Operadores herramienta Didácticas by matematicas estadistica

LOS OPERADORES COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES BÁSICAS

Elaborado por: WILLIAM REINALDO GONZÁLEZ EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO JOSÉ GABRIEL CARRILLO JUAN CARLOS CASTRO PLAZAS YUDY MARCELA ARIZA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA PROYECTO PEDAGÓGICO VI DUITAMA 2011 1

LOS OPERADORES COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES BÁSICAS

Elaborado por: WILLIAM REINALDO GONZÁLEZ EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO JOSÉ GABRIEL CARRILLO JUAN CARLOS CASTRO PLAZAS YUDY MARCELA ARIZA

Presentado a: ANA CECILIA MEDINA Ms. en Educación Matemática

En el área de: AMBIENTE EDUCATIVOS IV

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA PROYECTO PEDAGÓGICO VI DUITAMA 2011

LOS OPERADORES COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE SIGNIFICADOS ASOCIADOS A LOS NÚMEROS ENTEROS Y SUS OPERACIONES WILLIAM REINALDO GONZÁLEZ GONZALEZ 1 EDGAR FELIPE RUIZ ROBERTO 2 JUAN CARLOS CASTRO PLAZAS 3 JOSÉ GABRIEL CARRILLO 4 YUDY MARCELA ARIZA5 M.sc. ANA CECILIA MEDINA MARIÑO 6 Dir. Proyecto de Aula LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA – UPTC - Duitama Resumen En el presente artículo se expone el análisis y valoración de la idoneidad didáctica de los procesos de enseñanza-aprendizaje propuesto a 19 estudiantes de grado séptimo del colegio Santo Tomás de Aquino de Duitama, el cual pretendía construir significados asociados a los Números Enteros y sus operaciones básicas, haciendo uso de herramientas didáctica “Operadores”. En primer lugar se explora los errores que cometen los estudiantes en relación al sistema de números enteros; seguido de una acción organizada para la construcción y aplicación de un proceso secuencial de enseñanza enmarcado en la metodología de taller constructivo, y finalmente se valora el proceso mediante los criterios de idoneidad didáctica que ofrece el enfoque Ontosemiótico. Palabras Clave: Enseñanza de los números enteros, operadores, idoneidad didáctica.

Abstract Presently article is exposed the analysis and valuation of the didactic suitability of the teaching-learning processes proposed 19 grade students seventh of the Sacred school Tomás of Aquino of Duitama, which sought to build meanings associated to the Whole Numbers and its basic operations, making use of tools didactics "Operators". in the first place it is explored the errors that the students make in relation to the system of whole numbers; followed by an organized action for the construction and application of a sequential process of teaching framed in the methodology of constructive shop, and finally the process is valued by means of the approaches of didactic suitability that he/she offers the focus Ontosemiótico. Words Key: Teaching of the whole numbers, operators, didactic suitability.

reyngogo@yahoo.es , feliperuiz86@yahoo.com 3 z07carlos@hotmail.com 4 josenefu@hotmail.com 5 marcela_ym88@hotmail.com 6 aceciliamedina@gmail.com 2

INTRODUCCIÓN

De acuerdo con Godino y colaboradores (2006), el objetivo de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas está en la base de cualquier investigación e innovación; pero la complejidad de tales procesos nos lleva a ser extremadamente precavidos en la proposición de reglas y normas para la intervención en los sistemas didácticos. De esta manera es preciso indagar sobre ciertos criterios que ayuden a determinar en qué medida un proceso de estudio o instrucción matemático es idóneo, se hace necesario analizar y valorar la idoneidad didáctica en experiencias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. El presente artículo muestra el análisis y valoración de un proceso de enseñanza enmarcado en la metodología de Investigación-acción en el aula que se desarrolla en las asignaturas ambientes educativos IV y proyecto pedagógico VI del décimo semestre de la Licenciatura en Matemáticas y Estadística, como componentes aportadores de conocimiento práctico- profesional a la formación de docentes.

El proyecto de aula se desarrolló con estudiantes de los grados séptimos del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino de la ciudad de Duitama. Inicialmente se presenta un diagnóstico de los errores que cometen los estudiantes en relación al sistema de números enteros, seguido de las nociones teóricas que guiaron la diferentes etapas del proyecto de investigación-acción, la propuesta secuencial de enseñanza diseñada y aplicada durante seis viernes; y finalmente los resultados de la sistematización valorada mediante los criterios de idoneidad didáctica que ofrece el enfoque Ontosemiótico. EL DIAGNÓSTICO A continuación se describen los errores que presentan los estudiantes, en la comprensión del sistema de los números enteros. La recolección de la información se efectuó a través de dos instrumentos: el primero, la observación no participativa, para la cual se tomó una matriz de observación, fundamentada en “Las Pautas de Análisis y Valoración de la Idoneidad Didáctica de los Procesos de Enseñanza -Aprendizaje de la 4

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Matemática” propuestas por Godino y colaboradores (2008) dentro del Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la cognición e instrucción matemática. El segundo, la aplicación de un cuestionario, diseñado con base a las categorías de errores según Gonzales y otros (1990), a un total de 19 estudiantes cuyas edades oscilaban entre los 11-13 años. ANÁLISIS DE RESULTADOS DEL CUESTIONARIO INICIAL

La ocurrencia del error en todas las categorías es mayor al 90%. Una posible explicación a estos resultados es la identificación del número como cantidad, el cual va a obstaculizar la comprensión de las operaciones aritméticas y del orden en los números enteros, esta es una noción previamente enseñada en la estructura del sistema de números naturales (Gonzalez, y otros, 1990), algunos de las apreciaciones más relevantes en la revisión de los cuestionarios son: Al proponer al alumno a ordenar de forma ascendente una lista de números enteros y adicionalmente representarlos en una recta numérica, se puede observar (protocolo A) las insuficiencias que posee en lo referente a la relación de orden y representación en la recta numérica de los números enteros. En primer lugar, el estudiante desconoce la existencia de un único punto de referencia (cero), ya que en la construcción personal de la recta 5 Protocolo A

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numérica, ubica el cero dos veces, además ubica cada número entero sobre la recta sin tener en cuenta el manejo de una escala y por ultimo ignora la relación de orden. “El educando copia la estructura previamente formada de los números naturales donde aumentan a medida que se van alejando del origen; esta concepción actúa como obstáculo para la enseñanza del sistema los números enteros”. (Gonzalez, y otros, 1990). Son muy pocos los estudiantes que tienen claro los convenios para la supresión de signos de agrupación (protocolo B), y aplican erróneamente la propiedad distributiva del negativo antes de un signo de agrupación, Conjunto de errores que González, y otros, (1990) Protocolo B clasifican como: Reglas de cálculo como formalismos vacíos. Los alumnos usan las reglas de multiplicación de signos en las Protocolo C operaciones de suma y resta. Además tienen la concepción de restar la cantidad menor a la mayor. “Las reglas de adición en los números enteros resultan más difíciles de memorizar pues dependen no solo del signo de los sumandos sino de su valor absoluto y provoca el mayor número de errores” González y otros, (1990). Si un número se identifica con cantidad, la adición se identifica con la acción de añadir una cantidad a otra, por lo que conlleva siempre un aumento lo que González y otros (1990) determina como, la suma como aumento. Cuando interviene la sustracción los errores aumentan, puesto que también permanece ligada al plano de la acción y la identifican con quitar y por tanto, con disminución; este tipo de error según González, y otros, (1990) se clasifica como: La sustracción como disminución. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. En el ámbito de la educación matemática, ha resultado difícil que los estudiantes tengan habilidad para operar con números enteros, es posible que esta dificultad surja, porque los conocimientos adquiridos en matemática en los primeros años escolares son referidos a los números naturales y en este conjunto, las palabras agregar y aumentar están relacionada con la adición; quitar y disminuir con la sustracción 6

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(Borjas Franco, 2009); Los resultados obtenidos en el diagnóstico corroboran hallazgos de los estudiantes realizado por Gonzales y otros (1990) y que nos llevan a suponer que los errores detectados, consisten en que los estudiantes no dan significado a los números enteros y sus operaciones lo cual genera aprendizajes mecánicos carentes de sentido. Este problema amerita el diseño e implementación de una propuesta de enseñanza que ayude a superar tales errores para talfin nos preguntamos si: ¿El uso de Operadores como Herramienta Didáctica facilitará la construcción de significados asociados a los Números Enteros y sus operaciones? REFERENTES TEÓRICOS A continuación se presentan las nociones teóricas que guiaron el proyecto de investigación en el aula. Inicialmente se presenta la epistemología de los números enteros (Cid, 2000). en seguida la configuración epistémica asociada a la noción de número entero y sus operaciones básicas, posteriormente se presentan las nociones de error (Godino, Batanero, & Font, 2003) , conflictos semióticos (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006) y aprendizaje (Godino J. , 2011); las categorías de error en el aprendizaje de los números enteros, identificadas por Gonzalez, y otros (1990); por último se considera la propuesta de enseñanza adaptada de vasco(1991),revistas EMA. PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA La epistemología de los números enteros nos muestra que los números negativos, no provienen de unas supuestas magnitudes opuestas o relativas definidas en el ámbito de la aritmética, sino del ámbito del algebra, hecho que fue reseñado en su momento por Chevallard (1988, 1989). La razón por la cual Diofanto se ve precisado a enunciar la regla de los signos tiene que ver con las peculiaridades del cálculo algebraico. En aritmética toda operación correctamente planteada puede efectuarse, cosa que no sucede en algebra desde el momento en que intervienen las cantidades desconocidas. 7

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Esto tiene como consecuencia que los términos de las operaciones no son solo números, como sucede en aritmética, sino también operaciones indicadas. Por ejemplo, la gestión de la expresión algebraica exige conocer las propiedades de las diferencias de diferencias. Es decir, el cálculo algebraico obliga a definir y manejar operaciones entre operaciones lo que conduce rápidamente, por razones de economía de justificación, a la gestión de las operaciones entre sumandos y sustraendos. Además la descontextualización propia de dicho cálculo impone una sintaxis exhaustiva y minuciosa que tenga en cuenta todos los aspectos formales. Esto plantea dudas respecto a la oportunidad de introducir los números negativos en el ámbito aritmético. La resolución aritmética de un problema se caracteriza por ser un procedimiento fuertemente contextualizado y en el que todas las operaciones que se imponen son efectuables. En todo momento se trabaja con números a los que se atribuye un significado como medidas y las decisiones sobre la secuencia de operaciones aritméticas que resuelve el problema se toma en función de esos significados, lo que hace innecesario simbolizar algebraicamente el “sentido ” de las cantidades de magnitud. La razón de ser de los números con signo no puede encontrarse en un ámbito, con el aritmético donde la permanente contextualización numérica y la fragmentación de la secuencia de operaciones a realizar hacen innecesario todo simbolismo más allá de la representación numérica y de sus algoritmos de cálculo. Por otro lado, el que definan reglas de cálculo para sumandos y sustraendos no significa que estos objetos tengan que ser considerados números. Desde la época de Diofanto hasta principios del siglo XIX, la comunidad matemática no tuvo inconveniente en aceptar los sustraendos como elementos intermedios de cálculo pero si tuvo grandes dificultades para asumirlos como soluciones de ecuaciones, a pesar de que el 8

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desarrollo de la teoría de ecuaciones algebraicas y, más adelante, la geometría analítica, hicieron casi indispensable su aceptación. Estos hechos han llevado a que diversos autores (Glaeser, 1981; Brousseau, 1983; Schubring, 1986; Cid, 2000, entre otros) a plantearse que la concepción del numero como medida, propia de la matemática anterior al siglo XIX fue un obstáculo epistemológico que impidió durante muchos siglos la consideración como números de los sumandos y sustraendos. Es decir, fue la creencia en que el concepto de numero tiene su fundamento en la medida de las cantidades de magnitud y, por consiguiente, un objeto matemático solo puede adquirir el estatuto de numero su admite una interpretación en términos de medida, la que, al parecer, obstaculizó históricamente la aceptación de los números negativos. En este proceso histórico parece posible delimitar dos etapas (Brousseau, 1983; Cid, 2000): en una primera etapa, la imposibilidad de dar una interpretación de los sustraendos como medidas impidió que pudiesen ser considerados como números; en una segunda etapa, la consideración de las magnitudes opuestas y relativas permitio interpretar los sustraendos como medidas, lo que favorecio su aceptación como números, pero obstaculizó la justificación de sus estructura multiplicativa y ordinal CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA ASOCIADA A LA NOCION DE NÚMERO ENTERO Y SUS OPERACIONES BÁSICAS: Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de referencia que sirva de comparación. (Godino, Font, & Wilhemi, 2006).Dicho significado de referencia es organizado en una configuración epistémica (subsistemas de prácticas institucionales ligadas a contextos de uso particulares, y de objetos emergentes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006)), de tipo empírico: “se trata de una configuración epistémica en la que los conceptos y las propiedades que se introducen, se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matemática” o de tipo formal: “en esta configuración se usa el método axiomático, es decir se eligen ciertos

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enunciados de la teoría como axiomas y se exige que todos los demás sean probados a partir de ellos ” (Godino, Font, & Wilhemi, 2006). A continuación describiremos de manera sintética los principales elementos sobre el significado de referencia: noción de números enteros y sus operaciones básicas agrupándolos en seis tipos de entidades que propone el EOS: lenguaje, situaciones, acciones, conceptos, propiedades y argumentos y se organizaran en una configuración epistémica de tipo empírico.

VERBAL

GRÁFICO SIMBÓLICO

LENGUAJE Recta numérica, punto de referencia, conjuntos, relación de orden, valor absoluto de un numero entero, opuesto de un número entero enteros negativos, enteros positivos, operadores, desplazamientos, suma, resta, multiplicación, y división de los números enteros, leyes de los signos y jerarquía en las operaciones básicas de los números enteros. La recta numérica. Gráficos donde se presente el significado de referencia en diferentes situaciones cotidianas (temperatura, nivel del mar…entre otros). [ ] …

SITUACIONES Situaciones cotidianas (siempre y cuando sean pertinentes).como el uso de temperaturas, circunstancias “sobre y bajo” el nivel del mar, entre otras. Situaciones de las mismas matemáticas. ARGUMENTOS Justificación de las propiedades de algoritmos usando polinomios aritméticos.

  



PROCEDIMIENTOS El valor absoluto de un número es la distancia entre este y el cero. La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. La multiplicación de varios números enteros es otro número entero que tiene como signo el que se obtiene de aplicación de la regla de los signos. La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente entre el dividendo y el divisor, y que tiene como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

PROPIEDADES  Del valor absoluto de un número entero.  De las operaciones con números enteros:  Suma: asociativa, conmutativa, elementos neutro y opuesto, operación interna.  Resta: operación interna, no conmutativa,  Multiplicación: asociativa, conmutativa, distributiva, operación interna.  División: no es operación interna, no es conmutativa. CONCEPTOS 10

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PREVIOS

EMERGENTES

Los números naturales y sus representaciones, relación de orden en los números naturales, las operaciones básicas, resolución de polinomios aritméticos en los números naturales. Noción de número entero, relación de orden en los números enteros. Valor absoluto y opuesto en los números enteros, Representación de los números enteros, operaciones básicas de los números enteros, resolución de polinomios aritméticos en los números enteros,

ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS ENTEROS Sabemos que los errores forman parte de las producciones de la mayoría de los alumnos y constituyen un elemento estable en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática en todos los niveles del sistema educativo. (Pochulu, 2004) “Hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”, las creencias del profesor sobre los errores de los alumnos dependen de sus propias concepciones sobre las matemáticas, aquellos que no han tenido ocasión de conocer cómo se desarrollan las matemáticas, o no han realizado un cierto trabajo matemático piensan que hay que eliminar el error a toda costa, el error tiene que ser corregido, mientras que es constitutivo del conocimiento en un aprendizaje de tipo constructivista. (Godino, Batanero, & Font, 2003) Conflicto semiótico: “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones). Si una disparidad se produce entre significados institucionales hablamos de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto lo designamos como conflicto semiótico de tipo cognitivo. Cuando la disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumno-alumno, alumno-profesor), hablaremos de conflictos semióticos interacciónales”.

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Los significados son interpretados como “sistemas de prácticas operativas y discursivas es decir significados institucionales y personales que se ponen en juego por una persona para resolver una cierta clase de situaciones” (Godino & Batanero, 1994), respecto a estos significados, Godino y otros (2006) proponen: Significados personales: “Es el significado de un objeto matemático, para un sujeto; desde el punto de vista de la institución”. Significados institucionales: “Es el significado estandarizado por una comunidad matemática frente a un objeto matemático”. Noción de Aprendizaje: Según el Enfoque Ontosemiótico; El aprendizaje tiene lugar mediante la participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). Categorías de Errores en el Aprendizaje de los Números Enteros Si bien partimos de una categorización de errores previamente establecida por González y otros (1990) , somos conscientes de que pueden aparecer errores emergentes durante el análisis de las respuestas en el cuestionario diagnóstico, las categorías consideradas en este artículo fueron: La suma como aumento: si un número se identifica con cantidad, la adición se identifica con la acción de añadir una cantidad a otra, por lo que conlleva siempre a un aumento. Esta concepción ingenua de suma, ligada al plano de la acción, es la que hace que algunos estudiantes ante la pregunta: “¿puedes encontrar un número que sumado a 5 de 2?”, respondan que no es posible o no contesten. La sustracción como disminución: La sustracción también permanece ligada al plano de la acción y la identifican con quitar y por tanto, con disminución; Es común escuchar frente a la pregunta: “¿es posible encontrar un número que restado de dé ?”, afirmar que no existe, o no contestar.

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El orden entre los negativos es el mismo que en el orden natural: el trasladar la estructura del orden en los números enteros; es decir, los números van aumentando a medida de que se van alejando del origen. Las reglas de cálculo como formalismo vacío: Las reglas como las de los signos, de la adición, de los paréntesis, entre otras, están vacías de significación por consiguiente son fáciles de olvidar y confundir PERSPECTIVA DIDÁCTICA Para esta propuesta se tomaron como referentes teóricos: Deulofeu Piquet (2001); Cid, Godino, & Batanero (2002) y Vasco(1991), Maldonado (2000). La propuesta de enseñanza responde al siguiente estándar del MEN: Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en diferentes contextos y dominios numéricos. El trabajo con enteros presenta un conjunto de dificultades y obstáculos en la utilización de situaciones contextualizadas. Basta una mirada histórica para comprender que surgen para resolver un problema de carácter matemático y ciertamente más abstracto. Por otra parte, el tema plantea numerosas dificultades en el ámbito de los lenguajes de representación de números enteros especialmente con los signos (+ y -) y los distintos significados que puedan tener como signo que forma parte de la representación del número, como signo de una operación y en el caso del signo negativo como representación de un nuevo concepto: el de opuesto, que es clave para la compresión de los números enteros. (Deulofeu Piquet, 2001). Es por ello que nuestra propuesta de enseñanza se enmarca dentro de “Operadores”, método para construir significados asociados a las nociones del sistema de números enteros. OPERADORES Un operador es una acción que se realiza sobre un “estado inicial” provocando un “estado final”, corresponde a la idea de algo que transforma citado por (Dienes, 1969): 13

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Figura 1.

En el grafico 1, se ilustran dos operadores: uno de la forma

y otro

de la forma – , y como al aplicarse sobre un estado inicial provocan un estado final. Representación en la semirrecta numérica de los OPERADORES:

Figura 2

Los operadores inicialmente hacen uso de la semirrecta de los números naturales (figura 2), es a partir de allí donde el estudiante empieza a utilizar la noción de operadores de la forma , pero cuando empieza a aplicar operadores de la forma – evidencia la existencia de un nuevo conjunto los números negativos.

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PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEĂ&#x2018;ANZA CONCEPTOS

PROCEDIMIENTOS

NĂşmeros enteros: estados y variaciones

Significado y simbolizaciĂłn de nĂşmeros enteros: relaciĂłn con situaciones concretas

RepresentaciĂłn y ordenaciĂłn

RepresentaciĂłn de nĂşmeros enteros en un eje: necesidad de un punto de referencia (0) y existencia de dos sentidos. DistinciĂłn entre nĂşmeros enteros como puntos de la recta.

Valor absoluto y opuesto

Reconoce que a cada nĂşmero entero le corresponde un valor absoluto que depende de la distancia a que se encuentra del origen de la recta numĂŠrica.

Operaciones suma y resta

TrasformaciĂłn de restas a sumas mediante el concepto de opuesto. SimplificaciĂłn de signos y parĂŠntesis. Notaciones equivalentes. Significado de la suma. RelaciĂłn de los distintos casos de sumas de acuerdo con los signos

MultiplicaciĂłn y divisiĂłn

RealizaciĂłn de los distintos casos de multiplicaciones de acuerdo con los signos. RelaciĂłn con la multiplicaciĂłn de naturales y la necesidad de un convenio para resolver todos los casos. InterpretaciĂłn de la divisiĂłn como operaciĂłn inversa de la multiplicaciĂłn. RelaciĂłn entre la regla de los signos de la multiplicaciĂłn y la divisiĂłn. ACTITUDINAL 15

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Actitud positiva y perseverante referente al desarrollo del taller constructivo. Preferencia por realizar los cálculos mentalmente, siempre que sea posible. Reflexión sobre el significado de las informaciones recibidas.

EL ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO, LA NOCIÓN DE IDONEIDAD DIDÁCTICA Y SUS COMPONENTES El Enfoque Ontosemiótico (EOS) es un marco teórico que ha surgido en el seno de la Didáctica de las Matemáticas con el propósito de articular diferentes puntos de vista y nociones teóricas sobre el conocimiento matemático, su enseñanza y aprendizaje. (Godino, 2011) El conjunto de nociones teóricas que componen el EOS se clasifican en cinco grupos cada uno de los cuales permite un nivel de análisis de los procesos de enseñanza y aprendizaje de temas específicos de matemáticas: sistema de prácticas, configuración de objetos y procesos, configuración didáctica, dimensión normativa, idoneidad didáctica (Godino, Batanero, & Font, 2008); de estos componentes, fijamos nuestra atención en el ultimo, para la realización del análisis y reflexión sistemática del proceso de enseñanza planeado. La noción de idoneidad didáctica, como criterio general de adecuación y pertinencia de las acciones de los agentes educativos, de los conocimientos puestos en juego y de los recursos usados en un proceso de estudio matemático (Godino, Batanero, & Font, 2008), ha sido introducido en el EOS por sus autores como una herramienta que permiten el paso de una didáctica descriptiva – explicativa a una didáctica normativa, esto es, una didáctica que se orienta hacia la intervención efectiva en el aula. La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes (Godino, Batanero & Font, 2007): 1. Idoneidad Epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o previstos), respecto de un significado de referencia. 2. Idoneidad Cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos/implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/implementados. 16

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3. Idoneidad Interaccional, grado en que las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos semióticos9 potenciales (que se puedan detectar a priori), y, por otra parte, resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción mediante la negociación de significados. 4. Idoneidad Mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. 5. Idoneidad Emocional, grado de implicación (interés, motivación) del alumnado en el proceso de estudio. 6. Idoneidad Ecológica, grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto educativo del centro10, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social, etc. METODOLOGÍA Este proyecto se realizó con la coordinación de la titular de las áreas: Ambientes Educativos IV y Proyecto Pedagógico VI, M.sc. Ana Cecilia Medina Mariño y los docentes en formación que participaron en el proyecto, el desarrollo de la investigación fue guiado por la metodología de la Investigación-Acción, sintetizada a continuación. LA INVESTIGACIÓN-ACCIÓN EN LA EDUCACIÓN El termino investigación-acción (IA) fue introducido por primera vez en el campo investigativo en el año 1944, por Kurt Lewin quien desde ese entonces fue considerado como “padre” de esta forma de investigación, según Lewin, la investigación acción describía una forma de encadenar el enfoque experimental de la ciencia social con programas de acción social y con el fin de que ambos respondieran a los problemas de entonces, proponía que mediante esta se podían lograr en forma simultánea avances teóricos y cambios sociales, conocimiento práctico y teórico. La investigación-acción para Lewin consistía en un análisis-diagnóstico de una situación problemática en la práctica, recolección de la información en la misma, conceptualización de la información, formulación de estrategias de 17

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acción para resolver el problema, su ejecución y la evaluación de sus resultados, pasos que luego se repetían en forma reiterativa y cíclica(Miguélez, 2000).

El proceso de investigación acción esta soportado bajo las siguientes etapas: OBSERVACIÓN EXPLORACIÓN Y REFLEXIÓN

A C C I Ó N

Se observa y se reflexiona sobre la acción para descubrir la preocupación temática se formulan hipótesis de trabajo o las hipótesis de acción..

PLANIFICACIÓN

ACCIÓN Y OBSERVACIÓN

EVALUACIÓN

Se diseña el plan de acción que responde a las preguntas: ¿Cómo? , ¿Dónde?, ¿por qué ?,¿con quién?, ¿Quiénes?

Se aplica el espiral de Lewin, se diseña un plan de acción de acción donde se observa, se corrige, se diseña un nuevo plan, se corrige, se implementa, y así sucesivamente hasta que se mejore la preocupación temática.

Se evalúa el último plan de acción por parte del colectivo docente y de la comunidad objeto de acción. Se registran y se categorizan los datos en busca de ejes temáticos, los cuales se relacionan, para luego conceptualizarse, con el fin de establecer una teoría fundada.

PLANIFICACIÓN

Se utilizó como técnica de recolección de información la observación participante apoyado de los referentes planteados por la idoneidad didáctica según Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi (2008). la recolección de la información se efectuó a través de algunos instrumentos; el primero: una matriz de observación fundamentada en “Las Pautas de Análisis y Valoración de la Idoneidad Didáctica de los Procesos de Enseñanza y Aprendizaje de la Matemática” propuestas por Godino y colaboradores (2008) dentro del Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la cognición e instrucción matemática; el segundo un material didáctico: “Guía de taller” (enmarcada en la metodología didáctica de enseñanza, “taller constructivo” ) a desarrollar por los estudiantes para facilitar la reconstrucción de los objetos matemáticos planteados, y un tercer instrumento: una evaluación (enmarcada en las secuencias didácticas para las sesiones dentro de la metodología

R E F L E X I Ó N

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didáctica de enseñanza, “taller constructivo” ) como otro indicador de los procesos de procesos de enseñanza y aprendizaje. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA SECUENCIA

ACTIVIDADES: DESCRIPCION SINTÉTICA

Secuencia 1:

Desarrollo de las 3 actividades del taller constructivo con: “los como representación de estados” “los como representación de variaciones” “Representación y orden de ”

Introducción al concepto de número entero, representación y ordenación. Secuencia 2:

Desarrollo de taller constructivo por medio de los operadores “Suma de ”

Secuencia 3:

Desarrollo de la actividad “Concepto de opuesto” Para ver la “Resta de los números enteros” como una suma.

Suma de números enteros Resta de números enteros y concepto de opuesto. Secuencia 4:

Convenios para la simplificación de signos de agrupación Secuencia 5:

Multiplicación y división de números enteros. Secuencia 6:

Problemas y ejercicios para la aplicación de los números enteros.

Desarrollo de la actividad “Simplificación de signos. Problemas de variaciones”

Desarrollo de la actividad “Multiplicación de números enteros” “División de números enteros” Calculo mental por medio de la actividad “quien tiene, yo tengo ”

RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO Se describirán algunas experiencias de enseñanza de números enteros con estudiantes de séptimo grado del Colegio Santo Tomás de Aquino, obtenidas a través de grabaciones audiovisuales. Somos conscientes del reto metodológico que planteó la valoración de las seis dimensiones de idoneidad didáctica para la sistematización del proceso de enseñanza enmarcado en el proyecto de investigación en el aula, además de la recolección de los datos y de la complejidad de su análisis. El interrogante que nos planteamos es: ¿Qué tan idóneo es uso de operadores como herramienta didáctica para la construcción de 19

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significados asociados a los números enteros y sus operaciones? Descripción del proceso de enseñanza-aprendizaje observado El objetivo de la enseñanza observada consiste en que los estudiantes interpreten, consoliden y formalicen las nociones asociadas a los números enteros. Se presupone que los estudiantes son capaces de aplicar conocimientos previos (representaciones semiótico-simbólicas como , la recta numérica, etc...). A cada estudiante se le entregó una guía taller que contenía las actividades propuestas para el desarrollo de la sesión, cada uno debía diligenciarla de forma clara y ordenada, actividad por actividad a medida que fuera establecido por el docente, para luego hacer la respectiva socialización de cada una; y finalmente su posterior análisis y evaluación tanto del aprendizaje del estudiante como de la pertinencia de las actividades. En lo que sigue, para hacer más comprensible el análisis, fijaremos la atención en un ejemplo: se refiere a un fragmento de la aplicación secuencia de enseñanza para la introducción a los números enteros: representación y orden.

Idoneidad Epistémica El juicio positivo sobre la idoneidad epistémica del proceso de estudio debe tener en cuenta las conexiones e interacciones entre los elementos mencionados. Los elementos conceptuales, proposicionales y procedimentales deben haber sido contextualizados mediante las situaciones explicados y justificados con argumentos pertinentes y todos estos elementos soportados mediante recursos expresivos y eficaces. El primer aspecto que hay que destacar es que el grupo de docentes en formación presentan situaciones cotidianas (siempre y cuando fuesen pertinentes) y situaciones en contexto matemático que pretende ser representativas de la configuración epistémica en las que se puede construir el significado institucional. Las situaciones cotidianas como el uso de temperaturas, situaciones “sobre y bajo” el nivel del mar, entre otras, permitieron dotar de 20

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significado únicamente al concepto de número entero y a la relación de orden. Ahora, situaciones de las mismas matemáticas como las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), así como los convenios para la simplificación de expresiones matemáticas, asintieron en la ejercitación de las reglas de cálculo con el fin de que los significados institucionales implementados tuvieran gran representatividad. El uso de operadores involucró lenguaje de tipo Geométrico (simétrico de un número, las unidades que avanza un operador hacia la derecha o a la izquierda, estado inicial y final…) el lenguaje que se utilizó fue el adecuado, sin embargo por la escasa experiencia de los profesores, en algunas ocasiones se notó no tener dominio en encontrar expresiones que fueran más comprensibles para los estudiantes. Atendiendo a las conexiones entre los distintos objetos matemáticos que conforman el sistema de los números enteros, y la articulación de los diversos significados parciales de los objetos en estudio, se concluye que existe conexión entre de cada una de las sesiones. Reflexionando lo anterior se determina que el proceso de enseñanzaaprendizaje tiene un grado medio de idoneidad epistémica.

Idoneidad Cognitiva P: ¿Cuál es la relación de orden entre -3 y -5? A: … (El estudiante mira su guía de taller y no responde). P: (el profesor le pregunta nuevamente) ¿cuál de los siguientes números entero es de mayor orden -3 y -5? A: -5. P: ¿Por qué -5? A:... (El estudiante observa la representación en la recta numérica y no responde) P: (el docente regresa al tablero y señala la recta numérica en la cartelera) “recordemos nuevamente, si yo tomo dos enteros negativos de la recta numérica, será mayor el número que se encuentre más a la derecha. A: ¿a la derecha del cero? P: no, usted ubica los dos números enteros en la recta numérica, y toma como mayor al que se encuentre a la derecha del otro. P: entonces, ¿Cuál de estos números (-3 y -5) es el que se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica? A: -3. P: entonces ¿Cuál de los dos es mayor? A: -3. P: bien, y ahora: ¿Cuál entero es menor entre -8 y -4? 21

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A: … ¿menor? P: si; no mayor, sino el menor de los dos. Recuerde que para el caso de los mayores se toma el que está más a la derecha, pero para el menor se toma el que se encuentre mas a la izquierda. A: pues… es ¿-8? P: exacto.

En el dialogo anterior se puede observar como la actuación del profesor “P” propició la emergencia del conflicto cognitivo del estudiante “A”, en donde el estudiante manifiesta su significado personal del objeto orden de los números enteros. Se observa que el estudiante hace una afirmación en la que interpreta el orden de los números enteros como el orden de los números naturales. En este dialogo se puede observar un aspecto claramente relacionado con las limitaciones que presentan los significados personales del objeto orden de enteros y también, de cierta manera como se logra superarlo. Ahora bien, atendiendo al seguimiento continuado de las evaluaciones: el cuestionario inicial, la evaluación al final de cada sesión y del cuestionario final; se observa disminución en el porcentaje de errores que los estudiantes cometen en relación al sistema de los números enteros. Se tiene una concepción más acertada de número entero y del signo que lo acompaña. Sin embargo en algunas categorías de error como: la resta como disminución, la división de números enteros como división natural y las reglas de cálculo como formalismos vacíos (convenios para la simplificación de la escritura...); el porcentaje de errores no disminuye significativamente. Considerando lo anterior se determina que el proceso de enseñanzaaprendizaje tiene un grado medio de idoneidad cognitivo.

Idoneidad Interaccional Diremos que un proceso de estudio tiene idoneidad interaccional alta en medida en que las configuraciones didácticas posibilitan que el profesor y los alumnos identifiquen conflictos semióticos potenciales (a priori), efectivos (durante el proceso de instrucción) y residuales (a

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posteriori) y resolver dichos conflictos mediante la negociación de significados. (Godino, Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006).

Los formatos de tipo dialógico y trabajo cooperativo como la guía de taller implementada representaron una alta idoneidad interaccional ya que los estudiantes mostraron su relación con los objetos matemáticos y permitieron al profesor valorar dicha relación. Si nos fijamos en la interacción que se ha producido en el diálogo, el profesor propicia la aparición del conflicto cognitivo y su posterior resolución. Sin embargo, en la intervención: “¿Cuál es la relación de orden entre -3 y -5?” se puede generar un conflicto semiótico de tipo interaccional, cuando aparece una disparidad entre los conceptos personales de los estudiantes cuando no conocen la expresión “relación entre”, sin hacer referencia a los términos “mayor que” o “menor que”. Evidentemente la inexperiencia docente, es origen de conflictos. En concreto, un problema didáctico se da cuando el profesor no es claro y efectivo en los procesos de comunicación e inconscientemente, genera preguntas incoherentes que quedan sin respuesta, generando discrepancias que van obstaculizando la reconstrucción del conocimiento. A medida que se fue desarrollando el proceso de enseñanza, fue aumentando la cantidad de interacciones, promoviendo el uso del lenguaje matemático para llegar al consenso entre discente docente, aprovechando la interacción para generar y superar los conflictos cognitivos en los estudiantes. Considerando lo anterior se determina que el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene un grado medio de idoneidad interaccional.

Idoneidad Mediacional En Godino, contreras y Font (2006) se define la idoneidad mediacional como el grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales para el desarrollo del proceso de enseñanzaaprendizaje. Para analizar el grado de idoneidad mediacional se 23

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centra la atención en dos aspectos: el uso de recursos materiales, y la incidencia en su aprendizaje. El desarrollo del proceso de enseñanza abarco seis sesiones de clase, cada una de dos horas y treinta minutos, los estudiantes se organizaron en forma de media luna, para facilitar la interacción tanto entre estudiantes, como estudiante-docente. No se tienen medios informáticos en cuenta para el desarrollo de las actividades, sin embargo, se usan recursos materiales como las guías de taller con situaciones y actitudes de aprendizaje que permiten a los estudiantes construir por si mismos significados asociados a los números enteros desde una vía geométrica, a partir de regularidades que encuentra en las construcciones en la recta numérica a través de los “Operadores”, significados que luego ejercita y consolida por medio de juegos como “Quien tiene… yo tengo…”, creando un ambiente de competencia y rapidez en su desarrollo. Los medios de presentación de la información, como las carteleras utilizadas para la “noción de orden”, “la suma”, “el opuesto de”…entre otros, reflejan un alto indicador de idoneidad mediacional, ya que se ha economizado el tiempo invertido en la actividad: “operadores”, para dar prioridad al significado institucional pretendido. Estos medios interaccionan con los distintos elementos de las configuraciones epistémicas y cognitivas como la representación de los números enteros en la recta numérica, la definición conjuntista de números enteros,… etc. Finalmente, se ha analizado también el uso del tiempo como recurso didáctico, en relación a la opinión de los estudiantes obtenida a través de la encuesta (Anexo R) el tiempo adecuado; sin embargo en las apreciaciones de los docente se consideró que la intensidad horaria fue corta, ya que en algunas sesiones de tiempo no se alcanzaron a desarrollar actividades para la profundización del tema previsto para la sesión de clase. En conclusión se considera que se alcanzó un grado alto de idoneidad mediacional.

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Idoneidad Emocional Para analizar el grado de idoneidad emocional, se ha valorado la mejora de la autoestima del estudiante y su confianza en las matemáticas, así como el grado de motivación del estudiante en el proceso de enseñanza-aprendizaje. La forma de organizar el trabajo en el aula implicó que cada estudiante formara su conocimiento y trabajara sobre sus dificultades, responsabilizándose, de resolver y socializar cada una de las actividades, lo anterior asociado al permanente seguimiento de los docentes posibilitó generar un ambiente de confianza en donde se destacaron las capacidades y cualidades de cada uno, mencionando constantemente la facilidad del desarrollo de la actividad, pero haciendo énfasis en que requería concentración y disciplina. Los docentes en formación mostraron preocupación constante porque el estudiante llevara a cabo las tareas propuestas, insistiendo en las respuestas validas del procedimiento en cuestión, frente a ello los estudiantes revisan los procedimientos fallidos realizados, y sugieren otras alternativas para su correcto desarrollo. Al revisar las guías de taller pertenecientes a las primeras sesiones desarrolladas por los estudiantes, se evidencia la carencia de orden y pulcritud en los procedimientos matemáticos, así como en las diferentes representaciones semióticas utilizadas, falencia que va desapareciendo a lo largo de las sesiones implementadas. Considerando lo anterior el proceso de enseñanza-aprendizaje es valorado con un alto grado de idoneidad emocional. Idoneidad Ecológica Por idoneidad ecológica se entiende al grado en que un método para aprender matemáticas resulta adecuado en el entorno donde se utiliza. A pesar de que “entorno” se refiere a todo lo que está dentro y fuera del aula (un hecho que condiciona su actividad)(Alsina & Domingo, 2010), el análisis realizado se centra en particular en el siguiente interrogante: ¿Qué valoración puede hacerse del método desde los estándares básicos de competencias en matemáticas propuestos por el MEN? 25

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No cabe duda de la importancia de la enseñanza del sistema de números enteros para el posterior tratamiento de nuevos conjuntos numéricos y la resolución de objetos matemáticos posteriores como los racionales y el álgebra respectivamente. A través de la propuesta didáctica “Operadores”, los estudiantes construyeron y manipularon representaciones de los objetos, las relaciones entre ellos y sus transformaciones, posibilitando un acercamiento conceptual a la creación de nuevas estructuras mentales, potenciando el pensamiento espacial y los sistemas geométricos. Por estos motivos se determina que el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene un alto grado de idoneidad ecológica.

CONCLUSIONES El análisis detallado de cada una de las dimensiones ha permitido llegar a la conclusión que el proceso de enseñanza-aprendizaje implementado tiene un grado medio de idoneidad didáctica. La reconstrucción de los conocimientos por parte de los estudiantes desarrolla una estructura cognitiva significativa, donde se dota de significado al objeto matemático, y le permite desarrollar de los procesos generales involucrados con el aprendizaje, en este caso la relación de orden en elconjunto de números enteros. Antes de dar lugar a la etapa de la formalización, es importante la ejercitación de procedimientos, facilitando que el estudiante afiance sus estructuras cognitivas, y luego encuentre similitudes que den paso a la formalización de un objeto matemático. Las prácticas educativas le permiten al docente en formación acercarse de manera directa a su futuro medio laboral y al combinar la teoría la práctica y la investigación, reflexionar sobre su desempeño docente.

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