Correction du BTS IRIS 2007

BTS IRIS 2007 éléments de correction

Avertissement: Il n'existe pas une correction mais des corrections selon les rédacteurs et le mode de raisonnement tous les résultats proposés peuvent probablement être obtenus en empreintant un autre chemin.

Partie 1 Étude du moteur à courant continu et de son alimentation I.1.1 Caractéristiques L'alimentation se fait en courant continu, elle appartient au domaine de la basse tension. « BT » Pour information et en simplifiant voici un résumé pour le courant continu:   

TBT 120V

120< BT< 1500V; 1500< HT<75000V;

I.1.2 La puissance utile est indiquée dans l'énoncé soit Pu = 4500W, il s'agit d'une puissance mécanique.

Le point de fonctionnement mécanique est obtenu à l'intersection des caractéristiques de couples du moteur d'une part et de la charge d'autre part. (c'est la charge qui impose le couple que le moteur doit fournir pour assurer l'entraînement....!)

En charge Tu = 25 Nm n = 1300 tr/min

1/8

A vide Tu = 0 Nm nv = 1350 tr/min

Alimentation de la machine I.3.1 La réversibilité indique que la machine peut fonctionner en moteur ou en génératrice et cela pour les deux sens de rotations. Cela se traduit par un graphique que l'on appelle parfois fonctionnement de la machine dans les quatre quadrants. (Attention ici le vocabulaire est très important ne pas confondre machine et moteur et quadrant avec cadran....!)

Cette représentation est commode car elle illustre bien les fonctionnements possibles et ceux la peuvent être observés du point de vue mécanique et ou électrique.

Ainsi Quadrant 2 Quadrant 1 Tem <0 et  >0 ⇒ génératrice sens de rotation 1 Tem >0 et  > 0 ⇒ moteur sens 1 Quadrant 3 Tem <0 et  <0 ⇒ moteur sens de rotation 2

Quadrant 4 Tem >0 et  <0 ⇒ génératrice sens de rotation 2

Par exemple une grue fonctionne nécessairement dans les quadrants 1 et 4 .

I.3.2 La machine fonctionne dans le quadrant 1 I.3.3.Le convertisseur proposé est un hacheur quatre quadrant en référence avec l'étude précédente.

I.3.3.1 Si K 1 et K 4 sont fermés ⇒ u c = Ug (les autres interrupteurs restent ouverts) Si K 1 et K 2 sont fermés ⇒ u c = 0 (les autres interrupteurs restent ouverts) I.3.3.2 La valeur moyenne est par définition :

1 u t  dt il s'agit donc de calculer la surface sur une période.

T∫ c

<uc(t)> =

400×3.2×2.10 −3 =256V 5.2.10−3

I.3.4 Si la machine fonctionne en génératrice avec une vitesse de rotation négative elle est dans le quadrant 4. Comme la vitesse d'une machine à courant continu est proportionnelle à la tension d'alimentation de l'induit, on peut constater que la tension moyenne sera négative si la vitesse est négative.

I.4 I.4.1 réponse indicielle: la consigne est un échelon de hauteur 260V (proche de la valeur moyenne précédente).

I.4.1.1 La réponse du système est du premier ordre, il n'existe pas de tangente horizontale à l'origine.

I.4.1.2.1

2/8

0.63*140

La constante de temps  s'obtient par exemple en se plaçant à 63% du régime permanent, puisque nous savons qu'à t =  la courbe vaut 0.63*valeur finale.

Ces mesures peuvent être corroborées par les résultats suivants: A t = 3 ⇒ uc(3) = 95%*140 A t = 5 ⇒ uc (5) = 99%*140 I.4.1.2.2 1=140 rad.s−1 on obtient H 0=

1 140 = =0.54 rad.s−1. V −1 U C 260

I.4.2 I.4.2.1  = 50 ms (ce qui correspond à notre résultat précédent) La raie située à la fréquence nulle correspond à la valeur moyenne de uc(t), elle vaut environ 255V (pour mémoire nous avions calculé 256V à la question I.3.3.2) I.4.2.2 f fond =100 Hz donc la période de uc(t) vaut : T = 10 ms I.4.2.3 Le moteur possède une inertie mécanique, cela impose une constante de temps mécanique suffisamment importante pour qu'il n'est pas le temps de détecter les variations de uc(t) qui sont beaucoup trop rapides. Il adapte donc sa vitesse en fonction de la valeur moyenne du signal. (Tout se passe comme si on alimentait le moteur avec une tension continue ajustée à la valeur moyenne)

3/8

Partie II Système asservi à correction analogique II.1.1 Étude en boucle fermée On peut citer une dynamo-tachymétrique ou encore un codeur incrémental dans tous les cas il s'agit d'utiliser un capteur de vitesse.

Plus d'informations voir: http://stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/capvit.htm II.1.2.1 La formule de Black donne T BF :

 p  C  p×H  p = U c  p 1C  p ×H  p× K  p

II.1.2.2 en remplaçant par les expressions respectives de chaque membre: CHo 1 T BF = × 1CKHo × p on identifie aisement T01 et 1 1 1CKHo T 01=

CHo 1CKHo

1=

et

 1CKHo

On vérifie au passage que la transmittance en boucle fermé diminue la constante du système.

II.2.1.1. Puisqu'il s'agit d'une réponse indicielle, le cours justifie la formule de l'échelon 100 Uc p= p II.2.1.2. La vitesse (p) s'obtient en utilisant:  p =T BF  p×Uc p ce qui donne:  p =

100×T 01 p ⇒ on identifie les expressions de a et b: p×1 1× p 

a=100×T 01 b=1 II.2.1.3 en utilisant la table de la transformée de laplace inverse: t=a  1−e  −t b

II.2.1.4 C = 2.31 il existe plusieurs méthodes pour obtenir 2 , utilisons l'équation précédente pour déterminer le régime permanent:  2 = a ⇒ 2 =

100×2.31×0.54 = 55.5 rad.s-1 ce qui correspond à une vitesse de rotation de 12.31×1×0 .54

530 tr.min-1 II.2.2 Étude de la précision: (p) = Ue(p)-Ur(p) = Ue(p)-K(p) = Ue p−KT BF ×Ue p=Ue p[1−KT BF ] en remplaçant TBF on obtient:  p=Ue  p×

1 CQFD 1CKH  p 4/8

Note: je n'écris C(p) ni K(p) car l'énoncé impose C(p) = C et K(p) = K. II.2.2.2 Cherchons l'erreur finale: lim t = t  ∞

lim p×P= P 0

100 1CKH 0

II.2.2.3 On peut agir sur la constante « C » pour diminuer l'erreur finale. Dans ce cas « C » doit augmenter.

Partie III Étude du correcteur numérique III.1.1 Je pense que vous avez trouvé : L'algorithme de calcul qui permet d'adapter les paramètres de l'asservissement en toute souplesse. On peut même imaginer un algorithme auto-adaptatif en fonction de paramètres physiques liés au vieillissement des composants électroniques par exemple.

III.1.2 La réponse transitoire dure environ 3 c'est à dire : 150 ms, il faut donc choisir une période 3 1 d'échantillonnage Te= =15 ms . Cela impose une fréquence fe = =66 Hz 10 Te II.1.3 Le filtre antirepliement limite les effets de l'échantillonnage : l'échantillonnage entraine une « périodisation » du spectre, cela signifie que des raies peuvent venir se placer sur le fondamentale du signal, pour limiter l'existence de ces raies on utilise un filtre passe-bas appeler filtre antirepliement. (pour plus d'informations, voir le cours sur l'échantillonnage) III.1.4.1 La tension de pleine échelle vaut UPE = 16V III.1.4.2 On en déduit le quantum q=

U PE avec Nval

N val =17 (de 0 à 16) donc q = 0.94V avec UPE = 16V

III.1.4.3 Il faut pouvoir afficher la valeur décimale 16 donc cela nécessite l'utilisation d'un convertisseur de 4 bits.

III.1.5.1 On impose fe = 100 Hz donc Tc maximal est de

1 100

soit 10 ms.

III.1.5.2 Pour que le filtre fonctionne correctement il faut imposer fe-f > fc on peut imposer fe approximativement fc= soit fc = 10 Hz. 10 III.2.1 1 5/8

La loi de commande permet d'obtenir l'équation aux différences on obtient: yn = a0xn+a1xn-1-b0yn-1 = yn III.2.1.2 L'algorithme est récursif car l'équation aux différences fait apparaître la sortie du filtre yn-1.

III.2.2.1 L'algorithme est récursif donc le réponse impulsionnelle est théoriquement infinie. On parle de filtre RII. III.2.2.2 n=0

n=1

n=2

y0 = a0

y1 = a1-b0a0

y2 = -b0(a1-b0a0)

III.3 III.3.1 Compte-tenu des propriétés de la transformée en z : Y  z  2.53 z −1 = Y(z) = 2.5X(z)+3z-1X(z)-0.8z-1Y(z) soit = X  z  10.8 z −1

2.5 z3 z0.8

III.3.2.1 La transformée en « Z » de l'échelon de hauteur 100 est: z ×100 X  z = z−1 On en déduit Y(z) =

2.5 z3 z ×100 × z0.8 z −1

III.3.2.2 Le théorème de la valeur finale donne:

lim  z −1×Y  z  en remplaçant y(z) par son expression, z1

on obtient la valeur y(∞) = 305.5 III.3.2.3 Soit Uc = D.y( ∞ ) avec D = ½ donc Uc = 0.5*305.5 = 153 V En régime permanent seule H0 intervient donc 3 = H0*Uc l'application numérique donne :0.54*153 = 82.6 rad/s soit 789 tr/min.

Pour allez plus loin: On peut s'intéresser à la réponse fréquentielle du correcteur afin de relever sa fréquence de coupure.

Pour cela il suffit d'établir la correspondance suivante: z ⇒e j Te 32.5 cos  Te2.5× j×sin Te On peut écrire H  j  = 0.8cos  Te j×sin Te  L'étude du module de cette transmittance donne la courbe suivante: 6/8

h 3

2.5

2

1.5

1

0.5

0.1

0.2

0.4

1

2

4

10

20 f (Hz)

On observe que l'amplification statique (pour les fréquences nulles) est légèrement supérieure à 3, ce qui correspond au calcul fait au §III.3.2.3 La courbe du déphasage de la grandeur de sortie par rapport à la grandeur d'entrée est: φ (rad)

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5 0.1

0.2

0.4

1

2

4

10

20 f (Hz)

La chose étonnante est la variation brutale du déphasage. Il est impossible d'obtenir une telle variation avec un système analogique simple.

7/8

Partie IV On souhaite comparer les correcteurs....

Bien entendu les différences technologiques sont ici mises de coté. Je pense que le rédacteur du sujet à souhaité attirer notre attention sur les performances d'un correcteur proportionnel et celles d'un correcteur proportionnel et intégral.

IV.1 (∞) = 2 = 55.5 rad.s-1 (∞) = 3 = 82.6 rad.s-1 donc les variations sont:

2 = 100 – 55.5 = 44.5 rad.s-1 3 = 100 – 82.6 = 17.4 rad.s-1

IV.2 On observe que le correcteur PI offre une meilleure précision. Ce résultat était prévisible.

Conclusion Ce sujet me semble intéressant, il couvre de nombreux domaines du programme de physique. La partie numérique à le mérite d'exister, est d'être bien présentée.

Merci à l'auteur pour ce sujet.

Fin

8/8