HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS by matematicas estadistica

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS MILENA DIAZ SILVA1 WILSON JAVIER OCHICA APONTE2

Licenciatura en Matemáticas y Estadística-UPTC-Duitama

Resumen El presente artículo enfocado a estudiantes de grado séptimo muestra los resultados de un proyecto investigación en el aula, el cual pretendía lograr en los estudiantes una comprensión de los conceptos relativos a los números enteros. La investigación comienza con una etapa de observación, continuando con la implementación de un cuestionario inicial, el cual tuvo como propósito poner de manifiesto los errores más frecuentes a la hora de abordar la temática planteada, para luego, mediante una serie de secuencias didácticas, diseñadas con un enfoque constructivista, lograr subsanar las falencias presentes en las estudiantes. Finalmente se implementó un cuestionario, que permitió evaluar el desempeño tanto de las estudiantes como de los profesores practicantes dentro del proceso. Palabras clave: número, relación, plano, operación.

Abstract This article focuses on seventh graders shows the results of a classroom research project, aimed to achieve in students an understanding of the concepts of whole numbers. The investigation begins with an observation stage, continuing the implementation of an initial questionnaire, which was intended to highlight common mistakes when addressing the issues raised, and then, through a series of didactic sequences designed with a constructivist approach, to achieve remedy the shortcomings present in the students. Finally we implemented a questionnaire, which allowed us to evaluate the performance of both students and practicing teachers in the process. Keywords:number, relationship, plan, operation

mdiazuptc@hotmail.com nosliw0711@yahoo.es

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

1. INTRODUCCIÓN En el acontecer estudiantil, y sobre todo en lo que tiene que ver con lo matemático, los errores son persistentes en la mayoría de los estudiantes y como menciona Socas (1997) el error debe ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o una distracción. El estudio de los errores es pieza fundamental en el proceso educativo, ya que esto sirve para identificarlos dentro de cualquier contexto y así poder buscar herramientas que los reduzcan a su mínima expresión. La Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia – Duitama, la escuela de Matemáticas y Estadística y la Asignatura de Proyecto Pedagógico VI, ven la necesidad de llevar al aula las estrategias didácticas vistas en el transcurso de la carrera, con el fin de incidir en la construcción del conocimiento profesional de los estudiantes que se preparan para ser futuros profesores,los cuales tienen tan dura laboro en alguna medida mejorar la perspectiva que los estudiantes tienen frente a la matemática. El proyecto se desarrolló con las estudiantes de grado 7º del colegio Nacionalizado La Presentación de Duitama, cuyas edades oscilan entre 11 y 15 años; primero se realizó observación en el horario habitual de clase, durante el transcurso de dos semanas consecutivas, posteriormente, durante seis sábados, comenzando desde el 2 de octubre de 2010 y extendiéndose hasta el 6 de noviembre de 2010, en las instalaciones de la Universidad. Se diseñaron secuencias didácticas que buscaban superar los errores encontrados en el diagnóstico. 2. EL DIAGNÓSTICO

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES

A continuación se citaran los errores cometidos por 18 estudiantes de séptimo grado del Colegio Nacionalizado La Presentación, a la hora de presentar la prueba diagnóstica sobre números enteros, cuya finalidad era identificar el nivel de comprensión de los conceptos y procedimientos relativos a los números enteros.

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE PRESENTAN ERRORES CON RESPECTO A LOS NUMEROS ENTEROS 100%

83%

72%

94% 56%

50% 0% e1

TIPO DE ERROR

Errores al establecer la relación de orden en los reales (e1) Errores debidos a dificultades para obtener información del contexto planteado (e2) Errores debidos a la mala ubicación espacial en el plano cartesiano (e3) Errores al realizar operaciones combinadas con números enteros (e4)

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Con el análisis de la prueba diagnóstica y las observaciones realizadas se deducen las siguientes conclusiones: 

Las alumnas no saben suprimir paréntesis adecuadamente, pues inclusive algunas desde el primer paso los eliminan sin tener ningún tipo de criterio.



No realizan operaciones en orden jerárquico.



No tienen en cuenta que pasa dentro de los paréntesis cuando esta precedido de un signo negativo.



Las estudiantes no tienen claro el concepto de mayor qué y menor que, ya que en la mayoría de los casos tomaban los extremos de los intervalos dentro del conjunto respuesta.



No es claro el uso de la relación de orden al trabajar con negativos, en este sentido las alumnas solo tienen en cuenta el valor absoluto de la cifra para ordenarla, sin tener en cuenta, por ejemplo, la ubicación de esta en la recta numérica.



Las estudiantes no analizan la información que se les brinda para solucionar los ítems propuestos.



Manejan solo las cantidades planteadas sin tener en cuenta que función cumplen dentro del problema y por ello las operaciones que realizaron no son las correctas.



Las estudiantes no manejan adecuadamente el plano cartesiano.



No identifican el nombre de cada uno de los ejes del plano cartesiano.



Ubican en el eje de las ordenadas las abscisas y viceversa.



No nombran los puntos encontrados.



No identifican los cuadrantes que conforman el plano cartesiano.

3. MARCO TEÓRICO

Para mostrar los resultados del presente trabajo es necesario comenzar por hablar sobre la epistemología del numero; luego, sobre los números naturales, los cuales son el origen de los enteros; además, de algunos aportes sobre los números negativos; se citaran, algunas investigaciones y propuestas realizadas en el campo de estudio mencionado; y finalmente la estrategia metodológica empleada al desarrollar el trabajo de aula. Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad. Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados. La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número. Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva. La contabilidad de una oveja se simbolizaría con I, 1, etc., según cada cultura establezca como universal. El nacimiento de los sistemas numéricos tiene como precedente esta sistematización de universalidad. Sin embargo todo aquello se debe a la necesidad por la cual evoluciona las matemáticas, pues bien, tenemos que ingresar con esto a la aparición de dos grandes ideas en la matemática: El número natural y entero. El número natural Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el número natural. Si usted no se ha percatado de esto, pues simplemente fíjese en el número de libros que tiene en su biblioteca, en el número de camisas, o mejor si usted es estudiante, en el número de alumnos de su clase. Para contabilizar los objetos, utilizamos en general, los números naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc. También los números naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos Nacional está tercero en la tabla de posiciones o también Millonarios está en primer lugar en el torneo local. Entonces, deducimos que los números naturales tiene dos primeras características: la cardinalidad y la ordinalidad. Se estableció el conjunto de los números naturales, con la notación adoptada por la letra N, y es el siguiente: Ν = {0, 1, 2, 3, 4,..., 100, 101,....} Se observa que los números están ordenados, entonces podemos relacionarlo con puntos mediante la recta numérica, cumpliendo una relación de punto a número, siendo así un ejemplo de la característica infinita de los naturales.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Estamos incluyendo el cero en los números naturales tomando como referencia al aporte de Giuseppe Peano (1858 – 1932); que fue un matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos. Los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir. Es por esto que se hace una extensión al conjunto de los naturales, la necesidad de completitud genera el conjunto de los números negativos. Los números negativos Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores. Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. Además el cero también es atribuida a esta cultura, hacia el año 650 d. C. Tener en cuenta que los griegos utilizaban magnitudes negativas en sus teoremas del álgebra geométrica, pero este siempre referido a las propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b).(c – d) = ac + bd –ad –bc; dejándolos como restas indicadas. Sin embargo fueron los indios los encargados en mostrar reglas numéricas para ello, esto en positivos y negativos. Es así que Brahmagupta, matemático indio, contribuye al álgebra con presentación de soluciones negativas para ecuaciones cuadráticas. La primera vez que aparece sistematizada de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta. La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos. Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinitoum (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su AnteitungZur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) = +1. Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta – 4, que no es natural, no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los números enteros; es decir los números naturales complementados con los opuestos. Observemos el siguiente gráfico:

Donde: 

Los enteros positivos (positivos en el gráfico), se denota con Z + .



Los enteros negativos (negativos en el gráfico), se denota con Z - .



El cero no tiene signo, es neutro.

La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto. Ahora, debemos mencionar, que cuando se comienza a enseñar matemáticas, quizás no se enfatiza la importancia del cero y de la negatividad, como elementos fundamentales en la construcción del concepto de número signado, siendo que éste es uno de los más difíciles de adquirir por los alumnos. Es cierto que pueden venir a nuestra mente representaciones muy elementales de la vida corriente donde encuentran aplicación estos números, como: las temperaturas, las ganancias y las pérdidas, etc. Es importante, señalar las paradojas y los límites de las funciones de medida, de las operaciones de suma y de resta, y en general, de cualquiera de los instrumentos conceptuales con los que suele operarse, es seguramente una de las mayores dificultades a las que nos podemos enfrentar los que nos dedicamos a la enseñanza, en particular a la enseñanza de las matemáticas. Las investigaciones sobre los problemas asociados a la enseñanza y al aprendizaje de los números negativos son muy variadas. De ahí que los antecedentes se pueden clasificar en tres grandes grupos (Cid, 2003): como propuestas de enseñanza, por dificultades de aprendizaje y errores de los alumnos, y por las implicaciones didácticas de la epistemología del número negativo. Es importante señalar, que esta clasificación no implica que sean independientes entre sí, por el MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

contrario, hay algunos trabajos que relacionan dos y hasta las tres clasificaciones señaladas, así en el primer grupo tenemos a las investigaciones que tratan sobre las propuestas de enseñanza, entre otras mencionaremos las siguientes: Arcavi y Bruckheimer (1981), formulan una clasificación de las distintas propuestas de introducción de la multiplicación de los números enteros en la escuela que puede hacerse extensiva a la estructura aditiva. Coltharp (1966) y Fletcher (1976), entre otros propusieron el acercamiento de tipo axiomático, la introducción constructiva, además defendieron en su momento esta forma de presentar los enteros en la educación primaria o secundaria. Entre los que comentan la introducción inductiva se encuentran: Snell (1970), Peterson (1972), Sicklick (1975) y Freudenthal (1983). Para Freudenthal, una introducción de este tipo facilitaría el paso a un posterior desarrollo deductivo del tema. Además, en consonancia con su idea de basar los razonamientos sobre los números negativos no sólo en aspectos algebraicos sino también geométricos, propone una presentación inductiva con una doble vertiente: la de prolongar, por un lado, las regularidades numéricas propias de los números naturales y, por otro, las rectas e hipérbolas equiláteras restringidas, inicialmente, al primer cuadrante (Freudenthal, 1983, pp. 450-55). Las propuestas que hablan sobre el uso de modelos concretos para enseñar los números enteros son inagotables. Algunos autores, para justificar el producto de enteros, añaden al modelo de la recta numérica, dispositivos gráficos parecidos a los que suelen utilizarse para explicar las homotecias de razón entera (Cable, 1971; Cofman, 1981; Dieudonné, 1987, pp. 57-59). También hay autores que interpretan el producto “ab” de números enteros como el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas (a, b), (a, 0), (0, b) y (0, 0), acompañada del signo “+” ó “-” según el cuadrante en que esté situado (Castelnuovo, 1970, pp. 160-163, Alsina y otros, 1980; Gobin y otros, 1996). Es importante señalar que casi ningún autor habla sobre la posición de los números negativos en el currículo escolar, ni si deben introducirse a partir de los enteros. De hecho, aunque hablan de la enseñanza de los números negativos, sus propuestas, en la práctica, restringen esa negatividad al ámbito de los números enteros. Freudenthal es una de las excepciones, pues al plantear la posibilidad de introducir los números negativos en el marco de la geometría analítica, dice que una de las ventajas de esta introducción sería la de no limitarse a los enteros negativos (Freudenthal, 1983, p. 451). La otra excepción son Bruno y Martinón (Bruno, 1996) que introducen los números negativos simetrizando el conjunto de números positivos que manejan los alumnos. Señalan que no ven la ventaja de empezar simetrizando N, pues no ahorra tiempo de enseñanza ni evita dificultades de aprendizaje y, en cambio, supone una ruptura en la secuencia de extensiones numéricas realizadas hasta ese momento. Respecto a la posición en el currículo, Davidson (1987) y Aze (1989) presentan experiencias de introducción de los números negativos a edades más tempranas de las habituales. Entre los trabajos que hablan sobre las dificultades de aprendizaje y errores de los alumnos, tenemos los siguientes: Tanto Brookes (1969) como Cable (1971), señalan el hecho de que en el modelo de la recta numérica, los números enteros tan pronto se representan por puntos, como por desplazamientos, como por factores escalares, dando lugar a que la suma y el producto de enteros se interpreten en términos de operaciones externas. Más recientemente, diversos autores (Bell, 1982; Bruno y Martinón, 1994; Carr y MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Katterns, 1984; Ernest, 1985; Küchemann, 1981; Liebeck, 1990; Mukhopadhyay, 1997) han puesto de manifiesto que los niños tienen dificultades para interpretar la suma y resta de números naturales o enteros usando el modelo de la recta numérica. Básicamente, se observa que tienden a representar los números y el resultado de la operación como puntos aislados en la recta, no como vectores, lo que no les permite dar una interpretación de las operaciones en el modelo. Lytle (1994) dice que en el modelo de fichas de dos colores surgen dificultades de interpretación de la resta de números enteros; Gallardo (1994) refleja esa misma dificultad al hacer experiencias de enseñanza con dicho modelo y añade que se producen confusiones entre las estructuras aditiva y multiplicativa de Z. También Bell (1986) muestra que hay niños que no saben dibujar correctamente la escala de un termómetro, que cuando tienen que calcular la diferencia entre dos temperaturas efectúan siempre una resta independientemente de los signos de las mismas, que no interpretan adecuadamente la expresión “más abajo” o “más arriba” para calcular la posición de un disco en la “lista de los cuarenta principales” a partir de una primera posición, etc. Otros autores como (Marthe, 1979; Vargas-Machuca y otros, 1990; González Marí, 1995; Bruno y Martinón, 1996) proponen la utilización de las clasificaciones de situaciones aditivas de una sola operación de Vergnaud y Durand (1976) o de Carpenter y Moser (1982) con el objeto de ayudar a los alumnos a superar las dificultades de manipulación de los distintos modelos concretos. En particular, Bruno y Martinón se muestran partidarios del uso de los modelos concretos habituales en los textos escolares, pero presentándolos en situaciones aditivas muy variadas, tanto desde el punto de vista del tipo de situación como del lugar que ocupa la incógnita dentro de ella, y de introducir la recta numérica como un sistema de representación universal de las distintas situaciones y modelos. Sin embargo, opinan que es necesaria una larga secuencia didáctica de familiarización con los otros modelos concretos (temperaturas, deudas y haberes, etc.) para facilitar el uso del modelo de la recta numérica. TALLER CONSTRUCTIVO El taller constructivo como estrategia para aprender a pensar mediante la construcción del conocimiento matemático, es una propuesta metodológica que pretende facilitar la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos y a la vez estimular el desarrollo del pensamiento matemático (Medina, Ana C., 1998). Se aborda desde la perspectiva Genética de Piaget, la Zona de Desarrollo Próximo de Lev. Vigotski y la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau. Está basada en los siguientes principios didácticos: 

Considera la enseñanza como un proceso intencional y planeado para lograr en los estudiantes esquemas mentales que le permitan acceder al conocimiento y al desarrollo en todas sus dimensiones. Debido a esto, el taller constructivo debe ser planeado previamente.



El papel del maestro es crear situaciones pedagógicas apropiadas que le permita al estudiante construir de manera autónoma nuevos conocimientos a partir de los que ya conoce.

El proceso didáctico contempla las siguientes etapas:

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS



Revisión de conceptos previos: Se proponen actividades para rescatar los conceptos, preconcepciones o pre teorías acerca del tema. Se revisa que los alumnos posean los conceptos preliminares, los cuales servirán para construir de forma autónoma los nuevos conocimientos.



Acción + reflexión =construcción lógica: Trabajo individual. Toda actividad debe conducir a una reflexión. La acción está conformada por todas las actividades que propone el maestro y realiza el alumno en forma individual para reflexionar sobre ellas y poder descubrir regularidades que lo conducirán a la construcción de un nuevo conocimiento. Mediante preguntas que susciten nuevas preguntas el alumno descubre características, propiedades, generalizaciones de los objetos y que estos no poseían por sí mismos. Ej. Descubrir el sentido de la fracción como parte-todo.



Formulación: Después de que el alumno construye sus propios conceptos, se busca la forma de exteriorizarlos o expresarlos. En esta etapa se emiten enunciados que pueden ser conclusiones, conjeturas, hipótesis, generalizaciones, etc., o representaciones gráficas o simbólicas. En esta etapa no se espera que los conceptos elaborados por los alumnos sean los correctos o los que maneja el profesor. Se debe apreciar y valorar la producción personal y orientar en caso necesario.



Validación: Confrontación en pequeños grupos o en plenaria de los procesos y resultados obtenidos en la etapa anterior. Es la oportunidad para que el estudiante aprenda a argumentar y sustentar como también a escuchar, criticar, contra-argumentar, etc. De esta forma desarrolla competencias comunicativas y de razonamiento lógico. Después del debate en grupo se llega a un consenso o producción colectiva el cual se presentara en plenaria.



Formalización: El maestro precisa nociones, conceptos, generalizaciones, conclusiones, procesos, etc. y ofrece documentación o fuentes bibliográficas para contrastar.



Aplicación: Se pone a prueba la construcción de los conceptos y su incorporación a la estructura cognitiva del estudiante. Se proponen ejercicios o problemas de aplicación, pero no para repetir mecánicamente lo aprendido, sino para establecer las relaciones y seleccionar los contenidos conceptuales para aplicarlos en nuevas situaciones que se presenten.



Evaluación: La evaluación se considera como un medio para procurar el desarrollo del individuo, luego debe permitir aproximarse, reflexionar, construir, expresar, sustentar y aplicar conocimiento. Por lo tanto la evaluación debe estar presente en todo el proceso mediante la observación, diálogo, toma de registros para verificar si el aprendizaje es significativo, se desarrollan procesos de pensamiento y procesos actitudinal.

4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN – ACCIÓN (IA) Según Dick (1999) este tipo de investigación “se enmarca en la familia de investigaciones que buscan acción o cambio y en la investigación y compromiso al mismo tiempo”. Un rango que MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

distingue la IA es la responsabilidad de las personas que están interesadas por los cambios que se han planificado; también es menester valorar los resultados de las estrategias sometidas a prueba práctica. En relación con el proceso de la IA, debe apuntarse que esta significa exploración y reflexión, planificación, acción y observación, y evaluación cuidadosa, sistemática y rigurosamente acerca de lo que suele hacerse en la vida cotidiana, y significa utilizar las relaciones entre esos momentos, distintos del proceso, como fuente tanto de mejora como de conocimiento. Teniendo en cuenta lo anterior,se toma como referencia los momentos propuestos en la Investigación-Acción: 

Fase de exploración y reflexión.

Fase diagnóstica, que se desarrollo mediante la técnica para recopilación de información como matriz de observación no participante en el Colegio Nacionalizado La Presentación de Duitama en los grados séptimo, en el horario habitual de matemáticas y la aplicación y análisis de resultados de un cuestionario inicial basado en las dificultades y errores presentes en las estudiantes en los conceptos y procedimientos relativos al manejo de los números enteros. 

Fase de Planificación

Se inicia con el plan del diagnóstico. Luego se diseña el plan de Proyecto de Aula el cual contiene la Unidad Didáctica y la propuesta secuencial de enseñanza. 

Fase de Acción y observación

La propuesta se desarrolla durante seis sábados en encuentros de 3 horas con las estudiantes. En las clases se utiliza la estrategia metodológica del taller constructivo, la cual permite que el alumno sea un ente participativo y generador de su conocimiento. Posteriormente existe espacio de reflexión a manera de autoevaluación y coevaluación sobre la experiencia de enseñanza vivida, de acuerdo a una matriz de sistematización. 

Fase de Evaluación

Al proyecto se le hace un seguimiento continuo mediante un proceso planeado de sistematización de experiencias, basado en la reflexión interpretativa y analítica de los registros obtenidos y la documentación recolectada. 

Análisis de la información recolectada en las diferentes pruebas practicadas para determinar el nivel de desarrollo de las estudiantes en cuanto a la superación de sus dificultades.



La observación y seguimiento a las actividades que las alumnas realizan en el aula de clase y análisis de sus protocolos.



Análisis del cuestionario final a las estudiantes, enfocado a verificar la aceptación, eficacia y efectividad del proyecto de aula.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA El proyecto se desarrolló alrededor de la comprensión de los conceptos relativos a los números enteros, por tal uso se realizaron una serie de secuencias didácticas que manejaban desde situaciones problema como actividades lúdico matemáticas que facilitaron el desarrollo de las clases. A continuación se presentan las secuencias didácticas que constituyeron la propuesta secuencial de enseñanza para la comprensión de conceptos relativos a los números enteros enfocada a estudiantes de grado séptimo. SECUENCIA DIDÁCTICA No. 1 TEMA: concepto de número entero ESTÁNDAR: reconocer el significado de número en diferentes contextos (conteo, comparación, localización, entre otros) INDICADORES DE DESEMPEÑO: usar los números enteros para caracterizar situaciones. Utilizar los números enteros para diferenciar cantidades y presentar una información dada. SECUENCIA DIDÁCTICA No. 2 TEMA: relación de orden en los números enteros ESTÁNDAR: reconocer el significado de número en diferentes contextos (conteo, comparación, localización, entre otros) INDICADOR DE DESEMPEÑO: determinar relaciones de orden en los números enteros. SECUENCIA DIDÁCTICA No. 3 TEMAS: El plano cartesiano con números enteros Suma de números enteros ESTÁNDAR: identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica. INDICADOR cartesiano.

DE DESEMPEÑO: reconozco, utilizo y represento números enteros en el plano

SECUENCIA DIDÁCTICA No. 4 TEMAS: Resta de números enteros Multiplicación de números enteros

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

ESTÁNDAR: resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de los números. Como las de igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. INDICADOR DE DESEMPEÑO: efectuar sustracciones entre números enteros. Efectuar multiplicaciones entre números enteros. SECUENCIA DIDÁCTICA No. 5 TEMAS: División de números enteros Potenciación de números enteros ESTÁNDAR: resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de los números. Como las de igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. INDICADOR DE DESEMPEÑO: encontrar el cociente entre dos números enteros Comprender el algoritmo de la potenciación en los números enteros. SECUENCIA DIDÁCTICA No. 6 TEMAS: Operaciones con números enteros ESTÁNDAR: resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de los números. Como las de igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. INDICADOR DE DESEMPEÑO: Solucionar operaciones básicas con los números enteros. Se mostrara a continuación una de las secuencias didácticas utilizadas en las sesiones de clase:

SECUENCIA DIDÁCTICA No. 3 ASIGNATURA: Matemáticas TIEMPO: 3 Horas

CURSO:

NUMERO DE CLASE: 3

FECHA: 16 de octubre 2010 TEMAS: El plano cartesiano con números enteros Suma de números enteros ESTÁNDAR: identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica. MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

INDICADOR DE DESEMPEÑO: reconozco, utilizo y represento números enteros en el plano cartesiano. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS: Taller constructivo. RECURSOS, MATERIAL DIDÁCTICO: hojas entregadas por los profesores ELABORADO POR: Milena Diaz Silva y Wilson Javier Ochica INSTRUCCIONES: Para el desarrollo de algunas actividades se necesita de trabajo individual. Además habrá momentos en los cuales el trabajo en subgrupos será importante.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

REVISANDO CONCEPTOS PREVIOS PARA EL PLANO CARTESIANO

Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -14, +15, -10, +11, 8, +7, -7, +2, -6, -3

RECORDEMOS LA RECTA NUMÉRICA CON LOS NÚMEROS ENTEROS

 Escribe falso o verdadero y explica el porqué de tu respuesta -14 es mayor que -10 (falso) porque -14 está a la izquierda de -10 y por tanto -14 < -10 -6 es menor que -8 (falso) porque -6 está a la derecha de -8 y por tanto -6 > -10 +2 es mayor que -3(verdadero) porque +2 está a la derecha de -3 y por tanto +2 > -10

HACIA EL CONOCIMIENTO DEL PLANO CARTESIANO 1. CONSTRUYAMOS CONCEPTOS MEDIANTE ACCIÓN + REFLEXIÓN

1. En geografía para conocer la ubicación de cualquier lugar en la superficie terrestre se hace uso de la latitud (localización de Norte a Sur, tomando como referencia la línea del Ecuador) y la longitud (localización de un lugar de Este a Oeste, y la línea de referencia es el meridiano de Greenwich).

UBICÁNDONO S EN LOS MAPAS

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Escribe las coordenadas (utilizando la longitud y la latitud), en las que se encuentra cada lugar mostrado en el mapa. BOGOTÁ (70° LONGITUD OESTE, 10° LATITUD SUR) WASHINGTON (80° LONGITUD OESTE, 30° LATITUD NORTE) SÍDNEY (150° LONGITUD ESTE, 40° LATITUD SUR) PEKÍN (130° LONGITUD ESTE, 40° LATITUD NORTE) ETIOPIA (40° LONGITUD ESTE, 0° DE LATITUD) PARIS (0° LONGITUD, 40° DE LATITUD NORTE)

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

INSERCIÓN DE LOS ENTEROS DENTRO DEL CONTEXTO

2. La latitud y la longitud pueden también ser representadas utilizando los números enteros de la siguiente forma: Para la longitud se toma como origen el meridiano de Greenwich, los valores de los grados hacia el Este se denotan con los enteros positivos mientras que los valores hacia el Oeste se denotan con los enteros negativos. Similarmente ocurre lo mismo con la latitud, en este caso se toma como origen la línea del ecuador, los valores de los grados hacia el Norte se marcan con enteros positivos y los valores hacia el Sur con valores negativos. Utilizando la información anterior vuelve a escribir las coordenadas de los lugares del mapa utilizando los números enteros: BOGOTÁ (-70, -10) WASHINGTON (-80, +30) SÍDNEY (+150, -40) PEKÍN (+130, +40) ETIOPIA (+40, 0) PARIS (0, +) 3. Ubica en un plano mediante puntos, las coordenadas correspondientes a los siguientes sitios tomando como referencia el punto cero que corresponde a la alcaldía de la ciudad, y determina el cuadrante en donde se encuentran. Biblioteca (-5, 4)Museo: (-2,1); Asadero: (2,-3); Cigarrería: (-3,-4); Notaria: (3,5); Lavandería: (-4,-3)

El museo esta en el cuadrante II, el asadero en el cuadrante IV, la cigarrería y la lavandería en el cuadrante III y la notaria en el cuadrante I 1.

FORMULEMOS CONJETURAS Y VALIDEMOS

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

¿Cuántos ejes intervienen en el plano cartesiano? y ¿Qué relación tienen con la recta numérica? Intervienen dos ejes, los cuales son dos rectas numéricas que manejan las mismas unidades y que se cruzan perpendicularmente en el punto cero. ¿Cómo se les llama a cada uno de los ejes? CARACTERIZA CIÓN DEL PLANO CARTESIANO

Eje x o eje de las abscisas Eje y o eje de las ordenadas ¿Hacia dónde aumentan y hacia donde disminuyen los valores en cada uno de los ejes? En el eje x los valores aumentan hacia la derecha y disminuyen hacia la izquierda En el eje y los valores aumentan hacia arriba y disminuyen hacia la abajo. Cuando se cruzan los ejes el plano queda dividido en cuatro regiones ¿Cómo se les denomina a cada una de ellas? Cuadrantes (I, II, III, IV) 2.

FORMALICEMOS

¿Cómo se denomina el punto donde se cruzan los ejes y que valor representa? Origen y representa el cero ¿Cómo se caracterizan las parejas ordenadas en cada uno de los cuadrantes del plano cartesiano? CONCLUYENDO

Cuadrante I: (+, +)

Cuadrante II: (-, +)

Cuadrante III: (-, -)

Cuadrante IV: (+, -)

¿Cómo se conforma la pareja ordenada que identifica un punto en el plano cartesiano? Primero la componente en la recta horizontal y luego la componente en la recta vertical (x, y) HACIA EL MANEJO DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 3.

CONSTRUYAMOS CONCEPTOS MEDIANTE ACCIÓN + REFLEXIÓN

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

SITUACIÓN PROBLEMA SOBRE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Daniel Mauricio es un estudiante de grado séptimo, el tiene como entretenimiento jugar en las tardes y los fines de semana, después de cumplir con los deberes escolares, el juego del Oki-Da. Este juego usa una especie de cartas las cuales se pierden o se ganan según las indicaciones y desarrollo de cada partida. En la tarde de ayer, inicio el juego con 40 cartas, jugó 4 rondas con algunos amigos del lugar donde vive, y al final tabuló la información de las cartas ganadas (+) y las cartas perdidas (-) así: Ronda 1 +3 +1 Ronda 2 +3

-2

Ronda 3

-6

Ronda 4

-4

-3

a. ¿Con cuántas cartas quedó Daniel Mauricio en cada ronda? Ronda 1:

(+3)+(+1) = (+4) en la ronda 1 ganó 4 cartas. Cartas iníciales: +40 cartas ganadas: +4 total de cartas: +40+(+4) = +44 ¿Cómo se suman dos números enteros positivos? Se suman los sumandos y se deja el signo de los mismos. Ronda 2:

(+3)+(-2) = (+1) en la ronda 2 ganó 1 carta Cartas iníciales: +44 cartas ganadas: +1 Ronda 3:

total de cartas: (+44)+(+1) = +45

(-6)+(+5) = (-1) en la ronda 3 perdió 1 carta Cartas iníciales: +45 cartas perdidas: -1 total de cartas: (+45)+(-1) = +44 ¿Cómo se suman dos números enteros de diferente signo? Da un ejemplo Se restan los sumandos y se deja el signo del mayor.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

Ronda 4:

(-4)+(-3) = (-7) en la ronda 4 perdió 7 cartas Cartas iníciales: +44

total de cartas: (+44)+(-7) = (+37)

¿Cómo se suman dos números enteros negativos? Da un ejemplo Se suman los sumandos y se deja el signo de los mismos Retomemos algunas de las operaciones anteriores: (+3)+(+1) = (+4) cuando los sumandos son de distinto signo se restan y se deja el signo del mayor (+3)+(-2) = (+1) (-6)+(+5) = (-1) (-4)+(-3) = (-7) cuando los sumandos son del mismo signo se suman y se deja el signo que presentan Por acuerdos de la comunidad matemática y para su simplicidad se ha adoptado realizar en el proceso anterior los siguientes cambios: 3+1=4 3–2 =1 -6 + 5 = 1 -4 – 3 = -7

4. FORMALICEMOS  Para representar la adición de números enteros gráficamente, usamos flechas, las cuales nos indican los desplazamientos tanto positivos como negativos sobre la recta numérica.  Como regla general para la adición de números enteros se tiene que: CONCLUYENDO  Cuando los sumandos son del mismo signo se suman y se deja el signo que presentan dichos sumandos.  Cuando los sumandos son de distinto signo se restan y se deja el signo del mayor

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

5. APLICACIÓN Y EVALUACIÓN

1. Aquí aparece un mapa en el que se muestra la ubicación exacta de un tesoro enterrado, para llegar al él debes pasar por cada uno de los puntos señalados en este, iniciando el recorrido donde tu avión ha aterrizado. Para saber si estas pasando por el lugar correcto debes escribir las coordenadas de cada uno de los puntos por los que vayas cruzando, además debes ir señalando el cuadrante en el cual está ubicado dicho punto.

A (5, -5) CUADRANTE IV B (2, 3) CUADRANTE IV

E (-2, 1) CUADRANTE II F (2, 2) CUADRANTE I

C (-3,-4) CUADRANTE III

G (4, 4) CUADRANTE I

D (-4,-2) CUADRANTE III

H (5, 5) CUADRANTE I

Escribe la adición representada en cada una de las rectas numéricas. Para ello comienza la operación en el punto de inicio siguiendo las flechas, las cuales están marcadas en orden alfabético a las cuales debes asignarles su valor numérico entero para que se te facilite la operación.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

A = +7, B = +6, C = -11 7+6+(-11) = 2

A = +10, B = -14, C = -8 10+(-14)+(-8) = -12 6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO Como el enfoque del curso era estimular a los estudiantes en la comprensión de los conceptos involucrados con los números enteros y en contexto, a continuación se presenta una comparación de los resultados obtenidos con respecto a la aplicación del cuestionario inicial y el cuestionario final aplicado al finalizar el curso. CONTRASTE DE LOS RESULTADOS EN LOS CUESTIONARIOS INICIAL Y FINAL EN CUANTO A COMETER DETERMINADO TIPO DE ERROR

TIPO DE ERROR

91%

64%

55%

18%

e2 e1

cuestionario inicial

64%

27%

cuestionario final 82%

45% 0%

20%

40% 60% PORCENTAJE DE ESTUDIANTES

80%

100%

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

e1 Errores al establecer la relación de orden en los números enteros e2 Errores debidos a dificultades para obtener información del contexto planteado e3 Errores debidos a la mala ubicación espacial en la recta y el plano cartesiano e4 Errores al realizar operaciones combinadas con números enteros En el cuestionario final se exploraron estos errores, para ver en qué nivel se había reducido la presencia de los mismos durante el proceso, y se vio una notable disminución de ellos en la mayoría de las estudiantes. En este cuestionario también se incluyó lo referente a la potenciación de números enteros, en lo cual se vieron buenos resultados, además se hizo un mayor énfasis en el desarrollo de polinomios aritméticos, pero para este caso los resultados fueron un poco bajos. Esta vez el error e4 (errores al realizar operaciones combinadas con números enteros) volvió a aparecer como el mayor en el que las estudiantes incurren, pero vemos que del 91% de las alumnas se redujo al 64%, al igual que los demás errores que se evaluaron. El error que más se pudo reducir en las estudiantes es el que tiene que ver con los errores debidos a la mala ubicación espacial en la recta y el plano cartesiano. En el desarrollo del curso se plantearon varias secuencias didácticas, que buscaban desarrollar en las estudiantes el interés por las matemáticas y el tema trabajado, mediante la superación de los logros propuestos para cada temática; en la tabla siguiente, se evidencia el desempeño académico obtenido en el curso:

LOGROS: 1. Determina relaciones de orden en los números enteros. MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

2. Reconozco, utilizo y represento números enteros en la recta numérica y el plano cartesiano. 3. Efectuar operaciones básicas entre números enteros con la ayuda de la recta numérica 4. Comprender el algoritmo de la potenciación en los números enteros 5. Resolver polinomios aritméticos 6. Cuestionario final En cuanto a los logros que se plantearon para el desarrollo de las secuencias didácticas el que fue mejor trabajado por las estudiantes fue el de la relación de orden en los números enteros, seguido por el de utilizar y reconocer los números enteros en la recta numérica y el plano cartesiano. Mientras que lo que lo tiene que ver con efectuar operaciones básicas entre números enteros con la ayuda de la recta numérica presentó una mayor dificultad.

7. CONCLUSIONES El curso de apoyo fue de gran utilidad para las alumnas, ya que ellas aclararon muchas dudas frente a los temas relativos a los números enteros. Se trabajó de manera agradable, ya que el ambiente de las clases así lo mostraba, hubo una interrelación significativa entre las estudiantes y los profesores facilitando el proceso educativo. En cuanto a la actitud de las niñas en general fue buena frente a las diferentes clases, participaron en el aula de clase, manifestaron las dudas que tenían, asistieron puntualmente y mantenían un respeto por los profesores titulares y la profesora responsable del proyecto. Pero, también hubo niñas que mostraban disgusto y falta de interés y motivación para participar en todas las actividades de aprendizaje. Las alumnas tuvieron la oportunidad de aclarar dificultades relacionadas con temas que se encontraban viendo en el momento, ya que sintieron la confianza de preguntarnos sobre ellos y dispusieron de tiempo adicional para que esto fuese aclarado. Es importante que sigan utilizando estos cursos de apoyo que la universidad les ofrece, porque es de gran ayuda para las alumnas que tiene dificultades con el aprendizaje de las matemáticas. Se recomienda que para futuros cursos se invite a las estudiantes que deseen participar en forma voluntaria, para que algunas niñas no se sientan estigmatizadas y señaladas como niñas que tienen un bajo de rendimiento en matemáticas, pues esto desfavorece y trae mayor inseguridad en el aprendizaje. Si se hace una invitación general, las niñas que tienen dificultades pueden acudir al curso con mayor agrado. 8. BIBLIOGRAFÍA ALFONSO, H. (1999) Menos por menos…Consideraciones previas a una propuesta didáctica. Revista EMA, vol, 5, No 1, 68-79 ARDILA, P. Y GALVIS, N. (2007). Aciertos Matemáticos 7, Bogotá: Grupo editorial Educar

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE

HACIA LA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS RELATIVOS A LOS NÚMEROS ENTEROS

CASABUENAS, C. y Otros (1989) Propuesta de programa curricular séptimo grado. Educación básica secundaria. MEN. MARTINEZ, M. (2000). La Investigacion-acción en el aula. Agenda Academica, volumen 7, No. , 2739 SANCHEZ, A. Y CARABALLO, J. (2006) Símbolos 7 Matemática Aplicada, Bogotá: Editorial Voluntad. SILVIA, M. y otros,Análisis de los errores: una valiosa fuentede información acerca del aprendizaje de las Matemáticas (Universidad CAECE). SOCAS, M. Dificultades, Obstáculos Y Errores En El Aprendizaje De Las Matemáticas En Educación Secundaria.

MILENA DIAZ SILVA, WILSON JAVIER OCHICA APONTE