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Guía del Profesor
Distribuidor exclusivo para Chile
Dr Fong Ho Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Gan Kee Soon
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BLANCO
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Primera edición en español © 2013 Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited. Published by Marshall Cavendish Education An imprint of Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited Times Centre, 1 New Industrial Road, Singapore 536196 Customer Service Hotline: (65) 6411 0820 E-mail: tmesales@sg.marshallcavendish.com Website: www.marshallcavendish.com/education Primera publicación 2013 Adaptado y traducido del título original My Pals are Here! Maths (2nd Edition). Centro Felix Klein Investigación, Experimentación y Transferencia en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Facultad de Ciencia Universidad de Santiago de Chile Todos los derechos reservados. No esta permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito a los titulares del Copyright. Marshall Cavendish es Marca registrada de Times Publishing Limited. Pensar sin Límites, Guía del Profesor 5A ISBN 978-981-01-8830-6 Impreso en Singapur por Times Printers, www.timesprinters.com
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Introducción Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, es un programa basado en múltiples actividades que proporcionan al alumno una sólida base matemática. Desarrolla la creatividad y el pensamiento crítico, habilidades claves para la resolución de problemas. Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, estimula el aprendizaje de la matemática en forma divertida y provechosa, a través de ilustraciones y juegos que ayudan a reforzar y consolidar el aprendizaje. Plan de trabajo 192
La Guía del Profesor del Libro del Alumno 5A Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish incluye los planes de trabajo, las páginas del Libro del Alumno 5A y las páginas del Cuaderno de Trabajo 5A, con sus respectivas respuestas. Se detallan los objetivos de cada capítulo, así como también se incluyen los conceptos clave y procedimientos para la gestión de la clase.
Capítulo 5: Fracciones Horas pedagógicas 1
¡Resumamos! Los estudiantes serán capaces de recordar los objetivos de cada sesión en relación a las habilidades, conceptos y estrategias aprendidas para resolver problemas.
Fracciones
¡Aprendamos!
5
Luis tenía 3 de una galleta del
3
mismo tipo.
ador 5.
Carla tenía de una pizza 4 del mismo tamaño.
Las fracciones 2 y 3 tienen igu al denominador. 5 5
Ambas fracciones tienen denomin
1 a José tenía 2 de una gall eta. 5
Fracciones con igual y distinto denominador
1 representa 1 centena de mil ó 100 000
Decenas de mil
Unidades de mil
Unidades de mil
Centenas
Centenas
s que • Pida a los estudiante cuenten de 100 000 en hasta 000 100 e desd 000, 100 coloca 900 000, mientras usted en fichas de a una en una . ional posic valor la tabla de con los Pídales que completen palabras o cifras con eros núm indica en los espacios que se
a Dejamos un espacio entre l posición de los miles y la de yuda a los cientos. Esto nos a ero. leer fácilmente el núm
ien mil. 2 Cuenta de cien mil en c cien mil 100 000 ntos mil 200 000 doscie ntos mil 300 000 trescie cuatrocientos mil 000 400 quinientos mil 000 500 entos mil seisci 600 000 ientos mil setec 00 700 0 ientos mil ochoc 000 800 ientos mil novec 900 000
100 000
3
s a que se • Guíe a los estudiante escribir den cuenta que, para , el estos números en cifras anota se que o dígit er prim la a e dient es el correspon centena de mil. ta cuen den se que a • Ayúdelos ero que, para escribir el núm s mil, en palabras, seisciento se cincuenta mil y tres mil, ientos unen para obtener seisc mil. tres y enta cincu nte prese • Destaque que el cero, de en una de las posiciones do cuan be escri se la tabla, no en el número se expresa palabras.
as y en palabras.
dígito? Escríbelo en cifr
e cada 3 ¿Cuál es el valor d Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
representa representa des representa representa representa representa 3 unidades 1 centena 0 decenas 4 unida 6 centenas 5 decenas de mil de mil de mil En palabras En cifras
a de mil
enten 10 decenas de mil = 1 c
Centenas de mil
10 decenas de mil forman 1 centena de mil. 1 centena de mil se escribe: 100 000.
Suma 1 decena de mil a y 9 decenas de mil par obtener 10 decenas de mil.
Decenas de mil
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millones
il. 00), Cuenta en decenas de m ), 3 decenas de mil (30 0 00), (60 0 , 2 decenas de mil (20 000 1 decena de mil (10 000) , 5 decenas de mil (50 000), 6 decenas de mil (90 000), 4 decenas de mil (40 000) , 8 decenas de mil (80 000), 9 decenas de mil 0 000) mil (7 nas de 7 dece 000) 10 decenas de mil (100
Centenas de mil
b María tenía 2 de una pizza. 3
iv
6
número dado.
2
¡Aprendamos!
1
s que • Pida a los estudiante trabajen en parejas. El algunas ará coloc A estudiante fichas en la tabla de valor B iante estud El . ional posic observará la tabla y luego en escribirá y expresará se palabras el número que do. encuentra representa un birá escri A • El estudiante nes. número hasta de 10 millo rá las ubica B iante estud El valor de fichas en la tabla sentar el posicional, para repre
Gestión de la clase
Grandes números Números hasta 10
iantes una • Muestre a los estud . tabla de valor posicional es de color Coloque fichas de ión de a una en una en la posic es las decenas de mil y pídal de mil: que cuenten decenas nas de 1 decena de mil, 2 dece de mil. mil, … hasta 9 decenas Destaque que: 000, 1 decena de mil = 10 000 y 2 decenas de mil = 20 000. 9 decenas de mil = 90 más en • Coloque una ficha a los nte pregu y ión esa posic nen estudiantes: “¿Qué obtie a de cuando agregan una decen mil a 9 decenas de mil?” (10 decenas de mil). s a que se • Guíe a los estudiante na de mil den cuenta que 1 dece igual a + 9 decenas de mil es equivale que lo 000, 90 + 10 000 sus a 100 000. Pregunte a iguales estudiantes. “¿A qué son 000). 10 decenas de mil?” (100 100 000 y • Escriba en el pizarrón mil” “cien que cuando • Muestre e indique ión hay 10 fichas en la posic éstas se mil, de de las decenas la que canjean por una ficha, de las se ubica en en el lugar centenas de mil. nas de mil • Destaque que 10 dece = 1 centena de mil.
Las fracciones 2 y 3 tienen dis tinto denominador. 3 4
(ver
Gestión de la clase 1
Una fracció
ional • Tabla de valor posic Apéndice 1, pág. 334). • Fichas de colores
a la decena • La posición que sigue mil. de mil es la centena de = 1 centena de • 10 decenas de mil mil.
les
Actividades opciona
125
Conceptos clave
• Comparar • Identificar relaciones
Materiales
n tiene denominador 3 y la otra 4 .
Habilidades
en tablas de 10 millones, insertos valor posicional. y palabras • leer y escribir en cifras hasta números de 6 y 7 cifras 10 millones. a para operar lador calcu una usar • cifras. con números de 6 y 7
Capítulo 5: Fracciones
capa
Heurística para resolver problemas: Dibujar un modelo Considerar dos momentos: “antes y “después”
¡Activa tu mente!
Grandes números en diez mil • contar de diez mil hasta cien mil. en cien mil mil cien de r conta • hasta un millón. decenas de • establecer que 10 y que 10 mil = 1 centena de mil n. centenas de mil = 1 milló en palabras • expresar en cifras y hasta de ros núme
Habilidades Analizar las partes y el todo
Los estudiantes serán capaces de aplicar habilidades de pensamiento y heurísticas para resolver problemas más desafiantes.
Capítulo uno
Los estudiantes serán
Recursos • Libro del Alumno 5A, págs. 159 a 160 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 143 a 144 • Guía del Profesor 5A, págs. 227 a 228
Este diario permite a los estudian tes reflexionar sobre el concepto de suma de dos fraccione s y reconocer los errores más frecuentes que pueden cometer.
Actividades opcionales y adicionales
Objetivos y conceptos clave.
Objetivos: Números hasta 10 millones ces de:
Objetivos Diario matemático
Decenas
Decenas
Unidades
Unidades
0 0 0 0 0 representa representa representa representa representa 0 centenas 0 decenas 0 unidades ó 0 0 decenas 0 unidades ó 0 ó 0 de mil ó 0 de mil ó 0 s números Capítulo 1: Grande
6 centenas de mil 5 decenas de mil 3 unidades de mil 1 centena 0 decenas 4 unidades
600 000 50 000 3000 100 0 4
Seiscientos mil Cincuenta mil Tres mil Cien Cuatro
3 104. En cifras, el número es 65 enta y tres mil es seiscientos cincu En palabras, el número ciento cuatro. 9 s números Capítulo 1: Grande
7
8
Página del Libro del Alumno con las respuestas.
Un formato amigable que entrega en detalle los pasos para la gestión de la clase.
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Alicia utilizó 3 de témpera para pintar 4 su cuadro. Belinda utilizó 4 más que Alicia para pintar el suyo. ¿Cuánt 5 a témpera utilizaron entre las dos?
31 20 11 20
Belinda utilizó 1 11
20 de témpera.
3 11 15 11 4 + 1 20 = 20 + 1 20
=1
26 20
=2
6 20
=2
Un mono trepó 3 3
15
2 3
3
24
Capítulo 5:
¡Aprendamos!
Apéndice 8
Fracciones
(Libro del Alu
mno 5A, págs.
125, 126, 129
, 133 y 134)
24
19 = 24
La respuesta es 19
1
24 .
5
5
1 6
1
1 6
1 5
1
1 5
15
El mono deberá trepar 11 1 m 15 más para llegar la cima de la palmera.
1 8
Primero, hay que encont rar el menor múltip lo común entre 8 y 3. Luego, hay que encont rar las fracciones equiva lente a 1 y 2 usand mínimo común múltip o el 8 3 lo como denominador . Finalmente, hay que sumar las fracciones. 1 2 3 16 = + 8 +
6
palmera.
m de la
1 2 8 3 =?
Explica los pasos a seguir para sumar 1 2 correcta. Puedes utilizar 8 y 3 . Luego, encuentra la respue modelos. sta
1
m de una palmera que 5 mide 10 m. Descan rato y continuó trepan só un do 4 2 m más. ¿Cuánt os metros más deberá 3 mono para llegar a trepar el la cima de la palmer a? 3 3 + 4 2 = 3 9 + 10 4 5 3 15 10 – 8 4 = 9 15 – 8 4 15 15 15 15 19 =7 11 15 =1 m 15 4 =8 m El mono trepó 8 4
Fecha:
3 10
Entre las dos utiliza 3 ron 2 témpera. 10 de (8)
Curso:
siguiente ejercicio.
1 6
=
=1
Diario matemático Alfonso resolvió el
Página del Cuaderno de Trabajo con las respuestas.
6
3 4 15 16 4 + 5 = 20 + 20
Nombre:
1 6
(7)
1 5 142
243
Capítulo 5: Fraccio nes
143
1
1 10
10
1
1 1 10 10
1 8 1 8
1 8 8 1
1: Dibujar
1 8
1 1 1 12 12 12
Solución:
Número B
es 9. ¿Cuáles
son los dos núm
eros?
51
9
51 9 = 42 42 : 2 = 21 21 9 = 30 Los números
Su diferencia
1 1 1 12 12 12
Número A
un modelo
1 1 1 12 1 2 12
números es 51.
1 10 1 1 0
8
Heurística
1 Ejemplo 1 1 1 12 12 La suma de dos 12
La sección Apéndice, al final del libro, contiene las plantillas que tienen por objetivo ayudar a los docentes en la preparación de sus clases.
1 10
10
8
1
1 8
1
1 1 10 10
Capítulo 5: Fraccio nes
son 21 y 30.
Solución alte rnativa: 51 9 = 60 60 : 2 = 30 51 30 = 21
341
Ejemplo 2 Cecilia y Mar io tienen 80 bolitas entre los dos. Sand Alicia tiene 1 ra y Alicia tiene de las bolitas n 50 bolitas entr 4 que tiene Mar io. ¿Cuántas bolit e las dos. as tiene Sand ra?
Solución:
La sección Heurísticas para resolver problemas, ubicada al final del libro, contiene un conjunto de nueve heurísticas aplicadas a una selección de problemas. Es un recurso adicional para desarrollar en los estudiantes, habilidades de orden superior.
Cecilia y Mario Sandra y Alicia
Cecilia 80 Sandra 50
? Mario tiene 4 veces la cant idad de bolitas es 3 unidades que Alicia y la . Es decir, Mar diferencia en io tiene 3 unid el número de ades más que unidades Alicia. 80 50 = 30 30 : 3 = 10 10 4 = 40 bolitas (Mario) 80 40 = 40 bolitas (Cecilia)
Sandra tiene
40 bolitas.
318
En el Libro del Alumno encontrará las secciones: ¡Aprendamos! Se introducen paso a paso los conceptos en forma atractiva. En paralelo, se formulan preguntas que permiten monitorear la comprensión de los conceptos aprendidos.
¡Activa tu mente! Desafía a los estudiantes a resolver problemas no rutinarios que permiten aplicar tanto procedimientos como herramientas y, al mismo tiempo, desarrollar habilidades de pensamiento.
¡Exploremos! Se realizan actividades investigativas que permiten a los estudiantes aplicar los conceptos aprendidos.
Diario matemático Permite compartir lo que el estudiante ha aprendido, crear sus propias preguntas matemáticas, y tomar conciencia de su propio pensamiento matemático. Matemática en la casa
Realiza esta actividad y ¡Juguemos! Incluyen juegos y actividades que involucran el uso de la Matemática.
Permite a los padres o apoderados guiar a los estudiantes en la aplicación de los conceptos aprendidos a situaciones de su vida diaria.
En el Cuaderno de Trabajo encontrará las secciones: “Prácticas“, “Desafío” y “Piensa y resuelve” en cada capítulo. Después de cada dos o tres capítulos encontrará un “Repaso” que facilita la consolidación de los conceptos aprendidos y la “Evaluación” que integra los temas, conceptos y capítulos del semestre. v
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Contenidos Plan de la clase
Cuaderno de trabajo
Plantillas
Números hasta 10 millones
6
47
Apéndice 1: p. 334
Números hasta 1000 millones
15
49
Apéndice 2: p. 335
Valor posicional
22
51
Apéndice 1: p. 334
Composición y descomposición de números
26
53
Comparando números hasta 10 millones
30
Comparando números hasta 1000 millones
33
53
Redondeando para estimar
38
56
Usando la calculadora
65
108
Multiplicando por decenas, por centenas o por unidades de mil
69
109
Dividiendo por decenas, por centenas o por unidades de mil
78
112
Orden de las operaciones
86
114
Cálculo mental
93
117
Problemas (1)
95
118
Problemas (2)
100
120
Título del Capítulo
1
2
Grandes números
Operaciones
Plan de trabajo 2
61
Repaso 1
3
4
Cuadrados y rectángulos
124 130
Cuadrados y rectángulos
132
143
Más sobre cuadrados y rectángulos
138
145
Recordando la comparación de decimales
153
175
Multiplicación
155
175
División
160
177
Estimación de decimales
167
180
Problemas
171
182
Decimales
Repaso 2
Apéndice 3: p. 336
Apéndices 4 y 5: pp. 337 y 338 Apéndices 6 y 7: pp. 339 y 340
150
185
vi
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Título del Capítulo
5
6
Fracciones
Plan de trabajo
Plan de la clase
Cuaderno de trabajo
Plantillas
188
Fracciones con igual y distinto denominador
193
Sumando fracciones con distinto denominador
194
229
Apéndice 8: pp. 341 y 342
Restando fracciones con distinto denominador
197
231
Apéndice 8: pp. 341 y 342
Fracciones como resultado de un reparto equitativo
200
233
Apéndices 8 y 9: pp. 341 y 343
Expresando fracciones como decimales
205
235
Sumando números mixtos
214
237
Restando números mixtos
218
238
Problemas
223
239
Base y altura de un triángulo
247
262
Apéndices 10 y 11: pp. 344 y 345
Calculando el área de un triángulo
251
263
Apéndices 12 a 14: pp. 346 y 348
Congruencia
270
294
Apéndice 15: pp. 349 y 350
Teselaciones
284
296
Apéndice 16: pp. 351 y 352
Más teselaciones
288
298
Área de triángulos
7
Congruencia y teselaciones
Apéndice 8: pp. 341 y 342
245
268
Repaso 3
302
Evaluación 1
308
vii
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1
Horas pedagógicas
• leer y escribir en cifras y palabras números hasta 1000 millones. • identificar el valor posicional de los dígitos de un número hasta 1000 millones. • establecer que 10 decenas de millón = 1 centena de millón y que 10 centenas de millón = 1 unidad de mil millones. • dar ejemplos de uso de estos números en contextos reales.
Los estudiantes serán capaces de:
(2) Números hasta 1000 millones.
• contar de diez mil en diez mil hasta cien mil. • contar de cien mil en cien mil hasta un millón. • establecer que 10 decenas de mil = 1 centena de mil y que 10 centenas de mil = 1 millón. • expresar en cifras y en palabras números de hasta 10 millones, insertos en tablas de valor posicional. • leer y escribir en cifras y palabras números de 6 y 7 cifras hasta 10 millones. • usar una calculadora para operar con números de 6 y 7 cifras.
Los estudiantes serán capaces de:
(1) Números hasta 10 millones.
Objetivos
Capítulo 1: Grandes números
• Libro del Alumno 5A, págs. 17 a 22 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 11 a 13 • Guía del Profesor 5A, págs. 17 a 20
• Libro del Alumno 5A, págs. 8 a 16 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 7 a 10 • Guía del Profesor 5A, págs. 6 a 14
Recursos
Comparar e identificar relaciones
Comparar e identificar relaciones
Habilidades
3
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3
2
2
Horas pedagógicas
• determinar el número mayor o menor usando la estrategia de comparar los valores de los dígitos correspondientes desde la izquierda. • ordenar una serie de números dados. • identificar el patrón en una secuencia numérica.
Los estudiantes serán capaces de:
(5) Comparando números hasta 10 millones.
• componer y descomponer números naturales en forma estándar y extendida.
Los estudiantes serán capaces de:
(4) Composición y descomposición de números.
• identificar el valor y la posición de cada dígito en números de hasta 9 cifras. • representar un número como la suma de los valores de cada uno de sus dígitos.
Los estudiantes serán capaces de:
(3) Valor posicional.
Objetivos
Capítulo 1: Grandes números
• Libro del Alumno 5A, págs. 32 a 34 • Guía del Profesor 5A, págs. 30 a 32
• Libro del Alumno 5A, págs. 28 a 30 • Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 53 • Guía del Profesor 5A, págs. 26 a 28
• Libro del Alumno 5A, págs. 24 a 27 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 14 a 17 • Guía del Profesor 5A, págs. 22 a 25
Recursos
Comparar, secuenciar, identificar patrones y relaciones
Identificar el valor posicional
Comparar e identificar relaciones Identificar el valor posicional
Habilidades
4
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5
1
Horas pedagógicas
(2) explicar los errores cometidos al redondear números a la centena y a la unidad de mil más cercanas.
(1) explicar por qué un número de 6 cifras es mayor que un número de 5 cifras.
Diario matemático
• redondear números a la unidad de mil más cercana. • reconocer y usar el símbolo ‘≈’. • marcar la posición aproximada de un número en una recta numérica. • usar el redondeo para estimar el resultado de una suma, resta, multiplicación y división.
Los estudiantes serán capaces de:
(7) Redondeando para estimar
• determinar el número mayor o menor comparando los valores de los dígitos de izquierda a derecha. • ordenar una serie de números dados. • identificar el patrón en una secuencia numérica.
Los estudiantes serán capaces de:
(6) Comparando números hasta 1000 millones
Objetivos
Capítulo 1: Grandes números
• Libro del Alumno 5A, págs. 40 45 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 24 a 28 • Guía del Profesor 5A, págs. 38 a 43
• Libro del Alumno 5A, págs. 17 a 22 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 19 a 24 • Guía del Profesor 5A, págs. 15 a 20
Recursos
Comparar Identificar patrones y relaciones Analizar Evaluar
Comparar Ordenar Relacionar
Habilidades
5
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3
Horas pedagógicas
(2) Esta actividad requiere que los estudiantes utilicen la estrategia de compensación para hallar la suma de 99 + 99 y de 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99.
(1) Los estudiantes deberán ser capaces de hacer una lista con todos los números enteros que pueden ser redondeados a 30.
¡Activa tu mente!
Profundizar en los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en el capítulo. Discutir el ejemplo resuelto con los estudiantes, para evaluar si han logrado el dominio de estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Objetivos
Capítulo 1: Grandes números
• Libro del Alumno 5A, págs. 47 a 48 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 31 a 32 • Guía del Profesor 5A, págs. 45 a 46
Recursos
Heurísticas para resolver problemas: Suponer y comprobar Buscar un patrón
Comparar Identificar patrones y relaciones
Habilidades
Capítulo uno
Grandes números Objetivos: Números hasta 10 millones
Los estudiantes serán capaces de: • contar de diez mil en diez mil hasta cien mil. • contar de cien mil en cien mil hasta un millón. • establecer que 10 decenas de mil = 1 centena de mil y que 10 centenas de mil = 1 millón. • expresar en cifras y en palabras números de hasta
10 millones, insertos en tablas de valor posicional. • leer y escribir en cifras y palabras números de 6 y 7 cifras hasta 10 millones. • usar una calculadora para operar con números de 6 y 7 cifras.
Habilidades • Comparar • Identificar relaciones
Materiales • Tabla de valor posicional (ver Apéndice 1, pág. 334).
Conceptos clave • La posición que sigue a la decena de mil es la centena de mil. • 10 decenas de mil = 1 centena de mil.
• Fichas de colores
Gestión de la clase 1
• Muestre a los estudiantes una tabla de valor posicional. Coloque fichas de colores de a una en una en la posición de las decenas de mil y pídales que cuenten decenas de mil: 1 decena de mil, 2 decenas de mil, … hasta 9 decenas de mil. Destaque que: 1 decena de mil = 10 000, 2 decenas de mil = 20 000 y 9 decenas de mil = 90 000. • Coloque una ficha más en esa posición y pregunte a los estudiantes: “¿Qué obtienen cuando agregan una decena de mil a 9 decenas de mil?” (10 decenas de mil). • Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que 1 decena de mil + 9 decenas de mil es igual a 10 000 + 90 000, lo que equivale a 100 000. Pregunte a sus estudiantes. “¿A qué son iguales 10 decenas de mil?” (100 000). • Escriba en el pizarrón 100 000 y “cien mil” • Muestre e indique que cuando hay 10 fichas en la posición de las decenas de mil, éstas se canjean por una ficha, la que se ubica en en el lugar de las centenas de mil. • Destaque que 10 decenas de mil = 1 centena de mil.
Grandes números ¡Aprendamos!
Números hasta 10 millones 1
Cuenta en decenas de mil. 1 decena de mil (10 000), 2 decenas de mil (20 000), 3 decenas de mil (30 000), 4 decenas de mil (40 000), 5 decenas de mil (50 000), 6 decenas de mil (60 000), 7 decenas de mil (70 000), 8 decenas de mil (80 000), 9 decenas de mil (90 000), 10 decenas de mil (100 000)
Suma 1 decena de mil y 9 decenas de mil para obtener 10 decenas de mil.
10 decenas de mil forman 1 centena de mil. 1 centena de mil se escribe: 100 000.
10 decenas de mil = 1 centena de mil Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
1
0
0
0
0
0
representa 1 centena de mil ó 100 000 8
representa representa representa representa representa 0 decenas 0 unidades 0 centenas 0 decenas 0 unidades de mil ó 0 de mil ó 0 ó 0 ó 0 ó 0 Capítulo 1: Grandes números
6
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Actividades opcionales • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. El estudiante A colocará algunas fichas en la tabla de valor posicional. El estudiante B observará la tabla y luego escribirá y expresará en palabras el número que se encuentra representado. • El estudiante A escribirá un número hasta de 10 millones. El estudiante B ubicará las fichas en la tabla de valor posicional, para representar el número dado.
Gestión de la clase 2
2 Cuenta de cien mil en cien mil. 100 000 cien mil 200 000 doscientos mil 300 000 trescientos mil 000 cuatrocientos mil 400 500 000 quinientos mil mil 600 000 seiscientos 700 000 setecientos mil 000 ochocientos mil 800 mil 900 000 novecientos
• Pida a los estudiantes que cuenten de 100 000 en 100 000, desde 100 000 hasta 900 000, mientras usted coloca fichas de a una en una en la tabla de valor posicional. Pídales que completen con los números con cifras o palabras en los espacios que se indica
Dejamos un espacio entre la posición de los miles y la de los cientos. Esto nos ayuda a leer fácilmente el número.
100 000
3
• Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que, para escribir estos números en cifras, el primer dígito que se anota es el correspondiente a la centena de mil. • Ayúdelos a que se den cuenta que, para escribir el número en palabras, seiscientos mil, cincuenta mil y tres mil, se unen para obtener seiscientos cincuenta y tres mil. • Destaque que el cero, presente en una de las posiciones de la tabla, no se escribe cuando el número se expresa en palabras.
3 ¿Cuál es el valor de cada dígito? Escríbelo en cifras y en palabras. Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
representa representa representa representa representa representa 6 centenas 5 decenas 3 unidades 1 centena 0 decenas 4 unidades de mil de mil de mil En cifras
6 centenas de mil 5 decenas de mil 3 unidades de mil 1 centena 0 decenas 4 unidades
600 000 50 000 3000 100 0 4
En palabras
Seiscientos mil Cincuenta mil Tres mil Cien Cuatro
En cifras, el número es 653 104. En palabras, el número es seiscientos cincuenta y tres mil ciento cuatro.
Capítulo 1: Grandes números
9
7
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Actividad o pcional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. El estudiante A ubica algunas fichas en la tabla de valor posicional. El estudiante B observará la tabla y luego expresará el número en cifras y palabras.
Gestión de la clase 4
• Asigne a los estudiantes estas actividades como una evaluación informal.
4 a ¿Cuál es el valor de cada dígito? Escríbelo en cifras y en palabras. Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
representa representa representa representa representa representa 5 centenas 5 decenas 7 unidades 6 centenas 7 decenas 6 unidades de mil de mil de mil En cifras
En palabras
5 centenas de mil
500 000
Quinientos mil
5 decenas de mil
50 000
Cincuenta mil
7 unidades de mil
7000
Siete mil
6 centenas
600
Seiscientos
7 decenas
70
Setenta
6 unidades
6
Seis
En cifras, el número es
. 557 676
En palabras, el número es
b ¿Cómo se escribe este número en cifras y en palabras? Centenas de mil
Decenas de mil
En cifras, en cifras es En palabras es
10
. Quinientos cincuenta y siete mil seiscientos setenta y seis
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
. 686 044
. Seiscientos ochenta y seis mil cuarenta y cuatro
Capítulo 1: Grandes números
8
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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Uno de ellos debe escribir 3 números de 6 cifras, en cifras, y el otro debe escribir 3 números de 6 cifras en palabras. Luego, los estudiantes intercambian los números que han escrito y los escriben en cifras o en palabras, según corresponda.
Gestión de la clase 5
• Pida a los estudiantes que se fijen en el espacio existente entre las centenas y las unidades de mil. • Dígales que el número 467 832 se lee en dos partes. “467” se lee “cuatrocientos sesenta y siete mil” y “832” se lee “ochocientos treinta y dos”. • Muestre otro ejemplo: 360 450 se lee como trescientos sesenta mil cuatrocientos cincuenta. • Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que al leer un número grande, sólo necesitan saber leer un número de tres cifras. En un número de 6 cifras, pueden cubrir los tres últimos dígitos con su mano y leer los tres primeros dígitos como un número de 3 cifras, agregando la palabra “mil”. Luego, pueden retirar la mano para leer los últimos tres dígitos.
5 Lee estos números. a
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
4
6
7
8
3
2
Primero, lee la parte de los miles: cuatrocientos sesenta y siete mil.
b
Luego, lee esta parte: ochocientos treinta y dos.
467 832 se lee: cuatrocientos sesenta y siete mil ochocientos treinta y dos. 767 767 767 767 se lee: setecientos sesenta y siete mil setecientos sesenta y siete.
6 Lee estos números. a 325 176
b 438 834
c 906 096
d 555 555
e 680 806
f 700 007
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Trescientos veinticinco mil ciento setenta y seis Cuatrocientos treinta y ocho mil ochocientos treinta y cuatro Novecientos seis mil noventa y seis Quinientos cincuenta y cinco mil quinientos cincuenta y cinco Seiscientos ochenta mil ochocientos seis Setecientos mil siete
Capítulo 1: Grandes números
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• Asigne a los estudiantes esta actividad para que practiquen la lectura de números de 6 cifras. 11
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Materiales • Tabla de valor posicional (ver Apéndice 1, pág. 334). • Fichas de colores.
Gestión de la clase 7
• Muestre a los estudiantes una tabla de valor posicional. • Coloque las fichas de a una en una en la posición de las centenas de mil y pida a los estudiantes que cuenten de cien mil en cien mil: 1 centena de mil, 2 centenas de mil… hasta 9 centenas de mil. • Los estudiantes debieran notar que: 1 centena de mil = 100 000, 2 centenas de mil = 200 000 y 9 centenas de mil = 900 000. • Ubique una ficha más en la posición de la centenas de mil y pregunte: “¿Qué obtienen cuando agregan 1 centena de mil a 9 centenas de mil?” (10 centenas de mil). • Guíe a los estudiantes para que visualicen que 100 000 + 900 000 = 1 000 000. Dígales que 1 000 000 se lee 1 millón y que entonces 10 centenas de mil = 1 millón. • Muestre en la tabla de valor posicional que cuando hay diez fichas en las centenas de mil, éstas se canjean por una ficha que se ubica en el lugar de los millones. Destaque en que 10 centenas de mil = 1 millón.
7 Cuenta en centenas de mil. 1 centena de mil (100 000), 2 centenas de mil (200 000), 3 centenas de mil (300 000), 4 centenas de mil (400 000), 5 centenas de mil (500 000), 6 centenas de mil (600 000), 7 centenas de mil (700 000), 8 centenas de mil (800 000), 9 centenas de mil (900 000), 10 centenas de mil (1 000 000) 10 centenas de mil forman 1 millón. 1 millón se escribe 1 000 000.
Suma 1 centena de mil a 9 centenas de mil para obtener 10 centenas de mil.
10 centenas de mil = 1 millón Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
1
0
0
0
0
0
0
representa representa representa representa representa representa representa 1 unidad de 0 centenas 0 decenas 0 unidades 0 centenas 0 decenas 0 unidades millón ó de mil ó 0 de mil ó 0 de mil ó 0 ó 0 ó 0 ó 0 1 000 000 12
Capítulo 1: Grandes números
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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que busquen en internet algunas ciudades de América con una población mayor a 1 millón de personas y menor a 10 millones. Indíqueles que las ordenen en una tabla, y que marquen cuáles de estas ciudades tienen una población mayor que la de Santiago.
Gestión de la clase 8
8 Cuenta de un millón en un millón.
1 000 000 2 000 000
un millón dos millones
3 000 000 4 000 000 5 000 000
tres millones millones cuatro cinco millones
000 6 000 7 000 000 8 000 000 9 000 000
• Pida a los estudiantes que cuenten de 1 millón en 1 millón, hasta 10 millones, mientras coloca de a una en una, las fichas en la posición de las unidades de millón de la tabla de valor posicional.
1 000 000 primer espacio
segundo espacio
Dejamos dos espacios. El primero nos ayuda a leer los millones. El segundo nos ayuda a leer los miles.
seis millones
9
• Pida a los estudiantes que busquen cosas que cuestan más de un millón de pesos.
siete millones ocho millones nueve millones
10 000 000
diez millones
9 Este auto cuesta más de $ 1 000 000
En Venta
¿Sabes que otras cosas cuestan millones de pesos?
La población de Santiago tiene más de 6 000 000 de habitantes. Según el Censo del 2002, la población de Santiago era 6 045 532 habitantes.
Capítulo 1: Grandes números
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11
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Uso de tecnología • Busque en internet un sitio periodístico. Seleccionen e impriman artículos que contengan la palabra “millones”. Luego, comenten el uso de esta palabra en los artículos seleccionados.
Gestión de la clase 10
• Utilice el mismo procedimiento usado en 3 para enseñar a escribir un número de 7 cifras en palabras y en cifras.
10 ¿Cuál es el valor de cada dígito? Escríbelo en cifras y en palabras. Unidades de millón
11
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
representa representa representa representa representa representa representa 3 unidades 5 centenas 6 decenas 7 unidades 0 centenas 4 decenas 5 unidades de millón de mil de mil de mil
• Esta actividad promueve la comunicación mediante el lenguaje matemático. Pida a los estudiantes que, trabajando en grupos, busquen un sitio periodístico en internet, y que seleccionen artículos que contengan la palabra “millones”. Imprímalas e incentívelos a comentar el uso de esta palabra en los artículos.
En cifras
3 millones 5 centenas de mil 6 decenas de mil 7 unidades de mil 0 centena 4 decenas 5 unidades
3 000 000 500 000 60 000 7000 0 40 5
En palabras
Tres millones Quinientos mil Sesenta mil Siete mil Cuarenta Cinco
En cifras el número es 3 567 045. En palabras, el número es tres millones quinientos sesenta y siete mil cuarenta y cinco.
11
! talo Realiza esta actividad tén I¡ n Trabajen en grupos.
En un sitio web de noticias y busquen artículos que incluyan la palabra “millones”.
Impriman los resultados de su grupo.
Con todo el curso comenten acerca del uso y significado de la palabra “millones” en los artículos que encontraron.
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Capítulo 1: Grandes números
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Diga 7 dígitos en voz alta: 4, 7, 2, 5, 0, 8 y 1. El estudiante A formará un número con los dígitos nombrados. El estudiante B deberá leer el número y escribirlo en palabras. El estudiante A revisará la respuesta. Luego, intercambian roles.
Gestión de la clase 12
12 a ¿Cuál es el valor de cada dígito? Escríbelo en cifras y en palabras. Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
• Asigne esta actividad a sus estudiantes, a modo de evaluación informal.
representa representa representa representa representa representa representa 4 unidades 6 centenas 0 decenas 5 unidades 3 centenas 7 decenas 9 unidades de millón de mil de mil de mil En cifras
En palabras
4 000 000
Cuatro millones
6 centenas de mil
600 000
Seiscientos mil
0 decenas de mil
0
5 unidades de mil
5000
Cinco mil
3 centenas
300
Trescientos
7 decenas
70
Setenta
9 unidades
9
Nueve
4 millones
En cifras, el número es
. 4 605 379 . Cuatro millones seiscientos cinco mil trescientos setenta y nueve
En palabras, el número es
b ¿Cómo se escribe este número en cifras y en palabras? Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
En cifras, el número es En palabras, el número es
Capítulo 1: Grandes números
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
. 6 340 581 . Seis millones trescientos cuarenta mil quinientos ochenta y uno
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Actividad opcional
Trabajo personal
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. El estudiante A escribe un número y lo lee en voz alta sin mostrarlo. El estudiante B lo representa en una tabla de valor posicional. Él puede pedir a A que repita el número si es necesario. El estudiante A revisa la respuesta. Finalmente los estudiantes intercambian roles.
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 7 a 10.
Gestión de la clase 13
• Use la misma estrategia que en la actividad 5 para enseñar a los estudiantes a leer un número de 7 cifras. El número 5 824 428 se lee en tres partes. “5” se lee “cinco millones”,“824” se lee “ochocientos veinticuatro mil” y “428” se lee “cuatrocientos veintiocho”. • Muestre otro ejemplo: el número 8 360 450 se lee ocho millones, trescientos sesenta mil, cuatrocientos cincuenta. • Para leer un número de 7 cifras, pida a los estudiantes que cubran los últimos 6 dígitos con la mano y que lean el primer dígito más la palabra ”millón’” Luego, que destapen los siguientes 3 dígitos y los lean como un número de 3 cifras más la palabra “mil”, y finalmente pueden quitar su mano y leer los últimos 3 dígitos que quedan.
13 Lee estos números.
Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
8
2
5
Primero, lee la parte de los millones: cinco millones
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
4
2
8
4
Luego, lee la parte de los miles: ochocientos veinticuatro mil
Finalmente, lee esta parte: cuatrocientos veintiocho
5 824 428 se lee: cinco millones ochocientos veinticuatro mil cuatrocientos veintiocho.
b
6 035 350 6 035 350 se lee seis millones treinta y cinco mil trescientos cincuenta.
14 Lee estos números.
a 1 234 567
b 2 653 356
c 4 404 044
d 8 888 888
e 5 090 909
f 7 006 060
(a) Un millón doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete (b) Dos millones seiscientos cincuenta y tres mil trescientos cincuenta y seis (c) Cuatro millones cuatrocientos cuatro mil cuarenta y cuatro (d) Ocho millones, ochocientos ochenta y ocho mil ochocientos ochenta y ocho (e) Cinco millones noventa mil novecientos nueve Cuaderno de Trabajo (f) Siete millones seis mil sesenta 5A, p 7. Práctica 1
14
• Asigne esta actividad a los estudiantes para que practiquen la lectura de números de 7 cifras.
a
Matemática Enseñe a su hijo, que para leer números grandes solo necesita saber leer números de tres cifras. Por en la ejemplo, para leer 9 375 608, sólo tiene que saber leer 9; 375 y 608. Decimos millones después del casa
9 y mil después de 375. Por lo tanto, 9 375 608 se lee: nueve millones trescientos setenta y cinco mil seiscientos ocho.
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Capítulo 1: Grandes números
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Objetivos: Números hasta 1000 millones
Materiales • Tabla de valor posicional (ver Apéndice 2, pág. 335). • Fichas de colores.
Los estudiantes serán capaces de: • leer y escribir en cifras y palabras números hasta 1000 millones. • identificar el valor posicional de los dígitos de un número hasta 1000 millones. • establecer que 10 decenas de millón = 1 centena de millón y que 10 centenas de millón = 1 unidad de mil millones. • dar ejemplos de uso de estos números en contextos reales.
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Números hasta 1000 millones 1
Cuenta en unidades de millón. 1 unidad de millón (1 000 000), 2 unidades de millón (2 000 000), 3 unidades de millón (3 000 000), 4 unidades de millón (4 000 000), 5 unidades de millón (5 000 000), 6 unidades de millón (6 000 000), 7 unidades de millón (7 000 000), 8 unidades de millón (8 000 000), 9 unidades de millón (9 000 000), ______________. 10 unidades de millón 10 unidades de millón forman 10 millones. 10 millones se escribe: 10 000 000.
A 9 unidades de millón le sumamos 1 unidad de millón para obtener 10 unidades de millón.
10 unidades de millón = 10 millones
Decenas Unidades Centenas de mil de millón de millón
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
Decenas Unidades
Decenas Unidades Centenas de mil de millón de millón
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
Decenas Unidades
1
0
Capítulo 1: Grandes números
0
0
0
0
0
• Muestre una tabla de valor posicional. Ubique las fichas de a una en una, en la posición de las unidades de millón y pida que cuenten en unidades de millón: 1 unidad de millón, 2 unidades de millón… hasta 9 unidades de millón. • Agregue una ficha más y pregunte: ¿Qué obtenemos al sumar 1 unidad de millón (1 000 000) a 9 unidades de millón (9 000 000)?” (10 unidades de millón). • Guíelos para que se den cuenta que 1 000 000 + 9 000 000 = 10 000 000. Explíqueles que 10 000 000 se lee como 10 millones y que 10 unidades de millón = 10 millones.
0 17
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Actividades opcionales • Pida que trabajen en parejas. El primer estudiante pondrá algunas fichas en la tabla de valor posicional. • El segundo alumno observará la tabla y luego escribirá en cifras, el número representado. • El primer estudiante propondrá un número cualquiera, hasta 100 millones. El segundo ubicará las fichas necesarias para representar el número, en la tabla de valor posicional.
Gestión de la clase 2
• Diga a los estudiantes que lean los números del Libro del Alumno. • Destaque que el espacio que existe cada 3 posiciones ayuda a leer los números. El primer espacio desde la izquierda señala los millones y el segundo los miles. • Muestre en la tabla de valor posicional que 10 fichas ubicadas en la posición de las decenas de millón se canjean por una ficha en la posición de las centenas de millón. Destaque que 10 decenas de millón equivalen a una centena de millón (100 000 000). • Utilice el mismo procedimiento descrito en 1 para enseñar a escribir números de 8 cifras tanto en palabras como en cifras.
2 Cuenta de 10 millones en 10 millones.
10 000 000 diez millones
20 000 000 veinte millones
30 000 000 treinta millones
40 000 000 cuarenta millones
50 000 000 cincuenta millones
60 000 000 sesenta millones
70 000 000 setenta millones
80 000 000 ochenta millones
90 000 000 noventa millones
100 000 000 cien millones
100 000 000 primer segundo espacio espacio
¿Recuerdas que el primer espacio nos ayuda a leer los millones?
100 000 000 = 1 centena de millón
Centenas Decenas Unidades Centenas de millón de millón de millón de mil
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
Decenas Unidades
Centenas Decenas Unidades Centenas de millón de millón de millón de mil
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
Decenas Unidades
1
0
0
0
representa representa representa representa 1 centenas de 0 decenas de 0 unidad de 0 centena millón ó millón ó 0 millón ó 0 de mil ó 0 100 000 000
18
0
0
0
0
0
representa representa representa representa representa 0 decenas 0 unidades 0 centenas 0 decenas 4 unidades de mil ó 0 de mil ó 0 ó 0 ó 0 ó 0
Capítulo 1: Grandes números
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Actividad adicional • Pida que trabajen en parejas. Usando 9 de los 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y utilizando cada uno sólo una vez, el primer estudiante completará la tabla de valor posicional. • El segundo estudiante obervará la tabla y luego escribirá en cifras y en palabras, el número representado. • Luego, intercambian roles.
Gestión de la clase 3
3 En palabras y en cifras, ¿qué número está representado en la tabla de valor posicional? Centenas Decenas Unidades Centenas de millón de millón de millón de mil
representa representa representa representa 7 centenas de 5 decenas de 2 unidad de 1 centena millón ó millón ó millón ó de mil ó 700 000 000 50 000 000 2 000 000 100 000
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
representa representa representa representa representa 8 decenas 6 unidades 0 centenas 9 decenas 4 unidades de mil ó de mil ó ó 0 ó 90 ó 4 80 000 6 000
En cifras
7 centenas de millón 5 decenas de millón 2 unidades de millón 1 centenas de mil 8 decenas de mil 6 unidades de mil 0 centenas 9 decenas 4 unidades En cifras, el número es En palabras, el número es
Decenas Unidades
• Asigne esta actividad como una forma de evaluación informal.
700 000 000 50 000 000 2 000 000 100 000 80 000 6 000 0 90 4
En palabras
Setecientos millones Cincuenta millones Dos millones Cien mil Ochenta mil Seis mil Noventa Cuatro
. 752 186 094 . Setecientos cincuenta y dos millones ciento ochenta y seis mil noventa y cuatro
¿Qué cuesta más de 100 000 000?
Capítulo 1: Grandes números
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Actividad opcional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Usando 9 de los 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y utilizando cada uno solo una vez, el primer estudiante completará la tabla de valor posicional. • El segundo estudiante observará la tabla y luego escribirá, en cifras y en palabras, el número representado. • Luego, intercambian roles.
Gestión de la clase 4
• Asigne esta actividad, a modo de evaluación informal.
4 a En palabras y en cifras ¿qué número está representado en la tabla de valor posicional? Centenas Decenas Unidades Centenas de millón de millón de millón de mil
1
0
4
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
3
5
representa representa representa representa 1 centenas de 1 decenas de 4 unidad de 3 centena millón ó millón ó millón ó de mil ó 100 000 000 0 4 000 000 300 000
2
Decenas Unidades
7
6
representa representa representa representa representa 5 decenas 2 unidades 7 centenas 6 decenas 3 unidades de mil ó de mil ó ó 700 ó 60 ó 3 50 000 2 000
En cifras
En palabras
1 centenas de millón
100 000 000
Cien millones
0 decenas de millón
0
4 unidades de millón
4 000 000
Cuatro millones
3 centenas de mil
300 000
Trescientos mil
5 decenas de mil
50 000
Cincuenta mil
2 unidades de mil
2 000
dos mil
7 centenas
700
Setescientos
6 decenas
60
Sesenta
3 unidades
3
Tres
El número, en cifras es
104 352 763
.
En palabras, el número es
3
Ciento cuatro millones trescientos cincuenta y dos mil setecientos sesenta y tres
.
b En palabras y en cifras ¿qué número está representado en la tabla de valor
posicional?
Centenas Decenas Unidades Centenas de millón de millón de millón de mil
5
1
8
0
Decenas Unidades Centenas de mil de mil
4
5
6
Decenas Unidades
9
2
. 518 045 692 Quinientos dieciocho millones cuarenta . y cinco mil seiscientos noventa y dos En palabras, el número es El número, en cifras es
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Capítulo 1: Grandes números
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Uso de tecnología • Busca en internet en sitios de noticias, artículos que usen el término “cientos de millones” e imprímelos. • Pida a algunos voluntarios que lean los números en voz alta y luego discutan sobre del uso de “cientos de millones” en los artículos. Identifique otros contextos en los que estas palabras también puedan ser usadas. Por ejemplo, ganancias y pérdidas de empresas o negocios.
Gestión de la clase 5
5
Realiza esta actividad
! talo t én Trabajen en parejas. ¡In
Si tu corazón late 40 000 000 de veces en un año. ¿Cuántas veces ha latido desde que naciste hasta hoy? Busca una calculadora en internet para hacer esta multiplicación ¡ya que probablemente la tuya no pueda mostrar todas las cifras necesarias!
8
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
6
1
Primero, lee la posición de los cientos de millones: ochocientos sesenta y un millones.
b
1
0
luego, lee la posición de los cientos de miles: cuatrocientos diez mil.
4
Unidades
6
8
Finalmente, lee la posición de los cientos: cuatrocientos sesenta y ocho.
b
861 410 468 se lee ochocientos sesenta y un millones cuatrocientos diez mil cuatrocientos sesenta y ocho. 234 567 890 234 567 890 se lee doscientos treinta y cuatro millones quinientos sesenta y siete mil ochocientos noventa.
Capítulo 1: Grandes números
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4
Decenas
6 a
• Usando la misma estrategia que en 1 , enseñe a leer un número de 9 cifras. El número 861 410 468 se lee en tres partes. “861” se lee como “ochocientos sesenta y un millones”, “410” se lee como “cuatrocientos diez mil” y “468” como “cuatrocientos sesenta y ocho”.
6 a Lee estos números. Centenas de millón
• Pídales que trabajen en parejas para calcular cuantas veces ha latido su corazón en el día. • Esta actividad es un ejemplo del uso de grandes números en un contexto real.
21
• Muestre otro ejemplo: El número 234 567 890 se lee como “doscientos treinta y cuatro millones quinientos sesenta y siete mil ochocientos noventa.” • Para leer un número de 9 cifras, los estudiantes pueden cubrir con su mano los últimos 6 dígitos y leen los tres primeros añadiendo la palabra millones. Luego, mueven su mano para destapar las siguientes 3 cifras y los leen como un número de tres cifras añadiendo la palabra mil. Finalmente, sacan su mano para leer los últimos tres dígitos. 19
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Gestión de la clase 7
• Asigne esta actividad para practicar la lectura de números de nueve cifras. 8
• Estas actividades refuerzan y consolidan la lectura y escritura de números grandes.
7 Lee estos números:
a 111 111 111
d 65 100 055
c 404 404 404
b 340 089 220 e
800 007 070
f 101 999 999
Ciento once millones ciento once mil ciento once Trescientos cuarenta millones ochenta y nueve mil doscientos veinte Cuatrocientos cuatro millones cuatrocientos cuatro mil cuatrocientos cuatro Sesenta y cinco millones cien mil cincuenta y cinco Ochocientos millones 7 mil setenta Ciento un millones novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve
8
Realiza esta actividad.
Trabaja con tu pareja.
a Túrnense para formar un número de 6 cifras usando los dígitos 5,
2, 0, 0, 0, 0. Empiecen con el dígito 2 ó con el 5, por ejemplo, 500 200. Luego dile a tu compañero el primer dígito de tu número. Tu compañero va a tratar de adivinar tu número. Cada vez que haga un intento debe escribirlo en cifras y en palabras. Obtiene un punto si adivina el número en tres o menos intentos.
b
Usemos la calculadora.
Para que el número 3 210 456 aparezca en tu calculadora, presiona 3 , 2 , 1 , 0, 4, 5, 6 en orden.
Para borrar un número presiona C . Túrnense para tipear un número de 6 ó 7 cifras en la calculadora y pedirle al compañero que lea el número. Acuérdate presionar C antes de tipear un nuevo número nuevo.
c Anota algunos números impares entre 875 998 966 y 875 999 981.
Escríbelos en números y en palabras. Regístralos en una tabla como esta. En cifras
En palabras
Ochocientos setenta y cinco millones novecientos 875 999 001 noventa y nueve mil uno Ochocientos setenta y cinco millones novecientos 875 998 967 noventa y ocho mil novecientos setenta y siete Respuestas varían 22
Capítulo 1: Grandes números
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 1a. • Asigne la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 11 a 13.
Gestión de la clase y 2 • Pida a los estudiantes que realicen estas actividades para practicar la lectura y escritura de números grandes. 1
¡Practiquemos! 1a 1 Escribe estos números en cifras. a Doscientos mil ciento seis
200 106
b Seiscientos setenta y tres mil novecientos once c Quinientos dieciocho mil cuatro 518 004
673 911
d Siete millones trescientos trece mil 7 313 000 e Nueve millones quinientos veinte 9 000 520 f Cinco millones dos mil doce
5 002 012
g Trescientos millones ciento dos mil treinta 300 102 030 h Ochocientos ocho millones ochocientos dieciocho mil ochenta y cinco
808 818 085 2 Escribe en palabras
a 215 905
b 819 002
c 120 040
d 6 430 000
e 5 009 300
f 9 722 830
g 45 100 016
h 767 218 030
i 990 990 990
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
Doscientos quince mil novecientos cinco. Ochocientos diecinueve mil dos. Ciento veinte mil cuarenta. Seis millones, cuatrocientos treinta mil. Cinco millones nueve mil trescientos. Nueve millones setecientos veintidós mil ochocientos treinta. Cuarenta y cinco millones cien mil dieciseis Setecientos setenta y siete millones doscientos dieciocho mil treinta Novecientos noventa millones novecientos noventa mil novecientos noventa.
Cuaderno de Trabajo 5A, p 11. Práctica 2.
Capítulo 1: Grandes números
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21
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Objetivos: Valor posicional Los estudiantes serán capaces de: • identificar el valor y la posición de cada dígito en números de 6 y 7 cifras. • representar un número como la suma de los valores de cada uno de sus dígitos.
Conceptos clave
Habilidades
• El valor de un dígito en un número se obtiene multiplicando el dígito por su valor posicional. Por ejemplo, el valor del dígito 5 en el número 4 657 809 es 5 decenas de mil, es decir 5 × 10 000 = 50 000. • El valor de un número es la suma de los valores de cada uno de los dígitos.
• Comparar. • Identificar relaciones.
Materiales • Tabla de valor posicional (ver Apéndice 1, pág. 334).
Gestión de la clase 1
• Use la tabla de valor posicional hasta las decenas de millón para repasar la posición y el valor de cada dígito en un número. • Por ejemplo, en 861 257, pregunte a los estudiantes por el nombre de la posición y por el valor de cada uno de estos dígitos 7, 5, 2, 1 y 6. Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que como el dígito 6 está en la posición de las decenas de mil, su valor es 6 decenas de mil ó 6 × 10 000, es decir, 60 000. De la misma forma el dígito 1 está en la posición de las unidades de mil y su valor es mil ó 1 × 1000, es decir, 1000. 2
• Pregunte en qué posición está el dígito 8. Guíe a los estudiantes a que concluyan que puesto que está en la posición de las centenas de mil, el valor del dígito 8 es igual a 8 centenas de mil u 8 ×100 000, es decir, 800 000.
¡Aprendamos!
Valor posicional 1
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
8
6
1
2
5
7
En 861 257:
el dígito 8 representa 800 000
el valor del dígito 8 es 800 000
el dígito 6 representa 60 000
el valor del dígito 6 es 60 000
el dígito 1 representa 1 000
el valor del dígito es 1 000
2 En 861 257:
el dígito 8 está en la posición de las centenas de mil
el dígito 6 está en la posición de las decenas de mil
el dígito 1 está en la posición de las unidades de mil 3 Realiza estos ejercicios 600 000
a En 670 932, el valor del dígito 6 es
b ¿Cuál es el valor del dígito 2 en cada uno de los siguientes números?
3
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
Centenas de mil
24
i 812 679
2000
ii 260 153
200 000
.
iii
827 917 20 000
Capítulo 1: Grandes números
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Actividad opcional • Escriba algunos números de
6 cifras. Muestre la tabla de valor posicional y pida a los estudiantes que escriban cada dígito en la posición correspondiente.
Gestión de la clase 4
• Asigne esta actividad a los estudiantes como una evaluación informal.
4 Realiza estos ejercicios.
a En 937 016, el dígito 0
b En 124 573, el dígito en la posición de las centenas de mil es el
c En 971 465 el dígito 6 está en la posición de las
. decenas
d En 289 219, el dígito 8 está en la posición de las
. decenas de mil
e En los siguientes números, ¿en qué posición está el dígito 2?
5
está en la posición de las centenas.
ii 260 153
i 182 679
unidades de mil
centenas de mil
1 .
5
iii 827 917
decenas de mil
Observa el valor de cada dígito en 381 492. Por ejemplo, el valor del dígito 3 es 300 000. Podemos sumar los valores posicionales de los dígitos para obtener el número.
• Explique a los estudiantes que como cada dígito de un número tiene un valor determinado, el valor del número es la suma de estos valores, es decir 381 492 = 300 000 + 80 000 + 1000 + 400 + 90 + 2 6
381 492 = 300 000 80 000 1000 400 90 2 = 381 000 492
• Asigne esta actividad a los estudiantes como una evaluación informal.
3 8 1 4 9 2 2 9 0 4 0 0 1 0 0 0 8 0
0 0 0
3 0 0
0 0 0
6 Completa los espacios en blanco.
a 761 902 = 700 000
b 124 003 =
c 900 356 = 900 000 300
d 368 215 =
Capítulo 1: Grandes números
1000 900 2 60 000
3 124 000 6 50
8000 200 15 360 000 25
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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que
trabajen en parejas. El estudiante A dirá en voz alta tres valores posicionales, por ejemplo, 70 unidades de mil, 8 centenas y diez. El estudiante B expresará el número de diferentes maneras, por ejemplo, 70 810, ó 70 000, 800 y 10. El estudiante A revisa las respuestas. Luego, intercambian roles.
Gestión de la clase 7
• Destaque que la posición de las unidades de millón está a la izquierda de la posición de las centenas de mil. Repita la actividad para reforzar este concepto.
7
9
• Asigne esta actividad como evaluación informal.
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
1
6
4
9
0
0
0
En 1 649 000:
el dígito 1 representa 1 000 000 el valor del dígito 1 es 1 000 000
el dígito 6 representa 600 000 600 000 el valor del dígito 6 es
el dígito 4 está en la posición de las decenas de mil
el dígito 9 está en la posición de las
8
• Refuerce los pasos para escribir un número como la suma de los valores de cada dígito. Guíe a los estudiantes a que vean que se puede combinar dos o más valores para llegar al número dado.
Unidades de millón
8 5 0 0 0 6 0 0
4 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0
unidades de mil
5 649 000 = 5 000 000 600 000 40 000 9000 ó 5 649 000 = 5 000 000 649 000
9 Completa los espacios en blanco.
a En 7 296 000:
7 está en la posición de las unidades de millón ii el valor del dígito 6 es 6000
iii el dígito 2 representa 200 000
iv el dígito 9 está en la posición de las decenas de mil
b 7 200 000 = 7 000 000 200 000
c 6 235 000 =
d 2 459 000 = 2 000 000 400 000 50 000 9000
26
i el dígito
235 000 6 000 000
Capítulo 1: Grandes números
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 14 a 17.
Gestión de la clase 10
10 Centenas de millón
3
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
4
7
1
8
2
2
En 347 182 210:
el dígito 3 representa 300 000 000 el valor del dígito 3 es 300 000 000
el dígito 4 representa 40 000 000 el valor del dígito 4 es 40 000 000
el dígito 7 está en la posición de las unidades de millón
de mil el dígito 1 está en la posición de las centenas
Decenas
Unidades
5
0
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para realizar esta actividad. Pida voluntarios para que compartan sus problemas y soluciones con el curso.
11 Realiza esta actividad.
Trabaja en parejas. Escribe un número hasta de 6 ó 7 cifras. Dale algunas claves a tu compañero para que adivine tu número. Por ejemplo, si escribiste 359 100, podrías decir: Mi número tiene 6 cifras. El dígito 5 esta junto al dígito 3 que tiene un valor de 300 000. El dígito 9 está en la posición de las unidades de mil. El valor del dígito en la posición de las centenas es 100. Mi número tiene dos ceros. ¿Cuál es mi número?
Luego, se turnan para adivinar los números.
Cuaderno de Trabajo 5A, p 14. Práctica 3
Capítulo 1: Grandes números
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25
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Objetivos: Composición y descomposición de números Los estudiantes serán capaces de: • componer y descomponer números naturales en forma estándar y extendida.
Actividades opcionales • Los estudiantes trabajan en parejas. Escriba en la pizarra algunos números de 8 y 9 cifras. • El primer estudiante anotará cada dígito en la posición correcta en una tabla de valor posicional. El segundo estudiante escribirá el valor de cada dígito. • Los estudiantes intercambian sus respuestas y las revisan.
Gestión de la clase 1
• Destaque que la posición de las decenas de millón se encuentra a la izquierda de la posición de las unidades de millón y que las centenas de millón van a la izquierda de las decenas de millón. • Utilice la estrategia para enseñar cómo usar la tabla de valor posicional hasta las centenas de millón para determinar la posición y el valor de un dígito en un determinado número. 2
• Pregunte en qué posición está el 5. Guíelos para que concluyan que está en la posición de las centenas de millón, el dígito 5 representa 5 centenas de millón ó 5 × 100 000 000 y su valor es 500 000 000.
¡Aprendamos!
Composición y descomposición de números 1 Centenas de millón
5
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
2
4
1
3
6
0
Decenas
Unidades
1
7
En 524 136 017: el dígito 5 representa 500 000 000
el valor del dígito 5 es 500 000 000 el dígito 2 representa 20 000 000
el valor del dígito 2 es 20 000 000 el dígito 4 representa 4 000 000
el valor del dígito 4 es 4 000 000 2 En 524 136 017:
el dígito 5 está en la posición de las centenas de millón
el dígito 2 está en la posición de las decenas de millón
el dígito 4 está en la posición de las unidades de millón
3
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
3 Realiza estos ejercicios.
a En 270 934 158, el valor del dígito 7 es
b ¿Cuál es el valor del dígito 5 en cada uno de los siguientes números?
28
i 745 110 246
5 000 000
ii 810 205 913
5 000
. 70 000 000 iii
498 567 013 500 000
Capítulo 1: Grandes números
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Actividades opcionales
• El tercer estudiante expresará lo recibido en notación extendida y le entrega lo anotado al primer alumno, quien verificará que corresponda al número recibido originalmente.
• Los estudiantes trabajarán en grupos de 3. Escriba en algunas hojas algunos números de 8 ó 9 cifras, y luego repártalas entre los grupos. • El primer estudiante escribirá el número en palabras y se lo entregará al segundo estudiante sin darle el número entregado por usted. • El segundo estudiante descompondrá en forma estándar el número escrito en palabras por el primero, y se lo entregará al tercer estudiante.
Gestión de la clase 4
4 Observa este número. Podemos expresarlo de tres maneras distintas: Centenas de millón
4
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
6
1
2
5
9
Decenas
Unidades
3
7
8
a En palabras: cuatrocientos sesenta y un millones doscientos cincuenta y
b En descomposición estándar:
nueve mil ochocientos treinta y siete.
461 259 837 = 400 000 000 + 60 000 000 + 1 000 000 + 200 000 + 50 000 + 9 000 + 800 + 30 + 7 Observa el valor de los dígitos 461 259 837. Por ejemplo, el valor del dígito 4 es 400 000 000. Al sumar todos los valores de los dígitos obtenemos el número.
• Muestre a los estudiantes cómo expresar números grandes en tres formas distintas: (a) En palabras (b) En descomposición estándar (c) En descomposición extendida. • Destaque que en la descomposición estándar cada dígito tiene un valor específico, por lo que el valor total del número es la suma de los valores de los sus dígitos.
c En descomposición extendida:
461 259 837= 4 × 100 000 000 + 6 × 10 000 000 + 1 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 5 × 10 000 + 9 × 1 000 + 8 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1
En la descomposición extendida se representan los dígitos y su valor posicional. Por ejemplo, el valor del dígito 4 es 400 000 000 y está en la posición de centenas de millón, por lo tanto, se escribe 400 000 000 como 4 × 100 000 000.
Capítulo 1: Grandes números
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27
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Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. • Indíqueles que anoten los 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y los valores posicionales hasta las centenas de millón en distintos trozos de papel y luego los pongan en dos bolsas separadas. • El primer estudiante sacará tres papeles de cada bolsa y formará con ellos un número en notación extendida. • Basándose en esta notación extendida, el segundo estudiante deberá escribir el número.
• Para aumentar la dificultad, pueden sacar más papeles de las bolsas.
Gestión de la clase 5
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal. 6
• Guíe a los estudiantes para que encuentren el número expresado en descomposición extendida. Los estudiantes deberían determinar el valor de cada dígito: 3 × 100 000 000 = 300 000 000. Esto es equivalente a expresarlo en descomposición estándar. Los valores de los dígitos se suman para obtener el número buscado.
5 Resuelve estos ejercicios.
a 945 000 000 = 900 000 000 +
b Escribe el número 351 902 456
i En palabras Trescientos cincuenta y un millones novecientos dos mil cuatrocientos cincuenta y seis y seis Trescientos cincuenta y un millones novecientos dos mil cuatrocientos cincuenta ii En descomposición estándar 300 000 000 + 50 000 000 + 1 000 + 000 + 900 + 2000 + 6+ 50 + 6 300 000 000 + 50 000 1 000 000000 + 900 000 + 400 2000+ +50 400 iii En descomposición extendida 3 × 100 000 000 + 5 × 10 000 000 + 1 × 1 000 000 + 9 × 100 000 + 2 × 1000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 6 × 1 6 ¿Puedes escribir un número que está expresado en descomposición estándar y extendida?
3 × 100 000 000 + 2 × 10 000 000 + 4 × 1 000 000 + 7 × 100 000 + 1 × 10 000 + 2 × 1 000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 9 × 1 300 000 000 + 20 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 10 000 + 2 000 + 500 + 60 + 9
7
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
324 712 569
8
• Esta actividad demuestra a los estudiantes el uso de grandes números en un contexto real. Además, incorpora el uso de tecnología.
+ 5 000 000 40 000 000
7 Completa lo siguiente:
a 302 108 050 = 300 000 000 + 2 000 000 + 100 000 + 8 000 + 50
b 210 475 000 = 200 000 000 + 10 000 000 + 400 000 + 70 000 + 5 000
c 87 230 904 = 80 000 000 + 7 000 000 + 200 000 + 30 000 + 900 + 4 ¡In
8
30
! talo tén
Resuelve lo siguiente: Utiliza internet para encontrar cuántas especies de abejas, avispas y hormigas hay en Chile. ¿Puedes escribir estas cantidades en palabras, descomposición estándar y extendida? Compara la cantidad de especies en Chile con las que se encuentran en otros lugares del mundo. ¿En Chile hay hartas o pocas especies? Respuestas varían
Capítulo 1: Grandes números
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eis
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes Practiquemos 1 b. • Asigne la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 18.
¡Practiquemos! 1b 1 ¿Qué valor tiene el dígito 5 en cada uno de los siguientes números?
a 64 051
b 783 562 c 157 300 50 500 50 000 d 591 368 e 751 028 914 500 000 50 000 000 2 En el número 357 921, el valor del dígito 3 es 300 000 y el dígito 7 está en la posición de las unidades . de mil 3 829 359 = 800 000 29 000 300 50 9 4 ¿Qué valor tiene el dígito 6 en cada uno de estos números? a b 8 100 600 600 6 390 000 6 000 000
c 7 620 548 600 000
d 806 127 153 6 000 000
5 Realiza estos ejercicios. a En el número 7 005 000, el dígito de millón.
está en la posición de las unidades
b En el número 2 321 654, el dígito que está en la posición de las centenas de
7
mil es
3
.
c En 514 329 087, el dígito en la posición de las centenas de millón es
6 a 2 403 800 =
.
5
400 000 3000 800 2 000 000
b 9 197 328 = 9 000 000 197 000 328
c 320 190 800 =
+ 20 000 000 + 190 000 + 800 300 000 000
Cuaderno de Trabajo 5A, p 18. Práctica 4
Capítulo 1: Grandes números
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Objectivos: Comparando números hasta 10 Millones Los estudiantes serán capaces de: • determinar el número mayor o menor, usando la estrategia de comparar los valores de los dígitos desde la izquierda. • ordenar una serie de números dados. • identificar el patrón en una secuencia numérica.
Concepto clave
Habilidades
• En un número, por ejemplo 1999, el valor del primer dígito (1000) es siempre mayor que la suma de los valores del resto de los dígitos (999).
• Comparar • Secuenciar • Identificar patrones y relaciones
Gestión de la clase 1
• Repase como comparar números usando la estrategia de comenzar a comparar el valor de los dígitos por la izquierda. • Destaque que 1002 es mayor que 903 porque 1000 es mayor que 900 y no porque 1002 tiene más cifras que 903. Aunque es cierto que un número entero con más cifras siempre será mayor, los estudiantes podrían transferir este conocimiento a la comparación de decimales, lo que sería un error. • Informe a los estudiantes que este mismo método se usa para comparar números de 6 cifras. 2
¡Aprendamos!
Comparando números hasta 10 millones 1 g
Cuando comparamos números miramos el valor de cada dígito, comenzando por la izquierda.
¿Qué número es menor, 237 981 ó 500 600?
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
Centenas de mil
Decenas de mil
Centenas
Decenas
Unidades
3
Unidades de mil 7
2 5
9
8
1
0
0
6
0
0
Compara los valores de los dígitos comenzando por la izquierda. 2 centenas de mil es menor que 5 centenas de mil. Por lo tanto, 237 981 es menor que 500 600. 2 ¿Qué número es mayor, 712 935 ó 712 846?
32
Centenas de mil
Decenas de mil
Centenas
Decenas
Unidades
1
Unidades de mil 2
7 7
9
3
5
1
2
8
4
6
Compara los valores de los dígitos, comenzando por la izquierda. Si son iguales, continúa comparando hasta que los valores de dos dígitos que ocupan una misma posición sean diferentes. En estos números, el valor de los dígitos en la posición de las centenas es diferente. que 712 846. 9 es mayor que 8 . Por lo tanto, 712 935 es mayor Capítulo 1: Grandes números
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Actividad adicional • Pídales que escriban tres números de 6 cifras y los pongan boca abajo sobre la mesa. Sacan 2 al azar y los comparan para determinar el mayor.
Gestión de la clase 3
3 ¿Qué número es menor, 3 506 017 ó 5 306 007?
Unidades de millón 3
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
5
0
6
0
1
7
5
3
0
6
0
0
7
• Indique a los estudiantes que el mismo método se usa para comparar números de 7 cifras y 5 • Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal. 4
Compara los valores de los dígitos comenzando por la izquierda. 3 millones es menor que 5 millones. Por lo tanto, 3 506 017 es menor que 5 306 007.
4 ¿Qué número es mayor, 4 730 589 ó 4 703 985? 4 730 589 4 703 985
Compara los valores de los dígitos que ocupan una misma posición, empezando por la izquierda. En este caso, los valores de los dígitos en la posición de las decenas de mil son diferentes.
Compara los dígitos en las decenas de mil. 3
es mayor que
0
4 703 985
. Por lo tanto es mayor que 4 730 589
5 ¿Qué número es mayor? ¿Cuál es menor? Escribe mayor que o menor que. que 435 990. menor
a 345 932 es
b 100 400 es
c 220 000 es
d 5 245 721 es
e 3 143 820 es
f 6 680 910 es
Capítulo 1: Grandes números
99 900. mayor que 219 099. mayor que 524 572. mayor que 4 134 820. menor que 668 091. mayor que
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que escriban frases dada la siguiente información: (a) 123 400, 133 4000, es mayor que (b) 549 670, 589 670, es menor que
Gestión de la clase 6
• Repase con los estudiantes cómo ordenar números en forma ascendente/ incrementando y descendente/ decreciendo. • Asigne a los estudiantes algunos ejercicios adicionales como evaluación informal. 7
• Muestre cómo identificar el patrón en una secuencia numérica. Diga a los estudiantes que determinen primero si la secuencia está en orden ascendente o descendente; luego deben determinar en cuanto aumenta o disminuye el número siguiente. Si es necesario, el aumento o disminución puede encontrarse restando. 8
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación formativa.
6 Ordena estos números empezando por el menor. 32 468 , 324 688 , 3 246 880
a 324 688 , 32 468 , 3 246 880
b 1 600 456 , 1 604 654 , 1 064 645 1 064 645 , 1 600 456 , 1 604 654
7 ¿Cuál es el número sigue en cada secuencia?
a 231 590 , 331 590 , 431 590 , 531 590, … 331 590 es 100 000 más que 231 590. 431 590 es 100 000 más que 331 590. 531 590 es 100 000 más que 431 590.
100 000 más que 531 590 es 631 590. El número que sigue en esta secuencia es 631 590.
b 755 482 , 705 482 , 655 482 , 605 482 , …
705 482 es 50 000 menos que 755 482. 655 482 es 50 000 menos que 705 482. 605 482 es 50 000 menos que 655 482. 50 000 menos que 605 482 es 550 482. El número que sigue en esta secuencia es 550 482.
8 ¿Cuál es el número que sigue en cada secuencia?
a 1 345 024 , 3 345 024 , 5 345 024 , …
3 345 024 es
más que 1 345 024. 2 000 000
5 345 024 es
más que 3 345 024. 2 000 000
más que 5 345 024 es . 2 000 000, 7 345 024 El número que sigue en esta secuencia es el . 7 345 024
b 820 346 , 810 346 , 800 346 , …
810 346 es
menos que 820 346. 10 000
800 346 es
menos que 810 346. 10 000
34
menos que 800 346 es El número que sigue en esta secuencia es
. 10 000, 790 346 . 790 346 Capítulo 1: Grandes números
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Objetivos: Comparando números hasta 1000 millones
Actividad adicional • Pida a los estudiantes que recopilen artículos de diarios o revistas, donde aparezcan números y que elijan el más grande que encuentren. • Una vez que traigan estos recortes a clases, organice un debate para comparar los números y determinar cuál es el mayor.
• determinar el número mayor o menor comparando los valores de los dígitos de izquierda a derecha. • ordenar una serie de números dados. • identificar el patrón en una secuencia numérica.
Gestión de la clase 1
• Repase cómo comparar números comenzando por la izquierda. • Explique que este mismo método es utilizado para comparar números de 7 y más cifras.
¡Aprendamos!
Comparando números hasta 1000 millones 1 ¿Cuál número es mayor? 350 287 196 ó 572 981 340? Centenas de millón
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
Decenas
Unidades
3
5
0
2
8
7
1
9
6
5
7
2
9
8
1
3
4
0
2
Comenzando desde la izquierda, compara el valor de los dígitos. 5 centenas de millón es mayor que 3 centenas de millón. Por lo tanto, 572 981 340 es mayor que 350 287 196.
2 ¿Cuál número es mayor? 289 541 350 ó 253 487 503? Centenas de millón
Decenas Unidades Centenas Decenas de Unidades Centenas de mil de mil mil de millón de millón
Decenas
Unidades
2
8
9
5
4
1
3
5
0
2
5
3
4
8
7
5
0
3
• Recuerde que si el valor de los dígitos que ocupan una misma posición es el mismo deben comparar los valores de los dígitos de la siguiente posición. Por ejemplo, si el valor de los dígitos que están en las centenas de millón es el mismo, necesitan comparar el valor de los dígitos que están en las decenas de millón.
Comenzando desde la izquierda, compara el valor de los dígitos. Si son iguales, sigue comparando hasta que los valores de los dígitos sean distintos. En este caso, el valor de los dígitos en la posición de las centenas de millón es el mismo, así que comparamos los valores de los dígitos en la posición de las decenas de millón. 8 decenas de millón es mayor que 5 decenas de millón. Por lo tanto, 289 541 350 es mayor que 253 487 503.
Capítulo 1: Grandes números
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Gestión de la clase 3
a 6 • Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
3 ¿Cuál número es mayor, 467 089 156 ó 468 098 275? 467 089 156 468 098 275
Compara los valores de los dígitos empezando por la izquierda. En este caso, los valores de los dígitos en las unidades de millón son diferentes.
Compara los valores de los dígitos en las unidades de millón.
. Por lo tanto es mayor 8 unidades de millón es mayor que 7 unidades de millón 468 098 275 que
.
467 089 156
4 ¿Cuál número es mayor? ¿Cuál número es menor? Escribe mayor que ó menor que.
a 700 800 900 es
710 800 900. menor que
b 67 812 799 es
c 230 754 023 es
d 111 502 815 es
e 999 989 900 es
f 414 585 237 es
168 712 059.
menor que 231 644 230. menor que 111 103 724. mayor que 999 988 900. mayor que 58 729 050.
mayor que
5 Ordena estos números de menor a mayor.
891 911 000, 892 901 010, 891 910 050 891 910 050 , 891 911 000 , 892 901 010 6 Ordena estos números de mayor a menor.
36
365 799 080, 365 698 090, 365 799 086 365 799 086 , 365 799 080 , 365 698 090
Capítulo 1: Grandes números
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Gestión de la clase 7
Ubicando números en la recta numérica 7
Recordemos cómo se ubican los números en una recta numérica. El número que está a la derecha, siempre es mayor que el que está a la izquierda.
Dados los números 110 000 000, 105 000 000 y 120 000 000, comparamos en valor de sus dígitos, comenzando desde la izquierda. En este caso, los valores en la posición de las decenas de millón son diferentes, por lo que ordenados de menor a mayor estos números son 105 000 000, 110 000 000, 120 000 000.
105 000 000 8
120 000 000
¿Puedes insertar nueve números entre 110 000 000 y 120 000 000?. La diferencia entre estos dos números es 10 000 000. Para insertar nueve números, la recta se gradúa de 1 millón en 1 millón, por lo tanto, el número que viene después de 110 000 000 es 111 000 000. El número anterior a 120 000 000 es 119 000 000.
110 000 000 9
110 000 000
114 000 000
117 000 000
120 000 000
¿Puedes insertar nueve números entre 110 000 100 y 110 000 200? Entre estos dos números hay una diferencia de 100. Para insertar nueve números en la recta se gradúa de 10 en 10, por lo tanto el número que viene después de 110 000 100 es 110 000 110. El número anterior a 110 000 200 es110 000 190.
110 000 100
110 000 130
Capítulo 1: Grandes números
110 000 160
110 000 200 37
• Muestre cómo escribir números en la recta numérica en forma equidistante. Primero, que comparen los números y los ordenen de forma creciente/ decreciente. Luego, recuérdeles que el número de la derecha siempre es mayor que el que está a su izquierda. 8
• Muestre la estrategia a seguir para insertar números entre dos números determinados. Primero, deben determinar la diferencia entre dos números, por ejemplo 120 000 000 – 110 000 000 = 10 000 000. Ya que deben insertar nueve números, habrá 9 + 1 = 10 intervalos (referirse a las marcas). Luego, calculamos 10 000 000 : 10 = 1 000 000. Entre dos marcas consecutivas hay una diferencia de1 000 000. 9
• Use la misma estrategia que en 8 para enseñar como insertar números entre dos números determinados. • Enfatice que en este ejemplo la diferencia entre los dos números es 100. De la misma forma deben insertar 9 números y habrá 10 intervalos (indique las marcas que representan estos intervalos). Cada uno de estos intervalos es de 100 : 10 = 10.
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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que practiquen insertando números en intervalos que no son múltiplos de 10. Por ejemplo, pedir que inserten cuatro números entre 100 000 000 y 100 000 075.
¡Practiquemos! 1c
1 a ¿Cuál es mayor: 568 912 ó 568 921? 568 921
b ¿Cuál es menor: 71 690 ó 100 345? 71 690
c ¿Cuál es mayor: 311 200 505 ó 310 300 616? 311 200 505
d ¿Cuál es menor: 101 111 121 ó 104 023 987? 101 111 121
2 a ¿Cuál es mayor: 81 630 , 81 603 ó 816 300? 816 300
b ¿Cuál es menor: 125 000 , 12 500 ó 25 000? 12 500
c ¿Cuál es mayor: 900 300 400 , 90 300 400 ó 71 202 000? 900 300 400
d ¿Cuál es menor: 71 220 000 , 711 220 000 ó 71 202 000? 71 202 000
3 Ordena los siguientes números comenzando por el menor.
901 736 , 714 800 , 199 981 , 600 200 400 , 601 200 400 , 600 200 004 199 981 , 714 800 , 901 736 , 600 200 004 , 600 200 400 , 601 200 400 4 Ordena los siguientes números comenzando por el mayor.
36 925 , 925 360 , 360 925 , 333 055 070 , 333 055 007 , 333 056 700 333 056 700 , 333 055 070 007 , 333 055 007 , 925 360 , 360 925 , 36 925 5 Completa la secuencia numérica. Escribe la regla.
325 410 , –10 000
, 305 410 , 295 410 , –10 000
–10 000
–10 000
315 410, 285 410 , 275 410 5 420 000 –10 000
regla: contar hacia atrás de 10 000 en 10 000
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Capítulo 1: Grandes números
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes Practiquemos 1c. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 19 a 24.
regla: contar hacia adelante 6 Completa la secuencia numérica. Escribe la regla. de 1 010 000 en 1 010 000 , 6 430 000 2 390 000 , 3 400 000 , 4 410 000 , + 1 010 000 + 1 010 000 + 1 010 000 + 1 010 000 7 ¿Cuál es el número que sigue en cada secuencia?
a 580 356, 600 356, 620 356, 640 356, …
600 356 es
más que 580 356.
20 000
620 356 es
más que 600 356.
20 000
640 356 es
más que 620 356.
20 000
b 4 030 875 , 3 830 875 , 3 630 875 , 3 430 875, …
más que 640 356 es
menos que 3 430 875 es
.
20 000, 660 356 . 200 000, 3 230 875
8 a Dibuja los números 200 001 200 y 200 002 200 en la recta numérica.
b ¿Puedes ubicar nueve números entre 200 001 200 y 200 002 200?
200 001 200
200 002 200
, 36 925 200 001 300 , 200 001 400 , 200 001 500 , 200 001 600 , 200 001 700 , 200 001 800 , 200 001 900 , 200 002 000 , 200 002 100
Cuaderno de Trabajo 5A, p 19, Práctica 5.
Capítulo 1: Grandes números
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Objectivos: Redondeando para estimar
Concepto clave
Habilidades
• Hay 10 centenas entre dos
• Comparar • Identificar patrones y relaciones • Analizar • Evaluar
unidades de mil consecutivas.
Los estudiantes serán capaces de: • redondear números a la unidad de mil más cercana. • reconocer y usar el símbolo ‘≈’. • marcar la posición aproximada de un número en una recta numérica. • redondear para estimar el resultado de una suma, resta, multiplicación o división.
Gestión de la clase 1
• Repase con sus estudiantes cómo redondear un número a la centena más cercana, a través del siguiente procedimiento: (a) Observa el dígito que está en la posición de las centenas. En el número 6541, el dígito 5 está en la posición de las centenas. Por lo tanto, 6541 se encuentra entre el 6500 y 6600. (b) Luego, hay que decidir si 6541 está más cerca de 6500 ó 6600. Para hacer esto, los estudiantes deben saber que entre 6500 y 6600 hay 10 decenas. Use la recta numérica para mostrarlo: 6510 6520 6530 6540 6500
6560 6570 6580 6590 6550
6600
• Guíe a los estudiantes a comprender que 6550 está justo a la mitad entre 6500 y 6600. Por lo tanto, si el número es menor que 6550, estará más cerca de 6500, y si es mayor que 6550 estará más cerca de 6600. Por lo tanto, 6541 redondeado a la centena más cercana es 6500 y 6572 es 6600. • Muestre cómo escribir aproximadamente usando el símbolo ≈.
¡Aprendamos!
Redondeando para estimar Redondeamos los números para poder hacer estimaciones. Yo tengo $432. Ella tiene $920. Necesitamos $2000 para comprar una calculadora. ¿Cuánto dinero nos falta?
1
Él tiene cerca de $400. Yo tengo cerca de $900. Tenemos mas o menos $1300 los dos juntos. Nos faltan como $700 para comprar la calculadora.
Recordemos como redondear un número a la centena más cercana. 6541
6500
6572
6550
6600
6541 está entre 6500 y 6600. 6541 está más cerca de 6500 que de 6600. 6541 redondeado a la centena más cercana es 6500.
6572 está entre el 6500 y 6600. 6572 está más cerca de 6600 que de 6500. 6572 redondeado a la centena más cercana es 6600.
Decimos que 6541 es aproximadamente igual a 6500 y que 6572 es aproximadamente igual a 6600.
Escribimos 6541 ≈ 6500 6572 ≈ 6600
40
El signo ≈ signifi ca: aproximadamente igual a. Indica que el número ha sido redondeado
Capítulo 1: Grandes números
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Gestión de la clase 2 a
2 a
• Pida a los estudiantes que digan los dos múltiplos de cien que están inmediatamente antes y después de 9872. Luego, pídales que decidan de cuál múltiplo de cien está más cerca 9872. Dígales que escriban su respuesta usando el símbolo ≈.
9872
9800
9850
9900
9872 está entre 9800 y 9900 .
9872 está más cerca de 9900 que de 9800 .
9872 redondeado a la centena más cercana es 9900 9872 ≈ 9900
b Redondea 8137 a la centena más cercana. 8100
b
• Asigne esta actividad a modo de evaluación informal. 3
3 Redondea a la unidad de mil más cercana.
6000
• Use el mismo procedimiento que en la actividad 1 para que aprendan a redondear un número a la unidad de mil más cercana. Pida a los estudiantes que identifiquen los múltiplos de mil inmediatamente antes y después de 6541, observando el dígito que está en la posición de las unidades de mil. Es el dígito 6, por lo tanto 6541 está entre 6000 y 7000. • Pregunte qué número está justo a la mitad entre 6000 y 7000 (6500), y luego pregunte si 6541 es mayor o menor que 6500. Como 6541 es mayor que 6500, va a estar más cerca de 7000. • Indique que usen “≈” cuando redondeen 6541 a la unidad de mil más cercana. (6541≈7000)
6541
6500
7000
6541 está entre 6000 y 7000. 6541 está más cerca de 7000 que de 6000. 6541 redondeado a la centena más cercana es 7000. 6541 ≈ 7000 4 Redondea 8276 a la unidad de mil más cercana. 8276
8000
8500
9000
8276 está entre 8000 y 9000. 8276 está más cerca de 8000 que de 9000. 8276 redondeado a la unidad de mil más cercana es 8000. 8276 ≈ 8000
4 Capítulo 1: Grandes números
41
• Use el mismo procedimiento para esta actividad.
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Nota Al redondear a la unidad de mil más cercana, los estudiantes solo necesitan considerar los dígitos que están en la posición de las unidades de mil y de las centenas. Por ejemplo, al redondear 65 417 a la unidad de mil más cercana, se puede apreciar que el dígito 5 está en la posición de las unidades de mil, por lo tanto, la respuesta será 65 000 ó 66 000. Luego, observan el dígito que está en la posición de las centenas. El dígito 4 es menor que 5, por lo tanto redondeamos al número menor, 65 000. Si
el dígito en la posición de las centenas es 5 o más, se debe redondear al número mayor. Enseñe este método solo si es necesario y una vez que los estudiantes hayan comprendido el significado del redondeo.
Gestión de la clase 5
• El propósito de esta actividad es mostrar qué se debe hacer cuando el número a redondear está justo al medio del intervalo. Una vez que los estudiantes hayan identificado que 9500 está justo entre 9000 y 10 000, dígales que el número debe redondearse al número mayor, o sea a 10 000.
5 Redondea 9500 a la unidad de mil más cercana. 9500
9000
6
9500 está exactamente en la mitad de 9000 y 10 000. En este caso, redondeamos 9500 a 10 000. Por lo tanto, 9500 redondeado a la centena más cercana es 10 000. 9500 ≈ 10 000
7095
7
8
• Pida que marquen en la recta numérica la posición aproximada de 125 231 y 125 780. • Luego, pida que redondeen estos números a la unidad de mil más cercana.
10 000
6
• Asigne esta actividad como una evaluación formativa. • Pregunte a los estudiantes -¿Qué número está justo a la mitad entre 85 000 y 86 000? (85 500). Por lo tanto, 85 210 redondeado a la unidad de mil más cercana es 85 000.
9500
7500 7603
7000
7500
8000
a Redondea 7095 a la unidad de mil más cercana. 7000
b Redondea 7500 a la unidad de mil más cercana. 8000 c Redondea 7603 a la unidad de mil más cercana. 8000
7 Redondea 85 210 a la unidad de mil más cercana.
El número está entre 85 000 y 86 000. 85 210 está más cerca de 85 000 que de 86 000. 85 210 redondeado a la unidad de mil más cercana 85 000. 85 210 ≈ 85 000
8 Copia esta recta numérica. Estima y marca con una X la posición de de los siguientes números: 125 780 y 125 231 en la recta numérica. Redondéalos a la unidad de mil más cercana. 125 231 125 000 42
125 780 125 500
126 000
125 780 ≈ 126 000 125 231 ≈ 125 000
Capítulo 1: Grandes números
40
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. El primer estudiante piensa en un número y le dice a su compañero que el número redondeado es 7500 (por ejemplo). El segundo estudiante debe adivinar el número que está pensando su compañero. El primer estudiante le puede dar pistas usando términos como “mayor que” o “menor que”.
Gestión de la clase 9
• Asigne esta actividad como evaluación informal.
9 Redondea estos números a la unidad de mil más cercana.
a 6321 6000
b 6509 7000
c 1098 1000
d 9873 10 000
e 6995 7000
f 12 051 12 000
g 65 500 66 000
h 89 773 90 000
i 325 699 326 000
j 600 039 600 000
10
• Muestre cómo estimar la suma o la diferencia de dos números de cuatro cifras redondeándolos a la unidad de mil más cercana. Enfatice que la estimación es importante, ya que permite verificar si una respuesta es razonable y hacer cálculos rápidos en situaciones prácticas.
10 Redondea estos números a la unidad de mil más cercana.
6521 ≈ 7000
5079 ≈ 5000
Ahora estima el valor de: a 6521 5079 b 6521 5079
a 6521 5079 ≈ 7000 5000
b 6521 5079 ≈ 7000 5000
= 12 000
11
Aquí se usa el signo = porque 12 000 es la suma de 7000 y 5000. No es un valor aproximado de esa suma.
• Asigne esta actividad para reforzar lo aprendido.
= 2000
11 Redondea estos números a la unidad de mil más cercana, luego estima el resultado de:
a 7192 1642 ≈ 7000 + 2000 = 9000
b 5701 3214 ≈ 6000 – 3000 = 3000
c 6290 5500 3719 ≈ 6000 + 6000 + 4000 = 16 000
d 9810 1600 7391 ≈ 10 000 – 2000 – 7000 = 1000
Capítulo 1: Grandes números
43
41
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Actividad adicional
Nota
• Pida a los estudiantes que trabajen en grupos de tres. El primer estudiante dirá un número en voz alta, por ejemplo, 42 000 y les comunicará a sus compañeros que éste obtuvo este número estimando el producto entre un número de 4 cifras y otro de una cifra. Los demás estudiantes deben dar posibles respuestas.
Es posible estimar el producto cuando el factor de 1 cifra es 8 ó 9 redondeándolo a 10, sin embargo, este capítulo está enfocado solo al redondeo de números de varias cifras a la unidad de mil más cercana.
Gestión de la clase 12
• Muestre cómo estimar el producto entre un número de 4 cifras y otro de una cifra, redondeando primero a la unidad de mil más cercana. y 14 • Asigne esta actividad reforzar lo aprendido. 13
15
• Muestre cómo estimar el cociente entre un número de 4 cifras y un número de 1 cifra. El procedimiento para estimar, en una división es diferente al de la suma, resta y multiplicación. Para estimar el cociente en una división, el dividendo debe aproximarse a un número que sea exactamente divisible por el divisor y fácil de dividir. • Para estimar 3465 : 6; 3465 puede ser redondeado a 3000 ó 3600, que son fáciles de dividir y exactamente divisibles por 6. Se elige 3600 ya que está más cerca de 3465.
12 Estima el resultado de 7120 5.
Primero redondea 7120 a la unidad de mil más cercana.
7120 ≈ 7000
7120 5 ≈ 7000 5 = 35 000 Redondea el número de 4 cifras a la unidad de mil más cercana.
13 Estima el valor de 6327 7.
6327 7 ≈ 6000 7
= 42 000
14 Redondea el número de 4 cifras a la unidad de mil más cercana. Luego, estima el resultado de:
a 2145 7 14 000
b 8756 6 54 000
c 2632 8 24 000
d 4979 5 25 000
e 9218 4 36 000
f 6380 9 54 000
15 Estima el resultado de 3465 : 6. 3465 3600
3000
3500
4000
Para estimar 3465 : 6, elegimos un número cercano a 3465 que pueda ser dividido exactamente por 6. 3000 : 6
3465 está más cerca de 3600 que de 3000.
Por lo tanto, 3465 : 6 ≈ 3600 : 6 = 600.
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3465 : 6
3600 : 6
Capítulo 1: Grandes números
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Gestión de la clase 16
16 Estima el resultado de 6742 : 8.
6400
6000
6500
7000
17
Por lo tanto, 6742 : 8 ≈ 6400 : 8 = 800 .
17
6400 : 8 7200 : 8 6742 está más cerca de 6400 que de 7200.
6742 : 8
7200
6742
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Esta actividad permite que los estudiantes usen la estimación en una situación práctica, y consolida su comprensión del redondeo a la unidad de mil más cercana.
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. Tus padres quieren comprar algunas cosas para su departamento que tiene tres dormitorios, un living, un comedor, baño y cocina. Estima cuánto dinero necesitarían, redondeando los costos de la tabla a la unidad de mil más cercana.
Descripción
Lámparas para el living, el comedor y 3 dormitorios Percheros en 3 dormitorios
Dormitorio
Dormitorio
Dormitorio principal
Comedor
Living
Baño
Cocina
Precios $7650 por cada habitación $3840 por habitación
Alfombra en el dormitorio principal
$4621
Cortina para la cocina
$7705
Otros accesorios
• De la misma forma, para estimar 6742 : 8; 6742 puede ser redondeado a 6400 o a 7200, que son fáciles de dividir y exactamente divisibles por 8. Pregunte a los estudiantes qué número deberían elegir.
$16 500
≈ $8000 × 5 = $40 000 ≈ $4000 × 3 = $12 000 ≈ $5000 ≈ $8000 ≈ $17 000
$40 000 + $12 000 + $5000 + $8000 + $17 000 ≈ $82 000. El costo sería de aproximadamente $80 000. Capítulo 1: Grandes números
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Objectivos de la actividad 1
Explicar por qué un número de 6 cifras es mayor que un número de 5 cifras.
2
Explicar los errores que se cometen usualmente al redondear números a la centena y a la unidad de mil más cercana.
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes “Practiquemos 1d”. • Asigne la Práctica 6 y el Diario matemático del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 25 a 28.
Habilidades • Analizar • Evaluar
Gestión de la clase (Diario matemático) 1
• Guíe a los estudiantes para que expliquen por qué un número de 6 cifras que comienza con 1 es mayor que un número de 5 cifras que comienza con 9. Los estudiantes deben ser capaces de comparar los números utilizando la estrategia de comparación de sus respectivos valores posicionales. 2
• Pida a los estudiantes que expliquen los errores que cometieron al redondear los números. Esta actividad les permite consolidar su aprendizaje del método para redondear números a la centena y a la unidad de mil más cercana.
¡Practiquemos! 1d 1 Redondea los siguientes números a: i la centena más cercana ii la unidad de mil más cercana. a 7005 7000, b 8321 8300, c 7603 7600, d 8997 9000, 8000 9000 8000 7000 2 Redondea los siguientes números de 4 cifras a la unidad de mil más cercana. Luego, estima el resultado de:
a 3471 4207 7000
b 3670 2189 2000
c 9246 2355 1478 6000
d 3322 8 24 000
3 Estima el resultado de: b 2343 : 4
600
c 4467 : 6 700
d 4219 : 5
800
e 6581 : 7 900
f 8502 : 9
900
a 1745 : 3
600
Cuaderno de Trabajo 5A, p 25. Práctica 6.
Diario matemático
1 Compara 100 001 y 99 002. ¿Cuál es mayor? Explica por qué. 2 Redondea: a 763 a la centena más cercana.
Laura redondeó el número 763 a 700 y el número 3730 a 3000. Explica los errores que cometió.
46
b 3730 a la unidad de mil más cercana.
Capítulo 1: Grandes números
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Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo. Discuta con los estudiantes el ejercicio realizado para evaluar si dominan estos conceptos, habilidades y procedimientos y para retroalimentarlos ante cualquier dificultad que aún pudieran tener.
¡Resumamos! En este capítulo has aprendido a: • • • • • • •
Contar en decenas de mil y en centenas de mil. Leer y escribir números hasta 10 millones en palabras y en cifras. Identifi car la posición y el valor de cada dígito en números hasta 10 millones. Comparar números hasta 10 millones. Completar secuencias sumando o restando un mismo número. Redondear números a la unidad de mil más cercana. Estimar sumas, restas, productos y cocientes.
¡Repasemos! A continuación se muestra la superfi cie de algunos países de América. País
Canadá Chile Trinidad y Tobago México Barbados Dominica Costa Rica Paraguay
Superficie en km²
9 976 140 756 950 5 128 1 984 375 421 754 51 100 406 752
a
Escribe la superfi cie de Canadá en palabras. Nueve millones novecientos setenta y seis mil ciento cuarenta kilómetros cuadrados.
b
¿Qué país tiene la menor superfi cie? Escribe la respuesta en cifras. Barbados tiene una superfi cie de 421 km².
Capítulo 1: Grandes números
47
45
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Objetivo: 1
Los estudiantes deberán ser capaces de hacer una lista con todos los números que pueden ser redondeados a 30.
Trabajo personal
Habilidades • Comparar • Identificar patrones y relaciones.
• Asigne a sus estudiantes la actividad “Desafío” y “Piensa y Resuelve” del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 31 a 32.
Heurísticas para resolver problemas • Anticipar y corregir. • Buscar patrones.
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1
• Esta actividad requiere que los estudiantes realicen el procedimiento inverso al de redondeo. Dado el valor aproximado, los estudiantes deberán encontrar todos los posibles números que se redondeen al valor previamente establecido.
c
Ordena los países comenzando con el de mayor superfi cie. Canadá, México, Chile, Paraguay, Costa Rica, Trinidad y Tobago, Dominica y Barbados.
d
¿Qué países tienen una superfi cie mayor a 1 000 000 km²? Canadá y México.
e
¿Qué país tiene mayor superfi cie, Chile o Paraguay? Chile tiene mayor superfi cie que Paraguay.
f
¿Qué país tiene una superfi cie de 1000 km² cuando su superfi cie es redondeada a la unidad de mil más cercana? Dominica.
2
• Guíe a los estudiantes para que utilicen la estrategia de compensación para encontrar el resultado de 99 + 99 y 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99.
¡Activa tu mente! 1 Hay 3 tarjetas, cada una con un número de 2 cifras. Los números son diferentes entre sí. Cada número se aproxima a 30 cuando se redondea a la decena más cercana. ?
?
?
a ¿Cuál es el menor y el mayor número posible? 25 y 34
b ¿Cuáles son los números posibles? 25–29, 31–34
2 Sin sumar los números, utiliza una manera rápida de encontrar los siguientes resultados: a 99 99 2 × 100 – 2 = 198
b 99 99 99 99 99 99 6 × 100 – 6 = 594
¿Cuál es el dígito que está en la posición de las unidades en cada caso? 8y4 c ¿Cuál es la menor cantidad de veces que debemos sumar 99 para obtener el dígito 1 en la posición de las unidades? 9 Cuaderno de Trabajo 5A, p 31. Desafío.
48
Cuaderno de Trabajo 5A, p 32. Piensa y resuelve.
Capítulo 1: Grandes números
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Tuga
Zugo
Gugo
Distribuidor exclusivo para Chile
Dr Fong Ho Ho Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Bernice Lau Pui Wah Dr Fong Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Gan Kee Soon PhDPhD BScBSc BSc,DipEd, FPDE (NIE) BA, MEd
Lugo
Nugo
Kuga
10/24/12 3:55 PM
Cuaderno de de Trabajo Trabajo Cuaderno Parte 1
1A 5A Grandes números
Curso:
1
Fecha:
(b) 100 000 , 200 000 , 300 000 , 400 000 , 500 000 (c) 900 000 , 800 000 , 700 000, 600 000 , 500 000
decenas de mil unidades de mil centenas
5 3
Capítulo 1: Grandes números
En palabras, el número se escribe Setecientos veinticinco mil trescientos dieciséis.
.
Seis
6
unidades
6
Diez
10
Trescientos
Cinco mil
5000 300
Setecientos mil Veinte mil
20 000
En palabras
700 000
En cifras, el número es 725 316
decenas
1
centenas de mil 7 2
En cifras
7
Unidades Centenas Decenas Unidades de mil
Centenas de Decenas de mil mil
(2) Completa la tabla. Luego, escribe el número en cifras y en palabras.
(a) 80 000 , 70 000 , 60 000,
50 000 , 40 000
(1) Cuenta de diez mil en diez mil o de cien mil en cien mil. Luego, completa los espacios en blanco.
6
3
5
Práctica 1 Números hasta 10 millones
1
Nombre:
48
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8
(b)
Unidades de mil
835 720 .
de mil
El número es
de mil
239 653
de mil
.
de mil
Centenas Decenas Unidades
El número es
de mil
Centenas Decenas
Centenas
Centenas
Decenas
Decenas
(h) Veintidós mil seiscientos noventa y siete
300 012
870 003
(f ) Ochocientos setenta mil tres
Capítulo 1: Grandes números
22 697
605 500 103 031
(g) Trescientos mil doce
Unidades
Unidades
Luego, lee el resto: Novecientos cuarenta y tres, 943.
(e) Ciento tres mil treinta y uno
(d) Seiscientos cinco mil quinientos
Primero, lee los miles: Ochocientos dieciséis mil, 816 000.
816 943
(c) Ochocientos dieciséis mil novecientos cuarenta y tres.
(a)
(3) Escribe los números en cifras.
Centenas de mil
Decenas de Unidades Centenas mil de mil
(b)
Decenas de Unidades Centenas mil de mil
Decenas
Unidades
Quinientos sesenta mil veintiuno.
(c) 700 070
(b) 368 400
(a) 65 142
Setecientos mil setenta
Trescientos sesenta y ocho mil cuatrocientos
Sesenta y cinco mil ciento cuarenta y dos
6 5 000: Sesenta y cinco mil 142: Ciento cuarenta y dos.
9
El número es ________________________________________
Centenas de mil
.
Ciento cinco mil trescientos sesenta y dos. ____________________________________________________.
Capítulo 1: Grandes números
Decenas Unidades
El número es__________________________________________
(a)
(5) Escribe los siguientes números en palabras.
(4) Completa el encabezado de las siguientes tablas con “Decenas”, “Centenas”, “Decenas de mil” o “Centenas de mil”. Luego, escribe los números en palabras.
49
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28-12-12 10:32
150 260 999 198
mil ciento ___________ (d) Novecientos noventa y ocho noventa y nueve
150 826 91 826 254 336 603 210
Magallanes y Antártica
Aysén
Atacama
Coquimbo
(b) ¿Qué región tiene la menor cantidad de habitantes? ¿Cuántos son?. Escríbelo en palabras.
10
Capítulo 1: Grandes números
(c) ¿Qué región tiene una población cercana a los 500 000 habitantes?
Tarapacá
Aysén tiene noventa y un mil ochocientos veintiséis habitantes
Doscientos cincuenta y cuatro mil trescientos treinta y seis
(a) Escribe la cantidad de habitantes de Atacama en palabras.
458 594
Población
Tarapacá
Región
(7) A continuación se presenta la cantidad de habitantes de algunas regiones de Chile.
324 306
(c) Ciento cincuenta mil doscientos sesenta.
mil
(b) Trescientos veinticuatro trescientos seis.
802 101
(a) Ochocientos dos mil ciento
uno
(6) Completa los espacios en blanco con las palabras que faltan.
Curso:
Fecha:
2
4
3
6
5
1
9
centenas
unidades de mil
decenas de mil
centenas de mil
millones
unidades
decenas
Dos
Cuarenta
Trescientos
Seis mil
Cincuenta mil
Cien mil
Nueve millones
11
trescientos cuarenta y dos _____________________________________________________.
Nueve millones ciento cincuenta y seis mil En palabras, el número es __________________________________
.
2
40
300
6000
50 000
100 000
9 000 000
Unidades
En palabras
Unidades Centenas Decenas de mil
En cifras
Decenas de mil
En cifras, el número es 9 156 342
Centenas de mil
Capítulo 1: Grandes números
Unidades de millón
(1) Completa la tabla. Luego, escribe el número en cifras y en palabras.
Práctica 2 Números hasta 1000 millones
Nombre:
50
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(b) Dos millones ciento cincuenta y seis mil cuatro 2 156 004
(c) Cinco millones doscientos treinta y ocho mil 5 238 000
(d) Siete millones ciento cincuenta mil 7 150 000
(e) Seis millones sesenta mil cincuenta 6 060 050
(f ) Tres millones tres 3 000 003
(g) Doscientos tres millones ciento quince mil sesenta y ocho ______ 203 115 068 _____________________________________________________
(h) Ciento veitiséis millones doscientos cuarenta y nueve __________ 126 000 249 ______________________________________________________
12
(j) 490 409 049
Capítulo 1: Grandes números
Cuatrocientos millones cuatroscientos nueve mil cuarenta y nueve
(i) 109 777 019 Ciento nueve millones setecientos setenta y siete mil diecinueve
(h) 12 330 450
Doce millones trescientos treinta mil cuatrocientos cincuenta
(g) 9 009 009 Nueve millones nueve mil nueve
(f ) 5 192 622 Cinco millones cientonoventa y dos mil seiscientos veintidos
(e) 7 230 014 Siete millones doscientos treinta mil catorce
13
Doscientos cincuenta y seis millones catorce mil quinientos noventa y uno. _____________________________________________________.
Capítulo 1: Grandes números
(d) 2 150 000 Dos millones cientocincuenta mil
Uno
En palabras, el número es __________________________________
En cifras, el número es 256 014 591 .
1
unidad
(c) 8 147 600 Ocho millones cientocuarenta y siete mil seiscientos
(b) 5 050 000 Cinco millones cincuenta mil
90
Noventa
Quinientos
500
4 000
Diez mil Cuatro mil
Seis millones
10 000
0
decenas
centenas
unidades de mil
4 5
centenas de mil
6 000 000
Cincuenta millones
50 000 000
decenas de millón unidades de millón
Doscientos millones
200 000 000
decenas de mil
Decenas Unidades
En palabras
Centenas
centenas de millón
En cifras
Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil
1
6 0
2 5
Decenas Unidades de millón de millón
(a) 2 543 000 Dos millones quinientos cuarenta y tres mil
Centenas de millón
(4) Completa la siguiente tabla y luego, escribe el número en cifras y en palabras.
9 1
(3) Escribe los siguientes números en palabras.
(a) Nueve millones 9 000 000
(2) Escribe los siguientes números en cifras.
51
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Curso:
4
5
(c) (i) El dígito 5 representa
5000
5000
40 000
40 000
2
2 5 6 8 6 1 1
6000
800
60
0
1
Capítulo 1: Grandes números
200 000
50 000
(2) Completa los recuadros con el valor de cada dígito.
(ii) El valor del dígito 5 es
(ii) El valor del dígito 4 es
(b) (i) El dígito 4 representa
(ii) El valor del dígito 3 es 300 000
14
Fecha:
Unidades Centenas Decenas Unidades de mil
En el número 345 201: (a) (i) El dígito 3 representa 300 000
3
Decenas de mil
Centenas de mil
(1) Completa los espacios en blanco.
Práctica 3 Valor posicional
Nombre:
(c) 712 635
20 000 2000
0
(c) En el número 348 792, el dígito 4 está en la posición de las decenas de mil
El número se escribe:
964 581
Capítulo 1: Grandes números
(d) 200 000 + 2000 + 10 =
+ 3000 + 420 708 504 202 010
(c) 700 000 + 8000 + 500 + 4 =
+ 300
.
50 000 (b) 760 300 =
760 000
(a) 153 420 = 100 000 +
15
Es un número de 6 cifras. El dígito 1 está en la posición de las unidades. El dígito mayor está en la posición de las centenas de mil. El valor del dígito 5 es 500. El dígito en la posición de las decenas de mil y se obtiene restando 3 al dígito que está en las centenas de mil. El dígito de las unidades de mil representa 4000. El dígito que está en la posición de las decenas es mayor que 7 y menor que 9.
(7) Completa los espacios en blanco.
está en la posición de las
centenas de mil (b) En el número 835 129, el dígito 8 está en la posición de las
(a) En el número 320 187, el dígito unidades de mil.
20
(d) 258 169 200 000
(b) 903 521
(6) Lee las siguientes pistas y descubre el número.
(5) Completa las siguientes oraciones.
(a) 329 051
(4) ¿Cuál es el valor del dígito 2 en cada uno de los siguientes números?
(a) El dígito 3 representa 300 000 (b) El dígito 6 representa 6000
(3) En el número 346 812:
52
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28-12-12 10:32
0
8
(c) El dígito 0 está en la posición de las
8000
16
7 5 1 9 4 5 6
6
decenas de mil
3
9
Capítulo 1: Grandes números
7 000 000
500 000
10 000
9000
400
50
6
(9) Completa los recuadros con el valor de cada dígito.
(ii) El valor del dígito 8 es
(b) (i) El dígito 8 representa
8000
1 000 000
(ii) El valor del dígito 1 es
En el número 1 508 369: (a) (i) El dígito 1 representa 1 000 000
5
Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil
1
Unidades de millón
(8) Completa los espacios en blanco.
El dígito 1 se ubica al lado del dígito de las unidades de millón. El valor del dígito 8 es 8 decenas. El valor del dígito 3 es 3 unidades. El dígito 5 ocupa la posición de las unidades de mil. El dígito 6 representa 60 000.
El número es
Capítulo 1: Grandes números
.
El dígito mayor está en la posición de las unidades de millón.
9 165 783
El valor del dígito 7 es 700.
Es un número de 7 cifras.
17
6 000 000 50 (i) 806 400 050 = 800 000 000 + _________+ 400 000 + ________
(11) Lee las pistas y descubre el número.
300 000 000 5 000 000 (h) 315 002 000 = ___________ + 10 000 000 + _________ + 2000
+ 100
550 000
750
(g) 5 000 000 + 200 000 + 7000 + 70 = 5 207 070
(f ) 7 550 100 = 7 000 000 +
(e) 6 123 750 = 6 000 000 + 123 000 +
(d) 4 130 000 = 4 000 000 + 100 000 + 30 000
(c) En el número 9 400 210, el dígito 9 representa 9 000 000 .
(b) En el número 1 077 215, el dígito que se encuentra en la posición de 0 las centenas de mil es el .
(a) En el número 5 420 000, el dígito 5 se encuentra en la posición de las unidades de millón _________________________________________.
(10) Completa los espacios en blanco.
53
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28-12-12 10:33
Curso:
Fecha:
900 000 000 + 10 000 000 + 1 000 000 + 200 000 + 30 000 + 4000 + 500 (iii) Descomposición expandida
600 010 003
500 000 587
(d) 6 × 100 000 000 + 5 × 10 000 + 3×1
(e) 5 × 100 000 000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 7 × 1
Capítulo 1: Grandes números
935 480 127
(c) 9 × 100 000 000 + 3 × 10 000 000 + 5 × 1 000 000 + 4 × 100 000 + 8 × 10 000 + 1 × 100 + 2 × 10 + 7 × 1
18
816 503 400
501 000 078
Número
(b) 8 × 100 000 000 + 1 × 10 000 000 + 6 × 1 000 000 + 5 × 100 000 + 3 × 1000 + 4 × 100
(a) 5 × 100 000 000 + 1 × 1 000 000 + 7 × 10 + 8 × 1
Descomposición expandida
(2) Determina los números
9 × 100 000 000 + 1 × 10 000 000 + 1 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 3 × 10 000 + 4 × 1000 + 5 × 100
(ii) Descomposición estándar
5
7
125 302
97 210
.
(b) 635 002 ó 635 100
315 679, 615 379, 739 615, 795 316
97 632, 245 385, 300 596, 805 342
(b) 245 385, 805 342, 97 632, 300 596
(a) 739 615, 795 316, 315 679, 615 379
Capítulo 1: Grandes números
(5) Ordena los siguientes números, comenzando con el menor.
(4) Encierra el número menor y hazle una cruz al número mayor. 375 061 , 172 503 , 127 503 , 157 203 , 371 560 , 371 605
(3) Encierra el número mayor. (a) 712 400 ó 89 000
2
0
decenas de mil.
0
1
(b) 523 719 ó 523 689
es mayor que
9
3
2
19
Unidades Centenas Decenas Unidades de mil
centena de mil es mayor que
2
9
Decenas de mil
(2) Encierra el número menor. (a) 128 758 ó 74 906
Entonces,
1
1
Centenas de mil
Comienza a comparar los valores de los dígitos por la izquierda.
(1) ¿Cuál número es mayor, 97 210 ó 125 302? Escribe los dígitos en la tabla de valor posicional para compararlas.
Nombre:
(1) Escribe el 911 234 500 en: (i) Palabras Novecientos once millones doscientos treinta y cuatro mil quinientos
Fecha:
Práctica 5 Comparando números hasta 1000 millones
Curso:
Práctica 4 Composición y descomposición de números
Nombre:
54
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28-12-12 10:33
7
9
0
9
0
9 3
7 9
2
9
0
5
1 083 952 .
6
3 3
9 5
5 7
2
3
4
6
20
6 438 671 es mayor que
1
4
6
6 412 586 .
8
2 7
8 1
6
Capítulo 1: Grandes números
6
5
Unidades de Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades millón de mil de mil de mil
(c)
5 096 357 es mayor que
8
0
1
Unidades de Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades millón de mil de mil de mil
(b)
5
0
Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil
1 9 centenas de mil es menor que unidad de millón. Entonces, 990 395 es menor que 1 079 720 .
1
Unidades de millón
(a)
(6) Observa los dos números que se encuentran en la tabla de valor posicional. Luego, completa los espacios en blanco.
(d)
4
4 2
1
Decena Unidad de millón de millón
1
7
Centena de mil
4
6
Decena de mil
3
0
Unidad de mil
3
3
centena
8
5
Decena
(e)
5
8
0
2
9
1
Centena de mil
6
7
Decena de mil
3
9
Unidad de mil
Capítulo 1: Grandes números
6
2
centena
________________es mayor que ________________ 850 963 603 842 179 275 .
4
8
Decena Unidad de millón de millón
0
7
3
5
Unidad
0
2
Unidad
21
Decena
4 centenas de millón es mayor que decenas de millón. 342 143 380 41 760 352 . es mayor que Entonces,
3
Centena de millón
3
Centena de millón
55
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28-12-12 10:33
(c) 210 200 800 ó 212 020 080
(b) 7 405 319 ó 905 407
(c) 450 111 999 ó 405 999 111
22
Capítulo 1: Grandes números
808 081 880 , 808 080 880 , 800 801 808 , 800 081 880
(c) 808 080 880 , 800 081 880 , 808 081 880 , 800 801 808
3 150 000 , 2 020 000 , 913 000 , 513 900
(b) 513 900 , 3 150 000 , 913 000 , 2 020 000
3 190 000 , 2 720 000 , 2 432 000 , 480 000
(a) 2 432 000 , 480 000 , 2 720 000 , 3 190 000
(9) Ordena los siguientes números, comenzando con el mayor.
(a) 2 007 625 ó 2 107 625
(8) ¿Cuál número es menor? Enciérralo.
(b) 999 098 ó 1 000 000
(7) ¿Cuál número es mayor? Enciérralo. (a) 4 015 280 ó 2 845 000
100 000
menos que 4 555 230.
menos que 4 655 230.
menos que 4 455 230 es 4 355 230
100 000
100 000
.
El número que sigue en la secuencia numérica es 4 355 230 .
(iii)
(ii) 4 455 230 es
(i) 4 555 230 es
400660 000 110
Capítulo 1: Grandes números
23
400 000 101 , 400 000 102 , 400 000 103 , 400 000 104 , 400 000 105 , 400 000 106 , 400 000 107 , 400 000 108 , 400 000 109
400650 000 100
(11) (a) Anota los números 400 000 100 y 400 000 110 en la recta numérica (b) ¿Puedes intercalar nueve números entre 400 000 100 y 400 000 110?
(b) 4 655 230, 4 555 230, 4 455 230, ...
El número que sigue en la secuencia numérica es
. 1 338 561 .
más que 1 138 561 es 1 338 561
más que 938 561.
200 000
200 000
más que 738 561.
(iii)
(ii) 1 138 561 es
200 000
(i) 938 561 es
(a) 738 561, 938 561, 1 138 561, ...
(10) ¿Cuál es el número que sigue en esta secuencia numérica? Completa los espacios en blanco.
56
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28-12-12 10:33
(b) 850 400, 845 400, 840 400,
Regla:
Contar hacia atrás de 1 100 000 en 1 100 000.
24
562 000
5 602 000
I
L
E
Capítulo 1: Grandes números
E
562 000 . C
1 002 000 83 000 100 000
H
(f ) Completa la secuencia numérica. 508 900 , 509 000 , 509 100 , ... El número siguiente es 509 200 . K
(e) El valor del dígito 1 en el número 7 120 000 es _________. 100 000
C
(d) ¿Cuál número es menor, 1 020 000 ó 1 002 000? 1 002 000 . I
(c) ¿Cuál número es mayor, 509 900 ó 562 000?
H
(b) 5 000 000 + 600 000 + 2000 = 5 602 000 .
L
.
(a) 5 083 000 = 5 000 000 +
83 000
(12) Completa los espacios en blanco. Luego, descubre el país escondido.
(d) 6 298 436, 5 198 436, 4 098 436, 2 998 436 , 1 898 436
Contar hacia adelante de 1 000 000 en 1 000 000.
Regla:
(c) 2 650 719, 3 650 719, 4 650 719, 5 650 719 , 6 650 719
Contar hacia atrás de 5000 en 5000
Regla:
835 400 , 830 400
Regla:
Contar hacia adelante de mil en mil
más que 231 180.
1000
(ii) 232 180 es
más que 230 180.
1000
(i) 231 180 es
(11) Completa las siguientes secuencias numéricas. Escribe la regla para cada una. (a) 230 180, 231 180, 232 180, 233 180 , 234 180
Curso:
Fecha:
(c)
(b)
(a)
100 000
7000
102 000
7100
6400
Capítulo 1: Grandes números
105 000
6480
7700
106 000
7500
6450
6440
110 000
8000
6500
25
(1) Analiza las siguientes rectas numéricas. Luego, completa los recuadros en blanco.
Práctica 6 Redondeando para estimar
Nombre:
57
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28-12-12 10:33
(a) 9709
660
(b) 31 600
32 000
(e) 473 075 ≈
(g) 20 100 ≈
26
(c) 1399 ≈
20 000
757 000
70 000
72 000
32 000 .
Capítulo 1: Grandes números
(h) 756 715 ≈
(f ) 69 547 ≈
473 000
(d) 72 245 ≈
1000
10 000
31 600 redondeado a la unidad de mil más cercana es 32 000 31 600 ≈
31 000
(3) Redondea a la unidad de mil más cercana. 6000 (a) 5637 � (b) 9541 ≈
9800
9709 redondeado a la decena más cercana es ______ . 9710 9710 9709 ≈
660
9700
656 ≈
656
660 656 redondeado a la decena más cercana es _______.
650
Ejemplo
(2) Marca con una (X) en la recta numérica, el lugar donde se ubica el número dado. Luego, redondea el número tal como se muestra en el ejemplo.
= 13 000
= 11 000
≈ 7000 + 4000
= 11 000
≈ 5000 + 6000
= 10 000
≈ 7000 + 3000
(f ) 7083 2607
(d) 4885 6075
(b) 6789 4200
≈ 8000 – 6000 = 2000
= 3000
≈ 7000 – 4000
(c) 7105 3940
(a) 8156 6109
Capítulo 1: Grandes números
≈ 5000 – 4000 = 1000
= 4000
≈ 5000 – 1000
(d ) 4885 1075
(b) 4924 4127
27
(5) Estima las siguientes restas, redondeando cada número a la unidad de mil más cercana.
≈ 3000 + 10 000
(e) 3105 9940
= 14 000
≈ 7000 + 7000
= 15 000
≈ 9000 + 6000
(c) 7264 7153
(a) 9286 5703
(4) Estima las siguientes sumas, redondeando cada número a la unidad de mil más cercana.
58
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28-12-12 10:33
= 15 000
(e) 6287 : 8 ≈
28
(c) 5512 : 6 ≈
6400 : 8 = 800
5400 : 6 = 900
6300 : 7 = 900
(b) 6509 : 7 ≈
3000 : 5 = 600
(a) 2786 : 5 ≈
(7) Estima los siguientes cocientes.
= 72 000
(e) 8497 9 ≈ 8000 × 9
(c) 2521 5 ≈ 3000 × 5
= 10 000
= 28 000
= 30 000
2500 : 5
2700 : 3 = 900
Capítulo 1: Grandes números
2700 : 9 = 300
(f) 2963 : 9 ≈
= 18 000
3000 : 5 ¿Qué número está más cerca de 2786?
2786 : 5
(d) 2785 : 3 ≈
(f ) 6060 3 ≈ 6000 × 3
(d) 5108 6 ≈ 5000 × 6
(b) 3765 7 ≈ 4000 × 7
(a) 4512 2 ≈ 5000 × 2
(6) Estima los siguientes productos, redondeando el número de 4 cifras a la unidad de mil más cercana.
Curso:
Fecha:
Una de ellos introdujo los números en la calculadora de manera incorrecta. ¿De qué manera usarías tú la estimación para comprobar cuál de los dos resultados es el más razonable?
8642 ≈ 9000 (redondeo a la unidad de mil más cercana) 9328 ≈ 9000 (redondeo a la unidad de mil más cercana)
Capítulo 1: Grandes números
Entonces, la respuesta de Joaquín es más razonable. La respuesta de Karen está demasiado lejos de 18 000.
8642 + 9328 ≈ 9000 + 9000 = 18 000
Ej.
29
Las respuestas varían. Estima redondeando cada número a la unidad de mil más cercana.
La respuesta de Joaquín es 17 970. La respuesta de Karen es 1897.
(1) Joaquín y Karen usaron una calculadora para encontrar el resultado de 8642 + 9328.
Diario matemático
Nombre:
59
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30
Esta respuesta no es razonable.
Capítulo 1: Grandes números
(b) 2659 : 3 ≈ 2700 : 3 = 900 ó 3000 : 3 = 1000
Esta respuesta es razonable.
(a) 7986 : 8 ≈ 8000 : 8 = 1000
Susana para comprobar si sus resultados son razonables o no en (a) y (b).
Resto = 3
Le pidieron que comprobara sus respuestas. Escribe qué debería haber hecho
Resto = 2
(2) Susana resolvió estos ejercicios como tarea. (a) 7986 : 8 = 998 (b) 2659 : 3 = 264
Desafío
Curso:
Fecha:
2
5
5
6
7
8
Las respuestas varían. Las respuestas posibles son: 755 628 , 755 682 , 755 826 , 755 862 , 756 258
Capítulo 1: Grandes números
31
Ordena los dígitos que aparecen a continuación, para formar 3 números de 6 cifras que al ser redondeados a la unidad de mil más cercana, den como resultado 756 000.
Nombre:
60
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Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
32
Capítulo 1: Grandes números
120, 150, 180, 210, 240, etc (multiplos de 3 terminados en 0)
(2) Un número de 3 cifras dividido por 5, tiene como cociente un número par. Dividido por 3, también su cociente es par. (a) ¿Cuál es el dígito que ocupa el lugar de las unidades? (b) ¿Qué número puede ser?
El número que se debe restar es 900.
3200 – 2300 = 900
(1) El número 3200 tiene el dígito 3 en la posición de las unidades de mil y el dígito 2 en la posición de las centenas. ¿Qué número debes restar a 3200, para que el resultado sea un número de 4 cifras en donde el dígito 2 ocupe la posición de las unidades de mil, el dígito 3 la posición de las centenas y el dígito 0 las posiciones de las decenas y de las unidades? 2 3 0 0
Nombre:
61
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28-12-12 10:34
3
3
Horas pedagógicas
Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar un número por 10, 100 ó 1000: (i) desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones a la izquierda, en una tabla de valor posicional. (ii) agregando 1, 2 ó 3 ceros al final de un número. • multiplicar números hasta de 4 cifras por decenas o centenas, o unidades de mil. • redondear para estimar el resultado de una multiplicación.
(2) Multiplicar por decenas, centenas o unidades de mil
Los estudiantes serán capaces de: • digitar números naturales. • sumar números naturales. • restar números naturales. • multiplicar números naturales. • dividir números naturales.
(1) Usando la calculadora
Objetivos
Capítulo 2: Operaciones
• Libro del Alumno 5A, págs. 53 a 61 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 35 a 40 • Guía del Profesor 5A, págs. 69 a 77
• Libro del Alumno 5A, págs. 49 a 52 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 33 a 34 • Guía del Profesor 5A, págs. 65 a 68
Recursos
Comparar Identificar patrones y relaciones
Secuenciar
Habilidades
62
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28-12-12 10:34
3
Horas pedagógicas
¡Exploremos! Esta actividad permite que los estudiantes exploren la división de cualquier número natural por 10, 100 ó 1000 sin usar calculadora.
Los estudiantes serán capaces de: • dividir un número por 10, 100 ó 1000: (i) desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones a la derecha, en una tabla de valor posicional. (ii) quitando 1, 2 ó 3 ceros al final de un número. • dividir números hasta de 6 cifras por decenas, centenas o unidades de mil. • redondear para estimar el resultado de una división.
(3) Dividiendo por decenas, por centenas o por unidades de mil
Objetivos
Capítulo 2: Operaciones
• Libro del Alumno 5A, págs. 62 a 69 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 41 a 44 • Guía del Profesor 5A, págs. 78 a 85
Recursos Comparar Identificar patrones y relaciones
Habilidades
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1
3
Horas pedagógicas
Los estudiantes serán capaces de: • aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación para obtener como producto 100. • reconocer que multiplicar un número por una potencia de 10 es un cálculo fácil. • Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta para multiplicar un número por una potencia de 10. • Aplicar la descomposición multiplicativa de un número para multiplicar o dividir por 8.
(5) Cálculo mental
¡Exploremos! • Los estudiantes compararán la prioridad que le da a las operaciones una calculadora científica y una no científica. • Esta tarea permite a los estudiantes verificar que en una frase numérica con una multiplicación seguida por una división, el orden de las operaciones es irrelevante.
Los estudiantes serán capaces de: • establecer el orden de las operaciones en una frase numérica con dos o tres operaciones y usar una calculadora para resolverla. • establecer el orden de las operaciones en una frase numérica que contenga paréntesis y dos o tres operaciones, y usar una calculadora para resolverla.
(4) Orden de las operaciones
Objetivos
Capítulo 2: Operaciones
• Libro del Alumno 5A, págs. 77 a 78 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 51 a 55 • Guía del Profesor 5A, págs. 93 a 94
• Libro del Alumno 5A, págs. 70 a 76 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 45 a 50 • Guía del Profesor 5A, págs. 86 a 92
Recursos Clasificar
Habilidades
64
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3
2
2
Horas pedagógicas
Repaso 1
Los estudiantes deben aplicar su conocimiento de la multiplicación como suma iterada para resolver este problema.
¡Activa tu mente!
Enfatice los conceptos clave, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. Comente con los estudiantes el ejemplo que trabajaron y evalúe si han logrado dominar estos conceptos, habilidades y procesos.
¡Resumamos!
Los estudiantes serán capaces de: • usar diversas heurísticas como “dibujar un modelo”, “hacer una lista sistemáticamente”, “suponer y comprobar”, “método unitario”, y “establecer un antes y un después” para resolver problemas de múltiples pasos.
(7) Problemas (2)
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de múltiples pasos.
(6) Problemas (1)
Objetivos
Capítulo 2: Operaciones
• Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 64 a 75
• Libro del Alumno 5A, págs. 84 a 91 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 56 a 58 • Guía del Profesor 5A, págs. 100 a 107
• Libro del Alumno 5A, págs. 79 a 82 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 52 a 55 • Guía del Profesor 5A, págs. 95 a 98
Recursos
Comparar Identificar patrones y relaciones
Heurísticas para resolver problemas: buscar un patrón, reformular el problema
Aplicar conceptos y procesos Identificar relaciones
Aplicar conceptos y procedimientos
Habilidades
Capítulo dos
Operaciones Objetivos: Usando la calculadora Los estudiantes serán capaces de: • digitar números naturales. • sumar números naturales. • restar números naturales. • multiplicar números naturales. • dividir números naturales.
Concepto clave
Materiales
Comprender los conceptos de valor posicional y de las cuatro operaciones aritméticas
Calculadora científica
Habilidades Secuenciar
Gestión de la clase 1
Operaciones ¡Aprendamos!
Usando la calculadora Conociendo la calculadora 1 Sigue estos pasos para digitar números en tu calculadora. Enciende la calculadora. Para digitar 12 345 presiona las teclas : 1 2 3 4 5 Para borrar presiona la tecla: C
2
Pantalla
0 12345 0
Realiza esta actividad.
2
Trabaja en pareja. Digiten estos números en su calculadora. Borren antes de digitar el siguiente número. a 735 b 9038 c 23 104 d 505 602 Comparen los números que aparecen en las pantallas de sus calculadoras. ¿Obtuvieron ambos el mismo número en sus calculadoras, en todos los casos?
Suma 3 a Suma 417 y 9086.
El resultado es 9503.
Capítulo 2: Operaciones
• Proyecte una calculadora científica, muestre a los estudiantes las teclas, “encender”, “borrar”, y las teclas de números y de operaciones. • Muestre los pasos para digitar números, por ejemplo, 12 345, en la calculadora. Verifique que lean el número como doce mil, trescientos cuarenta y cinco. • Muestre algunos ejemplos más, recuérdeles que deben borrar antes de digitar un nuevo número.
Presiona C
Pantalla
417
417
+
=
9 0 8 6
0
9086 9503
• Proponga que practiquen la digitación de números en sus calculadoras. Pida que se lean entre ellos los números digitados. 3 a
• Muestre cómo sumar dos números en la calculadora. • Pida a los estudiantes que lo imiten, presionando las teclas correspondientes en sus calculadoras. Los estudiantes pueden revisar sus respuestas haciendo las sumas sin calculadora.
49
65
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Actividad adicional Escriba un número en la pizarra, por ejemplo, 3467. Diga a los estudiantes que trabajen en parejas para encontrar: (a) dos números que al sumarlos den este resultado. Ej. 1234 + 2233 = 3467. Recuérdeles que pueden recurrir a los “números conectados”. (b) dos números que al restarlos den este resultado. Esto lo pueden hacer sumando 3467 a cualquier número, por ejemplo, 1842 + 3467 = 5309 Por lo tanto, 5309 – 1842 = 3467
Sugerencias para el uso de calculadora
Materiales Calculadora científica.
Diga a los estudiantes que digiten “12 + 345 =”, y luego digiten “+ 98 =”. Explíqueles que la calculadora usará la respuesta previa mientras se mantenga encendida y una nueva tecla para operar sea presionada.
Gestión de la clase b
• Indique que la calculadora no muestra las unidades de medida en el resultado. Enfatice que ellos deben escribir las unidades de medida en sus respuestas.
b Haz la suma de $1275 y
$876.
C No olvides escribir la unidad de medida en tu respuesta.
Pantalla
0
1275
1275
+ 8 7 6
876
=
4
• Muestre cómo realizar una resta de dos números naturales con la calculadora. Pida a los estudiantes que presionen las teclas correspondientes en sus calculadoras y que lean los resultados. Los estudiantes pueden revisar sus respuestas haciendo las restas sin calculadora. • Recuérdeles que deben escribir las unidades de medida en sus respuestas.
Presiona
2151
La suma de $1275 y $876 es $2151.
Resta 4 a Resta 6959 a 17 358.
Presiona C
El resultado es 10 399.
b
Encuentra la diferencia entre1005 kg y 248 kg.
Recuerda escribir kg en tu respuesta.
50
Pantalla
0
17358
17358
− 6 9 5 9
6959
=
Presiona C
10399
Pantalla
0
1005
1005
− 2 4 8
248
=
757
La diferencia entre 1005 kg y 248 kg es 757 kg. Capítulo 2: Operaciones
66
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Materiales
Actividad adicional
Calculadora científica
Pida a los estudiantes que estimen la cantidad de veces que su corazón late en un año. Ayúdeles a encontrar su pulso y pídales que cuenten cuántas veces late su corazón en un minuto. Luego, dígales que multipliquen ese número por 60 (hora), luego por 24 (día) y finalmente por 365 (año).
Gestión de la clase 5
5
Realiza esta actividad.
Trabaja en parejas para hacer estos ejercicios:
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para practicar la suma y la resta usando la calculadora. • Recuérdeles que deben borrar antes de ingresar un nuevo ejercicio. • Pida que lean a su compañero el resultado obtenido.
Recuerda presionar C antes de comenzar a trabajar en cada ejercicio.
a 7064 2378 9442
b 10 213 897 11 110
c 3675 1976 1699
d 12 310 9342 2968
f $3250 $1865 $1385 10 602 km Inventa una frase numérica de suma y una de resta. Dile a tu compañero que las resuelva usando una calculadora. Revisa si tu compañero obtuvo los mismos resultados que tú. e 734 km 9868 km
6 a
• Muestre cómo hacer la multiplicación con la calculadora.
Multiplicación 6 a Multiplica 253 por 127.
Presiona C 253 1 2 7
El resultado es 32 131.
b Calcula el área de un
rectángulo que mide 36 cm de largo y 24 cm de ancho.
Área = largo ancho. Recuerda que las unidades de medida para el área son cm², m² etc.
=
Presiona C 36 2 4
=
Pantalla
b
0
• Repase cómo se calcula el área de un rectángulo: Área del rectángulo = Largo × Ancho
253 127 32131 Pantalla
0 36 24 864
El área del rectángulo es 864 cm2.
Capítulo 2: Operaciones
51
67
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Actividad adicional Escriba 4056 en la pizarra. Trabajando en parejas proponga a los estudiantes que encuentren dos números que tengan este cociente al dividir el número mayor por el menor. Esto lo pueden hacer multiplicando 4056 × cualquier número, por ejemplo, 4056 × 123 = 498 888.
Sugerencias para el uso de calculadora Destaque que la mayoría de las nuevas calculadoras científicas tiene un botón de función “atrás” que permite que cambien cualquier número que hayan digitado sin tener que digitar todos los números de nuevo.
Materiales Calculadora científica
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno Trabajo 5A, págs. 33 y 34.
Por lo tanto, 498 888 : 123 =4056.
Gestión de la clase 7
• Muestre cómo dividir utilizando la calculadora.
División 7 a Divide 4572 por 36.
8
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para practicar la multiplicación y división con la calculadora. • Recuérdeles que deben borrar antes de hacer un nuevo ejercicio. • Pida a los estudiantes que se lean entre ellos los resultados.
Presiona
Pantalla
C
0
4572
El resultado es 127.
b
¿Cuánto es 168 dividido por 16?
8
: 3 6
=
4572 36 127
Presiona
Pantalla
C
0
168
168
: 1 6
16
=
10.5
168 dividido por 16 es 10,5 .
Realiza esta actividad. Trabaja en pareja para resolver estos ejercicios: a 1065 97
103 305 d 10 840 : 40 271
b 13 674 7
95 718 e 25 m 48 m 1200 m2
Recuerda presionar C antes de comenzar a trabajar en cada ejercicio.
c 1075 : 25
43
f 406 g : 28
14,5 g
Inventa un cálculo de multiplicación y uno de una división. Pídele a tu compañero que los resuelva usando su calculadora. Revisa los resultados de tu compañero usando tu calculadora. Cuaderno de Trabajo 5A, p 33 Práctica 1.
52
Capítulo 2: Operaciones
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Objetivos: Multiplicar por decenas, por centenas y por unidades de mil Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar un número por 10, 100 ó 1000: (i) desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones a la izquierda, en una tabla de valor posicional. (ii) agregando 1, 2 ó 3 ceros al final de un número. • multiplicar números hasta de 4 cifras por decenas o centenas, o unidades de mil
• redondear para estimar el resultado de una multiplicación.
Conceptos clave En el sistema de numeración decimal (en base 10): • Unidades × 10 = decenas Decenas × 10 = centenas Centenas × 10 = unidades de mil
Habilidades • Comparar • Identificar patrones y relaciones
• Unidades × 100 = centenas Decenas × 100 = unidades de mil Centenas × 100 = decenas de mil • Unidades × 1000 = unidades de mil Decenas × 1000 = decenas de mil Centenas × 1000= centenas de mil
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Multiplicando por decenas, por centenas o por unidades de mil Multiplicando por 10
1 10 10 10 10 10 10 10 7 10 = 70
7 10 = 7 decenas = 70
10 10 10 10 10 10 10 10 10
9 10 = 90 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 = 100
9 10 = 9 decenas = 90 10 10 = 10 decenas = 100
12 10 = 12 decenas = 120 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
12 10 = 120
Observa la tabla.
• Repase la tabla del 10 con los estudiantes, hasta 10 × 12. • Oriente la atención de los estudiantes hacia la tabla mostrándoles cómo los dígitos de un número se desplazan una posición hacia la izquierda al multiplicarlo por 10. • Pregúnteles qué sucede con las unidades cuando un número se multiplica por 10. Guíelos para que observen que, como no quedan “unidades”, escribimos un cero en la posición de las unidades.
Centenas Decenas Unidades
7
7 7 10
7
9
0 9
9 10
9
0
10
1
0
0
0
1
2
2
0
10 10
1
12 12 10 Capítulo 2: Operaciones
1
¿Qué puedes observar en los dígitos de un número al multiplicarlo por 10?
Como vemos en la tabla, cada dígito se desplaza una posición hacia la izquierda.
53
69
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Gestión de la clase 2
• Pida a los estudiantes que completen la tabla, desplazando cada dígito una posición hacia la izquierda cuando un número dado se multiplica por 10. Recuérdeles que debemos escribir un cero en la posición de las unidades, ya que no hay unidades.
2
Completa la tabla. Centenas de Decenas de Unidades de mil mil mil
2
3
1
231 10
2
3
1
0
2345
2
3
4
5
3
4
5
0
4
1
0
8
1
0
8
0
2345 10
2
4108 4108 10
4
Completa la tabla y escribe los resultados: a
3
231 10 2310
b 2345 10
23 450
c 4108 10
41 080
Encuentra los resultados de:
a
60 10 600
b 135 10 1350
c 503 10 5030
d
2876 10 28 760
e 6082 10
f 6210 10
60 820
62 100
Cuando multiplicas un número por 10 ¿cuál es la forma más rápida de obtener el resultado?
4
• Los estudiantes deben aplicar lo que aprendieron sobre la multiplicación por 10, para completar las frases numéricas.
Centenas Decenas Unidades
231
3
• Asigne esta actividad como evaluación informal. Guíelos para que vean qué pasa cuando un número natural es multiplicado por 10. Una forma rápida de econtrar el resultado cuando un número es multiplicado por 10 es agregar “0” después del número, ya que, como cada dígito se desplazó una posición, la posición de las unidades queda vacía.
Realiza esta actividad.
4
Escribe los números que faltan. 8 10 = 80
a
c 528 10 = 5280
54
b 22 10 = 220 d 7460 10 = 74 600
Capítulo 2: Operaciones
70
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 5
Multiplicando por decenas 5 6 20 20
20
6 20 = 6 2 decenas = 6 2 10 = 12 10 = 120
27 30 = 27 3 decenas = 27 3 10 = 81 10 = 810 6
20
20
20
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
20
• Muestre a los estudiantes que multiplicar un número por 20 es equivalente a multiplicarlo por 2 y luego por 10. 6
Multiplicar un múmero por 20 es lo mismo que multiplicar por 2 y luego por 10.
• Permita que los estudiantes usen calculadora en esta actividad para reforzar la idea que multiplicar un número por 60 es equivalente a multiplicarlo por 6 y luego por 10.
Realiza esta actividad.
7
Completa la tabla multiplicando cada número por 6 y por 60. Observa el ejemplo. 6
60
42
252
2520
65
390
3900
861
5166
51 660
Completa la tabla con los números que faltan.
a 42 60 = 42 6 10
c 861 60 = 861 6 10
• Asigne este ejercicio como práctica guiada.
b 65 60 = 65 6 10
7 Escribe los números que faltan.
a 62 40 = 62 4 10
= 248 10
= 2456 10
= 2480
= 24 560
Matemática en la casa
b 307 80 = 307 8 10
Dígale a su hijo/a que use la calculadora para comprobar si 723 x 30 = 723 x 10 x 3 = 723 x 3 x 10.
Capítulo 2: Operaciones
55
71
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Nota • Enfatice que cuando multiplicamos un número por 100, la posición de las decenas y de las unidades quedarán vacías, por lo tanto, debemos escribir un “0” en cada una de esas posiciones. • Igualmente, cuando multiplicamos un número por 1000, la posición de las centenas, las decenas y las unidades quedarán vacías, por lo tanto, debemos escribir un “0” en cada una de esas posiciónes.
Gestión de la clase 8
a 31 60 1860
b 274 50 13 700
c 1970 90 177 300
d 8145 40 325 800
Multiplicando por 100 ó por 1000 5 100 = 5 centenas = 500
9 100 100 100 100 100 5 100 = 500 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
12 100 = 1200
00 10 00 10 00 10 00 10 00
12 100 = 12 centenas = 1200
5 1000 = 5 unidades de mil = 5000
10
• Explique que 5 × 100 quiere decir 5 grupos de cien. Por lo tanto 5 × 100 = 5 centenas = 500 • Igualmente, 5 × 1000 quiere decir 5 grupos de mil. Por lo tanto, 5 × 1000 = 5 unidades de mil = 5000 • De la misma forma 12 × 100 = 12 × 1 centena =12 centenas =1200 12 × 1000 = 12 × 1 unidad de mil = 12 unidades de mil =12 000 • Oriente la atención de los estudiantes a la tabla, señalando cómo se desplazan los dígitos de un número cuando los multiplicamos por 100 y por 1000. • Guíe a los estudiantes para que se den cuenta que cuando multiplicamos un número por 100, los dígitos se desplazan 2 posiciones a la izquierda y cuando multiplicamos por 1000, los dígitos se desplazan 3 posiciones a la izquierda.
8 Encuentra los resultados:
5 1000 = 5000 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00
9
10
• Asigne esta actividad a los estudiantes como evaluación informal.
12 1000 = 12 000
Observa la siguiente tabla.
12 1000 = 12 unidades de mil = 12 000
Decenas de Unidades de Centenas Decenas Unidades mil mil
5
5 5
5 100 12 12 100
1
2
0
0
1
2
0
0
5
5
5 1000
5
0
12 12 1000 56
¿Qué puedes observar en los dígitos de un número cuando lo multiplicamos por 100 ó 1000?
1
2
0
0
0
1
2
0
0 Capítulo 2: Operaciones
72
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Gestión de la clase 10
10
Realiza esta actividad. Observa la tabla de abajo. Unidades Centenas de Decenas de Unidades de Centenas Decenas Unidades mil de millón mil mil
174 174 100
1
174 1000
1
7
7
3298 3298 100 3298 1000
3
3 2
2 9
1
7
4
4
0
0
4
0
0
0
3
2
9
8
9 8
8 0
0 0
0 0
Completa la tabla y escribe los resultados:
a
174 100 17 400
b 174 1000 174 000
c
3298 100 329 800
d 3298 1000 3 298 000 ¿Cuál es la forma más rápida de obtener el resultado cuando multiplicas un número por 1000?
¿Cuál es la forma más rápida de obtener el resultado cuando multiplicas un número por 100?
• Pida a los estudiantes que completen la tabla desplazando cada dígito dos o tres posiciones a la izquierda cuando un número es multiplicado por 100 ó por 1000. • Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que una forma rápida de encontrar el resultado cuando un número es multiplicado por 100 ó por 1000 es agregar “00” ó “000” después del número según corresponda. Pída a los estudiantes que expliquen por qué lo hacemos, para verificar si comprenden este método. 11
• Asigne esta actividad como evaluación informal. 11 Encuentra los resultados:
12
a
27 100 2700
b 615 100 61 500
967 000 c 9670 100
d
18 1000 18 000
e 487 1000
f 5346 1000
487 000
5 346 000
12 Escribe los números que faltan.
a
26 100 = 2600
c
490 100 = 49 000
Capítulo 2: Operaciones
b 195 1000 = 195 000 d 168 1000 = 168 000
• Los estudiantes deben aplicar lo que aprendieron de la multiplicación por 100 y 1000 para encontrar los números que faltan en las frases numéricas.
57
73
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 13
• Muestre que multiplicar un número por 200 es equivalente a multiplicarlo por 2 y luego por 100. 14
• Permita que los estudiantes usen calculadora para esta actividad que refuerza la idea que multiplicar un número por 700 es equivalente a multiplicarlo por 7 y luego por 100.
Multiplicando por centenas o por unidades de mil 13 7 200 200
200
200
200
200
200
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
7 200 = 7 2 centenas = 7 2 100 = 14 100 = 1400
93 300 = 93 3 centenas = 93 3 100 = 279 100 = 27 900
15
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada.
200
14
Multiplicar un número por 200, es lo mismo que multiplicarlo por 2 y luego por 100.
Realiza esta actividad. Copia la siguiente tabla y complétala multiplicando cada número por 7 y por 700. Observa el ejemplo. 7
700
78
546
54 600
113
791
79 100
251
1757
175 700
Completa la tabla con los números que faltan.
a 78 700 = 78 7 100
c 251 700 = 251 7 100
b 113 700 = 113 7 100
15 Encuentra los números que faltan.
a 72 400 = 72 4 100
= 288 100
= 861 100
= 28 800
= 86 100
58
b 123 700 = 123 7 100
Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 16
16 Encuentra el resultado de: a 81 500 40 500
c 6455 900 5 809 500
17 5 3000
b 932 800 745 600
17
d 6007 800 4 805 600
3000
3000
3000
• Muestre que multiplicar un número por 3000 es equivalente a multiplicarlo por 3 y luego por 1000.
3000
10
00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00 10 00
3000
• Asigne esta actividad a modo de evaluación informal.
5 3000 = 5 3 unidades de mil = 5 3 1000 = 15 1000 = 15 000
67 5000 = 67 5 unidades de mil = 67 5 1000 = 335 1000 = 335 000 18
18
Multiplicar un número por 3000, es lo mismo que multiplicarlo por 3 y luego por 1000.
• Permita que los estudiantes usen calculadora para esta actividad, lo que refuerza la idea que multiplicar un número por 7000 es equivalente a multiplicarlo por 7 y luego por 1000.
Realiza esta actividad. Observa la siguiente tabla y complétala multiplicando cada número por 7 y por 7000. Mira el ejemplo. 7
7000
56
392
392 000
203
1421
1 421 000
412
2884
2 884 000
Observa la tabla y complétala con los números que faltan.
a 56 7000 = 56 7 1000
b 203 7000 = 203 7 1000
c 412 7000 = 412 7 1000
Capítulo 2: Operaciones
59
75
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Actividad adicional Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Uno de ellos escribirá un número de 5 cifras que termine en 3 ceros. Luego, su compañero deberá encontrar dos números que, al ser redondeados y multiplicados, den el número de 5 cifras escrito por el primer estudiante. Los dos números no pueden terminar en cero. Luego, intercambian roles.
Gestión de la clase 19 y 20 • Asigne estas actividades a modo de evaluación informal. 21
• Muestre a los estudiantes cómo estimar el producto de un número de 3 cifras por uno de 2 cifras. Guíe a los estudiantes para que redondeen a la decena o centena más cercana y para luego multipliquen. • Destaque que también es posible redondear 632 a 600 y luego multiplicar por 26. y 23 • Asigne estas actividades a modo de evaluación informal. 22
19 Escribe los números que faltan. b 18 6000 = 18 6 1000
a
6 5000 = 6 5 1000
= 30 1000
= 108 1000
= 30 000
= 108 000
20 Calcula el resultado de: a 73 4000 292 000
c
b 905 8000 7 240 000
654 3000 1 962 000
21 Estima el resultado de 632 26. 632 26 ≈ 600 30 = 600 3 10 = 1800 10 = 18 000
d 807 9000 7 263 000
Redondea 632 a la centena más cercana. 632 ≈ 600 Redondea 26 a la decena más cercana. 26 ≈ 30 Como 632 x 26 = 16 432 Entonces, 18 000 es una estimación razonable.
22 Estima el resultado de 128 x 57. 128 ≈ 100 57 ≈ 60
Por lo tanto, 128 57 ≈ 100 60
= 100 6 10
= 600 10
= 6000
Usar la estimación para verificar si una respuesta es razonable es importante incluso cuando usamos calculadora.
23 Estima.
60
a
702 15 14 000
b 38 246 8000
c 511 62 30 000
Capítulo 2: Operaciones
76
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Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 2a del Libro del Alumno. • Asigne la Práctica 2 y Diario matemático del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 35 a 40.
Gestión de la clase 24
24
Redondea 1215 a la unidad de mil 1215 26 ≈ 1000 30 = 1000 3 10 más cercana. 1215 ≈ 1000 = 3000 10 Redondea 26 a la decena más cercana. = 30 000 26 ≈ 30
Vendió aproximadamente 30 000 cucharas.
25
Estima el resultado de 1238 x 56. 1238 56 ≈ 1000 60 = 1000 6 10 = 6000 10 = 60 000
Natalia vendió 1215 paquetes de cucharas plásticas en su tienda. En cada paquete había 26 cucharas. Estima la cantidad de cucharas que vendió.
26 Estima. a 99 38 ≈ 4000 c 9281 32 ≈ 270 000
Como 1215 x 26 = 31 590 Entonces, 30 000 es una estimación razonable.
b 67 439 ≈ 28 000 d 2065 41 ≈ 80 000
¡Practiquemos! 2a 1 Encuentra el resultado de: a 412 10 4120 b 792 100 79 200
c
• Muestre cómo estimar el producto de un número de 4 cifras por uno de 2 cifras. • Pida a los estudiantes que redondeen un número de 2 cifras a la decena más cercana, un número de 3 cifras a la centena más cercana, y uno de 4 cifras a la unidad de mil más cercana cuando realicen una estimación. Ejemplo: Estime 385 × 89. 385 ≈ 400 y 89 ≈ 90 385 x 89 ≈ 400 × 90 = 36 000 25 y 26 • Asigne estas actividades a modo de evaluación informal.
740 1000 740 000
2 Encuentra el resultado de: a 703 60 42 180 b 815 700 c 169 3000 570 500 507 000 3 El trabajador de una fábrica produce 452 mostacillas en un minuto. Estima la cantidad de mostacillas que produciría en 56 minutos. 30 000 mostacillas 4
Usa tu calculadora para resolver los siguientes ejercicios: 3711 9 33 399 b 2087 37 77 219 c 1985 302 599 470 Usa la estimación para verifi car si tus respuestas son razonables. a
Cuaderno de Trabajo 5A, p 35. Práctica 2
Capítulo 2: Operaciones
61
77
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Objetivos: Dividiendo por decenas, por centenas o por unidades de mil Los estudiantes serán capaces de: • dividir un número por 10, 100 ó 1000: (i) desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones a la derecha, en una tabla de valor posicional. (ii) quitando 1, 2 ó 3 ceros al final de un número. • dividir números hasta de 6 cifras por decenas, centenas o unidades de mil
• Centenas de mil : 1000 = centenas Decenas de mil : 1000 = decenas Unidades de mil : 1000 = unidades Centenas : 1000 = décimas Decenas : 1000 = centésimas Unidades : 1000 = milésimas
• redondear para estimar el resultado de una división.
Conceptos clave En el sistema de numeración decimal (en base 10): • Unidades de mil : 10 = centenas Centenas : 10 = decenas Decenas : 10 = unidades Unidades : 10 = décimos • Decenas de mil : 100 = centenas Unidades de mil : 100 = decenas Centenas : 100 = unidades Decenas : 100 = décimos Unidades : 100 = centésimos.
Habilidades • Comparar • Identificar patrones y relaciones
Gestión de la clase 1
• Repase el significado de 70 : 10. Guíe a los estudiantes a que lo interpreten como la división de 70 en 10 grupos iguales o como encontrar cuantas “decenas” hay en 70. El modelo muestra el concepto de división como reparto. • Guíe a los estudiantes a que vean que la división como reparto hay diez sietes en 70 y por lo tanto 70 : 10 = 7. En la división como agrupamiento, hay siete decenas en 70 por lo tanto 70 : 10 = 7. • Ortiente la atención de los estudiantes a la tabla que muestra como se desplazan los dígitos de un número cuando se divide por 10. Guíelos a que concluyan que cuando un número es dividido por 10, los dígitos se desplazan una posición a la derecha. Repase con los estudiantes que 7,0 = 7, 16,0 = 16 y que 180,0 = 180.
¡Aprendamos!
Dividiendo por decenas, por centenas o por unidades de mil Dividiendo por 10 70
1 7
7
7
7
7
7
7
7
7
70 : 10 = 7 160 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
7 10 = 70 Entonces, 70 : 10 = 7.
7
16 10 = 160 Entonces, 160 : 10 = 16.
160 : 10 = 16 1800 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180
1800 : 10 = 180
180 10 = 1800 Entonces, 1800 : 10 = 180.
Observa la tabla. Unidades de Centenas Decenas mil
70
7
70 : 10 1
160 : 10 1800 : 10 7,0 es 7. 16,0 es 16. 180,0 es 180.
62
1
Décimas
0 7
160 1800
Unidades
6
0
1
6
8
0
0
1
8
0
0 0 0 ¿Qué puedes observar en los dígitos de un número cuando éste se divide por 10?
Capítulo 2: Operaciones
78
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Actividad adicional Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Uno de ellos escribirá un número de 3 cifras. Su compañero debe escribir una división que de cómo resultado ese número. Dígales que encuentren diferentes formas en que puedan hacerlo. Luego, intercambian sus roles.
Gestión de la clase 2
2
Realiza esta actividad. Observa la siguiente tabla. Unidades de Centenas mil
360
Decenas
3
360 : 10 1580
1
1580 : 10
Unidades
6
0
3
6
5
8
0
1
5
Décimas
8
Completa la tabla y escribe los resultados de:
a
0
0
b 1580 : 10
360 : 10 36
158
3 Calcula el resultado de:
¿Cuál es la forma más rápida de obtener el resultado de un número con 0 en las unidades dividido por 10?
a
90 : 10 9
b 380 : 10 38
c 1900 : 10
d
43 650 : 10 4365
e 23 040 : 10
f 53 600 : 10
2304
4 Escribe los números que faltan.
a 2600 : 10 = 260
b 19 500 : 10 = 1950
c
d
: 10 = 4900 49 000
190
3
5360
• Asigne esta actividad a modo de evaluación informal. 4
: 10 = 1680 16 800
• Los estudiantes deben aplicar lo que han aprendido de la división por 10, para encontrar los números que faltan en los ejercicios.
Dividiendo por decenas
5 60 : 30 = 60 : 10 : 3 = 6 : 3 = 2
Dividir por 30 es lo mismo que dividir por 10 y luego por 3.
5
420 : 70 = 420 : 10 : 7 = 42 : 7 = 6 Matemática en la casa Dígale a su hijo/a que use la calculadora para comprobar que 4270 = 420 : 10 : 7 = 420 : 7 : 10.
Capítulo 2: Operaciones
• Diga a los estudiantes que, cuando los números se dividen por 10, deben desplazar cada dígito una posición a la derecha, en la tabla. • Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que una forma rápida de encontrar el resultado cuando un número con un cero en la posición de las unidades se divide por 10, es eliminar el 0. Esto se puede hacer porque el cero se ha desplazado a la posición de las décimas y 0 décimas no tiene valor alguno.
63
• Muestre a los estudiantes que como 30 = 10 x 3, dividir por 30 es equivalente a dividir por 10 y después por 3. • Demuestre con un caso simple, por ejemplo: 24 : 6 = 24 : 3 : 2 = 8 :2 = 4
79
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 6
• Permita que los estudiantes usen calculadora para esta actividad que refuerza la idea que dividir un número por 90 es equivalente a dividirlo por 10 y luego por 9. 7
6
Completa la tabla dividiendo cada número por 9 y 90. Observa el ejemplo.
y 8
• Asigne estos ejercicios a modo de evaluación informal. 9
• Repase con los estudiantes lo que han aprendido.
Realiza esta actividad.
: 9
: 90
540
60
6
720
80
8
810
90
9
Observa los resultados de la tabla. Completa con los números que faltan
a 540 : 90 = 540 : 10 : 9
c 810 : 90 = 810 : 10 : 9
b 720 : 90 = 720 : 10 : 9
7 Encuentra los números que faltan. a 850 : 50 = 850 : 10 : 5 b 7200 : 80 = 7200 : 10 : 8 = 85 : 5 = 720 : 8 = 17 = 90 8 Encuentra el resultado de:
a 160 : 40 4
c 6320 : 20 316
b 700 : 50 14 d 8400 : 60 140
Dividiendo por 100 ó por 1000
9 9 100 = 900 Entonces, 900 : 100 = 9.
14 100 = 1400 Entonces, 1400 : 100 = 14.
9 1000 = 9000 Entonces, 9000 : 1000 = 9.
14 1000 = 14 000 Entonces, 14 000 : 1000 = 14.
64
Capítulo 2: Operaciones
80
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Gestión de la clase 10
10
Observa la siguiente tabla. Decenas de Unidades de Centenas Decenas Unidades Décimas Centésimas mil mil
900
9
0
1
1400
4
1400 : 100 9
9000
0
0
0
1
4
0
0 9
9000 : 1000 14 000
0 9
900 : 100
1
4
0
14 000 : 1000
9,00 es 9. 14,00 es 14.
Milésimas
0
0
1
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
• Muestre en la tabla cómo se desplazan los dígitos de un número al dividir por 100 y por 1000. • Guíe a los estudiantes para que vean que los dígitos se desplazan 2 posiciones a la derecha cuando se divide por 100 y tres posiciones a la derecha cuando se divide por 1000. • Pida a los estudiantes que se fijen que 9,00 = 9, 14,00 = 14 y que 14,000 = 14. Pida a los estudiantes que expliquen porqué esto es así para evaluar su comprensión.
9,000 también es 9. 14,000 también es 14.
¿Qué puedes observar en los dígitos de un número cuando lo divides por 100 ó por 1000?
Capítulo 2: Operaciones
65
81
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Gestión de la clase 11
• Cuando un número es dividido por 100 ó por 1000, pida a los estudiantes que completen la tabla desplazando cada dígito dos o tres posiciones a la derecha. • Diga a los estudiantes que una forma rápida de calcular el resultado de una división entre un número terminado en 2 ceros por 100 o una división entre un número terminado en 3 ceros por 1000, es eliminar los ceros. Esto se puede hacer porque 0 décimas o 0 centésimas o 0 milésimas no tienen ningún valor.
11 700
7
Decenas
Unidades
0
Décimas Centésimas
7
3600
3
6
3600 : 100 8000
8
0
0
0
3
6
0
5
4
0
54 000 : 1000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
8000 : 1000 54 000
Milésimas
0
700 : 100
0
0
5
4
Completa la tabla y escribe los resultados:
a
700 : 100 7
b 3600 : 100 36
c
8000 : 1000 8
d 54 000 : 1000 54
¿Cuál es la forma más rápida de obtener el resultado cuando divides por 100 un número terminado con cero en las unidades y decenas?
• Asigne este ejercicio a modo de evaluación informal. • Muestre a los estudiantes que dividir por 300 es equivalente a dividir por 100 y luego por 3, y que dividir por 2000 es equivalente a dividir por 1000 y luego por 2.
Observa la siguiente tabla. Decenas Unidades de Centenas mil de mil
12
13
Realiza esta actividad.
¿Cuál es la forma más rápida de obtener una respuesta cuando divides por 1000 un número con ceros en las unidades, decenas y centenas?
12 Encuentra los resultados: a 400 : 100 4 b 1500 : 100 15 d e 124 000 : 1000 10 000 : 1000 124 10
c 20 500 : 100 205 f 3 230 000 : 1000
3230
Dividiendo por centenas o por unidades de mil 13 600 : 300 = 600 : 100 : 3 = 6 : 3 = 2
66
6000 : 2000 = 6000 : 1000 : 2 = 6 : 2 = 3
Dividir un número por 300 es lo mismo que dividirlo primero por 100 y luego por 3. Dividir un número por 2000 es lo mismo que dividirlo primero por 1000 y luego por 2. Capítulo 2: Operaciones
82
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase y 15 • Permita que los estudiantes usen calculadora en estas actividades que refuerzan el concepto de división por centenas y unidades de mil. 14
14
Realiza esta actividad. Completa la tabla dividiendo cada número por 6 y 600. Observa el ejemplo. : 6
: 600
1200
200
2
16
4200
700 900
7 9
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada.
5400
Observa los resultados de la tabla. ¿Qué números faltan? a 1200 : 600 = 1200 : 100 : 6 b 4200 : 600 = 4200 : 100 : 6 c 5400 : 600 = 5400 : 100 : 6
15
Realiza esta actividad. Completa la tabla dividiendo cada número por 8 y 8000. Observa el ejemplo. : 8
: 8000
32 000
4000
4
48 000
6000
6
64 000
8000
8
Observa los resultados de la tabla. ¿Qué números faltan? a 32 000 : 8000 = 32 000 : 1000 : 8 b 48 000 : 8000 = 48 000 : 1000 : 8 c 64 000 : 8000 = 64 000 : 1000 : 8
16 Encuentra los números que faltan. a 2400 : 400 = 2400 : 100 : 4 = 24 : 4
= 6
b 35 000 : 7000 = 35 000 : 1000 : 7
= 35 : 7 = 5
Matemática en la Dígale a su hijo/a que use la calculadora para verifi car si 2400 : 400 = 4200 : 100 : 4 y 35 000 : 7000 = casa 35 000 : 1000 : 7.
Capítulo 2: Operaciones
67
83
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Gestión de la clase 17
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada. 18
• Muestre a los estudiantes cómo estimar el cociente de 1728 : 38. Redondeamos el divisor 38 a 40 y el dividendo 1728 a un número que puede ser fácilmente dividido por 40. En este caso podemos redondear 1728 a 1600 ó 2000, dos números que se pueden dividir fácilmente por 40. Guíe a los estudiantes a que se den cuenta que es más conveniente elegir 1600 porque está más cerca de 1728. 19 y 20 • Asigne este ejercicio a modo de evaluación informal. 21
• Esta actividad refuerza el concepto de división por decenas, centenas y unidades de mil.
17 Encuentra el resultado de: a 800 : 200 4
d
18 000 : 3000 6
b 5400 : 600 9
c 7200 : 900 8
e 45 000 : 5000 9
f 102 000 : 2000 51
18 Estima el resultado de 1728 : 38. Para estimar 1728 : 38, redondeamos el 38 a 40 y elegimos un número que sea cercano a 1728 y que sea divisible por por 40.
1728 está mas cerca de 1600 que 2000. 1728 : 38 ≈ 1600 : 40 = 1600 : 10 : 4 = 160 : 4 = 40
19
Estima el resultado de 4367 : 670. 4367 : 670 ≈ 4200 : 700 : 100 : 7 = 4200 = 6
1600 1728 2000
4200 4367 4900
20 Estima el valor de las siguientes divisiones: a 987 : 17 1000 : 20 = 50 b 6106 : 28 6000 : 30 = 200 c 4932 : 96 5000 : 100 = 50 d 3785 : 379 3600 : 400 = 9
21
Realiza esta actividad. Encuentra tres números que puedan dividir exactamente los números que se muestran abajo. Los números deben ser múltiplos de 10, 100 ó 1000.
4500
2000
40
88 000
Dibuja y completa una tabla como la siguiente para registrar cada número. Ejemplo
68
420
Número
Se puede dividir por
Respuesta
4500
10
4500 : 10 = 450
4500
30
4500 : 30 = 150
4500
500
4500 : 500 = 9 Capítulo 2: Operaciones
84
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Objetivo de la actividad
Materiales
Esta actividad permite que los estudiantes exploren la división de cualquier número natural por 10, 100 ó 1000 sin usar calculadora.
Calculadora científica
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 2b del Libro del Alumno. • Asigne la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 41 y 44.
Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Los estudiantes deben aplicar su comprensión de la división por 10, 100 ó 1000 para dividir números naturales que no son exactamente divisibles por 10, 100 ó 1000.
¡Exploremos! Trabaja en parejas. Comenta con tu compañero, cómo puedes resolver estos ejercicios sin usar calculadora. a
b 735 : 100
43 : 10
c 2046 : 1000
Usa la siguiente tabla para ayudarte. Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
,
Décimas
Centésimas
Milésimas
¡Practiquemos! 2b 1 Encuentra los resultados:
a
870 : 10 87
b 9000 : 10 900
c 7100 : 100 71
d
82 000 : 100 820
e 3000 : 1000 3
f 97 000 : 1000 97
2 Encuentra los resultados:
a
500 : 20 25
b 7070 : 70 101
c 8100 : 300 27
d
65 600 : 800 82
e 6000 : 3000 2
f 54 000 : 9000 6
3
Usa tu calculadora para resolver los siguientes ejercicios:
a
6726 : 19 354
b
4008 : 12 334
Usa la estimación para comprobar si tu respuesta es razonable.
Cuaderno de Trabajo 5A, p 41. Práctica 3
Capítulo 2: Operaciones
69
85
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Objetivos Orden de las operaciones Los estudiantes serán capaces de: • establecer el orden de las operaciones en una frase numérica con dos o tres operaciones y usar una calculadora para resolverla. • establecer el orden de las operaciones en una frase numérica que contenga paréntesis y dos o tres operaciones, y usar una calculadora para resolverla.
Conceptos clave
Habilidades
• En frases numéricas con solo suma y resta o solo multiplicación y división, el orden para operar es de izquierda a derecha. • En frases numéricas con multiplicación y/o división junto con suma y/o resta, el orden de las operaciones es de izquierda a derecha resolviendo las multiplicaciones y/o divisiones primero. • En frases numéricas con paréntesis, el orden de las operaciones es de izquierda a derecha, resolviendo primero las operaciones dentro del paréntesis.
Clasificar
Nota • Enfatice que si los estudiantes no respetan el orden de las operaciones obtendrán una respuesta errónea. • Pida a los estudiantes que subrayen la operación que van a resolver cada vez, ya que tienden a resolver la primera operación dejando el resto sin hacer. Destaque que deben escribir la frase numérica completa, cada vez que realizan una operación.
Gestión de la clase 1
• Pregunte a los estudiantes cómo resolverían el problema. Probablemente le darán la siguiente solución: Paso 1: 96 – 26 = 70 Paso 2: 70 + 48 = 118 • Muestre a los estudiantes que los dos pasos pueden combinarse en una sola frase numérica: 96 – 26 + 48. • Informe a los estudiantes que en una frase numérica con más de una operación, existe un orden de las operaciones que debe respetarse. • Informe a los estudiantes que cuando hay solo suma y resta, el orden de las operaciones es realizarles de izquierda a derecha. 96 − 26 + 48 = 96 − 26 + 48 = 70 + 48 = 118 • Escriba unos pocos ejemplos más para que los resuelvan y pregunte: -¿qué operación van a realizar primero? (La operación que está a la izquierda). • Luego muestre que ocurre si no se sigue el orden de las operaciones. Por ejemplo: 15 − 4 + 2 = 11 + 2 = 13 (correcto) 15 − 4 + 2 = 15 − 6 = 9 (incorrecto) • Muestre a los estudiantes cómo usar la calculadora para resolver 96 – 26 + 48.
¡Aprendamos!
Orden de las operaciones 1 Cuando hay solo suma y resta, trabaja de izquierda a derecha.
El año pasado habían 96 estudiantes en un Kinder. Este año, se fueron 26 estudiantes y llegaron 48. ¿Cuántos estudiantes hay ahora?
Trabajando de izquierda a derecha,
Primera frase numérica
96 26 48
Segunda frase numérica
= 70 48
= 118
Ahora hay 118 estudiantes.
Puedes usar tu calculadora para resolver: 96 26 48 así: ¿Qué operación se hizo primero? ¿Qué operación se hizo después?
96 26 48 es una frase numérica.
Presiona
Pantalla
C
0
9 6
96
− 2 6
26
+ 4 8
96 26 48 = 118
48 118
=
Matemática en la casa Dígale a su hijo/a que la suma, la resta, la multiplicación y la división son las cuatro operaciones.
70
Capítulo 2: Operaciones
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Materiales
Actividad opcional
Calculadora científica
• Pida a algunos estudiantes que inventen un problema que incluya suma y resta. Pida a otros estudiantes que escriban la frase numérica y resuelvan el problema.
Gestión de la clase 2
2 Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, usa la calculadora para revisar tus respuestas.
a
37 8 25 20
c
32 12 26 15 31
b 67 21 20 66 d
3
50 27 19 35 23
3 Cuando hay solo multiplicación y división, trabaja de izquierda a derecha.
Un comerciante ordenó 40 bandejas de bebidas en lata. Cada bandeja contenía 24 latas. Si vende 60 latas cada día. ¿Cuántos días se demorará en vender todas las latas?
Trabajando de izquierda a derecha,
Primera frase numérica
Segunda frase nummérica = 960 : 60
Se demorará 16 días en vender todas las latas de bebidas.
Puedes usar tu calculadora para resolver 40 24 : 60 así:
40 24 : 60
= 16
¿Qué operación se realizó primero? ¿Qué operación se realizo después?
40 24 : 60 = 16
Presiona
C
Pantalla
0
4 0
40
2 4
24
: 6 0
60
=
16
a
40 12 20 : 6
b 63 : 9 12 84
c
28 5 : 10 : 7 2
d 48 : 8 60 : 3 120
Capítulo 2: Operaciones
• Enfatice que los dos pasos 40 × 24 y 960 : 60 pueden escribirse 40 × 24 : 60. • Pregunte a los estudiantes ¿Qué operaciones hay en esta frase numérica? (solo multiplicación y división) • Diga a los estudiantes que cuando hay solo operaciones de multiplicación y división, el orden de las operaciones también es de izquierda a derecha. 40 × 24 : 60 = 960 : 60 = 16 • Muestre a los estudiantes cómo usar la calculadora para resolver esta frase numérica. • Escriba algunos ejercicios más en la pizarra y pida a los estudiantes que establezcan el orden en que deben realizarse las operaciones. 4
4 Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, usa tu calculadora para revisar tus respuestas.
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
71
87
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Materiales Calculadora científica
Sugerencias para el uso de la calculadora Indique a los estudiantes que si su calculadora es científica, resolverá automáticamente la multiplicación y la división antes que la suma y la resta cuando digiten una frase numérica.
Gestión de la clase 5
• Lea el problema a los estudiantes. Luego, pida que escriban en una sola frase numérica, para resolver el problema en un paso. • Escriba la frase numérica en la pizarra: 26 + 56 : 4 • Pregunte: ¿Qué operaciones contiene esta frase numérica? (Suma y división) • Diga a los estudiantes que cuando hay operaciones de suma o resta junto con multiplicación o división en una misma frase numérica se debe resolver de izquierda a derecha, realizando la multiplicación o división, antes que la suma o resta. • Muestre a los estudiantes cómo usar la calculadora para resolver esta frase numérica.
5
Trabajando de izquierda a derecha, resuelve la multiplicación o división antes que la suma o resta.
Había 26 niños más que mujeres en el parque. La cantidad de hombres era 4 veces la cantidad de mujeres. Si había 56 hombres en el parque, ¿cuántos niños había en el parque? primero divide, Primera frase numérica
26 56 : 4
Segunda frase numérica
= 26 14
= 40
Habían 40 niños.
Puedes usar tu calculadora científi ca para resolver 26 56 : 4 así:
¿Qué operación se realizó primero?
¿Qué operación se realizó después?
Presiona
calculadora
C
0
2 6
26
+ 5 6
56
: 4 =
4 40
26 56 : 4 = 40
Esta calculadora resolvió primero 56 : 4. Luego, resolvió 26 14. La calculadora científi ca considera la regla del orden de las operaciones automáticamente durante el cálculo.
Matemática en la casa
72
La mayoría de las calculadoras (como la del celular) no considera el orden de las operaciones automáticamente durante el cálculo, mientras que una calculadora científi ca, como la que usa su hijo/a en el colegio, sí lo considera. Pida a su hijo/a que digite “2 + 4 2” usando los dos tipos de calculadora. Va a obtener dos resultados diferentes –12 y 10. La respuesta obtenida en la calculadora científi ca es la correcta, ya que sigue la regla del orden de las operaciones resolviendo “4 2” antes de sumar 2 al resultado, mientras que la otra calculadora resuelve “2 + 4” y luego multiplica este resultado por 2. Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 6
6 Samuel tenía 900 estampillas y pegó 25 en cada página de un álbum. Si el álbum tenía 30 páginas, ¿cuántas estampillas le quedaron sin pegar?
Multiplica primero,
7
Primera frase numérica
900 30 25
Segunda frase numérica
= 900 750
=
Quedaron 150 estampillas sin pegar.
Puedes usar tu calculadora científica para resolver 900 30 25 así:
• Muestre un ejemplo de una frase numérica con resta y multiplicación.
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
150
Presiona
C
Pantalla
0
9 0 0
900
– 3 0
30
2 5 =
25 150
900 30 25 = 150
¿Qué operación resolvió primero la calculadora? ×
¿Qué operación realizó después? −
7 Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.
a
13 20 7 153
b 70 75 : 5 55
c
15 18 5 : 9 25
d 80 54 : 9 11 14
e
48 6 6 34 46
f 33 210 : 30 25 15
Capítulo 2: Operaciones
73
89
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Objetivo de la actividad
Materiales
Los estudiantes compararán la prioridad que le da a las operaciones una calculadora científica y una no científica.
Calculadora científica Calculadora no científica
Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Entregue una calculadora no científica a cada pareja de estudiantes.
¡Exploremos!
• Los estudiantes deben escribir el orden de las operaciones realizadas por cada calculadora e identificar cuál entrega la respuesta correcta.
Trabaja en parejas.
1
Usando esta calculadora, resuelve los siguientes ejercicios. Empieza con la operación de la izquierda.
• Los estudiantes deberían darse cuenta que una calculadora científica respeta el orden de las operaciones mientras que la no científica no lo respeta.
a 178 25 6
2
Luego, usa tu calculadora científi ca para resolver a y b . ¿Obtuviste el mismo resultado que con la otra calculadora?
3
Escribe el orden de las operaciónes realizadas en a y b usando,
i la calculadora de tu profesor/a
¿Qué calculadora te dio la respuesta correcta?
8
• Lea el problema. Pida a los estudiantes que lo resuelvan en dos pasos y muéstreles cómo 670 + 530 y 1200 : 40 pueden ser combinados en una sola frase numérica usando paréntesis: (670 + 530) : 40. Los paréntesis nos indican que debemos sumar 670 y 530 antes de dividir la suma por 40. • Diga a los estudiantes que en una frase numérica con paréntesis, deben realizar primero la operación dentro del paréntesis. Cuando hay más de una operación dentro del paréntesis, deben seguir la regla anterior: operar de izquierda a derecha, realizando la multiplicación o división antes de la suma o la resta.
Tu profesor o profesora le entregará a cada pareja una calculadora.
b 85 120 : 8
ii tu calculadora científi ca
8 Cuando hay paréntesis realiza primero las operaciones dentro del paréntesis.
Hay 670 niños y 530 niñas en un colegio. Cada curso tiene 40 estudiantes. ¿Cuántos cursos hay en el colegio? Primero realiza la operación dentro del paréntesis,
Primera frase numérica
(670 530) : 40
Segunda frase numérica
= 1200 : 40
= 30
Hay 30 cursos en el colegio.
74
Capítulo 2: Operaciones
90
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Materiales • Calculadora científica • Tarjetas con números y operaciones (ver Apéndice 3, en pág. 336)
Gestión de la clase Puedes utilizar tu calculadora científi ca para calcular (670 530) : 40 de la siguiente manera:
Recuerda presionar los botones ( ) para introducir las frases numéricas que están entre paréntesis.
Presiona C
Pantalla
0
( 6 7 0
(670
+ 5 3 0 )
530)
: 4 0
40
=
30
(607 530) : 40 = 30
¿Qué operación resolvió primero la calculadora? (+) ¿Qué operación resolvió después? :
a
17 (38 29) 8
b 690 : (15 2) 23
c
107 (44 33) 7 184
d 80 (40 : 5) : 10 64
10
9
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada. 10
9 Realiza los siguientes cálculos. Luego utiliza tu calculadora para comprobar tus resultados.
• Muestre a los estudiantes cómo usar la calculadora para resolver esta frase numérica.
• Los estudiantes usarán las tarjetas con números y operaciones para formar frases numéricas. Dígales que no pueden poner más de 3 operaciones en cada frase. • Luego, los estudiantes usan sus calculadoras para resolver las frases numéricas que formaron.
Realiza esta actividad.
Trabaja en parejas.
Tu profesor o profesora te entregará tarjetas con números (0 a 9), con operaciones (, , , : ) y con paréntesis.
0
Utiliza las tarjetas para formar frases numéricas con dos o más operaciones.
Ejemplo
Usa la calculadora para encontrar el resultado. Luego, compara tu resultado con el de tu compañero.
1
2
Capítulo 2: Operaciones
3
4 5
6
7
8
9
:
(
)
3 2 8 5 4 : 3 6
75
91
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Trabajo personal
Materiales
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 2c del Libro del Alumno. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 45 a 50.
Calculadora científica
Gestión de la clase (¡Exploremos!) 1
• Este problema permite a los estudiantes verificar que en una frase numérica con una multiplicación seguida de una división, el orden de las operaciones es irrelevante.
¡Exploremos! 1
Usa tu calculadora para encontrar el resultado de 1350 27 : 25. Resuelve primero 1350 27 y luego, divide el resultado por 25.
Después, usa tu calculadora para resolver primero 27 : 25. Luego, multiplica el resultado por 1350. ¿Qué notas? Prueba con otras operaciones.
2
• Esta actividad requiere que cada uno de los 3 estudiantes resuelva una frase numérica usando procedimientos correctos e incorrectos. Luego, los estudiantes deben comparar sus respuestas y comentar sus resultados.
2
Trabaja en grupos de tres. Observa las cinco frases numéricas en la tabla de más abajo. El estudiante A debe tratar de resolverlas de izquierda a derecha sin usar una calculadora. El estudiante B debe resolverlas siguiendo las reglas de orden de operaciones, sin usar calculadora. El estudiante C debe resolverlas usando la calculadora, digitando los números de izquierda a derecha.
Anoten los resultados en la tabla. Comenten sus resultados. Frase numérica
Resultado del estudiante A
Resultado del estudiante B
Resultado del estudiante C
9 6 5 48 : 4 2 36 : 6 3 14 4 2 50 8 : 2
¡Practiquemos! 2c 1
Resuelve los siguientes ejercicios. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.
a
c
96 50 64 110 6 40 : 3 80
d 250 : 5 53 2650
b 175 25 95 105
e
79 27 2 133
f 280 72 : 8 271
g
35 (560 : 70) 280
h 540 : (293 203) 6 Cuaderno de Trabajo 5A, p 45. Práctica 4.
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Capítulo 2: Operaciones
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Objetivos Cálculo mental Los estudiantes serán capaces de: • aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación para obtener como producto 100. • reconocer que multiplicar un número por una potencia de 10 es un cálculo fácil. • Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma y la resta para multiplicar un número por una potencia de 10.
• Aplicar la descomposición multiplicativa de un número para multiplicar o dividir por 8.
Conceptos clave • Para realizar un cálculo mental es necesario recurrir a las propiedades de las operaciones y hacer cálculos convenientes que sean equivalentes a las propuestas.
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Cálculo mental 1 Cristina realizó el cálculo 25 8 4 en forma mental. Lo hizo de la siguiente manera.
25 8 4 =
25 4 8 =
100 8 = 800
Cristina primero multiplicó 25 por 4, para obtener 100 y luego multiplicó por 8.
2 Realiza los siguientes cálculos en forma mental utilizando la estrategia de Cristina. Luego, comprueba tu resultado con una calculadora. procedimiento 5 × 20 × 8 5 8 20 = esperado: 100 × 8 = 800 procedimiento 25 × 4 × 50 × 2 × 7 4 50 7 25 2 = esperado: 100 × 100 × 7 = 70 000 3 Cristina realizó otro cálculo en forma mental. Lo hizo de la siguiente manera.
6 990
6 1000 – 6 10
6000 – 60
5940
Multiplicar un número por 990 es lo mismo que multiplicarlo por 1000 y luego, restar el número multiplicado por 10.
Esta técnica sirve para todos los números terminados en 90
4 Realiza los siguientes cálculos utilizando esta misma estrategia. Luego, revisa tus resultados con una calculadora. Procedimiento: 8×500 4000 – (8×10) 4000–80 8 490 = 3920 790 7 = 5530 Procedimiento: 800×7 5600 – (7×10) 5600–70 5 1990 = 5530 Procedimiento: 5×2000 10 000 – (5×10) 10 000–50 Capítulo 2: Operaciones
77
• Muestre el cálculo del Libro del Alumno. Explíqueles el procedimiento utilizado para resolverlo y pregúnteles: ¿por qué funciona? (porque cuando hay solo multiplicaciones se puede operar en cualquier orden) ¿para qué fue necesario cambiar el orden de los factores? (para multiplicar 25 × 4 y así formar 100). • Guíelos a que se den cuenta que 25 × 4 × 8 es un cálculo más conveniente que 25 × 8 × 4, ya que con el primer producto se forma inmediatamente 100 y multiplicar por 100 es más fácil. 2
• Pídales que realicen estos ejercicios para practicar la técnica aprendida. 3
• Explíqueles que multiplicar 6 × 990 es equivalente a decir: 6 veces 990 = 990 + 990 + 990 + 990 + 990 + 990 • Para hacer un cálculo conveniente pensamos en: 6 veces 1000, por lo tanto, se le agrega 10 a cada 990. (990 + 10) + (990 + 10) + (990 +10) + (990 + 10) + (990 + 10) + (990 +10) = 6000 • Luego, para obtener el resultado final, restamos 6 veces 10 = 6 × 10, que corresponde a lo que se agregó para hacer el cálculo fácil.
93
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 51.
Gestión de la clase 4
• Muestre a los estudiantes el cálculo del Libro del Alumno. Explíqueles que un número se puede descomponer multiplicativamente, por ejemplo el 8 se puede descomponer como 2 × 2 × 2. Por lo tanto, para realizar un cálculo mental por 8 se podría utilizar la técnica de multiplicar por 2, tres veces consecutivas. • Presénteles otros cálculos de multiplicación de un número de más de dos cifras por 8, como por ejemplo: 750 × 8. Frente a este cálculo la secuencia mental de los productos es: 1500 3000 6000 • Contraste esta técnica con otra, para ver cuál es más efectiva frente a este tipo de cálculo. Un ejemplo de otra técnica mental para 750 × 8, podría ser, 8 × 700 + 8 × 50. La secuencia mental es: 5600 + 400 5000 + 1000 6000 • Guíelos para que comprendan que esta misma técnica es aplicable para la división por 8. 5
5 Cristina realiza el siguiente cálculo mental cuando tiene que multiplicar o dividir por 8.
8 = 2 2 2. Entonces, multiplicar por 8 es lo mismo que multiplicar por 2, tres veces consecutivas.
a 12 8 =
12 2 = 24
24 2 = 48
48 2 = 96
1 000 : 2 = 500
500 : 2 = 250
250 : 2 = 125
Dividir por 8 es lo mismo que dividir por 2, tres veces consecutivas.
b 1 000 : 8 =
6 Aplica estas estrategias para realizar los siguientes cálculos. Luego, comprueba tu resultado con una calculadora. 125 × 2 = 250 250 × 2 = 500 500 × 2 = 1000 a 125 8 =
b
140 8 =
140 × 2 = 280
280 × 2 = 560
c
8 250 =
250 × 2 = 500
500 × 2 = 1000
5200 : 2 = 2600 1440 : 2 = 720
d
5200 : 8 =
e
1440 : 8 =
f
11 200 : 8 =
560 × 2 = 1120 1000 × 2 = 2000
2600 : 2 = 1300 720 : 2 = 360
11 200 : 2 = 5600
1300 : 2 = 650
360 : 2 = 180
5600 : 2 = 2800
2800 : 2 = 1400
Cuaderno de Trabajo 5A, p 51. Práctica 5.
6
y • Pídales que realicen estos ejercicios para practicar la técnica aprendida.
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Capítulo 2: Operaciones
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Objetivos: Problemas (1) Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de múltiples pasos.
Materiales
Habilidades Aplicación de conceptos y procedimientos
Calculadora científica
Concepto clave Aplicación de conceptos y habilidades correspondientes a las cuatro operaciones, para resolver problemas.
Gestión de la clase 1
• Repase el procedimiento para resolver problemas: Paso 1: Pida a que lean atentamente el problema. Dígales que establezcan cuál es la información que les dan y cuál la que deben encontrar. Paso 2: Pregunte si se pueden escribir algunas frases numéricas. Paso 3: Pida que escriban la primera frase numérica. En este caso, se usa la fórmula del área de un rectángulo. Luego, pídales que escriban la segunda frase numérica y que expliquen por qué hay que multiplicar Paso 4: Pregunte a los estudiantes cómo pueden comprobar si el resultado que obtuvieron es razonable. Recuérdeles que siempre deben determinar si sus resultados son razonables.
¡Aprendamos!
Problemas (1) 1
Un artista quiere hacer un mosaico pegando pequeños cuadrados de cerámica sobre un tablero rectangular, que mide 103 cm por 59 cm.
a
b Cada cuadrado de cerámica cuesta $12. ¿Cuánto le va a costar cubrir
a
¿Cuál es el área del tablero? toda la tabla con cerámicas de 1 cm²? Estima la respuesta. 103 59 ≈ 100 60 = 6000 6077 es una respuesta razonable.
Área = largo ancho
= 103 59
= 6077 cm2
El área del tablero es de 6077 cm2.
b
Costo de las cerámicas = área costo de 1cm² de cerámica.
= 6077 $12
= $72 924
Estima para comprobar si tu respuesta es razonable.
Le costará $72 924 cubrir el tablero completo.
Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 2
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
2
3
• Explique a los estudiantes que este problema incluye el concepto de suma iterada para la multiplicación y el concepto de agrupamiento para la división.
Un estanque tiene capacidad para contener 450 cm³ de agua. Teresa llena 19 estanques como éste. Si cada cm³ de agua cuesta $15, ¿cuánto debe pagar en total?
Cantidad total de agua = 450 cm3 19 = 8550 cm3
Costo del agua = 8550 $15 = $
Ella debe pagar $ 3
128 250
. 128 250
Pedro compró 32 cajas de frutillas. Cada caja tenía 140 frutillas. Él hizo bolsas de 35 frutillas. Luego, vendió las bolsas en $980. ¿Cuánto dinero recaudó, después de vender todas las frutillas?
Primero, calcula la cantidad total de frutillas.
Cantidad total de frutillas = cantidad de cajas cantidad de frutillas por caja = 32 140 = 4480
Había 4480 frutillas en total.
Luego, calcula la cantidad de bolsas.
Cantidad de bolsas = cantidad total de frutillas : cantidad de frutillas en cada bolsa = 4480 : 35 (32 140) : 35 = 128 = 128 Hizo 128 bolsas de frutillas.
Finalmente, calcula la cantidad de dinero recaudado.
Dinero recaudado = cantidad de bolsas precio de cada bolsa. = 128 $980 = $ 125 440 = $ 125 440 80
Pedro recaudó $
. 125 440 Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 4
4
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada.
Camila ha ahorrado $1235 mensuales durante 64 meses. Este mes ahorró $2690. Con el dinero ahorrado Camila quiere comprar lápices para vender. Si le alcanza para 100 lápices, ¿Cuánto cuesta cada lápiz? Primero, calcula el monto ahorrado en 64 meses. Monto total = cantidad de meses x monto del ahorro mensual. = 64 $1235 = $ 79 040 Luego, calcula el total ahorrado. Total ahorrado = ahorro de 64 meses + ahorro del último mes. $2960 79 040 =$ (64 $1235) $2960 = $ 82 000 = $ 82 000
¿Qué operación debes realizar para saber cuánto cuesta cada lápiz? $ 82 000 : 100 = $ 820 Cada lápiz cuesta $ 820 .
Capítulo 2: Operaciones
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97
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Actividad opcional Pida a los estudiantes que vayan a un estacionamiento de autos y anoten los precios. Pídales que calculen cuánto tendrían que pagar si dejaran el auto por 4 1 2 horas. ¿Tendrían que pagar más si lo dejaran por 4 horas y 50 minutos?
Gestión de la clase 5
• Este problema incluye el concepto de multiplicación.
5
6
Días de la semana La tabla de la derecha muestra el tiempo que dedicó Laura a la lectura. Sábados y domingos
32 min por día 55 min por día
Laura leyó desde el martes hasta el lunes siguiente. ¿Cuántos días leyó?
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
Primero, averigua la cantidad de días de semana y de sábados y domingos que leyó.
Cantidad de días de semana que leyó = 5 días Cantidad de sábados y domingos que leyó = 2 días Tiempo dedicado a la lectura durante 5 días = 5 × 32 min = 160 min Tiempo dedicado el sábado y el domingo = 2 × 55 min = 110 min Tiempo total = 160 min 110 min= 270 min
5 32 min 2 55 min = 270 min
Laura leyó 270 min en total, es decir, 4 horas y 30 minutos. 6
La tabla muestra la tarifa de un estacionamiento. Primera hora
Segunda hora
Gratis
Después de la segunda hora
$100
$200 por hora
Luis estacionó su auto desde las 9 a.m. hasta las 2 p.m. de un día. ¿Cuánto pagó? Cantidad total de tiempo = 5
h
Costo del estacionamiento por la primera hora = $ 0 Costo del estacionamiento por la segunda hora = $ 100 Costo del estacionamiento de 11 a.m. a 2 p.m. =
3 $ 200 = $ 600
Costo total del estacionamiento = $ 0 $ 100 $ 600 = $ 700 Luis pagó $ 700 . 82
Capítulo 2: Operaciones
98
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Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 2d del Libro del Alumno. • Asigne la Práctica 6 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 52 a 55.
¡Practiquemos! 2d Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo de tu trabajo en tu cuaderno. 1
Karen vendió 78 cajas de lápices. Cada caja tenía 34 lápices. Ella vendió cada lápiz en $970. ¿Cuánto dinero recaudó en total? $450 840
2
Ángel tenía $6707. Compró un cuaderno en $569. Con lo que le sobró compró 18 lápices. ¿Cuánto le costó cada lápiz? $341
3
Un vendedor de frutas tenía 49 cajas de frutillas. Cada caja tenía 75 frutillas. Las envasó en bolsas poniendo 15 frutillas en cada una. ¿Cuántas bolsas hizo, si envasó todas las frutillas? 245 bolsas
4
Pedro paga $1920 por una bolsa con 12 hallullas. Él vende cada hallulla en $200. Si en una semana él vende un total de 4385 hallullas, a b
¿Cuál fue la menor cantidad de bolsas que necesitó comprar? 366 bolsas ¿Cuánto pagó por esta cantidad de bolsas de hallullas? $702 720
c
¿Cuánto fue la ganancia después de vender las 4385 hallullas? $174 280
5
El dueño de un restaurant compró 245 cajas de pimentones en tarro. Cada caja contenía 28 tarros de pimentones. Habían 2198 tarros de pimentones rojos y el resto eran verdes. En un lapso de 42 meses se usaron todos los tarros de pimentones verdes. Si en el restaurant usaron la misma cantidad de tarros de pimentones verdes cada mes, ¿cuántos tarros de pimentones verdes se usaron en cada mes? 111 tarros
6
Esta tabla muestra el costo de envío de encomiendas a Australia. Cecilia y Daniela mandaron paquetes a Australia.
Peso
Precio
Primeros 20g
$700
Cada 10g adicionales, o menos de 10g
$300
a
Cecilia mandó un paquete que pesaba 45 g. Calcula el costo de envío de este paquete $1600
b
Daniela pagó $6100 por enviar un paquete. Calcula el peso de este paquete. 200 g Cuaderno de Trabajo 5A, p 52. Práctica 6.
Capítulo 2: Operaciones
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99
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Objetivos Problemas(2) Los estudiantes serán capaces de: • usar diversas heurísticas como “dibujar un modelo”, “hacer una lista sistemáticamente”, “suponer y comprobar”, “método unitario”, y “establecer un antes y un después” para resolver problemas de múltiples pasos.
Concepto clave Aplicación de conceptos y habilidades correspondientes a las 4 operaciones y diversas estrategias para resolver problemas.
Habilidades Ampliar conceptos y procedimientos.
Gestión de la clase 1
• Repase la heurística de “dibujar un modelo” para resolver problemas. Recuérdeles el procedimiento para resolver problemas. Paso 1: Leer el problema atentamente y determinar cuál es la información dada y cuál la que deben encontrar. Paso 2: ¿Se puede escribir una frase numérica? Si no es posible, pensar en una estrategia o heurística que se pueda usar. En este caso, pida a los estudiantes que cierren el libro y dibujen un modelo con la información dada. Paso 3: A partir del modelo, escriba las frases numéricas requeridas. Paso 4: Compruebe si el resultado es razonable usando la estimación.
¡Aprendamos!
Problemas (2) 1
Karen, Teresa y Jorge ganaron un total de 4670 puntos durante una competencia. Teresa ganó 316 puntos menos que Karen. Teresa ganó tres veces la cantidad de puntos que ganó Jorge. ¿Cuántos puntos ganó Teresa? 316 Karen Teresa
4620
Jorge
Primero, resta 316 puntos del total del puntaje de Karen para que le quede el mismo puntaje que Teresa. Esto implica restar 316 puntos de la cantidad total de puntos que tienen los tres. 4670 2 316 = 4354 Luego, dividiendo lo que queda en partes iguales, Karen tiene 3 partes,Teresa tiene 3 partes y Jorge tiene 1 parte. Entre los tres reúnen 7 partes, todas del mismo tamaño. Karen Teresa
4354
Jorge
7 partes 1 parte 3 partes
4354 puntos 4354 : 7 = 622 puntos 3 622 = 1866 puntos
Teresa ganó 1866 puntos.
84
Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase 2
2
El precio de 4 cinturones y 5 corbatas fue de $24 700. Cada corbata costó 3 veces lo que costó un cinturón. ¿Cuánto costó una corbata y un cinturón? Dibuja un modelo. Representa 1 cinturón con 1 parte y 1 corbata con 3 partes, todas iguales
4 cinturones
5 corbatas
19 partes 1 parte
• Asigne este problema a modo de práctica guiada.
$ 24 700
$24 700 $24 700 : 19
= $ 1300
Cada cinturón costó $ 1300. 3 partes
3 $1300 = $3900
Cada corbata costó $ 3900. $ 1300 $ 3900= $ 5200 Un cinturón y una corbata costaron $ 5200.
Capítulo 2: Operaciones
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Actividad opcional Pida a los estudiantes que observen el siguiente modelo. Luego, pídales que se junten en grupos de cuatro y escriban un problema que se resuelva con este modelo. Luego, pídales que lo resuelvan e intercambien el problema con otro grupo. A B
A B
Gestión de la clase 3
• Asigne este problema a modo de práctica guiada. • Este problema es del tipo “antes y después”. Indique a los estudiantes que en este caso, deberán dibujar modelos diferentes para mostrar la situación “inicial” y la situación “final”. 4
3
Leo tenía la misma cantidad de tulipanes amarillos y rojos.Vendió 624 tulipanes rojos. La cantidad de tulipanes amarillos es ahora igual a 4 veces la cantidad de tulipanes rojos que le quedó. ¿Cuántos tulipanes tenía al principio? Antes Tulipanes Rojos
?
Tulipanes Amarillos
624
Después
1 parte representa la cantidad de tulipanes rojos que quedaron y las 4 partes representan la cantidad de tulipanes amarillos.
Tulipanes Rojos
• Este problema involucra el concepto de división como agrupamiento y el concepto de multiplicación como una razón.
Tulipanes Amarillos
3 partes 1 parte 8 partes
624 tulipanes 624 : 3 = 208 tulipanes 8 208 = 1664 tulipanes
Tenía 1664 tulipanes al principio, la mitad rojos y la otra mitad amarillos. 4
Un vendedor de frutas compró 588 peras a 4 por $500. Luego, las vendió a 7 peras por $1000. Si vendió todas las peras, ¿cuánto dinero obtuvo de ganancia? 588 : 4 = 147 147 $500 = $73 500
¿Cuántos grupos de 4 hay en 588?
El compró las peras a $73 500. 588 : 7 = 84 84 $1000 = $84 000
¿Cuántos grupos de 7 hay en 588?
Los vendió a $84 000. $84 000 2 $73 500 = $10 500 Ganó $10 500. 86
Capítulo 2: Operaciones
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Gestión de la clase 5
5
Bárbara y Mónica tenían $1250. Bárbara y Susana tenían $830. Mónica tenía 4 veces la cantidad de dinero que tenía Susana. ¿Cuánto tenía Bárbara? Mónica Michelle
Bárbara Belle
Belle & Michelle Bárbara y Mónica $830 Belle Bárbara
6
• Este problema puede ser resuelto usando la heurística de “hacer una lista sistemáticamente” o “dibujando un modelo”.
$1250
Belle & Surya Bárbara y Susana
• Asigne esta actividad a modo de evaluación informal.
Surya Susana
$1250 2 $830 = $420 La diferencia entre la cantidad de dinero que tenían Mónica y Susana era $420. 3 partes 1 parte
$420 $420 : 3 = $ 140
Susana tenía $ 140 . $830 2 $ 140 = $ 690 Bárbara tenía $ 690 . 6
María tiene 12 años y Natalia es 15 años mayor que ella. ¿En cuántos años más Natalia tendrá el doble de la edad de María? Método 1
Para resolver este problema podemos suponer edades y comprobar si sirven. Comienza haciendo una lista.
12 15 = 27 En este momento Natalia tiene 27 años. Edad de María
12 (ahora) 13 14 15
Edad de Natalia
27(ahora) 28 29 30
¿Es el doble?
No No No Sí
Natalia tendrá el doble de la edad de María en 3 años más.
Capítulo 2: Operaciones
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103
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Gestión de la clase 7
• Asigne este problema a modo de práctica guiada.
Método 2
12 años
Ahora
15 años
María Natalia
María
Más adelante
15 años
Natalia
1 parte 15 años 15 2 12 = 3 En 3 años más Natalia tendrá el doble de la edad de María. 7
En un estacionamiento hay 20 lugares ocupados entre autos y motos. La cantidad total de ruedas es 50. ¿Cuántas motos hay?
Usa los datos — cantidad de vehículos y de ruedas — para suponer cantidades y hacer una lista sistemática. Cantidad de autos
Cantidad de motos
Cantidad de ruedas
10
10
40 20 = 60
No (demasiado)
9
11
36 + 22 = 58
No (demasiado)
8
12
32 24 = 56
No (demasiado)
5
15
20 30 = 50
Sí
Hay 15
88
Recuerda que la cantidad de autos y motos siempre debe sumar 20.
¿Hay 50 ruedas?
motos.
Capítulo 2: Operaciones
104
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Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 2e. • Asigne la Práctica 7 del Cuaderno del Trabajo 5A, págs. 56 a 58.
¡Practiquemos! 2e Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo de tu trabajo en tu cuaderno. 1
Leonardo repartió $3600 entre su sobrino y sus 2 hijos. Su sobrino recibió $500 más que el primer hijo. El segundo hijo recibió la mitad de lo que recibió el primer hijo. ¿Cuánto recibió el primer hijo? $1240
2
En el Kiosco A se venden 3 manzanas por $150. En el Kiosco B, las manzanas se venden a 5 por $150. Si Karen compra 15 manzanas en el Kiosco B en vez de comprarlas en el A. ¿Cuánto dinero ahorraría? $300
3 a Margarita pagó $8700 en total por una blusa y una falda. La falda costó el doble que la blusa. ¿Cuánto costó la falda? $5800 4
El dueño de una tienda vendió un total de 15 cajas de lápices entre lunes y martes.Vendió 3 cajas más el lunes que el martes. Si había 12 lápices en cada caja. ¿Cuántos lápices vendió el lunes? 108 lápices
5
Jaime tenía $700 y su hermana tenía $200. Luego, su padre le dió a cada uno la misma cantidad de dinero. Ahora, Jaime tiene el doble de dinero que su hermana. ¿Cuánto dinero le dió a cada uno? $300
6
Un grupo de personas pagó un total de $72 000 por las entradas para un parque de diversiones. El precio de la entrada de un adulto era de $1500 y el de un niño era de $800. Había 25 adultos más que niños. ¿Cuántos niños había en el grupo? 15
7
Un estanque y un balde contenían un total de 8346 ml de agua. Al echar 314 ml desde el balde al estanque, la cantidad de agua en el estanque ahora es 12 veces la del balde. ¿Cuánta agua había en el balde al principio? 956 ml Cuaderno de Trabajo 5A, p 56. Práctica 7.
Capítulo 2: Operaciones
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Materiales Calculadora científica
Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Repase con los estudiantes los objetivos de todas las secciones de ¡Aprendamos! Esto les permitirá evaluar si han logrado dominar los objetivos de esta unidad. • Puede pedirles que piensen un ejercicio para cada aprendizaje esperado de la unidad. Pida a algunos estudiantes que presenten su ejercicio y su respuesta frente a todo el curso. • Revise las preguntas de ¡Repasemos! para evaluar su han comprendido los conceptos.
¡Resumamos!
Has aprendido a: • • • • •
usar una calculadora para sumar, restar, multiplicar y dividir multiplicar y dividir números por 10, 100 y 1000 multiplicar y dividir números por decenas, centenas y unidades de mil usar el redondeo para estimar productos y cocientes resolver las operaciones una frase numérica, usando el orden correcto de ellas.
¡Repasemos! Eugenio compró 48 paquetes de globos rojos, 66 paquetes de globos azules y 35 de globos amarillos. Cada paquete costó $ 300 y traía una docena de globos. Los mezcló y regaló 213 globos. Guardó el resto en paquetes de 25 globos cada uno. a
¿Cuántos globos compró Eugenio en total? (48 66 35) 12 = 149 12 = 1788 Eugenio compró 1788 globos en total.
b
¿Cuántos paquetes de globos volvió a empaquetar? (1788 2 213) : 25
= 1575 : 25 = 63 Eugenio volvió a empaquetar los globos en 63 paquetes
90
Capítulo 2: Operaciones
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Objetivo:
Trabajo personal
Habilidades
Los estudiantes deben aplicar su comprensión de la multiplicación como suma iterada para resolver este problema.
Identificar relaciones
Heurística para resolver problemas
• Asigne a sus estudiantes el “Diario Matemático”, “Desafío’” “Piensa y resuelve” y Repaso 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 59 a 75.
• Buscar patrones. • Reformular el problema.
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Los estudiantes deben buscar un patrón y reformular el problema para resolver la frase numérica sin usar la tecla 9 de la calculadora.
Si vendió cada nuevo paquete de 25 globos en $1000 cada uno, ¿cuánto dinero ganó?
c
63 $1000 2 149 $300 = $63 000 2 $44 700 = $18 300 El ganó $18 300.
¡Activa tu mente! La tecla 9 de una calculadora no funciona. Explica cómo puedes usar esta calculadora para resolver 1234 79 de dos maneras diferentes. Método 1: (1234 × 80) − 1234 = 97 486 Método 2: (1234 × 78) + 1234 = 97 486
Cuaderno de Trabajo 5A, p 60. Desafío
Capítulo 2: Operaciones
Cuaderno de Trabajo 5A, p 62. Piensa y resuelve
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108
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Operaciones
Curso:
(c) 8160 : 85 =
Capítulo 2: Operaciones
(a) 504 : 9 =
Divide.
(4)
96
56
(d) 17 604 : 18 =
(b) 4104 : 6 =
978
684
(d) 7050 8 = 56 400
(c) 1975 5 = 9875
(d) 26 145 9354 = 16 791
6157
(b) 217 58 = 12 586
161
(b) 6286 129 =
(a) 359 12 = 4308
Multiplica.
(c) 2159 1998 =
(a) 8215 79 = 8136
Resta.
(3)
(2)
(d) 1693 8157 = 9850
(c) 97 8154 = 8251
(b) 6789 18 = 6807
(a) 215 9843 = 10 058
Suma.
3
5
33
1 6
Fecha:
(1)
Práctica 1 Usando la calculadora
2
Nombre:
308
0
Seamos Cuidemos Cuidemos solidarios la nuestros naturaleza libros Comamos alimentos saludables
34
Capítulo 2: Operaciones
Cuidemos la naturaleza El mensaje al final del camino de Felipe es: ____________________________.
Respetémonos
1752
Seamos optimistas
:
120
1498
5
336
0
Revisa los cálculos y colorea el camino que recorre Felipe al desplazarse por los resultados correctos.
68
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73 5
(5)
10
109
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Curso:
Fecha:
(c) 514 (e) 308
= 5140 = 3080
10
= 960
10
10
10
10
5 10 = 600 = 6000
500
10 = 5000
9176 10 = 91 760
10 = 700
= 12 870
(d) 143 90 = 143 9 10 = 1287 10
(b) 39 30 = 39 3 10 = 117 10 = 1170
(f )
(d)
70
Capítulo 2: Operaciones
35
(e) 360 30 = 360 3 10 (f ) 285 80 = 285 8 10 = 1080 10 = 2280 10 = 10 800 = 22 800
4
= 260 10 = 2600
(c) 120 50 = 120
(a) 65 40 = 65
(3) Completa los espacios en blanco.
(a) 96
(b)
(f ) 9342 10 = 93 420
(e) 3702 10 = 37 020
(2) Completa los espacios en blanco.
(d) 1503 10 = 15 030
(c) 7140 10 = 71 400
(b) 109 10 = 1090
(a) 47 10 =
470
(1) Encuentra los resultados de los siguientes ejercicios:
Práctica 2 Multiplicando por decenas, por centenas o por unidades de mil
Nombre:
110
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U H M
95 100 = 9500
217 100 = 21 700
803 100 = 80 300
U
E
7000
36
(e) 1315 100
= 1700
(b)
U
25
726 000
= 131 500 (f )
L 70 000
Capítulo 2: Operaciones
2662 1000 = 2 662 000
= 320 000
1000 = 25 000
1000 = 478 000 (d) 320 1000
478
(c)
100
(a) 17
M 80 300
(5) Completa los espacios en blanco.
9500
A
O
8032 1000 = 8 032 000 3936 1000 = 3 936 000
U
L
E
726 1000 = 726 000
70 1000 = 70 000
7 1000 = 7000
¿Cómo se llama el mamífero que aparece en el escudo chileno? Para descubrirlo escribe las letras asociadas a los resultados de las multiplicaciones
P
86 100 = 8600
H 21 700
M
25 100 = 2500
(4) Multiplica.
=
1200
= 6000
= 569 800
= 36 1000 = 36 000
2
= 1 200 000
Capítulo 2: Operaciones
= 1200 1000
1000 = 3 978 000
= 3978 1000
= 663
6 = 300
4
= 30 000 (j) 663 6000
1000 = 30 1000
= 15
(i) 300 4000 1000
= 12
(h) 15 2000
3 1000
(g) 12 3000
= 40 000
1000
= 4 320 000
5
100
= 40 1000
= 8
(f ) 8 5000
7
= 5698 100
= 814
= 43 200 100
= 5400
100
8
(e) 5400 800
= 21 000
100
100
5
= 60 100
= 12
(d) 814 700
= 35
6
(b) 12 500
= 210 100
100
100
3
(c) 35 600
=
12
= 4
(a) 4 300
(6) Completa los espacios en blanco.
37
111
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28-12-12 10:40
65 30 = 1950
90 40 = 3600
812 10 = 8120
634 20 = 12 680
(b)
(c)
(d)
(e)
(c) 103
38
(a) 31
= 3100
= 3090
100
30
634 2000 = 1 268 000
812 1000 = 812 000
90 4000 = 360 000
65 3000 = 195 000
17 7000 = 119 000
Multiplica por unidades de mil
(d) 25
= 5000
Capítulo 2: Operaciones
200
(b) 30 3000 = 90 000
634 200 = 126 800
812 100 = 81 200
90 400 = 36 000
65 300 = 19 500
17 700 = 11 900
Multiplica por centenas
(8) Completa los espacios en blanco.
17 70 = 1190
(a)
Multiplica por decenas
(7) Resuelve. 58 lápices tinta gel a $219 cada uno. 652 gomas de borrar a $73 cada una. 99 tijeras $217 cada una. 39 mochilas a $4156 cada una. 13 estuches a $2415 cada uno. 37 bolsos deportivos a $6814 cada uno.
10
= 280 000
40
= 20 000 (f ) 37 6814 �
40 = 160 000 (e) 13 2415 �
100 = 20 000 (d) 39 4156 �
700 = 49 000
(c) 99 217 �
60
= 12 000
(b) 652 73 �
(a) 58 219 �
Capítulo 2: Operaciones
7000
2000
4000
200
70
200
39
Redondea los números de 2 cifras a la decena más cercana, los de 3 cifras a la centena más cercana y los de 4 cifras a la unidad de mil más cercana. Luego, estima el producto.
(9) Imagínate que eres el dueño de una tienda de artículos escolares. Estima la cantidad de dinero que obtendrás por cada grupo de los artículos de esta lista.
112
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Curso:
(e) 52 260 : 10 = 5226
40
Capítulo 2: Operaciones
Fecha:
=
26
= 104 :
4
=
69
= 345 :
Capítulo 2: Operaciones
50
=
145
= 870 :
6
=
489
= 3423 :
41
7
5 (f ) 34 230 : 70 = 34 230 : 10 : 7
5
(e) 3450 : 50 = 3450 : 10 :
=
= 300 : 6
6
= 3050
(d) 8700 : 60 = 8700 : 10 : 6
187
10
(b) 3000 : 60 = 3000 : 10 :
(f ) 30 500 :
=
67
(d) 19 740 : 10 = 1974
(b) 670 : 10 =
= 561 : 3
: 3
(c) 1040 : 40 = 1040 : 10 : 4
1000 × 100 = 100 000
(a) 5610 : 30 = 5610 : 10
(2) Completa los espacios en blanco.
= 105
10
(c) 1050 :
(a) 100 : 10 =
10
(1) (1) Encuentra los resultados de:
Mi respuesta es razonable. Está cerca de mi estimación que es 100 000
Curso:
Práctica 3 Dividiendo por decenas, por centenas o por unidades de mil
Nombre:
Fecha:
Redondeo 97 a la decena más cercana, 97 � 100
Redondeo 1164 a la unidad de mil más cercana, 1164 � 1000
1164 × 97 = 112 908
Explica cómo puedes comprobar si tu respuesta es razonable.
1164 97
Usa tu calculadora para resolver:
Diario matemático
Nombre:
113
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N
B
7700 : 100 = 77
2000 : 100 = 20
O I M A
560 000 : 1000 = 560 38 000 : 1000 = 38 360 000 : 1000 = 360 415 000 : 1000 = 415
N
77
F
34
I
38
B
20
I
38
O
560
S
50
= 4
42
4
Capítulo 2: Operaciones
(f ) 56 000 : 7000 = 8
= 4
(e) 9000 : 3000 = 3
(d) 45 000 : 500 = 90
(c) 81 000 : 900 = 90
(a) 1200 : 300 = 1200 : 100 : 3 (b) 1600 : 400 = 1600 : 100 : = 12 : 3 = 16 : 4
415
A
¿A qué grupo de animales pertenece la salamandra? Escribe las letras asociadas a los resultados de las divisiones.
S
5000 : 100 = 50
(4) Divide.
F
3400 : 100 = 34
(3) Divide.
12 680 : 20 = 634
3600 : 40 = 90
1950 : 30 = 65
1190 : 70 = 17
Capítulo 2: Operaciones
(d)
(c)
(b)
(a)
Divide por decenas
(5) Resuelve.
(k) 133 000 : 7000 = 19
(i) 36 000 : 4000 = 9
(g) 60 000 : 400 = 150
126 800 : 200 = 634
36 000 : 400 = 90
19 500 : 300 = 65
11 900 : 700 = 17
Divide por centenas
43
1 268 000 : 2000 = 634
360 000 : 4000 = 90
195 000 : 3000 = 65
119 000 : 7000 = 17
Divide por unidades de mil
(l) 120 000 : 8000 = 15
(j) 150 000 : 2000 = 75
(h) 31 500 : 500 = 63
114 = 120
20
= 200
=
30
44
=
8
(e) 7226 : 871 � 7200 :
500
900
400
170
(c) 9125 : 345 � 9000 : 300
20
30
8000
7000
100
(a) 6452 : 27 � 6000 :
(7) Estima los cocientes.
90
80
70
200
60
300
900
700
4000
=
200
=
50
=
50
200
40
Capítulo 2: Operaciones
100
(f ) 5299 : 49 � 5000 :
(d) 9825 : 206 � 10 000 :
(b) 7865 : 41 � 8000 :
1000
10
5000
600
5000
00
800
Colorea los números del cuadro que coinciden con las respuestas que diste arriba y descubre el número escondido.
30
(e) 64 000 :
= 160
= 30
300
(f ) 85 000 : 5000 = 17
(d) 2400 :
(b) 9000 :
400
(c) 49 000 : 7000 = 7
= 43
10
(a) 430 :
(6) Completa los espacios en blanco.
60
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Curso:
Fecha:
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
28 − 9 = 19 19 + 3 = 22
12 + 16 = 28
Paso 2:
Paso 1:
34 − 19 = 15
26 + 8 = 34
15
Paso 3:
Paso 2:
46 − 6 = 40
35 + 11 = 46
Paso 1: 58 − 23 = 35
(d) 58 23 11 6 = 40
(b) 26 8 19 =
Capítulo 2: Operaciones
45
−+−
+−+
(e) 23 16 7 12 = 44 (f ) 15 12 17 6 = 14
−−
−+
+−
++
(d) 70 15 49 = 6
(c) 26 12 7 = 21
(b) 60 18 7 = 71
(a) 12 14 9 = 35
Orden
(2) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de operaciones.
(c) 12 16 9 3 = 22
7−4=3
18 − 11 = 7
Paso 2:
Paso 1:
3
(a) 18 11 4 =
(1) Encuentra los resultados de estos ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus resultados.
Práctica 4 Orden de las operaciones
Nombre:
115
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20 × 3 = 60
60 : 5 = 12
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1: 200 : 10 = 20
12
Paso 2:
Paso 1: 75 : 5 = 15
25 × 3 = 75
15
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
5 × 2 = 10
50 : 10 = 5
250 : 5 = 50
(d) 250 : 5 : 10 2 =
(b) 25 3 : 5 =
10
:× :: :×: ::×
(c) 28 : 7 4 = 16
(d) 40 : 8 : 5 = 1
(e) 20 : 10 8 : 2 = 8
(f ) 120 : 12 : 2 16 = 80
Capítulo 2: Operaciones
×:
(b) 6 10 : 5 = 12
46
××
(a) 30 2 5 = 300
Orden
(4) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de las operaciones.
(c) 200 : 10 3 : 5 =
54 : 2 = 27
Paso 2:
9 × 6 = 54
27
Paso 1:
(a) 9 6 : 2 =
(3) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus resultados.
Paso 2:
Paso 1:
Paso 2:
10 + 5 = 15
Paso 1: 200 : 20 = 10
15
56 − 6 = 50
7 × 8 = 56
(c) 200 : 20 5 =
(a) 7 8 6 = 50
Paso 2:
Paso 1:
Paso 2:
Paso 1:
80 − 4 = 76
16 : 4 = 4
76
14 + 63 = 77
9 × 7 = 63
(d) 80 16 : 4 =
(b) 14 9 7 = 77
Capítulo 2: Operaciones
(f ) 7 80 160 = 400
(e) 240 : 20 15 = 27
(d) 5 90 7 = 635
(c) 83 72 : 6 = 71
(b) 90 16 : 8 = 92
(a) 25 5 3 = 10
×−
:+
×+
:−
:+
×:
47
Orden
(6) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de operaciones.
(5) Resuelve estos ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus resultados.
116
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Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
Paso 3:
36 : 6 = 6
25 : 5 = 5
6−5=1
1
40 − 6 = 34
10 × 3 = 30
64
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
100 − 4 = 96
36 : 9 = 4
25 × 4 = 100
96
Paso 3: 34 + 30 = 64
Paso 2:
Paso 1:
(d) 25 4 36 : 9 =
(b) 40 6 10 3 =
×:−+ :×+ ×−+ :−+
(c) 13 6 2 12 : 4 = 4
(d) 27 : 3 40 6 = 249
(e) 64 60 12 3 = 40
(f ) 42 : 7 2 7 = 11
Capítulo 2: Operaciones
×−+
(b) 20 5 2 6 = 16
48
:×+
(a) 60 : 3 14 2 = 48
Orden
(8) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de operaciones.
(c) 36 : 6 25 : 5 =
9 + 80 = 89
20 × 4 = 80
Paso 2:
89
54 : 6 = 9
Paso 1:
(a) 54 : 6 20 4 =
(7) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora para comprobar tus resultados.
Paso 2:
Paso 1:
Paso 2:
Paso 1: 63 − 63 = 0
9 × 7 = 63
0
4 × 9 = 36
15 − 11 = 4
(c) 63 (9 7) =
(a) (15 11) 9 = 36
Paso 2:
Paso 1:
Paso 2:
Paso 1:
1
32 : 16 = 2
14 + 2 = 16
2
16 : 16 = 1
11 + 5 = 16
(d) 32 : (14 2) =
(b) (11 5) : 16 =
88
Capítulo 2: Operaciones
(f ) 70 : (16 9) = 10
(e) (62 10) : 6 = 12
(d) 36 15 2 = 6
(c) (36 15) 2 = 42
(b) 40 : 5 11 =
(a) 3 (72 : 8) = 27
49
(−) :
(+) :
(×) −
(−) ×
(:) ×
(:) ×
Orden
(10) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de operaciones.
(9) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora científica para comprobar tus resultados.
117
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Paso 4:
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
Paso 3:
Paso 2:
7+1=8
32 : 8 = 4
4 × 9 = 36
36 − 5 = 31
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
7 + 40 = 47
4 × 10 = 40
8−4=4
Paso 4:
Paso 3:
Paso 2:
Paso 1:
59 − 6 = 53
2×3=6
10 : 5 = 2
47 + 12 = 59
(d) (47 12) 10 : 5 3 = 53
(b) 7 (8 4) 10 = 47
Capítulo 2: Operaciones
(+) : × −
(f ) 21 : (2 5) 12 8 = 28
50
(−) × −
(e) 7 6 (18 6) = 30
(+) : × −
(c) 60 : (5 7) 20 30 = 70 (+) : +
(−) × −
(b) 24 5 (125 80) = 75
(d) 11 (34 16) : 5 = 21
(+) : +
(a) 100 (720 200) : 2 = 560
Orden
(12) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe el orden de operaciones.
(c) 32 : (7 1) 9 5 =
21 + 6 = 27
18 : 3 = 6
31
12 + 6 = 18
Paso 1:
(a) 21 (12 6) : 3 =
27
(11) Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe cada paso. Luego, usa tu calculadora comprobar tus resultados.
Curso:
Fecha:
(e) 125 8 = Una secuencia podría ser 125 × 2 = 250 250 × 2 = 500 500 × 2 = 1000
(d) 32 8 = Una secuencia podría ser 32 × 2 = 64 64 × 2 = 128 128 × 2 = 256
(c) 690 5 = Una secuencia podría ser 5 × 700 = 3500 3500 – 50 = 3450
(b) 9 990 = Una secuencia podría ser 9 × 1000 = 9000 9000 – 90 = 8910
51
(a) 25 6 2 5 2 = Una secuencia podría ser 25 × 2 × 2 = 100 100 × 6 = 600 600 × 5 = 3000
Ejemplo: 9 2 3 50 = 2 × 50 = 100 100 × 9 = 900 900 × 3 = 2700
Capítulo 2: Operaciones
(1) Realiza los siguientes cálculos en forma mental. Luego, explica la secuencia de cálculos que realizaste.
Práctica 5 Cálculo mental
Nombre:
118
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Curso:
12 × 4380 kg = 52 560 kg La carga de los 12 camiones pesa 52 560 kg.
146 × 30 kg = 4380 kg Cada camión es cargado con 4380 kg.
Un camión tiene capacidad para 146 cajas de fruta. Cada caja pesa 30 kg. ¿Cuánto pesa la carga de 12 camiones?
Fecha:
52
$5760 – $4500 = $1260 ó $320 – $250 = $70 18 × $70 = $1260 Le faltan $1260.
(b) 18 × $320 = $5760
(a) 4500 : 250 = 18 Hay 18 niños.
Capítulo 2: Operaciones
(b) Si quiere darle $320 a cada niño, ¿cuánto dinero le falta?
(2) Luis tiene $4500. Él quiere repartir todo ese dinero entre algunos niños. (a) Si cada niño recibe $250, ¿cuántos niños hay?
(1)
Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo de tu trabajo.
Práctica 6 Problemas (1)
Nombre:
= 18 x $700 = $12 600
Costo por niños = $13 000 + $12 600 = $25 600
936 : 9 = 104 cm2
: 36 × 26 = 936 cm2
Capítulo 2: Operaciones
El área de cada pedazo de la tabla es de 104 cm².
Área
Largo : 26 + 10 = 36 cm
53
(4) El largo de una tabla rectangular es 10 cm más largo que su ancho. Su ancho es de 26 cm. La tabla fue cortada en 9 pedazos iguales. ¿Cuál es el área de cada pedazo de la tabla?
Costo total por adultos y niños
= 10 x $1300 = $13 000
Costo por adultos
(3) Un grupo de turistas visitó el Zoológico. Las entradas costaban $1300 por adulto y $700 por niño. Hay 10 adultos y 18 niños en el grupo. ¿Cuánto pagaron en total?
119
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486 : 18 = 27 Hay 27 filas de sillas amarillas.
918 – 432 = 486 Hay 486 sillas amarillas.
36 × 12 = 432 Hay 432 sillas azules.
ordenadas en filas de 18 sillas. ¿Cuántas filas de sillas amarillas hay?
En un auditorio hay 918 sillas amarillas y azules. Las sillas azules están ordenadas en 36 filas de 12 sillas cada una. Las sillas amarillas están
78 min por día
Sábado y domingo
→ 56 min → 4 × 56 min = 224 min → 78 min → 2 × 78 min = 156 min
54
224 min + 156 min = 380 min Entrena 380 min en una semana.
1 día de semana 4 días de semana 1 día de fin de semana 1 fin de semana
Capítulo 2: Operaciones
Cantidad de días de semana entrenados = martes, miércoles, jueves, viernes = 4 días Cantidad de sábados y domingos entrenados = 2 días
56 min por día
Días de semana
(6) Esta tabla muestra el tiempo de entrenamiento de una persona que se está preparando para una competencia deportiva. Ésta entrena todos los días de martes a domingo. ¿Cuánto tiempo entrena la persona en una semana?
(5)
(b) Cantidad total de horas = 3,5 h Costo de la primera hora = $200 Costo desde las 10 a.m. a las 12:30 p.m = $100 x 5 = $500 Costo total por estacionar = $200 + $500 = $700 Daniela tuvo que pagar $700.
(a) Cantidad total de horas = 1,5 h Costo de la primera hora = $200 Costo desde las 10:30 a.m. a las 11 a.m. = $100 Costo total por estacionar = $200 + $100 = $300 Karen tuvo que pagar $300.
55
(b) Daniela estacionó su auto desde las 9 a.m. hasta las 12:30 p.m. el mismo día. ¿Cuánto tuvo que pagar?
(a) Karen estacionó su auto desde las 9:30 a.m. hasta las 11 a.m. el mismo día. ¿Cuánto tuvo que pagar?
$100
Capítulo 2: Operaciones
$200
Primera hora
1 hora adicional 2
(7) Esta tabla muestra los precios de un estacionamiento de autos.
120
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Curso:
Fecha:
Hilda
Fabián
Pedro
56
Edad de Edad de su Total de las Laura hermana edades 10 7 17 10 + 5 = 15 7 + 5 = 12 27 (muy poco) 10 + 10 = 20 7 + 10 = 17 37 (muy poco) 10 + 15 = 25 7 + 15 = 22 47 (mucho) 10 + 12 = 22 7 + 12 = 19 41
Método 1
Capítulo 2: Operaciones
En 12 años más, sus edades sumarán 41 años.
41 – 17 = 24 24 : 2 = 12
Método 2 10 + 7 = 17 El total de sus edades ahora es 17 años.
(2) Laura tiene 10 años y su hermana tiene 7 años. ¿En cuánto tiempo más sus edades sumarán 41?
$120 − $22 = $98 Hilda tiene $98.
5 partes → $230 − $120 = $110 1 parte → $22
$230
$120
Hilda
(1) Hilda y Fabián tienen $120. Hilda y Pedro tienen $230. Pedro tiene 6 veces la cantidad de dinero que tiene Fabián. ¿Cuánto dinero tiene Hilda?
Resuelve los siguientes problemas. Muestra el desarrollo de tu trabajo.
Práctica 7 Problemas (2)
Nombre:
$180
$40 + $30 = $70 El precio de 1 chicle y 1 caramelo es $70.
$100 – $40 = $60 $60 : 2 = $30 Un caramelo cuesta $30.
$180 – $100 = $80 $80 : 2 = $40 Un chicle cuesta $40.
Cada una tenía 24 láminas al principio.
3 partes → 18 láminas 1 parte → 18 : 3 = 6 láminas 4 partes → 4 × 6 = 24 láminas
Mabel
Sandra
Sandra Mabel
Después
Antes
57
18 láminas vendidas
(4) Sandra y Mabel tenían la misma cantidad de láminas. Después que Sandra vendió 18 de sus láminas, Mabel tiene 4 veces la cantidad de láminas que tiene Sandra. ¿Cuántas láminas tenía cada una al principio?
Capítulo 2: Operaciones
3 chicles
s elo m le ra ca chic 2 1 $100
(3) Un chicle y 2 caramelos cuestan $100. 3 chicles y 2 caramelos cuestan $180. Calcula el precio de 1 chicle y 1 caramelo.
121
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28-12-12 10:41
58
(6)
(5)
2125 g
canasto 40 dulces
Gabriela tiene que pagar $5100 en total.
Precio del jugo de grosellas = 12 750 : 250 × $100 = $5100
3
Cantidad total de jugo = 850 cm × 15 = 12 750 cm3
Capítulo 2: Operaciones
Una caja contiene 850 cm³ de jugo de frutilla. Gabriela quiere comprar 15 de estas cajas. Si 250 cm³ de jugo cuestan $100, ¿cuánto tiene que pagar en total?
El peso del canasto es de 405 g.
Peso del canasto = 2125 – 40 x 43 = 405 g
Peso de cada dulce = (3200 – 2125) : 25 = 43 g
Diferencia en cantidad de dulces = 65 – 40 = 25
3200 g
canasto 65 dulces
Un canasto con 65 dulces pesa 3200 g. El mismo canasto con 40 dulces pesa 2125 g. Si todos los dulces pesan lo mismo, ¿cuánto pesa el canasto?
Curso:
Fecha:
Las respuestas varían
6 + 4 × 2 = 6 + 8 = 14
En una frase numérica con operaciones de + y de x, la x se hace antes que la suma. Al trabajar de izquierda a derecha, él debiera hacer la multiplicación antes que la suma. Por lo tanto, la solución correcta sería:
¿Lo hizo correctamente? Explica porqué.
Capítulo 2: Operaciones
6 + 4 x 2 = 10 x 2 = 20
(2) A María le pidieron resolver 6 + 4 x 2. Ella lo resolvió así:
59
(1) Explica cómo te sientes usando calculadora en tus clases de Matemáticas.
Diario matemático
Nombre:
122
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Desafío
Curso:
Fecha:
60
Tenían que pintar 4680 huevos de Pascua en total.
Cada niño tenía que pintar: 39 × 3 = 117 Total de huevos: 117 × 40 = 4680
Capítulo 2: Operaciones
(2) 40 niños tenían que pintar huevos de Pascua. Uno de ellos se enfermó y los demás tuvieron que pintar 3 huevos más cada uno. ¿Cuántos huevos de Pascua tenían que pintar entre todos?
La menor cantidad que Clemente podría haber gastado es $475.
37 : 8 = 4 con resto 5 4 × $100 = $400 5 × $15 = $75 $400 + $75 = $475
(1) Un dulce cuesta $15 y un paquete de 8 dulces del mismo tipo cuesta $100. Clemente compró 37 dulces. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que Clemente podría haber gastado en los dulces?
Nombre:
(26 × 3000 cm) + (27 × 10 cm) = 78 270 cm El largo total del camino es 78 270 cm, es decir, 782,7 metros.
entre postes es de 30 m. Calcula el largo del camino.
Don Andrés instala postes a la misma distancia entre ellos, a lo largo de un camino. Puso 27 postes. El ancho de cada poste es de 10 cm. La distancia
$1000 $950
20 19
44 45
Cantidad de monedas de $10
$440 $450
valor
Capítulo 2: Operaciones
64 – 19 = 45 monedas de $10
760 : 40 = 19 monedas de $50
$1400 – $640 = $760
64 x $10=$640
o
Valor total $1440 $1400
Había 19 monedas de $50 y 45 monedas de $10.
Valor
Cantidad de monedas de $50
No Sí
61
¿El valor total es igual a $1400?
(4) Cristián tenía 64 monedas en su alcancía. Tenía monedas de $10 y monedas de $50. El valor total en monedas era de $1400. ¿Cuántas monedas de $10 y de $50 había en la alcancía?
(3)
123
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Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
20
268 Daniela y José tienen 124 dulces en total.
268 + 20 = 288 dulces 4 partes → 288 dulces 1 parte → 72 dulces (72 × 2) − 20 = 124 dulces
62
Sergio
Raúl Rachel
Capítulo 2: Operaciones
Cada uno tenía 28 bolitas al principio.
6 × 3 + 10 = 28 ó 22 + 6 = 28 bolitas
22 – 10 = 12 2 partes → 12 bolitas 1 parte → 6 bolitas
(2) Sergio y Raúl tenían la misma cantidad de bolitas. Después que Raúl regaló 10 bolitas y Sergio regaló 22 bolitas, Raúl quedó con 3 veces la cantidad de bolitas con que quedó Sergio. ¿Cuántas bolitas tenía cada una de ellos al principio?
Florencia
José
Daniela
(1) Daniela, José y Florencia tienen 268 dulces. José tiene 20 más que Daniela. Florencia tiene el doble que José. ¿Cuántos dulces tienen Daniela y José juntos?
Nombre:
20 15 12
Cantidad de lápices de color 30 30 30
Total
Capítulo 2: Operaciones
63
10 × 2 + 20 = 40 ✗ 15 × 2 + 15 = 45 ✗ 18 × 2 + 12 = 48 ✓
Si un lápiz negro es cambiado por 2 lápices de color, ¿el total es 48?
Germán tenía 18 lápices negros y 12 lápices de color.
10 15 18
Cantidad de lápices negros
(3) Germán tenía un total de 30 lápices, entre lápices negros y de color. Luego, decidió cambiar todos sus lápices negros por lápices de color. Si hubiera cambiado cada lápiz negro por 2 lápices de color, él tendría 48 lápices de color. ¿Cuántos lápices tenía al principio?
124
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3
5
64
(e) 78 535 000 Setenta y ocho millones quinientos treinta y cinco mil (f) 501 501 100 Quinientos un millones quinientos un mil cien
Repaso 1
(e) Veinticuatro millones trescientos mil nueve 24 300 009 (f) Doscientos millones mil diez 200 001 010 (2) Escribe en palabras los siguientes números. (a) 120 450 Ciento veinte mil cuatrocientos cincuenta (b) 500 312 Quinientos mil trescientos doce (c) 1 050 400 Un millón cincuenta mil cuatrocientos (d) 5 732 800 Cinco millones setecientos treinta y dos mil ochocientos
6 1 000 000
900
4
0
5
(d)
= 128 000
531
128 531 = 100 000 20 000 8000 500 30 1 128 000 500 31 =
100 000 000 5 000 000 (e) 105 631 000 = __________ + __________ + 600 000 + 30 000 + 1 000 65 Repaso 1
Completa los espacios en blanco. 900 000 (a) 918 230 = 10 000 8000 200 30 30 000 (b) 538 417 = 500 000 8000 400 10 7
(7)
(c) 6 000 000 30 000 90 = 6 030 090
(e) En 145 358 222, el dígito 4 está en la posición de
las decenas de millón .
está en la posición de las unidades de millón. (c) En 305 128, el dígito 0 está en la posición de las decenas de mil . . (d) En 7 614 892, el dígito 6 está en la posición de las centenas de mil
(b) En 5 486 302, el dígito
(6) Completa los espacios en blanco. (a) En 807 456, el dígito 7 está en la posición de las unidades de mil.
300 000
Las respuestas varían
(5) ¿Qué valor tiene el dígito 3 en los números de abajo? 30 000 (a) 538 426 (b) 1 325 407
(d) el dígito 1 representa
(c) el dígito 9 representa
(b) el dígito 6 representa
(a) el dígito 8 representa
8000
Doscientos diez mil quinientos cuarenta
5
2 400 720
(d) Dos millones cuatrocientos mil setecientos veinte
0
5 080 005
(c) Cinco millones ochenta mil cinco
1
(b) Escríbelo en palabras.
(4) En 1 238 906:
2
(3) (a) Escribe un número de 6 cifras con el dígito 1 en el lugar de las decenas de mil.
560 000
(b) Quinientos sesenta mil
1 6
Fecha:
100 070
Repaso 1
Curso:
(1) Escribe en cifras los siguientes números. (a) Cien mil setenta
Nombre:
125
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mayor que
menor que
mayor que 231 621.
900 650.
995 863.
mayor que (e) 105 623 150 __________________ 10 562 315
(d) 231 623 es
(c) 899 506 es
(b) 5 060 345 es
286 300 es 10 000 más que 276 300. 286 300 es 10 000 menos que 296 300. 10 000 más que 296 300 es 306 300 . El número que siguen en la secuencia es 306 300 .
(a) (b) (c) (d)
7512 3281 8000 + 3000 = 11 000 6528 5938 7000 – 6000 = 1000 2000 × 5 = 10 000 1592 5 2576 : 3 2700 : 3 = 900 Las respuestas varían
66
Repaso 1
(12) Un número de 4 cifras que es redondeado a la unidad de mil más cercana es 5000. 4500 (a) ¿Cuál es el menor número posible? 5499 (b) ¿Cuál es el mayor número posible?
(11) Estima el resultado de los siguientes ejercicios:
(10) ¿Qué número sigue en la secuencia? Completa los espacios en blanco. 276 300, 286 300, 296 300, ...
(9) Ordena estos número empezando por el mayor. 528 010 1 280 500 62 815 258 100 528 100 52 801 000 52 801 000 , 1 280 500 , 528 100 , 528 010 , 258 100 , 62 815
(8) Completa los espacios en blanco con mayor que o menor que. mayor que (a) 185 263 es 183 256.
6
(g) Un número donde el 1 representa 100 000 y el dígito 9 está en la posición de las unidades Las respuestas varían
(k) El número menor posible:
(l) La diferencia entre el número mayor y el menor posible es: 860 841
Repaso 1
(j) El número mayor posible:
104 569
965 410
y el 6 representa 600 000: Las respuestas varían
67
(i) Un número en que el dígito 4 está en la posición de las decenas de mil
Las respuestas varían
(f ) Un número que termine con el dígito menor Las respuestas varían
(h) Un número mayor a 496 501:
(e) Un número con el dígito 6 en la posición de las decenas y el 5 en la posición de las unidades: Las respuestas varían
(d) Un número que empieza con el dígito mayor: Las respuestas varían
(c) Un número con el dígito 0 en el lugar de las unidades de mil: Las respuestas varían
9
4
(b) Un número par: Las respuestas varían
1
0
(a) Un número impar: Las respuestas varían
5
(13) Forma un número de 6 cifras usando todas las tarjetas. No empieces con el dígito 0.
126
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Resuelve estos ejercicios. Recuerda poner las unidades de medida
(d) Un queque pesa 2 kg. Este queque es cortado en 25 trozos iguales. ¿Cuánto pesa cada trozo? Escribe el peso en gramos.
68
80 g
Repaso 1
Las respuestas varían. Acepte cualquier número entre 3001 y 3100, por ejemplo 3050.
2000 : 25 = 80 g
(e) ¿Qué número se le puede restar a 5400, para que el resultado tenga el dígito 2 en la posición de las unidades de mil y el dígito 3 en la posición de las centenas?
157
176 – 19 = 157
$6504
(c) En el estanque A hay 176 de gasolina. En el estanque B hay 19 menos de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina hay en el estanque B?
$5651 + $853 = $6504
9216 cm2
96 × 96 = 9216 cm2
(b) Jaime tiene $5651. Mauricio tiene $853 más que Jaime. ¿Cuánto tiene Mauricio?
(a) Calcula el área de un cuadrado de lado 96 cm.
correspondientes en cada ejercicio. Usa la calculadora si la necesitas.
(14)
5062
12 600
10
100
240
= 36
19
= 915
356
15
(k) 96 000 : 400 =
(i) 3600 :
(g) 1900 : 100 =
(e) 900 : 60 =
(c) 9150 :
(a) 3560 : 10 =
Repaso 1
1000
× 10 = 10 000
25 000
45 17
(l) 504 000 : 9000 =
56
40 000 : 1000 = 40
(h) 17 000 : 1000 = (j)
8100 20 500 : 10 = 2050 (f ) 3150 : 70 =
(d)
(b) 81 000 : 10 =
(l) 1145 × 600 = 687 000
(j) 63 × 2000 = 126 000
69
1000 = 9 236 000
(f ) 25 × 1000 =
(d) 3050 × 70 = 213 500
(b)
× 100 = 506 200 (h) 9236 ×
2500
7350
3150
(k) 906 × 7000 = 6 342 000
(i) 63 × 200 =
(g)
(e) 25 × 100 =
(c) 147 × 50 =
(a) 315 × 10 =
(16) Completa los espacios en blanco.
(15) Completa los espacios en blanco.
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(c) 7623 : 4451 8000 : 4000 = 2
(d) 4593 : 73 4200 : 70 = 60
Las respuestas varían.
70
(j) 69 : 3 3 10 = 30
(i) 50 8 12 : 4 = 403
(h) (90 85) 7 = 35
(g) (23 40) : (34 25) = 7
(f) 29 42 : 6 = 36
(e ) 10 9 : 3 = 30
(d) 3 8 5 = 120
(c) 50 30 12 = 8
(b) 60 12 36 = 36
(a) 15 90 42 = 147
(18) Calcula el resultado de los siguientes ejercicios:
(b) 6298 : 164 6000 : 200 = 30
(17) Estima el resultado de los siguientes ejercicios: (a) 4593 : 53 4500 : 50 = 90
Repaso 1
66
?
Repaso 1
5 × 3 = 15 m (5 cortinas) 15 + 2 = 17 m (5 cortinas + 1 funda de cojín) 20 – 17 = 3 m (resto del género) Le sobró 3 m de género.
71
(20) Teresa tenía 20 m de género. Hizo 5 cortinas iguales de 3 m cada una. Luego, usó 2 m de género para hacer una funda de cojín. ¿Cuánto género le sobró?
3 partes → 66 galletas 1 parte → 66 : 3 = 22 galletas 8 partes → 8 × 22 = 176 galletas Él tenía 176 galletas al principio.
Galletas de nuez
Galletas de chocolate
Después
Galletas de nuez
Galletas de chocolate
(19) Antonio tenía la misma cantidad de galletas de chocolate y galletas de nuez. Vendió 66 galletas de chocolate. La cantidad de galletas de nuez es ahora igual a 4 veces la cantidad de galletas de chocolate que le quedó. ¿Cuántas galletas tenía al principio? Antes
Resuelve los siguientes problemas. Escríbe tu procedimiento claramente.
128
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19 cm
72
Perímetro del rectángulo: 12 + 15 + 12 + 15 = 54 cm Perímetro del cuadrado: 4 × 19 = 76 cm 220 – 54 – 76 = 90 cm (6 lados de dos triángulos) 90 : 6 = 15 cm La longitud de cada lado del triángulo es 15 cm.
Repaso 1
La figura está compuesta por dos triángulos idénticos, un rectángulo de 15 cm por 12 cm y un cuadrado de lado 19 cm. ¿Cuál es la longitud del lado de los triángulos si todos su lados son iguales?
12 cm
15 cm
(22) Manuel usó 220 cm de alambre para hacer la siguiente figura.
25 = 25 000 ml 200 + 300 = 500 ml 25 000 : 500 = 50 50 × 2 = 100 vasos El curso vendió 100 vasos de jugo de naranja.
(21) En la fiesta del colegio el curso de la Profesora Díaz vendió 25 de jugo de naranja. El jugo se vendió en vasos de 200 ml y 300 ml. Se vendió la misma cantidad de vasos de 200 ml y 300 ml. ¿Cuántos vasos de jugo de naranja se vendieron?
7 6 5 4
8 9 10 11
puntaje
20 – 10 = 10 22 – 8 = 14
18 – 12 = 6
16 – 14 = 2
Repaso 1
Él contestó 11 preguntas correctamente.
incorrectas
correctas
73
(24) Ariel obtuvo un total de 14 puntos en una prueba de matemáticas de 15 preguntas. Por cada respuesta correcta Ariel obtuvo 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta perdió 2 puntos. ¿Cuántas preguntas contestó correctamente?
$2340 – $1300 = $1040 Miriam ganó $1040.
260 : 2 = 130 130 × $18 = $2340 Ella los vendió en $2340.
260 : 5 = 52 52 × $25 = $1300 Ella compró los caramelos en $1300.
(23) Miriam compró 260 caramelos en 5 por $25. Luego, los vendió en 2 por $18. ¿Cuánto dinero ganó?
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74
Julia ganó $43 200 en total por los dos días.
18 × 2 = 36 h 36 × $1200 = $43 200
Julia se demoró 18 horas en recolectar 144 kg de frutillas.
8 kg → 1 h 144 kg → 144 : 8 = 18 h
o (b) 2 × 144 kg = 288 kg 8 kg → 1 h 288 kg → 288 : 8 = 36 h 1 h → $1200 36 h → 36 × $1200 = $43 200
(a)
Repaso 1
(26) Julia recolecta 8 kg de frutillas en una hora. Ella recolectó 144 kg de frutillas. Le pagaron $1200 por cada hora. (a) ¿Cuánto se demoró en recolectar 144 kg de frutillas? (b) Si Julia recolectó la misma cantidad de frutillas el segundo día, ¿Cuánto ganó en total por los dos días?
Un tarro de pelets le duraría 15 días más
8 pelets → 1 día 280 pelets → 280 : 8 = 35 días 35 – 20 = 15
Total de pelets = 20 × 14 = 280
(25) Si Berta le diera 14 pelets de comida a su pez cada día, un tarro de comida le duraría 20 días. Si le diera 8 pelets al día, ¿cuántos días más le duraría el mismo tarro de comida?
En el colegio A hay 11 488 estudiantes. En el colegio B hay 160 estudiantes más. La cantidad de estudiantes en el colegio C es la mitad de la cantidad total de estudiantes de los colegios A y B. ¿Cuántos estudiantes hay en el colegio C?
Cantidad de agua = 1250 × 2 = 2500 ml Cantidad total de limonada = 1250 + 2500 = 3750 ml 3750 : 15 = 250 ml Cada vaso tenía 250 ml de jugo de limón.
limón echó en cada vaso? Expresa tu respuesta en ml.
75
Jaime mezcló 1250 ml de jugo de limón con el doble de agua para hacer limonada. Él echó la misma cantidad de jugo en 15 vasos. ¿Cuánto jugo de
Repaso 1
(28)
Cantidad de estudiantes en el colegio B = 11 488 + 160 = 11 648 Cantidad total de estudiantes en el colegio A y el colegio B = 11 648 + 11 488 = 23 136 23 136 : 2 = 11 568 Hay 11 568 estudiantes en el colegio C.
(27)
130
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2
Horas pedagógicas
• La primera actividad permite que los estudiantes apliquen lo que saben sobre las propiedades de cuadrados y rectángulos para construir todos los cuadrados y rectángulos posibles usando palitos de diversas longitudes. • La segunda actividad permite que los estudiantes usen un computador para crear diferentes figuras con un cuadrado y un rectángulo.
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • establecer que un cuadrado tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. • establecer que los lados opuestos de un cuadrado son paralelos. • establecer que los lados opuestos de un rectángulo son iguales y paralelos • establecer que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos • diferenciar un cuadrado de un rectángulo y viceversa • resolver problemas geométricos simples usando las propiedades del cuadrado y del rectángulo.
(1) Cuadrados y Rectángulos
Objetivos
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
• Libro del Alumno 5A, págs. 92 a 97 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 76 a 79 • Guía del Profesor 5A, págs. 132 a 137
Recursos
Identificar relaciones Visualización espacial
Habilidades
131
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1
2
Horas pedagógicas
Estas preguntas sugieren que los estudiantes representen la situación con material concreto y dibujen un digrama para responder a las preguntas.
¡Activa tu mente!
Los estudiantes serán capaces de: • descubrir ángulos y lados desconocidos en cuadrados y rectángulos.
(2) Más sobre cuadrados y rectángulos
Objetivos
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
• Libro del Alumno 5A, pág.102 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 86 a 87 • Guía del Profesor 5A, pág. 142
• Libro del Alumno 5A, págs. 98 a 101 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 80 a 83 • Guía del Profesor 5A, págs. 138 a 141
Recursos
Heurísticas para resolver problemas: Representar Dibujar un diagrama
Identificar relaciones
Identificar relaciones Visualización espacial
Habilidades
Capítulo tres
Cuadrados y rectángulos Objetivos: Cuadrados y rectángulos Los estudiantes serán capaces de: • establecer que un cuadrado tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos. • establecer que los lados opuestos de un cuadrado son paralelos.
• establecer que los lados opuestos de un rectángulo son iguales y paralelos. • establecer que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos • diferenciar un cuadrado de un rectángulo y viceversa. • resolver problemas geométricos simples usando las propiedades del cuadrado y del rectángulo.
Conceptos clave • Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales, dos pares de lados son paralelos y todos sus ángulos son rectos. • Un rectángulo es una figura de cuatro lados, sus lados opuestos son iguales y paralelos y todos sus ángulos son rectos.
Gestión de la clase 1
• Muestre un cuadrado de papel. Pregunte a los estudiantes cuántos lados tiene un cuadrado. Luego, que digan los nombres de los lados del cuadrado AB-BC-CDAD. A
B
D
C
Cuadrados y rectángulos Cuadrados y rectángulos 1 Este es un cuadrado.
• Para comprobar que los lados de un cuadrado son iguales, doble el cuadrado según AC. Pregunte qué pueden decir de los lados AB y AD; BC y CD. (AB = AD y BC = CD) • Luego, doble el cuadrado según BD y pregunte qué pueden decir de los lados AB y BC; AD y CD. (AB = BC, y AD = CD). • Según lo anterior, guíe a los estudiantes para que deduzcan que los cuatro lados de un cuadrado son iguales. • Pida a los estudiantes que usen escuadra o un transportador para verificar que los cuatro ángulos del cuadrado son rectos. • Pida a los estudiantes que usen una escuadra y una regla para verificar que los lados opuestos de un cuadrado son paralelos. • Dado que AD=BC, AB y DC están a una misma distancia, luego AB es paralelo a DC. Del mismo modo, AD y BC están a una misma distancia (AB=DC), luego AD es paralelo a BC.
¡Aprendamos!
15 cm
A a
B b
15 cm
15 cm d
D
c 15 cm
C
Un cuadrado es una fi gura de 4 lados. Tiene 4 lados iguales. AB = BC = CD = DA
Las marcas negras indican que la longitud de todos los lados es la misma.
Sus lados opuestos son paralelos. De modo que un cuadrado tiene 2 pares de lados paralelos. AB // DC y AD // BC
Las flechas indican que los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado tiene 4 ángulos rectos. a = b = c = d = 90º
92
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
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Habilidades
Materiales
• Identificar relaciones. • Visualización espacial.
• Trozos de papel cuadrado y rectangular (ver Apéndices 4 y 5, págs. 337 a 338) • Transportador • Escuadra • Regla
Gestión de la clase 2
• Muestre un papel rectangular. Pregunte a los estudiantes cuántos lados tiene un rectángulo. Luego pida que nombren los lados EF-FG-HG-EH.
2 Este es un rectángulo.
30 cm
E e
12 cm h
g 30 cm
Un rectángulo es una figura de 4 lados.
Sus lados opuestos son iguales. EF = HG EH = FG
Sus lados opuestos son paralelos. De modo que un rectángulo tiene 2 pares de lados paralelos. EF // HG y EH // FG
G
Las marcas negras indican que los lados opuestos tienen igual longitud.
Las flechas indican que los lados opuestos son paralelos
Un rectángulo tiene 4 ángulos rectos. e = f = g = h = 90º
Matemática Pida a su hijo(a) que busque en la casa cinco cosas que tengan forma cuadrada y cinco que tengan en la casa forma rectangular.
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
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F
H
G
F f
12 cm
H
E
93
• Para comprobar que los lados opuestos de un rectángulo son iguales, doble el rectángulo por los puntos medios de EH y FG. Pregunte a los estudiantes qué pueden decir de los lados EF y HG (EF = HG). • Luego, doble el rectángulo por los puntos medios de EF y HG. Pregunte a los estudiantes qué pueden decir de los lados EH y FG (EH=FG). • Pida que usen una escuadra o un transportador para verificar que todos los ángulos de un rectángulo son rectos. • Pida que usen una regla y una escuadra para verificar que los lados opuestos del rectángulo son paralelos. • Asimismo, ya que EH=FG, EF y HG están a una misma distancia, luego EF es paralelo a HG. Del mismo modo, EH y FG se encuentran a una misma distancia (EF=HG), entonces EH es paralelo a FG.
133
28-12-12 10:43
Gestión de la clase y 4 • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. • Use este ejercicio para evaluar informalmente si los estudiantes son capaces de distinguir las propiedades del cuadrado y del rectángulo para determinar si una forma dada es un cuadrado o un rectángulo. 3
3 Estas son figuras dibujadas en papel cuadriculado.
X
Y
Z
Observa las figuras. Completa la tabla con las propiedades de cada figura. Figura
Propiedad
X
Y
Z
Tiene cuatro lados Todos los lados son iguales Los lados opuestos son iguales Un solo par de lados paralelos Dos pares de lados paralelos Todos los ángulos son rectos
La figura Z es un cuadrado.
La figura Y es un rectángulo.
La figura X no es ni cuadrado ni rectángulo.
4 ¿Qué figura es un cuadrado? ¿Cómo caracterizas un cuadrado?
A
B
C
D
B. Un cuadrado tiene cuatro lados iguales, dos pares de lados paralelos y todos sus ángulos son rectos. 94
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
134
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Materiales • • • • •
Escuadra Regla Geoplano Elásticos Papel punteado o cuadrículado
Gestión de la clase 5
5 ¿Qué figura es un rectángulo? ¿Cómo caracterizas un rectángulo?
A
C
B
• Pida que trabajen en parejas. • Use este ejercicio para evaluar informalmente si los estudiantes son capaces de distinguir las propiedades del cuadrado y del rectángulo para determinar si una figura es un cuadrado o un rectángulo.
D
C. Un rectángulo tiene cuatro lados, sus lados opuestos son iguales y paralelos y todos sus ángulos son rectos. 6
Realiza esta actividad.
Puedes copiar las figuras en papel cuadriculado punteado. Luego usa una escuadra y una regla para ayudarte a identificar las figuras.
Usa un geoplano y un elástico para formar estas figuras. ¿Cuáles son cuadrados? b, f ¿Cuáles son rectángulos? a, d
a
b
c
d
e
f
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
6
95
• Use este ejercicio para profundizar la comprensión conceptual que tienen los estudiantes sobre cuadrados y rectángulos. • Los estudiantes deberán dar razones por las que una determinada figura es o no un cuadrado o un rectángulo. Pueden usar los siguientes criterios: Tienen 4 lados. Todos los ángulos son rectos. Los lados opuestos son iguales. Los lados opuestos son paralelos. Todos los ángulos son iguales, etc. • Los estudiantes pueden usar una regla y una escuadra para verificar sus respuestas.
135
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Nota La actividad 8 es una extensión del actual tema en estudio. Pretende que los estudiantes creen figuras formadas por cuadrados y rectángulos.
Gestión de la clase 7
• Use este ejercicio para evaluar informalmente si los estudiantes las propiedades relativas a los lados de un cuadrado y de un rectángulo. • Para resolver los problemas los estudiantes trabajan en parejas. • a Los alumnos deben aplicar las propiedades de un cuadrado para encontrar las medidas de JK y LM, y luego revisar con su compañero las respuestas. • b Los estudiantes deben aplicar las propiedades de un rectángulo para encontrar las medidas de QR y RS, y luego revisar con su compañero las respuestas.
7
Encuentra las longitudes de los lados desconocidos. a
La figura JKLM es un cuadrado. b La figura PQRS es un rectángulo. J
? K 14 cm
M
? L
P
10 cm Q ?
5 cm S
R ?
JK = 14 cm
QR = 5 cm
LM = 14 cm
RS = 10 cm
Realiza esta actividad.
8 a
Usa un geoplano y dos elásticos para formar esta figura, compuesta por un cuadrado y un rectángulo.
b
Forma en el geoplano:
i una figura compuesta por 2 rectángulos.
ii una figura compuesta por 1 rectángulo y 2 cuadrados.
iii una figura compuesta por 1 cuadrado y 2 rectángulos.
iv una figura compuesta por 4 cuadrados.
v una figura compuesta por 4 rectángulos.
8
• Use esta actividad para consolidar la comprensión que los estudiantes tienen de las propiedades de cuadrados y rectángulos.
96
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
136
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Objetivos de la actividad
Uso de tecnología
• La primera actividad de “¡Exploremos!” consiste en que los estudiantes se basen en lo que saben de las propiedades de cuadrados y rectángulos para construir todos los cuadrados y rectángulos posibles usando palitos de diversas longitudes. • La segunda actividad consiste en que los estudiantes usen un computador para crear distintas figuras con un cuadrado y un rectángulo.
• Usar una herramienta computacional de dibujo para crear figuras compuestas de un cuadrado y un rectángulo.
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 76 a 79.
Materiales • Computador para cada pareja de estudiantes. • Palitos de diversa longitud como se indica en el Libro del Alumno.
Gestión de la clase 9
9
A
D
Encuentra los lados desconocidos de estos cuadrados y rectángulos. 5 cm B
N
F E
I
15 cm
7 cm G
C
AD = 5 cm DC = 5 cm BC = 5 cm
J
H
M 12 cm O L
EF = 7 cm EH = 7 cm HG = 7 cm
13 cm
K 4 cm
IJ = 4 cm JK = 12 cm
P
NO = 13 cm PO = 15 cm
¡Exploremos! 1 Trabaja en pareja. Tu profesor o profesora les entregará palitos de las siguientes longitudes: 4 palitos de 4 cm, 4 palitos de 6 cm y 2 palitos de 8 cm. 1
Con los palitos formen dos cuadrados y dos rectángulos. Solo pueden usar uno o dos palitos para formar cada lado de la fi gura.
2
Dibujen las fi guras en un papel y pónganles nombres a los lados.
3
Comparen sus fi guras con las que hicieron otros grupos.
! talo tén ¡In
2
Usa un programa del computador con el que puedas dibujar para hacer estas fi guras.
b
• La primera actividad consiste en que los estudiantes apliquen lo que saben de las propiedades de cuadrados y rectángulos para construir todos los cuadrados y rectángulos posibles usando palitos de longitudes determinadas. • La segunda actividad consiste en que los estudiantes usen una herramienta computacional para crear figuras compuestas por un cuadrado y un rectángulo.
c
Cuaderno de Trabajo 5A, p 76, Práctica 1
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
1
2
Cada fi gura está formada por un cuadrado y un rectángulo. a
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para evaluar la forma en que entienden las propiedades que relacionan los lados de un cuadrado y las que relacionan los lados de un rectángulo. • Los estudiantes deben aplicar las propiedades de cuadrados y rectángulos para encontrar los valores desconocidos, y luego revisar las respuestas con su compañero. (¡Exploremos!)
97
137
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Objetivos: Más sobre cuadrados y rectángulos Los estudiantes serán capaces de: • descubrir ángulos y lados desconocidos en cuadrados y rectángulos.
Concepto clave • Las propiedades de los cuadrados (todos los lados son iguales y cada ángulo mide 90°) y de los rectángulos (los lados opuestos son iguales y cada ángulo mide 90°).
Gestión de la clase 1
• Pida a los estudiantes que recuerden las propiedades del cuadrado y del rectángulo. • Use este ejemplo para mostrar la forma de encontrar el ángulo desconocido de la figura. • Para explicar la solución, dibuje el modelo para la sustracción: 90° a
¡Aprendamos!
Más sobre cuadrados y rectángulos 1
Un cuadrado, y un rectángulo tienen 4 ángulos rectos.
30º
30°
Del modelo se concluye que: a = 90° − 30° = 60°
a
2
Busca el valor del a.
Calcula el valor de los ángulos desconocidos marcados en los cuadrados y rectángulos que se muestran abajo. a
2
a = 90º – 30º = 60º
b
• Pida a los estudiantes que dibujen modelos como en el ejemplo 1 para cada ejercicio y que después las respondan.
65º
b
45º a
c
a = 45 º
b = 25 º
d
c
d
52º
40º
98
c = 38 º
d = 50 º
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
138
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Habilidades
Materiales
• Identificar relaciones. • Visualización espacial.
• Hojas con las figuras ABCDEF y GHIJKL (ver Apéndices 6 y 7, págs. 339 y 340). • Tiras de papel de color.
Gestión de la clase 3
3
• Use este ejemplo para mostrar cómo encontrar en una figura compuesta de dos rectángulos, una longitud desconocida. • Explique a los alumnos que, puesto que los lados opuestos de un rectángulo son iguales, BC + DE = AF. Para los estudiantes que no lo entiendan, ponga una tira de papel coloreado sobre la línea BC y otra sobre la línea DE. Luego lleve las tiras coloreadas a la línea AF para mostrar a los estudiantes que BC + DE = AF. • Explique que, ya que DE = 6 cm y AF = 10 cm, BC + 6 cm = 10 cm y, por ende, BC = 10 cm − 6 cm = 4 cm. • Diga a los estudiantes que este método usa la relación inversa que existe entre adición y sustracción. Es decir, si 4 + 6 = 10, luego, 10 − 6 = 4 ó 4=10–6. • Una manera alternativa para explicar la solución es dibujar el modelo de sustracción. 10 cm
La figura ABCDEF está compuesta por dos rectángulos. Calcula la longitud de BC. A
B ? C
10 cm
Los lados opuestos de un rectángulo son iguales.
D 6 cm
F
4
E
BC = 10 cm – 6 cm = 4 cm
La figura GHIJKJL está compuesta por un cuadrado y un rectángulo. Calcula la longitud de IJ.
G
5 cm
H
?
I
L
J
12 cm
Todos los lados de un cuadrado son iguales.
K
IJ = 12 cm – 5 cm = 7 cm
BC
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
99
6 cm
Del modelo se concluye que: BC = 10 cm – 6 cm = 4 cm. 4
• Muestre este ejemplo de la misma forma que en 3 .
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139
28-12-12 10:43
Gestión de la clase y 6 • Los estudiantes trabajan en parejas. Guíelos para que reconozcan que las figuras están compuestas por cuadrados y/o rectángulos. Pida que apliquen la misma estrategia de 3 y de 4 para resolver los problemas. 5
5
Calcula la longitud desconocida en cada una de las siguientes las siguientes figuras.
a
b 30 cm
A
B
P
4 cm
Q
5 cm
T
?
R
U
S
E
F
?
D
18 cm
FE = 12 cm
W
C
V
15 cm
RS = 6 cm
6 Todas las líneas de estas figuras forman ángulos rectos al cortarse. Calcula las longitudes desconocidas en cada figura. a
A
B
3 cm C
15 cm
b
D E
27 cm
P
?
F ?
8 cm
100
H
DE = 4 cm
Q
G
U W
V
4 cm
T S
UT = 19 cm
R
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
140
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Materiales
Trabajo personal
• Papel con cuadriculado de 1 cm.
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 80 a 83.
Gestión de la clase 7
7
Realiza esta actividad.
Trabaja en parejas. Tu profesor o profesora les entregará una hoja de papel cuadriculado de 1 cm de lado. Dibuja allí dos figuras distintas compuestas por cuadrados y rectángulos.
a
¿Cuál es la longitud del contorno de cada figura?
b
Anota la longitud de todos los lados.
• Los estudiantes trabajan en parejas. • Pídales que creen en el papel cuadriculado sus propias figuras compuestas por cuadrados y rectángulos.
Ejemplo La longitud total del contorno de cada figura es 16 cm. 1 cm
2 cm
1 cm
1 cm 4 cm
4 cm
3 cm
2 cm
3 cm
Cuaderno de Trabajo 5A, p 80. Práctica 2
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
101
141
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Objetivo:
Habilidad
Trabajo personal
Estas actividades permiten a los estudiantes representar la situación con material concreto (fósforos) y dibujar un diagrama para responder a las preguntas.
• Identificar relaciones.
• Asigne a sus estudiantes el “Diario matemático”, “Desafío” y “Piensa y resuelve”, del Cuaderno de Trabajo 5A , págs. 84 a 87.
Heurísticas para resolver problemas • Representar • Dibujar un diagrama
Materiales Palos de fósforos para cada pareja de estudiantes.
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1
• Esta pregunta es un ejemplo de un enigma matemático. Los estudiantes deben visualizar y mostrar la solución concretamente. • Entregue palos de fósforo a cada pareja de estudiantes y permítales explorar y luego comprobar si su respuesta está correcta.
¡Activa tu mente! 1
¿Cuáles son los 8 fósforos que debes sacar para dejar 2 cuadrados?
2
Sandra tiene cuadrados de 1 cm de lado y rectángulos de 3 cm por 1 cm, como estos:
2
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. • Enséñeles a usar las heurísticas de dibujar un diagrama y de representar el problema en forma concreta. a un cuadrado de lado 3 cm usando los cuadrados y rectángulos dados. b un rectángulo de 4 cm de largo y 3 cm de ancho usando los cuadrados y rectángulos dados. • Luego, los estudiantes determinan la cantidad de cuadrados y rectángulos que han usado.
3 cm
1 cm
1 cm
1 cm a
b b
Ayuda a Sandra a hacer un cuadrado de 3 cm de lado usando cuadrados y rectángulos como los de arriba. ¿Cuántos cuadrados y rectángulos usaste? Ayuda a Sandra a hacer un gran rectángulo de 4 cm de largo por 3 cm de ancho usando los cuadrados y rectángulos de arriba. ¿Cuántos cuadrados y rectángulos usaste? (1) Solución:
(2) Solución: (a) o
(b) 3 cm
4 cm
Las respuestas varían. Cuaderno de Trabajo 5A, p 86. Piensa y resuelve
102
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
142
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28-12-12 10:44
143
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28-12-12 10:44
Fecha:
(e) ¿Es un cuadrado? No (f) ¿Es un rectángulo? No
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
Sí
(c) ¿Es un cuadrado? No (d) ¿Es un rectángulo?
(b) ¿Es un rectángulo? No
(a) ¿Es un cuadrado?
Sí
(1) Escribe Sí o No en los espacios.
76
5
Cuadrados y rectángulos 3 1 6
Curso:
Práctica 1 Cuadrados y rectángulos
3
Nombre:
77
¿Es un rectángulo? Sí ¿Por qué? Tiene 4 ángulos rectos y 2 pares de lados opuestos que son iguales y paralelos.
¿Es un cuadrado? Sí ¿Por qué? Tiene 4 lados iguales, 4 ángulos rectos y 2 pares de lados paralelos.
¿Es un cuadrado? No ¿Por qué? No tiene 4 lados iguales
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
(c)
(b)
(a)
(2) Escribe en los espacios en blanco.
144
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78
S
D
A
BC =
5 cm
5
C
?
B
cm
?
SR =
R
P
10
10 cm
cm
(c) PQRS es un cuadrado.
(a) ABCD es un cuadrado.
Q
EH =
?
7 cm
cm
7 F
cm
2
A ?
C
28
14 cm
B
cm
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
D
AB =
(d) ABCD es un rectángulo. Su largo es el doble de su ancho.
H 2 cm G
?
E
EF =
(b) EFGH es un rectángulo.
(3) Encuentra las longitudes de los lados desconocidos.
(c)
(a)
(d)
(b)
(c)
(a)
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
(d)
(b)
79
(5) En cada figura dibuja una línea recta que la divida en un cuadrado y un rectángulo.
(4) En cada figura dibuja una línea recta que la divida en dos rectángulos.
145
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28-12-12 10:45
80
D
(c) A 45° c
V
27°
C
B
U
T
b
(b) S
O
P
c = 90° – 45° = 45°
ABCD es un cuadrado. Encuentra el c.
b = 90° – 27° = 63°
STUV es un rectángulo. Encuentra el b.
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
12°
Z
(c) W
D
(b)
s
A
C
22° 39°
25°
m
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
S
(a) P 36° p 18°
B
R
Y
X
Q
81
s = 90° – 25° – 12° = 53°
WXYZ es un rectángulo. Encuentra el s.
m = 90° – 22° – 39° = 29°
ABCD es un cuadrado. Encuentra el m.
p = 90° – 18° – 36° = 36°
PQRS es un rectángulo. Encuentra el p.
(1) Encuentra el valor de los ángulos desconocidos en estos cuadrados y rectángulos. N (a) M a 35° MNOP es un rectángulo. Encuentra el a. a = 90° – 35° = 55°
Fecha:
(2) Encuentra el valor de los ángulos desconocidos en los cuadrados y rectángulos.
Curso:
Práctica 2 Más sobre cuadrados y rectángulos
Nombre:
146
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T
4 cm
U
6 cm
3 cm
E
?
S ?
V
P
14 cm
20 cm
? F 5 cm
(c)
82
15 cm
B
5 cm
C
F
?
?
D
B
C
G
17 cm
(b) A
G
12 cm
(a) A
R
?
Q
E
GE = 15 + 8 = 23 cm
BC = 12 – 8 = 4 cm
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
RT = 6 + 5 = 11 cm
QR = 3 + 4 = 7 cm
La figura está compuesta por dos rectángulos. Encuentra QR y RT.
FG = 20 – 14 = 6 cm
BD = 17 + 5 = 22 cm
ABCG y CDEF son rectángulos. Encuentra BD y FG.
8 cm
D
La figura está formada por un rectángulo y un cuadrado. Encuentra BC y GE.
(3) Encuentra las longitudes desconocidas indicadas en cada una de las siguientes figuras.
?
G
E
8 cm
3 cm C D
B
F
FG = 8 – 2 = 6 cm
CG = 5 – 3 = 2 cm
H
10 cm
A
C
4 cm
?
G
F 2 cm
B
E
D
BC = 10 – 4 – 2 = 4 cm
CF = 4 cm
(e) La figura está compuesta por un cuadrado y un rectángulo. Encuentra BC.
H
5 cm
A
(d) La figura está compuesta por dos rectángulos. Encuentra FG.
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
83
147
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28-12-12 10:45
Curso:
Fecha:
(c) Sus lados
(d) Tiene
84
(b) Sus lados
ángulos
son
opuestos
cuatro
son
cuatro
lados
.
.
cuatro
iguales
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
rectos
.
.
lados
iguales
paralelos
paralelos
opuestos
(a) Un rectángulo tiene
rectos
opuestos
La figura de abajo es un rectángulo. En las frases, llena los espacios en blanco con las palabras del recuadro gris.
Diario matemático
Nombre:
Desafío
Curso:
Fecha:
U
QR =
4 cm
T
S
R
?
Q
H
G
F
BC FG =
C
B
3 cm
E
D
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
I
A
85
(2) La figura está compuesta por 3 cuadrados idénticos, de 3 cm de lado. Encuentra la longitud total de BC más FG.
P
(1) La figura está compuesta por dos cuadrados de lados 10 cm y 6 cm. Encuentra QR.
Nombre:
148
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Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
86
Las respuestas varían
Primera manera
Tercera manera
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
Segunda manera
(2) Traza líneas rectas para dividir la figura en tres rectángulos, de tres maneras distintas.
5 cuadrados más
(1) Mira la figura. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados que hay que agregar para formar un rectángulo?
Nombre:
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos
A
87
(3) Copia en un papel los rectángulos y cuadrados sombreados y recórtalos. Acomódalos dentro del rectángulo A sin que se sobrepongan entre sí. Luego pégalos.
BLANCO
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150
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28-12-12 10:46
3
1
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar decimales de hasta dos posiciones decimales por un número de 1 cifra.
(2) Multiplicación
Los estudiantes serán capaces de: • comparar números decimales de tres posiciones deimales. • utilizar el signo >, < ó = para comparar números decimales.
(1) Recordando la comparación de decimales
Capítulo 4: Decimales
• Libro del Alumno 5A, págs. 105 a 109 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 89 to 92 • Guía del Profesor 5A, págs. 155 a 159
• Libro del Alumno 5A, págs. 103 a 109 • Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 88 • Guía del Profesor 5A, págs. 153 a 154
Recursos
Recordar las tablas de multiplicar Aplicar conceptos relativos al valor posicional
Recordar las sumas básicas Aplicar conceptos relativos al valor posicional
Habilidades
151
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28-12-12 10:46
3
3
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes serán capaces de: • estimar los resultados de cálculos de suma, resta, multiplicación y división.
(4) Estimación de decimales
Los estudiantes serán capaces de: • dividir decimales de hasta 2 posiciones decimales por un número de 1 cifra. • redondear cuocientes a 1 ó 2 posiciones decimales.
(3) División
Capítulo 4: Decimales
• Libro del Alumno 5A, págs. 117 a 120 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 99 a 102 • Guía del Profesor 5A, págs. 167 a 170
• Libro del Alumno 5A, págs. 110 a 116 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 93 a 98 • Guía del Profesor 5A, págs. 160 a 166
Recursos
Aplicar habilidades para redondear y cálculo mental
Recordar las divisiones básicas Aplicar conceptos relativos al valor posicional y habilidades para redondear
Habilidades
152
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1
1
2
Horas pedagógicas Objetivos
Repaso 2
Estos ejercicios permiten que los estudiantes usen la heurística de “supone y comprueba” para resolverlos.
¡Activa tu mente!
El diario matemático permite que los estudiantes usen su creatividad para redactar un problema en base a información dada.
Diario matemático
Esta actividad de exploración permite que los estudiantes descubran las posibles combinaciones de 5 cm y 20 cm que sumen 1,25 m.
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta dos pasos que incluyan la multiplicación y división de decimales.
(5) Problemas
Capítulo 4: Decimales
Razonamiento lógico Heurística para la resolución de problemas: Supone y comprueba —
• Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 109 a 113
—
Aplicar conceptos de multiplicación y división Traducir enunciados verbales a modelos y/o frases numéricas Identificar relaciones
Habilidades
• Libro del Alumno 5A, pág. 124 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 107 a 108 • Guía del Profesor 5A, pág 174
• Libro del Alumno 5A, pág. 123 • Guía del Profesor 5A, pág. 173
• Libro del Alumno 5A, págs. 121 a 123 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 103 a 106 • Guía del Profesor 5A, págs. 171 a 173
Recursos
Capítulo cuatro
Decimales Objetivos: Recordando la comparación de decimales Los estudiantes serán capaces de: • comparar números decimales de hasta tres posiciones decimales. • utilizar el signo >, < ó = para comparar números decimales.
Concepto clave
Habilidad
Para determinar si un número es mayor o menor que otro, se deben comparar los dígitos de las posiciones correspondientes de izquierda a derecha.
• Aplicar conceptos de valor posicional.
Gestión de la clase 1
Decimales ¡Aprendamos!
Recordando la comparación de decimales 1 Recuerda que la comparación de decimales se realiza de la misma forma que la comparación de números naturales, es decir, comenzando a comparar las cifras de izquierda a derecha. Para determinar qué decimal es mayor no debes fi jarte en la cantidad de cifras que tenga el número, ya que esto es válido solo para la comparación de números naturales.
• El propósito de esta actividad es que los estudiantes recuerden la comparación de decimales estudiada en los niveles anteriores. • Recuérdeles que la comparación se realiza de izquierda a derecha. • Muéstreles apoyándose en la tabla de valor posicional, que la cantidad de cifras decimales no determina si un número es mayor o menor.
¿Qué número es mayor 12,005 ó 12,05? 12,005 tiene más cifras que 12,05 sin embargo 12,05 es mayor que 12,005.
Decenas
Unidades
1 1
2 2
Décimas
0 0
Centésimas
Milésimas
0 5
5
Los dígitos de las decenas, unidades y las décimas son iguales, por lo tanto, se debe comparar sólo los dígitos de las centésimas. Como 5 es mayor que 0, entonces 12,05 es mayor que 12,005 y podemos escribirlo así: 12,05 > 12,005
Capítulo 4: Decimales
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 88.
Gestión de la clase a 5 • Pida a los estudiantes que realicen estos ejercicios para practicar lo aprendido. 2
2 Compara los siguientes decimales y luego ordénalos de menor a mayor, utilizándo el símbolo <. 19,025
19,005
19,25
19,005 < 19,025 < 19,25 3 Carlos tiene una cuerda de 30,25 m de longitud y Cecilia tiene otra de 30,065 m. ¿Quién tiene la cuerda de mayor longitud? Carlos ¿Cuánto más larga es una cuerda que la otra? 0,185 m 4 Completa con el símbolo >, < ó = según corresponda.
a 0,45 > 0,045
b 2,10 = 2,1
c 0,16 > 0,099
d 0,40 = 0,400
5 Tres amigos conversan sobre el peso que tiene cada uno. Juan dice que pesa 41,078 kg, Hugo señala que pesa 41,708 kg. Patricio dice que su peso es de 41,087 kg. Ordena a estos tres amigos según su peso de mayor a menor. Hugo, Patricio, Juan
Cuaderno de Trabajo 5A, p 88. Práctica 1
104
Capítulo 4: Decimales
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Objetivos: Multiplicación Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar decimales de hasta dos posiciones decimales por un número de 1 cifra.
Conceptos clave
Habilidades
La mulltiplicación de un número decimal por un número natural se puede interpretar como: La suma iterada del decimal La comparación por cociente de una cantidad con otra, es decir, una cantidad equivale a “n” veces la otra.
• Recordar las multiplicaciones básicas. • Aplicar conceptos relativos al valor posicional.
Gestión de la clase 1
• ¡Aprendamos!
Multiplicación
•
1 Observa la recta numérica. Empezando desde el cero, Tomás avanza 0,2 por cada paso que da. ¿Dónde va a estar Tomás después de dar 4 pasos?
0
1
2
3
•
4
0,2 1 0,2 1 0,2 1 0,2 = 4 3 0,2 4 3 2 décimas = 8 décimas = 0,8 Después de 4 pasos, Tomás llegará al punto 0,8 de la recta numérica.
• 2
Aquí tenemos otra forma de multiplicar 0,2 por 4. Unidades
Décimas
Multiplica las décimas por 4. 0 , 2 3 4 0 , 8
4 3 0,2
0
,
•
2 décimas 3 4 = 8 décimas 8
Luego, 4 3 0,2 = 0,8.
Capítulo 4: Decimales
• 105
y 2 Presente el tema de la multiplicación de números decimales por un número natural de 1 cifra. Pida a los estudiantes que lean la frase multiplicativa (se puede leer como 4 veces 2 décimas o 2 décimas multiplicadas por 4, lo que significa que hay 4 grupos de 2 décimas). Pregunte qué significa la frase multiplicativa. En base a la recta numérica dada o a la tabla de valor posicional del Libro del Alumno, ayúdelos a comprender que: 4 × 0,2 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 (4 grupos de 2 décimas). Pregunte cuál creen que es el resultado (8 décimas). De ser necesario, ayúdelos a llegar al resultado de manera deductiva mostrándoles estos ejemplos: 4 × 2 unidades = 8 unidades 4 × 2 decenas = 8 decenas 4 × 2 centenas = 8 centenas. Así, 4 × 2 décimas = 8 décimas Enséñeles cómo registrar la multiplicación: 4 veces 2 décimas= 8 décimas Anote 8 en la columna de las décimas. Como no hay unidades, ponga 0 en la columna de las unidades, para poder situar la coma decimal.
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Materiales • Tablas de valor posicional • Fichas de colores
Gestión de la clase 3
• Muestre una multiplicación con un número que tenga unidades y décimas. • Pídales que lean la multiplicación y digan qué significa. Puede leerse 2,4 (o 2 unidades y 4 décimas) multiplicado por 3 ó 3 veces 2,4 (2 unidades y 4 décimas) para indicar que hay 3 grupos de 2 unidades y 4 décimas. • Use una tabla de valor posicional y fichas para representar la multiplicación. • Luego muéstreles como se registra la multiplicación: Paso 1 • Multiplique 4 décimas por 3 4 décimas × 3 = 12 décimas • Reagrupe 12 décimas en 1 unidad 2 décimas. Anote 2 en la columna de las décimas y 1 en la columna de las unidades, tal como se muestra. Paso 2 • Multiplique 2 unidades por 3. 2 unidades × 3 = 6 unidades. • Después sume la unidad reagrupada 6 unidades + 1unidad = 7 unidades Anote 7 en la columna de las unidades. 4
• Pida a los estudiantes que completen los ejercicios para evaluar informalmente sus conocimientos.
3 Multiplica 2,4 por 3. Unidades
Décimas
3 3 2,4
Primero, multiplica las décimas por 3. 1 2 , 4 3 3 2 4 décimas 3 3 = 12 décimas Reagrupa las décimas. 12 décimas = 1 unidad 2 décimas
Unidades
Décimas
Luego, multiplica las unidades por 3 1 2 , 4 3 3
7
,
2
7 , 2
2 unidades 3 3 = 6 unidades Suma las unidades. 6 unidades 1 1 unidad = 7 unidades
Luego, 3 3 2,4 = 7,2
4 Multiplica y anota el producto como decimal. a
3 décimas 3 2 = 6 décimas
b
6 décimas 3 3 = 18 décimas
= 1 unidad 8 décimas
= 1,8
= 0,6
Matemática Enseñe a su hijo(a) multiplicar mentalmente las décimas y centésimas. Por ejemplo, para multiplicar en la 0,3 por 2, que multiplique mentalmente 3 décimas por 2 para que obtenga 6 décimas ó 0,6. Asimismo, casa
que recurra al cálculo mental para dividir.
106
Capítulo 4: Decimales
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Gestión de la clase 5
• Pida a los estudiantes que hagan los ejercicios para evaluar informalmente sus conocimientos.
5 Multiplica.
6
a
0 , 2 3 3
b 0 , 6 3 8 4,8
0,6
c
3 , 7 3 7 25,9
6
Karen compró 3 cajas de helado. Cada caja pesa 0,45 kg. ¿Cuánto pesan en total? 0,45 kg 3 3 = ? Unidades
Décimas
Centésimas
Primero, multiplica las centésimas por 3.
3 3 0,45
1
0 , 4 5 3 3 5
5 centésimas 3 3 = 15 centésimas Reagrupa las centésimas. 15 centésimas = 1 décima 5 centésimas Luego, multiplica las décimas por 3. Unidades
1
Décimas
,
3
Centésimas
5
1
3 0 , 4 5 3 1 , 3 5 4 décimas 3 3 = 12 décimas Suma las décimas. 12 décimas 1 1 décima = 13 décimas
Luego, 0,45 kg 3 3 = 1,35 kg.
Reagrupa las décimas. 13 décimas = 1 unidad 3 décimas
Las 3 cajas de helado juntas pesa 1,35 kg.
Capítulo 4: Decimales
107
• Muestre a los estudiantes el procedimiento para resolver una multiplicación en la que un factor tiene décimas y centésimas. • Pídales que lean la multiplicación y digan qué significa. Se puede leer 0,45 (45 centésimas) multiplicadas por 3 ó 3 veces 0,45 (45 centésimas) para indicar que hay 3 grupos de 0,45 (45 centésimas). • Use una tabla de valor posicional y fichas para representar la multiplicación. • Luego, enseñe como registrar la multiplicación: Paso 1 • Multiplique 5 centésimas por 3 5 centésimas × 3 = 15 centésimas. • Reagrupe 15 centésimas en 1 décima y 5 centésimas. • Anote 5 en la columna de las centésimas y ponga una ficha en la columna de las décimas, como se muestra. Paso 2 • Multiplique 4 décimas por 3: 4 décimas × 3 = 12 décimas. • Luego, sume la décima reagrupada: 12 décimas + 1 décima = 13 décimas • Reagrupe13 décimas en 1 unidad 3 décimas. • Anote 1 en la columna de las unidades y 3 en la columna de las décimas.
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Gestión de la clase 7
• Muestre este problema usando el mismo procedimiento que en 6 .
7 Un cordel mide 15,45 m de longitud. Gugo puso 3 cordeles de esta misma longitud en línea recta, uno a continuación del otro. ¿Qué longitud alcanzan, entre los 3 cordeles? 15,45 3 3 = ? Multiplicamos así: 1
1 5 , 4 5 3 3 Primero, multiplica las centésimas por 3. 5 centésimas 3 3 = 15 centésimas 5 Reagrupa las centésimas. 15 centésimas = 1 décimo 5 centésimas 1
1
1 5 , 4 5 3 3 Después, multiplica las décimas por 3. 4 décimas 3 3 = 12 décimas , 3 5 Suma las décimas. 12 décimas 1 1 décima = 13 décimas Reagrupa las décimas. 13 décimas = 1 unidad 3 décimas
1
1
1
1 5 , 4 5 3 3 Luego multiplica las unidades por 3. 6 , 3 5 5 unidades 3 3 = 15 unidades Suma las unidades. 15 unidades 1 1 unidad = 16 unidades Reagrupa las unidades. 16 unidades = 1 decena 6 unidades
1
1
1
1 5 , 4 5 3 3 Por último, multiplica las decenas por 3. 4 6 , 3 5 1 decena 3 3 = 3 decenas Suma las decenas. 3 decenas 1 1 decena = 4 decenas
Luego, 15,45 3 3 = 46,35 m. Los tres cordeles alineados miden 46,35 m. 108
Capítulo 4: Decimales
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5A , págs. 89 a 92.
Gestión de la clase a 10 • Asigne estos ejercicios a los estudiantes a modo de práctica guiada. 8
8 Multiplica y anota el producto como decimal. a
6 centésimas 3 4 = 24 centésimas
= 2 décimas 4 centésimas
= 0,24
b
7 centésimas 3 3 = 21 centésimas
= 2 décimas 1 centésimas
= 0,21
9 Multiplica.
a
0 , 0 3 3 2
b
0 , 0 7 3 5
c
0,35
0,06
0 , 6 5 3 5 3,25
d
2 , 0 8 3 4
e
8,32
g
1 , 0 5 3 5 5,25
2 , 1 6 3 4
f
18,84
8,64
h
3 , 1 4 3 6
6 , 9 5 3 8 55,60
1
3 1 , 7 8 3 4 158,90
10 Multiplica. 15,35 3 6 92,10
b
26,45 3 4 105,8
c
1,76 3 5 d 8,8
d
18,25 3 3 54,75
e
3,45 3 7 f 24,15
f
17,45 3 4 54,75
a
Cuaderno de Trabajo 5A, p 89, Práctica 2
Capítulo 4: Decimales
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Objetivos: División
Conceptos clave
Habilidades
Los estudiantes serán capaces de: • dividir decimales de hasta 2 posiciones decimales por un número de 1 cifra. • redondear cuocientes a 1 ó 2 posiciones decimales.
La división de un número decimal por un número natural puede interpretarse como: • repartir equitativamente, es decir, dividir el decimal entre una cantidad dada de grupos iguales. El divisor determina la cantidad de grupos. • agrupar en base a una medida, es decir, dividir el conjunto en grupos de igual tamaño. El divisor determina el tamaño o medida de cada grupo.
• Recordar divisiones básicas. • Aplicar conceptos relativos al valor posicional. • Habilidades para redondear.
Gestión de la clase 1
• Presente la división de un número decimal (décimas) por un número de 1 cifra. • Pida a los estudiantes que lean la frase de división (se lee 8 décimas divididas por 2). • Pregunte qué significa la frase de división (repartir 8 décimas en 2 grupos iguales). Represente el proceso de repartir 8 décimas en 2 grupos iguales usando la tabla de valor posicional y las fichas. • Pregunte cuál creen que es el resultado (4 décimas). Ayude a los estudiantes a llegar a este resultado mostrándoles los siguientes ejemplos: 8 unidades : 2 = 4 unidades 8 decenas : 2 = 4 decenas 8 centenas : 2 = 4 centenas Así, 8 décimas : 2 = 4 décimas • Muestre cómo se registra la división: Paso 1 0:2=0 Anote 0 en la columna de las unidades. Paso 2 8 décimas : 2 = 4 décimas. Anote 4 en la columna de las décimas. 2
• Muestre este ejemplo de la misma forma que en 1 . Destaque la división de 9 centésimas por 3, que da como resultado 3 centésimas.
¡Aprendamos!
División 1 Una cinta de 0,8 m de largo se corta en 2 trozos iguales. ¿Qué longitud tiene cada trozo? Primero, divide las unidades por 2. 0,8 : 2 = ? 0 unidades : 2 = 0 unidades Unidades
Décimas
Unidades
Décimas
0 , 8 : 2 = 0 – 0 Luego, divide las décimas por 2. 8 décimas : 2 = 4 décimas
Así, 0,8 : 2 = 0,4. Cada trozo mide 0,4 m de largo.
0 , 8 : 2 = 0 , 4 – 0 8 – 8 0
2 Divide 0,69 por 3. Divide las unidades por 3. Divide las décimas por 3. Divide los centésimas por 3.
0 , 6 9 : 3 = 0 0
0 unidades : 3 = 0 unidades
0 , 6 9 : 3 = 0 , 2 – 0 6 – 6
6 décimas : 3 = 2 décimas
0 , 6 9 : 3 = 0 , 2 3 – 0 6 – 6 9 – 9 0 9 centésimas : 3 = 3 centésimas
Luego, 0,69 : 3 = 0,23. 110
Capítulo 4: Decimales
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Gestión de la clase 3
• Pida a los estudiantes que hagan los ejercicios para evaluar informalmente sus conocimientos.
3 Divide.
a
0 , 4 : 3 = 0,2
b 0 , 2 6 : 3 = 0,13
c
0 , 9 3 : 3 = 0,31
4 Divide 0,8 por 5. Unidades
Décimas
Centésimas
Primero divide las unidades por 5. 0 unidades : 5 = 0 unidades 0 , 8 : 5 = 0 –0
Unidades
Décimas
Centésimas
Luego, divide las décimas por 5. 8 décimas : 5 = 1décima, quedan 3 décimas 0 , 8 : 5 = 0 , 1 –0 8 – 5 3
Unidades
Décimas
Centésimas
Reagrupa las 3 décimas que quedan. 3 décimas = 30 centésimas Por último, divide las 30 centésimas que quedan por 5. 30 centésimas : 5 = 6 centésimas
Unidades
Décimas
Capítulo 4: Decimales
Centésimas
0 , 8 : 5 = 0 , 1 6 –0 8 – 5 3 0 – 3 0 0 Luego, 0,8 : 5 = 0,16.
111
4
• Muestre una división en que el divisor sea un número con décimas, en la que sea necesario reagrupar. • Represente el proceso de repartir 8 décimas en 5 partes iguales usando una tabla de valor posicional y fichas. • Muestre a los estudiantes como se registra la división: Paso 1 0 dividido por 5 = 0 Anote 0 en la columna de las unidades. Paso 2 8 décimas divididas por 5 = 1 décima, queda un resto de 3 décimas. Anote 1 en la columna de las décimas y reagrupe las 3 décimas como 30 centésimas. Paso 3 30 centésimas divididas por 5 = 6 centésimas Anote 6 en la columna de las centésimas.
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Gestión de la clase y 6 • Asigne a los estudiantes estos ejercicios para evaluar informalmente sus conocimientos. 5
5 Divide.
7
• Muestre el procedimiento para resolver una división con reagrupamiento, en la que el dividendo es un número con unidades, décimas y centésimas.
a
7 décimas : 4 = 1 décima, con resto: 3 décimas
b
2 décimas : 4 = 20 centésimas : 4
= 5 centésimas
6 Divide.
a
0 , 9 : 2 = 0,45
7 , 5 : 5 = 5,5 c b 2
0 , 4 : 8 = 0,05
7 Un rollo de cinta mide 7,75 m. 5 niñas se reparten la cinta en partes iguales. ¿Cuánta cinta le toca a cada niña? 7,75 : 5 = ? Unidades
Décimas
Centésimas
Primero divide las unidades por 5. 7 unidades : 5 = 1unidad quedan 2 unidades 7 , 7 5 : 5 = 1 –5 2
Unidades
Décimas
Centésimas
Reagrupa las 2 unidades que quedan. 2 unidades = 20 las décimas Suma las décimas. 20 décimas 1 7 décimas = 27 décimas 7 , 7 5 : 5 = 1 –5 2 7
112
Capítulo 4: Decimales
162
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s
Unidades
Décimas
Centésimas
Luego divide las décimas por 5. 27 décimas : 5 = 5 décimas, quedan 2 décimas 7 , 7 5 : 5 = 1 , 5 –5 2 7 – 2 5 2
Unidades
Décimas
Centésimas
Reagrupa las 2 décimas que quedaron. 2 décimas = 20 centésimas Suma las centésimas. 20 centésimas + 5 centésimas = 25 centésimas
Unidades
Décimas
Centésimas
Luego, 7,75 : 5 = 1,55. A cada niña le toca un trozo de cinta de 1,55 m de largo.
Capítulo 4: Decimales
7 , 7 5 : 5 = 1 , 5 5 2 7 – 2 5 2 5 Por último, divide las centésimas por 5. 7 , 7 5 : 5 = 1 , 5 5 – 5 2 7 – 2 5 2 5 – 2 5 0
113
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Gestión de la clase y 9 • Pida a los estudiantes que hagan estos ejercicios para evaluar informalmente su compresión del tema. 8
8 Reagrupa en centésimas. Después, divide.
10
• Ayude a los estudiantes a comprender que en 5 : 8 el cuociente tiene 0 unidades y queda un resto de 5 unidades. Dígales que es posible seguir dividiendo esas 5 unidades, pero deben reagruparse como 50 décimas. • En este ejercicio se debe redondear el cuociente a la décima más cercana, es decir, a 1 posición decimal. • Indique a los estudiantes que primero deben calcular el cociente con 2 posiciones decimales y luego redondearlo a 1 posición decimal: • 5 : 8 = 0,62 (2 posiciones decimales) • Luego redondee 0,62 a 1 posición decimal. • Así, 5 : 8 = 0,6 redondeado a 1 posición decimal.
a
3 décimas 5 centésimas : 7 = 35 centésimas : 7
= 5 centésimas
= 0,05
b
4 décimas 2 centésimas : 6 = 42 centésimas : 6
= 7 centésimas
= 0,07
9 Divide.
a 0,92 : 2 = 0,46
1,21 b 6,05 : 5 =
c
2,25 : 3 = 0,75
f
26,95 : 5 = 5,39
d
7,40 : 4 = 1,85
e
64,25 : 5 = 12,85
10 Calcula el valor de 5 : 8 redondeando a la décima más cercana ó con 1 posición decimal. 5 : 8 = 0 , 6 2 –0 5 0 4 8 2 0 – 1 6 4
5 unidades : 8 = 0 unidades quedan 5 unidades Reagrupa 5 unidades que quedan. 5 unidades = 50 décimas 50 décimas : 8 = 6 décimas quedan 2 décimas Reagrupa las 2 décimas que quedan. 2 décimas = 20 centésimas 20 centésimas : 8 = 2 centésimas, quedan 4 centésimas Divide hasta obtener a 2 posiciones decimales. Luego, redondea el resultado a 1 posición decimal.
0,62 es 0,6 al ser redondeado a 1 posición decimal. 114
5 : 8 � 0,6 redondeado a 1 posición decimal.
Capítulo 4: Decimales
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Gestion de la clase 11
11 Calcula 13 : 8 redondeado a la centésima más cercana ó con 2 posiciones decimales. 1 – –
3 : 8 = 1, 6 2 5 8 5 0 4 8 2 0 – 1 6 4 0 – 4 0 0
13 unidades : 8 = 1 unidad, quedan 5 unidades Regrupa las 5 unidades que quedaron. 5 unidades = 50 décimas 50 décimas : 8 = 6 décimas, quedan 2 décimas Reagrupa las 2 décimas que quedaron. 2 décimas = 20 centésimas 20 centésimas : 8 = 2 centésimas, quedan
4 centésimas Reagrupa las 4 centésimas que quedaron. 4 centésimas = 40 milésimas 40 milésimas : 8 = 5 milésimas
Divide hasta obtener 3 posiciones decimales. Luego redondea el resultado a 2 posiciones decimales.
1,625 es 1,63 al ser redondeado a 2 posiciones decimales. 13 : 8 = 1,63 redondeado a 2 posiciones decimales. 12 Reagrupa en las décimas. Luego divide. a
2 unidades : 3 = 20 décimas : 3
4 unidades : 7 = 40 décimas : 7
Capítulo 4: Decimales
12
= 6 décimas, quedan 2 décimas
b
• Explique el procedimiento para dividir 13 por 8 de la misma forma que en 10 . • Haga notar que como 1 decena : 8 = 0 decenas, con un resto de 1 decena, 1 decena y 3 unidades se reagrupan como 13 unidades. Es por esto que el primer paso es dividir 13 unidades por 8. • Ayude a los estudiantes a comprender que para redondear un cociente a la centésima más cercana, esto es, a 2 posiciones decimales, primero deben calcular el cuociente con hasta tres posiciones decimales: • 13 : 8 = 1,625 (3 posiciones decimales). • Luego, redondear 1,625 2 posiciones decimales. • Así, 13 : 8 = 1,63 redondeado a 2 posiciones decimales. • Pida que resulevan estos ejercicios como práctica guiada.
= 5 décimas, quedan 5 décimas
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5A , págs. 93 a 98.
Gestión de la clase y 14 • Pida a los estudiantes que completen los ejercicios. En algunos de estos ejercicios los estudiantes deben reagrupar las unidades en décimas antes de dividir. 13
13 Haz las siguientes divisiones redondeando a la décima más cercana o a 1 posición decimal.
a
0,7 : 4 = 0,2
b
d
0,8 : 3 = 0,3
e 0,58 : 4 = 0,1
0,2 0,56 : 3 =
c
9 : 4 = 2,2
f
7 : 9 = 0,8
14 Redondea cada decimal a la centésima más cercana y luego divide.
a
0,78 : 4 = 0,20
b 8 : 7 = 1,14
c
10 : 6 = 1,67
d
0,3 : 7 = 0,04
e 0,79 : 4 = 0,40
f
7 : 6 = 1,17
Cuaderno de Trabajo 5A, p 93. Práctica 3
116
Capítulo 4: Decimales
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Objetivos: Estimación de decimales Los estudiantes serán capaces de: • estimar los resultados de cálculos de suma, resta, multiplicación y división.
Conceptos clave
Habilidades
Aplicación de técnicas de redondeo y estrategias de cálculo mental.
• Aplicar habilidades para redondear. • Cálculo mental.
Conceptos clave Un número “entero” es aquel que tiene ceros en las posiciones decimales, es decir, es un número natural.
Gestión de la clase 1
• Presente la estimación de una suma con decimales (ejemplo, 6,75 + 15,45) redondeando las cantidades al entero más cercano. • Indique que redondeen cada decimal al entero más cercano para estimar la suma: • 6,75 queda en 7 al redondearlo al entero más cercano. • 15,45 queda en 15 al redondearlo al entero más cercano. • 7 + 15 = 22
¡Aprendamos!
Estimación de decimales 1 Estima la suma de 6,75 + 15,45 redondeando los números al entero más próximo. 6,75 es 7 al redondearlo al entero más cercano. 15,45 es 15 al redondearlo al entero más cercano. 7 1 15 = 22 Luego, 6,75 1 15,45 ≈ 22. 2 Redondea los números y estima su suma.
a
3,78 1 5,2 9
b
12,9 1 3,26 16
c
14,9 1 25,23 40
3 Calcula 31,65 + 8,02. Luego verifi ca si tu respuesta es razonable mediante una estimación.
Cálculo
Estimación
3 1 , 6 5 1 8 , 0 2 3 9 , 6 7
31,65 ≈ 32 8,02 ≈ 8 32 1 8 = 40
¿Qué tanto se acerca tu respuesta estimada al resultado real?
4
• Muestre el procedimiento para estimar una resta con decimales, redondeando primero cada decimal al entero más cercano, ej. 7,13 – 5,7 7 – 6 = 1
4 3 Estima 7,13 2 5,7 redondeando los números al entero más cercano. 7,13 es 7 al redondearlo al entero más cercano. 5.7 es 6 al redondearlo al entero más cercano. 7 2 6 = 1 Así, 7,13 2 5,7 ≈ 1.
Capítulo 4: Decimales
y 3 • Pida que hagan estos ejercicios a modo de práctica guiada. 2
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Gestión de la clase y 6 • Pida a los estudiantes que hagan estos ejercicios como evaluación informal. 5
7
• Muestre el procedimiento para estimar el resultado de una multiplicación con decimales, redondeando el decimal al entero más cercano, por ejemplo, 11,97 × 2 12 × 2 = 24
5 Redondea los números y estima su diferencia.
9,87 2 0,96 9
b
5,75 2 5,05 1
c
24,59 2 19,68 5
6 Calcula 11,09 2 1,86. Luego verifica si tu respuesta es razonable mediante una estimación.
Cálculo
Estimación
1 1 , 0 9 2 1 , 8 6 9 , 2 3
11,09 ≈ 11 1,86 ≈ 2 11 2 2 = 9
¿Qué tan cerca está tu respuesta del resultado real?
7 Estima 11,97 3 2 redondeando 11,97 al entero más cercano. 11,97 es 12 al redondearlo al entero más cercano. 12 3 2 = 24 Luego, 11,97 3 2 ≈ 24.
8
• Pida a los estudiantes que hagan estos ejercicios para evaluar su dominio de la estimación del resultado de una multiplicación con decimales.
a
8 Redondea y estima el resultado. 6,02 3 8 48
0,98 3 13 13
3,15 3 9 27
a
9
Calcula 2,74 3 4. Luego revisa si tu respuesta es razonable mediante una
estimación.
Cálculo
b
c
9
• Use este ejemplo para mostrar cómo se puede usar la estimación para verificar si una respuesta es razonable.
3 4 2 , 7 4 1 0 , 9 6
118
Estimación 2,74 ≈ 3 3 3 4 = 12
¿Qué tan cerca está tu respuesta del resultado real?
Capítulo 4: Decimales
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Gestión de la clase 10
• Para la división, el procedimiento es redondear el dividendo para llegar a un número por el que sea fácil dividir el divisor, por ejemplo: a 23,64 : 3 24 : 3 = 8 b 4,73 : 6 4,8 : 6 = 0,8 • En a , 23,64 se redondea al entero más cercano, ya que 24 es divisible por 3. • Sin embargo, en b , 4,73 se redondea a 4,8 ya que 4,8 se puede dividir fácilmente por 6. • Explique a los estudiantes que aunque 21 también es divisible por 3, se elige el 24 porque 23,64 está más cerca de 24 que de 21.
10 Estima 23,64 : 3.
21 23,64
24
21 : 3 23,64 3 3
Luego divide. 24 : 3 = 8 Entonces, 23,64 : 3 ≈ 8.
24 : 3 23,64 está más cerca de 24 que de 21.
11 Redondea y estima el cuociente.
12,3 : 3 4
a
b
17,75 : 9 2
c
20,99 : 7
3
12 Calcula 40,4 : 5. Luego verifica si tu respuesta es razonable mediante una estimación.
Cálculo
4 – 4 –
0 , 4 : 5 = 8 , 0 8 0 0 4 0 4 0 – 4 0 0
Estimación 40,4 ≈ 40 40 : 5 = 8
Usa la estimación para verificar si tu respuesta es razonable
11
• Asigne a los estudiantes este ejercicio como evaluación informal. 12
• Use este ejemplo para mostrar como se puede usar la estimación para verificar si un resultado es razonable.
13 Estima 2,49 1 6,54 redondeando los números a la décima más cercana o con 1 posición decimal. 2,49 es 2,5 al redondearlo a la décima más cercana. 6,54 es 6,5 al redondearlo a la décima más cercana. 2,5 1 6,5 = 9 Luego, 2,49 1 6,54 ≈ 9.
Capítulo 4: Decimales
13
119
• Muestre un ejemplo de estimación de una suma con decimales redondeando primero cada decimal a la décima más cercana (1 posición decimal); por ejemplo: 2,49 + 6,54 2,5 + 6,5 = 9
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 99 a 102.
Gestión de la clase 14
• Muestre un ejemplo de estimación de una resta con decimales, redondeando primero cada decimal a la décima más cercana (1 posición decimal); por ejemplo: 10,51 – 0,48 10,5 – 0,5 = 10 • Muestre una multiplicación en la que sea necesario redondear a la décima más cercana (1 posición decimal) para estimar el producto, por ejemplo: 0,47 × 4. • Ayude a los estudiantes a comprender que no se puede estimar redondeando al entero más cercano porque 0,47 redondeado al entero más cercano es 0. Es necesario redondearlo a la décima más cercana (1 posición decimal). 0,47 × 4 0,5 × 4 = 2 • Para la división, el procedimiento es redondear el dividendo a un número por el cual sea fácil dividir el divisor, por ejemplo: (a) 0,79 : 4 0,8 : 4 = 0,2 (b) 3,46 : 6 3,6 : 6 = 0,6 • Explique que 0,4 también se puede dividir fácilmente por 4. Sin embargo, se elige 0,8 porque 0,79 es más cercano a 0,8 que a 0,4. • Asimismo, también es fácil dividir 3 por 6, pero se elige 3,6 porque 3,46 es más cercano a 3,6 que a 3. 15
• Asigne estos ejercicios para evaluar informalmente lo aprendido.
14 Estima el resultado de cada una de las siguientes operaciones. a
10,16 2 3,78 10,16 es 10 al redondearlo al entero más cercano. 3,78 es 4 al redondearlo al entero más cercano.
10 2 4 = 6
Luego, 10,16 2 3,78 ≈ 6 .
b
0,47 3 4 0,47 es 0,5 al redondearlo a la décima más cercano.
0,5 3 4 = 2
Luego, 0,47 3 4 ≈ 2 .
c
(i) 3,46 : 4
3,46 está más cerca de 3,6 que de 3,2.
3,6 : 4 = 0,9
Luego, 3,46 : 4 ≈ 0,9 .
(ii) 5,28 : 6
5,28 : 6
5,28 está más cerca de 5,4 que de 4,8.
5,4 : 6 = 0,9
Luego, 5,28 : 6 ≈ 0,9 .
5 décimas 3 4 = 20 décimas = 2
3,2 : 4
3,46 : 4 3,6 : 4
36 décimas : 4 = 9 décimas = 0,9
4,8 : 6 5,4 : 6
15 Calcula. Luego verifica mediante una estimación si tu respuesta es razonable. a
12,42 1 12,64
c
1,79 3 3 5,37
25,06
b
1,45 2 0,54
d
1,45 : 5
0,91
0,29
Matemática Pida a su hijo(a) que use la estimación para verificar si su respuesta es razonable. Puede hacerlo en la usando cáclulo mental. Por ejemplo, 0,28 : 5 ≈ 0,3 : 5 Cuaderno de Trabajo casa = 30 centésimas : 5 5A, p 99. Práctica 4
120
= 6 centésimas = 0,06
Capítulo 4: Decimales
170
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Objetivos: Problemas
Conceptos clave
Habilidades
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta dos pasos que incluyan multiplicación y división de decimales.
La aplicación de conceptos de multiplicación y división de un decimal por un número entero para resolver problemas.
• Aplicar conceptos de multiplicación y división. • Traducir enunciados verbales a modelos y/o frases numéricas. • Identificar relaciones.
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Problemas 1 Una pila de 7 libros de Matemáticas del mismo tipo tiene una altura de 4,55 cm. Calcula la altura de 9 libros. Redondea tu respuesta a 1 posición decimal. 4,55 cm
Primero, calcula la altura de 1 libro de Matemáticas.
?
4,55 : 7 = 0,65 El grosor de los libros de Matemáticas es de 0,65 cm. 0,65 3 9 = 5,85 5,85 es 5,9 al redondearlo a 1 posición decimal. La altura de 9 libros de Matemáticas es de aproximadamente de 5,9 cm. 2 3 amigos juegan a lanzar una pelota lo más lejos posible. Silvia la lanzó a 12,15 m. Samuel la lanzó a una distancia igual a 3 veces la de Silvia. Sergio lanzó 24,5 m menos que Samuel. ¿A qué distancia lanzó la pelota Sergio? 12,15
3 3 12,15 = 36,45
Silvia
Samuel lanzó la pelota 36,45 m 36,45 2 24,50 = 11,95
Samuel
Sergio lanzó la pelota a 11,95 m
2
24,50 Sergio ? Capítulo 4: Decimales
• Repase el proceso de resolución de problemas. Paso 1 Pida que lean el problema atentamente. Pregunte por la información dada y qué es lo que se les pide encontrar. ¿Cuántos libros hay en la pila? ¿Cuál es la altura total de 7 libros? ¿Qué quieren determinar? • Pida que cierren los libros y dibujen un modelo que represente la información dada. Luego, que comparen sus modelos con el que está en el Libro del Alumno. Paso 2 Pregúnteles si es posible plantear una frase numérica. Paso 3 Pida que escriban la primera frase numérica y que expliquen qué indica que deben dividir. Luego pida que escriban la siguiente frase numérica y expliquen por qué es necesario multiplicar. Paso 4 Pregunte cómo pueden comprobar sus respuestas. De ser necesario, indíqueles que trabajen hacia atrás.
Estima tu respuesta. Compara tu estimación con el valor real. ¿Es razonable tu respuesta?
121
• Explique que este problema incluye los conceptos de “comparación” en la multiplicación y en la resta. • Ayude a los estudiantes a dibujar un modelo para representar ambos conceptos.
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 103 a 106.
Gestión de la clase 3
• Explique que este problema incluye el concepto de “suma iterada” en la multiplicación y el uso de la estimación.
3
Doña Angélica compró 3 cajas de mercadería con un peso unitario de 69,65 kgs. en la bodega hicieron paquetes de 5 kg para poder enviárselos. ¿Cuántos paquetes deben hacer? 69,65 ≈ 70 3 3 70 = 210
4
• Ayude a los estudiantes a entender que este problema incluye el concepto de “partetodo” en la resta y el concepto de “reparto” en la división. 5
• Esta actividad requiere que los estudiantes redacten problemas en base a frases numéricas dadas. Ello les permite aplicar sus conocimientos de la multiplicación y división traduciendo la representación simbólica a enunciados verbales.
Peso total de las cajas ≈ 210 210 : 5 = 42 Deben hacer 42 paquetes de 5 kg. 4 Un florero de cerámica y 4 floreros de vidrio, los 4 iguales, pesan en total 21,6 kg. El florero de cerámica pesa 3,3 kg. ¿Cuánto pesa cada florero de vidrio? Redondea tu respuesta a 2 lugares decimales. 21,6 2 3,3 = 18,3 El peso de los 4 floreros de vidrio es de 18,3 kg. 18,3 : 4 ≈ 4,58 El peso de cada florero de vidrio es de 4,58 kg. Cuaderno de Trabajo 5A, p 103. Práctica 5
5
122
Realiza esta actividad. a
Margarita escribió estas frases numéricas.
2 3 11,2 = 22,4
100 2 22,4 = 77,6
Escribe una historia con estas frases numéricas. Las respuestas varían.
Capítulo 4: Decimales
172
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Objetivo de las actividades Esta actividad de exploración permite que los estudiantes descubran las posibles combinaciones de 5 cm y 20 cm que sumen 1,25 m. El diario matemático permite que los estudiantes usen su creatividad para redactar un problema en base a información dada.
Gestión de la clase b
Gugo escribió las siguientes frases numéricas.
24,15 kg 2 6,45 kg = 17,7 kg
17,7 kg : 3 = 5,9 kg
Escribe una historia con estas frases numéricas. Las respuestas varían.
¡Exploremos!
(¡Exploremos!) • Los estudiantes pueden usar la heurística de hacer una lista o una tabla para resolver el problema. (Diario matemático) • En base a la información dada, los estudiantes usan su creatividad para plantear un problema.
Josefi na tiene tiras de 5 cm y de 20 cm de largo. Al ponerlas alineadas una después de la otra, obtuvo una longitud de 1,15 m. ¿Cuántas tiras de 5 cm y de 20 cm tiene? Las respuetas varían, por ej. 5 tiras de 20 cm y 3 de 5 cm.
Di a ri o m a t e m á t i c o
Usa la información de más abajo y escribe un problema. Luego, resuélvelo. Balde grande de 4,7 l
Balde mediano (su capacidad es la mitad del balde grande)
Capítulo 4: Decimales
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Objetivo:
Trabajo personal
Habilidades
Estos ejercicios permiten que los estudiantes usen la heurística de “supone y comprueba” para resolverlos.
Asigne a sus estudiantes el “Desafío”, “Piensa y resuelve”, y “Repaso 2” del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 107 a 113.
Razonamiento lógico
Heurística para resolver problemas Supone y comprueba.
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Pida a los estudiantes que usen la heurística de “supone y comprueba” para hacer los ejercicios. La heurística de “supone y comprueba” implica ensayo y error sistemático. Por lo general, el primer intento es incorrecto, pero al realizar la comprobación, los estudiantes deben usar el razonamiento analítico para ajustar sus intentos. Este proceso debería llevarlos a la respuesta correcta.
¡Activa tu mente!
El número de cada cuadrado es el producto de los números que están en los dos círculos contiguos a él.
A
3
18 B
6
2,7 5,4
0,9 C
Solución: Para obtener 18, intenta con 2 × 9 ó 3 × 6. Si pones 2 en A y 9 en B, luego C = 5,4 : 9 = 0,6. Ahora bien, A × C = 2,7, pero 2 × 0,6 no da 2,7. Si pones 3 en A y 6 en B, luego C = 5,4 : 6 = 0,9. 3 × 0,9 da 2,7. Entonces A = 3, B = 6 y C = 0,9. Estrategia: Intenta y comprueba.
Cuaderno de Trabajo 5A, p 107. Desafío Cuaderno de Trabajo 5A, p 108. Piensa y reseuelve
124
Capítulo 4: Decimales
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175
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Decimales
Curso:
Fecha:
1
6
3
5
7,70
12,037
4,98
>
<
(a) 12,37
(c) 4,009 (d) 10,81
(b) 0,1
= > 10,081
0,10
12,31
12,031
12,31 > 12,037 > 12,031
88
Atleta 2, atleta 3 atleta 1
Capítulo 4: Decimales
Ordena a estos altletas según las marcas obtenidas, de mayor a menor.
Atleta 3: 47,099 m
Atleta 2: 47,9 m
Atleta 1: 47,09 m
(4) Tres atletas lanzan la jabalina, obteniendo las siguientes marcas:
12,037
(3) Compara los siguientes decimales y luego ordénalos de mayor a menor, utilizando el símbolo >.
(2) Completa con el símbolo >, < ó = según corresponda.
igual a
(c) 7,7 es
(b) 0,051 es menor que 0,151
(a) 8,4 es mayor que 8,045
(1) Completa los espacios en blanco con mayor que, menor que o igual a.
Práctica 1 Recordando la comparación de decimales
4
Nombre:
Curso:
Fecha:
(c) 0,4 10 = 4 décimas 10 = 40 décimas = 4
(c) 0,12 6 = 12 centésimas 6 = 72 centésimas = 0,72 (d) 0,25 8 = 25 centésimas 8 = 200 centésimas = 2,00
Capítulo 4: Decimales
(b) 0,02 5 = 2 centésimas 5 = 10 centésimas = 0,1
(a) 0,03 3 = 3 centésimas 3 = 9 centésimas = 0,09
89
(2) Completa los espacios en blanco. Expresa el producto como un decimal.
(b) 0,6 5 = 6 décimas 5 = 30 décimas = 3
(a) 0,3 2 = 3 décimas 2 = 6 décimas = 0,6
(1) Completa los espacios en blanco. Expresa el producto como un decimal.
Práctica 2 Multiplicación
Nombre:
176
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Paso 2:
1 2 , 6 3 7 , 8
Luego, 2,6 3 = 7,8 .
(c)
90
(a)
(4) Multiplica.
décimas =
4 7 , 9 5 39 ,5
2 0 , 3 8 2 ,4
=
6
7
(d)
(b)
unidades
unidades
Suma las unidades.
2 unidades 3 =
6
1
8 décimas
Capítulo 4: Decimales
1 2 1 2 , 4 7 8 6 ,8
2 2 , 6 4 10 , 4
unidad
unidades
Multiplica las unidades por 3.
18
1 unidad
18 décimas
Reagrupa las décimas.
6 décimas 3 =
1 2 , 6 3 8
Multiplica las décimas por 3.
Paso 1:
(3) Sigue los pasos para multiplicar 2,6 por 3. Completa los espacios en blanco.
Capítulo 4: Decimales
7 décimas
91
6 unidades 2 unidades = 8 unidades Luego, 1,46 6 = 8,76 .
Suma las unidades.
1 unidad 6 = 6 unidades
2 3 1 , 4 6 6 8 , 7 6
2 unidades
27 décimas =
Reagrupa las décimas.
Multiplica las unidades por 6.
Paso 3:
24 décimas
6 centésimas
3 décimas = 27 décimas
Suma las décimas.
4 décimas 6 = 24 décimas
2 3 1 , 4 6 6 , 7 6
3 décimas
Multiplica las décimas por 6.
36 centésimas =
Reagrupa las centésimas.
6 centésimas 6 = 36 centésimas
Multiplica las centésimas por 6.
Paso 2:
Paso 1: 3 1 , 4 6 6 6
(5) Sigue los pasos para multiplicar 1,46 por 6. Completa los espacios en blanco.
177
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28-12-12 10:49
3 1 0 , 0 7 5 50,35
(a)
2 3 , 2 9 3 9 ,87
(b) 1 3 1 5 , 2 4 8 1 2 1,9 2
(c) 7 , 4 6 9 6 7,1 4
(d)
92
(c)
(b)
(a)
21,38
31,4
Capítulo 4: Decimales
5,04
(7) Eugenia da saltos del mismo tamaño sobre una recta numérica. ¿A qué número decimal llega? Escribe la respuesta para cada ejercicio en el recuadro.
(6) Multiplica.
Curso:
10 décimas : 5 2 décimas 0,2 24 décimas : 6 4 décimas 0,4
(c) 1 : 5 = = = (d) 2,4 : 6 = = =
(b) 0,8 : 4 = 8 décimas : 4 = 2 décimas = 0,2
(a) 0,6 : 2 = 6 décimas : 2 = 3 décimas = 0,3
Fecha:
2 (d) 0,1 : 2 = 10 centésimas : = 5 centésimas = 0,05
Capítulo 4: Decimales
9
7 (b) 0,14 : 7 = 14 centésimas : = 2 centésimas = 0,02 (c) 0,27 : 9 = 27 centésimas : = 3 centésimas = 0,03
2 (a) 0,08 : 2 = 8 centésimas : = 4 centésimas = 0,04
93
(2) Completa los espacios en blanco. Expresa el cociente como un decimal.
(1) Divide y escribe tu respuesta como decimal.
Práctica 3 División
Nombre:
178
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Paso 2:
Paso 3:
Luego, 8,4 : 3 = 2,8 .
94
Capítulo 4: Decimales
____ décimas : 3 = ____ décimas 24 8
Divide las décimas por 3.
2 24 ____ unidades y 4 décimas = ____ décimas
Reagrupar lo que quedó en décimas.
2 quedan ____ unidades
2 8 unidades : 3 = ____ unidades
Divide las unidades por 3.
8 , 4 : 3 = 2 , 8 6 2 4 2 4 0
8 , 4 : 3 = 2 6 2 4
8 , 4 : 3 = 2 6 2
Paso 1:
(3) Sigue los pasos para dividir 8,4 por 3. Completa los espacios en blanco.
(e)
(c)
(a) 1 2 , 9 : 3 = 4 , 3
–
0
– 2 0
2 0
– 4
6
0 , 6 : 4 = 0 , 1 5 – 0
0
– 2 7
2 7
8 , 7 : 3 = 2 , 9
– 0
9 9 0
– 1 2
Capítulo 4: Decimales
(4) Divide.
(f)
(d)
(b)
6 3 6 3 0
2 0 2 0 – 2 0 0 –
5 , 2 : 5 = – 5
–
1,04
2 4 , 3 : 9 = 2 , 7 – 1 8
0
– 5 6
5 6
5 , 6 : 8 = 0 , 7
– 0
95
179
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28-12-12 10:49
5 , 4 8 : 4 = 1 1 4
1 unidad
1 unidad,
unidad y 4 décimas =
décimas
96
décimas
Divide las centésimas por 4. 7
Capítulo 4: Decimales
centésimas
centésimas
14 décimas
Reagrupa lo que queda en centésimas. 2 décimas y 8 centésimas = 28
quedan 2
Divide las décimas por 4. 14 décimas : 4 = 3
1
Reagrupa lo que queda en décimas.
queda
5 unidades : 4 =
Divide las unidades por 4.
28 centésimas : 4 = 5 , 4 8 : 4 = 1 , 3 7 –4 1 4 –1 2 2 8 – 2 8 0 Luego, 5,48 : 4 = 1,37 .
Paso 5:
Paso 4: 5 , 4 8 : 4 = 1 , 3 –4 1 4 –1 2 2 8
Paso 3: 5 , 4 8 : 4 = 1 , 3 –4 1 4 –1 2 2
–4
Paso 2:
5 , 4 8 : 4 = 1 –4 1
Paso 1:
(5) Sigue los pasos para dividir 5,48 por 4. Completa los espacios en blanco.
(e)
(c)
(a)
0
– 1 5
1 5
– 5
6
1 5 , 6 5 : 5 = 3 , 1 3 – 1 5
0
– 1 2
1 2
– 0
1
1 2 , 1 2 : 6 = 2 , 0 2
– 1 2
0
– 1 2
1 2
– 4
5
0 , 5 2 : 4 = 0 , 1 3
– 0
Capítulo 4: Decimales
(6) Divide.
(f)
(d)
(b)
0
– 20
20
– 2 8
3 0
3 : 4 = 0 , 7 5 – 0
0
– 56
56
– 2 1
2 6
9 , 6 6 : 7 = 1 , 3 8 – 7
0
– 8 1
8 1
– 0
8
97
0 , 8 1 : 9 = 0 , 0 9
– 0
180
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28-12-12 10:49
−0 7 0 −6 4 60 − 56 4
7 : 8 =
(a) 7 : 8 ≈
0,8 7
0,9
2
Primero, divide hasta 2 posiciones decimales en el cociente. Luego, redondea tu respuesta a 1 posición decimal.
–1 8
4
– 1 6
2 0
– 1 8
20
– 9
11 : 9 = 1 , 2 2
(c) 11 : 9 ≈ 1 , 2
2 0
– 48
50
5 : 8 = 0 , 6 2
– 0
(b) 5 : 8 ≈ 0 , 6
98
3 : 7 = 0 , 4 2 8 – 0 30 – 28 2 0 – 1 4 60 – 56 4
(a) 3 : 7 ≈ 0,43
4
–3 6
4 0
–3 6
4 0
– 6
10
– 12
Capítulo 4: Decimales
13 : 6 = 2 , 1 6 6
(b) 13 : 6 ≈ 2,17
(8) Divide. Redondea tu respuesta a la centésima más cercana (2 posiciones decimales).
(7) Divide. Redondea tu respuesta a la décima más cercana (1 posición decimal).
Curso:
Fecha:
≈ 8 12 = 20
Capítulo 4: Decimales
≈ 36 15 = 21
(e) 35,67 15,09
≈ 9 20 = 29
(c) 9,05 19,55
(a) 7,7 12,3
≈ 15 6 = 9
(f) 15,40 5,95
≈ 22 12 = 10
(d) 21,8 11,5
≈ 37 = 10
(b) 2,90 7, 15
(1) Redondea cada número al número entero más cercano. Después, estima la suma o la diferencia.
Práctica 4 Estimación de decimales
Nombre:
99
181
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28-12-12 10:49
100
≈ 72 : 8 = 9
(e) 72,09 : 8
≈ 1×8 = 8
≈ 100 : 5 = 20
(f) 99,75 : 5
≈ 25 : 5 = 5
(d) 24,6 : 5
≈ 20 × 3 = 60
≈ 5×4 = 20
(c) 0,95 8
(b) 19,6 3
(a) 4,5 4
(2) Estima el producto o el cuociente.
Capítulo 4: Decimales
Capítulo 4: Decimales
≈ 6,3 : 7 = 0,9 kg
(d) 6,34 kg : 7
≈ 3×4 = 12 cm
(c) 2,89 cm 4
≈ 10,0 1,5 = 8,5
(b) 9,95 1,46
≈ 0,5 15,5 = 16
(a) 0,47 15,51
(3) Estima el resultado en cada una de las siguientes operaciones:
101
182
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28-12-12 10:49
102
Capítulo 4: Decimales
El espesor de una pila de 9 planchas de madera prensada es de aproximadamente 9 cm.
1,27 ≈ 1 1×9=9
(5) Una plancha de madera prensada tiene un espesor de 1,27 cm . Estima el espesor de 9 planchas de esta madera prensada apiladas.
8 bolsas de naranjas pesan aproximadamente 16 kg.
1,95 ≈ 2 8 × 2 = 16
(4) Una malla de naranjas pesa 1,95 kg. Estima el peso de 8 mallas de naranjas si todas pesan lo mismo.
Problemas
Curso:
Fecha:
Capítulo 4: Decimales
Mariana pensó en el número 51,45.
7,35 × 7 = 51,45
(3) Mariana piensa un número. Cuando lo divide por 7, obtiene 7,35. ¿Qué número pensó Mariana?
El largo de cada trozo es de aproximadamente 0,2 m.
0,9 : 4 = 0,225 ≈ 0,2
103
(2) Un gásfiter corta un tubo de cobre en 4 trozos iguales. El tubo medía 0,9 m de largo. Calcula la longitud de cada trozo, en metros. Redondea la respuesta a 1 posición decimal.
En las 6 latas hay aproximadamente 2 litros de bebida.
0,33 × 6 = 1,98 ≈2
(1) ¿Cuántos litros de bebida hay en 6 latas del mismo tamaño si cada lata contiene 0,33 de bebida? Redondea la respuesta al litro más cercano.
Práctica 5
Nombre:
183
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104
Trabajó 7,5 horas diarias.
$225 000 : 6 = $37 500 $37 500 : $5000 = 7,5
Capítulo 4: Decimales
(6) En las vacaciones, Andrés trabajó 6 días por semana. Cada día trabajó la misma cantidad de horas. Le pagaban $5000 por hora. En una semana ganó $225 000. ¿Cuántas horas diarias trabajó?
Las 9 botellas pesan 5,4 kg.
1,8 : 3 = 0,60 0,6 × 9 = 5,4
(5) 3 botellas de una bebida pesan 1,8 kg. Rosa juntó 9 botellas de esa bebida. ¿Cuánto pesan las 9 botellas?
Los 6 sacos de harina pesan 41,1 kg.
13,7 : 2 = 6,85 6,85 × 6 = 41,1
(4) 2 sacos de harina pesan 13,7 kg. Calcula cuánto pesan 6 sacos de harina.
Capítulo 4: Decimales
Alonso puede llenar 5 bolsas.
1,95 kg ≈ 2 kg 10 : 2 = 5
105
(8) Alonso llena bolsas de arroz con 1,95 kg cada una. ¿Cuál es la mayor cantidad de bolsas de arroz que Alonso puede llenar si tiene 10 kg de arroz?
Después de 7 días, en el saco quedan aproximadamente 4 kg.
0,85 × 7 = 5,95 10 5,95 = 4,05 ≈4
(7) Un saco contiene 10 kg arroz. Una familia consume 0,85 kg de arroz al día. ¿Cuánto arroz queda en el saco después de 7 días? Aproxima tu respuesta al kilogramo más cercano.
184
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28-12-12 10:50
106
Cada cinta mide 0,55 m.
10 m 5,05 m = 4,95 m 4,95 : 9 = 0,55
Capítulo 4: Decimales
(10) Romina cortó 9 cintas del mismo tamaño de una tira que medía 10 m y le sobraron 5,05 m. ¿Qué largo tiene cada una de las cintas que cortó?
La longitud del trozo más largo es de aproximadamente 7,1 m.
9.4 : 4 = 2,35 2,35 × 3 = 7,05 ≈ 7,1
(9) Don Arturo cortó una barra de metal de 9,4 m de largo en dos partes. Una de las partes tiene 3 veces la longitud de la otra. Calcula en metros la longitud del trozo más largo. Redondea tu respuesta a 1 posición decimal.
Desafío
Curso:
Fecha:
2.88 ,
2.88
4,5 kg 142,1 kg
Capítulo 4: Decimales
Anita pesa 34,4 kg.
4 partes → 142,1 4,5 = 137,6 kg 1 parte → 137,6 : 4 = 34,4 kg
Rina
Anita
Liliana
107
(2) Anita pesa 4,5 kg menos que Liliana. Rina pesa el doble de Anita. En total, las tres niñas pesan 142,1 kg. ¿Cuánto pesa Anita?
tazones tazas
La capacidad de un tazón es de 0,96 de agua.
9 partes → 2,88 1 parte → 2,88 : 9 = 0,32 3 × 0,32 = 0,96
tazones tazas
(1) 3 tazas y 2 tazones pueden contener como máximo 2,88 de agua. Un tazón tiene 3 veces la capacidad de una taza. Calcula qué cantidad de agua puede contener un tazón.
Nombre:
185
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Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
1,1
1,7
0,9
0,6 C
108
Gina compró 7 queques.
15,25 kg 1,25 kg = 14 kg 14 : 2 = 7
Capítulo 4: Decimales
(2) Gina compró tortas y queques. En total, la compra pesó 15,25 kg. Una torta y un queque juntos pesan 2 kg juntos. Cada torta pesa 1,25 kg. Si compró una torta más que la cantidad de queques. ¿Cuántos queques compró?
Empieza con la suma de 0.9, ya que es el más pequeño. Intenta 0,1 + 0,8. Si pones 0,1 en A y 0,8 en C, tendrás B = 1,7 – 0,8 = 0,9, pero 0,9 + 0,1 = 1 que es menos que 1,4. Esto significa que se necesita un número más grande en A. Intenta con 0,3 en A y 0,6 en C. Esto nos dará B = 1,7 – 0.6 = 1, 1 y 1,1 + 0,3 es igual a 1,4. En consecuencia, A = 0,3, B= 1,1 y C = 0,6.
B
1,4
A 0,3
(1) Los números que se encuentran en dos círculos de una misma línea suman el número que se encuentra en el cuadrado. Encuentra los números que faltan faltantes.
Nombre:
Repaso 2
Curso:
Fecha:
6
3
5
CD =
BC =
6
6
6 cm
C
B
cm
cm
(b)
Repaso 2
U
T
TVU = 45 °
STUV es un cuadrado. Encuentra el TVU.
V
S
(a)
(b)
R
S
18
C
B
cm
BDC = 67 °
ABCD es un rectángulo. Encuentra el BDC.
D
A
23°
QR =
109
La longitud de QR es 3 veces la de PQ.
Q
6 cm
P
PQRS es un rectángulo.
(2) Encuentra el ángulo desconocido en cada figura.
D
A
(a) ABCD es un cuadrado.
(1) Completa los espacios en blanco. Las siguientes figuras no son dibujos a escala.
Nombre:
186
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15º
Q
O
N
36º
(d)
S
P
45° T
16°
45°
R
Q
QSR = 45 ° RQT = 29 °
MNQ = 54 °
OMP = 75 °
MNOP es un rectángulo. PQRS es un cuadrado. Encuentra el MNQ y el OMP. Encuentra el QSR y el RQT.
110
BC =
cm
cm
11
4 cm
8
D
C
6 cm
?
?
E
5 cm F
EF =
B
12 cm
A
(a)
P
PQ =
QR =
U
4 cm
V 3 cm
(b)
6
5
W
5 cm
cm
cm
15 cm
?
R
Q
4 cm
Repaso 2
T
S
(3) Todos los lados consecutivos de la figura de abajo son perpendiculares. Encuentra la longitud de los lados desconocidos de cada figura.
P
M
(c)
14
3 cm
cm
J
K I
TS =
PQ =
T
10 cm
M
(a) 5,4 : 6 = 0 ,9 0 5 4 5 4 0
Repaso 2
(5) Divide.
10
4
?
N
S
R
50,76
23 (c) 8,46 × 6
cm
cm
8 cm
2 cm
O
(b) 0,84 : 7 = 0 ,12 0 8 7 14 14 0
3 5, 2 1
LK =
NM =
3 cm
?
H
12, 5
?
M
L
20 cm
(d)
2 (b) 5,03 × 7
N
G
(c)
(4) Multiplica. 2 (a) 2,5 × 5
111
8 cm
Q
?
P
187
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28-12-12 10:50
(c) 4,17 : 3 = 1,39 3 11 9 27 27 0
(d) 7,3 : 5 = 1,46 5 23 20 30 30 0
(c) 2,59 : 7 = 0,37 ≈ 0,4 0 25 21 49 49 0
(a) 6,3 : 4 = 1,57 ≈ 1,6 4 23 20 30 28 2
112
(c) 0,47 × 8 ≈
4
(a) 49,8 + 23,05 ≈ 73 (d) 1,49 : 3 ≈ 0,5
(b) 75,1 – 19,88 ≈ 55
(7) Estima el resultado de los siguientes ejercicios:
(b) 5 : 6 = 0,83 ≈ 0,8 0 50 48 20 18 2
0 7 5 27 25 2
0,77 : 5 = 0,154 ≈ 0,2
(6) Divide. Redondea tu resultado a 1 posición decimal.
Repaso 2
Repaso 2
$1400 : $200 = 7 En 7 días la hermana ahorra $1400 más que Paula. $450 × 7 = $3150 En esos 7 días, Paula ahorra $3150. Paula debiera tener ahorrado $3150.
113
(10) Paula ahorra $450 cada semana. Su hermana ahorra $200 más que Paula cada semana. Cuando la hermana haya ahorrado $1400 más que Paula, ¿cuánto debiera tener ahorrado Paula?
El albañil construyó 8,5 m de muro en 1 día.
31,3 5,8 = 25,5 25,5 : 3 = 8,5
(9) Un albañil debe construir un muro de 31,3 m de largo. Después de trabajar durante 3 días, aún le quedan 5,8 m por construir. Si construyó la misma longitud de muro cada día, ¿cuántos metros de muro construyó en 1 día?
Susana recibe $595 de vuelto.
0,45 × $900 = $405 $1000 $405 = $595
(8) 1 kg de papas cuesta $900. Susana compra 0,45 kg. ¿Cuánto vuelto recibió si pagó con $1000?
188
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Diario matemático
1
Esta actividad permite a los estudiantes reflexionar sobre el método de suma de fracciones a través de modelos y reconocer los errores más frecuentes al dibujalos.
(2) Sumando fracciones con distinto denominador Los estudiantes serán capaces de: • realizar una lista con los múltiplos de los denominadores de dos fracciones y encontrar el mínimo común múltiplo entre ellos. • sumar dos fracciones de distinto denominador usando la estrategia antes descrita. • para la suma de fracciones con distinto denominador dibujar un modelo que represente fracciones equivalentes.
Los estudiantes serán capaces de: • identificar dos o más fracciones con igual denominador y dos o más fracciones con distinto denominador. • identificar fracciones que tienen igual y distinto denominador.
(1) Fracciones con igual y distinto denominador
Objetivos
3
2
Horas pedagógicas
Capítulo 5: Fracciones
• Libro del Alumno 5A, pág 128 • Guía del Profesor 5A, pág 196
• Libro del Alumno 5A, págs. 126 a 127 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 114 a 117 • Guía del Profesor 5A, págs. 194 a 195
• Libro del Alumno 5A, pág. 125 • Guía del Profesor 5A, pág. 193
Recursos
Analizar las partes del todo
Realizar una lista sistemática Anticipar y comprobar
Comparar
Habilidades
189
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28-12-12 10:50
3
2
Horas pedagógicas Objetivos
(4) Fracciones como resultado de un reparto equitativo Los estudiantes serán capaces de: • asociar una fracción con una división. • usar la “conversión de fracciones impropias a número mixto” para expresar una división como un número mixto. • usar el método de división para expresar una fracción impropia como número mixto.
Los estudiantes serán capaces de: • realizar una lista con los múltiplos de los denominadores de dos fracciones y encontrar el mínimo común múltiplo entre ellos. • restar dos fracciones de distinto denominador sin reagrupamiento. • dibujar un modelo para representar fracciones equivalentes en la sustracción de fracciones de distinto denominador.
(3) Restando fracciones con distinto denominador
Capítulo 5: Fracciones
• Libro del Alumno 5A, págs. 132 a 136 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 122 a 125 • Guía del Profesor 5A, págs. 200 a 204
• Libro del Alumno 5A, págs. 129 a 131 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 118 a 120 • Guía del Profesor 5A, págs. 197 a 199
Recursos
Relacionar el concepto de “parte-todo” con las fracciones Identificar patrones y relaciones
Realizar un listado sistemático, predecir y comprobar
Habilidades
190
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2
2
Horas pedagógicas Objetivos
(6) Sumando números mixtos Los estudiantes serán capaces de: • sumar dos números mixtos con o sin reagrupamiento. • sumar dos números mixtos usando una calculadora.
Los estudiantes serán capaces de: • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos a decimales cambiando los denominadores a 10, 100 o 1000. • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos a decimales usando el método de división largo. • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos a decimales usando una calculadora.
(5) Expresando fracciones como decimales
Capítulo 5: Fracciones
• Libro del Alumno 5A, págs. 146 a 149 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 131 a 132 • Guía del Profesor 5A, págs. 214 a 217
• Libro del Alumno 5A, págs. 137 a 145 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 126 a 130 • Guía del Profesor 5A, págs. 205 a 213
Recursos
Relacionar los conceptos “partetodo”, “agregar” y “comparar” con las fracciones
Comparar
Habilidades
191
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• Libro del Alumno 5A, págs. 155 a 158 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 135 a 142 • Guía del Profesor 5A, págs. 223 a 226
(8) Resolución de problemas
3
Los estudiantes serán capaces de: • Resolver problemas relacionando los conceptos de adición y sustracción. • Resolver problemas usando modelos.
• Libro del Alumno 5A, págs. 150 a 154 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 133 a 134 • Guía del Profesor 5A, págs. 218 a 222
Recursos
(7) Restando números mixtos Los estudiantes serán capaces de: • restar un número mixto de otro número mixto con o sin reagrupamiento. • restar un número mixto de otro número mixto usando una calculadora.
Objetivos
2
Horas pedagógicas
Capítulo 5: Fracciones
Comparar
Relacionar conceptos de adición y sustracción
Relacionar los conceptos “partestodo”, “quitar” y “comparar” con las fracciones
Habilidades
192
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28-12-12 10:51
1
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes serán capaces de aplicar habilidades de pensamiento y heurísticas para resolver problemas más desafiantes.
¡Activa tu mente!
Los estudiantes serán capaces de recordar los objetivos de cada sesión en relación a las habilidades, conceptos y estrategias aprendidas para resolver problemas.
¡Resumamos!
Este diario permite a los estudiantes reflexionar sobre el concepto de suma de dos fracciones y reconocer los errores más frecuentes que pueden cometer.
Diario matemático
Capítulo 5: Fracciones
Analizar las partes y el todo
• Libro del Alumno 5A, págs. 159 a 160 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 143 a 144 • Guía del Profesor 5A, págs. 227 a 228
Heurística para resolver problemas: Dibujar un modelo Considerar dos momentos: “antes y “después”
Habilidades
Recursos
Capítulo cinco
Fracciones Objetivos: Fracciones con igual y distinto denominador Los estudiantes serán capaces de: • identificar dos o más fracciones con igual denominador y dos o más fracciones con distinto denominador. • identificar fracciones que tienen igual y distinto denominador.
Conceptos clave
Materiales
• Una fracción representa una parte de un todo. • Dos fracciones pueden tener igual denominador. • Dos fracciones pueden tener distinto denominador.
Discos fraccionados (ver Apéndice 8, págs. 341 y 342)
Habilidades Comparar
Gestión de la Clase 1
• Muestre dos fracciones de igual denominador, 2 3 y , usando dos discos 5 5 fraccionados. • Pida a un estudiante que escoja dos discos fraccionados en igual cantidad de partes y que las pegue en el pizarrón. Recuérdeles cuál es el denominador y qué representa.
Fracciones ¡Aprendamos!
Fracciones con igual y distinto denominador 1 a José tenía 2 de una galleta. 5
a
3 5
Luis tenía de una galleta del mismo tipo.
b
2 3 y tienen igual denominador. 5 5
b María tenía 2 de una pizza. 3
Las fracciones y tienen distinto denominador.
Las fracciones
• Muestre dos fracciones de distinto denominador, 2 3 y usando dos discos 3 4 fraccionados. • Pida a un estudiante que escoja dos discos fraccionados en igual cantidad de partes y que los pegue en la pizarra.
Ambas fracciones tienen denominador 5.
2 3
3
Carla tenía de una pizza 4 del mismo tamaño.
3 4
Una fracción tiene denominador 3 y la otra 4.
Capítulo 5: Fracciones
125
193
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Objetivos: Sumando fracciones con distinto denominador Los estudiantes serán capaces de: • realizar una lista con los múltiplos de los denominadores de dos fracciones y encontrar el mínimo común múltiplo entre ellos. • sumar dos fracciones de distinto denominador usando la estrategia antes descrita. • para sumar fracciones de distinto denominador, dibujar un modelo que represente fracciones equivalentes.
Conceptos clave
Materiales
• Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de un mismo todo. • Para sumar fracciones deben ser expresadas como fracciones de igual denominador.
Discos fraccionados (ver Apéndice 8, págs. 341 y 342)
Actividad opcional Repase la suma de fracciones de igual denominador aprendida previamente. Si es necesario, utilice los discos fraccionados para mostrar la suma.
Habilidades • Realizar una lista sistemáticamente. • Anticipar y comprobar.
Gestión de la Clase 1
• Lea y explique el problema. Los estudiantes deben sumar las fracciones basándose en el concepto “parte- todo”. • Use el concepto de “múltiplos” para explicar y mostrar el procedimiento para encontrar el denominador común: (a) Haga una lista con los múltiplos del primer denominador, 2. (b) Haga una lista con los múltiplos del segundo denominador, 3. (c) Compare ambas listas. Identifique y seleccione el primer múltiplo común. • Guíe a los estudiantes a recordar qué son las fracciones equivalentes. • Luego, explique el procedimiento para expresar las dos fracciones de distinto denominador como fracciones de igual denominador, encontrando fracciones equivalentes cuyo denominador es 6. Destaque que dos fracciones equivalentes provienen del mismo entero o de enteros iguales. • Por último, explique el método para representar la suma de fracciones a través de modelos.
¡Aprendamos!
Sumando fracciones con distinto denominador 1 1 de una barra está pintada de color rojo. 1 de la misma barra está pintada 2
3
de color verde. ¿Qué fracción de la barra está pintada? 1 2
1 3
1
= ?
1
Suma 2 y 3 .
1
1
Para sumar, expresa 2 y 3 como fracciones de igual denominador.
Haz una lista con los múltiplos de los denominadores 2 y 3. Múltiplos de 2: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12, . . .
Múltiplos de 3: 3 , 6
6 es el primer múltiplo entre 2 y 3 que es múltiplo entre ambos números a la vez. A este múltiplo le llamamos mínimo común múltiplo.
, 9 , 12, …
3
2
1 3 = 2 6
2 1 = = 6 3
N 2
3 1 3 = 6 2
1 3
3 6 5 = 6
2 6
=
5 de la barra están pintadas. 6
126
2 y 6 son
equivalentes. fracciones equivalentes 1 2
=
1 2 = 6 3
5 6
1 2
3
1
1 6 1 6 1 6
Como 6 es el mínimo común múltiplo, dibujo un modelo con 6 partes iguales.
Capítulo 5: Fracciones
194
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Uso de tecnología Dibujar modelos para representar la suma de fracciones utilizando un computador.
Actividad opcional Pida a sus estudiantes que investiguen en qué casos, al multiplicar los denominadores de dos fracciones entre sí, se encuentra el mínimo común múltiplo.
Gestión de la Clase 2 1 2
• Observe si pueden resolver la suma de fracciones de distinto denominador. • Algunos estudiantes tal vez noten que multiplicando 2 y 7 obtienen 14, que es el mínimo común múltiplo entre los dos denominadores. Indique que esta técnica funciona sólo en algunos casos.
2 7
2 Suma y .
7
1 72 = 2 14
7
1 2 = 7 4 2 14 7 14
14 es el mínimo común múltiplo entre 2 y 7.
2 4 = 7 14
2
2
1 7 = 2 14
1
1
¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 4 y 3?
4 1 1 3 = 12 = 12 3 4 1 4
1 4 3 = 12 12 3
7 = 12
4
3 12
4 12 ?
Realiza esta actividad. ¡In
3
11 = 14
3 Encuentra la suma de y . 3 4
2 4 = 7 14
ntalo! té
a
Usa un programa del computador que puedas dibujar para hacer un modelo de barras con el que muestre la suma de fracciones. Luego, calcula la suma de las fracciones.
1 1 3 2 4 4
Capítulo 5: Fracciones
b
1 3 19 5 4 20
c
• Observe si logran resolver el problema sin tener que realizar la lista con los múltiplos de 3 y 4, ya que podrían considerar un múltiplo cualquiera y luego comprobar si es múltiplo del segundo número. Este método ayudará a acelerar el proceso para encontrar el primer múltiplo común. Por ejemplo, pueden predecir que 6 es múltiplo de 3, pero luego comprueban que no es múltiplo de 4. En seguida pueden pensar en el número 12, que es múltiplo de 3 y de 4, y es el mínimo común múltiplo entre 3 y 4. Una vez que el denominador común ha sido encontrado, los estudiantes pueden usar el método de producir fracciones equivalentes para encontrar las dos fracciones de igual denominador 4
2 11 1 3 12 4 127
• El propósito es dibujar un modelo para dos fracciones. Es necesario que encuentren el mínimo común múltiplo antes de dibujar el modelo. (Use el método del ejercicio 3 ).
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Habilidades Analizar las partes y el todo.
Objetivos Esta actividad permite a los estudiantes reflexionar sobre el método de suma de fracciones a través de modelos y reconocer los errores más frecuentes al dibujarlos.
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! • Asigne la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 114 a 117.
Gestión de la clase (Diario matemático) • Esta actividad ayuda a los estudiantes a reflexionar sobre el método para sumar dos fracciones de distinto denominador y relacionarlo con un modelo. Pídales que expliquen por qué los dos primeros modelos son incorrectos.
Diario matemático 1 2
1 7
Uno de estos tres modelos muestra la suma de y . Los otros dos modelos son incorrectos. Explica por qué. Los modelos 1 y 2 son incorrectos. 1 2
1 7
La cantidad de partes pintadas para representar 1 es incorrecta. 2
Modelo 1: Model 1:
? 1 2
1 7
La cantidad de partes pintadas para representar 1 es incorrecta. 7
Model 2: Modelo 2: ? 1 2
1 7
Modelo 3: Model 3:
?
¡Practiquemos! 3a 1 Dibuja un modelo para representar y calcular la suma de cada par de fracciones. a
2 1 y 5 2
9 10
b
1 1 y 3 4
3 1 7 c y 5 3 12
14 15
2 Suma. Expresa la respuesta en su forma más simple, cuando sea posible.
a
2 1 19 3 8 24
3 b 2 1 12 4 3
c 1 3 1 10 2 5
5 d 1 1 6 12 4
Cuaderno de Trabajo 5A, p 114. Práctica 1
128
Capítulo 5: Fracciones
196
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Objetivos: Restando fracciones con distinto denominador Los estudiantes serán capaces de: • realizar una lista con los múltiplos de los denominadores de dos fracciones y encontrar el mínimo común múltiplo entre ellos. • restar dos fracciones de distinto denominador sin reagrupamiento. • dibujar un modelo para representar fracciones equivalentes en la sustracción de fracciones de distinto denominador.
Conceptos clave
Materiales
Dos fracciones pueden ser sumadas si provienen del mismo entero o de enteros idénticos.
Discos fraccionados (ver Apéndice 8, págs. 341 y 342)
Actividad opcional
Habilidades • Realizar una lista sistemáticamente. • Anticipar y comprobar.
Repase la resta de fracciones de igual denominador que fue enseñada previamente. Si es necesario, use los discos fraccionados para representar las fracciones.
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Restando fracciones con distinto denominador 3 4
1 6
1 La botella A tenía de leche. Pedro vació de la botella A a la
botella B. ¿Cuánta leche quedó en la botella A?
3 4
1 6
1
2 = ?
3
Resta 6 a 4 de leche. 1
3
Para restar, expresa y como
4 6 Haz la lista de múltiplos fracciones con igual denominador. de los denominadores 4 y 6. Múltiplos de 4: 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , … Múltiplos de 6: 6 , 12 , 18 , 24 , … 12 es el mínimo común múltiplo entre 4 y 6.
N
2
3
3 9 = 4 12
2 1 = = 6 12
N 2
3 3 9 = 12 4
?
1= 2 6 12
3 4
1 6
Como 12 es el mínimo común múltiplo, dibujo un modelo con 12 partes iguales.
9 2 12 12 7 = 12
2 = 2
En la botella A quedaron de leche.
Capítulo 5: Fracciones
7 12
129
• Lea y explique el problema. Es necesario que los estudiantes resten dos fracciones basados en una situación de quitar. • Use el concepto de “múltiplos” para explicar y mostrar el procedimiento para encontrar el denominador común: (a) Haga una lista con los múltiplos del primer denominador, 4. (b) Haga una lista con los múltiplos del segundo denominador, 6. (c) Compare las dos listas de múltiplos. Identifique y seleccione el primer múltiplo en común entre ambas listas de múltiplos. • Luego, explique el procedimiento para expresar las dos fracciones con igual denominador, mediante fracciones equivalentes cuyo denominador es 12. Destaque que las dos fracciones equivalentes deben provenir del mismo todo. • Por último, explique el método para restar dos fracciones dibujando modelos.
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Uso de tecnología Dibujar modelos para representar la resta de fracciones usando un computador.
Actividades opcionales
Nota
• Pida a algunos estudiantes que muestren sus modelos y sus respuestas al resto de la clase. • Pida a los estudiantes que encuentren el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números. Luego, oriéntelos para ver si son capaces de realizar algunas generalizaciones: 2 y 6, 3 y 4, 3 y 9, 4 y 12, 3 y 5.
Algunos estudiantes pueden darse cuenta que multiplicando 5 por 3 obtienen 15, que es el mínimo común múltiplo entre ambos números. Esta técnica sólo funciona en algunos casos, por ejemplo, no funciona para los denominadores 3 y 9; el primer múltiplo común no es 3 × 9 = 27, ya que 9 es el número común múltiplo.
Gestión de la clase 2
• Observe si logran restar dos fracciones con distinto denominador. Recuérdeles que deben encontrar el mínimo común múltiplo entre los dos denominadores.
3
4
• En esta actividad practican el dibujo de un modelo de dos fracciones. Es necesario que encuentren el mínimo común múltiplo antes de dibujar el modelo, basándose en 3 .
2 3
3
5
1 31 = 5 15
1 2 10 = 3 15
3
5
10 3 2 1 3 2 5 = 15 2 15
15 es el mínimo común múltiplo entre 3 y 5. 2 10 3 = 15
1 3 = 5 15
15
6
5 15 = 18 6
?
7 =
5 9
3 Calcula la diferencia entre 5 y .
¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 6 y 9?
5 10 = 18 9
5 5 2 = 15 2 10 6 9 18 18 5 = 18
15 18 ?
10 18 4 ¡In
• Pida que comparen los denominadores de esta actividad con los de la anterior y encuentren la diferencia entre ambos pares de denominadores. • Observe si logran resolver esta resta sin hacer la lista de múltiplos de 6 y 9. Podrían buscar un múltiplo de uno de los números y luego comprobar si éste es múltiplo del segundo número. Por ejemplo, pueden decir que 12 es múltiplo de 6, pero no es múltiplo de 9. Luego, podrían encontrar el número 18, que es múltiplo de 6 y 9, y es el mínimo común múltiplo entre 6 y 9. Una vez encontrado el denominador común, usar el método de fracciones equivalentes para encontrar las dos fracciones de igual denominador.
1 5
2 Resta a .
130
Realiza esta actividad.
ntalo té !
a
Usa un programa del computador que sirva para dibujar para hacer modelos de barras que representen la diferencia entre las fracciones. Luego, calcula esta diferencia. 1 2 3 2 2 7 14
b
5 4 7 2 6 9 18
c
3 3 3 2 4 5 20
Capítulo 5: Fracciones
198
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 5a. • Asigne la Práctica 2 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 118 a 121.
¡Practiquemos! 5a 1
4
1 Completa el modelo con las fracciones , 3 y . Luego, escribe dos restas 2 10 5 asociadas. 4 5 1 2
Acepte todas las respuestas posibles. Por ejemplo: 4 1 3 – = 5 2 10 8 5 3 = – 10 10 10
3 10
2 Resta. Dibuja modelos para ayudarte.
a
5 1 5 4 2 = 2 8 2 8 8
=
4 1 b 2 = 16 2 5 5 4 20 20
1 8
=
11 20
3 Resta. Expresa tu respuesta en la forma más simple.
a
1 3 5 2 12 4 6
b
9 3 3 2 10 5 10
c
5 8 1 2 6 18 9
d
7 11 1 2 8 24 12
e
2 18 4 2 7 35 5
f
2
3 4
1 36
g
1 4 17 2 6 42 7
h
3 2 2 8 3
7 24
7 9
Cuaderno de Trabajo 5A, p 118. Práctica 2
Capítulo 5: Fracciones
131
199
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Objectivos: Fracciones como resultado de un reparto equitativo Los estudiantes serán capaces de: • asociar una fracción con una división. • usar la “conversión de fracciones impropias a número mixto” para expresar la división como número mixto. • usar el método de división para expresar una fracción impropia como número mixto.
Conceptos clave Un número entero cuando es dividido por otro número entero, puede dar como resultado: (a) un número entero, con o sin resto. (b) una fracción propia. (c) un número mixto, en los casos en que hay resto.
Habilidades • Relacionar la fracción con el concepto parte- todo. • Identificar patrones y relaciones.
Materiales Discos fraccionados (ver Apéndice 8 págs. 341 y 342)
Gestión de la clase 1 • Primero, revise el siguiente
ejemplo: “Reparte 9 tortas del mismo tipo entre 3 niños. ¿Cuántas tortas recibe cada uno?” Muestre representaciones concretas de 3 personas recibiendo cada torta. Luego, pida repartir 2 pizzas iguales en partes iguales entre 3 personas y que den sugerencias de cómo repartirlas. Explique el proceso de dividir las pizzas en pedazos más pequeños. Indique que los pedazos de pizzas corresponden a unidades de fracción. Una estrategia es dividir cada una de las pizzas de la misma forma, en tantas partes como personas haya, es decir, 3. Utilice las imágenes del Libro del Alumno para ilustrar que una pizza puede ser dividida en 3 partes iguales. 6 pedazos de pizza repartidos entre 3 personas significa que cada una recibe 2 pedazos de pizza. Como cada pizza está partida en 3 pedazos iguales, cada uno recibe 2 de una pizza.
• •
•
•
2
3
• Organice a sus estudiantes para que discutan y trabajen en grupos. Entregue a cada grupo un disco fraccionado. • Pida algunos voluntarios para que expliquen cómo llegaron a la respuesta. Motive a sus estudiantes preguntándoles en cuántos pedazos debe ser dividido cada queque y que expliquen por qué. Guíelos a usar esa respuesta para encontrar qué fracción de queque recibió cada uno.
¡Aprendamos!
Fracciones como resultado de un reparto equitativo 1 2 pizzas del mismo tamaño se reparten por igual entre 3 niños. ¿Qué fracción de pizza recibirá cada uno de ellos?
Cada pizza se divide en 3 partes iguales. 1
Cada parte es 3 de pizza.
2 3
2 : 3 =
2 Cada niño recibirá 3 de una pizza.
2
2 3
2 dividido por 3 es .
3 queques de la misma forma y tamaño se repartieron entre 4 niños durante una cena familiar. ¿Qué fracción de queque recibió cada niño?
Cada queque se divide en 4 partes iguales.
Cada parte es
3 : 4 = 3 4
3 Cada niño recibió de un queque. 4
132
1 del queque. 4
Capítulo 5: Fracciones
200
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Actividad opcional
Materiales
Organice a los estudiantes en grupos y guíelos en la exploración del patrón de división como fracción, haciéndoles entrega de tiritas de papel para que las repartan entre los grupos.
Tiras de papel del mismo ancho y largo (ver Apéndice 9, pág. 343).
Gestión de la clase 3
3
Realiza esta actividad.
Trabaja en grupos de 5 estudiantes.
Tu profesor o profesora les entregará tiras de papel del mismo largo y ancho. La cantidad de tiras será menor que la cantidad de integrantes del grupo.
1 Corten las tiras en partes del mismo tamaño y repártanlas de forma que cada niño obtenga la misma cantidad de partes.
Ejemplo
Tu grupo recibe 2 tiras.
• Utilice esta actividad para evaluar si sus estudiantes comprendieron la relación entre división y fracción y/o refuerce lo que han aprendido hasta el momento. En esta etapa, ellos deberían comprender por ejemplo, que dividiendo 2 por 5 se obtiene 2 y que dividiendo 4 por 9 se 5 obtiene 49 . 4
2 Escriban qué fracción de tira le tocó a cada uno. Por ejemplo:
en 1 , escriban: 2 : 5 =
• Utilice esta actividad para que los niños practiquen la expresión de divisiones como fracciones. En esta etapa, ellos deberían haber detectado el patrón del ejercicio anterior 3 . Se espera que apliquen este patrón para encontrar las respuestas.
2 5
4 Realiza los siguientes ejercicios. Expresa tu respuesta como fracción.
a 4 : 5 = 4
b 7 : 9 = 7
c 5 : 8 = 5
d 7 : 11 = 7
5
8
9
5
• Utilice esta actividad para que practiquen la expresión de fracciones como divisiones, esta vez, de manera inversa al ejercicio 4 .
11
5 Expresa cada fracción como una división.
a
3 = 3 : 7 7
b
8 = 8 : 12 12
c
3 = 3 : 10 10
d
5 = 5 : 6 6
Capítulo 5: Fracciones
133
201
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Materiales
Actividad opcional
Discos fraccionados (ver Apéndice 4, págs. 341 y 342)
Organice a sus estudiantes en grupos de cinco integrantes y pídales que dividan 9 cuadrados entre 5 personas. ¿Cuántos cuadrados recibirá cada integrante? Pídales que expliquen a los otros grupos cómo obtuvieron la respuesta.
Gestión de la clase 6
• Pida que lean el problema y lo comparen con el 1 . Dígales que expliquen la diferencia entre estos dos problemas. • Revise el ejemplo de la actividad 1 donde había que repartir 9 tortas entre 3 personas, para ayudarlos a conceptualizar la división de un número entero por otro número entero, menor que el primero. • Luego, pida que repartan equitativamente 5 panqueques iguales entre 4 personas. • A continuación, explíqueles el procedimiento de dividir cada panqueque en 4 partes para representar el número de personas, es decir, 4. Utilice las imágenes del texto para mostrar que un panqueque puede ser dividido en 4 partes iguales. • Explique que la división de un número entero por otro número entero, menor que el anterior, puede ser expresada como una fracción impropia. Método 1: Repase el método de descomposición para convertir una fracción impropia en un número mixto, en otras palabras, descomponiendo la fracción 5 impropia en un todo y una parte 4 de un todo. Método 2: Repase el método de división para convertir una fracción impropia en un número mixto. Guíelos para que descubran que en 5 hay un entero y un cuarto. 4
6 5 panqueques del mismo tamaño se reparten por igual entre 4 personas. ¿Cuántos panqueques recibe cada persona?
Cada panqueque se divide en 4 partes iguales.
Método 1
5 4
4 = 5 cuartos
4 1 = 4 4
= 1
= 4 cuartos + 1 cuarto 4
134
5 : 4 = 1 24 1
1
= 4 + 4
1 4
1
= 1 4
Método 2
Recuerda que:
5 : 4 = 5
5 dividido por 4 es lo 1 5 : 4 = 1 4
5
1
mismo que 4 ó 1 4 .
1 4
Cada persona recibe 1 de panqueque.
Capítulo 5: Fracciones
202
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Nota
Actividad opcional
Materiales
El método de cancelación es un registro abreviado de la simplificación.
Pida a sus estudiantes que exploren si hay alguna diferencia entre: (a) Si la fracción impropia no es simplificada (b) Si la fracción impropia es simplificada. ¿Se obtendrá la misma respuesta en (a) y en (b)?
Tiras de papel del mismo ancho y largo (ver Apéndice 9, pág. 343)
Gestión de la clase 7
7
Realiza esta actividad.
Trabaja en grupo. Tu profesor o profesora les entregará algunas tiras de papel del mismo largo y ancho. La cantidad de tiras será 1 más que la cantidad de integrantes del grupo. Por ejemplo, si tu grupo tiene 3 integrantes, recibirán 4 tiras de papel.
1 Corten las tiras en partes iguales de manera que cada integrante tenga la misma cantidad de partes.
Ejemplo
2 Primero, escriban una división y exprésenla como fracción para representar qué parte de la tira recibió cada uno. Luego, escriban la fracción como número mixto.
Por ejemplo, en el número 1 escriban: 4 : 3 =
8
4 3
= 1
1 3
8
Expresa 14 : 4 como fracción en su forma más simple. Luego, expresa la fracción como número mixto.
14 : 4 =
14 7 42
=
7 2
= 3
1 2
Capítulo 5: Fracciones
• Esta actividad es similar a la actividad 3 La diferencia está en que la cantidad de tiritas de papel entregadas, es mayor a la cantidad de personas entre las que deben repartirse. • Evalúe a través de esta actividad si sus estudiantes han comprendido la asociación entre división y fracción y refuerce lo aprendido hasta este momento. En primera instancia, los estudiantes desarrollan la actividad con una representación concreta para luego relacionarla con el algoritmo.
7 : 2 = 3 2 6 1
• Explique a sus estudiantes que esta actividad es similar a la actividad 6 . Destaque que conviene simplificar la fracción impropia usando el método de cancelación antes de expresarla como número mixto usando el método de división.
135
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Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes “¡Practiquemos! 5b”. • Asigne la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 122 a 125.
Sugerencias para el uso de calculadora Tenga en cuenta que la tecla de fracción, pantalla y los pasos para introducir las fracciones pueden ser diferentes dependiendo del modelo de calculadora que utilicen en su colegio.
Gestión de la clase 9
• Considere esta actividad como evaluación informal. Pida a los estudiantes que expresen las divisiones como fracciones impropias; y luego, que simplifiquen estas fracciones, usando el método de descomposición o el método de división. 10
• Muestre a sus estudiantes los pasos para introducir las fracciones y los números mixtos en sus calculadoras científicas.
9 Expresa cada una de estas divisiones como fracción impropia en su forma más simple. Luego, expresa la fracción como número mixto. a 19 : 2
c 49 : 5
b 43 : 4
1 9 2
3 10 4
d 20 : 8
4 9 5
10
Realiza los pasos necesarios para digitar las fracciones y los números mixtos en tu calculadora.
Para borrar la pantalla, presiona: C
2
1 2 Pantalla
Enciende tu calculadora.
0
1 Para introducir 2 , presiona: 1 ⁄ 2 3
Para introducir 2 5 , presiona: 2
1 2
0
⁄ 3 ⁄ 5
2 35
¡Practiquemos! 5b 1 Resuelve las siguientes divisiones. Expresa tus respuestas como fracción en su forma más simple o como número mixto.
3 10 10 : 12 = 12 b 3 : 2 = 2 2 5 = = 1 2 6 2 1 = 1 2 1 3 11 c 7 : 3 2 d 2 3 4 4
3 : 2 = 1 – 2 1
a
e
25 4 3 7 7
Cuaderno de Trabajo 5A, p 122. Práctica 3
136
Capítulo 5: Fracciones
204
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Objetivos: Expresando fracciones como decimales Los estudiantes serán capaces de: • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos, cambiando los denominadores a 10, 100 ó 1000. • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos a decimales usando el método de división. • convertir fracciones propias, impropias y números mixtos a decimales usando la calculadora.
Conceptos clave
Nota
• Una fracción se puede representar como número decimal y viceversa. • Los números decimales son un tipo de fracción cuyo denominador puede ser 10, 100 ó 1000.
Destaque que no todos los denominadores pueden ser expresados como 10, 100 ó 1000.
Habilidades Comparar
Gestión de la clase y 2 • Use el diagrama de fracciones para recordar a los estudiantes cómo son las fracciones cuyos denominadores pueden ser expresados como 10 y 100, pueden escribirse como decimales, a partir de sus respectivas fracciones equivalentes. 1
¡Aprendamos!
Expresando fracciones como decimales Décimos, Centésimos y Milésimos 1
Expresa
2 2×2 = 5 × 2 5 4 = 10
2 como decimal. 5
3
4 10
= 0,4
2
Expresa
9 como decimal. 20
9×5 9 = 20 × 5 20 45 = 100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
45 100
= 0,45
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
• Indique a sus estudiantes que el número 8 es divisor de 1000. Guíelos para que reconozcan que 8 × 125 = 1000. Muéstreles y explíqueles que las fracciones con denominador 8 pueden ser convertidas a decimales expresándolas como fracciones equivalentes con denominador 1000.
1 8
3 Expresa como decimal.
1 1 ×125 = 8 ×125 8 125 = 1000
= 0,125
Capítulo 5: Fracciones
8 es divisor de 1000.
8 125 = 1000
1
125
Al expresar 8 como 1000 , podemos visualizar fácilmente la fracción como un decimal.
137
205
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Gestión de la clase 4
• Pida que practiquen la expresión de fracciones a números decimales usando fracciones equivalentes con denominadores 10, 100 ó 1000. Los estudiantes deben reconocer que sólo ciertas fracciones pueden ser convertidas a fracciones equivalentes con denominadores 10, 100 y 1000.
4 Expresa cada fracción como decimal. 7 35 = = 0,35 20 100
a
4 8 = = 0,8 10 5
b
c
250 2 = = 0,25 8 1000
750 6 d = = 0,75 8 1000
Representando fracciones y decimales en la recta numérica 5 Francisca tiene que ubicar las siguientes fracciones en la recta numérica.
1 10 a 2 b c 5
2
100
5
• Guíe a los estudiantes para que analicen las fracciones dadas y concluyan que éstas se pueden expresar como decimales, utilizando la amplificación o simplificación para expresarlas como fracciones equivalentes con denominador 10 y así expresarlas fácilmente como decimales. 1 • Destaque que 0,1 y 10 están ubicados en el mismo punto de la recta, porque son equivalentes. • Destaque la misma idea para 2 y 0,4, 1 y 0,5. 5 2 • Dígales que no siempre es posible encontrar una fracción equivalente con denominador 10, 100 ó 1000.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Cuando el denominador de la fracción es 10, 100 ó 1000 es fácil expresarla como decimal. Entonces, debemos convertir estas fracciones en otras, que sean equivalentes y tengan estos denominadores.
Para ubicar una fracción en una recta numérica graduada en decimales, se debe expresar la fracción como decimal.
2 = 2 × 2 10 = 10 : 10 a b c 1 = 1 × 5 5
5 × 2 = 4 10 = 0,4
100
b
0 138
0,1
0,2
0,3
2
100 : 10 = 1 10 = 0,1
a
c
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2 × 5 = 5 10 = 0,5
1
Capítulo 5: Fracciones
206
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Gestión de la clase 6
• Guíe a los estudiantes a darse cuenta que para ubicar un decimal con dos posiciones decimales en una recta numérica, ésta debe estar graduada en décimos. • Pídales que digan qué número está ubicado en la marca entre 0 y 0,1. Los estudiantes deben recordar que 1 décimo equivale a 10 centésimos, por lo tanto, el número que se ubica en la marca entre 0 y 0,1 es la mitad de 10 centésimos, es decir, cinco centésimos (0,05).
6 Ubica estas fracciones en la siguiente recta.
20 a 3 b c 4
7 20
25
c
0
0,1
0,2
0,3
a b
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Recuerda que en 1 décimo hay 10 centésimos.
7 Ubica estas fracciones en la siguiente recta.
a 17
b
200
b
7
• Pida a los estudiantes que realicen esta actividad en parejas. • Los estudiantes debieran darse cuenta que esta actividad es similar a la anterior, la diferencia es que en este caso deben ubicar decimales con tres posiciones decimales en una recta que está graduada en centésimos.
100 10 000
a
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Recuerda que en 1 centésimo hay 10 milésimos.
Capítulo 5: Fracciones
139
207
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Nota
Actividad adicional
Materiales
Destaque que las fracciones con denominadores que no pueden ser expresados como 10, 100 ó 1000, pueden convertirse en número decimal usando el método de división.
Organice a sus estudiantes para que trabajen en grupos de 4. Baraje las tarjetas numeradas y distribuya 4 tarjetas a cada jugador, dejando el resto de las tarjetas boca abajo sobre el centro de la mesa. Uno de los jugadores dará vuelta la primera tarjeta. Si el número en la tarjeta, multiplicado por cualquiera de los cuatro números que los jugadores poseen da 10, 100 o 1000; la primera persona que diga “¡Tomar!” podrá sacar la tarjeta del montón. El primer jugador que junte 4 pares será el ganador.
3 sets de tarjetas numeradas con los números 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 400 y 500.
Gestión de la clase 8
• Explique y muestre la estrategia para expresar fracciones propias como decimales utilizando la división. • Destaque que para expresar un decimal con cierta cantidad de cifras decimales, la división debe ser realizada con un decimal más que el requerido. Por ejemplo, si se requieren redondear a 2 posiciones decimales, deberán realizar la división hasta obtener 3 cifras decimales para poder redondear. 9
De fracciones a decimales usando la división 3 7
8 Expresa como decimal. Redondea tu resultado a 2 posiciones decimales, es decir, al centésimo más próximo.
3 = 3 : 7 7
≈ 0,43
3 : 7 = 0,428 2 28 20 2 14 60 56 2 4
2 9
9 Expresa como decimal. Redondea tu resultado a 2 posiciones decimales.
2 = 2 : 9 9
≈ 0,22
2 : 9 = 0,22 21 8 20 2 18 200 21 8 2
• Evalúe si sus estudiantes son capaces de llevar a cabo el método de división para expresar fracciones como decimales. 10
• Pida que practiquen la estrategia. descrita. Primero, debieran calcular el cuociente con 3 decimales y luego redondear el resultado a 2 posiciones decimales.
10 Expresa las siguientes fracciones como decimales. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales.
140
a
5 ≈ 0,71 7
b
1 ≈ 0,17 6
c
2 ≈ 0,67 3
d
8 ≈ 0,89 9
Capítulo 5: Fracciones
208
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Actividad adicional
Materiales
Pida a sus estudiantes que se reúnan en parejas. El primer estudiante dirá una fracción, mientras que el segundo anticipará si al expresarla como posición decimal, éste tendrá 1, 2 ó 3 decimales. Si acierta, obtendrá un punto. Pueden usar sus calculadoras para comprobar sus respuestas. Luego, intercambian los roles. Al cabo de 10 jugadas, el jugador con más puntos será el ganador.
Calculadora científica.
Gestión de la clase 11
• El objetivo de esta actividad es que los estudiantes se familiaricen con el uso de la calculadora en la división a partir de una fracción. • Otro propósito, es que exploren los diversos tipos de fracciones que tienen 1, 2, 3 ó más cifras decimales cuando son expresadas como decimales. • También les ayuda a reconocer qué fracciones se expresan como decimales con 1, 2, 3 ó más posiciones decimales.
11 Realiza esta actividad. Estas son fracciones propias. 1 2
2 3
3 4
3 5
5 6
2 7
7 8
2 9
, , , , , , , ,
3 6 11 , , 10 11 12
Utiliza tu calculadora para verifi car cuales de estas fracciones tienen: a
1, 2 ó 3 posiciones decimales al ser expresadas como decimal. 1 3 3 7 3 2 , 4 , 5 , 8 , 10 b Más de 3 posiciones decimales al ser expresadas como decimal. 2 5 2 2 6 11 3 , 6 , 7 , 9 , 11 , 12 12 Escribe las siguientes fracciones como decimales. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales, si es necesario.
3 0,27 11
a
b
7 0,47 15
c
2 0,15 13
d
11 0,52 21
12
Expresando fracciones impropias como números mixtos 13 Expresa 9 : 6 como decimal.
9
9 : 6 = 6
3 = 1 + 6
= 1,5
3 : 6 = 0,5 2 3 0 0
1
14 Expresa 2 como decimal. Redondea tu resultado a 2 posiciones decimales. 7 1
1
2 7 = 2 + 7
≈ 2 + 0,14
= 2,14
Capítulo 5: Fracciones
1 : 7 = 0,142 27 30 2 28 20 2 14 6 141
• Pida a sus estudiantes que utilicen sus calculadoras para expresar fracciones como decimales y redondearlos a 2 posiciones decimales. 13 y 14 • Explique a sus estudiantes que primero deben expresar las fracciones impropias como números mixtos. • Luego, que utilicen la división para expresar la parte fraccionaria como decimal. • Finalmente, que sumen el entero con el número decimal equivalente a la fracción propia, para obtener la expresión decimal de la fracción impropia.
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Materiales
Sugerencias para el uso de calculadora
Calculadora científica
En algunas calculadoras, se puede obtener el valor decimal directamente presionando la tecla de fracciones, luego de introducir la fracción en la calculadora. Ayude a sus estudiantes a explorar las funciones de fracción de su calculadora.
Gestión de la clase 15
•
a y b consiste en expresar divisiones como decimales. c y d consiste en expresar números mixtos como números decimales. En esta etapa, se espera que los estudiantes utilicen la división para expresar fracciones o números mixtos como números decimales. Recuérdeles que deben dividir hasta obtener 3 cifras decimales para que puedan redondear a 2 posiciones decimales.
15 Escribe las siguientes divisiones y números mixtos como números decimales. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales si es necesario.
16
b 8 : 3 2,67
3 c 3 3,6 5
d 5
7 5,78 9
Expresa los siguientes números como decimales. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales si es necesario.
16
• Introduzca el uso de la calculadora para expresar fracciones impropias y números mixtos como decimales con 2 posiciones decimales. Dependiendo de la calculadora, quizás deban obtener primero una fracción y luego expresarla como decimal usando el método mencionado. Para los números mixtos, recuérdeles que primero deben expresar la parte fraccionaria como decimal y luego sumar el número entero al número decimal obtenido.
a 12 : 5 2,4
a
13 ≈ 1,44 9
Enciende tu calculadora.
Para transformar 9 , presiona 1 3
Pantalla
0
13
: 9 =
1 . 4 4 4 4 ...
4 4 b 5 = 5 + ≈ 5,57 7 7
17
Pantalla
para borrar la pantalla presiona C
Para transformar , presiona 4 7
4
: 7 =
0 0 . 5 7 1 4 2 ...
Expresa los siguientes números mixtos como decimales. Redondea tus respuestas a 2 posiciones decimales si es necesario.
a 2
6 2,32 19
b 7
9 7,53 17
5 c 4 4,28 18
d 10
8 10,35 23
17
• Asigne esta actividad para evaluar el uso de la calculadora.
142
Capítulo 5: Fracciones
210
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Gestión de la clase 18
Representando números mixtos, fracciones impropias y decimales en la recta numérica
• Guíe a los estudiantes para que se den cuenta que si los denominadores de las fracciones son divisores de 100, deben encontrar fracciones equivalentes con denominador 100 antes de ubicarlos en la recta.
18 Florencia tenía que ubicar los siguientes números en la recta numérica.
a 5 4
1
1,1
b 1
5 10
1,2
1,3
1,5
1,4
1,6
1,7
1,8
Para expresar la fracción impropia como decimal puedo transformarla en una fracción con denominador 100 ó dividir.
2
Como la fracción del número mixto tiene denominador 10, es fácil ubicarlo en la recta numérica.
Método 1
Método 2 5 : 4 = 1,25 4 10 8 20 20 0
5 = 5 × 25 4 4 × 25 = 125 100 = 1 25 100 = 1,25 a
1
1,9
1,1
Capítulo 5: Fracciones
1,2
b
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2 143
211
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Gestión de la clase y 20 • Pida a los estudiantes que analicen los denominadores de las fracciones impropias y los de los números mixtos y que busquen una manera de encontrar fracciones equivalentes con denominadores 10, 100 ó 1000. 19
21
• El propósito de esta actividad es que los estudiantes determinen el decimal marcado en un punto de esta recta y que lo expresen como decimal, fracción y número mixto, comprendiendo que estas 3 expresiones corresponden a un mismo punto enla recta.
19 Ubica estas fracciones impropias en la siguiente recta numérica:
a
18 4
b
24 5
b
a
4
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
5
4,9
20 Ubica estos números mixtos en la siguiente recta numérica:
a 3 3
b 3
4
40 80
b
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
a 3,6
3,7
3,8
4
3,9
21 Observa la siguiente recta numérica. Analiza los puntos marcados y luego escribe el número decimal, la fracción impropia y el número mixto que representa cada punto. a
7
Punto
144
×
7,3
Decimal
b
c
×
×
Fracción impropia
8
Número mixto
a
7,25
145 20
7
5 20
b
7,6
38 5
7
3 5
c
7,95
159 20
7
19 20
Capítulo 5: Fracciones
212
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 5c. • Asigne la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 126 a 129.
¡Practiquemos! 5c 1 Expresa cada fracción como decimal. a
3 0,6 5
b
17 0,85 20
c
5 0,625 8
2 Expresa las siguientes fracciones como número decimal. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales. a
1 0,11 9
b
2 0,29 7
c
7 0,64 11
3 Lee cada problema. Escribe una división. Luego, resuélvela. a 8 tortas del mismo tamaño fueron repartidas en partes iguales entre 6
niños. ¿Qué cantidad de torta recibió cada niño? 1 1 3 b Juan preparó 16 de limonada en un balde. Luego, vació la limonada en 5 jarros poniendo la misma en cada uno. ¿Cuántos litros de limonada puso en cada jarro? Expresa tus respuestas como:
4
5
i Número mixto 3
1 5
ii Número decimal 3,2
Encuentra el valor de las siguientes expresiones. Expresa tu respuesta como número mixto y como número decimal con 2 posiciones decimales o al centésimo más pronto. 1 4 1 45 14 4 a 7 : 6 1 , b 13 : 9 1 , c 2 5 , d 4 11 , 6 9 11 5 1,17 1,44 2,80 4,09 Expresa cada fracción o número mixto como decimal. Redondea tu resultado a 2 posiciones decimales si es necesario. 7 0,54 13 5 d 3 3,28 18 a
b e
21 35 7 2 12
0,6 2,58
22 0,28 80 4 5,27 f 5 15
c
Cuaderno Trabajo Cuaderno dede Trabajo p 77, Práctica44. 5A, p5A, 126. Práctica
Capítulo 5: Fracciones
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213
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Objetivos Sumando números mixtos Los estudiantes serán capaces de: • sumar dos números mixtos con o sin reagrupamiento. • sumar dos números mixtos usando la calculadora.
Conceptos clave
Habilidades
• Un número mixto está formado por un número entero y una fraccion propia. • Los números mixtos pueden sumarse, igual como se suman las fracciones propias e impropias.
Relacionar los conceptos “partestodo”,“agregar” y “comparar” con las fracciones.
Nota Recuerde a los estudiantes que siempre deben escribir sus respuestas en su forma más simple posible, es decir, simplificadas.
Gestión de la clase 1
• Explique el problema como una adición de 2 distancias. Relacione el concepto “partetodo” con la suma de estos dos números mixtos. Explique que los principios que sustentan la adición de fracciones y de números mixtos son los mismos. • Explique los pasos para sumar dos números mixtos: Paso 1: muestre una representación pictórica que ilustre que sumar números mixtos involucra la suma de la parte entera y la parte fraccionaria por separado, y que luego se reagrupan. En este caso, sume los enteros 1 y 2. Luego, sume las fracciones 1 y 3 . 2 4 • Paso 2: muestre el método para expresar las dos partes fraccionarias con un mismo denominador. • Paso 3: por último, sume las partes enteras y las fraccionarias respectivamente. 2
• Asigne esta actividad como evaluación informal.
¡Aprendamos!
Sumando números mixtos 3 4
1 2
1 Susana caminó 1 km y trotó 2 km. ¿Cuántos kilómetros recorrió
en total?
1 1 2
5
3 4
3 2
2 1 = 4 2
1 2
1
= 3 1 1 1 4
= 4 4
1
5
3 4
2 3 4 4 5 = 3 4 1 = 4 km 4
1 1 2 = 1 1 2
1
También puedo simplifi car 3 4 así
3 2
4 4
3 4 = 3 1 1 4
5
1
5 : 4 = 1 4
4 = 1 4
1
3 4 = 3 1 1 4
Susana recorrió 4 km en total.
1
5
1
= 4 4
1 4
2 3
5 9
2 Encuentra la suma de 2 y 3 . 1 2 3
3 3
2 6 4 = 3 9
2 5 6 2 1 3 = 2 1 3 5 3 9 9 9
4 11 = 5
= 6 2 9
3 3
146
5 9
9
Capítulo 5: Fracciones
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Actividad opcional
Nota
Organice a los estudiantes para que trabajen en parejas. Pídales que piensen en 2 maneras diferentes de sumar dos números mixtos. Luego, compare las técnicas descubiertas con las de los otros grupos. Por último, resuma todas las técnicas encontradas con todo el curso.
Los estudiantes pueden usar la calculadora para sumar números mixtos. Sin embargo, con el propósito de explicar el concepto, se usan los modelos para guiar a los estudiantes en la búsqueda de la respuesta.
Gestión de la clase 3
• Explique que esta actividad es similar a la 1 y 2 . Utilice la misma estrategia que en la actividad 1 .
1 2
1 5
3 María compró 2 kg de manzanas. También compró 1 kg de uvas.
¿Cuántos kilos de fruta compró?
25 1 1
1
1 = ? 2
4 Primero, expresa las fracciones con igual denominador. 10 es el mínimo común múltiplo entre 5 y 2. Luego, suma los números enteros y las fracciones .
1 5
1 2
1 5
2 5 1 1 10 10
2 1 1 = 2
María compró 3
• Asigne esta actividad como evaluación informal. Asegúrese que sus estudiantes usen la estrategia y los 3 pasos explicitados en la actividad 1 .
1 2 3 2
3 5
1 2 = 5 10
5 1 = 2 10
3 2
3 5
7
= 3 10 kg
1
7 kg de frutas. 10
5
4 Suma 3 y 2 . 9 4 3
1 5 9 20 1 2 = 3 1 2 4 9 36 36
= 5
29 36
1 4 3
9
9 1 = 4 36 3
Capítulo 5: Fracciones
9
5 9 3
4
5 20 1 = 9 36 3
4
147
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Materiales
Actividad opcional
Calculadora científica
Organice a sus estudiantes para que trabajen en grupos de 4. Dígales a los dos primeros integrantes que propongan en un número mixto. Los otros dos integrantes deberán decir en voz alta distintas formas de descomponer el número. Los dos primeros deberán chequear las respuestas con la calculadora.
Sugerencias para el uso de calculadora En algunas calculadoras, se puede obtener el valor decimal presionando la tecla de fracción luego de haber introducido el número mixto. Recuerde a sus estudiantes que pueden usar esta función para comprobar si las respuestas están correctas y para obtener ayuda durante el proceso de conversión.
Gestión de la clase 5
• Esta es una actividad inversa a la anterior. En vez de solicitarles que sumen dos números mixtos, ahora se espera que puedan descomponer un número mixto en 2 sumandos. La estrategia consiste en considerar las partes enteras y las partes fraccionarias por separado. Utilizando el concepto de “números conectados”, podrán encontrar las partes que forman la parte entera o la parte fraccionaria. 6
• En esta actividad, guíe a los estudiantes en el uso de sus calculadoras para sumar dos números mixtos. 7
• Utilice esta actividad para evaluar si sus estudiantes siguen el proceso de usar la calculadora en la suma de dos números mixtos.
5
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas.
2 a Escribe dos números mixtos que tengan denominador 3 y que sumen 5 . 3
Las respuestas varían 1 1 2 Ejemplo: 3 3 + 2 3 = 5 3
1
2 3
= 5
3
3
3 b Escribe dos números mixtos que tengan denominador 4 y que sumen 3 . 4
Las respuestas varían 1 2 3 Ejemplo: 2 4 + 1 4 = 3 4
1
2 5
6
3 4
= 3
4
4
7 8
Encuentra la suma de 3 y 4 . Expresa tu respuesta como:
a un número mixto. b un número decimal con 2 posiciones decimales.
2 7 a 3 1 4 = ? 5 8
Presiona
2 7 b La suma de 3 y 4 ≈ 8,28. 5 8
0 3 25
C 3
2 7 11 La suma de 3 5 y 4 8 es 8 . 40
Pantalla
⁄ 2 ⁄ 5
+ 4 ⁄ 7 ⁄ 8 =
7
48 811 40
7
148
Encuentra la suma de los siguientes números mixtos. Expresa tus respuestas como número mixto y como número decimal con 2 posiciones decimales. 7 3 a 2 1 5 8 5 , 8,05 9 11 99
b 4
7 6 1 9 12 14 37 , 14,44 7 84 Capítulo 5: Fracciones
216
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Trabajo personal
Materiales
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 5d. • Asigne la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 131 a 132.
Calculadora científica.
¡Practiquemos! 5d
1 Suma. Expresa tu resultado en la forma más simple posible. Luego, comprueba tus respuestas con una calculadora. 5 5 a 5 1 3 12 6
1 94 1
5 6
5 12
13 1 2 b 1 1 2 3 20 4 5
1
1 4
2 5
17 1 3 c 3 1 4 7 24 3 8
1
3 8
2
1 3
Encuentra la suma de los números mixtos. Expresa tu respuesta como: i un número mixto 3 3 a 1 1 2 5 8
39 3 40 , 3,98
ii un número decimal con 2 posiciones decimales 3 2 b 3 1 5 4 7
9
1 , 9,04 28
1 2 c 5 1 2 6 9
7 7 18 , 7,39
Cuaderno de Trabajo 5A, p 131. Práctica 5
Capítulo 5: Fracciones
149
217
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Objetivos Restando números mixtos Los estudiantes serán capaces de: • restar un número mixto de otro número mixto con o sin reagrupamiento. • restar un número mixto de otro número mixto usando la calculadora.
Conceptos clave
Habilidades
• Un número mixto está formado por un número entero y una fracción propia. • Los números mixtos pueden ser restados como se restan las fracciones propias e impropias.
Relacionar el concepto “partestodo”,“quitar” y “comparar” con las fracciones.
Gestión de la clase 1
• Relacione el hecho de cortar una parte de un trozo de tela con el concepto de “quitar” y explique que este problema se resuelve restando. • El primer número mixto no necesitan ser reagrupado ya que su parte fraccionaria es suficiente para realizar la resta. • Explique las estrategias para restar un número mixto de otro: Paso 1: muestre con una representación pictórica que para restar números mixtos hay que encontrar una fracción equivalente de manera que ambas partes fraccionarias tengan el mismo denominador. Paso 2: Luego, reste las parte enteras y las partes fraccionarias, separadamente.
¡Aprendamos!
Restando números mixtos 3 4
1 8
1 Karen compró 2 m de tela. Ocupó 1 m para hacer un vestido.
¿Qué cantidad de tela le quedó?
1
3
Para restar, expresa 8 y 4 como fracciones de igual denominador.
3 2
3 6 = 4 8 3 2
3 4
1 8
6 8 5 = 1 m 8
2 1 = 2 1
1 8
150
5 8
A Karen le quedó 1 m de tela.
Capítulo 5: Fracciones
218
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Gestión de la clase 2 5
5
2 Encuentra la diferencia entre 4 y 3 . 6 9
5 5 4 3 = 4 10 315 6 9 18 18
= 3
=
28 15 3 18 18
13 18 3
2
3
5 10 = 9 18 3
3
5 = 15 6 18
2
3
3
3
1
3 Una botella tenía 3 de vinagre. Carlos usó 1 de este vinagre. ¿Qué 8 3 volumen quedó en la botella?
3 8
1 3
3 1 = ? Para restar, transforma las fracciones para que tengan igual denominador. Enseguida resta la parte entera y luego resta la parte fraccionaria.
3 8
1 3
3 1 = 3
9 8 1 24 24
1 = 2 24
El volumen de lo que quedó en la botella es 2
Capítulo 5: Fracciones
1 . 24
3 3
3 8
3 9 = 8 24
1 8 = 3 24
3 3
3 8
• Asigne esta actividad como evaluación informal. Asegúrese que sus estudiantes usen la estrategia y los 2 pasos explicitados en el ejercicio 1 . • En esta actividad, el primer número mixto necesita ser reagrupado ya que su parte fraccionaria no es suficiente para realizar la resta. • Enfatice que primero deben expresar ambas fracciones como fracciones equivalentes de igual denominador. • Tal vez necesite repasar cómo encontrar el denominador común utilizando la siguiente estrategia, ya que las fracciones no son relacionadas: Paso 1: escoja el denominador mayor, en este caso, 9. Paso 2: encuentre el primer múltiplo de 9, es decir, 9 × 2 = 18. Paso 3: compruebe si este número es también múltiplo del denominador menor. Como 18 es también múltiplo de 6, 18 es el mínimo común múltiplo entre 6 y 9. 3
151
• Explique que en las partes fraccionadas no son relacionadas. Pida a los estudiantes que utilicen la estrategia descrita en el ejercicio 2 para encontrar el mínimo común múltiplo. Luego, reste la parte entera y las partes fraccionarias por separado.
219
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Materiales
Actividad opcional
Calculadora científica
Organice a sus estudiantes para trabajar en grupos de 4. Pida a los dos primeros integrantes que piensen en un número mixto que sea igual a la diferencia de otros dos números. Los otros dos estudiantes deberán adivinar cuáles son esos dos números (minuendo y sustraendo). Los dos primeros comprobarán las respuestas de sus compañeros usando la calculadora.
Gestión de la clase 4
• Asigne esta actividad como evaluación informal. Guíe a los estudiantes para que observen que en el ejercicio a los denominadores de las dos fracciones están relacionados, porque es múltiplo de 3. Sin embargo, en el ejercicio b , no lo están. En ambos ejercicios, es necesario que los estudiantes encuentren las fracciones equivalentes de igual denominador.
4 Resta.
2 5 1 a 5 2 = 5 5 2 3 9 9 3 9
= 3
2 9
1 3
1 4 b 3 2 = 3 8 2 5 2 5 10 10
= 1
5
3
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. 1 4
La diferencia entre dos números mixtos es 3 . ¿Cuáles son los dos
números mixtos?
152
2 9
3 10
3
= 3 3
5
• Esta actividad es inversa a la anterior. En vez de tener que restar un número mixto de otro, se espera que los estudiantes sean capaces de descomponer un número mixto en otros dos. La estrategia consiste en observar las partes enteras y las partes fraccionarias por separado. Usando el concepto de números conectados, podrán encontrar partes que compongan la parte entera y fracciones el todo o las fracciones que compongan la parte fraccionaria del número dado.
3
1 4
= 3
Las respuestas varían. 1 1 1 Ejemplo: 4 2 – 1 4 = 3 4
Capítulo 5: Fracciones
220
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Trabajo personal
Materiales
Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 5e.
Calculadora científica.
Gestión de la clase 6 5 3 Encuentra la diferencia entre 3 y 1 . 8 5
6 5 8
3 5
Presiona
3 1 = ?
Pantalla 0
C 3
⁄
5
⁄
8
1 ⁄ 3 ⁄ 5
5 8
7
3 5
La diferencia entre 3 y 1 es 2
1 35 1 2 40
=
3 58
1 . 40
Resta. Expresa tu respuesta como número mixto y como número decimal con 2 posiciones decimales. 7 35 3 a 5 4 8 88 , 0,40 11
b 9
8 5 3 9 12
• Guíe a los estudiantes para que sigan los pasos explicitados en esta actividad para restar un número mixto de otro usando sus calculadoras. 7
• Utilice esta actividad para evaluar informalmente si sus estudiantes pueden seguir los pasos necesarios para restar un número mixto de otro, usando sus calculadoras.
19 5 36 , 5,53
¡Practiquemos! 5e 1 Resta sin utilizar calculadora. Luego, comprueba tus respuestas usando la calculadora.
3 1 a 3 1 4 2
Capítulo 5: Fracciones
2
1 4
153
221
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28-12-12 10:54
Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 6 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 133 y 134.
1 6
2 5 b 5 2 3 6
3
1 1 c 3 2 3 4
1
1 12
3 3 d 2 1 4 8
1
3 8
2
Resta. Expresa tus respuestas como:
i un número mixto ii un número decimal con dos posiciones
decimales
1 7 b 4 1 2 8
1 1 c 5 2 3 4
1 2 d 7 4 2 3
1 4 e 9 2 3 7
f 12
1 3 6 , 3,17 154
1 1 3 5 10
a 6
9 2 10 , 2,9
5 2 8 , 2,63 5 7 21 , 7,24
11 2 12 , 2,92 7 8 5 12 9
25 6 , 6,69 6 36 , 6,69
Cuaderno de Trabajo 5A, p 133. Práctica 6
Capítulo 5: Fracciones
222
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Objetivos: Problemas Los estudiantes serán capaces de: • Resolver problemas relacionando los conceptos de adición y sustracción. • Resolver problemas usando modelos.
Conceptos clave
Habilidades
Los siguientes conceptos son aplicados a las fracciones: Concepto de parte- todo en la adición y sustracción, concepto de comparación, concepto de “agregar” en la adición, concepto de “quitar” en la sustracción y el concepto de división.
Relacionar conceptos de adición y sustracción. Comparar.
Gestión de la clase 1
• Explique a los estudiantes que es necesario dividir cada torta en pedazos más pequeños de manera que las 5 tortas puedan ser repartidas en 3 porciones iguales.
¡Aprendamos!
Problemas 1 Lucía horneó 5 tortas del mismo tamaño. Repartió las tortas en partes iguales en 3 bandejas. ¿Qué cantidad de torta puso en cada bandeja?
• Explique la estrategia para trabajar en este problema: Paso 1: exprese la división como fracción, es decir: 5 : 3 = 53 .
5 3
2 3
5 : 3 = = 1 de torta.
Puso 1 de torta en cada bandeja.
2 3
Paso 2: utilice el método de división para encontrar el número mixto que corresponde a cada una de las 3 porciónes.
5 : 3 = 1 3
2
2
2 Francisca tenía 17 de jugo de frutas. Le dio 5 a su hermana. El resto lo vació en partes iguales en 5 botellas. ¿Cuántos litros de jugo puso en cada botella?
, 6,69
17 5 = 12
A Francisca le quedaron 12 de jugo después de darle a su hermana.
12 2 12 : 5 = = 2 5 5
En cada botella puso 2 2 de jugo de frutas. 5
Capítulo 5: Fracciones
• Utilice esta actividad para evaluar informalmente si sus estudiantes pueden resolver este problema de dos pasos.
155
223
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28-12-12 10:54
Actividad opcional • Organice a sus estudiantes para que trabajen en grupos de 4. Pida a los dos primeros estudiantes dibujar un modelo parte-todo que represente una resta de dos números mixtos. Deberán también incluir alguna información relativa al modelo. Los otros integrantes tendrán que escribir un problema de 2 pasos basándose en el modelo. Los dos primeros estudiantes comprobarán la respuesta.
Gestión de la clase 3
• Este es un problema de resta del tipo parte-todo en la sustracción.
3 4
Él la terminó en hrs. ¿Cuánto tiempo antes del plazo dado terminó su tarea?
Explique que el todo, es el tiempo dado para completar la tarea. La parte que se conoce, es el tiempo que Álvaro necesitó para completarla. La parte desconocida, es decir, la que se debe encontrar, es el tiempo que Álvaro no utilizó. Relacione este problema con el modelo que represente el todo y las partes. Guíe a sus estudiantes a escribir la resta y el resultado.
4 5
3 4
4 5
3 4
h
?
h
16 1 15 = h 20 20 20
=
1 20
Álvaro terminó su tarea h antes del tiempo dado.
5 8
1 6
4 Francisca gastó de su dinero en comida y de su dinero en un vestido. ¿Qué fracción del dinero que tenía le quedó a Francisca?
4
• Utilice esta actividad para evaluar informalmente si sus estudiantes pueden aplicar el concepto “parte-todo” a resolución de problemas con fracciones. Tal vez necesite guiarlos para que se den cuenta que se trata de un problema de 2 pasos. Hay dos partes (fracciones) y un todo en este modelo de parte-todo.
4 5
3 A Álvaro le dieron h para terminar su tarea.
1 4 6 24
5 15 8 24 ?
?
Primero, calcula la cantidad de dinero que gastó en el vestido y en comida.
1 1 5 = 19 6 8 24
19 Francisca gastó 24 de su dinero en comida y en el vestido.
19 5 1 = 24 24
5 A Francisca le quedó de su dinero. 24
156
Capítulo 5: Fracciones
224
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28-12-12 10:54
Actividad opcional
Materiales
Organice a sus estudiantes para que trabajen en grupos de 4. Pida a los dos primeros estudiantes dibujar un modelo de comparación que represente la resta entre dos números mixtos. También deberán incluir información relativa al modelo. Los otros dos integrantes deberán escribir un problema de dos pasos usando el modelo como guía. Los primeros dos estudiantes comprobarán la respuesta.
Calculadora científica.
Gestión de la clase 5 2 9
5
1 6
Fernanda compró 1 de jugo de naranja. Felipe le dió 2 del mismo sabor. ¿Cuántos litros de jugo de naranja tiene ahora Fernanda? 1
1
2 9
2
1 6
?
3 7 2 4 1 1 2 = 1 1 2 = 3 6 18 18 18 9
Fernanda tiene ahora 3 7 del jugo de naranja. 18
1 4
6
2 3
Constanza demoró 2 h en leer una novela. Tardó h menos en leer un cuento. ¿Cuánto tiempo utilizó para leer ambos libros?
Novela
Cuento
2 = 1
Constanza demoró 1 hrs en leer el cuento.
2 1 1 = 3
Constanza utilizó 3 5 h en la lectura de ambos libros. 6
1 4
2 3
7 h 12
Primero calcula el tiempo que demoró Constanza en leer el cuento. 7 12
1 4
7 12
Capítulo 5: Fracciones
5 h 6
• Este es un problema de suma, del tipo “parte-todo”. Explique que el todo corresponde al total de jugo comprado por Fernanda y Felipe. Las partes corresponden a la cantidad individual de jugo comprado por cada uno. Relacione este concepto al modelo para mostrar las partes y el todo. Guíe a sus estudiantes a escribir la adición y encontrar la solución. 6
• Esta actividad corresponde a un problema de dos pasos de suma y resta. • Ayude a sus estudiantes a distinguir este problema del problema 3 . Destaque la diferente presentación de los modelos. Explique que en un modelo de comparación, es más fácil visualizarlo dibujando una barra más arriba de la otra.
157
225
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Materiales
Trabajo personal
Calculadora científica.
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 5f. • Asigne la Práctica 7 y 8 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 135 a 142.
¡Practiquemos! 5f Resuelve los siguientes problemas. 1 Jorge tenía 5 sacos de porotos, cada uno pesaba 7 kg. Él repartió los porotos en 3 bolsas de igual peso para venderlas. ¿Cuánto pesa cada bolsa? 2 11 3 kg 2 Magdalena cortó 15 m de cinta en 4 pedazos de igual longitud. ¿Cuánto mide 3 cada pedazo de cinta? 34 m 1 4
3 Consuelo gastó de su dinero el lunes y dinero gastó en estos dos días?
19 20
7 el martes. ¿Qué fracción de su 10
En los siguientes problemas puedes usar calculadora. 7 8
1 2
4 Ricardo corrió 1 km. Josefi na corrió km menos que Ricardo. ¿Cuántos kilómetros corrió Josefi na? 5 9
3 1 8 km
5 Martina toma 1 de agua cada día. Gaspar toma día. ¿Cuántos litros de agua toma Gaspar cada día?
5 menos que Martina al 12
5
1 5
5 36
6 Pamela compró 2 kg de harina. Macarena compró kg más de harina que 6 9 7 Pamela. ¿Cuántos kilos de harina compró Macarena? 3 kg 18 1 2
7 La señora Ana preparó 2 de jugo de manzana. Le dió 7 de jugo a José y
8 5 a Simón. ¿Cuántos litros de jugo de manzana le quedaron a la señora 12
Ana?
5 1 24
2 3
11 12
8 Diego vendió 5 kg de azúcar en la mañana y kg de azúcar en la tarde. ¿Cuántos kilos de azúcar vendió Diego en total? 5 12 158
Cuaderno de Trabajo 5A, p 135. Práctica 7 y 8
Capítulo 5: Fracciones
226
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Objetivos:
Materiales
Trabajo personal
Este diario permite a los estudiantes reflexionar sobre el concepto de suma de fracciones y que reconozcan los errores más frecuentes que podrían cometer.
Calculadora científica.
Asigne a sus estudiantes el Diario matemático del Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 143.
Gestión de la clase Diario matemático
Catalina, Miguel y Nora hicieron el siguiente ejercicio: 5 7 1 = ? 6 9 12
Respuesta de Catalina: 15 Respuesta de Miguel: 2
11 9 Respuesta de Nora: 1 18 18
Dos de las tres respuestas están incorrectas. a ¿Qué respuestas son incorrectas? Las respuestas de Catalina y Miguel son incorrectas. b Explica por qué. Catalina sumó los numeradores y los denominadores de las 29 9 fracciones. Miguel leyó la fracción 18 como 2 18 .
¡Resumamos! Has aprendido a: • Identifi car fracciones que tienen el mismo denominador. • Identifi car fracciones que tienen distintos denominadores. • Sumar y restar fracciones con distinto denominador expresándolas como fracciones equivalentes con el mismo denominador. • Expresar divisiones como fracciones y viceversa. • Transformar fracciones propias, impropias y números mixtos en decimales: (a) Convirtiendo los denominadores en 10, 100 y 1000. (b) Usando divisiones. (c) Usando calculadora. • Sumar y restar números mixtos usando calculadora.
Diario matemático • Este diario requiere que los estudiantes expliquen los errores que Catalina y Miguel cometieron al sumar dos fracciones. • En el proceso de búsqueda de los errores, los estudiantes reflexionan y refuerzan los conceptos que han aprendido. ¡Resumamos! • Recuerde a sus estudiantes los objetivos de la sección ¡Aprendamos! de este capítulo. Esto les ayudará a evaluar si han asimilado los contenidos tratados. • Puede solicitarle a sus estudiantes que hagan un ejercicio a modo de ejemplo por cada objetivo. Pídales que presenten sus ejercicios y respuestas al curso.
¡Repasemos! 2 5
2 3
Agustina demoró 1 hr en pintar un velador y 1 h en pintar un 2 3
estante. Luis demoró h menos que Agustina en pintar un velador y un estante del mismo tipo. Capítulo 5: Fracciones
159
227
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Objetivo
Habilidades
Trabajo personal
Este problema permite que los estudiantes dibujen un modelo de comparación y utilicen los conceptos de “antes- después” para encontrar la solución.
Analizar las partes y el todo.
Asigne a sus estudiantes el “Desafío” del Cuaderno de Trabajo 5A, pág 144.
Heurísticas para resolver problemas • Dibujar modelos. • Utilizar los conceptos de “antes- después”.
Gestión de la clase ¡Resumamos! • Revise con sus estudiantes el problema y la pregunta. Utilice esta pregunta para ver si sus estudiantes han aprendido los conceptos estudiados en este capítulo y para ver si pueden relacionarla con los objetivos. ¡Activa tu mente! • Este problema requiere que los estudiantes representen el problema usando un modelo, de manera que sean capaces de observar los cambios antes y después de vaciar el agua. • Primero, pídales que dibujen un modelo que represente 1L y otro que represente 5/9 L. Luego, pídales que visualicen el traspaso de algunas unidades de la barra más larga a la barra más corta de manera que queden del mismo largo.
a
¿Cuánto tiempo demoró Agustina en pintar el velador y el estante? 1
2 5
2 3
2 5
2 3
16 1 = 3 h 15 15 1 Agustina demoró 3 h en pintar el velador y la repisa. 15
1 1 1 = 2
b
¿Cuánto tiempo demoró Luis en pintar el velador y el estante similares?
1 2 6 2 = 2 = 2 h 15 3 15 5 2 Luis demoró 2 hrs en pintar el velador y el estante. 5
3
¡Activa tu mente! Juan tiene dos botellas iguales. La primera botella tiene 1 de agua. 5 9
La segunda botella tiene de agua. ¿Qué cantidad de agua debe vaciar Juan de la primera botella a la segunda, de manera que ambas tengan la misma cantidad de agua? Expresa tu respuesta como fracción. 1 4 partes : 2 = 2 partes. Juan debe vaciar 2 de agua de la primera 9 botella a la segunda. Cuaderno de Trabajo 5A, p 144. Desafío
160
Capítulo 5: Fracciones
228
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28-12-12 10:54
229
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28-12-12 10:55
Fracciones
Curso:
3
5 1 6
Fecha:
=
4 10
2 = 5
(c)
6 15
6 9
(d)
(b) 5 = 6
3 = 4
(d)
2 3
(c) 15 =
9 = 21
8 = 20 3 7
2 5
10 12
6 8
=
= 15 18
9 12
1 2 , 10 5
(c)
114
1 1 , 2 4
(a)
1 4 , 10 10
2, 1 4 4
(d)
(b) 5 2 , 9 3
1 5 , 4 12
Capítulo 5: Fracciones
5 6 , 9 9
3 5 , 12 12
(3) Para cada par de fracciones transforma el denominador de una de ellas, de modo que ambas tengan igual denominador.
10
(b)
3 4
(a)
6 = 8
(2) Expresa cada fracción en su forma más simple.
=
4 6
2 = 3
(a)
Las respuestas varían.
(1) Encuentra dos fracciones equivalentes para cada fracción:
Práctica 1 Sumando fracciones con distinto denominador
5
Nombre:
(b)
1 2
1 3
3
=
5 6
= 6
1 3
2 6
1
1
Un denominador común es 12 .
2 4 6 8 = 6 = 9 = 12 3 3 6 9 = 8 = 12 4
Capítulo 5: Fracciones
=
1 1 = 5 2
1 5
7 10
2 10
1 2
5 10
115
(b) Pinta las partes necesarias para representar en el modelo 5 más 1 Luego, completa la suma. 2
1 2
3
Un denominador común . es 6
1 2 3 = 4 = 2 6 2 4 =6 3
(5) (a) Pinta las partes necesarias para representar en el modelo 2 más 1 . Luego, completa la suma.
(a)
(4) Escribe fracciones equivalentes para las siguientes fracciones. Luego, encuentra un denominador común para las fracciones.
230
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28-12-12 10:55
5 12
2 12
1 4
3 12
13 15
3 15
10
11 12
15
12
8
=
12
11
116
1 4
2 3
=
11 12
Las respuestas varían.
Suma 2 (fracciones simplificadas):
12
3
Suma 1:
Capítulo 5: Fracciones
(6) Observa el siguiente modelo. Luego, escribe dos sumas.
=
1 2 = 5 3
1 (d) Pinta las partes necesarias para representar en el modelo 5 más 2 . Luego, completa la suma. 3 1 2 5 3
=
1 1 4 = 6
1 6
1
(c) Pinta las partes necesarias para representar en el modelo 6 más 1 . Luego, completa la suma. 4
13
= 15
= 30
26
2 2 20 6 10 = 30 + 30 3
= 14
13
1 3 7 6 7 = 14 + 14 2
= 24
17
1 3 8 9 8 = 24 + 24 3
= 9
4
1 1 3 1 9 = 9 + 9 3
Capítulo 5: Fracciones
(g)
(e)
(c)
(a)
(h)
(f )
(d)
(b)
10
= 21
30
= 63
3 1 21 9 7 = 63 + 63 9
= 15
7
14
= 30
1 3 5 9 10 = 30 + 30 6
= 10
7
28
= 40
1 4 20 8 5 = 40 + 40 8
5
= 8
1 2 1 4 4 = 8 + 8 8
(7) Suma. Expresa tu resultado de la forma más simple que sea posible.
117
231
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28-12-12 10:55
Curso:
Fecha:
1
118
×2
×2
×3
6
2
6
3
¿Cuál es el mínimo común múltiplo entre 2 y 3?
1
1
2 6
3 6
3 6
1 6
1 1 3= 2
=
2 6
Ahora, completa esta resta.
1 = 3
1 = 2
Capítulo 5: Fracciones
Escribe en los óvalos las fracciones equivalentes a 2 y 3
1 3
1 2
×3
(1) Aquí hay dos fracciones: y . Transfórmalas de modo que tengan 2 3 el mismo denominador.
1
Práctica 2 Restando fracciones con distinto denominador
Nombre:
1
3 12
4 12
1 12
=
3 12
2 10
5 10
3 10
5 10
Capítulo 5: Fracciones
=
1 1 = 2 5
2 10
Ahora, completa la resta.
1 = 5
1 = 2
Escribe sus fracciones equivalentes en los óvalos.
119
(3) Aquí hay dos fracciones: 1 y 1 . Transfórmalas de modo que tengan el 2 5 mismo denominador.
4 12
1 1 4 = 3
Ahora, completa la resta.
1 = 4
1 = 3
Escribe sus fracciones equivalentes en los óvalos.
1
(2) Aquí hay dos fracciones: y . Transfórmalas de modo que tengan el 3 4 mismo denominador.
232
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28-12-12 10:55
2
7
6
9
8
3
16
= 24
7
15
2 3 8 = 16 – 9 3 24 24
3 = 4
= 12
120
= 20
1
(g) 10 4 = – 20 20
(e)
(c)
5 1 10 1 12 = – 12 6 12
1 = 12
(a) 12 4 = – 12 12
7
5
1
19
= 36
7 1 4 = 28 – 9 9 36 36
7
= 15
4 1 12 5 3 = – 15 5 15
4 = 9
7 1 7 3 3 = – 9 9 9
11
Capítulo 5: Fracciones
= 36
(h) 12 9 = 15 – 4 36 36
(f )
(d)
(b)
(4) Resta. Expresa tus respuestas en su forma más simple, cuando sea posible. 4
1
Curso:
Fecha:
?
Capítulo 5: Fracciones
1 2
4 5
?
El modelo correcto es:
3
= 10 partes = 3 partes Respuesta = 10
Total Quedan
Debería haber quitado 5 partes de un total de 10.
1 5 = 10 2
Debería haber pintado 8 partes de un total de 10.
4 8 = 10 5
El modelo de Julián es incorrecto porque:
1 2
4 5
121
Su modelo está incorrecto. Explica los errores que cometió Julián. Luego, dibuja el modelo correcto para calcular el resultado.
Julián dibujó un modelo para calcular 5 2 .
Diario matemático
Nombre:
233
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28-12-12 10:56
Curso:
Fecha:
122
(b)
(a)
4
3 :4 =
:
4
3
5
=
5
4
Capítulo 5: Fracciones
(1) Analiza la siguiente imagen. Luego, escribe la división y la fracción asociada.
Práctica 3 Fracciones como resultado de un reparto equitativo
Nombre:
9
4
7
5
(d) 2 : 11 =
(b) 3 : 10 =
11
2
10
3
:
1
(c) 10 =
10
8
6
6 = 7
(d)
5
5
(b) 12 =
:
:
7
12
4
Capítulo 5: Fracciones
(a)
:
3
=
3
4
= 1
3
1
123
(4) Analiza la siguiente imagen. Luego, escribe una división, la fracción impropia y el número mixto asociado.
1
:
7
(a)
7 = 8
(3) Expresa cada fracción como división. Completa los espacios en blanco.
(c) 4 : 9 =
(a) 5 : 7 =
(2) Expresa cada división como fracción. Completa los espacios en blanco.
234
PSL_TG_5A_C05b.indd 234
28-12-12 10:56
124
4
4
4
7
3
=
1
=1
=
(a) 7 : 4 =
(5) Completa:
(b)
4
3
4
3
:
4
3
2
=
2
3 1 2
1
11
33
11
35
= 11
2
11
2
11
2
Capítulo 5: Fracciones
3
=3
=
(b) 35 : 11 =
= 1 4
3
2
9:4=2 –8 1
5 :3 = 1 3 2
(d) 18 : 5 = 3
(b) 7 : 2 = 3
3 5
2
1
18 : 5 = 3 – 15 3
7:2=3 –6 1
2
9
4
18
Capítulo 5: Fracciones
= 4
=
(a) 18 : 4 =
2
1
1
9 :2 = 4 – 8
3
11
6
22
= 3
=
(b) 22 : 6 =
3
2
125
11 : 3 = 3 –9 2
(7) Escribe cada fracción en su forma más simple. Luego, divide para expresar tu resultado como número mixto.
(c) 9 : 4 = 2
(a) 5 : 3 = 1
(6) Haz la división. Expresa tu resultado como número mixto.
235
PSL_TG_5A_C05b.indd 235
28-12-12 10:56
Curso:
Fecha:
= 0,375
1000
4 8
100
65
=
=
126
(a)
0
4 5
0,1
100 1000
0,2
4 20
0,3
0,4
(b)
0,5
4 20
0,6
0,7
4 5
1
Capítulo 5: Fracciones
0,9
100 (c) 1000
0,8
0,5
1000
500
3 = 8
(d)
13 = 20
375
(b) = 0,65
10
6
= 0,6
3 = 5
(2) Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.
(c)
(a)
(1) Escribe cada fracción como decimal.
Práctica 4 Expresando fracciones como decimales
Nombre:
5
4
≈ 0,57
4 = 7
≈ 0,83
5 = 6
:
:
50 – 49 10 –7 3
4 : 7 = 0,571
– 48 20 – 18 20 – 18 2
7 – 35
6
9
7 9
= 7 : ≈ 0,78
(d) 11 = 9 : ≈ 0,82
(b)
11
9
9 : 11 = 0,818 – 88 20 –1 1 90 – 88 2
– 63 70 – 63 70 – 63 7
8 5 7 3 12 7
fracción impropia
1,71
2,33
1,60
decimal
Expresa la división como:
3,50 2,25 1,83
1 2 1 4 5 6
3 2 1
(b) 7 : 2 (c) 9 : 4 (d) 11 : 6 Capítulo 5: Fracciones
2,40
2 5
2
decimal
Expresa la división como: número mixto
(a) 12 : 5
División
127
(5) Expresa cada división como número mixto y como decimal con 2 posiciones decimales.
(c) 12 : 7
(b) 7 : 3
(a) 8 : 5
División
(4) Expresa cada división como fracción impropia y como decimal con 2 posiciones decimales.
(c)
(a)
(3) Escribe cada fracción como decimal. Redondea tus resultados a 2 posiciones decimales. 7 : 9 = 0,777 5 : 6 = 0,833
236
PSL_TG_5A_C05b.indd 236
28-12-12 10:56
65
40 ≈ 2,67 15
65
(e) 14 ≈ 4,64
53
(b) 13 ≈ 4,08
3
(d) 3 17 ≈ 3,29
5
(a) 2 21 ≈ 2,14
1
128
(a)
(f )
(c) 35 ≈ 13
43 ≈ 21
2,69
2,05
11
(e) 4 14 ≈ 4,79
4
(b) 5 13 ≈ 5,31
5 4
1,1
1,2
5 4
1,3
1,4
1,5
(b)
1,6
70 100
1,7
1 70 100
1
1,8
1,9
15
2
6 27 ≈ 6,56
Capítulo 5: Fracciones
(f )
9
(c) 7 34 ≈ 7,26
Expresa cada número mixto como decimal con 2 posiciones decimales.
(d) 17 ≈ 3,82
(a)
Expresa cada fracción impropia como decimal con 2 posiciones decimales.
(8) Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.
(7)
(6)
217 1 = 24 ≈ 24,11 m. 9 9
= 2,50 g
20 8
Cada trozo de carne pesa 3,13 kg.
≈ 3,13 kg
47 15 2 =3 15
47 : 15 =
129
Simón compró 47 kg de carne. Cortó la carne en 15 trozos de igual peso. Encuentra el peso de cada trozo expresando tu respuesta como un decimal con 2 posiciones decimales.
Cada hoja de papel pesa 2,50 g.
20 g : 8 =
8 hojas de papel pesan 20 gramos. Encuentra el peso de cada hoja.
Cada pedazo mide 24,11 m de largo.
217 : 9 =
número decimal con 2 posiciones decimales.
Una cuerda de 217 m se corta en 9 pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Expresa tu respuesta como número mixto y como
Capítulo 5: Fracciones
(11)
(10)
(9)
237
PSL_TG_5A_C05b.indd 237
28-12-12 10:56
Curso:
Fecha:
13 8
División
1,62
Daniel
1,63
Mónica
Expresa la respuesta con 2 posiciones decimales.
1,56
Daniel
1,556
Mónica
Expresa la respuesta con 2 posiciones decimales.
130
Capítulo 5: Fracciones
Mónica expresó su resultado con 3 posiciones decimales, en vez de 2.
Razón del error:
14 9
División
Daniel debería haber redondeado hacia el número superior, en vez de hacia el número inferior.
Razón del error:
(2) (1)
(1)
En un competencia de matemática, Daniel y Mónica hicieron el siguiente cálculo con sus calculadoras. Encierra la respuesta incorrecta. Explica sus errores.
Diario matemático
Nombre:
Curso:
Fecha:
1
8
7
8
5
1
2
Capítulo 5: Fracciones
=5
=2
1
12
11
12
8
1
10
7
10
2
(c) 2 5 3 2
=3
=1
3
2
(b) 1 3 2 4
2
=5
=3
(a) 3 8 2 4
5
10
5
12
3
8
2
1 5
5 8
2 3
1 4
1 4
(1) Suma. Expresa tu resultado en su forma más simple.
1 2
Práctica 5 Sumando números mixtos
Nombre:
131
238
PSL_TG_5A_C05b.indd 238
28-12-12 10:56
132
(3)
(2)
1
4
(e)
2
3 7 14 7 1 12 = 3
5
1 2 11 24 3 = 6 12
(f )
5
5
(d) 2 9 16 4 7 = 18
5
(b) 312 13 5 1 = 12
3 2 35 6 3 4 = 20
15
2
5
5
30
= 17
84
23
(c) 9 7 7 12
6
= 11
13
(a) 6 5 4 6
3
≈ 17,27
≈ 11,43
2
= 15
7
56 5
36
5
(d) 4 12 10 9
= 8
9
(b) 5 8 2 7
7
Capítulo 5: Fracciones
≈ 15,14
≈ 8,16
Suma. Expresa tu respuesta como número mixto y como decimal con 2 posiciones decimales.
2
(c)
(a) 15 2 3 = 4
4
Suma. Expresa tu respuesta en su forma más simple.
Curso:
Fecha:
5
4
1
12
3
12
8
1
Capítulo 5: Fracciones
=1
=3
7
9
5
3
24
5
24
14
2
(c) 3 12 2 8
=1
9
3
5
12
= 49 3
8
(b) 4 9 3 3
8
=3
=3
=3
(a) 3 3 12
2
24
9
133
(1) Resta. Expresa tu resultado en su forma más simple cada vez que sea posible.
Práctica 6 Restando números mixtos
Nombre:
239
PSL_TG_5A_C05b.indd 239
28-12-12 10:56
8
3
(f )
13 3 5 3 = 2 24 8 6
11 1 5 3 =1 12 3 12
7 1 3 8 4 = 3 12 3 4
(d) 6
(b) 5
60
49
2 7 8 5 12
= 3
(c) 12
36
29
2 5 2 9 12
= 4
(a) 7
≈ 3,82
≈ 4,81
99
58
4 7 5 11 9
= 14
(d) 20
56
23
2 7 2 7 8
= 2
(b) 5
Capítulo 5: Fracciones
≈ 14,59
≈ 2,41
Resta. Expresa tu respuesta como número mixto y como decimal con 2 posiciones decimales.
(e)
1 1 1 7 5 = 26 4 12
13 1 1 1 = 2 15 5 3
(c) 4
1
1 7 1 = 4 8
Resta. Expresa tu respuesta como número mixto.
(a) 3
134
(3)
(2)
Curso:
Fecha:
5
1
Capítulo 5: Fracciones
La longitud de cada pedazo de hilo es 5 4 m ó 5,25 m.
1
21 : 4 ≈ 5 4 m ó 5,25 m
26 – 5 = 21 m
(2) La señora Leticia tenía un ovillo de hilo de 26 m de largo. Ella utilizó 5 m para amarrar unos paquetes. Luego, cortó el hilo restante en 4 pedazos del mismo largo. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?
María le dio a cada amigo 2 2 queques.
5
12 : 5 = 2 2 queques.
135
(1) María horneó 12 queques del mismo tamaño. Ella le dio la misma cantidad de queque a sus 5 amigos. ¿Cuántos queques le dio a cada amigo?
Resuelve los siguientes problemas. Muestra claramente tu procedimiento.
Práctica 7 Problemas
Nombre:
240
PSL_TG_5A_C05b.indd 240
28-12-12 10:57
136
1
Cada persona utiliza 137
= 137 2
1100 : 8 = 8
1100
Capítulo 5: Fracciones
1 de agua diariamente. 2
La familia utilizó cada día 1100 de agua.
7700 : 7 = 1100
(4) Una cuenta de agua mostró que una familia con 8 miembros consumió 7700 de agua en una semana. Si cada miembro de la familia utilizó la misma cantidad de agua cada día. ¿Cuántos litros de agua utilizó cada persona diariamente?
Cada bolsa pesa 8,83 kg.
53 : 6 ≈ 8,83 kg
57 – 4 = 53 kg
(3) Marta compró 57 kg de azúcar. Ella empaquetó 6 bolsas con la misma cantidad de azúcar y le quedaron 4 kg sin empaquetar. ¿Cuánto pesa cada una de las bolsas? Expresa tu respuesta como decimal con 2 posiciones decimales.
13
8 3 kg de carne picada. Él usó kg para hacer 9 4
Capítulo 5: Fracciones
5
Le quedaron 36 kg de carne picada.
= 36 kg
5
8 3 32 27 – 4 = 36 – 36 9
albóndigas. ¿Cuántos kilos le quedaron?
(6) Arnaldo compró
En las dos horas recolectó 24 de agua.
13
= 24
3 1 9 4 + 6 = 24 + 24 8
primera hora, recolecta
137
3 de agua. En la segunda hora recolecta 8 1 de agua. ¿Cuántos litros de agua recolectó en las 2 horas? 6
(5) Valentina pone un recipiente bajo una llave que gotea. En la
241
PSL_TG_5A_C05b.indd 241
28-12-12 10:57
138
(8)
(7)
5
25
2
3
8
7 Juan debe trotar 3 km más. 12
= 3 12 km
7
15 8 = 8 12 – 5 12
9 4 – 5 3 = 9 12 – 5 12
1
Juan salió a trotar. Él ya ha trotado 5
Capítulo 5: Fracciones
2 km. ¿Cuántos kilómetros 3 1 más debe trotar para completar un trayecto de 9 km? 4
El caracol avanzó 4 25 m desde el fondo del pozo en 20 84 minutos.
2 12 + 1 7 = 4 84 m
7
7 m. En los siguientes 10 minutos, 12
5 m. ¿Cuánto avanzó el caracol desde el fondo del pozo 7
en 20 minutos?
trepó 1
10 minutos, el caracol trepó 2
Un caracol estaba en el fondo de un pozo. En los primeros
Curso:
Fecha:
13
21
13
2 1 y Javier 7 3
3
Capítulo 5: Fracciones
Cada niño recibió 1 5 de torta.
3
8 : 5 = 1 5 de torta.
Susana y Benito compraron 8 tortas entre los dos.
4+4=8
139
equitativamente entre 5 niños. ¿Qué cantidad de torta recibió cada niño?
mismo tamaño. Las cortaron en trozos iguales, que fueron repartidos
(2) Susana y Benito fueron a la pastelería. Cada uno compró 4 tortas del
8
Quedaron 21 de leche.
= 21
8
1 – 21 = 21 – 21
13
Manuel y Javier se tomaron 21 de leche.
= 21
13
2 1 6 7 + 3 = 21 + 21 7
¿Qué cantidad de leche quedó?
(1) La Señora Quintana compró 1 de leche. Manuel se tomó
Resuelve los siguientes problemas. Muestra tu procedimiento claramente.
Práctica 8 Problemas
Nombre:
242
PSL_TG_5A_C05b.indd 242
28-12-12 10:57
1
5 de la parcela y porotos 9
140
23 de la parcela. 36
José plantó tomates y porotos en
= 36
23
5 1 20 3 + 12 = 36 + 36 9 13
= 36
36
23
36
parcela.
Capítulo 5: Fracciones
José plantó papas en 13 de la
23
1 – 36 = 36 − 36
1 . En el terreno restante, plantó papas. ¿Qué fracción de la parcela 12
plantó con papas?
en
(4) José compró una parcela. Plantó tomates en
Cada niño recibió 2 2 rectángulos.
= 22
1
15 : 6 = 2 6
3
Miguel Ángel obtuvo 15 rectángulos en total.
5 × 3 = 15
(3) Miguel Ángel tenía 5 pedazos de papel del mismo tamaño. Cortó cada pedazo en 3 rectángulos iguales. Los rectángulos fueron repartidos equitativamente entre 6 niños. ¿Cuántos rectángulos recibió cada niño? 2 5 kg. El peso de las galletas tipo B es de 2 kg. El peso total de los 9 6 5
4
15
18
1
18
2 kg entre las dos. 5
3
9
28
19 km cada tarde. 24
= 24 km
19
= 1 24 – 1 24
9
4
Víctor camina
1
2 6 – 1 8 = 2 24 – 1 24
4
19
23
23
= 2 24 km
141
km durante el Víctor camina 2 24 día.
1
2 6 + 24 = 2 24 + 24
19
1 3 km cada mañana y 1 km menos en la tarde. 6 8
¿Cuántos kilómetros camina durante el día?
Víctor camina 2
El peso de las galletas tipo C es de 17 kg.
= 18 kg
17
5 – 4 18 = 4 18 – 4 18
1
Las galletas tipo A y B pesan 4
1
= 4 18 kg
= 3 18
19
1 9 + 2 6 = 1 18 + 2 18
2
tres tipos de galletas es 5 kg. ¿Cuánto pesan las galletas tipo C?
de 1
Una caja contiene 3 tipos de galletas. El peso de las galletas tipo A es
Capítulo 5: Fracciones
(6)
(5)
243
PSL_TG_5A_C05b.indd 243
28-12-12 10:57
(8)
(7)
3 4 de témpera para pintar su cuadro. Belinda utilizó 4 5
11 3
Entre las dos utilizaron 2 10 de témpera.
= 2 10
3
6
= 2 20
26 = 1 20
3 11 15 11 + 1 20 = 20 + 1 20 4
2
9
10
142
palmera.
El mono trepó 8
4 m de la 15
= 8 15 m
4
= 7 15
19
3 5 + 4 3 = 3 15 + 4 15
3
4
15
4
11 m 15
palmera.
Capítulo 5: Fracciones
más para llegar la cima de la
El mono deberá trepar 1
11
= 1 15 m
10 – 8 15 = 9 15 – 8 15
mono para llegar a la cima de la palmera?
Un mono trepó 3
3 m de una palmera que mide 10 m. Descansó un 5 2 rato y continuó trepando 4 m más. ¿Cuántos metros más deberá trepar el 3
Belinda utilizó 1 20 de témpera.
= 1 20
11
31 = 20
3 4 15 16 + 5 = 20 + 20 4
más que Alicia para pintar el suyo. ¿Cuánta témpera utilizaron entre las dos?
Alicia utilizó
Curso:
2 3
2
19
Capítulo 5: Fracciones
La respuesta es 24 .
19
= 24
1 2 3 16 + 3 = 24 + 24 8
Finalmente, hay que sumar las fracciones.
mínimo común múltiplo como denominador.
Luego, hay que encontrar las fracciones equivalente a
143
1 2 y usando el 8 3
Primero, hay que encontrar el menor múltiplo común entre 8 y 3.
1 8
1
Fecha:
Explica los pasos a seguir para sumar 8 y 3 . Luego, encuentra la respuesta correcta. Puedes utilizar modelos.
1 2 3 =? 8
Alfonso resolvió el siguiente ejercicio.
Diario matemático
Nombre:
244
PSL_TG_5A_C05b.indd 244
28-12-12 10:57
Desafío
Curso:
1
Fecha:
1
1–
144
18 7 = 25 25
8 1 1 18 + + = 25 5 5 25 7
Capítulo 5: Fracciones
Nadia deberá cubrir 25 de la cuadrícula.
La respuesta es variable.
¿Qué fracción de la cuadrícula deberá cubrir Nadia de manera que quede 5 de la cuadrícula sin cubrir?
Cristóbal pueden haber colocado los azulejos.
cuadrícula. Luis usó 25 de los azulejos. Cristóbal usó 5 de los azulejos. Pinta la cuadrícula de 5 x 5 que se muestra a continuación para representar cómo Luis y
8
Luis, Cristóbal y Nadia tienen un total de 25 azulejos iguales para colocar en una
Nombre:
245
PSL_TG_5A_C06a.indd 245
28-12-12 10:57
4
2
Horas pedagógicas
El diario matemático posibilita que el estudiante reflexione y exprese la siguiente conclusión: diferentes triángulos con bases iguales (o una común) y altura común tienen la misma área.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • establecer que el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo correspondiente. • establecer el área de un triángulo en términos de una base y la altura correspondientes. • calcular el área de un triángulo dadas la base y altura correspondiente.
(2) Calculando el área de un triángulo
Los estudiantes serán capaces de: • identificar la base y la altura correspondiente de un triángulo.
(1) Base y altura de un triángulo.
Objetivos
Capítulo 6: Área de triángulos
• Libro del Alumno 5A, págs. 165 a 172 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 135 a 139 • Guía del Profesor 5A, págs. 251 a 258
• Libro del Alumno 5A, págs. 161 a 164 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 145 a 146 • Guía del Profesor 5A, págs. 247 a 250
Recursos
Visualización espacial Razonamiento inductivo
Habilidades
246
PSL_TG_5A_C06a.indd 246
28-12-12 10:57
1
2
Horas pedagógicas
Este problema requiere que los estudiantes apliquen su conocimiento que los triángulos de bases iguales y altura común tienen la misma área.
¡Activa tu mente!
Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos enseñados en este capítulo. Comente el ejemplo trabajado para evaluar si los estudiantes comprendieron estos conceptos, habilidades y procesos.
¡Resumamos!
Los estudiantes deben calcular el área de varios triángulos diferentes y llegar a la conclusión que triángulos que tienen bases y alturas iguales tienen la misma área.
¡Exploremos!
Objetivos
Capítulo 6: Área de triángulos
• Libro del Alumno 5A, pág. 175 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 152 a 154 • Guía del Profesor 5A, pág. 261
• Libro del Alumno 5A, pág. 173 • Cuaderno de Trabajo 5A, pág. 151 • Guía del Profesor 5A, pág. 259
Recursos
Heurística para resolver problemas: Buscar un patrón
Visualización espacial
Visualización espacial Razonamiento inductivo
Habilidades
Capítulo seis
Área de triángulos Objetivos: Base y altura de un triángulo Los estudiantes serán capaces de: • identificar la base y la altura correspondiente de un triángulo.
Concepto clave
Materiales
Cualquier lado de un triángulo puede ser la base, y cada lado tiene una altura correspondiente.
Triángulo ABC acutángulo (ver Apéndice 10, pág. 344)
Habilidades • Visualización espacial • Razonamiento inductivo
Gestión de la clase 1
Área de triángulos
• Repase con los estudiantes las partes de un triángulo. Muéstreles ejemplos de diferentes triángulos, por ejemplo, acutángulo, obtusángulo y rectángulo. Pida que comenten las diferencias entre ellos. • Semejanzas: Los tres tienen 3 lados y 3 ángulos. • Diferencias: (1) Uno tiene un ángulo recto y dos ángulos menores que 90º. (2) Otro tiene tres ángulos menores que 90º. (3) El tercero tiene un ángulo que es mayor que 90º y dos ángulos que son menores que 90º.
¡Aprendamos!
Base y altura de un triángulo 1 ABC es un triángulo. A
C Recordemos las partes de un triángulo. Tiene tres lados y tres ángulos. B
Los tres lados son AB, BC y CA.
2 En el triángulo ABC,
2 A
ra
altura B
altu
E
base
C
AD es perpendicular a BC. BC se llama base y AD se llama altura.
Capítulo 6: Área de triángulos
base F
alt
ur
B
D base
A
A
B C
BE es perpendicular a AC. En este caso, AC es la base y BE es la altura.
a
C
CF es perpendicular a AB. En este caso, AB es la base y CF es la altura.
161
• Para introducir los términos base y altura proyecte o dibuje en la pizarra un triángulo acutángulo ABC. • Dibuje la línea perpendicular de A a BC, y nómbrela AD. Explique a los estudiantes que BC es la base y para esta base, AD es la altura correspondiente del triángulo ABC. Repita el procedimiento para las bases AB y AC. • Enfatice que cualquier lado de un triángulo puede ser la base. La altura es perpendicular a la base y su otro extremo coincide con el vértice opuesto a la base.
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Materiales
Uso de tecnología
• Triángulo obtusángulo PQR y triángulo rectángulo DEF (ver Apéndice 11, pág. 345)
Usar una herramienta computacional para dibujar triángulos.
Gestión de la clase 3
• Introduzca el triángulo obtusángulo PQR. • Dibuje una línea perpendicular desde P a QR (prolongada) y llámela PS. Explique a los alumnos que cuando QR es la base, la altura es PS. Destaque que, en este caso, la base tiene que ser prolongada para poder dibujar la altura. • Repita el proceso para PR y PQ. • Luego entrégueles el triángulo rectángulo DEF. Pida a los estudiantes que identifiquen las tres bases y sus alturas correspondientes.
3 PQR es otro triángulo.
altura S
Q
R
altura
altura
Si la base es QP, la altura es RU.
Si la base es PR, la altura es QT.
Cualquier lado del triángulo puede ser la base.
La altura siempre es perpendicular a la base y su otro extremo coincide con el vértice opuesto a la base.
4 Estos dos triángulos se llaman igual: XYZ. X
R
Q T
Si la base es QR, la altura es PS.
P
base U
base
base
Z
X Z Y
W
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada. • Esta actividad requiere que los estudiantes usen un computador para dibujar un par de líneas perpendiculares y luego formar triángulos a partir de ellas. Debieran poder identificar las bases y sus alturas correspondientes en los triángulos formados.
R
Q
4
5
P
P
W
Y
ZW es perpendicular a XY. En los dos casos, ZW es la altura y XY es la base.
5
Realiza esta actividad.
! ta lo Usa un programa de dibujo del computador para trazar dos líneas tén I¡ n perpendiculares que formen:
162
a un ángulo recto
b dos ángulos rectos
En a , llama a tus dos líneas AB y BC. En b , llama a tus dos líneas AB y CD. En ambos casos, agrega una o más líneas a cada par de líneas perpendiculares para formar un triángulo. En cada triángulo, designa una base y su altura correspondiente. ¿Qué puedes decir de la base y la altura de un triángulo? Que la altura es siempre perpendicular a la base. Capítulo 6: Área de triángulos
248
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Gestión de la clase y 7 • Asigne estos ejercicios a modo de evaluación formativa. 6
6 Escribe el nombre de la base que corresponde a la altura indicada en cada triángulo.
A
a
b
P R
E ra
altu
Q
C
B
altura
Si la altura es BE, la base es AC .
Si la altura es QR, la base es PQ .
X
c
Si la altura es XU, la base es YZ .
altura Z Y
U
7
Escribe el nombre de la altura que corresponde a la base indicada en cada triángulo.
a C
base
D
J
b
B
K base
F E G
A
Si la base es CB, la altura es AD .
c L
Si la base es JH, la altura es GK . T
d P
O
M
base
N
Si la base es MN, la altura es LO .
Capítulo 6: Área de triángulos
H
R
U
S
Si la base es RT, la altura es ST . 163
249
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Actividad opcional
Trabajo personal
Nota
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. En una hoja de papel cada pareja dibuja 3 triángulos (un acutángulo, otro rectángulo y otro obtusángulo.) Pídales que, en cada caso, encuentren el punto común (ortocentro) y que identifiquen su localización.
• Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 6a • Asigne la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 145 a 146.
• Además de fijarse que cada
altura es perpendicular a su base, los estudiantes deberían darse cuenta que las alturas del triángulo se intersectan en un punto común. En un triángulo obtusángulo, las alturas deben prolongarse para encontrar dicho punto común. • Este punto común se denomina ortocentro.
Gestión de la clase 8
• Esta actividad refuerza el concepto relativo a que las alturas de un triángulo son siempre perpendiculares a sus respectivas bases.
8
Realiza esta actividad. Trabaja en grupo. Cada integrante de tu grupo dibuja un triángulo y lo nombra como ABC. Por ejemplo, A A
ó B
B
C
C
Identifi ca las alturas para cada base AB, BC o AC. Con la ayuda de una escuadra, dibuja las tres alturas del triángulo y llámalas AD, BE y CF. Para cada altura, escribe el nombre de su base. Mira los triángulos dibujados por los demás integrantes de tu grupo. ¿Qué puedes decir sobre las alturas AD, BE y CF?
Que todas son perpendiculares a la base.
¡Practiquemos! 6a 1 Si la altura es AD, ¿Cuál es la base?
D
CB ó BC
C
base
altura
B
A
2 Copia el triángulo y marca su altura.
3 En el triángulo ABC:
altura
base
a si la base es AB , la altura es CF . b si la base es AC , la altura es BE .
E A
c si la base es BC , la altura es AD .
F
B D 164
C
Cuaderno de Trabajo Cuaderno de Trabajo 5A, p 145. Práctica 1 5A, p 133. Práctica 1
Capítulo 6: Área de triángulos
250
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Objetivos: Calculando el área de un triángulo Los estudiantes serán capaces de: • establecer que el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo correspondiente. • establecer el área de un triángulo en términos de una base y la altura correspondiente. • calcular el área de un triángulo dadas la base y la altura correspondiente.
Conceptos clave
Materiales
• El área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo correspondiente. • Área del triángulo
• Un triángulo rectángulo ABC (ver
=
1 2
Apéndice 12, pág. 346)
• Papel cuadriculado de 1cm de lado.
× base × altura
Habilidades • Visualización espacial • Razonamiento inductivo y deductivo.
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Calculando el área de un triángulo 1
¿Cuál es el área del triángulo ABC? 1 cm A
D El triángulo ABC es la mitad del rectángulo ABCD.
1 cm
B
C
ABCD es un rectángulo. En el triángulo ABC, AB es perpendicular a BC. BC es la base cuando AB es la altura. La base BC = 4 cm y la altura AB = 8 cm.
Área del triángulo ABC = el área del rectángulo ABCD
1 2 1 = 4 8 = 16 cm² 2
¿Cómo se relacionan las medidas 4 cm y 8 cm del rectángulo ABCD con el triángulo ABC?
Capítulo 6: Área de triángulos
Son una base y una altura del triángulo ABC.
• Proyecte o dibuje en la pizarra un triángulo rectángulo ABC, donde AB = 8 cm y BC = 4 cm. Establezca BC como la base. Pida a los estudiantes que identifiquen la altura correspondiente y luego explique a los estudiantes que la parte sombreada del rectángulo ABCD es el área del triángulo. • Pregunte a los estudiantes: “¿Qué fracción del rectángulo 1 ABCD es el triángulo?” ( 2 ) • Guíe a los estudiantes a observar que: Area del ABC 1 = 2 del rectángulo ABCD = 12 × 4 cm × 8 cm 1 = 2 × BC × AB 1 = 2 × base × altura • Muestre a sus estudiantes que existe un símbolo para triángulo ( ). • Guíe a los estudiantes para concluir que: Área de un triángulo rectángulo = 12 × base × altura
165
251
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Actividad opcional
Materiales
Pida a los estudiantes que formen grupos de cuatro. Dígales que busquen un método diferente para encontrar el área del triángulo ABC. Los estudiantes deberían darse cuenta que pueden restar las áreas de los triángulos FBA y ACE del área del rectángulo FBCE.
• Triángulo acutángulo ABC (ver Apéndice 13, pág. 347) • Un cuadriculado de 1cm de lado.
Gestión de la clase 2
• Proyecte o dibuje en la pizarra el triángulo acutángulo ABC. La altura AD = 4 cm, BD = 2 cm y BC = 6 cm. Sombree el área del triángulo ABC y destaque el rectángulo BCEF como se muestra. • Guíe a los estudiantes a reconocer que el área del triángulo ABC es la suma de las áreas del ABD y del ADC. • El área del triángulo ABC es la mitad del área del rectángulo BCEF.
2 ¿Cuál es el área del triángulo ABC? F
1 cm
A
E
D
C
1 cm
B
En el triángulo ABC, la base BC = 6 cm y la altura AD = 4 cm.
Área del triángulo ABC = área del triángulo ABD + área del triángulo ADC
Área del triángulo ABD = área del rectángulo FBDA
= 4 cm²
1 2 1 = 2 4 2
=
1 2
× 6 cm × 4 cm
=
1 2 1 2
× BC × AD
Área del triángulo ADC = área del rectángulo ADCE
= 8 cm²
Luego, el área del triángulo ABC = 4 8 = 12 cm²
hora bien, el área del rectángulo FBCE = 6 4 A = 24 cm² La mitad de esta área = 12 cm²
= × base × altura • Muestre otro triángulo agudo con una base diferente y repita el proceso enseñado. • Guíe a los estudiantes a concluir que: Área de un triángulo acutángulo = 12 × base × altura
1 2 1 = 4 4 2
Las medidas 6 cm y 4 cm del rectángulo FBCE son la base y la altura del triángulo ABC
1 2 1 = 6 4 2 1 = base BC altura AD 2
Luego, el área del triángulo ABC = área del rectángulo FBCE
166
El área del triángulo ABC es la mitad del área del rectángulo FBCE.
Capítulo 6: Área de triángulos
252
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Materiales • Triángulo obtusángulo ABC (ver Apéndice 14, pág. 348)
Gestión de la clase 3
3 ¿Cuál es el área del triángulo ABC? F 1 cm
1 cm
E
B
C
A
D
En el triángulo ABC, la base BC = 3 cm y la altura AD = 6 cm.
Área del triángulo ABC = área del triángulo ABD – área del triángulo ACD
Área del triángulo ABD = 4 6
Área del triángulo ACD = 1 6
Luego, el área del triángulo ABC = 12 – 3 = 9 cm²
1 2
= 12 cm2 1 2
= 3 cm²
¿Cómo se relacionan las medidas 3 cm y 6 cm del rectángulo BCEF con el triángulo ABC?
• Proyecte o dibuje un triángulo obtusángulo ABC y guíelos para que visualicen que el área del ABC (sombreado) se puede obtener mediante una resta de áreas: Área ABC = Área ABD – Área ACD • Guíelos para que visualicen que la base BC del sombreado, corresponde a un lado del rectángulo BCEF cuya área es 3 × 6 = 18 cm². • Finalmente, guíelos para que concluyan: Área de un triángulo obtusángulo = 12 × base × altura • Esta fórmula es válida para cualquier tipo de triángulo.
Ahora bien, el área del rectángulo BCEF = 3 6 = 18 cm² La mitad de esta área es = 9 cm² 1 2
Luego, el área del triángulo ABC = área del rectángulo BCEF
= 3 6
= base BC altura AD
Capítulo 6: Área de triángulos
1 2 1 2
167
253
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que recorten un rectángulo de un trozo de papel cuadriculado. (Ver pág. 353). Pídale que los corten en 3 pedazos y traten de formar un triángulo. ¿Es posible? • Pida a los estudiantes que midan el largo y ancho del rectángulo antes de recortarlo. ¿Pueden encontrar el área del triángulo sin medir su base y su altura correspondiente?
Gestión de la clase 4
• En esta actividad se presenta una forma alternativa para encontrar la fórmula del área de un triángulo acutángulo. Se requiere que los estudiantes transformen el triángulo en un rectángulo y se den cuenta que el área del triángulo es igual al área de este rectángulo, cuyo ancho es igual a la mitad de la altura del triángulo.
4
Realiza esta actividad.
En el triángulo ABC, BC es la base y AD la altura.
1 Copia la Figura 1 en un papel cuadriculado.
2 Luego, recorta los triángulos AKL y ALM.
3 Acomoda los triángulos como se muestra en la Figura 2.
E
1 cm
A
F
E
A
F
1 cm
K
B
L
D
G
M
C
K
B
L
D
Figura 1
H
M
C
Figura 2
Área del triángulo ABC = área del rectángulo GBCH
168
1 2 1 = BC EB 2 1 = BC AD 2 1 = base altura 2
= área del rectángulo EBCF
Capítulo 6: Área de triángulos
254
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Gestión de la clase 5
5
Realiza esta actividad.
En el triángulo PQR, QR es la base y PS la altura.
1 Copia la figura 1 en un papel cuadriculado.
2 Luego, recorta los triángulos PVX y VRX.
3 Acomoda los triángulos como se muestra en la figura 2. U
1 cm
T
U
P
T
• En esta actividad se presenta una forma alternativa para encontrar a la fórmula del área de un triángulo obtusángulo. Se requiere que los estudiantes transformen el triángulo dado en un rectángulo y se den cuenta que el área de ese triángulo es igual al área del rectángulo que formaron, cuyo largo es igual a la mitad de la altura del triángulo. • Guíelos para que visualicen que el WMQ se obtiene al “trasladar” el VXR 2 unidades a la izquierda, y que el MVQ se obtiene al “girar” el VXP en 180º en torno al punto V, en el sentido contrareloj.
P
1 cm
V
W
X
Q
R Figura 1
Q
S
V
R Figura 2
X
S
U
Área del triángulo PQR = área del rectángulo WQRV
1 2 1 = QR TR 2 1 = QR PS 2 1 = base altura 2
T
P
= área del rectángulo UQRT
W
M V
X
1
Área del triángulo = 2 base altura Capítulo 6: Área de triángulos
169
Q
R
S 255
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Actividad opcional Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Dígales que el área de un triángulo desconocido es 72 cm². Pídales que encuentren la mayor cantidad de triángulos de diferentes bases y alturas que tengan un área de 72 cm².
Gestión de la clase 6
• Muestre a los estudiantes como aplicar la fórmula para calcular el área de un triángulo.
6 Calcula el área del triángulo PQR. P
1
Área del triángulo PQR = base altura 2 1 = 38 15 2 R = 285 cm2
15 cm
7
• En esta actividad los estudiantes deben calcular el área de un triángulo rectángulo usando cada lado como base para verificar que en los tres casos se obtiene un mismo valor para el área.
Q
7
38 cm
Realiza esta actividad.
B 5 cm
C
D
4 cm
3 cm
A
Trabaja en pareja. ABC es un triángulo. BAC es un ángulo recto y AD es perpendicular a BC.
1 Midan la altura de AD en centímetros hasta 1 posición decimal. 2,4 cm
170
2 Por turnos, tomen cada lado del triángulo AB, AC y BC como base. 3 Calculen el área del triángulo ABC. ¿Obtienen la misma área? Sí
Capítulo 6: Área de triángulos
256
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 6b.
Gestión de la clase 8
8 Calcula el área de cada triángulo de color. a b 17 cm 136 cm2 182 cm2
7 cm
16 cm
c
475 cm2
• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada.
52 cm d 20 cm
483 m2
18 cm
28 m
14 m
25 cm 23 m
e
f
868 cm2
90 m2
8m
12 m 31 cm
35 cm
17 m
56 cm
15 m
25 m
¡Practiquemos! 6b 1 Calcula el área de cada triángulo de color.
2 a 28 cm 14 cm
2 b 96 cm 16 cm
12 cm
4 cm 20 cm
9 cm c 290 cm2
11 cm
d 182 m2 13 m
15 m
29 cm 28 m Capítulo 6: Área de triángulos
171
257
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Objetivo de la actividad El diario matemático posibilita que el estudiante reflexione y exprese la siguiente conclusión: diferentes triángulos con bases iguales (o una común) y altura común tienen la misma área.
Trabajo individual
Habilidades
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 y el “Diario matemático” del cuaderno de Trabajo 5A, págs. 147 a 151.
• Visualisación espacial • Deducción
Gestión de la clase (Diario matemático) • A partir del dibujo dado con 2 triángulos sombreados, los estudiantes tienen que deducir que los triángulos BED y ECD tienen la misma área, ya que tienen la misma altura y la longitud de sus bases es igual.
A
2 En el triángulo ABC, BC = 44 cm y AD = 27 cm. Calcula el área del triángulo ABC. 594 cm2
B
3 En esta figura, QR = 26 cm, QS = 20 cm y PS = 26 cm. Calcula el área del triángulo PQR. 338 cm2
C
D
P
Q
S
R C
4 En el triángulo ABC, BD = 9 m, DC = 10 m y AD = 18 m. Calcula el área del triángulo ABC. 171 m2
5 En esta figura, LM = 18 cm, KM = 16 cm y KN = 14 cm. Calcula el área del triángulo KLM. 126 cm2
N
A D
M
L
B
K Cuaderno de Trabajo 5A, p 147. Práctica 2
Diario matemático A
12 cm
D
E
C
9 cm
B
ABCD es un rectángulo y BE = EC. ¿Qué puedes decir sobre las áreas de los triángulos BED y ECD? ¿Por qué? Las medidas de las bases son iguales y los dos triángulos tienen la misma altura. Por lo tanto, sus áreas son iguales. 172
Capítulo 6: Área de triángulos
258
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben calcular el área de varios triángulos diferentes y llegar a la conclusión que triángulos que tienen bases y alturas iguales tienen la misma área.
Habilidades • Visualización espacial • Deducción
Gestión de la clase ¡Exploremos! 1 cm 1 cm base
B
D base
A
C
base
base
Para cada triángulo, encuentra la altura. Luego, calcula el área. ¿Qué puedes decir sobre las bases y las alturas de estos triángulos? Completa esta oración:
Que son iguales
Triángulos diferentes, con bases y alturas iguales, tienen la misma área
.
¡Resumamos!
(¡Exploremos!) • Pida a los estudiantes que trabajen en grupos de 4. Cada estudiante de un grupo debe encontrar la altura y calcular el área de uno de los 4 triángulos. • Guíe a los estudiantes para que se den cuenta que los triángulos tienen igual base y la misma altura. • Pida a los estudiantes que comparen el área de los 4 triángulos. Guíe a los estudiantes para que se den cuenta que triángulos diferentes pueden tener bases y alturas iguales y por lo tanto la misma área. (¡Resumamos!) • Destaque conceptos clave, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo.
Has aprendido: • A identifi car los tres lados de un triángulo. • Que cualquier lado de un triángulo puede ser la base. • Que la altura de un triángulo es siempre perpendicular a la base y comienza en el vértice opuesto a la base. 1
• El área de un triángulo = 2 base altura.
Capítulo 6: Área de triángulos
173
259
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Gestión de la clase (¡Repasemos!) • Discuta con sus estudiantes las formas en que han realizado estos ejercicios para evaluar si dominan estos conceptos y habilidades y también para entregar las ayudas necesarias en aquellas dificultades que aún puedan presentar los estudiantes.
¡Repasemos! ABCD es un rectángulo de 48 cm de perímetro. AB = 6 cm y CD = DE. A
E
D
6 cm B a
b
C
Calcula la medida del largo del rectángulo. Perímetro = 48 cm AB + BC = 48 : 2 = 24 cm Largo BC = 24 6 = 18 cm Calcula el área del triángulo coloreado ACE. Método 1 DE = CD = 6 cm AD = BC = 18 cm
1 2
Área del triángulo CDE = 6 6
= 18 cm² 1 2
Área del triángulo ACD = 18 6 Área del triángulo ACE triángulo CDE
= 54 cm² = Área del triángulo ACD Área del = 54 18 = 36 cm²
Método 2 Si la base del triángulo DCE es AE, la altura es CD. 1 2 1 = (18 6) 6 2 1 = 12 6 2
Área del triángulo ACE = AE CD 174
= 36 cm² Capítulo 6: Área de triángulos
260
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Objetivo de la actividad • Este problema requiere que los estudiantes apliquen el conocimiento relativo a que triángulos de bases iguales y alturas comunes, tienen la misma área.
Trabajo individual
Habilidades • Visualización espacial
Heurísticas para resolver problemas
Asigne a sus estudiantes el “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 152 a 154.
• Buscar patrones
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Este problema es una aplicación del concepto estudiado según el cual triángulos con bases iguales y altura común tienen la misma área. • Guíe a los estudiantes a deducir que los triángulos ABE y ADE tienen la misma área, ya que sus bases son iguales y tienen una altura común.
¡Activa tu mente! ABCD es un rectángulo. BE = ED. Calcula el área del triángulo coloreado ABE. A
8 cm
11 cm
D
E
B
C
Área del triángulo ABD = 1 × 8 × 11 = 44 cm2 2
Área del triángulo ABE = 44 : 2 = 22 cm2 El área de los triángulos ABE y AED es la misma porque sus bases BE y ED son iguales y su altura es la misma.
Cuaderno de Trabajo 5A, p 152. Desafío
Capítulo 6: Área de triángulos
Cuaderno de Trabajo 5A, p 154. Piensa y resuelve
175
261
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28-12-12 10:59
PSL_TG_5A_C06b.indd 262
Fecha:
Área de triángulos
Curso:
1
Altura:
S
Base:
U
T
a
C
ur
alt
e bas
U
W
QR UV
V
TU
AC
Capítulo 6: Área de triángulos
(e)
B
Base:
altura
A
V
W
T
(f )
(d)
(b) K
Altura:
B
D
Altura:
B
X
Base:
H
I
a
(c)
(a)
Z
A Y
base
base
E
BD
A
AZ
HJ
J
(1) En cada triángulo te indicamos una base o una altura. Escribe el nombre de la base o altura relacionada.
145
TU
C
C
3
6
5 Práctica 1 Base y altura de un triángulo
6
Nombre:
altur
262
28-12-12 11:00
263
PSL_TG_5A_C06b.indd 263
28-12-12 11:00
146
(g)
ura alt
(e)
(c)
(a)
altura
base
altura
base
base
altura
base
(h)
(f )
(d)
(b)
base
ba se
a ur
alt
altu
ra
altura
Capítulo 6: Área de triángulos
base
altura
base
(2) En cada triángulo te indicamos una base. Marca la altura correspondiente. Usa una escuadra para dibujar la altura, si es necesario.
Curso:
Fecha:
4 cm
(d)
(c)
98 m
86 m
Capítulo 6: Área de triángulos
40 cm
36 cm
100 m
(b)
(a)
30 m
20 cm
720 cm2
=
=
=
Área del triángulo =
Área del triángulo =
147
1290 m2
1 × 86 × 30 2
40 cm2
1 × 4 × 20 2
4900 m2
1 × 100 × 98 2 Área del triángulo =
=
= 40 36
1 2
1 2
Área del triángulo = base altura
(1) Calcula el área de cada uno de los triángulos sombreados. Anóta todos los pasos y escribe tu respuesta con las unidades que correspondan en cada caso.
Práctica 2 Calculando el área de un triángulo
Nombre:
264
PSL_TG_5A_C06b.indd 264
28-12-12 11:00
(g)
(h)
(i)
148
(f )
6 cm
70 m
72 cm
3 cm
26 m
23 cm
(e)
32 m
=
=
=
=
1944 cm2
1 × 72 × 54 2
9 cm2
1 ×6×3 2
221 m2
1 × 26 × 17 2
172,5 cm2
855 m2
Capítulo 6: Área de triángulos
=
1 × 38 × 45 Área del triángulo = 2
Área del triángulo =
Área del triángulo =
Área del triángulo =
45 m
54 cm
17 m
15 cm
Área del triángulo =
1 × 23 × 15 2
(c)
=
Área =
3m
5m
2
10 cm
8 cm 6 cm
6 m2
4m
24 cm2
Área = 1 8 6
(a)
(d)
(b)
(a)
=
2
10 cm 8 cm
12 cm
48 cm2
Área = 1 12 8
Capítulo 6: Área de triángulos
(b)
(3) Calcula el área de cada triángulo sombreado.
(2) Calcula el área de cada triángulo sombreado.
Área =
Área =
Área =
10 cm
90 cm2
20 cm
9 cm
12 cm
60 cm2
15 cm
149
10 cm 8 cm
120 cm2
26 cm
24 cm
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12 cm
150
(c)
2
5 cm
=
Área =
4 cm
5 cm
5 cm
14 cm2
12,5 cm2
7 cm
Área = 1 5 5
(a)
8 cm
105 cm2
20 cm
25 cm
8 cm2
4 cm
2 cm
Capítulo 6: Área de triángulos
Área =
15 cm
2
28 cm
252 cm
cm 6 cm
Área =
(d)
(b)
25
Área =
18 cm
(4) Calcula el área de cada triángulo sombreado.
2
24 cm
4 cm
9 cm
(d)
1 . 2
3 cm
Juan:
2 1 3 4 = 6 cm2 2
Pedro: 1 5 4 = 10 cm2
El área del triángulo sombreado es:
1 × 4 × 4 = 8 cm2 2
Capítulo 6: Área de triángulos
151
Área total de los 2 triángulos sin sombrear = Área total del triángulo sombreado Por lo tanto, el área del rectángulo = 2 × área del triángulo sombreado = 2 × 15 = 30 cm2
Área del rectángulo relacionado = 2 × área del triángulo.
El área del triángulo sombreado es 15 cm². Explica por qué el área del rectángulo es 30 cm².
Juan:
Usó una base equivocada.
Usó una altura equivocada.
Baltazar: Usó una base equivocada.
No multiplicó por
Daniela: Pedro:
(2)
4 cm
Fecha:
Explica los errores que cometieron. Escribe la respuesta correcta.
Baltazar: 1 7 4 = 14 cm2 2
Daniela: 4 4 = 16 cm2
Los siguientes son sus cálculos.
(1) Cuatro estudiantes calcularon el área del triángulo sombreado.
Diario matemático
Curso:
cm
Área =
(c)
Nombre:
5
6 cm
4 cm
265
28-12-12 11:00
266
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28-12-12 11:00
Desafío
Curso:
152
D
(3) A
F
E
C
B
B
F
A
A
18 cm
E
B
10 cm
Fecha:
E
C
8 cm
D
C
D
1 ×4×4 2 = 8 cm2
Capítulo 6: Área de triángulos
Área del triángulo =
(a) Largo = 48 : 4 = 12 cm (b) DF = 12 : 3 = 4cm
ABCD es un rectángulo que tiene un área de 48 cm². El largo de CD es tres veces el largo de DF. BC = 4 cm. (a) Calcula el largo del rectángulo. (b) Calcula el área del triángulo sombreado.
FB = 8 : 2 = 4 cm AE = 18 : 2 = 9 cm 1 Área del triángulo sombreado = × 4 × 9 2 = 18 cm2
(2) ABCD es un rectángulo de 18 cm por 8 cm. AE = ED y AF = FB. Calcula el área del triángulo sombreado.
(1) ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 10 cm y BE = EC. Calcula el área del triángulo sombreado. BE = 10 : 2 = 5 cm 1 Área del triángulo sombreado = × 5 × 10 = 25 cm2 2
Nombre:
B 4 cm E
A
12 cm
8 cm
E
Capítulo 6: Área de triángulos
Área del triángulo =
1 × 96 × 32 2 = 1536 cm2
8 partes → 256 cm 1 parte → 32 cm 3 partes → 96 cm
Total de largo = AD + BC = 2 × 3 partes = 6 partes Total de ancho = AB + DC = 2 × 1 parte = 2 partes
B
A
153
(6) El perímetro del rectángulo ABCD es 256 cm. Su largo es tres veces su ancho. Encuentra el área del triángulo ABC.
Área del EDC = Área del BCF 4 cm 1 = ×8×4 2 F = 16 cm2 1 Área del AEF = × 4 × 4 2 B = 8 cm2 Área del triángulo sombreado, CEF = (8 × 8) – (16 × 2) – 8 = 24 cm2
A
(5) ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 8 cm. AE = AF = 4 cm. Encuentra el área del triángulo sombreado, CEF.
Área de la figura sombreada, ABED = área del rectángulo ABCD – área del DEC 1 = (12 × 5) – ( × 8 × 5) 2 = 60 – 20 = 40 cm2
(4) ABCD es un rectángulo de 12 cm por 5 cm. BE = 4 cm. Calcula el área de la figura sombreada, ABED.
C
D
C
C
D
5 cm
D
267
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28-12-12 11:00
8 cm 8 cm Triángulo 3
16 cm
16 cm Triángulo 4
Fecha:
S
154
B
X
A
S
Y
W
C
Z
D
1 × 10 × 20 = 100 cm2 2
Capítulo 6: Área de triángulos
Área total de las partes sombreadas = 400 – 150 = 250 cm2
Área del triángulo S =
1 × 5 × 10 = 25 cm2 2 Área de las partes no sombreadas = 100 + (2 × 25) = 150 cm2
Área del triángulo WDC =
¿Cuál es el área del triángulo, siguiendo la misma regla?
512 cm2 1 × 32 × 32 = 512 cm2 2 ¿Qué triángulo, con la misma regla, tendrá un área de 32 768 cm²? Triángulo 8 Estima y comprueba con una calculadora. 1 Área del triángulo 6 = × 64 × 64 = 2048 cm2 2 1 Área del triángulo 7 = × 128 × 128 = 8192 cm2 2 1 Área del triángulo 8 = × 256 × 256 = 32 768 cm2 2 (2) ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 20 cm. AX = XB, BY = YC, CZ = ZD, AW = WD. WY y XZ son líneas rectas. Encuentra el área total de Área del cuadrado = 20 × 20 = 400 cm2 las partes sombreadas.
4 cm Triángulo 2
4 cm
Curso:
Piensa y resuelve
Mira la secuencia de triángulos.
2 cm Triángulo 1
2 cm
(1)
Nombre:
268
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28-12-12 11:01
1
3
3
Horas pedagógicas
• esta actividad permite que los estudiantes descubran si todos los triángulos pueden producir un embaldosado
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • reconocer una teselación. • identificar la figura unitaria. • crear una teselación en base a una figura dada.
(2) Teselaciones
Los estudiantes serán capaces de: • comprender el concepto de congruencia usando traslación, rotación y reflexión, ya sea en una cuadrícula o mediante el uso de software geométrico.
(1) Congruencia.
Objetivos
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
• Libro del Alumno 5A, pág. 193 • Guía del Profesor 5A, pág. 287
• Libro del Alumno 5A, págs. 190 a 193 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 158 a 161 • Guía del Profesor 5A, págs. 284 a 287
• Libro del Alumno 5A, págs. 176 a 189 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 155 a 157 • Guía del Profesor 5A, págs. 270 a 283
Recursos
Visualización espacial
Visualización espacial
Habilidades
269
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28-12-12 11:01
• Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 170 a 182 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 183 a 198
Repaso 3
Evaluación 1
1
• Libro del Alumno 5A, pág. 199 • Guía del Profesor 5A, pág. 293
Diario matemático
1
• Libro del Alumno 5A, pág. 199 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 166 a 169 • Guía del Profesor 5A, pág. 293
• Libro del Alumno 5A, págs. 194 a 198 • Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 162 a 165 • Guía del Profesor 5A, págs. 288 a 292
Recursos
¡Activa tu mente! • Los estudiantes descubren que todos los cuadriláteros pueden teselar. • Este diario permite que los estudiantes evalúen si llegaron a dominar los conceptos, habilidades y procesos de este tema.
Los estudiantes serán capaces de: • hacer diferentes teselaciones con una figura unitaria. • crear un nuevo teselado con una forma que tesela.
(3) Más teselaciones.
Objetivos
1
3
Horas pedagógicas
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Visualización espacial
Habilidades
Capítulo siete
Congruencia y teselaciones Objetivos: Congruencia
Concepto Clave
Habilidad
Los estudiantes serán capaces de: • comprender el concepto de congruencia usando traslación, rotación y reflexión, ya sea en una cuadrícula o mediante el uso de software geométrico.
• Al rotar, trasladar o reflejar
• Orientación espacial
una figura, ésta no sufre alteraciones de forma y tamaño.
Gestión de la clase 1
Congruencia y teselaciones
• Muestre una hoja de papel cuadriculado y marque en él el punto A.
¡Aprendamos!
a
• Muestre la traslación siguiendo la trayectoria del punto A y verbalizando su movimiento (2 unidades hacia la derecha y una hacia arriba). Marque como A’ el punto trasladado. • Repita el mismo procedimiento para los puntos B y C. Luego, una con una línea los puntos B’ y C’. • Use una regla para medir y registrar la longitud de BC y de B’C’. Concluya que tanto en BC como en B’C’ la longitud es la misma.
Congruencia 1 Una traslación es un deslizamiento de un punto o de una fi gura en un plano desde su posición inicial a otra. C´ C
¡Mira las flechas! Nos indican cómo podemos mover el punto A: dos unidades hacia la derecha y una hacia arriba.
B´ B A´ A
a El punto A lo trasladamos dos unidades hacia la derecha y una hacia arriba. A la nueva posición del punto A la llamamos A’.
Podemos hacer lo mismo con la línea BC. Para trasladar esta línea, trasladamos el punto B a B’, luego el punto C a C’, y fi nalmente dibujamos la línea B’C’. Mide la longitud de BC y de B’C’. BC = 5 cm y B’C’ = 5 cm. La longitud de AB y de A’B’ es la misma.
176
¡Para trasladar una figura, trasladamos sus vértices y luego los unimos!
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
270
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intercambiarlas con las de sus compañeros y determinar cómo fueron trasladadas. Luego, comprueban que las figuras son congruentes, argumentando sus respuestas.
Uso de tecnología • Busque en Internet software geométrico que permita dibujar cualquier figura geométrica en un cuadriculado. • Usando este software, pida que dibujen un triángulo y nombren sus vértices como MNO. A continuación, ellos mismos deciden cómo será trasladada esta figura, y luego, dibujan la figura trasladada y nombran sus vértices como M’N’O’. Finalmente, los estudiantes imprimen una copia de sus dos figuras para
Gestión de la clase
b
b Traslademos el triángulo DEF 4 unidades hacia la derecha y 1 hacia arriba. El lado E´D´es correspondiente con el lado ED. El E´D´F´es correspondiente con el EDF.
F´ F
E´ E
D´
D
Los vértices del triángulo son D, E y F. Primero, trasladamos cada vértice 4 unidades hacia la derecha y una hacia arriba. Designamos a estos vértices como D’, E’ y F’ y luego los unimos para obtener el triángulo D’E’F’.
Mide los lados de los dos triángulos.
DE = _______ cm 3 EF = _______ cm 4 DF = _______ cm 5
De acuerdo a lo anterior, la longitud de los lados correspondientes de los triángulos DEF y D’E’F’ es la misma.
Usa tu transportador y mide los ángulos.
DEF = _______ 90º DFE = _______ 37º FDE = _______ 53º
• Muestre la traslación de un triángulo desplazando cada vértice, y verbalizando su movimiento (4 unidades a la derecha y una hacia arriba). • Recuerde que deben nombrar cada vértice inmediatamente después de trasladarlo y no después de trasladarlos todos. Es decir, una vez trasladado el punto D, lo deben nombrar como D’ antes de trasladar los siguientes. • Guíe a los estudiantes para que concluyan que la longitud de los lados y la medida de los ángulos permanecen sin cambios después de aplicar esta transformación.
D’E’ = _______ cm 3 E’F’ = _______ cm 4 D’F’ = _______ cm 5
D’E’F’ = _______ 90º D’F’E’ = _______ 37º F’D’E’ = _______ 53º
De acuerdo a lo anterior, las medidas de los ángulos correspondientes de los triángulos DEF y D’E’F’ son iguales.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
177
271
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28-12-12 11:01
Gestión de la clase • Guíe a los estudiantes para
que concluyan que si después de aplicar una traslación el tamaño y la forma de las figuras permanece sin cambios, entonces las figuras son congruentes.
Una traslación no modifica ni los lados ni los ángulos de una figura. Solamente cambia la posición de la figura. Puesto que las dos figuras tienen la misma forma y tamaño, éstas son congruentes. 2
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas.
2
• Asigne este ejercicio como
una práctica guiada.
a Un alumno dibuja en papel cuadriculado una figura de 4 lados y designa los vértices como GHIJ. El otro alumno dará instrucciones sobre cómo trasladar la figura, diciendo: Mueve la figura GHIJ _____ unidades hacia la derecha/izquierda y _____ unidades hacia arriba/abajo. Los nuevos vértices serán llamados G’H’I’J’.
b
Ambos alumnos miden y registran las medidas de los lados y de los ángulos de las dos figuras. Las respuestas varían
c
Comparan las medidas de los lados y los ángulos. ¿La traslación cambió la medida de los ángulos o la de los lados? ¿Son congruentes estas dos figuras? La traslación no cambia la medida de los ángulos ni la de los lados. Sí, las figuras son congruentes.
178
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
272
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Actividad opcional Los estudiantes trabajan con sus padres para reforzar los conceptos aprendidos, buscando ejemplos de traslación de figuras u objetos en su casa. Pueden tomar fotografías de estos ejemplos y llevarlas a clases. Algunos ejemplos comunes pueden ser murallas pisos con baldosas, tableros de ajedrez, diseños en la ropa, etc. Inicie una conversación en la clase en la que reitere el hecho de que las figuras trasladadas no cambian la longitud de sus lados ni la medida de sus ángulos.
Ya que una figura conserva su forma y su tamaño al trasladarse, la figura inicial y la figura trasladada son congruentes.
3
• Asigne este ejercicio como
3
Realiza lo siguiente:
a Traslada KLMN 3 unidades a la izquierda y 2 hacia abajo.
una evaluación informal.
N
K´
N´
N´´
M
K´´ M´
M´´
K
L
L´ L´´
b Nombra la figura trasladada como K’L’M’N’. ¿Son congruentes estas figuras? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí. Midiendo los lados y ángulos correspondientes. c Traslada K’L’M’N’ 2 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo. Nombra la figura trasladada como K’’L’’M’’N’’. Compara las figuras KLMN y K’’L’’M’’N’’. ¿Son congruentes estas figuras? Sí. Al trasladar una figura más de una vez ¿Cambia su forma y su tamaño? No
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
179
273
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28-12-12 11:02
Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Entregue a cada pareja un geoplano y algunos elásticos de billete. • El primer estudiante usará los elásticos para formar una figura. Luego, usará otro elástico para mostrar cómo se rota esta figura en base a uno de sus vértices en 90º ya sea en el sentido del reloj o contrarreloj. • Al mirar las figuras, sabiendo cuál fue la inicial, el segundo estudiante debe identificar el punto de rotación y el sentido en que fue rotada la figura.
Gestión de la clase 4
• Muestre a los estudiantes la
fotografía de una Rueda de la Fortuna y denomine su centro de rotación como ‘punto O’ y sus carritos como A, B, C, etc. • Pida a los estudiantes que describan cómo se mueven los carritos desde el punto A al punto B para reforzar el concepto de “centro de rotación” como un punto fijo. • Pida que describan la dirección del movimiento de los carritos para destacar el concepto “en sentido contra reloj”. Pregunte a los alumnos qué ocurre con los carritos si se invierte la dirección del movimiento. a
• Sobre papel cuadriculado,
ubique una tira de papel sobre la línea AB. Manteniendo fijo el punto A con un alfiler y moviendo la tira de papel, muestre el movimiento a favor del reloj y el ángulo formado. • Solicite que algunos voluntarios midan las longitudes. Guíelos para que concluyan que estas son iguales.
4
Rotación es girar una figura en base a un punto fijo.
a A/A´
B
90º
B´
En el sentido del reloj se refiere al movimiento siguiendo la dirección de las manecillas del reloj. Contrarreloj se refiere al movimiento en la dirección contraria.
Rotamos la línea AB en 90º, en el sentido del reloj, en torno al punto fijo A. El punto fijo también se llama centro de rotación, y su posición no cambia. Por lo tanto, ¡los puntos A y A’ son el mismo! Tomando el punto A como el centro de la rotación, giramos la línea AB en 90º en sentido del reloj.
Mide la longitud de AB y la de A’B’. AB = 4 cm y A’B’ = 4 cm. Las longitudes de AB y A’B’ son iguales.
Rotemos el triángulo CDE en 90º en el sentido del reloj con el punto C como centro de rotación.
180
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
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Actividad adicional • Pida a los alumnos que recolecten fotografías de figuras bidimensionales en su entorno y que hayan sido rotadas, y luego que compartan sus descubrimientos en clases.
Gestión de la clase
b
b Recuerda, el centro de rotación es un punto que no se mueve, por lo tanto, los puntos C y C’ coinciden. Hay 2 lados del triángulo, CD y CE, que se unen en el centro de rotación. Podemos rotar estas 2 líneas en torno al punto C y luego unir los nuevos vértices para obtener el triángulo rotado. E
Paso 1
• Rotando las líneas que están
Paso 2 E
C/C´
C/C´
D C/C´
90º
D E´
90º
E´
D´ D´
Primero, rotamos la línea CD en 90º en el sentido del reloj, en torno al punto C para obtener la línea C`D`. Luego, rotamos la línea CE en 90º, en el sentido del reloj, en torno al punto C, para obtener la línea C’E’. Finalmente, unimos los vértices D’ y E’, para obtener la línea D´E´. Mide la longitud de los lados de cada triángulo.
CD = _______ cm 3 DE = _______ cm 3,6 CE = _______ cm 3,1
C’D’ = _______ cm 3 D’E’ = _______ cm 3,6 C’E’ = _______ cm 3,1
De acuerdo a lo anterior, la longitud de los lados correspondientes de los triángulos DEC y D’E’C’ es la misma.
unidas al centro de rotación, muestre cómo rotar un triángulo. • Recuérdeles que deben dibujar cada línea inmediatamente y no después de que todos los puntos hayan sido rotados. • Después de rotar las 2 líneas que se unen en el centro de rotación, se dibuja una línea para unir los vértices D´ y E´. • Guíelos para que concluyan que después de la rotación la longitud de los lados permanece igual.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
181
275
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28-12-12 11:02
Actividad opcional
Nota
• Pida a los estudiantes que roten 180º en el sentido del reloj una figura en torno a uno de sus vértices. Luego, que roten la misma figura, en torno al mismo vértice, en 180º en sentido contrarreloj. Guíe a los estudiantes para que concluyan que al ser el ángulo de rotación 180º, ambas rotaciones producen la misma figura rotada.
• Trabaje junto al profesor de Ciencias para fomentar el aprendizaje transversal y también como una extensión de los conceptos aprendidos. Es probable que este tema corresponda al currículo de Ciencias. Coordine un horario que permita reforzar el aprendizaje de los alumnos.
Gestión de la clase • Pídales que midan los ángulos de un triángulo y guíelos para que concluyan que después de la rotación, éstos son iguales. • Guíelos a concluir que ya que la forma y el tamaño se mantiene luego de aplicar una rotación, las figuras son congruentes. 5
• Asigne este ejercicio como una práctica guiada.
Mide los ángulos en los dos triángulos.
CDE = _______ 56º DCE = _______ 71º CED = _______ 53º
De lo anterior, se desprende que los ángulos correspondientes CED y C’D’E’ son iguales.
C’D’E’ = _______ 56º D’C’E’ = _______ 71º C’E’D’ = _______ 53º
Una rotación no cambia la longitud de los lados ni tampoco la medida de los ángulos; solo cambia la orientación de la figura. Ya que las dos figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño, estas son congruentes.
5
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas.
a
Cada pareja recibirá una hoja de papel cuadriculado y papeles de diferentes colores. Un alumno dibujará una figura de cuatro lados e identificará sus vértices como FGHI. Luego, recorta en los papeles de colores la forma que ha dibujado (Obteniendo copias de esta figura en varios colores) y pega una de estas copias en el papel cuadriculado. El otro alumno dará instrucciones para rotar la figura diciendo: “Rota la figura FGHI ____ grados en el sentido del reloj/contrarreloj en torno al vértice como centro de rotación en el punto _____.” Los vértices de la figura rotada son nombrados F’G’H’I’. Las respuestas varían
b
Ambos alumnos miden y anotan la medida de todos los ángulos de las dos figuras. Las respuestas varían
c
Se comparan las longitudes de los lados correspondientes y las medidas de los ángulos correspondientes. Los lados y los ángulos ¿Cambiaron con la rotación? ¿Son congruentes estas figuras? La rotación no cambia la medida de los ángulos ni la de los lados. Sí las figuras son congruentes.
182
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
276
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28-12-12 11:02
Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Entregue a cada pareja un geoplano y algunos elásticos de billete. • El primer estudiante formará una figura usando algunos elásticos. Luego, usará otros elásticos para mostrar esta figura reflejada siguiendo una línea de reflexión. • Mirando las figuras, el segundo alumno debe identificar la línea de reflexión.
Gestión de la clase b
6
6
Se repite el mismo procedimiento varias veces usando cada vez otra de las figuras recortadas de los papeles de colores.
Una reflexión es una inversión de una figura en un plano con respecto a una línea, llamada línea de reflexión.
A
Línea de reflexión
C
A´
B Línea de reflexión
B´
C´
Reflejamos el punto A respecto a la línea de reflexión, que también es llamada línea de simetría. Mide la longitud de la línea punteada desde el punto A hasta la línea de reflexión. Ahora, mide esa misma longitud al otro lado de la línea de reflexión e identifica el punto reflejado como A’. Podemos hacer lo mismo con la línea BC. Para cada punto extremo de la línea BC, trazamos una línea perpendicular desde ese punto hasta la línea de reflexión. Luego, medimos la misma distancia al otro lado de la línea de reflexión y marcamos los puntos correspondientes.
respecto a una línea de Mide la longitud de BC y de B’C’. reflexión, reflejamos cada BC = 5 cm y B’C’ = 5 cm. vértice y luego los unimos. Las longitudes de BC y B’C’ son iguales.
Para reflejar una figura
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
183
• Lleve un espejo a clases. Ubique una botella con agua frente al espejo. Pida que describan la imagen que ven en el espejo. • A continuación, aleje la botella del espejo. Pregunte si ha cambiado el tamaño de la imagen en el espejo. Pregunte en qué se diferencia esta imagen de la anterior, para hacer referencia al hecho de que la distancia entre el objeto y la línea de reflexión es la misma entre la imagen reflejada y la línea de reflexión. • Repita este procedimiento acercando la botella al espejo. • Marque un punto A en papel cuadriculado. Ilustre cómo reflejar este punto en relación a la línea de reflexión. Destaque la importancia de que la distancia entre el objeto (el punto A) la línea de reflexión sea igual a la distancia entre la línea de reflexión y el objeto reflejado (el punto A’). • Muestre cómo dibujar una línea perpendicular desde el punto A hasta la línea de reflexión. Muestre además un contraejemplo en que la línea que una dos puntos NO es perpendicular al eje de reflexión. • Enfatize que para líneas o figuras, la reflexión se aplica a cada vértice antes de unirlos.
277
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28-12-12 11:02
Uso de tecnología • Utilizando un software adecuado para esta actividad, los estudiantes deben dibujar una figura para luego, usando traslación, rotación o reflexión, crear duplicados de ella para crear un collage compuesto por figuras congruentes.
Gestión de la clase 7
• Pida a los estudiantes que midan los ángulos y guíelos para que concluyan que sus medidas no cambian luego de aplicar una reflexión. • Guíe a los estudiantes a que concluyan que debido a que las formas y tamaños se mantienen luego de aplicar una reflexión, las figuras son congruentes.
Reflejemos el triángulo DEF y el cuadrilátero GHIJ con respecto a la línea de reflexión indicada.
7
D Línea de reflexión
a
• Asigne este ejercicio como una evaluación informal. • Este ejercicio ayuda a repasar el concepto clave de que al aplicar una traslación, rotación o reflexión los lados y ángulos no cambian sus medidas. En resumen, que las formas y tamaños no cambian.
184
E
I
H
J
G
E´
G´
H´
J´
E´ F´
D´
a Para reflejar el triángulo, trazamos una línea perpendicular desde cada vértice hasta la línea de reflexión. Luego, para cada vértice, prolonagmos la línea perpendicular y medimos la misma distancia al otro lado de la línea de reflexión. Llegamos así al reflejo de cada vértice.
F
Unimos los vértices D’E’F’ para obtener el triángulo D’E’F’. Mide los lados de los dos triángulos. FD = _______ cm. 2 DE = _______ cm. 2,8 EF = _______ cm. 2
F’D’ = _______ cm. 2 D’E’ = _______ cm. 2,8 E’F’ = _______ cm. 2
De acuerdo a lo anterior, los lados correspondientes de los triángulos DEF y D’E’F’ son iguales. Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
278
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28-12-12 11:02
Actividad opcional • Los estudiantes toman fotografías de figuras bidimensionales no congruentes que encuentren en su entorno y las llevan a clases. Comience un debate en clases que permita expliquen por qué estas figuras no son congruentes.
Gestión de la clase
b
Mide los ángulos de los dos triángulos. DEF = _______ 45º DFE = _______ 90º FDE = _______ 45º
• Asigne este ejercicio como una evaluación informal.
D’E’F’ = _______ 45º D’F’E’ = _______ 90º F’D’E’ = _______ 45º
De acuerdo a lo anterior, las medidas de los ángulos correspondientes de los triángulos DEF y D’E’F’ son iguales.
Una reflexión no cambia la longitud de los lados ni tampoco la medida de los ángulos; solamente invierte la figura al otro lado de la línea de reflexión. Ya que las dos figuras tienen igual forma y tamaño, estas son congruentes.
b Refleja el cuadrilátero GHIJ rerspecto a la línea de reflexión. Dibuja en la cuadrícula el cuadrilátero reflejado G’H’I’J’. ¿Son congruentes estas dos figuras? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí las dos figuras son congruentes. La forma y el tamaño es la misma.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
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279
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Gestión de la clase 8
8
Apliquemos lo aprendido. Dibuja un triángulo XYZ.
• Este ejercicio ayuda a repasar el concepto clave de que al aplicar traslación, rotación o reflexión los lados y ángulos no cambian sus medidas. En resumen, que las formas y tamaños no cambian. • Usando estos ejemplos, los estudiantes explican el concepto de congruencia.
las respuestas
a
varían Traslada el triángulo XYZ ________ unidades hacia la derecha/izquierda las respuestas y ________ unidades hacia arriba/abajo. Designa los vértices trasladados varían como X’Y’Z’. Compara la longitud de los lados y la medida de los ángulos. Los lados y los ángulos correspondientes son ________. Ya que la forma iguales y tamaño de las dos figuras son iguales, podemos decir que éstas son congruentes _________.
b
varían Rota el triángulo XYZ ________ grados en el sentido del reloj/ las respuestas varían contrarreloj ubicando al centro de rotación en el vértice ________ del triángulo XYZ. Nombra los nuevos vértices como X’’Y’’Z’’. Compara la longitud de los lados y la medida de los ángulos. Los lados y los ángulos son ________. Ya que la forma y tamaño de las figuras son iguales iguales, podemos decir que éstas son _________. congruentes
186
las respuestas
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
280
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes ¡Practiquemos! 7a.
c
Refl eja el triángulo XYZ siguiendo una línea de refl exión (dibuja la línea de refl exión con color rojo). Identifi ca los nuevos vértices como X’’Y’’Z’’. Compara la longitud de los lados y la medida de los ángulos correspondientes. Los lados y los ángulos son ________. iguales Ya que la forma y tamaño de las fi guras son iguales, podemos decir que congruentes éstas son _________.
Las fi guras que son trasladadas, rotadas o refl ejadas mantienen las medidas de sus lados y de sus ángulos. Ya que las formas y tamaños no varían, podemos decir que las fi guras así transformadas son congruentes con las fi guras originales.
¡Practiquemos! 7a 1 a Traslada la Figura K 5 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia arriba. ¿Son congruentes estas dos fi guras? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí las dos figuras son congruentes. La forma y el tamaño son iguales. b El triángulo ABC se traslada _________ unidades hacia la _________ 5 derecha 1 abajo y _________ unidades hacia _________ para formar el triángulo A’B’C’. B B´ A
C A´
C´
Figura K´ Figura K
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
187
281
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2 a
Con el punto A como centro de rotación, rota 90º en el sentido del reloj el triángulo ABC. Nombra al nuevo triángulo como A’B’C’. ¿Son congruentes estos dos triángulos? ¿Cómo lo puedes comprobar?
b
Usando el punto B como centro de rotación, rota en 90º en sentido contrarreloj el triángulo ABC. Nomra al nuevo triángulo como A’’B’’C’’. ¿Son congruentes estos dos triángulos? ¿Cómo lo puedes comprobar?
c
Compara los tres triángulos. ¿Son congruentes? ¿Cómo lo puedes comprobar? B´
A/A´
C
A´´
C´
B/B´
C´´
Para 2a, b y c: Los triángulos son congruentes. La forma y tamaño son las mismas.
188
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
282
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ar?
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la
Práctica 1 de Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 155 a 157.
3 a
b
c
Refleja la figura M siguiendo la línea de reflexión X. Nombra la figura refleja como N. ¿Son congruentes estas dos figuras? Sí las dos figuras ¿Cómo lo puedes comprobar? son congruentes. La forma y el tamaño es la misma. Refleja la figura N siguiendo la línea de reflexión Y. Denomina la figura reflejada como O. ¿Son congruentes estas dos figuras? Sí las dos figuras ¿Cómo lo puedes comprobar? son congruentes. La forma y el tamaño es la misma. Compara las figuras M, N y O. ¿Son congruentes estas figuras? Sí las dos figuras son congruentes. Línea de reflexión X
Figura N
Línea de reflexión Y
Figura O
4 Crea un diseño usando una figura solamente. Puedes trasladar, rotar o reflejar esta figura para cambiar su posición. Explica a tus compañeros las transformaciones que aplicaste. Las respuestas varían
Cuaderno de Trabajo 5A, p 155. Práctica 1
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
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283
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Objetivos: Teselaciones
Concepto clave
Habilidad
Los estudiantes serán capaces de: • reconocer una teselación. • identificar la figura unitaria. • crear una teselación en base a una figura dada.
• Una figura puede teselar si se
Visualización espacial
puede acomodar una cierta cantidad de ellas para cubrir una superficie sin que queden vacíos entre ellas ni traslapes. De ser necesario, la figura podrá rotarse, pero no ser volteada.
Gestión de la clase 1
• Muestre ejemplos de
teselaciones hechos con una sola forma, la que se denomina la figura unitaria. • Haga hincapié en que en cada teselación, sólo se utiliza la misma figura unitaria. No hay vacíos entre las figuras y se usa únicamente una cara de la figura(por ejemplo, baldosas donde sólo se puede usar la cara de la baldosa para embaldosar).
¡Aprendamos!
Teselaciones 1 Observa la fotografía que se muestra abajo. En ella se ve parte de un piso cubierto con baldosas rectangulares.
Observa estas baldosas.
Se pueden usar baldosas de una misma forma para cubrir una supericie sin traslapar las baldosas ni dejar vacíos entre ellas.
Estos diseños con baldosas o azulejos, se llaman teselaciones. Cada teselación generalmente está compuesta por una misma forma. Esta es la forma o figura unitaria de la teselación.
190
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
284
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Gestión de la clase 2
• Muestre ejemplos de figuras
que no pueden teselar una superficie. Pídales que expliquen por qué dichas figuras no forman teselaciones. Haga notar que no son teselaciones porque quedan espacios vacíos entre las figuras o porque las figuras se traslapan.
Podemos usar la figura unitaria de la teselación para expandir en todas direcciones.
2 Algunas figuras no producen teselaciones. Observa estas formas. Las formas no producen
teselaciones cuando quedan vacíos entre ellas o cuando se traslapan.
gap vacío
traslape
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
191
285
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Materiales Figuras unitarias (ver Apéndice 15, págs. 349 y 350).
Gestión de la clase 3
• Asigne este ejercicio
3
a los estudiantes para evaluar informalmente su comprensión del tema.
Identifica y colorea la forma unitaria usada en cada uno de las teselaciones. a
b
c
d
4
• Entregue, por grupos, 10
copias de cada una de las figuras unitarias. Deberán usarlas para averiguar con cuáles pueden teselar una superficie. • Los estudiantes deben descubrir que, para teselar, puede ser necesario rotar una figura.
Tu profesor te dará diez copias de cada una de las siguientes figuras. Descubre con cuáles de ellas puedes teselar una superficie.
5
a
• En esta actividad los
estudiantes deben crear una teselación en papel cuadriculado. De ser necesario, entréguele a los estudiantes una figura unitaria para ayudarlos a hacer la teselación.
Realiza esta actividad.
4
c
b
(a) y (c) teselan una superficie Realiza esta actividad.
5
Copia cada una de las siguientes figuras en una hoja de papel punteado. Haz una teselación con cada una de ellas. Las respuestas varían a
192
b
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
286
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Uso de tecnología Herramienta de dibujo del computador
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la
Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 158 a 161.
Objetivo de la actividad Esta actividad exploratoria permite que los estudiantes exploren si todos los triángulos pueden teselar.
Gestión de la clase 6 Tu profesor te va a dar copias de las siguientes formas. Haz diez copias de cada forma y descubre con cuáles de ellas puedes teselar una superfi cie. a
• Asigne este ejercicio
a los estudiantes para evaluar informalmente su comprensión de las teselaciones. (¡Exploremos!) • Los estudiantes deberán trabajar en parejas para investigar si todos los triángulos que dibujen pueden teselar. • Pida a cada pareja que dibuje y embaldose con una figura unitaria triangular distinta. Mediante esta actividad, los estudiantes deberían concluir que se puede teselar con cualquier triángulo.
c
b
6
(a) y (b) Cuaderno de Trabajo 5A, p 158. Práctica 2
¡Exploremos! ¡ talo tén n !I
1 Trabaja en parejas. 2 Usa un programa de dibujo que tenga tu computador para dibujar un triángulo y haz doce copias de él. 3 Imprímelas y córtalas. Marca los ángulos como se muestra más abajo y haz una teselación con los triángulos. Tu triángulo puede ser diferente del que se muestra aquí abajo. a b
c
¿Todos los triángulos pueden teselar una superficie?
4 Muestra el teselado que hiciste con tus triángulos.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
193
287
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Objetivos: Más teselaciones Los estudiantes serán capaces de: • hacer diferentes teselaciones con una figura unitaria. • crear un nuevo teselado con una forma que tesela.
Conceptos clave • Una forma tesela una superficie
si la cubre sin dejar vacíos. • Hay formas que pueden teselar una superficie de distintas maneras. • Una figura de teselado se puede formar con otra.
Materiales Figuras unitarias (ver Apéndice 16, págs. 351 y 352).
Gestión de la clase 1
• Muestre cómo hay formas,
por ejemplo un cuadrado o un tríangulo equilátero, que pueden teselar de muchas maneras distintas.
¡Aprendamos!
Más teselaciones 1
Algunas fi guras pueden teselar una superfi cie de varias maneras. Para esta fi gura , presentamos aquí algunas de las maneras en que se puede teselar una superfi cie.
Dibuja otra teselación con esta misma fi gura.
• Pida a los estudiantes que
teselen de distintas formas con el rectángulo dado. Nótese que el largo del rectángulo corresponde al doble del ancho. 2
Realiza esta actividad.
2
• Pídales que corten diez copias
de cada forma dada y que teselen de diversas maneras con cada una.
Haz diez copias de cada forma que se muestra aquí. Recórtalas.
d Tesela una superfi cie de dos maneras distintas.
194
a
b
c c
d
Las respuestas varían
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
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Gestión de la clase 3
Dibuja y recorta las formas que se muestran abajo. Haz diez copias de cada una y úsalas para crear, con cada una, tantas teselaciones distintas como puedas. a
3
• Pídales que dibujen y corten
diez de cada una de las figuras dadas y que las usen para teselar de distintas maneras.
b
4
• Muestre cómo se puede crear Las respuestas varían 4
Carla está haciendo un diseño de papel mural para una exposición de arte. Ella nos muestra cómo diseña la figura unitaria a partir de un cuadrado. El diseño de Carla:
Paso 1
Paso 2
una nueva figura que puede teselar a partir de otra figura unitaria. • Comience con una figura que tesele, por ejemplo un rectángulo. Corte un trozo (con cualquier forma) de un lado del rectángulo y trasládelo al lado opuesto. La figura resultante también podrá teselar.
• Para hacer una figura más
compleja, corte otro trozo de un lado distinto del rectángulo y trasládelo al lado opuesto para llegar a esta figura que también tesela.
Carla corta la figura unitaria y hace varias copias. Pinta de azul la mitad de las figuras y la otra mitad la pinta de amarillo. Luego, hace una teselación con la forma unitaria para diseñar un papel mural.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
195
289
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Gestión de la clase • Usando un triángulo, corte un
trozo y rótelo para formar la nueva figura unitaria para el teselado. Ejemplo.
Carla decide modificar la figura unitaria que usó anteriormente. Nos muestra cómo diseña otra figura unitaria para su papel mural. El segundo diseño de Carla: Paso 1
Paso 2
Paso 3
• El trozo cortado también
podrá trasladarse y rotar para lograr la nueva figura unitaria. Ejemplo.
196
Carla corta esta nueva figura unitaria y hace varias copias de ella. Ella pinta las figuras. Luego usa esas figuras baldosa para crear otro diseño de papel mural.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
290
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Bastián nos muestra cómo diseña la figura unitaria de su papel mural. El diseño de Bastián: Paso 1
Paso 2
Paso 3
Bastián también usa la forma unitaria para crear su diseño de papel mural.
¡Mi papel mural está formado por tiburones!
Tanto Carla como Bastián diseñaron la figura unitaria a partir de un cuadrado. El cuadrado puede teselar, por lo tanto, las figuras unitarias que se obtienen de él, también.
(a) Pídale a su hijo(a) que observe los diseños de teselaciones en 1 de la página 184, dibuje las teselaciones en papel punteado e identifique la figura unitaria. Luego que observe las teselaciones en 1 de la página 188. Pida a su hijo(a) que compare la figura unitaria con la de la página 184. Después, analicen las teselaciones. (b) Pídale a su hijo(a) que busque en su entorno figuras unitarias que puedan teselar una superficie de distintas maneras. 197 Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Matemática en la casa
291
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Gestión de la clase y 6 • Los estudiantes usarán su creatividad para diseñar una figura unitaria nueva a partir de cada una de las figuras dadas. Luego, deberán hacer teselados con las nuevas figuras creadas. De ser necesario, pída a los estudiantes que hagan copias de las formas para hacer los teselados como en 2 y 3 5
Realiza esta actividad.
5
Tu profesor te va a dar papel. Diseña una figura unitaria con la que se pueda teselar y crea tu propio papel mural. Comienza con una figura con la que puedas teselar fácilmente, como las formas que se muestran más abajo.
6 Modifica cada una de las figuras que se muestran abajo para diseñar una nueva figura unitaria. Haz un embaldosado con cada figura nueva. a
b
Las respuestas varían
Cuaderno de Trabajo 5A, p 162. Práctica 3
198
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
292
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Habilidad
Uso de tecnología
Visualización espacial
Software geométrico que permita dibujar.
Heurística para resolver problemas
Objetivos de las actividades
Representación
¡Activa tu mente! • Los estudiantes descubren que todos los cuadriláteros pueden teselar. • Este diario permite que los estudiantes evalúen si llegaron a dominar los conceptos, habilidades y procesos de este tema.
Trabajo personal Asigne a sus estudiantes el “Desafío”, “Repaso 3” y “Evaluación 1” del Cuaderno de Trabajo 5A, págs. 162 a 198.
Gestión de la clase ¡Activa tu mente! lo!
a
¡In t
ta én
b
Trabaja en parejas.
d c
1 Usa un programa de dibujo de tu computador para diseñar una fi gura unitaria de cuatro lados y haz doce copias. 2 Imprime y recorta las fi guras. Luego marca los cuatro ángulos como se indica. 3 Haz una teselación con las fi guras. Tu fi gura de cuatro lados puede ser distinta de la que se muestra aquí. Las respuestas varían Cuaderno de Trabajo 5A, p 166. Desafío
D i a ri o m a t e m á t i c o
Pon un (✓) para indicar qué parte(s) de este capítulo son las que más te gustaron. Pon una ( ) para indicar qué parte(s) de este capítulo te parecieron difíciles. Embaldosados: a Reconocer una teselación. b Identifi car la fi gura unitaria de una teselación.
(¡Activa tu mente!) • Pídales que trabajen en grupo para teselar con un cuadrilátero • En primer lugar, dibuje un cuadrilátero usando una plantilla. Luego, dibuje otro cuadrilátero rotándolo en 180º en torno al punto medio de uno de sus lados. Haga lo mismo con los otros tres lados y repita para completar el teselado. • Haga que los estudiantes le muestren al curso sus teselados y se den cuenta de que cualquier cuadrilátero puede teselar. (Diario matemático) • Los estudiantes eligen los enunciados dados para expresar su grado comprensión de los conceptos, habilidades y procesos que aprendieron con el tema, o las dificultades que se les presentaron.
c Reconocer aquellas fi guras que pueden teselar una superfi cie. d Dibujar una teselación en papel punteado a partir de una fi gura dada. e Dibujar distintas teselaciones a partir de una fi gura dada. f
Diseñar una fi gura unitaria para hacer una teselación con ella.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
199
293
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294
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Congruencia y teselaciones
Curso:
1
Fecha:
6
3
5
Figura C
Figura A
Figura B
155
(d) Compara todas las figuras. ¿Son congruentes? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí, las dos figuras son congruentes. La forma y el tamaño son iguales.
2 (c) Para llegar a la Figura A, la Figura C se traslada unidades 1 hacia la derecha y unidades hacia abajo .
(b) Traslada la Figura B 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba para obtener la Figura C. Dibuja y marca la Figura C en la cuadrícula.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
(1) (a) Traslada la Figura A 3 unidades hacia la derecha y 2 hacia abajo para obtener la Figura B. Dibuja y marca la Figura B en la cuadrícula.
Práctica 1 Congruencia
7
Nombre:
295
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156
(2) (a) (b) (c) (d)
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Figura M
Línea de reflexión X
Q
Figura V
Figura O
Línea de reflexión Y
(c) Compara las 3 figuras. ¿Son congruentes? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí, las dos figuras son congruentes. La forma y el tamaño son iguales.
(b) La Figura M se refleja siguiendo la línea de reflexión Y para obtener la Figura O. Dibuja e identifica la línea de reflexión Y.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
157
(5) (a) Dibuja 2 figuras congruentes entre sí y explica por qué lo son. Las respuestas varían. (b) Dibuja 2 figuras no congruentes entre sí y explica por qué no lo son. Las respuestas varían.
(4) Al trasladar, rotar o reflejar una figura cualquiera las medidas de sus lados y de sus ángulos no sufren modificación alguna. Muestra de qué manera puedes confirmar que esto es verdad. Las respuestas varían.
Mide el largo de los lados y los ángulos de los tres polígonos. Al aplicar rotación, ¿cambiaron sus formas y sus tamaños?
Las respuestas varían
(3) (a) (i) Refleja la Figura M siguiendo la línea de reflexión X. Dibuja e identifica la figura reflejada como N. Estas dos figuras, ¿son congruentes? ¿Cómo puedes comprobarlo? Sí, las dos figuras son congruentes. La forma y el tamaño son iguales. (ii) Uno de los vértices de la Figura M permaneció en la misma posición luego de ser aplicada la reflexión. Identifica este vértice como Q.
Usando A’ como punto de rotación, rota A’B’C’D’ en 180º en sentido contrarreloj. Identifica este nuevo polígono como A’’B’’C’’D’’.
Rota el polígono ABCD en 90º en sentido horario tomando como punto de rotación A. Identifica este nuevo polígono como A’B’C’D’.
Dibuja un polígono de cuatro lados en la cuadrícula e identifica sus lados como ABCD.
296
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Curso:
(b)
(c)
158
(a)
Las respuestas varían
Fecha:
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
(d)
(1) Pinta en cada teselación la figura unitaria usada.
Práctica 2 Teselaciones
Nombre:
(iv)
(ii)
No
Sí
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
159
En (a)(i) y (ii) las teselaciones de cada figura calzan sin que haya vacíos y pueden extenderse en todas direcciones. Por lo tanto, las formas pueden teselar. En (a) (iii) las baldosas se traslapan y en (a) (iv) hay vacíos entre las baldosas. Por lo tanto, estas figuras no pueden teselar.
(b) Fundamenta tus respuestas.
Sí
(iii)
(i)
No
(2) (a) ¿Es teselación cada uno de los siguientes diseños? Anota Sí o No en los espacios en blanco.
297
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28-12-12 11:16
160
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
(b)
161
(b)
(a)
(a)
(4) En cada uno de los siguientes casos usa la figura unitaria para crear una teselación en el espacio disponible. Las respuestas varían.
(3) Completa cada teselación en el espacio que se muestra aquí añadiéndole ocho figuras unitarias más a cada teselación. Las respuestas varían.
298
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Curso:
Fecha:
(b) Teselación 2
162
(a) Teselación 1
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
(1) Completa cada teselación que se muestra aquí añadiéndole a cada una ocho figuras unitarias más. Las respuestas varían.
Práctica 3 Más teselaciones
Nombre:
(a) Teselación 1
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
163
(2) Usa la figura dada para crear dos teselaciones distintas en los espacios disponibles. Las respuestas varían.
299
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164
(b) Teselación 2
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
165
La nueva figura unitaria se muestra abajo, en la cuadrícula. Usa la figura dada para hacer una teselación en el espacio disponible. Las respuestas varían.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
(3) Del cuadrado de la izquierda se corta una parte y se coloca en el lado opuesto para crear la figura que se muestra a la derecha:
300
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Desafío
Curso:
Fecha:
166
Figura A
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Figura B
(1) Descomponiendo el triángulo de la figura A en partes y recomponiendo estas partes crea una figura B que también pueda teselar. Tesela con tu figura en la cuadrícua de abajo Las respuestas varían.
Nombre:
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
167
(ii) en el lado adyacente al lado cortado del cuadrado
(i) en el lado opuesto del lado cortado del cuadrado
(b) Las figuras que se muestran abajo se forman colocando el semicírculo cortado de la figura en (a):
no puede teselar.
La figura
Usa la cuadrícula de abajo para averiguar si la figura puede teselar. Luego, anota si puede o no puede en el espacio en blanco.
(2) (a) En la figura de la izquierda se corta un semicírculo para hacer la forma que se muestra a la derecha.
301
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168
La figura
La figura
puede
puede
teselar.
teselar.
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
Usa la cuadrícula que se presenta aquí para averiguar si las figuras en (b) (i) y (b) (ii) teselan. Luego, anota si puede o no puede en el espacio en blanco.
(b) Teselación 2
(a) Teselación 1
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones
169
Las respuestas varían.
(3) Usa la figura dada para crear dos teselaciones diferentes.
302
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Repaso 3
Curso:
6
(c) 10 =
5
(a) 14 =
1 2
3 7
15
(d) 18 =
9
(b) 24 = 5 6
3 8
1
Fecha:
3
6
5
12
24
8 ,
5 1 (b) 3 , 8
24
15
170
= 15
14
5 1 3 = 15 3 5
9
15
Repaso 3
1 3 (3) Pinta el modelo para representar la suma de 3 y 5 . Luego, completa la adición. 1 3 3 5
,
12
7
8
7
(a) 3 , 12
2
(2) Para cada par de fracciones, encuentra el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Luego, exprésalas como fracciones de igual denominador.
(1) Expresa cada fracción en su forma más simple.
Nombre:
3
1
9
1
=6
5
= 12
10
(a) 4 12 = 12 + 12
3
2
21
10
4
31
= 35 2
(b) 5 7 = + 35 35
2 15
12 15
10 15
3
1
=3
2
= 12
8
9
1
(a) 4 12 = – 12 12
Repaso 3
=
4 2 = 5 3
3
3
27
?
15
4
= 15
12
= 45
(b) 5 9 = – 45 45
(6) Resta. Expresa tu respuesta en su forma más simple.
2 3
5
171
(5) Pinta el modelo para representar la diferencia entre 5 y 3 . Luego, completa la resta. 4
(4) Suma. Expresa tu respuesta en su forma más simple.
303
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28-12-12 11:17
4 (a) 4 : 9 = 9 (b) 4 : 11 =
5
:
6
7 (b) 12 =
7
11
4
: 12
4
(a) 5 = 0,80
2
(b) 9 ≈ 0,22
22 8 11 =4 3 =24
(c) 22 : 8 =
4 28 (d) 28 : 6 = 6 14 = 3 2 =43
5
(b) 13 : 4
(c) 18 : 7
(d) 23 : 5
172
(a) 8 : 3
División
45
3
4 27
34
1
23
2
Número mixto
4,60
2,57
3,25
2,67
Decimal
División expresada como
Repaso 3
(c) 12 ≈ 0,42
(11) Expresa cada división como número mixto y decimal redondeado a 2 posiciones decimales, cuando sea necesario.
5
(10) Divide. Expresa tu respuesta como un número mixto. 2 3 (a) 7 : 5 = 1 (b) 19 : 4 = 4
(9) Expresa cada fracción como decimal. Redondea tu respuesta a 2 posiciones decimales, cuando sea necesario.
5 (a) 6 =
(8) Expresa cada fracción como una división.
(7) Expresa cada división como una fracción.
11
11
= 35 kg
1
2
Hernán anduvo 2 4 km en bicicleta para llegar a la plaza y juntarse con
2
2
13
13
2
2
1
13
1
Ellas usaron 6 12 m de hilo en total.
5
4 12 + 1 3 = 5 12 = 6 12 m
173
hilo para arreglar su blusa. ¿Cuántos metros de hilo usaron ambas en total?
5
Ana usó 4 12 m de hilo para coser un monedero. Karen usó 1 3 m de
La distancia total recorrida por Hernán fue de 3 20 km.
2 2 + 1 5 = 3 20 km
1
distancia total recorrida por Hernán?
unos amigos. Luego, anduvo 1 5 km para ir a almorzar al centro. ¿Cuál fue la
Repaso 3
(14)
(13)
Él usó 35 kg más de harina para hacer pan.
3 2 21 10 – = 35 – 35 5 7
3
(12) Raúl usó 5 kg de harina para hacer pan y 7 kg de harina para hacer galletas. ¿Qué cantidad más de harina usó para hacer pan que para hacer galletas?
Resuelve estos problemas. Escribe tu procedimiento claramente.
304
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28-12-12 11:17
Cada uno tenía 600 huevos al principio.
1
9
4
13
1
= 4 12 = 5 12
174
1 Había 5 12 de jugo preparado.
1 4 + 3 3 = 1 12 + 3 12
3
2
13
8
8 5
= 4 12 – 2 12 = 2 12
1
Repaso 3
5 Quedaron 2 12 de jugo preparado.
1
5 12 – 2 3 = 5 12 – 2 12
un jarro. ¿Cuántos litros del jugo preparado quedaron en el recipiente?
3 1 (16) Rosa vació 1 4 de jugo de naranja en un recipiente. Luego, agregó 3 3 2 de jugo de mango en el mismo recipiente. Después vació 2 3 de la mezcla en
Cecilia
250 huevos
Bruno
250 huevos más que Bruno, ¿cuántos huevos tenía cada uno al principio?
5 partes → 250 huevos 1 parte → 50 huevos 12 partes → 600 huevos
1 3 vendió 3 de sus huevos y Cecilia vendió 4 de los suyos. Si Cecilia vendió
(15) Bruno y Cecilia tenían la misma cantidad de huevos. Luego, Bruno
A
E B
D
F
C
AF BD
(c) Si la base es AC, la altura es
CE
(b) Si la base es BC, la altura es
(a) Si la base es AB, la altura es
.
.
.
H
I
G
(b) Si la altura es HI, la base es
(a) Si la altura es IJ, la base es
GI
GH
. .
Repaso 3
Altura:
B
AC
base
C
G
Base:
E
EF
altura
F
175
(19) En cada triángulo sombreado, se da una base o una altura. Nombra la altura o base que corresponde. D A (a) (b)
J
(18) Observa el siguiente triángulo. Nombra la base que corresponde a cada altura dada.
(17) Observa el siguiente triángulo. Nombra la altura que corresponde a cada base dada.
305
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28-12-12 11:17
base
AD
Altura:
B
(c)
C
D
A
(d)
176
Área =
62 m
50 m
3875 m2
27 cm
2025 cm2
125 m
Área =
(c)
150 cm
(d)
Área =
U
RU
S
P
24 m2
13 m
4 m
160 cm2
16 cm
12 m
15 m
Área =
17 cm
(21) Encuentra el área de cada triángulo sombreado. (a) (b)
Y
T
20 cm
Altura:
Q
base
(20) En el triángulo de la derecha, dibuja las alturas para las tres bases XY, YZ y ZX.
Z
Repaso 3
9 m
X
R
Área =
700 cm2
40 cm
35 cm
Área =
240 : 2 = 120 cm2
Repaso 3
Q
P
25 cm
12 cm
R
15 cm
S
90 m
PS = 300 : 15 = 20 cm
177
Área del rectángulo PQRS = 2 × 150 = 300 cm2
Área del triángulo PQS = 25 ×12 ó 1 × 25 ×12 2 2 2 = 150 cm
(24) PQRS es un rectángulo. Encuentra la longitud de PS.
24 cm
10 cm
3195 m2
142 m
24 × 10 = 240 cm2
(23) Encuentra el área total de las partes sombreadas.
43 cm
(22) Encuentra el área de cada triángulo sombreado. (a) (b)
306
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28-12-12 11:17
A
B
B
F
A
178
Área del triángulo CEF = 288 – 36 – 72 – 72 = 108 cm2
Área del ΔCDE = 12 ×12 = 72 cm2 2 Área de ΔBCF = 6 × 24 = 72 cm2 2 Área del rectángulo ABCD = 12 × 24 = 288 cm2
DE = 24 – 12 = 12 cm
Largo AD = Largo BC = 2 × 12 = 24 cm
AF = BF = 12 : 2 = 6 cm Área del ΔAEF = 6 × 12 = 36 cm2 2 E
C
D
C
Repaso 3
(26) ABCD es un rectángulo de ancho 12 cm. Su largo es dos veces su ancho. AE = 12 cm y AF = BF. Encuentra el área del triángulo sombreado CEF.
Área del triángulo, ABC = 18 × 36 ó 1 × 18 × 36 2 2 2 = 324 cm
AD = CD = 2 × 18 = 36 cm
D
(25) En la figura, BC = 18 cm y AD = CD. La medida de CD es el doble de la medida de BC. Encuentra el área del triángulo sombreado ABC. E
C
D
6 partes → 108 cm 1 parte → 18 cm 2 partes → 36 cm Área del triángulo BEC = 36 × 18 2 = 324 cm2
Repaso 3
1 4
B
A
Q
P
179
C
D
(28) Braulio dibujó un rectángulo ABCD. Marcó los puntos P y Q en los lados AD y BC y formó dos triángulos que se superponen, AQD y BPC como se muestra en el dibujo. AP = PD y BQ = QC. Luego, pintó el triángulo AQD amarillo y el triángulo BPC azul. La región superpuesta resultó de color verde. ¿Qué fracción del área del rectángulo es el área de la región verde?
Largo: 2 partes Ancho: 1 parte Perímetro: 2 × (2 +1) = 6 partes
B
A
(27) Ester usó un alambre para hacer un rectángulo ABCD como se muestra en el dibujo de abajo. El largo del rectángulo es dos veces su ancho. Si ella usó 108 cm de alambre, encuentra el área del triángulo BEC.
307
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28-12-12 11:17
180
Repaso 3
(b) Compara las figuras A y A´. ¿Son congruentes? Sí ¿Cómo lo puedes comprobar?
Midiendo los lados y los ángulos de ambas figuras. Si no sufrieran modificaciones, entonces las figuras A y A´son congruentes.
(a) Traslada la figura A 2 unidades hacia abajo y 3 unidades hacia la derecha, obteniendo la figura A´. Coloca las letras que correspondan en cada vértice.
B´
A´
D´ C´
E´
F´
B
A
Figura A
C
D
F
E
(29) En la cuadrícula está dibujada la figura A.
B
B´
C´
¿Son congruentes los triángulos? Sí, los dos triángulos son congruentes. ¿Cómo lo puedes comprobar? La forma y tamaño es la misma.
A´
Repaso 3
Figura 1
L
Figura 2
181
(31) Refleja la Figura 1 siguiendo la línea de reflexión L. Nombra a la figura reflejada como Figura 2. ¿Son congruentes estas 2 figuras? Sí, las dos figuras son congruentes. ¿Cómo lo puedes comprobar? La forma y tamaño es la misma.
A
C
(30) Rotar el triángulo ABC en 90º en el sentido del reloj, en torno al punto fijo B y obtener el triángulo A´B´C´.
308
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28-12-12 11:17
(c)
(d)
182
(b)
(a)
No es posible
Sí, es posible
Sí, es posible
Sí, es posible
Repaso 3
(32) Copia cada una de las siguientes figuras en una hoja de papel punteado. ¿Es posible hacer una traslación con cada una de ellas?
Curso:
Evaluación 1
1
Fecha:
(b) Tres millones cuatrocientos mil cincuenta y veintiséis (c) Tres millones quinientos mil cuatrocientos veintiséis (d) Tres millones cuarenta y cinco mil veintiséis
(c) 320 182
(d) 320 128
(b) 93 216 ( c )
( a )
6
3
5
(c) 23 400
(a) 22 097
(d) 23 501
(b) 22 499
(c) 360
Evaluación 1
(a) 140
(d) 563
(b) 203
(4) ¿Cuál es el resultado de 20 + 10 × 19 – 7?
183
( b )
( c )
(3) ¿Cuál de los siguientes números al ser redondeado a la unidad de mil más cercana es 23 000?
(a) 15 265
(2) ¿Cuál de los siguientes números es el mayor?
(a) Tres millones cuatrocientos cincuenta mil veintiséis
(1) El número 3 450 026 en palabras es:
Elige la respuesta para cada pregunta. Escribe la letra correspondiente dentro de los paréntesis.
Sección A
Nombre:
309
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28-12-12 11:18
18
18
(c) 12
9
(a) 24
3
3
5
(c) 2
1
(a) 8
184
5 (a) 22 7 (c) 11
1 3 (9) La diferencia entre 2 y 11 es.
(8) ¿Cuánto es 4 2 8 ?
( c )
(d) 22
17
1 (b) 11
1
(d) 4
3
(b) 8
1
(d) 2
3
(b) 4
Evaluación 1
( a )
( b )
( b )
¿Cuál es la diferencia entre los valores del dígito 6 en 2 300 628 y en 846 150? (a) 600 (b) 5400 (c) 5522 (d) 6000 ( b )
(7) Expresa 24 de la forma más simple posible.
(6)
(5) ¿Cuánto es el producto de 32 y 79 menos 1000? (a) 111 (b) 1111 (c) 1528 (d) 2528
126 cm2 98 cm2 63 cm2 49 cm2
a
(b) 45° (d) 90°
( b )
( d )
(a) 4 cm (c) 8 cm
H
10 cm
A
D
E
G
F
(b) 6 cm (d) 10 cm
12 cm
4 cm
C
B
185
( a )
Todos los lados consecutivos de la figura de abajo son perpendiculares. Encuentra la longitud de EF.
(a) 30° (c) 60°
Encuentra la medida del a en la siguiente figura.
Evaluación 1
(12)
(11)
(10) Encuentra el área del triángulo ABC. 14 cm (a) (b) (c) (d)
310
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28-12-12 11:18
400 10 2
7000
35 928
164 239
35 982
916 236
186
Evaluación 1
47 (18) En un colegio habían 215 niños en quinto básico. Cada niño gastó $170 en un chocolate. Encuentra la cantidad total de dinero gastado por los niños en chocolates. 215 × $170 = $36 550 $36 550
916 236 , 164 239 , 35 982 , 35 928 (17) Encuentra el valor de: (2 4) 7 2 6 11.
(14) Usando los dígitos 3, 9, 2, 6, 5 forma el menor número posible que sea par y tenga 5 cifras. 23 596 (15) ¿Qué número es 32 000 cuando es redondeado a la unidad de mil más cercana? Escribe el número menor posible. 31 500 (16) Ordena los siguientes números según su tamaño, comenzando por el mayor.
(13) 87 412 = 80 000
Lee atentamente las preguntas. Escribe tu respuesta en los espacios indicados. Muestra tus procedimientos en forma clara.
Sección B
R
1
18
1
6
9
Evaluación 1
25 cm
20 cm
18 cm
(22) Encuentra el área del triángulo DEF.
56 cm2
25 × 18 = 225 cm2 2
187
225 cm2
9,1
Puedes usar tu calculadora para las preguntas (27) a (39).
7 cm
16 × 7 = 56 cm2 2
C
(21) Resuelve 24 6 2 15 18 . Expresa tu resultado como decimal. 1 1 1 24 – 15 = 9 ≈ 9.1
Q
16 cm
(20) Calcula el área del triángulo PQR. P
B
altura
D
(19) En el siguiente triángulo, traza su altura considerando como base AB. Nombra la altura como CD. A
311
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28-12-12 11:18
8
≈ 16,1 km
65 4 9 + 7 = 16 km 88 11 88
4 3 65 7 +1 =8 km 11 8 88
como decimal, redondeado a la decena.
1 cm
18 cm2
42 – (5 × 3) – (6 × 2) – (7 × 3) 2 2 2 = 42 – 7,5 – 6 – 10,5 = 18 cm2
16,1 km
188
$145 800 – $45 000 = $100 800 $100 800 : 8 = $12 600
Evaluación 1
$12 600
(25) Don Luis quiere comprar una cocina que cuesta $145 800. Él paga un pie de $45 000. El resto lo paga en cuotas iguales, durante 8 meses. Encuentra el monto de la cuota que debe pagar mensualmente.
1 cm
(24) Calcula el área del triángulo sombreado.
3
viernes. ¿Cuántos kilómetros trotó en los dos días? Expresa tu respuesta
4
(23) Leonor trotó 711 km el viernes. El sábado, ella trotó 1 8 km más que el
1
3
Desde las 3 p.m. hasta las 5 p.m. → 2 h 4 × $500 = $2000 Desde las 5 p.m. hasta las 8 p.m. → 3 h 3 × $1000= $3000 $2000 + $3000 = $5000
Tania estacionó su auto desde las 3 p.m. a las 8 p.m. del mismo día. ¿Cuánto tuvo que pagar por el estacionamiento?
1
1 3 7 + 3 = 27 kg 2 8 8
2
27
7 kg 8
Evaluación 1
18
≈ 25,2 km
2 1 17 +7 = 25 15 18 90
1 posición decimal.
189
25,2 km
que recorrió antes de descansar? Expresa tu respuesta como decimal con
caminó 7 18 km antes de detenerse a descansar. ¿Cuál fue la distancia total
(28) Hernán estuvo entrenando para una maratón. Él corrió 18 15 km y luego
24
(27) Simón pesa 24 2 kg. Él es 3 8 kg más liviano que Tomás. Calcula el peso de Tomás.
$2000 valor fijo
$1000 cada hora
5 p.m. a 12 p.m. 12 p.m. a 7 a.m.
1 $500 cada h 2
7 a.m. a 5 p.m.
(26) Esta tabla muestra los precios de un estacionamiento.
312
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28-12-12 11:18
10 m
80 m2
C
D
Y
X
12 m
15 m
190
B
56 cm
A
50 cm
C
E
D
42 cm
= Área de �EFG
Área del trángulo ECFG = 50 × 14 = 700 cm2 Área de las partes sombreadas = 1050 + 700 = 1750 cm2
Área del �BEC
Evaluación 1
El área total de las partes sombreadas es 1750 cm2
F
G
Área del �ADE = 50 × 42 = 1050 cm 2 2
El área del triángulo es 54 m2
Ancho de ABCD = 80 : 10 = 8 m Perímetro de ABCD = 2 × (10 + 8) = 36 m Largo de XY = 36 – 15 – 12 = 9 m Área de XYZ = 12 × 9 = 54 m2 2 Z
(30) ABCD y ECFG son rectángulos. BC = CF. ¿Cuál es el área total de las partes sombreadas de la figura?
B
A
(29) El rectángulo ABCD y el triángulo XYZ tienen el mismo perímetro. Encuentra el área del triángulo XYZ.
1
Número de unidades cuadrados
1
Figura
Figura 1
Figura 2
4
2
9
3
Figura 3
16
66º
B Y
Z
D
C
(b)
(a)
13
16
24°
169
?
191
13 cm
X, Y y Z son cuadrados. La longitud de cada lado de X es 5 cm y la de Y es de 3 cm. AB = CD. Encuentra la longitud total de las líneas gruesas de la figura.
Evaluación 1
X
A
(33) Observa la figura de abajo y responde a la pregunta.
a
4
Figura 4
?
(a) ¿Cuántas unidades hay en la figura 4? (b) ¿Qué número de figura tendrá 169 cuadrados en esta secuencia?
(32) Encuentra la medida del a en la siguiente figura.
(31) Observa la secuencia de las siguientes figuras. La figura 1 está formada por 1 unidad cuadrada. Completa la tabla de más abajo.
313
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28-12-12 11:18
3 : 8 = 0,375 ≈ 0,38 0,38
7,0
192
Figura M
Figura F
Evaluación 1
Midiendo los lados y los ángulos de ambas figuras, si no sufrieran modificaciones podemos afirmar que las figuras F y M son congruentes.
(36) Refleja la figura F con respecto a la línea de reflexión X. Nombra la figura reflejada figura M. ¿Son congruentes estas dos figuras? ¿Cómo lo puedes comprobar? Sí
(35) Divide 3 por 8. Redondea tu respuesta a 2 posiciónes decimales.
0,87 × 8 = 6,96 ≈ 7,0
(34) Multiplica 0,87 por 8. Redondea tu respuesta a 1 posición decimal.
Evaluación 1
(37) Completa el teselado agregando 3 formas más.
193
314
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28-12-12 11:18
18 con resto 3
19 con resto 3
75
79
194
:4
Número entre 70 y 85
Evaluación 1
13 con resto 1 ✔
12 con resto 3 ✗
:6
(39) Un número dividido por 4 da como resto 3. El mismo número cuando es dividido por 6 da como resto 1. El número está entre 70 y 85. ¿Qué número es?
En esta sección puedes usar tu calculadora.
Para cada una de las siguientes preguntas, escribe tu respuesta en los espacios dados. Escribe tu procedimiento en forma clara.
Sección C
(38) Completa el teselado agregando 3 formas más.
200 m
200 m
5
7
Evaluación 1
Le quedaron 0,9 kg de congrio.
7
2 5 31 –4 =2 kg 5 8 40 31 7 9 2 –1 = = 0,9 kg 40 8 10
congrio. ¿Cuántos kilogramos de congrio le quedaron?
195
pescados, 4 8 kg eran reineta y el resto era congrio. Luego, regaló 1 8 kg de
(42) Mario pescó un total de 7 5 kg de pescado en un solo día. Del total de
2
Álvaro recibe $17 700 en un año.
12 × $1475 = $17 700
Álvaro recibe $1475 cada mes.
$2000 – $525 = $1475
$750 + $ 1250 = $2000
$8250 : 11 = $750
(41) A Susana le dan de mesada $525 más que a Álvaro. Cada uno de ellos gasta $12 500 mensualmente y ahorra el resto. Al comienzo, Susana no tiene ahorros. Después de 11 meses ha ahorrado $8250. ¿Cuánto dinero recibe de mesada Álvaro? ¿Cuánto recibe en un año?
Hay 15 árboles en total. Cantidad de postes = 15 + 1 = 16
6 km : 400 m = 6000 m : 400 m = 15
(40) A lo largo de un camino de 6 km hay algunos postes y árboles. Los postes están separados por distancias iguales. Entre dos postes siempre hay un árbol. La figura muestra la distancia entre un árbol y dos postes. Los postes están ubicados al inicio y el término del camino. ¿Cuánto postes hay?
315
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28-12-12 11:18
2
196
1er día
2do Pags. día restantes
72 páginas
páginas tiene el libro?
2 partes → 72 páginas 1 parte → 36 páginas 6 partes → 216 páginas El libro tiene 216 páginas.
Evaluación 1
Aún tiene que leer 2 del total de páginas para completar el libro. ¿Cuántas
1
leyó 72 páginas. El segundo día leyó 4 de las páginas que le quedaban.
1
(44) Isabel tenía que leer un libro para un proyecto de su escuela. EL primer día,
Al comienzo, había 4,84 de leche en el recipiente B.
recipiente A: 2
4 2 42 +1 =3 11 5 55 42 13 recipiente B: 10 – 3 =6 55 55 13 2 46 6 –1 =4 ≈ 4,84 55 5 55
respuesta como decimal con 2 posiciones decimales.
¿Cuántos litros de leche había en el recipiente B al comienzo? Expresa tu
Después de esto, el volumen total de leche en los dos recipientes es 10 .
leche. Laura echó 1 5 de leche en cada uno de estos dos recipientes.
4
(43) En el recipiente A había 211 de leche y en el recipiente B algunos litros de
15 cm
P
Evaluación 1
= 77 cm2
El área del triángulo KEL = (8 × 6) + 29
Área de GEH: 58 : 2 = 29 cm2
Área de AGHD: 94 – 36 = 58 cm2
= 6 × 6 = 36 cm2
Área de GBCH = 6 × área de KGB
K
B
A
E
197
C
D
(46) En la figura a continuación, KE = EL, AE = ED y BC es 3 veces el largo de KB. El área del rectángulo ABCD es 94 cm2 y el área del triángulo KGB es 6 cm2. Encuentra el área del triángulo KEL.
El área de la parte sombreada es 56,25 cm2.
Área de la figura sombreada
Área del �ABP
Área del �ABC
112,5 – 56,25 = 56,25 cm2
15 × 7,5= 56,25 cm2 2
15 : 2= 7,5 cm
15 × 15 = 112,5 cm2 2
L
(45) Observa la partes sombreadas del cuadrado de 15 cm. de lado. P es el punto medio del cuadrado. Encuentra el área de la parte sombreada.
316
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28-12-12 11:19
$1485
198
Leonor recibió $350 de vuelto.
2,75 × $600 = $1650 $2000 2 $1650 = 350
Evaluación 1
(49) I m de tela cuesta $600. Leonor compró 2,75 m de tela. Ella pagó a la cajera $2000. ¿Cuánto dinero recibió de vuelto?
El precio de i pera es $495.
9 partes → $1485 1 parte → $1485 : 9 = $165 3 partes → 3 × $165 = $495
2 peras → 2 × 3 = 6 partes 3 duraznos → 3 partes
Duraznos
Peras
(48) Leonardo compró 2 peras y 3 duraznos por $1485 en total. Una pera cuesta 3 veces lo que cuesta un durazno. Encuentra el precio de 1 pera.
Lili tenía 3,90 m de cinta al principio.
5 partes → 3,25 m 1 parte → 3,25 : 5 = 0,65 m 6 partes → 6 × 0,65 m = 3,9 m
(47) Lili tenía un rollo de cinta. Ella usó 3,25 m del rollo para decorar regalos, gastando 5 del rollo. ¿Cuántos metros de cinta tenía Lili al principio? 6
BLANCO
HEURÍSTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
Nugo
Gugo
Kuga Lugo
Zugo Tuga
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Heurística 1: Dibujar un modelo Ejemplo 1 La suma de dos números es 51. Su diferencia es 9. ¿Cuáles son los dos números? Solución: Número A 51 Número B 9
Solución alternativa: 51 9 = 60 60 : 2 = 30 51 30 = 21
51 9 = 42 42 : 2 = 21 21 9 = 30 Los números son 21 y 30.
Ejemplo 2 Cecilia y Mario tienen 80 bolitas entre los dos. Cecilia y Alicia tienen 50 bolitas entre las dos. Alicia tiene
1 de las bolitas que tiene Mario. ¿Cuántas bolitas tiene Cecilia? 4
Solución: 80 Cecilia y Mario
Cecilia
Cecilia y Alicia
Sandra 50
?
Mario tiene 4 veces la cantidad de bolitas que Alicia. 80 50 = 30 30 : 3 = 10 10 4 = 40 bolitas (Mario) 80 40 = 40 bolitas (Cecilia) Cecilia tiene 40 bolitas.
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Ejemplo 3 El peso total de Jaime y Florencia es 90 kg. Si Jaime sube 6 kg y Florencia baja 4 kg, ambos tendrán el mismo peso. ¿Cuál es el peso actual de Jaime en kilogramos? Solución: 6 kg Jaime 90 kg Florencia 4 kg
90 4 6 = 92 92 : 2 = 46 46 6 = 40 kg (Jaime) 46 4 = 50 kg (Florencia) El peso actual de Jaime es 40 kg. Verificación: 40 50 = 90 kg 40 6 = 46 kg (Jaime sube 6 kg.) 50 4 = 46 kg (Florencia baja 4 kg.)
Ejemplo 4 Iván es 10 años mayor que René. Sus edades suman 35. ¿Qué edad tendrá René en 15 años más? Solución: Iván 35 René 10
A partir del modelo, 2 partes
35 10 = 25
25 : 2 = 12 2
1 parte
1
René tiene 12 años y 6 meses. En 15 años más el tendrá 27 años y 6 meses.
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Heurística 2: Representar / Dibujar un diagrama Ejemplo 1 En una escuela, hay 7 equipos de básquetbol. Cada equipo tendrá que jugar con cada uno de los otros equipos. ¿Cuántos partidos se juegan si cada equipo juega con cada uno de los otros: (a) una vez? (b) dos veces? Solución: Dibuja una tabla o diagrama para mostrar cómo se juegan los partidos. (a) A B C D E F G A x x x x x x B x x x x x C x x x x D x x x E x x F x G (a) Cantidad de partidos jugados = 6 5 4 3 2 1 = 21
Se juegan 21 partidos si cada equipo juega una vez con cada uno de los otros equipos.
(b) Número de partidos jugados = 2 21 = 42
Se juegan 42 partidos si cada equipo juega dos veces con cada uno de los otros equipos.
Ejemplo 2 El siguiente diagrama está formado por 24 fósforos.
(a) Retira 6 fósforos para que queden sólo 3 cuadrados (b) Retira 12 fósforos para que queden sólo 3 cuadrados.
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Solución: (a) Después de retirar los 6 fósforos
(b) Después de retirar los 12 fósforos
Ejemplo 3 María es más alta que Susana. Pedro es más bajo que María. Susana es más alta que Alicia y más baja que Pedro. ¿Quién es el más alto? Solución:
Más alto: María
María
Susana
Pedro
Pedro Susana Alicia
Más bajo:
María es la más alta.
Ejemplo 4 En una pieza hay cuatro personas. ¿Cuántos apretones de mano se necesitan para que cada uno se salude con todos los demás? Solución: Se necesitan 6 apretones de mano. A
B
C
D
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Heurística 3: Simplificar el problema Ejemplo 1 Dibuja una línea recta para cortar el diagrama de la derecha en dos partes iguales.
Solución: Simplifica el diagrama observándolo como un cuadrado y un rectángulo.
La línea recta debe pasar por el centro del cuadrado y por el centro del rectángulo.
Ejemplo 2 Completa los círculos con los siguientes números, para que la suma de los números de cada lado del triángulo sea 36. 3, 6, 9, 12, 15, 18
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Solución: Simplifica el problema dividiendo cada número por 3. 3, 6, 9, 12, 15, 18
1, 2, 3, 4, 5, 6 :3
Completa los círculos usando los nuevos números para que la suma de los números en cada lado del triángulo sea 36 : 3 = 12. 6
1 5
2 3
4
Multiplica el número de cada círculo por 3. 18
3
15
6
9
12
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Heurística 4: Suponer y comprobar Ejemplo 1 Bruno tiene 5 años. Su mamá tiene 7 veces la edad de Bruno. ¿En cuántos años más ella tendrá 4 veces la edad de Bruno? Solución: Edad de Bruno
Edad de la mamá de Bruno
¿4 veces?
5
35
No
6
36
No
7
37
No
8
38
No
9
39
No
10
40
Sí
La mamá de Bruno tendrá 4 veces la edad de su hijo en 5 años más
Ejemplo 2 Completa los espacios con 1, 2, 3, 4 y 5.
2
8
7
0
Solución: Las posibilidades para el divisor y el último dígito del número de 4 cifras son: Último dígito del número de 4 cifras
5
4
2
5
Divisor
4
5
5
2
Comprobación: 2870 : 4 = 717,5 (Por lo tanto, 4 no puede ser el divisor.) 2870 : 5 = 574 (Entonces, 5 no puede ser el divisor.) 2870 : 2 = 1435 1435 2 = 2870 Los dos números multiplicados son 1435 y 2.
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Ejemplo 3 Completa las casillas con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para encontrar la diferencia más pequeña. Usa cada dígito sólo una vez.
Solución: Para formar la diferencia más pequeña, las centenas deben estar dispuesta de esta forma: 5
4
4
3
3
2
2
1
Entonces, para el resto de los 4 números en cada casilla, el número de 2 cifras más pequeño va arriba y el número de 2 cifras más grande va abajo.
5
0
1
4
0
1
4
3
2
3
5
2
6
9
4
9
3
0
1
2
0
3
2
5
4
1
5
4
4
7
4
9
Por lo tanto, 301 – 254 da la diferencia más pequeña. 325
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Heurística 5: Buscar un patrón Ejemplo 1 Observa la siguiente figura. 1a capa 2a capa 3a capa
¿Cuántos bloques se necesitan para formar la decimoquinta capa? Solución: El número de bloques en cada capa forma un patrón numérico: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 25, 27, 29. El decimoquinto número es 29. Entonces, se necesitan 29 bloques para formar la decimoquinta capa.
Ejemplo 2 ¿Cuál es el número que falta? 3, 8, 15, 24, 35,
, 63
Solución: 3,
8, 5
15, 7
9
24,
35,
, 63
11 13 15
35 13 = 48 El número que falta es 48.
Ejemplo 3 Alicia quería invitar a sus amigos a su fiesta de cumpleaños. Ella llamó a 3 amigos el miércoles. Le dijo a cada uno de los 3 que llamara a otros 3 amigos el jueves. Cada amigo que recibió una llamada el jueves, llamó a 3 amigos más el viernes. ¿Cuántos amigos recibieron un llamado el viernes? Solución: La cantidad de amigos que recibieron un llamado cada día, desde el miércoles hasta el viernes, forma un patrón numérico: 1 3 = 3, 3 3 = 9, 9 3 = 27 amigos 27 amigos recibieron un llamado el viernes.
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Ejemplo 4 La figura 1 tiene 2 puntos. La figura 2 tiene 6 puntos. La figura 3 tiene 12 puntos. Figura 1
Figura 2
Figura 3
Si se continúa el patrón, ¿cuántos puntos hay en: (a) la figura 5? (b) la figura 12? Solución: Cantidad de puntos Figura 1 1 2 = 2 Figura 2 2 3 = 6 Figura 3 3 4 = 12 Figura 5 5 6 = 30 Figura 12 12 13 = 156 Hay 30 puntos en la figura 5 y 156 puntos en la figura 12.
Ejemplo 5 Encuentra la suma de 3 4 5 … 95 96 97. Solución: 3 97 = 100 4 96 = 100 . . .
49 3 1 = 47. Entonces, hay 47 pares de números que suman 100.
49 51 = 100 47 100 = 4700 4700 50 = 4750 La suma es 4750.
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Heurística 6: Hacer una lista sistemáticamente Ejemplo 1 Ángela tiene un número. Cuando el número es dividido por 3, el resto es 2. Cuando el número es dividido por 6, el resto es 5. Su número es menor que 30, pero mayor que 20. ¿Cuál es su número? Solución:
3 2
6 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3 5
6 8
9 11
12 14
15 17
18 20
21 23
24 26
27 29
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6 11
12 17
18 23
24 29
30 35
36
42
48
54
Los números posibles son 11 y 23. Pero 11 es menor que 20, por lo tanto, el número de Ángela es 23.
Ejemplo 2 La siguiente figura compuesta está formada por un cuadrado dentro de otro cuadrado. La longitud de los lados de cada cuadrado es un número entero. Si el área de la parte sombreada es 56 cm² , encuentra el perímetro de la parte sombreada de la figura.
Solución:
Longitud de un lado Área
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
9 9 = 81 cm2 5 5 = 25 cm2 81 25 = 56 cm2 La longitud de los lados de los dos cuadrados es 9 cm y 5 cm. Perímetro de la parte sombreada de la figura = 4 9 = 36 cm 328
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Ejemplo 3 Catalina ahorró algunos vales de $2 y $5. Ella ahorró 28 vales en total. Si el valor total de los vales es $116, ¿cuántos vales de $2 ahorró? Solución: Valor de los vales de $2 Valor de los vales de $5
Valor total
14 2
14 5
28 70 = 98
10 2
18 5
20 90 = 110
82
20 5
16 100 = 116
Catalina ahorró 8 vales de $2.
329
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Heurística 7: Trabajar hacia atrás Ejemplo 1 Pienso en un número. Cuando el número es duplicado y se le suma 3 al resultado, la respuesta es 15. ¿Cuál es el número original? Solución: 15 3 = 12 12 : 2 = 6 El número original es 6.
Ejemplo 2 Un bus llegó a la parada A y subieron 10 personas. En la parada B, bajaron. En la parada C se bajaron
2 de los pasajeros se 5
2 de los pasajeros. Luego, subieron 5 personas. En la parada 3
C, cuando el bus partió llevaba 15 pasajeros . ¿Cuántos pasajeros había en el bus cuando estaba en la parada A? Solución: Parada C
Parada B
Parada A
15 5 = 10 1 parte 10 3 partes 10 3 = 30 (número de pasajeros en el bus cuando estaba en la parada C)
3 partes 30 1 parte 10 5 partes 10 5 = 50 (número de pasajeros en el bus cuando estaba en la parada B)
50 10 = 40 (número de pasajeros en el bus cuando estaba en la parada A)
Cuando el bus estaba en la parada A, llevaba 40 pasajeros.
330
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Heurística 8: Considerar dos momentos: antes y después Ejemplo 1 Alejandra y Lorenzo fueron a pescar. Alejandra pescó 3 veces la cantidad de pescados que pescó Lorenzo. Después que Alejandra vendió 17 de sus pescados y Lorenzo vendió 3 de los suyos, ambos quedaron con la misma cantidad de pescados. ¿Cuántos pescados pescó Alejandra? Solución:
Antes:
Alejandra Lorenzo
Después:
Alejandra Lorenzo
17 3
17 – 3 = 14 2 partes 1 parte 3 partes
14 7 3 7 = 21
Alejandra pescó 21 pescados.
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Heurística 9: Replantear el problema Ejemplo 1 Para las Olimpiadas de Matemática se registraron 12 equipos. Algunos eran de 2 miembros y otros de 4. En el día de la competencia, 1 integrante de un equipo de 4 miembros se enfermó y tuvo que faltar a la competencia. Hubo 37 participantes en total en la competencia. ¿Cuántos equipos de 4 miembros se registraron para éstas Olimpiadas? Solución: Replantea el problema suponiendo que todos los participantes estaban presentes el día de la competencia. Entonces, sumando 1 más que 37, había 38 participantes. 1º ensayo: seis equipos de 4 miembros y seis equipos de 2 miembros: 6 4 = 24
12 equipos 6 2 = 12 36 participantes
2º ensayo: siete equipos de 4 miembros y cinco equipos de 2 miembros.
12 equipos 7 4 = 28
5 2 = 10
38 participantes
Siete equipos de 4 miembros se registraron en las Olimpiadas de Matemática.
Ejemplo 2 5 rectángulos que miden 5 cm por 2 cm son ubicados uno al lado del otro como se muestra a continuación. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
Solución: Encontrar el perímetro de la figura dada es lo mismo que encontrar el perímetro de un rectángulo de 15 cm por 6 cm.
15 cm
6 cm
Entonces, el perímetro de la figura = (15 6) 2 = 42 cm
332
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APÃ&#x2030;NDICES
Nugo
Gugo
Kuga Lugo
Zugo Tuga
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Apéndice 1
Capítulo 1: Grandes números
Decenas de millón
Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, págs. 8, 12 y 24)
334
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Apéndice 2
Capítulo 1: Grandes números
Centenas de millón
Decenas de millón
Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 17)
335
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Apéndice 3
Capítulo 2: Operaciones Realiza esta actividad (Libro del Alumno 5A, pág. 75)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
−
×
:
(
)
336
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Apéndice 4
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 92)
Este es un cuadrado
337
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Apéndice 5
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 93)
Este es un rectángulo
338
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Apéndice 6
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 99)
A
B C
10 cm
?
D 6 cm
F
E
339
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Apéndice 7
Capítulo 3: Cuadrados y rectángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 99)
G
5 cm
H
?
I
L
J
12 cm
K
340
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Apéndice 8
Capítulo 5: Fracciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, págs. 125, 126, 129, 133 y 134)
1 6
1
1 6
5
1
5
6
1
6
1 6
1
1 5
1 6
1 5
1 5
1 10 8
1 10
1 10
1
8
1
1 8
1 10
10
1
1 10
1
8
1 1 10 10
1
8
1 8
1
1
10
1 8
10
1 8
1 1 1 12 1 2 12
1 1 1 12 12 12
1 1 1 12 12 12
1 1 1 12 12 2 1
341
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Apéndice 8
Capítulo 5: Fracciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, págs. 125, 126, 129, 133 y 134)
2
1
1 4
1 4
2
1 4
1
1 4
1 3
1
3
1 3
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Apéndice 9
Capítulo 5: Fracciones Realiza esta actividad (Libro del Alumno 5A, págs. 133 y 135)
343
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Apéndice 10
Capítulo 6: Área de triángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 161)
A
B
C
344
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Apéndice 11
P
Capítulo 6: Área de triángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 162)
Q
R D
E
F 345
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Apéndice 12
Capítulo 6: Área de triángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 165)
A 1cm
D
1cm
B
C
346
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Apéndice 13
Capítulo 6: Área de triángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 166)
F 1cm
A
E
D
C
1cm
B
347
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Apéndice 14
Capítulo 6: Área de triángulos ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 167)
F 1cm
E
A
C
D
1cm
B
348
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Apéndice 15
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 192)
349
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Apéndice 15
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 192)
350
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Apéndice 16
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 194)
351
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Apéndice 16
Capítulo 7: Congruencia y teselaciones ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5A, pág. 194)
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Papel cuadriculado
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BLANCO
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