6 EGB
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Presentación
Presentamos a la comunidad educativa ecuatoriana la serie de textos de las asignatura de Matemática para quinto, sexto y séptimo grados de Educación General Básica (EGB), que aplica todos los lineamientos que establece el Ajuste Curricular del Ministerio de Educación en lo que respecta a: enfoque de la asignatura; contribución al perfil de salida del bachillerato; fundamentos pedagógicos y epistemológicos de la asignatura; orientaciones para la conversión de bloques curriculares en unidades didácticas; objetivos generales del área; objetivos de la asignatura; destrezas con criterios de desempeño; y criterios e indicadores de evaluación. La finalidad principal de este proyecto editorial es que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias para desarrollar el pensamiento científico, el razonamiento lógico y la capacidad de utilizar sus conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Para lograrlo, hemos desarrollado una estructura de texto que complementa el desarrollo de conceptos científicos actualizados y significativos, con abundantes talleres, evaluaciones y secciones para aprender a resolver problemas. Los textos contienen secciones para que los estudiantes adquieran una visión global de la ciencia. Por ejemplo, está la sección ‘Conexiones’ (interdisciplinariedad) y la sección ‘Proyecto del buen vivir’. Otro aspecto fundamental es el gran énfasis en las habilidades investigativas, para lo cual tenemos la sección ‘TIC en matemática’. En esta sección se desarrolla el uso de GeoGebra, un software libre que reúne dinámicamente geometría, álgebra y cálculo. De esta manera, ofrecemos un material con insumos conceptuales, valorativos y procedimentales que permiten desarrollar importantes destrezas para abordar las temáticas mediante procesos de lectura científica, análisis, reflexión, acción crítica, aplicación y transformación de la realidad. Sin embargo, es necesario puntualizar el papel fundamental del cuerpo docente, pues son los educadores quienes planifican y seleccionan las destrezas, y diseñan los ambientes y experiencias de aprendizaje para que tengan mayor sentido y conexión con su grupo de estudiantes. Así, ambos elementos (un trabajo docente de calidad y un recurso didáctico innovador) se convertirán en potenciadores del desarrollo integral de los estudiantes. Cordialmente La editorial
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Conoce tu libro
En la apertura de unidad hallarás una ilustración, un texto introductorio con lo que podrás “leer las imágenes” e interpretar matemáticamente la realidad. También encontrarás los objetivos a alcanzar.
Preguntas generadoras
Unidad 1
• ¿Cuántas reservas naturales alberga el SNAP? • ¿Conoces algún parque o reserva natural? • ¿De qué manera aportarías para conservar las áreas protegidas?
Ecuador megadiverso
Ecuador es un país megadiverso, pues en él existen muchas especies de plantas y animales. El país cuenta además con varios parques nacionales en los que se pueden evidenciar grandes ejemplos de biodiversidad. Encontramos en estos lugares una enorme diversidad de especies de aves, mamíferos, anfibios, reptiles y más de un millar de especies arbóreas. El sistema nacional de áreas protegidas (SNAP) abarca cuatro regiones del país, y alberga 51 reservas naturales que se extienden sobre aproximadamente el 20 % de la superficie del Ecuador. Fuente: http://areasprotegidas.ambiente.gob.ec/es/info-snap
Álgebra y funciones
- Coordenadas rectangulares - Adiciones y sustracciones hasta 999 999 999 - Multiplicación con naturales, propiedades - Multiplicación por 10, 100 y 1 000 - División con naturales
Geometría y medida
- Rectas perpendiculares y paralelas - Ángulos
Objetivos: O.M.3.1. Utilizar el sistema de coordenadas cartesianas y la generación de sucesiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, como estrategias para solucionar problemas del entorno, justificar resultados, comprender modelos matemáticos y desarrollar el pensamiento lógico-matemático. O.M.3.2. Participar en equipos de trabajo, en la solución de problemas de la vida cotidiana, empleando como estrategias los algoritmos de las operaciones con números naturales, decimales y fracciones, la tecnología y los conceptos de proporcionalidad. Shutterstock, (2017) . 253920862
O.M.3.4. Descubrir patrones geométricos en diversos juegos infantiles, en edificaciones, en objetos culturales, entre otros, para apreciar la matemática y fomentar la perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones cotidianas.
8
9
Adición y sustracción con números hasta 999 999 999
TEMA 2
Los contenidos se apoyan en fotografías, esquemas e ilustraciones que te harán más divertido el aprendizaje.
Evaluación formativa
Desequilibrio cognitivo Shutterstock, (2017). 413888422
¿Cómo compruebas si una sustracción está bien resuelta?
4. Aplica la propiedad del elemento neutro. a) 123 × 5 = 615
b) 230 × 4 =
c) 27 × 15 =
d) 75 × 12 =
5. Observa la tabla y complétala. Shutterstock, (2017) .419357545
Para asfaltar las calles de una carretera, un municipio contrató a una empresa privada que cobraría $ 450 680 por toda la obra. Si ya se realizó un abono de $ 145 875 y luego otro abono de $ 245 870, ¿cuánto dinero tendrá que cancelar el municipio al término de la obra?
×
+
Los Talleres han sido diseñados para evaluar las destrezas, mediante actividades interesantes y dinámicas.
23 876
1
4
5
8
7
5
Primer abono
2
4
5
8
7
0
Segundo abono
3
9
1
7
4
5
Total de abonos
2 789
6. Resuelve los siguientes problemas.
b) Restar los abonos del costo total de la obra.
–
1 000
5 645
a) Sumar los dos pagos efectuados. Recuerda siempre
100
456 234
Para conocer cuánto dinero falta por cancelar, es necesario realizar lo siguiente:
Los términos de la adición son: sumandos y suma total. Los términos de la sustracción son: minuendo, sustraendo y diferencia.
10
4
5
0
6
8
0
3
9
1
7
4
5
Abonos
0
5
8
9
3
5
Falta por cancelar
a) En una escuela hay 12 paralelos con 26 estudiantes cada uno, y 6 paralelos con 28 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes hay en la escuela?
Costo de la obra
El municipio tendrá que cancelar $ 58 935 al término de la obra.
b) En una pizzería venden durante una semana 24 pizzas familiares a $ 25 cada una, 18 pizzas medianas a $18, y 35 pizzas pequeñas a $ 11. ¿Cuánto dinero recauda la pizzería por ventas en una semana?
Si en una resta se suman el sustraendo y la diferencia, obtendremos el minuendo. 450 000 – 210 000 = 240 000
a–b=c
240 000 + 210 000 = 450 000
c+b=a
7. Trabajo colaborativo
8. Actividad indagatoria
En parejas, creen un problema que se resuelva utilizando la multiplicación. Luego, intercambien sus problemas con otras parejas para resolverlos.
Averigua una estrategia de cálculo mental para que la multiplicación se resuelva en menor tiempo.
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21
TEMA 5 A&A Matemática 3, (2006). Reloj.
Saberes previos
Ángulos según su posición
¿Qué hora marca el reloj? ¿Qué clase de ángulo forman sus manecillas?
Recuerda siempre
A
Para nombrar a un ángulo, utilizamos el símbolo B, seguido del nombre del vértice o de tres de sus puntos. Al vértice se lo menciona en segundo lugar.
o
Lad B Vértice
Ángulo Lado
Consecutivos
Adyacentes
Opuestos por el vértice
Tienen el vértice y lado común.
Tienen el vértice y lado común, y suman 180°.
Tienen un solo vértice común.
Trazo de ángulos Para trazar un ángulo, es necesario considerar los siguientes pasos.
Sabías que...
1. Traza una semirrecta con origen O.
B o ABC
C
Clasificación
0
Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 90°. Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a 180°.
2. Coloca el graduador de manera que el centro coincida con el punto trazado O.
Según la medida, los ángulos se clasifican en:
D
X
Ángulo recto
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Mide 90°.
Mide más de 90°.
Mide 180°.
D
180º
A Y
3. Identifica en el graduador la medida del ángulo que quieres trazar y marca con un lápiz.
B 135º
45º Z
Shutterstock, (2017). 418642096
Ángulo agudo Mide menos de 90°.
90º o
o
A
o
B
A
B
4. Dibuja otra semirrecta con origen O que pase por la raya marcada. D
o
AOB
o
KYZ
Ejemplo 1 Ángulo cóncavo
Ángulo convexo
Ángulo nulo
Mide 360°.
Mide más de 180°.
Mide menos de 180°.
Mide 0°.
Trazar un ángulo de 39°. B
Solución
M 0 N
4
A
C
Shutterstock, (2017). 418642096
Ángulo completo
J
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Cuando lleguemos a una definición o conclusión, lo encontrarás en un recuadro. En algunas páginas está la sección de Desequilibrio cognitivo, que te cuestionará y “moverá el piso”.
Ángulos
Un ángulo se calcula usando la unidad de medida que es el grado. El ángulo puede medirse con un graduador o transportador.
Los contenidos inician con la sección de Saberes previos, que permiten relacionar tus experiencias y tu vida con el nuevo conocimiento.
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La sección de Interdisciplinariedad te permitirá vincular la matemática con otras ciencias; la sección Sabías que… te informará sobre notas curiosas; y, la sección Tic te apoyará con enlaces de Internet para que refuerces tus aprendizajes mediante juegos y retos para ti.
Estrategias para resolver problemas: ordenar etapas de cálculo
Desarrollo del pensamiento y cálculo mental Razonamiento matemático
Problema resuelto
Problema propuesto
Isabel coloca códigos en los libros de la biblioteca del colegio. Son 6 cajas con 195 libros cada una y otras 5 cajas con 204 libros cada una. SI en total son 2 850 libros, ¿a cuántos libros más les debe colocar códigos?
Ricardo tiene que entregar 6 890 velas en 3 almacenes. En el primer almacén entregó 8 cajas con 348 velas cada una; en el segundo almacén entregó 12 cajas con 325 velas cada una. ¿Cuántas velas entregará en el tercer almacén?
1. Comprender el problema. ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Cuántos libros le faltan para terminar de codificar?
1. Comprender el problema. ¿Cuáles son las preguntas del problema? Pregunta: ¿
2. Plantear una estrategia. ¿Cuál es la estrategia de solución? La estrategia que se utilizará es ordenar las etapas de cálculo.
2. Plantear una estrategia. ¿Cuál es la estrategia de solución?
3. Aplicar la estrategia. ¿Cómo se aplica la estrategia?
3. Aplicar la estrategia. ¿Cómo se aplica la estrategia?
1
9
5 6
×
1
7
0
1
2
0
4
0
2
0
b) x46 es un número de 3 cifras, donde x es una cifra. Si se sabe que x46 es exactamente divisible por 18, ¿cuál es el valor de x?
Secuencias gráficas 2. Observa las secuencias gráficas y dibuja completando el cuadrado que falta.
A&A Matemática 6, (2005). Figurs geométricas.
1
a) Juan le dice a Pedro: “Si me das una oveja, tendré yo el doble que tú”. Pedro le contesta: “No seas tan listo. Dame tú una a mí, y así tendremos los dos la misma cantidad”. ¿Cuántas ovejas tiene cada uno?
?
a)
a) Primero, multiplicamos el número de cajas por la cantidad de libros. ×
1. Resuelve los siguientes problemas.
.
5
b) Segundo, sumamos el resultado de los productos. 1
El Desarrollo del pensamiento y cálculo mental te ayudará a desarrollar tu aptitud verbal, razonamiento numérico y abstracto y tu habilidad para calcular.
+
1
7
0
1
0
2
0
2
1
0
9
2
8
5
Cálculo mental
b)
Suma de dos números consecutivos
1
9
0
6
6
0
b) 81 + 82 =
Se calcula el doble de la cifra más baja y se suma 1.
c)
0
2 0
Aplica la estrategia
a) 56 + 57 =
34 + 35 = 34 × 2 = 68 + 1 = 69.
c) Tercero, restamos los libros que están con código de los que son en total. –
A&A Matemática 7, (2006). Niños rebaño.
Las Estrategias para resolver problemas favorecen la aplicación de conceptos y procedimientos para resolver situaciones matemáticas, donde pondrás en juego tu inteligencia y creatividad.
c) 38 + 39 =
Otro ejemplo
d) 48 + 49 = 95 + 96 = 95 × 2 = 190 + 1 = 191.
e) 60 + 61 =
4. Responder. ¿Llegaste a la solución del problema?
4. Responder. ¿Llegaste a la solución del problema? A Isabel le falta colocar códigos en 660 libros.
f ) 72 + 73 = g) 93 + 94 =
34
35
Buen Vivir es una sección encaminada a la aplicación de la matemática en tu vida económica, social, cultural y ambiental.
Proyecto del Buen vivir Multiplico, divido y me divierto
Construyo mi barrio
Para practicar el tema de multiplicación y división y sus procesos, ingresa a la siguiente página web: https://www.matematicasonline.es/primaria5/5primaria2.html
Justificación / problemática
Generalmente utilizamos coordenadas cartesianas para llegar a un lugar determinado, pues estas señalan un punto de un mapa o gráfico. Las coordenadas cartesianas también se utilizan para ubicar a personas extraviadas, conocer la ubicación de los barcos o simplemente para conocer la ubicación de un lugar.
1. Escoge el tema en el que trabajarás.
2. Escoge el nivel de dificultad de las operaciones.
3. Luego de dar clic en el nivel de complejidad de las operaciones, sigue los pasos señalados para plantear las operaciones.
4. Una vez planteada la operación, sigue paso a paso su solución.
5. Resuelve el algoritmo paso a paso.
6. Pulsando en Inicio, regresa y plantea otra multiplicación o división.
En este caso, vamos a utilizar las coordenadas para ubicar tu casa, el parque, la tienda o la panadería de tu barrio. Objetivo
Realizar un plano de tu barrio y ubicar el lugar de tu residencia mediante coordenadas cartesianas. Recursos
• Cajas • Regla Actividades
• • • Shutterstock (2017), 301664249
• •
Grafica un plano con rectas paralelas y perpendiculares, como se muestra a continuación. En el cartón, grafica un diagrama de tu barrio con parques, tiendas, mercados, etc. Para representar las calles, utiliza rectas paralelas y perpendiculares. Si deseas, utiliza cajas pequeñas para representar los lugares que escogiste. Ubica tu casa, el parque, la tienda y los lugares que desees incluir.
Evaluación
Escribe las coordenadas de los lugares representados en tu maqueta y expón tu trabajo en clase. Cuenta la experiencia que tuviste al realizar este proyecto.
Shutterstock (2017), 238412077
TIC en Matemática corresponden a Tecnologías de la Información y la Comunicación que se utilizan como herramientas de investigación o refuerzo del tema desarrollado.
• Cartón • Marcadores
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Compruebo mis aprendizajes corresponde a la evaluación de la unidad, son dos páginas que utilizan actividades variadas para evaluar tus destrezas. Incluye coevaluación y autoevaluación.
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Compruebo mis aprendizajes M.3.1.2. Leer y ubicar pares ordenados en el sistema de coordenadas rectangulares, con números naturales, decimales y fracciones.
c) 56 887 × 521 =
d) 678 775 ÷ 38 =
1. Escoge la respuesta correcta. ¿Qué pares ordenados hacen falta para formar un trapecio? y
6 5 4 3 2 1
A
a) (6, 3) y (2, 5) S
b) (1, 5) y (4, 3) c) (7, 0) y (2, 4) d) (0, 7) y (4, 2)
M.3.2.20. Medir ángulos rectos, agudos y obtusos, con el graduador u otras estrategias, para dar solución a situaciones cotidianas.
5. Observa el triángulo. ¿Qué afirmación es verdadera?
x 0
1
2
3
4
5
6
7
8
C
9
a) Sus ángulos interiores suman 90°. b) Todos sus ángulos internos miden igual.
M.3.1.7. Reconocer términos de la adición y sustracción, y calcular la suma o la diferencia de números naturales. M.3.1.9. Reconocer términos y realizar multiplicaciones entre números naturales, aplicando el algoritmo de la multiplicación y con el uso de la tecnología.
2. Resuelve los siguientes problemas. Cristina tiene una microempresa y reparte su ingreso anual en pago a empleados y en compra de material. Si paga a sus empleados un total de $ 5 875 mensuales, ¿cuánto dinero necesita para cubrir los sueldos de un año? Si su ingreso anual es $ 120 000, ¿cuánto dinero le sobra para comprar material?
c) El ángulo suplementario de ABC es 100°. A
B
d) El complementario del ángulo ACB es 60°.
M.3.2.2. Determinar la posición relativa de dos rectas en gráficos (paralelas, secantes y secantes perpendiculares).
Coevaluación 6. Observen el gráfico y completen las oraciones con los símbolos ⊥ , . e
a
d
3. Una fábrica de artesanías elabora 58 700 collares de tagua, que entrega a diferentes ferias artesanales. Los collares se guardan en cajas con capacidad para 24 collares cada una. ¿Cuántas cajas son necesarias para guardar todos los collares?
b
c
M.3.1.11. Reconocer términos y realizar divisiones entre números naturales con residuo, con el dividendo mayor que el divisor, aplicando el algoritmo correspondiente y con el uso de la tecnología.
a) La recta b es
a la recta c.
b) La recta e es
a la recta b.
c) La recta e es
a la recta d.
d) La recta d es
a la recta c.
Autoevaluación 7. Pinta según la clave. Ubico pares ordenados en el plano cartesiano. Resuelvo problemas en los que intervienen sumas y restas. Resuelvo algoritmos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
4. Resuelve las siguientes operaciones y realiza la comprobación de cada una. a) 987 654 + 654 398 + 56 987 =
Reconozco y mido ángulos.
b) 65 787 658 – 57 875 487 =
Identifico rectas paralelas y perpendiculares.
Clave Puedo ayudar a otros. Resuelvo por mí mismo. ¡Necesito ayuda! Estoy en proceso.
Metacognición
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• • •
¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos? ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos? ¿Para qué te servirá lo aprendido?
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5
Índice Unidad 1
Ecuador megadiverso
Coordenadas rectangulares Adición y sustracción con números hasta 999 999 999 Multiplicación con naturales División de naturales Ángulos Rectas perpendiculares y paralelas Estrategia para resolver problemas: ordenar etapas de cálculo Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental
Unidad 2
36 37 38
34 35
42 46 50 54 58 62 66
Estrategia para resolver problemas: dividir el problema en partes Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental Proyecto del buen vivir: Difundamos el tercer objetivo de la ONU Tic en Matemática: Obtener múltiplos en Excel Compruebo mis aprendizajes
70 71 72 73 74
La matemática en la historia
Números primos y compuestos Mínimo común múltiplo (m.c.m), Máximo común divisor (M.C.D) Adición y sustracción de fracciones Multiplicación y división de fracciones Operaciones combinadas con fracciones Perímetro y área de paralelogramos y trapecios
6
14 18 22 26 30
Proyecto del buen vivir: Construyo mi barrio Tic en Matemática: Multiplico, divido y me divierto Compruebo mis aprendizajes
Los números y el desarrollo sostenible
Sucesiones multiplicativas y con división Significado de la fracción. Clases Fracciones equivalentes por amplificación y simplificación Relación de orden en los números fraccionarios Múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad Unidades de superficie
Unidad 3
10
78 82 86 90 94 98
Estrategia para resolver problemas: ordenar etapas de cálculo Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental Proyecto del buen vivir: Galería fotográfica Tic en Matemática: Resolviendo operaciones Compruebo mis aprendizajes
102 103 104 105 106
Unidad 4
Los números decimales en los fenómenos físicos
Números decimales: lectura y escritura Relación de orden entre números decimales Suma y resta de números decimales Multiplicación de números decimales Polígonos regulares e irregulares. Perímetro y área de regulares Frecuencia absoluta, relativa y acumulada de datos no agrupados.
Unidad 5
110 114 118 122 126 130
134 135 136 137 138
Los números en nuestro relieve
Fracciones decimales y transformación a decimales División con decimales Solución de problemas: operaciones con decimales Sistema sexagesimal: Conversión de grados y minutos Representación de datos discretos en diagramas de barras y poligonales Combinaciones de hasta 3 x 4
Unidad 6
Estrategia para resolver problemas: redondear para simplificar el problema Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental Proyecto del buen vivir: El ruido: un problema ambiental Tic en Matemática: Construcción de una tabla de frecuencias Compruebo mis aprendizajes
142 146 150 154 158 162
Estrategia para resolver problemas: hacer un gráfico ilustrativo Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental Proyecto del buen vivir: Elaboremos una guía de riesgos Tic en Matemática: Construcción de un gráfico de barras con Excel Compruebo mis aprendizajes
166 167 168 169 170
El deporte y recreación
Potenciación 174 Magnitudes directamente proporcionales 178 Porcentajes 182 Círculo y circunferencia 186 Unidades de volumen y capacidad 190 Probabilidad de un evento 194 Estrategia para resolver problemas: dividir el problema en partes 198
Eje temático 1 Álgebra y funciones
Desarrollo del pensamiento - Estrategias de cálculo mental Proyecto del buen vivir: Matemática en el juego Tic en Matemática: Juegos con porcentajes Compruebo mis aprendizajes Bibliografía Recortables
Eje temático 2 Geometría y medida
199 200 201 202 204 205
Eje temático 3 Estadística y probabilidad 7
Unidad 1
Ecuador megadiverso
Ecuador es un país megadiverso, pues en él existen muchas especies de plantas y animales. El país cuenta además con varios parques nacionales en los que se pueden evidenciar grandes ejemplos de biodiversidad. Encontramos en estos lugares una enorme diversidad de especies de aves, mamíferos, anfibios, reptiles y más de un millar de especies arbóreas. El sistema nacional de áreas protegidas (SNAP) abarca cuatro regiones del país, y alberga 51 reservas naturales que se extienden sobre aproximadamente el 20 % de la superficie del Ecuador. Fuente: http://areasprotegidas.ambiente.gob.ec/es/info-snap
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Preguntas generadoras • ¿Cuántas reservas naturales alberga el SNAP? • ¿Conoces algún parque o reserva natural? • ¿De qué manera aportarías para conservar las áreas protegidas?
Álgebra y funciones
- Coordenadas rectangulares - Adiciones y sustracciones hasta 999 999 999 - Multiplicación con naturales, propiedades - Multiplicación por 10, 100 y 1 000 - División con naturales
Geometría y medida
- Rectas perpendiculares y paralelas - Ángulos
Objetivos: O.M.3.1. Utilizar el sistema de coordenadas cartesianas y la generación de sucesiones con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, como estrategias para solucionar problemas del entorno, justificar resultados, comprender modelos matemáticos y desarrollar el pensamiento lógico-matemático.
Shutterstock, (2017) . 253920862
O.M.3.2. Participar en equipos de trabajo, en la solución de problemas de la vida cotidiana, empleando como estrategias los algoritmos de las operaciones con números naturales, decimales y fracciones, la tecnología y los conceptos de proporcionalidad. O.M.3.4. Descubrir patrones geométricos en diversos juegos infantiles, en edificaciones, en objetos culturales, entre otros, para apreciar la matemática y fomentar la perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones cotidianas.
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TEMA 1
Coordenadas rectangulares Saberes previos
Utilizando las palabras derecha, izquierda, arriba, abajo, describe cómo te diriges de tu casa al parque de tu barrio.
Recuerda siempre Una cuadrícula permite ubicar con facilidad algún punto o calle que se desea localizar. En ocasiones es necesario colocar letras o números para facilitar la ubicación.
Emilia realiza todos los días el siguiente recorrido: sale desde su casa hacia su escuela; luego de la escuela, se traslada a la farmacia donde trabaja su madre; finalmente va con su madre a la panadería. Si Emilia quiere contarle al resto de la clase cómo es su recorrido, ¿de qué modo explicaría la ubicación de cada lugar? Para explicar la ubicación de cada lugar, Emilia realiza un plano cartesiano. En el eje horizontal coloca letras que representan las calles, y en el eje vertical coloca números que son las transversales. 5
Escuela
4
3
Panadería
2
1
0
10
Farmacia
Casa
A
B
C
D
E
CASA
(Calle A, transversal 1)
ESCUELA
(Calle B, transversal 4)
FARMACIA
(Calle E, transversal 1)
PANADERÍA
(Calle D, transversal 3)
F
Si se quiere representar la ubicación de cada lugar en un sistema de coordenadas, se construyen dos semirrectas perpendiculares que parten de un punto llamado origen. La semirrecta horizontal o eje x.
8
Eje y
Se llaman coordenadas cartesianas porque las ideó el matemático y filósofo René Descartes, a quien también se lo llamaba Cartesio.
6
La semirrecta vertical o eje y.
Sabías que...
4 2 Origen 2
4
6
8
10
Eje x
Las coordenadas siempre se escriben en el mismo orden: la dirección horizontal primero, después la vertical. A esto se le llama un “par ordenado”. Los pares ordenados se separan con una coma y se escriben entre paréntesis. 5
Los pares ordenados de los lugares que recorre Emilia son los siguientes:
Escuela
4
3
Casa
Panadería
(1, 1)
Farmacia (5, 1)
2
1
1
(2, 4)
Panadería (4, 3)
Farmacia
Casa
0
Escuela
2
3
4
5
6
Ejemplo 1
¿Cómo se desplaza una persona para llegar a los pares ordenados (4, 5) y (0, 6)? Solución
(4, 5)
4 unidades a la derecha y 5 hacia arriba.
(0, 6)
0 unidades a la derecha y 6 hacia arriba. O solo 6 unidades hacia arriba.
Ingresa al siguiente enlace para practicar coordenadas cartesianas: http://www. disfrutalasmatematicas. com/graficos/ coordenadascartesianas-interactivas. html 11
Taller
M.3.1.2. Leer y ubicar pares ordenados en el sistema de coordenadas rectangulares, con números naturales.
1. Escoge la respuesta correcta.
La primera coordenada de un par ordenado se encuentra: a) Desplazándose de arriba hacia abajo. b) Desplazándose de abajo hacia arriba. c) Desplazándose de izquierda a derecha.
Al eje y también se lo denomina: a) Eje de las ordenadas. b) Eje de las coordenadas. c) Eje de las abscisas. 2. Colorea los círculos según lo solicitado. a) Amarillo (1, 5)
y 6
b) Verde (6, 1)
5 4
c) Café (5, 2)
3
d) Azul (4, 4)
2
e) Rojo (3, 6)
1 x 1
2
3
4
5
6
f ) Rosado (2, 3)
3. Observa el plano y completa el recuadro con la letra respectiva. ¿Qué letra se encuentra en el par ordenado? 5 4
y
a) (2, 3) T
N
O
b) (4, 4)
M
3
c) (4, 2) Q
2 P
1
d) (1, 1)
R
e) (0, 4) x
S
0
12
1
2
3
4
5
f ) (4, 0)
Evaluación formativa 4. Escribe el par ordenado en el que se encuentra cada figura geométrica.
y
10
a) Cuadrado
(
,
)
b) Círculo
(
,
)
c) Rombo
(
,
)
d) Triángulo (
,
)
x
e) Pentágono (
,
)
15
f ) Hexágono (
,
)
5
0
0
5
10
5. Ubica en el plano cartesiano los siguientes pares ordenados. Únelos en orden alfabético y responde.
y 50
a) (10, 20) b) (20, 10)
40
c) (40, 10)
30
d) (50, 20)
20
e) (30, 20)
10
f ) (30, 50)
10
20
30
40
50
¿Qué figura se formó?
x
g) (50, 30) h) (30, 20) i)
(10, 20)
DFA El hecho de que haya una discapacidad auditiva no significa que el tono de voz con el que se habla debe ser exagerado o excesivo. Basta con que haya claridad al momento de comunicarse.
6. Trabajo colaborativo
7. Actividad indagatoria
Con la ayuda de una persona adulta, construyan un geoplano, formen diferentes figuras con ligas y escriban los pares ordenados que las forman.
Averigua qué otro tipo de pares ordenados existen.
13
TEMA 2
Adición y sustracción con números hasta 999 999 999 Desequilibrio cognitivo
Shutterstock, (2017). 413888422
¿Cómo compruebas si una sustracción está bien resuelta?
Shutterstock, (2017) .419357545
Para asfaltar las calles de una carretera, un municipio contrató a una empresa privada que cobraría $ 450 680 por toda la obra. Si ya se realizó un abono de $ 145 875 y luego otro abono de $ 245 870, ¿cuánto dinero tendrá que cancelar el municipio al término de la obra? Para conocer cuánto dinero falta por cancelar, es necesario realizar lo siguiente: a) Sumar los dos pagos efectuados. Recuerda siempre Los términos de la adición son: sumandos y suma total. Los términos de la sustracción son: minuendo, sustraendo y diferencia.
+
1
4
5
8
7
5
Primer abono
2
4
5
8
7
0
Segundo abono
3
9
1
7
4
5
Total de abonos
b) Restar los abonos del costo total de la obra.
–
4
5
0
6
8
0
Costo de la obra
3
9
1
7
4
5
Abonos
0
5
8
9
3
5
Falta por cancelar
El municipio tendrá que cancelar $ 58 935 al término de la obra.
Si en una resta se suman el sustraendo y la diferencia, obtendremos el minuendo.
14
450 000 – 210 000 = 240 000
a–b=c
240 000 + 210 000 = 450 000
c+b=a
Propiedades de la adición Propiedad Conmutativa Asociativa
Elemento neutro
Explicación
Ejemplo
El orden en que se escriben los 3 + 5 + 9 = 17 sumandos no altera la suma total. 5 + 9 + 3 = 17 Si dos o más sumandos se (3 + 6 + 7) + 2 = 18 agrupan, la suma total no cambia. 3 + (6 + 7 + 2) = 18 Si se suma el módulo a una 7 + 8 = 15 adición, la suma total será el 7 + 8 + 0 = 15 mismo número. El módulo es el 0.
Estimación de adiciones y sustracciones Recuerda siempre El símbolo que representa aproximación es ≈ Ejemplo 1
Estimar el resultado de las siguientes operaciones. a) 679 870 + 750 187 b) 989 854 – 344 789 Solución
Para conocer el resultado aproximado, es necesario que se aproximen los dos términos a un mismo orden; en este caso aproximamos a la unidad de mil. a) 680 000 + 750 000 = 1 430 000 Adición sin aproximación: 679 870 + 750 187 = 1 430 057 b) 990 000 – 345 000 = 645 000 Sustracción sin aproximación: 989 854 – 344 789 = 645 065 15
M.3.1.7. Reconocer términos de la adición y sustracción, y calcular la suma o la diferencia de números naturales.
Taller
1. Resuelve las siguientes adiciones. a) +
d) +
b)
5
3
4
5
0
7
4
3
2
6
5
8 f)
3
4
9
0
0
8
8
0
4
5
6
7
0
9
8
0
1
1
2
0
0
0
5
8
9
0
8 c)
6
7
8
9
0
0
5
6
7
8
0
4
5
6
8
9
1
8
7
5
0
0
3
7
8
9
1
2
3
7
3
4
2
4
0
5
4
3
2
0
9
8
8
4
5
2
2
4
5
6
1
0
5
7
8
9
3
5
6
7
9
5
1
5
7
8
8
0
0 e)
3
5
6
7
9
1
2
4
5
6
6
8
3
4
5
6
7
1
4
6
7
8
9
1
2
3
4
3
5
6
2
3
9 6
+
+
c)
9
7
4
+
+
2. Resuelve las siguientes sustracciones. a) –
d) –
9
8
7
6
9
0 b)
5
6
7
3
0
4
9
7
8
2
4
5 e)
6
7
3
4
6
0
–
–
–
f) –
3. Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a) La adición cumple con las propiedades conmutativa y asociativa. b) La sustracción cumple con la propiedad conmutativa. 4. Encuentra el resultado de la sustracción y escribe dos operaciones equivalentes en cada caso. a) 456 897 + 234 098 = b) 569 876 – 345 007 = 16
DFA
que na d ie be m ejor a s s a n o rs ha c e r . E C a da p e no puede é u s q ra o t e or las o qué pued decid ir p o n e t n en qué n a im port sa be b ie a n u a d . Ca ipa r. personas ea pa rtic s e d s e d a ctiv ida
Evaluación formativa 5. Aproxima a las unidades de mil y obtén los resultados estimados. b) 897 653 – 567 098 =
a) 567 098 + 734 997 = 560 098 ≈
897 653 ≈
+ 734 997 ≈
–
567 098 ≈
c) 437 709 + 224 008 =
d) 653 765 – 453 896 =
437 709 ≈
653 765 ≈
+ 224 008 ≈
–
453 896 ≈
6. Resuelve los siguientes problemas. a) Una empresa de insumos agrícolas tiene que cumplir una meta de venta semestral de $ 750 860. Si en el primer trimestre vendió $ 345 987 y en el segundo trimestre vendió $ 318 550, ¿cuánto le falta para alcanzar la meta?
b) Una granja avícola produjo 2 400 000 huevos para entregarlos a diferentes supermercados. Si durante el traslado se rompieron 156 980 y 76 543 no estaban en buen estado, ¿cuántos huevos se entregaron en total?
7. Trabajo colaborativo
8. Actividad indagatoria
En parejas, propongan 3 adiciones y 3 sustracciones con números de 7 u 8 cifras. Luego, intercambien sus operaciones con otra pareja y verifiquen los resultados.
Averigua cuántas flores aproximadamente se exportan desde nuestro país hacia Estados Unidos, y plantea una situación problémica sobre este tema. 17
TEMA 3
Multiplicación con naturales Saberes previos
A&A Matemática 6, (2005). Flores.
¿Qué operación nos permite saber la cantidad de chupetes que lleva un camión en 675 cajas, cada una de las cuales contiene 30 chupetes?
Shutterstock, (2017) .465456839
En una exposición de productos ecuatorianos se vendieron 2 585 entradas de adultos a $ 21 cada una, y 1 546 entradas de niños a $12 cada una. ¿Cuánto dinero se recaudó en total? Para conocer la cantidad de dinero recaudado se realiza lo siguiente: a) Multiplicar 2 585 × 21, que es lo recaudado por las entradas de adultos. 2
5
×
Recuerda siempre La multiplicación es una suma abreviada de varios sumandos iguales.
+
8
5
Cantidad de adultos
2
1
Valor de las entradas
5
2
5
8
5
1
7
0
5
4
2
8
5
Factores Suma parcial Producto
Valor por entradas de adultos
b) Multiplicar 1 546 × 12, que es lo recaudado por las entradas de niños. 1
5
× +
4
6
Cantidad de niños
1
2
Valor de las entradas
2
3
0
9
1
5
4
6
1
8
5
5
2
Factores Suma parcial Producto
Valor por entradas de niños
c) Sumar los dos productos.
54 285 + 18 552 = 72 837
También se puede aplicar otra estrategia de multiplicación, descomponiendo el segundo factor.
2 585 × 20 = 51 700
1 546 × 10 = 15 460
2 585 × 1 = 2 585
1 546 × 2 = 3 092
Total:
18
Se recaudó en total $ 72 837.
54 285
+
18 552
=
72 837
Propiedades de la multiplicación Conmutativa
Asociativa
Distributiva
El orden de los productos no altera el producto. 3×5=5×3
Los factores de una multiplicación de números naturales se pueden agrupar de distintas maneras y el producto no cambia. (7 × 3) × 2 = 42 7 × ( 3 × 2) = 42 Se aplica la propiedad con respecto a la suma y la resta. 3 × ( 3 + 2) = ( 3 × 3) + ( 3 × 2) = 9 + 6 = 15 8 × ( 5 – 2) = ( 8 × 5) – ( 8 × 2) = 40 – 16 = 24
Todo número natural multiplicado por 1 da como resultado el Del elemento mismo número. El módulo de la multiplicación es 1. neutro 3 × 5 = 15 3 × 5 × 1 = 15 Ejemplo 1
Resolver las multiplicaciones aplicando las propiedades solicitadas. a) 10 × 4 × 2
conmutativa
b) 8 × 9 × 3
asociativa
c) 7 × (2 + 5)
distributiva
Ingresa al siguiente enlace: http://calasanz.edu. gva.es/7_ejercicios/ matematicas/ mate3pri/7_multi14. html , y practica multiplicaciones × 10, 100 y 1 000.
Solución
a)
10 × 4 × 2 = 80
2 × 4 × 10 = 80
b) (8 × 9) × 3 = 216
8 × (9 × 3) = 216
c)
(7 × 2) + (7 × 5) = 49
7 × (2 + 5) = 49
Multiplicación por 10, 100 y 1 000
Ejemplo 2
Resolver las multiplicaciones. a)
23 × 10 =
b)
135 × 100 =
c) 8 246 × 1 000 =
Solución
a) 23 × 10 = 230
b)
135 × 100 = 13 500
c)
8 246 × 1 000 = 8 246 000 19
M.3.1.9. Reconocer términos y realizar multiplicaciones entre números naturales, aplicando el algoritmo de la multiplicación y con el uso de la tecnología. M.3.1.10. Aplicar las propiedades de la multiplicación en el cálculo escrito y mental, y la resolución de ejercicios y problemas.
Taller
1. Plantea las multiplicaciones y resuelve. a) 345 675 × 54 =
b) 543 765 × 28 =
c) 653 213 × 49 =
d) 843 213 × 32 =
2. Aplica la propiedad conmutativa en los siguientes ejercicios. b) 32 × 15 =
a) 20 × 30 = 30 × 20
d)
e)
= 31 × 87
c) 28 × 25 =
f)
= 22 × 77
= 14 × 15
3. Aplica la propiedad asociativa en los siguientes ejercicios. a) 25 × 11 × 18
(
) =
25 × (
20
( 16 × (
b) 83 × 4 × 21
) × 18 =
c) 16 × 15 × 12
=
(
=
) × 21 =
) =
83 × (
d) 17 × 45 × 9
=
) × 12 =
) =
( 17 × (
=
) × 9 = ) =
DFA Los ritmos y grados de atención suelen variar de persona a persona. Cuando hay dificultades atencionales, es importante respetar los tiempos propios para terminar un trabajo.
Evaluación formativa 4. Aplica la propiedad del elemento neutro. a) 123 × 5 = 615 c) 27 × 15 =
b) 230 × 4 =
d) 75 × 12 =
5. Observa la tabla y complétala. ×
10
100
1 000
456 234 5 645 23 876
2 789
6. Resuelve los siguientes problemas. a) En una escuela hay 12 paralelos con 26 estudiantes cada uno, y 6 paralelos con 28 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes hay en la escuela?
b) En una pizzería venden durante una semana 24 pizzas familiares a $ 25 cada una, 18 pizzas medianas a $18, y 35 pizzas pequeñas a $ 11. ¿Cuánto dinero recauda la pizzería por ventas en una semana?
7. Trabajo colaborativo
8. Actividad indagatoria
En parejas, creen un problema que se resuelva utilizando la multiplicación. Luego, intercambien sus problemas con otras parejas para resolverlos.
Averigua una estrategia de cálculo mental para que la multiplicación se resuelva en menor tiempo. 21
TEMA 4
División de naturales
A&A Matemática 7, (2006). Naranjas.
Desequilibrio cognitivo ¿Cuántas cajas como las del modelo se necesitarán para guardar 400 naranjas?
A&A Matemática 7, (2006). Bosuqe.
En una finca se han cosechado 4 680 manzanas, a las que hay que guardar en cajas. Si cada caja tiene capacidad para 15 manzanas, ¿cuántas cajas se necesitan? A fin de conocer la cantidad de cajas que se necesitan para guardar las manzanas, se debe hacer una división.
4
6
8
1
8 3
0
1
5
3
1
2
0 0
Recuerda siempre Los términos de la división son:
dividendo divisor 27 12 3 2
residuo
cociente
Como hay 2 cifras en el divisor, se toman 2 cifras del dividendo y se estima: ¿cuántos grupos de 15 hay en 46? En 45 hay 3 grupos. Se coloca 3 en el cociente, se multiplica 3 por 15 y se resta de 46. Se compara que el residuo de la resta sea menor que el divisor. Se baja la siguiente cifra del dividendo, es decir el 8, y se estima: ¿cuántos grupos de 15 hay en 18? En 18 hay 1 grupo. Se multiplica 1 por 15 y se resta de 18. Se baja la siguiente cifra y luego se continúa con el mismo proceso.
Se necesitan 312 cajas para guardar 4 680 manzanas.
22
Ejemplo 1
Dividir
56 717 ÷ 342.
Solución
Dividimos 567 entre 342. Es igual a 1 y sobran 225. Se baja la siguiente cifra y se forma 1 997. Luego dividimos entre 342. Obtenemos 6 y sobran 287.
5
6
7
1
7
2
2
5
1
1
9
9
7
2
8
7
3
4
2
1
6
5
Se comprueba la división:
Practica divisiones ingresando al siguiente enlace: http://www.aulafacil. com/cursos/l7672/ primaria/matematicasprimaria/matematicascuarto-primaria/ division-por-dos-omas-cifras
165 × 342 = 56 430 + 287 = 56 717.
Interpretación del residuo
–
1
1
5
2
1
0
0
5
1
5
0
A&A Matemática 7, (2006). Bus escolar.
El fin de semana próximo, 115 estudiantes se irán de paseo a un parque nacional, por lo que es necesario contratar busetas. Si cada buseta tiene capacidad para 20 estudiantes, ¿cuántas busetas se deben contratar? Para conocer la respuesta a esta situación, es necesario dividir la cantidad de estudiantes para 20, que es el número que representa la capacidad que tiene cada buseta.
Según el resultado de la división, se necesitan 5 busetas, pero como quedan 15 estudiantes sin transporte, es necesario contratar una buseta más, es decir, 6 busetas.
23
M.3.1.11. Reconocer términos y realizar divisiones entre números naturales con residuo, con el dividendo mayor que el divisor, aplicando el algoritmo correspondiente y con el uso de la tecnología.
Taller
1. Calcula mentalmente las divisiones exactas, y pinta del mismo color los cocientes y la división planteada, según corresponda. Fíjate en el ejemplo.
a)
333 ÷ 3
b)
500 ÷ 2
c)
d)
600 ÷ 2
e)
800 ÷ 2
f )
484 ÷ 4
g)
400 ÷ 4
h) 1 200 ÷ 2
i)
700 ÷ 2
j)
100 ÷ 5
a)
400
b)
300
c)
20
d)
250
e)
214
f )
111
g)
600
h)
121
i)
100
j)
350
428 ÷ 2
2. Calcula mentalmente y une con una línea la respuesta correcta. a)
568 ÷ 200
2 residuo 59
b)
659 ÷ 300
6 residuo 5
c)
1 500 ÷ 500
3 residuo 6
d)
756 ÷ 250
2 residuo 168
e)
1 805 ÷ 300
3 residuo 0
DFA r u e e l ma y o ¿Sa bías q u na ta n e fr ue en prob lema q ida d n d isca pa c persona co s e d ificu lta d no son las o los enta les, s in fís icas o m que y preju icios obstácu los socieda d? le im pon e la
3. Resuelve las siguientes divisiones y escribe el residuo. a)
b) 4
5 4 0
Residuo: f ) 7
3
Residuo: 24
c) 8
7
3 0
Residuo:
4
4 5
g) 0 9
3
Residuo:
d) 7
2
5 2
Residuo:
8
3 5
h) 0 8
6
Residuo:
9
3
6 9
9
2 1 0
Residuo:
4
2 4
i) 0 6
3
Residuo:
Evaluación formativa 4. Resuelve las siguientes divisiones y realiza la comprobación. b)
a) 3
6
8
9
0
8
4
5
6
Comprobación
7
8
7
6
5
4
8
7
4
3
2
7
7
4
Comprobación
d)
c) 7
8
7
5
8
7
6
5
5
3
0
Comprobación
9
7
6
5
2
Comprobación
5. Resuelve el siguiente problema e interpreta su residuo. Gabriela necesita empacar manzanas en cajas. Si en cada caja caben 45 manzanas y ella tiene 6 900 manzanas, ¿cuántas cajas son necesarias para empacar todas las manzanas?
6. Trabajo colaborativo
7. Actividad indagatoria
En parejas, realicen una multiplicación para 2 o 3 cifras, escriban los procesos en una cartulina, y expongan su trabajo en clase.
Pregunta a tus padres en qué situaciones se puede hacer la interpretación del residuo, y comenta las respuestas con la clase. 25
TEMA 5
Ángulos
A&A Matemática 3, (2006). Reloj.
Saberes previos
¿Qué hora marca el reloj? ¿Qué clase de ángulo forman sus manecillas?
Recuerda siempre Un ángulo se calcula usando la unidad de medida que es el grado. El ángulo puede medirse con un graduador o transportador.
A
Para nombrar a un ángulo, utilizamos el símbolo ,B seguido del nombre del vértice o de tres de sus puntos. Al vértice se lo menciona en segundo lugar.
o
Lad
B Vértice
Ángulo Lado
B o ABC
C
Clasificación Según la medida, los ángulos se clasifican en: Ángulo agudo
Ángulo recto
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Mide menos de 90°.
Mide 90°.
Mide más de 90°.
Mide 180°.
X
B 180º
A Y
135º
45º Z
90º o
o
A B
A
KYZ
o
AOB
o
Ángulo completo
Ángulo cóncavo
Ángulo convexo
Ángulo nulo
Mide 360°.
Mide más de 180°.
Mide menos de 180°.
Mide 0°.
M J
0 N
26
o
B
Ángulos según su posición Consecutivos
Adyacentes
Opuestos por el vértice
Tienen el vértice y lado común.
Tienen el vértice y lado común, y suman 180°.
Tienen un solo vértice común.
Trazo de ángulos Para trazar un ángulo, es necesario considerar los siguientes pasos.
Sabías que...
1. Traza una semirrecta con origen O.
0
Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 90°. Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a 180°.
2. Coloca el graduador de manera que el centro coincida con el punto trazado O. D
Shutterstock, (2017). 418642096
3. Identifica en el graduador la medida del ángulo que quieres trazar y marca con un lápiz. D
4. Dibuja otra semirrecta con origen O que pase por la raya marcada. D
Ejemplo 1
Trazar un ángulo de 39°.
A
C
Shutterstock, (2017). 418642096
B
Solución
27
M.3.2.20. Medir ángulos rectos, agudos y obtusos, con el graduador u otras estrategias, para dar solución a situaciones cotidianas.
Taller
1. Responde las siguientes preguntas. a) Dos ángulos son suplementarios entre sí. Si uno es obtuso, ¿cómo es el otro? b) Dos ángulos son complementarios. Si uno es obtuso, ¿cómo es el otro? c) Uno de los ángulos de un triángulo mide 90°. ¿Cuánto medirán los otros dos juntos? d) ¿Puede existir un triángulo con dos ángulos rectos? ¿Por qué? 2. Mide los ángulos de los triángulos y responde. A Y
B
C
X
Z
a) El ángulo ABC mide b) El ángulo BCA mide
DFA
c) El ángulo CAB mide d) El ángulo XYZ mide
Cuando una persona tiene dificultades o problemas de motricidad, es importante tener en cuenta que los desplazamientos y ritmos no siempre se ajustarán a los de los demás.
e) El ángulo YZX mide f ) El ángulo ZXY mide 3. Traza un ángulo agudo, uno obtuso y uno recto. Agudo
28
Recto
Obtuso
Evaluación formativa 4. Escribe en cada caso si se trata de un ángulo agudo, obtuso, recto, llano, cóncavo o completo.
5. Traza los ángulos solicitados. Dos ángulos consecutivos de 20° y 40°.
Dos ángulos adyacentes de 130° y 50°.
6. Trabajo colaborativo
7. Actividad indagatoria
En grupo, realicen un cartel con la clasificación de los ángulos por sus lados y por su posición.
Averigua qué son ángulos diedros y escribe un ejemplo de ello. 29
TEMA 6
Rectas perpendiculares y paralelas Desequilibrio cognitivo ¿Cuántos segmentos se pueden visualizar en el gráfico?
A&A Matemática 5, (2005). Rieles.
Durante el paseo en tren, Lucy puede observar rectas paralelas y rectas perpendiculares. Si quiere presentar en un dibujo las rectas observadas, ¿qué pasos sigue para trazarlas correctamente?
A&A Matemática 5, (2005). Rieles.
Rectas paralelas
Geometría y profesiones Arquitecto/a Debe conocer el trazo de rectas paralelas y perpendiculares para realizar un plano.
Rectas perpendiculares
a a
b
b Dos rectas son paralelas si se Dos rectas son perpendiculares encuentran en el mismo plano y no si se cortan formando ángulos se cortan. rectos. Se escribe: a b
Se escribe: a ⊥ b
En nuestro entorno encontramos varios objetos que contienen rectas paralelas y secantes.
A&A Matemática 7, (2006). Habitación.
Observemos los gráficos y la identificación de rectas.
30
Trazo de rectas con regla Paralelas
Perpendiculares
a b
Ingresa al enlace y observa otra forma de trazar rectas paralelas. www.mayaediciones. com/mat6/p31
b a
Trazo de rectas paralelas 1.
2.
0
A
3.
B
C
4.
B
0
A
D
0
A
r
C
A
r
B
r
B
r
D
0
Trazo de rectas perpendiculares 0
2.
1.
3.
s
0
0 A A
B
r
B
r A
B
r
C
31
M.3.2.2. Determinar la posición relativa de dos rectas en gráficos (paralelas, secantes y secantes perpendiculares).
Taller 1. En cada figura, repasa con color rojo rectas paralelas, y con verde, rectas perpendiculares.
2. Observa las rectas y determina si son o no perpendiculares. Justifica tu respuesta. a) a
son
perpendiculares
.
b
b)
son
a
perpendiculares
b
a
porque .
b
c)
porque
son
perpendiculares
porque .
DFA Cuando hay una discapacidad visual, la mejor forma de ayudar es proporcionando referencias concretas. Es mejor decir: ‘a tu derecha’, ‘delante de ti’, ‘arriba’, que ‘aquí’, ‘ahí’, ‘allá’.
32
Evaluación formativa 3. Traza rectas paralelas. Con compás
Con escuadra
4. Traza rectas perpendiculares. Con compás
Con escuadra
5. Dibuja un objeto que tenga rectas paralelas y otro que tenga rectas perpendiculares, y señálalas.
6. Trabajo colaborativo
7. Actividad indagatoria
En parejas, realicen en una cartulina un diseño utilizando las rectas aprendidas. Observen el ejemplo.
¿Cuántas rectas paralelas y perpendiculares puedes observar en el diseño de una cancha de fútbol? 33
Estrategias para resolver problemas: ordenar etapas de cálculo Problema resuelto
Problema propuesto
Isabel coloca códigos en los libros de la biblioteca del colegio. Son 6 cajas con 195 libros cada una y otras 5 cajas con 204 libros cada una. SI en total son 2 850 libros, ¿a cuántos libros más les debe colocar códigos?
Ricardo tiene que entregar 6 890 velas en 3 almacenes. En el primer almacén entregó 8 cajas con 348 velas cada una; en el segundo almacén entregó 12 cajas con 325 velas cada una. ¿Cuántas velas entregará en el tercer almacén?
1. Comprender el problema. ¿Cuál es la pregunta del problema? ¿Cuántos libros le faltan para terminar de codificar?
1. Comprender el problema. ¿Cuáles son las preguntas del problema? Pregunta: ¿
2. Plantear una estrategia. ¿Cuál es la estrategia de solución? La estrategia que se utilizará es ordenar las etapas de cálculo.
2. Plantear una estrategia. ¿Cuál es la estrategia de solución?
3. Aplicar la estrategia. ¿Cómo se aplica la estrategia?
3. Aplicar la estrategia. ¿Cómo se aplica la estrategia?
a) Primero, multiplicamos el número de cajas por la cantidad de libros. 1
9
5
×
1
2
6 1
7
0
0
× 1
0
2
0
1
1
7
0
1
0
2
0
2
1
0
9
2
8
5
0
2
1
9
0
0
6
6
0
4. Responder. ¿Llegaste a la solución del problema? A Isabel le falta colocar códigos en 660 libros. 34
.
5
c) Tercero, restamos los libros que están con código de los que son en total. –
a)
4
b) Segundo, sumamos el resultado de los productos. +
?
b) c) 4. Responder. ¿Llegaste a la solución del problema?
Desarrollo del pensamiento y cálculo mental Razonamiento matemático A&A Matemática 7, (2006). Niños rebaño.
1. Resuelve los siguientes problemas. a) Juan le dice a Pedro: “Si me das una oveja, tendré yo el doble que tú”. Pedro le contesta: “No seas tan listo. Dame tú una a mí, y así tendremos los dos la misma cantidad”. ¿Cuántas ovejas tiene cada uno? b) x46 es un número de 3 cifras, donde x es una cifra. Si se sabe que x46 es exactamente divisible por 18, ¿cuál es el valor de x?
Secuencias gráficas
A&A Matemática 6, (2005). Figurs geométricas.
2. Observa las secuencias gráficas y dibuja completando el cuadrado que falta.
Cálculo mental Suma de dos números consecutivos 34 + 35 = 34 × 2 = 68 + 1 = 69. Se calcula el doble de la cifra más baja y se suma 1. Otro ejemplo
Aplica la estrategia
a) 56 + 57 = b) 81 + 82 = c) 38 + 39 = d) 48 + 49 =
95 + 96 = 95 × 2 = 190 + 1 = 191.
e) 60 + 61 = f ) 72 + 73 = g) 93 + 94 = 35
Proyecto del buen vivir Construyo mi barrio Justificación / problemática
Generalmente utilizamos coordenadas cartesianas para llegar a un lugar determinado, pues estas señalan un punto de un mapa o gráfico. Las coordenadas cartesianas también se utilizan para ubicar a personas extraviadas, conocer la ubicación de los barcos o simplemente para conocer la ubicación de un lugar. En este caso, vamos a utilizar las coordenadas para ubicar tu casa, el parque, la tienda o la panadería de tu barrio. Objetivo
Realizar un plano de tu barrio y ubicar el lugar de tu residencia mediante coordenadas cartesianas. Recursos
• Cartón • Marcadores
• Cajas • Regla Actividades
• •
Shutterstock (2017), 301664249
• • •
Grafica un plano con rectas paralelas y perpendiculares, como se muestra a continuación. En el cartón, grafica un diagrama de tu barrio con parques, tiendas, mercados, etc. Para representar las calles, utiliza rectas paralelas y perpendiculares. Si deseas, utiliza cajas pequeñas para representar los lugares que escogiste. Ubica tu casa, el parque, la tienda y los lugares que desees incluir.
Escribe las coordenadas de los lugares representados en tu maqueta y expón tu trabajo en clase. Cuenta la experiencia que tuviste al realizar este proyecto. 36
Shutterstock (2017), 238412077
Evaluación
Multiplico, divido y me divierto
Para practicar el tema de multiplicación y división y sus procesos, ingresa a la siguiente página web: https://www.matematicasonline.es/primaria5/5primaria2.html 1. Escoge el tema en el que trabajarás.
2. Escoge el nivel de dificultad de las operaciones.
3. Luego de dar clic en el nivel de complejidad de las operaciones, sigue los pasos señalados para plantear las operaciones.
4. Una vez planteada la operación, sigue paso a paso su solución.
5. Resuelve el algoritmo paso a paso.
6. Pulsando en Inicio, regresa y plantea otra multiplicación o división.
37
Compruebo mis aprendizajes M.3.1.2. Leer y ubicar pares ordenados en el sistema de coordenadas rectangulares, con números naturales, decimales y fracciones.
1. Escoge la respuesta correcta. ¿Qué pares ordenados hacen falta para formar un trapecio? y
6 5 4 3 2 1
A
a) (6, 3) y (2, 5) S
b) (1, 5) y (4, 3) c) (7, 0) y (2, 4) d) (0, 7) y (4, 2) x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
M.3.1.7. Reconocer términos de la adición y sustracción, y calcular la suma o la diferencia de números naturales. M.3.1.9. Reconocer términos y realizar multiplicaciones entre números naturales, aplicando el algoritmo de la multiplicación y con el uso de la tecnología.
2. Resuelve los siguientes problemas. Cristina tiene una microempresa y reparte su ingreso anual en pago a empleados y en compra de material. Si paga a sus empleados un total de $ 5 875 mensuales, ¿cuánto dinero necesita para cubrir los sueldos de un año? Si su ingreso anual es $ 120 000, ¿cuánto dinero le sobra para comprar material? M.3.1.11. Reconocer términos y realizar divisiones entre números naturales con residuo, con el dividendo mayor que el divisor, aplicando el algoritmo correspondiente y con el uso de la tecnología.
3. Una fábrica de artesanías elabora 58 700 collares de tagua, que entrega a diferentes ferias artesanales. Los collares se guardan en cajas con capacidad para 24 collares cada una. ¿Cuántas cajas son necesarias para guardar todos los collares? 4. Resuelve las siguientes operaciones y realiza la comprobación de cada una. a) 987 654 + 654 398 + 56 987 =
38
b) 65 787 658 – 57 875 487 =
c) 56 887 × 521 =
d) 678 775 ÷ 38 =
M.3.2.20. Medir ángulos rectos, agudos y obtusos, con el graduador u otras estrategias, para dar solución a situaciones cotidianas.
5. Observa el triángulo. ¿Qué afirmación es verdadera? C
a) Sus ángulos interiores suman 90°. b) Todos sus ángulos internos miden igual. c) El ángulo suplementario de ABC es 100°.
A
B
d) El complementario del ángulo ACB es 60°.
M.3.2.2. Determinar la posición relativa de dos rectas en gráficos (paralelas, secantes y secantes perpendiculares).
Coevaluación 6. Observen el gráfico y completen las oraciones con los símbolos ⊥ , . e
a
d
b
c
a) La recta b es
a la recta c.
b) La recta e es
a la recta b.
c) La recta e es
a la recta d.
d) La recta d es
a la recta c.
Autoevaluación 7. Pinta según la clave. Ubico pares ordenados en el plano cartesiano. Resuelvo problemas en los que intervienen sumas y restas. Resuelvo algoritmos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Reconozco y mido ángulos. Identifico rectas paralelas y perpendiculares.
Clave Puedo ayudar a otros. Resuelvo por mí mismo. ¡Necesito ayuda! Estoy en proceso.
Metacognición • ¿Aclaraste dudas y necesidades con los temas aprendidos? • ¿En qué momento de tu vida puedes utilizar algunos de los temas aprendidos? • ¿Para qué te servirá lo aprendido?
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