Geometria II
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA Governador
Eduardo Braga Vice–Governador
Omar Aziz Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planej. e Administração
Antônio Dias Couto Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira Pró–Reitor de Ensino de Graduação
Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral
João Batista Gomes Projeto Gráfico
Mário Lima Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico-gramatical
João Batista Gomes
Oliveira, Disney Douglas de Lima. O48g
Geometria II / Disney Douglas de Lima Oliveira, Domingos Anselmo Moura da Silva, Helisângela Ramos da Costa. – Manaus/AM: UEA, 2007. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 141 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Geometria. I. Silva, Domingos Anselmo Moura da. II. Costa, Helisângela Ramos da. III. Título. CDU (1997): 514 CDD (19.ed.): 516
SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
07
UNIDADE I – Noções primitivas e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
09
TEMA 01 – Conceitos primitivos, postulados e posições relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 UNIDADE II – Distâncias, diedros e triedros
......................................................
23
TEMA 02 – Distâncias e diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
UNIDADE III – Poliedros, prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planificação e área do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 38 39 43 49
UNIDADE IV – Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
TEMA 08 – Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 09 – Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61 65
UNIDADE V – Superfícies de revolução e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
TEMA 10 – Superfícies e sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
UNIDADE VI – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
TEMA 11 – Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
UNIDADE VII – Noções de geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
TEMA 12 – Geometria não-euclidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
03 04 05 06 07
– – – – –
Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Respostas dos Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
PERFIL DOS AUTORES
Disney Douglas de Lima Oliveira Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM Doutorando em Computação Gráfica - UFRJ
Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM
Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAM Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF)
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico–científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando–lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando–lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros–textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I Noções primitivas e posições relativas
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
2.2 Postulados da determinação TEMA 01
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E POSIÇÕES RELATIVAS Notação:
1. Conceitos primitivos
P4) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
São conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto. •A
Notação: α = (A,B,C)
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
2.3 Postulados da inclusão P5) Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano α, então a reta r está contida nesse plano:
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Simbolicamente, temos: Observações: 1. Espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto, desenvolveremos a Geometria Espacial. 3. Retas concorrentes e paralelas
2. Axiomas ou postulados (P), são propo-
3.1 Definição de retas concorrentes
sições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o
Diremos que duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto em comum.
desenvolvimento de uma teoria. Assim, iniciaremos a Geometria Espacial com alguns postulados, relacionando o ponto, a reta e o plano. 2. Postulados 2.1 Postulados da existência
r ∩ s = {P}
P1) Dada uma reta r, existem nela, bem como
3.2 Definição de retas paralelas
fora dela, infinitos pontos.
Diremos que duas retas r e s são paralelas, se e somente se, elas são coincidentes ou elas são coplanares e não têm pontos em comum.
P2) Dado um plano α, existem nele, bem como fora dele, infinitos pontos. 11
UEA – Licenciatura em Matemática
1.° caso
Exemplo 2 Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Notação: r = s ⇒ r//s
Solução: Infinitas.
2.° caso
De fato, consideremos dois pontos distintos do espaço A e B. Esses pontos determinam uma reta r (postulado P3).
Notação: r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅ ⇒ r//s Seja C um ponto do espaço, fora da reta r (postulado P1). Os pontos A e C determinam uma reta S, e os pontos B e C determinam uma reta t.
Retas paralelas e concorrentes no cotidiano
Exemplo 1
Desse modo, podemos construir “tantas retas quantas quisermos”, isto é, construiremos “infinitas” retas.
Dado um plano β, nele existem infinitas retas.
Exemplo 3
Solução: Fazendo uso do postulado da existência (P2), considere, no plano β dado, dois pontos distintos A e B.
Mostre que, três retas duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano. Solução: Sejam r, s e t as retas tais que r ∩ s = {A}, r ∩ t = {B}, s ∩ t = {C} e A, B e C são pontos não- colineares.
Pelo postulado da determinação (P3), temos que existe uma reta r1, a qual está contida no plano β (postulado da inclusão P5).
Pelo postulado P4, existe um único plano β passando pelos pontos A, B e C em que β = (A, B, C).
Fazendo uso dos postulados P1 e P2, considere em β e fora de r1 um ponto C. Os pontos A e C, B e C determinam duas retas r2 e r3 (postulado P3) respectivamente, as quais estão contidas no plano β (postulado P5).
Sendo A ≠ B, A ≠ C, B ≠ C com A, B, C ∈ β, concluímos que as retas r, s e t estão contidas no mesmo plano β (postulado P5), pois são determinadas pelos pontos A, B e C de modo que .
Desse modo, podemos construir em β “tantas retas quantas quisermos”, isto é, “ infinitas” retas. 12
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Observe que o ponto P ∈ α, e a reta r = AB ⊂ α (postulado P5), ficando assim provada a existência do plano α. 1. Quantas retas podemos traçar por um ponto no espaço? Justifique sua resposta.
Vamos agora mostrar a unicidade do plano α: Se existisse um outro plano, digamos β, passando por P e r teríamos que:
2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois? Justifique sua resposta
α = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ α = (A,B,P) e β = (P, r); com A, B ∈ r ⇒ β = (A,B,P).
3. É comum encontrarmos mesas com 4 “pernas” que, mesmo apoiada em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das “pernas”, se a quisermos firme. Explique, usando argumento de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 “pernas”. 4. Determinação de um plano
Portanto (postulado P2) concluímos que α = β.
Existem mais três modos de determinar um plano, além do postulado P2, os quais vamos enunciar em forma de proposição;
Exemplo1 Quantos são os planos que passam por uma reta dada? Justifique sua resposta.
Proposição 1 – Um plano fica determinado de modo único, por uma reta (r) e um ponto (P) que não pertença a essa reta.
Solução: Infinitos. Seja r a reta e A um ponto fora de r (postulado P1). A reta r e o ponto A determinam um plano α (Proposição 1). Fora do plano α, tomamos um ponto B (postulado P2). Desse modo, temos que a reta r e o ponto B determinam um plano β (Proposição 1). Fora de α e β, tomamos um ponto C (postulado P2). A reta r e o ponto C determinam um plano γ (Proposição 1).
Notação: α = (P, r) Demonstração: Tome na reta r dois pontos distintos A e B (postulado P1). Dessa forma, temos que os pontos A, B e P não são colineares, pois o ponto P ∉ r.
Desse modo, podemos construir, por r, tantos planos quantos quisermos, isto é, construiremos infinitos planos. Sendo assim, temos que existe um plano α determinado pelos pontos A, B e P(postulado P2), o qual vamos denotar por α =(A, B, P).
Exemplo 2 Quantos planos passam por dois pontos distintos? Justifique sua resposta. Solução: Infinitos. Seja A e B tais pontos distintos. Pelo postulado P3, temos que existe uma única reta r passando por eles. 13
UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo assim, fazendo uso do exercício anterior, concluímos que existem infinitos planos passando pelos pontos A e B.
Retas reversas no cotidiano
1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica determinado de modo único, por duas retas concorrentes. 2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica determinado de modo único, por duas retas paralelas entre si e distintas.
5. Quadrilátero reverso Definição – Um quadrilátero é chamado reverso se, e somente se, não existe plano contendo seus quatros vértices.
3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares. 4. Mostre que, se duas retas são paralelas distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra. 5. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e um reta determinam um único plano.
Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é um quadrilátero reverso.
c) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
Exemplo 1
d) Três retas distintas, duas a duas concor-
Mostre que todo quadrilátero reverso não pode ser um paralelogramo.
rentes, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concor-
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
rentes, determinam um único plano.
Suponha que um quadrilátero reverso ABCD, seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α “plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso gera um absurdo em relação à hipótese .
f) Quatro pontos distintos e não-colineares determinam um único plano. 4. Retas reversas ditas reversas se, e somente se, não existe
Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não pode ser um paralelogramo.
plano que as contenha.
Exemplo 2
Definição – Diremos que duas retas r e s são
Notação: r e s são reversas ⇔
α; r, s ⊂ α e
As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.
r∩s=∅ 14
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
e. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que r e s sejam reversas.
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
⎯
⎯
Sejam AC e BD as diagonais do quadrilátero reverso ABCD. Sendo assim, suponha que as ⎯ ⎯ diagonais AC e BD não sejam reversas ⇒ e são coplanares ⇒ ∃ α “plano” tal que, que os pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso gera um absurdo em relação ao fato do quadrilátero ser reverso.
⎯
f. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é suficiente para que r e s sejam reversas. g. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que as duas retas distintas r e s sejam reversas. h. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária para que as duas retas distintas r e s sejam paralelas.
⎯
Logo, as diagonais AC e BD de um quadrilátero reverso são reversas.
i. ( ) A condição r ∩ s = ∅ é necessária e suficiente para que as duas retas distintas r e s sejam reversas. 6. Interseção de planos 1. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
6.1 Postulados da interseção
a. ( ) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
P6) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm pelos menos um outro ponto em comum.
b. ( ) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
Notação:
c. ( ) Duas retas distintas determinam um plano.
Q∈β
α ≠ β, P ∈ α e P ∈ β ⇒ ∃Q; P ≠ Q, Q ∈ α e Uma conseqüêcia natural do postulado P6 é que:
d. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.
Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.
e. ( ) Duas retas concorrentes têm um único ponto em comum. f. ( ) Duas retas que têm um ponto em comum são concorrentes. g. ( ) Duas retas que têm um único ponto em comum são concorrentes. h. ( ) Duas retas coplanares são concorrentes. i. ( ) Duas retas não-coplanares são reversas.
7. Paralelismo de retas
2. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
7.1 Postulado das paralelas (postulado de Euclisdes)
Obs.: Em cada caso, abaixo, r e s são retas.
P7) Dados uma reta r e um ponto P ∉ r, existe uma única reta s, passando por P, tal que r seja paralela a s.
a. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são reversas. b. ( ) r e s são reversas ⇒ r ∩ s = ∅. c. ( ) r ∩ s = ∅ ⇒ r e s são paralelas. d. ( ) r//s, r ≠ s ⇒ r ∩ s = ∅. 15
UEA – Licenciatura em Matemática
7.2 Teorema das Paralelas
comum; sendo assim, pela conseqüêcia natural do postulado P6, eles têm uma reta em comum, que chamaremos de x (não podemos dizer que as retas s e x são as mesmas, pois estaríamos admitinto a tese que queremos provar).
Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si, ou seja, r, s e t retas, em que r//t e s//t ⇒ r//s. Temos dois casos a considerar: 1.o) As três retas são coplanares.
(r = β ∩ γ , x = α ∩ γ , t = α ∩ β e r//t) ⇒ r//x e t//x O ponto P pertence, então, às retas s e x, e ambas são paralelas à reta t. Logo, fazendo uso do postulado das paralelas, temos que x = s. Donde concluímos que r = s.
2.o) As retas são não-coplanares. Vamos considerar o segundo caso, que é o mais geral.
1. Mostre que duas retas sendo paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si (para o caso das três retas serem coplanares). 2. Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são os vértices de um paralelogramo.
Demonstração: Fazendo uso do postulado P7, as retas r e s não têm ponto comum, pois caso essa afirmação não fosse verdadeira, teríamos duas retas passado por um mesmo ponto e paralelas à reta t, contrariando o postulado das paralelas.
8. Paralelismo entre retas e planos 8.1 Definição Sejam α e r um plano e uma reta respectivamente. Diremos que a reta r é paralela ao plano α se, e somente se, eles não têm ponto em comum. Notação: α // r ⇔ α ∩ r = ∅ Vamos enunciar, como exercício resolvido, uma condição necessária e suficiente para que uma reta dada seja paralela a um plano dado. Exemplo 1 (Condição Suficiente) Diremos que uma reta, que não está contida num plano e é paralela a pelo menos uma reta desse plano, é paralela ao plano.
Considere os planos β = (r, t) e α = (s, t), ou seja, o plano β é determinado pelas retas r e t, pois r//t, e o plano α é determinado pelas retas s e t, pois s//t.
Em outras palavras:
Tomemos um ponto P em s; dessa forma, podemos obter um plano γ = (P, r).
Sejam r e α uma reta e um plano respectivamente, tal que r ⊄ α. Se a reta r é paralela a uma reta s do plano α, então a reta r é paralela ao plano α.
Os planos distintos α e γ têm um ponto P
Hipótese: r ⊄ α, r//s, s ⊂ α ⇒ Tese r//α 16
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Demonstração:
Demonstração: Conduzimos por r um plano β que intercepta α. Seja s a reta dada pela interseção dos planos α e β. As retas r e s são coplanares, pois estão em β e não têm pontos em comum, pois r ∩ α = ∅, s ⊂ α ⇒ r ∩ s = ∅. Logo, r//s.
Temos por hipótese que r//s com r ∩ s = ∅. Então, existe um plano β determinado por r e s, onde s ⊂ α, s ⊂ β e α ≠ β implicando que s = α ∩ β. Se r e α têm um ponto em comum, digamos A, teremos A ∈ r e r ⊂ β ⇒ A ∈ β. Como A ∈ β e A ∈ α, decorre daí que A ∈ s.
Observação – Uma condição nescessária e suficiente para que uma reta (r), não contida num plano (α), seja paralela a esse plano, é ser paralela a uma reta (s) contida no plano (α).
Sendo assim, concluímos que A ∈ r e A ∈ s. Logo, existe um ponto A ∈(r ∩ s) = ∅, o que gera um absurdo. Logo, concluímos que a reta r não pode ter ponto em comum com o plano α, isto é, r//α.
9. Posições relativas entre uma reta e um plano São três as posições relativas entre uma reta e um plano: 1.a) A reta está contida no plano. Ou seja, dois pontos distintos da reta, digamos A e B também são pontos do plano.
Exemplo 2 (Condição necessária) Se uma reta é paralela a um determinado plano, então ela é paralela a uma reta desse plano.
r⊂α ⇔r∩α=r
Em outras palavras:
2.a) A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes.
Sejam r e α uma reta e um plano respectivamente. Se r//α, então existe uma reta s ⊂ α tal que r//s. r
r ∩ α = {P} Hipótese: r //α ⇒ Tese: ∃ s ⊂ α |r//s
3°) A reta e um plano são paralelos. 17
UEA – Licenciatura em Matemática
rentes, então a reta é concorrente com qualquer reta do plano. j. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas do planos. k. ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si. r // α ⇔ r ∩ α = ∅
l. ( ) Uma condição necessária e suficiente para uma reta ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele. 10. Paralelismo entre planos
1. Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção.
Definição: Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum ou são iguais (coincidentes).
2. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas é paralela a um plano, então a outra é paralelas ou está contida nesse plano.
1.° caso:
3. Dadas duas retas reversas r e s, construa por s um plano paralelo a r. 4. Construa por um ponto uma reta paralela a dois planos secantes.
2.° caso:
5. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
Notação: α // β ⇔ α = β ou α ∩ β = ∅
a. ( ) Uma reta e um plano que têm um ponto comum são concorrentes.
Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro.
b. ( ) Uma reta e um plano secantes têm um único ponto comum. c. ( ) Uma reta e um plano paralelos não têm ponto comum.
Exemplo 1 (Condição suficiente) Sejam α e β dois planos. Se um deles, digamos β, possui duas retas a e b concorrentes, ambas paralelas ao plano α, então o plano α e β são paralelos.
d. ( ) Um plano e uma reta secantes têm um ponto comum. e. ( ) Se uma reta está contida num plano, eles têm um ponto comum. f. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta do plano. g. ( ) Se um plano é paralelo a uma reta, qualquer reta do plano é reversa à reta dada. h. ( ) Se uma reta é paralela a um plano, existe no plano uma reta concorrente com a reta dada.
Hipótese: {a ⊂ β, b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α ⇒ Tese: {α // β
i. ( ) Se uma reta e um plano são concor-
Sendo os planos α e β distintos, vamos mostrar
Demonstração:
18
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
gamos P em reta a, que seria também ponto do plano α.
que eles são paralelos, fazendo uso do método indireto de demonstração, ou seja, supondo que os planos α e β não sejam paralelos.
Dessa forma, teríamos: a ⊂ β, a ∩ α ≠ ∅ ⇒ α ∩ β ≠ ∅, o que é um absurdo, pois os planos α // β tais que α ∩ β = ∅. Portanto a tese é verdadeira. 11. Posições relativas entre dois planos As posições relativas de dois planos, digamos α e β, podem ser de três formas. 1. Planos coincidentes
Logo, existiria uma reta, a qual vamos denotar de i, tal que i = α ∩ β. Dessa forma, teríamos: a // α, a ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ a//i e b// α, b ⊂ β, i = a ∩ β ⇒ b//i.
α∩β=α=β 2. Planos paralelos distintos
Logo, pelo teorema das paralelas, temos que as retas a e b são paralelas, o que é um absurdo, pois por hipótese as retas a e b são concorrentes.
α∩β=∅
Assim, concluímos que os planos α e β são paralelos.
3. Planos secantes
Exemplo 2 (Condição necessária) Se dois planos distintos α e β são paralelos, então um deles, digamos β, contém duas retas concorrenres, ambas paralelas ao outro (α).
α∩β=i Exemplo 1 Sejam α, β dois planos distintos e paralelos. Mostre que toda reta r de α é paralela ao plano β. Hipótese: {α // β ⇒ Tese {∃a ⊂ β, ∃b ⊂ β, a ∩ b = {O}, a // α, b // α
Hipótese: {α // β, r ⊂ α ⇒ Tese {r // β Demonstração:
Demonstração:
Sendo α e β planos paralelos distintos e r ⊂ α, vamos mostrar que r // β. Para isso, vamos fazer uso do método indireto de demonstração, ou seja, vamos supor que a reta r não seja paralela ao plano β.
Sabemos que num plano dado (β) existem infinitas retas; tome duas (a e b) que sejam concorrentes, digamos, no ponto O, ou seja, α ∩ β = {O}. Basta mostrar que as retas a e b são ambas paralelas ao plano α.
Logo, existiria pelo menos um ponto Q ∈ r, tal que o ponto Q ∈ β. Como Q ∈ α, pois r ⊂ α e Q ∈ β, teríamos que Q ∈ α ∩ β, o que seria um absurdo, pois por hipótese α ∩ β = ∅. Logo, vale a tese, ou seja, r // β.
Fazendo uso do método indireto de demonstração, ou seja , supondo que as retas a e b não sejam paralelas ao plano α. Logo, existiria pelo menos um ponto de uma das retas, di19
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 2
h. ( ) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas distintas de um sejam paralelas ao outro.
Sejam α, β e γ três planos distintos. Se α, β são paralelos, e γ encontra α segundo a reta r,
i. ( ) Se dois planos são paralelos, então toda reta que tem um ponto comum com um deles, tem um ponto comum com o outro.
então γ encontra β segundo a reta s. Hipótese: {α, β, γ planos, α // β e γ ∩ α= r ⇒ Tese: {γ ∩ β = s
2. Se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas.
Demonstração: Basta considerar, em γ, uma reta t concorrente
3. Se dois plano são paralelos, toda reta paralela a um deles é paralela ou está contida no outro.
com a reta r. Como γ ≠ α, concluímos que t é concorrente com α. Sendo α // β, teremos que t é concor-
4. Mostre a transitividade entre planos, isto é, se dois planos são paralelos a um terceiro , então eles são paralelos entre si.
rente com o plano β num ponto, digamos Q. Logo, fazendo uso da conseqüêcia natural do postulado P6, temos que existe uma reta, digamos s, tal que Q ∈ s e s = γ ∩ β.
12. Retas e planos perpendiculares Definição Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a. ( ) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente com o outro. b. ( ) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente com uma reta do outro.
Observações:
c. ( ) Se dois planos são secantes, então
1. Se uma reta r e um plano são concorrentes e não são perpendiculares, eles são oblíquos.
uma reta de um deles pode ser reversa com uma reta do outro,
2. se uma reta r é perpendicular a um plano α, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de α:
d. ( ) Dois planos distintos paralelos têm um ponto em comum. e. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela ao outro. f. ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e uma reta de outro podem ser concorrentes. g. ( ) Se um plano contém duas retas distintas e paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos.
Como conseqüência, temos o seguinte Teorema, que vamos admitir sem demonstração. 20
Geometria II – Noções primitivas e posições relativas
Teorema (Fundamental) – Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em α.
3.° Caso
Exemplo 1 Hipótese:
Classifique em verdadeiro ou falso. Justificando sua resposta.
⇒ Tese {r ⊥ α
Como conseqüência deste teorema, temos os seguintes corolários.
a) Uma reta e um plano secantes são perpendiculares.
Corolário 1 – Num plano (α), há duas retas (b e c) concorrentes (em P). Se uma reta (a) é perpendicular a uma delas (b em O) e ortogonal à outra (c), então essa reta (a) é perpendicular ao plano (α).
Resposta: Falso, pois a reta e o plano podem ser secante oblíquos.
b) Uma reta é perpendicular a um plano é perpendicular a infinitas retas desse plano. Resposta: Verdadeiro. Use a definição de perpendicularismo entre reta e plano.
Corolário 2 – Se uma reta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 1.° Caso
c) Um reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas do plano. Resposta: Falso. Use o Teorema (Fundamental) e observe que a reta é perpendicular a pelo menos duas retas do plano.
2.° Caso
21
UEA – Licenciatura em Matemática
c. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro.
d) Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a infinitas retas do plano. Resposta: Verdadeiro. Use o corolário 2 “Se uma reta (r) é ortogonal a duas retas (s e t) concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano” e observe que, no plano, existem infinitas retas paralelas às retas (s e t) e ortogonais à reta dada.
d. ( ) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro. e. ( ) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao plano dado, então ele é perpendicular à reta.
13. Planos perpendiculares Definição
f. ( ) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
Dois planos (α e β) são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro.
g. ( ) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
Fazendo uso da definição, temos a seguinte, proposição. Proposição – Sejam α, β planos, e i uma reta tal que i = α ∩ β. Se α ⊥ β e r é uma reta contida em um deles, digamos r ⊂ α e r ⊥ i. Então, r ⊥ β. Demonstração: Sendo α ⊥ β, temos que existe uma reta a tal que a ⊂ α, em que α ⊥ β. Então, concluímos que a reta a é perpendicular à reta i. No plano α, temos que a ⊥ i e r ⊥ i ⇒ a//r. Sendo a//r e α ⊥ β, concluímos que r ⊥ β. Finalmente, vamos enunciar, sem demonstração, uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares. Proposição – Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é que toda reta de um deles, perpendicular à interseção, seja perpendicular ao outro.
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a. ( ) Dois planos, perpendiculares a um terceiro, são perpendiculares entre si. b. ( ) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos. 22
UNIDADE II Dist창ncias, diedros e triedros
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
Se a reta não é perpendicular ao plano, teremos a seguinte definição.
TEMA 02
Definição – Chama-se projeção ortogonal de uma reta r, não perpendicular a um plano α, sobre esse plano, ao traço em α, do plano β, perpendicular a α, conduzido por r.
DISTÂNCIAS E DIEDROS 1. Projeção ortogonal
Geometricamente, temos:
Definiçao – A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P.
r’ = projα r 2. Distâncias geométricas Vamos definir distâncias geométricas entre entes geométricos.
P’ = projα P
2.1 Distância entre ponto e ponto
1.1 Projeção ortogonal de uma figura geométrica
Definição – Chama-se distância entre dois pontos distintos A e B ao comprimento do segui⎯ mento de reta AB ou ao comprimento qual⎯ quer segmento congruente a AB. Se A = B, a distância entre A e B é nula.
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre α.
Notação: d(A, B) = AB 2.2 Distância entre ponto e reta Definição – Chama-se distância entre um ponto (A) e um reta (r) à distância entre esse ponto e o pé da perpendicular à reta conduzida pelo ponto.
F’ = projα F 1.2 Projeção de uma reta Se a reta (r) é perpendicular ao plano (α), teremos como projeção ortogonal exatamente um ponto, digamos P.
Notação: d(A, r) = AB B é o pé da perpendicular à reta r conduzido por A, ou seja, B é a intersecção de uma reta conduzida por A e perpendicular à reta r. 2.3 Distância entre ponto e plano Definição – A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano.
P’ = projα r 25
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
⎯
a. ( ) Se PA é um seguimento oblíquo a um plano α, com A ∈ α, então a distância entre P e A é a distância entre P e α.
Notação: d(P, α) = PP’ 2.4 Distância entre uma reta e um plano paralelo Definição – A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano.
b. ( ) A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao plano pelo ponto. c. ( ) A distância de um ponto P a um plano α é a distância de P ao ponto P’ de interseção de α com a reta r, perpendicular a α por P. d. ( ) A distância entre um plano e uma reta, sendo eles paralelos distintos, é a distância de um ponto qualquer do plano a reta.
Notação: d(r, a) = d(P, α) = PP’ 2.5 Distância entre dois planos paralelos Definição – A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano
e. ( ) A distância entre um plano e uma reta, sendo eles paralelos e distintos, é a distância de um ponto qualquer do plano a um ponto qualquer da reta. 3. Ângulos entre retas reversas Definição – De modo geral, definimos ângulo entre duas retas reversas como sendo o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra.
dα . β= PP’ Notação: d(α, β) = d (P, β) = PP’ 2.6 Distância entre duas retas reversas
Geometricamente, temos:
Definição – A distância entre duas retas reversas (r e s) é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta.
θ é o ângulo entre r e s. 4. Ângulos entre reta e planos Definição – O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo agudo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano. Notação: d(r, s) = PP’
Gemetricamente, temos: 26
Geometria II – Distâncias, diedros e triedros
θ é o ângulo entre r e α 5. Diedros 5.1 Definição – Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro.
1. Defina: a) Diedro reto. b) Diedro agudo. c) Diedro obtuso. d) Diedros adjacentes. e) Diedros opostos pela aresta.
5.3 Congruência entre diedros Definição – Dois diedros são congruentes se,
5.2 Secção de um diedro
e sommente se, uma secção normal de um é
Definição – Secção de um diedro é a interseção do diedro com um plano secante à aresta.
congruente à secção normal do outro.
Exemplo: Duas secções paralelas de um diedro são congruentes. Solução: De fato, as secções são dois ângulos de lados com sentidos respectivamente concordantes, e portanto são congruentes.
Notação: αrβ = α’ r’ β’ ⇔ xy ≡ x’ y’ 27
UEA – Licenciatura em Matemática
6. Triedos Definição – Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro.
7. Ângulo poliédrico Definição – Sejam n semi-retas (n ≥ 3) de mesma origem, tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
28
UNIDADE III Poliedros, prismas e pir창mides
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
3. Poliedros convexos e côncavos Um poliedro é dito convexo se limita uma região do espaço que é convexa. Essa região identifica o interior do poliedro convexo.
TEMA 03
POLIEDROS
A região interior de um poliedro é convexa se, ao tomar arbitrariamente dois pontos quaisquer da região, todo o segmento definido por esses pontos também está totalmente contido na região. Outra maneira de identificar a região interior como convexa é a seguinte: considere uma face qualquer do poliedro e o plano que a contém. Se todo o poliedro fica totalmente em um dos lados deste plano, independente da face escolhida, o poliedro é convexo.
1. Definição Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos 1.
2. Os exemplos 1, 2 e 3 são poliedros convexos. O exemplo 4 não é um poliedro convexo, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido em apenas um semi-espaço.
3.
O poliedro do exemplo 5, denominado “toro”, tem o formato de uma câmara de ar dos antigos pneus e é formado por quatro tetraedos e quatro pirâmides de base triangular, sendo a região central vazada. Este poliedro também não é convexo. Os poliedros que não são convexos são chamados de poliedros côncavos.
4.
4. Classificação Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: 5.
• Tetraedro: quatro faces. • Pentaedro: cinco faces. • Hexaedro: seis faces. • Heptaedro: sete faces. • Octaedro: oito faces. • Icosaedro: vinte faces.
2. Elementos 5. Relação de Euler
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
Muitos dos símbolos matemáticos que são usados hoje se devem ao matemático suíço 31
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo:
Leonard Euler, nascido em Basiléia (17071783). Ele foi o primeiro a usar a letra e para denotar a base dos logaritmos naturais, o primeiro a usar a letra grega π e o primeiro a usar i como sendo a raiz quadrada de –1 ( ). Embora a descoberta do resultado do teorema que relaciona vértices, faces e arestas de um poliedro regular convexo seja atribuída a Descartes (1596-1650), a fórmula V – A + F = 2 leva o nome de Euler, que além de tê-la redescoberto, publicou uma demonstração em 1751.
Verifique se os poliedros abaixo satisfazem a relação de Euler a)
Solução: V = 9, A = 18, F = 11 V – A + F = 9 – 18 + 11 = 2 Portanto satisfaz a relação de Euler. b)
Euler
Além de estudar Matemática, dedicou-se também à Teologia, Medicina, Astronomia, Física e às línguas orientais. É considerado O mestre de todos os matemáticos do século XVIII pelo fato de as suas pesquisas terem aberto novos caminhos para a Matemática.
Solução: V = 14, A = 21, F = 9 V – A + F = 14 – 21 + 9 = 2
Em 1741, recebeu um convite para exercer o cargo de vice-presidente da seção de Matemática da Academia de Berlim. Durante o longo período em que aí permaneceu, escreveu mais de trezentos trabalhos científicos. Mas, em 1776, quando retorna à Rússia, descobre que estava perdendo a visão do olho que lhe restava. Mesmo completamente cego, Euler, auxiliado por seus filhos Kraff e Lexill, escrevia numa lousa colocada em sua casa as novas descobertas Matemáticas que fazia.
Portanto satisfaz a relação de Euler.
Em todo poliedro convexo, é válida a relação seguinte:
V = 16, A = 32, F = 16
V–F+A=2
Portanto não satisfaz a relação de Euler.
Tal relação é demonimana relação de Euler, em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observação – Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados eulerianos.
c)
Solução:
V – A + F = 16 – 32 + 16 = 0
32
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
5. Poliedros de Platão
6.2 Propriedade
Esse nome dado a alguns poliedros deve-se ao filósofo grego Platão (427-348 a.C.), discípulo de Sócrates e mestre de Aristóteles. Foi fundador da Academia de Atenas onde se ensinava Matemática, Ginástica e Filosofia. Ele valorizava muito a Matemática, por ela nos dar a capacidade de raciocínio abstrato. Na entrada da sua academia, havia a seguinte afirmação: “Que aqui não adentre quem não souber geometria”.
Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares convexos, que são: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Observe que: a) se suas faces são polígonos regulares e congruentes, então todas têm o mesmo número de arestas; Platão
b) se seus ângulos poliédricos são congruentes, então todos têm o mesmo número de arestas.
5.1 Definição Um poliedro é chamado “poliedro de Platão” se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições:
Portanto temos:
a) todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas;
Todo poliedro regular convexo é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular.
b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas, ou seja, de cada vértice parte o mesmo número (m) de arestas;
Por exemplo, uma caixa de bombons como a da figura a seguir é um poliedro de Platão (hexaedro), mas não é um poliedro regular, pois as faces não são polígonos regulares e congruentes.
c) vale a relação de Euler (V – F + A = 2). 5.2 Propriedade Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão, que são: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. Observe que todos eles satisfazem as condições citadas.
Johann Kepler (1571-1630) descobriu dois poliedros que são, simultaneamente, regulares e não-convexos: o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado.
6. Poliedros regulares 6.1 Definição: Um poliedro convexo é regular quando: a) suas faces são polígonos regulares e congruentes; Pequeno dodecadro estrelado
b) seus ângulos poliédricos são congruentes. 33
Grande dodecadro estrelado
UEA – Licenciatura em Matemática
Dentre os vários poliedros serão destacados nos temas a seguir os prismas e as pirâmides. Aula prática 1: Construção dos poliedros Objetivos: • Visualizar os poliedros bem como as suas planificações. • Verificar a relação de Euler nos poliedros construídos e nas embalagens do cotidiano. • Verificar as propriedades dos poliedros convexos, de Platão e regulares nos poliedros construídos e nas embalagens. • Determinar experimentalmente a área total e o volume dos poliedros. ATIVIDADE 1 Material:
ATIVIDADE 3
• Embalagens do cotidiano com formas diferentes.
Material:
Descrição:
• Tesoura.
• Identificar, nas embalagens, as que são poliedros, poliedros convexos, de Platão e/ou poliedros regulares.
• Cola.
• Folhas de papel cartão.
• Elásticos coloridos. • Modelo dos anexos 5 a 9.
ATIVIDADE 2
Descrição:
Material:
• Confeccionar, em papel cartão, a planificação dos poliedros de Platão conforme modelo do anexo 5 a 9.
• Canudinhos (com cores diferentes). • Tesoura.
• Colorir as faces dos poliedros; recortar a planificação.
• Cola. • Barbante.
• Obter o valor da área total dos poliedros antes de montá-los.
• Modelo do anexo.
• Dobrar as arestas e depois unir com cola as que estiverem nas bordas da planificação.
Descrição: • Confeccionar, com canudinhos, os poliedros de Platão conforme os modelos dos anexos 1 a 4.
• Obter experimentalmente o valor do volume dos poliedros.
1. Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. 34
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
2. Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
TEMA 04
3. Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro.
PRISMAS 1. Definição Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABC...DE situado num plano ⎯ α e o segmento de reta PQ, cuja reta suporte intercepta o plano α. Chama-se prisma (ou prisma convexo) à reunião de todos os segmentos ⎯ congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo semi-espaço dos determinados por α.
4. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares, e o número de faces quadrangulares é igual a 5. 5. Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro. 6. Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices. 7. Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Em outras palavras, prisma é um sólido geométrico (poliedro convexo) delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Várias embalagens utilizadas têm a forma de prisma, conforme mostra a figura a seguir.
8. Ache o número de faces de um poliedro convexo que possui 16 ângulos triedros. 9. Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos. 10. Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triedros. Sabendo que o poliedro tem número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo.
2. Elementos do prisma Bases – São as regiões poligonais Ex.: ABCDE e A’B’C’D’E’. Faces laterais – São os paralelogramos. Ex.: ABA’B’ e BCB’C’. Arestas das bases – São os lados do polí⎯ . gono da base. Ex.: AB e
11. O “cubo-octaedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determine o número de faces, arestas e vértices desse sólido euleriano.
Arestas laterais – São os lados dos paralelo⎯ ⎯ gramos. Ex. AA’, CC’ 35
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Altura – É distância entre os planos que contêm as bases.
a) V = 2n; A = 3n; F = 7 Como no prisma é válida a relação de Euler, tem-se: V–A+F=2 2n – 3n + 7 = 2 n = 5 Logo, o prisma é pentagonal. b) V = 2n; A = 24; F = n+2 V–A+F=2
3. Classificação dos prismas
2n – 24 + n + 2 = 2
Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
3n – 22 = 2 n = 8 Logo, o prisma é octogonal.
Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Nesse caso, as faces laterais são retângulos.
5. Secção do prisma Secção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais. A secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral.
Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases.
Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Por exemplo, o prisma esquerdo da figura acima é um prisma regular. 4. Natureza do prisma A natureza do prisma é dada de acordo com o polígono da base. 6. Tronco do prisma POLÍGONO
NOME
triângulo
Prisma triangular
quadrado
Prisma quadrangular
pentágono
Prisma pentagonal
hexágono
Prisma hexagonal
.....
.....
Quando se secciona um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial delimitada pela base do prisma e pela região poligonal do plano que o seccionou é denominado tronco de prisma, conforme mostra a figura a seguir.
Exemplo: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: a) 7 faces
b) 24 arestas
Secção do prisma 36
Prisma seccionado
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Solução:
7. Diagonal do prisma
Seja d a diagonal do cubo, ƒ a diagonal da face do cubo (o quadrado), a aresta do cubo e x a distância do vértice B à sua diagonal d, conforme a figura a seguir.
A diagonal de um prisma é o segmento de reta que une dois vértices situados em faces distintas. 7.1 Diagonal do cubo Considere o cubo de aresta a, com diagonal da base ƒ e diagonal do cubo d, conforme mostra a figura.
Considerando o triângulo ABC retângulo em B, podemos utilizar a relação métrica em que o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos catetos. Iniciemos calculando a medida ƒ.
Portanto: d.x = a.f (I)
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
Cálculo da diagonal do cubo (d):
temos:
d=a
= 100
cm
Cálculo da diagonal do quadrado (ƒ):
ƒ=a
= 100
cm
Substituindo d = 100 cm, ƒ = 100 a = 100cm na expressão (I) temos:
ƒ2 = a2 + a2 ⇒ ƒ 2 = 2a2 ⇒ ƒ =
cm e
Racionalizando o valor de x, temos:
⇒
ƒ= a No ΔIHF, ao aplicar o teorema de Pitágoras,
Resposta: A distância de um vértice do cubo à
tem-se:
sua diagonal é de
.
7.2 Diagonal do paralelepípedo retângulo Considere o paralelepípedo retângulo de arestas a, b e c com diagonal da base ƒ e diagonal do paralelepípedo retângulo d.
d2 = a2 + ƒ 2 ⇒ d2 = a2 + 2a2 ⇒ d2 = 3a2 ⇒ d=a Portanto: A diagonal de um cubo de aresta a é: d = a
.
Exemplo: Iniciemos calculando a medida ƒ da diagonal da face EFGH:
Se a aresta de um cubo mede 100cm, encontre a distância de um vértice do cubo à sua diagonal. 37
UEA – Licenciatura em Matemática
No ΔEFH, ao aplicar o teorema de Pitágoras, temos:
Descrição: • Construir alguns prismas retos e oblíquos. • Construir alguns prismas regulares identificando seus elementos, secções e verificando a validade da relação de Euler. • Construir alguns prismas não-regulares, identificando a altura.
ƒ 2 = a2 + b2 ⇒ ƒ =
Atividade 2
No ΔHFI, ao aplicar o teorema de Pitágoras, temos:
Material: • Acetato. (ou papel cartão). • Tesoura. • Cola. Descrição: • Construir o cubo e o paralelepípedo retângulo utilizando acetato (ou papel cartão).
d2 = ƒ 2 + c2 ⇒ d2 = a2 + b2 + c2 ⇒
• Construir um triângulo retângulo em que um dos catetos tem a medidas da aresta do cubo construído, e o outro tem a medida da diagonal da face do cubo.
D= Aula prática 2: Construção dos prismas
• Calcular a diagonal do cubo utilizando o teorema de Pitágoras.
Objetivos: • Visualizar os prismas construídos.
• Construir um triângulo retângulo em que um dos catetos tem a medida da altura do paralelepípedo retângulo construído, e o outro tem a medida da face do paralelepípedo.
• Identificar os elementos de alguns prismas regulares. • Classificar os prismas em retos ou oblíquos. • Identificar os prismas regulares.
• calcular a diagonal do paralelepípedo retângulo utilizando o teorema de Pitágoras.
• Visualizar a secção dos prismas. • Determinar a quantidade de faces, arestas e vértices dos primas obtidos. • Verificar a validade da relação de Euler nos prismas. • Visualizar a diagonal do cubo e do paralelepípedo retângulo. • Deduzir a expressão para o cálculo da diagonal do cubo e do paralelepípedo retângulo. Atividade 1 Material: • Geoplano 3D. • Elásticos coloridos. 38
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Em que: A l é a área lateral, e Ab é a área de uma das bases.
TEMA 05
Afl é área de uma das face laterais.
PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA
n = quantidade de faces laterais. l = aresta da base.
1. Planificação do prisma
h = altura do prisma.
Para facilitar a obtenção da área da superfície de um sólido é necessário representar o sólido (tridimensional) no plano (bidimensional). Para isso, é preciso “abri-lo”, de modo que seus elementos (faces laterais, bases, vértices e arestas) estejam representadas num determinado plano, conforme mostra a figura a seguir.
2.1 Área do cubo
Como o cubo possui 4 faces laterais quadrangulares congruentes e 2 bases quadradas de mesma área, temos: At = Al + 2Ab Acubo = 4a2 + 2a2
2. Área do prisma
Acubo = 6a2
Observe, na figura do prisma planificado, que para calcular a área lateral (Al) deve-se calcular a área de uma das faces laterais (Afl) e, por serem congruentes, multiplicar o resultado pela quantidade de faces (n).
em que a = aresta do cubo. 2.2 Área do paralelepípedo retângulo
Logo: Al = n . Afl. Tratando-se de prisma reto, as faces laterais são retângulos e, portanto, a área do retângulo é dada pelo produto entre a medida da aresta da base (l) pela medida da altura do prisma (h). Logo: Al = n. l.h Para calcular a área das bases, deve-se calcular a área de um dos polígonos da base (Ab) e, por serem congruentes, multiplicar o resultado por 2. Para a área lateral, temos:
Para calcular a área total (At) deve-se somar a área lateral com a área das bases.
Al = 2a.c + 2b.c Substituindo na expressão da área do prisma temos:
Portanto: Área total do prisma:
At = A l + 2Ab
At = Al + 2Ab
Aparalel. = 2a.c + 2b.c + 2a.b
At = n . Afl + 2Ab
em que a = comprimento; b = largura; c = altura.
At = n . l . h + 2Ab 39
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 1:
para a área da base (Ab) e área lateral (Al) na expressão da área total (At), temos:
Calcule a área total do prisma de 8dm de altura e cuja base é um quadrado inscrito num círculo de 6dm de raio.
Área total no prisma: + 2 . 72 = 4 . 48 At = Al + 2Ab = 4 . 48 + 144 = 48(3 + 4 )dm2
Solução:
Resposta:
Representando o prisma enunciado no problema, tem-se a figura a seguir.
A área total do prisma é 48(3 + 4
)dm2.
Exemplo 2: Joana pretende confeccionar embalagens em forma de prisma reto hexagonal regular com aresta da base medindo 3cm e aresta da face lateral medindo 6cm. Sabendo que para confeccionar a embalagem o material utilizado custa R$3,00/cm2, quanto Joana gastará? ≈ 1,73. Obs.: adote
Iniciemos calculando a área da base.
Solução:
Área da base (Ab) – Destacando o quadrado inscrito na circunferência, temos:
Para saber quanto Joana irá gastar, é ne-cessário saber a área total da embalagem. Planificando o prisma hexagonal, temos a figura a seguir.
Para calcular a medida da aresta da base l, devese utilizar a diagonal do quadrado, pois d = l . Sendo a diagonal do quadrado o dobro da medida do raio, tem-se: d=l
⇒ 2r = l
⇒ 2.6 = l
⇒
12 = l
Considerando: Medida da aresta lateral: r = 6cm Medida da aresta da base: s = 3cm
Racionalizando o valor de l, temos:
Iniciemos calculando a área lateral do prisma:
l=
Como o prisma possui 6 faces laterais (retângulos), a área lateral é igual a seis vezes a área de cada retângulo (Ar).
Substituindo o valor de l na expressão da área da base, temos:
Área lateral: Al = 6 . Ar = 6. r . s = 6.(6 . 3) = 108cm2.
Área da base: Ab = l2 = (6 72dm2. (I)
Área da base – Como a base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros, a área de um hexágono regular é igual a seis vezes a área do triângulo eqüilátero(Atri.).
)2 = 36.2 =
Agora, calculemos a área lateral do prisma (Al). Como o prisma possui 4 faces laterais (retângulos), a área lateral é igual a quatro vezes a área de cada retângulo (Ar). Al = 4Ar = 4 . l . h = 4 . 6
. 8 = 4.48
dm2 (II)
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) 40
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Iniciemos calculando Al2:
Sendo a medida do lado do triângulo eqüilátero a mesma medida da aresta da base (s), tem-se: Ab = 6 . Atri = 6.
= 6.
=
Sendo Ar a área do retângulo de cada face, temos:
=
Al2 = 3.Ar = 3 . l . h2 = 3.(10h2) = 30h2 ⇒ Al2 = 30(h + x)
cm2.
Para calcular a área total do prisma dado, é necessário calcular a área da base e a área lateral deste prisma.
Área total: At = Al + 2Ab
Área da base do prisma dado:
At = 108 + 2. At = 9(12 + 3
(I)
)cm2.
Agora, que temos a área total, podemos obter o custo total.
Área lateral do prisma dado:
Como o material utilizado na embalagem custa R$ 0,30 cada centímetro quadrado, o custo total (Ct) será 0,3 vezes a área total.
Substituindo os valores obtidos em (I) e (II) na expressão da área total do prisma dado, temos:
Ct = 0,3. At = 0,3.9(12+3
Al1 = 3.(l . h) = 3.(10h) = 30h (II)
At1 = Al1 + 2Ab = 30h + 2.25
) = 46,413 ≈ R$ 46,41
=
30h + 50
Resposta: Joana gastará aproximadamente R$ 46,41.
Como Al2= At1, temos: 30(h + x) = 30h + 50
Exemplo 3:
30h + 30x = 30h + 50
Um prisma triangular regular tem a aresta da base medindo 10dm. Em quanto se deve aumentar a altura, conservando-se a mesma base, para que a área lateral do novo prisma seja igual a área total do prisma dado?
30x = 50
Solução: Sendo l = 10dm, considere Al2 a área lateral do novo prisma, At1 área total do prisma dado, em que Al2 = At1, h = altura do prisma dado, h2 altura do novo prisma e x o acréscimo dado à medida da altura do novo prisma, conforme mostra a figura a seguir.
1. A figura a seguir apresenta a planificação de um prisma triangular. Calcular sua área total.
41
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Sabe-se que a diagonal de um cubo mede 2,5cm. Em quanto se deve aumentar a aresta desse cubo para que sua diagonal passe a medir 5,5cm? 3. A diferença entre as áreas totais de dois cubos é 164,64cm2. Calcule a diferença entre as suas diagonais, sabendo que a aresta do menor mede 3,5cm.
• Recortar as planificações. • Dobrar as arestas e montar o sólido.
4. A aresta da base de um prisma hexagonal regular mede 8cm. Em quanto se deve diminuir a altura desse prisma de modo que se tenha um novo prisma com área total igual à área lateral do prisma dado?
• Verificar que em todos os casos foi possível a construção do cubo, pois a soma dos ângulos dos três quadrados unidos a cada vértice é 270o, portanto, menor que 360o. Atividade 2
5. A aresta lateral de um prisma reto mede 12m; a base é um triângulo retângulo de 150m2 de área e cuja hipotenusa mede 25m. Calcule a área total desse prisma.
Material:
6. Um prisma pentagonal regular tem 8cm de altura, sendo 7cm a medida da aresta da base. Calcule a área lateral desse prisma.
• Modelos dos anexos 10 a 12.
• Folhas de papel cartão (2 cores diferentes). • Tesoura. • Cola. Descrição: • Confeccionar, em papel cartão, a planificação dos prismas regulares conforme modelo do anexo 10 a 12.
Aula prática 3: Planificação e área dos prismas
• Recortar a planificação.
Objetivos:
• Confeccionar, em papel cartão, (com cor diferente da utilizada na planificação) triângulos eqüiláteros cuja medida do lado é a mesma da aresta da base do prisma.
• Visualizar as planificações dos prismas. • Estabelecer a correspondência entre as planificações e os prismas. • Deduzir a expressão para o cálculo da área do prisma incluindo área do cubo e do paralelepípedo retângulo.
• Sobrepor os triângulos a uma das bases.
• Obter o valor da área dos prismas construídos.
• Dobrar as arestas e montar o prisma.
• Calcular a área lateral, da base e total do prisma.
Atividade 3 Atividade 1
Recurso didático:
Material:
• Software Poly Pro1.
• Folhas de papel cartão.
Descrição:
• Tesoura. Descrição:
• Selecionar um dos prismas disponíveis no software Poly Pro utilizando a opção Prisms and Anti-Prisms.
• Confeccionar, em papel cartão, as possíveis planificações do cubo conforme figura.
• Planificar e comparar com a planificação obtida na atividade 2.
• Cola.
(1) Software geométrico disponível em: www.peda.com/download 42
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
TEMA 06
VOLUME DO PRISMA 1. Volume de um sólido Volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Essa quantidade é determinada comparando esse sólido com um outro tomado como unidade (que geralmente é o cubo). Dessa comparação resulta um número que será a medida do volume. Para calcular o volume de um prisma qualquer, será necessário primeiramente entender o princípio de Cavalieri. Observe na figura a seguir que de um sólido constituído por 10 lajotas (paralelepípedos retângulos), todas do mesmo tamanho, podem ser formadas pilhas das mais variadas formas. Mas, qualquer que seja a disposição dada às lajotas essas pilhas têm o mesmo volume, ou seja, ocupam a mesma quantidade de espaço.
pilha 1
pilha 2
pilha 3
Idéia intuitiva do Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos A e B com base num mesmo plano α e situados num mesmo semiespaço por ele determinado. Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina, nesses sólidos superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), conforme mostra a figura a seguir.
Com essa idéia intuitiva, pode-se formalizar o chamado Princípio de Cavalieri. 43
UEA – Licenciatura em Matemática
Bonaventura Cavalieri(1598-1647) foi um dos matemáticos mais influentes de sua época. Discípulo de Galileu Galilei, foi também astrônomo, devendo-se a ele, em grande parte, o método dos indivisíveis desenvolvido a partir de 1626. Cavalieri não definia em suas obras o que vinham a ser os indivisíveis. Segundo ele, porém, uma figura plana seria formada por uma infinidade de cordas paralelas entre si e uma figura sólida por uma infinidade de secções paralelas entre si. A essas cordas e a essas secções chamava de indivisíveis. Em um de seus livros, dizia que um sólido é formado por indivisíveis assim como um livro é composto de páginas. Daí a idéia de interceptar o sólido por planos paralelos.
Ab (a mesma do paralelepípedo retângulo).
Supondo que S1 e S2 têm as bases num mesmo plano α e estão num mesmo semiespaço em relação a α, então todo plano β paralelo a α, que interceptar S1, também interceptará S2, e as secções transversais terão áreas iguais, pois são congruentes às respectivas bases. Assim, pelo princípio de Cavalieri, o volume do prisma S1 é igual ao volume do paralelepípedo S2. Logo, temos: VS1 = VS2 Vprisma1 = B . h Exemplo 1: A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o calor, 1.800m3 da água do reservatório evaporaram. Qual a altura máxima atingida pela água restante no reservatório?
Bonaventura Cavalieri
Principio de Cavalieri: Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes).
Solução: Sendo a = 30m, b = 20m, c = 10m e o volume evaporado(Ve)=1800m3, considere x a altura do reservatório depois que a água evaporou, conforme a figura.
Sólidos equivalentes
α // β e A1 = A2 ⇒ VS1 = VS2
Iniciemos calculando o volume inicial do reservatório (Vi):
Adotando um paralelepípedo retângulo S2 cuja área da base é B e cuja altura é h, temos que o volume do paralelepípedo retângulo é dado por:
Vi = a . b . c = 30.20.10 = 6000m3 Volume final do reservatório (Vf):
VS2 = B . h
Utilizando o volume evaporado, tem-se:
Para utilizar o princípio de Cavalieri, considere agora um prisma S1 de altura h e área da base
Vf = Vi – Ve = 6000 – 1800 = 4200m3 44
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Utilizando as dimensões do reservatório com altura x, tem-se:
Portanto:
Vf = a . b . x = 30.20. x = 600x
Calculando agora o volume do galpão, temos:
Portanto temos:
Vg = Vparal. + Vpri = 640 + 240
600x = 4200 = 7m
Vg = 880m3
Resposta: A altura máxima atingida pela água restante no reservatório é de 7 metros.
Exemplo 3:
Vpri = Atri . h = 12 . 20 = 240m3
A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo.
Exemplo 2: Paulo tem um galpão com as medidas indicadas na figura. Qual o volume do galpão?
Solução: Representando o paralelepípedo retângulo descrito no problema, tem-se a figura a seguir.
Solução: O volume do galpão (Vg) será dado pela soma dos volumes do paralelepípedo retângulo (Vparal.) e do prisma triangular (Vpri) – parte superior do galpão.
Para determinar o volume do paralelepípedo retângulo, é necessário encontrar a área da base, que por sua vez depende da medida a. Podemos encontrar o valor de a por meio da relação entre a medida da aresta do quadrado a e sua diagonal ƒ.
Volume do paralelepípedo retângulo(Vparal.): Vparal. = 4.8.20 = 640m3 Volume do prisma triangular(Vpri): Vpri = Ab . h = Atri . h
Com os elementos caracterizados na figura e considerando o triângulo ABC, temos:
em que: Atri é a área do triângulo e h a altura do prisma.
Utilizando a função trigonométrica tangente que relaciona o cateto oposto ao ângulo de 60o h e o cateto adjacente a este ângulo ƒ, temos:
Lembrando que em um triângulo qualquer a área é dada por: , onde: p é o semiperímetro do triângulo. logo
Substituindo o valor de ƒ na relação ƒ = a temos:
; a, b e c são as medidas dos lados do triângulo. Sendo a = 8m e b = c = 5m, temos:
Racionalizando o valor de a, temos:
p = 9m
45
,
UEA – Licenciatura em Matemática
Agora, podemos encontrar a área da base (Ab):
Portanto, temos: V = Ab . h = 600 . 60 = 36000cm3 O volume do paralelepípedo retângulo é 36000cm3
Como o volume do leite derramado V = Ab . h e sendo Ab a área do triângulo retângulo ABC, temos:
Exemplo 4: Uma caixa cúbica sem tampa, com 1 litro de capacidade, está completamente cheia de leite. Inclina-se a caixa 30o em relação ao plano horizontal, de modo que apenas uma de suas arestas fique em contato com o plano, conforme mostra a figura. Qual o volume em cm3 do leite derramado?
(I) Portanto, para obter V, é necessário obter o valor de b. Para isso, podemos utilizar a função trigonométrica tangente que relaciona o cateto oposto ao ângulo de 30o (b) e o cateto adjacente a este ângulo (a). Logo:
Substituindo o valor de b na expressão (I), temse:
Solução: Como o leite derramado está contido em um prisma triangular, para calcular o volume (V) é necessário calcular a área da base do triângulo e a altura deste prisma. Como o volume do cubo = a3 e 1l = 1dm3, temos:
Como 1dm3 = 1000cm3, tem-se que:
a3 = 1 ⇒ a = 1dm Considere o triângulo retângulo ABC, pois AC) = 90º sendo b a medida da base do m(B^ triângulo e a a medida da aresta do cubo. Resposta: O volume em cm3 do leite derramado
Como a reta é paralela ao plano da base onde está apoiado o cubo, então m(A^ CB) = 30º, que é a inclinação do cubo em relação ao plano conforme mostra a figura a seguir.
é:
Exemplo 5: Determine o volume de um prisma reto de 10cm de altura e cuja base é um hexágono regular de apótema 3 cm. Solução: Para calcular o volume é necessário calcular a área do hexágono.
Destacando no prisma triangular o ΔABC, temos:
Logo, Ab = 6Atri, onde Atri é a área de cada 46
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
triângulo que compõe o hexágono, conforme a figura a seguir.
(II) Agora, podemos substituir o valor de a na expressão (II).
Substituindo o valor da área da base Ab = 54 cm2 e h = 10cm na expressão do volume do prisma, temos:
Destacando no prisma triangular o ΔABC, temos:
V = Ab . h = 54 V = 540
. 10
cm3
Resposta: O volume do prisma reto é 540
Para calcular a área de cada triângulo que compõe o hexágono, é necessário obter as medidas da base (a) e da altura (m) do triângulo.
cm3.
1. Calcule a área total e o volume de um prisma hexagonal regular de 12m de aresta lateral e 4m de aresta da base.
Para obter o valor de a, podemos utilizar o triângulo retângulo ABC, pois contém o apótema m = 3 cm
2. Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a 96 cm2. Calcule a área lateral e o volume do prisma, sabendo que a altura é igual ao apótema da base.
Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
3. Um prisma reto tem por base um losango em que uma de suas diagonais é os
a soma de ambas é 14cm. Calcule o volume desse prisma, sabendo que sua altura é igual ao semiperímetro da base.
(I) Substituindo m = 3 temos:
Sendo
da outra, e
4. Calcule o volume e a área total de um prisma cuja base é um triângulo eqüilátero de 6dm de perímetro, sendo a altura do prisma o dobro da altura da base.
cm na expressão (I),
5. Calcule o volume de um prisma triangular regular, sendo todas suas arestas de mesma medida, e sua área lateral 33m2
e substituindo a expressão
de m na área do triângulo, temos:
6. Calcule o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144m2, sabendo que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.
Portanto: 47
UEA – Licenciatura em Matemática
6. O volume de ar contido em um galpão com a forma e as dimensões dadas pela figura abaixo é: 1. Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta, cortandose um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será: a) 1244
b) 1828
c) 2324
d) 3808
e) 12000
b) 6 (2
c) 3
d) 12
b) 384
c) 480
d) 360
e) 768
2. A aresta, a diagonal e o volume de um cubo estão, nessa ordem, em progressão geométrica. A área total deste cubo é: a) 6
a) 288
7. De um bloco cúbico de isopor de aresta 3a recorta-se o sólido, em forma de “H”, mostrado na figura. O volume do sólido é:
– I)
e) 18 3. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são inversamente proporcionais aos números 12, 6 e 4. Se sua área total é 88cm2, o seu volume, em cm3 é: a) 288
b) 144
c) 128
d) 64
e) 48
a) 27 a3
b) 21 a3
c) 18 a3
d) 14 a3
e) 9 a3
4. Considere um paralelepípedo com 12m de comprimento, 4m de largura e 3m de altura. Se o seu volume for aumentado de 624m3, então sua altura aumentará de: a) 7m
b) 9m
c) 11m
d) 13m
Aula prática 3: Princípio de Cavalieri Objetivos: • Visualizar a equivalência de dois sólidos a partir de superfícies equivalentes.
e) 12m
• Deduzir a expressão para o cálculo do volume de um prima a partir do volume de um paralelepípedo.
5. Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e de 2,80m de altura, as portas e as janelas ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais da metragem a ladrilhar. A metragem quadrada de ladrilhos a comprar é: a) 24,40
b) 24,8O
c) 25,50
d) 26,40
Material: • Emborrachado ou pedaços de madeira. Atividade 1: • Confeccionar cilindros (ou cubos, ou prismas triangulares ou qualquer outro sólido) de aproximadamente 1cm de altura e mesma área. • sobrepor as peças confeccionadas de ma-
e) 26,80
48
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
neira diferente, formando dois sólidos distintos. • Comparar os volumes dos dois sólidos obtidos.
TEMA 07
PIRÂMIDES 1. Definição Consideremos uma região poligonal contida em um plano α e um ponto V localizado fora desse plano.
Atividade 2: Material: • Folhas de acetato (ou papel cartão, 2 cores diferentes). • Tesoura e cola. • Areia (ou grãos, bolas de isopor pequenas).
Uma pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em V e a outra num ponto qualquer da região poligonal. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Descrição: • Confeccionar, em papel cartão, um prisma reto regular. • Confeccionar, em papel cartão, um paralelepípedo retângulo com cor diferente do prisma regular confeccionado e cuja base e altura sejam as mesmas do prisma reto regular.
2. Histórico As pirâmides mais famosas foram construídas no Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C. Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais. As pirâmides de Gizé existem até hoje e são formadas por um conjunto de nove pirâmides construídas pelos faraós Quéops, Quéfrem e Miquerinos. A mais alta chama-se Quéops e mede 138 metros de altura. O historiador grego Heródoto, escrevendo 2400 anos atrás, calculou que 100.000 homens trabalharam durante 20 anos para a completa construção da Grande Pirâmide. Calcula-se também que foram usados 2,3 milhões de blocos de pedra para construí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas.
• Encher o paralelepípedo retângulo com algum material de baixa densidade (ex.: isopor) e despejar no prisma regular. • Comparar os volumes. • Determinar a expressão para o volume do prisma.
Pirâmides foram também construídas por outros povos, como os maias, na América Central, entre 300 e 900 d.C., e mais tarde pelos astecas. Eram usadas como templos para ado49
UEA – Licenciatura em Matemática
Em uma pirâmide regular, destacamos:
ração ao Sol, à lua e aos seus deuses da chuva. As formas piramidais foram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.
1. As arestas laterais são congruentes. 2. As faces laterais são triângulos isósceles congruentes.
3. Elementos da pirâmide
3. O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base.
Vértice: o ponto V. Base: a região poligonal. Ex.: ABCDEF
4. A altura de uma face lateral relativa à aresta da base é chamada apótema da pirâmide.
Faces laterais: regiões triangulares. Ex.: AVB, BVC, CVD. Arestas da base: lados do polígono da base. ⎯ ⎯ Ex.: AB e BC.
⎯
Arestas laterais: lados dos triângulos. Ex.: AV. Altura: distância do vértice à base (h).
Numa pirâmide regular, considere: a, a aresta da base; h, a altura da pirâmide; m, o apótema da base; 4. Classificação das pirâmides
g, o apótema da face;
As pirâmides podem ser classificadas de acordo com a projeção do vértice sobre o plano da base como oblíquas ou retas.
l, a aresta lateral;
Pirâmide oblíqua – É uma pirâmide cuja projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base não coincide com o centro da base.
Podemos obter as seguintes relações analisando os triângulos VOM, VOR e VMS.
r, o raio do círculo que circunscreve a base.
Do triângulo VOM, temos:
Pirâmide reta – É uma pirâmide cuja projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base. A pirâmide regular é uma pirâmide reta cujo polígono da base é regular.
Do triângulo VOR, temos:
50
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Do triângulo VMS, temos:
8. Planificação da pirâmide Ao contrário dos prismas, em que as faces são paralelogramos e possuem duas bases, as pirâmides têm faces triangulares e apenas uma base, conforme mostra a figura de uma pirâmide planificada.
5. Natureza da pirâmide Da mesma forma que no prisma, a natureza da pirâmide é dada de acordo com o polígono da base. POLÍGONO
NOME
triângulo
Pirâmide triangular
quadrado
Pirâmide quadrangular
pentágono
Pirâmide pentagonal
hexágono
Pirâmide hexagonal
.....
.....
9. Área na pirâmide 6. Secção transversal de uma pirâmide
Observe, na pirâmide regular planificada, que para calcular sua área lateral (Al) deve-se calcular a área de uma face lateral (Afl) e multiplicar pela quantidade de faces (n). Para calcular a área da base (Ab), deve-se calcular a área do polígono da base. Portanto, para calcular a área total da pirâmide (At), soma-se a área lateral com a área da base.
Um plano qualquer paralelo ao plano da base, ao interceptar uma pirâmide, nela determina uma região denominada secção transversal, conforme mostra a figura a seguir.
At = A l + Ab = n . Afl + Ab em que: At = área total da pirâmide. n = quantidade de faces laterais. Afl = área da face lateral. Ab = área da base. Exemplo 1: Calcule a área total na pirâmide quadrangular.
7. Tronco da pirâmide de bases paralelas Quando se secciona uma pirâmide por um plano paralelo ao plano da base, a região espacial delimitada pela base da pirâmide e pela região poligonal determinado no plano que a seccionou é denominado tronco de pirâmide, conforme mostra a figura a seguir. 51
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
Cálculo da área da face lateral (Afl)
Uma pirâmide quadrangular possui como base um quadrado e quatro faces triangulares. Logo:
Cálculo da área lateral (Al)
n=4
Al = 6 . 60 = 360cm2
a = 2cm
Cálculo da área da base (Ab)
Ab = 22 = 4cm2 Portanto a área total da pirâmide é: h = 5cm
At = Al + Ab = 360 + 54
Para calcular a área lateral (Al), é necessário calcular a área da face triangular (Afl), que, por sua vez, depende da altura da face, ou seja, do apótema da pirâmide (g).
At = 18(20 + 3
⇒
)cm2
Exemplo 3 Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que sua altura mede 12cm e que o perímetro da base mede 12cm.
Como temos a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h), podemos utilizar a expressão obtida em (I) para encontrar g:
Solução:
Logo:
Portanto: At = Al + Ab =
Sabendo que o perímetro da base mede 12cm, temos:
Exemplo 2:
3l = 12 ⇒ l = 4cm
Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal cujo apótema mede 20cm, sendo 6cm a medida do raio da base.
Para calcular a área da face lateral (Afl), é necessário obter a altura da face g. Como temos a altura da pirâmide h, precisamos obter o valor de m.
Solução:
Sabemos que em um triângulo eqüilátero é válida a seguinte expressão para a medida do apótema:
Portanto:
Como a base é um hexágono regular, temos:
Utilizando a relação obtida em (I), podemos obter g:
r = l = 6cm. 52
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
igual a 3/5 da área total. Calcule a altura e a área lateral dessa pirâmide. 5. Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é 36 cm2, e que o raio do círculo inscrito na base mede 2cm. Agora, podemos obter a área da face lateral:
6. Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 30 cm2 a área lateral e2 cm a medida da aresta lateral.
Portanto:
7. Calcule as áreas lateral e total de uma pirâmide triangular regular, sabendo que sua altura mede 12cm e que o perímetro da base mede 12cm.
Cálculo da área da base: Sendo um triângulo eqüilátero de medida l, temos:
8
Volume do tetraedro Considerando um prisma triangular ABCDEF, podemos decompô-lo em três pirâmides triangulares, segundo os planos AEC e DEC, como mostra a figura a seguir.
Cálculo da área total: A t = Al + Ab =
Seccionando o prisma pelo plano AEC, obtemos o tetraedro AEBC e a pirâmide quadrangular AECDF.
1. Calcule a aresta lateral de uma pirâmide regular, sabendo que sua base é um hexágono de 6cm de lado, sendo 10cm a altura da pirâmide.
Seccionando a pirâmide AECDF pelo plano DEC, obtemos duas pirâmides triangulares: o ACDE e o CDEF.
2. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de 12cm de diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.
Temos, então, que o volume do prisma é a soma dos volumes das 3 pirâmides obtidas: Vprisma = VT1 + VT2 + VT3
3. Calcule a área lateral e a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 3cm sua altura e 10cm a medida da aresta da base.
Observe que as pirâmides ABCE e CEDF têm o mesmo volume, pois possuem as bases (ABC e DEF) congruentes e a mesma altura (a do prisma). Então, VT1= VT2. (I)
4. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo 8cm e a área lateral
O mesmo ocorre com as pirâmides ACDE e CDEF, pois as bases (ACD e ACD) são congruentes e possuem a mesma altura (distância de 53
UEA – Licenciatura em Matemática
Cálculo do volume:
E ao plano ACDF). Então, VT2= VT3 . (II) De (I) e (II) temos: VT1 = VT2 = VT3 Chamando o volume da pirâmide triangular VT, a área do prisma Ab e altura h, temos:
9. Volume de uma pirâmide qualquer Considere agora uma pirâmide qualquer cuja base seja um polígono de n lados (n ≥ 3) de área B e altura h. Podemos decompor esse polígono em n – 2 triângulos.
Exemplo: Calcular o volume de um tetraedro de aresta a.
Para obtermos o volume do tetraedro, é necessário calcular a área da base e a altura. Cálculo da área da base (Ab):
Dessa forma, a pirâmide ficará decomposta em n – 2 pirâmides triangulares de bases B1, B2,..., Bn–2. Temos então:
Cálculo da altura (h): A projeção do vértice A sobre a base BCD é o centro O dessa face. Sendo M o ponto médio ⎯ de CD, podemos calcular BO na base e a altura h no triângulo retângulo AOB.
Exemplo1 Calcule o volume de uma pirâmide de 12cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6cm e 10cm.
C
Solução:
No
triângulo
Para calcular a área da base da pirâmide (Ab), é necessário calcular a área do losango (Alos.). Sendo D (a diagonal maior) e d (a diagonal menor), temos:
ΔAOB, sendo AB = a, temos:
Agora, podemos calcular o volume da pirâmide:
54
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
Solução:
Exemplo 2 Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24cm o perímetro da base e 30cm a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais. Solução:
Considerando Al a área lateral de uma pirâmide triangular regular e Ab a área da base, temos: Al = 4Ab (I) Cálculo da área da base: (II)
Para calcular o volume, precisamos da área da base e da altura.
Considerando a a medida da aresta da base e g a altura da face lateral (apótema), para obtermos a área lateral (Al), é necessário obter a medida g:
Para calcular a área da base, é necessário obter a medida a. Como o hexágono tem 24cm de perímetro e considerando a medida do lado do hexágono a, temos:
(III)
6a = 24 ⇒ a = 4cm
Substituindo os resultados obtidos de (II) e (III) na expressão (I), obtemos:
Podemos, então, calcular a área da base (Ab).
Para calcular a altura da pirâmide, podemos utilizar a relação trigonométrica l2 = h2 + a2. (I)
Para obtermos h, precisamos utilizar a relação trigonométrica g2 = h2 + m2. Mas falta obter a medida m. Sendo m o apótema de um triângulo eqüilátero, temos:
Para isso, é necessário encontrar a medida l. Como a soma dos comprimentos de todas as arestas laterais é 30cm, temos: 6l =30 ⇒ l = 5cm.
Substituindo os valores obtidos de m e g na relação trigonométrica, temos:
Substituindo o valor de a = 4cm e l = 5cm na expressão obtida em (I) temos: l2 = h2 + a2 ⇒ 52 = h2 + 42 ⇒
⇒ 25 = h2 + 16 ⇒ h2 = 9 ⇒ h = 3cm Agora, podemos substituir o valor da área da base (Ab) e da altura (h) na expressão para o cálculo do volume da pirâmide:
V = 24
Agora, podemos substituir o valor da área da base (Ab) e da altura (h) na expressão do volume da pirâmide:
cm3
Exemplo 3 A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3cm. 55
UEA – Licenciatura em Matemática
c) o triplo da metade da do prisma; d) o dobro da terça parte da do prisma; e) o quádruplo da do prisma.
1. Numa pirâmide quadrangular regular, a altura é o triplo da aresta da base, e seu volume é 64m3. Calcule a área lateral.
3. Se uma face de um tetraedro regular está inscrita em um círculo de raio 1, então o volume desse tetraedro é:
2. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é 4,2m3. Calcule a altura dessa pirâmide, sabendo-se que o perímetro da base mede 3,6m. 3. A área da base de uma pirâmide regular hexagonal é igual a 216 m2. Determine o volume da pirâmide, sabendo que sua altura mede 16m.
a)
b)
c)
d)
e)
4. O volume de uma pirâmide triangular regular é 64 cm3. Determine a medida da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.
4. Ao município de Humaitá chegou o “Grande Circo Geométricus”, cuja tenda tem o formato de uma pirâmide hexagonal regular justaposta sobre um prisma hexagonal regular de aresta da base a = 20m e altura h = 3m.
5. Calcule o volume de uma pirâmide regular hexagonal, sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral.
Considerando que a altura total da tenda é htotal = (3 + 2 )m, a quantidade total de lona utilizada nela é de:
6. Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular, sendo 20cm a medida de sua aresta lateral e 36 cm o perímetro do triângulo da base.
a) 360m2
1. Um prisma e uma pirâmide têm, ambos, bases quadradas e mesmo volume. O lado do quadrado da base da pirâmide mede 1m, e o quadrado da base do prisma tem lado 2m. A. razão entre as alturas da pirâmide e do prisma respectivamente é: a) 3/4 c) 1/12 e) 4/3
b) 1920m2 c) 1440m2 d) 1 560m2 e) 1800m2
b) 12 d) 1/3
5
2. Um prisma e uma pirâmide têm bases com mesma área. Se o volume do prisma for o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:
As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a: a) 3
b) 3
a) o triplo da do prisma;
c) 2
d) 2
b) o dobro da do prisma;
e) 56
Geometria II – Poliedros, prismas e pirâmides
• Confeccionar, em papel-cartão, as possíveis planificações do tetraedro conforme a figura.
Aula prática 5: Construção de pirâmides Objetivos: • Visualizar as pirâmides construídas. • Identificar os elementos de algumas pirâmides regulares. • Classificar as pirâmides em retas ou oblíquas.
• Recortar as planificações. • Dobrar as arestas e montar o sólido.
• Identificar as pirâmides regulares.
• Verificar que somente a letra “c” representa a planificação do tetraedro, pois a soma dos ângulos dos quatro triângulos unidos ao mesmo vértice é 240o, portanto, maior que 180o.
• Visualizar a secção das pirâmides. • Identificar a quantidade de faces, arestas e vértices das pirâmides obtidas. • Verificar a validade da relação de Euler nas pirâmides.
Atividade 2 Atividade 1
Material:
Material:
• Folhas de papel-cartão (2 cores diferentes).
• Geoplano 3D.
• Tesoura.
• Elásticos coloridos.
• Cola.
Descrição:
• Modelo do anexo 13.
• Construir algumas pirâmides retas e oblíquas.
Descrição: • confeccionar, em papel-cartão, a planificação das pirâmides regulares conforme modelo do anexo 13.
• Construir algumas pirâmides regulares identificando seus elementos, secções e verificando a validade da relação de Euler.
• Recortar a planificação.
Objetivos:
• Confeccionar, em papel-cartão (com cor diferente da utilizada na planificação), triângulos eqüiláteros cuja medida do lado seja a mesma da aresta da base da pirâmide.
• Visualizar as planificações das pirâmides.
• Sobrepor os triângulos à base.
Aula prática 6: Planificação e área das pirâmides
• Estabelecer a correspondência entre as planificações e as pirâmides.
• Calcular a área lateral da base e total da pirâmide.
• Deduzir a expressão para o cálculo da área da pirâmide.
• Dobrar as arestas e depois montar a pirâmide.
Atividade 1
Atividade 3
Material:
Recurso didático:
• Folhas de papel cartão.
• Software Poly Pro.
• Tesoura. • Cola.
Descrição:
Descrição:
• Selecionar uma das pirâmides disponíveis 57
UEA – Licenciatura em Matemática
altura do prisma.
no software Poly Pro utilizando a opção Platonic Solids (no caso do tetraedro) ou Johson Solids (para outras pirâmides).
• Bolinhas de isopor (ou outro material de baixa densidade).
• Planificar e comparar com a planificação obtida na atividade 2.
Descrição: • Verificar quantas vezes é possível encher o prisma com as bolinhas de isopor utilizando a pirâmide. • Estabelecer, por meio deste experimento, uma relação entre os volumes do prisma e o da pirâmide.
Aula prática 7: Relação entre o volume do prisma e o volume da pirâmide de mesma base e altura Objetivo: • Estabelecer a relação entre o volume do prisma e da pirâmide de mesma base e altura. Atividade 1: Material: • Prisma de acetato. • Pirâmide de acetado com mesma base e 58
UNIDADE IV Cilindro e cone
Geometria II – Cilindro e cone
Geratriz – Os segmentos com as extremidades nos pontos das circunferências das bases (g).
TEMA 08
CILINDRO 1. Definição Consideremos um círculo de centro O e raio r, contido em um plano e um segmento de reta ⎯ PQ cuja reta suporte intercepte esse plano. 3. Secção meridiana de um cilindro A intersecção de um plano que contém o eixo ⎯ OO’ com o cilindro denomina-se secção meridiana.
Um cilindro circular ou cilindro é a reunião de ⎯ todos os segmentos congruentes a PQ, paralelos à reta que o contém com uma extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semi-espaço em relação a α.
4. Classificação dos cilindros Os cilindros são classificados de acordo com a inclinação da geratriz em relação às bases, podendo ser oblíquo, reto ou eqüilátero.
Os objetos cilíndricos podem ser encontrados em quase todos os lugares. Por exemplo, a maioria das latas encontradas nas prateleiras dos supermercados; as moedas, que são conhecidas como cilindros chatos; as colunas cilíndricas utilizadas para sustentar o teto de certas construções, etc.
Cilindro oblíquo – É aquele cuja geratriz é oblíqua às bases. Sua secção meridiana é um paralelogramo. Cilindro reto ou de revolução – É aquele cuja geratriz é perpendicular às bases. Sua secção meridiana é um retângulo.
2. Elementos do cilindro
Cilindro eqüilátero – É todo cilindro reto cuja altura é igual ao diâmetro da base. Sua secção meridiana é um quadrado. Portanto, g = h = 2r.
Bases – Os círculos congruentes de centro O e O’ e raio r. Eixo – A reta que passa pelo centro das bases. ⎯ Ex.: OO’
5. Planificação do cilindro
Altura – A distância entre os planos que contêm as bases (h).
Ao planificar um cilindro, temos um retângulo cuja largura é a altura h do prisma e cujo com61
UEA – Licenciatura em Matemática
Vprisma = Ab . h ⇒ Vcilindro = Ab . h
primento é o comprimento da circunferência de raio r e temos dois círculos congruentes, conforme mostra a figura a seguir.
Sendo a área da base de um cilindro de raio r dada por πr2, temos: Vcilindro = π . r2 . h Exemplo 1 Calcular a área lateral, área total e o volume de um cilindro reto de altura 10cm e raio da base 5cm.
6. Área no cilindro Observe, no cilindro planificado, que para calcular sua área total (At) deve-se somar a área lateral com o dobro da área da base, uma vez que os dois círculos são congruentes e, portanto, possuem a mesma área. a) Cálculo da área lateral (Al): Al = 2π . r . h = 2π . 5 . 10 Al = 100πcm2 b) Para calcular a área total (At), é necessário calcular a área da base (Ab): Ab = π . r2 = π . 52 = 25cm2 At = Al + 2Ab = 100π + 50π ⇒ Al = 150πcm2 a) V = Ab . h = 25π . 10 ⇒
At = Al + 2Ab
V = 250πcm3
At = 2π . r . h + 2π2 At = 2πr(h + r)
Exemplo 2 Quantos cm2 são necessários para revestir a superfície da lata de óleo com papel laminado e quantos mililitros de óleo cabem nessa lata?
7. Volume do cilindro Considere um cilindro e um prisma, ambos de mesma altura h e bases de mesma área Ab, apoiados sobre um plano α, conforme mostra a figura a seguir.
Solução:
As secções transversais determinadas por um plano β, paralelo a α, têm áreas iguais. Então, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm o mesmo volume:
Para saber quantos cm2 são necessários para revestir a superfície da lata de óleo, é necessário calcular a área lateral. Para isso, precisamos obter a medida do raio r.
Volume do cilindro = Volume do prisma. 62
Geometria II – Cilindro e cone
Como r =
onde D é o diâmetro do círculo
(base da lata) temos:
Portanto, Al = 2πr . h = 2π . 3 . 22 ⇒ Al = 132πcm2 Agora, para saber quantos mililitros de óleo cabem na lata, é necessário obter o volume. V = π . r2 . h = π . 32 . 22 ⇒ V = 198πcm3
1. O raio da base de um cilindro mede r, e sua altura 2r. Um outro cilindro tem altura medindo r e raio da base 2r. Nessas condições, a soma de seus volumes é:
Portanto temos 198ml ou, aproximadamente, 622ml.
a) 8πr3
b) 6πr3
c) 4πr3
d) 3πr3
e) 2πr3
1. Determine a medida da altura de um cilindro de raio medindo 8cm, cuja área lateral é 112πcm2.
2. Em um cilindro eqüilátero, a razão entre a área total e a área lateral é:
2. O volume de um cilindro é 72m3, e a área lateral é 48m2. Determine a medida do diâmetro da base.
a)
b)
c)
d)
3. Em um cilindro circular reto de volume igual a 36π, a altura mede 4. Calcule a medida do raio da base.
e) n.d.a. 3. Um tanque, na forma de um cilindro regular, com 10m de altura e de diâmetro (medidas externas), tampado superiormente, é usado como depósito de óleo combustível. Anualmente, é feita uma pintura de sua superfície externa (excluindo-se a pintura da base inferior). Sabe-se que, com uma lata de tinta, pintam-se 26m2 de superfície. Considerando π = 3,14, para se pintar todo o tanque são necessários, aproximadamente:
4. Determine a área lateral de um cilindro eqüilátero cujo raio da base mede m. 5. Um cilindro reto tem 63πcm3 de volume. Sabendo que o raio da base mede 3cm, determine, em centímetros, a medida da sua altura. 6. Um vaso com o formato de um cilindro circular reto tem a altura de 30cm e diâmetro da base medindo 20cm. Determine, em litros, a capacidade desse recipiente.
a) 7 latas de tinta; b) 15 latas de tinta; c) 18 latas de tinta; d) 20 latas de tinta;
7. Uma fábrica de óleo pretende mudar a embalagem do produto, de cilindro reto para prisma reto de base retangular (conforme figura). Para manter o mesmo volume, qual deve ser a medida da altura (h) da nova embalagem?
e) 21 latas de tinta. 4. Para medir o volume de uma pedra irregular, um estudante utilizou um copo de forma cilín63
UEA – Licenciatura em Matemática
drica, de diâmetro 6cm, com água até certa altura. Marcou o nível da água em repouso, deixou a pedra mergulhar e marcou o novo nível. Considerando π = 3,14, se o desnível observado foi de 2cm, então o volume da pedra é:
reto, comparando com prisma de mesma base e altura. Atividade: Material: • Folhas de acetato (ou papel cartão).
a) 56,52cm
b) 226,08cm
• Tesoura.
c) 18,84cm
d) 80cm
• Cola.
3
3
3
3
e) 160cm3
• Bolinhas de isopor. Descrição:
5. O líquido contido em uma lata cilíndrica deve ser distribuído em potes também cilíndricos, cuja altura é base é
• Confeccionar em acetato (ou papel cartão) a planificação do cilindro circular reto.
da altura da lata e cujo raio da
• Recortar a planificação.
do raio da base da lata. O número de
• Obter o valor da área lateral do cilindro circular reto.
potes necessários é:
• Obter o valor da área da base do cilindro circular reto.
a) 6 b) 12
• Obter o valor da área total do cilindro circular reto.
c) 18 d) 24
• Montar o cilindro circular reto.
e) 36
• Obter o valor do volume do cilindro circular reto, verificando quantas vezes é possível encher o cilindro utilizando o prisma.
6. Dois cilindros, um de altura 4 e outro de altura 6, têm, para perímetro de suas bases. 6 e 4, respectivamente. Se V1 é o volume do primeiro e V2, o volume do segundo, então: a) V1 = V2 b) V1 = 2V2 c) V1 = 3V2 d) 2V1=3V2 e) 2V1=V2
Aula prática 8: Construção de um cilindro circular reto Objetivos: • Visualizar o cilindro circular reto e sua planificação. • Calcular a área das bases lateral e total do cilindro circular reto. • Calcular o valor do volume cilindro circular 64
Geometria II – Cilindro e cone
TEMA 09
CONE 1. Definição Na figura abaixo, temos: um, plano α, um círculo C contido em α, um ponto V que não pertence a α. 3. Classificação Os cones podem ser classificados de acordo com a posição de seu eixo em relação ao plano da base: Cone oblíquo Se o eixo é inclinado ao plano da base, tem-se um cone circular oblíquo como na figura anterior.
A figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto do círculo C denomina-se cone circular ou, simplesmente, cone.
Cone reto Um cone diz-se reto (ou de revolução) quando o eixo é perpendicular ao plano da base. Ele pode ser obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno da reta suporte de um dos catetos. Nesse caso, a altura do ⎯ cone coincide com a medida do segmento VO.
2. Elementos • Base – É o círculo C, de centro O e raio r, situado no plano α. • Vértice – É o ponto V. • Raio da base – É o raio r do círculo. • Altura – É a distância h do vértice V ao plano da base . 4. Secção meridiana
• Geratriz – É o segmento com uma extremidade no vértice V e a outra em um ponto da circunferência.
Secção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo.
• Eixo – É a reta que contém o vértice V e centro O do círculo da base .
A secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles. 65
UEA – Licenciatura em Matemática
Sabemos que
em que
α expressa a medida do ângulo central em radiano e l é a medida do comprimento da circunferência da base. Como l = 2πr, temos : Al = πrg Cone
Secção meridiana
• Área da Total (At) No triângulo retângulo, temos a seguinte relação: g2 = h2 + r2 Em que: g é a medida da geratriz; A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área desta superfície é chamada área total e é indicada por At.
h é a altura do cone; r é a medida do raio da base. 5. Cone eqüilátero
At = Área de um setor circular + área de um círculo.
Cone eqüilátero é um cone cuja secção meridiana é um triângulo eqüilátero.
A t = Al + Ab Substituindo Al = π r g e Ab = πr2, temos: At = Al + Ab ⇒ At = π r g + πr2 ⇒ At = π r (g + r) Exemplo 1
Cone
Secção meridiana
O cone eqüilátero tem g = 2r e, como r + h = g , podemos obter sua altura como segue:
Determine a medida da altura de um cone cuja geratriz mede 10cm, sendo 12cm o diâmetro de sua base.
r2 + h2 = (2r)2 ⇒ r2 + h2 = 4r2
Solução:
⇒ h2 = 3r2 ⇒ h = r
Temos que g = 10cm e r = 6cm e queremos determinar h. Mas sabemos que em um cone vale a relação:
2
2
2
6. Áreas da superfície de um cone circular reto • Área lateral (Al)
h = 8cm
Planificando a superfície lateral do cone da figura:
Exemplo 2 Determine a medida do diâmetro da base de um cone de revolução cuja geratriz mede 65cm, sendo 56cm a altura do cone. Solução:
A área da superfície lateral corresponde à área de um setor circular de raio g.
Temos que g = 65cm e h = 56 cm. Como 66
Geometria II – Cilindro e cone
, então
Denotando a área da secção meridiana por Asecção,
.
temos que
Como o diâmetro d = 2r, temos:
. Substituindo o
valor de r temos que Asecção= 20 . h. Substituindo o valor da área, temos:
d = 66cm Exemplo 3
cm.
Determine a área lateral de um cone eqüilátero, sendo 20cm a medida de sua geratriz.
Agora, precisamos calcular o valor de g. Mas
Solução:
cm. Portanto At = π . 20 . (29 + 20) = 20 . 49 . π ⇒
No triângulo equilátero, temos g = 2r. Como a área lateral Al = π r g e g = 20cm, temos Al = π . 10 . 20. Portanto Al = 200πcm2.
At = 980πcm2 Exemplo 6
Exemplo 4
Determine a área lateral de um cone cujo raio da base mede 5cm, sendo 60º o ângulo que a geratriz forma com a base do cone.
Determine a área total de um cone, cuja secção é um triângulo equilátero de 8dm de lado.
Solução:
Solução:
Temos que g = 2r, como o lado do triângulo mede 8dm, obtemos g = 8 e r = 4. Sabemos que At = π r(g + r). Portanto At = π.4(8 + 4), logo At = 48πdm2
A figura acima representa a secção meridiana do cone dado no problema. Temos que
Exemplo 5
Como Al = πrg, temos que Al = π.5.10.
Determine a área total de um cone, sendo 40cm o diâmetro de sua base e 420cm2 a área de sua secção meridiana.
Portanto Al = 50πcm2
Solução:
Cone
1. Um aluno de Manicoré resolveu vender amendoins torrados em embalagens no formato de um cone reto, com 6cm de diâmetro da base e 10cm de altura. Qual será a quantidade mínima de papel utilizada para confeccionar essas embalagens?
Secção meridiana
Desejamos calcular At = π r(g + r), e pra isso precisamos dos valores de r, h e g. Como 2r = 40 ⇒ r = 20cm
2. A geratriz de um cone mede 14cm, e a área da base 80πcm2. Calcule a medida da altura do cone. 67
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Determine a medida da área lateral e da área total de um cone de revolução, sabendo que sua altura mede 12cm e sua geratriz 13cm.
Por isso, podemos dizer que o volume do cone é igual ao volume da pirâmide.
4. Determine a medida da altura de um cone eqüilátero cuja área total mede 54cm2.
que o volume do cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura.
temos
Vcone = Vpirâmide e como
5. Determine a área total de um cone cuja altura mede 12cm e forma um ângulo 45º com a geratriz. 6. Determine a superfície lateral de um cone cuja área da base mede 6,25πcm2 sendo 4cm a medida da sua altura.
Substituindo Ab = πr2, obtemos:
7. A altura de um cone circular reto cujo raio da base mede r é πr. Sendo 3cm a medida do apótema do hexágono regular inscrito na base, determine a área da secção meridiana do cone.
Exemplo 1
8. Determine a geratriz do cone de revolução, sabendo que a área da base é equivalente à secção meridiana do cone e que a altura desse cone mede 9πcm.
Solução:
.
Em Itacoatiara, foi feito um silo para armazenamento de grãos na forma de um cone circular reto com 2m de raio e 6m de altura. Qual a capacidade de armazenamento deste silo?
Temos r = 2 e h = 6, portanto V = 8πm3
9. Determine a razão entre a base e a superfície lateral de um cone que tem altura igual ao diâmetro da base.
Exemplo 2 Um copo de chope, cujo interior tem a forma praticamente cônica, tem 15cm de profundidade e capacidade para 300ml. Suponha que um chope seja “tirado” com 3cm de “colarinho” (espuma). Qual o volume de chope (líquido) contido no copo?
10. Um cilindro e um cone têm altura h e raio da base r. Sendo r o dobro de h, determine a razão entre a área lateral do cilindro e a área lateral do cone. 7. Volume do cone
Solução:
Consideremos um cone de altura h e área de base Ab e uma pirâmide com a mesma altura h e a mesma área da base Ab. Vamos supor que o plano que contém as bases é um plano horizontal (conforme a figura).
h = 15 – 3 ⇒ h = 12cm h = 15cm e V = 30ml Queremos calcular o volume de chope que denotaremos por Vc, e para tal usaremos a razão de semelhança dos triângulos retângulos; para isso, calcularemos o valor de R conforme a figura acima.
Qualquer plano horizontal que secciona o cone, também secciona a pirâmide, e as secções têm áreas iguais. 68
Geometria II – Cilindro e cone
Substituindo essa relação no volume da água, temos: Temos que . ml.
Então,
Como y = 2r’, temos: Portanto Vc = 153,60ml Exemplo 3
Exemplo 4
Um recipiente cônico, com altura 2 e raio da base 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). lnverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. Determine a distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. II.
Seja um tronco de cone reto, de altura H e raios das bases r1 e r2. Indiquemos por l a geratriz do tronco (veja a figura). Mostre que a área lateral do tronco pode ser dada pela expressão A = π(r1 + r2)l
Solução:
Solução: Seja V o vértice dos cones cujas bases são os círculos de raios r1 e r2 que constituem as bases do tronco. O cone maior tem área lateral A2 = πr2g2, e o cone menor tem área lateral A1 = πr1g1, onde g2 – g1 = l. A área lateral do tronco é dada por A = A2 – A1 = π(r2g2 – r1g1).
As figuras acima representam as secções meridianas das Figuras I e II respectivamente. Usando as relações de semelhança dos triângulos retângulos, temos:
Mas como
.
, temos g2rr1 – g1r2 = 0.
Portanto podemos escrever: A = π(r2g2 – r1g1 + g2r1 – g1r2) =
Cálculo do volume de água:
= π[g2(r1 + r2) – g1(r1 + r2 )] = = π(r1 + r2)(g2 – g1)= = π(r1 + r2)l 69
UEA – Licenciatura em Matemática
1. O volume de um cone circular reto é de 27πdm3, e a altura é de 9 dm. O raio da base é:
1. Calcule o volume de um cone de revolução cujo raio da base mede 24cm e a área lateral é 600πcm2. 2. Um cone de revolução tem 1m de raio. Calcule
3
c) 2dm
d) 5dm
2. Um cone eqüilátero tem área lateral igual a 18π dm2. Calcule, em dm3, o valor do seu volume:
m2.
Num cone reto, cuja área lateral é 18 π cm 2 ,
a) 6π
o raio é a metade da geratriz. Calcule o
b) 9π
volume. 4
b) 9dm
e) 3dm
a altura e o volume, sabendo que a área lateral é
a) 4dm
c) 12π
Um triângulo retângulo de catetos 3cm e 6cm
d) 8π
gira em torno do cateto maior. Determine a área
e) 18π
lateral, a área total e o volume do sólido gerado. 5
3. Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro da base é 8m. Então, a área total vale :
Um cone de revolução tem 12πcm3 de volume. Sabendo que é gerado por um triângulo retân-
a) 52πm2
b) 36πm2
gulo que gira em torno de um cateto de 4cm,
c) 20πm2
d) 16πm2
calcule a geratriz do cone.
e) n.d.a.
6. A secção meridiana de um cone eqüilátero tem 4
4. O volume de um cone eqüilátero que tem como área da base S = 12πm2 é:
m2 de área. Calcule o volume do cone.
a) 72πm3
b) 24πm3
2cm de raio da base, sabendo que a base e a
c) 36πm3
d) 28πm3
secção meridiana têm áreas iguais (são equi-
e) 40πm3
7. Calcule o volume de um cone circular reto de
valentes). 5. Dois cones retos têm a mesma base, e a altura de um é o triplo da altura do outro. Então, a relação entre os volumes do menor e maior é:
8. Calcule o volume de um cone de revolução de 1m de raio e base equivalente à secção meridiana. 9. Um cone de revolução tem 10πcm de altura.
a) 1/2
b)
c) 1/3
d) 1/4
e) n.d.a.
Calcule o volume, sabendo que a área da secção meridiana é o dobro da área da base.
6. Se a base de um cone de revolução de raio igual a 2cm for equivalente à secção meridiana, a sua altura medirá, em cm:
10. Uma “casquinha de sorvete” de forma cônica tem 5cm de diâmetro e 13cm de altura. Se a
a) 2π
b) 3π
porém sem excesso, quantos mililitros de
c) 4π
d) 5π
sorvete possui?
e) n.d.a.
casquinha está cheia de sorvete até a “boca”,
70
Geometria II – Cilindro e cone
7. A altura de um cone circular reto é igual ao diâmetro de sua base. Se a geratriz mede 15cm, o seu volume é, em cm2, igual a :
13. Num cone de revolução, a área da base é 36πm2 e a área total 96πm2. A altura do cone, em m, é igual a:
a) 270
b) 27
a) 4;
b) 6;
c) 540
d) 90
c) 8;
d) 10;
e) n.d.a.
e) 12.
8. Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, gira em torno de um de seus catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado? a) 3
cm3
c) 18πcm3
14. Um cone circular reto tem por base uma circunferência de comprimento igual a 6πcm, e sua altura é 2/3 do diâmetro da base. Então, sua área lateral é, em cm2:
b) 9πcm3 d) 27πcm3
e) n.d.a.
a) 5π
b) 9π
c) 12π
d) 15π
e) 36π
9. A geratriz de um cone mede 13cm, e o diâmetro de sua base 10cm. O volume do cone em cm3 é:
15. Qual é o volume de um cone circular reto de diâmetro da base a 6cm e de geratriz 5cm?
a) 100π
b) 200π
a) 12π
b) 24π
c) 400π
d)
c) 36π
d) 48π
e) 96π
e)
Aula prática 9: Construção de um cone circular reto
10. Se o raio da base de um cone de revolução mede 3cm, e o perímetro de sua secção meridiana mede 16cm, então seu volume, em cm3, mede: a) 15π
b) 10π
c) 9π
d) 12π
Objetivos: • Visualizar a planificação do cone circular reto. • Calcular o valor da área da base lateral e total do cone circular reto.
e) 14π 11. A planificação da superfície lateral de um cone é um semicírculo de raio 10 . O volume do cone é :
Atividade 1: Material :
a) 357π
b) 573π
• Folhas de acetato (ou papel cartão).
c) 375π
d) 537π
• Tesoura.
e) 735π
• Cola. Descrição:
12. Sabendo-se que um cone circular reto tem 3dm de raio e 15πdm2 de área lateral, o valor de seu volume, em dm3, é: a. 9π
b. 15π
c. 12π
d. 36π
• Confeccionar, em acetato (ou papel cartão), a planificação do cone circular reto. • Recortar a planificação. • Obter o valor da área lateral do cone circular reto.
e. 20π 71
UEA – Licenciatura em Matemática
• Obter o valor da área da base do cone circular reto. • Obter o valor da área total do cone circular reto.
Aula prática 10: Relação entre o volume do cilindro circular reto e do prisma quadrangular regular utilizando embalagens de produtos. Objetivos: • Estabelecer uma relação entre os volumes do cilindro circular reto e do prisma. Material: • Lata de óleo de 900ml vazia, sem uma das tampas. • Caixa de leite de 1 litro. • Bolinhas de isopor (ou de outro material de baixa densidade). Descrição: • Verificar a reação entre os volumes das embalagens. Aula prática 11: Relação entre o volume do cilindro e do cone de mesma base e altura. Objetivos: • Estabelecer uma relação entre os volumes do cilindro e do cone de mesma base e altura. Material: • Cilindro de acetato ou papel cartão (construído anteriormente). • Cone de acetato ou papel cartão (construído anteriormente). • Bolinhas de isopor (ou de outro material de baixa densidade). Descrição: •Verificar quantas vezes é possível encher o cilindro com as bolinhas de isopor utilizando o cone; • Estabelecer através deste experimento uma relação entre os volumes do cilindro e do cone. 72
UNIDADE V Superfícies de revolução e sólidos de revolução
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
TEMA 10
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 1. Superfícies de Revolução Consideremos uma reta e (que chamaremos ⎯ eixo de rotação) e um segmento AB, coplanar com a reta e e contido em um dos semiplanos que têm origem nessa reta. Imaginemos que o segmento “gira” em torno do eixo e, produzindo uma superfície. Com uma linguagem mais precisa, imaginemos que cada ponto do seg⎯ mento AB determina uma circunferência que passa por ele e tem como centro o pé da perpendicular conduzida desse ponto ao eixo. A união de todas estas circunferências forma uma superfície, chamada superfície de revolução. ⎯ Se o segmento AB está inclinado em relação ao eixo, sem cortá-lo, obtém-se a superfície lateral ⎯ de um tronco de cone. Se AB é paralelo ao eixo, obtém-se a superfície lateral de um cilin⎯ dro reto. Se AB tem uma extremidade sobre o eixo, obtém-se a superfície lateral de um cone ⎯ reto (estamos supondo que o segmento AB não é perpendicular ao eixo, pois nesse caso teríamos um círculo ou uma coroa circular).
Basta notar, na figura acima, que:
ΔABC ~ ΔPMQ , donde Lembrando que
. , temos
donde (r1 + r2)l = 2ah e, assim, A = 2πah. Esse resultado pode ser generalizado. Consideremos uma seqüência de segmentos congruentes entre si, formando uma poligonal regular, circunscrita a uma circunferência de raio a e centro O. Seja e um eixo de rotação que passa por O e não corta a poligonal, como mostra a figura. A área da superfície de re⎯ volução gerada pela rotação do segmento AB é igual a A1 = 2πah1. Analogamente, para os demais segmentos da poligonal, teríamos A2 = 2πah2, A3 = 2πah3, etc.
⎯
Seja l o comprimento do segmento AB e indiquemos por r1 e r2 as distâncias de suas extremidades ao eixo. Sabemos que a área da superfície de revolução é dada por A = π(r1 + r2)l. Consideremos o ponto médio M do segmento ⎯ ⎯ AB. A mediatriz de AB encontra o eixo no ponto P. Indiquemos MP = a. É possível provar que a área da superfície de revolução pode ser dada também pela expressão A = 2π ah 75
UEA – Licenciatura em Matemática
Assim, a área total é A = A1 + A2 + A3 + ... = = 2π(h1 + h2 + h3 + ...) = 2π ah Portanto mostramos que: A área da superfície de revolução gerada pela rotação de uma poligonal regular em torno de um eixo de seu plano, passando pelo centro da circunferência inscrita, é igual ao produto do comprimento da circunferência inscrita pela projeção da poligonal sobre o eixo: A = 2π ah 2. Sólidos de Revolução
Assim, o seu volume é
Consideremos um semiplano de origem e (eixo) e nele uma superfície S. Girando o semiplano em torno de e, a superfície S gera um sólido chamado sólido de revolução.
Mas, (BP) . (AO) = (AB) . (OH), pois ambos os produtos dão o dobro da área do ΔABO. Assim,
A expressão π(BP)(AB) representa a área lateral do cone gerado pela rotação do ΔABP, isto é, é a área da superfície de revolução ge⎯ rada pela rotação do lado AB. Indicando esta área por:
Exemplos
AAB, escrevemos V
.
Na situação ilustrada abaixo, o volume do sólido obtido é a diferença entre os volumes dos dois cones: Retângulo Triângulo retângulo gerando cilindro gerando cone de de revolução. revolução
Trapézio retângulo gerando tronco de revolução
Se o triângulo ABO gira em torno de um eixo ⎯ que contém o lado AO, obtém-se um sólido de revolução. Vamos mostrar que o volume desse sólido é igual à terça parte do produto da altura OH pela área da superfície de revolução ⎯ gerada pelo lado AB. Para isso, notemos que o sólido de revolução é a união de dois cones retos, gerados pela rotação dos triângulos ABP e BPO. 76
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
Analogamente ao caso anterior, temos: BP.AO = AB.OH, o que nos dá V
.
Mas, como se vê, a conclusão final é igualmente válida. Teríamos:
Seja, agora, um triângulo que gira em torno do eixo e seu plano, mas tendo apenas um vértice pertencente ao eixo, como na figura abaixo.
Mas, 2π(OH)2 . AB é a área da superfície gerada
⎯
por AB, assim temos também
.
O resultado acima pode ser generalizado. Consideremos um setor poligonal regular (conforme a figura a seguir), circunscrito a uma circunferência de raio a e centro O. Seja e um eixo coplanar com o setor, passando por O, mas sem cortar o setor. O volume do sólido gerado pela rotação do setor poligonal em tomo do eixo e é igual à terça parte do produto do apótema a pela área da superfície gerada pela poligonal do setor.
⎯
Nesse caso, prolongando AB até encontrar o eixo no ponto C, podemos exprimir o volume procurado como a diferença entre os volumes dos sólidos gerados pelos triângulos CBO e CAO:
resultado idêntico ao anterior.
⎯
Se AB // e, caso em que seu prolongamento não encontraria este eixo, o volume pedido pode ser calculado como sendo o volume do cilindro gerado pelo retângulo ABPQ (veja a próxima figura), menos os volumes dos cones gerados pelos triângulos OAQ e OBP. 77
UEA – Licenciatura em Matemática
Basta notar que o ΔOAB gera um sólido de vo-
Exemplo 2
, o ΔOBC gera um sólido
lume
O trapézio ABCD da figura, para o qual AB = AD = a e CD = 2a, gira em torno de um eixo do seu plano, que passa por C e é parale⎯ lo ao lado AB. Calcule:
e assim por diante. Logo, o volume total é V = V1 + V2 + V3 + ... =
a) a área da superfície gerada pelos lados do trapézio; b) o volume do sólido gerado pelo trapézio.
a Exemplo 1 Um triângulo de lados AB = 26cm AC = 28cm ⎯ e BC = 30cm gira em torno do lado AC. Calcule: Solução:
a) a área da superfície gerada pelos lados; b) o volume do sólido gerado pelo triângulo. Solução:
a) As = AAB + AAD + ADC + ABC
⎯
A superfície gerada por AB é uma coroa.
⇒ 784 – 56h + h2 + 678 – h2 = 900 ⇒ h = 10cm. Então r = 24cm.
AAB = Acoroa = AC – Ac = π(2a)2 – πa2 = 3πa2
Al = AAB + ABC.
AAD é a área lateral do cilindro de raio 2a, logo
AAB = AB. r = 26 . 24 = 624cm2
AAD = 2π . 2a. a = 4πa2
ABC = BC. r = 30 . 24 = 720cm2
ADC = é a área do círculo de raio 2a, logo
Logo,
ADC = π(2a2) = 4πa2
Al = 624 + 720 = 1344cm2
ABC é a área lateral do cone de raio a e geratriz a , logo ABC = π . a. a = πa2. Portanto:
Temos que
AS = 3πa2 + 4πa2 + 4πa2 + AS = (11 +
cm3.
π a2
)πa2
b. O volume pode ser calculado como sendo 78
Geometria II – Superfícies de revolução e sólidos de revolução
o volume do cilindro de raio 2a e altura a, menos o volume do cone de raio a e altura a. Logo, V = Vcilindro – Vcone
passa pelo vértice do ângulo reto e é paralelo à hipotenusa. Determine: a) a área da superfície gerada pelos lados do triângulo; b) o volume do sólido gerado pelo triângulo. 6. Calcule o volume e a área total do sólido gerado pela rotação de um hexágono regular de lado a, em torno da sua maior diagonal. 7. Um triângulo eqüilátero de lado a gira em torno de um eixo paralelo a um de seus lados e à distância a dele. Calcule (considerando dois casos): a) a área da superfície gerada pelos lados do triângulo;
1. Um triângulo retângulo ABC, de hipotenusa ⎯ ⎯ AC gira em torno do cateto BC. Calcule: a) o comprimento da circunferência gerada pelo ponto A;
b) o volume do sólido gerado pelo triângulo.
⎯
b) a área da superfície gerada pelo lado AB;
⎯
c) a área da superfície gerada pelo lado AC; d) o volume do sólido gerado pelo triângulo. 2. Um triângulo eqüilátero ABC de lado a gira em torno de um eixo que passa por A e é perpen⎯ dicular ao lado AB. Calcule:
⎯
a) a área da superfície gerada pela altura AH;
⎯
b) a área da superfície gerada pelo lado AC; c) o volume do sólido gerado pelo triângulo. 3. Um losango ABCD de lado a e ângulo agudo ⎯ de 60o ( AC é a diagonal maior) gira em torno de um eixo do seu plano, que passa pelo ponto C ⎯ e é perpendicular à diagonal AC. Calcule: a) a área da superfície gerada pelos lados do losango; b) o volume do sólido gerado pelo losango. 4. Um trapézio isósceles de bases a e 3a e altura a gira em torno de um eixo do seu plano, que passa por uma extremidade da base maior e é perpendicular às bases. Calcule: a) a área da superfície gerada pelos lados do trapézio; b) o volume do sólido gerado pelo trapézio. 5. Um triângulo retângulo de hipotenusa 2a e ângulo de 30o gira em torno de um eixo que 79
UNIDADE VI Esfera
Geometria II – Esfera
Os ponos P e P’ que a reta determina na superfície esférica são denominados pólos. As distâncias dos pólos ao ponto A chamam-se distâncias polares. Podemos indicá-Ias assim:
TEMA 11
ESFERA
PA = p
P’A = p’
Observemos a figura. O triângulo PAP’ é retângulo em A, sendo que podemos aplicar nele a conhecida relação métrica:
1. Definição Sejam dados um ponto O e uma medida r. O conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a O é menor ou igual a r chama-se esfera de centro O e raio r.
(PA)2 = PP’ . PC
Mas, PA = p, PP’ = 2r e PC = r – d. Logo P2 = 2r(r – d) ⇒ Chama-se superfície esférica o conjunto dos pontos da esfera cuja distância ao centro O é igual a r.
De modo análogo, encontramos:
2. Seção plana de uma esfera. Pólos 3. Volume da esfera
Consideremos um plano α cuja distância ao centro O da esfera seja menor do que o raio r. A interseção desse plano com a esfera é um círculo de centro C.
O volume de uma esfera de raio r é dado pela expressão
Este resultado pode ser obtido pela aplicação do princípio de Cavallieri. Para isso, imaginemos um cilindro eqüilátero cujo raio da base seja r, igual ao raio da esfera.
Determinemos a relação entre os raios da esfera e desse círculo. Sejam ρ o raio do circulo e d a distância do plano do círculo ao centro da esfera. Conforme se vê na figura, pode-se escrever :
Seja V o centro do cilindro, isto é, o ponto médio do seu eixo. Podemos considerar dois cones, com vértice nesse ponto V e tendo como bases as bases do cilindro. Este sólido é chamado de clepsidra. Suponhamos que esta clepsidra é retirada do cilindro e vamos tomar
(OA)2 = (OC)2 + (CA)2 ⇒
⇒ r2 = d2 + ρ2 ⇒
83
UEA – Licenciatura em Matemática
o sólido que resulta, ou seja, a parte do cilindro situada fora da clepsidra. Este sólido é denominado anticlepsidra.
a) Calcule o volume da esfera interna. b) Calcule o volume da esfera externa. c) Chamemos de concha esférica a parte da esfera externa que está fora da esfera interna (é o sólido limitado pelas duas superfícies esféricas). Calcule o seu volume. Solução: a) Denotando por V1 o volume da esfera interna, temos:
Vamos imaginar que a esfera tangencia os dois planos das bases do cilindro. Um plano paralelo a estes, situado a uma distância d(d < r) do centro da esfera, intercepta a anticlepsidra segundo uma coroa circular, e a esfera, segundo um círculo. As circunferências que limitam a coroa circular têm raios d e r, logo a área da coroa é
b) Denotando por V2 o volume da esfera externa, temos:
Acoroa = πr2 – πd2 = π(r2 – d2) A área do circulo determinado na esfera é Acírculo = πρ2 = π(r2 – d2), logo temos que Acoroa = Acírculo, e pelo princípio de Cavalieri concluímos que o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra, ou seja V = Vcilindro – 2.Vcone.
c) O volume da concha esférica é dado por
Lembremos que Vcilindro = Ab . h = (πr2 )h = (πr2)2r = 2πr3 4. Área da superfície esférica A determinação de fórmulas para a área lateral de um cone reto, ou de um cilindro reto, é um problema relativamente simples. Já o cálculo da área de uma superfície esférica representa um desafio maior, pois não é possível “desenrolar” uma superfície esférica, transformando-a em uma figura plana, como no caso do cone ou do cilindro. Examinando o Exemplo 1, podemos obter um caminho para chegar à fórmula desejada. Embora o método que usaremos esteja apoiado numa espécie de “conceito de limite”, ele é aceitável, dentro de um nível intuitivo.
Então para o volume da esfera temos
Exemplo Duas esferas concêntricas (isto é, de mesmo centro) têm raios r e r + h, como ilustrado na figura seguinte. 84
Geometria II – Esfera
A poligonal regular ABCDEFG, inscrita na semicircunferência, gera uma superfície de área
Seja A a área da superfície esférica de raio r (a interna, no exemplo 1). Parece fácil de se aceitar, intuitivamente, que o produto A.h é uma boa aproximação para o volume V da concha esférica. Tal aproximação torna-se tanto melhor quanto menor fica a espessura h da
A6 = 2π . a . (2r) = 4πar
representa uma boa aproximação para a área A, desde que h seja suficientemente pequeno. Assim, parece claro que, se h tende a zero, a
(O índice 6 relaciona-se ao número de lados da poligonal). É intuitivo que, aumentando-se o número de lados da poligonal considerada, as superfícies de revolução passam a ter áreas cada vez mais próximas da área da superfície esférica. Ora, nessas circunstâncias, o apótema a tenderia ao valor do próprio raio r. Assim, a área da superfície esférica ficaria igual a:
razão
A = 4πr . r = 4π2
concha. Em outras palavras, o quociente
esférica
tende ao valor A da área da superfície de
raio
r.
Ora,
como
vimos,
Exemplo 1 Determine a área da superfície esférica da esfera de raio 3cm.
, logo
Solução: A = 4π . r2, como r = 3 temos A = 4π . 32
.
A = 36πcm2
Assim, a área A é dada pela expressão que se obtém desta, supondo h = 0:
Exemplo 2 Uma esfera de raio R está colocada em uma caixa cúbica, sendo tangente às paredes da caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu lugar são colocadas 8 esferas, tangentes entre si e também às paredes da caixa. Determine a relação entre o volume não ocupado pela esfera única e o volume não ocupado pelas 8 esferas.
. Portanto A = 4πr2. Outra maneira de se chegar a esse resultado é aproveitar as observações feitas no tema anterior em superfícies de revolução. Uma superfície esférica é a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo contendo seu diâmetro.
Solução:
V1 = Vcubo – Vesf. ⇒
85
UEA – Licenciatura em Matemática
V2 = Vcubo – 8 Vesf. ⇒
c) o raio da seção da esfera por um plano situado a 1m do centro; d) as distâncias polares correspondentes a essa seção. 2. Uma esfera tem volume igual a 36πcm3. Calcule:
(1) e (2) ⇒ V1 = V2
a) o seu raio;
Exemplo 3
b) a área de sua superfície.
Prove que a área total de um cone eqüilátero inscrito em uma esfera é igual a
da área total
3. A seção de uma esfera por um plano situado a 3cm do centro tem área igual a 16πcm2. Determine o volume da esfera.
do cone eqüilátero circunscrito à mesma esfera. Solução:
4. A seção de uma esfera por um plano que passa pelo centro tem área igual a 12πcm2. Determine: a) o raio da esfera; b) o volume da esfera; c) a área da superfície esférica.
2
ΔAOD ⇒ R1 = (2r)2 – r2 ⇒ R1 = r Atcone_circ. = πR1(R1 + 2R1) ⇒
⇒ Atcone_circ. = πr
(r
+ 2r
5. Numa esfera de raio igual a 6cm, a que distância do centro deve ser tomada uma seção plana cuja área seja igual à metade da área da seção plana que contém o centro da esfera?
)⇒
⇒ Atcone_circ. = 9πr2 (1)
6. Numa esfera de volume igual a
cm3
toma-se uma seção plana cuja área é igual a 24πcm2. Qual é a distância dessa seção ao centro da esfera? 7. Determine o volume de uma esfera inscrita num cubo de aresta a.
(1) e 8. Considere uma esfera inscrita em um cilindro eqüilátero. Determine a razão entre a área da superfície esférica e a área lateral do cilindro.
1. Uma esfera tem 1,5m de raio. Calcule: a) o seu volume; b) a área da sua superfície; 86
Geometria II – Esfera
9. Um cone eqüilátero está inscrito em uma esfera. Determine a razão entre os volumes desses dois sólidos.
15. Os centros de três esferas que se tangenciam duas a duas, externamente (como a figura indica), formam um triângulo de lados 3, 4 e 5. Determine a soma dos volumes das três esferas.
10. Um cubo está inscrito em uma esfera de raio r. Determine a razão entre os volumes desses dois sólidos.
16. Duas seções paralelas de uma esfera de raio 10cm têm raios iguais a 6cm e 8cm. Calcule a distância entre os planos das duas seções. 17. A distância entre os centros de duas superfícies esféricas é 9cm, e seus raios são 7cm e 8cm. Calcule o raio da circunferência segundo a qual elas se cortam. 18. A área do círculo máximo de uma esfera (aquele que contém o centro) é 225πcm2, e a área de uma seção paralela a ele é 144πm2. Calcule a distância dessa seção ao centro da esfera.
11. Considere um cilindro eqüilátero inscrito numa esfera de raio r. Determine a razão entre os volumes desses dois sólidos.
1. A razão entre o volume e a área de uma mesma esfera é igual a 3. Pode-se dizer, então, que esta esfera:
12. Uma esfera está inscrita em um cone eqüilátero. Determine a razão entre os volumes desses dois sólidos
a) tem o volume duas vezes maior que a área; b) tem o volume igual a 2916π; c) tem área de 324π; d) tem o circulo máximo com área de 81π; e) tem raio de 3. 2. Considere os dois sólidos: I. Uma esfera de diâmetro 10dm.
13. Sejam duas esferas das quais uma tem área igual ao dobro da área da outra. Determine a razão entre os seus volumes.
II. Um cilindro de diâmetro 10dm e altura 8dm. A respeito deles, é correto afirmar que: a) possuem a mesma capacidade volumétrica em litros;
14. Sejam duas esferas das quais uma tem o volume igual ao dobro do volume da outra. Determine a razão entre as áreas das duas superfícies esféricas.
b) o volume da esfera é maior que o volume do cilindro; 87
UEA – Licenciatura em Matemática
c) a área da superfície esférica é igual a área lateral do cilindro;
9πcm2, o volume da região delimitada pela esfera, em cm3, é:
d) o volume da esfera é menor que o volume do cilindro;
a) 18π
b) 36π
c) 72π
d) 144π
e) possuem a mesma superfície externa.
e) 216π
3. Uma panela cilíndrica de 20cm de diâmetro está completamente cheia de massa para doce, sem exceder a sua altura, que é de 16cm. O número de doces em formato de bolinhas de 2cm de raio que se pode obter com toda essa massa é:
7. Se aumentarmos em 3cm o raio de uma esfera, seu volume aumentará 252πcm3. O raio da esfera original mede, em cm:
a) 300;
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
b) 250; 8. Um cilindro circular reto e uma esfera são equivalentes. Se o raio da esfera e o raio da base do cilindro têm medida 1, a área lateral desse cilindro é:
c) 200; d) 150; e) 100. 4. Em uma esfera de centro O, um plano α contendo O intercepta a esfera. A intersecção é um circulo de área 16π centímetros quadrados. O volume da esfera, em centímetros cúbicos, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a.
9. Um cilindro eqüilátero de altura 2 m está inscrito numa esfera. O volume dessa esfera é
b. a) c.
m3
b) 32πm3
d.
64π
c) 20πm3
e.
32π
d) 5πm3 e) n.d.a.
5. Uma superfície esférica de raio 13cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
10. (UEPG–PR) Duas bolas de chumbo, com diâmetros de 3cm e 6cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto de 3,24cm de altura. O raio desse cilindro mede: a)
e) 5
b) 10
cm
c) 100cm
6. A região delimitada por uma esfera é interceptada por uma plano a 3cm do centro dessa esfera. Se a área dessa intersecção é de
d) e) 100 88
cm cm
Geometria II – Esfera
11. Um cone e um cilindro eqüilátero circunscrevem a mesma esfera. Se a área total do cilindro medir 150πcm2, o volume do cone medirá, em cm3: a) 130π b) 375π c) 225π d) 185π e) 310π Aula prática 10: Princípio de Arquimedes Objetivos: • Estabelecer uma relação entre os volumes do cubo de aresta a e da esfera de raio
.
• Verificar o princípio de Arquimedes. Atividades: Material: • Caixa (cubo sem tampa) de vidro ou acrílico de lado a. • Esfera de isopor de raio
.
Descrição: • Encher com água a caixa completamente. • Colocar um recipiente para aparar a água que transbordará da caixa. • Imergir a esfera completamente na caixa. • Medir o volume que transbordou da caixa.
89
UNIDADE VII Noções de geometria não-euclidiana
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
nenhum deles pode ser deduzido a partir dos outros e são facilmente aceitáveis a partir da experiência com o mundo sensível. Entretanto, com o quinto postulado isso não acontece, uma vez que não pode ser verificado empiricamente, e não temos meios de prolongar indefinidamente duas retas para verificar se, em algum ponto remoto, elas, se interceptam.
TEMA 12
GEOMETRIA NÃO-EUCLIDIANA 1. Noções de Geometria não-Euclidiana Na 1.a metade do século XIX, aconteceu a descoberta de novas geometrias por parte de vários matemáticos. Por meio de seus esforços e de muitos outros, tentaram uma prova para o V postulado de Euclides em que por um ponto exterior a uma reta, passa apenas uma outra reta paralela à dada. Daí surgiu a geometria euclidiana, em que a distância entre duas retas perpendiculares a um dado segmento permanece constante, mesmo quando nos movemos para a direita ou para esquerda, conforme mostra a figura a seguir:
A falta de evidência do quinto axioma fez que os matemáticos posteriores a Euclides suspeitassem que não fosse um axioma, mas sim um teorema e que, portanto, podia ser de-monstrado. Houve muita tentativa de demons-trá-lo por cerca de 2000 anos, sem sucesso. Apenas no inicio do século 19, surgiram duas geometrias alternativas à euclidiana, obtidas por mudanças no axioma: a hiperbólica e a elíptica. Assim, apareceram duas atitudes. A primeira tinha por alvo modificar o enunciado do axioma, na esperança de torná-lo mais claro e evidente. Adotando a primeira atitude, destacamos Proclus e Cláudio Ptolomeu. A segunda consistiu em procurar uma demonstração, a partir dos quatro primeiros axiomas, ou por via de uma prova indireta. Dentre os que tomaram a segunda atitude, citamos Saccheri e Lambert.
O V postulado de Euclides pode ser entendido de outra forma:
Os métodos diretos para provar o quinto axioma fracassaram. Então, os matemáticos procuraram uma prova pelo método indireto, negando a validade do axioma e procurando uma contradição.
Se uma reta, ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas duas retas, se prolongadas, encontrar-se-ão, no mesmo lado onde estão esses ângulos, conforme mostra a figura a seguir.
Karl Gauss Posteriormente, Karl Gauss (1777-1855), Nicolai Lobachewski (1792-1856) e Janos Solyai (1802-1860) redescobriram-no e, como conseqüência, as geometrias não-euclidianas vieram à luz, tendo os dois últimos publicados seus trabalhos independentemente em 1829 e
POSTULADOS Os cinco postulado de Euclides, na qualidade de postulados, deveriam ser aceitos verdadeiros pela sua evidência. Os quatro primeiros axiomas são dependentes, ou seja, 93
UEA – Licenciatura em Matemática
em 1832, respectivamente. Boyai dizia: “Do nada eu criei um universo novo e estranho”. Seu interesse pessoal era o da “Ciência Absoluta do Espaço”, que eram proposições que não dependiam do quinto postulado que logo valeriam em qualquer geometria.
bólica como tendo um “excesso” de paralelas. Da mesma forma, na geometria elíptica, existe uma “deficiência” de paralelas, comparada com a geometria euclidiana. Assim, temos que a principal diferença entre as três geometrias, a euclidiana e as duas novas, está no quinto axioma. Geometria euclidiana Dados uma reta e um ponto fora dessa reta, somente uma única reta pode ser traçada passando por esse ponto e paralela à reta dada. Geometria hiperbólica Dados uma reta e um ponto fora dessa reta, duas ou mais retas podem ser traçadas passando por esse ponto e paralelas à reta dada.
Janos Bolyai Com Bolyai e Lobachevsky, tinham nascido a Geometria elíptica e a geometria hiperbólica.
Geometria elíptica Dados uma reta e um ponto fora dessa reta, nenhuma reta pode ser traçada passando por esse ponto e paralela à reta dada. A geometria elíptica também é conhecida como geometria Riemanniana. Bernard Riemann (1826-1866) descobriu uma geometria esférica que era oposta à geometria hiperbólica de Lobachevski. Desse modo, ele foi o primeiro a indicar a possibilidade de existir um espaço geométrico finito onde um ponto se move sobre ele na mesma direção, podendo certamente retornar ao ponto de partida.
Nicolai Lobachewski A razão pela qual Gauss manteve em segredo suas descobertas foi o fato de que a filosofia de Kant dominava a Alemanha da época, e seus dogmas eram que as idéias da geometria euclidiana eram as únicas possíveis. Gauss sabia que essa idéia era totalmente falsa, mas para não entrar em conflito com os filósofos da época, resolveu manter-se em silêncio. Não há dúvida de que os termos geometria hiperbólica e geometria elíptica lembram-nos hipérboles e elipses, como explicaremos agora.
Bernard Riemann A idéia logo se firmou e trouxe a questão de se o nosso espaço físico era finito. Além disso, Riemann teve a coragem de construir geometrias muito mais gerais do que a de Euclides e mesmo as aproximadamente não-Euclidianas conhecidas.
A palavra “hipérbole” significa “excesso”, e a palavra “elipse” significa “deficiência”. A palavra “parábola” significa “sendo paralelo a”. Podemos, então, pensar na geometria hiper94
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
O método usado por essas criaturas para identificar “linhas retas” como sendo as linhas de mais curta distância entre dois pontos consiste em estender linhas através da superfície conectando dois pontos quaisquer. Para essas criaturas, essa linha parece ser uma reta à medida que elas se movem ao longo delas uma vez que as direções de chegada ou de partida dessas criaturas em qualquer ponto sobre a linha tem ângulo zero entre elas.
Com a modificação do enunciado do quinto postulado, outros sistemas geométricos passam a existir em pé de igualdade. Cada um desses sistemas pode ser interpretado por um modelo. Por exemplo, um modelo para a geometria euclidiana é um plano; para a geometria elíptica é uma esfera; para a hiperbólica é uma pseudo-esfera ou o disco de Poincaré . Iremos, a partir de agora, explicar cada um dos modelos.
Com essa definição, os “seres planos” encontram que todas as linhas retas se interceptam e que movendo-se ao longo de qualquer linha reta, eles finalmente retornam ao seu ponto de partida (lembre-se de que os “seres planos” estão vivendo sobre a superfície de uma esfera). Eles também descobrem que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo que eles desenham sobre a Terra não dá mais como resultado o valor correspondente a dois ângulos retos como ocorre na geometria de Euclides. Em vez disso, a soma desses três ângulos internos sempre excede dois ângulos retos. A figura abaixo mostra uma situação em que a soma é igual a três ângulos retos.
Na geometria euclidiana, um segmento entre A e B representa o caminho de menor comprimento de A até B.
Agora, considere que os pontos A e B pertencem à superfície da esfera. Vamos procurar sobre a esfera as curvas equivalentes aos segmentos. Ou seja, identificar, entre todas as curvas que ligam os pontos A e B, aquela de menor comprimento. De todas as curvas que conectam dois pontos, a mais curta é o arco de um círculo máximo, ou seja, um arco de um círculo com raio igual ao raio da esfera. Note que qualquer círculo máximo divide a esfera em duas partes iguais (de mesma área) e, devido à propriedade de minimizar o comprimento entre dois pontos, recebem o nome de geodésicas. Por conseguinte, as geodésicas sobre a superfície de uma esfera são os arcos de círculos máximos.
Ao contrário da geometria Euclidiana, as geometrias que estamos agora apresentando são definidas sobre a superfície de uma esfera ou de um hiperbolóide (algo parecido com a sela de um cavalo). Dizemos que uma superfície esférica tem uma curvatura positiva enquanto que a superfície de um hiperbolóide tem curvatura negativa. Vemos que em uma superfície com curvatura positiva a soma dos ângulos internos de um triângulo traçado nessa superfície é maior que 180 graus. No caso de uma superfície com curvatura negativa, a soma desses ângulos internos será menor que 180 graus.
Suponha que a Terra é perfeitamente esférica e que ela é habitada por “seres planos”, criaturas absolutamente sem graça que têm apenas duas dimensões e que não percebem o sentido de “altura”. Lembre-se de que essas criaturas se deslocam arrastando-se sobre a superfície terrestre. 95
UEA – Licenciatura em Matemática
curvatura de Gauss, que pode ser positiva, negativa ou nula. Será positiva se as curvas de máxima e mínima curvatura forem encurvadas para o mesmo lado. Esse é o caso da superfície (A) vista a seguir. Será negativa se uma curva for encurvada para um lado e a outra, para o outro. É o caso da superfície (B), que parece uma sela de cavalo. E é nula se pelo menos uma das curvas for reta, isto é, tiver curvatura zero. É o caso do cilindro (C), na figura. E é o caso também da chapa de metal ante-rior.
Mas, o que é curvatura? O que faz a reta (A) ser diferente da outra curva (B) na figura abaixo?
É fácil. A curva (B) é “encurvada”, e a reta não é. A curva (B) deve ter alguma propriedade que a reta não tem. Você adivinhou: essa propriedade é a curvatura. A reta tem curvatura zero, e a curva tem curvatura diferente de zero.
Agora, vamos construir um modelo da geometria hiperbólica baseado na pseudo-esfera. As “retas” são representadas por geodésicas da superfície da pseudo-esfera, como mostra a figura a seguir.
Existe uma curva muito simples e cuja curvatura é igual em todos seus pontos: a circunferência. Vamos, então, encontrar um valor para a curvatura da circunferência. A curvatura da circunferência é inversamente proporcional ao raio. Isto é, a curvatura C de uma circunferência de raio R será dada por C = 1/R. Quanto maior o raio, menor a curvatura.
Além da pseudo-esfera, existem vários outros modelos para a geometria hiperbólica, como o disco de Poincaré. Na geometria hiperbólica baseada no disco de Poincaré, uma reta é identificada como um arco de um círculo interior ao disco e que encontra o bordo do disco em ângulos retos.
E se, em vez de uma curva, tivermos uma superfície, como uma chapa de metal, como medir sua curvatura?
Observe que as três “retas” no disco de Poincaré não-colineares formam um triângulo ABC, cuja soma dos ângulos é menor que 180 graus, como requerido de uma representação correta do espaço hiperbólico.
Nesse caso, teríamos uma curvatura chamada 96
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
2. Comparando as geometrias não-Euclidianas
todas as bússolas! Um objeto não-orientával, possível em três dimensões é a chamada faixa de Möebius, representada nas figuras abixo em quatro posições.
Uma maneira prática por meio da qual podemos distinguir entre essas três geometrias é a seguinte. Pegue uma folha de papel e coloquea sobre uma superfície plana. O papel irá cobrir a superfície suavemente. Tente agora com uma folha de papel do mesmo tamanho cobrir uma superfície esférica. Você agora verá que para cobri-la terá que permitir que vincos surjam no papel. Isso indica que próximo a qualquer ponto dado sobre a superfície da esfera a área do papel é maior do que a área que você está tentando cobrir.
Ela é obtida como se fosse cometido um erro durante a construção habitual de um simples cilindro. Para fazer um cilindro de uma faixa retangular, basta unir suas extremidades e colá-las. Se por descuido, inspiração ou defeito, torcermos a faixa antes de colá-la, obtemos o objeto desejado. Este, diferentemente do cilindro tradicional, não tem dentro ou fora, pois ao percorrê-lo longitudinalmente, passaremos de fora para dentro e de dentro para fora, sem cruzarmos nenhuma borda ou fronteira. Outra diferença surpreendente é o fato dessa superfície ter apenas uma borda. Quando você tentar cobrir a superfície de uma sela com a mesma folha de papel, verá que o inverso acontece: a área do papel passa a ser insuficiente para cobrir a superfície próxima a qualquer ponto sobre ele, e o papel rasga-se.
3. Aplicações Um problema clássico solucionado através da geometria elíptica é o chamado problema do urso. Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10km para Sul, 10km para Leste e 10km para Norte, voltando assim ao ponto de partida. Aí encontrou um Urso. Qual a cor do Urso?
Orientabilidade É a propriedade que certos objetos possuem de nos desorientar. Se lá morássemos, de nada adiantaria ter uma bússola, pois sua seta apontaria ora para o norte, ora para o sul, deixando-nos cada vez mais perdidos. Em caso de não-orientabilidade, joguem fora
À primeira vista, podemos pensar que o problema não tem solução e, portanto, o caçador 97
UEA – Licenciatura em Matemática
Terra em sua órbita e uma estrela distante de paralaxe conhecida. Infelizmente, nenhum dos dois foi bem-sucedido, pois, naquela época, eles não dispunham de equipamentos capazes de fornecer a precisão necessária para essas medidas.
não voltaria ao ponto de partida, como mostra o seguinte esquema:
Quando temos necessidade de estudar o espaço que nos é vizinho, todas as três geometrias nos conduzem a um mesmo resultado, e a preferência é pela euclidiana, por ser a mais simples.
No entanto, não podemosnos esquecer de que a Terra não é uma superfície plana, mas curva.
Encontramos uma situação similar ao relacionarmos a física de Newton à de Einstein, que fornecem resultados idênticos quando se trata de distâncias pequenas e baixas velocidades, mas divergem no caso de grandes distâncias e altas velocidades. Einstein (1879-1955), na exposição de sua Teoria Geral da Relatividade, em 1916, descreveu o espaço como curvo e, portanto, com uma natureza não-euclidiana.
Assim a solução está à vista: Andando 10km segundo aquelas 3 direções perpendiculares, o caçador só voltará ao ponto de partida se iniciar a sua caminhada no Pólo Norte.
Para sustentar matematicamente sua teoria, usou os trabalhos desenvolvidos por Bernard Riemann, 60 anos antes. Na teoria da relatividade de Einstein, o universo é curvo e possui quatro dimensões, sendo três espaciais e a quarta, dimensão temporal. Um certo ponto do universo tem a curvatura tanto maior quanto maior a concentração de matéria na vizinhança do ponto. A figura a seguir representa esquematicamente a curvatura do espaço devido à presença da matéria, o planeta.
E o Urso? Como a história decorre no Pólo Norte, só pode ser um Urso Polar e, por isso um urso branco. É importante notar que tanto Lobachevski como Gauss não se limitaram aos aspectos matemáticos dessa importante descoberta. Eles imediatamente começaram a pensar como essa nova geometria poderia estar relacionada com o mundo físico. Eles queriam saber qual das duas geometrias, a Euclidiana ou a não-Euclidiana recém descoberta, descrevia realmente o espaço. Tentando responder a essa questão, Gauss tentou medir a soma dos ângulos de um triângulo formado por três montanhas. Lobachevski tentou fazer a mesma medida, só que usando um triângulo bem maior formado por duas posições da
Nos espaço-tempo curvos descritos pela teoria relativística da gravitação, os movimentos das partículas assim como o da luz são curvos. Entretanto essas curvas têm uma característica comum com as linhas retas. Do mesmo modo que as linhas retas são as trajetórias mais curtas conectando dois pontos de um espaço plano, os movimentos nos espaços-tempo curvos percorrem as linhas curvas mais curtas 98
Geometria II – Noções de geometria não-euclidiana
entre dois pontos. A luz segue curvas geodésicas. Dizemos que a luz não se move uniformemente ao longo de linhas retas não porque ela está sujeita a alguma força, mas por que o espaço-tempo é curvo. Isso é muito importante porque mostra que o conceito de força foi substituído pelo conceito geométrico de curvatura do espaço-tempo.
• Verificar que a faixa de Moebiüs não é uma superfície orientada;
Uma contribuição importante na arte foi a geometria hiperbólica em que Mauritius Escher usou o disco de Poincaré em algumas de suas gravuras. Essas duas vistas abaixo são chamadas de Círculo Limite I (acima), Círculo Limite II (meio) e Círculo Limite III (abaixo). Essa última, umas das poucas gravuras coloridas de Escher, foi feita em 1959.
• Pinceis coloridos.
Atividades: Material: • Cartolina. • Tesoura.
• Cola. Descrição: • Construir duas faixas de Moebiüs. • Tentar pintar um lado de uma das faixa de Moebiüs. • Recortar a outra faixa de Moebiüs no sentido logitudinal. • Pintar a faixa recortada. • Fazer uma análise do experimento.
Aula prática 11: Faixa de Möebius Objetivos: • Verificar que a faixa de Moebiüs possui um único lado. • Entender a idéia de orientabilidade de uma superfície; 99
Anexos
Geometria II – Anexos
ANEXO 1
Regra para montagem: os números e flechas indicam a seqüência e a direção de passagem da linha. Flechas duplas mostram que, naquele canudo, a linha será passada mais de uma vez. Tetraedro – Seis canudinhos de 8cm e um metro de linha são suficientes para construí-lo. Construa o primeiro triângulo, dê um nó e continue a seqüência com o restante da linha. Nos passos 6 e 8, a linha será passada pela segunda vez no mesmo canudo.
103
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 2
Hexaedro (o cubo) – Com doze canudos, monta-se o cubo. O aluno deverá verifcar o que deverá fazer para que se torne um sólido rígido.
104
Geometria II – Anexos
ANEXO 3
OCTAEDRO (O BALÃO)
105
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 4
ICOSAEDRO
106
Geometria II – Anexos
ANEXO 5
TETRAEDRO
107
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 6
CUBO
108
Geometria II – Anexos
ANEXO 7
OCTAEDRO
109
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 8
DODECAEDRO
110
Geometria II – Anexos
ANEXO 9
ICOSAEDRO
111
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 10
PRISMA QUADRANGULAR
112
Geometria II – Anexos
ANEXO 11
PRISMA TRIANGULAR
113
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 12
PRISMA HEXAGONAL
114
Geometria II – Anexos
ANEXO 13
PRISMA PENTAGONAL
115
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 14
CUBOCTAEDRO
116
Geometria II – Anexos
ANEXO 15
ICOSIDODECAEDRO
117
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 16
TETRAEDRO CORTADO
118
Geometria II – Anexos
ANEXO 17
OCTAEDRO CORTADO
119
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 18
CUBO CORTADO
120
Geometria II – Anexos
ANEXO 19
ICOSAEDRO CORTADO
121
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 20
DODECAEDRO CORTADO
122
Geometria II – Anexos
ANEXO 21
ROMBICUBOCTAEDRO
123
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 22
CUBOCTAEDRO CORTADO
124
Geometria II – Anexos
ANEXO 23
ROMBICOSIDODECAEDRO
125
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 24
ICOSIDODECAEDRO CORTADO
126
Geometria II – Anexos
ANEXO 25
CUBO COM PONTAS - LADO ESQUERDO
127
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 26
CUBO COM PONTAS - LADO DIREITO
128
Geometria II – Anexos
ANEXO 27
DODECAEDRO COM PONTA - LADO ESQUERDO
129
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 28
DODECAEDRO COM PONTA - LADO DIREITO
130
Geometria II – Anexos
ANEXO 29
DIRETRIZES PARA O TRABALHO EM GRUPO
1. Todos os componentes do grupo (no máximo 5) devem: • • • • •
Saber e compreender o que o grupo está fazendo. Fazer perguntas se não entenderem. Participar ativamente na realização das tarefas. Ajudar os outros. Respeitar os outros.
2. Só devem chamar o professor: •
Quando os componentes do grupo não estiverem conseguindo realizar a atividade, mesmo após utilizado vários argumentos.
•
Quando tiverem concluído a atividade.
3. Ao final das atividades devem: • • •
Elaborar um relatório conforme anexo 30. Ler o que foi escrito. Organizar a apresentação à turma.
131
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 30
GUIA PARA A ELABORAÇÃO DO RELATÓRIO Na elaboração do relatório, devem ser considerados, entre outros, os seguintes aspectos: Identificação do grupo de alunos, indicando: 1. 2. 3. 4.
NOME NÚMERO DE MATRÍCULA TURMA MUNICÍPIO
Identificação do trabalho, indicando: 1. DATA DE REALIZAÇÃO 2. DISCIPLINA 3. TÍTULO Atividade n.º ______: 1. NOME 2. OBJETIVOS O que deseja alcançar com a realização das atividades? 3. MATERIAIS UTILIZADOS Devem ser discriminados os materiais para cada atividade. 4. DESCRIÇÃO DA ATIVIDADE: a. b. c. d.
Relato de todos os passos de cada atividade. Explicação dos raciocínios. Identificação de tentativas realizadas e de dificuldades encontradas. Apresentação dos resultados obtidos.
Conclusões Apreciação crítica do trabalho proposto.
132
Geometria II – Anexos
ANEXO 31
TABELA DE AVALIAÇÃO DO RELATÓRIO
133
UEA – Licenciatura em Matemática
ANEXO 32
FICHA DE AVALIAÇÃO INDIVIDUAL DO ALUNO SIM Consegui distribuir as tarefas no grupo. Verifiquei o objetivo da atividade. Cooperei com os outros elementos do grupo. Permiti a intervenção dos outros elementos do grupo. Fui capaz de moderar a discussão no grupo. Contribuí com idéias para o grupo resolver o problema. Selecionei as estratégias apropriadas. Justifiquei as conjecturas. Utilizei os materiais. Registrei os resultados. Fui perseverante na resolução do problema. Obtive conclusões. Tive boa comunicação com a turma. A minha colaboração na elaboração do relatório foi:
A minha colaboração na apresentação foi:
O que aprendi com as atividades realizadas foi:
As dificuldades que encontrei para realização do trabalho foram:
Gostei de trabalhar em grupo? Por quê?:
Nome:______________________________________________N.o:____Turma:____ 134
NÃO
Respostas dos ExercĂcios
Geometria II – Respostas dos exercícios
UNIDADE I
– Noções primitivas e posições relativas
TEMA 05 PLANIFICAÇÃO E ÁREA DO PRISMA
TEMA 01 Pág. 43
CONCEITOS PRIMITIVOS, POSTULADOS E POSIÇÕES RELATIVAS 1. At = 9(8 + Demonstrações
2. 3. 2,8 4. 4
) u. a. (unidades de área)
cm cm cm
5. At = 1020m2
UNIDADE II – Distâncias, diedros e tiedros
6. Al = 280cm2
TEMA 02 TEMA 06
DISTÂNCIAS E DIEDROS
VOLUME DO PRISMA
Demonstrações
Pág. 47
UNIDADE III
– Poliedros, prismas e
1. At = 48(6 +
pirâmides
2. Al = 192
)m2 e V = 288
cm2 e V = 1152cm3
3. V = 240cm3 4. V = 6dm3 e At = TEMA 03
dm2
5. POLIEDROS
6. V = 108m3
Pág. 34 1. 10
2. 6
3. 8
4. 9
5. 11
6. 8 e 4
7. 15 e 10
8. 10
9. 29,68 e 41
10. 26
Pág. 48
11. 14, 24 e 12
1. d
2. e
3. e
4. d
5. d
6. b
7. b 137
m3
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IV
– Cilindro e cone
TEMA 07 PIRÂMIDES
TEMA 08 CILINDRO
Pág. 53 1.
cm
2.
cm
3. Al = 60
Pág. 63
cm2 e At = 30(5
4. 2
cm; 96cm2
5. 2
cm
6. 2
cm
+2
)cm2
1. 7cm
2. 6m
3. 3
4. 8πm2
5. 7cm
6. 3πlitros
7. 8πcm
7. Al = 4
cm2; At = 4
(
+ 1)cm2 Pág. 64
Pág. 56
1.
cm2
2.
cm
3. 1152 4.
1. b
2. b
3. b
4. a
5. e
6. d
TEMA 09 CONE
m2 cm2
Pág. 67 5. 144
cm3
6. 576
cm3
1. Aproximadamente 123,60cm2 2. 2
cm
3. Al = 65πcm2 4. 3
cm
5. 144π(1 +
Pág. 56
6. 2,2π 8. 9
2. C
9.
3. B 4. E
10.
5. B 138
)cm2 cm2
7. 12πcm2
1. C
At = 69πcm2
cm
Geometria II – Respostas dos exercícios
UNIDADE V
– Superfície de revolução e sólidos de revolução
Pág. 70 1. 1344πcm3 2. h = 2m; V =
TEMA 10 m3
SUPERFÍCIES E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
πcm3
3. 9
πcm2 At = 9π(
4. Al = 9
+ 1)cm2 Pág. 79
V = 18πcm3 5. 5cm 6.
m3
7.
cm3
1. a) 2πc 2. a)
9).
m3
c)
)πa2
b) 6πa3
b) πa3
5. a) 6. a) 2
10. 85,04ml
πa2 b) πa3
7. a) πa2(6 +
) ou πa2(6 – ou
b) Pág. 70 1. e
UNIDADE VI
2. b
– Esfera
3. b 4. b TEMA 11
5. c 6. a
ESFERA
7. d 8. b 9. a
Pág. 86
10. d 11. c
1. a)
12. c 13. c
b) A = 9πm2
14. d c)
15. a d) 139
d) a
πa2 b)
4. a) 6(2 + cm3
c) πbc
b)
3. a) 4 8.
b) πc2
)
c2
UEA – Licenciatura em Matemática
2. a) r = 3cm b) A = 36πcm2 3. 4. a) r = 2 b) 32π
cm cm3
c) A = 48πcm2 5. d = 3
cm
6. d = 5cm 7. 8. 1 9. 10. 11. 12. 13. 2 14. 15. 48π 16. d = 14cm ou d = 2cm 17. 18. 9cm
Pág. 87
1. d
2. d
3. d
4. a
5. e
6. c
7. a
8. d
9. a
10. a
11. b
140
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