EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
YURI MARCELA NIÑO BECERRA XIMENA BIANEY LÓPEZ BELTRÁN MARÍA ANDREA DURAN CAMARGO MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO MARÍA PATRICIA MOGOLLÓN ÁNGELA MARÍA SALAMANCA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA FACULTAD SECCIONAL DUITAMA DUITAMA 2011
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA YURI MARCELA NIÑO BECERRA* XIMENA BIANEY LÓPEZ BELTRÁN* MARÍA ANDREA DURAN CAMARGO* MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO* MARÍA PATRICIA MOGOLLÓN* ÁNGELA MARÍA SALAMANCA* ANA CECILIA MEDINA NARIÑO**
Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC – Duitama
Resumen En este articulo se presenta una experiencia de investigación- acción en el aula generada en la asignatura Proyecto Pedagógico VI y Ambientes Educativos IV de la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de ColombiaDuitama, con el fin de identificar los errores que cometen los estudiantes en cuanto el tema de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Se describe el diseño, gestión y resultados de una propuesta de enseñanza de el concepto de ecuaciones por medio del modelo de balanzas, dirigida a estudiantes de grado octavo (8) del Instituto Técnico Santo Tomás de Aquino de Duitama, con el fin de que el estudiante comprenda el concepto y la resolución de ecuaciones, además puedan superar los errores que se puedan presentar durante dicho proceso . Palabras claves: ecuación, errores, balanzas, igualdad. Abstract This paper presents an action-research experience in the classroom generated in the subject of Pedagogical Project VI and Educational Environments IV of the Mathematics and Statistics Degree of the Pedagogical and Technological University of Colombia-Duitama, to identify errors committed by students on the topic of equations in first grade with one unknown. We describe the design, management and the results of a teaching proposed of the equations concept using the model of Balanzas, addressed to eighth grade students (8) of the Technical Institute Santo Tomás de Aquino-Duitama, for that the students understand the concept and resolution of equations, besides overcome the errors that may occur during this process. Keywords: equation, errors, balance, equality 2
EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
1. INTRODUCCIÓN En el presente informe se da a conocer el resultado del análisis y la reflexión profunda de la experiencia significativa que se genera en las asignaturas Proyecto Pedagógico VI y Ambientes Educativos IV que se imparte en la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, sede Duitama dirigida por la magister Ana Cecilia Medina Mariño. Dicho análisis se llevo a cabo mediante la observación participativa y la aplicación de un cuestionario inicial para detectar los errores que cometen los estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino en ecuaciones de primer grado con una incógnita. Este cuestionario es aplicado a estudiantes que desearon mejorar su aprendizaje en donde los objetivos de este informe consisten en analizar detenida y estadísticamente el rendimiento de los estudiantes en cuanto al desarrollo de un cuestionario inicial, basado en ecuaciones de primer grado con una incógnita. Además, identificar y enunciar los errores que cometen los estudiantes
en
relación
con
las
operaciones
matemáticas
anteriormente mencionadas. La metodología empleada para el desarrollo de este informe consiste en la valoración de los ítems propuestos en el cuestionario inicial, los cuales, fueron contrastados con el plan de la prueba, que contiene el correcto desarrollo del cuestionario, con el objetivo de comparar y validar los resultados presentes en los pliegos de los estudiantes. Para dar origen al proyecto de aula, se diseñaron dos instrumentos: Un cuestionario inicial y una matriz de observación.
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La matriz de observación se diligenció en el Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino en los grados octavo, con una intensidad horaria, de dieciocho (18) horas semanales comprendidas entre el 23 de Agosto al 2 de septiembre. La etapa de observación se realizó dentro del aula, mientras los estudiantes del curso citado recibían sus clases de matemáticas normalmente, con el docente titular del área de matemáticas, Emiro Méndez Mulet. El cuestionario inicial fue aplicado el día 16 de septiembre con la colaboración de los directivos del plantel, en el horario comprendido de 3.00 pm a 5.00 pm en donde asistieron 24 estudiantes. Luego se llevaron a cabo 6 secuencias didácticas con el propósito de mejorar los errores cometidos en el cuestionario inicial. 2. EL DIAGNÓSTICO El instrumento utilizado para recopilar la información se aplicó a 24 estudiantes del grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino. Consistió en una prueba de 5 ítems que pretendía determinar los errores que cometen los estudiantes para abordar el tema sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita.
2.1
CATEGORÍA DE ERRORES SOCAS (1997) Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático. Paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico Dificultades con el signo menos Uso de competencias operatorias en la resolución de una ecuación. Flexibilidad para decodificar nueva información
2.2
RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO INICIAL
Se señalan a continuación los resultados obtenidos a partir de la cuestionario inicial analizando los diferentes tipos de error que pueden presentar los estudiantes
según la
categoría a la que correspondían y el tipo de error que se pretendía observar mediante este, enunciando los errores encontrados.
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CATEGORÍAS
TIPO DE ERROR
SEGÚN SOCAS (1997)
EN LA PRUEBA
Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático.
Los estudiantes ignoran la aplicación de la propiedad uniforme para resolver una ecuación y transposición de términos ya que el 75% de los estudiantes la ignoran por completo.
EVIDENCIAS
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EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Flexibilidad
Los estudiantes no tienen
para
claro
decodificar
símbolos del algebra y
nueva
además no distinguen una
información
operación de otra.
los
conceptos
y
Por ejemplo se les dio el enunciado
cualquier
número más tres y ellos tenían
que
expresión
dar
la
algebraica.
Muchos de ellos ignoraron el enunciado donde se especificaba en algebra una
letra
representa
cualquier
conjunto
numérico y la solución qué dieron fue 4+3. Uso
de
competencias operatorias la
Algunos
estudiantes no
realizan el despeje de una en
resolución
inecuación
y
tampoco
grafican fracciones en la
una ecuación
recta numérica,
Dificultades con
A menudo los estudiantes
el signo menos
tienen dificultades con el signo menos por ejemplo se
les
propone
resuelvan
la
que
siguiente
ecuación: Fallan en el segundo paso, al
intentar
aplicar
la
operación inversa de la sustracción para eliminar 32 del primer miembro, pero
lo
hace
correctamente
al
planteárselo con 25x en el cuarto paso, a pesar de que este término parece
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más complicado por ir el coeficiente
acompañado
de la incógnita, lo cual revela escasa consistencia en la utilización de las operaciones inversas.
Paso
del
lenguaje natural
No interpretan bien el vocabulario
al
matemático
porque se les planteo un
lenguaje
problema
algebraico.
interpretaron
y
no las
expresiones algebraicas y por lo tanto no obtuvieron una respuesta favorable. Todavía no se familiarizan con el signo menos.
2.3 PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el estudiante y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos. Es de destacar que los errores no aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente. También se debe tener en cuenta que las oportunidades de los estudiantes para aprender Matemática dependen del entorno y del tipo de tareas y discurso en que participan, dependiendo lo que aprenden de cómo se implican en las actividades matemáticas, lo que marca, a su vez, las actitudes que tienen hacia esta ciencia. Sin embargo la enseñanza de las ecuaciones abarca, desde su concepto y planteamiento, hasta el proceso de resolución, la comprobación de la solución obtenida y su interpretación. Sin embargo, con mucha frecuencia otorgamos un valor tan preeminente a la resolución de ecuaciones que reducimos su enseñanza casi exclusivamente a esto. Según la categoría de errores los más recurrentes en su orden son: uso de competencias operatorias en la solución de una ecuación, dificultades con el signo menos, uso inadecuado
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de conceptos símbolos y vocabulario matemático, flexibilidad para decodificar nueva información, paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico, obteniendo así un 80% de errores cometidos por los estudiantes lo cual es preocupante para el desarrollo del aprendizaje y por esta razón que tan idóneo sería: ¿El uso de modelos de balanzas por medio de una secuencia didáctica facilitara la comprensión de ecuaciones de primer grado con una incógnita?
3. MARCO TEÓRICO A continuación se presentara el marco teórico desde tres perspectivas las cuales comprenden la perspectiva epistemológica (Socas,1996) la cual hace referencia al análisis histórico y epistemológico de ecuaciones de primer grado con una incógnita y la configuración epistémica, también la perspectiva cognitiva (Socas,1997) en donde se menciona la noción de aprendizaje, la noción de error y sus categorías en el aprendizaje de ecuaciones y la noción de conflicto semiótico (Godino, Batanero y Font,2006) y por último la perspectiva didáctica (Grupo Arzaquiel,1993) en la cual mencionamos nuestra propuesta didáctica y la noción de idoneidad didáctica. 3.1
PERSPECTIVA EPISTEMOLÓGICA
Según socas la evolución de la matemática ha sido utilizada por la didáctica de la matemática bajo distintos puntos de vista: desde informaciones históricas que sirven para motivar un tema nuevo, hasta la construcción de secuencias didácticas inspiradas en la progresión histórica seguida en el desarrollo de algunas teorías. En cualquier caso, la historia nos ofrece diferentes ideas para la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como referencia para anticipar
dificultades y errores posibles en el aprendizaje de los alumnos.
El contexto que sirvió de base en la antigüedad puede ser utilizado hoy como contextos para construirlos, en clase. Esto nos permite satisfacer diversas necesidades, tales como: Representar las matemáticas como parte de la cultura humana que evoluciona con ella, preparando así el terreno para llegar a la organización que los conceptos matemáticos tienen actualmente. Reconocer la importancia del lenguaje simbólico y de las técnicas, y las insuficiencias y ambigüedades de cada formalismo. Construir o profundizar los conceptos matemáticos que se han elegido por medio de la diversidad con la cual cada época los presenta. Socas (1996, pág. 11)
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Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind 1650 a.c y el de Moscú 1850 a. c) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En estos de una forma retorica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban “aha” o “montón”. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente: “Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24” En notación moderna la ecuación seria:
La solución la obtenía por un método que hoy conocemos con el nombre de “método de la falsa posición “o “regula falsi”. Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
socas (1996, pág. 46).
Los babilonios (el mayor número de documentos corresponden al periodo alrededor de 600 A.C. a 300 A.C. aparecen problemas de ecuaciones que aún ahora requieren considerable habilidad numérica para su resolución. Trabajaban ecuaciones como:
En las tablas en base sexagesimal hallaban el
reciproco de 5 que era 12/60 en la tabla de multiplicar por 8, encontramos 8.12/60 = 1. 36/60. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones y exceptuando a Diophante (250 d de C.), no se dedicaron mucho al algebra, pues su preocupación era, como hemos visto, mayor por la geometría.
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Los primeros documentos matemáticos indios que existen (datan del siglo III d. de C) son los suvulvastras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos. En estos aparece el siguiente problema: “Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su área es igual al área de un cuadrado dado.”
Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios. Posteriormente, Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma sincopada, como resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura “ya”, y las operaciones por la primera silaba de las palabras.
CONFIGURACIÓN EPISTÉMICA ASOCIADA A ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Para poder valorar la idoneidad epistémica es necesario establecer el significado de referencia que sirva de comparación. (Godino, Font y Wilhemi, 2006). Dicho significado de referencia es organizado en una configuración epistémica ( subsistemas de practicas institucionales ligadas a contextos de usos particulares, y de objetos emergentes (Godino, Bencomo, Font y Wilhemi)), de tipo empírico: “se trata de una configuración epistémica en la que los conceptos y las propiedades que se introducen, se intentan justificar por su acuerdo con una realidad extra matematica” o de tipo formal: “en esta configuración se usa el método axiomático, es decir se
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eligen ciertos enunciados de la teoría como axiomas y se elige que todos los demás san probados a partir de ellos ” (Godino, Font y Wilhemi, 2006). A continuación describiré de manera sintética los principales elementos sobre el significado de referencia: expresiones algebraicas y sus operaciones agrupándolos en seis tipos de entidades que propone el EOS: lenguaje, situaciones, acciones, conceptos propiedades y argumentos y se organizaran en una configuración epistémica de tipo empírico. LENGUAJE Verbal Lenguaje natural, lenguaje algebraico, operaciones algebraicas, operaciones algebraicas, variables, ecuación de primer grado con una incógnita, igualdad, términos, propiedad uniforme de la suma, resta, multiplicación y división, Gráfico Dibujos con balanzas que ayuden ala comprensión significativa de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Simbólico
SITUACIONES
CONCEPTOS PREVIOS Expresión algebraica
Problemas en los que se debe
Igualdad
resolver una ecuación de primer
EMERGENTES
grado con una incógnita
Solución de una ecuación algebraica
PROCEDIMIENTOS
PROPIEDADES
Manejo de representaciones de
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balanzas por medio de dibujos.
Propiedad uniforme de la suma Propiedad uniforme de la resta Propiedad
uniforme
de
la
multiplicación Propiedad uniforme de la división.
ARGUMENTOS Comprobación mediante ejemplos por medio de dibujos con balanzas.
3.2 PERSPECTIVA COGNITIVA Noción de aprendizaje: Según el Enfoque Ontosemiotico; El aprendizaje tiene lugar mediante la participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento progresivo de los significados personales a los institucionales y la apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006) Noción de error en matemáticas: Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de una falta específica de conocimiento o de una distracción. Los errores aparecen cuando se enfrentan a conocimientos nuevos que los obliga a hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben. Noción de conflicto semiótico:
Según Godino y Font (2007) “un conflicto semiótico es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones)”.Si una disparidad se produce entre significados institucionales es de tipo epistémico; Si la disparidad se produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto es de tipo cognitivo y si la
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disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa es de tipo interaccional. CATEGORÍAS DE ERRORES Errores en el aprendizaje de ecuaciones de primer grado con una incógnita: En Socas (1997), se consideran tres ejes, que permiten analizar el origen del error. De esta forma, podemos situar los errores que cometen los alumnos en relación con tres orígenes distintos: Obstáculos: conocimientos adquiridos que demuestran su afectividad en ciertos contextos pero no válidos en otros. ausencia de sentido: relacionado en las distintas etapas de aprendizaje de un sistema de representación, semiótica, estructural y autónoma. actitudes afectivas y emocionales: Los errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza: faltas de concentración (excesiva confianza), bloqueos, olvidos, etc. Para esta investigación se adopto la siguiente categoría de errores: Uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático. Paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico Dificultades con el signo menos Uso de competencias operatorias en la resolución de una ecuación. Flexibilidad para decodificar nueva información
3.3 PERSPECTIVA DIDÁCTICA El concepto de ecuación se construye a partir de igualdades presentadas como situaciones de equilibrio en balanzas en las que hay un elemento desconocido (incógnita). Se trata inicialmente de encontrar el valor de dicho elemento para lograr el equilibrio propuesto. Las balanzas pueden ser elaboradas por los alumnos y usar como pesas elementos corrientes entre los cuales se puedan establecer equivalencias de peso (botones, canicas, etc.). Se pretende diseñar una secuencia de aprendizaje que parta del concepto de igualdad representado a través de balanzas en equilibrio y posteriormente. Incorporar la incógnita como elemento desconocido cuyo valor se desea descubrir; inicialmente el cálculo se hace por ensayo-error y luego, utilizando representaciones
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simbólicas como 2( ) + 3 = 5, por transposición de términos para identificar claramente la jerarquía de las operaciones y el orden al efectuarlas. Posteriormente, se pasa al manejo simbólico de la igualdad y de la incógnita para que determinen el valor numérico del elemento que no se conoce (ensayo-error). Al tratar de encontrar el valor de la incógnita se presenta la necesidad de identificar las operaciones que intervienen en la igualdad y también el orden para ejecutarlas; es indispensable hacer énfasis en la jerarquización de operaciones y el orden al transponer los términos. Paso a paso ha de guiarse al alumno para que interprete las expresiones y establezca claras comparaciones con las situaciones manejadas en las balanzas, (revista EMMA, 1997). La secuencia a seguir es: Traducción de lenguaje natural a expresiones algebraicas. Introducción a la noción de ecuación. Propiedades de la igualdad. Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Planteamiento y resolución de problemas Aplicando lo aprendido
3.4 IDONEIDAD DIDÁCTICA La idoneidad didáctica es el criterio sistemático de pertenencia o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico puede ser adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales pretendidos. Para hacer activa esta definición se introducen seis criterios de idoneidad. Idoneidad empírica: Grado de representatividad
de los significados
institucionales
implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. Idoneidad cognitiva: Grado en que los significados implementados (pretendidos) están en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos implementados. Idoneidad medicinal: Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Idoneidad emocional: Grado de implementación, interés y motivación de los estudiantes. Idoneidad interaccional: Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Idoneidad ecológica: Grado de adaptación curricular, socio-profesional y conexiones intra e interdisciplinares.
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4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN Esta investigación se desarrolla con 24 estudiantes de grado 8, los cuales oscilan en las edades de 13 - 15 años en donde se pretende identificar los errores que se presentan en ecuaciones de primer grado con una incógnita y a partir de ellos mejorar nuestra eficiencia como futuros docentes evaluada a partir de secuencias didácticas basadas en el modelo de balanzas que enriquecerán el aprendizaje de los estudiantes.
4.1.
TIPO DE INVESTIGACIÓN
El tipo de Investigación
que se utiliza para la realización del Proyecto de Aula es la
Investigación Acción (IA) la cual como
una actividad colectiva, se caracteriza por la
participación reflexiva puesto que es una investigación realizada por colectivos acerca de su propio trabajo, lo cual no implica que se puede comenzar con el individuo como un sujeto práctico reflexivo, que pueda generar planes de acción que transformen su práctica docente; y, luego, apoyarse en el colectivo docente en donde todos analizan y reflexionan críticamente sobre un mismo plan de acción. De ahí, sus carácter sistemático, de aprendizaje y colaborador para dar forma a la acción educativa. (Kemmis, 1986). En el campo de la docencia la investigación acción tiene como objetivo mejorar la práctica docente, permitiendo al docente realizar una reflexión constante sobre su quehacer diario.
PROCESO DE LA INVESTIGACIÓN- ACCIÓN
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Exploración – Fase Diagnostica: Esta etapa se llevó a cabo en las clases de matemáticas mediante observación participativa a los estudiantes del grado 8,
para mirar el
desempeño de estos, luego se diseñó y aplico un cuestionario inicial enfocado a determinar los conceptos previos que poseen los estudiantes con respecto a
ecuaciones
de primer grado con una incógnita. Planificación: Las secuencias de enseñanza se trabajaron con el propósito de estudiar el tema relacionado a ecuaciones de primer grado con una incógnita, las cuales consistieron en la implementación del modelo de balanzas para el aprendizaje de igualdad, propiedades y solución de ecuaciones. Acción: La estrategia metodológica que se utilizó para el desarrollo de las secuencias de enseñanza fue: El taller constructivo como estrategia metodológica para aprender a pensar mediante la construcción del conocimiento matemático. Considera la enseñanza como un proceso intencional y planeado, en donde el papel del maestro es crear
o
diseñar situaciones de aprendizaje apropiadas que le permitían al estudiante construir en forma individual y colectiva con la mediación del profesor, nuevos conocimientos. Las secuencias que se llevaran a cabo son: traducción de lenguaje natural a expresiones algebraicas, introducción a la noción de ecuación, propiedades de la igualdad, solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, planteamiento y resolución de problemas y aplicando lo aprendido,
en los cuales se hicieron énfasis en la construcción
de los conceptos de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Evaluación: Es un proceso continuo que se realizó luego de la sistematización, la cual se obtiene como objetivo recoger información que sea útil para el profesor para mejorar el desempeño de los alumnos, así como para tratar de mejorar la práctica docente del profesor, para la construcción y el desarrollo del Proyecto de aula, se hizo una retroalimentación y seguimiento permanentemente del trabajo realizado por los estudiantes del grado 8 en cada una de las clases, y esto mediante un proceso de sistematización de experiencias. Para la sistematización de la experiencia de aula, se consultaron puntos importantes acerca de que es sistematizar y para que se sistematiza una experiencia. También se realizaron planes de clase que sirvieron como guía para el desarrollo de las actividades en el aula y estas se presentaron con anterioridad a la profesora de la Asignatura Proyecto Pedagógico VI quien las sugerencias respectivas para un mejor funcionamiento. Se realizó un cuestionario final el cual pretendíamos identificar si los estudiantes recaían en los mismos errores que presentaron en el cuestionario inicial y si se encontraban nuevos errores además de evaluar lo aprendido durante las sesiones de clase realizadas por medio de las secuencias didácticas sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Por último se aplicó una encuesta a estudiantes y profesores titulares para mirar la evolución que tuvieron los estudiantes mediante el desarrollo de las secuencias didácticas.
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4.2 INSTRUMENTOS PARA LA RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN Y ANÁLISIS Cuestionario inicial Matriz de observación y registro del desempeño de los estudiantes en
cada clase.
Guías de Talleres Cuestionario final Encuestas al finalizar la experiencia en el aula aplicada a estudiantes y profesor titular.
5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA 1. DOMINIOS CONCEPTUALES: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL 2.
ESTÁNDARES: Pensamiento numérico: Utilizar números en sus diferentes representaciones, en diversos contextos. Simplificar cálculos usando relaciones inversas entre operaciones. Construir ecuaciones equivalentes empleando inversos y recíprocos.
Pensamiento variacional: Identificar relaciones entre propiedades de gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Usar procesos inductivos para formular conjeturas. 3. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES El taller constructivo, como estrategia metodológica para aprender a pensar mediante la construcción del conocimiento matemático. Considera la enseñanza como un proceso intencional y planeado, en donde el papel del maestro es crear o diseñar situaciones de aprendizaje apropiadas que le permitan al estudiante construir en forma individual y colectiva, con la mediación del profesor, nuevos conocimientos. Las etapas de la dinámica del taller son: Revisión de conceptos previos, Construcción lógica mediante la acción cognitiva y reflexiva, Formulación, Validación, Formalización y Aplicación. El modelo de balanzas es especialmente apta para enseñar ecuaciones por su capacidad autocorrectora ya que traduce, físicamente, el concepto de igualdad a través de equilibrio de las masas de ambos platillos.
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SECUENCIA
ACTIVIDADES Salto de la rana
Traducción de lenguaje
Cadena edades
natural
La familia
a
expresiones
algebraicas.
Introducción a la noción
Interpretación grafica de la
de ecuación.
igualdad. Las balanzas Completar igualdades
Propiedades de la
Hacia la propiedad
igualdad.
uniforme
QUE SE PRETENDE Que el estudiante logre la traducción de expresiones escritas en lenguaje natural a expresiones de lenguaje algebraico. Se pretende obtener ecuaciones a partir de diagramas, motivando la utilización de símbolos para cantidades desconocidas y a partir de allí construyan la noción de ecuación. Se pretende que el estudiante logre interpretar el concepto de igualdad a partir de gráficos.
Las balanzas Propiedad uniforme de la Solución de ecuaciones
resta
de primer grado con una
Propiedad uniforme de la
incógnita
suma.
Determinar si el estudiante incorpora la incógnita como elemento desconocido cuyo valor se desea descubrir.
Propiedad uniforme de la multiplicación. Propiedad uniforme de la división. Bingo
Planteamiento y
Resolución de problemas
resolución de problemas
Cuadrado mágico
Quien tiene, yo tengo. Aplicando lo aprendido
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Determinar lo hallar en el introducir una representar desconocida.
que se pide enunciado e variable para la cantidad
Se pretende mirar si estudiante logro aprendizaje significativo cuanto a ecuaciones primer grado con incógnita.
el un en de una
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6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO
La experiencia de aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, a partir del reconocimiento de conceptos previos asociados al modelo de balanzas mostró ser de gran utilidad en los estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino. Las resoluciones de los problemas por parte de los alumnos, correctas o no, así como las omisiones de las respuestas, nos proveen datos para el análisis de algunas características del estado de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Este análisis, unido a numerosas investigaciones didácticas que se han desarrollado a lo largo de las últimas décadas, nos permitirá, por un lado, pensar sobre algunas situaciones del día a día en el aula y, por el otro, plantear propuestas de enseñanza para algunos contenidos puntuales. En este proyecto se presentan los resultados que obtuvimos a partir de los objetivos planteados. A medida que se muestran los datos sobre el análisis de los diferentes grados de idoneidad didáctica, surgen algunos elementos que los definen propuestos desde el enfoque ontosemiótico estudiado por Godino (2006).
IDONEIDAD EPISTÉMICA: El aprendizaje de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, a partir del reconocimiento de conceptos previos asociados al modelo de balanzas mostró ser de gran utilidad en los estudiantes de grado octavo del Instituto Técnico Santo Tomas de Aquino mostrando así una alta idoneidad. Sin embargo, a partir del modelo de balanzas , se acercó a los estudiantes para que pudieran poner a prueba su propia capacidad demostrativa, argumentativa y de resolución de situaciones problema con el uso de este modelo, las ecuaciones de primer grado con una incógnita, cobran mayor significado al apreciarlas desde este modelo, el cual sirve para integrar y articular conceptos abordados en niveles escolares inferiores, para explorar la habilidad operativa y de manipulación de algoritmos en la resolución de ecuaciones de primer grado de una incógnita Las actividades de visualización, comparación e interpretación de los resultados, favorecieron el desarrollo de la capacidad argumentativa ya que en la fase diagnóstica las respuestas de los estudiantes eran casi nulas y se notaba de sobre manera en casi el 100% de ellos no sabían sobre el tema y tenían bastantes errores en este.
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IDONEIDAD COGNITIVA Para la evaluación de la idoneidad cognitiva se hizo necesario analizar la información recogida en la matriz de observación, en la guía taller y en la evaluación de la clase que se aplico a los estudiantes, con el fin de
identificar sus conocimientos previos y reconocer si las
explicaciones dadas fueron comprendidas. (Godino, Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006). De acuerdo a los criterios de esta idoneidad, se evidencio que realizar una revisión de conceptos previos es fundamental para que los alumnos recuerden un tema al que se va a usar como herramienta para el tema nuevo así como el uso de diferentes lenguajes contextos y representaciones los cuales complementen la noción de un concepto, evidenciando así una alta idoneidad cognitiva. Se revisaron los conceptos previos a través del taller constructivo en su primera etapa, los niños tienen dificultades en temas como la construcción de conceptos. Los conceptos previos analizados se relacionan con el manejo de los tipos de lenguaje que se utilizan en matemáticas, (lenguaje natural, lenguaje algebraico), y se observo que los niños tienen muchos vacios y falta de conocimiento, no identifican la operación indicada cuando se utilizan frases con palabras como: doble, triple, cuadrado o diferencia. Se realizaron distintas actividades fundamentadas en el taller constructivo para superar las dificultades y además llevarlos a la construcción de la noción de generalización, con la ayuda de los videos se ve un cambio significativo en la actitud y en la participación, además se ve reflejado en los resultados de la evaluación. Uno de los motivos de la participación es el ambiente de confianza donde los estudiantes tienen
la
posibilidad
de
expresar
sus
conocimientos.
(Conjeturas,
procedimientos,
argumentaciones). También se les aplico un cuestionario final, en donde el propósito de este era mirar que tanto se habían disminuido los errores en ecuaciones según la categoría de Socas, encontrados en la aplicación del cuestionario inicial. Los errores encontrados en el cuestionario inicial disminuyeron favorablemente gracias al desarrollo de las secuencias didácticas basadas en el taller constructivista; los errores que mas disminuyeron fueron las dificultades con el signo menos, teniendo en cuenta que en el cuestionario inicial, de los 24 estudiantes el 79.16% cometieron el error mientras en el cuestionario final, de los 11 estudiantes
el 9.09%
cometieron el error; otro error que disminuyo fue el uso de competencias operatorias en la resolución de una ecuación teniendo en cuenta que en el cuestionario inicial, de los 24 estudiantes el 98% cometieron el error mientras en el cuestionario final, de los 11 estudiantes el 18.18% cometieron el error.
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EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
El error que siguió persistiendo fue el uso inadecuado de conceptos, símbolos y vocabulario matemático puesto que en el cuestionario inicial el 75% cometieron el error y en la aplicación del cuestionario final el 54.54%.
IDONEIDAD EMOCIONAL Tiene idoneidad emocional alta pues los estudiantes mostraron gran interés por el desarrollo de las actividades propuestas en las diferentes secuencias utilizando las balanzas. Se plantearon actividades en las cuales los estudiantes mostraban interés como es el caso del bingo, este consistía en resolver ecuaciones; se les hacia entrega de cartones en los cuales se encontraban ecuaciones utilizando suma, resta, multiplicación y división, en una bolsa aparte se encontraban fichas en las que estaban las soluciones de las ecuaciones, cada estudiante sacaba una ficha y el numero que saliera y que la tuviera el estudiante, se tapaba con una ficha dorada para saber que ya estaba la solución y así sucesivamente hasta que llenara el cartón y ese era el estudiante ganador. Gracias a esta actividad los estudiantes se interesaron y se responsabilizaron con el desarrollo de las ecuaciones por medio de la transposición de términos, sin miedo hacia las matemáticas mostrando gran interés en su aprendizaje adquirido ya que lo hicieron más significativo. Encontramos que las balanzas fueron un buen modelo para la enseñanza de las ecuaciones pues los estudiantes entendieron los temas que se proponían.
IDONEIDAD MEDIACIONAL Se utilizaron materiales manipulables los cuales permitieron introducir buenas situaciones, lenguajes, procedimientos, argumentaciones adaptadas; las definiciones y propiedades de igualdades se realizaron utilizando propiedades y modelos concretos como el modelo de balanzas en las ecuaciones de primer grado con una incógnita, evidenciando una alta idoneidad mediacional. Se motivaron a los alumnos realizando actividades con objetos que podían manipular como lo fueron el Bingo, cuadros Mágicos y el juego “Quien tiene, Yo tengo”. Las instalaciones utilizadas para el desarrollo de la práctica y la distribución de los alumnos, el horario es adecuada para el desarrollo del proceso de instrucción pretendido. Los significados de igualdad, ecuación los cuales se pretendieron enseñar y que se implementaron fueron adecuados a nuestro proceso de enseñanza los cuales realizaron con base en los estándares básicos.
IDONEIDAD INTERACCIONAL Se realiza una presentación clara del tema en cada una de las secuencias, se tienen en cuenta a todos los niños y sus opiniones y se llegan a consensos del tema. Se fomenta el dialogo y la
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EL MODELO DE BALANZAS COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
discusión entre los estudiantes y se favorece la inclusión en el grupo, mostrando así una alta idoneidad interaccional. Respecto a las inquietudes dudas y errores presentadas por los estudiantes se refiere que la metodología escogida de taller constructivo, incentivó a la discusión y la formalización en grupo, la guía taller para cada estudiante, nos favoreció para un trabajo más personal con los estudiantes
procuró la atención en función de las necesidades particulares de cada
estudiante, sin embargo, algunos de los niños en especial los que faltan a la clase anterior llegan perdidos y a copiar de los otros estudiantes.
7. CONCLUSIONES Es de gran importancia para nosotros como futuros docentes llevar a cabo proyectos de aula por que a través de ellos nos podemos involucrar, analizando diversos factores que se pueden presentar en el aula como en el caso de los errores que cometen los estudiantes en la resolución de ecuaciones y con este proponer diversos métodos de enseñanza haciendo un aprendizaje más significativo en los estudiantes. La utilización del modelo de balanzas fue de gran utilidad ya que los estudiantes se motivaron a través de las diversas actividades que se propusieron en el desarrollo de las secuencias basadas en el taller constructivo. En el ámbito escolar se debe establecer la
relación profesor-estudiante, más que
establecer una relación, el profesor debe ser un guía, explorando las capacidades que tengan y si tiene dificultades ayudarlos a resolverlas para que el conocimiento sea fruto de la comprensión, análisis, interpretación y aplicación de lo aprendido no solo en matemáticas sino en muchas otras disciplinas.
8. BIBLIOGRAFÍA ARZAQUIEL, G. (1993). IDEAS Y ACTIVIDADES PARA ENSEÑAR ALGEGRA. SINTESIS. GODINO, J. D. Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V., & Wilhelmi, M. (2006). Analisis y valoracion de la idoneidad didactica de procesos de estudio de las matemáticas. Madrid: Universidad de Granada. SECUENCIA DE ENSEÑANZA PARA SOLUCIONAR ECUACIONES CON UNA INCOGNITA. (1997). EMA , 247-258. SOCAS. (1997). INICIACION AL ALGEBRA. SINTESIS.
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EVIDENCIAS
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