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Guía del Profesor
Distribuidor exclusivo para Chile
Dr Fong Ho Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Gan Kee Soon
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BLANCO
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Primera edición en español © 2013 Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited. Published by Marshall Cavendish Education An imprint of Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited Times Centre, 1 New Industrial Road, Singapore 536196 Customer Service Hotline: (65) 6411 0820 E-mail: tmesales@sg.marshallcavendish.com Website: www.marshallcavendish.com/education Primera publicación 2013 Adaptado y traducido del título original My Pals are Here! Maths (2nd Edition). Centro Felix Klein Investigación, Experimentación y Transferencia en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Facultad de Ciencia Universidad de Santiago de Chile Todos los derechos reservados. No esta permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito a los titulares del Copyright. Marshall Cavendish es Marca registrada de Times Publishing Limited. Pensar sin Límites, Guía del Profesor 5B ISBN 978-981-01-8831-3 Impreso en Singapur por Times Printers, www.timesprinters.com
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Introducción Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, es un programa basado en múltiples actividades que proporcionan al alumno una sólida base matemática. Desarrolla la creatividad y el pensamiento crítico, habilidades claves para la resolución de problemas. Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, estimula el aprendizaje de la matemática en forma divertida y provechosa, a través de ilustraciones y juegos que ayudan a reforzar y consolidar el aprendizaje. Plan de trabajo 2
La Guía del Profesor del Libro del Alumno 5A Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish incluye los planes de trabajo, las páginas del Libro del Alumno 5A y las páginas del Cuaderno de Trabajo 5A, con sus respectivas respuestas. Se detallan los objetivos de cada capítulo, así como también se incluyen los conceptos clave y procedimientos para la gestión de la clase.
Capítulo 8: Álgebra Horas pedagógicas 4
Objetivos
Recursos
(1) Usando letras como número s Los estudiantes serán capaces de: • reconocer y escribir expresio nes algebraicas simples con una variable. • calcular expresiones algebrai cas simples utilizando la sustitución.
• Libro del Alumno 5B, págs. 56 a 62 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 55 a 60 • Guía del Profesor 5B, págs. 88 a 94
Habilidades Analizar las partes y el todo.
Diario matemático 4
(2) Simplificando las expresi ones algebra
icas
• Libro del Alumno 5B, págs. 50 a 55 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 49 a 54 • Guía del Profesor 5B, págs. 82 a 87
Los estudiantes serán capaces de: • simplificar expresiones algebrai cas de una variable
Deducir, formular hipótesis.
Actividades opcionales y adicionales
Objetivos y conceptos clave.
Actividad adicional
jarán en • Los estudiantes traba birá parejas. Cada pareja escri sible, impo inos: térm los cuatro nte poco probable, basta distintas en ro segu y able prob tarjetas. Cada estudiante rá sacará una tarjeta y debe ando redactar un suceso utiliz el término de la tarjeta.
Capítulo diez
Probabilidades o Objetivos: Describiend probabilidades
tallo y hojas • usar un diagrama de ación para representar inform dada.
n capaces
Los estudiantes será de:
o • basándose en un juego describir experimento aleatorio, ocurra un la posibilidad de que nos, evento usando los térmi ble, imposible, poco proba o. segur y ble proba nte basta bilidades de • comparar las proba realizar distintos eventos, sin cálculos.
Conceptos claves
ocurra un • La posibilidad de que bilidad. evento se llama proba o si siempre segur • Un resultado es rimento, que se repita el expe s, se en las mismas condicione obtiene dicho resultado.
Gestión de la clase
• 9 bolas rojas y 1 bola
amarilla
Habilidades • Comparar
Gestión de la clase posible porque en la Por ejemplo: verde de la bolsa es im a Sacar una bola de color es. 1 bola amarilla bolsa no hay bolas verd co probable, ya que hay es po arilla ola am b Sacar una b y de un total de 10. porque en la bolsa ha able, prob te ja es bastan c Sacar una bola ro l de 10. 9 bolas rojas de un tota edarán bolas rojas: rilla de la bolsa, solo qu la ama s la bo inamo d Si elim
¡Aprendamos!
ilidades cribiendo probab
Des
Si sacamos, sin mirar, é una bola de la bolsa, ¿de qu color podría ser?
Para describir n resultado la posibilidad de obtener u os, los términos: hemos usado, en estos cas ble, bastante imposible, poco proba probable y seguro.
a
ino • Explique que el térm no hay imposible significa que o chance ad tunid opor una ning a. ocurr to de que el even
ya que
ro que saldrá una roja,
de esta bolsa, es segu Ahora, al sacar una bola s. todas las bolas son roja
lsa.
o de una bo Ponemos las bolas dentr
r una a, el resultado de saca y solamente 1 amarill Como hay 9 bolas rojas una roja o una amarilla. de las bolas puede ser
o de ¿Es posible que el resultad a sea sacar una bola desde la bols una verde?
ay bolas de ese o es posible, ya que no h Sacar una bola verde n a. color dentro de la bols nado de obtener un determi palabras, la posibilidad osible, 2 Para describir con de estos términos: imp demos utilizar alguno resultado o evento, po y seguro. able prob ante poco probable, bast Capítulo 10: Proba
b y c ino poco • Explique que el térm probable se utiliza para tunidades” expresar “pocas opor probable y el término bastante has “muc sar para expre uéstrelo oportunidades”. Dem de comparando la cantidad bolas rojas y amarillas. d
y 1 amarilla.
rojo es. Hay 9 bolas de color 1 Mira las bolas de color
2
los términos • Anote en la pizarra la que permiten describir un evento que de posibilidad ocurra.
Materiales
Probabilidades
1
rojas y • Ponga nueve bolas una una amarilla dentro de a los bolsa opaca. Pregunte que creen ¿cuál “ estudiantes una será el resultado al sacar un a Pida ?” mirar sin bola bola una e saqu voluntario que s, sin mirar y repítalo 5 vece la bola vez cada do lvien devo a la bolsa. Reflexione cada nos. resultado, con sus alum
sible si se • Un resultado es impo ir el verifica que, pese a repet como experimento tantas veces ne dicho se quiera, nunca se obtie resultado.
bilidades
Realiza esta actividad.
3
Trabaja en pareja.
Supongamos que lanza
3
a
b
c
illa de • Elimine la bola amar o la bolsa y solicite al mism sin que rior, ante voluntario de la mirar, saque una bola e en la bolsa nuevamente. Anot devuelva pizarra el resultado y s veces, la bola. Repítalo varia ro sacar notando que es segu a los una bola roja.Destaque entre estudiantes la diferencia nido obte el y este resultado en la anteriormente cuando amarilla. bolsa había una bola
mos un dado.
salir? ¿Qué números pueden 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. pares que pueden salir? ¿Cuáles son los números
actividad es • El objetivo de esta riban que los estudiantes desc les en un posib s los resultado juego al azar.
ir? 2, 4 ó 6. impares que pueden sal ¿Cuáles son los números mero menor que 6? 1, 3 ó 5. que obtienes 6, o un nú s?: ¿A staría é apo d ¿A qu que de 6 números, hay cinco ¿Por qué? 6, ya que, de un total que r meno ro núme A un 65 son menores que 6.
bilidades Capítulo 10: Proba
91
64
90
iv
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Página del Libro del Alumno con las respuestas.
Un formato amigable que entrega en detalle los pasos para la gestión de la clase.
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(d) OPQ es una línea re R
O
Curso:
Práctica 2 Forman do un áng
S
70º T
SPT = 56
39º
P
°
Q (e) ABC es una línea re cta. Encuentra EBF.
(a)
a = 120
a
EBF = 22
27º C
41º
c
°
B A
a + b + c = 120 ° + 90 ° + 150 ° = 360 °
(f ) JK es una línea recta
. Encuentra y y z.
J
y = 72
36º 80º
y
72º
(g) EF y GH son líneas r ectas. Encuentra
E
a b
20º 50º
mno 5B, pág.
B
C
a y b.
F
G
H
113)
a = 20
°
°
86
E
a
O
b = 20
Capítulo 12: Ángulo s
: Propiedad es de trián gulos, cuadriláter os y figuras ¡Aprendamos! 3D (Libro del Alu
A
K
Apéndice 5
Capítulo 13
(b)
°
z = 100 °
z
°
b = 90 ° c = 150 °
b
D
F
E
Fecha:
ulo completo
(1) En cada uno de los siguientes ejercicios , las líneas se interse punto. Mide cada án ctan en un gulo y completa los e spacios en blanco.
15º
Página del Cuaderno de Trabajo con las respuestas.
Nombre:
cta. Encuentra SPT.
D
AOB = 140 ° BOC = 40 ° COD = 50 ° DOE = 100 ° AOE = 30 °
AOB + BOC + COD + DOE + AOE = 140 ° + 40 ° + 50 ° + 100 ° + 30 = 360 °
b
°
165
Capítulo 12: Ángulo s
87
a
c
Heurística Ejemplo 1
La sección Apéndice, al final del libro, contiene las plantillas que tienen por objetivo ayudar a los docentes en la preparación de sus clases.
1: Dibujar
1 4 de un número es 120. ¿Cuánto
b
Solución: El modelo de barr
as para este
120
294
El número es
7 10 del número?
problema es
c
1 parte
120
4 partes 7 10 de 480
es
un modelo
120 4 = 480 480
480 : 10 7
= 336
7 10 de 480 es 336.
Ejemplo 2
La sección Heurísticas para resolver problemas, ubicada al final del libro, contiene un conjunto de nueve heurísticas aplicadas a una selección de problemas. Es un recurso adicional para desarrollar en los estudiantes, habilidades de orden superior.
Jimena, Julia y Rosa compart ieron una bols a de galletas. la bolsa y 1 galle Jimena sacó la ta más. Julia sacó mitad de las 2 la mitad de las galletas de las 2 galletas galletas resta que quedaban ntes y 1 galle . ¿Cuántas galle ta más. Rosa 2 tas habían en sacó sacó cada una la bolsa al com de las amigas? ienzo? ¿Cuántas galletas Solución: Jimena
Julia 1 2
La parte som La mitad del Al comienzo Rosa sacó 2 274
elo
2
2 1 galletas 2
total de galle
tas
habían 2 5 1
galletas, Julia
Rosa 1 2
breada del mod
2
1 (2 2 1 ) = 5 1 galletas 2 2 2
= 11 galletas
en la bolsa. na sacó 6.
sacó 3 y Jime
En el Libro del Alumno encontrará las secciones: ¡Aprendamos! Se introducen paso a paso los conceptos en forma atractiva. En paralelo, se formulan preguntas que permiten monitorear la comprensión de los conceptos aprendidos.
¡Activa tu mente! Desafía a los estudiantes a resolver problemas no rutinarios que permiten aplicar tanto procedimientos como herramientas y, al mismo tiempo, desarrollar habilidades de pensamiento.
¡Exploremos! Se realizan actividades investigativas que permiten a los estudiantes aplicar los conceptos aprendidos.
Diario matemático Permite compartir lo que el estudiante ha aprendido, crear sus propias preguntas matemáticas, y tomar conciencia de su propio pensamiento matemático. Matemática en la casa
Realiza esta actividad y ¡Juguemos! Incluyen juegos y actividades que involucran el uso de la Matemática.
Permite a los padres o apoderados guiar a los estudiantes en la aplicación de los conceptos aprendidos a situaciones de su vida diaria.
En el Cuaderno de Trabajo encontrará las secciones: “Prácticas“, “Desafío” y “Piensa y resuelve” en cada capítulo. Después de cada dos o tres capítulos encontrará un “Repaso” que facilita la consolidación de los conceptos aprendidos y la “Evaluación” que integra los temas, conceptos y capítulos del semestre. v
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Contenidos Plan de la clase
Cuaderno de trabajo
Plantillas
Usando letras en vez de números
4
46
Apéndice 1: p. 288
Simplificando las expresiones algebraicas
15
50
Problemas
21
51
Secuencias
25
54
Ecuaciones e inecuaciones
32
55
Título del Capítulo
8
Álgebra
Plan de trabajo 2
Repaso 4
9 10
11
Promedio
58 62
Claculando el promedio
64
78
Problemas
70
81
Describiendo probabilidades
90
103
Comparando probabilidades
93
105
Diagrama de tallo y hojas
96
107
113
126
116
128
118
129
Probabilidades
Localización y plano cartesiano Localización de un objeto en un sector de la cuadrícula Localización de objetos en puntos de una cuadrícula Localización de un punto en el plano cartesiano
Repaso 5
88 Apéndice 2: pp. 289 y 290
111 Apéndices 3 y 4: pp. 291 a 293
132
vi
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Plan de la clase
Cuaderno de trabajo
Formando un ángulo extendido
140
163
Formando un ángulo completo
145
165
Ángulos opuestos por el vértice
150
167
Nombrando los ángulos
159
169
Ángulos de un triángulo
179
213
Apéndice 5: p. 294
Triángulos rectángulos, isóceles y equiláteros
183
214
Apéndices 6 y 7 pp. 295 y 296
Paralelógramos, rombos y trapecios
194
218
Apéndice 8: p. 297
Propiedades de figuras 3D
205
221
Midiendo el volumen
227
248
Volumen de prismas y de líquidos
233
250
Título del Capítulo
12
Ángulos
13
Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
14
Volumen de cubos y prismas rectangulares
Plan de trabajo
Plantillas
136
173
224
Repaso 6
257
Evaluación 2
264
vii
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4
3
4
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes deben explicar el significado de expresiones algebraicas básicas.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas simples que involucren expresiones algebraicas.
(3) Problemas
Los estudiantes serán capaces de: • simplificar expresiones algebraicas de una variable.
(2) Simplificando las expresiones algebraicas
Los estudiantes crearán problemas de un paso a partir de expresiones algebraicas dadas.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de concluir que
y 2 puede ser 1 1 (y − 2) interpretado como de y ó × y . Además puede 2 2 3 1 interpretarse como (y − 2) : 3 ó × (y − 2). 3
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • reconocer y escribir expresiones algebraicas simples con una variable. • calcular expresiones algebraicas simples utilizando la sustitución.
(1) Usando letras en vez de números
Capítulo 8: Álgebra
• Libro del Alumno 5B, págs. 25 a 28 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 17 a 22 • Guía del Profesor 5B, págs. 21 a 24
• Libro del Alumno 5B, págs. 19 a 24 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 15 a 16 • Guía del Profesor 5B, págs. 15 a 20
• Libro del Alumno 5B, págs. 8 a 18 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 7 a 14 • Guía del Profesor 5B, págs. 4 a 14
Recursos
Interpretar Identificar relaciones
Comparar
Inducir
Habilidades
3
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1
1
5
4
Horas pedagógicas Objetivos
Repaso 4
Los estudiantes deben representar una situación dada a través de expresiones algebraicas básicas.
¡Activa tu mente!
Enfatizar en los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en el capítulo. Discutir el ejemplo resuelto con los estudiantes, de modo de evaluar si han logrado el dominio de estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Los estudiantes serán capaces de: • resolver, en forma pictórica y simbólica, ecuaciones e inecuaciones de un paso que involucren adiciones y sustracciones , en el ámbito numérico de 0 al 100, aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción. • resolver problemas, en forma pictórica y simbólica, usando ecuaciones e inecuaciones de un paso, que involucren adiciones y sustracciones.
(5) Ecuaciones e inecuaciones
Los estudiantes serán capaces de: • determinar una regla que explique la secuencia y permita realizar predicciones en una secuencia dada.
(4) Secuencias
Capítulo 8: Álgebra
• Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 31 a 34
• Libro del Alumno 5B, págs. 47 a 49 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 27 a 30 • Guía del Profesor 5B, págs. 43 a 45
• Libro del Alumno 5B, págs. 36 a 46 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 25 a 26 • Guía del Profesor 5B, págs. 32 a 42
• Libro del Alumno 5B, págs. 29 a 35 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 23 a 24 • Guía del Profesor 5B, págs. 25 a 31
Recursos
Identificar relaciones
Deducir Inducir
Deducir Inducir
Habilidades
Capítulo ocho
Álgebra Objetivos: Usando letras en vez de números Los estudiantes serán capaces de: • reconocer y escribir expresiones algebraicas simples con una variable. • calcular expresiones algebraicas simples utilizando la sustitución.
Conceptos claves • En expresiones algebraicas, las letras representan números. • Una letra puede representar un número desconocido en particular o cualquier número en general.
Habilidades • Inducir
Gestión de la clase 1
• Antes de presentar a los estudiantes el concepto de usar letras como números, ejercite con ellos el cálculo de la edad de uno de ellos en un año más, hace un año. Pregúntele a otro estudiante su edad actual y, a partir de ese dato, que el curso señale la edad de él. (a) hace 2 años atrás. (b) dentro de 5 años. (c) hace 3 años atrás.
Álgebra ¡Aprendamos!
Usando letras en vez de números 1 René tiene 12 años de edad.
a ¿Qué edad tendrá en un año más?
12 1 13
En un año más, René tendrá 13 años.
b ¿Qué edad tendrá René en dos años más?
12 2 14
En dos años más, René tendrá 14 años.
c ¿Cuál era la edad de René hace un año atrás?
12 1 11
Hace un año atrás, René tenía 11 años.
d ¿Cuál era la edad de René hace dos años atrás?
12 2 10
Hace dos años, René tenía 10 años.
8
Capítulo 8: Álgebra
4
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Gestión de la clase 2
2 El señor Tapia es el profesor jefe de 5º Básico. El curso no sabe su edad
En algebra, se utilizan letras para representar números desconocidos.
Si la edad del señor Tapia es de 47 años, x representa 47.
• Indique a los estudiantes que cuando se desconoce un número, se pueden usar letras para representar ese número. • Designe la edad de una persona como x. • Haga notar que la letra utilizada representa un número. • Usando el ejemplo de la edad de una persona, pida a los estudiantes que mencionen expresiones que representen la edad de esa persona dentro de 1 año y dentro de 2 años. • Indique a los estudiantes que x + 1 y x + 2 son llamadas expresiones algebraicas.
Si la edad del señor Tapia es de 38 años x representa 38.
Digamos que el señor Tapia tiene "x" años de edad.
a ¿Cuál será la edad del señor Tapia dentro de un año?
x 1
Dentro de un año, la edad del señor Tapia será (x 1) años.
x 2
En dos años más, la edad del señor Tapia será (x 2) años.
b En dos años más ¿Cuál será la edad del señor Tapia?
3
x 1 y x 2 son ejemplos de expresiones algebraicas en términos de x.
• Asigne este ejercicio a los estudiantes para evaluarlos informalmente.
3 Mira la siguiente tabla. ¿Cuál es la edad del señor Tapia en términos de x? Edad del señor Tapia (años) Ahora
x
En 3 años más
x+3
En 4 años más
x+4
En 7 años más
x+7
En 10 años más
x + 10
En 15 años más
x + 15
Capítulo 8: Álgebra
9
5
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Gestión de la clase 4
• Nuevamente usando el ejemplo de las edades, solicite a los estudiantes que mencionen expresiones que representen la edad de una persona hace 1 año atrás, si su edad actual se designa con la letra y. • Informe a los estudiantes que (y − 1) e, (y − 2) también son llamadas expresiones algebraicas. 5
4 La señora Flores es la directora de la Escuela. Los alumnos no conocen su edad.
Para representar un número que no se conoce, se puede utilizar cualquier letra.
Digamos que la señora Flores tiene "y" años de edad.
a ¿Cuál era la edad de la señora Flores hace un año?
y 1
Hace un año atrás, la edad de la señora Flores era (y 1) años. 1) años.
y 2
Hace dos años atrás, la edad de la señora Flores era (y 2) años. 2) años.
• Asigne este ejercicio a los estudiantes para evaluarlos informalmente.
b ¿Cuál era la edad de la señora Flores hace dos años?
Tanto (y 1) como (y 2) son ejemplos de expresiones algebraicas en términos de y. 5 Mira la siguiente tabla. ¿Cuál es la edad de la señora Flores en terminos de y? Edad de la señora Flores (años)
6
Ahora
• Indique a los estudiantes que los términos sumar, restar, más que y menos que se utilizan con letras de la misma manera que con números.
Hace 3 años
y–3
Hace 5 años
y–5
Hace 8 años
y–8
Hace 12 años
y – 12
Hace 20 años
y – 20
6 a
b
10
y
i Suma 2 a 6.
i
6 2 8
ii
Suma 6 a x.
x + 6
Resta 3 a 4.
ii
Resta 3 a y.
4 3 1
y 3
Capítulo 8: Álgebra
6
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Gestión de la clase
c
d
i ¿Cuánto es 8 más 4?
i
8 4 12
ii
¿Cuánto es 8 más x?
8 x
7
• Asigne este ejercicio a los estudiantes para evaluarlos informalmente.
¿Cuánto es 9 menos 5? ii ¿Cuánto es 5 menos que y? 9 5 4
y 5
8
7 Indica la expresión algebraica correspondiente.
a Suma 5 a z z + 5
b
Suma z a 8 8 + z
c Resta 7 a z z – 7
d
Resta z a 10 10 – z
e 9 más que z z + 9
f
z más que 9 9 + z
g 11 menos que z z – 11
h
z menos que 11 11 – z
8 Las expresiones algebraicas pueden ser calculadas a partir de valores que se les asignan a las letras.
a Calcula el valor de x 5 si x 9.
c Calcula el valor de y 7 si y 15.
d Calcula el valor de 30 y si y 7.
Sustituye la letra por el valor indicado.
Si x 9, x 5 9 5 14
b Calcula el valor de 5 x si x 23.
Si x 23, 5 x 5 23 28
• Escriba la expresión x + 5 como ejemplo y pregunte a los estudiantes cual creen que es el resultado si x = 9 . Guíe a los estudiantes para que comprendan que si x tiene un valor de 9, x + 5 = 9 + 5, lo que es igual a 14. • Sustituya otros valores numéricos para x, pidiéndole a los estudiantes que calculen la expresión x + 5 para distintos valores de x. • De manera similar, para la expresión y − 7, sustituya distintos valores numéricos para y, indicandoles a los estudiantes que calculen esta expresión. Nota: Para la expresión (y − 7), asegúrese que los números que sustituyan a y sean mayores o iguales a 7.
Si y 15, y 7 15 7 8 Si y 7, 30 y 30 7 23
Capítulo 8: Álgebra
11
7
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Gestión de la clase 9
9 Mira la siguiente tabla. Dados los valores de x, calcula los valores de las siguientes expresiones algebraicas.
• Asigne este ejercicio a los estudiantes para evaluarlos informalmente. y 11 • Guíe a los estudiantes para que comprendan que si la cantidad de galletas dentro de un caja es n la cantidad de galletas en 2, 3, 4… cajas, será 2 × n, 3 × n, 4 × n… • Indique a los estudiantes que 2 × n, 3 × n y 4 × n, se pueden escribir más abreviado como 2n, 3n y 4n, y que también son expresiones algebraicas. Destaque que 2n significa 2 × n y no dos letras n.
Expresión algebraica
10
Valor de la expresión algebraica si x 8
x 30
x 4
8 4 12
30 4 34
x 9
17
39
12 x
20
42
x 3
5
27
x 6
2
24
40 x
32
10
10 En un paquete se envasan 12 galletas.
a ¿Cuántas galletas hay en dos paquetes iguales?
2 × 12 24
En dos paquetes hay 24 galletas.
3 × 12 36
En tres paquetes hay 36 galletas.
b ¿Cuántas galletas hay en tres paquetes?
11 En un paquete hay n galletas.
a ¿Cuántas galletas hay en dos paquetes iguales?
2 × n 2n
En dos paquetes hay 2n galletas.
3 × n 3n
En tres paquetes hay 3n galletas.
12
En álgebra 2 × n se escribe como 2n y 3 × n como 3n.
b ¿Cuántas galletas hay en tres paquetes?
Capítulo 8: Álgebra
8
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Gestión de la clase
y 13 • Asigne este ejercicio a los estudiantes como práctica y para evaluarlos informalmente. 12
2n y 3n son ejemplos de expresiones algebraicas en términos de n. 1 × n ó n × 1 es igual a n. 3n es lo mismo que 3 × n ó 3 grupos de n.
12p es lo mismo que 12 × p ó p × 12.
12 Completa. a 4k 4 × k ók×4 j ó j × 7
b 7j 7 ×
c 5p signifi ca 5 grupos de p elementos cada uno.
d 8 grupos de y elementos es 8 × y .
óy×8
13 Observa la siguiente tabla. En un envase hay n caramelos. Encuentra el número de caramelos en términos de n. Luego, calcula la cantidad de caramelos para los valores de n que se dan a continuación. Cantidad de caramelos si
Cantidad de envases
Cantidad de caramelos
n 15
n 20
1
n
15
20
4
4n
4 × 15 60
80
7
7n
105
140
10
10n
150
200
15
15n
225
300
Capítulo 8: Álgebra
13
9
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Gestión de la clase 14
y 15
• A partir de una situación de reparto equitativo con números, pídales que escriban expresiones si la cantidad a repartir es desconocida y se representa por una letra.
14 En un empaque, hay 6 latas de jugo.
a Las latas de jugo son repartidas equitativamente entre 2 niños. ¿Cuántas
latas de jugo recibe cada niño?
6 : 2 3
Cada niño recibe 3 latas de jugo.
b Si las latas de jugo son repartidas entre 3 niños, ¿cuántas latas recibe
cada niño?
6 : 3 2
Cada niño recibe 2 latas de jugo.
15 En un empaque hay m latas de jugo.
a Si las latas de jugo son repartidas equitativamente entre 2 niños,
¿cuántas latas de jugo recibe cada niño? m
m : 2 2
Cada niño recibe 2 latas.
m : 2 se escribe como m
m . 2
b Si las latas de jugo son repartidas entre 3 niños, ¿cuántas
latas recibe cada niño? m
m : 3 3
Cada niño recibe 3 latas.
m
m . 3
m m 2 y 3 también son expresiones algebraicas.
m es igual a m. 1
14
m : 3 se escribe como
q 6
es igual a q : 6.
Capítulo 8: Álgebra
10
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Gestión de la clase 16
16 Observa la siguiente tabla. Una bolsa de m dulces debe ser repartida equitativamente entre algunos niños. Encuentra la cantidad de dulces que recibirá cada niño en términos de m. Luego, encuentra la cantidad de dulces para cada valor dado de m. Cantidad de niños
Cantidad de dulces para cada niño
1 3 6 8 12
Cantidad de dulces para cada niño si m 24
m 48
m
24
48
m 3 m 6 m 8 m 12
24 8 3
16
4
8
3
6
2
4
• Asigne este ejercicio a los estudiantes para evaluarlos informalmente. 17
y 18
• Asigne estos ejercicios a los estudiantes para reforzar la escritura y evaluación de expresiones algebraicas.
17 Para los siguientes ejercicios, encuentra, en términos de p, la expresión que se obtiene en cada recuadro. En los círculos de la derecha, anota el valor de la expresión cuando p = 6. Como ejemplo, el primero ya fue completado. p
× 1
3
× p
p p 11
4
: 2 p
7
p 7
si p 6
13
3p – 8
si p 6
10
p+4
: 2
p+4 2
si p 6
5
p 2
2
p +2 2
si p 6
5
11 – p
: 5
11 – p 5
si p 6
1
p 3p
8
18 Encuentra el valor para cada expresión si q 20.
a 10q 89 111
b
125 – q 7
15
c
11q 80 4 25
d
14q + 80 30
12
Matemática x Pídale su hijo o hija que explique qué significa la letra x en las siguientes expresiones: x 6, 6 x, 6x y . en la 6 casa Asegúrese que su hijo considera a x como un número
Capítulo 8: Álgebra
15
11
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Actividad adicional
Objetivo de la actividad
Materiales
• Extender la actividad en el punto 19 , pidiéndole a los estudiantes que sustituyan diferentes valores de x para x + 8 y 8 + x. Guíe a los estudiantes para que comprendan que x + 8 = 8 + x. • Discuta con los estudiantes si x − 8 = 8 − x.
(¡Exploremos!)
• 5 tarjetas con números y 5 tarjetas con letras por cada pareja de estudiantes (Ver Apéndice 1 en pág. 288).
• Los estudiantes serán capaces y de concluir que 2 puede ser 1 interpretado como 2 de y ó 1 (y − 2) 2 × y . Además 3 puede interpretarse como (y − 2) ÷ 3 1 ó 3 × (y − 2).
Habilidades • Inducir
Gestión de la clase (¡Exploremos!) 1 y 2
• Pida a los estudiantes que sustituyan, en las expresiones algebraicas, los valores numéricos dados y saquen conclusiones en relación a las dos expresiones algebraicas.
19
Realiza esta actividad.
Trabajen en parejas. El profesor entregará a cada pareja 5 tarjetas con letras y 5 tarjetas con números.
a
Tomen una tarjeta de las que contienen letras y una de las que contienen números.
b
Escriban la mayor cantidad de expresiones algebraicas que puedan usando las dos tarjetas. Por ejemplo, si toman las tarjetas x y 8 pueden anotar:
‘x 8’, ‘8 x’, ‘x 8’, ‘8 x’, ‘8x’ y ‘ 8 ’.
c
Repitan los pasos a y b hasta que utilicen todas las tarjetas.
x
¡Exploremos! 1 Mira las siguientes expresiones: y 2
1 2 y
a
Encuentra los valores numéricos de a y b si:
b
i y 6 3
ii
y 14 7
Asigna a "y" otros tres valores y luego aplícalos en a y b . ¿Qué puedes concluir referente a a y b ? (a) y (b) son expresiones equivalentes.
2 Mira las siguientes expresiones: y–2 3
a
Encuentra el valor de a , b y c si:
16
i y 8 2
b (y 2) : 3
ii
c
1 (y 2) 3
y 17 5
Asigna a y otros tres valores y luego aplícalos en a , b y c . ¿Qué puedes concluir referente a a , b y c ? (a), (b) y (c) son expresiones equivalentes.
Capítulo 8: Álgebra
12
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s.
Objetivo de la actividad
Trabajo personal
• Los estudiantes crearán problemas de un paso a partir de expresiones algebraicas dadas.
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 8a.
Gestión de la clase (¡Diario matemático!)
Diario matemático
Inventa dos historias que involucren como respuesta las siguientes expresiones: a m 20
b
5m Acepte todas las respuestas
¡Practiquemos! 8a
1 Escribe cada una de las expresiones algebraicas de una o dos maneras
diferentes.
a 5 × w 5w
c x : 3
e
x 3
b 15 × v 15v 1 3
x
d
1 y 4
1 z4 (z + 4) : 5 ó (z + 4) 5 5
f
1 (a 7) 2
ó
y 4
y:4ó
(a – 7) : 2 ó
(a – 7) 2
• Los estudiantes deberían ser capaces de proponer problemas breves, de un paso, que reflejen expresiones algebraicas. • Por ejemplo: a Hay 45 bolitas en una caja. Si se sacan 20 bolitas ¿cuántas quedan? b Doña Olivia compró 5 bolsas de mermelada. En cada bolsa hay 4 mini frascos de mermelada. ¿Cuántos de estos mini frascos hay en total?
2 Jorge tiene x años de edad. Para cada uno de los siguientes items, crea
una expresión algebraica en términos de x y encuentra su valor numérico si x 18.
a La edad de su hermano, que es 5 años mayor.
x + 5; 23
b La edad de su hermana, que es 3 años menor.
x – 3; 15
c La edad de su tía, que tiene el doble de su edad.
d La edad de su primo, que tiene la mitad de su edad.
2x; 36 x ; 2
9
3 En una caja hay n chocolates. Escribe una expresión algebraica en términos
de n para cada uno de los siguientes items y encuentra su valor numérico si n 24.
a Cuantos chocolates quedan después de comerse 6. n – 6; 18
b Si se reparten los chocolates entre 4 niños, la cantidad que recibe
cada uno. Capítulo 8: Álgebra
n ; 4
6 17
13
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 7 a 14.
10n; 240
c La cantidad total de chocolates en 10 cajas similares.
d Si se reparte la caja de chocolates y 11 chocolates más entre 5 niños. n + 11 ; 5
7
4 Indica la expresion algebraica para cada uno de los siguientes items.
a Suma b a 9 9 + b
b Resta 4 a b b – 4
c Resta b a 10 10 – b
d Multiplica b por 3 3b
e Multiplica 7 por b 7b
f Divide b por 5 5
g La mitad de b 2
h Suma 10 a b b + 10
i Resta b a 11 11 – b
j Multiplica b por 6 6b
b
b
5 Encuentra las expresiones que faltan en las siguientes barras. Luego, utiliza tu calculadora para encontrar el valor de cada expresión algebraica si y 36.
a
y+7 y
7 y
b
y – 18
52
c
18
Si y = 36, 52 – y = 16
y
5y
d
Si y = 36, y – 18 = 18
18
52 – y
Si y = 36, y + 7 = 43
y
y
y
y
y
y
e y 4
y 4
y 4
y 4
Si y = 36, 5y = 180 Si y = 36, y 4
=9
Cuaderno de Trabajo 5B, p 7, Práctica 1.
Capítulo 8: Álgebra
14
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Conceptos claves
Objetivos: Simplificando las expresiones algebraicas
• La suma a + a + a +...+ a (n términos) = n × a = na • La suma ma + na = (m + n) × a = (m + n)a • La diferencia ma – na = (m – n) × a = (m – n)a
Los estudiantes serán capaces de: • simplificar expresiones algebraicas de una variable
Habilidades • Comparar • Deducir
Gestión de la clase y 2 • Repase junto a los estudiantes el concepto de multiplicación como una suma iterada. Pregúnteles de qué manera se pueden escribir las siguientes sumas como productos. 2+2= 2+2+2= 3+3= 3+3+3= 4+4= 4+4+4= ... ... 1
¡Aprendamos!
Simplificando las expresiones algebraicas 1
a cm
a cm
Dos varas que miden a cm de largo cada una han sido unidas. ¿Cuál es la longitud total de las dos varas?
Longitud total de las dos varas (a a) cm
(a a) es lo mismo que 2 × a.
Lo podemos simplifi car como:
3 3 3 3 2 × 3 4 4 4 4 2 × 4 a a a a 2 × a
a a 2a
2 La siguiente fi gura representa 3 varas, cada una tiene una longitud de b cm. Encuentra la longitud total de las 3 varas. b cm
b cm
Longitud total b b b (3 × b) cm
Podemos simplifi car (b + b + b) como:
b cm 5 5 5 5 5 5 3 × 5 b b b b b b 3 × b
b b b 3b
Capítulo 8: Álgebra
19
15
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Nota Asegúrese que los estudiantes no piensen que a + 2a es equivalente a 1 manzana más 2 manzanas, ya que puede llevarlos al concepto equivocado de que las letras representan objetos.
Gestión de la clase 3
• Presente la expresión a + a, enfatizando que a representa un número. • Basándose en el repaso de más arriba, guíe a los estudiantes para que, a través de razonamiento inductivo, concluyan que cualquier número sumado a sí mismo es dos veces tal número, es decir a + a = 2 × a, lo que se escribe como 2a. Consiga que los estudiantes interpreten a + a + a y a + a + a + a como los productos 3a y 4a. 4
3 La siguiente fi gura está compuesta por 5 palitos que miden r cm cada uno. ¿Cuál es la longitud total de los 5 palitos? r cm r cm
r r r r r
r cm
r r r r r 5 × r
r cm
Longitud total r r r r r 5 × r 5r cm 4 Simplifi ca las siguientes expresiones algebraicas.
a x x 2x
b
y y y 3y
c a a a a a 5a
d
b b b b b b 6b
e c c c c c c c
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como una evaluación informal.
7c
5 Simplifi ca a 2a. 2a
a
5
• Presente la expresión a + 2a. Guíe a los estudiantes para que simplifiquen esta expresión usando el concepto básico de a + a = 2a, por lo que, a + 2a = a + a + a = 3a • Para acortar el proceso de simplificación, indique a los estudiantes que piensen en a + 2a como un grupo de a más dos grupos de a, lo que da un total de tres grupos de a, o 3a.
r cm
a
a
a
a 2a a a a 3a a 2a 3a
6 Simplifi ca 2a 3a. 2a a
3a a
a
a
a
2a 3a a a a a a 5a
6
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como práctica controlada.
20
Capítulo 8: Álgebra
16
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Gestión de la clase 7
7 Simplifi ca estas expresiones.
a a 3a 4a
b 2z 5z
7z
d 3y 6y 9y
e b 2b 3b 6b
c
4x x 5x
f
4c 2c 5c 11c
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como una forma de evaluación informal. 8
8 Julia tiene una cinta de a cm de largo. Utiliza la cinta completa para adornar un regalo. ¿Cuánta cinta queda?
Longitud de la cinta que queda a a 0 cm
Compara: 2 2 0; 7 7 0 y a a 0.
9
9 Encuentra el valor de:
a x x 0
b 2y 2y 0
c
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como práctica controlada.
10z 10z 0
10 Simplifi ca 3a a.
y 11 • Use el modelo de barras de la resta para explicar cómo simplificar 3a – a, es decir: 3a es igual a a + a + a. Por lo que 3a – a = a + a = 2a • Del mismo modo, guíelos para pensar en 3a – a como 3 tres grupos de a menos 1 grupo de a, quedando dos grupos de a, ó 2a. 10
3a a
a
a a
• Guíelos para que, a través de razonamiento inductivo, concluyan que si a un número cualquiera se le reste el mismo número da como resultado 0.
3a a a a 2a 3a a 2a
11 Simplifi ca 4a 2a. 4a a
a
a
a 2a
4a 2a a a 2a 4a 2a 2a
Capítulo 8: Álgebra
21
17
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Gestión de la clase y 13 • Asigne este ejercicio a los estudiantes como una forma de evaluación informal y como práctica controlada. 12
y 15 • Demuestre como simplificar expresiones algebraicas que involucren tanto sumas como restas. • Para expresiones como 7a – 3a + 2a, pida a los estudiantes que comparen esto con 7 – 3 + 2. Indique a los estudiantes que 7a – 3a + 2a se calcula de la misma manera, de izquierda a derecha.
12 Simplifi ca 5a 2a. 5a a
a
a
a
2a
14
y 17 • Muestre como se simplifica una expresión que involucra letras y números. Trabajando de izquierda a derecha, simplifique los números y las letras de forma separada. • Para expresiones como 5 + 4a + 4 + 3a, guíe a los estudiantes a comprender que los números pueden ser sumados en cualquier orden: 5 + 4a + 4 + 3a = 5 + 4 + 4a + 3a = 9 + 7a 16
a
5a 2a a a a 3a
13 Simplifi ca estas expresiones.
a 4a a 3a
b 7a 3a 4a
c
5x 4x x
d 10x 6x 4x
e 8y 3y 5y 0
f
12y 7y y 4y
14 Simplifi ca 6a 3a 2a.
Operando de izquierda a derecha, 6a 3a 2a 9a 2a 7a
15 Simplifi ca 6a 2a 3a.
Operando de izquierda a derecha, 6a 2a 3a 4a 3a 7a
16 Encuentra la distancia entre el punto A y el punto B. A
22
a km
4 km
a km
Distancia total a 4 a 2 a a 4 2 (2a 6) km
2 km
B
Compara esto con: 2 3 4 3 2 4
Capítulo 8: Álgebra
18
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Materiales • 20 palitos de fósforos por cada pareja de estudiantes.
Habilidades • Comparar
Gestión de la clase 18
17 Simplifi ca 4x 6 2x.
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como una forma de evaluación informal.
4x 6 2x 4x 2x 6 2x 6
19
18 Simplifi ca estas expresiones.
a 2x 3x 4x x
b x 5x 6x 0
c 9a 3a 4a 10a
d 12a 7a 2a 7a
e b 5 b 5 2b + 10
f 3b 4b 2 6 7b + 8
g 5s 9 3s 2s + 9
h 8s 6 2s 1 6s + 5
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas y que usen representaciones concretas, para escribir y simplificar expresiones algebraicas de una variable.
Realiza esta actividad.
19
Trabaja en parejas El profesor entregará 20 palitos de fósforo a cada pareja. Considera la longitud de cada palito de fósforo como p.
a
Usando 3 o más palitos, forma una fi gura cerrada.
Ejemplo:
b
Anota el la longitud total de los palitos utilizados.
Ejemplo:
c
Longitud total de los palitos p p p 3p Quita y agrega palitos para formar otra fi gura.
Ejemplo: saca 1 palito, agrega 3 palitos
Matemática Pídale a su hijo o hija que sustituya diferentes valores para x en la expresión 2x 3x y calcule el valor en la para cada caso. Luego, que use los mismos valores de x para calcular 5x. Pregúntele qué puede concluir casa
de esto.
Capítulo 8: Álgebra
23
19
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 8b. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 15 a 16.
d
Restando la longitud total de los palitos sacados y sumando la longitud total de los palitos agregados, anota la longitud total de los palitos utilizados en la nueva fi gura.
Ejemplo:
Si se quita 1 palito y se agregan 3: Longitud total de los palitos 3p p 3p 5p
e
Cuenta la cantidad de palitos usados en la nueva fi gura para encontrar la longitud total de palitos y revisa tu respuesta para d .
Ejemplo: Cantidad total de palitos usados 5
Longitud total de los palitos
f
Crea otras fi guras y repite el ejercicio.
5 × p 5p
¡Practiquemos! 8b
1 Simplifi ca estas expresiones.
a 2a 5a 7a
b a 7a 8a
c 3a 3a 6a 12a
d 4x 2x 2x
e 6x 5x x
f 10x 2x 8x
g 7y 5y 4y 6y
h 9y 3y 5y
i a a 5 2a + 5
j b 4 4 b 2b + 8
k 2s 7 6 s 3s + 1
l 9r 10 2 3r 6r + 12
0 7y
Cuaderno de Trabajo 5B, p 15, Práctica 2.
24
Capítulo 8: Álgebra
20
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Objetivos: Problemas
Concepto clave
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas simples que involucren expresiones algebraicas.
• El proceso de resolver problemas en matemáticas involucra la aplicación de conceptos y estrategias.
Habilidades • Interpretar
Gestión de la clase 1
¡Aprendamos!
Problemas 1 Lorenzo tiene d discos de música. Jorge tiene 3 veces la cantidad de discos que tiene Lorenzo. Jorge compró 7 discos más. a Encuentra, en términos de d, cuantos discos más tiene Jorge que
Lorenzo luego de comprar esos últimos 7 discos. b Si Lorenzo tiene 25 discos. ¿Cuántos discos más que él tiene Jorge? a Jorge tiene (3d 7) discos.
3d 7 d 2d 7
Jorge tiene (2d 7) más discos que Lorenzo.
3d d 2d
b 2d 7 (2 × 25) 7
50 7 57
Si Lorenzo tiene 25 discos, Jorge tiene 57 discos más que Lorenzo.
2 Ramón tiene $m y Berta tiene $15 más que Ramón. a En términos de m, encuentra el dinero total que tienen Ramón y Berta
juntos. b Si Ramón tiene $75. ¿Cuánto dinero totalizan entre los dos? a Berta tiene $(
). m + 15
) en conjunto. m + m + 15 = 2m + 15
Ellos tienen $(
2
b Si m 75, entonces tienen $ 165 en conjunto.
Capítulo 8: Álgebra
• Repase con los estudiantes el procedimiento para resolver problemas: Paso 1: Leer y entender. Pida a los estudiantes que lean el problema y determinen la información entregada o implícita a través de preguntas: “¿Cuántos discos tiene Lorenzo?” “¿Cuántos discos tenía Jorge en un comienzo?” “¿Cuántos discos más compró Jorge?” “¿Qué es lo que se debe encontrar?” Paso 2 : Pensar una estrategia. Pregunte a los estudiantes: “¿Qué expresión numérica deberían escribir?” Paso 3: Resolver el problema. En este caso, ya que los estudiantes son capaces de escribir expresiones numéricas, deberían ser capaces de resolver el problema. Paso 4: Revisar la respuesta. Revise la respuesta revisando hacia atrás el procedimiento. • Asigne este ejercicio a los estudiantes como práctica controlada.
25
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 8c.
Gestión de la clase 3
3 Silvia tenía $x en su bolso. Compró una blusa en $15 000 y gastó el resto de su dinero en tres entradas para una kermesse.
• Usando el mismo procedimiento que en 1 , resuelva este problema junto a sus estudiantes.
a En términos de x, encuentra el precio de 1 entrada. b Si Silvia tenía $17 400. ¿Cuál es el precio de una entrada? a Precio total de 3 entradas: $(x 15 000)
4
• Asigne este ejercicio a los estudiantes como práctica controlada.
( x –153 000 ) El precio de 1 entrada es $. ( x – 15 000 ) 3
(x 15 000) : 3
(
)
( 3 2400 $ ( 3 )
b $ x – 15 000 $ 17 400 – 15 000 3
)
$800 El precio de una entrada es de $800.
4 Un hombre tenía $y en su billetera. Sacó del cajero automático $2000 y
luego le entrego la mitad del total a su esposa. a En términos de y, encuentra el total del dinero con que se quedó. b Si y $800, ¿con cuanto dinero se quedó en total? a Dinero total que tenía $(
Se quedó con $(
).
) y + 2000
y + 2000 2
b Si y 800, quedó con un total de $ 1400.
¡Practiquemos! 8c Resuelve estos problemas. Explica cómo los resuelves. 1 La edad de Waldo es r años. Su hermano tiene 3 veces la edad de Waldo.
Su hermana es 4 años menor que su hermano.
a En términos de r, encuentra la edad de su hermano. 3r
b En términos de r, encuentra la edad de su hermana. 3r – 4
c Si r 5, ¿cuál es la edad de su hermana?
26
11 años Capítulo 8: Álgebra
22
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2 Alicia compró un cinturón en $x y una cartera que le costó dos veces el
valor del cinturón. Pagó con un billete de $20 000.
a En términos de x, calcula el total de dinero que gastó Alicia. $3x
b En términos de x, encuentra el total que recibió Alicia como vuelto.
c Si x $5500, ¿cuánto dinero recibió Alicia como vuelto?
$(20 000 – 3x) $3500
3 Pablo obtuvo z puntos en una prueba. Julieta obtuvo 4 veces el puntaje de
Pablo. Karina obtuvo 5 puntos más que Julieta.
a En términos de z, encuentra cuantos puntos obtuvo Julieta. 4z
b En términos de z, expresa el puntaje de Karina. 4z + 5
c En términos de z, encuentra el puntaje total de los tres alumnos. 9z + 5
4 A un concierto asistieron t hombres y dos veces esa cantidad de mujeres.
Durante un descanso 5 hombres y 6 mujeres se fueron del concierto.
a ¿Cuántas personas se fueron durante el descanso? 11
b Después del descanso, ¿cuántas personas había en el concierto? 3t – 11
c Si t 500, ¿cuántas personas se encontraban en el concierto después
del descanso? 1489 personas
5 La señora Lela preparó galletas y las envasó en bolsas de 14 unidades
cada una. El total era de bolsas era m. Luego, las galletas fueron repartidas equitativamente entre 3 niños.
a ¿Cuantas galletas recibió cada niño? Entrega tu respuesta en términos
de m.
b Si en total habían 18 bolsas, ¿cuántas galletas recibió cada niño? 14m galletas; 84 galletas 3
Capítulo 8: Álgebra
27
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben explicar el significado de expresiones algebraicas básicas.
Habilidades • Identificar relaciones
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5B págs. 17 a 22.
Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase (¡Diario matemático!) 1
• Pida a los estudiantes que expliquen cómo se usan las letras para representar un número desconocido. • Si es necesario, refuerce el concepto de que 3x representa tres grupos de x para evitar el error de pensar que las letras representan objetos.
6
más agua que la jarra. a En términos de q, encuentra cuantos litros de agua contiene la jarra.
q 11
b Si el balde y la jarra contienen 25 de agua, calcula cuánta agua
contiene el balde (en litros, y con un decimal). 22,7
Cuaderno de Trabajo 5B, p 17, Práctica 3.
2
• Similar a lo anterior, establezca claramente que la letra representa un número, no el objeto.
Un balde y una jarra contienen q de agua. El balde contiene 10 veces
Diario matemático
1 Explica con tus palabras lo que significa la expresión 3x. Acepte todas las
respuestas correctas
2 Rita dice que a a 2a es lo mismo que decir 1 manzana + 1 manzana =
2 manzanas. ¿Es esto correcto? Si no lo es, ¿cómo se puede explicar la expresión a a 2a? No, no es correcto. a no representa un objeto, representa un número que puede ser cualquiera. La forma correcta de explicar a + a = 2a es decir que cualquier número sumado a sí mismo equivale a dos veces ese número.
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Capítulo 8: Álgebra
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Objetivos: Secuencias
Conceptos claves
Los estudiantes serán capaces de: • determinar alguna regla que explique una secuencia dada y que permita realizar predicciones.
• Una secuencia (o sucesión) es un conjunto ordenado de números (u objetos) que cumplen con una regla (o ley de formación) • Si se conoce la regla de una secuencia es posible predecir el valor de un término de dicha secuencia.
Habilidades • Inducir
Gestión de la clase 1
• Explique a los estudiantes el significado de una secuencia numérica. De ejemplos y pídales que creen otros. Enfatice que al encontrar una regularidad en los términos dados, generalmente podemos determinar una regla que nos permite realizar predicciones.
¡Aprendamos!
Secuencias 1 Los números pueden presentar regularidades interesantes. Observa las
siguientes secuencias numéricas.
a Queremos escribir los tres números que siguen en esta secuencia:
a
11, 13, 15, 17, …
Primero, encontramos una regla para esta secuencia. Podemos ver que cada número es dos unidades mayor que el anterior, por lo tanto, cada nuevo número de la secuencia se obtiene sumando 2 al número anterior. Aplicando esta regla podemos encontrar los siguientes tres números de la secuencia: 1 1 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , 1 9 , 2 1 , 2 3 2 2 2 2 2 2
b Ahora, encontremos los 3 números que siguen en esta secuencia:
26, 22, 18, 14, …
Primero, encontramos la regla para esta secuencia. Podemos ver que cada número es menor al anterior en cuatro unidades, por lo tanto, la secuencia se continúa restando 4 para obtener el siguiente número. Aplicando esta regla podemos encontrar los siguientes tres números de la secuencia. ¿Cuáles son? 2 6 , 2 2 , 1 8 , 1 4 , 10 , 6 , 2
• Para los siguientes elementos, utilice otro color para ayudar a los estudiantes a distinguir los dos puntos adicionales encontrados en cada elemento que sigue. Guíelos para que identifiquen la regla y luego determinen los siguientes tres elementos en la secuencia. b
4 4 4 4 4 4
Capítulo 8: Álgebra
• Dibuje 11 puntos de color rojo para representar el primer elemento de una secuencia. Luego, dibuje 13 puntos para representar el segundo elemento de la secuencia, usando color rojo para los primeros 11 puntos y negro para los siguientes dos.
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• Repita el mismo procedimiento que en a . Con los estudiantes más avanzados discuta la posibilidad de obtener números negativos al continuar con la secuencia, más allá del número 2.
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Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. El primero inventará un patrón numérico (con al menos 5 elementos) y lo anotará en un papel, luego, anotará la regla de este patrón en otro papel. El segundo estudiante debe encontrar los siguientes tres elementos en la secuencia. El primer estudiante revisará las respuestas entregadas por su compañero. Finalmente los estudiantes intercambian roles.
Gestión de la clase c
• Solicite a los estudiantes que determinen la regla de la secuencia al examinar la relación entre los elementos. Este ejemplo busca que los estudiantes vayan más allá del razonamiento aditivo.
c Veamos otra secuencia numérica:
4,
3
5
1
4
7
+3 Posición Número
+3
+3
2
4
6
8
7
–1
2
7
9
–1
16, 32 , 64 , 128
Los números en una secuencia siguen una regla. Al encontrar esta regla podemos determinar los números con los que continúa la secuencia.
• Permítales que exploren esta actividad para encontrar los elementos faltantes en la secuencia. Promueva una discusión en clases para destacar lo central de esta actividad: puede haber más de una regla involucrada en la formación de la sucesión. • Apóyelos si fuera necesario sugiriéndoles que hagan una tabla y se fijen primero en los números de las posiciones impares y luego en los de las posiciones pares: 1
8,
× 2 × 2 × 2 × 2 × 2
2
Posición Número
4, 8, 16, … Primero, encontramos la regla para determinar los números que siguen. Cada número es 2 veces (el doble) del anterior. ¿Cuáles son los tres números siguientes?
Realiza esta actividad.
Trabajen en parejas para encontrar los números que faltan en esta secuencia.
1, 9, 4,
¡En esta secuencia hay 2 reglas!
Examina los números en las posiciones impares: 1, 4, 7… ¿Puedes encontrar la regla? La regla es sumar 3.
Usando esta regla, ¿puedes determinar el número de la siguiente posición impar? 7 + 3 = 10
Examina los números en las posiciones pares: 9, 8, 7… ¿Puedes encontrar la regla? La regla es restar 1.
Usando esta regla, ¿puedes determinar el número de la siguiente posición impar? 7 – 1 = 6
8,
7, 7, 10 , 6
8
–1 30
Capítulo 8: Álgebra
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Uso de tecnología • Diga a los estudiantes que a los números (1, 4, 9,16,…) se les llama “números cuadrados”, y que se les puede visualizar mediante configuraciones cuadradas de puntos. Luego, pídales que busquen en Internet otros números figurativos (Números triangulares, trapezoidales, etc.) y que compartan lo que encuentren y expliquen las secuencias que se derivan de ellos.
Gestión de la clase 3 Observa las siguientes figuras. Estas siguen una regla en cuanto a la cantidad de puntos de cada una.
3
• Entregue a los estudiantes que lo necesiten, recortes en forma de círculos para formar las figuras. a
Figura 1
Figura 2
Figura 3
a Podemos describir estas figuras de distintas maneras. Una de ellas es
describir las figuras en relación a la cantidad de puntos; podemos decir que hay 1 punto en la Figura 1; 4 puntos en la Figura 2 y 9 puntos en la Figura 3. Otra forma de describir estas figuras es en relación a la cantidad de filas; hay una fila de 1 punto en la Figura 1, dos filas de 2 puntos en la Figura 2 y tres filas de 3 puntos en la Figura 3. ¿Puedes pensar otra forma de describir estas figuras? Las respuestas varían Aquí hay una secuencia representada visualmente. Usando las descripciones podemos dibujar la Figura 4. Sabemos que en la Figura 4 habrá cuatro filas de 4 puntos. Por lo tanto, la figura es la siguiente:
• Guíelos para que, basados en lo que observan, describan las figuras. Usando la regla o descripción de las figuras, guíelos para que dibujen las figuras 4 y 5.
Figura 4
De la misma forma, en la Figura 5 habrá cinco filas de 5 puntos. ¿Puedes dibujar la Figura 5? Figura 5
¿Qué ocurre con la Figura 8? En la Figura 8 habrá 8 lineas de 8 puntos. ¿Puedes dibujar esta figura?
Figura 8 Capítulo 8: Álgebra
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Actividad opcional • Arquímedes, matemático griego (287 - 212 A.C), encontró la fórmula para obtener la suma de los números cuadrados: S₁ + S₂ + S₃ + ... + Sn = n(n + 1) (2n + 1) 6
Los estudiantes deben comprobar esta fórmula usando los datos de la actividad 3 . Ejemplo: la suma de los 4 primeros números cuadrados (n = 4) 1 + 4 + 9 + 16 = 4 (4 + 1) (8 + 1) 6 = 4 × 5 × 9 = 30 6
Gestión de la clase • Guíe a los estudiantes para que encuentren la regla para el término general, n, de una secuencia.
Podemos ver que la secuencia sigue una regla o patrón. En la figura n-ésima, dónde n representa cualquier número natural, habrá n filas de n puntos cada una.
b
• Guíelos a leer la información de la tabla y muéstreles cómo pueden encontrar una relación entre los valores y crear una regla que permita encontrar la cantidad de puntos de una figura cualquiera, es decir, de n puntos.
b Podemos hacer una tabla para encontrar una regla en ésta secuencia.
La siguiente tabla registra la cantidad de puntos en cada figura. Figura
1
2
3
Cantidad de puntos
1
4
9
¿Hay alguna otra forma de escribir la regla que relacione estos números?
Debemos encontrar una regla que relacione los números de ambas filas. Reescribamos de esta manera la cantidad de puntos para que podamos identificar la relación entre los números. Figura
1
2
3
Cantidad de puntos
1 = 1 × 1
4 = 2 × 2
9 = 3 × 3
Podemos decir que la cantidad de puntos es igual al número de orden de la figura multiplicado por sí mismo. Entonces, usando esta regla, podemos encontrar la cantidad puntos para las siguientes figuras y completar la tabla: Figura Cantidad de puntos
4
16 = 4 × 4
5
• • •
n
25 = 5 × 5
• • •
M = n × n
En la Figura 4 habrá 4 × 4 puntos. ¿Cuánto es el producto de 4 por 4? 16 En la Figura 5, habrá 5 × 5 = 25 puntos. En la Figura n, habrá n × n = M puntos.
Podemos usar la tabulación como ayuda para encontrar una regla para el elemento general (n-ésimo) de una secuencia.
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Capítulo 8: Álgebra
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Actividad opcional • Solicite a los estudiantes que busquen información sobre la sucesión de Fibonacci. Esta secuencia recibe el nombre del matemático italiano que vivió en el siglo XII. Se encuentra presente en la naturaleza, explicando el crecimiento de la población de conejos y también en el desarrollo del espiral de la concha de un caracol. Los estudiantes deben explicar en qué consiste esta secuencia y luego deben calcular sus primeros 25 números.
Gestión de la clase 4 Si conocemos la regla de una secuencia podemos, a partir de ella, encontrar
números desconocidos de la secuencia. El siguiente ejemplo es una secuencia de perímetros de cuadrados:
Cuadrado 1
Cuadrado 2
El perímetro de un cuadrado es la mitad del perímetro del siguiente cuadrado en la secuencia. Si el perímetro del primer cuadrado es de 4 cm, ¿puedes determinar el perímetro del octavo cuadrado?
Para resolver este problema, tenemos dos maneras.
La primera es usar la regla para 4 , 8, 16, 32, 64 , 128, 256, 512 encontrar todos los elementos en la secuencia hasta el octavo × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 cuadrado.
Debido a que el perímetro de cada cuadrado es la mitad del perímetro del siguiente, podemos multiplicarlo por dos para obtener el siguiente. Para encontrar el perímetro del segundo cuadrado, multiplicamos 4 por 2, lo que nos da como resultado 8 cm. Utilizando este método determinamos los perímetros de los primeros cuatro cuadrados. ¿Puedes calcular el perímetro del 5 , 6 , 7 y 8 cuadrados?
El perímetro del 8 cuadrado es de 512 cm.
b
La segunda manera de resolver este problema es hacer una tabla para ayudarnos a encontrar la regla para el elemento general (n-ésimo) de la secuencia. Usando esto, podemos determinar el perímetro del 8 cuadrado. Escribimos una tabla para registrar los perímetros de los 4 primeros cuadrados.
a
Cuadrado
1
2
3
4
Perímetro (cm)
4
8
16
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Capítulo 8: Álgebra
4 a
• Discuta acerca de las limitaciones que presenta hacer multiplicaciones sucesivas para encontrar un elemento de la secuencia, por ejemplo, el perímetro del vigésimo cuadrado. • Usar este método sería bastante tedioso y tomaría mucho tiempo. Además, cada elemento es dependiente del anterior. Esto quiere decir que si se comete un error en cualquiera de los elementos, todos los subsiguientes se verían afectados. b
• Muestre la utilidad de encontrar una regla para el elemento general de una secuencia. • Ayúdelos a encontrar la regla a partir de una tabla.
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Actividad adicional
Actividad opcional
Trabajo personal
• Basándose en la regla obtenida, pida a los estudiantes que muestren por qué el perímetro de un cuadrado no puede ser un número impar.
• Pídales que a partir de la regla dada, obtengan otra expresión para ella, considerándo que el 4 = 2 × 2, con lo cual el perímetro del n-ésimo cuadrado queda igual a ( 2 × 2 × 2 × . . . × 2)
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 8d.
Habilidades • Deducir
(n + 1) veces
Gestión de la clase
• Haga énfasis en los estudiantes sobre la importancia de verificar si la regla es correcta, aplicándola a los elementos ya conocidos, antes de utilizarla para anticipar los siguientes elementos de la secuencia. • La regla obtenida: Perímetro del n-ésimo cuadrado =4×(2×2×2×...) (n – 1) veces Igualmente implica ejecutar multiplicaciones, pero cuyos factores son solamente el número 2.
Debemos encontrar una regla que relacione los números presentes en ambas fi las. Reescribamos los perímetros de una manera que nos permita identifi car la relación entre estos valores.
Cuadrado
1
2
3
Perímetro (cm)
4 = 4 × 1
8 = 4 × 2
4
16 = 4 × 2 × 2 32 = 4 × 2 × 2 × 2
Observando la tabla, deducimos que el perímetro del 5 cuadrado es 4 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 16 = 64. El perímetro del 6 cuadrado es 4 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 4 × 32 = 128. Por lo tanto, la regla para encontrar el perímetro del elemento general de la secuencia es:
El perímetro del 8 cuadrado es 4 × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 4 × 128 = 512
El perímetro del n-ésimo cuadrado es 4 × (2 × 2 × 2...) (n – 1) veces
Usando esta regla, podemos encontrar el perímetro del 8 cuadrado:
7 veces
¡Practiquemos! 8d 1 Anota los tres números que siguen en cada una de estas secuencias: a 50, 46, 42, 38, … 34 , 30 , 25
b 5, 15, 45, 135, … 405 , 1215 , 3645
c 1, 8, 15, 22, … 29 , 36 , 43
d 3, 10, 5, 8, 7, 6, … 9 , 4 , 11
2 El n-ésimo elemento de una secuencia numérica es (4 + 3n.)
a Escribe los primeros tres elementos de esta secuencia. 7, 10, 13
b Jaime dice que el 50 elemento es 153. Verifi ca si su cálculo es correcto.
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(4+3(50)=154. Jaime está equivocado.) Capítulo 8: Álgebra
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 23 a 24.
3 La siguiente tabla muestra la cantidad de triángulos en una secuencia que sigue una regla. Figura
1
2
3
4
Cantidad de triángulos (T)
4
9
16
25
a Encuentra una expresión para la cantidad de triángulos en la Figura n-ésima.
(n+1)² b Usa la expresión de a para comprobar que la cantidad de triángulos en la Figura 9 es igual a 100. Si n = 9, (9+1)²= 10²= 100
4 Un centro comercial creó una promoción para premiar a sus clientes por comprar en sus tiendas. Al gastar $100 en el centro comercial, cada cliente recibe 10 puntos, y por cada $10 adicionales que gaste, obtiene 1 punto extra. Dinero gastado ($A)
100
110
120
130
Cantidad de puntos ganados (L)
10
11
12
13
a Usando esta información, completa la tabla.
b Describe la regla que relaciona la cantidad de dinero gastada con los puntos
ganados. A partir de $100, la cantidad de dinero gastado en el centro comercial es diez veces la cantidad de puntos obtenidos.
c Si llamamos L a la cantidad de puntos ganados y A a la cantidad de dinero
gastado, completa la igualdad A = 10L
d Usando la igualdad que escribiste en c calcula cuánto dinero gastó Juanita
para ganar 24 puntos. A = 10 × 24 = $240
Cuaderno de Trabajo 5B, p 23, Práctica 4.
Capítulo 8: Álgebra
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Objetivos: Ecuaciones e inecuaciones Los estudiantes serán capaces de: • resolver, en forma pictórica y simbólica, ecuaciones e inecuaciones de un paso que involucren adiciones y sustracciones , en el ámbito numérico de 0 al 100, aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción. • resolver problemas, en forma pictórica y simbólica, usando ecuaciones e inecuaciones de un paso, que involucren adiciones y sustracciones.
Conceptos claves • La balanza que tiene la misma cantidad de cubos iguales en sus dos platillos, está en equilibrio y representa una igualdad. • Si en uno de los platillos de una balanza en equilibrio hay una cantidad de cubos oculta (bolsa opaca), diremos que “representa” una ecuación con una incógnita. • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que incluye, al menos, una incógnita.
• Una ecuación lineal es aquella del tipo ax + b = c, en que a, b y c son números dados. • Una inecuación es una desigualdad matemática que incluye al menos una incógnita. Utiliza los símbolos > o <. • Para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales se utiliza la propiedad inversa de la adición y sustracción.
Habilidades • Deducir • Inducir
Gestión de la clase 1
• Muestre que la balanza está en equilibrio cuando se pone la misma cantidad de cubos en ambos platillos de ella. Saque algunos de estos cubos de un platillo para mostrar el desequilibrio, luego agregue la misma cantidad de cubos que sacó al otro platillo para retomar el equilibrio. Puede presentar la balanza como un “balancín”. Permita a los estudiantes que exploren formas en las que puedan equilibrar la balanza.
¡Aprendamos!
Ecuaciones e inecuaciones La balanza en equilibrio 1 Observa la balanza. Hay 8 en cada platillo. La balanza está equilibrada ya que en cada uno de sus platillos hay una cantidad igual de y todos pesan lo mismo.
Saquemos 3 del platillo izquierdo. Esto alterará el equilibrio ya que ahora el platillo derecho tiene más peso. Para volver a equilibrar la balanza, podemos sacar 3 del platillo derecho.
¿Cuántos cubos debemos poner en el platillo derecho para equilibrar la balanza? Dibújalos.
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Capítulo 8: Álgebra
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Uso de tecnología • Solicite a los estudiantes que investiguen sobre el matemático árabe AlKhwarizmi, quien escribió el libro sobre el método de calcular a través de igualdades.
Gestión de la clase 2
Ecuaciones lineales 2 ¿Qué es una ecuación lineal? Es una igualdad matemática entre dos expresiones que incluyen al menos una incógnita. Hay muchos tipos de ecuaciones. Por ejemplo x + 3 = 8, 3x² – 5x = 2 y x³ = 8. Estudiaremos ahora las ecuaciones de la forma ax + b = c en las que a, b y c son valores conocidos y a ≠ 0. Las ecuaciones de esta forma son llamadas ecuaciones lineales. x + 3 = 8 es un ejemplo de una ecuación lineal que puede ser representada mediante una balanza de la siguiente forma. x
Dentro de la bolsa marcada con una x hay algunos pero no sabemos cuántos son. Para encontrar el valor de x, podemos reemplazarla con algún número en la ecuación lineal. Probemos con el 4. Al sustituir x por 4, el lado izquierdo (LI) de la ecuación nos queda: 4 + 3 = 7. Pero debido a que el lado derecho (LD) de la ecuación es 8, la ecuación aún no está balanceada (LI ≠ LD). Ahora, si reemplazamos x por 5, la ecuación queda balanceada ya que 5 + 3 = 8 (LI = LD).
• Use el concepto de balanza en equilibrio para introducir la idea de igualdad en las ecuaciones. • Ponga en un platillo algunos cubos dentro de una bolsa y otros fuera de ella. En el otro platillo ponga la cantidad necesaria para equilibrar la balanza. Pídales que anticipen cuántos bloques hay dentro de la bolsa. Destaque que la bolsa tiene un peso insignificante. • Explíqueles que la situación se puede representar con una expresión que considerará la cantidad desconocida como “x”. • Usando una recta numérica, o los números conectados, muéstreles de qué forma pueden comprobar que su solución es correcta. • Por ejemplo, ubicamos el número 5 en la recta numérica y le sumamos 3.
5
Podemos decir que el número 5 es la solución de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar el valor de x que permite equilibrar la balanza. Es decir, que el número obtenido en el lado izquierdo de la ecuación es igual al número obtenido en el lado derecho.
Capítulo 8: Álgebra
8
• En la recta numérica, nos movemos 3 unidades hacia la derecha y obtenemos 8.
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Actividad opcional • En parejas, los estudiantes jugaran “Adivina mi número”. El primer alumno pensará un número y lo anotará en un papel, y le dará pistas sobre este número a su compañero, quien deberá usar estas pistas para crear ecuaciones y resolverlas para descubrir el número. Por ejemplo, el primer estudiante puede decir “Si a mi número le sumo 5, obtengo 25”. Con esto, el segundo estudiante puede pensar en la ecuación 5 + x = 25 y decir, por lo tanto, que la solución es 20.
Gestión de la clase 3
• Sugiérales que usen los números conectados para resolver ecuaciones sencillas. Muestre el caso de la ecuación x + 7 = 15. 4
• Primero, haga una demostración usando una balanza equilibrada. Luego, explique cómo resolver la ecuación. • Pídales que imaginen que los cubos de la bolsa y los que están fuera de ella en el platillo izquierdo, son las partes y los cubos que están al otro lado son el todo, por lo tanto, pueden pensar: “¿cuánto le falta a 3 para ser igual a 8?”.
3 Por simple observación, o bien usando el método de ensayo y error, acordándote de los números 15 conectados, encuentra el valor de x en cada una de estas ecuaciones:
7 x
a x 7 = 15 x = 8
b 15 x = 20
c x 4 = 3 x = 7
d 10 x = 2
e x + x = 14 x = 7
f 27 = x + x + x
Aunque el método de ensayo y error o la simple observación nos ayudan a resolver ecuaciones lineales, un método sistemático es más útil cuando las expresiones son más complicadas. En la siguiente actividad veremos cómo resolver algunos tipos de ecuaciones lineales.
x=5 x=8 x=9
4 Resolviendo ecuaciones lineales.
¿Cómo resolvemos x + 3 = 8? Comencemos observando la balanza en equilibrio que representa esta ecuación. x
3 8 x • Otra forma es sacar los cubos que están junto a la bolsa y sacar la misma cantidad del otro platillo. Los estudiantes verán que la balanza continúa en equilibrio y por lo tanto, la bolsa contiene los cubos del otro platillo.
Si tuviéramos solamente a x en el platillo izquierdo, conoceríamos su valor. Para ello, debemos sacar los 3 rojos. Sin embargo, al hacer esto se rompería el equilibrio, pero para restaurarlo, ¡también debemos sacar 3 azules del platillo derecho! x
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Capítulo 8: Álgebra
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que inventen problemas usando las ecuaciones y luego, que los intercambien con otro compañero. Destaque que es posible que una misma ecuación sirva para crear distintos problemas.
Gestión de la clase
Para mantener la balanza en equilibrio, aplicamos el mismo cambio en ambos lados de la ecuación. Para obtener el valor de x, restamos 3 en cada lado de la ecuación. x + 3 – 3 = 8 – 3 x = 5 x
• Represente simbólicamente la situación de sacar 3 cubos de ambos platillos (restando 3 en ambos lados de la ecuación) y muestre como resolverla mediante cálculos aritméticos. • Recuerde a los estudiantes usar una recta numérica para confirmar que sus respuestas son correctas.
Aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción ¡podemos simplificar los pasos! Lo hacemos de esta manera: En el lado izquierdo de la ecuación hay una adición. Aplicamos la relación inversa entre la adición y la sustracción, por lo que restamos 3 en ambos lados de la ecuación.
.
• Observe si los estudiantes restan 10 en ambos lados de la ecuación. Pídale a alguno de ellos que explique por qué es necesario restar en ambos lados. • Destaque el uso del concepto de relación inversa entre la adición y sustracción, en la resolución de estas ecuaciones. • Para apoyárlos en el caso de la ecuación x – 2 = 12, pídales que piensen en los números conectados:
x + 10 = 55 x + 10 – 10 = 55 – 10 x = 45 Ahora, resuelve esta: x – 2 = 12 x – 2 + 2 = 12 + 2 x = 14
8
5 x + 3 = 8 x + 3 – 3 = 8 – 3 x = 5
5 Trata de resolver esta ecuación:
x
0
En el lado izquierdo de la ecuación hay una sustracción. Aplicamos la relación inversa entre la adición y la sustracción, por lo que sumamos 2 en ambos lados de la ecuación.
2 Capítulo 8: Álgebra
x 39
12
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Actividad opcional
Habilidades
• Los estudiantes trabajarán en parejas. Usando una balanza, el primer estudiante dibujará, de forma pictórica, una inecuación. El segundo deberá escribir la inecuación representada.Luego, los estudiantes intercambian roles.
• Inducir • Identificar relaciones
Gestión de la clase 6
• En este ejercicio los estudiantes refuerzan la idea que para mantener la igualdad deben restar 14 en ambos lados de la ecuación. • Asigne las ecuaciones a y b como práctica guiada. • En el caso de las ecuaciones c y d se recomienda discutirlo con todo el curso, apoyándose en los números conectados. 50
6 Continuemos con la ecuación que sigue: x + 14 = 80 x + 14 – 14 = 80 – 14 x = 66
Resuelve estas ecuaciones:
a x + 25 75 x = 50
b 24 + x 80 x = 56
c x – 50 26
x = 76
d x – 18 72
x = 90
Para resolver ecuaciones lineales, usamos la relación inversa entre la adición y la sustracción, sumando o restando un mismo número en ambos lados de ecuación, según corresponda.
Inecuaciones lineales
x 26 y luego ocupando la relación inversa entre la adición y la sustracción: x – 50 + 50 = 26 + 50
7 ¿Qué es una inecuación lineal? Es una desigualdad matemática que incluye al menos una incógnita y que muestra la relación entre dos o más expresiones usando por ejemplo, uno de los siguientes símbolos: >, <. ¿Qué signifi ca cada uno de estos símbolos?
Si escribimos x > 4, signifi ca que el valor de x es mayor que 4. Por lo tanto, algunos de los posibles valores de x son 5, 6, 7, etc. Al representarla como una balanza, se ve de esta forma, es decir el platillo izquierdo se inclina:
7
• Presente a sus estudiantes una balanza que no está en equilibrio: al lado derecho hay 4 cubos y al lado izquierdo hay una bolsa opaca con más de 4 cubos en su interior. Pregúnteles “¿cuántos cubos podrían haber en la bolsa?” Discuta con ellos que hay muchas respuestas aceptables y verifíquelo en una balanza real.
x
x
40
x
x
Capítulo 8: Álgebra
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Actividad opcional • Guíe a los estudiantes hacia una discusión sobre contextos reales que utilicen inecuaciones. El límite de velocidad en las calles es un ejemplo de esto. Si el límite de velocidad es de 80 km/h, quiere decir que los vehículos solamente pueden circular a una velocidad 80 km/h.
Gestión de la clase 8 Si escribimos esta otra inecuación: x < 4, significa que el valor de x es menor que 4. Por lo tanto, algunos de los posibles valores de x son 3, 2, 1, etc. Al representarla como una balanza, se ve de esta forma: x
x
x
x
8
y 9 • Escriba distintas inecuaciones en la pizarra para que los estudiantes muestren las soluciones usando la balanza. Además, muestre distintas variantes de desigualdades para que los estudiantes anoten las inecuaciones lineales correspondientes (usando los símbolos < y >). 10
9 Si escribimos x > 8, significa que el valor de x es mayor que 8. Por lo tanto, algunos valores posibles para x son 9, 10, 11, etc. Si escribimos x < 8, significa que el valor de x es menor que 8. Por lo tanto, algunos valores posibles para x son 7, 6, 5, etc. 10 Veamos las siguientes desigualdades:
a Jorge dibujó una balanza para representar una posible solución a la
inecuación x > 5. ¿Está Jorge en lo correcto? Explica tu respuesta. Jorge está equivocado pues el valor de x debería ser mayor que 5 pero no puede ser igual a 5. Si la x fuera igual a 5 la balanza estaría en equilibrio. x
• Evalúe la comprensión de los estudiantes acerca del significado de una inecuación, pidiéndoles que expliquen si la solución dada por Jorge es correcta o no. a a f • Guíelos para que reconozcan que para resolver inecuaciones, pueden aplicar la relación inversa entre la adición y la sustracción, tal como se hizo con las ecuaciones.
b ¿Puedes dibujar una balanza que represente una solución a la siguiente
Capítulo 8:
inecuación? x < 10. Cualquier valor posible de x que sea menor a 10 es aceptable.
Álgebra
41
37
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Actividad adicional
El segundo estudiante salta del cuadro 11 al 14, luego al 17, al 20, al 23 y sigue moviéndose siguiendo esta regla. Los estudiantes deben determinar si el primer voluntario alcanza al segundo, y si lo hace ¿En qué recuadro? Permita una discusión para identificar las secuencias numéricas y crear ecuaciones algebraicas para resolver este problema.
• Solicite dos voluntarios. Dibuje varios recuadros en el suelo y numérelos. Pida al primer estudiante se pare sobre el primer recuadro mientras el segundo se para sobre el decimoprimero. Ambos deben comenzar a saltar de un recuadro a otro al mismo tiempo, siguiendo lo siguiente: El primer estudiante salta del cuadro 1 al 5, luego al 9, al 13, al 17 y continúa saltando siguiendo esta regla.
Gestión de la clase 11
• Este método que se enfoca en resolver problemas y muestra cómo se pueden dibujar diagramas de barra para simplificarlos. Puede ser usado para ayudar a los estudiantes a comprender como se forman las ecuaciones algebraicas para luego ser usadas en la resolución de problemas. • Muestre y explique que un valor desconocido puede ser representado por una letra x, luego muestre su representación en el ejemplo. Recuerde a los estudiantes que escriban en una frase completa la respuesta al problema.
c
x + 5 < 12 x + 5 – 5 < 12 – 5 x < 7
d
Posibles valores para x son: 37, 38, ...
e
x + 30 > 100 x > 100 – 30 x > 70
f
x – 15 < 85 x < 85 + 15 x < 100
En el lado izquierdo de esta inecuación hay una adición. Aplicamos la relación inversa entre la adición y la sustracción, por lo que restamos 5 en ambos lados de la inecuación.
Posibles valores para x son: 6, 5, 4, ... x – 8 > 28 x – 8 + 8 > 28 + 8 x > 36
En el lado izquierdo de la inecuación hay una sustracción. Aplicamos la relación inversa entre la adición y la sustracción, por lo que sumamos 8 en ambos lados de la inecuación.
Problemas
11 Podemos representar un problema usando una ecuación en la que el valor desconocido es representado por una letra. Veamos los siguientes ejemplos.
A un número se le suma 23 y el resultado es 48. ¿Cuál es el número?
Podemos representarlo mediante un modelo de barras que ya conocemos 23 x
48
42
Capítulo 8: Álgebra
38
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Actividad adicional • Motive a los estudiantes a resolver problemas reales como en el punto 12 . Trabaje junto a los padres para estimular el aprendizaje en la casa. Cree acertijos referentes a la edad de los padres, parientes o amigos y que los estudiantes los resuelvan.
Gestión de la clase 12
Paso 1:
El número desconocido lo podemos representar con la letra x. Luego, escribimos la ecuación que represente el enunciado:
Paso 2:
A continuación, ¡resolvemos la ecuación para encontrar el valor de x!
x = 48 – 23 x = 25
x + 23 = 48
El número buscado es 25
13
12 Después de comprar un dulce que costaba $40, a Pedro le quedaron $28. ¿Cuánto dinero tenía Pedro en un comienzo?
Paso 1:
La cantidad inicial de dinero que tenía Pedro, la podemos representar con la letra x. Luego, escribimos la ecuación que represente el enunciado.
x – 140 = 375
140
• Los estudiantes deberían ser capaces de relacionar el contexto de las edades. Una forma alternativa de resolver el problema es crear una ecuación que involucre la suma de las edades en 5 años más. En 5 años, la suma de las edades es = 36 + 5 + 5 = 46 años. Entonces, tenemos:
375 x
Paso 2:
Luego, ¡resolvemos la ecuación para obtener el valor de x!
x = 375 + 140 = 515
En un comienzo, Pedro tenía $68.
13
La suma de las edades de Laura y Camila es de 36 años. En 5 años más, Camila tendrá 29 años de edad. ¿Cuál es la edad actual de Laura? Denominemos como x la edad que Laura tiene en este momento.
Paso 1:
Capítulo 8: Álgebra
• Explique que, aunque este problema puede ser resuelto sin usar una ecuación algebraica, aprender a representarlo a través de ecuaciones les permitirá más adelante, resolver problemas más complejos.
x + 5 + 29 = 46 x + 34 = 46 x = 46 – 34 x = 12
Antes de escribir una ecuación para representar la suma de las edades, tenemos que encontrar la edad de Camila.
Actualmente, Laura tiene 12 años de edad.
43
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Gestión de la clase 14
• Repase el concepto del perímetro como la suma de todos los lados. Use este ejemplo para destacar cómo identificar los valores que cumplen con una de las condiciones dadas, y luego, al aplicar la 2ª condición (ser la mayor longitud), la solución es única (52 cm).
Edad de Camila en este momento: 29 – 5 = 24 años. Dado que la suma de sus edades es 36, podemos escribir la ecuación:
x + 24 = 36
Paso 2:
x = 36 – 24 = 12
Laura tiene 12 años
14
Los lados de un triángulo miden 25 cm, 12 cm y x cm. Escribe una expresión para representar el perímetro, P, del triángulo. Si el perímetro debe ser menor que 90 cm, ¿cuál es la mayor longitud posible que puede asumir x sabiendo que esta longitud es una cantidad entera de cm?
Paso 1:
P = (25 + 12 + x) cm = (37 + x) cm 37 + x < 90
Paso 2:
x < 90 – 37 x < 53
Según esta ecuación, algunos valores posibles de x son 52 cm, 51 cm, 50 cm, etc. Ya que se requiere el mayor valor entero posible, x debe ser 52 cm.
44
Capítulo 8: Álgebra
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 8e.
Gestión de la clase • Si en la resolución de las inecuaciones 2 c y 2 d , los estudiantes presentan dificultades, discuta con ellos la situación de una balanza en desequilibrio a la que se agrega (o quita) la misma cantidad de cubos en ambos platillos:
¡Practiquemos! 8e 1 Resuelve las siguientes ecuaciones.
a x + 20 = 45
x = 25
b 39 + x = 52
x = 13
c x – 55 = 10
x = 65
d x – 77 = 13
x = 90
e x + 15 – 25 = 40
x = 50
f x – 18 – 22 = 12
x = 52
2 Resuelve las siguientes inecuaciones.
a 15 + x < 60
x < 45
b x + 39 > 98
x > 59
c x – 40 > 25
x > 65
d x – 23 < 72
x < 95
e x + 19 + 11 < 130 x < 100
f 20 + x – 38 < 22
manteniéndose el desequilibrio inicial Simbólicamente: 3>2 3+2>2+2
x < 40
3 Para hornear un queque, el horno debe estar a una temperatura superior
a 280ºC. El termómetro indica 180ºC. Para conseguir la temperatura necesaria, debemos aumentarla en xºC. ¿Cuál es el valor de x? x=100ºC 4 A 80 le resto y obteniendo como resultado 23. ¿Cuál es el valor de y? y = 57
Capítulo 8: Álgebra
45
41
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 25 y 26.
5 Sumar dos veces 10 a un número da como resultado 52. ¿Cuál es este
número? 32 6
a Escribe una ecuación que sea representada por esta balanza. Resuelve la
ecuación para encontrar el valor de n. 6 + n = 12 n = 12 n
b Escribe una inecuación para representar la balanza. Encuentra la mayor
cantidad posible de que puede contener la bolsa deignada como m. 11 + m < 20 m<9 La mayor cantidad de posibles es 8
m
c Cada paso cubre una distancia de p metros. Para avanzar una distancia
de 0,12 km, se necesitan 300 pasos. ¿Cuál es la distancia de cada paso? 0,4 m
Cuaderno de Trabajo 5B, p 25, Práctica 5.
46
Capítulo 8: Álgebra
42
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Gestión de la clase ¡Resumamos! Has aprendido a: • Encontrar las regularidades que presentan los números en una secuencia. • Expresar, mediante una regla, la regularidad de los números en una secuencia. • Encontrar los elementos nuevos de una secuencia, a partir de la regla. • Representar números no conocidos mediante letras. • Escribir y evaluar expresiones algebraicas. • Simplifi car expresiones algebraicas. • Representar ecuaciones lineales mediante una balanza en equilibrio. • Resolver ecuaciones lineales sencillas aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción. • Representar inecuaciones lineales mediante una balanza en desequilibrio. • Resolver inecuaciones lineales sencillas, aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción.
(¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. • Discuta con los estudiantes el ejemplo mostrado para evaluar si han adquirido estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Repasemos! 1 En la siguiente secuencia, se van uniendo cuadrados y se cuentan
los lados de los cuadrados que no quedan junto a otros lados (lados libres). Fig. 1
a
b
Fig. 2
Fig. 3
Completa la tabla Figura
1
2
3
4
5
Lados libres
4
6
8
10
12
¿Cuántos "lados libres" hay en la fi gura 6?
Capítulo 8: Álgebra
14
47
43
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2
En un desfi le había m mujeres y una cantidad de hombres tres
veces mayor. Se encontraban presentes 6352 niños menos que el total de hombres.
a
En términos de m, encuentra: i La cantidad de hombres.
La cantidad de hombres 3 × m 3m
ii La cantidad de niños.
La cantidad de niños 3m 6352
iii La cantidad de hombres y mujeres
La cantidad de hombres y mujeres m 3m 4m
b
Si m 7145, ¿cuántas personas asistieron al desfi le? Cantidad total de personas 4m 3m 6352 7m 6352 7 × 7145 6352 43 663 En el desfi le había un total de 43 663 personas.
3 Resuelve paso a paso los siguientes problemas planteando la
ecuación o la inecuación.
a
María tenía una cierta cantidad de dinero. Compró un helado de $750 y le sobró $1060. ¿Cuánto dinero tenía María al $1810 principio? x – 750 = 1060
b
Los lados iguales de un triángulo isósceles miden x cm cada uno. El tercer lado mide 5 cm. ¿Cuál es la mayor longitud correspondiente a una cantidad entera de centímetros que puede tener cada lado igual de ese triángulo, de tal manera que su perímetro sea menor que 26 cm? 2x + 5 26 La mayor longitud de cada uno de los lados iguales del isósceles es 10 cm
48
Capítulo 8: Álgebra
44
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Objetivo de la actividad Los estudiantes debn representar una situación dada a través de expresiones algebraicas básicas.
Trabajo personal
Habilidades
• Asigne a sus estudiantes el “Diario matemático” , “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 27 a 30.
• Identificar relaciones
Gestión de la clase ¡Activa tu Mente! Graciela piensa en un número y luego lo multiplica por 2. Después, suma 12 al resultado de la multiplicación. Finalmente, resta dos veces el número que pensó en un comienzo. ¿Cuál es el resultado fi nal que obtendrá Graciela si piensa en cualquier número? Denominemos como ‘x’ el número que piensa Graciela. (1) x × 2 = 2x (2) 2x + 12 (3) 2x + 12 – 2x = 12
(¡Activa tu mente!) • Guíe a los estudiantes para que sigan los enunciados que se entregan y vayan representándolos algebraicamente. • Si es necesario, recuerde a los estudiantes que deberían comenzar por representar el número desconocido con una letra.
El resultado que obtendrá Graciela, siempre será 12. Heurística: Habilidad de razonamiento:
Resolver por partes Identificar relaciones
Cuaderno de Trabajo 5B, p 29, Desafío.
Capítulo 8: Álgebra
Cuaderno de Trabajo 5B, p 30, Piensa y resuelve.
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10/24/12 3:55 PM
Cuaderno de de Trabajo Trabajo Cuaderno Parte 1
1A 5B Álgebra
Curso:
1
Fecha:
3 6
5
Anita tiene (9 + y) manzanas y naranjas en total.
9+y
Anita tiene y naranjas y 9 manzanas. En total ¿cuántas manzanas y naranjas tiene Anita? Expresa tu respuesta en términos de y.
Marcela tiene (x + 8) manzanas y naranjas en total.
x+8
7
Marcela tiene x manzanas y 8 naranjas. ¿Cuántas naranjas y manzanas tiene Marcela en total? Expresa tu respuesta en términos de x.
Susana tiene 16 manzanas y naranjas en total.
10 + 6 = 16
(a) Susana tiene 10 manzanas y 6 naranjas. ¿Cuántas manzanas y naranjas tiene en total?
Capítulo 8: Álgebra
(1) Escribe la expresión para cada uno de los siguientes ejercicios.
Práctica 1 Usando letras en vez de números
8
Nombre:
47
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Paula tiene $(20 – n).
20 – n = (20 – n)
Paula tiene $20 y gasta $n. ¿Cuánto dinero tiene ahora? Expresa tu respuesta en términos de n.
Claudio tiene $(m – 5).
m – 5 = (m – 5)
Claudio tiene $m y gasta $5. ¿Cuánto dinero tiene Claudio ahora? Expresa tu respuesta en términos de m.
8
8a − 12
(f) La suma de 5 y
(e) Restar 12 a 8a q 5 + — 2
4 × g = 4g
Capítulo 8: Álgebra
2
q
(d) Multiplicar 4 por g
(c) Dividir m por 3 m m : 3 = —
3
15 – p
y + 9
(b) Restar p a 15
(a) Sumar 9 a y
(2) Escribe la expresión correspondiente a cada ejercicio.
Enrique tiene $160.
180 – 20 = 160
(b) Enrique tenía $180 y gastó $20. ¿Cuánto dinero tiene ahora?
35 y
30 y
x
óx×6 x
elementos cada uno.
19
14
56
Capítulo 8: Álgebra
(f) 12 grupos de y elementos es lo mismo que 12y .
elementos cada uno.
ó m × 18
(e) 75y significa 75 grupos de y
(d) 18m 5 18 × m
(c) 14 grupos de x elementos es lo mismo que 14x .
(b) 9x significa 9 grupos de
(a) 6x 5 6 ×
10
5
65
34
9
4
59
21
y 5 16
(4) Completa.
40 y
43
18 y
18
y 7
13
68
30
y 12
y 43
y 5
y 5 25
Valor de la expresión si
Expresión
9
(3) Calcula el valor de las siguientes expresiones para los valores entregados para y.
48
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10
La Señora Silvia tiene 7 j lápices en total.
7 × j = 7j
Capítulo 8: Álgebra
La señora Silvia tiene 7 cajas de lápices. En cada caja hay j lápices. ¿Cuántos lápices tiene en total la señora Silvia? Expresa tu respuesta en términos de j.
La Señora Alicia tiene 10 k lápices en total.
k × 10 = 10 k
La señora Alicia tiene k cajas de lápices. En cada caja hay 10 lápices. ¿Cuántos lápices tiene en total la señora Alicia?
La Señora Fresia tiene 48 lápices en total.
4 × 12 = 48
(a) La señora Fresia tiene 4 cajas de lápices. En cada caja hay 12 lápices. ¿Cuántos lápices tiene en total la señora Fresia?
(5) Escribe la expresión correspondiente.
m
Cada persona recibió 3r kg de azúcar.
15r 5
15r : 5 = —— = 3r
Capítulo 8: Álgebra
= 18
= 6 + 12
+ 12
6x × (d) — 12 5 5 10 1 = — +2 2 1 = 2— 2
5 — (c) — 10 2 5 + 2
x
(b) 20 2x 5 20 − 2 × 5 = 20 − 10 = 10
(a) 13x 4 5 13 × 5 − 4 = 65 − 4 = 61
11
15r kilos de azúcar fueron repartidos equitativamente entre 5 personas. ¿Cuánta azúcar recibió cada persona? Expresa tu respuesta en términos de r.
Cada persona recibió — kg de azúcar. 3
m:3=—
m 3
m kilos de azúcar fueron repartidos equitativamente entre 3 personas. ¿Cuánta azúcar recibió cada persona? Expresa tu respuesta en términos de m.
Cada persona recibió 5 kg de azúcar.
20 : 4 = 5
(b) 20 kilos de azúcar fueron distribuidos equitativamente entre 4 personas. ¿Cuánta azúcar recibió cada persona?
(6) Encuentra el valor de cada expresión si x = 5.
49
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(c) 5t 5 5 × t = 5 × 12 = 60
(e) 20t 5 20 × t = 20 × 12 = 240
t 6
12 6
12 4
2
=6
12 5 — (f) — 2
t
=3
(d) — 5 —
t 4
=2
(b) — 5 —
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
12
(a)
m
m
m
76
3
m
× 4
: 3
5
m
× m
× 2
4m
m — 3
m+5
76 – m
3m
2m
: 6
4
4m —— 6
Capítulo 8: Álgebra
3
m — +1 3
1
m+5 ——– 11
: 11
1
35
76 – m ——–– 2
: 2
9
23
2m – 3 3m + 5
5
3
(8) Completa los recuadros con la expresión correcta. En el último recuadro de la derecha, pon el valor de la expresión si m 5 6.
(a) 2t 5 2 × t = 2 × 12 = 24
(7) Encuentra el valor de cada expresión si t = 12.
7
m
(x + 3)
Cada recipiente contiene ——– de agua. 4
(x + 3) : 4 = ——–
( x +4 3 )
x + 3 = (x + 3) El estanque contiene (x + 3) de agua.
13
(c) Un estanque contiene x de agua. El señor Tapia agrega 3 de agua al tanque y luego vacía toda el agua en cuatro recipientes más pequeños de igual capacidad. ¿Cuánta agua hay en cada uno de estos recipientes?
4 − y = (4 − y) El peso del aceite es (4 − y) kg.
(b) Un envase lleno con aceite pesa 4kg. El envase pesa y kg. ¿Cuánto pesa el aceite?
1200 + x = (1200 + x) Jimena tiene $(12 + x).
(a) Jimena tenía $1200. Luego, su madre le dió $x ¿cuánto dinero tiene ahora Jimena?
Capítulo 8: Álgebra
(10) Escribe una expresión algebraica para cada uno de los siguientes ejercicios.
Acepte todas las respuestas como correctas. Ejemplo: m 7 + m, 7 – m, 7m y — .
7
(9) Usando las siguientes tarjetas escribe la mayor cantidad de expresiones algebraicas que puedas:
50
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(4004 – g )
14
=5×x = 5x Martín necesita 5x huevos.
1000 g → —— × x
1000 200
200 g → x huevos
Capítulo 8: Álgebra
(d) Para hornear un pastel, Martín necesita x huevos por cada 200 gramos de harina. Si usa 1000 gramos de harina, ¿cuántos huevos necesita?
Cada organización recibió ———– sacos de arroz.
4
400 – g (400 – g) : 4 = ———–
Las cuatro organizaciones benéficas comparten (400 – g) sacos de arroz.
(c) En una campaña de solidaridad, Betty recolectó 400 sacos de arroz. Le entrego g sacos de arroz a un hogar de niños y el resto de los sacos recolectados fueron repartidos entre 4 organizaciones de beneficencia. ¿Cuántos sacos de arroz recibió cada una de estas organizaciones?
x El corre — km en 1 hora. 6
x : 6 = — km
x 6
(b) En seis horas, Tomás corre x km. ¿Cuánto alcanza a correr en una hora?
Julia quedó con $(y – 900).
450 × 2 = 900 y – 900 = (y – 900)
(a) Julia tenía $y. Compró dos pasteles que le costaron $450 cada uno. ¿Cuánto dinero le quedó?
(11) Escribe una expresión algebraica para cada uno de los siguientes ejercicios.
Curso:
Fecha:
4c c 5c 5 0
Capítulo 8: Álgebra
(i)
(g) 6p 2p 3p 5 p
(e) 10k 3k 5 7k
(c) 6p 3p 5 9p
(a) c c c c 5 4c
(1) Simplifica las siguientes expresiones.
12p 12p 5 0
(j)
10f 4f f 5 7f
(h) 10a a 2a 5 11a
(f)
(d) b 3b 5b 59b
(b) 5 × k 5 5k
15
Práctica 2 Simplificando las expresiones algebraicas
Nombre:
51
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(h) 5c 3 2c 5 5 3c + 8
(g) 2 6b 1 4b 5 1 + 10 b
16
Capítulo 8: Álgebra
(j) 6h 12 2h 6 5 8h + 6
(f ) 4 5k 4k 5 4 + k
(e) 10p 4p 5 5 6p – 5
9e 2e 3 5e 5 12e – 3
(d) x 9 5x 56x – 9
(c) 2m 4 6m 5 8m + 4
(i)
(b) 6y 8 y 5 7y – 8
7x + 4 (a) 5x 2x 4 5
(2) Simplifica las siguientes expresiones.
Curso:
Fecha:
(5y4– 7 )
Capítulo 8: Álgebra
Karina ahora tiene (4 + 2m) kg de harina.
4 + 2m = 4 + 2m
2 × m = 2m El peso de los dos paquetes de harina es 2m kg.
17
(2) Karina tenía 4 kilos de harina y compró 2 paquetes más de harina, cada uno de m kg. En términos de m ¿cuánta harina tiene Karina?
El largo de cada uno de los 4 trozos es de ——– m.
= ——– m
(5y4– 7 )
Longitud de cada trozo = (5y − 7) : 4
Largo del resto sin usar de la tela = 8y − 3y − 7 = (5y − 7) m
(1) El largo de una tela es de 8y metros. El señor López usa 7 metros de la tela para fabricar cubiertas para cojines y utiliza 3y metros para hacer una cortina. El resto de la tela es cortado en 4 trozos iguales. En términos de y ¿cuál es el largo de cada trozo?
Práctica 3 Problemas
Nombre:
52
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18
El monto total pagado por la señora Rina fue $(5b − 7).
Monto total que la señora Rina pagó = 4b + b − 7 = (5b − 7)
Costo de cuatro peras = $4 × b = $4b
Una manzana cuesta $(b − 7).
Capítulo 8: Álgebra
(4) En la feria una pera tiene un valor de b pesos y una manzana cuesta 7 pesos menos. La señora Rina compró 4 peras y una manzana. En términos de b, encuentra en total que la señora Rina pagó.
Ahora, Leonardo tiene (7k + 5) figuras de origami.
3k + 4k + 5 = 7k + 5
Leonardo tiene 3k figuras de origami.
5k − 2k = 3k
(3) El lunes, Leonardo hizo 5k figuras de origami y regaló a sus amigos 2k del total. El martes, hizo 4k figuras de origami más y uno de sus amigos le regaló 5 de estas figuras de papel. En términos de k ¿cuántas figuras de origami tiene Leonardo ahora?
Ricardo tiene 28 dulces en total.
(b) Si y = 4, 5y + 8 = 5 × 4 + 8 = 20 + 8 = 28
Ricardo tiene (5y + 8) dulces en total.
(a) 5 × y = 5y 5y + 8
(a) En términos de y, encuentra la cantidad total de dulces que tiene Ricardo. (b) Si y 5 4, ¿cuál es el total de dulces que tiene Ricardo?
Capítulo 8: Álgebra
El vuelto de la señora Lorena fue $2300.
(b) Si z = 3, 5000 – 900z = 5000 – 900 × 3 = 5000 – 2700 = 2300
El vuelto de la señora Lorena fue $(5000 – 900z).
(a) z × 900 = 900z 5000 – 900z = (5000 – 900z)
19
(a) En términos de z, encuentra el dinero que recibió la señora Lorena como vuelto. (b) Si z 5 3, ¿cuánto dinero recibió como vuelto la señora Lorena?
(6) La señora Lorena compró z bolsas de arroz a $900 cada una y pagó con un billete de $5000.
(5) Ricardo tiene 5 cajas de dulces, y en cada una de éstas tiene “y” dulces. Su profesor le regala 8 dulces.
53
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20
El primer día quedaron 70 lápices sin ser vendidos.
(b) Si m = 5, 16m – 10 = 16 × 5 – 10 = 80 – 10 = 70
Capítulo 8: Álgebra
El primer día quedaron (16m – 10) lápices sin ser vendidos.
(a) 16 × m = 16m 16m – 10
(a) En términos de m, ¿cuántos lápices quedaron sin vender el primer día? (b) Si m 5 5, ¿cuántos lápices quedaron sin vender el primer día?
(8) El encargado de una tienda compró 16 cajas de lápices; cada caja contenía m lápices. El primer día, se vendieron 10 lápices.
El padre de Gabriela tiene 39 años.
(b) Si w = 9, 4w + 3 = 4 × 9 + 3 = 36 + 3 = 39
El padre de Gabriela tiene (4w + 3) años de edad.
(a) w × 4 = 4w 4w + 3
(b)
( y –5 2 )
=3 Para cada chaqueta se hubiera usado 3 metros de tela.
y–2 17 – 2 ——– = ——– 5 5 15 =— 5
Si y = 17,
Para cada chaqueta se usaron ——– metros de tela.
(y − 2) : 5 = ——–
( y –5 2 )
(a) y − 2 = (y − 2) Marta usó (y − 2) metros de tela para confeccionar 5 chaquetas.
p
p
= 8200 El lápiz cuesta $8200.
p — + 200 = 16 000 + 200 2 2
(b) Si p = 16 000,
p p — + 200 = — + 200 2 2 p El lápiz cuesta $ — + 200 . 2
2
La revista cuesta $ — .
2
(a) p : 2 = —
(a) En términos de p ¿cuál es el valor del lápiz? (b) Si el libro cuesta $16 000 ¿cuál es el valor del lápiz?
Capítulo 8: Álgebra
21
(10) El precio de una revista es la mitad del precio de un libro. El libro cuesta $p. Un lápiz cuesta $200 más que la revista.
(a) En términos de y, encuentra cuantos metros del material se utilizaron para cada chaqueta. (b) Si Marta hubiera tenido 17 metros de tela ¿cuánto material se hubiese usado para las chaquetas?
(a) En términos de w ¿cuál es la edad del padre de Gabriela? (b) Si w 5 9, ¿cuál es la edad del padre de Gabriela?
(9) Marta tiene y metros de tela. Usa 2 metros para hacer una falda, lo que queda lo ocupa para confeccionar 5 chaquetas.
(7) La edad de Gabriela es de w años; su madre tiene ahora 4 veces su edad y su padre es 3 años mayor que la madre.
54
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( d + 2400 La cantidad de papel recolectado en enero fue ( ———— ) kg. 3
)
(b)
= 2300 La cantidad de papel recolectado en enero fue 2300 kg.
4500 + 2400 d + 2400 ) (———— ) = (—————— 3 3
Si d = 4500,
(a) Cantidad de desechos de papel recolectados en enero = ———— kg
d + 2400 3
(a) En términos de d, encuentra la cantidad de desechos de papel recolectados en enero. (b) Si la empresa de reciclaje recolectó 4500 kg de papel en febrero ¿cuál fue la cantidad recolectada en enero?
22
(
)
= 855 855 cigüeñas migraron en el 2003.
1800 – 45 (—2g – 45) = —–— 2
(b) Si g = 1800,
Capítulo 8: Álgebra
2 g Cantidad de cigüeñas que migraron en el 2003 = — − 45 2 g La cantidad de cigüeñas que migraron en el 2003 fue — – 45 . 2
(a) Cantidad de cigüeñas que migraron en el 2002 = —
g
(a) En términos de g, encuentra la cantidad de cigüeñas que migraron en 2003. (b) Si la cantidad de cigüeñas que migraron en 2001 fue 1800 ¿cuántas cigüeñas migraron en 2003?
(12) En el año 2001, g cigüeñas blancas migraron desde Europa a África en el invierno. El año siguiente, solo la mitad de esa cantidad de cigüeñas realizó el viaje hacia África. En el 2003, el número de cigüeñas que migraron disminuyó en 45.
(11) Durante febrero, una empresa de reciclaje recolecta d kg de desechos de papel, y durante marzo, recolecta 2400 kg. La suma de lo recolectado en febrero y marzo es tres veces más de lo que se recolectó en enero.
Curso:
(d) 2, 5, 10, 17, … 26 , 37 , 50 .
(a) 23, 33, 43, 53… 63 , 73 , 83 . (b) 1, 2, 6, 24, … 120 , 720 , 5040. (c) 3, 9, 27, … 81 , 243 , 729 .
Fig.3
(a) Dibuja la Figura 4 en la secuencia. (b) ¿Cuántos círculos tendrá la figura 10? (28 círculos)
Fig.2
Fig.4
Fecha:
Capítulo 8: Álgebra
23
(3) Una secuencia tiene n elementos y una diferencia común igual a 5 (Esta es la diferencia entre dos elementos sucesivos en la secuencia). El primer elemento es 3 y el último es L. Expresa L en términos de n. (5n - 2)
Fig.1
(2) La siguiente secuencia está formada con círculos.
(1) Escribe los siguientes tres números para cada secuencia.
Práctica 4 Secuencias
Nombre:
55
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(b)
24
15
4
5
19
23
27
9
11
13
anterior.
Capítulo 8: Álgebra
Describe la regla que relaciona los valores que están en las filas de la segunda columna: Para determinar el siguiente elemento, sumamos 4 al
anterior.
Describe la regla que relaciona los valores que están en las filas de la primera columna: Para determinar el siguiente elemento, sumamos 2 al
por 2 el que se encuentra en la primera y sumarle 1.
15
7
Describe la regla que relaciona los valores que se encuentran en las dos columnas: El número en la segunda columna se obtiene al multiplicar
11
5
Tabla 2
Determina la regla que relaciona los valores que se encuentran en las dos columnas. Además, determina la regla que relaciona los valores que están en las filas de cada una de las dos columnas. Luego, completa la tabla.
Describe la(s) regla(s): El número en la segunda columna es 3 veces el número de la primera columna.
9
12
3
6
2
Tabla 1
(4) (a) Determina la regla que relaciona los valores que se encuentran en las dos columnas, luego, completa la tabla.
Curso:
Fecha:
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
x – 80 < 10 x < 90 x + 44 < 60 x < 16 28 + x > 100 x > 72 – 16 + x > 42 x > 58 24 + x – 12 > 84 x > 72 30 + x – 38 > 15 x > 23
x = 4,80 m
Capítulo 8: Álgebra
(4) En estos momentos tengo $2800. ¿Cuánto debo ahorrar para poder comprar el juguete? $4700
6,20 + x + 5,00 = 16,00
25
(3) En la prueba de triple salto, un atleta saltó un total de 16 metros. El primer salto fue de 6,20 metros y el tercero fue de 5,00 metros. Crea una ecuación en términos de x para representar la distancia total saltada por el atleta. x representa la distancia del segundo salto. Encuentra la distancia del segundo salto.
(2) Resuelve las siguientes inecuaciones.
(f) – 40 + x + 8 = 16 x = 48
(c) x + 38 = 99 x = 61 (d) x – 24 =46 x = 70 (e) 28 + x + 34 = 100 x = 38
(a) x – 28 = 20 x = 48 (b) 57 + x = 80 x = 23
(1) Resuelve las siguientes ecuaciones.
Práctica 5 Ecuaciones e inecuaciones
Nombre:
56
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3 cm
1,5 cm
x cm 2 cm
26
Capítulo 8: Álgebra
(8) La diferencia de edad entre Brenda y su hermana mayor es menos de 7 años. Hace cuatro años, Brenda celebró su cumpleaños número 31. ¿Cuál es la máxima edad posible de la hermana mayor? 41 años.
(7) El perímetro de la figura es de 17 cm. Encuentra el largo de x. 4 cm
El contexto del problema puede variar, pero el valor de m es 12.
(6) Inventa un problema para la ecuación m + 88 = 100. Ahora, resuelve la ecuación para encontrar el valor de m.
(5) Al restar tres veces 15 de un número, el resultado es 10. ¿Cuál es el número? 55
Curso:
Fecha:
20p – 2p + 4p = 18p + 4p = 22p
Respuesta correcta:
27
Felipe no siguió el orden de las operaciones, ya que primero sumó 2p con 4p y luego restó 20p – 6p. Debió seguir la regla de “izquierda a derecha” y restar primero 20p – 2p y al resultado restarle 4p.
(b) 20p 2p 4p 5 20p 6p 5 14p
Capítulo 8: Álgebra
4w + 12w − 10 = 16w – 10
Respuesta correcta:
Felipe no debió haber restado 10 al valor numérico de 16w.
(1) (a) 4w 12w 10 5 16w 10 5 6w
Identifi ca y explica los errores que cometió Felipe en las siguientes sumas y escribe la respuesta correcta.
Diario matemático
Nombre:
57
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3+p=p+3
Respuesta correcta:
Felipe multiplicó 3 por p, en lugar de sumar 3 a p.
(c) 3 p 5 3p
28
Vuelto recibido: $(5000 8y)
Vuelto recibido = $(10 000 − 8y)
2 × 5000 = 10 000
Valor de las 8 cajas = 8 × y = 8y
Respuesta correcta:
Capítulo 8: Álgebra
Felipe calculó el valor de las 8 cajas en pesos, pero expresó su respuesta por el vuelto recibido como si hubiera pagado con $5000. Primero debió multiplicar 2 × $5000 y luego restar.
Valor de 8 cajas: 8 × y 5 8y
(2) La señora Josefi na compró 8 cajas de leche por “y” pesos cada una y las pagó con 2 billetes de $5000. ¿Cuánto dinero recibió como vuelto?
Desafío
Curso:
Fecha:
Capítulo 8: Álgebra
El resultado final es ——— .
4x + 5 8
(3) (4x + 5) : 8 = ———
4x + 5 8
(1) x + 5 (2) x + 5 + 3x = 4x + 5
29
Silvana piensa en un número al que llama x y le suma 5, luego, suma 3 veces el número que pensó. Finalmente, divide el resultado por 8. En términos de x, ¿cuál es el resultado final?
Nombre:
58
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Repaso 4
Curso:
40 – x 2
Capítulo 8: Álgebra
Heurística: Dibuja un modelo. Habilidades de razonamiento: Analizar los datos relacionando un todo con sus partes.
Hay 18 niños en el curso.
= 18
40 – 4 40 – x ——— = ——— 2 2 36 = —– 2
(b) Si x = 4,
30
)
x
40 – x Hay ——— niños en el curso. 2
(
(a) (40 – x) : 2 = ———
Niños
40
12x + 10y + 9z
(c) Marta tenía una cierta cantidad de dinero, gastó $p y le quedaron $q. ¿Cuánto dinero tenía al comienzo? p + q = (p + q) Marta tenía $(p + q) al comienzo.
k – m = (k – m) Jorge gastó $(k – m)
(b) Jorge tenía $k, gastó una cierta cantidad y ahora tiene $m. ¿Cuánto gastó?
(a) María tenía $a y gastó $b ¿cuánto dinero le quedó? a – b = (a – b) A María le quedaron $(a – b)
Repaso 4
31
(b) Don José repartió equitativamente d kg de harina en f paquetes. ¿Cuánto pesa la harina en cada paquete?
d : f = df kg. La harina en cada paquete pesa df kg.
(a) Juan y sus tres amigos, recibieron t dulces cada uno. ¿Cuántos dulces recibieron en total? 4 × t = 4t Juan y sus tres amigos recibieron 4t dulces en total.
(4) Escribe, en cada caso, la expresión correspondiente a la respuesta:
3 6
5 a + 11
1
Fecha:
(3) Escribe, en cada caso, la expresión correspondiente a la respuesta:
(2) Simplifica 10x – 8y + z + 2x + 18y + 8z.
Nombre:
Niñas
Fecha:
(1) Simplifica 3a + 5 – 2a + 6.
Piensa y resuelve
Curso:
En un curso de 40 alumnos hay x niñas más que niños. (a) En términos de x ¿cuántos niños hay en el curso? (b) Si x 5 4, ¿cuántos niños hay en el curso?
Nombre:
59
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(b) (2r – 200)
32
= (5575 – 2575) 15 = 3000 15 = $200
Cada lápiz cuesta $200.
(b) Costo de 1 lápiz
El costo de cada lápiz es $(5575 – x) 15
5575 – x (5575 – x) (5575 – x) : 15 (5575 – x) 15
Repaso 4
(b) Si el libro cuesta $2575, ¿cuánto cuesta cada lápiz?
(a) Costo de los 15 lápices = = Costo de 1 lápiz = =
(a) Si el libro cuesta $x, ¿cuál es el costo de cada lápiz en términos de x?
(d) (3r – 200)
(c) 3r
(6) Un libro y 15 lápices cuestan $5575
(a) 2r
(5) Hay 2 libros en una caja. El peso de cada libro es r gramos. La caja es 200 g más liviana que un libro. ¿Cuál es el peso total de la caja y los dos libros, expresado en gramos? (b) 486, 162, 54, ... (c) 2, 8, 18, 32, ...
50, 72, 98
18, 6, 2
74, 84, 94
18 círculos
Fig. 5
Repaso 4
1 2 3 4 5
Tabla
21
13 17
5 9
33
El número de la segunda columna es cuatro veces el número de la 1ª columna, aumentado en 1.
(9) Determina la regla que relaciona los números que se encuentran en las dos columnas, luego, completa la tabla.
(b) ¿Cuántos círculos tendrá la Figura 10?
Fig. 4
Fig. 3
(a) Dibuja la Figura 6
Fig. 2
Fig. 1
(8) La siguiente secuencia está formada con círculos.
(a) 34, 44, 54, 64, ...
(7) Escribe los siguientes tres elementos para cada secuencia:
60
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(b) 23 + x = 85 (c) x – 101 = 101 (d) 35 + x + 120 = 170 x = 15
(b) x – 44 < 100 (c) 40 + x – 17 > 24 (d) 30 + x – 15 � 105
x � 90
x>1
x < 144
x < 10
34
B
A x cm
D
E
Repaso 4
El lado del cuadrado ABDE mide 10 cm.
Perímetro de la figura 3x + 14 3x + 14 = 44 7 cm 3x = 30 x = 30 : 3 C x = 10
(12) El perímetro de la figura es 44 cm. ABDE es un cuadrado, y el �BCD es isósceles. Encuentra la longitud denominada con una x. Escribe y resuelve la ecuación que permite encontrar el lado del cuadrado.
(a) x + 10 < 20
(11) Resuelve las siguientes inecuaciones.
x = 202
x = 62
(a) x + 71 = 149
x = 78
(10) Resuelve las siguientes ecuaciones.
BLANCO
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62
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3
2
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta 3 pasos que involucren el promedio.
(2) Problemas
Basándose en las imágenes y las expresiones numéricas, los estudiantes deberán escribir problemas que incluyan el promedio
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • interpretar el promedio como la suma total dividida por el número de elementos en un grupo de valores. • encontrar el número o cantidad promedio dentro de un grupo de valores. • encontrar la suma total, dado el promedio y el número de elementos de un grupo de valores.
(1) Calculando el promedio
Capítulo 9: Promedio
• Libro del Alumno 5B, págs. 56 a 62 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 41 a 45 • Guía del Profesor 5B, págs. 70 a 76
• Libro del Alumno 5B, págs. 50 a 55 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 35 a 40 • Guía del Profesor 5B, págs. 64 a 69
Recursos
Analizar las partes y el todo
Deducir Formular una hipótesis
Habilidades
63
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1
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes deberán usar una lista para adivinar y comprobar las respuestas correctas, o hacer deducciones y resolver de atrás para adelante, desde los números dados.
¡Activa tu mente!
Enfatizar los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en el capítulo. Discutir el ejemplo resuelto con los estudiantes, de modo de evaluar si han logrado el dominio de estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Los estudiantes deben deducir que al dividir los mismos enteros en igual número de partes de distintas medidas, se mantiene el mismo promedio.
¡Exploremos!
Capítulo 9: Promedio
• Libro del Alumno 5B, págs. 62 a 63 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 46 a 50 • Guía del Profesor 5B, págs. 76 a 77
• Libro del Alumno 5B, pág. 60 • Guía del Profesor 5B, pág. 74
Recursos
Heurísticas para resolver problemas: Hacer una lista sistemáticamente Suponer y comprobar
Identificar relaciones
Deducir
Habilidades
Capítulo nueve
Promedio Objetivos: Calculando el promedio Los estudiantes serán capaces de: • interpretar el promedio como la suma total dividida por el número de elementos en un grupo de valores. • encontrar el número o cantidad promedio dentro de un grupo de valores.
Suma = promedio × cantidad de datos o elementos.
• encontrar la suma total, dado el promedio y el número de elementos de un grupo de valores.
Habilidades
Conceptos claves • El promedio es la media aritmética de un conjunto de datos. • La cantidad total o suma de los datos se calcula mediante una multiplicación:
• Deducir
Materiales • Objetos pequeños para contar, por ejemplo fichas de plástico o bolitas.
Gestión de la clase 1
• Forme a los estudiantes en grupos y represente la situación antes y después del reparto. Luego pregunte a los estudiantes: “¿Cuántas conchitas tiene cada niño, en promedio?” • Explique que el promedio puede ser considerado como la mejor estimación del número de conchitas que tendría cada niño si se igualara la cantidad de conchitas que cada uno poseyera. • Enfatice que el promedio no indica la cantidad real de conchitas que tiene cada niño. La cantidad real de conchitas varía de niño en niño. (Por ejemplo, Andrés tiene 4 conchitas, Beatriz tiene 9 conchitas y Carla tiene 8 conchitas). • Muestre a los estudiantes el procedimiento para encontrar el promedio utilizando esta fórmula: Cantidad promedio de conchitas = Número total de conchitas : Número de niños. Por lo tanto: Número total de conchitas = 4 + 9 + 8 = 21 Promedio de conchitas = 21 : 3 = 7 • Guíe a los estudiantes a familiarizarse con el término promedio. “Cada niño tiene, en promedio, 7 conchitas” “7 es el promedio de 4, 9 y 8”
Promedio ¡Aprendamos!
Calculando el promedio 1 Andrés tiene 4 conchitas, Beatriz tiene 9 conchitas y Carla tiene 8 conchitas. Si todas las conchitas se repartieran equitativamente entre los tres niños, ¿Cuántas conchitas tendría cada uno? Antes de repartir
4
9
8
=
21
7
7
=
21
Después de repartir
7
Calcula el número total de conchitas. 4 9 8 = 21 conchitas Luego, divide el número total de conchitas, por el número de niños. 21 : 3 = 7 conchitas
Cada niño recibe 7 conchitas.
Número promedio de conchitas =
Número total de conchitas Número de niños
El número de conchitas que cada niño tendría si se repartieran equitativamente es 7. 7 es el promedio de 4, 9 y 8. Capítulo 9:
50
Promedio
64
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Gestión de la clase 2
2 Ana, Julia, Pedro y Luis vendieron pegatinas para reunir fondos. La tabla muestra el número de pegatinas que vendió cada persona.
• Asigne a los estudiantes esta actividad como práctica guiada. • Se espera que los estudiantes reconozcan al promedio como la cantidad total de pegatinas vendidas dividida por el número de personas que las vendieron.
Ana
12
Julia
20
Pedro
16
Luis
28
¿Cuál es el número promedio de pegatinas vendidas por cada persona?
3
Número total de pegatinas vendidas Número promedio de pegatinas vendidas = Número de personas
12 20 16 28 = 76
76 : 4 = 19 pegatinas El número promedio de pegatinas vendidas por cada persona es 19 .
3 Las siguientes son los puntajes obtenidos por Sonia, Jorge y Cristina en una prueba de Inglés. Jorge Sonia
Cristina
• Pida a los estudiantes que expliquen cómo obtener el puntaje promedio de los tres estudiantes. • Primero, encuentre la suma de los datos o elementos. Puntaje total = 53 + 84 + 46 = 183 Luego, divida la suma por el número de datos o elementos, que en este caso es 3. Puntaje promedio = 183 : 3 = 61
a ¿Cuál es el puntaje total obtenido por Sonia, Jorge y Cristina?
b ¿Cuál es su puntaje promedio?
El puntaje total obtenido por Sonia, Jorge y Cristina fue 183.
a Puntaje total = 53 84 46
= 183
Su puntaje promedio fue 61.
b Puntaje promedio = 183 : 3
Capítulo 9: Promedio
= 61 51
65
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Gestión de la clase 4
• Asigne esta pregunta a los estudiantes como una práctica guiada.
4 Pedro tiene 5 amigos cuyos pesos son 28 kg, 34 kg, 56 kg, 42 kg y 60 kg.
a ¿Cuál es el peso total de sus 5 amigos?
b ¿Cuál es el peso promedio?
a Peso total = 28 34 56 42 60
El peso total de sus amigos es 220 kg
b Peso promedio = 220 : 5
Su peso promedio es 44 kg.
5
• Guíe a los estudiantes para que vean que podemos encontrar la suma aplicando la fórmula: Suma = Promedio × Número de datos o elementos. Pida a los estudiantes que calculen el puntaje total de las 4 pruebas usando esta fórmula. Puntaje promedio en las 4 pruebas = 69 Número de pruebas que Gina rindió = 4 Puntaje total en las 4 pruebas = 69 × 4 = 276 • Enfatice que, en base a la información dada en este ejemplo resuelto, podemos encontrar el puntaje total, pero no el puntaje en cada una de las pruebas.
= 220 kg
= 44 kg
Promedio =
Número o cantidad total Número de elementos
5 Gina rindió 4 pruebas en el colegio. Su puntaje promedio en las 4 pruebas fue de 69 puntos. ¿Cuál fue su puntaje total en las 4 pruebas?
Puntaje promedio en las 4 pruebas = 69 Número de pruebas que rindió = 4
Puntaje total en las 4 pruebas = 69 × 4 = 276
Su puntaje total en las 4 pruebas fue 276.
52
Puntaje = Puntaje número total promedio × de pruebas
Capítulo 9: Promedio
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Habilidades • Formular una hipótesis
Materiales • Calculadora científica • Huincha de medir
Gestión de la clase 6
6 Sara gastó toda su mesada en 5 días. Gastó un promedio de $ 1250 por día. ¿Cuánto gastó en total en los 5 días?
Cantidad promedio de dinero que gastó en cada día = $1250
Número de días = 5
Cantidad total que gastó = $ 1250 5
La cantidad total de dinero que Sara gastó en 5 días fue $ 6250 .
7
7
• Pida a los estudiantes que trabajen en grupos. Entregue a cada grupo una huincha de medir. • Comience esta actividad haciendo las siguientes preguntas a los estudiantes: “¿La gente alta generalmente tiene brazos largos?” “¿Es cierto que la persona más alta de un grupo tiene los brazos más largos?” • Pida a los estudiantes que midan y registren el largo del brazo y la altura de los miembros del grupo y que respondan las preguntas.
= $ 6250
Realiza esta actividad. Trabajen en grupos de 6.
• Asigne a los estudiantes esta pregunta como una práctica guiada.
Usen una huincha para medir el largo del brazo de cada persona y su altura. Registren sus respuestas en una tabla y contesten las preguntas que siguen. Nombre Largo del brazo Altura
a ¿Quién tiene el brazo más largo?
b ¿Quién tiene el brazo más corto?
c ¿Quién es el más alto(a)?
d ¿Quién es el más bajo(a)?
e El largo promedio de los brazos de los 6 estudiantes es
f La altura promedio de los 6 estudiantes es
cm.
cm.
g ¿Es cierto que la persona más alta de un grupo tiene los brazos más
largos? Respuestas varían.
Capítulo 9: Promedio
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Objetivo de la actividad Basándose en las imágenes y las frases numéricas, los estudiantes deberán escribir problemas que involucren la idea de promedio.
Gestión de la clase (Diario matemático) • Se espera que los estudiantes reflexionen acerca de lo que han aprendido en esta sección. Ellos debieran ser capaces de relacionar las imágenes y las frases numéricas para inventar problemas simples que involucren el concepto de promedio. Ejemplo:
D i a ri o m a t e m á t i c o
Observa las frases numéricas y las imágenes que se muestran a continuación. Luego escribe un problema basado en la frase numérica y en las imágenes. a
500 ml 400 ml 300 ml 200 ml 100 ml
a
El volumen total de agua en 4 jarros distintos es 300 ml. ¿Cuál es el volumen de agua promedio en los 4 jarros?
Acepte todas las respuestas correctas.
300 : 4 = 75
b
b
72 3 = 216
Jaime recibió un puntaje promedio de 72 puntos en 3 pruebas. ¿Cuál fue el puntaje total que obtuvo en las 3 pruebas?
Puntaje promedio
c
Los precios de 3 juguetes se muestran a continuación (i) ¿Cuánto cuestan los juguetes en total? (ii) ¿Cuál es el costo promedio de los 3 juguetes?
c
1600 1200 2000 = 4800
$1600 54
$1200
4800 : 3 = 1600
$2000 Capítulo 9: Promedio
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Materiales
Trabajo personal
• Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 9a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 35 a 40.
¡Practiquemos! 9a 1 Encuentra el promedio entre los números, en cada uno de los ejercicios:
a 4, 6, 10, 12, 18 10
b 15, 25, 32 24
c 4, 8, 10, 13, 16 y 21 12
d 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 y 5,5
3,3
2 Encuentra el promedio en cada ejercicio. a $4, $8, $5, $28 y $35 $16
b 12 , 26 , 18 , 27 y 42 25
c 38 m, 46 m, 72 m y 85 m d 4,8 kg, 6,6 kg, 9,8 kg y 14,2 kg 8,85 kg 60,25 m 3 En 4 partidos, un equipo de básquetbol obtuvo un total de 224 puntos. ¿Cuál fue la puntuación promedio del equipo en los 4 partidos? 56 puntos
4 En la suguiente tabla se registró la puntuación de Marcos por cada partido de básquetbol que jugó.
Partidos Puntuación
Primero 12
Segundo 8
Tercero 6
Cuarto 4
Quinto 0
a ¿Cuál fue la puntuación total de Marcos en los 5 partidos que jugó? 30 puntos
b ¿Cuál fue la puntuación promedio de Marcos en los 5 partidos? 6 puntos
5
María compró 18 rollos de cinta. La medida promedio de cada rollo es 22,5 m. Encuentra el largo total de todos los rollos de cinta. 405,9 m
6
El peso total de 22 ladrillos es 52,8 kg. Encuentra el peso promedio de estos ladrillos. 2,4 kg
7
Simón llenó 13 botellas con jugo de mango. En cada botella hay, en promedio, 1075 ml de jugo de mango. ¿Cuál es volumen total de jugo de mango en las 13 botellas? Expresa tu respuesta en litros y mililitros. 13 975 ml
Capítulo 9: Promedio
Cuaderno de Trabajo 5B, p 35, Práctica 1.
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Objetivos: Problemas
Concepto clave
Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta tres pasos que involucren promedios.
Aplicar el concepto de promedio y el concepto parte-todo para resolver problemas que involucren más de un conjunto de elementos.
Habilidades • Analizar las partes y el todo
Gestión de la clase 1
• Este problema implica el uso de los siguientes dos conceptos para resolverlo: (i) Usar la fórmula Suma = Promedio × Número de elementos para encontrar el peso total de 2 mesas, dado el peso promedio de los dos. (ii) Usar el concepto parte-todo en la sustracción para encontrar el peso de la otra mesa. • Primero, dibuje un modelo para representar la información dada en el problema. Luego, úselo para explicar los dos conceptos descritos más arriba. • Luego, trabaje los conceptos: (i) Peso total de las 2 mesas = 16 × 2 = 32 kg (ii) Peso de la otra mesa = 32 – 12 = 20 kg 2
• Asigne a los estudiantes esta pregunta como una práctica guiada. • Indique que este problema involucra 3 elementos en lugar de 2. • Pídales que encuentren la suma usando la fórmula enseñada en 1 . • Indíqueles que dados 2 elementos, encuentren el tercero restando los dos elementos de la suma total.
¡Aprendamos!
Problemas 1 El peso promedio de 2 mesas es 16 kg. El peso de una de las mesas es 12 kg. ¿Cuál es el peso de la otra mesa? 2 16 kg = 32 kg
?
12 kg
Peso total de las 2 mesas = 16 2
Peso de la otra mesa = 32 12
El peso de la otra mesa es 20 kg.
= 32 kg = 20 kg
2 La señora Isabel compró pollo, pescado y camarones en el mercado. El promedio del peso de los tres productos era 6,5 kg. El peso del pollo era 8 kg y el peso del pescado era 4 kg. ¿Cuál era el peso de los camarones que compró la señora Isabel?
Peso total del pollo, el pescado y los camarones = 6,5 3
Peso del pollo y del pescado comprados = 8 4
Peso de los camarones comprados = 19,5 12
La señora Isabel compró 7,5 kg de camarones.
56
= 19,5 kg
= 12 kg
= 7,5 kg
Capítulo 9: Promedio
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 3
3
• Este problema implica el uso de los siguientes conceptos para resolverlo: (i) Usar la fórmula Suma = Promedio × Número de elementos para encontrar el precio total de los 15 libros. (ii) Usar el concepto de parte-todo en la adición para encontrar el precio total de 20 libros, dado el precio de 15 y de 5. (ii) Usar la fórmula Promedio = Suma : Número de elementos para encontrar el promedio, dividiendo el precio total de 20 libros por el número de elementos para encontrar el precio promedio. • Primero, dibuje el modelo para representar la información dada:
Estela compró 20 libros en una feria del libro. El precio promedio de 15 de los libros fue $11 500. El precio total de los otros 5 libros fue $40 500. Encuentra el precio promedio de los 20 libros.
Precio total de 15 libros = $11 500 15 = $172 500
Precio total de los 20 libros = $172 500 $40 500 = $213 000
El precio promedio de los 20 libros fue $10 650.
Precio promedio de los 20 libros = $213 000 : 20 = $10 650
4
Don Mario tenía una flota de 11 camiones. La cantidad promedio de bencina diaria utilizada por los 7 primeros camiones era 10,5 litros. La cantidad total de bencina diaria utilizada por los otros 4 camiones era 28,8 litros. ¿Cuál era la cantidad promedio de bencina utilizada al día por los 11 camiones?
Cantidad de bencina utilizada por los 7 primeros camiones = 10,5 7
= 73,5 Cantidad total de bencina utilizada por los 11 camiones = 73,5 28,8
Precio de 15 libros = ?
$40.500 Precio total de los 20 libros = ?
• Utilice este modelo para explicar los conceptos requeridos para reslver el problema. Luego, desarrolle estos conceptos.
= 102,3
4
Cantidad promedio de bencina utilizada en un día por cada uno de los 11 camiones = 102,3 : 11 = 9,3
• Asigne a los estudiantes esta pregunta como una práctica guiada.
La cantidad promedio de bencina utilizada diariamente por cada uno de los 11 camiones era 9,3 .
Capítulo 9: Promedio
Precio de 5 libros
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• Ayude a los estudiantes a relacionar este problema con el anterior, logrando que los estudiantes vean que son problemasdel mismo tipo.
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Gestión de la clase 5
• Este problema involucra el uso de los siguientes conceptos para resolverlo: (i) El concepto de parte–todo, además de encontrar el peso total de los diarios recolectados por todos los grupos. (ii) El concepto de suma para encontrar el número total de miembros. (iii) La fórmula Promedio = Suma : Número de elementos para encontrar el peso promedio de los diarios recolectados por los miembros del grupo B. • Señale a los estudiantes que este problema también muestra que el promedio de un conjunto de números naturales no tiene que ser necesariamente un número natural (ejemplo: peso promedio = 45 kg : 18 = 2,5 kg).
5 Algunos miembros del Club del Medio Ambiente del colegio participaron en un proyecto de recolección de diarios viejos. La siguiente tabla muestra el peso de los diarios recolectados. Pero el peso total de los diarios recolectados por el grupo B no fué registrado.
Grupo
Número de miembros
Peso total de diarios recolectados (kg)
A
4
9
B
5
?
C
9
23
a El peso promedio de los diarios recolectados por cada uno de los
miembros de los tres grupos fue 2,5 kg. Encuentra el peso total de los diarios recolectados por el Grupo B.
b ¿Cuál fue el peso promedio de los diarios recolectados por el grupo B?
a Número total de miembros en los tres grupos = 4 5
Peso total recolectado por los tres grupos = 2,5 18
= 45 kg
9
= 18
Peso total recolectado por el Grupo B = 45 9 23
El peso total de los diarios recolectados por el Grupo B fue 13 kg.
= 13 kg
b Peso promedio recolectado por los miembros del grupo B = 13 : 5
El peso promedio de los diarios recolectados
por los miembros del grupo B fue 2,6 kg.
58
= 2,6 kg
Capítulo 9: Promedio
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Gestión de la clase 6
• Se requiere que los estudiantes encuentren el peso total de dos animales utilizando la fórmula del promedio. • Dada la diferencia entre los pesos, muestre como usar el método unitario para encontrar el peso de cada animal.
6 Al sacar el promedio entre el peso de un pollo y un pato se obtuvo 5 kg. El peso de el pato es 1,6 kg más que el peso del pollo. Encuentra el peso del pato.
Peso total del pollo y el pato = 2 5 = 10 kg
1,6 kg
Pollo 10 kg Pato
2 partes
10 1,6 = 8,4 kg
1 parte
8,4 : 2 = 4,2 kg
4,2 1,6 = 5,8 kg
El peso del pato es 5,8 kg.
7
• Utilice este problema para evaluar formativamente la habilidad que los estudiantes poseen para aplicar la estrategia anterior. • Ayude a los estudiantes a vincular este problema con el anterior. • Consiga que los estudiantes vean que estos son problemas del mismo tipo (con la misma estructura).
7 El promedio entre las alturas de Esteban y Sergio es 1,75 m. Esteban es 0,3 m más alto que Sergio. ¿Qué estatura tiene Esteban?
Altura total = 1,75 × 2 = 3,5 m 0,3 m Sergio
3,5 m Esteban
2 partes 1 parte
3,5 0,3 = 3,2 m
1,6 m
1,6 0,3 = 1,9 m Esteban tiene una estatura de 1,9 m.
Capítulo 9: Promedio
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Objetivo de la actividad
Materiales
Trabajo personal
Los estudiantes debe deducir que al dividir los mismos enteros en igual número de partes, de distancias medidas, se mantiene el mismo promedio.
• 3 tiras de cinta, cada una de 30 cm. • Regla • Tijeras • Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 9b.
Habilidades • Deducir
Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Esta actividad permite que los estudiantes: (i) investiguen y descubran que la longitud promedio de las 5 piezas recortadas de 3 cintas es la misma, ya que la longitud total de las cintas es la misma. (ii) recuerden la fórmula para encontrar el promedio y refuercen la comprensión del concepto de promedio. • Pida a los estudiantes que completen la actividad y discutan sobre su conclusión. (La longitud promedio debiera ser la misma dado que la longitud de cada cinta al principio es la misma.)
¡Exploremos! Toma 3 tiras de cinta A, B y C, cada una de 30 cm. a Corta la cinta A en 5 partes de distinta medida. Mide la longitud de las 5
partes, luego encuentra su longitud promedio. b Repite este paso con la cinta B, pero corta las 5 partes con una medida diferente a las de la cinta a y luego encuentra su longitud promedio. c Mide y corta la cinta C en 5 partes iguales.
Encuentra su longitud promedio.
Compara las longitudes promedio de a , b y c . ¿Son diferentes? Discute tu respuesta.
¡Practiquemos! 9b Resuelve estos problemas. Muestra tu trabajo claramente. 1 Marisol compró un sandwich de queso y otro de pollo. El precio promedio de los 2 sandwiches fue $1560. El sandwich de queso costó $1465.
a ¿Cuál fue el precio total de los dos sandwiches?
b ¿Cuánto costó el sandwich de pollo?
2
$3120
$1655
Berta y 23 de sus compañeros toman leche todos los días al desayuno. El volumen promedio de leche que cada uno toma todos los días es 750 ml. Berta toma 635 ml de leche todos los días. a ¿Cuál es el volumen total de leche que Berta y sus
compañeros toman todos los días? 18 000 ml
b ¿Cuál es el volumen promedio de leche que cada uno de los
23 compañeros toma todos los días? 755 ml
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Capítulo 9: Promedio
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 3 En la siguiente tabla se muestran los pesos de 5 estudiantes. Pero el peso total de las niñas no se escribió. Estudiantes
Peso total
Niñas
Paula, Daniela
?
Niños
Pedro, Andrés, Sebastián
104 kg
El peso promedio de los 5 estudiantes es 32,8 kg
a Encuentra el peso total de las niñas. 60 kg
b Encuentra el peso promedio de las niñas. 30 kg
4
• En el problema 6 del ¡Practiquemos! 9b se pide discutir con los estudiantes un método alternativo para resolverlo: 0,4 : 2 = 0,2 1,65 + 0,2 = 1,85 (volumen jarro A) 1,65 – 0,2 = 1,45 (volumen jarro B)
El dueño de un restaurant compró 25 botellas de aceite de oliva. El precio promedio de 12 botellas fue $2800. El costo total de las otras 13 botellas fue $44 200.
a Encuentra el precio total de las 25 botellas de aceite. $77 800
b Encuentra el precio promedio de las 25 botellas de aceite. $3112
5 Patricio, Miguel, Tomás y Juan participaron en una competencia de lanzamiento de dardos. El puntaje promedio de Patricio y Miguel fue 78. El puntaje total de Tomás y Juan fue 192. ¿Cuál fue el puntaje promedio de los 4 niños? 87 puntos 6 El volumen promedio de jugo en el jarro A y el jarro B es 1,65 . El jarro A contiene 0,4 más de jugo que el jarro B. Encuentra el volumen de jugo en cada jarro. Jarro A = 1,85 , Jarro B = 1,45 7
El sueldo promedio del Don Carlos y su señora es $273 550. Don Carlos gana $23 300 menos que su señora. ¿Cuánto dinero gana cada uno? Don Carlos = $261 900, Su señora = $285 200
8 Daniel juega todos los días su juego de computador favorito. De lunes a miércoles, su puntaje promedio fue 580 puntos. De jueves a domingo, su puntaje promedio fue 657 puntos. Encuentra su puntaje total de lunes a domingo. 4368 puntos Capítulo 9: Promedio
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 41 a 46.
Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. • Discuta el ejemplo resuelto con los estudiantes para evaluar si han comprendido estos conceptos, habilidades y procesos.
9 Víctor compró tres fi guritas de juguete a un precio promedio de $1240. La primera fi gurita le costó $80 más que la segunda. La segunda fi gurita costó $40 menos que la tercera. ¿Cuál fue el precio de la fi gurita de juguete más barata? $1200 10 Fernanda vendió 4 veces la cantidad de dulces que vendió Luisa en la feria del colegio. Las dos vendieron un promedio de 285 dulces. ¿Cuántos dulces más vendió Fernanda que Luisa? 342 Cuaderno de Trabajo 5B, p 41, Práctica 2.
¡Resumamos!
Has aprendido a: • •
Reconocer que el promedio = Número o cantidad total Número de elementos Reconocer que el número o cantidad total = Promedio × Número de elementos
¡Repasemos! José compró 9 modelos de auto en una feria de juguetes. El precio promedio de 4 de los autos fue $772 mientras que el precio total de los otros 5 autos fue $2627. Encuentra el precio total de los 9 modelos de auto. ¿Cuánto costó cada auto en promedio?
62
Capítulo 9: Promedio
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben usar una lista para adivinar y chequear las respuestas correctas, o usar la deducción e ir de atrás para adelante a partir de los números dados.
Heurísticas para resolver problemas • Hacer una lista sistemáticamente • Suponer y comprobar
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes el “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 47 a 50.
Habilidades • Identificar relaciones
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Primero pida a los estudiantes que anoten la información dada en el problema. • Los estudiantes pueden elegir entre hacer una lista para adivinar y chequear los posibles valores, o usar su comprensión del concepto de promedio para calcular la respuesta correcta.
Precio de los 4 primeros modelos de auto = $772 x 4 = $3088 Por lo tanto, el precio total de los 9 modelos de auto = $3088 + $2627 = $5715 Precio promedio de cada modelo de auto = $5715 : 9 = $635 Los 9 modelos de auto cuestan $5715 en total. Cada modelo de auto cuesta $635 en promedio.
¡Activa tu mente! En unas Olimpiadas Matemáticas, el equipo A y el equipo B tienen el mismo número de estudiantes. El número total de estudiantes en cada equipo es menos de 10. El puntaje promedio de los estudiantes del equipo A es 48 puntos. El puntaje promedio de los estudiantes del equipo B es 62 puntos. El puntaje total del equipo B es 42 puntos más que el del equipo B. Encuentra el número de estudiantes en cada equipo. Número de estudiantes
Puntaje total del equipo A
Puntaje total del equipo B
Diferencia en el puntaje total
5
48 × 5 = 240
62 × 5 = 310
70
4
48 × 4 = 192
62 × 4 = 248
56
3
48 × 3 = 144
62 × 3 = 186
42
ó: 62 – 48 = 14 42 : 14 = 3 El número de estudiantes en cada equipo es 3. Cuaderno de Trabajo 5B, p 47, Desafío.
Capítulo 9: Promedio
Cuaderno de Trabajo 5B, p 49, Piensa y resuelve.
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78
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Promedio
Curso:
14
15
18
108 kg
kg
Capítulo 9: Promedio
¿Cuál es el peso promedio de los niños?
Divide el total por 5. 108 21,6 :5 =
=
(2) Estos son los pesos de 5 niños. 12 kg, 18 kg, 21 kg, 27 kg, y 30 kg. Encuentra el peso total de los 5 niños. 12 18 21
¿Cuál es el promedio de los 4 números?
Divide la suma por 4. 60 :4 =
6
6, 14, 18 y 22
21,6
15
(1) Para estos cuatro números, encuentra su suma.
kg
27
22
=
1
Fecha:
Práctica 1 Calculando el promedio
9
Nombre:
3
35
30
60
6
5
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09-04-13 10:18
36
= 37 + 0 + 67 + 44 = 148 = 148 : 4 = 37
= $8 + $12 + $15 + $29 = $64 = $64 : 4 = $16
(e)
(d)
= 15 + 21,6 + 34 + 48 + 52,2 = 170,8 = 170,8 : 5 = 34,16
= 28,4 + 61 + 19,2 + 43 + 89,7 + 126,56 = 367,86 m = 367,86 : 6 = 61,31 m
Promedio
Total
Capítulo 9: Promedio
= 55,56 + 246 + 100,22 + 34,95 + 97 + 46,5 = 580,23 kg = 580,23 : 6 = 96,705 kg
55,56 kg , 246 kg , 100,22 kg , 34,95 kg , 97 kg , 46,5 kg
Promedio
Total
28,4 m , 61 m , 19,2 m , 43 m , 89,7 m , 126,56 m
Promedio
Total
(c) 15 , 21,6 , 34 , 48 y 52,2
Promedio
Total
(b) $8 , $12 , $15 y $29
Promedio
Total
(a) 37 , 0 , 67 y 44
(3) Encuentra el promedio de estos conjuntos de números o cantidades.
2,4 km 1,5 km
jueves viernes
Capítulo 9: Promedio
Claudio corrió 1,74 km al día, en promedio.
8,7 : 5 = 1,74 km
(b) En promedio, ¿cuántos kilómetros corrió al día?
Claudio corrió 8,7 km en total.
1,2 + 2 + 1,6 + 2,4 + 1,5 = 8,7 km
(a) ¿Cuántos kilómetros corrió en total?
1,6 km
2 km
martes miércoles
1,2 km
lunes
(4) La tabla muestra las distancias que Claudio corrió durante 5 días.
37
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38
15 9 12 18 20 22
2001
2002
2003
2004
2005
2006
El número promedio de trofeos obtenidos por año fue de 16.
96 : 6 = 16
Capítulo 9: Promedio
(b) ¿Cuál fue el número promedio de trofeos obtenidos por año?
El total de trofeos obtenidos en 6 años fue de 96.
15 + 9 + 12 + 18 + 20 + 22 = 96
(a) ¿Cuál es el total de trofeos obtenidos en 6 años?
Número de trofeos obtenidos
Año
(5) La tabla muestra el número de trofeos que un colegio obtuvo en 6 años.
El número promedio de miembros que se unieron al club cada mes fue 42.
504 : 12 = 42
Hay 12 meses desde el principio hasta el final del año.
al club cada mes?
Un club de ajedrez comenzó a reclutar miembros el 1 de enero de 2007. El 31 de diciembre de 2007, el club tenía un total de 504 miembros. ¿Cuál fue el número promedio de miembros que se unieron
Capítulo 9: Promedio
Total de goles
× Promedio = deNúmero de goles partidos
El total de goles convertidos por el equipo fue 88.
4 × 22 = 88 goles
39
(8) El número promedio de goles convertidos por un equipo en un partido fue 4. El equipo jugó 22 partidos en total. ¿Cuál fue el total de goles convertidos por el equipo?
(7)
La cantidad promedio de jugo en los envases fue de 1,25 .
6,25 : 5 = 1,25
(6) La señora Alicia hizo 6,25 . de jugo de naranja y lo vació en 5 envases. Encuentra la cantidad promedio de jugo que tienen los envases.
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40
(11)
(10)
(9)
Capítulo 9: Promedio
La señora Antonia se demoraría 22 hrs y 56 min en hacer 16 de los mismos trajes.
16 × 86 min = 1376 min = 22 hrs 56 min.
La señora Antonia hará los trajes para una obra de teatro escolar. Ella se demora 86 minutos en hacer cada traje. ¿Cuánto se demoraría en hacer 16 trajes iguales? Da tu respuesta en horas y minutos.
El peso total de los duraznos es 8,16 kg.
48 × 0,17 kg = 8,16 kg
Alfredo tiene 48 duraznos en una caja de cartón. El peso promedio de los duraznos es 0,17 kg. ¿Cuál es su peso total?
Su perímetro es 25,5 m.
3 × 8,5 = 25,5 m
Una parcela triangular tiene 3 lados.
El largo promedio de los lados de una parcela triangular es 8,5 m. ¿Cuál es el perímetro?
Curso:
Fecha:
Capítulo 9: Promedio
Don Luis atrapó 33 pescados de viernes a domingo.
El total de pescados que atrapó de jueves a domingo fue 48. 48 – 15 = 33 pescados
4 × 12 = 48
Hay 4 días de jueves a domingo.
(2) Don Luis salió de pesca diariamente de jueves a domingo. En promedio, pescó 12 pescados al día. El jueves pescó 15 pescados. ¿Cuántos pescados atrapó en total, de viernes a domingo?
El puntaje de Dina en la prueba fue 63 puntos.
Puntaje de Dina en la prueba = 210 – 147 = 63 puntos
Puntaje total de Carla y Sara = 65 + 82 = 147 puntos
Puntaje total de las 3 estudiantes = 3 × 70 = 210 puntos
(1) En una prueba, Carla, Sara y Dina obtuvieron un promedio de 70 puntos. Carla obtuvo 65 puntos y Sara obtuvo 82 puntos. ¿Cuántos puntos obtuvo Dina?
Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo en forma clara.
Práctica 2 Problemas
Nombre:
41
82
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42
(4)
Capítulo 9: Promedio
El largo promedio de los 20 trozos de tela es 3,92 m.
12 × 3,62 = 43,44 m Largo total = 43,44 + 34,96 = 78,4 m Largo promedio = 78,4 : 20 = 3,92 m
20 trozos de género.
Nicole compró 20 trozos de tela de diferentes medidas. El largo promedio de 12 de las piezas es 3,62 m. El largo total de las otras 8 piezas es 34,96 m. Encuentra el largo promedio de los
Capítulo 9: Promedio
El volumen total de bencina que el auto gastó de lunes a sábado fue 102 .
4 × 18 = 72 30 + 72 = 102
Hay 4 días de miércoles a sábado.
(b) Encuentra el volumen total de bencina que gastó el auto de lunes a sábado.
El volumen total de bencina que gastó el auto fue 30 .
6,6 : 5 = 1,32 kg
El peso promedio de los 5 gatitos es 1,32 kg.
2 × 15 = 30
43
(a) Encuentra el volumen total de bencina que gastó el auto entre lunes y martes.
(5) Ronaldo manejó su auto todos los días de lunes a sábado. El lunes y el martes, el auto gastó un promedio de 15 de bencina diariamente. Desde el miércoles hasta el sábado, su auto gastó un promedio de 18 de bencina diariamente.
El peso total de los 5 gatitos es 6,6 kg.
2,4 + 4,2 = 6,6 kg
El peso total de 2 gatitos es 2,4 kg.
2 × 1,2 = 2,4 kg
(3) Mónica compró 5 gatitos en la tienda de mascotas. El peso promedio de 2 de los gatitos es 1,2 kg. El peso total de los otros 3 gatitos es 4,2 kg. Encuentra el peso promedio de los 5 gatitos.
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(6)
7
6
3
16
A
B
C
Total
44
Capítulo 9: Promedio
La distancia promedio corrida por cada atleta fue aproximadamente 7,1 km.
114 : 16 = 7,125 km 7,1 km
(b) ¿Cuál fue la distancia promedio corrida por cada atleta? (Escribe tu respuesta con una posición decimal.)
Se recaudaron $28 500 para la donación.
42 + 42 + 30 = 114 km 114 × $250 = $28 500
?
30
42
42
Número total de kilómetros corridos por cada equipo
(a) ¿Cuánto dinero se recaudó para la donación?
Número de atletas
Equipo
$250 a una Fundación de Caridad. La siguiente tabla muestra el número de kilómetros corridos por los atletas de cada equipo.
Tres equipos de atletas participaron en una carrera de beneficencia. Por cada kilómetro que cada equipo completaba, se donaba la suma de
Capítulo 9: Promedio
Peso total de los 2 pollos = 2 × 4,8 = 9,6 kg 9,6 – 1,24 = 8,36 kg 8,36 : 2 = 4,18 kg 4,18 + 1,24 = 5,42 kg El peso del pollo más pesado es 5,42 kg.
45
(8) Javiera compró 2 pollos. El peso promedio de los dos pollos fue 4,8 kg. Uno de los pollos era 1,24 kg más pesado que el otro. ¿Cuál era el peso del pollo más pesado?
Número total de estudiantes en los dos cursos = 2 × 36 = 72 72 – 4 = 68 68 : 2 = 34 estudiantes 34 + 4 = 38 estudiantes El curso A tiene 38 estudiantes y el curso B tiene 34 estudiantes.
(7) El número promedio de estudiantes en dos cursos, A y B, es 36. El curso A tiene 4 estudiantes más que el curso B. ¿Cuántos estudiantes hay en cada curso?
84
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Curso:
Fecha:
46
Álvaro pagó $24 800 por los 5 libros.
= $24 800
Monto total de dinero pagado = $10 400 + $14 400
= $14 400
Precio total del resto de los libros = 3 × $4800
= $10 400
Precio total de 2 libros = 2 × $5200
Capítulo 9: Promedio
Luego, siguiendo los pasos anteriores, encuentra la respuesta al problema en el espacio entregado.
pagado por los 5 libros.
Paso 3: Sumar los dos resultados para encontrar el monto total
Paso 2: Encontrar el precio total del resto de los libros.
Paso 1: Encontrar el precio total de los primeros 2 libros.
Álvaro compró 5 libros en una tienda. El precio promedio de 2 de los libros es $5200. El precio promedio del resto de los libros es $4800. Encuentra el monto total de dinero que pagó Álvaro por los 5 libros.
Escribe los pasos para resolver el siguiente problema.
Diario matemático
Nombre:
Desafío
Curso:
Fecha:
?
3.12 m
Capítulo 9: Promedio
La estatura de Fátima es 1,04 m.
3 partes → 3,12 m 1 parte → 3,12 : 3 = 1,04 m
Fatimah Fátima
Daniel Daniel
Estatura total de Daniel y Fátima = 2 × 1,56 = 3,12 m
47
(2) La estatura de Daniel es 2 veces la de Fátima. La estatura promedio de ambos es 1,56 m. ¿Cuál es la estatura de Fátima?
Método 1: Para que el promedio no varíe, en la tercera prueba María debe obtener un puntaje igual al promedio de la 1ª y 2ª prueba. Método 2: Puntaje total de las dos pruebas = 2 × 60 = 120 Puntaje total de las 3 pruebas = 3 × 60 = 180 180 – 120 = 60 puntos María debe obtener 60 puntos en la tercera prueba.
(1) María obtuvo un puntaje promedio de 60 en 2 pruebas. ¿Qué puntaje debe obtener en la tercera prueba para que el promedio de las tres pruebas sea el mismo que el promedio de las 2 primeras pruebas? (Consejo: debes ser capaz de resolver este problema mediante razonamiento.)
Nombre:
85
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48
$2940
4 partes → $2940 1 parte → $2940 : 4 = $735 3 partes → 3 × $735 = $2205 El dinero de Katy es $2205 y el de Luisa es $735.
Dinero total de Katy y Luisa = 2 × $1470 = $2940
Heather’s salary Luisa
Keith’s salary Katy
Capítulo 9: Promedio
(3) Katy tiene tres veces la cantidad de dinero de Luisa. El promedio es $1470. Encuentra cada una de las cantidades.
Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
?
?
0,15 m Total = 4,35 m
Capítulo 9: Promedio
Andrés tiene una estatura de 1,4 m y Josefina tiene una estatura de 1,55 m.
3 partes → 4,35 – 0,15 = 4,2 m 1 parte → 4,2 : 3 = 1,4 m 1,4 + 0,15 = 1,55 m
Josefina
Bárbara
Andrés
Estatura total = 3 × 1,45 = 4,35 m
49
(1) La estatura promedio de Andrés, Bárbara y Josefina es 1,45 m. Andrés y Bárbara tienen la misma estatura y Josefina es 0,15 m más alta que Andrés. Encuentra la estatura de Andrés y la de Josefina.
Nombre:
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50
?
900
Marcelo tiene 450 estampillas más que Samuel.
4 partes → 900 1 parte → 900 : 4 = 225 2 partes → 2 × 225 = 450
Samuel Sally
Mark Marcelo
Número total de estampillas = 2 × 450 = 900
Capítulo 9: Promedio
(2) Marcelo tiene 3 veces el número de estampillas que tiene Samuel. El número promedio de estampillas que tienen los dos es 450. ¿Cuántas estampillas más tiene Marcelo que Samuel?
BLANCO
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2
2
Horas pedagógicas
Los estudiantes serán capaces de: • comparar las probabilidades de distintos eventos sin realizar cálculos. • dar ejemplos de eventos cuya posibilidad de ocurrir sea mayor que la de otros eventos.
(2) Comparando probabilidades
Los estudiantes serán capaces de: • basándose en un juego o experimento aleatorio, describir la posibilidad de que ocurra un evento usando los términos, imposible, poco probable, bastante probable y seguro. • comparar las probabilidades de distintos eventos, sin realizar cálculos. • usar un diagrama de tallo y hojas para representar información dada.
(1) Describiendo probabilidades
Objetivos
Capítulo 10: Probabilidades
• Libro del Alumno 5B, págs. 67 a 69 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 55 a 57 • Guía del Profesor 5B, págs. 93 a 95
• Libro del Alumno 5B, págs. 64 a 66 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 51 a 53 • Guía del Profesor 5B, págs. 90 a 92
Recursos
omparar C Analizar Evaluar
Comparar
Habilidades
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1
3
Horas pedagógicas
Los estudiantes deben aplicar sus conocimientos sobre probabilidades y realizar predicciones basadas en los datos disponibles.
¡Activa tu mente!
Enfatizar los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo. Discutir el ejemplo práctico con los estudiantes para evaluar si han consolidado estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Los estudiantes deben identificar los errores presentes en el diagrama de tallo y hojas.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • explicar el procedimiento para construir un diagrama de tallo y hojas • completar diagramas de tallo y hojas a partir de datos dados
(3) Diagrama de tallo y hojas
Objetivos
Capítulo 10: Probabilidades
• Libro del Alumno 5B, págs. 75 a 76 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 63 a 64 • Guía del Profesor 5B, págs. 101 a 102
• Libro del Alumno 5B, págs. 70 a 74 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 59 a 61 • Guía del Profesor 5B, págs. 96 a 100
Recursos
Heurísticas para resolver problemas: Suponer y comprobar Representar/dibujar un diagrama
Analizar
Identificar relaciones Analizar Evaluar
Habilidades
Capítulo diez
Probabilidades Objetivos: Describiendo probabilidades Los estudiantes serán capaces de: • basándose en un juego o experimento aleatorio, describir la posibilidad de que ocurra un evento usando los términos, imposible, poco probable, bastante probable y seguro. • comparar las probabilidades de distintos eventos, sin realizar cálculos.
• usar un diagrama de tallo y hojas para representar información dada.
Conceptos claves • La posibilidad de que ocurra un evento se llama probabilidad. • Un resultado es seguro si siempre que se repita el experimento, en las mismas condiciones, se obtiene dicho resultado.
• Un resultado es imposible si se verifica que, pese a repetir el experimento tantas veces como se quiera, nunca se obtiene dicho resultado.
Materiales • 9 bolas rojas y 1 bola amarilla
Habilidades • Comparar
Gestión de la clase 1
• Ponga nueve bolas rojas y una amarilla dentro de una bolsa opaca. Pregunte a los estudiantes “¿cuál creen que será el resultado al sacar una bola sin mirar?” Pida a un voluntario que saque una bola sin mirar y repítalo 5 veces, devolviendo cada vez la bola a la bolsa. Reflexione cada resultado, con sus alumnos.
Probabilidades ¡Aprendamos!
Describiendo probabilidades 1 Mira las bolas de colores. Hay 9 bolas de color rojo y 1 amarilla.
2
• Anote en la pizarra los términos que permiten describir la posibilidad de que un evento ocurra.
Ponemos las bolas dentro de una bolsa. Si sacamos, sin mirar, una bola de la bolsa, ¿de qué color podría ser?
a
• Explique que el término imposible significa que no hay ninguna oportunidad o chance de que el evento ocurra.
Como hay 9 bolas rojas y solamente 1 amarilla, el resultado de sacar una de las bolas puede ser una roja o una amarilla. ¿Es posible que el resultado de sacar una bola desde la bolsa sea una verde?
Sacar una bola verde no es posible, ya que no hay bolas de ese color dentro de la bolsa. 2 Para describir con palabras, la posibilidad de obtener un determinado resultado o evento, podemos utilizar alguno de estos términos: imposible, poco probable, bastante probable y seguro.
64
Capítulo 10: Probabilidades
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Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Cada pareja escribirá los cuatro términos: imposible, poco probable, bastante probable y seguro en distintas tarjetas. Cada estudiante sacará una tarjeta y deberá redactar un suceso utilizando el término de la tarjeta.
Gestión de la clase Por ejemplo: a Sacar una bola de color verde de la bolsa es imposible porque en la bolsa no hay bolas verdes. b Sacar una bola amarilla es poco probable, ya que hay 1 bola amarilla de un total de 10. c Sacar una bola roja es bastante probable, porque en la bolsa hay 9 bolas rojas de un total de 10. d Si eliminamos la bola amarilla de la bolsa, solo quedarán bolas rojas:
b
y
c
• Explique que el término poco probable se utiliza para expresar “pocas oportunidades” y el término bastante probable para expresar “muchas oportunidades”. Demuéstrelo comparando la cantidad de bolas rojas y amarillas. d
Ahora, al sacar una bola de esta bolsa, es seguro que saldrá una roja, ya que todas las bolas son rojas. Para describir la posibilidad de obtener un resultado hemos usado, en estos casos, los términos: imposible, poco probable, bastante probable y seguro.
Realiza esta actividad.
3
Trabaja en pareja.
Supongamos que lanzamos un dado.
a
3
¿Qué números pueden salir? 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. b ¿Cuáles son los números pares que pueden salir? 2, 4 ó 6. c ¿Cuáles son los números impares que pueden salir? 1, 3 ó 5. d ¿A qué apostarías?: ¿A que obtienes 6, o un número menor que 6? ¿Por qué? A un número menor que 6, ya que, de un total de 6 números, hay cinco que son menores que 6.
Capítulo 10: Probabilidades
• Elimine la bola amarilla de la bolsa y solicite al mismo voluntario anterior, que sin mirar, saque una bola de la bolsa nuevamente. Anote en la pizarra el resultado y devuelva la bola. Repítalo varias veces, notando que es seguro sacar una bola roja.Destaque a los estudiantes la diferencia entre este resultado y el obtenido anteriormente cuando en la bolsa había una bola amarilla. • El objetivo de esta actividad es que los estudiantes describan los resultados posibles en un juego al azar.
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 10a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 51 a 53.
¡Practiquemos! 10a 1 Escribe los resultados posibles que se pueden obtener en cada caso.
a Se arroja un dado de 6 caras
b Se elige un estudiante del curso al azar.
c Se elige un mes del calendario al azar.
1, 2, 3, 4, 5, 6. Niño, niña. Acepte otras respuestas como: con lentes, sin lentes.
Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre. d Participas en un partido de fútbol contra otro colegio. Perder, ganar, empatar.
2 Usando las siguientes palabras, escribe una situación que describa la posibilidad de ocurrencia de un resultado: Imposible, poco probable, bastante probable y seguro. Cada palabra puede ser usada una sola vez. Las respuestas pueden variar. 3 Un grupo de cartas con los números 2, 3, 5, 7 y 9 son revueltas y luego se toma una carta al azar. Describe la posibilidad de ocurrencia en cada caso.
a Es poco probable que la carta elegida sea un número par, ya que hay
b Es bastante probable que la carta sea impar, ya que hay 4 cartas con
1 carta par y 4 impares.
números impares de un total de 5 cartas.
c Es imposible que la carta elegida tenga el número
. Las respuestas varían. d Escribe un enunciado usando el término “seguro” para describir una carta elegida. Las respuestas varían. Cuaderno de Trabajo 5B, p 51, Práctica 1.
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Capítulo 10: Probabilidades
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Objetivos: comparando probabilidades Los estudiantes serán capaces de: • comparar las probabilidades de distintos eventos sin realizar cálculos. • dar ejemplos de eventos cuya posibilidad de ocurrir sea mayor que la de otros eventos.
Conceptos claves • Se puede comparar las probabilidades de 2 eventos indicando cual es más probable que el otro o viceversa, cual es menos probable. • Un evento es más probable que otro si tiene más oportunidades de ocurrir.
Habilidades • Comparar • Analizar • Evaluar
Gestión de la clase 1
• Explique a los estudiantes la definición de probabilidad. Muestre cómo se pueden comparar las probabilidades de dos eventos diferentes. Destaque que un evento imposible tiene menos probabilidades que un evento poco probable. Haga lo mismo para las otras descripciones. • La distinción entre eventos imposibles y los que tienen resultados poco probables es, aunque sutil, importante. Explique que mientras un evento tenga oportunidades de ocurrir, aunque estas sean muy pocas, no podemos decir que es imposible. Lo mismo para eventos bastante probables y eventos seguros. • Haga notar que no puede haber un evento que sea menos probable que otro que es imposible, y tampoco puede haber un evento más probable que otro que es seguro. • Explique que el diagrama señala que la probabilidad crece de izquierda a derecha.
¡Aprendamos!
Comparando probabilidades 1 La posibilidad de que ocurra un evento se llama probabilidad. Un evento “bastante probable” tiene más probabilidades de ocurrir que un evento “poco probable”, esto quiere decir que tiene más oportunidades de ocurrir. En un ejemplo anterior, donde teníamos una bolsa con 9 bolas rojas y 1 bola amarilla, podemos decir que sacar una bola roja es más probable que sacar una amarilla. También podemos decir que sacar una bola amarilla es menos probable que sacar una roja.
En el otro ejemplo, donde teníamos una bolsa solo con bolas rojas, sacar una roja sin mirar, es un resultado seguro, en cambio sacar una bola verde es imposible.
Al ordenar las probabilidades de los cuatro eventos anteriores, de menor a mayor probabilidad, nos queda:
Sacar una bola verde de A o B
Sacar una bola amarilla de A
Sacar una bola roja de A
Sacar una bola roja de B
Imposible
poco probable
bastante probable
Seguro
Capítulo 10: Probabilidades
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Actividad adicional
Trabajo personal
Materiales
• Fórmelos en grupos de 4 y entrégueles ruletas en blanco. • Pídales que las pinten según sus indicaciones. • Pídales que anticipen el color más probable y el menos probable que puede resultar al hacerla girar. • Que comprueben sus predicciones, desarrollando los experimentos.
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 10b.
• Círculos divididos en 4 y 8 sectores iguales (ver Apéndice 2, págs. 289 y 290. • Pegamento • Lápices de colores • Chinches de papel • Clips.
Gestión de la clase 2
• Relacione la probabilidad de que la flecha (clip) apunte a un determinado sector con el concepto de área. Si el sector azul tiene un área mayor, es más probable que la flecha apunte hacia ese sector. • Organice a los estudiantes en grupos de cuatro y pídales que construyan una ruleta con 4 sectores iguales y que pinten 3 de color azul y 1 verde. • Cada grupo debe anotar los resultados obtenidos al hacer los giros. • Antes de que hagan girar la ruleta, pida a los estudiantes que anticipen cuál es el resultado más probable de obtener.
2 Veamos otro ejemplo. El siguiente diagrama muestra una ruleta marcada con distintos colores.
Hacemos girar la ruleta una vez. La fl echa apuntará uno de los colores. ¿Cuáles son los resultados posibles? Azul o verde.
Comparemos las probabilidades: dado que hay 3 sectores azules y 1 verde, podemos decir que es más probable que la fl echa apunte un sector azul, y que es menos probable que apunte al verde.
Por lo tanto hay una probabilidad mayor que la fl echa apunte al color azul.
¡Practiquemos! 10b
1 Completa los espacios en blanco: En un curso de 40 estudiantes hay 28 niñas. Se elige a un estudiante al azar. Es más probable que salga niña que niño, ya que hay 28 niñas de un total de 40 estudiantes. 2 La siguiente tabla tiene distintos números. Al elegir un número al azar: 10
38
28
16
3
26
9
77
96
15
4
20
8
12
44
1
68
Capítulo 10: Probabilidades
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 55 a 57.
a ¿Cuántos son los resultados posibles? 16
b ¿Cuántos son los posibles resultados impares? 5
c ¿Cuántos son los posibles resultados pares? 11
d Compara la probabilidad de elegir una casilla con un número par con la
de elegir una con un número impar.
Es menos probable obtener un resultado impar, ya que hay 5 números impares y 11 números pares.
3 Trabaja con un compañero. Dibujen una ruleta con una región roja, una verde y otra azul. Representen en ella que la probabilidad de que salga rojo y azul sea la misma y que el color verde tenga mayor probabilidad que el rojo y el azul. Las respuestas varían 4 En una bolsa hay papeles cada uno con un número del 7 al 19.
a ¿Qué números hay? 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
b ¿Qué es más probable que salga, un número de 1 cifra o de 2 cifras?
Es más probable un número de 2 cifras.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 55, Práctica 2.
Capítulo 10: Probabilidades
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Objetivos: Diagrama de tallo y hojas Los estudiantes serán capaces de: • explicar el procedimiento para construir un diagrama de tallo y hojas • completar diagramas de tallo y hojas a partir de datos dados
Concepto clave • El diagrama de tallo y hojas permite visualizar dónde se concentran los datos.
Habilidades • Identificar relaciones • Analizar • Evaluar
Gestión de la clase 1
• Diga que los datos de la tabla no están organizados y que utilizaremos un diagrama llamado “tallo y hojas” para organizar la información. • Muestre el procedimiento para construir un diagrama de tallo y hojas. Explique cómo identificar el “tallo”: los dígitos comunes que pueden ser agrupados. • Muestre cómo, cada vez que se lleva uno de los datos al diagrama de tallo y hojas, éste se debe tachar, para asegurarse de llevar todos los datos al diagrama y evitar así contar alguno de ellos dos veces, o no contarlo.
¡Aprendamos!
Diagrama de tallo y hojas 1 Estos son los puntajes de una prueba rendida por un grupo de estudiantes. 25
45
36
5
41
30
30
41
48
24
45
30
22
45
40
19
48
40
21
30
El profesor necesita saber en qué decena (10, 20, 30 ó 40) se concentra la mayor cantidad de puntajes.
Para esto, organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas. En este diagrama, los datos se organizan según su valor posicional. Los dígitos correspondientes a la posición de mayor valor se denominan como “tallo”, y los dígitos correspondientes a las unidades se denominan “hojas”. En este ejemplo, el tallo corresponde a las decenas de los números que se muestran en la tabla. Tallo
Hojas
0 1 2 3 4
Estos son los tallos; representan las decenas de los números. 70
Capítulo 10: Probabilidades
96
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Actividad opcional • Para extender hacia el hogar el aprendizaje, solicite a los padres que guarden las boletas de las compras durante algunos meses. Los estudiantes deberán registrar los montos de estas boletas y presentarlos en un diagrama de tallo y hojas. Los padres pueden formular a sus hijos preguntas acerca de la interpretación de los datos presentados en el diagrama.
Gestión de la clase
• Muestre que, contando las hojas, se puede asegurar que están presentes todos los datos originales. • Para hacer evidente la utilidad del diagrama de tallo y hojas, muestre a dos estudiantes la misma información. A uno de ellos preséntesela organizada en un diagrama de tallo y hojas, y al otro sin esta organización. Luego, formule una pregunta que requiere leer los datos presentados. El estudiante con el diagrama de tallo y hojas debería ser capaz de responder más rápidamente. Pida al otro estudiante que comente las dificultades que enfrentó en esta actividad.
Para registrar el número 25, escribimos el dígito 5 a la derecha del 2. Tallo
Hojas
0 1 2
5
3 4
Esta es una hoja. ¡Fíjate que las hojas se anotan en orden creciente!
Este es el registro de todos los puntajes de la prueba. Tallo
Hojas
0
5
1
9
2
1 2 4 5
3
0 0 0 0 6
4
0 0 1 1 5 5 5 8 8
El diagrama de tallo y hojas nos permite ver que los puntajes se concentran en los 40. Podemos obtener más información desde el diagrama. Por ejemplo: Un total de 20 estudiantes rindieron la prueba. El puntaje más alto es 48. El puntaje más repetido es 30. ¿Puedes responder las siguientes preguntas usando el diagrama de tallo y hojas? Si 15 puntos es el mínimo para aprobar, ¿cuántos estudiantes aprobaron la prueba? 19 ¿Cuál fue el puntaje más bajo? 5
Capítulo 10: Probabilidades
71
97
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Uso de tecnología Pida a los estudiantes que busquen en internet registros sobre la cantidad de lluvia caída en alguna ciudad durante el último año. Usando un diagrama de tallo y hojas y con el apoyo de algún programa computacional adecuado, los estudiantes organizan la información y la presentan al curso. Guíe una discusión en clases para que, usando diagramas de tallo y hojas, comparen la cantidad de lluvia caída en distintas ciudades.
Gestión de la clase 2
2 Veamos otro ejemplo. En la siguiente tabla, se muestran los pesos, en gramos, de unas manzanas.
ad • Guíe a los estudiantes para que completen el diagrama de tallo y hojas. Asegúrese que sus datos sean correctamente registrados. a
e
• Desarrolle con sus estudiantes un trabajo de comparación de probabilidades, a partir del diagrama de tallo y hojas. Formule preguntas que permitan ir construyendo el diagrama de probabilidades. • Discuta con sus estudiantes que el diagrama de probabilidades:
tiene un inicio (evento imposible) y un final (evento seguro) • Al lado izquierdo hay una región de eventos poco probables (por ejemplo, elegir una manzana que pese 122 g o una que pese menos que 130 g). poco probable
123
134
122
141
145
130
134
125
129
134
123
143
140
Usa el diagrama de tallo y hojas para organizar los pesos. Tallo 12 13 14
Hojas 2 3 3 5 9 0 4 4 4 8 0 1 3 3 5 En este caso el tallo esta compuesto por centenas y decenas de gramo.
a Completa el diagrama de tallo y hojas.
b ¿Cuántas manzanas hay? 15
c ¿Cuánto pesa la manzana más liviana? 122 g
d ¿Cuál es el peso más repetido? 134 g
e También podemos comparar las probabilidades basándonos en un
• Al lado derecho hay una región en que se ubicarán los eventos bastante probables (por ejemplo, elegir una manzana que pese más de 130 g, o elegir una manzana que pese más de 123 g). bastante probable
143 138
diagrama de tallo y hojas. Si elegimos al azar una de estas manzanas, ¿es más probable elegir una con un peso mayor o menor a 130 g? En el diagrama podemos ver que: 5 de 15 manzanas pesan menos de 130 g. 9 de 15 manzanas pesan más de 130 g. Por lo tanto, es más probable sacar una manzana con un peso mayor a 130 g que una con un peso menor que 130 g. elegir una manzana que pese menos que 130 g.
Imposible 72
poco probable
elegir una manzana que pese más que 130 g.
bastante probable
Seguro
Capítulo 10: Probabilidades
98
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Actividad opcional
Trabajo personal
Solicite a los estudiantes que hagan una lista de eventos que tengan igual probabilidad de ocurrir. Algunos ejemplos comunes pueden ser: obtener cara/sello al lanzar una moneda; obtener determinado número al arrojar un dado, elegir una niña en un curso con la misma cantidad de niños y niñas, etc.
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 10c.
Gestión de la clase f Si elegimos, al azar, una manzana, ¿A qué decena (120 g, 130 g ó 140 g)
es más probable que corresponda? En el diagrama de tallo y hojas, vemos que hay 5 manzanas en cada decena.
En este caso, decimos que es igualmente probable elegir una manzana de cualquiera de los grupos.
¿Puedes nombrar dos eventos que sean igualmente probables de ocurrir? Comparte tu respuesta con tus compañeros. Las respuestas varían
¡Practiquemos! 10c 1 Las edades de un grupo de personas están representadas a continuación.
19 27 30 18 19 17 25 21 19 26 21 23 20 27 29
a Organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas. Tallo
Hojas
1
7 8 9 9 9
2
0 1 1 3 5 6 7 7 9
3
0
ii Encuentra la cantidad total de personas 15
iii Encuentra la edad más frecuente
iv Compara la probabilidad de elegir, al azar, una persona del grupo de 20 con la de elegir a una del grupo de 30 La probabilidad de elegir una persona del grupo de 20, es mayor a la de elegir a una del grupo de 30, ya que hay 9 en el grupo de 20, y solo 1 en el grupo de 30.
• Explique que el término igualmente probable se utiliza cuando, al comparar la posibilidad de ocurrencia de dos o más eventos, se descubre que es la misma. Esto no indica que sus probabilidades sean altas o bajas, solo indica que esos eventos tienen las mismas oportunidades de ocurrir. • Ilustre lo anterior señalando que los eventos “sacar una manzana que pese 130 g” es igualmente probable que “sacar una que pese 140 g” , pero que al describir la probabilidad de cada uno de ellos se puede decir que ambos son “poco probables”, porque dentro de las 15 manzanas, hay 1 que pesa 130 g y 1 que pesa 140 g.
b Basándote en el diagrama de tallo y hojas i Encuentra la mayor edad 30
Capítulo 10: Probabilidades
19
73
99
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben identificar los dos errores presentes en el diagrama de tallo y hojas.
Habilidades • Analizar • Evaluar
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 59 a 61.
Gestión de la clase 1
(Diario matemático) • Solicite a los estudiantes que identifiquen los 2 errores cometidos por Nora al confeccionar el diagrama de tallo y hojas. Esta actividad permite a los estudiantes consolidar su comprensión del uso de diagramas de tallo y hojas para organizar datos.
2 Las temperaturas en una ciudad, en grados Celsius, se muestran en un diagrama de tallo y hojas. Tallo
Hojas
1
3 5 6
2
2 2 4 5 6 7 9
a ¿Cuál es la temperatura del día más caluroso? 29ºC
b ¿Cuál es la temperatura del día más frío? 13ºC
c ¿Es más probable que la temperatura de un día cualquiera esté en el
grupo de los 10 ó de los 20 ºC? Es más probable que esté en el grupo de los 20 ºC, puesto que dentro de ese rango se encuentran 7 días, comparado con 3 que se encuentran en el rango de los 10 ºC. 3 Se lanza una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “cara”? La misma probabilidad que obtener sello. Cuaderno de Trabajo 5B, p 59, Práctica 3.
Diario matemático
1 Nora cometió dos errores en su diagrama de tallo y hojas. Identifícalos y corrígelos. Tallo 1 16
Hojas 56 51 57 0 2 4 0
Nora no ubicó los datos 156, 151 y 157 correctamente, ya que en las hojas debieran ir solo las unidades y además las hojas no están en orden creciente.
74
Capítulo 10: Probabilidades
100
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Gestión de la clase ¡Resumamos! Has aprendido a: • Hacer una lista con los resultados posibles de un juego o experimento aleatorio. • Usar las expresiones imposible, poco probable, igualmente probable, bastante probable y seguro para describir la probabilidad de un resultado. • Dar ejemplos de resultados o eventos en los cuales la probabilidad de que ocurran sea imposible, poco probable, igualmente probable, bastante probable o seguro. • Sin realizar cálculos, comparar las probabilidades de distintos resultados o eventos. • Sin realizar cálculos, dar ejemplos de resultados o eventos cuya probabilidad sea mayor que la de otros. • Explicar cómo se construye un diagrama de tallo y hojas. • Completar e interpretar diagramas de tallo y hojas a partir de datos dados.
(¡Resumamos!) • Repase con los estudiantes los objetivos de la unidad para ayudarlos a verificar si los dominan. • Puede pedir a los estudiantes que piensen en un ejemplo para cada resultado. Luego, presentarán sus preguntas y respuestas en clases. • Guíe a los estudiantes en ¡Repasemos! para comprobar que hayan comprendido los conceptos.
¡Repasemos! Las velocidades, en km/h, de 18 vehículos fueron registradas en la siguiente tabla. El límite de velocidad era de 100 km/h. 70
61
65
70
82
80
70
85
87
63
90
92
60
95
72
62
65
73
a Organiza estos datos en un diagrama de tallo y hoja.
Tallo
Hojas
6
0 1 2 3 5 5
7
0 0 0 2 3
8
0 2 5 7
9
0 2 5
Capítulo 10: Probabilidades
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101
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben aplicar sus conocimientos sobre probabilidades y realizar predicciones basados en los datos disponibles.
Trabajo personal
Habilidades • Analizar
Heurísticas para resolver problemas
• Asigne a sus estudiantes el “Diario matemático” y “Desafío” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 63 y 64.
• Suponer y comprobar • Representar/dibujar un diagrama
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1
• Basándose en un enunciado dado, los estudiantes deben inferir acerca de la posibilidad de elegir una niña de un curso. 2
b A partir del diagrama de tallo y hojas,
i Encuentra la velocidad más alta. 95 km/h
ii Encuentra la velocidad más común. 70 km/h
iii Describe la probabilidad de elegir un vehículo que sobrepasa el límite de velocidad. Imposible
iv Compara la probabilidad de elegir un vehículo que viaje a una velocidad menor a 70 km/h con la de elegir un vehículo que viaje a una velocidad sobre 90 km/h.
• Guíe a los estudiantes para que utilicen la estrategia de Suponer y comprobar, haciendo ensayos en cuanto a la cantidad de bolas, como una manera de ayudarse en el análisis.
La probabilidad de elegir un vehículo que se desplace a menos de 70 km/h es mayor, ya que hay 6 de ellos que cumplen esta condición, en comparación con solo 3 que viajan a más de 90 km/h.
¡Activa tu Mente!
1 Se quiere elegir una niña del curso, sin embargo, esto es imposible. ¿Qué puedes decir acerca de este curso? En el curso no hay niñas, solo niños. 2 Dentro de una bolsa hay igual cantidad de bolas rojas y blancas. Se agregan 6 bolas a la bolsa. Sin embargo, la probabilidad de sacar una bola roja, sigue siendo la misma. ¿De qué color son las bolas que se agregaron? Explica tu respuesta. Se agregaron 3 bolas rojas y 3 bolas blancas. Antes de agregar las 6 bolas, la probabilidad de sacar una roja o blanca era la misma, y como esta probabilidad no cambió, dentro de la bolsa debe haber la misma cantidad de bolas rojas y blancas.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 64, Desafío.
76
Capítulo 10: Probabilidades
102
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103
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Probabilidades
Curso:
1
Fecha:
6
5 3
4
2
3
Capítulo 10: Probabilidades
51
(a) ¿Cuáles son los posibles resultados? 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5. (b) Si la flecha señala un número par, ¿cuáles son los resultados posibles? 2, 2, 4, 4. (c) Que la flecha señale un número mayor a 5 ¿es imposible, poco probable, bastante probable o seguro? Imposible (d) Que la flecha señale un número impar ¿es imposible, poco probable, bastante probable o seguro? Bastante probable
3
(a) ¿Cuáles son los posibles resultados? Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo. (b) ¿Cuáles son los resultados posibles si se elije un día de la “semana escolar”? Lunes, martes, miércoles, jueves, viernes. (2) El siguiente diagrama muestra una ruleta marcada con distintos números. Se hace girar una vez. 1 4 5 5 2 5
(1) Si se elige al azar un día de la semana.
3
5
Práctica 1 Describiendo probabilidades
10
Nombre:
104
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Puedo levantar un camión usando solo un dedo.
A medianoche el cielo estará oscuro.
Hoy voy a almorzar.
Bastante probable
En mi curso hay diez compañeros con la misma fecha de nacimiento.
Seguro
52
manzana
naranja
Capítulo 10: Probabilidades
frutilla
(c) Ordena, de menor a mayor los sabores, de acuerdo a la probabilidad que tienen de salir de la máquina.
Es poco probable que Jorge obtenga un caramelo de manzana, ya que en la máquina solo hay dos de ese sabor de un total de 12.
(b) Describe la probabilidad de que Jorge reciba un caramelo de manzana
(a) ¿Cuántos caramelos de manzana hay en la máquina? 2
(4) Jorge compra un caramelo en una máquina que determina el sabor al azar. La máquina tiene 12 caramelos en total y tres sabores diferentes: tiene 4 de sabor naranja, 6 de frutilla y el resto de manzana.
Poco probable
Imposible
(3) Selecciona la opción que describa la posibilidad de que ocurran los siguientes eventos. Únelos con una línea. Cada opción puede ser usada solo una vez. Chocolate
Vainilla
Capítulo 10: Probabilidades
53
Es la misma probabilidad, ya que de seis resultados posibles, hay tres con un solo sabor y tres con distinto sabor.
(b) ¿Qué es más probable, obtener un helado con sabores distintos o un helado de un solo sabor?
Frutilla - Frutilla Chocolate - Chocolate Vainilla - Vainilla Frutilla - Chocolate Frutilla - Vainilla Chocolate - Vainilla
(a) ¿Cuáles serán los resultados posibles?
Cada niño sacará un papel que determinará el sabor de una bola de helado, luego echará el papel a la bolsa y sacará otro papel para saber el sabor de la otra bola de helado.
Frutilla
(5) La tía Rosa hará helados para sus 6 sobrinos. Cada sobrino recibirá un barquillo con dos bolas de helado. Para ello hará un sorteo y pondrá en una bolsa los siguientes papeles:
105
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BLANCO BLANCO
Curso:
Fecha:
Rosados
Capítulo 10: Probabilidades
55
(b) Si la probabilidad de sacar una bola amarilla es mayor a la de sacar una blanca, y la probabilidad de sacar una bola verde también es mayor a la de sacar una blanca, ¿cuál es el valor de X? 1.
5.
(a) Si es igualmente probable sacar una bola blanca que sacar una que no es blanca, ¿cuál es el valor de X?
(3) Dentro de una caja hay tres bolas de color amarillo, dos de color verde y X de color blanco. Se saca una de ellas de la caja.
Las respuestas varían.
(2) Trabaja con un compañero. Escribe un evento en un papel. Comparen los eventos escritos y discutan acerca de cuál de ellos tiene más probabilidades de ocurrir.
¿Cuál es el resultado más probable? Explica tu respuesta. El resultado más probable es tomar un lápiz de color rojo, ya que de 8 lápices, hay 6 de este color y solo 2 rosados.
Rojos
(1) En una caja se echan los siguientes lápices de cera, se revuelven y se toma uno de ellos al azar.
Práctica 2 Comparando probabilidades
Nombre:
106 2ª Avenida A
56
Capítulo 10: Probabilidades
La probabilidad de llegar a la casa de Julio es mayor si Jaime continúa por la Segunda Avenida que si dobla hacia la Tercera avenida, ya que es posible que luego, doble hacia la izquierda.
(b) Compara la probabilidad de que llegue a la casa de Julio, si Jaime sigue por la Segunda Avenida con la probabilidad de llegar si dobla hacia la Tercera Avenida. Explica claramente tu respuesta.
Imposible.
(a) Si Jaime dobla hacia la derecha en el punto A, es imposible, poco probable, bastante probable o seguro que llegue a la casa de Julio.
3ª Avenida
Casa de Julio
a
(4) Jaime va camino a la casa de Julio. Se detiene en el cruce en el punto A.
1ª Av enid
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09-04-13 10:23
4 5 6 5 4 3 2 1
1+4,4+1,2+3,3+2 1+5,5+1,2+4,4+2,3+3 1+6,6+1,2+5,5+2,3+4,4+3 2+6,6+2,3+5,5+3,4+4 3+6,6+3,4+5,5+4 4+6,6+4,5+5 5+6,6+5 6+6
5 6 7 8 9 10 11 12
Capítulo 10: Probabilidades
Imposible
Poco probable
Bastante probable
57
Seguro
(d) Si ahora se lanzan 3 dados, ¿cuál de las siguientes opciones describe la probabilidad de que el resultado sea 2?
(c) ¿Cuál es el resultado que tiene más probabilidades de salir? ¿por qué? 7, porque es el único que tiene 6 combinaciones que dan esa suma.
(a) ¿Qué es más probable que salga como resultado de un lanzamiento, 4 ó 7? ¿por qué? Es más probable que salga 7, porque de todas las combinaciones posibles, hay 6 combinaciones que suman 7, en cambio solo hay 3 combinaciones que suman 4. (b) ¿Qué resultados tienen la misma probabilidad de salir? 2 y 12, 3 y 11, 4 y 10, 5 y 9, 6 y 8
3
2
1 + 3 ,3 + 1 ,2 + 2
2 + 1 ,1 + 2
3
1
Cantidad de formas
4
1+1
Formas de obtener la suma
2
Suma
(5) Al lanzar 2 dados (uno blanco y otro negro) se obtiene la suma de sus puntuaciones, ¿cuáles son los posibles resultados? Registra los posibles resultados en la siguiente tabla. Sigue los ejemplos.
107
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BLANCO BLANCO
Curso:
Fecha:
3_ 0 20
Joaquín Pablo Natalia Felipe Carolina Macarena Héctor Pamela
3 4 5 6 7 8 9 10
0
3
Capítulo 10: Probabilidades
Los puntajes que faltan en la tabla: 16, 25, 30 y 20
0 0 0 5 7 7
2
Hojas 6 8 9
1
Tallo
Puntajes prueba de Ciencias
_._ 20
19
2_5
27
1_ 6
20
27
18
Paula Daniela
1
Puntos
2
Nombre
Nº
59
(1) A continuación se muestran los puntajes de una prueba de ciencias. Encuentra los datos faltantes.
Práctica 3 Diagrama de tallo y hojas
Nombre:
108
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09-04-13 10:23
60
26
18
35
21
19
22
24
28
20
0 1 2 4 6 7 8 5
2
Capítulo 10: Probabilidades
Es útil porque los números pueden ser agrupados, lo que hace más fácil encontrar donde están concentrados los datos, cuál es el menor y el mayor dato, cuál es el dato que más se repite, etc.
(d) Explica por qué es útil usar un diagrama de tallo y hojas para organizar los tiempos registrados.
Es cierta, ya que de los 10 niños, 9 completaron su tarea antes de media hora.
(c) Es muy probable que algún niño demore menos de media hora para terminar su tarea. ¿Es cierta esta afirmación? Explica tu respuesta.
(b) ¿Cuál es el menor tiempo medido? 18 minutos.
3
8 9
Hojas
1
Tallo
(a) Completa el diagrama de tallo y hojas para organizar estos datos.
27
(2) A continuación, se muestra el tiempo (en minutos) que demora un grupo de niños en terminar su tarea.
0 3 7 0 2 3 3 4 4 5 6 7 1 1 1 2 7 9 0 1
5 6 7 8
Capítulo 10: Probabilidades
61
(i) Encuentra el mayor puntaje. 81 (ii) Encuentra cuántos estudiantes rindieron la prueba. 20 (iii) Compara la probabilidad de elegir al azar a un estudiante que está en el rango de los 60 puntos, con la elegir a un estudiante dentro del rango de los 80 puntos. La probabilidad de elegir a un estudiante que esté dentro del rango de los 60 puntos es mayor que elegir a uno del rango de los 80, debido a que de los 20 estudiantes, son 9 los que se encuentran en el primer rango mencionado y solo 2 se encuentran en el segundo. (4) Realiza una encuesta para averiguar cuantas horas a la semana pasan tus compañeros jugando videojuegos. Organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas. Describe qué tan probable es elegir al azar a un compañero que ocupe más de 5 horas a la semana con videojuegos Las respuestas varían.
(b) Basándote en el diagrama de tallo y hojas:
Hojas
Tallo
(a) Organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas.
50 80 67 71 53 65 63 71 81 66 60 72 57 63 64 71 77 79 62 64
(3) Los siguientes datos son los puntajes de una prueba de matemáticas.
109
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BLANCO BLANCO
Curso:
Fecha:
9 113
18 19
Capítulo 10: Probabilidades
63
Es incorrecto porque: El 1er dato es que hay una fruta de 170 g, el 2do dato es que hay una fruta de 189 g, el 3er y 4to dato es que hay 2 frutas que pesan 191 g, el 5to dato es que hay una fruta que pesa 193 g.
¿Es correcto lo que dice Carolina? ¿Por qué?
Carolina ha interpretado este diagrama de la siguiente manera: (a) No hay frutas que pesen 17 g. (b) Hay 9 frutas que pesan 18 g. (c) hay 5 frutas que pesan 19 g.
0
Hojas 17
Tallo
(2) Observa el siguiente diagrama de tallo y hojas referente a los pesos de algunas frutas en gramos (g).
Está en lo correcto, porque como hay solo una bola negra, sería imposible sacar dos de ese color y por lo tanto, es seguro sacar siempre dos blancas. Puede sacar tres blancas o dos blancas y una negra.
(1) Daniel dice que si saca 3 bolas de la bolsa, es seguro que dos de ellas sean blancas. ¿Qué opinas de eso? Justifica tu respuesta.
Diario matemático
Nombre:
110
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Desafío
Curso:
Fecha:
64
calle Manzana
calle Pera
calle Durazno
calle Uva
Capítulo 10: Probabilidades
calle Mango
T
(a) Si Bárbara gira a la izquierda hacia calle Manzana, es imposible que encuentre el tesoro. (b) Si Bárbara gira a la derecha desde calle Durazno hacia calle Uva, la probabilidad de encontrar el tesoro es mayor a que si sigue avanzando por calle Durazno. (c) Si Bárbara dobla a la derecha desde calle Pera hacia calle Mango, es seguro que encontrará el tesoro
Pistas:
(1) Usando las siguientes pistas, ayuda a Bárbara a encontrar el tesoro. Marca con una T la ubicación del tesoro en el mapa.
Nombre:
111
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Los estudiantes serán capaces de: • dadas las coordenadas como pares ordenados, identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano. • escribir las coordenadas de los vértices de figuras geométricas que fueron dibujadas en un plano cartesiano.
(3) Localización de un punto en el plano cartesiano
3
• Libro del Alumno 5B, págs. 82 a Comparar 85 Analizar • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 71 a 73 • Guía del Profesor 5B, págs. 118 a 121
omparar C Analizar
(2) Localización de objetos en puntos de una • Libro del Alumno 5B, págs. 80 cuadrícula a 81 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. Los estudiantes serán capaces de: 69 a 70 • usar coordenadas informales (letras y/o números) para • Guía del Profesor 5B, págs. describir la localización absoluta de un objeto en un 116 a 117 punto de una cuadrícula.
2
Habilidades nalizar A Interpretar
Recursos
(1) Localización de un objeto en un sector de una • Libro del Alumno 5B, págs. 77 cuadrícula a 79 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. Los estudiantes serán capaces de: 65 a 67 • usar coordenadas informales (letras y números) para • Guía del Profesor 5B, págs. describir la localización absoluta de un objeto en una 113 a 115 región de un mapa o cuadrícula. • describir la ubicación de un objeto en relación a otros.
Objetivos
2
Horas pedagógicas
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
112
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1
1
Horas pedagógicas
Repaso 5
Los estudiantes deben conocer como se llegó a un punto en una cuadrícula siguiendo una trayectoria y saber aplicarlo en sentido inverso para encontrar el punto de partida.
¡Activa tu mente!
Destacar los conceptos claves, habilidades y procesos que se han enseñado en este capítulo. Discutir el ejemplo práctico con los estudiantes para evaluar si han consolidado estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Los estudiantes deben identificar puntos marcados en el plano cartesiano que no corresponden a los pares ordenados dados.
Diario matemático
Objetivos
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
• Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 77 a 82
Comparar Analizar
• Libro del Alumno 5B, págs. 87 a 89 • Guía del Profesor 5B, págs. 123 a 125
Heurística para resolver problemas: Trabajar de atrás hacia adelante
Comparar Analizar Evaluar
Habilidades
• Libro del Alumno 5B, págs. 86 a 87 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 75 a 76 • Guía del Profesor 5B, págs. 122 a 123
Recursos
Capítulo once
Localización y plano cartesiano Objetivos: Localización de un objeto en un sector de una cuadrícula
• describir la ubicación relativa de un objeto en relación a otros.
Los estudiantes serán capaces de: • usar coordenadas informales (letras y números) para describir la localización absoluta de un objeto en un sector de un mapa o cuadrícula.
• La localización absoluta de un objeto requiere el uso de coordenadas que están referidas a un mapa simple o cuadrícula. • La localización relativa de un objeto toma como referencia a otros objetos del lugar.
Conceptos claves
Habilidades • Analizar • Interpretar
Materiales • Mapa de zoológico con y sin valores de referencia (ver Apéndice 3, págs. 291 y 292).
Gestión de la clase 1
Localización y plano cartesiano ¡Aprendamos!
Localización de un objeto en un sector de una cuadrícula 1 La siguiente cuadrícula representa el mapa con la ubicación de los animales en un zoológico. 5
La localización de cada sector en el mapa se puede describir usando una letra acompañada de un número. Observa la posición de los animales.
Entrada
4 3 2 1 A
B
C
D
E
El sector donde se ubican los elefantes se describe como A2, ya que está en la columna A y en la fi la 2.
El sector donde se ubican las jirafas es C1 ya que está en la columna C y en la fi la 1 .
A2 y C1 son localizaciones y nos indican la posición de los animales en la cuadrícula.
Para describir la ubicación de un sector, primero se nombra la columna y luego la fi la.
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
• Esta actividad tiene dos partes. 1ª parte: solicite 2 voluntarios que pasen adelante. Uno de ellos recibe el mapa del zoológico con sus animales, pero dicho mapa no tiene las letras ni los números de referencia. El otro estudiante tratará de ir dibujando en una cuadrícula vacía (en la pizarra) los animales según la ubicación que le indique su compañero. 2ª parte: Pásele ahora al primer voluntario un mapa del zoológico que tiene los números y letras de referencia. El otro estudiante tendrá ahora la cuadrícula dibujada en la pizarra también con los valores de referencia. Repita bajo estas condiciones, la actividad de la primera parte. • Pida a los estudiantes que discutan sobre las dificultades que tuvieron al usar una cuadrícula con y sin los valores de referencia. • Comente con ellos que si no estuviera la cuadrícula, se podría dar la ubicación relativa de un objeto en relación a otro, por ejemplo: los elefantes están a la izquierda de las jirafas.
77
113
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Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Cada estudiante tendrá una hoja cuadriculada (Cuadrícula de 10 × 10, con columnas de A a J y filas de 1 a 10). Deben pintar 10 cuadros cualquiera para señalar las “trampas”, y usando un color distinto, deben pintar 1 cuadro que represente la localización del tesoro. El objetivo del juego es adivinar donde se encuentra escondido el tesoro. Por turnos, los estudiantes mencionan una referencia de la cuadrícula y si ésta coincide con el cuadro de alguna trampa, se responde
diciendo ¡Trampa! y se resta un punto. Se repite hasta encontrar el tesoro. Quien encuentre primero el tesoro de su compañero, obtiene 10 puntos. Gana el estudiante que consiga el mayor puntaje en un tiempo dado.
Materiales • Hoja cuadriculada de 10 columnas y 10 filas marcadas con letras y números respectivamente (ver Apéndice 4, pág. 293)
Gestión de la clase 2
• El propósito de esta actividad es que los estudiantes describan la ubicación de un objeto en relación a otros y el trayecto a seguir para ir de uno a otro. • Asegúrese que los estudiantes comprendan una instrucción dando la izquierda o la derecha como referencia y que lo demuestren girando hacia la dirección que corresponde.
a Los monos están en el sector C5 , ya que están en la columna C y
en la fi la 5 .
b Los tigres están en el sector D3 , ya que están en la columna D y
en la fi la 3 .
c Las cebras están en el sector E4, ya que están en la columna E y
en la fi la 4 .
2 La siguiente imagen muestra un mapa.
6 5 4 3 2 1 A
78
B
C
D
E
F
G
H
I
a Marta quiere ir al parque siguiendo el camino azul. Usando tu dedo,
sigue la ruta que tomará Marta. Partiendo desde A1, avanza 3 cuadros hacia la derecha. Luego, en D1 gira un cuarto de vuelta hacia la izquierda y avanza 5 cuadros. Finalmente, en D6 gira un cuarto de vuelta hacia la derecha y avanza 3 cuadros para llegar al parque. Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 11a. • Asigne la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 65 a 67.
b Si Marta quiere llegar a la escuela partiendo de A1. ¿Puedes darle las
indicaciones necesarias para que siga el camino amarillo? Usa las palabras del recuadro para ayudarte. Izquierda
Derecha
Avanza
1.
Desde A1, avanza 3 cuadros hasta llegar a A4.
2.
Dobla a la derecha
3.
Gira hacia la derecha y avanza 1 cuadro.
4.
Finalmente, gira hacia la izquierda y avanza 3 cuadros hasta llegar a la escuela en I 3 .
Ahora Marta quiere ir desde la escuela hasta el centro, y para ello, siguió las instrucciones de más abajo. Pinta en el mapa la ruta que siguió.
Comenzando desde I 3, Marta avanzó 2 cuadros hasta llegar a I 1. Luego, giró a la derecha y avanzó 4 cuadros hasta llegar al Centro Comercial en E1.
y
avanza 5 cuadros hasta F4.
¡Practiquemos! 11a 1 La siguiente imagen muestra el orden de los asientos en un teatro. 6 5
C
4 3 2 1
D F
I
J
K
L
M
N
se debe sentar? Marca con una C el asiento de Cristina.
b Daniela está sentada en el cuadro marcado con la letra D. Describe la
H
a Cristina compró una entrada que corresponde al asiento G4. ¿Dónde
G
localización de Daniela. M1
c Eduardo compró las entradas de los asientos pintados en azul.
Describe la ubicación de estos asientos, asignándoles una letra y un número a cada uno. H2 e I 2
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
Cuaderno de Trabajo 5B, p 65, Práctica 1.
79
115
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Objetivos Localización de objetos en puntos de una cuadrícula Los estudiantes serán capaces de: • usar coordenadas informales (letras y/o números) para describir la localización absoluta de un objeto en un punto de una cuadrícula.
Concepto clave • Localizar un punto en una cuadrícula.
Habilidades • Comparar • Analizar
Gestión de la clase 1
• Pida a los estudiantes que observen ambas cuadrículas y que las comparen. Explique que en el primer caso los objetos están ubicados en la intersección de dos superficies, en cambio, en la segunda cuadrícula los objetos se ubican en el punto de intersección de dos líneas. • Destaque que en la primera cuadrícula las letras y números cumplen el rol de nombrar una columna y una fila, en cambio en la segunda, las letras nominan las líneas verticales y horizontales. • Dígales que por convención se nombran primero las letras que están en posición horizontal y que designan a las líneas verticales.
¡Aprendamos!
Localización de objetos en puntos de una cuadrícula 1 6 5 4 3 2 1 A
B
C
D
E
F
G
H
I
Linda describe la ubicación de la cascada y del puente como A4 y H2 respectivamente. Sin embargo, no puede defi nir en qué sector está ubicado el faro. Para describir la ubicación del faro debemos defi nir el punto en que se intersectan las líneas de la cuadrícula.
Ñ N M L K J J
80
K
L
M
N
Ñ
O
P
Q
Para ello, ahora debemos asignar nombres a las líneas horizontales y a las verticales de la cuadrícula. Entonces, la ubicación del faro es NM.
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
116
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Uso de tecnología • Usando un programa de dibujo del computador, pídales que hagan un mapa sencillo de la escuela en una cuadrícula. Pídales que identifiquen claramente la ubicación de varios lugares importantes de la escuela y sus coordenadas.
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 69 a 70.
Gestión de la clase 2
Para definir la localización de un objeto se debe dar como referencias, en primer lugar, la línea vertical y en segundo lugar, la línea horizontal. Por ejemplo:
La ubicación del árbol es LL .
La ubicación de la cabaña es NK . 2 La siguiente cuadrícula representa el mapa de un supermercado. Describe la ubicación de cada producto. G
• Pida a sus estudiantes que resuelvan esta actividad para practicar lo aprendido. • Pídales que opinen sobre la exactitud de la ubicación relativa de un objeto, en comparación a la ubicación absoluta de él, por ejemplo: en el mapa del supermercado, la pasta dental esta “a la izquierda de las frutas”, versus decir que “está en DF”.
F E D C
P
B A
A
B
C
D
E
F
a La ubicación de la pasta dental es DF .
b La ubicación de los lácteos es CB .
c La ubicación de las bebidas es AE .
d La ubicación de las frutas es GF .
e Ubica la panadería en el punto FB colocando una P.
G
Cuaderno de Trabajo 5B, p 69, Práctica 2.
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
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Objetivos: Localización de un punto en el plano cartesiano Los estudiantes serán capaces de: • dadas las coordenadas como pares ordenados, identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano. • escribir las coordenadas de los vértices de figuras geométricas que fueron dibujadas en un plano cartesiano.
Concepto clave
Nota
• Localizar puntos en el plano cartesiano implica referirse a la intersección de líneas verticales y horizontales
• Dado que los estudiantes aún no conocen los números negativos, no es conveniente hablarles de cuadrantes.
Habilidades • Comparar • Analizar
Gestión de la clase 1
• Muestre a los estudiantes los componentes del plano cartesiano. • Dígales que el Eje x es la línea horizontal principal, y el Eje y es la línea vertical principal. • Explique que cada eje es una recta numérica. • Dígales que el punto de intersección entre el Eje x y el Eje y se representa con el par ordenado (0,0) y que, además, se le denomina Origen.
¡Aprendamos!
Localización de un punto en el plano cartesiano 1
Eje y Un plano cartesiano está enmarcado por una línea horizontal y una línea vertical, llamadas eje x y eje y respectivamente. El punto de intersección es el origen.
Eje x
0 Origen
Cada eje representa una recta numérica. En este plano, el eje x está graduado del 1 al 5 y el eje y del 1 al 6. El 0 es un punto común a ambos ejes. Eje y 6 5 4 3 2 1
0 82
1 2 3 4 5
Eje x
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
118
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Actividades opcionales • Pida que investiguen el significado de latitud y longitud y que un voluntario los explique al curso utilizando un globo terráqueo. • Pida a sus estudiantes que en una cuadrícula ubiquen los puntos siguientes:
Uso de tecnología • Averiguar en Internet el significado de GPS, en qué está basado y los usos que actualmente tiene.
1 1 1 1 P( 1 2 , 2 2 ), Q (3 4 , 4 2 ) 3 1 1 1 R( 2 , 5 2 ), S (3 4 , 5 4 )
Gestión de la clase 2
2 La posición de un punto en el plano cartesiano se describe usando dos valores, (x, y), que son llamados coordenadas. El primer número x, se refiere a la distancia horizontal del punto a partir del origen. Es llamada coordenada x. El segundo número, y, es la distancia vertical del punto a partir del origen. Es llamada coordenada y. Debido a que se usa un orden específico para representar las coordenadas, primero la horizontal y luego la vertical, estas son llamadas pares ordenados. Eje y Para llegar a "P" hay que caminar primero desde 0 hasta x (camino horizontal) y luego desde x hasta y (camino vertical).
P (x, y)
y
• Coménteles que las coordenadas geográficas se utilizan para dar la posición de lugares ubicados en la superficie terrestre.
Distancia vertical al origen Origen
0
Eje x
x Distancia horizontal al origen. Eje y
• Discuta con los estudiantes el hecho que si los Ejes x e y son rectas numéricas, se podrían ubicar puntos del plano cartesiano con coordenadas fraccionarias. Ejemplo:
E
×
6
C
×
5 4
B ×
3
4
D×
1
0
Eje y
A ×
2
3
Eje x
A
2
1 2 3 4 5
1
El punto A es un punto que queda 1 unidad a la derecha del origen, en la dirección del eje x, y 2 unidades hacia arriba del origen en la dirección del eje y. Las coordenadas de A son el par ordenado (1, 2).
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
• Explique a los estudiantes la convención usada para nombrar un par ordenado. Destaque que el primer número, x, se debe referir la posición horizontal a partir del origen, y que el segundo número, y, debe referirse a la posición vertical a partir del origen.
0 83
1
2
3
4
Eje x
Las coordenadas del punto A 1 1 son: ( 3 2 , 2 2 )
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Actividad opcional
Trabajo personal
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 11b.
• Pida a los estudiantes que investiguen en qué otra situación se usan pares ordenados. Inicie un debate en clases para que los estudiantes compartan lo que encontraron en su investigación. Esto ayuda a los estudiantes a encontrar sentido en los conceptos aprendidos.
El punto B es un punto que queda 3 unidades a la derecha del origen, en la dirección del eje x, y 3 unidades hacia arriba del origen, en la dirección del eje y. El par ordenado que permite encontrar B es (3, 3).
El punto C es un punto que queda 2 unidades a la derecha del origen, en la dirección del eje x, y 5 unidades hacia arriba del origen en la dirección del eje y. El par ordenado que permite encontrar C es 2,5 .
El punto D es un punto que queda 4 unidades a la derecha del origen, en la dirección del eje x, y 1 unidad hacia arriba del origen en la dirección del eje y. El par ordenado que permite encontrar D es 4,1 .
El punto E es un punto situado 5 unidades a la derecha del origen, en la dirección del eje x, y 6 unidades hacia arriba del origen, en la dirección del eje y. Este par ordenado es 5,6 . Marca el punto E en el plano cartesiano.
¡Practiquemos! 11b 1 Los siguientes pares ordenados indican los vértices de una fi gura geométrica. Localiza los puntos en el plano cartesiano y dibuja los lados para formar la fi gura:
A (2,3), B (4,6), C (8,6) y D (9,3). Eje y
B
6
C
5 4
A
3
D
2 1
0
84
Eje x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nombra la fi gura formada por los puntos A, B, C y D.
Trapecio
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
120
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs: 71 a 73.
2 Encuentra los pares ordenados que indican la posición de los vértices A, B y C del siguiente triángulo. Eje y 8 7 6
B
5 4 3
C
2 1
A 0
1
2
3
Eje x 4
5
6
7
8
A(3,0) , B(5,5) , C(7,2) 3 Dibuja los puntos A(2,6), B(4,3) y C(2,0) en un plano cartesiano. Marca y denomina las coordenadas del punto D de manera que ABCD sea un rombo. Eje y
A
6 5 4 3
B
D
2
D(0,3)
1
C 0
1
2
Eje x 3
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
4
5
Cuaderno de Trabajo 5B, p 71, Práctica 3.
85
121
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Objetivo: Los estudiantes deben identificar puntos marcados en el plano cartesiano que no corresponden a los pares ordenados dados.
Habilidades • Analizar • Comparar • Evaluar
Gestión de la clase (Diario matemático) 1
• Pida a los estudiantes que identifiquen los pares ordenados que están incorrectamente representados en el plano cartesiano. Este ejercicio permite que los estudiantes consoliden su comprensión acerca de la identificación de puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano.
Diario matemático
1 ¿Cuáles de los siguientes puntos están incorrectamente marcados en el plano cartesiano? Encierra en un círculo los incorrectos y luego, indica su localización correcta en el plano cartesiano.
a (5,3)
b (2,6)
c (4,2)
d (3,0)
e (0,7)
f (3,1)
g (4,4)
h (1,2)
i (6,3)
j (7,0)
• Pida a los estudiantes que indiquen la localización correcta. Este ejercicio permite que los estudiantes consoliden su comprensión de la localización de un objeto en el plano cartesiano.
Eje y
e ×
7
×
6
b
5 4
×
3
×
d
× ×
2
g
h
×
f
×
a
×
c
×f
1
j
d
0
86
i
1
2
× 3
4
5
6
× 7
j × 8
Eje x
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
122
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Gestión de la clase (Diario matemático) 2
2 Sandra quiere ir primero al mercado y después a la iglesia.
• Solicite a los estudiantes que identifiquen la indicación incorrecta. Este ejercicio permite que los estudiantes consoliden su comprensión sobre la descripción de la localización de un objeto en relación a otros.
6 5 4 3 2 1 A
B
C
D
E
F
G
H
I
En las indicaciones que se le entregaron hay un error. ¡Encuéntralo y corrige las indicaciones! Indicaciones:
a Comenzando desde A1, avanza 5 cuadros.
b Luego, en A6 gira hacia la derecha y avanza 3 cuadros. Habrás llegado
al mercado.
c Desde el mercado, dobla hacia la derecha y avanza 1 cuadro. d Finalmente, gira a la izquierda y avanza 4 cuadros para llegar a la
iglesia.
El error está en la instrucción d. Debe decir avanza 3 cuadros.
¡Resumamos! Has aprendido a: • Describir la ubicación de un objeto en un sector o en un punto de un mapa usando coordenadas informales (letras y números) • Describir la ubicación de un objeto con respecto a otros • Escribir las coordenadas de un punto dado en el plano cartesiano • Identifi car y marcar puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
87
123
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Gestión de la clase (¡Repasemos!) • Destaque los conceptos claves, habilidades y procesos que se han enseñado en este capítulo. • Pida que resuelvan el ejercicio de ¡Repasemos! para confirmar que los estudiantes han comprendido los conceptos.
¡Repasemos! La imagen muestra el mapa de una isla. Los puntos marcados como T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 y T8 representan trampas que deben ser evitadas. Eje y 8 T5
T2
×
7
×
6
×
5
T1
× T8
4
× T7
T4
×
3
×
T6
×
2 1
S (0,0) 0
1
2
T3
Eje x 3
4
5
6
7
8
a Sandra se encuentra en el origen. Marca e identifi ca las
coordenadas del punto S en el plano cartesiano. b Escribe las coordenadas de las trampas. T1 3,5 T2 8,7 T3 2,0 T4 7,3
88
×
×
T5 4,7 T6 1,2 T7 5,3 T8 6,4
c El tesoro se encuentra escondido en el punto (8,5). Marca
con una X la localización del tesoro.
d Da indicaciones precisas sobre cómo debería avanzar
Sandra, por las líneas hacia el tesoro sin caer en ninguna trampa. Las respuestas varían
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
124
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Objetivos
Heurística para resolver problemas
Los estudiantes deben conocer como se llega a un punto en una cuadrícula siguiendo una trayectoria y saber cómo aplicarlo en sentido inverso para encontrar el punto de partida.
• Trabajar de atrás hacia adelante.
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 75 a 76.
Habilidades • Comparar • Analizar
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1
• Sugiera a los estudiantes que utilicen la heurística de trabajar de atrás para adelante, al realizar su análisis. Para aquellos estudiantes que presenten dificultades, dibuje la cuadrícula en el piso y permítales explorar las indicaciones.
¡Activa tu mente! 1 Para llegar a la cueva, Samuel siguió las indicaciones de más abajo. Encuentra su punto de partida.
6 5 4 3
P
2 1 A
B
C
D
E
F
G
Indicaciones para llegar a la cueva: a Avanza 2 cuadros. b Gira a la derecha y avanza 1 cuadro.
d Gira a la derecha y avanza 2 cuadros.
El punto de partida de Samuel fue: H 2 . y estaba mirando hacia los cerros.
H
I
c Dobla hacia la izquierda y avanza 4 cuadros.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 75, Diario matemático.
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
89
125
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126
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09-04-13 10:26
Fecha:
Localización y plano cartesiano 1
Curso:
A
B
roja
C
D
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
(d) La estrella amarilla está G5.
(c) La estrella azul está en D4.
(b) La estrella roja está en A3.
E
azul
(a) La estrella verde está en I 1.
1
2
3
4
5
6
F
G
H
amarilla
I
verde
(1) Pinta las estrellas con los colores que corresponda, según las localizaciones descritas a continuación.
3
65
6
5
Práctica 1 Localización de un objeto en un sector de una cuadrícula
11
Nombre:
127
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09-04-13 10:26
66
A
B
Rey
C
D
T
E
F
Reina
G
P
H
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
(h) Un peón está ubicado 5 cuadros a la derecha y 3 hacia abajo del Rey. Marca con una P la posición del peón.
(g) Una torre está en la columna D y en la fila 3. Por lo tanto, está D3 . Marca con una T la posición de esa ubicada en el cuadro ____ torre.
(f)
Describe la ubicación del Rey y la Reina. B5 y F7
columna A (e) La descripción A8, indica el cuadro que ubicado en la _______ fila y en la _______ 8.
1
2
3
4
5
6
7
8
(2) La siguiente imagen muestra un tablero de ajedrez.
B
C
D
E
F
G
Cafetería
H
I
Centro comercial
67
(d) Rafael quiere ir desde la Cafetería hasta la Torre del reloj. Planea una ruta con instrucciones específicas y márcala en el mapa. Las respuestas varían.
(c) Para llegar desde el Centro Comercial hasta la Cafetería, Rafael siguió esta ruta: En I 5, dobló hacia la derecha y avanzó __ 2 cuadros hasta llegar a ___. G5 Luego, dobló hacia la izquierda y avanzó 4 cuadros hasta llegar a la Cafetería en ___. G1 Pinta en el mapa la ruta.
(b) Rafael quiere llegar desde la estación del Metro hasta el Centro Comercial. ¿Puedes darle las indicaciones para que siga el camino gris? Indicaciones: _______ avanza 2 cuadros hasta llegar a ___. E6 Dobla hacia la _______ derecha y avanza ___ 4 cuadros hasta llegar derecha y avanza 1 cuadro para llegar al a I 6. Luego, gira hacia la _______ Centro Comercial en I 5.
(a) La estación del Metro está en ____. E4
A
Torre del reloj
Estación del Metro
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
1
2
3
4
5
6
(3) La siguiente ilustración muestra el mapa del entorno cercano a una estación del Metro.
128
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09-04-13 10:26
BLANCO BLANCO
Curso:
Fecha:
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
A
B
C
D
E
(a) Los plátanos que están en A. (b) Las naranjas que están en D.
(2) Dibuja las frutas en la cuadrícula siguiente, según su ubicación:
B (a) Las frutillas están ubicadas en _____ (b) Las piñas están ubicadas en _____ C (c) Las manzanas están ubicadas en _____ E
A
B
C
D
E
(1) La siguiente cuadrícula representa la ubicación de las frutas en un mercado. Escribe la ubicación de cada fruta.
Práctica 2 Localización de objetos en un punto de una cuadrícula
Nombre:
69
129
PSL_TG_5B_C11b.indd 129
09-04-13 10:27
A
× B
×
C
×
D
×
70
T
U
V
W
P
Q
S
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
R
son: PW, SW, ST, PW? Se forma un triángulo rectángulo
(4) ¿Qué figura se forma en la cuadrícula al unir los puntos cuyas localizaciones
E
F
G
H
¿Qué observas al unir los puntos? Una línea diagonal.
(d) DH
(c) CG
(b) BF
(a) AE
(3) Completa la siguiente cuadrícula con las localizaciones que se indican.
Curso:
Fecha:
A
1
×
B 2
3
4
×
C
5
6
Eje x
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
(b) Encuentra el área de la figura. 2 unidades cuadradas
71
(a) Localiza los puntos en un plano cartesiano y dibuja los lados para formar la figura. Nombra la figura formada por los puntos A, B y C. Triángulo
0
1 ×
2
3
4
5
6
Eje y
(1) Los siguientes son los pares ordenados que indican donde están los vértices de una figura geométrica: A (0, 1) B (1, 1) C (4, 5)
Práctica 3 Localización de puntos en el plano cartesiano
Nombre:
130
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09-04-13 10:27
72
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Eje y
(a) (2, 4) (c) (1, 3) (e) (6, 2)
1
A ×
B A C
2
×
B
3
4
6
C ×
7
8
×
E
9
D E
Eje x
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
5
D ×
(b) (5, 6) (d) (8, 7)
(2) Completa cada par ordenado con la letra que corresponde a su ubicación.
1
2
A
D
3
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Eje y
4
B
C
5
6
7
8
Eje x
73
(d) Marca los puntos en el plano cartesiano y dibuja los lados para formar la figura.
(c) Si ABCD es un rectángulo, encuentra las coordenadas del punto D.
(b) Si los puntos B y C están en la misma línea vertical, escribe el valor de n.
(a) Si los puntos A y B están en una misma línea horizontal, escribe el valor de m.
(3) Las coordenadas de los puntos A, B, C y D son los siguientes pares ordenados: A(2,2), B(4,m), C(n,7) y D(o,p).
131
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09-04-13 10:27
BLANCO BLANCO
Curso:
Fecha:
B
C
D
E
F
G
H
I
Las respuestas varían.
Trabaja con un compañero. Marca en la cuadrícula 3 tesoros sin mostrarle el mapa a tu compañero, describe la localización de uno de los tesoros. Luego, dale las indicaciones para llegar a los otros tesoros. Usando una copia de esa misma cuadrícula, tu compañero seguirá estas indicaciones y encontrará la ubicación de cada tesoro. Comparen los dos mapas para ver si coinciden. Ahora, intercambien roles y repitan esta actividad.
A
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
1
2
3
4
5
6
(1) Usa la siguiente cuadrícula para diseñar el mapa de la búsqueda de un tesoro.
Diario matemático
Nombre:
75
132
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09-04-13 10:27
76
T2
0
1
2
3
4
5
6 ×
7
8
Eje y
1
2
3
4
5
6
7
8
Eje x
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano
T1 ×
(a) El tesoro T1, está en la mitad de la línea que se traza entre los puntos A(3, 1) y C(5, 5) (b) El tesoro T1, está en la misma línea horizontal que el punto B (6, 3) (c) El tesoro T2, se encuentra, siguiendo el eje x, 4 unidades hacia la izquierda de T1, y, siguiendo el eje y, 3 unidades hacia arriba.
(1) Usando las pistas de más abajo, ayuda a Bernardo a encontrar los dos tesoros. Marca como T1 y T2 , en el plano cartesiano, la localización de los tesoros.
Repaso 5
Curso:
(b) El promedio de edad de los niños es
Tomás
32,6 kg
Jimena
34,95 kg
$8850
$7620
$5630
miércoles
$9050
jueves
$6660
viernes
Total = $7620 + $8850 + $5630 + $9050 + $6660 = $37 810 Promedio = 37 810 : 5 = $7562
martes
lunes
Repaso 5
3 6
5
77
Javier gastó las siguientes cantidades de dinero de lunes a viernes.
años.
¿Cuál es el promedio diario de dinero gastado por Javier?
40,8 kg
Antonio
Total = 29,1 + 37,3 + 32,6 + 40,8 = 139,8 kg Promedio = 139,8 : 4 = 34,95 kg
¿Cuál es el peso promedio?
37,3 kg
9
1
Fecha:
(3)
29,1 kg
Paula
(2) Marco pesó a cuatro de sus amigos.
(1) Estas son las edades de 4 niños: 8,12,10 y 6 años. 36 (a) La suma de sus edades es años.
Nombre:
133
PSL_TG_5B_C11b.indd 133
09-04-13 10:27
80,7
59,2 m
78
Total = 26,4 + (26,4 + 32,3) + (26,4 – 13,4) = 98,1 kg Promedio = 98,1 : 3 = 32,7 kg
Repaso 5
32,7 kg
(6) El peso del paquete A es 26,4 kg. El paquete B es 32,3 kg más pesado que el paquete A, mientras que el paquete C es 13,4 kg más liviano que el paquete A. ¿Cuál es el peso promedio de los 3 paquetes?
Perímetro = 14,8 × 4 = 59,2 m
(5) El promedio del largo de los lados de una cancha de 4 lados es 14,8 m. ¿Cuál es el perímetro de la cancha?
Promedio = 645,7 : 8 ≈ 80,7
(4) 645,7 de agua fueron vertidos a 8 estanques. ¿Cuál es el promedio de agua vertida en cada estanque? Expresa tu respuesta en litros, hasta una posición decimal.
Repaso 5
La altura total de los 5 niños fue 7,76 m
Altura total de 2 niños = 1,45 × 2 = 2,9 m Altura total de 3 niños = 1,62 × 3 = 4,86 m Altura total de los 5 niños = 2,9 + 4,86 = 7,76 m
79
(8) Clara midió la estatura de 5 niños. El promedio de dos de los niños fue 1,45 m, mientras que el promedio de altura de los otros 3 fue 1,62 m. Encuentra la altura total de los 5 niños.
El equipo D anotó 107 puntos.
Puntaje total = 92 × 4 = 368 puntos. 368 – 78 – 95 – 88 = 107 puntos.
(7) Los equipos A, B, C y D participaron en una competencia. El promedio del puntaje de los 4 equipos fue de 92 puntos. El equipo A anotó 78 puntos, el equipo B anotó 95 puntos y el equipo C anotó 88 puntos. ¿Cuántos puntos anotó el equipo D?
Resuelve estos problemas. Muestra tu desarrollo claramente.
134
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80
Repaso 5
(a) Sacar una fi cha roja al azar de una bolsa que contiene 10 fi chas azules, 6 verdes y 2 rojas. Es poco probable. (b) Elegir al azar a un niño de un curso de niñas. Es imposible. (c) Sacar al azar una fi cha negra de una caja que contiene 6 fi chas negras y 6 fi chas blancas. Es igualmente probable que sacar una ficha blanca.
(10) Describe la probabilidad de los siguientes resultados, utilizando los términos: imposible, poco probable, igualmente probable, muy probable y seguro.
Francisca tiene 372 pinches y Rocío tiene 124 pinches.
Cantidad total de pinches = 248 × 2 = 496 4 partes 496 pinches 496 : 4 = 124 pinches 1 parte 3 partes 124 × 3 = 372 pinches.
(9) Francisca y Rocío coleccionan pinches para el pelo. El promedio de pinches que tienen es 248. Francisca tiene 3 veces la cantidad que tiene Rocío. ¿Cuántos pinches tiene cada una? $ 645 $ 657
$ 630 $ 633
(b) ¿Cuál es el dato más repetido? $ 650 (c) ¿Cuál es el dato menor? $ 630 (d) ¿Cuál es el dato mayor? $ 657
65 001457
64 5
63 03
tallo hojas
(a) Organiza los datos en un diagrama de tallo y hojas.
$ 650
$ 654
Es igualmente probable.
(a) ¿Cuántas frutas pesó la Sra. Rosa? 21 (b) Al sacar una fruta al azar, ¿cuál tiene mayor probabilidad de salir? Una de las frutas que pesan 205 g. (c) ¿Qué es más probable, sacar una fruta que pese 210 g o 199 g?
Repaso 5
2 2 1 2 3
2 1 0 0 5 5 8 9 9
2 0 0 1 1 2 5 5 5 5
1 9 8 9 9
Tallo Hojas
81
(12) El siguiente diagrama de tallo y hojas muestra los pesos en gramos de algunas frutas que pesó la Sra. Rosa.
$ 650
$ 651
(11) La siguiente tabla muestra la cantidad de dinero que tiene un grupo de niños.
135
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2
0
A
4
6
×
B
8
10 12 14
×C Eje x
Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D como pares ordenados. A (2,2) , B(6,4) , C(10,0) , D(0,10)
×
2
4
6
8
D 10 ×
12
Eje y
82
1
× a 2
× d
3
4
5
¿Cuál es el área de la fi gura que trazaste? 10 unidades cuadradas.
1
2
3
4
Eje y
6
×c
7
×
b
Eje x
Repaso 5
(14) Marca los puntos que se indican, únelos y traza la fi gura. ¿Qué fi gura es? Trapecio (a) (1,1) (b) (7,1) (c) (6,3) (d) (2,3)
(13)
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1
Horas pedagógicas Objetivos
• Los estudiantes deben utilizar las propiedades de los ángulos que se construyen sobre una línea recta y de los ángulos rectos para encontrar la respuesta.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • identificar y nombrar ángulos que se construyen sobre una línea recta. • reconocer que la suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta es 180°. • reconocer que si la suma de dos o más ángulos es 180°, entonces forman un ángulo extendido.
(1) Formando un ángulo extendido
Capítulo 12: Ángulos
• Libro del Alumno 5B, págs. 90 a 94 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 83 a 86 • Guía del Profesor 5B, págs. 140 a 144
Recursos
omparar C Deducir Visualización Espacial
Habilidades
137
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2
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes deben usar las propiedades de los ángulos que forman un ángulo completo para encontrar la respuesta.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • identificar y nombrar ángulos que forman un ángulo completo. • reconocer que la suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360°. • reconocer que si la suma de tres o más ángulos es 360°, entonces forman un ángulo completo. • encontrar ángulos desconocidos en torno a un punto a partir de otros conocidos.
(2) Formando un ángulo completo
Capítulo 12: Ángulos
• Libro del Alumno 5B, págs. 95 a 99 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 87 a 90 • Guía del Profesor 5B, págs. 145 a 149
Recursos
omparar C Deducir Visualización Espacial
Habilidades
138
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1
2
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes serán capaces de: • identificar un ángulo agudo como uno que mide menos que un ángulo recto, es decir, menor que 90º. • identificar un ángulo obtuso como uno que mide más que un ángulo recto, es decir, mayor que 90º y menor que 180º. • comprender que el suplemento de un ángulo agudo es un ángulo obtuso y viceversa.
(4) Nombrando los ángulos
Los estudiantes deben identificar y establecer tres relaciones utilizando la propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
Diario matemático
Los estudiantes serán capaces de: • reconocer y nombrar ángulos opuestos por el vértice. • reconocer que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. • encontrar ángulos desconocidos usando las propiedades de los ángulos opuestos por el vértice.
(3) Ángulos opuestos por el vértice
Capítulo 12: Ángulos
• Libro del Alumno 5B, págs. 109 a 110 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 95 a 96 • Guía del Profesor 5B, págs. 159 a 160
• Libro del Alumno 5B, págs. 100 a 108 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 91 a 94 • Guía del Profesor 5B, págs. 150 a 158
Recursos
Comparar Identificar
omparar C Deducir Visualización Espacial
Habilidades
139
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2
Horas pedagógicas Objetivos
Los estudiantes deben obtener la respuesta correcta a través de la percepción visual y la aplicación de las propiedades de los ángulos.
¡Activa tu mente!
Enfatizar los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo. Discutir el ejemplo práctico con los estudiantes para evaluar si han consolidado estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos!
Capítulo 12: Ángulos
• Libro del Alumno 5B, págs. 111 a 112 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 97 a 100 • Guía del Profesor 5B, págs. 161 a 162
Recursos
Heurística para resolver problemas: Simplificar el problema
omparar C Visualización Espacial
Habilidades
Capítulo doce
Ángulos Objetivos Formando un ángulo extendido Los estudiantes serán capaces de: • identificar y nombrar ángulos que se construyen sobre una línea recta. • reconocer que la suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta es 180° • reconocer que si la suma de
Materiales
dos o más ángulos es 180°, entonces ellos forman un ángulo extendido.
• Regla • Transportador
Conceptos claves • Un ángulo (≤ 180°) se forma cuando dos líneas rectas se intersectan en un punto. • La unidad de medida de un ángulo es el grado. • La suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta es 180°.
Habilidades • Comparar • Deducir • Visualización espacial
Gestión de la clase 1
Ángulos ¡Aprendamos!
Formando un ángulo extendido 1 a QOR es una línea recta y el POQ y el POR se construyeron sobre ella. Estos dos ángulos forman un ángulo extendido. P 80 90 70 0 60 1 0 10 01 2 1 0 3
1
10 0
11 0 12 80 7 0 0 60 130 50
0 10 20 180 170 1 60
170 180 60 0 1 10 0 20
30
Q
R
O
Podemos ver que POQ POR = 180°.
15
40
0
30 4 15 01 0 40
50
14
• Pegue una lámina o proyecte el ejercicio a en la pizarra. Pida a los estudiantes que identifiquen los dos ángulos que se construyen sobre la línea recta QOR. Destaque que los ángulos POR y POQ forman un ángulo extendido. Muestre a sus estudiantes algunos ejemplos más de ángulos que forman un ángulo extendido. • Pida a los estudiantes que dibujen dos líneas rectas de modo que se formen dos ángulos que, a su vez, formen un ángulo extendido. Luego, pídales que midan los ángulos con un transportador y que calculen su suma para verificar que es 180°. • Utilice el ejercicio b para mostrar cómo esta propiedad puede ser obtenida por deducción. • Dibuje la línea SO perpendicular a la línea QOR. Guíe a los estudiantes a que visualicen que: POQ + POR = SOQ + SOR. Pregúnteles a qué son iguales SOQ y SOR. • Oriéntelos para que concluyan que POQ + POR = 90° + 90° = 180°.
b
SO es perpendicular a QOR.
S
P
Q
SOQ = 90° SOR = 90°
POQ POR = SOQ SOR = 90° 90° = 180°
O
R
La suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta es 180°. Dos o más ángulos que suman 180º forman un ángulo extendido . 90
Capítulo 12: Ángulos
140
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Materiales
Actividades opcionales
• Transportador
(i) Pida a los estudiantes que construyan más de tres ángulos sobre una línea recta. Del mismo modo, pídales que ubiquen un transportador en los ángulos para que concluyan que, siempre, la suma de los ángulos en una línea recta es 180°. (ii) Proponga a los estudiantes que utilicen un programa del computador para que dibujen diferentes ejemplos de ángulos sobre una línea recta, nombren estos ángulos y establezcan la suma.
Gestión de la clase 2
2
• Asígneles esta actividad a modo de práctica guiada. • Pida a los estudiantes que midan con un transportador los tres ángulos y verifiquen si los ángulos a, b y c también suman 180°.
Realiza esta actividad. AOB es una línea recta. B O
c
a
A
b
110 12 80 7 0 0 60 130 50
• Pida a los estudiantes que midan los 3 ángulos en la línea recta. Luego, pídales que encuentren la suma de los 3 ángulos. • Los estudiantes deben concluir que los ángulos fueron construidos sobre una línea recta, ya que suman 180°.
0 10 20 180 170 1 60
170 180 60 0 1 10 0 20 30
15
40
0
30 40 15 0 14 0
3
100
14
80 90 70 0 60 10 10 01 12 50 0 13
X
YY
X
XY es la línea de la base del transportador.
Haz coincidir la línea de la base de un transportador con la recta AOB. ¿Qué puedes decir de a b c? a b c = 180° 3 Mide los ángulos marcados.
POM = 60° MON = 75° NOQ = 45°
N M
Q
POM MON NOQ = 180°
O P
¿Están los tres ángulos construidos sobre una recta? Sí. ¿Por qué? Porque la suma de los tres ángulos es 180°.
Capítulo 12: Ángulos
91
141
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Gestión de la clase 4
4 Nombra los ángulos marcados en la línea recta XOY y establece la suma de ellos.
• Asígneles esta actividad a modo de práctica guiada. • Los estudiantes deben nombrar los ángulos que se construyeron sobre la línea recta XOY y establecer su suma.
a V
x
O
Y
x
X
YOW WOV VOX = 180°
O w
W
v y = 180° w
x = 180°
5 ABC es una línea recta. Encuentra la medida del x. C B x
A
La suma de los ángulos construidos sobre una línea recta es 180°.
55°
x 55° = 180°
55°
Así, x = 180° 55° = 125°.
6 XYZ es una línea recta. Encuentra la medida del y.
6
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
y
V
X
180°
Y
b v
5
• Muestre cómo encontrar el ángulo desconocido dado el otro ángulo con el que forma un ángulo extendido. • Guíe a los estudiantes para que vean que: x + 55° = 180° x = 180° - 55° = 125°. • Si es necesario, dibuje este modelo para los estudiantes:
W
134°
X
y
y = 180° 134° = 46°
Z
Y
Matemática Pida a su hijo o hija que mida YOW, WOV y VOX en el ejercicio 4 a usando un transportador y en la casa que verifi que que la suma es 180°.
92
Capítulo 12: Ángulos
142
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Gestión de la clase 7
• Muestre cómo encontrar un ángulo desconocido, dado los otros 2 ángulos que juntoa a él, forman un ángulo extendido.
7 XYZ es una línea recta. Encuentra la medida del y. 180° X
Y 47°
y
47°
65°
y
Z
65°
8
y 9 • Asigne a los estudiantes estas actividades a modo de práctica guiada y evaluación formativa.
y 47° 65° = 180°
Así, y = 180° 47° 65° = 68° 8 AOB es una línea recta. Encuentra la medida del a.
B
a = 180° 28° 124° = 28°
O
28°
a 124°
A
9 En cada fi gura, AOB es una línea recta. Encuentra la medida del ángulo marcado con una letra.
a 117°
a O
B
A
54° O
A
b
a = 63° Capítulo 12: Ángulos
b B
b = 126° 93
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Objetivos
Trabajo personal
Los estudiantes deben utilizar las propiedades de los ángulos que se construyen sobre una línea recta y de los ángulos rectos, para encontrar la respuesta.
• Asigne a sus estudiantes la
Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, pág. 83 a 86.
Gestión de la clase 10 a
c
• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para encontrar cuáles de los siguientes conjuntos de ángulos pueden formar un ángulo extendido.
O
x
A
(Diario matemático) • Los estudiantes deben usar un razonamiento deductivo para explicar por qué los tres ángulos que se construyen sobre una línea recta suman 180°.
d A
36°
16° y
98°
49°
O
B
x = 46°
b
• Pídales que trabajen en parejas. Cada uno escribirá 2 conjuntos de 3 ángulos, uno de los cuales sumará 180° y otro no. El compañero deberá descubrir el conjunto que puede formar un ángulo extendido y luego dibujar los ángulos.
B
10
y = 115°
Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. a Comprueba cuáles de los siguientes conjuntos de ángulos pueden
formar un ángulo extendido. (i) y (iii)
i
a = 98°, b = 82°
ii
p = 78°, q = 35°, r = 77°
iii
w = 34°, x = 29°, y = 16°, z = 101°
b Escribe un conjunto de tres ángulos que sumen 180°. Luego, escribe
otro conjunto de ángulos que sumen más o menos de 180°. Muestra los conjuntos de ángulos a tu compañero. Pídele que compruebe qué conjunto puede formar un ángulo extendido y luego, que dibuje esos tres ángulos sobre una línea recta. D
Diario matemático
En la siguiente fi gura, AOB es una línea recta y DO es perpendicular a AOB. Explica por qué a b c = 180°. a+
94
b+
c = AOD + BOD = 90° + 90° = 180°
A
b
a O
c
B
Cuaderno de Trabajo 5B, p 83, Práctica 1.
Capítulo 12: Ángulos
144
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Objetivos: Formando un ángulo completo
Concepto clave La suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360°.
Los estudiantes serán capaces de: • identificar y nombrar ángulos que forman un ángulo completo. • reconocer que la suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360° • reconocer que si la suma de tres o más ángulos es 360°, entonces forman un ángulo completo. • encontrar ángulos desconocidos en torno a un punto, a partir de otros conocidos.
Habilidades • Comparar • Deducir • Visualización espacial
Materiales • Regla • Transportador
Gestión de la clase 1
• Muestre a sus estudiantes este ejercicio que señala los tres ángulos que se construyeron en torno a un punto. • Pídales que describan lo qué ven (3 líneas que se intersectan en un punto formando 3 ángulos). • Dígales que los ángulos a, b y c forman un ángulo completo. • Guie a los estudiantes para que comprendan que, la conclusión que la suma de los ángulos construidos en torno a un punto, es igual a 360°, puede ser deducida a partir de sus conocimientos previos sobre la suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta.
¡Aprendamos!
Formando un ángulo completo
1 AO, BO y CO son líneas rectas que se intersectan en el punto O. a, b y c forman un ángulo completo. A B a c
O b
C
Extiende la línea AO hasta D. AOD es una línea recta. b =
BOD
COD
A
a c O
B
a b c a BOD COD c = 180° 180° = 360°
b
C
D
a y BOD forman un ángulo extendido. COD y c también forman un ángulo extendido.
La suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360°. Dos o más ángulos que suman 360º forman un ángulo completo. Capítulo 12: Ángulos
95
145
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Materiales • Transportador
Gestión de la clase 2
• Asigne a los estudiantes esta actividad a modo de práctica guiada. • Deben ser capaces de medir los ángulos con exactitud y encontrar la suma de los ángulos para verificar que sumen 360°.
2
AOD, DOC, BOC y AOB son ángulos formados por cuatro líneas rectas que se intersectan en el punto O. Mide los ángulos marcados y encuentra la suma de ellos. D
A
AOD = 65° DOC = 85° BOC = 140° AOB = 70°
3
• Los estudiantes deberán usar el transportador para verificar que la suma de los ángulos es 360°, y por lo tanto, forman un ángulo completo.
O C B
AOD DOC BOC AOB = 65° 85° 140° 70° = 360°
¿Forman estos ángulos un ángulo completo? ¿Por qué? Sí. La suma de los cuatro ángulos es 360°. 3
Realiza esta actividad. XO, YO y ZO son líneas rectas que se intersectan en el punto O. Ubica la línea de la base de un transportador sobre XO, tal como se 1 2
muestra. Luego, gira vuelta tu transportador.
40 14 0 50 13 0
180 170 0 0 16 10 0 0 5 2 1 30
100 110 1 20 13 80 70 0 60 50 140 40
0 10 20 3 0 180 170 160 15 0
80 90 70 100 0 60 0 11 12
96
X
O
O
Y
Z
0 10 20 3 0 40 180 170 160 15 01 40 50 13 0
X
100 110 120 13 80 70 0 60 50 140 40
180 170 0 0 16 10 0 20 15 30
80 90 70 100 0 60 0 11 2 1
Z
Y
¿Qué puedes decir sobre XOY YOZ ZOX? XOY YOZ ZOX = 180° 180° = 360° Forman un ángulo completo.
Capítulo 12: Ángulos
146
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Gestión de la clase 4
4 Nombra los ángulos que se construyeron en torno al punto O y establece la suma de ellos.
a
P
b
• Asigne a los estudiantes esta actividad a modo de práctica guiada. 5
x y
O
Q
O
• Muestre cómo encontrar un ángulo desconocido en una configuración de ángulos que forman un ángulo completo. Guíelos para que comprendan por qué deben restar de 360° los ángulos conocidos para encontrar el ángulo desconocido.
w
z
R
POR ROQ QOP = 360°
w x y z = 360°
5 En la fi gura, encuentra la medida del a.
360°
152° 97° a 152°
97° a
a 152° 97° = 360°
Así, a = 360° 152° 97° = 111°.
La suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360°.
Matemática Pida a su hijo o hija que mida w, x, y y z en el ejercicio 4 b usando un transportador y que en la casa verifi que que la suma es 360°.
Capítulo 12: Ángulos
97
147
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Gestión de la clase y 7 • Asigne a los estudiantes estas tres actividades a modo de práctica guiada y evaluación formativa. 6
6 El siguiente dibujo no está hecho a escala. Encuentra la medida del z. X
Y
z
z = 360° 90° 133° = 137°
133° Z
7 Los siguientes dibujos no están hechos a escala. Encuentra los ángulos que están indicados con una letra.
a
x = 86°
b
y = 96°
156°
y
x 132°
118°
c
z = 159°
d
w = 45°
w
44° 81°
132°
108° 76°
117°
z
98
Capítulo 12: Ángulos
148
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Objetivo de la actividad
Trabajo personal
Los estudiantes deben usar las propiedades de los ángulos que forman un ángulo completo para encontrar la respuesta.
• Asigne a sus estudiantes la
Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 87 a 90.
Gestión de la clase 8
8
Realiza esta actividad.
Trabaja en parejas.
a Comprueba cuáles de los siguientes conjuntos de ángulos pueden
formar un ángulo completo. (i) y (iii)
i
a = 87°, b = 98°, c = 175° p = 36°, q = 69°, r = 107°, s = 58° w = 95°, x = 48°, y = 48°, z = 169°
ii
iii
b Escribe un conjunto de cuatro ángulos que sumen 360°. Luego, escribe
otro conjunto de cuatro ángulos que sumen más o menos de 360°. Muestra los conjuntos de ángulos a tu compañero. Pídele que verifíque qué conjunto puede formar un ángulo completo y luego, que dibuje estos 4 ángulos en torno a un punto.
• Pida voluntarios para que muestren al resto del curso cómo obtuvieron sus respuestas. (Diario matemático) • Los estudiantes deben ser capaces de usar un razonamiento deductivo para explicar por qué los ángulos que se construyen en torno a un punto suman 360°.
Diario matemático
AOB es una línea recta. A
d a
O b
c B
Explica por qué a b c d = 360°. ∴
a+ c+ a+
b = 180° d = 180° b+ c+
d = 180° + 180° = 360°
Cuaderno de Trabajo 5B, p 87, Práctica 2.
Capítulo 12: Ángulos
99
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Objetivos: Ángulos opuestos por el vértice Los estudiantes serán capaces de: • reconocer y nombrar ángulos opuestos por el vértice. • reconocer que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. • encontrar ángulos desconocidos usando las propiedades de los ángulos opuestos por el vértice.
Conceptos claves • Los ángulos opuestos por el vértice están formados por dos líneas rectas que se intersectan. • Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Habilidades • Comparar • Deducir • Visualización Espacial
Gestión de la clase 1
• Guie a los estudiantes a darse cuenta que los ángulos opuestos por el vértice están formados por dos líneas rectas que se intersectan entre ellas y que estos ángulos miden lo mismo. • Guíelos para que comprendan cómo la conclusión de que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, puede ser deducida a partir de sus conocimientos previos acerca de que la suma de los ángulos sobre una línea recta es igual a 180°.
¡Aprendamos!
Ángulos opuestos por el vértice 1 EF y GH son dos rectas que se intersectan entre ellas.
El a y el c son ángulos opuestos por el vértice. El b y el d también son ángulos opuestos por el vértice. H a
E b
d c
F
G
a b = 180° b c = 180° a b = b c
a y b y
b forman un ángulo extendido. c también forman un ángulo extendido.
Así, a = c. a b = 180° a d = 180° a b = a d
a y d también forman un ángulo extendido.
Así, b = d.
Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.
100
Capítulo 12: Ángulos
150
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Materiales • Hoja de papel translúcido (papel que deja pasar la luz, pero que no deja ver nítidamente los objetos. Se le conoce también como “papel mantequilla”).
Gestión de la clase 2
2
• Pida a los estudiantes que tracen la figura dada en una hoja de papel translúcido. • Luego, pídales que doblen el papel por las líneas de simetría de la figura para verificar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Realiza esta actividad. En la fi gura, AOB y COD son líneas rectas. Copia la siguiente fi gura en un papel transparente. Luego, dobla el papel a través de la línea punteada de color rojo. D
A O
C
3
• Asigneles esta actividad a modo de práctica guiada.
B
¿Qué puedes concluir? AOC = DOB
Ahora, dobla el papel a través de la línea punteada azul. D
A O
C
B
¿Qué puedes concluir? AOD = COB 3 La fi gura muestra los cuatros ángulos que se forman cuando dos rectas se intersectan. Mide los ángulos indicados con una letra.
p
s r q
p = 60° q = 120° r = 60° s = 120°
py r ¿Cuáles son los dos pares de ángulos opuestos por el vértice? q y s
Capítulo 12: Ángulos
101
151
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Actividad adicional De otro ejemplo con una pregunta similar a la 4 :
a
d
e
Los estudiantes deben ser capaces de identificar los ángulos opuestos por el vértice de esta forma: a= b+ e c= d
Gestión de la clase 4
• Guíe a los estudiantes para que identifiquen los ángulos opuestos por el vértice cuando hay una línea adicional en la figura. 5
• Muestre cómo encontrar la medida de los ángulos desconocidos usando más de una propiedad (propiedades de ángulos opuestos por el vértice y de ángulos que se construyen sobre una línea recta)
4 En la fi gura, POQ y ROS son líneas rectas. Nombra los pares de ángulos opuestos por el vértice.
R
P
POR y SOQ son ángulos opuestos por el vértice.
POS y ROQ también son ángulos opuestos por el vértice.
T
O
S
Q
5 El siguiente dibujo no está hecho a escala. WOX y YOZ son líneas rectas.
Encuentra la medida de WOY, WOZ y XOY. Z W O
43° X
Y
WOY = ZOX
= 43°
WOZ + 43° = 180°
Así, WOZ = 180° 43°
Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. La suma de los ángulos que se construyen sobre una recta es 180o.
= 137°.
XOY = WOZ = 137°
Matemática Pida a su hijo o hija que mida el POR y el SOQ del ejercicio 4 y que verifi que que miden lo en la casa mismo. Pídale que haga lo mismo con POS y ROQ.
102
Capítulo 12: Ángulos
152
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Gestión de la clase y 7 • Asigne esta actividad a modo de práctica guiada y evaluación informal. 6
6 El siguiente dibujo no está hecho a escala. POQ y ROS son líneas rectas. TO es perpendicular a PQ. Encuentra la medida del x. P
S POR y SOQ son ángulos opuestos por el vértice.
T
x
R
O 138°
Q
x 90o = 138o x = 138o 90o = 48o
7 El siguiente dibujo no está hecho a escala. AB y CD son líneas rectas. Encuentra la medida de los ángulos indicados con una letra.
a
C
A
b
A
57°
a
B 27° 46°
D
z
x y
D
b
C
E
B
a = 107° b = 153°
x = 123° y = 57° z = 123° Capítulo 12: Ángulos
103
153
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Materiales
Trabajo personal
• Transportador
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 91 a 94.
Gestión de la clase 8
• Trabajando en parejas, los estudiantes deben medir 4 ángulos dados para determinar si pueden formar un ángulo completo. Luego, deben dibujarlos en torno a un punto de manera de formar dos pares de ángulos opuestos por el vértice. 9
• Pídales que midan los dos conjuntos de ángulos y que determinen cuál puede formar un ángulo completo y que luego expliquen por qué se pueden usar las propiedades de los ángulos vistas hasta el momento.
8
Realiza esta actividad. Mide los siguientes ángulos. n o p
m
a ¿Se puede, con estos ángulos, formar un ángulo completo? ¿Por qué?
b Dibuja los cuatro ángulos en torno a un punto de manera que:
i
Sí, porque suman 360°. m y o
ii
p y n
formen ángulos opuestos por el vértice. Acepte toda respuesta correcta. Ej. p m 9 Realiza esta actividad. o n
Mide los ángulos de cada conjunto. Conjunto A
a
b
c
d
Conjunto B h e
f
g
¿Con qué conjunto de ángulos se puede formar un ángulo completo? ¿Por qué? El conjunto A, porque la suma de los ángulos del conjunto es 360°. 104
Cuaderno de Trabajo 5B, p 91, Práctica 3.
Capítulo 12: Ángulos
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Objetivo
Trabajo personal
Los estudiantes deben identificar y establecer tres relaciones utilizando la propiedad de los ángulos opuestos por el vértice.
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 12a.
Gestión de la clase (Diario matemático) Diario matemático
AOB y COD son líneas rectas. Escribe tres frases numéricas a partir de la relación entre a, b, c y d. a+ b+ a= a+
• Pida a los estudiantes que hagan una lista con las propiedades de los ángulos que han estudiado en este capítulo. • Luego oriéntelos para que identifiquen qué propiedad es relevante a un determinado conjunto de ángulos.
C d
a
A
B
O c b
d = 180° c = 180° c, b = d b + c + d = 360°
D
¡Practiquemos! 12a 1 En cada fi gura, identifi ca cuáles ángulos forman un ángulo extendido, cuáles forman un ángulo completo y cuáles son opuestos por el vértice. Luego, copia y completa la siguiente tabla. Observa el ejemplo. A
B
C h
d c
a
f
b
e
D p
F
n
v
q
m
j
g
E o
k
i
u
w
t
r s
Figura
A
Capítulo 12: Ángulos
Ángulos opuestos por el vértice a y b y
c, d
Ángulo extendido a y b, c y d,
ay by
d c
Ángulo completo
a,
b,
c y
d
Acepte toda respuesta correcta. 105
155
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2 ¿Cuál es la suma de los ángulos que se construyen sobre una línea recta? 180° 3 ¿Cuál es la suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto? 360°
4 ¿Pueden los ángulos de 70°, 45° y 65° formar un ángulo extendido? Explica tu respuesta. Sí. La suma de los tres ángulos es 180°. 5 ¿Pueden los ángulos de 10°, 90°, 45° y 45° formar un ángulo extendido? Explica tu respuesta. No. La suma de los cuatro ángulos no es 180°.
6 a ¿Pueden los ángulos de 50°, 50°, 130° y 130° formar un ángulo completo? Explica tu respuesta. Sí. La suma de los cuatro ángulos es 360°. b ¿Pueden los ángulos en a formar también ángulos opuestos por el
vértice? Explica tu respuesta. Sí, porque hay dos pares de ángulos que tienen la misma medida y la suma de los ángulos de distinta medida es 180º. Los siguientes dibujos no están hechos a escala. Encuentra la medida de los ángulos indicados con una letra en cada una de ellas.
7 AOB es una línea recta. Encuentra la medida del a. a = 13°
8 MXN es una línea recta. Encuentra las medidas de c y d. c = 60° d = 90°
O
A
50o
B
117o
a
M 30o X
c d
N 106
Capítulo 12: Ángulos
156
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9 Encuentra la medida del e. e
10 POQ y ROS son líneas rectas. Encuentra las medidas del POR y ROQ.
95o
S 124o
P
146o
O Q
R
e = 51°
POR = 34°
ROQ = 146°
11 AB es una línea recta. 12 Encuentra la medida del m. Encuentra la medida del h y i.
A 87o i h 142o
50o 62o
B
h = 38° i = 93° 13 Encuentra la medida del n.
m
m = 248°
65º 82º
n 135°
n = 78° Capítulo 12: Ángulos
107
157
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15 AOB es una línea recta. 14 AB y CD son líneas rectas. a = b. Encuentra la medida Encuentra la medida del j y el k. del a. a = 53° j = 60° k = 68° C
A
b k
120o
a
52o
D
B
O
A
j
74o
B
16 MON, POQ y ROS son líneas 17 POQ, MON y XOY son líneas rectas. rectas. a = c = e. Encuentra la suma de b, d y f. Encuentra la medida del b. b + d + f = 180° b = 60° S Q
b M d
P
O
f
N
Y
a O
M
b
c
N
e
P R
108
X
Q
Capítulo 12: Ángulos
158
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Objetivos: Nombrando los ángulos
Concepto clave • El ángulo recto es el referente para determinar si un ángulo es agudo u obtuso.
Los estudiantes serán capaces de: • identificar un ángulo agudo como uno que mide menos que un ángulo recto, es decir, menor que 90º. • identificar un ángulo obtuso como uno que mide más que un ángulo recto, es decir, mayor que 90º y menor que 180º. • comprender que el suplemento de un ángulo agudo es un ángulo obtuso y viceversa.
Habilidades • Comparar • Identificar
Gestión de la clase 1
y 2 • Recuerde a los estudiantes cómo dibujar un ángulo recto con el transportador haciendo una demostración en la pizarra. • Dígales que todos los ángulos que son menores que 90º, se llaman agudos (dibuje varios ejemplos), y que los que miden más de 90º son llamados obtusos.
¡Aprendamos!
Nombrando los ángulos
1 El transportador representa un ángulo de 180º. Este ángulo es llamado extendido.
170 180 60 0 1 10 0 15 20 30
40
0
0 10 20 180 170 1 30 60 4 15 01 0 40
La mitad de un ángulo extendido es un ángulo recto.
14
80 90 100 11 0 70 12 80 7 0 60 110 100 0 0 60 13 0 50 0 12 50 3 1
3
2 El ángulo DEF es menor que un ángulo recto.
• Pregúnteles si dos ángulos agudos podrían formar un ángulo extendido. Luego, destaque que si sobre una recta se han construido dos ángulos distintos a un ángulo recto, entonces uno de los ángulos debe ser agudo y el otro obtuso.
D
0 10 20 180 170 1 30 60 4 15 01 0 40
170 180 60 0 1 10 0 15 20 30
40
0
14
80 90 100 11 0 70 12 80 7 0 60 110 100 0 0 60 13 0 50 0 12 50 3 1
E F Cuando un ángulo mide menos que un ángulo recto se denomina agudo. 3 El ángulo GED mide más que un ángulo recto y menos que un ángulo extendido. Este ángulo es llamado obtuso. D
1
170 180 60 0 1 10 0 15 20 30
40
0
G Capítulo 12: Ángulos
80 90 100 11 0 70 12 80 7 0 60 110 100 0 0 60 13 2 0 1 0 50 3
50
14
Si sobre una recta está construido un ángulo agudo, el ángulo consecutivo a éste es obtuso.
0 10 20 180 170 1 30 60 4 15 01 0 40
E
F 109
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 95 a 96.
Gestión de la clase 4
4 Dibuja con un transportador seis ángulos agudos de la misma medida que completen el siguiente círculo.
360° : 6 = 60°
170 180 60 0 1 10 0 15 20 30
40
0
0 10 20 180 170 1 30 60 4 15 01 0 40
80 90 100 11 0 70 12 80 7 0 60 110 100 0 0 60 13 0 50 0 12 50 3 1
14
• El propósito de esta actividad es que los estudiantes concluyan que un círculo representa un ángulo completo, es decir, que mide 360º, por lo tanto, al dividir 360º en 6 se encuentran 6 ángulos iguales, de 60º cada uno.
60° 60° 60° 60° 60°
5
60°
• Pídales que resuelvan esta actividad para practicar lo aprendido. 6
• Pídales que realicen esta actividad para que reflexionen sobre las propiedades de los triángulos y de los ángulos.
5 Observa las siguientes figuras. Luego, nombra con una “A” los ángulos agudos y con una “O” a los ángulos obtusos. A
O
A
O
O O
O
O
A
A
O A
6 Contesta las siguientes preguntas.
a ¿Es posible construir un triángulo con 3 ángulos obtusos? ¿Por qué?
b ¿Es posible formar un ángulo extendido con 2 ángulos agudos? ¿Por qué?
No, porque la suma de los 3 ángulos mediría más de 180º. No, porque la suma sería menos de 180º.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 95, Práctica 4.
110
Capítulo 12: Ángulos
160
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23-04-13 10:46
Gestión de la clase (¡Resumamos!) ¡Resumamos! Has aprendido a: • Reconocer que la suma de los ángulos que se construyen sobre una recta es 180° • Denominar ángulo extendido a aquél que mida 180º • Reconocer que la suma de los ángulos que se construyen en torno a un punto es 360° • Denominar ángulo completo a aquél que mida 360º • Reconocer que los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida
• Enfatice los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo. • Discuta el ejemplo práctico con sus estudiantes para evaluar si han consolidado estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Repasemos! SOT, UOV y KOL son líneas rectas. a = c = e. ¿Cuál es la suma de b, d y f ? S
U
L a
b O
K
c
f
V
e d T
La suma de los ángulos que se construyen sobre una recta es 180°. Por lo tanto: b a f = 180°. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. Por lo tanto: a = d Entonces, b d f = 180°.
Capítulo 12: Ángulos
111
161
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Objetivos Los estudiantes deben obtener la respuesta correcta a través de la percepción visual y la aplicación de las propiedades de los ángulos.
Heurística para resolver problemas
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes el “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 97 a 100.
• Simplificar el problema
Habilidades • Comparar • Visualización espacial
Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1
• Destaque a los estudiantes que hay una pequeña abertura formando ABC. Los estudiantes debieran ser capaces de explicar que DBE no es una línea recta porque la suma de los ángulos construidos sobre ella es mayor a 180°.
¡Activa tu mente! Los siguientes no son dibujos a escala. 1 En la fi gura, AB es perpendicular a BD, CB es perpendicular a BE y ABC = 2°. ¿Es DBE una línea recta? No. La suma de los ángulos Explica tu respuesta. DBA, ABC y CBE no es 180°. A C
2
• Destaque que en la resolución de estas actividades, se utilizarán más de una propiedad.
E
B
D
2 KOL y PON son líneas rectas.
a Nombra otro ángulo recto en la fi gura además de
b Nombra el ángulo igual a
KOM. POQ. KON y POL son ángulos opuestos M por el vértice, entonces: KON = KOM + MON = KOM + 90° POL = POQ + QOL = POQ + 90° Por lo tanto, POQ = KOM.
Explica por qué.
K
P
N
O
Q
L
Cuaderno de Trabajo 5B, p 97, Desafío
112
MON y QOL. KOQ ó POM
Cuaderno de Trabajo 5B, p 99, Piensa y resuelve
Capítulo 12: Ángulos
162
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163
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09-04-13 10:31
Ángulos
Curso:
1
Fecha:
6
3
5
A
(c)
C
(b)
A
(a)
p
Capítulo 12: Ángulos
q
y
B
B
B
r
x
D
A
C
C
° + 105 °
°
83
p + q + r = 20 ° + 95 ° + 65 ° = 180 °
r = 65
p = 20 ° q = 95 °
= 180 °
x = 75 ° y = 105 ° x + y = 75
DBC + DBA = 60 ° + 120 ° = 180 °
DBC = 60 ° DBA = 120 °
(1) En cada una de las siguientes imágenes, ABC es una línea recta. Mide y completa los espacios en blanco.
Práctica 1 Formando un ángulo extendido
12
Nombre:
164
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09-04-13 10:31
84
q
r
p
A
s
C
t
r
(d) AB y CD son líneas rectas.
B q
A
t
p
s
b
a
(c) ABC es una línea recta.
P
c
Q
Y
(b) PQR es una línea recta.
X
W
R
D
B
C
Z
p+
q+
t
p = 180°
= 180°
= 180°
= 180°
= 180°
= 180°
c = 180°
Capítulo 12: Ángulos
q+
r
s+ r+
s
t+
r
s
b +
WYZ = 180°
t+
q+
p+
a +
WYX +
(2) Observa cada imagen y completa los espacios en blanco. (a) XYZ es una línea recta.
B
A
C
E
F
42º
I
G
HFE = 48
J
79º
M
K
67º
N
L
MKN = 34
°
°
85
DBC + 125° = 180° DBC = 180° – 125 ° = 55 °
(c) JKL es una línea recta. Encuentra la medida del MKN.
H
Capítulo 12: Ángulos
125°
(b) EFG es una línea recta. Encuentra la medida del HFE.
D
(a) ABC es una línea recta. Encuentra la medida del DBC.
(3) Las siguientes imágenes no son dibujos a escala. Encuentra los ángulos desconocidos.
165
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09-04-13 10:31
70º
39º
Q
T
80º
36º
z
K
z = 100
y = 72
EBF = 22
86
G
E
a b
50º
20º H
F
°
°
°
°
Capítulo 12: Ángulos
b = 20
a = 20
°
°
SPT = 56
(g) EF y GH son líneas rectas. Encuentra a y b.
J
72º
y
41º
B
C
(f ) JK es una línea recta. Encuentra y y z.
27º
A
D
F
E
P
(e) ABC es una línea recta. Encuentra EBF.
15º
O
S
R
(d) OPQ es una línea recta. Encuentra SPT.
Curso:
Fecha:
D
a
O
c
E
A
°
COD = 50 ° DOE = 100 ° AOE = 30 °
AOB = 140 ° BOC = 40 °
a + b + c = 120 ° + 90 = 360 °
° c = 150 °
a = 120 b = 90
AOB + BOC + COD + DOE + AOE = 140 ° + 40 ° + 50 ° + 100 ° + 30 = 360 °
b
Capítulo 12: Ángulos
C
B
(b)
(a)
°
87
° + 150 °
(1) En cada uno de los siguientes ejercicios, las líneas se intersectan en un punto. Mide cada ángulo y completa los espacios en blanco.
Práctica 2 Formando un ángulo completo
Nombre:
166
PSL_TG_5B_C12b.indd 166
09-04-13 10:31
(c)
(d)
88
X
(b) W
(a)
a
k
f
Y
d
b
c
e
b
a
g
c
h
O
Z
(2) Completa los espacios en blanco.
+
b +
e+
f+
h + k = 360°
Capítulo 12: Ángulos
g+
ZOY
c
a + b + c + d = 360°
WOX + XOY + WOZ + = 360°
= 360°
a
a
b = 50
°
m
°
40º 26º
(d) Encuentra m.
(c) Encuentra b.
(b) Encuentra a.
AOB = 114
(a) Encuentra AOB.
Capítulo 12: Ángulos
B
O 142º
104º
310º
m = 294 °
G
b
a = 270 °
A
89
H
C
(3) Los siguientes no son dibujos a escala. Encuentra la medida de los ángulos desconocidos.
167
PSL_TG_5B_C12b.indd 167
09-04-13 10:31
°
90
P
S
T
75º Q
51º
U
R
164°
°
Capítulo 12: Ángulos
TQR.
TQR = 105 °
PQS = 54
a
(h) PQR y TQU son líneas rectas. Encuentra PQS y
r = 68
a = 106 °
112°
(g) Encuentra a.
r
q
83º
37º
(f) Encuentra r.
°
q = 150
(e) Encuentra q.
Curso:
Fecha:
C
A
y = y
b b
=
O b
d
a
a
a
c
d
d
c
c
° b = 130 ° c = 50 ° d = 130 °
a = 50
son ángulos opuestos por el vértice.
son ángulos opuestos por el vértice.
D
B
V
°
WYU = 90 UYZ = 45 ° ZYV = 45 ° VYX = 135 °
°
XYW = 45
WYZ son ángulos opuestos por el vértice.
U
VYX y
ZYV son ángulos opuestos por el vértice.
Z
W
XYW y
Y
Capítulo 12: Ángulos
X
(2) XYZ y VYW son líneas rectas. Mide los ángulos y completa los espacios en blanco.
(1) AOB y COD son líneas rectas. Mide los ángulos y completa los espacios en blanco.
91
Práctica 3 Ángulos opuestos por el vértice
Nombre:
168
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92
R
L
N
O 50º
J
K
108º M
130º
P
°
D
Q
B
S
Capítulo 12: Ángulos
NOK = 58
N
160º
EOH = 132 °
GOF = 132 °
O
(d) JK y LM son líneas rectas. Encuentra NOK.
QNS = 20 °
RNQ = 160 °
°
F
PNR = 20
G
O
(c) RNS y PNQ son líneas rectas. Encuentra PNR, RNQ y QNS.
48°
C
A
E
(b) EF y GH son líneas rectas. Encuentra GOF y EOH.
H
COB = 130 °
(a) AB y CD son líneas rectas. Encuentra COB.
(3) Los siguientes no son dibujos a escala. Encuentra los ángulos marcados.
b = 70 °
C
E
50°
A
120° B
F
D
70º
S
T
O
R
C F
A
60º
c
B
E D
°
°
Y
W
c = 30
68º
O
U
°
V
72º
SOR = 160 °
TOR = 20
QOS = 20
(h) AB, CD y EF son líneas rectas. Encuentra c.
UOW = 40 °
(g) UV, WX y YZ son líneas rectas. Encuentra UOW.
Q
93
X
Z
(f ) QOR y SOT son líneas rectas. Encuentra QOS, TOR y SOR.
(e) AB, CD y EF son líneas rectas. Encuentra b.
Capítulo 12: Ángulos
169
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Curso:
Fecha:
a
b
Y
94
A
C
O j
g
h
D
✓ e = g
f + g = j
✓ e = h
Capítulo 12: Ángulos
Como AOB y COD son líneas rectas, e y h son ángulos opuestos por el vértice. La suma de f y g es también un ángulo opuesto por el vértice a j. Como f no ha sido dado, no podemos concluir que e = g.
e
f
B
(2) AOB y COD son líneas rectas.
180° – 90° = 90°. a no puede ser mayor que 90° ya que a + b = 90°. 90° : 2 = 45°. Por lo tanto, si a = b, entonces ambos, a y b miden 45°.
X
✓ Si a = b, entonces a = 45°.
a es mayor que 90°.
b y c
Capítulo 12: Ángulos
Ejemplo
x
f
e
g
Forman un ángulo extendido
y
b
h
c
j k
i l
r s
n
p o
w
v
a y c
95
Son ángulos opuestos por el vértice
m
t
q
Las respuestas varían
a, b, c y d
Forman un ángulo completo
d
a
(1) Observa la estrella y sus ángulos marcados. En la siguiente tabla, escribe tres conjuntos de ángulos que: (a) formen un ángulo extendido. (b) formen un ángulo completo. (c) sean ángulos opuestos por el vértice. u
Nombre:
Los siguientes no son dibujos a escala. ¿Qué afi rmaciones son correctas? Marca tu respuesta y explica por qué. (1) XY es una línea recta.
Fecha:
Práctica 4 Nombrando los ángulos
Curso:
Diario matemático
Nombre:
170
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a
a P
75°
75° 60°
c = 75 ° c = 360° – 75° – 75° – 75° – 60° = 75°
c
75°
(4) Encuentra c.
(b)
96
° agudo
° agudo
c = 65
b = 25
a = 155 ° obtuso C
25º
a
O
c b B Capítulo 12: Ángulos
D
(5) AOB y COD son líneas rectas. Encuentra a, b y c y determina si son agudos o obtusos. A
a
P
a = 235 ° a = 360° – 45° – 80° = 235°
80°
45°
(3) Encuentra a.
(a)
(2) Dibuja líneas que pasen por el punto P de manera que formen: (a) un ángulo que al sumarlo con a de 180º. (b) un ángulo igual a a. (No puedes usar transportador para construir los ángulos.)
Las preguntas (2) y (3) no son dibujos a escala.
Desafío
Curso:
Fecha:
155º
H
K
J
L
LHJ = 65
c
Y
O
X
b
Capítulo 12: Ángulos
M
a
N
c = 135 °
(2) MON y XOY son líneas rectas y a = b. Encuentra c.
G
°
97
(1) GHJ es una línea recta. LHK es un ángulo recto. Encuentra LHJ.
Los siguientes no son dibujos a escala.
Nombre:
171
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09-04-13 10:32
A
B
26°
E
C
F
FBC = 26
° agudo
98
W
C
A
O
Y
56º
B
X
COY =
Capítulo 12: Ángulos
56 ° agudo
AOX = 124 ° obtuso
(4) AOB y WOX son líneas rectas. COB y YOX son ángulos rectos. Encuentra AOX y COY y determinar si son obtusos o agudos.
D
(3) ABC es una línea recta. ABE y DBF son ángulos rectos. Encuentra FBC y determina si es obtuso o agudo.
Piensa y resuelve
Curso:
Fecha:
(b) (c) (d)
r + s = p + q
q = 180° – p
s = p – r
p = r + s
✓
✓
✓
L
J p
q
t
s r K
M
E
= 180 °
AOC + FOD + BOE
Capítulo 12: Ángulos
C
A
O
D
s) AOC + AOF + FOD = 180° ( s sobre una línea recta)
BOE = AOF (opuestos por el vértice
B
F
99
(2) AB, CD y EF son líneas rectas. Encuentra la suma de AOC, FOD y BOE.
(a)
(1) JK y LM son líneas rectas. ¿Cuál de la siguientes afirmaciones sobre la imagen que se presenta a continuación son verdaderas? Marca las respuestas correctas.
Las siguientes imágenes no son dibujos a escala.
Nombre:
172
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1 2
El horario gira 135° entre las 3 p.m. y las 7:30 p.m.
1 4 × 30° = 135° 2
Desde las 3 p.m. a las 7:30 p.m. → 4
Cada hora, el horario gira 30°.
las 7:30 p.m.?
B
b = 120°
E
Capítulo 12: Ángulos
a = 60°,
a
b
Si b es dos veces el tamaño de a, encuentra a y b.
A
100
C
135° D
¿Cuántos grados gira el horario de un reloj entre las 3 p.m. y
B
A
b
(5) El siguiente no es un dibujo a escala. AB es una línea recta. Los valores de a y b son números enteros.
(4)
b = 360° − 135° − 90° = 135°
(3) ABCD es un cuadrado. BDE es una línea recta. Encuentra b.
173
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1
1
Horas pedagógicas
• caracterizar un triángulo rectángulo • expresar que en un triángulo rectángulo, los ángulos que no son rectos suman 90°. • encontrar ángulos desconocidos en un triángulo rectángulo utilizando sus propiedades.
Triángulos rectángulos Los estudiantes serán capaces de:
(2) Triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros
Los estudiantes deben comprender que para cualquier triángulo, si se da el valor de uno de sus ángulos, los otros dos deben sumar la diferencia entre 180° y el ángulo dado.
Diario matemático
• reconocer que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. • encontrar el ángulo desconocido de un triángulo, dados los otros dos ángulos.
Los estudiantes serán capaces de:
(1) Ángulos de un triángulo
Objetivos
• Libro del Alumno 5B, págs. 117 a 119 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 103 a 104 • Guía del Profesor 5B, págs. 183 a 185
• Libro del Alumno 5B, págs. 113 a 116 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 101 a 102 • Guía del Profesor 5B, págs. 179 a 182
Recursos
Habilidades
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Identificar relaciones Visualización espacial
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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1
1
Horas pedagógicas
• caracterizar un triángulo equilátero • expresar que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades del triángulo equilátero.
Los estudiantes serán capaces de:
Triángulos equiláteros
• caracterizar un triángulo isósceles. • establecer que los ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo, tienen la misma medida. • encontrar la medida de ángulos desconocidos utilizando las propiedades del triángulo isósceles.
Los estudiantes serán capaces de:
Triángulos isósceles
Los estudiantes deben explicar que uno de los ángulos en un triángulo rectángulo debe ser 90° y que los 3 ángulos deben sumar 180°.
¡Exploremos!
Objetivos
• Libro del Alumno 5B, págs. 123 a 125 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 107 a 109 • Guía del Profesor 5B, págs. 189 a 191
• Libro del Alumno 5B, págs. 120 a 123 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 105 a 106 • Guía del Profesor 5B, págs. 186 a 189
Recursos
Habilidades Identificar relaciones Visualización espacial Comparar Deducir
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
175
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1
Horas pedagógicas
Los estudiantes deben expresar por escrito que comprenden las propiedades de un triángulo isósceles y de un triángulo rectángulo.
Diario matemático
Los estudiantes deben dibujar triángulos basándose en la información dada, identificándo qué triángulos se pueden formar, y de qué tipo.
¡Exploremos!
Objetivos • Libro del Alumno 5B, pág. 126 • Guía del Profesor 5B, pág. 192
Recursos
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Identificar relaciones Visualización espacial
Habilidades
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2
2
Horas pedagógicas
• caracterizar un rombo • expresar que los ángulos opuestos de un rombo son iguales. • expresar que cada par de ángulos consecutivos de un rombo suman 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades de un rombo.
Los estudiantes serán capaces de:
Rombos
• caracterizar un paralelogramo • expresar que los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. • expresar que cada par de ángulos que se encuentran entre dos lados paralelos de un paralelogramo suman 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades de un paralelogramo.
Los estudiantes serán capaces de:
Paralelógramos
(3) Paralelógramos, rombos y trapecios.
Objetivos
• Libro del Alumno 5B, págs. 133 a 135 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 113 a 114 • Guía del Profesor 5B, págs. 199 a 201
• Libro del Alumno 5B, págs. 128 a 133 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 111 a 112 • Guía del Profesor 5B, págs. 194 a 199
Recursos
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Habilidades
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2
Horas pedagógicas
• expresar las semejanzas y diferencias entre los distintos cuadriláteros estudiados. • entender que un cuadrado también puede ser considerado como un rectángulo, un rombo, un paralelogramo o un trapecio, porque tiene sus propiedades.
Los estudiantes serán capaces de:
Diario matemático
• caracterizar un trapecio • expresar que cada par de ángulos consecutivos entre dos lados paralelos suman 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades de un trapecio.
Los estudiantes serán capaces de:
Trapecios
Objetivos • Libro del Alumno 5B, págs. 135 a 138 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 115 a 116 • Guía del Profesor 5B, págs. 201 a 204
Recursos
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Habilidades
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1
2
Horas pedagógicas
Los estudiantes deben aplicar las propiedades de los triángulos para encontrar la respuesta
¡Activa tu mente!
Enfatice en los conceptos clave, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. Comente el ejemplo resuelto con los estudiantes para evaluar si han dominado estos conceptos, habilidades y procesos.
¡Resumamos!
• describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras tridimensionales • indicar en figuras tridimensionales, cuáles aristas o caras son paralelas, perpendiculares o se intersectan en un ángulo distinto a 90º.
Los estudiantes serán capaces de:
(4) Propiedades de figuras 3D
Objetivos
• Libro del Alumno 5B, págs. 145 a 146 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 119 a 120 • Guía del Profesor 5B, págs. 211 a 212
• Libro del Alumno 5B, págs. 139 a 144 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 117 a 118 • Guía del Profesor 5B, págs. 205 a 210
Recursos
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Heurística para resolver problemas: Replantear el problema
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Habilidades
Capítulo trece
Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D Objetivos: Ángulos de un triángulo Los estudiantes serán capaces de: • reconocer que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. • encontrar el ángulo interior desconocido de un triángulo, dados los otros dos ángulos interiores.
Concepto clave
Materiales
Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
• Plantilla de triángulos de papel (Ver Apéndice 5 en la pág. 294) • Tijeras • Regla
Habilidades • Identificar relaciones • Visualización espacial
Gestión de la clase
Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D ¡Aprendamos!
Ángulos de un triángulo 1
Realiza esta actividad. Dibuja dos triángulos diferentes en una hoja y luego recórtalos. Nombra cada ángulo del triángulo, como se muestra en las fi guras. A
A a B
a
b
B
c
b c
C
a
C
Recorta los 3 ángulos de cada triángulo y ordénalos en una línea recta como se muestra a continuación. b
c
a
b
c
¿Qué puedes decir acerca de la suma de los ángulos en un triángulo? a b c = 180°
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.
La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. Pida a su hijo o hija que dibuje tres triángulos y que luego mida los ángulos de cada triángulo usando un transportador. Luego, que encuentre la suma de los tres ángulos en cada triángulo, para verifi car que suman 180°. 113 Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Matemática en la casa
1
• Entregue a cada estudiante un triángulo de papel. Pídales que: (i) Corten con tijera o a mano los ángulos del triángulo, como se muestra en el Libro del Alumno (ii) Dibujen una línea recta y coloquen juntos los tres ángulos de manera que los tres vértices queden en un mismo punto de la línea recta. • Pregunte a los estudiantes: “¿Estos 3 ángulos completan un ángulo en la línea recta?” (Sí) “¿Cuál es la suma de los ángulos en la línea recta?” (180°) “¿Cuál es la suma de estos 3 ángulos?” (180°) • Muestre un diagrama de otros triángulos como el triángulo rectángulo u obtusángulo. Ordene los tres ángulos recortados de cada uno de estos triángulos en una línea recta. • Mediante esta demostración, hecha con material concreto, guíe a los estudiantes para que concluyan que la suma de los 3 ángulos de cualquier triángulo es 180°.
179
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Actividad adicional
Materiales
Nota
Pida a los estudiantes que dibujen tres triángulos de cualquier forma y tamaño. Luego pídales que midan los ángulos de cada triángulo con un transportador y que encuentren la suma de los ángulos. Esta actividad refuerza el concepto de que los ángulos de cualquier triángulo suman 180°.
• Transportador
Recuerde a los estudiantes que, a menos que se diga lo contrario, los triángulos no estarán dibujados a escala en el Libro del Alumno, por lo tanto, no podrán utilizar el transportador para encontrar un ángulo desconocido.
Gestión de la clase 2
• Muestre cómo encontrar el ángulo desconocido en un triángulo, cuando se conocen los otros 2 ángulos. • Guíe a los estudiantes para que deduzcan que el ángulo desconocido se encuentra sustrayendo la suma de los 2 ángulos dados a 180°. Entonces:
2 En el triángulo ABC, encuentra la medida del ABC La suma de los ángulos de un triángulo es 180°
A 78°
180° 45°
45° C
B
78°
ACB
ACB 45° 78° = 180° ACB = 180° 45° 78°
ACB = 180° 45° 78° = 57°
ACB = 180° – 78° – 45° = 57° 3
• Asigne a los estudiantes estos ejercicios como práctica guiada.
3 Encuentra el ángulo desconocido de cada triángulo.
a
E
b
D
86°
32°
La suma de los ángulos de un triángulo es 180° EDF + 32° + 86° = 180° F
EDF = 180° 32 ° 86 °
= 62 ° P 18°
20°
R
Q
PRQ = 180 ° 20 ° 18 ° 114
= 142 ° Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
180
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben comprender que para cualquier triángulo, si se da el valor de uno de sus ángulos, los otros dos deben sumar la diferencia entre 180º y el ángulo dado.
Gestión de la clase (Diario matemático) a D i a ri o m a t e m á t i c o
Recuerda que para designar a un triángulo podemos usar el símbolo .
a En un ABC, BAC = 50°. Se muestran tres ejemplos posibles del ABC.
Las fi guras no están dibujadas a escala. B
A
50°
A
A
b
50°
50°
• Los estudiantes debieran ser capaces de explicar que la suma de los ángulos de un triángulo no puede ser mayor que 180°.
C
B B C C
i ¿Qué puedes decir sobre la suma de ABC y ACB en cada uno de
estos tres triángulos ?
ABC + = 130°
ACB
ii Nombra cinco posibles combinaciones de valores para ABC y ACB.
iii ¿Puede el ABC medir 120°? Explica tu respuesta. Sí, entonces
Acepte todas las respuestas posibles que sumen 130°.
¿Puede el ABC medir 130°? Explica tu respuesta. No, porque ABC + BAC ya sumarían 180°.
b
• Los estudiantes debieran ser capaces de mostrar que, si se conoce la medida de un ángulo en un triángulo, por ejemplo, 50°, entonces los otros dos ángulos deben sumar (180° – 50°), es decir, 130°.
ACB = 10°
k, l y m son los tres ángulos del KLM. i Si el k es mayor que 90°, ¿puede el l ser mayor que 90° también?
¿Por qué? No, porque entonces
k+
l ya sería mayor que 180°.
ii Si el k es mayor que 90°, ¿qué puedes decir de los ángulos l y m?
La suma de los dos ángulos
ly
m es menor que 90°.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
115
181
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 13a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 101 a 102.
¡Practiquemos! 13a Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra el ángulo designado con una letra en cada fi gura. 1
2 64°
40°
a = 90°
b = 52°
b
a
50°
3
64°
36°
4
c
d
c = 63°
81°
d = 63° 27°
5 90°
6
e
16°
78°
e = 74° 33°
7
8
g
g = 55° 63°
120° 22°
f = 69°
f
h
h = 38°
62°
Cuaderno de Trabajo 5B, p 101, Práctica 1
116
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
182
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Objetivos: Triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros Triángulos rectángulos
Concepto clave
Materiales
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide 90°.
• Escuadra
Habilidades
Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un triángulo rectángulo. • expresar que en un triángulo rectángulo, los ángulos que no son rectos suman 90°. • encontrar ángulos desconocidos en un triángulo rectángulo, utilizando sus propiedades.
• • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Gestión de la clase 1
• Pida a los estudiantes que recuerden la definición de triángulo rectángulo: es aquél que tiene uno de sus ángulos recto (90º).
¡Aprendamos!
Triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros Triángulos rectángulos
2
1 En el ABC, el ABC es un ángulo recto.
• Pida a los estudiantes que identifiquen y tracen triángulos rectángulos utilizando una escuadra. • Pídales que caractericen a un triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es un ángulo recto (90°).
A Un ángulo recto mide 90°.
C
B
El ABC se llama triángulo rectángulo. 2 A continuación hay otros tres ejemplos de triángulos rectángulos.
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
Utiliza una escuadra para averiguar cuáles de estos triángulos son rectángulos. Los triángulos ABC y PQR son rectángulos. A
D
P
L
F
N
C E
M
B Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Q
R 117
183
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Actividad adicional Entregue a los estudiantes el dibujo de un triángulo rectángulo (Ver Apéndice 4 en la pág. 335). Pídales que lo recorten. Luego, que identifiquen el ángulo recto y que doblen los otros dos ángulos para que encajen con el ángulo recto. Oriéntelos para que concluyan que cuando uno de los ángulos de un triángulo es recto, la suma de los otros dos es 90°.
Uso de tecnología
Materiales
Usar un programa de dibujo del computador para dibujar distintos triángulos rectángulos.
• Transportador • Computador con un programa de dibujo instalado • Plantilla modelo de un triángulo rectángulo (ver Apéndice 6 en la pág. 295)
Gestión de la clase 3
• En el Δ ABC, c = 90°. Guíe a los estudiantes para que demuestren que la suma de los otros dos ángulos es 90°.
3 ABC es un triángulo rectángulo. A a
I
ta én nt
4
90°
C
En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos que no son rectos es 90°.
lo!
Usa un programa de dibujo del computador para dibujar tres triángulos rectángulos. Imprímelos. En cada triángulo, usa un transportador para medir los ángulos que no son rectos. Encuentra su suma. ¿Suman 90°?
5 En el ABC, el CAB es un ángulo recto y el ACB = 60°. Encuentra la medida del ABC. A
C
60°
Método 1: Restar 90° y el ángulo dado, de 180°. Este método utiliza la propiedad: “la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.” Entonces: ABC = 180° – 90° – 60° = 30° Método 2: Restar el ángulo dado de 90°. Este método utiliza la propiedad de que cuando uno de los ángulos de un triángulo es recto, la suma de los otros dos es 90°. Entonces: ABC = 90° – 60° = 30°
b
c = 90° a b c = 180° a b 90° = 180° a b = 180° 90° = 90°
5
• Explique a sus estudiantes cómo encontrar el ángulo desconocido, dado uno de los ángulos no rectos en un triángulo rectángulo. Guíelos para que calculen el ángulo desconocido usando uno de estos métodos:
c
b
B
a
a b 90° = 180° a b = 180° 90°
4
• Pida a los estudiantes que usen un programa de dibujo del computador para crear 3 triángulos rectángulos. Pídales que midan en cada triángulo, los dos ángulos que no son rectos, y que verifiquen que la suma de ellos es 90°.
180°
ABC ACB = 90° Entonces, ABC = 90° ACB = 90° 60° 90° B
ABC = 90° 60° = 30°
Matemática en la casa
118
60° ABC ABC = 90° 60°
Pida a su hijo o hija que recorte un triángulo rectángulo, a partir de un rectángulo de papel. Reorte los dos ángulos que no son rectos y ubíquelos sobre el ángulo recto. ¿Encajan exactamente sobre el ángulo recto? Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Objetivo de la actividad
Trabajo personal
Los estudiantes deben explicar que uno de los ángulos de un triángulo rectángulo debe ser 90º y que los tres ángulos deben sumar 180º.
• Asigne a los estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 103 a 104.
Gestión de la clase 6
6 Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra la medida del ángulo desconocido en cada uno de los triángulos rectángulos.
L
a
R
b
45° T M
74°
S
N
MLN = 90° 74 °
= 16 °
A
c
RST = 90° 45 ° = 45 °
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica orientada. (¡Exploremos!) • Para cada uno de los tríos de ángulos, los estudiantes deben identificar cuáles pueden ser ángulos de un triángulo rectángulo.
D
75°
C
B
CBD = 90 ° 15 °
ACB = 90 ° 75 °
= 15 °
= 75 °
¡Exploremos! Observa cada conjunto de tres ángulos. a 48°, 90°, 42°
b 29°, 72°, 90°
c 23°, 47°, 90°
d 90°, 31°, 59°
¿Cuáles de estos conjuntos de ángulos pueden pertenecer a un triángulo rectángulo? ¿Qué puedes decir de los ángulos de un triángulo rectángulo? Sólo a) y d) suman un total de 180°. Los dos ángulos, que no son rectos deben sumar 90°. Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Cuaderno de Trabajo 5B, p 103, Práctica 2
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Objetivos: Triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros Triángulos isósceles Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un triángulo isósceles. • establecer que los ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo, tienen la misma medida. • encontrar la medida de ángulos desconocidos utilizando las propiedades del triángulo isósceles.
Concepto clave
Materiales
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales.
• Regla • Transportador • Computador con un programa de dibujo • Plantilla de un triángulo isósceles (ver Apéndice 6 en la pág. 295)
Habilidades • • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Gestión de la clase 7
• Pida a los estudiantes que recuerden lo que es un triángulo isósceles: es aquél triángulo con 2 lados de igual medida. • Muestre como representar los lados iguales de un triángulo isósceles.
Triángulos isósceles 7 En el PQR, PQ = PR P
Q
8
• Los estudiantes debieran ser capaces de explicar por qué éstos son triángulos isósceles: cada triángulo tiene 2 lados de igual medida.
Los lados que miden lo mismo en un triángulo isósceles los marcamos así:
R
El PQR se llama triángulo isósceles. 8 Los siguientes tres triángulos también son isósceles.
9
• Entregue a cada estudiante el recorte de un triángulo isósceles. Pídales que doblen el triángulo en la mitad por la línea de simetría y digan lo que observan acerca de los ángulos b y c.
Un triángulo es isósceles si tiene dos lados de igual medida.
9
Realiza esta actividad. Copia este triángulo isósceles ABC y recórtalo. A a
B
120
b
c
C
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Gestión de la clase
• Pregunte a sus estudiantes: “¿Qué notan con respecto a los 2 ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo?”
Dóblalo por su eje de simetría.
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo, tienen la misma medida. Son los ángulos basales del triángulo.
a
b
c
¿Qué puedes decir de los ángulos b y c?
En el triángulo isósceles ABC, b = c.
• Pida a los estudiantes que observen los triángulos dados y decidan cuáles son isósceles midiendo los lados con una regla o los ángulos con un transportador.
Son iguales.
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo, tienen la misma medida
Usa una regla o un transportador para averiguar cuál de los siguientes triángulos son isósceles. Triángulos ABC, LMN, PQR B
A
D
F
L P Q
E
C
R
M
10
N
• Muestre cómo encontrar ángulos desconocidos en un triángulo isósceles.
10 Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala.
a En el ABC, AB = AC y
ABC = 62°. Encuentra las medidas de
a
ACB y BAC. C
B
A
ACB = ABC = 62°
BAC = 180° 62° 62° = 56°
Los ángulos opuestos a los lados iguales tienen la misma medida
•
ACB es igual a ABC. Esto se deduce de la propiedad que señala que los ángulos opuestos a los lados iguales tienen la misma medida. Entonces: ACB = ABC = 62°
•
BAC se encuentra restando los dos ángulos basales de 180°. Esto, según la propiedad que señala que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Entonces: BAC = 180° – 62° – 62° = 56°
La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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• Esta actividad ayuda a los estudiantes a entender que cuando dos lados o dos ángulos de un triángulo tienen la misma medida, se trata de un triángulo isósceles.
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Gestión de la clase b
•
e + f = 180° – 78° = 102° Esto, según la propiedad: “la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.”
• Dado que e = f, ya que los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles tienen la misma medida, divida 102° por 2 para encontrar uno de los ángulos. Entonces: e = f = 102° : 2 = 51° 11
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada.
b En el DEF, DE = DF y
EDF = 78°. Encuentra las medidas de e y f.
D
Los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo.
78°
e
E
f
e = f = 102° : 2 = 51°
e f = 180° 78° = 102°
F
180° 78° e
e
f
f = 180° 78° 102° e
f
e = f 2 partes = 102° 1 parte = 102° : 2
11 Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra las medidas de los ángulos marcados. a En el ABC, AB = AC y
A
C
ABC = 39°. Encuentra la medida de BAC. ACB = ABC = 39 ° BAC = 180 ° 39° 39 ° = 102 °
39° B
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Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal
Objetivos: Triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros Triángulos equiláteros
• Asigne a los estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 105 a 106.
Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un triángulo equilátero • expresar que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades del triángulo equilátero.
Concepto clave Un triángulo es equilátero si sus tres lados miden lo mismo.
Habilidades • • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Gestión de la clase 12
b En el DEF, DF = EF y
DFE = 74°. Encuentra las medidas de DEF y
EDF.
D
74°
EDF DEF = 180 ° 74 ° = 106 ° EDF = DEF = 106 ° : 2 = 53 °
F
• Pida a sus estudiantes que recuerden lo que es un triángulo equilátero: un triángulo con 3 lados de la misma medida. • Muestre como representar los lados iguales de un triángulo equilátero.
E
c En el ABC, AB = BC.
d En el ABC,
Encuentra la medida del CBE. 45° A
BAC = 90°, ABD = 42° y AC = AD Encuentra la medida del CAD 84° 42°
B
A
D E
B
C
C Cuaderno de Trabajo 5B, p 105, Práctica 3.
Triángulos equiláteros 12 En el ABC, AB = BC = CA. A
B
Los lados que miden lo mismo en un triángulo equilátero los marcamos así:
C
El ABC se llama triángulo equilátero.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Materiales • Regla • Transportador
Gestión de la clase 13
• Pida a los estudiantes que midan los lados de los triángulos dados utilizando una regla. • Pregunte a los estudiantes: “¿Qué notan acerca de los 3 lados de un triángulo equilátero?” (Los 3 lados de un triángulo equilátero miden lo mismo). 14
• Guíe a los estudiantes para que deduzcan que los tres ángulos de un triángulo equilátero tienen la misma medida, basándose en el hecho que un triángulo equilátero es también un triángulo isósceles. • Luego guíelos para que deduzcan que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°. • Pídales que midan los ángulos de un triángulo equilátero con un transportador para verificar que cada ángulo mide 60°.
13 Los siguientes tres triángulos también son equiláteros. 60ϒ
Un triángulo es equilátero si sus tres lados miden lo mismo.
14 XYZ es un triángulo equilátero. X
Un triángulo equilátero también es isósceles.
x
Y
y
z
Z
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados que miden lo mismo, también miden lo mismo.
En el XYZ, XY = XZ, YZ = YX, ZX = ZY Entonces, y = z, z = x, x = y. Por lo tanto, x = y = z. Los tres ángulos de un triángulo equilátero miden lo mismo. 180°
x y z = 180° x = y = z = 180° : 3 = 60°
x
y
z
3 partes = 180° 1 parte = 180° : 3
Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°.
124
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Gestión de la clase y 16 • Asigne a los estudiantes estos ejercicios como una práctica guiada y como evaluación formativa. 15
15 ¿Cuáles de los siguientes triángulos son equiláteros?
Triángulos ABC y LMN
60ϒ
A
a
D
b
70ϒ
70º 60º
X
d
60º
60º
B
L
c
F
C
60º
M
N
Z
Y
E
16 a ABC es un triángulo equilátero. b ABD es un triángulo equilátero. Encuentra las medidas de ACB Encuentra la medida del BAD. 30° y BDC. ACB = 30° A BDC = 120° A
D B
B
C
D
C
c ABC es un triángulo equilátero. d PQR es un triángulo equilátero.
Encuentra la medida de ADE. ADE = 60° A
PS = PT. Encuentra la medida del PST. PST = 60° P
S
T
E B
D
C
Q
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
R
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191
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Objetivos de las actividades (¡Exploremos!) Los estudiantes deben dibujar triángulos basándose en la información dada, identificando qué triángulos se pueden formar, y de qué tipo.
Materiales • Papel cuadriculado (ver Apéndice 7 en la pág. 296)
Habilidades • Identificar relaciones • Visualización espacial
(Diario matemático) Los estudiantes deben expresar por escrito que comprenden las propiedades de un triángulo isósceles y un triángulo rectángulo.
Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Los estudiantes tienen que dibujar triángulos en una hoja cuadriculada, según los datos que se dan. Algunos triángulos no se pueden dibujar. • Pida a los estudiantes que den nombres a los triángulos que han dibujado. Si un triángulo no puede ser dibujado, pregunte a los estudiantes por qué no es posible dibujarlo. (Diario matemático) • Esta actividad permite a los estudiantes mostrar la comprensión que poseen de las propiedades de los triángulos isósceles y rectángulos.
¡Exploremos! 1 Dibuja los siguientes triángulos en una hoja cuadriculada. ¿Hay algunos triángulos que no se puedan formar? Describe qué tipo de triángulos son los que sí se pueden formar. a Un triángulo con 2 lados iguales y un ángulo mayor que 90°. Un triángulo
isósceles.
b Un triángulo con 3 lados iguales. Un triángulo equilátero.
c Un triángulo rectángulo con 3 lados iguales. Este Este triángulo se puede formar. triángulo no seno puede formar.
d Un triángulo rectángulo con 2 lados iguales. Un triángulo rectángulo
e Un triángulo con 2 lados iguales y los 3 ángulos menores que 90°.
f Un triángulo con 3 lados diferentes y 2 ángulos iguales. Este triángulo no
g Un triángulo rectángulo con 3 lados diferentes. Un triángulo rectángulo.
isósceles.
Un triángulo isósceles. se puede formar.
D i a ri o m a t e m á t i c o
a En el PQR, PR = PQ.
b En el XYZ,
Escribe todo lo que puedas decir sobre el PQR.
XYZ = 43° y XZY = 47°. Escribe todo lo que puedas decir sobre el XYZ. X
R
P
Q Y
PQR = PRQ. PQR es un triángulo isósceles.
126
43°
47°
Z
XYZ + XZY = 90°. YXZ = 90°. XYZ es un triángulo rectángulo.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 13b. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 107 a 110.
¡Practiquemos! 13b Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala.
1 ABC es un triángulo equilátero. Encuentra la medida del ACB. 60° A
2 En el EFG, FE = FG. Encuentra la medida del GEF. 36° E
formar. ar. F
C
B
36°
G
3 En el DEF, DE = DF y EDF = 54°. 4 En el PQR, PR = QR y QPR = 55°. Encuentra la Encuentra la medida del DFE. 63° D medida del PRQ. P F 70° 54° 55°
Q R
E
5 En el PQR, QP = QR. 6 En el ABC, AC = BC. PQR y RSQ son ángulos rectos Encuentra la medida de ABE. Encuentra la medida de QPR y RQS. ABE = 23° A 45°, 45° P E
S
Q
R
32° B
70° C Cuaderno de Trabajo 5B, p 107, Práctica 4.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Objetivos: Paralelógramos, rombos y trapecios. Paralelógramos Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un paralelogramo • expresar que los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. • expresar que cada par de ángulos consecutivos de un paralelogramo suma 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades del paralelogramo.
Conceptos claves
Materiales
Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que: • Los lados opuestos son paralelos • Los ángulos opuestos tienen la misma medida • Cada par de ángulos consecutivos suma 180°.
• Escuadra • Regla
Habilidades • • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Gestión de la clase 1
• Dé a los estudiantes la definición de un paralelogramo: un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos. 2
¡Aprendamos!
Paralelogramos, rombos y trapecios Paralelogramos
• Guíe a los estudiantes para que identifiquen, usando regla y escuadra, cuáles de las figuras dadas no son paralelogramos.
1 En la fi gura ABCD, AB es paralelo a DC y BC es paralelo a AD. A
D Puedo escribir que AB es paralelo a DC como AB // DC y que BC es paralelo a AD como BC // AD.
B
C
La fi gura ABCD se llama paralelogramo. 2 Los tres cuadriláteros siguientes son ejemplos de paralelogramos.
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.
Usa una regla y una escuadra para averiguar cuáles de estas fi guras no son paralelogramos. Las figuras EFGH y PQRS no son paralelogramos. A
B 128
E
D
C
F
H
G
K
N
L
P
M
Q
S
R
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Materiales • Plantilla con paralelogramos (ver Apéndice 8 en la pág. 297) • Tijeras
Gestión de la clase 3
3
A
Realiza esta actividad. Haz dos copias del paralelogramo ABCD y recórtalas.
C
B
D
Corta uno de los paralelogramos en dos partes y desplaza una de ellas para que los lados AD y BC coincidan, como se muestra. A
D
A B
B
C D
C
¿Qué puedes decir sobre los lados AD y BC?
De la misma forma, corta el otro paralelogramo en 2 partes y desplaza una de ellas para que los lados AB y DC coincidan, tal como se muestra. A
B
DA
D
C
• Entregue a cada estudiante dos paralelogramos de papel. • Pídales que corten cada paralelógramo como se muestra en el Libro del Alumno y que dispongan las dos piezas de manera que sus lados opuestos encajen. • Luego pregunte: “¿Qué notan acerca de los lados opuestos de un paralelogramo?” • Mediante esta actividad, los estudiantes pueden ver que, en un paralelogramo, los lados opuestos miden lo mismo.
CB
¿Qué puedes decir acerca de los lados AB y DC?
En el paralelogramo ABCD, AD = BC y AB = DC
Los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma medida. Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Materiales • Plantilla con paralelogramos (ver Apéndice 8 en la pág. 297) • Tijeras
Gestión de la clase 4
• Entregue a cada estudiante dos paralelogramos de papel. • Pídales que corten uno de los paralelogramos como se muestra en el Libro del Alumno y que ordenen las dos piezas de manera que los ángulos opuestos encajen. • Luego pregunte a los estudiantes: “¿Qué notan acerca de los ángulos opuestos en un paralelogramo?” • Mediante esta actividad, los estudiantes pueden ver que en un paralelogramo, los ángulos opuestos tienen la misma medida. • A continuación, pida a los estudiantes que recorten los ángulos y los dispongan de la manera que se muestra en el Libro del alumno. • Luego pregunte a los estudiantes “¿Qué ángulos suman 180°?” ( py y ry
q, q)
ry
s,
py
s,
4
P
Realiza esta actividad.
s
p
Haz dos copias del paralelogramo PQRS y recórtalas.
r
q Q
R
Corta una copia del paralelogramo en dos partes. Luego, gira una de las partes para hacer coincidir el p con el r y el q con el s, como se muestra a continuación. P
s
p
S
P R pr
S Q sq
r
q Q
S
R
¿Qué puedes decir sobre p y r, q y s? En el paralelogramo PQRS, p = r y q = s. Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.
P
Toma la otra copia del paralelogramo. Recorta los ángulos p, q, r y s, como muestra la fi gura. En un cuadrilátero se llaman ángulos consecutivos a aquellos que tienen un lado en común.
s
p
S
r
q Q
R
Son ángulos consecutivos: p y q, q y r, r y s, s y p
Coloca p y q juntos en una línea recta como la que se muestra. De la misma manera, coloca r y s juntos. p
130
q
r
s
¿Qué puedes decir acerca de la suma de: a b p y q, r y s? Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Gestión de la clase
• Mediante esta actividad, los estudiantes pueden ver que cada par de ángulos consecutivos suman 180°.
Ahora coloca p y s juntos en una línea recta, como se muestra. Del mismo modo, coloca r y q juntos. p
r
s
¿Qué puedes decir de la suma de: a b p y s,
5
q
• Explique a sus estudiantes como encontrar los tres ángulos desconocidos de un paralelogramo, dado uno de los ángulos. Ejemplo:
r y q?
p +
q = 180° p +
s = 180°
r +
s = 180°
r +
q = 180°
En un paralelogramo, cada par de ángulos consecutivos suma 180°. 5 Encuentra los ángulos desconocidos en el paralelógramo STUV.
V
STU = SVU = 80°
80º
S
TUV = 180° 80° = 100°
SVU y STU son ángulos opuestos. SVU = STU
TUV y SVU son dos ángulos consecutivos.
(i)
STU = SVU = 80° (ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
(ii)
TUV = 180° – 80° = 100° (cada par de ángulos consecutivos suma 180°)
(iii)
VST = TUV = 100° (ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales)
U
T
VST = TUV = 100° Cuando se conoce cualquiera de los ángulos de un paralelogramo, podemos determinar los otros tres ángulos.
VST y TUV son ángulos opuestos. VST = TUV
Matemática Dibuje un paralelogramo. Pida a su hijo o hija que mida los lados opuestos para que verifi que que en la casa son iguales. Haga lo mismo con los ángulos opuestos.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Gestión de la clase 6
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada.
6 Las siguientes figuras no están dibujadas a escala. Encuentra la medida de los ángulos marcados en cada uno de estos paralelogramos.
a Calcula la medida de
P
70°
PQR.
b Calcula la medida de A
S 56°
B Q
ABC.
D
R C
PQR = PSR = 70 °
c Calcula las medidas de
ABC = 180 ° 56 ° = 124 °
MQP y d Calcula las medidas de WZY, ZWX y ZYX.
NMQ.
Z
Q M
Y
W
P
132°
104°
N
X
MQP = MNP = 132 ° NMQ = 180 ° 132 °
= 48 °
la medida de RQS. Q
P
R
132
ZYX =
e PQRS es un paralelogramo. Encuentra
WXY = 104 ° 180 ZWX = ° 104 ° = 76 ° WZY =
25°
75°
ZWX = 76 ° PQR y SPQ son dos ángulos consecutivos.
PQR = 180 ° 75 ° = 105 ° RQS = PQR PQS
S
= 105 ° 25 °
= 80 °
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal
Objetivos: Paralelogramos, rombos y trapecios. Rombos
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 111 a 112.
Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un rombo • expresar que los ángulos opuestos de un rombo son iguales. • expresar que cada par de ángulos consecutivos de un rombo suma 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades del rombo.
Concepto clave Un rombo es un paralelógramo con 4 lados iguales donde los ángulos opuestos miden lo mismo y cada par de ángulos consecutivos suma 180°.
Habilidades • • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Materiales • Plantilla de un rombo (ver Apéndice 8 en la pág. 297)
Gestión de la clase 7
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica orientada.
7 Las siguientes figuras no están dibujadas a escala.
a ABCD es un paralelogramo.
b PQRS es un paralelogramo.
Calcula la medida de BDC. BDC = 35° A
Calcula la medida de SPT. SPT = 42° P
D
8
T
48°
125°
• Explíqueles la definición de un rombo: una figura de 4 lados en la que los ángulos opuestos son iguales y todos los lados son iguales.
S
20° B
C
Q
R Cuaderno de Trabajo 5B, p 111, Práctica 5
Rombos
8 En la figura ABCD, AB es paralelo a DC, AD es paralelo a BC y AB = BC = CD = DA.
La figura ABCD se llama rombo.
Aquí hay otros tres ejemplos de rombos.
A
9
D
B
C
• Explíqueles que el rombo es un paralelogramo y por ello sus ángulos opuestos tienen la misma medida y cada par de ángulos consecutivos suma 180°. • Entregue a cada estudiante el dibujo de un rombo. Pídales que midan los ángulos marcados a, b, c, d en el rombo para verificar las propiedades mencionadas anteriormente.
9 Un rombo es una figura de 4 lados en la que los lados opuestos son paralelos y sus 4 lados son iguales. D
A d
a
b B
Un rombo es un paralelogramo con sus cuatro lados iguales.
c C
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
133
199
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Gestión de la clase 10
• Muéstreles como encontrar los tres ángulos desconocidos en un rombo, dado uno de los ángulos. Ejemplo: (i)
ABC = ADC = 65° (los ángulos opuestos de un rombo son iguales)
(ii)
BAD = 180° – 65° = 115° (cada par de ángulos consecutivos suma 180°)
(iii)
DCB = BAD = 115° (los ángulos opuestos de un rombo son iguales), o bien, BCD = 180° – 65° = 115° (cada par de ángulos consecutivos suma 180°)
11
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada.
Entonces, en el rombo ABCD
a =
c y
b =
d
Los ángulos opuestos de un rombo miden lo mismo. a
b = 180°
a
d = 180°
c
d = 180°
b
c = 180°
En un rombo, cada par de ángulos consecutivos suma 180°. 10 Podemos usar las propiedades de un rombo para encontrar ángulos desconocidos. En el rombo ABCD:
A
ABC = ADC = 65°
Los ángulos opuestos miden lo mismo.
BAD = 180° 65° = 115°
BAD y ADC son ángulos consecutivos.
DCB = BAD = 115°
DCB y BAD son ángulos opuestos.
C
B
D
65°
11 Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra la medida del ángulo marcado en cada rombo.
a Calcula la medida de
H
FGH. b Calcula la medida de KJL.
G
M 28°
83°
E
J
F
FGH = 180 ° 83 ° 134
= 97 °
L
124°
K
KJM = 180° 124 ° = 56 °
KJL = 56 ° 28° = 28 °
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal
Objetivos: Paralelógramos, rombos y trapecios. Trapecios
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 6 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 113 a 114.
Los estudiantes serán capaces de: • caracterizar un trapecio • expresar que cada par de ángulos consecutivos entre los lados paralelos suma 180°. • encontrar ángulos desconocidos utilizando las propiedades del trapecio.
Concepto clave Un trapecio es una figura de 4 lados en la que sólo un par de lados opuestos son paralelos y cada par de ángulos consecutivos entre los lados paralelos, suma 180°.
Habilidades • • • •
Comparar Identificar relaciones Visualización espacial Deducir
Materiales • Plantilla de un rombo (ver Apéndice 8 en la pág. 297)
Gestión de la clase y 13 • Asigne a los estudiantes estas actividades a modo de evaluación formativa. 12
Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala.
64°
A
12 ABCD es un rombo. Calcula la medida de DAB. DAB = 128°
D
14
64° B
C A
13 ABCD es un rombo. Calcula la medida de ABE. ABE = 25°
E
50°
105°
B
Trapecios
D
• Dé a los estudiantes la definición de un trapecio: una figura de 4 lados en la que sólo dos lados opuestos son paralelos.
C Cuaderno de Trabajo 5B, p 113, Práctica 6
14 En la fi gura ABCD, AD // BC. A
D
B
AD // BC signifi ca que AD es paralelo a BC.
C
La fi gura ABCD se llama trapecio.
Aquí hay otros tres ejemplos de trapecios.
Un trapecio es una figura de 4 lados en la que sólo un par de lados opuestos son paralelos. Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Materiales • Plantilla de un trapecio (ver Apéndice 8 en la pág. 297)
Gestión de la clase 15 • Entregue a cada estudiante un trapecio de papel. Pídales que recorten los ángulos marcados a, b, c y d en el trapecio y los ordenen como se muestra.
15
Realiza esta actividad. Haz una copia del trapecio ABCD.
A
D a
• Pregunte a los estudiantes: “¿Qué ángulos suman 180°?” (
ay
d,
by
c)
• Guíe a los estudiantes para que concluyan que en un trapecio, cada par de ángulos consecutivos entre dos lados paralelos suma 180°.
Recorta los ángulos a, b, c y d.
c
C
Coloca las piezas recortadas del a y el b en una línea recta como se muestra. Del mismo modo, coloca las piezas recortadas del c y el d.
16 • Explíqueles como encontrar un ángulo desconocido en un trapecio, dado uno de sus ángulos.
b
B
d
a
b
c
¿Qué puedes decir de la suma de:
a
b
a y b,
d
c y d?
a
• Pregunte a los estudiantes: “¿Qué ángulo se puede encontrar usando el ángulo dado?” ( ADC = 180° – 106° = 74°, cada par de ángulos consecutivos entre los lados paralelos suma 180°) • Pregunte a los estudiantes: “¿Pueden encontrarse los otros dos ángulos, ABC y BCD, a partir del ángulo dado?” (No)
a +
• Pregunte a los estudiantes: “¿Pueden encontrarse los otros dos ángulos XYZ y YZW , a partir del ángulo dado?” (No)
c +
d = 180°
En un trapecio, cada par de ángulos consecutivos entre dos lados paralelos suma 180°. 16 Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en los siguientes trapecios.
a
B
A
ADC = 180° 106° = 74°
106°
b
• Pregunte a los estudiantes: “¿Qué ángulo se puede encontrar usando el ángulo dado?” ( ZWX = 180° – 101°, cada par de ángulos consecutivos entre los lados paralelos suma 180°)
b = 180° y
C
D
b W
Z
ZWX = 180° 101° = 79 ° El WXY y el
101° X
136
El BAD y el ADC suman 180°. Son dos ángulos consecutivos entre lados paralelos.
Y
ZWX suman 180°.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
202
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Objetivos de la actividad Los estudiantes deben: • expresar las semejanzas y diferencias entre los distintos cuadriláteros estudiados. • entender que un cuadrado también puede ser considerado como un rectángulo, un rombo, un paralelogramo o un trapecio, porque tiene sus propiedades.
Gestión de la clase 17
• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada.
Las siguientes figuras no están dibujadas a escala. 17 Encuentra la medida de los ángulos marcados en el trapecio KLMN.
L
KLM = 180° 154 °
K
118° N
y 19 • Asigne a los estudiantes estas actividades a modo de evaluación formativa. 18
= 26 °
154°
LMN = 180° 118 ° = 62 °
M
18 ABCD es un trapecio en el que AD // BC. Calcula la medida de BAC. BAC = 98° B
19 ABCD es un trapecio en el que AB // DC. Calcula la medida de BCE. BCE = 44°
(Diario matemático) • Esta actividad requiere que los estudiantes comparen y contrasten las semejanzas y diferencias entre los cuadriláteros estudiados.
D
A
C
D E A 112° B
24° C
D i a ri o m a t e m á t i c o
Trabajen en grupos de cuatro. Comparen las semejanzas y diferencias entre las siguientes figuras: Semejanzas
Diferencias
(1) un cuadrado y un rectángulo (2) un rectángulo y un paralelogramo (3) un paralelogramo y un rombo (4) un cuadrado y un rombo (5) un paralelogramo y un trapecio Acepte cualquier respuesta correcta. Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 13c. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 7 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 115 a 116.
¡Practiquemos! 13c Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Encuentra la medida de los ángulos designados con letras. D
1 A
B
112°
20°
C
c = 112° b = 68°
A
R
U
r
4
B
130°
x = 30°
G
3
x
D
c
b
C
2
15°
J H
80°
S
y
T
K
y = 50°
S
5
r = 150°
W
40°
6
56° z
A
75° B
62°
T
U
100°
Z
138
C
X 105°
x W
x = 35°
70°
z = 35° Y
40°
D
V
z = 22°
7
z
Cuaderno de Trabajo 5B, p 115, Práctica 7.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Objetivos: Propiedades de figuras 3D Los estudiantes serán capaces de: • describir y dar ejemplos de aristas y caras de figuras tridimensionales. • indicar en figuras tridimensionales, cuáles aristas o caras son paralelas, perpendiculares o se intersectan en un ángulo distinto a 90º.
Materiales
Uso de tecnología
• Un dado
Conceptos claves Las aristas y caras opuestas en los prismas rectangulares son paralelas. Las aristas y caras consecutivas en los prismas rectangulares son perpendiculares.
• Usando un software que lo permita, dibuje al menos 2 figuras sólidas diferentes. Destaque un par de aristas paralelas con color rojo, un par de aristas perpendiculares con color azul y un par de caras que se intersecten con color verde.
Habilidades • Visualización espacial • Identificar relaciones • Deducir
Gestión de la clase 1
• Muestre un dado a los estudiantes y pídales que identifiquen sus 6 caras cuadradas. Luego, explique que el dado tiene la forma de un cubo. • Dibuje cubos en la pizarra y destaque pares de aristas y caras paralelas. Solicite algunos voluntarios para que identifiquen otros pares de caras y aristas paralelas en las figuras de la pizarra. • Asegúrese de que los estudiantes son capaces de comprender el concepto de aristas y caras paralelas antes de pasar a la actividad siguiente.
¡Aprendamos!
Propiedades de figuras 3D Aristas y caras paralelas en cubos 1 Sabemos que un cubo es una fi gura tridimensional que tiene 6 caras cuadradas del mismo tamaño.
Cada par de aristas opuestas en un cubo son paralelas. Esto signifi ca que están siempre a la misma distancia. ¿Puedes encontrar otro par de aristas paralelas? Las respuestas pueden variar.
Dado que cada par de aristas opuestas son paralelas, cada par de caras opuestas también son paralelas. ¿Puedes encontrar otro par de caras paralelas? Las respuestas pueden variar.
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que busquen en internet imágenes de dos figuras tridimensionales, y que las comparen para encontrar semejanzas en cuanto a sus aristas y caras. Finalmente, deben presentar sus conclusiones en clases.
Gestión de la clase 2
• Repita el procedimiento anterior para las aristas y caras perpendiculares. • Asegúrese que los estudiantes comprenden el concepto de aristas y caras paralelas antes de pasar al ejemplo con el dado. • Refuerce la comprensión de los estudiantes sobre aristas paralelas y perpendiculares. 3
Aristas y caras perpendiculares en cubos 2 Cada par de aristas consecutivas en un cubo son perpendiculares. Esto quiere decir que se intersectan formando ángulos rectos. ¿Cuántos grados mide un ángulo recto? ¿Puedes encontrar otro par de aristas perpendiculares? 90º - Las respuestas pueden variar
• Guíe a los estudiantes para que comprendan que en una pirámide hay caras que no son paralelas ni perpendiculares porque se intersectan entre sí en un ángulo distinto a 90º.
Ya que cada par de aristas consecutivas de un cubo son perpendiculares, cada par de caras consecutivas, también son perpendiculares. ¿Puedes encontrar otro par de caras perpendiculares? Las respuestas pueden variar.
Aristas y caras en pirámides. 3 Esta fi gura tiene una base cuadrada, sus caras laterales son triangulares y se intersectan en un punto llamado cúspide o vértice. Esta es una pirámide de base cuadrada.
140
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Actividad adicional • Los estudiantes trabajarán en parejas. Entrégueles algunas revistas o diarios, que contengan imágenes tridimensionales, y pídales que identifiquen aristas y caras paralelas, perpendiculares o que intersecten en un ángulo distinto a 90º.
Gestión de la clase Mirando la base cuadrada ¿cuántos pares de aristas paralelas puedes identifi car? ¿Qué puedes decir sobre pares de aristas perpendiculares? Hay dos pares de aristas paralelas. Hay cuatro pares de aristas perpendiculares.
¿Cómo son las caras de esta pirámide? Las caras no son ni paralelas ni perpendiculares. Decimos que estas caras se intersectan entre sí, formando un ángulo distinto a 90º ¿Puedes pintar otro par de caras que se intersecten? Las respuestas pueden variar.
• Haga notar que en una pirámide de base rectangular hay pares de aristas que se intersectan perpendicularmente (aristas basales) y otras cuyo ángulo de intersección no es 90º. • En la pirámide anterior, no hay caras paralelas ni caras perpendiculares, diremos simplemente que las caras se intersectan en un ángulo distinto a 90º. 4
4
• Esta actividad ayuda a los estudiantes a aplicar estos conceptos en figuras que pueden encontrar en su entorno. ¡El aprendizaje del concepto de aristas y caras se torna más real al poder aplicarlo en la vida cotidiana!
Realiza esta actividad. Trabajen en parejas. Mira las paredes u otras superfi cies en la sala de clases. Anota en la siguiente tabla las aristas y caras que son paralelas, perpendiculares y aquellas que se intersectan formando un ángulo distinto a 90º. Aristas
Paralelas
Perpendiculares
Caras Intersectan entre sí
Paralelas
Perpendiculares
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Intersectan entre sí
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207
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Actividad adicional • Para esta actividad, cada estudiante debe traer un objeto sólido a clases. Trabajarán en parejas. El primer estudiante estará con los ojos vendados mientras su compañero le describe la figura que trajo, sin decirle cual es. Luego de esto, el primer estudiante debe dibujar la figura descrita. Finalmente, el compañero muestra la figura para revisar el dibujo. Los estudiantes intercambian roles.
Gestión de la clase 5
• La idea clave es ayudar a los estudiantes a desarrollar el lenguaje matemático usado para describir figuras tridimensionales. Muestre en clases figuras tridimensionales reales. Comience describiendo sus aristas y caras. Luego, ofrezca menos apoyo para que los estudiantes las puedan describir.
Aristas y caras en un prisma rectangular 5 La siguiente figura es un prisma.
a Tiene 6 caras.
Pinta un par de caras paralelas con color azul. ¿Puedes pintar un par de caras perpendiculares con color rojo. Las respuestas pueden variar.
b Contemos las aristas. Son 12 aristas. ¿Puedes describir las aristas
rojas? ¿Qué puedes decir sobre las aristas azules? Las aristas rojas son perpendiculares entre sí. Las aristas azules son paralelas entre sí.
c Contemos los vértices. Son 8 vértices.
142
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 13d.
¡Practiquemos! 13d 1 Esta fi gura es una pirámide cuya base es un hexágono regular.
a ¿Puedes describir las aristas azules?
b ¿Puedes describir las aristas naranjas?
c ¿Puedes describir las caras verdes?
Son paralelas
Se intersectan entre si.
Se intersectan entre si en un ángulo que no es recto.
2 Mira la siguiente fi gura tridimensional
a Cuenta los pares de caras paralelas. ¿Cuántos pares son?
b Cuenta los pares de caras perpendiculares. ¿Cuántos pares son?
c Describe las caras rosadas.
d Pinta 2 aristas y descríbelas.
4
12
Estas se intersectan entre sí. Las respuestas varían.
Base hexagonal
Cara lateral
Prisma hexagonal: 2 bases hexagonales + 6 caras laterales rectangulares Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 8 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 117 a 119.
3 Mira la siguiente figura tridimensional
a Cuenta los pares de caras paralelas. ¿Cuántos pares son? 1
b Cuenta los pares de caras perpendiculares. ¿Cuántos pares son? 10
Base pentagonal
Cara lateral
Prisma pentagonal: 2 bases pentagonal + 5 caras laterales
4 Dibuja una figura tridimensional que tenga las siguientes características: tiene 5 caras que se intersectan, dos son paralelas y las otras tres son rectangulares; Tiene 6 vértices y 9 aristas. ¿Cuál es el nombre de esta figura? Prisma de base triangular.
5 Busca en internet la figura de un prisma octogonal y dibuja esta figura tridimensional. Pinta de color rojo dos de sus caras y descríbelas. Marca con color azul dos de sus aristas y descríbelas. Respuestas varían.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 117, Práctica 8.
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Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Gestión de la clase • Enfatice los conceptos claves, las habilidades y los procedimientos que se han estudiado en este capítulo.
¡Resumamos! Has aprendido a: • Reconocer que la suma de los ángulos de un triángulo es 180° • Reconocer que en un triángulo rectángulo, la suma de los 2 ángulos que no son rectos es 90° • Reconocer que un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y los ángulos opuestos a esos lados iguales, tienen la misma medida • Reconocer que un triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales y cada uno mide 60° • Establecer que un paralelogramo es un cuadrilátero el cual: P (a) Los lados opuestos son paralelos e iguales s S p (b) Los ángulos opuestos son iguales q r (c) Cada par de ángulos consecutivos suma 180° Q R • Establecer que un rombo es un cuadrilátero en el cual: A D (a) Los lados opuestos son paralelos y los d a cuatro lados son iguales (b) Los ángulos opuestos son iguales c b (c) Cada par de ángulos consecutivos suma 180° B C • Establecer que un trapecio es un cuadrilátero en el cual: (a) Sólo hay un par de lados paralelos W Z z w (b) Cada par de ángulos consecutivos entre dos lados paralelos suma 180° x y • Establecer que en un prisma rectangular: Y X (a) Las aristas y caras opuestas son paralelas (b) Las aristas y caras consecutivas son perpendiculares • Reconocer que en una pirámide las caras laterales se intersectan en el vértice o cúspide
¡Repasemos! Las fi guras de la página siguiente no están dibujadas a escala. Encuentra las medidas de los ángulos marcados. Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben aplicar las propiedades de los triángulos para encontrar las respuestas.
Heurística para resolver problemas
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes el “Desafío” del Cuaderno de Trabajo 5B, pág. 120.
Replantear el problema
Gestión de la clase • Discuta con los estudiantes las actividades planteadas en ¡Resumamos! como una manera de evaluar la comprensión de los conceptos, habilidades y procedimientos involucrados.
a
A
ABC es un triángulo isósceles, entonces ABC = ACB. ABC = (180° 32°) : 2 = 74° BCE es equilátero. EBC = 60° x = 74° 60° = 14°
32° E
x
(¡Activa tu mente!) y 2 • Los estudiantes deberían recordar y aplicar las propiedades que han aprendido, en la resolución de los problemas planteados. 1
B
C
Calcula x.
b
65°
P
S
d
Q
PQRS es un paralelógramo. QRS PSR = 180° d 65° = 180° d = 180° 65° = 115°
R
Calcula d.
¡Activa tu mente!
.
1 La siguiente fi gura no está dibujada a escala. Está formada por dos triángulos rectángulos. Calcula la suma de los ángulos pintados. 180°
2 Todos los lados de la siguiente fi gura son iguales. Calcula la suma de todos los ángulos pintados. 360°
Cuaderno de Trabajo 5B, p 120, Desafío.
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Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
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213
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09-04-13 10:37
Fecha:
b c
a + b + c = 180
a
°
(b)
m = 30 °
80° + 70° + m = 180 °
m
80
C
BAC = 70
°
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Los tres ángulos del triángulo suman 180 °.
= 180 °.
ABC + BCA + BAC = 45 ° + 65 ° + 70
B
°
101
(2) Mide los ángulos del siguiente triángulo y completa los espacios en blanco. A ABC = 45 ° BCA = 65 °
(a)
(1) Completa los espacios en blanco.
70
5 Propiedades de triángulos, 3 cuadriláteros y figuras 3D 1 6
Curso:
Práctica 1 Ángulos de un triángulo
13
Nombre:
214
PSL_TG_5B_C13b.indd 214
09-04-13 10:37
F
50º
72º
E
EDF = 180° – 72° – 50° = 58°
D
H
15º
F
P
R
32º
PQS = 180° – 60° – 32° = 88° RQS = 88° – 50° = 38°
60º
50º
Q
S
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
FGH = 180° – 15° – 26° = 139°
26º
G
(c) ¿Cuánto mide el FGH? (d) ¿Cuánto mide el RQS?
102
C
ACB = 180° – 62° – 43° = 75°
B
62º
43º
A
= 90 °
c = 90 ° a + b = 180 ° – 90
b
°
(b)
e + f = 90
g = 90 °
e
g
f
Fecha:
b
c
a
A
C
50 90
40
a + b =
c =
b =
a =
°
° 90
°
°
°
13º
81º
d
b
65º
72º
90º
25º
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
19º
a
59º
c
78 º
e
103
(3) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Identifi ca y pinta los triángulos que sean rectángulos.
B
(2) Mide los ángulos del ABC y completa los espacios en blanco.
a
c
(a)
(1) Completa los espacios en blanco.
(3) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. ¿Cuánto miden los ángulos desconocidos?
(a) ¿Cuánto mide el ACB? (b) ¿Cuánto mide el EDF?
Curso:
Práctica 2 Triángulos rectángulos
Nombre:
215
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09-04-13 10:37
B
28°
E
C
A
D G
A
a
57 º
26°
b
F
C
B
D
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
GEF = 180° – 90° – 26° = 64° DEG = 90° – 64° = 26°
(d) ¿Cuánto miden el GEF y el DEG?
ABC = 180° – 90° – 28° = 62° ADC = 180° – 90° – 62° = 28°
(c) ¿Cuánto miden el ABC y el ADC?
ABC = 180° – 90° – 57° = 33°
(b) ¿Cuánto mide el ABC?
a + b = 90°
(a) Calcula la suma de las medidas del a y del b.
104
(4) Las siguientes figuras no están dibujadas a escala. Encuentra la medida de los ángulos marcados, en cada uno de los triángulos rectángulos.
Curso:
X
Y R
Q
b
c
b
c
Z
a y c
QP y QR ¿Cuáles ángulos son iguales?
¿Qué lados son iguales?
b y c
XY y XZ
¿Cuáles ángulos son iguales?
¿Qué lados son iguales?
Fecha:
d
a
74º
75º
e
b
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
80º
80º
46º
86º
c
45º
64º
105
52º
(2) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Identifi ca y pinta los triángulos que sean isósceles.
(b) P a
a
(a)
(1) Los XYZ y PQR son isósceles.
Práctica 3 Triángulos isósceles
Nombre:
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09-04-13 10:37
S
F
53º
E
B C
ABC = ACB = (180° – 36°) : 2 = 144° : 2 = 72°
36º
A
(b) ¿Cuánto mide el ABC?
T
U
Y
d
86
Z
W
WZY = (180° – 86°) : 2 = 47° d = 180° – 90° – 47° = 43° O bien, d = 90º – 47° = 43°
X
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
RUT = 20° TRU = 180° – 20° – 90° = 70° O bien, TRU = 90º – 20° = 70°
20°
R
(c) ¿Cuánto mide el TRU? (d) ¿Cuánto mide el d?
EDF = 53° EFD = 180° – 53° – 53° = 74°
D
(a) ¿Cuánto mide el EFD?
106
(3) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. ¿Cuánto miden los ángulos marcados en cada fi gura?
Curso:
Fecha:
cm
3
AC =
b
°
c C
✔
X
3,7 cm
Z
55 °
107
(c) ¿Qué puedes decir de los ángulos en el triángulo ABC? Los tres ángulos miden 60°.
(b) ¿Qué lados son iguales a AB? AC y BC
(a) ¿Qué ángulos son iguales al a? b y c
ZXY =
YZX = 60 °
XYZ = 65 °
XZ =
YZ = 3,4 cm
XY = 3,5 cm
Y
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
B
a
A
(2) El ABC es equilátero.
CAB = 60
BCA = 60 °
°
cm
3
BC =
ABC = 60
cm
3
C
AB =
B
A
(1) Utiliza tu transportador y una regla para medir los ángulos y los lados. Luego, completa los espacios en blanco. ¿Qué fi gura es un triángulo equilátero? Márcalo en el recuadro.
Práctica 4 Triángulos equiláteros
Nombre:
217
PSL_TG_5B_C13b.indd 217
09-04-13 10:37
60º
60º
c
40º d
60º
60º
a
b
b
a
c
a
108
b
60º
b + c = 180° – 60° = 120° b = c = 120° : 2 = 60°
a = 180° – 60° – 60° = 60°
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
c
(b) ¿Cuánto miden el b y el c?
60º
60º
(a) ¿Cuánto mide el a?
(4) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. ¿Cuánto miden los ángulos marcados en cada fi gura?
60º
e
(3) Las siguientes fi guras no están dibujadas a escala. Identifi ca y pinta los triángulos equiláteros.
X
d
Z
Y
N
e
O
OMN = 90° – 60° – = 30° e = 180° – 30° – 30° = 120°
d = 180° – 90° – 60° = 30°
R
f
b
c
S
T
QPT = 60° b = 60° : 3 = 20° f = (180° – 20°) : 2 = 160° : 2 = 80°
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Q
a
P
(e) El PQT es un triángulo equilátero. El PRS es un triángulo isósceles. a = b = c. ¿Cuánto mide el f?
M
L
(d) ¿Cuánto mide el e?
W
(c) WX = XY = YW. ¿Cuánto mide el d?
109
218
PSL_TG_5B_C13b.indd 218
09-04-13 10:37
Curso:
Fecha:
A
B
C
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
el triángulo ABC es un triángulo equilátero.
180° – 60° – 60° = 60°. Por lo tanto, como los 3 ángulos son iguales,
miden 60°. Si dos de los ángulos miden 60°, el tercer ángulo sería
Sí, está en lo correcto. Todos los ángulos de un triángulo equilátero
Héctor está midiendo los ángulos de un triángulo. Él observa que BAC = 60° y ABC = 60°. Sin medir el último ángulo, plantea que el triángulo ABC es equilátero. ¿Está en lo correcto? Explica por qué.
110
(3)
Medir los ángulos del triángulo. Si dos de los ángulos miden lo mismo, es un triángulo isósceles.
cm cm cm
7 6 7
°
° CDA = 130 °
BCD = 50
ABC = 130 °
BAD = 50
Marca los lados paralelos de la fi gura con fl echas.
cm
6
B
D
C
Fecha:
Q
75
P p
r R
s
S
r =
p
°
°
111
° = 105 ° = 105
p = 180° – 75
s = PQR = 75
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
(2) El siguiente paralelogramo no está dibujado a escala. Completa los espacios en blanco.
AD =
Medir los lados del triángulo. Si dos de los lados miden lo mismo, es un triángulo isósceles.
BC =
AB =
CD =
Sí. Los tres ángulos suman 180°.
Flor:
No. Los tres ángulos suman 170°.
A
(1) Observa la siguiente fi gura. Mide los lados y ángulos.
Ana:
No. Los tres ángulos suman 200°.
Curso:
Práctica 5 Paralelogramos
Nombre:
(2) Señale dos formas para reconocer un triángulo isósceles.
Víctor:
¿Podrán los estudiantes dibujar sus triángulos? Explica tu respuesta.
Víctor: 120°, 80°, 10° Ana: 70°, 28°, 72° Flor: 51°, 37°, 92°
(1) La profesora le pidió a sus estudiantes que escribieran la medida de los ángulos de un triángulo y luego que lo dibujaran. Éstos son los ángulos que tres de sus estudiantes escribieron.
Diario matemático
Nombre:
219
PSL_TG_5B_C13b.indd 219
09-04-13 10:37
(e)
(g)
112
(c)
76º
a
61º
73º
b
135º
g
b
p + 28° = 180 ° – 62° p = 180° – 62° – 28° = 90°
62°
p
g + 58° = 139° g = 139° – 58° = 81°
58º
139º
e + 60° = 144° e = 84°
e 60º
144º
b = 180° – 135° = 45°
(h) 28°
(f)
(d)
(b)
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
a = 180° – 90° = 90° b = 90° c = a = 90°
a
c
f + 61° = 180° – 73° f = 107° – 61° = 46°
f
c = 180° – 76° = 104° d = 76°
d
c
a = 56°
(a) 56º
(3) Los siguientes paralelogramos no están dibujados a escala. ¿Cuánto miden los ángulos que están marcados?
Curso:
Fecha:
(b)
T t
B
U
u
s
S
v
V
C
t =
s =
UV =
v
u
X
53
W w
y Y
z
Z
y =
w
= 127 °
113
= 127 °
w = 180 ° – 53 °
z = WXY = 53
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
°
UT = ST = SV
DAB = DCB
(2) Los siguientes rombos no están dibujados a escala. Completa los espacios en blanco.
(1) Las siguientes fi guras son rombos. Completa los espacios en blanco. D (a) A AB = BC = CD = AD ABC = ADC
Práctica 6 Rombos
Nombre:
220
PSL_TG_5B_C13b.indd 220
09-04-13 10:38
114
(e)
(c)
(a)
p
r
t
(f)
(d)
q
106º
s
v = (180° – 106°) : 2 = 37°
v
s = 52°
52º
q = 180° – 57° = 123°
57º
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
t = 180° – 45° – 45° = 90°
45º
r = 180° – 127° = 53°
127º
p = 125°
125º
(b)
(3) Los siguientes rombos no están dibujados a escala. ¿Cuánto miden los ángulos marcados?
Curso:
Fecha:
B
a
a + b =
b
c
+ d
d
c
= 180
C
° °
c = 70 d = 110 °
°
b = 75
c = 180° – 109° = 71°
109º
c
a = 180° – 116° = 64°
a
116º
(d)
(b)
58º
e
d
115
e = 180° – 81° = 99° d = 180° – 97° = 83°
81º
97º
b = 180° – 58° = 122°
b
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
(c)
(a)
(2) Los siguientes trapecios no están dibujados a escala. ¿Cuánto miden los ángulos marcados?
(1) ABCD es un trapecio. Mide sus ángulos marcados y completa los espacios en blanco. A a = 105 ° D
Práctica 7 Trapecios
Nombre:
221
PSL_TG_5B_C13b.indd 221
09-04-13 10:38
116
(g)
(e)
70
75º
f
(h)
(f)
c
40
70º
40º
180° – 70° – 40° = 70° g + 70° = 180° – 70° g = 110° – 70° = 40°
g
b = 180° – 85° = 95° c = 90° – 40° = 50°
85
b
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
f + 26° = 180° – 75° f = 105° – 26° = 79°
26º
a = 180° – 90° – 30° = 60° O bien, a = 90º – 30° = 60°
30
a
Curso:
Fecha:
(b) (c) (d) (e)
¿Qué nombre recibe este cuerpo? Prisma de base pentagonal. Cuenta la cantidad de caras paralelas de la figura. ¿Cuántos pares de caras paralelas tiene? 1 par, ambas bases son paralelas. Cuenta la cantidad de caras laterales perpendiculares de la figura. ¿Cuántos pares de caras laterales perpendiculares tiene? 0 Pinta 2 aristas y descríbelas. Las respuestas varían.
(a) Dibuja la figura tridimensional que se forma con la red.
117
(a) ¿Cuántos vértices tiene? 4 C (b) Describe las caras ADC y ABC. Las caras se intersectan entre sí. (c) Identifica 2 aristas que se intersectan. Las respuestas varían.
D
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
B
A
(2) Observa la siguiente pirámide de base triangular.
(1) La siguiente figura muestra la red de un cuerpo geométrico.
Práctica 8 Propiedades de figuras 3D
Nombre:
222
PSL_TG_5B_C13b.indd 222
09-04-13 10:38
(a) (b) (c) (d) (e) (f )
Pinta de color rojo un par de aristas paralelas. Las respuestas varían. Las respuestas respuestas varían. varían. Pinta de color azul un par de aristas perpendiculares. Las Las respuestas respuestas varían. varían. Pinta de color verde un par de caras perpendiculares.Las Las respuestas respuestas varían. varían. Pinta de color morado un par de caras paralelas. Las Pinta un par de aristas que se intersecten. Las respuestas varían. Pinta un par de caras que se intersecten en un ángulo distinto a 90º. respuestas varían. varían. Las respuestas
118
(a) (b) (c) (d) (e)
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
Compara esta fi gura con una pirámide rectangular. ¿Cuántas caras más tiene que una pirámide rectangular? 1 Describe las aristas de color gris. Son perpendiculares. Describe las caras de color gris. Intersectan entre sí. Pinta de color amarillo un par de aristas que se intersecten entre sí. Pinta de verde un par de caras paralelas. Las respuestas varían. Las caras rectangulares son la única respuesta.
(4) Este diagrama muestra la estructura de una cuerpo de base rectangular.
(3) El siguiente diagrama muestra la estructura de una casa.
B
Curso:
C
Fecha:
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
119
La figura B, ya que sólo un par de lados opuestos son paralelos.
(c) trapecio:
La figura A, ya que los lados opuestos son paralelos e iguales.
(b) paralelogramo:
La figura C, ya que los 4 lados son iguales y los lados opuestos son paralelos.
(a) rombo:
Escribe los pasos para identifi car cuál de estas fi guras es: Acepte todas las respuestas correctas. Ejemplo:
A
Observa las siguientes fi guras:
Diario matemático
Nombre:
223
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09-04-13 10:38
Desafío
Curso:
36°
B
O
120
D
C
Fecha:
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D
DOC = 180° – 90° = 90°
CBO = 108° : 2 = 54° BOC = 180° – 54° – 36° = 90°
BAC = BCA = 36° ABC = 180° – 36° – 36° = 108°
AB = BC Por lo tanto, el triángulo BAC es isósceles.
A
La siguiente figura es un rombo. Encuentra DOC.
Nombre:
224
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23-04-13 11:09
2
Horas pedagógicas
(1) Los estudiantes deben deducir que prismas rectangulares de diferentes dimensiones, pueden tener el mismo volumen.
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • relacionar el volumen de un cuerpo con la cantidad de espacio que ocupa. • calcular el volumen de un cuerpo formado con cubos unitarios. • expresar que el volumen de un cubo de 1 cm de arista es 1 cm cúbico (1 cm³) y el de 1 m de arista es 1 metro cúbico (1 m³). • calcular el volumen de un cuerpo formado por cubos de 1 cm / 1 m de arista.
(1) Midiendo el volumen
Objetivos • Libro del Alumno 5B, págs. 147 a 152 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 121 a 124 • Guía del Profesor 5B, págs. 227 a 232
Recursos
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Visualización espacial
Habilidades
225
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23-04-13 11:09
4
Horas pedagógicas
(1) Los estudiantes serán capaces, usando medidas de longitud enteras, de hacer una lista de todos los anchos y altos posibles para un prisma rectangular, dado su largo y volumen. (2) Los estudiantes serán capaces de comprender que aunque el material para las tres cajas tiene la misma área, el volumen será diferente, debido a las diferentes áreas de las bases.
¡Exploremos!
Los estudiantes serán capaces de: • expresar que el volumen de un prisma rectangular es igual a largo × ancho × alto. • expresar cuál de los objetos tiene mayor/menor volumen. • encontrar el volumen de un cubo y un prisma rectangular. • reconocer que 1 litro (1000 ml) es igual a 1000 cm³. • encontrar el volumen de un líquido en un recipiente con forma de prisma rectangular. • resolver problemas que involucran volumen de cuerpos / líquidos.
(2) Volumen de prismas y de líquidos
Objetivos • Libro del Alumno 5B, págs. 153 a 164 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 125 a 135 • Guía del Profesor 5B, págs. 233 a 244
Recursos
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Visualización espacial
Habilidades
226
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23-04-13 11:09
1
1
Horas pedagógicas
• Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 139 a 151 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 153 a 167
Evaluación 2
• Libro del Alumno 5B, págs. 165 a 167 • Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 136 a 138 • Guía del Profesor 5B, págs. 245 a 247
Recursos
Repaso 6
(1) Los estudiantes serán capaces de calcular el número de unidades cúbicas y el volumen de un cuerpo basado en el patrón numérico mostrado. (2) Los estudiantes serán capaces de usar modelos para formar los diferentes cuboides requeridos.
¡Activa tu mente!
Destacar los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. Discutir los ejemplos trabajados con los estudiantes y evaluar si han logrado estos conceptos, habilidades y procesos.
¡Resumamos!
Objetivos
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Heurísticas para resolver problemas: Representar/dibujar un diagrama Buscar un patrón Hacer una lista sistemáticamente
Visualización espacial
Habilidades
Capítulo catorce
Volumen de cubos y prismas rectangulares Objetivos: Midiendo el volumen Los estudiantes serán capaces de: • relacionar el volumen de un cuerpo con la cantidad de espacio que ocupa. • calcular el volumen de un cuerpo formado con cubos unitarios.
• expresar que el volumen de un cubo de 1 cm de arista es 1 cm cúbico (1 cm³) y el de 1 m de arista es 1 metro cúbico (1 m³). • calcular el volumen de un cuerpo formado por cubos de 1 cm / 1 m de arista.
• El volumen se mide en unidades cúbicas. • Al usar unidades estándar de medida, el volumen se puede medir en cm³ o en m³.
Habilidades • Visualización espacial
Conceptos claves • El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un objeto.
Gestión de la clase • Muestre o señale pares de objetos de la sala de clases y pida a sus estudiantes que indiquen cual de ellos tiene más volumen. Pida a uno de ellos que explique el concepto de volumen de un cuerpo.
Volumen de cubos y prismas rectangulares ¡Aprendamos!
Midiendo el volumen
1
El volumen de un cuerpo u objeto es la cantidad de espacio que ocupa.
1 Para conocer el volumen del cuerpo dibujado a continuación, contamos los cubos unitarios que lo forman.
• Muéstreles un cuerpo formado con cubos unitarios (o una lámina) y pídales que calculen su volumen (contando los cubos unitarios). 2
• Presente el cubo de 1 cm de arista. Diga a los estudiantes que su volumen es 1 centímetro cubico (cm³), porque mide 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 1 cm de alto. Por lo tanto el volumen de un cuerpo formado por 10 de estos cubos es de 10 cm³.
El cuerpo está hecho con 9 cubos iguales. El volumen de un cubo es 1 cubo unitario. El volumen del cuerpo es de 9 cubos unitarios. 2 Este es un cubo cuya arista mide 1 cm. El centímetro cúbico El volumen del cubo es (cm3) es una unidad de 3 1 centímetro cúbico (cm ). medida del volumen.
1 cm 1 cm
1 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
147
227
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23-04-13 11:09
Materiales • Cubos de 1 cm de arista
Gestión de la clase 3
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
3 Estos cuerpos están formados con cubos de 1 cm de arista. Averigua el volumen de cada cuerpo.
a
b
• Oriente a los estudiantes que no logren distinguir claramente la cantidad de cubos que forman el cuerpo. 4 a
• Muestre a los estudiantes que en un prisma rectangular formado por cubos de 1 cm de arista, el largo el ancho y el alto del prisma puede ser encontrado.
Volumen = 7 cm3
4 a Este prisma está formados con doce cubos de 1 cm de arista. largo alto
b
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
Volumen = 10 cm3
ancho
Largo del prisma = (1 1 1) cm = 3 cm Ancho del prisma = (1 1) cm = 2 cm Alto del prisma = (1 1) cm = 2 cm Volumen del prisma = 12 cm3
b Este prisma está formados con cubos de 1 cm de arista. largo
alto ancho
148
Largo del prisma = 4 cm Ancho del prisma = 1 cm Alto del prisma = 2 cm Volumen del prisma = 8 cm3 Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
228
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23-04-13 11:09
Gestión de la clase 5 a 7
5 Este es un cubo cuya arista mide 1 m. Su volumen es de 1 metro cúbico (1 m³)
El metro cúbico (m3) también es una unidad de medida del volumen.
• Presente el cubo de 1 m de arista mediante un dibujo o lámina, luego pida a los estudiantes que respondan a las preguntas a modo de evaluación formativa.
1 m
1 m
1 m
6 Estos cuerpos están formados con cubos de 1 m de arista. Averigua el volumen de cada cuerpo.
a
b
Volumen = 5 m3
Volumen = 8 m3
7 Este prisma está formado con cubos de 1 m de arista. ¿Qué volumen tiene?
Hay 20 cubos de 1 m de arista en este prisma.
Tiene un volumen de 20 m3.
Tiene un largo de 5 m.
Tiene un ancho de 2 m.
Su alto es de 2 m.
alto
largo ancho
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
149
229
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23-04-13 11:09
Materiales • Doce cubos de 1 cm de arista para cada grupo
Gestión de la clase 8
• Esta actividad requiere que los estudiantes construyan diferentes cuerpos con todos los cubos de1 cm de arista dados a cada grupo. • Los estudiantes debieran notar que cuerpos con forma diferente pueden tener el mismo volumen.
8
Realiza esta actividad. Trabaja en pareja. Tu profesor o profesora le dará a cada pareja 12 cubos de 1 cm de arista. a Armen este prisma usando todos
los cubos de 1 cm de arista. ¿Qué volumen tiene el prisma?
Volumen = 12 cm3
b Reorganicen los cubos de 1 cm de
arista para construir el Cuerpo A. ¿Qué volumen tiene el Cuerpo A?
Volumen = 12 cm3
Cuerpo A
c Reorganicen los cubos de 1 cm de
arista para construir el Cuerpo B. ¿Cuál es el volumen del Cuerpo B?
Volumen = 12 cm3 Cuerpo B
d Creen dos cuerpos distintos a los anteriores usando los cubos de
150
1 cm de arista. ¿Qué volumen tiene cada cuerpo? ¿De qué se dan cuenta?
Cuerpos distintos pueden tener el mismo volumen.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
230
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23-04-13 11:09
Objetivo de la actividad Los estudiantes deben deducir que prismas rectangulares de diferentes dimensiones, pueden tener el mismo volumen.
Gestión de la clase (¡Exploremos!) • En esta tarea se requiere que los estudiantes construyan todos los prismas rectangulares posibles con 8, 11, y 12 cubos de 1 cm de arista. • Pida a los estudiantes que anoten el largo, ancho y alto de cada prisma rectangular que armen y encuentren el volumen contando el número de cubos de 1 cm de arista que usaron. • Esta actividad investigativa permite a los estudiantes concluir inductivamente que el producto del largo por el ancho y por el alto de un prisma rectangular da el volumen del cuerpo.
¡Exploremos! Trabajen en grupos de cuatro. El profesor le dará a cada grupo 24 cubos de 1 cm de arista. Creen la mayor cantidad posible de cubos y prismas usando ocho, once y doce cubos de 1 cm de arista. Ejemplo Alto 1 cm Largo 4 cm
Ancho 2 cm
Anoten el largo, ancho y alto de cada cubo y prisma que construyan. Luego, encuentren el volumen. Copien en una hoja de papel la tabla que se muestra y registren en ella sus respuestas. Cantidad de cubos de 1 cm de arista
Largo
Ancho
Altura
Volumen
4
2
1
8
8
11
12
¿De qué se dan cuenta cuando multiplican el largo por el ancho y por el alto de cada cubo y prisma?
Cuando se multiplica el largo por el alto y por el ancho de cada cubo o prisma, se obtiene la cantidad exacta de cubos, lo que corresponde al volumen. Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
151
231
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23-04-13 11:10
Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 14a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 121 a 124.
¡Practiquemos! 14a 1 Estos cuerpos están formados con cubos de 1 cm de arista. Averigua su volumen.
a
b
c
Volumen = 8 cm
Volumen = 6 cm3
Volumen = 7 cm3
d
3
Volumen = 9 cm3
2 Estos prismas están construidos con cubos de 1 m de arista. ¿Cuáles son los valores que faltan?
Volumen = 12 m3
Volumen = 36 m3
Largo = 3 m Ancho = 2 m
Largo = 4 m Ancho = 3 m
Alto = 2 m
Alto = 3 m
152
Cuaderno de Trabajo 5B, p 121, Práctica 1.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
232
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23-04-13 11:10
Objetivos: Volumen de prismas y de líquidos
• resolver problemas que involucran volumen de cuerpos / líquidos.
Los estudiantes serán capaces de: • expresar que el volumen de un prisma rectangular es igual a largo × ancho × alto. • expresar cuál de los objetos tiene mayor/menor volumen. • encontrar el volumen de un cubo y un prisma rectangular. • reconocer que 1 litro (1000 ml) es igual a 1000 cm³. • encontrar el volumen de un líquido en un recipiente con forma de prisma rectangular.
Habilidades • Visualización espacial
Conceptos claves • Volumen de un cubo = arista × arista × arista. • Volumen de un prisma rectangular = largo × ancho × alto. • El volumen de un líquido en un recipiente que está completamente lleno es igual a la capacidad del recipiente.
Gestión de la clase 1
• Muestre a los estudiantes ejemplos de cubos y prismas rectangulares. Repase con ellos que las caras de un cubo son todas cuadradas y las de un prisma rectangular son rectángulos o rectángulos y cuadrados. • Relacione los términos largo, ancho y alto con las aristas del prisma rectangular. Note que los términos largo, ancho y alto no se refieren a una arista en particular del prisma rectangular, pero sí se refieren a las aristas relativas a la orientación del prisma rectangular en una determinada posición.
¡Aprendamos!
Volumen de prismas y de líquidos Volumen de prismas rectangulares
1 Un prisma rectangular es un cuerpo geométrico. Todas sus caras son rectángulos o cuadrados. 22 cm 8 cm
8 cm
Este prisma rectangular tiene un largo de 22 cm. Su ancho es de 8 cm. Su alto es de 8 cm.
2
2 ¿Qué largo, ancho y alto tiene cada prisma?
a
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
b
5 cm 6 cm
9 cm
4 cm
3 cm
3 cm
Largo = 6 cm
Ancho = 4 cm
Largo = 3 cm Ancho = 3 cm
Alto = 5 cm
Alto = 9 cm
Matemática en la Pida a su hijo o hija que busque cinco objetos de la casa que sean prismas rectangulares. casa
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
153
233
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Materiales • Cubos de 1 cm de arista
Gestión de la clase 3
• Use cubos de 1 cm de arista para armar el prisma rectangular A, como muestra el Libro del Alumno. Luego, pida a los estudiantes que cuenten el número de cubos de 1 cm de arista que usaron en el prisma rectangular A (20 cubos en total). Por lo tanto, el volumen del prisma rectangular A es 20 cm³. • Ahora agregue otra capa de cubos de 1 cm³ de arista para armar el prisma rectangular B. Pida a los estudiantes que calculen el número de cubos de 1 cm en el prisma rectangular B (20 + 20 = 40 cubos de 1 cm de arista). Entonces, el volumen del prisma rectangular B es 40 cm³.
c
d 2 cm 10 cm
2 cm
8 cm
2 cm
Largo = 2 cm
6 cm
Largo = 6 cm
Ancho = 10 cm
Alto = 2 cm
Ancho = 8 cm Alto = 2 cm
3 Este prisma está formado con cubos de 1 cm de arista.
Prisma A
Hay 20 cubos de 1 cm de arista en el Prisma A. El volumen del Prisma A es de 20 cm3
Añade otra capa de cubos de 1 cm de arista y contruye el Prisma B.
Prisma B
Hay dos capas de cubos de 1 cm de arista. Cada capa tiene 20 cubos de 1 cm de arista. 20 + 20 = 40 Hay 40 cubos de 1 cm de arista en el Prisma B.
El volumen del Prisma B es de 40 cm3.
154
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 4
4 Aquí tenemos otra forma de averiguar el volumen del Prisma B. Alto 2 cm Prisma B
Ancho 4 cm
Largo 5 cm
El Prisma B tiene 5 cm de largo. Su ancho es de 4 cm. Su alto es de 2 cm.
En la capa 1 hay 5 4 = 20 cubos de 1 cm de arista. En las dos capas hay 20 2 = 5 4 2 = 40 cubos de 1 cm de arista. El volumen del Prisma B es de = 5 4 2 = 40 cm3 Volumen de un prisma rectangular = Largo × Ancho × Alto
5 Calcula el volumen de este prisma rectangular. Presione
Pantalla
0
C 45.00
23
15 cm 23 cm
13,5 cm
× 1 3 , 5 × 1 5 =
Largo = 23 cm Ancho = 13,5 cm Alto = 15 cm
Volumen del prisma = largo ancho alto = 23 13,5 15 = 4657,5 cm3
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
23 13,5 15 4657,5
• Muestre a los estudiantes otra manera de calcular el volumen del prisma rectangular B. Número de cubos de 1 cm de arista en cada capa = 5 × 4 = 20 • Guíe a los estudiantes para que noten que 5 × 4 × 2 es lo mismo que multiplicar largo por ancho y por alto del prisma rectangular, medidos en cm • El volumen del prisma rectangular B = 5 × 4 × 2 = 40 cm³ • Con la información previa, guíe a los estudiantes para que concluyan que el volumen de un prisma rectangular = largo × ancho × alto 5
• Usando una calculadora, muestre como calcular el volumen de un prisma rectangular con medidas mayores.
155
235
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Materiales
Trabajo personal
• Cubos de 1 cm de arista
• Asigne a los estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 125 a 128.
Dato para el uso de la calculadora Muestre a los estudiantes como usar la tecla “x al cubo” (x³) para calcular el volumen de un cubo.
Gestión de la clase 6
6 Un cubo tiene una arista de 6 cm de largo. Averigua su volumen.
• Muestre a los estudiantes como calcular el volumen de un cubo. Guíelos para que comprendan que el cubo es un prisma rectangular cuyo largo, ancho y alto son iguales.
Un cubo es un prisma cuyo largo, ancho y alto son iguales.
7 a 9
6 cm
• Asigne estas actividades a modo de práctica guiada.
Largo = 6 cm Ancho = 6 cm Alto = 6 cm
Volumen del cubo = Largo Ancho Alto = 6 6 6 = 216 cm3
6 cm 6 cm
7 Calcula el volumen de un cubo con arista de 14 cm.
Volumen del cubo = 14 14 14
El volumen de un cubo es igual a arista × arista × arista.
= 2744 cm3
8 Calcula el volumen de estos cubos. a Arista del cubo = 22 cm
10 648 cm3
9
b Arista del cubo = 13 m
2197 m3
Calcula el volumen de estos prismas rectangulares. a Largo = 26 cm
b Largo = 15 m
Ancho = 12 cm Alto = 8,25 cm 2574 cm3
Ancho = 14,02 m Alto = 9 m 1892,7 m3
Cuaderno de Trabajo 5B, p 125, Práctica 2.
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Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales • Recipiente cúbico de 10 cm de arista • Jarro de 1 litro de capacidad
Gestión de la clase 10
Volumen de un líquido
• Muestre a los estudiantes la equivalencia entre 1 litro y 1000 cm³. • Primero, llene con agua un recipiente cúbico de 10 cm por 10 cm por 10 cm. Guíe a los estudiantes para que adviertan como el líquido en un contenedor, adopta la forma de él. • Luego, muestre a los estudiantes como calcular el volumen de agua en el contenedor: 10 × 10 × 10 = 1000 El volumen de agua en el contenedor es 1000 cm³. • Ahora vacíe el agua a un jarro graduado de 1 litro. De esta manera, guíelos para que acepten que 1 litro es equivalente a 1000 cm³.
10
10 cm 10 cm
10 cm
1 litro de agua llena totalmente un recipiente cúbico de 10 cm de largo, 10 cm de ancho y 10 cm de alto. Recuerda que: 1 = 1000 ml
Volumen de líquido en el recipiente = 10 10 10 = 1000 cm3. Un litro ocupa el volumen de 1000 cm3. Así, 1000 ml = 1000 cm3 1 ml = 1 cm3. Un mililitro ocupa el volumen de 1 cm3.
11 Escribe en centímetros cúbicos.
a 850 ml = 850 cm3
b 2 = 2000 cm3
c 4 55 ml = 4055 cm3
d 12 5 ml = 12 005 cm3
11 y 12
• Asigne estas actividades a modo de práctica guiada.
12 Escribe en litros y mililitros.
a 530 cm3 = 530 ml
b 1025 cm3 = 1 25 ml
c 7005 cm3 = 7 5 ml
d 15 060 cm3 = 15 60 ml
Matemática Cuando lleve a su hijo o hija al supermercado. Pídale que haga una lista de cinco productos distintos y en la casa del volumen de su contenido en litros y mililitros.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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237
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Materiales • Recipiente cúbico de 10 cm de arista • Varios envases más pequeños • Regla • Agua coloreada
Gestión de la clase 13
• Pida a los estudiantes que encuentren la capacidad de diferentes envases, con formas irregulares. • Esta actividad consolida el concepto de conservación del volumen y refuerza el hecho que la capacidad de un envase es igual al volumen de líquido que puede contener.
13
Realiza esta actividad. Trabaja en grupos de a cuatro. Trae a la clase un recipiente pequeño. El profesor tendrá un envase con agua y le entregará a cada grupo un recipiente cúbico de 10 cm de alto, 10 cm de ancho y 10 cm de largo.
10 cm Frasco 10 cm
10 cm
Taza de medida
Recipiente cúbico Florero Tazón
Trabajando en grupos de a cuatro, sigan estos pasos para averiguar la capacidad de los recipientes que tiene cada grupo.
1 Llenen completamente el recipiente con agua.
2 Viertan el agua del recipiente en el recipiente cúbico que les dieron.
3 Usando una regla, midan la profundidad del agua en el recipiente
y aproximen al centímetro más cercano.
4 Usen lo que ya saben para averiguar el volumen de un prisma y
calculen el volumen de agua que cabe en el recipiente en mililitros.
Posteriormente, registren sus respuestas en la tabla que se muestra abajo.
Ejemplo
158
Recipiente
Profundidad del agua en el recipiente cúbico
Tazón
6 cm
Capacidad del recipiente (ml) 10 10 6 = 600 = 600 cm3 = 600 ml
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Objetivo de la actividad
Trabajo personal
Los estudiantes deben usar medidas de longitud enteras, al hacer una lista de todos los anchos y altos posibles para un prisma rectangular, dado su largo y volumen.
• Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 129 y 130.
Nota: Se entiende como medida entera aquella que se expresa como una cantidad no fraccionaria de cm. Ejemplo: 2 cm, 8 cm, etc.
Gestión de la clase ¡Exploremos! Trabajen en parejas. Un prisma rectangular tiene medidas enteras de largo, ancho y alto, en centímetros. Su volumen es de 120 cm3 y mide 5 cm de largo. Copia la tabla y llénala con valores posibles para el ancho y el alto del prisma.
(¡Exploremos!) • Esta tarea requiere que los estudiantes encuentren valores posibles del ancho y de la alto de un prisma rectangular, dado el volumen y el largo. 14
Largo (cm)
Ancho (cm)
Alto (cm)
Volumen (cm3)
5
1
24
120
5
2
12
120
5
3
8
120
5
4
6
120
Cada par de dimensiones del ancho y alto de este prisma se puede intercambiar entre sí para imaginar otro prisma posible.
Cuaderno de Trabajo 5B, p 129, Práctica 3.
Problemas 14 Un recipiente de base rectangular mide 15 cm por 10 cm por 8 cm. Está totalmente lleno con agua. ¿Cuántos litros y mililitros de agua contiene este recipiente?
• Pregunte a los estudiantes: ¿Cómo se relaciona el volumen de un líquido en un recipiente con forma de prisma rectangular, completamente lleno, con la capacidad del recipiente? • Guíe a los estudiantes para que comprendan que el líquido toma la forma del contenedor al llenarlo, por ello el volumen de líquido en un envase lleno, es igual a la capacidad de éste.
8 cm
10 cm
15 cm Volumen de agua en el recipiente = 15 10 8 = 1200 cm3 = 1200 ml = 1 200 ml
El recipiente contiene 1 200 ml de agua. Puesto que está totalmente lleno con agua, se dice que este recipiente tiene una capacidad de 1 200 ml.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 15
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
15
Una caja de base rectangular mide 26 cm por 15 cm por 12,5 cm. Calcula la capacidad de la caja en litros y mililtros.
16
• Muestre como encontrar el volumen adicional de agua necesario para llenar totalmente un estanque. • Guíe a los estudiantes para que noten que, ya que el agua toma la forma del prisma rectangular, el volumen adicional requerido es la diferencia entre la capacidad del envase y el volumen de agua existente.
12,5 cm
15 cm 26 cm
Capacidad de la caja = 26 15 12,5
= 4875 cm3
= 4875 ml = 4 875 ml
La capacidad de la caja es de
. 4 875 ml
16 La arista de una lata cúbica mide 15 cm de largo. La lata contiene 1,25 litros de agua. ¿Cuánta más agua se necesita para llenarla completamente? Expresa tu respuesta en litros. (1 = 1000 cm3)
Capacidad de la lata = 15 15 15
= 3375 cm3
= 3375 ml
= 3,375
Cantidad de agua necesaria para llenar la lata = 3,375 1,25 = 2,125
Se necesitan 2,125 más de agua para llenar la lata.
160
Volumen de agua en la lata = 1,25
15 cm 15 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 17
17
Hay 1,75 de agua en un recipiente con forma de prisma. La base del recipiente es un cuadrado cuyo lado tiene 12 cm y su alto es de 16,5 cm. ¿Cuánta más agua se necesita para llenar el recipiente hasta el borde? (1 = 1000 cm3) Capacidad del estanque = 12 12 16,5
= 2376 cm3
= 2,376
16,5 cm 12 cm
Volumen de agua en el recipiente = 1,75
Cantidad de agua que se necesita para llenar el recipiente = 2,376 – 1,75 = 0,626 0,626 de agua hace falta para llenar el recipiente hasta el borde.
18
12 cm
2
Un estanque cúbico de arista 21 cm está lleno con agua hasta los 3 de su capacidad. El agua es luego vaciada en un estanque rectangular de 26 cm por 12,5 cm por 15 cm hasta llenarlo. ¿Cuánta agua queda en el estanque cúbico? Da tu respuesta en mililitros. (1 cm3 = 1 ml)
21 cm
15 cm
21 cm
21 cm
26 cm
12,5 cm
2
Volumen de agua en el estanque cúbico = 21 21 21 3 = 6174 cm3 = 6174 ml
Capacidad del estanque rectangular = 26 12,5 15 = 4875 cm3 = 4875 ml
Cantidad de agua que queda en el estanque cúbico = 6174 4875 = 1299 ml
Al estanque cúbico le quedan 1299 ml de agua.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada. 18
• Muestre como calcular el volumen de agua en un recipiente con forma de prisma rectangular que está parcialmente lleno. • Si el estanque tiene 2 de agua, 3 el volumen de agua es 2 de la 3 capacidad del estanque. • Método alternativo: como el agua toma la forma del prisma rectangular, guíe a los estudiantes para que se den cuenta que el largo y ancho de este prisma rectangular, son los mismos que los del estanque cúbico, y su altura es la profundidad del agua, que en este caso es 2 de la altura del 3 estanque. • Por lo tanto, el volumen de agua es 21 × 21 × 14 = 6174 cm³. • Guíelos para que comprendan que la cantidad de agua que queda en el estanque cúbico es igual a la diferencia entre el volumen de agua que contenía y la que se vació al estanque rectangular hasta llenarlo.
161
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase 19
• Asigne esta actividad a modo de práctica guiada.
19
Un estanque de base rectangular de 45 cm de largo, 28 cm de ancho y 1
30 cm alto contiene agua hasta 4 de su capacidad. El agua de una llave fluye al estanque a 2,5 litros por minuto. ¿Cuánta agua hay en el estanque después de 5 minutos? Expresa tu respuesta en litros. (1 = 1000 cm3)
Volumen de agua en el estanque.
= 45 28 30
= cm3 = 9,45 9450
30 cm
_1
4
28 cm 45 cm
Volumen de agua de la llave = 2,5 5 = 12,5
Volumen de agua en el estanque = 9,45 + 12,5 = 21,95
En el estanque hay 21,95 de agua, después de 5 minutos.
162
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Objetivo de la actividad Los estudiantes deben comprender que aunque el material para las tres cajas tiene la misma área, el volumen será diferente, debido a las distintas áreas de las bases.
Gestión de la clase ¡Exploremos! Tres trozos de cartón, cada uno de 16 cm por 4 cm, se doblan en la línea punteada y se ponen sobre la mesa para formar cajas rectangulares. Fijamos cada caja a la mesa con cinta adhesiva y las llenamos hasta el borde con area. 16 cm 4 cm 4 cm
4 cm
4 cm
4 cm Caja A
(¡Exploremos!) • Esta tarea requiere que los estudiantes calculen el volumen de 3 cajas, cada una de ellas confeccionada con sus caras laterales a partir de idénticos trozos de cartón. • Los estudiantes descubrirán que los volúmenes son diferentes aunque los 3 tienen el mismo alto y que el mayor volumen lo tendrá el cubo, ya que posee la base de mayor área.
4 cm 5 cm
3 cm
5 cm
3 cm Caja B
4 cm 6 cm
2 cm
6 cm
2 cm Caja C
Calcula el volumen de arena que hay en cada caja. a ¿Son iguales o distintos los volúmenes de arena? Distintos. b ¿Qué caja tiene el mayor volumen de arena?
¿Qué podemos decir de esa caja? La caja A; es cúbica.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales
Trabajo personal
• Calculadora científica
• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 14b. • Asigne la Práctica 4 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 5B, págs. 131 a 136.
¡Practiquemos! 14b Resuelve los siguientes problemas. Plantea tu procedimiento claramente. 1
Un prisma rectangular tiene 29 cm de largo, 15 cm de ancho y 3,5 de alto. Calcula su volumen. 1609,5 cm3
Un prisma rectangular tiene 42 cm de largo, 32,4 cm de ancho y 26 de alto. Calcula su volumen. 35 380,8 cm3
2 3
Una piscina de base rectangular mide 15 m por 11 m por 4,75 m. Calcula
su capacidad en metros cúbicos. 783,75 m3
4 Calcula el volumen de un cubo de 21 m de arista. Expresa tu respuesta en metros cúbicos. 9261 m3 5 Un estanque de base rectangular de 28 cm por 18 cm por 12 cm está lleno de agua. Luego se usan 0,78 de agua del estanque. ¿Cuánta agua queda en el estanque? Expresa tu respuesta en mililitros.(1 = 1000 cm3) 5268 ml 6
Un acuario de base rectangular mide 55 cm por 24 cm por 22 cm. Tiene 6,75 de agua. ¿Cuánta más agua se necesita para llenarla completamente? Expresa tu respuesta en litros. (1 = 1000 cm3) 22,29
7
Un estanque rectangular tiene su base cuadrada de 60 cm de lado y un 1 alto de 45 cm. Está con agua a de su capacidad. De una llave fl uye agua al 3 estanque a razón de 6 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará para que se el estanque se llene? (1 = 1000 cm3) 18 minutos
8
Un estanque de base rectangular cuyas medidas son 27 cm por 20 cm por 37,5 cm, está a medio llenar con agua. De esa agua se vierte a un estanque 3 cúbico de 16 cm de arista hasta dejarlo a de su capacidad. ¿Cuánta agua 4 queda en el estanque rectangular? Expresa tu respuesta en litros y corrige a un Cuaderno de Trabajo lugar decimal. (1 = 1000 cm3) 7,1 5B, p 131, Práctica 4.
164
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales • Calculadora científica
Gestión de la clase • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procedimientos que se han enseñado en el capítulo. • Discuta el problema que se presenta resuelto con el fin de evaluar el grado de dominio de estos conceptos, habilidades y procedimientos.
¡Resumamos! Has aprendido a: • Construir cuerpos usando cubos unitarios • Determinar el volumen de un cuerpo construido con cubos unitarios • Designar el volumen de un cuerpo, cubo o prisma, en unidades cúbicas: cm3 ó m3 • Establecer que el volumen de un prisma rectangular = alto ancho alto • Calcular el volumen de un líquido en un recipiente con forma de prisma rectangular • Reconocer que la capacidad de un recipiente es igual al volumen del líquido necesario para llenarlo totalmente • Establecer que 1 litro = 1000 cm3 y 1ml = 1cm3
¡Repasemos! Juan virtió agua en un recipiente como 2 3
14 cm
el de la fi gura, hasta completar los de su capacidad. Luego le sacó agua hasta 2
los de su capacidad. ¿Cuánta agua sacó 5
9 cm
del recipiente? Entrega tu respuesta en
13,6 cm
mililitros. 2 3
Volumen de agua original = 13,6 9 14
= 1142,4 cm3 = 1142,4 ml
Volumen de agua fi nal = 13,6 9 14
2 5
= 685,44 cm3 = 685,44 ml
Volumen de agua vaciada = 1142,4 685,44 = 456,96 ml Juan sacó 456,96 ml de agua.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Objetivo • Los estudiantes deben calcular la cantidad de cubos unitarios y el volumen de un cuerpo basado en el patrón numérico mostrado.
Materiales
Habilidades
• Calculadora científica • 15 cubos unitarios por pareja o grupo
• Visualización espacial
Heurísticas para resolver problemas • Representar/dibujar un diagrama • Buscar un patrón • Hacer una lista sistemáticamente
Gestión de la clase 1
• Guíe a los estudiantes para que identifiquen el patrón de las escaleras 1, 2 y 3 y observe si los estudiantes son capaces de predecir la cantidad de cubos unitarios de las escaleras 4 y 5, antes de armarlas.
¡Activa tu Mente! 1
Trabaja en parejas. A cada pareja el profesor le dará 15 cubos unitarios.
Escalera 1
Escalera 2
Escalera 3
a Observen el patrón de las escaleras que se forman con los cubos
unitarios. Construyan las escaleras 4 y 5 con los cubos unitarios. Luego registren sus respuestas en la tabla de esta manera: Escalera
Cantidad de unidades cúbicas
1
1
2
1 2 = 3
3
1 2 3 = 6
4 5
Escalera 1 2 3 4 5
Cantidad de unidades cúbicas 1 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
b Sin construirla, calculen la cantidad de cubos unitarios de la escalera 6.
c Calculen la cantidad de cubos unitarios en la escalera 8. d Si cada cubo unitario tiene una arista de 1cm, ¿qué volumen tendrán
las escaleras 9 y 10? (b) (b) Cantidad Cantidad de cubos de cubos unitarios unitarios en laenEscalera la Escalera 6 =61 =+ 12++23++34++45++56+=621= 21 (c) (c) La cantidad La cantidad de cubos de cubos unitarios unitarios en laenEscalera la Escalera 8 es8laessuma la suma de 1de al 18.al 8. La cantidad La cantidad de cubos de cubos unitarios unitarios en laenEscalera la Escalera 8 es= 8 es= 1 + 21 ++ 23++34 ++ 45 ++ 56++67 + 78+=836 = 36 (d) 36 + 9 = 45 cm3 45 + 10 = 55 cm3 166
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
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Materiales
Trabajo personal
• 9 cubos unitarios por pareja o grupo
• Asigne a sus estudiantes el “Desafío”, el “Piensa y Resuelve”, el Repaso 6 y la Evaluación 2 del Cuaderno de Trabajo 5B págs. 137 a 167.
Gestión de la clase 2
¡Activa tu Mente! 2 Estos prismas se contruyeron usando respectivamente, cuatro y seis cubos de 1 cm de arista.
• Una vez que los estudiantes hayan resuelto Activa tu Mente, pida que un voluntario(a) salga adelante a presentar sus respuestas.
a ¿Cuántos prismas distintos puedes construir usando 5, 6, 7, 8 y 9 cubos
de 1cm?
b Haz una lista con el alto, ancho y largo de cada prisma que construiste.
(a) Solución: 5 cubos 6 cubos 7 cubos 8 cubos
y y
9 cubos (b)
Prisma 5 cubos 6 cubos 7 cubos 8 cubos 9 cubos
y y
Largo 5 cm 6 cm 3 cm 7 cm 8 cm 4 cm 2 cm 9 cm 3 cm
Ancho 1 cm 1 cm 2 cm 1 cm 1 cm 2 cm 2 cm 1 cm 3 cm
Alto 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm 2 cm 1 cm 1 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Cuaderno de Trabajo 5B, p 137, Desafío. Cuaderno de Trabajo 5B, p 138, Piensa y resuelve.
167
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248
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Curso:
Volumen = (c)
16 QR
cubos unitarios Volumen =
(d)
9
121
TU
cubos unitarios
27 cubos unitarios Volumen = 32 cubos unitarios
(b)
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Volumen =
(a)
Fecha:
Estos cuerpos se formaron apilando cubos unitarios en una esquina de una habitación. Calcula el volumen de cada cuerpo.
(1)
Volumen de cubos y 5 prismas rectangulares 63 1
Práctica 1 Midiendo el volumen
14
Nombre:
249
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122
Volumen =
(e)
Volumen =
7
10
(f)
(d)
Volumen =
Volumen =
Volumen =
11
11
8
cm3
cm3
cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
cm3
cm3
cm
Volumen del cubo = Largo del cubo = Ancho del cubo = Alto del cubo =
(e)
Volumen del prisma = Largo del prisma = Ancho del prisma = Alto del prisma =
8 2 2 2
12 2 2 3
cm3 cm cm cm
(f)
cm3 cm cm cm
123
Volumen del cubo = 64 cm3 Largo del cubo = 4 cm Ancho del cubo = 4 cm Alto del cubo = 4 cm
cm 3 Volumen del prisma = 20 Largo del prisma = 5 ó 2 cm Ancho del prisma = 2 ó 5 cm Alto del prisma = 2 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
(c)
11
Volumen =
cm3
8
(d)
Volumen =
(c)
3
cm3
3
5
Volumen =
(b)
(a)
(a)
(b)
(3) Estos cuerpos se construyeron usando cubos de 1 cm de arista. Llena los espacios en blanco.
(2) Estos cuerpos se formaron apilando cubos unitarios de 1 cm de arista en una esquina de una habitación. ¿Cuál es el volumen de cada cuerpo?
250
PSL_TG_5B_C14b.indd 250
09-04-13 10:42
(e)
124
m 3
(f)
Volumen del prisma = 24 m3 Largo del prisma = 6 ó 2 m Ancho del prisma = 2 ó 6 m Alto del prisma = 2 m
(d)
Volumen del cuerpo =
11
m3 Volumen del cubo = 125 m3 m Largo del cubo = 5 m m Ancho del cubo = 5 m m Alto del cubo = 5 m
m3 m m m
m 3
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
27 3 3 3
Volumen del prisma = 6 Largo del prisma = 2 ó 3 Ancho del prisma = 3 ó 2 Alto del prisma = 1
Volumen del cubo = Largo del cubo = Ancho del cubo = Alto del cubo =
(c)
Volumen del cuerpo =
8
(4) Estos cuerpos fueron construidos usando cubos de 1 m de arista. Llena los espacios en blanco. (a) (b)
Curso:
Fecha:
(d)
18 m
18 m
12 cm
12 cm
5 cm
16 cm
18 m
25 cm
12 cm
20 cm
8 cm
6 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
(c)
(b)
(a)
Largo = Ancho = Alto =
cm cm cm
125
18 18 18
Largo = 12 ó 25 cm Ancho = 25 ó 12 cm Alto = 16 cm
Largo = 12 cm Ancho = 12 cm Alto = 20 cm
Largo = 5 ó 8 cm Ancho = 8 ó 5 cm Alto = 6 cm
(1) Para cada uno de los cuerpos de abajo, indica su largo, ancho y alto.
Práctica 2 Volumen de prismas rectangulares
Nombre:
251
PSL_TG_5B_C14b.indd 251
09-04-13 10:42
(b)
126
(c)
cm.
cm.
5 ó 12
9
cm.
12 ó 5
5 m
3 cm
4 cm
8 m
3 m
540 cm3
9
Volumen del cuerpo = Largo × Ancho × Alto =8×5×3 = 120 m3
Volumen del cuerpo = Largo × Ancho × Alto =4×3×2 = 24 cm3
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
2 cm
=
Volumen del cuerpo = largo × ancho × alto 12 5 =
El alto del cuerpo es
El ancho del cuerpo es
El largo del cuerpo es
12 cm
5 cm
9 cm
(2) Calcula el volumen de cada cuerpo. Los tres cuerpos son prismas rectangulares. (a)
6 cm
3
(b)
16 m
4 cm
8 cm 3
7,45 cm
Volumen = 476,8 cm
8 cm
3 Volumen = 390,4 cm
4 cm
24,4 cm
(d)
(b)
3
9,5 m
3
3 cm
3
4,8 cm
Volumen = 115,2 cm
8 cm
Volumen = 199,5 m
7 m
3 m
Volumen = 4096 m
16 m
Calcula los volúmenes de estos prismas rectangulares.
(c)
4 cm
5 cm
Volumen = 120 cm
(a)
(a)
Calcula los volúmenes del cubo y del prisma rectangular.
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
(4)
(3)
127
16 m
252
PSL_TG_5B_C14b.indd 252
09-04-13 10:42
5,05 cm
10 cm
7 m
24,2 m
(a)
(b)
(c)
(d)
Largo
10 m
12,5 m
25 cm
12 cm
Ancho
15 m
8 m
14,2 cm
9 cm
Alto
Calcula el volumen de estos prismas rectangulares.
3630 m3
700 m3
3550 cm3
545,4 cm 3
Volumen
Un prisma rectangular tiene como base un cuadrado de lado
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Volumen del prisma = 24 × 24 × 10.9 = 6278,4 cm3
24 cm. La altura del prisma es de 10,9 cm. Calcula su volumen.
128
(8)
(7) Un prisma rectangular tiene 8 m de largo. Su longitud es el doble del ancho y tiene una altura de 5 metros. Calcula el volumen de este prisma. Ancho = 8 : 2 = 4 m Volumen del prisma= 8 × 4 × 5 = 160 m3
(6) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 9 cm? Volumen del cubo = 9 cm × 9 cm × 9 cm = 729 cm3
(5)
Curso:
(c) 2000 cm3 =
2000 ml
15 000 cm3
568 cm3
4600 ml
207 ml
I
N
H
O
R H I
L
R E .
(h) 1075 cm3 =
(g) 10 600 cm3 = 10 600 ml
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
1 75 ml
4 3 ml (f) 4003 cm3 =
(e) 9801 cm3 = 9 801 ml
(d) 1470 cm3 = 1 470 ml
7 (c) 2050 cm3 = 2 50 ml
(b) 7000 cm3 =
15 000 2125 420 5060 10 050
(3) Escribe en litros y mililitros. 720 ml (a) 720 cm3 =
El país donde están es: C
C
O .
129
15 000 2125 420 7002 15 000 2125 568 3000 3000 568
H
C
N
7002 cm3
L
C
O
¿Sabes el nombre de las momias más antiguas del planeta? Combina las letras con las respuestas y descúbrelo.
7 2 ml =
3 5 60 ml = 5060 cm
15 =
568 ml =
(d) 4600 cm3 =
(b) 207 cm3 =
Fecha:
E
3 10 50 ml = 10 050 cm
R
I
H
3000 cm3
420 cm3
3 2 125 ml = 2125 cm
3 =
420 ml =
(2) Escribe en centímetros cúbicos.
(1) Escribe en mililitros. (a) 690 cm3 = 690 ml
Práctica 3 Volumen de un líquido
Nombre:
253
PSL_TG_5B_C14b.indd 253
09-04-13 10:42
Volumen =
295,2 ml
4,1 cm
9 cm
7 cm
Volumen =
(b)
327,6 ml
5,2 cm
130
25 cm
1
8 cm
(d)
(b)
7 cm
Volumen =
6 cm
1 484 ml
26,5 cm
1 8 ml
28 cm
8 cm
6 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Volumen =
9,5 cm
1 539 ml
18 cm
Volumen =
9 cm
(c)
Volumen =
5 cm
(a)
(5) Calcula en litros y mililitros el volumen de agua de cada recipiente de base rectangular. (1000 cm3 = 1 )
12 cm
(a)
6 cm
rectangular. (1 cm3 = 1 ml)
Calcula en mililitros el volumen de agua de cada recipiente de base
(4)
Curso:
Fecha:
12 cm
6 cm
9 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
6 cm – 4 cm = 2 cm 18 cm × 12 cm × 2 cm = 432 cm3 Se necesitan 432 ml para llenar 4 cm el recipiente. 18 cm
131
12 cm
(2) Un recipiente de base rectangular, de 18 cm por 12cm por 6 cm, está con agua hasta una altura de 4 cm. ¿Cuánta más agua se necesita para llenar el recipiente?
3
se ha llenado a un 1 de su capacidad.
El recipiente contiene 216 ml cuando
3
La capacidad = 12 × 6 × 9 = 648 cm3 = 648 ml El volumen = 1 × 648 ml = 216 ml
(1) Un recipiente de base rectangular mide 12 cm por 6 cm por 9 cm. ¿Cuántos mililitros de agua contiene el recipiente si se ha llenado a un 1 de su capacidad? 3
Resuelve los siguientes problemas. Muestra claramente los pasos que diste para resolverlo.
Práctica 4 Problemas
Nombre:
254
PSL_TG_5B_C14b.indd 254
09-04-13 10:42
20 cm
20 cm
20 cm
28 cm
132
20 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Volumen total de agua = 1 120 ml + 1 400 ml = 2 520 ml
= 1120 cm3 = 1 120 ml
Volumen de agua en el recipiente = 1 × 28 × 20 × 8 4
8 cm
el recipiente. Expresa la respuesta en litros y mililitros.
28 cm
(4) Un recipiente de base rectangular que mide 28 cm de largo, 20 cm 1 20 cm de ancho y 8 cm de alto está con agua hasta un de su capacidad. 8 cm 20 cm 4 Luego se añaden 1 400 ml más. Calcula el volumen total de agua en
3
20 cm × 20 cm × 20 cm = 8000 cm 8000 cm3 = 8 8 – 3,75 = 4,25 Se necesitan 4,25 de agua para llenar el recipiente.
20 cm
(3) Un recipiente cúbico de 20 cm de arista tiene 3,75 de agua. ¿Cuánta más agua se necesita para llenarlo? Expresa tu respuesta en litros.
20 cm
Volumen de aceite = 14 cm × 14 cm × 19,5 cm × 1 2 = 1911 cm3 3 1911 cm = 1911 : 1000 = 1 911 ml El volumen de aceite del recipiente es de 1 911 ml.
19,5 cm
14 cm
contiene el recipiente? Expresa tu respuesta en litros y mililitros.
de 19,5 cm tiene aceite hasta la mitad. ¿Qué volumen de aceite
Un recipiente de base cuadrada, de lado 14 cm y una altura
14 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
En el recipiente quedan 304 ml de agua.
12 × 12 × 6 = 864 cm3 10 × 8 × 7 = 560 cm3 864 – 560 = 304 cm3
12 cm
10 cm
12 cm
133
8 cm
7 cm
12 cm
(6) Un recipiente cúbico de arista 12 cm está lleno con agua hasta la mitad. Esa agua se vierte a un recipiente de base rectangular vacío que mide 10 cm por 8 cm por 7 cm hasta llenarlo. ¿Cuánta agua queda en el recipiente cúbico? Expresa la respuesta en mililitros.
(5)
255
PSL_TG_5B_C14b.indd 255
09-04-13 10:42
Hay que añadir 3600 m3 de agua.
Cantidad de agua que se necesita = 4200 m3 – 600 m3 = 3600 m3
Volumen de agua = 50 m × 30 m × 2,8 m = 4200 m3
3 m – 0,2 m = 2,8 m
50 m
30 m
3m
Una piscina de base rectangular de 30 m de ancho, 50 m de largo y una profundidad de 3 m, contiene 600 m³ de agua. ¿Cuánta más agua hay que añadir para que el nivel llegue a 0,2 m del borde?
134
6 cm
8 cm
15 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Volumen de agua que hay que sacar =6×8×5 = 240 cm3 = 240 ml
Altura del agua que hay que sacar = 15 – 10 = 5 cm
(8) Un recipiente de base rectangular de 6 cm por 8 cm por 15 cm está lleno de agua. ¿Cuánta agua hay que sacar para que la altura del nivel de agua en el recipiente sea de 10 cm? Expresa tu respuesta en mililitros.
(7)
12 cm
15 cm
15 cm
En el recipiente queda 1 920 ml de agua
Cantidad de agua que queda = 2160 – 240 = 1920 cm3 3 1920 cm = 1 920 ml
Capacidad del segundo recipiente = 6 cm × 5 cm × 8 cm = 240 cm3
Volumen de agua en el primer recipiente = 12 cm × 15 cm × 15 cm × 4 5 = 2160 cm3 12 cm
litros y mililitros.
6 cm
15 cm
5 cm
8 cm
15 cm
¿Cuánta agua queda en el primer recipiente? Expresa tu respuesta en
Un recipiente rectangular de 12 cm de altura y base cuadrada 4 de 15 cm de lado está con agua hasta de su capacidad. Luego se 5 vacía agua a un recipiente de 6 cm por 5 cm por 8 cm hasta llenarlo.
2
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
El recipiente tardará 7 1 minutos en llenarse. 2
8
8 → 1 min 1 → 1 min 8 60 → 60 × 1 = 7 1 min
60 cm
135
50 cm
(10) Un recipiente de base rectangular de 60 cm por 50 cm por 20 cm se llena con agua a razón de 8 litros por minuto. ¿Cuánto tarda en llenarse completamente? Capacidad total del recipiente = 60 × 50 × 20 = 60 000 cm3 20 cm 60 000 cm3 = 60
(9)
6 cm
5 cm
8 cm
256
PSL_TG_5B_C14b.indd 256
09-04-13 10:42
Curso:
8 cm
Fecha:
5
136
10 cm
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
Se necesitan 120 cm3 más de agua.
Cantidad de agua necesaria = 8 × 10 × 1,5 = 120 cm3
Diferencia entre las alturas final y actual = 3,5 – 2 = 1,5 cm
Altura actual del agua = 2 2 × 5 = 2 cm
o
Se necesitan 120 cm3 más de agua.
Cantidad de agua necesaria = 280 – 160 = 120 cm3
Volumen de agua final = 8 × 10 × 3,5 = 280 cm3
Volumen de agua actual = 2 × 8 × 10 × 5 = 160 cm3 5
Acepte toda respuesta que esté correcta. Ejemplo:
Muestra dos métodos diferentes para resolver esta pregunta. ¿Cuál método prefieres? ¿Por qué?
5 cm
Un recipiente de 8 cm por 10 cm por 5 cm está con agua hasta 2 de su capacidad. ¿Cuánta más agua se necesita para 5 llenar el recipiente hasta una altura de 3,5 cm?
Diario matemático
Nombre:
Desafío
Curso:
Fecha:
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
5
137
Cuando el recipiente esté a 3 de su capacidad, habrá 3900 cm3 de agua.
3 del recipiente = 6 del recipiente = 6 × 650 = 3900 cm3 5 10
1 del recipiente = 650 cm3 10
3 – 1 = 1 5 2 10
Un recipiente con forma de prisma de base rectangular está a medio llenar 3 con agua. Tomás se da cuenta de que necesita 650 cm3 para dejarlo en 3 5 de su capacidad. ¿Cuánta agua habrá en el recipiente cuando esté a de 5 su capacidad?
Nombre:
257
PSL_TG_5B_C14b.indd 257
09-04-13 10:43
Curso:
Piensa y resuelve
Fecha:
3
138
height Alto
Capítulo 14: Volumen de cubos y prismas rectangulares
El volumen del prisma es de 500 cm .
Volumen del prisma = 5 × 5 × 20 = 500 cm3
Alto = 5 × 4 = 20 cm
Ancho = 5 cm
Height Alto
Ancho Breadth
Un prisma tiene una base cuadrada de lado 5 cm. La proporción de su altura respecto de su ancho es de 4. Calcula el volumen del prisma en cm3.
Nombre:
Repaso 6
Curso:
3
5
1 6
Fecha:
E
A
a =
63
32
B
a
B 51
43
47
F
°
C
C
(b)
No. Repaso 6
m+
n+
p no es igual a 180º.
(2) ¿Puede este grupo de ángulos formar una línea recta? ¿Por qué?
(c) D
A
(a)
B
b
66
148
c
°
°
60
C
°
139
m = 75°, n = 63°, p = 37°
EBF =
DBC =
a = b = c =
A
a
(1) En el siguiente dibujo. ABC es una línea recta. Encuentra cada ángulo marcado.
Nombre:
258
PSL_TG_5B_C14b.indd 258
09-04-13 10:43
64
A
82
D
O
49
C
B
116 °
= 229 °
AOC DOB = 131 ° 98 °
p q =
140
b =
a =
A
(a) C
54
°
°
126
a
54
b
D
B
(b)
b =
a =
C
A
° °
82
b
82
98
a
D
B
Repaso 6
(4) AB y CD son líneas rectas. Encuentra la medida de cada ángulo designado con una letra.
51
°
COE =
8 °
(c) AOB y COD son líneas rectas.
C E
C
b B
D
a + b =
136°
B
A
O 150
104
b =
a =
° °
27 27
C
a 36 b
AOB =
AOC = 104° y BOC = 150°. Encuentra AOB
a
136
(b) Encuentra a y b si a = b.
Repaso 6
(6) (a)
A
(5) AB y CD son líneas rectas. ¿Cuál es la suma de a y b?
(c) AOB es una línea recta.
p
s =
145
q
94
70
(a)
s
(b)
(3) Completa los espacios en blanco.
°
98
105
B
O
A
141
°
D
259
PSL_TG_5B_C14b.indd 259
09-04-13 10:43
142
f =
54
°
g =
25
e =
d =
65
°
35
°
g
°
65
Repaso 6
c =
45
w =
B
42
27
A w
(e) AB = BC = AD.
Repaso 6
C
°
°
D
f
36
40
(f)
(c) c
(e)
°
30
58 °
38
d
60 e
a =
c =
55
b =
°
(d)
61
c
°
a
(c) 52
118
95
64
a =
24
(a)
b
37
(b)
25
(a)
a
(8) Encuentra los ángulos marcados.
(7) Encuentra la medida de los ángulos designados con letras.
(f)
(d)
(b)
x =
s =
b =
x 30
s
20
40
60
50
60
b
65
°
°
°
143
260
PSL_TG_5B_C14b.indd 260
09-04-13 10:43
✔
60
✔
60
60
✔
144
(c)
m =
N
82
m
q
M
(a) MN = NO = OM.
O
°
22
q =
Q
p =
p
P
30
30
(b) PQ = QR = RP.
°
°
R
Repaso 6
(10) Los siguientes dibujos no están hechos a escala. Encuentra la medida de los ángulos marcados.
50
(9) Marca los triángulos equiláteros.
(c)
(a)
Repaso 6
f =
86
b =
a =
75
59
b
35
f
75
105
a
°
°
°
(b) c
e =
d =
c =
(12) Encuentra la medida de los ángulos marcados.
✔
°
60
e
145
°
° 120
60
120
d
✔
(11) Marca los paralelogramos. Utiliza una regla y una escuadra como ayuda.
261
PSL_TG_5B_C14b.indd 261
09-04-13 10:43
(c)
(e)
146
e =
h =
g =
g
d =
e
a =
(a)
h
49
a
124
90
°
°
°
82
56
°
°
49
d
100
100
(f)
(d)
(b)
k =
40
104
f =
f
c =
b =
(13) Encuentra la medida de los ángulos marcados.
40
k
55
°
°
°
44
125
°
136
136
b
Repaso 6
c
9 cm
10 m
8 m
cm3
9 cm
Volumen = 1200 m3
15 m
Volumen = 729
(c)
9 cm
(d)
(b)
9 cm
Volumen =
3,8 m
m3
11 m
1,2 cm
147
250,8 cm3
6 m
Volumen = 32,4
3 cm
Calcula el volumen de cada uno de estos cuerpos. (a)
Repaso 6
(14)
262
PSL_TG_5B_C14b.indd 262
09-04-13 10:43
(b)
148
10,5 cm
21 cm
Volumen =
8 cm
1152
9 cm
cm3
16 cm
Volumen = 5512,5 cm3
25 cm
¿Cuál es el volumen de agua en estos envases?
(a)
(15)
Repaso 6
Repaso 6
Capacidad = 25,6 × 11 × 15 = 4224 cm³ 4224 : 1000 = 4,224 4,224 – 2,07 = 2,154 Se deben agregar 2,154 de agua. 11 cm
149
25,6 cm
15 cm
(16) El recipiente rectangular que se muestra contiene 2,07 de agua. ¿Cuánta agua se le debe agregar para llenar totalmente el estanque? Expresa tu respuesta en litros.
Puedes usar tu calculadora para las preguntas (16) a (18).
263
PSL_TG_5B_C14b.indd 263
09-04-13 10:44
150
Se demorará 4 2 minutos en llenarse hasta el tope.
1
15 × 45 × 30 = 20 250 cm³ 4,5 × 1000 = 4500 1 20 250 : 4500 = 4 2 min 45 cm
Repaso 6
15 cm
30 cm
(17) Un acuario rectangular se está llenando de agua con una llave de la que salen 4,5 por minuto. ¿Cuánto se va a demorar en llenarse totalmente el acuario?
Repaso 6
9600 : 1200 = 8 min El estanque va a demorar 8 minutos en vaciarse.
2 × 20 × 20 × 36 = 9600 cm³ 3
estanque?
20 cm
151
20 cm
36 cm
se está saliendo a 1,2 por minuto. ¿Cuánto se va a demorar en vaciarse el
3
lleno con agua hasta 2 de su capacidad. Hay una fisura en la base y el agua
(18) Un estanque con base cuadrada de lado de 20 cm y una altura de 36 cm está
264
PSL_TG_5B_C14b.indd 264
09-04-13 10:44
BLANCO
Curso:
Evaluación 2
3
5 1 6
Fecha:
(a) (b) (c) (d)
Quinientos tres mil siete Cinco millones, tres mil siete Cinco y tres mil siete Quinientos treinta mil siete
(a) 2,005 (c) 1,997
(b) 1,89 (d) 2,1
(a) 75 (c) 57
(b) 54 (d) 45
(a) 29 101 (c) 5187
Evaluación 2
(b) 1551 (d) 412
(4) ¿Cuánto es 303 más que el producto de 96 y 13?
(3) ¿Cuál es el valor de de 48 : 8 + 13 x 3?
(2) ¿Cuál de los siguientes números está más cerca de 1,9?
(1) ¿Cómo se escribe 503 007 en palabras?
153
( b )
( d )
( b )
( a )
Escribe la letra de la respuesta correcta en los paréntesis al lado derecho.
Sección A
Nombre:
265
PSL_TG_5B_C14b.indd 265
09-04-13 10:44
(a) 3000 (c) 2700
2 7
2 3
(b) 3187 (d) 300
20 21 8 (c) 21
(a)
2 4 (d) 4 21
(b)
(a) 8 cm2 (c) 30 cm2 (b) 24 cm2 (d) 36 cm2 ( c )
154
Evaluación 2
(8) El perímetro de un cuadrilátero es de 82,4 cm. ¿Cuál es el largo promedio de sus lados? (a) 20,6 cm (b) 27,5 cm (c) 41,2 cm (d) 329,6 cm ( a )
)
( c )
( b
(7) Se colocan dos triángulos equiláteros idénticos de 45 cm² de área uno sobre el otro, como lo muestra la figura de abajo. Todos los triángulos que no están coloreados tienen la misma área. Calcula el área de la parte coloreada.
(6) ¿Cuánto es la diferencia entre y ?
(5) ¿Cuánto es la diferencia entre los valores de los dígitos 3 en 8 413 516 y en 618 329? (a) 10 años (c) 14 años
(b) 12 años (d) 16 años
( d )
(a) 140 cm (c) 960 cm
A
50°
a
C
B
(a) 65° (c) 40°
D
Evaluación 2
A 26°
C
B
82°
(a) 98° (c) 52°
(12) La figura de abajo no está dibujada a escala. AD // BC. Encuentra el DAC.
(b) 72° (d) 26°
(b) 50° (d) 25°
155
( b )
( a )
(b) 820 cm (d) 164 cm ( c )
(11) La figura de abajo no está dibujada a escala. Encuentra el a.
(10) La figura de abajo está formada por cuatro rectángulos, de 120 cm por 85 cm cada uno. Calcula el perímetro de la figura.
(9) La edad promedio de 5 niños es 12 años. La edad de 4 de los niños es 10, 12, 8 y 14. ¿Cuál es la edad del 5º niño?
266
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5 cm
21 cm
12 cm
(a) 38 (c) 1260 2 3
(b) 1200 (d) 1620 ( c )
23 cm
10 cm
6 cm
(c) 460 cm ( b )
1 (d) 153 3 cm3
(b) 920 cm3
3
(a) 1380 cm3
(a) Bolsa 1 (c) Bolsa 3
156
(1) (2)
(b) Bolsa 2 (d) Bolsa 1 y 3
(3)
Evaluación 2
( c )
(15) ¿En cuál de las siguientes bolsas, el resultado de sacar al azar una bola blanca y una bola negra es igualmente probable?
(14) ¿Cuál es el volumen de agua del contenedor cuando está a de su capacidad?
(13) ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista caben dentro de la caja?
(a) (1,1), (3,3), (1,3) (c) (1,1), (3,3), (3,0)
1
0
2
3
4
(b) (1,1), (3,1), (0,3) (d) (1,3), (3,3), (1,1)
×
2
4
(d) 3
(b) 1
(a) 12x (c) 6x + 6x
Evaluación 2
3x + 3 + 6x =
(b) 9x + 3 (d) 9 + x
(18) Simplifica la siguiente expresión algebraica:
(a) 1
4 (c) 2 8
× (a - 5) = 4
1
(17) Si a vale 7, ¿cuál es el valor de la siguiente expresión algebraica?
×
1
2
3 ×
4
157
( b )
( b )
( b )
(16) ¿Cuál de las siguientes alternativas representa las coordenadas de la figura representada en el plano cartesiano?
267
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120 + 12 000 + 1200 + 12 = 133 212 000
133 212
2076 + 759 = 2835 : 3 = 945 2835
11,05 11 11,1 11,009
11
11,009 11,05
11,1
$945
3 8
2 × 50 = 100 3 × 70 = 210 210 – 100 = 110 kg 110 kg
158
3 partes $2100 partes $5600 (precio normal) 8 5600 – 2100 = 3500 (descuento)
del descuento era $2100. ¿Cuánto fue el descuento dado?
Evaluación 2
$3500
(23) del valor normal de un reloj digital era $2100. El precio del reloj digital después
(22) Sergio vendió un promedio de 70 kg de pescado diario durante 3 días. En los primeros dos días, él vendió un promedio de 50 kg por día. ¿Cuántos kilos de pescado vendió en el tercer día?
(21) Ordena los siguientes números, comenzando por el menor.
(20) María, Ana y Paula quieren pagar equitativamente lo que gastaron en una bebida y un paquete de galletas. La bebida cuesta $2076 y el paquete de galletas cuesta $759. ¿Cuánto debe pagar cada una?
(19) ¿Cuál es la suma de 12 decenas de mil, 12 unidades de mil, 12 centenas y 12?
Lee atentamente las preguntas. Escribe tu respuesta en los espacios disponibles. Muestra tu trabajo claramente.
Sección B
41 cm
12
984 cm2
B
b
c
A g a
Evaluación 2
E
d
C
e
f
D
a,
b,
c,
159
g
(26) La figura de abajo no está dibujada a escala. ABCD es un paralelogramo y ABE es un triángulo equilátero. Identifica todos los ángulos que son iguales a f.
(25) ¿Cuántas unidades cúbicas hay en el cuerpo de abajo?
24 cm
24 × 41 = 984
(24) Un pedazo de papel rectangular es doblado por la mitad. Usando el doblez como base, un triángulo es dibujado como se muestra en la figura de abajo. Con el papel aún doblado, se corta el triángulo por los lados diagonales. Luego, se abre la figura recortada. ¿Cuál es el área de la figura recortada?
268
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1 1 7 +2 = 15 = 15,175 8 20 40
1 como decimal. 20
15,175
23,94 kg
160
3 1 37 7 2 – – = = 0,925 kg 10 8 2 40
Evaluación 2
0,925 kg
porotos le vendió a la Sra. Juana? Expresa tu respuesta en decimales.
2
algunos porotos a la Sra. Juana, le quedó kg de porotos. ¿Cuántos kg de
3 7 (29) Max tenía 2 kg de porotos. Luego de vender kg de porotos a Miguel y 10 8 1
(20 × 0,84) + (7 × 1,02) = 23,94
(28) Enrique colocó en una camioneta 20 bolsas de arroz con 0,84 kg cada una. Puso además 7 bolsas de lentejas que pesan 1,02 kg cada una. ¿Con cuánto peso cargó la camioneta?
13
(27) Expresa 13 2
1 8
Puedes usar tu calculadora para las preguntas (27) a (35).
5 8
678
Evaluación 2
5 = 15 000 cm3 8
15 000 : 6 = 2500 cm3
(40 × 25 × 24) ×
161
2500 cm3
6 minutos. Calcula el volumen de agua que salía de la llave por minuto.
agua de una llave. El estanque llegó hasta de su capacidad después de
(31) Un acuario de 40 cm por 25 cm por 24 cm está vacío y se quiere llenar con
Número total de préstamos : 2 × 738 = 1476 (1476 – 120) : 2 = 678
(30) En una biblioteca, el promedio de libros prestados el lunes y martes fué de 738. El número de préstamos del lunes fue 120 más que el martes. ¿Cuántos préstamos de libros fueron hechos el martes?
269
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209,60 kg
162
Hay 708 ruedas.
Si x = 12, 58x + 12 = 58 × 12 + 12 = 708
(b) Si x = 12, ¿cuántas ruedas son?
Evaluación 2
La cantidad total de ruedas de los vehículos que quedaron es 58x + 12
= 58x + 12
= 24x + 34x + 12
= (4 × 6x) + (2 × 17x) + 4 × 3
Cantidad de ruedas:
(10x - 4x) autos, (20x - 3x) motos y (18 - 15) camionetas
(a) Encuentra la cantidad total de ruedas de los vehículos que quedaron.
(33) Una automotora tenía para la venta 10x autos, 20x motos y 18 camionetas. En un mes vendieron 4x autos, 3x motos y 15 camionetas.
(5,45 × 16) + (10,20 × 12) = 209,60 kg
(32) Samuel compró 16 cajas de cerezas que pesan 5,45 kg cada una y 12 cajas de peras que pesan 10,20 kg cada una. ¿Cuánto pesa toda la fruta que compró?
5 × 30 - 1 = 149. Fernando está equivocado.
4, 9, 14
(b) Fernando dice que el 30º elemento es 150. Verifica si está en lo correcto.
(a) Escribe los primeros elementos de esta secuencia.
Evaluación 2
El resultado que obtendrá siempre Eduardo será 10.
(1) 5 × y = 5y (2) 5y + 10 (3) 5y + 10 - 5y = 10
Llamémos “y” al número que piensa Eduardo.
163
(35) Eduardo piensa un número y luego lo multiplica por 5. Después suma 10 al resultado de la multiplicación. Finalmente, resta 5 veces el mismo número que pensó en un comienzo. ¿Cuál es el resultado que obtendrá Eduardo?
(34) El n-ésimo elemento de una secuencia numérica es (5n - 1).
270
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3 8
almuerzo
Laura guardó $3375.
164
guardó
3 de su dinero. 8
3 × 9000 = 3375 8
Ella guardó
1 5 3 + = 4 8 8 5 3 1– = 8 8
Ella guardó $3375.
8 partes $9000 1 parte $1125 3 partes $3375
jugo
$9000
guardó el resto. ¿Cuánto dinero guardó?
Evaluación 2
(36) Laura tenía $9000. Ella gastó de su dinero en un jugo, en un almuerzo y
1 4
Puedes usar tu calculadora en esta sección.
Para cada una de las preguntas escribe tu respuesta en los espacios dados. Muestra tu trabajo claramente.
Seccion C
0,75 kg
0,30 kg
21,60 kg
Evaluación 2
3 partes 21,60 – 0,75 – 0,30 – 0,75 = 19,80 kg 1 parte 6,60 kg El peso del libro más pesado: 6,60 + 0,75 + 0,30 = 7,65 kg
Peso total de los 3 libros: 3 × 7,20 kg = 21,60 kg
Ciencias
Inglés
Matemáticas
?
165
(38) José trajo 3 libros. El peso promedio de los 3 libros fue 7,20 kg. El libro de matemática pesa 0,30 kg más que el de inglés. El de ciencias pesa 0,75 kg menos que el de inglés. Calcula el peso del libro más pesado.
Peso total = 25,20 kg + 107,40 kg = 132,60 kg
8,40 × 3 = 25,20 kg 8,95 × 12 = 107,40 kg
(37) Álvaro compró 15 cajas de chocolates. El peso promedio de 3 de las cajas fue 8,40 kg. El peso promedio de las otras 12 cajas fue 8,95 kg. ¿Cuál fue el peso total de las 15 cajas de chocolate?
271
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4320 – 3200 = 1120 cm 1120 : 20 = 56 (posible pero podría no ser el menor)
4320 – 3100 = 1220 cm 1220 : 20 = 61 ✔
64 × 50 cm = 3200 cm
62 × 50 cm = 3100 cm
35º
C
72º
D
ACD = 180° – 72° – 35° = 73° DAC = 180° – 72° – 73° = 35° BAC = 180° – 72° – 35° = 73°
166
B
A
Evaluación 2
(40) La figura de abajo no está dibujada a escala. ABCD es un paralelogramo. Encuentra el BAC.
4320 – 3000 = 1320 cm 1320 : 20 = 66 ✗
Número de varillas de 20 cm
60 × 50 cm = 3000 cm
Número de varillas de 50 cm
Usa, adivina y corrige.
(39) Esteban tiene varillas de madera que miden 50 cm y 20 cm. Tiene menos de 65 varillas de 50 cm. Además tiene más varillas de 50 cm que de 20 cm. Al colocar todas las varillas en línea recta una a continuación de la otra, cubre una longitud de 4320 cm. ¿Cuál es el menor número posible de varillas de 50 cm que él tiene?
Recipiente Q Tank Q
10 cm
Capacidad del estanque Q: 10 × 20 × 6 = 1200 cm3
3 del estanque Q fueron llenados con agua. 5
3 720 = 5 1200
6 cm 20 cm
Cantidad de agua vertida en el estanque Q = 720 cm3
2
1 × 15 × 12 × 8 = 720 cm3 2
Recipiente P Tank P
15 cm
8 cm 12 cm
se llenó con agua?
167
El estanque P quedó hasta 1 de su capacidad. ¿Qué fracción del estanque Q
Evaluación 2
(41) Juan echó la misma cantidad de agua en dos recipientes vacíos, P y Q.
BLANCO
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HEURÍSTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
Nugo
Gugo
Kuga Lugo
Zugo Tuga
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Heurística 1: Dibujar un modelo Ejemplo 1 7 1 de un número es 120. ¿Cuánto es del número? 10 4
Solución: El modelo de barras para este problema es
120
1 parte
120
4 partes
120 4 = 480
El número es 480 7 de 480 10
480 : 10 7 = 336
7 de 480 es 336. 10
Ejemplo 2 Jimena, Julia y Rosa compartieron una bolsa de galletas. Jimena sacó la mitad de las galletas de la bolsa y 1 galleta más. Julia sacó la mitad de las galletas restantes y 1 galleta más. Rosa sacó 2
2
las 2 galletas que quedaban. ¿Cuántas galletas habían en la bolsa al comienzo? ¿Cuántas galletas sacó cada una de las amigas?
Solución: Jimena
Julia 1 2
La parte sombreada del modelo La mitad del total de galletas
Rosa 1 2
2
2 1 galletas 2
1 1 1 (2 2 ) = 5 galletas 2 2 2
1 2
Al comienzo habían 2 5 = 11 galletas en la bolsa. Rosa sacó 2 galletas, Julia sacó 3 y Jimena sacó 6. 274
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Ejemplo 3 Don Luis tiene cierta cantidad de dulces para sus nietos. Si le diera 4 dulces a cada nieto, le quedan 3 dulces. Si le da 6 dulces a cada nieto, necesitaría 13 dulces más. (a) ¿Cuántos nietos tiene Don Luis? (b) ¿Cuántos dulces tiene?
Solución: ? dulces
Don Luis 4 a cada uno
3
6 a cada uno 13
(a) Diferencia entre las barras = 3 13
= 16 dulces.
Diferencia entre la cantidad de dulces para cada nieto = 6 4
= 2 dulces
Cantidad de nietos 2 dulces más a cada nieto = 16 dulces
Cantidad de nietos = 16 : 2
= 8 nietos
Don Luis tiene 8 nietos.
(b) Observa la segunda barra del modelo:
8 nietos 4 = 32 dulces
32 3 = 35 dulces
Don Luis tiene 35 dulces.
275
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Heurística 2: Representar/dibujar un diagrama Ejemplo 1 ¿Cómo puedes distribuir 6 círculos a lo largo de los lados de un triángulo de manera que haya 3 círculos en cada lado? Solución:
Ejemplo 2 Martina está mirando hacia el noreste. Si gira 315° en el sentido de las agujas del reloj, ¿Hacia qué dirección quedará mirando? Solución: NO
N
NE
O
E SO
S
SE
Inicialmente Martina está mirando al Noreste. En el dibujo, entre dos flechas sucesivas hay un giro de 45º. Si gira 315° en el sentido de las agujas del reloj, habrá realizado 315° : 45° = 7 giros de 45º. Por lo tanto, después de 7 de esos giros, ella quedará mirando hacia el Norte. o bien, Inicialmente Martina está mirando hacia el Noreste, punto que se encuentra a 45° del Norte, en el sentido de las agujas del reloj. Si gira 315° en el sentido de las agujas del reloj, ella estará a 315° + 45° = 360° ó 0° del Norte. Por lo tanto, después de girar 315° en el sentido de las agujas del reloj, ella estará mirando hacia el Norte. 276
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Ejemplo 3 Encuentra el área de la siguiente figura.
8 cm
Solución: 4 de esos triángulos forman un cuadrado:
8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
Área del cuadrado = 8 8
= 64 cm2
Área del triángulo = 64 : 4
= 16 cm2
El área de la figura es 16 cm2.
277
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Heurística 3: Replantear el problema Ejemplo 1 La figura está formada por 4 cuadrados A, B, C y D. ¿A qué fracción de la figura corresponde A? A
B
C
D
Solución: Divide la figura en cuadrados del mismo tamaño: A
B
C
D
Hay 12 cuadrados del mismo tamaño en total, por lo tanto el cuadrado A corresponde a 1 12 de la figura.
Ejemplo 2 Beatriz compró 3 lápices pasta y 2 gomas de borrar por $2200. Cada lápiz pasta cuesta tres veces el valor de una goma de borrar. ¿Cuánto costó cada lápiz pasta? Solución: Lápices
$2200
Gomas
278
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3 lápices 2 gomas
$2200
Calcula cuántas gomas se podrían comprar con lo que se paga por los 3 lápices pasta. 1 lápiz
3 gomas
3 lápices
9 gomas
9 2 = 11 gomas
$2200
$2200 : 11 = $200 (precio de 1 goma) $200 3 = $600 (precio de 1 lápiz)
Cada lápiz pasta cuesta $600.
Heurística 4: Buscar un patrón Ejemplo 1 181 =9 12 8 2 = 98 123 8 3 =
Sin multiplicar, encuentra 123 456 8 6.
Solución: 1 8 1 = 9 12 8 2 = 98 123 8 3 = 987
Se observa un patrón en la respuesta y también en los números que se están operando.
Del patrón, 1234 8 4
= 9876
12 345 8 5 = 98 765 123 456 8 6 = 987 654 279
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Ejemplo 2
Figura 1
Figura 2
Figura 3
La Figura 1 tiene 1 círculo. La Figura 2 tiene 3 círculos. La Figura 3 tiene 6 círculos.
Si el patrón continúa, ¿cuántos círculos habrán en: (a) La Figura 6? (b) La Figura 10?
Solución:
Número de círculos
Figura 1
1
Figura 2
12=3
Figura 3
123=6
Figura 6
1 2 3 4 5 6 = 7 3 = 21
Figura 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 11 5 = 55
Hay 21 círculos en la Figura 6 y 55 círculos en la Figura 10.
280
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Heurística 5: Trabajar de atrás hacia adelante Ejemplo 1 Benjamín tenía algunas cartas para jugar. En el primer juego, ganó 10 cartas y luego perdió 1
3
de las cartas que tenía. En un segundo juego, perdió 12 cartas, quedándose con 40 cartas. ¿Cuántas cartas tenía al comienzo?
?
Solución: 40 12 = 52 2 partes
52
1 parte
26
3 partes
78
52
78 10 = 68
Benjamín tenía 68 cartas al comienzo.
Ejemplo 2 Darío tenía cierta cantidad de dinero. Él gastó $1000 y le dio 1 del resto a su mamá. Luego, él 3
gastó $500 más y le quedaron $2500. ¿Cuánto dinero tenía al comienzo?
Solución: $2500 $500 = $3000 2 partes
$3000
1 parte
$1500
3 partes
$4500
? $3000
$4500 $1000 = $5500
Darío tenía $5500 al comienzo.
281
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Heurística 6: Hacer una lista sistemáticamente Ejemplo 1 Pablo ahorra $3000 cada mes comenzando en el mes de abril. Carolina ahorra $4000 cada mes comenzando en el mes de mayo. ¿En qué mes ambos tendrán ahorrada la misma cantidad de dinero?
Solución:
Pablo Carolina
abril
mayo
junio
julio
agosto
septiembre
3000
6000
9000
12000
15000
18000
–
4000
8000
12000
16000
20000
Ambos tendrán ahorrada la misma cantidad de dinero en el mes de julio.
Ejemplo 2 Hay 6 equipos de fútbol en un campeonato. Cada equipo juega contra otro equipo dos veces. ¿Cuántos partidos se juegan en total?
Solución: Nombre de los equipos A, B, C, D, E y F. Haz una tabla con los partidos por jugar. A
B
C
D
E
F
A B
AB
C
AC BC
D
AD BD CD
E
AE
BE
CE DE
F
AF
BF
CF DF
EF
Si cada equipo juega contra otro equipo una vez, en total jugarán 15 partidos. Por lo tanto, como juegan dos veces, el total de partidos jugados es 15 2 = 30 partidos.
282
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Ejemplo 3 $5
$10
$50
$100
$500
Tengo estas monedas. ¿Qué cantidades puedo obtener con 2, 3 y 4 de estas monedas?
Solución: Lista de posibilidades. 2 monedas:
$5 $10 ($15)
$10 $50 ($60)
$50 $100 ($150)
$5 $50 ($55)
$10 $100 ($110)
$50 $500 ($550)
$5 $100 ($105)
$10 $500 ($510)
$100 $500 ($600)
$5 $500 ($505)
3 monedas:
$5 $10 $50 ($65)
$10 $50 $100 ($160)
$5 $10 $100 ($115)
$10 $50 $500 ($560)
$5 $50 $100 ($155)
$10 $100 $500 ($610)
$50 $100 $500 ($650)
$5 $10 $500 ($515) $5 $50 $500 ($555) $5 $100 $500 ($605)
4 monedas:
$5 $10 $50 $100 ($165)
$5 $10 $50 $500 ($565)
$5 $50 $100 $500 ($655)
$10 $50 $100 $500 ($660) $5 $10 $100 $500 ($615)
283
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Ejemplo 4 En un torneo de tenis de “singles”, hay 64 jugadores. Después de cada partido, el perdedor es eliminado. ¿Cuántos partidos deben jugarse para conocer al campeón?
Solución: Haz una tabla. Cantidad de jugadores
Cantidad de partidos
Primera ronda
64
32
Segunda ronda
32
16
Tercera ronda
16
8
Cuarta ronda
8
4
Semi-finales
4
2
Final
2
1
Total
63
Para conocer al campeón deben jugarse 63 partidos.
Heurística 7: Suponer y comprobar Ejemplo 1 La edad de Susana es un múltiplo de 5. El próximo año, su edad será un múltiplo de 7. Si Susana tiene menos de 60 años, ¿Cuál puede ser su edad? Hay dos respuestas posibles.
Solución: Como la edad de Susana es un múltiplo de 5, el dígito en el lugar de las unidades debe ser 0 ó 5. Por lo tanto, el próximo año su edad deberá tener un 1 ó un 6 en el lugar de las unidades. Los múltiplos de 7 menores a 60 que tienen un 1 y un 6 en el lugar de las unidades son 21 y 56. Entonces, Susana puede tener 20 ó 55 años.
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Ejemplo 2 Hay 20 autos y triciclos en un estacionamiento. Hay 66 ruedas en total. ¿Cuántos triciclos hay?
Solución: Cantidad de autos
Cantidad de triciclos
Cantidad de ruedas de auto
Cantidad de ruedas de triciclo
Cantidad total de ruedas
10
10
10 4
10 3
70 ✘
9
11
94
11 3
69 ✘
8
12
84
12 3
68 ✘
6
14
64
14 3
66 ✔
Partimos suponiendo que hay igual cantidad de autos y triciclos, pero como resulta una cantidad de ruedas mayor que 66, vamos bajando el número de autos y subiendo el número de triciclos, para ir disminuyendo la cantidad total de ruedas. Hay 14 triciclos.
Ejemplo 3 Coloca paréntesis () de manera que la siguiente expresión sea verdadera.
12:34=4
Solución: Supongo que el paréntesis va en (1 + 2) (1 2) : 3 4 = 4
Compruebo: (1 2) : 3 4 = 3 : 3 4 = 4 ✔
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Heurística 8: Considerar dos momentos: antes y después Ejemplo 1 Había 100 bolitas en una caja, entre rojas y azules. La cantidad de bolitas rojas era
2 de la cantidad de 3
bolitas azules. Se sacaron algunas bolitas azules de la caja y ahora la cantidad de bolitas azules es
3 de 4
la cantidad de bolitas rojas. ¿Cuántas bolitas azules se sacaron de la caja?
Solución: Antes: Bolitas rojas
100
Bolitas azules
5 partes
100 bolitas
1 parte
100 : 5 = 20
Había 60 bolitas azules y 40 rojas Después: 40 Bolitas rojas Bolitas azules ?
4 partes
40 bolitas
1 parte
10 bolitas
3 partes
30 bolitas
se sacaron
Entonces, se sacaron 30 bolitas.
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APÃ&#x2030;NDICES
Nugo
Gugo
Kuga Lugo
Zugo Tuga
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Apéndice 1
Capítulo 8: Álgebra ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 16)
a
b
x
y
z
3
5
8
12 30 288
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Apéndice 2
Capítulo 10: Probabilidades ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 68)
289
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Apéndice 2
Capítulo 10: Probabilidades ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 68)
290
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Apéndice 3
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 77)
Entrada
291
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Apéndice 3
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 77)
5
Entrada
4 3 2 1 A
B
C
D
E
292
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Apéndice 4
Capítulo 11: Localización y plano cartesiano ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 78)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
293
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Apéndice 5
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 113)
a b
c
a
b c 294
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19-04-13 15:14
Apéndice 6
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 118)
295
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Apéndice 7
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 126)
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Apéndice 8
Capítulo 13: Propiedades de triángulos, cuadriláteros y figuras 3D ¡Aprendamos! (Libro del Alumno 5B, pág. 129)
A
D
P p
s
q B
B
A a
b
A a
B
b
r R
Q
C
S
d
D
c C D d c
C 297
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BLANCO
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