Viagem Pelo Mundo dos Fractais
I
Introdução
Evolução Histórica Kepler / Galileu
Século XVII Newton
Movimento dos planetas Hausdorff, em 1919, introduziu um conceito de dimensão não-inteira
Teoria dos sistemas dinâmicos
Cantor (1870) Poincaré (1880)
Paradigma dos três corpos “Quais são os comportamentos possíveis de um sistema constituído por 3 corpos que interagem entre si através de uma força gravitacional Newtoniana?”
Poincaré Soluções Analíticas
Equações Diferenciais
Quantitativas Inútil
Teoria qualitativa ou geométrica das equações diferenciais Sistemas dinâmicos (séc. XX)
Mandelbrot O chamado “Pai dos Fractais” ao longo dos anos 50 foi criando uma imagem da realidade na sua mente e em 1975, começou um estudo sistemático dos fractais. Mandelbrot fartou-se de dizer “nuvens não são esferas,
montanhas não são cones,continentes não são círculos ...” (Gleick, 1994:132).
O Que É Um Fractal? Fractal
designa
uma
complexa,
revelada
detalhada,
visível
em
curva pela
ou
superfície
sua
estrutura
qualquer
escala
de
ampliação. Nas diferentes ampliações, as formas complexas apresentam a qualidade de autosemelhança,isto é, a parte é igual ao todo.
Couve flor Flora intestinal Ramificação do sistema pulmonar
Objecto Fractal Dimensão fractal
Permite medir o grau de irregularidade e de fragmentação de formas.
II
Fractais Clรกssicos
O Tri창ngulo de Sierpinski
Os três primeiros passos da construção do triângulo de Sierpinski
Em cada passo o número total de triângulos triplica 1, 3, 9, 27, 81 ao mesmo tempo que o lado dos triângulos se reduz para metade.
Triângulo de Sierpinski, é o conjunto dos pontos do plano que restam se esta operação for levada a cabo infinitas vezes. É possível perceber que além dos
lados do triângulo original, que farão parte do limite, os lados dos triângulos
que vão sendo produzidos também farão parte do Triângulo de Sierpinski.
Área do Triângulo de Sierpinski Suponha-se que a área do triângulo inicial é “x”
No passo 1 tem-se: A = 3x /4
No passo 2 tem-se: A = 9x / 16 No passo 3 tem-se: A = 27x/64 (...) No passo n ter-se-á: A = (3 / 4)n .x
O Triângulo de Pascal trata-se de um arranjo triangular de números compostos pelos coeficientes do desenvolvimento do polinómio (1+x)n (n0). O modo de obter os coeficientes é simples. As margens direita e esquerda são
sempre iguais a 1, os outros coeficientes são a soma dos dois coeficientes da linha superior.
Preto
Branco
Ímpar
Par
Qual a proporção de um Triângulo de Sierpinski que é branca? Parte preta
Área de superfície total de 0
Parte branca
Área de superfície total de 1
Triângulo de Pascal muito grande os números impares ocorrem com uma probabilidade muito próxima de zero.
O Tri창ngulo de Pascal
Padr천es no tri창ngulo de Pascal de m처dulos 3, 7, e 9
A Curva de Koch / Floco de Neve
Apresentado pelo matemรกtico sueco Helge von Koch em 1904
Construção Do Floco de Neve
Cada uma das transformações multiplicará o comprimento total por 4/3.
Perímetro do Floco de Neve PASSO
Nº LADOS
MEDIDA DOS LADOS
N =1 N=2
3 4*3
3 1/3*3
PERÍMETRO 9 cm 12 cm
N=3 N=4 N=5
4*4*3 4*4*4*3 4*4*4*4*3
1/3*1/3*3 1/3*1/3*1/3*3 1/3*1/3*1/3*1/3*3
16 cm 21,(3) cm 28,(4) cm
N=6
4*4*4*4*4*3
1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3
37,926 cm
N=7
4*4*4*4*4*4*3
1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*3 50,568 cm
.... N=n
...
...
...
(4)n-1*3
(1/3)n-1*3=3-n+2
(4/3)n-1*9
Área do Floco de Neve Para calcular a área do Floco de Neve tenta-se, em cada passo, calcular a parte que foi acrescentada à anterior, pois a área do “Floco de Neve” pode ser vista como a soma das áreas dos triângulos em que este pode ser subdividido.
No primeiro passo, partindo de um triângulo equilátero de comprimento igual a 3 cm; cuja altura h =
32 3 2 3 2 3 2
cm, a área do triângulo
[ABC é: A= 9 3 4 cm2. A medida do comprimento dos lados no passo n é dada pela expressão: ln=(1/3)n-1*3=3-n+2
A
C
altura
dos
triângulos
acrescentados em cada passo é h A
B
dada pela expressão hn=
3 2 ln
Deste
modo,
a
área
de
cada
triângulo
acrescentado em cada passo é dada pela expressão: An= vem que An=
3 l 3 2 ln n ln . 2 2 4
.
Como ln=3-n+2
3 9n 2 4
O número de triângulos acrescentados em cada passo é dado pela expressão 3*4n-2.
Assim, a área total dos triângulos acrescentados no passo n é dada pela expressão : 3 1 A Tn Nº triângulos A n 4 9
n 2
3 4
n 2
3 4 3 4 9
n 2
A área total do Floco de Neve é dada pela série:
A T A1 A TN n 2
9 3 3 3 4 4 9 n 2 4
n 2
Área do “Floco de Neve”
Passo N= 1
A
T
N=2
3 4
+3
2 3 4 cm
A
=9
3 4
+3
3 4 +12 3 362cm
A
=9
3 4
+3
3 4 +12 3 36
A
=
T
N=5
.
=9
T
N=4
2 3 4 cm
A
T
N=3
=9
T
9 3 4
+
3 3 4
+
+
48 3 3242 cm
12 3 36
192 3 2916 cm 2 ... N= n
...
n2 2 9 3 4 3 3 4 * 4 9 A = cm T n2
+
48 3 324
+
Esta curva apresenta uma particularidade curiosa, pois tem comprimento infinito e área finita.
4 lim n 3
lim n
n 1
9
9 3 3 3 4 4 9 n 2 4
n 2
9 3 27 3 2 cm 4 20
A área do Floco de Neve é sempre menor que a área do círculo que contém o triângulo inicial!
AF = 6,24cm2 AO= 9,42cm2
A Curva de Peano
A
Curva
apresentada
de pelo
Peano
foi
matemรกtico
Giuseppe Peano em 1890.
A curva de Peano passa por todos os pontos de um quadrado unitário, é portanto, um exemplo de curvas que preenchem o espaço. No nosso organismo: um rim é composto por 3
sistemas
de
veias
em
forma
de
árvores
interligadas, o sistema arterial, o sistema venoso e o sistema urinário. Cada um deles tem acesso a todas as partes do rim, á semelhança do que acontece com a curva de Peano e os pontos do quadrado.
Como obter a Curva de Peano
???
A curva de Peano obtĂŠm-se partindo de um segmento de recta. No passo 1 o segmento ĂŠ substituĂdo por 9 segmentos de comprimento igual a 1/3 do segmento inicial, e colocados de forma a poder-se percorrer a linha poligonal sem descontinuidades.
Passos da construção da Curva de Peano
Como em cada passo cada segmento de recta ĂŠ substituĂdo por nove segmentos de recta com 1/3 do comprimento dos segmentos de recta anteriores,
pode-se
facilmente
calcular
o
comprimento das curvas em cada passo.
No passo 1 tem-se: 9*1/3 = 3cm
No passo 2 tem-se: 9*9*1/3*1/3 = 32 No passo 3 tem-se: 9*9*9*1/3*1/3*1/3 = 27 = 33 No passo n ter-se ĂĄ: 3n
Foram estes e outros exemplos que puseram em causa certos conceitos da matemática da época: As funções sem derivadas As curvas de comprimento infinito que contêm área finita Curvas que passam por todos os pontos de um quadrado
III
Dimensรฃo Fractal e Auto-Semelhanรงa
Dimensão Fractal Dimensão fractal ou Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, mas os conceitos originais têm as suas raízes no desenvolvimento inicial da topologia.
OBJECTO
DIMENSÃO
PONTO
0
RECTA PLANO SÓLIDO
1 2 3
Esta caracterização está associada à ideia intuitiva de que a dimensão de um objecto é o número
de
parâmetros
independentes
(coordenadas) que são necessários para a descrição dos seus pontos.
Poincaré Conjunto
vazio
tem
dimensão
–1.
Seguidamente, define espaços de dimensão 0 em termos de espaços de dimensão –1; espaços de dimensão 1 em termos de espaços de dimensão 0; espaços de dimensão
2 em termos de espaços de dimensão 1; espaços de dimensão 3 em função de
espaços de dimensão 2. A este resultado dáse o nome de dimensão topológica.
Como obter a dimensão de um objecto? OBJECTO
TAMANHO
CÓPIAS
RECTA
Dobro
1
QUADRADO
Dobro
4=22
CUBO
Dobro
8=23
Mais geralmente, para uma figura de dimensão Euclidiana d são necessárias c= 2d cópias para dobrar o tamanho da figura
d =ln c/ln 2 No caso em que o factor de ampliação seja diferente de 2
d=ln c/ln a
Assim: A curva Floco de Neve é feita de quatro cópias de si própria, cada uma com um terço do tamanho. Logo, a = 3, c = 4 e d = ln 4/ln 3 = 1,2618.... No triângulo de Sierpinski, para a redução 1/2 obtevese uma divisão da figura em 3 partes congruentes. Logo, a = 2, c = 3 e d = ln 3/ln 2=1,58 . Na curva de Peano, nos primeiros passos, quando a redução é 1/3 , o numero de partes congruentes é 9
logo, a = 3, c = 9 e d = ln 9/ln 3 = 2. Afinal, nem todos os fractais têm dimensão não inteira!
A dimensão assim definida, demonstra todo um processo de auto-semelhança. Um conjunto ao qual
ela
se
possa
aplicar
é
dito
auto-
semelhante, como é o caso das curvas fractais abordadas, e das figuras não fractais como o
segmento de recta, o quadrado e o cubo.
Dimensão de Hausdorff – Besicovitch, ou simplesmente, dimensão fractal.
IV
Teoria dos Conjuntos de Julia
Iteração de Funções Complexas Jonh Hubbar
Resolução
Método de Newton
de equações Aproximações
sucessivas Fornece em geral mais do que uma solução particularmente
quando
equações no plano complexo.
se
estudam
Hubbard explorou vários exemplos através do computador e apercebeu-se que o gráfico que resultava da aplicação do método de Newton era apenas
uma
de
toda
uma
família
de
figuras
inexploradas.
Contudo, foi Mandelbrot quem descobriu o cerne de todas estas formas!!!
“Catálogo” dos Conjuntos de Julia
CONJUNTO DE MANDELBROT Apareceu
quando
Mandelbrot
estava
a
tentar
descobrir uma maneira de generalizar uma classe de
formas conhecidas por conjuntos de Julia, as quais foram estudadas durante a Segunda Guerra Mundial
pelos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou.
Preliminares: Considere-se como sendo um polinómio de f:C C grau n 2 com coeficientes complexos f ( z ) a0 a1z ... an z n . Usualmente escreve-se f para indicar a composição da késima f ... f da função f , de forma que f ( ) é a késima iteração f f ... f de . Se f chamase a um ponto fixo de f , e se f para algum inteiro p 1 diz-se que é um ponto periódico de f ; o menor p tal que f é chamado o período de ; chama-se a , f ,..., f uma órbita de período p. Seja um ponto periódico de período p, com f .O ponto é chamado de superatractivo se =0, atractivo ou de atracção se 0 1 , neutro se 1 e de repulsão se 1 K
K
P
P
P
P
'
CONJUNTO DE MANDELBROT
O Conjunto de Mandelbrot é uma colecção de pontos do plano complexo obtido submetendo os números do plano complexo ao processo iterativo. Este baseia-se na função f z z c . 2
• Sequência
f K z
ou para um ponto fixo
•Fazendo-se z 0 e iterando a função f z z c para valores de c obtém-se o Conjunto de Mandelbrot. 2
COMO É QUE O CONJUNTO DE MANDELBROT CONTÉM EM SI UMA INFINIDADE DE FRACTAIS??? A ideia, agora, consiste em fixar um valor de c e
verificar o que acontece a qualquer valor inicial
z
de quando a função é iterada. Obtém-se para cada valor de c figuras que são o conjunto dos valores de
z
que convergem no processo
da iteração sucessiva da função f z z 2 c . A fronteira
dessas figuras é um Conjunto de Julia.
Conjuntos de Julia valores de c do Mandelbrot.
para vรกrios Conjunto de
Conjuntos de Julia Os Conjuntos de Julia surgem em ligação com a iteração de uma função f complexa .
de variável
O Conjunto de Julia J f de f pode ser definido como o “fecho” do conjunto dos pontos periódicos de repulsão de f
.
Desde os tempos de Fatou e Julia, tomou-se como estandardizado definir este conjunto como o conjunto de pontos nos quais a família de iterações de
f
deixa de ser normal, ou
seja,
J
f z C :a família
normal em
z.
K f K 0 não é
Algumas propriedades dos Conjuntos de Julia
Se
f
J
é um polinómio, então J
f é não vazio.
f é compacto.
J
f
é invariante no sentido directo e indirecto, isto é,
J f J f 1 J .
J f P J f para todo o inteiro positivo p.
Se
f
é um polinómio, J
f tem interior vazio.
J
f
é um conjunto perfeito (isto é, fechado e sem pontos
isolados ) e é portanto não numerável.
Teorema :
Se
f
é um polinómio,
J f J
f .
O Conjunto de Julia éJ of fecho dos pontos f periódicos de repulsão do polinómio . É um conjunto compacto não numerável contendo pontos não isolados e é invariante em e . f 1 de Julia é a fronteira do fosso de f O Conjunto atracção de cada ponto fixo de atracção de P J f J f , incluindo f , e para cada inteiro positivo p. Agora, poder-se-á definir o Conjunto de Mandelbrot, M, como sendo o conjunto de parâmetros c para os quais o Conjunto de Julia é conexo: M c C : J f c conexo
Imagens de Conjuntos de Julia para diferentes valores de c
Conclus達o
A visão da natureza dada pela geometria Euclidiana, onde tudo eram linhas e planos, círculos, quadrados, rectângulos, triângulos e os correspondentes sólidos, deixa de fazer sentido. Tenta-se cada vez mais compreender a realidade pela sua complexidade, pelas suas particularidades, pelo seu fascínio.
Linha Costeira
Fractais e a Realidade
Ao olhar para a economia e para as finanças, Mandelbrot tem vindo a acentuar, desde há mais de 30 anos, que fenómenos de escala e de auto semelhança também estão aí presentes. Preços do Algodão
Ruído dos fios telefónicos
Flocos de Neve transportados para a Economia Erros de transmissão como um Conjunto de Cantor disposto no tempo
Posteriormente, Mandelbrot, dedicou-se ao estudo dos registos das cheias do rio Nilo, classificando a sua variação em dois tipos de efeitos, comuns à economia, a que chamou “Efeito de Noé” e “Efeito de José”. O Efeito de Noé O Efeito de José
Descontinuidade Persistência
“MEMÓRIA LONGA”
Apesar de desprezada inicialmente, a teoria dos fractais, está em constante progressão. Fornece instrumentos utilizáveis por físicos, químicos, sismólogos, metalúrgicos, teóricos das probabilidades e fisiologistas. Muitas das aplicações directas dos fractais estão relacionadas com a física de superfícies. Por exemplo, a superfície dos poliovírus é fractal.
Indiscutivelmente, um dos aspectos que mais se evidência nos objectos fractais é a sua componente estética.
Arte e ciência encontram-se cada vez mais ligadas, e é agora possível ver beleza em variadissimos objectos científicos.
FIM