Kornbinatorika je stara matemaiidka disciplina diji se podeci vezuju za zadatke odredivanja broja moguiih rasporeda nekihprlrdmeta. Rijed kombinatorikapotide od rijedikombinacija, a ova od latinske rijeir ct mbinare slagari. Kombinatomi zadaci su u dalekoj proilosti sluZili kao vid intelektualne koji su se zabave, a kombinatorika dugo bila na granici izmedu razbibrigc i nauke Mnogi problemi ljepote, danas se ubrajaju u vaZne zadatke teorijske i ,,do juje" razmatrali samo radi zabave i svoje primijenjenc marematike. Kombinatorne metode koiste strudnjaci iz oblasti kompjuterskih nauka, genetidari. fi zidari, hemi6ari. Naveiiemo nekoliko tipidnih kombinatornih zadataka Namjera nam je da Da prr'om iasu ,dujete" kako zvude kombinatorni zadaci, a pogotovo oni sa prebrojavanjem' Primjer 1. Na koJiko se nadina detiri djedaka na dasu fizidkog mogu postrojiti u vrstu? Primjer 2. Na koliko naijna 5 djedaka i 5 djevojdica mogu stati u vrstu tako da djedaci i djevojdicc budu poredani naizmjenidno? Primjer 3. Na koliko naaina se pet osoba moie nsporediti za okrugli sto? Primjer 4. Kolilo sc registarckih tablica moie izdati u drZavi X ako se na tahlici nalaze redom dva slova engleske abecede i tri cifre? Prinjer 5. Na koliko sc nadina iz vaieg odjeljcnja mogu odabrati tri udenika koji ic dobiti karte za koncert?
Primjcr 6. Na koliko se na6ina l2 klikera mogu podijeliti izmedu detiri djedaka? Primjer 7. Koliko 6e partija biti odigrano na Sahovskom turnim na kojem udestvuje 10 igrada i svaki sa svakim igra pojednu partiju? Primjer 8. Koliko dijagonala ima u iestouglu? Primjer 9. Koliko djelilaca ima broj 720? Primjer 10. Na koliko nadina robot moze pro6i kroz lavirint'l Primjer 11. Da li u vaiem odj elj enju postoj e dva udenika koja slave rodendan u istom mjesecu?
Nakon zavrsenc radionice, naudieeb kako se deiava vcdina postavljenih zadataka A sada iemo pre6i na prvu temu naseg Programa. Na Ako vas neko pita koliko knjiga ima u vasoj kuinoj biblioteci, prebrojaiete ih i dati odgovor' isti nadin 6ete postupiti ako treba dati odgovor o broju vaiih muzidkih CD-ova, stabala u Skolskom ste u dvoristu, d.levojdica Lt vaiem odjcljenju Sami ste desto morali da neito prebrojavate Bili Postojc drugovi porodice, nastavnik, prilici da posmatrate kako neito prebrojavaju dlanovi vase direktnog situacije u kojima se do odgovora o broju dlanova nekog skupa dolazi posredno, tj bez prcbrojavanja. Navedimo nekoliko primjera koji ilustruju taj postupak' gledalaca' Nalazite se u bioskopu i primjciujete da u sali ima slobodnih sjcdista Oznadimo sa C skup a sa S skup sjedista. Skup Sje brojniji od skupa G. Ako proietate centlom Podgorice, i pored automobila koji su parkirani propisno' na regularnim parking mjestima, vidite i automobilc koji su parkirani po trotoarima drugim nedozvoljcnim mjestiira, zakljudi6ete da parkiranih automobila ima viSe od parking mjesta Oznadimo sa ,4 skup parkiranih auromobila, a sa P skup parking mjesta S obzirom na stanje u centu Podgorice' skup '4 je brojniji od skupa P.
i
lj
sjediita' Putujete avionom u kojem su sva sjedista zauzeta. Oznadimo sa P skup putnika, a sa S skup Skupovi P i S su jednako brojni
.6
m
o
U nasoj radionici iemo broj elemenata skupa A
]â‚Ź.aavatisa n(A).
Neka su I i -B dva skupa. Povezivanje je posh.rpak kojim se spajaju-sparuju elementi iz,4 sa elementima iz B i ta rb sljedeii nadin. Biamo element iz I i spojimo ga sa nekim elementom 'tz B. 'ta dva elementa iskljudujemo iz daljnjeg postupka. Zatim, ponovo biramo element iz A i spojimo ga sa nekim elementom iz,B. Ta dva elementa iskljudujemo iz daljnjeg postupka. Postupak nastavljamo i zavriavamo kada se iscrpe sve moguinosti spajanja. Nakon zavrSenog povezivanja mogu se pojaviti tri sludaja.
Prvi sluiaj. Neki element ili elementi skupa B nisu spojeni i tadaje n(A)<n(B). Drugi sluiaj. Neki element i1i elemcnti Tredi sluiaj. Svi elementi iz
I
skupa
I
nisu spojeni i tada je n(A)>n(B).
i svi elementi iz B su spojeni i tadaj
e
n(A)=n(B).
jel
skup poklona, a, skup djece. Zamislimo da Povezivanje 6emo ilustrovati na primjeru u kojem se pokloni nalaze u sobi, dijete po dijete uzima poklon i napuita sobu. Spajaju se poklon i dijete.
Prvi sluiaj
Nakon zavr$enog postupka povezivarj Skup .B je broj n ij i od skupa
l,
a,
jedno dijete nije spojeno.
n(A) =3 <4 = n(B).
Drugi sluiaj
Nakon zav*enog postupka povezivanja, dva poklona nisu spoj ena. Skup I je brojniji od skupa B,
n(A)=4 > 2=n(B).
Ttedi slutaj
Svi
poklonii
sva djeca su spojeni.
n(A) =n(B)=3
.
Skupovil iB sujednako brojni,
Treii
sludaj
je u kombinatorici poznat kao pravilojednakosti.
Primtetimo, ako skupovi,4 iB imaju jednak brcj elemenata, nakon sprovedenog postupka povezivanja, biie spojoni svi elemrlnti iz I i svi elementi iz B.
I
u uus"- odjeljenjuje 30 udenika i svi su na dasu. Svi udenici sjede i nema slobodnih stolica. Koliko stolica ima u udionici? Da liie potebno da prebrojavate stolice? su svi udcnici i sve stolice spojeni vezorn udenik stolica na kojoj sjedi. Na osnovu pravilajednakosti slijedi da ima 30 stolica.
ffiffiffiN",j".
il
I
Illu
stot.kom prvenstvu u tenisu za djedake, udestwje Koliko nredeva ie biti odigrano na prvenstvu?
ffiffiffi
fr"i rrair. U prvom kolu 6e biti odigrana
8 djedaka.Igra se po kup sistemu.
4 meda, u drugom 2, u treiem, tj. finalujedan.
Ukupno4+2+l=7medeva. Drugi naiin. (Shka 4) U svakom medujedan uienik gubi med i gubi pravo da dalje igra Oznaiimo sa I skup meieva, a sa.B skup udcnika koj i su doZivjeli pomz. Na prvenstvu 6e biti poraZen svaki uden ik osim pobj ednika, tj. sedam udenika, te je t?(r) = 7. Elcmente skupa I poveZimo sa elementima skupa B tako Sto icmo spojiti med sa igradem koji je u medu pomzen. Na ovaj nadin su spojeni svi elementi iz,4 i svi elementi iz B, paje na osnovu pravila iednakosti n(A) = n(B) ='1 .
.t
i
O
Pobjâ&#x201A;Źdnik
Slika 4
Koliko medeva se igranateniskim gren-slem tumirima
na ko-jima
uiest\uje 128 igrada?
Obidno se skupovi sa kojima radimo posmatraju kao djelovi podskupovi nekog opsteg skupa. Opsti skup 6emo oznadavati sa O. U vasoj biblioteci podskupovi su dednici, romani, knjige poezije, udibenici itd. dokje opsti skup O skup vaiih knjiga.
I
I
i B dine elementi koji pripadaju skupu ili skupu B. Za uniju Podsjetimo se. Uniju skupova (slika 1). Presjek skupova i B dine elementi koji pdpadaju i ,.,1U,B skupova ,4 i B koristimo zapis jednom i drugom skupu. Za presjek skupova i B koristimo zapis I f1B (slika l).
I
I
A\,)B A\,)B
ACtB Slika I
l.
Komplement skupa,-4, kodstimo zapis ,4', 6ine A sada iemo upoznati pojam komplementa skupa (slika 2). Ako je npr skup ljevorukih elementi koji pripadaju skupu Q i ne pripadaju skupu udenika va5e Skole, tadaje l" skup udenika deinjaka u va5oj ikoli. Ato je ,4 skup rjednika u vaBoj biblioteci,l'je skup knjiga koje nisu rjednici.
I
I
Slika 2
U srednjoj ikoli ie biti pokazano daje
ffiN"tu.i"o={ , ,a,a,a}, l={4, ,a}iB={r., rMNN;ur=1a, ,a,a), A)B={ , l'={a, a}, B'= Za skupove
I
uienika koji
{r,
,
A', R.
^l.NaciAUB,AttB,
},
^}.
i.R kaiemo da su disjunLtni (razdvojeni) ako nemaju zajcdnidkih elemenata. Npr skup imaju dvojku iz matematike i skup udenika koji imaju detvorku su disjunktni sl-upovi
U sludaju kada su skupovi I i a disjunktni, umjesto zapisa Koristeii ovaj zapis, mozemo pisati: l+l'=O.
.,)
"-o] Sada moZemo formulisati pravilo zbira.
lur,
koristi se zapis
l+B
(slika 3).
r u ,rus". odjeljenju ima l4 djevojdica i l5 djeiaka- Koliko uienika ima u vaiem odjeljenju?
ffi WN
Ornuti-o
Pravilo zbira
se
sa,4 skup djevojdica, a sa B skup djeialca- l+B je skup udenika u odjeljenju Nu o.nor u pravila zbira imam o n\A + B\ l4 t 15 - 29.
-
prirodno uop5tava. Za disjunl1ne skupove
l, ,,
C (slika 4)
vaii
-
n(A+ B + C) = n(,4) + n(B)
+
n(().
Za disjunl-tne skupove A, B, C, D vaLi n(A + B + C + D)=n(A) + n(B) + Jasno nam
je kako
se
postupa
Lr
n(q + n(D).
sluiaju kada imamo 5, 6,.-. disjunktnih
oo "-o Slika 4
skupova.
i 4 cwene ruie. Koliko je ruza
ffi
u tot"tu
$ffiffi
o^uei-o sal skup bijelih, sa a skup zutih i sa C skup cnenih zbira, imamo n(A+B+q=2+3+4=9.
ffiffi
Stottt-u.kipu
su 2 bijele, 3 Zote
buketu?
ruza Na osnovu pravila
tri udenikasedmog, duu.tb"nika osmog i pet udenika devetog mzrâ&#x201A;Źda. Koliko je udenika u Skolskoj ekipi?
-
u Sahu dine dva udenika detvrtog, j edan udenik iestog,
.\W{N orouti.o sa I skup uoenika detvtog, sa ,R sestog, sa C sedmog, sa ' ,l"u",og .Mreda. loji su ilano\i<kolske <aho\ske eLpe lmamo' q=2+7+3+2+5=13'
osmog, sa
-E
n(A+B + C+D+
koristili jednostavno -Mi smo i ranije unije dva skupa.
i odigledno pravilo zbira. sada iemo nauditi kako
se raduna
broj dlanova
Dokaz. Kao prvo,lU B= AltB"+A)B+A'ltB. Na osnovu pravila zbira, imamo
+"(t an)=
n(A0 B) =n(An B')+n(,t
n
a)
n') r"(,t
o
a)+n(,f t n)+n(tna) n(Ann)=
="(tn
=n(A)+n(B) n(A n B). Nekaje r(O)=2. t66mo, koristeii (1), O= AU B+(AIB)'= AjJB+A'nE' i na osnolu pravila zbira, dobijamo I
E
t:r
o Slika 5
f
u i"a"o- odjeljenju svaki od 32 uienika.je dlan barjedne od dvije sekcije: recitatorske i glumadke. a) Ako su 20 uienika dlanovi recitatorske sekcije, a 15 udenika ilanovi glumadke sekcije, koliko udenika su dlanovi obje sekcije? Koliko udenika su dlanovi samo recitatorske sekcije? Koliko udenika su dlanovi samo glumadke sekcije? b) Ako su 17 udenika dlanovi recitatorske, a 5 obje sekcije, koliko je dlanova glumaike sekcije?
c) Al<o su 10 udenika dlanovi samo recitatorske, a 18 samo glumadke sekcije, koliko uienika su dlanovi obje sekcije?
ffi
ornuEi-o sa I skup udenika koji su dlanovi rccitatorske sekcije, a sa, skup udenika koji su ilanovi glumadke sekcije. a) 32 = n(AU B) = n(A) + n(B) n(An4=20+ts-n(AnB)=35 n(A)B), pa je n(AnB)=3s-32=3. Dakle,3 udenika su dlanovi obje sekcije. tlanovi samo recitatorske sekcije su oni udenici koji su dlanovi recitatorske sekcije i nisu dlanovi glumadke. Odgovarajuii skup je
,4
nF.
Kako je n(A)=n(AlE)+n(Ai B), tmdmo 20=n(AOE)+3,
nUnE)=20
pa
je
3=17 '
Dakle, 17 uienika su dlanovi samo recitatorske sekcije. Skup udenika koji su dlanovi samo glumadke sekcijeje,4"flB. Kako je (B)=n(r4'n B) + n(,4 OB), imamo ts= (A"nB)+3,pa je n(A'AB)=|S 3=12. b) 32=1'1+n(B)-s =l2+n(B),pa ie n(B)=32 12=20.
i
Dal1e, 20 udenika su dlanovi glumadke sekcijec)
i
An E +An B+ A" A B, pa je 32 = 10+ n(AnB)+|8 =28+n(An B). Dobijamo n(lflB)=32 28 = 4. Zr:ail, 4 nienika su ilanovi obje sekcij e.
Al
B=
f
u oai"lienju ima
-$ffi
,1,lul;=
i
30 udenika. Dvanaâ&#x201A;Źst udenika su dlanovi planinarskog drustva, 15 dlunoui dru3tva gorana, a 3 udenika su dlanovi oba drudtva. Koliko udenika nisu dlanovi nijednog &uStva?
t2+15-3 =24.
Sada imamo, 30=24+
n(A'lB), paje n(AnE)=3O 24=6.
Dakle, 6 udenika nisu ilanovi nijednog dru3tva.
X"
lkl i Veiernii /ist Ankctiranjem 100 gradu X postoje dva dnevna lrsta: Jutar stanovnika dobijeni su sljededi rezultati: 35 stanovnika slt prclplatrici ia Jutarnii list, 60 na l/eiemj i list i 20 na oba lista.
ii
a) Koliko anketiranih stano!'nika su pretplatnici Jutamjeg, anis;o Ueiemjeg
I
l^ta?
-
b) Koliko anketimnih stanovnika su pretplatnici Veiernjeg, a tistt Jularnieg lista? c) Koliko anketimnih stanovnika nisu pretplatnici nijednog lista?
$ffi$
o^uti*o
sa,4 skup Fetplatnlka Jutdnlieg, a sa B skup pretplatn tkl- Veierrtieg lista (medu anketiranim). a) n(A)=n(AiE)+n(AflB), pa imamo 35 =z(AnB)+20,pa je n(Antr)=35 20=15 Dakle, 15 anketiranih su pretplatnici samo na Jutarnji list. b;) n(B)= n(A'l\B)+ n(A o-R), pa irnamo 60 = n (A" I B)+20, pa je n(A" n B) = 60-20 = 40. Dakle, 40 anketiranih su pretplatnici samo na l/eienji list. c) n(AU B)=35+60-20=7 5. lz IOO='15+ (A'O-&) dobijamo z(,4'fl 8)= 100-75=25. Daklc, 25 anketiranih nisu pretplatnici ni najedan od $adskih listova.
.N\N
E
I
I
lffi-o
E
Da li su disjunktni skupovi:
a) Skup ,4 stanovnika Cme Gore koji imaju manje od 20 godina i skup 3 stanovnika Cme Gore koji irtaju viSe od 50 godina? b) Skup,{ stanovnika Cme Core koji imaju manje od 20 godina i skup B stanovnika Podgorice koji imaju vi5e od 50 godina? c ) Skup ,{ stanov n ika Cme C o re koj i imaj u manj e od 30 godina i skup -B stanowika Podgorice koji imaju vise od 20 godina? d.) Skup,4 stanowika Cme Core koji imaju manje od 30 godina i skup B stanovnika Cme Gore koji imaju manje od 20 godina? e) Skup stano\.nika Podgorice koji imaju viie od 30 godina i skup B starovnika Cme Gore koji imaju vi5e od 20 godina?
n(Y)= 40, nU' n1") =25, Ako je "(1")=65, r?(O)= 150, nadi
n@n,), n(A'nD, n(AnE). B\=10,
n,)=
n@nE\=
R. nG
n
E
Alojer(l')=35,n(E)='7
n@"
40,
5,
t5 .
n@
nff)=95,
z(O)= 120, nadi
n(AnB), n(A"nB), n(AnE), n@nB). R: n(AiB)=25, Un4=2o, @nR)=60, @'nB)=1s.
rJ zadacima 9 -72,kodsteei poznate podatke,
I
R: a) da, b) da, c) ne, d) ne, e) ne.
I
Nekaje o skup udenika vase skole. Ato je .4 skup udenika koji imaju peticu iz matematikâ&#x201A;Ź, Sto je skup l"?
El
n(t)=t\, n(B)=el, n@nB)=30,
a(A)=200. R:
S
Nekaie o skup zaposlenih stanovnika Crne Gore. Ato je ,4 skup zaposlenih stanovnika Crne Gore koji mjesedno zaraduju vi5e od 500 eura, sto je skup
la
Netu je A=la,b,c,Q, B=lb,c,d,e,fy,
!l
C= {a,b,c,d,fi.Nadi AUB, AVC, B\JC,AnB,
El
n(A=as, n(B)='s, n(AUB)=90,
n(o)=
100.
R:
Anc, Bnc.
R AI B = ld, b, c, d, e, fi, AU C- {a, b. c, d, BUC= la,b,c.d,e,ft, AiB= lb,c,4, A c= {a, b, c, d\, BnC= Ib, c, d, f!.
f',
^
n(AnB)=2q, Ako je,(l)=80, '4(8)=50, n(Q)=200, nad:i n(A'nB), n@nrl n@ nB). nB) = 30, ,0, nr1 = 60, n(A'^r)=90. R:
E
"(,a"
@
ato ie n(A)=zs, (B)=5s, n(AUB)=60'
100' nadi n(AfiB), n(A" AB),
4O)=
n(AnB), n(4" oB'). R: U n B\ = 20, n(A' n B) = 35, nqn E') = s, n@'nn=ao.
fl
n(t")=ts, n(R)=24, n(A'nB)-32'
z(f)) =90. R:
lfl
U od.jel.jenju sa 32 udenika, svaki uienik udi bar jedan od dva jezika: engleski ili ruski. Engleski udi 20, a ruski l7 uienika. Koliko udenika ude obajezika?
IE
U gupi od 100 turista, njih 42 govore francuski, 55 njemadki i 17 ne govore nijedan od ta dvajezika. Koliko nrista govore obajezika? R:
14 turista.
!Q [$
U gmpiod75 osoba,32 osobe se bave tenisom, 37 osoba se bavi golfom i 8 osoba se bave sa oba sporta. Koliko se osoba iz grupe ne bavi nijednim od ova dva sporta? R:
14 osoba.
Jedna kablovska televizija ima 8000 klijenata i nudi im da se pretplate na dva specijalna
programa: MTV i Eurosport. Na MTV se pretplatilo 2450 klijenata, 1940 na Euosport, a 5180 se nije preqlatilo ni na jedan program. Koliko klijenata se pretplatilo na oba programa? R: 1570 klijemra.
l4
Uiednom odjelieniu muzidke Skole ima 30 udenika. Odnjih 13 svira klavit l6 gitaru, 5 oba insftume[ta. Koliko uienika ne svira nijedan od ova dva instrumenta?
fl t
gradu X su u tokr godile organizorane dvije akcije prikupljanja pomo6i za djecu ometenu u razvoju. U pnoj akciji prilog je dalo 1475 osoba, u drugoj 2350, u obje 920 osoba. Koliko osobaje dalo prilog u prvoj ili drugoj akciji? R: 2905 osob3.
Stranice koje slijede su posveiene korisnom i iiroko prirnjenjivom pravilu prcizvoda. Mnogi problemi sa prebrojavanjem se rjeiavaju primjenom ovog pravila.
ffi
uilun ," sprema za Skolsku Zurku. lma dvoje pantalona cme (c) i sive (S) i tri koiulje -bijelu (B), plavu (P) i kariranu (K). Na koliko nadina moZe iskombirovati pantalonc i kosulju? Ili, moiemo pitati, na koliko nadina moZe,papraviti par" od pantalona i kosulje.
,
zadatalq nacrtaiomo odgovarajuie stablo. Krcicmo iz dvora O korij ena iz koga izlaze dvij e grane. Prva grana odgovara izboru cmih pantalona i zavria! a se dvorom C. Druga grana odgovara izboru sivih pantalona i zavrsava se dvorom S. Iz dvorova C i S izlMe po tri grane. Prva grana odgovara izboru bijelc kosulje i zavriara se dvorom B. Druga grana odgovara izboru plave koiulje i zawiava se dvorom P Treia grana odgovara izboru karirane koiulje i zavrsava se dvorcm K. Svakom Milanovom izboru odgovara tinija koja se sastoji od glane koja povezuje korijen sa prvim dvorom (dvorje odreden izborom pantalona) i gra[e koja povezuje prvi dvor sa drugim dvorom (dvorje odretlen izborom ko3ulje). Ovakvih linija, a time i izbora, ima 6. Lini.ja koje prate izbore ima koliko i za\rSnih trorova. ivoru koji je oznaien cnenom bojom odgovam linija kojaje, takoaie, oznadena uvenom bojom i ona se vezuje za izbor (SP). Liniju smo dobili tako ito smo se od zawinog dvora vratili unazad do korijena.
Ou bismo
-
rijelili
B P
r
(CB) (CP)
(cK)
B (SB) P (SP) ,( (sK) Slika l
l. t Prilikomizbora,Milanmoraodabratipantalone(imadvijemoguinosti)ikoiulju(ima 2 i 3' tj proizvodu broia t i'-"g"0"".rU. f*Zeni broj 6 jednak je proizvodu brojeva nadinJda se izaberu pantalone i broja nadina da se izabere koiulja'
(J)',a drugu dvije kavate, jednu mu je poklonila prijatetjica Jelena izbor pantalona' koiulie i o.i:-*"fii"" ftf,f"ti" (M). Na koliko nadina moze napraviti itir",Jf ni moZemo pitati, na koliko nadina moZe ,papraviti trojl-u" od patrtalona' kosulje i kavate. Milan ima
i
(CBJ)
(CBM)
(cPr) (cPM) (cKJ)
(cKM) (CBJ)
(CBM)
J
(CPJ)
M
(CPM)
(cKJ) (CKM) Slika 2
je 2 3 2=l2 Milan' Broj nadina da se napravi izbor pantalona' koiulje i kravate koSulje i O; O.-izbor praiedi izbor treba da obavi tri operacije: Or-izbor panatalona'
prva operacija' sa ly'' broj iz.bor kravate. Ako sa ly'r oznadimo broj nadina da se obavi se obavi tre6a operacija' tada tradina da se obavi druga operacija, sa N, broj naiina da lr', 'AIr' je broj nadina da se uzastopno obave ove tri operacije jednak
4
engleskog alfabeta' tako da se niiedno Pretpostavimo da troba da napravite pasvord od tri slova bi veoma dugo i .Lui n" ponuutlu. Nu koliko nadina moZete napraviti pasvord? Crtanje.stabla-bilo Kako engleski alfabet ru-o-olNunn p."tftodnog primjera, jasno je kako se rjeBava ovaj zadatak jer ne smiiete koristiti m-oiete i,abruti nai6 nadina, drugo na 25 nadina' p*o "fouo jer ne smijete koristiti dva vei upotrijebljena slovo koje ste've6 upotrijebili, tre6e na 24 nadina, slova. TraZeni broj nadinaje
i-" ii.f"t",
26.25 .24 = 15600 Sada
.
iemo nauditi kako glasi pravilo proizvoda'
Or' izbor pantalona' moie obaviti na U primjeru I Milar bira pantalone i kosuUu Prltr operaciju lj. o\e d\ ije operacije uzasrv,l .z ,iaeina. d-grr o . izbor kosulje na N natina. a kompletan izbor. lopno moie oba\ il i naNr'N-2l 6naiina'
$ktMws'
f
Sigrr-o"rru bmva na sefu imatrikolutiia (slika 3) ina svakom senalaze cifre 0, 1,2, ...,9. Vlasnik pravi Siliu izborom cifre na svakom kolutiiu. Koliko ima Sifara ako se: a) cifre mogu ponavljati,
b) cifre ne smiju ponavljati,
c) susjedne cifie ne mogu ponavljati?
o,, rrtor pwe cifre r= lo nadina, or: Izbor dmge cifie ly'z=10 nadina cifra q: Izbor trede cifre N:=10 naiina cifra
ffiu')
se se
moie ponavljati, moie ponavljati.
Dakle, postoji 10. 10. 10= 1000 Sifara. b) O,: Izbor prve cifre 1r'r= 10 nadina, Q: Izbor druge cifre iy'r=9 nadina jedna cifraje upotrijebljena, nadina dvije cifrc su upotrijebljene. Q: Izbor treie cifre Dakle, postoji 10.9.8=720 iifara.
4=8
c) O,: lzbor prve cifre lr'r= l0 nadina, Q: Izbor druge cifre N:=9 nadina druga cifta se razlikuje od prve, q: kbor hede cilie Nr=9 nadina trcia cifia se nzlikuje od druge. Dakle, postoji 10.9.9=810 Sifara.
Slika 3
f
litunlu ra test bira kompjuter sludajnim izborcm. Test sadrzi pet pitanja iz pet oblasti. Za prvu oblast je pripremljeno 5 pitanja, za drugu 8, za treiu 6, za deh,Ttu l0 i za petu 5 pitanja. Koliko razlibitih testova moze izabrati kompjuter? Smatamo da su dva testa razlibita ako
ffio,,
f
se
razlikuju u bar jednom pitanju.
trtor prvog pitaqja
/y',
Or: Izbor drugog pitanja
=5
nadina, nadina,
1y'r=8 Orr lzbor lreieg pilanja Nr' 6 naiina. O4r Izbor deNflog pitanja Aa- l0naiina. Q: lzbor petog pitanja Nr-5 naaina. Kompiuter moie izabmti 5.8 6.10 5= 12000 razliditih testova.
totito se nadina izrnealu 5 muskaraca, 7 zena, 3 djedaka i 4 djevojdice mo i,e |zabratll jedna osoba, b) po j edan muikarac, i edna Zena, jedan diedak i i edna di evoi dica?
Nu a)
ffi
5+7+3+4= 19. b) Na osnovn pravila proizvoda, dobijamo daje traZeni brcj nadina 5 .1 .3.4=420.
I
Stotrtu uiblioteka posjeduje
u,)
r,lu o.novu pravila zbira, dobijamo daje traZeni broj nadina
15 italijanskih. Na
15 romana engleskih pisaca, 20 ruskih, 12 francuskih i koliko nadina udenik moie uzeti 4 romana medu kojimaje pojedan
roman iz svake od detiri pomenute knjiZevnosti?
ffi
ruto ru izborromanaengleskogpisca udenik 12, italijanskog 15,
toje traZeni broj nadina
15.20. 12. l5 =54000.
ima l5 moguinosti, ruskog20, francuskog
t, it
f
u grad B vode 3 puta, a iz grada B u grad C vodâ&#x201A;Ź 4 puta' Na grada A moTe stidi u grad C? eruou
e
kotiko
se
naiina
c
s
Slika4 je 3 4= 12. Moguinosti su: TraZeni broj (a' g), (a, d), (a, e), (a,
f)' f)' (b ' g)' (c, d), (c, e), (c, f)' (c' s).
(b, d), (b, e), (b,
I
m
puta i iz grada C u grad D Iz grada A u grad B v ode 2 puta, iz g.]ada B u grad C vode 4 voie 2 puta. Na koliko se naiina iz grada A moZe sti6i u grad D?
c e
c
c c s 'E
'E Slika s
Trarzeni broj
je 2 4 2= 16.
Moguinosti su:
(a,c,g), (a,c,h), (a,d'g)' (a,d'h), (a,e, d' @,e'h)' (b, c, g), (b, c, h), (b, d'
I ffi
d,
(b, d, h), (b, e,
d,
(a'f'd' @'f'h)'
(b' e' h)' (b f' s)' (b f' h)' ' '
u PodgoriMilar putujâ&#x201A;Ź iz Bara u Podgodcu, a zatim, [akon dva dana zadriavaqa a iz li-p"ri:" ,i g*gt"a lz Barl u Podgoricu moze putovati autobusom ili vozom' podgo.ice ,, Seo:g.aO autobusom, vozom ili avionom' Na koliko nadina moZe orgarizovati putovanje?
Na2 3=6 nadina.
/-\ \,,
z Slika 6
f
rollto
ffiffi
je neka od 9 moguiih (sve osim 0), druga je neka od 9 preostalih, "if.u od 8 preostalih. Dakle, ima 9.9. 8 = 9'z 8 = 648 brojeva.
f, ffi$
rotito
ima trocifrenih brojeva sa nzliditim ciframa?
P*u
a tre6a
neka
ima djelilaca broja 144 (ukljudujuii i broj 1)?
Nukoo t uZenja prostih faktora broja 144, dobijamo faktorizacijLr 144=2a.31. Svaki djelilac broja I 44 1e oblika 2p . 3p', p,e \0, l, 2, 3, 4|, p re 10, 1, 21. Na primjer, djelioci su 4 =2'.30, I2=2'z-3t, l8=2t.3'z,'72=23
'').
koliko iparova (p,,p,) tj. 5 3=15.
f!
IstraZivad osobe dijeli na muSkarce i Zene, pu5ade i nepuiade i one sa niskim, normaL'rim i poviiedm krvdm p tiskom. Koliko grupa osoba razmatra istra.Z ivad?
Djelilaca ima onoliko
S
&zrffi
Sifta se pravi od 10 prvih slova engleske abecede i sadrZi 6 slova. Koliko Sifara se moZe napraviti ako se:
R:2-2.3=12.
iifri mogu ponavljati, b) slova u iifri ne mogu ponavljati
El
c) susjedna slova u Sifri se ne mogu ponavljati?
Skotste sveske se proizvode u 3 razlidite velidine, 6 razliditih boja i 4 mzlidite debljine. Koliko ima r.rsta Bkolskih svesaka? R:3 6.4=72.
E
Vladic i dje\ ojka Tive u gradu u kojem postoji 6 restorana i 3 bioskopa. Na koliko nadina mogu napraviti izbor ako vede Zele da proveduu:
a) restoranu
ili bioskopu,
b) restoranu i bioskopu? R: a) 6+3=9. b)6 3=18. Sendvid se pravi od hljeba, mesa i salate. Na raspolaganju su 3 wste hljeba. 5 \ rsla mesa i 2 wste salata. Koliko wsta sendviea se moie napraviti?
I
R: 30.
a) slova u
R: a) 1000000, b) 1s1200, c) s90490.
U grupi je l1 udenika iz Podgorice, 5 iz Nik5iia, 3 iz Pljâ&#x201A;Źvalja i 1 iz Bara. Na koliko nadina moiemo izabrati 4 udenika tako da medu
E
njima budu udenici iz svih pomenutih gradova? R: 165.
U &zavi x rcgistarske tablice sadrZe dva slova engleske abecede (engleska abeceda ima 26 slova) i ri cifre. Koliko se registarskih tablica moZe izdati u drZavi X ako se:
E
a) slova i cifte mogu ponavljati,
b) slora icilre se ne mogu pona\ljali? R: a) 676000. b) 468000.
[l
se nalazi 12 razliditih razglednica
u kutiji
i l0 razliiitib markica Marijapfto i7 kulije uima razglednicu ili markicu. a zatim-Ana u-'ima
jednu razglednicu i jednu marljcu. Sta treba da uzme Marija pa da Ala ima vedi izbor? R: Raz glednicu.
djedi od 4 slova moze sastaviti tako da susjedna slova budu rulidita? Kodsti se 30 slova azbuke, formirane rij edi ne moraju biti smislene'
El
Koliko
se
P:30.293 =731670.
Kol iko ima brojeva ve6ih od 100 tij e se cille ne ponavljaju i pripadaju skupu I = {0, 1,2, 3,4}?
Koliko ima nepamih brojeva izmedu 1000 i 10000 dije su cifre razlidite?
fS
R: 2240.
!S
c) Koliko ima petociftenih brojeva dije su cifte mzlidite i jedinica se ne smije pojaviti na mjestu prve i Posljednje cifre? d)
petocifrenih brojeva moZe formirati od cifam iz skupa I = {1,2,3,4,5,6,7}, ako se cifie ne ponavljaju i zbirposljednje dvije cifteje
Koliko
djeljiv
se
sa 3?
posljednje cifte?
lll
Koliko irna broj eva manj ih od 1000 zapisu udestvuje cifta 2?
u
dijem
Rr 271.
Koliko ima Sestocifrenih brojeva dije cifre
-- I l. 2.3.4.5- 6- 7.81i u aijem /apisu obavezno udesh'uje cifta 8?
su iz skupa
Koliko ima djelilaca broja 720 (ukljuduj i broj l)?
lf
uii
R:30. "
ilna 23 udenika i djevojdica ie . ise nego djeeaka. Na polumatu$koj /abavi sraLi djeeak je svakoj djerojiici i'l odjeljenja poklooio karanfil i poklonjeno je ukupno 132 i<aranfila. lzracunai koliko ima dievojaica i loliko ima djeiaka u odjeljerlu.
IE u odjetjenju
R: 840.
R:
12
djevoj{ica.
,4
R: 128534.
M
Koliko ima petociftenih brojeva kod kojih se cilra I ne smije pojavili na mjestu prve i
R: a) 90000, b) 2?216, c) 215{X, d) 72000
R:144.
if,l
Koliko ima petociftenih brojeva?
b) Koliko ima petociftenih brojeva dije su cifre Iazliaite?
l[l
In
a)
Koliko ima Sestocifrenih broj
zapisu poj avlj
uj e
eva u
bar j edan paran broj ?
iijern se
Pdlikom su$eta dvije delegacije (u svakoj delegaciji su bar dva dlana) svi prisutni su se rukov;li. Izradunaj broj ilanova delegacija ako je obavljeno 143 rukovanja. R:11 i 13.
lEl
R:884375. --
i
UDUtsna i riesenjd na clr'
q4
i-
sve-ili samo neke elemente skupa sa U mnogim situacijama iz pmkse pojavljuje se polreba da poredamo elemenata t"jl..?Ji.". n"d"..i".oz" til otuutj"oo nu dva nadina Prvi nadin ne dozvoljava ponavljanje U formiranornredu igl,l,"i-" -O*jt Uez ponavljanja Drugi-o naiin dozvoljava ponavljanjo â&#x201A;Źlemenata " .uoj" t" gouo.i.o p*om, drugom, treiem itd dlanu u ledr' Broj ilanova reda .iJirion i.u ^j"rto, ponavljanja reda. Uskoro 6emo se bliZe upoznati sa redanjem bez nazivamo duZinom
M $ kt i: L
.*
N
;:iif 'lJ,ilj"J5J:H$Si,'f""lli#""',#iiJi#nT:[il1
sa S oznadimo Otnuii.o slike saA (crvena)' B (plava)' C (Zuta)' D (zelena) i E Giva) Ako popuniti Jno.rit" t" t":*" i"tpolJzemJ' imamo s= 1'a'''c'D't) Dvije slike koje 6e
;;";rnioo
rln","a
lj;;;;";t"g" ";;"""
I
I
..y:'"y'1':,1
1,,*0."r1s,,,,, ..,,
.,
prvo mjesto u redu dini slika koja se postavlja na oo aua 'lana, mjesio U redu se elementi' tj slike ne mogu ponavljati' tlobodno
Naime, slika koja je postavljena na lijevo slobodno mjesto ne moze biti postavljena, tj. ponovljena i na desnom slobodnom mjestu. Evo moguiih rasporeda, tj. redova:
TT TT
(A, B) (B,A) (8, D) (D, B)
Wf TT
I[ [T rw TT 'W wl aw wa ll ll wtw nl I!
c) (c,A) (B,E) (E,B) (A, D) (D,A) (c,D) (D,c) (A,
l! !t
(A,E) (E,A) (c, E) (E,c) (8. C) (C. B) (D, E) (E, D)
Slika l
Brojanjem moiemo ustanoviti da ima 20 redova. Broj redova duZine 2 nastalih redanjem bez ponavljanja (BP) elemenata skupa S, moZemo dobiti primjenom pravila proizvoda. Prvi dlan u redu moZemo izabrati na 5 nadina, moZemo birati bilo koji element skupa S. Drugi element moZemo izabrati na 4 naiina, moZemo izabmti bilo koji element od 4 Feostala (preostala nakon izbom prvog dlana) elementa skupa ,S. Izbor dva ilana moZemo obaviti na 5.4=20 nadina. lzbore parova, tj. redovai mozemo propratiti odgovarajudim stablom. Prvi dvor od korijena odgovara izboru prvog, a drugi dvor izboru drugog dlatra u paru redu.
slik,2 Pretpostavimo da su slobodna tri mjesta koja teba popuniti slikama. Tri slike koje ie popuniti praztra mj esta iine red (BP) duiine 3. Prije nego ito ispi3emo sve redove duiine 3 nastale rcdanjem (BP) elemenata skupa S, moZemo, primjenom pravila proizvoda, dobiti da ih ima 5 4.3=60. Sada iemo zapisati sve redove duZine 3.
B,c) (A, C, B) (8,A, C) (A,B,D) (A, D,B) (B,A, D) (A,
(A, B, E) (A, C,D) (A, C, E) (A,D, E) (8, C, D) (B, C,E) (8, D, E) (C, D, E)
(A, E, B) (A,D, C) (A,E, C) (A, E,D) (B, D, C) (B, E, C) (B, E, D) (c, E, D)
(B,A, E) (C,A, D) (c,A, E) (D,A, E) (c, B, D) (C,8, E) (D, B, E)
C,A) D,A) (B, E,A) (C,D,A) (C, E,A) (D, E,A) (c, D,B) (c, E, B) (D, E, B) (B, (B,
(c,A, B) (c, B,A) (D,A, B) (D,B,A) (E,A,B) (E,A, B) (D,A,C) (D, C,A) (8,A, C) (E, C,A) (E,A, D) (E,D,A) (D, B, C) (D,C,B) (E,8, C) (E, C, B)
(E, B, D) (E, D, B) (D, C, E) (D, E, C) (E, C, D) (E, D, c).
Brojanjem ustanovljavamo da ima 60 redova. lzbote redova mozemo propratiti odgovarajuiim stablom. Prvi dvor od korijena odgovara izboru prvog, drugi dvor izboru drugog dlana, a tre6i dvor izboru tredeg dlana u redu. Primijetimo da iz svakog narednog ivora izlazi jedna grana manje. Naime, za svaki naredni izbor imamo jednu mogu6nost manje.
Slika 3
t9
u oaj"ti"nju sa 24 udenikatreba formirati odjeljensku zajednicu koju iine: predsjednik,
f
seketar i blagajnik. Na koliko nadina
se moZe
formirati odjeljenskazajednica?
Kad formiramo odjeljensku zajednicu, dobijamo red (BP) dlZine 3, dlanovi reda su elementi skupa udenika. ilanovi u redu su izabrani predsjedtrik, seketar i blagajnik. Tih redova, a samim tim i naiina obrazovanja odjeljenske zajednice ima 24.23.22=12144.
f
iz odjeljenja u kojem je 30 udenika, 14 djevojdica i 16 djedaka, odabrati glumadka ekipa za Crvenkapu? Likovi su Crverkap4 vul baka i lovac.
totito
Nu
moZe
se nadina
Uradimo dva sludaja: a) pol djeteta oije bitan kod biranja glumaca za likove,
-
b) Crvenkapu i baku monju glumiti djevojdice, a I'uka i lovca djedaci.
.fWN
O Kad izdvojimo 4 udenika koji treba da glume likovc iz Cnentape, dobijamo red (BP) duiine 4, dlanovi reda su elementi skupa udenika. TraZeni broj redova, tj. nadina izboraje 3O
.29 . 28 .27 = 65'7720.
b) Glumci za ,,Zenske" uloge dine rcd (BP) duZine 2, dlanovi reda su elementi skupa djevojdica. Tih redova ima 14.13=182. Glumci za,,mu3ke" uloge iine red (BP) duZine 2, dlanovi reda su elementi skupa djedaka. Tih redova ima 16 15=240.lzbot glumaca podrazumij eva dvij e ,,operacij e": izbor glumaca za,,Zenske" i izborglumaca za ,,mu5ke" uloge. Nakon primjene pravila proizvoda, dobijamo da je trazeni broj nadina
182.240=43680.
f
u)
: I=:. 4.3.2.r=t20.
.71 761 ^ 6! 6! .8! 8.7i 6.5! ::l=336. c):l=:
Brojevi
r!
se
brzo uve6avaju. Pogledajmo
l0!=3628800. Sada
f
iemo
se
rs
!= 1307674368000.
upoznati sajednim specijalnim sludajem retlanja. Uradimo primjer.
r.i
h.;ige A (cwena), B (plava) i c (zelena) treba postaviti na policu Na koliko nabina to mozemo uraditi?
lln tnl
trn lnt arl ilTT Slika 4
ffi
ru.po."dujuii knjige pravimo redove (BP) duZine 3, dlanovi redova su
elementi skupa knjiga. Primjeiujono da redovi imaju duZinu koja.je jednaka broju elemenata skupa knjiga i da smo u svakom redu upotrijebili sve raspoloiive knjige. Redova, tj. naiina da se krjige postave ra policu ima 3 .2. 1 = 3 ! = 6. Kod odgovarajuieg stabla iz pretposljednjeg dvora izlazi samo jedna grana.
Nekaje S sL-up sa kojim radimo i ,?(J)=r?. Broj permutacija skupa S se oznaiava pravila proizvoda se dobiia
sa
P . Primjeoom
Postupak formiranja svih permutacija nekog skupa nazivamo permutovanje. Rijed permutacija potidc od latinske rijeii p ennutare ptomijeniti.
I
N"tu1";=
{a,
ffiffiffi
l"..utucija
ima
I
D,
c,d}. Nadimo
svc permutacije skupa,.,1.
Pa=4!=4 3.2.1 =24 i one su: (.a, b, c, cl) (b, a,c,d) (c, a, b, d) (d, a, b, c) (b,a,d,c) (c,a,d,b) (d,a,c, b) (a,b,d,c) (a, c, b,Q (b, c, a, tl) (c, b,a,d) (d, b, a, c) (a, c, d, b)
(.b, c, cl,
(a,d, b, c) (a, d, c, b)
(b,d,a,c)
(c, b, d, a) (c, d, a, b)
(b, d, c, a)
(c,d, b,a)
a)
(d, b, c, a) (d, c, a, b) (d, c, b, a).
Kolilo ima: a) troslovnih,
b) osmoslovnih rijedi formiranih od razliditih slova rijeai COMPUTER? N
a) Troslovnih rijedi ima
8 '7.6=336 (npr COM, COB COU, COT, COE, COR, CMP..). Troslovne rijedi su redovi (BP) duzine 3, dlanovi su elementi skupa
s= {c,o,M,P,u,T.E.Rl. b) Osmoslovnih riiedi ima
P3:8!:40320 (npr COMPUTER, COMPUTRE, COMPUETR, OEPUTCMR, ...). Osmoslovne ri.jedi su pemutacije skupa S= { C, O, M, P, U.T, E, Rl.
NapiSi sve redove (BP) duiine 2, dlanovi }, izradunati su elementi skupa I = {A, A, njihov broj i nacrtati odgovarajuie stablo. Neta.le A={a,b,c,dJ. Nadi sve redove 1Bl) dnZitt" 3, fluno'oi su elementi skupa '1'
It
A,
ff
Koliko i-a: a) dvociflenih, b) aocifrenih ptirodnih brojeva formiranih od medusobno railiditih cifara iz skupa A= 11,2,4'7 '8,9\?
fl
Rr a) 30, b) 120.
Koliko ima rcdova (BP) duZine 4, dlanovi su elementi skupa I = la,b, c, d, e, f, g| 'koji podinju sa a, g?
!l
R:20.
Pronadi, ako postoje, smislene rijedi dobijene permutovanjem slova:
[l
AEKPT b) AIVDNRCC.
jeva iz skupa S= {1,2,...,39})? R:'1'7519922480.
Na Zurku su doSla 4 momka i 6 djevojaka Na koli-ko se naeina mogu l-ormirati plesni paror i pod pretpostavkom da u plesu utestvlju sli
IE!
momci? R: 360.
Sedam djevojaka, medu njima su Nataia i Madna, udestvuje na audiciji za prijem na pozo-
!E
risnu akademiju. a) Nadi broj moguiih raspore<la izlazaka djevoiaka na scenu. bt Nadi broi mogutih rasporeda izlazaka djerojaka na scenu ako Marina izlazi na scenu prije Natasâ&#x201A;Ź. c) Nadi broj moguiih rasporeda izlazaka djevojaka na scenu ako Nataia izlazi na scenu
a)
Rr a) petak, paket b) crvendac
odmah nakon Marine.
El
Na koliko naiina 6 osoba mogu stati u red pred prodavnicom?
R: a) 5040, b) 2520, c)720
R: 720.
lEl
automobila su istovremeno stigla pred praonicu automobila Na koliko nadira mogu zauzeti red?
fl
ietiri
Osam skijaia treba da startuju sa razmakom o<l 30 sekundi na osnolu startnih brojeva odredenih Zrijebom. Koliko ima mogu6ih rasporeda na startu?
fl
R:40320. Sest puhrika ulaze u Sestvagona Na koliko nadiDa mogu odabralivagone ako u svah ragon
S
ulazi po jedan Putnik? R: 720.
Na koliko nadina 6 rnuskaraca i 5 Zena mogu stati u red pred prodawicom tako da su
@
rasporedeni naiznrjeniano po polu.
red
tj
vaz i raspo-
v-Z-v-2...:
R: 86400.
fl
Koliko ima permutacija skupa A= 1r,2,3, 4, 5, 6,'1,8,9| kod kojih su elementi 1, 5,9 na svojim mjestima (tj. I na prvom, 5 na petom, 9 na devetom mj estu)? k'720.
je skup,4 - i1.2.l.4i ObraTuj: al sve dvocifrene broieve, sa ralliaitim ci&ama Dar
l,
koje pripadaju skuPu b) sve trociftene brojeve, sa razliditim ciframa koje pripadaju skuPu
l.
Do planinskog vrha vodi 5 staza' Na koliko se nadina moZe organizovati plalinarski pohod je koriako se u povmtku ne koristi staza koja
f$
S6ena
pri usponu?
R: 20.
Od 5 radnika treba izabrati trojicu, pri jedermr jedan treba da pomaZe u berbi groZda,
IE
dan u nodenju do skladi5ta i jedan u sortiranju' Na koliko nadina se moZe obaviti izbor? R: 60.
da moima ueesrvuju u hci na 400 metam. Koliko guiih rasporeda zastava najarbolima za wijeme ceremoniie progla3enja pobjâ&#x201A;Źdnika?
IE!
Osu. atletiaara i7 osam zemalja neha
R:336.
U odjeljenju od 30 udenika, udenici su razmiFnili fotografij e. Koliko je fotografija podij eljeno?
lEl
R:8?0.
i
, n*"" ---l___----------' "" '; """"*"
;
L
j
iemo elementc skupa sa kojim radimo redati u rcd uz moguinost da elemente ponovimo. radiiemo dva primjera.
Sada U
ffiffi@
N"ka.1" S= {^, }}. Fomirajmo parove redove duzine 2, dlanovi redova su elemcnti ^, se mogu ponavljati. skupa -9 i elemenli Dobijamo sljede6e redove: (^,
(^,^),
^), Govorimo o redovima
sa
(d,
r), (^,^), (^, a), (^,^), (^, r), (r, r), (r,
^). su elementi skupa S. ponavljanjem (SP) duzine 2, dlanovi redova
x,/ l\ \ r1\^ 1|, 1l\. Slika I
Primijetimo da iz svakog dvora na odgovamjuiem stablu (slika l) izlazi isti broj grana. prvi dlan u redu mozemo izabrati na 3 nadina (biramo bilo koji element iz drugi dlan u redu rnoZemo ^t), izabrati, takode, na 3 nadina. Redova ima 3.3 =3':=9.
$ffiffiffi
N"ka.1" S= {^,^}. Fomirajmo redove (SP) duZine 4, dlanovi redova su elementi skupa
(^,
(1. ^,^,^),
(^,
^), a).
^), .l.l). t1. ^,^,
at. {^. a. t^.l.^,^,^),
t^.l.l.lt.
^. ^.l). (^. t^. ^. ^. ^t. ^. ^. ^,-
ll. ^.l.l).l- l/r.l./r.l l. (1.l. ^. ^. ^ {1. ^. ^. ^'-
(^,^,
(^,
^.
^. ^J.
(^.
^, ^-
A
,r' -..-------r.,
,'\ |
ilil
,l
i\^
1\
a" \, ie^'I ,L /1 /r
\ i'i
r/'
r"i 1\
li jt
Slika 2
Prebrojmo dobijene redove. Ima ih 16. Do broja 16 moZemo doii i primjenom pravila proizvoda. Prvi, drugi, tleii i detvfti dlan u redu mozemo izabrati na 2 nadina (moZemo birati b ilo koj i element skupa S), te moguiih izbora ilnn 2 .2 .2.2= 2a = 16.
Prije ncgo sto uradimo sljedcii primjer, ponovi6emo Sto je prazan skup. To je skup bez elemenata, koristi se oznaka A. Podrazumijeva se daje prazan sl-up podskup svakog skupa.
ffiffi
Nudilno .ve podskupove skupa s= l^,
^,
aJ i izradunajmo koliko ih ima.
Obrazovanje podskupa podrazumijeva da izdvojimo i objedinimo neke elemonte iz skupa S Ovaj postupak vaZi za sve podskupove osim praznog. Na naiem crtezu skup lllje skup podskupova slupa S (elemcnti sl-upa ,t/ su podskupovi skupa D. Islovremeno sa obrazovanjem svakog od podskupova obrazujemo i red duZine 3 na sljedeii nadin. Prvi dlan u redu je I ako izdvojimo r, u suprctnom je 0. Drugi dlan u reduje I ako izdvojimo u suprotnomje 0. ^, Treii dlan u reduje I ako izdvojimo a, u suprotnomje 0.
0,0,0 ) 1,0,0 )
0,1,0 ) 0,0,1 )
1,1,0 ) 1,0,1
)
0,1,1 ) 1,1,1 )
Slika 3
a
Kako se svaki od elemenala skupa S moZe izdvojiti ili ne izdvojiti, skup formiranih redova obuhvata sve rodove (SP) duzine 3, ilanovi redova su elementi skupa M= {0, I }. Skup redova oznadimo sa 7' Svielementi skupa I/i svi elementiskupa Zse mogu spojiti, spajamo podskup i odgovarajudi red. pa na osnovu pravila jednakosti zakljudujemo da :8. Dakle, podskupova skupa S ima 8. Je n(14/)= (T)=2t ima 2'podskupova Jasno, mi smo, nakon ito smo Na isti nadin se zakljuduje da skup s, '?('t=' obrazovali sve podskupove, mogli jednostavno da ih prebrojimo Brojanjeje katko.
Ali,
da li je razumno neposredno brojati podskupove u sluiaju kada je, recimo,
r(J)=
10? Ntje,
jer
bismo morali da prebrojimo 2'0= 1024 podskupova.
totlto
ffiNu
radina Dozemo popuniti tiLet sportskc prognoze na kojem je 13 parova?
popunjavamo tiket, mi formiramo rcd (SP) duzine 13, dlanovi reda su elementi skupa S= {0, 1,2}.
ffiruau
Ovakvih redova, a samim tim i nadina popunjavanja tiketa ima 3'r= 1594323
Net a.je S= 1a, b, r]. Nadi sve redove (SP) duZine 3, ilanovi redova su elementi skupa S.
I
I
fot;to
se petocifrenih brojova moze ,,na-
praviti" od cifara
{I,
2
,3 ,4,'7
,9}?
R:16807.
fl
Do planinskog vrha vodi 5 staza. Nakoliko se nadina moZe organizovati planinanki pohod ako se u povratku moze koristiti i staza koja je
f,l
fotiko ima petocifrenih brcjeva koji
se
mogu napisati od cifara 3,4,5,6,7,8 i 9 ako: a) je dozvoljeno ponavljanje cifara, b) nije dozvoljeno ponavljanje cifara, c) broj mora da bude paran i nije dozvoljeno ponavljanje cifara? R: a) 16807, b) 2520, c) 1080.
[l
korii6ena pd usponu?
iz skupa S = ft, B, C, D) , slova se mogu ponavlj ati. Na koliko nadina moZete sastaviti pasvord?
R:25.
R;256.
!! fofiko
ima detvorocifrenih brojeva kod kojih su prya i posljednja cifra nepame i: a) cifte se ne smiju ponavljati, b) susjedne cifre se ne smiju ponavljati, c) cifre
se
mogu ponavljati?
R: a) 1120, b) 1420, c) 2s00.
I
VaS pasvord treba da sadrZi 4 slova
VaS pasvord treba da sadrZi,
pwo, tri slova
engleske abecede (engleska abeceda ima 26 slo-
va). a zatim 4 brcia iz skupa,S= {1,2,3,4} Na koliko nadina mozete sastaviti pasvord ako: a) se simboli ne smiju ponavljati, b) se susjedni simboli ne smiju ponavljati, c) se simboli mogu ponavljati? R: a) 374400, b) 175s000, c) 44994s6
@
lll
tzdvoi sve podskupove skupa
Na meniju hotelskog rcstorana su 3 vrste domdka. Gost u hotelu treba da boravi 5 dana. Na koliko nadina moie izabrati dorudak u tok[ svog boravka?
S= {A,B,C,D,E}
i izradunaj njihov broj.
E
otrazuj tarjeaan red (SP) duZine
9, dlanovi
reda su elementi skupa:
R:243.
l[ fotito ima brojeva sa najviSe detiri cifre
a) S=
lA,E,I,V,J,R,Cj, b) s= IA, r,v, K, N,s,T\, c) S= \A,I,O, B,G,J, L|,
ako cifre pripadaju skupu
A= {1,2.3,4,s}? Rt'7'75.
koji daje smislenu rijed. R: a) VJE\TERICA, b) NASTA\NIK, c) BIOLOGUA. Upulsiva i rjesenja m str. 95
lr
Nakoo ditanja teksta koji slijcdi naudiiemo kako da prebrojimo podskupove sa zadatim brojem elemenata. Uradi6emo dva primjera nakon kojih ie bitijasan postupak prebrojavanja. Horizontalc u tabelama zvaiemo vrstama.
[N"u
j"
a
vertikale kolonama.
s= {^,^,^, }. Formira6emo sve redove (BP) duzine 2, dlanovi redova
su
elementi skupa S.
(^, ) (^, ) (^,^) (^,^) (^, ) (^, ^) (^,^) (^,^) ( ,^) (^,^) ( ,^) (,^) 4.3=12 redova i oni su podijeljeni u grupe. U
grupi se nalaze redovi Ukupno ima ,,napravljeni" od istih elemenata ($upu iine redovi iz kolone, npr. u deh,toj kolooi su rcdovi ,,napravljeni" od e i r,). Kako su u svakoj grupi 2!=2 reda (redovi iz gmpc nd5laju pcrmulovanjem d\a elemenla). lo ima
4.3
l2
= 6 $upa.
Kada bismo u prr'oj vrsti tabele zagrade O zamijenili zaE$dama {}, imali bismo podskupove {^,^}, {^,^}, {^, }, {r,^}, {r, }, }, tj. sve dvodlane podskupove skupa S. Dakle, dvoilanih podskupova skupa S ima koliko redova u prvoj wsti na(e tabele. Broj redovau prvoj vrstijednakje broju kolona grupa, anjih ima6. Zakljudimo,
{l
/,1 )!
dvotlanih oodskuoora skuoa S ima "
'
ffiN"u
j" s=\a,b,c,<1,e|. Formiraicmo
6.
sve redove (BP) duZine 3, dlanovi redova su
elementi skupa S.
(a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a)
(a,b!) (a,b,e) (a,c,4 (a,c.e) (ad,e) (h,cd) (h,c,e) (b.d,e) (cd,e) (ad,b) (a,e,b) (ad,c) (a,e,c) (a,ed) (.bd,c) (b,e,c) (b,ed; (c,erll (b,adt (b,a,e) (c,ady (c,a,e) (d,a,e) (c,bdy Q,h,e) (d,b,e) (d,c,e)
(bd,a) (b,e,a) (cd,a) (c,e,a) (d,e,a) (c,cl,b) (c,e,b) (d,e,b) (d,e,c) (.c,a,b) (d,a,b) (e,a,b) (d,a,c) (e,a,c) (.e,a,4 @,b,c) (e,b,c) (e,hd) (e,cd) (c,b,a) (d,b,a) (e,b,a) k],c,a) (e,c.a) (ed.a) (d,c,b) (e,c,b) (ed,b) (ed,c)
lJkupno ima 5 4.3 = 60 redova i oni su podijeljeni u gupe. U grupi se nalaze redovi ,,napravljeni" od istih elemenata (grupu dine redovi iz kolone). I(ako je u svakoj grupi 3!=6 redova (redovi iz grupe nastaju permutovanjem tri elementa), to ima
5.4.3
60
t! 6 Kada bismo u prvoj vrsti tabele zagade ( ) zamij enili zagradama -=-=lopt1rna
{ } , imali bismo podskupove podskupove trodlane skupa,!. Dakle, todlanih podskupova skupa S ima koliko redova u prvoj vrsti nase tabele. Broj redova u pffoj wsti jednak je broju kolona-grupa, a njih ima 10. Zakljudimo, trodlanih podskupova skupa S ima
la,h,cl, ta,b,dl itd, d. sve
5.4.3 3!
= 10.
A sada predimo na sludaj kada skup S sa kojim radimo ima elemenata. Primjenom postupka koji je izloZen u primjerima I i 2, dokazuje se da podskupova sa'?,t elemenata, 1 < i< r, na skupu ,S ima
n(n-l)..(n-k+t\ kl U matematici
se
broj
n(n-r)..(n-t+r) kl
l'uno ornu.ur
u
*
ctru
*. ...n
nud t u"
[1.).
Zapamtimo.
w"***'[]J w[lJ=fi#='" ffi
oa t undidata
za Sahovsku olimpijadu, selektor treba da odabere 5 sahista. Na koliko
nadina to moZe uraditi?
ffiffiIr.kupu
koji ima 8 elemenata fteba izabrati podskup koji ima 5 elemenata. Izbor
moze oba\ lll
se
narEl 876543 -Jz nacma.
[s,]
5
4 r'2
totito nadina se 5 udenika mogu razmjestiti na 10 slobodoih stolica ako:
ffiNu a)
je bitan raspored udedka na zauzetim stolicarra,
b) nije bitan raspored udenika na zauzetim stolicama, vei samo koje su stolice zauzete?
NN$NO
10 9.8.7.6=30240, formiramo red (BP) od stolica koje je zauzeo peti udenik,
ut{,'-0]- zsz,
l:l
ti*ro
skup od per srolica koje
ie biri
zauzere.
pni, drugi,...,
f
Nu L-znici je izabrano 10 tadaka. Koliko ima: a) tetiva,
b) trouglova, c) detvorouglova, dija su tjemena izabrane tadke?
Slika l
ffi
Svake dvije izabrane tadke odreduju jednu
"l Tetiva ima koliko i dvodlanih
tetiw.
podskupova na skupu 10 izabranih tadaka, dakle
/ ro) l= 45.
[2./ b) Svake tri izabraae tadke odredujujedaa hougao. Trouglova ima koliko i trodlanih podskupova na skupu l0 izabranih tadaka, daklâ&#x201A;Ź
fro)
[3]
l= 120.
c) Svake detiri izabrane tadke odreduju jedan detvorougao. ietvorouglova ima koliko i detvorodlanih podskupova na skupu 1 0 izabranih tadaka, dakle
fro)
[4.]
= 210.
Uradite isti zadatak u sludaju kada je na kruinici izabraao 5 tadaka. Isdtajte sve tetive, touglove detvorcuglove.
f
I"ruduoujmo broi diiagonala sedmougla.
ffi
ti"-"r,u
sedmougla
"a."o:r []J=zt
duZi. Sve duii, sa izuzetkom onih koje su
tj. stâ&#x201A;Źnicama sedmougla, su dijagonale. Stranica ima paje haZeni broj dij agotala 27-7 = 14.
odredene susjednim tjemenima, 7,
i
Slika 2
totito se nadina iz taake A mo;e sti6i (east) ili siever N (north).
f
Nu
u tadku B ako se kre6emo uvijek na istok E
Slika 3
iffiN --
kako putovali. moramo napraviti 3 korakanaEitri koraka na N Pimjer ketanja je ENNENE. Svaku putanju mozemo izjednaiiti sa redom duzine 1" dut nu sLici. putanja 6, redje napravljcn od 3 slova E i 3 slova N Broj putanjajednakje broju ovih redova. Red je odredetr sa 3 mjesta u redu na kojima se nalazi slovo E (na ostala 3 mjesta je slovo N). Kod putanje koja je prikazana na slici, E se nalazi na prvom, detvrtom i Sestom mjestu. Ova 3 mjesta od 6 mogudih mozemo izabrati na
vu
lil-:O
""ai""
Dakle. moTemopuro\ari
ll
Napi5i sve dvoilane podskupove skupa A= Ia,b,c,dt i izradunajte njihov broj.
fl
NapiSi svejednodlane, dvodlane, trodlane ietvorodlane podskupove skupa
i
A= |a,b,c,d,e,l\.
E U kutiji se nalazi 10 kuglica numerisanih brcjevima 1,2,3,...,10. Istowemeno se izvlade tri kuglice. Koliko se razliditih rczultata izvlaienja mozâ&#x201A;Ź dobiti? R: 120.
I
Trenerjedne kosarkaike ekipe na raspolaganju ima 9 igrada. Na koliko nadina moZe formirati petorku koja 6e podeti utakmicu? R: 126.
[l
Trener jedne hokeja3ke ekipe na raspolaganju ima 2 golmana, 4 odbrambena igrada i 6 napadaia. Zeli da formim Sestorku u kojoj 6e biti golman, dva odhambena igrada i tri napadada. Na koliko nadina to moZe uraditi? R: 240.
Q
Iz odjeljenja koje ima 30 udenika, 16 djâ&#x201A;Źvojdica i 14 djedaka, heba odabrati sedmodlanu ekipu za kr iz. Na koliko naeina se lo moZe uraditi ako: a) u ekipi txeba da budu 4 djevojdice i 3 djedaka, b) u ekipi treba da budu 3 djevojdice i 4 djedak4 c) sastav ekipe u pogledu pola nije bitar? R: a) 662480, b) 560560, c) 2035800.
na'0 naiina.
&zrffi
I
Na logorovanjuje 30 uienika iz Podgo ce, 25 izBan,20 izBijelog Polja i 15 iz Pljevalja. Za lzlet tieba izabrati ekipu od 5 udenika iz Podgorice, 4 1z Bw4 3 iz Bijelog Polja i' 2 iz Pljevatja. Na koliko se nadina moae izabruti ekipa? R:215783297730000.
El fotito kombinacija treba uplatiti u igri
LOTO (u bubniu su kuglice numerisane broje\ ima I,2,...,ls) da bi dobitak sedmice bio izvjestan? R: 15380937-
momka i sedam djevojaka treba da se rasporede u dva damca tako da u svakom eamcu bude barjedan momak iu srakom iamcu bude po pet osoba. Na koliko nadina se mogu
fl t
rasporediti? R:210.
lfil
Na skup3tini Drustva matâ&#x201A;Źmatidam, od 15 prisutnih delegata treba izabrati prcdsjednika i dva potpredsjednika. Na koliko nadina se to moZe uraditi? R:1365.
lll
U oa;eqeqiu to.je ima 30 uienika treba iza-
brati odjeljensku zajednicu koju dine Fedsjednik, sekretar, blagajnik i tri ilana predsjedni5tva. Na koliko nadina se to moZe uraditi? R:71253000.
l------,-
Na skup5tini Druitva matematidaxa i fizije 8 matematidara i 7 fizidaxa. Od prisuho dara prisutnih delegata treba izabrati predsjednika i 4 potprcdsjednika, s tim da su potpredsjednici 2 matematidam i 2 fiziiara. Na koliko nadina se to moZe uraditi?
lfl
R:6468.
Ig
a) pet osoba i to 3 iene i 2 muSkarca,
b) bilo kojeg broja osob4 ali mora biti jednak broj Zena i muSkaraca, c) pet osoba, od kojih su bar dvije Zene,
Milan ima
9 knjiga, a Nataia 7. Na
koliko
nadina mogu organizovati razmjertu knjiga ako razmjeqjuju po: a)
ifl Iz grupe od 7 Zena i 4 muskarca treba izabrati delegaciju. Na koliko se naiina moZe izabrati delegacija talo da se ona sastoji od:
d)
unaprijed odredena Zena, e)
po tri obapola, s tim dau delegaciji ne mogu zajedno bitij edan unaprij ed odredeni muikarac ijedna unaprijed odredena 2ena.
0
Sest osoba, po tri oba pola, s tim da u delegaciji nâ&#x201A;Ź smije biti jedan unaprijed odredeni muBkarac ijedna unaprijed odredena Zena?
jednu knjigu,
b) tri knjige? R: a) 63, b) 2940.
l4
ti4
i 10 momaka treba izabraplesna para. Na koliko nadina se lo mo;e od
6 djevojaka
uraditi?
pet osoba, s tim da jedna od njih bude ved Sest osoba,
R: a) 240, b) 329, c) 455, d) 210,e)9s,r)20.
R: 75600.
IEI
l[lu
R: 170.
grupi od l0 osoba su Maxina i Marko. Na koliko nadina mozemo izabrati 6 osoba ako Marina i Marko ne mogu biti izabrani zajedno? R:140.
l$
Iraadunaj broj dijagonala dvadesetougla. Na koliko se naiina iz taike A moze stiii u
tadku B ako se kre6emo uvijek na istok E (east) ili sievel N (north)?
fll rolito
ima petocifrenih brojeva koji se mogu napisati od cifara 3,4,5,6,7, 8 i 9 ako je svaka cifra veia od prethodne (cilre ispisujemo slijeva udesno)? R:21.
ifl rotko ima detvorocifrenih brojeva kod kojihje svaka cifta: a) veda od prethodne (cifte ispisujemo
Slika4
slijeva
R:1287.
udesno),
i
I
b) manja od prethodne? R: a) 126, b) 210.
Uputstva i 4eienja na str. 9s
Mnogi matematiiki zadaci se rjeiavaju primjenom gotovo odiglednog pravila koje je poznato kao Dirihleov princip. Pralilu 6emo se pribli,iti rjeiavajuii sljedeii zadatak.
I
i"ti.i
kunita trcba skloniti sa kiie, a u dvori5tu za njih imamo tri ku6ice. Ma kako L-uni6e rasporedili po L-uiicama, u nekoj od njih ie biti bar dva kuniia. Jasno, slaZemo se? Kako olu odiglednost dokazali?
.o\\,\$\\\l{i\-NilN
lotusuj-o
ffi
Sada
idegnemo smjestanje dva kuniia u neku od kuiica. Smjesti6emo jednog kuni6a u neku kuiicu. Smjestimo, zatim, jo5 jednog kuniia u neku od preostale dvije kuiice. Smjestimo, zatim, jo5 jednog kuniia u preostalu L-uiicu. Ostao je kunii koji nije smjesten. Poito su sve kuiice zauzetc, taj kunii se mora smjestiti u kuiicu u kojoj se vei nalazi neki kunii. Dakle, nijesmo uspjeli da izbjegnemo smjeitanje dva kuniia u neku od kuiica. Da li je pri smje5tanju kuni6a u ku6ice, obavezno da se u nekoj kuiici smjeste tadno dva kuniia? Ne, jer moZemo u jednu kuiicu smjestiti tri, u nel-u od prcostale dvije ku6ice, jednog kuniia i zavditi sa smjestaltjem. Mozemo, takode, sve kudie smjestiti u jednu L-uiicu. da
iemo formulisati Dirihleov princip.
Petâ&#x201A;Źr Gust v Leien Dirihle (1805-18s9),
njema{ki matâ&#x201A;Źmaljdar, jedan od utemeljivada
Sada
iemo vidjeti kako
se
Dirihleov princip primjenjuje prilikom rjeSavanja zadataka.
@
u oai"tl"nju
$ffiffi
Duud"r"t roilendana kuniia smjestamo u 12 mjeseci kudica i to tako da rodendan kunii smjeitamo u mjesec kuiicu u kojem se rodendan slavi. Na osnoru Dirihleovog principa, postojaie mjesec kuiica sa bar dva rodendana kuniia. Primijetimo, zadatak smo mogli i ovako postaviti: Dokaiimo da postoje bar dva udenika koji rodendane slave u istom mjesecu! U odjeljenju sa 12 udenika diji su rodendani rasporedeni po svim mjesecima u godini, ne postoje dva udenika koji rodendan slave u istom mjesecu. Akoje u odjeljenju bar 13 udenika, tada mozemo tvrditi da postoje bar dva udenika koji
ima 20 udenika. Dokuati da postoji mjesec u kojem rodendane slave bar dva udenikal Koliko udenika mora biti u odjeljenju da bi mogli tvrditi da postoje bar dva udenika koji slave rodendane u istom mjesecu?
roalendane slave u istom mjesecu.
ffi
I
r"t tue*a je smjesteno
u
jednakoshanidnom trouglu duzine stanice I
medu njima po.roje dr ije raeke
iijele
<
rasrolanje
l. Dokaiimo
da
I
I
Slika 2
Srednje duZi dijele tougao na 4 podudama trougla. Ako 5 tadaka posmatramo kao kuniie, a 4 podudama trougla kao kuiice, zakljudujemo da postoje dvije tadke koje su smjeStene u istom tlouglu. Rastojanje medu tim tadkama nije ve6e od duiine sftanice
rrougla kucice.
a ona
je
I
1.
@lotuzi-o
da u gmpi od l0 osoba, postoje dvije osobe koje imaju isti broj poznanika! Smatramo da imati poznanika znadi da se osobe poznaju uzajamno.
ffiffi
nurfikouaiemo dva sludaja.
Plisludaj.
U gmpi postoji osoba koja poznaje sve osobe. Tada, u grupi nepostojiosoba
bez poznanika. Za svaku osobu broj njenih poznanika je i, .tupu J= 1f, Z,:,..., e1, u kakoje u gmpi 10 osoba, u skupu,spostoje dva broja koji odgovaraju dvjema osobama. Dakle, dvije osobe imaju isti brcj poznanika
Drugi sludaj. U grupi ne postoji osoba koja poznaje sve osobe. Za svaku osobu broj njcnih poznanikaje iz skupa,S= {0, 1,2,3,..., 8}, a kakoje u grupi l0 osoba, u skupu S postoje dva broja koji odgovaraju dvjema osobama. Dakle, dvije osobe imaju isti broj
poznanika.
ffiffi .iWNU
ou ti1" tablicu formata 5x 5 moguie popuniti brojevima iz skupa zbirovi brojeva po vrstama, kolonama i dijagonalama razliditi?
{-
1,0, I l. tako da su
i dijagonali ima po 5 brojeva i odgovarajuii je iz skupa 1,0,1,2,3,4,51. Vrsta, kolona i dijagonala, a samim ^irtim i zbirova, ima ukupno 12. Na osnol,u Dirihleovog principa, medu 12 kuniia zbirova, koji su rasporeileni u I I kuiica-brojeva (kunii _zbir ide u odgovarajuiu kuiicu_broj), poitoje svakoj vrsti, koloni
{-5, 4, 3, 2,
dva ista zbr'ra
Il
U Skoli irna 400 udenika. DokaZi da postd i dan u godini kada rodendane slave bar dva udenika. lli, dokaZi da postoje bax dva udenika koji rodendane slave istog dana.
I
OokaZi da medu 27 rijedju engleskog jezipostoje ka, bar dvije sa istim podetnim slovom.
fl
rada 1e e dleeaka
ffrffi-osTl;mfriot"E
bilo 7 bombona. Kada su izaSli iz sobe, na stolu nije bilo bombona. a) DokaZi
da
je neki djedak pojeo bar dva
bombona b) Da li moiemo tvrditi da je neki od djedaka pojeo tadno dva bombona?
I
Oot
a;l da u naselju sa I000
stanormika.
S
U kutl;i se nalazi 7 crvenih i 5 plavih olovaka. U mraku se iz kutije vade olovke. Koliko ololaka beba izvaditi da bi medu njima sigumo
bile2crvenei3plave? R: 10 olovaka-
E
U skupu S diji su elementi 5 prirodnih brojeva, postoje bar dva broja, takva da je razlika veieg i manjeg djeljiva sa 4. DokaZi.
@ u skupu S diji su elementi z+1 prirodnih brojeva, postoje bar dva broja koja imaju isti ostatak pri dijeljenju sa n. DokaZi.
l[
El
Matu$ki ispit je polagalo 65 udenika. Polagali su matemji jezik, matematiko i engleski. Svi udenici su polozili (prelazne ocjene su 2, 3, 4, 5)- DokaZt da postoje dva udedka sa istim ocjenama.
E
Na testu se moze osvojiti 0, l, 2, 3, -.. , 100 bodova. Koliko osoba treba da radi test da bi bili sigumi u to da ie postojati bar dvije osobe koje ie osvojiti jednak broj poena? R: 2102.
u skupu S diji
su elementi rl+1 prirodnih postoje brojeva. bar dva broja. lakla da je razlika reieg i manjeg djeljiva sa a. Dokaii.
lfl
Moljacje na tepihu oblika kvadrata, duiine stranice 4m, napravio 15 rupica (rupice posmabamo kao Laake). DokaTati da se sa tepiha moze iztezati patle oblika kvadrata, duzine stranice lm, na kojâ&#x201A;Źm nema rupica!
lEl
Svaki Sestodlani podskup skupa
c-rr l
ot
sadrZi dva elementa
E
U skupu S diji su elementi 5 prirodrih brojeva, postoje bar dva broja koji imaju isti ostatak pri dijeljenju sa 4. DokaZi.
dijije zbir
10. DokaZi.
IE
Milicaje na tabli zapisala 55 mzliditih dvociftenih brojeva. DokaZi da medu njima postoje dva broja dijije zbir 100. ----
I
Uputstva i desetrja na str.
97 i
Na kraju pride o kombinatorici navodimo detiri poznata kombinatoma zadatka.
f
Ir,l^gieni kvadrati. Magidni kva&at reda lr je kvadratna tablica formata rx r (tablica ima r? wsta i a kolona) u koju su upisad brojevi 1,2,3,..., rl':, tako da su zbirovi brcjeva u svim wstama, kolonama i diiagonalama jednaki. Tai se zajednidki zbir oznadava sa s, i naziva magidni zlir magiinog kvadrata reda n. Za n=3,4,5 primjeri magidnih kvadrata su 16
l
2
13
3
l6
5
t0
t1
8
20
8
21
14
2
9
6
'7
12
'l
25
t3
1
t9
18
6
4 15 14
1
9 22 15
24 12 5
l1 4 l'7 l0 23 Slika I
Magidni zbirovi u nasim kvadratima su redom 15,34,65. Matematidari su pokazali da magidni kva&at postoji za svako n>2. Drugim rijedima, pokazano je da se svaka kvadmtnatablicasar?wstai,kolona,,?>2,moZepopunitibrojevima1,2,3,...,'1tako da su zbirovi brojeva u svim vrstama, kolonama i dijagonalamajednaki. Takode, naden je algoritam (postupak) kojim se magidni kvadrat formira. U srednjem vijeku su ljudi vjerovali u iudesnu mo6 magidnih kvadrata i oni su no5eni kao za5tita od zlih duhova.
@
trou"-
prekrivania iahovske table dominama.
Sahovskutablutrebaprekriti-,poplodati"plodicamatipa,domina",tj.pmvougaonrclma napravljenim od dva kvadrata koji su identidni polju sa Sahovske table. Prâ&#x201A;Źkrilanje podraz-umijeva da je pokriveno svako polje i da se prilikom prekrivanja domine ne preklapaju.
S1ika2
Pitanieie da li
se
tabla moZe prekriti sa 32 domine.
Za par minuta sami mozote napraviti bar dva poplodavanja Dakle, odgovor
na
moie
postavljeno pitanje je pozitivan. Prirodno je postaviti pitanje: Na koliko nadina se obaviti poplodavanje? Ovaj problem je veoma ozbiljan i odgovor je dobijen tek I 961 godine. Posloji 129888 lo poploia\anja.
.
A sada zamislimo da su sa Sahovske table otklonjena polja al i h8. Ovako dobijena tabla se naziva kmjom. Pitanjoje da li se dominama moZe poploEati kmja tab1a.
Slita
3
Na krnioi Sahovskoj tablipostoji 30 bijelih i 32 cmapolja. Akoje poplodavanje moguie, za njega su polrebne 31 domine (62:2). Na domini postoji bijelo i cmo polje, a na 31 domini, 31 bijelo i 3l cmo polje. Dakle, 3 I domina ne moZe prekriti krnju tablu jcr na njoj postoje 32 cma polja.
ffi -
rg.u u"nojskih tornjela. Igraje dobila naziv po tome 3to se na stubiiima u toku igre formiraiu figure koje podsje6aju najedan toranj u Hanoju (gla!'ni grad Vijetnama) Na prvom stubiiu (stubii A) se nalazi ,? kolutova (na slici 4 je 8 kolutova). Cilj igreje da se kolutovi prebace na $ednji stubii (stubii B), tako da na njemu budu u istom polozaju kao na stubiiu A na podetku igro, tj. svaki kolut lezi na vedem (osim posljednjeg, najveieg). Prilikom prebacivanja, prebacujemo samo po jedan kolut i ve6i kolut se ne smije staviti na manji.
koristiti i tredi, pomoiDi stubi6 C. Matematidki problem koji se vezuje za om igm glasi: Koliki je najmanji broj prebacivaqia kolutova da bi se cilj ostvario? odgovor je 2' l. U sludaju sa naie slike je potrebno 23 l=255 prebacivanja Ovaj zadatak iete rijeiiti na fakultetu. Do tada treba sfpljivo uiiti. Da biste mogli rjeiavati ovaj i mnoge druge zanimljive matematidke zadatke, morate posjedovati veliko matematidko znanje. Kroz istoriju matematite naudnici su gradili teoriju, Sirili riznicu matematidkog znanja i onima koji su radili nakon njih stvarali moguinost da deSavaju
U igri
sve
se moze
ozbiliniie probleme.
$"
t" Slika 4
"*"::rJ;#r:';'i*''" mostovi. Stari pruski grad Kenigsberg leZi na obalama rijeke Pregel rijeci se nalaze dva ostrva koja su mealusobno i sa obalama povezana sistemom od sedam mostova. Neki stanovlxici Kenigsberga su pokuiavali da organizuju ietnju u toku koje 6e preii preko svakog mosta, ali samo jednom Kako nijesu uspjeli da talo'u Setnju organizuju, obratili su se velikom Svajca6kom matematidaru Lconardu Ojleru sa pitanjem da li je takva Setnja moguia. Ojler je dokazao da je takva Setnja nemogu6a'
M,x"nlg"teriki -Nu
Slika 7 Shema rnostova na rijeci Pregel u Kenigsbergu
Pokazademo kako je Ojler rije3io problem. Obale rijeke Pregel oznadimo sa A i D, a ostrva oznadimo sa B i C (govoridemo o,Bodrudjima"A, B, C i D). Pretpostavimo daje Setnj a mogu6a. Setnja se zavrsava na nekom od podrudja A, B, C iD, s tim daje sa istog podrudja mogla i podeti. Svako podrudje, koje nije podetak ili laaj Setnje, sa ostalim, susjednim podrudjima je povezano pamim brojem mostova. Naime, osim mosta kojim smo na podrudje stigli, postoji rnost kojim sa podrudja odlazimo. Drugadije redeno, za
i ,,odl^zeiih ' mostova, tj' ukupan broj mostova vezaaih za podrudja koja nisu podetak ili kraj ietnje je paran Podrudja koja su sa susjednim podrudjima povezana nepamim brojem mostova su ili podetak ili kraj Setnje, a takvih podrudja moZe biti najvi5e dva. Kod nas postoje detiri podrudja koja su povezana nepamim brojem mostova (sva nasa podrudja). Dosli smo do Fotiwjedja, te svako podrufje postoji je<lnak broj ,dolazeiih '
ietnja nije moguia.
Za razliku od stanovnika Kenigsberga, Pariiani mogu pmsetati ostrvima i obalama Sene
tako da predu sve mostove ito svaki samojednom. Podrudja obale A i D su povezane nepamim brojem mostov4 a podrudja ostrva B i C pamim brojem mostova. Shema mostova je povoljnija nego u Kenigsbergu, mogucnost ,,nase" Setnje ne odbacujemo na startu i ostaje nam da pokaZemo da ona stvamo postoji. PokaZite to i sami polazeii, recimo, sa obale D.
Slika 8 Sherna nostova na njc'ci Seni u Parizu
LeonardOjler(Bazel, 1707-Pehograd, 1783),velikiSvajcarskimatematiiar, fizidax i astronom. Objavioje znaiajne radove iz mnogih oblasti matematike. Bio je naudnik izuzetne radne sposobnosti i aktiwosti, koja nije jenjavala i kada je oslijepio na jedno oko, a ni onda kada je potpuno oslijepio; tada je svoie radove diktirao. Radio je u Petrogadu i Berlinu. Leonard
ojler
f!
Pokazi da se u centu magidnog kvadrata reda 3 mora nalaziti broj 5.
fl
Nadi -inlmal-oi broj prebacivanja u igri Hanojskih tornjeva u sludajevima n=2, n=3, z=4. U svakom od tih sludajeva objasni kako treba obaviti najmanji broj prebacivanja.
S
Nadi barjedno obilazeqje ,,otvorene" koverte. Treba loenuti iz nekog tjemena i Fo6i svim stranicama kovâ&#x201A;Źrte, ali samo jednom.
El
M
potruSaj da obides zatvorenu kovertu po pravilima iz prethodno g zadatka, a zatim dokaZi da je takvo obilaienje nemogute.
Slika 10 Zatvorcni koverat
Slika 9 Otvoreni koverat
Uputstva i rjesenja na stl. 9?
3ri