FACTORIZACION by matematicas estadistica

PROPUESTA DE ENSEÑANZA PARA EL APRENDIZAJE DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS * DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ ** Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC -Duitama _______________________________________

Resumen Este artículo es parte de un proyecto de aula, orientado a fortalecer los inicios del álgebra, implementado en grado octavo de la Educación Básica Secundaria, presenta los resultados de una propuesta secuencial de enseñanza realizado mediante un curso de apoyo, para corregir errores que cometen estudiantes de grado octavo del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama en relación con la comprensión de algunos conceptos y procedimientos previos a la factorización de polinomios. Los resultados se basan en seis sesiones de clase y un cuestionario final aplicado a 22 estudiantes, los cuales se diseñaron tomando como referencia estudios sobre errores en el aprendizaje de las matemáticas realizados por investigadores como Rico, L, Castro, E. y Otros. (1997), Socas M, y otros. (1993), y Alonso, F. y otros. (1993), registros de observación de clases y un cuestionario inicial.

Palabras Clave: Factorización, errores, obstáculos, aprendizaje de las matemáticas Abstract This article is part of a classroom project, aimed at strengthening the beginnings of algebra, implemented in eighth grade Basic Education High School, presents the results of a proposed teaching sequence made by a support course for students to correct mistakes eighth grade Guillermo León Valencia College Duitama in relation to the understanding of some concepts and procedures prior to factoring polynomials. The results are based on six classroom sessions and a final questionnaire applied to 22 students, which were designed based on studies of errors in learning mathematics by researchers as Rico, L, Castro, E. and Others. (1997), Socas M, et al. (1993), and Alonso, F. et al. (1993), records of observation of classes and an initial questionnaire.

Keywords: Factorization, errors, obstacles, learning mathematics

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1. INTRODUCCIÓN Con el proyecto realizado se pretendía corregir los errores encontrados en el diagnóstico preliminar realizado a 22 estudiantes de grado octavo del colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama, con el fin de mejorar los significados que tienen los estudiantes en diferentes conceptos y procedimientos, educando a los estudiantes para tener un gusto hacia las matemáticas e intentando eliminar prejuicios que en el transcurso de la historia les han dado a las matemáticas. Es importante que durante los procesos de enseñanza y aprendizaje, se corrijan los errores que cometen los estudiantes para que en grados posteriores no lleguen con estos vacíos, para esto la escuela de matemáticas y estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia a brindado cursos de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas para instituciones educativas oficiales con la planeación de estrategias metodológicas que ayuden a formar conceptos y procedimientos más claros. Para este proyecto se adopta el enfoque constructivista que concibe la enseñanza como una actividad crítica y al docente como un profesional autónomo que investiga y se cuestiona sobre actividades didácticas o de cómo enseñar, reflexionando sobre su práctica y que percibe el error como un indicador y analizador de los procesos intelectuales del estudiante. Por medio de estrategias metodológicas constructivistas se pretende lograr que los estudiantes se apropien de los conocimientos adquiridos en clase y si es posible los asocien con los de la vida diaria. 2. EL DIAGNÓSTICO A continuación se presentan los errores que cometen los estudiantes en el desarrollo de varios ítems, el cual se obtiene a partir de una observación de clases de matemáticas y el cuestionario inicial: No. ERROR 1

ERROR DESCRIPCIÓN Errores al usar el El error se presenta cuando signo menos. estudiante no sabe distribuir signo menos colocado delante de paréntesis. Cuando se ordena un polinomio

el el un de

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Errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva. Errores al agrupar términos y al suprimir paréntesis. Errores relativos al mal uso de las operaciones aritméticas (Adición, sustracción y potenciación de racionales)

forma ascendente y el término con mayor exponente es negativo, olvidan colocar el signo. Cuando se desarrollan situaciones de aprendizaje con productos notables y la multiplicación de polinomios Cuando se elimina los paréntesis y se aplica la propiedad asociativa. En operaciones como la adición y sustracción de racionales, potenciación. Al no tener en cuenta términos semejantes mezclando así las variables.

Resultados y análisis del cuestionario inicial A continuación se darán los resultados que en general resumen los errores para las cuatro categorías donde se observará y comparará los errores que cometen los estudiantes:

Se observa que una cantidad mínima de estudiantes cometen errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva a comparación con los demás tipos de errores, sin embargo les falta por reforzar y esto se ve YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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reflejado y afectado para los demás tipos de errores; lo que es cierto es que la mayor parte de los estudiantes cometen errores relativos al mal uso de las operaciones aritméticas, que se vienen presentando en años anteriores y que aún no se ha logrado superar. No muy lejano encontramos los errores al agrupar términos y suprimiendo paréntesis los cuales se pueden dar por la causa anteriormente mencionada, además de no tener claro los diferentes símbolos de agrupamiento en álgebra y el papel tan importante que representan, y por último encontramos los errores al usar el signo menos que en un gran porcentaje no lo tienen en cuenta en el momento de realizar operaciones y al aplicar la propiedad distributiva. El desempeño de los estudiantes en clase La observación se llevó a cabo durante dos semanas en el horario habitual de clase en los grados 806 y 808 del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama. En ese momento en el grado 808 se estaban abordando los temas de factorización de polinomios: factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados perfectos, trinomio cuadrado perfecto por suma o resta y en la última observación se aplicó un taller sobre conceptos básicos de geometría, estadística y álgebra. Se pudo evidenciar que los errores más frecuentes que cometen los estudiantes se deben a vacíos de años anteriores. Por ejemplo, en la solución de un ejercicio que involucre la multiplicación de números reales tienen que recurrir a la pasta del cuaderno o utilizar la calculadora y en algunos casos el celular. Se verificó que los estudiantes no utilizan bien el signo menos, no poseen el significado de la potenciación y la radicación de términos algebraicos, el máximo común divisor y es evidente el mal uso de la propiedad distributiva en ejercicios de factorización. Con respecto al docente explica claramente los temas con el modelo de aprendizaje empirista dominando el tema en su totalidad. Primero les da los pasos que deben seguir para el desarrollo de cada ejercicio, luego lo realiza en el tablero y si el nuevo procedimiento utiliza temas de clases anteriores, les pregunta a los estudiantes cuales serían los pasos a seguir y ellos le responden según sus conocimientos. Los estudiantes son muy activos y prestan atención a la explicación que da el profesor además de preguntarle cuando no entienden. En el grado 8 06 los temas que se abordaron fueron división entre polinomios, división sintética y cocientes notables. Durante estas YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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clases se detectaron errores referentes al manejo de operaciones aritméticas que son causados por no saber las tablas de multiplicar, la ley de los signos y al ordenar términos en un polinomio. A los estudiantes se le dificulta identificar en qué casos se podría nuevamente aplicar los procedimientos de las operaciones aritméticas. Por ejemplo, tienen muchas dificultadas a la hora de operar con fracciones. También se observa dificultades en el uso del signo menos. La docente está realizando su práctica docente, sin embargo, desempeñó un gran papel durante el transcurso de la observación y fue adquiriendo más habilidades para manejar la interacción con los estudiantes y apropiación frente a los temas que le tocaba orientar. 3. MARCO TEÓRICO 3.1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LA FACTORIZACIÓN Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación. El álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. La palabra árabe al−abr que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra, Una figura importante dentro de la matemática árabe es el geógrafo, astrónomo, y matemático Al-khuwarizmi, de cuya vida poco se sabe, si se exceptúa que fue bibliotecario del califa Al-Mamun, YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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que reinó entre 813 a 833; Pero, sin duda, el libro más importante de Al-khuwarizmi, y que ha dado el nombre a una rama de la matemática es Hisab al-jabar wa-al-muqabala de traducción no fácil, pero cuyo término al-jabar dio nacimiento a nuestro vocablo álgebra. En esos tiempos no tenían sentido las raíces que no fueran enteras y positivas. Los árabes operaron siempre con ecuaciones de coeficientes enteros y positivos; La exigencia de los coeficientes positivos aumenta el número de casos de ecuaciones de segundo grado; Pero en nuestro tiempo ya tenemos el conjunto de los reales y además les hemos dado sentido. Entonces porqué aún estamos aferrados a clasificar las ecuaciones, cuando estás se pueden generalizar. Después, menciona los tres casos posibles de ecuaciones completas de segundo grado de coeficientes positivos, agregando: “Encuentro que esas tres especies de números pueden combinarse entre sí y dar lugar a tres tipos compuestos que son: Cuadrados y raíces igual a números; cuadrados y números igual a raíces; cuadrados igual a raíces y números”, o lo que es lo mismo, distingue los tres casos de ecuaciones. x2 + px = q x2 + q = px x2 = px + q Para resolver el primer caso, ateniéndose al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado que sumado a diez raíces da el número 39? (x2 +10x = 39) Dice: Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. Se puede observar que se está utilizando la estrategia de completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP). Revisemos la forma de abordar un conocimiento en dos épocas diferentes, digamos el caso 1 según Al-khuwarizmi, la ecuación con su forma: x2 + px = q Para abordar esta ecuación se propone el siguiente ejemplo: YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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Para resolver el primer caso, ateniéndose al ejemplo numérico: ¿Cuál es el cuadrado que sumado a diez raíces da el número 39? Dice: Debes tomar la mitad del número de las raíces, en este caso 5 y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25 al que le sumas el número 39, con el resultado 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces 5 y obtienes 3, que es el valor buscado”. (TCP) Ahora comparemos ésta redacción con la presentada en el texto de Carreño (2003), para abordar el producto de dos binomios con un término común. Producto de binomios con término común. Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea: (x + a)(x + b) = x2 + x • (a + b) + ab Con respecto a cómo se describen los conocimientos en las dos redacciones estamos de acuerdo, pero… es sólo una forma de verlos, en este caso el punto de vista de los autores, entonces, estas redacciones son buenas, pero… si lo que deseamos es una didáctica de las matemáticas, por sí solas no serían suficientes; en ambas redacciones todo está consumado, no existe la estrategia de que el alumno se enfrente a un problema para descubrir el conocimiento en juego. En la actualidad, para desarrollar un aprendizaje significativo en los alumnos, necesitamos más elementos. Cuando hacemos que el alumno se enfrente sólo a este tipo de redacciones, lo único que podremos lograr es el desinterés del chico, además de que lo estaremos privando del desarrollo de otras habilidades matemáticas, de su propio desarrollo. Si nos damos cuenta bien, en muchos casos estamos manejando el conocimiento descontextualizado, a veces lo que enseñamos tiene sólo el contexto de antaño, con los mismos vicios en cuestión de enseñanzaaprendizaje, lo cual no debe ser así, se necesita una transposición didáctica, acorde a nuestro tiempo. Pero además, a veces, incluso, no utilizamos ni los diferentes contextos utilizados en épocas anteriores, es interesante darse cuenta que desde esa época ya se utilizaban figuras geométricas como representaciones de estos procesos, se relacionaba el conocimiento con alguna aplicación o una situación real. Y ¿qué pasa en las aulas?, en muchos casos se han hecho un lado YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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los diferentes contextos, y se ha abusado, o más bien, sólo se ha utilizado el contexto algebraico, situación que caracteriza la vida matemática del siglo pasado. Veamos el siguiente ejemplo que nos muestra Al-khuwarizmi. En el que podremos encontrar el contexto geométrico. Para el caso, de forma general x2 + px = q y en el ejemplo x2 + 10x = 39 da una comprobación geométrica.

Los principios del álgebra estuvieron acompañados de figuras geométricas, sin embargo, a veces se dan cursos de álgebra, sin utilizar ni una sola figura geométrica. Consideramos que este es un error, este contexto puede brindar elementos que ayuden al aprendizaje significativo. No obstante se puede observar que es difícil entender la redacción y más aún darle sentido a este tipo de problemas. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha fórmula. YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo. En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. 3.2. CONFIGURACIÓN FACTORIZACIÓN

EPISTÉMICA

DEL

CONCEPTO

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3.3. PROPUESTA DE ENSEÑANZA ADOPTADA Para la realización de las secuencias didácticas se adoptará la siguiente propuesta de enseñanza: PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FACTORIZACIÓN EN EL CURSO DE ÁLGEBRA Metodología. Por su naturaleza, en esta sección se explica la propuesta metodológica del uso del álgebra geométrica para factorizar, y en qué consiste el método de cortar y pegar. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Los números o literales pueden representarse mediante figuras geométricas: segmentos o áreas. Por ejemplo: el número 2 puede representar un segmento de dos unidades de longitud, el 4 un área de un cuadrado de 2 por 2, el 6 un área de un rectángulo de base 1 y altura 6 o de altura 2 y de base 3, etc.

Las literales cuyos valores sean positivos representan segmentos o áreas de cualquier magnitud o cantidad desconocida.

Los coeficientes numéricos representan múltiplos o submúltiplos de la magnitud geométrica (segmento o área de un rectángulo o cuadrado). Así por ejemplo: 2x puede representar dos veces la longitud del segmento x o el área de un rectángulo de altura 2 y de base x; o bien de base 2 y altura x.

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Los números negativos se pueden representar mediante segmentos punteados o áreas con líneas punteadas, al ser sumadas se restan de las áreas con líneas continuas, las cuales representan los números positivos; o bien, si se suman áreas de líneas punteadas se obtienen regiones de líneas punteadas de mayor magnitud. La adición o sustracción de segmentos o áreas comparten el principio de homogeneidad, que podemos enunciar como “la adición y sustracción se realiza con figuras de la misma especie”; sólo se pueden sumar o restar segmentos con segmentos, o áreas con áreas; pues carece de sentido geométrico y algebraico sumar segmentos con áreas. Una “figura rectangular rectilínea” se define la figura geométrica que se obtiene de adicionar o sustraer áreas de rectángulos o cuadrados de cualquier altura y cuyas bases están sobre una misma recta y la suma de sus bases es igual a su base. Adición y sustracción de segmentos. Dados los segmentos a, b y x, obtener 3/2 x , –x , b+a y a-b.

En el primer caso x2 – 4 representa un área positiva (figura con líneas continuas) y en el segundo x2 – 4 es un área negativa (figura con líneas punteadas). Multiplicación o producto de magnitudes geométricas: se representa gráficamente por una figura rectangular y la llamaremos operación rectangular, porque como resultado de la multiplicación de dos segmentos se obtiene un rectángulo o un cuadrado. Ejemplo: El monomio 12xy puede ser representado por cualquiera de los siguientes rectángulos:

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Figuras geométricas rectilíneas: Los polinomios pueden ser representados mediante este tipo de figuras; es decir, una figura geométrica rectilínea es un polinomio cuyos términos son representados por cuadrados o rectángulos y su área es igual al valor numérico del polinomio. Ejemplo 1: El polinomio a2 + ab se representa por la figura rectangular rectilínea:

Ejemplo 2: El polinomio x2 + 3x + 2 puede representarse por la figura rectangular rectilínea:

Ejemplo 3: El polinomio x2 – 16 puede representarse por la figura rectangular rectilínea:

Actividad de enseñanza sobre factorización. El contenido de esta propuesta didáctica está relacionado con la parte simbólica del álgebra y consiste en construir ideas algebraicas a partir de figuras geométricas, en el que sus áreas son representadas por expresiones algebraicas. Factorización por factor común: YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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Factorización de diferencia de cuadrados: a2 – b2 1)

Factorización de trinomios de la forma: ax2 + bx + c 1)

3.4. IDONEIDAD DIDÁCTICA En diversos trabajos Godino y colaboradores (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) han introducido la noción de “idoneidad didáctica” de un proceso de estudio matemático con la intención de orientar el análisis y valoración de tales procesos. La Idoneidad Didáctica es el criterio sistémico de pertinencia o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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principal indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales pretendidos / implementados. La noción de idoneidad didáctica de un proceso de instrucción (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) que se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes: - Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. - Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados. - Idoneidad interaccional. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar las dificultades potenciales de los alumnos (que se puedan detectar a priori), y por otra parte permita resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción. - Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. - Idoneidad emocional, grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad emocional está relacionada tanto con factores que dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa. - Idoneidad ecológica, grado en que el proceso de estudio se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla. La idoneidad de una dimensión no garantiza la idoneidad global del proceso de enseñanza-aprendizaje.

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4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN El proyecto se llevó a cabo los días sábados comprendidos entre el dos de octubre y el seis de noviembre del presente año en el horario de 8:00 am a 11:30 am en las instalaciones de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia seccional Duitama. 4.1. IDENTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN Para el desarrollo del proyecto se va a apoyar en la investigación – acción ya que permite comprobar ideas en la práctica para conseguir mejoras y acrecentar los conocimientos, la enseñanza y el aprendizaje. Es un método de investigación en el que el investigador tiene un doble rol, el de investigador y el de participante. Combina dos tipos de conocimientos teórico y un contexto determinado. La investigación – acción intenta dentro de un marco de política de colaboración, auto perfeccionar al profesorado y autoformarle en nuevas habilidades, métodos y potencialidades analíticas, motivar y profundizar en su conciencia social y profesional asumiendo alternativas adicionales de renovación y comunicación. Las etapas de la investigación acción:    

EXPLORACIÓN Y REFLEXIÓN: Diagnosticar e identificar una preocupación temática. PLANIFICACIÓN: Diseñar el plan de acción o de proyecto de aula ACCIÓN Y OBSERVACIÓN: puesta en practica del plan. Control y observación sistemática de su funcionamiento EVALUACION O SISTEMATIZACIÓN: Reflexión, interpretación. Análisis e integración de resultados. Replanificación.

POBLACIÓN OBJETIVO: Los 33 estudiantes de grado 8 06, 8 08, 8 10, 8 11 de la jornada de la tarde del Colegio Guillermo León Valencia, sus edades oscilan entre los 13 y 15 años, pertenecen a los estratos 1, 2 y 3. 4.2. PROCESO METODOLÓGICO Las etapas necesarias para la realización del proyecto de aula son: YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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 Exploración y reflexión: Se investigo sobre el significado de error y se tuvo como referencia la noción de Socas M citado por Rico, L. Castro, E y otros. (1997). Luego se investigo sobre los errores en el aprendizaje de conceptos previos a la factorización. El siguiente paso fue el diseño y ejecución de un cuestionario inicial que constaba de ocho ítems y cada uno de ellos se elaboro con el fin de detectar los diferentes errores según la clasificación encontrada. Al recolectar toda esta información se hizo un riguroso análisis a cada paso de la solución del ítem e identificando los tipos de errores que cometen los estudiantes.  Planificación: Se diseña y desarrolla un proyecto de aula para reforzar los conceptos y procedimientos de la factorización de polinomios y ayudar a superar errores además de incrementar el gusto hacia las matemáticas.  Acción y Observación: El desarrollo y sistematización del proyecto de aula se llevó a cabo en las instalaciones de la UPTC, los sábados a partir del 2 de octubre al 6 de noviembre del presente año con 22 estudiantes de grados 8 06, 8 08, 8 10, 8 11 del Colegio Guillermo León Valencia de la ciudad de Duitama. Este proyecto se hizo con el fin de ayudar a los estudiantes en el área de matemáticas, en especial se fortaleció la factorización de polinomios. Se llevo una matriz de observación teniendo en cuenta la idoneidad didáctica durante el desarrollo de las clases.  Evaluación o sistematización: Todos los sábados se dejaron 30 minutos después de la clase para socializar y reflexionar la experiencia, con los compañeros de Proyecto Pedagógico VI enriqueciendo nuestro que hacer docente. 5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA El proyecto se baso en torno a la compresión significativa de la factorización de polinomios, en el cual se abordaron temas previos sobre productos notables, máximo común divisor y raíz cuadrada exacta. Para el desarrollo de estos temas se hizo énfasis en problemas en contexto y traducción en diferentes representaciones como se YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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muestra en las secuencias tres, cuatro y cinco. También se hizo uso de las regletas de cuisinaire para enseñar de forma didáctica la factorización de productos notables. A continuación se presenta una descripción de cada secuencia didáctica que conformó la propuesta para la factorización de polinomios. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 1 Se realizo el sábado 2 de octubre del presente año de 8:00am a 11:30 am, en las instalaciones de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia seccional Duitama. Para el desarrollo de las actividades propuestas se coloco en la puerta una cartelera con el listado de los estudiantes para que identificaran el salón donde les correspondía el curso de refuerzo, después de verificar la asistencia se presentaron los docentes practicantes y se explico en qué consistía el proyecto además de las reglas de trabajo, luego de esta introducción se dio inicio a la clase sobre la noción de factor común y a de 11:30am a 1:00 pm se hizo una reunión con los chicos de proyecto seis para explicar la experiencia y retroalimentarnos. En esta secuencia se buscaba que el estudiante reconociera el factor común en diferentes situaciones y proporcionara la solución a ítems con la ayuda de los profesores. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 2 Esta secuencia se llevo a cabo ocho días después, el 9 de octubre de 2010 en el horario de 8:00 am a 11:30 am en esta clase se explico el siguiente caso de factorización que era sobre agrupación de términos, para que los estudiantes lo comprendieran se utilizaron materiales didácticos manipulativos de tal forma que los procedimientos fueran más familiares, también se utilizaron problemas en contexto para que los estudiantes relacionaran el tema aprendido con la vida diaria. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 3 El desarrollo de esta secuencia se llevo a cabo el día sábado 16 de octubre en el horario habitual, en esta sección se trabajo sobre la factorización de trinomios cuadrados perfectos, para este tema se retomaron o se tuvieron en cuenta temas como la raíz cuadrada exacta y el cuadrado de la suma y diferencia de dos cantidades. También se YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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hace uso de las distintas representaciones para que el estudiante evidencie las respuestas encontradas. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 4 Se llevo a cabo el día 23 de octubre en el horario de 8:00am a 11:30 am el tema para esta clase fue el de factorización de la diferencia de cuadrados perfectos, para el desarrollo de esta secuencia se utilizaron situaciones en contexto ya que es bueno que los estudiantes comprendan la utilidad del tema y se interesen por aprenderlo. Se utilizaron las representaciones (geométrica, algebraica, aritmética y verbal) para lograr un aprendizaje significativo por parte de los estudiantes y al finalizar la clase se realizo una prueba para evidenciar si efectivamente se logro el objetivo de la secuencia. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 5 Esta secuencia se llevo a cabo el 30 de octubre en el mismo horario y se explico el tema de factorización de trinomios de la forma , para la ejecución de esta clase se tuvieron en cuenta conceptos previos sobre el producto de dos binomios de la forma en el cual se manejo desde las distintas representaciones luego se hizo uso de las regletas de cuisinaire para introducir el tema y lograr que los estudiantes manipulen este material y encuentren la respuesta a los ítems propuestos. SECUENCIA DIDÁCTICA N° 6 En esta secuencia se hizo un pequeño resumen sobre los casos vistos y se realizo una actividad que implicaba el manejo de los casos de factorización explicados en las cinco secuencias anteriores para ello se realizaron varios grupos y tenían que encontrar una palabra mágica pero para lograrlo tenían que desarrollar correctamente cada caso de factorización. Luego se aplicó un cuestionario final donde encerraba los conocimientos de todo lo visto en el curso de apoyo con respecto a la factorización de polinomios. 6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO El proyecto tiene como finalidad brindar un apoyo a los estudiantes que presenten algunos errores en matemáticas y lograr superarlos, YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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para ello se realizo un curso de apoyo de las matemáticas a estudiantes de grado octavo del colegio Guillermo León Valencia de Duitama, como herramienta se utilizaron estrategias metodológicas constructivistas y secuencias didácticas adecuadas para cada tema. Según los registros que se hicieron de las matrices de sistematización, encontramos, en forma general, que los 22 estudiantes de grado octavo del Colegio Guillermo León Valencia de Duitama demostraron superar la mayoría de errores mediante la propuesta de enseñanza adoptada por los profesores titulares. Se evalúo según 6 criterios de idoneidad didáctica que en forma general podemos destacar: Según los criterios de idoneidad epistémica, encontramos que realizar una revisión de conceptos previos es clave para que los alumnos recuerden un tema al que se va a usar de herramienta para el tema nuevo, así como el uso de diferentes lenguajes o modelos los cuales complementen la noción de un concepto. Para los criterios de idoneidad cognitiva, se observa que algunos vacíos de los estudiantes fueron superados, sin embargo, faltan por reforzar en las operaciones aritméticas donde se involucran números racionales. Para los de idoneidad mediacional se puede decir que se tuvieron materiales manipulativos durante el transcurso del curso, que ayudaron al proceso de enseñanza y aprendizaje de la factorización de polinomios, a los estudiantes les agradaba tener que realizar figuras geométricas para llegar al caso de factorización al que se aplicaba, fue de gran ayuda al docente, pues facilitó el manejo del grupo y dar el tema correspondiente. En la idoneidad emocional, se evidenció gradualmente un gran interés por parte de los estudiantes, en el cual el docente fue gran responsable de este hecho, sin embargo hubo estudiantes al inicio del curso que no les importo la actividad porque nos comentaron que no les gustaba las matemáticas, pero al final se vieron más entusiasmados por las actividades que transcurrían durante el desarrollo del curso. Con respecto a la idoneidad interaccional, al inicio del curso hubo un pequeño impase con una alumna que no quería responder a las actividades del curso, sin embargo al final las relaciones se mejoraron YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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y se termino con éxito el curso. Y por último, según la idoneidad ecológica se observa que los contenidos que se dieron en el curso fueron acordes al currículo tanto del colegio como a nivel nacional. La aplicación que se dio para cada tema sirve para que el alumno se dé cuenta de la gran importancia que tiene el tema de factorización de polinomios y en los contextos diferentes en los cuales se emplea. CONTRASTE CUESTIONARIO INICIAL Y FINAL En el plan de cuestionario inicial se tuvieron en cuenta los errores planteados según SOCAS M, y otros. (1993). Iniciación al Álgebra y Alonso, F, Barbero, C, Fuentes, I,…, Veiga, C. (1993). Ideas y Actividades para enseñar álgebra. En la siguiente grafica se presenta el contraste entre el cuestionario inicial que se aplico antes del curso de apoyo y el cuestionario final.

Según la grafica se puede afirmar que los estudiantes mejoraron notoriamente en los diferentes errores que se com etían, como en el caso del uso del signo menos cuando se encuentra delante de un paréntesis que disminuyo en un 62,57%, sin embargo el error que sigue persistiendo en un poco más de la mitad de los estudiantes es al agrupar términos y suprimir paréntesis. YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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7. CONCLUSIONES La enseñanza de los conceptos previos a la factorización en bachillerato se presenta de forma muy algorítmica y descontextualizada, de tal forma que los estudiantes deben recurrir a la memorización temporal para responder de alguna manera a sus evaluaciones. Los estudiantes manifiestan dificultades de aprendizaje en el álgebra ya que implica conocimientos asociados con la utilización de números, letras y signos de operación para conformarlas, como también la noción de variable. En este proyecto se pudo evidenciar que los estudiantes cometen los errores que citan los investigadores Socas M, y otros. (1993), y Alonso, F, Barbero, C, Fuentes, I,Veiga, C. (1993), referentes al mal uso del signo menos y de la propiedad distributiva. En el cuestionario (Anexo ) se ven vacios en las operaciones aritméticas específicamente en la adición, sustracción y potenciación de números racionales que son cruciales en el momento de avanzar en la comprensión de conceptos y procedimientos algebraicos. La falta de aprendizaje significativo de los conceptos y algoritmos implicados en el estudio del álgebra, no les permite desarrollar correctamente los procedimientos y situaciones propuestas, y algunos estudiantes ni siquiera las intentan resolver. Por lo tanto, surgió el reto de buscar estrategias que ayudaron a los estudiantes a corregir sus errores y acercarlos a la comprensión significativa de los conceptos y procedimientos involucrados y a desarrollar actitudes afectivas favorables hacia las matemáticas. En este sentido, es que se diseño una propuesta de enseñanza, que se implemento y sistematizo para identificar los resultados y el impacto en el aprendizaje de los estudiantes. Según los resultados del cuestionario inicial, el cuestionario final y en general del curso de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas, se puede decir que los 22 estudiantes de grado octavo del Colegio Guillermo León Valencia mejoraron notablemente en la comprensión de los conceptos y procedimientos referentes a la factorización de polinomios, lo que indica que la propuesta de enseñanza implementada fue efectiva y que se puede seguir mejorando para que los estudiantes aprendan significativamente, con aplicaciones en diferentes contextos y construyendo el concepto como tal. YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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8. REFERENCIAS 

Alonso, F, Barbero, C, Fuentes, I.,et al (1993). Ideas y Actividades para enseñar álgebra. Madrid: Síntesis.  Campos, F. Hacia el Rescate del Material Didáctico para la Enseñanza de las Matemáticas (Memorias XIV Encuentro de Geometría y II de Aritmética). Colombia.  Castro, R, Estrada, W, Moreno, W y Novoa, F. (2007). Espiral 8. Bogotá: Norma.  Cruz Mendoza, E. (2008). Diseño de una secuencia didáctica, donde se generaliza el método de factorización en la solución de una ecuación cuadrática (Tesis inédita de Maestría). Instituto Politécnico Nacional, México, D.F.  Godino, J.D., Font, V. & Wilhelmi, M. (2006). Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la resta. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, pp. 131 – 155.  Godino, J., Contreras, A. & Font, V. Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoque ontológico – semiótico de la cognición matemática.  Melo, C. (2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del Futuro.  Morales, I., Sepúlveda, A. (2006). Propuesta para la enseñanza de la factorización en el curso de álgebra. México, D.F.  Ruiz Higueras, L. (2005). Aprendizaje y Matemáticas. En Chamorro, M. ( Ed). Didáctica de las Matemáticas. España: Pearson Prentice Hall.  Socas, M, Camacho, M, Palarea, M, Hernández, J. (1989). Iniciación al álgebra. Madrid: Síntesis.  Socas, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Secundaria. En Rico, L (Ed.), La educación Matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori.

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ANEXOS

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CURSO DE APOYO PARA EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS PLAN DEL CUESTIONARIO SOBRE LA FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CON FACTOR COMÚN, FACTOR COMÚN POR AGRUPACION DE TERMINOS, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, DIFERENCIA DE CUADRADOS Y TRINOMIOS DE LA FORMA x2+bx+c. - GRADO OCTAVO Nº DE ITEM

REFERENCIA BIBLIOGRAFIC A

Castro, R, Estrada, W, Moreno, W y Novoa, F. (2007). Espiral 8. Bogotá: Norma. Pág. 197.

Castro, Estrada,

R, W,

CONCEPTO O PROCEDIMIENTO

Cuadrado de un binomio. Cubo de un binomio.

OBJETIVO DEL ITEM

PREGUNTAS ESPECIFICAS

Identificar errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva.

¿Usa incorrectamente la propiedad distributiva de potenciación con respecto a la suma y a la resta?

ITEM

SOLUCION

1. Desarrolla las siguientes potencias de binomios:

1. a) Se resuelve aplicando el significado de potenciación y luego realizando el producto de dos binomios o aplicando la regla del producto notable:

a) b) b) Se resuelve aplicando el significado de potenciación y luego realizando el producto de tres binomios o aplicando la regla del producto notable:

Uso de la propiedad distributiva con el

Reconocer la aplicación de la propiedad distributiva con

¿Resuelve los productos teniendo en cuenta el signo

2. a) Se resuelve aplicando la distributiva. 2. Efectúa las operaciones indicadas para suprimir paréntesis YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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Moreno, W y Novoa, F. (2007). Espiral 8. Bogota: Norma. Pág. 186.

signo menos para efectuar operaciones indicadas entre polinomios.

el signo menos colocado delante de un paréntesis.

menos delante de un paréntesis?

b) Se resuelve aplicando la distributiva. Multiplicamos primero el signo negativo Luego aplicamos la propiedad distributiva

b) c)

c) Se aplica la propiedad distributiva.

Melo, C. (2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del futuro. Pág. 94.

Adaptado de: Castro, R, Estrada, W, Moreno, W y Novoa, F. (2007). Espiral 8. Bogotá: Norma. Pág. 152.

Melo, C.

Factorización por agrupación de términos.

Factorización de trinomio de la 2 forma x + bx + c.

Factorización de

Identificar errores al agrupar términos semejantes.

Identificar errores relativos al mal uso de las operaciones aritméticas (Adición, sustracción y multiplicación de racionales) Observar si el estudiante

¿Agrupa términos semejantes de forma correcta teniendo en cuenta los signos?

3. Escribe la factorización de cada polinomio. Justifique su respuesta. a.

¿Identifica el caso de factorización y lo resuelve correctamente teniendo en cuenta las operaciones aritméticas empleadas? ¿Aplica correctamente

4. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados.

5. Completa la siguiente tabla siguiendo el

5. Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo dado:

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(2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del futuro. Pág. 92.

un polinomio cuando tiene un factor común.

comete errores relativos al mal uso de la propiedad distributiva teniendo en cuenta los signos.

la inversa de la propiedad distributiva en expresiones algebraicas?

ejemplo dado: POLINOMI O 3

2x + 4x + 2x

POLINOMIO FACTOR COMÚN

POLINOMIO FACTORIZADO

2x(x + 2x + 1)

2x 2x

+ 4x

-3ax – 7bx 3

-3ax – 7bx

120a + 45a + 75ª

FACTOR COMÚN

POLINOMIO FACTORIZADO 2

2x(x + 2x + 1)

-x

-x(3a + 7b)

15a

15a(8a + 3a + 5)

120a + 2 45a + 75a 6

Adaptado de: Castro, R, Estrada, W, Moreno, W y Novoa, F. (2007). Espiral 8. Bogotá: Norma. Pág. 186.

Melo, C. (2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del futuro. Pág. 74. .

Aplicación de la propiedad asociativa teniendo en cuenta el signo menos con el uso del paréntesis.

Identificar si el estudiante tiene en cuenta el signo menos cuando asocia términos con los paréntesis.

Área de un cuadrado. Cuadrado de una suma de dos cantidades.

Verificar si el estudiante reconoce que el área del cuadrado se puede expresar mediante el cuadrado de la suma de

¿Asocia correctamente los términos cuando hace uso del paréntesis? ¿Tiene en cuenta el signo menos al asociar los términos dentro del paréntesis? ¿Hace mal uso de la propiedad distributiva?

6. Aplicar en el siguiente polinomio la propiedad asociativa usando los paréntesis indicados:

6. Aplicando la propiedad asociativa al polinomio se observa que tiene varias soluciones, entre ellas, tenemos:

Observamos que se debió primero reducir términos semejantes y luego se asocia con los paréntesis.

8. En la ilustración se muestra el modelo de un apartaestudio, que ofrece una empresa constructora.

7. El área del apartaestudio se puede expresar como:

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dos cantidades o un trinomio cuadrado perfecto. De otra forma: (x + y)(x + y) = 2 2 x + xy + yx + y = 2 2 x + xy + xy + y = 2 2 x + 2xy + y .

Adaptado de: Melo, C. (2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del futuro. Pág. 100.

Melo, C. (2007). Soluciones 8. Bogotá D.C: Escuelas del futuro. Pág. 96.

Factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Factorización de diferencia de cuadrados perfectos.

Halla una expresión algebraica para representar el área del apartaestudio el 8. El área de la pintura de forma cuadrada que se muestra en la figura, se representa por:

Identificar errores en el uso inapropiado de operaciones aritméticas. (multiplicación y radicación de racionales)

¿Reconoce trinomio cuadrado perfecto para factorizarlo? ¿Realiza adecuadamente el procedimiento para factorizar el trinomio cuadrado perfecto?

Identificar errores en el uso del signo menos cuando se Factoriza.

¿Identifica caso factorización diferencia cuadrados perfectos en contexto y

el de de de

8. Para hallar la expresión algebraica de los lados de la pintura, es necesario encontrar la factorización del trinomio cuadrado perfecto que representa su área:

El niño progidio. Mozart, a los ocho años con su hermana María Anna y su padre, dando un concierto en París en el año 1764, época de esplendor del Rococó.

¿Cuál es la expresión algebraica de los lados? 9. El terreno de una finca se ha dividido en varios sectores, como lo indica la figura.

El área del sector cultivable es:

un lo

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desarrolla correctamente?

¿Exprese mediante la diferencia de cuadrados el área del sector cultivable de la finca?

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UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGIA DE COLOMBIA ESCUELA DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA COLEGIO GUILLERMO LEÓN VALENCIA. DUITAMA

CURSO DE APOYO PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS CUESTIONARIO FINAL Nombre: _______________________________________Grado: _____________ Fecha: ________________________ Edad: _____________ OBJETIVO: Identificar el nivel de comprensión de los estudiantes en relación con expresiones algebraicas, productos notables y los primeros casos de factorización. INSTRUCCIONES GENERALES: 1. 2. 3.

Este cuestionario consta de 9 preguntas, las cuales están organizadas por secciones según el tipo de ítems. El tiempo disponible para contestar el cuestionario inicial es de 60 minutos. Desarrolle el cuestionario en forma ordenada al respaldo de las hojas. I.

PREGUNTAS ABIERTAS

Desarrolla las siguientes potencias de binomios: a. b.

2. Efectúa las operaciones indicadas

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a. b. c. 3. Escribe la factorización de cada polinomio. Justifique su respuesta. a. b.

4. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados. a. b.

5. Completa la siguiente tabla siguiendo el ejemplo dado: YENNY YOLANDA CARDOZO LEMUS *yeyocale@hotmail.com DARÍO FERNANDO MEZA RODRÍGUEZ dafemate27@gmail.com

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POLINOMIO 3

2x + 4x + 2x

FACTOR COMÚN 2x

POLINOMIO FACTORIZADO 2

2x(x + 2x + 1)

-3ax – 7bx 3

120a + 45a + 75a

6. Aplicar en el siguiente polinomio la propiedad asociativa usando los paréntesis indicados:

II.

SITUACIÓN PROBLEMA

7. En la ilustración se muestra el modelo de un apartaestudio, que ofrece una empresa constructora.

Halla una expresión algebraica para representar el área del apartaestudio.

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8. El área de la pintura de forma cuadrada que se muestra en la figura, se representa por:

El niño progidio. Mozart, a los ocho años con su hermana María Anna y su padre, dando un concierto en París en el año 1764, época de esplendor del Rococó.

¿Cuál es la expresión algebraica de los lados? 9. El terreno de una finca se ha dividido en varios sectores, como lo indica la figura.

y ¿Exprese mediante la diferencia de cuadrados el área del sector cultivable de la finca?

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