FICHA TÉCNICA
Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes
Costa, Helisângela Ramos da. C837
Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Período). 131p.: il. ; 30 cm. Inclui bibliografia e anexo 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria Nogueira. IV. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
07
Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
09 11 15
Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 19
Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 23 26 29 31 34 36 39
Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 45 48 51 52
Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 57 62 65 66 68 69 72 75
Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 TEMA TEMA TEMA TEMA
33 34 35 36
– – – –
Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107 113 116 118
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
PERFIL DOS AUTORES
Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAM Especialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF)
Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
Célia Maria Nogueira Batista Especialista em Ensino da Matemática – UFAM Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
PALAVRA DO REITOR
A Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso do Governo e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valoriza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela presença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advindos dessa ousadia. O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores, especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local de origem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho. Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemática cumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didática eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda. As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mão de todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEA cumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma política educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultrapassa as barreiras da sala de aula.
Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I Sistemas de Numeração
Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
Nesse caso, quando ocorre a correspondência um-para-um nos dois sentidos, por exemplo, uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha para cada pedrinha, denomina-se correspondência biunívoca (Figura 1).
TEMA 01 A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES. NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação (Figura 2).
1. A origem do sistema de numeração Para entender como surgiram os números, é preciso ter uma idéia de como o homem, desde a época mais remota, vivia e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para alimentar-se, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para defender-se, usava paus e pedras. Portanto o homem precisava contar. Quantos peixes havia? Quantas espigas de milho? Quantos dias faltavam para a caça de pássaros antes das chuvas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Essas necessidades de sobrevivência levaram-no a fazer comparações entre as “coisas” que tinham ou queriam com os dedos das mãos. Segundo alguns autores, o surgimento da primeira máquina de calcular deve-se às contagens nos dedos das mãos.
Figura 2: Objetos utilizados para representar as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12).
Porém um problema surgiu: imagine que uma pessoa usasse traços para representar cada ovelha. Por exemplo: um homem tinha ||||||||||||||||||||||| ovelhas. Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a solução encontrada tenha sido separar grupos de marcas.
Devido ao aumento de posses e à necessidade de contar quantidades maiores, o homem passou a usar objetos pequenos para representá-las.
Um homem tinha ||||||||| ||||||||| ||| ovelhas.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco. No fim do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa: para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma pedra, era porque faltava algum dos animais. E se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra cálculo é derivada da palavra latina calculus, que significa pedras (Figura 1).
Neste caso, as marcas estão agrupadas de dez em dez. Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum contar pontos registrando agrupamentos de 5. Por exemplo, num jogo: João fez
pontos
Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia. Os mais antigos ábacos eram formados de sulcos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas colocadas em sulcos diferentes representava quantidades diferentes. O primeiro sulco, da direita para a esquerda, corresponde ao sulco das unidades; o segundo, ao sulco das dezenas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim por diante.
Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13).
11
UEA – Licenciatura em Matemática
o sistema de numeração egípcio não é posicional. Por exemplo, o número 22 podia ser representado por:
Ao contrário de outros povos que criaram símbolos próprios para representar os números, os romanos buscaram letras do próprio alfabeto para representá-los. No quadro 2, tem-se o sistema de numeração romano e os valores correspondentes em nosso sistema de numeração.
Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43).
2. As antigas civilizações As primeiras grandes civilizações surgiram nas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, há pouco mais de 5 000 anos. Entre elas, destacou-se a civilização egípcia. A escrita egípcia era feita por meio de combinações de desenhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. A seguir, uma lista de sinais convencionais utilizados no sistema de numeração egípcio. Sistema de numeração é o conjunto de regras usadas para tornar possível a leitura e a escrita dos números.
Quadro 2: Sistema de numeração romano
Na figura 4, tem-se um mostrador de relógio em que são utilizados algarismos romanos.
Quadro 1: Sistema de numeração egípcio.
Figura 4: Algarismos romanos.
Observa-se que, da mesma forma que os egípcios, os romanos utilizavam base 10: I → 1 = 100 0, X → 10 = 10 1, C → 100 =10 2, M → 1000 =10 3. A seguir, as principais regras do sistema de numeração romano: 1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode ser repetido seguidamente até três vezes. 2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores (princípio subtrativo). Exemplo: IV → 5 − 1 = 4; IX → 10 − 1 = 9; XL → 50 − 10 = 40; CD → 500 − 100 = 400; CM → 1000 − 100 = 900.
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática
Observe, no quadro 1, que cada símbolo representa dez vezes o que o símbolo anterior representa, justificando o fato de que a base do sistema de numeração egípcio é 10. Para representar um determinado número, os egípcios colocavam os símbolos tanto da direita para a esquerda quanto da esquerda para a direita ou de cima para baixo. Isto mostra que
3) Um símbolo escrito à direita de outro de maior valor indica uma soma dos respectivos valores (princípio aditivo). Exemplo: VI → 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15; CX → 100 + 10 = 110; DC → 500 + 10 = 600; MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600 12
Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
meiros que chegaram à noção de zero, que indica uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopotâmia.
4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo, indicando que o número abaixo dele deve ser multiplicado por mil. Dois traços equivale a multiplicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão). Exemplos:
2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são feitos de dez em dez. 3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo símbolo representa valores diferentes dependendo da posição que ocupa no numeral.
3. Nosso Sistema de Numeração
Exemplo: no número 32 524, o primeiro algarismo “2” (contando a partir da direita) vale vinte unidades, enquanto o segundo vale duas mil unidades.
O Brasil, assim como a maioria dos países, utiliza o sistema de numeração indo-arábico, que é decimal. A palavra “decimal” origina-se do latim decem, que significa dez, ou seja, os agrupamentos são sempre feitos de dez em dez. Por isso, é usualmente chamado de sistema numérico decimal. A denominação indo-arábico deve-se ao fato de seus símbolos e suas regras terem sido inventados pela antiga civilização hindu e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.
4) Obedece aos princípios aditivo e multiplicativo. O número 235, por exemplo, significa: 200 + 30 + 5 (princípio aditivo) Ou seja, 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1 (princípio multiplicativo) No princípio aditivo, o número é obtido pela adição dos valores posicionais.
O principal responsável pela divulgação desse sistema foi o matemático, astrônomo e geógrafo muçulmano do século IX, Abu Jafar Mohamed Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradução de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e Geometria para o latim, penetrando e influenciando o Ocidente.
No princípio multiplicativo, cada algarismo escrito imediatamente à esquerda de um outro algarismo vale dez vezes o valor posicional deste. Assim, cada grupo de dez unidades forma uma dezena. Cada grupo de dez dezenas forma uma centena. Cada grupo de dez centenas forma um milhar. Cada grupo de dez unidades
A seguir, as principais características desse sistema:
de milhar forma uma dezena de milhar. Cada grupo de dez dezenas de milhar forma uma
1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, com os quais é possível representar qualquer número. Esses símbolos são chamados algarismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale lembrar que os símbolos do nosso sistema de numeração sofreram várias mudanças sendo sua padronização possível com a invenção da imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri-
centena de milhar. E assim por diante. Dessa forma, todo número pode ser representado utilizando potências de dez. Este tipo de representação do número é chamado de notação exponencial.
Observe como o número 809 432 é representado no ábaco com sua notação exponencial:
13
UEA – Licenciatura em Matemática
A partir dos conceitos de valor posicional, têm-
EXERCÍCIOS
se os conceitos de valor relativo e valor abso-
1) Escreva a quantidade que está representada
luto.
em cada ábaco.
Valor relativo de um algarismo é o valor que ele assume, dependendo da ordem que ele ocupa no número, e valor absoluto é o valor isolado do algarismo, independente da posição ou ordem que ele ocupa no número. No sistema de numeração decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente quan-
2) Escrever os numerais em algarismos romanos:
do os algarismos são separados em grupos de
a) 12
três, começando pela direita. Cada algaris-
b) 19 e) 1 542
mo que forma um numeral representa uma ordem e que cada três ordens consecutivas
c) 159 f) 4 415
d) 535 g) 750
3) Veja o desenho e descubra que número repre-
representa uma classe como se pode obser-
senta e qual sua notação exponencial.
var no quadro 3. Mas as classes não terminam nos milhões. Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc. Considere os números que estão colocados no quadro 3 e a respectiva leitura:
4) No quadro valor lugar, represente os números e depois faça a leitura:
Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois.
a) 3 482 b) 55 980 644
5) Observe o número 3 482 e responda: Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três
a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú-
mil, cento e quatro.
mero dado?
Atenção: Quando o número indicar quantia em di-
b) Quantas unidades simples possui?
nheiro, a separação das classes deve ser feita por
c) Quantas dezenas possui?
um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço.
d) Quantas centenas possui?
Exemplos:
e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao
a) 3 456
b) 34 567 103
c) R$1.200,00
valor relativo?
d) R$14.350,50
Quadro 3: Quadro Valor Lugar
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Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração
O sistema binário funciona de modo parecido a um interruptor, como mostra a Figura 5.
TEMA 02 BASES DIFERENTES DE 10 Quando se precisa contar uma grande quantidade de coisas, separam-se os objetos em grupos, pois isto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dúzias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de 12 em 12. Os fabricantes agrupam um determinado número de unidades em cada embalagem. Por exemplo: as barrinhas de drops vêm com o mesmo número de balas, as cartelas dos medicamentos vêm com o mesmo número de comprimidos. Até a medição do tempo é feita por meio de grupamentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal.
Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53).
Se desejar representar, neste sistema numérico, o número oito mediante um conjunto de lâmpadas, onde uma lâmpada acesa representa o algarismo “1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, temse as 3 lâmpadas da esquerda para direita apagadas e 1 acesa (Figura 6).
Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos. Dessa forma, tem-se: Figura 6: Representação do número oito no sistema binário (BIANCHINI, p. 56).
a) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 = = 60 + 20 = 80min
1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8
b) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 = = 2×60×60 + 20×60 + 40×1 = = (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s
Já foi demonstrado como escrever um número em uma determinada base para a base 10. Agora, será demonstrado como fazer o processo inverso. A maneira mais simples consiste em fazer divisões sucessivas pela base. As divisões serão feitas com o número e com cada um dos quocientes inteiros encontrados. O processo termina quando o quociente for igual a zero. Os restos das divisões, escritos na ordem inversa em que aparecem, darão a representação do número na base escolhida. Observe como fica transformando o número oito na base 10 para a base 2.
Portanto é possível usar qualquer número como base para criar um sistema numérico posicional. Regra: obtém-se o valor do número, multiplicando o valor de cada algarismo pela base elevada à posição ocupada por ele (a partir da posição zero), somando-se todas as parcelas. Outro sistema não decimal bastante utilizado é o sistema binário – sistema numérico posicional de base dois que usa apenas os algarismos “um” e “zero”. A grande maioria dos componentes de circuitos elétricos podem assumir apenas um dentre dois estados. Por exemplo: interruptores ou transistores podem estar fechados ou abertos; capacitores podem estar carregados ou descarregados; lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foi estabelecido que um desses estados representa o “um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outro representa o “zero” (lâmpada apagada, por exemplo). O algarismo do sistema binário é chamado de dígito binário, oriundo do inglês binary digit, cuja contração produz bit. O bit é a menor unidade de dado (ou informação) que pode ser armazenada em um computador.
EXERCÍCIOS 1) Escreva a quantidade que está representada em cada ábaco.
O processo de conversão das grandezas do mundo real em quantidades expressas no sistema binário chama-se “digitalização”.
2) Escreva o número (192)dez na base cinco. 15
UNIDADE II Conjuntos
Matemática Elementar I – Conjuntos
Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da semana que começam com a letra “p”. Indica-se por: B = { } ou B = ∅
TEMA 03
Relacionando o conjunto B da figura 1 com o conjunto , percebe-se que é possível estabelecer relação entre os conjuntos. A relação pode ser de pertinência ou de inclusão.
CONJUNTOS Observe os conjuntos a seguir:
Relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto. Quadro 1: Relação de pertinência.
Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.
O conjunto A caracteriza-se por seus elementos serem figuras geométricas. O conjunto B caracteriza-se por seus elementos serem números. Os conjuntos são representados por letras maiúsculas. Portanto:
Relação de inclusão é uma relação entre conjuntos.
Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma propriedade que os distingue.
Quadro 2: Relação de Inclusão.
Exemplo: = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números naturais. Cada número natural possui um outro número natural denominado sucessor – elemento que vem imediatamente após um número dado (antecessor). 1 é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1.
1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A, ou seja, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A.
Os conjuntos podem ser classificados em finito, infinito, unitário e vazio.
2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, e qualquer conjunto contém o conjunto vazio. Ou seja:
Conjunto finito – É aquele em que se podem contar todos os seus elementos. Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjunto dos números naturais menores que 720.
∅⊂AeA⊃∅
Conjunto infinito – É aquele em que não se consegue contar todos os seus elementos. Exemplo: Conjunto dos números naturais = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Observação: cada elemento é escrito uma única vez no conjunto.
3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, pois se A = B, então:
Conjunto unitário – É o conjunto formado por um único elemento. Exemplo: A = {3}
Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e C onde A é o conjunto formado pelos números que representam os ponteiros de um relógio, B pelos números que aparecem nas teclas de um telefone e C pelos números naturais.
A⊃BeB⊂A 4) Em ambas as notações, C não é subconjunto de D, ou seja, nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto D.
Conjunto vazio – É o conjunto que não tem elementos. 19
UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e C = {0, 1, 2, 3,...}
EXERCÍCIOS 1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃ ou ⊄.:
Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles: 5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A
a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f}
B
b) 0....... {1, ..., 10, 11,...}
Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto e conjunto, podem-se realizar operações entre conjuntos: união, interseção e diferença entre conjuntos (quadro 3).
c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40} d) {a, e, i, o, u}......{a, u} e) 3 .....IN f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8}
Quadro 3: Operação entre conjuntos.
2) Considerando o conjunto A formado pela idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o conjunto B pela idade das pessoas que têm menos de 25 anos, o conjunto C pela idade das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sentenças:
Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2, determine:
Figura 2: Operações entre conjuntos.
a) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ∪ {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) A ∩ B = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 4, 5, 6, 7} = {2, 5} c) (A − B) ∩ (A ∩ B) A − B = {1, 3} A ∩ B = {2, 5} (A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2, 5} = ∅ 20
a) A ∪ B = C
b) A ∩ C = C
c) C − A = C
d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}
UNIDADE III Conjunto dos NĂşmeros Naturais
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
2. Operações com números naturais TEMA 04
A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essa palavra vem do grego arithmos, que significa número.
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO
Aritmética é a parte da Matemática que estuda as propriedades dos números e as operações que se podem realizar sobre eles.
O conjunto dos números naturais, representado pela letra , é o conjunto: = {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver
As operações com os números naturais são usadas constantemente na vida diária, embora seja difícil dizer quando e como se aprende a adicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operar é agir sobre os objetos e, de alguma maneira, realizar transformações.
problemas de contagem, em que o zero indica a ausência de objetos. 1. Representação dos números naturais na reta numérica A seguir, o procedimento para representar es-
Resolver problemas é uma prática que acompanha os homens ao longo da história. As ciências, as sociedades, as artes devem muito do seu desenvolvimento à eterna resolução de problema. George Polya (1887-1985) foi um grande educador matemático que nasceu em Budapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos e alguns livros extraordinários, como How to solve it (“A Arte de Resolver Problemas”, em português).
ses números sobre uma reta ordenada: 1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um ponto “O” (chamado ponto de origem). 2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 centímetro, por exemplo, à direita do ponto O. 3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa unidade de comprimento repetidas vezes, ao longo da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto da reta está associado a um número natural.
Note que:
Figura 1: A Arte de Resolver Problemas Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg
a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque
Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, George Polya dividiu-o em quatro etapas. Polya nunca pretendeu que sua divisão correspondesse a uma seqüência de etapas a serem percorridas uma depois da outra, sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás, ou que funcionasse como uma porção mágica.
0+1=1 b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3 c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é menor que 2, que é menor que 3. O antecessor é sempre menor que seu sucessor. Estabelece-se, assim, a ordem crescente dos números naturais.
As quatro etapas para resolução de problemas segundo George Polya:
d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é maior que 1, que é maior que 0. O sucessor
1) Compreender o problema.
sempre é maior que seu antecessor. Estabele-
! Ler o enunciado.
ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme-
! Identificar os dados fornecidos.
ros naturais. Portanto sempre é possível esta-
! Identificar as incógnitas (dados desconhecidos do problema).
belecer uma relação de ordem em
. 23
UEA – Licenciatura em Matemática
! Verificar as possíveis relações entre os dados e as incógnitas.
2.a etapa: Traçar um plano. Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a
! Se possível, criar um esquema que represente a situação.
operação a ser utilizada é a adição.
! Identificar o que o problema pede.
3.a etapa: Executar o plano. Para realizar a soma, será necessário executar
2) Traçar um plano: Consiste em construir uma estratégia de resolução.
uma seqüência de procedimentos, chamada de
! Você já resolveu algum problema parecido?
algoritmo.
! É possível resolvê-lo por partes?
Será utilizada a seguinte convenção para os algo-
! Quais são as operações matemáticas adequadas para resolver a situação?
ritmos das quatro operações:
! Todos os dados do problema estão envolvidos no plano? 3) Executar o plano: Consiste em colocar a estratégia de resolução em prática. ! Tentar responder: o que eu obtenho com esse passo?
Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações.
! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira etapa e reordene as idéias.
Primeiro, deve-se representar no quadro valor
4) Comprovar os resultados.
lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se juntar os objetos de cada ordem.
! Ler o enunciado novamente e verificar se o que foi perguntado é o que foi respondido. ! Verificar se os argumentos utilizados para obter o resultado são válidos. ! Você pode obter a solução de um outro modo?
A seguir, serão apresentadas as operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Os problemas que as envolvem serão resolvidos utilizando as etapas de Polya.
Lê-se: “Cento e quarenta e sete”. 4.a etapa: Comprovar os resultados.
2.1 Adição A operação de adição é associada a duas idéias: juntar e acrescentar. A seguir, duas situações que envolvem essas idéias.
Logo, a quantidade de objetos que há na livraria são 147.
Exemplos: 1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantos objetos há na livraria?
2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais 56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan-
1. etapa: Compreender o problema.
tos peixes há no balde?
a
Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros. Pede-se: a quantidade de objetos da livraria.
Figura 4: Idéia de acrescentar.
Figura 2: Idéia de juntar
24
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes. Pede-se: a quantidade de peixes no balde. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de
Propriedades da adição
peixes já existente. Portanto, a operação a ser uti-
A adição em
lizada é adição.
apresenta as seguintes pro-
priedades:
3.a etapa – Executar o plano.
A1) Propriedade do fechamento
Deve-se representar no quadro valor de lugar as
Observe o que acontece com a soma 2 + 6:
parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-se
2+6=8
dez unidades por uma dezena e transporta-se
Portanto: a soma de dois números naturais
para o lugar das dezenas.
resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ , b ∈ , então a + b ∈ . A2) Propriedade comutativa Observe o que acontece com a soma 4 + 3 e 3 + 4: Lê-se: “Cento e noventa e três”.
Portanto: dados dois números naturais a e b,
Chama-se de “vai um” o transporte de uma or-
tem-se que a + b = b + a.
dem para a ordem imediatamente superior, que aqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13,
A3) Propriedade associativa
ou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or-
Observe o que acontece com a soma:
dem das unidades. Quando se somam as deze-
(3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4)
nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois 40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na ordem das dezenas, representando por 0. Este processo é conhecido como “transporte de reserva”. O resultado da adição é obtido pelos algarismos
Portanto: dados três números naturais a, b e
que representam a quantidade que restou em
c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c).
cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0
A4) Existência do elemento neutro
dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203.
Observe o que acontece com a soma 0+4
4.a etapa – Comprovar os resultados.
e 4+0:
Portanto: quando se soma zero a um número natural, a soma não se altera. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição. 25
UEA – Licenciatura em Matemática
EXERCÍCIOS 1) Para estudar para uma prova de Matemática, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercícios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais.
TEMA 05 OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO
a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo?
2.2 Subtração
b) Quantos exercícios fez no fim de semana?
Quando uma operação desfaz o que a outra realizou anteriormente, determinando a volta ao estado original, diz-se que essa operação é a inversa da outra.
2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudantes das escolas de um município para verificar qual o alimento mais consumido (arroz, feijão, macarrão, carne). Cada estudante só podia escolher um único alimento. As respostas foram tabuladas segundo o quadro:
Veja alguns exemplos:
Figura 5: Operações inversas. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica
a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz? b) Quantos estudantes do sexo feminino responderam à pesquisa?
Você observou que a adição e a subtração são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez.
c) Quantos estudantes foram pesquisados?
A operação de subtração é associada a três idéias: retirar, comparar e completar. A seguir, três situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doará 13 livros para sua escola. Quantos livros ficarão na biblioteca de Reginaldo?
Figura 6: Subtração – Idéia de retirada.
1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dos quais 13 livros serão doados para a escola. Pede-se: a quantidade de livros que ficará na biblioteca de Reginaldo. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portanto a operação a ser utilizada é subtração. 26
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
3.a etapa – Executar o plano.
c) Observe que se trocou uma dezena por dez
Deve-se representar no quadro valor de lugar o
unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e
número 134, de forma que se retire 3 unidades e
depois 2 dezenas.
1 dezena (subtraendo).
Lê-se: “Vinte e oito”. Lê-se: “Cento e vinte e um”.
Normalmente, o “empresta um” chama-se “recurso à ordem superior”.
4.a etapa – Comprovar os resultados. 121 + 13 = 134
4.a etapa – Comprovar os resultados. 28 + 29 = 57
2) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio
Logo, a quantidade de garrafas que faltam para
tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la?
encher o engradado é 28. 3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9. Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem?
Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63).
1.a etapa – Compreender o problema.
Figura 8: Subtração – Idéia de comparar
Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no engradado, e Márcio possui 29 garrafas.
1.a etapa – Compreender o problema.
Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam
Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9
para encher o engradado.
anos (idade menor). Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem
2.a etapa – Traçar um plano.
a mais que Carmem.
Idéia de completar uma quantidade para atingir outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub-
2.a etapa – Traçar um plano.
tração.
Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a operação a ser utilizada é a subtração.
3.a etapa – Executar o plano 3.a etapa – Executar o plano.
Deve-se representar no quadro valor de lugar o
Deve-se efetuar a subtração 25 – 9.
minuendo da subtração 57 − 29.
Como o algarismo das unidades do minuendo é
a) Registra-se o minuendo.
menor que o do subtraendo, conforme o algoritmo da subtração, deve-se transportar a unidade superior para a unidade imediatamente inferior. No caso, troca-se uma dezena por dez unidades.
b) Faz–se o transporte da unidade superior para
Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e
a unidade imediatamente inferior.
0 dezena de 1 dezena.
27
UEA – Licenciatura em Matemática
EXERCÍCIOS
4.a etapa – Comprovar os resultados. 9 + 16 = 25
1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiro indicava 3 456 metros cúbicos, e uma nova leitura feita no mês de fevereiro seguinte indicava 4 789 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos a mais no mês de fevereiro?
Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem.
2) Em uma eleição para prefeito de um município no 2. turno, o candidato A obteve um total de 5.789 votos e o candidato B obteve um total de 4.745 votos. Sabendo que houve 165 votos brancos, 59 votos nulos e que o município tem 11 567 habitantes. Responda: O
Esta relação é conhecida como relação fundamental da subtração e pode ser representada da seguinte forma:
a) Quantas pessoas votaram no município? b) Quantas pessoas não votaram?
Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo + + diferença = minuendo
c) Quantos votos a mais obteve o candidato A em relação ao candidato B?
A relação da subtração também pode ser escrita como:
3) Calcular o valor do elemento desconhecido:
A soma de três termos de uma subtração é o dobro do minuendo.
a) x + 45 = 312 b) 10 + y = 25 c) a − 8 = 19
Cálculo do elemento desconhecido numa igualdade: Vista a relação fundamental da subtração, ela será usada para calcular o elemento desconhecido numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração) x+7−7=2−7 Solução: x + 0 = 12 − 7 x=5 Vale lembrar que as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro não são válidas para a subtração em N. Observe: a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 − 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, retirar 3 unidades de 2 unidades se não possuo a ordem das dezenas para fazer o “empréstimo”). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento. b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a propriedade comutativa. c)
Nesse caso, não é válida a propriedade associativa 28
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colheres de sopa cheias de leite em pó. Quantas co-
TEMA 06
lheres de sopa de leite em pó são necessárias
OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO
para fazer 12 copos de leite?
2.3 Multiplicação
1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde
A operação de multiplicação é associada à idéia de adição de parcelas iguais. A seguir, três situações que envolvem essas idéias.
a 3 colheres de leite em pó. Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó para fazer 12 copos de leite.
Exemplos:
2.a etapa – Traçar um plano.
1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo
Idéia de adição de parcelas iguais por meio da
de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De
proporcionalidade entre copo de leite e colheres de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser
quantas maneiras diferentes pode montar o
utilizada é a multiplicação.
sorvete?
3.a etapa – Executar o plano.
1.a etapa – Compreender o problema.
Registra-se o número 12 e repete-se a configu-
Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos
ração pela quantidade de vezes a ser repetida.
de cobertura.
Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca-
Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de
da ordem.
se montar o sorvete.
Lê-se: “Trinta e seis”. 4.a etapa – Comprovar os resultados.
Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de leite em pó para fazer 12 copos de leite. Figura 9: Idéia da multiplicação.
3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B,
2.a etapa – Traçar um plano.
percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a
Idéia de parcelas iguais por meio das combina-
distância para ir da cidade B até a cidade C é o
ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação
quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis-
a ser utilizada é a multiplicação.
tância da cidade B até a cidade C? 3.a etapa – Executar o plano.
1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos:
4.a etapa – Comprovar os resultados.
! Distância de A até B: 123 quilômetros. ! Distância de B até C: quatro vezes a distância de A até B.
Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o
Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C.
sorvete. 29
UEA – Licenciatura em Matemática
2.a etapa – Traçar um plano.
M2) Propriedade comutativa:
Idéia de adição de parcelas iguais por meio da
Observe o que acontece com o produto 2 × 3 e 3 × 2:
proporcionalidade entre a distância de A até B e a distância de B até C. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação.
Portanto: dados dois números naturais a e b, tem-se que a × b = b × a.
3.a etapa – Executar o plano. a) Registra-se o multiplicando e repete-se a configuração pela quantidade de vezes indicada
M3) Propriedade associativa:
pelo multiplicador.
Observe o que acontece com o produto (3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4):
b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena.
Portanto: dados três números naturais a, b e c, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c). Esta propriedade da multiplicação, muitas vezes é usada no cálculo mental. Exemplo: Numa caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7 caixas?
Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”. 4.a etapa – Comprovar os resultados.
Logo, a distância de B até C é de 492 quilômetros.
Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa.
O procedimento para resolver o problema pode ser interpretado da seguinte forma: 7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 = = 56 × 10 = 560 Propriedades da multiplicação
M4) Existência do elemento neutro:
M1) Propriedade do fechamento:
Observe o que acontece com o produto 1 × 4 = 4 × 1:
Observe o que acontece com o produto 3 × 6: 3 × 6 = 18
Portanto, quando se multiplica o número um por qualquer número natural, o produto não se altera. Por isso, o 1 é o elemento neutro da multiplicação.
Portanto: o produto de dois números naturais resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ , b ∈ , então a × b ∈ . 30
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
M5) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
TEMA 07 OPERAÇÃO: DIVISÃO
Exemplo: 2.4 Divisão
Entre a multiplicação e a divisão, há uma relação parecida com a que existe entre a adição e a subtração, já que uma desfaz o que a outra
Portanto, dados três números naturais a, b, c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c
fez. Veja os exemplos.
Essa propriedade também é muito utilizada no cálculo mental. Exemplo: Um televisor está sendo vendido em uma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arrecadar se vender doze televisores? 453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2 =
4 530 + 906
=
5 436 A divisão está associada a duas idéias: de repartir e de medida.
Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televisores.
Idéia de repartir: Exemplos:
EXERCÍCIOS
1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas.
1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cidade B tem o triplo de habitantes da cidade A. Quantos habitantes tem a cidade B?
Não foi exigido que a divisão fosse feita em par-
2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tipos de suco. Qual o número de escolhas diferentes que se pode fazer de um tipo de pizza com um tipo de suco?
! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;
tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a distribuição:
! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas; ! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas, etc; 2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que: a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas. Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas ou cada pessoa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas. b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas. Nesse caso, só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas. 31
UEA – Licenciatura em Matemática
Idéia de medida:
Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixas encomendadas pelo dono da loja é suficiente?
Exemplos:
1.a etapa – Compreender o problema.
1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de dois livros cada. Quantos pacotes serão formados?
Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53 e quantidade de latas que cabem em cada caixa = 4. Pede-se: verificar se a quantidade de caixas encomendadas pelo dono é suficiente.
1.a etapa – Compreender o problema. ! Quais os dados do problema? 48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros. ! O que é pedido?
2.a etapa – Traçar um plano.
A quantidade de pacotes de livros.
Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a
2.a etapa – Traçar um plano.
divisão.
Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a
3.a etapa – Executar o plano.
divisão.
a) Registra-se o número 53.
3.a etapa – Executar o plano. Será utilizado o algoritmo da divisão: a) Registra-se o dividendo.
b) Quando não se podem formar grupos de 4 elementos, devem-se transportar os elementos de uma ordem para a ordem imediatamente inferior em grupos de dez. Em seguida, agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado.
Lê-se: “vinte e quatro”. 4.a etapa – Comprovar os resultados 24 × 2 = 48 Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livros cada.
Lê-se: “Treze”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53 Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar 53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indica que ficaria faltando colocar em uma caixa uma lata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, dizse que a divisão é não-exata.
Esta relação é conhecida como relação fundamental da divisão (para divisão exata) e pode também ser escrita como: q × d = D
Divisão não-exata: A operação que associa cada par de números naturais D e d, ao maior número natural q, que multiplicado por d não supera D, é chamada divisão não-exata com resto r.
Cálculo do termo desconhecido: Dada a relação fundamental da divisão, ela será usada para calcular o elemento desconhecido numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade:
Indica-se por: D = d . Q + r
25x = 175 (relação fundamental da divisão) Solução: x = 175 : 25 x=7
O maior resto possível é sempre igual a d − 1, isto é, R ≤ d − 1.
2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas para colocar 4 latas de refrigerante em cada uma. 32
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
por zero. Mas, para a Matemática, não há interesse algum em ter-se infinitos quocientes para uma só divisão. Portanto não se permite a divisão de zero por zero. O zero nunca pode ser divisor!
Quanto às propriedades da divisão, assim como na subtração, não são válidas as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro. Observe: a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 : 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, agrupar 3 unidades se só existem 2 unidades, e não há a ordem das dezenas, para fazer o empréstimo). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento.
Vale destacar que os conceitos relativos à divisão no conjunto de números naturais desempenham papel importante para os conceitos de números fracionários e dos que se relacionam com o conjunto de números racionais.
b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a propriedade comutativa.
EXERCÍCIOS
c)
1) Para ir a pé de casa para a escola ou da escola para casa, Maria gasta o triplo do tempo que gastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi a pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e, imediatamente, voltou para a escola. Tudo isso demorou 72 minutos. Quantos minutos ela demorou no trajeto de casa à escola?
Nesse caso, não é válida a propriedade associativa. A seguir, um exemplo de aplicação da propriedade distributiva para a divisão.
2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mesmo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendo que o CD custou 25 reais, quanto custou cada agenda? 3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 e quero plantar as que faltam em 4 dias, plantando o mesmo número de mudas em cada dia. Quantas mudas devo plantar por dia? 4) Efetue as seguintes operações: a) 123 × 78 b) 4 056 × 34 Figura 11: Divisão: propriedade distributiva.
c) 1 809 × 908
Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica
d) 1 064 : 2 e) 405 : 68
Observe que:
f) 8 905 : 45
1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 + 9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433. Considerações importantes quanto ao número zero na divisão: 1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0, pois 0 × 7 = 0. 2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q, então q × 0 = 2? Não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Tal divisão é impossível. 3) Quando o dividendo e o divisor são iguais a zero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, haveria infinitos quocientes para a divisão de zero 33
UEA – Licenciatura em Matemática
algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente.
TEMA 08
Exemplos:
POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO – EXPRESSÕES NUMÉRICAS
a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilômetros por segundo:
2.5 Potenciação
300 000 km/s = 3 × 105 km/s b) O disco rígido de meu computador tem 20 Gigabytes (Gb)
Na vida cotidiana, existem várias situações em que são utilizados números muito grandes ou muito pequenos. Quantos grãos de areia há na praia? Qual a distância da Terra à Lua? Quanto pesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem o disco rígido de seu computador? Escrever números muito grandes nem sempre é conveniente. Portanto, para multiplicações em que se tem um mesmo fator, criou-se uma quinta operação, mais econômica: a potenciação.
1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes
4) Toda potência de base zero e expoente diferente de zero é igual a zero. Exemplo: 04 = 0 Propriedades das potências: P1) Multiplicação e divisão Exemplos:
Exemplo: Como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha?
Lê-se: “3 elevado ao quadrado”. Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevado ao cubo”. Para os demais expoentes, lê-se: “(base) elevado à (n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à (n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...). Dado dois números naturais a e n (n > 1), a expressão an representa um produto de n fatores iguais ao número a, ou seja:
Então: Para efetuar a multiplicação de potências de bases iguais, deve-se manter a base e adicionar os expoentes.
an = a . a . a . ...... a
am . an = am + n onde m, n ≠ 0
Exemplo: 5 lê-se: “cinco elevado à sexta potência” ou “cinco elevado à sexta”. 6
Casos especiais da potenciação:
Para efetuar a divisão de potências de bases iguais, deve-se manter a base e subtrair os expoentes.
1) Toda potência de base 1 é igual a 1.
am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0
Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
Observação: Quando as bases não são iguais, calcula-se o valor de cada potência.
2) Toda potência de expoente 1 é igual à base.
A partir da propriedade envolvendo divisão de potências com bases iguais, tem-se que:
Exemplo: 51 = 5 3) Toda potência de base 10 e expoente natural é igual ao número formado pelo
Toda potência de um número natural diferente de zero com expoente zero é igual a 1. 34
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
Exemplo: 30 significa um quociente como 24 : 24 = 52 : 52 = 1
2.7 Expressões Numéricas Para resolver corretamente expressões numéricas, é necessário obedecer à ordem em que as operações devem ser resolvidas.
P2) Potência de uma potência Exemplos:
1) Potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem. 2) Divisões e multiplicações, na ordem em que aparecem. 3) Adições e subtrações, na ordem em que aparecem.
Então: Para efetuar uma ou mais potência de potência, deve-se repetir a base e multiplicar os expoentes.
No caso dos sinais de associação, eles devem ser eliminados na seguinte ordem: parênteses, colchetes parênteses, colchetes e chaves.
P3) Potência de um produto ou quociente Exemplos: a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52
Na figura 12, tem-se vários livros distribuídos em várias prateleiras. Como apresentar duas expressões numéricas diferentes para que se obtenha a quantidade de livros existentes na estante?
b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232
Então: Para efetuar potência de um produto (ou quociente) pode-se aplicar a potência em cada base e multiplicar (ou dividir) os resultados obtidos. 2.6 Radiciação Na potenciação, você viu como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a pergunta fosse: Qual o número de posições em cada linha (ou coluna) cujo quadrado resulta no total de posições do jogo da velha?
Figura 12: Resolução de problemas utilizando expressões numéricas.
Chamando “x” o número de posições em cada linha (ou coluna) de x, deve-se encontrar o número “x”, elevado ao quadrado resulta em 9. Portanto é necessário realizar a operação inversa, chamada radiciação. Exemplos:
Observação: quando o índice é 2, não se escreve o número 2, apenas quando o índice é diferente de 2.
Nas expressões com chaves, colchetes e parênteses, eliminam-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e em seguida a chave. Efetuam-se as operações conforme a ordem descrita anteriormente.
Exemplo: Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é igual a quatro”. 35
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 09 DIVISIBILIDADE 3. Divisibilidade Sabe-se que o ano bissexto é aquele que possui 366 dias, ao contrário do ano comum que possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem de quatro em quatro anos exemplos: os anos de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes números têm uma característica em comum: são números que, quando divididos por 4, dão resto zero. Ou seja, a divisão é exata. 3.1 Conjunto dos divisores de um número natural Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, diz-se que: O primeiro é divisível pelo segundo (ou o primeiro é múltiplo do segundo);
EXERCÍCIOS
O segundo é divisor do primeiro (ou o segun-
1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4 apartamentos e cada apartamento tem 4 quatro vagas na garagem. Quantas vagas há na garagem do prédio?
do é fator do primeiro). Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é divisível por 4 ou múltiplo de 4;
2) Resolva as expressões numéricas:
4 é divisor de 1600 ou fator de 1600.
a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4]
Para se obter o conjunto dos divisores de um
b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]}
número, basta dividir esse número pela sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ...
c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]} d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) −
]}
e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [
: 13 + (23 × 21)]
e verificar em quais se obteve resto zero. Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores de 16. Indica-se D(16).
Continuando o processo até o divisor ser igual a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 3.2 Conjunto dos múltiplos de um número natural Para se obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 36
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos
Divisibilidade por 8: um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8.
de 2, indica-se M(2). 2×0=0
2×1=2
2×3=6
2×4=8
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...}
Exemplos: a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000. b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8.
Observe que: O conjunto dos múltiplos diferentes do zero
Divisibilidade por 9: um número será divisível por 9 quando a soma dos valores absoluto de seus algarismos for divisível por 9.
é infinito; Zero é múltiplo de qualquer número; Todo número é múltiplo de si mesmo.
Exemplo: 2133 é divisível por 9 porque 2 + 1 + 3 + 3 = 9, que é divisível por 9.
3.3 Critérios da divisibilidade
Divisibilidade por 10: um número será divisível por 10 quando terminar em 0.
Para verificar se um número é divisível por outro, deve-se efetuar a divisão entre eles, po-
Exemplos:
rém existem regras que permitem verificar se
a) 40 é divisível por 10 porque termina em 0. b) 75 não é divisível por 10 porque não termina em 0.
um número é divisível por outro sem se efetuar a divisão. Essas regras são denominadas critérios da divisibilidade.
3.4 Números primos
Divisibilidade por 2: um número será divisí-
Desde o sistema de escrita dos egípcios, a criptografia vem sendo utilizada, tanto para fins militares como diplomáticos. Um arquiteto do faraó Amenemhet II construiu alguns monumentos para o faraó, os quais precisavam ser documentados em tabletes de argila, sem que caíssem no domínio público. Um escriba teve a idéia de substituir algumas palavras ou trechos de texto destes tabletes. Caso o documento fosse roubado, o ladrão não encontraria o caminho que o levaria ao tesouro. Muitos consideram isto como o primeiro exemplo documentado da escrita cifrada.
vel por 2 quando for par. Exemplo: 16 é divisível por 2 porque é par. Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 27 é divisível por 3 porque 2 + 7 = 9, que é divisível por 3. Divisibilidade por 4: um número será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.
Erastótenes de Cirene, filósofo e geômetra grego (276 a.C. a 194 a.C.) é conhecido como criador de um método para identificar números primos, o crivo de Erastótenes.
Exemplos: a) 400 é divisível por 4 porque termina em 00. b) 336 é divisível por 4 porque o número 36 é divisí-
O termo Criptografia surgiu da fusão das palavras gregas “Kryptós” (oculto) e “gráphein” (escrever). Trata-se de um conjunto de conceitos e técnicas que visam codificar uma informação de modo que apenas o emissor e o receptor possam acessá-la e interpretá-la. Um exemplo simples de código consiste em permutar cada letra do alfabeto usada na mensagem pela letra seguinte. Por exemplo, a palavra “Matemática” seria escrita codificada como “Nbufnbujdb”. Porém, esse método é muito simples de ser decifrado.
vel por 4
Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: a) 65 é divisível por 5 porque termina em 5. b) 30 é divisível por 5 porque termina em 0.
Divisibilidade por 6: um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3. Exemplo: 630 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e por 3. 37
UEA – Licenciatura em Matemática
Durante a 2.a Guerra Mundial, três americanos desenvolveram um sistema de código secreto, chamado RSA (Rivest, Shamir and Adleman Algorithm), em homenagem aos seus criadores Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman. Criavase um novo ramo da Criptografia, a ciência dos códigos, fortemente baseado na Teoria dos Números e, em particular, nos números primos. A grande maioria das pessoas não sabe que a inviolabilidade dos seus dados pessoais, cartões de crédito e senhas bancárias depende em parte destes números.
3) Dadas as sentenças: I) 1 339 é múltiplo de 13. II) Zero é o único múltiplo de 0. III) 1 414 é divisível por 11.
Podemos afirmar que: a) I e II são verdadeiras. b) I e III são verdadeiras. c) II e III são verdadeiras. d) As três são verdadeiras.
4) Dado o conjunto A = {n ∈ N; 10 ≤ n ≤ 20}, determinar os números primos desse conjunto.
O método RSA é um dos algoritmos mais usados para transações criptográficas na Internet. Nesse algoritmo, números primos são utilizados da seguinte forma: dois números primos são multiplicados para se obter um terceiro valor. Porém, descobrir os dois primeiros números a partir do terceiro (ou seja, fazer uma fatoração) é muito trabalhoso, pois é necessário usar muito processamento para descobrilos, tornando essa tarefa quase sempre inviável. Observação: é muito importante que além de se escolher primos p e q muitos grandes, a diferença | p − q | não pode ser pequena, pois isso facilitaria a fatoração. Um número é primo quando possui exatamente dois divisores (ele mesmo e a unidade). Se possuir mais de dois divisores, é chamado número composto. D(2) = {1,2}; D(3) = {1,3}; D(4) = {1,2,4}; D(5) = {1,5}; D(6) = { 1, 2, 3, 6} São exemplos de números primos 2, 3, 5, 7, 11... EXERCÍCIOS 1) Quais são os múltiplos do número: a) 3 b) 4 c) 7
2) Quais são os divisores do número: a) 35 b) 450 c) 73 38
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
O m.d.c é o produto dos fatores comuns elevados ao seu menor expoente.
TEMA 10 MÁXIMO DIVISOR COMUM. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Exemplo: Calcular o m.d.c. entre 48 e 40.
4. Máximo divisor comum Analise a seguinte situação: deseja-se dividir 3 toras de madeira, que medem respectivamente 12m, 18m e 24m, em partes iguais e com maior tamanho possível. Qual comprimento deve possuir cada uma das partes?
O processo de decomposição em fatores primos pode ser utilizado para determinar os divisores de um número, a quantidade de divisores, a quantidade de divisores pares e ímpares. Procedimento para determinar os divisores de um número: 1) Fatora-se o número dado. 2) Traça-se uma barra vertical à direita dos fatores primos. 3) Um pouco acima, à direita da barra, escrevese o divisor 1. 4) Multiplicam-se os fatores primos pelos números que vão ficando à direita da barra.
Figura 13: Máximo divisor comum.
Para responder a estas pergunta, devem-se encontrar os divisores de 12, 18 e 24? D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Observação: Os produtos que se forem repe-
D(18) = {1, 2, 3, 6, 18}
tindo não serão escritos.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Veja a aplicação da regra para o número 60.
D(12) I M(18) I M(24) = {6} Observe que 6 é o maior divisor comum entre 12, 18 e 24. Logo, cada tora deve ser dividida em 6 partes iguais. Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, denomina-se máximo divisor comum (m.d.c) o maior de seus divisores comuns.
Logo, os divisores D(60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. Procedimento para determinar a quantidade
Processos práticos para decomposição de fatores primos:
de divisores de um número: 1) Decompõe-se o número em fatores primos. 2) Soma-se uma unidade a cada expoente. 3) Multiplicam-se os resultados obtidos.
I) Decomposição em fatores primos Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, realiza-se uma operação denominada decomposição em fatores primos, que consiste em:
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51 Logo, o número de divisores de 60 é: N.D(60) = (2 +1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12.
1) dividir, inicialmente, o número dado pelo seu menor divisor primo; 2) dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo; 3) repetir este procedimento até obter o quociente igual a 1.
Procedimento para determinar a quantidade de divisores ímpares de um número. Nesse caso, faz-se o processo anterior apenas com os expoentes dos fatores primos ímpares. 39
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51
Pode-se observar que o menor múltiplo comum entre 8, 12 e 16 diferente de 0 é o 48.
Logo, o número de divisores ímpares de 60 é:
Dados dois ou mais números naturais diferentes de zero, chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.) o menor de seus múltiplos comuns diferente de 0.
N.D.I. (60) = (1 +1) × (1 + 1) = 5 Procedimento para determinar a quantidade de divisores pares de um número: 1) Soma-se uma unidade a cada expoente dos fatores primos ímpares. 2) Multiplicam-se os resultados encontrados pelo expoente do fator primo par.
Processos práticos para o calculo do m.m.c.: a) Decomposição em fatores primos
Logo, o número de divisores pares de 60 é:
O cálculo do m.m.c de dois ou mais números pela decomposição em fatores primos obedece à seguinte regra:
N.D.P. (60) = 2 × (1 +1) × (1 + 1) = 8
Decompõem-se os números em fatores primos.
Exemplo: 60 = 22 × 31 × 51
O m.m.c é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns elevados ao seu maior expoente.
II) Divisões sucessivas O cálculo do m.d.c. de dois números pelo processo das divisões sucessivas obedece às seguintes regras:
Exemplo: m.m.c. (36, 120) =
1) Divide-se o maior número pelo menor. 2) Divide-se o número menor pelo primeiro resto. 3) Divide-se o primeiro resto pelo segundo resto, e assim sucessivamente, até se obter uma divisão exata. 4) O último divisor é o m.d.c. procurado. Exemplo: Calcular o m.d.c de 78 e 54.
b) Decomposição simultânea O cálculo do m.m.c. de dois ou mais números pela decomposição simultânea obedece à seguinte regra:
5. Mínimo múltiplo comum Analise a seguinte situação: três navios fazem o mesmo percurso entre dois portos: o primeiro de 8 em 8 dias. O segundo de 12 em 12 dias e o terceiro de 16 em 16 dias. Tendo saído juntos em certo dia do mês, após quantos dias sairão juntos novamente?
Decompõem-se, simultaneamente, os números em fatores primos. O m.m.c é o produto dos fatores primos obtidos. Exemplo:
Para responder a essa pergunta, devem-se encontrar os múltiplos de 8, 12 e 16. M(8) = {0, 8,16, 24, 32, 40,48, ....} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...} M(16) = {0, 16, 32, 48, 64, 80, .... } M(8) I M(12) I M(16) = {48} Logo, após 48 dias esses navios sairão juntos novamente. 40
Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais
EXERCÍCIOS 1) De uma estação urbana, partem ônibus para o bairro A de 18 em 18 minutos; para o bairro B de 12 em 12 e para o bairro C de 10 em 10 minutos. Sabendo que às 10h os ônibus das três linhas partiram juntos, a que horas partirão juntos novamente? 2) Considerando os números a = 27 × 3, b = 24 × 5, c = 26 × 11 determine: a) m. d. c. b) m. m. c.
3) Se a = 2 × 32 × 5 e b = 22 × 3 × 5, determine o m.d.c. (a,b) e o m.m.c.(a,b).
41
UNIDADE IV O Conjunto dos NĂşmeros Inteiros
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
! o ponto A está 10oC acima de zero. Simbolicamente: +10oC;
TEMA 11
! o ponto B está 10oC abaixo de zero. Simbolicamente: −10oC.
A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO 1. A idéia do número inteiro Durante muito tempo, os povos não conheciam o número negativo. Os hindus recusavam-se a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela idéia de número. Somente na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI) é que os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações com o desenvolvimento do comércio e o crescimento das cidades, surgindo a necessidade de solucionar problemas do dia-a-dia que não poderiam ser resolvidos utilizando números naturais, como perda e prejuízo. Surge, assim, uma interpretação para os números negativos, antes chamados de números falsos ou números absurdos.
Figura 2: Representação da temperatura de duas cidades no mesmo termômetro (GIOVANI,2002, p. 30)
Diz-se que +10 é um número inteiro positivo (muitas vezes, omite-se o sinal +) e −10 é um número inteiro negativo. 2) Saldos bancários:
Os números negativos estão presentes em várias situações do nosso dia-a-dia. Veja alguns exemplos:
Observe que cada vez que o banco desconta algum valor do saldo de seu Jorge, aparece o sinal de menos (−) no valor descontado. Portanto crédito de R$50,00 (+R$50,00) e débito de R$120,00 (− R$120,00).
1) A temperatura de duas cidades. Considere a seguinte situação: um termômetro marca uma temperatura de 10 graus Celsius (10oC) afastado do zero. Conforme mostra a Figura 1. Tem-se duas possibilidades de interpretação.
Ainda hoje, quando uma empresa termina o ano em prejuízo, diz-se que ela terminou o ano no vermelho, isto é, seu balanço final indicou mais despesas (saídas) do que receitas (entradas). Portanto seu saldo é negativo.
a) Temperatura da cidade A. b) Temperatura da cidade B.
3) Elevadores Muitos edifícios têm piso abaixo do nível da rua. Para localizar os andares de um prédio em relação ao térreo, utilizam-se números inteiros, em que os números negativos servem para indicar os pisos abaixo do térreo. O térreo é considerando o ponto de referência (ou de origem).
Figura 1: Temperatura de duas cidades (GIOVANI, 2002, p.29)
Observa-se que há dois pontos (A e B) do termômetro que podem ser tomados como a posição da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0 (zero). Isso mostra que o número natural 10 não foi suficiente para expressar o afastamento da coluna de mercúrio em relação ao ponto de origem 0. Para eliminar a dupla interpretação, convenciona-se:
Figura 3: Números inteiros no painel do elevador.
45
UEA – Licenciatura em Matemática
e cada número inteiro é chamado abscissa do ponto correspondente.
4) Calendários Os números inteiros são utilizados para diferenciar períodos antes e depois de uma data. Para
Exemplo:
os povos cristãos, o calendário tem como refe-
O ponto A é a imagem geométrica do número 2.
rência o ano de nascimento de Cristo. Veja na
O número 2 é a abscissa do ponto A.
reta numerada como representar as afirmações:
Jesus Cristo nasceu no ano 0.
Nesse contexto, reunindo os números negativos e os números naturais, tem-se o conjunto dos números inteiros indicado por .
Manaus foi fundada no ano 1 848. (subentende-
= {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Roma foi fundada no ano 753 a. C. (−753)
se que foi depois de Cristo) (+1 848)
3. Subconjuntos O conjunto dos números inteiros possuem importantes subconjuntos. Veja alguns deles no quadro 1.
2. Representação dos números inteiros na reta
Representação em Diagramas
numérica Os números negativos são representados na reta de forma semelhante à representação dos números naturais. Partindo do ponto de origem O, coloca-se a unidade de comprimento escolhida repetidas vezes, ao longo da reta, da esquerda para a direita, determinando o sentido positivo da reta, e da direita para a esquerda determinando o sentido negativo da reta.
Cada ponto associado ao número inteiro é chamado imagem geométrica do número inteiro, Quadro 1: Subconjuntos de .
46
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
4. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro A reta numérica a seguir indica a posição dos municípios de Manacapuru e Itacoatiara em relação a Manaus, sendo quilômetros a unidade de medida adotada.
Nesse caso, as distâncias de Itacoatiara e do posto de saúde a Manaus são as mesmas. Indica-se: |+177| = |−177|. Os números +177 e −177 são chamados de números inteiros opostos ou simétricos. Assim, +177 é o oposto ou simétrico de −177 e vice-versa.
Observe que o município de Itacoatiara encontra-se a 177 quilômetros a leste de Manaus. Indica-se por: +177 ou apenas 177.
4.2 Comparação entre números inteiros O módulo de um número inteiro também é importante para comparar dois números inteiros. A comparação de dois números positivos já foi demonstrada no conjunto dos números naturais. Entre os negativos, comparando as distâncias de Humaitá e Manicoré a Manaus, tem-se que:
O município de Manacapuru encontra-se a 79 quilômetros à oeste de Manaus. Indica-se por: − 79. Chama-se módulo ou valor absoluto de um número inteiro “x” a distância desse número até o zero na reta numérica.
−600 < −333, pois |−600| > |−333|
Portanto, entre dois números negativos, o número que tiver o maior valor em módulo será o menor.
Representa-se por |x|. Exemplos: O módulo de +177 é 177 e indica-se |+177| = = 177. O módulo de − 79 é 79 e indica-se |−79| = 79.
EXERCÍCIOS 1) Observe a reta numérica inteira a seguir.
Para determinar a distância entre dois pontos na reta numerada, devem ser considerados os módulos das distâncias de cada ponto à origem e somar (ou subtrair) os resultados obtidos.
Dê a distância de: a) +6 a 0 b) −2 a 0 c) −3 a +5
Exemplos:
d) −6 a −2 e) −3 a +3 f) +5 a −2
2) Uma cidade A encontra-se a 1 200 quilômetros ao norte da cidade B, e uma cidade C encontra-se a 3 500 quilômetros ao sul da cidade B, ambas em linha reta. Quantos quilômetros há entre as cidades B e C em linha reta?
1) Quantos quilômetros são percorridos entre Manacapuru e Itacoatiara passando por Manaus? Solução: |−79| + |+177| = 79 + 177 = 256 quilômetros em linha reta.
3) Analisando as sentenças: I) |−7| > |+5| II) Existe um número inteiro que tem módulo menor que zero. III) O valor da expressão |−15| + |−3| − |−41| é 23.
2) Quantos quilômetros são percorridos entre Itacoatiara e Maués? Solução: |+267| − |+177| = 267 − 177 = 90 quilômetros em linha reta.
Podemos afirmar que: a) b) c) d)
4.1 Números inteiros opostos ou simétricos Suponha agora que um posto de saúde encontra-se a 177km a leste de Manaus. 47
I e II são falsas. I e III são falsas. II e III são falsas. Todas são falsas.
UEA – Licenciatura em Matemática
2.o Caso: Adição de números de sinais diferentes:
TEMA 12
a) (−2) + (+5) Partindo de −2, caminhe +5
OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 5. Operações com números inteiros As operações com os números inteiros são usadas constantemente no cotidiano em situações como:
Tem-se que (−2) + (+5) = −2 + 5 = +3 b) (+2) + (−5)
a) Devo R$50,00 ao banco. Meu pai depositou na minha conta R$30,00. Quanto ficará o meu saldo? b) A temperatura de uma cidade da Região Sul do Brasil em um dia foi de 2o C abaixo de zero, e nos Estados Unidos, foi 3 vezes menor. Qual foi a temperatura nos Estados Unidos?
Partindo de +2, caminhe −5
Tem-se que (+2) + (−5) = −3
A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se seus valores absolutos, fornecendo ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto.
5.1 Adição A reta numérica será utilizada para entender a adição entre números inteiros.
A adição de três ou mais parcelas (somas algébricas) pode ser obtida utilizando a propriedade associativa, adicionando-se as parcelas positivas, depois as parcelas negativas e, finalmente, adicionando-se os resultados obtidos.
Procedimento: 1) Partindo do número que indica a 1.a parcela, caminhe na reta tantas casas quanto indicadas na 2.a parcela. 2) Se o número for positivo, caminhe para a direita. 3) Se o número for negativo, caminhe para a esquerda.
Exemplos: a) (−4) + (−6) + (+5) + (+3) Somando as parcelas positivas: (+5) + (+3) = 5 +
1.o Caso: Adição de números de mesmo sinal:
3=8
a) (+1) + (+3)
Adicionando os resultados: (−4) + (−6) + (+5) +
Somando as parcelas negativas: (−4) + (−6) = −10 (+3) = 8 + (−10) = −2
Partindo de +1, caminhe +3
b) (−7) + (−9) + (+2) + (+7) + (−1) Somando as parcelas positivas: (+2) + (+7) = 2 + 7=9
Tem-se que (+1) + (+3) = +4
Somando as parcelas os negativos: (−7) + (−9) + (−1) = −17
b) (−2) + (−4)
Adicionando os resultados: (−7) + (−9) + (+2) +
Partindo de −2, caminhe −4
(+7) + (−1) = 9 + (−17) = −8
Conhecendo-se as regras para adicionar números inteiros, é possível resolver problemas que envolvem adição com números inteiros.
Tem-se que (−2) + (−4) = −6
A soma de dois números inteiros de mesmo sinal é obtida adicionando-se seus valores absolutos e conservandose o sinal comum.
Exemplos: 1) Caio tinha R$20,00 na sua conta bancária e seu irmão Pedro depositou R$80,00. Quanto ficará o saldo de Caio? 48
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
Esse fato pode ser representado pela subtração:
2. a) Márcia devia R$50,00 ao banco e depositou R$20,00. Quanto ficará o saldo de Márcia?
Note que (+35) − (+31) = (+35) + (−31) = +4 Então: Se a e b são dois números inteiros, a − b é igual à soma do primeiro número com o oposto do segundo:
b) Após 3 dias, Márcia emprestou R$25,00 para comprar um CD. Quanto ficará o saldo de Márcia?
a − b = a + (−b) Cálculo do termo desconhecido As regras para a adição e a subtração de números inteiros podem ser utilizadas para solucionar problemas que envolvem um termo desconhecido.
Propriedades da adição: Os números inteiros obedecem às mesmas propriedades da adição utilizadas para números naturais, sendo acrescentada a propriedade da existência de elemento oposto (também conhecida como propriedade do cancelamento).
Exemplo: Alexandre, o Grande, nasceu em 356 a.C. Quantos anos viveu Alexandre, sabendose que ele morreu em 323 a.C? O termo desconhecido “x” indicará a quantidade de anos que Alexandre viveu. Portanto:
Propriedade do fechamento: A soma de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Propriedade comutativa: Dados dois números inteiros a e b, tem-se: a + b = b + a. Propriedade associativa: Dados três números inteiros a, b e c, tem-se: (a + b) + c = a + (b + c).
Para aplicar a propriedade do cancelamento e encontrar o valor de x, deve-se adicionar +356 em ambos os membros. Então:
Propriedade do elemento neutro: Quando se soma zero a um número inteiro, a soma não se altera. Propriedade da existência de elemento oposto: A soma de dois números inteiros de sinais diferentes, mas de mesmo módulo, resulta no número zero.
Logo, Alexandre viveu 33 anos. Representando na reta, tem-se:
Exemplo: Se devo R$5,00 ao banco e pago R$5,00, qual é o meu saldo? (−5) + (+5) = 0 5.2 Subtração Considere a seguinte situação:
Propriedades da subtração
No sábado, a temperatura de Boca do Acre passou de +31oC para +35oC. Qual foi a variação de temperatura?
A subtração em não possui as propriedades comutativa, associativa, elemento neutro e elemento oposto. 49
UEA – Licenciatura em Matemática
5) Pitágoras nasceu no ano 570 a.C. e morreu no ano 496 a.C. Com quantos anos Pitágoras morreu? Represente na reta numerada.
Propriedade do fechamento: A subtração de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Assim, se a ∈ e b ∈ , então (a − b) ∈ .
6) Efetue usando apenas a regra:
Exemplo:
a) b) c) d) e) f)
(−3) − (−4) = −3 + 4 = +1, em que −3 ∈ e − 4 ∈ e 1 ∈ . Não é válida a propriedade comutativa. Exemplo: (−5) − (−4) ≠ (−4) − (−5) −5 + 4 ≠ −4 + 5 −1 ≠ +1 Não é válida a propriedade associativa. Exemplo: [(−3) − (−6)] − (−5) ≠ (−3) − [(−6) − (−5)] (−3 + 6) + 5 ≠ (−3) – (−6 + 5) 3 + 5 ≠ (−3) − (−1) 8 ≠ −3 + 1 8 ≠ −2 EXERCÍCIOS 1) Partindo do térreo, um elevador desce 3 andares. Em seguida, desce mais 1 andar. Determine o andar em que o elevador parou. 2) Cláudio tem uma conta bancária. Hoje, essa conta apresenta o saldo negativo de R$25,00. Para cada situação abaixo, indique a adição correspondente e dê o resultado. a) Depósito de R$50,00. b) Retirada de R$5,00. c) Retirada de R$10,00 seguida de depósito de R$50,00.
3) Um grupo de estudantes andou em uma trilha 5km a oeste de um ponto. A seguir, o grupo voltou 2km e parou em uma cachoeira. Represente na reta numerada essa situação e calcule a posição final do grupo em relação ao ponto inicial de caminhada? 4) Certo dia, o termômetro marcava +3oC para uma cidade A, mas, à noite, a temperatura baixou para −1oC. Qual foi a variação de temperatura nesse período? 50
(+5) + (−6) + (−4) (+6) + (−3) +(−9) + (−4) (−7) + (−5)+ (+7) (−12) − (+7) − (−5) (+23) − (−18) − (+14) (−15) − (+136) − (−98) − (+45)
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
d) Em 2 minutos (−2), havia 4 litros a mais no balde, pois: (−2) × (−2) = +4
TEMA 13 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 5.3 Multiplicação Como interpretar o produto de, por exemplo, (+2) × (−3)? Existem algumas situações que nos permitem dar sentido a multiplicações com números negativos.
Então: O produto de dois números inteiros de mesmo sinal é um número positivo. O produto de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo.
Considere um balde com capacidade de 10 litros, que será enchido de água à razão de 2 litros por minuto.
Resumindo:
a) Após 5 minutos (+5) o balde estará cheio com 10 litros, pois: (+2) × (+5) = +10.
Propriedades da multiplicação: Os números inteiros obedecem às mesmas propriedades da multiplicação utilizadas para números naturais.
b) Após 3 minutos (−3), faltavam 6 litros para encher o balde, pois: (+2) × (−3) = −6.
Propriedade do fechamento: O produto de dois números inteiros resulta em um número inteiro. Propriedade comutativa: Dados dois números inteiros a e b, tem-se: a × b = b × a. Suponha que o balde foi enchido novamente com 10 litros, e a água será retirada à razão de 2 litros por minuto (−2).
Propriedade associativa: Dados três números inteiros, a, b e c, tem-se: (a × b) × c = a × (b × c).
Propriedade do elemento neutro: Quando se multiplica o número 1 por qualquer número inteiro, o produto não se altera. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: Dados três números inteiros, a, b, c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c.
c) Após 3 minutos (+3), o balde terá 6 litros a
Exemplos:
menos, pois: (−2) × (+3) = −6
a) (+4) × (−2) × (+5) = (−8) × (+5) = −40 ou utilizando a propriedade associativa, (+4) × (+5) × (−2) = (+20) × (-2) = −40 b) (−7) × [(+12) + (−5)] = (−7) × (+7) = −49 ou utilizando a propriedade distributiva, [(−7) × (+12)] + [(−7) × (−5)] = (−84) + (+35) = −49 51
UEA – Licenciatura em Matemática
Observe que: Para quantidade ímpar de fatores negativos, o produto é negativo. Para quantidade par de fatores negativos, o produto é positivo.
TEMA 14 OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS
5.4 Divisão
5.5 Potenciação em
Você viu que na multiplicação (+2) × (−3) = −6. Sendo a divisão a operação inversa da multiplicação, tem-se que:
Existem dois casos a serem considerados: 1.o Caso: O expoente é um número par.
(−6) : (−3) = +2 e (−6) : (+2) = −3.
Observe:
Então: O quociente de dois números inteiros de mesmo sinal é um número positivo.
a) (+3)2 = +9
O quociente de dois números inteiros de sinais diferentes é um número negativo.
Quando o expoente é um número par, a po-
b) (−3)2 = (−3) × (−3) = +9
tência é sempre um número inteiro positivo.
Resumindo:
Observação: (−3)2 e −32 são diferentes, pois: (−3)2 representa o quadrado do número −3, ou seja, (−3)2 = (−3) × (−3) = +9 −32 representa o oposto do quadrado do número 3, ou seja, −32 = −(3 × 3) = −9 2.o Caso: O expoente é um número ímpar.
Propriedades da divisão:
Observe:
Não são válidas as propriedades de fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro.
a) (+3)3 = +27 b) (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27
Quando o expoente é um número ímpar, a
EXERCÍCIOS
potência tem sempre o mesmo sinal da
1) Paulo deve R$45,00 a um amigo. Ana deve o dobro do que deve Paulo. Quanto ela deve?
base. Propriedades da potenciação:
2) Um mergulhador está a 16m de profundidade. Outro mergulhador está a uma profundidade que é o triplo da do primeiro mergulhador. A que profundidade ele está?
As propriedades da potenciação são as mesmas utilizadas para os números naturais. Multiplicação e divisão
3) Joana tem em sua conta bancária R$800,00 e pretende com este dinheiro pagar, em duas parcelas iguais mensais, uma geladeira. Quanto Joana deverá sacar por mês?
Exemplos: a) (+5)3 × (−2)2 = (+125) × (−4) = −500 b) (−2)5 × (−2)3 = (−2)5 + 3 = (−2)8 = +256 c) (−4)2 : (−2)3 = (+16) : (−8) = −2
4) Efetue:
d) (−5)2 : (−5)1 = (−5)2 – 1 = (−5)1 = −5
a) (−9) × (−14) b) (+5) × (−9) × (+2)
Potência de uma potência
c) (−9) : (−9)
Exemplos:
d) (−28) : (−14) e) (+45) : (−9)
a) (−102)3 = −1003 = −1 000 000 ou −106
f) (−84) : (+12)
b) [(−2)3]2 = (−8)2 = +64 = (−2)6 52
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Inteiros
3) (−6 + 2)2 : (−4) + [3 × (−5 – 4) – (−1)3 × (−4 + 12)] = = (−4)2 : (−4) + [3 × (−9) – (−1) × (+8)] = = (+16) : (−4) + [−27 – (−8)] = = (−4) + [−27 + 8] = = − 4 − 19 = −23
Potência de um produto ou quociente Exemplos: a) [(+3) × (−5)]2 = (−15)2 = 225 ou (+3)2 × (−5)2 = 9 × 25 = 225 b) [(−46) × (−23)]2 = (+2)2 = 4 ou (−46)2 : (−23)2 =
4) − = = = =
2 116 : 529 = 4
5.5 Radiciação em Considere a seguinte situação: Quais os números inteiros cujos quadrados
EXERCÍCIOS
são iguais a 225?
1) O número inteiro x representa a diferença entre o quadrado do número –2 e o cubo do número –1. Qual é o número x?
Os números são +15 e −15, pois Como, em Matemática, uma operação (como a radiciação) não pode apresentar dois resulta-
2) Em 1678, havia, em uma vila, 96 habitantes. Sabendo que no ano de 2005 a população cresceu à segunda potência, quantos habitantes essa vila tem?
dos diferentes, fica definido que: = +15
É claro que existe o oposto do número que é − Então: −
,
3) Qual é o número inteiro x que multiplicado pelo cubo do número –10, resulta em –40 000?
. = −(+15) = −15
4) Resolva as expressões numéricas:
Agora considere as situações:
a) × ( 42 – – 23 – 22 + 5) = 3 8 4 b) (7 – 4) × (–4) + {[(–4) : (–4) ] – 4 + [(–2)3 : (–14 + 22)]}
1) Qual é o número inteiro que representa a raiz quadrada de 19? Observe que não existe nenhum número inteiro cujo quadrado dê 19, pois 42 = 16 e 52 = 25. Como não há nenhum número inteiro entre 4 e 5, conclui-se que não é possível obter raiz exata de
.
2) Qual é o número inteiro que elevado ao quadrado dá −25? Sabe-se que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Isso significa que os números inteiros negativos não tem raiz quadrada em , ou seja,
− − −7 −7
: {3 + 32 − [ : (43 + 42)] + 5 − 51}= : {3 + 9 – [400 : (64 + 16)] +5 – 5} = : { 12 – [400 : 80] + 0}= : { 12 – 5 } = : 7 = −1
não existe no
conjunto . 6. Expressões numéricas em As regras para se resolverem expressões numéricas envolvendo números inteiros são as mesmas das utilizadas para números naturais. Exemplos: 1) (–6)2 + (+3)3 = +36 +27 = 63 2) (+4)2 – (+3)4 = 16 – 81 = −65 53
UNIDADE V O Conjunto dos NĂşmeros Racionais
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
II – do presidente da República; III – ...
TEMA 15
§ 2.O A proposta será discutida e votada em cada casa do Congresso Nacional, em dois turnos, considerando-se aprovada se obtiver, em ambas, três quintos dos votos dos respectivos membros. Graficamente, fica fácil entender.
O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO 1. O Número Racional Absoluto Muitos dos problemas de medida não podem ser resolvidos utilizando números inteiros. Medindo comprimento ou área, massa ou capacidade, é mais provável encontrar-se um número fracionário do que um número inteiro. Observe que, nas atividades diárias, encontram-se idéias de fração, tais como: três quartos de estrada pavimentada, garrafa com um litro e meio de água, plantio de melancia em cinco terços da área de um sítio, uso de ferro de cinco oitavos de polegadas na construção de uma casa.
Figura 3a: Idéia de fração – a Constituição do Brasil (IMENES, p.16
Mas aprovar uma emenda à Constituição é muito difícil. São necessários 3/5 dos votos da Câmara e, também, 3/5 dos votos do Senado.
Exemplos: 1) O planeta Terra
Figura 1: Idéia de fração – o planeta Terra.
Figura 3b: Idéia de fração – a Constituição do Brasil (IMENES, p.16)
Portanto, desde os tempos mais remotos, o homem vem-se deparando com situações que o levaram a criar um novo tipo de número, o número fracionário, que indica a parte de um todo. As primeiras unidades de medida utilizadas foram baseadas no seu próprio corpo. Tomava o comprimento de seu pé, ou de seu palmo, ou de sua passada, a “grossura” de seu dedo. Outras vezes, usava uma vara como unidadepadrão, ou ainda a quantidade de terra que podia preparar em um dia com seu arado. Mas o processo de medição precisava ser melhorado porque as rudimentares maneiras eram confusas. Por exemplo, existiam mãos de diferentes tamanhos, e dessa forma, um mesmo comprimento tinha medidas diferentes, dificultando a comunicação entre as pessoas. O processo de medição precisava ser melhorado, e o homem criou medidas-padrão universais.
Figura 2: Superfície da Terra (IMENES, p. 7).
2) A Constituição do Brasil. A Constituição brasileira pode ser emendada, quer dizer modificada, sendo a própria Constituição que estabelece o critério de modificação. Artigo 60 – A Constituição poderá ser emendada mediante proposta: I – de um terço, no mínimo, dos membros da Câmara dos Deputados ou do Senado Federal; 57
UEA – Licenciatura em Matemática
tico italiano Fibonacci (1175-1250) foi o primeiro europeu a usar a barra”. (Revista Escola, p.13, n.o 113).
1.1 Unidade fracionária Divida um chocolate em três partes iguais. Cada uma dessas partes chama-se um terço (unidade fracionária). Tomadas duas partes iguais tem-se dois terços, e as três partes iguais chamam-se três terços ou o todo.
“A convenção é que a palavra fração se refere ao numeral e não ao número. O número chama-se número racional ou número fracionário. Por isso, não há soma de frações e sim de números racionais, pois não se adicionam numerais e sim números. Frações maior que outra, somente se for escrita em tamanho maior. Com frações não há adições, multiplicações, divisões, comparações, porque fração é numeral. Mas podemos simplificar frações.
Dividindo-se a unidade em duas partes iguais, três partes iguais, cinco partes iguais ou em um número qualquer de partes iguais, e tomando-se alguma dessas partes, fica-se com uma fração da unidade. Quando se divide a unidade em partes iguais e toma-se uma ou mais dessas partes, obtém-se uma fração.
A palavra racional, para os números, não vem de “raciocínio”, mas de rateio, divisão. Isto ocorre justamente porque cada número racional é uma razão entre dois números inteiros
De modo geral, escreve-se fração com a seguinte notação:
, em que a indica a quan-
com b ≠ 0”. (ROSA NETO, p.132).
tidade de partes tomadas, “numerador”, e o numeral b ( b ≠ 0) indica em quantas partes
1.2 Leitura
foi dividido o todo, “denominador”.
Devem ser considerados três casos na leitura de frações:
Quando se escreve a fração, representada por
a) denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: lê-se o numerador e, em seguida, na mesma ordem, as palavras meio(s), terço(s), quarto(s), quinto(s), sexto(s), sétimo(s), oitavo(s) e nono(s);
, realizam-se duas ações: a primeira é dividir o todo em partes iguais, sendo que cada uma das partes é a unidade fracionária; e a segunda ação é considerar uma ou mais unidades fracionárias.
b) denominadores potências de 10, isto é 10, 100, 1000, ...: lê-se o numerador acompanhado das palavras: décimo(s), centésimo(s), milésimo(s), ...;
“A barra foi introduzida por árabes do século XII, que copiaram o esquema numerador-sobre-denominador utilizado na Índia. O matemá-
c) denominadores acima de dez excluindo os do item b: lê-se o numerador, em seguida o denominador acrescido da palavra avo(s).
Quadro 1: Leitura das frações
58
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
1.3 Frações de grandezas discretas e frações de grandezas contínuas
Solução: Como livros são grandezas descontínuas e a divisão destas grandezas formam subconjuntos com o mesmo número de elementos, logo a fração é possível, e o número de livros de matemática é 10.
Bolos, chocolates e tortas que podem ser divididos em fatias de qualquer tamanho e ainda continuam com característica de bolo, chocolate e torta, são exemplos de grandezas contínuas. Porém pessoas, carteiras e animais, são exemplos de grandezas discretas ou descontínuas (pessoas, carteiras e animais só podem ser contados um a um). Tanto nas grandezas contínuas quanto nas grandezas descontínuas, a idéia de fração é o ato de dividir o todo em partes iguais e considerar uma ou mais unidades fracionárias. Uma fração como pois
Figura 4a: Divisão de grandezas.
b)
dá idéia de quantidade,
dos livros, são de geografia. Solução: Seja A conjunto de livros
de um chocolate é maior que a meta-
de do chocolate, mas menor que o chocolate todo. Essas idéias de quantidade associada às frações são chamadas de números racionais. Figura 4b: Divisão de grandezas.
Nas grandezas descontínuas, essa associação só é possível quando a divisão dessa grandeza formar subconjuntos com o mesmo número de elementos, onde o número dos subconjuntos é igual ao denominador a ele associado.
A fração
ta grandeza não forma subconjuntos com mesmo número de elementos.
Exemplo: Em uma prateleira há 15 livros, diga quantos livros correspondem às seguintes frações, quando possível: a)
não é possível porque a divisão des-
1.4 Classificação de frações Classificam-se as frações comparando o numerador com o denominador.
dos livros são de matemática.
1) Frações menores e maiores do que 1
Figura 5: Classificação de frações (ESCOLA, 1988, p. 13).
59
UEA – Licenciatura em Matemática
Na fração
A fração aparente é um numeral de um
, o numerador (3) é menor do
número natural.
que o denominador (4). Ela recebe o nome de fração própria.
3) O numeral misto
A fração própria é um numeral que representa uma parte do objeto tomado como unidade. Na fração
As frações impróprias podem ser escritas sob a forma mista. Ao transformar fração imprópria para núme-
o numerador (4) é maior do
ro misto, equivale dizer que se extraem os
que o denominador (2). Ela recebe o nome de fração imprópria.
inteiros da fração, ou seja, verifica-se quantos inteiros cabem na fração.
A fração imprópria é um numeral que representa uma quantidade maior que a unidade. Exemplo: Com
2) Frações aparentes As frações em que o numerador é múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador, recebem o nome de frações aparentes.
retângulos e sobra =2
60
retângulos, formam-se 2 de retângulo. Assim:
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
1.5 Frações equivalentes Considere as frações
1.7 Fração irredutível ,
e
Considere a fração
na figura 6:
.
Observe que, ao efetuarmos a divisão dos termos da fração sucessivamente pelo mesmo número natural, obtemos uma fração equivalente, cujos termos são números naturais menores. Quando a divisão não é mais possível, obtemos uma fração chamada irredutível, cujos termos são números primos entre si.
.
Figura 6: Frações equivalentes.
Exemplo: A fração
A figura 6 mostra o mesmo objeto dividido em
são primos entre si.
3, 6 e 12 partes.
m.d.c (1,4) = 1
As partes do inteiro podem ser representadas pelos numerais
,
e
=
=
~
~
.
1) Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Os brasileiros representam qual fração do total de membros da conferência?
rais do mesmo número. Multiplicando ou dividindo os dois termos de uma fração por um
2) Onze dias correspondem a que fração do mês de outubro?
mesmo número natural diferente de zero, obtém-se outra fração equivalente à primeira.
3) Classifique em própria (P), imprópria (I) e aparente (A) as seguintes frações:
Esse número só não pode ser o zero.
a)
1.6 Simplificação de frações
~
4) De
, pois as duas
( )
b)
( )
quantos
c)
( )
d)
( )
(inteiros) você pode tirar?
E o que sobra? Então
frações têm o mesmo valor, mas a fração
= .....
.
5) Transforme em frações impróprias os seguintes números mistos:
tem os termos menores. Diz-se, por isso, que a fração
=
EXERCÍCIOS
As frações equivalentes são, portanto, nume-
Exemplo: Sabe-se que
=
. Tais frações são
denominadas frações equivalentes e são indicadas por
é irredutível, pois 1 e 4
foi simplificada, dividindo-se os dois
a) 1
b) 2
termos da fração por 4, que é um divisor co6) Se as frações
mum dos termos da fração. =
e
tão qual o valor de x?
=
7) Simplifique as frações:
Portanto, para simplificar uma fração, basta
a)
dividir os seus termos por um divisor comum aos termos. 61
b)
são equivalentes, en-
UEA – Licenciatura em Matemática
b) do tipo
TEMA 16
contrários.
={
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS RELATIVOS. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL 2. Conjunto dos números racionais relativos
Observações: 1) Todo número fracionário é um número racional.
O conjunto formado por todos números racionais negativos, racionais positivos e pelo zero é o conjunto dos números racionais relativos ou, simplesmente, o conjunto dos números racionais, representado pelo símbolo .
....,
| a ∈ , b ∈ , b ≠ 0}
Portanto pode-se calcular qualquer quociente de inteiro com divisor não-nulo utilizando números racionais.
Os números racionais absolutos à direita do zero são também chamados números racionais positivos. Os números racionais negativos situam-se à esquerda do zero.
= { ..., −3, ...,
, com b ≠ 0 e a e b inteiros de sinais
Exemplos: −
e−
,
2) Todo número inteiro é também um número racional. Exemplos: 3 = , −7 = − e0= 3) Todo número decimal exato é um número racional.
, −2,6 , −2, ..., −1, ..., 0, ...,1,
Exemplos: 0,5 =
,...}
, −3,4 = −
e
−0,0707 = −
2.1 Representação dos números racionais relativos na reta numérica
4) Todo número decimal periódico é um número racional. Exemplos: 0,555... =
, −0,0707... = −
e
0,423423... = 5) Ao escrever um número racional negativo, na forma de fração, pode-se colocar o sinal menos na frente do número, ou, então, no numerador.
O conjunto dos números racionais é formado pelos números representados por frações: a) do tipo
Exemplos: −
=
, com b ≠ 0 e a e b inteiros de mesmo
2.2 Subconjuntos de
sinal;
Quadro 2: Subconjuntos dos números racionais.
62
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
Analisando o quadro 2, pode-se determinar quais das sentenças a seguir são verdadeiras: a) 5 ∈
b) −17 ∉
e) −0,3 ∈
c) −
f) −
∉
∈
d) −
∉
g) 0 ∈
Exemplo: O número 0,5 é o oposto ou simétrico de −0,5 e −0,5 é o oposto ou simétrico de 0,5.
As sentenças verdadeiras são a, d, e , g. Observe que: a)
∪
=
b)
c)
∩
=∅
d)
∩
2) Comparação de números racionais
=
a) Números racionais absolutos
∪ {0} =
Considere três casos:
Representação em diagramas
1.o caso: Números fracionários cujas frações têm denominadores iguais: A fração com o maior numerador representa o número maior.
Todo número inteiro é um número racional, mas nem todo número racional é um número inteiro. Figura 7a: Frações com denominadores iguais.
2.3 Módulo ou valor absoluto de um número racional
Perceba que a parte do objeto representada
O módulo de um número racional é determinado da mesma maneira que o módulo de um número inteiro. Exemplos: O módulo de + +
é
e indica-se:
por
é maior do que a parte representada
por
. Então
>
ou
<
2.o caso: Números fracionários cujas frações têm numeradores iguais:
=
A fração com o menor denominador representa o número maior.
O módulo de −
é
e indica-se: −
=
1) Números racionais opostos ou simétricos Observe, na reta numérica racional, que os números racionais
e−
estão à mesma Figura 7b: Frações com numeradores iguais
distância da origem e localizam-se em sentidos opostos. Indica-se: − meros
e−
=
Perceba que a parte do objeto representada
. Os nú-
por
é maior do que a parte representada
por
. Então
são chamados de números
racionais opostos ou simétricos. 63
>
ou
<
UEA – Licenciatura em Matemática
2) Determinar as sentenças verdadeiras.
3.o caso: Números fracionários cujas frações têm numeradores e denominadores diferentes. Como comparar
e
a)
−
< −
? >
b) Procedimento: ! Obter frações equivalentes com o mesmo denominador.
c)
−
<
! Comparar as frações de acordo com o 1.o caso.
d) −
=
e)
>
Então:
m.m.c. (5,4) = 20
b) Números racionais negativos Da mesma forma, comparamos números racionais negativos escritos na forma fracionária. Exemplos: 1)
e
, conclui-se que
>
, pois
−1 > −5. 2)
e
, como os denominadores são di-
ferentes, reduz-se ao mesmo denominador (m.m.c.) obtendo as frações Conclui-se, portanto, que
e <
. , pois
−10 < −9. De modo geral, dados dois números racionais, o menor deles será aquele que estiver à esquerda do outro na reta numerada.
EXERCÍCIOS 1) Compare os números racionais: a) c)
e e0
b) d)
e e 64
−
< −
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
Redução de frações ao mesmo denominador comum:
TEMA 17 OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 2.4 Operações com números racionais As propriedades estruturais das operações definidas entre números inteiros são válidas quando se realizam operações com números
Figura 9: Redução de frações ao mesmo denominador.
racionais.
Reduzindo as frações ao mesmo denomi-
1) Adição e subtração
nador (calculando o m.m.c.), e adicionando
Ensina-se a efetuar as operações de adição, sub-
algebricamente os numeradores, tem-se:
tração por meio de diagramas que representam a unidade e as unidades fracionárias. O uso das regras práticas só é conveniente ser ensinado após
Exemplos:
entender por que e como se opera. Regra prática para adicionar e subtrair dois números racionais 1.o caso: A adição ou a subtração de dois números racionais representados por frações de mesmo denominador. A figura 7 mostra que: se adicionarmos +
=
a
, obtém-se
.
, porque a quantidade pela qual o Propriedades da adição
todo foi dividido é a mesma.
As propriedades da adição em
são: fecha-
mento, comutativa, associativa, elemento neutro e elemento oposto (cancelamento). Propriedades da subtração: A subtração em
não possui as propriedades
comutativa, associativa, elemento neutro e elemento oposto. Possui apenas a propriedade do fechamento. Propriedade do fechamento: Figura 8: Adição de frações com mesmo denominador.
A subtração de dois números racionais resulta em um número racional. Assim, se a ∈
Para somar ou subtrair frações de mesmo deno-
então (a − b) ∈ .
minador, somam-se ou subtraem-se os numera-
Exemplo:
dores e repete-se o denominador.
(−
2.o caso: Adição ou subtração de números racionais representados por frações de deno-
) − (−
em que −
minadores diferentes. 65
)=−
∈
+
e−
=
∈
∈ ,
eb∈ ,
UEA – Licenciatura em Matemática
EXERCÍCIOS 1) Resolva as adições utilizando apenas desenho.
TEMA 18 OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 2) Multiplicação A expressão “um terço da metade”, pode ser representada por
2) Agora, represente as adições do exercício 1 utilizando frações. a) ....................................... b) .......................................
3) Resolva as subtrações usando apenas desenhos.
Figura 10: Multiplicação de frações
Então,
de
=
, a operação entre frações
que traduz esse resultado é a multiplicação ×
=
O produto de duas frações é a fração em que: o numerador é o produto dos numeradores das frações dadas; e o denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.
4) Agora, represente as subtrações do exercício 3 utilizando frações. a) ....................................... b) .......................................
Simplificação pelo cancelamento
5) Efetue:
Seja a multiplicação:
a) (−
) + (+
)
b) (+
) + (+
)
c) (−4) − (+
ou
A operação multiplicação em da da seguinte forma:
)
pode ser realiza-
6) Maria colocou em um jarro 3/5 de litro de leite. Depois colocou mais 1/5 de litro de leite. Represente graficamente cada uma das frações e verifique quantos litros de leite possui o jarro?
a) Se os fatores tiverem sinais iguais, o produto fica com sinal “+”; se os fatores tiverem sinais contrários, o produto fica com sinal “−” .
7) Suponha que Maria retirou 2/5 de litro de leite. Quantos litros restaram no jarro? Represente graficamente.
c) Multiplicam-se os denominadores da fração, obtendo o denominador do produto.
b) Multiplicam-se os numeradores das frações, obtendo o numerador do produto.
d) Simplifica-se o resultado quando possível. Exemplos: a) b) c) d) 66
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
Para efetuar a divisão, podemos multiplicar a primeira fração pelo inverso multiplicativo da segunda.
Propriedades da multiplicação Assim como em
, a multiplicação em
possui
as propriedades: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, distributiva da multipli-
Exemplo:
cação em relação à adição, acrescentando a propriedade do elemento inverso: Para todo racional x ≠ 0, existe um único racio-
Observe a seguinte divisão em :
nal y tal que x . y = 1. Tal y denomina-se inverso de x, e indica-se por x x.x
−1
−1
ou
. Assim,
=1
Exemplo: 4 −1 ou
O quociente entre dois números racionais também pode vir indicado por uma “fração” em que o numerador e o denominador são frações.
é o inverso de 4, e 4 é o
inverso de 4 −1 ou Neste sentido, chamamos de frações inversas
Exemplos:
duas frações cujo produto é igual a 1.
:
Exemplos: O inverso de O inverso de
é é
, pois
×
, pois
= 1. ×
= 1.
EXERCÍCIOS 1) Paulo e seus irmãos comeram em um dia
3) Divisão
de um queijo e, no dia seguinte, comeram
Observe as seguintes situações:
. Que parte do queijo os irmãos comeram?
a) Se Marta quer dividir entre dois irmãos um
Que parte falta comer?
quarto de um chocolate, que parte do chocolate ganhará cada um?
2) Mostrar por meio de figuras que: a)
:2=
b) 2 :
Figura 11a: Divisão de frações.
3) Calcule:
=5
+
:2+5×
b) Quero distribuir oitavos de um bolo entre algumas crianças. Tendo-se apenas
4) Um barco navegou
do bolo,
de um percurso, o que
corresponde a 1 200 metros. Qual a distância a ser percorrida por esse barco?
quantas crianças poderão receber?
5) Sueli apontou
dos 24 lápis de cor da caixa.
Quantos lápis Sueli apontou? Figura 11b: Divisão de frações.
Portanto, 6 crianças poderão receber um pedaço do bolo. 67
UEA – Licenciatura em Matemática
Propriedades da potenciação 1.a – Multiplicação de potência de mesma base
TEMA 19
De modo geral, para qualquer base a racional, a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n inteiros, vale a igualdade: am × an = a m + n
OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Exemplos:
4) Potenciação Considerando os estudos anteriores de poten-
a)
=
b)
=
ciação, vamos calcular agora a potência que tenha como base um número racional (positivo ou negativo) e como expoente um número inteiro. Toda potência de número racional diferente de zero com expoente 0 é igual a 1. Exemplos: a) a0 = 1
b) (
)0 = 1
c) (−
)0 = 1 2.a – Divisão de potência de mesma base
Toda potência de número racional com ex-
De modo geral, para qualquer base a racional, a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n inteiros, vale a igualdade: am : an = a m − n
poente 1 é igual à própria base. Exemplos: a) a1 = a
b) (−
)1 = −
c) (
)1 =
Exemplos:
Toda potência de número racional com ex-
a)
poente maior que 1 é igual a um produto em que o número de fatores é igual ao expoente da potência e todos os fatores são iguais à
b)
base. Exemplos: a) b)
3.a – Potência de uma potência De modo geral, para qualquer base a ≠ 0, e para quaisquer expoentes m e n inteiros, vale a igualdade: (am)n = a m . n
c) d)
Exemplos: Toda potência de um número racional, diferente de zero, com expoente inteiro negativo é
a)
igual ao inverso do número dado elevado ao mesmo expoente, porém, positivo.
b)
Exemplos: 4) Radiciação
a)
Um número racional quadrado perfeito é o quadrado de outro número racional.
b)
Exemplo: Os números racionais cujo quadrado é
c)
são: 68
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
×
)2 =
, pois (
=
e
TEMA 20 −
) × (−
) = (−
, pois (−
2
)=
EXPRESSÕES NUMÉRICAS. Como, em Matemática, uma operação (como a radiciação) não pode apresentar dois resultados diferentes, conclui-se que o número positivo
RESOLUÇÃO DE PROBEMAS 2.5 Expressões Numéricas
é
Observações: denominado raiz quadrada aritmética de
. E
1) Toda expressão numérica pode ser repre-
=
indica-se por
sentada por um único numeral chamado valor numérico da expressão.
É claro que existe o oposto do número −
=−
que é
2) As operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
.
a) Potenciação e radiciação. b) Multiplicações e divisões (na ordem em que
EXERCÍCIOS
aparecem).
1) Calcule as potências a) (−
)0
b) (
)1
c) Adições e subtrações (na ordem em que apac) (−
)− 2
d) (
recem).
)− 3
3) Quando a expressão tiver sinais de associação, estes devem ser eliminados na seguin-
2) Aplique as propriedades das potências e reduza a uma só potência. a) (−
)2 : (−
c) (
)5 : (
)5 )11
te ordem: primeiro resolvem-se os parênteses, depois os colchetes e, finalmente, as
b) d) (
chaves. )4 × (
)6 × (
Exemplo: Calcular o valor da expressão:
)−5
“efetuam-se as potenciações e radiciações”:
“eliminam-se os parênteses”. “efetua-se a potenciação”.
“eliminam-se os colchetes”.
“simplificação e multiplicação de fração”. . “efetua-se a subtração”. 69
UEA – Licenciatura em Matemática
2.6 Resolução de problemas envolvendo frações:
a) A fração de figurinhas que os dois, juntos, colaram no álbum. b) Quantas figurinhas correspondem à fração unitária. c) O total de figurinhas do álbum.
Você se lembra das quatro etapas essenciais sugeridas pelo matemático Polya? 1.a etapa
2.a etapa
Compreender o problema
3.a etapa Executar o plano
3.a etapa – Executar o plano.
Traçar um plano
a) Para saber a fração das figurinhas que os dois colaram no álbum, adicionam-se as quantidades já coladas.
4.a etapa
Comprovar os resultados
+
Exemplos:
→ fração das figu-
das
das figurinhas.
Sabendo-se que os dois já colaram 99 figurinhas, quantas figurinhas tem o álbum completo?
c) Para calcular quantas figurinhas tem o álbum completo:
Figura 12: Adição de frações. Fonte: www.victorbahia.eblogger.terra.com.br
4.a etapa – Executar o plano. × 108 +
1.a – Etapa: Compreender o problema. Dados conhecidos: Alice colou
108 = 18 + 81 = 99. Logo, o ál-
bum completo tem 108 figurinhas.
das figu-
rinhas do álbum. O pai dela colou
=
b) Para saber quantas figurinhas correspondem à fração unitária:
1) Alice e seu pai estão preenchendo juntos um
figurinhas, e seu pai colou
+
rinhas que os dois colaram juntos no álbum.
A seguir, serão apresentadas situações que serão analisadas utilizando a metodologia sugerida por Polya.
álbum de figurinhas. Alice já colou
=
2) Uma criança percorre os das figurinhas do álbum.
da distância en-
tre a sua casa e a escola. Ainda faltam 420 metros. Qual a distância da casa à escola?
Alice e o pai colaram 99 figurinhas. Pede-se: a quantidade de figurinhas que tem o álbum completo.
2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de juntar as figurinhas. Portanto, a operação a ser utilizada é a adição. Deve-se calcular:
Figura 13: Idéia de subtração.
70
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
1.a etapa – Compreender o problema. Dados: distância percorrida =
EXERCÍCIOS 1) Calcule o valor das expressões:
da distân-
cia total.
a)
Distância que falta = 420m. b)
Pede-se: a distância da casa à escola. 2.a etapa – Traçar um plano.
c)
Idéia de completar. Logo, a operação a ser utilizada é a subtração. Deve-se calcular: 2) Para pintar
a) A fração que representa o quanto falta.
de um quarto, utilizei 25 litros de
tinta.
b) Quantos metros correspondem à fração unitária.
a) Qual é a fração do quarto que resta pintar?
c) A distância total.
b) Quantos litros de tinta serão necessários para pintar a parte que falta?
3.a etapa – Executar o plano.
c) Quantos litros de tinta serão necessários para pintar o quarto todo? d) Se cada lata contém 2
litros de tinta, de quan-
tas latas vou precisar para pintar o quarto todo?
a)
Figura 14a: Operações entre frações.
3) Um atacadista possui 2 600 sacas de arroz.
b)
Vendeu ao primeiro freguês Do que sobrou, vendeu guês, vendeu
c)
destas sacas. ao segundo fre-
do novo resto. Quantas sa-
cas sobraram?
4.a etapa – Comprovar os resultados. 2 × 140 + 420 = 700m Logo, a distância da casa à escola é de 700
Figura 14b: Operações entre frações. Fonte: www.imprensa.com.ni
metros 71
UEA – Licenciatura em Matemática
4) Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube couberam
dessa herança. Ao mais jovem
TEMA 21
do resto, ficando R$120.000,00
REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL. OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
para o terceiro irmão. Qual é o valor total da herança?
3. Representação de números fracionários na forma decimal Na frase “O governo conseguiu do FMI um empréstimo de 10,4 bilhões de dólares”, verificase que cada vez mais se faz necessário conhecer os números racionais escritos na forma de números decimais. Estes estão sujeitos a um sistema posicional de valores muito parecidos com os dos números naturais, o que vem a facilitar a leitura, a escrita, a comparação e as operações com esses números.
Figura 15: Reprentação de números fracionários na forma decimal.
Observe que a quantidade de zeros no denominador é igual à quantidade de casas decimais.
Figura 16: Reprentação de números fracionários na forma decimal.
72
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
Cada placa representa
A vírgula posiciona-se logo após a unidade simples.
= 0,1 da caixa.
Cada cubo representa
3.1 Comparação entre números decimais
da
Maria gastou R$47,50 e João R$47,25. Quem gastou mais? Para saber quem gastou mais, é necessário comparar dois números decimais. Como fazê-lo?
placa. Como são 10 placas que formam a caixa, então cada cubo representa
Para comparar os números decimais, pode-se transformar em números fracionários, ou procede-se da seguinte maneira:
da caixa.
1.o caso: A parte inteira é diferente. Neste caso basta comparar a parte inteira. O número que tiver a maior parte inteira será maior.
Às vezes, depara-se com frases semelhantes a essa: “16% das crianças abandonaram a escola”. Mas o que vem a ser 16% (lê-se: dezesseis por cento). Note que 16% =
Exemplo: Comparar 3,45 e 34,5. Neste caso, como a parte inteira 3 é menor que 34, então conclui-se que 3,45 é menor que 34,5 e representa-se 3,45 < 34,5.
= 0,16
2.o caso: A parte inteira é igual.
Portanto, se, por exemplo, forem consideradas 200 crianças equivale dizer que 200 × 0,16 = 32 crianças abandonaram a escola.
Exemplo: Comparar 2,047 e 2,47. Neste caso deve-se: ! Escrever os números decimais com igual número de casas (2,047 e 2,470).
Da mesma maneira que 10 unidades = 1 dezena, tem-se que:
! Eliminar a vírgula (2,047 e 2,470).
10 décimos = 1 unidade, 10 centésimos = 1 décimo e 10 milésimos = 1 centésimo.
! Obtêm-se, assim, os números naturais (2047 e 2470). ! comparar os números naturais (2047 < 2470).
Se o número é 0,3, pode-se escrever 0,30 ou ainda 0,300 e se o número for igual a 4 podemos escrever 4,0 ou 4,00 ou ainda 4,000.
Conclui-se que 2,047 é menor que 2,470. De modo geral: Dado dois números racionais quaisquer, o menor deles será aquele que estiver à esquerda do outro na reta numerada.
Assim, no sistema posicional, torna-se fácil a leitura (quadro 2):
Quadro 2: Leitura de números fracionários na forma decimal.
73
UEA – Licenciatura em Matemática
3.2 Operações com números decimais
EXERCÍCIOS 1) Faça a leitura dos seguintes números decimais:
1) Adição
a) 2,45
Observe a figura 17 em que cada quadradinho
b) 0,004
c) 46,07
2) Complete com um dos símbolos: > (maior), < (menor) ou = (igual):
vale 0,1.
a) 7,4........7,4 b) 30,94........30,4 c) 47,5........5740000
3) Calcule:
Figura 17: Adição com números decimais.
a) 8,07 + 12,9
2) Subtração
4) Papai comeu 0,2 do bolo, mamãe comeu 0,3 e eu comi 0,4. Qual a parte que sobrou do bolo?
Na figura 18, é efetuada a subtração entre 0,8 e 0,2.
Figura 18: Subtração entre números decimais.
Para adicionar ou subtrair os números decimais, utiliza-se a regra prática: 1) iguala-se o número de casas decimais das parcelas ou dos termos da subtração, acrescentando zeros; 2) dispõem-se os números usando o sistema posicional, isto é, vírgula embaixo de vírgula; 3) adicionam-se ou subtraem-se os números como se fossem números naturais, colocando a vírgula no resultado alinhada com as parcelas. Exemplo: Calcular: a) 45,9 + 3,53 + 0,065
b) 35,15 − 14,984
b) 35,8 − 4,51
Quadro 3: Adição e subtração com números decimais no quadro valor lugar.
Logo: 45,9 + 3,53 + 0,065 = 49,495 e 35,8 − 4,51 = 31,29 74
Matemática Elementar I – O Conjunto dos Números Racionais
3) Divisão Observe as seguintes situações:
TEMA 22
a) Tenho 60 metros de fio para pipa para dividir entre 8 crianças. Quantos metros cada criança receberá?
OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL
Solução: Se cada criança receber 7 metros, sobrarão 4 metros, e se cada criança receber 8 metros faltarão 4 metros. O que devo fazer?
3) Multiplicação A largura de uma estrada é de 12,35m. O governo deseja ampliá-la duplicando a largura. Qual será a nova largura?
Colocando na forma de fração, tem-se:
É do nosso conhecimento que duplicar é multiplicar por 2 e escreve-se 12,35m × 2. Sabe-se ainda que multiplicar por 2 é somar 2 parcelas de 12,35m. Portanto, tem-se:
=
=
=7
Em fração, cada criança receberá sete metros e meio. Mas, como fazer a divisão sem transformar em fração?
Quadro 4: Multiplicação de números decimais no quadro valor lugar.
Veja os seguintes passos:
→
Dispõe-se na forma de divisão, em que o dividendo é 60 e divisor é 8. Divide-se 60 por 8. O quociente será 7 e o resto 4.
Portanto pode-se efetuar 12,35 × 2. Multiplicando 1235 por 2, resulta em 2470; colocar a vírgula contando 2 casas decimais.
→
Acrescente 0 (zero) na casa dos décimos, e vírgula após o quociente 7 para continuar.
→
Dividindo 40 por 8, obtém-se um quociente 5 e resto zero.
Para efetuar a multiplicação ou transformar os números em fração, calcula-se o produto ou procede-se da seguinte maneira: 1) multiplicam-se os números como se fossem números naturais; 2) o produto terá tantas casas decimais quanto forem a soma do número de casas decimais dos fatores.
Exemplo: Recebi R$274,80 de devolução do Imposto de Renda. Quero dividir essa quantia entre 6 sobrinhos. Quanto devo dar a cada um?
Exemplos: a)
Quando a divisão em que um ou ambos os termos da divisão for número decimal, basta multiplicar o dividendo e o divisor por potência de base dez, isto é, tornando-os um número natural (igualando número de casas decimais). Essa propriedade apóia-se na propriedade: “multiplicando o dividendo e o divisor por um mesmo número diferente de zero, o quociente não se altera e o resto fica multiplicado por este número”.
b)
Como 42,030 = 42,03; então: escreve-se 42,03.
Exemplo: Calcular 274,80 : 6
Quando se multiplica um número decimal por 10, 100, 1000,..., desloca-se a vírgula para a direita, tantas casas quantas forem a quantidade de zeros.
× 10 274,80 : 6 = 2748 : 60 = 45,80 75
UEA – Licenciatura em Matemática
EXERCÍCIOS
4. Sistema Monetário Nacional
1) Efetue a multiplicação e a divisão sem transformar em fração:
Observe os números que aparecem no anúncio de jornal do preço do carro.
a) b) c) d) e) f)
25,8 × 15 0,125 × 3,8 56,4 × 34,7 65 : 25 451 : 8,8 171,45 : 25,4
2) Meu extrato bancário apresentou: 01/10/02 saldo......R$1.345,85 02/10/02 depósito... R$255,97
Figura 19: Números na forma decimal.
Atualmente, o nosso seado no real, que é unidades monetárias vos. Um centavo do real.
02/10/02 cheque compensado......R$759,64 Calcule o saldo do dia 02/10/02.
sistema monetário é barepresentado por R$. As são divididas em centareal é um centésimo do
3) Num posto de gasolina, Renato gastou R$89,10. Mas só possuía notas de 50, 10 e 5 reais e moedas de 1 real e de 10 centavos. Como Renato poderá pagar se não deve receber troco?
Tudo que se compra no Brasil envolve o real. Exemplo: a passagem de ônibus custa R$1,80 (um real e oitenta centavos) em Manaus; o litro do combustível custa R$2,75 (dois reais e setenta e cinco centavos); um galão de 20 litros de água custa R$3,50 (três reais e cinqüenta centavos). Você deve ter observado que esse sistema envolve duas partes: a parte inteira e a parte decimal, que é chamada de centavos. A base de cálculo desse sistema é o mesmo da numeração decimal.
a) 1 nota de R$10,00, 1 nota de R$20,00, 1 nota de R$50,00 e 1 nota de R$5,00, 4 notas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. b) 1 nota de R$50,00, 3 notas de R$10,00, 1 nota de R$5,00, 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. c) 8 notas de R$10,00, 1 nota de R$5,00, 3 notas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. d) 1 nota de R$50,00, 1 nota de R$10,00, 4 notas de R$5,00, 8 notas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10.
4) Maria comprou uma televisão de R$450,99. Deu 1/3 deste valor de entrada e vai pagar o restante em 8 prestações iguais. Então qual o valor da entrada com 2 casas decimais? 5) Uma pizzaria utiliza 0,3 quilos para fazer uma pizza. Quantos quilos de mussarella serão necessários para fazer 3 pizzas? 6) Uma loja vende uma geladeira por R$1.498,00 em até 8 parcelas sem juros. Calcule o valor de cada prestação da geladeira que foi comprada em 7 vezes iguais.
Figura 20: As moedas do real Fonte: http://www.bcb.gov.br
7) Comprei 8 retalhos de tecidos por R$5,44 cada. Quanto paguei ao todo?
Exemplo: Na sexta-feira, fui às compras e gastei R$25,40 em uma calça, R$2,99 em uma meia, R$13,70 em um cinto. Dei uma nota de R$50,00. Quanto recebi de troco?
8) Dividir 0,8 do bolo para 5 crianças. Qual a parte que cabe a cada criança?
Solução: Total gasto R$25,40 + R$2,99 + R$13,70 = R$42,09. Troco recebido: R$50,00 − R$42,09 = R$0,91. 76
UNIDADE VI Geometria das formas e das medidas
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
Euclides apresentou a geometria por meio de axiomas ou postulados, admitindo como primitivos os conceitos de ponto, reta e plano. Axioma ou postulado é uma proposição que não exige demonstração. Conceitos primitivos são aqueles que se admitem sem definição, tem-se apenas um conhecimento intuitivo decorrente da experiência e da observação. Definição é uma enunciação de qualidades características.
TEMA 23 A GEOMETRIA E EUCLIDES. CONCEITOS PRIMITIVOS. SEMI-RETA. SEGMENTO DE RETA. NOÇÕES DE MEDIDA 1. A Geometria e Euclides A palavra geometria origina-se do grego geo=terra e metria=medir. Segundo o historiador grego Heródoto (séc. V a.C.), atribui-se aos egípcios a origem da geometria, pois, naquela época, o imposto que os proprietários de terra pagavam eram diretamente proporcional à área de cada lote. Muitas vezes, com as cheias do rio Nilo, parte das terras dos agricultores desapareciam, e os cobradores tinham que recalcular cada área para que a cobrança fosse justa. Além disso, no comércio era necessário saber o volume de cada depósito de grão.
2. Conceitos primitivos: ponto, reta e plano No dia-a-dia, são encontrados diversos exemplos desses conceitos primitivos. Exemplos: a) Os buracos existentes nos botões nos dá a idéia de ponto.
Figura 2: Idéia de ponto.
Muitos matemáticos contribuíram valiosamente para a geometria. Dentre eles, pode-se destacar Euclides (séc. III a.C.). Nasceu na Síria e estudou em Atenas com os sucessores de Platão. Foi um dos primeiros geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava geometria e álgebra, conseguindo atrair muitos discípulos para as suas lições.
b) Uma estrada nos dá idéia de reta.
A reta não tem começo, nem fim, nem espessura. É representada por letras minúsculas do nosso alfabeto.
Figura 3: Idéia de reta (PATILLA, 1995, p.6).
c) A superfície do rio Amazonas dá-nos a idéia de plano. Representação
é representado por letra minúscula do alfabeto grego.
Figura 1: Euclides explica a inscrição de um hexágono em um círculo.
Embora se tenha perdido mais da metade dos seus livros, ainda restou a sua valiosa contribuição Elementos, constituído de 13 volumes publicados por volta de 300 a.C., onde se contempla a aritmética, a geometria e a álgebra. Possui mais de 1500 edições.
Figura 4: Idéia de plano.
79
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Semi-reta
b) Quantos quilos tem um saco com farinha? c) Quais são as dimensões da geladeira?
Um ponto qualquer, A, de uma reta r, divide essa reta em duas partes chamadas semi-retas.
Para responder a essas perguntas, é necessário estudar a noção de medida sob os aspectos unidimensional (medida de segmento de reta, o comprimento), bidimensional (figuras planas, a área) e tridimensional (figuras sólidas, o volume).
Figura 5: Semi-reta.
Medida é um valor numérico que se obtém ao comparar uma grandeza com a unidade de medida previamente escolhida.
– Semi-reta de origem A que contém B. – Semi-reta de origem A que contém C. 4. Segmento de reta
Respondendo a alguns itens da pergunta acima, obtêm-se exemplos de medidas:
Para se definir segmento de reta, é preciso entender o conceito primitivo “estar entre”.
O rio Amazonas tem 6800km de extensão.
Entre dois pontos distintos, A e B, sempre existe um ponto C (Figura 6).
O saco de farinha tem 50kg.
Unidade de medida é uma grandeza escolhida como referência. Medir o comprimento do teclado tomado como unidade um lápis de medida “u” (figura 8), por exemplo, é determinar quantas vezes cabe “u” no comprimento do teclado. Pode ser observada que coube 2,5 vezes de “u” nesse comprimento.
Figura 6: Noção “estar entre”.
O conjunto formado pelos pontos A e B e por todos os pontos da reta entre A e B é chamado segmento de reta. Na figura 6, existem os segmentos , e . Os pontos A e B são chamados extremos do segmento . Observe na figura 7 os segmentos
,
e
Figura 8: Medindo o teclado. Figura 7: Segmentos consecutivos e colineares.
Durante muito tempo, os homens usaram o pé (figura 9), a mão, o braço, o cúbito, o palmo como unidade para medir comprimento.
Note que: e possuem apenas um extremo em comum – segmentos consecutivos. e não possuem extremo em comum – segmentos não-consecutivos. e estão contidos em uma mesma reta – segmentos colineares.
Figura 9: Unidades de medidas antigas (SILVEIRA, 2000, p. 247)
e não estão contidos em uma mesma reta – segmentos não-colineares.
Algumas como a milha, légua, jarda e polegada (figura 9), apesar de não pertencerem ao sistema métrico decimal, são usadas até hoje. Usa-se polegada para medir o diâmetro do tubo, a tela do monitor, a TV (figura 10); e a milha é usada em navegação marítima.
5. Noções de medida É comum as pessoas depararem-se com as situações abaixo: a) Qual é a extensão do rio Amazonas? 80
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
TEMA 24 UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO 6. Unidades de medida de comprimento As unidades de medida de comprimento referem-se ao aspecto unidimensional da geome-
Figura 10: Aplicação de polegadas.
tria. Porém este tipo de medida apresentava uma diferença muito grande entre os resultados obtidos. Para acabar com essa diferença, os cientistas franceses, em 1795, adotaram um sistema universal de medidas denominado sistema métrico decimal, que tem como unidade padrão o metro linear.
Adotou-se o metro linear como sendo o comprimento equivalente à fração
da dis-
tância do Pólo Norte até a linha do Equador, medida sobre o meridiano (figura 11).
EXERCÍCIOS 1) Qual ente geométrico nos sugere: a) a capa de um livro? b) uma corda esticada? c) um furo de agulha na roupa?
Figura 11: Metro linear (SILVEIRA, p. 246).
Existem muitos instrumentos para medir comprimentos como fita métrica, metro de carpin-
2) Analisando a figura:
teiro, trena, régua de polegadas, etc. O sistema métrico decimal é um conjunto de unidades que deriva do metro e que aumenta ou diminui segundo potências de base dez.
Classifique as sentenças em falso (F) ou verdadeiro (V): a) b) c) d)
( ( ( (
) ) ) )
e e e e
A unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, que se indica por “m”.
são consecutivos. são colineares. são consecutivos. são colineares.
Para medir grandes extensões, como o comprimento de uma rua, ou de uma estrada, ou de um rio, utiliza-se como unidade um dos múltiplos do metro, e para medir pequenas extensões, como a espessura de uma tábua, ou a largura de uma porta, ou o tamanho de uma régua, os submúltiplos são mais adequados. Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de comprimento, e sua variação é de potências de base dez, conforme o quadro 1. Quadro 1: Múltiplos e submúltiplos do metro.
81
UEA – Licenciatura em Matemática
As medidas nem sempre representam um número natural. Ele pode ser escrito na forma decimal ou fracionária.
Quadro 3: Transformação de unidades.
6.1 Leitura de comprimento Para fazer a leitura de medidas: 1) escrevem-se os algarismos no quadro de valor e lugar, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva unidade;
EXERCÍCIOS
2) completam-se os demais algarismos nas suas
1) Faça a leitura das seguintes medidas.
respectivas casas; 3) lê-se a parte inteira, como se lê um número natu-
a) 8,7km b) 0,35m
ral, acompanhada da unidade em que se localiza o último algarismo, e da mesma maneira faz-se
c) 27,8cm d) 0,08dm
2) Expresse na unidade indicada:
com a parte decimal.
a) b) c) d)
Observação: Quando a parte inteira for zero, lê-se apenas a parte decimal. Quadro 2: Leitura de comprimento.
6.2 Mudanças de unidade de comprimento Foi visto no quadro 1 que 100m equivale a 1 hm, então, pode-se escrever 1hm ou 100m. Para fazer a transformação de unidades, utiliza-se o processo prático de transformação de unidades de comprimento. Para fazer a leitura de medidas: 1) Para passar de uma unidade a outra imediatamente inferior, multiplica-se por 10, ou seja, desloca-se a vírgula um algarismo para a direita. Exemplo: 3,48 dm = (3,48 x 10) cm = 34,8 cm 2) Para passar de uma unidade a outra imediatamente superior, divide-se por 10, ou seja, desloca-se a vírgula um algarismo para a esquerda. Exemplo: 86,5 dm = (86,5 : 10) m = 8,65 m 3) Para passar de uma unidade a qualquer outra unidade, aplicam-se sucessivas vezes um dos casos anteriores. Exemplo: 13,4 cm = (13,4 : 10) dm = (1,34 : 10) m = 0,134 m 82
25m em hm. 36km em n. 68,2dm em hm. 73,5hm em dm.
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
Note que a pizza divide a prateleira (o plano) em duas regiões sem pontos comuns: a região interior e a região exterior. E mais, existem pontos na região interior, como A e B, tal que o segmento determinado por esses pontos não está contido na região. Nesse caso, diz-se que a região (da pizza) é côncava. Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior está contido nessa região, como o diz-se que a região é convexa.
TEMA 25 CURVAS ABERTAS E FECHADAS. REGIÕES CONVEXAS. ÂNGULO. POLÍGONOS 7. Curvas Abertas e Fechadas Ao nosso redor, podem ser encontrados diversos exemplos de curvas abertas e fechadas. No nosso alfabeto e no nosso sistema de numeração, por exemplo, várias letras e números são escritos por meio de curvas. As estradas não-retilíneas também nos dão a idéia de curvas.
Exemplos:
As curvas abertas ou fechadas podem ainda ser classificadas em simples ou não-simples. As curvas simples caracterizam-se por não se cruzarem, enquanto que as curvas não-simples caracterizam-se por se cruzarem, conforme mostra o quadro 4.
Figura 13: Conjuntos convexos e não-convexos.
Agora que você já viu os conceitos primitivos e os segmentos, faz-se necessário medir a inclinação que um segmento faz em relação a outro segmento.
Quadro 4: Curvas abertas e curvas fechadas.
9. Ângulo Existem diversos objetos, construções que possuem ou não uma certa inclinação, como mostra as figuras 14 e 15.
Quando uma curva é formada apenas por segmentos de reta consecutivos e não-colineares, ela é chamada de linha poligonal. Exemplo:
Figura 14: Teatro Amazonas.
8. Regiões convexas Observe a figura 12:
Figura 12: Regiões convexas (IMENES, p. 163).
Figura 15: Torre de Pisa, Itália.
83
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Os pilares verticais que sustentam o Teatro, o arco de sua fachada, a inclinação da torre de Pisa em relação ao solo dão-nos idéia de ângulo.
De acordo com a figura 19, tem-se: a) medida de AÔB = 20o. Indica-se: m(AÔB) = 20o. O ângulo cuja medida é menor que 90o é chamado ângulo agudo; b) m(AÔE) = 140o. O ângulo cuja medida é maior que 90o é chamado ângulo obtuso; c) m(AÔF) = 180o (medida do ângulo referente à arcada superior do Teatro). O ângulo cuja medida é igual a 180o é chamado ângulo raso;
Figura 16: Ângulo.
d) m(AÔD) = 90o (medida do ângulo referente aos pilares do Teatro). O ângulo cuja medida é 90o é
A reunião de duas semi-retas distintas de mesma origem chama-se ângulo.
chamado ângulo reto; e) m(AÔA) = 0o. O ângulo cuja medida é igual a 0o é
Comparando com os exemplos do teatro e da torre de Pisa têm-se as seguintes representações gráficas de ângulos:
chamado de ângulo nulo.
9.1 Submúltiplos do grau Os submúltiplos do grau, que estão como as unidades de tempo numa relação sexagesimal (isto é, de 60 em 60), são o minuto-ângulo (’) ou somente minuto, e o segundo-ângulo (”) ou somente segundo.
Figura 17: Ângulos do Teatro.
Então: 1 grau é igual a 60 minutos: 1o = 60’ 1 minuto é igual a 60 segundos: 1’ = 60” Como: 1o = 60’ e 1’ = 60”, temos que: 1o = 60. 60” = 3 600”
Figura 18: Ângulos da torre de Pisa.
Para transformar graus em minutos, basta mul-
Um transferidor é um instrumento utilizado para medir ângulos (figura 19). Ele é dividido em 180 partes de medidas iguais, e cada uma dessas partes é chamada grau.
tiplicar por 60; e para transformar graus em segundos, basta multiplicar por 3600. Inversamente, para transformar minutos em graus basta dividir por 60; e para transformar segundos, em graus basta dividir por 3600. 1’ =
do grau; 1” =
1” =
do grau.
Exemplos: 1)Transformar:
Figura 19: Transferidor (BIANCHIMI, 1995, p. 158).
a) 3o em minutos
Como: 3o = 3 × 60’ = 180’ b) 84” em minutos
Figura 20: Grau (GIOVANI, 2002, p. 177).
84
do minuto;
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
9.2 Ângulos congruentes
minutos e graus de graus. Em alguns casos, devem-se fazer transformações para realizar as sub-
Considere os ângulos A C e DÊF.
trações. Exemplos: a) 48o 20’ 15” − 17o 7’ 8”
Observe que possuem medidas iguais, isto é: m(A C) = 30o e m(DÊF) = 30o.
b) 58o 55’ 18” + 37o 59’ 42’
Portanto ângulos com medidas iguais são denominados congruentes. Logo: m(A C) = m(DÊF) ⇔ A C ≅ DÊF 9.3 Bissetriz de um ângulo
3) Multiplicação por um número natural
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta, de ori-
Para multiplicar uma medida de ângulo por um
gem no vértice do ângulo, que o divide em dois
número natural, deve-se multiplicar esse número
ângulos congruentes.
pelos segundos, minutos e graus, fazendo a simplificação, quando necessário. Exemplos: a) 42o 20’ 17” × 2
é a bissetriz do AÔB ⇔ m(AÔB) = m(XÔB) 9.4 Operações com medidas de ângulo
b) 28o 29’ 35” × 4
1) Adição Para adicionar duas ou mais medidas de ângulos, devem-se adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Exemplos: a) 24o 35’ 15” + 13o 18’ 37” 4) Divisão por um número natural Para dividir uma medida de ângulo por um número natural, deve-se dividir esse número pelos b) 47o 33’ 45” + 28o 45’
segundos, minutos e graus, fazendo a simplificação, quando necessário. Exemplos: a) 58o 28’ 36” : 2
b) 44o 16’ 2” : 7
2) Subtração Para subtrair duas medidas de ângulos, devemse subtrair segundos de segundos, minutos de 85
UEA – Licenciatura em Matemática
10. Polígonos
10.1 Região poligonal convexa
Você pode identificar os polígonos na natureza. Por exemplo, o formato dos favos de mel fabricados pelas abelhas é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço. Os blocos de calçamento e suportes de garrafas são utilizados para o armazenamento de bebidas alcoólicas em adegas. Esse mesmo formato também é encontrado na cabeça de um tipo de parafuso chamado pelos mecânicos de sextavado, e na geometria, de hexagonal.
Quando a região interior do polígono é convexa, ele é chamado de polígono convexo. Caso contrário, ele é chamado de polígono não-convexo. Quadro 5: Polígonos convexos e côncavos.
Lados e vértices do polígono Os segmentos , , e dos polígonos do quadro 5.
são os lados
Os pontos A, B, C, D e E são seus vértices.
Figura 21: Utilização dos polígonos no dia-a-dia.
A partir de agora, todo polígono convexo será chamado apenas de polígono.
Além da forma hexagonal, outras formas de polígonos são utilizadas em revestimento de pisos e paredes de uma casa.
10.2 Classificação dos polígonos
Diz uma lenda que, na antiga China, um rapaz resolveu viajar mundo afora. Ao se despedir de seu velho mestre, este lhe deu um simples ladrilho quadrado, dizendo:
A classificação dos polígonos é dada de acordo com o número de lados, como mostra o quadro 6. Quadro 6: Classificação dos polígonos.
– Vá e use-o para registrar tudo o que valer a pena.
O rapaz se foi, mas não tinha idéia de como atender ao pedido do mestre. Para piorar, o ladrilho caiu e se quebrou, aparecendo as sete figuras geométricas, como mostra a figura 22.
Figura 22: Sete peças do tangram (PATILLA, 1995, p.13).
10.3 Polígonos regulares Um polígono é regular quando tem os lados e ângulos congruentes, ou seja, tem a mesma medida. Caso contrário, o polígono é irregular. Veja, no quadro 7, alguns exemplos de polígonos regulares e irregulares.
Figura 23: Figuras formadas com tangram (IMENES 199, p.217).
Toda linha poligonal fechada simples é chamada polígono. 86
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
Quadro 7: Polígonos regulares e irregulares (Telecurso 2000).
TEMA 26 POLÍGONOS: TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS E PERÍMETRO 10.4 Triângulos 1) Classificação dos triângulos quanto aos lados Ao seu redor, você perceberá que existem diferentes tipos de triângulos, como mostra a figura 24.
Figura 24: Diferentes triângulos no dia-a-dia.
Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados (figura 25) e de acordo com a medida de seus ângulos (figura 26).
EXERCÍCIOS 1) Classifique em agudo, obtuso, reto ou raso, os seguintes ângulos: a) b) c) d)
45o 130o 180o 90o
Figura 25: Classificação dos triângulos quanto aos lados.
2) João deu ao seu irmão um barco de papel. Identifique os polígonos e classifique-os quanto ao número de lados e em convexos ou nãoconvexos.
Eqüilátero – quando os lados do triângulo têm a mesma medida, ou seja, são congruentes. Isósceles – quando apenas dois lados do triângulo são congruentes. Escaleno – quando os três lados do triângulo têm medidas diferentes. 2) Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Quanto aos ângulos, os triângulos classificamse em:
3) Transforme: a) 50o em minutos b) 80’ em segundos c) 122 400” em grau
4) Calcule: a) b) c) d)
Figura 26: Classificação dos triângulos quanto aos ângulos.
21 54’ 51” + 28 45’ 15” 78o − 42o 20’ 45o 54’ 52” × 5 351o 45’ 35” : 7 o
o
Retângulo – quando o triângulo tem um ângulo reto. Acutângulo – quando o triângulo tem os três ângulos agudos. Obtusângulo – quando o triângulo tem um ângulo obtuso. 87
UEA – Licenciatura em Matemática
Observe que, na 3.a coluna (quadro 8), aparece
3) Elementos do triâgulo
uma propriedade comum a todas as figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por isso, são chamadas de paralelogramos. Figura 27: Elementos do triângulo.
11. Perímetro de um polígono
10.5 Quadriláteros
Quando uma costureira quer colocar renda
1) Classificação dos quadriláteros quanto aos lados
ao redor de um retalho quadrado de pano,
Ao seu redor, existem vários objetos cujos contornos representam os quadriláteros.
cisar ela deverá calcular o perímetro desse
para saber quantos metros de renda irá preretalho.
Veja alguns exemplos:
Perímetro é a soma das medidas de todos os seus lados e geralmente é representado por “2p”. Semiperímetro é a metade do perímetro e é representado por “p”. Observação: O perímetro do polígono é apenas o seu contorno, ao passo que a área é a
Figura 28: Quadriláteros utilizados no dia-a-dia.
união do contorno com a sua região interna. Você percebeu a existência de alguns desses quadriláteros:
Exemplo:
Figura 29: Quadriláteros. Figura 30: Perímetro.
Paralelogramo – tem os lados opostos paralelos. Ex.: losango, retângulo e quadrado.
Quadro 9: Perímetro.
Losango – tem os quatro lados com medidas iguais. Retângulo – tem os quatro ângulos retos. Quadrado – tem os quatro ângulos retos e os quatro lados com mesma medida. Trapézio – tem apenas dois lados paralelos. Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras no quadro 8.
Logo, o perímetro desse polígono é 23,5 cm.
Quadro 8: Propriedades dos Quadriláteros.
88
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
11.1 Perímetro de figuras geométricas planas
b) Quando uma medida de comprimento é dividida por outra medida de comprimento de mesma unidade, então, obtém-se uma constante numérica. Exemplo: Quero dividir um rolo de corda de 36 metros, de tal forma que cada pedaço tenha 4m. Quantos pedaços serão obtidos?
Figura 31: Perímetro de figuras planas.
Solução: 36m : 4m = 9
Exemplo:
Logo, terei 9 pedaços.
Um terreno retangular medindo 40,4m de frente por 35,25m de lateral precisa ser cercada. Quantos metros de cerca terão que ser feitos?
EXERCÍCIOS 1) Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto aos lados:
Solução: Como perímetro é a soma de todos os lados, e o retângulo tem lados congruentes, dois a dois, então, teremos a medida da frente igual ao do fundo e as medidas das duas laterais iguais. Assim, tem-se: 2p = 40,4m + 40,4m + 35,25m + 35,25m (quadro 8) ou 2p = 2 × 40,4m + 2 × 35,25m ou 2p = 2 × (40,4m + 35,25m) Quadro 10: Perímetro do retângulo.
2) Classifique as sentenças em V ou F: a) ( ) Todo paralelogramo é quadrilátero. b) ( ) Todo retângulo é paralelogramo. c) ( ) Todo losango é um quadrado.
3) Desenhe:
Logo, terão que ser feitos 151,30m de cerca.
a) Um quadrilátero com quatro lados congruentes que não seja um quadrado. Escreva o nome da figura. b) Um quadrilátero com quatro ângulos congruentes que não seja um quadrado. Escreva o nome da figura. c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Escreva o nome da figura.
Observações: a) Para que a medida de comprimento com sua unidade não deixe de ser comprimento, deve-se multiplicar ou dividir esta medida apenas por um número real. Exemplos: 1) Uma estrada foi pavimentada em 60,5km. O governo decidiu triplicar essa pavimentação. Quantos quilômetros da estrada foram pavimentados no total?
4) Na figura abaixo, determine o perímetro.
Solução: 60,5km × 3 = 181,5km 2) Um pai quer dividir um rolo de fio de pipa que mede 35m entre seus 4 filhos. Quantos metros de fio receberá cada um? Solução: 35m : 4 = 8,75m Logo, cada um receberá 8,75m 89
UEA – Licenciatura em Matemática
5) Um terreno retangular tem 32,5m de frente por 40m de lateral e precisa ser cercado. Quantos metros de cerca será necessário fazer?
TEMA 27
6) Patrícia quer dividir uma corda de 40cm com suas amiguinhas, de tal forma que cada pedaço tenha 5cm. Com quantas amiguinhas poderá dividir a corda?
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE 12. Medidas de superfície As medidas de superfície referem-se ao aspecto bidimensional da geometria e são utili-
7) Um heptágono tem cada lado medindo 2cm. Calcule o perímetro desse heptágono.
zadas no cálculo de área. Freqüentemente, deparamo-nos com as frases: “a área de preservação ambiental foi invadida”, “houve um aumento na área de plantação de melancia no município de Manicoré”, “vende-se um terreno com 250m2 ”, “Amazonas é o maior estado brasileiro em extensão territorial com uma área de 1 564 455km2”, etc. Mas o que vem a ser área? A área é um número que expressa medida da superfície. Da mesma maneira como se mede o comprimento, mede-se a área, isto é, verifica-se quantas vezes a unidade de área cabe naquela figura. Na figura abaixo, tomando como unidade um
de dimensão 1m × 1m (largu-
ra × comprimento), veja quantas vezes o cabe na figura desenhada no quadriculado (figura 32).
Figura 32: Área.
Couberam 23 um é 23
, pois 2
equivalem a
. Então, diz-se que a área da figura 32 .
A unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado “m2”. O metro quadrado é a superfície de um quadrado de um metro de lado. Observação: Se duas medidas de comprimento forem multiplicadas, o produto dessas medidas não será mais medida de comprimento, e sim, medida da área. 90
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
12.1 Leitura e transformação das medidas de superfície
Processo prático de transformação de unidades de área:
A conversão dos múltiplos e submúltiplos da unidade de área é de potência de base cem, pois esta envolve duas dimensões.
1) Para passar de uma unidade a outra imediatamente inferior, multiplica-se por 100, ou seja, desloca-se a vírgula dois algarismos para a direita.
Para medir grandes superfícies como a área que o Amazonas ocupa no Brasil, utilizamos os múltiplos, e para medir pequenas superfícies, como azulejos, cerâmicas que servem para revestir um piso ou uma parede, ou área do tampo de uma carteira usamos os submúltiplos.
Exemplo: 3,48dm2 = (3,48 × 100)cm2 = 348cm2. 2) Para passar de uma unidade a outra imediatamente superior, divide-se por 100, ou seja, desloca-se a vírgula dois algarismos para a esquerda. Exemplo:
Para medir grandes porções de terra como sítios e fazendas, é comum utilizar as unidades agrárias: o centiare (ca), o are (a) e o hectare (ha). 1 centiare (ca)
= 1 m2
1 are (a)
= 1 dam2 = 100 m2
5,67dm2 = (5,67 : 100)m2 = 0,0567m2. 3) Para passar de uma unidade a qualquer outra, aplica-se sucessivas vezes um dos casos.
EXERCÍCIOS
1 hectare (ha)) = 1 hm = 10 000 m 2
2
1) Transforme e escreva a leitura:
Hectare é a mais usada.
a) 4,55cm2 em m2 . b) 23,56hm2 em km2
Em alguns estados do Brasil, uma unidade não legal chamada alqueire é utilizada:
c) 0,67mm2 em hm2 d) 106,78m2 em dm2
Alqueire mineiro = 48 400 m2 Alqueire paulista = 24 200 m2
Quadro 11: Múltiplos, submúltiplos e transformação de unidades de área.
91
UEA – Licenciatura em Matemática
5) Área do trapézio (ATRA) é a metade do produto da base média pela altura.
TEMA 28 ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 12.2 Área das principais figuras planas 1) Área do retângulo (AR) é o produto da medida da base pela medida da altura.
Figura 37: Área do trapézio.
6) Área do losango (AL) é a metade do produto da medida da diagonal maior pela medida da diagonal menor.
Figura 33: Área do retângulo.
2) Área do quadrado (AQ) é o produto das medidas dos lados.
Figura 34: Área do quadrado.
Figura 38: Área do losango.
3) Área do paralelogramo (AP) é o produto da
7) Área do polígono regular (APR): todo polígono
medida da base pela medida da altura.
regular decompõe-se em vários triângulos (figura 38). Como a área do triângulo OBC é dada por
, basta multiplicar esta área pelo nú-
mero de triângulos “n”. A medida “a” é a altura do triângulo OBC ou apótema do polígono regular. Apótema é o segmento cujas extremidades são o centro do polígono regular e o ponto Figura 35: Área do paralelogramo.
médio do lado.
4) Área do triângulo (ATRI) é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.
Figura 36: Área do triângulo.
Figura 39: Área do polígono regular.
92
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
EXERCÍCIOS
5) Um vitral é composto de 80 peças triangulares iguais, de base 25cm e altura 16cm. Qual é, em metros quadrados, a área desse vitral?
1) No circo, há um trapézio conforme a figura abaixo. Calcule a sua área.
2) A medida da superfície do Distrito Federal é 5 822km2. Qual é a medida dessa superfície em hectares? Figura 43: Área de um vitral. Fonte: www.todoslosangeles.homestead.com
Figura 40: Área do Distrito Federal. Fonte: www.sac.org.br
4) A medida da superfície do Parque do Mindu, situado em Manaus, no Bairro Parque Dez de Novembro, é de 33ha. Qual é a medida dessa superfície em metros quadrados.
Figura 41: Área do Parque do Mindu. Fonte: www.arcoweb.com.br
4) Um piso quadrado de cerâmica tem 15cm de lado. a) Qual é a área desse piso? b) Quantos pisos são necessários para assoalhar uma sala de 45m2 de área?
Figura 42: Área do piso de uma sala. Fonte: www.bellagres.com.br
93
UEA – Licenciatura em Matemática
Da mesma maneira como são medidos o comprimento e a área, mede-se o volume, isto é, verifica-se quantas vezes a unidade de volume cabe naquele sólido. Na figura 45, tomando como unidade um , veja quantas vezes o cabe na figura desenhada.
TEMA 29 VOLUMES DE SÓLIDOS. MEDIDAS DE CAPACIDADES E MASSAS 13. Volumes de sólidos O volume refere-se ao aspecto tridimensional da geometria, sendo utilizado em várias situações do dia-a-dia.
Figura 45: Volume.
Todo mês, a grande maioria recebe em sua residência a fatura referente ao consumo de
Note que, no sólido da figura 45, cabem 90
água. E nela vem o registro do volume de
.
A unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico “m3”. O metro cúbico é um cubo de um metro de aresta (figura 46).
água consumida, indicado em m3. Pode-se observar que, ao colocar a caixa d’água no chão, apenas o fundo ficou sobre o chão e as outras partes ficaram fora. Isso significa que o objeto como a caixa d’água, não é uma figura plana e sim uma figura espacial. Esses objetos são chamados de sólidos. Sólido é o corpo que tem três dimensões e é
Figura 46: Metro cúbico.
limitado por superfícies fechadas.
Como o volume envolve três dimensões, a conversão dos múltiplos e submúltiplos da unidade de volume é de potência de base mil, conforme o quadro 12.
Além da caixa d’água existem mais exemplos de sólidos na figura 44.
Processo prático de transformação de unidades de volume: 1) Para passar de uma unidade a outra imediatamente inferior, multiplica-se por 1000, ou seja, desloca-se a vírgula três algarismos para a direita.
Figura : Utilização dos polígonos no dia-a-dia.
Quadro 12: Leitura e transformação de unidades de volume.
94
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
Capacidade da caixa d’água = 4 000 litros
Exemplo: 3,46dm3 = (3,46 × 1000)cm3 = 3460cm3 2) Para passar de uma unidade a outra imediatamente superior, divide-se por 1000, ou seja, deslocase a vírgula três algarismos para a esquerda.
Veja as duas definições abaixo:
Massa é a quantidade de matéria que forma um corpo. A massa é constante em qualquer lugar, seja na Terra ou na Lua.
Exemplo: 86,3dm3 = (86,3 : 1000)m3 = 0,0863m3
Peso é a força que age sobre um corpo para o centro da Terra. Logo, o lugar onde se encontra o corpo influi no peso.
3) Para passar de uma unidade a qualquer outra aplica-se sucessivas vezes um dos casos.
Normalmente, pergunta-se: qual é o seu peso? Na realidade, a pergunta deveria ser “qual é a massa do seu corpo?”.
14. Medidas de capacidade e massas O líquido ou gás ocupa o espaço do recipiente que o contém. O volume interior de um recipiente é a capacidade.
O instrumento utilizado para medir a massa de um corpo é a balança (figura 49a) e para medir o peso do corpo, isto é, a força com que a teria atrai os corpos, é usado o dinamômetro (figura 49b).
Quando se compra um galão de água, normalmente, este contém 20l. Quando se afirma que o galão tem 20l significa que todo o conteúdo pode ser armazenado em um prisma de 20dm3, ou seja, em uma caixa de dimensões 2dm × 2dm × 5dm (comprimento × largura × altura) ,veja a figura 47.
Figura 49a: Instrumento para medir massa (SILVEIRA, 2000, p. 293).
Figura 49b: Instrumento para medir peso (SILVEIRA, 2000, p. 294).
Figura 47: Capacidade.
A unidade fundamental para medir a capacidade é o litro, e para medir a massa é o quilograma. O grama é um submúltiplo do quilograma, mas aqui no nosso estudo vamos tomar como unidade de referência o “grama”, para que fique um estudo análogo aos demais.
Exemplo: 1) Para encher uma caixa d’água de 2 metros de comprimento por 2 metros de largura e 1 metro de profundidade, foram necessários 4 000 litros de água.
Para medir grandes capacidades ou massas, são utilizados os múltiplos; e os submúltiplos para medir pequenas capacidades ou massas. A leitura e a transformação de unidades procede-se da mesma forma que a do comprimento.
Figura 36: Área do triângulo.
Volume da caixa d’água: 2 m x 2 m x 1 m = 4 m3
Quadro 13: Múltiplos e submúltiplos de capacidade.
95
UEA – Licenciatura em Matemática
Quadro 14: Múltiplos e submúltiplos de massa.
Além dessas unidades, para medir grandes
EXERCÍCIOS
quantidades de massa usamos:
1) Escolha uma embalagem com formato de paralelepípedo, meça as arestas e calcule o volume.
1 arroba = 15kg 1 tonelada ( t ) = 1000kg
2) Calcule a capacidade mínima, em metros cúbicos, de uma caixa em que caiba a televisão de sua casa.
o megaton = 1000t Para metais e pedras preciosas, ou semi preciosas, usa-se o quilate que equivale a 0,2g.
3) Faça a leitura das seguintes medidas:
Uma relação importante:
a) b) c) d)
Uma maneira simples para descobrir a massa de um litro de água é, antes de despejar em uma caixa de papelão com um decímetro de
0,94km3 2,779m3 19,5dal 0,08dg
4) Expresse na unidade indicada:
aresta,“pesá-la” numa balança. Anotar o valor
a) b) c) d)
da massa da caixa vazia. Depois, anotar o valor da massa da caixa com a água e calcular a diferença entre a massa da caixa com a água e da caixa vazia. O valor encontrado
0,451dm3 em m3 0,04dm3 em cm3 36kg em g 73,5hl em dl
5) Um reservatório de água tem as seguintes dimensões internas: 1,20m de comprimento, 80cm de largura e 50cm de altura. Sabendo que faltam 5cm para encher totalmente esse reservatório, responda:
será o valor da massa da água. Se a água estiver a uma temperatura de 4o C, encontra-se um valor próximo de 1kg. Como toda experiência requer calma, deve-
a) Quantos litros de água há no reservatório?
se ter cuidado em todas as etapas. Assim,
b) Qual a massa, em quilogramas, de água que há no reservatório?
tem-se o quadro 15 relacionando volume com capacidade e massa da água a uma temperatura de 4o C. Quadro 15: Relação entre volume, capacidade e massa.
Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio, contém um volume de 8m3 de água pura. Quantos quilogramas de água há nesse recipiente. 8m3 = ( 8 × 1000)dm3 = 8 000dm3 Como 1dm3 de água tem 1kg, então 8 000dm3 de água têm 8 000kg. 96
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
2) Planificação do prisma
TEMA 30
Para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido, é necessário representar o sólido que está no espaço (tridi-
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. PRISMAS E PIRÂMIDES
mensional) para o plano (bidimensional). Tal processo é conhecido como planificação do
15. Sólidos geométricos
sólido, podendo ser realizado de forma que a
Todo ser e todo objeto é constituído de matéria e ocupa um certo espaço.
superfície externa do sólido seja feita de papelão ou algum outro material.
Figura 50: Objetos de formas diferentes.
Os seres e objetos têm, em geral, uma forma complexa. Os objetos de forma mais complexa são os sólidos geométricos. Os sólidos geométricos de maior interesse são: prismas, pirâmides, cilindro e cones.
Figura 54: Planificação do prisma.
Portanto, um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. 3) Classificação dos prismas Os prismas classificam-se de acordo com o polígono da base (quadro 18). Quadro 18: Classificação dos prismas.
Figura 51: Sólidos geométricos.
15.1 Prismas São exemplos de prismas as seguintes embalagens:
Exemplo:
Figura 52: Noções de prismas (IMENES, 1999, p. 212).
1) Elementos do prisma Figura 55: Prismas triangular e hexagonal.
Um prisma regular é aquele cujos polígonos das bases são regulares. Ex.: prisma triangular, hexagonal, etc. Chama-se paralelepípedo todo prisma cujos polígonos das bases são paralelogramos.
Figura 51: Sólidos geométricas.
97
UEA – Licenciatura em Matemática
Pirâmides foram também construídas por ou-
4) Área e volume do prisma
tros povos, como os maias, na América Cen-
Área total = n × A fl + 2 × A b, onde A fl é área das faces laterais e A b é a área da base. Volume do prisma = A b . h, onde h = altura.
tral, entre 300 e 900 d.C., e, mais tarde, pelos astecas. Eram usadas como templos para adoração ao Sol, à Lua e aos seus deuses da chuva.
Casos especiais: Cubo
1) Elementos da pirâmide
Figura 56: Volume do cubo.
Paralelepípedo retângulo Figura 59: Elementos da pirâmide.
2) Planificação da pirâmide
Figura 57: Volume do paralelepípedo retângulo. Figura 60: Planificação da pirâmide.
15.2 Pirâmides 3) Classificação das pirâmides
As pirâmides mais famosas foram construídas no Egito antigo por volta de 2600 a 2500 a.C. Elas eram utilizadas para sepultar famílias reais. As pirâmides de Gizé existem até hoje e são formadas por um conjunto de nove pirâmides construídas pelos faraós Quéops, Quéfrem e Miquerinos. A mais alta chama-se Quéops e mede 138 metros de altura. O historiador grego Heródoto, escrevendo 2400 anos atrás, calculou que 100.000 homens trabalharam durante 20 anos para completar a construção da Grande Pirâmide. Também é calculado que foram usados 2,3 milhões de blocos de pedra para construí-la, cada bloco pesando 2,5 toneladas.
Quadro 19: Classificação das pirâmides.
Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmide pentagonal e, na figura 60, tem-se uma pirâmide quadrangular. 4) Área na pirâmide e volume da pirâmide
Figura 58: As pirâmides do Egito.
98
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
Por exemplo, na figura 59 tem-se uma pirâmide pentagonal e na figura 60 tem-se uma pirâmide quadrangular.
TEMA 31 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. CORPOS REDONDOS: CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 15.3 Corpos redondos Corpos redondos são corpos que rolam quando suas superfícies laterais estão apoiadas sobre alguma outra superfície inclinada. Analisando a figura a seguir, você identifica que os sólidos representados pelas letras A e B deslizam sobre a superfície da rampa, fato que não acontece com o sólido representado pela letra C. Logo, os sólidos A e B são corpos redondos.
EXERCÍCIOS 1) Em um prisma reto hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm, a aresta da face lateral mede 6cm e a área de cada triângulo que forma o polígono da base é
cm2. Pede-se:
a) Calcular a área total. b) Calcular o volume.
2) A figura 61 apresenta a planificação de um prisma triangular. Calcular sua área total e seu volume.
Figura 62: Corpos redondos.
O sólido A da figura 62 é chamado de cone, e o B é chamado de cilindro. Em todos os cilindros, existe a figura geométrica chamada de círculo (base do cilindro) e a circunferência. Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de um ponto fixo desse plano.
Figura 61: Planificação de um prisma traingular. Figura 63: Círculo × cilindro.
3) Determine o volume de uma pirâmide cuja base é uma região retangular de 5cm por 6cm e cuja altura é de 9cm.
1) Comprimento da circunferência Cortando a circunferência da figura 64 em um ponto, torna-se fácil medi-la. O segmento é o comprimento da circunferência de centro O.
Figura 64: Comprimento da circunferência (CASTRUCI, 1985, p. 174).
99
UEA – Licenciatura em Matemática
No quadro 19, foram anotadas algumas medi-
desta bicicleta equivale a uma distância de
das dos comprimentos e diâmetros de várias
aproximadamente 1 metro e 88 centímetros.
circunferências. Na última coluna, dividiu-se
2) Área do Círculo
cada medida obtida do comprimento (C) pela
Da mesma forma que o comprimento da circun-
medida do diâmetro correspondente (d).
ferência, a área do círculo depende da medida
Quadro 19: Relação entre o comprimento
de seu raio.
e o diâmetro de objetos circulares.
Divide-se o círculo em 16 partes iguais. Cada uma destas partes é denominada setor circular.
Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique se o resultado da divisão C por d é sempre um número um pouco maior do que 3. Quanto mais precisas forem sua medidas, mais Figura 66: Divisão do círculo em 16 partes iguais.
próximo você estará de um número constante conhecido como número pi, cujo símbolo é π.
Tomando a metade destes setores e rearruman-
O número π é um número irracional cujo valor
do-os obtém-se a figura 76. A outra metade po-
aproximado é 3,14. Na verdade, este número
de ser encaixada sobre esta, de forma a não
possui infinitas casas decimais, mas, na prática,
deixar espaços vazios.
utiliza-se apenas uma aproximação de seu valor. π = 3,14159265358979323846264... π ≅ 3,14 A partir deste resultado, obtém-se uma expressão geral:
Figura 67: Método para cálculo da área do círculo.
=π
A figura 67 ainda não é um quadrilátero, pois
C=πd
dois de seus lados são formados por arcos
C=2πr
sucessivos e não por segmentos de reta. No
C=2πr
entanto pode-se dividir nosso círculo em setores circulares cada vez menores:
Exemplo: Qual o comprimento da roda de uma bicicleta de aro 26? Uma bicicleta de aro 26 tem o raio de sua roda medindo 30cm.
Figura 68: Área do círculo × área do retângulo.
Note que a figura 68 aproxima-se muito mais de um retângulo de altura igual ao raio e comprimento igual à metade do comprimento da circunferência deste círculo.
Figura 65: Comprimento da roda
Área do circulo ≅ área do retângulo.
de uma bicicleta (Telecurso 2000).
A=πr.r
Observe este resultado: 188,40cm = 1,884m.
A = π r2
Isso significa que uma volta completa da roda 100
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
EXERCÍCIOS 1) Quantos círculos de raio igual a 10cm poderão ser cortados em uma cartolina de 70 cm por 50cm?
TEMA 32 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS. CORPOS REDONDOS: CILINDRO E CONE
2) Uma praça circular tem raio igual a 4m. Qual o comprimento da circunferência que limita a praça e qual sua área?
3) Cilindro Os objetos cilíndricos podem ser encontrados em quase todos os lugares. Por exemplo, a maioria das latas encontradas nas prateleiras dos supermercados; as moedas, que são conhecidas como cilindros chatos; as colunas cilíndricas utilizadas para sustentar o teto de certas construções, etc.
3) Na figura a seguir, tem-se 2 círculos concêntricos (mesmo centro) com raios 5cm e 3cm. Qual a área da região sombreada?
Elementos do cilindro
Figura 69: Elementos do cilindro.
Planificação do cilindro
Figura 70: Planificação do cilindro.
Observe na figura 70 que para calcular a área do cilindro faz-se necessário calcular a área da base e a área lateral. E, para isso, é preciso conhecer o comprimento da circunferência e a área do círculo. Uma vez que se tem a área do retângulo e a área do círculo, pode-se obter a área no cilindro, pois, planificando-o, sua lateral é um retângulo cuja altura é a mesma do cilindro e cujo comprimento é igual ao da circunferência, e sua base e seu fundo correspondem a 2 círculos (figura 71). Área no cilindro e volume do cilindro
Figura 71: Área no cilindro e volume do cilindro.
101
UEA – Licenciatura em Matemática
4) Cone
Exemplos: 1) Calcular a área lateral A l , área total A t e o vo-
Observando a figura 73 a seguir, verifica-se que
lume V de um cilindro reto de altura 10cm e
todas elas têm uma característica em comum: a
raio da base 5cm.
forma do cone.
Figura 73: Idéias do cone. Figura 72: Planificação do cilindro.
Elementos do cone a) Usando a planificação do cilindro, tem-se: Área lateral A l = Área do retângulo com lados de 2 π . r , raio = 5cm e altura h = 10cm. A l = 2 π. r . h = 2 . π . 5 .10 = 10 . π .10 = 100 π cm2 A área de cada base é a área de um círculo de raio 5 cm: Figura 74: Elementos do cone.
A b = π r 2 = π. 5 2 = 25π cm2
Planificação do cone
A área total A t = A l + 2 A b = 100π + 50π = 150π cm2 b) V = A b . H = 25π . 10 = 250 π cm3.
2) Calcule a área na lata e diga quantos litros de óleo cabem nesta lata. Figura 75: Planificação do cone. Fonte: http://pessoa
Área do cone e volume do cone
A b = π × 0,752 = 0, 5625πcm2 A l = 2 × π × 0,75 × 3 = 4,5 πcm2
Exemplo: Dado um cone circular de raio da base 3cm, geratriz 7cm e altura 2
Área total = 2 × 0,5625 π + 4,5 π =
cm. Cal-
cular:
= 1,125 π + 4,5 π = 5,625 πcm
2
Volume = 0,5625πcm2 × 3cm = 1,6875cm3
a) A área lateral do cone.
Transformando 1,6875cm3 para dm3, tem-se
c) O volume do cone.
b) A área total do cone.
0,0016875dm . 3
Planificando a superfície do cone, temos: a) A área lateral A l = π . r . g = π . 3x 7 = 21πcm2
Como 1dm3 = 1l, então, cabem 0,0016875 l
e A b = π r2 = π 32 = 9πcm2.
de óleo na lata. 102
Matemática Elementar I – Geometria das formas e das medidas
b) A área total A t = A l + A b = 21π + 9π = 30πcm2 c) Volume =
Ab . h
Volume =
× 9π . 2
= 6π
cm3
EXERCÍCIOS 1) Calcule o volume de duas latas de óleo com formatos diferentes. 2) Qual é a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica com 7cm de diâmetro e 14cm de altura? 3) Analisando cada figura abaixo: a) Verifique se é um prisma, uma pirâmide, um cilindro ou um cone e classifique. b) Nos casos em que a figura for prisma ou pirâmide, identifique quais são as arestas laterais, faces laterais e arestas da base.
4) Uma indústria de embalagens recebeu uma encomenda com a seguinte especificação: o conteúdo que seria colocado dentro da embalagem deveria ser na maior quantidade possível. Qual dos modelos de embalagem é o mais adequado?
103
UNIDADE VII Proporcionalidade
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
Exemplos: TEMA 33 RAZÕES E PROPORÇÕES
1) A razão entre 12 e 3 é 4, pois
=4
2) A razão entre 3 e 6 é 0,5, pois:
= 0,5
3) Para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado a B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a ra-
1. Razão 1.1 Conceito de razão Numa pesquisa para conhecer a preferência dos leitores de um jornal local, foram obtidos os seguintes dados:
zão:
Números de pessoas entrevistadas: 100 pessoas ! Preferência pelo jornal A......................60 ! Preferência pelo jornal B......................30 ! Preferência pelo jornal C......................10
Pode-se comparar o número dos que têm preferência pelo jornal A(60) com o número de entrevistados (100), dividindo 60 por 100. =
Figura 1a: Idéia de razão Fonte: www.catalogovirtual.com/luizacestas/novidades.
=
4) Em uma partida de basquete, um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Esse tipo de comparação entre dois números racionais é chamado razão. A razão
também pode ser representada por
3 : 5. Lê-se ( três está para cinco) e indica que, de cada cinco pessoas entrevistadas, três têm preferência pelo jornal A.
Figura 1b: Idéia de razão.
Da mesma forma:
Fonte: www.pessoal.sercomtel.com.br/matematica/index.html
! A razão entre os que preferem o jornal B e o número de pessoas entrevistadas é: =
É possível avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.
lê-se: 3 está para 10.
! A razão entre os que preferem o jornal C e o número de pessoas entrevistadas é: =
, lê-se: 1 está para 10 ou 1 para 10.
= ! A razão entre os que preferem o jornal A e o número dos que preferem o jornal B é: =
=
= 0,5
1.2 Nomes especiais dos termos da razão
, lê-se: 2 está para 1 ou 2 para 1.
A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente. Veja: Na fração:
107
UEA – Licenciatura em Matemática
Outros exemplos:
Na razão:
1) A razão inversa de
é
.
2) A razão inversa de
é
.
1.5 Aplicações das razões 1.3 Razão entre duas grandezas de mesma espécie
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano como: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
Observe o retângulo e determine:
1) Velocidade Média A velocidade média, em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo gasto para percorrê-la (expresso em horas, minutos ou segundos).
a) A razão entre a base e a altura do retângulo:
vmédia = Exemplo: Note que a base mede =1
Como
Suponha que um carro de Fórmula MAT percorreu 328km em 2 h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
da altura.
, tem-se que a base mede 1
da altura.
Figura 2: Velocidade média. Fonte: www. bestlap.com.br
b) A razão entre a altura e o perímetro do retângulo:
A partir dos dados do problema, tem-se: Utilizando o raciocínio anterior, o perímetro mede
vmédia =
5 vezes a altura.
Significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164km/h, ou seja, se o carro tivesse que percorrer 328km em 2h, com a mesma velocidade, essa velocidade seria 164km/h.
1.4 Razão inversas Considerando as razões
e
observe que:
! O antecedente da primeira é igual ao conse-
2) Escala
qüente da segunda.
No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a escala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais que correspondem a ele.
! O conseqüente da primeira é igual ao antecedente da segunda. ! O produto das duas razões é igual a 1, isto é:
×
=1
Nessas condições, diz-se que sa de
= 164km/h
Suponha que, em um determinado mapa, a distância entre o monte Caburaí (extremo Norte do Brasil) e o arroio Chuí (extremo Sul) é representado por um segmento de 7,2cm. A distância real entre esses extremos é de 4.320km.
é razão inver-
, ou vice-versa. 108
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
2. Proporção
Para calcular a razão entre a distância que está no mapa e a distância real, deve-se primeiramente transformar 4.320km em centímetros.
2.1 Conceito de proporção Observe as fotos da figura 1.
4.320km = 432.000.000cm.
Dizer que a foto é 3 × 4, significa dizer que ela
Logo, a razão é dada por:
tem um formato de um retângulo com 3cm de base e 4cm de altura. Do mesmo modo, uma foto 6 × 8 tem 6cm de base e 8cm de altura.
Esse tipo de razão é chamada escala. A escala
indica que cada centímetro
no mapa equivale a 60.000.000 cm = 600km. Escala é a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Figura 4: Idéia de proporção.
A razão existente entre a base e a altura da foto é de:
Figura 3: escala.
Os dois mapas possuem a mesma forma, mas têm tamanhos diferentes. O mapa A é uma ampliação do mapa B, ou o mapa B é uma redução do mapa A
Pode-se afirmar que
= 0,75
Diz-se que a igualdade entre as duas razões é uma proporção.
Usa-se escala quando se quer representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
De modo geral: Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, diz-se que eles formam, nessa ordem, uma proporção quando a razão de a para b for igual à razão de c para d.
3) Densidade Demográfica O cálculo da densidade demográfica, também chamado de população relativa de uma região, expressa a razão entre o número de habitantes e a área de uma determinada região.
Representa-se a proporção por: ou
a:b=c:d
Lê-se: a está para b assim como c está para d.
Exemplo: O município de Coari, no estado do Amazonas, ocupa uma área de 57.529,7km², e tem uma população de 63.815 habitantes. Dê a densidade demográfica da cidade de Coari. Dens. Demográfica =
=
2.2 Os termos da proporção
= 1,10 hab/km2
109
UEA – Licenciatura em Matemática
2.3 Propriedade fundamental das proporções
2.5 Propriedades das proporções
Na proporção, o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos. =
1.a) Numa proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim
↔ 6 × 4 = 8 × 3 = 24
como a soma ou a diferença dos dois Exemplos: 1)
últimos está para o terceiro (ou para o quarto).
e formam uma proporção, pois 4 × 9 = 12 × 3 36 = 36
2)
e
Exemplos:
não formam uma proporção, pois 2 × 9 ≠ 3 × 5 18 ≠ 15
1) A soma das idades de duas primas é 80 anos, a razão entre a mais nova e a mais velha é
2.4 Cálculo do termo desconhecido de uma proporção
. Ache as idades de cada uma.
Considerando as idades a e b, sendo
Existem várias situações do dia-a-dia em que é necessário calcular o termo desconhecido de uma proporção.
a = idade menor e b = idade maior, tem-se:
Exemplos:
A razão entre a idade menor e a maior
A soma das idades a e b é 80 → a + b = 80.
1) A maquete de um centro cultural foi feita na razão de 5 para 150. A maquete tem 45cm de altura. Calcular a altura desse centro cultural.
é
→
=
.
Utilizando a propriedade, tem-se que:
= 5 . x = 150 × 45 ↔ 5 . x = 6 750 x=
Como a + b = 80, então:
↔ x = 1350cm
Transformando para metros, tem-se: x = 13,50m. 2) A razão entre as idades de dois irmãos é de
.
O maior tem 20 anos. Qual a idade do irmão menor? Portanto, se a + b = 80
Dado conhecido: a idade do irmão maior é 20 anos.
então b = 80 − a = 80 − 32 = 48.
Dado desconhecido: a idade do irmão menor = x.
Para comprovar o resultado, tem-se:
A razão entre as idades: = x=
32 + 48 = 80 e razão entre os dois números
↔ 4 . x = 3 × 20 ↔ 4 . x = 60 ↔ x = 15
Logo, a idade da prima mais nova é 32 anos, e da prima mais velha é 48 anos.
Logo, a idade do irmão menor é de 15 anos. 110
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
Como a + b = 63, tem-se:
2) Determinar dois números sabendo que a razão entre eles é
e que a diferença é 48.
A diferença entre os números a e b é 58:
Para comprovar o resultado, tem-se que:
a − b = 48
27 + 36 = 63 e
=
.
A razão entre os dois números é: →
Logo, a = 27 e b = 36.
=
3.a) Numa proporção, o produto dos antece-
Utilizando a propriedade tem-se que:
dentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de
Como a − b = 48
seu conseqüente. ou
Portanto, se a − b = 48 então b = 84 − 48 = 36 Exemplo:
Para comprovar o resultado, tem-se: 84 − 36 = 48
A área de um retângulo é de 150m² e a razão
E a razão entre os dois números:
da largura para o comprimento é de
.
Encontrar as dimensões do retângulo. Seja a = largura e b = comprimento do retângu-
Logo, o número maior é 84, e o número menor é 36.
lo, utilizando a propriedade tem-se:
2.a) Numa proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.
Como a . b = 150, tem-se:
Usando o produto dos meios pelos extremos, tem-se:
Exemplos: 1) Calcular a e b, sabendo que a + b = 63 e
= Portanto, se a . b = 150 então 10 . b = 150
Utilizando a propriedade, tem-se que:
b=
=
↔ b = 15
Para comprovar o resultado, tem-se:
Como a + b = 63, tem-se:
área do retângulo = a . b = 10 × 15 = 150m2, e a razão entre a largura e o comprimento:
Utilizando novamente a propriedade, tem-se que: Logo, a largura do retângulo é 10m e a altura é 15m. 111
UEA – Licenciatura em Matemática
4.a) Numa proporção, elevando-se os quatro
a) Qual a razão entre o comprimento do retângulo A e do retângulo B? b) Qual a razão entre o perímetro do retângulo A e do retângulo B? c) Qual a razão entre o área do retângulo A e do retângulo B?
termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção. Exemplo: A soma do quadrado de dois números é 468, e . Deter-
3) Qual é a razão entre a capacidade de uma garrafa de guaraná de 600ml e a de uma garrafa de vinho de 900ml?
Seja a e b dois números, utilizando a proprie-
4) Certo refrigerante é vendido por R$0,70, em latas de 350ml, e por R$250,00, em garrafas de 2 litros. Qual das duas embalagens é mais econômica para o consumidor?
a razão do menor para o maior é de minar esses números.
dade tem-se:
Utilizando a 1.a propriedade, tem-se:
5) Calcule a densidade demográfica de seu município. 6) Determine os pares de razões que formam uma proporção:
Como a + b = 468, tem-se: 2
2
a) c)
e
b)
e
d)
e
7) Calcule o valor do termo desconhecido nas proporções:
Portanto, se a2 + b2 = 468, então 144 + b2 = 468 b2 = 468 − 144 b2 = 324 b=
e
= 18
a)
b)
c)
d)
8) Usando as propriedades de proporção, resolva os problemas:
Para comprovar o resultado, tem-se: 122 + 182 = 144 + 324 = 468, e a razão do menor para o maior =
a) A razão entre dois números é de 13 para 19, e a sua soma é 192. Determine esses números.
Logo, os números são 12 e 18.
b) Na 6.a série A, há 28 alunos. A razão entre o número de meninos e o de meninas é
. Quantos
rapazes há na 6. série A? a
EXERCÍCIOS
c) Um pai divide R$72,00 entre seus dois filhos de modo que eles recebam as quantias proporcionais as suas idades, que é de 3 e 5 anos, respectivamente. Determine as quantias.
1) Calcule as razões entre: a)
1e6
c) 6 e 1
b)
5 e 25
d)
e
d) A idade de dois irmãos está na razão de
.
Determine essas idades, sabendo que sua soma é 20 anos.
2) Observando as figuras A e B responda:
112
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
Exemplo: Na compra de 10 litros de açaí, ao preço de R$1,50 o litro, gasta-se o total de R$15,00. Então, na compra de 20 litros de açaí, o custo total será de R$30,00, e na compra de 30 litros, o custo total será de R$45,00.
TEMA 34 REGRA DE TRÊS SIMPLES 1. Conceito de grandeza Grandeza é todo atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado.
Portanto: 3. Grandeza inversamente proporcional Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro.
As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. São exemplos de grandezas: velocidade, tempo, peso e espaço. São comuns em nosso dia-a-dia situações em que duas ou mais grandezas se relacionam.
Exemplo: Um avião, à velocidade de 800km por hora, leva 42 mimutos para ir de Manaus a Manicoré. Se a velocidade do avião fosse de 600km por hora, o tempo necessário para fazer a mesma viagem seria de 56 minutos?
Exemplos: 1) Uma bicicleta, para percorrer um determinado espaço, quanto maior a velocidade menor o tempo gasto.
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais, pois à medida que uma aumenta a outra diminui e vice-versa. 4. Regra de três Figura 1: Idéia de grandeza. Fontes: www.sesamo.com www. store-garage34.locasite.com.br/loja/images/velocidade.
Existem dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas.
2) A nota que o aluno tira numa prova depende do número de questões que ele acerta.
4.1 Regra de três simples Para resolver problemas que envolvem regra de três simples, deve-se obedecer ao seguinte procedimento: 1) Colocam-se os valores da grandeza de mesma espécie na mesma coluna, e os valores da grandeza de espécie diferente em outra coluna.
3) O trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados. A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como diretamente proporcional ou inversamente proporcional.
2) Fixando a grandeza que possui a variável, e analisando a outra grandeza, se forem diretamente proporcionais, as setas devem estar no mesmo sentido. Caso sejam inversamente proporcionais, as setas ficam em sentido contrário, invertendo-se a razão.
2. Grandeza diretamente proporcional Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, diz-se que essas grandezas são diretamente proporcionais.
3) A razão da grandeza que possui a variável é igual à razão da outra grandeza. 113
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
Observe que as grandezas número de trabalhadores e tempo são inversamente proporcionais,
1) Comprei 5 metros de tecido por R$900,00. Quan-
pois se 4 trabalhadores constroem uma casa em
to gastaria se tivesse comprado 9 metros?
8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo
Considerando a tabela que relaciona o compri-
para construí-la. Ou seja, quanto menor o núme-
mento com o preço do tecido tem-se:
ro de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.
Observe que as grandezas comprimento e preço são diretamente proporcionais, pois se 5 metros de tecido custam R$900,00, 9 metros custarão mais que R$900,00. Observe que aumentando ou diminuindo uma grandeza, a outra aumenta ou
Multiplicando o produto dos meios pelos extre-
diminui na mesma proporção. Logo, as gran-
mos tem-se:
dezas são diretamente proporcionais.
2 . x = 4 × 8 ↔ 2 . x = 32 ↔ x =
↔ x = 16
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias. De modo geral: regra de três simples é um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos, e devemos determinar o quarto valor.
Multiplicando o produto dos meios pelos extremos, tem-se:
4.1 Regra de três composta
5 . x = 9 × 900
O processo usado para resolver problemas
5 . x = 8100
que envolvem mais de duas grandezas, direta
x=
ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.
x = 1620 Portanto, por 9 metros de tecido, gastaria
Para resolver problemas que envolvem regra
R$1.620,00.
de três composta, deve-se obedecer ao seguinte procedimento:
2) Uma equipe de 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quantos dias, apenas 2 da
1) Colocam-se os valores das grandezas de
equipe de trabalhadores constroem uma casa
mesma espécie na mesma coluna, e os va-
idêntica ?
lores das grandezas de espécies diferentes em outra coluna. 2) Fixando a grandeza que possui a variável e analisando as outras grandezas, se forem diretamente proporcionais, as setas devem
Figura 2: Grandeza inversamente proporcional.
estar na mesma direção. Caso sejam inver-
Fonte: www.atribunamt.com.br
samente proporcionais, as setas ficam em sentido contrário, invertendo-se a razão.
As grandezas são trabalhadores e dias:
3) A razão da grandeza que possui a variável é igual ao produto das razões das outras grandezas. 114
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
tempo levariam 10 pintores para pintar a mesma escola?
Exemplo: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2 m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura do muro para 4m, qual será o tempo necessário para completar a obra?
3) Uma torneira, despejando 5 litros de água por minuto, enche uma caixa d’água em 6 horas. Em quanto tempo duas torneiras iguais a essa encherão essa mesma caixa? 4) Um empreiteiro recebe R$8.360,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 5) Romildo trabalhou 30 dias e recebeu R$150,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$200,00?
Figura 3: Regra de três composta. Fontes: www.eletropaulo.com.br
6) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras a encheriam em 2 horas?
As grandezas são pedreiros, altura do muro e dias trabalhados.
7) Se 35 operários fazem uma escola em 24 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 14 dias, trabalhando 10 horas por dia? 8) Três torneiras enchem um tanque em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 tanques?
Quanto maior a altura do muro, mais dias serão necessários para construí-lo. Logo, as grandezas altura e dias são diretamente proporcionais. Quanto menor o número de pedreiros, mais dias serão necessários para construir o muro.
9) Duas máquinas empacotam 1 000 litros de leite por dia. Quantas máquinas são necessárias para empacotar 2 000 litros de leite em meio dia? 10) Na merenda escolar, 640 crianças consomem 1500 litros de suco em 30 dias. Quantos litros de suco deverão ser consumidos por 400 crianças em 40 dias?
Portanto:
Logo, para construir o muro de 4m serão necessários 12 dias. EXERCÍCIOS 1) A professora Ana Maria percorre de bicicleta, de sua casa até a escola onde leciona, 1400m em um tempo de 7 minutos. Quantos metros vai percorrer em 30 minutos, desenvolvendo sempre a mesma velocidade? 2) Cinco pintores levam 40 dias para pintar uma escola. No mesmo ritmo de trabalho, quanto 115
UEA – Licenciatura em Matemática
A capacidade de oxigênio é diretamente proporcional à capacidade de ar. O fator de pro-
TEMA 35
porcionalidade é PORCENTAGEM
ou 21% . Lê-se: vinte e
um por cento. Então:
1. Idéia de porcentagem
Toda razão de conseqüente 100 chama-se razão centesimal. a)
b)
c)
d)
Se o conseqüente for um numero diferente de 100, nesse caso multiplica-se antecedente e conseqüente por um número que torne o conseqüente igual a 100. Exemplos: a) Figura 1: Idéias de percentagem.
b)
É possível representar as razões centesimais por números decimais.
Frases como estas aparecem com freqüência no nosso dia-a-dia.
a)
= 0,08
b)
= 0,19
d)
= 1,36
e)
= 0,01
= 0,80
c)
Veja o significado de algumas delas. a) “Grande liquidação. Desconto de 40%.” Significa dizer que em cada R$100,00 de compra será feito um desconto de R$40,00.
Representam-se as razões centesimais na forma porcentual (%).
b) “O salário mínimo teve aumento de 16,6 %” Significa dizer que em cada R$100,00 do salário mínimo haverá um aumento R$16,60. Logo, em 2006, o salário mínimo será de R$349,80.
a)
= 8%
b)
= 19%
d)
= 136%
e)
= 1%
c)
= 80%
2. Razão centesimal, taxa percentual Qualquer número escrito na forma porcentual (%) é chamado taxa percentual.
É comum expressar a razão entre um número e 100 usando o termo por cento (%), que significa “dividido por cem” ou centésimo.
8% , 19% , 80% , 136% , 1% são exemplos de taxa percentual.
Exemplo:
3. Resolução de Problemas 1) Em uma partida de basquete, Romildo acertou 50% dos 30 arremessos que efetuou. Quantos arremessos acertou?
A informação acima significa que em cada 100 litros de ar há 21 litros de oxigênio.
É possível relacionar porcentagem com proporcionalidade.
Figura 2: Porcentagem. Fonte: www.icicom.up.pt/.../arquivos/2004/08
116
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
2) Escreva na forma centesimal:
O problema quer que você responda: Quanto vale 50% de 30?
a)13%
Existem duas maneiras de resolver esse problema: 1. forma: Como 50% = crever:
= 0,50, pode-se es-
50% de 30 =
× 30 = 0,50 × 30 = 15
a
de 30 →
b) 49%
c) 512%
d)116%
3) Escreva na forma de percentual. a)
b)
c)
d)
4) Calcule: a) Quanto é 45% de 800? b) 20 é 15% de quanto?
2.a forma: 50% dos arremessos significam que, em cada 100 arremessos efetuados, Romildo acerta 50. Assim:
5) Resolva os problemas: a) Luiz comprou uma televisão por R$695,00 com desconto de 17%. Quanto pagou pelo aparelho? b) Em uma classe de 50 alunos, compareceram 35. Qual a taxa percentual de ausência? c) Economizei R$84,00 ao obter um desconto de 15% na compra de uma roupa. Qual era o preço inicial?
Os problemas de porcentagem podem ser resolvidos usando regra de três simples e direta.
d) Lina gastou 20% de seu salário em uma mercadoria que custou R$50,00. Quanto Lina ganha mensalmente?
Usando o produto dos meios pelo produto dos extremos, tem-se: 100 . x = 50 . 30 100 . x = 1500
x = 15 Logo, Romildo acertou 15 arremessos. 2) Ribamar depositou R$600,00 numa caderneta de poupança no dia 09/01/2006. Terá, no dia 09/02/2006, R$615,00. Qual é o percentual de rendimento? Dados: Quantia principal: R$600,00 Rendimento principal: R$15,00 Pede-se: a taxa de rendimento. Montando a regra de três, tem-se: 100% → 600 x% → 15
Logo, a taxa de rendimento é de 2,5%.
EXERCÍCIOS 1) Escreva na forma de percentual as razões centesimais: a)
b)
c)
d) 117
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 36 JUROS SIMPLES 2) Ao tempo ( t ): quanto maior o tempo, tanto maior o juro.
3) À taxa ( i ), que é o valor tomado em cada
Figura 1: Juros simples. Fonte: www.comprafacil.com.br
100 unidades, referidas ao ano ou ao mês ou a dias: quanto maior a taxa tanto maior
1. Conceito de juro, capital e taxa
os juros.
É comum ouvir frases como estas: – “Vou depositar meu dinheiro na caderneta de poupança porque renderá juros e correção monetária.” – “Vou fazer um empréstimo bancário”. Quando se deposita numa caderneta de pou-
A fim de facilitar o cálculo necessário para
pança ou se empresta oficialmente uma certa
determinar qualquer uma das grandezas (juro,
quantia por um determinado tempo, recebe-se
tempo ou taxa), estabeleceram-se fórmulas re-
uma compensação em dinheiro chamada juro.
sultantes de um problema de regra de três
! Os juros simples, chamados apenas de juros,
composta. Se o capital 100 produz i em 1 ano, então o
são representados pela letra j.
capital C produz j em t anos:
! O dinheiro que se deposita ou empresta chamase capital e é representado pela letra C. ! O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t. ! A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representada pela letra i e utilizada para calcular juros.
2. Resolução de problemas
Resumindo:
Exemplos: 1) Célia emprestou a quantia de R$50.000,00 durante 8 meses, a uma taxa de 1,2 % ao mês. Quais os juros que Célia pagou? Em um mês, Célia iria pagar 1,2% de R$50.000,00
O juro ( j ) é uma grandeza diretamente proporcional: Logo, em 8 meses irá pagar
1) À quantia emprestada ou Capital (C ): quanto maior o capital, tanto maior os juros.
R$600,00 x 8 = R$4.800,00 118
Matemática Elementar I – Proporcionalidade
j=
Portanto foram pagos R$4.800,00 de juros. Logo, Maurício deverá aplicar durante 2 anos. 2) João investiu um capital de R$15.000,00, em uma instituição financeira que paga juros durante 3 anos, à taxa de 24% ao ano. Qual o valor dos juros recebidos por João?
5) A que taxa anual Hélio deve aplicar um capital de R$20.000,00 para render, em 3 anos, R$28.800,00 de juros?
Pede-se: j = ? Pede-se: i = ?
Utilizando a fórmula:
j=
j= j= j = 150 × 3 × 24 ⇒ j = 10 800 Logo, os juros recebidos por João são de R$10.800,00. 3) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obter R$4.410 de juros?
Logo, a taxa de juros é 48% ao ano. Observação Deve-se sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:
Pede-se: C = ?
Deve-se usar as seguintes unidades comerciais.
C = 9800 Exemplos:
Logo, a quantia a ser aplicada são de R$9.800,00.
1) Quais são os juros produzidos pelo capital de 4) Por quanto tempo Maurício deverá aplicar um capital de R$12.000,00 a uma taxa de 36% ao ano para render R$8.640,00 de juros?
R$7.200,0 emprestado à taxa de 8% ao ano, durante 10 meses?
Pede-se: t = ?
Pede-se: j = ? 119
UEA – Licenciatura em Matemática
j=
Logo, os juros produzidos são de R$480,00. 2) Quais são os juros produzidos pelo capital de R$4.000,00 aplicado durante 300dias à taxa de 15% ao ano.
Pede-se: j = ? j=
Logo, os juros produzidos são de R$500,00.
EXERCÍCIOS 1) Lili tomou emprestado a importância de R$12.000,00 pelo prazo de 2 anos, a taxa de 30% ao ano. Qual será o valor dos juros a serem pagos? 2) Durante quanto tempo Caio deve aplicar um capital de 54.000,00 a uma taxa de 0,5% ao mês para render R$810,00 de juros? 3) Um comerciante emprestou de uma financiadora um capital de R$60.000,00, à taxa de 1,5% ao mês, durante 2 anos. Quanto pagou de juros ao final do contrato? 4) Quais são os juros produzidos por R$300,00 aplicados à taxa de 3,5% a.m durante 2 meses?
120
Respostas de ExercĂcios
Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios
UNIDADE I
Notação exponencial de (2332)quatro
− Sistemas de Numeração
(2332)quatro = 2 × 43 + 3 × 42 + 3 × 41 + 2 × 40 (2332)quatro = 2 × 64 + 3 × 16 +3 × 4 + 2 × 1
TEMA 01
(2332)quatro = 128 + 48 + 12 + 2 = 190
A ORIGEM, AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES E NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1)
a) 301
b) 210
2)
(192)dez = (1 2 3 2 )cinco , pois: 1 × 53 + 2 × 52 + 3 × 51 + 2 × 50 = 125 + 25 + 15 + 2 = 192
c) 111
Lembrete:
UNIDADE II
i) Cada 10 argolas de uma haste corresponde a 1 argola na haste imediatamente à esquerda. ii) O valor da argola muda conforme a posição da haste no ábaco.
− Conjuntos
TEMA 03
iii) O maior valor de argolas em cada haste é nove. 2)
a) XII
b) XIX
e) MDXLII 3)
c) CLIX
f) IVCDXV
CONJUNTOS
d) DXXXV
1)
a) ⊂
2)
Sendo A = { 31, 32, 33, 34, ...}, B = {24, 23, 22, 21,...,1} e C = {40,41,..., 49,50}
g) DCCL
O número é 3 020 = 3 ×103 + 0 × 102 + 2 × 101 + 0 × 100 Caso a sua resposta tenha sido diferente, veja a notação exponencial passo a passo:
a) b) c) d)
2 123 = 2 000 + 100 + 20 + 3 2 123 = 2 × 1 000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 3 2 123 = 2 × 10 × 10 × 10 + 1 × 10 × 10 + 2 × 10 + 3
b) ∉
c) ⊃
d) ⊃
e) ∈
f) ⊂
F , pois A ∪ B = {1, 2, 3, ...24,31,......} V , pois A ∩ C = {40,41,..., 49,50} = C F , pois C – A = { } F , pois B ∪ C = D = {0, 1, 2,...50}, então A − (B ∪ C) = A – D = {51,52, ... }
2 123 = 2 × 103 + 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100
UNIDADE III
Lembrete: 103 = 10 × 10 × 10 102 = 10 × 10 101 = 10 100 = 1
TEMA 04 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO
4)
5)
− Conjuntos dos Números Naturais
1)
a) 32
b) 57
2)
a) 198 + 235 = 433;
b) 235 + 467 + 56 + 89 = 847;
c) 198 + 523 + 67 + 169 + 235 + 467 + 56 + 89 =1 804
a) 2 classes e 4 ordens; b) 2 unidades; c) 8 dezenas; d) 34 centenas; e) 1.a ordem.
TEMA 05 OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO
TEMA 02 BASES DIFERENTES DE 10 1)
1)
4 789 − 3 456 = 1333 metros cúbicos.
2)
a) 5 789 + 4 745 + 165 + 59 = 10 758; b) 11 567 − 10 758 = 809; c) 4 745 − 5 789 = 1 044.
O código é (2332)quatro lê-se: “dois, três, três, dois na base quatro”.
3) 123
a) x = 267
b) y = 15
c) a = 27
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
TEMA 10 MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO 1)
12 624 × 3 = 37 872.
2)
32 × 9 = 288 combinações.
1)
m.m.c.(10, 12, 18) = 180
x = tempo de bicicleta, p = 3x = tempo a pé.
2)
a) 24 = 16,
3x + x = 72 ⇒ 4x = 72 ⇒ x = 18 minutos. Logo,
3)
m.d.c.(a, b) = 2 × 3 × 5 = 30 e m.m.c.(a, b) = 22 × 32 × 5 = 4 × 9 × 5 = 180
TEMA 07 OPERAÇÃO: DIVISÃO 1)
Maria demorou 18 minutos para ir da casa à escola. 2)
70 − 25 = 45; 45: 5 = 9 Logo, cada agenda custou 9 reais.
3)
150 − 86 = 63; 64 : 4 = 16 Logo, devo plantar 16 mudas em cada dia.
4)
a) 9 594;
b) 137 904;
c)1 642 572;
UNIDADE IV
A IDÉIA DO NÚMERO INTEIRO. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO INTEIRO
e) quociente é 5 e resto é 65; f) quociente é 197 e resto é 40.
TEMA 08 OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS 43 = 64 Logo, há 64 vagas na garagem do prédio.
2)
a ) 24;
b) 6;
c) 32;
d) 29;
− Conjunto dos Números Inteiros
TEMA 11
d) 532;
1)
b) 27 × 3 × 5 × 11 = 21.120
1)
a) 6;
b) 2;
c) 8;
d) 4;
e) 6;
f) 7.
2)
Há 4 700 quilômetros em linha reta entre as cidades B e C.
3)
c
TEMA 12
e) 28.
OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
TEMA 09
1)
(−3) + (−1) = −4
2)
a) (−25) + (+50) = +25 b) (−25) + (−5) = −30 c) (−25)+(−10) + (+50) = (−35) + (+50) = +15
3)
Representação numérica:
DIVISIBILIDADE 1)
a) M(3) = {0, 3, 6, 9,...}; b) M(4) = {0, 4, 8, 12,...}; c) M(7) = {0, 7, 14, 21,...}.
2)
Cálculo: (−5) + (+2) = −3
a) D(35) = {1, 5, 7, 35}; b) D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}; c) D(450) = {1, 2, 3, 6, 9, 10, 15, 25, 30, 60, 75, 90,
4)
4 graus
5)
74 anos
6)
a) −5;
225, 450} 3)
a
4)
{11, 13, 17, 19} 124
b) −10;
c) −5; d)
−14;
e) 27;
f) −98
Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios
TEMA 13
TEMA 16
OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
O CONJUNTO DOS RACIONAIS RELATIVOS. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA.
1)
2 × (−45) = −90. Ana deve R$90,00.
2)
3 × (−16) = −48. O segundo mergulhador está a 48 metros de profundidade.
3)
(+800) : (−2) = − 400. Joana deverá sacar R$400,00 por mês.
4)
a) 126;
b) –90;
c) 1;
SUBCONJUNTOS. MÓDULO OU VALOR
e) −5;
d) 2;
ABSOLUTO DE UM NÚMERO RACIONAL 1)
>
a)
;
;
< 0 todo número negativo é menor
c) resposta
f) −7
>
b)
que zero;
OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. EXPRESSÕES NUMÉRICAS x = (−2)2 – (−1)3 = (+4) – (−1) = 4 + 1 =5
2)
962 = 9 216 habitantes
3)
x = 40
4)
a)
×(16 −
UNIDADE V
OPERAÇÕES: ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
− 8 – 4 + 5) = ×(16 – 6 – 12 + 5) = 7 × (+3) = 21
1)
a)
b)
− O Conjunto dos Números Racionais
TEMA 15
2)
a) 1
3)
a)
O NÚMERO RACIONAL ABSOLUTO
b)
b)
O total de turistas é: 9 + 6 + 4 = 19. Logo: a fração de brasileiros em relação ao total de turistas é
.
4)
a)
5)
a) −
;
b)
Como o mês de outubro têm 31 dias, a fração referente aos onze dias deste mês é
3)
c, d
TEMA 17
b) (+3)3 × (−4) + {(−4)8 – 4 – 4 +[(−8) : (+8)]} = = (+27) × (−4) +{(−4)4 – 4 +(−1)} = = −108 + {16 − 4 – 1} = −108 + 16 − 5 = −97
2)
todo número negativo é menor que
qualquer numero positivo. 2)
1)
1)
>−
d)
TEMA 14
a) P;
b) I;
c) P;
.
d) A.
6)
=+
; b) +
=+
= +1
+
=
+
=
−
=
+
=
=3
4) 5)
a)
6)
x = 64
7)
a)
=
;
b)
= 7)
b)
125
; c) −
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 18
TEMA 19 OPERAÇÕES: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 1)
Comeram pois:
+
comer
, pois 1 inteiro =
dos 2)
do bolo,
1)
=
=
, sobram ainda
=
=
b)
;
c)
;
e falta d)
e como já foram comi−
a) 1;
. 2)
a)
a)
b)
c)
d)
TEMA 20 EXPRESSÕES NUMÉRICAS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
b)
3)
1)
a) −
2)
a) Resta pintar
;
b) 0
c) do quarto;
b) Precisarão 15 litros para pintar a parte que falta; c) Precisarão 40 litros para pintar o quarto todo; d) vou precisar 16 latas de tinta para pintar o quarto todo.
Pelo m.m.c., tem-se: = =
3)
Sobraram 840 sacas.
4)
Mamãe levou para a feira R$105,00.
5)
O valor total da herança é de R$720.000,00.
= TEMA 21
Simplificando por 5, tem-se:
REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS NA FORMA DECIMAL
= 1)
4)
a) dois inteiros e quarenta e cinco centésimos. b) quatro milésimos. c) quarenta e seis inteiros e sete centésimos.
2)
a) =;
b) >;
c) <
3) Logo, a distância total a ser escalada é de 1600m. 5)
de 24 =
× 24 =
= 12
4)
0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9
parte que sobrou: 1 − 0,9 = 0,1 =
Logo, Sueli apontou 12 lápis. 126
Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios
TEMA 22
TEMA 24 UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO
OPERAÇÕES: MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO. SISTEMA MONETÁRIO NACIONAL 1)
a) 387;
b) 0,475;
c) 1957,08;
d) 2,6;
e) 51,25;
f) 6,75.
1)
b) trinta e cinco centímetros; c) vinte e sete centímetros e oito milímetros;
2)
d) oito milímetros. 2)
3)
a) oito quilômetros e sete hectômetros;
Alternativa b
a) 0,25hm;
b) 36 000m;
c) 0,0682hm;
d) 73 500dm
TEMA 25
1 nota de R$50,00; 3 notas de R$10,00; 1 nota de
CURVAS ABERTAS E FECHADAS. REGIÕES CONVEXAS. ÂNGULOS E POLÍGONOS
R$5,00; 4 moedas de R$1,00 e 1 moeda de R$0,10. 4)
1)
a) agudo;
b) obtuso;
c) raso;
d) reto
2)
Enumerando as partes da figura tem-se: I e II: triângulos convexos; III: pentágono não-convexo e IV: quadrilátero: trapézio convexo.
Logo, o valor da entrada da televisão com 2 casas decimais é R$150,33 5) 6)
0,3 × 3 = 0,9
3)
a) 3000’
b) 4800”
c) 34o
4)
a) 50o 50’ 6”
b) 35o 40’
c) 229o 30’ 20”
d) 5o 15’ 5”
1498 : 8 = 187,25 Logo, o valor de cada prestação da geladeira é R$187,25.
7)
TEMA 26
5,44 × 8 = 43,52 Logo, paguei pelos 8 retalhos de
TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS. PERÍMETRO
tecido R$43,52. 8)
0,8 : 5 = 0,16 Logo, cabe a cada criança 0,16 do
1)
bolo.
a) retângulo isósceles; b) acutângulo eqüilátero; c) obtusângulo escaleno; d) obtusângulo isósceles
UNIDADE VI −
Geometria das formas e das medidas
TEMA 23 A GEOMETRIA DE EUCLIDES. CONCEITOS PRIMITIVOS. SEMI-RETA. SEGMENTO DE RETA. NOÇÕES DE MEDIDA 1)
a) plano;
2)
a) V;
b) reta;
b) F;
c) V;
c) ponto. d) V; 127
2)
a) V;
b) V;
c) F
3)
a) losango;
4)
71,7 cm
5)
145 m
6)
40 cm : 5 cm = 8 Logo, Patrícia poderá dividir a corda com 8 amiguinhas.
7)
Sendo o heptágono um polígono de 7 lados, seu perímetro será 7 × 2 cm = 14 cm.
b) retângulo;
c) trapézio
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 27
TEMA 30
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PRISMAS E PIRÂMIDES
1)
a) 0,000455 m2
b) 0,2356 km2
c) 0,000000000067 hm2
d)10678dm
1)
2
Usando a planificação do prisma na figura abaixo, temos:
TEMA 28 ÁREA DE PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 1)
28 cm2
2)
582 200 ha
3)
330 000 m2
4)
a) 225 cm2;
5)
1 600 cm2
Na figura, tem-se que: r = medida da aresta lateral = 6cm e s = medida da aresta da base = 3cm. a) A l (Área lateral) = 6 × A r (área do retângulo)
b)2000
= 6 . r . s = 6 × (6 × 3) = 108 cm2. A b (Área da base) = área da região limitada pelo hexágono regular. Como a região hexagonal é formada por seis regiões triangulares eqüiláteras, tem-se:
TEMA 29
A b = 6 × A t (área do triângulo)
VOLUME DE SÓLIDOS. MEDIDAS DE CAPACIDADE E MASSA 1)
=6×
O volume da embalagem depende das dimensões
A t = 108 + 2 ×
A capacidade mínima depende das dimensões da televisão.
3)
cm2.
Logo, A t (área total) = A l + A b
da embalagem escolhida. 2)
=
A t = 27 (4 +
a) novecentos e quarenta hectômetros cúbicos;
)cm2.
b) Volume V = A bH , como o prisma é reto r = H.
b) dois metros cúbico se setecentos e setenta e no-
V=
ve decímetros cúbicos;
× 6 = 81
cm3
c) dezenove decalitros e cinco litros; d) oito miligramas. 4)
5)
2) A t = 9 (8 +
a) 0, 0000451m3;
b) 40cm3;
c) 36 000g;
d) 73 500dl
a) 432l;
V = 18 3) V = 90 cm3
b) 432kg 128
) u.a. (unidades de área) e u.v. (unidades de volume)
Matemática Elementar I – Respostas de Exercícios
UNIDADE VII
TEMA 31 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:CORPOS REDONDOS. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1)
TEMA 33 RAZÕES E PROPORÇÕES
Área da cartolina = 70 × 50 = 3500cm2 1)
Área do círculo = 3,14 × 10 2 = 3,14 × 100 = 314cm2 Para calcular quantos círculos de 314cm² de área cabem num retângulo de 3500cm2 de área, dividese 3500 por 314, o que equivale a aproximadamente 11,15. Isto significa que cabem 11 círculos e, portanto, sobra cartolina. 2)
Comprimento = 8 πm e área = 16 πm2
3)
Área do circulo com 5cm de raio = 25 πcm2
− Proporcionalidade
2)
a)
b)
=
c)
d)
:
a)
.
=
b)
=
c)
3)
Área do círculo com 3cm de raio = 9 πcm2 Área da região sombreada = 25 πcm2 − 9 πcm2 = = 16 πcm2
TEMA 32 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: CORPOS REDONDOS. CILINDRO E CONE 1)
O volume depende das dimensões do raio e altura escolhidas.
2)
A capacidade da lata é de 538,51ml
3)
a) Prisma pentagonal
4)
A mais econômica é a garrafa de 2 litros.
5)
A resposta depende do número de habitantes e a área total de cada município.
6)
a, b e d
7)
a) x = 10;
8)
a) Os números são 78 e 114.
b) y = 3;
c) a = −54;
d) z =
b) 20 meninas e 8 meninos. c) O filho de 3 anos recebe R$27,00 e o de 5 anos recebe R$45,00. d) As idades são 8 anos e 12 anos.
Arestas laterais: AF, BG, CH, DI e EF. Faces laterais: FGAB, GHBC, HICD, JIED e FJAE.
TEMA 34
Arestas das bases: AB, BC, CD, DE, AE, FG, GH, HI, IJ e FJ.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
b) Pirâmide triangular
1)
Ana Maria irá percorrer 6 000m ou 6km
2)
Os 10 pintores levariam 20 dias para pintar a escola.
c) Cilindro
3)
Duas torneiras levarão 12 horas para encher a caixa.
Pirâmide:
4)
O empreiteiro receberá R$14.630,00 por 35 dias de trabalho
5)
Romildo receberá R$200,00 por 40 dias de trabalho
6)
Serão necessárias 15 torneiras.
7)
São necessários 48 operários.
8)
Para encher 2 tanques levará 6 horas.
9)
São necessárias 8 máquinas.
Arestas laterais: AB, AC e AD. Faces laterais: ABD, ABC e ADC. Arestas das bases: BD, BC e DC.
4)
Área da base: 10 × 6 = 60cm2 Volume:
= 140cm3
Cone: Área da base = 3,14 × 52 = 78,5cm2 Volume =
=
cm = 183,16cm 3
2
Sendo o volume do cone maior que o volume da pirâmide, a embalagem com forma de cone é a mais adequada.
10) Deverão ser consumidos 1 250 litros de suco. 129
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 35 PORCENTAGEM 1)
a) 7%
b) 23%
c) 123%
d) 49%
2)
a)
b)
c)
d)
3)
a)
=
= 35%;
c)
=
= 48%;
a) 360
b) 3
4) 5)
b) d)
=
= 6%;
=
= 60%.
a) Luís pagou pelo aparelho R$576,85. b) 30% de ausentes. c) O preço da roupa é R$560,00. d) Lina ganha R$250,00 por mês.
TEMA 36 JUROS SIMPLES 1)
O juro a ser pago a dona Lili é de R$7.200,00.
2)
Caio deve aplicar durante 3 meses.
3)
O comerciante pagou de juros a quantia de R$21.600,00.
4)
Os juros produzidos foram de R$21,00.
130
REFERÊNCIAS
BATISTA, Célia Maria Nogueira et al. Matemática. Universidade do Estado do Amazonas. PROFORMAR, 2003. 72 p. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 5.a e 6.a Série. São Paulo: Moderna, 1995. 217 p. ________. PACCOLA, Herval. Sistemas de Numeração ao longo da história. São Paulo: Moderna, 2002. 64 p. BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática Atual. 5.a série. São Paulo: Atual, 1994. GIOVANI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A Conquista da Matemática. 5.a e 6.a séries. São Paulo: FTD, 2002. 366 p. 391 p. GUELI, Oscar. Contando a história da Matemática. N.o 1, 4 , 7. São Paulo: Ática, 1996. 41p. ________. Matemática: Uma aventura do pensamento. 6.a série. São Paulo: Moderna. 280 p. IMENES, Luis Márcio; JAKUBOVIC José; LELLIS Marcelo. Matemática. 4.a série. São Paulo: Scipione, 1999. 223 p. Imenes & Lellis. Matemática. Ed. Scipione, 6.a série, São Paulo. ROSA NETO, Ernesto; MENDONÇA, E.; SMITH, M. Matemática para o Magistério. São Paulo: Moderna, 1996. 312 p. SILVEIRA, E.; Marques, C. Matemática. 5.a série. São Paulo: Moderna, 2000. 312 p. PATILLA, Peter. Círculos, Cilindros e Esferas (Coleção Viramundo). São Paulo: Moderna, 1995. 29 p. TELECURSO 2000. MATEMÁTICA. 1.o grau. Disponível em: http://www.bibvirt.futuro.usp.br