Domingos Anselmo Moura da Silva Genilce Ferreira Oliveira Dรกrio Souza Rocha
Matemรกtica Elementar III
Manaus 2006
FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice−Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice−Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró−Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró−Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró−Reitor de Pós−Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico−gramatical João Batista Gomes
Silva, Domingos Anselmo Moura da. S586m
Matemática elementar III / Domingos Anselmo Moura da Silva, Genilce Ferreira Oliveira, Dario Souza Rocha. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Oliveira, Genilce Ferreira. II. Rocha, Dario Souza. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
07
UNIDADE I – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
09
TEMA 01 – A função e o cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Funções injetivas e sobrejetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 – Funções inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 13 15
UNIDADE II – Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
TEMA 04 – Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 05 – Função composta e sua linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 19
UNIDADE III – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
TEMA 06 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 07 – Potência com expoente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 08 – Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 27 28
UNIDADE IV – Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
TEMA 09 – Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 10 – Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 11 – Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 36 37
UNIDADE V – Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades dos logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 41 42 43 43 44
UNIDADE VI – Equações e inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
TEMA 18 – Módulo de um número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 19 – Equações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 20 – Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55 55 57
UNIDADE VII – Funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
TEMA 21 – Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
UNIDADE VIII – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
TEMA 22 – Seqüências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 23 – Seqüência de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75 77
12 13 14 15 16 17
– – – – – –
UNIDADE IX – Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
83 85 88 89 90 92 93
24 25 26 27 28 29 30
– – – – – – –
Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula do termo geral de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PA monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extremos e meios em uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representação prática dos termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolação aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma dos n primeiros termos de uma PA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
UNIDADE X – Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA
31 32 33 34 35 36 37
– – – – – – –
Progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula do termo geral da PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classificação das progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representação prática de três termos em PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite da soma dos infinitos termos de uma PG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105 107 110 111 112 113 115
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
PERFIL DOS AUTORES
Domingos Anselmo Moura da Silva Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Mestre em Matemática - UFAM
Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM
Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática - UFAM Especialista em Matemática - UFAM
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de responder aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico−científico. Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para oferecer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos existenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando− lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar. Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apostam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensino em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”. A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE I Funções
Matemática Elementar III – Funções
Para perceber essa relação, vamos usar como exemplo uma flor, que aos olhos de um admirador representa a beleza, o amor e a paz, e aos olhos de um sensível observador, a imagem do nosso mundo, com fatores individuais, físicos, econômicos, humanos e sociais.
TEMA 01
A FUNÇÃO E O COTIDIANO Como o homem percebeu que tudo e todos estão relacionados de forma que nenhum efeito tem origem numa única causa?
Na linguagem do dia−a−dia, é comum ouvirmos frases como “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro também abrirmos revistas ou jornais e encontramos gráficos sobre os mais variados assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo.
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou nas revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos esses gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.
A idéia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto essa forma de representação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias interpretações até chegar ao modernamente utilizado. No século XVIII, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646− 1716) considerou como função as quantidades geométricas variáveis, relacionadas com uma curva.
O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o), e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).
Posteriormente, Leornhard Euler enfatizou menos a representação analítica e deixou antever como conceito de função toda variável que dependa de outra, ou seja, se a segunda variar, a primeira também irá variar. Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet e Lagrange deram novas contribuições para o estudo das funções.
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...
A Idéia de Função O canto dos grilos é um som familiar no campo numa noite quente. O ritmo em que os grilos cantam depende da temperatura: quando está quente, eles cricrilam mais do que em qualquer outro tempo. A tabela abaixo mostra como o ritmo e a temperatura estão relacionados.
Vamos ler um pouco mais. As necessidades do homem, com os mais variados propósitos, fizeram dele, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como das suas causas e dos seus efeitos. Essa busca nos fez perceber que tudo e todos estão relacionados de tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa.
Temperatura em Graus Farenheit (*)
50
60
70
80
Número de cricrilos em 15s
10
20
30
40
(*) A relação entre graus Farenheit (F) e graus Celsius (C) é dada pela equação: F = C x 1,8 + 32 11
UEA – Licenciatura em Matemática
Para cada temperatura desta tabela, existe um correspondente número de cricrilos em quinze segundos. Observe que, para cada temperatura, existe um único número correspondente. Um matemático diria que o número de cricrilos em quinze segundos é uma função da temperatura.
Substituindo n = 40, obtemos C = 0,6 x 40 + 4 = 28 A tabela é :
Uma maneira de representar uma função é com uma tabela exposta acima. Uma outra maneira é escrever uma fórmula. Na tabela acima, cada número da segunda linha é o correspondente número da primeira linha menos 40. Se chamamos F a temperatura em graus Fahrenheit e n representa o número de cricrilos em 15 segundos, podemos escrever.
Temperatura em Graus Farenheit (*)
0
10 20
30
40
Número de cricrilos em 15 s
4
10
22
28
16
Resumindo, se temos dois conjuntos S e T, por uma função ou aplicação de S em T, entendemos uma correspondência (ou regra, ou mecanismo), que associa para cada elemento S um único elemento de T. O conjunto S é usualmente chamado de domínio da função, e o conjunto T é chamado de contradomínio.
n = F − 40 ou F = n + 40 As duas letras nas fórmulas acima são variáveis. Na primeira, n varia de acordo com a variação de F, isto é, n é função de F. na segunda, F varia de acordo com a variação de n, isto é F é função de n.
Notação e vocabulário Já foram discutidos vários aspectos da teoria dos conjuntos: operações, elementos, etc. Neste capítulo, olhamos a teoria dos conjuntos sob um outro ponto de vista. Na verdade, cuidamos de aplicações de um conjunto noutro.
A fórmula de uma função permite-nos escrever a correspondente tabela. Basta escrever os números que queremos para a primeira linha e substituí-los na fórmula para achar o número correspondente da segunda linha.
Por quê? Por várias razões, como poderemos ver adiante. É uma noção útil e leva−nos para resultados importantes. Podemos descrever muitos fatos matemáticos como estudo de funções apropriadas. Em outras palavras, o conceito de aplicação (ou função) que já estamos a estudar é muito usado e constitui-se num dos pontos mais importante da matemática.
Por exemplo, uma fórmula para a temperatura em graus Celsius, C, como uma função do ritmo do canto dos grilos em 15 segundos, n, é C = 0,6n + 4 Para ver isso, basta observar que F = C x 1,8 + 32. Como:
A seguir, vamos tratar de alguns conceitos sobre funções. Para facilitar nossa comunicação, vamos introduzir alguma notação e vocabulário.
F = n + 40, temos: C x 1,8 + 32 = n + 40, ou C x 1,8 = n + 40 − 32 = n + 8, ou ainda: C = 0,6n + 4 (*) Para escrever a tabela dessa função, escolhemos alguns números n: 0, 10, 20, 30, 40 e substituímos então esses números na fórmula(*) para encontrar os correspondentes números de segunda linha.
Seja f uma função de um conjunto S para T. Podemos denotar esse fato com a notação: f:S→T
Substituindo n = 20, obtemos C = 0,6 x 20 + 14 = 16
Se s é um elemento de S e t ∈ T é o elemento que está associado pela função f a s, denotamos este fato por: t = f(s). Chamamos t como sendo a imagem de s pela função f. Algumas vezes, dizemos que t é o valor que f assume em s, ou que f leva s em t. Chamamos o conjunto
Substituindo n = 30, obtemos C = 0,6 x 30 + 4 = 22
Im f = {t∈T|existe s∈S; f(s) = t} de imagem da função f.
Substituindo n = 0, obtemos C = 0,6 x 0 + 4 = 4 Substituindo n = 10, obtemos C = 0,6 x 10 + 14 = 10
12
Matemática Elementar III – Funções
TEMA 02
FUNÇÕES INJETIVAS E SOBREJETIVAS Seja S o conjunto das pessoas que moram na rua A, e seja N o conjunto dos inteiros positivos. Se s é um dos residentes da rua A, definimos f(s) como sendo o número da residência de s na rua A . Portanto, se o Sr. Silva mora na Observe, no diagrama de flecha, que elementos distintos do conjunto A estão em correspondência com elementos distintos do conjunto B.
casa de número 25 da rua A, f (Sr. Silva) = 25. Observe que, se Maria é a esposa do Sr. Silva, então f(Maria) = 25. Consideramos o conjunto S das pessoas resi-
Então, a função é injetora.
dentes na rua A e N o conjunto dos inteiros positivos. Suponha que o sistema da identifi-
Exemplo 2
cação da polícia seja perfeito, de modo que
Mostre que a função polinomial do 1.o grau é injetiva.
cada pessoa tenha sua carteira de identidade com o respectivo número, independente se é homem, mulher, criança. Definimos a função
Solução:
g : S → N por g(s) = número da carteira de
Seja f uma função polinomial do 1.o grau, definida por f(x) = ax+b, onde, a, b ∈ R e a ≠ 0
identidade da pessoa s. Observe que, quaisquer duas pessoas distintas, s1 e s2, são tais
Dizemos que f é injetiva ⇔ ∀ x1, x2∈IR, com f(x1) = f(x2) ⇒ x1= x2
que g(s1) ≠ g(s2). Observe, então, que esta função aqui definida é distinta da função f definida acima, quanto a esse aspecto. Lá, f(Sr.
Sendo assim,
Silva) = f(Maria). Isto é, dois elementos distin-
f(x1) = f (x2) ⇒ ax1 + b = ax1 +b ⇒ ax1 = ax2 ⇒ x1 = x2
tos de S podem ter a mesma imagem. Aqui, ocorre que elementos distintos de S têm ima-
∴ f é injetiva
gens distintas. Nesse caso, dizemos, então, que g é injetiva ( ou injetora).
Exemplo 3:
Assim, h : S → T é injetiva (ou injetora) se, e
Sejam N conjunto dos inteiros positivos e T conjuntos dos inteiros positivos ímpares. Definimos
somente se, para todo par
f : N → T por f(n) = 2n − 1, para cada n ∈ N. Assim,
s1 , s2 ∈ S, com s1 ≠ s2 ⇒ h(s1) ≠ h(s2). Ou, equivalentemente, dizemos que h é injetiva se, e somente se, para todo par
f(1) = 2.1 − 1 = 2 − 1 = 1
s1, s2 ∈ S, com h(s1) = h(s2) ⇒ s1 = s2
f(10) = 2.10 − 1 = 20 − 1 = 19
Exemplos
f(35) = 2.35 − 1 = 70 − 1 = 69
Exemplo 1:
f define uma função de N em T. Observe que, como no Exemplo 2, f é injetiva, ou seja,
Sejam os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3}, B= {2, 4,
∀n,m ∈ N, se f(n) = f(m), então
6, 8, 10} e f: A → B uma função, definida por
2n − 1 = 2m − 1 ⇒ 2n = 2m ⇒ n = m.
f(x) = 2x + 2. 13
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 4:
Exemplo 8:
A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x) (Veja o exemplo 2).
A função f:IR → IR definida por f(x) = 2x não é sobrejetora, pois o número −1 é elemento do contradomínio IR e não é imagem de nenhum elemento do domínio.
Exemplo 5:
Exemplo 9:
A função f:IR → IR definida por f(x) = x² + 5 não é injetora, pois para x = 1, temos f(1) = 6 e para x = −1, temos f(−1) = 6.
Para qualquer conjunto não vazio podemos definir i : S → S por i(s) = s, para cada s ∈ S. Esta função aplica cada elemento de S sobre ele próprio. A função i é chamada função identidade. Algumas vezes, notamos a função identidade por id.
Mostraremos, a seguir, que a função f do exemplo 3 possui uma propriedade que a função do Exemplo 1 não possui. De fato, seja x qualquer inteiro positivo ímpar; podemos escrever x como sendo
É fácil ver que a função identidade é injetiva e sobrejetiva.
x = 2r – 1
Para refletir
para algum inteiro positivo r. Agora, f(r) = 2r − 1 = x. Isso significa dizer que qualquer elemento de T aparece como imagem de um elemento de N. Esta propriedade de f é muito importante, e dizemos que f é uma função sobrejetiva (ou sobrejetora).
Definimos f : Z → N por: (i) f(n) = 1, se n é para todo inteiro negativo. (ii) f(0) = 101 (iii) f(n) = n, se n é inteiro positivo.
Então, uma função f :S → T é sobrejetiva (ou sobrejetora ) se, para qualquer t ∈ T, existe um elemento s ∈ S tal que, f (s) = t.
A função f é injetiva? É sobrejetiva? Reforçando:
Equivalentimente,dizemos que f é sobrejetiva se, e somente se, o conjunto imagem da função f é igual ao contradomínio da função f.
Dizemos que uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) se, para qualquer t ∈ T, existe um elemento s ∈ S tal que, f (s) = t, equivalentemente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto C(f), ou seja, Im(f) = C(f).
Exemplo 6: A função f:IR → IR definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo elemento de IR é imagem de um elemento de IR pela função, ou seja, ∀ y ∈ IR existe f(x) = f(
∈ IR tal que
) = y.
Exemplo 7: Mostre que a função f: IR → IR+ definida por f(x) = x2 é sobrejetiva. Solução: Basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ a ∈ IR tal que f(a) = b. Tome a = . Sendo assim f(a) = a2 = ( para qualquer b ∈ IR+.
)2 = b,
Então, concluímos que f é sobrejetiva. 14
Matemática Elementar III – Funções
Solução: De fato, basta mostrar que ∀ a,b ∈ IR+, com a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f (b).
TEMA 03
Sendo a,b ∈ IR+, quaisquer, com a ≠ b. Temos, então, que ou a > b, ou a < b, em qualquer dos casos a2 ≠ b2 ⇒ f(a) ≠ f (b). Logo f é injetiva.
FUNÇÕES INVERSÍVEIS Dados dois conjuntos S e T não-vazios, pode existir uma função f : S → T tal que f seja injetiva e sobrejetiva. Nesse caso, f é chamada uma função bijetiva ou bijetora ou uma bijeção.
Afirmo que f é sobrejetiva. De fato, basta mostrar que ∀ b ∈ IR+, ∃ pelo menos um a ∈ IR+ tal que f(a) = b.
Essa definição sugere uma certa simetria em relação ao fato de ser bijetiva. Isto é, a definição fala de uma função bijetiva f de S para T. Mas, nesse caso, também existe uma função bijetiva de T para S, e essa função será chamada de a inversa de f, sendo usualmente denotada por f−1.
Tome a = . Sendo assim, f(a) = a2 = ( = b, para qualquer b ∈ IR+.
)2
Assim, concluímos que f é sobrejetiva. Exemplo 3: Na expressão
não podemos atribuir o
Vamos mostrar, em seguida, que se f : S → T é bijetiva, então existe g : T → S bijetiva.
valor 2 para x, pois teríamos
Demonstração:
consiste em uma impossibilidade matemática.
De fato, como f é bijetiva, em particular f é sobrejetiva. Logo, dado qualquer elemento t de T, existe algum s de S tal que f(s) = t. Como f é também injetiva, s é único; isto é, s é o único elemento de S com a propriedade de que f(s) = t. Ou seja, não existe ambigüidade em levarmos t naquele elemento s tal que t = f(s). Esse elemento s será chamado g(t). Essa regra associa cada elemento de T num único elemento de S, em outras palavras, define uma função g: T → S. Esta função é chamada a inversa de f e é comumente denotada por f−1.
Assim, para que a fórmula
que
possa repre-
sentar uma função, teríamos de eliminar a possibilidade de x vir a ser 2. Desse modo, pode ser definida f : IR – {2} → IR, tal que f(x) =
é uma função bem definida. Nesse
caso, IR – {2} é o domínio da função, e IR é o contradomínio. A função f definida acima é injetiva? Sim. De fato, para cada x, y ∈ IR – {2}, com x ≠ y, suponha por absurdo que f(x) = f(y), isto
Exemplos
significa que
Exemplo 1:
(x + 1).(y − 2) = (x − 2). (y + 1), e portanto 3x = 3y, que resulta em x = y, que é uma contradição. Logo, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y) , concluímos que a função é injetiva.
Seja g : Z → Z tal que g(s) = s – 6. É fácil ver que g é injetiva e sobrejetiva. Qual é a inversa de g? Solução:
=
, ou seja,
f é sobrejetiva?
Considere t um elemento de Z. Sabemos que g−1(t) = x, tal que g(x) = t. Mas, g(x) = x – 6 = t. Portanto x = t + 6. Assim, g−1(t) = t + 6, para todo t ∈ Z.
Não. Pois não existe s∈IR tal que f(s) = 1. De fato, se 1 = f(s) =
teríamos 3 = 0, que é
uma contradição.
Exemplo 2:
Agora considere g : IR − {2} → IR – {1}, tal que
Afirmo que a função f: IR+ → IR+ definida por f(x)= x2 é bijetiva, ou seja, f é injetiva e sobrejetiva.
g(x) =
. Pelo que vimos acima, g é injeti-
va e sobrejetiva. 15
UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo assim, temos que a função g tem uma inversa, que vamos denotar por g−1 a qual vamos determinar . Fazendo g(x)=
= y, temos
=y⇒
y(x − 2) = x + 1 ⇒ yx − 2 = x + 1 ⇒ yx − x = 1 + 2y ⇒ x(y − 1) = 1 + 2y ⇒ x = Portanto g−1(y) = Para refletir Quando podemos dizer que duas funções f e g são iguais? Duas funções f e g são iguais se, e somente se, f(x) = g(x), para todo x ∈ D(f), D(f) = D(g) e C(f) = C(g). Para refletir Sejam IR+ o conjunto dos números reais positivos e f : IR+ → IR+uma função, tal que f(x) =1/x, para cada x ∈ IR+. A função f é injetiva? É sobrejetiva?
16
UNIDADE II Funções Compostas
Matemática Elementar III – Funções Compostas
TEMA 04
TEMA 05
FUNÇÕES COMPOSTAS
FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM
No estudo de funções, há um caso muito interessante que vale a pena estudar pela sua oportunidade de generalização e conseqüente utilidade.
FORMAL Considerando as funções f: A → B e g: B → C, temos que a função composta de g com f é a função gof: A → C, sendo (go f) (x) = g (f(x)).
Sejam S um conjunto não-vazio e f, g duas funções definidas de S para S, isto é, f,g: S → S. Se s ∈ S, então g(s) ∈ S e, como qualquer elemento de S, pode ser aplicado pela função f, resultando no elemento f(g(s)) ∈ S. A partir dessa observação, podemos definir a chamada função composta, denotada por fog, definida como fog: S → S, tal que (fog) (x) = f(g(x)), para cada x ∈ S. Observe o diagrama de flecha abaixo: Exemplos Exemplo 1: Sejam f,g: IR → IR funções definidas por f(s) = 5s + 6 e g(s) =
. Determine fog e
gof. Solução: Sendo assim, temos: (f o g) (s) = f(g(s)) = f(
) = 5(
= g(f(x)) = g(5x + 6)=
)+ 6 =
e (gof)(x) = =
OBSERVAÇÃO:
Sendo h, g e f funções, definimos assim a função h por gof, ou seja, h = gof
De modo geral, gof ≠ fog, como no exemplo acima, temos: (fog) (0) = f(g(0)) = f(1) = 5.1 + 6 = 11 e (gof) (0) = g(f(0)) = g(6) = Observe que fog ≠ gof, isto é, a composição de funções não comuta. Exemplos 2: 19
UEA – Licenciatura em Matemática
Dadas as funções f, g, h : IR → IR definidas
Exemplo 5:
por: f(x) = x+2, g(x) = x2 – 1 e h(x) =
Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g(f(x)) = x2 – x – 3 e f(x) = 3 – x, determine g(x).
.
Determine as funções compostas gof, fog, hof e fof.
Solução:
Solução:
Sendo f(x) = 3 – x ⇒ x = 3 – f(x).
a) Vamos determinar gof :
Logo, substituindo x = 3 – f (x) em
(gof)(x) = g(f (x) ) = g(x + 2) = ( x + 2)2 – 1 = x2 + 4x + 4 – 1= x2 + 4x + 3
g(f(x)) = x2 − x − 3, temos
2
portanto (gof)(x) = x + 4x + 3
g(f(x)) = (3 – f(x))2 – (3 – f(x)) – 3
b) Vamos determinar fog:
g(f(x)) = 9 – 6 f(x) + (f(x))2 – 6 + f(x)
(fog)(x) = f(g(x) = (x2 – 1) = x2 – 1 + 2 = x2+1
g(f(x)) = (f(x))2 – 5 f(x) +3
c) Vamos determinar hof:
Dessa forma, concluímos que g(x) = x2 – 5x + 3
(hof)(x) = h(f(x)) = h(x + 2) =
IMPORTANTE:
=
Sendo f : S → T uma aplicação bijetiva de S sobre T, podemos definir a inversa de f, a qual vamos denotar por f−1, onde f−1 é uma aplicação de T em S (f−1 : T → S), ou seja,
d) Vamos determinar f o f: (fof)(x) = f(f(x))= f(x+2) = (x+2) + 2 = x+4
f(s) = t ⇔ f−1(t) = s ∀ s ∈ S e ∀ t ∈ T
Exemplo 3: Seja f: IR → IR uma função real.
Exemplo 6:
Se f (x – 3) = x2 – 4x + 1, determine f(x).
Sejam IR+ o conjunto dos números reais posi-
Solução:
tivos e f : IR+ → IR+, tal que f(x) =
Sendo f (x – 3) = x2 – 4x + 1, faça
cada x ∈ IR+. Temos que f é injetiva e sobrejetiva. Quem é f−1?
x – 3 = u → x= u + 3, logo f(u) = (u + 3)2 – 4. (u + 3) +1
Solução:
= u2 + 6u + 9 – 4u – 12+1
Vamos mostrar um fato surpreendente :
= u2 +2u – 2
f(x) = f−1(x) para cada x de IR+, ou seja,
Assim, concluímos que f(x) = x2 + 2x – 2
f = f−1. De fato, f−1(x) = s ⇔ f(s) = x. Sendo
Exemplo 4:
f(s) =
Sejam f e g duas funções reais, tais que Imf ⊂ Dg. Se g (f(x))= x2 – x + 1 e g(x) =
.
= f(x)
De modo geral, se f : S → T é uma função bijetiva, onde f−1 é a inversa de f. Pergunta–se:
Solução:
Dessa forma,
= x, concluímos que S =
Logo, f−1(x) = S =
,
determine f(x).
Sendo g(x) =
, para
, temos que g(f (x)) =
Que função resultará de f−1of e fof−1? Se s ∈ S, então (f−1of)(s) = f−1(f(s)). Entretanto, pela definição de f−1 se t = f(s), então f−1 (t) = s.
= x2 – x + 1 ⇒ f(x) – 1 =
Em outras palavras, (f−1 o f) (s) = f−1 (f(s))
= 2(x2 – x + 1) ⇒ f(x) – 1 = 2x2 – 2x + 2 ⇒ f(x) = 2x2 – 2x + 3
= f−1 (t) = s. 20
Matemática Elementar III – Funções Compostas
Ou seja: (f−1of)(s) = s, para todo s ∈ S. Isso significa dizer que (f−1of) =ids, que é a aplicação identidade de S sobre ele próprio.
(i) Se f e g são injetiva, fog é injetiva? (ii) Se f e g são sobrejetiva, fog e sobrejetiva? Demonstração:
De modo análogo, para cada t ∈ T, (fof−1) (t) = t. Ou seja, f o f−1 = idT, que é a identidade de T sobre T. −1
A resposta é afirmativa para ambas as questões: (i) Suponha que as funções g : S → T e f: T → W são injetivas. Sejam s1, s2 ∈ S tais que:
−1
Essas duas relações, fof = idT e f of = ids facilitam o entendimento de que f−1: T → S é uma aplicação bijetiva.
(fog) (s1) = (fog) (s2). Queremos saber se s1 = s2.
De fato, suponha que f−1(t1) = f−1(t2), com t1, t2 ∈ T. Aplicando f em cada lado da igualdade, obtemos:
Para isso, (fog) (s1) = (fog) (s2) ⇒ f(g (s1)) = f(g (s2)). Como f é injetiva, temos que g (s1) = g(s2). Como g é injetiva, s1 = s2. Logo, fog é injetiva.
f (f−1( t1)) = f (f−1( t2)), que é a mesma coisa de: (fof−1) (t1) = t1 = (fof−1) (t2) = t2 ⇒ t1 = t2 Portanto f−1 é, de fato, injetiva.
(ii) Suponha que ambas as funções g : S → T e f: T → W são sobrejetivas.
Por que f−1 é sobrejetiva? Seja s ∈ S, queremos exibir algum elemento t ∈ T tal que s = f−1(t). Para isso, seja t = f(s), então f−1(t) = f−1(f(s)) = (f−1of) (s) = idS(s) = s.
Queremos mostrar que dado w ∈ W, existe so ∈ S tal que (fog) (so) = w. De fato, como f é sobrejetiva, existe to ∈ T tal que f(to) = w.
Logo, f−1 é sobrejetiva.
Agora, como g: S → T é sobre, existe so ∈ S tal que g(so) = to .
PARA REFLETIR Sejam f e f−1 duas funções, tais que f−1 seja a inversa de f. Mostre que f é bijetiva se, e somente se, f−1 é bijetiva.
Mas, então: (fog) (so) = f(g(so)) = f(to) = W. Portanto, f o g é sobrejetiva.
PROPRIEDADES IMPORTANTES
PARA REFLETIR
As aplicações identidades idS, idT têm algumas propriedades algébricas importantes, que comentaremos a seguir.
Se g: S → T e f: T → W são ambas bijetivas, então f o g : S → W é bijetiva
Propriedade 1: Seja f : S → T uma função e seja idT: T → T a aplicação identidade de T. Pelas definições de f e idT, mostre idTof = f Demonstração: Se s ∈ S, então (idTof ) (s) = idT (f (s) ) = f (s). Ou seja, (idTof ) (s) = f(s), para todo s ∈ S. Isto significa que idTof = f. Propriedade 2: Sejam g: S → T e f : T → W duas funções. Nessas condições, podemos definir: fog : S → W. Sendo assim, temos que duas questões podem ocorrer naturalmente: 21
UEA – Licenciatura em Matemática
]
a enfatizar a importância da matemática e do método experimental para o desenvolvimento da ciência. Ele previu, entre outros inventos, o automóvel, o submarino e o avião. Contudo, devido a interesses pessoais e à ignorância, a visão científica de Aristóteles manteve-se preponderante até por volta do século XVII.
OS PRIMEIROS GRÁFICOS Em 476, com a queda do último imperador romano do Ocidente frente aos bárbaros, tem início, na Europa, o período histórico denominado Idade Média. Nessa reviravolta, a Igreja Católica foi a única instituição ocidental a permanecer razoavelmente bem-estruturada.
No fim da Idade Média, porém, verificou−se certa efervescência positiva nas universidades européias representada, por exemplo, pelas tentativas de transformar as idéias de Aristóteles sobre movimento em resultados quantitativos.
Precisando de pessoal para suas fileiras a fim de perpetuar-se, teve de fundar escolas em seus mosteiros, já que o ensino também se desintegrara. Até por volta da metade do século XI, as escolas dos mosteiros foram as únicas da Europa. O ensino ministrado ali era bastante precário, especialmente nos primeiros séculos do período medieval.
Um fruto dessa linha de investigação é a chamada Lei da Velocidade Média, enunciada pela primeira vez por William de Hentisbery, do Merton College, de Oxford, no início do século XIV. Em linguagem moderna, essa lei estabelece que, ao fim de um intervalo de tempo t, a velocidade de um corpo que sai do repouso em movimento uniformemente acelerado, com aceleração a, é dada por v = at. Paralelamente, outros intelectuais do Merton College começaram a explorar a idéia de representar a velocidade, bem como outras quantidades variáveis, por meio da Geometria.
No caso da matemática, por exemplo, apenas alguns rudimentos da Aritmética e Geometria eram estudados. Mas, a partir do século XII, o saber clássico, especialmente o grego, já havia sido resgatado substancialmente, e a sede de conhecimento, gerada em circunstâncias mais favoráveis, era muito grande. Isso levou à fundação das primeiras universidades – a primeira foi a de Bolonha, em 1088, com uma faculdade de Direito.
O mais bem-sucedido nesse intento foi o francês Nicole Orêsme (1325−1382). Formado em teologia pela universidade de Paris, Oresme revelar-se-ia um intelectual versátil e profundo, tendo sido considerado o maior matemático do século XIV e o maior economista do período medieval. Antecipose a Copérnico no que se refere à teoria do movimento da Terra, contrariando, assim, os ensinamentos de Aristóteles sobre essa questão.
Várias outras universidades foram fundadas nas décadas seguintes, mas os cursos oferecidos não passavam de quatro: Artes Liberais (básico), Direito, Medicina e Teologia. De modo geral, os primeiros mestres dessas universidades escolheram Aristóteles como guia científico infalível. Afinal, ele escrevera sobre quase tudo de maneira bastante convincente para os intelectuais da época, ainda não habituados ao método experimental.
Oresme expôs seu método para representar geometricamente fenômenos de uma variável numa obra publicada em 1350. Sua idéia consistia em construir o que ele chamava de configuração, ou seja, uma figura geométrica formada de um eixo sobre o qual marcava valores da variável, que ele chamava de longitudes, e uma sucessão de segmentos construídos verticalmente sobre o eixo, cujas medidas eram chamadas de latitudes, para marcar os valores correspondentes às longitudes.
Mas a obra de Aristóteles não considerava certos aspectos, o que acabou prejudicando o desenvolvimento da ciência. Aristóteles negava, por exemplo, a velocidade instantânea, e isso se tornou um obstáculo à representação matemática dos fenômenos do movimento. É claro que nem todos os intelectuais da época aceitavam os ensinamentos de Aristóteles cegamente. Entre os que se opunham a eles,
A figura era construída respeitando-se a proporcionalidade dos valores envolvidos. Como
o mais eloqüente foi Roger Bacon (12141292), um homem cuja vasta cultura o levava
se nota, as coordenadas atuais, abscissas e
22
Matemática Elementar III – Funções Compostas
c) 4x2 + 1
ordenadas, têm como antecessores as latitudes e as longitudes de Oresme.
d) 4x2 − 1 e) 4x2 − 4x + 1
Oresme estudou o caso em que a velocidade de um corpo cresce uniformemente com o tempo a partir de um valor AO. Numa situação como essa, as latitudes correspondem aos instantes de tempo, e as longitudes às velocidades.
4. (FEI−SP) Se g(1 + x) =
, então g(3) vale:
a) 0 b) 3
A constatação a que chegou Oresme nesse caso é que as extremidades das latitudes situam-se sobre o segmento AB, em que B é a longitude correspondente ao repouso. Isso significa, em linguagem moderna, que o gráfico é uma linha reta.
c) 1/2 d) 3/10 e) 2/5 5. (UNIFENAS) Sendo f(x) =
então f(f(x)) vale
a) −1 b) 1
Oresme chegou a sugerir a extensão de suas idéias para a terceira dimensão. Nesse caso, os gráficos seriam superfícies em vez de retas ou curvas. O mais notável, entretanto, é que ele foi além, insinuando a quarta dimensão, possivelmente pela primeira vez na história da matemática.
c) d) e) x 6. (UEL − PR)Dados os conjuntos A = {0; 1; 2}, B {1; 2; 3; 4} e C = {0; 1; 2; 3; 4} sejam as funções f: A → B e g:B → C definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 4 − x. Nessas condições, a função gof é igual a:
1. (ESAL−MG) Se f(x) = x2 + 1, então f(f(x)) é igual a:
a) {(0, 2) ; (1, 3) ; (2, 1)} b) {(0, 1) ; (1, 2) ; (2, 3)}
a) x4 + 2x2 + 2
c) {(0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1)}
b) x4 + 2
d) {(0, 3) ; (1, 1) ; (2, 2)}
c) x4 + 1
e) {(0, 1) ; (1, 3) ; (2, 2)}
d) x + 1 e) 1
7. (CEFET−PR) Se f(g(x)) = 4 x2 − 8x + 6 e g(x) = 2x − 1, então f(2) é igual a:
2. (INATEL−MG) Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4 a função fog é:
a) −2 b) −1
a) 9x2 + 20x + 24
c) 3
b) x2 + 30 x + 24
d) 5
c) 9 x2 + 30 x + 24
e) 6
d) x2 + 20 x + 24 e) n.d.a.
8. (FGV−SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 − 1. Então, as raízes da equação f(g(x)) = 0 são:
3. (FISS−MG) Se f(x) = 2x − 1, então f(f(x)) é igual a: a) 4x − 3
a) inteiras;
b) 4x − 2
b) negativas; 23
UEA – Licenciatura em Matemática
c) racionais não inteira; d) inversas uma da outra; e) opostas. 9. (CESGRANRIO) Sejam A = {1, 2, 3} e f : A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f (3) = 2. O conjunto solução de f(f(x)) = 3 é: a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) ∅ 10. (UFMG) Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f( 4) = 1. Determine x ∈ A tal que (fofofof)(x) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
24
UNIDADE III Equações Exponenciais
Matemática Elementar III – Equações exponenciais
TEMA 06
TEMA 07 POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL
FUNÇÃO EXPONENCIAL Como surgiu a notação exponencial ?
Sejam a um número real e n um número natural. A potência de base a e expoente n é o número an tal que :
A utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma base nem sempre foi tão óbvia como nos dias de hoje. Hoje, a idéia de se escrever xx = x² ou x.x.x = x³ parece-nos óbvia, mas a utilização de
Dessa definição decorre que:
numerais indo-arábicos como expoentes de
a1 = 1
uma de-terminada base, na forma utilizada
a2 = a . a
hoje, ocorreu somente por volta de 1637, sendo atribuída ao grande matemático francês
a3 = a . a . a
René Descartes.
De modo geral, para p natural e p ≥ 2, temos que ap é o produto de p fatores iguis a a.
A história já nos mostrou, várias vezes, que soluções brilhantes dependem de experimen-
Exemplos:
tos, erros e acertos realizados por outros.
1) 25 = 2.2.2.2.2 = 32
Nesse caso, não foi diferente; há registro da
2) 32 = 3.3.3 = 32
utilização de potências aproximadamente em
3) 52 = 5.5 = 25
1000 a.C., em algumas tabelas babilônicas.
4) 106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000
Por volta de 1360, o bispo francês Nicole Ores-
5) 43 = 4.4.4 = 64
me deixou manuscritos com notações utilizando potências com expoentes racionais e irracionais e regras sistematizadas para operar com
PROPRIEDADES DA PÔTENCIA
potências. Ainda na França, em 1484, o médico Nicolas Chuquet utilizou potências com
Se a∈IR, b∈IR, m∈IN e n∈IR, então valem as seguintes propriedades:
expoente zero.
i) am . an = am+n
Além desses, outros matemáticos contribuíram
ii) am : an = am−n
para o desenvolvimento da notação exponen-
iii) (am)n = am.n
cial, até que Descartes nos deixasse a notação de potência utilizada hoje.
iv) (a/b)m = am/bm, onde b ≠ 0
Um sistema de numeração posicional, na sua
v) a−m = 1/am, onde a ≠ 0
escrita usual, ‘‘esconde” o que podemos chamar de forma polinômica de um número. No entanto é nela que ele se estrutura, levando em conta a sua base de agrupamento e reagrupamentos. Observamos que, no sistema indo-arábico, cuja base é 10, 1989 ‘‘esconde” a expressão: 1 . 10³ + 9 . 10¹ + 9 . 10, assim como sua representação no sistema babilônico, de base 60, ‘‘esconde” a expressão 33 . 60¹ + 9 . 60. 27
UEA – Licenciatura em Matemática
⇒ 3x2 − 3x − 2x − 2 = 0 ⇒ 3x2 − 5x − 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, vem:
TEMA 08
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente. 3. 3x − 1 − 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 306
Exemplos:
Colocando 3x − 1 em evidência, teremos
1) 3x = 81 (a solução é x = 4) x−5
2) 2
3x − 1(1 − 3 + 32 + 33) = 306 ⇒
= 16 (a solução é x = 9)
3x − 1. 34 = 306 ⇒
3) 16x − 42x − 1 − 10 = 22x − 1 (a solução é x = 1) 4) 32x − 1 − 3x − 3x − 1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1)
⇒ 3x − 1 = 9 ⇒ 3x − 1 = 32 ⇒ x−1=2⇒x=3
Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:
4. 4x − 20 . 2x + 64 = 0
• Método de redução a uma base comum.
⇒ (22)x − 20 . 2x + 64 = 0
• Método que utiliza o conceito e as propriedades de logaritmos.
⇒ (2x)2 − 20 . 2x + 64 = 0 Fazendo y = 2x obtemos:
Trataremos aqui apenas do primeiro método. Método de redução a uma base comum Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, por meio de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mes-ma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução. Sendo assim, teremos que ab = ac ⇔ b = c (0 < a ≠ 1), ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.
Substituindo y1 e y2 na equação acima, temos que: x=2 ex=4 5. 4x + 2 . 14x = 3 . 49x Dividindo por 49x, temos:
Resolva as equações. 1. Fazendo
2. 8x
2−1
y2 + 2y − 3 = 0 ⇒ y1 = 1 e y2 = −3 (não convém. Por quê?)
= 4x + 1
⇒ (23)x
2−x
, vem:
2 − x)
= (22)x + 1 ⇒ 23(x
=1⇒x=0
= 22(x + 1)
⇒ 3(x2 − x) = 2(x + 1) ⇒ 3x2 − 3x = 2x + 2
S = {0} 28
Matemática Elementar III – Equações exponenciais
6. 3x = 81
5. Determinar o valor de x para o qual
Como 3x = 81, podemos escrever 3x = 34 ⇒ x = 4.
.
6. Determinar o valor de x para o qual
7. 9x = 1 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ⇒ x = 0.
7. Qual é o conjunto-solução da equação exponencial 5x + 2 = 125x?
8. 23x − 1 = 322x 23x − 1 = 322x ⇒ 23x − 1 = (25)2x ⇒ 23x − 1 = 210x ⇒
8. Determinar o conjunto-solução de 2x = 5x.
3x − 1 = 10x ⇒ 7x − 1 ⇒ x =
9. Qual é o conjunto-solução de 73x − 9 − 49 = 0? 10. Determinar o conjunto-solução da equação 4x + 3(2x + 1) = 16.
9. Resolva a equação 32x − 6 . 3x − 27 = 0. Vamos resolver esta equação por meio de uma transformação:
11. Determinar o conjunto-solução da equação 22x − 12 . 2x = −32
32x − 6 . 3x − 27 = 0 ⇒ (3x)2 − 6 . 3x − 27 = 0 Fazendo 3x = y, obtemos:
12. Se 3 é a raiz quadrada de 3, obter o conjunto-solução da equação ( 3 )x + 1 = 243.
y − 6y − 27 = 0; aplicando Bhaskara, encontramos y’= −3 e y’’ = 9 2
13. Determinar o conjunto-solução da equação 3x . 7x = (441)1/4.
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x = y: y’ = −3 ⇒ 3x’ = −3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é positiva
14. Determinar o conjunto-solução da equação 3x − 34 − x = 24
y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2
15. Determinar o conjunto-solução do sistema com as duas equações exponenciais: 3x + y = 81 e 3x − y = 1
Portanto a solução é x = 2 10. 3x − 1 = 81
16. Determine o conjunto-solução do sistema de equações: 32x + y = 4 e 2x + y
Vamos transformar a equação dada numa igualdade de porências de mesma base: 3x − 1 = 81 ⇒ 3x − 1 = 34
17. Resolver o sistema de equações:
Igualando as expoentes, temos: x−1=4⇒x=5 Logo, a soloção x igual a 5.
18. Determinar o conjunto-solução para a equação 5x = 625. 19. Obter o conjunto-solução para a equação .
1. Determinar os valores de x para os quais 2x = 32.
20. Determinar o conjunto-solução para a equação 22x + 3 = 16.
2. Determinar os valores de x para os quais 2x = 1.
21. Determinar as soluções para a equação 2 3x − 5x + 6 = 1.
3. Resolver a equação 27x = 243. 22. Determinar todas as soluções para a equação 4 2 4x − 13x + 36 = 1.
4. Resolver a equação 625x = 25. 29
UEA – Licenciatura em Matemática
HISTÓRIA E IDÉIAS DE APLICAÇÕES
23. (CESGRANRIO − RJ) Se 8x = 32, então x é igual a:
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O inventor do melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez.
a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4
O Rei ficou maravilhado com o jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa, seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior.
24. (UEPG−PR) Se 8x − 9 = 16x/2, então
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) n.d.a. 25. (PUC−SP) O valor de x que satisfaz a equação 33x − 1 . 92x+3 = 273 − x é:
O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 9,2233.1018 moedas de ouro. O rei estava falido!
a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 3
26. (FUVEST−SP) Sendo x = (22)3, y = 22 e 2 z = 23 , calcule x . y . z :
A lenda apresenta-nos uma aplicação de funções exponenciais, especialmente da função y = 2x.
a) 221 b) 210
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.
c) 223 d) 24 e) 220 27. (VUNESP−SP) então:
Um exemplo de aplicação da teoria das exponenciais é encontrado no estudo de taxas de juros e aplicações financeiras, em que elas desempenham um importante papel.
a) m = 0,1 b) m = (0,1)2 c) m = (0,1)3 d) m = (0,1)4 e) m = (0,1)5 30
Se
,
Matemática Elementar III – Equações exponenciais
28. (UFRN) Se 2x = 2048, então, x vale :
33. (UFMG) A soma das raízes da equação
a) 7
é:
b) 11 c) 13
a) 0
d) 17
b) −1
e) 19
c) 1
29. (PUC−SP) Se
d) 7
, então os valores de x
e) 8
são: a) 1 e 3
34. (UFPA) A raiz da equação
b) 2 e 3
é um número:
c) 1 e 2
a) irracional negativo;
d) 1 e 4
b) irracional positivo;
e) 2 e 4
c) par; 30. (FCC−BA) A solução da equação 0,52x = 0,251 − x é um número x, tal que:
d) inteiro negativo; e) inteiro positivo.
a) 0 < x < 1 35. (PUC−RS) Se 3x − 32 − x = 23, então 15 − x2 vale:
b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3
a) 16
d) x > 3
b) 15
e) x < 0
c) 14 d) 11 3 −x + 2
31. (CEFET−PR) Se (7 )
=
1/2
,x
valerá:
e) 6
a)
36. (UFBA) O conjunto-solução da equação 2x − 2−x = 5 (1 − 2−x) é:
b) −9 c) 49
a) {1; 4}
d)
b) {1 ; 2}
3
e) 1
c) {0; 1} d) {0; 2}
32. (UEL−PR) Se 2x = u e 3−x = t, o valor da expressão 12x + 18−x é:
e) ∅
a)
37. (UEPG−PR) A soma das raízes da equação 32x − 12 . 3x + 27 = 0 pertence ao intervalo:
b)
a) [10, 12] b) [0, 3]
c)
c) [1, 2] 2
2
d) (10, 12)
3
3
e) (1, 3)
d) u + t e) u + t
31
UEA – Licenciatura em Matemática
38. (UFPR) Se 2x + 2−x = 3, então o valor de 8x + 8−x é:
a) 5 b) 6
a) 12
c) 8
b) 18
d) 9
c) 21
e) 10
d) 24 e) 27
44. (CESGRANRIO−RJ) Os números inteiros x e y satisfazem 2x + 1 + 2x = 3y + 2 − 3y . Então, x é:
39. (FUVEST−SP) Se 416 . 525 = x . 10n, com 1 ≤ x < 10, então n é igual a:
a) 0 b) 1
a) 24
c) 2
b) 25 c) 26
d) 3
d) 27
e) 4
e) 28 40. (FGV−SP) A equação 4x + 6x = 2.9x tem como solução o conjunto: a) {1} b) {2} c) {3} d) {0} e) n.d.a. 41. (UECE) Se 7m − 32n = 1672 e então mn é igual a:
− 3n = 22,
a) 16 b) 64 c) 128 d) 256 e) n.d.a. 42. (PUC − MG) A expressão
é igual a:
a) 2x b) 2−x c) 2−3 d) 7 e) 8 43. (UFCE) A soma das raízes da equação xf(x) = 1, em que f(x) = x2 − 7x + 12, é igual a: 32
UNIDADE IV Funções Exponenciais
Matemática Elementar III – Funções exponenciais
No caso da função exponencial ela é crescente se, e sómente se, a > 1. E descrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui.
TEMA 09
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial é injetora, pois para todo par x1 e x2 ∈IR com x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Esta propriedade é decorrência direta da propriedade acima.
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto-imagem da função exponencial é o conjunto dos números reais positivos,sendo assim temos que a função exponencial é sobrejetiva. E portanto a função exponencial e bijetiva, logo, admite inversa.
Definição: A função f:IR → IR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais, maiores que zero). Observações e propriedades A função exponencial é definida somente para base a positiva, uma vez que se a é negativo, teremos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo, para a = −2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de −2, que pertence ao conjunto dos números complexos, contradizendo a definição da função exponencial.
Sendo o conjunto imagem IR+, conclui-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x. Gráfico da Função Exponencial A função exponencial f:IR → IR+ definida por f(x)=ax, com a∈IR+ e a ≠ 1 tem como representação gráfica as seguintes curvas:
A base também tem de ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras, a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero, pois teríamos uma indeterminação para x = 0.
Exponencial crescente: base a > 1
A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, em que c = 1. Qualquer que seja a função exponencial, temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
Exponencial decrescente: base 0 < a < 1
Definição: Uma função f é dita crescente se dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens correspondentes obedecem à relação f(x1) < f(x2). Definição: Uma função f é dita descrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2). 35
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 10
TEOREMAS Principais Teoremas sobre as Funções Exponenciais. Para refletir
Teorema 1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:
1. Observe o gráfico das funções f(x) = 2x, f1(x) = 2x + 1, f2(x) = 2x + 2 e f3(x) = 2x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a f(x) = 2x?
ax > 1 ⇔ x > 0 Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui. Teorema 2. Dados a, x1 e x2 pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então: ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 Demonstração:
2. Sejam as funções f(x) = 2x e g(x) = (1/2)x ilustradas abaixo.
Daqui, pelo teorema 1, temos: x1 − x2 > 0 ⇔ x1 > x2 Teorema 3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então: ax > 1 ⇔ x < 0 Demonstração: Como 0 < a < 1, então
>1 Em cada caso, escolha uma das opções apresentadas.
Pelo teorema 1, vem que:
a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes.
Teorema 4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
b) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função f(x) = 2x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes.
ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 A demonstração deste teorema leitor fica a cargo do leitor.
c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função g(x) = 2−x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes.
Exemplo: A partir do gráfico da função f(x) = 2x, e sendo g(x)=2x + 2 e h(x) = 2−x, descreva, graficamente, o que ocorre com g = g(x) e h = h(x) em relação a f = f(x).
d) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função g(x) = 2−x admite valores: muito próximo de zero ou muito grandes. 36
Matemática Elementar III – Funções exponenciais
Porém 4x < 1 ⇒ 4x < 40. TEMA 11
Como a base (4) é maior que 1, obtemos: 4x < 40 ⇒ x < 0. Portanto S = IR− (reais negativos).
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de inequações exponenciais toda inequação em que a incógnita aparece em expoente.
2. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 25x − 7 > 8.
Exemplos de inequações exponenciais:
Resolução:
1) 3x > 81 (a solução é x > 4).
A inequação 25x − 7 > 8 pode ser escrita como
2 − 1
2) 22x − 2 ≤ 2x real).
25x − 7 > 23 ⇒ 5x − 7 > 3 ⇒ 5x > 10
(que é satisfeita para todo x
(que é satisfeita para x ≤ −3).
3)
Portanto temos S = {x∈IR| x > 2}.
4) 25x − 150 . 5x + 3125 < 0 (que é satisfeita para todo x real). Resolvendo Inequações Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1. (UFCE) Se f(x) = 161+1/x, então f(−1) + f(−2) + f(−4) é igual a:
1.o redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
a) 11; b) 13;
2.o aplicação da propriedade:
c) 15;
a>1 a > a ⇒ m > n(a ≥ a ⇒ m ≥ n)
d) 17;
(as desigualdades têm mesmo sentido).
e) n.d.a.
m
n
m
n
0<a<1
2. (UFMG) Se
am > an m < n(am ≥ an ⇒ m ≤ n) (as desigualdades têm sentidos diferentes).
, então
f(0) − f (3/2) é igual a: a) 5/2; b) 5/3; c) 1/3; d) −1/2;
x−1
1. 4
+4 −4 x
x+1
>
e) −2/3.
Resolução:
3. (PUC−SP) Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre:
A inequação pode ser escrita assim:
a) −1 e 0; b) 2 e 3;
Multiplicando ambos os lados por 4, temos:
c) 3 e 5;
4x + 4 . 4x − 16 . 4x > −11, ou seja:
d) 5 e 10;
(1 + 4 − 16) . 4x > −11 ⇒ −11 . 4x > −11 e daí, 4x < 1.
e) 10 e 100. 37
UEA – Licenciatura em Matemática
9. (FATEC−SP) Seja f IR → IR onde f(x)=2x/2. O conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1/8 é:
4. (PUC−MG) Seja a função f(x) = ax. É correto afirmar que : a) ela é crescente se x > 0;
a) (3, 8);
b) ela é crescente se a > 0;
b) (∞, −1/3 );
c) ela é crescente se a > 1;
c) (∞, −6);
d) ela é decrescente se a ≠ 1;
d) (−1/3, 0);
e) ela é decrescente se 0 < x < 1.
e) IR − { 0, 8 }. 5. (FGV−SP) Assinale a afirmação correta: 10. (PUC−MG) Se f(x) = 4x + 1 e g(x) = 4x, a solução da inequação f(x) > g(2 − x) é:
a) (0,57)2 > (0,57)3 b) (0,57)7 < (0,57)8
a) x > 0;
c) (0,57)4 > (0,57)3
b) x > 0,5;
d) (0,57)0,57 > (0,57)0,50
c) x > 1;
e) (0,57)−2 < 1
d) x > 1,5; e) x > 2
6. (UEL − PR) Os números reais x são soluções da inequações 251 − x < 1/5 se, e somente se:
11. (FGV−SP) A solução da inequação é:
a) x > −3/2; b) x > 3/2;
a) x ≤ 0
c) −3/2 < x < 3/2;
b) −5 ≤ x ≤ 0
d) x < 3/2;
c) 0 ≤ x
e) x < −3/2.
d) x ≤ −5 ou 0 ≤ x e) n.d.a.
7. (PUC−RS) Seja a função f: IR → IR definida por f(x) = 2x . Então, f(a+1) − f (a) é igual a:
12. (MACK−SP) Assinale a única afirmação correta:
a) 2; b) 1;
a) 0,212 > 0,213
c) f(a);
b) 0,210,21 > 0,210,20
d) f(1);
c) 0,217 < 0,218
e) 2 f(a).
d) 0,214 > 0,213 e) 0,21−2 < 1
8. (PUC−MG) Os valores de a IR que tornam a função exponencial f(x) = (a − 3)x decrescente são: a) 0 < a < 3; b) 3 < a < 4; c) a < 3 e a ≠ 0; d) a > 3 e a ≠ 4; e) a < 3. 38
UNIDADE V Funções Logarítmicas
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
TEMA 12
TEMA 13
INTRODUÇÃO
LOGARITMO
A Matemática, por ser uma ciência de base, apresenta inúmeras aplicações em outros campos de estudo e em outras ciências. Qualquer que seja o ramo do conhecimento humano ao qual direcionemos nossas habilidades, iremos defrontar-nos, cedo ou tarde, com a Matemática e os seus “mistérios”. Os logaritmos são bons exemplos desta aplicabilidade da Matemática. Eles surgiram a partir da necessidade humana de resolver problemas com números muito grandes, como os que temos ao estudar astronomia, ou números muito pequenos, como os que aparecem no estudo das moléculas. A fim de facilitar operações de multiplicação e divisão entre os números, foram desenvolvidas as teorias sobre logaritmos. Neste desenvolvimento, merece destaque o matemático Jonh Napier (1550−1617), que, após vinte anos de trabalho, publicou as obras Descrição das normas dos logaritmos maravilhosos e Cálculo das normas dos logaritmos maravilhosos.
Definição Chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número real c, com a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1 , ou seja, logb a = c. Onde: a = logaritmando; b = base; c = logaritmo. Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu domínio ou campo de existência. Só existem logaritmos de números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1. Ou seja, para calcular o logb a = c é necessário que a > 0 e 0 ≤ b ≠ 1. Sendo assim, dizemos que logba = c ⇒ a = bc Exemplos 1. Determine log6 36 Resolução:
Na atualidade, com o advento das calculadoras e dos computadores, os logaritmos perderam muito da sua utilidade inicial. No entanto muitas aplicações foram desenvolvidas com base na teoria dos logaritmos. Entre elas, podemos destacar o cálculo do nível de intensidade sonora, a escala Richter, para avaliar a intensidade de terremotos, e os cálculos de ph e poh na Química.
Faça log6 36 = x ⇒ 6x = 36 ⇒ 62 = 6x ⇒ x = 2 2. O domínio da função f(x) = log3 (x − 5) é restrito pela sua condição de existência. A base 3 já é positiva e diferente de 1, devemos então ver a restrição imposta ao logaritmando, ou seja: x – 5 > 0 –> x > 5, assim: D = {x IR| x > 5}
O princípio dos logaritmos baseia-se no fato de algumas operações serem mais acessíveis do que outras. Desse modo, com a utilização dos logaritmos, podemos transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações e potências em multiplicações.
3. Determine log2 4 Resolução: Faça log2 4 = x ⇒ 4 = 2x ⇒ 22 = 2x ⇒ x = 2 4. Determine log3 90 Resolução: Faça log3 9 = x ⇒ 9 = 3x ⇒ 32 = 3x ⇒ x = 2 41
UEA – Licenciatura em Matemática
5) Calcular x na igualdade log5 (x –1) = log5 7 Resolução:
TEMA 14
CE: x –1 > 0 ⇒ x > 1 Como as bases são iguais, os logaritman-
BASES ESPECIAIS
dos devem ser iguais; logo:
Entre as bases de logaritmos, duas destacam-
log5 (x – 1) = log5 7 ⇒ x – 1 = 7 ⇒ x = 8
se, tanto pela sua aplicabilidade prática quan-
Resposta: x = 8
to pela sua importância no trato com logaritmos. Estas duas bases são a base dez e a
ALGUNS LOGARITMOS ESPECIAIS:
base e.
1. O logaritmo da unidade, em qualquer base,
Quando um logaritmo apresenta a base dez,
é nulo, ou seja, loga 1 = 0.
dizemos que se trata de um logaritmo decimal. A base dez, por convenção, não precisa ser
2. O logaritmo de um valor, na mesma base, é
escrita.
sempre igual a 1, ou seja, loga a = 1.
Exemplos:
3. O logaritmo de uma potência, cuja base seja igual à base do logaritmo, será igual ao
a) log10 8 = log 8.
expoente da potência.
b) log10 5 = log 5.
loga an = n.
O número e, é conhecido como número de
4. Se loga n = loga m ⇒ n = m. Esta pro-
Euler e vale aproximadamente 2,718...
priedade é muito utilizada na solução de
Quando um logaritmo possui base e, ele é
exercícios envolvendo equações nas quais
chamado de logaritmo neperiano, e represen-
aparecem logaritmos (equações logarítmi-
tado por ln. Desse modo:
cas).
loge b = ln b.
5. b elevado ao logaritmo m na base b é igual a m, ou seja, blogb m = m.
42
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
TEMA 16
TEMA 15
MUDANÇA DE BASE
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Em algumas situações, podemos encontrar no
Foi dito, no início deste texto, que os logaritmos permitem transformar multiplicações em somas e subtrações em divisões, entre outras alterações que visam facilitar o trato dos números.
cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos
Essas transformações são possíveis com a utilização das propriedades dos logaritmos, as quais veremos a seguir.
de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a
1. Logaritmo do produto: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y>0) Loga (x . y) = loga x + loga y
para uma outra base b,usa−se:
2. Logaritmo do quociente: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0)
onde a, b, x ∈IR*+ com a ≠ 1, b ≠ 1. Exemplo: valor do logx z é?
3. Logaritmo da potência: (a > 0, a ≠ 1, x > 0 e m ∈ IR) Loga xm = m . loga x
Resolução:
Caso particular:
Se log2 x = a e log2 z = b, com a ≠ 0, então o
Como log2 x = a e log2 z = b estão na base 2, vamos passar logx z para a base 2. Sendo Exemplos:
assim, temos:
1. Calcular o valor de log3 (9 . 27) Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, temos: log3 (9 . 27) = log3 9 + log3 27 = log3 32+ log3 33 = 2 + 3 = 5 Resposta: 5. 2. Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular: a) log 24 b) log 72 Resolução: a) log 24 = log (23 . 3) = log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x + y b) log 72 = log 9.8 = log 9 + log 8 = log 32 + log 23 = 2 log 3 + 3 . log 2 = 2y + 3x Respostas:
a) 3x + y b) 2y + 3x
43
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6
TEMA 17
Resolução: Como log 2 e log 3 estão na base 10, va-
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
mos passar log2 6 para a base 10:
A função f:IR+ → IR definida por f(x)=logax, onde a ∈IR com a ≠ 1 e a > 0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero), e o contradomínio é IR (reais).
Resposta:
Construindo Gráfico GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
4. Resolva o sistema:
Temos 2 casos a considerar: • quando a > 1; • quando 0 < a < 1.
Resolução:
Caso 1: a > 1
Condições de existência: x > 0 e y > 0 Da primeira equação, temos: log x + log y = 7 ⇒ log y = 7 − log x Substituindo log y na segunda equação, temos: 3.log x − 2.(7 − log x) = 1 ⇒ 3.log x −14 + 2.log x = 1 ⇒ 5.log x = 15 ⇒ log x = 3
⇒ x = 103 Substituindo x = 103 em log y = 7 − log x temos: log y = 7 − log 103 ⇒ log y = 7 − 3 ⇒
ƒ é crescente, pois, para quaisquer
log y = 4 ⇒ y=10 . 4
x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) < ƒ(x2).
Como essas raízes satisfazem as condições
Caso 2: 0 < a < 1
de existência, então o conjunto-solução é S ={(103; 104)}. Outra forma de resolução:
log x = 3 ⇒ x = 103 substituindo log x = 3 e, log x + log y = 7,
ƒ é decrescente, pois, para quaisquer
temos que 3 + log y = 7 ⇒ log y = 4 ⇒ y=10
x1, x2 com x1 < x2 ⇒ ƒ(x1) > ƒ(x2).
4
44
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
Exemplos: 1. Esboce o gráfico das funções abaixo: f(x) = log2 x
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 < y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes). Como conseqüência da definição de função logarítimica e da análise dos gráficos, podemos concluir que:
f(x) = log1/2 x
• O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja f(1) = 0. • O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III. • Quando a > 1, a função logarítmica é crescente. • Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente.
Nos dois exemplos, podemos observar que a) O gráfico nunca intercepta o eixo vertical.
• Se a > 1, os números reais maiores que 1 têm logaritmo positivo, e os números reais comprieendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo.
b) O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1, 0); a raiz da função é x=1. c) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto-imagem é Im(f)=IR.
• Se 0 < a < 1, os números reais maiores que 1 têm logaritmo negativo, e os números reais compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1
• A função logarítmica é injetiva e sobrejetiva; sendo assim, temos que ela é bijetiva. Relação importante entre a função exponencial e a função logarítmica Seja f:IR → IR+ definida por f(x) = ax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a função exponencial de base a e seja g:IR+ → IR definida por g(x) = logax, onde a∈IR com a1 e a > 0, a função logarítmica de base a.
Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2 > x1 ⇒ y2 > y1 (as desigualdades têm o mesmo sentido).
Sendo o contra-domínio da função exponencial igual ao domínio da função logarítmica, então a função composta g o f = idIR.
0 < a< 1 45
UEA – Licenciatura em Matemática
De fato temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g(ax) = loga ax = x
5. (FV–RJ) O valor de log9 27 é igual a: a) 2/3;
b) 3/2;
Portanto g o f = idIR.
c) 2;
d) 3.
Sendo o contradomínio da função logarítmica igual ao domínio da função exponencial, então a função composta f o g = idIR+.
e) 4. , então x + y é igual a:
6. (PUC–SP) Se
De fato, temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f(loga x) = aloga x = x
a) 5/3;;
b) 10/9;
Portanto f o g = idIR+.
c) 8/9;
d) 2/3;
Donde se conclui que a função exponencial é a função inversa da função logarítmica, e viceversa.
e) 5/9. 7. (UPF–RS) O valor numérico real da expressão é: a) −5;
b) 4;
c) 5;
d) 8;
e) impossível. LOGARITMOS – INTRODUÇÃO 8. (ULBRA) Se log16 N = −1/2, o valor de 4N é:
1. (MACK–SP) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é:
a) 1;
b) 4; d) 16;
a) −9;
b) −3;
c) 1/4;
c) −1/3;
d) 1/3;
e) 1/16.
e) 3.
9. (FEMPAR–PR) Se 2x − y = 1 e x − 3y = −7, log4 (xy+8y) é igual a:
2. (UDESCO–SC) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:
a) 0,5;
b) 2,5; d) 1,5;
a) 2, 1 e −3
b) 1, 0 e −2
c) 2,0;
c) 3, 1 e −2
d) 4, −2 e −3
e) 1,0.
e) 3, 0 e −2
10. (UNESP–SP) Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1 coincide com o próprio número n?
3. (UFPA) A expressão mais simples para alogax é: a) a c) logax
a) nn
b) x (x > 0)
2
c) n
d) logxa
b) 1/n d) n
1/n
e) n
x
e) a
11. (UFSM–RS) Seja K a solução da equação log4 ( log2 x ) = −1. O valor de k4 é:
4. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então x vale: a) 5;
b) 4;
a) 1/8;
b) 1/2;
c) 3;
d) 7/3;
c) 1;
d) 4;
e) 2.
e) 5/2. 46
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
12. (UEBA) O número real x, tal que logx (9/4) = 1/2 é: a) 81/16;
b) −3/2;
c) 1/2;
d) 3/2;
, então 5k + 5−k é
19. (UECE) Se igual a:
e) −81/16.
a) 6;
b) 8;
c) 12;
d) 16;
e) 18.
13. (UFMG) Seja loga 8 = − 3/4, a > 0. O valor da base a é:
20. (FATEC–SP) Se x, y IR são tais que
a) 1/16
b) 1/8
logy−1 4 = 2, então x + y é:
c) 2
d) 10
a) 0;
b) −1;
c) −2;
d) 1 ou −4;
e) 16 14. (PUC−PR) O logaritmo de igual a:
e) −6 ou –2.
na base 1/625 é
a) 7;
b) 5;
c) 1/7;
d) −1/28;
LOGARITMOS − PROPRIEDADES 1. (UEPG−PR) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale:
e) n.d.a. 15. (UERJ) O valor de 4log29 é: a) 81;
b) 64;
c) 48;
d) 36;
e
a) 1,77;
b) 1,41;
c) 1,041;
d) 2,141;
e) 0,141.
e) 9.
2. (FURG−RS) Sendo log x = a e log y = b, então log
16. (PUC−SP) Se x + y = 20 e x − y = 5, então log (x2 − y2) é igual a:
é igual a:
a) a + b/2
a) 100;
b) 2;
b) b/2a
c) 25;
d) 12,5;
c)
e) 15.
−a
d) e)
17. (UEPG−PR) A solução da equação log2 0,5 + log2 x − log2 = 2 está contida no intervalo: a) [10, 12];
b) [5, 7];
c) [2, 4];
d) [0, 1];
/a
3. (UFRJ) Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
e) [8, 9].
a) 376,29000;
b) 188,15000;
c) 1,9030900;
d) 2,9818000;
e) 3,0969100.
18. (UFRN) Se a equação x2 + 8x + 2 log a = 0 possui duas raízes reais e iguais, então, a é igual a:
4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28?
a) 10
b) 102
a) 1,146;
b) 1,447;
c) 104
d) 106
c) 1,690;
d) 2,107;
8
e) 1,107.
e) 10
47
UEA – Licenciatura em Matemática
12. (FCMSC–SP) Usando a tabela, o valor de log 75 é:
5. (PUC−SP) Se log 2 = 0,3010, então log 5 é igual a: a) 0,6990;
b) 0,6880;
x
log x
c) 0,6500;
d) 0,6770;
2
0,3010
6
0,7782
e) 0,6440. 6. (FUVEST−SP) Se log2 b − log2 a = 5, então o quociente b/a vale: a) 10
b) 25
c) 32
d) 64
a) 1,147;
b) 1,3011;
c) 1,5564;
d) 1,6818;
e) 1,8752. 13. (PUC–SP) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log
e) 128
é igual a:
a) 0,12;
b) 0,22;
7. (FURG–RS) Qual é o valor de m na expressão
c) 0,32;
d) 0,42;
, sendo log a = 2,16172, log b = 0,15172
e) 0,52.
e log t = 0,10448. a) m = 100;
b) m = 10;
c) m = −20;
d) m = − 10;
14. (UFCE) Utilizando-se a tabela abaixo, concluise que o valor de log é:
e) m = 1000. 8. (FAAP−SP) Sabendo-se que log2 y = log2 3 + log2 6 − 3log2 4, o valor de y real é: a) −3;
b) 9/8;
c) 3/2;
d) 9/32;
e) 9/16. 9. (ACAFE−SC) Dado o sistema
b) 1;
c) 2;
d) 3;
c) 1 − a;
d) 1 + a;
0,1
1,58
0,2
1,99
0,3
2,51
0,4
3,16
0,5
a) 0,3
b) 1,26
c) 1,58
d) 1,99
a) 2,997;
b) 3,898;
c) 3,633;
d) 4,398;
e) 5,097.
10. (UM–SP) Sendo log3 ( −2) = a, então o valor + 2 ) é igual a: de log3 ( b) 2 + a;
1,26
15. (UFBA) Sendo log 2 = 0,301 e x = 53. , então o valor de log x é:
e) 4.
a) 2 − a;
log N
e) 2,51
temos x + y igual a: a) −2;
N
16. (PUCCAMP–SP) Se log 5 = 3n, log 3 = m e , então x vale: a) m + n
e) 3 − a.
b)
11. (FUVEST–SP) Sendo loga 2 = 0,69 e loga 3 = é: 1,10, o valor de loga a) 0,62;
b) 0,31;
c) −0,48;
d) 0,15;
c) d)
e) 0,14.
e) 3n + m 48
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
17. (UFRS) O valor de log (217,2) − log (21,72) é:
24. (UEPG–PR) A expressão log1/381 + log 0,001 +
a) −1;
log
b) 0;
a) −4/3;
b) 4/3;
c) log(217,2 − 21,72);
c) −20/3;
d) −21/3;
d)
e) −19/3.
.
25. (PUC–BA) A expressão log 2/3 + log 3/4 + log
18. (FMU-SP) O valor de 3 . log 3 + log 5 é: a) log 30;
b) log 135;
c) log 14;
d) log 24;
4/5 − log 14/55 é equivalente a:
e) log 45.
a) 15,050;
b) 13,725;
c) 11,050;
d) 9,675;
b) log 18;
c) log 7;
d) log 4;
LOGARITMOS – EQUAÇÕES 1. (CESGRANRIO–RJ) Se log (2x − 5) = 0, então x vale:
e) 7,525. 20. (FCC–SP) Se log 5 = 0,70, o valor de log 250 é: a) 2,40;
b) 2,70;
c) 2,80;
d) 3,40;
a) 5;
b) 4;
c) 3;
d) 7/3;
e) 5/2.
e) 3,80 X.
2. (FGV–SP) A equação logx (2x +3) = 2 apresenta o seguinte conjunto-solução:
21. (FATEC–SP) Se log 2 = r e log 3 = s, então log (23 . 34 . 52) é igual a: a) r − 2s b) r + s
a) log 77;
e) log (11/7).
19. (UEL–PR) Dado log 4 = 0, 602, o valor de log 325 é:
3
vale:
4
a) {−1, 3};
b) {−1};
c) {3};
d) {1, 3};
e) n.d.a.
c) 3r + 4s − 2 d) 2 + r + 4s
3. (UEL–PR) É correto afirmar que no universo IR
e) r3 + s4 + 2 (r + s)
o conjunto solução da equação log3 (−x2 −10x) = 2:
22. (PUC–SP) Se log 2 = x e log 3 = y, então log 375 é: a) y + 3x
b) y + 5x
c) y − x + 3
d) y − 3x + 3
a) é ∅; b) é unitário; c) tem dois elementos irracionais; d) tem dois elementos inteiros;
e) 3(y + x)
e) tem dois elementos racionais e não inteiros. 23. (UEL–PR) Dados os números reais x e y tais que log x − log y = 4, é verdade que:
4. (ESAL–MG) O valor de x tal que log648 = x é:
a) x = 104 . y
b) x = 4y
a) 2;
b) 3;
c) x =
d) x2 = y
c) 2/3;
d) 1/2;
e) x = 104 + y
e) 3/2. 49
UEA – Licenciatura em Matemática
5. (PUC–SP) Quanto à solução da equação (logx)2 − 3. log x + 2 = 0, é verdade que:
11. (UNIMEP–SP) O logaritmo na base 2, do número x2 − x é igual a 1. O valor de x que satisfaz a sentença é:
a) só uma delas é real; b) a maior delas é 1000; c) a menor delas é 100;
6. (UEPG–PR) Sendo (log2 x)2 − 3 log2 x − 4 = 0, então o produto entre as raízes da equação vale:
c) −1/4;
d) 4;
c) 1;
d) 0;
12. (PUC–SP) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Então x é:
e) a maior delas é 1.
b) 16;
b) −1 ou 0;
e) 3.
d) a menor delas é 10;
a) −8;
a) 2 ou −1;
a) 2;
b) 1;
c) 3;
d) 4;
e) 5. 13. (UEBA) No universo IR, a solução da equação log2 x + log2 (x +1) = 1 é um número:
e) 8.
a) ímpar; b) entre 0 e 1;
7. (CONSART–SP) A solução da equação log8x + log8 (3x−2) = 1 é dada por: a) −4/3;
b) 1/2;
c) −2;
d) 2;
c) maior que 3; d) múltiplo de 3; e) divisível por 5. 14. (UECE) O conjunto solução da equação log2 4x − log4 2 = 0 é:
e) n.d.a. 8. (PUC–SP) O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 + log (x + 3) é: a) {−2, 6};
b) {−2};
c) {2, −6};
d) ∅;
a) {
/4};
b) {
/2};
c) {
};
d) {2
};
e) n.d.a. 15. (CEFET–PR) Se
e) {6}.
então b2 é igual a:
9. (CEFET–PR) A soma das raízes da equação log2x − logx4 = 0 é: a) 1000;
b) 1001;
c) 101;
d) 10001;
c) 0,4;
d) 0,256;
d) 3;
16. (UEPG–PR) Se log2 x + log8 x = 1, então x vale: a)
;
b)
c)
;
d)
; ;
e) n.d.a.
10. (UFSC) Indica-se por log x o logaritmo decimal do número x. Se 4 + log x = 4 . log 4, então x é igual a: b) 2,56;
b) 4;
c) 8; e) 9.
e) 11.
a) 16;
a) 1;
17. (MACK–SP) Se loga (a2 . x) = 1, a > 0, a 1, então o valor de x é: a) a
b) 1/a
c) a2
d) 1/a2
e)
e) 0,0256. 50
Matemática Elementar III – Funções Logarítmicas
18. (FGV–SP) A solução da equação
3. (PUC–RS) Se log1/3 (5x − 2) > 0, então x pertence ao intervalo:
é:
a) x= log2 (12/5)
a) (0, 1);
b) (0, 1);
b) x = log2 (5/12)
c) (2/5, 3/5);
d) (2/5, ∞);
c) x = log5/12 2
e) (4, 3/5).
d) x = log12/5 2
4. (FGV–SP) A solução da inequação log1/3(x2 − 9) > 0 é:
e) x = log12 5
a) x < − 3 ou x > 3;
19. (CEFETR–PR) Se log2 x − log4 x = −1/2, então xx é igual a: a) 1/4; c) e)
;
b) −2 < x < 2;
b) 4;
c) −2 < x < 2;
d) 1/2;
d) −2 < x < −1 ou 0< x < 2; e) x < −2 ou x > 2.
.
5. (UECE) O domínio da função real log2x x é:
20. (PUC–PR) A solução da equação
a) x < −1 ou x > 1;
, em módulo, é: a) 2;
b) −2;
c) 4;
d) 0;
b) 0 < x ≠ 1; c) 1 < x; d) −3x < −1;
e) 6.
e) n.d.a. 6. (VUNESP–SP) O par ordenado de números reais que não corresponde a um ponto do gráfico de y = log x é:
21. (FUVEST−SP) O conjunto solução da equação x . (log5 3x + log5 21) + log5 (3/7)x = 0 é: a) ∅;
b) {0};
b) {1};
d) {0, 2};
a) (9, 2 log 3); b) (1, 0);
e) {0, −2}.
c) (1/2, − log 2); d) (1/8, − 3log 2);
LOGARITMOS – INEQUAÇÕES
e) (−32, −2log 5).
1. (PUC–MG) A desigualdade log2 (5x − 3) < log27 é verdadeira para: a) x > 0;
b) x > 2;
c) x < 3/5;
d) 3/5 < x < 2;
7. (PUC–MG) O domínio da função f(x) = log5 (−x2 + 3x + 10) é:
e) 0 < x < 3/5.
a) IR*
b) IR*
c) x −2 e x 5
d) x < −2 ou x > 5
e) −2 < x < 5 X
2. (UFPA) Qual o valor de x na inequação log1/2 x > log1/2 2?
8. (PUC–SP) O domínio da função log (x + 3) é o conjunto solução:
a) x > 1/2;
b) x < 1/2;
a) x > −3;
b) x >6;
c) x > 2;
d) x < 2 e x > 0;
c) 3 < x < 6;
d) 3 x < 6;
e) 3 x 6.
e) x = 2. 51
UEA – Licenciatura em Matemática
5. (UEPG–PR) Sendo log 7 = b, então log100 343 é igual a:
9. (CESCEA–SP) O domínio de definição da função log(x2 + 2) é: a) x < −3 ou x > 8;
a) 3b;
b) 2b;
b) −1 < x < 1;
c) b;
d) 2b/3;
c) x −2 ou x 5;
e) 3b/2.
d) −2 x < −1 ou 1 < x 5;
6. (MACK–SP) Se x = log27169 e y = log313, então:
e) IR. 10. (PUC–SP) Se y = logx−2(x2 − 4x), para que y exista devemos ter x: a) igual a 4;
a) x = 2y/3;
b) x=3y/2;
c) x=3y;
d) x=y/3;
e) n.d.a.
b) menor que 4; 7. (PUC–SP) Se log8 x = m e x > 0, então log4 x é igual a:
c) maior que 4; d) igual a 2; e) nada disso.
LOGARITMOS – MUDANÇA DE BASE
b) 2c;
c) 1/c;
d) 2/c;
b) 3m/4;
c) 3m/2;
d) 3m.
8. (VUNESP–SP) Se x = log8 25 e y = log2 5, então:
1. Se logba = c, então loga b é igual a: a) −c;
a) m/2;
a) x = y;
b) 2x = y;
c) 3x = 2y;
d) x = 2y;
e) 2x = 3y. 9. (FUVEST–SP) Se x = log4 7 e y = log16 49, então x − y é:
e) −2c. 2. Sendo log3 2 = x, então log9 4 é igual a: a) x;
b) −x;
c) 2x;
d) x2;
c) 0,625
d) 0,5
c) 1;
d) 2;
10. (PUC–SP) Se log 2 = 0,301, o valor de log100 1280 é:
3. (UEL–PR) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log2 3 é: b) 0,8
b) log16 7;
e) 0.
e) x−2.
a) 1,6
a) log4 7;
a) 1,0535;
b) 1,107;
c) 1,3535;
d) 1,5535;
e) 2,107.
e) 0,275 11. (CESCEM–SP) O logaritmo de um número na base 16 é 2/3. Então, o logaritmo desse número na base 1/4 é:
4. (CEFET–PR) Sabendo que log 2 = 0,3010, o valor de log100 4 é: a) 0,3010;
b) 0,6020;
a) −4/3 X;
b) −3/4;
c) 0,1505;
d) 0,4515;
c) 3/8;
d) 3;
e) 6.
e) 0,7525. 52
UNIDADE VI Equações e inequações modulares
Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares
TEMA 18
TEMA 19
MÓDULO DE UM NÚMERO
EQUAÇÕES MODULARES
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por |x|, é definido da seguinte maneira:
Toda equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos: a) |x2 − 5x| = 1 b) |x + 8| = |x2 − 3|
Geometricamente, o módulo de um número real x, na reta real, é igual à distância do ponto que representa o número x ao ponto de origem, independente de suas posições relativas.
Observe que: Se |f(x)| = r com r ≥ 0, teremos f(x) = r ou f(x) = −r Se |f(x)| = |g(x)|, teremos f(x) = g(x) ou f(x) = − g(x)
Então: • Se x é positivo ou zero, |x| é igual ao próprio x. Exemplo: |2| = 2;
1. Resolver a equação |3x − 1| = 2. ; |37| = 37
Resolução:
• Se x é negativo, |x| é igual a −x.
Temos que analisar dois casos:
Exemplo:
Caso 1: 3x − 1 = 2
|−7| = −(−7) = 7;
Caso 2: 3x − 1 = −2 Resolvendo o caso 1:
Propriedades envolvendo módulo
3x − 1 = 2
Admitiremos, sem demonstrar, algumas propriedades dos módulos:
3x = 2 + 1
1. Para todo x ∈ IR, temos |x| ≥ 0 e |x| = 0 ⇔x=0
x=1 Resolvendo o caso 2:
2. Para todo x ∈ IR, temos |x| = |−x|
3x − 1 = −2
3. Para todo x ∈ IR, temos |x2| = |−x2| = x2
3x = −2 + 1
4. Para todo x e y ∈ IR, temos |x.y| = |x|.|y| 5. Para todo x e y∈ IR, temos |x+y||≤|x|+|y| 6. Para todo x e y ∈ IR, temos ||x|−|y| ≤ |x − y| Resposta: 55
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Resolver a equação |x2 − 5x| = 6.
x − 2x = −3 + 6
Resolução:
−x = 3 ⇔ x = −3
Temos que analisar dois casos:
Resposta: S = {−1, 2, 3, 6}
Caso 1: x2 − 5x = 6
PARA EXERCITAR
Caso 2: x2 − 5x = −6 Resolvendo o caso 1:
1. Resolva as equações modulares que seguem.
x − 5x = 6 2
a) |2 − 3x| = 4
x2 − 5x − 6 = 0
Δ = (−5)2 − 4 . 1 . (−6)
b)
Δ = 49
c) |3x − 4| = x + 1 d) |5x − 4|=|2 − x| e) |x2 − 7x + 8| = 2
.
f) x2 − 2|x| − 48| = 0
Resolvendo o caso 2: x2 − 5x = − 6 x2 − 5x + 6 = 0
Δ = (−5)2 − 4.1.6 Δ=1
. Resposta: S = {−1, 2, 3, 6} 3. Resolver a equação |x − 6| = |3 − 2x|. Resolução: Temos que analisar dois casos: Caso 1: x − 6 = 3 − 2x Caso 2: x − 6 = −(3 − 2x) Resolvendo o caso 1: x − 6 = 3 − 2x x + 2x = 3 + 6 3x = 9 ⇔
⇔x=3
Resolvendo o caso 2: x − 6 = −(3 − 2x) x − 6 = −3 + 2x 56
Matemática Elementar III – Equações e inequações modulares
TEMA 20
INEQUAÇÕES MODULARES Chamamos de inequações modulares as inequações em que aparecem módulos de expressões que contém a incógnita. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto de origem, como sabemos. Assim:
Resposta: S = {x∈IR|2 < x < 4} 2. Dê o conjunto-solução da inequação |x2 − 2x + 3| ≤ 4.
• Se |x| < a (com a > 0), significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre −a e a, ou seja, |x| < a ⇔ −a < x < a.
Resolução: |x2 − 2x + 3| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x2 − 2x + 3 ≤ 4. Então, temos duas inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo):
• Se |x| > a (com a > 0), significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de −a na reta real, ou seja:
Resolvendo a inequação 1:
|x| > a ⇔ x < −a ou x > a.
x2 − 2x + 3 ≤ −4 x2 − 2x + 3 + 4 ≥ 0 x2 − 2x + 7 ≥ 0
Δ = (−2)2 − 4.1.7 Δ = 4 − 28 = −26 Como Δ < 0, ou seja, x2 − 2x + 7 = 0 não possui raízes reais e o coeficiente do termo x2 é 1 (que é maior que zero) a solução da inequação x2 − 2x + 7 ≥ 0 é S1 = IR.
1. Resolver a inequação |2x − 6| < 2. Para resolver essa equação, apresentamos dois métodos diferentes:
Resolvendo a inequação 2:
Resolução:
x2 − 2x + 3 ≤ 4
Método 1:
x2 − 2x + 3 − 4 ≤ 0
|2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2
x2 − 2x − 1 ≤ 0
−2 + 6 < 2x < 2 + 6
Δ = (−2)2 − 4.1.(−1)
4 < 2x < 8
Δ = 4+ 4 = 8
2<x<4 Método 2: |2x − 6| < 2 ⇔ −2 < 2x − 6 < 2 ⇔
57
UEA – Licenciatura em Matemática
S2 = {x∈IR|1 −
≤x≤1+
}
que é verdadeiro para todo x real. Devemos proceder da mesma forma em relação a todas as raízes de índice par, como por exemplo:
é
Assim, a solução do sistema S = S1 ∩ S2. Resposta: S = {x∈IR|1 −
≤x≤1+
}
, e em geral temos:
3. Resolver a inequação |4x − 10|≥ 6.
, com x∈IR e n∈ IN*.
Resolução:
Com relação às raízes de índice ímpar, podemos escrever:
|4x − 10|≥ 6 ⇔
, e em geral:
Resolvendo a Inequação 1: 4x − 10 ≤ −6
com x∈IR e n∈IN.
4x ≤ −6 + 10
⇔x≤1
Para exercitar 1. Resolva em IR as Inequações.
S1 = {x∈IR|x ≤ 1}.
a) |x + 5| < 2
Resolvendo a Inequação 2: b)
4x − 10 ≥ 6 4x ≥ 6 + 10
c)
⇔x≥4
d) |x2 + 5x + 6| < 2
S2 = {x∈IR|x ≥ 4}.
e) 2 ≤ |x + 5| ≤ 10 Assim a solução de
é S = S1 ∪ S2.
Resposta: S = {x∈IR|x ≤ 1 ou x ≥ 4}. MÓDULO E RAIZ QUADRADA Consideremos os números reais x e y. Temos, por definição, que se, e somente se, 2 y = x, com y ≥ 0. Donde podemos concluir que
é verdadeiro somente para
x ≥ 0. Se tivermos x < 0, não podemos afirmar que , pois isso contradiz a definição. Por exemplo, se x = −3, teríamos: , o que é um absurdo, pois o primeiro membro é positivo e o segundo negativo. Usando a definição de módulo, podemos escrever: 58
UNIDADE VII Funções modulares
Matemática Elementar III – Funções Modulares
1. Determinar o domínio da função
.
TEMA 21 Resolução: Sabemos que
FUNÇÃO MODULAR
só é possível em IR se
|x| − 3 ≠ 0. Seja g: A→IR, com A ⊂ IR, uma função.
Então |x| − 3 ≠ 0 ⇔ |x| ≠ 3 ⇔ x ≠ 3 ou x ≠ −3
Chamamos de função modular a função f: A → IR, com A ⊂ IR, definida por f(x) = |g(x)|, ou seja:
Resposta: Df ={x∈IR| x ≠ −3 ou x ≠ 3} 2. Determinar o domínio da função Resolução: Sabemos que
só é possível em IR se
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.
2 − |x − 1| ≥ 0. Então:
Exemplos:
|x − 1| ≤ 2
1.
A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x|.
2.
A função f: IR → IR, tal que f(x) = |x2 − 3|.
3.
A função f: IR* → IR, tal que
−|x − 1| ≥ −2
−2 + 1 ≤ x ≤ 2 + 1 −1 ≤ x ≤ 3 Resposta: Df ={x∈IR| −1 ≤ x ≤ 3}
.
CONSTRUINDO GRÁFICOS 1. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = |x|. Não devemos esquecer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena tabela onde vamos achar, pela função, a imagem de alguns números:
A função modular associa-se diretamente à idéia de valor absoluto de um número, que é o próprio número, caso este seja positivo ou nulo, ou seu oposto, se o número for negativo. No início do século XIX, o matemático suíço Jean Robert Argand (1768-1822) introduziu a nomenclatura módulo para o valor absoluto de um número. Posteriormente, o matemático alemão Karl Theodor Wilhelm Weirstrass introduziu a notação |x|. Nessa época, o conceito de função e a sua nomenclatura já eram utilizados sistematicamente, o que fez que sua extensão para idéia de função modular fosse natural.
x
y = f(x)
−2
2
−1
1
0
0
1
1
2
2
Determinação do domínio Observando o gráfico, concluímos que o conjunto Imf = IR+
Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares: 61
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = |x + 1|. Não devemos esquecer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena tabela onde vamos achar, pela função, a imagem de alguns números: x
y = f(x)
−3
2
−2
1
−1
0
0
1
1
2
x
y = f(x)
−2
3
−1
0
0
1
1
0
2
3
Observando o gráfico, concluímos que o conjunto Imf = IR+
Para exercitar
Observando o gráfico, concluímos que o conjunto Imf = IR+
1. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da função definida por f(x) = |x − 3|.
3. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = |x + 1|. Não devemos esquecer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena tabela e achar nela, pela função, a imagem de alguns números: x
y = f(x)
−3
−2
−2
−1
−1
0
0
−1
1
−2
2. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem da função definida por f(x) = −|x − 2|. 3. Dada a função definida por f(x) = |x − 1| − 2, construa o gráfico e dê o conjunto imagem.
Curiosidade
Formando Letras A partir de funções matemáticas, brincar e formar figuras com seus respectivos gráficos, limitando os valores de x do domínio a serem utilizados. Podemos usar funções modulares cujo gráfico descreve, com seu traçado, algumas das letras que conhecemos.
Observando o gráfico, concluímos que o conjunto Imf = IR−
A
4. Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função f(x) = |x2 − 1|. Não devemos esquecer que Df = IR. Vamos elaborar uma pequena tabela e nela achar, pela função, a imagem de alguns números:
função
,
por
exemplo, tem com gráfico a letra W (figura 1). Já a função g(x) = |2x|, com −1 ≤ x ≤ 1, tem como gráfico correspondente a letra V (figura 2). 62
Matemática Elementar III – Funções Modulares
Se: • 0 ≤ t ≤ 2, então V = 10 − 4 + 2t − 6 + 2t V = 4t • t ≥ 3, então Figura 1
V = 10 − 2t + 4 − 2t + 6 V = 20 − 4t
• 2 < t < 3, então V = 10 − 2t + 4 − 6 + 2t V=8 Assim, temos que o volume é constante (V = 8m3) no intervalo 2 < t < 3. Como o tempo inicial é t = 8h, temos: 2<t<3 2+8<t<3+8
Figura 2
RESOLVA
10 < t < 11
a) Construa o gráfico da função abaixo, verificando a letra formada pelo seu traçado.
Resposta: O volume permanece constante das 10h às 11h da manhã. 2. Sejam as funções f(x) = |x − 1|e g(x) = x2 + 4x − 4. I. Calcule as raízes de f(g(x)) = 0.
b) Determine o conjunto imagem dessa função.
II. Esboce o gráfico de f(g(x)), indicando os pontos em que o gráfico intercepta os eixos cartesianos. Resolução: a) f(g(x)) = |(x2 + 4x − 4) − 1|
1. O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:
f(g(x)) = |x2 + 4x − 5|
V = 10 − |4 − 2t| − |2t − 6|, t ∈IR+
f(g(x)) = 0
Nela, V é o volume medido, em m3, após t horas, contadas a o partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.
|x2 + 4x − 5| = 0 x2 + 4x − 5 = 0 ⇒ Portanto as raízes são −5 e 1
Resolução: b)
4 − 2t = 0 ⇔ t = 2 2t − 6 = 0 ⇔ t = 3
63
x
y = f(x)
−5
0
−2
9
0
5
1
0
UEA – Licenciatura em Matemática
Façamos um esboço do gráfico de f(x), com 0 ≤ x ≤ 2:
3. O produto de todas as raízes da equação |x2 − 8| − 4 = 0 é: a) 4
d) −48
b) –4
e) 48 I. A área da figura limitada pelo gráfico de f e o eixo das abscissas é:
c) –8 Resolução: |x2 − 8| − 4 = 0 ⇔ |x2 − 8| = 4 Assim:
(VERDADEIRA) II. O contradomínio de f é [0,1].
• x2 − 8 = 4 ⇔ x2 = 12 ⇔
O conjunto imagem de f é [0,1]. Logo, tratase de uma função sobrejetora.
• x2 − 8 = −4 ⇔ x2 = 4 ⇔
(VERDADEIRA) III. Pelo gráfico, podemos concluir que:
O produto das raízes é
f(x) = 0,5 ⇔ x = 0,5 ou x = 1,5 As raízes da equação f(x) = 0,5 são os números 0,5 e 1,5; portanto a soma dessas raízes é 2.
4. Relativamente à função real definida por f(x) = 1 − |x − 1|, de [0,2] em [0,1], considere
(VERDADEIRA)
as afirmações:
5. A soma das raízes da equação |x|2 + 2|x| − 15 = 0 é:
I. A área limitada pelo seu gráfico e o eixo das abscissas é 1.
a) 0 b) –2 c) –4
II. Trata-se de uma função sobrejetora. III. A soma das raízes da equação f(x) = 0,5 é 2.
d) 6 e) 2
Resolução:
Então:
Fazendo |x| = y, vem :
a) Somente I e II são verdadeiras.
|x|2 + 2|x| − 15 = 0 ⇔
b) Somente II e III são verdadeiras.
Assim: |x| = y1 ⇒ |x| = y1 ⇒ |x| = 3 ⇒
c) Somente I e III são verdadeiras. d) Todas são verdadeiras.
|x| = y2 ⇒ |x| = −5 ⇒ x não existe.
e) Somente III é verdadeira.
Então a soma das raízes é: 3 + (−3) = 0
Resolução: 64
Matemática Elementar III – Funções Modulares
c) f(x) = |x − 3| d) f(x) = |x| − 3 14. (UPF–RS) A soma das raízes da equação |2x + 5| = 6.
4. Resolva a equação |x2 − 3x| = 10 no conjunto dos números reais. 5. (Fatec–SP) Resolva a equação |3x2 − 4| = x2 − 4 no conjunto dos números reais.
a) −5
b) 9
c) 4,5
d) 6
e) 0,5 15. (UEL–PR) O conjunto solução da inequação |x| ≤ 3, tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é:
6. Determine os números inteiros que satisfazem a inequação |5x − 4| < 7.
a) {−3, 3};
7. (Fuvest–SP) Seja f(x) = |2x2 − 1|, x∈IR. Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.
b) {−1, 0, 1}; c) {−2, −1, 0, 1, 2};
8. (PUC–SP) Quais são os números inteiros que satisfazem a sentença 3 ≤ |2x − 3| ≤ 6?
d) {−3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; e) {0, 1, 2, 3}.
9. Considere a função definida por f(x) = |x2 − 6x + 8|; construa seu gráfico e responda:
16. (ACAFE–SC) A equação modular admite, como solução, somente:
a) Qual é o domínio e o conjunto imagem dessa função?
a) uma raiz positiva e uma negativa; b) duas raízes negativas;
b) Para que valores de x tem-se f(x) ≥ 0?
c) duas raízes positivas; 10. Dada a função
.
d) uma raiz positiva; e) uma raiz negativa.
a) Calcule f(−2), f(2), f(−1), f(1), f(−10), f(10).
16. (UEPG-PR ) No conjunto IR, a desigualdade |x − 5| < 7 é verdadeira para:
b) Diga se é possível atribuir a x o valor zero. c) Dê o domínio da função.
a. x < 12;
d) Dê o conjunto imagem da função. 11. Para x ≠ 0, a função
b) X > −2; c) −2 < x < 12;
assume dois
d. −2 ≤ x ≤ 12;
valores distintos . Quais são eles? 12. Dada a função
e. n.d.a. 18. (CESGRANRIO) Seja f a função definida no . Então intervalo aberto (−1, 1) por
, quais valores que
ela assume para x ≠ 0? é: 13. Construa o gráfico e dê o conjunto imagem de cada uma das funções.
a) 1/2;
b) 1/4;
a) f(x) = |x + 3|
c) −1/2;
d) −1;
b) f(x) = |x| + 3
e) −2. 65
UEA – Licenciatura em Matemática
a) a = 1 e b = 6;
19. (S. CASA–SP) As funções f(x) = |x| e g(x) = x2 − 2 possuem dois pontos em comum. A soma das abscissas destes pontos é: a) 0;
b) a = 0 e b = −6; c) a = 1 e b = −6;
b) 3;
d) a = 0 e b = −9 ;
c) −1;
e) não existem a e b tais que x2 − ax + b = 0 contenha todas as raízes da equação dada.
d) −3; e) 1.
25. (ITA–SP) Considere a equação |x| = x − 6. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
20. (PUC-MG) a solução da equação |3x − 5| = 5x − 1 é: a) {−2}
b) {3/4}
c) {1/5}
d) {2}
a) a solução pertence ao intervalo [1, 2]; b) a solução pertence ao intervalo {−2, −1]; c) a solução pertence ao intervalo (−1, 1);
e) {3/4, −2}
d) a solução pertence ao complementar da união dos intervalos anteriores;
21. (FGV–SP) Quantos números inteiros não-negativos satisfazem a inequação |x − 2| < 5? a) infinitos;
b) 4;
c) 5;
d) 6;
e) a equação não tem solução. Para refletir 1. Dois matemáticos conversavam. O matemático Z diz ao matemático Y:
e) 7.
– Minha filha está fazendo x anos hoje. Se eu subtrair 20 do triplo desse valor e dividir o resultado por 2, o resultado, em módulo, é menor que 3. Você consegue me dizer quantos anos ela está fazendo? – Não, pois existe mais de um valor possível para x. – Ah! Eu ia esquecendo: x é um número par. Agora você consegue? – Não, pois existem dois valores possíveis. – É o menor deles. – Agora eu sei. Ela faz hoje 6 anos.
22. (ACAFE) Se |a − b| = 6 e |a + b| = 2, o valor de |a4 − 2a2b2 + b4| é: a) 8; b) 12; c) 24; d) 64; e) 144.
23. (INATEL–MG) A função definida por
Como o matemático Y conseguiu chegar a essa conclusão?
se x ≠ 0 e f(x) = 0 se x = 0. Então, podemos afirmar que a imagem f(x) é: a) {−1, 0, 1};
2. Márcia e Lourdinha estavam resolvendo um problema. Nele, era procurado um número par, ao qual ambas chamaram de x. Trabalhando com uma condição fornecida pelo problema, Márcia chegou à conclusão de que deveria ocorrer isto: |3x − 2| < 10. Trabalhando com outra condição fornecida pelo problema, Lourdinha chegou à conclusão de que deveria ocorrer isto: |5 − 2x| < 5.
b) real; c) {0}; d) {−1,1}; e) n.d.a. 24. (ITA-SP) Sabendo-se que as soluções da equação |x|2 −|x| − 6 = 0 são raízes da equação x2 − ax + b = 0, podemos afirmar que:
Ambas estavam certas. Qual o valor de x? 66
Matemática Elementar III – Funções Modulares
x → y = x2 − 2x − 8 Faça um esboço gráfico da função fog. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO SÉRIE FINAL
(UFSC) Na questão a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.
1. (UFRJ) Seja f a função real dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação |f(x)| = 12 são −2, 1, 2 e 5. Justifique.
6. Considere a função f: IR → IR dada por f(x)=|2x + 5|. Determine a soma dos números associados às proposições CORRETAS.
2. (FUVEST) a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x)=|x − 2|+|2x + 1|− x − 6. O símbolo |a| indica o valor absoluto de um número real a e é definido por |a|=a, se a ≥ 0 e |a|= −a, se a < 0.
01. f é injetora. 02. O valor mínimo assumido por f é zero. 04. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,5).
b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?
08. O gráfico de f é uma reta. 16. f é uma função par.
3. ( FUVEST) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x2 − 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.
Soma (
)
7. No gráfico a seguir, está representada a função do 1.o grau f(x). O gráfico que melhor representa g(x)=|f(x)| − 1 é:
a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os gráficos de f e de g quando m = 1/4 e m = 1.
b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2.
a)
b)
c)
d)
c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x). e)
4. (UFES Sejam f e g as funções definidas para todo x∈IR por f(x)=x2 − 4x + 4 e g(x) =|x − 1|. a) Calcule f(g(x)) e g(f(x)).
8. (FUVEST) O módulo |x| de um número real x é definido por |x| = x, se x ≥ 0, e |x| = −x, se x < 0. Das alternativas a seguir, a que melhor representa o gráfico da função f(x) = x.|x|−2x + 2 é:
b) Esboce os gráficos das funções compostas fog e gof. 5. (UNIRIO) Sejam as funções f:
IR → IR x → y= I x I e
g : IR → IR
a) 67
b)
UEA – Licenciatura em Matemática
c)
d)
c)
e)
e)
13. ( MACKENZIE) Na figura 1, temos o esboço do gráfico de uma função f, de IR em IR. O melhor esboço gráfico da função g(x)=f(|x|) é:
9. (MACKENZIE) A melhor representação gráfica da função real definida por é:
a)
c)
d)
,x≠0
b) a)
b)
c)
d)
d)
e)
e)
10. ( MACKENZIE) Se y = x − 2 + |x − 2| x ||, x ∈ IR, então o menor valor que y pode assumir é: a) −2;
b) −1;
c) 0;
d) 1;
14. (PUC–MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por: a) duas semi-retas de mesma origem; b) duas retas concorrentes;
e) 2.
c) duas retas paralelas; d) uma única reta que passa pelo ponto (0, 2).
11. ( MACKENZIE) O número de soluções reais da equação
15. (PUC–RS) Considerando a função f definida por f(x) = x2 − 1, a representação gráfica da função g dada por g(x) = |−f( x )| − 2 é:
é:
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) maior que 3. 12. ( MACKENZIE) Dada a função real definida a seguir, então a melhor representação gráfica de y = f(|x|) é:
a)
a)
b)
c)
d)
e)
b) 68
Matemática Elementar III – Funções Modulares
16. (UEL) Seja f: R → R dada por f(x) = |x2| + |x|. O gráfico da função g: R → R, definida por g(x) = −f(x+1), é:
18. (UFES)
O gráfico acima representa a função:
a)
a) b) c) d) e)
b)
f(x) f(x) f(x) f(x) f(x)
= = = = =
||x| − 1| |x − 1| + |x + 1| − 2 ||x| + 2| − 3 Ix − 1| ||x| + 1| − 2
19. (Ufg) Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f: IR → IR, definida por f(x)=|1−|x||. Assim,
c)
( ( ( (
d)
) ) ) )
f(−4) = 5; o valor mínimo de f é zero; f é crescente para x no intervalo [0,1]; a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.
20. (UFLAVRAS) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é dado por:
a)
b)
c)
d)
e) 17. (UFC) Seja f uma função real de variável real cujo gráfico está representado adiante. Se g(x) = 2 f(x) −1, assinale a alternativa cujo gráfico melhor representa |g(x)|.
e) 21. (UFPE) Na figura a seguir, temos o gráfico de uma função f(x) definida no intervalo fechado [−4, 4]. Com respeito à função g(x)=f(|x|), é incorreto afirmar:
a)
b)
c)
d)
e)
a) O ponto (−4, −2) pertence ao gráfico de g. b) O gráfico de g é simétrico com relação ao eixo 0y das ordenadas. c) g(x) se anula para x igual a −3, −1, 1 e 3. d) g(−x) = g(x) para todo x no intervalo [−4, 4]. e) g(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [−4, 4]. 69
UEA – Licenciatura em Matemática
22. (UFRN) Um posto de gasolina encontra-se localizado no km 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado instante, x denota a distância (em quilômetros) do automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é:
Augustin Louis Cauchy * 21 de agosto de 1789, em Paris, França.
a) |100 + x|
b) x − 100
c) 100 − x
d) |x − 100|
+ 23 de maio de 1857, em Sceaux (próximo a Paris), França.
Quando Augustin-Louis Cauchy era uma criança, Paris era um lugar difícil de se viver devido aos eventos relativos à Revolução Francesa. Quando Cauchy completou quatro anos, o pai dele, receoso de ser morto em Paris, mudou-se com a família para Arcueil.
23. (UFRS) Identifique os gráficos que correspondem a y = logx e y = |logx|, nessa ordem.
a) I e II
b) I e III
c) I e IV
d) II e III
Logo eles voltaram a Paris, e o pai de Cauchy era participante ativo em sua educação. Laplace e Lagrange visitavam regularmente a casa da família Cauchy, e Lagrange em particular parecia ter um interesse maior na educação matemática do jovem Cauchy. Lagrange aconselhou ao pai de Cauchy a primeiro dar uma boa base em línguas para depois começar os estudos de Matemática. Em 1802, Augustin-Louis entrou na École Centrale du Panthéon, onde passou dois anos estudando línguas clássicas.
e) V e IV 24. (UFRS) Para −1 < x < 1/2, o gráfico da função y=|x + 1|+|2x − 1| coincide com o gráfico da função y= ax + b. Os valores de a e b são, respectivamente, a) −1 e −1
b) 2 e −1
c) −1 e 2
d) 1/2 e −1
Em 1804, Cauchy tomou aulas de Matemática e fez o exame de admissão para a École Polytechnique em 1805. Ele foi examinado por Biot e ficou em segundo lugar. Lá teve aulas com Lacroix, de Prony e Hachette, sendo tutorado em Análise por Ampère. Em 1807, graduou-se e entrou na escola de engenharia École des Ponts et Chaussées. Ele era um estudante excepcional e, por seu trabalho prático, foi designado para trabalhar sob as vistas de Pierre Girard, no projeto do Canal Ourcq.
e) −1/2 e 1
70
Matemática Elementar III – Funções Modulares
que, mas foi apontado como professor assistente de Análise. Ele era responsável pelo segundo ano de curso. Em 1816, ele ganhou o Grand Prix of the French Academy of Science por um trabalho em ondas. Ele só atingiu realmente a fama quando submeteu um trabalho ao Institute, resolvendo uma das afirmações de acerca de números poligonais feita a Mersenne. Graças à ajuda política, Cauchy agora ocupava um posto na Academy of Sciences.
Em 1810, Cauchy arrumou seu primeiro emprego em Cherbourg: foi trabalhar no porto para a frota de invasão Inglesa de Napoleão. Ele levou consigo uma cópia de Méchanique Céleste, de Laplace e de Thèorie des Fonctions. Apesar da carga intensa de trabalho no porto, Cauchy dedicou-se intensamente à pesquisa matemática e provou, em 1811, que os ângulos de um poliedro convexo são determinados por suas faces. Ele submeteu seu primeiro trabalho neste tópico e, então, encorajado por Legendre e Malus, submeteu outro sobre polígonos e poliedros em 1812. Cauchy sentia que deveria retornar a Paris se quisesse deixar sua marca na pesquisa. Infelizmente, Cauchy voltou pelos motivos errados: provavelmente uma severa depressão.
Em 1817, Cauchy substituiu Biot – que saíra em expedição – em seu posto no Collège de France. Lá deu aulas sobre métodos de integração desenvolvidos por ele, mas ainda não publicados. Cauchy foi o primeiro a fazer um estudo rigoroso das condições de convergência de séries infinitas, além de sua rigorosa definição de integral. Seu texto Cours d’analyse, de 1821, foi escrito para estudantes da École Polytechnique e tratava do desenvolvimento dos teoremas básicos do Cálculo, tão rigorosamente quanto possível.
De volta a Paris, Cauchy investigou funções simétricas e submeteu um artigo sobre este tópico em novembro de 1812, que foi publicado no Journal of the École Polytechnique, em 1815. Contudo ele deveria voltar a Cherbourg em fevereiro de 1813, quando tivesse recobrado sua saúde, mas isso não se encaixava nas suas ambições matemáticas. Seu pedido a de Prony para ser um professor associado na École des Ponts et Chaussées foi recusado, mas foi-lhe permitido continuar como engenheiro no projeto do Canal Ourcq, em vez de voltar a Cherbourg.
Em 1826, começou um estudo do cálculo de resíduos em Sur un nouveau genre de calcul analogue au calcul infinétesimal enquanto que em 1829, em Leçons sur le Calcul Différential, ele define pela primeira vez uma função e uma variável complexas. Em 1830, os eventos políticos em Paris e os anos de trabalho intenso começaram a cobrar seu preço, e Cauchy decidiu tirar umas férias. Ele deixou Paris em setembro de 1830, antes da revolução de Julho, e passou algum tempo na Suíça. Lá ele foi um ajudante entusiástico na organização da Académie Helvétique, mas este projeto colapsou, pois ele foi flagrado em eventos políticos.
O que realmente Cauchy desejava era uma carreira acadêmica. Então, inscreveu-se para um posto no Bureau des Longitudes. Legendre ficou com a vaga. Também falhou ao se inscrever para a seção de geometria do Institute, indo a vaga para Poinsot. Outros postos ficaram vagos; um, em 1814, foi a Ampère, e uma vaga em Mecânica no Institute, que era de Napoleão Bonaparte, foi para Molard. Na última eleição, Cauchy não recebeu um único voto! Contudo sua produção matemática continuava grande. Em 1814, publicou um trabalho sobre integrais definidas que, posteriormente, viria a se tornar a base da teoria de funções complexas.
Eventos políticos na França significavam que Cauchy deveria jurar lealdade ao novo regime, mas tendo falhado em retornar a Paris, ele perdeu todas as suas posições. Em 1831, Cauchy foi a Turim e, durante algum tempo, por oferecimento do Rei de Piemonte, ocupou uma cadeira de Física teórica. Ele ensinou em Turim em 1832. Menabrea assistiu a essas aulas em Turim e escreveu que os cursos
Em 1815, Cauchy perdeu para Binet um cadeira em Mecânica na École Polytechni-
71
UEA – Licenciatura em Matemática
mente disputada por Liouville e Cauchy. Liouville ganhou, azedando a relação entre os dois.
eram muito confusos, passando repentinamente de uma idéia à outra, de uma fórmula à próxima, sem nenhum esforço de dar uma conexão entre elas. Suas apresentações eram nuvens obscuras, iluminadas de tempos em tempos por um brilho de pura genialidade. ... dos trinta colegas comigo, eu era o único a perceber isso.
Os últimos anos da vida de Cauchy foram particularmente amargos, por ter-se envolvido com Duhamel a respeito de um resultado sobre choques inelásticos. Foi provado que Cauchy estava errado, mas ele nunca admitiu isso. Inúmeros termos em Matemática levam o nome de Cauchy: o teorema da integral de Cauchy, a teoria de funções complexas, o teorema de existência de CauchyKovalevskaya, as equações de CauchyRiemman e as seqüências de Cauchy. Ele produziu 789 trabalhos em Matemática, um feito extraordinário.
Cauchy voltou a Paris em 1838 e recuperou sua posição na Academia, mas não suas posições como professor por ter recusado jurar lealdade. De Prony morreu em 1839 e sua posição no Bureau des Longitudes tornou-se vaga. Cauchy era fortemente apoiado por Biot e Arago, mas Poisson opunha-se radicalmente a ele. Cauchy foi eleito, mas, tendo-se recusado a jurar lealdade, não foi indicado e não poderia participar de reuniões ou receber um salário.
Uma coleção com seus trabalhos, Oeuvres complètes d’Augustin Cauchy (1882-1970), foi publicada em 27 volumes.
Em 1843, Lacroix morreu, e Cauchy tornouse candidato para sua cadeira no Collège de France. Liouville e Libri eram também candidatos. Cauchy teria facilmente sido indicado, mas suas atividades políticas e religiosas (como ajudar os Jesuítas), foram fatores cruciais. Libri foi escolhido, claramente o mais fraco dos três matematicamente falando, e Liouville escreveu no dia seguinte que ele estava profundamente humilhado como homem e como matemático pelo que acontecera ontem no Collège de France. Durante este período, a produção matemática de Cauchy foi menor do que no período de exílio auto-imposto. Ele fez trabalhos importantes na área de Equações Diferenciais e aplicações à Física Matemática. Ele também escreveu sobre Astronomia Matemática, especialmente por ser candidato a posições no Bureau des Longitudes. O texto em 4 volumes Exercises d’analyse et de physique mathematique, publicado entre 1840 e 1847, mostrouse extremamente importante. Quando Louis Philippe foi deposto em 1848, Cauchy recuperou suas posições na Universidade. A cadeira ocupada por Libri vagou (fugiu, acusado de roubar livros), sendo nova-
72
UNIDADE VIII Seqüências
Matemática Elementar III – Seqüências
Por que as abelhas escolhem o padrão hexagonal? A resposta matemática é que a determinação do formato leva em conta economia e eficiência.
TEMA 22 SEQÜÊNCIAS
A colmeia é um padrão no espaço. O plano genealógico da abelha é um padrão no tempo. O matemático que interferiu no primeiro pôs a mão também no segundo. O zangão, macho da abelha, nasce de um ovo que não foi fecundado. O ovo fecundado somente gera fêmeas – rainhas ou operárias. Se utilizarmos esse fato da vida para compor um plano genealógico que mostre a linhagem do zangão por várias gerações, chegaremos como o ilustrado a seguir.
O estudo das progressões teve a contribuição de vários matemáticos ao longo do tempo A CONTRIBUIÇÃO DE FIBONACCI Entre as valiosas contribuições para o estudo das progressões, poderíamos lembrar as seqüências do italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci (1180-1250) e a fórmula da soma de uma P.A. descrita pelo alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Na seqüência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,144...), cada termo, a partir do terceiro, é obtido pela soma dos dois termos imediatamente anteriores; a razão entre dois termos consecutivos, a partir do 6.o termo
dá-nos a conhecida razão de ouro
que Apurando os totais de todos os machos, todas as fêmeas e todas as abelhas de ambos os sexos que constituem cada geração, verificamos que temos a série de Fibonacci sobreposta e repetida três vezes – uma parte para os machos, uma para as fêmeas e uma para dos dois sexos combinados.
exerceu forte influência na arquitetura e na arte.
Não somente o entomólogo, por meio de suas abelhas, estabelece contato com os números áureos. O botânico também os encontra em diferentes áreas de seus estudos – na disposição das folhas, na estrutura das pétalas, nos flósculos da família das compostas e na disposição das axilas nos ramos da planta. É bem raro encontrar espécimes perfeitos, que correspondam com precisão ao padrão matemático. A margarida do campo pode ter 33 ou às vezes 56 pétalas, que por pouco não empatam com os números de fibonacci, 34 e 55, mas seria incomum a margarida que tivesse um número de pétalas entre digamos 40 e 50.
Pathernon: Apresenta a relação áurea em sua arquitetura
A COLMEIA Ao comentar os padrões e os desenhos encontrados na natureza, mencionamos que um dos padrões atraentes é encontrado no favo de mel. Os alvéolos de cera destinados a ser receptáculos de mel têm perfil hexagonal, formando um padrão contínuo que preenche o espaço sem deixar interstícios, A única maneira alternativa simples de se conseguir este efeito é com alvéolos de perfil retangular, de preferência quadrado, no interesse da rigidez.
Encontramos uma relação diferente com os números de Fibonacci no número de axilas do talo de uma planta à medida que ela se desen75
UEA – Licenciatura em Matemática
volve. A figura abaixo representa um caso idealmente simples, em que os talos e as flores da espirradeira estão dispostos esquematicamente. Vê-se um novo galho que brota da axila e outros galhos que dele crescem. Desde que os galhos velhos e os novos sejam somados, encontra-se um número de Fibonacci em cada plano horizontal.
Se hoje usamos os dígitos de 0 a 9 e os alinhamos da direita para a esquerda para indicar quantidades cada vez maiores, devemos isso à divulgação feita por Fibonacci. O pai de Leonardo, gerente de um escritório comercial em Bugia, no norte da África, tinha o apelido de Bonacci (homem de boa natureza). Isto explica o apelido Fibonacci, filho de Bonacci. O jovem viajou muitas vezes com o pai, tendo a oportunidade de conhecer os algarismos hindus usados pelos árabes. Mais do que os algarismos, o que chamou a atenção de Fibonacci foi o sistema de numeração, a facilidade dos cálculos que oferecia e sua notória superioridade em relação aos números romanos. Resolveu, então, viajar pelos países mediterrâneos para estudar com os mais conhecidos matemáticos árabes de seu tempo, retornando a Pisa somente ao redor de 1200.
Espirradeira: Apresenta, em suas bifurcações, a seqüência de Fibonacci
Em 1202, com 27 anos de idade, publicou Liber Abaco (Livro dos Ábacos ou Livro dos Cálculos). Esclareceu o sistema posicional decimal dos números usado pelos árabes, inclusive a importância do número zero. Este livro mostrou a praticidade do novo sistema numérico, especialmente quando aplicado na contabilidade comercial, na conversão de pesos e medidas, no cálculo de porcentagens e de câmbio, além de inúmeras outras aplicações. O livro foi aceito com entusiasmo pelos letrados da época e teve impacto profundo no pensamento europeu. Apesar disso, os números decimais só começaram a ser usados depois da invenção da imprensa, quase três séculos mais tarde.
Leonardo de Pisa * 1175, em Pisa, Itália + 1250, provavelmente em Pisa, Itália.
Um dos grandes legados de Fibonacci foi o estudo e a divulgação dos famosos Números de Fibonacci, uma série criada por matemáticos indianos e que, até hoje, é material de estudo para muitos amadores e profissionais da área.
Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano viveu de 1175 a 1250. Este matemático italiano ficou conhecido por ter criado os Números de Fibonacci e por ter introduzido, na Europa, o moderno sistema decimal posicional arábico, ideal para escrever e manipular números (algarismos).
76
Matemática Elementar III – Seqüências
TEMA 23 1. Para a seqüência f: N → R definida por f(n) = 2n + 1, determinar:
SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Relembrando
a. Os 4 primeiros termos da sequência.
Função real – Uma função f sobre um conjunto x
b. A imagem de f.
com imagem no conjunto y, denotada por f: X → Y,
c. O n-ésimo termo da sequência.
associa a cada x ∈ X um único elemento y ∈ Y, para todos os elementos de X. O que caracteri-
Solução:
za o nome da função é o contradomínio Y dela.
a) f(n) = 2n + 1
Se Y é um conjunto de:
f(1) = 2 x 1 + 1 = 3
1. números reais, temos uma função real;
f(2) = 2 x 2 + 1 = 5
2. vetores, temos uma função vetorial;
f(3) = 2 x 3 + 1 = 7 f(4) = 2 x 4 + 1 = 9
3. matrizes, temos uma função matricial;
b) Im(f) = {3, 5, 7, 9, ..., 2n + 1, ...}
4. números complexos, a função é complexa.
c) f(n) = 2n + 1
O conjunto dos números naturais será indicado por:
2. Apresente o conjunto imagem da seqüência f que indica a altura de um avião que levanta vôo do solo numa proporção de 3 metros por minuto.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Definição – Seqüência de números reais (ou sucessão) é uma função f: N → R que associa a cada número natural n um número real f(n).
Solução:
O valor numérico f(n) é o termo de ordem n da
Quando t=0, o avião está no chão.
seqüência. Do modo como definimos a se-
a0 = 0,
qüência, o domínio de f é um conjunto infinito,
a1 = 1 × 3,
mas o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado
a2 = 2 × 3,
por D(f) = N, e a imagem de uma seqüência
a3 = 3 × 3,
por Im(f) = {a1, a2, a3, ...}.
........,
Muitas vezes, a seqüência (função) é confundi-
an = 3n,
da com a Imagem da função (conjunto de nú-
logo, f(n) = 3n, onde n representa os minutos.
meros); no entanto esta confusão até mesmo
Im(f)={0, 3, 6, 9, 12, ..., 3n, ...}
colabora para o entendimento do significado de uma seqüência no âmbito do Ensino Médio.
EXEMPLOS IMPORTANTES DE SEQÜÊNCIAS REAIS
Um fato importante é que a função determina a regra que os elementos do conjunto imagem
Função identidade: Seja f: N → R definida por f(n) = n. Esta função pode ser representada graficamente de várias formas, sendo que duas delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano (direita). Neste caso, D(f) = N e Im(f) = {1, 2, 3, ...}
devem seguir.
77
UEA – Licenciatura em Matemática
Neste caso, Im(f) = {3}. Seqüência de números pares
Sequência nula
Seja f: N → R definida por f(n) = 2n. Nesse
A sequência nula f: N → R é definida por f(n) = 0. A imagem é o conjunto Im(f) = {0}. f pode ser vista graficamente como:
caso Im(f) = {2,4,6,...}. Duas representações gráficas para essa seqüência são:
Seqüência alternada Uma seqüência alternada f: N → R pode ser definida por f(n) = (−1)nn. Essa seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte positivo, e assim por diante. A imagem é o conjunto:
Seqüência de números ímpares A função f: N → R definida por f(n) = 2n − 1, está representada abaixo, e a sua imagem é Im(f) = {1,3,5,.....}.
Im(f) = {−1,+2,−3,+4,−5,+6} Seqüência aritmética A seqüência aritmética f: N → R é definida por: f(n) = a1 + (n − 1)r e pode ser vista como nos gráficos abaixo: Seqüência dos recíprocos A seqüência dos recíprocos (ou inversos) dos números naturais f: N → R é definida por
. Nesse caso, Neste caso:
.
Im(f) = {a1,a1 + r, a1 + 2r, a1 + (n − 1)r, ....}. Seqüência geométrica Uma sequência geométrica é uma função f: N → R definida por: f(n) = a1.qn − 1 que pode ser esboçada graficamente por: Seqüência constante Uma sequência constante é uma função f: N → R definida, por exemplo, por f(n) = 3 e pode ser representada graficamente por: 78
Matemática Elementar III – Seqüências
Im(f) = {a1,a1,q,a1 . q2,....,a1 . qn − 1,....}.
Toda vez que nos referirmos a uma seqüência f: N → R tal que f(n) = an, simplesmente usaremos (a1,a2,a3,...,an − 1,an,...)
Sequência recursiva Uma sequência é recursiva se o termo de ordem n é obtido em função dos termos das posições anteriores.
Seqüências finitas e infinitas Quanto ao número de elementos da imagem, uma seqüência poderá ser finita ou infinita.
Exemplo: A importante sequência de Fibonacci, definida por f: N → R tal que f(1) = 1 e f(2) = 1 com f(n + 2) = f(n) + f(n + 1) para n ≥ 1, é uma sequência recursiva.
Seqüência Finita: Uma seqüência é finita se o seu conjunto imagem é um conjunto finito. Exemplos:
O conjunto imagem é Im(f) = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,....}.
As sequências f: N → R definidas por são finitas e
f(1) = 1
as suas imagens são, respectivamente:
f(2) = 1 f(3) = f(1)+ f(2) = 1 + 1 = 2 f(4) = f(2)+ f(3) = 1 + 2 = 3 f(5) = f(3)+ f(4) = 2 + 3 = 5
Seqüência Infinita: Uma seqüência é infinita se o seu conjunto imagem é um conjunto infinito.
f(6) = f(4)+ f(5) = 3 + 5 = 8 f(7) = f(5)+ f(6) = 5 + 8 = 13 f(8) = f(6)+ f(7) = 8 + 13 = 21
Exemplos:
f(9) = f(7)+ f(8) =13 + 21 = 34
Exemplo 1: As seqüências f: N → R definidas por
.... .... ....
f(n) = 2n,g(n) = (−1)nn, h(n) = sin(n),k(n) = cos(3n) são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos termos. Exemplo2: Seja a seqüência infinita f: N → R, cujo conjunto imagem é dado por Im(f) = {5,10,15,20,....}. Observamos que f(1) = 5 = 5 x 1, f(2) = 10 = 5 x 2, As seqüências de Fibonacci aparecem de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura, Artes e Padrões de beleza. O livro A divina proporção, Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.
f(3) = 15 = 5 x 3, ........, f(n) = 5n Este é um exemplo de uma seqüência aritmética, o que garante que ela possui uma razão r = 5, o que permite escrever cada termo como
Observação: O gráfico de uma seqüência não é formado por uma coleção contínua de pontos mas por uma coleção discreta. Eventualmente, usamos retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor visualizar o gráfico, mas não podemos considerar tais linhas como representativas do gráfico da seqüência.
f(n) = f(1) + (n − 1)r No âmbito do Ensino Médio, essa expressão é escrita como: an = a1 + (n − 1)r 79
UNIDADE IX Progressões Aritméticas
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
termo para o seguinte é sempre o mesmo e é chamado de razão da progressão.
TEMA 24
Definição Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência de números reais na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e é representada por r.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Uma seqüência muito útil é a seqüência aritmética, que possui domínio infinito. Essa seqüência é conhecida, no âmbito do Ensino Médio, como uma Progressão Aritmética. Encontramos freqüentemente grandezas que sofrem variações iguais em intervalos de tempo iguais. Veja, por exemplo, o seguinte problema:
Notação para a PA: (a1, a2, a3, ..., an, ....) ou C = (a1, a2, a3, ..., an, ....)
Uma empresa produziu, no ano 2000, 100 mil unidades de um certo produto. Quantas unidades produzirá, anualmente, de 2000 a 2005, se o aumento anual de produção for estabelecido em 20 mil unidades?
Exemplos: 1. A seqüência de números reais, dada por (2,4,6,8,...,2n,....) com n∈N é uma PA de razão r = 2
Esquematizando o problema da seguinte forma, teremos:
2. A seqüência de números reais, dada por (1,3,....,2n − 1,....) com n∈N é uma PA de razão r = 2
• Produção em 2000: 100 mil unidades. • Produção em 2001 = produção em 2000 + 20 mil unidades = 100 mil unidades +20 mil unidades = 120 mil unidades.
Na seqüência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:
• Produção em 2002 = produção em 2001 + 20 mil unidades = 120 mil unidades + 20 mil unidades = 140 mil unidades.
(a1,a2,a3,....,an,....) 1. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral an na seqüência.
• Produção em 2003 = produção em 2002 + 20 mil unidades = 140 mil unidades + 20 mil unidades = 160 mil unidades.
2. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.
• Produção em 2004 = produção em 2003 + 20 mil unidades = 160 mil unidades + 20 mil unidades = 180 mil unidades.
3. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.
• Produção em 2005 = produção em 2004 + 20 mil unidades = 180 mil unidades + 20 mil unidades = 200 mil unidades.
4. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2. 5. r é a razão da PA, e é possível observar que
Nessas condições, a produção nesse período será representada pela seqüência (100 mil, 120 mil, 140 mil, 160 mil, 180 mil, 200 mil).
an = a1 + r, a3 = a2 + r, ..........,
Notamos que, nessa seqüência, cada termo, a partir do segundo, é obitido do anterior somando-se a este um número fixo 20 mil.
an = an − 1 + r, ..........
Seqüência desse tipo são chamadas de progressões aritméticas. O aumento de cada
A razão de uma Progressão Aritmética pode ser obtida subtraindo o termo anterior (antecedente) 83
UEA – Licenciatura em Matemática
do termo posterior (conseqüente), ou seja: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an = an − 1 + r Progressão Aritmética finita – Surge aqui o conceito de Progressão Aritmética finita: é uma coleção finita de números reais com as mesmas características que uma da Progressão Aritmética.
1. A PA definida por C = (2,5,8,11,14) possui razão r = 3, pois: 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14 2. A PA definida por M = (1,2,3,4,5) possui razão r = 1, pois:
Tal progressão pode ser demonstrada por: C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)
1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5
ou
3. A PA definida por M) = (3,6,9,12,15,18) possui razão r = 3, pois:
(a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am) Na seqüência, apresentamos os elementos básicos de uma Progressão Aritmética da forma:
6 − 3 = 9 − 6 = 12 − 9 = 15 − 12 = 3 4. A PA definida por M = (0,4,8,12,16) possui razão r = 4, pois:
C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am) 1. m é o número de termos da PA.
4 − 0 = 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 4
2. n indica uma posição na sequência. n é o índice para a ordem do termo geral an no conjunto C.
PARA EXERCITAR
3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice n.
1. Qual a razão em cada uma das progressões aritméticas abaixo?
4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice 1.
a)
(1, 2, 3, 4, ... )
5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice 2.
b) (10, 17, 24, ... )
6. am é o último elemento da PA.
d) (10, 1, −8, ...)
7. r é a razão da PA, e é possível observar que:
e)
(−5, −10, −15, ...)
a2 = a1 + r,
f)
(1/2, 1, 3/2, ...)
a3 = a2 + r,
g) ( x, x + 2, x + 4, ...)
c)
.........., an = an − 1 + r,
(−5, −4, −3, ...)
Média aritmética
........,
Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média aritmética entre esses números, denotada pela letra x com um traço sobre ela, − x , como a divisão entre a soma desses números e o número de elementos:
an = am − 1 + r 8. A razão de uma Progressão Aritmética pode ser obtida subtraindo o termo anterior (antecedente) do termo posterior (conseqüente), ou seja: a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an − an − 1 = r
Na Progressão Aritmética, cada termo é a média aritmética entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência.
Observação: Trataremos, aqui, uma Progressão Aritmética finita como sendo uma PA. 84
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
TEMA 25 1. Dada a PA (2, x, 10, y, 18, 22, z, 30), calcule x; y; z.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA Consideremos a PA com razão r, definida por P = {a1,a2,a3,....,an − 1,an,....}
Solução:
Observamos que: a1 = a1 = a1 + 0r a2 = a1 + r = a1 + 1r a3 = a2 + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + 3r
2. Determine x para que a seqüência (3x − 4; x + 12; 9x − 12) forme uma PA
................ an = an − 1 + r = a1 + (n − 1)r
Solução:
e obtemos a fórmula do termo geral da PA: an = a1 + (n − 1)r Com o material apresentado, podemos obter qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA), sem precisar escrevê-la completamente.
PARA EXERCITAR
1. Seja a PA com razão r = 5, dada por C = {3,8,....,a30,....,a100}. O trigésimo e o centésimo termos desta PA podem ser obtidos, substituindo os dados da PA na fórmula do termo geral an = a1 + (n − 1)r. Assim:
1. Determinar x na PA 2. Calcule o valor x em cada caso:
a30 = 3 + (30 − 1)3 = 90
a)
e a100 = 3 + (100 − 1)3 = 300 b)
2. Sendo a7 = 21 e a9 = 27 termos de PA, determine sua razão: Solução: Sendo a7 = a1 + (7 − 1)r ⇒ 21 = a1 + 6r a9 = a1 + (9 − 1)r ⇒ 27 = a1 + 8r Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda: 85
UEA – Licenciatura em Matemática
a1 = 21 − r agora, substtituindo na segunda
Subtraindo o total de termos da PA pelos termos já vistos, obtemos:
27 = (21 − 6r) + 8r 27 = 21 + 2r ⇒ 27 − 21 = 2r
11 − 5 = 6
6 = 2r ⇒
Assim, o garoto ficou sem ver a numeração de seis casas.
=r⇒r=3
3. Determinar o quinto termo da PA definida por
5. Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.
C={a + b, 3a − 2b,...}.
21
Solução: Temos que a1 = a+b, a2 = 3a − 2b e a razão é r = (3a − 2b) − (a+b) = 2a − 3b.
25
30
...
615
620
a1
a2
...
an − 1
an
623
Solução: Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1 = 25, o último múltiplo de 5 é an = 620 e a razão é r = 5. Substituindo os dados na fórmula an = a1 + (n − 1)r, obteremos 620 = 25 + (n − 1)5 de onde segue que n=120, assim o número de múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120. Sendo assim, temos que a PA procurada será
Substituindo na fórmula do termo geral, obtemos a5 = a + b + (5 − 1)(2a − 3b) = a + b + 8a − 12b = 9a − 11b Assim, o quinto termo é a5 = 9a − 11b. 4. Um garoto, dentro de um carro em movimento, observa a numeração das casas do outro lado da rua, começando por 2, 4, 6, 8. De repente, passa um ônibus em sentido contrário, obstruindo a visão do garoto de forma que quando ele voltou a ver a numeração, já estava em 22.
C5 =( 25, 30, 35, ..., 615, 620 ) 6. Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e 500? Temos que o primeiro múltiplo de 3 maior que 100 é a1 = 102
a) Pode-se afirmar que a sequência de números é uma sequência aritmética? Por quê?
Solução: O último múltiplo de 3 pertencente ao intervalo dado é 498, que indicaremos por an, pois não conhecemos sua posição na seqüência. Assim, an = 498
b) Quantos números o garoto deixou de ver? Solução: a) Sim, pois temos que o primeiro número que o garoto vê é 2, que chamaremos de a1, o segundo é a2 = 4, o terceiro é a3=6, ...
Retomando, queremos determinar o número de termos (n) da seqüência (102,105,...,498). Pelo termo geral da P.A., temos:
E podemos observar que
an = a1 + (n − 1)r ⇒ 498 = 102 + (n − 1).3 ⇒n=3
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = 2. Logo concluímos que a numeração que o garoto vê está na forma de uma Progressão Aritmética de razão r = 2.
7. Calcular o número de termos da PA definida por (5,10,...,785 ). Solução:
b) Para saber quantos números o garoto ficou sem ver, basta calcular os termos da PA e subtrair pelos termos que o garoto já tinha visto.
Como a1=5, an=785 e r=5, então, 785 = 5+(n − 1)5 = 5n, logo, n = 157.
Assim, 22 = 2 + (n − 1)2 = 11, logo n = 11 portanto a PA possui 11 termos até o número 22.
Portanto o número de termos desta PA de razão r = 5 entre 5 e 785 é igual a 157. 86
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
7. Numa PA de n termos e razão r, temos a1= − 2/15, an = 2/3 e r . n = 1. Então, r e n valem, respectivamente: 1. (MACK–SP) O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é: a) 63;
b) 65;
c) 92;
d) 95;
c) −6;
d) −7;
c) 1/6 e 6;
d) 1/7 e 7;
8. (UFPA) Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao intervalo:
2. (FEI–SP) A razão de uma PA de 10 termos, cujo primeiro termo é 42 e o último é –12, vale: b) −9;
b) 1/3 e 3;
e) 1/9 e 9.
e) 98.
a) −5;
a) 1/5 e 5;
a) [8,10];
b) [6,8[;
c) [4,6[;
d) [2,4[;
e) [0,2[. 9. A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 e a4 + a7 = 29, vale:
e) 0. 3. O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1. Então, o terceiro termo da PA vale: a) 2;
b) 3;
c) 5;
d) 6;
c) −290;
d) −205;
c) 7;
d) 9;
10. (FGV–SP) A soma do 4.º e 8.º termos de PA é 20; o 31.º termo é o dobro do 16.º termo. Determine a PA:
4. (MACK–SP) O produto das raízes da equação x² + 2x − 3 = 0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7. O 100.o termo dessa PA é: b) −304;
b) 5;
e) 11.
e) 4.
a) −200;
a) 3;
a) (−5, −2, 1, ...) b) (5, 6, 7, ...) c) (0, 2, 4, ...) d) (0, 3, 6, 9, ...)
e) −191.
e) (1, 3, 5, ...)
5. (PUC–PR) Se em uma PA de 7 termos, de razão K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto e sexto termos, a sucessão restante é uma PA de razão:
11. A soma do 2.º e do 4.º termos de uma PA é 15 e a soma do 5.º e 6.º termos é 25. Então, o 1.º termo e a razão valem respectivamente:
a) k;
b) 2k;
a) 7/3 e 3;
b) 7/4 e 4;
c) k/2;
d) 3k;
c) 7/2 e 2;
d) 7/5 e 5;
e) 7/6 e 6.
e) 5k.
12. (PUC–PR) Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:
6. O número de termos n de uma PA finita, cujo primeiro termo é 1, o último 17 e cuja razão é r = n − 1, vale: a) 4;
b) 5;
a) 45;
b) 38;
c) 7;
d) 8;
c) 43;
d) 31;
e) 57.
e) 12. 87
UEA – Licenciatura em Matemática
13. (UFRS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é: a) 53;
b) 87;
c) 100;
d) 165;
TEMA 26 PA MONÓTONA Progressões Aritméticas Monótonas
e) 203.
Quanto à monotonia, uma PA pode ser:
14. (FAAT) A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000, que são divisíveis por 3 e 7, é: a) 138;
b) 238;
c) 137;
d) 247;
1. Crescente: se para todo n ≥ 1: r > 0, an < an + 1 2. Constante: se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 = an
e) 157.
3. Decrescente: se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 < an Exemplos: Exemplo 1: A PA definida por C = (2,4,6,8,10,12) é crescente, pois r = 2 e, além disso, a1 < a2 < ... < a5 < a6.
Exemplo 2: A PA finita G=(2,2,2,2,2) é constante.
Exemplo 3: A PA definida por (2,0,−2,−4,−6) é decrescente com razão r = −2 e a1 > a2 > ... > a4 > a5.
88
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
TEMA 27 EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA Em uma Progressão Aritmética (finita) dada por C = (a1,a2,a3,....,am), os termos a1 e am são denominados extremos enquanto os demais: a2, a3, ..., am − 2, am − 1 são os meios aritméticos. a1
PARA EXERCITAR
a2, a3, ..., am − 2, am − 1
am
meios aritméticos 1. Verificar se as progressões abaixo são PA. Quando for, diga se é crescente ou decrescente:
Exemplo: Na PA definida por C=(1,3,5,7,9,11), os números 1 e 11 são os extremos, e os números 3, 5, 7 e 9 são os meios aritméticos.
a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...) b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...) c) (−15, −10, −5, 0, 5, 10...)
Termos eqüidistantes dos extremos
d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)
Em uma PA com m termos, dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma dos seus índices é igual a m+1 e, sob essas condições, são eqüidistantes dos extremos os pares de termos a1 e am, a2 e am − 1, a3 e am − 2, ...
e)
(10, 6, 2, −2, −6...)
f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...) 2. Em uma PA com m termos, mostrar que a razão r pode ser escrita na forma
Se a PA possui um número de termos m que é par, temos
.
pares de termos eqüidistantes
dos extremos. Exemplos: Exemplo 1: A PA definida por C = (4,8,12,16,20,24), possui um número par de termos, e os extremos são a1 = 4 e a6 = 24, assim: a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6 a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6 a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6 a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6 Se o número m de termos é impar, temos pares de termos eqüidistantes e ainda teremos um termo isolado de ordem eqüidistante dos extremos. 89
que é
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 2: Na PA C = (1,3,5,7,9) os números 1 e 9 são os extremos da PA, e os números 3, 5 e 7 são os meios da PA. O par de termos eqüidistantes dos extremos é formado por 3 e 7, e, além disso, o número 5 que ficou isolado também é eqüidistante dos extremos.
TEMA 28
REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS TERMOS DE UMA PA Para facilitar a resolução de alguns problemas em PA, utilizaremos as seguintes notações :
Exemplo 3:
a) três termo em P.A.: (x−r, x, x+r)
A PA definida por C=(4,8,12,16,20) possui um número ímpar de termos, e os extremos são a1 = 4 e a5 = 20, logo
b) quatro termos em P.A.: (x, x+r, x+2r, x+3r) c) cinco termos em P. A.: (x−2r, x−r, x, x+r, x+2r)
a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5 a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5 a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5
1. Dividir 195 em três partes que formem uma progressão aritmética, de modo que a terceira exceda a primeira de 120. Solução: A escolha de três elementos em PA deve ser: x – r, x e x + r. Como o problema requer a divisão de 195 em três partes, então a soma de (x - r) + x + (x + r) = 195 e portanto 3x = 195, o que dá x = 65. Como também o terceiro termo é igual ao primeiro mais 120, temos: x + r = x – r + 120 e daí x + r – x + r = 120 ou 2r = 120 ou r = 60. Logo, o primeiro termo x – r é 65 – 60 = 5, o segundo é 65 e o terceiro x + r é 65 + 60 = 125. As três partes de 195 são 5, 65 e 125. 2. Obter uma PA de três termos cuja soma é igual a 12 e cujo produto seja igual a 60. Solução: Representando os termos em PA, temos (x − r, x, x + r), logo, x − r +x + x + r = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 90
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
(x − r).x.(x + r) = 60 ⇒ x(x2 − r2) = 60 ⇒
Sabendo que a 3.a prestação deve ter R$ 100,00 a mais do que a 1.a e que a soma das duas últimas deve ser igual a R$ 1050,00, determine o valor da divida.
⇒ 4 = 4(42 − r2) = 60 ⇒ 42 − r2 = 15 ⇒ −r2 = −1 ⇒ r = ± 1 Assim, obtivemos duas soluções:
7. Uma ancião pediu a um matemático que o ajudasse a resolver o seguinte problema de herança:
(3,4,5) para x = 4 e r = 1 e (5,4,3,) para x = 4 e r = −1.
A quantia de 1800 U.M. (unidades monetárias) deveria ser dividida entre seus quatro filhos, de modo que as quantias distribuídas estivessem em PA e fossem proporcionais às idades dos filhos. O ancião, porém, esqueceu as idades de dois de seus filhos, lembrando apenas que o menor tem seis anos e que o maior, 66 anos. Como será dividida a herança? Determine também a idade dos outros dois filhos.
3. A soma dos cinco termos consecutivos de uma PA crescente é 15, e o produto dos extremos é igual a 5. Determinar esses termos. Solução: Representando os cinco termos em PA, temos: (x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r), logo, x − 2r + x − r + x + x +r + x + 2r = 15 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3 (x − 2r).(x + 2r) = 5 ⇒ x2 − 4r2 = 5 ⇒
⇒ 32 − 4r2 = 15 ⇒ 9 − 4r2 = 15 ⇒ r2 = 1 ⇒ r = ± 1 Como a PA é crescente, r = 1. Assim, a solução é: PA (1,2,3,4,5)
PARA EXERCITAR
1. Determine três números em PA, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28. 2. A soma dos quadrados de três números em PA crescente é igual a 116, e o produto dos termos extremos é 32. Qual é a PA? 3. Encontre cinco números em PA, cuja soma seja 30, e o produto do primeiro pelo terceiro seja 18. 4. Escreva cinco números em PA, sabendo que a soma dos termos extremos é 18 e o produto do segundo pelo quarto termo é igual a 56. 5. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA, de razão 3. Qual a hipotenusa? 6. Uma dívida deve ser paga em três prestações, de forma que esses valores estejam em PA. 91
UEA – Licenciatura em Matemática
an = a1 + (n − 1)r 250 = 112 + (n − 1)23
TEMA 29
250 − 112 = 23n − 23 138 + 23 = 23n
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
161 = 23n ⇒ n =
Interpolar k meios aritméticos entre os números a e b significa obter uma PA com k+2 termos cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo, e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta determinar a razão da PA.
⇒n=7
Sendo assim, devemos interpolar 7 meios aritméticos.
1. Interpolando-se 6 meios aritméticos entre 100 e 184, a razão encontrada vale: 1. Para interpolar 6 meios aritméticos entre a = −9 e b = 19, é o mesmo que obter uma PA tal que a1 = −9, am = 19 e m = 8. Como então
a) 11;
b) 12;
c) 15;
d) 17;
e) 19.
,
2. (POLI) Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, o sexto termo da PA será igual á:
e assim a PA
C = ( −9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19 )
a) 18;
b) 24;
c) 36;
d) 27;
e) 30.
2. Interpolar 10 meios aritméticos entre 5 e 38: Solução:
3
5 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 38
A quantidade de meios aritméticos que se pode inserir ente 15 e 30, tal que a razão tenha valor 3, é:
Isso quer dizer que a PA terá 12 termos, então:
a) 3;
b) 2;
c) 4;
d) 5;
Para interpolar 10 números entre 5 e 38, teremos:
a1 = 5 e a12 = 538 r = ?, logo,
e) 9.
a12 = a1 + (12 − 1)r
4. (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é
38 = 5 + 11r 38 − 5 = 11r 33 = 11r ⇒
⇒r=3
Dessa forma, os meios aritméticos procurados são 8,11,14,17,20,23,26,29,32 e 35
a) 3 a −2
b) 3 a −1
c) 3 a
d) 3 a + 2
e) 3 a + 2 5. (CEFET-PR) Inserindo-se K meios aritméticos entre 1 e K2, obtém-se uma progressão aritmética de razão:
4. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23? Solução: Temos, a1 = 112, an = 250 e r = 23, logo,
a) 1
b) k
c) k − 1
d) k+1
e) k 92
2
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
Aplicando a fórmula da soma, obtida acima, temos:
TEMA 30
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA
2. O primeiro termo de uma PA é 100, e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
Em uma PA, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos desta PA. Assim:
Solução:
a2 + am − 1 = a3 + am − 2 = a4 + am − 3 = ....
a1 = 100, a30 = 187 n = 30 S30 = ?
.... = an + am − n + 1 = ... = a1 + am
Aplicando a fórmula da soma, temos:
Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA, dada por Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an − 2 + an − 1 + an Como a soma de números reais é comutativa, escrevemos:
3. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
Sn = an + an − 1 + an − 2 + ... + a3 + a2 + a1 Somando, membro a membro, as duas últimas expressões acima, obtemos:
Solução: a1 = 21, r = 7 S12 = ?
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + ... +
Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então, antes de tudo, devemos calcular o valor de a12.
+ (an − 1 + a2) + (an + a1) Como todas as n expressões em parênteses são somas de pares de termos eqüidistantes dos extremos, segue que a soma de cada termo sempre será igual a (a1 + an), então:
a12 = a1 =+ (12 − 1)7
2Sn = (a1 + an)n
a12 = 21 + 77
Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da PA.
a12 = 98 Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:
4. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn = n2 + 2n. Calcule o 13.o termo desta PA :
1. Determine a soma dos 30 primeiros termos da PA definida por C = (2,5,8,....). Solução:
Solução:
Sendo a1 = 2, r = 3 e n = 30, vamos determinar o termo a30. Fazendo uso da fórmula do termo geral, temos:
Para calcularmos o 13.o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão; para isso, vamos utilizar a fórmula dada.
a30 = 2 + (30 − 1)3 = 2 + 29 . 3 = 89 93
UEA – Licenciatura em Matemática
30 minutos atrasado ao seu posto.
O que devemos fazer é substituir primeiro “n” por 1; isso dá
Portanto, se olharmos os minutos como termos de uma seqüência finita de números e identificarmos por an o número total de peças produzidas até o termo n (an = 10n), teremos que a produção das peças está em função dos termos ou que depende dos termos da seqüência.
2
S1 = 1 + 2 . 1 S1 = 3. Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, e como não existe nenhum antes de a1, o resultado encontrado é o próprio valor dele (a1 = 3).
Assim, teremos que:
Se substituirmos “n” por 2, temos:
para n = 1, a1 = 10,
S2 = 22 + 2 . 2
para n = 2, a2 = 100 e
S2 = 8
para n = 3, a3 = 1000.
S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual a a1 + a2. Como já sabemos o valor de a1, vem:
Observamos também que
S2 = a1 + a2 = 8 Desse modo, temos uma seqüência de números em Progressão Geométrica de razão 10.
3 + a2 = 8 a2 = 5 Se a1 = 3 e a2 = 5, a razão só pode ser 2. Agora, podemos achar o 13.o termo: é só substituir na fórmula do termo geral:
Portanto, para obter o total de peças produzidas até a chegada do operador, basta aplicar os dados acima na fórmula da Soma de uma PG finita.
an = a1 + (n − 1)r a13 = 3 + (13 − 1)2 a13 = 3 + 24
b. Para calcularmos quanto a máquina produziu em 4 horas, primeiro teremos que calcular quanto ela produziu em 1 hora; depois, multiplicarmos por 4.
a13 = 27 5. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado ao seu posto de trabalho, mas como a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada.
Sabemos que depois de uma hora o total de peças por hora é constante. Assim,
a) Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o número de minutos, quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador?
Logo, o total de peças produzidas durante 4 horas é:
b) Sabendo-se que depois de 1 hora a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a máquina ao fim do expediente de 4 horas? Solução: a. Sabemos que a máquina produz 10n peças por minuto, o que quer dizer que a cada minuto a produção de peças aumenta. Também sabemos que o operador chegou 94
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
7. O número de termos que devemos tomar na PA (−7, −3, ...) a fim de que a soma valha 3150 é: 1. (UFPI) A soma dos números pares de 2 a 400 é igual á: a) 7432;
b) 8200;
c) 40200;
d) 80200;
c) 4;
d) 12;
c) 40;
d) 41;
8. (PUC–RS) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência , até a vigésima fila, que é a última. O número de poltronas desse teatro é:
2. Em uma PA, a soma dos termos é 70, o primeiro termo é 10 e a razão é 5. O número de termos é: b) 8;
b) 39;
e) 42.
e. 20400.
a) 10;
a) 38;
e) 16.
a) 92;
b) 150;
c) 1500;
d) 132;
e) 1320.
3. (FATEC–SP) Se o tremo geral de uma PA é an = 5n − 13, com n imagem imagem imagem imagem imagem imagem imagem imagem imagem IN*, então a soma de seus 50 primeiros termos é: a) 5850;
b) 5725;
c) 5650;
d) 5225;
9. (FATEC) A soma de todos os números naturais, não nulos, não maiores que 600 e não múltiplos de 5, é:
c) 19;
d) 20;
c) 175;
d) 150;
c) 4320;
d) 4200;
b) 270;
c) 400;
d) 215;
11. (MACK–SP) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:
6. (FGV) A soma dos 50 primeiros termos de uma PA, na qual a6 + a45 = 160, vale: b) 4000;
a) 350;
e) 530.
e) 195.
a) 3480;
do primeiro termo,
a soma dos dez primeiros temos será:
5. A soma dos termos de uma PA, cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos é: b) 100;
d) 136415;
ca é 40 e que a razão é
e) 21.
a) 50;
c) 144000;
10. (FGV–SP) Sabendo que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritméti-
4. (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n2 + 2n. O 10.º termo dessa PA vale: b) 18;
b) 141770;
e) 147125.
e) 5150.
a) 17;
a) 180300;
a) 0;
b) 50;
b) 150;
d) 25;
e) 100.
e) 4500. 95
UEA – Licenciatura em Matemática
jamais tivessem ouvido falar de uma progressão aritmética, Butner deu-lhes um longo problema de soma, cujo resultado, através de uma fórmula, poderia ser encontrado em alguns segundos. O problema era o seguinte: 81297 + 81395 + 81693 + ......... + 100899, em que a diferença de um número para o próximo era sempre a mesma (aqui 198), e um determinado número de termo (aqui 100) para ser somado, o que tornava a obtenção do resultado simples, caso se soubesse este “macete”.
Johann Carl Friedrich Gauss
Disse o professor: “Quem for terminando, vá colocando a lousa sobre a minha mesa.” Terminado o ditado, Gauss colocou sua lousa na mesa. Ele pensou: “mais um aluno idiota”. Quando foi verificar as respostas na lousa de Gauss estava apenas um único número, o certo. Ele descobrira, instantaneamente, o macete. Todos os outros alunos tinham enormes somas... erradas. Butmer ficou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele, que os absorvia instantaneamente. Reconhecendo que fora ultrapassado pelo aluno, passou o ensino para seu jovem assistente, Johann Martin Bartels (17691856), apaixonado pela matemática. Entre Bartels com dezessete anos e o aluno de dez nasceu uma boa amizade que durou toda a vida. Eles estudavam juntos, ajudando-se um ao outro em suas dificuldades.
* 30 de Abril de 1777, em Braunschweig, Alemanha + 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha
Carl Friedrich Gauss nasceu num casebre, em Brunswick (Braunschweig, Alemanha). Seu pai Gerhard Diederich era jardineiro e pedreiro. Severo e brutal, tudo fez para impedir que seu filho desenvolvesse seu grande potencial, foi salvo por sua mãe Dorothea e seu tio Friederich, o qual logo percebeu a inteligência do sobrinho. Tinha memória fotográfica tendo retido as impressões da infância e da meninice nítidas até a sua morte. Ressentia-se de que seu tio Friederich, um gênio, perdera-se pela morte prematura. Aos dois anos, impressionava a todos que acompanharam o seu desenvolvimento. Antes dos três anos, corrigiu uma longa soma que seu pai fazia, ao seu lado, em voz alta, do pagamento aos trabalhadores sob sua responsabilidade. Gerhard ouviu surpreso o menino dizer: “Pai, a conta está errada, deveria ser...” Repetindo a conta, viu que o menino estava certo.
O encontro de Gauss com o teorema binômio inspirou-o para alguns de seus maiores trabalhos, tornando-se ele o primeiro “rigorista”. Insatisfeito com o que ele e Bartels encontravam em seus livros. Gauss foi além e iniciou a análise matemática. Nenhum matemático anterior tinha a menor concepção do que é agora aceitável como prova, envolvendo o processo infinito. Ele foi o primeiro a ver que a “prova” que pode levar a absurdos como “menos 1 é igual ao infinito” não é prova nenhuma. Mesmo que, em alguns casos, uma fórmula dê resultados consistentes, ela não tem lugar na matemática, até que a precisa condição sob a qual ela
Antes disso ele já aprendera a ler e a somar sozinho. Aos sete anos, entrou para a escola. Seu diretor Butner utilizava o espancamento como método de ensino. Aos dez anos, ele foi admitido na classe de aritmética. Na primeira aula, sem que os alunos ali presentes
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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
continuará a submeter-se, consistentemente, tenha sido determinada. O rigor imposto por Gauss à análise superou toda a matemática, tornando-a totalmente diferente dos que o antecederam.
os trabalhos em que o “mais provável” valor, de alguma coisa que é medida, é deduzido após um grande número de medidas. Gauss dividiu o mérito com Legendre que publicou o método independentemente em 1806. Este trabalho foi o começo do interesse de Gauss na teoria dos erros de observação. A lei de Gauss da normal distribuição de erros e sua curva em formato de sino que a acompanha, é hoje familiar para todos que trabalham com estatística.
Aos doze anos, ele já olhava com desconfiança para os fundamentos da geometria Euclidiana; aos dezasseis, já havia tido seu primeiro vislumbre de uma geometria diferente da de Euclides. Um ano mais tarde, começou uma busca crítica das provas, na teoria dos números, que tinham sido aceitas por seus predecessores, e tomou a decisão de preencher os vazios e completar o que tinha sido feito pela metade. Aritmética, o campo de seus primeiros triunfos, tornou-se seu estudo favorito e o campo de sua obraprima. Para que a prova fosse absolutamente certa, Gauss acrescentou uma fecunda e engenhosa matemática que nunca foi superada.
A decisão sobre o seu verdadeiro caminho, se o da filologia ou da matemática foi feita em 30 de Março de 1796, quando começou seu diário científico, que representa um dos mais preciosos documentos da história da matemática. O estudo de línguas passou a ser um passatempo para o resto de sua vida. O diário só foi conhecido pela ciência em 1898, quarenta e três anos depois de sua morte, quando a Sociedade Real de Göttingem pediu-o emprestado a um neto de Gauss para estudo crítico. Ali se encontram dezenove pequenas páginas e contém 146 extremamente resumidos registros de descobertas ou resultados de cálculos, o último deles datado de de 1814.
Bartels apresentou-o a alguns influentes homens em Brunswick que, impressionados, levaram-no para que Carl Wilhelm Ferdinand, Duque de Brunswick, o conhecesse. O Duque de Brunswick imediatamente assegurou que sua educação no Collegium Carolinum continuaria até ser completada. Nos três anos em que ali esteve, dominou os mais importantes trabalhos de Leonhard Euler, Lagrange e, acima de tudo, o Princípio de Newton. Por seus estudos redescobriu, e foi o primeiro a provar, “a jóia da aritmética,” o “theorema aurum”, conhecido como a lei da reciprocidade do quadrado, que Euler tinha induzido e Legendre tentara provar sem qualquer resultado. Com a idade de quinze anos, fez um grande avanço em línguas clássicas estudando sozinho e com a ajuda de amigos mais velhos. Teve a oposição de seu pai, mas Dorothea Gauss venceu a resistência do marido, e o Duque patrocinou dois anos de curso no Gymnasium. Ali ele assombrou a todos por sua maestria nos clássicos.
Nem todas as descobertas de Gauss no período prolífico de 1796 a 1814 foram anotadas, mas muitas das que ele rascunhou chegam para estabelecer a prioridade de Gauss em vários campos (funções elípticas, por exemplo), temas que alguns de seus contemporâneos recusaram-se a acreditar que ele os havia precedido. Muito ficou encerrado anos ou décadas neste diário. Nunca reivindicou a autoria de descobertas a que ele se antecipara (algumas se tornaram importantes campos da matemática no século XIX). No diário, há anotações muito pessoais, como por exemplo, no dia 10 de julho de 1798, há o seguinte registro: EYPHKA! NUM = v + v + v. Traduzindo-se: Eureka! Todo numero positivo é a soma de três números triangulares.
Tinha inventado (aos dezoito anos) o método de mínimos quadrados, que hoje é indispensável em pesquisas geodésicas, e em todos
Embora o sentido de alguns registros esteja perdido para sempre, a maior parte é suficien97
UEA – Licenciatura em Matemática
sido precedido por sua fama, hospedou-se na casa do professor de Matemática Johann Friedrick Pfaff (1765-1825).
temente clara, algumas nunca publicadas, disse ele, por considerar seus trabalhos científicos apenas como resultado de profunda compulsão de sua natureza. Publicá-los para o conhecimento de outros lhe era inteiramente indiferente. Disse também que um tal volume de novas idéias trovejaram em sua mente, antes de ter completado vinte anos , que, dificilmente, poderia controlá-las, só havendo tempo de registrar uma pequena fração delas.
No outono europeu de 1798, aos 21 anos, finalizou a Disquisitiones. O livro só foi publicado em setembro de 1801. Em agradecimento por tudo que Ferdinand lhe havia feito, Gauss dedicou seu livro ao Duque – Sereníssimo Pricipi ac Domino Carolo Guiliermo Ferdinando. Foi uma justa homenagem àquele que o salvara tantas vezes (arranjando alunos, pagando pela impressão de sua dissertação do dutorado (Universidade de Helmstedt, 1799), assegurou uma modesta pensão que lhe permitiria continuar seu trabalho científico livre dos obstáculos da pobreza...) Gauss escreveu em sua dedicatória “Sua bondade libertou-me de outras responsabilidades e permitiu que eu me dedicasse exclusivamente a este trabalho.”
Gauss apresentava provas sintéticas e conclusões indestrutíveis de suas descobertas às quais nada poderia ser acrescentando ou retirado. Uma catedral não é uma catedral – disse – até que o último andaime tenha sido retirado. Com este ideal diante de si, Gauss preferia polir sua obra muitas vezes, em vez de publicar um grosseiro esboço. Seu princípio era: uma árvore com poucos frutos maduros (Pauca sed matura). Os frutos deste esforço em busca da perfeição estavam, na verdade, maduros, mas nem sempre facilmente digeríveis. Todos os passos pelos quais o gol tinha sido atingido tinham sido omitidos, não era fácil para seus seguidores redescobrir a estrada pela qual ele tinha caminhado. Conseqüentemente, alguns de seus trabalhos tiveram que esperar por intérpretes altamente qualificados antes que o mundo da matemática pudesse entendê-los.
Disquisitiones representou seu adeus à matemática pura, como seu interesse exclusivo. O livro é de difícil leitura, até mesmo para especialistas, mas os tesouros que contém estão agora disponíveis graças ao trabalho do amigo e discípulo de Gauss, Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1804-1859). Expandiu sua atividade para incluir os aspectos matemáticos e práticos na astronomia, geodésica e eletromagnetismo. O segundo grande estágio da carreira de Gauss começou no primeiro dia do século dezenove, também um grande marco na história da filosofia e astronomia quando Giuseppe Piazzi (1746-1826) de Palermo, no dia da abertura do século dezenove, reconheceu o que tinha sido inicialmente tomado por um pequeno cometa aproximando-se como um novo planeta – mais tarde denominado o primeiro do fervilhante número de menores planetas hoje conhecidos. A descoberta deste novo planeta originou um sarcástico ataque aos astrônomos que presumiam a existência de um oitavo planeta. Disse Hegel: “Poderiam eles dar alguma atenção à filosofia? Se o fizessem, reconheceriam ime-
Só os matemáticos do século XIX conscientizaram-se quanto Gauss tinha previsto antes de 1800. Caso ele tivesse divulgado o que sabia, é possível que a matemática estaria meio século mais adiantada do que se encontra. Niels Henrik Abel e Jacobi poderiam ter começado de onde Gauss terminou, ao invés de terem que redescobrir o que Gauss já sabia antes que eles tivessem nascido. Os três anos (outubro de 1795 a setembro de 1798) na Universidade de Göttingen foram os mais prolíficos da vida de Gauss. Graças a generosidade do Duque Ferdinand, o jovem não teve que se preocupar com finanças. Em, setembro de 1798, foi para a Universidade de Helmstedt, tendo
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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
Johanne Osthof de Brunswick, transformando sua vida, como ele próprio disse a um amigo, numa eterna primavera com novas e brilhantes cores.
diatamente que só podem existir sete planetas, nem mais nem menos. Sua busca, portanto, é uma estúpida perda de tempo”. Gauss desprezava os filósofos que se ocupavam de assuntos científicos, por eles não compreendidos. E levou a sério a existência de Ceres. Seus amigos e seu pai estavam impacientes para que o jovem Gauss encontrasse algum trabalho lucrativo, agora que o Duque já dera por terminada sua ajuda. Este novo planeta descoberto encontrava-se numa posição que tornava extremamente difícil sua observação. Calcular sua órbita com tão escassos detalhes disponíveis poderia ser quase impossível. Mas para o jovem cuja memória inumana capacitava-o a dispensar uma tábua de logaritmos quando ele estava apressado toda esta aritmética infinda – logística, não aritmética – não assustava. Era, ao contrário, um desafio tentador, que lhe daria fama e dinheiro. Após vinte anos de trabalho, Ceres foi redescoberta, precisamente onde os engenhosos e detalhados cálculos de Gauss tinham predito que ela seria encontrada. Pallas, Vesta e Juno, planetas insignificantes foram rapidamente captados pelos telescópios. Cálculos que haviam tomado três dias de trabalho a Leonhard Euler (tendo sido dito que um deles o teria levado à cegueira) eram agora simples exercícios de algumas laboriosas horas. Gauss prescreveu o método e a rotina. Em 1809, ele publicou sua segunda obra-prima Teoria do Movimento dos Corpos Celestiais Girando a volta do Sol, na qual se encontra uma exaustiva explanação da determinação das órbitas dos planetas e cometas.
A morte do Duque Brunswick obrigou-o a encontrar algum forma de sobrevivência para sustentar sua família. Não foi difícil. Em 1807, ele foi designado diretor do Observatório de Göttingen com o privilégio – e dever, quando necessário – de ensinar matemática aos alunos. O salário era modesto, mas suficiente para suas necessidades e as de sua família. O luxo nunca o atraiu, e sua vida não se mo-dificara nos últimos vinte anos, tendo assim permanecido até a sua morte: em seu estúdio, uma pequena mesa com cobertura verde, uma mesa alta pintada de branco, um sofá estreito e, depois do seu septuagésimo aniversário, uma cadeira de braços com uma capa de veludo. Isso era tudo de que ele precisava. A péssima situação da Alemanha sob a pilhagem dos franceses e a perda de sua primeira mulher arruinaram a saúde de Gauss. Sua predisposição para hipocondria, agravada pelo trabalho incessante, piorou seu estado. Sua infelicidade nunca foi dividida com seus amigos. Para seu diário matemático, ele confidenciou: “a morte seria mais querida do que tal vida”. Então, quase exatamente após seu segundo casamento, o grande cometa de 1811, o primeiro observado por Gauss, no crepúsculo do dia 22 de Agosto, brilhou sem se fazer anunciar. Foi a oportunidade de testar os instrumentos que Gauss tinha inventado para dominar os planetas menores.
Gauss não estava isento de inimigos. Foi ridicularizado por aqueles que consideravam um desperdício de tempo computar a órbita de um planeta insignificante. Trinta anos depois, quando Gauss assentou os fundamentos da teoria matemática de eletromagnetismo e inventou o telégrafo elétrico foi, mais uma vez, ridicularizado.
Seus instrumentos provaram ser adequados. Enquanto o povo supersticioso da Europa, com olhos apavorados, seguia o espetáculo quando o cometa arrastava sua cimitarra de fogo na sua aproximação do Sol, vendo na brilhante lâmina um aviso do céu de que o Rei dos Reis estava irado com Napoleão e cansado da crueldade do tirano, Gauss teve a satisfação de ver o cometa seguir a rota por ele calculada até o ultimo centímetro. Por seu
O Duque de Bruswick aumentou a pensão, possibilitando seu casamento em outubro de 1905, com a idade de vinte e seis anos, com
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UEA – Licenciatura em Matemática
lado, o crédulo povo viu comprovada sua predição, quando o Grande Exército de Napoleão Bonaparte foi destruído nas planícies geladas da Rússia. Este foi um dos raros momentos em que a explicação popular cabe nos fatos dos quais resultam conseqüências mais importantes do que a científica.
ca política teriam feito dele um bom ministro de finanças. Até sua última doença, ele encontrou completa satisfação na ciência como simples recreação. Tinha também grande interesse pela literatura européia, que lia nos originais, já que dominava muitas línguas. O estudo de línguas estrangeiras e de novas ciências (inclusive botânica e mineralogia) era seu passatempo. Com a idade de sessenta e dois anos, ele começou um intensivo estudo de Russo sem a orientação de ninguém. Em dois anos, ele estava mantendo correspondência com amigos cientistas de São Petersburgo inteiramente em russo. Na opinião dos russos que o visitavam em Göttingen, ele também falava perfeitamente. Ele também tentou o Sânscrito, mas não gostou. Atraia-o especialmente a literatura inglesa, embora seu aspecto mais sóbrio nas tragédias de William Shakespeare fosse demais para a aguda sensitividade do grande matemático para todas as formas de sofrimento. Ele buscava livros mais felizes. Os livros de Sir Walter Scott (seu contemporâneo) eram devorados tão logo publicados. Uma grande gargalhada do astrônomo matemático saudou o escorregão de Sir Walter quando escreveu “a lua cheia levanta-se a noroeste” ´e ele levou dias corrigindo todas as cópias que encontrava.
Gauss obteve avanços significativos em geometria e na aplicação da matemática para a teoria Newtoniana da atração e eletromagnetismo. Como foi possível a um único homem realizar tão colossal massa de trabalho da mais alta categoria? Com sua modéstia característica, Gauss declarou que “se outros tivessem pensado nas verdades matemáticas tão profunda e continuamente quanto eu, eles poderiam, ter feito minhas descobertas”. Ele disse que, durante quatro anos, raramente se passava uma semana sem que ele não despendesse algum tempo para fazer alguma descoberta. A solução finalmente vinha por si mesma como um relâmpago. Não se pode imaginar, entretanto, que a resposta tivesse surgido por si mesma como uma nova estrela, sem as horas despendidas em sua busca. Algumas vezes, depois de passar dias ou semanas sem qualquer resultado em alguma pesquisa, depois de uma noite de insônia, o resultado surgia inteiro, brilhando em sua mente. A capacidade para intensa e prolongada concentração era parte do seu segredo.
Seu terceiro hobby, política mundial, tomavalhe uma ou duas horas por dia. Visitando o museu literário regularmente, ele se mantinha informado de todos os eventos, lendo os jornais que o museu assinava. A maior fonte da força de Gauss era sua serenidade científica, livre de ambição pessoal. Toda o seu interesse estava voltado para o avanço da matemática. Rivais duvidavam de sua declaração de que os tinha antecipado na descoberta que faziam. Não dizia isso com jactância, mas como um fato real e não se preocupava em comprovar a prioridade por meio da apresentação de seu diário. Apenas declarava, apoiando-se em seus próprios méritos. Seus últimos anos foram cheios de honrarias, mas não da felicidade que ele teria
A Geodesia deve a Gauss a invenção do heliótropo, um engenhoso aparelho pelo qual poderiam ser transmitidos sinais praticamente instantâneos através da luz refletida. Os instrumentos astronômicos também receberam notável avanço por meio de suas nas mãos. E, como último exemplo da engenhosidade de Gauss, em 1833 ele inventou o telégrafo elétrico, que ele e seu companheiro de trabalho Wilhem Weber (1804-1891) usavam para trocar mensagens. Dava pouca importância ao uso prático de suas invenções. Gauss nunca foi atraído pelo reconhecimento público oficial, embora sua competência em estatística, seguro e aritméti-
100
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
ótica, mecânica, física e geometria, Gauss trabalhou na Geodésia, desenvolvendo as fórmulas básicas da teoria de potencial e da geometria diferencial de superficies curvas, publicado em 1827, na sua Disquisitiones cria superficies curvas, que foi o fundamento para as formulas do cálculo de ângulos e distâncias na superfície do elipsóide terrestre.
merecido. Pela primeira vez, em mais de vinte anos, ele deixou Göttingen no dia 16 de junho, para ver a estrada de ferro que estava sendo construída entre sua cidade e Cassel. Gauss sempre tivera agudo interesse pela construção e operação de estradas de ferro; agora, ele veria uma sendo construída. No caminho, os cavalos dispararam; ele foi atirado para fora da carruagem. Não ficou ferido, mas muito chocado. Recuperando-se, ainda teve o pra-zer de assistir à abertura das cerimônias quando a estrada de ferro chegou a Göttingen, em 31 de julho de 1854. No começo do ano seguinte, surgiram os sintomas de gota. Inteiramente consciente, praticamente até o fim, morreu pacificamente na manhã de 23 de fevereiro de 1855. Gauss é um dos matemáticos mais importantes da história, intitulado Princeps mathematicorum, deixou trabalhos importantes em várias disciplinas matemáticas e em outras ciências, com uma grande preocupação com a utilidade prática das teorias desenvolvidas. Gauss formou-se em 1795-98 na Universidade de Göttingen com uma bolsa de estudos do Duque de Braunschweig; em 1801, Gauss publicou sua Disquisitiones arithmeticae, que é considerado como o maior avanço progressivo na matemática desde a época da Grécia antiga. A publicação mais importante entre os trabalhos astronômicos foi a Theoria motus corporum coelestium de 1809, em que Gauss desenvolveu também o ‘Método dos Mínimos Quadrados’ para o ajustamento de erros de observações. A partir de 1816, Gauss trabalhou também em levantamentos topográficos e trigonométricos do reinado de Hannover, inventou o heliotropo, um espelho solar para marcar pontos de triangulação, e aplicou seu método dos mínimos quadrados para a compensação dos erros de medição dos cálculos das redes de triangulação, e desenvolveu métodos para o cálculo de projeções cartográficas, Projeção Gauss-Krüger. Para o cálculo simples de áreas, usando as coordenadas dos pontos limites, Gauss desenvolveu a Fórmula de área de Gauss. Além de outros trabalhos fundamentais na
101
UNIDADE X Progressões Geométricas
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
Nessas condições, a produção anual, nesse período, será representada pela seqüência (200000, 220000, 242000, 266200, 292820, 322102).
TEMA 31
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Notamos que, nessa seqüência, cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo (no caso 1,10 ), ou seja, a produção anual teve uma taxa de crescimento relativa constante de 10% em relação do ano anterior.
Enquanto a população humana cresce em progressão geométrica, a produção de alimentos cresce em progressão aritmética. (Thomas Malthus)
Seqüências com tipo de lei de formação são chamadas progressões geométricas. No exemplo dado, o valor 1,10 é chamado de razão da progressão geométrica e indicado por q (no exemplo, q = 1,10). Dizemos que os termos dessa seqüência estão progressão geométrica.
Introdução A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão entre o seu aumento e seu valor inicial. Assim, uma grandeza que passa do valor a para o valor b tem taxa de crescimento relativo igual a
Definição Progressão geométrica (PG)é toda seqüência de números reais não-nulos em que é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado razão (q)da progressão. Ou seja, uma PG é uma seqüência na qual a taxa de crescimento relativo de cado termo para o seguinte é sempre a mesma.
.
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma grandeza que passa do valor 5 para o valor 8 é igual a 60%, pois
%.
Neste tema, trataremos de seqüências que variam com taxa de crescimento relativo constante. Examine, por exemplo, a seguinte situação-problema.
Notação Sendo uma seqüência uma progressão geométrica, vamos denotar a mesma por:
Em 2003, uma empresa produziu 200 mil unidades de certo produto. Quantas unidades produzirá no período de 2003 a 2008, se o aumento de produção anual for sempre de 10% em relação ao ano anterior?
(a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) ou A = (a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) Exemplos
Esquematizando o problema da seguinte forma, teremos:
1. A seqüência (2,10,50,250,...) é uma PG, em que o primeiro termo é a1 = 2 e a razão q = 5. Obeserve que a2 = a1.5 = 2.5 = 10; a3 = a2.5 = 10.5 = 50 e assim por diante.
• produção em 2003 = 200000l • produção em 2004 = produção em 2003. 1,10 = 200000 . 1,10 = 220000
2. A seqüência (6,−12,24,−48,96) é uma PG de cinco termos, em que o primeiro termo é a1 = 6 e a razão q = −2, pois:
• produção em 2005 = produção em 2004. 1,10 = 220000. 1,10 = 242000 • produção em 2006 = produção em 2005. 1,10 = 242000. 1,10 = 266200
a1 = 6; a1.(−2) = 6.(−2) = −12; a3 = a2 .(−2) = (−12) . (−2) = 24;
• produção em 2007 = produção em 2006. 1,10 = 266200. 1,10 = 292820
a4 = a3 .(−2) = 24 . (−2) = −48; a5 = a4 .(−2) = (−48) . (−2) = 96
• produção em 2008 = produção em 2007. 1,10 = 292820. 1,10 = 322102
De modo geral, se a seqüência dada por 105
UEA – Licenciatura em Matemática
(a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) for uma PG, temos que:
Para achar a razão, basta dividir um termo, a partir do segundo, por seu antecessor. Assim: a)
1. n indica uma posição na sequência n e também o índice para a ordem do termo geral an na seqüência. 2. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice n.
b)
3. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê a índice 1 4. a2 é o segundo termo da PG, que se lê a índice 2.
c)
5. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior,
5. Para a PG A = (10,100,1000,10000,...) temos:
ou seja,
6. Dados o termo a1 e a razão q, determinar os cinco primeiros termos de cada PG: a) a1 = 4; q = 3 b) a1 = 20; q = −2
1. Seja a PG finita, definida por G=(2,4,8,16,32). Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do conseqüente pelo antecedente, pois:
c) d) Solução:
2. Para a PG definida por
, a
Para determinar cada termo da PG, basta multiplicar o termo anterior pela razão q. Portanto:
divisão de cada termo posterior pelo anterior é
a) (4,12,36,108,324)
, pois:
b) (20,-40,80,-160,320) c)
3. Para a PG definida por T=(3,9,27,81), temos:
d)
PARA EXERCITAR 4. Obter a razão de cada PG: 1. Verifique se cada seqüência dada é uma PG. Em caso positivo, dê o valor da razão q.
a) (5,15,45,...) b) (−12,−3,−0,75)
a) (1,3,9,27,81,..)
c)
b) (2,4,6,8,10,12,..) c) (5,−10,20,-40,80,−160)
Solução: 106
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
d)
TEMA 32
2. As sequências são PG. Determine a razão de cada uma delas:
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG
a) (2,8,....)
Sendo a seqüência (a1,a2,a3,a4,...,an−1,an,...) uma PG, observe que:
b)
a1 = a1 = a1.q0 c) (−10,30,.....)
a2 = a1.q = a1.q1 a3 = a2.q = a1.q2
d)
a4 = a3.q = a1.q3 ................. Média geométrica
an = an − 1 . q = a1.qn − 1
Dados n números reais positivos x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média geométrica entre esses números, denotada pela letra g, como a raiz nésima do produto entre os números, isto é:
................. A partir disso, obtemos uma fórmula para o termo geral da PG, dada por: an = a1qn − 1
Na Progressão Geométrica, cada termo é a média geométrica entre o antecedente e o conseqüente do termo tomado, daí a razão de tal denominação para este tipo de seqüência. 1. Para obter o termo geral da progressão geométrica definida por E = (4,16,64,..), tomamos a1 = 4 e a2 = 16. Assim
.
Substituindo esses dados na fórmula do termo geral da progressão geométrica, obtemos: an = a1qn − 1 = 41 . 4n − 1 = 4(n − 1)+1 = 4n 2. Para obter o termo geral da PG tal que a1 = 5 e q = 5, basta usar a fórmula do termo geral da PG, para escrever: an = a1qn − 1 = 51 . 5n − 1 = 5(n − 1)+1 = 5n 3. Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 a sua razão, calcule o termo de ordem 8. Solução: a1 = 32, q = 2, a8 = ? e n = 8 Vamos usar a fórmula do termo geral: an = a1qn − 1 a8 = a1q8 − 1 107
UEA – Licenciatura em Matemática
a8 = 32 × 27
5. Determinar o 10.o termo da P.G.
a8 = 32 × 128
.
Solução:
a8 = 4096
Sabemos que
4. (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1, e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
e q =3.
Assim, pela expressão do termo geral, podemos escrever:
Solução: Temos, que: 6. Numa PG, o 4.o termo é igual a 32, e o 1.o termo
a1 + a2 = 1 a3 + a4 = 9
é igual a
q=?
e, em seguida, obter seu 8.o termo.
Vamos substituir todos os termos das duas equações acima pelos seus equivalentes na fórmula do termo geral:
Como a4 = a1 . q3, vem:
a2 = a1q
Usando novamente a expressão do termo geral, determinemos o 8.o termo.
a3 = a1q2
. Vamos determinar a razão da PG
a4 = a1q3 Trocando os valores das equações dadas pelos termos acima, ficamos com o seguinte sistema de equações:
6. Determinar o primeiro termo de uma PG, em que a6 = 96 e q = 2.
a1 + a1q = 1 ⇒ a1 (1 − q) = 1 a1q2 + a1q3 = 9 ⇒ a1 (q2 + q3) = 9
Temos que:
Vamos dividir a primeira equação pela segunda:
a6 = 96, n = 6, q = 2, a1 = 2 substituímos esses valores na fórmula do termo geral an = a1 . qn − 1: 96 = a1 . 26 − 1 ⇒ 96 = a1 . 26 ⇒ 96 = a1 . 32 ⇒ a1 = 3
Logo: q2 + q3 = 9(1 + q)
7. Determinar o número de termos da PG (−1,−2,−4,.....,−512)
q (1 + q) − 9(1 + q) = 0 2
(q2 − 9) (1 + q) = 0
Solução:
Assim,
a1 = −1, an = −512, n = ?
q2 − 9 = 0 ∴ q = 3 ou q = −3
Calculamos a razão:
Como o problema diz que os termos desta PG são positivos, temos que a razão é positiva; logo, o valor da razão é 3.
Sendo o último termo o próprio an, vamos aplicar a fórmula do termo geral an = a1qn − 1: 108
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
−512 = −1.2n − 1 ⇒ 29 = 2n − 1 ⇒ 9 = n − 1 ⇒
4. (FUVEST–SP) O quinto e o sétimo termos de uma PG de razão positiva valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:
⇒ n = 10 8. Obter o valor de x, de modo que a seqüência 8,x,2 forme, nessa ordem, uma PG. Solução:
a. 13
b.
c. 4
d.
e. 10
PG (8,x,2), x = ? 5. Calcule:
Numa PG, o quociente entre o termo, a partir do segundo, e o seu antecessor é igual à razão. Logo, podemos equacionar o problema da seguinte forma:
a. o 5.o termo da PG (1,5,.....) b. o 10.o termo da PG (9, 27, ...) 6. (UFSC) Na progressão geométrica , qual é a posição do termo
Nesse caso, o valor positivo de x é a chamada média geométrica entre 2 e 8.
?
7. As raízes da equação do 2.o grau x2 − 5x + 4 = 0 são o 1.o e o 2.o termo de uma PG crescente. Determine o 6.o termo dessa PG.
x2 = 16 ⇒ x = ±4 O valor de x pode ser 4 ou −4
8. Calcule o 1.o termo da PG (a1, a2, a3,...) em que: a. a4 = 128 e q = 4 b. a6 = 103 e q = 10 1. (PUC–SP) Se a seqüência (4x, 2x + 1, x − 1) é uma PG, então o valor de x é: a) −1/8;
b) −8;
c) −1;
d) 8;
e) 1/8. 2. (UFSC) Se os números (a, a+1, a − 3) formam (nessa ordem) uma PG, então a razão dessa PG é: a) −4;
b) −1/5;
c) 2/3;
d) 1;
e) 4.
3. (F. C. CHAGAS–BA) A seqüência (x, x − 1, x + 2,...) é uma PG. O seu quarto termo é igual a: a) x − 3;
b) −81/4;
c) −27/4;
d) 9/4;
e) 27/4. 109
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 2: A PG definida por O = (3,3,3,3) é constante, pois a1 = a2 = a3 = a4 = 3.
TEMA 33 CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEMÉTRICAS Dependo da razão q, uma PG pode ser: • Crescente – A PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Por exemplo: a) (2,6,18,54,...) com q = 3
Exemplo 3:
b) (−40,−20,−10,−5,...) com q =
A progressão geométrica definida por N = (−2,−4,−8,−16) é decrescente, pois a1 > a2 > a3 > a4.
• Decrescente – A PG é decrescente quando 0 < q < 1e os termos são positivos ou quando q > 1 e os termos são negativos. Veja os exemplos: a) (200,100,50,25,...) em que q = b) (−4,−12,−36,−108,...)em que q = 3 • Constante – A q = 1. Veja:
PG é constante quando
a) (10,10,10,10,10,...) em que q = 1 b) (3,3,3,3,3,3,3,...) em que q = 1 • Alternante – A PG é alternante quando q < 0. Por exemplo:
1. Identifique cada PG abaixo como crescente, decrescente, constante ou alternante:
a) (2,−4,8,−16,32,−64,...) em que q = −2 b) (−81,27,−9,3,...) em que q =
a. (20,40,80,....) b. (3,−9,27,−81,...) c. (−7,−14,−28,.....)
Mais Exemplos
d. (2,2,2,....)
Exemplo 1:
e.
A PG definida por U = (5,25,125,625) é crescente, pois a1 < a2 < a3 < a4.
110
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
, teremos 1, 5 e 25. TEMA 34 2. Determinar três números em PG cujo produto seja 1000 e a soma do 1.o com o 3.o termo seja igual a 52.
REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DE TRÊS TERMOS EM PG Sendo q (q ≠ 0) a razão de uma PG e x um número real, podemos formar uma PG de três termos:
Solução: Quando queremos encontrar três termos em PG e conhecemos algumas informações sobre eles, é interessante escrevê-los na forma
.
Do enunciado, vem:
1. Achar três números em PG crescente, sendo 31 a sua soma e 125 o seu produto.
Substituindo q na segunda equação, temos:
Solução: Temos que S3 = 31, P3 = 125, PG crescente, logo q > 1.
Resolvendo essa equação do 2.o grau, vem
Representando três termos em PG:
ou q = 5 para
Da soma e do produto, temos,
, temos (50,10,2)
para q = 5, temos (2,10,50)
Da segunda equação x3 = 125 ⇒ x = 5, substituindo x na primeira equação:
1. (CONSART) A soma de 3 números em PG é e o produto
. O maior dos termos da PG
vale: a) 4/9;
b) 2/3;
c) 1;
d) 3/2;
e) 9/4.
2. A soma de três números em progressão geométrica crescente é 26 e o termo do meio é 6. O maior desses números é dado por Devemos considerar somente a solução q = 5, pois a PG, é crescente.
a) 36
b) 18
c) 24
d) 12
e) n.d.a.
Substituindo x = 5 e q = 5 nas expressões 111
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Determine a PG de três elementos, que são números inteiros, sabendo que a soma deles é igual a 31 e a produto é 125.
TEMA 35
4. Três números inteiros positivos estão em PG de tal forma que a soma deles é igual a 62 e o maior número é igual a 25 vezes o menor. Qual são os três números?
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Interpolar k meios geométricos entre dois números dados a e b significa obter uma PG com k+2 termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo da PG e b é o último termo da PG, que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG.
5. As medidas dos lados de triângulo retângulo estão em PG. (Sugestão: aplicar a teorema de Pitágoras)
1. Para interpolar três meios geométricos entre 3 e 48, basta tomar a1 = 3, an = 48, k=3 e n=5 para obter a razão da PG. Como an = q1qn − 1, então 48 = 3q4, seguindo-se que q4 = 16, garantindo que a razão é q = 2. Temos, então, a PG: R = (3, 6, 12, 24, 48) 2. Interpolar cinco meios geométricos entre
e
486. Solução: Devemos formar uma PG de sete termos na qual a1 =
e a7 = 486:
Temos:
• Para q = 3, a PG é • Para q = −3, a PG é
112
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
TEMA 36 1. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192.
FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG
2. Entre os números 18 e x, foram inseridos dois meios geométricos. Obteve-se, assim, uma PG de razão 3. Qual é o valor de x?
Seja a PG (a1,a1q,a1q2,....,a1qn − 1,....). Indicamos a soma dos n primeiros termos dessa PG, por:
3. Cinco meios geométricos foram inseridos entre 4 e 2.916. Qual é a razão q da PG assim obtida?
Sn = a1 + a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1 Se q = 1, temos: Sn = a1 + a1 + a1 + ...+ a1 = na1
4. Entre os números 100 e 100.000, devem ser escritos x números de modo que a seqüência obtida seja uma PG de razão 10. Calcule x.
Se q é diferente de 1, temos Sn = a1 + a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1 Multiplicando ambos os membros da igualdade acima pela razão q, obteremos
5. (LAFENAS–MG) Inserindo-se quatro meios geométricos entre 1 e 243, a soma desses quatro termos inseridos vale: a) 100;
b) 130;
c) 220;
d) 120;
qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + ...+ a1qn − 1 + a1qn − 1 Dispondo estas expressões de uma forma alinhada, obteremos:
e) 150.
Sn = a1 + a1q + a1q2 +...+ a1qn − 1 qSn = a1q + a1q2 + ...+ a1qn − 1 + a1qn
6. (SANTO ANDRÉ) Inserindo-se 5 meios geométricos entre 8 e 5832, obtém-se uma seqüência. O quinto termo dessa seqüência vale: a) 648
b) 426
c) 712
d) 256
Subtraindo, membro a membro, a segunda expressão da primeira, obteremos Sn − qSn = a1 − a1qn que pode ser simplificada em Sn (1 − q) = a1 (1 − qn) ou seja
e) 1242
Esta é a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PG de razão q ≠ 1.
1. Para obter a soma dos todos os termos da PG (3,9,27,81) devemos obter a razão desta PG; como esta é obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, temos que
.
Como a1 = 3 e n = 4, substituímos os dados 113
UEA – Licenciatura em Matemática
na fórmula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos:
a. 11 e 81;
b. 4 e 94;
c. 2 e 92;
d. 6 e 96;
e. 5 e 95. 4. Se S3 = 21 e S4 = 45 são respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma PG, cujo termo inicial é 3, então a soma dos 5 primeiros termos da progressão é:
2. Vamos calcular o valor de x na igualdade 10x + 20x + .... + 1280x = 7650 sabendo que os termos do primeiro membro formam uma PG, e x ≠ 0. Nesse caso,
a) 66;
a1 = 10x, q = 2, an = 1280x e Sn = 7650
b) 69;
Inicialmente, vamos determinar o valor de n: n−1
an = a1q 7
n−1
2 =2
⇒ 1280x = 10x . 2
n−1
c) 93;
⇒ 128 = 2
n−1
d) 96;
⇒n−1=7⇒n=8
e) 105.
⇒ 7650 = 10x . 225 ⇒ 7650 = 2550 x ⇒ x = 3 Logo, x = 3
1. (FESP–SP) A soma dos seis primeiros termos da PG
é:
a) 12/33;
b) 15/32;
c) 21/33;
d) 21/32;
e) 2/3. 2. (PUC–MG) O número de bactérias em um meio duplica-se de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será: a) 24
b) 27
c) 210
d) 213
e) 215 3. Numa PG, conhecemos S8 = 1530 e q = 2. Então a1 e a5 valem respectivamente: 114
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
TEMA 37 2. Resolva a equação abaixo, sendo o conjunto universo igual a IR.
LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG Introdução Considere a seqüência
Solução:
com n∈ IN .
Observe que a seqüência
Observe que, à medida que o valor de n cresce indefinidamente (tendendo para o infinito), o
é uma PG de razão
*
termo
e a1 = 1; sendo
assim, temos que
tende a zero. Indicamos assim:
ou, então, assim:
que lemos: limite de
Portanto x = 512
quando n tende a infini-
to é igual a zero. Nas progressões geométricas em que 0<|q|<1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n dende a infinito. Nesse caso, qn aproximama-se de zero para n suficientemente grande, ou seja,
1. (CEFET–PR) A soma dos termos da PG (2, 6, 18,..., 486,...) é:
,q≠1
Sabemos que
b) 287;
c) 728;
d) 782;
d) 827.
, isto é,
Logo,
a) 278;
2. (PUC–PR) A soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ) é:
, 0<|q|<1
a) 2;
b. 0;
c) 1,75;
d. 3;
e) n.d.a. 3. (FEI–SP) O limite da soma é igual a:
1. Para obter a soma dos termos da PG definida por
, temos que a razão é
e
a1 = 5. Dessa forma, basta aplicar na fórmula , logo
a) ∞;
b) 2;
c) 7/2;
d) 1/2;
e) 1. 115
UEA – Licenciatura em Matemática
4. (UFB) O valor de x na equação é: a) 1
b) 3/5
c) 4/3
d) 5/2
e) 45/8
5. (PUC–SP) Somando os n primeiros termos da seqüência ( 1, -1, 1, -1, ...) encontramos: a) 0 quando o n é par; 1 quando n é ímpar;
Pierre de Fermat
b) n;
* 17 de agosto de 1601, em Beaumont-de-Lomagne, França
c) −n; d) 1;
+ 12 de janeiro de 1665, em Castres, França
e) 0. 6. (UFPA) A soma da série infinita
O pai de Pierre Fermat era um próspero comerciante de couro e segundo cônsul de Beaumont-de-Lomagne. Fermat tinha um irmão e duas irmãs, e foi quase criado em sua cidade de nascimento. Embora haja pouca evidência acerca de sua educação, é quase certo que tenha estudado no monastério Franciscano local.
é: a) 6/5
b) 7/5
c) 5/4
d) 2
e) 7/4
Ele esteve na Universidade de Toulouse antes de se mudar para Bordeaux, na segunda metade dos anos 1620. Em Bordeaux, ele começou suas primeiras pesquisas matemáticas sérias; em 1629, ele deu uma cópia de sua restauração do trabalho de Apolônio – Planos – a um dos matemáticos da instituição. Certamente em Bordeaux, ele esteve em contato com Beaugrand; durante este período, produziu importantes trabalhos sobre máximos e mínimos, dados a Etienne d’Espagnet, que claramente compartilhava com Fermat o interesse pela Matemática. De Bordeaux, Fermat foi para Orléans, onde estudou direito na Universidade. Ele formou-se advogado civil e comprou um escritório no parlamento, em Toulouse. Então, em 1631, Fermat era advogado e oficial do governo em Toulouse e por causa de seu escritório, mudou seu nome para Pierre de Fermat. 116
Matemática Elementar III – Progressões Geométricas
Pelo resto de sua vida, ele viveu em Toulouse; além de trabalhar lá, também trabalhou em sua cidade natal e em Castres. Sua carreira foi meteórica, em parte por tempo de serviço e idade, em parte porque a praga levou a maioria dos mais velhos. Ele mesmo foi atingido pela doença e ficou tão mal que sua morte foi prematuramente anunciada.
seus resultados em queda livre, ele estava muito mais interessado em provar teoremas sobre Geometria do que em sua relação com o mundo real. Nesta primeira carta, contudo, havia dois problemas sobre máximos que Fermat pediu a Mersenne que fossem passados aos matemáticos de Paris. Aliás, este era o estilo de Fermat: desafiar outros a obter resultados que ele já havia obtido.
Naturalmente, Fermat estava preocupado com Matemática, senão não estaria nesta página! Ele manteve sua amizade com Beaugrand mesmo depois de mudar-se para Toulouse, mas lá ele encontrou um novo amigo em Matemática, Carcavi. Fermat conheceu Carcavi por força de profissão, pois eram colegas como advogados em Toulouse. Mas também compartilhavam o amor pela Matemática, e Fermat contou a Carcavi sobre suas descobertas.
Roberval e Mersenne acharam que os problemas propostos por Fermat nesta primeira (e em outras subseqüentes) carta eram extremamente difíceis e usualmente insolúveis usando as técnicas correntes. Eles pediram a Fermat para divulgar seus métodos, e Fermat mandou seu Método para determinar Máximos e Mínimos e Tangentes a Linhas Curvas, sua restauração de Planos e sua aproximação algébrica à Geometria Introdução aos Planos e Sólidos aos matemáticos de Paris.
Em 1636, Carcavi foi a Paris na condição de bibliotecário real e fez contato com Mersenne e seu grupo. O interesse de Mersenne foi cultivado pelas descrições de Carcavi sobre o trabalho de Fermat acerca de corpos em queda. Carcavi escreveu a Fermat, que respondeu em 26 de abril de 1636, e, além de contar a Messenne sobre erros que ele acreditava ter encontrado nos trabalhos de Galileu sobre queda livre, ele também contou a Mersenne sobre seus trabalhos em espirais e sobre a restauração do Planos. Seu trabalho em espirais foi motivado pela consideração do caminho descrito por corpos em queda livre, e ele usou métodos generalisados a partir de Sobre espirais, de Arquimedes. Fermat escreveu:
Sua reputação como um dos maiores matemáticos do mundo veio rapidamente, mas tentativas de publicar seus trabalhos falhavam, principalmente porque Fermat de fato nunca quis por seus trabalhos em uma forma apresentável. Contudo alguns de seus métodos foram publicados, como, por exemplo, no trabalho de Hérigone, Cursus mathematicus, que continha um suplemento com os métodos de Fermat para encontrar máximos e mínimos.
Eu também encontrei diversos tipos de análises para problemas vários, tanto numéricos como geométricos, nos quais a análise de Viète não seria suficiente. Eu repartirei tudo com você quando você o desejar e o faço sem ambição, da qual eu sou mais livre e estou mais distante do que qualquer homem no mundo.
Esta sua maneira de desafiar outros matemáticos logo contribuiu para o acúmulo de inimizades. Uma dessas controvérsias envolveu Descartes. Beaugrand enviou para Fermat o trabalho de Descartes intitulado La Dioptrique para avaliação, mas Fermat deu pouca atenção, dado que estava no meio de uma correspondência com Roberval e Pascal sobre métodos de integração e centros de massa. Diante da insistência de Mersenne, Fermat emitiu a seguinte opinião sobre La Dioptrique: “tateando nas sombras”.
É irônico que este contato inicial entre Fermat e a comunidade científica tenha sido em função do estudo dele sobre queda livre, já que Fermat tinha pouco interesse em aplicações físicas da Matemática. Mesmo com
Ele afirmava que Descartes não deduziu corretamente sua lei de refração, já que era inerente às suas hipóteses. Dizer que Descartes ficou desagradado é um eufemismo. Rapidamente, Descartes encontrou uma 117
UEA – Licenciatura em Matemática
razão para ficar ainda mais furioso, ao perceber que o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes poderia ofuscar aquele que considerava seu trabalho mais importante, La Geómétrie.
teorema, nos últimos 300 anos, levaram a várias descobertas matemáticas, como, por exem-plo, a teoria dos anéis comutativos. Fermat voltou a se corresponder com os matemáticos franceses em 1654, quanto Blaise Pascal – filho de Etienne Pascal – escreveu-lhe para confirmar suas idéias sobre probabilidade. A curta correspondência entre os dois serviu de fundação para a teoria das probabilidades e, por causa disso, eles são atualmente considerados fundadores do assunto.
Descartes atacou os métodos de Fermat pa-ra máximos, mínimos e tangentes. Roberval e Etienne Pascal envolveram-se na discussão e, eventualmente, também Desargues, a quem Descartes indicou como árbitro. Fermat mostrou-se correto e eventualmente Descar-tes admitiu isso escrevendo: ... vendo o último método que você usa para encontrar tangentes a linhas curvas, posso avaliá-lo de uma única maneira, afirmando que é de fato muito bom e que, se você o tivesse explicado deste jeito no princípio, eu não teria contradito em hipótese alguma.
Neste mesmo período, um dos alunos de Descartes estava organizando sua correspondência para publicação e pediu ajuda a Fermat a respeito de sua correspondência com Descartes. Isso fez que Fermat repensasse os argumentos por ele usados 20 anos antes, sobre suas objeções à óptica de Descartes. Em particular, ele estava insatisfeito com as descrições de Descartes para a refração da luz e, então, aproveitou a deixa e estabeleceu um princípio que de fato resultou na lei dos senos para a refração que Snell e Descartes propuseram. Fermat deduziu esta lei a partir de um princípio fundamental por ele proposto, o de que a luz sempre percorre o menor caminho possível. O princípio de Fermat, hoje uma das mais básicas leis da óptica, não foi muito bem recebido pelos matemáticos da época.
Várias razões contribuíram para que, entre 1643 e 1654, Fermat ficasse fora de contato com seus colegas em Paris. Primeiramente, a pressão do trabalho, que o impedia de dedicar tempo à Matemática. Segundo, uma guerra civil em 1648 que afetou Toulouse. Finalmente, a praga em 1651, que quase levou Fermat à morte. Contudo foi neste período que Fermat trabalhou em teoria dos números. Fermat é melhor lembrado quando associado a seu trabalho em teoria dos números, em particular pelo Último Teorema de Fermat. Este teorema diz que
Fermat também deixou grandes contribuições em Teoria dos Números, que na época não era muito bem vista. Por causa disso, e também por sua desorganização com os escritos, suas idéias sobre Teoria de Números acabaram não sendo discutidas com outros matemáticos da época.
x n + y n = zn não tem solução inteira não-nula para x, y e z quando n > 2. Fermat escreveu, na margem da tradução de Bachet para Aritmética Diofantina: Descobri uma demonstração realmente memorável, mas esta margem é muito pequena para contê-la.
Atualmente, acredita-se que a dita “prova” de Fermat estava errada, embora não se possa ter certeza completa. Em 1993, o matemático Inglês Andrew Wiles disse ter provado o teorema, mas, após uma revisão cuidadosa, no fim de 1994, sua prova foi aceita. Tentativas mal-sucedidas de provar este
118
Respostas de ExercĂcios
Matemática Elementar III – Respostas de Exercícios
UNIDADE II
26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.
– Funções Compostas
TEMA 5 FUNÇÃO COMPOSTA E SUA LINGUAGEM FORMAL 1. 3. 5. 7. 9.
A A E C B
2. 4. 6. 8. 10.
UNIDADE III
C E C E C
– Equações Exponenciais
C C B C A D B B E D E B B A D B D C D
TEMA 8
UNIDADE IV
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1. x = 5 2. x = 0 3. x = 5/3 4. x = 1/2− 5. x = −3 6. x = −2 7. {1} 8. {0} 9. {11/3} 10. {1} 11. {1} 12. {9} 13. {1/8} 14. {3} 15. {(2,2)} 16. {(3/2,−1)} 17. {(12/7, 5/14)} 18. {4 } 19. {−4} 20. {1/2} 21. x = 2 ou x = 3 22. 2, −2, 3, −3 23. B 24. E 25. E
– Funções Exponenciais
TEMA 11 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 1. 3. 5. 7. 9. 11.
B C A C D B
2. 4. 6. 8. 10. 12.
UNIDADE V
C C B B B A
– Funções Logarítmicas
TEMA 17 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 1. B 3. B
121
2. 4.
C C
UEA – Licenciatura em Matemática
5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.
B B B E A A A C
6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.
3. 5. 7. 9. 11.
B A E A D B E A
A E C E A
4. 6. 8. 10.
UNIDADE VI
A A C D
– Inequações Modulares
LOG-PROPRIEDADES 1. A 3. E 5. C 7. A 9. E 11. A 13. B 15. B 17. C 19. E 21. D 23. A 25E
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24.
D A C D C E C D D E D C
TEMA 20 INEQUAÇÕES MODULARES 1. a) b) c) d) e)
−7< x < −3 −1/2 ≤ x ≤ 3/2 x < −11 ou x > 13 −4< x < −1 −3 ≤ x ≤ 5 ou −15 ≤ x ≤ −7
UNIDADE VII
– Funções Modulares
LOG-EQUAÇÕES 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21.
C D D D D A A E A C E
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.
TEMA 21
C D E E E A A A C E
FUNÇÃO MODULAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
LOG-INEQUAÇÕES 1. 3. 5. 7. 9.
D C B E E
2. 4. 6. 8. 10.
10.
D D E A C
11. 12. 13.
LOG-MUDANÇA DE BASE 1. C
2. A 122
{x ∈ IR/ x ≥ 0} {x ∈ IR/x ≥ 0} {x ∈ IR/ x ≥ −2} {−2, 5 } ¢ {0,1,2} {x ∈ IR/ −1< x < 0 ou 0 < x < 1} −1, 0, 3, 4 a) IR b) para todo x real b) não c) IR d) {−3,3} 1 e −1 0e2 a) [0, +∞] b) [3, +∞] c) [0, +∞] d) [−3, +∞]
Matemática Elementar III – Respostas de Exercícios
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
A D D C D A D D E A D D
3. C 5. C
4. C
TEMA 30 SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA
UNIDADE IX
1. 3. 5. 7. 9. 11.
– Progressões Aritméticas
C B C E C A
2. 4. 6. 8. 10.
C E B D A
TEMA 25
UNIDADE X
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13.
C C D A A C D
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.
C C B B C D B
TEMA 31
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 1. a) 3 c) −2 2. a) 4 b)2/3 c) −3 d) −3/4
TEMA 28 REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS TERMOS DE UMA PA 1. 2. 3. 4. 5. 6.
TEMA 32
(1, 4, 7) ou (7, 4, 1) (−8,?6, −4) ou (4,6,8) (3,9/2,6,15/2,9) (−1, 4, 9, 14, 19) ou (19,14,9,4,−1) 15 R$ 1.500,00
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG 1. 2. 3. 4. 5.
A A C D a) 625 b) 311 6. n= 6 7. a6 = 256 8. a) 2 b) 10−2
TEMA 29 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA 1. B
– Progressões Geométricas
2. E 123
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 34 REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DE TRÊS TERMOS EM PG 1. 2. 3. 4.
C D (1, 5,25) (2,10,50)
TEMA 35 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(6,12,24,48,96,192 ) 486 3 ou −3 2 D A
TEMA 36 FÓRMULA DA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG 1. D 3. D
2. D 4. C
TEMA 37 LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG 1. 2. 3. 4. 5. 6.
C A C D A C
124
REFERÊNCIAS Ávila, G. Cálculo 1; funções de uma variável. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científico, 1982 Boyer, Carl B. História da Matemática, São Paulo, Edgar Blücher/Edusp,1974 Coleção do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, SBM, 1993 Dante,L.R.Didática da resolução de problemas da Matemática, 12. ed. São Paulo, Ática,1997 Davis,P.J & Hersh, R. A experiencia da Matemática. Rio de Janeiro,Francisco Alves,1989 Lima, E. L. Logaritmo. Rio de Janeiro , Ao livro Técnico,1975 Iezzi,Gelson. Dolce,Osvaldo. Degenszajn,David. Perigo,Roberto. Almeida,Nilze. Matemática Ciências e Aplicações;2. ed. São Paulo,Atual Editora, São Paulo.
125