Geometria métrica: poliedros Os poliedros são blocos maciços com a superfície formada por polígonos; por exemplo, cubos e pirâmides.
Ângulos e distâncias Seja r uma reta secante a um plano a, e não perpendicular a a, e re a projeção ortogonal de r sobre a. Os ângulos formados pela reta r e pelo plano a são os ângulos formados por r e re.
A distância entre duas figuras geométricas F1 e F2 é a medida do menor segmento de reta que tem um extremo em F1 e o outro extremo em F2.
r F1
F2 A
B
r’
Poliedro Sejam a e d dois planos secantes e t a reta comum a esses planos. Os ângulos formados por a e d são os ângulos formados por duas retas r e s, perpendiculares a t, com r - a e s - d. α r t β s
Seja uma superfície S formada por n polígonos, com n > 4, tal que: • não há dois polígonos adjacentes contidos em um mesmo plano; • cada lado de qualquer polígono é lado de dois e apenas dois deles. A superfície S separa o espaço em duas regiões que não têm ponto em comum: a região I, limitada por S, e a região E, ilimitada. A reunião da superfície S com a região limitada I é chamada de poliedro. A superfície S é a superfície do poliedro, e as regiões I e E são o interior e o exterior do poliedro, respectivamente.
r e s concorrentes α
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
�
r t β
s
r e s reversas
Um ângulo formado por dois semiplanos a e d de mesma origem r é chamado de ângulo diedro (ou simplesmente diedro) de arestas r e faces a e d. r
Cada polígono que compõe a superfície do poliedro é chamado de face do poliedro. Cada lado de uma face qualquer do poliedro é chamado de aresta do poliedro. Cada vértice de uma face qualquer do poliedro é chamado de vértice do poliedro. aresta
β α
face
vértice
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Os poliedros são nomeados conforme o número de faces. Por exemplo: Número de faces
Nome do poliedro
Número de faces
Nome do poliedro
4
tetraedro
13
tridecaedro
5
pentaedro
14
tetradecaedro
6
hexaedro
15
pentadecaedro
7
heptaedro
16
hexadecaedro
8
octaedro
17
heptadecaedro
9
eneaedro
18
octadecaedro
10
decaedro
19
eneadecaedro
11
undecaedro
20
icosaedro
12
dodecaedro
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Poliedro convexo Um poliedro é convexo quando o plano que contém qualquer uma de suas faces deixa as outras faces contidas em um mesmo semiespaço.
Existem exatamente cinco classes de poliedros regu lares:
cubo
tetraedro regular
octaedro regular
dodecaedro regular
icosaedro regular
Prisma Sejam dois planos paralelos e distintos, a e d, uma reta r secante a esses planos e um polígono convexo A1A2A3...An contido em a. Consideremos todos os segmentos de retas paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao polígono e o outro extremo pertencente a d. A reunião de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado prisma convexo limitado ou, simplesmente, prisma. r
Bn
B5
B1
B4 B2
B2
B3
A5
An
Em todo poliedro convexo vale a relação de Euler:
β
A1
α A4
A2
A3
V2A1F52 em que V, A e F representam os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.
Poliedro regular Considere um polígono convexo contido em um plano a e um ponto O que não pertence a a. Chama-se ângulo poliédrico convexo a reunião das semirretas de origem O que passam por qualquer ponto desse polígono. Um poliedro convexo é regular se, e somente se, são obedecidas as condições: • todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si; • todos os seus ângulos poliédricos são congruentes entre si.
Observando o prisma acima, temos: • Os polígonos A1A2A3...An e B1B2B3...Bn, contidos nos planos a e d, são as bases do prisma; • As demais faces, exceto as bases, são as faces laterais do prisma; • Os vértices das faces são os vértices do prisma; • Os lados das bases são as arestas das bases do prisma; • As demais arestas, exceto as das bases, são as arestas laterais do prisma; • A distância entre os planos das bases é a altura do prisma; • Todo segmento de reta cujos extremos são vértices que não pertencem a uma mesma face do prisma é a diagonal do prisma; por exemplo, B1A4. Geometria métrica: poliedros
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Seja um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões a, b e c. Sua diagonal de medida D, sua área total AT e seu volume V são dados por:
Um prisma é classificado de acordo com o número de arestas de sua base.
D 5 d llllllllll a2 1 b2 1 c2 AT 5 2(ab 1 ac 1 bc) V5a3b3c
c D
prisma quadrangular
prisma triangular
b a
Pirâmide prisma pentagonal
prisma hexagonal
Prisma reto e prisma oblíquo Um prisma é reto se, e somente se, suas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Um prisma não reto é chamado de prisma oblíquo.
Sejam um polígono convexo A1A2A3...An contido em um plano a e um ponto V, não pertencente a a. Consideremos todos os segmentos de reta que possuem um extremo pertencente ao polígono e o outro extremo em V. A reunião de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado pirâmide convexa limitada ou, simplesmente, pirâmide.
h
h An A1
A4
prisma triangular oblíquo
prisma pentagonal reto
α
Prisma regular Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas bases são polígonos regulares.
Volume de um prisma O volume V de um prisma é o produto da área B de sua base por sua altura h:
A2
A3
Observando a pirâmide acima, temos: • O ponto V é o vértice da pirâmide; • O polígono A1A2A3...An é a base da pirâmide; • Os pontos A1, A2, ..., An são os vértices da base; • Os lados da base são as arestas da base; • As demais arestas, exceto as da base, são as arestas laterais; • A distância entre o vértice V e o plano da base é a altura da pirâmide. Uma pirâmide é classificada de acordo com o número de arestas da base.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
V
V5B3h
Paralelepípedo Paralelepípedo é todo prisma cujas bases são paralelogramos. Um paralelepípedo é reto se suas arestas laterais são perpendiculares às bases. Se um paralelepípedo não é reto, ele é oblíquo. Todo prisma reto cujas bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo. Um paralelepípedo reto-retângulo cujas faces são todas quadradas é chamado de cubo.
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pirâmide pentagonal
pirâmide hexagonal
pirâmide triangular
pirâmide quadrangular
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Uma pirâmide é regular se, e somente se, sua base é um polígono regular e a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro dessa base. V
Volume de uma pirâmide 1 O volume V de uma pirâmide é igual a __ do produto da área B 3 de sua base por sua altura H: 1 V 5 __ 3 B 3 H 3
D
C O
A
Semelhança de pirâmides
B
Apótemas em uma pirâmide Considere uma pirâmide regular e o ponto médio M de qualquer um dos lados de sua base.
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Duas pirâmides de mesma altura e bases equivalentes (de mesma área) têm volumes iguais.
Considere uma pirâmide P seccionada por um plano paralelo à sua base. Esse plano separa a pirâmide em dois sólidos: um tronco de pirâmide e uma pirâmide Pe, semelhante à pirâmide inicial P.
O segmento de reta que tem um extremo em M e o outro no vértice da pirâmide é chamado de apótema da pirâmide. O segmento de reta que tem um extremo em M e o outro no centro O da base é chamado de apótema da base. V
pirâmide P apótema da pirâmide pirâmide P� ponto médio
O
M
base menor do tronco
apótema da base
O teorema de Pitágoras e a pirâmide regular Em uma pirâmide regular, sejam: H a altura; n a medida do apótema da pirâmide; r a medida do apótema da base; b a medida de uma aresta da base; L a medida de uma aresta lateral; R o raio da circunferência circunscrita à base.
altura do tronco base maior do tronco
tronco de pirâmide
Se um plano secciona uma pirâmide P, de altura D e área da base B, a uma distância d do vértice tal que a secção transversal tenha área b, então: d
H
L
L
b
D
R O
B r
Pelo teorema de Pitágoras, temos: H2 1 r2 5 n2 b 2 n2 1 __ 5 L2 2 H2 1 R2 5 L2
@ #
2
B
n
b 2
Além disso, a razão entre os volumes VPe e VP das pirâmides semelhantes Pe e P, respectivamente, é igual ao cubo da razão de semelhança:
@ #
VPe d 3 ___ 5 __ VP D Geometria métrica: poliedros
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@ D #
b d __ 5 __
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Geometria métrica: poliedros
No Vestibular 1. (UFPel-RS) No México, há mais de mil anos, o povo Asteca
4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta
resolveu o problema da armazenagem da pós-colheita de grãos com um tipo de silo em forma de uma bola colocado sobre uma base circular de alvenaria.
de base quadrada ABCD de lado 1 e altura EF 5 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e a a medida do ângulo AGB, então cos a vale: E
A forma desse silo é obtida juntando 20 placas hexagonais e mais 12 placas pentagonais.
G α C
D F A
1 a) __ 2
B
1 b) __ 3
1 c) __ 4
1 d) __ 5
1 e) __ 6
Com base no texto, é correto afirmar que esse silo tem: a) 90 arestas e 60 vértices. b) 86 arestas e 56 vértices. c) 90 arestas e 56 vértices. d) 86 arestas e 60 vértices. e) 110 arestas e 60 vértices. f) I.R.
(O Globo, março 2000)
2. (UFSCar-SP) O triângulo ABE e o quadrado ABCD estão em planos perpendiculares, conforme indica a figura.
70 cm figura 1
40 cm 60 cm 100 cm
C
D
B
A
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho de mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo reto-retângulo.
E
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2010 King Features Syndicate/Ipress
5. (Uerj) Leia os quadrinhos:
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm3, igual a: Se EA 5 3 e AB 5 5, então ED é igual a: 24 a) dlll b) 5
c) 3dll 3 2 d) 4dll
3. (Fuvest-SP) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADCG, e finalmente completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice: a) A b) B
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c) C d) D Suplemento de revisão
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a) 12 e) dlll 34
c) 14
d) 15
6. (Unifor-CE) A peça de ferro abaixo foi obtida de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, com a retirada de quatro cubos iguais de aresta 10 cm.
G
D
b) 13
E
20 cm
30 cm
C 40 cm A
B
e) E
Se a densidade do ferro é 7,8 g/cm3, então a massa dessa peça, em quilograma, é: a) 187,2 b) 179,4
c) 171,6 d) 163,8
e) 156
MATEMÁTICA
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Considere a figura a seguir. G
Exercício 3
E
Subtraindo do volume do paralelepípedo reto-retângulo os volumes dos cubinhos de aresta 10 cm, obtemos o volume V da peça: V 5 20 3 30 3 40 2 4 3 103 cm3 5 20.000 cm3 Assim, sendo a densidade do ferro 7,8 g/cm3, a massa da peça é: 7,8 3 20.000 g 5 156.000 g 5 156 kg Alternativa e.
@
#
C A
B
O primeiro trajeto da formiga é do vértice G para o vértice C, em seguida do vértice C para o vértice D e, finalmente, do vértice D para o vértice E, pois DE é uma reta reversa a CG. Alternativa e. Seja F o ponto médio das diagonais do quadrado ABCD de lado unitário. Aplicando o teorema de Pitágoras no Exercício 4
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
D
Exercício 5
Exercício 2
Como os planos são perpendiculares, o triângulo EAB é retângulo em A. Assim, temos: 32 1 52 5 d lll 34 ED 5 d llllll Alternativa e.
O volume de terra é igual à soma do volume do paralelepípedo reto-retângulo com o volume da pirâmide. Assim, convertendo as unidades de medida para decímetro, temos que o volume V é dado por: 1 3 10 3 6 3 3 dm3 5 300 dm3 V 5 4 3 10 3 6 1 __ 3 Como a terra foi acumulada em 20 anos, o volume 300 médio anual é: ____ 5 15 20 Alternativa d.
Exercício 6
Exercício 1
O total de faces do silo é: 20 1 12 5 32 O total A de arestas do silo é dado por: 2A 5 20 3 6 1 12 3 5 ] A 5 90 Assim, pela relação de Euler, temos: V 2 A 1 F 5 2 ] V 2 90 1 32 5 2 } V 5 60 Alternativa a.
@ # @ #
2
d 2 ll 3 1 2 1 ___ 5 __ triângulo retângulo AFG, temos: AG2 5 __ 4 2 2 Pela lei dos cossenos, no triângulo isósceles AGB, temos: 3 3 3 1 1 __ 2 2 3 __ 3 cos a ] cos a 5 __ 12 5 __ 4 4 4 3 Alternativa b.
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08:38:38
7. (Unifesp) Quando se diz que numa determinada região a
10. (Unicamp-SP) Suponha que um livro de 20 cm de lar-
precipitação pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.
gura esteja aberto conforme a figura a seguir, sendo DAC 5 120w e DBC 5 60w. 20 cm
B
60°
Volume: 10 litros 10 mm
A 1m 120°
1m
D
a) Calcule a altura AB do livro. b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.
Se numa região de 10 km² de área ocorreu uma precipitação de 5 cm, quantos litros de água foram precipitados? a) 5 # 107 b) 5 # 108 c) 5 # 109 d) 5 # 1010 e) 5 # 1011
C
11. (FGV) Considere uma pirâmide regular de altura
8. (UFSCar-SP) Na figura, os pontos ACFH são vértices de um tetraedro inscrito em um cubo de aresta 3. O volume do tetraedro é: C
6 3dll ____ cuja base é um quadrado de lado 3. Calcule: 2 a) o volume da pirâmide. b) o raio da esfera circunscrita à pirâmide.
12. (UFG-GO) A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que suas arestas medem AB 5 10, DC 5 6, AD 5 4 e AE 5 10.
B
D
H
G
E
A
F
F
G H
D
E
C
A
27 a) ___
13 27dlll d) _______
39 9dlll b) _____ 8
e) 18
8
18
O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. A área desse quadrilátero é: a) 8dll 7 7 b) 10dll
c) 9
9. (Mackenzie-SP)
B
c) 16dll 7 d) 32dll 7
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
e) 64dll 7
13. (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões d ll 2 # dll 2 # dll 7 , sendo A, B, C e D quatro de seus vértices.
h d
A 6m 45° √7
10 m
A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o formato de trapézios isósceles. Se d 5 dll 2 , a razão entre o volume de água e o volume total da caçamba é: 17 a) ___
17 d) ___
25 21 ___ b) 32 25 ___ c) 28
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28 25 ___ e) 32
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D
B √2
√2
C
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a: dlll 11 a) ____ 4
11 dlll c) ____ 2
14 dlll b) ____ 4
13 dlll d) ____ 2
7 3dll e) ____ 2
MATEMÁTICA
29.10.10
08:38:39
a) A área da base da pirâmide é: 32 5 9. Portanto, seu volume V é:
b)
Subtraindo o volume dos 4 tetraedros do volume do cubo de aresta 3, obtemos o volume procurado: 1 1 3 __ 3 3 3 3 3 3 5 9 33 2 4 3 __ 3 2 Alternativa c. Representando uma secção, temos: D G
H
I
6m
K
J
C 45°
B
a) O :DBC é equilátero. Sendo BD 5 BC 5 DC 5 l, temos: DC2 5 AD2 1 AC2 2 2 3 AD 3 AC 3 cos 120w ] 1 ] l2 5 202 1 202 2 2 3 20 3 20 3 2__ 2 } l 5 20dll 3 Pelo teorema de Pitágoras no :BAD, temos: AB2 1 202 5 l2 ] AB2 5 3 3 (202) 2 202 2 } AB 5 20dll 2 cm. Logo, a altura do livro é 20dll b) Seja DAC a base e AB sua altura. Assim, o volume é dado por: 6 3 2.000dll 1 1 2 cm3 5 ________ cm 3 20 3 20 3 sen 120w 3 20dll __ 3 __ 3 2 3
3
D
@
# @ # 2
2
6 u.c. } R 5 d ll
O plano que contém os pontos A, H e G determina no prisma um trapézio isósceles de base maior AB de medida 10, base menor HG de medida 6 e lados não paralelos de medidas: BG 5 AH 5 dlllllll 42 1 102 5 d llll 116 Assim, a altura h desse trapézio é: h 5 d lllllll 116 2 22 5 d llll 112 E sua área é dada por: 112 (10 1 6) 3 d llll 7 5 32dll _____________ 2 Alternativa d.
AC 5 AD 5 d llllllllllll @ d ll 2 # 1 @ d ll 7 # 5 3 2 2 llllllllllll 2 # 1 @ dll 2 # 5 2 DC 5 d @ dll Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a medida h da altura do triângulo ADC em relação à base DC: 2 h2 1 12 5 32 ] h 5 2dll dll 2 2 3 2 Logo, a área desse triângulo é: _______ 5 2dll 2 2 Temos ainda que o volume do tetraedro trirretângulo ABCD é: d 7 ll 1 1 dll dll dll ___ __ 3 __ 3 2 3 2 3 7 5 3 2 3 Portanto, a distância d pedida é dada por: d 7 1 14 lll dll 2 3 d ] d 5 ____ ___ 5 __ 3 2dll 4 3 3 Alternativa b. 2
Geometria métrica: poliedros
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3
6 3dll 2 3dll 2 R 1 ____ ] R2 5 ____ 2 2 9 27 2 3Rdll 6 1 R2 1 __ ] R2 5 ___ 2 2
2
Exercício 13
Exercício 10
C
O triângulo ADC é isósceles. Temos:
@ #
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R
E
3 6 –R 2 A
No :DFG: d 2 ll 2 3 ___ 5 1 FG 5 DF 3 sen 45w 5 d ll 2 Logo, DG 5 FG 5 1. Além disso, DH 5 AH 5 6. Assim, as dimensões do trapézio ABCD são: AB 5 10 m, CD 5 22 m e AH 5 6 m E do trapézio ABEF: AB 5 10 m, EF 5 20 m e AJ 5 5 m Assim, sendo h a altura do prisma, temos que a razão pedida é: 5 3 (10 1 20) ___________ 3h 25 2 5 ___ ______________ 32 6 3 (10 1 22) ___________ 3h 2 Alternativa e.
O B
Exercício 12
Exercício 9
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
10 m
R
3 6 2
Da figura, OV 5 OA 5 OB 5 OC 5 OD 5 R, em que R é o raio da esfera. Aplicando o teorema de Pitágoras no :OEC:
E
45° A
V R
2m F
6 6 3dll 9dll 1 u.v. 5 ____ u.v. V 5 __ 3 32 3 ____ 3 2 2
Exercício 11
Exercício 7 Exercício 8
Uma precipitação de 5 cm, ou seja, de 50 mm, representa 50 litros por m2. Assim, numa região de 10 km2, isto é, de 10 • 106 m2, teremos: 50 3 10 3 106 L 5 5 3 108 L Alternativa b.
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143
29.10.10
08:38:40
c) 9 cm d) 10 cm
16. (Unifesp) Um poliedro é construído a partir de um cubo
de aresta a . 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, a 0 , x < __ , a aresta lateral das pirâmides cortadas. 2
x
x
face lateral das pirâmides cortadas
17. (UFU-MG) Na figura ao
E
M F
L
H
G
K
A I
B C
J
18. (Fuvest-SP) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que: • apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; • os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo equilátero. Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2dll 3 cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo.
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5 No :EHM: (MH)2 5 (EM)2 1 (EH)2 ] MH 5 3dll Sendo O o centro da base hexagonal da pirâmide, temos que o segmento OM e os lados da base da pirâmide 2 cm. No :MHO, temos: possuem medida igual a 3dll 2 2 @ 3dll 5 # 5 @ 3dll 2 # 1 (OH)2 ] OH 5 3dll 3 Portanto, o volume, em cm3, é dado por: 2 2 # d ll 3 1 6 3 @ 3dll 3 ] V 5 81 3 3dll V 5 __ 3 ____________ 4 3
N
D
Beto Celli
Determine o volume da pirâmide de base hexagonal IJKLMN e vértice H.
a) O total de faces do poliedro formado é numericamente igual à soma do número de faces com o número de vértices do cubo: 6 1 8 5 14 b) O volume dos 8 tetraedros trirretângulos é dado por: 5a3 a3 5 __ a3 2 ___ 6 6 Assim, sendo x a medida de cada aresta que forma o ângulo triédrico trirretângulo, temos: a a3 1 1 3 x 3 x 3 x 5 __ ] x 5 __ 8 3 __ 3 __ 6 3 2 2
Exercício 17
a) Dê o número de faces do poliedro construído. a b) Obtenha o valor de x, 0 , x < __ , para o qual o volume 2 do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide x cortada, relativa à base equilateral, é ___ . d ll 3
lado, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a 5 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N são pontos médios das arestas a que pertencem.
Sendo S a soma das dimensões a, b e c do paralelepípedo reto-retângulo, em centímetro, temos: S 5 a 1 b 1 c ] S2 5 a2 1 b2 1 c2 1 2(ab 1 bc 1 ac) } S2 5 21 1 28 ] S 5 7 Alternativa a.
e) 12 cm
Exercício 18
a) 7 cm b) 8 cm
Sejam A, B e C os pontos de intersecção entre os lados do tetraedro trirretângulo e o bordo do copo. Esses pontos são vértices de um triângulo equilátero. Assim, como o raio da circunferência circunscrita a esse 3 cm, seu lado a mede: triângulo é igual a 2dll d ll 3 a ____ 3 cm ] a 5 6 cm 5 3dll 2 Sendo x a medida das arestas que formam o ângulo 2 5 6 cm ] x 5 3dll 2 cm triédrico trirretângulo, temos: xdll Portanto, o volume da parte do cubo que está no interior do copo é: 1 1 dll dll dll 3 2 cm3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 cm 5 9dll __ 3 __ 3 2
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
mede 28 cm2 e a diagonal, d lll 21 cm. A soma das dimensões mede:
Exercício 14
15. (FEI-SP) Num paralelepípedo reto-retângulo a área total
O volume do octaedro regular é o dobro do volume de uma pirâmide reta quadrangular regular com diagonal c da base igual a c e altura igual a __ , ou seja: 2 c c3 1 c2 __ 2 3 __ 3 __ 3 5 __ 3 2 2 6
Exercício 15
do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo?
Exercício 16
14. (Unicamp-SP) Dado um cubo de aresta c, qual é o volume
MATEMÁTICA
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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Geometria métrica: poliedros
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NO VESTIBULAR
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