Matematicaelementarii

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Clício Freire da Silva Cláudio Barros Vitor Arnaldo Barbosa Lourenço

Manaus 2006


FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Silva, Clício Freire da. S586m

Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 120 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510


SUMÁRIO

Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

07

UNIDADE I – Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

09

TEMA 01 – Conjunto dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 15

UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cubo da soma de dois termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fatoração do trinômio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo do mmc e do mdc de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 24 27 29 31 32

UNIDADE III – Potências e radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Usando potências de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equações fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 40 42 47 50 55

UNIDADE IV – Inequações e sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

TEMA 15 – Inequação do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . .

61 63 69

UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

TEMA 18 – Equação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 20 – Intervalo reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 82 86

UNIDADE VI – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

03 04 05 06 07 08

09 10 11 12 13 14

21 22 23 24 25 26 27

– – – – – –

– – – – – –

– – – – – – –

Função ou aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Raiz ou zero da função do 1.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Função do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Inequação do 2.º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


PERFIL DOS AUTORES

Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós-graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF Mestrando em Matemática (Geometria Diferencial) – UFAM

Cláudio Barros Vitor Licenciado em Matemática – UFAM Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC

Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM


PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico-científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas



UNIDADE I Conjuntos NumĂŠricos



Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

do lado do quadrado não era um número racional, pois essas medidas nunca podiam ser ambas expressas por números inteiros. Isso levou à criação dos números irracionais, que não são inteiros e nem racionais, pois não podem ser escritos como fração nem como decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje,

TEMA 01 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS

que

1. Introdução. 2. Número Racional (Q)

É possível repartir igualmente vinte bolinhas de gude entre três crianças carentes?

É qualquer número que pode ser escrito como quociente de dois números inteiros, sendo o divisor diferente de zero.

Vejamos: 20 3 2 6

2.1 Forma decimal

Nesse caso, não é possível, pois cada criança receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas bolinhas.

Há duas formas de se representar um número racional: a forma fracionária e a forma decimal. Dada a forma fracionária, basta dividir o numerador pelo seu denominador para obter a forma decimal. Veja os exemplos:

Conclui-se, então, que a divisão de dois números inteiros nem sempre é possível de ser realizada no conjunto Z. Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos números racionais (Q), pois não existe número inteiro que represente o quociente 20 : 3.

a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços de comprimentos iguais, qual será o comprimento de cada pedaço?

→ representação fracionária.

1,875

→ representação decimal.

O comprimento de cada pedaço de cabo será de 1,875m. b)

No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou uma sociedade secreta e mística. Os membros dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos números, porque acreditavam que tudo que existe no Universo podia ser explicado por meio de números.

→ representação fracionária.

1,333...

→ representação decimal.

A representação decimal de um número racional pode apresentar:

Os pitagóricos conheciam os números inteiros e as frações, que representavam comparações entre duas grandezas de mesma espécie.

2.1.1 Um número finito de algarismos nãonulos. Nesse caso, o número racional é chamado de decimal exato, como no exemplo a.

Com a descoberta do Teorema de Pitágoras, os pensadores verificaram que a razão entre a medida d da diagonal do quadrado e a medida 11


UEA – Licenciatura em Matemática

2.1.2 Um número infinito de algarismos que se repetem periodicamente. Nesse caso, o número racional é chamado de dízima periódica, como no exemplo b.

10x = 7,777... (2) → multiplicamos por 10,

Numa dízima, os algarismos que se repetem periodicamente após a vírgula compõem o número chamado de período. Veja os exemplos:

10x = 7,777...

(2)

x = 0,777...

(1)

pois o período tem um algarismo. Subtraímos, membro a membro, a igualdade (1) da igualdade (2).

9x = 7

d) 3,444... – período: 4.

Assim: x =

e) 2,535353... – período: 53. f) 4,01215215215... – período: 215.

Logo, 0,777... =

Quando a dízima não apresentar nenhum algarismo entre a vírgula e o período (como nos exemplos d e e), ela é chamada de dízima periódica simples. Caso contrário (como no exemplo f), ela é chamada de dízima periódica composta.

Determine a geratriz da dízima 4,151515... Solução: Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x.

2.2 Forma fracionária

x = 4,151515... (1)

Para transformar um número da representação decimal para a representação fracionária, temos dois casos a considerar:

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100.

1. O número dado é um decimal exato.

100x = 415,151515... (2) → multiplicamos por 100, pois o período tem dois algarismos.

Nesse caso, a fração procurada tem como numerador o número dado, sem vírgula, e tem como denominador o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Veja os exemplos: a) 0,38 =

Subtraímos, membro a membro, a igualdade (1) da igualdade (2). 100x = 415,151515... x = 4,151515...

b) 1,743 =

duas casas decimais = dois zeros

(1)

99x = 411

três casas decimais = três zeros

Assim: x =

2. O número dado é uma dízima periódica.

Logo, 4.151515... =

Nesse caso, a fração procurada recebe o nome de fração geratriz da dízima periódica.

3. Números Irracionais (II)

Exemplo sobre a determinação da fração geratriz.

São todos os números que têm uma representação decimal, infinita e não–periódica.

Encontrar a fração geratriz da dízima 0,777...

Os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração.

Solução:

As raízes quadradas de números inteiros positivos, que não são quadrados perfeitos, são números irracionais. Exemplos:

Indicamos a dízima periódica 0,777... por x. x = 0,777...

(2)

(1)

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10.

e 12


Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

4. Números Reais (IR)

Alguns números irracionais são identificados por símbolos especiais.

É o conjunto formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais. Em resumo, temos:

O número π (pi) Há muitos anos, os egípcios descobriram que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. É essa razão que hoje chamamos de π, representando um número irracional de valor aproximadamente igual a 3,1415...

O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:

I ⊂ IR

C ––– = π 2r

Q ∪ I = IR

Q∩I=∅

IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

4.1 Representação geométrica dos números reais.

π = 3,1415...

Para cada número real, há um ponto correspondente na reta e, para cada ponto da reta, há um número correspondente. Por isso, dizemos que existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.

Logo, C = 2.π.r

A roda de um automóvel tem 0,6m de diâmetro. Nessas condições, responda: a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo

Escreva entre que números inteiros consecutivos fica cada um dos números reais abaixo. Identifique se ele é real racional ou real irracional.

automóvel?

Solução: C = 2.π.r

a) C = ?

a)

d = 0,6 m

b)

c) 8,666...

Solução:

= 0,3 m

a)

: real irracional; fica entre 5 e 6.

C = 2 . 3,14 . 0,3 →

c)

C = 1,884m

d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.

b) N.° de voltas completas = 5000.

: real racional; fica entre 2 e 3.

4.2 Operações em IR

Distância percorrida pelo automóvel:

No conjunto dos números reais, podemos efetuar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (divisor diferente de zero).

d = 5000 . 1,884 d = 9420m 13


UEA – Licenciatura em Matemática

Propriedades

decimal:

Sendo a, b e c números reais quaisquer, podemos escrever as propriedades das seguintes operações:

a) 5/4

b) 5/3

c) 5/6

d)

3. Represente com uma fração irredutível. a) 0,45

a) Adição

∈ IR Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR)

• Fechamento: (a + b)

b) 0,454545... c) 2,16

4. Considere

• Comutativa: a + b = b + a

d) 5,444...

– 1,444... e B = 0,7 – 0,777... .

Determine

Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17 • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)

5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso:

Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12 • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6

a) –3 + 8 = 8 + 3

• Elemento oposto: a + (−a) = 0 Ex.: 4 + (−4) = 0

c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4

b) 5 . 8 = 8 . 5

d) (4 . 3) . 2 = 4 .(3 . 2)

b) Subtração • Fechamento: (a – b) Ex.: 3 – 5 = 2 (−2

∈ IR

6. Represente na reta numérica real os seguintes números.

∈ IR)

c) Multiplicação

a)

∈ IR Ex.: 3 . 5 = 15 (15 ∈ IR)

b)

c)

d)

• Fechamento: (a . b)

7. Determine o único conjunto cujos elementos são todos números racionais:

• Comutativa: a . b = b . a Ex.: 9 . 3 = 3 . 9 = 27 • Associativa: a .(b . c) = (a . b) . c

a) { 1/2;

Ex: (4 . 5) . 6 = 4 .(5 . 6) = 120 • Elemento inverso:

b) {–1, 2/7, 0,

,a≠0

,

}

c) {–3, –2,

}

d) { 0,

,

, 0} ; 5,7}

8. Com auxílio de um diagrama, represente a seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos.

Ex.:

9. Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, desenvolva os produtos:

• Elemento neutro: a . 1 = 1. a = a Ex.: 3 . 1 = 1 . 3 = 3 • Distributiva: a . (b + c) = a.b + a.c Ex.: 3 . (5 + 4) = 3 . 5 + 3 . 4

a) 2 . (b + 3) b) 17 . (c – 2)

d) Divisão • Fechamento: (a : b) ∈ IR, b Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR)

; 3, 5,

≠0

c) – 4 . (x + 4) d) – 2 . (a – b)

10. Qual a correspondência existente entre os pontos de uma reta e os números reais? Justifique sua resposta. 11. Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional.

1. Dados os números 0; 0,7; 0,70007... quais são:

; 7,7; –7;

12. O produto ou quociente de dois números irracionais pode ser um número racional?

a) reais e racionais? b) reais e irracionais?

13. Quando um número decimal não–exato é um número irracional?

2. Represente os seguintes números na forma 14


Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

14. Numa fazenda, 55,555...% das terras são ocupadas pela plantação de guaraná. Que fração das terras dessa fazenda representa essa plantação?

TEMA 02 POLINÔMIOS

15. Uma roda de bicicleta tem raio de 40cm. Calcule o comprimento da circunferência dessa roda, considerando π = 3,14.

1. Introdução A álgebra é a parte da matemática em que se empregam letras para representar e generalizar situações envolvendo números.

16. Numa caixa, há bolas numeradas de 1 a 7. Rodrigo retirou três bolas consecutivas sem recolocá-las na caixa, para representar um número x. O número retirado na primeira bola representará as unidades de x, o número da segunda bola irá representar os décimos de x e o da terceira bola, os centésimos.

Pense e descubra. No retângulo da figura, usamos letras para indicar as medidas da base e da altura. Pela figura:

a) Rodrigo retirou os números 6, 4, 2, nessa ordem. Qual o número x formado nesse caso? Indique-o por uma fração irredutível. b) Se, em seguida, Rodrigo retirar mais três bolas, qual o maior número x possível que poderá ser

• a representa a medida da base do retângulo.

sorteado com a retirada dessas bolas? E o me-

• b representa a medida da altura do retângulo.

nor?

Daí: O perímetro do retângulo é igual a duas vezes a medida da base mais duas vezes a medida da altura. Perímetro do retângulo: 2 . a + 2 . b ou 2a + 2b. A área do retângulo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura. Área do retângulo = a . b ou ab. Logo, toda expressão matemática composta de números e letras, ou somente letras, é denominada expressão algébrica ou literal. 2. Valor numérico de uma expressão algébrica Considere a seguinte situação: Em um estacionamento, encontram–se x motos e y carros. A expressão que representa o número total de rodas é 2x + 4y. Se forem 12 motos e 15 carros, o número total de rodas será: 2.(12) + 4.(15) = 24 + 60 = 84. Dizemos, então, que o valor numérico da expressão algébrica 2x + 4y para x = 12 e y = 15 é 84. Exemplos: a) Calcular o valor numérico da expressão , para x = 4.

15


UEA – Licenciatura em Matemática

b) y² – 7y + 10

→ é um polinômio de três termos,

também chamado de trinômio. c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³

portanto, o valor numérico da expressão algébrica

→ é um polinômio de

quatro termos.

para x = 4 é 4.

Cuidado!!! b) A expressão

não possui valor numérico real

O grau de um monômio, com coeficientes nãonulos, é indicado pela soma dos expoentes da sua parte literal.

quando a = 0, pois esse valor anula o denominador.

Exemplos:

3. Monômio ou termo algébrico • Determinação do perímetro de um quadrado de lado a.

4. Monômios semelhantes Expressão algébrica: 4.a = 4a

Verifique:

• Determinação do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas a, b e c.

• Os monômios 5a³b² e

a³b² apresentam a

mesma parte literal: a³b². • Os monômios 3m²n e

m²n apresentam a

mesma parte literal: m²n. Portanto conclui-se que dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentam a mesma parte literal ou não possuem parte literal.

Expressão algébrica: a .b .c = abc Portanto as expressões algébricas racionais inteiras representadas por um único produto são chamadas de monômios (ou termos algébricos).

5. Operações com monômios

Exemplo: 5.1 Adição algébrica de monômios.

→ coeficiente: 5; parte literal: x³y² b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc

a) 5x³y²

Uma expressão algébrica em que todos os monômios são semelhantes pode ser simplificada somando-se algebricamente os coeficientes numéricos e conservando-se a parte literal.

c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa semana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y reais cada. Qual a expressão algébrica que representa o total arrecadado na venda desses veículos? •

Total arrecadado com a venda dos automóveis: 5x.

Total arrecadado com a venda das motos: 6y.

Total arrecadado com a venda desses veículos pode ser representado pela soma: 5x + 6y.

Observe a figura:

Temos, aí, uma adição de monômios.

• Área do retângulo ACDF é expressa pelo monômio: 9xy.

Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.

• Área do retângulo ABEF é expressa pelo monômio: 5xy.

Exemplo: a) 5x + 8

→ é um polinômio de dois termos, tam-

• Área do retângulo BCDE é expressa pelo monômio: 4xy.

bém chamado binômio. 16


Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy.

Exemplos:

Exemplos:

a)

a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y b) 6xy –

xy +

xy = (6 –

+

)xy = (

b) ) xy

5.5 Raiz quadrada de um monômio

5.2 Multiplicação de Monômios O produto de dois ou mais monômios pode ser obtido multiplicando-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si.

A raiz quadrada de um monômio pode ser obti-

Na figura:

cada variável da parte literal.

da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente numérico e dividindo-se por 2 o expoente de

Exemplos: a)

= 6 a²b³

b) O volume do paralelepípedo (V) é: V = (2ab).(3b).(c) V = (2 . 3 . 1) . (a . b . b . c) V= 6ab²c

6. Grau de um polinômio O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo

Logo, o monômio 6ab²c representa o volume desse paralelepípedo.

seu termo de maior grau não-nulo. Exemplos:

Exemplo:

• O polinômio x4y – x5y3 + 3x2yz é do 8.º grau.

a)

• O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau.

b)

6.1 Polinômio com uma só variável =

O grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura num dos

5.3 Divisão de monômios

termos não-nulos do polinômio.

O quociente de dois monômios pode ser obtido dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si.

Exemplos: • O polinômio 6x3 + 2x2 + 4 é do 3.º grau. • O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau.

Exemplo: a)

7. Operações com Polinômios

b)

7.1 Adição de Polinômios Pense e responda: Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro do triângulo ao lado?

= 5.4 Potenciação de monômios A potência de um monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente numérico e a parte literal à potência indicada. 17


UEA – Licenciatura em Matemática

Solução: Para encontrar o perímetro, vamos adicionar os polinômios que representam as medidas dos lados. (3x + 5) + (2x + 1) + (x + 1) =

Solução:

3x + 5 + 2x + 1 + x + 1 → eliminamos os parênteses.

Área I:

3x + 2x + x + 5 + 1 + 1 =

Área II:

= 6x + 7 → reduzimos os termos semelhantes.

3a.b = 3ab

Assim, o perímetro da figura é dado pelo polinômio 6x + 7.

Área I + II = 6a2 + 3ab

3a.2a = 6a2

Total: Ou, pela propriedade distributiva:

Exemplo:

Área total é igual a:

Sendo A = 4x² + 3xy + y², B = −3x² + 4xy e C = x² − y², encontrar A + B + C.

3a.(2a+ b) = 3a . 2a + 3a . b = 6a² + 3ab.

Solução:

Calcular o produto: (−2x + 5).(6x² + 4x + 3).

A + B + C = (4x² + 3xy + y²) + (−3x² + 4xy) + (x² − y²)

Solução:

= 4x² + 3xy + y² − 3x² + 4xy + x² − y² → eliminamos os parênteses.

= –2x . 6x² – 2x . 4x – 2x . 3 + 5 . 6x² + 5 . 4x + 5 . 3

= 4x² − 3x² + x² + 3xy + 4xy + y² − y²

= –12x³ – 8x² + 30x² – 6x + 20x + 15

= 2x² + 7xy → reduzimos os termos semelhantes.

= –12x³ + 22x² + 14x + 15.

Exemplo:

(−2x + 5).(6x² + 4x + 3) = = –12x³ – 8x² – 6x + 30x² + 20x + 15

Pelo dispositivo prático, temos:

7.2 Subtração de polinômios Para subtrair dois polinômios, devemos adicionar o primeiro ao oposto do segundo, seguindo a mesma seqüência do item anterior. Exemplo: 7.4 Divisão de polinômios

Determine a diferença entre os polinômios A = 5x³ − 4x + 8 e B = 2x³ + 6x² – 2.

• Divisão de polinômio por monômio Considere o retângulo abaixo:

Solução: A − B = (5x³ − 4x + 8) − (2x³ + 6x² − 2) A − B = 5x³ − 4x + 8 − 2x³ − 6x² + 2 → eliminamos os parênteses trocando o sinal dos termos do segundo polinômio. A − B = 5x³ − 2x³ − 6x² − 4x + 8 + 2 → agrupamos os termos semelhantes. A − B = 3x³ − 6x² − 4x + 10 → reduzimos os termos semelhantes.

A área desse retângulo é representada pelo polinômio 6x² + 9x, e a medida da altura pelo monômio 3x.

7.3 Multiplicação de polinômios

Vamos determinar o polinômio que representa a base do retângulo.

Considere a seguinte situação: Observe a figura e determine a expressão algébrica que representa a área total desses dois espaços.

Para isso, devemos dividir o polinômio: 6x² + 9x pelo monômio 3x, ou seja, achar o 18


Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

polinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.

–14x + 5 14x + 7 +12

Esse polinômio é 2x + 3, pois: 3x . (2x + 3) = 6x² + 9x. Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido dividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x.

Como o resto (12) tem grau zero, que é menor que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, fica encerrada a divisão. Logo:

Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3

Quociente: 4x + 7 Resto: 12

Exemplos: a)

(18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –1

b) (7x³y² – 5x²y4) : (–3x²y) =

xy +

1. Determine uma expressão algébrica que representa a área total de um cubo planificado.

• Divisão de polinômio por polinômio

Solução:

A divisão de polinômio por outro polinômio não-nulo será feita, considerando apenas os polinômios com uma variável. Para facilitar essas divisões, devemos escrever os polinômios segundo as potências decrescentes da variável, e o polinômio dividendo deve ser escrito na forma geral.

Área total do cubo planificado: At

Exemplo:

At = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²

At = a . a + a . a + a . a + a . a + a . a + a . a

Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por (2x + 1).

2. Determine o polinômio que, dividindo por 2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5.

• Começamos dividindo o primeiro termo do dividendo (8x²) pelo primeiro termo do polinômio divisor (2x). Obtemos 4x.

Solução: P

x+5

8x² – 10x + 5 |2x + 1 4x

x² – 1

P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5 P = x² . 2x³ + x² . 5x – 1 . 2x³ – 1 . 5x + x + 5

• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + 4x); subtraímos esse produto do dividendo:

P = 2x5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5 P = 2x5 + 3x³ – 5x + 5 3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1.

8x² – 10x + 5 |2x + 1 –8x² – 4x 4x –14x + 5

Solução: Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos ordenar o polinômio segundo a ordem decrescente das potências da variável x.

Repetimos os passos anteriores para calcular o quociente de –14x + 5 por 2x + 1.

8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1 –8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1 4x² + 0x –1 –4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1 2x – 1 Resto: 0 –2x + 1 0

Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo termo do quociente (–7). Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7. Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obtemos o resto (12). 8x² – 10x + 5 –8x² – 4x

|2x³ + 5x

|2x + 1 4x – 7

Quando o resto é zero, dizemos que a divisão é exata. 19


UEA – Licenciatura em Matemática

c) O polinômio que representa a quantidade de saques que os dois acertaram juntos.

8. Calcule o valor numérico das expressões algébricas:

1. Efetue as seguintes expressões algébricas, reduzindo os termos semelhantes : a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a b)

x²y –

xy + 2x²y + 2xy –

a) xy

b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.

9. Determine os valores das variáveis, para os quais as seguintes expressões não possuem valor numérico real:

2. Efetue os seguintes produtos: a) (7m²n).(mn²).(–2mn)

, para x = 2 e y = 3.

b)

3. Efetue as seguintes divisões:

b)

a)

a) (–30a3b2c4) : (–6ab2c3)

10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veículo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40,00 por hora de uso. Qual o polinômio que representa o preço a ser pago por um locador que utilizou o carro durante t horas?

b)

4. Calcule as seguintes potências: a) (–5a²bc³)³

b) (–4a3b4)2

c)

11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais. a) Qual a expressão algébrica que representa o lucro de Cláudia por caderno vendido?

5. Calcule a raiz quadrada: a)

b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24 cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e vendidos por R$ 8,70?

b)

12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4, determine:

c)

6. De acordo com Lorentz, existe uma relação ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela seguinte expressão algébrica: M = T – 100 –

(T – 150), para um homem.

M = T – 100 –

(T – 150), para uma mulher.

a) A . B

b) B . C

c) A . C

13. Determine os quocientes: a) (9x5 – 12x4 + 18x³ – x²) : (3x²) b) (20x¹³ – 16x10 + 8x5) : (4x3)

14. Determine o quociente e o resto: a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2)

Com base nisso, responda:

b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1)

a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m

15. Determine o polinômio que, dividido por (x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3.

de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura? b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é 70kg? E de uma mulher de massa 55kg?

16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que representa a medida da altura desse retângulo?

7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu y saques e acertou 60% desses saques menos 2. Nessas condições, determine: a) O polinômio que representa a quantidade de saques que Paulo acertou. b) O polinômio que representa a quantidade de saques que Lúcio acertou. 20


UNIDADE II Produtos Notáveis e Fatoração



Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

Conclusão: TEMA 03

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo termo.

PRODUTOS NOTÁVEIS

Exemplos:

1. Introdução

a) (x + 3)² = x² + 2 . x . 3 + 3² = x² + 6x + 9

Por volta do ano 300 a.C, a idéia de variável ainda não fazia parte do mundo da matemática.

b)

Mesmo assim, a matemática desenvolvia-se bastante, porque matemáticos como Euclides eram capazes de trabalhar com expressões algébricas por meio de construções geométricas.

3. Quadrado da diferença de dois termos Quadrado da diferença de dois termos a, e b, é indicado por (a – b)². Desenvolvendo esse produto, obtemos: (a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² (a – b)² = a² – 2ab + b² Demonstração Gráfica Considere a figura abaixo:

A álgebra geométrica grega foi-nos transmitida principalmente por meio do livro II da obra Elementos, de Euclides (325 – 265 a.C) 2. Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a, e b, é indicada por (a + b)². Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Qual o polinômio que representa a área do quadrado cujo lado mede (a – b)?

(a + b)² = ( a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b²

Área do quadrado cujo lado mede (a – b) é igual a (a – b)² = a² – 2ab + b².

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Conclusão:

Demonstração geométrica:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo

Exemplo: a) (x – y)² = x² – 2xy + y² b) A = Área do quadrado de lado c = a + b: A = c2 A = (a + b)2 = (a + b) . (a + b) A = a2 + ab + ab + b2 A = a2 + 2ab + b2

4. Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos a, e b, é indicado por (a + b).(a – b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: 23


UEA – Licenciatura em Matemática

(a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² (a + b)(a – b) = a² – b²

TEMA 04

Demonstração Geométrica 5. Cubo da soma de dois termos

Na figura abaixo, queremos conhecer o polinômio que representa a área do retângulo em negrito. A base desse retângulo mede (a + b), e a altura (a – b).

O cubo da soma de dois termos a, e b, é indicado por (a + b)³. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Portanto a área é (a + b)(a – b).

(a + b)³ = (a + b)².(a + b) (a + b)³ = (a² + 2ab + b²).(a + b) (a + b)³ = a² . a + a² . b + 2ab . a + 2ab . b + b² . a + b² . b (a + b)³ = a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Conclusão: O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.

Área do retângulo maior: a . (a + b) a.(a + b) = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b) a2 + ab = b2 + ab + b.(a – b) + a.(a – b)

Exemplos:

a2 – b2 = b.(a – b) + a.(a – b)

a) (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

a2 – b2 = (a + b).(a – b)

b) (a² + 2b)³ = (a²)³ + 3(a²)².(2b) + 3.a².(2b)² +(2b)³ = a6 + 6a4b + 12a²b² + 8b³

Conclusão: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

6. Cubo da diferença de dois termos

Exemplos: a) (x + y)(x – y) = x² – y²

O cubo da diferença de dois termos a e b é indicado por (a – b)³. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

b)

(a – b)³ = (a – b)².(a – b) (a – b)³ = (a² – 2ab + b²).(a – b) (a – b)³ = a² . a – a².b – 2ab . a + 2ab . b + b². a – b² . b (a – b)³ = a³ – a²b – 2a²b + 2ab² + ab² – b³ (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ Conclusão: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos: a) (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ 24


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

Exemplos:

b) (a² – 3b)³ = (a²)³ – 3(a²)² . 3b + 3a².(3b)² – (3b)³ 6

4

= a – 9a b + 27a²b² – 27b³

a) (x + 4)(x + 3) = x² + (4 + 3) . x + 4 . 3 = x² + 7x + 12

7. O quadrado da soma de três termos

b) (x –1)(x + 5) = x² + (–1 + 5) x + (–1) . 5

(a + b + c)² = (a + b + c).(a + b + c)

= x² + 4x – 5

(a + b + c)² = a . a + a . b + a . c + b . a + b.b+b.c+c.a+c.b+c.c a) (a + b)(a² – ab + b²) = a . a² – a . ab + ab² + ba² – b . ab + b . b²

(a + b + c)² = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²

(a + b)(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc Conclusão:

Logo: (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³

O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo termo, mais duas vezes o primeiro pelo terceiro termo, mais duas vezes o segundo pelo terceiro termo.

b) (a – b)(a² + ab + b²) = a . a² + a . ab + a . b² – ba² – b . ab – b . b² (a – b)(a² + ab + b² = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ logo: (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

Demonstração gráfica:

c) a² + b² = (a + b) ² – 2ab d) (a–b)par = (b–a)par

Calcular a área do quadrado, cuja medida do lado mede: = a + b + c

e) (a–b)ímpar = – (b–a)ímpar Exemplos: a) (x + 5)(x² – 5x + 25) = x³ + 5³ = x³ + 125 b) (x – 3)(x² + 3x + 9) = x³ – 3³ = x³ – 27 c) 52 + 3² = (5 + 3)² – 2 . 5 . 3 ∴ 34 = 64 – 30 = 34 d) (5 – 3)² = (3 – 5)² ∴ 4 = 4

A=

e) (5 – 3)³ = – (3 – 5)³ ∴ 8 = 8

² = (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c)

A = a² + ab + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c² A = ( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc Exemplos:

1. Se a² + b² = 34 e (a + b)² = 64, calcule o valor de 6ab.

a) ( x + 2y + z)² = x² + (2y)² + z² + 2x . 2y + 2 . x . z + 2 . 2y . z = x² + 4y² + z² + 4xy + 2xz + 4yz

Solução:

b) (x + 3y + 5)² = x² + (3y)² + 5² + 2x . 3y + 2x .

Sabemos que: (a + b)² = a² + 2ab + b²

5 + 2 . 3y . 5 = x² + 9y² + 25 + 6xy + 10x + 30y

2ab = (a + b)² – (a² + b²) 2ab = 64 – 34

8. Produto de Stevin

2ab = 30 ∴ ab = 30/2 ∴ ab = 15

O produto de Stevin é indicado por (x +a)(x + b). Desenvolvendo esse produto, obtemos:

logo 6ab = 6 . 15 = 90

(x + a)(x + b) = x . x + x . b + a . x + a . b

2. Simplifique a expressão (2 a + b)² – (a – b)².

(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab

Solução:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b) . x + ab

(2a + b)² – (a – b)² = 25


UEA – Licenciatura em Matemática

= (2a)² + 2 . 2a . b + b² – [a² – 2ab + b²]

8. Qual a expressão que devemos subtrair de a² + b² para obtermos o quadrado de (a – b)?

= 4a² + 4ab + b² – a² + 2ab – b² = 3a² + 6ab

9. Sendo A = (x + 2)², B = (x + 3).(x – 3) e C = (x – 1)², determine o valor de A + B + C.

3. Calcule o valor da expressão: (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4).

10. Qual a expressão que deve ser somada a a² + 6a²b² – 12 a²b para que resulte o quadrado de 2a – 3b?

Solução: (5x – 6)² – (5x + 4).(5x – 4) = = (5x)² – 2 . 5x . 6 + 6² – [(5x)² – 4²] = 25x² – 60x + 36 – [25x² – 16]

11. Se a² + b² = 34 e ab = 15, calcule o valor de

= 25x² – 60x + 36 – 25x² + 16 = – 60x + 52

.

12. Simplifique a expressão: (y + 5)² – y(y + 10). 1. Aplicando as regras dos produtos notáveis, calcule:

13. Usando as regras dos produtos notáveis, determine o polinômio que representa:

a) (2x + 10)²

a) A área de um quadrado cujo lado mede (2x + y) unidades.

b)

b) O volume de um cubo cuja aresta mede (x + 2y)

c) (5x – 1)²

unidades.

d) (x³ – 1/2)² e) (x² + 1).(x² – 1) f) (ab +

.(ab – )

14. O professor de matemática pediu à classe para desenvolver a expressão (4x – y³)². Um dos alunos deu como resposta o polinômio 4x² – 8xy³ + y6. A resposta desse aluno está correta? Se não estiver, escreva a resposta correta.

)

2. Calcule os cubos: a) (3x + 2)³

b) (x – 2)³

c)

d) (1 – 2x)³

15. A expressão (x – 1)² + (x – 1)³ é equivalente a:

b) (2x – y – 1)²

a) (x – 3).(x² + 3x + 9) b) (2a + b).(4a² – 2ab + b²)

5. Calcule: b) (x + a).(x – 2b)

6. Se (a – b)² = 16 e a² + b² = 106, calcule o valor de

c) x³ + x² – 2

d) x³ + x² – 2x

16. Na figura, ABCD e EBFG são quadrados. A área do quadrado menor é 9. Qual o trinômio que representa a área do quadrado ABCD?

4. Desenvolva:

a) (x + 5)( x – 3)

b) x³ – 2x² + x

e) x³ + 2x² + 1

3. Desenvolva: a) (x² + y + 1)²

a) (x – 1)5

.

7. Sabe-se que a + b = 13 e a² – b² = 39, então calcule o valor de a. 26


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

Na forma fatorada, os fatores são: • Fator comum.

TEMA 05

• O quociente da divisão da expressão pelo fator comum.

FATORAÇÃO 1. Introdução

3. Fatoração por agrupamento.

Fatorar um número significa escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores.

Calcular as áreas(A) das figuras que representam retângulos de base x + y e altura a + b:

Vejamos a forma fatorada completa do número 150 = 2 . 3 . 5². Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrevê-lo na forma de um produto de polinômios mais simples. Vejamos: A = A1 + A2 + A3 + A4 = ax + ay + bx + by

A figura representa um retângulo de base b e altura h.

O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras:

A = (A1 + A2)+ (A3 + A4)= a(x + y) + b(x + y)

2b + 2h (polinômio) ou 2(b + h), forma fatorada. a) Qual o fator comum aos dois termos do polinômio? b) Que posição ele ocupa na forma fatorada? Na forma fatorada, notamos que 2, é um fator comum a todos os termos do polinômio, que foi colocado em evidência.

A = base

O outro fator (b + h) é o mesmo que:

× altura = (x + y) . (a + b)

Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever:

(2b : 2) + (2h : 2) ou

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

2. Fatoração pela colocação de um fator em evidência

Escrevendo o polinômio ax + ay + bx + by na forma fatorada:

Exemplos:

ax + ay + bx + by → agrupamos os termos que possuem fator comum.

a) A área da figura pode ser indicada por: ax + bx ou x.(a + b); fator comum (x).

a(x + y) + b(x + y) → em cada grupo, colocamos o fator comum em evidência. (x + y)(a + b) → colocamos, novamente, o fator comum em evidência.

b) a3 + 2a = a.(a2 + 2) c) 12a4b6 − 20a5b8 + 8a³b² =

O polinômio ax + ay + bx + by foi fatorado por agrupamento.

= 4a³b².(3ab4 − 5a²b6 + 2) 27


UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos: Fatorar os polinômios: 1. Sabendo que os números m e n representam as medidas do comprimento e da largura de um terreno de forma retangular, e que tem 32 unidades de área e 24 unidades de perímetro; nessas condições, dado o polinômio 3m²n + 3mn², qual é o seu valor numérico?

a) hx – 2x + 5h – 10 = x.(h – 2) + 5.(h – 2) = (h – 2).(x + 5) b) 2bc + 5c² – 10b – 25c = c.(2b + 5c) – 5.(2b +5c) = (2b + 5c)(c – 5)

Solução:

4. Fatoração da diferença de dois quadrados Consideremos o quadro-de-giz de nossa sala de aula de forma quadrada, de lado a, sobre o qual colocamos um outro quadrado de lado b, conforme figura abaixo.

3m²n + 3mn² = 3.m.n(m + n)

A área maior da figura é (a² − b²), excluindo o

Área = m.n = 32

quadrado menor, que corresponde a uma dife-

Perímetro = 2m + 2n = 24; m + n = 12

rença de dois quadrados.

Logo, o valor numérico é: 3 m²n + 3mn² = 3mn (m + n) = 3.32.12 = 1152 2. A área de um sítio de forma retangular é dada pelo polinômio 4x² − 1. Nessas condições, pede–se:

Recortando a figura e juntando as duas partes, conforme o desenho, obtemos: FIGURA 1

a) As medidas do comprimento e da largura desse sítio.

FIGURA 2

b) Qual o polinômio que expressa o perímetro desse sítio?

Solução:

A = 4x² − 1 A = 4x² − 1 = (2x + 1)(2x – 1) a) 2x + 1 e 2x – 1

Observe que a área da figura 1, expressa por

b) Perímetro: 2x + 1 + 2x + 1 + 2x – 1 + 2x – 1 = 8x

a² – b², é igual a área da figura 2, que pode ser expressa por (a – b)(a + b). Logo a² – b² = (a – b)(a + b) Exemplos: Fatorar os polinômios: a)

a² – 25 = (a + 5).(a – 5)

b)

28


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

c) a6 – 10a³b² + 25b² é diferente de (a³ – 5b)²

TEMA 06

↓ 5b

Verificação 2 . a³ . 5b ≠ 10a³b²

6. Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

5. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

Observe as seguintes multiplicações:

Considere os quadrados nas figuras abaixo: FIGURA 1

↓ a³

a) (a + b).(a² – ab + b²) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³

FIGURA 2

Logo, podemos escrever: a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²) b) (a – b).(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³ Temos, então: a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)

A área do quadrado da figura 1 pode ser indicada de duas maneiras:

Exemplos:

a² + 2ab + b² ou (a + b).(a + b)

1) Fatorar os polinômios:

Então, podemos escrever as igualdades:

a) x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 3²) = (x + 3).(x² – 3x + 9)

a² + 2ab + b² = (a + b).(a + b) = (a + b)² A área da parte sombreada na figura 2 pode ser indicada por (a – b)².

b)

Temos que: a² = (a – b)² + 2b(a – b) + b²

7. Trinômio do 2.° grau Sabemos, pelo produto de Stevin, que: x² + (a + b).x + ab = (x + a).(x + b) ou

a² = (a – b)² + 2ab – 2b² + b² Daí: a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² + Sx + P = (x + a).(x + b);

Então, podemos escrever a igualdade:

a+b=Sea.b=P

a² – 2ab + b² = (a – b).(a – b) = (a – b)²

Exemplos:

Identificando um trinômio quadrado perfeito:

Fatorar os polinômios:

a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 ∴ 6x = 2 . x . 3 = 6x (sim)

a) x² + 7x + 12 = (x + 3).(x + 4)

b) (x – 5)² = x² – 10x + 25 ∴ 10x = 2 . x . 5 (sim) c) x² + 4x + 25

∴ 4x ≠ 2 . x . 5 (não)

Na verificação, multiplicamos por 2 o produto das duas raízes. Se o resultado for igual ao termo restante do trinômio dado, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito.

b) x² – 6x – 40 = (x – 10).(x + 4)

Exemplos: 8. Fatorando mais de uma vez

Fatorar os trinômios, quando possível: a) 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² ↓ ↓ 2x

3

Fatorar o polinômio a³ – ax². Colocamos o fator comum em evidência: a³ – ax² =a.(a² – x²)

Verificação 2 . 2x . 3 = 6x

Fatorando novamente o fator (a² – x²) que representa uma diferença de dois quadrados temos:

b) 4m²n² – 4mcn + c² = (2mn – c)² ↓ ↓ Verificação 2mn

c

a³ – ax² = a.(a² – x²) = a.(a + x).(a – x)

2 . 2m . n . c = 4mnc 29


UEA – Licenciatura em Matemática

d) (x − 7) . (x + 19) = x 2 + Sx + P = x2 + 12x − 133

Exemplo: Fatorar a expressão: x³ – 4x² + 4x.

S = −7 + 19 = 12

x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4)

P = (− 7) . 19 = − 133

Logo, podemos fatorar novamente o fator (x² – 4x + 4). Daí: x² – 4x + 4 = (x – 2)², pois 4x = 2. x. 2.

1. Fatore os polinômios:

x³ – 4x² + 4x = x.(x² – 4x + 4) = x.(x – 2)²

a) x³ – x² – xy b) 6x²y + 8x c) 2x + ax + 2y + ay d) ax – y – x + ay

Observe a figura abaixo e:

e) 4x² – 12x + 9 f) 36a² + 60ab + 25b² g) m² – 100 h) x² – 6x – 16 i)

x² + 7x + 10

j)

8a³ – 125b³

2. Fatore completamente as expressões: a) Exprima a área da parte hachurada em função de x.

a) 3x² – 75

b) Sendo a área da parte hachurada igual a 133, determine:

c) a² – x² + a + x

b) x4 – 16

d) 2x² – 12x + 18

• a área do quadrado PQRS;

e) x³ + 14x² + 49x

• o comprimento x do quadrado ABCD; • o perímetro do quadrado PQRS.

3. X e Y são as medidas dos lados de um retângulo de área 20 e perímetro 18. Qual o valor numérico da expressão 5x²y + 5xy²?

c) Verifique que: x² + 12x = 133. d) Desenvolva o produto (x – 7)(x + 19). Solução:

4. Para que 9x² – 24x + n seja um trinômio quadrado perfeito, devemos ter:

a) Área do quadrado ABCD: x . x = x² Área dos 4 retângulos: 4.(3.x) = 12x

a) n = 4

Área da figura sombreada: x² + 12x

b) n = 16 c) n = 36

b) Área da figura sombreada = 133

d) n = 64

Área do quadrado PQRS = Área da figura sombreada + 4 x área do quadrado de lado 3

5. Sabendo que 2a + 2b = 28 e 3a – 3b = 45, calcule o valor numérico da expressão a² – b².

Área do quadrado PQRS = 133 + 4.9 = 169 Área do PQRS = 169 ∴ L² =

= 13

6. Qual é a forma fatorada do trinômio

Perímetro do quadrado PQRS = 4.13 = 52

?

O comprimento x do quadrado ABCD:

7. Se x + y = 13 e x – y = 10, calcule o valor numérico da expressão (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²).

c) Verificação: x2 + 12x = 133 ∴ 72 +12 . 7 = 49 + 84 = 133 30


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

8. A área de um quadrado é representada pelo trinômio y² + 14ya + 49a². Determine a medida do lado.

TEMA 07

9. Seja N o resultado da operação 375² – 374². A soma dos algarismos de N é: a) 18

b) 19

c) 20

d) 21

FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1. Introdução

e) 22

A história conta que as frações surgiram quando o homem sentiu a necessidade de medir.

10. A expressão (a + b)² – 2ab é igual a: a) a² – b² b) a² – 4ab + b² c) a² + 4ab + b² d) a² + b²

11. Fatorando a expressão ab + 2b – 3a – 6, obtemos:

Tábua suméria de argila

Os babilônios usavam as frações para registrar as transações comerciais, representando com frações valores monetários próprios. Os hindus, em meados do segundo milênio antes de Cristo, usavam frações de numerador 1, como,

a) (a – 2).(b + 3) b) (a + 2).(b – 3) c) (a – 2).(b – 3) d) (a + 2).(b + 3)

por exemplo, metade ou meio ( 12. Fatore:

), que

chamavam ardlha, e a quarta parte ou um

a) x² – 5x + 6

quarto (

b) x² + 2y² + 3xy + x + y

), que chamavam pada.

Os egípcios usavam frações da unidade para representar outras frações, usadas em problemas que envolviam colheitas.

c) 4x² – 9y²

13. Calcule o valor de 54.321² – 54.320², sem efetuar as potências.

Consideremos as seguintes situações: 1. A velocidade média de um veículo é obtida dividindo-se a distância percorrida pelo tempo gasto. Portanto, se um veículo percorreu 400km em t horas, qual a expressão algébrica que representa a velocidade média, em quilômetros por hora, desse veículo?

14. Sendo (x + y)² = 256 e x² + y² = 136, determine xy. 15. Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos que descobrissem o valor da expressão ac + ad + bc + bd; sendo que a, b, c e d são as idades de seus filhos na ordem crescente, levando em conta que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das idades dos dois mais novos é 34 anos. Qual o valor numérico da expressão proposta pelo professor?

2. Qual a expressão que representa o quociente (20a²b) : (5ax)?

Conclusão: as expressões

e

apresentam variáveis no denominador e, por isso, são chamadas de frações algébricas. 31


UEA – Licenciatura em Matemática

O denominador de uma fração algébrica deve representar sempre um número real diferente de zero, pois não faz sentido dividir por zero.

TEMA 08

2. Simplificação de uma fração algébrica

3. CÁLCULO DO MMC E DO MDC DE POLINÔMIOS.

Para simplificar uma fração algébrica, devemos dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, de modo a obter uma fração equivalente mais simples.

• Máximo Divisor Comum (MDC) Fatoramos as expressões algébricas consideradas e calculamos o m.d.c entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos comuns tomados aos menores expoentes.

Exemplos: Simplificar as frações algébricas. a)

Dividindo o numerador e o denominador por 2.3.ab2

• Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Fatoramos as expressões consideradas e calculamos o mmc entre elas, que será obtido pelo produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomados aos seus maiores expoentes.

Só podemos simplificar os termos de uma fração após transformá-las em produtos. b)

Fatorando o numerador e o denominador, temos:

Exemplos: a) Achar o mdc e o mmc das expressões abaixo: 8x4y²; 16x5yz³; 2x6y4z

c)

Solução:

Fatorando o numerador e o denominador, temos:

Fatorando cada termo, temos: 8x4y² = 23 x4y², 16x5yz³ = 24x5yz³ e 2x6y4z mdc = 2. x4y mmc = 24.x6y4z = 16 x6y4z b) Calcule o m.d.c e o m.m.c dos polinômios: 2x + 10; x² –10x + 25; x² – 25 Solução: Fatorando cada expressão

Observe que na forma fatorada não há fator comum entre eles, exceto o valor 1, portanto, o mdc é 1. mdc = 1 mmc = 2(x + 5)(x – 5)² 4. Operações com frações algébricas Efetuamos as operações com frações algébricas da mesma maneira que operamos com números fracionários. 32


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

4.1 Adição e Subtração

b)

As operações com frações algébricas são efetuadas de modo semelhante ao das frações numéricas.

Solução:

Seqüencia Prática: • Reduza as frações algébricas ao mesmo denominador.

Para dividir frações algébricas, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, simplificando o resultado, quando possível.

• Efetue as adições ou subtrações dos numeradores, mantendo o mesmo denominador. • Simplifique, se possível, o resultado.

Exemplos: 2. Efetue as divisões:

Exemplos:

a)

Calcular: a)

Solução:

Solução: mmc (2,x,4x²) = 4x²

b) Solução:

b) 4.3 Potenciação de frações algébricas Solução:

Para elevar uma fração algébrica a uma potência, elevamos o numerador e o denominador à potência indicada.

mmc (4a,6b) = 12ab

Exemplos: 1. Calcule as seguintes potências: 4.2 Multiplicação e divisão de frações algébricas

a)

Para multiplicar frações algébricas, efetue os seguintes procedimentos:

Solução:

• Indique o produto dos numeradores e denominadores. • Faça os cancelamentos possíveis.

b)

• Faça as multiplicações restantes, obtendo o resultado. Exemplos:

Solução

1. Determine os seguintes produtos: a)

c) Solução:

Solução:

33


UEA – Licenciatura em Matemática

1. Sabendo que x pizzas iguais custam R$ 100,00, perguntas-se:

1. Um carro percorreu x quilômetros com y litros de gasolina. Um segundo carro percorreu o dobro dessa distância com y + 5 litros de gasolina. Registre, no caderno, a fração algébrica que representa o consumo médio de gasolina:

a) Que fração algébrica representa o preço de uma delas? b) Alessandra deu y reais na compra de uma pizza. Que fração algébrica representa o troco dessa

a) do primeiro carro;

b) do segundo carro.

compra?

2. Para que valores de a a expressão

Solução:

não

representa uma fração algébrica?

a) Divide–se o valor total pela quantidade x de pizza:

pode ser reduzida

3. A fração algébrica

b) Valor de (y) pago por Alessandra, menos o

a um número inteiro. Que número é esse?

valor de uma pizza: pode ser

4. A fração algébrica 2. Laura, Lenara e Rodrigo reuniram-se para resolver a seguinte expressão:

reduzida a um binômio. a) Determine esse binômio. b) Determine o valor numérico desse binômio para . x=

Laura resolveu a expressão do primeiro parêntese, Lenara resolveu a expressão do colchete e Rodrigo ficou encarregado de efetuar a multiplicação.

5. Participando de uma gincana escolar, a equipe de Ana recebeu a tarefa de resolver a seguinte

a) Laura

b) Lenara

.

expressão:

Determine a resposta encontrada por: c) Rodrigo

O resultado dessa expressão reverterá em igual número de pontos para essa equipe. Se alguém da equipe de Ana responder corretamente, quantos pontos a equipe dela ganhará?

Solução: a)

6. Simplifique as seguintes expressões algébricas: a)

b)

c)

7. Efetue as seguintes adições algébricas: a)

b)

b)

8. Calcule os seguintes produtos: a)

b)

9. Calcule os seguintes quocientes: c)

a) 34

b)


Matemática Elementar II – Produtos Notáveis e Fatoração

10. Calcule as seguintes potências:

a)

b)

c)

11. Marcela nasceu no ano x, e Rodrigo no ano , ambos no dia 9 de Janeiro. a) Qual é a diferença de idades entre eles? b) Quem é o mais velho? 12. Numa gincana de matemática, foram sorteadas as seguintes questões para duas equipes participantes: EQUIPE AZUL

EQUIPE VERMELHA

Que resposta devia dar cada equipe?

13. Simplificando a expressão e calculando, a seguir, seu valor numérico para x = 99, vamos obter: a) 100

b) 99

c) 98

d) 97

e) 96

14. Dados os polinômios x² – 6x + 9 e x – 3, o mmc entre eles é: a) (x + 3)²

b) (x – 3)²

c) (x – 3)³

d) (x+3).(x–3)

15. Se xy + x = 5 e y² + y = 20, qual é o valor da fração

?

35



UNIDADE III PotĂŞncias e radicais



Matemática Elementar II – Potências e radicais

Logo, no lançamento simultâneo de n moedas, o número de resultados possíveis é dado por 2n.

TEMA 09

Agora podemos dizer que: an = a . a . a . ... . a

POTENCIAÇÃO 1.

Introdução

n fatores

A história conta que os babilônios usavam as potências como auxiliares da multiplicação; já os gregos usavam os quadrados e os cubos.

a : número real n: número natural (n > 1)

Exemplos: a)

5² = 5 . 5 = 25

b) (−1)³ = (−1).(−1).(−1) = −1

No século III da nossa era, o matemático grego Diofante usou notações de potências:

c)

x para indicar a primeira potência;

Temos ainda que:

xx para indicar a segunda potência;

a) a1 = a para todo número real;

xxx para indicar a terceira potência.

b) a0 = 1 para todo a ≠ 0;

No século XVII, o matemático francês René Descartes (1596 – 1650) utilizou as notações x, x², x³, x4, ... para potências.

c) a−n =

(−2)4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16

para todo a ≠ 0 e todo n inteiro

positivo. Exemplos: a) (−8)¹ = −8 b) 50 = 1 c) 2. Propriedades

Vamos considerar o seguinte fato:

As propriedades estudadas no módulo anterior são válidas também para potências de base real e expoente inteiro.

Elba fez a seguinte experiência: a) Lançou ao ar uma moeda e obteve dois resultados possíveis: cara (C), (K) coroa; b) Em seguida, lançou ao ar, simultaneamente, duas moedas e obteve quatro possibilidades: CC, CK, KC, KK;

• Produto de potências de mesma base: am . an = am+n, com a ≠ 0. Exemplos:

c) E, finalmente, lançou ao ar, ao mesmo tempo, três moedas e verificou oito alternativas:

a) 74 . 73 = 74+3 = 77 b) 54 × 5−3 = 54+(−3) = 5

CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC; Então, podemos estabelecer uma relação entre o número de moedas lançadas ao ar e o número de resultados possíveis.

• Divisão de potências de mesma base: am : an = am−n (a ≠ 0) Exemplos:

Veja tabela: N.º de moedas

N.º de Resultados Possíveis

1

2 = 2¹

2

4 = 2 x 2 = 2²

3

8 = 2 x 2 x 2 = 2³

4

16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24

...

...

n

2 x 2 x 2 x ... X 2 = 2n

a)

b) • Potência de potência: (am)n = am.n, com a ≠ 0. 39


UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos: a) (23)4 = 212 b) (3 ) = 3 −1 −3

TEMA 10

(−1).(−3)

= 3 = 27 3

Atenção!!!

3. Usando potências de 10

mn

(am)n ≠ a

Considere o seguinte fato: Marcela pesquisou na Internet que o Sol é formado por massas de gases quentes, sendo 1.000.000 de vezes maior do que a Terra e 300.000 vezes mais pesado que ela, e que a distância média entre o Sol e a Terra é de 149.600.000km.

Exemplos: (23)2 = 26 e 232 = 29 • Potência do produto: an . bn = (a.b)n, com a, b ≠ 0. Exemplos:

Para facilitar a escrita de números que contêm muitos algarismos, dos quais grande parte deles é de zeros, Marcela usou as potências de 10, veja:

a) 24.54 = (2.5)4 = 104 b)

Exemplos: a) 1 000 000 = 1 x 106 • Potência do quociente:

, (a, b ≠ 0).

b) 300 000 = 3 x 105 c) 149 600 000 = 1496 x 105

Exemplos:

4. A notação científica usada por cientistas (números muito “grandes” ou “muito pequenos”).

a)

Exemplos:

b)

• O diâmetro do Sol é 1 390 000km. • 1 390 000 Km = 1,39 . 106km • O comprimento de uma célula do olho é de 0,0045 cm = 4,5 . 10−³cm

• Expoente negativo: , com a, b ≠ 0.

• O número escrito em notação científica deve ser escrito na seguinte forma:

Exemplos:

• Deve ser escrito como um produto de dois fatores.

a)

• Um dos fatores deve ser um número de 1 a 10, excluído o 10. • O outro fator deve ser uma potência de base 10.

1. Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz dividindo−se em quatro bactérias a cada minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão? Solução: 1 bactéria dá origem a 4 novas bactérias em um minuto. 40


Matemática Elementar II – Potências e radicais

Em 6 minutos teremos: 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 46 = 4096 bactérias 2. Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica. a)

é igual a:

5. A potência

a)

b)

c)

d)

6. Assinalar a alternativa correta:

b)

3

2

a) 22 = 256

Solução:

b) 23 = (23)2

5

c) 32 = 325

a)

d) 1201 = 1120

7. A massa do Sol é de aproximadamente 2 × 1030kg. Expresse, em notação científica, essa massa em toneladas.

b)

8. A massa de um átomo de carbono é de aproximadamente 1,99x10−26Kg. Expresse em notação científica essa massa em gramas. 1. Usando as propriedades das potências, calcule o valor de:

, obtém−se:

9. Calculando

a)

c)

forma:

e)

a) 8²

b) 2

d)

c)

10. O quociente (0,016) :

d) (7 × 4)2

2. Encontre o valor de

b)

a)

b) (75 : 73) × 72

c) 2²

pode ser escrito na

d) 4−²

e) 0

11. Se x = −100 + 70 − (−6)0, qual é o valor do número real x?

.

12. Qual é a potência que representa a metade de 2²²?

3. Verifique se as sentenças são verdadeiras ou falsas:

2

13. Sendo x = 24, y = 8 e z = 23 , qual é a potência que representa a expressão x . y . z?

a) (2 × 5)3 = 23 × 53 b) (2 + 5)3 = 23 + 53 c) (17 − 1)2 = 172 − 12

14. Devido ao desgaste, o valor de um carro vai diminuindo com o tempo. A cada ano que passa, o valor fica multiplicando por 0,8. Se hoje o carro vale R$ 10.000,00, quanto valerá daqui a 3 anos?

d)

4. Calcule: a) 11973 − 11888 +( −1)1789

15. Uma turma organizou uma festa à qual compareceram 15 alunos. Se cada um der um abraço em todos os outros, quantos abraços serão dados ao todo?

b) [(−a4)]3 c) 41


UEA – Licenciatura em Matemática

De modo geral, uma expressão do tipo , sendo n um número natural diferente de zero e a um real, dizemos que , se, e somente n se, b = a.

TEMA 11 RADICAIS

raiz (lê−se: “raiz enésima de a é igual a b”)

1. Introdução

→ radical

A história conta que, no século XVI, o sinal de raiz quadrada era o R (maiúsculo) seguido da primeira letra da palavra latina quadratus, o q.

a: radicando n: índice

Na Europa, matemáticos dessa época escreviam, por exemplo, R . q . 30 em vez da moderna expressão . •

(raiz quarta de 52)

(raiz quinta de 1/4)

Exemplos: a)

→ (raiz quarta de 1/81) , pois

b)

→ ( raiz quinta de −32)

Veja as seguintes situações:

, pois (−2)5 = −32

• Qual a área do quadrado de lado 3cm?

Importante: • Se n é par e a é negativo (a < 0), então

.

Exemplos: Área = L² 3² = 9

a)

⇒ Área = 9cm²

, pois não existe nenhum número real elevado à quarta potência que resulte –1.

• Qual a medida do lado do quadrado de área 49 m²?

b)

Situação inversa

• Se n é ímpar e a negativo (a < 0), então .

c)

Exemplos: a) Área = L² 49 = 7²

b)

⇒ L = 7m

Então, podemos escrever que = 7, pois 7 é o número não-negativo cujo quadrado é 49.

7.2 Propriedades dos radicais a)

• Qual a medida do lado do cubo de volume 125cm³?

Exemplo: b) Exemplo:

Volume = L³ 125 = L³ Logo,

c)

⇒ L = 5 cm

Exemplo:

pois 5³ = 125 42


Matemática Elementar II – Potências e radicais

d)

Área = Exemplo:

=?

Precisamos de índices iguais: mmc (2,3) = 6 → novo índice.

e)

Assim, temos:

Exemplo: f) Exemplo:

Agora, podemos calcular a área do retângulo:

3. Expoente fracionário

Área =

Todo número real a elevado a um expoente fra− cionário de forma (n ≠ 0) é igual à raiz ené-

• Comparando radicais: Já vimos que podemos escrever:

sima do número real a elevado ao expoente m, ou seja,

Se 53 > 22, logo

e

; então,

>

Exemplo:

Exemplos:

Usando o sinal <, compare os radicais:

a) b)

Solução: mmc (3, 4, 6) = 12 → novo índice.

4. Extração de fatores do radical Exemplos: a) b)

6. Operações com radicais 7.1 Adição e subtração de radicais. Vamos calcular o perímetro do triângulo da figura ao lado:

4. Introdução de fatores no radical Se

. .

Exemplos: a) Solução:

b)

Perímetro

5. Redução de radicais ao mesmo índice

=

Considere a seguinte situação: • Calcular a área do retângulo

Observe que os radicais têm o mesmo 43


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índice e o mesmo radicando, por isso, são denominados de radicais semelhantes, e só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes.

7.3 Potenciação com radicais Observe que:

Perímetro

Então:

Exemplos:

Exemplos:

a)

a) b) c)

b)

7.2 Multiplicação e divisão de radicais.

Usando as regras dos produtos notáveis, calcule:

Considere as seguintes questões:

a)

a) Determine a área do retângulo abaixo.

b) c) Solução: a)

Solução: Área = b) A área do retângulo é . Qual é a medida da altura desse retângulo?

b)

c) Solução: Área =

8. Racionalização de denominadores

Calcular:

Sabendo que vale aproximadamente 1,414, responda qual das duas divisões você acha que é mais fácil fazer?

a)

Solução:

Exemplos:

b) c) Como você observou, as expressões d)

e

são equivalentes, pois obtivemos o mesmo resultado na forma decimal: 0,707. Logo, cos-

mmc (3, 4) = 12 44


Matemática Elementar II – Potências e radicais

tuma−se transformar a expressão

em

,

no qual o denominador é um número racional, portanto, é mais fácil efetuar cálculos com radicais quando eles não estão no denominador. Por isso, racionalizando, quando necessário, o denominador de uma expressão fracionária.

1. Observe a figura abaixo

Exemplos:

Determine:

Racionalizar os denominadores das seguintes expressões fracionárias: a)

a) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo;

b)

b) a soma das áreas das faces; c) a volume desse paralelepípedo.

c)

d)

Solução: a) Observe que a figura acima possui quatro arestas de medidas iguais a . Logo, a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo é igual a:

Solução: a)

, multiplicando o numerador

por

, temos: b) Observe as áreas das faces laterais do paralelepípedo.

b)

, multiplicando o numerador e denominador por temos:

c)

,

, multiplicando-se o numerador e denominador por

, c) O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de suas dimensões (largura, altura e comprimento).

temos:

d)

2. O passo de um robô mede exatos cm. Quantos passos ele deverá dar para percorrer m?

, multiplicando-se o numerador e denominador por

, temos:

Solução: Comprimento do percurso: 18,5 m = Comprimento do passo: Número de passos = 45

cm

cm passos.


UEA – Licenciatura em Matemática

1. A área de uma das placas de um cubo é 6cm². Determine:

a)

b)

c)

d)

9. Considerando que triângulo é:

a) a medida da aresta desse cubo; b) a soma das áreas de todas as suas faces;

= 1,73, a área deste

c) o volume do cubo.

2. Classifique cada sentença como verdadeira ou falsa: a)

b)

c)

d)

a) 30cm²

c) 28cm²

b) 25,95cm²

d) 23,12cm²

3. Calcule o valor da expressão: 10. Dados os números afirmar que: 4. Efetue: a)

d)

b)

e)

c)

f)

a)

>

c)

=

b)

<

e

, podemos

d) não é possível compará-las. 11. Os resultados de respectivamente:

5. Racionalize o denominador das expressões: a)

c)

b)

d)

a)

e4

c)

e4

b)

e4

d)

e

12. O valor de a) 3

6. A expressão

é equivalente a:

a)

b)

c)

d)

e

são,

é: b) 4

c) 7

d) 14

13. Transforme num único radical e, quando possível, simplifique: a)

e)

b)

c)

7. Racionalizando-se o denominador de

d) ,

14. Márcia possui 30 cubos de aresta, medindo cm.

obtém−se: a)

b)

c)

d)

a) Quantos desses cubos Márcia deve utilizar para formar o maior cubo possível? b) Calcule o volume desse cubo formado.

e) 8. Simplificando a expressão

15. Calcule o valor da expressão: , obtemos: 46


Matemática Elementar II – Potências e radicais

Os passos mais decisivos para a introdução dos símbolos na matemática foram dados pelo advogado francês François Viète (1540− 1603). Foi Viète quem começou a substituir as palavras por símbolos matemáticos nas equações. Essa substituição, porém, não aconteceu de uma só vez.

TEMA 12 EQUAÇÕES DO 1.0 GRAU 1. Introdução Muitas vezes, para facilitar a resolução de um problema, podemos reduzi-lo por meio de uma sentença matemática chamada equação. Equação é uma igualdade (expressão que tem sinal =) em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido. O uso de letras para representar números desconhecidos começou há muito tempo, com os matemáticos da Antigüidade.

Além de Viète, outros matemáticos de sua época contribuíram para aperfeiçoar a Álgebra até que ela tomasse a forma que conhecemos hoje.

Diofante foi um matemático grego que viveu no século III d.C. Naquela época, os matemáticos gregos preferiam estudar Geometria, mas Diofante dedicou-se à Álgebra. Ele usou a idéia de representar um número desconhecido por uma letra e, por isso, acredita-se que tenha influenciado outros matemáticos, como Al− Khowarizmi e Viète, no estudo da álgebra.

Antes de falarmos em resolução de uma equação do 1.o grau, precisamos entender o significado de sentença matemática. Sentença é um conjunto de palavras com sentido completo, por exemplo: a) Quem não tem colírio usa óculos escuros.

Al−Khowarizmi (783−850), o maior matemático árabe de todos os tempos, resolvia as equações de uma maneira semelhante à que usamos hoje. A diferença é que tudo, até mesmo os números, eram expressos por palavras. Ele escreveu um livro chamado Al−jabr, que significa “restauração”. Esse livro trazia explicações minunciosas sobre a resolução de equações. Da expressão Al−jabr originou−se a palavra Álgebra.

b) O pirarucu é o maior peixe de água doce.

Quando uma sentença envolve números ela é denominada sentença matemática; exemplos: a) Um mais um é igual a dois.

47


UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos:

b) O produto de 7 por 5 é igual a trinta e cinco ou 7 x 5 = 35.

1) x2 – 7x + 6 = 0 é uma equação do 2.º grau na variável x, cujo coeficiente dominante é o

c) Duzentos e quarenta e três dividido por vinte e

número 1;

sete é igual a treze ou 243 : 27 = 13.

2) 2y5 – 3 y7 + 2 = 0 é uma equação de grau 7 na variável y, cujo coeficiente dominante é o número – 3; 3) 0z10 – 5z – 10 = 0 é uma equação do 1.º grau na variável z, cujo coeficiente dominante é o número – 5.

Observe que no 3.o exemplo, apesar de apresentar um expoente igual a 10, o grau da equação não é definido por ele, pois o coeficiente de x10 é igual a zero.

Isso mesmo, 243 : 27 = 9, é que as sentenças matemáticas podem ser verdadeiras, como nos exemplos a e b, ou falsas como em c. Essas sentenças em que se pode atribuir um

3. Resolvendo as equações de 1.o grau

sentido verdadeiro ou falso são chamadas de

O conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir, determinando uma sentença verdadeira ou não, é denominado conjunto universo (U).

sentenças fechadas. Agora, vejamos outro exemplo de sentença matemática:

Resolver uma equação é encontrar os números, do universo considerado, que substituídos pelas variáveis determinam uma sentença verdadeira. Esses números são chamados de raízes da equação.

3y – 7 = 11 A sentença apresenta um elemento desconhecido (y) , chamado variável ou incógnita. Não podemos classificá-la em verdadeira ou falsa, porque depende do valor a ser atribuído a (y).

Para resolver uma equação do 1.o grau a uma variável, primeiramente iremos definir duas propriedades operatórias:

Sentenças desse tipo são chamadas de sentenças abertas. Vejamos outros exemplos:

1. Aditiva: Podemos somar ou subtrair um número do universo considerado nos dois membros de uma equação, encontrando uma outra equivalente (mesmo conjuntosolução);

a) 12x + 3 = 9 é uma sentença aberta na variável x; b) 2z + w < 8 é uma sentença aberta nas variáveis z e w; c) 31 – 9 = 23 é uma sentença fechada falsa;

Exemplo:

d) 101 + 57 = 158 é uma sentença fechada ver-

Dada a equação x + 5 = 9, aplique o princípio aditivo e encontre a raiz. Solução:

dadeira; e) x + 3 > 7 é uma sentença aberta, que é falsa para x

≤ 4.

É fácil verificar que 4 é raiz da equação dada, pois 4 + 5 = 9, que é uma sentença verdadeira.

2. A equação do 1.0 grau com uma variável

Pelo princípio aditivo, temos: Chamamos de equação com uma variável toda

x + 5 = 9, adicionando (−5) aos dois membros: x + 5 − 5 = 9 − 5 ⇒ x = 4, que é a raiz da equação.

sentença aberta definida por apenas uma incógnita, e o grau da equação é determinado pelo maior expoente de coeficiente não-nulo

Após encontrarmos as raízes de uma equação, devemos finalizar o exercício escrevendo o

(coeficiente dominante). 48


Matemática Elementar II – Potências e radicais

Método Prático

conjunto das raízes, chamado de conjuntosolução ou conjunto-verdade

Verificamos que a resolução de uma equação do 1.o grau utilizando as propriedades é muito importante, pois são elas que justificam as operações para a simplificação da equação até a sua solução. No entanto podemos “esconder” a explícita aplicação dessas propriedades, “passando” os números de um membro para o outro com a inversão de suas operações.

No último exemplo: S = {4}. 2. Multiplicativa: Podemos multiplicar ou dividir um número diferente de zero nos dois membros de uma equação, encontrando outra equivalente. Exemplos: a) Resolva a equação 3x – 9 = 0, sendo U = IN. Solução:

Exemplos: 1. Resolver as equações em IR: a) 5(x – 1) + 11 = – 9 Solução

Somando 9 aos dois membros da equação, propriedade aditiva, obtemos: 3x – 9 + 9 = 0 + 9

5x – 5 + 11 = – 9

3x = 9 Dividindo por 3, ou multiplicando por

5x + 6 = – 9

os

5x = – 6 – 9

dois membros, propriedade multiplicativa, obtemos:

5x = – 15 x= x = –3

x=3 S = {3}

S = {–3}

b) Resolva a equação 2x + 5 = 0, sendo U = IN. Solução:

b) 10 – 3x – 9 = – 3x + 11 – 2x Solução 1 – 3x = 11 – 5x

2x + 5 – 5 = 0 – 5

5x – 3x = 11 – 1

2x = – 5

2x = 10 x = 10/2 x=5 S = {5}

Como x ∉ IN, temos S = ∅. b) Resolva a equação

c) 4 – 3(x – 2) = x – 2(x – 1)

,

Solução

sendo U = Q. Solução:

4 – 3x + 6 = x – 2x + 2 10 – 3x = 2 – x – 3x + x = 2 – 10

igualando os denominadores:

– 2x = – 8, multiplicando a equação por – 1:

, multiplicando por 6

2x = 8

a equação obtemos:

x = 8/2

2x − 3x = 21 ⇒ −x = 21, multiplicando por (– 1) ⇒ x = −21.

x=4

S = {−21)

S = {4} 49


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d)

TEMA 13 Solução: 4. EQUAÇÕES LITERAIS

, multiplican-

São equações cuja solução está condicionada a outras letras. Observe as equações do 1.º grau na incógnita x: 2ax − 5 = 0 e 3b(x + 2) = −3. Nessas equações, aparecem outras letras além da incógnita. Devemos resolvê-las utilizando os mesmos princípios das equações anteriores. Devemos “olhar” para as outras letras como se fossem números reais, a solução da equação literal fica condicionada às letras dadas na equação. Nos exemplos dados, temos:

do por 12: 3x − 2x + 10 = 4(3 + 2x − 10) x + 10 = 8x − 28 ⇒ x − 8x = −28 −10 −7x = −38, multiplicando por (–1)

1.

e) Solução:

2. , usando a propriedade funcamental da proporção, temos: .

Exemplos: 1. Sendo x a incógnita, resolva as equações em IR: a) Solução:

b) Solução:

S ={2ac} 50


Matemática Elementar II – Potências e radicais

d) 5X − 7 − 2x − 2 = 0 e) 1. Classifique com A as sentenças abertas e com F as sentenças fechadas:

f)

a. ( ) 13 – 5 = 8

g) x − (x + 1) = 12 − (3x − 2)

b. ( ) 12x + 3y < 0

h)

c. ( ) 8.9 = 72 d. ( ) 8 + 3 > 5

8. Encontre os valores de x, y e z, sabendo−se que:

e. ( ) x + y + z = 2 f.

( ) 2a – 76 = 15

g. ( ) x2 – 5x + 6 = 0

2. Verifique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:

2(z + 4,5) = 18,5 + 0,5

3y + 4(y – 1) = 26 – 2(z + 3)

x – y(x +4) + 10 = 2(z + 3,5)

9. Identifique a equação equivalente a

a. ( ) 2x – 6 > 5, para x = 4 b. ( ) 8 – 5y = – 7, para y = 3

:

c. ( ) 3y – 2x < 6, para y = – 1 e x = 1 d. ( ) 5x + 3y – 2z = 12, para x = 3, y = – 1 e z = 1

a) 4x = 15 b) 4x = – 15

3. Resolva as equações, onde U = IR, usando as propriedades aditiva e multiplicativa:

c) 4x = 35 d) 4x = – 35

a) 2x – 8 = 0

10. A raiz da equação inteiro:

b) 5(x – 1) + 7 = 3(x – 6) c)

é um número

a) igual a – 5; d) 7x2 − 8x + 13 = −9x + 7x2 − 12

b) maior que – 5;

e)

c) compreendido entre – 5 e – 2; d) menor que – 5.

4. Qual o valor do número racional que, multiplicado por 7, é igual – 3?

11. (UEPI) A solução racional da equação é um número com-

5. O dobro de um número racional é igual a 13. Que número é esse?

preendido entre: a) – 6 e – 3;

6. Helena tem 54 anos. Seus três filhos têm, respectivamente, 20 anos, 14 anos e 12 anos. Daqui a quantos anos, a idade de Helena será igual à soma das idades de seus filhos?

b) – 3 e 0; c) 0 e 3; d) 3 e 6; e) 6 e 9.

7. Resolva as equações em IR:

12. A resistência R total de um circuito elétrico, formado por duas resistências de a e b ohms, conectadas em paralelo, é dada pela equação

a) b) 5(3x − 2) = 2(6x + 3)

.

c) 4(X − 2) + 3(2x − 1) = 6(2x − 3) 51


UEA – Licenciatura em Matemática

Expresse:

O papiro tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind, que o comprou por volta de 1850, em Luxor, no Egito. É também designado por papiro de Ahmes, o escriba egípcio que o copiou. Encontra-se, atualmente, no Museu Britânico.

a) R em termos de a e b; b) a em termos de R e b; c) b em termos de R e a.

13. Qual é o conjunto solução da equação 6hx + 14 = 18 +2hx, sendo x a incógnita?

O papiro contém uma série de tabelas, 84 problemas e as suas soluções.

14. Expresse t em termos de b e c: bt − ct = b2 − 2bc + c2.

Vejamos alguns problemas do papiro de Rhind: Problema 27

15. Sabendo que a ≠ 0, b ≠ 0 e x é a incógnita, resol−

Uma quantidade e a sua quinta parte adicionadas dão 21. Qual é a quantidade?

.

va, no conjunto IR, a equação

Solução 16. Na igualdade

, sabendo ou

que a ≠ ± b, expresse x em termos de a.

, como era

escrito. 17. Sendo x ≠ b e x ≠ −b, dê o conjunto-solução da equação

18. Resolva a equação

Problema 28

no conjunto IR.

Uma quantidade e os seus dois terços são adicionados, e da soma um terço é subtraído, e ficam 10. Qual é a quantidade?

, sendo x a

Solução:

incógnita e a ≠ −1 e a ≠ −3.

5. PROBLEMAS DO 1.o GRAU Papiro de Rhind

É obvio que o método de resolução original não foi o apresentado, mesmo porque naquela época as propriedades que aqui utilizamos ainda não estavam definidas dessa forma, e muito menos a notação usada. O objetivo com estes exemplos é evidenciar a importância de equacionar problemas para facilitar a sua resolução. Para resolver um problema matemático, quase sempre, devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

O Papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem 32cm de largura por 513cm de comprimento. É datado de cerca de 1650 a.C., embora o texto diga que foi copiado de um manuscrito, de cerca de 200 anos antes. 52


Matemática Elementar II – Potências e radicais

Exemplos: 1. Um certo número foi somado com 8, e o resultado multiplicado por 6. No fim, obteve-se 30. Qual é esse número?

19. Qual é o número que, somado com o triplo de seu antecessor, resulta em 41?

Solução:

20. Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número. S = {−3} 21. Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00?

2. Gabriel foi pescar no rio Negro, pegou 18 peixes entre tucunarés e jaraquis. Sabendose que o número de jaraquis é o dobro da quantidade de tucunarés, quantos peixes de cada espécie Gabriel pescou?

22. Ana e Maria são irmãs, e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova? 23. Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? 24. Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?

Solução: t + j = 18 e j = 2t Substituindo j = 2t em t + j = 18 obtemos:

25. Quanto devo acrescentar ao número 37,5 para obter o número natural mais próximo de 126,725?

, como j = 2t, temos j = 12.

26. Na balança da figura, sabe-se que a bandeja onde se encontra o carro está 12 vezes mais pesada do que a bandeja em que se encontra o rapaz. Acrescentando 880kg à bandeja do rapaz, a balança fica equilibrada. Calcule o peso do rapaz.

Portanto, Gabriel pescou 6 tucunarés e 12 jaraquis. 3. Você vê a planta de uma casa cujo perímetro é de 45m. Qual é a largura e o comprimento dessa casa?

27. Observe as figuras:

Solução: O perímetro é igual a 45m, então 2x + 2,5x + 2x + 2,5x = 45 ⇒ 9x = 45 ⇒ x=5 Portanto, a casa tem 10m de largura por 12,5m de comprimento. 53


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32. Um terreno retangular tem 150m2 de área a mais que um terreno quadrado. Sabendo-se que o terreno retangular tem de frente 10m a mais que o quadrado e, de fundo, possuem a mesma medida, determine:

Com 3 copos de água, enche-se totalmente a garrafa. Colocando−se no garrafão 4 garrafas de água e mais um copo de água, ainda assim faltarão 0,75 litros de água para enchê-lo totalmente. a) Quantos litros de água cabem nesse copo? b) Quantos litros de água cabem nessa garrafa?

28. Qual a idade da vovó?

a) a medida do lado menor do terreno; b) a área de cada terreno.

33. No Brasil, a população jovem (0 a 17 anos) é de aproximadamente

da população adulta

(18 a 59 anos) menos 1 162 431 habitantes. A população idosa (mais de 60 anos) é de aproximadamente 14 512 803 habitantes. Sabendo-se que a população total do Brasil é

29. O engenheiro calculou: se forem asfaltados x quilômetros por dia, em 16 dias faltarão 18km para completar o asfaltamento da estrada. Mas se forem asfaltados x + 1 quilômetros por dia, em 14 dias faltarão apenas 16km para completar a asfaltagem. Qual é o comprimento da estrada?

de, aproximadamente,

da soma das popu-

lações adulta e idosa, mais de 23 393 329 habitantes, calcule: a) a população adulta; b) a população jovem; c) a população total brasileira.

30. Joana tem 28 anos e sua sobrinha Vanessa tem 10 anos. Daqui a quantos anos o dobro da idade de Vanessa será igual à idade de Joana?

34. O epitáfio de Diofante, maior algebrista grego:

31. José repartiu certa quantia em dinheiro entre seus quatro filhos da seguinte maneira. •

Paulo recebeu

Sílvia recebeu

Renato recebeu

da herança; da herança mais R$ 9.000,00;

“Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida e somando uma duodécima parte a isso cobriu-lhe as faces de penugem. Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte e, cinco anos após seu casamento, concedeu-lhe um filho. Ai! Infeliz criança tardia, depois de chegar à medida da metade da vida de seu pai, o destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números, ele terminou sua vida.” Quanto tempo viveu Diofante?

da herança menos R$

30.000,00;

Teresa recebeu

da herança menos R$

42.000,00.

a) Qual foi a quantia que José repartiu entre seus filhos? b) Quanto cada filho recebeu? 54


Matemática Elementar II – Potências e radicais

TEMA 14

Pitágoras e sua genialidade 9. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS Chamamos de equações fracionárias, todas as equações que apresentam variável no denominador. Vamos observar um problema: Foram distribuídos 52 cartões azuis e 60 vermelhos entre as pessoas de um grupo, de modo que cada pessoa recebeu cartões de uma só cor e todas ficaram com a mesma quantidade. Havia quatro pessoas a menos com cartões azuis do que com cartões vermelhos.

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: por meio da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo: 32 = 1 + 3 + 5 = 9 52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 62 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 112 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121

Experiências matemáticas: 7.ª série. São Paulo, SE/ CENP, 1996.

Tente você...

Quantas pessoas havia no grupo? Solução: Chamando de x o número de pessoas que receberam cartões azuis, temos a seguinte equação:

Como temos uma igualdade entre razões, podemos utilizar a propriedade fundamental da proporção, “ o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Então, temos: 60x = 52(x + 4) Procedemos, agora, como nos casos anteriores de equações do 1.o grau:

. Ou tirando o mmc dos denomidores:

55


UEA – Licenciatura em Matemática

Portanto 26 pessoas receberam cartões azuis, e 30 pessoas receberam cartões vermelhos, totalizando 56 pessoas. Encontramos uma equação impossível, portanto S = ∅.

Outro problema: Um carro, desenvolvendo certa velocidade, percorre 240km em t horas. Mantendo a mesma velocidade média, vai percorrer 400km em (t + 2) horas. Qual é o numero t de horas?

Outra questão: .

Resolver a equação Solução:

Solução:

O conjunto-universo é IR – {– 1, 1}. multiplicando a equação por (1 − t), temos:

Portanto t = 3 horas. Uma peculiaridade das equações fracionárias é a possibilidade de encontrarmos raízes que geram indeterminação na sentença; por isso, é muito importante que o conjunto-universo esteja bem definido. Nos dois problemas anteriores, isso não ocorre porque, ao substituirmos a raiz nas respectivas equações, não anulamos nenhum denominador.

Mas para t = 1, a equação não cria uma iden− tidade minação, logo S = ∅.

Nem sempre o conjunto-universo é colocado de forma explicita. Nesse caso, cabe a quem estiver resolvendo a equação determinar o conjunto-universo.

1. Determine o conjunto solução das seguintes equações, sendo U = IR: a)

Vamos estudar uma equação em que ocorre esse problema. Resolvendo a equação

, que é uma indeter-

.

Vamos simplificar a equação para aplicar a propriedade fundamental da proporção. Para isso, encontraremos o mmc no 1.o membro:

≠ −3)

b)

(y

≠ 0)

c)

(x

≠ 0 e x ≠ −6)

Solução: O conjunto-universo dessa equação é IR – {– 2, 0, 2}

(x

d)

(x

≠ −7)

e)

(x

≠ ±7)

f)

(y

≠ ±3)

2. Determine o conjunto solução das seguintes equações, sendo U = IR: 56


Matemática Elementar II – Potências e radicais

(x

a) (x

b)

Escreva e resolva a equação que permite calcular o valor de x, ou seja, quanto tempo o ciclista leva para percorrer 195km.

≠ ±5)

≠ 1, x ≠ 2 e x ≠ 3) 7. (x

c)

mesmo é equivalente à fração (x

d) e) f)

≠ ±1)

(y (x

Um número adicionado a 10 e dividido por ele . Que número

é esse?

≠ ±4)

8. Determine y, para que o quociente

≠ ±1 e y ≠ 0)

seja igual a

≠ 2)

.

9. Segundo uma pesquisa realizada num grupo de pessoas, foi constatado que, ao longo de x meses, o número de pessoas que contrairá certa doença é dada pela expressão matemáti−

3. A 7.a série A tem x alunos. Nessa série, foram distribuídos 320 livros de forma que todos receberam a mesma quantidade. A 7.a série B tem (x – 2) alunos, e nessa série foram distribuídos 300 livros, e todos os alunos receberam a mesma quantidade. Nessas condições, faça o que se pede:

ca

. Após quantos meses, o número de

pessoas infectadas por essa doença será de 4000?

a) Escreva a fração que representa o número de livros que cada aluno da 7.a série A recebeu. b) Escreva a fração que representa o número de livros que cada aluno da 7.a série B recebeu. c) Quantos alunos há em cada sala, se cada aluno das duas salas recebeu a mesma quantidade de livros? 4. Alice comprou certa quantidade de calças por R$ 120,00 e 2 blusas a mais que a quantidade de calças por R$ 100,00. O preço de uma calça é o dobro do preço de uma blusa. Sabendo-se que todas as calças custaram o mesmo preço e que todas as blusas também, quantas calças e quantas blusas Alice comprou? 5. A diferença entre o quociente de 4 por um número real e o inverso desse número é 2. Qual é o número? 6. Um ciclista, pedalando a certa velocidade, percorre 195km em x horas. Mantendo a velocidade média, ele percorre 260km, pedalando 1 hora a mais. 57



UNIDADE IV Inequações e Sistemas

59



Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

multiplicarmos por um número negativo encontramos o simétrico do número dado.

TEMA 15

Veja: –2<4

INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU

Multiplicando por (– 1), temos: 2> –4

Toda sentença aberta, expressa por uma desigualdade, chama−se inequação. O grau da inequação é determinado da mesma forma que o fizemos para as equações. Vamos generalizar esta propriedade:

Uma inequação relaciona o primeiro membro com o segundo por um dos símbolos:

Para todos os números reais x, y e z, se x < y, vale:

<> ≥ ≤ ≠

a) xz < yz, se z > 0

Vamos considerar o seguinte problema:

b) xz > yz, se z < 0

Numa escola, é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2, e a da última prova é multiplicada por 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior ou igual a 6,5, o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará tirar na terceira para ser dispensado da recuperação?

c)

, se z > 0

d)

, se z < 0

Exemplos: 1. Resolva a inequação 2(3x − 5) > 3(x − 12), sendo U = Z. Solução:

Solução:

Como x ∈ Z, então S{−8, −7, −6, −5,...} é a inequação que verifica ,

2. Resolva a inequação

se o aluno foi ou não aprovado sem precisar fazer a recuperação.

Sendo U = IR.

Para resolver essa inequação, utilizaremos os princípios aditivo e multiplicativo, que vimos na resolução das equações.

Solução:

Substituindo as notas da primeira e da segunda prova, temos:

Multiplicando a inequação por 18 (mmc de 9 e 6), temos: 2(19 − 4x) ≤ 3(2x − 3) ⇒ 38 − 8x ≤ 6x − 9 ⇒ −8x − 6x ≤ − 9 − 38 ⇒ −14x ≤ −47, Multiplicando por (−1), temos: .

Neste problema, o princípio multiplicativo é utilizado sem complicações, pois multiplicamos a inequação por um número positivo. Quando a multiplicação é por um número negativo, devese mudar o sentido da desigualdade. Isto ocorre devido à “mudança” de posição na reta: ao

3. Qual é o menor número inteiro que satisfaz a desigualdade 61

?


UEA – Licenciatura em Matemática

Solução:

dições, Paulinho é mais velho que José, temos: x + 10 > 2x ⇒ x − 2x > −10 ⇒ −x > −10 ⇒ x < 10 Portanto:

Multiplicando a desigualdade por 4, temos:

Paulinho tem, no máximo, 9 anos.

Portanto o menor inteiro que satisfaz a inequação é o número 4.

1. Resolva as desigualdades, sendo U = IR:

4. Doze atores, entre garotas e rapazes, serão escolhidos para trabalhar em uma peça de teatro. O diretor resolveu que o triplo do número de rapazes menos 1 deverá ser menor que o total de atores da peça. Quantas garotas e quantos rapazes serão escolhidos, se deve haver pelo menos dois rapazes como atores?

a) b) c) 4(x − 2) + 32 > 16x d) e) 4 + 8x ≥ 16 f) 5x − (x − 2) ≤ 6 g) h)

Solução:

i)

Chamaremos de x os rapazes e de y as garotas. Temos, então:

2. Qual é o menor número inteiro que é solução

x + y = 12 e

da inequação . Com isso, temos as seguintes possibilidades: 4 rapazes e 8 garotas, 3 rapazes e 9 garotas e 2 rapazes e 10 garotas. Lembre−se de que a peça deve apresentar pelo menos 2 rapazes.

?

3. Qual é o maior número inteiro que é solução da desigualdade

?

4. Para estudar um projeto, será formada uma comissão mista de deputados e senadores, num total de oito membros. O dobro do número de senadores mais 1 deverá ser menor que o total de membros da comissão. Quantos deputados e senadores terá a comissão?

5. José tem o dobro da idade de Paulinho. Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua idade seria maior que a de José. Quantos anos, no máximo, Paulinho deve ter? Solução:

5. Um feirante, após ter vendido x melões a R$ 3,00 cada, vendeu os últimos 21 por um total de R$ 40,00. Qual a menor quantidade de melões que ele deveria vender a R$ 3,00 para obter mais de R$ 280,00 nessa venda?

Consideremos a idade de Paulinho igual a x, então a idade de José é 2x. Se Paulinho tivesse nascido 10 anos antes, sua idade passaria a x + 10. Como, nessas con62


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

TEMA 16

SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.O GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Equação do 1.o grau com duas variáveis 6. Subtraindo-se 2 anos da idade de uma pessoa, e multiplicando-se a diferença por 7, obtém−se um número menor que o sêxtuplo da idade dela aumentado de 8. Qual a idade máxima dessa pessoa?

Observe o problema: Évana e Cláudio têm juntos 16 anos. Sabendose que a idade de Évana é o triplo da idade de Cláudio, qual a idade dos dois? Solução:

7. Considere a sentença: o dobro de um número somado com a sua terça parte é maior que 14. O conjunto-verdade dessa sentença é:

Chamando de x a idade Cláudio e de y a idade de Évana, temos a equação: x + y = 16. Ora, a idade de Évana é o triplo da idade de Cláudio, logo y = 3x. Substituindo a equação que relaciona as idades na equação da soma das mesmas, obtemos:

a) {x ∈ Q | x < 6} b) {x ∈ Q | x > 6} c) {x ∈ Q | x > 2}

x + y = 16 ⇒ x + 3x = 16 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4 Portanto Cláudio tem 4 anos, e Évana tem 12 anos.

d) {x ∈ Q | x < 2} 8.

(F. SANTO ANDRÉ−SP) Dos conjuntos abaixo, aquele que representa um conjunto unitário é:

Observando apenas a equação que relaciona as idades, y = 3x, chegaremos a algumas conclusões importantes:

a) {x ∈ IN | x − 8 < −8} b) {x ∈ Z | x + 3 ≤ 3}

Tomemos a equação: y = 3x

c) {x ∈ IN | 2x − 2 < 0}

Montemos uma tabela com uma coluna para a variável x e outra para variável y. Atribuamos valores arbitrários para x e encontremos o valor correspondente para y.

d) {x ∈ Z | x + 3 > 2} e) {x ∈ IN | 5x − 5 ≤ 0} 9. (FGV−SP) Quantas raízes inteiras e menores do que 5 admite a inequação

?

a) 1 b) 2 c) 3

x

y

2 −1 0 −10 4

6 −3 0 −30 12 4

d) 4 e) n.d.a.

Poderíamos continuar indefinidamente atribuindo valores para uma das variáveis e encontrando o valor correspondente para outra, de modo que cada par, na ordem x e y, de valores determinados satisfaça a equação dada (y = 3x). A partir deste exemplo, podemos verificar condições bem definidas. Por exemplo: • A cada valor atribuído para uma variável, existe um único valor correspondente para a outra. 63


UEA – Licenciatura em Matemática

• As soluções da equação são dadas aos pares, 2 e 6, – 1 e – 3, 0 e 0, etc.

Os pares ordenados são representados por pontos num plano formado por dois eixos reais (retas) perpendiculares entre si, o plano cartesiano.

• Podemos encontrar tantos pares quantos desejarmos, a equação tem infinitas soluções.

O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou eixo x, e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou eixo y.

• A ordem em que substituímos os valores nas variáveis, em geral, não coincide. Por exemplo, quando x = 4 ⇒ y = 12 e quando y = 4 ⇒ x=

. Portanto a ordem importa.

Cada solução de uma equação do 1.o grau com duas variáveis é um par de números cuja ordem deve ser respeitada, que é denominado de “par ordenado”.

PLANO CARTESIANO

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

René Descartes nasceu na França. De família nobre, recebeu suas primeiras instruções no colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de várias campanhas militares como a de Maurice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano I da Baviera e a do exército francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época como Faulhaber, Desargues e Mersenne, e é considerado o “Pai da Filosofia Moderna”.

• O 1.o número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. • O 2.o número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. • No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo: • Localize os pontos (4, 3), (−4, 1) e (1, −1).

Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado, o Discurso do Método, em que expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimento, e qualquer fenômeno poderia ser explicado por meio das forças exercidas pela matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de Newton. Suas idéias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época, mas sua matemática guardava características da antigüidade, tendo criado a Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado.

Geometricamente, o conjunto-solução de uma equação do 1.o grau com duas variáveis em IR, é uma reta que contém todos os pares ordenados que satisfazem a equação dada. Exemplo: Representar, geometricamente, o conjuntosolução da equação y − x = 2. 64


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

Solução:

qüência, que é

Atribuímos valores arbitrários para x e encontramos os valores correspondentes em y; representamos os pontos no plano cartesiano e, depois, “ligamos” esses pontos. A reta é a solução da equação em IR.

.

Um sistema do 1.o grau a duas variáveis é uma sentença aberta constituída de duas equações do 1.o grau, que possuem as mesmas variáveis, o mesmo conjunto-universo e que estão ligadas pelo conectivo “e”. A solução desse sistema pode ser:

x

y

−2 −1 0 2

0 1 2 4

• um único par ordenado; • infinitos pares ordenados; • nenhum par ordenado (conjunto vazio). No problema dado, a solução é o par ordenado (28,4), onde x = 28 e y = 4.

Como a solução de uma equação do 1.o grau, em IR, é uma reta, basta definirmos dois pares ordenados que satisfazem a equação dada e traçar a reta que os contém.

Resolvendo sistemas de equações do 1.o grau com duas variáveis A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Exemplo: Esboce o gráfico da equação 2x + y = 4.

Estudaremos, a seguir, alguns métodos:

Solução:

Método de substituição Neste método, escolhemos uma das equações, isolamos uma das variáveis e substituímos na outra equação. Exemplos: x

y

1 3

2 −2

1. Vamos retomar o sistema do problema que apresentamos acima: Solução:

Depois de representar os pontos no plano cartesiano, basta traçar a reta que contém os pontos determinados na tabela.

Isolando x na 1.a equação, temos: x = 32 − y Substituindo na segunda equação:

Observe o seguinte problema:

(32 − y) − y = 24, ficamos agora com uma equação do 1.o grau a uma variável. Resolvemos a equação e determinamos uma das coordenadas do sistema.

A soma das idades do meu filho e da minha é igual a trinta e dois, e a diferença entre a minha idade e a dele é igual a vinte e quatro. Que idade tem cada um?

32 − 2y = 24 ⇒ −2y = 24 − 32 ⇒ 2y = −8 ⇒ y = 4.

Chamando de x a idade do pai e de y a idade do filho, temos duas equações:

Substituindo em qualquer uma das equações, encontramos a outra variável.

x + y = 32 e x − y = 24. Podemos também representar as duas equações utilizando a notação que apresentaremos com maior fre−

x = 32 − 4 ⇒ x = 28

∴ S = {(28,4)} 65


UEA – Licenciatura em Matemática

Solução: 2. Resolva o sistema

. Da 1.a equação, temos:

Solução:

2x = 8200 − 1,5y ⇒ x = 4100 − 0,75y

Vamos tomar a 1.a equação e isolar x:

Substituindo na 2.a equação: 1,5(4100 − 0,75y) + 2y = 9300 ⇒ 6150 − 1,125y + 2y = 9300 ⇒ 0,875y = 3150 ⇒ y = 3150 ⇒ y = 3600 e x = 4100 − 0,75.3600 ⇒ x = 1400

Substituindo na 2. equação, temos: a

A quantia aplicada foi de R$ 5.000,00. Método de comparação Encontramos a outra coordenada substituindo em x = 14 + y: x = 14 − 6 ⇒ x = 8

Este método consiste em isolar uma variável comum nas equações dadas e efetuar a igualdade entre elas (comparar as equações).

S = {(8, −6)}

Exemplos: 1. Resolva o sistema

3. Um barco percorre 16km em 1 hora, navegando a favor da corrente; para retornar pelo mesmo trajeto, demora 2 horas. Qual é a velocidade do barco? E a velocidade da corrente?

.

Solução: Isolando y em ambas equações, temos: 3x + 10 = y e x + 7 = y, comparando as equações:

Solução: Chamando de x a velocidade do barco, de y a velocidade da corrente, temos:

substituindo em x + 7 = y, por exemplo, temos:

Isolando y na 1.a equação, temos: y = 16 − x. Substituindo na 2.a equação, temos: x − (16 − x) = 8 ⇒ x − 16 + x = 8 ⇒ = 24 ⇒ x = 12.

2. Encontre o par ordenado que satisfaz o sis−

2x

tema

Encontramos a outra coordenada substituindo em y = 16 − x:

.

Solução:

y = 16 − 12 ⇒ y = 4

Vamos simplificar a equação:

Portanto a velocidade do barco é de 12km/h, e a velocidade da corrente é de 4km/h. 4. Pablo investe uma certa quantia a juros durante um mês: uma parte a 2% ao mês, e o restante a 1,5% ao mês, recebendo R$ 82,00 de juros. Se ele trocasse entre si as quantias aplicadas, receberia R$ 93,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?

Isolando x na segunda equação, temos: x = −1 − y 66


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

Comparando as equações, encontramos o valor da ordenada y:

y o número de notas de 50 reais, temos o sistema:

Isolando y nas duas equações, temos: Substituindo em x = −1 − y, encontramos o valor da abscissa x: x = −1 − 3 ⇒ x = −4.

Igualando as equações, encontramos x:

S = {(−4, 3)}

120 − x = 189 −2x ⇒ 2x − x = 69 ⇒ x = 69 Substituindo, temos:

3. Um comerciante compra, no exterior, vidros de vitaminas de dois tipos. Cada vidro do tipo I custa 10 dólares, e do tipo II, 15 dólares. Se ele fez uma compra de 35 vidros, gastando 400 dólares, quantos vidros de cada tipo comprou?

y = 120 − x ⇒ y = 120 − 69 ⇒ y = 51. Portanto foram exigidas 69 notas de 100 reais e 51 notas de 50 reais. b) O máximo divisor comum entre 69 e 51 é 3, logo o número de seqüestradores poderiam ser 1 ou 3. Como o problema deixa explicito que foram “criminosos”, podemos afirmar que são três seqüestradores.

Solução: Chamando de x o vidro tipo I, e de y o vidro de tipo II, temos o sistema de equação:

Método de adição Isolando y em cada uma das equações, temos:

Esse processo de resolução consiste em verificar se as equações possuem termos semelhantes de coeficientes oposto nas equações dadas. Caso não existam, usando o princípio multiplicativo, encontramos. Depois, somamos as equações membro a membro.

Comparando as equações:

Exemplos: 1. Resolva os sistemas:

e x = 35 − 10 ⇒ x = 25. Portanto o comerciante comprou 25 vidros do tipo I e 10 vidros do tipo II.

a) Solução:

4. Criminosos seqüestraram a cadelinha de uma atriz de TV e exigiram um resgate de R$ 9 450,00, que deveria ser pago unicamente com notas de 100 e de 50 reais, num total de 120 notas.

Observamos que os coeficientes de y nas duas equações são oposto; nesse caso, basta somar as equações membro a membro.

a) Quantas notas de cada tipo os seqüestradores pediram? b) As quantidades de notas pedidas visavam per-

Encontrando o valor de uma das variáveis, operamos como nos casos anteriores:

mitir que os criminosos dividissem igualmente cada tipo de nota. Sabendo disso, você é capaz de descobrir quantos criminosos havia?

Solução:

.

a) Sendo x o número de notas de 100 reais, e 67


UEA – Licenciatura em Matemática

b)

d)

Solução:

Primeiramente, deixaremos a 2.a equação mais simples.

Agora, não temos coeficientes opostos em uma variável comum. Escolhemos, de forma conveniente, uma das equações e aplicamos o princípio multiplicativo de modo a obter coeficientes opostos.

Reescrevendo o sistema:

Vamos multiplicar a 1.a equação por 2. Multiplicando a 1.a equação por (–1), temos o sistema preparado para o método aditivo. Pronto, agora o sistema possu coeficientes opostos em uma mesma variável. Operamos como no caso anterior.

e −x + 2y = 4 ⇒ −6 + 2y = 4 ⇒ 2y = 10 ⇒ y = 5 S = {(6,5)} 2. Um colégio comprou todos os ingressos de uma peça de teatro para distribuir a seus alunos da 7.a série. O diretor pensou em dar 3 ingressos para cada aluno, mas percebeu que faltariam 10 ingressos. Então, ele resolveu dar 2 ingressos para cada aluno, e sobraram 125 ingressos para distribuir aos alunos das outras séries. Quantos alunos esse colégio tem na 7.a série, e quantos ingressos o colégio comprou para distribuir aos seus alunos?

substituindo na 1.a equação, temos:

c)

Solução: Chamando de x o número de alunos da 7.a série e de y a quantidade de ingressos comprados para distribuir aos alunos, montamos o sistema:

Solução: Neste caso, precisaremos multiplicar as duas equações. Multiplicando a 1.a equação por 3, e a 2.a equação por 2, encontramos um sistema equivalente ao anterior. Pronto, agora usamos o método aditivo:

Multiplicando a segunda equação por (– 1), temos:

. Somando as equações, membro a membro, temos: e 5x − 2y = −3 ⇒

−2x + y = 125 ⇒ −270 + y = 125 ⇒ y = 395

5

− 2y = −3 ⇒ −2y = −8 ⇒ y = 4

Portanto a sétima série do colégio tem 135 alunos, e foram comprados 395 ingressos.

S = {(1,4)} 68


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

TEMA 17

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA INEQUAÇÃO DO 1.O GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Método prático:

Observe que a solução deste sistema exclui a reta que limita o semiplano.

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade.

Resolução gráfica de um sistema de inequações do 1.o grau

• Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferên-

Para resolver um sistema de inequações do 1.o grau, graficamente, devemos:

cia o ponto (0, 0), e verificamos se o mesmo satisfaz ou não à desigualdade inicial.

• traçar num mesmo plano o gráfico de cada

• Em caso positivo, a solução da inequação

inequação;

corresponde ao semiplano ao qual pertence

• determinar a região correspondente à inter-

o ponto auxiliar.

secção dos dois semiplanos;

• Em caso negativo, a solução da inequação

• destacar a região de intersecção dos semi-

corresponde ao semiplano oposto àquele

planos.

ao qual pertence o ponto auxiliar.

Exemplos:

Exemplos: 1. Representa

1. Dê a resolução gráfica do sistema: graficamente

a

inequação

2x + y ≤ 4.

Solução: Traçando as retas −x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Gráfico

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4, verificamos: 2.0 + 0 ≤ 4 (afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação). A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 2. Representar

graficamente

a

inequação

2x − y < 4. 69


UEA – Licenciatura em Matemática

2. Resolva, graficamente, o sistema .

ARQUIMEDES Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que, com sua inteligência, encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma. Esta observação o fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e, correndo para sua casa, gritava: Heureka! Heureka!, isto é, “encontrei! encontrei!”.

Solução:

Gráfico

o

3. Resolva, graficamente, o sistema .

Gráfico

70


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

6. Em um jogo de futebol, as vitórias somam para o time ganhardor 3 pontos, e os empates 1 ponto. Sabendo-se que uma equipe disputou 23 jogos e obteve, ao todo, 37 pontos, responda:

1. Resolva, geometricamente, as equações em IR: a) 3x + 2y = 4

b)

x − 4y = −1

c) 3x + y = −2

d)

x−y=0

e) x + y = 0

f)

x + y = 11

g) x − y = 5 2. Verifique se o par ordenado (–3, 5) é solução, ao mesmo tempo, das equações 4x + 3y = 3 e 2x − 5y = −31.

a) Quantas foram as vitórias? b) Quantos foram os empates 7. Em um estacionamento existem um total de 15 veículos (entre carros e motos) sendo que o número total de rodas é igual a 50. Calcular a diferença entre o número de carros e o número de motos.

3. Resolva, no mesmo plano cartesiano, as equações x + y = 11 e x − y = 5. Depois, por tentativa, encontre a solução comum às equações. 4. (CEFET−97) Os pontos A(0, 4), B(– 2, 0), C(0, – 4) e D(2, 0) determinam um: a) quadrado;

b) losango;

c) retângulo;

d) círculo;

8. Resolva os sistemas pelo método da comparação: a)

e) trapézio. b)

5. Resolva os sistemas, usando o método da substituição:

c)

a) S = {(4,1)}

d)

b) e)

S = {(−5,7)}

9. Seis pessoas vão a um restaurante e pedem 6 pratos do dia. Na hora da sobremesa, apenas uma entre as seis pessoas não quis sobremesa. Sabendo que a diferença entre o preço do prato do dia e o preço da sobremesa é de 5 reais, e que o grupo gastou, ao todo, 107 reais, qual o preço do prato do dia?

S = {(−4,−4)}

10. Um barco percorre 9km em 30min, navegando a favor da corrente; para regressar ao ponto de partida, demora 3h. Calcule a velocidade do barco e a velocidade da corrente.

c) S = {(14,6)} d)

e)

71


UEA – Licenciatura em Matemática

– A soma de minha idade com a de minha filha é 44 anos. Dois anos atrás, eu tinha o triplo da idade dela.

11. Há 5 anos, a idade de Marta era o dobro da idade de Renata. Dentro de 5 anos, será somente

. Quantos anos elas têm atualmente?

Qual a idade de minha professora e da filha dela?

12. Determine a solução de cada um dos sistemas de equações nas incógnitas x e y.

15. Arquimedes foi um brilhante inventor e matemático grego que viveu antes de Cristo. Contase que, certa vez, ele recebeu um pedido de um rei. Este queria saber se a sua coroa era realmente de ouro puro. Só que para responder à questão era proibido danificar a coroa.

a) S = {(7,3)} b)

Arquimedes mediu o volume da coroa usando um recurso em que ninguém tinha pensado até então. Ele mergulhou a coroa num tanque com água. Imagine que tenha sido assim:

S{(15,−14)} c)

d) Depois, Arquimedes verificou que a coroa tinha massa de 2kg. Sabendo que o volume de 1kg de ouro é 50cm3, ele pôde solucionar a dúvida do rei.

S{(2,3)}

e)

a) Examine as figuras e determine o volume da coroa. b) Pode essa coroa ser de ouro maciço? Por quê?

S{(20,20)}

c) Suponha que essa coroa seja feita de ouro e prata. O volume de 1kg de prata é 100cm3. Com

f)

essa informação, descubra quantos quilogramas de prata e quantos de ouro formam a coroa.

16. O par ordenado (x, y) é a solução do sistema 13. Em uma chácara, há porcos e galinhas, num total de 120 animais. Sabendo-se que o dobro do número de porcos é igual à metade do número de galinhas, calcule a quantidade de porcos e de galinhas criados nessa propriedade.

Nessas condições, etermine o valor de: a) xy

14. Perguntei a idade de minha professora de Matemática. Ela me contou, e contou também a idade da filha, mas disse isso de maneira especial:

b) x2 + y2

c)

17) Um número natural de dois algarismos pode ser representado assim: 10x + y, x dezenas e y unidades. 72


Matemática Elementar II – Inequações e Sistemas

Esse número, menos o número que se obtém trocando a ordem dos algarismos, vai dar 45.

e

. Nessas condições, sendo x ≠ −2 e

x ≠ −3, determine o valor de:

Descubra qual é o numero, sabendo que a soma dos seus algarismos é 11.

a) y − x b)

18. Observe a resolução de um sistema com equações fracionárias, e depois resolva os outros sistemas dados:

c) (x + y)(x − y) 20. Qual o par ordenado que resolve o sistema?

a)

. Primeiramente, identificamos a

condição de existência das equações. Nesse exemplo, y ≠ 0, y ≠ 1 e x ≠ 0. Depois, simplificamos as equações fracionárias e voltamos aos

21. Resolva, graficamente, as inequações:

casos anteriores.

a) x + y > 0

Solução:

b) c)

Multiplicando a primeira equação por (– 2), e adicionando à segunda, temos:

d) 3 − 2x ≥ y − 12 e) 3x − 5y < −2 22. Resolva, graficamente, os sistemas: a)

3x − y = 0 ⇒ 3.2 − y = 0 ⇒ y = 6 S = {(2,6)}

b)

Observe que o par ordenado (2,6) não fere a condição de existência.

c)

b)

c)

d)

19. Dois números reais, x e y, são tais que

73



UNIDADE V Equação do 2.º grau e intervalos em IR



Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR

solução das equações de forma puramente algébrica.

TEMA 18

A abordagem chinesa para a resolução destas equações foi o método fan−fan, redescoberto, independentemente, em 1819, pelo matemático inglês William George Horner. Assim, o método fan−fan, ficou conhecido como método de Horner. Séculos mais tarde Isaac Newton desenvolveu um método bastante similar.

EQUAÇÃO DO 2.O GRAU

1. Introdução As equações do segundo grau são abordadas na história da Matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses.

No século XVI, François Viéte utilizou-se de simbolismo para representar equações dando a elas um caráter geral.

O primeiro registro das equações polinomiais do 2.o grau foi feito pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretadas geometricamente, não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.

1.2 Definições Denomina−se equação do 2.o grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0; a∈IR* e b, c ∈ IR

Exemplos: 1. x2 − 5x + 6 = 0 é um equação do 2.o grau com a = 1, b = −5 e c = 6.

Como eles não utilizavam coeficientes negativos, precisavam distinguir diferentes casos possíveis:

2. 6x2 − x − 1 = 0 é um equação do 2.o grau com a = 6, b = −1 e c = −1. 3. 7x2 − x = 0 é um equação do 2.o grau com a = 7, b = −1 e c = 0.

x2 + px = q x2 = px + q

4. x2 − 36 = 0 é um equação do 2.o grau com a = 1, b = 0 e c = −36.

x2 + q = px O caso x2 + px + q = 0, com p e q positivos, não teria solução.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2.o grau na incógnita x), chamamos a, b e c de coeficientes.

Na Grécia, a Matemática tinha um cunho filosófico e pouco prático. Euclides, nos Elementos resolve equações polinomiais do 2.o grau por meio de métodos geométricos.

• a é sempre o coeficiente de x²; • b é sempre o coeficiente de x;

Diofante contribuiu para mais um avanço na busca da resolução de equações do 2.o grau ao apresentar uma outra representação da equação introduzindo alguns símbolos, pois, até então, a equação e sua solução eram representadas em forma discursiva.

• c é o coeficiente ou termo independente. 1.3 Equações completas e Incompletas Uma equação do 2.o grau é completa quando b e c são diferentes de zero.

Na Índia, as equações polinomiais do 2.o grau eram resolvidas completando quadrados. Essa forma de resolução foi apresentada geometricamente por Al−Khowarizmi, no século IX. Eles descartavam as raízes negativas, por serem “inadequadas”, e aceitavam as raízes irracionais. Tinham também uma “receita” para a

Exemplos: x² − 9x + 20 = 0 e −x² + 10x − 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2.o grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. 77


UEA – Licenciatura em Matemática

1.5 Resolução de equações incompletas

Exemplos: x² − 36 = 0 (b = 0)

x² − 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Utilizamos, na resolução de uma equação incompleta, as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1.4 Raízes de uma equação do 2.o grau

a) 1.a Propriedade: Se x ∈ IR, y IR e x.y = 0, então x =0 ou y = 0.

Resolver uma equação do 2.o grau significa determinar suas raízes.

b) 2.a Propriedade: Se x ∈ IR, y ∈ IR e x2 = y, então x = ou x = .

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

1.o Caso: Equação do tipo ax2 + bx = 0.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto-verdade ou conjunto-solução.

Exemplo: Determine as raízes da equação x2 − 8x = 0, sendo U = IR.

Exemplos:

Solução:

a) Dentre os elementos do conjunto A = {−1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x² − x − 2 = 0?

Inicialmente, colocamos x em evidência: x.(x − 8) = 0 Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Solução: Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

x = 0 ou x − 8 = 0 ⇒ x = 8 Obtemos, dessa maneira, duas raízes que formam o conjunto-verdade: V = {0, 8} De modo geral, a equação do tipo ax2 + bx = 0 tem como soluções x = 0 e x =

.

2.o Caso: Equação do tipo ax2 + c = 0. Exemplo: Determine as raízes da equação 2x2 − 72 = 0, sendo U = IR.

Logo, −1 e 2 são raízes da equação.

Solução:

b) Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p − 1) x² − 2px − 2 = 0.

2x2 = 72 x2 = 36

Solução: Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

x = ±6 → A equação tem duas raízes simétricas.

(2p − 1). 22 − 2p . 2 − 2 = 0 (2p − 1). 4 − 4p − 2 = 0

De modo geral, a equação do tipo ax2 + c = 0

8p − 4 − 4p − 2 = 0

possui duas raízes reais se

4p − 6 = 0

for um número

positivo, não tendo raiz real caso Logo, o valor de p é

.

número negativo. 78

seja um


Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR

Aplicações:

5.º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros.

a) Resolva a equação literal incompleta 3x2 – 12m2 = 0, sendo x a variável. Solução: 3x2 − 12m2 = 0 ⇒ 3x2 = 12m2 ⇒ x2 = 4m2 x=

⇒ x = ± 2m

6.º passo: adicionar −b aos dois membros.

Logo, temos: V = {−2m; 2m} b) Resolva a equação literal incompleta my2 − 2aby=0, com m ≠ 0, sendo y a variável.

7.º passo: dividir os dois membros por a ≠ 0.

Solução: my2 − 2aby = 0 y(my − 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções:

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2.o grau:

y=0 ou my − 2ab = 0 ⇒ my = 2ab ⇒ y= Assim: V = {0;

}

1.6 Resolução de equações completas Podemos representar as duas raízes reais por x’ e x”, assim:

Para solucionar equações completas do 2.o grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara. A partir da equação ax2 + bx +c = 0, em que a, b, c ∈ IR e a ≠ 0, desenvolveremos, passo a passo, a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 1.º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

Exemplo:

(4a).(ax2 + bx + c) = 0.(4a)

Vamos resolver a equação: 7x2 + 13x – 2 = 0.

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0

Temos a = 7, b = 13 e c = –2:

2.º passo: adicionar −4ac aos dois membros.

4a2x2 + 4abx = −4ac 3.º passo: adicionar b2 aos dois membros.

Portanto:

4.º passo: fatorar o 1.º elemento.

(2ax + b)2 = b2 −4ac 79


UEA – Licenciatura em Matemática

Aplicações:

d) Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas

a) Vamos resolver a equação literal: x2 − 2abx − 3a2b2, sendo x a variável.

mais que a outra. Determine o tempo que cada uma delas leva para encher esse

Solução:

tanque isoladamente.

Temos a=1, b = −2ab e c =−3a2b2:

Torneira 1

Portanto:

Torneira 2

Solução: Consideremos x o tempo gasto para a 1.a torneira encher o tanque e x + 5 o tempo gasto para a 2.a torneira encher o tanque. Em uma hora, cada torneira enche a se-

Assim, temos: V= { −ab, 3ab}.

guinte fração do tanque:

b) Determine as raízes da equação biquadrada x4 − 13 x2 + 36 = 0.

1.a torneira:

Solução: Observe que x4 – 13 x2 + 36 = 0 ⇒ (x2)2 – 13x2 + 36 = 0

2.a torneira:

Substituindo x2 por y, temos y2 – 13y + 36 = 0.

Em uma hora, as duas torneiras juntas

Resolvendo essa equação, obtemos y’=4 e y’’=9.

encherão

Como x2 = y, temos:

correspondente:

do tanque; observe a equação

m.m.c. = 6x(x + 5)

Logo, temos para conjunto-verdade: V = { –3, –2, 2, 3}.

Resolvendo-a, temos: 6(x + 5) + 6x = x (x + 5)

c) Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 – 60 = 0.

6x + 30 + 6x = x2 + 5x x2 − 7x − 30 = 0

Solução:

x’= − 3 e x’’=10

Observe que x4 + 4x2 – 60 = 0 ⇒ (x2)2 + 4x2 – 60 = 0

Como a raiz negativa não é utilizada, tere-

Substituindo x por y, temos y + 4y – 60 = 0.

mos como solução x= 10.

Resolvendo essa equação, obtemos y’=6 e y’’= –10.

Resposta: A 1.a torneira enche o tanque em

2

2

10 horas, e a 2.a torneira, em 15 horas.

Como x2 = y, temos:

e) Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,

x2 = –10 ⇒ x ∉ IR

obtém-se um número que o excede de 27

Logo, temos para o conjunto verdade:

unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos

.

dos algarismos é 18. 80


Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR

que é representado pela letra grega Δ (delta).

Solução: Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.

Δ = b2 − 4ac Podemos, agora, escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

Observe: Número: x

y

⇒ 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: y

x

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

⇒ 10y + x

Temos, então, o sistema de equações:

1.o Caso: O discriminante é positivo > 0. O valor de é real, e a equação tem duas raízes reais diferentes. Exemplo:

Resolvendo o sistema, temos:

Para quais valores de k a equação x² − 2x + k − 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? Solução: Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter Δ > 0.

Isolando y em (1) : −x + y = 3 ⇒ y= x + 3

b2 − 4ac

Substituindo y em (2):

(−2)2 − 4.1.(k − 2) > 0

xy = 18

4 − 4k + 8 > 0

x (x + 3) = 18

−4k + 12 > 0

x2 + 3x = 18

4k − 12 < 0

x2 + 3x − 18 = 0

4k < 12

x’= 3 e x’’ = −6

k<3

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

y’= 3 + 3 = 6

O valor de é nulo, e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

→ Multiplicamos ambos os membros por −1

2.o Caso: O discriminante é nulo, ou seja, Δ = 0.

y’’= −6 + 3 = −3 Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= {(3, 6), (−6, −3)}. Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número

Exemplo:

36 ( x = 3 e y = 6).

Solução:

Resposta: O número procurado é 36.

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que = 0.

Determine o valor de p, para que a equação x² − (p − 1) x + p − 2 = 0 possua raízes iguais.

1.7 Discriminante

b2 − 4ac = 0 ⇒ [−(p − 1v − 4.1(p − 2) = 0 p2 − 2p + 1 − 4p + 8 = 0 ⇒

Denominamos discriminante o radicando b2 − 4ac 81


UEA – Licenciatura em Matemática

p2 − 6p + 9 = 0 ⇒ (p − 3)2 = ⇒ p = 3 TEMA 19

Logo, o valor de p é 3. 3.o Caso: O discriminante é negativo < 0.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números não-reais.

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, e sejam x’e x’’ as raízes reais dessa equação.

Exemplo: Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Logo:

Solução: Para que a equação não tenha raiz real devemos ter Δ < 0.

Observe as seguintes relações: • Soma das raízes (S):

b2 − 4ac < 0 62 − 4.3.m < 0 36 − 12m < 0 −12m < −36 → Multiplicamos ambos os membros por −1 12m > 36 m>3 Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

• Produto das raízes (P):

Resumindo, dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. Para Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. Para Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Como Δ = b2 – 4ac, temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações. Exemplos: a) Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x − 2 = 0. Solução: Nesta equação, temos: a = 10, b = 1 e c = −2. A soma das raízes é igual a das raízes é igual a Assim: S =

82

.

. O produto


Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR

b) Determine o valor de k na equação x2 + (2k − 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Como

Solução:

=Se

= P, podemos escrever a

equação desta maneira, x2 –Sx + P = 0.

Nesta equação, temos: a = 1, b = 2k e c = 2.

Exemplos:

S= x1 + x2 = 7

a) Componha a equação do 2.o grau cujas raízes são –2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a S = x1 + x2 = –2 + 7 = 5.

Logo, o valor de k é −2.

O produto das raízes corresponde a P = x1 . x2 = (–2) . 7 = –14.

c) Determine o valor de m na equação 4x2 − 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a −2.

A equação do 2.o grau é dada por x2 – Sx + P = 0, onde S = 5 e P = –14.

Solução:

Logo, x2 – 5x – 14 = 0 é a equação procurada.

Nesta equação, temos: a = 4, b = −7 e c = 3m.

b) Formar a equação do 2.o grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é .

P= x1. x2= −2

Solução: Logo, o valor de m é

Se uma equação do 2.o grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raiz será .

.

d) Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.

Assim:

Solução: Considere x1 e x2 as raízes da equação. Logo, x2 − 2x − 2 = 0 é a equação procurada. A soma dos inversos das raízes corresponde a

1.10 Forma Fatorada.

.

Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos:

Assim:

Então, podemos escrever: Logo, o valor de k é −8. 1.9 Composição de uma equação do 2.o grau, conhecidas as raízes. Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é: a.(x − x’) . (x − x’’) = 0

Considere a equação do 2.o grau ax2 + bx+c =0. Dividindo todos os termos por a(a 0), obtemos: 83


UEA – Licenciatura em Matemática

Exemplos:

2x + y = 16

(1)

a) Escreva, na forma fatorada, a equação x2 − 5x + 6 = 0.

x2 +xy = 48

(2)

Temos aí um sistema de equações do 2.o grau, pois uma das equações é do 2.o grau.

Solução:

Podemos resolvê-lo pelo método da substituição:

Calculando as raízes da equação x2 − 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Assim:

Sendo a = 1, x1 = 2 e x2 = 3, a forma fatorada de x2 − 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

2x + y = 16

(1)

y = 16 −2x

(2)

(x − 2).(x − 3) = 0

Substituindo y em (2) , temos: x2 + x ( 16 − 2x) = 48

b) Escreva, na forma fatorada, a equação 2x2 − 20x + 50 = 0.

x2 + 16x − 2x2 = 48 −x2 + 16x − 48 = 0 ⇒ ambos os membros por −1.

Solução:

Multiplicando

Calculando as raízes da equação 2x2 − 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

x2 − 16x + 48 = 0 x’= 4 e x’’= 12

Sendo a = 2, x1 = x2 = 5, a forma fatorada de 2x2 − 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

y’=16 − 2 . 4 = 8

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y’’=16 − 2 . 12 = −8

2.(x − 5) (x − 5) = 0 ou 2. (x − 5)2 = 0

As soluções do sistema são os pares ordenados (4, 8) e ( 12, −8).

c) Escreva, na forma fatorada, a equação x2 + 2x + 2 = 0. Solução:

Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m Largura = 2x = 2. 4 = 8m

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

b) Verifique, agora, a solução deste outro sistema:

1.11 Sistemas de equações do 2.o grau. Isolando y em (1):

Exemplos:

y − 3x = −1 ⇒ y = 3x – 1

a) Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64m e área de 192m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

Substituindo em (2): x2 − 2x(3x − 1) = −3 x2 − 6x2 + 2x = −3 −5x2 + 2x + 3 = 0 ⇒

Multiplicando ambos os

membros por −1

5x2 − 2x − 3 = 0 x’ = 1 e

x’’= −5/3

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y’ = 3.1 − 1 = 2

De acordo com os dados, podemos escrever:

As soluções do sistema são os pares ordenados (1, 2) e (−3/5; −14/5).

8x + 4y = 64 2x . ( 2x + 2y) = 192 ⇒ 4x2 + 4xy = 192 Simplificando, obtemos: 84


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7. Calcule o resultado de a . b, sabendo que a e b são as duas soluções da equação: (x – 1)2 – (x – 1) (x + 4) = (x – 1)

1. A equação (m + 1)x2 –4x + m + 2 = 0 na incógnita x tem como uma de suas raízes o número –2. Descubra o valor de m.

8. Quantas soluções tem a equação ?

2. Para resolver as equações a seguir, você vai precisar primeiro simplificá−las. Faça isso e, ao final, escreva no caderno o conjunto solução.

9. Determine dois números inteiros e consecutivos que têm produto igual a 72.

a)

10. As retas r, s e t do desenho são paralelas e, por isso, de acordo com o teorema de Tales, a incógnita m deve ter um valor determinado. Calcule m.

b) (3x – 5)(3x + 5) = 5(4x – 5) + x(x + 2) c) d) (x + 4)(x – 2) – (x – 1) (x – 3) = (x + 2) (x – 1)+ (x + 3) (x + 2)

3. Uma das soluções da equação m2 – pm + 10 = 0 é m = 5. Descubra o valor de p e a outra solução. 4. Resolva as equações de 2.o grau e escreva, no caderno, o seu conjunto-solução: a) m2 + 4m + 4 = 0

b) x2 – 10x + 9 = 0

c) 16y2 – 8y + 1 = 0

d) x2 – 6x – 7 = 0

e) m2 + 12m + 27 = 0

f) t2 – 9t + 8 = 0

11. Um terreno retangular de 154m2 tem a medida da altura 3 metros a menos do que a medida da base. Calcule o perímetro do terreno. 12. Escreva, no caderno, o conjunto-solução de cada uma destas equações:

5. Se a área do retângulo CAFE é igual a 48cm2, qual é a área do quadrado JILO?

a) m2 + 13m + 42 = 0 b) n2 – 2n – 24 = 0 c) p2 – p – 20 = 0 d) x2 – 8x + 16 = 0 e) x2 + 7x + 6 = 0 f)

6. Resolva as equações e escreva, no caderno, o seu conjunto-solução:

2

–2

–1=0

13. A área do triângulo da figura é igual a 12cm2. Calcule:

a) (x + 3) (x + 2) = – 9 – 3x

a)

b) 2 + x(x–1) = 2(4 – x)

o valor de x;

b) a medida da base;

c) 1 + (x–2)2 = 2x

c)

d) e) f) 85

__ a medida y do lado FB.


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14. Um retângulo tem área de 45m2 e perímetro de 28m. Calcule as medidas do seu comprimento e da sua largura.

TEMA 20

15. Resolva os sistemas de equações e escreva o conjunto-solução:

INTERVALOS REAIS Introdução

a)

A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo, quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na Antiguidade, a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Essa crença foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário.

b) c)

d)

De cada vez que as necessidades do cálculo levavam a introduzir novos entes numéricos, gerava-se uma enorme desconfiança à sua volta, o que levava a atribuir-lhes designações curiosas. Assim, os números irracionais eram designados por números inexprimíveis e por números incalculáveis. Durante muitos séculos, os números reais (fracionários ou racionais e irracionais) foram apenas concebidos como medidas de grandezas, e só no fim do século XIX, principalmente por obra dos matemáticos alemães Dedekind e Cantor, construiu-se uma teoria dos números reais independente da geometria. Definição Os intervalos reais são subconjuntos dos números reais. Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir: Considerando dois números reais, a e b, sendo a < b, temos: • Intervalo fechado

Notação: [a,b] = {x ∈ IR|a ≤ x ≤ v} A este intervalo, pertencem todos os números 86


Matemática Elementar II – Equação do 2.º grau e intervalos em IR

compreendidos entre a e b, inclusive a e b.

números compreendidos entre 2 e 5, não incluindo o 2 e incluindo o 5.

Exemplo:

• Intervalos indicados pelo símbolo ∞ (infinito)

Notação: [2, 5] = {x ∈ IR|2 ≤ x ≤ 5}

IR

A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, inclusive 2 e 5.

Notação: ]a, + ∞ [ = {x ∈ IR| x > 5}

• Intervalo aberto

IR Notação: ]−∞,a[ = {x ∈ IR| x < a}

Notação: ]a, b] = {x ∈ IR|a < x < b}

IR

A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre a e b, não incluindo nem a nem b.

Notação: ]a, +∞[ = {x ∈ IR| x ≥ a}

Exemplo:

IR Notação: ]−∞ a[ = {x ∈ IR| x ≤ a}

Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x < 5}

IR

A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, não incluindo 2 e 5.

Notação: ]−∞, +∞[ = IR • Os números reais a e b são denominados extremos dos intervalos.

• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

• O intervalo é sempre aberto na indicação do infinito.

Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a ≤ x < b}

Exemplo:

A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre a e b, incluindo a e não incluindo b.

Representar na reta real os intervalos: a) ]−1,3] = {x ∈ IR|−1 < x ≤ 3} b) ]2,6] = {x ∈ IR|−2 ≤ x ≤ 6}

Exemplo:

c) ]−∞, 1[ = {x ∈ IR| x < 1}

Notação: [2, 5[ = {x ∈ IR|2 ≤ x < 5}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre 2 e 5, incluindo o 2 e não incluindo o 5.

1. Represente, na reta real, os intervalos a) [6,8] = {x ∈ IR|6 ≤ x ≤ 8}

• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

b) [−3,5] = {x ∈ IR|−3 < x ≤ 5} c) ]−2,6[ = {x ∈ IR|−2 < x < 6}

Notação: [a, b[ = {x ∈ IR|a < x ≤ b}

2. Escreva a notação para os seguintes intervalos, representados na reta IR.

A este intervalo, pertencem todos os números compreendidos entre a e b, não incluindo a e incluindo b.

a)

Exemplo:

b) Notação: ]2, 5] = {x ∈ IR|2 < x ≤ 5} A este intervalo, pertencem todos os

c) 87



UNIDADE VI Funções



Matemática Elementar II – Funções

1.2 Produto Cartesiano TEMA 21

Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordenados por meio de uma relação entre eles; o conjunto formado por estes pares ordenados é denominado produto cartesiano definido por: A x B = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}.

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1. Introdução

Quando A ou B são vazios, temos que A x B vazio.

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente, deparamo-nos com gráficos, tabelas e ilustrações – instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou nas revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos esses gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.

Exemplos: 1. Dados os conjuntos A={1,2,3} e B={4,5}, dê os elementos dos seguintes produtos cartesianos: a) AxA Solução: A x A = {(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)} b) AxB Solução: A x B = {(1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5)}

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o), e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano, já que existe uma correspondência biunívoca desse sistema com os fatores Rh+ Rh−. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro), ligada ao bom funcionamento do corpo humano.

c) BxA Solução: B x A = {(4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); (5,3)} 2. Dados os conjuntos abaixo, represente graficamente o produto cartesiano BxA: A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4} B = {x ∈ IR | −1 ≤ x ≤ 4}

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais. 1.3 Relação Binária

Observamos, então, que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

Sejam A e B conjuntos não-vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores 91


UEA – Licenciatura em Matemática

A relação mostrada na figura acima é: R = {(a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3)}

R2 ={(a,1), (b,2), (c,3), (d,1)}

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R: A → B Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e, neste caso, temos algumas relações em AxB:

R3 ={(a,1), (b,1), (b,2), (c,3), (d,3)}

R1 ={(1,3),(1,4)} R2 ={(1,3)} R3 ={(2,3),(2,4)} 1.4 Domínio e Contradomínio de uma relação As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como esse, costuma-se definir uma relação R: A → B, em que A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

1.5 Função Dados dois conjuntos A e B, denomina-se função de A em B toda relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B. Exemplos: a) O valor pago em função da quantidade de combustível que um carro consome.

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por D(R); B é o contradomínio da relação, denotado por CD(R), e Im(R) representa o conjunto imagem da relação, onde Im(R) ⊂ B. D(R) = {x ∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R} Im(R)= {y ∈ B: existe x ∈ A tal que (x,y) ∈ R}

b) A taxa de natalidade infantil em função do tempo.

Representações nos diagramas de flechas de relações em AxB R1= {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (d,1), (d,2), (d,3)}

Considere: x → variável independente → DOMÍNIO y → variável dependente → IMAGEM 92


Matemática Elementar II – Funções

1. Dada as funções f: A B onde A = {1; 2; 3 } e f( x) = x − 1, dê o conjunto imagem de f: Solução: Empregando a linguagem das funções:

Para x = 1, teremos y = 1 – 1 = 0.

O conjunto A é o domínio da função.

Para x = 2, teremos y = 2 – 1 = 1.

O conjunto B é o contradomínio da função.

Para x = 3, teremos y = 3 – 1 = 2.

O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x.

Portanto Im(f) = {0, 1, 2}. 2. (UFRS) Sejam V = {P, Q | P e Q são vértices distintos de um hexágono regular} e f uma função que associa a cada par (P, Q) de V a distância de P a Q. Qual é o número de elementos do conjunto imagem de f?

O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A é denominado conjunto imagem ou apenas imagem da função. Exemplo:

Solução:

1. Diga em quais itens temos funções: A

Observe as possíveis distâncias entre os pontos P e Q nas figuras abaixo:

B

a) − Não, pois existem elementos de A que não possuem correspondentes em B. A

B

Portanto o número de elementos da imagem dessa função é igual a 3. 3. (UFPE) Dados os conjuntos A ={a, b, c, d} e B ={1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B .

b) − Sim, pois todos os elementos de A possuem um único representante em B. A

a) {(a, 1), (b , 3), (c, 2)}

B

b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5 )} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a )}

c) − Sim, pois todos os elementos de A possuem um único representante em B.

Solução: Para que f: A em B seja uma função, devemos ter para cada um elemento de A um único correspondente em B, logo a solução é {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}, ou seja:

93


UEA – Licenciatura em Matemática

4. Sendo uma função f: IR → R definida por f( x ) = 2 − x, assinale a alternativa correta:

a) 1 b) 2

a) f(−2)=0

c) 3

b) f(−1)=−3

d) 4

c) f(0)=−2

e) 5

d) f(1)=3

1.6 Gráfico de uma função

e) f(−3)=5

Dizemos que uma relação binária R: A → B é função ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um e único ponto em R, ∀ x ∈ A.

Solução: f(−3) = 2 – (−3) = 2 + 3 = 5 5. A relação R = { (−2, −1), (−1, 0), (0, 1)} é uma função. Determine o domínio e o conjunto imagem.

Exemplos: a)

Solução: Observe o diagrama:

Portanto, D(R) = {−2, −1, 0} e Im(R) = {−1, 0, 1} Representa o gráfico de uma função ou aplicação. b)

1. Qual é a imagem do elemento 5 na função f definida por f(x)= 1+ 2x2? a) −10 b) 51 Não é uma função, já que existem retas que tocam o gráfico em mais de um ponto.

c) 41 d) −31 e) 21

c)

2. Obtenha o elemento do domínio de f(x)= 4x−3, cuja imagem é 13: a) −4 b) −2 c) 7 d) 4 e) 5

Representa o gráfico de uma função ou aplicação x > −2.

3. (ACAFE−SC) Sejam a s funções definidas por f(x)= 2x+a e g(x)= −3x+2b. Determine a + b, de modo que se tenha g(1)=3 e f(0)=−1: 94


Matemática Elementar II – Funções

TEMA 22 1. (UFCE) O domínio da função real DOMÍNIO

é: a) x > 7

O domínio consiste em determinar os valores reais de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em IR. Para isso, teremos que determinar a condição de existência (C.E.) da função dada.

b) x ≤ −2 e x ≠ 1 c) 2 ≤ x < 7 d) x ≤ 2 ou x > 7 e) n.d.a.

Exemplos de determinação da condição de existência nas diferentes situações:

2. (CESCEM−SP) Dada a função

1. f(x) = x → D = IR , determinar as raízes da função.

seu domínio ou campo de definição é:

Exemplos: O domínio da função −x2 + 5x –7 = 0 é D = IR O domínio da função –x + 7

d) −2 ≤ x ≤ 2

3. (OSEC−SP) O domínio de definição da função com valores reais é um dos conjuntos abaixo. Assinale-o:

→ C.E.: x diferente de zero

a) x ≤ −1 ou x ≥ 3 b) −3 ≤ x ≤ 1

Exemplos:

c) x ≤ −3 ou x ≥ 1

O domínio da função f(x) =

d) 3/2 ≤ x ≤ 2

é

e) n.d.a.

D = IR – {−1}, já que x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1 O domínio da função f(x) =

4. (FEI−SP) Sendo y = uma função de valores reais, o seu conjunto de definição D é:

é

D = IR – {± 2}, já que x2 − 4 ≠ 0 → x ≠ ± 2

4. f(x) =

c) x ≥ −2

–7x −101 = 0

(denominador) D = IR – {0}

3. f(x) =

b) x > 5/2

e) −2 < x < 3

é D = IR 2. f(x) =

a) x qualquer

a) D = ∅ b) D = {−1, 1}

→ C.E.: x ≥ 0 → D = { x∈R / x ≥ 0}

c) D = [ −1, 1]

→ C.E.: B(x) > 0

d) D = IR e) n.d.a.

Exemplos:

5. (CESCEA−SP) O conjunto de todos os valo-

O domínio da função f(x) = é D = {x∈IR/x ≤ 1/2}, já que 1 – 2x ≥ 0 → x ≤ 1/2 O domínio da função f(x) =

res de x, para os quais um número real, é:

é

a) b) c) d) e)

D = {x∈IR /x ≥ −2}, já que 3x + 6 >0 → x > −2

95

−1 ≤ x < 2 x≠2 x < −1 ou x > 2 x ≤ −1 ou x > 2 –1/2 < x ≤ 5

é


UEA – Licenciatura em Matemática

Solução:

FUNÇÃO DO 1.º GRAU

a) A função custo total (y) é dada por y = f(x) = 25x + 50, onde x representa a quantidade de cadeiras que serão produzidas.

Situação-problema:

b) Atribuindo valores reais para x ≥ 0, obtemos seus valores correspondentes para y.

TEMA 23

Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

Se x = 0, então y = 25.0 + 50 = 50. Se x = 1, então y = 25.1 + 50 = 75. Se x = 2, então y = 25.2 + 50 = 100.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

c) O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(0,50), (1,75), (2,100)}. d) O gráfico é dado por:

Solução: y = salário fixo + comissão y = 500 + 50x b) Quanto ele ganhará no fim do mês se vendeu 4 produtos? Solução: y = 500 + 50x, onde x = 4 y = 500 + 50.4 = 500 + 200 = 700 c) Quantos produtos ele vendeu se no fim do mês recebeu 1000 reais?

2. Construa o gráfico da função determinada por f(x)=−x+1.

Solução: y = 500 + 50x, onde y = 1000

Solução:

1000 = 500+50x ⇒ 50x = 1000 − 500 ⇒

a) Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

50x = 500 ⇒ x = 10 A relação assim definida por uma equação do 1.º grau é denominada função do 1.º grau, sendo dada por: y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ IR (a

Se x = −2, então y = −(−2) + 1 = 3. Se x = −1, então y = −(−1) + 1 = 2. Se x = 0, então y = −0 + 1 = 1.

≠ 0)

Se x = 1, então y = −1 + 1 = 0. Se x = 2, então y = −2 + 1 = −1.

1.6 Gráfico da função do 1.º grau:

b) O conjunto dos pares ordenados determinados é f = {(−2, 3), (−1,2), (0,1), (1,0), (2,−1)}.

O gráfico de uma função do 1.º grau de IR em IR é uma reta, onde:

c) O gráfico é dado por:

• Se a > 0, então a reta será crescente; • Se a < 0, então a reta será decrescente. Exemplos: 1. Para a produção de cadeiras escolares, têm-se um custo fixo de R$ 50,00 e um custo de produção por unidade de cadeira sendo de R$ 25,00. Vamos construir o gráfico do custo total (y) em função do número de cadeiras produzidas (x). 96


Matemática Elementar II – Funções

Note que o gráfico da função y = −x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

TEMA 24 1.7 RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1.º GRAU

1.8 Sinal de uma função de 1.º grau

Para determinarmos a raiz ou o zero de uma função do 1.º grau, definida pela equação y = ax + b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da reta que representa a equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x, 0).

Observe os gráficos:

1. Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função. Solução:

Note que:

Basta determinar o valor de x para termos y = 0:

Para x = −b/a, f(x)=0 (zero da função).

x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Para x < −b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Dizemos que −1 é a raiz ou zero da função.

Exemplos:

Para x > −b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a.

1. Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0. a) y = f(x) = x + 1 Solução: x + 1 > 0 ⇒ x > −1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x > −1 x + 1 < 0 ⇒ x < −1 Logo, f(x) será menor que 0 quando x < −1.

Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em −1, que é a raiz da função.

b) y= f(x) = −x + 1 Solução:

2. Determine a raiz da função y = −x + 1 e esboce o gráfico.

−x+1>0 ⇒ −x>−1 ⇒ x<1 Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1.

Solução:

−x + 1 < 0 ⇒ −x < −1 ⇒ x > 1

Fazendo y=0, temos:

Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1.

0 = −x+1 ⇒ x = 1 Gráfico:

1. Dadas as funções

e g(x) = 2x − 4,

calcule os valores de x para os quais g(x) < (x). Solução: 2x − 4 < − x + 1/2 ⇒ 3x < 9/2 ⇒ x < 3/2 97


UEA – Licenciatura em Matemática

2. Determine a lei da função do 1.o grau que passa pelos pares de pontos (0, 1) e (1, 4).

O gráfico de S toca o eixo u em u = −b/a = −240/12 = −20 (absurdo, já que u ≥ 0), então:

Solução: Para (0,1), temos que 1 = a.0 + b ⇒ b = 1. Para (1,4), temos que 4 = a.1 + b ⇒ a+b = 4.

Portanto y = 3x + 1 3. Faça o gráfico da função

. D = {u ∈ IN| u 0 ≥ 0} e Im = {S ∈ IN| S ≥ 240}.

Solução:

A função do 1.º grau toca o eixo das abscissas em

. 1. (UFU−MG) No gráfico a seguir, estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y = 3−x e y = kx + t, respectivamente. Determine os valores de k e t são, respectivamente.

Logo:

4. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

2. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico

a) Expresse o ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas. b) Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 708,00 ? c) Determine o domínio e a imagem desta função.

Solução:

a) f(x) = −x+2

O ganho mensal (S) desse vendedor em função do número (u) de unidades vendidas pode ser representado por uma função do 1.º grau y = ax + b, tal que y = S, a = 12 e b = 240.

b) f(x) = −x/2 + 1 c) f(x) = −x/2 + 2 d) f(x) = 4x e) f(x) = −x

Então, S = 12u + 240. Para S = 708, teremos 708 = 12u + 240 ⇒ 468 = 12u ⇒ u = 39 unidades.

3. Obtenha a função do 1.º grau na variável x que passa pelos pontos (0, 1) e (−3, 0). 98


Matemática Elementar II – Funções

8. (FGV−SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (4, 2) e (−1, 6). Determine o valor de m + n.

4. O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax + b. Assinale a alternativa correta:

9. (PUC−MG) Uma função do 1.o grau é tal que f(−1) = 5 e f(3) = −3. Determine o valor de f(0).

a)

10. (FUVEST−SP) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é :

a=0;b=0

b) a > 0 ; b > 0 c)

a) f(x) = x − 3

a<0;b>0

b) f(x) = 0,97x 1

d) a > 0 ; b = 0

c) f(x) = 1,3x

e)

d) f(x) = −3x

a>0;b<0

e) f(x) = 1,03x

5. (UFMA) A representação da função y = −3 é uma reta :

11. (UFRN) Seja a função linear y = ax − 4. Se y = 10 para x = −2, então, determine o valor de y para x = −1.

a) paralela aos eixo das ordenadas; b) perpendicular ao eixo das ordenadas; c) perpendicular ao eixo das abscissas;

12. (MACK−SP) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(−1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f( 3 ).

d) que intercepta os dois eixos; e) n.d.a.

6. (PUC−SP) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

a) a < 2 c) a = 0 e) a = 2

b) a < 0 d) a > 0

7. (ITAJUBÁ−MG) Qual a expressão que representa o gráfico abaixo?

99


UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 25

FUNÇÃO DO 2.º GRAU 1.9

Para calcular a área desse retângulo, precisamos multiplicar a medida da altura pela medida da base. Se chamarmos a área desse retângulo de y, e a medida da altura de x, vamos ter:

Introdução A função do 2.º grau está sempre presente em nosso cotidiano. Pode-se observá-la na Física quando se vê um fruto caindo de uma árvore; um carro passando pela rua, etc.

y = x.(x + 2) y = x2 + 2x

Dentro do movimento uniformemente variado, em trajetória vertical, temos as seguintes características:

Essa expressão mostra que a área (y) desse tipo de retângulo está relacionada à medida (x) da altura por uma equação que é também de uma função de 2.o grau. Se o valor x da altura for, por exemplo, 3cm, o retângulo terá a seguinte área:

1. a aceleração é igual a da gravidade (g); 2. quando há a queda de um corpo, sua velocidade aumenta (movimento acelerado); 3. na subida de um corpo a velocidade dele diminui (movimento retardado) gradualmente até anular-se no ponto mais alto, ou seja, nesse ponto a velocidade passa a ser igual a zero. Dentro deste movimento, destacamos as seguintes equações básicas: • equação do espaço (

y = 32 + 2.3 y=9+6 y = 15cm2 Chama-se função polinomial do 2.o grau, ou função quadrática, a toda função f : IR → IR definida por

);

f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b, c ∈ IR e a ≠ 0.

• equação de Torricelli (v2 = vo2 + 2gS), que representam.

16.3 Gráfico

Antigamente, havia várias hipóteses sobre o MUV, uma delas é de Galileu Galilei (1564− 1642). Ele dizia “que não interessava os pesos dos corpos na velocidade de sua queda” (um de seus experimentos comprovou que os corpos leves só eram retardados pela resistência do ar), mas a maioria das pessoas acreditava na hipótese de Aristó-teles (384− 322 a.C.), que dizia “que a velocidade de um corpo era proporcional a seu peso”.

Imagine um círculo com o raio de determinada medida, por exemplo 2cm. Qual é a área desse círculo?

Se observarmos atentamente a equação que nos permite calcular a área do círculo, perceberemos que o raio (r) aparece ao quadrado. Isso é característica de uma equação de 2.º grau. Entre a medida do raio de um círculo e a sua área existe uma correspondência que é uma função do 2.º grau.

1.10 Definição

Exemplo

Imagine um retângulo em que a medida da ba-se seja duas unidades a mais do que a medida da altura.

Construir o gráfico da função f:IR → IR definida por f(x) = –x2 – 2x + 3. 100


Matemática Elementar II – Funções

Resolução: Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. X

y = x2 – 2x – 3

(x; y)

–4

y = (–4)2 – 2 . (–4) + 3 = – 5

(–4; –5)

–3

y = (–3)2 – 2 . (–3) + 3 = 0

(–3; 0)

–2

y = – (–2)2 – 2 . (–2) + 3 = 3

(–2; 3)

–1

y = (–1)2 – 2 . (–1) + 3 =4

(–1; 4)

Observe que, nesse caso, a > 0 e Δ = 0

0

y = 02 – 2 . 0 + 3 = 3

(0; 3)

Exemplo 4

1

y = 12 – 2 . 1 + 3 = 0

(1; 0)

2

y = 22 – 2 . 2 + 3 = – 5

(2; –5)

Construir o gráfico da função f : R → R definida por f(x) = x2 + 2x –3.

Localizamos os pontos obtidos num sistema

Resolução:

de coordenadas cartesianas:

Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. x –1 0 1 2 3

y = –x2 + 2x – 3 2

y = –(1) + 2 . (–1) –3 = – 6

(x; y) (–1; –6)

2

(0; –3)

2

(1; –2)

2

(2; – 3)

2

(3; –6)

y=–0 +2.0–3=–3 y=–1 +2.1–3=–2 y=–2 +2.2–3=–3 y=–3 +2.3–3=–6

Localizamos os pontos obtidos num sistema de coordenadas cartesianas.

Observe que, neste caso, a < 0 e > 0. Exemplo 3 Construir o gráfico da função f : IR → IR definida por y = f(x) = x2 –4x +4. Resolução: Construímos uma tabela atribuindo alguns valores a x e calculando as imagens correspondentes. x

y = x2 – 4x + 4 = (x–2)2

(x; y)

y = (0 –

2)2

=4

(0; 4)

y = (1 –

2)2

=1

(1; 1)

Observe que, neste caso, a < 0 e < 0.

y = (2 –

2)2

=0

(2; 0)

Demonstra-se que:

3

y = (3 –

2)2

=1

(3; 1)

4

y = (4 – 2)2 = 4

(4; 4)

0 1 2

a) O gráfico de f é sempre uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo Oy.

Localizamos os pontos obtidos num sistema

b) Se a > 0, então a parábola tem a “concavidade voltada para cima”.

de coordenadas cartesianas. 101


UEA – Licenciatura em Matemática

c) Se a < 0, então a parábola tem a “concavidade voltada para baixo”.

Lembrando que x1 + x2 =

e x1 . x2 =

,

temos:

d) A parábola sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0; c).

f(x) = ax2 + bx + c =

e) Se Δ = b2 – 4ac < 0, então f não admite raízes reais. A parábola não intercepta o eixo Ox.

= =

f) Se Δ = b – 4ac = 0, então f admite uma única raiz. A parábola tangencia o eixo Ox. 2

=

g) Se Δ = b2 – 4ac > 0, então f admite duas raízes reais distintas. A parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos.

1.12 Vértice da parábola O vértice da parábola (gráfico de f) é o ponto,

Conclusão A parábola que representa uma função polinomial do 2.º grau pode ser seis tipos possíveis, conforme os valores de a e de Δ. A saber:

Se a > 0, então V é ponto de mínimo de f.

Se a < 0, então V é ponto de máximo de f.

1.11 Fatoração Se {x1, x2} é o conjunto−verdade em R da equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, então a forma fatorada de f(x) = ax2 + bx + c é:

1.13 Conjunto-imagem

f(x) = a . (x – x1) . (x – x2) Demonstração

1.14 Eixo de simetria

Sejam x1 e x2 as raízes de f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0.

É a reta vertical de equação 102

.


Matemática Elementar II – Funções

1.15 Sinal das Raízes Seja V = {x1; x2} o conjunto-verdade da equação do 2.o grau ax2 + bx + c = 0, com {a; b; c} ⊂ R. Lembrando que Δ=b2 − 4ac, S=x1+x2 = e P = x1 + x2 = P = x1 . x2 =

, temos:

b) Se r > 0 é um número real, então xv + r e xv – r são simétricos em relação a xv e, conseqüentemente, f(xv + r) = f(xv – r).

temos:

c) f(xv + r) = f(xv – r) ⇒ a(xv – r)2 + b(xv + r) + c= a(xv – r)2 + b(xv – r) + c ⇒ a(xv2 + 2rxv + r2) + bxv + br = a(xv2 – 2rxv + r2) + b(xv – br) ⇒ axv2 + 2arxv + ar2 + br = axv2 – 2arxv + ar2 – br ⇒ 4arxv = – 2br ⇒ xv =

a) x1 > 0 e x2 > 0 se, e somente se:

Δ≥0 P>0 S>0 b) x1 < 0 e x2 < 0 se, e somente se:

Δ≥0 P>0

d)

S<0

=

c) x1 e x2 de sinais contrários se, e somente se: P<0 Observação: No item c, a condição Δ > 0 é desnecessária, pois P<0⇒

2. Determinar o vértice V e o eixo de simetria (e) da parábola que representa o trinômio y = x2 – 2x – 3.

<0⇔–4ac>0

⇒ b2 – 4ac > 0 ⇒ >0.

Resolução:

1. Demonstrar que o vértice da parábola da equação y = f(x) = ax2 + bx + c, é o ponto Graficamente, temos:

, com Δ = b2 – 4ac e a ≠ 0. Resolução: a) O ponto V(xv; yv) pertence a eixo de simetria da parábola, reta vertical (e).

103


UEA – Licenciatura em Matemática

3. Observe que {y ∈ R|y ≥ −4} é o conjuntoimagem da função f: R→R, tal que f(X) = x2 – 2x – 3.

TEMA 26

Solução: 17. INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU

O vértice é o ponto de coordenadas (1, –4), e o eixo de simetria é a reta da equação x = 1.

1.16 Definição

4. Determinar os valores de k ∈ R, tais que:

Solução:

Chama-se inequação do 2.o grau a toda sentença aberta do tipo ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + b + c < 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0, com a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R.

1.º caso:

Como resolver:

Se k = 0, temos f(x) = 2x – 1, que não é negativo para qualquer x.

a) Resolver, em IR, uma inequação do 2.º grau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra acima do eixo x.

f(x) = kx2 + 2(k + 1) x – (k + 1) seja estritamente negativo para todo valor real de x.

2.º caso: Se k ≠ 0, o trinômio tem que ter um gráfico do tipo:

b) Resolver, em IR, um inequação do 2.º grau “do tipo” ax2 + bx + c < 0 (a ≠ 0) é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c se encontra abaixo do eixo x. Então, devemos impor

c) O conjunto solução da inequação x 2 – 6x + 5 < 0 em R, por exemplo, é {x ∈ IR| 1 < x < 5}, pois o esboço do gráfico da função f(x) = x 2 – 6x + 5 é:

(I) a < 0 ⇒ k < 0 (II) [2 (k + 1)2 – 4k [–(k + 1)] < 0 ⇒ 4 (k + 1)2 + 4k (k + 1) < 0 ⇒ 4 (k + 1) (k + 1 + k) < 0 ⇒ 4(k + 1) . (2k + 1) < 0 ⇔ –1< k <

pois

o gráfico é:

De (I) ∩ (II), temos –1< k

1. João comprou um terreno em Itacoatiara onde pretende construir uma casa de forma triangular, segundo a figura e as medidas abaixo:

Resposta: –1< k < 5. Para que valores de k a equação x2 + 2kx + (k2 – k – 2) = 0 admite duas raízes reais e de sinais contrários? Solução: Raízes de sinais contrários ⇔

Qual deve ser o menor valor de x para que a 104


Matemática Elementar II – Funções

4. Resolver, em R, a inequação x2 – 4x + 5 ≥ 0.

área dessa casa seja maior que 24m2? Solução:

Solução:

• O terreno é um triângulo de área igual a

O conjunto-solução da inequação x2 – 4x + 5 ≥ 0 é R, pois o esboço do gráfico

;

de f(x) = x2 – 4x + 5 é: • A > 24m2 ⇒

> 24 ⇒ x2 − 2x −48 > 0,

que representa uma inequação do 2.º grau. • Observe, graficamente, como fica a situação:

5. Resolver, em IR, o sistema

• Observe que –6 < x < 8. Porém x > 0. Então, o menor valor de x para que a área seja maior que 24m2 é igual a 9m.

Solução: a) O conjunto-verdade da inequação x2 – 4x + 3 > 0 é V1 = {x ∈ IR/ x < 1 ou x

2. Resolver, em R, a inequação x2 – 5x + 6 > 0.

> 3}, pois o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3 é

Solução:

do tipo: 2

O conjunto-solução da inequação x – 5x + 6 > 0 é {x ∈ IR/ x < 2 ou x > 3}, pois o esboço do gráfico de f(x) = x2 – 5x + 6 é:

b) O conjunto-verdade da inequação – x2 + x + 2 ≤ 0 é V2 = {x ∈ R| x ≤ –1 ou x ≥ 2}, pois o gráfico de g(x) = x2 + x + 2 é do tipo: 3. Resolver, em R, a inequação – x2 + 6x – 9 < 0. Solução: O conjunto-solução da inequação 2 –x + 6x – 9 < 0 é {x ∈ IR/ x ≠ 3} = R – {3}, pois o esboço do gráfico de f(x) = – x2 + 6x – 9 é: c) O conjunto-verdade do sistema é V = V1 ∩ V2:

Assim sendo: V = {x ∈ R / x ≤ –1 ou x > 3}. 105


UEA – Licenciatura em Matemática

5. (UF. UBERLÂNDIA) Se y = ax2 + bx + c é a equação da parábola representada na figura, pode-se afirmar que: 1. (UNIJUÍ) O esboço do gráfico que melhor representa a função y = x2 + 4 é:

a)

a) ab < 0 c) bc < 0 e) ac > 0

b)

b) b < 0 d) b2 – 4ac ≤ 0

De 6 a 17, resolva, em IR, as inequações: 6. x2 – 5x + 4 > 0 7. x2 – 5x + 4 ≤ 0 c)

d)

8. A solução do sistema de inequações:

a) c) e)

e)

x=1 x>1 x>7

9. (FGV) Se 2. (UNIFOR) O gráfico da função f, de IR em IR, definida por f(x) = x2 + 3x – 10, intercepta o eixo das abcissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a

b) 0 < x < 1 d) 0 ≤ x ≤ 1 A = {x ∈ R | 3x – 2x2 ≤ 0}, B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} e C = {x ∈ R |x2 – x – 2 ≤ 0},

então, (A ∪ B) ∩ C é:

a)

3

b) 5

a) {x ∈ R | – 1 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2} 3

c)

7

d) 8

c) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ ––}

e)

9

2 3 d) {x ∈ R | –1 ≤ x ≤ 0 ou –– ≤ x ≤ 2}

3. (CEFET–BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e b obedecem à relação: a)

b2 = 4a

b) –b2 = 4a

c)

b = 2a

d) a2 = – 4a

e)

a2 = 4

2 e) {x ∈ R | – 1≤ x ≤ 2} 10. x2 – 4x + 4 ≤ 0 11. – x2 + 3x – 4 > 0 12. – x2 + 3x – 4 < 0 13. – x2 + 3x – 4 ≤ 0

4. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo das abscissas: a)

y = x2

c)

y = –x2 4x – 4 d) y = –x2 + 5x – 6

14. Considere A = {x ∈ R : x2 – 7x +10 ≥ 0} e B = {x ∈ R : x2 – 4x + 3 < 0}. Podemos afirmar que A ∩ B é o conjunto:

b) y = x2 – 4x + 4

a) 1 < x ≤ 2 c) 2 ≤ x ≤ 5 e) 3 < x ≤ 6

e) y = x – 3 106

b) 2 < x ≤ 3 d) 1 < x ≤ 5


Matemática Elementar II – Funções

1 y = 2x2 – 7x + 3 = 2 (x – 3) (x – –––) 2 = (x – 3) (2x – 1)

TEMA 27

2. Fatorar, em IR, o trinômio y = x2 – 6x + 9.

1.17 INEQUAÇÃO DO “TIPO” QUOCIENTE E DO “TIPO” PRODUTO

Solução:

Observando, por exemplo, que

Procedendo da mesma forma que no exercício anterior, temos:

,pode-se

Δ = (–6)2 – 4 . 1 . 9 = 36 – 36 = 0

demostrar que:

Como Δ = 0, devemos aplicar: y = a (x – x1)2. Raiz: x2 – 6x + 9 = 0 E como a = 1, temos: y = x2 – 6x + 9 = 1 . (x – 3)2 = (x – 3)2 3. Resolver a inequação Solução: Resolver Assim sendo, toda inequação do “tipo” quociente, pode ser transformada numa inequação equivalente do “tipo” produto, se isso for conveniente.

é o mesmo que resolver

(x – 2) (x – 3) < 0 Então, pelo gráfico, temos:

e, portanto, a resposta é: 2 < x < 3. 1. Fatorar, em IR, o trinômio y = 2x2 – 7x + 3. Solução:

4. Resolver a inequação

Δ = b – 4ac = )–7) – 4 . 2 = 49 – 24 = 25. 2

2

.

Solução:

Portanto, Δ > 0. Aplicamos, então, a forma fatorada do trinômio do 2.º grau y = a(x–x1) (x–x2) em que a é o coeficiente de x2 e x1 e x2 são raízes. Determinamos as raízes do trinômio, resolvendo 2x2 – 7x + 3 = 0, o que nos fornece:

Resolver

é o mesmo que resolver

(x + 1) (x –1) ≤ 0 e x – 1 ≠ 0. Então, pelo gráfico, temos:

Então, temos:

e, portanto, a resposta é: – 1 ≤ x < 1.

1 a = 2, x1 = 3 e x2 = ––– . Logo: 2

5. Resolver a inequação (x – 1) . (x2 – 3x + 2) ≥ 0. 107


UEA – Licenciatura em Matemática

Solução:

Solução:

Façamos y1 = x – 1 e y2 = x2 – 3x + 2 e estudemos, separadamente, os sinais de y1 e de y2 pelos seus respectivos gráficos:

Façamos y1 = x –1 e y2 = x2 – 5x + 6 e, já que a regra de sinais do quociente

é a mesma

que a do produto v1 . v2, vamos proceder como no exercício anterior. Então, temos:

a) Na primeira faixa horizontal do quadro, “passamos a limpo” a variação de sinal de y1, obtida pelo gráfico, destacando que “à esquerda de 1” y1 é negativo, “à direita de 1”, y1 é positivo e, no ponto 1, y1 é igual a zero, isto é:

b) Na segunda faixa horizontal do quadro, fizemos o mesmo com y2. Resposta: v = {x∈R|x ≤ 1 ou 2 < x < 3}.

De 1 a 5, resolver, em R, as inequações:

O sinal do produto y1 . y2 é obtido por meio do “quadro de sinais”.

1. (x – 3) (x – 5) > 0

c) Na terceira faixa horizontal do QUADRO, deduzimos pela “regra de sinais do produto” o sinal de y1. y2 e assinalamos, no eixo x, os valores de x que acarretam y1 . y2 > 0 ou y1 . y2 = 0.

2.

3.

4. (x2 – 5x + 4) (x – 2) > 0 5.

Portanto a resposta é x = 1 ou x ≥ 2.

6. O conjunto solução da desigualdade

6. Determinar o conjunto-verdade da inequação

é:

. 108


Matemática Elementar II – Funções

11. (FURG) O domínio da função

a)

é:

y = f(x) = b)

a) b) c) d) e)

c) d) e)

1 1 1 1 1

≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4 < x ≤ 2 ou x > 4 < x ≤ 2 ou x ≥ 4 ≤ 3 ou x ≥ 4 < x < 2 ou x > 4

12. (PUC) Considere a função do 1.o grau f, de R em R, definida por

7. O conjunto-solução da inequação

m ∈ R.

é:

Para que valores de m essa função é decrescente?

a) –3 < x < 1. b) x < – 3 ou 0 < x < 1 c) –3 < x < – d) –

, onde

13. (UEL) O conjunto-solução da inequação

ou 1 < x <

, no universo IR, é

< x < 1 ou x >

e) –1 < x < 1 ou x > 3

a) [–1, 3] b) [–1, + ∞[

8. (PUC−RIO) No universo R, o conjunto− solução da inequação

c) ]–1, 0 [∪]0,3]

:

d) [–1, 3] ∪[2, +∞[

a) {x∈R|x > 0}

e) ]–1, 1, [∪[2, +∞[

b) {x∈R|x > 3} c) {x∈R|x < 0 ou x > 3}

14. (UNIRIO) Dadas as funções f(x) = x2 – 2x + 1, g(x) = 5 –x e h(x) = x2 – 4x + 3, definimos a

d) {x∈R|0 < x < 3} e) {x∈R| x > 0 e x ≠ 3} 9. (PUC–RIO) A inequação

função

. Analisando os valores

de x, para os quais (x) ϕ ≥ 0, temos:

< 2 tem

a) x < 1 ou 3 < x < 5

como solução o conjunto de números reais:

b) x < 1 ou 3 ≤ x ≤ 5

a) ]–∞; –1[∪]2;3[ b) ]2, 3[

c) x ≤ 1 ou 3 ≤ x ≤ 5

c) ]–∞, 1] ∪ [2, 3]

d) x > 5 ou 1< x < 3

d) [2, 3]

e) x > 5 ou 1< x < 3

e) ]1; 4]

15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = –x2 + 12x + 20, tem um valor

10. (FATEC) A solução real da inequação produto (x2 – 4) . (x2 – 4x) ≥ 0 é:

a) mínimo, igual a –16, para x = 6

a) S = {x∈R|–2 ≤ x ≤ 0 ou ≤ x ≤ 4

b) mínimo, igual a 16, para x = – 12

b) S = {x∈R|0 ≤ x ≤ 4

c) máximo, igual a 56, para x = 6

c) S = {x∈R|x ≤ –2 ou x ≥ 4} d) S = {x∈R|x ≤ –2 ou ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4

d) máximo, igual a 72, para x = 12

e) S = ∅

e) máximo, igual a 240, para x = 20 109


UEA – Licenciatura em Matemática

16. (PUC–MG) O lucro de um loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 – x) (x – 4). O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de: a) 7 peças

b) 10 peças

c) 14 peças

d) 50 peças

d) 12

e) 14

d) 4

e) 5

c) 3

a) é uma parábola de concavidade voltada para cima; b) seu vértice é o ponto V(2, 1);

17. (U. E. FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = –2x2 + 4x + 12, o valor máximo desta função é b) 3

b) 2

20. (UF. OURO PRETO) Em relação ao gráfico da função f(x) = – x2 + 4x – 3, pode−se afirmar:

e) 100 peças

a) 1

a) 1

c) intercepta o eixo das abscissas em P(–3, 0) e Q(3, 0); d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas;

c) 4

e) intercepta o eixo das ordenadas em R(0, 3).

18. (ESPM) Em um terreno de formato triangular deseja-se construir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima.

a) x = 2,5 e y = 7,5

b) x = 3 e y = 9

c) x = 4,5 e y = 10,5

d) x = 5 e y = 15

e) x = 3 e y = 1 19. (FAMECA) No quadrado ABCD, com 6m de lado, o valor de z para que a área sombreada seja máxima, será, em centímetros:

110


Respostas de ExercĂ­cios



Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios

UNIDADE I –

Conjuntos Numéricos

b) 2. a) −14m4n4 b)

TEMA 01 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

3. a) 5a3b

1. a) 0; 0,7; 7,7; -7 b) ; π; 0,70007... 2. a) 1,25

b) 1,666...

3. a) 9/20

b) 5/11

b) c) 5,8333...

c) 54/25

d) 0,4

b) 1

c)

5. a) 9m3n2p

b)

c)

d) 49/9

4. 10 5. a) b) c) d)

4. a) −125a6b3c9

comutativa (adição) comutativa (multiplicação) associativa (adição) associativa (multiplicação)

6. a) 72,5 Kg ; 57,5 Kg

b) 1,76 m ; 1,60 m

7. a) 0,45 x

b) 0,60y – 2

c) 0,45 x + 0,6y – 2

8. a) 13/5

b) – 13

6.

9. a) 3

b) 3/2

7. d

10. 1000 + 40t

8.

Q

I

Q∩I=∅

11. a) 5x − 1

b) 2x4 + 4x3 − 2x2 − 8x − 4

2b + 6 17c − 34 −4x − 16 −2a.+ 2b

c) 2x3 + 10x2 − 4x − 20

12. Sim,

b) 5x9 − 4x4 + 2x

13. a)

10. Cada ponto da reta corresponde a um, e somente um, número real. 11. −

c) 7x – 1

12. a) x3 + 7x2 + 11x + 5

R

9. a) b) c) d)

b) 5x – 2

14. a) 4x – 1

R=3

b) 4x – 5

e

R = 14

15. x2 + 3x − 7

×

=2e

16. x + 3

13. Quando a parte infinita é periódica. 14. 0,555... = 5/9

15. 251,20 cm

16. a) 321/50

b) 7,53 ; 1,35

UNIDADE II

– Produtos Notáveis

TEMA 03 PRODUTOS NOTÁVEIS

TEMA 02

1. a) 4x2 + 40x + 100 POLINÔMIOS

b) c) 25x2 − 10x + 1

1. a) a2 − 2b2 + 3a 113


UEA – Licenciatura em Matemática

h) (x + 8).(x + 2)

d)

i) (x + 5).(x + 2)

e) x4 − 1

j) (2a − 5b).(4a2+ 10ab + 25b2)

f)

2. a) b) c) d) e)

2. a) 27x3 + 54x2 + 36x + 8 b) x3 − 6x2 + 12x − 8 c)

3. 900

d) 1 − 6x + 12x2 − 8x3

4. b

3. a) x4 + y2 + 1 + 2x2y + 2x2 + 2y b) 4x2 + y2 + 2y + 1 − 4x - 4xy 4. a) x3 − 27 2

5. 210

b) 8a3 + b3

5. a) x + 2x − 15

3.(x + 5).(x − 5) (x2+ 4).(x + 2).(x − 2) (a + x).(a − x + 1) 2.(x − 3)2 x.(x + 7)2

6.

2

b) x + (a − 2b)x − 2ab 7. 269

6. 15

8. y + 7a

7. 8

9. c

8. 2ab

10. d

9. 3x2 + 2x – 4

11. b

10. 3a2 + 3a2b2

12. a) (x − 3).(x + 2) b) (x + y).(x + 2y + 1) c) (2x + 3y).(2x − 3y)

11. 8 12. 25

13. 108.641

13. a) 4x2 + 4xy + y2 b) x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

14. 60

14. Não, 16x2 − 8xy3 + y6

15. 2006

15. b 16. x2 + 6x + 9

TEMA 07 FRAÇÕES ALGÉBRICAS

TEMA 05

1. a) FATORAÇÃO

1. a) b) c) d) e) f) g)

b)

x.(x − x − y) 2x.(3xy + 4) (x + y).(2 + a) (x + y).(a − 1) (2x − 3)2 (6a + 5b)2 (m + 10).(m − 10) 2

2. 6 3. 5 4. a) 3x – 2 5. 3 114

b) 0


Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios

6. a) −8a2b

5. d

b)

6. a

c)

7. 2.1027t 8. a) 1,99 × 1023g

7. a)

9. e

b)

10. c 8. a)

11. −1

b) 3.(x − 1)

12. 221 13. 216

9. a)

14. R$ 5.120,00

b)

15. 105 10. a) TEMA 11

b)

RADICAIS

c) 1. a) b) 36cm2 c)

11. a) 1ano b) Marcela 12. Azul: 1002001

2. a) F

Vermelho: 100.000.000

13. e

3. –14

14. b

4. a) b) c) 30 d) 2,5 e) f) 3

15. 1/4

UNIDADE III

– Potências e Radicais

5. a) TEMA 09

b)

POTENCIAÇÃO 1. a) 64

b) 2401

c) 1/64

c)

d) 1/729

d)

2. 14/15

6. c

3. a) V

b) F

c) F

4. a) −1

b)−a12

c) 2/27

d) F

7. d 8. b 115

b) F

c) V

d) V


UEA – Licenciatura em Matemática

9. b

f)

10. a

g) 5 h) – 6

11. c

8. x = –15, y = 2 e z = 5

12. b

9. c

13. a)

10. b

b) 4 c) x d)

11. d 12. a)

14. a) 27 cubos b) 12.096

b)

15. c) 13.

TEMA 13

14. t = b − c, com b ≠ c

EQUAÇÕES LITERAIS 1. b) c) d) e) f) g) h)

F A F F A A A

15. S = {a + b} 16. 5a 17. S = {2b} 18. S = {a + 2}

2. b e c

19. 11

3. a) b) c) d)

20. – 1

4 –10 10 – 25

21. R$ 48,00 22. 20 anos

e)

23.) 4.

30

24. 500.000 unidades 25. 89,5

5.

26. 80 kg

6. 4 anos

27. a) 0,25 litros b) 0,75 litros

7. a) 8 b)

28. 74 anos

c)

29. 114 km

d) 3 e) 0

30. 8 anos 116


Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios

UNIDADE IV

31. a) R$ 72.000,00 b) R$ 18.000,00

– Inequações e Sistemas

32. a) 15 m TEMA 15

b) 225 m2 e 375 m2 33. a) 88 180 083 b) 57 624 291 c) 160 317 177

INEQUAÇÃO DO 1.º GRAU

1. a)

34. 84 anos

b) S = {x ∈ IR| x ≤ −2} c) S = {x ∈ IR| x < 2} d) S = {x ∈ IR| x ≤ 5}

TEMA 14

e) f) S = {x ∈ IR| x ≤ 1}

EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 1. a) b) c) d) e) f)

g)

12 –2 –9 Não tem solução. Não tem solução. –4

h) i) 2. –3

2. a) Não tem solução. b) – 1

3. 0

c) 4. 1 senador e 7 deputados, ou 2 senadores e 6 deputados, ou 3 senadores e 5 deputados.

d) 2 e)

5.

f) 18

81 melões

6. 21 anos

3. a)

7. b

b)

8. c

c) 32 na 7.ª série A e 300alunos na 7.ª série B.

9. e

4. 3 calças e 5 blusas. 5.

TEMA 16 SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU

6. 3 horas 7. – 25

01. Demonstração

8. 3

02. Sim

9. 8 meses

03. (8, 3) 117


UEA – Licenciatura em Matemática

19. a) 1

04. b

b)

05.a) S = {(4,1)}

c) 5 b) c) S = {(14,6)} d) S = {(−5,7)} e) S = {(−4,−4)}

20.

22.

06. a) 7 vitórias b) 16 empates 07. 5 08. a) b) c) d)

S S S S

= = = =

{(3,−5)} {(23,14)} {(4,32)} {(1,−2)}

a)

e) 09. 12 reais 10. 10,5 km/h e 7,5 km/h 11. Marta, 15 anos e Renata, 10. b)

12. a) S = {(7,3)} b) S = {(15,−14)} c) d) S = {(2,3)} e) S = {(20,20)} f) 13. 24 porcos e 96 galinhas

c)

14. 32 e 12 anos 15. a) 140 cm3 b) Não. Porque o volume de 2kg de ouro é igual 100cm3. c) 1,2kg de ouro e 0,8kg de prata. 16. a) 200 b) 500 d) 2 17. 83 18. b) S={(2,2)} c) S={(6,3)} d) S={(1,−4)} 118


Matemática Elementar II – Respostas de Exercícios

UNIDADE V

– EQUAÇÃO DO 2.º GRAU TEMA 20 INTERVALOS REAIS

TEMA 16 1. a)

SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU

b) c)

1.

2. a) [−4,7] = {x ∈ R| −4 ≤ x ≤ 7} b) ]2,5[ = {x ∈ R| 2 < x < 5} c) [1,3[ = {x ∈ R| 1 ≤ x < 3}

c) {0, 7} (d) ∅

2. a) {–5, 5} b) 3. 7 e m = 2

UNIDADE VI

4. a) {–2} b) {1, 9}

– FUNÇÕES

c) TEMA 21

d) {–1, 7} e) {–9, –3} f) {1, 8}

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1. b

5. 49cm2

2. d 6. a) {–5, –3} c) {1, 5} e) {0, 3}

b) {–3, 2} d) {–1, 8} f) {–1, 4}

3. b

7. –6

TEMA 22

8. Uma solução

DOMÍNIO

9. 8 e 9 ou – 9 e –8

1. b

10. 3

2. b

11. 50m 12. a) b) c) d) e) f)

3. d

{–7, –6} {–4, 6} {–4, 5} {4} {–6, –1} {1 –

4. a 5. e

13, a) 5cm b) 6cm c) 5cm

TEMA 23

14, 9m de comprimento e 5m de largura ou 5m de comprimento e 9m de largura. 15. a) {(2, 0); (–1, –3)} c) {(0, 5; 2); (2; 0, 5)}

FUNÇÃO DO 1.º GRAU 1. 1/2 e 0

b) {(5, 5); (–5, – 5)} d) {(2, 1) ; (–6; 9)}

2. c 119


UEA – Licenciatura em Matemática

3. y= x/3 +1 TEMA 27

4. e

INEQUAÇÃO PRODUTO E QUOCIENTE

5. b 6. b

1. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}

7. y = 1,5 x + 3

2. V ={x ∈ R| x < 3 ou x > 5}

8. 22/5

3. V ={x ∈ R| x ≤ 3 ou x > 5}

9. 31

4. V ={x ∈ R|1< x < 2 ou x > 4}

10. b

5. V ={x ∈ R|−2 ≤ x < 1 ou x ≥ 2}

11. 31

6.

12. 1

7. x < – 3 ou 0 < x < 1 8. {x ∈ R| x > 0 e x ≠ 3}

TEMA 26

9. ]–∞; –1[∪]; 3[

INEQUAÇÃO DO 2.º GRAU 1. a

10. S ={x ∈ R|x ≤ −2 ou 0 ≤ x ≤ 2}

2. c

11. 1<x ≤ 2 ou x ≥ 4

3. a

12. V ={m ∈ R|0< m < 1 ou m > 3}

4. c

13. ]–1, 1, [∪[2, + ∞[

5. c

14. x<1 ou 3 ≤ x ≤ 5 15. c

6. {x IR/ x< 1 ou x > 4}

16. a

7. {x IR/ 1 ≤ x ≤ 4}

17. e

8. a

18. a

9. b

19. c

10. {2}

20. b

11. ∅ 12. IR 13. IR 14. a

120


REFERÊNCIAS BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. São Paulo, Moderna, 2002. IEZZI, Gelson, 1939_Matemática e realidade / Gelson Iezzi, Osvaldo Doce, Antônio Machado_4ª ed. Reform._São PauloÇ Atual, 2000. GIOVANNI, José Ruy Giovanni / Eduardo Parente._São Paulo: FTD, 1999 (Coleção aprendendo matemática: novo) Dante, Luiz Roberto_ Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2003. Biachinni, edwaldo, 1935._ Construindo conhecimentos em Matemática / Edwaldo Biachinni, marcos Miani: _1.ª ed._ São Paulo: Moderna, 2000. Giovanni, José Ruy, 1937._ Matemática Pensar e Descobrir: novo / Giovanni Jr. _ São Paulo: FTD, 2000. _ (Coleção Matemática pensar e descobrir) Silveira, Ênio, 1958. _ Matemática / Ênio Silveira, Cláudio Marques _ São Paulo: Moderna, 1995. Guelli, Oscar _ Matemática_ Uma aventura do pensamento _ ed. ref. São Paulo: editora Ática, 2001. IMENES, Luiz marcio; LELLIS, Marcelo.Matemática.São Paulo, Scipione, 2001. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; JR., José Ruy Giovanni. A conquista da matemática. São Paulo, FTD, 1998. GUELLI, Oscar. Matemática, uma aventura do pensamento. São Paulo, Ática, 2001. CAVALCANTE, Luiz G.; SOSSO, Juliana; VIEIRA, Fábio; ZEQUI, Cristiane. Mais Matemática. São Paulo, Saraiva, 2001.



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