Propuesta para la enseñanza del Sistema Métrico Decimal by matematicas estadistica

PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE SOBRE LOS CONCEPTOS PREVIOS Y BÁSICOS DE LAS UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD MEDIANTE LA EXPERIMENTACIÓN Y ESTIMACIÓN

PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE SOBRE LOS CONCEPTOS PREVIOS Y BÁSICOS DE LAS UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD MEDIANTE LA EXPERIMENTACIÓN Y ESTIMACIÓN MARÍA TERESA SANTOS TORRES

* arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE SOBRE LOS CONCEPTOS PREVIOS Y BÁSICOS DE LAS UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD MEDIANTE LA EXPERIMENTACIÓN Y ESTIMACIÓN MARÍA TERESA SANTOS TORRES* CLARA EMILSE ROJAS** Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC -Duitama _______________________________________ RESUMEN En este artículo se presenta algunos aspectos relativos al desarrollo de un proyecto de investigación, en el marco de las asignaturas Proyecto Pedagógico VII de la carrera Licenciatura En Matemáticas Y Estadística de la Universidad Pedagógica Y Tecnológica De Colombia Seccional Duitama. Los resultados se basan en siete sesiones de clase y un cuestionario final aplicado a 37 estudiantes, los cuales se diseñaron tomando como referencia estudios sobre errores en el sistema métrico decimal realizados por investigadores como Chamorro, C y Belmonte, J (2000), registros de observación de clases y un cuestionario inicial. Esta investigación gira alrededor de mejorar el aprendizaje con respecto a la noción de las unidades métricas de longitud, este presenta los resultados de una propuesta secuencial de enseñanza mediante la estrategia metodológica Sistema Concreto, conceptual y simbólico, para corregir los errores iníciales que presentan los estudiantes del grado 7° B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa.

Palabras Clave: magnitud, cantidad de magnitud, medida de una cantidad, metro, múltiplos, submúltiplos. ABSTRACT This article presents some aspects of the development of a research project under the Seventh Education Programme courses career degree in Mathematics and Statistics University of Pedagogy and Technology of Colombia Branch Duitama. The results are based on seven class sessions and a final questionnaire applied to 37 students, which were designed based on studies of errors in the metric system by researchers as Chamorro, C. Belmonte, J (2000), records observation of classes and an initial questionnaire. This research revolves around improving learning with respect to the notion of metric units of length, it presents the results of a teaching sequence proposed by Concrete System methodological strategy, conceptual and symbolic, to correct initial errors that have students grade 7 ° B of Institución Educativa Jorge Clemente Palacios of Tibasosa.

Keywords: size, number of magnitude, as a number, metro, underground, submultiples.

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1. INTRODUCCIÓN Con el proyecto realizado se pretendía tratar de cambiar las concepciones iniciales erróneas encontrado en el diagnóstico preliminar realizado a 37 estudiantes del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios del municipio de Tibasosa, con el fin de mejorar los significados que tienen los estudiantes en diferentes conceptos y procedimientos relativos a las unidades métricas de longitud, educando a los estudiantes para tener un gusto hacia las matemáticas e intentando eliminar prejuicios que en el transcurso de la historia les han dado a las matemáticas. Es importante que durante los procesos de enseñanza y aprendizaje, se corrijan los errores que cometen los estudiantes para que en grados posteriores no lleguen con estos vacíos, para esto la escuela de Licenciatura en Matemáticas y Estadística de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia ha brindado documentación actualizada de apoyo para el aprendizaje de las matemáticas para instituciones educativas oficiales con la planeación de estrategias metodológicas que ayuden a formar conceptos y procedimientos más claros. Este proyecto de aula les favorece a los estudiantes para que comprendan significativamente y ojala poder seguir ampliando esta propuesta para que sirva en las comunidades científicas y poder mejorar el currículo; también nos beneficia a nosotros como docentes en formación para tener una vivencia lo más cercana a lo que es el trabajo docente y para darnos cuenta que en educación no solo basta con los conocimientos sino que también hay que investigar y planear para poder cumplir con lo acordado en los estándares y en los lineamientos curriculares. Por medio de estrategias metodológicas constructivistas se pretende lograr que los estudiantes se apropien de los conocimientos estudiados en clase y si es posible los asocien con los de la vida diaria. 2. EL DIAGNÓSTICO Al llevar a cabo la aplicación del cuestionario inicial, el objetivo es analizar los errores presentados por 37 estudiantes del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa. A continuación se presentan los errores que cometen los estudiantes en el desarrollo de varios ítems, el cual se obtiene a partir de una observación de clases de matemáticas y el cuestionario inicial:

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CATEGORÍA 1

CATEGORÍAS DE ERRORES Uso erróneo de los sentidos.

Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos. Errores cometidos en la medición debidos a los malos procedimientos empleados o a la elección de una unidad inadecuada. Errores de apreciación de la cantidad y posibilidad de autocorrección. Confusión entre magnitudes. Resolución de problemas que contienen datos erróneos o no reales.

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Abuso de la “exactitud” en las medidas. Encuadramientos. Escrituras erróneas o sin sentido. Carencia de estrategia para efectuar medidas de objetos comunes.

TIPOS DE ERRORES Cuando hay que hacer uso de los sentidos en la medición. Cuando hay una apreciación sensorial para elegir un instrumento de medición y su manejo. Cuando hay que comparar la cantidad a medir con la unidad elegida.

Cuando hay que elegir una unidad de medida y estimarla. Cuando se resuelve un problema que contiene enunciados con datos que atentan contra el sentido común. Cuando hay que aproximar datos. Cuando hay que resolver problemas. Cuando hay que resolver cuestiones prácticas que encontraran a menudo en la vida real.

RESULTADOS Y ANÁLISIS DEL CUESTIONARIO INICIAL

A continuación se darán los resultados que en general resumen los errores para las ocho categorías donde se observará y comparará los errores que cometen los estudiantes:

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Se observa que un 86.5% de los estudiantes cometen errores en el uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos., que se evidencia en el cuestionario aplicado en clase, no muy lejano encontramos con un 81.1% errores en el abuso de la “exactitud” en las medidas. Encuadramientos debido a la mala aproximación que aplican los estudiantes y por último uno de los errores más frecuentes que encontramos con un 78.4% los errores en escrituras erróneas o sin sentido debido a la mala interpretación de fórmulas por parte de estos; y el error que se comete con menor frecuencia con un 2.7% es el relacionado con la medición debidos a los malos procedimientos empleados o a la elección de una unidad inadecuada a comparación con los demás tipos de errores, sin embargo les falta mucho por mejorar. Por ejemplo un estudiante resolvió uno de los ítems de la siguiente manera:

Pregunta ítem 3 de la prueba diagnóstica

Respuesta de un alumno al ítem 3 de la prueba diagnóstica

Otra técnica para la elaboración del trabajo fue la observación en clase, se llevó a cabo durante dos semanas en el horario habitual de clase en el grado 7 B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa, los temas que se * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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abordaron, fueron sobre relaciones y proporciones, magnitudes inversamente y directamente proporcionales y gráficas en situaciones de la vida diaria. Se evidenció que los estudiantes tienen varios conceptos erróneos, se verifica que algunos de ellos no se saben las tablas de multiplicar para resolver proporciones, en el análisis de gráficas estadísticas se limitan a aprenderse lo que dice el periódico pero en realidad no ven la diferencia de estas, también no interpretan cuando una magnitud es directamente proporcional y cuando es inversamente proporcional tipo de análisis. Con respecto al docente explica claramente los temas mediante la solución de situaciones de la vida diaria dominando el tema en su totalidad, también se desarrollan ejercicios de refuerzo para complementar los temas vistos, también hace preguntas a los estudiantes para saber si entendieron o no. Los estudiantes son muy activos y prestan atención a la explicación que da el profesor además de preguntarle cuando no entienden. Sin embargo, se observa algo de indisciplina lo que le molesta a la profesora titular y les hace caer en cuenta a estos estudiantes que cambien esa actitud. 3. MARCO TEÓRICO Para el desarrollo de esta propuesta fue necesario indagar sobre diferentes textos y trabajos de investigación, se basa principalmente en la propuesta adoptada del Manual del Estudiante de Medida de Magnitudes y su Didáctica para Maestros de Godino, J, sobre el aprendizaje de las unidades métricas de longitud para adoptarla en el desarrollo de las secuencias didácticas la cual es de enfoque constructivista; también fue necesario investigar sobre el análisis epistemológico del concepto de las unidades métricas de longitud, para tener una idea global de las dificultades encontradas para luego ser superadas y todo lo que demoro para llegar a aceptar y formalizarse este concepto. 3.1 REVISIÓN HISTÓRICA – EPISTEMOLÓGICA DEL CONCEPTO DE UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD Desde los albores de la humanidad se vio la necesidad de disponer de un sistema de medidas para los intercambios. Según estudios científicos las unidades de medida empezaron a utilizarse hacia el año 5.000 a. C. Los egipcios tomaron el cuerpo humano como base para las unidades de longitud, tales como: las longitudes de los antebrazos, pies, manos o dedos. El codo, cuya distancia es la que hay desde el codo hasta la punta del dedo corazón de la mano, fue la unidad de longitud más utilizada en la antigüedad, de tal forma que * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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el codo real egipcio es la unidad de longitud más antigua conocida. El codo fue heredado por griegos y romanos, aunque no coincidían en sus longitudes. Hasta el siglo XIX proliferaban distintos sistemas de medición; esto suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes, ciudadanos y los funcionarios del fisco. A medida que se extendía por Europa el intercambio de mercancías, los poderes políticos apreciaron la posibilidad de que se normalizara un sistema de medidas. La primera adopción oficial del sistema ocurrió en Francia en 1791 después de la Revolución francesa de 1789. La Revolución, con su ideología oficial de la razón pura facilitó este cambio y propuso como unidad fundamental el metro (en griego, medida). Lavoisier llegó a decir de él que «nada más grande ni más sublime ha salido de las manos del hombre que el sistema métrico decimal». Por otra parte, los científicos habían ido definiendo magnitudes independientemente de las diversas unidades de medida vigentes en cada país; así definieron la densidad de una materia como la cantidad de volumen de agua pura que equilibra en la balanza una unidad de volumen de esa materia (se eligió el agua porque estaba presente en cualquier laboratorio). Así, la primera definición de densidad era una unidad adimensional, independiente de la unidad de volumen utilizada por tratarse de la densidad relativa. El sistema derivaba de las propiedades de objetos de la naturaleza, el tamaño de la Tierra y la densidad del agua, y de relaciones sencillas entre una unidad y otra. A fin de determinar con la mayor precisión posible el tamaño de la Tierra, se enviaron varios equipos a lo largo de varios años para medir la longitud de un arco de meridiano terrestre tan largo como fuera posible. Se decidió medir la longitud del meridiano que va desde la torre del fuerte en Montjuic, en Barcelona a Dunkerque, que era el segmento más largo sobre tierra y casi totalmente dentro de territorio francés. A pesar de que durante el proceso de medición hubo hostilidades ocasionales entre Francia y España, el desarrollo del nuevo sistema de medidas se consideró de tal importancia que el grupo de medición francés fue escoltado por tropas españolas dentro de España a fin de asegurar la continuidad de la medición. La otra gran ventaja del sistema es que los múltiplos y submúltiplos son decimales, cuando anteriormente las unidades se dividían en tres, doce, dieciséis... partes, lo que dificultaba las operaciones aritméticas. El proceso culminó en la proclamación el 22 de junio de 1799 del sistema métrico con la entrega a los Archivos de la República de los patrones del metro y el * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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kilogramo, confeccionados en aleación de platino e iridio, presenciados por funcionarios del gobierno francés y de varios países invitados y muchos renombrados científicos de la época. Pronto se extendió su uso por otras naciones de Europa como en Hungría, donde fue adoptado luego de la Revolución húngara de 1848. Las mejoras posteriores de los sistemas de medición tanto del tamaño de la Tierra como de las propiedades del agua mostraron discrepancias con los patrones. La Revolución industrial estaba ya en camino y la normalización de las piezas mecánicas, fundamentalmente tornillos y tuercas, era de la mayor importancia y estos dependían de mediciones precisas. A pesar de que las discrepancias que se encontraron habrían quedado totalmente enmascaradas en las tolerancias de fabricación de la época, cambiar los patrones de medida para ajustarse a las nuevas mediciones hubiera sido impráctico, particularmente cuando nuevos y mejores instrumentos acabarían encontrando nuevos valores cada vez más precisos. Por ello se decidió romper con la relación que existía entre los patrones y sus fuentes naturales, de tal forma que los patrones en sí se convirtieron en la base del sistema y permanecieron como tales hasta 1960, año en el que el metro fue nuevamente redefinido en función de propiedades físicas y luego, en 1983, la Conferencia General de Pesos y Medidas celebrada en París hace una nueva definición del metro como la distancia recorrida por la luz en vacío durante 1/299.792.458 segundo. De esta forma, el metro recobró su relación con un fenómeno natural, esta vez realmente inmutable y universal. El kilogramo, sin embargo, permanece formalmente definido basándose en el patrón que ya tiene dos siglos de antigüedad. El sistema métrico original se adoptó internacionalmente en la Conferencia General de Pesos y Medidas de 1889 y derivó en el Sistema Internacional de Unidades. Actualmente, aproximadamente el 95% de la población mundial vive en países en que se usa el sistema métrico y sus derivados. FENOMENOLOGÍA DIDÁCTICA DE LA MEDIDA DE LONGITUDES (Tomado de Jaime, A, Gutiérrez, A, 2007) La fenomenología didáctica del concepto de longitud incluye numerosos fenómenos que pueden clasificarse según las acciones y transformaciones que se hacen con los objetos. Los tipos más importantes de fenómenos son: 

Hay distintos atributos de los objetos físicos susceptibles de ser medidos mediante longitudes, como anchura, altura, profundidad, distancia, lejanía, grosor, etc. Al referirnos a cualquiera de estas características de un objeto, podemos hacerlo de forma absoluta (el objeto es anchoestrecho, alto-bajo, profundo-superficial, largo-corto, lejano-cercano,

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grueso-fino) o de forma relativa a otro objeto (un objeto es más/menos ancho, alto, etc. Que el otro). En el segundo caso, la comparación da lugar a la necesidad de medir longitudes por algún procedimiento válido, dependiendo éste del grado de comprensión del concepto que tengan los niños. Para medir una longitud en un objeto es necesario que éste sea inextensible en la dirección en la que se va a medir. La inextensibilidad no está relacionada con la rigidez-flexibilidad, pues en un objeto flexible, las mediciones realizadas antes o después de haberlo flexionado coincidirán. Las transformaciones de los objetos mediante congruencias planas o espaciales conservan las medidas de longitudes. Entre estas transformaciones se encuentran las traslaciones, los giros y las reflexiones, todas tanto en el plano como en el espacio. Se pueden usar, por ejemplo, para comparar los lados de un paralelogramo, un rombo o un cuadrado. Hay transformaciones de separar y juntar que conservan las longitudes. Por ejemplo, si tenemos una fila de barras de distintos colores, podemos separar las barras y volver a ponerlas en fila en distinto orden, pero la longitud total no varía. Las transformaciones mencionadas en los párrafos anteriores son reversibles (hecha una transformación, es posible deshacerla para que el objeto vuelva a su estado inicial) y esta acción conserva las medidas de longitudes. Esta propiedad tiene un campo de aplicación importante en el diseño de instrumentos de medida, como los metros de carpintero o los enrollables, o en la industria, como los mecanismos extensibles, enrollables, etc. La realización de mediciones de distancias lleva a asociar los conceptos de longitud y línea recta. Esa relación, fenomenológicamente, tiene que ver con la búsqueda del camino más corto entre dos puntos y el descubrimiento de que se trata del segmento de recta que une esos puntos. Matemáticamente, la relación se resume en la expresión que señala que, dados tres puntos A, B y C no alineados, siempre se tiene que d(A, B) < d(A, C) + d(C, B).

Relación dados tres puntos A, B y C no alineados * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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Una consecuencia importante de esta relación es la diferencia entre las consideraciones local y global del concepto de camino más corto: La unión de los caminos más cortos entre varios puntos no tiene por qué coincidir con el camino más corto entre el primero y el último (sólo coinciden cuando los puntos están alineados). 3.2 ANÁLISIS Y REVISIÓN DE LA PROGRESIÓN DIDÁCTICA DE LA MEDIDA EN LA ESCUELA Para identificar los errores que cometen los estudiantes en el aprendizaje de las unidades métricas de longitud se hace necesario tener unos referentes teóricos en los cuales tendremos en cuenta algunas categorías de errores de Chamorro, C y Belmonte, J (2000), los cuales fundamentan la investigación. Las magnitudes y su medida han constituido y constituyen en la actualidad un “caballo de batalla” para escolares y profesores, que suelen convertirse en “potro de tortura” para los alumnos cuando se aborda el problema de las conversiones. En la mayoría de los casos se identifica el aprendizaje de las magnitudes y su medida con el conocimiento y dominio del sistema métrico decimal y se considera que se ha alcanzado los objetivos propuestos cuando el alumno efectúa conversiones con seguridad y rapidez. A. El Fracaso De La Metodología Tradicional Si la metodología tradicional, basada en escuchar y repetir, ha sido causa de muchos fracasos en el aprendizaje de las matemáticas, ha tenido una incidencia clara y fundamental en las magnitudes y su medida. Sólo manipulando es posible distinguir las distintas propiedades de los objetos; es difícil comprender que unos objetos son más pesados que otros usando tan sólo la vista, que un recipiente tiene más o menos capacidad que otro sin recurrir al trasvasado de líquido, o que una superficie tiene igual área que otra de distinta forma sin usar el recortado o el pavimentado. La “metodología de la quietud” priva al alumno de una fuente inagotable de ocasiones para aprehender que proceden de la propia experiencia, cercena su intuición, y, lo que es más importante, retrasa, y a veces impide, la formación de conceptos, lo que obliga al escolar a recurrir a la memorización de reglas no comprendidas, que solo se aplican bien durante un corto espacio de tiempo.

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Si bien es verdad que el SMD ofrece una perfecta divisibilidad y, por tanto, gran facilidad para comparar, requiere también un cierto desarrollo del proceso mental del individuo que ha de ser preparado cuidadosamente. De ahí que un uso prematuro de tal sistema lleve aparejada la incomprensión. En cuanto a los llamados múltiplos y submúltiplos de la unidad cabe decir que sólo tienen sentido para el alumno si éste siente la necesidad de su uso, cosa imposible si no realiza actividades prácticas de medición que den lugar a comparar la unidad de medida con la cantidad a medir. El “es más grande que” puede dar lugar a la búsqueda de una unidad mayor al igual que el “es más pequeño que” puede impulsar la necesidad de fraccionar la unidad o fabricar una unidad menor. El problema de las conversiones es aún más complejo, ya que su comprensión se asienta sobre otros muchos conceptos que han tenido que ser adquiridos previamente. Conviene recordar aquí tan sólo que, como el sistema métrico decimal funciona por agrupamientos de potencias de diez, es vital que el alumno comprenda el sistema de numeración posicional, es decir, el valor de posición y la importancia del cero. En la metodología tradicional se lleva demasiado pronto al alumno a la automatización, sin tener garantizada la comprensión. Todo queda reducido a la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros, y, en la mayoría de los casos, es para el alumno un misterio por qué se multiplica o divide; el número de ceros que lleva la unidad se resuelve más “habitualmente” (léase con truco) por el uso de “la escalera”; aun así, nunca se sabe cuántos peldaños contar, si incluir el de partida, el de llegada, ambos o ninguno. Un problema añadido es que el número de ceros por peldaño varía según se trate de magnitudes lineales o de dos o tres dimensiones. Por si no lo recuerda, ésta es la escalera que se está comentando:

Escalera sobre unidades métricas de longitud

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En algunos casos, el procedimiento de la escalera ha sido sustituido por uno del tipo siguiente:

Representación más usada en las aulas sobre unidades métricas de longitud Con ello, la confusión es mayor si las conversiones no parten o llegan a la unidad, en este caso el metro. Además, se hace un uso inadecuado de la representación lineal; si el espacio entre m y hm es 100 y no 20? B. Errores Atribuidos A La Metodología Anterior Es interesante reflexionar, brevemente, sobre el tipo de errores más frecuentes y tratar de encontrar su posible causa, de forma que podamos utilizar esta especie de diagnóstico como punto de partida para diseñar estrategias adecuadas de aprendizaje. 

Uso erróneos de los sentidos

Estimar la masa con la vista o la capacidad por el tacto es ciertamente inadecuada, pero sólo puede ser percibido como tal por el niño si ha tenido libertad para explorar con sus sentidos, para ensayar y recomenzar si no ha obtenido resultados positivos. Según Constance Kamii (Kamii Constance, 1983, 29): “si no hubiera propiedades físicas reconocibles el niño no podría establecer conexiones de similitudes o diferencias y, por lo tanto, no habría para él una estructura lógico-matemática.”  Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos Muchos de los errores están íntimamente interconectados, pues una mala apreciación sensorial hace elegir a veces un instrumento inadecuado. En otras ocasiones, el reducir los instrumentos de medida a los convencionales hace que la elección sea poco afortunada; por ejemplo, usar una regla graduada para medir la longitud de una curva, cuando el uso de una cuerda como intermediario sería más adecuado.

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Esto se produce porque el alumno no tiene ocasiones frecuentes para medir y, consecuentemente, no se ve forzado a elaborar estrategias para buscar entre los objetos que le rodean instrumentos de medida.  Abuso de la “”exactitud” en las medidas. Encuadramientos. Se confunde muy a menudo la medida entera con la medida exacta, y se acostumbra a oír que una medida no es exacta porque da, por ejemplo, 3,2 metros, entendiéndose por medidas exactas las de tipo entero: 2 metros, 3 kilos, 6 litros, etc., cuando la exactitud tiene que ver con otros factores. Con frecuencia se abusa en el uso de las medidas enteras; de esta forma, en los problemas suelen obtenerse siempre números enteros para las soluciones y el alumno tiende a pensar que todas las medidas son así. Esto provoca después que, al realizar medidas reales, en las que rara vez se encuentren resultados enteros, se busquen redondeos a veces imposibles, en el sentido de que un tablón de 2,97 metros cabe en un determinado espacio, pero no uno de 3 metros, lo que proporciona sorpresas inesperadas. Hay que enseñar que la aproximación y el encuadramiento a aplicar en una medida depende, por tanto, del tipo de medida y hasta del uso funcional que se vaya a hacer del objeto en cuestión, y que el error relativo dice más que el error absoluto. 

Errores de apreciación de la cantidad autocorrección. Confusión entre magnitudes.

posibilidad

Este tipo de errores ha sido ya comentado.  Escrituras erróneas o sin sentido Es fácil encontrar, sobre todo en la resolución de problemas, escrituras del tipo: 7m * 4m = 28m2 Que o bien como en el primer caso carecen de sentido (1m * 1m no es 1m 2) o son erróneas, como en el segundo. Aunque los problemas de simbolización son complejos, creemos que sería una gran ayuda para el alumno dar sentido a cada uno de los pasos que existen en un problema en términos de realidad. Asimismo, el razonamiento y comprensión de las fórmulas para obtener las superficies y volúmenes de las figuras más conocidas parece un punto vital que no habría que descuidar, de lo contrario las fórmulas son percibidas por los escolares como “trucos” a usar. * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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 Carencia de estrategia para efectuar medidas de objetos comunes Lo habitual en los problemas de medida es hallar la superficie de terrenos de forma regular, o el volumen de sólidos regulares, de manera que cuando en la realidad se trata, por ejemplo, de averiguar la superficie de la carrocería de un coche que hay que pintar, o la tela que se necesitaría para confeccionar un vestido, es raro que el escolar disponga de medios que le permitan resolver el problema. Conviene ejercitar al alumno en la resolución de cuestiones prácticas que encontrará a menudo en la vida real; por tanto, la descomposición de superficies y sólidos en formas regulares debería ser practicada como estrategia desde el principio. 3.3 PROPUESTA DE ENSEÑANZA ADOPTADA La siguiente es la propuesta de enseñanza la cual se tomó como referencia para el desarrollo de las secuencias para este proyecto, tomado del Manual del Estudiante de Medida de Magnitudes y su Didáctica para Maestros de Godino, J, 2002: 3.3.1. LA MEDIDA COMO PROBLEMA EMPÍRICO, MATEMÁTICO Y DIDÁCTICO Las ideas de magnitud, cantidad y medida en diversos contextos Es importante tener en cuenta que las prácticas y el lenguaje cambian según el contexto institucional en el que se estudia y usa la medida. 

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En la vida cotidiana y en las ciencias experimentales se habla de magnitudes para referirse a propiedades o cualidades de los objetos o fenómenos susceptibles de tomar diferentes valores numéricos. “Magnitud es cualquier aspecto de las cosas que puede expresarse cuantitativamente, como la longitud, el peso, la velocidad o la luminosidad”; “Cantidad es el aspecto por el que se diferencian entre sí las porciones de la misma cosa o los conjuntos de la misma clase de cosas, por el cual esas porciones o esos conjuntos se pueden medir o contar” (Diccionario de M. Moliner). En cambio en las ciencias humanas y sociales esta noción de magnitud y cantidad es demasiado restrictiva, extendiéndose el uso del término magnitud a rasgos de tipo cualitativo (clase social, placer, etc.). En este caso, las “cantidades” vienen a ser las distintas modalidades o valores que puede tomar el rasgo o característica del objeto o fenómeno en cuestión. En la matemática (pura), como veremos después, con la palabra magnitud se designa un conjunto de objetos abstractos (cantidades) dotado de una

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cierta estructura algebraica, y medida es un isomorfismo entre dicha estructura y un subconjunto apropiado de números reales. 3.3.2. PRESENTACIÓN INFORMAL DE LA MEDIDA DE MAGNITUDES A. La actividad de medir. Magnitud y cantidad Se habla de medir (en sentido amplio) para designar la acción de asignar un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una característica de un objeto o fenómeno perceptible, que puede variar de un objeto a otro, o ser coincidente en dos o más objetos. J. D. Godino, C. Batanero y R. Roa Magnitud Habitualmente se suele reservar el nombre de magnitud para los atributos o rasgos que varían de manera cuantitativa y continua (longitud, peso, densidad, etc.), o también de manera discreta (p. e. “el número de personas”); las cantidades son los valores de dichas variables. Cantidad de magnitud Con el término cantidad nos referimos habitualmente al valor que toma la magnitud en un objeto particular (el largo de esta mesa es 1’3 m); pero también hablamos de una longitud o distancia entre dos puntos de 1’3 m. En este caso la cantidad de longitud (o simplemente, la longitud) de 1’3 m hace referencia a cualquier objeto de la clase de todos los objetos que se pueden superponer exactamente con el largo de nuestra mesa, al menos imaginariamente. B. Situaciones de medida Situaciones de comunicación La situación problemática característica de la medida es la de comunicación a otras personas separadas en el espacio o en el tiempo, de cuántas cosas tenemos, o de cuál es el tamaño (dimensiones) de los objetos y cómo cambian las cantidades como consecuencia de ciertas transformaciones. La imposibilidad o dificultad de trasladar la colección o el objeto en cuestión en el espacio o en el tiempo, debido al tamaño o naturaleza de los mismos, lleva a tomar un objeto (o varios) de referencia que sí se pueden trasladar o reproducir. Dichos objetos de referencia son las unidades o patrones de medida. Comparación y cambio * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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Otro tipo de situaciones de medida es la búsqueda de relaciones entre cantidades de dos o más magnitudes, actividad que caracteriza el trabajo del científico experimental. Afortunadamente no todas las situaciones son distintas unas de otras, sino que hay tipos de situaciones o tareas para las que se pueden usar las mismas técnicas e instrumentos. C. Medida directa e indirecta de cantidades Las cantidades de una magnitud pueden ser medidas en unos casos directamente usando los instrumentos de medida (el metro, sus múltiplos y divisores para las longitudes; el kg, sus múltiplos y divisores para el peso, etc.). Esta medición directa quiere decir aplicando reiteradamente las unidades de medida hasta lograr cubrir la longitud que se quiere medir, hasta conseguir equilibrar la balanza, etc., y según la precisión deseada. Una vez definida la unidad de medida para ciertas magnitudes, a partir de estas unidades se pueden definir las correspondientes a otras magnitudes. Las primeras se conocen como magnitudes fundamentales y las segundas como magnitudes derivadas. El carácter fundamental o derivado de una magnitud no es intrínseco a la misma. Un sistema de unidades establece y define con precisión cuáles son las unidades fundamentales. 3.3.3. DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE  Facetas y etapas en el estudio de la medición en la escuela ¿Cómo aprende un chico a medir? Si analizamos el proceso, encontramos que se trata de una mezcla de importantes destrezas sensoriales y perceptivas con aspectos de geometría y aritmética. También implica al área afectiva y proporciona al niño la oportunidad de alcanzar un sentido de realización, así como apreciar la utilidad básica de nuestro sistema de medición. El proceso procede secuencialmente desde la percepción a la comparación y después a la aplicación de un estándar de medida (o referente) y sigue las siguientes etapas que describimos a continuación. 

Papel de percepción en la medición

La mayoría de los niños tienen alguna experiencia que les permite desarrollar la percepción del mundo que les rodea. Sin embargo, esto se deja frecuentemente al azar y raramente se desarrolla de un modo sistemático. El profesor debería * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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estar dispuesto para exponer a los niños a muchos estímulos y muchas propiedades de los objetos que eventualmente deben medir. 

Papel de la comparación

Habiendo percibido alguna propiedad de algún objeto, nosotros, de un modo natural, lo comparamos con otros objetos que tienen la misma propiedad La comparación de sensaciones es bastante natural. Esta actividad se hace sin ninguna habilidad numérica previa. Podemos ahora ver la medida como la búsqueda de un estándar o referente. 

Búsqueda de un referente

La comparación de dos cosas es adecuada cuando deseamos hacer enunciados de equivalencia o no equivalencia. Esto sirve bien para comparaciones iniciales. Sin embargo, esta aproximación a la comparación pronto resulta bastante inefectiva. El referente inicial que usemos no tiene que ser un referente estándar o que sea usado en todo el mundo. Por ejemplo, las partes del cuerpo son referentes fácilmente disponibles para medir longitudes. Los estándares de medida tienen como mínimo dos funciones importantes. Primero, permiten a una persona comunicar una medida a otra de un modo abreviado y directo. Segundo, permiten medidas precisas y consistentes en diferentes áreas geográficas. Cuando nos trasladamos de un país a otro, podemos estar seguros de que las medidas que son estándares en nuestro país son estándares en otro también. Una extensión lógica de esta idea será adoptar estándares de medida utilizables para comunicar los mismos mensajes en todas las partes del mundo. Esto conduce naturalmente al Sistema Internacional de Unidades (SI), que ahora cumple esta función prácticamente en todo el mundo. 

La medición como un sistema

En este punto de nuestra discusión, hemos tomado el proceso de medición en varios estadios - percepción. Comparación, la necesidad de un referente, y finalmente, la necesidad de un sistema que organice y sistematice los referentes estándares. El mismo proceso puede ser aplicado a la experiencia educativa de los niños. Sugiere una secuencia de actividades a realizar. Los niños son conducidos desde una primera experiencia perceptual al punto en el que relacionan estas experiencias a otras propiedades y las conectan de un modo sistemático. En este punto final podemos decir que un niño ha aprendido a medir.

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La medición como una actividad afectiva

Nuestro trabajo con los niños en la medición producirá dos resultados: (1) los niños apreciarán el papel que la medición juega en sus vidas y en la sociedad, y (2) los niños disfrutarán siendo capaces de medir por sí mismos. Otra característica afectiva del proceso de medición y más difícil de evaluar, es la satisfacción que un niño puede sentir de haber hecho un buen trabajo de medición. Los niños deben ser enseñados a medir de tal modo que desarrollen la confianza en sí mismos. Enseñar a los niños que ninguna medida continua es exacta debe ser logrado dándoles una experiencia adecuada en la lectura de instrumentos y escalas. Ser capaz de leer un nuevo tipo de escala es un logro satisfactorio. 4. METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN El proyecto se va a llevar a cabo los días de clases del 3 de octubre al 3 de noviembre del presente año en los horarios habituales de clase del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa. 4.1. IDENTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN Para el desarrollo del proyecto se va a apoyar en la investigación – acción ya que permite comprobar ideas en la práctica para conseguir mejoras y acrecentar los conocimientos, la enseñanza y el aprendizaje. Es un método de investigación en el que el investigador tiene un doble rol, el de investigador y el de participante. Combina dos tipos de conocimientos teórico y un contexto determinado. La investigación – acción intenta dentro de un marco de política de colaboración, auto perfeccionar al profesorado y autoformarle en nuevas habilidades, métodos y potencialidades analíticas, motivar y profundizar en su conciencia social y profesional asumiendo alternativas adicionales de renovación y comunicación. Para el proyecto de aula se adoptó el modelo de Rocío Domínguez pero se tendrían en cuenta las etapas planteadas de Miguel Martínez Miguélez pues allí las explican más detalladamente; este modelo viene representado por medio de un diagrama así:

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Esquema sobre las etapas de Investigación – Acción de Rocío Domínguez POBLACIÓN OBJETIVO: La población objeto de estudio son los estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa. MUESTRA La muestra son 38 estudiantes del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa, sus edades oscilan entre los 11 y 15 años. 4.2. PROCESO METODOLÓGICO Las etapas necesarias para la realización del proyecto de aula son: 

Exploración y reflexión: En el diagnóstico preliminar se evidencia las concepciones que presentan los estudiantes al momento de realizar la observación y el cuestionario inicial. Se observó que los estudiantes en el colegio no aprenden matemáticas, aprenden algoritmos y reglas que con mucha facilidad olvidan en el transcurso de la semana.

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Planificación: Se investigó sobre el significado de error y se tuvo como referencia la noción de Socas M citado por Rico, L. Castro, E y otros. (1997); la noción de obstáculo tomado de Ruiz (2005). Luego se investigó sobre los errores en el aprendizaje del sistema métrico decimal. El siguiente paso fue el diseño y ejecución de un cuestionario inicial que constaba de ocho ítems y cada uno de ellos se elaboró con el fin de detectar los diferentes errores según la clasificación encontrada. Al recolectar toda esta información se hizo un riguroso análisis a cada paso de la solución del ítem e identificando las categorías de errores que cometen los estudiantes. Por último se diseña y

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desarrollara un proyecto de aula para reforzar los conceptos y procedimientos de problemas en conceptos previos y básicos de las unidades métricas de longitud y ayudar a superar dificultades además de incrementar el gusto hacia las matemáticas. 

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Acción y Observación: El desarrollo y sistematización del proyecto de aula se llevara a cabo en las instalaciones de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa con los estudiantes del grado 7° B en el segundo semestre del 2011. Este proyecto se hace con el fin de ayudar a los estudiantes en el área de matemáticas, en especial se fortalecerán los conceptos previos y básicos de las unidades métricas de longitud ya que en el cuestionario inicial que se les aplico se observó que cometen errores como: Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos, resolución de problemas que contienen datos erróneos o no reales; entre otros. Evaluación o sistematización: Se realizará con el profesor titular en lo posible luego de terminada cada clase, ya que esto ayudara a enriquecer nuestro que hacer docente. Al final se hará el informe de sistematización para reflexionar y criticar la acción en el aula.

Para la sistematización se tomo como referencia los criterios de idoneidad didáctica propuesto por Godino y colaboradores (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) han introducido la noción de “idoneidad didáctica” de un proceso de estudio matemático con la intención de orientar el análisis y valoración de tales procesos. La Idoneidad Didáctica es el criterio sistémico de pertinencia o adecuación de un proceso de instrucción al proyecto educativo, cuyo principal indicador empírico puede ser la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes y los significados institucionales pretendidos / implementados. La noción de idoneidad didáctica de un proceso de instrucción (Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi, 2007) que se define como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes siguientes:  

Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia. Idoneidad cognitiva, expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a los significados pretendidos/ implementados.

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Idoneidad interaccional. Un proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá mayor idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar las dificultades potenciales de los alumnos (que se puedan detectar a priori), y por otra parte permita resolver los conflictos que se producen durante el proceso de instrucción. Idoneidad mediacional, grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje. Idoneidad emocional, grado de implicación (interés, motivación,…) del alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad emocional está relacionada tanto con factores que dependen de la institución como con factores que dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa.

La idoneidad de una dimensión no garantiza la idoneidad global del proceso de enseñanza-aprendizaje. 5. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA A continuación en la siguiente tabla se presenta una descripción de cada secuencia didáctica que conformó la propuesta para las unidades métricas de longitud. TÍTULO DE LA SECUENCIA SECUENCIA DIDÁCTICA N° 1. CONCEPTOS PREVIOS EN EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

SECUENCIA DIDÁCTICA N° 2 UNIDADES MÉTRICAS DE

DESCRIPCIÓN

LOGRO ESPERADO

Se explicó en qué consistía el proyecto además de las reglas de trabajo, luego de esta introducción se procedió a realizar actividades de recapitulación con respecto a los números decimales como fue poner nombre a cada uno de los dígitos en unos números que se les presentaba, ordenar en forma ascendente y descendente números decimales, multiplicación y división de números decimales de base diez, operaciones entre números decimales y resolución de ejercicios de la vida diaria. En esta secuencia se pretendía que el estudiante recordara y reforzara lo que respecta a los números decimales ya que son necesarios para introducir las unidades métricas de longitud y el obtener un buen éxito de la investigación. En esta clase se propusieron dos tipos de actividades; la primera llamada “el metro: nuestro compañero cotidiano” la cual buscaba que los estudiantes le dieran un buen uso al metro y que vieran la necesidad de de conocerlo y aplicarlo en la vida concluyendo como surgió el sistema métrico decimal y la definición de metro. La segunda actividad trataba sobre los múltiplos y submúltiplos

Reforzar los conocimientos previos referentes al sistema métrico decimal, mediante el método de sistema concretoconceptual y simbólico.

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Identifica el metro, múltiplos y submúltiplos, analizando y resolviendo con ellos situaciones de la vida diaria.

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LONGITUD

SECUENCIA DIDÁCTICA N° 3 UNIDADES MÉTRICAS DE LONGITUD Y OTRAS UNIDADES DE LONGITUD

del metro la cual pretendía comparar cantidades de medida entre objetos y demás, el analizar situaciones de la vida cotidiana donde el estudiante debe argumentar que unidad de longitud es la más adecuada y lo que respecta a conversión de unidades. Se trabajo bastante en que los estudiantes le dieran un buen uso al metro sus múltiplos y submúltiplos y diferenciaran entre magnitud, cantidad de magnitud y medida de una cantidad. Como culminación a la secuencia anterior se le propuso a los estudiantes que construyeran su propio metro y en este identificaran sus submúltiplos y con su metro debían medir una serie de objetos que se les proponían para luego socializar y llegar a uno conclusión cada grupo. La segunda actividad es que cada grupo debía medir el largo del pulgar derecho de cada uno de sus integrantes y el largo del pie derecho también para luego hallar el promedio de estos. Estos resultados ayudan a concluir e introducir lo que tiene que ver con las unidades métricas de longitud inglesas para por ultimo resolver situaciones de la vida diaria donde debían aplicar conceptos que ya aplicaban como la conversión de unidades de longitud y saber las equivalencias de las nuevas unidades.

Identifica el metro, múltiplos y submúltiplos y otras unidades de longitud, analizando y resolviendo con ellos situaciones de la vida diaria.

6. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO Mediante las matrices de sistematización se evalúo el proyecto de aula para conocer si se cumplió con las expectativas de la investigación. El proyecto tiene como finalidad brindar un apoyo a los estudiantes que presenten algunos errores en matemáticas y lograr superarlos, en este caso a estudiantes del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa, como estrategias metodológicas se usaron secuencias con enfoque constructivista y adecuadas para cada tema gracias a la metodología de sistema concreto, conceptual y simbólico. Según los registros que se hicieron de las matrices de sistematización encontramos, en forma general, que los 37 estudiantes del grado séptimo B de la Institución Educativa Jorge Clemente Palacios de Tibasosa demostraron superar la mitad de los errores mediante la propuesta de enseñanza adoptada por la profesora practicante. Se evalúo según 5 criterios de idoneidad didáctica, en forma general podemos destacar los siguientes aspectos: Resultados idoneidad epistémica: el desarrollo de la estrategia metodológica sistemas concreto, conceptual y simbólico permite tener un proceso de pensamiento ordenado a partir de una situación de aprendizaje, se conceptualiza * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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la noción o el tema dado y al final se formaliza el concepto luego hay una aplicación y llegando por ultimo al criterio y diseño de evaluación. Así como el uso de diferentes lenguajes o modelos de representación los cuales complementan la noción de los conceptos. La implementación de situaciones en contexto fueron un éxito ya que por medio de preguntas que debían contestar los estudiantes y con ayuda de sus conceptos previos llegaron por si solos a las nociones que buscábamos. Resultados idoneidad cognitiva: cuando se aplico el cuestionario inicial y se hizo el diagnostico nos pudimos dar cuenta de los conceptos que manejaban los estudiantes respecto al sistema métrico decimal por supuesto con ayuda del marco teórico sobre los errores más frecuentes de este tema de Chamorro, C y Belmonte, J (2000); para poner en marcha el plan de acción armando unas secuencias didácticas para modificar esos significados erróneos iníciales. La puesta en marcha del plan de acción se observo que por lo menos la mitad de los errores en los que persistían los alumnos fueron superados donde en gran parte gracias al desarrollo de las guías taller se acercaban al significado formal, sin embargo falta por reforzar la interpretación de los conceptos de magnitud, cantidad de magnitud y medida de una cantidad. 6.1 CONTRASTE CUESTIONARIO INICIAL Y FINAL En el plan de cuestionario inicial se tuvieron en cuenta los errores planteados según Chamorro, C y Belmonte, J (2000). Sistema métrico decimal. En la siguiente grafica se presenta el contraste entre el cuestionario inicial que se aplicó antes del curso de apoyo y el cuestionario final que de alguna manera muestra que tanto se aproximaron los significados personales a los significados institucionales de las unidades métricas de longitud.

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Según la gráfica se puede afirmar que los estudiantes mejoraron notoriamente en tres errores, como es el caso del uso erróneo de los sentidos que disminuyó en un 46%, escrituras erróneas o sin sentido que disminuyó en un 24% y Uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos disminuyó en un 51%; otro error que mejoró pero en un poco porcentaje fue el abuso de la “exactitud” en las medidas – Encuadramientos; por último, dos errores que persistieron son: Errores de apreciación de la cantidad y posibilidad de autocorrección que aumentó en un 8% y errores en la carencia de estrategia para efectuar medidas de objetos comunes que aumentó en un 27%. El error que persistió en los estudiantes tanto en el cuestionario inicial como en el final fue el de carencia de estrategia para efectuar medidas de objetos comunes, el cual se evidencia a continuación cuando se le pregunta: 5. Describa la diferencia entre "magnitud", "cantidad de magnitud" y "medida de una cantidad".

Y el estudiante responde:

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Respuesta de un alumno al quinto punto del cuestionario final Resultados idoneidad mediacional: se puede decir que se tuvo en cuenta materiales manipulativos, la preparación debida de unas guías taller en el transcurso del curso que ayudaron al proceso de enseñanza y aprendizaje de los Conceptos Previos Y Básicos De Las Unidades Métricas De Longitud. Se procuró tener al alcance de los estudiantes los medios materiales mejor adaptados a los significados pretendidos. Resultados idoneidad emocional: las secuencias didácticas motivaron a los estudiantes a la acción y participación, creando un ambiente de trabajo positivo donde se evidencia en la mayoría de los alumnos interés hacia las clases de este tipo y confianza en preguntar cuando se les generaba alguna dificultad. Una falla en las clases fue la indisciplina por algunos de los alumnos. Resultados idoneidad interaccional: gracias a que ya se tenía un juicio de los conceptos previos de los estudiantes especialmente en sus errores las secuencias planeadas proporcionaban ese ingrediente para reformar ese concepto y lo que garantizaba el éxito era que los mismos estudiantes se daban cuenta por si solos de sus errores y se aproximaban bastante a los conceptos formales. 7. CONCLUSIONES En nuestro ámbito de trabajo, es de gran importancia que como futuros licenciados conozcamos de los diferentes errores que cometen los estudiantes en el aprendizaje de las matemáticas. El tener conocimiento de los errores más frecuentes en los alumnos ayuda a tener una idea de cómo ellos interpretan y el saber la causa de sus dificultades ayuda a que los docentes busquen estrategias adecuadas para eliminar esos conceptos erróneos. El saber con anticipación de los errores ayudó en este proyecto de matemáticas a promover el desarrollo intelectual de los alumnos, habilitándolos a que ellos mismos construyeran sus propios conocimientos, sobre las bases de sus conceptos * arcangel2318@gmail.com ** crojasuptc@gmail.com

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previos. Durante el proceso de enseñanza, los estudiantes efectuaron diversas actividades que les permitieron corregir los errores diagnosticados en el cuestionario inicial. La conclusión que se desprende de esta investigación y basados en el marco teórico de los tipos de errores se puede interpretar que la propuesta de enseñanza implementada mediante la experimentación y estimación es efectiva sobre todo para superar errores como en el uso de instrumentos inadecuados y mal manejo de los instrumentos; por tanto, llegando al mismo punto de otras investigaciones la metodología tradicional no es la más adecuada para introducir el tema de las unidades métricas de longitud ya que al presentarles a los estudiantes el cuadro de equivalencias sin llevarlos a una vivencia de ella no le encuentran significado, sentido y necesidad de su aplicación generando así conflictos en su aprendizaje. Este proyecto queda abierto para posteriores investigaciones ya que no se superaron errores como: carencia de estrategias para efectuar medidas y errores de apreciación de la cantidad debido a factores de tipo cognitivo, de tiempo y económicos. 8. REFERENCIAS 

Rico, L, Castro, E y Otros. (1997). La educación Matemática en la enseñanza secundaria. Barcelona: Horsori.

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Chamorro, C, Belmonte, J. (2000). El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales. Madrid: Síntesis.

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Ruiz, M. 2005. Aprendizaje y Matemáticas en: Chamorro, María del Carmen. Didáctica de las matemáticas para educación infantil. Pearson; Prentice Hall, 2007.

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Godino, J, Batanero, C, Roa, R. (2002). Medida de Magnitudes y su Didáctica para Maestros. Distribución en Internet: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

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Jaime, A, Gutiérrez, A. (2009). Matemáticas y su Didáctica. Valencia.

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Dominguez, R. (2009). La Investigación Acción como Método de Investigación para Docentes. Recuperado de: http://www.minedu.gob.pe/dinfocad/modernizacion/Unidad03.pdf

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Godino, J., Contreras, A. & Font, V. Análisis de procesos de instrucción basado en el enfoque ontológico – semiótico de la cognición matemática. Recuperado de: http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/madrid_2004/ godino_contreras_font.pdf.

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