, E. como también Hitt y Duval.
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INFORME DEL DIAGNOSTICO
En este informe se presenta los resultados obtenidos mediante el uso de un cuestionario administrado a los alumnos de grado once. Se diseñó un cuestionario con varios incisos de situaciones problema, de comparación y de preguntas abiertas. Si bien los errores cometidos por los alumnos pueden obedecer a múltiples causas, la elección de cada uno de los ítems de selección de respuesta se realizó procurando detectar principalmente algunos de los tipos de errores correspondientes a Hitt (1996), (citado por Guzmán, R); Janvier (1978), (citado por Guzmán, R); Leinhardt (1990); Eisenberg (1992); y Trigo (1997). Se seleccionaron los incisos buscando constatar la ocurrencia de ciertos errores considerados por nosotros como “frecuentes” según lo que hemos investigado hasta ahora tomando como base estudios realizados en cuanto a función lineal. Los alumnos debieron contestar por escrito en las hojas que se le suministraron, trabajando individualmente en el lapso de una hora de clase, con la consigna de dejar constancia escrita de todos sus cálculos y razonamientos. Para analizar la cantidad, calidad y diversidad de las respuestas, se organizó la información haciendo recuentos de frecuencias de los diferentes tipos de errores cometidos (estudio cuantitativo) y señalando las características más significativas de las respuestas erróneas dadas por los alumnos (estudio cualitativo). Se elaboraron luego gráficos comparativos de la distribución de los tipos de errores. Se señala a continuación las características del grupo de alumnos con los que se trabajó.
GRADO ONCE: 12 alumnos de ambos sexos; edad promedio 16 años: asisten al Colegio Rafael Reyes de Santa Rosa de Viterbo, en la jornada completa.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA No.
ERROR DE TIPO1
ERROR DE TIPO2
ERROR DE TIPO3 ERROR DE TIPO4
ERROR DE TIPO5
ERROR DE TIPO6
ERROR DE TIPO 7
ERROR DE TIPO8
TIPO DE ERROR Hitt (1996) (citado por Guzman, R). ; La dificultad de una tarea provoca que al no tener alternativas que ayuden a resolver el problema propuesto durante el proceso de resolución emergen ideas intuitivas (alguna de ellas erróneas) sin que el estudiante tenga conciencia de ello. Janvier (1978), (citado por Guzman, R) menciona que: algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, el estudiante acude, como caso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica correspondiente, a diferencia de estos resultados. Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica. Eisenberg (1992) señala que la función es un concepto trascendental en la comprensión de la matemática y que desarrollar en los estudiantes una sensibilidad para las funciones debe ser uno de los objetivos primordiales del currículum. Trigo (1997) señala que cuando un estudiante resuelve un problema, es posible que pueda utilizar un modelo pictórico, y define que este modelo puede incluir figuras, dibujos o diagramas como un medio para representar el problema. Los alumnos tienen dificultades para relacionar los coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con las características geométricas de su representación gráfica. Suelen recurrir más a menudo a los cálculos fundamentalmente de la tabla de valores de la función con lo que son más propensos a cometer errores que con una concepción más ajustada de la función no cometerían Cometen numerosos errores al asociar la expresión algebraica de una función a partir de su gráfica no sólo no identificando correctamente sus coeficientes sino incluso confundiendo el tipo de función que están analizando. Hitt (1996), (citado por Guzman, R) en su investigación realizada con profesores de enseñanza media, donde les presenta las funciones representadas gráficamente y les solicita que lo representen en su contexto físico, y viceversa, la articulación de un contexto físico a una representación gráfica.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA CLASIFICACIÓN DE ERRORES
ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE FUNCIÓN LINEAL 120%
% DE ESTUDIANTES
100% 80% 60% 40% Series1 20%
0% ERROR ERROR ERROR ERROR ERROR ERROR ERROR ERROR DE DE DE DE DE DE DE DE TIPO TIPO 2 TIPO 3 TIPO 4 TIPO 5 TIPO 6 TIPO 7 TIPO 8 1. TIPO DE ERROR
Observamos que el error en el que más inciden los estudiantes es en el ERROR DE TIPO 3. “Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica.” se ha evidenciado que los estudiantes no tienen la capacidad de pasar de la forma gráfica o tabular a la forma algebraica, no son capaces de generalizar un problema.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ANÁLISIS DEL ÍTEM N° 1
Esta actividad se aplicó con la finalidad de conocer qué tipo de representaciones conocen y utilizan, para identificar si el estudiante comprende que la pendiente es la razón de cambio en y con respecto al cambio en x, también para identificar si el estudiante logra pasar de lo gráfico, simbólico a lo algebraico.
ÍTEM No. 1. La mamá de Víctor le acaba de servir una rica taza de café, como el café está muy caliente a 90 °C, para no aburrirse, mide la temperatura del café cada medio minuto durante los primeros tres minutos, la temperatura del café las resume en la tabla que a continuación se muestra.
a. Encuentre una expresion algebraica que relacione el tiempo y la
temperatura del café. b. . ¿Cómo varia la temperatura cuando transcurre cada minuto?______ ¿Por qué?______________ c. ¿Cómo se representa numéricamente esta variación? Este número representa la pendiente de la recta. Como se identifica en la ecuación?____________ Esta actividad muestra que los estudiantes analizan la relación por medio de la gráfica todos los estudiantes utilizaron el modelo de representación gráfica de los cuales 4 utilizan el caso 1 y otros el caso 2. ERROR DE TIPO 5. “Trigo (1997) señala que cuando un estudiante resuelve un problema, es posible que pueda utilizar un modelo pictórico, y define que este modelo puede incluir figuras, dibujos o diagramas como un medio para representar el problema.” De un total de 12 estudiantes el 92%, que corresponden a 11 de ellos cometen el error tipo de tipo 5, según lo señala trigo(1997) Estos errores se manifiestan por
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ejemplo cuando se le pide al estudiante que encuentre una expresión algebraica según el problema propuesto, para determinar cómo varia al transcurrir el tiempo.
Caso 1
Caso 2
En este caso el estudiante tiene dificultad al identificar las variables dependiente e independiente, y se observa al momento en que ubican los valores en la gráfica, además, en ningún momento mencionan cuál es la cantidad que depende de la otra y de qué otra manera pueden representar dicha información.
En este ítem el 100% de los estudiantes incurren en el ERROR DE TIPO 3. “Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica.” Ya que en el inciso a se les pedía que encontrara una relación algebraica la cual relacionara el tiempo con la temperatura del café y ningún estudiante obtuvo esta información con esto podemos constatar que los estudiantes no logran llegar a generalizar un concepto les es difícil pasar de lo grafico a lo algebraico e igualmente de la tabla de valores a lo algebraico.
Se nota que los estudiantes tienen noción sobre función lineal, pendiente y como se relacionan las variables por ejemplo algunas justificaciones que dieron son: “la pendiente es el valor constante que acompaña a la x en la ecuación de la recta”, “la pendiente tiene signo negativo ya que el grafico va descendiendo al trascurrir del tiempo la temperatura va disminuyendo”
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ANÁLISIS DEL ÍTEM N°. 2 Esta actividad se realizó con el fin de saber si los estudiantes identifican la representación de una función lineal o la linealidad en una tabla de datos. Linealidad en una representación tabular Lo que se observó en esta pregunta fue de que los estudiantes recurren a graficar una por una las parejas de números mostradas por cada tabla; y a partir del dibujo obtenido determinan si la relación entre las variables es lineal o no. Cuando el trazo obtenido es una recta concluyen que la relación es lineal y en caso contrario que no lo es. Esta estrategia de traducir la tabla punto por punto al registro gráfico, conduce a errores, sobre todo en los casos en los que la tabla no representa una función lineal. Uno de los estudiantes, por ejemplo, después de graficar la Tabla 3 llega a la conclusión de que la gráfica corresponde a una parábola. Este caso es interesante porque ilustra muy bien el hecho de que la atención del estudiante durante la tarea, se ha centrado en la “forma” que van adquiriendo los puntos en el plano y no en la naturaleza de la relación entre las columnas. A pesar de que en las Tablas 2 y 3 las relaciones entre las columnas guardan patrones esencialmente distintos, este estudiante concluye que ambas pueden representarse gráficamente mediante una parábola. La ausencia de relación con el registro algebraico, que hubiera podido evidenciar esta inconsistencia, es notoria. ITEM No. 2. Analice la siguientes tablas de valores y determine cómo se relacionan las variables x y y.
a. Tabla 1. ¿Representa qué?__________________ b. Tabla 2. ¿Representa qué?__________________ c. Tabla 3. ¿Representa qué?_________________
una
función
lineal?______
¿Por
una
función
lineal?______
¿Por
una
función
lineal?______
¿Por
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA Según este ítem de 12 estudiantes el 25%, que corresponden a tres estudiantes presentan el ERROR DE TIPO 1. “Hitt (1996) (citado por Guzman, R). La dificultad de una tarea provoca que al no tener alternativas que ayuden a resolver el problema propuesto durante el proceso de resolución emergen ideas intuitivas (alguna de ellas erróneas) sin que el estudiante tenga conciencia de ello.” Observemos el siguiente esquema:
Observamos que el estudiante se confunde al graficar para él la gráfica es una parábola, en el punto anterior se referían al concepto de función lineal si la gráfica es una línea recta y pasa por el origen es función lineal, en el grafico anterior según lo que graficaron también lo podría ser ya que la gráfica da una línea recta y pasa por el origen así que el estudiante emite una idea errónea graficando.
Otra justificación respecto a la tabla 3 es: “no es una función lineal porque los valores en -4 y 4 son los mismos por lo que se deduce que están elevados al cuadrado y por lo tanto es una parábola” este estudiante da respuesta a algo que no se le está preguntando ya que únicamente tenía que responder si era función lineal y por qué, además esta respuesta no tiene fundamentos y emite ideas intuitivas y por lo tanto erróneas. También se pudo evidenciar que el 100% de los estudiantes incidieron en el ERROR DE TIPO 3. “Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica.” Al igual que en el ITEM N° 2 La utilización de una representación algebraica no se observó en ningún estudiante, únicamente utilizaron la forma gráfica de representar este
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA problema, por lo que se reafirma que los estudiantes no tienen la capacidad de llegar a hacer conjeturas.
ANÁLISIS DEL ITEM N° 3 Determinación de la ecuación de la recta cuando se tiene su gráfica. Al respecto de este problema, las respuestas ofrecidas por los doce estudiantes pueden clasificarse como sigue:
ÍTEM No. 3. Identifique cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función y = −3x + 6
Si considera que ninguna de las gráficas anteriores corresponde a y = −3x + 6, trace la gráfica correcta. ¿Se puede considerar como función lineal? En este ítem se evidencio que el 0% de los estudiantes, inciden en el ERROR DE TIPO 7. “cometen numerosos errores al asociar la expresión algebraica de una función a partir de su gráfica no sólo no identificando correctamente sus coeficientes sino incluso confundiendo el tipo de función que están analizando. Ya que todos los estudiantes acertaron en este ítem al seleccionar la gráfica correspondiente a la función.
El 50%, correspondiente a 6 de 12 estudiantes incidieron en el ERROR DE TIPO 2. “Janvier (1978), (citado por Guzman, R) menciona que: algunas traducciones no son directas, sino que requieren de alguna otra forma de representación para
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA poder efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, el estudiante acude, como caso intermedio, a la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica correspondiente, a diferencia de estos resultados.” en este ítem los estudiantes recurrieron a la tabulación de los datos y también utilizaron el siguiente procedimiento utilizando la ecuación de la recta.
ANÁLISIS DEL ITEM N°. 4 La cuarta actividad trata sobre la articulación entre el registro de representación gráfica y un contexto real. A los alumnos se les presentó cuatro recipientes de diferentes formas pero con la misma capacidad y cuatro representaciones gráficas cuya variable independiente representaba la cantidad de líquido y la variable dependiente la altura del líquido durante el llenado del recipiente, se les solicitó que relacionaran ambas representaciones y que dieran su justificación por qué lo relacionan de esa manera. Con el propósito de conocer si a partir de una figura ellos reconocen sus representaciones gráficas y cuáles son las argumentaciones que dan con respecto a la relación que realizan, se muestra enseguida la actividad. ÍTEM No. 4. Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad, les viertes lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de graficar la forma de llenado de cada envase, a).Cuál crees que correspondería a cada gráfica?
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Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera: b). ¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, por qué? MATRIZ DE RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES
g
12
0
0
0
0
12
0
0
0
0
0
12
0
0
12
0
El 83%, que corresponde a 10 de 12 estudiantes inciden en el ERROR DE TIPO 8. “Hitt (1996), (citado por Guzman, R) en su investigación realizada con profesores de enseñanza media, donde les presenta las funciones representadas gráficamente y les solicita que lo representen en su contexto físico, y viceversa, la articulación de un contexto físico a una representación gráfica.” Es el caso del presente ítem donde los estudiantes por medio de unas figuras las relacionan según la forma con el respectivo gráfico, la mayoría de los estudiantes se confundieron al relacionar los recipientes a y d, ya que en las
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA argumentaciones que dieron se pudo contrastar que la relación la hacen tomando en cuenta la forma del recipiente y la gráfica y no el estudio en un contexto analítico, la mayoría relacionó el recipiente a con la gráfica 1 y el recipiente d con la gráfica 3 ya que aunque tienen la misma forma pero inversa no lograron determinarla. En cuanto al inciso b). Los estudiantes si logran identificar cual grafica representa una función lineal algunas justificaciones fueron: “la gráfica es una función lineal pues parte del origen y es una línea recta”, “a medida que se va llenando el recipiente van formándolas figuras de las gráficas ” ANÁLISIS DEL ÍTEM N° 5 Actividad No. 5. Un automóvil recorre 9 km. por cada litro de gasolina. a).Ésta relación es una función? Si es así, explica por qué y represéntala.
A pesar de la poca complejidad del problema se encontró que los estudiantes no analizan el problema planteado y por ende las respuestas no satisfacen lo preguntado; el 83%, que corresponde a 10 de 12 estudiantes incidieron en el ERROR DE TIPO 6. “Los alumnos tienen dificultades para relacionar los coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con las características geométricas de su representación gráfica. Suelen recurrir más a menudo a los cálculos fundamentalmente de la tabla de valores de la función con lo que son más propensos a cometer errores que con una concepción más ajustada de la función no cometerían” parece que los estudiantes únicamente utilizan el método de tabular y graficar ya que no dan la respuesta en forma algebraica. Todos los estudiantes entienden que es una función porque “hay una relación entre dos variables; esta relación es directamente proporcional porque a mayor cantidad de litros de gasolina mayor es la cantidad recorrida”
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ANÁLISIS DEL ÍTEM N°6.
En esta actividad se les presentó una lista de cinco expresiones algebraicas de funciones lineales y se solicitó que lo graficaran, con el propósito de identificar algunas dificultades del paso de lo algebraico a lo gráfico, y ver si utilizan alguna otra forma de representación de intermedio para poder llegar a lo gráfico, se esperaba que los alumnos utilizaran como caso intermedio una tabla en donde ubicaran algunos valores dados para x y los obtenidos para y en cada expresión. Se les da intencionalmente el plano cartesiano sin la numeración correspondiente en los ejes coordenados, para que ellos colocaran los valores y graficaran.
ITEM No. 6. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica, colocando en el paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta. a) y = 1/5x + 1 b) y = x c) y = 2x – 4 d) y = 5x + 2 e) y = -x f) y = x + 2
En esta actividad los estudiantes no realizaron ningún procedimiento y se limitaron a deducir a cada función con cada gráfica. En este ítem se quería analizar este ERROR DE TIPO 3. “Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las representaciones gráfica y algebraica.” Pero los estudiantes no lo respondieron por el corto tiempo.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA CONCLUSIONES
Nuestro estudio revela que los estudiantes muestran deficiencias conceptuales, de interpretación y falta de coordinación entre los registros algebraico, gráfico y tabular, tienen diferentes dificultades al pasar de la expresión algebraica a la gráfica.
Muy pocos estudiantes justifican sus respuestas, lo que indica que no están acostumbrados a comunicar sus resultados. Además, ningún tipo de representación es favorecida por ellos, ya sea porque no tienen una idea clara relacionada con el concepto de función. Esto puede ser posiblemente a consecuencia de la enseñanza recibida por estos estudiantes, porque como lo señala Trigo “cuando se comete un gran número de errores en procedimientos simples, se puede pensar que es el resultado de un mal aprendizaje o que el estudiante es una copia fiel el cual sólo aprenderá eficientemente lo que el profesor le enseñe”.
Las dificultades registradas no solo revelan un descuido notorio de las actividades de conversión por parte de la enseñanza, sino además una confianza excesiva de los estudiantes en los procedimientos que han logrado mecanizar y de los que no manifiestan tener una significación clara.
Los estudiantes únicamente utilizan el método de tabular y graficar ; parece que no están familiarizados y se les hace muy difícil llegar a deducir de forma algebraica.
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ANEXO N° 1
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ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ANEXO N° 2 CURSO DE APOYO PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS PLAN DE CUESTIONARIO INICIAL SOBRE FUNCIÓN LINEAL PARA EL GRADO 11-03 DEL INSTITUCIÓN EDUCATIVA RAFAEL REYES SANTA ROSA DE VITERBO NOMBRE _________________________________________________________________ EDAD ______________ GRADO ____________________FECHA ____ ____ ____ ESTÁNDARES: Analizo representaciones graficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.
OBJETIVO: Identificar el nivel de comprensión relativo a la función lineal INSTRUCCIONES GENERALES: Esta prueba consta de 8 preguntas las cuales están organizadas por secciones según el tipo de ítems En una hoja adicional y en forma ordenada identificando el numero de cada ítem. Realice todos los procedimientos que considere necesarios para encontrar la solución El tiempo disponible para contestar la prueba es de 60 minutos (1 hora)
CUESTIONARIO I. PREGUNTAS ABIERTAS Los ítems de 1 a 6 se requieren de interpretación procedimientos completos y orden en su solución. En la hoja en blanco anexa escriba el procedimiento correspondiente 1. La mamá de Víctor le acaba de servir una rica taza de café, como el café está muy caliente a 90 °C, para no aburrirse, mide la temperatura del café cada medio minuto durante los primeros tres minutos, la temperatura del café las resume en la tabla que a continuación se muestra.
d. Encuentre una expresion algebraica que relacione el tiempo y la temperatura del café.y grafiquela.
e. ¿Cómo varia la temperatura cuando transcurre cada minuto?______ ¿Por qué?_____ f. ¿Cómo se representa numéricamente esta variación? Este número representa la pendiente de la recta. Como se identifica en la ecuación?____________
2. Analice la siguiente tabla de valores y determine cómo se relacionan las variables x y y.
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Tabla 1. ¿Representa una función lineal?_______¿Por qué?_______________ Tabla 2. ¿Representa una función lineal?_______¿Por qué?______________ Tabla 3. ¿Representa una función lineal?_____¿Por qué?__________ 3. Identifique cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función y = −3x + 6
Si considera que ninguna de las gráficas anteriores corresponde a y = −3x + 6, trace la Gráfica correcta. 4. ¿Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad, les viertes lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de graficar la forma de llenado de cada envase, a). ¿cuál crees que correspondería a cada gráfica?
b).Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera: c). ¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, por qué?_____ 5. Un automóvil recorre 9 km. por cada litro de gasolina. a). ¿Ésta relación es una función? _______Si es así, explica por qué y represéntala_______
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA b). ¿De qué otra manera puedes representar esta relación?________ 6. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica, colocando en el paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta. a) y = 1/5x + 1 b) y = x c) y = 2x – 4 d) y = 5x + 2 e) y = -x f) y = x + 2
ESCUELA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
González, M. y Hernández, E (2003): Dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria sobre la representación gráfica de funciones lineales y cuadráticas. Universidad Salamanca www.iberomat.uji.es/carpeta/.../77_teresa_gonzalez_2.doc Smith. (1994): errores en demostraciones de Geometría. Estados Unidos: Revista Iberoamericana de Educación (ISSN: 1681-5653) Engler, A. Müller, D. Vrancken, S. y Hecklein,M. (1999): “los errores en el aprendizaje de las Matemáticas. Argentina” Universidad Nacional soarem.org.ar/Documentos/23%20Engler.pdf Cantoral, R. et al. (2000). Desarrollo del Pensamiento matemático. México: Trillas. Guzmán, R. (2006). Dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de educación secundaria al trabajar con los diferentes registros de representación de la función lineal. Acapulco: Universidad Autónoma de guerrero. Duval, R. (1998). Investigaciones en matemática educativa II. Registro de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento, págs. 173-201, Ed. Hitt, F., Grupo Editorial Iberoamérica.