Relações de girard

RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES Considere a equação do 2º grau ax2  bx  c  0. Sejam x , e x,, suas raízes. Vamos estabelecer as relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.

Sabemos que: b   b   e x,,  x,  2a 2a 1a relação: Soma das raízes.



 



 b     b    b    b   b    b   2b b S  x,  x,,         2a   2a  2a 2a 2a a     Portanto: S  x,  x,,  

b a

2a relação: Produto das raízes.

 

 b     b     b    S  x, . x,,   .   2a   2a  4a 2     2





b 2  b 2  4.a.c 4a 2

b

2

2



b2   4a 2

 b 2  4.a.c 4ac c  2  4a 2 4a a

Portanto: P  x, . x,, 

c a

3a relação: Diferença das raízes.



 



 b     b    b    b   b    b   2   D  x,  x,,           2a   2a  2a 2a 2a a     Portanto: D  x,  x,, 

 a

Exemplo 1: calcular a soma o produto e a diferença das raízes da equação x2  7x  10  0 .

Temos : a = 1, b = -7 e c = 10 ( 7)2  4.1.10 b ( 7) 7  b 2  4.a.c S  x,  x,,     7 D  x,  x,,     a 1 1 a 1 1 c 10  49  40  9  3 S  x, . x,,    10 a 1 PROF. EVERTON MORAES

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Exercícios 1) Calcule a soma e o produto das raízes das seguintes equações: a) x2  8x 15  0 f) 3x2  25  0 b) 2x2  3x 1  0 g) x2  2ax  a2  0 c) 5x2  21x  4  0 h) 3x2  (5  a)x  5a  0 d) x2  7x 12  0 i) x2  (a  1)x  a  0 e) 3x2  6x  0 2) Determinar o valor de k na equação kx2  22x  20  0 para que a soma das raízes seja

11 .

3

3) Determinar o valor de p na equação px2  5x  (p  5)  0 para que o produto das raízes seja

4) Determine o valor de m na equação 4x2  (m  2)x  3  0 para que a soma das raízes seja

5) Calcule o valor de k na equação (k  5)x2  10x  3  0 para que o produto das raízes seja

1 .

6

3 .

4

3 .

8

7 6) Calcule o valor de m na equação (m  10)x2  21x  5  0 para que a soma das raízes seja  .

6

7) Determine o valor de p na equação 6x2  11x  (p  1)  0 para que o produto das raízes seja

3 .

4

8) Calcular o valor de k na equação x2  12x  k  0 para que uma das raízes seja o dobro da outra.

9) Calcule o valor de p na equação x2  8x  2p  0 para que uma das raízes seja o triplo da outra.

10) Determinar m na equação x2  (m  3)x  m  7  0 , de modo que uma de suas raízes seja o triplo da outra.

11) Calcule o valor de k na equação x2  kx  36  0 para que uma das raízes seja o quádruplo da outra.

12) Determinar p na equação x2  8x  2p  3  0 , de modo que a diferença de suas raízes seja 4.

13) Determine m, de modo que uma das raízes da equação (m  1)x2  8x  3  0 seja o inverso da outra.

14) Calcule o valor de h na equação (h  3)x2  2(h  1)x  h  10  0 , de modo que a soma dos 1 inversos das raízes seja .

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