Apresentação Geometria Fractal Completa

Viagem Pelo Mundo dos Fractais

I

Introdução

Evolução Histórica Kepler / Galileu

Século XVII Newton

Movimento dos planetas Hausdorff, em 1919, introduziu um conceito de dimensão não-inteira

Teoria dos sistemas dinâmicos

Cantor (1870) Poincaré (1880)

Paradigma dos três corpos “Quais são os comportamentos possíveis de um sistema constituído por 3 corpos que interagem entre si através de uma força gravitacional Newtoniana?”

Poincaré Soluções Analíticas

Equações Diferenciais

Quantitativas Inútil

Teoria qualitativa ou geométrica das equações diferenciais Sistemas dinâmicos (séc. XX)

Mandelbrot O chamado “Pai dos Fractais” ao longo dos anos 50 foi criando uma imagem da realidade na sua mente e em 1975, começou um estudo sistemático dos fractais.

Mandelbrot fartou-se de dizer “nuvens não são esferas,

montanhas não são cones,continentes não são círculos ...”

(Gleick, 1994:132).

O Que É Um Fractal?

Fractal

designa

uma

complexa,

revelada

detalhada,

visível

em

curva pela

ou

superfície

sua

estrutura

qualquer

escala

de

ampliação. Nas diferentes ampliações, as formas complexas apresentam a qualidade de autosemelhança,isto é, a parte é igual ao todo.

Couve flor Flora intestinal Ramificação do sistema pulmonar

Objecto Fractal Dimensão fractal

Permite medir o grau de irregularidade e de fragmentação de formas.

II

Fractais Clรกssicos

O Tri창ngulo de Sierpinski

Os três primeiros passos da construção do triângulo de Sierpinski

Em cada passo o número total de triângulos triplica 1, 3, 9, 27, 81 ao mesmo tempo que o lado dos triângulos se reduz para metade.

Triângulo de Sierpinski, é o conjunto dos pontos do plano que restam se esta operação for levada a cabo infinitas vezes. É possível perceber que além dos

lados do triângulo original, que farão parte do limite, os lados dos triângulos

que vão sendo produzidos também farão parte do Triângulo de Sierpinski.

Área do Triângulo de Sierpinski Suponha-se que a área do triângulo inicial é “x”

No passo 1 tem-se: A = 3x /4

No passo 2 tem-se: A = 9x / 16 No passo 3 tem-se: A = 27x/64 (...)

No passo n ter-se-á: A = (3 / 4)n .x

O Triângulo de Pascal trata-se de um arranjo triangular de números compostos pelos coeficientes do desenvolvimento do polinómio (1+x)n (n0). O modo de obter os coeficientes é simples. As margens direita e esquerda são

sempre iguais a 1, os outros coeficientes são a soma dos dois coeficientes da linha superior.

Preto

Branco

Ímpar

Par

Qual a proporção de um Triângulo de Sierpinski que é branca?

Parte preta

Área de superfície total de 0

Parte branca

Área de superfície total de 1

Triângulo de Pascal muito grande os números impares ocorrem com uma probabilidade muito próxima de zero.

O Tri창ngulo de Pascal

Padr천es no tri창ngulo de Pascal de m처dulos 3, 7, e 9

A Curva de Koch / Floco de Neve

Apresentado pelo matemรกtico sueco Helge von Koch em 1904

Construção Do Floco de Neve

Cada uma das transformações multiplicará o comprimento total por 4/3.

Perímetro do Floco de Neve PASSO

Nº LADOS

MEDIDA DOS LADOS

N =1 N=2

3 4*3

3 1/3*3

PERÍMETRO 9 cm 12 cm

N=3 N=4 N=5

4*4*3 4*4*4*3 4*4*4*4*3

1/3*1/3*3 1/3*1/3*1/3*3 1/3*1/3*1/3*1/3*3

16 cm 21,(3) cm 28,(4) cm

N=6

4*4*4*4*4*3

1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3

37,926 cm

N=7

4*4*4*4*4*4*3

1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 50,568 cm

....

N=n

...

...

...

(4)n-1*3

(1/3)n-1*3=3-n+2

(4/3)n-1*9

Área do Floco de Neve Para calcular a área do Floco de Neve tenta-se, em cada passo, calcular a parte que foi acrescentada à anterior, pois a área do “Floco de Neve” pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos em que este pode ser subdividido.

No primeiro passo, partindo de um triângulo equilátero de comprimento igual a 3 cm; cuja altura h =

32  3 2  3 2 3 2

cm, a área do triângulo

[ABC é: A= 9 3 4 cm2.

A medida do comprimento dos lados no passo n é dada pela expressão: ln=(1/3)n-1*3=3-n+2

A

C

altura

dos

triângulos

acrescentados em cada passo é h A

B

dada pela expressão hn=

3 2  ln

Deste

modo,

a

área

de

cada

triângulo

acrescentado em cada passo é dada pela expressão: An= vem que An=

3 l 3 2 ln  n  ln  .

2 2 4

.

Como ln=3-n+2

3  9n  2 4

O número de triângulos acrescentados em cada passo é dado pela expressão 3*4n-2.

Assim, a área total dos triângulos acrescentados no passo n é dada pela expressão : 3 1 A Tn  Nº triângulos  A n    4 9

n 2

 3 4

n 2

3 4  3    4 9

n 2

A área total do Floco de Neve é dada pela série:



A T  A1   A TN n 2



9 3 3 3 4     4 9 n 2 4

n 2

Área do “Floco de Neve”

Passo N= 1

A

T

N=2

3 4

+3

2 3 4 cm

A

=9

3 4

+3

3 4 +12 3 362cm

A

=9

3 4

+3

3 4 +12 3 36

A

=

T

N=5

.

=9

T

N=4

2 3 4 cm

A

T

N=3

=9

T

9 3 4

+

3 3 4

+

+

48 3 3242 cm

12 3 36

192 3 2916 cm 2 ...

N= n

...

 n2 2   9 3 4  3 3 4 * 4 9  A = cm T n2

+

48 3 324

+

Esta curva apresenta uma particularidade curiosa, pois tem comprimento infinito e área finita.

4 lim   n  3   

lim n 

n 1

9  

9 3 3 3 4    4 9 n 2 4

n 2

9 3 27 3 2   cm 4 20

A área do Floco de Neve é sempre menor que a área do círculo que contém o triângulo inicial!

AF = 6,24cm2  AO= 9,42cm2

A Curva de Peano

A

Curva

apresentada

de pelo

Peano

foi

matemรกtico

Giuseppe Peano em 1890.

A curva de Peano passa por todos os pontos de um quadrado unitário, é portanto, um exemplo de curvas que preenchem o espaço.

No nosso organismo: um rim é composto por 3

sistemas

de

veias

em

forma

de

árvores

interligadas, o sistema arterial, o sistema venoso e o sistema urinário. Cada um deles tem acesso a todas as partes do rim, á semelhança do que acontece com a curva de Peano e os pontos do quadrado.

Como obter a Curva de Peano

???

A curva de Peano obtĂŠm-se partindo de um segmento de recta. No passo 1 o segmento ĂŠ substituĂ­do por 9 segmentos de comprimento igual a 1/3 do segmento inicial, e colocados de forma a poder-se percorrer a linha poligonal sem descontinuidades.

Passos da construção da Curva de Peano

Como em cada passo cada segmento de recta ĂŠ substituĂ­do por nove segmentos de recta com 1/3 do comprimento dos segmentos de recta anteriores,

pode-se

facilmente

calcular

o

comprimento das curvas em cada passo.

No passo 1 tem-se: 9*1/3 = 3cm

No passo 2 tem-se: 9*9*1/3*1/3 = 32 No passo 3 tem-se: 9*9*9*1/3*1/3*1/3 = 27 = 33 No passo n ter-se ĂĄ: 3n

Foram estes e outros exemplos que puseram em causa certos conceitos da matemática da época: As funções sem derivadas As curvas de comprimento infinito que contêm área finita Curvas que passam por todos os pontos de um quadrado

III

Dimensรฃo Fractal e Auto-Semelhanรงa

Dimensão Fractal Dimensão fractal ou Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, mas os conceitos originais têm as suas raízes no desenvolvimento inicial da topologia.

OBJECTO

DIMENSÃO

PONTO

0

RECTA PLANO SÓLIDO

1 2 3

Esta caracterização está associada à ideia intuitiva de que a dimensão de um objecto é o número

de

parâmetros

independentes

(coordenadas) que são necessários para a descrição dos seus pontos.

Poincaré Conjunto

vazio

tem

dimensão

–1.

Seguidamente, define espaços de dimensão 0 em termos de espaços de dimensão –1; espaços de dimensão 1 em termos de espaços de dimensão 0; espaços de dimensão

2 em termos de espaços de dimensão 1; espaços de dimensão 3 em função de

espaços de dimensão 2. A este resultado dáse o nome de dimensão topológica.

Como obter a dimensão de um objecto?

OBJECTO

TAMANHO

CÓPIAS

RECTA

Dobro

1

QUADRADO

Dobro

4=22

CUBO

Dobro

8=23

Mais geralmente, para uma figura de dimensão Euclidiana d são necessárias c= 2d cópias para dobrar o tamanho da figura

d =ln c/ln 2 No caso em que o factor de ampliação seja diferente de 2

d=ln c/ln a

Assim: A curva Floco de Neve é feita de quatro cópias de si própria, cada uma com um terço do tamanho. Logo, a = 3, c = 4 e d = ln 4/ln 3 = 1,2618....

No triângulo de Sierpinski, para a redução 1/2 obtevese uma divisão da figura em 3 partes congruentes.

Logo, a = 2, c = 3 e d = ln 3/ln 2=1,58 .

Na curva de Peano, nos primeiros passos, quando a redução é 1/3 , o numero de partes congruentes é 9

logo, a = 3, c = 9 e d = ln 9/ln 3 = 2.

Afinal, nem todos os fractais têm dimensão não inteira!

A dimensão assim definida, demonstra todo um processo de auto-semelhança. Um conjunto ao qual

ela

se

possa

aplicar

é

dito

auto-

semelhante, como é o caso das curvas fractais abordadas, e das figuras não fractais como o

segmento de recta, o quadrado e o cubo.

Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, ou simplesmente, dimensão fractal.

IV

Teoria dos Conjuntos de Julia

Iteração de Funções Complexas Jonh Hubbar

Resolução

Método de Newton

de equações Aproximações

sucessivas Fornece em geral mais do que uma solução particularmente

quando

equações no plano complexo.

se

estudam

Hubbard explorou vários exemplos através do computador e apercebeu-se que o gráfico que resultava da aplicação do método de Newton era apenas

uma

de

toda

uma

família

de

figuras

inexploradas.

Contudo, foi Mandelbrot quem descobriu o cerne de todas estas formas!!!

“Catálogo” dos Conjuntos de Julia

CONJUNTO DE MANDELBROT Apareceu

quando

Mandelbrot

estava

a

tentar

descobrir uma maneira de generalizar uma classe de

formas conhecidas por conjuntos de Julia, as quais foram estudadas durante a Segunda Guerra Mundial

pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou.

Preliminares: Considere-se como sendo um polinómio de f:C  C grau n  2 com coeficientes complexos f ( z )  a0  a1z  ...  an z n .

Usualmente escreve-se f para indicar a composição da késima f  ...  f da função f , de forma que f ( ) é a késima iteração f  f ... f      de . Se f     chamase a  um ponto fixo de f , e se f     para algum inteiro p  1 diz-se que  é um ponto periódico de f ; o menor p tal que f     é chamado o período de ; chama-se a  , f  ,..., f   uma órbita de período p. Seja  um ponto periódico de período p, com  f      .O ponto  é chamado de superatractivo se  =0, atractivo ou de atracção se 0    1 , neutro se   1 e de repulsão se   1 K

K

P

P

P

P

'

CONJUNTO DE MANDELBROT

O Conjunto de Mandelbrot é uma colecção de pontos do plano complexo obtido submetendo os números do plano complexo ao processo iterativo. Este baseia-se na função f z   z  c .

2

• Sequência

f K z 

  ou para um ponto fixo

•Fazendo-se z  0 e iterando a função f z   z  c para valores de c obtém-se o Conjunto de Mandelbrot.

2

COMO É QUE O CONJUNTO DE MANDELBROT CONTÉM EM SI UMA INFINIDADE DE FRACTAIS???

A ideia, agora, consiste em fixar um valor de c e

verificar o que acontece a qualquer valor inicial

z

de quando a função é iterada.

Obtém-se para cada valor de c figuras que são o conjunto dos valores de

z

que convergem no processo

da iteração sucessiva da função f z   z 2  c . A fronteira

dessas figuras é um Conjunto de Julia.

Conjuntos de Julia valores de c do Mandelbrot.

para vรกrios Conjunto de

Conjuntos de Julia Os Conjuntos de Julia surgem em ligação com a iteração de uma função f complexa .

de variável

O Conjunto de Julia J  f  de f pode ser definido como o “fecho” do conjunto dos pontos periódicos de repulsão de f

.

Desde os tempos de Fatou e Julia, tomou-se como estandardizado definir este conjunto como o conjunto de pontos nos quais a família de iterações de

f

deixa de ser normal, ou

seja,

J



 f   z  C :a família

normal em

z.

 

K f K  0 não é

Algumas propriedades dos Conjuntos de Julia



Se



f

J

é um polinómio, então J



 f  é não vazio.



 f  é compacto.

J





f 

é invariante no sentido directo e indirecto, isto é,

J  f  J   f  1 J  .     



J  f P   J  f  para todo o inteiro positivo p.   



Se

f

é um polinómio, J



 f  tem interior vazio.



J



f 

é um conjunto perfeito (isto é, fechado e sem pontos

isolados ) e é portanto não numerável.

   

Teorema :

Se

f

é um polinómio,

J f  J



 f .

 O Conjunto de Julia éJ of fecho dos pontos f periódicos de repulsão do polinómio . É um conjunto compacto não numerável contendo pontos não isolados e é invariante em e . f 1 de Julia é a fronteira do fosso de f O Conjunto atracção de cada ponto fixo de atracção de P     J f  J f , incluindo f , e para cada inteiro  positivo p.

Agora, poder-se-á definir o Conjunto de Mandelbrot, M, como sendo o conjunto de parâmetros c para os quais o Conjunto de Julia é conexo: M  c  C : J  f c  conexo

Imagens de Conjuntos de Julia para diferentes valores de c

Conclus達o

A visão da natureza dada pela geometria Euclidiana, onde tudo eram linhas e planos, círculos, quadrados, rectângulos, triângulos e os correspondentes sólidos, deixa de fazer sentido. Tenta-se cada vez mais compreender a realidade pela sua complexidade, pelas suas particularidades, pelo seu fascínio.

Linha Costeira

Fractais e a Realidade

Ao olhar para a economia e para as finanças, Mandelbrot tem vindo a acentuar, desde há mais de 30 anos, que fenómenos de escala e de auto semelhança também estão aí presentes.

Preços do Algodão

Ruído dos fios telefónicos

Flocos de Neve transportados para a Economia Erros de transmissão como um Conjunto de Cantor disposto no tempo

Posteriormente, Mandelbrot, dedicou-se ao estudo dos registos das cheias do rio Nilo, classificando a sua variação em dois tipos de efeitos, comuns à economia, a que chamou “Efeito de Noé” e “Efeito de José”.

O Efeito de Noé O Efeito de José

Descontinuidade Persistência

“MEMÓRIA LONGA”

Apesar de desprezada inicialmente, a teoria dos fractais, está em constante progressão.

Fornece instrumentos utilizáveis por físicos, químicos, sismólogos, metalúrgicos, teóricos das probabilidades e fisiologistas.

Muitas das aplicações directas dos fractais estão relacionadas com a física de superfícies.

Por exemplo, a superfície dos poliovírus é fractal.

Indiscutivelmente, um dos aspectos que mais se evidência nos objectos fractais é a sua componente estética.

Arte e ciência encontram-se cada vez mais ligadas, e é agora possível ver beleza em variadissimos objectos científicos.

FIM