Eportefolio geometria fratal

E-portefólio – Viagem pelo Mundo dos Fractais

Viagem Pelo Mundo dos Fractais Professora: Fani Gouveia

"Porque é que a geometria é habitualmente descrita como fria e austera? Uma razão reside na sua inadaptação em descrever a forma de uma nuvem, de uma montanha, de uma linha costeira, de uma árvore. As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as linhas costeiras não são círculos e a casca de uma árvore não é suave, nem os relâmpagos se propagam em linha reta (...).

A natureza exibe não apenas um grau mais elevado, mas um nível

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de complexidade completamente diferente. O número de diferentes escalas de comprimento dos motivos naturais é para todos os efeitos infinito. A existência desses motivos desafia-nos a estudar aquelas formas que Euclides deixou de parte como não tendo uma forma definida, desafia-nos a investigar a morfologia do amorfo".

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Objetivos: Mostrar que o estudo da História da Matemática é fundamental e amplia a compreensão dos conceitos matemáticos com os dados da sua origem e evolução ao longo do tempo; Compreender a existência de geometrias não euclidianas; Explorar as conexões matemáticas entre a geometria e as sucessões; Desenvolver enquanto

a

descobre

capacidade

de

propriedades

investigação insuspeitadas

matemática e

muito

intrigantes dos fractais;

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Criticar exemplos de sucessões sujeitas a exigências de monotonia, limitação e convergência.

Estudar sucessões associadas a um determinado fractal..

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Enquadramento Te贸rico

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Euclides 330-260 a.C. Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo reza a história, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse

composta

por

pequenas

partes

visíveis.

Desde

então,

empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples.

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Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão.

No

entanto,

inconscientemente,

esta

foi

a

chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

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Para Euclides, os objetos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc...

No entanto, a geometria euclidiana era insuficiente e até grosseira para explicar e descrever estes fenómenos naturais.

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Como surgiram os fractais?

“Monstros Matemáticos”

Segunda metade do séc. XIX e a primeira do séc. XX: Objetos

que

desafiavam

as

noções

comuns de infinito e para os quais não havia uma explicação objetiva.

Curva de Peano Triângulo de Sierpinski

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Como surgiu a palavra Fractal?

Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém

lhes tinha atribuído nenhum nome. Foi então que Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos “monstros”, sentiu necessidade de lhes atribuir um nome. verbo frangere (que significa quebrar, fraturar, irregular)

adjetivo fractus

FRACTAL 11

Benoit Mandelbrot Em 1975, começou um estudo sistemático dos fractais, chamando a atenção para a fractalidade da natureza: nuvens, montanhas, costa dos continentes, árvores, seres vivos, corpo humano, galáxias e também para

a fractalidade

da atividade

humana

como,

por

exemplo, a evolução dos preços na economia, flutuações da bolsa, etc.

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Objetos que não possuem, necessariamente, dimensão inteira.

Formas igualmente complexas detalhe e na forma global.

no

FRACTAIS Objetos que não perdem a sua definição

Formas

formal

fragmentadas

à

medida

que

são

ampliados,

mantendo a sua estrutura idêntica à original.

geométricas que

irregulares podem

e ser

subdivididas em partes, e cada parte será uma cópia reduzida do todo.

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A atividade proposta visa refutar algumas ideias de Euclides, mostrar que a geometria euclidiana não é a única e que não serve para descrever as vicissitudes da natureza.

Pretende-se que os alunos relacionem a geometria fractal com o limite de uma sucessão de figuras, estabelecendo o paralelismo entre a base da análise infinitesimal e a geometria fractal.

A investigação sugerida abrange vários tópicos do programa do 11ºano e contribui para aprendizagens mais significativas.

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Os recursos sugeridos são diversos: papel e lápis, computador e calculadora.

Os alunos devem-se organizar em pequenos grupos. As conclusões finais devem ser apresentadas e discutidas com toda a turma.

Num primeiro momento, as conclusões devem ser expostas em linguagem

corrente

seguindo-se

uma

composição

em

simbologia

matemática. É importante que se aproveitem momentos como este para “obrigar”

os

alunos

a

refletir

e

a

sistematizar

as

suas

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aprendizagens,

recorrendo

a

uma

autoavaliação

dos

seus

conhecimentos

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Tarefa de Investigação: A curva de von Kock apresentada pelo matemático sueco Helge von Kock, em 1904, é construída partindo de um segmento de reta.

Método de construção: 1º Construa um segmento de reta.

2º Divida-o em três segmentos congruentes.

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3º Esconda e substitua o segmento do meio por

dois

segmentos

congruentes

a

este

formando um triângulo equilátero.

4º

Para

cada

segmento

repita

os

procedimentos 1, 2 e 3.

Repetindo indefinidamente os procedimentos em cada segmento obtemos a curva de von Koch.

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Com o Geogebra podes construir uma ferramenta e automizar os procedimentos.

VĂŞ o vĂ­deo: https://youtu.be/71bjtAHZPXQ

Investiga o que acontece com o comprimento da curva de von Kock?.

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Após várias iterações o que podes concluir acerca do todo e da parte? Qual o nome desta característica?

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Se aplicarmos estes procedimentos aos três lados de um triângulo equilátero, obteremos o «floco de neve» ou «ilha de von Koch». A figura mostra três gerações da sequência de construção do floco de neve. O comprimento do lado do triângulo da geração 0 é uma unidade.

G 0

G 1 G 2

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1. Investiga

o

que

acontece

com

o

número

de

lados

desta

sequência.

Número de lados Geração 0 Geração 1 Geração 2 Geração 3

Tenta encontrar o termo geral da sequência que permite calcular o número de lados para a n-ésima geração.

Como é a evolução desta sequência?

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2. Relativamente a esta sequência, estuda o que se passa com o comprimento dos lados.

Comprimento dos lados Geração 0 Geração 1 Geração 2 Geração 3

Tenta encontrar o termo geral da sequência que permite calcular o comprimento dos lados para a n-ésima geração.

Como evolui esta sequência?

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3. Investiga agora como se comporta o perímetro da sequência…

Perímetro Geração 0 Geração 1 Geração 2 Geração 3

Tenta encontrar o termo geral da sequência que permite calcular o perímetro para a n-ésima geração.

Para que valor tende esta sequência?

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4. Estuda agora o que acontece com a sucessão das áreas da forma fractal nas sucessivas gerações.

Áreas Geração 0 Geração 1 Geração 2 Geração 3

Tenta encontrar o termo geral da sequência que permite calcular a área para a n-ésima geração.

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5. O floco de neve pode inscrever-se numa circunferência.

Calcula a área do círculo?

Compara a área do círculo com a do fractal. Qual é a sua relação?

6. Será possível encontrar uma figura geométrica que mais se aproxime do floco de neve? Caracteriza-a e relaciona a sua área com a do fractal.

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Para verificação das tuas conclusões visualiza os seguintes recursos: http://issuu.com/matinaf/docs/apresenta____o1 https://youtu.be/7iFy7KRaLQ8 http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2004/Geometria%20Fractal %20e%20Teoria%20do%20Caos.pdf

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Fractais Geométricos (Uma pequena brincadeira…para tarefa de casa) Atividade: Construção de um Fractal numa Folha de Papel Material: Folha de papel A4; Tesoura;

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Instruções: 1. Meça o comprimento da folha (= a); 2. Meça a largura da folha (= b); 3. Dobre a folha de papel ao meio; 4. Faça 2 cortes de comprimento , afastados de cada lado do papel : 5. Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes;

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6. Repita os passos 1 a 5, mas agora para a parte da folha que acabou de dobrar; 7. Continue este processo o måximo de vezes possíveis; 8. Dobre a folha A4 formando um ângulo reto; 9. Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo reto com a dobra do passo 8; 10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha.

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Nada melhor do que ver como se faz‌. https://youtu.be/iXVlXtsb2QA

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Questões: 1. Conte os elementos em cada iteração e faça uma tabela.

2. Identifique o padrão de crescimento e indique a sucessão que permite calcular o número de elementos para a n-ésima geração.

3. Qual a área total (isto é, depois de uma infinidade de dobras) da

superfície

dos

elementos?

(Sugestão:

Escolha

um

valor

conveniente para a área do primeiro elemento).

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4. Investigue o que acontece, se fizer um corte diferente, alterar o tamanho do corte ou aumentar o nĂşmero de cortes.

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Objetos Fractais na Natureza

Aprecia‌ https://youtu.be/z5cJ7Z5zdZI https://youtu.be/YDhtL566M3U

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Trabalhos realizados por alunos no ano letivo 2007/ 2008:

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Autoavaliação da Professora O objetivo de estabelecer conexões entre as diferentes temáticas do currículo, ajudou os alunos a compreenderem, de forma autonoma, o conceito de sucessão e o cálculo de limites de sucessões. Este tipo de atividade promove a discussão entre os diferentes grupos e a partilha

das

conclusões.

Deste

modo,

posso

valorizar

o

desenvolvimento da capacidade de comunicação e argumentação dos alunos.

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Os alunos identificaram uma propriedade interessante dos fractais é a autosemelhança e poderam constatar que outra ideia que está subjacente aos fractais é a ideia de infinito.

O grande espanto dos alunos foi comprovar que o «floco de neve» tem comprimento infinito e área finita.

Em

suma,

posso

concluir

que

os

objetivos

propostos

foram

cumpridos e que os alunos me surpreenderam com o seu entusiasmo e dedicação à realização da atividade proposta.

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Autoavaliação dos Alunos

A

realização

aplicabilidade

da do

atividade estudo

das

proposta

permitiu

sucessões

e

visualizar

proceder

a

a

uma

autoavaliação dos nossos conhecimentos.

Os recursos fornecidos pela professora foram importantes para aferir sobre as nossas interpretações das questões colocadas e para correção e esclarecimento das nossas dúvidas.

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A descoberta de uma nova geometria foi fantástico!

Quem diria que existem objetos fractais na natureza e alguns de rara beleza. Afinal, nem tudo o que Euclides disse é verdade!!

Percebemos que as figuras que, no início do século, eram vistas como meras anomalias matemáticas, têm hoje um papel notável na interpretação da realidade.

Os fractais são formas geométricas obtidas a partir

de um

elemento base ao qual se aplica uma certa transformação bem

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definida através de regras rigorosas que se aplicam infinitamente.

Uma

das

propriedades

que

nos

despertou

curiosidade

é

a

autosemelhança, ouseja, o facto do fractal ser semelhante a uma sua parte, por muito pequena que essa seja. Foi engraçado verificar a propriedade nos próprios alimentos, como a couve-flor e os brócolos.

A conclusão final e a mais surpreendente foi constatar, através do cálculo do limite dos termos gerais das sucessões, que o floco de neve tem um perímetro infinito a “fechar” uma área finita. Este

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resultado pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é característico de muitas formas importantes na Natureza. Por exemplo, o sistema vascular das veias e artérias no corpo humano, ocupa

uma

pequena

fracção

do

corpo

e

tem

um

volume

relativamente pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca de 65 mil quilómetros.

A maior dificuldade que tivemos foi descobrir qual era a figura geométrica que mais se aproxima do floco de neve. Com uma

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ajudinha da “net” chegamos à conclusão que é o hexágono.

Verificamos que a área do floco de neve é inferior à área do hexágono (a qual e igual ao dobro da área do triângulo inicial, ou seja, dois).

Como a área do triângulo inicial é 1, a área da curva estará compreendida entre 1 e 2.

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Fim Intervenientes: Alunos: 11º ano Professora de Matemática: Fani Gouveia Local: Agrupamento de Escolas de Vale de Ovil – Baião Data: julho de 2015

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