Geometria analítica: ponto e reta A Geometria analítica plana estuda as figuras geométricas associadas a um sistema de dois eixos coordenados. Dessa forma, as figuras são representadas por pares ordenados de números reais ou por equações ou inequações.
Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas Dois eixos reais, Ox e Oy, perpendiculares entre si na origem O, formam o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.
Retas bissetrizes dos quadrantes A reta bi, que contém as bissetrizes dos quadrantes I e III, é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares. y
y
bi
P
B
5 4
IQ (1‚ quadrante)
3
45° O
2
x
A
1 �5 �4 �3 �2 �1 O �1
1
2
3
4
5
x
�2 �3 III Q (3‚ quadrante) �4
IV Q (4‚ quadrante)
�5
Todo ponto P da bissetriz bi dos quadrantes ímpares é da forma P(x, x). A reta bp, que contém as bissetrizes dos quadrantes II e IV, é chamada de bissetriz dos quadrantes pares. y bp
O plano que contém esse sistema é chamado plano cartesiano. Os eixos Ox e Oy, denominados eixos coordenados, são, respectivamente, o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. O ponto O é a origem do sistema de eixos. Os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas quadrantes, que são enumerados conforme a figura acima. Os pontos dos eixos coordenados não pertencem a nenhum dos quadrantes.
Coordenadas de um ponto Para determinar as coordenadas do ponto P no plano cartesiano abaixo, traçamos por P as perpendiculares aos eixos Ox e Oy, obtendo nesses eixos dois números, chamados de abscissa e ordenada do ponto P, respectivamente. Se a é a abscissa de P e b é a ordenada de P, indicamos: P(a, b)
Q
B
45° x
O
A
Todo ponto Q da bissetriz bp dos quadrantes pares é da forma Q(x, 2x) ou Q(2x, x).
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
II Q (2‚ quadrante)
Distância entre pontos Em um plano cartesiano, em que u é a unidade adotada nos eixos coordenados, a distância entre dois pontos, A(xA, yA) e B(xB, yB), que se indica por AB ou dAB, é o comprimento do segmento AB na unidade u. y yB
B
y P
b
O
a
x
Todo ponto P pertencente ao eixo das abscissas é da forma P(x, 0). Todo ponto Q pertencente ao eixo das ordenadas é da forma Q(0, y).
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yA
A
O
xA
xB
x
2 AB 5 d lllllllllllllllll (xB 2 xA)2 1 (yB 2 yA)2 5 d lllllllllll (Sx)2 1 (Sy)
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Coordenadas do ponto médio
O estudo da reta
Se A(xA, yA) e B(xB, yB) são pontos distintos, então o ponto médio M(xM, yM) do segmento AB é tal que: xA 1 xB xM 5 _______ e 2
yA 1 yB yM 5 _______ 2
No plano cartesiano xOy, seja r uma reta que intercepta o eixo das abscissas em um ponto P e forma com esse eixo um ângulo de medida a, com 0w < a , 180w, medido no sentido anti-horário a partir de um ponto do eixo Ox à direita de P. A medida a é chamada de inclinação da reta r.
y B
yB
Inclinação e coeficiente angular de uma reta
y
y r
r
M
yM
yA
O
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
P
A
xA
0
xM
Coordenadas do baricentro de um triângulo Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são vértices de um triângulo, então o baricentro G(xG, yG) desse triângulo é tal que: xA 1 xB 1 xC xG 5 ____________ e 3
a, com a % 90w, o número m tal que:
yA 1 yB 1 yC yG 5 ____________ 3
B
yB
A
O G
C
xB
xA
α
xG
xC
xA
xB
x
O coeficiente angular m da reta r é dado por: yB 2 yA ___ Sy mr 5 tg a 5 _______ x 2 x 5 B A Sx
B
O
r
α
A
yC yG
m 5 tg a
y
yA
yA
x
P
Consideremos dois pontos distintos, A(xA, yA) e B(xB, yB), de uma reta r não vertical, de inclinação a.
y
yB
0
x
As retas horizontais, ou seja, paralelas ao eixo Ox, têm 0w de inclinação. Chama-se coeficiente angular de uma reta r de inclinação
x
xB
α
α
x
Condição de alinhamento de três pontos
Área de um triângulo
Três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), são colineares se, e somente se, mAB 5 mBC ou se não existem mAB e mBC.
A área A de um triângulo qualquer de vértices E(xE, yE), F(xF, yF) e G(xG, yG) é dada por:
Equação fundamental da reta
xE yE 1 ODO A 5 ____ , em que D é o determinante xF yF 1 2 xG yG 1
Se r é a reta não vertical que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem coeficiente angular m, então a equação fundamental da reta r é:
y 2 y0 5 m(x 2 x0)
Equação reduzida da reta Condição de alinhamento de três pontos Pelo teorema acima, concluímos que três pontos, E(xE, yE), F(xF, yF) e G(xG, yG), são colineares se, e somente se:
Isolando a variável y na equação fundamental y 2 y0 5 m(x 2 x0) e indicando por q a constante y0 2 mx0, obtemos a equação reduzida da reta r:
xE yE 1 xF yF 1 5 0 xG yG 1
y 5 mx 1 q coeficiente angular
coeficiente linear
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O coeficiente m de x na equação reduzida é o coeficiente angular da reta. O termo q, independente de x e y, é a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas e é chamado de coeficiente linear da reta r.
Equação geral da reta Toda reta do plano cartesiano é gráfico de uma equação do tipo: ax 1 by 1 c 5 0
em que x e y são variáveis e a, b e c são constantes reais, com a e b não simultaneamente nulas. Essa equação é chamada de equação geral da reta. Dados dois pontos distintos, E(xE, yE) e F(xF, yF), uma equação da reta EF é dada por:
y
xE yE
Duas retas de equações a 1 x 1 b 1 y 1 c 1 5 0 e a2x 1 b2 y 1 c2 5 0 são paralelas (distintas ou coincidentes) a1 b1 se, e somente se, 5 0. a2 b2 Duas retas, r e s, não verticais, são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. Ou seja, sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas perpendiculares r e s, respectivamente, temos: 1 mr 5 2 ___ m ] mr 3 ms 5 21 s
Ângulos entre duas retas
1 1 50
Se duas retas, r e s, não verticais, de coeficientes angulares respectivamente iguais a mr e ms, formam entre si um ângulo agudo de medida J, então:
xF yF 1
y
Posições relativas entre retas Duas retas não verticais, r e s, de equações reduzidas y 5 mr x 1 qr e y 5 ms x 1 qs, respectivamente, são: • Paralelas distintas se, e somente se, mr 5 ms e qr % qs.
θ
O
y
α 0
x s
s
r
e
u
mr 2 ms tg J 5 _________ 1 1 mrms
α x
qr
r
qs
• Paralelas coincidentes se, e somente se, mr 5 ms e qr 5 qs.
Se r é uma reta vertical e s é uma reta oblíqua de coeficiente angular ms, então a medida J de um ângulo agudo formado por r e s é tal que:
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
x
Duas retas de equações a 1 x 1 b 1 y 1 c 1 5 0 e a2x 1 b2 y 1 c2 5 0 são concorrentes se, e somente se, a1 b1 % 0. a2 b2
1 tg J 5 _____ OmsO
y r�s
Distância entre ponto e reta
α 0
x
qr � qs
A distância d entre um ponto P(x0, y0) e uma reta r de equação geral ax 1 by 1 c 5 0 é dada por: y y0
P d
• Concorrentes se, e somente se, mr % ms. y r
0
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O
β
x0
x
x
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Oax0 1 by0 1 cO d 5 _______________ d llllll a2 1 b2
P�
s
α
r
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Geometria analítica: ponto e reta
No Vestibular 1. (UEMS) Na figura, os segmentos AB e AC são dois lados de um triângulo. O terceiro lado BC tem como suporte a reta cuja equação é:
Exercício 1
y C
5
Uma equação da reta determinada pelos pontos B e C é:
4 3 2
B
1
} 23x 2 3y 1 18 5 0 } y 5 2x 1 6 Alternativa e.
A 1
a) y 5 2x 2 4 b) y 5 2x 2 6
2
y 3
4
y=x–1
x
5
c) y 5 x 2 6 d) y 5 x 1 4
e) y 5 2x 1 6
2. (UFRJ) Esboce graficamente as retas y 5 x 2 1, y 5 x 2 3, y 5 2x 1 1 e y 5 1 e determine a área da região delimitada por essas retas.
1
Exercício 2
0
–1
–3
F E
G
2
1
y=x–3
y=1
H x
3 I
y = –x + 1
y
A área A do quadrilátero EFGI é a soma das áreas do paralelogramo EFGH e do triângulo EHI, isto é: (3 2 1) 3 1 5 3 A 5 (3 2 1) 3 1 1 _________ 2 x
Representando a intersecção dos conjuntos R1, R2 e R3, temos:
3. (UFRJ) Determine a área da região R definida pela inter-
y y= 4
4 x 3
16 5
secção de R1, R2 e R3, sendo: • R1 5 {(x, y) 9 V2: 4x 1 5y 2 16 < 0} • R2 5 {(x, y) 9 V2: 4x 2 3y > 0} • R3 5 {(x, y) 9 V2: y > 0}
3
4. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da reta s, tem-se:
Exercício 3
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4 2 1 1 5 1 5 0 ] 20 1 2x 1 y 2 5x 2 4y 2 2 5 0 x y 1
y
1 –1
x a) y , __ e y , 2x 1 1 2 x b) y , __ ou y . 2x 1 1 2 x c) __ , y e y . 2x 1 1 2 x d) 2x 1 1 , y , __ 2 x e) __ , y , 2 x 1 1 2
x
1
Obtemos as coordenadas do ponto de intersecção entre as 4x 16 4x retas y 5 ___ e y 5 2 ___ 1 ___ pelo sistema: 5 5 3 4x ___ y 5 3 3 ] x 5 __ e y 5 2 4x 16 2 y 5 2 ___ 1 ___ 5 5
r
x A equação da reta s é y 5 __ , e a equação da reta r é 2 y 5 2x 1 1. Como o ponto A(x , y) está acima da reta s e abaixo da reta r, sua ordenada y deve satisfazer o sistema: x y . __ x __ 2 ] 2 , y , 2x 1 1 y , 2x 1 1 Alternativa e.
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x
Assim, a área da região R é um triângulo de base 4 e altura 432 2. Portanto, a área é igual a: ____ 5 4 2
s
Exercício 4
–2
A
4
NO VESTIBULAR
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5. (UEL-PR) A trajetória de um móvel no plano cartesiano pode ser descrita, em função do tempo t, pelas equações
{
x t. paramétricas 521 Essa trajetória determina uma y 5 3t reta: a) que contém os pontos (3, 9) e (22, 6). b) paralela à reta de equação 6x 2 2y 2 1 5 0. c) perpendicular à reta de equação 3x 2 y 1 1 5 0. d) que contém os pontos (1, 3) e (7, 3). e) perpendicular à reta de equação 5x 2 y 5 0.
Com base nos textos, é correto afirmar que a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é: a) 8x 2 3y 2 24 5 0 b) 2x 1 6y 2 6 5 0 c) 2x 1 6y 2 24 5 0
9. (Unifor-CE) Duas retas, r e s, perpendiculares entre si, interceptam os eixos cartesianos nos pontos A e B, como é mostrado na figura abaixo. y
6. (Unifesp) Considere a reta de equação 4x 2 3y 1 15 5 0, a
r √3
@ 2 #
C
s senoide de equação y 5 sen x e o ponto P 5 __ , 3 , con forme a figura.
d) 6x 2 2y 1 6 5 0 e) 3x 2 8y 1 24 5 0 f ) I.R.
A
y
B 2
–1
x s
Se o ponto C é a intersecção de r e s, a área do triângulo ABC, em unidade de superfície, é: P
π 2
π
x
3 7dll c) ____ 8
3 3dll b) ____ 4
3 9dll d) ____ 8
3 5dll e) ____ 4
10. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação:
A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é: 12 1 2s a) ________ 5 13 1 2s b) ________ 5
5dll 3 a) ____ 8
14 1 2s c) ________ 5 15 1 2s d) ________ 5
16 1 2s e) ________ 5
(x2 1 y2 1 1) 3 (2x 1 3y 2 1) 3 (3x 2 2y 1 3) 5 0, pode ser representado, graficamente, por: a) d) y y
x
7. (Unifesp) Num sistema cartesiano ortogonal, considerados
x
os pontos e a reta exibidos na figura, y
b)
y = 2x + 1
e)
y
y
E B
C
c) A
O
x
x
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3
y
D t
1
x x
o valor de t para o qual a área do polígono OABC é igual a quatro vezes a área do polígono ADEB é: a) 21 1 dlll 30
c) dlll 10
5 b) 1 1 dll
d) 3
11 21 1 dlll e) __________ 2
8. (UFPel-RS) O gráfico abaixo representa a função y 5 log2 (x 2 2). y
11. (Fuvest-SP) O conjunto dos pontos (x, y) do plano car-
tesiano que satisfazem t2 2 t 2 6 5 0, onde t 5 Ox 2 yO, consiste de:
a) uma reta. b) duas retas. c) quatro retas.
d) uma parábola. e) duas parábolas.
12. (Fuvest-SP) Os pontos M(2, 2), N(24, 0) e P(22, 4) são, res-
B –2
160
a) x 1 2y 2 6 5 0 b) x 2 2y 1 2 5 0 c) 2x 2 2y 2 2 5 0
A
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x
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pectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC. A reta mediatriz do segmento AB tem a equação: d) 2x 1 y 2 6 5 0 e) 2x 1 2y 1 6 5 0
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Substituindo (II) em (I), obtemos: y x 5 2 1 __ ] y 5 3x 2 6 3 Essa equação representa uma reta paralela à reta de equação 6x 2 2y 2 1 5 0, que também tem coeficiente angular 3. Alternativa b. A distância do ponto P à reta é dada por: s 2 3 3 3 1 15 4 3 __ 2 6 1 2s __________________ 5 ______ 5 dlllllllll 42 1 (23)2
u
@ #
Pela análise do gráfico: B(3, 1) e E(t, 2t 1 1). Como a área do trapézio retângulo OABC é igual a 4 vezes a área do trapézio ABED, temos: (2t 1 1 1 3)(t 2 1) (3 1 1) 3 1 11 21 1 d lll _________ 5 4 3 ________________ ] t 5 _________ 2 2 2 Alternativa e.
(II)
2
3
(I)
Uma equação da reta r é: 3 1 0 d ll 3 x 2 y 2 0 2 0 1 d ll 3 5 0 21 0 1 5 0 ] 0 1 d ll x y 1 } y 5 d ll 3 x 1 d ll 3 Como a reta s é perpendicular à reta r, seu coeficiente d 3 ll 21 angular ms é dado por: ms 5 ___ 5 2 ___ 3 d ll 3 Portanto, uma equação da reta s é: d d 3 3 2dll ll ll 3 y 2 0 5 2 ___ (x 2 2) ] y 5 2 ___ x 1 ____ 3 3 3
2
(II)
(III)
y A P
4 M
2
r
N –4
–2
2
161
x
B
Como PN é base média do triângulo ABC, temos que PN / AB; logo, a mediatriz r de AB é perpendicular à reta PN. O coeficiente angular de PN é: 420 52 m PN 5 __________ 22 2 (24) 1 1 __ Portanto, o coeficiente angular de r é: mr 5 2 ____ m PN 5 2 2 Assim, a equação de r é dada por: 1 y 2 2 5 2 __ (x 2 2) ] x 1 2y 2 6 5 0 2 Alternativa a.
Geometria analítica: ponto e reta
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t 2 2 t 2 6 5 0 ] t 5 22 ou t 5 3 Como Ox 2 yO > 0, temos: Ox 2 yO 5 3 ] x 2 y 5 3 ou x 2 y 5 23 Essas equações representam duas retas distintas. Alternativa b.
C
9y 5 0 ] 0 2 2x 1 3y 2 0 2 ___ 1 6 5 0 4 1 1
3
Assim, a equação (I) tem conjunto solução S 5 ~, e as equações (II) e (III) representam retas perpendiculares. Alternativa d.
9 __ 22 1 4 3 0 x y
(III)
2x 1 3x 3 } x 1 y 5 21 ou y 5 2 ___ 1 __ ou y 5 ___ 1 __ 2
Sendo xA a abscissa do ponto A, temos: 9 22 5 log2 (xA 2 2) ] xA 5 __ 4 Sendo xB a abscissa do ponto B, temos: 0 5 log2 (xB 2 2) ] xB 5 3 Logo, uma equação da reta que passa pelos pontos A e B é:
} 8x 2 3y 2 24 5 0 Alternativa a.
Exercício 9
(I) Exercício 10
E a distância do ponto P à senoide é: s 3 2 sen __ 5 3 2 1 5 2 2 Calculando a soma das distâncias, temos: 6 1 2s 16 1 2s ______ 1 2 5 _______ 5 5 Alternativa e.
{
y 5 d ll 3 x 1 d ll 3 3 3dll 1 ] x 5 2 __ e y 5 ____ d ll 3 ____ ___ 3 2dll 4 4 y 5 2 x 1 3 3 3 3dll 3 3 ____ dll 9 3 4 _______ Logo, a área do triângulo ABC é: 5 ____ 2 8 Alternativa d.
(x 2 1 y 2 1 1) 3 (2x 1 3y 2 1) 3 (3x 2 2y 1 3) 5 0 ] ] x2 1 y2 1 1 5 0 ou 2x 1 3y 2 1 5 0 ou 3x 2 2y 1 3 5 0
Exercício 11
Exercício 7 Exercício 8
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercício 6
e
As coordenadas do ponto C são dadas pela solução do sistema formado pelas equações das retas r e s. Assim, temos:
Exercício 9
x 5 2 1 t (I) x 521 y t ] __ y 5 3t t 5 (II) 3
Exercício 12
Exercício 5
Para t real, temos:
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13. (Fuvest-SP) A inequação x2 1 2xy 1 y2 , 1 representa o
Nessas condições:
interior de:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3. b) Sendo Ri o retângulo de base AiA1 1 i e altura Ai 1 1Di 1 1, para 0 < i < 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.
d) uma faixa. e) um ângulo.
14. (UFTM-MG) Na figura, tem-se o gráfico da função f(x) 5 cos(2x), ao qual pertencem os pontos A e B assinalados. f(x)
17. (UFRS) O conjunto dos pontos P cujas coordenadas car
y11 tesianas (x, y) satisfazem ______ < 1 está representado na x21 região hachurada da figura: a)
A
x
1
4s d) 2 ___ 9
1 c) 2 __ 6
s e) 2 ___ 10
b)
y s
0
e) 1
y
2
1 0
x
0
2
x
–2
–2
c)
x
–2
y
15. (Unifesp) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e os pontos A 5 (1, 2), B, C, D, E e F correspondentes às intersecções das retas e do eixo Ox com a circunferência.
1 2
x
–2
Se A pertence ao eixo das abscissas e B tem ordenada 21, então o coeficiente angular da reta AB vale: 5 b) 2 ___ 3s
y
2
0
B
4 a) 2 ___ 7s
d)
y
y 1
r
0
2
x
A(1, 2)
B
–2
0
C
F
D
x
18. (Fuvest-SP) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P(a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
E
Nessas condições, determine: a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF. b) o valor do cosseno do ângulo AOB.
a) dll 5 2 1 2 b) 5 2 2dll 2 c) 5 2 d ll 5 d) 2 1 d ll 2 e) 5 1 2dll
y C = (2, 3)
1 D
16. (Fuvest-SP) Na figura a seguir, a reta r tem equação cartesiana y 5 2dll 2 x 1 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0(0, 1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 5 O(0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1 < i < 3.
B2 B1 B0
A
B
1
5
19. (Ibmec) Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C.
r
r
D3
y C
4
D2
3
D1
A
B
1 O
A1
A2
A3
x
Os segmentos A1B1, A2B2, A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D1, B1D2, B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e B1 1 i é igual a 9, para 0 < i < 2.
162
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x
Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC, então o coeficiente angular de r é igual a:
y
B3
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a) uma circunferência. b) uma hipérbole. c) uma parábola.
0 d ll 3 a) 2 ___ 3
b) 21
3
x
2 3
4 c) 2 __ 3
3 d) 2 __ 2
3 e) 2dll
MATEMÁTICA
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Exercício 13
x1y,1 y , 2x 1 1 (I) } ] x 1 y . 21 y . 2x 2 1 (II)
Exercício 16
x2 1 2xy 1 y2 , 1 ] (x 1 y)2 , 1 } 21 , x 1 y , 1 y
Representando a intersecção das regiões representadas pelas desigualdades (I) e (II) no plano cartesiano, obtemos:
x y = –x + 1
Alternativa d.
y11 y11 _____ < 1 ] _____ 2 1 < 0
y = –x – 1
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exercício 17
Exercício 14
O gráfico da função f(x) 5 cos (2x) tem 2s período T 5 ___ 5 s. 2 f(x)
1 π 4
A –
5π 3π 4 2
π 2 3π π 4
π 4 –1
x
α
O
B1 9 α
B3 9
B2 9
Exercício 18 r
D2
A3
A 1
163
B 2
5
x
y 3
4 3 2 5 8 ] AT 5 4 3 1 1 ____ 2 Assim, a reta perpendicular ao lado AB tem abscissa a tal que 2 , a , 5.
E
1 D A 1
B 2
a
5
x
x
formado pelo segmento AB com a horizontal no sentido anti-horário e d a medida do ângulo determinado pela reta r no vértice B. Então: d 3 ll AD 2 5 ___ ] a 5 30w tg a 5 ___ 5 ____ BD 2dll 2 3 CE 3 tg (a 1 2d) 5 ___ 5 ___ 3 5 d ll BE d ll 3 Assim, d 5 15w. Se D é o ângulo de inclinação da reta, temos: D 5 180w 2 (a 1 d) 5 180w 2 (30w 1 15w) 5 135w Logo, seu coeficiente angular é: tg 135w 5 21 Alternativa b. Geometria analítica: ponto e reta
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E
1 D
@ #
D3
A2
C = (2, 3)
3
d 3 ll Sejam os pontos D(0, 1), E ___ , 1 , a a medida do ângulo AB
D1
A1
y
Como a área do triângulo retângulo isósceles em destaque deve ser a metade da área do quadrilátero, temos: (5 2 a)2 (5 2 a)(5 2 a) ] 4 5 _______ A 5 ____________ 2 2 2 } (5 2 a) 5 8 2 ou 5 2 a 5 2 2dll 2 } 5 2 a 5 2dll 2 (não convém) ou a 5 5 2 2dll 2 } a 5 5 1 2dll Alternativa b.
y
B0
Representando a união das soluções desses sistemas, obtemos o gráfico da alternativa d. Alternativa d.
AT 5 AABED 1 ACDE ]
Exercício 19
Exercício 15 Exercício 16
#
a) Pelas simetrias das retas r e s em relação aos eixos Ox e Oy, temos: xA 5 xE 5 2xB 5 2xD 5 1 e yA 5 yB 5 2yD 5 2yE 5 2 Se A(1, 2), então B(21, 2), D(21, 22), E(1, 22). Os segmentos OA, OB, OC, OD, OE e OF têm com primento igual ao raio da circunferência dado por: 12 1 22 5 d ll 5 OA 5 d llllll Assim: 5 e yF 5 0, xF 5 OF 5 d ll xC 5 2OC 5 2dll 5 e yC 5 0 Portanto: F @ d ll 5 , 0 #e C @ 2dll 5 , 0 # Como os trapézios CBAF e CDEF são congruentes, a área do hexágono ABCDEF é o dobro da área do trapézio CBAF, ou seja, é igual a: (CF 1 AB) 3 yA 2 3 ____________ 5 1 2 #3 2 5 4dll 5 1 4 5 @ 2dll 2 b) No triângulo OAB, pela lei dos cossenos, temos: AB2 5 OA2 1 OB2 2 2 3 OA 3 OB 3 cos (AOB) 2 2 @ d ll 5 # 1 @ d ll 5 # 2 22 __ 3 } cos (AOB) 5 _________________ 5 5 2 3 d ll 5 3 d ll 5 Considere a figura a seguir. a) Como o coeficiente angular da reta r é 2 , no triângulo tg a 5 2dll retângulo B0D1B1, temos: B1D1 ____ 5 2dll 2 ] B0D1 ] B1D1 5 2dll 2 B0D1
y2x12>0 x21,0
A área total AT do quadrilátero ABCD é igual à área do paralelogramo ABED de base 4 e altura 1 somada à área do triângulo retângulo isósceles CDE de hipotenusa 4 e altura 2, ou seja:
Assim, as coordenadas dos pontos A e B são, s 3s , 21 , portanto o respectivamente, 2 __ , 0 e ___ 4 2 4 2120 coeficiente angular da reta AB é: _______ 5 2 ___ 7s 3s __ s ___ + 2 4 Alternativa a.
# @
x21 x21 y_________ 2x12 <0 } x21 y2x12<0 ou } x21.0
Considere a figura a seguir.
B
@
Pelo teorema de Pitágoras: 2 2 B0D1 # 1 (B0D1)2 5 92 ] B0D1 5 3 @ 2dll Assim, como os triângulos B0D1B1, B1D2B2 e B2D3B3 são congruentes, as abscissas de A1, A2 e A3 são, respectivamente, 3, 6 e 9. b) As ordenadas y1, y2 e y3 dos pontos B0, B1 e B2 são: y1 5 1 2 3 3 1 1 5 6dll 2 1 1 y2 5 2dll 2 3 6 1 1 5 12dll 2 1 1 y3 5 2dll Logo, a soma das áreas dos retângulos pedidos é dada por: 2 1 1 1 12dll 2 1 1 #5 9 1 54dll 2 3@ 1 1 6dll
NO VESTIBULAR
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