Revista límites

ES 6C

Prof. Sandra Colja -1-

En esta publicación estudiaremos el concepto de límite en forma intuitiva, la interpretación del límite en un gráfico, algunas estrategias para calcular límites.

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Consideremos los siguientes ejemplos para interpretar intuitivamente el concepto de límite: 1)

Dada la función:

f ( x)  x 2  1 cuyo gráfico es:

 ¿Qué ocurre con los valores de f(x) a medida que nos acercamos, por ejemplo, a x = 2, por derecha o por izquierda?

Observen la siguiente tabla y el gráfico: x 2,1 2,01 2,001 … …

1,999 1,99 1,9

f(x) 5,41 5,0401 5,004001

4,996001 4,9601 4,61

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Observamos que si nos acercamos a x = 2, f(x) se acerca a 5 .

En símbolos: si x  2  f ( x)  5

lim f ( x)  5

O sea:

x 2

lim f (x)

 Volvamos a repetir el procedimiento : x0 x 0,1 0,01 0,001 … …

-0,001 -0,01 -0,1

f(x) 1,01 1,0001 1,000001

1,000001 1,0001 1,01

Observamos que acercándonos a x = 0, f (x) se acerca a 1 x  0  f ( x)  1 O sea, si Por lo tanto: lim f ( x)  1 x 0

Notemos que:

lim f ( x)  5 x 2

lim f ( x)  1 x 0

En estos casos:

y f(2) = 5 y f(0) = 1

lim f ( x)  f (a) xa

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:

2)

Consideremos ahora esta función:  x 2 si x  2 f ( x)   cuya gráfica es: 1 si x  2

lim f ( x)

Y calculemos x 2,1 2,01 2,001 … …

1,999 1,99 1,9

x2

f(x) 4,41 4,0401 4,004001

3,996001 3,9601 3,61

lim f ( x) = x2

:

4

y

f(2) = 1

Pero en este caso, no coinciden Conclusión: puede darse también que ES 6C

lim f ( x)  f (a) x a

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3)

Sea la siguiente función:  x  1 si x  1 f ( x)   cuyo gráfico es:  x  2 si x  1

f (x) Y calculemos lim x1 x 1,1 1,01 1,001 … …

0,999 0,99 0,9

f(x) 2,1 2,01 2,001

1,001 1,01 1,1

Observamos que si x se acerca a 1 por la derecha, f(x) se acerca a 2. En cambio si x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) se acerca a 1.

En este caso, vemos que:

lim f ( x)  lim f ( x) ,

x 1

x 1

por lo tanto, ES 6C

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y

4)

Y ahora esta función: y su gráfico:

Calculemos x 1,1 1,01 1,001 … …

0,999 0,99 0,9

x2 1 f ( x)  5x  5

lim f (x) x1

f(x) 0,42 0,402 0,4002

0,3998 0,398 0,38

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Vemos que:

lim f (x) = 0,4 x1

Dominio de f(x) =

, por lo tanto no existe f(1)

f (x) A pesar de no estar definida f(a), existe el lim xa

¿y cómo se puede calcular este límite directamente?

x2  1 ( x  1)( x  1) x 1 lim  lim  lim  x1 5 x  5 x1 x  1 5( x  1) 5

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2  0,4 5

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Nuevas situaciones Límites infinitos Analicemos la siguiente función y su gráfico: f ( x) 

1 x

¿Qué ocurre con los valores de f(x) si nos acercamos a x = 0 por la derecha o por la izquierda?

f ( x)  O sea, lim x 0



El límite es infinito para x tendiendo a un número.

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Límites para

x 

Observen los siguientes gráficos y determinen los límites pedidos:

3 f (x)  I) x

lim f ( x)  0 x

II)

lim g ( x)  1 x

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fin ES 6C

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