Geometria I
Manaus 2006
FICHA TÉCNICA Governador
Eduardo Braga Vice–Governador
Omar Aziz Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral
João Batista Gomes Projeto Gráfico
Mário Lima Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Silva, Clício Freire da. S586g
Geometria I / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 149 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Geometria. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Título. CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
07
UNIDADE I – Noções primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
09
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
01 02 03 04 05 06
– – – – – –
Noções e proposições primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Segmento de reta - Conceitos primitivos - ponto, reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Paralelismo - Retas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE II – Polígonos
.......................................................................
29
Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triângulos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadriláteros - Principais propriedades e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 33 34 37 39 43 48 51
UNIDADE III – Elementos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
Circunferência e Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circunferência e Círculo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ângulos na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ângulos na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos inscritos e circunscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígonos inscritos e circunscritos - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 58 60 61 63 66
UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semelhança de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas no triângulo retângulo - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de pitágoras - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas no triângulo qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas no triângulo qualquer - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69 72 75 76 77 79 84 86
UNIDADE V – Áreas de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
07 08 09 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
– – – – – – – –
– – – – – –
– – – – – – – –
– – – – – – – – – – – –
Relações métricas na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relações métricas na circunferência - Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Áreas de figuras planas - Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Áreas de figuras planas - Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Áreas de figuras planas - Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório - Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Áreas de superfícies planas - Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório - Decomposição de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atividade de laboratório - Pontos notáveis no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91 93 96 97 101 102 106 111 113 117 119 120
UNIDADE VI – Atividades de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
PERFIL DOS AUTORES
Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM
Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico–científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I Noções primitivas
Geometria I – Noções primitivas
Postulados ou axiomas – São proposições (afirmações) aceitas como verdadeiras sem prova ou demonstração, apenas pela experiência ou observação.
TEMA 01
NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
Postulados Fundamentais – Servem de suporte para o estudo da geometria que ora estudamos.
Introdução Euclides, o grande matemático grego, foi o principal responsável pelo avanço da geometria. Nascido por volta de 300a.C., Fundador da Escola de Alexandria, escreveu um tratado de matemática sob o título Os elementos (composto de treze volumes), que se constituiu, durante mais de 20 séculos.
Alguns postulados Importantes:
•
Uma reta tem infinitos pontos.
•
Dois pontos distintos determinam uma única reta .
A
No livro, Euclides expõe, em ordem lógica, os principais assuntos da geometria. Inicia apresentando os entes primitivos e algumas definições. A seguir, considera alguns postulados e, finalmente, demonstra uma série de teoremas que serviriam de base para a demonstração de outras propriedades. O livro é considerado a primeira compilação formal do saber matemático ocidental. A rígida organização da obra forneceu o padrão de apresentação para tudo que se fez posteriormente em matemática, daí o nome Geometria Euclidiana. Conceitos Primitivos – São aqueles apresentados intuitivamente, ou seja, sem definição. Nascem em nossa mente pela observação e experiência. Exemplos: o ponto, a reta e o plano. Os demais conceitos são apresentados por uma definição que se utiliza de conceitos já conhecidos. 11
B
•
Por um ponto passam infinitas retas.
•
Dois pontos distintos determinam uma única reta.
•
Três pontos não-colineares determinam um único plano.
•
A reta que passa por dois pontos distintos, pertencentes a um plano, também está contida nesse plano.
UEA – Licenciatura em Matemática
Postulado de Euclides Por um ponto P, não pertencente a uma reta r, passa uma única reta paralela a essa mesma reta r.
•
Hipótese: os ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v).
•
Tese (ou conclusão): os ângulos são congruentes.
Demonstração do teorema
Teoremas Um teorema é composto de duas partes:
•
a parte que se supõe conhecida, chamada de hipótese;
•
a parte que se deseja provar, chamada de tese.
H: α e β são o.p.v. T: α ≅ β Afirmativa: α + Y = 180° Justificativa: Ângulos adjacentes suplementares.
Exemplos:
Afirmativa: Y + β = 180°
a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.
Justificativa: São ângulos adjacentes suplementares.
Hipótese: Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal.
Afirmativa: α + Y = Y + β Justificativa: Propriedade transitiva das igualdades.
Tese: Os ângulos correspondentes são congruentes.
Afirmativa: α + Y = Y + β Justificativa: Propriedade do cancelamento.
b) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
Portanto, α = β
Hipótese: Um triângulo é isósceles. Tese: Os ângulos da base são congruentes. Pode–se demonstrar um teorema por três métodos:
•
1. Identifique a hipótese e a tese em cada caso.
Direto: partindo da hipótese, chega-se à tese.
•
Indireto: negando a tese, chega-se à negação da hipótese.
a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes.
•
Contradição ou absurdo: negando a tese, chega-se à negação de uma verdade já estabelecida, antes mesmo de se chegar à negação da hipótese.
Solução
b) Se duas retas cortadas por uma transversal são paralelas, então elas determinam ângulos alternos internos congruentes.
a) Hipótese – Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal.
Exemplos: Se dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.), então os ângulos são congruentes.
Tese – Os ângulos correspondentes são congruentes. b) Hipótese – Duas retas cortadas por uma transversal são paralelas. Tese – Essas retas determinam ângulos alternos internos congruentes. 12
Geometria I – Noções primitivas
TEMA 02 1. Classificar em verdadeiras ou falsas as afirmações:
SEGMENTO DE RETA Conceitos Primitivos – Ponto, reta e plano
a. ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles.
No dia-a-dia, são encontrados diversos exemplos desses conceitos primitivos.
b. ( ) Os vértices de um triângulo são coplanares e estão no mesmo plano.
Exemplos:
c. ( ) Uma reta qualquer separa um plano em dois semiplanos.
a) A marca deixada em uma folha de papel pela ponta de um lápis.
d. ( ) Por três pontos distintos quaisquer passa sempre um único plano. e. ( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem determinar é de seis retas. O ponto é indicado com letras maiúsculas do nosso alfabeto.
2. Assinale a alternativa falsa: a) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
b) Uma estrada dá-nos idéia de reta.
b) Por quatro pontos quaisquer passa sempre um único plano. c) O conceito de plano é primitivo. d) O plano tem infinitos pontos.
A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por letras minúsculas do nosso alfabeto.
3. Classifique em verdadeiras ou falsas as afirmações:
c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia de plano.
a. ( ) Uma reta tem dez pontos distintos. b. ( ) Um plano tem cinco pontos distintos. c. ( ) Existem infinitos pontos fora de uma reta. d. ( ) Existem pontos fora de um plano que são colineares. e. ( ) Dois pontos quaisquer distintos estão sempre contidos em pelo menos um plano.
O plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego, tais como α (alfa), β (beta) γ (gama), etc.
f. ( ) Todo triângulo está contido em um único plano.
Semi-reta
g. ( ) Quatro pontos quaisquer estão sempre contidos em um único plano.
Em relação ao ponto A, a reta fica dividida em duas partes:
4. Demonstre o teorema: Se dois ângulos são adjacentes suplementares, então suas bissetrizes formam um ângulo reto.
Cada uma dessas partes é chamada semi-reta, e o ponto A é chamado origem das semi-retas. 13
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo de semi-retas:
Se os segmentos são colineares e consecutivos, nesse caso diz-se adjacentes. Exemplo:
→
Indicação: AB Segmentos congruentes
(lê-se semi-reta AB)
Dois segmentos são congruentes quando possuem a mesma medida, tomada numa mesma unidade.
Retas coplanares Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano. As retas coplanares podem ser:
⎯
a) concorrentes – quando têm apenas um ponto comum;
⎯
b) paralelas – quando não têm ponto comum;
Indicamos a congruência entre AB e CD ⎯ escrevendo: AB ≅ CD (lê–se segmento AB é congruente ao segmento CD)
c) coincidentes – quando têm todos os pontos comuns.
Ponto médio de um segmento Chama-se ponto médio de um segmento o ponto que divide o segmento dado em dois segmentos congruentes.
Segmento de reta O conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos da reta entre A e B é chamado segmento de reta.
Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB.
1. Que ente geométrico lhe sugere: a) os buracos existentes no botão?
⎯
Indicação: AB (lê–se segmento AB)
b) o encontro entre duas paredes? c) o piso da sala de aula?
Segmentos consecutivos
Solução
Dois segmentos são consecutivos quando possuem um extremo comum.
a) Ponto
b) Reta
c) Plano 2. Usando os símbolos ∈, ∉, ⊂, determine a relação existente entre:
⎯
⎯
Os segmentos AB e BC possuem um extremo comum: B.
⎯
⎯
Logo: AB e BC são segmentos consecutivos. a) A ....... r
b) A..... s
Segmentos colineares
d) B..... r
e) B...... s
f) C...... α
Dois segmentos são colineares quando estão contidos na mesma reta.
g) C ...... r
h) C........s
i) D....... α
j) D....... r
I) r .......α
m)s..... α
14
c) A....... t
Geometria I – Noções primitivas
Solução
Resposta
a) ∈ b) ∈ c) ∉
a) 3,5cm
b) 5.5cm
c) 6,5cm
d) 7,5cm
d) ∉ e) ∈ f) ∈ g) ∈ h) ∉ i) ∈ j) ∉ l) ⊂ m) ⊂ 3. Dê a posição relativa dos pares de retas.
1. Escreva, em seu caderno, algumas idéias geométricas que lhe sugere a idéia de Ponto, Reta, e Plano.
a) r ...........s
d) t..................u
b) r...... .... t
e) s................ u
2. Quantas semi-retas há numa reta, com origem nos quatro pontos A, B, C e D da reta? 3. Se forem marcados três pontos distintos A, B e C sobre uma reta r, quantos segmentos de reta com extremidades em dois desses pontos ficam determinados? Quais são eles? Faça o desenho.
c) r ......... x Solução a) Paralelas.
d) Paralelas.
b) Concorrentes.
e) Concorrentes. 4. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, tais que AB = 6cm e BC = 10cm.
c) Coincidentes. 4. Verifique se os segmentos são consecutivos, colineares, ou adjacentes.
a) Quanto mede o segmento AC? b) Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de AC, quanto mede MN? 5. Se AB = 20cm, determine x, em cada item:
a) AB e BC
b) BC e CD
c) AB e BD
d) CD e DE
a) AP = x + 6cm PB = x
Solução
b) AC = 3x BC = x + 2cm
6. Determine x e AB, sabendo que M é o ponto médio de AB.
a) Consecutivos e colineares (adjacentes). b) Consecutivos. c) Consecutivos. d) Consecutivos e colineares (adjacentes).
7. Sobre uma reta r, marque os pontos A, B e C, nessa ordem, com AB = 6cm e BC = 4cm. Se M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC, calcule a medida dos seguintes segmentos:
5. Na figura, M é o ponto médio de AB, N o ponto médio de BC e P, o ponto médio de CD.
⎯ ⎯ c) NC ⎯
a) MB Responda:
b) BN
⎯
d) MN
e) AN
a) Quanto mede o segmento NP?
⎯
b) Quanto mede o segmento MC?
⎯
8. Se PA e QB são segmentos congruentes de ⎯ ⎯ uma reta r, Mostre que os segmentos PQ e AB são congruentes.
c) Quanto mede o segmento AN? d) Quanto mede o segmento MP? 15
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 03
Os Babilônios, povo da Antiguidade, habitava a região onde hoje se situa o Iraque. Esse povo tinha um calendário de 12 meses lunares, com 30 dias cada mês, totalizando 360 dias (12 x 30). Eles acreditavam que esse era o tempo que o Sol levava para dar uma volta completa em torno da Terra, girando em órbita circular. Assim, a cada dia o Sol percor-
ÂNGULOS No dia-a-dia, observa-se que existem diversos objetos que possuem uma certa abertura, dando-nos idéia de ângulo. Os ângulos são usados, na engenharia, na fabricação de móveis, no lançamento de foguetes, na utilização de satélites, na rota de avião, estacionamentos, em desenhos, etc.
ria um arco correspondente a
dessa cir-
cunferência. Hoje, sabe-se que o Sol não “gira” em torno da Terra e que o ano tem mais de 360 dias. Mas devemos lembrar que os babilônios fizeram suas observações e seus cálculos há mais de 4 mil anos. As noções de ângulo foram desenvolvidas na Grécia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicéia (II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira divisão do círculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ângulos. A cada um desses 360 arcos em que a circunferência foi dividida, associamos um ângulo cuja medida chamamos de 1 grau.
Definição
Medida de um ângulo
→
Para medir ângulos, utiliza-se o transferidor, um instrumento que tem como unidade o grau.
→
As duas semi-retas OA e OB dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. A reunião de duas semi-retas de mesma origem chama-se ângulo.
O ângulo convexo da figura acima pode ser indicado por: AÔB (lê–se “ângulo AOB”) →
No transferidor da figura, tem-se um ângulo raso que foi dividido em 180 ângulos de um grau (indica-se por 1°):
→
Se as duas semi-retas OA e OB forem opostas, o ângulo é chamado raso ou de meia-volta.
O grau tem dois submúltiplos:
• →
Minuto – corresponde a
do grau.
Indica–se um minuto por 1’.
→
Se as duas semi-retas OA e OB, que formam o ângulo, forem coincidentes, temos um ângulo nulo ou de uma volta.
•
Segundo – corresponde a
do minuto.
Indica-se um segundo por 1”. Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, diz–se que ele está expresso no sistema sexagesimal. 16
Geometria I – Noções primitivas
Outras unidades de medida
Propriedades da congruência
Radiano – É a medida de um ângulo central correspondente a um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência a que pertence.
• • •
Reflexiva: AÔB ≅ AÔB. Simétrica: se CÔD ≅ AÔB.
AÔB
≅ ‘CÔD, então
Transitiva: se AÔB ≅ CDF e CDF ≅ FGH, então AÔB ≅ FGH.
Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando possuem um vértice e um lado comuns. A circunferência possui 27πrd. Grado – É a medida de um ângulo central, que corresponde a
da circunferência (sistema
decimal de medidas). Correspondência entre as unidades de medida: Grau
Grado
Radiano
Uma volta
360º
400 gr
2πrd
Meia volta
180º
200 gr
2πrd
Um quarto de volta
90º
100 gr
São exemplos de ângulos consecutivos: AÔC e CÔB AÔC e AÔB CÔB e AÔB Ângulos adjacentes
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice comum, um lado comum e não possuem pontos internos comuns.
Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.
AÔC e CÔB são ângulos adjacentes. Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes.
São exemplos de ângulos adjacentes: Os ângulos AÔB e CÔD têm a mesma medida (30°). Podemos afirmar que esses ângulos são congruentes. Assim:
AÔC e BÔC
AÔB ≅ CÔD (lê–se “AÔB é congruente a CÔD)
DÔA e AÔB
BÔC e CÔD CÔD e DÔA
17
UEA – Licenciatura em Matemática
Bissetriz de um ângulo Os ângulos AÔC e CÔB são congruentes, e a → semi-reta OC é a bissetriz do ângulo AÔB .
AÔB e BÔC são complementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 90°. Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.
Ângulo reto, agudo e obtuso De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais.
AÔB e BÔC são suplementares. m(AÔB) + m(BÔC) = 180°.
Ângulo reto é aquele que tem por medida 90°. Exemplo:
Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90°. Propriedades dos ângulos As propriedades dos ângulos são de grande importância na resolução de alguns exercícios.
a)
•
Dois ângulos adjacentes, cujos lados exteriores estão em linha reta, são suplementares. ^ a+^ b = 180º
b)
Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°. Exemplos:
•
a)
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto e de um mesmo lado de uma reta é igual a 180°.
b)
Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.
^ a+^ b+^ c+^ d = 180º 18
Geometria I – Noções primitivas
•
A soma de ângulos adjacentes formados em torno de um ponto é igual a 360°. 1. Qual o valor de x? a)
^ a+^ b+^ c+^ d = 360º
•
Solução
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes, de lados exteriores em linha reta, formam um ângulo reto, ou seja, são perpendiculares.
X + 60º = 90º
m(MÔM) = 90º ou OM ⊥ OM´
b)
X = 90º – 60º X = 30º
Solução X + 53º = 180º X = 180º – 53º X = 127º 2. Calcule o valor de x nas figuras: a)
Solução 10º + X+ 25º = 90º X = 90º – 35º X = 55º b)
Solução 60º + X + 40º = 180º X = 180º – 100º X = 80º 19
UEA – Licenciatura em Matemática
c) TEMA 04
ÂNGULOS Solução 70º + 90º +5X = 360º 1. Use o transferidor para encontrar a medida do ângulo destacado nas figuras:
5X = 360º – 160º 5X = 200º X = 40º
a)
b)
c)
3. Calcule o valor de x e de y na figura: 2. Classifique os pares de retas em concorrentes e paralelas: a) a e b Solução
b) b e s
c) r e s
d) a e r
3. Transforme:
Y + 58º = 180º
a) 60 graus em radianos;
Y = 180º – 58º
b) 50 grados em graus;
Y = 122º
c) π/6 radianos em graus.
X + Y = 180º 4. Dado um ângulo de medida X, indicar:
X + 122º = 180º X = 180º – 122º
a) seu complemento;
X = 58º
b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento;
4. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas expressas por 2x – 100° e x + 30°. Qual o valor de x?
d) a metade do seu suplemento; e) o triplo de seu suplemento.
Solução 5. A metade da medida de um ângulo mais a medida do seu complemento é igual a 58o. Quanto mede o ângulo?
2x – 100° = x + 30° 2x – x = 30° + 100º x = 130º
6) A medida de um ângulo somada a 1/3 da medida de seu complemento é igual a 66º. Quanto mede esse ângulo?
5. Transforme 100 grados em graus. Solução Aplicando uma regra de três simples: 400gr 100gr =
7. A medida de um ângulo somada à metade da medida de seu complemento dá 55º. Quanto mede o suplemento desse ângulo?
360º x
⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒
400 x = 36000 ⇒ x =
8. Somando-se a medida do complemento com a medida do suplemento de um ângulo obtémse 130°. Quanto mede esse ângulo?
⇒ x = 90º
Portanto 100 grados correspondem a 90 graus. 20
Geometria I – Noções primitivas
c)
9. Qual o valor de X?
d)
⎯
OP é bissetriz de AÔB AOP = 3x – 5° BOP = 2x + 10° 10. Calcule o valor de x, nas figuras: a)
e)
b)
c)
11. Com a ajuda da régua e “do transferidor, trace a bissetriz do ângulo AOB.
12. Determine os valores indicados por letras em cada figura. a)
b)
21
UEA – Licenciatura em Matemática
Se uma transversal intercepta duas retas paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes.
TEMA 05
PARALELISMO Retas paralelas Há inúmeras situações no dia-a-dia que nos dão idéias de paralelismo. Por exemplo, podese ressaltar os fios de alta tensão, as ruas de sua cidade, etc.
Portanto: ^ 2=^ 6,
^ 4=^ 8,
^ 1=^ 5,
^ 3=^ 7.
Exemplo:
No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices no ponto de intersecção, conforme a figura abaixo:
Se m e n são duas retas paralelas e a = 50º, verifique como determinar a medida dos outros ângulos:
Os ângulos internos são ^ 3, ^ 4, ^ 5e^ 6. Os ângu^ ^ ^ los 1, 2, 7 e 8 chamam-se ângulos externos.
^ a=^ e = 50° ^ ^ a + c = 180°
Um externo e outro interno, situados do mesmo lado da transversal e com vértices diferentes, chamam-se ângulos correspondentes.
ângulos correspondentes ângulos suplementares
^ c = 180° – 50° ^ c = 130°
^ 3e^ 7; ^ 4e^ 8; ^ 1e^ 5 ; ^ 2e^ 6.
^ g=^ c = 130° ^ a+^ b = 180°
Ângulos internos, situados em lados opostos da transversal e com vértices diferentes chamam-se ângulos alternos internos.
ângulos correspondentes ângulos suplementares
^ b = 180° – 50° ^ b = 130°
^ 3e^ 6 ou ^ 4e^ 5
^ b=^ f = 130° ^ ^ b + d = 180°
Ângulos externos, situados em lados opostos da transversal, como ^ 1e^ 8 ou ^ 2e^ 7, com vértices diferentes, chamam-se ângulos alternos externos.
ângulos correspondentes ângulos suplementares
^ d = 180° – 130° ^ d = 50°
^ 1e^ 8 ou ^ 2e^ 7
^ d=^ h = 50° 22
ângulos correspondentes
Geometria I – Noções primitivas
3. As retas r e s são paralelas, e t é uma transversal. Calcule as medidas dos ângulos assinalados nas figuras. 1. A reta t é uma transversal às retas m e n.
a)
Solução ^ a = 60º correspondente; ^ c = 60º (o.p.v) ^ b + 60º = 180º
⇒^ b = 180º– 60º = 120º
Portanto: ^ a = 60º ; ^ b = 120º ; ^ c = 60º
Determine: a) quatro pares de ângulos correspondentes
b)
Solução b e f;
d e h; a e e;
ceg
b) dois pares de ângulos alternos internos Solução e e f;
eed
c) dois pares de ângulos alternos externos Solução e e h;
Solução
beg
n = 72º ( o.p.v);
2. Na figura, a reta t é uma transversal às retas paralelas m e n.
m = 108º n + m = 180 colaterais internos n =72º, logo 72º + m =180; m = 180 – 72 = 108; p = 72º pois p + m =180 (suplementares) p = 180 – 108 = 72. Portanto n = 72º , m =108º e p = 72º
1. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos: b e^ c colaterais internos. a) ^ a) Se a = 110°, calcule h. Solução h = 110°, pois a e h são alternos externos. b) Se d = 105°, calcule g. Solução g = 75° 23
UEA – Licenciatura em Matemática
b) ^ m e^ p correspondentes.
c)
5. Calcule x, y e z, sabendo que r e s são paralelas. a) 2. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos: a) ^ ae^ p; b) ^ ae^ q. b)
3. Sabendo que r//s, calcule, em cada caso, o valor de x:
6. Sendo r paralela a s, qual é o valor de x? a)
a)
7x 4
b)
70°
b)
3x 20°
4. Sabendo que r//s, dê nome aos pares de ângulos e determine o valor de x: a) 7. Sabendo que r é paralela a s, determine os valores de x e de y. a) b)
x 5
30° s x 2
15°
24
Geometria I – Noções primitivas
b) TEMA 06
PERPENDICULARISMO Introdução Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.
8. Se r // s e // u, qual deve ser o valor de cada ângulo indicado por letra na figura?
Duas semiretas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares. Dois segmentos de retas são perpendiculares se estão contidas em retas perpendiculares.
9. Duas retas paralelas e uma transversal determinam dois ângulos correspondentes cujas medidas são 2x – 30° e x + 10°. Calcule as medidas dos ângulos obtusos determinados por essas retas.
Retas oblíquas Se duas retas são concorrentes e não são perpendiculares, diz-se que essas retas são oblíquas.
10. Duas retas, cortadas por uma transversal, formam ângulos correspondentes expressos em graus por
. Determine x de
modo que essas retas sejam paralelas. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular ou ortogonal a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α.
•
25
Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retas de α.
UEA – Licenciatura em Matemática
Perpendicularismo entre planos
r
Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
P’
p’ projsr
Projeção de um segmento de reta Para se obter a projeção de um segmento de ⎯ reta AB sobre um plano α, também temos dois casos a considerar:
⎯
Projeções ortogonais sobre um plano
a) Se o segmento de reta AB é perpendicular ao plano, sua projeção ortogonal sobre o plano é um ponto, que é o traço da reta em α.
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.
⎯
P’ é a projeção ortogonal de P sobre α.
b) Se o segmento de reta AB não é perpendicular ao plano α, basta projetar as suas extremidades sobre α, para se obter a projeção do segmento.
Projeção de uma figura
Distância de ponto a plano
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano.
A distância de um ponto a um plano é a distância do ponto à sua projeção ortogonal no plano.
F´= proj0F
A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias do ponto aos pontos do plano. Distância entre reta e plano paralelos A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano.
Projeção de uma reta Para se obter a projeção de uma reta r sobre um plano α, há dois casos a considerar:
Para se achar a distância entre uma reta e um plano paralelos, basta tomar um ponto P na reta e achar a distância de P ao plano.
a) Se a reta r é perpendicular ao plano α, sua projeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano. b) Se a reta r não é perpendicular ao plano α, sua projeção ortogonal sobre α é o traço (intersecção) em α, do plano β perpendicular a α, conduzido por r. 26
Geometria I – Noções primitivas
c. ( ) Uma reta e um plano, ambos perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos, são paralelos.
Distância entre planos paralelos A· distância entre dois planos paralelos é a distância de um ponto qualquer de um deles ao outro plano.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
Para se achar a distância de dois planos α e β paralelos basta considerar um ponto P num deles (por exemplo, P ∈ (β) e obter a distância do ponto P ao outro plano (α).
e. ( ) Dois planos, ambos perpendiculares a uma mesma reta, são secantes. f. ( ) Duas retas, ambas perpendiculares a um mesmo plano, são reversas. g. ( ) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é perpendicular à outra. 4. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são paralelos. b. ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.
1. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):
c. ( ) Se dois planos são paralelos, então todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são perpendiculares.
d. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está contida nesse outro.
b. ( ) Duas retas que são perpendiculares formam ângulo reto. c. ( ) Duas retas são ortogonais formam ângulo reto.
e. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro.
a. ( ) Duas retas que formam ângulo reto são ortogonais.
f. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então todo plano perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano dado.
2. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a infinitas retas do plano.
g. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então todo plano perpendicular ao plano dado é perpendicular à reta dada.
b. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a qualquer reta do plano. c. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas do plano.
5. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F):
d. ( ) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a infinitas retas do plano.
a. ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.
e. ( ) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com todas as retas do plano.
b. ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. c. ( ) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano é sempre um triângulo.
3. Classificar em verdadeiro (V) ou falso (F): a. ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano.
d. ( ) As projeções ortogonais, sobre um mesmo plano, de duas retas são paralelas, então as retas são paralelas.
b. ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano ou nele está contida.
e. ( ) Se os planos projetantes de duas retas, não perpendiculares ao plano de projeção, são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas. 27
UNIDADE II Polígonos
Geometria I – Polígonos
Classificação dos triângulos quanto aos lados: TEMA 07
Quanto aos lados, os triângulos classificam-se em: eqüilátero , isósceles ou escaleno.
TRIÂNGULOS
Eqüilátero: quando os três lados são congruentes.
Introdução O triângulo é um polígono de três lados. A forma triangular é bastante utilizada em várias situações do nosso dia-a-dia.
⎯
⎯
⎯
AB ≅ BC ≅ AC Isósceles: quando apenas dois lados são congruentes.
Elementos de um triângulo Os principais elementos de um triângulo são:
⎯
⎯
AB ≅ AC Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes. Vértices: pontos A, B e C. Lados: segmentos AB, BC e CA. Ângulos internos: ângulos Â, Ê e ê.
⎯
Ângulos externos: ângulos â, b e ê.
⎯
⎯
⎯
med (AB) ≠ med (AC)≠ med (BC)≠ med(AB).
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.
Triângulos quanto aos ângulos
A soma das medidas dos ângulos internos (Si) de um triângulo é dada por: Si = 180°.
Quanto aos ângulos, os triângulos classificamse em: acutângulo, retângulo e obtusângulo.
A soma das medidas dos ângulos externos (Se) de um triângulo é dada por: Se = 360°.
•
Acutângulo: quando os três ângulos internos são agudos (medida menor que a de um ângulo reto).
• •
Retângulo: quando um dos ângulos é reto.
Usa-se o símbolo Δ para representar a palavra triângulo. Assim, um triângulo ABC pode ser nomeado, ΔABC. Pode-se estabelecer uma relação entre os lados e os ângulos internos de um triângulo, que será importante em nossos estudos.
Obtusângulo: quando um dos ângulos é obtuso.
Condições de existência de um triângulo
⎯
Dado o ΔABC, sendo a medida do lado BC, b ⎯ ⎯ medida do lado AC e c medida do lado AB, pode-se escrever as seguintes relações:
Classificação dos Triângulos Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos.
a<b+c 31
UEA – Licenciatura em Matemática
b<a+c c<a+b 1. Observe a figura:
a) Quais são os vértices?
Portanto, ao comparar o maior lado com a soma dos outros dois, pode-se saber se existe ou não triângulo.
Solução: X, Y, Z b) Qual é o lado comum dos ângulos X eY? Solução: XY
Propriedade da soma dos ângulos dos triângulos
c) Qual é o lado oposto ao ângulo Z? Solução: XY
A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é 180º.
2. Verifique se existe ou não um triângulo com lados medindo: (justifique suas respostas)
Demonstração: Considere o triângulo ABC e observe os ângulos ^ A, ^ B, e ^ C do triângulo.
a) 4cm, 4cm e 4cm Solução: Sim, pois 4 < 4 + 4. b) 3cm, 3cm e 2cm Solução: Sim, pois 3 < 3 – 2. c) 1cm, 2cm e 3cm Solução: Não, pois 3 < 1 + 2 é falsa.
Pelo vértice A, pode-se traçar uma reta r para1,^ A e^ 2. lela ao lado BC .Observe os ângulos: ^
3. Classifique os triângulos abaixo quanto à medida dos seus lados: a)
Solução: Escaleno. Do paralelismo de r e BC, considerando a ⎯ transversal AB, decorre que: 1≡^ B
b)
⎯
Do paralelismo de r e BC, considerando a transversal AC, decorre que: ^ 2
Solução: Eqüilátero.
^ ≡C
c)
Portanto ^ A+^ B+^ C = 1800
Solução: Isósceles. 32
Geometria I – Polígonos
4. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sabendo-se que AB = 3x – 10, BC = 2x + 4 e AC = x + 4, calcule a medida de BC.
TEMA 08
Solução: 3x –10 = x + 4
BC = 2x + 4
3x – x = 4 + 10
BC = 2. 7 + 4
2x = 14
BC = 14 + 4
X=
BC =18
TRIÂNGULOS
1. Observe a figura:
X=7 5. Determine os lados do triângulo da figura, sabendo-se que ele tem 60cm de perímetro.
a) Quantos são os vértices? Quais são eles? 3; R, S T. b) Quantos são os lados? Quais são eles? 3; Solução:
RS, RT ST c) Quantos são os ângulos? Quais são eles?
x + 3 + x – 7 + x – 2 = 60
3; R, S T.
3 x + 3 – 7 – 2 = 60 3 x – 6 = 60
2. Verifique, se existe ou não, um triângulo com
3 x = 60 + 6
lados medindo: (justifique suas respostas)
3 x = 66
a) 5cm, 7cm e 3cm
X=
b) 3cm, 2cm e 7cm
X = 22 Lado X + 3
Lado
22 + 3
c) 3cm, 3cm e 2cm
X– 2
d) 5cm, 5cm e 10cm
22 – 2
25
20 Lado
3. O triângulo ABC é isósceles de base BC. Sa-
X– 7
bendo-se que AB = 2x – 7 e AC = x + 5, deter-
22 – 7
mine x.
15 Portanto, os lados são: 15, 20 e 25.
33
UEA – Licenciatura em Matemática
4. Determine x, y e o lado do triângulo eqüilátero, sabendo-se que AB = X + y, AC = X + 3 e BC=y + 4
TEMA 09
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Introdução Dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos são respectivamente congruentes.
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
A ≅^ A’
AB ≅ A’B’ AC ≅ A’C’
5. Um triângulo ABC é isósceles de base BC. Determine o perímetro sabendo que:
B ≅^ B’
e
C ≅^ C’
BC ≅ B’C’
AB = 2x + 3, AC = 3x – 3 e BC = X + 3. 39cm
Sob certas condições, a congruência de dois triângulos pode ser garantida com a inspeção de apenas três elementos. Essas condições são chamadas de casos de congruência de triângulos.
6. Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 8cm e 21cm. Sabendo que a medida do terceiro lado é múltiplo de 6, quanto poderá medir esse lado?
Casos de congruência
7. Os lados de um triângulo são medidos por três números inteiros e consecutivos. Sabendo que o perímetro é 12cm, quais são os lados? 3cm, 4cm e 5cm.
1.o caso: L.A.L– (Lado – Ângulo – Lado) Dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes são congruentes.
8. Calcule os ângulos dos triângulos. Depois, classifique os triângulos quanto aos ângulos: a)
⎯
⎯
AB ≅ A’B’
b)
^ B≅^ B’
⎯
⎯
⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
BC ≅ B’C’ 2.o caso: A.L.A. (Ângulo – Lado – Ângulo) Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
9. Num triângulo, os três ângulos são congruentes. Quanto mede cada ângulo? 10. Calcule x e y na figura abaixo:
B B ≅^
⎯
⎯
BC ≅ B’C’ C ≅ 34
^ C’
⇒
ΔABC ≅ ΔA’B’C’
Geometria I – Polígonos
3.o caso: L.L.L. (Lado – Lado – Lado)
Solução:
Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes são congruentes.
Caso L.A.L X = 30cm ; b = 40cm ; a = 50cm 3. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Sabendo que AB = 15, CD = x + 5, AP = 2y + 17 e PD = 3y – 2, calcule x e y.
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
AB ≅ A’B’ AC ≅ A’C’
⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
BC ≅ B’C’ 4.o caso: L.A.Ao. (Lado – Ângulo – Ângulo Oposto)
Solução
Dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes.
Por hipótese, tem-se que:
ΔPCD ≅ ΔPBA Logo: AP = PD 2y + 17 = 3y – 2,
⎯
2y – 3y = – 2 – 17
⎯
BC ≅ B’C’ B ≅^ B’
–y = –19 (–1)
⇒ ΔABC ≅ ΔA’B’C’
Y = 19
A ≅^ A’
O segmento CD=AB x + 5 = 15 x = 15 – 5 x = 10
1. Em cada item abaixo, os dois triângulos são congruentes. Indique o critério de congruência utilizado a) b)
Solução: Caso L.A.L
Por tanto: x =10 e y = 19
1. Em cada um dos casos abaixo, verifique se os triângulos são congruentes; em caso afirmativo, escreva o caso que garante a congruência.
Solução: Caso A.L.A
a)
2. Dê o caso de congruência do triângulo abaixo e descubra os valores indicados pelas letras.
35
UEA – Licenciatura em Matemática
b)
5. Na figura abaixo, os dois triângulos são congruentes. Indique o critério de congruência utilizado. Em seguida, calcule x.
c)
6. Na figura, os triângulos ABC e CDA são congruentes. Sabendo que B^ AC = 120°, C^ AD = 27°, B^ CA = 3y e A^ CD = 2x, determine x e y. 2. Os triângulos dados em cada item são congruentes. Dê o caso de congruência e descubra os valores indicados pelas letras. a) 7. Na figura, o triângulo CBA é congruente ao triângulo CDE. Sabendo que AB = 35, CE = 22, AC = 2x – 6 e DE = 3y + 5, calcule x e y. b)
3. AM é bissetriz do ângulo A. Qual o valor de x e de y? 8. Na figura, os triângulos ABD e CBD são congruentes. Sabendo que AB = x, AD = 1O, BC = 5 e CD = 3y + 1, calcule x e y.
4. Na figura, a = b, PQ = PR e c = d.
a) Qual o caso de congruência que permite escrever ΔPQS ≅ ΔPTR? b) Qual o lado do triângulo PTR que é congru-
⎯
ente a QS? 36
Geometria I – Polígonos
Traçar a bissetriz do ângulo interno Â.
⎯
TEMA 10
O segmento AO é a bissetriz do triângulo relativa ao ângulo Â.
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO
Bissetriz de um triângulo é o segmento contido
Introdução
na bissetriz de um dos ângulos internos do triângulo, cujos extremos são o vértice desse ângu-
Além dos lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos, os triângulos apresentam outros elementos, entre os quais as cevianas.
lo e o ponto de cruzamento com o lado oposto. Todo triângulo tem três bissetrizes que se en-
Denomina-se ceviana a qualquer segmento que une um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
contram num ponto chamado de incentro (I).
Ca: ceviana relativa ao lado a. Altura
Mediana
Considerando um triângulo qualquer ABC
Considerando um triângulo qualquer ABC
Pode –se: Determinar o ponto médio M do lado BC.
Pode –se:
O segmento AM é chamado de mediana relativa ao lado BC.
Traçar pelo ponto A um segmento perpendicu-
Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
O segmento AH é a altura relativa ao lado BC.
⎯
lar ao lado BC.
⎯
Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um ponto chamado de baricentro.
O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado AB. Altura de um triângulo é o segmento que liga
As três medianas se encontram no ponto G, que é o baricentro do ΔABC.
um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu prolongamento) e que é perpendicular a esse lado.
Bissetriz
Todo triângulo tem três alturas. O ponto de
Considerando um triângulo qualquer ABC, pode-se:
encontro das retas que contêm as alturas é chamado de ortocentro (O). Mediatriz Todo triângulo possui três mediatrizes de lados que se encontram em um único ponto.
37
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução AM é a mediana, portanto MC = 1,9cm logo o lado BC = 3,8cm P = 2,2cm + 3,5cm + 3,8cm P = 9,5cm. Denomina-se circuncentro o ponto de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo. É o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
1. Com auxílio de régua e compasso, construa um triângulo cujas medidas dos lados sejam 6cm, 5cm e 8cm. Em seguida, trace suas bissetrizes e determine o seu incentro. 2. Desenhe um triângulo cujas medidas dos lados sejam 7cm, 4cm e 6cm. A seguir, determine o ortocentro. 3. Responda: a) Qual é o nome do ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo? A que corresponde esse ponto?
1. Reconheça nos seguintes triângulos o seg⎯ mento AO como mediana, bissetriz ou altura: a)
b) Qual é o nome do ponto de intersecção das bissetrizes internas de um triângulo? A que corresponde esse ponto?
b)
4. No triângulo ABC da figura, AH corresponde à altura, à mediana ou à bissetriz?
c)
⎯ ⎯
⎯
5. Classifique os segmentos AR, AS e AT do triângulo ABC, como: altura, mediana ou bissetriz.
Solução Mediana; Bissetriz e Altura 2. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.
6. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.
38
Geometria I – Polígonos
O quadrilátero possui 2 diagonais (segmento que tem como extremidades dois vértices não consecutivos), soma dos ângulos internos igual a 360º e soma dos ângulos externos igual a 360º.
TEMA 11
QUADRILÁTEROS CASOS NOTÁVEIS
Um breve histórico
Trapezóide
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90o). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra, assinalavam um segmento de reta. Em seguida, prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
Definição É o quadrilátero que não possui lados paralelos.
Trapézio Definição Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras solucionavam-no por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo retângulo.
⎯
Definição Dados quatro pontos A, B, C e D coplanares, distintos e não-colineares três a três. Se os segmen⎯ ⎯ ⎯ tos AB, BC, CD e DA interceptam-se apenas nas extremidades, denominamos quadrilátero a reunião desses quatro segmentos.
Podemos classificar os trapézios de acordo com os lados não-bases como:
•
Isósceles: os lados não-bases são congruentes.
⎯
•
Elementos:
• •
Vértices: A, B, C e D;
• •
Lados: AB, BC, CD, AD
⎯
AD // BC Os lados paralelos do trapézio são chamados de bases.
⎯
AD ≡ BC Escaleno: os lados não-bases não são congruentes.
Ângulos: ^ A (D^ AB), ^ B (A^ BC), ^ C (B^ CD) e ^ ^ D(CDA);
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
Diagonais: AC e BD.
AD < BC 39
UEA – Licenciatura em Matemática
•
Quadrado
Retângulo, possui dois ângulos retos.
Definição Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes. Os ângulos ^ Be^ C são suplementares. Paralelogramo Definição Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.
A≡^ B≡^ C≡^ D e ABCD é quadrado ⇔ ^ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA. Propriedades Trapézio qualquer
⎯ ⎯
Em qualquer trapézio ABCD, nessa ordem, de ⎯ ⎯ bases AB e CD temos:
⎯ ⎯
ABCD é paralelogramo ⇔ AC//BD e AB//CD. Retângulo Definição Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes.
⎯
⎯
⎯
⎯
De fato, como AB // CD temos AD e BC retas transversais. Então: A e ^ D, assim como ^ B e ^ D, são Os ângulos ^ colaterais internos. Logo, são suplementares. Trapézio isósceles Os ângulos adjacentes às bases são congruentes.
A≡^ B ≡^ C ≡^ D. ABCD é retângulo ⇔ ^
Demonstração
Losango ou Rombo Definição
•
Pelos vértices da base menor traçamos retas perpendiculares às bases.
•
Temos os triângulos semelhantes AA’D e BB’C, caso de semelhança do triângulo D≡^ C. retângulo. Logo ^
•
Sendo ^ A e ^ D, assim como ^ B e ^ C, suple^ ^ mentares. Temos A ≡ B
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.
⎯
⎯
ABCD é losango CD ≡ DA 40
Geometria I – Polígonos
2. Prove que a bissetriz de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo cortam-se em um ângulo reto.
1. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são representados por 2x + 15º e 3x – 25º. Determinar a medida de cada um dos ângulos do trapézio.
Solução
Solução
Observe o paralelogramo ABCD,
2x + 15 = 3x – 25 ⇒ x = 40º, logo os ângulos das bases são: 95º e 85º. Trapézio isósceles As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.
Como os ângulos opostos são congruentes, podemos afirmar que:
Dado o trapézio ABCD.
e
. Temos ainda α e β suple-
⇒^ V = 90º
mentares, logo
⎯
Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
⎯
Temos, por hipótese: AD ≡ BC e pela demonstração anterior D ≡ C e ^ A≡^ B. Tese: queremos ⎯ ⎯ mostrar que BD ≡ AC.
Observe o paralelogramo ABCD. Tracemos a ⎯ diagonal AC.
Demonstração Tomemos os triângulos ABD e ABC,
⎯
⎯
A≡^ B, e Note que, por hipótese, AD ≡ BC e ^ ⎯ ainda temos o lado AB comum aos triângulos. Pelo caso LAL de congruência, podemos afir⎯ ⎯ mar que BD ≡ AC.
⎯
Demonstração Paralelogramo Os ângulos opostos são congruentes.
Demonstração
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
Queremos mostrar que AD ≡ BC e AB ≡ CD.
⎯
A reta suporte da diagonal AC é transversal às ⎯ ⎯ retas suporte de AB e CD. Então os ângulos AC e A^ CD são congruentes (alternos internos). B^ Os triângulos ABC e ACD são congruentes, ⎯ AC ≡ A^ CD e ^ B≡^ D). caso LAAo ( AC é comum, B^
⎯
Por hipótese, AB // CD, então AC é transver⎯ ⎯ ⎯ sal, logo ^ A+^ C = 180º e, AC // BD, então CD é transversal, daí ^ C+^ D = 180º.
Podemos concluir, pela congruência dos triân⎯ ⎯ ⎯ ⎯ gulos, AD ≡ BC e AB ≡ CD.
. De modo análogo, mos-
Em todo paralelogramo, as diagonais dividemse ao meio.
tramos ^ B≡^ C. 41
UEA – Licenciatura em Matemática
Dado o paralelogramo ABCD, suas diagonais e a respectiva intersecção entre elas.
Pretende-se abrir um túnel numa montanha de A para B, tendo sido determinada a direcção AE de tal forma que o seu prolongamento passa por B. Mas pretendendo também trabalhar de B na direcção de A, determinou-se AD = 82º, A^ DC = 98º e D^ CB = 112º. E^ ^ Quantos graus deve medir o C BF para que o prolongamento de BF passe por A.
Os triângulos ABM e CMD são congruentes, caso ⎯ ⎯ ALA (M^ AB ≡ MCB, AB ≡ CD e A^ BM ≡ M^ DC).
⎯
⎯
4. Determine a medida x indicada no paralelogramo abaixo.
Então, DM ≡ MB ⇒ M é ponto médio da dia⎯ ⎯ ⎯ gonal BD e AM ≡ MC ⇒ M é ponto médio da ⎯ diagonal AC, como queríamos demonstrar.
1. Determine o valor de x em cada um dos quadriláteros:
a)
⎯
⎯
⎯
5. ABCD é um trapézio de bases AB e CD. Se DP ⎯ e CP são bissetrizes; determine x e B^ CD.
b)
⎯
2. Observe a figura abaixo e responda aos itens:
6. ABCD é um paralelogramo, AP é bissetriz, AP = 7cm e PC = 3cm; determine o perímetro do paralelogramo.
c = 80º a) Se ABCD for um trapézio isósceles, ^ d = 20º, quanto mede cada um dos ângue^ los do trapézio? b) Se ABCD for um trapézio escaleno, ê = 60º, ^ b = 110º e CD ⊥ AE, quanto mede cada um dos ângulos do trapézio?
7. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos lados menores representa
c) ABCD é um trapézio em que ^ D = 60º, ^ c = 85º e ^ B = 130º; quanto mede o ê?
da
soma dos lados maiores.
d) ABCD é um trapézio em que B^ CE = 160º e ^ ê = 50º; quanto mede o B?
8. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º. Determine o maior ângulo do trapézio.
3.
9. A soma dos ângulos consecutivos de um trapézio é igual a 78º e sua diferença 4º. Deter42
Geometria I – Polígonos
mine o maior ângulo do trapézio. TEMA 12
10. (VUNESP) A afirmação falsa é: a) Todo quadrado é um losango.
QUADRILÁTEROS
b) Existem retângulos que não são losangos.
Retângulo, losango e quadrado – principais propriedades e aplicações.
c) Todo paralelogramo é um quadrilátero. d) Todo quadrado é um retângulo.
Retângulo
e) Um losango pode não ser um paralelogramo.
Da primeira propriedade de paralelogramo que demonstramos, os ângulos opostos são congruentes, o retângulo é um paralelogramo. Então, valem as propriedades do paralelogramo no retângulo. Vejamos outras propriedades do retângulo.
11. Do trapézio da figura, sabe-se que AD = DC = D mede: CB e BD = BA. O ângulo ^
No retângulo, as diagonais são congruentes. Demonstração a) 36º
b) 60º
c) 72º
d) 108º
e) 144º Hipótese: ABCD é retângulo.
12. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º. Determine o maior ângulo do trapézio.
⎯
⎯
Tese: AC ≡ DB. ABCD é retângulo ⇒ ABCD é paralelogramo ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⇒ AD ≡ BC e AB ≡ CD. O triângulo ΔABD é congruente ao triângulo ⎯ ΔACD, pois, AD é comum, ^ A ≡ ^ D = 90º e ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB ≡ CD. Caso LAL. Logo AC ≡ DB.
13. Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 32º. O maior ângulo desse polígono mede: b) 148º
Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
c) 158º
Demonstração
a) 138º
d) 168º e) 178º
⎯
⎯
14. (CESGRANRIO) As base MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112cm respectivamente. Se o ângulo M^ QP é o dobro do ângulo ⎯ P^ NM, então o lado PQ mede:
⎯
⎯
Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC ≡ DB. Tese: ABCD é retângulo.
a) 154cm
Tomemos os triângulos:
b) 133cm c) 91cm d) 77cm e) 70cm
43
UEA – Licenciatura em Matemática
e
O número irracional 1,618... é chamado razão áurea. A construção do retângulo áureo é simples. Basta seguir o esquema:
⎯
⎯ ⎯
⎯
Observe que AD ≡ BC, AC ≡ DB (hipótese) e ⎯ CD é comum. Pelo caso LLL, podemos afirmar que ΔBCD ≡ ΔACD, então, B^ CD ≡ A^ DC. Como ^ ^ ^ ^ A BC ≡ A DC e D AB ≡ B CD, ABCD é um paralelogramo. Temos: ^ A≡^ B≡^ C≡^ D = 90º, logo ABCD é retângulo.
O retângulo AHCG é áureo. O RETÂNGULO ÁUREO
Com o auxílio de um compasso, podemos traçar uma espiral, como a do Nautilus marinho.
Vamos ver um retângulo que tem uma propriedade interessante. Ele é chamado de retângulo áureo ou retângulo de ouro e é o preferido dos artistas e arquitetos. O retângulo áureo tem uma propriedade interessante. Considere um retângulo áureo ABCD de onde foi retirado um quadrado ABEF, como mostra a figura:
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD.
⎯
Seja x a medida do lado AB e y a medida do ⎯ lado AD. Então, vale a proporção: Losango Lembre-se de que o losango é um paralelogramo com lados opostos congruentes.
De onde se deduz que x2 = y2 – yx, ou seja, x2 + yx – y2 = 0.
Todo losango possui as diagonais perpendiculares entre si.
Resolvendo a equação em x, tem–se:
Demonstração
Se y = 1, então x = 0,618. Se x = 1, então y = 1, 618 44
Geometria I – Polígonos
⎯
⎯
BASES MÉDIAS
Hipótese: ABCD é losango, e AC e BD são suas diagonais.
⎯
Triângulo
⎯
Tese: AC ⊥ BD.
São os segmento que têm como extremidades os pontos médios de dois lados de um triângulo.
Pelo caso LLL, temos as seguintes congruências: ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB, logo os ângulos do vértice M são congruentes e iguais a 90º.
• • •
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
XZ é base média relativa ao lado BC. YZ é base média relativa ao lado AB. XY é base média relativa ao lado AC.
Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.
A base média é paralela ao terceiro lado.
Demonstração
Demonstração
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
Hipótese: AX ≡ XB e AZ // ZC.
⎯
⎯
Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC ⊥ BD.
⎯
Tese: XZ // BC.
Tese: ABCD é losango.
Por C traçamos uma reta paralela ao segmen⎯ to AB, encontramos sua intersecção com a re⎯ ta suporte do segmento XZ.
Basta tomar os mesmos triângulos da demonstração anterior usando, agora o caso LAL de congruência.
ΔAMB ≡ ΔCMD ≡ ΔAMD ≡ ΔCMB e, portanto, ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA.
Quadrado
Temos: ⇒ B^ AC ≡ A^ CD, alternos internos. Pelo caso ALA, temos ΔAXZ ≡ ΔCDZ ⇒ ⎯ ⎯ ⎯ CD ≡ AX ≡ XB ⇒ BCDX é um paralelogramo e, ⎯ ⎯ portanto, XZ // BC.
Todo quadrado é retângulo e losango.
⎯
⎯
Observe também que XZ ≡ ZD, logo Z é ponto
⎯
médio de XD. Então,
. O que nos leva
a outra propriedade. É retângulo, pois ^ A ≡ ^ B ≡ ⎯ ⎯ losango porque AB ≡ BC ≡
^ C ≡ ^ D = 90º, e é
⎯
A base média é igual à metade do terceiro lado.
⎯
CD ≡ DA. 45
UEA – Licenciatura em Matemática
⎯
Do ΔADE temos: M ponto médio do lado AD e N ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ponto médio do lado DE, daí MN // AB e MN // CD. Observe, também que
1. No triângulo ABC de lados AB = 13cm, BC = 9cm e AC = 8cm, e M, N e P, pontos médios ⎯ ⎯ ⎯ dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Calcule o perímetro do triângulo MNP.
⎯
, como
⎯
BE ≡ CD (ΔBEN ≡ ΔCDN), concluímos que . Podemos, então, enunciar:
Solução
A base média de um trapézio é a média aritmética de suas bases.
O lado MP é base média do lado AB, portanto MP = 6,5cm. De modo análogo, encontramos NP = 4cm e MN = 4,5cm. Temos, então, 2pΔMNP = 15cm.
2. Prove que os pontos médios de um quadrilátero qualquer é um paralelogramo. Solução Dado o quadrilátero ABCD, por seus pontos médios determinamos o quadrilátero MNPQ.
Trapézio A base média de um trapézio é o segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados não-paralelos. A base média de um trapézio é paralela às bases deste. Demonstração
Pela diagonal AC, temos: PQ é base média do triângulo ACD e MN é base média do triângulo ABC, então e ainda PQ//MN. De modo anáHipótese: ABCD é um trapézio, M é ponto ⎯ ⎯ médio do lado AD e N é ponto médio BC.
⎯
⎯
⎯
logo mostramos que
e PN//QN.
⎯
Tese: MN // AB e MN // CD. Chamamos de E a intersecção das retas .
e
1. Usando um barbante de comprimento 144cm, construímos um triângulo eqüilátero e com o mesmo barbante construímos depois um quadrado. Determine a razão entre a altura do triângulo e a diagonal do quadrado.
Observando os triângulos BEN e CDN, temos: ⎯ BN ≡ NC, B^ NE ≡ C^ ND (o.p.v.) e B^ EN ≡ N^ DC (alternos internos).
⎯
⎯
⎯
Pelo caso LAAo, ΔBEN ≡ ΔCDN ⇒ BE ≡ CD e ⎯ ⎯ NE ≡ ND.
2. Gabriel deseja construir uma canoa com formas geométricas, conforme a figura seguinte. 46
Geometria I – Polígonos
7. Calcule x, y e z no trapézio abaixo:
Usando uma fita métrica, Gabriel verificou que sua canoa tem o perímetro, na superfície considerada no desenho, igual a 845cm. Ajude o Gabriel a encontrar a medida do lado do triângulo na proa.
8. Sabendo que MN = x – 2y + 5, calcule a mediana de Euler no trapézio:
3. Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 13cm e 6cm. Se M, N, P e Q são os pontos médios do quadrilátero dado, o perímetro do quadrilátero MNPQ é igual a: a) 35cm
b) 25cm
c) 19cm
d) 17,5cm
e) 9,5cm
⎯
9. Em um trapézio, a base maior mede 12cm e a diferença entre a base menor e a mediana de Euler mede 3cm. A base média desse trapézio mede:
4. Considere o trapézio ABCD de base média MN, sabendo que CD = x e AB = y, mostre que (mediana de Euler).
a) 7cm
b) 8cm
c) 9cm
d) 10cm
e) n.r.a. 10. Calcule a base menor de um trapézio sabendo que a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 12cm e que a razão entre as bases é 2.
5. Calcule x no trapézio abaixo:
a) 5cm
b) 6cm
c) 8cm
d) 9cm
e) n.r.a. 11. Em um trapézio, as diagonais dividem a base média em segmentos proporcionais a 2, 1, 2. A razão entre as bases do trapézio é:
6. Calcule x e y no trapézio abaixo:
a)
b)
c)
d)
e) 47
UEA – Licenciatura em Matemática
12. Prove que a altura de um trapézio retângulo que tem o ângulo agudo medindo 30º é igual à metade do lado não perpendicular às bases.
TEMA 13
13. Num trapézio isósceles ABCD, a base menor ⎯ AB é congruente aos lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bissetrizes dos Ce^ D. ângulos ^
POLÍGONOS Linhas poligonais e polígonos Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
⎯
14. Pelo ponto médio M da base BC de um triângulo isósceles ABC traçamos os segmentos ⎯ ⎯ MN e MQ respectivamente paralelos aos lados ⎯ ⎯ AB e AC do triângulo. Prove que APMC é um losango.
Linha poligonal fechada simples
Linha poligonal fechada não-simples
Linha poligonal aberta simples
Linha poligonal aberta não-simples
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Elementos de um polígono Um polígono possui os seguintes elementos:
Lados: Cada um dos segmentos de reta que ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ une vértices cosecutivos: AB, BC, CD, DE, EA. Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E. Diagonais: Segmentos que unem dois vértices ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ não-consecutivos: AC, AD, BD, BE, CE. Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: E^ AB, A^ BC, B^ CD, C^ DE e ^ D EA. 48
Geometria I – Polígonos
Classificação dos polígonos
Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: ^ a1,^ b1,^ c1,^ d1 e ^ e1.
•
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa); caso contrário, é denominado complexo.
•
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida seja maior que 180°, caso contrário, é denominado côncavo.
•
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
•
Um polígono inscritível é assim denominado se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados. POLÍGONOS
NOME
LADOS
NOME
LADOS
TRIÂNGULO
3
QUADRILÁTERO
4
PENTÁGONO
5
HEXÁGONO
6
HEPTÁGONO
7
OCTÓGONO
8
ENEÁGONO
9
DECÁGONO
10
HENDECÁGONO
11
DODECÁGONO
12
TRIDECÁGONO
13
TETRADECÁGONO
14
PENTADECÁGONO
15
HEXADECÁGONO
16
HEPTADECÁCOGO
17
OCTODECÁGONO
18
ENEADECÁGONO
19
ICOSÁGONO
20
TRIACONTÁGONO
30
TETRACONTÁGONO
40
PENTACONTÁGONO
50
HEXACONTÁGONO
60
HEPTACONTÁGONO
70
OCTOCONTÁGONO
80
ENEACONTÁGONO
90
HECTÁGONO
100
QUILÓGONO
1000
GOOGÓLGONO
10100
Alguns polígonos regulares
• • • •
Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular Hexágono regular
Propriedades dos polígonos
Nomeando polígonos
•
Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por
, onde n é o número
de lados do polígono. Dedução De cada vértice de um polígono de n lados, saem n – 3 diagonais (não contamos o próprio vértice nem os dois vértices adjacentes). Como temos n vértices, o número de diagonais é dado por n.(n – 3). Cada diagonal é contada duas vezes, pois tem mesma extremidade. Por exemplo, a diagonal ⎯ AF, partindo do vértice A, é a mesma diagonal ⎯ FA com origem em F. Logo, o número de diagonais é:
49
UEA – Licenciatura em Matemática
ângulo interno (ai) correspondente:
1. Determine o número de diagonais de um polígono convexo de 17 lados (heptadecácogo). Solução:
Daí: d = 119 diagonais.
Se = n . 180º – Si ⇒ Se = n . 180º – n . 180º + 2.180º ⇒ Se = 360º
2. Dê o nome do polígono convexo que possui 54 diagonais.
• A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por
Solução
. • A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada
n = 12 ou n = –9
por
Portanto o polígono é o dodecágono.
•
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por Si = (n – 2).180º.
.
Então, A¡ = 180° – Ae = 180° – 60° = 120°.
Dedução Vamos tomar um polígono convexo com n vértices:
3
Qual é o polígono regular cujo ângulo interno vale 1,5 do ângulo externo? Solução
Logo o polígono procurado é um pentágono regular. Sabemos que para cada vértice temos (n – 3) diagonais. Fixando um desses vértices, dividimos o polígono dado em (n – 2) triângulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º, temos para o polígono de n lados a soma (Si) dos ângulos internos igual a: Si = (n – 2).180º • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados é Se = 360º. Dedução Cada ângulo externo (ei) é suplementar do 50
Geometria I – Polígonos
b) TEMA 14
POLÍGONOS
7. Determine o maior ângulo de um pentágono cujos ângulos internos estão na razão 3:3:3:4:5.
1. Usando as tabelas de classificação dos polígonos convexos, quanto ao número de lados, dê o nome dos polígonos com número de lados igual a: a) 33
b) 19
c) 46
d) 68
8. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 24o. Determine o número de diagonais desse polígono.
e) 97 9. Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos. ^ a,^ b,^ c,^ d,^ e,^ f.
2. Um polígono tem o número de diagonais igual a
do número de lados, encontre o número
de lados e classifique-o. 3. Calcule a medida do ângulo interno e do ângulo externo de um pentadecágono regular. 4
Em um polígono regular, com um número par de lados, tem
10. Um polígono convexo tem 5 lados mais do que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o número de diagonais de cada polígono.
diagonais que não pas-
sam pelo seu centro. Sabendo que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. Encontre o número de diagonais que não passam pelo seu centro.
11. Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos. ^ a,^ b,^ c,^ d,^ e,^ f.
5. Um polígono regular apresenta 35 diagonais. O ângulo interno desse polígono mede, em graus: a) 108
b) 120
c) 144
d) 150
e) 180
⎯
⎯
6. Sabendo que AP e PC são bissetrizes, calcule x nas figuras abaixo:
α. 12. Na figura abaixo, encontre a medida de ^
a)
51
UEA – Licenciatura em Matemática
13. Qual o polígono regular que tem 6 diagonais passando pelo seu centro? 14. (CESGRANRIO) Se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é: a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12 15. (U.MACK) A medida em graus do ângulo interno de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos não-semelhantes que possuem essa propriedade é: a) 24 b) 22 c) 20 d) 18 e) n.d.a. 16. Considere um polígono regular de n lados, com n > 4. Prolongando os lados desse polígono, formaremos uma estrela com n vértices. Mostre que a medida, em graus, de cada vértice da estrela construída é dada por .
52
UNIDADE III Elementos na circunferĂŞncia
Geometria I – Elementos na circunferência
Circunferência TEMA 15
Definição É o conjunto de todos os pontos de um plano que eqüidistam de um ponto dado.
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
“Construindo” a definição FERNÃO DE MAGALHAES A tentativa de circunavegar a Terra
Tome um ponto no plano (O), determine um outro ponto (P) distinto do primeiro, chame de r a distância entre eles; determinar a circunferência é “encontrar”, no plano, todos os pontos que distam r unidades de O.
Fidalgo e navegador português, nasceu em Trás-os-Montes por volta de 1480. Distinguiuse em várias expedições às Indias Orientais. De volta a Portugal, indisposto com o rei D. Manuel I, resolveu emigrar para a Espanha onde ofereceu seus serviços ao Imperador Carlos V. Em 1519, partiu da Espanha comandando cinco embarcações em busca de uma passagem para as lndias pelo Ocidente. Atravessou o Atlântico e visitou o litoral brasileiro, tendo reabastecido seus navios na Baía de Guanabara. Continuando rumo ao sul, costeou a Argentina e, no extremo sul, descobriu o estreito que levaria seu nome e que era, de fato, a passagem para as Índias. Uma vez no oceano, batizado por ele de Pacífico, rumou para o nordeste, descobrindo as ilhas Marianas e as Filipinas, onde veio a falecer em combate contra os nativos da região. Seu pilotomor, Sebastião Elcano, completou a viagem de circunavegação pioneira que levaria a única embarcação restante, “Vitória”, de volta à Espanha, em setembro de 1522.
Temos aí uma circunferência de raio r e centro O. Elementos da circunferência Corda É qualquer segmento com extremidades na circunferência.
⎯ ⎯
⎯
Na figura, TU, PQ e VX são cordas. Quando o centro da circunferência pertence à corda, ela é denominada diâmetro, e sua medida é igual ao dobro do raio da circunferência. Arco de circunferência
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
É o conjunto dos pontos que estão entre dois pontos distintos da circunferência dada.
Antes de definir cada um, é interessante ressaltar uma grande confusão existente entre os alunos, professores e até alguns autores. A confusão aparece de forma mais evidente quando tratamos de áreas de figuras planas ou mesmo na simples referência a determinados objetos. 55
UEA – Licenciatura em Matemática
Observe que obtemos dois arcos com os pontos A e B. É necessário fornecer um outro ponto do arco que se quer tomar ou ângulo ao qual está associado.
Assim como no caso dos arcos, o setor circular determina uma situação dúbia. Salvo outra informação, para evitar dubiedade, consideraremos sempre o menor arco ou o menor setor circular.
Se os pontos tomados na circunferência são as extremidades do diâmetro, o arco formado por eles é denominado de semicircunferência.
Segmento circular Dado um círculo de centro O e raio r, tracemos a reta suporte de uma corda; essa reta divide o plano em dois semiplanos. A intersecção de cada semiplano com o círculo é chamado de segmento circular.
Círculo ou disco Observe a circunferência
Consideraremos, quando não for evidenciado o segmento circular, aquele que não contém o centro do círculo (o menor).
Os pontos Q e T não pertencem à circunferên⎯ ⎯ ⎯ ⎯ cia, pois, OQ ≠ r e OT ≠ r, e mais OT < OQ < r. Os pontos com as características de Q e T são pontos interiores à circunferência.
No caso em que tratamos o segmento circular pelo diâmetro do círculo, falaremos em semicírculo.
Definição Chamamos de círculo o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (nãonula dada), ou ainda, a união da circunferência com o conjunto de seus pontos interiores.
Posições relativas de reta e circunferência Secante É a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Os elementos que definimos para circunferência são os mesmos para o círculo, e não reciprocamente. A circunferência é um subconjunto do disco.
⎯
Setor circular
Se M é ponto médio de AB, a reta suporte de ⎯ OM é perpendicular à reta s.
Considere os pontos distintos A e B de um círculo de centro O; chamamos de setor circular o conjunto formado pela união dos pontos dos ⎯ ⎯ segmentos AO e OB e dos pontos do circulo que são interiores ao ângulo AÔB.
Demonstração
Os triângulos OMB e OMA são congruentes (caso LLL), então O^ MB ≡ O^ MA. Observe que 56
Geometria I – Elementos na circunferência
esses ângulos são suplementares, logo são retos; então s ⊥ t.
Internas
Tangente É a reta que intercepta a circunferência num único ponto. Toda reta perpendicular a um raio na sua extremidade da circunferência é tangente à circunferência.
d < r1 – r2 Externas
d > r1 + r2
Para demonstrar essa propriedade, basta tomar um ponto (Q) na reta, distinto de P, e ve⎯ rificar que OQ é hipotenusa do triângulo OPQ, ⎯ ⎯ então OQ > OP = r. Finalmente, podemos afirmar que Q é exterior à circunferência e P é a única intersecção da reta com a circunferência.
Secantes
Exterior A reta não intercepta a circunferência. r1 – r2 < d < r1 + r2
Posições relativas de duas circunferências
1. Duas circunferências são tangentes internamente, e a soma dos raios 30cm. Se a distância entre os centros é 6cm, determine os raios.
Considere duas circunferências δ1 e δ2 de centros O1 e O2 e raios r1 e r2 respectivamente. Chamemos de d a distância entre seus centros; classificamos suas posições relativas em:
Solução
Tangente interna
d=R–r ⇒R–r=6 .
d = r1 – r2 Tangente externa Segmentos Tangentes
Os segmentos das tangentes traçadas de um ponto exterior a um círculo são congruentes. Demonstração d = r1 + r2
Dados o círculo δ e um ponto P exterior ao 57
UEA – Licenciatura em Matemática
⎯
⎯
círculo, tracemos os segmentos AP e AB tangentes a δ.
TEMA 16
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
Os triângulo ΔAOP e ΔBOP são congruentes (ca⎯ ⎯ teto e hipotenusa congruentes), então AP ≡ BP.
⎯
1. Determine o raio dos círculos abaixo: a)
⎯
2. Na figura abaixo, temos PA = 2x + 20 e PB = 5x – 7, calcule x.
b)
2. Na figura dada, as circunferências são tan⎯ ⎯ gentes duas a duas: AB = 4,5cm, BC = 7cm e ⎯ AC = 5,5cm. O comprimento da menor circunferência é igual a:
Solução 5x – 7 = 2x + 20 ⇒ 3x = 27 ⇒ x = 9 Teorema de Pitot Um quadrilátero é circunscritível (os quatro lados são tangentes ao círculo) se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais. Demonstração Considere o quadrilátero ABCD circunscrito a um círculo δ, e sejam M, N, P e Q os pontos de tangência de ABCD com δ.
a) πr
b) 2πr
c) 3πr
d) 4πr
e) 5πr 3. Na figura abaixo, PT é tangente à circunferên⎯ cia. O valor de OP é:
⎯
⎯
⎯
⎯ ⎯
Pelo teorema anterior AQ ≡ AM, MB ≡ BP, PC ≡ ⎯ ⎯ ⎯ CN e ND ≡ DQ. Daí, temos:
⎯
⎯
⎯ ⎯
logo, AB + CD = AD + CB.
a)
b)
c)
d)
e) 58
Geometria I – Elementos na circunferência
4. A distância entre os centros de duas circunferências tangentes internamente é 5cm. Se a soma dos raios e 11cm, determine os raios.
a) 26cm
5. Duas circunferências são secantes, sendo 20cm a distância entre seus centros. Sabendo que o raio da circunferência menor mede 11cm, determine o raio da maior, que é múltiplo de 6.
d) 6cm
6
b) 20cm c) 30cm
10. Na circunferência da figura seguinte, a medida do diâmetro é 40cm. Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD.
As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma circunferência medem 12m e 9m. A altura, em metros, desse trapézio é: a) b) c) d) e)
7
(UF–CE) Duas tangentes são traçadas a um círculo de um ponto exterior A e tocam o círculo nos pontos B e C, respectivamente. Uma terceira tangente intercepta o segmento AB em P e AC em R ⎯ e toca o círculo em Q. Se AB = 20cm, então o perímetro do triângulo APR, em cm, é igual a:
a) 39,5
b) 40
c) 40,5
d) 41
e) 41,5 8. Dado o triângulo ABC da figura abaixo,
mostre que
.
9. Considere duas circunferências, uma de centro O1 e raio 16cm e outra de centro O2 e raio 10cm. Dê a posição ocupada pelas duas circunferências quando a distância entre seus centros é igual a: 59
UEA – Licenciatura em Matemática
Ângulo de vértice externo ou ângulo excêntrico interior
TEMA 17
A medida de um ângulo de vértice externo é igual à semidiferença dos arcos de terminados pelos seus lados.
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo central É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Sua medida é igual à medida do arco correspondente.
Ângulos de segmento É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro tangente à circunferência. A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado.
Ângulo inscrito É todo ângulo cujo vértice está na circunferência e cujos lados são secantes a ela. A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente.
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 1. Na figura, calcule a medida do arco AB.
Ângulo de vértice interno ou ângulo excêntrico interior
Solução
A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
2. Dada a figura:
60
Geometria I – Elementos na circunferência
Encontre α. TEMA 18
Solução
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 3. Na figura, o ângulo ^ P, medido em graus, excede de 12º, o arco CD e é igual a 3/8 do arco AB; encontre a medida do arco CD. 1. Determine o valor do ângulo x nos casos abaixo: a)
Solução
b)
Chamando arcoCD = x e arcoAB = y, temos: c)
X = 24º d)
2. Na figura,
61
, calcule o valor de α.
UEA – Licenciatura em Matemática
⎯
3. Sabendo que ^ a = 90º, ^ b = 40º e ^ c = 15º, o ângulo α da figura mede:
a) 20º
b) 22º
c) 25º
d) 50º
⎯
8. Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é o ⎯ lado do triângulo eqüilátero inscrito, e BN, o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo α, ⎯ ⎯ formado pelas tangentes PM e PN.
e) n.r.a. 9. Determine a razão entre os ângulos α e β da figura abaixo, sabendo que a reta r tangencia a circunferência no ponto A e que os arcos AB, BC, e AC são proporcionais aos números 2, 9 e 7.
AC = 46º e B^ CA = 28º; calcule 4. Na figura, B^ ^ A BC.
a) 96º
b) 106º
c) 112º
d) 115º
e) 118º
10. Determine o menor ângulo formado por duas retas secantes a uma circunferência, conduzidas por um ponto P externo, sabendo que essas secantes determinam na circunferência dois arcos cujas medidas valem 30º e 90º.
5. Em um círculo de centro O, prolonga-se uma corda AB de um segmento BC igual ao raio de um comprimento BC igual ao raio. A reta CO corta o círculo em D e E (D entre O e C). Se CE = 20º, A^ OE mede: A^ a) 60º
b) 80º
c) 40º
d) 45º
11. (PUC–SP) Na figura, AB é diâmetro da circunferência. O menor dos arcos (AC) mede:
e) n.r.a. 6. Na figura, o arco CMD é igual a 100º, e o arco ANB mede 30º. Calcule o valor de x.
a) 100º
b) 120º
c) 140º
d) 150º
e) 160º 12. (CESGRANRIO) As semi-retas PM e PN são tangentes ao círculo da figura, e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN. O PN vale: ângulo M^
7. Determine as medidas dos ângulos de um triângulo, obtido pelos pontos de tangência do circulo inscrito com os lados de um triângulo A = 60º, ^ B = 40º e ^ C = 80º. ABC, sendo ^ 62
Geometria I – Elementos na circunferência
a) 76º
b) 80º
c) 90º
d) 108º
TEMA 19
e) 120º POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
13. Sejam os pontos A, B, C e D de um círculo tais ⎯ ⎯ que AB e CD sejam, respectivamente, os lados do pentágono e pentadecágono regulares ins⎯ ⎯ critos. As retas AD e BC formam um ângulo de: a) 20º
b) 24º
c) 36º
d) 44º
Polígono circunscrito É o polígono que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
e) 46º
Um caso especial da circunscrição é o teorema de Pitot, já demonstrado no tema anterior. Um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais.
1. Calcule o valor do raio do círculo inscrito no trapézio retângulo.
Solução 12 + 19 = 14 + 2r ⇒ 2r = 17 ⇒ 2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10cm e o raio do círculo inscrito mede 1cm. Calcule o perímetro do triângulo. Solução
2P = 2.(x + y + 1) e x + y = 10 2P = 22cm 63
UEA – Licenciatura em Matemática
Teorema Fundamental
Quadrado
Se uma circunferência é dividida em N (n > 3) arcos congruentes entre si, então: a) As cordas que unem os pontos de divisão consecutivos formam um polígono regular inscrito de n lados.
•
l=
•
(apótema)
Hexágono regular b) As tangentes traçadas pelos pontos de divisão formam um polígono regular circunscrito com n lados.
•
R = l
•
(apótema)
Recíproca: todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
3. Na figura, o raio da circunferência mede 5cm, os segmentos AB e BC representam, respectivamente, os lados de um hexágono regular e de um quadrado inscritos. Nessas condições, calcule o produto dos perímetros do quadrado e do hexágono.
Polígonos regulares inscritos Triângulo eqüilátero
Solução
• •
Do quadrado, temos lQ =
(apótema)
2PQ =
l=
cm
cm.
Do hexágono, temos lH = 5cm 2PH = 30cm. 2PQ . 2PH =
• 64
. 30 = 600
cm2
Geometria I – Elementos na circunferência
4. Dado um quadrado de lado 8cm, determine o raio da circunferência inscrita (r) e o raio da circunferência circunscrita (R) a esse quadrado. 5. Determine a razão entre o apótema do quadrado e o apótema de um hexágono regular, circunscritos a um círculo de raio r. Solução Tanto no quadrado como no hexágono, o apótema é igual ao raio da circunferência que os inscreve.
Solução cm
Polígonos regulares circunscritos Triângulo eqüilátero
Portanto a razão é igual a 1. 6. Dado um triângulo eqüilátero de 6cm de altura, calcule o raio do círculo inscrito (r) e o raio do círculo circunscrito (R) a esse triângulo.
• • •
Solução
l= a=r h = 3r
r=
Quadrado
• •
R=
l = 2r a=r
Hexágono regular
•
a=r
• 65
⇒ r = 2cm ⇒ R = 4cm
UEA – Licenciatura em Matemática
6. O apótema de um hexágono regular de lado 4m mede:
TEMA 20
POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
a)
m
b) 4m
c)
m
d) 2m
e) 7. Calcular o lado do quadrado circunscrito à circunferência de raio 5 cm: a) cm c) 12cm e) 14cm
1. O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência mede cm. Encontre o diâmetro do circulo ao qual esse quadrado está circunscrito.
b) cm d) 10cm
8. No hexágono regular ABCDEF da figura abaixo mede 5cm. Calcule:
2. Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular de 12m de lado nos casos: a) Quadrado b) Hexágono c) Triângulo
a) o apótema; b) o raio do círculo inscrito; ⎯ c) a diagonal AC.
3. Na figura, as retas que passam pelos pontos A, B e C são tangentes à circunferência de raio 5 cm e as retas r, s e m são paralelas. De acordo com os dados na figura, o valor de x, em cm, é:
9. Qual é a razão entre o perímetro de um triângulo eqüilátero com altura igual ao raio de um círculo para o perímetro do triângulo eqüilátero inscrito nesse círculo? 10. Na figura temos um pentágono regular de lado l. Mostre que o pentágono sombreado é regular.
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14 4. Dado um triângulo eqüilátero de 9cm de altura, calcule:
11. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede:
a) o raio do círculo inscrito; b) o lado; c) o apótema; d) o raio do círculo circunscrito. 5. Um triângulo ABC está inscrito em um círculo A = 30º. de raio 6cm e tem seu ângulo interno ^ Se o perímetro do triângulo é igual a 16cm, a soma AB + AC é igual a: a) 6cm c) 10cm e) 13cm
a) c)
b) 9cm d) 11cm
e) 66
2a
b) d)
UNIDADE IV Relações métricas no triângulo
Geometria I – Relações métricas no triângulo
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura”.
TEMA 21
TEOREMA DE TALES Um breve histórico
Teorema de Tales
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento, Tales de Mileto deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática, aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos, e diz-se que, em 585 a.C., conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos; é nesta data que se apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.
Poderíamos também tomar a proporção
entre outras.
1. Encontre o valor de x na figura, sabendo que os segmentos dados estão nas transversais do feixe de paralelas dado.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de “primeiro matemático’’ verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que, durante sua viagem à Babilônia, estudou o resultado que chega até nós como “Teorema de Tales”, segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto. A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: “um circulo é bissectado por um diâmetro’’, “os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais”, “os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais”, e “se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes”.
Solução
2. Calcule o valor de x + y na figura, sendo r // s // t.
69
UEA – Licenciatura em Matemática
⎯
Solução
4. Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.
Teorema da bissetriz interna
Solução
Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos (aditivos) proporcionais aos lados adjacentes.
1, Sendo r // s // t, calcule x e y: a) Teorema da bissetriz externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta suporte do lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos (subtrativos) proporcionais aos lados adjacentes.
b)
c)
⎯
3. Calcule x e y no triângulo, sabendo que AD é bissetriz do ângulo  e x + y = 22.
2. Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias que faltam.
Solução
⇒ x = 10 e y = 12 70
Geometria I – Relações métricas no triângulo
⎯
3. (Unicamp) A figura mostra um segmento AD ⎯ ⎯ dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm ⎯ ⎯ e CD = 5cm. O segmento AD’ mede 13cm e as retas e são paralelas à . Deter⎯ ⎯ mine as medidas dos segmentos AB’, B’C’ e ⎯ C’D’.
8. Na figura, calcule os valores de x e y, respectiva⎯ mente, sendo BS a bissetriz interna do ângulo ^ B.
⎯ ⎯
4. No triângulo, DE // BC, então o valor de x é:
9. Na figura, calcule o valor de x, sendo a bissetriz do ângulo externo em Â, e o perímetro do triângulo é igual a 23m. a) 4
b) 6
c) 8
d) 14
e) 16
⎯
⎯
⎯
10. Sendo AS e AP bissetrizes dos ângulos inter⎯ nos e externos em A, determine o valor de CP, dados BS = 8m e SC = 6m.
5. Calcule a medida, em cm, da altura CH do ⎯ ⎯ ΔABC, sabendo que MN // AB.
11. Os lados de um triângulo medem 8cm, 10cm e 12cm. Em quanto precisamos prolongar o menor lado para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto a esse lado?
⎯
6. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x.
12. Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine x.
⎯
7. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x. 71
UEA – Licenciatura em Matemática
a) TEMA 22
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Definição b)
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Solução
ΔABC ~ΔDEF ⇔ ^ A≡^ D, ^ B≡^ E Casos de semelhança de triângulos
é a razão de
1.º – Ângulo ângulo (A.A.)
semelhança.
Se dois triângulos têm dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.
Teorema fundamental
A≡ Dados os triângulos ABC e DEF, tais que ^ ^ ^ ^ D, B ≡ E. Queremos provar que eles são semelhantes.
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo determinado pela reta é semelhante ao primeiro. Demonstração Dado o triângulo ABC e a reta r paralela ao
Demonstração
lado BC e que intercepta os outros lados nos
⎯
⎯
⎯
Tome o ponto P ∈ AC, onde PC ≡ DF, por ele ↔ trace a reta rr// DE.
pontos D e E.
Dos triângulos ABC e ADE, temos:
Os triângulos PQC e DEF são congruentes (L.A.Ao), pelo teorema fundamental ΔPQC ~ ΔABC. Logo, ΔDEF ~ΔABC.
^ B ≡ ^ D, ^ C ≡ ^ E e pelo teorema de tales:
, portanto ΔABC ~ΔADE.
2.º – Ângulo ângulo (L.A.L.) Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes, então eles são semelhantes. A demonstração desse caso é análoga a anterior, fica como exercício para o leitor.
1. Nas figuras, calcule o valor de x e y: 72
Geometria I – Relações métricas no triângulo
c)
3.º – Lado lado lado (L.L.L.) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes. A demonstração desse caso é análoga a anterior; fica como exercício para o leitor. Importante:
Solução
Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então a razão entre dois elementos lineares homólogos é k; e os ângulos homólogos são congruentes.
Caso L.L.L.
• • • • •
a razão entre os lados homólogos é k; a razão entre os perímetros é k; a razão entre as alturas homólogas é k;
1. Os lados de um triângulo medem 12cm, 27cm e 24cm. Um triângulo semelhante a esse tem 21cm de perímetro. Determine as medidas dos lados do segundo triângulo.
a razão entre as medianas homólogas é k; ...
2. Sendo r // s, determine x: a) 2. Identifique o caso de semelhança entre os triângulos e calcule x: a) b)
Solução Caso A.A.
3. (U. Rio Grande–RS) Dado o triângulo abaixo, ⎯ ABC, calcule a medida dos segmentos BD e ⎯ ⎯ DF, sabendo que o segmento DE é paralelo ao ⎯ ⎯ ⎯ segmento BC, sendo AB = 18cm, BE = 4cm ⎯ e EC = 8cm.
b)
Solução
4. (Cesgranrio) Certa noite, uma moça, de 1,50m de altura, estava a 2m de distância de um poste de luz de 4m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de:
Caso L.A.L.
73
UEA – Licenciatura em Matemática
a) 0,75m
b) 1,20m
c) 1,80m
d) 2,40m
e) 3,20m 5. Na figura abaixo, a medida do segmento PA, em cm, é: 10. Dois círculos de raios R e r são tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta t externa, com os dois círculos, determine a altura do triângulo ⎯ ACD relativa ao lado CD. a) 6,8
b) 7,6
c) 7,8
d) 8,6
e) 8,8 6. Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 3
e) 8 7. Num triângulo isósceles de 20cm de altura e cm de base, está inscrito um retângulo de 8cm de altura com base na base do triângulo. Calcule a medida da base do retângulo.
⎯
⎯
⎯
8. Na figura, temos: AB = 8, BC = 15, AC = 17 ⎯ e EC. Determine x e y.
9. Considere a circunferência circunscrita a um ⎯ triangulo ABC. Seja AE um diâmetro dessa cir⎯ cunferência e AD a altura do triângulo. Sendo ⎯ ⎯ ⎯ AB = 6cm, AC = 10cm e AE = 30cm, calcule ⎯ a altura AD.
74
Geometria I – Relações métricas no triângulo
TEMA 23
, como m + n = a, temos: a2 = b2 + c2
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Considere o triângulo retângulo ABC, retângulo em A. Vamos classificar seus elementos:
• • • • • •
1. (CEFET–AM) No triângulo retângulo abaixo, h (altura relativa à hipotenusa), m e n (projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa) valem:
⎯
BC = a, hipotenusa;
⎯
AB = c, cateto;
⎯
AC = b, cateto;
⎯
AD = h, altura relativa à hipotenusa;
⎯
BD = m, projeção do cateto c sobre a hipotenusa;
Solução
⎯
c2 = a2 – b2 ⇒ c2 = 625 – 225 ⇒ c = 20
DC = n, projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
c2 = a.n ⇒ 400 = 25.n ⇒ n = 16
Observe que ΔABC ~ΔABD, caso A.A. e da mesma forma, ΔABC ~ΔACD. Usando a propriedade transitiva, podemos afirmar que ΔABD ~ΔACD. Dos casos de semelhança retiramos algumas relações:
m + n = a ⇒ m = 25 – 16 ⇒ m = 9 2. O perímetro de um triângulo ABC isósceles, de base BC, é 32 cm. Se a altura AH é igual a 8 cm, então a medida AB, em cm, é:
De ΔABC ~ΔABD temos:
Solução
• • De ΔABC ~ΔACD temos:
• De ΔABD ~ΔACD temos:
• •
substituindo y = 25 – 2x na segunda equação, temos:
Uma outra conseqüência dessas semelhanças é o Teorema de Pitágoras: 75
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 24
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
3. Na figura abaixo, encontre o valor de a, m, e n.
1. No triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas a, b, h e m indicadas: Solução
2. No triângulo retângulo abaixo, determine as medidas m e n indicadas.
3
Observe o triângulo desenhado na malha quadriculada abaixo. Considerando u como a unidade de medida de comprimento, encontre a medida dos lados desse triângulo.
4. (CEFET–AM) Na figura abaixo, os seguimentos ⎯ são medidos em metro. O seguimento AC é:
a) 11
b) 19
c) 15
d) 7
e) 22 76
Geometria I – Relações métricas no triângulo
5. A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles mede 4cm. O perímetro desse triângulo, em cm, mede: a)
b)
c)
d)
TEMA 25
TEOREMA DE PITÁGORAS Definição Em todo triângulo retângulo, temos que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Observe a figura abaixo:
e) 6. Determine o raio do círculo nos casos: a)
a: hipotenusa; b, c: catetos. b)
a2 = b2 + c2 → Teorema de Pitágoras Triângulo retângulo Do vértice do ângulo reto de um triângulo retângulo, se abaixarmos uma perpendicular à hipotenusa:
7. Determine o perímetro de um triângulo eqüilátero de altura 6m.
Primeiro, cada cateto é meio proporcional entre a hipotenusa inteira e o segmento adjacente.
8. A altura de um retângulo mede 8m, a diagonal excede a base em 2m. Calcule a diagonal.
Segundo, a perpendicular é meia proporcional entre os dois segmentos da hipotenusa. Sejam (fig. 3) o triângulo retângulo ABC e a perpendicular h baixada do vértice do ângulo reto A sobre a hipotenusa a.
9. As bases de um trapézio isósceles medem 12 m e 20 m, respectivamente. A soma dos lados não paralelos é igual a 10m. Quanto mede a altura? 10. Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16cm. Sendo 10cm e 17cm as medidas dos raios dos círculos, determine a distância entre seus centros. 11. Consideremos dois círculos tangentes como na figura abaixo. Sendo E o centro do círculo menor, F o ponto de tangência entre os dois círculos e a o lado do quadrado, determine o raio do círculo menor em função de a.
Primeiro, devemos ter: Com efeito, os triângulo retângulo ABC e CD são semelhantes, por serem ambos retângulos e terem o ângulo agudo C comum. (Dois triângulos retângulos são semelhantes quando têm um angulo igual; porque, nesse caso, os três ângulos são respectivamente iguais). Portanto esses triângulos têm lados proporcionais (a hipotenusa de ABC, sobre b, hipotenusa de 77
UEA – Licenciatura em Matemática
ADC, igual a b, oposto a B em ABC m, oposto a b’ em ADC), e podemos escrever:
2. É dado um triângulo ABC, retângulo em A, cujos catetos medem: AB = c e AC = b. Determine o raio do círculo com centro na hipotenusa e tangente aos catetos.
ou b2 = am (1) Os triângulos ABC e ABD são também semelhantes, porque ambos são retângulos e têm o ângulo agudo B comum. Assim, temos:
Solução
ou c2 = a.n (2) Segundo, devemos ter:
ou h2 = m.n
Com efeito, os triângulo ACD e ABD, sendo ambos semelhantes ao triângulo total ABC, são semelhantes entre si. Por conseguinte, têm os lados homólogos proporcionais e temos:
Observe que r2 = bc – cr – br + r2 → r(b + c) = bc →
ou h2 = m.n Pela definição do teorema: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa iguala a soma dos quadrados dos catetos.
Portanto o raio da circunferência dada é igual a
Com efeito, fazendo a soma das igualdades (1) e (2) do teorema precedente, vem:
3. Calcular o comprimento da tangente exterior, comum a duas circunferências tangentes externas de raios r e R, dadas na figura abaixo:
b2 + c2 = a.m + a.n b2 + c2 = a(m + n) b2 + c2 = a.a b2 + c2 = a2 a2 = b2 + c2
Solução 1. Determine o valor de x na figura abaixo:
(r + R)2 = x2 + (R – r)2
Solução
r2 +2Rr + R2 = x2 + R2 –2Rr + r2
y = 1 + 7 → y = 50 → y = 2
2
2
2
x2 = 4Rr
y2 = x2 + x2 → 50 = 2 x2 → x = 5
x=
Portanto o valor de x é igual a 5
Logo, o valor de x é igual a 78
Geometria I – Relações métricas no triângulo
4. Entre duas torres de 13m e 37m de altura, existe na base uma distância de 70m. Qual a distância entre os extremos, sabendo- se que o terreno é plano?
TEMA 26
TEOREMA DE PITÁGORAS
Solução
1. Determine a altura do trapézio da figura.
x2 = 132 + (37 –13)2 → x2 = 169 + 196 x ≈ 19,1m Portanto a distância entre os extremos das torres é de aproximadamente 19,1m. 5. Calcular a altura de um triângulo equilátero de lado igual a x cm.
a)
b)
c)
d)
e)
Solução
2. Determine a diagonal de um retângulo de perímetro 20m e base 6m. a)
m
b)
m
c)
m
d)
m
e)
m
3. Determine a menor altura de um triângulo cujos lados medem 4m, 5m e 6m. Observando a figura acima temos que: x2 = h2 + (x/2)2 2
2
a)
2
x = h + x /4
b)
4x2 = 4h2 + x2 3x2 = 4h2
c)
h=
d) e) 4. A altura de um retângulo mede 8 m, a diagonal excede a base em 2 m. Calcule a diagonal. a) 23m
b) 35m
c) 12m
d) 17m
e) 20m 5. Sabendo que a soma dos quadrados dos ca79
UEA – Licenciatura em Matemática
tetos com o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 200, determine a medida da hipotenusa desse triângulo. a) 24
b) 12
c) 17
d) 18
11. Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente,
bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo.
e) 10 6. Calcule o perímetro do triângulo isósceles de 16cm de base e 6cm de altura. a) 36cm
b) 19cm
c) 34cm
d) 46cm
7. Num triângulo isósceles de altura 8, inscrevese uma circunferência de raio 3. Calcule a medida da base do triângulo. b) 12
c) 11
d) 15
c) 9
d) 4
c)
d)
c) e)
m
d)
m
e)
m
a) 15m
b) 11m
c) 12m
d) 16m
a) 90º
b) 180º
c) 60º
d) 45º
a) 4dm
b) 3dm
c) 5dm
d) 6dm
15. Determine o ângulo que a diagonal de um trapézio isósceles forma com a altura do trapézio, sabendo que a altura do trapézio é igual a sua base média multiplicada por .
b)
m
d)
m
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 30º
e) 120º
10. Um ponto de um lado de um ângulo de 60º dista 16m do vértice do ângulo. Quanto ele dista do outro lado do ângulo? m
m
e) 2dm
e)
a)
c)
14. Determine o raio de um círculo inscrito num setor circular de 60º e 6dm de raio.
9. Determine a altura relativa à base de um triângulo isósceles em função da base a e do raio do círculo inscrito r. b)
m
e) 30º
e) 5
a)
b)
13. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Calcule um dos ângulos agudos do triângulo.
8. Do mesmo lado de uma reta, são traçados três círculos tangentes à reta e tangentes entre si dois a dois. Sabendo que dois deles têm raio igual a 16, calcule o raio do terceiro. b) 3
m
e) 10m
e) 13
a) 7
a)
12. Um ponto P, externo de um ângulo de 60 º, dista m e m dos lados do ângulo, sendo que nenhuma dessas distâncias é até o vértice do ângulo. Qual é a distância entre P e a bissetriz do ângulo?
e) 16cm
a) 14
m e 2m de um lado e da
m 80
Geometria I – Relações métricas no triângulo
Quem foi Pitágoras de Samos? Sem dúvida, “O Teorema de Pitágoras” é a resposta mais freqüente que as pessoas dão quando perguntamos do que elas se lembram das aulas de Matemática. E quando questionamos se elas sabem o que o teorema diz, muitas respondem: “Não lembro ao certo, mas falava da hipotenusa e dos catetos... o quadrado da hipotenusa...”
Seria impossível resumir a vida e as idéias de Pitágoras apenas em alguns parágrafos, tal é a multiplicidade de aspectos que apresenta. Sem falar no mistério que envolve sua figura. Acredita-se que tenha nascido em Samos (Grécia antiga) por volta de 558 a.C., e tenha vivido até os 99 anos, embora esses dados não sejam exatos. Desse véu de mistério, o que emerge é o Pitágoras filósofo, matemático e músico. Buscou sabedoria em toda parte, até mesmo quando esteve preso na Babilônia. Um de seus mestres foi Tales de Mileto, que o teria aconselhado a visitar o Egito, onde não só estudou geometria, com seu mestre, mas também aprendeu a ler hieróglifos (a escrita egípcia) com os próprios sacerdotes egípcios. E mais ainda: parece ter sido iniciado nos mistérios da religião egípcia.
Essas palavras a gente não esquece: Teorema de Pitágoras, hipotenusa, catetos. Alguns, no entanto, já não se lembram mais do enunciado do Teorema de Pitágoras. Mas nós acreditamos que, depois da aula de hoje, mesmo que você também não se lembre, ainda assim saberá como deduzi-lo novamente. Vamos mostrar uma figura muito simples e reveladora que os chineses conheciam há muito tempo, antes mesmo de Pitágoras, e que nos permite deduzir o teorema. Essa figura você não esquecerá, principalmente se você a fizer com recortes de papel ou mesmo blocos de madeira. A beleza do teorema compensa o esforço desse trabalho extra.
Outros aspectos interessantes da vida de Pitágoras dizem respeito a algumas idéias bastante avançadas para sua época. Por exemplo: dizem que era vegetariano e um forte defensor da vida em geral, tendo-se declarado contrário ao sacrifício de animais, muito comum em sua época. Como seu contemporâneo distante Buda, acreditava que todos os seres humanos eram iguais e mereciam a liberdade; seria este o motivo pelo qual teria libertado seu escravo Zalmoxis. Pitágoras e os pitagóricos, alunos da escola que fundou, eram conhecidos amantes da liberdade. Se você está atento ao que dissemos, deve ter ficado intrigado: “Por que chamamos Teorema de Pitágoras, se os chineses já conheciam o teorema muito antes dele?”
Antes de começarmos nossa aula, aqui está uma aplicação prática e interessante deste famoso teorema para que você possa refletir a respeito. Alguns povos antigos usavam um instrumento muito simples e prático para obter ângulos retos: uma corda. Nela faziam nós a distâncias iguais e, então, marcavam três nós a distâncias de três, quatro e cinco nós entre si, conforme mostra a ilustração, juntando depois o primeiro ao último nó. Quando esticavam esta corda, fixando-a nos três nós marcados, obtinham um triângulo... retângulo! Será mesmo reto o ângulo maior do triângulo 3, 4 e 5?
Você não deixa de ter razão. Na verdade, é muito comum que um teorema receba o nome de alguém que não tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. Mas o mérito de Pitágoras não é menor, pois foi o responsável por ter aprendido a pensar a geometria de maneira abstrata, e não em relação a objetos concretos, como se fazia até então para um espírito científico. Pitágoras afirmava: “A fórmula da 81
UEA – Licenciatura em Matemática
quadrado M. Assim temos: quadrado M = ao retângulo R ou 2x o triângulo ABE ou 2x o triângulo FBC.
hipotenusa em relação aos catetos é verdadeira não apenas em triângulos retângulos de lajotas ou aqueles desenhados na lousa, mas também para todos os triângulos retângulos que ainda não vimos, e mais ainda, para qualquer triângulo retângulo que pensemos”.
Traçando as retas (fig.2) AD e BJ, elas formam dois triângulos ACD e BCJ, iguais por terem um ângulo igual compreendido entre lados respectivamente iguais, a saber: o ângulo ACD iguala-se ao ângulo BCJ, porque ambos são formados de um ângulo reto e do ângulo b; AC = CJ, como lados de um mesmo quadrado, e BC = CD pela mesma razão.
O quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois outros lados. Seja (fig. 1) o triângulo ABC e sejam BCDE o quadrado construído sobre a hipotenusa, M e M’ os quadrados construídos sobre os lados; devemos ter: BCDE = M + M’. Do ponto A, abaixemos a perpendicular AG que divide o quadrado BCDE em dois retângulos R e R’. Se demonstrarmos que R = M e R’= M’, teremos mostrado que R + R’ ou BCDE = M + M’.
Por outra parte, a superfície do triângulo ACD vale a metade da do retângulo R’, porque essas duas figuras têm a mesma base (CD) e mesma altura (AK) ou (CH). Do mesmo modo, a superfície do triângulo BCJ vale a metade da do quadrado M’, porque ambas têm a mesma base (CJ) e a mesma altura (BL) ou (AC). Por conseguinte, o retângulo R’ é equivalente ao quadrado M’. Assim, temos: quadrado M’= ao retângulo R’ ou 2x o triângulo ACD ou 2x o triângulo BCJ.
Traçando as retas AE e FC; formam dois triângulos ABE e FBC, iguais por terem um ângulo igual compreendido entre lados respectivamente iguais, a saber: o ângulo ABE iguala-se ao ângulo FBC, porque ambos são formados de um ângulo reto e do ângulo a ; AB = BF, como lados de um mesmo quadrado, e BC = BE pela mesma razão.
Por conseguinte, temos R + R’ ou BCDE = M + M’. A superfície de um quadrado sendo igual ao quadrado de seu lado, se representarmos por a, b, c os três lados de um triângulo retângulo, teremos:
Por outra parte, a superfície do triângulo ABE vale a metade da do retângulo R, porque essas duas figuras têm a mesma base (BE) e mesma altura (AI) ou (BH). Do mesmo modo, a superfície do triângulo FBC vale a metade da do quadrado M, porque ambas têm a mesma base (BF) e mesma altura (CL) ou (AB); por conseguinte, o retângulo R é equivalente ao
a2 = b2 + c2.
82
Geometria I – Relações métricas no triângulo
Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido muitos conhecimentos matemáticos com os egípcios e os babilônios. Entre outros, dois filósofos com quem Pitágoras estudou e que influenciaram as suas idéias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander.
PITÁGORAS
No domínio da matemática, os estudos mais importantes atribuídos a Pitágoras são: •
descoberta dos irracionais ;
•
o teorema do triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras).
Apesar de atualmente sabermos que, cerca de mil anos antes, já eram conhecidos casos particulares desse teorema na Babilônia, no Egito e na Índia, Pitágoras foi o primeiro a enunciar e a demonstrar o teorema para todos os triângulos retângulos.
Pitágoras, matemático, filósofo, astrônomo, músico e místico grego, nasceu na ilha de Samos (na atual Grécia). Pitágoras é uma figura extremamente importante no desenvolvimento da matemática, sendo freqüentemente considerado como o primeiro matemático puro. No entanto pouco se sabe sobre as suas realizações matemáticas, pois não deixou obra escrita e, além disso, a sociedade que ele fundou e dirigiu tinha um caráter comunitário e secreto.
São também atribuídos a Pitágoras (e aos pitagóricos) outros trabalhos matemáticos, que incluem: •
a descoberta da tabuada ;
•
o estudo de propriedades dos números (dos números ímpares regulares, dos números triangulares, etc.);
•
a construção dos primeiros três sólidos platônicos (é possível que tenha construído os outros dois);
•
a descoberta da relação existente entre a altura de um som e o comprimento da corda vibrante que o produz.
Não se sabe ao certo quando nasceu e morreu Pitágoras, mas calcula-se que viveu uma longa vida (entre 80 e 100 anos), entre a primeira metade do século VI a.C. e o início do século V a.C.
Essa sociedade, a Escola Pitagórica, de natureza científica e religiosa (e até mesmo política), desenvolvia estudos no domínio da matemática, da filosofia e da astronomia. O símbolo desta irmandade era a estrela de cinco pontas (ou estrela pentagonal). A Escola Pitagórica defendia o princípio de que a origem de todas as coisas estava nos números, o atomismo numérico.
83
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 27
RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULO QUALQUER Retângulo
Introdução Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
Obtusângulo
Acutângulo
Definição Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Um triângulo eqüilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
a² = h²+(c - x)² = h²+(c² - 2cx + x²) = (h² + x²) + c² - 2cx (Equação1)
Denomina-se base o lado sobre o qual apóiase o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
No triângulo AHC, temos que b² = h² + x². Substituindo esses resultados na equação (Equação 1), obtemos: a² = b² + c² - 2cx Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
•
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
•
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
•
Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que: a² = h²+(c + x)² = h² + (c² + 2cx + x²) =(h² +x²)+c²+2cx(Equação 1) 84
Geometria I – Relações métricas no triângulo
No triângulo AHC, temos que b² = h² + x². Substituindo esses resultados na equação (Equação 1), obtemos: a² = b² + c² + 2cx Solução h2 + x2 = 52 ⇒ h2 = 25 – x2 h2 + (x + 3)2 = 62 ⇒ h2 = 36 – (x + 3)2 25 – x2 = 36 – (x + 3)2 25 – x2 = 36 – (x2 + 6x + 9)
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
6x = 2 x = 1/3 Logo o valor de x é igual a 1/3.
Solução (1) 62 = x2 + h2 → h2 = 36 – x2 (2) 102 = (13 – x)2 + h2 → 100 = 169 – 26x + x2 + h2 100 = 169 – 26x + x2 + 36 - x2 26x = 205 – 100 x = 105/26 Portanto x vale 105/26. 2. Determine a medida da projeção do maior lado do triângulo ABC de lados 5cm, 6cm e 8cm, sobre o segundo maior lado. Solução
82 = 52 + 62 + 2.6.x → 64 = 25 + 36 + 12x 3 = 12x x = 1/4 Portanto a medida da projeção é igual a x = ¼ 3. Na figura seguinte, calcular o valor de x. 85
UEA – Licenciatura em Matemática
8. Os lados de um triângulo medem TEMA 28
,
e
5. Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior?
RELAÇÕES MÉTRICAS EM TRIÂNGULO QUALQUER
9. Os lados de um triângulo medem 5cm, 7cm e 9cm. Calcule a medida da projeção do lado menor sobre o lado maior. 10. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b = 8cm e c = 9cm, calcule a projeção do lado a sobre o lado b.
1. Determine o valor de x na figura abaixo:
11. Reconheça a natureza de um triângulo cujos lados são diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7. 12. Em um triângulo ABC, sendo a = 6cm, b = 10cm e c = 12cm, calcule a projeção do lado b sobre o lado c.
2. Determine os valores de x e y na figura abaixo:
13. Em um triângulo acutângulo ABC, onde b = 7cm e c = 5cm, a projeção do lado b sobre o lado c mede 1cm. Calcule o lado a . 14. Em um triângulo ABC, obtusângulo em A, onde a = 8cm, b = 5cm, a projeção do lado c
3. Os lados de um triângulo medem 15m, 20m e 25m. Determine a altura relativa ao maior lado.
sobre b é igual a
4. Os lados de um triângulo medem 12m, 20m e 28m. Determine a projeção do menor sobre a reta do lado de 20m.
cm. Calcule o lado c.
15. Dado o triângulo ABC de lados 6cm, 8cm e 12cm. Determine a medida da projeção do maior lado sobre o lado que mede 8cm.
5. Determine a medida do lado BC de um triângulo ABC, em que AC = 10cm, AB = 6cm e a projeção do lado BC sobre AC vale 10,4cm. 6. Determine o valor de x na figura abaixo:
7. a, b e c são medidas dos lados de um triângulo. Seja k um número real tal que a = 3k, b = 5k e c = 7k. Nessas condições, qual é a natureza do triângulo? 86
Geometria I – Relações métricas no triângulo
Da sua vasta obra cientifica, uma grande parte foi dedicada à Matemática e à Lógica,
GIUSEPPE PEANO
sendo a restante consagrada à Filosofia e à construção da interlíngua. As suas obras “Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale” (1884) e “Lezioni di analisi infinitesimale” (1893) foram dois dos mais importantes trabalhos no desenvolvimento da teoria geral das funções depois dos trabalhos do matemático francês Augustin Cauchy. Em “Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale”(1887), Peano introduziu os elementos básicos do cálculo geométrico e deu novas definições para o cálculo do compri-
Giuseppe Peano (Spinetta, Piemonte, 27 de Agosto de 1858 – Turim, 20 de Abril de 1932), considerado o maior matemático italiano de sua época, produziu trabalhos de grande alcance filosófico. Fez importantes contribuições teóricas nas áreas de análise matemática, lógica, teoria dos conjuntos, equações diferenciais e análise vetorial.
mento de um arco e para a área de uma superfície curva. É no livro “Calcolo geometrico” (1888) que encontramos o seu primeiro trabalho em Lógica Matemática. Peano é sobretudo conhecido pela criação de um sistema de símbolos que permite a descrição e o enunciado
Autor de inúmeros livros e artigos, Peano foi o fundador da moderna lógica matemática e da teoria dos conjuntos, para cujos conceitos e notações contribuiu de forma decisiva. Na obra “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita” (1889), Peano desenvolveu os famosos axiomas de Peano, considerados até hoje como a axiomatização padrão dos números naturais.
das proposições lógicas e matemáticas sem recorrer à linguagem comum. Nesse sentido, Peano é considerado o fundador da Lógica Matemática, por ter sido realmente ele a introduzir a nova notação. Na verdade, a atual notação está mais próxima da proposta de Peano do que da de Frege a quem, no entanto, é em geral atribuída a paternidade da Ló-
Passou a maior parte de sua carreira ensinando matemática na Universidade de Turim (de 1890 até à sua morte) e na Real Academia de Artillería (de 1886 até 1901). Criou uma língua internacional chamada latino sine flexione ou interlíngua. Fundou a “Rivista di Matematica” em 1891, publicada posteriormente em francês e na sua interlíngua. Em 1903, propôs a interlíngua como língua auxiliar internacional e em 1908 foi eleito presidente da “Academia pro interlíngua” que transformou numa associação científica, tendo como órgão de expressão oficial a revista “Schola et Vita”.
gica Matemática. Parte da notação lógica de Peano foi adotada por Bertrand Russell e Alfred North Whitehead no Principia Mathematica. O seu trabalho mudou profundamente a visão dos matemáticos e teve uma grande influência nos esforços que mais tarde se desenvolveram na reestruturação da matemática, especialmente no trabalho dos matemáticos franceses revelado sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki.
87
UNIDADE V Áreas de superfícies
Geometria I – Áreas de superfícies
Considere os triângulos PAD e PCB: TEMA 29
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA Introdução
Potência de ponto (1) – A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência, tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é denominado a potência do ponto P em relação a essa circunferência.
Apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B, então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T, e R é um ponto exterior à circunferência, então RT é um segmento secante, e RS é a parte externa do segmento secante.
Secantes interceptando fora da circunferência – Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferêcia. Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.
Cordas interceptando dentro da circunferência – Se duas cordas de uma mesma circunferência interceptam-se em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.
(PA).(PB)=(PC).(PD) Demonstração Se por P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferência em A, B, C e D, respectivamente, temos:
(AP).(PB) = (CP).(PD) Demonstração Se por P passam duas retas concorrentes que interceptam a circunferência em A, B, C e D, respectivamente, temos:
Considere os triângulos PAD e PCB:
Potência de ponto (2) – Se P é um ponto fixo 91
UEA – Licenciatura em Matemática
fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por P. Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência do ponto P em relação à circunferência.
Solução Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) = 14 – x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Desse modo, (PD).(PC) = (PA).(PB) e podemos escrever que x(14 – x) = 5×8, de onde segue que x² – 14x + 40 = 0. Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos: x = 4 ou x =10, o que significa que se uma das partes do segmento medir 4cm, a outra medirá 10cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é maior que o segmento PC e concluímos que (PD) = 10cm e (PC) = 4cm.
Secante e tangente interceptando fora da circunferência – Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência interceptam-se em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB.
2. Na figura, sendo ED:EC = 2:3, AE = 6 e EB = ⎯ 16, calcule o comprimento de CD.
(PT)2 = (PA).(PB) Demonstração
⎯
Solução
Considere o segmento secante PA, sua parte ⎯ ⎯ exterior PB e um segmento PT tangente a λ.
Por hipótese temos que Por outro lado temos que EA . EB = EC . ED. Então: EA . EB = EC .
⇒ 3.6.16 = 2EC2 ⇒
EC = 12 e ED = 8 Logo CD = 20
Considere os triângulos PAT e PTB:
3. Determine o valor de x na figura abaixo:
Solução
1. Consideremos a figura abaixo com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm.
92
Geometria I – Áreas de superfícies
Observando a figura acima temos que: TEMA 30
x2 = (2x + 2).2 2
x = 4x + 4 x2 – 4x – 4 = 0
RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
Δ = (–4)2 – 4.1.(–4) = 32
Portanto x = 2 + 2
1. Duas cordas cortam-se, e os segmentos determinados sobre uma delas medem 12cm e 5cm. Sabendo que um dos segmentos determinados sobre a outra mede 3cm, quanto medirá o outro segmento?
4. Determine o valor de x na figura abaixo:
2. Uma secante por um ponto P determina sobre uma circunferência dois pontos A e B tais que ⎯ ⎯ PA = 6cm e PB = 18cm. Traça-se por P outra secante, a qual encontra a circunferência pri⎯ meiro no ponto C e depois em D. Medindo PC 9cm, quanto medirá a corda CD?
Solução Observando-se a figura abaixo, temos que:
3. Por um ponto P traçam-se uma tangente e uma secante a uma circunferência. Medindo o segmento da tangente 8cm e o da secante 16cm, quanto medirá a parte exterior da secante? 4. De um ponto P exterior a uma circunferência de centro O e raio 6cm traça-se uma tangente ⎯ à circunferência no ponto A . Sendo PA = 8cm, calcule a distância do ponto P à circunferência.
x. x = 3.27 ⇒ x = 81 ⇒ x = 9 2
Portanto x é igual a 9.
5. O ponto P está no interior de uma circunferência de 13cm de raio e dista 5cm do centro dela. Pelo ponto P, passa a corda AB de 25cm. Os comprimentos que P determina sobre a corda AB são: a) 11cm e 14cm b) 7cm e 18cm c) 16cm e 9cm d) 5cm e 20cm e) 8cm e 17cm 6. Os segmentos Ab e CD interceptam-se num ponto P e são cordas perpendiculares de um ⎯ ⎯ ⎯ mesmo círculo. Se AP = CP = 2 e PB = 6, ache o raio do círculo. 93
UEA – Licenciatura em Matemática
7. Considere uma circunferência de centro O e uma reta r. Por uma das extremidades A do diâmetro perpendicular à reta r, traça-se uma secante de direção arbitrária que encontra a circunferência em um segundo ponto M, e a ⎯ ⎯ reta r em N. Demonstre que o produto AM . AN é constante.
HISTÓRIA DA GEOMETRIA Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que, depois, seriam concretizadas nas figuras geométricas.
8. Por um ponto P distante 18cm de uma circunferência, traça-se uma secante que determina ⎯ na circunferência uma corda AB de medida 10cm. Calcule o comprimento da tangente a essa circunferência traçada do ponto P, saben⎯ do que AB passa pelo centro da circunferência.
Uma medida para a vida. As origens da Geometria (do grego, medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas.
9. Determine o raio do círculo menor inscrito num quadrante do círculo maior, da figura abaixo, sendo 2R o diâmetro do círculo maior.
⎯
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os “Elementos”, de Euclides, representam a introdução de um método consistente que contribui, há mais de vinte séculos, para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e das proposições admitidos sem demonstração (postulados e axiomas) para construir, de maneira lógica, tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais – o ponto, a reta e o círculo – e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda a Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias nãoeuclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.
⎯
10. Duas Cordas AB e CD interceptam-se um ponto P interno a uma circunferência. Determine a ⎯ medida do segmento BP, sabendo que os seg⎯ ⎯ ⎯ mentos CP, DP e a corda AB medem, respectivamente, 1cm, 6cm e 5cm. 11. Num círculo, duas cordas cortam-se. O produto dos dois segmentos da primeira corda é 25 cm2. Sabe-se que na Segunda corda o menor segmento vale
do maior. Determine a medi-
da do maior segmento dessa segunda corda.
⎯
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve esse problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos
⎯
12. AB e AC são duas cordas de medidas iguais, ⎯ pertencentes a um círculo. Uma corda AD ⎯ intercepta a corda BC num ponto P. Prove que os triângulos ABD e APB são semelhantes. 94
Geometria I – Áreas de superfícies
cunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda – conhecido hoje como raio – tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim, tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.
geômetras solucionavam isso por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica por que em todo triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32 + 42 = 52, isto é, 9 + 16 = 25. Para medir superfícies Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.
Nos tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.
Quando se deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método – em uso até hoje – produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorriase a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90o com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45o. Feito isso , a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45o cada um e, portanto, os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa. O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por cir95
UEA – Licenciatura em Matemática
Procedimentos: 1. Com a ponta-seca do compasso em A e a abertura do compasso maior que a metade da medida do segmento AB, traçam-se dois → arcos: um abaixo e outro acima de AB.
TEMA 31
ATIVIDADE LABORATÓRIO Atividade 1
2. Com a ponta-seca do compasso em B e a mesma abertura do compasso, traçam-se dois arcos que cortam os primeiros em C e em D.
Bissetriz de um Ângulo Material necessário: régua e compasso Objetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔB dado. Procedimentos: 1. Com a ponta-seca do compasso em O, traça-se um arco determinando M e N. 2. Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, traça-se com a mesma abertura do compasso os arcos que se cortam em D. →
→
→
3. Trace a reta CD, que cruza AB, no ponto M.
→
3. Traça-se a semi-reta OD. A semi-reta OD é a bissetriz do ângulo AÔB.
→
M é o ponto médio de AB →
→
CD é a mediatriz de AB. Atividade 3 Soma dos ângulos internos de um triângulo
Exercitando: Com a ajuda de um transferidor, trace um ângulo de 70o. Usando esse procedimento, calcule a bissetriz desse ângulo.
Atividade 2 Mediatriz de um segmento Chama-se mediatriz de um segmento a reta traçada perpendicularmente pelo ponto médio desse segmento. Material necessário: régua e compasso Objetivo: obter o ponto médio de um segmen→ to AB dado.
96
Geometria I – Áreas de superfícies
TEMA 32
ÁREA DE FIGURAS PLANAS – TRIÂNGULOS
Demonstrações
Definição
Área do triângulo
No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.
Triângulo ABC
Região triangular ABC
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.
Hipótese
Tese
ABC é um triângulo m(AB)=b, CX ⊥ AB e m(CX)=h
Área do triângulo ABC = b.h/2
Demonstração – Construímos o triângulo ABC com base AB e altura XC. Traçamos uma reta paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C e uma reta paralela ao segmento AC que passa pelo ponto B e, dessa forma, construímos o paralelogramo ABYC, cuja área é o dobro da área do triângulo ABC. Exemplo – Mostraremos que a área do triângulo eqüilátero cujo lado mede s é dada por
Principais Casos
A=
. Realmente, com o Teorema de Pitá-
goras, escrevemos h² = s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que
.
Como a área de um triângulo é dada por A = b.h/2, então segue que: A = s.h/2 = 97
UEA – Licenciatura em Matemática
Observação – Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.
2. Na figura, ABCD é retângulo. Determine a razão entre as áreas do triângulo CEF e do retângulo.
Comparação de áreas entre triângulos semelhantes Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
Solução Considere a altura do retângulo sendo h e a base igual a 4x. Logo:
Figura 01
S1 : Área do triângulo CEF = x.h/2 S2 : Área do retângulo ABCD = 4x.h S1 / S2 = (xh/2)/4xh = 1/8 3. Calcular a área do triângulo abaixo, sabendo que a = 4, b = e^ C = 45o.
Figura 02
Solução Propriedade – A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
A=
1. As medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo medem me m. Determine a área desse triângulo.
1. Determine a área de um triângulo de lados 5cm, 6cm e 7cm.
A área de um triângulo, dados seus lados é dada por:
2. Considere um triângulo retângulo e a circunferência inscrita nele. Se o ponto de contato entre a hipotenusa e a circunferência determina na hipotenusa segmentos de 4cm e 6cm, determine a área do triângulo.
A=
3. A razão entre a base e a altura de um triângulo
Solução Façamos a = 5cm, b = 6cm e c = 7cm.
p = (5 + 6+ 7)/2 = 18/2 = 9cm
é
A=
altura, determine a área do triângulo. 98
. Sendo 52cm a soma da base com a
Geometria I – Áreas de superfícies
4. Determine a área de um triângulo isósceles de perímetro igual a 32cm, sabendo que sua base excede em 2cm cada um dos lados congruentes. 5. Determine a área de um triângulo eqüilátero em função de sua altura h. 6. O apótema de um triângulo eqüilátero é igual ao lado de um quadrado de 16cm2 de área. Determine a área do triângulo. 7. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é os do cateto menor, e o cateto maior os
do ARQUIMEDES
menor. Sendo 60cm o perímetro do triângulo, determine a sua área.
Arquimedes é um dos maiores matemáticos do século III a.C., natural da cidade de Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica, em Siracusa, em 212 a.C. Era filho de um astrônomo; por isso, também adquiriu uma reputação em astronomia.
8. Calcule a área de um triângulo ABC do qual se ⎯ ⎯ conhecem os dados seguintes: AC = b, AB = c e o ângulo compreendido 150º. 9. Calcule a área do triângulo ABC, sendo AB = 4 cm, Â = 30º e ^ C = 45º. 10. Determine a área de um triângulo eqüilátero em função do raio r do círculo inscrito nesse triângulo.
Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Euclides, mantendo comunicação com os matemáticos de lá, como Cônon, Dosite e Eratóstenes.
11. Determine a medida do raio de um círculo inscrito em um triângulo isósceles de lados 10cm, 10cm e 12cm.
Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de Roma por quase três anos, devido às engenhosas máquinas de guerra inventadas por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância. Entre elas: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios.
12. Calcule o raio da circunferência circunscrita a um triângulo isósceles de base 6cm, tendo outro lado medindo 5cm. 13. Seja ABC um triângulo isósceles cujos lados congruentes medem 5cm, sendo 6cm a medi⎯ da do lado BC (base do triângulo). Calcule a razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito nesse triângulo.
Por meio dos árabes, sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron
14. Determine o perímetro de um triângulo retângulo, sabendo que sua área é igual a 36cm2 e que a hipotenusa é igual ao dobro da altura relativa a ela.
em que p é o semiperímetro – era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Heron menciona em seus trabalhos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas,
15. As medianas de um triângulo medem 9m, 12m, e 15m. Determine a área do triângulo.
99
UEA – Licenciatura em Matemática
são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos!
e Teon cita em seus trabalhos um teorema de Arquimedes encontrado no Tratado sobre a Teoria dos Espelhos. Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro, escrito em dois volumes e constituído de cinqüenta e três proposições; trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera com um plano de maneira a obter dois segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada. Esse problema leva a uma equação cúbica, em em função da qual é feita uma discussão relativa às condições sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva.
Há dois trabalhos de Arquimedes sobre matemática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O primeiro deles consta de dois livros e contém vinte e cinco proposições em que, mediante um tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centróides e determinam-se centróides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Corpos Flutuantes é obra composta por dois livros com noventa proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de parabolóide de revolução mergulhado num fluido.
Arquimedes escreveu pequenas obras sobre aritmética, uma delas é O Contador de Areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol, ou seja, do tamanho do universo. Nessa obra, encontramos observações relacionadas à astronomia, em que Arquimedes utilizou o modelo de universo de Aristarco de Samos, que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquimedes vai calculando a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo. Ao mesmo tempo e paralelamente, vai desenvolvendo um sistema de numeração (que levou a invenção dos logaritmos) capaz de exprimir os valores encontrados nesse calculo. Há também o Problema do Gado que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas é um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas
O tratado O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada; é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos de seus teoremas. Arquimedes usava-o de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos. Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas. Neste último, havia a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Provavelmente o mecanismo era acionado pela água. A invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água em parafuso, construída por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões da navios. O engenho ainda hoje é utilizado no Egito.
100
Geometria I – Áreas de superfícies
Atividade 1: Usando as 7 peças, podem-se montar os números de 0 a 9.
TEMA 33
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO Exercício 01 QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: Tangram O Tangram é originário da China. Supõe-se que a parte inicial do nome (Tan) esteja relacionada à dinastia Tang, que governou a China por um longo período; a parte final do nome (gram) vem do latim e significa ordenar, dispor. Ela tem sete peças em forma de figuras geométricas planas. Compondo essas sete peças, pode-se formar muitas figuras diferentes.
Números formados com o Tangram
Exercício 02 Usando as 7 peças do tangram, pode-se montar um hexágono.
Exercitando: Objetivo: obter figuras geométricas usando todas as peças do tangram.
1. Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) do tangram, forme um quadrado.
Material Necessário: papel-cartão, tesoura, régua, lápis.
2. Usando as sete peças do tangram, forme um triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio, quadrado.
Confecção : 1. Desenha-se, em uma folha de papel, um quadrado de 12cm de lado, dividindo-o de 4 em 4 centímetros. 2. Seguindo os modelos, obtém-se um quebra-cabeça com sete peças. 3. Pintam-se as sete peças recortando-as em seguida.
Seqüência de modelo para confecção do Tangram (BIGODE, 1994, p. 135-136).
101
UEA – Licenciatura em Matemática
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade, como metro, centímetro, quilômetro, etc.
TEMA 34
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Exemplo – Para calcular a área de um retângulo com 2m de altura e 120cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
Quadriláteros Área do retângulo A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais dividem-no em seis quadrados, tendo cada um 1 unidade de área.
1. Transformando as medidas em metros Como h = 2m e b = 120cm = 1,20m, a área será obtida por meio de: A = b×h A = (1,20m)×(2m) = 2,40m² 2. Transformando as medidas em centímetros: Como h = 2m = 200cm e b = 120cm, a área do retângulo será dada por: A = b×h A = (120cm) × (200cm) = 24000cm²
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.
Área do paralelogramo Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos, podemos obter a área do paralelogramo.
O lado do retângulo pode ser visto como a base, e o lado adjacente como a altura; assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base, e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
A=b×h Área do quadrado
No paralelogramo ABCD abaixo, à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes, e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Figura 01
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x, e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x. A = x²
Figura 02
Exemplo – Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades. A = b×h A = (8u)x(5u) = 40u² 102
Geometria I – Áreas de superfícies
A área do losango é o semiproduto das medidas das diagonais, isto é, A = (d1 × d2)/2.
No paralelogramo RSTV acima, à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes, e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
HIPÓTESE ABCD é um losango m(AC) = d1, m(BD) = d2 e AC⊥BD.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A = b × h. HIPÓTESE ABCD é um paralelogramo AB = b e BX ⊥ CD com BX = h
TESE Área do losango = (d1×d2)/2
Demonstração – Seja o losango ABCD cujas diagonais AC e BD são tais que m(AC)=d1 e m(BD)=d2.
TESE Área do paralelogramo ABCD = b . h
Demonstração – Construímos o paralelogramo ABCD com base AB e altura BX. Pelos pontos A e B, traçamos duas retas perpendiculares a AB até encontrarem CD, formando o retângulo ABXY de área A=bh.
Se traçarmos paralelas às diagonais pelos vértices, formamos o retângulo MNOP, cuja área é o dobro da área do losango. Como a área do retângulo é d1 × d2, então a área do losango é dada por A=1/2(d1 × d2).
Figura 01
Área do trapézio Figura 02
Em um trapézio, existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.
Os triângulos ADY e BCX são congruentes, pois são triângulos retângulos; possuem hipotenusas congruentes, pois são lados opostos de um paralelogramo (AD e BC) e um dos catetos congruentes pois (AY=BX) por serem paralelas compreendidas entre paralelas. Portanto a área do retângulo ABXY é b.h e é igual a área do paralelogramo ABCD.
A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A = (b1 + b2).h/2.
1. Calcular a área de um quadrado de diagonal medindo 4cm.
Área do losango O losango é um paralelogramo, e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
Solução
103
UEA – Licenciatura em Matemática
4. Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de perímetro. Determine suas dimensões.
d = 4cm ⇒ A = L2 A=
5. A base de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2 sua área.
= 4.2 = 8cm2
2. As diagonais de um retângulo medem 20cm cada uma, e formam um ângulo de 60º. Determine a área desse retângulo.
6. As bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área desse trapézio, sabendo que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm.
Solução
7. Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura. h2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 60º
8. As diagonais de um losango estão entre si
h2 = 100 + 100 – 200.1/2 = 100 ⇒ h = 10cm
como
Por outro lado temos que:
. Determine a área desse losango
sabendo que a soma de suas diagonais é igual ao perímetro de um quadrado de 81 cm2 de área.
b2 = 102 + 102 – 2.10.10.cos 120º b2 = 100 + 100 – 200.(–cos60º) b2 = 200 + 100 b=
9. O perímetro de um losango é de 60cm. Calcule a medida de sua área, sabendo que a sua diagonal maior vale o triplo da menor.
cm
Portanto A = b.h = 10.
cm2
=
3. Determine a área de um trapézio isósceles de bases medindo 8cm e 10cm, sabendo- se que um de seus ângulos internos mede 60o.
10. Determine o lado de um quadrado, sabendo que, se aumentarmos seu lado em 2cm, sua área aumenta em 36cm2.
Solução 11. Determine a área de um quadrado cujo perímetro é igual ao perímetro de um retângulo cuja base excede em 3cm a altura, sendo 66cm a soma do dobro da base com o triplo da altura.
tg60º = 1/h ⇒
= 1/h ⇒
12. Um quadrado e um losango têm o mesmo perímetro. Determine a razão entre a área do quadrado e do losango, sabendo que as dia-
cm
A=
gonais do losango estão entre si como
e
que a diferença entre elas é igual a 40cm. 13. As bases de um trapézio retângulo medem 3m e 18m e o perímetro 46m. Determine a área. 14. A altura de um trapézio isósceles mede m, a base maior 14m e o perímetro 34m. Determine a área desse trapézio.
3. A área de um retângulo é 40cm2, e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do retângulo. 104
Geometria I – Áreas de superfícies
15. De um losango, sabemos que uma diagonal excede a outra em 4m e que esta, por sua vez, excede o lado em 2m. Determine a área desse losango.
proposições distribuídas em treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre geometria plana elementar, os três seguintes sobre teoria dos números, o livro X sobre incomensuráveis e os três últimos tratam de geometria no espaço.
16. A diagonal maior de um trapézio retângulo é bissetriz do ângulo agudo. Se a altura e a base maior medem 5m e 25m, determine a área desse trapézio.
O livro I começa com definições, axiomas e postulados. As quarenta e oito proposições distribuem-se em três grupos: as primeiras vinte e seis tratam de propriedades do triângulo e incluem os três teoremas de congruência; as proposições de vinte e sete a trinta e dois estabelecem a teoria das paralelas e provam que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos; as proposições de trinta e três a quarenta e seis lidam com paralelogramos, triângulos e quadrados, com atenção especial a relações entre áreas; a proposição quarenta e sete é o Teorema de Pitágoras, com a demonstração atribuída ao próprio Euclides; e a proposição quarenta e oito é o recíproco do Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do material desse livro foi desenvolvido pelos antigos pitagóricos.
17. Uma diagonal de um losango mede 40m e sua altura 24m. Determine a área desse losango.
O livro II apresenta quatorze proposições que lidam com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas.
Euclides e os “Elementos”
O livro III, consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangen-tes e medidas de ângulos. No livro IV, encontramos dezesseis proposições que discutem a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e quinze lados, bem como inscrição desses polígonos num círculo dado.
Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides e desconhece-se a data de seu nascimento. É provável que sua formação matemática tenha-se dado na escola platônica de Atenas. Ele foi professor do Museu em Alexandria. Euclides escreveu cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos desde óptica, astronomia, música e mecânica, até um livro sobre secções cônicas; porém mais da metade do que ele escreveu perdeu-se. Entre as obras que sobreviveram até hoje temos: Os elementos, Os dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Óptica.
O livro V é uma exposição da teoria das proporções. Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o problema dos números irracionais descobertos pelos pitagóricos. O livro VI aplica a teoria eudoxiana das proporções à geometria plana. Encontramos nele os teoremas fundamentais da semelhança de triângulos; construções de terceira, quartas e médias propor-
Os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e de álgebra elementar (geométrica). O livro compõe-se de quatrocentos e sessenta e cinco 105
UEA – Licenciatura em Matemática
cionais; a resolução geométrica de equações quadráticas; a demonstração que a bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados; uma generalização do teorema de Pitágoras na qual, em vez de quadrados, traçam-se sobre os lados de um triângulo retângulo três figuras semelhantes descritas de maneira análoga.
TEMA 35
ÁREA DE FIGURAS PLANAS – POLÍGONOS Definição O conceito de região poligonal Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesma uma região poligonal e, além disso, uma região poligonal pode conter “buracos”.
O livro VII começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano, para achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros, que ele usa para verificar se dois inteiros são primos entre si; encontramos também uma exposição da teoria das proporções numérica ou pitagórica. O livro VIII ocupa-se largamente das proporções contínuas e progressões geométricas relacionadas. O livro IX contém muitos teoremas significativos: teorema fundamental da aritmética (todo número inteiro maior que 1 pode-se expressar como produtos de primos); fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica; fórmula para números perfeitos. O livro X focaliza os irracionais, isto é, comprimentos de segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado.
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares, e isso pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
Os três últimos livros (XI, XII, XIII) tratam de geometria sólida. As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos encontram-se no livro XI. O método de exaustão desempenha um papel importante na abordagem de volumes do livro XII. No livro XIII, desenvolvemse construções visando à inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera.
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos: 1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área. 2. Se dois triângulos são congruentes, então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.
Para finalizar, uma palavra sobre o significado do termo “elementos”. Segundo Proclo, os gregos antigos definiam os “elementos” de um estudo dedutivo como os teoremas- mestres, de uso geral e amplo no assunto. Euclides, no livro Os Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações. Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas, então sua área é a soma das áreas das n-regiões. Observação – Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas: a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região. 106
Geometria I – Áreas de superfícies
b. Usaremos expressões como “a área do triângulo ABC” e “a área do retângulo RSTU” no lugar de expressões como “a área da região triangular ABC” e “a área da região limitada pelo retângulo RSTU”.
Circunferência inscrita – Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Exemplo – A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
Elementos de um polígono regular 1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita. 2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices. 3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
Após isso, realizamos as somas dessas áreas triangulares. Área(ABCDEFX) = área(XAB) + área(XBC) +...+ área(XEF)
4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contêm vértices consecutivos do polígono.
Unidade de área Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Apótema: OM, Raios: OA,OF Ângulo central: AOF
1 unidade quadrada
Apótema: OX, Raios: OR, OT Ângulo central: ROT
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc. 5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus, e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.
Polígonos regulares Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular. Circunferência circunscrita – Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Áreas de polígonos regulares Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor esse polígono em n triângulos congruentes.
107
UEA – Licenciatura em Matemática
é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é: A = aHIPÓTESE × Perímetro / 2
TESE
Polígono regular de vértices R, T, U, V,..., apótema a, lado de comprimento s, perímetro P e área A.
Área = a×P/2
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes. Teorema – A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
Demonstração – Seja o polígono regular RTUV,..., a o apótema e s o comprimento de cada lado do polígono. Traçando raios OR, OT, OU..., o polígono fica decomposto em n triângulos congruentes.
O círculo como o limite de regiões poligonais regulares
A área de cada triângulo é At = s×a/2. Assim, a área
Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
A do polígono será: A = n At = n(s×a)/2 = n×s×a/2 mas, ns=P, assim a área do polígono com n lados é: A=a×P/2
Comparando áreas entre polígonos semelhantes Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que também aumenta:
Apresentamos, abaixo, dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L, traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
1. O apótema, aproximando-se do raio do círculo como um limite. 2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.
Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente por meio da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.
3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite. Neste trabalho, não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo. A idéia de limite permite-nos aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.
Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo 108
Geometria I – Áreas de superfícies
3. Dado um hexágono regular (ABCDEF) de lado L, calcule a área do quadrilátero ACDE em função de L.
O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Esse também é um processo através de limites.
4. Sendo A a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, qual a área de um quadrado circunscrito na mesma circunferência? 5. O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Qual é o perímetro do triângulo?
1. Determine a área de um triângulo equilátero de altura igual a 3cm.
6. Qual a área da figura que se obtém eliminando-se do hexágono de lado 2 a sua intersecção como os 6 círculos de raios unitários e centros nos vértices do hexágono?
Solução
7. O triângulo ABC é eqüilátero, D e E são pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas: S1 do trapézio DHCM com s2 do retângulo DEGH.
h = 3cm
8. Sendo a área de um círculo igual à de um quadrado, qual é a relação entre o raio daquele e o lado deste? 9. De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta corta-se outro quadrado de lado máximo. O processo é repetido por mais uma vez. Qual a quantidade de material desperdiçado?
2. Calcular a área de um hexágono regular de apótema igual a 2cm. Solução
10. Calcular a área do triângulo equilátero circunscrito a um círculo de área 4πcm2. 11. Considere um quadrado de lado 2. Unindo os pontos médios dos lados desse quadrado, obtém-se um novo quadrado. Unindo os pontos médios desse novo quadrado, obtém-se outro quadrado. Repetindo-se esse processo indefinidamente, qual a soma das áreas de todos esses quadrados? 12. Um octógono regular é formado cortando-se cada canto de um quadrado de lado 6. Quanto mede o lado do octógono?
1. Qual a área do triângulo equilátero inscrito num círculo de raio 2cm? 2. De um pedaço quadrado de metal, corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta corta-se outro quadrado de lado máximo. Qual a quantidade de material desperdiçado? 109
UEA – Licenciatura em Matemática
icando "tamanho"). Fez a distinção entre grupos numeráveis (ou enumeráveis) (em inglês chamam-se countable – que se podem contar) e grupos contínuos (em inglês uncountable – que não se podem contar). Provou que o conjunto dos números racionais Q é (e)numerável, enquanto que o conjunto dos números reais IR é contínuo (logo, maior que o anterior). Na demonstração, foi utilizado o célebre argumento da diagonal de Cantor ou método diagonal. Nos últimos anos de vida, tentou provar, sem o conseguir, a “hipótese do contínuo”, ou seja, que não existem conjuntos de potência intermédia entre os numeráveis e os contínuos – em 1963, Paul Cohen demonstrou a indemonstrabilidade dessa hipótese. Em 1897, Cantor descobriu vários paradoxos suscitados pela Teoria dos conjuntos. Foi ele que utilizou, pela primeira vez, o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais.
GEORG FERDINAND LUDWIG PHILIPP CANTOR
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 de Março, 1845, São Petersburgo – 6 de Janeiro, 1918, Halle, Alemanha) foi um matemático alemão de origem russa conhecido por ter criado a moderna Teoria dos Conjuntos. Foi a partir dessa teoria que se chegou ao conceito de número transfinito, incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabelecendo a diferença entre esses dois conceitos que colocam novos problemas quando se referem a conjuntos infinitos.
Durante a última metade da sua vida, sofreu repetidamente de ataques de depressão, o que comprometeu a sua capacidade de trabalho e forçou-o a ficar hospitalizado várias vezes. Provavelmente, ser-lhe-ia diagnosticado, hoje em dia, um transtorno bipolar – vulgo maníaco-depressivo. A descoberta do Paradoxo de Russell conduziu-o a um esgotamento nervoso do qual não chegou a se recuperar. Começou, então, a se interessar por literatura e religião. Desenvolveu o seu conceito de Infinito Absoluto, que identificava a Deus. Ficou na penúria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo num hospital psiquiátrico em Halle.
Nasceu em São Petersburgo (Rússia), filho de um comerciante dinamarquês, Geor Waldemar Cantor, e de uma música russa, Maria Anna Böhm. Em 1856, a sua família mudou-se para a Alemanha, onde ele continuou os seus estudos. Estudou na Escola Politécnica de Zurique. Doutorou-se na Universidade de Berlim em 1867. Teve como professores Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker.
Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua Teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.
Em 1872, foi docente na Universidade alemã de Halle, onde obteve o título de professor em 1879. Toda a sua vida irá tentar em vão deixar Halle, tendo acabado por pensar que era vítima de uma conspiração.
Nas palavras de David Hilbert: “Ninguém nos poderá expulsar do Paraíso que Cantor criou.”
Cantor provou que os grupos infinitos não têm todos a mesma potência (potência signif110
Geometria I – Áreas de superfícies
Construção: TEMA 36
1. Num papel-cartão ou cartolina, recorte quatro triângulos retângulos congruentes,com medidas a = 4cm e b = 3cm, por exemplo.
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO
2. Em seguida, recorte um quadrado cujo lado tem comprimento igual a c = 5cm, comprimento da hipotenusa dos triângulos retângulos.
Teorema de Pitágoras Usando o material concreto, demonstre o Teorema de Pitágoras
Com as cinco peças construídas e em mãos, é possível encaixá-las e montar o conjunto, representado na figura a baixo.
O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão áreas a2, b2 e c2. Assim, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos. Podemos tornar o entendimento do Teorema mais lúdico por meio de recorte que nos ajudem a visualizar sua demonstração. A partir de critérios de recorte aplicados aos quadrados menores (construídos sobre os catetos), podemos montar o quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) por meio de quebracabeças que ilustram, e até mesmo demonstram, o Teorema de Pitágoras!
A montagem realizada representa um quadrado de lado c, inscrito num quadrado maior, cujo lado tem comprimento a+b. Essa montagem permite a prova do Teorema de Pitágoras. Como o quadrado maior tem lado de comprimento a + b, então a área A tem por medida: A = (a + b)2. Em contrapartida, como esse quadrado maior é composto das cinco peças do quebra-cabeças (quatro triângulos retângulos e um quadrado), somando as áreas, encontramos:
Igualando os dois valores para a área, segue:
Material necessário: papel-cartão ou cartolina, tesoura, régua, compasso, lápis e borracha.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Objetivo: provar o Teorema de Pitágoras, com uso de quebra-cabeças.
a2 + b2 = c2, comprovando o Teorema de Pitágoras.
Procedimentos:
Observação – Ao provar este teorema por meio do uso do material concreto do quebracabeças, para estudantes do ensino médio, o momento é ideal para convencê-los da necessidade de provar que é verdadeiramente um quadrado a figura formada com o encaixe das cinco peças do quebra-cabeças. A argumentação 111
UEA – Licenciatura em Matemática
quadrado maior (de 1 e 2). Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo reto, eles encaixam-se no quadrado maior. O quadrado vermelho restante tem lado AC, pois CD-AD=AC e CD=BF.
que permite sustentar essa conclusão é o fato de que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90o. Portanto, quando os triângulos retângulos são encaixados para formar uma só figura, os lados de dois triângulos consecutivos ficam alinhados.
Critério de recorte 02 Os critérios de recorte apresentados abaixo serão nossas hipóteses na demonstração. Considere o triângulo retângulo ABC. Construa, sobre os lados AB e AC, os quadrados ABDE e ACFG. “Dobre” (reflita) o quadrado de lado AB em torno deste lado.
OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR O TEOREMA DE PITAGORAS.’ Critério de recorte 01 Os critérios de recorte da figura serão nossas hipóteses na demonstração. As diagonais pontilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a visualização durante a demonstração. Considere o quadrado médio (de lado AB) e encontre o centro M desse quadrado. Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado BC) passando por M. O quadrado médio está, agora, divido em quatro partes.
Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma reta perpendicular ao segmento BC passando por B e outra passando por C. Chame de H o ponto de interseção da segunda reta perpendicular com o segmento FG. Construa o retângulo de lados BC e CH e chame-o de BCHI. Trace uma reta perpendicular ao segmento BG passando por I e chame de J a interseção.
Demonstração
Demonstração Observe que basta transladar os triângulos coloridos para que as peças se encaixem. Porém, para a demonstração, precisamos enxergar a congruência dos triângulos destacados. Os triângulos ABC e FHC são congruentes (ALA). Use a soma de ângulos para ver essa congruência. O quadrilátero BCHI é um quadrado, pois os lados BC e CH são congruentes (de 1). Os triângulos amarelos são congruentes, pois ambos são congruente ao triângulo ABC (procure fazer demonstração análoga ao item 1). IJ = AB (de 3) e AB = BD’ (lados do quadrado). Os triângulos verdes são congruentes (LAAo). Os ângulos dos triângulos verdes são congruentes aos ângulos dos triângulos vermelhos: ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostos pelo vértice e o terceiro vem do “teorema 180o”. Os segmentos NC e LH são congruentes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos vermelhos são congruentes (ALA). Assim, vemos que as peças destacadas nos quadrados menores encaixam-se no quadrado maior.
Observe que, para montar o quadrado grande, basta transladar as peças do quadrado médio e completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de translação têm origem no ponto M e extremidades nos vértices do quadrado maior. A “figura-chave” desta demonstração é o paralelogramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4, que compõem o quadrado médio, são congruentes, pois os lados DF e EG resultam da rotação das diagonais, mantendo, assim, a área das figuras constante. Tente observar na figura com o auxílio das diagonais pontilhadas. Os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os segmentos CD e BF, pois são lados opostos de um paralelogramo. Procure observar na figura. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e portanto, com comprimento igual à metade da medida do lado do 112
Geometria I – Áreas de superfícies
Critério de recorte 03 Os critérios de recorte abaixo serão nossas hipóteses na demonstração. Considere o triângulo retângulo ABC. Construa quadrados sobre os lados deste triângulo. Considere agora o quadrado maior (de lado BC). Reflita o triângulo ABC em torno do Lado BC, de modo que o triângulo refletido fique dentro do quadrado maior. Construa mais três triângulos retângulos congruentes ao inicial sobre os lados do quadrado maior, como sugere a figura. Divida dois destes triângulos em outros dois triângulos, de modo que um desses triângulos seja retângulo isósceles. O recorte do quadrado maior está pronto.
TEMA 37
ÁREA DE FIGURAS PLANAS – CÍRCULO E SUAS PARTES Definição Perímetro do círculo e da circunferência Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da seqüência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente. Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.
Demonstração Os triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos de medida AC por construção. Logo, encaixam-se no quadrado menor (de lado AC). Os triângulos 1 e 6 possuem um dos catetos com medida AB e outro com medida AC e sua hipotenusa mede BC, pois são congruentes ao triângulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congruentes. Seus lados maiores medem BC. Os lados menores medem AB-AC (procure ver na figura). A figura 7 é um quadrado, pois todos os seus ângulos são retos e os seus lados medem AB-AC (veja na figura). Considerando as afirmações 2, 3 e 4, concluímos que as figuras 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, como mostra a figura. Assim, está provado que a área do quadrado maior pode ser decomposta na área dos dois quadrados menores.
Relações associadas ao perímetro 1. Com base nessas duas definições, temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência: A razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência é uma constante 2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.
Exercitando Muitas demonstrações antigas do teorema de Pitágoras eram apresentadas apenas mediante figuras geométricas, e cabia ao leitor observar a figura e tentar demonstrá-lo oralmente.
3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega π que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:
Forme grupos de três pessoas em sala de aula e discuta de que forma estas duas figuras ilustram o teorema de Pitágoras.
π = 3,1415926536....
Apresente o resultado aos demais colegas.
Área do círculo Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas nele. Nesse caso, o diâmetro D = 2r. As fórmulas para a área do círculo são: Área = πr² = 1/4 πD² 113
UEA – Licenciatura em Matemática
Proporção com áreas – Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos: 360 graus ……… 2 π r m graus ……… Comprimento de AB logo: comprimento do arco AB = mrπ/ 180 Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:
Arcos
2 π rad ……… 2 π r
O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A = Po, P1, P2, P3, ..., Pn – 1, Pn = B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn – 1B.
m
rad ……… comprimento de AB
assim: Comprimento do arco AB = r m radianos. Setor circular Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.
m A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.
Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:
O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.
1. OACB é um setor circular.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus = 2πradianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:
4. ACB é o arco do setor OACB.
2. OADB é um setor circular. 3. r é o raio de cada um dos setores.
5. ADB é o arco do setor OADB. 6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB será dada por:
Perímetro da circunferência = 2πr
Área do setor circular OACB = πr² m/360 = 1/2mr²
Comprimento do arco – Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos.
Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:
O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:
360 graus ……… Área do círculo
Comprimento do arco AB = πrm/180 = r.m.
m graus ……… Área do setor OACB
Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.
logo: Área(setor OACB) = πr² m / 360 114
Geometria I – Áreas de superfícies
Solução
Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos: 2 π rad ……… Área do círculo m
rad ……… Área setor OACB
C = 20πcm 2πr = 20π ⇒ r = 10cm A = πr2 A = π.102 = 100πcm2
assim: Área(setor OACB) = ½ mr² radianos
2. Determine a área da região hachurada na figura abaixo:
Segmento circular Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.
Solução S1 = Área do círculo. S2 = Área do triângulo equilátero. A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo-se a área do triângulo AOB da área do setor OACB.
S = Área hachurada.
Área(segmento) = Área(setor OACB) – Área(triângulo AOB)
S2 =
A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo-se a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.
S=
S1 = πr2 ⇒ S1 = π.122 = 144π
1. Determine a área de um círculo, sabendo que o comprimento de sua circunferência é igual a 8πcm. 2. Determine a área de coroa determinada por duas circunferências concêntricas de raios 15cm e 12cm. 1. Calcular a área de um círculo limitado por uma circunferência de perímetro igual a 20πcm.
3. Determine a razão entre as áreas dos círculos circunscrito e inscrito em um quadrado ABCD de lado a . 115
UEA – Licenciatura em Matemática
4. Determine a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular.
15. Determine a área de um círculo inscrito em um setor circular de 60º, sendo 12π cm o comprimento do arco do setor.
5. Determine a área de um segmento circular de 60o de um círculo que contém um setor circular de 6πcm2 de área, sendo 2π cm o comprimento do arco desse setor. 6. Determine a razão entre as áreas dos segmentos circulares em que fica dividido um círculo no qual se traça uma corda igual ao raio do círculo. 7. Calcule a área da superfície limitada por seis círculos de raio unitário com centros nos vértices de um hexágono regular de lado 2.
CURIOSIDADES SOBRE O NÚMERO π 1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:
8. Qual a razão entre o raio de um círculo circunscrito e o raio de um círculo inscrito em um triângulo ABC de lados a, b, c e perímetro 2p?
“Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência.”
9. Dado um triângulo eqüilátero e sabendo que existe outro triângulo inscrito com os lados respectivamente perpendiculares aos do primeiro, calcule a relação entre as áreas dos dois triângulos.
A passagem sugere que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
10. Calcule a área de um ret6angulo, sabendo que cada diagonal mede 10cm e forma um ângulo de 60º.
2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.
11. Um losango e um quadrado têm o mesmo perímetro. Determine a razão da área do losango para a área do quadrado, sabendo que o ângulo agudo formado por dois lados do losango mede 60º.
3. O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII. 4. O valor de π correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
12. Determine a área de um quadrado inscrito num círculo em função da diagonal menor d de um dodecágono regular inscrito no mesmo círculo.
5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento π por meio de régua e compasso.
13. As projeções que os catetos de um triângulo retângulo determinam na hipotenusa medem 16cm e 9cm. Determine a razão entre a área do círculo inscrito e a área do círculo circunscrito a esse triângulo.
6. O número π exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
14. Determine o lado de um losango em função do raio r do círculo inscrito, de modo que a área do losango seja igual ao dobro da área desse círculo. 116
Geometria I – Áreas de superfícies
7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de π com mais de cem mil dígitos decimais.
TEMA 38
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO
Detalhes sobre o cálculo de Pi – De modo análogo ao resultado obtido por meio do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Construções de triângulos envolvendo lados, ângulos e cevianas Exercício 01 Dados dois lados e a altura relativa a um deles, construir o triângulo ABC, sabendo que: med(AB) = 4cm
Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado: Número de lados do polígono
Perímetro do polígono inscrito dividido por 2r
Perímetro do polígono circunscrito dividido por 2r
6
3,00000
3,46411
12
3,10582
3,21540
24
3,13262
3,15967
48
3,13935
3,14609
96
3,14103
3,14272
192
3,14145
3,14188
256
3,14151
3,14175
512
3,14157
3,14163
1024
3,14159
3,14160
med(AC) = 3,5cm med(CH) = 2cm CH é altura relativa ao lado AB 1.o Passo: Faz-se um esboço.
2.o Passo: Traça-se AB sobre uma reta- suporte r.
3.o Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cm
Observe, na tabela, que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.
4.o Passo: Com centro em A e raio com a medida de AC, traça-se um arco, determinando- se os pontos C e C’. O problema apresenta duas soluções.
Outra forma (lenta) para obter o número π é:
A forma mais rápida que conhecemos para obter π, é:
5.o Passo: Traçam-se AC e BC(ou AC’ e BC’), determinando- se os triângulos ABC e ABC’. 117
UEA – Licenciatura em Matemática
5.o Passo: Com centro em B e raio com a medida de BC, traça- se um arco, determinando-se o ponto C.
Exercício 02 Dados dois lados e a mediana relativa a um deles, construir o triângulo ABC, considerando que:
6.o Passo: Traçam-se AC e BC, determinandose o ΔABC
med(AB) = 5cm med(BC) = 3cm med(CM) = 2cm CM é a mediana relativa ao lado AB 1.o Passo: Faz-se um esboço
2.o Passo: Traça- se AB
3.o Passo: Determina-se M, ponto médio de AB.
4.o Passo: Com centro em M e raio com a medida de CM, traça-se um arco. 118
Geometria I – Áreas de superfícies
TRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EM RETÂNGULO
TEMA 39
No triângulo, temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e o segmento AG perpendicular a essa reta. Conforme indicam as cores, usando o trapézio BCEH e os triângulos AHG e EAG, construímos retângulo com a mesma área do triângulo. Intuitivamente, podemo-nos convencer de que as peças que compõem o triângulo encaixam-se perfeitamente na composição do retângulo. Se nossa abordagem é dentro do espírito da geometria dedutiva, devemos mostrar que as regiões triangulares que completam o retângulo obtido a partir do trapézio são de fato congruentes aos triângulos menores que fazem parte do triângulo dado.
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO POLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS Existem teoremas simples e interessantes em Matemática, por meio dos quais podemos desenvolver boa parte de conteúdos que fazem parte dos programas de nossas escolas. Se temos um objetivo bem definido a ser atingido, no caso a demonstração de um resultado interessante, certamente o desenvolvimento de conceitos e propriedades torna-se muito mais significativo, e com isso os alunos aprendem com entusiasmo. Um exemplo disso é o seguinte teorema: “Se dois polígonos têm a mesma área, então sempre é possível decompor um deles em polígonos menores de modo a compor o outro.”
DEMONSTRAÇÃO Sobre o triângulo dado ABC, construímos um retângulo com base igual à de um dos lados do triângulo e o lado paralelo à base, passando pelos pontos médios de AB e AC. Traçamos o segmento AG perpendicular à HE. Devemos mostrar que os dois triângulos no triângulo dado são congruentes aos triângulos pontilhados do retângulo. De fato, isso acontece. Os triângulos AGH e BDH são congruentes, pois:
Em outras palavras, podemos decompor os dois polígonos em polígonos menores, dois a dois congruentes. Isso significa que os dois polígonos podem ser decompostos igualmente, e por isso são ditos “polígonos eqüidecomponíveis”. Em algumas situações, dependendo da forma e do dimensionamento dos polígonos, podemos descobrir facilmente uma eqüidecomposição. Por exemplo, nos pares de polígonos abaixo Quadrado e retângulo tais que um dos lados do retângulo é o dobro do lado do quadrado
•
os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB;
• •
os ângulos AGH e BDH são retos; os ângulos AHG e BHD são congruentes já que opostos pelo vértice.
Com raciocínio análogo, mostra-se que também são congruentes os triângulos AGE e CFE.
Paralelogramo e retângulo com mesmas bases e alturas.
Quadrado e retângulo com mesma área.
Assim podemos concluir que as peças que compõe o triângulo ABC se encaixam perfeitamente no retângulo construído.
Daniela Stevanin Hoffmann e Maria Alice Gravina
119
UEA – Licenciatura em Matemática
TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EM UM QUADRADO
TEMA 40
As transformações feitas até agora resolvem facilmente o problema de transformar um polígono em quadrado de mesma área. Inicialmente, decompomos o polígono em triângulos e transformamos cada um destes em retângulo:
ATIVIDADE DE LABORATÓRIO DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Material necessário: papel oficio, tesoura, lápis, régua. Objetivos: • Obter a Mediana, Bissetriz e Altura referentes a um dos lados de um triângulo. • Obter o baricentro, o incentro, e o ortocentro referentes a um triângulo.
A seguir, transformamos cada um dos retângulos em quadrado:
Procedimentos: Usando um triângulo, obtenha a bissetriz, a altura e a mediana relativas ao ângulo A, por meio da técnica da dobradura.
Finalmente, transformamos cada dois quadrados num quadrado, até chegar a um único quadrado com área igual à soma das áreas dos quadrados de partida: 1. Bissetriz A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin→ → cidir dois lados adjacentes AB e AC do triângulo de modo que um lado fique sobre o outro, isto é, de forma que o ângulo seja dividido ao meio. O quadrado obtido no fim tem área igual à do polígono inicial, já que todas as transformações foram feitas preservando-se as áreas. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o incentro.
2. Altura A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti120
Geometria I – Áreas de superfícies
→
da, quando se dobra a base BC do triângulo de modo que esta fique sobre ela mesma. O seg→ mento BC é a altura relativa ao ângulo A
→
O segmento AH é a altura do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o ortocentro.
Pergunta-se: o que aconteceria se o triângulo fosse isosceles? Ponto médio Para encontrar o ponto médio de um triângulo relativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângulo, fazendo os pontos extremos da base B e C coincidirem.
3. Mediana A mediana de um triângulo é obtida unindo-se o ponto médio ao ângulo oposto.
→
O segmento AM é a Mediana do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o baricentro.
121
UNIDADE VI Atividades de laborat贸rio
123
Geometria I – Atividades de laboratório
Material necessário: régua e compasso ATIVIDADE 1
Objetivo: obter o ponto médio de um segmen→ to AB dado.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Procedimentos:
Material necessário: régua e compasso
1. Com a ponta-seca do compasso em A e a abertura do compasso maior que a metade da medida do segmento AB, traça-se dois → arcos: um abaixo e outro acima de AB.
Objetivo: obter a bissetriz de um ângulo AÔB dado. Procedimentos: 1. Com a ponta-seca do compasso em O, traça-se um arco determinando M e N.
2. Com a ponta-seca do compasso em B e a mesma abertura do compasso, traçamos dois arcos que cortam os primeiros em C e em D.
2. Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, traçam-se, com a mesma abertura do compasso, os arcos que se cortam em D.
→
→
→
3. Trace a reta CD, que cruza AB, no ponto M.
→
3. Traça-se a semi-reta OD . A semi-reta OD é a bissetriz do ângulo AÔB.
→
M é o ponto médio de AB →
→
CD é a mediatriz de AB. Exercitando: Com a ajuda de um transferidor, trace um ângulo de 70º. Usando esse procedimento, calcule a bissetriz desse ângulo.
ATIVIDADE 3
ATIVIDADES COM GEOPLANO ATIVIDADE 2
MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO Chama-se mediatriz de um segmento a reta traçada perpendicularmente pelo ponto médio desse segmento. 125
UEA – Licenciatura em Matemática
Objetivo:
•
ATIVIDADE 5
Obter figuras geométricas planas usando o geoplano.
Material Necessário: um tabuleiro de madeira;
ATIVIDADES COM AS FORMAS GEOMÉTRICAS
pregos; martelo; ligas ou elásticos coloridos. Confecção: 1. Usando um tabuleiro de madeira (20cm x 20cm), colocar os pregos conforme o modelo. Atividade 1. Usando o geoplano, confeccionar figuras planas.
•
Material necessário: papel-cartão ou emborrachado ou papel dupla face (em 5 cores diferentes ) lápis, régua, tesoura e compasso.
Objetivo: confeccionar os polígonos de diferentes formas e cores.
•
Criar malhas e mosaicos; contagem; classificação: semelhanças e diferenças; congruência, semelhança e equivalência.
Procedimentos: Atividades que se pode desenvolver com as formas geométricas:
ATIVIDADE 4
1. Classificação os polígonos considerando as: Semelhanças e diferenças.
1. Formar triângulos.
2. Criar Malhas ou mosaicos usando os polígonos.
2. Formar quadriláteros; Observação – A partir dos triângulos forma-
3. Cálculo do perímetro e da área.
dos, classificar cada um deles em: Isósceles, escaleno; identificar os eqüiláteros e os retângulos. Exercitando:
ATIVIDADE 6
1. Usando o geoplano, forme um quadrilátero e classifique-o.
ATIVIDADES COM GEOPLANO
2. Forme um retângulo qualquer no geoplano e determine o perímetro e a área desse retângulo.
• • • 126
Contagem. Operações fundamentais e propriedades. Linhas, regiões, fronteiras, linhas retas.
Geometria I – Atividades de laboratório
• • • •
Figuras geométricas bidimensionais. Cálculo do perímetro e da área. Coletas e organizações de dados. Gráficos e tabelas.
ATIVIDADE 7
ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR
• • • • •
Número, seqüências e contagens, Polígonos e polígonos regulares, Ângulos e arcos, Circunferência e círculos,
A construção do rotor de Sylvester feita assim:
Cálculo de perímetro e áreas.
Observe a figura.
Materiais necessários
• • •
Madeira ou acrílico. Pregos e pinos. Martelo.
ATIVIDADE 8
CONSTRUINDO FIGURAS CONGRUENTES Rotação Pode ser entendida pela transformação, por giro em torno de J, de um ponto S no plano em um ponto L’ de tal forma que os segmentos JS e JL’ sejam congruentes.
•
Construiu-se duas hastes SA e AF de tamanhos quaisquer.
• • •
Duas outras hastes AB = SA e FC = SA. Duas outras LC = AF e BC = AF. Ângulos SAB = BCL.
Novamente, o ponto L faz o papel do lápis da figura a ser rotada a partir de movimento do ponto S. Para mostrarmos que esse instrumento funciona como rotor de figuras basta que mostremos que os ângulos SAB e SFL são iguais e que os segmentos FS e FL sejam também iguais.
Uma rotação fica determinada por um sentido (horário ou anti-horário) e por um ângulo de giro. Veja esta seqüência de rotações:
127
UEA – Licenciatura em Matemática
ponta-seca e é reduzida se escolhermos L como ponta-seca.
ATIVIDADE 9
Para que esse instrumento realmente funcione como um ‘ampliador’ de figuras, é preciso que AL / AB seja igual a FL / FS, isto é, S deve pertencer à reta FL.
CONSTRUINDO FIGURAS SEMELHANTES PANTÓGRAFO Definimos uma transformação geométrica como sendo uma correspondência, um a um, entre pontos de um mesmo plano ou de planos diferentes.
ATIVIDADE 10 POLÍGONOS EQÜIDECOMPONÍVEIS
Nosso propósito aqui é estudar uma transformação especial, que quando aplicada a figuras do plano, pode alterar suas medidas, ampliando ou reduzindo a figura original, ou seja, é uma transformação que relaciona figuras semelhantes.
Existem teoremas simples e interessantes em Matemática, através dos quais podemos desenvolver boa parte de conteúdos que fazem parte dos programas de nossas escolas. Se temos um objetivo bem definido a ser atingido, no caso a demonstração de um resultado interessante, certamente o desenvolvimento de conceitos e propriedades torna-se muito mais significativo, e com isto os alunos aprendem com entusiasmo.
O instrumento que apresentamos anteriormente, o pantógrafo (pantos = tudo + graphein = escrever) corresponde a esta transformação: amplia ou reduz a figura original. Vamos entender agora por que o pantógrafo de fato realiza tal transformação.
Um exemplo disto é o seguinte teorema: “Se dois polígonos tem a mesma área então sempre é possível decompor um deles em polígonos menores de modo a compor o outro.”
Para isso, precisamos deixar claro os princípios de construção do instrumento: Observe a figura.
•
Constroem-se duas hastes AL e CS, observando que o fator de ampliação é dado por AL / AB.
• • •
Uma terceira haste FA = AL.
Em outras palavras, podemos decompor os dois polígonos em polígonos menores, dois à dois congruentes. Isto significa que os dois polígonos podem ser decompostos igualmente, e por isto são ditos “polígonos equidecomponíveis”. Em algumas situações, dependendo da forma e do dimensionamento dos polígonos, podemos descobrir facilmente uma equidecomposição.Por exemplo, nos pares de polígonos abaixo Quadrado e retângulo tais que um dos lados do retângulo é o dobro do lado do quadrado.
Outra haste BS = AL - CS. Marca-se em FA um ponto C, e em AL um ponto B, tais que: AC = BS e AB = CS.
Paralelogramo e retângulo com mesmas bases e alturas
Observe que os pontos L e S percorrem a figura a ser reproduzida, assumindo os papéis de lápis ou ponta-seca de um compasso. A figura é ampliada se escolhermos o ponto S como
Em outras situações, uma tal equidecomposição não é obvia. Por exemplo, nas situ128
Geometria I – Atividades de laboratório
ações abaixo: Quadrado e retângulo com mesma área
TRANSFORMAÇÃO DE UM TRIÂNGULO EM RETÂNGULO
Assim podemos concluir que as peças que compõe o triângulo ABC se encaixam perfeitamente no retângulo construído.
No triângulo temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e o segmento AG perpendicular a esta reta. Conforme indicam as cores, usando o trapézio BCEH e os triângulos AHG e EAG construímos retângulo com a mesma área do triângulo. Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o triângulo se encaixam perfeitamente na composição do retângulo. Se nossa abordagem é dentro do espírito da geometria dedutiva devemos mostrar que as regiões triangulares que completam o retângulo obtido a partir do trapézio são de fato congruentes aos triângulos menores que fazem parte do triângulo dado.
TRANSFORMAÇÃO DE UM POLÍGONO EM UM QUADRADO As transformações feitas até agora resolvem facilmente o problema de transformar um polígono em quadrado de mesma área. Inicialmente decompomos o polígono em triângulos e transformamos cada um destes em retângulo:
A seguir transformamos cada um dos retângulos em quadrado:
DEMONSTRAÇÃO Sobre o triângulo dado ABC, construímos um retângulo com base igual à um dos lados do triângulo e o lado paralelo à base passando pelos pontos médios de AB e AC. Traçamos o segmento AG perpendicular à HE. Devemos mostrar que os dois triângulos no triângulo dado são congruentes aos triângulos pontilhados do retângulo. De fato isto acontece: 1.Os triângulos AGH e BDH congruentes pois:
Finalmente transformamos cada dois quadrados num quadrado, até chegar a um único quadrado com área igual a soma das áreas dos quadrados de partida:
9 os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB. 9 os ângulos AGH e BDH são retos. 9 os ângulos AHG e BHD são congruentes já que opostos pelo vértice. 2.Com raciocínio análogo mostra-se que também são congruentes os triângulos AGE e CFE.
O quadrado obtido ao final tem área igual à do polígono inicial, já que todas as transformações foram feitas preservando-se as áreas. 129
UEA – Licenciatura em Matemática
de modo que esta base fique sobre ela mesma. → O segmento BC é a altura relativa ao ângulo A ATIVIDADE 11 DOBRADURAS PARA IDENTIFICAR OS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO →
Material necessário: papel oficio, tesoura, lápis, régua.
O segmento AH é a altura do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o ortocentro.
Objetivo:
•
Obter a Mediana, Bissetriz e Altura referente a um dos lados de um triângulo.
•
Obter o baricentro, o incentro, e o ortocentro referente a um triângulo.
Procedimentos:
•
Pergunta-se: O que aconteceria se o triângulo fosse isosceles?
Usando um triângulo obtenha a bissetriz, altura e a mediana relativas ao ângulo A, através da técnica da dobradura.
Ponto Médio Para encontrar o ponto médio de um triângulo relativo ao ângulo A, deve-se dobrar o triângulo, fazendo os pontos extremos da base B e C coincidirem.
1) Bissetriz A bissetriz do triângulo é obtida, fazendo coin→ → cidir dois lados adjacentes AB e AC do triângulo de modo que um lado fique sobre o outro, isto é, de forma que o ângulo seja dividido ao meio.
3) Mediana A mediana de um triângulo é obtida, unindo-se o ponto médio ao ângulo oposto.
Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos,e encontre o incentro. →
O segmento AM é a Mediana do triângulo. Faça o mesmo procedimento em relação aos outros ângulos, e encontre o baricentro.
2) Altura A altura do triângulo relativa ao ângulo A é obti→ da, quando dobra-se a base BC do triângulo 130
Geometria I – Atividades de laboratório
ATIVIDADE 12 Construções de triângulos envolvendo lados, ângulos e cevianas Exercício 01 Dados dois lados e a altura relativa a um deles.
Exercício 02
Construir o triângulo ABC, sabendo que:
Dados dois lados e a mediana relativa a um deles.
med(AB) = 4cm
Construir o triângulo ABC, considerando que:
med(AC) = 3,5cm
med(AB) = 5cm
med(CH) = 2cm
med(BC) = 3cm
CH é altura relativa ao lado AB
med(CM) = 2cm
1º Passo: Faz- se um esboço.
CM é a mediana relativa ao lado AB 1º Passo: Faz- se um esboço
2º Passo: Traça- se AB sobre uma reta- suporte r.
2º passo: Traça- se AB
3º Passo: Traça- se s // r, tal que d(s,r) = 2cm
3º Passo: Determina- se M, ponto médio de AB.
4º Passo: Com centro em A e raio com a medida de AC, traça- se um arco, determinando- se os pontos C e C’. O problema apresenta duas soluções. 4º Passo: Com centro em M e raio com a medida de CM, traça- se um arco.
5º Passo: Traçam- se AC e BC(ou AC’ e BC’), determinando- se os triângulos ABC e ABC’.
5º Passo: Com centro em B e raio com a medida de BC, traça- se um arco, determinando- se o ponto C.
131
UEA – Licenciatura em Matemática
4º Passo: Com centro em A e depois em B, e ⎯ raio com a medida de AD, traçam-se dois arcos, determinando-se os pontos D (ou D’) e C (ou C’). (O problema apresenta duas soluções.)
6º Passo: Traçam- se AC e BC, determinandose o ΔABC
⎯
⎯
⎯
⎯
5º Passo: Traçam-se AD e BC,(ou AD’, BC’). ATIVIDADE 13 CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS Exercício 01 Construir um paralelogramo ABCD, sabendo que:
⎯
med ( AB) = 4,0 cm
⎯
med ( AD) = 3,0 cm h = 2,5 cm
Exercício 02
⎯
h é a altura relativa à base AB
Construir um quadrado ABCD, sabendo que ⎯ sua diagonal AC mede 3,5 cm.
1º Passo: Faz-se um esboço.
1º Passo Faz-se um esboço.
⎯
2º Passo: Traça-se AB sobre a reta r.
⎯
2º Passo: traça-se a diagonal AC.
3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,5 cm.
⎯
3º Passo: traça-se a mediatriz de AC, determi132
Geometria I – Atividades de laboratório
⎯
⎯
nando-se M, ponto médio de AC.
2º Passo: Traça-se AB sobre uma reta r.
3º Passo: Constrói-se s // r, tal que d (s,r) = 2,0cm.
4º Passo: Com centro em M e raio com a medi⎯ da de AM, traça-se um arco, determinando-se os pontos B e D.
4º Passo: Com centro em A e raio com a medi⎯ da de AD, traça-se um arco, determinando-se os pontos D e D’. (O problema apresenta duas soluções.)
5º Passo: Com centro em D (ou D’) e raio com ⎯ medida de DC, traça-se um arco, determinando-se o ponto C (ou C’).
⎯ ⎯ ⎯ ⎯
5º Passo: Traçam-se AB, BC, CD, DA, determinando-se o ΔABCD.
Exercício 03 Construir um trapézio ABCD escaleno, sabendo que:
⎯
⎯
⎯
⎯
6º Passo: Traça-se AD e BC (ou AD’ e BC’) determinando-se o trapézio ABCD (ou ABC’D).
⎯
med ( AB) = 5,0cm → base maior
⎯
med ( CD) = 2,0cm → base menor
⎯
med ( AD) = 3,0cm → lado transversal
⎯
med (DH) = 2,0cm → altura 1º Passo: Faz-se um esboço.
133
UEA – Licenciatura em Matemática
Atividade 1. Usando as 7 peças do pode-se montar os números de 0 a 9.
ATIVIDADE 14 Exercício 01 QUEBRA-CABEÇA GOMÉTRICO: Tangram O Tangram é originário da China. Supõe-se que a parte inicial do nome, Tan, esteja relacionada à dinastia Tang, que governou a China por um longo período e a parte final do nome, gram, vem do latim e significa ordenar, dispor. Ela tem sete peças em forma de figuras geométricas planas. Compondo essas sete peças, pode-se formar muitas figuras diferentes.
Números formados com o Tangram
Exercício 02 Usando as 7 peças do tangram pode-se montar um hexágono.
Objetivo: • Obter figuras geométricas usando todas as peças do tangram.
Exercitando: 1) Usando as cinco peças (N, G, M, R, T) do tangram, forme um quadrado.
Material Necessário: Papel cartão, tesoura, régua, lápis.
2) Usando as sete peças do tangram, forme um triângulo, retângulo, paralelogramo, trapézio, Quadrado.
Confecção: 2. desenha-se, em uma folha de papel, um quadrado de 12cm de lado e divide-se de 4 em 4 centímetros; 3. seguindo os modelos, obtém-se um quebra-cabeça com sete peças;
ATIVIDADE 15
4. pintando as sete peças, e em seguida, recorta-se.
LABORATÓRIO: TEOREMA DE PITÁGORAS Usando o material concreto, demonstre o Teorema de Pitágoras Um pouco da historia: O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se construirmos quadrados sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, esses quadrados terão áreas a2, b2 e c2. Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das
Seqüência de modelo para confecção do Tangram (BIGODE, 1994, p. 135-136). 134
Geometria I – Atividades de laboratório
mãos, é possível encaixá-las e montar o conjunto, representado na figura a baixo.
áreas dos dois quadrados construídos sobre os catetos. Podemos tornar o entendimento do Teorema mais lúdico por meio de recorte que nos ajudem a visualizar sua demonstração. A partir de critérios de recorte aplicados aos quadrados menores (construídos sobre os catetos), podemos montar o quadrado maior (construído sobre a hipotenusa) através de quebras- cabeça que ilustram, e até mesmo demonstram, o Teorema de Pitágoras!
A montagem realizada representa um quadrado de lado c, inscrito num quadrado maior, cujo lado tem comprimento a+b. Esta montagem permite a prova do Teorema de Pitágoras. Como o quadrado maior tem lado de comprimento a + b, então a área A tem por medida: A = (a + b)2 .
Material necessário: papel-cartão ou cartolina, tesoura, régua, compasso, lápis e borracha.
Em contrapartida, como este quadrado maior é composto das cinco peças do quebracabeças (quatro triângulos retângulos e um quadrado), somando as áreas, encontramos:
Objetivo: Provar o Teorema de Pitágoras, com uso de quebra-cabeças.
Igualando os dois valores para a área, segue: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Procedimentos:
a2 + b2 = c2 , comprovando o Teorema de Pitágoras.
OBS.: Ao provar este teorema por meio do uso do material concreto do quebra cabeças, para estudantes do ensino médio, o momento é ideal para convence los da necessidade de provar que é verdadeiramente um quadrado a figura formada com o encaixe das cinco peças do quebra-cabeças. A argumentação que permite sustentar esta conclusão é o fato que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90º. Portanto, quando os triângulos retângulos são encaixados para formar uma só figura, os lados de dois triângulos consecutivos ficam alinhados.
Construção:
1) Num papel-cartão ou cartolina, recorte quatro triângulos retângulos congruentes com, medidas a = 4cm e b = 3 cm, por exemplo. 2) Em seguida, recorte um quadrado cujo lado tem comprimento igual a c = 5cm, comprimento da hipotenusa dos triângulos retângulos. Com as cinco peças construídas e em 135
UEA – Licenciatura em Matemática
Critério de Recorte 02
OUTRAS MANEIRAS DE DEMONSTRAR O TEOREMA DE PITAGORAS.’
Os critérios de recorte apresentados abaixo serão nossas hipóteses na demonstração. Considere o triângulo retângulo ABC. Construa, sobre os lados AB e AC, os quadrados ABDE e ACFG. “Dobre” (reflita) o quadrado de lado AB em torno deste lado.
Critério de Recorte 01 Os critérios de recorte da figura serão nossas hipóteses na demonstração. As diagonais pontilhadas desenhadas na figura vão auxiliar a visualização durante a demonstração. Considere o quadrado médio (de lado AB). Encontrar o centro M deste quadrado. Trace retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado BC) passando por M. O quadrado médio está, agora, divido em quatro partes.
Marque os pontos D’, E’ e N. Trace uma reta perpendicular ao segmento BC passando por B e outra passando por C. Chame de H o ponto de interseção da segunda reta perpendicular com o segmento FG. Construa o retângulo de lados BC e CH e chame-o de BCHI. Trace uma reta perpendicular ao segmento BG passando por I e chame de J a interseção.
Demonstração Observe que para montar o quadrado grande basta transladar as peças do quadrado médio e completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de translação têm origem no ponto M e extremidades nos vértices do quadrado maior. A “figura chave” desta demonstração é o paralelogramo BCDF. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 que compõem o quadrado médio são congruentes, pois os lados DF e EG resultam da rotação das diagonais, mantendo, assim, a área das figuras constante. Tente observar na figura com o auxílio das diagonais pontilhadas. Os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os segmentos CD e BF, pois são lados opostos de um paralelogramo. Procure observar na figura. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e portanto, com comprimento igual à metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2). Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 possuem um ângulo reto, eles encaixam-se no quadrado maior. O quadrado vermelho restante tem lado AC, pois CD-AD=AC e CD=BF.
Demonstração Observe que basta transladar os triângulos coloridos para que as peças se encaixem. Porém, para a demonstração, precisamos enxergar a congruência dos triângulos destacados. Os triângulos ABC e FHC são congruentes (ALA). Use soma de ângulos para ver esta congruência. O quadrilátero BCHI é um quadrado, pois os lados BC e CH são congruentes (de 1). Os triângulos amarelos são congruentes, pois ambos são congruente ao triângulo ABC (procure fazer demonstração análoga ao item 1). IJ=AB (de 3) e AB=BD’ (lados do quadrado). Os triângulos verdes são congruentes (LAAo). Os ângulos dos triângulos verdes são congruentes aos ângulos dos triângulos vermelhos: ambos têm ângulo reto; têm ângulos opostos pelo vértice e o terceiro vem do “teorema 180o”. Os segmentos NC e LH são congruentes, pois BC=IH e BN=IL. Os triângulos vermelhos são congruentes (ALA). Assim, vemos que as peças destacadas nos quadrados menores se encaixam no quadrado maior.
136
Geometria I – Atividades de laboratório
Critério de Recorte 03 Os critérios de recorte abaixo serão nossas hipóteses na demonstração. Considere o triângulo retângulo ABC. Construa quadrados sobre os lados deste triângulo. Considere agora o quadrado maior (de lado BC). Reflita o triângulo ABC em torno do Lado BC, de modo que o triângulo refletido fique dentro do quadrado maior. Construa mais três triângulos retângulos congruentes ao inicial sobre os lados do quadrado maior, como sugere a figura. Divida dois destes triângulos em outros dois triângulos, de modo que um destes triângulos seja retângulo isósceles. O recorte do quadrado maior está pronto. Demonstração Os triângulos isósceles 3 e 5 tem catetos de medida AC por construção. Logo, encaixam-se no quadrado menor (de lado AC). Os triângulos 1 e 6 possuem um dos catetos com medida AB e outro com medida AC e sua hipotenusa mede BC, pois são congruentes ao triângulo ABC. Os triângulos 2 e 4 são congruentes. Seus lados maiores medem BC. Os lados menores medem AB-AC (procure ver na figura). A figura 7 é um quadrado, pois todos os seus ângulos são retos e seus lados medem AB-AC (veja na figura). Considerando as afirmações 2, 3 e 4, concluímos que as figuras 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, como mostra a figura. Assim, está provado que a área do quadrado maior pode ser decomposta na área dos dois quadrados menores. Exercitando Muitas demonstrações antigas do teorema de Pitágoras eram apresentadas apenas mediante figuras geométricas, e cabia ao leitor observar a figura e tentar demonstrá-lo oralmente. Forme grupos de três pessoas em sala de aula e discuta de que forma estas duas figuras ilustram o teorema de Pitágoras. Apresente o resultado aos demais colegas. 137
Respostas de ExercĂcios
Geometria I – Respostas de exercícios
UNIDADE I
c) concorrentes
– Noções primitivas
3. a)
d) paralelas
b) 45° c) 30°
4. a) 90° – x b) 180° – x
TEMA 01
c) 2 (90° – x)
NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS
d)
1. FVVFV
e) 3(180° – x)
2. B
5. 70°
3. VVVVVVF
6. 54°
4. Demonstração
7. 160° 8. x = 15° 9. x = 15° 10. a) x = 40°
TEMA 02
b) x = 20° c) x = 25°
SEGMENTOS DE RETA
11. Demonstração 1. Resposta, a critério do aluno. 2. 8
12 a) x = 22° b) X = 150°
⎯ ⎯ ⎯
3. Três AB, BC, AC
c) X = 90°
4. a) 16cm
d) a = 60°
b) MN = 8cm
Y = 30°
e) x = ‘82
5. a)
Y = 30° Z = 150° Z = 30°
y = 40
x = 7cm TEMA 05
b)
PARALELISMO
x = 11cm 6. X = 5 e AB = 22
⎯
⎯
7. a) MB = 3cm
b) BN = 2cm
c) NC = 2cm
d) MN = 5cm
⎯
1. a) b e c
⎯
⎯
colaterais internos
b) m e p correspondentes 2. a) a e p alternos internos
e) AN = 8cm
b) a e q correspondentes 3. a) X = 25° b) X = 40°
TEMA 04
4. a) Alternos internos X = 15° ÂNGULOS
b) Alternos externos X = 50°
1. Use o transferidor a) y = 60º
c) colaterais internos
b) w = 135º
2. a) concorrentes
c) z = 90º
X = 50° 5. a) X = 70°
b) paralelas 141
UEA – Licenciatura em Matemática
b) Y = 100°
b) 3; RS, RT ST
c) Z = 30°
c) 3; R, S T . 2. a) Sim, pois 7 < 5 + 3.
6. a) X = 12° b) Y = 144°
b) Não, pois 7 não é menor que 2 + 3.
c) Z = 36°
c) Sim, pois 3 < 3 - 2. d) Não, pois 10 não é menor que 5 .•. 5.
7. a) X = 80° e Y = 85°
3. X = 12cm
b) X = 110° e Y = 60° 8. X = 50° ;
4. x = 4, y = 3 e o lado mede 7
Y = 130° ; Z = 50°
9. 130°
5. P= 39 cm
10. x = 5°
6. 18cm ou 24cm 7. 3cm, 4cm e 5cm 8. A = 90° B = 60° C = 30°’ retângulo D = 45°, E = 75°; acutângulo
TEMA 06
9. 60° 10. x = 30° e y = 40°
PERPENDICULARISMO 1. a) F
b) V
c) V
d) F
2. a) V
b) F
c) F
d) V
TEMA 09 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
e) V 3. a) F
b) V
c) V
d) V
e) F
f) F
1. a) ALA
b) F
c) V
d) V
e) F
f) V
X = 40cm ; Y = 60cm ; Z = 80cm b) Caso de congruência: A.L.A X = 40cm ; Y = 95º 3. Caso de congruência A.L.A x = 5: y = 10
g) F 5. a) V
b) F
c) F
d) F
c) LAA
2. a) Caso de congruência: LLL
g) V 4. a) F
b) LAL
4. a)
ALA
b) TR
5. 5cm 6. x = 66º e y = 11º
e) F
7. x = 10cm e y = 12cm 8. x = 7cm e y = 12cm
UNIDADE II
– Polígonos TEMA 10
TEMA 08
PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO TRIÂNGULOS 1. Construção 2. Construção
1. a) 3; R, S T . 142
Geometria I – Respostas de exercícios
3. a) Circuncentro; corresponde ao centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
2. x = 55 cm 3. c
b) Incentro; corresponde ao centro da circunferência inscrita no triângulo.
5. 4 6. x = 3 e y = 4
4. A altura, mediana e bissetriz.
⎯
7. x = 10, y = 13 e z = 19
⎯
8. 7
⎯
9. c
5. AR bissetriz; AS mediana AT altura
10. b
6. P = 8,8cm.
11. c 12. Demonstração 13. Demonstração 14. Demonstração
TEMA 11 QUADRILÁTEROS 1. a)
TEMA 14
2330
b) 850
POLÍGONOS
2. a) ^ A≡^ D = 600 e ^ B≡^ C = 1200 b) ^ A = 700, ^ C = 1000 e ^ D = 800
1. a) triacontakaitrigono
c) 250
b) eneadecágono
d) 1100
c) tetracontakaihexagono
3. 680
d) hexacontakaioctagono
4. 470
e) enneacontakaiheptagono
5. 1400 e 400
2. 8 lados, octógono.
6. 34cm
3. ai = 156º e ei = 24º
7. 30cm e 12cm
4. 70
8. 1300
5. c
9. 1430
6. a) 50o
10. e
b) 52o30’
11. d
7. 150o
12. 1300
8. 90
13. 1480
9. 330o
14. e
10. 14 e 54 11. 360o 12. 10o 13. Dodecagono
TEMA 12
14. e 15. b
QUADRILÁTEROS
1. 143
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE III – Elementos na circunferência
10. 30o 11. A 12. D 13. B
TEMA 16
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Exercícios Propostos 1. a)
TEMA 20
11
POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
b) 5 2. C
1. 18
3. A
2. a) 6
4. 8cm e 3cm
b) 12
5. 12cm ou 18cm ou 24cm ou 30cm.
c) 4
6. D
3. D
7. B
4. a) r = 3 cm
9. a) Tangente externamente
b) l = 6
b) Secantes
cm
c) r = 3 cm
c) Externas
d) R = 6 cm
d) Tangentes internamente
5. C
10. 76cm
6. E 7. D 8. a)
cm
b)
cm
c)
cm
TEMA 18 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 9.
1. a) 65o b) 30o
11. D
c) 80o d) 12o
UNIDADE IV – Relações métricas no triângulo
2. 80o 3. C 4. B 5. 60o
TEMA 21
o
6. 35
TEOREMA DE TALES
7. 70o, 50o e 60o 8. 30o
1. a) x = 28 e y = 36 b) x = 12 e y = 4
9. 144
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
c) x = 18 e y = 36
2. m = 4 e n = 12
2. x = 10 km
3. AB = 15 u, AC =
y = 30 km z = 22,5 km
⎯
u e CB =
4. D
⎯
5. C
⎯
3. AB’= 2,6 cm, B’C’ = 3,9 cm e C’D’= 6,5 cm.
6.
4. B
a)
5. 10cm
b) 7
6. 30 7. 9
7) 12
m
8) 17m
8. 5 e 4
9) 3m
9. 9m
10) 21cm
10. 42m
11)
11. 40cm 12. 15
TEMA 26
TEMA 22
TEOREMA DE PITÁGORAS
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. 4 cm, 9 cm e 8 cm. 2. a) 6 b)
⎯
⎯
3. BD = 6cm e DF = 8 cm 4. B 5. C
1. B
2. A
3. C
4. D
5. E
6. A
7. B
8. D
9. A
10. A
11. B
12. C
13. D
14. E
15. D
6. B 7. 10cm 8.
TEMA 28
9. 2cm
RELAÇÕES MÉTRICAS
10.
NO TRIÂNGULO QUALQUER 1. 17/4 TEMA 24
2. 1 e 2 3. 12m
RELAÇÕES MÉTRICAS NO
4. 6m
TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. a = 9, m = 5 , h =
eb=
5. 19/8cm 6.
. 145
u
UEA – Licenciatura em Matemática
7. Obtusângulo
6. 48
8. 1
cm2
7. 150cm2
9. 57/18 10. 19/16
8.
11. Obtusângulo 12. 26/3
9. 2(
13. 8
10. 3
14. 6
11. 3 cm
15. 43/4cm
12.
+ 1)cm2 r2
cm
13.
UNIDADE V – Áreas de superfícies
14. 12(
+ 1)cm
15. 10m2
TEMA 30 RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 1. 20cm
TEMA 34
2. 3cm 3. 4cm
ÁREA DE FIGURAS PLANAS -
4. 4
QUADRILÁTEROS
5. C 6.
1. 4cm
7. Demonstração 8.
2. 4cm; 6cm
cm
9. (
3. 12cm; 6cm
– 1)R
10. 2cm ou 3cm
4. 24cm2
11. 10cm
5. 10cm; 6cm
DB ≡ A^ BP 12. Â é comum aos triângulos e A^
6. 112cm2 7. 135cm2 8. 8cm 9.
TEMA 32 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - TRIÂNGULOS
cm2
10.
1. 96m2
11. 84 m2
2. 24m
12. 33
2
3. 320cm2
m2
13. 96 m2
4. 48 cm2
14. 95 m2
5.
15. 600 m2 146
Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos
TEMA 35 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - POLÍGONOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.
3 cm2 1/2 da área do quadrado original L2 2A 3 6 – 2π
7. 8. 9. 10. 11. 12.
3/4 da área do quadrado original 12 cm2 8 6 –6
TEMA 37 ÁREA DE FIGURAS PLANAS - CÍRCULO E SUAS PARTES 1. 2. 3. 4. 5.
16πcm2 81πcm2 2 3/4 3(2π – 3
)cm2
6. 7. 2(3
– π)
8. 9. 3 10. 25
cm2
11. 12. 2d2 13. 14. πr 15. 144πcm2
147
REFERÊNCIAS Ávila, G. Cálculo 1; funções de uma variável. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científico, 1982 Boyer, Carl B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher/Edusp,1974 Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, 1993 Dante,L.R.Didática da resolução de problemas da Matemática, 12. ed. São Paulo, Ática,1997 Davis,P.J & Hersh, R. A experiencia da Matemática. Rio de Janeiro,Francisco Alves,1989 Lima, E. L. Logaritmo. Rio de Janeiro , Ao livro Técnico,1975 Iezzi,Gelson. Dolce,Osvaldo. Degenszajn,David. Perigo,Roberto. Almeida,Nilze. Matemática Ciências e Aplicações;2. ed. São Paulo, Atual Editora, São Paulo. MORGADO, A. C., WAGNER, E., JORGE, M. Geometria I. 3a Ed. Rio de Janeiro, RJ: Francisco Alves, 1986. DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar, 9: Geometria plana. 7a Ed. São Paulo, SP: Atual, 1993. DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas. São Paulo, ática, 1989. GIONANNI, José Ruy., CASTRUCI, Benedito., GIOVANNI JR, José R. A conquista da matemática. São Paulo, FTD, 1998 GONÇALVES JUNIOR, Oscar. Coleção Matemática por assunto. São Paulo: Scipione, Vol. 6. 1988. IEZZI, Gelson e outros. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, Vol. 1. 1985. MOISES, E; e DOWNS, F. L. Geometria moderna. São Paulo: Edgard Blücher, 1971. www.portalmatematico.com/historia2.shtml www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B www.pt.wikipedia.org/w$iki/Pol%C3%ADgono www.obm.org.br
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