Podudarnost trouglova. Osnovna pravila o podudarnosti trouglova. Određenost i konstrukcija trougla.

PODUDARNOST฀TROUGLOVA฀–฀ UVOD

• podudarnost฀trouglova • odgovaraju}e฀stranice฀ i฀odgovaraju}i฀uglovi฀ dva฀podudarna฀trougla

! Izre`i฀trougao฀A฀iz฀priloga.฀Poku{aj฀da฀trouglove฀ozna~ene฀brojevima฀preklopi{

tim฀trouglom.฀Koji฀si฀trougao฀potpuno฀preklopio?

" Kvadrat฀ABCD podeqen฀je฀pravom฀AC na฀dva฀trougla: ABC i฀ADC.฀Koristi฀kvadrat

iz฀priloga฀i฀presavij฀ga฀po฀pravoj฀ AC.฀Napi{i฀koje฀}e฀se฀stranice฀i฀koji฀uglovi trouglova฀ABC i฀ADC poklopiti.฀

S฀kojom฀se฀stranicom฀poklapa฀stranica฀AB? S฀kojom฀se฀stranicom฀poklapa฀stranica฀BC? S฀kojom฀se฀stranicom฀poklapa฀stranica฀CA? S฀kojim฀se฀uglom฀poklapa฀ugao฀ α?

S฀kojim฀se฀uglom฀poklapa฀ugao฀ β?

S฀kojim฀se฀uglom฀poklapa฀ugao฀ γ?

Da฀li฀}e฀se฀trouglovi฀ ABC i฀ADC potpuno฀poklopiti?

88

Da฀ti฀ka`em Trouglovi฀ABC i฀DAC su฀podudarni.

SIMETRI^NOST฀I฀PODUDARNOST Na฀crte`u฀su฀prikazani฀osnosimetri~ni฀trouglovi ABC i฀EFD prema฀pravoj฀s.฀ Zamislimo฀da฀dati฀crte`฀presavijamo฀po฀pravoj฀ s.

Tada฀}e฀se฀poklopiti฀temena฀ A i฀E,฀C i฀D,฀B i฀F, stranice฀koje฀ta฀temena฀odre|uju฀i฀odgovaraju}i uglovi฀izme|u฀wih.฀฀ To฀zna~i฀da฀}e฀se฀trouglovi฀po tpuno฀ preklopiti.฀ Tada฀ka`emo฀da฀su฀trouglovi฀ ABC i฀EFD podudarni,฀{to฀zapisujemo: ∆ABC

∆EFD.฀

U฀petom฀razredu฀nau~ili฀smo฀da฀su฀sime tri~ne฀ du`i฀jednake.฀Du`i฀AC i฀ED su฀simetri~ne,฀ {to฀zna~i฀da฀je฀AC =฀ED.฀Isto฀tako,฀du`i฀ CB i฀DF su฀simetri~ne,฀{to฀zna~i฀da฀je฀CB =฀DF.฀ Na฀kraju,฀i฀du`i฀AB i฀EF su฀simetri~ne,฀ odakle฀sledi฀da฀je฀AB =฀EF.฀ Uglovi฀naspram฀wih฀tako|e฀su฀jednaki: ⱔBAC =฀ⱔFED,฀ⱔCBA =฀ⱔDFE i฀ⱔACB =฀ⱔEDF.฀฀

OVO NE}E BITI TE?KO.

Posmatrawem฀ova฀dva฀trougla฀zakqu~ujemo฀da฀se naspram฀jednakih฀stranica฀nalaze฀jednaki฀uglovi.฀ I฀obrnuto,฀naspram฀jednakih฀uglova฀nalaze฀se฀ jednake฀stranice.฀Zato฀}emo฀฀jednake฀stranice฀dva p ฀ odudarna฀trougla฀nazvati฀odgovaraju}e฀stranice,฀ a฀jednake฀uglove฀odgovaraju}i฀uglovi.

Zakqu~ujemo฀da฀podudarni฀trouglovi฀ABC i฀EFD i ฀ maju฀me|usobno฀jednake฀stranice฀i฀jednake o ฀ dgovaraju}e฀uglove.

# Trougao฀ABC na฀slici฀je฀jednakokraki฀trougao฀i฀poluprava฀Cs

je฀simetrala฀ugla฀kod฀temena฀C.฀Sli~no฀kao฀u฀prethodnom฀zadatku, zamisli฀da฀presavija{฀dati฀trougao฀po฀polupravoj฀ Cs.฀Napi{i k฀ oje฀}e฀se฀du`i฀i฀koji฀uglovi฀potpuno฀poklopiti.

Da฀ti฀ka`em Trouglovi฀ADC i฀BDC su฀podudarni.

89

PODUDARNOST฀TROUGLOVA฀ Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀postoji฀kretawe฀kojim฀se฀mogu dovesti฀do฀potpunog฀preklapawa.

Podudarni฀trouglovi฀imaju฀me|usobno฀jednake฀odgovaraju}e stranice฀i฀jednake฀odgovaraju}e฀uglove.฀

KRETAWE฀I฀PODUDARNOST U฀prilogu฀prona|i฀pravougaonik฀prikazan฀na฀prvoj฀slici฀i฀izre`i฀ga.฀ Du`฀฀koja฀spaja฀dva฀naspramna฀temena฀deli฀pravougaonik฀na฀dva฀trougla.฀ Ti฀trouglovi฀su฀obele`eni฀slovima฀A฀i฀B.฀Oni฀su฀pravougli฀i฀imaju฀me|usobno j฀ednake฀stranice.฀Tako|e฀imaju฀jednake฀odgovaraju}e฀o{tre฀uglove฀kao฀uglove฀ na฀transverzali,฀to฀jest฀α =฀ϕ i฀β =฀θ.

Da฀ti฀ka`em Naspramne฀stranice pravougaonika฀su paralelne฀i฀jednake.฀

Izre`imo฀te฀trouglove฀kao฀{to฀je฀prikazano฀na฀drugoj฀slici.

Stavimo฀trougao฀A฀ispod฀trougla฀B,฀kao฀{t o฀je฀prikazano฀na฀tre}oj฀slici.

Kada฀trougao฀A฀prevrnemo,฀dove{}emo฀ga฀u฀polo`aj฀k oji฀je฀prikazan฀na฀~etvrtoj slici.฀Iz฀tog฀polo`aja฀trouglove฀A฀i฀B฀mo`emo฀po tpuno฀poklopiti.

Zakqu~ujemo฀da฀dva฀trougla฀koja฀imaju฀me|usobno฀jednake฀stranice฀i฀jednake o ฀ dgovaraju}e฀uglove฀mo`emo฀potpuno฀poklopiti,฀{to฀zna~i฀da฀su฀ti฀trouglovi p ฀ odudarni.

90

Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su฀stranice฀i฀uglovi฀jednog฀trougla jednaki฀odgovaraju}im฀stranicama฀i฀uglovima฀drugog฀trougla.฀ AC =฀A1C1

α =฀α1

AB =฀A1B1

β =฀β1

BC =฀B1C1

γ =฀γ1

∆ABC

∆A1B1C1

$ Trouglovi฀ABC i฀DEF su฀podudarni.฀Napi{i฀parove฀odgovaraju}ih

temena,฀stranica฀i฀uglova฀datih฀trouglova,฀kao฀{t o฀je฀zapo~eto.

trougao

temena

∆ABC

B

∆DEF

D

A

stranice C

CA

BC

Da฀ti฀ka`em Kada฀prona|e{฀odgovaraju}e s฀ tranice,฀mo`e{฀da฀ih obele`i{฀฀crticama.

uglovi AB

ⱔABC

FD

ⱔFDE

ⱔCAB

ⱔACB

% Trouglovi฀na฀slici฀su฀podudarni.฀Na฀osnovu฀merewa฀odgovaraju}ih฀elemenata฀drugog฀trougla,

stranica฀ili฀uglova,฀obele`i฀wegova฀temena฀sa฀ A1,฀B1 i฀C1 ako฀se฀zna฀da฀su฀ona฀odgovaraju}a temena฀temenima฀A, B,฀C prvog฀trougla.฀

Proveri฀{ta฀zna{ ! Nacrtaj฀pravougaonik฀i฀du`i฀koje฀spajaju฀naspramna฀temena.฀Dobi}e{฀~etiri

trougla.฀Izre`i฀te฀trouglove.฀Poka`i฀preklapawem฀da฀su฀po฀dva฀trougla p ฀ odudarna. " Nacrtaj฀trougao฀ABC i฀pravu฀s koja:

a) sadr`i฀teme฀B i฀ne฀se~e฀tre}u฀stranicu b) sadr`i฀stranicu฀AB. Nacrtaj฀osnosimetri~ni฀trougao฀A1B1C1 prema฀trouglu฀ABC.฀Koje฀stranice su฀jednake฀i฀koji฀su฀uglovi฀jednaki?

91

OSNOVNA฀PRAVILA฀O฀PODUDARNOSTI TROUGLOVA฀– PRAVILO฀SSS

• pravilo฀

o฀podudarnosti trouglova฀–฀SSS

! Nata{a฀ho}e฀da฀napravi฀trougaonu฀maramu.

Mama฀joj฀je฀dala฀model฀od฀papira.฀Nata{a฀je postavila฀model฀na฀tkaninu฀i฀prekopirala ga,฀kao฀{to฀je฀prikazano฀na฀slici.฀Zatim฀je pa`qivo฀makazama฀izrezala฀trougao฀od tkanine.฀ Da฀li฀trouglovi฀imaju฀ me|usobno฀jednake฀stranice?

Da฀li฀je฀trougao฀od฀hartije฀ podudaran฀s฀trouglom฀od฀tkanine?

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA Nau~ili฀smo฀u฀prethodnoj฀lekciji฀da฀su฀dva฀trougla฀ podudarna฀kada฀su฀im฀jednake฀odgovaraju}e฀stranice฀ i฀jednaki฀odgovaraju}i฀uglovi.฀ Postavqa฀se฀pitawe฀o฀tome฀koliko฀najmawe฀jednakih odgovaraju}ih฀฀osnovnih฀elemenata฀treba฀da฀imaju฀dva฀ trougla฀da฀bismo฀bili฀sigurni฀da฀su฀trouglovi฀podudarni.

Podseti฀se Osnovni฀elementi trougla฀su฀stranice i฀uglovi.

Prona|imo฀odgovor฀na฀to฀pitawe฀prakti~nim฀proverama.฀ • Posmatrajmo฀trouglove฀na฀crte`u.฀Od฀osnovnih฀elemenata oni฀imaju฀jednaku฀samo฀po฀jednu฀s tranicu.฀฀

Izre`imo฀crveni฀trougao฀iz฀priloga฀i฀poku{ajmo฀da฀wim฀฀preklopimo฀druga฀dva฀trougla.

Vidimo฀da฀se฀nijedan฀od฀wih฀ne฀mo`e฀po tpuno฀preklopiti.

Na฀osnovu฀toga฀zakqu~ujemo฀da฀druga฀dva฀trougla฀nisu฀podudarna฀s฀prvim฀trouglom.฀

92

• Istim฀crvenim฀trouglom฀iz฀priloga฀poku{ajmo฀da฀preklopimo฀naranxas ti฀i฀`uti trougao฀na฀slici.฀Od฀osnovnih฀elemenata฀oni฀imaju฀jednak e฀samo฀po฀dve฀stranice.฀ Na฀isti฀na~in฀kao฀u฀prethodnom฀primeru฀mo`emo฀da฀zakqu~imo฀da฀crveni฀trougao฀nije p ฀ odudaran฀ni฀s฀jednim฀od฀wih.

• Posmatrajmo฀tri฀trougla฀na฀crte`u.฀Vidimo฀da฀oni฀imaju฀me|usobno฀jednak e฀stranice.฀

Koriste}i฀isti฀crveni฀trougao฀iz฀priloga,฀primenimo฀pos tupak฀iz฀prethodnih฀primera.

Vidimo฀da฀se฀dati฀trouglovi฀potpuno฀preklapaju,฀to฀jest฀poklopi}e฀se฀jednake฀฀stranice฀ i฀odgovaraju}i฀uglovi.฀ Zakqu~ujemo฀da฀su฀trouglovi฀podudarni฀ako฀imaju฀me|usobno฀jednake฀stranice.

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA฀–฀SSS Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su฀stranice฀jednog฀trougla jednake฀odgovaraju}im฀stranicama฀drugog฀trougla.฀฀ AB =฀DE AC =฀DF BC =฀EF ∆ABC

∆DEF

Ovo฀pravilo฀o฀podudarnosti฀trouglova฀~esto฀kra}e฀nazivamo SSS฀i฀~itamo: Stranica,฀stranica,฀stranica. " Koji฀je฀trougao฀podudaran฀s฀datim฀trouglom฀ ABC?฀Zaokru`i฀slovo฀ispred฀ta~nog฀odgovora.

a)

b)

v)

93

P RIMER Ako฀je฀AC =฀BD i฀BC =฀AD,฀doka`i฀da฀su฀trouglovi฀ ABC i฀BAD na฀crte`u฀podudarni.

Na฀osnovu฀podataka฀u฀zadatku฀i฀dat og฀crte`a฀dobijamo: AC =฀BD zajedni~ka฀stranica AB =฀AB BC =฀AD Na฀osnovu฀ovih฀jednakosti฀sledi,฀po฀pravilu฀SSS: ∆ABC ∆BAD # Na฀osnovu฀podudarnosti฀trouglova฀ABC i฀BAD iz฀prethodnog฀primera,

napi{i฀odgovaraju}e฀jednake฀uglove.

• Da฀bi฀dva฀trougla฀bila฀podudarna,฀po trebno฀je฀da฀su฀tri฀wihova odgovaraju}a฀osnovna฀elementa฀jednaka.฀Pravila฀o฀podudarnos ti฀ nam฀govore฀koji฀su฀to฀elementi.

• Postupak฀pronala`ewa฀jednakih฀elemenata฀i฀primenu฀pravila podudarnosti฀trouglova฀nazivamo฀dokazom฀podudarnosti฀trouglova.

• Kada฀se฀primenom฀pravila฀doka`e฀podudarnost฀dva฀trougla,฀ to฀zna~i฀da฀ti฀trouglovi฀imaju฀jednak e฀preostale฀odgovaraju}e osnovne฀elemente.

$ Na฀kru`nici฀datoj฀na฀slici฀tetive

AB i฀CD su฀jednake.฀Doka`i฀da฀su trouglovi฀OAB i฀OCD podudarni.

Da฀ti฀ka`em Napi{i฀parove o ฀ dgovaraju}ih฀฀jednakih stranica฀i฀primeni฀ pravilo฀SSS.

Proveri฀{ta฀zna{ ! Trouglovi฀ABC i฀DEF su฀podudarni: (AB =฀DE,฀BC = EF,฀AC = DF).

Napi{i฀parove฀odgovaraju}ih฀jednakih฀uglova. " Nacrtaj฀pravougaonik฀ABCD i฀du`฀BD.฀Koriste}i฀pravilo฀SSS,฀doka`i฀podudarnost

trouglova฀ABD i฀CDB. # Doka`i฀da฀prava฀koja฀sadr`i฀vrh฀i฀sredi{te฀osnovice฀jednak okrakog฀trougla

deli฀taj฀trougao฀na฀dva฀podudarna฀trougla.

94

OSNOVNA฀PRAVILA฀O฀PODUDARNOSTI TROUGLOVA฀– PRAVILO฀USU

• pravilo฀

o฀podudarnosti trouglova฀–฀USU

! Stranica฀BC trougla฀ABC paralelna฀je฀stranici฀DE

trougla฀ADE.

Da฀ti฀ka`em

Da฀li฀trouglovi฀imaju฀me|usobno฀jednake฀uglove?฀ Da฀li฀su฀odgovaraju}e฀stranice฀jednake?฀ Da฀li฀su฀trouglovi฀podudarni?฀ α

β

Trouglovi฀koji imaju฀me|usobno jednake฀uglove฀ ne฀moraju฀da฀budu podudarni.

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA Razmotrimo฀sada฀slu~aj฀kada฀dva฀trougla฀imaju฀jednaku฀po฀jednu s฀ tranicu฀i฀jednaka฀po฀dva฀ugla.

U฀narednom฀tekstu฀za฀ugao฀trougla฀~iji฀jedan฀krak฀sadr`i฀s tranicu trougla฀koristi}emo฀naziv฀ugao฀koji฀je฀nalegao฀na฀tu฀stranicu.

Uglovi฀α i฀β su uglovi฀nalegli฀ na฀stranicu฀c.

Posmatrajmo฀prva฀dva฀trougla฀na฀crte`u.฀Jedna฀stranica฀i฀nalegli uglovi฀na฀wu฀prvog฀trougla฀jednaki฀su฀stranici฀i฀odgovaraju}im uglovima฀drugog฀trougla.฀

Izre`imo฀zeleni฀trougao฀iz฀priloga฀i฀poku{ajmo฀da฀po tpuno p ฀ reklopimo฀drugi฀trougao฀tako฀{to฀}emo฀prvo฀preklopiti฀jednake stranice,฀a฀zatim฀i฀uglove.฀Vidimo฀da฀se฀ti฀trouglovi฀po tpuno p ฀ oklapaju,฀{to฀zna~i฀da฀su฀podudarni.

Me|utim,฀ako฀poku{amo฀da฀zelenim฀trouglom฀preklopimo฀tre}i trougao,฀vide}emo฀da฀to฀nije฀mogu}e,฀{to฀zna~i฀da฀ti฀trouglovi฀nisu p ฀ odudarni.

Zakqu~ujemo฀da฀su฀podudarna฀samo฀ona฀dva฀trougla฀k oja฀imaju฀jednaku฀ po฀jednu฀stranicu฀i฀jednaka฀po฀dva฀ugla฀nalegla฀na฀w u.

95

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA฀–฀USU Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su฀stranica฀i฀nalegli฀uglovi฀na฀wu฀jednog trougla฀jednaki฀stranici฀i฀odgovaraju}im฀uglovima฀drugog฀trougla.฀ AB =฀DE ⱔCAB = ⱔFDE ⱔABC = ⱔDEF ∆ABC

∆DEF

Ovo฀pravilo฀o฀podudarnosti฀trouglova฀~esto฀kra}e฀nazivamo฀USU i฀~itamo: Ugao,฀stranica,฀ugao.

" Trouglovi฀DEF i฀STR su฀podudarni.

Napi{i฀parove฀jednakih฀istranica฀i฀jednakih฀uglova.

Da฀ti฀ka`em Stranice฀DE i฀ST trouglova฀EFD i฀RST su฀jednake฀i฀wihova du`ina฀je฀m.

# Koja฀dva฀trougla฀su฀podudarna?

a)

b)

v)

96

P RIMER Doka`i฀da฀su฀trouglovi฀BED i฀SAC na฀slici฀podudarni.

Prvo฀izra~unajmo฀tre}i฀ugao฀∆BED. ⱔBED =฀180°฀–฀ (37°฀+฀33°) ⱔBED =฀110° Za฀date฀trouglove฀va`i: ED =฀AC stranice po 8 cm uglovi po 110° ⱔBED =฀ⱔSAC uglovi po 33° ⱔEDB =฀ⱔACS Na฀osnovu฀ovih฀jednakosti฀primenom฀pravila฀USU zakqu~ujemo฀da฀su฀trouglovi฀BED i฀SAC podudarni,฀ {to฀zapisujemo: ∆BED ∆SAC.

$ Na฀osnovu฀podudarnosti฀trouglova฀BED i฀SAC iz฀prethodnog฀primera,

napi{i฀odgovaraju}e฀jednake฀stranice. % Jednakokraki฀trouglovi฀na฀slici

su฀podudarni.฀Doka`i.

Da฀ti฀ka`em Izra~unaj฀uglove฀ na฀osnovicama j฀ednakokrakih฀ trouglova. & Objasni฀za{to฀su฀du`i

AD i฀CD jednake.

Prvo฀doka`i฀฀podudarnost t฀ rouglova฀฀primenom pravila฀USU.฀

Proveri฀{ta฀zna{ ! Da฀li฀su฀podudarna฀dva฀jednakokraka฀trougla฀koja฀imaju฀osnovice฀po฀3฀ cm

i฀po฀jedan฀ugao฀na฀osnovici฀od฀80°?฀Za{t o? " Doka`i฀da฀su฀podudarna฀dva฀pravougla฀trougla฀~ije฀su฀hipo tenuze฀4฀cm

i฀o{tri฀uglovi฀35°.

97

• pravilo฀

OSNOVNA฀PRAVILA฀O฀PODUDARNOSTI TROUGLOVA฀– PRAVILA฀SUS฀I฀SSU

o฀podudarnosti trouglova฀–฀SUS • pravilo฀ o฀podudarnosti trouglova฀–฀SSU

! Koji฀su฀osnovni฀elementi฀trouglova฀ ABE i฀ABD jednaki?฀

Da฀li฀su฀trouglovi฀podudarni?฀ Da฀ti฀ka`em Trouglovi฀koji฀imaju j฀ednaku฀po฀jednu฀stranicu฀ i฀jednak฀po฀jedan฀ugao฀ ne฀moraju฀biti฀฀podudarni.฀ α

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA Posmatrajmo฀trouglove฀na฀crte`u.฀Vidimo฀da฀trouglovi฀imaju฀jednake฀ po฀dve฀stranice฀i฀jednak฀po฀jedan฀ugao.฀฀

Izre`imo฀`uti฀trougao฀iz฀priloga.฀Poku{ajmo฀da฀wim฀ potpuno฀preklopimo฀drugi฀trougao฀tako฀{to฀}emo฀prvo฀ preklopiti฀jednake฀stranice,฀a฀zatim฀i฀uglove.฀ Vidimo฀da฀se฀ti฀trouglovi฀potpuno฀฀poklapaju,฀{to฀zna~i฀ da฀su฀podudarni.

Poku{ajmo฀da฀izrezanim฀trouglom฀preklopimo฀i฀tre}i฀ trougao.฀Vidimo฀da฀se฀ti฀trouglovi฀ne฀mogu฀po tpuno฀ preklopiti,฀{to฀zna~i฀da฀nisu฀podudarni.

Zakqu~ujemo฀da฀su฀podudarni฀samo฀oni฀trouglovi฀k oji฀imaju฀ jednake฀po฀dve฀stranice฀i฀jednake฀uglove฀zahva}ene฀wima.

Ugao฀zahva}en dvema฀stranicama฀trougla฀jeste฀ugao฀~iji฀kraci฀ sadr`e฀te฀stranice.

98

Ugao฀α zahva}en฀je฀฀ stranicama฀c i฀b.

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA฀–฀SUS Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su฀dve฀stranice฀i฀ugao฀zahva}en฀wima฀jednog฀trougla jednaki฀odgovaraju}im฀stranicama฀i฀odgovaraju}em฀uglu฀drugog฀trougla.฀ AB =฀DE AC =฀DF ⱔCAB = ⱔFDE ∆ABC

∆DEF

Ovo฀pravilo฀o฀podudarnosti฀trouglova฀~esto฀kra}e฀nazivamo฀SUS฀i฀~itamo: Stranica,฀ugao,฀stranica.

" Koji฀je฀od฀datih฀trouglova฀podudaran฀sa฀trouglom฀ ABC?฀

P RIMER Simetrala฀ugla฀pri฀vrhu฀jednakokrakog฀trougla฀deli฀taj฀trougao฀ na฀dva฀podudarna฀trougla.฀Doka`i.

Trougao฀ACB je฀jednakokraki฀trougao.฀Wegovi฀kraci฀su฀ AC i฀BC i฀osnovica฀AB.฀Neka฀Cs simetrala฀ugla฀ACB se~e฀osnovicu฀AB u฀ta~ki฀D.฀ Za฀trouglove฀ADC i฀BDC va`i: AC =฀BC

kraci trougla ACB

CD =฀CD

zajedni~ka stranica

ⱔACD = ⱔBCD

CD je simetrala ⱔC

Na฀osnovu฀ove฀tri฀jednakosti,฀primewuju}i฀pravilo฀ o฀podudarnosti฀฀trouglova฀(SUS),฀zakqu~ujemo฀da฀va`i: ∆ADC

∆BDC

99

# Na฀osnovu฀podudarnosti฀trouglova฀ADC i฀BDC iz฀prethodnog฀primera,฀

napi{i฀~emu฀je฀jednako:฀AD,฀ⱔADC,฀ⱔCAD. Kolika฀je฀mera฀ugla฀ADC? Da฀li฀je฀simetrala฀ugla฀pri฀vrhu฀jednakokrakog฀trougla฀istovremeno฀ i฀simetrala฀osnovice?

Da฀ti฀ka`em Ugao฀podudaran svom฀฀uporednom uglu฀jeste฀prav ugao.

$ Ta~ka฀B je฀sredi{te฀du`i฀AD i฀CE.

a) Du`i฀AE i฀DC su฀jednake.฀Za{to?

Prave฀su฀paralelne฀ako฀ su฀uglovi฀na฀transverzali jednaki.

b) Da฀li฀su฀du`i฀AE i฀DC paralelne?

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA Razmotri}emo฀sada฀jo{฀jedan฀slu~aj฀kada฀dva฀trougla฀imaju฀jednak e฀po฀dve฀ stranice฀i฀jednak฀po฀jedan฀ugao฀k oji฀se฀nalazi฀naspram฀jedne฀od฀tih฀s tranica.฀ Posmatrajmo฀trouglove฀na฀slici.

Izre`imo฀qubi~asti฀trougao฀iz฀priloga.฀Poku{ajmo฀da฀wim฀po tpuno฀preklopimo drugi฀trougao฀tako฀{to฀}emo฀prvo฀preklopiti฀฀jednake฀stranice,฀a฀zatim฀i฀uglove.

Vidimo฀da฀se฀ti฀trouglovi฀potpuno฀preklapaju,฀{to฀zna~i฀da฀su฀podudarni.

Poku{ajmo฀sada฀da฀istim฀trouglom฀potpuno฀preklopimo฀tre}i฀trougao.฀ Vidimo฀da฀to฀nije฀mogu}e.฀Dakle฀prvi฀i฀tre}i฀trougao฀nisu฀podudarni.

Zakqu~ujemo฀da฀su฀dva฀trougla฀podudarna฀ak o฀imaju฀jednake฀po฀dve฀stranice฀ i฀jednak฀po฀jedan฀ugao฀koji฀se฀nalazi฀naspram฀ve}e฀od฀datih฀s tranica.฀฀

100

PRAVILO฀O฀PODUDARNOSTI฀TROUGLOVA฀–฀SSU Dva฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su฀dve฀stranice฀i฀ugao฀naspram฀ve}e฀od฀wih฀jednog trougla฀jednaki฀odgovaraju}im฀stranicama฀i฀odgovaraju}em฀uglu฀drugog฀trougla.฀ AB =฀DE AB >฀AC AC =฀DF ⱔACB = ⱔDFE ∆ABC

∆DEF

Ovo฀pravilo฀o฀podudarnosti฀trouglova฀~esto฀kra}e฀nazivamo฀SSU฀i฀~itamo : Stranica,฀stranica,฀ugao. % Koja฀su฀dva฀trougla฀na฀slici฀podudarna?

1

2

3

4

5

P RIMER Ta~ka฀A je฀sredi{te฀du`i฀EB na฀slici฀i฀AD = AC i฀uglovi DEA i฀CBA su฀pravi.฀฀Doka`i฀da฀je฀ DE = CB.฀ AD = AC EA = BA

ta~ka A je sredi{te du`i EB

ⱔDEA =฀ⱔCBA

uglovi od 90°

AD > EA Na฀osnovu฀pravila฀o฀podudarnosti฀trouglova฀SSU฀sledi: ∆DEA

∆CBA,

odnosno฀DE = CB,฀kao฀tre}i฀par฀odgovaraju}ih฀stranica.

Proveri฀{ta฀zna{ ! Neka฀je฀ta~ka฀M sredi{te฀stranice฀AB kvadrata฀ABCD.฀Du`i฀MD i฀MC

su฀jednake.฀Za{to? " Dve฀prave฀seku฀se฀u฀u฀ta~ki฀ A.฀Na฀jednoj฀pravoj฀obele`i฀razli~ite฀ta~k e฀B i฀C,฀

a฀na฀drugoj฀P i฀R,฀tako฀da฀je฀AB =฀AC i฀AP = AR.฀Du`i฀BP i฀CR su฀jednake.฀Za{to?

101

• odre|enost฀trougla • analiza฀zadatka • izvo|ewe฀konstrukcije

ODRE\ENOST฀I฀KONSTRUKCIJA TROUGLA

trougla

! Nacrtaj฀trougao฀ABC prema฀podacima฀sa฀crte`a.

Da฀ti฀ka`em Skica฀trougla฀sa฀datim฀podacima mo`e฀ti฀pomo}i฀da฀re{i{฀zadatak.

Podseti฀se 1.฀Nacrtaj฀du`฀AB, du`ine฀4,5฀cm.

2.฀Nacrtaj฀kru`ni฀luk฀sa฀centrom฀u฀ta~ki฀ A, polupre~nika฀3,5฀cm.

3.฀Zatim฀nacrtaj฀kru`ni฀luk฀sa฀centrom฀u฀ta~ki฀ B, polupre~nika฀4฀cm.฀ 4.฀Teme฀C je฀zajedni~ka฀ta~ka฀nacrtanih฀lukova.

" Nacrtaj฀jednakokraki฀trougao฀~iji฀su

kraci฀b =฀3,5฀cm i฀osnovica฀a =฀5฀cm.

U฀prethodnim฀zadacima฀tre}e฀teme฀C dobija{฀kada฀ nacrta{฀dve฀kru`nice,฀jednu฀sa฀centrom฀u฀ta~ki฀ A i฀polupre~nikom฀฀jednakim฀datoj฀stranici฀b i฀drugu฀ sa฀centrom฀u฀ta~ki฀B i฀polupre~nikom฀jednakim฀stranici฀a.฀ Zajedni~ke฀ta~ke฀tih฀kru`nica฀su฀ta~ke฀C i฀C1,฀kao฀{to฀je prikazano฀na฀crte`u.฀Trouglovi฀∆ABC i฀∆ABC1 su฀podudarni฀ na฀osnovu฀pravila฀SSS.฀Za฀konstrukciju฀tre}eg฀temena฀tra`enog trougla฀dovoqno฀je฀da฀konstrui{e{฀jednu฀od฀ta~aka,฀C ili฀C1.

102

C1

ODRE\ENOST฀TROUGLA Trouglovi฀su฀podudarni฀ako฀imaju: • me|usobno฀jednake฀sve฀tri฀stranice • jednaku฀po฀jednu฀stranicu฀i฀jednaka฀po฀dva฀nalegla฀ugla • jednake฀po฀dve฀stranice฀i฀jednak฀ugao฀koji฀one฀obrazuju • jednake฀po฀dve฀stranice฀i฀jednak฀ugao฀koji฀se฀nalazi฀naspram฀ve}e฀od฀wih.

Trougao฀je฀jednozna~no฀odre|en฀ako฀su฀mu฀poznati฀slede}i฀osnovni฀elementi : sve฀tri฀stranice

jedna฀stranica฀ i฀dva฀nalegla฀ugla

dve฀stranice฀ i฀ugao฀izme|u฀wih

dve฀stranice฀i฀ugao naspram฀ve}e฀od฀wih

U฀ovoj฀lekciji฀nau~i}emo฀kako฀da฀nacrtamo฀trougao฀ako฀su฀mu฀zadati฀navedeni฀฀elementi.

Postupak฀crtawa฀trougla฀u฀kojem฀se฀koriste฀lewir฀i฀{estar฀฀nazivamo฀฀konstrukcija฀trougla.

P RIMER Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀su฀dati฀stranica฀c i฀uglovi฀α i฀β.

• Analiza฀zadatka Crtamo฀skicu฀trougla฀ABC i฀ozna~avamo฀date฀elemente.฀ Uglovi฀α i฀β jesu฀uglovi฀nalegli฀na฀stranicu฀c.

Zakqu~ujemo฀da฀je฀trougao฀ABC jednozna~no฀odre|en na฀osnovu฀pravila฀USU฀o฀podudarnosti฀trouglova.

• Izvo|ewe฀konstrukcije Crtamo฀prvo฀zadate฀elemente฀trougla.

Podseti฀se Konstrukcija฀du`i฀jednake฀datoj฀du`i

Konstrukcija฀ugla฀jednakog฀datom฀uglu Crtamo฀pravu฀x i฀konstrui{emo du`฀AB du`ine฀c.

Konstrui{emo฀uglove ⱔBAy =฀α i฀ⱔABz =฀β kao฀ {to฀je฀prikazano฀na฀crte`u.฀ Presek฀polupravih฀Ay i฀Bz odre|uje฀ta~ku฀C.

103

• Analiza฀zadatka฀jeste฀pronala`ewe฀na~ina฀na฀koji฀se฀zadatak฀re{ava.฀ U฀analizi฀zadatka฀pretpostavqamo฀da฀je฀zadatak฀ve}฀re{en,฀t o฀jest฀crta฀ se฀skica฀trougla฀sa฀obele`enim฀datim฀elementima.฀ • Konstrukcija฀se฀izvodi฀na฀osnovu฀analize.฀Polazi฀se฀od฀datih฀podataka฀ i฀pomo}u฀lewira฀i฀{estara,฀to฀jest฀povla~ewem฀linija฀i฀kru`nica, p ฀ recizno฀se฀crta฀trougao.฀

# Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je฀c =฀6฀cm,฀α =฀45°฀i฀β =฀60°.

Analiza฀zadatka

Izvo|ewe฀konstrukcije

Da฀ti฀ka`em Konstruisana฀je฀du`฀AB du`ine฀6฀cm i฀ⱔBAx =฀45°.

Nastavi฀zapo~etu k฀ onstrukciju: 1.฀Konstrui{i฀ⱔABy =฀60°฀ (pogledaj฀stranu฀83).

2.฀Zajedni~ka฀ta~ka polupravih฀Ax i฀By jeste฀ta~ka฀C.

$ Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀ako฀je

osnovica฀5฀cm i฀ugao฀na฀osnovici฀30°.

Analiza฀zadatka

Primeni฀postupak฀iz฀prethodnog฀zadatka.

% Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je

hipotenuza฀5฀cm i฀jedan฀o{tar฀ugao฀30°.฀ Analiza฀zadatka Prvo฀konstrui{i฀฀drugi฀o{tar฀ugao฀α,฀α =฀90°฀–฀30°.฀ O{tri฀uglovi฀pravouglog฀trougla฀su฀uglovi฀nalegli na฀hipotenuzu.฀Ponovi฀postupak฀iz฀re{enog฀primera.

104

P RIMER Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀su฀date฀stranice฀c i฀b i฀ugao฀α.

• Analiza฀zadatka Crtamo฀skicu฀trougla฀ABC i฀ozna~avamo฀zadate฀elemente.

Zadati฀elementi฀jesu฀dve฀stranice฀i฀ugao฀zahva}en฀wima. ∆ABC je฀jednozna~no฀odre|en฀na฀osnovu฀pravila฀SUS.

• Izvo|ewe฀konstrukcije Crtamo฀date฀elemente฀trougla.

Konstrui{emo฀ugao฀xAy tako฀da฀je฀ⱔxAy =฀α.

Na฀kraku฀Ax odre|ujemo฀ta~ku฀B tako฀da฀je du`ina฀du`i฀AB jednaka฀c i฀na฀kraku฀Ay ta~ku฀C tako฀da฀je฀du`ina฀du`i฀ AC jednaka฀b.

Spajamo฀ta~ke฀B i฀C.฀Tra`eni฀trougao฀ je฀trougao฀ABC.

& Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je฀c =฀4฀cm,฀a =฀3฀cm i฀β =฀60°.

Analiza฀zadatka Da฀ti฀ka`em 1.฀Konstrui{i฀ⱔxBy =฀60°.฀ 2.฀Odredi฀ta~ku฀C na฀kraku฀By tako฀da฀je฀BC du`ine฀3฀cm i฀ta~ku฀A na฀kraku฀Bx tako฀da฀je฀AB du`ine฀4฀cm.

3.฀Spoj฀ta~ke฀A i฀C.

105

' Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀su฀katete฀a =฀4฀cm i฀b =฀5฀cm.฀

Analiza฀zadatka

P RIMER Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀su฀date฀stranice฀c i฀b,฀c >฀b,฀i฀ugao฀γ.

• Analiza฀zadatka ∆ABC je฀jednozna~no odre|en฀na฀osnovu pravila฀SSU.

Da฀ti฀ka`em Na฀str.฀103฀pogledaj tekst฀Odre|enost trougla i฀~etvrti crte`.

• Izvo|ewe฀konstrukcije Dati฀elementi:

Konstrui{emo฀ⱔxCy =฀γ Odre|ejemo฀ta~ku฀A ∈Cx tako฀da฀je฀CA du`ine฀b.

106

Konstrui{emo฀kru`nicu฀ sa฀centrom฀u฀ta~ki฀A polupre~nika฀c. Zajedni~ku ta~ku฀te฀kru`nice฀i฀kraka฀ Cy obele`avamo฀slovom฀B.

( Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je฀b =฀3฀cm,฀a =฀4฀cm i฀α =฀60°.

Analiza฀zadatka

Izvo|ewe฀konstrukcije

Da฀ti฀ka`em Konstruisan฀je฀ⱔxAy =฀60°.

1.฀Konstrui{i฀ta~ku฀C ∈Ay tako฀ da฀je฀AC du`ine฀3฀cm.

2.฀Konstrui{i฀luk฀sa฀centrom฀ u฀ta~ki฀C,฀polupre~nika฀4฀cm.

3.฀Zajedni~ku฀ta~ku฀luka฀i฀kraka Ax obele`i฀slovom฀B.

) Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je฀hipotenuza฀5฀cm i฀jedna฀kateta฀4฀cm.฀

Analiza฀zadatka Mo`e{฀prvo฀da฀konstrui{e{฀prav฀ugao.

Proveri฀{ta฀zna{ ! Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je:

a) a =฀3฀cm,฀b =฀4฀cm i฀c =฀4,5฀cm b) a =฀5฀cm,฀b =฀7฀cm i฀γ =฀60° v) c =฀4฀cm,฀α =฀30°฀i฀β =฀75°.

UF, TE?KO JE...

" Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀ako฀je:

a) osnovica฀4฀cm i฀ugao฀na฀osnovici฀45° b) krak฀5฀cm i฀spoqa{wi฀ugao฀60°. # Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je:

a) kateta฀4฀cm i฀hipotenuza฀4,5฀cm b) jedan฀o{tar฀ugao฀60°฀i฀naspramna฀kate ta฀13฀cm.

107

OSNOVNA฀PRAVILA฀O฀PODUDARNOSTI TROUGLOVA฀ ! Trouglovi฀ABC i฀RSP su฀podudarni฀

(AC =฀RP,฀α =฀ϕ,฀γ =฀δ).฀Stranica฀AB j฀ednaka฀je฀stranici: a) RP b) RS v) SP Zaokru`i฀slovo฀ispred฀ta~nog฀odgovora.

Podseti฀se Jednake฀stranice฀dva podudarna฀trougla฀jesu odgovaraju}e฀stranice, a฀jednaki฀uglovi฀su o ฀ dgovaraju}i฀uglovi.

" Trouglovi฀ABC i฀FDE su฀podudarni: (AC =฀FE,

AB =฀FD,฀BC =฀DE).฀Ugao฀α jednak฀je฀uglu: a) θ b) δ v) ϕ Zaokru`i฀slovo฀ispred฀ta~nog฀odgovora.฀

# Trouglovi฀ABC i฀DEF

su฀podudarni.฀Napi{i parove฀odgovaraju}ih jednakih฀uglova.฀

Da฀ti฀ka`em Jedan฀par o ฀ dgovaraju}ih uglova฀jesu฀ ⱔCAB i฀ⱔFDE.

$ Trouglovi฀ABC i฀FDE su฀podudarni.

Napi{i฀parove฀jednakih฀preostalih osnovnih฀elemenata.

% Trouglovi฀ABC i฀APQ su฀podudarni.฀Ako฀je

stranica฀AB du`ine฀3฀cm,฀AP du`ine฀3,5฀cm i฀du`ine฀stranica฀AC i฀AQ su฀po฀2฀cm, k฀ olike฀su฀stranice฀BC i฀PQ?฀

& Koja฀su฀dva฀trougla฀na฀slici฀podudarna?฀Zaokru`i฀ih.฀฀

43

' Koje฀dve฀stranice฀trouglova฀ABE i฀DBC,

na฀osnovu฀podataka฀sa฀slike,฀treba฀da budu฀jednake฀da฀bi฀trouglovi฀sigurno bili฀podudarni?

( Na฀osnovu฀podataka฀sa฀crte`a฀doka`i฀jednak ost฀du`i:

a) AB i฀DC

b) DE i฀PM

v) AD i฀BE. Da฀ti฀ka`em Za฀re{avawe฀zadatka฀8฀v)฀iskoristi j฀ednakost฀spoqa{wih฀uglova฀na฀ osnovici฀฀jednakokrakog฀trougla.

Primeni฀pravilo฀SSU฀na฀∆ADC i฀∆BEC.

) Ta~ka฀M je฀sredi{te฀stranice฀CD

pravougaonika฀ABCD na฀slici.

Doka`i฀da฀su฀jednake฀du`i฀ AM i฀BM.

Trouglovi฀AMD i฀BMC su฀pravougli.฀ Za฀utvr|ivawe฀wihove฀podudanosti mo`e{฀฀koristiti฀jednakost฀du`i฀ AD i฀BC i฀jednakost฀du`i฀DM i฀CM.฀

Dva฀pravougla฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su: • dve฀stranice฀(dve฀katete฀ili฀kateta฀ i฀hipotenuza)฀jednog฀trougla฀jednake odgovaraju}im฀stranicama฀drugog฀trougla.฀ • jedna฀stranica฀(hipotenuza฀ili฀jedna฀ kateta)฀i฀o{tar฀ugao฀na฀woj฀jednog฀ trougla฀jednaki฀odgovaraju}oj฀stranici฀ i฀odgovaraju}em฀uglu฀drugog฀trougla.

44

ili SUS

SSU

ili USU

USU

* Nacrtaj฀du`฀AB i฀wenu฀simetralu฀s.฀Odaberi฀proizvoqnu

ta~ku฀M na฀simetrali.฀Doka`i฀da฀je฀AM =฀BM. Da฀ti฀ka`em

+ Nacrtaj฀proizvoqan฀ⱔxOy i฀wegovu฀฀simetralu฀s.฀Odaberi฀proizvoqnu

ta~ku฀M na฀simetrali.฀Nacrtaj฀prave฀normalne฀na฀krake฀ugla฀kroz ta~ku฀M. Zajedni~ke฀ta~ke฀tih฀pravih฀i฀krakova฀ugla฀obele`i฀slovima P i฀Q i฀doka`i฀฀da฀je฀PM =฀QM.

PM i฀QM su rastojawa฀od ta~ke฀M do krakova฀ugla.

• Svaka฀ta~ka฀simetrale฀du`i฀jednako฀je฀udaqena฀od฀krajwih฀ta~aka฀te฀du`i.

• Svaka฀ta~ka฀simetrale฀ugla฀jednako฀je฀udaqena฀od฀krakova฀ugla. , Nad฀susednim฀stranicama฀kvadrata฀ABCD

Ka`emo฀da฀je฀trougao฀nad stranicom฀kvadrata฀ako฀sa kvadratom฀ima฀zajedni~ku stranicu฀i฀tre}e฀teme฀ne pripada฀kvadratu.

k฀ onstruisani฀su฀jednakokraki฀trouglovi฀ BCM i฀DCP.฀Da฀li฀su฀trouglovi฀ BCM i฀DCP podudarni฀ako฀je: a) BM =฀CP b) ⱔBCM =฀ⱔDCP? Objasni.

Dva฀jednakokraka฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀su: • krak฀i฀osnovica฀jednog฀trougla฀jednaki฀kraku฀i฀osnovici฀drugog฀trougla.

SSS • jedna฀stranica฀(osnovica฀ili฀krak)฀i฀jedan฀ugao฀(na฀osnovici฀ili฀pri฀vrhu)฀ jednog฀trougla฀jednaki฀odgovaraju}oj฀stranici฀i฀odgovaraju}em฀uglu฀drugog฀trougla.

ili USU

ili USU

ili SUS

USU

Dva฀jednakostrani~na฀trougla฀su฀podudarna฀ako฀imaju฀jednaku฀stranicu.

SSS

45

Da฀ti฀ka`em - Doka`i฀da฀jednakim฀tetivama฀jednog฀kruga

Nacrtaj฀krug฀i฀centar฀obele`i฀sa฀ O.฀Nacrtaj i฀obele`i฀jednake฀tetive฀AB i฀CD.฀Primeni pravilo฀podudarnosti฀SSS฀i฀poka`i฀da฀su trouglovi฀AOB i฀COD podudarni.

odgovaraju฀jednaki฀centralni฀uglovi.

. Ta~ke฀M,฀N i฀P su฀sredi{ta฀stranica฀

AD,฀DC i฀BC kvadrata฀ABCD na฀slici.

Doka`i฀da฀su฀jednake฀du`i฀MN i฀PN.

Jednakokrako-pravougli฀trouglovi su฀podudarni฀ako฀imaju฀jednake: • katete฀

ili

• hupotenuze.

/ Doka`i฀da฀su฀trouglovi฀ABC i฀ABD

podudarni.฀Primeni฀pravilo฀SSS.

SUS฀(USU)

: Ta~ke฀A1 i฀B1 simetri~ne฀su฀ta~kama฀A i฀B

; Ako฀je฀AB =฀CD i฀AB

|| CD, doka`i฀da฀su trouglovi฀OAB i฀ODC na฀slici฀podudarni.

< Ako฀je฀ta~ka฀jednako฀udaqena฀od฀krajeva฀du`i฀ AB,

ona฀pripada฀simetrali฀te฀du`i.฀Doka`i.

46

USU

u฀odnosu฀na฀pravu฀s.฀Objasni,฀koriste}i pravilo฀podudarnosti฀SSS,฀da฀su฀trouglovi AA1B i฀A1AB1 podudarni.

= Neka฀je฀s simetrala฀ugla฀aOb i฀neka฀ta~ka฀M

p ฀ ripada฀toj฀simetrali.฀Ako฀je฀MP฀|| Ob i฀MR฀ || Oa,฀onda฀je฀MP =฀MR =฀OP =฀OR. Za{to?

> Neka฀je฀OA =฀OB i฀MA฀ ⬜ OA i฀MB฀ ⬜ OB.

Doka`i฀da฀je฀Os simetrala฀ugla฀AOB.

? Ta~ka฀M je฀sredi{te฀stranice฀AB

Da฀ti฀ka`em

trougla฀ABC.฀Neka฀je฀du`฀MP p ฀ aralelna฀sa฀BC i฀du`฀MQ p ฀ aralelna฀sa฀AC.฀Trouglovi฀ AMP i฀MBQ su฀podudarni.฀ Za{to?

Koristi฀jednakost฀uglova na฀transverzali.฀Primeni pravilo฀USU.

@ Stranica฀CD kvadrata฀ABCD podeqena฀

Nacrtaj฀crte`฀i฀doka`i฀podudarnost odgovaraju}ih฀trouglova.฀

je฀ta~kama฀M i฀N na฀tri฀jednake฀du`i.

Objasni฀za{to฀su฀jednake฀du`i฀AM i฀BN.

A Ta~ke฀M i฀N dele฀osnovicu฀jednakokrakog฀trougla฀ABC (AC =฀BC) na

tri฀jednake฀du`i.฀Doka`i฀da฀su฀jednake฀du`i฀CM i฀CN. B Neka฀je฀s simetrala฀ugla฀aOb i฀neka฀je฀prava฀m normalna฀na฀s i฀se~e฀s

u฀ta~ki฀D,฀krake฀Oa i฀Ob u฀ta~kama฀A i฀B.฀Doka`i฀da฀je฀OA = OB.฀ C Nad฀stranicom฀DC pravougaonika฀ABCD nacrtan฀je฀jednakostrani~ni฀trougao฀DCM.

Doka`i฀da฀su฀jednake฀du`i฀AM i฀BM.฀฀ D Nad฀stranicom฀BC jednakostrani~nog

trougla฀ABC nacrtan฀je฀kvadrat฀CBKM. Doka`i฀da฀su฀jednake฀du`฀AM i฀AK.

E Ako฀je฀na฀crte`u฀AE =฀AB,฀AD฀=฀AC

i฀ⱔEAC =฀ⱔBAD,฀objasni฀za{to฀je฀ ∆ABC ∆AED.฀฀

47

F Trougao฀ABC na฀slici฀je฀jednakokraki฀trougao฀

i฀EA =฀BF.฀Doka`i฀da฀je฀∆EAC

∆FBC.฀

G Napi{i฀parove฀podudarnih฀trouglova฀ako

su฀trouglovi฀ABC i฀EFC jednakokraki.

H Trouglovi฀ABC i฀DEF su฀podudarni฀(temenima฀A,฀B i฀C odgovaraju฀temena฀D,฀E i฀F).

Ako฀su฀CM i฀FP simetrale฀uglova฀kod฀temena฀C,฀odnosno฀kod฀temena฀F,฀doka`i฀da฀ su฀jednake฀du`i฀CM i฀FP. Da฀ti฀ka`em Na฀osnovu฀jednakosti฀odgovaraju}ih elemenata฀podudarnih฀trouglova฀ ABC i฀DEF doka`i฀podudarnost t฀ rouglova฀AMC i฀DPF.฀

I Trouglovi฀ABC i฀DEF su฀podudarni฀(temenima฀A,฀B i฀C odgovaraju฀temena฀D,฀E i฀F).

Ako฀su฀ta~ke฀M i฀P sredi{ta฀stranica฀AB,฀odnosno฀DE,฀doka`i฀da฀je฀CM =฀FP. J Trouglovi฀ABC i฀A1B1C1 na฀slici฀su฀podudarni฀ (AB =฀A1B1,฀BC =฀B1C1).

Doka`i฀jednakost฀du`i฀AD i฀A1D1.

Primewuju}i฀pravilo฀USU, doka`i฀฀podudarnost o ฀ dgovaraju}ih฀trouglova.

K Kru`nice฀k i฀k1 su฀koncentri~ne.

Doka`i฀da฀je฀AB =฀DC.

Iskoristi฀to฀{to฀je฀trougao OBC jednakokraki฀trougao฀ i฀to฀{to฀su฀spoqa{wi฀uglovi na฀osnovici฀jednaki.

L Doka`i฀da฀su฀jednaka฀rastojawa฀od฀centra฀kru`nice฀do฀jednakih฀te tiva.

48

KONSTRUKCIJA฀TROUGLA฀฀ ! Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je:

a) a =฀4,5฀cm,฀b =฀3,5฀cm i฀c =฀5฀cm

b) a =฀b =฀3,5฀cm i฀c =฀5฀cm

v) a =฀b =฀c =฀4฀cm.

" Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je:

a) c =฀45฀mm,฀α =฀30°฀i฀β =฀120°

b) a =฀52฀mm,฀γ =฀β =฀75°.

# Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je:

a) c =฀4,5฀cm,฀b =฀3,5฀cm i฀α =฀60°

b) a =฀5฀cm,฀b =฀7฀cm i฀γ =฀150°

v) a =฀b =฀6฀cm i฀γ =฀75°.

$ Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je:

a) a =฀6฀cm,฀b =฀3,5฀cm i฀α =฀60°

b) a =฀6฀cm,฀b =฀4฀cm i฀α =฀120° v) c =฀5฀cm,฀b =฀3,5฀cm i฀γ =฀90°.

% Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀ABC (AC =฀BC) ako฀je:

a) osnovica฀4฀cm i฀ugao฀na฀osnovici฀75° b) krak฀5฀cm i฀ugao฀na฀osnovici฀30° v) osnovica฀5฀cm i฀ugao฀pri฀vrhu฀105° g) krak฀6฀cm i฀ugao฀pri฀vrhu฀75°. & Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je:

a) hipotenuza฀5,5฀cm i฀jedna฀kateta฀2฀cm b) hipotenuza฀5฀cm i฀ugao฀75° v) kateta฀4฀cm i฀ugao฀45°. ' Konstrui{i฀jednakokrako-pravougli฀trougao฀ako฀je:

a) hipotenuza฀6฀cm

b) kateta฀5฀cm.

( Nacrtaj฀trougao฀ako฀je:

a) a =฀45฀mm,฀c =฀35฀mm i฀β =฀50° b) c =฀55฀mm,฀α =฀70°฀฀i฀β =฀50° v) a =฀52฀mm,฀b =฀60฀mm i฀β =฀80° g) a =฀40฀mm,฀c =฀30฀mm i฀β =฀110°.

Da฀ti฀ka`em Za฀crtawe฀datih uglova฀koristi uglomer.

Probaj฀i฀ovo P RIMER Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je฀b =฀45฀mm,฀c =฀55฀mm i฀β =฀45°.

• Analiza฀zadatka Date฀su฀stranice฀b i฀c,฀b <฀c,฀ a฀dati฀ugao฀β nalazi฀se฀naspram mawe฀od฀datih฀stranica.

49

• Izvo|ewe฀konstrukcije Crtamo฀du`฀AB du`ine฀55฀mm.฀Konstrui{emo฀ ⱔABx =฀45°.฀Konstrui{emo฀kru`nicu฀k (A,฀45฀mm).฀ Kru`nica฀k se~e฀polupravu฀Bx u฀ta~kama฀C i฀C1.฀ Zakqu~ujemo฀da฀je฀mogu}e฀konstruisati฀dva฀trougla฀ koja฀฀zadovoqavaju฀date฀uslove.฀Trouglovi฀ABC i฀ABC1 nisu฀podudarni.

Trougao฀nije฀jednozna~no฀odre|en฀ako฀su฀mu฀date฀ dve฀stranice฀i฀ugao฀naspram฀mawe฀od฀wih.

P RIMER Dati฀su฀prava฀a i฀ta~ka฀S. Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀ako฀je฀ta~ka฀S vrh฀trougla,฀i฀ugao฀na฀osnovici฀30°฀i฀osnovica฀pripada฀pravoj฀ a.

• Analiza Prava฀Sx je฀osa฀simetrije฀trougla฀ABS i฀ⱔxSA =฀90°฀–฀30°.

• Izvo|ewe฀konstrukcije Dati฀su฀ta~ka฀S i฀prava฀a.

Konstrui{emo฀kroz฀ta~ku฀S pravu฀x,฀x⬜a.

Zatim฀konstrui{emo฀ⱔxSy,฀ ⱔxSy =฀90°฀–฀30°฀=฀60°.฀ Presek฀kraka฀Sy i฀prave฀a je฀teme฀A osnovice฀tra`enog฀ trougla.฀

Teme฀B dobijamo฀u฀preseku฀prave฀a i฀kru`nice฀sa฀centrom฀u฀ta~ki฀ S i฀polupre~nika฀AS.฀ Osnovica฀AB pripada฀pravoj฀a i฀ⱔSAB =฀90°฀–฀60°฀=฀30°.฀

50

) Konstrui{i฀trougao฀ABC ako฀je฀c =฀45฀mm,฀a =฀55฀mm i฀γ =฀60°.

Koliko฀ima฀re{ewa? * Date฀su฀ta~ke฀A i฀B i฀prava฀c, koja฀ne฀sadr`i฀sredi{te

du`i฀AB.฀Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀~ija฀su temena฀ta~ke฀A i฀B,฀a฀vrh฀C pripada฀pravoj฀c.

Da฀ti฀ka`em Teme฀C je฀zajedni~ka฀ta~ka simetrale฀du`i฀AB i฀prave฀c.

+ Date฀su฀ta~ka฀C i฀prava฀a, koja฀ne฀sadr`i฀ta~ku฀C.฀Konstrui{i

pravougli฀trougao฀ako฀je฀data฀ta~ka฀C teme฀pravog฀ugla,฀o{tar ugao฀30°฀i฀hipotenuza฀pripada฀pravoj฀a.฀

P RIMER Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je฀zbir฀kateta฀8฀cm i฀jedan o{tar฀ugao฀jednak฀30°.

• Analiza

Neka฀je฀ABC tra`eni฀trougao.฀Neka฀ta~ka฀D pripada฀pravoj฀AC tako฀da฀je฀CD du`ine฀a.฀Trougao฀DCB je฀jednakokraki฀pravougli trougao,฀a฀du`฀AD du`ine฀a +฀b.

• Izvo|ewe฀konstrukcije Konstrui{emo฀∆DAB: DA je฀du`ine฀8฀cm ⱔADy =฀45° ⱔDAx =฀30° Ta~ka฀B je฀zajedni~ka฀ta~ka฀ polupravih฀Dy i฀Ax.฀ Ta~ka฀C je฀zajedni~ka฀ta~ka฀simetrale฀s stranice฀DB i฀du`i฀DA.

, Konstrui{i฀pravougli฀trougao฀ako฀je฀zbir฀kateta฀8฀cm i฀hipotenuza฀6฀cm.฀ - Konstrui{i฀jednakokraki฀trougao฀ako฀je฀zbir฀osnovice฀i฀kraka฀8฀ cm

i฀ugao฀na฀osnovici฀30°.

51