Izedin Krnic - Matematika 8 (trougao - dopuna)

I. PODUDARNOST TROUGLOVA

a) c) oznadeni su jednaki elementi dva trougla. Da ti trouglovi podudami? Odgovor zapiii pomoiu matematidkih simbola. Za svaku sliku zapiSi jednakosti odgovarajuiih stranica i odgovarajuiih uglova podudamih trouglova.

57. Na slikama 1.1

li

su

58. Nacrtaj dva trougla podudarna redom trouglovima ABC I pKT na slici L2. Oznadi tjemena tih touglova, a zatim u oba sludaja zapisi

A

b)

jednakosti odgovaraju6ih stranica i odgovaraju6ih uglova.

Sllka 1.1

59.

Ato je

^lBC

AB = 6cm l =AP,Sr ,

je

60. Ako

^,48C =^P,ST, stranice ^P.tZ.

AB

:3

lA=80'

odtedi pS

:

lC:

cm, BC

5 cm,

6l.Akoje IABC =&57,.4.A=35" t48=57'odredi

i

lp.

6 cm, odredi

/C i

ugtove

^P_92.

62. Ako

IA.

je aABC =aPSK,4P

= 77'

,

Pf:

11 cm

i

pS:

5 cm, odredi

AB i CA.

63. Ako je IABC =al/l,'lK, /.A = 24N trouglova.

mobim

tougla aABC

Prflje

=rPMT,

ilC=60'odredi

30 cm. Odredi stranicu

AB :8

cm,

ugtove tih

rC trougla IBC

ako

je

AC:12cm.

l,

65. Stmnice i fP tonglova ABC i trouglovi biti podudami?

I(PT nijesujednake. Mogu Ii ti

IBC i PSI tako da za svaku strajednaka postoji njoj stanica trougla PSr.

66, Nacrtaj dva nepodudama trougla

nicu tougla

IBC

67, Najmanja stranica trougla

ugla 68.

PIK

Na slici

lrc

nije jednaka najmanjoj stranici tloMogu Ii ti touglovi biti podudami?

1.3

je

^ABC =^FDC.

DokaZt da

je ABI FD.

8ll*.1,8 t1

12

Matematika

I-

zbirfra zadatrka

ffiNa

ffi

slici

1.4

je

{KM

=aBAC. DokaZi daje

TMIBCIMKIlAC.

Na slici 1.5 je Odrcdi obim trougl a ADC ako je ^ABC =^KBD. O",o, = 60 an i CD:24 cm.

Prvi stav o podudarnosli ttouglova Slika 1.4

71. Na slikama 1.6 a), &), c) oznadeni sujednaki elementi dva trougla.

a) Obtazloii zaito su trouglovi na svakoj

od navedenih slika

podudami. b) Pomoiu matematidkih simbola zapiii njihoru podudamost. c) Zapisi jednakosti preostalih odgovaraju6ih stranica i odgovarajuiih uglova.

Sllki 1.5

i zapi5i podudamost razlidito obojenih trouglova prikazanih na slikama 1.7 a)-d).

72. DokaZi

TK C

%M Sllte 1.7

73. DokaZi podudamost houglova

ffi

Slll(l1.8

OuZi

,la i

AD:

CB.

IBC i DC,

na

slici

1.8.

CD piednici su iste kruznice. DokaLtL da je AC = BD I

m

Dokaii da su teiisne duZi porutene lajednake.

ffi

OuZi,4, i CA siieku se u tadki DokaZi da je AD :

BC.

na krakove j

ednakokakog troug-

O tako da je AO

:

CO i BO

:

DO.

Trougao 13

l,

H

Jednake duzi i CD sijeku se u tadki O tako da je CO = OD AO OB. Dokaii da je ACllBD. Dali je ADIIBC?

ff

DuZ

:

jednakokrakog tlo iugla AB C . Na ktaku AC oznadenaje ladka 7, a na kraku ,C tadka tako da je C7: Cr(. DokaZi da je AK : BT.

I

I

(

kracina la,4b ozratene sntadke redom B i CtakodajeAB:

lNa I

lB je osnovica

i

C DokaZi

da za svaku tadku D na simetrali to

gltglavaZi DC

:

DB

.

Na kracima l.aBb oznaierle s:utadke A, K, M i C tako dataike A i KleLe nakaku Ba, atatke MiCn kJak\ Bb i pri tomejeBl =BC i BK = BM. DokaZi da je AM: KC.

tatka S.ie srediste osnovice -RCjednakokakog trougla,4BC. Na i Ktako dd je BT = CK.

duZima BS i CS oznadene su redom tadke 7 DokaZi da je trougao llKjednakokrak.

I

DuZ BCj e osnovicaj ednakoknkog trougla

IBC

Na produzetku duzi BC kroz tatkn B onadenaje tadka Z, a na prcduzetku iste duii kroz : KC. Dokazi da je troutadku C oznadena je tadka K tako daje

,-

gao

lTtrjednakokak.

fbtataka A i B prave p porudene su jednake duZi lZi BK tato da se tadke K

i Z tralMe

je 4ABK

=

sa iste strane prave

p, ne poklapaju

se i

pri tome

ITAB. DoknLl daje AK= BT.

6i:

I

luZ I fle

I

U untrasnjosti trcngla ABC ozlatenaje tatka O tako da ie AO = BO t 4AOC = 4.BOC. Dokazi daje trougao ,43cjednakokrak.

teZisna odretlenaje tadkaStako

AC i BC

|ABC. Na produzetku te duii koz tadku Z dajel7:I,S. Dokati daj e AC = BS r AC ll BS.

hougla

IBC produZeni

su

koz tadku

Jednakokakog -Kraci C. Na produzetku kaka -RC oznadena je taika 7, a na produZetku

haka

I

C tadka K tako da je AK

: BT. Dokaij da je AT :

BK.

Drugi itredi stav o podudarnosti trouglova

8t

Na slikama 1.9 a), b), c) oznadeni su jednaki elementi dva hougla. a) ObrazloZi zaSto su trouglovi na svakoj od navedenih slika podudami.

ta

Matomatila 8

-

zbirka zadat.ka

6) Pomoiu matematidkih simbola zapisi podudamost tih trouglova. c) Zapi5i jednakosti preostalih odgovamjuiih stranica i odgovarajuiih

uglova.

88, DokaZi i zapisi podudaxnost razlidito obojenih trcuglova na slikama

t.l0 ald).

Slike 1.10

slici l. 1 1 je ACKi BCD.

89. Na

ffi

4l

=

42 i A C = B C. Dokaii podudamost touglova

DuZ BC osnovica j e j ednakokakog trougla

ktrise

BKi Cljednakei.

da

je

CK:

ItC

Dokazi da

su

bise-

BT.

klacima -4acb ozna1ene sn ta'ke I iB, a na njegovoj simetrali tadka D tako daje 4CDA = ICDB. DokaiidajeAD:BDiAC:

mNa Slita 1.11

a)

BC.

ffi

tatka fle srediite osnovice lB jednakokakog trougla ABC.Na kracima lC i BC oznalene su redom tadke 1i S tako da je IAKT = IBKS. DokaZl, da te AT = BS i KT=KS.

m

Na kracima

I

,Cjednakokakog trougla ,4BC oznadene su redom tadke 1< i S tako daje lf: r,S. Na osnovici,4 B ozrLa'ena je taaka M ta,ko da je lJ4KM = 4BSM. DokaZi da je tadka Msrediste osnovice Ci

AB.

ffi b)

K

I

i B leze na pravoj p, a prava 4 prolazi lcoz srediste O duzi Na Favoj 4 oznadere su tadke D i C s razliditih stana prave p tako da je CAll BD. Dokaij da 1e AC : BD i OC OD.

Tadke

lB.

:

lrc

m

prcduZeni su koz tadku Kmci lC i ACjednakokakog trougla C. Na produZetku kaka BC oznadena je tadka Z, a na produzetku kraka lC tadka 1< tako da je ICAT = ICBK. Doka2\ da je AT = BK.

m

Na kacima

tadke

Sm

f

lC

BCjednakokakog trougla lBC oznadene su redom i r( tako da je 4CAK = 4CBT. Dokati da je AK: BT i i

lC

i BC trougla IBC produzene su koz tadku C Na produzetku stranice lC moie se oaladiti tadka K, a na produzetku stranica ,RC tadka 7 tako da je 4ATC = 4BKC i CT=CK. Dokaii da je trougao lBC jednakohak.

Stranice

98. DokaZi i zapiii podudaxnost m slici I .12 a), b), c).

rulidito obojenih trouglova prikazanih

Trougao 15

99. Imenuj parove medusobno podudamih trouglova na

slici

1.13.

l,

f

Na kru'nici sa centlom u tadki O oznadene su redom tadke C tako daje AB : BC. Dokaii daje IAOB = IBOC.

!

Na kruZnici sa centlom u tadki O, u smjem suprotnom kretarju kazaljke na satu, oznadene su redom taike A, B, CiDtakodaje AB: DC. DokaZi da je lAOB = ICOD.

Bi

f

Tadka O.je centat dvije louZnice. Na kmZnici s rnanjim poluprednikom oznadena je tadka ,{, a na kruZnici s veiim poluprednikom tadke B i C tako da je AB = AC. Dokaii da je 4AO B = 4AOC.

I

Kruznice sa centrima q sijeku se u tadkama.4 iBiimaju jednake poluprednike. DokaZi da duZ QQ pripada simetralama 'uglova 4AO,B i 4.AO,B.

]Dfi

zajednidka osnovica jednakokakih trouglova .4BC i lBDpridemutadke CiD leze s razliditih stranaptave AB. Dokati d^ dui CD pipada simetralama uglova 4ACB i 44D8.

I

Shanice lC i BC trougla l-BC produzene su kroz tadku C. Na produietku stranice lC moze se oznaiiti tadka 7, a na produietku stranice ,C tadka K tako da je AT : BK i AK - BT. Dokati da je trougao,4BC jednakokrak.

f

U unutrasnjostijednakoknkog trouglaABC s osnovicom AB oznadena je tadka O tako da je OA = OB. Dokai:i da di. CO leZi na simrctla,li IACB.

I

Na stradcama I C i BC tto\gla ABC oznadene su redom taike K i Z, a u untrasnjosti tog trougla tadka O tako da je CK = CT i OK : OT. Dokai,i da dvi CO lei:i na silr,ellalt IACB .

I

Na shadcama I C i BC tto]ugla ABC mogu se oznaditi tadke r< i 7 tako daje AK: BTi BK: AT. Dokati da je hougao lBcjedna-

iq

AB

je

kokak.

I

Na stranicama I C i BC fio]ugla ABC oznadene su tadke r< i I, a u untasnjosti tog trougla tadka O tako da je Cr( = TO i CT: OK. DokaZi <la je IKCT = I.KOT.

Podudalnost pravouglih trouglova

{O

DokaZi daje

Ul.

Dokaii sljâ&#x201A;Źdeie podudamosti trouglova prikazanih na slici a)^PQT =^SQT, b)^POR=^SQR, c)aPIR

^AHC =^BHC

=aSIR.

(slika l.l4).

1.15:

Slil(a 1.13

la

Malenatika 8

-

zbirka zadatata

modredi

velidinu ugla -r (slike 1.16

a!d)).

d)

Sllka 1,16

ffi

,7

I

i B leze sa iste strane prave p tako da su nonnalne duzi ,4f i spustene na tu praw jednake i ne leze na istoj pravoj. Dokazi da

Tadke

je AT = BK.

ffi

Tadke ,4 I B leze s razliditih strana pmve p tako da su nolmahe duzi spuitene na tu pralu jednake i ne leie na istoj pravoj. DokaZi daje tadka u kojoj se sijeku duii lB i KI srediste tih duti.

A( i BI

ffi

DuZ BC.je osnovica jednakohakog trougla,4BC, tadka

ffi

nuZ ie bisektisa ,/.CAB trougla ABC. Iz tadke r( spultene su normalne duii ,(l i KS redom na stranice ,48 i ,4C. DokaZi da je

lr,

f

Mje srediite

kraka a taika srediite kraka lC. Iz taiaka Mi Z spustene su normalne duZi ,44( i 7S na osnovicu BC Dokaii da je MK = TS.

;f

KT=

KS.

ffil

Prava normdna na simehalu 4aOb sijeie kake Oa i Ob redom u tadkama ? i lL Dokazi da je trougao OTr(jednakokrak.

m

(Direktno tvrdenje). Ako tadka leZi na simetrali duzi (svojstvo.g), dokaii da se ta tadka nalazi na jednakom rastojanju od kajnjih tadaka te duzi (svojstvo P).

m

(Obrnuto tvrdenje), Ako se tadka nalazi najednakom rastojanju od krajnjih tadaka duZi (svojstvo p), dokazi da ta tadka leii na simetrali te duZi (svojstvo ,f).

ffi

lotaZi aa trajrje tadke duzi leze najednakom rastojarju od bilo koje prave koja prolazi kroz srediste te duzi.

Sffi

Dokazi da normahra duz spugtena iz centra kru-Znice, na bilo koju njenu tetiw, leii na simetrali te tetive.

fiffi

Dva pravougla trougla imaju j ednak po jedan oitar ugao i bisektrise por,udene iz tjemena tih uglova. DokaZi da su ti trouglovi podudami.

m

U)irektno tvrilenje). Ako tadka lezi ra simetali ugla (svojstvo.g), dokazi da je ta tadka jednako udaljena od hakova ugla (svojstvo

4.

Trougao

(Obrnuto tvrdenje). Ako je tadka jednako udaljena od kakova ugla (svojstvo P), dokaZi da ta taeka lezi na simâ&#x201A;Źtdi ugla (svojstvo

n

,9).

2. KONSTRUKCIJA

TROUGLA

Konstrukciie zasnovane na pruom stavu Podudalnosti trouglova 125. Konsttui5i trougao kojem su zadate dvije stranice i ugao obrazovan tim stranicama: a)AC = 4cm, BC = 5 cmJ = 6O'

'

b)

126.

AC = 4 cn, AB = 5 cr:r,a = 45.

Konshlisi pravougli trougao kojem a) AC :

5,5 cm, BC = 3,5

cm]'

su zadate katete:

b)AC:4cm,BC=6cm.

127. Konstuisi jednakokaki tougao kojem su zadati kaci i ugao pd vrhu: a)AC = BC = 4cn.y - 60' btAC = RC = 5 cm. Y = 45"

.

Konstrukciie zasnovane na drugom stavu podudarnosti trouglova 123. Konsfuisi hougao kojem su zadati jedna stranica i njeni nalegli uglovi: a')

BC

=5,5aI';

0=

b) AC = 5.5crt: ct =

45', t=60',

l0'. Y -

75

.

129. Konstuisi plavougli trougao s pravim uglom kod tjemena C ako je zadata jedna njegova kateta i oitax ugao:

a\ AC = 4,5 cm;

a=60', b)BC=4,5cmi

p=30".

130. Konstluisi jednatokaki trougao ako je zadata njegova osnovica ugao na osnovici: a) AB = 4,5 cmt a=60, b)AB=4,5 cm: P=75".

Konstrukciie zasnovane na tredem stavu podudatnosti trouglova 131. Konstruisi trougao kojem su zadate stranice: a) AB: 4 cm, BC: 5 crrt, AC = 6 cm. b) AB 132.

:

4,5 cm:'

BC:

5,5 crt, AC = 4 crn.

Kofffuisi jednakokaki tougao kojem

- 4,5 cm]' AC: BC = 5,5 cm, b)AB:4crrl.,AC:BC=5cn.

a) AB

su zadati osnovica i

kak:

i

It

t8

Malemalika

I-

zbirka zadataka

133. Konstruisi jednakostranidni hougao ako je zadata njegova sfani-

cata)a:4cm, b)a:5cm.

3. SREDNJA DUZ TROUGLA

134. Tadke K, P i 7 srediSta su stranjca lB, B C t CA trottgla ABC. Odtedi obim aKPI ako jeAB= l0cm,BC: 12 cm i 18cm.

Cl:

135, Tadke K i 7 sredista su stranica,.4B i.4 C trouglalBc. Odredi obim trougla IBC ako je obim trougla lKfjednak 2l cm.

136, Tadke r(, P i 7 sredista su sldantca AB, BC i CA tto:ugla ABC. Odredi obim alBC akoje-KP= 20 cm, PZ:30 cm i Z(:60 cm. $ediste kraka lB, tadka / srediSte osnovice BCjednakokrakog tougla ,48C. Odredi obim trougla IBC ako je B 7= 4 cm iKT=7 cm.

W

Tadka

ffiS

DuZ

fim

Dut,lAlje

,(je

](f = 3 cm srednj a j e duZ jednakol(akog tougla IBC paralelna osnovici BC. Odredi duiine stranica lB, BC i lC ako je obim trougla lBCjednak 16 cm. srednja duZjednakoloakog trougla

IBC

paralelna osno-

vici BC. Odredi duiine duzi ,14y' i BC ako je obim trougla 1,14y' jednak l9 cm i ako je AM:'7 cm.

m

Dokazi da srednje duzi trougla dijele taj trougao na 4 medusobno podudama tuougla.

m

Dokazi da srcdnje duZijednakostranidnog trougla obrazujujednakoshanidni trougao.

m m I

DokaZi da srednje duZi jednakoloakog fougla obrazuju jednakokraki trougao.

Dokati da srednje duzi nejednakostranidnog trougla obrazuju nejednakostranidni trougao.

lC

Na stranici ,48lrougla ,4BCoznaeenaje taaka M. a na sranici ,M:3AM i CN = 3AN. DokaZi d^ je MN ll BC. Odredi duZinu duZi,44r'akoje BC= l6 cm. tadka /r' tako da je

4. ZNAEAJNE TAEKE TROUGLA

Konstrukciia kruinice opisane oko trougla 145. Zadto je za konstrukciju centra kruinice opisane oko hougla dovoljno poruii simetrale bilo koje dvije stranice tougla?

146. Nacrtaj o3trougli trbugao

i oko njega opisi kruinicu.

147, Centar l<Iuzrice opisane oko oitrouglog trougla pripada: a) unutrasnjoj oblasti trougla, D)jednoj od stranica trougla, c) spoljainjoj oblasti trougla.

Zaohuzi tadatr odgovor.

Trougao 19 148. Nacrtaj tupougli trougao 149.

i oko njega opisi lauinicu.

Ce[tar kmz[ice opisane oko tupouglog trougla pripada: a) unutraSnjoj oblasti trougla, ,) jednoj od sfanica fougla, c) spolja.lnj oj oblasti tougla.

Zaokruzi tadan odgovor

150. Nacrtaj pmvougli trougao

i oko njega opisi kuZnicu.

kruinice opisaae oko pravouglog tougla pripada: d) urutrasnjoj oblasti trougla, D) jednoj od stranica trougla,

151. Centar

c) spoljasnjoj oblasti trougla.

Zaokruzi tadan odgovor

152, Kojoj stladci pravouglog trougla pripada centar kruZnice opisane oko tog trougla?

153. Centar kruinice opisane oko pravouglog trougla moZe se odrediti nalaZenjem sredista stanice tog trougla. Kojaje to strarica?

154. Duiina hipotenuze pravouglog trougla je: a) 6 cm, b) 8 cm, c) l0 cm.

Kolika je duiina poluprednika te kruznice?

l,

E

Odredi tadku koja je jednako udaljena od tri zadate tadke koje ne leie na istoj pravoj.

I

Uzmi metalnu novdanicu od 2 â&#x201A;Ź i pomodu nje nacrtaj kruZnicu.

Kako se moZe odrediti centar te kruznice?

I

Oko oitouglog trougla IBC opisana je lcuznica sa centlom u tadki O. Rastojanje tadke O od prave ,4B jednako je 10 cm. Odredi poluprednik kruinice ako je IAOC =130' i /.BOC =llO'.

-B

iC

Konstrukciia kruZnice upisane u trougao 158. Zaito je za konstrukciju centa kruznice, upisane u trougao, dovoljno po\.Lr6i simetrale bilo koja dva ugla tog trougla?

159. Jednakokrakom trouglu opisi i upisi kruinicu, a zatim pomci visinu koja odgovara osnovici. Sto primjeiujel?

160. Jednakostranidnom trouglu

opiii i upi$i kminicu.

Sto

primjeiujei?

D

U tougao IBC upisana.je kruZnica sa centrom u tadki O. Odredi 4AOB , 4BOC i 4.COA ako Jet L4 = 34" i 48 = 46' .

m

U jednakokraki trougao l-BC upisana je kruznica sa cerhom u tadki O. Odredi -4.BOC ako je: a')

S

4A= 50', b)lA=60", c).4A=70".

U trougao .4BC upisana je kruinica sa centrom u tadki O. Odredi polugednik te kruZnice ako je CO = l0cm rlC=60.

2t

Matemalita

I-

zbirka zadalaki

ffiff

Kru,nica upisara u hougao ,4BC dodiruje njegove shanice lB. BC ilCrcdom u tadkama D, E i F. DokaZi d,a jei AD: AF, BD = BE i CE: CF.

ffi

Krutuica upisana u hougao ItC dodiruj e njegove stranice lr, rC ilCredomutadkama D, Ei F. Odtedi AD, BD, BE,CE,CF I AF ako je AB = 6 cm, BC: 10 cm i lC: 14 cm.

I

kojoj kruinica upisana u jednakokraki trougao dodiruje hak trougla dijeli taj krak na odsjeike 3 cm i 4 cm. Odrcdi obim Tadka u

tog trcugla.

!

I

U trougao IBC upisana je kruznica sa cenfom u tadki O. Na stmnicama AB i AC oznai,ene su redom tadke D i E tako da je OE ll AB i OD ll AC. DokaLi da je AD : DO = OE = EA. Obim pravouglog trouglaje 24 cm, a duZina njegove hipotenuze upisane u laj bougao.

je l0 cm. Odredi polupreenil kruztice

I

Dokazi daje zbir duzina kateta pravouglog fougla dva puta veii od zbira poluprednika opisane i upisane kruZnice.

I

Nekaj e O centar kuinice upisane u tougao IBC i neka uglovi tog trougla zadovoljavajt uslov 4A3,4.8 ! ^4.C. Dokai,i da je OC <OB <OA. Drugim rijedima, od tri tjemena trougla, centru kruZnice najbliie je tjeme najvedeg ugla.

Ortocentar ttougla

l7l,

Zaito je zakonstrukciju ortocentra trougla dovoljno poruii visine iz bilo koja dva qemena trougla?

172. Nacrlaj osrrougli trougao

iodredi njegov onocenlar.

173. Ortocentat oitrouglog trougla:

a) poklapa se s jednim od tjemena trougla, 6) pripada unuha3njoj oblasti trougla, c) pripada spolja3njoj oblasti trougla.

ZaokruZi tadan odgovor 174. Nacnaj rupougli trougao

iodrcdi njegov onocenl.!r.

175. Ortoceiltar tupouglog trougla:

a) poklapa se sjednim od tjemena tougla, b) pripada unutrainjoj oblasti trougla, c) pdpada

spoljainjoj oblasti trougla.

Zaokuii tadan odgovor 176, Nacaaj pravougli trougao iodredi njego\ onocenur.

177. Ortocentax pravouglog trougla:

a) poklapa se s jednim od tjemena trougla, 6) pripada unutraSnjoj oblasti trougla, c) pripada spoljasnjoj oblasti trougla.

Zaokruzi tadan odgovor.

Trougdo 2t

i

lE

Konstruisi hougao dije shanice imaju duiine 5 cm, 6 cm i 8 cm, a zatim odredi ljegov ortocentar.

I

Poslije brisanja trougla IBC ostala su tjemena H. Ponovo nacrtaj taj tougao.

I

i B i ortocentar

TediSte trougla

$; G !

je za konstrukciju teZiita hougla dovoljno po!'u6i t€Zi3ne duii iz bilo koja dva tjemena trougla?

Zadto

Nacrtaj bilo kakav fougao i konstuisi njegovo teziste.

Poslije brisanja trougla IBC na papiru su ostali shadca $e f. Ponovo nac(aj taj trougao.

l,

l,

i teLi-

f

Poslije brisanja trougla,4BC na papiru su ostali tjeme i srediit€ Mstranice,4B. Ponovo nacrtaj taj trougao.

I

Duiina hipotenuze pravouglog trouglaje izm€du tezista i centra opisane kruinice.

I

Ootazi daje poluprednik kuZnice opisane oko jednakostranidnog

12 cm.

teziste

7

Odredi rastojanje

trougla dva puta veii od poluprednika upisane kruilice.

1.

PODUDARNOST TROUGI,OVA

s7. Rjerenjel

r):

snka a):

Slika

AB=MP.AC=MK.BC=PK.

^DEC =LPKO. DE =PK,DC = PO,EC = KO,

44-4M.lB=lP,lC=lK

lD= lP,4E = 4K.tC = lO.

Slika.): oA= oc,oB =oD,AB =cD. LIOR = 4COD,LA= lC,/B = 4D. 59.P5-AB =6cn. tP = L4 =84' 60. P,l

=,.1, = 3 cn, .SI = -8C = 5 cn. Pr=,4C= 6 cm

tB = 57"47 = 4C = 88..

- 77'. AC = PK= 1l cm i,43 =PS= 5 cm. o.t, Lr _ v _i,r,.a_ \ _40 ,aa 4x-00.. " " 61, 4P = L4 = 35"15 = 62. .1,4 = 4P

Slika 1.t

64.

BC=

65.

Mog!. Trouglovi na slici 1.1supodldami, aipakje

10 cm.

,!r:

(P.

slici 1.2 je jednakoshanidaq troueao P.!Z nejed$kostrmiad. Dakle rijea nelodudarnin trolglorjna, a ipak je ,{B = PS. 67. St anice jednos od dva podudlrna trousla jednake su odsovdajuiim stra cama drusos t.ougla. Pri tome je mj]rm.ja sbuica pnos bousla jednaka najmatrj oj stldici dnsos trougla. Dakle pod usloviM zadatka trolglovi ,4rC i PIr ne hogu biti podudmi.

66. T.ougao,43C na jc o

1/aC

68. Podudamosti svoj

on ljecicom

AB

BP Slika 1.2

ukaaje

=AI'DC pa. Z u Elo\a

,.1f.

da

je

l1 i 12.

lt=

12. Dakte plaee AB i rf. obEzuju sa Na osnow uslola laralelnosti slij edi da je

FD.

iKM

69. Iz podudamosll nje da prave M( i naain

jednakost

/l

i^BAC s1i1e.1; dale 12- 13 \ 11= 14. Jednakosi l2 =t3 Dka obra^ju sa svojom sjeiicom Z, pd Z uslova l2 i 13. Na isti = /4 ozMdala da pmve IM i ,c obraajn sa svojom sjeiicom 13 !e ,a

C

Z\gla!^ l1l14. Zaro 1e TM ll BC 1 MK ll AC. 70. ft cnalslowzadatkaje q lBc = AB + BC +,1C = 60 cm i o,or: = AC + co + !2 =Ac+cD+AB+A= IAC + AB + BC) + CD = 71.

CD =2,1 cm. odredimo

:

o;!.+CD=60ch+24cm=84cm.

Trolslovi su podudmi lrema staw ,ta,rs. Najne rljec je o touglovima koji imaju jednake po dvije slrdice j uglove obruovue tim strmicma. Zaliainojednakosti preo$aljl odgG vaGjudih slmica j odeoveajuaih nslova.

Slik, a)

slika.):

SUkar):

^/BC =LMTK,

^TBC =^NKA, TC = NA,

AC = MK.

^KMN =^RSL,

4K = 4R.KN 72. Trcuglovi

su

loduddni prema staw

SU,S:

CI- lrema uslon zadatka. ' L14t I LKC| ldo utr"kAnr ug oq.

Stikt a)t ' AC = KI i Prrvilo,9U,9: 1,{CA Slika

,): .,4, .

Dt

Prwtlo SUSt

CB =

=^(C?-

preha uslow zadalka, = CD, . /1= zajedniaka stmica.

12

^ABD =^CDB.

Srika c): Prâ&#x201A;¬ma

Slila'l-3

o"o.

oznakm

na slici,je

lI=

l2.AB= BC IAT =CK.

=4.

Uoalno da je .4BAr =.4BCK jerje rije. o uslovlna nporedlim jodnakim ugloaima slijedi prcma stavu SUS: ll i t2. Sadapodldmosi

. .

AB= BC,AT

^lBr=^rC,(

-CK

!rcma uslovu zadatka,

/BCK

LBAT =

Slika d): Podudmosl

a

ABC

=^

AB

K

, .41 = 12 prena .ld - '4K zajedniaka st anica. ' AC =

ulow

73. Prema

zddaika

je

,{.4 B C

dokazuje se primjenom stava SLrSl

xslon zadatk,

=.4DC B, OB = OC i AO = DO - Kako je B A'

CD = CO + ODto je BA= CD. Sada se

pnnjenon

7.1.

BC

,

LABC =

+ OA

i

zajedniika strdica,

ACB.

kruZrice jc !a slici 1.3 ozlaae! sa O. Du2i O!, OB, OC iOD sujednake kao !o' lupreilici iste knznice. Sada je prinjenon slava .SUS lako dok@d sljedede pdudamosii:

Ce

ar

aAOC .

stava.lU,S:

.

BO

lodudmost !Cr,4 =^BCDdokmje direk1nom

=.ROD

i !AOD =^COB.

AO= BO,|)C:OD,

.13=14

,

kao xnaksnl

nglo\|,

. Stav.SU.t:

Slila 1.4

AO= BO.OC = OD.

. <I=

12.

kao unaksni nglovi,

, Sta! SUS]

-^COB ^AOD ^,4OC =^rOD. podudmih i Kod trouglovim loc aop la{ranlednakih uelova (J3 = 14) leze jednake strdice: ,.1C = 3D. Na isti naiin kod podudafrih bouglova IOD i COt naspram jednaht -â&#x201A;Źo\d !:. -4rlerclcdndlcsnan.e .D aA

lI i ,,( su teziine duzi povulene na kiakove jeilnakokakog t.ougla lrikaanog na slici 1.4 . Zapisimo jednakost krakova i uglova na osnovici trolgla,{aC:

75. DnZi

AC =

RC.Ll= 18.

Treba dokazati

ilaje ,r/= aK. Pflo ieno dokuati podudmost bouglova

i^â&#x201A;Źsti trazenuiednakost. aI jer sn ( i I sedisla jedmtih

IIA I Br4.

Nako!

toga lako iemo

',{(= .,4,8

duzi

,4

Ci

,C,

ajedniakastanica.

Slika 1.5

lru

iAK,4 Kod podudamih trolglova Na osnovu slava.lUS slijedl d^ je ^ATB =aBK{. naslnm jednaklh uslova = l3) leze jednakc shanice: ,4I = B(.

76. Uslovi zadalka s! piikazdi na siici 1 5 . Na trouglove ,rOD I CO, se moze pnmijeniti stav SL/S. Zaistal

(,

.

AO= CO,BO-

.11=;2 Prcnalome Je

AD= BC.

kao

DO

prcma uslow zadatka,

uaksni uglovi.

^AOD =6COB.

Nasprdn jednokihuglova (-<1 =

12)

leze jednake slranlce:

77. Slika L6. Pdmjenon slava.tu.l dokazi podudamost trouglova,{OC I Boc. Naspm jed nakih sftnica (,{ O = OB) podu.lamih tronslova loc i 3oD lczejednaki uglovi = Dakle pave lC i .BD obnzuju sa svojon sjeaicom C, pe Z uglova lC i lD. Na osnon uslova pdalehosti slijedl da je ,4 C lrD. Smostalno dok^z\ da je AD BC.

(lc /r).

Slita 1.6

(slika L7)l dokazino daje tr,4r(C =a-BIc prena uslon zadatka, jer je rijea o kacima jednakokrakog hougla,lBc, . zajedniakl ugao. podudmih houglova ,!rC i BZC ieze jedtrake staK.1ko naslram zajednilkog usla nice to je ..1,( =

78. Primjenom stava SUS

. C?= .,.1C=

lC

C( rC

(lc)

ar

79. Slika 1.8 ukazrje da s!

.,18=,.1C

.

ICAD

houglovi,!rc i,4rd

prema

= .<.DAB

'lD - zajedniaka

lsloru

-

podudaml prema sta\u

.

Naime:

zadalka.

ier taaka D pripada slmetrali

stGnica.

Ja

.!d.1,,

Slit

1-7

12t

atenatika 0

-

rhirfra zadalak8 Kod podudmih rroustova laslram jedrakih uslovr (1C,, D = 4DAB) Iete jednake sldanice: DC = DB. 80.

C

Prinjenoo staE

stmice 61.

B

Slile 1.8

,tL/S

dokazino

je

da

(srika L9):

A,4r,U

=^CBr. BM prda uslow zadatk4 lB zajedni{ki uge.

Kako naspmn zajedDinkog usla (lB) podudmih trouglova i leze iednake . RA= 10

RCiAK=

je,jM=

^,48M ^Ca,(

rc

Primjenon siava SUS dokazimo daje -^C(l (s1ika 1.10): ^rL4 . BI= Cr prma usloru adatl3, . dl = Cl kao laaci jednakokakog trougla ,!3C, . ,3 = /C ke uglovi na osrovici .iedtrkokakog lrougla.

Nasprm jedna.kih uglova (rB = -{C) podudmih touclova 3I,4 i Cr(4 leze jednale stEnice: l? = l-(. Posljednja jednkost ohdaava da je trouse lr,( jednakokak.

82. Prvo uoiimo da su uglovi na osnovicl BcjednakokFko9torgla ARC jedaaki: ./B = lC. radr su i njima uporcdni uslovi jeda t:t: 4TBA = 4KCA. Sada 6emo primjemm stava,taTs

dokzati da je aIAl

.

=a(C,4 ITBA = lKC,4.

.IA:KC

.8,4: C,4

prefra jer je

(slii€

wlow

njei

o

1.11):

zadatka,

keim

jedrakolaatog hougla,4rc,

Sllka 1.9

Sll*r1.10

Sllkr 1.11

Naslrmjednakih uglova

Sllka 1.12

(lIRl

shanice: 7A = 14. Dakle tronsao

=

{KC}{) podudenih

83. Pimjenom stava sus dokazino da . AT = BK i LARK =

je

ITAB

.,.{a zajedniika sfreica.

Naslran jednakih uslova (llr( =

Sllt

1.13

(slika

^-4,<a =ar1A prema uslovu za(latla.

lzB)

jerje Isredilte kao

lrl

i

Ci:! leiejedmke

1.

l2):

podu.lamih houglova ,,1r$ i aZ,4 leze jednake

84. Primjenom stava SUS dolazino da je A,4IC prema nslovu zadalka.

,lI=S? ,IC: IB 'll=t2

trcuglova

r,{ je j ednakokak.

,4

=^SZ,

(slika

1-

13):

stranice AC,

uaksni uglovi.

sL

Nasprm.jedukih uglova (/1 = l2) podudmih t ouglova/Ic i leze jedMke strdic€l ,4C = rJ' N6plm jedrakih sridica (IC = 14 leze jednaki uslovi: Posljednja = jedDakost oaaaava da prave,4 c i Rs obmju sa slojon sjeiicom AS pt Ztalott 13 i, 14.

Na osnovu Elova panlelnosti slijedi daje ,!c I aS. 8s. Pdnjeiom stava SUS dokazino da

Sllll.1.14

.

AO:

.

OC

je

ll

la.

(slika 1.14):

ROC =^ ^locuslovu adatka.

IBOC prema

RO, 4AOC = zaj€dniaka stranica.

(llOC = -<rOC) lodudmih houglola AOC i BOC ]lZe j.ABC Posljednjajednakost oaadava da je trousao ,4BC jednakokrak.

Nasprm jednakih uglova

lake slranice: 86.

,4

C=

Ako od jednakih dnzi ,4( i BI odumeno iednake duzi lC i BC dobi6e se jednake dua C? i Cl( (slita i.15). Dakle C? = C,(. Sada 6eno prinj€nom stava SUS dokazati da je

^ACT=^RCK:

dc - jerje

lrousao ,43c jednakokak, uClovi. = Naspnfr jednakih uslova (11 = 12) podudmih troDslova ,4CI i -BC.L leze jednate stra. ,4 C =

' /l 12

Slll(!1.l5

kao

makui

Trougao 123 87.

su podudami lrema staru UsU. Naime rijei: je o trouslovim koji inajx jedlake poje.lnu stranic€ j nalegle uslove tih struica. Zapiiimojedlakosti preostalih odsovdajniih stranica i odgovamjuCih uglova.

Slika c): SIln r): Slikr c):

rrouglovi

^ABC=^TPK, ^flfi=^SRN, ^ACK =^BTN, AC=TK,BC=PK. M,< = rtN,I( =.t1{ ..1C=RT.AK=8N, 4C =/K. 4K =,4N. lA=lR. 88. RjeS€Dj€:

i 4l=42 prefta ullovu zadatla, ITAK kao unak sri uglovi.

Slika d\t . ,4P = AK

.

ISAP =

PrNilo USat Slikt

LAPS

=^AKT.

11 = 12. . -13 = l4 preina .CD zajedniakastranica.

b)t

Sllk 1.16 lslon adatka,

Pnailo USU Snka ..):

. l1 = /2, ^CDA . /3 ==LCDB. l4 prema Nlow

.rD

zadatk,

zajeilnitkastrdica.

Pratlo USU ^BDA =^DBC. Sliks d): Prema ozlakama nL slicl je 11=.<2,13= {4,rC

LaRC-lMrK

jet

podudmost

je tiiea

o

=

-(2. Uonino daje l3 i 14. Sada

uslovima lporednin jednakin uglovima

slijedi prema staru a/SU:

^-4AC =^ndx . l2.BC - KT - prcM uslow ']= = IMTK ' .4ARC

zadatka,

i^aCD !e dokaaje direttnon ^lcr( . 41 = 12 i AC = AC prema uslow za.latka. . 13 zajedniaki ugao.

89. Podu.lamosl

pnmjenon ltava USL'I Sltka 1.17

lodudamosl ^BCr =^CBr (sIka 1.16 ): ajedniaka streica, . 3CK = ICBT kao nglovi na osmvici jednakokakog aougla lrc, , ICRK = $CT kao poloviie jednakih uglovt IACKiICRT. lz podudmosti slnjedida je BK = CTiCK= BT.

90. Piimjenom stava U,Sl/dokazimo

.3C

^rc,( =ActT

9r. Primjenom stava UsLrdokazino podudmost acll, CBD (tlika 1 .17 )l =A 'ICDA=ICDR lrema usloru adatka, ' .4DC,4 = IDCR jerdd Cr!fuada simehali /4Cb. . CD zdjedniala stranica.

Stijedi da je AD

:

BD i AC = EC.

K Slika l.19

Sllka 1.18 92.

(slikd L

Primjoom slava USU dokazimo lodudmost a,1,(I

=Ar(S . IAKT = IBKS lrema usloru adatk4 . 1,! = -<, - k@ uclovi na osnovici jedrakokakog trougla ' ,!( = ,( - j€rje K srediste osnovice ,44.

Slij€di da je ,42 = ,J i ff = (s.

.lA-lB

I

I

):

.4RC.

(sljka L 19 ): =A,8,uS prena uslo\ru zad ka. kao tslo\i M osnovici jednakokralog 1ro!8la,4Rc.

93. Priojenom stava USU dokazimo

. tlK= BS,.

Slita 1.20

podudmost a,{nlK

IAKM-IBSM

Slij€di da j€ ,{M = -8M. Posljednja jednakosl oaalava da j e M sediste osnovice ,43.

94. Prilrjenom stava USU dokazino podudamost .AO=BO jet je O steditb dtti AB, ^,4oC

.ll=/2 .13=d4

=^BoD

k& Daksnl uglovi.

kao Z xslovi koje obranju pdalelne ptuaa p- Sli,jedi d, je AC = RD i OC = OD.

95. Primjemm stava Usudokazimo podudamost A,{Cr ICAT - ICBK - prcna uslon zaddlka.

.

(slika 1.20 ):

lrav€

=^ACK

lC i tD

i njibova sjeaica

(siika 1.21 ):

Sllkx 1.21

lfl!

l\lalsmatika

I-

zbirk8 zadataka

.44CT=4BCK .

,.1C

=

,C

Sli.iedi da je ,4I = 96.

kao

,r.

kao xnaksni uglovi, kaci jedukolaakog bougla ,44c.

Primjemn stava USU dokatimo podudamost (s$kal.2z): ^-4,(C = ^BTC . ICAK - /.BT prefra usloq /ada*a ' ,,1C = ,C - kao kaci jednahol$kog rrougta ,4RC,

.lC

zaj.dniaki usao

daje,4K:aIj CI= C(.

Slijedi

sbva U,9udoftazimo lodudamost (slika ^,4CI =^rC( CK. /ATC = 4BKC lrema udom adatka, L,LCT =IBCK kao unalFni lglovi,

97. Primjenom

.

.

Slits 1.22

CT

-

sltedi daje

lc = ,C

98. Trouglovi su

Slik

a)r

Posljednja jednakost oaadava da je rrousao

podudmi prem stan Snk! r):

S,SS.

L2l

):

lrcje.lnatoi<rak

Zapisi jednakosti odgovdajniih uglova.

Slika c):

^HEF=^HGF, ^NKM=^MLN, aLKS=^tU.tS. 4EFH = 4.GFH, 4MNK - LNML, 4KSL= ll[SN, ,1EHF=IGHF, INMK=IMNL. lSLK = .1SMN. .4E = lG. lK = .<L. lK = /N .

99.

Bilo koja dva od aetiri trongl^

^

AAC

,

^ABD.^ACD. ^ACD

su podudama prema

stan .ts.t

100. Slika 1.24.

(SStjerje: ^,aoa=^COB . ,{A = ,C pr.ma usiow ailatla,

.,rO =

.oB

Slika 1.23

-

CO

kao pobpreanici iste kruznice,

zdjedni{ka st anica.

Sliied\ da je /,4O8 = 4BOC.

Slita 1.25

Slil(a 1.24

81i1(a1.26

l.zs. Ao'4, =AODC (ssDjerje: prefra ulow zadatka, . O,1 : OD. OB: OC lao polulrednici

101. Slika

./a=PC

iste

kflrrice

Sttjedi da je 41 OB = 4 COD. 102.

(Ss,t)jerjel ^ola=.olc .lB:,4C prema nslon zadafta.

Slikr 1.26.

. O,4 zajedniaka streica, .Or=OC k@ hte polnprelnici kJudice

Slijedidaje lAoB = L1oC.

jq je: aqAol =LqBoz(SSE . OtA=O2B,O2A=OP prema nslow zailatka,

r03. Slika 1.27.

Slil(a

'qo, ajednidka st ica.

Stijedi da je Llqol = lBoto, 1 L4o,q = 4Bo2q.Naledetre jedMkosti xkmjD da duz qO, lnpada sinetralmanEloya LIO.B I 4AO1B.

1., 104.

Slilâ&#x201A;Ź

1.28

.

(SSD jer

^C,.{D =^CaD .CA=CB,AD=BD prema . CD zajedniika strdic!.

je:

uslow adatka,

Slijedt daje L4CD=./.RCD t LADC =.4BDc. Posljednje dvije jedlakosli ukazuju da duz CD lripada simetralma nglora L4CB i .4/lDB-

l0s. slika 1.29 . ,

allt

=aK4

AT = BK i AK = RT

(ss,t

-

je: nslow za.laika,

jer

prema

' ,.1, - ajednicka strdica.

Slijedi da je = 12. Prema tome tougm ,43c ima dva jedraka usla odakle slijedi da je

ll

$llla 1,20

Trougao 131

AB

(sstjetje: =^OBc O.8 prema lslow zadatka, . lC = tC kao kr&i.iednakokrakos -

106. Sllka

Slilo 1.31

Slika 1.30

Slirr 1.29

1.30. ao,ac

. O,4 =

hoDsla ,48C,

. OC- zaje.lnilka strdica.

Sttjedidaje L4CO= $cO. Poslednja jednakosl uk@.j.

da

du, Co ba @ simet ali

LACB107.

slika 131 .

(Sstjerje:

"(oC 'CK CTiOK ur Pcma uslow 7a.la&r' ' OC zajâ&#x201A;Źddnka stmica Silltedi da ie lKCo - lTCo. NavedeM jednakost uka =AIOC

$lika 1.32

je da dlz CO lezi na sim.trali

l,4cB. 106.

Slikr 132. A,4t(

(ssDjerje:

=^B-!r

AK - BT , BK = AT - prcna usloe zada*a, . -.13 zajâ&#x201A;Źdnilka str ica. .

109.

ll = /2

Slliedidaje Slikr 1.33 .

odakle slijedi dajeaougao-lBcjednakokak

(SSt jq je: uslow za&tk4

^Cff =^olr .CK=TOiCT=OK lrem

..KI

zajediaka shanicd

SLjedi daje

lKCT

=

IKOT.

Slll6l-33

Podudarnost pravouglih trouglova tto. aAHC=^BHC 6tav hiporenua - kareta) jer je: . AC - RC,. AH = BH. ttr. a)^POT =aSQT $.a\.t^ hi?otenuza)jerje: ' PQ= 58,' PT= ST b)'PQR =^SQR (k^tet^ hipotenuza) jerje: 'PQ = SQ.' PR = SR a)"P?x =ASrn (Ss,t) ier je: . .Pf

SI,.

PR

Sf.' IR

KTP Slit

1.3{

/ajedtriakaqndca

ll2. I pur.rvo: Uoti podudmrrouglotena 3lilma Slik. a):

r=60',

113. Slik$ 1,34.,4.a<=

.,{I Slijedi 114.

snka

r): r=90', Sllka.): r=90", snk 4: (kateta

-

kateta) ier ie:

'=90"

=a,6t( ^/fl prema rZuslow zadatka, ajedniika

slranica-

daje,4I=tK

s

sjeku duzi,4B i kazati da je ta tanka srediste duzi ,4t i

snka 1.3s. Taaka u kojoj

r(t

slici

1 35

je

oedeD

sa

O

Treba do-

^:Z!a

(kateta ostdusao) jerje: =^BTo . a,( = Ar-p,ema u.low zadatlo. . /1= l2 kao uaklsni uciovi

aAKO

: ,o i (O

SLijedi daje ,.1O Ste duzi ,r, i r(I.

= rO. Posljednje dvije jednakosti ukazuju

Slltr 1.35 da

je tleka O sredi

132 Matematila

I-

zbirka radaraka 11s.

(hitrolenua

Slika 1.36.

osrar ugao) jer

je:

.ll=12^a(M=dCSI kao uglovi !a osrovicijednakokrakog lrougla. .tM=CI kao polovi& lednatih dn2i (knkova),4, i C. ,a

Slijedi 116.

dajene =

Slik, 1.37. . -<l=

tr/K=^lS( (hipoteua 12 jerje,4r biseltuisa,

Sljjedi da je

zajedniakahilotenua. fl = Ks.

.l,<

Slika 1.36

U

?.L

Z SUkr 1.38. aOlZ

Slijedi da je

Slil(a1.37

- osrd uge)l

=aon& j6laaka M leti na simetr.li zajedniila kaleta.

.11=42 .OM

Gateta

oSrdngao):

oI

= OK. Posljednja jednakosr

laor..

ukmje

dd

je holsao

Slika 1.38

oI(

jednakokak.

Slika 1.39

118. Slika 1.39. Taika nr'n6 slici L3 9 lezi na sinerrati s dnzi lB. Treba dokari da j e td tatkd Ma. Simetrala r prorazi koz lednako udaljda od kmjnjih taa^ka A t B, rj. da je sediue C duzi i nomalna je M tu dnz. Pravougli trouglovi Crd, i CIA s! podudmi lrema staw kateta katera (cMje zajednitka kaleta, c,4 =c3je.je c srediire duzi lB).

,!,

ta:

Kako su hi?olenua lodndamih pmvouglih rrouglova jedlake slijedi da je n44 = nA je rudenje doksam.

ll9. slika

1.40. racka P Da slici 1.40 jednako.je ndaljsa od kajnjih radaka du;i,.{a, tj. vazi P! = PA. Treba dokdan da ta taika lezi na simetrali dnzi,!8. Jednakost p,4 ukmje daje t ousao Pl"jednakokak. oaaaino sa C srediire dnzi ,48. Tadaje pC

:

jednakost

P,

tine

tezisna dxz trougla P,-rA. Kako se letisna duz ponaena iz {ha jedmkokraftog trougla poklapa sa visinon zakljunujemo da je ]'C nomdna na dlt Dakte duz pcje normatna m duz ,1, i sadrzi njmo srediiie C. Preha tome prava s koja lrolu i koz ratke p i Cje simehala duzi lB. Time sdo doku ali da raaks P pripada simetrali r duA ,-{8.

lr.

Slika 1.42

120.

Slikr

Slika

1.â&#x201A;Ź

i 1.42. Neka pnva u prclu i krcz srediSte C duzi ,4r. Treba dokazali da kainie i a leze na jednakom astojatrju od te prave. Ato jc prava a nomalna M duz /48 (slika L4l ) lada s mvedem nstojnja jednaka durina lC i ,c. Kako je C srediste duzi ,48 to je lC = ac i hadeqie je ! ovom sluaaju dokazano. Sada rumotrimo slutaj kada tatke

1.41

I

I

/M

prava a nije normalna m duz ,43 Glika I .42). Iz taaak i B spustimo rcnalne dxzi iB(napnw a. Rastoj jataiaka,4 i B odpravejednaka suduzim,4Mi3(. Treba dakle

dokuati jednahost /lM = d,( Pravougli bouglovi /MC i ,rC su podudmi prena sraw hiloreoza otlar usao (,.1c = rc jtr je C srodiste duzi. AB.,1\ = 12 jet te ntea o unakBnim ueiovina). Ksko nspmjednakih uglova i ,KC lâ&#x201A;Źze jednake strdice slijedi da je AM = BK.

ll

i

12

podudamih

holglovalMc

Trougao 133

l2l. SIik. 1.43. Treba dobzati

ld

da normalna duz OC spuifena iz

cfltra kruZnice

na

ljenu

tetin

pripada simehli te tetive.

(hilotenu

aOCA

kareta):

=^OCB . O,4 = OB km polupretrici isre krurnice, .OC zaje.lnii:lakateta.

Sljjedi dajo,.{c = rC Dakle taaka Cje srediste tetive,4r. Kako OC lezi na simorFli t€tive ,43122.

,.43

slijedi da dllz

Pmvousli houglovi,4ac i 44q m sLci Laa imj{jednake po jede oitd ugm i bisektrise powtene iz tjemola tih uglova: lB = lq i BK = BrKr Trcba dokuai da je aABC =^44q. Pravousii trouslovi ,C( i 4q& su podudmi prema staw hipotenuza ost r ugao ( tK = 4(1 prema usloru zadatkr, 11 = 42 jet su duti BK i Br,(r bis€kt ise jednakih ugloya lB i lR ). Tato je BC = A|CL. Pmvougli touglovi .rBC

Slika

1.4:1.

i44q 123.

je oC a

su podudami

}rena $aw kateta

ostar ugao ( BC = B p

|

48 = 44).

Slikr 1.45. Talka Mm slici I .45 lezi na simet ali s ngla aO6. Treba dok@ti daje ta talka jednako udaljena od laakova usla, tj. daje,144 = na, sdjee M4 | w noffiine zl spllterc iz tai:Le Mla kakove ugla. Pravougli trouglovi OlMi OrMsu podudmi lrem staw hipotena oitd usao (oMje zajedridka hilotenua, l1 = 12, jer je r sinetrala usla). Kako Mpre jednakih uslova (11 = 12) poduddih trouslova leze jedaake srranice ro

j. tu

=

c

sll*a I .41

w.

u

slci l.a6jednako je udaljena od kakow ugla aor, tj. vazi jednakosl PB affihe duzi spustene iz taake P na kakove ugla. Treba doka ztida ta tadka lezi na 3imetrali ugla aor. tj daje Pravougli trouglovi O,-{P i OBP su podudami p.ena stavu hipotenuza ldtela (OP zajednills hipotenuza i P,4 = PB). Kako naspran jednakih strani@ (P,.{ = PB) podudmih trouglova leZe je.lnaki

124. SliLa 1.46. Tadta P PA = PB. Edje su

tdtdl

to

je

lt

3. SREDNJA

Pl

i

ll=12.

= 42.

DUZ TROUGLA Sltk!

1,$

134. 20 cm.

135.42 cm.

136.220cm.

137,36 cm.

138.

139.

BC=

6 cn,,{B =,4C= 5 cn.

RC= l0 cn- i.tN:5 cn.

140. Trouglovi su podu.l&ai prema st

n

S,9S

(slika 3.1).

r4r. \,idi rjeiaje adatka 140. r42. \4di

rjes

.j€

adatka 140.

r43. Vrdi rjoienje zadatka 140.

144.

sa r i , sredista redon strmica -.13 j ,{C (slika 3.2). Tada je (I lrc. a n"{ $ednja duz trougla ,4KI. Slijedi da je: rlllt' t/\/[/l{]rA/ - ItI tt tM/. Lt tMi Arl. -

Oaanino trougla

2

l

2,/l

Oda\de

. l.lac -].tocm=+cm. da je W BaiUN 2KL )2 4

mluEo

g

ht.t

I

)

sedtria duz

8lllr 1,4!

134 llratemalika

I-

zbirka radalaka

4. ZNAEA]NE TAEKE TROUGLA

Konstrukciia kruinice opisane oko trougla I45. Zato Sto se simelrale saanica hou8la sjeku uj€dnoj taiK. 117. ralan j€ odsovor aJ. 149. Tatan je

odeovor.).

rsr.Taamje odsovor r).

152.

Ce!tu knzrlce opisare oko p.avouglog trougla lripada hipoterui i poklapa

se sa

njenirn

sinelralu hipotelue.

1s3. Dovol.jno je

lonai

154. PoluprenDik

knznice opisde oko pravouglog trougla jednak je potovini hilolenure.

a)6dn | 2=3 cm,r)8 cm: 2=:lcm..) l0cm:2=s cn.

155. Dale raake su tjemena ircuglaABC. Traiena taikaje ceraikrurlic€ opis eokotogrre ugla.

156. Odaberi ai piolzvotne taike na toj kn2nici. Ore odredujn jedd lrougao Centar je taaka u kojoj se sijeku sinet alo bilo koje dvije shmice tronsta.

157.

kntuice

Nactaj sliku. Odredimo poluprednik,lO. T.ougao,rodje jedlakokrak I lri romeje ,!08 = 360'-(130'+ 110') - r20'. Ponci visinu O( trougla,4 OB. Kako je rastojanje laike O od pEve ,.1t jeihako je l0 cft to je Or = 10 cm. Visind j€dnakokakog trougla je

!j edno i njegova bisektrisa. Zaro je 44OK = LBOK= 60". Uoai prdvousli bougao lO(.

U trjdu je .{O7lK = 90' 60' = 30' pa je katera naslrama xSlu od l0' dva puta moja od hipotennze. Prema tone

je

AO = 2OK = 20

cn.

Konstrukciia kruinice upisane u trougao 158. zdto

ito

159..-i,

uglova tougla sijeku

se simetrale

oni5a rc

jednoj ralkl.

idprde ln/D.epril'alrju \i.rnr

160. Centrl opisane i upisme truZnice

t6t.

!

se

loklataju.

LAOB = 140' , 4BOC = \07" . L10C = ll3'

162.

a)lRoc

163.

i

= 115'

,b)IBOC =

t2A'

.

,c\lBoc = 12s' . iiji icjedanodotfih

cn. Uputstvo. Uodi pravougll lrougao

164. Dokazaaemo da je ,4D = ,.1-{ (slika

lravougli tiouglovi

. Of

: OD

,4

Or i / O,

4. I

).

su podudami

kao polulreanici iste

uglova jednak 30'.

knznice,.

Iz dokzme podudamosti slijedi da.je,4D =

lrema staru

lO

la.

hilotenua

kateta. Naime:

zajedniika bilotenuza.

Na isti main se dokmje daje BD =

Bt

iCE=CF. osnoa prethodnog adatka mozemo nvesti oznale: AD= AF= r,BD - BE = r, CE = CF: z.

Kalo te,48 o cm.8a = l0 cd i 1r 14rmloje:

165. Slika 4.2. Na

ar + 2r + U = AB + BC + CD = 30 cn.

D !B slika 4.2

tj.r+r,+z=

15

cm,

r+.r=,{A=6cm,

r+z=rC=l0cn.

2+ r-AC= 14 cn.

Sljedi da jelD

166. Kruznica

=,aF:r

= 5 cm. BD = BE =, = I cn. CE = CF = z = 9.m. jednakokraki rousao dodinje o$ovicu u njenom srediitu (slika 4.3). zadatak 164 oeogudava da odredimo objn housla:

nlisda

u

nm 0= I cm+ 3 cm+ 3 cm+4 cn+4 cm+ 3 cm=20 cm.

167. Uslovi zadatka su ldld i na slici 4.4. Dui Oi: i OZ su polulreanici Sada

upisane kruZnice_

odmah noiemo zapisati iednakosri AD = O E 1 DO = EA jer je rijed o pdalelnim odsjet cina ime.lu paralelnih pravih. Podsjenmo se, naI cit je da dokazemo jednakosii ,4D : Do - o, = r,4. s obziro'n dajelD= oE tDo= EA do\oljr.o je dokazatijednakost oE=Do. Radi toga ieno prinjenon stava kateta ostar ugao dokuati lodudmost pravouglih holgtova O?E I OKD. Pvo pnftij€limo leovejednal<lh uglova:

. lTEo

=

4r,4D

kao

,' uclovi koje obr@F pdalelne

prave

oE i ,1, i njihova sjeiica

ac.

.4ODK=ITAD $l*a4.3

kao

a uslovi koje obraaju paralelne prave oD i ,{ C i njihova sieai-

Trougao Prema

,

= IODK. Sada se na pravougle bougloee OTE 1OKD ostar ugao: lao polupEtuici iste kuznice, 47'EO = IODK. podndmosti slij edi da je OE DO.

tomeje ITEO

mijoiti

stav

OZ=O(

Iz dok@e

kaieta

:

rciepti

.

adatak 16.1, uslove naSeg a.latka mozemo prildati kao na slici 4.5. Kako 3u obim i hipotenua datog t ougla je&aki redom 24 cm i 10 cm mozemo fodirali sljedde

168. Koristedi

169.

.2{r

+ y+ /) = 24 cm. ii.

Tada

je l0 cm + /:

12

r

cn,

+ y + / = 12 cm o.lnosno r = 2 cm.

hkonstino slih 4.5. Zbii duzha kaleta lravouglog trougla priku og na toj slici je r + je dva luta veaa od lolupte{nilo opisa), + 2/. Uoaino da je r + I duzina hipotenue koja ne ketnlce: r + r = -?,t. Prem tome zbir duina kateta pmvouglog hougla jednak je 2r + 2r:2(R + r\.

t70. Ndcrdj,t

t".

rrouglu OAe

'22

17

nejednal,o{i

vat

mm.la strmica

1l./<llB.

naldimo

ronele OC <OB

&4 ^a - :C rl|eoi ' d..i" ') l-

da

Umeno li

je O,

u obzir da

< O,.{. Na isll natin

se

Slika

l-4

- )I ^a - )l -.. o^r. "

nsprm m jes usla trougla lezi dot.mje

da

je

OC < Oa. Prena

< OA.

Ortocental trougla 171. Zato sto se visine trousLa sjeku u jedno.j tadki.

r/J, r/5.

iac

re

oaqovor r).

rrcsn

te

ooeovor.).

Sllka a.S

r77. Taaanje odsovor d).

1?9. opis koNtrukcije:

, Spajdjem

laaaka ,4

i a dobijmo slFnicu ,.1r.

. Povlaaino prave ,4f/ i -8,rI,

' Iz ladke,.{ povlaaino pmwp rclmlno . Iz ladke a povlaaimo pmn q rcmalno

na pravu

. Tieme C ie

t

bdla

u

koioj

se sieku prave

na

BF,

praw ,'19,

i 4.

TeiiSte trougla lE0. Zato Sto se teaSne duzi lrougla sjeh ujednoj laiki.

r82. Opis konstrukcije: . Konstruilemo srediSte ,1, duzi ,48. . Povbnino duz n4I i na prodnzeiku le duikroz tai:ku rodredujeno laaku C tako daje CT= 2MT, . Tadka C ie Leae lieme trazenog trosgla.

lE3. opis koDshukcii6:

. Povlalimo duzlM. . Na lroduzetku duzi ,4M koz laaka M odt.lu.jemo taCku B tako da je ,4M = ,11r. Taaka Bje dnso tjeme trazenog trougl! (vidi podjelu kojon reziste dijeli tezistru duz). . Povlaiimo duz n41i na produietku te duzi koz taaku rodredxjemo tanku C tako daje CT = 2Mf. . Taaka Cje trede tjeme traZenog

trolgla. (, tru2nice opisme oko pnvouglog trolgla poklala se s. wdislem hi_ potenue. Dakle poluprelnik olisde knaicejednakje loloviri hlpotmue: ,R = 6 cm Duz co je tezlsla duz i onajejed!&td polulreaniku oi,isme lduznice: Co = n = 6 cm Trcba odrediti dxzinu duzi rO. S obzirom daje CO = 2IO MlMimo daie TO = 2 cfr

184. Slika 4.6. Centar

lE5, visine, bisektise i tezisne poklapaju se. To

eii

dui

povuaene iz bito koieg tjememjednakostrditnog troxgla pollala sa centrima upisde i opisale kn2nice

da ee tezisle trougla

Na osnon odnosa @ koje tezisle dijele teziinu liniju slijedi daje polu!reenik opisme knznice dva luta veii od pohpreanika upisane kruZnice.

811k,4.5

l3i