Gran resumen 2do medio final

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Resumen Contenidos Matemáticos 2do. Medio Escuela Francisco Varela – 2015 Por Claudio Escobar Cáceres – mates2014efv@gmail.com – Blog: mates2014efv.blogspot.com

Nro. 1 2 3

Eje Temático Números Números Números y Álgebra

4

Números y Álgebra

5

Álgebra

6

Álgebra y Geometría

7

Álgebra y Geometría

8

Geometría

9 10

Geometría Datos y Azar

11

Datos y Azar

Contenido Conjunto Numérico de los Irracionales (Q*) Conjunto Numérico de los Reales (R) Potencias y Raíces - Racionalización - Función Raíz Cuadrada - Ecuaciones con Radicales Exponentes y Logaritmos: - Ecuaciones Exponenciales - Función Exponencial - Ecuaciones Logarítmicas - Función Logarítmica Expresiones Algebraicas Fraccionarias (EAFs): - Operatoria de EAFs - Ecuaciones que involucran EAFs - Funciones Racionales REPASO: Funciones: Lineal y Afín

Estatus Pasado Pasado Pasado

NUEVO: Punto Medio y Distancia entre dos Puntos Sistemas de Ecuaciones Lineales: - Método Gráfico. - Varios Métodos. - Problemas en Contexto. Semejanza - Semejanza y Semejanza Triangular. - Semejanza y Escalas. - Teorema de Thales y Recíproco. - División Interior y Exterior de un trazo. - Homotecia y Semejanza. - Teorema de Euclides. - Teorema de Pitágoras. Ángulos y Proporcionalidad en la Circunferencia Estadísticas: - Medidas de Dispersión. - Comparación de Muestras. - Inferencia desde el Muestreo Aleatorio Simple (Sin Reposición). Probabilidad: - Producto de Probabilidades. - Suma de Probabilidades. - Variable Aleatoria. - Función de Probabilidad. - Función de Distribución de Probabilidad.

Por pasar Por pasar

Nombre:

Pasado

Pasado

Pasado el año Pasado

Por pasar

Por pasar Por pasar

Por pasar

2

I)

Conjunto de los Números Reales:

Racionales, Reales, Irracionales, Infinitos, Aproximaciones de Irracionales, Dibujo Geométrico de Irracionales, Interacciones entre Racionales e Irracionales. ================================================================================================== "Dios creó los números, el resto es obra del ser humano" (Leopold Kronecker) 1) Conjuntos Numéricos: Los matemáticos distinguen varios tipos de números, con propiedades diferentes. Lo que realmente importa no son los números individuales, sino el sistema al que pertenecen: la compañía en la que están. Algunos de estos sistemas o conjuntos numéricos son: 1) IN: Naturales: Los números de contar, esos que "vemos en la naturaleza" IN = {1,2,3,4,5,.....} Son infinitos, tienen un primer número, pero no un final. 3) Z: Enteros: Son los naturales, más los naturales con signo negativo, más el cero. Z = { .... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... } Son infinitos, no tienen principio ni fin. Z contiene a IN, Z contiene a INo

2) INo: Cardinales: Son los Naturales agregados del cero. INo = {0,1,2,3,4,5, .....} Son también infinitos, tienen un primer número, pero tampoco un final. Este conjunto numérico, contiene al anterior. 4) Q: Racionales: (acá hay fracciones y decimales, aunque NO todos los decimales, porque algunos decimales son de otro tipo: Irracionales) Q contiene todas las fracciones, positivas y negativas. También contiene a todos los enteros, porque cada entero se puede poner como fracción, simplemente dividiendo por 1. Pertenecen a los Racionales: 0 = 0/1 7 = 7/1 -893 = -893/1 Q = { .... -5, -9/2, -4, -3, -2, -3/2, -1, -1/3, 0, 1, 2/3, 2, 3, 4, 5, 11/2, .... } Nuevamente Q contiene a Z, Q contiene a INo, Q contiene a IN. Hasta acá conocemos, por lo general, hasta 1ro. medio.

3

2) Diagrama Vincular de los Conjuntos Numéricos: Pero aparece otro Conjunto, los Irracionales .... Los irracionales NO contienen a ninguno de los anteriores conjuntos .... Los racionales unidos a los irracionales conforman un conjunto mayor llamado Los Reales. Veamos esto en un esquema: Comentarios Y como diagrama de Venn en Brasileiro Pero OJO Piojo: ============ IR contiene a Q ; IR contiene a Q* ; IR contiene a Z ; IR contiene a INo ; IR contiene a IN …. Q* NO contiene a ninguno de los otros Conjuntos Numéricos! Imagen tomada de Internet Es importante tener en consideración: Los números Reales ( IR ), están formados por la unión de dos conjuntos: Los Racionales ( Q ) y los Irracionales ( Q* ). es decir,

IR = Q U Q* (Esto hay que SABERLO d MEMORIA) Q: Racionales: Son aquellos que se pueden escribir como fracción. Incluye a los decimales finitos, los periódicos y los semiperiódicos. Decimales Finitos Decimales infinito Periódicos Decimales Infinito Semiperiódicos 2,3 2,78912121212121…. 0,333333….. = 0, 3̅ ̅ −149 -3,185 0,666666…. = 0, 6 = −1,65̅ -1/3 90 Q*: Irracionales: Son aquellos que NO se pueden escribir como fracción, poseen un desarrollo decimal infinito en el cuál jamás se repite algún tipo de período. Ejemplos (Clásicos):

Al conjunto de los Reales se le conoce también como "El Continuo" .... El Conjunto de los números Reales se caracteriza por su DENSIDAD, es decir, siempre existe un número real entre otros dos, Por tanto, entre dos números distintos entre si, hay INFINITOS números Reales.

4 Nota: Toda fracción puede escribirse como decimal, PERO NO TODO decimal puede escribirse como fracción. No pueden escribirse como fracción: TODOS los irracionales. Raíz de 2 (√2 ) jamás podrá escribirse como fracción. 3) Comparando Infinitos: Los números Reales, dijimos, se forman por la unión de los Racionales (Q) y los Irracionales (Q*). La sola presencia de los Racionales (Q), deja incompleta la Recta Numérica, es decir, si en una recta numérica graficamos Q, que contiene como subconjuntos a IN, INo y Z, la recta estaría llena de hoyos o agujeros .... faltarían infinitos números: Faltarían los Irracionales !!!! ¿Qué cree Ud., son más los Racionales (Q) o los Irracionales (Q*)? Respuesta: Son muchos más los Irracionales que los Racionales, por así decirlo: los Irracionales (Q*) son un conjunto infinito y de un infinito mayor que el de los Racionales (Q). 4) Dibujar un Irracional ( √2 )Geométricamente:

5) Espiral de Toedoro de Cirene: Permite construir muchos irracionales …. Los de los números naturales ….

6) Aproximar: a) Redondear; b) Truncar; c) Acotación Sucesiva; d) Comparar y Ordenar Números Q y Q*: Aproximar: Se aproxima de dos formas: Redondeando o Truncando. Redondear: Considero cifra significativa a la que quiero aproximar y si es mayor o igual que 5, se suma 1 a la cifra a redondear: Número 4,58713

Proceso Redondear a la centésima

Redondeo 4,59

Truncar: Se eliminan las cifras significativas a la que escojo aproximar y se reemplazan por cero: Número Proceso Truncado 4,58713 Truncar a la milésima 4,587

5 AcotaciĂłn Sucesiva: √11 √9 < √11 < √16 Obvio que raĂ­z de 9 es menor que raĂ­z de 11, y raĂ­z de 11 es menor que raĂ­z de 16. Estos nĂşmeros al interior de las raĂ­ces son fĂĄcilmente comparables. 3 < √11 < 4 Nuevo candidato de acotaciĂłn: 3+4 7 = = 3,5 2 2 √9 < (? ) < √11 < (? ) < √16

3,52 = 3,5 ∙ 3,5 = 12,25 √9 < √11 < √12,25 < √16 √9 < √11 < √12.25

Quiero acotar en proceso sucesivo √11 Si no tengo nociĂłn entre quĂŠ nĂşmeros estĂĄ, busco los cuadrados perfectos mĂĄs cercanos a 11: 9 y 16 son los cuadrados –mĂĄs cercanos-que acotan a 11.

Si extraigo las raĂ­ces de 9 y 16, podemos escribir: Elegimos nuevo candidato de acotaciĂłn: promediando los extremos 3 y 4. Pero no sabemos que ocupaciĂłn tiene 3,5 para lo cual introducimos 3,5 al interior de una raĂ­z, elevĂĄndolo al cuadrado, porque al interior de la raĂ­z podemos ver si acota por defecto o por exceso. Ahora, comparando raĂ­ces podemos saber el lugar de la nueva acotaciĂłn. Eliminamos raĂ­z de 16. Tenemos ahora una mejor acotaciĂłn.

Ă“ 3 < √11 < 3,5 Comparar y Ordenar NĂşmeros Racionales e Irracionales: Ordenar: 2√5 ; 4,3 ; √19 ; 3√2 PRINCIPIO: Si un nĂşmero es mayor que otro, entonces serĂĄ mayor su cuadrado, que el cuadrado del otro. Si 5 > 3, entonces tambiĂŠn 25 > 9. Comparamos los cuadrados: 2

(2√5) = 4 ∙ 5 = 20 (4,3)2 = 18,49 2

(√19) = 19 2

(3√2) = 9 ∙ 2 = 18 Entonces: 2√5 > √19 > 4,3 > 3√2 Ejercicio: Anotas a todos los conjuntos (N, No, Z, Q, Q*, R) a los que pertenecen los siguientes nĂşmeros: 0 O,3Ě… 1 -0,333‌. -1 √8 3 đ?œ‹ √−8 2 e √−2 2,7 5,76 -2,7 -3,6777‌

6

7) Interacciones entre Q y Q, entre Q y Q*, entre Q* y Q*: Las interacciones entre Racionales (Q), siempre generan Racionales.

Ejemplos: 2+3 = 5 0, 3Ě… + 0, 5Ě… = 0, 8Ě… 1 + ½ = 3/2

Se excluye dividir por cero. Las interacciones entre un irracional (Q*) y un racional (Q), da siempre irracional. Se excluye multiplicar y dividir por cero. Las operaciones entre irracionales (Q*) ‌. NO siempre es irracional, o no se pueden saber a priori.

Racional + Irracional=Irracional 2 + √7 = đ??źđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ Racional ¡ Irracional = Racional 4,8 ∙ √3 = đ??źđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ Opuesto de (Irracional) = Irracional Opuesto (√19)=−√19 : es Irracional Inverso de (Irracional) = Irracional 1 Inverso de (√15) = : es Irracional √15

El producto o cociente de dos irracionales, NO se puede definir a priori, hay que calcular y ver que pasa: √2 ∙ √5 = √10 âˆś đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ √18 = √9 = 3 √2 √2 ∙ √18 = √36 = 6

Nota: Para los temas que vienen a continuaciĂłn, NUNCA olvidar la vinculaciĂłn entre Potencias, raĂ­ces y Logaritmos:

7

II)

Potencias y Raíces:

Potencias: (Tema de Primero Medio muy vinculado a temas de Segundo Medio) Nota MUY importante: las propiedades de a continuación, se cumplen BIDIRECCIONALMENTE. Significado de una potencia:

Propiedad

Expresión Verbal

1)b  1 , para b  0

El valor de una base elevada a cero es 1, para bases distintas de cero. La potencia unitaria de cualquier base es la base. Para multiplicar potencias de igual base, conservamos la base y la elevamos a la suma de los exponentes. Para dividir potencias de igual base, conservamos la base y la elevamos a la resta de los exponentes. Exponente del Numerador menos exponente del denominador. Para multiplicar potencias de igual exponente, elevamos el producto de las bases al exponente común. Para dividir potencias de igual exponente, elevamos el cociente de las bases al exponente común. Para resolver la Potencia de una potencia, elevamos la base al producto de los exponentes. 8b) Cuando elevamos una fracción a exponente negativo, invertimos la fracción y la elevamos al mismo exponente pero positivo. Una base negativa elevada a exponente par (2n), da resultado positivo. Una base negativa elevada a exponente impar (2n+1), da resultado negativo

0

Nota: Cero elevado a cero es INDEFINIDO.

2)b1  b 3)b m  b n  b m n

4)b m : b n 

bm  b mn n b

5)a n  b n  a  b

n

an  a  6)a : b  n    b b n

 

7) b m

n

 b mn

8a)a n 

1 an

Caso particular de 8b)

9)

n

n

 a 2n : Positivo  a 2n1 : Negativo

a 8b)  b

n

b   a

n

Ejemplos Simples

27.3480  1 71  7

52  5  521  5  5  5  125

87 : 85 

87  8 75  8 2  8  8  64 5 8

2 3  33  2  3  6 3  216 3

5

85  8  8 : 2  5     4 5  1.024 2 2 5

5

2 

2 3

 2 23  2 6

1 1  23 8 3 3 3 3 3 9 2 3 8b)         2 2 2 8 3 2

8a)2 3 

 22   2   2  4  23   2   2   2  8

8 Propiedades (Reglas) de RaĂ­ces: Nota: Todas las reglas se cumplen bidireccionalmente: Nombre o descripciĂłn de la Propiedad đ?‘›

đ?‘›

√đ?‘Ž ∙ √đ?‘?

đ?‘›

√đ?‘Ž

đ?‘›

√đ?‘?

đ?‘›

√đ?‘Ž ∙ đ?‘?

Producto de RaĂ­ces de igual Ă?ndice.

đ?‘Ž √ đ?‘?

Cociente de RaĂ­ces de igual Ă?ndice.

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

= √đ?‘Ž: √đ?‘? đ?‘› đ?‘š

√ √đ?‘Ž đ?‘›

=

đ?‘š

( √đ?‘Ž) đ?‘› đ?‘Ž ∙ √đ?‘?

=

đ?‘›âˆ™đ?‘š

RaĂ­z de RaĂ­z.

=

đ?‘›

Potencia de una RaĂ­z.

=

đ?‘›

√đ?‘Žđ?‘š

=

đ?‘›

=

√đ?‘Žđ?‘š

√đ?‘Žđ?‘š

đ?‘›

√đ?‘Žđ?‘› ∙ đ?‘?

đ?‘›âˆ™đ?‘?

√đ?‘Žđ?‘šâˆ™đ?‘? đ?‘š đ?‘Žđ?‘›

√2 ∙ √8 = √2 ∙ 8 = √16 = 4 √50 = √25 ∙ 2 = 5√2 32 = √ = √16 = 4 2 √2

√32

√27đ?‘Ľ 3 : √3đ?‘Ľ = √9đ?‘Ľ 2 = 3đ?‘Ľ

=

√đ?‘Ž

Ejemplo(s)

Ingresar un factor al interior de raĂ­z. Cambio de Ă?ndice.

ConversiĂłn de RaĂ­z a Potencia (MUY Importante)

3

√√đ?‘Ž12 = 6√đ?‘Ž12 = đ?‘Ž2 2

(√đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ľ 8√đ?‘§ 3 = √64đ?‘§ 3 3

√đ?‘?7 Hacer que su Ă­ndice sea 6: 3∙2 6 3 √đ?‘?7 = √đ?‘?7∙2 = √đ?‘?14 5

3

√đ?‘Ž 3 = đ?‘Ž 5

9 RacionalizaciĂłn: Racionalizar el denominador de una fracciĂłn consiste en transformarla en una fracciĂłn equivalente, cuyo denominador NO contenga ninguna raĂ­z. Racionalizar:

đ?‘Ž

Se multiplica por:

Ejemplo

√đ?‘? √đ?‘?

đ?‘? √đ?‘?

Multiplico:

đ?‘Ž

đ?‘›

√đ?‘? đ?‘›âˆ’đ?‘š

đ?‘›

đ?‘? √đ?‘? đ?‘š

2

Racionalizar:

3 √đ?‘Ľ 2

√đ?‘Ľ 3√đ?‘Ľ √đ?‘Ľ

đ?‘?√đ?‘? Âą đ?‘žâˆšđ?‘?

7

√đ?‘Ž5

5 7

8 √đ?‘Ž2

Racionalizar:

đ?‘?√đ?‘? ∓ đ?‘žâˆšđ?‘? Multiplico:

3đ?‘Ľ

8 √đ?‘Ž2

√đ?‘? đ?‘›âˆ’đ?‘š

đ?‘?√đ?‘? ∓ đ?‘žâˆšđ?‘?

2√ đ?‘Ľ

7

đ?‘›

đ?‘Ž

=

5

Racionalizar:

Multiplico:

∙

∙7

√đ?‘Ž5

=

7

5 √đ?‘Ž5 8đ?‘Ž

đ?‘Ž 2√đ?‘?+3√đ?‘? đ?‘Ž

2√đ?‘?+3√đ?‘?

∙

2√đ?‘?−3√đ?‘? 2√đ?‘?−3√đ?‘?

=

đ?‘Ž(2√đ?‘?−3√đ?‘?) 4đ?‘?−9đ?‘?

Racionalizaciones ESPECIALES Vamos a utilizar un ejemplo:

1

(1 + √3) + √5

1 + √3 − √5

(1 + √3) + √5

En este caso, se agrupan dos de los tres tĂŠrminos del denominador por medio de un binomio y se utiliza la idea del tercer caso, aunque se deberĂĄ volver a racionalizar nuevamente:

1

∙

(1 + √3) + √5

(1 + √3) − √5 (1 + √3) + √5

=

(1 + √3) + √5 2

(1 + √3) − 5

Esto nos queda:

(1 + √3) + √5 1 + 2√3 + 3 − 5

=

(1 + √3) + √5 2√3 − 1

Que deberĂĄ ser racionalizado por:

2√3 + 1 2√3 + 1 đ?‘Ž 3

3

√đ?‘? Âą √đ?‘?

3

3

3

3

3

3

3

3

√đ?‘? 2 ∓ √đ?‘? √đ?‘? + √đ?‘? 2 √đ?‘? 2 ∓ √đ?‘? √đ?‘? + √đ?‘? 2

Racionalizar: 3

7 3

√đ?‘Ž+ √đ?‘?

Multiplico:

7

2

3

3

3

√đ?‘Ž2 − √đ?‘Ž ∙ √đ?‘? + √đ?‘? 2

∙2 = 3 3 3 3 √đ?‘Ž + √đ?‘? √đ?‘Ž2 − √đ?‘Ž ∙ √đ?‘? + √đ?‘? 2 3 2 3 3 7( √đ?‘Ž2 − √đ?‘Ž ∙ √đ?‘? + √đ?‘? 2 ) = đ?‘Ž+đ?‘?

3

10 EcuaciĂłn con Radicales: (Cuando la incĂłgnita, x, estĂĄ al INTERIOR de una raĂ­z) √đ?‘Ľ + 3 − √đ?‘Ľ − 3 = 2 En clases traspusimos √đ?‘Ľ − 3 para evitar que el doble producto fuera mĂĄs complicado, pero el ejercicio debe resultar igual, sin hacer esta trasposiciĂłn: Elevemos al cuadrado SIN trasponer, a ambos lados de la ecuaciĂłn:

2

(√đ?‘Ľ + 3 − √đ?‘Ľ − 3) = 22 Utilizamos la fĂłrmula del cuadrado de Binomio: (đ?‘Ž + đ?‘?)2 = đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 2

2

(√đ?‘Ľ + 3) − 2 ∙ √đ?‘Ľ + 3 ∙ √đ?‘Ľ − 3 + (√đ?‘Ľ − 3) = 4 El cuadrado de una raĂ­z cuadrada elimina la raĂ­z: (đ?‘Ľ + 3) − 2√(đ?‘Ľ + 3) ∙ (đ?‘Ľ − 3) + (đ?‘Ľ − 3) = 4 Reducimos TĂŠrminos Semejantes: 2đ?‘Ľ − 2√(đ?‘Ľ + 3) ∙ (đ?‘Ľ − 3) = 4 Trasponemos TĂŠrminos Semejantes: 2đ?‘Ľ − 4 = 2√(đ?‘Ľ + 3) ∙ (đ?‘Ľ − 3) Dividimos por 2: đ?‘Ľ − 2 = √(đ?‘Ľ + 3) ∙ (đ?‘Ľ − 3) Desarrollamos al interior la suma por diferencia: đ?‘Ľ − 2 = √đ?‘Ľ 2 − 9 Elevamos al Cuadrado: đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4 = đ?‘Ľ 2 − 9 Cancelamos tĂŠrminos iguales: −4đ?‘Ľ + 4 = −9 Trasponemos tĂŠrminos: 4 + 9 = 4đ?‘Ľ Sumamos: 13 = 4đ?‘Ľ Despejamos x: 13 đ?‘Ľ= 4 Y Siempre es necesario COMPROBAR la soluciĂłn, para ver si es correcta, veamos: √

13 13 + 3 − √ − 3 =? 4 4

13 + 12 13 − 12 √ −√ =? 4 4 25 1 5 1 4 √ −√ = − = =2 4 4 2 2 2 La soluciĂłn es CORRECTA, cumple la ecuaciĂłn !!!!

11

III)

Exponentes y Logaritmos: i) Logaritmos: DefiniciĂłn de Logaritmo Nota 1:

ii)Propiedades de Logaritmos: 1) Logaritmo de la unidad. 2) Logaritmo de la base. 3) Logaritmo de potencia de la base. 4) Logaritmo de un Producto. 5) Logaritmo de un Cociente. 6) Logaritmo de una Potencia. 7) Logaritmo de una RaĂ­z.

đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’ƒ đ?‘ˇ = đ?’† ↔ đ?’ƒđ?’† = đ?‘ˇ đ?‘ˇ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘…đ?‘’đ?‘Žđ?‘™ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ

đ?’ƒ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘Ž đ?‘Ś đ?’ƒ ≠1

Nota 2:

Cuando NO se explicita la base del logaritmo se subentiende que es 10.

Nota 3:

đ?‘ˇ se conoce como “AntilogarĂ­tmoâ€?

đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? 1 = 0

đ?‘™đ?‘œđ?‘”10 1 = 0, đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ : 100 = 1

đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘? = 1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘?đ?‘› = đ?‘›

đ?‘™đ?‘œđ?‘”5 5 = 1, đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ 51 = 5 đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 28 = 8

đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? (đ?‘Ľ ∙ đ?‘Ś) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ + đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ś

đ?‘™đ?‘œđ?‘”4 (16 ∙ 4) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”4 16 + đ?‘™đ?‘œđ?‘”4 4 = =2+1=3 64 đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 ( ) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 64 − đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 2 = 6 − 1 = 5 2 đ?‘™đ?‘œđ?‘”7 (492 ) = 2 ∙ đ?‘™đ?‘œđ?‘”7 49 = 2 ∙ 2 = 4

đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? ( ) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ − đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ś = đ?‘Ś ∙ đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ

1 1 4 3 đ?‘™đ?‘œđ?‘”10 √10.000 = đ?‘™đ?‘œđ?‘”10 10.000 = ∙ 4 = 3 3 3 đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 64 6 đ?‘™đ?‘œđ?‘”4 64 = = =3 đ?‘™đ?‘œđ?‘”2 4 2

1 đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘Ľ đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘Ľ = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ś

đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? √đ?‘Ľ =

8) Cambio de Base del logaritmo. FunciĂłn LogarĂ­tmica: La funciĂłn LogarĂ­tmica es INVERSA de la funciĂłn Exponencial. đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? (đ?‘Ľ) đ?‘? ∈ đ??źđ?‘…+ , đ?‘? ≠1

Caso 1: đ?‘? > 1 Caso 2: 1 > đ?‘? > 0 La curva es asintĂłtica al eje Y (ordenadas) en Primero y Cuarto Cuadrante. Caso 1: đ?‘? > 1

Caso 2: 1 > đ?‘? > 0

12 iii) Ecuaciones LogarĂ­tmicas: (Es cuando la incĂłgnita estĂĄ en el ARGUMENTO del Logaritmo) Se resuelven usando un “TRUCOâ€? similar al que usamos en (algunas) ecuaciones exponenciales: đ?‘†đ?‘– đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘š = đ?‘™đ?‘œđ?‘”đ?‘? đ?‘› → đ?‘š = đ?‘›

Calcular el valor de x:

1 đ?‘™đ?‘œđ?‘” ( )=2 1−đ?‘Ľ

AcĂĄ la base es 10, luego, usando la definiciĂłn de Logaritmo, podemos hacer este ejercicio de dos formas: 1) Expresar 2 como log 100: đ?‘™đ?‘œđ?‘” ( Luego:

1 ) = đ?‘™đ?‘œđ?‘”100 1−đ?‘Ľ

1 = 100 1−đ?‘Ľ 1 = 100(1 − đ?‘Ľ) 1 = 100 − 100đ?‘Ľ 100đ?‘Ľ = 100 − 1 = 99 99 đ?‘Ľ= 100

2) Usando simplemente la definiciĂłn: 1 = 102 = 100 1−đ?‘Ľ Y sigue como arriba‌. Calcular el valor de x en: 8đ?‘Ľ = 81 AcĂĄ: 8 es potencia de 2 AcĂĄ: 81 es potencia de 3 Ăł 9 No hay UNA base Ăşnica que olfatear,

Ecuaciones Exponenciales en las cuales NO se pueden igualar bases:

Luego tomamos Logaritmo en cualquier base: đ?‘™đ?‘œđ?‘”8đ?‘Ľ = đ?‘™đ?‘œđ?‘”81 Usando la propiedad de logaritmo de una potencia: đ?‘Ľđ?‘™đ?‘œđ?‘”8 = đ?‘™đ?‘œđ?‘”81 đ?‘™đ?‘œđ?‘”81 đ?‘Ľ= đ?‘™đ?‘œđ?‘”8 Aplicaciones de Logaritmos: DesintegraciĂłn Radiactiva:

đ?’Ž(đ?’•) = đ?’Žđ?&#x;Ž ∙ đ?’†âˆ’đ?’“đ?’•

đ?’“=

đ?’?đ?’?đ?&#x;? đ?’‰

đ?’Žđ?&#x;Ž = đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘Ž â„Ž đ?’Ž(đ?’•) = đ?‘šđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘’đ?‘› đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ąđ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ đ?‘Ą đ?’“ = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› El Polonio 210 ( 210đ?‘ƒ ) tiene una vida media de â„Ž = 140 dĂ­as. Suponga que una muestra de esta sustancia tiene 300 mg. 1) ÂżCuĂĄl es la masa que quedarĂĄ despuĂŠs de un aĂąo? đ?‘&#x;=

��2 0,6931471806 = = 0,00495 140 140

13

đ?’Ž(đ?’•) = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ∙ đ?’†âˆ’đ?&#x;Ž,đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“∙đ?’• đ?’Ž(đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;“) = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ∙ đ?’†âˆ’đ?&#x;Ž,đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“∙đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;“ đ?’Ž(đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;“) = đ?&#x;’đ?&#x;—, đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;— ≈ đ?&#x;’đ?&#x;— đ?’Žđ?’ˆ 2) ÂżCuĂĄnto tardarĂĄ la masa en desintegrarse para obtener 200 gr.? −đ?&#x;Ž,đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“∙đ?’•

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž ∙ đ?’† đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;? = = đ?’†âˆ’đ?&#x;Ž,đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“∙đ?’• (Tomamos ln) đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?’?đ?’? ( ) = đ?’?đ?’?(đ?’†âˆ’đ?&#x;Ž,đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“∙đ?’• ) = −đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“ ∙ đ?’• đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?’?đ?’? ( ) −đ?&#x;Ž, đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’•= = = đ?&#x;–đ?&#x;?, đ?&#x;—đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? −đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“ −đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;—đ?&#x;“ đ?’• ≈ đ?&#x;–đ?&#x;? Ecuaciones Exponenciales: Las Ecuaciones Exponenciales son aquellas que presentan la incĂłgnita en el exponente. Ejemplos: 3đ?‘Ľ = 81 đ?‘Ž đ?‘Ľ + đ?‘Ž = đ?‘Ž đ?‘Ľ+2 2đ?‘Ľ+5 = 4đ?‘Ľâˆ’3 Para resolver las ecuaciones exponenciales, se expresan ambos miembros de la ecuaciĂłn como potencias de una misma base, lo que permite igualar los exponentes y resolver el valor de la incĂłgnita: Resolvamos la segunda ecuaciĂłn: 2đ?‘Ľ+5 = 4đ?‘Ľâˆ’3 2 = (22 )đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ+5 2 = 22đ?‘Ľâˆ’6 đ?‘Ľ + 5 = 2đ?‘Ľ − 6 → đ?‘Ľ = 11 Reemplazando el valor de x en la ecuaciĂłn, vemos que la respuesta es correcta. đ?‘Ľ+5

I.) FunciĂłn Exponencial: FunciĂłn del tipo: đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž đ?‘Ľ ; đ?‘?đ?‘œđ?‘› đ?‘Ž ∈ đ??źđ?‘… + ; đ?‘Ś đ?‘Ž ≠1 Existen 2 casos: Caso 1: đ?‘Ž > 1 ; Caso 2: 0 < đ?‘Ž < 1 La curva es asintĂłtica (se acerca SIN tocar) al eje X (1ro. y 4to. Cuadrante) Caso 1 : đ?‘Ž > 1 La FunciĂłn es CRECIENTE.

Caso 2 : 0 < đ?‘Ž < 1 La FunciĂłn es DECRECIENTE.

14

IV)

Expresiones Algebraicas Fraccionarias:

Expresiones Algebraicas Fraccionarias (EAF): Se harĂĄ siempre una mirada sĂ­mil a lo que pasa en Fracciones NumĂŠricas.

Expresiones Algebraicas Fraccionarias Definir ÂżQuĂŠ es EAF?

Restricciones Denominador

EAF Solas

EAF Combinadas

EcuaciĂłn con EAF

FunciĂłn Racional

Simplificar

Operarlas

Multiplicar

đ?‘“(đ?‘Ľ) =

(+,-,:,x)

Cruzado

Cambio Signos Nota: Como en las fracciones numĂŠricas, el denominador no puede ser cero, es decir, NO puede evaluarse en aquellos valores literales en que ĂŠste se haga cero. Esta restricciĂłn se ANOTA (*).

DefiniciĂłn y Ejemplos: Una ExpresiĂłn Algebraica Fraccionaria es aquella cuyo DENOMINADOR tiene una expresiĂłn algebraica. Esto indica que no hay restricciones para el numerador.

đ?‘”(đ?‘Ľ) = Uso de Productos Notables

200 đ?‘Ľ

â„Ž(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ+4 2đ?‘Ľ − 7

−68 đ?‘Ľ2 − 1 Ojo, abajo hay un producto notable

đ?‘Ž đ?‘Ľ

đ?‘Ž đ?‘Ľ+đ?‘?

đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?

đ?‘Ľđ?‘? 2 − đ?‘Žđ?‘Ľ + 40 đ?‘Ľ 2 − 7đ?‘Ľ + 12 Ojo, abajo hay un producto notable

Elementos a NO olvidar:

Siempre se puede: 7đ?‘— − 3đ?‘Ľ 7đ?‘— − 3đ?‘Ľ = 1

Siempre se puede: 3đ?‘? + 8đ?‘ž 3đ?‘? 8đ?‘ž = + 5đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ 5đ?‘Ľ

Siempre se puede: 4 ∙ đ?‘Ž ∙ đ?‘Ľ 2đ?‘Ž = 2∙đ?‘Ľâˆ™đ?‘&#x; đ?‘&#x;

NUNCA se puede: 2+đ?‘Ľ 2+đ?‘Ľ = 2 2

Cuando no se ve denominador, corresponde a 1

Separar una fracciĂłn en dos sumandos.

Simplificar cuando hay productos

No intente simplificar pasando a llevar una suma. Esto es muchas veces hecho por uds, OJO!

Restricciones a las EAF = Restricciones al DENOMINADOR:

De la misma forma como en una fracciĂłn numĂŠrica, el 8+đ?‘Ľ Pensemos: ÂżCuĂĄles son las restricciones para ? denominador NO puede ser cero, en las EAF el denominador 2đ?‘Ľâˆ’7 NO puede ser cero. ÂżPor quĂŠ en una fracciĂłn numĂŠrica el denominador No puede Debemos obligar a que el denominador sea distinto de cero: 2đ?‘Ľ − 7 ≠0 ser cero? Sabemos que: 12 Trabajamos como en una ecuaciĂłn, despejando “xâ€? = 4 ↔ 3 ∙ 4 = 12 2đ?‘Ľ ≠7 3 7 Pensemos que hay un đ?‘˜ tal que: đ?‘Ľ ≠12 2 = đ?‘˜ → 12 = 0 ∙ đ?‘˜ Entonces decimos: 0 8+đ?‘Ľ 7 Y esto es IMPOSIBLE, porque no hay NINGUN đ?‘˜ que ; đ?‘Ľ ≠‌ . (đ?‘†đ?‘’ đ??´đ?‘›đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Ž ∗) multiplicado por cero pueda darnos 12. Esto implica que NO se 2đ?‘Ľ − 7 2 puede dividir por cero. Tarea: Determinar las restricciones a las siguientes fracciones algebraicas:

đ?‘? đ?‘Ľ+4 2đ?‘Ľ + 7 −đ?‘Ľ + 16 4đ?‘Žđ?‘? 2đ?‘Ž − 2đ?‘?

đ?‘Ž + 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ+đ?‘? 74 2đ?‘› + 8 1 đ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘Ś

7 đ?‘Ľ 17 −ℎ đ?‘Ž − 2đ?‘Ś (đ?‘Ž + đ?‘Ś)(đ?‘Ž − đ?‘Ś)

8 đ?‘Ľ − 72 2 3đ?‘Ľđ?‘Ś 3 2 đ?‘Ľ −đ?‘Ľ

15 Caso MUY especial

1 đ?‘Ľ2 + 1

NO tiene restricciones, porque en el campo de los Reales, este denominador NUNCA serĂĄ cero. OJO Piojo

Simplificar una ExpresiĂłn Algebraica Fraccionaria (EAF): Para Simplificar una EAF, se divide tanto el numerador como el denominador por una expresiĂłn que sea factor. Si se divide por el MĂĄximo ComĂşn Divisor, se obtiene una expresiĂłn irreductible. Ejemplo NumĂŠrico: Ejemplo en que se divide por una Ejemplo en que se divide por el expresiĂłn cualquiera: MĂĄximo ComĂşn Divisor: 18 18: 6 3 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2): 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) = = = = 2 2 24 24: 6 4 12đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) 12đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) : 4đ?‘Ľ 12đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2)2 (đ?‘Ľ + 2) 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2): 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) = = = 2 3(đ?‘Ľ + 2) 12đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2)2 : 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 2) 1 = 3(đ?‘Ľ + 2) MultiplicaciĂłn y DivisiĂłn de Expresiones Algebraicas Fraccionarias: MultiplicaciĂłn DivisiĂłn Ejemplo NumĂŠrico: Ejemplo NumĂŠrico: 2 4 2∙4 8 2 4 2 5 10 5 ∙ = = : = ∙ = = 3 5 3 ∙ 5 15 3 5 3 4 12 6 đ?‘Ľ đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ľ − 1 ∙ = = (đ?‘Ľ + 1)đ?‘Ľ đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ

đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’1 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ľâˆ’1 : = ∙ = = đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľ + 1 4đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ(đ?‘Ľ + 1) 4(đ?‘Ľ + 1)

Sumar o Restar Expresiones Algebraicas Fraccionarias: Para sumar o restar EAF de distinto denominador, se debe determinar el mĂ­nimo comĂşn mĂşltiplo (mcm) entre los denominadores, luego amplificar las expresiones de manera que quede el mcm como denominador de la expresiĂłn. Finalmente se suman o restan los numeradores, manteniendo el denominador comĂşn: Ejemplo NumĂŠrico: Ejemplo con EAFs: 4đ?‘Ľ 1 5 4 Âą Âą = đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2) 3đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2)2 12 8 mcm 24 mcm: 5 2 4 3 10 Âą 12 ∙ Âą ∙ = 12 2 8 3 24

mcm: 3đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2)2

4đ?‘Ľ 3(đ?‘Ľ − 2) 1 1 ∙ Âą ∙ 2 đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2) 3(đ?‘Ľ − 2) 3đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2) 1 12đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2) Âą 1 3đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 2)2

16 EcuaciĂłn Fraccionaria: Una ecuaciĂłn fraccionaria es aquella en que uno de sus miembros, o algunos, o todos, son expresiones algebraicas fraccionarias. Para resolverla se multiplican a ambos lados de la ecuaciĂłn por el mcm, lo que permite transformarla en una ecuaciĂłn entera. 2 8 4 + = (đ?‘Ľ − 1)2 4đ?‘Ľ + 4 2đ?‘Ľ − 2 Factorizando abajo y luego simplificando los nĂşmeros: 2 8 4 + = (đ?‘Ľ − 1)2 4(đ?‘Ľ + 1) 2(đ?‘Ľ − 1) Simplificando: 2 2 2 + = 2 (đ?‘Ľ − 1) (đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ − 1) Simplifico por 2 ahora: 1 1 1 + = 2 (đ?‘Ľ − 1) (đ?‘Ľ + 1) (đ?‘Ľ − 1) El mcm es: (đ?‘Ľ − 1)2 (đ?‘Ľ + 1) Multiplicamos toda la ecuaciĂłn por el mcm: (đ?‘Ľ + 1) + (đ?‘Ľ − 1)2 = (đ?‘Ľ + 1)(đ?‘Ľ − 1) đ?‘Ľ + 1 + đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1 = đ?‘Ľ 2 − 1 Eliminamos las equis al cuadrado y reducimos tĂŠrminos semejantes a cada lado: 2 − đ?‘Ľ = −1 → đ?‘Ľ = 3 Funciones Racionales: AcĂĄ simplemente graficamos, usando una tablita, dos funciones: 1 đ?‘Ś= đ?‘Ľ Tabla: Tabla: X Y 0 indefinido 1 1 2 0,5 4 0,25 -1 -1 -2 -0,5 -4 -0,25

đ?‘Ś=

1 đ?‘Ľ+1

X y 0 1 -1 indefinido 1 0,5 2 0,333‌ 3 0,25 -0,5 2 -3 -0,5 -4 -0,333‌ -1,5 -2 La función se desplaza en el eje X:

17 Materia de Primero Medio, necesaria para la materia que viene: GeometrĂ­a AnalĂ­tica- EcuaciĂłn de la Recta: Sistema de Coordenadas cartesianas: Distancia entre dos Puntos: 2

đ?‘‘đ??´đ??ľ = √(đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 )2 + (đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 )2 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 đ?‘Ś1 + đ?‘Ś2 ; đ?‘Śđ?‘š = 2 2 đ??´đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ś + đ??ś = 0 đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘› đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 đ?‘š = đ?‘Ąđ?‘” đ?›ź = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ?‘› âˆś đ?‘ƒđ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘Łđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘Žđ?‘™đ??¸đ?‘—đ?‘’ đ?‘‚đ?‘Œ

Punto Medio:

đ?‘Ľđ?‘š =

EcuaciĂłn General de la Recta EcuaciĂłn Principal de la Recta Pendiente de Recta: Y-Intercepto Tipos de Pendientes:

Ecuación Punto Pendiente: Ecuación de Recta que pasa por dos puntos: Rectas Paralelas: Rectas Perpendiculares: Funciones Lineal – Afín – Constante: Función Lineal: y=f(x)=mx

Recta pasa por Origen. “mâ€? : pendiente. Pendiente Positiva Ăł Negativa

m=0

L paralela eje X

m>0

L pendiente positiva

m NO definida

L paralela eje Y

M<0

L pendiente negativa

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 (đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 đ??ż1 // đ??ż2 ↔ đ?‘š1 = đ?‘š2 đ??ż1 ⊼ đ??ż2 ↔ đ?‘š1 ∙ đ?‘š2 = −1 FunciĂłn AfĂ­n: y=f(x)=mx+n

Cuando pasa por el origen, es Lineal, cuando NO es AfĂ­n o FunciĂłn de Primer Grado. Pendiente Positiva o Negativa.

FunciĂłn Constante: y = k

FunciĂłn Paralela al eje OX o de Abcisas. Pendiente CERO.

18

V)

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

MĂŠtodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones: đ?‘–) đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 2 MĂŠtodo Se grafican las dos Sean las rectas: { đ?‘–đ?‘–) 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 GrĂĄfico ecuaciones de la recta y EcuaciĂłn (i): y=2-x se ve el punto de corte, x y donde se cortan las 0 2 rectas: ese es el punto soluciĂłn. 1 1 5−2đ?‘Ľ

MĂŠtodo de ReducciĂłn

Se igualan los coeficientes numĂŠricos de una variable elegida (x Ăł y) pero haciendo que uno sea positivo y el otro negativo. Luego se suman las dos ecuaciones y eso hace que se REDUZCA una variable o incĂłgnita.

MĂŠtodo de SustituciĂłn

Despejamos una incĂłgnita y la reemplazamos en la otra:

EcuaciĂłn (ii): đ?‘Ś = 3 x y 1 1 0 5/3 A continuaciĂłn se grĂĄfica y se detecta que el punto de corte es (1,1) đ?‘Ľ+đ?‘Ś=2 { 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 Multiplicamos la primera ecuaciĂłn por (-2) −2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = −4 { 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 Sumamos ambas ecuaciones: (se cancelan las x: -2x+2x=0) 3đ?‘Ś − 2đ?‘Ś = 5 − 4 đ?‘Ś=1 Luego reemplazamos este valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones: đ?‘Ľ+1=2 đ?‘Ľ =2−1 →đ?‘Ľ=1 El punto de corte es (1,1), lo que es la soluciĂłn del sistema de ecuaciones. đ?‘Ľ+đ?‘Ś =2→đ?‘Ś =2−đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 Reemplazamos el despeje de la primera en la segunda: 2đ?‘Ľ + 3(2 − đ?‘Ľ) = 5 Distribuimos y luego reducimos tĂŠrminos semejantes: 2đ?‘Ľ + 6 − 3đ?‘Ľ = 5 −đ?‘Ľ + 6 = 5 6−5=đ?‘Ľ đ?‘Ľ=1 Luego sustituimos x=1 en : y=2-x ; y=2-1 y=1 El punto de corte es (1,1), lo que es la soluciĂłn del sistema de ecuaciones. {

19 MĂŠtodo de IgualaciĂłn

Se despeja una misma incĂłgnita de ambas ecuaciones y se igualan:

đ?‘Ľ+đ?‘Ś =2 →đ?‘Ś =2−đ?‘Ľ 5 − 2đ?‘Ľ { 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 → đ?‘Ś = 3 5−2đ?‘Ľ Ahora las igualamos: 2 − đ?‘Ľ = 3 2 − đ?‘Ľ 5 − 2đ?‘Ľ = 1 3

Multiplicamos cruzado: 3 ∙ (2 − đ?‘Ľ) = 1 ∙ (5 − 2đ?‘Ľ) 6 − 3đ?‘Ľ = 5 − 2đ?‘Ľ Dejamos a un lado los nĂşmeros y al otro las incĂłgnitas: 6 − 5 = 3đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ 1=đ?‘Ľ Reemplazamos el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones. đ?‘Ľ+đ?‘Ś =2 1+đ?‘Ś = 2 đ?‘Ś=1 Nuevamente el punto de corte es el mismo: (1,1); lo que es la soluciĂłn del sistema de ecuaciones. đ?‘Ľ+đ?‘Ś=2 { 2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = 5 1 1 ∆= | | 2 3

MĂŠtodo de Se calculan tres Determinantes determinantes: đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś = đ?‘? (Regla de { đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘’đ?‘Ś = đ?‘“ Cramer) ∆= |

đ?‘Ž đ?‘‘

đ?‘? | đ?‘’

∆= 1 ∙ 3 − 1 ∙ 2 = 3 − 2 = 1 Determinante Principal 2 ∆đ?‘Ľ = | 5

∆= đ?‘Ž ∙ đ?‘’ − đ?‘? ∙ đ?‘‘ Determinante Principal ∆đ?‘Ľ = |

đ?‘? đ?‘“

∆đ?‘Ľ = 2 ∙ 3 − 1 ∙ 5 = 6 − 5 = 1

đ?‘? | đ?‘’

1 ∆đ?‘Ś = | 2

∆đ?‘Ľ = đ?‘? ∙ đ?‘’ − đ?‘? ∙ đ?‘“ đ?‘Ž ∆đ?‘Ś = | đ?‘‘

đ?‘? đ?‘“|

∆đ?‘Ś = đ?‘Ž ∙ đ?‘“ − đ?‘‘ ∙ đ?‘? Luego: đ?‘Ľ=

∆đ?‘Ľ ∆

đ?‘Ś=

∆đ?‘Ś ∆

1 | 3

2 | 5

∆đ?‘Ś = 1 ∙ 5 − 2 ∙ 2 = 5 − 4 = 1 Luego: đ?‘Ľ=

∆đ?‘Ľ 1 = =1 ∆ 1

đ?‘Ś=

∆đ?‘Ś 1 = =1 ∆ 1

Nuevamente el punto de corte es el mismo: (1,1); lo que es la soluciĂłn del sistema de ecuaciones.

20

VI)

Semejanza:

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, en consecuencia, sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados respectivos son proporcionales.

Toremas de Semejanza en Triángulos: Teorema (AA) Teorema

Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes iguales, entonces son semejantes. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales, entonces son semejantes.

(LLL) Teorema

(LAL)

Si dos triángulos tienen un ángulo correspondiente igual y los lados del ángulo en una misma razón, entonces son semejantes.

Semejanza y Escalas

Razón de Semejanza (r): Cuando dos cantidades varían manteniendo constante su cociente, se dice que son proporcionales entre si. Esto aplicado a figuras semejantes nos lleva a hablar de Razón de Semejanza. Cuando dos figuras son semejantes, el cociente entre dos lados homólogos es constante y es igual a la razón de semejanza. Si r>1, la escala es una ampliación de la figura original. Si r<1, la escala representa una reducción de la figura original. Si r=1, la escala recibe el nombre de escala natural, las figuras son congruentes entre sí (Congruencia: Materia 1ro. Medio).

Teorema Particular de Thales o Teorema Fundamental de la Semejanza

Teorema General de Thales

Teorema Recíproco de Thales

Dado un haz de al menos tres rectas paralelas, cortadas por dos trasversales, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales.

21 Divisi贸n Interior de Trazo o Segmento

Divisi贸n Exterior de Trazo o Segmento.

22 Homotecia y Semejanza: Una Homotecia es una transformaciĂłn NO ISOMÉTRICA en el plano, que permite obtener un polĂ­gono semejante a otro. (No isomĂŠtrica: que no guarda las medidas, las amplia o reduce) Una homotecia necesita un Centro de Homotecia O y una razĂłn de homotecia k, se escribe como (O,k) Una homotecia transforma un segmento Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ en Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… otro paralelo đ??´â€˛đ??ľâ€˛ , que es k veces el primero. En consecuencia, la razĂłn de homotecia tambiĂŠn se obtiene dividiendo la longitud de dos segmentos homĂłlogos, es decir: ′ đ??ľâ€˛ ) Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž(đ??´ Ě…Ě…Ě…Ě…) đ?‘šđ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž(đ??´đ??ľ Imagen de Homotecia tĂ­pica:

đ?‘˜=

Ejercicio de Homotecia:

23 Teorema de Euclides:

Teorema de Euclides: 1) h 2  p  q 2) a 2  ( p  q)  q  c  q 3) b 2  ( p  q)  p  c  p 4) h 

ab c

Deducciones del Teorema de Euclides:

h q   h2  p  q p h a c   a 2  c  q  ( p  q)  q 2) Por semejanza: q a b c 3) Por semejanza:   b 2  c  p  ( p  q)  p p b h a ab 4) Por semejanza:  h b c c 1) Por semejanza:

2 2 2 Teorema de Pitágoras: c  a  b Deducción desde el Teorema de Euclides.

p b   b2  p  c b c q a 2)   a 2  q  c a c 1)

recordando que c=p+q y sumando ambos resultados:

a 2  b 2  pc  qc  ( p  q)  c  c  c  c 2 Ejercicio de Ejemplo:

24

VII)

Ă ngulos en la Circunferencia: Medida del Ă ngulo del Centro

El ĂĄngulo del centro mide lo mismo que el arco correspondiente. Ě‚ = 90Âş < AOB = 90Âş, entonces đ??´đ??ľ

Medida del Ă ngulo Inscrito

El ĂĄngulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.

Medida del Ă ngulo Interior

Medida del Ă ngulo Exterior

Medida del Ă ngulo Semi Inscrito

Es un ĂĄngulo cuyo vĂŠrtice estĂĄ en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

Proporcionalidad en la Circunferencia: Teorema de las Cuerdas

Teorema de las Secantes Teorema de la Secante y la Tangente T: Punto de Tangencia

25

VIII) Estadística: Estadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos Población: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas Muestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria. TABULACIÓN DE DATOS Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta) Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos Frecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición Frecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición Amplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferior Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e inferior de cada intervalo MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media aritmética (x) : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. x

x1  x 2  x 3  ...... x n n

Media aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias Si los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn entonces la media aritmética es: x 

x1  f1  x 2  f2  x 3  f3  ...... x n  fn f1  f2  f3  ........ fn

Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencia es amodal Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales. Otros Estadígrafos: Estadígrafos o Medidas de Tendencia Central: Media o Promedio Aritmético Moda Mediana

Otras Medidas de Tendencia Central (a veces llamadas de Posición): Cuartiles Percentiles

Medidas de Dispersión: Rango Deviación Media Varianza Desviación Estándar Coeficiente de Variación

26 Otras medidas de tendencia central: Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% (coincide con mediana) y 75% de los datos respectivamente. Para calcular los cuartiles se procede: a) Se ordenan los datos de menor a mayor; b) Se đ??žâˆ™đ?‘ determina la posiciĂłn del cuartil con la fĂłrmula: đ?‘?đ?‘„đ?‘˜ = , en donde: đ?‘˜ = 1,2,3 ; đ?‘ es el nĂşmero de datos; En 4 caso de ser un nĂşmero decimal se aproxima al entero superior mĂĄs cercano. Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales. đ?‘ƒđ?‘˜ es la observaciĂłn cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza el valor igual al k% de las observaciones. Ahora la đ??žâˆ™đ?‘ fĂłrmula es: đ?‘?đ?‘ƒđ?‘˜ = 100, donde đ?‘˜ = {1,2,3,4, ‌ . ,99} Medidas de DispersiĂłn: Rango: Se llama Rango a la diferencia entre el mayor y el menor valor de un conjunto de datos. DesviaciĂłn Media: Se define DesviaciĂłn Media de un conjunto de datos, como el promedio de las diferencias entre cada dato y la media de ellos.

DesviaciĂłn Media

∑đ?‘›đ?‘–=1|đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘‹Ě…| đ??ˇđ?‘š = đ?‘›

Varianza: Se define Varianza como el promedio de las distancias al cuadrado entre los datos y la media de ellos, segĂşn la fĂłrmula: Varianza

∑đ?‘›đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘‹Ě…)2 đ?‘‰đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Ž = đ?œŽ = đ?‘ = đ?‘› 2

DesviaciĂłn EstĂĄndar: La Varianza no se expresa en la misma unidad que los datos, sino que en la unidad al cuadrado, por ello se extrae la raĂ­z de la varianza para obtener la DESVIACIĂ“N ESTANDAR: DesviaciĂłn EstĂĄndar

∑đ?‘›đ?‘–=1(đ?‘Ľđ?‘– − đ?‘‹Ě…)2 đ?‘ =√ đ?‘›

Coeficiente de VariaciĂłn: Corresponde a la proporciĂłn de la media que representa la desviaciĂłn estĂĄndar: Coeficiente de variaciĂłn:

đ??śđ?‘‰ =

đ?‘ đ?‘‹Ě…

Mientras mayor es su valor, mayor es la dispersiĂłn de los datos. Se usa cuando la media es distinta de cero.

27 Comparación de Muestras: (A partir de un ejemplo porque NO hay Reglas, sino criterios) Dadas dos muestras DE IGUAL TAMAÑO de duración de ampolletas en dos fåbricas A y B, se comparan ambas fåbricas, para decidir de cuål fåbrica elegir comprar. En resumidas cuentas, se adjuntan tablas de estadígrafos, desde las que se concluye: Tabla de Estadígrafos de Tendencia Central Anålisis La media es mayor en B, por lo que al elegir al Indicador Fåbrica A Fåbrica B azar una ampolleta B, se espera dure mås. Media 5.015,49 5.075,49 La Mediana en B es mayor, luego existe una Moda 5.074 5.528 mayor cantidad de ampolletas que duran mås de Mediana 5.027 5.084 5.084 horas en B. Tabla de Percentiles Anålisis A partir del percentil 30, los valores de la fåbrica Percentil Fåbrica A Fåbrica B B son mayores, se puede afirmar con un 70% de 10 4.387 4.340 certeza, que al extraer una ampolleta de B su 20 4.609 4.600 duración serå mayor o igual a 4.760 horas, 30 4.736 4.760 mientras que con la misma certeza, las de A 40 4.881 4.934 durarån mås de 4.736 solamente. 50 5.027 5.084 60 5.129 5.234 70 5.284 5.447 80 5.473 5.569 90 5.600 5.734 Tabla de Valores de Dispersión: Anålisis Hay mayor dispersión en la fåbrica B. Si embargo Fåbrica VAR S CV 2 se debe considerar que el promedio de duración (en h) % (en ℎ ) en B es mayor, para una muestra del mismo A 202652,56 450,16 8,97 tamaùo‌. Por eso acå no es tan relevante la B 249949,37 499,94 9,65 dispersión. Muestreo Aleatorio Simple (mas) (SIN Reposición): Corresponde a un conjunto de tÊcnicas que permiten seleccionar una muestra de tamaùo ADECUADO dentro de una población, para estimar por ejemplo: 1) la Media poblacional (lo mås usado) o la proporción que representa una característica determinada. En el MAS sin reposición, cada elemento no puede ser usado mås de una vez, en cambio en el CON reposición, si se puede. Cuando un estadígrafo se saca de la Población, se llama Indicador Estadístico. Cuando se saca de una muestra se llama Estimador de la Población. Esto se ve en el siguiente cuadro:

TamaĂąo Media Varianza

PoblaciĂłn N đ?œ‡ S

Muestra n đ?‘‹Ě… s

El proceso es: ÂżCuĂĄl es el tamaĂąo de muestra CONFIABLE que debo tomar de una PoblaciĂłn dada, para poder estimar la Media de esa PoblaciĂłn?.... esto tiene muchas aplicaciones en lo comercial. Veamos un ejemplo:

28 Ejemplo: Tabla 1

Sea la PoblaciĂłn: {1,1,2,2,3,3,3,4,5,6,6,7,9}

1+1+2+2+3+3+3+4+5+6+6+7+9 =4 13 2 +(1−4)2 +(2−4)2 +(2−4)2 +(3−4)2 +(3−4)2 +(3−4)2 +(4−4)2 +(5−4)2 +(6−4)2 +(6−4)2 (7−4)2 +(9−4)2 (1−4) đ?‘† 2= 13

Calculamos su media: đ?œ‡ = N = 13

La pregunta es: Si se quiere escoger, de los datos de la tabla 1, una muestra sin reposiciĂłn con un nivel de confianza de 99% y un error menor que 1,68 ÂżCuĂĄl debe ser el tamaĂąo de la muestra? Nota 1: Se debe asignar un coeficiente de confianza (K) pues en tosa muestra hay un error de precisiĂłn, porque la muestra es sĂłlo un conjunto. Se debe asignar un nivel de confianza a los resultados obtenidos. Los niveles de confianza se encuentran estandarizados en tablas: Nivel Confianza 99% 95% 90% 85% 80%

Coeficiente de Confianza 2,567 1,960 1,645 1,439 1,289

Nota 2: Se debe asignar el Error de EstimaciĂłn o Margen de Error (E). Luego la media que se estime estarĂĄ afecta a ese E: đ?œ‡ = đ?‘‹Ě… Âą đ??¸ RESPUESTA: ExpresiĂłn para obtener el tamaĂąo de la muestra necesario para estimar la media de la poblaciĂłn:

đ?‘˛đ?&#x;? ∙ đ?‘ľ ∙ đ?‘şđ?&#x;? đ?’?= đ?‘ľ ∙ đ?‘Źđ?&#x;? + đ?‘˛đ?&#x;? ∙ đ?‘şđ?&#x;?

En nuestro ejemplo: đ?‘›=

đ?‘şđ?&#x;? K E N n

Varianza de la PoblaciĂłn Coeficiente de Confianza Error de estimaciĂłn TamaĂąo de la PoblaciĂłn TamaĂąo de la muestra

2,5672 ∙ 13 ∙ 5,538 ≈ 6,5 13 ∙ 1,682 + 2,5762 ∙ 5,538

Entonces el tamaĂąo de la muestra se aproxima a 7. Por ejemplo, si al azar se escogieran 7 elementos: 6,3,2,2,5,6,1 đ?‘‹Ě… = 4,1 Entonces la media de la poblaciĂłn deberĂ­a estar entre: 4,1Âą1,68; entre 2,42 y 5,79, lo que es verdad puesto que đ?œ‡ = 4.

29

IX)

Probabilidad:

A. PROBABILIDAD CLÁSICA: · Cuando la ocurrencia de un suceso (A) es igualmente posible que la ocurrencia de los demás. · P (A) = número de casos favorable para A número total de casos posibles B. PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES: Suma de Probabilidades: Sucesos A y B : Mutuamente Excluyentes

Sucesos A y B: que NO se excluyen Mutuamente

P (A U B) = P(A) + P(B)

P (A U B) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B)

Ejemplo: Lanzar un dado y calcular la probabilidad que salga 2 o 5: 1

1

2

1

P(Salga 2 ó 5) = P(salga 2) + P(Salga 5) = 6 + 6 = 6 = 3

Ejemplo: Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que sus caras sumen un número par o que sus caras sumen más que 9? P(suma par) = 18/36 P(Suma mayor que 9) = 6/36 Casos: 6-4, 4-6, 5-5, 5-6, 6-5, 6-6 P(sumar par y mayor que 9) = 4/46 Casos: 6-4, 4-6, 5-5, 6-6 18

6

4

5

P(Suma par o suma mayor que 9)=36 + 36 − 36 = 9 Producto de Probabilidades:

a) SUCESOS INDEPENDIENTES: Dos sucesos SON INDEPENDIENTES si la ocurrencia de uno de ellos no varía la probabilidad del otro. En ese caso, la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de la probabilidad de cada uno. Esto se conoce como la LEY MULTIPLICATIVA, y se expresa: P (A ∩ B) = P(A y B) = P(A) · P(B) Ejemplo: Se lanza un dado tres veces seguidas, ¿Cuál es la probabilidad de que salgan los números 1, 2 y 3 respectivamente?

30 Como son independientes, la probabilidad serĂĄ: 1 1 1 1 P(sale 1 en 1ra, y sale 2 en 2da., y sale 3 en 3ra.) = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 b) SUCESOS DEPENDIENTES: Si por otra parte, los dos sucesos son dependientes, la probabilidad de que ocurra A y B se expresa de la forma: P(A ∊ B) = P(A y B) = P(A)¡ P(B/A) Ejemplo: En una bolsa hay 7 fichas azules y 5 blancas. Si se extraen 2 fichas sin devolver la primera a la bolsa, calcula la probabilidad de que las dos fichas sean de color azul: Como no son independientes, la probabilidad serĂĄ: 7 6 7 P(sale azul en 1ra)¡P(Sale azul en 2da/saliĂł azul en 1ra) = 12 ∙ 11 = 22 Variable Aleatoria: La variable aleatoria (v.a.) es una funciĂłn que relaciona elementos de un espacio muestral â„Ś con el conjunto de los nĂşmeros Reales. Existen variables aleatorias discretas y continuas y hasta 2do. Medio se ven sĂłlo las discretas: que tienen como recorrido el conjunto de los Racionales. Ejemplo: Lanzamos 4 monedas al aire, entonces el espacio muestral es: â„Ś = {đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?, đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘ , đ?‘?đ?‘?đ?‘ đ?‘?, đ?‘?đ?‘ đ?‘?đ?‘?, đ?‘ đ?‘?đ?‘?đ?‘?, đ?‘?đ?‘?đ?‘ đ?‘ , đ?‘?đ?‘ đ?‘?đ?‘ , đ?‘?đ?‘ đ?‘ đ?‘?, đ?‘ đ?‘?đ?‘ đ?‘?, đ?‘ đ?‘?đ?‘?đ?‘ , đ?‘ đ?‘ đ?‘?đ?‘?, đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘?, đ?‘ đ?‘ đ?‘?đ?‘ , đ?‘ đ?‘?đ?‘ đ?‘ , đ?‘?đ?‘ đ?‘ đ?‘ , đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ } Sea la variable aleatoria: X = nĂşmero de caras: X=0 : SSSS X=1 : CSSS, SCSS, SSCS, SSSC X=2 : CCSS, CSCS, CSSC, SSCC, SCSC, SCCS X=3 : SCCC, CSCC, CCSC, CCCS X=4 : CCCC

X(SSSS)=0 X(SSSC)=X(SSCS)=X(SCSS)=X(CSSS)=1 X(CCSS)=X(CSCS)=X(CSSC)=X(SSCC)=X(SCSC)=X(SCCS)=2 X(SCCC)=X(CSCC)=X(CCSC)=X(CCCS)=3 X(CCCC)=4

Función de Probabilidad de una Variable Aleatoria: Sea una v.a. X discreta, su función de probabilidad se define como f(xi)=P(X=xi), de modo que si X:ℌ→ �; f:� → [0,1] Para el caso anterior: P(X=0)=1/16 P(X=1)=4/16 P(X=2)=6/16 P(X=3)=4/16 P(X=4)=1/16

FunciĂłn DistribuciĂłn de Probabilidad: La distribuciĂłn de Probabilidad de una v.a. es la acumulaciĂłn de las probabilidades bajo el criterio: F(xi) = P(X < xi) X 0

Frecuencia Absoluta 1

1

4

2

6

3

4

4

1

Total

16

f(xi)=P(X=xi) 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16

1

F(xi)=P(X<xi) 1 16 1 4 5 + = 16 16 16 1 4 6 11 + + = 16 16 16 16 1 4 6 4 15 + + + = 16 16 16 16 16 1 4 6 4 1 + + + + =1 16 16 16 16 16

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