Limite e derivada

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Limite e derivada Quando um estudo exige a taxa instantânea de variação de uma grandeza, como temperatura, velocidade, juros etc., o conceito de derivada está presente. A ideia central do Cálculo diferencial é a de taxa pontual de variação de uma função. Essa taxa, chamada de derivada, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico dessa função, no ponto considerado.

Limite

Propriedades dos limites Se k, a, L1 e L2 são constantes reais e as funções f e g são tais que ​    lim ​f(x) 5 L1 e ​    lim ​g(x) 5 L2, valem as seguintes

Vizinhanças em V

p

a

a

q

No conjunto dos números reais, seja V(a) uma vizinhança completa qualquer de um número real a. Chama-se vizinhança reduzida de a, que indicamos por V (a), o conjunto V(a) 2 {a}. p

x p a

Definição de limite Seja f uma função real de variável real e seja a 9 V tal que exista pelo menos uma vizinhança reduzida de a contida no domínio de f. O limite dos valores f(x), para x tendendo ao número a, é igual a L se, e somente se, para qualquer vizinhança completa de L, V(L), existe alguma vizinhança reduzida de a, V (a), de modo que todo elemento x de V (a) possui imagem f(x) em V(L).

I. ​    lim ​k 5 k x p a

II. ​    lim ​[f(x) 1 g(x)] 5   ​ lim ​f(x) 1   ​ lim ​g(x) 5 L1 1 L2 x p a

x p a

x p a

III. ​    lim ​[f(x) 2 g(x)] 5   ​ lim ​f(x) 2   ​ lim ​g(x) 5 L1 2 L2 x p a

q

x p a

propriedades:

x p a

x p a

IV. ​    lim ​[f(x) 3 g(x)] 5   ​ lim ​f(x) 3   ​ lim ​g(x) 5 L1 3 L2 x p a

x p a

E  R

x p a

​    lim ​f(x) L1 f(x) x p a V. ​    lim ​​ ____ ​    ​  ​5 ________ ​     ​  5 __ ​    ​, desde que L2 % 0 x p a g(x) ​ lim ​g(x) L2   x p a

Se a 9 V e f e g são funções reais de variável real tal que existem f W g,   ​ lim ​g(x) e   ​ lim ​f(g(x)), então: x p a

x p a

​ lim ​g(x) R​ ​    lim ​f(g(x)) 5 f E​     x p a

x p a

Limite trigonométrico fundamental sen x ​    lim ​______ ​   ​   5 1 x p 0 x

y f V(L)

L

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No conjunto dos números reais, chama-se vizinhança completa de um número real a, indicada por V(a), qualquer intervalo ]p, q[ tal que a 9 ]p, q[.

Função contínua

O

a

x

V.(a)

Seja f uma função real de variável real tal que existe uma vizinhança completa de um número real a contida no domínio de f. A função f é contínua em a se, e somente se:

Indicamos que o limite de f(x), para x tendendo a a, é igual a L por:

​ lim ​f(x) 5 f(a)

x p a

​    lim ​f(x) 5 L x p a

Teorema do confronto Limites laterais

Sejam:

Uma condição necessária e suficiente para a existência do limite L de uma função f(x), para x tendendo a um número real a, é que existam e sejam iguais a L os limites laterais de f(x), à esquerda e à direita de a, isto é:

• f, g e h funções reais de variável real; • um número real a tal que exista uma vizinhança reduzida de a, V (a), contida no domínio de cada uma dessas funções, e existam ​    lim ​g(x),   ​ lim ​h(x) e   ​ lim ​f(x). x p a

​ lim ​f(x) 5 L  [ ​ lim      ​f(x) 5   ​ lim ​f(x) 5 L

x p a

x p a2

x p a1

x p a

x p a

Se ​    lim ​g(x) 5   ​ lim ​h(x) 5 L e, para qualquer x pertencente a x p a

x p a

V (a), temos g(x) < f(x) < h(x), então   ​ lim ​f(x) 5 L. x p a

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Suplemento de revisão

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MATEMÁTICA

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08:57:28


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Limite e derivada by Prof° Everton Moraes - Issuu