Aritmética Elementar

MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR

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I229

IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71 Disciplinas

Autores

Língua Portuguesa

Literatura

Matemática

Física

Química

Biologia

História

Geografia

Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva Duarte A. R. Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

Produção

Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

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Aritmética Elementar Em geral ap, p ∈ N e p ≥ 2, é um produto de p fatores iguais a a. ap = a . a . a... . a p . fatores Os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência. Supõe-se que utilizamos o sistema de base 10 devido à nossa quantidade de dedos, o que facilitaria o processo de contagem primitivo. Em áreas como a eletrônica, por exemplo, é muito utilizado o sistema de base 2 ou binário, assim como o sistema de base 16 ou hexadecimal.

Todo número inteiro diferente de 0, 1 e -1 pode ser expresso como um produto de números primos.

Esse resultado, conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética, já aparecia no livro IX dos “Elementos”, de Euclides, e destaca a importância dos números primos na Teoria dos Números, desempenhando um papel similar ao dos átomos na estrutura da matéria.

O conceito de congruências, introduzido por Gauss, em 1801, no seu “Disquisitiones Arithmeticae”, será apresentado como importante ferramenta para estudo dos números. É importante lembrar que a Teoria dos Números é uma área em franco desenvolvimento, que apresenta aplicações nas mais diversas áreas e que ainda possui muitos problemas em aberto que são um desafio aos matemáticos.

``

Exemplos: 1) 40 = 1 2) (–5)0 = 1 3) 21 = 2 1 1 1 = 4) 5 5 5) (–4)1 = –4 6) 52 = 5 ⋅ 5 = 25 7) (–3)2 = (–3)⋅(–3) = 9 8) 02 = 0 ⋅ 0 = 0 9)

2 3

2

=

2 3

.

2 3

=

4 9

10) 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 11) (–2)3 = (–2)⋅(–2)⋅(–2) = –8 12) –23 = –(2)⋅(2)⋅(2) = –8 13) –(–2)3 = –(–2)⋅(–2)⋅(–2) = 8

Potência de expoente natural

EM_V_MAT_002

Seja a ∈ R a 0 e n ∈ N, a potência de base a e expoente n é um número an tal que: a0 = 1 an = an–1.a, n, n 1 Assim,

a1 = a0⋅ a = 1 ⋅ a = a a 2 = a1 ⋅ a = a ⋅ a a3 = a 2 ⋅ a = a ⋅ a ⋅ a

1) 2) 3) 4) 5) 6)

a0 = 1, a 0 a1 = a 0P = 0, p R+* 00 não é definido n par an > 0 n ímpar an tem o mesmo sinal de a

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1

Potência de expoente inteiro negativo

``

1 1 = 31 3 1 1 2 ) 3 -2 = 2 = 3 2 1 1 1 −3 3 ) (−3 ) = = =− 3 27 (−3 ) − 27 −2

=

1 2   3

2

=

a Em geral, temos:    b

2 . 3 3 = 3 2.3 =

−n

 b =  a

3

6

Potência de expoente racional Seja a R+* e p q

1 9 = 4 4 9

Q*, temos: p

q

a q = ap n

Raiz enésima aritmética Seja o radicando a R+ e o índice n N, existe n sempre a raiz b R+, tal que a = b bn = a.

Exemplos: 5

Exemplo: 3

1) 31 =

``

3 3 +2 3 =5 3

Exemplos:

2 4)   3

Exemplo:

2) Para multiplicação ou divisão basta que as raízes possuam o mesmo índice.

1 a–n = n , a R* a ``

``

32 = 2, pois 25 = 32

``

p Expoente q Exemplos:

numerador potência da base denominador índice da raiz

1

2

1) 3 2 = 3

3

2) 8 3 = 82 = 4

As potências de expoente irracional são definidas por “aproximação” de potências racionais, mas apenas para bases não-negativas.

Propriedades das potências 1) ap ⋅ aq = ap + q 4

4

Da definição temos que 16 = 2 e não 16 = 2.

Especial cuidado deve ser tomado no cálculo da raiz quadrada de quadrados perfeitos onde tem-se a2 = a . ``

2)

3) (a ⋅ b)p = ap ⋅ bp

Exemplos: (–5) = – 5 = 5 e 2

ap = ap – q, a ≠ 0 aq

4)

x = x.

2

a b

p

=

ap bp

,b≠0

5) (ap)q = ap⋅q ``

Operações

2) 34 ⋅ 3–1 = 34–1 = 33 25 3) = 25 – 2 = 23 22

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EM_V_MAT_002

1) 53 ⋅ 52 = 53+2 = 55

1) Só é possível adicionar ou subtrair raízes idênticas (mesmo índice e radicando).

2

Exemplos:

4)

25

erros nos dois casos são inferiores a 1 unidade.

A diferença entre o número dado e o quadrado da raiz aproximada (em geral a raiz por falta) é chamada resto da raiz quadrada.

= 25 –(– 2) = 27

2 5) (2 ⋅ 3)2 = 22⋅32 6)

–2

3 5

2

32

=

``

52

Exemplo: 36 < 42 < 49 ⇔ 62 < 42 < 72, assim 6 é a raiz quadrada de 42 por falta, 7 é a raiz quadrada de 42 por excesso e o resto é 42 – 62 = 6.

7) (53)2 = 53⋅2 = 56 2

8) 53 = 59

Racionalização Como se pôde notar pelos exemplos 7 e 8 anq teriores, em geral temos (ap)q ≠ ap .

Propriedades das raízes Sejam n, p ∈ N* e a, b ∈ R+ 1)

n

2)

n

3)

n

4)

n

5)

p n

am =

n.p

a.b =

am.p

n

a.

n

b

n

a a ,b≠0 =n b b a

m

3.

6

6

a =

p.n

6

Exemplos: 1)

2

1 1 . = 2 2

2

2 2 = 2 22

=

3

3 3 32 3. 9 3 9 3 3 3 2) 3 =3 .3 2 = 3 3 = 3 = 9 3 3 3 3

a

6

2 = 33 . 22 = 33 .22 = 108

Raiz quadrada aproximada EM_V_MAT_002

``

m = a

Exemplo: 3

Racionalização baseada nas propriedades de potências e raízes

n

As propriedades das raízes são iguais às propriedades das potências para expoentes fracionários.

As propriedades acima são úteis para redução de potências ao mesmo índice a fim de permitir a sua multiplicação ou divisão. ``

Racionalizar consiste em transformar as expressões com radicais no denominador em expressões equivalentes que não apresentem radicais no denominador.

Essa operação é feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um fator racionalizante. Esse fator é a expressão que multiplicada pelo denominador resulte em uma expressão sem radicais. Esse fator é encontrado tendo por base as propriedades de potências e raízes, e a analogia com as fórmulas da fatoração.

No caso de números que não possuem raiz quadrada exata, pode-se falar na raiz quadrada por falta como o maior número cujo quadrado não excede o número dado e na raiz quadrada por excesso como o menor número cujo quadrado excede o número dado.

Os dois números citados diferem em 1 unidade e os

Racionalização baseada na fórmula: (a + b).(a - b) = a2 - b2 ``

Exemplos: 1 = 3– 2

1)

2)

3+ 2 3–2 =

= 1

2+1

=

2–1 = 2–1 =

3+ 2 = 3+ 2

1 .

3– 2 3 +

1 .

2+1

3+ 2 2 3 – 2

2

2 2 –1 = 2 –1

2 –1 2 2 – 12

2 –1

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3

Racionalização baseada nas fórmulas: (a3 + b3) = (a + b).(a2 - ab + b2) e (a3 - b3) = (a - b).(a2 + ab + b2) Exemplos: 1

1)

3

3

=

=

2) 3 3

3

.

2 –1

3

2 + 2 . 1 + 12 3

3

=

2 –1 2

1

4 +

2 – 13 3

3

2

3

2 + 2 . 1 + 12

3

2 + 2

2 . 1 + 12

3

2 + 2 +1 2–1

2 +1 1

3

3

=

3

2

3

3

=

3

9– 6+ 4 3

3

3+ 2 3 3 3 + 2

3

=

3

1 3

3

3

9– 6+ 4

3

3+ 2 3+2 =

3

.

3

3

3+ 2 3 3+ 2

3

3+ 2 5

Transformação de radicais duplos A

B=

A+C 2

onde os algarismos podem tomar apenas os valores 0, 1, 2, . . . , b – 1.

Exemplos: 1) 3 + 5 = 3 + 2 + 3 – 2 2 2 10 + 2 2

5+ 1 = 2 2

=

Exemplos: (23)6 = 3 + 2 . 6 = 15 (1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0. 22 +1 . 23 = 11

6 – 20

=

6+4 + 6–4 2 2

2 C = 6 – 20 = 4

Sistemas de numeração

4

``

(145)6 = 5 + 4 . 6 +1 . 62 = 65

C = 32– 5 = 2

2) 6 – 2 5 = = 5 –1

Um sistema de numeração de base b se relaciona com a base 10 da seguinte forma: (anan–1. . . a2a1a0)b = a0 + b . a1 + b2 . a2 +. . . + bn . an

A–C 2

C = A2 – B ``

Mudança de uma base qualquer para a base 10

O nosso sistema de numeração chama-se hinduarábico e tem base dez. Isso quer dizer que utilizamos apenas dez símbolos (algarismos) para representar todos os números. Esses algarismos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Os números restantes são representados por combinações desses símbolos.

Na expressão acima podemos notar que num sistema de base b são usados b algarismos e o maior algarismo utilizado é b – 1. Ex.: O sistema de base 6 possui 6 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Caso a quantidade de símbolos exceda 10, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto, dessa forma os símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, ..., onde A equivale a 10 unidades de base 10, B a 11, C a 12 e assim por diante. É usual utilizar um traço acima de variáveis justapostas para representar que as mesmas são algarismos que compõem um número.

Por exemplo, para a base 10:

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EM_V_MAT_002

``

Em geral escreve-se: (anan –1. . . a2a1a0)10 para representar 100a0 + 101a1 + 102 a2 +...+ 10n–1an–1 + 10n an com 0 ≤ ai < 10.

Dessa forma escreve-se 75 para representar 7 . 10+5 e 223 para representar 2 . 102 +2 . 10 + 3 Entretanto, os números podem ser escritos em diversas bases de numeração conforme a necessidade e conveniência.

No sistema de base 2, os algarismos utilizados são 0 e 1, e os primeiros números são escritos: (1)2 = (1)10 (10)2 = (2)10 (11)2 = (3)10 (100)2 = (4)10 (101)2 = (5)10 (110)2 = (6)10 (111)2 = (7)10 Em geral, quando representamos os números da base 10, omitimos o subíndice.

xyé usado para representar 10x+y xyz para representar 100x + 10y + z Esse tipo de representação pode ser utilizada também em outras bases.

Mudança da base 10 para uma base qualquer Já sabemos como relacionar um número em uma base qualquer com seu correspondente na base 10.

Agora vamos ver como obtemos a representação em uma outra base de um número que conhecemos na base 10. Isso é feito baseado na expressão do item anterior. Dessa forma, para passar um certo número da base 10 para uma base qualquer b, deve-se dividir o número sucessivamente por b e a sua representação nessa nova base é dada pelo resto assim obtido tomados na ordem contrária. ``

Exemplos: Escrever 171 na base 2.

171 2 1 85 1

2 42 0

2 21 1

2 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1

171 = (10101011)2

Mudança entre bases diferentes da base 10 Para converter um número que se encontra em uma base diferente de 10 para outra também diferente de 10, deve-se converter o número para a base 10 e então para a nova base. ``

Exemplos: Ex.: Escrever (6 165)7 no sistema de base 12 Temos: (6 165)7 = 6⋅7 3 + 1⋅7 2 + 6⋅7 + 5 = 2 154 Fazendo divisões sucessivas: 2154 = 12 ⋅ 179 + 6 179 = 12 ⋅ 14 + 11

Se n e p são números naturais com n > p, o número de naturais entre n e p inclusive (isto é, contando também n e p) é igual a n – p + 1.

Se no cômputo incluirmos apenas um dos extremos a quantidade de naturais é n – p.

O número de naturais entre n e p exclusive (isto é, excluindo os dois extremos) é igual a n – p – 1. ``

Exemplos: 1) Entre 10 e 99 inclusive há (99 – 10 + 1) = 90 números.

2) Entre 9 e 99 excluindo o 9 há (99 – 9) = 90 números.

3) Entre 9 e 100 excluindo (sem os dois extremos) há (100 – 9 – 1) = 90 números.

As ideias expostas acima podem ser utilizadas na ordem inversa, como no exemplo abaixo: Exemplo: Qual o vigésimo número após 15?

Temos então que contar 20 números começando em 16, ou seja, sem incluir o 15. Teremos então (x – 15) = 20 donde x = 35.

Muitas vezes precisamos contar a quantidade de números numa sequência de múltiplos de k. Devese proceder como acima considerando os números divididos por k.

Exemplo: Escrevem-se os múltiplos de 3 desde 33 até 333. Quantos números são escritos?

Os números escritos vão de 3 . 11 até 3 . 111, logo devemos contar a quantidade de números de 11 a 111 inclusive, isto é, (111 – 11) + 1 = 101 números.

Outras vezes é solicitado que se contem a quantidade de algarismos escritos. Para tanto, é necessário calcular quantos números são escritos com cada quantidade de algarismos. ``

Exemplos: São escritos os naturais de 1 a 150. Quantos algarismos foram escritos?

De 1 a 9 há (9 – 1 + 1) = 9 números de 1 algarismo.

De 10 a 99 há (99 – 10 + 1) = 90 números de 2 algarismos.

De 100 a 150 há (150 – 100 + 1) = 51 números de 3 algarismos.

Logo, o total de algarismos escritos é 9 ⋅ 1 + 90 ⋅ 2 + 51 ⋅ 3 = 342.

14 = 12 ⋅ 1 + 2 1 = 12 ⋅ 0 + 1 EM_V_MAT_002

Contagem

Logo, 2 154 = (12B6)12 Portanto, (6 165)7 = (12B6)12

A tabela a seguir mostra a quantidade de números que se pode formar na base 10 com uma determinada quantidade de algarismos.

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5

``

Exemplo:

Qtd. de algarismos

Qtd. de números

1

9

Quantos divisores positivos possui o número 60?

2

90

60=22. 31. 51

3

900

4

9000

d (60)=(2+1).(1+1).(1+1)=12

Divisibilidade Sejam a e b dois inteiros, com a ≠ 0. Diz-se que a divide b (denotado por a | b) se, e somente se, existe um inteiro q tal que b = a . q. Se a não divide b escreve-se a b.

Ex.: 2|6, pois 6 = 2 3 e 3 10, pois não existe inteiro q, tal que 10 = 3q.

•• Para obter o total de divisores positivos e negativos, basta multiplicar por 2 o valor obtido pela expressão acima.

Propriedades

•• A quantidade de divisores pares pode ser obtida subtraindo esse número do total.

•• Para obter a quantidade de divisores ímpares basta excluir do produto d(n) o fator relativo ao expoente do primo 2, se houver.

Divisores positivos de 60 = (2+1).(1+1).

(1+1) = 12

Sejam a, b e c inteiros. a|0, 1|a e a|a (reflexiva) Se a|1, então a = ±1 Se a|b e c|d, então ac|bd Se a|b e b|c, então a|c (transitiva) Se a|b e b|a, então a = ±b Se a|b, com b ≠ 0, então |a| ≤ |b| Se a|b e a|c, então a|(bx + cy), x,y Z.

É o conjunto dos números inteiros não-nulos que são divisores de a, conforme definido acima.

D(a) = {x Z* x|a} Ex.: D(0) = Z*, D(1) = {1, –1} e D(8)={±1,±2, ±4, ±8}

Divisores comuns de dois inteiros D(a, b) = {x Z* x|a e x|b} = {x Z* x D(a) e x D(b)} = D(a) D(b).

Ex.: D(12, – 15) = {±1, ±3}.

Número de divisores positivos O número de divisores positivos de um inteiro positivo n > 1, cuja decomposição canônica é n = p1 1 p2 2 ... pk k, é dado por: d(n) = ( 1 + 1)( 2 +1) ... ( k + 1)

6

Divisores ímpares de 60 (positivos) = (1+1).

(1+1) = 4 Divisores pares de 60 (positivos) = 12 – 4 = 8

Máximo divisor comum (MDC) Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos. O máximo divisor comum de a e b é o inteiro positivo d = mdc (a, b) que satisfaz: (1) d a e d b (2) se c a e c b, então c d.

A condição (1) diz que d é um divisor comum de a e b e a condição (2), que d é o maior dos divisores comuns. ``

Exemplos: mdc (8,1)=1, mdc(–2,0) = 2, mdc(–6,12) = 6, mdc(16, 24) = 8, mdc (24, 60) = 12.

Corolários mdc (a, 1) = 1 se a 0, então mdc (a, 0) = a se a b, então mdc (a, b) = a

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EM_V_MAT_002

Divisores de um inteiro

Total de divisores positivos e negativos de 60 = 2.12 = 24

Existência e unicidade do MDC Sejam a e b dois inteiros não simultaneamente nulos, então mdc (a, b) existe e é único; além disso, existem x e y tais que mdc (a, b) = ax + by, isto é, o mdc (a, b) é uma combinação linear de a e b.

A representação do mdc (a, b) como combinação linear de a e b não é única. Na verdade, mdc (a, b) = d = a(x + bt) + b(y – at) para qualquer inteiro t.

Números primos entre si

Teorema: Para todo k≠0, mcd (ka, kb)=|k| – mcd (a,b).

MDC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mdc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns as duas decomposições tomados com seus menores expoentes. ``

Diz-se que a e b são primos entre si se, e somente se, o mdc (a, b) = 1.

Ex.: são primos entre si os pares 2 e 5, 9 e 16 e 20 e 21.

Dois inteiros primos entre si admitem como únicos divisores comuns 1 e – 1.

Teorema: Dois inteiros a e b, não simultaneamente nulos, são primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y, tais que ax + by = 1.

Corolário: Se mdc (a,b) = d, então o mdc (a/d, b/d) = 1.

Corolário: Se a b e se mdc (b,c) = 1, então mdc (a,c)=1.

Corolário: Se a c, b c e mdc (a, b) = 1, então ab c.

Corolário: mdc (a, b)=mdc (a, c)=1 se, e somente se, mdc (a, bc)=1.

Teorema de Euclides: Se a bc e mdc (a, b) = 1, então a c.

588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mdc (588,936) = 22 . 3 = 12.

Mínimo múltiplo comum (MMC) O conjunto de todos os múltiplos de um inteiro qualquer a 0 indica-se por M(a), ou seja, M(a) = {x Z tal que ax} = {aq q Z}. ``

Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se múltiplo comum de a e b todo inteiro x tal que a x e b x.

M(a,b) = {x M(b)}

q2 r1 r3

q3 r2 ...

... ... rn

qn rn-1 0

EM_V_MAT_002

mdc (963, 657) = 9

963 306

2 306 36

M(a) e x

M(b)

Exemplo: M(18)={18q\q Z}={0, 18, 36, 54, 72, 90, 108,...} M(18) = {0, 36, 72, ...}

M(12,18) = M(12)

Sejam a e b dois inteiros não-nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b o inteiro positivo m = mmc(a,b) que satisfaz as condições: (1) a m e b m

qn+1 rn

Exemplos:

1 657 45

Z/x

M(12)={12q\q Z}={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...}

O aparecimento do resto 0 indica rn = mdc (a, b). ``

Z / a x e b x}={x

M(a,b) = M(a)

Teorema: Se a = bq + r, então mdc (a, b) = mdc (b, r).

O algoritmo de Euclides é baseado na aplicação repetida do lema acima e é normalmente apresentado por intermédio do seguinte dispositivo prático: q1 b r2

Exemplos: M(1) = M(–1) = Z e M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}

Algoritmo de Euclides

a r1

Exemplos:

(2) se ac e bc, com c > 0, então m c. ``

Exemplo: mmc (12,18) = 36

Corolários 6 45 9

1 36 0

4 9

•• mmc (a,b)

ab

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7

•• se a b, então mmc (a,b) = b •• se mdc (a,b) = 1, então mmc (a,b) = ab

Teorema Fundamental da Aritmética: Todo inteiro positivo n > 1 pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. n = P1α1 ⋅ P2α2 ⋅ ... ⋅ Pkαk

``

``

Exemplos: Decomponha o número 17 640 em um produto de fatores primos.

Exemplos:

Basta dividir o número sucessivamente por seus divisores primos em ordem crescente como mostrado abaixo:

Determinar o mmc (963, 657).

Pelo algoritmo de Euclides mdc (963,657) = 9. Logo, mmc (963,657) = 963 . 657/9 = 70299.

17 640 8 820 4 410 2 205 735 245 49 7 1

MMC a partir das decomposições canônicas Conhecidas as decomposições canônicas de dois inteiros positivos a e b, o mmc (a,b) é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns às duas decomposições tomados com seus maiores expoentes. ``

Exemplos: 588 = 22 . 3 . 72 e 936 = 23 . 32 . 13, logo mmc (588,936) = 23 . 32 . 72 . 13 = 45 864.

Números primos Um inteiro positivo p > 1é um número primo se, e somente se, 1 e p forem os seus únicos divisores positivos.

Os inteiros maiores que 1, que não são primos, ou seja, têm pelo menos um divisor além de 1 e dele mesmo, são ditos compostos. ``

Exemplos: Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...

O único inteiro positivo par que é primo é o número 2.

Corolários: •• Se um primo p não divide um inteiro a, então a e p são primos entre si.

•• Se p é um primo tal que p|ab, então p|a ou p|b.

8

•• Todo inteiro composto possui um divisor primo.

2 2 2 3 3 5 7 7

Então, 17 640 = 23 .32 .5 . 72.

Teorema de Euclides: há um número infinito de primos.

Teorema: Se um inteiro a > 1 é composto, então a possui um divisor primo p a.

Esse teorema indica um processo para reconhecer se um número a > 1 é primo, bastando dividir os números sucessivamente pelos primos que não excedam a . ``

Exemplos: 22 < 509 < 23, assim devem-se testar os primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Como 509 não é divisível por nenhum desses números, então 509 é primo.

Crivo de Eratóstenes: Construção de uma tabela de primos que não excedem um dado inteiro n: escrevem-se em ordem os inteiros de 2 a n e, em seguida, eliminam-se todos os inteiros compostos múltiplos dos primos menores que n . ``

Exemplos: 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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Sejam a e b inteiros positivos, então: mdc (a, b) . mmc(a, b) = a . b

31

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40

41

42

43

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51

52

53

54

55

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58

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60

61

62

63

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65

66

67

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69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

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86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

2) Calcule o algarismo das unidades de 5 837649. ``

Solução: Para obtermos o algarismo das unidades, devemos calcular o resto por 10.

5 837 7 (mod 10) 5 8372 9 (mod 10) 5 8373 9 x 7 3 (mod 10) 5 8374 3 x 7 1 (mod 10) O aparecimento do valor 1 inicia um novo ciclo de repetição, onde os valores se repetem em ciclos de 4.

Observando os expoentes nota-se o seguinte:

Congruências Sejam a e b inteiros e m inteiro positivo, a é côngruo a b módulo m se, e somente se, a – b é múltiplo de m. a b (mod m) m (a – b) ``

Exemplos: 14 8 (mod 3), pois 3 (14 – 8) 10 8(mod 3), pois 3 (10-8)

Propriedades: a a (mod m)

``

b a (mod m)

a b (mod m) e b c (mod m)

a c (mod m)

a b (mod m) e c d (mod m) m) e a.c b.d (mod m)

a + c b + d (mod

a b (mod m)

a + c b + c (mod m) e ac bc (mod m) an bn (mod m),

n Z+*.

Exemplos: 1) Determine o resto de (14 543)567 por 3.

``

Solução: 14 543 2 (mod 3) 14 5432 22 1 (mod 3) 14 5433 2 x 1 2 (mod 3) 14 5434 2 x 2 1 (mod 3)

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4n +1

7

4n + 2

9

4n + 3

3

4n

1

3) Calcule x sabendo que 7x 4 (mod 10).

Teorema: a b (mod m) se, e somente se, os restos das divisões de a e b por m são iguais.

a b (mod m)

Resto por 10

Como o expoente 649 = 4 x 162 + 1, o resto por 10 é 7, ou seja, o algarismo das unidades é 7.

20 – 19 (mod 3), pos 3 (20 – (–19))

a b (mod m)

Expoente

14 543567 2 (mod 3) Pode-se notar que os valores se repetem, sendo 2 nos expoentes ímpares e 1 nos expoentes pares. Assim, o resto é 2.

``

Solução: Vamos descobrir uma solução particular x o tal que 10 (7xo – 4). Para tanto deve existir yo inteiro tal que 7xo – 4 = 10yo, ou seja, 7xo – 10yo = 4. O algoritmo de Euclides nos permite obter os valores xo = 12 e yo = 8, ou seja, 7.12 – 10.8 = 4. Então precisamos encontrar x, tal que 7x 4 (mod 10) e 7.12 4 (mod 10). Subtraindo, temos 7(x – 12) 0 (mod 10), ou seja, 10 7(x – 12). Como 10 é primo com 7, devemos ter 10 (x – 12), isto é, x 12 2 (mod 10) ou x = 10k + 2, com k Z.

Critérios de divisibilidade Por 2: 2|n n é par Ex.: 2|356 e 2 357 Sugestão para demonstração: Considere n = 10k + r, onde r é o algarismo das unidades de n.

Por 3: 3 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 3.

Ex.: 3|111, pois 1+1+ 1 = 3, 3|114, pois 1 + 1 + 4 = 3 2, mas 3 112, pois 1 + 1 + 2 = 4.

Por 4: 4 n o número formado pelos dois últimos algarismos de n é múltiplo de 4.

Ex.: 4 3240, pois 4 40, 4 1516, pois 4 16, mas 4 126, pois 4 26.

Por 5: 5 n o algarismo das unidades de n é

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9

0 ou 5.

Ex.: 5 110, 5 115 e 5 111 Por 6: 6 n n é par e múltiplo de 3.

Ex.: 6 120, 6 126 e 6 124 Por 8: 8 | n o número formado pelos três últimos algarismos de n é múltiplo de 8.

Ex.: 8|3240, pois 8|240, 8|5136, pois 8|136, mas 8 1516, pois 8 516.

Por 9: 9 | n a soma dos algarismos de n é múltiplo de 9.

Ex.: 9|117, pois 1+1+ 7 = 9, 9|738, pois 7 + 3 + 8 = 9.2, mas 9 116, pois 1 + 1 + 6 = 8.

Por 10: 10 | n o algarismo das unidades de n é 0.

Ex.: 10|110, 10|2100, mas 10 111 e 10 115 Por 11: 11 | n a soma dos algarismos de n de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par é múltiplo de 11.

Ex.: 11|187, pois 1+ 7 – 8 = 0, 11|627, pois 6 + 7 – 2 = 11, mas 11 826, pois 8 + 6 – 2 = 12.

3. (UFCE) O valor exato de 32+10 7 + 32 – 10 7 é: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 ``

Solução: C 1) x = 32+10 7 + 32 – 10 7 x2 = 32 + 10 7 + 32 – 10 7 + 2 32 2 – 100.7

⇒ x2 = 64 +2 324 = 64 +2 .18 = 100

Como x > 0, então x = 10.

2) Observando que 32 = 52 + 7, então:

32 10 7 = 52 2.5. 7 + 7 = (5

7 )2

x = 32+10 7 + 32 – 10 7 = 5 + 7 +5 − 7 = 10 1. Sabendo-se que a, b e c são números reais positivos e a2=56, b5=57 e c3=38, calcule (abc)15.

Solução: a2 = 5 6

f(t) = a = 53

onde B é a população da cidade. Sabendo-se que 1/9 da população soube do acidente três horas após, então o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas.

(abc)15 = a15b15c15 = a15 ⋅ (b5)3 ⋅ (c3)5 = (53)15 ⋅ (57)3 ⋅ (38)5 = = 545 ⋅ 521 ⋅ 340 = 545+21 . 340 ``

Solução: 566 . 340

b) 5 horas.

2. (Fatec) Se x e y são números reais tais que x = (0,25)0,25 e y = 16−0,125, é verdade que:

d) 5 horas e 24 minutos.

b) x > y

e) 5 horas e 30 minutos. ``

d) x − y é um número irracional. e) x + y é um número racional não-inteiro Solução:

10

Solução: A

Solução: A B = f(0) = 1 + C.e–k.0

B 1+C

=

B 65

C = 64 1

1 4

4

1 =4 2 = 1 4 18 8 1 2 –0,125 y = 16 = 24 = 8 4 = 2 Logo, x = y.

x = (0,25)0,25 =

``

c) 6 horas.

a) x = y c) x ⋅ y = 2 2

``

B 1 + Ce–kt

1 2 1 2

f(3) =

B 1+ 64 .e3k

=

B 9

⇔ 1 +64 ⋅ e−3⋅k = 9 ⇔ e−3⋅k = ⇔ e −k =

1 2

1 8

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EM_V_MAT_002

``

4. (ITA) Um acidente de carro foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado por:

B B = –k.t 1+64.e 5 1 ⇔ 1 +64 ⋅ e − k⋅t = 5 ⇔ e −k⋅t = 16 1 4 1 t 1 4 (e−k)t = = 2 2 2 f(t) =

B 5

7.

=

• para se escreverem os números naturais de 1 até 11, são necessários 13 dígitos; e • para se escreverem os números naturais de 1 até o número natural n, são necessários 1341 dígitos.

t = 4 horas

Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a: a) 448

5. (Unicamp -SP) Para representar um número natural positivo na base 2, escreve-se esse número como soma de potências de 2.

b) 483

a) Por exemplo: 13 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21+1 . 20 = 1 101

c) 484 d) 447

b) Escreva o número 26 +13 na base 2. c) Quantos números naturais positivos podem ser escritos na base 2 usando-se exatamente cinco algarismos?

``

entre 1 e 250 temos 250 números naturais. Na base 2, temos 244 números com 45 algarismos. Portanto, a pro2 44 1 1 . babilidade é 50 = 6 = 2 2 64 6. (UFF) Um número n é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Invertendo-se a ordem desses algarismos, obtém-se um número do qual subtrai-se n e o resultado encontrado é 54. Determine o número n.

Solução: (10y + x) – (10x + y) = 54

–9x +9y

900 ⋅ 3 = 2 700

n = 483

8. (UFRN) Uma espécie de cigarra que existe somente no Leste dos EUA passa um longo período dentro da terra alimentando-se de seiva de raízes, ressurgindo após 17 anos. Em revoada, os insetos dessa espécie se acasalam e produzem novas ninfas que irão cumprir novo ciclo de 17 anos. Em 2004, ano bissexto, os EUA presenciaram outra revoada dessas cigarras. O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será em: a) 2072 b) 2068 c) 2076 d) 2080 ``

Número n: xy

900 n.os

Para os números de 3 algarismos restam 1 341 − 189 = 1 152 dígitos o que equivale a 1 152/3 = 384 números. (n – 100) +1 = 384

c) 1/64

90 ⋅ 2 = 180 dígitos.

Logo, atingem-se 1 341 dígitos durante os números de 3 algarismos, donde conclui-se que n possui 3 algarismos.

b) 16 Na base dois podem ser usados os algarismo 0 e 1. O primeiro algarismo deve ser 1, os outros 4 podem ser escolhidos entre 0 e 1. Pelo princípio multiplicativo, temos um total de 2⋅2⋅2⋅2 = 16 números.

9 ⋅ 1 = 9 dígitos.

90 n.os

3 algarismos: 100 a 999 dígitos.

Solução:

yx – xy = 54 = 54

9 n.os

2 algarismos: 10 a 99

a) (1001101)2 , pois 26 +13 = 1 ⋅ 25 + 0 ⋅ 24 +0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21 +1 ⋅ 20 = (100111)2

``

Solução: B 1 algarismo: 1 a 9

d) Escolhendo-se ao acaso um número natural n tal que 1 n 250, qual a probabilidade de que sejam usados exatamente quarenta e cinco algarismos para representar o número n na base 2? ``

(UFMG) Sabe-se que:

Solução: A O próximo ano bissexto em que ocorrerá uma revoada da futura geração de cigarras será após mmc (17, 4) = 68 anos, ou seja, no ano 2004 + 68 = 2072.

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–x+y=6 x + y = 12 -x+y=6 n = 39

2y = 18 ⇒ y = 9 e x = 3 1. Simplifique:

7

321 + 323 10

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2. (FGV) Se x = 3 200 000 e y = 0,00002, então xy vale:

10 e) 10 − 1

2

a) 0,64

8. (UFRN) Dados os números M = 9,84 ⋅ 1015 e N = 1,23 1016, pode-se afirmar que:

b) 6,4 c) 64

a) M < N

d) 640

b) M + N = 1,07 ⋅ 1016 c) M > N

e) 6 400 3. (PUC-Rio) Das opções abaixo, qual apresenta a relação correta? a) (−68)3 = (−6)24

9. (Unificado) O número de algarismos do produto 517 ⋅ 49 é igual a: a) 17

b) (−2)3 = 2−3

b) 18

c) 23 + 24 = 27 d)

d) M ⋅ N = 1,21 ⋅ 1031

c) 26

192 + 402 59 = 131 1312

d) 34

e) 112 ⋅ 362 = 3962

e) 35

4. (PUC-Rio) O valor de 67 − 6 + 9 é igual a: a) −3

10. (Unicamp) Dados os dois números positivos 4 4 , determine o maior.

3

3 e

11. (UERJ) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua.

b) −9 c) 8 d) 4 e) 2 5. (PUC-Rio) Assinale a afirmativa correta: a) (2a −1 )b =

b 2a

b) a2 b3 = (ab)6 c) 5a + 6b = 11ab

Colocando 12 vezes a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:

d) Se a3 = b3 , então a = b e) Se a2 + b2=25 então a + b = 5 6. (Unicamp)

a) 240

a) Calcule as seguintes potências: 3

b) 235 −3

b) Escreva os números a, b, c, d em ordem crescente.

7.

10 20 30 (UFF) A expressão 1020 + 1030 + 1040 é equivalente a: 10 + 10 + 10

a) 1 +1010 b)

1010 2

c) 10−10

12

d) 1010

c) 225 d) 220 12. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.

O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de:

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−2

a = 3 , b = (−2) , c = 3 e d = (−2) .

3

a) 150

b) 47

b) 160

c) 48

c) 190

d) 49

d) 200

e) 50

13. (UERJ) Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte situação:

18. (Fuvest) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é: a) 37 b) 36

a) N ão era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações acima, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi: b) 16

d) 34 e) 33 19. (UFF) Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.

Dentre esses números, o maior é:

c) 26

a) múltiplo de 3.

d) 36

b) ímpar.

e) 46 14. (UERJ) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Agrupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3

c) quadrado perfeito. d) divisor de 500. e) divisível por 4.

20. (UFF) Considere p, q ∈ N* tais que p e q são números pares. Se p > q, pode-se afirmar que: a) (pq + 1) é múltiplo de 4.

b) 4

b) p – q é ímpar.

c) 6

c) p + q é primo.

d) 8 15. (UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.

Considere o determinante de ordem 3 abaixo:

2 0 4 7 8 2 2 5 5

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c) 35

d) p2 – q2 é par. e) p(q + 1) é ímpar.

21. (UFF) Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo descrito a seguir: “Se p é um número primo e se 2p +1 é um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain.”

Pode-se afirmar que é primo de Germain o número:

Demonstre que esse determinante é divisível por 17.

16. (UERJ) Considere dois números naturais ab e cd em que a, b, c e d são seus algarismos. Demonstre que, se ab ⋅ cd = ba ⋅ dc, então a ⋅ c = b ⋅ d.

a) 7

17. (FGV) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres).

Um possível valor para N é:

d) 19

a) 46

b) 17 c) 18

e) 41 22. (UFMG) José decidiu nadar, regularmente, de quatro em quatro dias. Começou a fazê-lo em um sábado; nadou pela segunda vez na quarta-feira seguinte e assim por

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diante. Nesse caso, na centésima vez em que José for nadar, será: a) terça-feira.

4. (CN) Simplificando a expressão: ∈ {0, 1}, temos:

n

600 25n +2 − 52n +2

para n

a) 5

b) quarta-feira.

b) 5–1

c) quinta-feira.

c) 5–2

d) sexta-feira.

23. (UFMG) A soma de dois números inteiros positivos, com dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é um número:

d) 52 e) 50 5. (CN) Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das 24

a) menor que 9.

xy unidades simples do resultado de   é:

b) múltiplo de 3.

a) 1

c) primo.

b) 3

d) maior que 30.

c) 5

 z 

d) 7 e) 9 1. A equação x x a:

x

= 2 é satisfeita apenas quando x é igual

6. (CN) Qual o valor da expressão  1+ 2 + 3 +  + 50    5 + 10 + 15 +  + 250 

a) 2 4

3

2

c)

3

5

d)

3

5

e)

a) 8 b) 0

7.

5

−1

5 5

(UFF) A expressão

c) 4

a) 1 – 2

d) 2

b) 244⋅ (288+1)

e) 3

c) 9 ⋅ 244

3. (CN) Sabendo que x 2 = 19996 ,

a) 1999

9

b) 19996 c) 1999

1 9

d) 1999–6 e) 1999

–9

88

888 − 444 844 − 422

é equivalente a:

d) 3 ⋅ (1 – 288)

y = 1999 e 4

z > 0), o valor de ( x ⋅ y ⋅ z )

14

3

5

b)

2. (CN) Calcule a diferença y – x, de forma que o número: 2x ⋅ 34 ⋅ 26y possa ser expresso como uma potência de base 39.

3

, ) ( 2 125

a) 1

2

c) d)

2

⋅

− 13

5

z 4 = 19998, (x > 0, y > 0 e

é:

e) 288 ⋅ (288 + 1) 8. (UERJ) Considere o polinômio P(n) = (n +1)⋅(n2 +3n +2), n ∈ N. Calcule: a) a quantidade de paralelepípedos retângulos de bases quadradas e volumes numericamente iguais a P(11), cujas medidas das arestas são expressas por números naturais.

9 6 3 b) o valor da expressão: 7 + 4 ⋅ 7 + 25 ⋅ 7 + 2

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b)

−1 2

9. (UECE) Se n = (0,5 ⋅ 40,25 + 40,75)2 − 41,5⋅(1 + 4−0,5), então 32 ⋅ n é igual a: a) 16 b) 32 c) 48 d) 64

d) 10 15. (UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50

10. (IME) Calcule: 3 2 + 10 3 + 3 2 − 10 3 9

9

b) 47 c) 48 d) 49 e) 51

11. (Unirio) Numa população de bactérias, há P(t) = 10 9 ⋅ 43⋅t bactérias no instante t medido em horas (ou fração na hora). Sabendo-se que inicialmente existem 10 9 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial?

16. (Fuvest) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.

17. (Fuvest)

a) 20

a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000?

b) 12

b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000?

c) 30 d) 15 e) 10 12. Sabendo que: 1989a = 13 e 1989 b = 17. Calcule  1− a −b   

18. (Unesp) Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC (n, m) = 18, os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198

117  2(1−b)  117 13. (UFMG) Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira.

Então, 15 de outubro do mesmo ano foi: a) quinta-feira.

b) 36, 180 c) 90, 126 d) 126, 90 e) 162, 54

b) terça-feira.

19. (UERJ) Observe que, na tabela abaixo, só há números primos maiores que 3 na primeira e quinta colunas.

c) quarta-feira. d) sexta-feira.

14. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o resultado seja o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é: EM_V_MAT_002

a) 9 b) 7 c) 8

a) Se p é primo e maior que 3, demonstre que p2 – 1 é múltiplo de 12.

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15

b) Retirando-se aleatoriamente, da tabela, dois números naturais distintos, menores que 37, determine a probabilidade de ambos serem primos maiores que 3.

20. (UERJ) Analise a expressão abaixo, na qual n é um número natural.

N = 10n – n a) Se n é um número par, então N também é um número par.

Justifique esta afirmativa. b) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando n = 92.

21. (UFSCar) Considere as seguintes informações: • o máximo divisor comum entre dois números também é um divisor da diferença entre esses números.

• se o máximo divisor comum entre dois números a e b é igual a 1, mdc(a,b) = 1, o mínimo múltiplo comum desses números será igual ao seu produto, mmc(a,b) = ab. a) Prove que o máximo divisor comum entre dois números consecutivos é igual a 1. b) Determine dois números consecutivos, sabendo que são positivos e o mínimo múltiplo comum entre eles é igual a 156.

22. (Fuvest) Um número racional r tem representação decimal da forma r = a1, a2, a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤ 9, 0 ≤ a3 ≤ 9. Supondo-se que:

x 0 0 1 2 4 9 5 3 3 1 8 6 2 2 ←← número na base10 x 0 * # ω ⊗ ♣ ♠ ←← número na base b

Determine o menor valor aceitável para b.

25. (UFRJ) n e m são números naturais, n = 1000! +18 e m = 50! +37. a) Calcule o resto da divisão de n por 18. b) m é um número primo? Justifique sua resposta.

26. (Unicamp) Um determinado ano da última década do século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século XXI, é representado, também na base 10, pelo número cddc. a) Escreva esses dois números. b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba + cddc ?

27. (Unicamp) O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = p1t 1 p2t 2 ... prt r, onde p1, p2, ... , pr são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d(n) = (t1 + 1) ⋅ (t2 + 1) ⋅ ... ⋅ (tr + 1). a) Calcule d(168), isto é, o número de divisores positivos de 168. b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.

• a parte inteira de r é o quádruplo de a3; • a1 , a2 , a3 estão em progressão aritmética; • a2 é divisível por 3.

Então a3 vale: a) 1

28. (Unicamp) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que MDC (a, b) = 5 e o MMC (a, b) = 105.

b) 3

a) Qual é o valor de b se a = 35?

c) 4

b) Encontre todos os valores possíveis de (a, b).

e) 9 23. (UFRJ) Prove que, se o quadrado de um número natural n é par, então o próprio número n tem que ser, obrigatoriamente, par. (isto é, n ∈ N, n2 par ⇒ n par)

16

24. (UFRJ) Um programador precisa criar um sistema que possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10.

Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismo de 0 a b −1). Exemplo:

29. (UFF) Com o desenvolvimento da tecnologia, novos dispositivos eletrônicos vêm substituindo velhos tabuleiros ou mesa de jogos. Um desses dispositivos conhecido como “dado eletrônico” é um circuito elétrico que, de forma lógica, executa o seguinte procedimento: partindo de um número natural N, transforma-o em um número natural R que corresponde ao resto da divisão de N por sete; a seguir, apresenta no visor o número R como sendo o número sorteado. Ao apertar o botão do “dado eletrônico”, uma pessoa gerou um pulso correspondente ao número natural N formado por 2002 algarismos, todos iguais a 1. Assim sendo, o número

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d) 6

R que aparecerá no visor é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

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e) 5

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17

14. B 15. Resposta pessoal.

16. (10a +b) ⋅ (10c +d) = (10b +a) ⋅ (10d +c)

1. 27

17. D

2. C

18. A

3. E

19. A

4. C

20. D

5. D

21. E

6. a) a = 27, b = −8, c = 1/9, d = −1/8 b) b < d < c < a 7.

22. B 23. C

C

8. A 10.

3

11. C 12. D 13. C

18

3

1. C 2. A 3. E 4. C 5. A Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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9. B

6. C 7.

a) 15 b) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)

B

29. E

8. a) 6 b) 345 9. A 10. 2 11. E 12. 3 13. D 14. B 15. A 16. 31 e 41 17. a) 100 b) 140 18. C 19. a) Resposta pessoal. b) 2/35 20. a) 10n é par e n é par, então N = 10n − n é par b) 818 21. a) Resposta pessoal. b) 12 e 13 22. E 23. Resposta pessoal.

24. 100 25. a) 0 b) Não, pois n = 37 ⋅ (50 ⋅ 49 ⋅ ... ⋅ 38 ⋅ 36 ⋅ 35 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1) 26. a) 1991 e 2002 b) XL EM_V_MAT_002

27. a) 16 b) 144 28.

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20

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Função Exponencial 3) A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é injetora. f(x1) = f(x2)

O estudo das funções exponenciais, apesar de ser posterior ao dos logaritmos, está diretamente relacionado a ele. Na verdade ambos possuem uma característica importante que motivou o seu desenvolvimento no século XVII, que é a possibilidade de simplificar cálculos matemáticos transformando multiplicações e divisões em adições e subtrações.

As funções exponenciais aparecem em diversas aplicações científicas e profissionais, como por exemplo, o montante de um capital aplicado a juros compostos fixos e a desintegração radioativa.

Essa propriedade respalda a solução das equações exponenciais.

4) A função f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1 é ilimitada superiormente e a sua imagem é o conjunto dos números reais positivos (R+*).

Gráfico O gráfico da função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1, tem as seguintes características: •• está todo acima do eixo Ox; •• corta o eixo Oy no ponto de ordenada 1;

Função exponencial

•• é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1;

Seja a R, tal que 0 < a 1, a função exponencial de base a é a função f: R R tal que f(x) = a x

•• o eixo x é assíntota do gráfico.

``

Exemplo: f(x) = 3x, f(x) = (1/2)x e f(x) = ( 5 )X

Propriedades

É interessante observar que o crescimento exponencial (a > 1) supera o de qualquer polinômio.

Os gráficos da função exponencial estão exemplificados abaixo: 1.º caso: a > 1 (função crescente) y f(x) = ax (a>1)

1) Como f(0) = a0 = 1, o par ordenado (0, 1) pertence ao gráfico da função exponencial.

6

2) Quando 0 < a < 1, a função f(x) = ax é decrescente. Já quando a > 1, a função f(x) = ax é crescente.

4 2

0 < a < 1: x1 < x2

f(x1) > f(x2)

a > 1: x1 < x2 EM_V_MAT_006

x1 = x 2

–3

–2

–1

0

1

2

3

x

f(x1) < f(x2)

Essa propriedade tem aplicação na resolução das inequações exponenciais.

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1

2.º caso: 0 < a < 1 (função decrescente) y

(4) y = (1/2)x (2) y = (1/3)x (3) y = (1/4)x

f(x) = ax (0<a<1)

6

–3

–2

–1

(4)

(5)

(6)

y

4

6

2

4

0

1

2

3

2 x –3

–2

–1

0

1

2

3

x

Uma característica peculiar dos gráficos das funções exponenciais f(x) = ax, com a > 1, e g(x) = (1/a)x, onde consequentemente 0 < 1/a < 1, é que eles são simétricos em relação ao eixo y, pois f(−x) = g(x). Isso está exemplificado abaixo para f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x. y Seja f: R R, f(x) = b . ax uma função do tipo exponencial e x1, x2, ..., xn uma progressão aritmética de razão r, então f(x1), f(x2), ... , f(xn) formam uma progressão geométrica de razão ar.

6 4

1 y= 2

–3

y = 2x

2

–2

–1

0

1

2

3

x

Os gráficos seguintes retratam as mudanças nos gráficos quando varia o parâmetro a.

(1) y = 2x (2) y = 3x (3) y = 4x (2) (3) (1) y

Equações exponenciais Equações exponenciais são equações cuja incógnita encontra-se no expoente.

Nesse módulo, vamos estudar as equações que podem ser resolvidas reduzindo os dois membros a uma base comum, o que possibilita igualar os expoentes em virtude da injetividade da função exponencial.

Sendo 0 < a 1, então: ax = an

x=n

–3

2

–2

–1

4

Serão apresentados exemplos com as variações mais comuns desse tipo de problema.

2

Exemplos de equações

0

1

2

3

x

Para a resolução dessas equações basta adotar o procedimento acima, ou seja, reduzir ambos os membros a uma base comum.

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EM_V_MAT_006

6

1) 3x =243

3x=35

1 32 5 x= – 3

2) 8x =

x=5

(23)x=2–5

4

x

3

3) ( 3 )x = 9

34 =3

9) 4x + 6x=2 . 9x (: 9x)

23x = 2–5

2 3

3x = – 5

x 2 = 4 3

x=

8 3

No próximo exemplo é necessário observar que, para todo a 0, tem-se a0 = 1.

2 2 4) 52x +3x–2 =1 52x +3x–2 =50 2x2+3x – 2=0 x = –2

x= 1 2 23x–1 . (22 )2x+3 = (23 )3–x

ou

5) 23x–1 . 42x+3 = 83–x 23x–1. 24x+6 = 29–3x

27x+5 =29–3x

7x + 5 = 9 – 3x

10x = 4

x = 0,4

5x–2 . (1–52+53) = 505 5x–2 = 51

x – 2=1

101 . 5x–2 = 505 x=3

No caso abaixo, devemos fazer a substituição y=2x e reduzir a equação a uma equação de 2.º grau.

7) 4x + 4 = 5 . 2x (2x)2 – 5.2x +4 = 0 y = 2x

y2 – 5y + 4 = 0

2x = 1

2x = 20

x=0

2x = 4

2x = 22

x=2

y = 1 ou y = 4

Agora a base também é uma variável. A base da função exponencial deve ser maior que 0 e diferente de 1. Nesse caso, podemos apelar para a injetividade exponencial e igualar os expoentes. Entretanto, é preciso considerar a possibilidade da base ser 0 ou 1, que devem ser analisados em separado.

2 8) xx – 5x+6 = 1 •• x=0

06=1 (falso)

•• x=1

12=1 (verdadeiro) 2–5x+6

•• 0<x 1: xx

=1

2–5x+6

xx

= x0

x – 5x+6=0 2

x=2 ou x=3

EM_V_MAT_006

S= 1, 2, 3 Esse é um caso especial, em que temos várias bases diferentes, mas podemos reduzir a uma base comum.

x

=1

x=0

2 + 3 – 2=0 x 2 y= y2 + y – 2 = 0 3 y=1 ou y= – 2 (não convém) 2 3

2 3

x

+ 6 9

– 2=0

x

Inequações exponenciais A resolução de inequações exponenciais é baseada na monotonicidade da função exponencial. Os dois casos estão apresentados abaixo:

Nesse caso, devemos colocar em evidência 5 elevado ao menor expoente.

6) 5x–2 – 5x + 5x+1 = 505 5x–2 – 52 . 5x–2 +53 . 5x–2 = 505

2x

x

4 9

a > 1: ax >an x > n 0 < a < 1: ax >an x < n As expressões acima refletem o fato da exponencial ser crescente para bases maiores que 1 e decrescente para bases entre 0 e 1. Assim, a relação entre os expoentes é a mesma que entre as exponenciais para bases maiores que 1 e é invertida para bases entre 0 e 1.

A seguir serão apresentados exemplos de resolução de inequações exponenciais.

Exemplos de inequações A resolução das inequações a seguir é feita reduzindo ambos os membros a uma base comum e aplicando a propriedade das consequências imediatas, que consiste em manter o sinal da desigualdade entre os expoentes quando a base for maior que 1 e invertê-lo quando a base estiver entre 0 e 1.

1) 3x >243 3x >35 x>5 x

125 2) 3 5 27 x –3

3 5

x

3) (27x–2)x+1 (9x+1)x–3

5 3

3

3 5

x

3 5

–3

33(x–2) (x+1) 32(x+1)(x–3)

3 (x–2)(x+1) 2 (x+1)(x–3)

x2+x 0

x –1 ou x 0 No caso a seguir, devemos colocar em evidência 3 elevado ao menor expoente.

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3

``

4) 32x+1 – 9x – 32x–1 – 9x–1 42 32x+1 – 32x – 32x–1 – 32x–2 42 2x–2

–3 .3 2

2x–2

–3.3

2x–2

32x–2 . (33 – 32 – 3 – 1) 42

1) 2x+2 =3 –3

2x–2

42

14.32x–2 42

3 2 Nesse caso, devemos fazer a substituição y=3x e reduzir a inequação a uma inequação de 2.º grau.

5) 32x – 3x+1 >3x – 3 32x – 3 . 3x >3x – 3 32x–2 3

2x – 2 1

x

y2– 4y+3>0

3x<1

x<0

3 >3

x>1

x

y<1 ou y>3

S= x R x<0 ou x >1 No próximo exemplo, a base também é uma variável, sendo preciso analisar em separado os casos de base 0 e 1.

2 6) Resolva em R+, xx – 5x+7 x.

I) x = 0 07 0 (verdadeiro) II) x = 1 13 1 (verdadeiro) III) 0 < x < 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 x 2 ou x 3 S1 = ]0, 1[ IV) x > 1 x2 – 5x +7 1 x2 – 5x +6 0 2 x 3 S1 = [2, 3] S = [0, 1] [2, 3]

Equações exponenciais A definição de logaritmo como inversa da função exponencial permite resolver de imediato equações exponenciais. ax=b x = logab Cabe observar que se deve colocar a equação exponencial na forma ax = b .

Uma outra maneira de se resolver a equação exponencial é aplicar o logaritmo em ambos os membros da equação exponencial. logcb ax = b logc ax = logc b x = =logab logca Nesse caso, não é necessário sempre colocar a equação na forma ax = b, podendo alternativamente aplicar primeiro o logaritmo numa base conveniente e posteriormente determinar a variável.

4

=3

x+2 = log2 3

x = log2 3 – 2

3x+4

2X 1.a sol.: 7 =33X . 34 7 3X = 7 . 34 7 3 72 x 4 x = log 567 33 =7 . 3 2.a sol.: 72x –1 = 33x+4 log 72x –1 = log 33x +4 2X

(2x–1) . log 7 = (3x + 4) . log 3 2x . log 7 – 3x log 3 = 4 . log 3 + log 7

32x – 4 . 3x +3 > 0 y=3x

2) 7

2x –1

x(2 . log 7–3 . log 3) = 4 . log 3+ log 7 x = log 7+4 log 3 2 log 7– 3 log

Inequações exponenciais Da mesma forma que as equações exponenciais, as inequações podem ser resolvidas pela aplicação de logaritmos, considerando que a função logarítmica é crescente quando a base é maior que 1 e decrescente quando a base está entre 0 e 1. ax > b

ax < b

x > loga b, se a>1 x < loga b, se 0< a<1 x < loga b, se a>1 x > loga b, se 0< a<1

Caso seja conveniente, pode ser adotada outra base para o logaritmo em vez da base a. log29 – 2 1) 23x+2 > 9 3x+2>log2 9 x> 3 1 x 5 x log 5 x – log35 2) 3 3) 2x–2 > 32x–1

x – 2 >(2x – 1) log23

x(1 – 2 log23) > 2 – log23

x<

2 – log2 3 1 – 2log2 3

Note que 1 – 2 log23<0.

1. (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y = ex

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3 .3 3

Exemplos:

d) gráfico 2 e gráfico 4.

y=ex

e) gráfico 3 e gráfico 4.

2,72 ``

Solução: A A função que representa a população da cidade A é f(n) = p0 ⋅ (1,03)n , onde p0 é a população inicial da cidade A.

0,37 0,13 –2

–1

x

1

Utilizando f(d) = 100 –100 . e−0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a: a) 5

Logo, a população da cidade A cresce exponencialmente, o que aparece no gráfico 2 e a população da cidade B cresce linearmente, o que aparece no gráfico 1.

3. (Fuvest) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função f(x) = 1 – 2–|x| é: a)

b) 10

``

A função que representa a população da cidade B é g(n) = q0 + 3000⋅n, onde q0 é a população inicial da cidade B.

c) 15

y

d) 20

0,5

Solução: B f(d) = 100 −100 . e−0,2d = 87

e−0,2.d = 0,13

–3

–2

–1

No gráfico dado, temos 0,13 = e−2, então e−0,2⋅d = e−2 ⇔

−0,2d = −2

1

2

3

x

0,5

d = 10

2. (UFJF) A população da cidade A cresce 3% ao ano e a população da cidade B aumenta 3 000 habitantes por ano. Dos esboços de gráficos abaixo, aqueles que melhor representam a população da cidade A em função do tempo e a população da cidade B em função do tempo, respectivamente, são: População

0

b) y 1

População –1,5 –1 –0,5

Tempo gráfico 1

0

x

0,5 1 1,5 2 2,5

Tempo gráfico 2 c)

População

População

y 1

Tempo gráfico 3

Tempo gráfico 4

a) gráfico 2 e gráfico 1.

–3

–2

–1

0

1

2

3

x

1

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b) gráfico 1 e gráfico 2. c) gráfico 3 e gráfico 1.

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5

d)

1 O gráfico de f(x) = 1–   2

y

x

é:

y

1

1 –3

–2

0

–1

1

2

3

x

–3

1

–2

0

–1

1

2

3

x

1

e)

4. y 1

–3

–2

y

Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alteravase em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão y = y0 . 2–0,5.t em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em hora.

Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora.

1

b) meia hora.

0

–1

1

2

3

x

1

``

(UFF) A automedicação é considerada um risco, pois a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.

Solução: C x

1 O gráfico de g(x) =   x é: 2

c) 1 hora.

–3

–2

–1

0

1

2

3

d) 2 horas.

x

e) 4 horas.

1

``

y

Solução: E y0 –0,5.t 2− 0,5⋅t =2−2 0,5.t = –2 4 horas 4 = y0 . 2 (Fatec) Seja m o menor número real que é solução da –x . Então, m é um número: equação 5x2–2 : 25= 1 125 a) par.

1

b) primo

Com base no gráfico anterior, podemos traçar o gráfico x 1 de h(x) =   2

5.

c) não-real.

–3

–2

–1

0

1

2

3

d) irracional.

x

e) divisível por 3.

1

``

Solução: C –x

1 5x2–2 . 5–2 = (5–3)–x 125 2 5x –4 = 53x x2–4 = 3x x2 – 3x – 4 = 0

x = –1 ou x = 4

6

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5x2–2 : 25 =

O menor número real que é solução da equação é m = – 1, logo m= 6.

m = 32t – 3t+1+ 108 = 0 y = 3t

–1 = i que não é real.

3t = 9 = 32

(UECE) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 . 5x2= 0,001.(103–x)2, então + é: b) 10

9.

c) 13 d) 34

2 . 5 = 0,001.(10 10x2= 103 – 2X

)

3–x 2

x2

(2.5) = 10 10

x2 = 3–2x

–3.

c) 41

6 – 2X

x2 + 2x – 3 = 0

d) 2,54

x = –3 ou x =1 7.

= (–3)2 + 12 = 10

(Fatec) Se x é um número real tal que 2–x . 4x < 8x+1, então: a) – 2 < x < 2 b) x = 1 c) x = 0 e) x > −3/2

x.log 10 = log(2 . 3 . 10) 2 x (1 – log2) = log2 + log3 + 1 log2 + log3 + 1 0,30 + 0,48 + 1 = 1,78 ≅ 2,54 = x= 0,70 1 – 0,30 1 – log2 5x = 60

log 5x = log60

2–x .22x < 23x+3 3 2x < 23x+3 x < 3x+3 2x >–3 x > – 2 (Unirio) Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m = –32t – 3t+1+ 108. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar esse material antes que ele se volatilize totalmente é: b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos. c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos. d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos. e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos.

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Solução: D

2–x . (22)x < (23)x+1

a) inferior a 15 minutos.

``

``

Solução: E 2x . 4x < 8x+1

8.

e) 2,67

10. (UNIRIO) Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na Baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados:

d) x < 3/2

``

(FGV) Adotando os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente: b) 2,28

x2

+

t = 2 horas = 120 minutos.

a) 2,15

Solução: B x2

y=9 y = –12 (não convém)

Como aos 120 minutos o material se volatilizou totalmente, o tempo máximo de utilização é um valor bem próximo a 120 minutos, porém, inferior a 120.

a) 5

``

–y2 – 3y + 108 = 0

–32t – 3.3t +108 = 0

Solução: E

Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da adição do custo de poluição y = 2x −1, ao custo de controle da poluição y = 6 . (1/2)x.

Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: (Considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4) a) 1 333 b) 2 333

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7

c) 3 333

d) 9

d) 4 333

e) 10

e) 5333 ``

Solução: A Custo da poluição = custo do controle da poluição 2x −1 = 6 ⋅ (1/2)x a = 2x

4. (UENF) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a . bx, conforme o gráfico a seguir.

22x − 2x − 6 = 0

a2 − a − 6 = 0

a = −2 ou a = 3

2x = 3 ⇔ x log 2 = log 3 log 3 0,4 4 4 = log 2 = 0,3 = ton = .1 000kg =1 333kg 3 3

a>0

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.

5. (FGV) O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência.

a) Ache f (0) e f (1). b) Resolva f (x) = 0.

2. (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo: R = Ro ⋅ e−kt , em que Ro é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, k = 10%.

Use a tabela abaixo para os cálculos necessários: ex

8,2

9,0

10,0

11,0

12,2

x

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2% , é de: a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 3. (Unesp) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0 . 2(–0,1).t sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

8

Experiência (meses) Produção (unidades por hora

0

6

200

350

Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à experiência t, através da função Q(t) = 500 - A . e-k.t, sendo e = 2,72 e k um número real, positivo. a) Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora? b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dos operários dessa empresa?

6. (UFF) Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t ≥ 0, por Q(t) = k ⋅ 5kt, sendo t o tempo, em minuto, e k uma constante.

A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25 Q(0).

Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto. a) 12,5 b) 25 c) 312,5

a) 5

d) 625

b) 7

e) 1 000

c) 8 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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1. (PUC-Rio) Dada a função f(x) = 5 x (5 x − 1)

7.

(UFF) Após acionado o “flash” de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por: Q = Q(t) = Qo⋅(1 − e– ⋅t) sendo: •• Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, medido em segundo; •• Qo a carga máxima; e •• λ uma constante.

Considerando λ = ½ e n 10 = 2,3 determine: a) a expressão de t em função de Q. b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da carga máxima.

8. (UFJF) A figura abaixo é um esboço do gráfico da função y = 2x no plano cartesiano.

Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente: a)

a e 4a 2

b) a −1 e a + 2 c) 2a e

a 4

d) a + 1 e a − 2 11. (UFRGS) Analisando os gráficos das funções reais de 3 variável real definidas por f ( x ) =   2

x −1

e g (x) = x,

representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, verificamos que todas as raízes da equação f(x) = g(x) pertencem ao intervalo: a) [0, 3] 1

Com base nesse gráfico, é correto afirmar que: a) y0 = y2 − y1

c) [1, 5)

b) y1 = y3 − y2

3 d)  , 6]

c) y1 = y3 + y0

e) (2, 6)

2

d) y2 = y1 ⋅ y0

12. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

e) y3 = y1 ⋅ y2 9. (UFJF) A função c(t)=200 . 3k.t, com k = 1/12, dá o crescimento do número C, de bactérias, no instante t em horas. O tempo necessário, em horas, para que haja, nessa cultura, 1 800 bactérias, está no intervalo: a) [0, 4]

(01) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 54,00, ou por R$20,00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$20,00, então a loja está cobrando mais do que 10% ao mês sobre o saldo que tem a receber.

(02) Se numa área urbana o número de pessoas atingidas por certa doença (não controlada) aumenta

b) [4, 12]

t

c) [12, 36]

3 50% a cada mês, então a função n (t ) = N ⋅   for-

d) [36, 72]

nece o número (aproximado) de pessoas afetadas pela doença, t meses após o instante em que havia N pessoas doentes nessa área.

2

e) [72, 108] 10. (UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados o gráfico da função y = 2x , os números a, b, c e suas imagens.

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b)  , 4] 2

(04) Se o produto P é vendido por R$20,00 pela loja A e por R$40,00 pela loja B, então pode-se dizer que na loja B o produto P está com o preço 100% acima do preço praticado pela loja A, e que a loja A está praticando um preço 100% menor do que o praticado pela loja B. (08) Admita que a função n(t) = N . 2t forneça o número aproximado de pessoas atingidas por uma epide-

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9

mia (não controlada) onde t é o número de meses decorridos a partir do momento em que N pessoas são acometidas pela doença. Então é correto afirmar que, num aglomerado urbano com 10 000 habitantes, não ocorrendo aumento populacional, oito meses após existirem 50 pessoas doentes é provável que toda a população estará doente, caso nada seja feito para debelar o mal. )

13. (Unirio) Você deixou sua conta negativa de R$100,00 em um banco que cobrava juros de 10% ao mês no cheque especial. Um tempo depois, você recebeu um extrato e observou que sua dívida havia duplicado. Sabe-se que a expressão que determina a dívida (em reais) em relação ao tempo t (em meses) é dada por: X(t) = 100 . (1,10)t.

Após quantos meses a sua dívida duplicou?

 1 >   4

m +1

.

17. (UFMG) Suponha que a equação 8ax + bx + c = 43 x + 5 ⋅ 25 x − x + 8 seja válida para todo número real x, em que a, b e c são números reais. Então, a soma a + b + c é igual a: 2

a) b)

2

5 3 17 3

c) 28 3

d) 12 18. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22 x +1 − 3 ⋅ 2x + 2 = 32 , é: (( ) Dados f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, o valor de f(g(1)) é 9.

b) log2 1,10 c) log 2

(( ) O gráfico da função f(x) = 2x – 1 não intercepta o terceiro quadrante.

d) log 1,10 e) log 2,10 14. (PUC-Rio) Uma das soluções da equação 10 é:

2 x −3

=

1 100

(( ) O conjunto solução da equação {−1, 2}.  1   7

b) x = 0

log3 ( x 2 − x ) = log3 2 é

(( ) O conjunto solução da inequação exponencial

a) x = 1

x 2 + 5x + 1

1

 1 ≥   é {x ∈ R  −5 ≤ x ≤ 0}.  7

20. (M. Campos) Resolvendo as duas equações exponenciais 4x −1 = 5 8 e 32 y + 3 = 52 y + 3 , obtém-se uma raiz para cada equação. Nessas equações valor de x − y corresponde a:

x= 2

d) x = −2 e) x = 3 15. (UFJF) As raízes da equação 2x + 1/ 2x = 17 / 4 são: a) iguais em módulo.

a) 2,8 b) – 0,2 c) 0,8

b) ambas negativas.

d) 1

c) ambas positivas.

21. (EsPCEx) A soma e o produto das raízes da equação

d) quaisquer números reais.

 3 9.    5

e) nulas.

x2 − x − 9

=

243 são, respectivamente: 125

a) 1 e –12

16. (UFF) a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: 2

3

 1  1 “Como 1 > 1 tem-se   >   e conclui-se que  2  2 4 8 2 > 3.”

Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à

10

m

19. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).

a) log1,10 2

c)

4

b) 7 e 12 c) –2 e –8 d) –1 e 12 e) 7 e 10 22. (AFA) O conjunto-solução da inequação (0, 5)x ⋅( x − 2 ) < (0, 25)x −1,5 é: a) {x R l x <1} b) {x R l x >3}

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Soma (

 1

inequação:    2

c) {x R l 1 < x <3} d) {x R l x < 1 ou x > 3}

1. (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação: T=T0+K e-ct Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100ºC, colocada numa sala de temperatura 20ºC. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

2. (UENF) Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2.105(1,60)t B(t) = 4.105(0,4)t Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1.° de janeiro de 2000. a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1.° de janeiro de 2000. b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.

b) Quando se espera que a venda diária seja reduzida a 6 400 unidades?

Considere que log 2 = 3/10, sendo log 2 o logaritmo de 2 na base 10.

4. (FGV) Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t)=A - b . 3-k.t, com A, B e k constantes obtidas experimentalmente, pede-se: a) determinar as constantes A, B e k, sabendo que o gráfico da função V é

b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 – 24 . 3-t, determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log2 = 0,3 e log3 = 0,5.

5. (UFC) Sejam f: R → R e g: R → R, sendo R o conjunto dos números reais, funções tais que: I) f é uma função par e g é uma função ímpar; II) f(x) + g(x) = 2x.

Determine f(log23) – g(2).

6. (UFSCar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a ______, sendo f(x) = 2x.

c) Mostre que, em 1.º de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1.

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3. (FGV) Uma certa mercadoria foi promovida por uma substancial campanha de propaganda e, pouco antes de encerrar a promoção, a quantidade diária de vendas era 10 000 unidades. Imediatamente após, as vendas diárias decresceram, tal que: V(t) = B . ek.t, sendo B o número de unidades vendidas em um determinado dia; V(t) a quantidade de vendas por dia, após t dias; e = 2,72 e k um número real.

Sabe-se que 10 dias após encerrar a promoção o volume diário de vendas era de 8 000 unidades. a) Qual o volume diário de vendas 30 dias após o encerramento da promoção?

a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 3 2 e) 4

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7.

(UnB) A magnitude – M – de um terremoto é medida pela escala Richter, criada por Charles F. Richter, em 1934. Nessa escala, a magnitude de um terremoto está relacionada com a energia liberada por ele – E –, em 3M

descrita por um observador através do seguinte modelo matemático h(t) = 4t – t . 20,2 . t, com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o golfinho esteve fora da água durante esse salto foi:

joules (J), de acordo com a expressão E = E 0 ⋅10 2 , em que E0 é uma constante. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F)

a) 1

(( ) Se a energia liberada por um terremoto for igual a 1 000 000 E0 J, então a magnitude desse terremoto será igual a 5 na escala Richter.

d) 8

(( ) A energia liberada por um terremoto de magnitude 5 é, pelo menos, 50 vezes maior que a liberada por um terremoto de magnitude 4. (( ) Considerando que uma tonelada de dinamite (TNT) 9 libere 5E 0 ⋅10 2 J durante uma explosão, então um terremoto de magnitude 8 libera mais energia que uma explosão de 8 milhões de toneladas de TNT. (( ) A figura abaixo ilustra corretamente, em um sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da energia liberada em função da magnitude de um terremoto.

b) 2 c) 4 e) 10 10. (Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1. a) Quando m = − 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores de m para os quais a equação f(x) = m +1 não tem solução real x.

11. (Unicamp) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a) a expressão para p (t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ≅ 0, 301 e log 3 ≅ 0, 477 .

11 480 granja pode ser descrita pela equação P (t ) = , em 1+ 34 −t

que t é o número de dias decorridos desde a detecção da doença, que é definido como o momento do aparecimento dos primeiros casos – t = 0 – e P(t) é a quantidade total de frangos infectados após t dias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, como verdadeiros (V) ou falsos (F). (( ) A quantidade de frangos infectados no momento em que a doença foi detectada é superior a 150. (( ) Caso a doença não seja controlada, toda a população de frangos da granja será infectada. (( ) 4 100 frangos serão infectados decorridos 2 +log 3 5 dias do momento da detecção da doença. (( ) O número de frangos infectados somente no terceiro dia é inferior a 1 200.

12

9. (Unesp) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi

a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1 024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para t e [0,40].

13. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + a . 3b.t, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a −16ºC após 270 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura o

2

do corpo no congelador é apenas   C superior 3 à temperatura ambiente.

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8. (UnB) A disseminação de uma doença infecciosa em uma determinada população de 30 000 frangos em uma

12. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a . 2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.

19. (FGV) Os números inteiros x e y satisfazem a equação 2x + 3 + 2x +1 = 5y + 3 + 3 ⋅ 5y . Então x − y é: a) 8 b) 5 14. (UFRN) No programa de rádio Hora Nacional, o locutor informa: “Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do país alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis”.

Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão f (t ) =

P , sendo t ≥ 0, P a população do .

1+ 9.( 3−k t )

país e k uma constante. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 90% da população teve acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação.

15. (IME) Determine os valores de l que satisfaçam à 4

inequação, 272λ − 27λ + 27−1 > 0 , e represente, grafi9 camente, a função, y = 272 x − 4 27x + 27−1

9 3x + 3y = 36 16. (UFF) Resolva o sistema  x + y 3 = 243

17. (UFSCar) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se afirmar que

5x − 2 é igual a: 5

a) 1/25

d) 6 e) 7 20. (UFSCar) O par ordenado (x, y) solução do sistema x+y 4 = 32 é:  y−x 3 = 3

3 a)  5,   2



3

b)  5,−  2 2 c)  3,   3

3 d)  1,   2

 1

e)  1,   2 21. (ITA) Dada a equação 32x + 52x – 15x = 0, podemos afirmar que: a) Não existe x real que a satisfaça. b) x = log 3 5 é solução dessa equação. c) x = log 5 3 é solução dessa equação. d) x = log 3 15 é solução dessa equação. e) x = 3.log 5 15 é solução dessa equação.

22. (ITA) Seja a um número real com 0 < a < 1. Então, os valores reais de x para os quais a2x – (a + a2) . ax + a3 < 0 são: a) a2 < x < a b) x < 1 ou x > 2 c) 1 < x < 2

b) 1/5

d) a < x <

c) 1

a

e) 0 < x < 4

d) 5 e) 25 18. (Unicamp) Considere a equação 2x + m ⋅ 22 − x − 2m − 2 = 0 , onde m é um número real.

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c) 9

23. (ITA) Sabendo-se que 3x – 1 é fator de 12x3 – 19x2 + 8x – 1 então as soluções reais da equação 12 . (3 3x ) – 19 . (3 2x ) + 8 . (3 x ) – 1 = 0 somam:

a) Resolva essa equação para m = 1.

a) –log 3 12

b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real.

b) 1 c) –(1/3).log 3 12

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d) –1 e) log 3 7 24. (ITA) Seja a ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as 2 x ⋅( 1− x ) > a x −1 é: soluções reais da inequação a a) ] −1 , 1[ b) ]1 , +∞[ c) ] −1/2 , 1[ d) ] −∞ , 1[ e) vazio.

25. (ITA) A soma das raízes positivas da equação 4 x − 5 ⋅ 2x + 4 = 0 vale: 2

2

a) 2 b) 5 c)

2

d) 1 e)

3

26. (UECE) Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que N = 640 . (1 − 2−0,5⋅ t ) seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias, do início do processo de fabricação. Se, para t = t1 , N = 635, então t1 é igual a: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

x y = y x onde a ≠ 1 e a > 0.  y = ax

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27. (IME) Resolva o sistema 

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10. D 11. C 12. E, C, E, C ⇒ soma 10

1. a) f(0) = 0 e f(1) = 20

14. A

b) x = 0 2. C

15. A

3. E

16.

4. 60%

2

a) 12 meses. b) 499

b) m = 2

6. C

17. c

7.

18. 3 

a) t = −2n  1− 

b) t ≈ 4,6s.

8. E 9. C

3

1 1 a)   >   ⇒ 2 < 3, pois a exponencial de base 1/2  2  2 é decrescente.

5.

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13. A

Q   Q0 

19. C, E, C, C 20. a 21. A 22. d

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18. a) S = {1} b) (−∞, 0] ∪ {1}

1.

19. b

a) 22,5ºC

20. d

b) 15 minutos.

21. a

2. a) 200 000 e 400 000 eleitores. b) 6 meses. c) Razão = 2 > 1 3. a) 5 120 unidades. b) 20 dias.

22. c 23. a 24. c 25. c 26. c 1

a

27. x = a a −1 e y = a a −1

4. a) A = 50, B = 30 e k = 1/2 b) 1,4 5. −5/24 6. C 7.

F, F, F, F

8. F, F, V, F 9. E 10. a) 0 e −1 b) −12 < m ≤ 0 11. a) p(t) = (0,81)t⋅F b) 15 anos.

12. a) a = 1024 e b = 1/10 b) 30 anos.

13. a) α = 54 e β = −1/90 b) 360 minutos.

14. a) 10% 2 1 ou λ > − 3 3 16. (2, 3) ou (3, 2) 15. λ < −

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17. b Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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b) 2 horas.