Limite e derivada Quando um estudo exige a taxa instantânea de variação de uma grandeza, como temperatura, velocidade, juros etc., o conceito de derivada está presente. A ideia central do Cálculo diferencial é a de taxa pontual de variação de uma função. Essa taxa, chamada de derivada, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função, no ponto considerado.
Limite
Propriedades dos limites Se k, a, L1 e L2 são constantes reais e as funções f e g são tais que lim f(x) 5 L1 e lim g(x) 5 L2, valem as seguintes
Vizinhanças em V
p
a
a
q
No conjunto dos números reais, seja V(a) uma vizinhança completa qualquer de um número real a. Chama-se vizinhança reduzida de a, que indicamos por V (a), o conjunto V(a) 2 {a}. p
x p a
Definição de limite Seja f uma função real de variável real e seja a 9 V tal que exista pelo menos uma vizinhança reduzida de a contida no domínio de f. O limite dos valores f(x), para x tendendo ao número a, é igual a L se, e somente se, para qualquer vizinhança completa de L, V(L), existe alguma vizinhança reduzida de a, V (a), de modo que todo elemento x de V (a) possui imagem f(x) em V(L).
I. lim k 5 k x p a
II. lim [f(x) 1 g(x)] 5 lim f(x) 1 lim g(x) 5 L1 1 L2 x p a
x p a
x p a
III. lim [f(x) 2 g(x)] 5 lim f(x) 2 lim g(x) 5 L1 2 L2 x p a
q
x p a
propriedades:
x p a
x p a
IV. lim [f(x) 3 g(x)] 5 lim f(x) 3 lim g(x) 5 L1 3 L2 x p a
x p a
E R
x p a
lim f(x) L1 f(x) x p a V. lim ____ 5 ________ 5 __ , desde que L2 % 0 x p a g(x) lim g(x) L2 x p a
Se a 9 V e f e g são funções reais de variável real tal que existem f W g, lim g(x) e lim f(g(x)), então: x p a
x p a
lim g(x) R lim f(g(x)) 5 f E x p a
x p a
Limite trigonométrico fundamental sen x lim ______ 5 1 x p 0 x
y f V(L)
L
Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
No conjunto dos números reais, chama-se vizinhança completa de um número real a, indicada por V(a), qualquer intervalo ]p, q[ tal que a 9 ]p, q[.
Função contínua
O
a
x
V.(a)
Seja f uma função real de variável real tal que existe uma vizinhança completa de um número real a contida no domínio de f. A função f é contínua em a se, e somente se:
Indicamos que o limite de f(x), para x tendendo a a, é igual a L por:
lim f(x) 5 f(a)
x p a
lim f(x) 5 L x p a
Teorema do confronto Limites laterais
Sejam:
Uma condição necessária e suficiente para a existência do limite L de uma função f(x), para x tendendo a um número real a, é que existam e sejam iguais a L os limites laterais de f(x), à esquerda e à direita de a, isto é:
• f, g e h funções reais de variável real; • um número real a tal que exista uma vizinhança reduzida de a, V (a), contida no domínio de cada uma dessas funções, e existam lim g(x), lim h(x) e lim f(x). x p a
lim f(x) 5 L [ lim f(x) 5 lim f(x) 5 L
x p a
x p a2
x p a1
x p a
x p a
Se lim g(x) 5 lim h(x) 5 L e, para qualquer x pertencente a x p a
x p a
V (a), temos g(x) < f(x) < h(x), então lim f(x) 5 L. x p a
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Suplemento de revisão
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MATEMÁTICA
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