Geometria de posição A Geometria de posição estuda as figuras geométricas quanto à sua forma e posição, não importando suas medidas.
Conceitos fundamentais
Uma figura geométrica é reversa quando seus pontos não
Ponto, reta e plano Ponto, reta e plano são conceitos primitivos da Geometria.
A
figura convexa
figura não convexa
Semirreta, semiplano e semiespaço Todo ponto A de uma reta r separa essa reta em dois conjuntos convexos distintos, re e rE. A reunião do ponto A com cada um dos conjuntos re ou rE é chamada semirreta de origem A. Se essa semirreta passa por um ponto B, distinto de A, podemos indicá-la por AB.
Segmentos de reta Dois pontos, A e B, de uma reta determinam um segmento
semirreta AB
B
de reta, indicado por AB, de modo que:
A
• Se A ^ B, o segmento é formado por A e B e por todos os pontos que estão entre A e B. B
Toda reta r de um plano a separa esse plano em dois conjuntos convexos e disjuntos, ae e aE. A reunião da reta r com cada um dos conjuntos ae ou aE é chamada semiplano de origem r. Representamos por spl(r, A) um semiplano que tem origem r e passa por um ponto A, com A ( r.
segmento de reta tABu
A
• Se A 6 B, temos o segmento formado apenas por um ponto, chamado de segmento nulo. Segmentos consecutivos são aqueles que têm um extremo em comum. B
B
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Existem três postulados que garantem a existência desses conceitos, chamados de postulados de existência: • Existem infinitos pontos. • Existe reta: uma reta é um conjunto r de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem a r. • Existe plano: um plano é um conjunto a de infinitos pontos, e há infinitos pontos que não pertencem a a. É usual nomear os pontos por letras maiúsculas: A, B, C, D, ...; as retas por letras minúsculas: a, b, c, d, ...; e os planos por letras gregas minúsculas: a (alfa), d (beta), D (gama), ... Existem dois postulados que garantem a determinação da reta e do plano, chamados postulados de determinação: • Dois pontos distintos determinam uma reta. • Três pontos não colineares determinam um plano. Espaço é o conjunto de todos os pontos.
são coplanares. Uma figura geométrica formada por conjunto U de pontos é convexa se, e somente se, dois pontos quaisquer de U são extremos de um segmento de reta contido em U.
C
A
AB e BC são segmentos consecutivos.
A
A reta suporte de um segmento é a reta que contém esse segmento. A
r é a reta suporte do segmento AB.
B
spl (r, A): semiplano de origem r
r
Todo plano a divide o espaço E em dois conjuntos convexos e distintos, E’ e EE. A reunião do plano a com cada um dos conjuntos Ee ou EE é chamada de semiespaço de origem a. semiespaço de origem α
r
E�
Figuras geométricas Figura geométrica é qualquer conjunto não vazio de pontos. Uma figura geométrica é plana quando todos os seus pontos são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano.
132
Suplemento de revisão
132_135_SR_MAT_PLUS_T_17.indd
132
α
MATEMÁTICA
29.10.10
09:48:28