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Prof. Sandra Colja -1-
En esta publicación estudiaremos el concepto de límite en forma intuitiva, la interpretación del límite en un gráfico, algunas estrategias para calcular límites.
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Consideremos los siguientes ejemplos para interpretar intuitivamente el concepto de límite: 1)
Dada la función:
f ( x) x 2 1 cuyo gráfico es:
¿Qué ocurre con los valores de f(x) a medida que nos acercamos, por ejemplo, a x = 2, por derecha o por izquierda? Observen la siguiente tabla y el gráfico: x 2,1 2,01 2,001 … … 1,999 1,99 1,9
f(x) 5,41 5,0401 5,004001
4,996001 4,9601 4,61
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Observamos que si nos acercamos a x = 2, f(x) se acerca a 5 . En símbolos: si x 2 f ( x) 5
lim f ( x) 5
O sea:
x 2
lim f (x)
Volvamos a repetir el procedimiento : x0 x 0,1 0,01 0,001 … … -0,001 -0,01 -0,1
f(x) 1,01 1,0001 1,000001
1,000001 1,0001 1,01
Observamos que acercándonos a x = 0, f (x) se acerca a 1 x 0 f ( x) 1 O sea, si Por lo tanto: lim f ( x) 1 x 0
Notemos que:
lim f ( x) 5 x 2
lim f ( x) 1 x 0
En estos casos:
y f(2) = 5 y f(0) = 1
lim f ( x) f (a) xa
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:
2)
Consideremos ahora esta función: x 2 si x 2 f ( x) cuya gráfica es: 1 si x 2
lim f ( x)
Y calculemos x 2,1 2,01 2,001 … … 1,999 1,99 1,9
x2
f(x) 4,41 4,0401 4,004001
3,996001 3,9601 3,61
lim f ( x) = x2
:
4
y
f(2) = 1
Pero en este caso, no coinciden Conclusión: puede darse también que ES 6C
lim f ( x) f (a) x a
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3)
Sea la siguiente función: x 1 si x 1 f ( x) cuyo gráfico es: x 2 si x 1
f (x) Y calculemos lim x1 x 1,1 1,01 1,001 … … 0,999 0,99 0,9
f(x) 2,1 2,01 2,001
1,001 1,01 1,1
Observamos que si x se acerca a 1 por la derecha, f(x) se acerca a 2. En cambio si x se acerca a 1 por la izquierda, f(x) se acerca a 1. En este caso, vemos que:
lim f ( x) lim f ( x) ,
x 1
x 1
por lo tanto, ES 6C
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y
4)
Y ahora esta función: y su gráfico:
Calculemos x 1,1 1,01 1,001 … … 0,999 0,99 0,9
x2 1 f ( x) 5x 5
lim f (x) x1
f(x) 0,42 0,402 0,4002
0,3998 0,398 0,38
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Vemos que:
lim f (x) = 0,4 x1
Dominio de f(x) =
, por lo tanto no existe f(1)
f (x) A pesar de no estar definida f(a), existe el lim xa
¿y cómo se puede calcular este límite directamente?
x2 1 ( x 1)( x 1) x 1 lim lim lim x1 5 x 5 x1 x 1 5( x 1) 5
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2 0,4 5
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Nuevas situaciones Límites infinitos Analicemos la siguiente función y su gráfico: f ( x)
1 x
¿Qué ocurre con los valores de f(x) si nos acercamos a x = 0 por la derecha o por la izquierda?
f ( x) O sea, lim x 0
El límite es infinito para x tendiendo a un número.
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Límites para
x
Observen los siguientes gráficos y determinen los límites pedidos:
3 f (x) I) x
lim f ( x) 0 x
II)
lim g ( x) 1 x
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fin ES 6C
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