Geometria de posição A Geometria de posição estuda as figuras geométricas quanto à sua forma e posição, não importando suas medidas.
Conceitos fundamentais
Uma figura geométrica é reversa quando seus pontos não
Ponto, reta e plano Ponto, reta e plano são conceitos primitivos da Geometria.
A
figura convexa
figura não convexa
Semirreta, semiplano e semiespaço Todo ponto A de uma reta r separa essa reta em dois conjuntos convexos distintos, re e rE. A reunião do ponto A com cada um dos conjuntos re ou rE é chamada semirreta de origem A. Se essa semirreta passa por um ponto B, distinto de A, podemos indicá-la por AB.
Segmentos de reta Dois pontos, A e B, de uma reta determinam um segmento
semirreta AB
B
de reta, indicado por AB, de modo que:
A
• Se A ^ B, o segmento é formado por A e B e por todos os pontos que estão entre A e B. B
Toda reta r de um plano a separa esse plano em dois conjuntos convexos e disjuntos, ae e aE. A reunião da reta r com cada um dos conjuntos ae ou aE é chamada semiplano de origem r. Representamos por spl(r, A) um semiplano que tem origem r e passa por um ponto A, com A ( r.
segmento de reta tABu
A
• Se A 6 B, temos o segmento formado apenas por um ponto, chamado de segmento nulo. Segmentos consecutivos são aqueles que têm um extremo em comum. B
B
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Existem três postulados que garantem a existência desses conceitos, chamados de postulados de existência: • Existem infinitos pontos. • Existe reta: uma reta é um conjunto r de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem a r. • Existe plano: um plano é um conjunto a de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem a a. É usual nomear os pontos por letras maiúsculas: A, B, C, D, ...; as retas por letras minúsculas: a, b, c, d, ...; e os planos por letras gregas minúsculas: a (alfa), d (beta), D (gama), ... Existem dois postulados que garantem a determinação da reta e do plano, chamados postulados de determinação: • Dois pontos distintos determinam uma reta. • Três pontos não colineares determinam um plano. Espaço é o conjunto de todos os pontos.
são coplanares. Uma figura geométrica formada por conjunto U de pontos é convexa se, e somente se, dois pontos quaisquer de U são extremos de um segmento de reta contido em U.
C
A
AB e BC são segmentos consecutivos.
A
A reta suporte de um segmento é a reta que contém esse segmento. A
r é a reta suporte do segmento AB.
B
spl (r, A): semiplano de origem r
r
Todo plano a divide o espaço E em dois conjuntos convexos e distintos, E’ e EE. A reunião do plano a com cada um dos conjuntos Ee ou EE é chamada de semiespaço de origem a. semiespaço de origem α
r
E�
Figuras geométricas Figura geométrica é qualquer conjunto não vazio de pontos. Uma figura geométrica é plana quando todos os seus pontos são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano.
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α
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Perpendicularidade
Posições relativas Posições relativas entre duas retas Duas retas coplanares são paralelas se, e somente se, não têm ponto em comum ou têm todos os seus pontos em comum. r
r�s
Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e determinam um ângulo reto entre si. Se r e s são perpendiculares, indicamos: r t s ou s t r Duas retas r e s são ortogonais se, e somente se, são reversas e os ângulos formados por elas são retos. Se r e s são ortogonais, indicamos: r T s ou s T r s
s
t
r r e s são retas paralelas distintas (r/s e r ^ s).
r e s são retas paralelas coincidentes (r/s e r 6 s).
Duas retas são concorrentes se, e somente se, têm um único ponto em comum.
r e s são reversas, t/r e t t s [ r e s são ortogonais.
Uma reta r secante a um plano a é perpendicular a a se, e somente se, todas as retas do plano a que concorrem com r são perpendiculares a r.
r
A
r
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s r e s são concorrentes.
α
Duas retas são reversas se, e somente se, não são coplanares.
D
rta
A
C B
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro. β
As retas AB e CD são reversas, pois não existe um plano que contenha ambas ao mesmo tempo.
Posições relativas entre reta e plano Uma reta r é paralela a um plano a se, e somente se, r e a não têm nenhum ponto em comum. Uma reta r é secante (ou concorrente) a um plano a se, e somente se, r e a têm um único ponto em comum. Uma reta r está contida em um plano a se, e somente se, todos os pontos de r pertencem ao plano a.
Posições relativas entre dois planos Dois planos são paralelos se, e somente se, não têm ponto em comum ou têm todos os seus pontos em comum. Dois planos são secantes se, e somente se, têm uma única reta em comum.
α
α
atd
Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano a é o ponto Pe tal que Pe 9 a e PPe t a. P
Determinação de um plano Um plano pode ser determinado por meio de um dos quatro casos fundamentais: • Três pontos não colineares determinam um plano. • Uma reta e um ponto que não pertence a ela determinam um plano. • Duas retas concorrentes determinam um plano. • Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
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A projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre esse plano. Geometria de posição
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P≡P
P�
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Geometria de posição
No Vestibular 1. (Unicamp-SP) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de Geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.
6. (Fuvest-SP) Sejam se e sE as faces de um ângulo diedro de 45w e P um ponto interior a esse diedro. Sejam Pe e PE as projeções ortogonais de P sobre se e sE, respectivamente. Então, a medida, em graus, do ângulo PePPE é: 45° P″
2. (Fuvest-SP) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um cubo. Um plano a, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. A intersecção do plano a com o cubo é um:
P′
P
a) triângulo.
π″
b) quadrado.
π′
c) retângulo.
a) 30 b) 45
d) pentágono. e) hexágono.
B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE t AB e AE t AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: a) EA e EB
centro da face oposta. Sendo a o ângulo entre os planos a ABI e CDI, calcule tg __ . 2 1 a) __ 2 b) 2
c) EB e BA d) EA e AC
1 c) __ 3
e) AC e BE
d) 4
afirmar que: a) Existe um plano d que contém r e é perpendicular a a. b) Existe um único plano d que contém r e é perpendicular a a. c) Existe um plano d que contém r e é paralelo a a. d) Existe um único plano d que contém r e é paralelo a a. e) Qualquer plano d que contém r intercepta o plano a.
5. (Fuvest-SP) Sejam r e s duas retas distintas. Pode-se afirmar que sempre: a) Existe uma reta perpendicular a r e a s. b) r e s determinam um único plano. c) Existe um plano que contém s e não intercepta r. d) Existe uma reta que é paralela a r e a s. e) Existe um plano que contém r e um único ponto de s.
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7. (Fuvest-SP) O quadrado ABCD é a face de um cubo e I é o
b) EC e CA
4. (Fuvest-SP) Dados um plano a e uma reta r, podemos
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1 e) __ 4
8. (UFSCar-SP) Considere um plano a e um ponto P qualquer do espaço. Se por P traçarmos a reta perpendicular a a, a intersecção dessa reta com a é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre a. No caso de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre a é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos.
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3. (Fuvest-SP) São dados cinco pontos não coplanares A,
c) 60 d) 90
Com relação a um plano a qualquer fixado, pode-se dizer que: a) A projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa semirreta. b) A projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta. c) A projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de reta. d) A projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero. e) A projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num segmento de reta.
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B A
v
Exercício 5
Exercício 2
Considere a figura ao lado. Como a é paralelo ao plano que contém o triângulo ABC e divide o cubo em duas partes iguais, a intercepta o cubo nos pontos médios das suas arestas, determinando, assim, um hexágono. Alternativa e.
Se r e s são duas retas distintas, elas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Vamos analisar cada uma das alternativas: a) Verdadeira. b) Falsa, pois se r e s forem reversas elas não determinarão um único plano. c) Falsa, pois se r e s são concorrentes não existe um plano que contenha s e não intercepte r. d) Falsa, pois se r e s são concorrentes não existe uma reta que seja paralela a r e a s. e) Falsa, pois se r e s são concorrentes não existe um plano que contenha r e um único ponto de s. Alternativa a.
Exercício 6
Exercício 1
Três pontos não colineares determinam um plano (postulado de determinação); já com 4 pontos distintos, podemos determinar C4, 3 planos distintos, ou seja, 4 planos.
Considere a figura ao lado. 45° O plano determinado Q por PePP E intercepta o diedro formando o P′ quadrilátero PPeQP’’. Como Pe e PE são projeções ortogonais sobre se e sE, respectivamente, temos: π′ m(QPeP) 5 m(QP EP) 5 90w Assim, no quadrilátero PPeQP E: m(PePPE) 1 90w 1 45w 1 90w 5 360w } m(PePPE) 5 135w Alternativa e.
C
Considere o paralelepípedo reto-retângulo abaixo.
Exercício 3
D
A
C
B
Dentre as alternativas, a única correta é a que apresenta EA e AC como retas perpendiculares. Alternativa d. A reta r pode ser concorrente com o plano a (r), estar contida nele (re) ou ser paralela a ele (rE), conforme a figura abaixo.
Considere a figura abaixo. A
r″ r′
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Exercício 8
Exercício 4
P P′
π″
F
2a
Q � 2
a H
C
2a
N
I
P
Analisando cada uma das alternativas, temos: a) Falsa, pois a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar somente em um segmento de reta ou em um ponto. b) Falsa, pois a projeção ortogonal de uma reta pode resultar somente em uma reta ou em um ponto. c) Falsa, pois a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar somente em uma parábola, em uma parábola “deformada”, em uma reta ou em uma semirreta. d) Falsa, pois a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar somente em um triângulo ou em um segmento de reta. e) Verdadeira. Alternativa e.
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P″
45°
P
Sendo 2a a medida da aresta do cubo, no triângulo MHI a a 1 5 __ temos: tg __ 5 ___ 2 2a 2 Alternativa a.
r
Vamos analisar cada uma das alternativas. a) Verdadeira, pois: • se a reta r é perpendicular ao plano, então qualquer plano que contém r é perpendicular a a. • se a reta r não é perpendicular ao plano, então r e uma reta s, concorrente com r e perpendicular a a, determinam um plano perpendicular a a. b) Falsa, pois se a reta r for perpendicular a a existirão infinitos planos que contêm r e são perpendiculares a a. c) Falsa, pois se r tiver ponto em comum com a não existe um plano que contenha r e seja paralelo a a. d) Falsa, de acordo com o item anterior. e) Falsa, pois se r é paralela a a, existe um plano d que contém r e é paralelo a a, ou seja, não intercepta a. Alternativa a.
M I
D
α
Q
secção transversal que contém I e passa pelos pontos médios de AB e CD
E
B
Exercício 7
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E
seção PP′QP″
P″
NO VESTIBULAR
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