2012 UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA Alcira Santos Moreno
[LA CONSTRUCCIÒN DEL SIGNIFICADO LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES A PARTIR DE LAS FRACCIONES ARITMETICAS Este artículo trata de cómo enseñar las fracciones algebraicas a partir de las fracciones aritméticas, habla de los métodos y estrategias, de tal forma que el estudiante aprenda de una forma más sencilla.
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CONTENIDO
RESUMEN .......................................................................................................................................2 INTRODUCCION .................................................................................................................................. 3
EL DIAGNOSTICO………………………………………………………………………………………………………………………4 CATEGORIAS DE ERRORES ......................................................................................................... 6 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................. 8 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................ 8 HIPOTESIS ........................................................................................................................................... 8 MARCO TEORICO ............................................................................................................................... 9 CONFIGURACION EPISTEMICA DEL CONCEPTO DE FRACCIONES ALGEBRAICAS ........................... 12 ERRORES DE LO ARITMETICO A LO ALGEBRAICO ........................................................................... 14 PROPUESTA DE ENSEÑANZA ............................................................................................................ 16 IDONEIDAD DIDACTICA .................................................................................................................... 16 CONTRASTE DE RESULTADOS CUESTIONARIO INICIAL VS FINAL .................................................... 17 METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION ........................................................................................... 18 IDENTIFICACION DE LA INVESTIGACION .......................................................................................... 18 PROCESO METODOLOGICO .............................................................................................................. 19 PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA ....................................................................................... 20 RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACION DEL PROYECTO ................................................................. 22 INFORME DE ASISTENCIA ................................................................................................................. 22 CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………………………………………24 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………………………..25
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Resumen errores en el aprendizaje de las matemáticas realizado por los investigadores como Socas, M y otros, (1996) Este articulo hace parte de un proyecto de aula, orientados a fortalecer los inicios del algebra, aplicado al grado noveno de la Educación Básica Secundaria, presenta los análisis de una propuesta secuencial de enseñanza realizado mediante un curso de apoyo, para corregir errores que cometen estudiantes de grado noveno del Colegio Guillermo León Valencia en relación al estudio de fracciones algebraicas y sus operaciones. Los resultados obtenidos se basan en seis sesiones de clase y un cuestionario final aplicado a 23 estudiantes, los cuales se diseñaron tomando como referencia estudio sobre las fracciones algebraicas y sus operaciones. Palabras Clave: Fracciones algebraicas, errores. Abstract Errors in learning mathematics by researchers as Socas, M et al (1996). This article is part of a classroom project aimed at strengthening the beginnings of algebra, to the ninth grade of basic secondary education, has the sequential analysis of a proposal made by an educational support course, to correct mistakes ninth graders Guillermo Leon Valencia College in relation to the study of algebraic fractions and operations. The results are based on six classroom sessions and a final questionnaire applied to 23 students, which were designed by reference study. Keywords: algebraic fractions, errors
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1. INTRODUCCIÓN En el proyecto que se realizó se pretendía que los errores cometidos por los estudiantes, fueran superados, ya que esos errores se encontraron en el diagnostico preliminar, donde se aplicó una prueba inicial a 25 estudiantes de grado noveno del colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama, con el fin de mejorar los conceptos que tienen los estudiantes, ya que en ellos no hay claridad, por la anterior razón se puede formar a los estudiantes en una manera adecuada de aprender las matemáticas, y con el fin de que no vean esta materia como algo tedioso, sino que la vean de manera diferente, donde esa diferencia puede marcar mejor el tipo de aprendizaje., se hace necesario analizar y valorar la idoneidad didáctica en experiencias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Es de gran importancia que dentro de los procesos de enseñanza y aprendizaje, se corrijan los errores que cometen los estudiantes y también a superar las dificultades que se presenten dentro del aula de clases, para que cuando lleguen a nuevos temas, se aplique los conocimientos anteriores si se necesitan, es por esta razón que la escuela de matemáticas y estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, ha dado la facilidad de cursos de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas para instituciones educativas oficiales con la planeación de estrategias metodológicas que ayuden a formar conceptos y procedimientos más claros.1 Para este proyecto se adopta el enfoque constructivista que concibe la enseñanza como una actividad crítica y al docente como
un profesional
autónomo que investiga y cuestiona sobre actividades didácticas o de cómo
1
Yireh222@hotmail.com
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saber enseñar, reflexionando y analizando acerca de los conceptos y conocimientos que tengan los estudiantes. Por medio de las estrategias de enseñanza puede ser partiendo de fracciones aritméticas y con estas utilizar las regletas de Cussineare las cuales ayudan a mejorar y visualizar aún más el tema, luego se entra a las fracciones algebraicas dentro de un mismo tema, esto lleva a diferenciar entre estas dos clases de fracciones, en las matemáticas se pretende que el estudiante, se apropie de los conocimientos y se sienta seguro, que pueda analizar y que nada se le dificulta. Pero se pretende que en realidad el estudiante comprenda y no que todo lo haga mecanizado. 2. EL DIAGNÓSTICO A continuación se presentan los errores planteados por Socas M y otros (1989) que cometen los estudiantes en las fracciones algebraicas y sus operaciones en el desarrollo de varios ítems, el cual se obtiene a partir de una observación de clases de matemáticas y el cuestionario inicial:
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CATEGORIAS DE ERRORES
ERRORES QUE SE PRETENDIAN OBSERVAR.
La naturaleza y el significado de los símbolos y las letras
Se olvida el mcd, se discrimina el significado de los símbolos y las letras.
se desconoce el concepto fracción algebraica.
El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en el algebra
No se utilizan relaciones y procesos como “formulas” para resolver problemas.
TIPOS DE ERROR
Error tipo I
Error tipo II
Error tipo III
La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes
El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de
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Se distribuye el signo menos, pero la simplificación no es correcta. Se desconoce la aplicación de la propiedad distributiva
Error tipo IV
Error tipo V
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procedimientos”
Error tipo VI
Mala interpretación de los recíprocos
Se simplifica, haciendo mal uso de la cancelación.
Se encuentran falsas aplicaciones en la multiplicación de fracciones algebraicas
Error tipo VII Error tipo VIII
Resultados y análisis del cuestionario inicial. a continuaciòn se presentan los anàlisis y evidencias de algunos de los errores mas frecuentes cometidos por los estudiantes en el aprendizaje de la soluciòn de fracciones algebraicas y sus operaciones.
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE PRESENTARON ERROR EN LA SOLUCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES. c a t e g o r i a s
56%
Categorìa 4 e r r o r e s
64%
Categorìa 3
Categorìa 2
68%
Categorìa 2
Categorìa 3 75%
Categorìa 1 0%
d e
Categorìa 1
20%
40%
60%
Categorìa 4
80%
PORCENTAJE DE ESTUDIANTES
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Se observa que en una cantidad mínima En relación con los datos, sobre los tipos de errores percibidos en el cuestionario, en la cuarta categoría, el 56 % de los estudiantes, desconoce la aplicación de la propiedad distributiva, mala interpretación de los recíprocos, simplifica haciendo mal uso de la cancelación y encuentra falsas aplicaciones en la multiplicación de fracciones algebraicas. Observando las categorías anteriores, dentro de la primera se puede afirmar que la mayor parte de los estudiantes olvida el m.c.d, discrimina el significado de los símbolos y las letras y no tiene el concepto claro acerca de
las fracciones
algebraicas, dentro de la segunda se encuentra que el 58% de los estudiantes, no utilizan relaciones y procesos como “formulas”, para resolver problemas, dentro de la tercera categoría se observa que el 64 % de los educandos, distribuye correctamente el signo menos, pero la simplificación no es correcta. El desempeño de los estudiantes en clase La observación se llevó a cabo durante dos semanas en el horario habitual de clase en el grado 905 del Colegio Guillermo León Valencia. En las horas de clase observadas se estaban abordando los temas de factorización de polinomios: factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos y fracciones algebraicas. Se pudo detectar que los estudiantes tienen errores en los casos de factorización, ya que no los tienen en claro, porque presentan confusión en el tema, y además en las actividades que les planteaba la profesora, se podía observar que confundían los casos de factorización, no sabían diferenciar unos de otros. Se observó que los estudiantes, en los casos de factorización solucionaban muy bien el trinomio cuadrado perfecto, pero los demás casos de factorización no los solucionaban con facilidad. Se detectaba dificultad, quizás porque se presenta falta de atención de los estudiantes, durante la clase de matemáticas Con respecto a la docente explica claramente los temas en el grado 905, también explica pasos que los estudiantes no hayan entendido, de los cuales ayuda al estudiante a aclarar dudas
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Cuando se abarcan nuevos temas, los estudiantes no saben cómo aplicar lo que vieron anteriormente, se les dificulta aplicar casos de factorización, es aquí donde se detecta que los estudiantes olvidan muy rápido los temas explicados por parte de la profesora se presentan fallas ya a que llama mucho la atención a sus estudiantes, por lo cual es algo que los distrae y también acorta el tiempo de las clases.
2.1
OBJETIVO GENERAL: Diseñar, implementar y evaluar una propuesta constructivista utilizando como herramientas las fracciones aritméticas para la construcción del significado de operaciones en fracciones algebraicas en estudiantes de noveno grado del colegio Guillermo León Valencia.
2.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Como ya se ha visto, la mayoría de estudiantes cometen muchos errores, al trabajar con fracciones algebraicas y sus operaciones, por esto se hace necesario y eficaz aplicar estrategias, que partan de lo aritmético a lo algebraico que ayuden a disminuir y si es posible, erradicar tales errores de los educandos, en especial a los estudiantes del grado noveno, del colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama. HIPÒTESIS. Una propuesta de enseñanza para las fracciones algebraicas propicia la comprensión a partir de las fracciones aritméticas.
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3. MARCO TEÓRICO Para esta investigación describiremos los errores, que se presentan en los estudiantes, aplicables en fracciones algebraicas con sus operaciones, de las cuales tendremos noción acerca del error y el significado de fracciones que vamos a tratar, de los cuales están clasificados así: La naturaleza y significado de los símbolos y las letras, El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en álgebra, La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes, y El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas “de procedimientos”. Planteados por Socas M y otros. El análisis de los errores, tiene un doble interés ya que sirve por una parte para ayudar a los profesores a conducir mejor la enseñanza-aprendizaje del álgebra, concentrándose en aquellos aspectos en los que los alumnos cometen errores, y de paso también sirve para una mejor preparación de las estrategias para la corrección de los mismos. En este sentido, el profesor debe entender los errores que cometen sus alumnos, donde el enseñante buscara estrategias las cuales se expondrán al estudiante, de las cuales se harán comparaciones en diferentes grupos, donde se sacaran conclusiones acerca de ello. Es común en los alumnos observar que los errores los cometen una y otra vez, y lo mas grave aun es que los siguen cometiendo con seguridad, sin ponerle el interés de poder superar esos errores. 3.1 CONCEPTO DE ERROR De acuerdo con Brousseau, Davis y Werner (1986) (citados por Rico, 1995), señalan, en el mismo sentido, que los errores son el resultado de un procedimiento sistemático imperfecto que el alumno utiliza de modo consistente y con confianza. Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o una distracción. Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una
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falta específica de conocimiento o de una distracción. Los errores aparecen cuando se enfrentan a conocimientos nuevos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben. La posición cognitiva sugiere que la mente no es una página en blanco. El alumno tiene un conocimiento anterior que parece suficiente y establece en su mente un cierto equilibrio, estos son los significados personales globales (Godino y Batanero, 1994; Godino y Font, 2007). En la adquisición de un nuevo conocimiento hay que tener en cuenta que éste debe tener significado para el alumno, y para ello contestar a preguntas que él se ha hecho a sí mismo; o por lo menos recuperar algunas representaciones que ya estaban en su mente. El alumno debe asumir la responsabilidad de la construcción del saber y considerar los problemas como suyos y no como problemas del profesor. El conocimiento nuevo debe provocar una estructuración nueva del conocimiento total.
3.1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. El uso de un simbolismo adecuado favorece el desarrollo del pensamiento algebraico, por este motivo en la historia del álgebra tiene importancia no sólo la historia de los conceptos sino también el sistema de símbolos utilizados para poder expresarlos. Según Nesselman se pueden determinar tres períodos distintos:
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1- FASE RETORICA: anterior a Diofanto de Alejandría (250 d.C.), en la cual se usa exclusivamente el lenguaje natural, sin recurrir a algún signo; 2- FASE SINCOPADA: desde Diofanto hasta fines del Siglo XVI, en la cual se introducen algunas abreviaturas para las incógnitas y las relaciones de uso frecuente. 3- FASE SIMBOLICA: introducida por Viète (1540-1603), en la cual se usan letras para todas la cantidades y signos para representar las operaciones, se utiliza el lenguaje simbólico no sólo para resolver ecuaciones sino también para demostrar reglas generales. DIFICULTADES Y ERRORES Por otra parte, la ponencia del Dr. Martín Socas presenta los resultados de las investigaciones torno al Lenguaje Algebraico realizadas por el grupo de Pensamiento Algebraico del Área de Didáctica de la Matemática de Universidad de La Laguna. La ponencia aborda el tema de las dificultades y errores en la construcción del Lenguaje Algebraico (Socas, 1997), utilizando como marco teórico de estudio el Enfoque Lógico Semiótico (ELOS). El enfoque ELOS trata de elaborar modelos teóricos y prácticos (Modelos de Competencia) que aporten. Los supuestos básicos para poder interpretar los fenómenos de estudio en Educación Matemática (Socas, 2001). En la primera parte de la ponencia se presenta una revisión de investigaciones sobre el papel que han jugado las dificultades y los errores en el aprendizaje de las matemáticas, para particularizarlo en las investigaciones sobre errores en el álgebra escolar. En una segunda parte se presenta el marco teórico del trabajo, y se describen los modelos de competencia formal y cognitivo para el Lenguaje Algebraico que son la base para el posterior estudio de los errores de los alumnos. El modelo de competencia formal trata de explicitar el Lenguaje Algebraico y su relación con los objetos matemáticos, mientras que el modelo de competencia cognitivo se organiza a través de tres componentes: a) las representaciones
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Semióticas, b) las estudios de desarrollo cognitivo de los sistemas de representación y c) las dificultades y errores en el aprendizaje del álgebra. En la última parte de la ponencia se ejemplifica el uso de este marco teórico utilizando los resultados de una prueba escrita realizado por alumnos de Educación Secundaria, la cual da lugar a una clasificación de errores esta información permitirá al profesorado arbitrar procedimientos y remedios efectivos para ayudar a los alumnos en la corrección de dichos errores. Investigaciones realizadas en los últimos años han mostrado la importancia que tiene centrar la atención no sólo en las respuestas correctas de los estudiantes, sino también, en los errores que cometen. En este análisis sobre las dificultades y los errores en el aprendizaje de las Matemáticas, se toma como contenido matemático el Lenguaje algebraico y a él se remite para ilustrar de manera concreta las cuestiones que se van planteando a lo largo de la ponencia. Muchos profesores e investigadores preocupados por las dificultades y errores que el aprendizaje del Álgebra ocasiona a los alumnos, han desarrollado diferentes investigaciones sobre el método más adecuado para realizar la transición de la Aritmética al Álgebra. El propósito de esta ponencia es hacer una presentación, desde la perspectiva de la investigación, sobre un tema central en el aprendizaje de las Matemáticas y analizar los aspectos más relevantes sobre las dificultades y errores que presentan los alumnos en la construcción del Lenguaje algebraico desde el marco teórico que ofrece el Enfoque Lógico Semiótico (ELOS), describiendo los esquemas teóricos que se utilizan, así como las técnicas de análisis para interpretar los resultados.
3.2. CONFIGURACIÓN ALGEBRAICAS.
EPISTÉMICA
DEL
CONCEPTO
DE
FRACCIONES
LENGUAJE. Verbal Suma, resta, multiplicacion y division de fracciones algebraicasntesis, factor comun, agrupacion de terminos, trinomio cuadrado, diferencia de cuadrados,
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maximo comun divisor , minimo comun multiplo, potenciacion, fraccion, simplificacion expresiones algebraicas, descomposicion en factores, etc Grafico Dibujos, representaciones graficas donde se contextualizacion los conceptos y procedimientos Simbolico +, - , ( ) , { } , [ ] , , , ,
SITUACIONES Problemas contextualizados en los que hay que hallar dimensiones, perimetros, volumenes utilizando expresiones algebraicas. Simplificacion y operaciones de fracciones utilizando situaciones practicas en donde se pide descomponer, hallar el m.c.d. y el m.c.cm., se pide cuanto falta , se compara y se formaliza.
CONCEPTOS Previos Concepto de fracción Monomio Binomio Polinomio Coeficiente Parte literal
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Significado de fracciones equivalentes. Significado de fracciones simplificadas y amplificadas Fracciones algebraicas
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PROCEDIMENTOS PROPIEDADES Fracciones equivalentes Aplicar el manejo de la aritmética, al algebra. Simplificación de fracciones Aplicar casos de Amplificación de fracciones factorización, a los polinomios comprendidos entre fracciones Resolución de problemas donde se involucran las fracciones algebraicas. ARGUMENTOS Comprobación de casos de factorización aplicados a las fracciones algebraicas. Justificacion de los algoritmos a partir de las caracteristicas de las fracciones aritmeticas. Argumentacion de los procedimientos para desarrollar las operaciones con fracciones algebraicas.
3.3. ERRORES DE LO ARITMETICO A LO ALGEBRAICO En el análisis de la parte aritmética a la algebraica de los estudiantes, se encontraron algunos errores cometidos por estos, (Socas, M) Los errores que se muestran a continuación, fueron tenidos en cuenta para aplicarlos en el cuestionario inicial del grado noveno, los cuales ayudaron a identificar y a confirmar los errores ya analizados en otros grupos de estudiantes, hechos ya por grupos de investigación. a) La naturaleza y significado de los símbolos y las letras
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El mayor cambio conceptual en el aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética: significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. Los símbolos son un recurso que permite denotar y manipular abstracciones. Una de las teorías iníciales de los estudiantes será el reconocimiento de la naturaleza y el significado de los símbolos para poder comprender como operar con ellos y cómo interpretar los resultados. b) El objetivo de la actividad y la naturaleza de las respuestas en álgebra El objetivo del algebra es la obtención de relaciones y procesos y la formulación de los mismos en expresiones generales y simplificadas. Muchos estudiantes no se dan cuenta y suponen que en el las expresiones algebraicas se les exige siempre una solución única y numérica. c) La comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes El álgebra es la generalización de la aritmética. Luego la asimilación de la generalización de relaciones y procesos se lleva a cabo en la aritmética. A veces, las dificultades que los estudiantes presentan en el álgebra no son tantas dificultades en el álgebra sino problemas que se quedan sin corregir en la aritmética. d) El uso inapropiado de “fórmulas” o “reglas de procedimientos”. Algunos errores de los estudiantes se deben al uso inadecuado de operaciones, formulas o reglas conocidas en situaciones nuevas. Entre estos se encuentran los errores de linealidad como son: d1) Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva. Nos damos cuenta del mal uso de esta propiedad como en lo siguiente: a. (a+b)=a.b+c d2) Errores relativos al uso de los recíprocos. Estos errores resultan generalmente de la aritmética, y que al sumar fracciones algebraicas, dan como resultado cualquiera de las siguientes expresiones. 1/a +1/b = 1/a+b 1/a +1/b = 2/a+b 1/a +1/b = 1/a.b
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Son frecuentes también al resolver ecuaciones donde la variable se encuentra en el denominador: 1/3 = 1/x +1/7
deducen que 3 = x+7
Este tipo de error puede venir inducido de situaciones como: 1/x = ½ que da x = 2 ó x/3 = 5/3→ x= 5 ó a/3 + b/3 = a+b/3 De las que se deducen que los recíprocos se pueden trabajar exactamente lo mismo d3) Errores de cancelación. Se encuentran errores como: Ax +By/ x+y = A+B Que probablemente viene de: Ax/x = A, donde esta regla da origen a diversas situaciones como 9x+6/ 6 = 9x 4x-3 / 4 = x-3. Tanto errores de cancelación como los recíprocos se podrían haber evitado si el alumno si el alumno hubiese modificado la situación para encajarse con la regla.
3.4 PROPUESTA DE ENSEÑANZA. La propuesta debe adecuarse al grupo de alumnos, sus características, estilos de aprendizaje y motivaciones. Se asegura de que el material ofrece orientaciones iniciales que pueden enriquecerse con un trabajo comprometido de los profesores. 3.5 IDONEIDAD DIDÀCTICA. La Idoneidad Didáctica es el criterio sistémico de pertinencia o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados
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por los estudiantes implementados.
y
los
significados
institucionales
pretendidos
/
Todos los sábados, se tomaron 30 minutos después de la clase para socializar y reflexionar la experiencia, con los compañeros de Proyecto Pedagógico VI, con el fin mejorar nuestra tarea docente. A continuación se observa el porcentaje de estudiantes que ha logrado superar algunos de los errores. CONTRASTE DE RESULTADOS CUESTIONARIO INICIAL VS CUESTIONARIO FINAL P o r c e n t a j e
e s t u d i a n t e s
89% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
Series1 Series2
75% 68% 61%
64% 56%
47% 28%
categorìa 1
Categorìa 2
Categorìa 3
Categorìa 4
La noción de idoneidad didáctica de un proceso de instrucción (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) que se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes: - Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. - Idoneidad cognitiva, se refiere al grado en que los significados implementados (pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados
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- Idoneidad interaccional. Grado en que los modelos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. - Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. - Idoneidad emocional, Grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes. 4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN El proyecto se llevó a cabo los días sábados comprendidos entre el 16 de abril y el 28 de mayo del presente año en el horario de 8:00 am a 11:30 am en las instalaciones de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia seccional Duitama. 4.1. IDENTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN El tipo de Investigación que se utiliza para la realización del Proyecto de Aula es la Investigación Acción (IA) propuesta por Kurt Lewin la cual como una actividad colectiva, se caracteriza por la participación reflexiva puesto que es una investigación realizada por colectivos acerca de su propio trabajo, lo cual no implica que se puede comenzar con el individuo como un sujeto práctico reflexivo, que pueda generar planes de acción que transformen su práctica docente; y, luego, apoyarse en el colectivo docente en donde todos analizan y reflexionan críticamente sobre un mismo plan de acción. De ahí, sus carácter sistemático, de aprendizaje y colaborador para dar forma a la acción educativa. Las etapas de la investigación acción:
EXPLORACIÓN temática.
Y REFLEXIÓN: Diagnosticar e identificar una preocupación
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PLANIFICACIÓN: Diseñar el plan de acción o de proyecto de aula ACCIÓN Y OBSERVACIÓN: puesta en práctica del plan. Control y observación sistemática de su funcionamiento EVALUACION O SISTEMATIZACIÓN: Reflexión, interpretación. Análisis e integración de resultados. 4.2. PROCESO METODOLÓGICO Las etapas necesarias para la realización del proyecto de aula son:
Exploración : En esta etapa se diseñó una prueba diagnóstica enfocada a determinar los errores que cometían los estudiantes y en qué porcentaje predominaba el error en el total de estudiantes, la prueba fue aplicada a 25 alumnos del grado noveno
Planificación: Se diseña y elabora un proyecto de aula para reforzar el tema de fracciones algebraicas y sus operaciones, con el fin de superar los errores cometidos, y de esa manera hacer que las matemáticas no se vean como un “fantasma” sino como algo llamativo
Acción y Observación: El desarrollo y sistematización del proyecto de aula se llevó a cabo en las instalaciones de la UPTC, los sábados a partir del 16 de abril al 28 de mayo del presente año con 15 estudiantes de grados 902, 902, 907, 908,909,9.10 y 9.11 del Colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama. Este proyecto se hizo con el fin de hacer un refuerzo a los estudiantes en el área de matemáticas.
Evaluación o sistematización: todos los sábados, se tomaron 30 minutos después de la clase para socializar y reflexionar la experiencia, con los compañeros de Proyecto Pedagógico VI, con el fin mejorar nuestra tarea docente. La sistematización se basa según los criterios de idoneidad que presenta Godino (2006), con sus colaboradores (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) han introducido la noción de “idoneidad didáctica” de un proceso de estudio matemático con la intención de orientar el análisis y valoración de tales procesos.
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4. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA El proyecto se basó en torno a la comprensión significativa de las fracciones algebraicas y sus operaciones a partir de las fracciones aritméticas, en el cual se abordaron temas previos a la noción de fracción, simplificación, multiplicación, división, suma y resta de fracciones algebraicas de igual denominador, también se aplicaron situaciones problema, como se puede observar en las secuencias, se utilizaron también las regletas de Cussenaire para enseñar de forma didáctica las fracciones numéricas. A continuación se describe cada secuencia, donde se aborda el tema de fracciones algebraicas y sus operaciones. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 1 Se realizó el sábado 16 de mayo del presente año de 8:00am a 11:30 am, en las instalaciones de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia seccional Duitama. Antes de iniciar la clase se colocó una lista en la puerta donde se encontraban los nombres y apellidos de cada estudiante, se hizo con la idea de que cada estudiante se identificara y se diera de cuenta a que salón correspondía, luego la profesora practicante les dio la bienvenida a los estudiantes, después cada uno de ellos se presentó y dio una opinión acerca de lo que esperaba del curso de apoyo, después de lo anterior, se dio la ambientación y la introducción con respecto al tema, en este caso trataba de la noción de fraccionarios. En esta secuencia se buscaba que el estudiante manipulará y comprendiera de una forma sencilla y significativa los procedimientos para los fraccionarios. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 2 Esta secuencia se llevó a cabo quince días después, debido a la semana santa, y se desarrolló a cabo el día 30 de abril en el horario de 8:00 am a 11:30 am, en esta clase se trató el tema de simplificación y amplificación, antes de partir con el tema mencionado se inició con la simplificación y amplificación de fracciones aritméticas, ya que se utilizaban como entrada, para que comprendieran y no confundieran las fracciones algebraicas, además de esto
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se utilizó material didáctico con el fin de que se comprendiera más el tema, también se hizo repaso de algunos casos de factorización, ya que más adelante iban a ser de necesarios. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 3 El desarrollo de esta secuencia se llevó a cabo el día sábado 7 de mayo en el horario habitual, en esta sección se trató el tema de multiplicación y división de fracciones algebraicas, antes de iniciar el tema se hizo un repaso con la multiplicación y división de fracciones aritméticas, para después poder partir con las fracciones algebraicas, dentro del tema se hizo un repaso del ó
ó
SECUENCIA DIDÁCTICA N° 4 Esta secuencia se llevó acabo el día 14 de mayo donde se siguió con el tema anterior, ya que los estudiantes no comprendían bien el tema de multiplicación y división de fracciones, en la secuencia nº 3, luego de terminar este tema se siguió con la secuencia nº 4, donde se trató el tema de suma y resta de fracciones aritméticas con igual denominador. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 5 Se llevó a cabo el día 21 de mayo en esta secuencia se continuó con el tema de suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 6 En esta secuencia se hizo un repaso de los temas, donde los estudiantes tenían que aplicar todo lo aprendido, se aplicó en forma de taller de tal forma que esto se valía como una nota, ellos debían encontrar las respuestas respecto a las preguntas formuladas en las respectivas tarjetas que les correspondía, esto los llevaba a utilizar todos los temas que vieron durante las secuencias anteriores. Luego se aplicó el cuestionario final donde se formulaban preguntas de acuerdo a todo lo visto anteriormente respecto al tema de fracciones algebraicas, También se aplicó una encuesta a los estudiantes donde se pretendía conocer las opiniones y sugerencias con respecto al curso de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas, ya para finalizar la clase se hizo entrega de diplomas a los estudiantes que asistieron
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entre 15 y 18 horas.
6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO El proyecto tiene como finalidad brindar un apoyo a los estudiantes que presenten algunos errores en matemáticas y lograr superarlos, para ello se realizó un curso de apoyo de las matemáticas a estudiantes de grado noveno del colegio Guillermo León Valencia de Duitama, como herramienta se utilizaron estrategias metodológicas constructivistas y secuencias didácticas adecuadas para cada tema. Según los registros de la matriz de sistematización con respecto a la idoneidad cognitiva se encontró que demostraron superar la mayoría de errores mediante la propuesta de enseñanza para las fracciones algebraicas a partir de las fracciones aritméticas. De acuerdo a los criterios de la idoneidad epistémica, se evidencio que realizar una revisión de conceptos previos es fundamental para que los alumnos recuerden un tema al que se va a usar de herramienta para el tema nuevo. Para la idoneidad mediacional la ayuda de las guías de aprendizaje, enfocadas a situaciones prácticas de la vida cotidiana es muy importante ya que enfoca y proyecta al estudiante a manejar la matemática de manera aplicada ya que esto conlleva, a que el alumno analice y no memorice. En la idoneidad emocional se evidencio un gran interés de forma gradual por parte de los estudiantes, en el cual el docente es gran responsable de este hecho, sin embargo hubo estudiantes al inicio del curso no demostraron interés, pero los que terminaron pusieron mucho de su parte y se esforzaron por aprender. Con respecto a la idoneidad interaccional, al inicio del curso hubo discusiones e impases con estudiantes que querían sabotear las clases, pero sin embargo las relaciones se mejoraron y se termino con éxito el curso.
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INFORME DE ASISTENCIA
A continuación se presenta la grafica que relaciona el número de estudiantes inscritos; numero de estudiantes que presentaron la prueba inicial; numero de estudiantes asistentes iniciando curso y numero de estudiantes que terminaron el curso de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas del 16 abril al 28 de mayo del año en curso.
COMPARACIÓN ASITENCIA AL CURSO DE APOYO DE MATEMÁTICAS 22 20
Nº ESTUDIANTES
18 16
Nº de estudiantes inscritos
14 12
Nº de estudiantes prueba inicial
10 Nº de estudiantes iniciando curso
8 6
Nº de estudiantes terminando curso
4 2 0
901
902
903
906
907
908
909
910
911
GRADO
En cuanto a la asistencia se puede observar en la gráfica que, el número de estudiantes inscritos, los que presentaron la prueba inicial, los que iniciaron el curso de apoyo y los que terminaron el curso; fue mayor en el grado 909 del colegio Guillermo León Valencia.
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7. CONCLUSIONES En la enseñanza de las fracciones algebraicas, se puede decir que es de gran importancia, ya que este tema se utiliza en muchos casos, y que viene dado desde la primaria, por eso como docentes debemos preocuparnos por el rendimiento académico de nuestros estudiantes, ya que si nos detenemos a mirar los errores que ellos cometen, podemos aplicar diferentes estrategias, de tal forma que estas puedan aportar a la enseñanza y de paso a cambiar la forma de pensar y a analizar de los alumnos, si esto sucede se podría tener estudiantes dedicados e interesados en el área de matemáticas, ya que eso es lo que se requiere, porque muchos de ellos les temen a esta materia, quizás porque en un aula de clases los profesores no dan la oportunidad de que sus alumnos participen u opinen así estén equivocados. Es por esa razón que los estudiantes les temen a las matemáticas, porque en el aula no se pueden expresar libremente o porque no se les respeta su forma de pensar. La introducción de la fracciones aritméticas es importante ya que se le puede hacer ver al estudiante, de la diferencia que hay entre estas y las fracciones algebraicas, es una forma diferente de que comprendan como es que están conformadas estas últimas y a la vez de que tengan la oportunidad de compararlas y ver directamente la diferencia entre estos dos tipos de fracciones. El principal indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales pretendidos. En este proyecto se pudo comprobar los errores que plantea Socas (2006).Lo que se deseaba observar como por ejemplo al analizar la tercera categoría, donde habla del uso inapropiado de “formulas” o “reglas de procedimiento”, dentro de esta categoría se encuentran errores como la mala interpretación de los recíprocos, el desconocimiento de la aplicación de la propiedad distributiva, y la simplificación haciendo mal uso de la cancelación, se puede comprobar que en realidad los estudiantes los cometen.
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