Limite e derivada Quando um estudo exige a taxa instantânea de variação de uma grandeza, como temperatura, velocidade, juros etc., o conceito de derivada está presente. A ideia central do Cálculo diferencial é a de taxa pontual de variação de uma função. Essa taxa, chamada de derivada, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função, no ponto considerado.
Limite
Propriedades dos limites Se k, a, L1 e L2 são constantes reais e as funções f e g são tais que lim f(x) 5 L1 e lim g(x) 5 L2, valem as seguintes
Vizinhanças em V
p
a
a
q
No conjunto dos números reais, seja V(a) uma vizinhança completa qualquer de um número real a. Chama-se vizinhança reduzida de a, que indicamos por V (a), o conjunto V(a) 2 {a}. p
x p a
Definição de limite Seja f uma função real de variável real e seja a 9 V tal que exista pelo menos uma vizinhança reduzida de a contida no domínio de f. O limite dos valores f(x), para x tendendo ao número a, é igual a L se, e somente se, para qualquer vizinhança completa de L, V(L), existe alguma vizinhança reduzida de a, V (a), de modo que todo elemento x de V (a) possui imagem f(x) em V(L).
I. lim k 5 k x p a
II. lim [f(x) 1 g(x)] 5 lim f(x) 1 lim g(x) 5 L1 1 L2 x p a
x p a
x p a
III. lim [f(x) 2 g(x)] 5 lim f(x) 2 lim g(x) 5 L1 2 L2 x p a
q
x p a
propriedades:
x p a
x p a
IV. lim [f(x) 3 g(x)] 5 lim f(x) 3 lim g(x) 5 L1 3 L2 x p a
x p a
E R
x p a
lim f(x) L1 f(x) x p a V. lim ____ 5 ________ 5 __ , desde que L2 % 0 x p a g(x) lim g(x) L2 x p a
Se a 9 V e f e g são funções reais de variável real tal que existem f W g, lim g(x) e lim f(g(x)), então: x p a
x p a
lim g(x) R lim f(g(x)) 5 f E x p a
x p a
Limite trigonométrico fundamental sen x lim ______ 5 1 x p 0 x
y f V(L)
L
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
No conjunto dos números reais, chama-se vizinhança completa de um número real a, indicada por V(a), qualquer intervalo ]p, q[ tal que a 9 ]p, q[.
Função contínua
O
a
x
V.(a)
Seja f uma função real de variável real tal que existe uma vizinhança completa de um número real a contida no domínio de f. A função f é contínua em a se, e somente se:
Indicamos que o limite de f(x), para x tendendo a a, é igual a L por:
lim f(x) 5 f(a)
x p a
lim f(x) 5 L x p a
Teorema do confronto Limites laterais
Sejam:
Uma condição necessária e suficiente para a existência do limite L de uma função f(x), para x tendendo a um número real a, é que existam e sejam iguais a L os limites laterais de f(x), à esquerda e à direita de a, isto é:
• f, g e h funções reais de variável real; • um número real a tal que exista uma vizinhança reduzida de a, V (a), contida no domínio de cada uma dessas funções, e existam lim g(x), lim h(x) e lim f(x). x p a
lim f(x) 5 L [ lim f(x) 5 lim f(x) 5 L
x p a
x p a2
x p a1
x p a
x p a
Se lim g(x) 5 lim h(x) 5 L e, para qualquer x pertencente a x p a
x p a
V (a), temos g(x) < f(x) < h(x), então lim f(x) 5 L. x p a
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Derivada
Regras de derivação
Seja f uma função real de variável real e seja a um número real tal que existe uma vizinhança completa de a contida no f(x) 2 f(a) domínio de f. O limite lim __________ x 2 a , se existe, é chamado de x p a
Sejam u e v funções deriváveis em um intervalo aberto I. Para todo x, com x 9 I, temos: • f(x) 5 u(x) 1 v(x) ] fe(x) 5 ue(x) 1 ve(x) • f(x) 5 u(x) 2 v(x) ] fe(x) 5 ue(x) 2 ve(x) • f(x) 5 u(x) 3 v(x) ] fe(x) 5 ue(x) 3 v(x) 1 u(x) 3 ve(x)
derivada da função f no ponto de abscissa a. Indicamos essa derivada por fe(a), isto é: f(x) 2 f(a) fe(a) 5 lim __________ x 2 a
ue(x) 3 v(x) 2 u(x) 3 ve(x) u(x) , sendo • f(x) 5 ____ ] fe(x) 5 ______________________ v(x) [v(x)]2 v(x) % 0
x p a
y
y r s f
f(x)
f
f(x) � f(a) f(a)
f(a) x�a
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
a
α x
x
a
x
As retas que passam por (a, f(a)) e (x, f(x)) tendem à reta tangente r quando x tende a a.
Derivadas laterais Seja f uma função real de variável real e seja [a, b], com a , b, um intervalo fechado contido no domínio de f. A derivada de f para x tendendo a a pela direita, que se indica por fe1 (a), é: f(a 1 h) 2 f(a) lim ______________ fe1 (a) 5 h h p 0 1
Regra da cadeia: Sejam g: A p B e f: B p C funções reais de variável real tais que g(x) 5 u, f(u) 5 y, g é derivável no ponto de abscissa x e f é derivável no ponto de abscissa u. Nessas condições, a derivada da função composta é: (fog)e(x) 5 fe(u) 3 ge(x) Se f é contínua em um intervalo aberto I, com y 5 f(x), para x 9 I, g(y) % 0 e g derivável em y, a derivada da função inversa é: 1 fe(x) 5 _____ ge(y)
Valor máximo relativo e valor mínimo relativo Seja f uma função real de variável real e sejam xM e xm números do domínio de f. Dizemos que: f(xM) é valor máximo absoluto da função f se, e somente se: f(xM) > f(x), u x, com x 9 D(f ) y f(xM)
se, e somente se, esse limite existe e é finito. A derivada de f para x tendendo a b pela esquerda, que se indica por fe2 (b), é: f(b 1 h) 2 f(b) fe2 (b) 5 lim ______________ h h p 0
f
Valor máximo absoluto da função f D(f)
2
se, e somente se, esse limite existe e é finito.
Função derivada Seja a função f: A p V, com A - V, e seja E o subconjunto de A cujos elementos são todos os valores de x tal que existe fe(x). Chama-se função derivada de f a função fe: E p V tal que:
xM
0
x
Abscissa de ponto máximo absoluto de f
f(xm) é valor mínimo absoluto da função f se, e somente se: f(xm) < f(x), u x, com x 9 D(f ) y
f(x 1 h) 2 f(x) fe(x) 5 lim ______________ h h p 0
Derivadas fundamentais • f(x) 5 k ] fe(x) 5 0, sendo k uma constante real. • f(x) 5 xn ] fe(x) 5 nxn 2 1, sendo n um número real não nulo. • f(x) 5 sen x ] fe(x) 5 cos x • f(x) 5 cos x ] fe(x) 5 2sen x
Valor mínimo absoluto da função f
f
f(xm)
0
D(f) xm
x Abscissa de ponto mínimo absoluto de f Limite e derivada
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Valor máximo relativo e valor mínimo relativo
Se fe(x) , 0 para todo x pertencente a ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.
Seja f uma função real de variável real e sejam xM e xm números do domínio de f. Dizemos que: O número f(xM) é chamado de valor máximo relativo (ou valor máximo local) da função f se, e somente se, existe uma vizinhança completa V(xM) tal que: f(xM) > f(x), u x, com x 9 V(xM) ) D(f ) Valor máximo y relativo da função f
Teste da primeira derivada Seja f uma função real de variável real, derivável em uma vizinhança completa V(a) de um número a. Se fe(a) 5 0 e fe(x) . 0, para todo x, com x 9 V(a) e x , a , fe(x) , 0, para todo x, com x 9 V(a) e x . a então o número a é abscissa de um ponto máximo relativo de f, e f(a) é valor máximo relativo de f.
f
y
f(xM) r
s xM
0
f t
x
O número f(xm) é chamado de valor mínimo relativo (ou valor mínimo local) da função f se, e somente se, existe uma vizinhança completa V(xm) tal que:
0
f(xm) < f(x), u x, com x 9 V(xm) ) D(f )
Se fe(a) 5 0 e fe(x) , 0, para todo x, com x 9 V(a) e x , a , fe(x) . 0, para todo x, com x 9 V(a) e x . a então o número a é abscissa de um ponto mínimo relativo de f, e f(a) é valor mínimo relativo de f.
{
f
Valor mínimo relativo da função f xm
0
x
y
Abscissa de ponto mínimo relativo de f
Extremo e extremante
t r
Se a é a abscissa de um ponto máximo ou mínimo (local ou absoluto) de uma função f, então os números a e f(a) são chamados de extremante e extremo da função f, respectivamente.
s
y f(c)
b
0
a
c
x
Se fe(a) 5 0 e para alguma vizinhança reduzida de a, V (a), fe(x) não mudar de sinal, ux com x 9 V (a), então o ponto P(a, f(a)) é chamado ponto de inflexão horizontal de f.
f(a) f(b)
f
y 0
f
V(a)
f
f(d) Extremos de f
x
c
V(a)
y f(xm)
b a
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Abscissa de ponto máximo relativo de f
a
b
c
d
x
Extremantes de f
y
r
s
P
t
f r
s P
t
Função crescente e função decrescente Sendo f uma função real de variável real, derivável em ]a, b[, temos: Se fe(x) . 0 para todo x pertencente a ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[;
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0
b
a V(a)
c
x
0
b a c
x
V(a)
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Limite e derivada
No Vestibular x23 ______ 1. (UEL-PR) O valor do limite lim é: 1 x 1 __ 2
Exercício 1
x p 2
5 a) 2 __ 2 3 b) 2 __ 2
3
2 e) 2 __ 5
Exercício 2
2 d) 2 __
Como a função y 5 x3 é derivável no ponto (1, 1) e ye 5 3x2, temos que o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1, 1) é: ye(1) 5 3 3 (1)2 5 3 Alternativa c.
Exercício 3
c) 1
Como a função f(x) 5 22x5 1 4x3 1 3x 2 6 é derivável no ponto de abscissa x0 5 21 e f e(x) 5 210x4 1 12x2 1 3, temos: f e(21) 5 210(21)4 1 12(21)2 1 3 5 5 Alternativa d.
2. (Cesgranrio-RJ) A tangente à curva y 5 x3 no ponto (1, 1) tem coeficiente angular igual a: a) 1 c) 3 d) 4
3. (UEL-PR) A derivada da função f, de V em V, definida por f(x) 5 22x5 1 4x3 1 3x 2 6, no ponto de abscissa x0 5 21, é igual a: a) 25
Exercício 4
e) 5
b) 19
u . Como u(x) é derivável Sejam u(x) 5 7 2 x e f(u) 5 d ll no ponto de abscissa 22 e f(u) é derivável no ponto de abscissa 3, temos, pela regra da cadeia: 1 1 1 3 (21) 5 2 ________ (fog)e(x) 5 f e(u) 3 ue(x) 5 __ 3 ___ 2 dll 2dlllll 7 2 x u 1 1 5 2 __ Portanto: (fog)e(22) 5 2 __________ 2dllllllll 7 2 (22) 6 Alternativa b.
c) 9 d) 5 e) 3
4. (PUC-MG) O valor da derivada da função f(x) 5 dlllll 7 2 x , no ponto (22, 3), é: 1 a) 2 __ 2 1 b) 2 __ 6
Exercício 5
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
b) 2
2 x 2 3 _____ 223 lim _____ 5 5 2 __ 5 1 1 __ __ x 1 2 1 2 2 Alternativa e.
x p 2
t3 Como y 5 __ 1 2t é derivável no ponto de abscissa 3 e 3 3t2 ___ ye 5 1 2 5 t2 1 2, temos: 3 ye(3) 5 32 1 2 5 11 Alternativa b.
1 c) __ 6 d) 2 e) 3 3
t 5. (UEL-PR) A equação horária de um móvel é y 5 __ 1 2t, 3
sendo y sua altura em relação ao solo, medida em metros, e t o número de segundos transcorridos após sua partida. Sabe-se que a velocidade do móvel no instante t 5 3 s é dada por ye(3), ou seja, a derivada calculada em 3. Essa velocidade é igual a: a) 6 m/s b) 11 m/s c) 15 m/s d) 27 m/s e) 29 m/s Limite e derivada
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NO VESTIBULAR
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