MATEMÀTIQUES I Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia.
GRADUAT EN EDUCACIÓ SECUNDÀRIA CFA Teresa Mañé C/ Unió,81 08800 Vilanova i la Geltrú Tfn: 93.893.37.49 cfa-teresamanye@.xtec.net
INDEX UNITAT 1: ELS NOMBRES NATURALS ............................... Pàg. 3 UNITAT 2: ELS NOMBRES ENTERS .................................... Pàg. 11 UNITAT 3: OPERACIONS AMB ENTERS ............................. Pàg. 43 UNITAT 4: DIVISIBILITAT ...................................................... Pàg. 77 UNITAT 5: ELS RACIONALS ................................................ Pàg.109 UNITAT 6: PROPORCIONALITAT ........................................ Pàg.136 UNITAT 7: EL MERCAT ........................................................ Pàg.161 UNITAT 8: POTÈNCIES I ARRELS....................................... Pàg.190
Unitat 1 ELS NOMBRES NATURALS
MATEMÀTIQUES I PÀG.3
NOMBRES NATURALS Definició Formalment, el conjunt dels nombres naturals, Ν, es defineix de la següent manera: Té un primer element: 1 Tot nombre natural té el seu següent, que s’obté sumant-li 1. És un conjunt infinit. Es representa Ν = {1,2,3,4,...} El número 0 pot ser inclòs entre els naturals, però, en aquest apunts considerarem que no ho és. Operacions amb nombres naturals: La suma Sumar és unir, ajuntar, afegir. Propietats de la suma: •
Propietat commutativa: la suma no varia en canviar l'ordre dels seus sumands. a+b=b+a
•
Propietat associativa: el resultat de la suma és independent de la forma en què s'agrupen els sumands. (a + b) + c = a + (b + c)
La resta Restar és llevar o suprimir, és a dir, calcular la diferència.
La multiplicació (o producte) Multiplicar és una forma abreujada de realitzar una suma repetitiva de sumands iguals. a+a+a+a+a+a=6·a
PÀG.4
Propietats del producte: •
Propietat commutativa: el producte no varia en canviar l'ordre dels factors. a·b=b·a
•
Propietat associativa: el resultat del producte és independent de la forma en què s'agrupen els factors. (a · b) · c = a · (b · c)
•
Existència d'element neutre (1): a·1 = 1·a = a
Propietat de la suma i del producte: •
Propietat distributiva del producte respecte de la suma: a· ( b+c ) = a·b + a·c
La divisió Dividir és repartir a parts iguals o també partir en parts una quantitat. Nota: Els nombres naturals es poden sumar i multiplicar, i el resultat d'aquestes operacions és també un nombre natural. En canvi, no passa el mateix amb la resta i la divisió. Potències Una potència és un producte de factors iguals. 23 = 2 • 2 • 2
2 xy 3 = 8 / 2 ^ 3
PÀG.5
PÀG.6
PÀG.7
PÀG.8
PÀG.9
PÀG.10
Unitat 2 ELS NOMBRES ENTERS
MATEMÀTIQUES I PÀG.11
UNITAT 2
QUÈ TREBALLARÀS?
36
què
treballaràs?
En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Reconèixer els nombres enters. Ordenar-los i repre-
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
sentar-los sobre una recta. · Explicar el valor absolut d’un nombre enter. · Construir un gràfic cartesià a partir d’una taula de valors o d’un conjunt de punts.
PÀG.12
37
1. Positius i negatius
Per mesurar la temperatura del cos humà o la temperatura atmosfèrica de països càlids ja en tenim prou, però si volem mesurar la temperatura de països freds o, per exemple, del nostre congelador, no en tenim prou amb els nombres enters. Ens calen nombres més petits que el zero: els nombres negatius. Aquest nou conjunt s’anomena nombres enters. El conjunt dels nombres enters està format pels nombres enters positius (són els nombres naturals precedits del signe +), els nombres enters negatius (són els nombres naturals precedits del signe —) i el zero.
UNITAT 2
El conjunt dels nombres naturals és el conjunt dels nombres enters (sense decimals) i positius (més grans que zero).
ELS NOMBRES ENTERS
En la unitat anterior hem vist la necessitat de disposar de nombres positius i negatius per comptabilitzar diferents situacions com la mesura de la temperatura.
Els nombres enters es representen per la lletra Z i és un conjunt il·limitat. Z = {... —4, —3, —2, —1, 0, +1, +2, +3, +4...}
Tots dos indiquen una temperatura de 10 graus, però amb una diferència important: en el primer cas són 10oC sobre zero i en el segon cas 10oC sota zero. En el llenguatge normal, per diferenciar-los, utilitzem les expressions sobre zero i sota zero, però matemàticament s’utilitzen els signes + i —. Per indicar les temperatures que estan per sobre del zero s’utilitzen els nombres naturals PÀG.13
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Fixa’t en els termòmetres de la figura. El primer ens dóna la temperatura màxima i el segon la temperatura mínima d’un dia d’hivern.
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
38
precedits del signe + i per indicar les que estan per sota del zero s’utilitzen nombres naturals precedits pel signe —. Per tant, diem que la temperatura que indica el primer termòmetre és de +10oC, mentre que el segon ens indica una temperatura de —10oC. Des de fa un temps a les grans ciutats han començat a proliferar els aparcaments subterranis. Això ha plantejat el problema de com numerar les noves plantes. Imagina que vas a uns grans magatzems i aparques el cotxe en la planta més baixa del soterrani. Com indicaries aquesta planta? La número zero? La número u? Cal establir un criteri perquè tots ens entenguem. Generalment diem que la planta baixa és la planta 0 i a partir d’aquesta totes les plantes que es troben per sobre es numeren amb els nombres positius i totes les que estan per sota, al soterrani, es numeren amb els nombres negatius.
ACTIVITAT Un edifici té soterrani, planta baixa, entresol, 1r pis, 2n pis i àtic. 1. A quina planta correspon l’àtic? A quina planta correspon en realitat el 1r pis? I el soterrani? 2. Quantes plantes has de pujar si vas des del soterrani al primer pis? Solució
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
1. Si prenem com a sistema de referència la planta baixa, aquesta serà la planta 0. Per tant, totes les que estiguin per sota seran negatives i totes les que estan per sobre seran positives: Àtic
Planta 4
Segon pis
Planta 3
Primer pis
Planta 2
Entresol
Planta 1
Planta baixa
Planta 0
Soterrani
Planta —1
Seguint la taula, l’àtic seria la planta 4, el primer pis en realitat correspondria a la planta 2, i el soterrani seria la planta —1. Fixa’t que, a vegades, per indicar els números enters positius no utilitzem el signe +. 2. Per pujar del soterrani al primer pis haurem de pujar a la planta baixa, a l’entresol i a la primera planta. És a dir, haurem de pujar tres pisos. Una altra situació en què ens calen els nombres negatius, o si més no un sistema de referència, és per situar fets històrics. Imagina que, per conveni, s’hagués establert que l’any que es va formar la Terra fos l’any zero. Lògicament, tot el que hagués passat damunt del nostre planeta hagués passat després de la seva formació i per tant tots els anys serien positius. Però això no és així; de fet, en la civilització occidental prenem com a referència l’any de naixement de Crist. A partir d’aquella data tots els anys són positius. Així, podem dir que l’any 1492 Colom va descobrir Amèrica. Matemàticament seria l’any +1492. Però, PÀG.14
2. Els nombres enters es poden representar sobre una recta Fixa’t un altre cop en els termòmetres de la figura. Els nombres enters en realitat estan representats damunt d’una recta. De fet aquesta és la manera normal de representar els nombres enters. Però, com es fa això? Anem a veure-ho. El primer que hem de fer és dibuixar una recta i escollir un punt qualsevol d’aquesta per assignar-li el número 0. Aquest punt s’anomena origen origen. A partir de l’origen marquem un punt a la seva dreta i li donem el valor +1. La distància entre el 0 i el +1 és el que anomenem segment unitat unitat.
· ·
0 |
ELS NOMBRES ENTERS
· Activitats d’aprenentatge 1, 2 i 3
39
UNITAT 2
què passa amb tots aquells fets que van succeir abans del naixement de Crist? Lògicament ho hem d’indicar d’alguna manera. En el llenguatge oral utilitzem l’expressió «abans de Crist (aC)». Per exemple, Arquimedes, el gran savi grec, va néixer a Siracusa l’any 287 aC. Matemàticament direm que va néixer l’any —287.
+1 | segment unitat
·
A partir del +1 cap a la dreta col·loquem els successius nombres enters positius (+2, +3, +4...) i separarem cadascun de l’anterior per una distància igual a la del segment unitat. A partir del 0 cap a l’esquerra col·loquem de la mateixa manera els nombres enters negatius començant pel —1 i seguint amb el —2, —3... —5 |
—4 |
—3 |
—2 |
—1 |
0 |
+1 |
+2 |
+3 |
+4 |
+5 |
recta numèrica
ACTIVITAT —2
—1
0
+1
+2
1. LA TEMPERATURA
·
La distància entre el —2 i el 0 és de dos segments unitat, a l’igual que la distància entre el 0 i el +2, que també és de dos segments unitat. Els nombres que es troben a igual distància del 0 s’anomenen nombres simètrics. Els nombres simètrics tenen el mateix valor, però signe contrari. Alguns exemples de nombres simètrics són: —6 i +6 , —10 i +10, —1.320 i +1.320... Fixa’t que la distància d’un nombre al 0 és el valor d’aquest nombre però en positiu. Per exemple, la distància entre el —3 i el 0 és 3. De la mateixa manera la distància entre el +3 i el zero és 3. Aquesta distància és el que anomenen valor absolut. PÀG.15
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Quina distància hi ha entre el —2 i el 0? I entre el +2 i el 0?
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
40
El nombre natural que obtenim al prescindir del signe d’un nombre enter és el que anomenem valor absolut d’aquest nombre enter. Per indicar el valor absolut d’un nombre utilitzem dues ratlles verticals: | |
ACTIVITAT 1 Indica els valors absoluts dels nombres –2, +4 i 0. Solució |—2 | = 2. |+4 | = 4. |0 |= 0.
ACTIVITAT 2 Una avioneta que vola a 100 m d’alçada detecta un submarí que es troba a 100 m de profunditat. 1. Representa les posicions de cada un d’ells sobre una recta. 2. Expressa les posicions amb valor absolut. Justifica la teva resposta. 3. Quina distància hi ha entre l’avioneta i el submarí?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Solució 1.
2. Si prenem el nivell del mar com a 0, la posició de l’avioneta serà de +100 m i la del submarí de —100 m. Però com que la distància entre el submarí i el nivell del mar és la mateixa que entre l’avioneta i el nivell del mar, el valor absolut dels dos nombres (|+100| = |—100| = 100) és el mateix, és a dir, cent. 3. La distància entre el submarí i el nivell del mar és de 100 m i la distància entre l’avioneta i el nivell del mar és de 100 m. Per tant, la distància entre el submarí i l’avioneta és la suma d’aquestes dues distàncies: 100 m + 100 m = 200 m. PÀG.16
3. Com s’ordenen els nombres enters? La següent taula ens mostra les temperatures de diferents ciutats europees durant un dia d’hivern: Temperatura (oC)
Ciutat Barcelona
11
Sevilla
15
París
3
Perpinyà
0
Munic
—7
Praga
—12
Moscou
—21
ELS NOMBRES ENTERS
• Activitats d’aprenentatge 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11
41
UNITAT 2
Fixa’t que per marcar distàncies és molt important establir el sistema de referència. En aquest cas hem utilitzat el nivell del mar.
Realment les diferències de temperatura entre aquestes ciutats poden ser molt grans. És evident que la temperatura més freda d’aquestes ciutats és la de Moscou i la més càlida la de Sevilla. Si volguéssim ordenar aquestes temperatures ho faríem de la següent manera:
De la mateixa manera > vol dir major que. En el cas anterior escriuríem —2 > —3 i es llegeix —2 és major que —3. Si representem sobre una recta les temperatures de la taula anterior ens trobem: —21
—12
—7
0
+3
+11
+15
Veiem que el més gran de dos nombres enters és el que està situat més a la dreta en la recta numèrica. Una altra manera d’ordenar els nombres és utilitzant els criteris següents: On fa més fred, a Munic o a Barcelona? És evident que fa més fred a Munic (—7 < 11).
·
Tots els nombres positius són més grans que zero i que qualsevol nombre negatiu. PÀG.17
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
El signe < vol dir menor que i ens indica l’ordenació entre dos nombres. —3 < —2 es llegeix —3 és menor que — 2.
1. LA TEMPERATURA
—21 < —12 < —7 < 0 < +3 < +11 < +15
42
·
On fa més fred, a Perpinyà o a Moscou? Evidentment, a Moscou (—21 < 0)
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
El zero és més gran que qualsevol nombre negatiu.
·
On fa més fred, a Munic o a Praga? Evidentment, a Praga (—12 < —7).
Si tenim dos nombres enters negatius, el més gran és el que té el valor absolut més petit. Fixem-nos que, tant si ordenem els nombres enters situant-los sobre la recta numèrica o com si ho fem seguint els criteris anteriors, l’ordenació és la mateixa. • Activitats d’aprenentatge 12, 13, 14 i 15
4. El gràfic cartesià Sovint no en tenim prou en conèixer unes dades, com per exemple saber que les temperatures de la ciutat de Barcelona han estat: —2ºC, —1ºC, 5ºC, 3ºC, 0ºC. Necessitem saber a quins dies de l’any corresponen aquestes temperatures. Per recollir aquestes dades i facilitar la seva interpretació les col·loquem en una taula, anomenada taula de valors valors.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
La següent taula ens relaciona les temperatures anteriors i el dia del mes de febrer en què van tenir lloc. Dia
Temperatura (oC)
5
—2
10
—1
15
5
20
3
25
0
Construcció d’un gràfic cartesià Si volem representar les temperatures tenint en compte els dies no podem utilitzar la recta numèrica perquè només hi podríem col·locar les temperatures. Necessitem un altre tipus de gràfic que ens permeti situar dues magnituds: la temperatura i el dia en què es produeix. És el gràfic cartesià cartesià. En la construcció d’un gràfic cartesià seguim els passos següents: 1. Dibuixem dues rectes perpendiculars, anomenades eixos de coordenades coordenades. Anomenem eix X o eix d’abscisses a la recta horitzontal i eix Y o eix d’ordenades a la recta vertical vertical. Situem el punt 0 en el punt de tall de les dues origen de coordenades rectes o eixos. El punt 0 és l’origen coordenades. 2. Representem els nombres enters en l’eix X de la manera habitual, és a dir, els nombres enters positius a la dreta del 0 i els negatius a l’esquerra del 0. PÀG.18
43
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
3. A l’eix Y representem els nombres enters positius en la semirecta superior i els negatius en la semirecta inferior.
Per representar les dades de la taula en un gràfic cartesià es fa com si juguéssim al joc dels vaixells. La primera dada que hem de representar és la temperatura del dia 5 (que és —2ºC). Busquem el valor 5 en l’eix de les X i el valor —2 en l’eix de les Y. El lloc on es creuen aquests valors és el punt que buscàvem (+5, —2). Fem el mateix amb els altres parells de nombres (10, —1), (15,5), (20,3) i (25,0). La gràfica ens permet saber ràpidament què ha passat amb les temperatures durant uns dies de febrer a Barcelona. Així, veiem que la temperatura va pujant durant la primera meitat del mes i que baixa durant la segona quinzena. Fixa’t que aquesta manera de representar les dades ens permet observar la informació que contenen aquestes dades d’una manera més ràpida i senzilla. PÀG.19
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Ara que ja tenim el gràfic cartesià podem representar-hi els valors de la taula.
ACTIVITAT 1
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
44
La gràfica anterior ens mostra les temperatures d’un dia d’hivern a la ciutat de Vic. Digues: 1. A quina hora la temperatura ha estat més alta? 2. Quina ha estat la temperatura més baixa? 3. Construeix la taula de valors.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Solució 1. La temperatura més alta s’ha produït a les tres de la tarda (15 hores). Fins aquella hora la temperatura ha anat pujant i a partir d’aquella hora ha començat a minvar. 2. La temperatura més baixa s’ha produït a les 3 de la matinada (3 hores). A partir d’aleshores la temperatura ha començat a pujar. 3.
Hores
Temperatures (oC)
3
—3
6
—2
9
—1
12
4
15
6
18
3
Hi ha una altra forma matemàtica d’expressar aquests valors i és posant-los entre parèntesi. (+3,—3), (+6,—2), (+9,—1), (+12,+4), (+15,+6) i (+18,+3). Es posa primer el nombre que hi ha a l’eix X i després el que correspon a l’eix Y. Cada parell de nombres representa un punt de la gràfica. Cadascun d’aquest parell de valors s’anomena coordenades del punt punt.
PÀG.20
45
ACTIVITAT 2
UNITAT 2
ELS NOMBRES ENTERS
De la gràfica següent:
Solució 1. Les coordenades del punt A són (—5,+6) i les del punt C són (+2,+3). 2. Els punts amb abscisses negatives són el punt A = (—5,+6) i B = (—2,—4). L’abscissa d’un punt és el valor que pren en l’eix de les abscisses o eix X. 3. Els punts amb ordenades positives són el punt A = (—5,+6) i el punt C = (+2,+3). L’ordenada d’un punt és el valor que pren en l’eix de les ordenades o eix Y.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
• Activitats d’aprenentatge 16, 17 i 18
1. LA TEMPERATURA
1. Digues les coordenades dels punts A i C. 2. Digues quins punts tenen abscisses negatives. 3. Digues quins punts tenen ordenades positives.
PÀG.21
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
46 Activitat 1
Dels nombres següents, indica quins són enters. a) 4
b) 0,25
c) -2
d) 3/5
e) 0
f) 1/2
g) -9
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Activitat 2 Si la temperatura mínima d’avui ha estat de –60oC, justifica si aquesta temperatura està per sota o per sobre del zero.
Activitat 3 Expressa amb nombres enters les dades següents: La Torre de Collserola es troba a 560 m sobre el nivell del mar.
Tenim un deute de 300 euros.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
L’any 1789 és l’any de la Revolució Francesa.
Activitat 4 Dibuixa una recta i representa-hi els següents nombres enters: —6, —2, +3, —8, +4, +5
Activitat 5 Escriu i representa sobre la recta els nombres enters més grans que —10 i més petits que +10. Fes el mateix per als nombres més petits que —8 i més grans que —12.
PÀG.22
47
Activitat 6
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Dibuixa un termòmetre i escriu en ell una escala que indiqui des de 5 graus sota zero fins a 25 graus sobre zero.
Activitat 7
Activitat 8 Quin significat té el símbol | | que acompanya alguns nombres?
Activitat 9 Expressa els següents nombres enters en valor absolut. a) —19
b) +4
c) 0
d) —6
e) + 5
f) —60
a)
b)
c)
d)
e)
f)
PÀG.23
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Calcula els valors absoluts dels nombres +4 i –4. Comenta el resultat obtingut.
48
Activitat 10
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Completa. a) | —3| = | +3| = 3
c) | +9| = | —9| =
b) |+ 8| = | —8| =
d) | —30| = | +30| =
Activitat 11 Omple els buits següents, tenint cura de donar tots els possibles resultats. ||=6
| | = 890
| | = 34
Activitat 12 Escriu el signe > o < segons sigui adient en cada cas (recorda que si escrius a>b estàs dient que el nombre a és més gran que el nombre b i en canvi si escrius a<b estàs indicant que el nombre a és més petit que el nombre b). a) —9
—7
c) +2
—7
e) —3
+6
g) —2
—4
b) 0
—2
d)+8
0
f) +6
+2
h) +4
—1
Activitat 13
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Les temperatures mínimes d’un dia de febrer, expressades en graus Celsius, d’algunes ciutats europees són les següents: París, +3
Londres, +2
Barcelona, +7
Dublín, —3
Madrid, 0
Oslo, —10
Bonn, —1
Milà, +5
Amsterdam, +6
a) Situa les diferents temperatures sobre una recta graduada.
b) Què ens indica el signe — que es troba davant d’algunes temperatures?
c) Ordena-les de major a menor.
Activitat 14 El dia 16 de juliol de 1969 va tenir lloc el llançament de la nau Apolo Xl des del Centre Espacial Kennedy. El seu objectiu era aconseguir el primer desembarcament humà sobre la Lluna. L’objectiu va ser aconseguit.
PÀG.24
b) Expressa de manera equivalent els següents temps anteriors al llançament: • falten 10 segons • falten 5 segons • falta 1 segon
UNITAT 2
c) Com es compta el temps quan la nau és ja a l’espai?
49 ACTIVITATS D’APRENENTATGE
a) Indica de quina manera es compta el temps abans del llançament de la nau.
d) Quin valor té el temps en el moment del llançament?
Activitat 15
a) Llegeix la temperatura que marca cada termòmetre.
PÀG.25
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Observa els termòmetres següents. Les marques estan situades cada 5oC.
b) Quin significat té el zero dels termòmetres?
c) Digues quina seria la temperatura oposada o simètrica de cada una de les temperatures següents: 3oC sota zero:
10oC sobre zero:
0o Celsius:
Activitat 16 a) Escriu les coordenades dels punts situats en la gràfica.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
50
b) Quins punts tenen abscissa 0?
c) Quins punts tenen ordenada 0?
d) Dóna dos punts que tinguin les seves coordenades negatives, dos que les tinguin positives i dos que tinguin una coordenada positiva i una de negativa.
PÀG.26
51
Activitat 17
e) (—6,—6)
g) (+5,+5)
b) (—9,+2)
d) (+7,—8)
f) (—2, 0)
h) (0,—5)
Activitat 18 Representa sobre uns eixos de coordenades cartesianes les dades de la taula següent que ens dóna les posicions d’un ascensor al llarg del temps. Temps (segons)
Nivell
0
—2
10
—1
20
0
30
1
40
2
50
3
Respon les qüestions següents: a) En quin moment l’ascensor es troba a la planta baixa?
UNITAT 2
c) (0, 0)
1. LA TEMPERATURA
a) (—3,+4)
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Dibuixa uns eixos de coordenades i situa-hi els punts següents:
c) Quants nivells puja l’ascensor cada 20 segons?
PÀG.27
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
b) A quin nivell es troba quan el temps val 40 segons?
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
UNITAT 2
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
52 Activitat 1
Indica quins dels nombres següents són enters. a) 3/4
b) +2
c) —8
d) 0
e) +15
f) 1/5
g) —9
Activitat 2 Expressa amb nombres enters: • La Pica d’Estats té una altura de 3.143 metres sobre el nivell del mar.
• La fosa Challenger té una profunditat d’11.034 metres sota el nivell del mar.
• Anaxàgores, filòsof grec, nasqué l’any 500 abans de Crist.
Activitat 3 Expressa els següents nombres enters en valor absolut:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
a) +8
b) —12
c) +4
d) —1
e) 0
Activitat 4 Digues quines de les següents igualtats són certes, explica per què ho són i corregeix les que no ho siguin: a) |—10| = -10 b) |+2| = 2
c) |0| = —0
d) |—5| = 5 e) |+5| = —5 f) |—60|= 60
Activitat 5 a) Dibuixa una recta i representa-hi els següents nombres enters: —11, —5, +1, —3, +7, +3
PÀG.28
Escriu i representa sobre la recta els nombres enters més petits que —2 i més grans que —10. Fes el mateix per als nombres més grans que —8 i més petits que 5.
Activitat 7 Escriu el signe > o < segons sigui adient en cada cas: a) —4
—8
c) —8
+3
e) +5
—10
g) —7
—3
b) 0
—3
d) —5
0
f) +5
+3
h) +4
0
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 6
53
UNITAT 2
b) Quin dels nombres anteriors és el més proper a l’origen i quin n’és el més allunyat?
Activitat 8
a) Hi ha algun punt que tingui abscissa 0 i ordenada positiva?
PÀG.29
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Escriu les coordenades dels punts situats en el gràfic i respon les preguntes següents:
UNITAT 2
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
54
b) I abscissa 0 i ordenada negativa?
c) Quins punts tenen ordenada 0?
Activitat 9 Dibuixa uns eixos de coordenades i situa-hi els punts següents: a) (—2,+6)
c) (0,0)
e) (—3,—3)
g) (+2,+2)
b) (—6,+4)
d) (+3,—2)
f) (—4,0)
h) ( 0,—7)
Activitat 10 Representa en un gràfic les dades de la taula següent que ens dóna temperatures del mes de gener a la ciutat de Girona.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Temperatures Dia mínimes (0C) 22
—4
23
5
24
—6
25
—4
26
—3
27
0
28
3
a) Quin dia té la temperatura més baixa?
b) I la més alta?
c) Què observes en les temperatures dels dies 24, 25 i 26?
PÀG.30
Activitat 1 Dels nombres següents, indica quins són enters. a) 4
b) 0,25
c) —2
d) 3/5
e) 0
f) 1/2
g) —9
Els nombres enters són: 4, —2, 0 i —9.
Activitat 2 Si la temperatura mínima d’avui ha estat de —60oC, justifica si aquesta temperatura està per sota o per sobre del zero. La temperatura de —60oC es troba per sota del zero perquè és una temperatura negativa. Per conveni representem amb el signe + les temperatures que es trobem per sobre del 0, i amb el signe — les que es troben per sota del zero.
Activitat 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 55
La Torre de Collserola es troba a 560 metres sobre el nivell del mar: +560 metres Tenim un deute de 300 euros:
UNITAT 2
Expressa amb nombres enters les dades següents:
—300 euros L’any 1789 és l’any de la Revolució Francesa:
Dibuixa una recta i representa-hi els següents nombres enters: —6, —2, +3, —8, +4, +5 —8
—6
—2
0
+3 +4 +5
Activitat 5 Escriu i representa sobre la recta els nombres enters més grans que —10 i més petits que +10. Fes el mateix per als nombres més petits que —8 i més grans que —12. —9 —8 —7 —6 —5 —4 —3 —2 —1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 —11 —10 —9
0
PÀG.31
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 4
1. LA TEMPERATURA
L’any +1789
56
Activitat 6
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Dibuixa un termòmetre i escriu en ell una escala que indiqui des de 5 graus sota zero fins a 25 graus sobre zero.
Activitat 7
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Calcula els valors absoluts dels nombres +4 i —4. Comenta el resultat obtingut. El valor absolut de +4 és |+4| = 4; el valor absolut de —4 és |—4| = 4. Per tant, veiem que els valors absoluts dels dos nombres són iguals perquè l’única diferència que hi ha en els dos nombres és el signe. El valor absolut d’un nombre enter és el nombre natural que en resulta si es prescindeix del seu signe. També caldria comentar que els dos nombres son simètrics, és a dir, es troben a la mateixa distància del 0, ja que el valor absolut ens dóna precisament la distància d’un nombre al zero.
Activitat 8 Quin significat té el símbol | | que acompanya alguns nombres? Aquest símbol indica el valor absolut del nombre que el porta.
Activitat 9 Expressa els següents nombres enters en valor absolut. a) —19
b) +4
c) 0
d) —6
a) |—19| = 19
b) |+4| = 4
c) |0| = 0
d) |—6| = 6 e) |+5| = 5
PÀG.32
e) + 5
f) —60 f) |—60|= 60
57
Activitat 10
c) | +9| = | —9| = 9
b) |+ 8| = | —8| = 8
d) | —30| = | +30| = 30
Activitat 11 Omple els buits següents, tenint cura de donar tots els possibles resultats. ||=6
| | = 890
| | = 34
|+6| = |—6 | = 6
|+890| = |—890| = 890
|+34| =|—34| = 34
Activitat 12 Escriu el signe > o < segons sigui adient en cada cas (recorda que si escrius a>b estàs dient que el nombre a és més gran que el nombre b i en canvi si escrius a<b estàs indicant que el nombre a és més petit que el nombre b). a) —9 < -7
c) +2 > —7
e) —3 < +6
g) —2 > —4
b) 0 > —2
d) +8 > 0
f) +6 > +2
h) +4 > —1
Activitat 13
UNITAT 2
a) | —3| = | +3| = 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Completa.
Londres, +2
Barcelona, +7
Dublín, —3
Madrid, 0
Oslo, —10
Bonn, —1
Milà, +5
Amsterdam, +6
a) Situa les diferents temperatures sobre una recta graduada. –10
-3
-1
0
+2 +3
+5 +6 +7
b) Què ens indica el signe — que es troba davant d’algunes temperatures? El signe — ens indica que les temperatures que el porten són temperatures que estan per sota del zero, és a dir que són més petites que 0. c) Ordena-les de major a menor. +7 > +6 > +5 > +3 > +2 > 0 > —1 > —3 > —10
Activitat 14 El dia 16 de juliol de 1969 va tenir lloc el llançament de la nau Apolo Xl des del Centre Espacial Kennedy. El seu objectiu era aconseguir el primer desembarcament humà sobre la Lluna. L’objectiu va ser aconseguit.
PÀG.33
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
París, +3
1. LA TEMPERATURA
Les temperatures mínimes d’un dia de febrer, expressades en graus Celsius, d’algunes ciutats europees són les següents:
58
a) Indica de quina manera es compta el temps abans del llançament de la nau.
b) Expressa de manera equivalent els següents temps anteriors al llançament: • falten 10 segons • falten 5 segons • falta 1 segon
t = - 10 segons t = - 5 segons t = - 1 segon
c) Com es compta el temps quan la nau és ja a l’espai? El temps es compta amb signe positiu. d) Quin valor té el temps en el moment del llançament? En el moment del llançament el temps té valor 0.
Activitat 15 Observa els termòmetres següents. Les marques estan situades cada 5oC.
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
El temps anterior al llançament de la nau s’expressa amb nombres negatius.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
a) Llegeix la temperatura que marca cada termòmetre. t1 = +25oC; t2 = -15oC; t3 = 0oC; t4 = -5oC b) Quin significat té el zero dels termòmetres? El zero dels termòmetres correspon al punt de congelació de l’aigua i s’ha agafat com a referència. A partir del zero s’expressen els altres valors de la temperatura. Les temperatures superiors al zero són positives i les inferiors al zero negatives. c) Digues quina seria la temperatura oposada o simètrica de cada una de les temperatures següents: 3oC sota zero = —3oC 10oC sobre zero = +10oC 0o Celsius = 0oC Les temperatures oposades o simètriques són: +3oC; —10oC; 0oC.
PÀG.34
59
Activitat 16
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Escriu les coordenades dels punts situats en la gràfica.
(-2,0)
a) Quins punts tenen abscissa 0?
UNITAT 2
Els punts B, G i I. b) Quins punts tenen ordenada 0? Els punts A, G i H. c) Dóna dos punts que tinguin les seves coordenades negatives, dos que les tinguin positives i dos que tinguin una coordenada positiva i una de negativa.
Activitat 17 Dibuixa uns eixos de coordenades i situa-hi els punts següents: c) (0, 0)
e) (—6,—6)
g) (+5,+5)
b) (—9,+2)
d) (+7,—8)
f) (—2, 0)
h) (0,—5)
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
a) (—3,+4)
1. LA TEMPERATURA
Els punts D i K tenen les seves dues coordenades negatives, els punts C i J tenen les seves dues coordenades positives i els punts E i F tenen una coordenada positiva i una de negativa.
PÀG.35
60
Activitat 18
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Representa sobre uns eixos de coordenades cartesianes les dades de la taula següent que ens dóna les posicions d’un ascensor al llarg del temps. Temps (segons)
Nivell
0
—2
10
—1
20
0
30
1
40
2
50
3
Respon les qüestions següents: a) En quin moment l’ascensor es troba a la planta baixa?
UNITAT 2
Quan el temps val 20 segons. b) A quin nivell es troba quan el temps val 40 segons? Al nivell 2. c) Quants nivells puja l’ascensor cada 20 segons?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Dos nivells.
PÀG.36
Activitat 1 Indica quins dels nombres següents són enters. a) 3/4
b) +2
c) —8
d) 0
e) +15
f) 1/5
g) —9
Els nombres enters són el +2, —8, 0, +15 i —9.
Activitat 2 Expressa amb nombres enters: • La Pica d’Estats té una altura de 3.143 metres sobre el nivell del mar: + 3.143 metres • La fosa Challenger té una profunditat d’11.034 metres sota el nivell del mar: —11.034 metres
61 SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
UNITAT 2
• Anaxàgores, filòsof grec, nasqué l’any 500 abans de Crist: Any —500
Activitat 3 Expressa els següents nombres enters en valor absolut: a) +8 a) |+8| = 8
b) —12 b) |—12| = 12
d) —1 d) |—1| = 1
c) +4 c) |+4| = 4
e) 0 e) |0| = 0
a) |—10| = -10 b) |+2| = 2
c) |0| = —0
d) |—5| = 5 e) |+5| = —5 f) |—60|= 60
El símbol | | indica el valor absolut del nombre enter que hi ha en el seu interior. Tenint en compte que el valor absolut del nombre enter és el nombre natural que resulta de presecindir del seu signe, les igualtats incorrectes són les següents: a), c) i e). Escrites correctament serien: a) |—10| = 10 c) |0| = 0 e) |+5| =5
Activitat 5 a) Dibuixa una recta i representa-hi els següents nombres enters: —11, —5, +1, —3, +7, +3 —11
—5
-3
PÀG.37
0 +1
+3
+7
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Digues quines de les següents igualtats són certes, explica per què ho són i corregeix les que no ho siguin:
1. LA TEMPERATURA
Activitat 4
62
b) Quin dels nombres anteriors és el més proper a l’origen i quin n’és el més allunyat?
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
El més proper a l’origen és el +1 i el més allunyat el —11.
Activitat 6 Escriu i representa sobre la recta els nombres enters més petits que —2 i més grans que —10. Fes el mateix per als nombres més grans que —8 i més petits que 5. —9 —8 —7 —6 —5 —4 —3 —7 —6 —5 —4 —3 —2 —1
0 0
+1 +2 +3 +4
Activitat 7
UNITAT 2
Escriu el signe > o < segons sigui adient en cada cas: a) —4 > —8
c) —8 < +3
e) +5 > —10
g) —7 < —3
b) 0 > —3
d) —5 < 0
f) +5 > +3
h) +4 > 0
Activitat 8
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Escriu les coordenades dels punts situats en el gràfic i respon les preguntes següents:
PÀG.38
a) Hi ha algun punt que tingui abscissa 0 i ordenada positiva?
63
Sí, els punts A i I. b) Quins punts tenen ordenada 0? Els punts D, G i H.
Activitat 9 Dibuixa uns eixos de coordenades i situa-hi els punts següents: c) (0,0)
e) (—3,—3)
g) (+2,+2)
b) (—6,+4)
d) (+3,—2)
f) (—4,0)
h) ( 0,—7)
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
UNITAT 2
a) (—2,+6)
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
No, no hi ha cap punt amb aquestes característiques. b) I abscissa 0 i ordenada negativa?
PÀG.39
64
Activitat 10
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Representa en un gràfic les dades de la taula següent que ens dóna les temperatures mínimes del mes de gener a la ciutat de Girona.
Dia
Temperatures mínimes (0C)
22
—4
23
5
24
—6
25
—4
26
—3
27
0
28
3
a) Quin dia té la temperatura més baixa? El dia 24. b) I la més alta? El dia 23.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
c) Què observes en les temperatures dels dies 24, 25 i 26? Les temperatures van augmentant.
PÀG.40
has treballat?
UNITAT 2
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
65
ELS NOMBRES ENTERS
Nombres enters: positius i negatius
Ordenació dels nombres enters
1. LA TEMPERATURA
El valor absolut
La taula de valors
PÀG.41
El gràfic cartesià
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Representació en una recta
Representació gràfica
UNITAT 2
COM HO PORTO?
66
com
ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé Reconèixer els nombres enters. Utilitzar correctament els nombres enters en les situacions adequades.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Representar els nombres enters en una recta. Calcular el valor absolut d’un nombre enter. Ordenar correctament els nombres enters de major a menor i de menor a major. Representar els punts en un gràfic cartesià a partir de les seves coordenades. Construir un gràfic cartesià a partir d’una taula de valors. Construir una taula de valors a partir d’un gràfic cartesià.
PÀG.42
A mitges Malament
Unitat 3 OPERACIONS AMB ENTERS
MATEMÀTIQUES I PÀG.43
UNITAT 3
QUÈ TREBALLARÀS?
68
què
treballaràs?
En acabar la unitat has de ser capaç de:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
· Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres enters. · Resoldre problemes senzills amb nombres enters.
PÀG.44
Antigament els xinesos representaven els nombres positius en color vermell i els nombres negatius en color negre. Avui dia, a la nostra societat, s’ha triat el color vermell per simbolitzar quantitats negatives. Només cal que recordem què significa per a nosaltres estar en nombres vermells. Tanmateix, quan calculem els guanys i les despeses que tenen lloc en els nostres comptes corrents no utilitzem cap nombre de cap color. En canvi, ens són molt útils els nombres enters. Els nombres enters positius representen els saldos positius, la quantitat de diners que tenim disponibles, els guanys... En canvi, els nombres enters negatius representen els saldos negatius, els deutes, les despeses... Imagina que tens en el compte corrent un saldo positiu de 300 euros. Si s’hi fa un ingrés de 100 euros, el compte pujarà i per saber el saldo final haurem de sumar:
69 OPERACIONS AMB ENTERS
1. Suma i resta de nombres enters
Totes aquestes quantitats són positives ja que disposem d’una quantitat inicial de 300 euros i al final encara en tindrem més: (+300) + (+100) = (+400)
UNITAT 3
300 € + 100 € = 400 €.
Ara bé, si el compte baixa, haurem de restar. Si disposem inicialment de 300 euros i n’extraiem 100, ens quedarà un saldo de 200 euros. En aquest cas les quantitats tornen a ser totes positives, el que passa és que ens apareixerà un símbol menys — que és el que correspon a l’operació de restar: (+300) — (+100) = (+200)
Per sumar ens desplacem cap a la dreta i per restar ens desplacem cap a l’esquerra de la mateixa manera com ho faríem amb els nombres naturals. Imagina que tens un compte corrent amb un saldo negatiu de –300 euros. Si s’hi fa un ingrés de 100 euros, el deute serà menor:
1. LA TEMPERATURA
Representem gràficament aquests càlculs sobre la recta numèrica dels nombres enters:
Però si el compte baixa, el deute serà més gran. Si deus 300 euros i en perds 100 més, acabaràs devent 400 euros: (—300) — (+100) = (—400) Representem aquestes dues operacions sobre la recta numèrica de nombres enters. Com abans, un cop tenim assenyalada la quantitat inicial de diners, per sumar ens desplacem cap a la dreta i per restar ens desplacem cap a l’esquerra.
PÀG.45
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
(—300) + (+100) = (—200)
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
70
Un altre cas és quan a una quantitat entera, positiva o negativa, li hem de sumar o restar una quantitat negativa. El que es fa és invertir el sentit del desplaçament sobre la recta numèrica. És a dir, per sumar ens desplacem cap a l’esquerra i per restar ens desplacem cap a la dreta: (+300) + (—100) = ?? Si ho resolem gràficament ens hem de desplaçar cap a l’esquerra: (
)
Per tant: (+300) + (—100) = +200
ACTIVITAT 1 (+300) — (—100) = ?? Solució Si ho resolem gràficament, ens hem desplaçar cap a la dreta:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
(
)
Per tant: (+300) — (—100) = +400 Fins ara hem vist que: (+300) + (+100) = +400 (+300) — (+100) = +200 (—300) + (+100) = —200 (—300) — (+100) = —400 (+300) + (—100) = +200 (+300) — (—100) = +400
ACTIVITAT 2 Pots provar de resoldre gràficament sobre la recta numèrica de nombres enters les operacions: (—300) + (—100) = ? (—300) — (—100) = ?
PÀG.46
71
Solució
- 400
- 200
- 300
- 100
0
- 100
0
- (- 100 )
- 500
- 400
- 300
- 200
Els resultats són respectivament —400 i —200. (—300) + (—100) = —400 (—300) — (—100) = —200
Notació simplificada de sumes i restes de nombres enters Escriure constantment parèntesis en les operacions amb nombres enters pot resultar força pesat. Les operacions es poden escriure sense parèntesis de la manera següent:
UNITAT 3
- 500
OPERACIONS AMB ENTERS
+ (- 100 )
Si al davant del parèntesi d’un nombre enter hi ha el símbol + de l’operació de sumar, podem eliminar aquest símbol de la suma i escriure directament el signe del nombre enter que hi ha dins del parèntesi: (+300) + (+100) = +300 + 100 (—300) + (+100) = —300 + 100 (+300) + (—100) = +300 — 100
(+300) — (+100) = +300 — 100 (—300) — (+100) = —300 — 100 (+300) — (—100) = +300 + 100 Si al començament de les operacions hi ha un nombre positiu, el podem escriure com si es tractés d’un nombre natural, és a dir, sense el signe +: (+300) + (+100) = 300 + 100
1. LA TEMPERATURA
Si el que hi ha davant del parèntesi és el símbol — de l’operació de restar, podem prescindir d’aquest símbol i escriure únicament el signe contrari del nombre enter que tenim dins del parèntesi:
(+300) — (—100) = 300 + 100 Si resulta molest treballar amb tants parèntesis, també ho és desplaçar-se per la recta numèrica cada cop que volem fer una suma o una resta. El que es fa és usar un mètode més senzill per sumar i restar nombres enters: Si els nombres tenen el mateix signe, el resultat també tindrà aquest mateix signe i només caldrà sumar els valors absoluts dels nombres. Exemple: (+300) + (+100) = +300 + 100 = + 400 (—300) — (+100) = —300 — 100 = — 400 PÀG.47
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
(+300) + (—100) = 300 — 100
Si els nombres tenen signes diferents, el resultat s’obté restant els valors absoluts d’aquests i posant el signe del nombre que té el valor absolut més gran. Exemple: (+300) — (+100) = +300 — 100 = +200 (—300) + (+100) = —300 + 100 = —200 Els caixers automàtics ens ofereixen la possibilitat de visualitzar per pantalla, i fins i tot d’imprimir, els darrers moviments dels comptes corrents: BANCA NOSTRA 14 de maig de 2002
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
72
Saldo inicial
300 €
Llum
—60 €
Gas
—40 €
Ingrés
+150 €
Lloguer
—600 €
Saldo final
..............
Per calcular el saldo final, els ordinadors d’aquesta entitat bancària han de resoldre les operacions següents: 300 —60 —40 + 150 —600 = ............. Una manera pràctica de fer els càlculs és: 1) Sumar tots els enters positius. Enters positius +300
1. LA TEMPERATURA
+150 Total +450 2) Sumar tots els enters negatius. Enters negatius —60 —40
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
—600 Total —700 3) Restar els resultats anteriors i posar el signe del que tingui el valor absolut més gran. 450 — 700 = —250
PÀG.48
73
En definitiva:
14 de maig de 2002
Saldo inicial
300 €
Llum
—60 €
Gas
—40 €
Ingrés
+150 €
Lloguer
—600 €
Saldo final
—250 €
• Activitats d’aprenentatge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8
Element neutre i element oposat Segur que estàs d’acord que no és el mateix tenir 250 euros que deure 250 euros: BANCA NOSTRA 14 de maig de 2002
Saldo final
+250 €
Saldo final
—250 €
UNITAT 3
BANCA NOSTRA
OPERACIONS AMB ENTERS
300 — 60 — 40 + 150 — 600 = 450 — 700 = —250
Aquestes dues quantitats, tot i que s’assemblen força, tenen un significat completament oposat. Recorda que a la unitat 1 ja vam veure que el nombre (—250) és l’oposat del nombre (+250) i al revés, (+250) és l’oposat del nombre (—250). Observa que si disposes de 250 euros però en deus justament 250 et quedaràs amb un saldo de 0 euros. element neutre de la suma i de la resta de nombres enters. Si sumes o El nombre 0 és l’element restes 0 a qualsevol nombre enter, el resultat serà el mateix nombre enter. Si sumes un nombre i el seu oposat el resultat sempre serà 0. Exemple: (+250) + (—250) = 250 — 250 = 0. Si sumes o restes 0 a qualsevol nombre enter torna a donar com a resultat el mateix nombre: (+250) + 0 = +250 (—250) + 0 = —250
PÀG.49
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
14 de maig de 2002
1. LA TEMPERATURA
BANCA NOSTRA
74 Propietats commutativa i associativa Compte corrent 1
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
BANCA NOSTRA +150 €
14 de maig de 2002
Ingrés
15 de maig de 2002
Lloguer
—600 €
14 de maig de 2002
Lloguer
—600 €
15 de maig de 2002
Ingrés
Compte corrent 2 BANCA NOSTRA +150 €
Aquests són els moviments efectuats en dos comptes corrents els dies 14 i 15 de maig. Si els observes t’adonaràs que en tots dos comptes corrents la despesa final serà la mateixa, 450 euros, ja que les quantitats de diners guanyades o perdudes no depenen de l’ordre en què han tingut lloc. Compte corrent 1 +150 — 600 = —450
Compte corrent 2 —600 + 150 = —450
Aquesta característica s’anomena propietat commutativa i és pròpia de la suma de nombres enters. Observa ara aquests dos comptes corrents: Compte corrent 1 14 de maig de 2002
Ingrés
+150 €
14 de maig de 2002
Llum
—60 €
15 de maig de 2002
Lloguer
—600 €
Compte corrent 2 BANCA NOSTRA 14 de maig de 2002
Ingrés
+150 €
15 de maig de 2002
Llum
—60 €
15 de maig de 2002
Lloguer
—600 €
▼
Tot i que els moviments efectuats en els comptes corrents s’han agrupat en dies diferents, és clar que el guany o la despesa final serà la mateixa: 1r dia: guanyem 90 euros +150 — 60 = +90
Compte corrent 1 ▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
BANCA NOSTRA
2n dia: perdem 600 euros —600
PÀG.50
75
Escrivim les operacions corresponents al primer compte:
▼
El saldo final és de —510 €. 1r dia: guanyem 150 euros +150
▼
Compte corrent 2 2n dia: perdem 660 euros —60 — 600 = —660
Escrivim les operacions corresponents al segon compte: 150 + (—60 — 600) = +150 + (—660) = +150 — 660 = —510. Hem agrupat amb un parèntesi les operacions que han tingut lloc el segon dia. També es pot escriure de la manera següent:
UNITAT 3
Hem agrupat amb un parèntesi les operacions que han tingut lloc el primer dia.
OPERACIONS AMB ENTERS
(+150 — 60) — 600 = +90 — 600 = —510.
150 — (60 + 600) = +150 — (+660) = +150 — 660 = —510. Hem restat directament als 150 euros inicials la despesa total del segon dia, que són 660 euros.
Tant el primer compte corrent com el segon tenen la mateixa despesa final, 510 euros. El resultat final no depèn de la manera com s’agrupen les operacions. Aquesta característica s’anomena propietat associativa i és pròpia de la suma de nombres enters.
2. Producte i divisió de nombres enters Observa l’estat del teu compte corrent al començament del mes de maig:
1. LA TEMPERATURA
Les dues opcions són correctes.
1.000 €
1 de maig de 2002
Nòmina
2 de maig de 2002
Llum
—60 €
Gas
—40 €
Ingrés
+150 €
Lloguer
—600 €
En un parell de dies has guanyat 450 euros: 1.000 + (—60 —40 +150 –600) = 1.000 + (—700 +150) = 1.000 + (—550) = 1.000 — 550 = 450.
PÀG.51
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
BANCA NOSTRA
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
76
Imagina que el mes següent es doblen totes les quantitats dels moviments del compte corrent. L’extracte del compte presentarà aquest aspecte: BANCA NOSTRA 2.000 €
1 de juny de 2002
Nòmina
2 de juny de 2002
Llum
—120 €
Gas
—80 €
Ingrés Lloguer
+300 € —1.200 €
Duplicar o doblar significa multiplicar una quantitat pel nombre natural 2 o, el que és el mateix, per l’enter positiu (+2). Per tant, les quantitats del mes de juny seran: 1.000 x 2 = 2.000 (—60) x (+2) = —120 (—40) x (+2) = —80 (+150) x (+2) = +300 (— 600) x (+2) = —1.200 En cada cas, perdrem el doble o guanyarem el doble. Imagina ara que el mes següent les quantitats es redueixen a la meitat. El compte corrent mostrarà aquest altre aspecte:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
BANCA NOSTRA 1 de juny de 2002
Nòmina
500 €
2 de juny de 2002
Llum
—30 €
Gas
—20 €
Ingrés
+75 €
Lloguer
—300 €
En aquest cas les quantitats s’han de dividir pel nombre natural 2 o, el que és el mateix, per l’enter positiu (+2). Les quantitats del mes de juny seran: 1.000 : 2 = 500 (—60) : (+2) = —30 (—40) : (+2) = —20 (+150) : (+2) = +75 (—600) : (+2) = —300 Hi ha una regla pràctica molt útil que agilita les operacions de producte i divisió de nombres enters enters. Només cal: • Multiplicar o dividir els valors absoluts del nombres enters. • Al nombre que s’obté d’aquest producte o d’aquesta divisió se li afegeix el corresponent signe positiu o negatiu segons la taula següent:
PÀG.52
77
Divisió
+
—
+
+
—
—
—
+
Exemples: (—5) x (+2) = —10 (—4) x (—3) = +12
+
—
+
+
—
—
—
+
(—15) : (—3) = +5 (+8) : (—4) = —2
• Activitats d’aprenentatge 9 i 10
OPERACIONS AMB ENTERS
Multiplicació
Propietat distributiva
UNITAT 3
Torna a observar aquests dos comptes corrents: Compte corrent 1 BANCA NOSTRA 1.000 €
1 de maig de 2002
Nòmina
2 de maig de 2002
Llum
—60 €
Gas
—40 €
Ingrés
+150 €
Lloguer
—600 €
1 de juny de 2002
Nòmina
2.000 €
2 de juny de 2002
Llum
—120 €
Gas
—80 €
Compte corrent 2
Lloguer
+300 € —1.200 €
Ja has vist que els dos primers dies de maig has guanyat 450 euros. És lògic pensar que els dos primers dies del mes de juny guanyaràs el doble, 900 euros, ja que totes les quantitats estan doblades, ja siguin ingressos o despeses. Mes de juny: 2.000 + (—120 — 80 + 300 — 1.200) = 2.000 + (—1.400 + 300) = 2.000+ (—1.100) = 2.000 — 1.100 = 900. En efecte, el guany és el doble, és a dir, 900 euros. Dit d’una altra manera: 2 x (1.000 — 60 — 40 + 150 — 600) = 2.000 — 120 — 80 + 300 — 1.200 operacions 1er compte
PÀG.53
operacions 2on compte
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Ingrés
1. LA TEMPERATURA
BANCA NOSTRA
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
78
Aquesta característica dels nombres enters es coneix amb el nom de propietat distributiva del producte respecte de la suma suma. El pas invers a la propietat distributiva s’anomena treure factor comú (tfc) (tfc). En el segon compte corrent, sabem que les quantitats corresponen al doble d’unes altres: 2.000 = 2 x 1.000 —120 = (+2) x (—60) —80 = (+2) x (—40) +300 = (+2) x (+150) —1.200 = (+2) x (—600) En aquest cas el factor comú a totes aquestes quantitats és el nombre (+2). Per tant: 2.000 — 120 — 80 + 300 — 1.200
= (+2) x (1.000 — 60 — 40 + 150 — 600) tfc
L’operació producte de nombres enters compleix les propietats commutativa i associativa com també passava amb l’operació suma. Exemple 1 (—5) x (—2) = (—2) x (—5) Si fem les operacions: (—5) x (—2) = +10 i (—2) x (—5) = +10
Exemple 2 [(—5) x (—2)] x (+2) = (—5) x [(—2) x (+2)] Si fem les operacions que hi ha al davant de la igualtat es té:
▼
[(—5) x (—2)] = (+10) (+10) x (+2) = (+20)
(+2) Si fem les operacions que hi ha al darrera de la igualtat es té:
▼
(—5) ▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
▼
1. LA TEMPERATURA
Acabem de comprovar que la igualtat és certa i per tant es compleix la propietat commutativa.
(—5) x (—4) = (+20)
[(—2) x (+2)] = (—4)
PÀG.54
Pots observar que per agrupar els nombres enters de l’exemple de la propietat associativa hem utilitzat uns parèntesis diferents per tal de facilitar la lectura de les operacions. Aquests parèntesis s’anomenen claudàtors [ ]. També es poden utilitzar les claus { } per agrupar operacions que ja contenen parèntesis i claudàtors. L’element neutre tant del producte com de la divisió és el nombre enter positiu (+1). Si multipliquem o dividim qualsevol nombre enter per (+1) ens torna a donar el mateix nombre. Exemple:
UNITAT 3
(—5) x (+1) = (—5) (—10) : (+1) = (—10)
79 OPERACIONS AMB ENTERS
Els dos resultats són el mateix. Per tant, la igualtat és certa i es compleix, doncs, la propietat associativa.
• Activitat d’aprenentatge 11
3. Operacions combinades amb nombres enters Quan volem resoldre operacions amb nombres enters que contenen alhora sumes, restes, productes, divisions, parèntesis i fins i tot claudàtors i claus cal seguir l’ordre següent:
Resoldre els parèntesis, els claudàtors i les claus
Resoldre productes i divisions en l’ordre en què es presentin (Tant si s’està a dins com a fora d’un parèntesi, claudàtor o clau)
▼
Resoldre les sumes i les restes en l’ordre en què es presentin
PÀG.55
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
▼
1. LA TEMPERATURA
(Es comença pels que hi ha més a dins i es continua cap a fora)
80
Exemple: En primer lloc resolem els parèntesis: [3 x (+3)] + [3 x (+3)] Seguidament fem els productes: (+9) + (+9) Finalment fem la suma: 9 + 9 = 18 És a dir: [3 x (5 — 2)] + [3 x (2 + 7 — 6)] = [3 x (+3)] + [3 x (+3)] = (+9) + (+9) = 9 + 9 = 18
• Activitats d’aprenentatge 12, 13, 14, 15 i 16
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
UNITAT 3
OPERACIONS AMB ENTERS
[3 x (5 — 2)] + [3 x (2 + 7 — 6)]
PÀG.56
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
81
+8, —5, +6, —2
Activitat 2 Calcula les següents sumes d’enters. a) (+4) + (+5) b) (—14) + (—6) c) (+9) + (+7) d) (+13) + (—13) e) (—5) + (+8)
f) (+3) + (—24) g) 0 + (—7) h) (—29) + (+5) i) (+28) + 0 j) (—6) + (+6)
Activitat 3
UNITAT 3
Escriu els següents nombres enters prescindint dels signes que són innecessaris.
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Ahir teníem en el nostre compte corrent un deute de 750 euros. De quin saldo disposem avui si s’hi fa un ingrés de 1.100 euros?
Activitat 4
Calcula les següents restes d’enters. a) (+4) — (+7) b) (—7) — (—6) c) 0 — (+17) d) (+47) — (—3) e) (—8) — (—12)
f) (—9) — (—3) g) (+15) — (—15) h) (—2) — (+23) i) (—11) — (+10) j) (+9) — 0
Activitat 6 Fes els càlculs següents. a) 3 — 5 + 8 — (—9) +1 b) 5 — 1+3 — (—2) + 6 c) 8 + (—6) — (—3) + 2 — 4
d) 7 + (—6) — (—5) + 4 — 2 e) (—9) — 8 + 2 — (—3) + 1 f) (—8) — 4 + 3 — (—2) + 7
PÀG.57
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 5
1. LA TEMPERATURA
La temperatura mínima d’ahir va ser de —4oC. Calcula quina va ser la temperatura màxima sabent que per passar de la mínima a la màxima el termòmetre va haver de pujar 8oC.
Activitat 7 Un avió vola a 7.200 metres sobre el nivell del mar, baixa 2.300 metres, torna a pujar 1.500 metres i finalment descendeix 6.000 metres per aterrar. Calcula a quina altura sobre el nivell del mar es troba l’aeroport en el qual ha aterrat.
Activitat 8 Un botiguer deu als seus proveïdors les quantitats de 398 euros i 3.452 euros. Per altra banda, els seus clients li deuen les quantitats següents: 45 euros, 125 euros i 800 euros. Calcula el saldo d’aquest botiguer.
UNITAT 3
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
82
Activitat 9
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Calcula els productes següents. a) (+3) x (+4)
d) (—4) x 0
g) (—6) x (—3)
b) (+2) x 0
e) (—8) x (+6)
h) (+3) x (—9)
c) 0 x (—11)
f) (—7) x (+5)
i) (—3) x (—6)
Activitat 10 Calcula les següents divisions de nombres enters. a) (—8) : (+2)
d) (+16) : (+4)
g) (+72) : (—12)
b) (–5) : (—1)
e) 0 : (—10)
h) (+4) : (—4)
c) (+38) : (+19)
f) (—6) : (—1)
i) (+9) : (—1)
Activitat 11 Uneix amb fletxes: Element neutre de la suma Propietat distributiva Propietat associativa Propietat commutativa
+6 + (+3 — 2) = (+6 + 3) —2 (+5) x (—3) = (—3) x (+5) 5+0=5 (+3) x (5 + 3) = (+3) x (+5) + (+3) x (+3)
PÀG.58
83
Activitat 12
Activitat 13 Calcula les expressions següents. Si vols pots utilitzar la propietat distributiva. a) (—4) x [(+7) + (—3)] b) (+5) x [(—2) + (+4) — (—1)] c) (—10) x [(—5) + (—2)] d) (—2) x [(+3) + (—4) — (—9)]
Activitat 14
UNITAT 3
a) –5 + [3 — (3 — 9 + 3) + 7] b) –2 — 7 — (3 + 5 + 2 — 1) c) –(+3 + 6) — (—7 + 2) d) -(—9 — 5) + (3 — 5) e) –3 — [ —3 — (4 + (—4))] f) 4 + [5 — (3 — 7 + 2 — 8) + 3]
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Fes les operacions següents.
Fes les operacions següents traient primerament factor comú, en cas que sigui possible. a) (—3) x (+2) + (—3) x (+9) b) (—4) x (+6) + (+8) x (+6) c) (—7) x (+8) — (+4) x (+8) d) (—5) x (—9) — (—7) x (+9)
a) (—5) x (2 + 3) x 6 b) (4 x 6) + ( 8 x 4) c) [3 x (5 — 2)] + [3 x (2 + 7 — 6)] d) 2 x 7 — 12 + 5 x (9 x 2 — 6 x (—2)) e) (—9) x [6 + (—7)] f) [(—2) x (—3)] + [(—5) x 5] g) (—3) x 2 + (—3) x 3 + [(—4) x (—5)] h) (–3) x [6 x (—4 + 3) –2 x (—8 —3)] — 2 x [3 x (6 — 2) –2 x (4 — 1)]
PÀG.59
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions.
1. LA TEMPERATURA
Activitat 15
84
Activitat 16
a) (—3) x [—10 — (—300)] : (—10) b) (—5) x {800 : [300 — (—100)]} c) [(—25) : (— 5)] x 3 — 12 d) [(—15) — (+35)] : 10
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
UNITAT 3
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions.
PÀG.60
Escriu els següents nombres enters prescindint dels signes que són innecessaris. +5, —2, +7, —5
Activitat 2 Calcula les següents sumes d’enters. a) (+6) + (+25) b) (+3) + (+21) c) (—2) + (—4) d) (+17) + (—17) e) (+2) + 0
f) (—1) + (—7) g) 0 + (—3 ) h) (+3) + (—14) i) (—9) + (+15) j) (—26) + (+26)
UNITAT 3
Activitat 1
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 85
Activitat 3 Calcula les següents restes d’enters. a) (+15) — (—2) b) (—2) — (+16) c) (—8) — (+23) d) (+4) — (—31) e) 0 — (—5)
f) (+3) — (—9) g) (+2) — (+5) h) (—5) — (+17) i) (—6) — (+6) j) (+9) — (—8)
a) Tenim en el banc un capital de 660 euros. Si per fer una compra retirem 750 euros, quin capital hi tenim ara?
b) Tot seguit hi ingressem 125 euros. Quin és el capital actual?
1. LA TEMPERATURA
Activitat 4
Fes els càlculs següents. a) 5 — 1 + 2 — (—9) + 2 b) 9 — 2 + 4 — (—1) + 5 c) 1 + 6 — (—5) + 8 + 2
d) 6 + (—8) — ( —2) + 3 — 1 e) (—4) + 5 — (—8) + 2 + 7 f) (—9) — 7 + 2 — (—3) + 4
PÀG.61
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 5
UNITAT 3
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
86
Activitat 6 Fes les operacions següents. a) –2 — 8 — (3 + 2 + 4 — 2) b) –2 + [5 — (5 — 4 + 2) + 3] c) (—4 — 2) + (5 — 3) d) –(+7 + 2) — (—7 + 2) e) 6 + [9 — (4 — 3 + 1 — 7) + 4] f) –6 — [—2 — (5 + (—46))]
Activitat 7 Calcula. a) 0 x (+4)
d) (—7) x (—9)
g) (—2) x 0
b) (+5) x 0
e) (—2) x (+4)
h) (+8) x (—4)
c) (—5) x (—3)
f) (—3) x (+4)
i) (—2) x (—9)
Activitat 8 Calcula les expressions següents. a) (—2) x [(+3) + (—1)] b) (+2) x [(—7) + (+4) — (—9)] c) (—7) x [(—4) + (—6)] d) (—7) x [(+2) + (—6) — (—1)]
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Activitat 9 Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions. a) [7 x (5 — 3)] + [2 x (7 + 4 — 3)] b) 2 x 5 — 10 + 2 x (4 x 7 — 5 x (—8)) c) (—2) x (2 + 6) x 3 d) (4 x 6) — (2 x 4) e) (—3) x 2 — (—3) x 3 —[(—4) x (—5)] f) –3 x [6 x (—4 + 3) + 2 x (—8 — 3)] + 2 x [3 x (6 — 2) —2 x (4 + 1)] g) (—9) x [6 + (—7)] h) [(—2) x (—3)] — [(—5) x 5]
PÀG.62
87
Activitat 10
a) (—4) x ( —3) + (+8) x (—3) b) (+1) x (+2) + (+1) x (+9) c) (+7) x (—9) — (—7) x (+9) d) (—7) x (+2) — (+4) x (+2)
Activitat 11 Calcula les divisions següents de nombres enters. a) (—6) : (+3)
d) (+3) : (—1)
g) (+7) : (—7)
b) (—2) : (—1)
e) 0 : (—5)
h) (+18) : (—3)
c) (+18) : (—9)
f) (+4) : (—1)
i) (+12) : (—3)
UNITAT 3
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Fes les operacions següents traient primerament factor comú, en cas que sigui possible.
Activitat 12 Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions. a) (—3) x [—10 — (—300)] : (—10)
1. LA TEMPERATURA
b) (—5) x [200 : (300 + (—100))] c) [(—25) : (—5)] x 3 — 12
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
d) [(—15) — (+35)] : 10
PÀG.63
UNITAT 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
88
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE Activitat 1 Escriu els següents nombre enters prescindint dels signes que són innecessaris. +8, —5, +6, —2 8, —5, 6, —2
Activitat 2 Calcula les següents sumes d’enters. a) (+4) + (+5) = +4 + 5 = +9 b) (—14) + (—6) = —14 — 6 = —20 c) (+9) + (+7) = +9 + 7 = +16 d) (+13) + (—13 ) = +13 –13 = 0 e) (—5) + (+8) = —5 + 8 = +3
f) (+3) + (—24) = +3 — 24 = —21 g) 0 + (—7) = 0 –7 = —7 h) (—29) + (+5) = —29 + 5 = —24 i) (+28) + 0 = +28 + 0 = +28 j) (—6) + (+6) = —6 + 6 = 0
Activitat 3 Ahir teníem en el nostre compte corrent un deute de 750 euros. De quin saldo disposem avui si s’hi fa un ingrés de 1.100 euros?. (—750) + (+1.100) = —750 + 1.100 = 350 €. Activitat 4 La temperatura mínima d’ahir va ser de —4oC. Calcula quina va ser la temperatura màxima sabent que per passar de la mínima a la màxima el termòmetre va haver de pujar 8oC.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
—4oC + 8oC = +4oC La temperatura màxima va ser de +4oC.
Activitat 5 Calcula les següents restes d’enters. a) (+4) — (+7) = +4 — 7 = —3 b) (—7) — (—6) = —7 + 6 = —1 c) 0 — (+17) = 0 — 17 = —17 d) (+47) — (—3) = +47 + 3 = +50 e) (—8) — (—12) = —8 + 12 = +4
f) (—9) — (—3) = —9 + 3 = —6 g) (+15) — (—15) = +15 + 15 = +30 h) (—2) — (+23) = —2 — 23 = —25 i) (—11) — (+10) = —11 — 10 = —21 j) (+9) — 0 = +9 — 0 = +9
Activitat 6 Fes els càlculs següents. a) 3 — 5 + 8 — (—9) + 1 = +16 b) 5 — 1 + 3 — (—2) + 6 = +15 c) 8 + (—6) — (—3) + 2 — 4 = +3 d) 7 + (—6) — (—5) + 4 — 2 = +8 e) (—9) — 8 + 2 — (—3) + 1 = —11 f) (—8) — 4 + 3 — (—2) + 7 = 0 PÀG.64
Un avió vola a 7.200 metres sobre el nivell del mar, baixa 2.300 metres, torna a pujar 1.500 metres i finalment descendeix 6.000 m per aterrar. Calcula a quina altura sobre el nivell del mar es troba l’aeroport en el qual ha aterrat. 7.200 — 2.300 + 1.500 — 6.000 = 400 L’aeroport es troba a 400 metres sobre el nivell del mar.
Activitat 8 Un botiguer deu als seus proveïdors les quantitats de 398 euros i 3.452 euros. Per altra banda, els seus clients li deuen les quantitats següents: 45 euros, 125 euros i 800 euros. Calcula el saldo d’aquest botiguer. Per resoldre el problema donem signe negatiu a les quantitats que el botiguer deu i signe positiu a les que li deuen. —398 + (—3.452) + 45 + 125 + 800 = —2.880 El saldo del botiguer és de –2.880 euros.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
89
Activitat 7
Calcula els productes següents. a) (+3) x (+4) = +12
d) (—4) x 0 = 0
g) (—6) x (—3) = +18
b) (+2) x 0 = 0
e) (—8) x (+6) = —48
h) (+3) x (—9) = —27
c) 0 x (—11) = 0
f) (—7) x (+5) = —35
i) (—3) x (—6) = +18
UNITAT 3
Activitat 9
a) ( —8) : (+2) = —4
d) (+16) : (+4) = +4
g) (+72) : (—12) = —6
b) (–5) : (—1) = +5
e) 0 : (—10) = 0
h) (+4) : (—4) = —1
c) (+38) : (+19) = +2
f) (—6) : (—1) = +6
i) (+9) : (—1) = —9
Activitat 11
▼
▼
▼
▼
Uneix amb fletxes: Element neutre de la suma Propietat distributiva Propietat associativa Propietat commutativa
PÀG.65
+6 + (+3 — 2) = (+6 + 3) — 2 (+5) x (—3) = (—3) x (+5) 5+0=5 (+3) x (5 + 3) = (+3) x (+5) + (+3) x (+3)
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Calcula les següents divisions de nombres enters.
1. LA TEMPERATURA
Activitat 10
90
Activitat 12
UNITAT 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Fes les operacions següents. a) –5 + [3 — (3 — 9 + 3) + 7] = –5 + [3 — (—3) + 7] = —5 + (3 + 3 + 7) = —5 + 13 = 8 b) –2 — 7 — (3 + 5 + 2 — 1) = —2 — 7 — (+9) = — 18 c) — (+3 + 6) — (—7 + 2) = -(+9) — (—5) = —9 + 5 = —4 d) —(—9 — 5) + (3 — 5) = -(—14) + (—2) = +14 — 2 = 12 e) —3 — [ —3 — (4 + (—4))] = –3 — ( —3) = 0 f) 4 + [5 — (3 — 7 + 2 — 8) + 3] = 4 + [5 — (—10) + 3] = 4 + (5 + 10 + 3) = 4 + 18 = 22 Activitat 13 Calcula les expressions següents. Si vols pots utilitzar la propietat distributiva. a) (—4) x [(+7) + (—3)] = (—4) x (+4) = —16 b) (+5) x [(—2) + (+4) — (—1)] = (+5) x (+3) = 15 c) (—10) x [(—5) + (—2)] = (—10) x (—7) = 70 d) (—2) x [(+3) + (—4) — (—9)] = (—2) x (+8) = —16 Utilitzant la propietat distributiva: a) (—4) x [(+7) + (—3)] = (—28) + (+12) = —28 + 12 = —16 b) (+5) x [(—2) + (+4) — (—1)] = (—10) + (+20) — (—5) = —10 + 20 + 5 = 15 c) (—10) x [(—5) + (—2)] = (—10) x (—7) = (+50) + (+20) = 50 + 20 = 70 d) (—2) x [(+3) + (—4) — (—9)] = (—6) + (+8) — (+18) = —6 + 8 — 18 = —16 Activitat 14 Fes les operacions següents traient primerament factor comú, en cas que sigui possible.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
a) (—3) x (+2) + (—3) x (+9) = (—3) x [(+2) + (+9)] = (—3) x (+11) = —33 b) (—4) x ( +6) + (+8) x (+6) = (+6) x [(—4) + (+8)] = (+6) x (+4) = 24 c) (—7) x (+8) — (+4) x (+8) = (+8) x [(—7) — (+4)] = (+8) x (—11) = —88 d) (—5) x (—9) — (—7) x (+9) = (+45) — (—63) = 45 + 63 = 108 Activitat 15 Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions. a) (—5) x (2 + 3) x 6 = (—5) x (+5) x 6 = —150 b) (4 x 6) + ( 8 x 4) = 24 + 32 = 56 c) [3 x (5 — 2)] + [3 x (2 + 7 — 6)] = (3 x 3) + (3 x 3) = 9 + 9 = 18 d) 2 x 7 — 12 + 5 x (9 x 2 — 6 x (—2)) = 2 x 7 —12 + 5 x (18 + 12) = = 2 x 7 —12 + 5 x 30 = 14 — 12 + 150 = 152 e) (—9) x [6 + (—7)] = (—9) x (—1) = 9 f) [(—2) x (—3)] + [(—5) x 5] = (+6) + (—25) = 6 — 25 = —19 g) (—3) x 2 + (—3) x 3 + [(—4) x (—5)] = (—3) x 2 + (—3) x 3 + (+20) = —6 — 9 + 20 = +5 h) (–3) x [6 x (—4 + 3) –2 x (—8 — 3)] — 2 x [3 x (6 — 2) –2 x (4 — 1)] = = —3 x [6 x (—1) –2 x (—11)] — 2 x [3 x (+4) –2 x (+3)] = = —3 x (—6 + 22) — 2 x (12 — 6) = —3 x (+16) — 2 x (+6) = —48 — 12 = —60
PÀG.66
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
UNITAT 3
Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions. a) (—3) x [—10 — (—300)] : (—10) = (—3) x (—10 +300) : (—10) = (—3) x (+ 290) : (—10) = = (—870) : (—10) = 87 b) (–5) x {800 : [300 — (—100)]} = (—5) x [800 : (+400)] = (—5) x (+2) = —10 c) [(—25) : (— 5)] x 3 –12 = 5 x 3 — 12 = 15 — 12 = 3 d) [(—15) — (+35)] : 10 = (—50) : 10 = —5
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
91
Activitat 16
PÀG.67
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Activitat 1
UNITAT 3
92
Activitat 3
Escriu els següents nombres enters prescindint dels signes que són innecessaris. +5, —2, +7, —5 5, —2, 7, —5
Activitat 2 Calcula les següents sumes d’enters. a) (+6) + (+25) = +31 b) (+3) + (+21) = +24 c) (—2) + (—4) = —6 d) (+17) + (—17) = 0 e) (+2) + 0 = +2
f) (—1) + (—7) = —8 g) 0 + (—3 ) = —3 h) (+3) + (—14) = —11 i) (—9) + (+15) = +6 j) (—26) + (+26) = 0
Calcula les següents restes d’enters. a) (+15) — (—2) = +17 b) (—2) — (+16) = —18 c) (—8) — (+23) = —31 d) (+4) — (—31) = +35 e) 0 — (—5) = +5
f) (+3) — (—9) = +12 g) (+2) — (+5) = —3 h) (—5) — (+17) = —22 i) (—6) — (+6) = —12 j) (+9) — (—8) = +17
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Activitat 4 a) Tenim en el banc un capital de 660 euros. Si per fer una compra retirem 750 euros, quin capital hi tenim ara? 660 — 750 = —90 € Tenim un capital de –90 euros, la qual cosa vol dir que devem 90 euros al banc. b) Tot seguit hi ingressem 125 euros. Quin és el capital actual? —90 + 125 = 35 € El capital actual és de 35 euros.
Activitat 5 Fes els càlculs següents. a) 5 — 1 + 2 — (—9) +2 = +17 b) 9 — 2 + 4 — (—1) +5 = +17 c) 1 + 6 — (—5) + 8 + 2 = +22 d) 6 + (—8) — ( —2) + 3 — 1 = +2 e) (—4) + 5 — (—8) + 2 + 7 = +18 f) (—9) — 7 + 2 — (—3) + 4 = —7
PÀG.68
93
Activitat 6
b) –2 + [5 — (5 — 4 + 2) + 3] = –2 + [5 — (3) + 3] = –2 + 5 = +3 c) (—4 — 2) + (5 — 3) = (—6) + 2 = —6 + 2 = —4 d) –(+7 + 2) — (—7 + 2) = –(+9) — (—5) = —4 e) 6 + [9 — (4 — 3 + 1 — 7) + 4] = 6 + [9 — (– 5) + 4] = 6 + 18 = +24 f) –6 — [—2 — (5+ (—46))] = –6 — [ —2 — (—41)] = –6 — 39 = —45
Activitat 7 Calcula. a) 0 x (+4) = 0 b) (+5) x 0 = 0 c) (—5) x (—3) = +15
d) (—7) x (—9) = +63 e) (—2) x (+4) = —8 f) (—3) x (+4) = —12
g) (—2) x 0 = 0 h) (+8) x (—4) = —32 i) (—2) x (—9) = +18
Activitat 8 Calcula les expressions següents. a) (—2) x [(+3) + (—1)] = (—2) x (+2) = —4 b) (+2) x [(—7) + (+4) — (—9)] = (+2) x (+6) = +12
UNITAT 3
a) –2 — 8 — (3 + 2 + 4 — 2) = –2 — 8 — 7 = —17
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Fes les operacions següents.
c) (—7) x [(—4) + (—6)] = (—7) x (—10) = +70 d) (—7) x [(+2) + (—6) — (—1)] = (—7) x (—3) = +21
a) [7 x (5 — 3)] + [2 x (7 + 4 — 3)] = [7 x 2] + [2 x 8] = 14 + 16 = 30 b) 2 x 5 –10 + 2 x (4 x 7 — 5 x (—8)) = 2 x 5 –10 + 2 x (28 + 40) = 2 x 5 –10 + 2 x 68 = = 10 — 10 + 136 = +136 c) (—2) x (2 + 6) x 3 = (—2) x 8 x 3 = —16 x 3 = —48 d) (4 x 6) — ( 2 x 4) = 24 — 8 = +16 e) (—3) x 2 — (—3) x 3 -[(—4) x (—5)] = (—3) x 2 + 3 x 3 — (+20) = —6 + 9 — 20 = —17 f) –3 x [6 x (—4 + 3) +2 x ( —8 — 3)] + 2 x [3 x (6 — 2) — 2 x (4 + 1)] = = —3 x [6 x (—1) + 2 x (—11)] + 2 x [3 x 4 — 2 x 5] = —3 x (—6 — 22) + 2 x (12 — 10) = = —3 x (–28) + 2 x 2 = 84 + 4 = 88 g) (—9) x [6 + (—7)] = (—9) x (—1) = 9 h) [(—2) x (—3)] — [(—5) x 5] = 6 — (—25) = 6 + 25 = 31
PÀG.69
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions.
1. LA TEMPERATURA
Activitat 9
94
Activitat 10
UNITAT 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Fes les operacions següents traient primerament factor comú, en cas que sigui possible. a) (—4) x ( —3) + (+8) x (—3) = (—3) x [(—4) + (+8)] = (—3) x (+4) = —12 b) (+1) x (+2) + (+1) x (+9) = (+1) x [(+2) + (+9)] = (+1) x (+11) = +11 c) (+7) x (—9) — (—7) x (+9) = (—63) — (—63) = —63 + 63 = 0 d) (—7) x (+2) — (+4) x (+2) = (+2) x [(—7) — (+4)] = (+2) x (—11) = —22
Activitat 11 Calcula les divisions següents de nombres enters. a) (—6) : (+3) = —2
d) (+3) : (—1) = —3
g) (+7) : (—7) = —1
b) (–2) : (—1) = +2
e) 0 : (—5) = 0
h) (+18) : (—3) = —6
c) (+18) : (—9) = —2
f) (+4) : (—1) = —4
i) (+12) : (—3) = —4
Activitat 12 Calcula les expressions següents, tenint cura de respectar l’ordre de les operacions. a) (–3) x [—10 — (—300)] : (—10) = (—3) x (—10 + 300) : (—10) = (—3) x (290) : (—10) = = (—870) : (—10) = +87 b) (–5) x [200 : (300 + (—100))] = (—5) x [200 : (300 — 100)] = = (—5) x (200 : 200) = (—5) x (+1) = —5 c) [(–25) : (- 5)] x 3 — 12 = (+5) x 3 — 12 = 15 — 12 = +3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
d) [(—15) — (+35)] : 10 = (—15 — 35) : 10 = (—50) : 10 = —5
PÀG.70
has treballat?
UNITAT 3
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
95
SUMA I RESTA DE NOMBRES ENTERS
Element neutre i element oposat
Propietat commutativa de la suma
Propietat associativa de la suma
PRODUCTE I DIVISIÓ DE NOMBRES ENTERS
Treure factor comú
Element neutre
Propietats commutativa i associativa del producte
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Regla dels signes
Propietat distributiva del producte respecte de la suma
1. LA TEMPERATURA
Notació simplificada
PÀG.71
UNITAT 3
COM HO PORTO?
96
com
ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé Representar les operacions suma i resta de nombres enters sobre una recta numèrica
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
Sumar i restar nombres enters. Aplicar les propietats commutativa i associativa de la suma de nombres enters. Reconèixer l’element neutre de la suma i de la resta de nombres enters Calcular l’oposat d’un nombre enter. Aplicar la propietat distributiva. Treure factor comú. Reconèixer l’element neutre del producte i de la divisió amb nombres enters. Resoldre operacions combinades amb nombres enters Resoldre problemes amb nombres enters
PÀG.72
A mitges Malament
Activitat 1 Uneix amb fletxes. Tipus d’energia
Dóna el valor 0 al límit inferior de temperatures
Termòmetre clínic
Igual temperatura
Escala centígrada
Calor
Indica el nivell tèrmic d’un cos
Dóna el valor 0 a la temperatura de fusió del gel
Escala Kelvin
Sol tenir una escala compresa entre 35oC i 42oC
Equilibri tèrmic
Temperatura
Activitat 2 Omple els buits. Els nombres enters estan formats pels ............... ............., els .............. .............. i pel ..................... Anomenem ...................... dos nombres que estan a igual distància del 0 en la recta numèrica. Aquesta distància s’anomena .............. .............. dels nombres enters.
97 PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
Temperatures (oC)
Ciutats
5o
Barcelona Roma
—2 o
Atenes
—5o
Berlín
8o
Hèlsinki
—12o
Oslo
—15o
a) Representa aquestes dades en uns eixos de coordenades cartesianes.
b) Quines ciutats tenen temperatures per sota de 0oC?
PÀG.73
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
La següent taula de valors ens dóna les temperatures mínimes d’un dia d’hivern a diferents ciutats europees.
1. LA TEMPERATURA
Activitat 3
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
c) Quines ciutats tenen temperatures simètriques?
d) Quina és la temperatura més baixa que s’enregistra en la taula?
1. LA TEMPERATURA
98
Activitat 6
Activitat 4 Fes els càlculs següents. a) (—3) — (+4) + (—1) — (+5) b) (+7) + (—5) + ( —9 + 2) c) — (9 — 6) — (—3 + 8) d) –15 — [3 — (—7 + 2 — 3) —1]
Activitat 5 Calcula. a) (—5) x (+2) b) 0 x (—7) c) (—6) x (—3) d) (+3) x (+5) e) (—8) : (—4) f) 0 : (—10) g) (+4) : (—4) h) (+50) : (+5)
Calcula les expressions següents. a) 6 x (2 + 5) — (—4) x 3 — 6 + 8
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
b) (–8) : 2 — [3 — 6 x (2 — 5)]
PÀG.74
Activitat 1 Uneix amb fletxes.
Escala centígrada Equilibri tèrmic
▼ ▼
Igual temperatura
Calor
▼
Termòmetre clínic
Dóna el valor 0 al límit inferior de temperatures
Temperatura
▼
Tipus d’energia
Sol tenir una escala compresa entre 35oC i 42oC
▼
Escala Kelvin
Dóna el valor 0 a la temperatura de fusió del gel
▼
Indica el nivell tèrmic d’un cos
Activitat 2 Omple els buits. Els nombres enters estan formats pels enters positius positius, els enters negatius i pel zero zero.
99
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
Anomenem simètrics dos nombres que estan a igual distància del 0 en la recta numèrica. Aquesta distància s’anomena valor absolut dels nombres enters.
Temperatures (oC)
Ciutats
5o
Barcelona Roma
—2 o
Atenes
—5o
Berlín
8o
Hèlsinki
—12o
Oslo
—15o
PÀG.75
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
La següent taula de valors ens dóna les temperatures mínimes d’un dia d’hivern a diferents ciutats europees.
1. LA TEMPERATURA
Activitat 3
100
a) Representa aquestes dades en uns eixos de coordenades cartesianes.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
b) Quines ciutats tenen temperatures per sota de 0oC? Roma, Atenes, Hèlsinki i Oslo. c) Quines ciutats tenen temperatures simètriques? Barcelona i Atenes. d) Quina és la temperatura més baixa que s’enregistra en la taula? —15oC.
Activitat 4 Fes els càlculs següents. a) (—3) — (+4) + (—1) — (+5) = —3 — 4 — 1 — 5 = —13 b) (+7) + (—5) + ( —9 + 2) = 7 — 5 + (— 7) = 7 — 5 — 7 = —5 c) — (9 — 6) — (—3 + 8) = — (+3) — (+5) = —3 — 5 = —8 d) —15 — [3 — (—7 + 2 — 3) —1] = –15 — [3 — (—8) —1] = –15 — (3 + 8 — 1) =
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1. LA TEMPERATURA
= —15 — (+10) = —15 — 10 = —25
Activitat 5 Calcula. a) (—5) x (+2) = —10 b) 0 x (—7) = 0 c) (—6) x (—3) = +18 d) (+3) x (+5) = +15 e) (—8) : (—4) = +2 f) 0 : (—10) = 0 g) (+4) : (—4) = —1 h) (+50) : (+5) = +10
Activitat 6 Calcula les expressions següents. a) 6 x (2 + 5) — (—4) x 3 — 6 + 8 = 6 x 7 — (—12) — 6 + 8 = 42 + 12 — 6 + 8 = = 62 — 6 = 56 b) (–8) : (+2) — [3 — 6 x (2 — 5)] = (—8) : 2 — (3 + 18) = (—8) : 2 — 21 = —4 — 21 = —25
PÀG.76
Unitat 4 DIVISIBILITAT
MATEMÀTIQUES I PÀG.77
QUÈ TREBALLARÀS?
14
què En acabar la unitat has de ser capaç de: · Identificar i determinar els múltiples i divisors d’un nombre. Reconèixer les propietats dels múltiples i divisors. · · Reconèixer i utilitzar els criteris de divisibilitat dels nombres 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 i 11. · Reconèixer els nombres primers. · Calcular tots els divisors d’un nombre. · Calcular el mcd i el mcm d’un nombre. · Utilitzar els conceptes de mcd i mcm per resoldre problemes de la vida quotidiana.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
treballaràs?
PÀG.78
Imagina que has de repartir 16€ entre 5 persones. Si es fa la divisió que resol el problema es té que:
UNITAT 1
El disseny de les cares de la moneda de l’euro depèn de cada país de la Unió Europea, però el que no varia és el valor d’aquestes monedes. Que hi hagi monedes d’1 cèntim d’€, 2 cèntims d’€ o 5 cèntims d’€, o bé monedes d’1€, 2€, o bitllets de 5€, no és per què sí. De fet hi ha una explicació matemàtica. Es treballa amb l’1, el 2 i el 5 perquè així s’aconsegueix sumar qualsevol quantitat de diners amb el mínim de monedes.
DIVISIBILITAT
15
1. Múltiples i divisors
Com que l’euro també disposa de monedes de cèntim, a cada persona li correspondran 3,2€ o, el que és el mateix, 3€ i 20 cèntims. Però, què passaria si l’euro no disposés de cèntims? En aquest cas, en la divisió anterior, no podríem utilitzar la coma ni tampoc els decimals.
Una divisió és exacta quan el seu residu val zero zero. Recorda que els elements de l’operació divisió són: dividend, divisor, quocient i residu.
Observa que dels exemples anteriors de divisions exactes tenim que: 5=5x1 10 = 5 x 2 15 = 5 x 3 20 = 5 x 4 ... .... ... .... PÀG.79
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Que una divisió no sigui exacta és un problema que acostuma a passar amb els nombres naturals N = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10, ..., 100, ..., 1.000, ... }. Només quan la divisió és exacta, el resultat de dividir dos nombres naturals és un altre nombre natural.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
A cada persona li correspondrien 3€ i sobraria 1€ en el repartiment. Quan es dóna aquesta situació es diu que la divisió no és exacta exacta. Perquè la divisió fos exacta la quantitat de diners a repartir entre les cinc persones hauria de ser o bé 5€, o bé 10€, o bé 15€, o bé 20€...
16
Fixa’t que es compleix el següent:
DIVISIBILITAT
dividend = divisor x quocient.
Quan es dóna aquesta situació es diu que:
UNITAT 1
a és un múltiple de b a és divisible per b b és divisor de a Observa que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l’un de l’altre. Imagina que tens dues guardioles. En una guardes només monedes de 2€ i en l’altra bitllets de 5€. Trenquem la primera guardiola, la que guarda només monedes de 2€. Comencem a comptar els diners que hi tenim: 2€, 4€, 6€, 8€, 10€, 12€, 14€, 16€, 18€, 20€, 22€, 24€,..., 58€, 60€. Totes les quantitats que anem comptant són múltiples de 2. Ara trenquem la segona guardiola i anem fent recompte dels diners que hi tenim: 5€, 10€, 15€, 20€, 25€, 30€, 35€, 40€,..., 55€, 60€. En aquest cas totes les quantitats que anem comptant són múltiples de 5. Observa que:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Múltiples de 2:
Múltiples de 5:
2x1=2
5x1=5
2x2=4
5 x 2 = 10
2x3=6
5 x 3 = 15
...
...
...
2 x 10 = 20 ...
...
5 x 10 = 50
...
...
...
2 x 29 = 58
5 x 11 = 55
2 x 30 = 60
5 x 12 = 60
Els múltiples d’un nombre s’obtenen multiplicant aquest nombre per qualsevol nombre natural. També es considera múltiple d’un nombre natural el zero. En conseqüència, el conjunt dels múltiples d’un nombre és il·limitat: Conjunt dels múltiples de 2 = {0, 2, 4, 6, ... , 20, ... , 200, ... , 2.000, ... } Conjunt dels múltiples de 5 = {0, 5, 10, 15, ... , 50, ... , 500, ... , 5.000, ... } · Activitats d’aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5
PÀG.80
Com que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l’un de l’altre, és lògic pensar que: Si 2 és múltiple de 2, 3 és múltiple de 3, 5 és múltiple de 5, etc., aleshores 2 és divisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etc etc..
UNITAT 1
Fixa’t en el recompte de diners de les guardioles. Tant en una guardiola com en l’altra hem començat el recompte pel valor de la moneda que hem guardat: 2 i 5. És, doncs, natural que 2 i 5 siguin múltiples d’ells mateixos, és a dir, de 2 i de 5 respectivament. De la mateixa manera, en cas d’existir monedes de 3€, el recompte de la guardiola, sempre que no estigui buida, començaria per 3 i per tant el nombre 3 seria múltiple d’ell mateix. Dit d’una altra manera, qualsevol nombre natural és múltiple d’ell mateix mateix.
DIVISIBILITAT
17
2. Propietats dels múltiples i dels divisors d’un nombre
En efecte, totes les divisions són exactes i en totes el quocient val 1.
Per exemple: Per reunir 8€ calen 4 monedes de 2€ Per reunir 10€ calen 5 monedes de 2€ ... ... ... Per reunir 58€ calen 29 monedes de 2€ Per reunir 60€ calen 30 monedes de 2€
8=2x4 10 = 2 x 5 ... ... 58 = 2 x 29 60 = 2 x 30
Comprova que si sumes algunes d’aquestes quantitats, el resultat és una quantitat de diners que també es pot reunir utilitzant només monedes de 2€. Per exemple: 10€ + 60€ = 70€ Per reunir 70€ ens caldran 35 monedes de 2€ 70 = 2 x 35
PÀG.81
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2€, 4€, 6€, 8€, 10€,..., 56€, 58€, 60€ són quantitats de diners que podem reunir amb monedes de 2€.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Imagina ara que tens una tercera guardiola on tens guardades monedes d’1€. Fem el recompte de diners que hi tens: 1€, 2€, 3€, 4€, 5€,.... Totes les quantitats que anem comptant seran múltiples d’1. A més, si es pogués tenir infinites monedes a la guardiola, aniríem enumerant un a un tots els nombres naturals. Per tant, qualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, és divisor de qualsevol nombre nombre.
18
El mateix passa amb els bitllets de 5€.
UNITAT 1
DIVISIBILITAT
Per exemple: Per reunir 5€ ens cal un bitllet de 5€ Per reunir 10€ ens calen 2 bitllets de 5€ ... ... ... Per reunir 30€ ens calen 6 bitllets de 5€ ... ... ... Per reunir 55€ ens calen 11 bitllets de 5€ Per reunir 60€ ens calen 12 bitllets de 5€
5=5x1 10 = 5 x 2 ... ... 30 = 5 x 6 ... ... 55 = 5 x 11 60 = 5 x 12
Comprova que si sumes algunes d’aquestes quantitats, el resultat torna a ser una quantitat de diners que es pot reunir amb només bitllets de 5€. Per exemple: 30€ + 60€ = 90€ Per reunir 90€ ens caldran 18 bitllets de 5€
90 = 5 x 18
Observa que la suma de nombres múltiples de 2 torna a ser un nombre múltiple de 2 i que la suma de nombres múltiples de 5 torna a ser un nombre múltiple de 5. Fixa’t que aquesta propietat sobre els múltiples d’un nombre serà vàlida per a qualsevol altre nombre. Aquesta propietat es pot reescriure per a la resta de múltiples d’un nombre.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Pots comprovar com la suma de múltiples de 3 també és múltiple de 3 i que la resta de múltiples de 3 també és múltiple de 3. Hem vist que la suma de múltiples de 2 és un múltiple de 2, i que la suma de múltiples de 5 és un múltiple de 5. És 2 un divisor d’aquesta suma? I 5? Quina propietat pots escriure sobre els divisors d’un nombre?
3. Nombres compostos Tant en la guardiola de monedes de 2€ com en la guardiola de bitllets de 5€ hi ha reunits un total de 60€. En una guardiola hi tenim 30 monedes de 2€ i en l’altra 12 bitllets de 5€: 60 = 2 x 30 i 60 = 5 x 12. Fixa’t que 60€ també els podem reunir amb 60 monedes d’1€: 60 = 1 x 60. O bé amb 6 bitllets de 10€: 60 = 6 x 10. O bé amb 3 bitllets de 20€: 60 = 3 x 20.
PÀG.82
▼
▼
▼
60 = 4 x 15 5 x 12 6 x 10
Aquestes són totes les descomposicions possibles del nombre 60 com a producte de dos factors. Aquestes descomposicions permeten trobar tots els divisors d’un nombre nombre: cada factor és un divisor:
DIVISIBILITAT
1 x 60 2 x 30 3 x 20
19
UNITAT 1
▼
▼
▼
El nombre 60 es diu que és un nombre compost perquè es pot descompondre de més d’una manera com a producte de dos factors.
Divisors de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
4. Nombres primers En canvi, hi ha nombres que només admeten una sola descomposició com a producte de dos factors. Aquests nombres s’anomenen nombres primers. Per exemple:
Sabries dir si 3 és un nombre primer o no? I 13? Per què? Observa que en els exemples anteriors els únics divisors dels nombres primers són el propi nombre i la unitat. Divisors de 2 = {1, 2 } Divisors de 5 = {1, 5} Divisors de 17 = {1, 17} Deixant de banda l’1, un nombre és primer si només és divisible per ell mateix i per la unitat. L’1 es pot considerar nombre primer o no. Això dependrà de l’autor, de les definicions... o fins i tot de la cultura, com és el cas, per exemple, dels antics grecs, els quals començaven els nombres pel dos, ja que per a ells l’u representava únicament la unitat. De nombres primers n’hi ha infinits. El garbell d’Eratòstenes permet d’una manera senzilla, encara que una mica lenta, aconseguir tots els nombres primers més petits que 100.
PÀG.83
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
ACTIVITAT
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El nombre 2 només es pot descompondre com 2 = 1 x 2. El nombre 5 només es pot descompondre com 5 = 1 x 5. El nombre 17 només es pot descompondre com 17 = 1 x 17.
El garbell d’Eratòstenes: • Elimina el nombre 1, que no el considerarem primer en aquest mòdul. • 2 és un nombre primer. Elimina tots els seus múltiples que, òbviament, no seran nombres primers ja que com a mínim seran divisibles per 2. • 3 és el nombre primer que segueix. Com abans, elimina els seus múltiples. • Fes el mateix amb els nombres primers que segueixen, és a dir, el 5 i el 7. • Un cop hem acabat aquest procés, els nombres que no han estat eliminats són justament els nombres primers més petits que 100. Si anéssim més enllà del 100, continuaríem el procés amb els nombres 11, 13, 17, etc.
5. Descomposició d’un nombre en factors primers Per a molts matemàtics els nombres primers estan considerats els àtoms de la matemàtica. Això es deu al fet que qualsevol nombre enter es pot construir a partir dels nombres primers. Recorda que has pogut reunir 60€ tant en monedes de 2€ com en bitllets de 5€. 2 i 5 són divisors de 60 i al mateix temps 2 i 5 són nombres primers. Fixa’t que es pot construir el nombre 60 de la següent manera: ▼
60 = 2 x 5 x 6 primer
▼
primer
compost
Al mateix temps, el nombre 6 es pot construir de la manera següent: ▼
6=2x3 primer
▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
• Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8, 9 i 10
▼
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 1
DIVISIBILITAT
20
primer
PÀG.84
21
Per tant:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 Descompondre un nombre en factors primers significa expressar aquest nombre en forma de producte de potències de nombres primers. 60 = 22 x 3 x 5 Un mètode que permet descompondre un nombre en factors primers consisteix a dividir aquest nombre pel primer més petit pel qual és divisible. Es fa el mateix amb el resultat obtingut, i així successivament fins que obtenim un 1 en el quocient.
UNITAT 1
O el que és el mateix:
DIVISIBILITAT
60 = 2 x 5 x 2 x 3
La descomposició l’escrivim en forma de producte de potències. Exemple: Descomposició en factors primers del nombre 18. 18 9 3 1
2 3 3
2 és el primer més petit que divideix el 18 3 és el primer més petit que divideix el 9 3 és el primer més petit que divideix el 3
1 18 és divisible per 2 1 18 és divisible per
3 32
Per calcular tots els divisors del nombre 18 anem fent productes dels divisors anteriors: 1= 1 x 1 x 2= 2 x
1=
3
x
2= 6
x
1=
x
2 = 18
3 9
2
3
PÀG.85
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
La descomposició d’un nombre en factors primers permet trobar tots els divisors d’aquest nombre.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
22
Per tant, tots els divisors del nombre 18 són:
UNITAT 1
DIVISIBILITAT
Divisors de 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }. Segur que ja t’has adonat que a diferència del que passa amb el conjunt dels múltiples d’un nombre, el conjunt dels seus divisors no és un conjunt il·limitat. És més, pots trobar tots els divisors d’un nombre, per exemple, a partir de la seva descomposició factorial en nombres primers. • Activitats d’aprenentatge 11, 12 i 13
6. Criteris de divisibilitat Hi ha regles que ajuden a saber si un nombre és divisible per un altre. Això et pot anar molt bé quan hagis de descompondre un nombre en factors primers o quan hagis de trobar-li divisors a un nombre. Aquestes regles s’anomenen criteris de divisibilitat. Aquí en tenim algunes: • Divisibilitat per 2 2: Un nombre és divisible per dos si acaba en zero o en xifra parella. • Divisibilitat per 3 3: Un nombre és divisible per tres si la suma de les seves xifres és múltiple de tres. • Divisibilitat per 4 4: Un nombre és múltiple de quatre quan les seves dues últimes xifres o bé són dos zeros o bé formen un número múltiple de quatre.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
• Divisibilitat per 5 5: Un nombre és múltiple de cinc quan acaba en zero o en cinc. • Divisibilitat per 6 6: Un nombre és divisible per sis quan ho és per tres i per dos. • Divisibilitat per 9 9: Un nombre és divisible per nou quan la suma de les seves xifres és múltiple de nou. • Divisibilitat per 10 10: Un nombre és divisible per deu si acaba en zero. Anàlogament, si acaba en 00 serà divisible per 100, si acaba en 000 serà divisible per mil, etc. • Divisibilitat per 11 11: Un nombre és divisible per onze quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen una posició parella i la suma de les xifres que ocupen una posició senar és múltiple d’onze. • Activitats d’aprenentatge 14 i 15
PÀG.86
Guardiola 2€
Guardiola 5€
1r
2n
3r
5è
10è
15è
20è
25è
2€
4€
6€
10 10€
20€
30€
40€
50€ 60€
1r
2n
3r
4t
5è
6è
8è
5€
10 10€
15€
20€
25€
30€
40€
10è
30è
12è
50€ 60€
En totes dues guardioles hi ha quantitats que es repeteixen: 10€, 20€, 30€, 40€, 50€ i 60€. Per tant, aquestes quantitats es poden reunir tant en monedes de 2€ com en bitllets de 5€. Dit d’una altra manera, els nombres 10, 20, 30, 40, 50 i 60 són múltiples tant de 2 com de 5. Observa que d’entre aquests múltiples comuns el més petit és el nombre 10. Es diu que 10 és el mínim comú múltiple dels nombres 2 i 5. mcm (2, 5) = 10.
UNITAT 1
Torna a mirar-te les dues guardioles del començament: la que conté monedes de 2€ i la que conté bitllets de 5€. Torna a fixar-te en el recompte de diners de cadascuna:
DIVISIBILITAT
23
7. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ells ells. Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica:
El màxim comú divisor de dos o més nombres és el més gran dels divisors comuns de tots ells. Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica: a) descomponem els nombres en factors primers; b) agafem els factors comuns dotats de l’exponent més petit i calculem el seu producte. • Activitats d’aprenentatge 16, 17, 18, 19, 20, 21 i 22
PÀG.87
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Anàlogament es pot definir el màxim comú divisor de dos o més nombres. Imagina que has de reunir 20€ per una banda i 40€ per l’altra. Tant en un cas com en l’altre ho podries fer utilitzant només monedes d’1€, o bé monedes de 2€, o bé bitllets de 5€, o bé de 10€, o bé de 20€. Ara bé, si es vol reunir totes dues quantitats amb la mateixa moneda i utilitzant el mínim de bitllets, és clar que s’haurà de fer amb bitllets de 20€ ja que només caldrà un bitllet per reunir la primera quantitat i 2 bitllets per reunir la segona. De fet, 20 és el màxim comú divisor dels nombres 20 i 40. mcd (20, 40) = 20.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
a) descomponem els nombres en factors primers; b) agafem els factors comuns i no comuns dotats de l’exponent més gran i fem el seu producte.
ACTIVITATS D’APRENENTATGE Activitat 1 Completa els productes següents. a) 0 = 5 x ....
e) 10 = 5 x ....
b) .... = 5 x 3
f) 25 = .... x 5
c) 5 = .... x 1
g) 55 = 5 x ....
d) 30 = 5 x ....
h) 40 = .... x ....
Activitat 2 Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los?
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
24
Activitat 3
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què?
Activitat 4 Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma. ................................
+ ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Què observes? Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfectes. Fes el mateix amb el nombre 6.
PÀG.88
25
Activitat 5
Determina si 440 i 896 són múltiples de 8.
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Digues com podríem saber, amb l’ajut de la calculadora, si un nombre és múltiple d’un altre.
Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què?
UNITAT 1
Activitat 6
Activitat 7 Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de: a) 21 + 54
c) 9 + 6
d) 105 — 72
Activitat 8 Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7. Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i els del segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup?
PÀG.89
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
b) 33 — 12
26
Activitat 9
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Construeix un garbell d’Eratòstenes que contingui els nombres primers més petits que 100.
Activitat 10 Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què?
Activitat 11
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Descompon en factors primers els nombres 48 i 225.
Activitat 12 Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers i reescriu-les en forma de potències. Exemple: 24 = 2 x .... x .... x .... 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 45 = 3 x 5 x .... = .... x .... 156 = 2 x 39 x .... = .... x .... 125 = 5 x 5 x .... = .... 48 = 2 x .... x .... x .... x 3 = .... x ....
PÀG.90
27
Activitat 13
Activitat 14 Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següents són múltiples de 3. 831
119
13
216
UNITAT 1
576
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Troba tots els divisors del nombre 56.
Activitat 15 Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguin divisibles per 11. 21b2
Activitat 16 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 28 i 77
b) 54 i 105
Activitat 17 Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2.
PÀG.91
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1819b
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
b3
28
Activitat 18
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Escriu una parella de nombres primers i calcula’n el mcd i el mcm. Què observes? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers?
Activitat 19 Calcula: a) mcd (3, 17)
b) mcd (13, 21)
c) mcd (15, 14)
Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquests nombres són primers entre ells ells. Activitat 20
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 de residu.
Activitat 21 Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran ho fa cada 3. Cada quants dies coincidirem?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 22 En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients. Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138 pots d’anxoves de l’Escala. Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quants productes de cada hi haurà en una cistella?
PÀG.92
Troba un múltiple i un divisor de cadascun d’aquests nombres. a) 3 b) 11 c) 20 d) 36 e) 52
Activitat 2 Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa 100?
UNITAT 1
Activitat 1
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 29
Activitat 3 Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit.
Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de: 20 + 5 35 — 10 10 + 60 1005 — 70
Activitat 5 Dels nombres següents, digues quins són primers i per què. 13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23
PÀG.93
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 4
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
4, 6, 8, 12, 14, 28
30
Activitat 6
Activitat 7 Troba tots els divisors del nombre 12.
UNITAT 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i 60.
Activitat 8 Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas. a) x2 és divisible per 2 i per 3 b) 52x és divisible per 4 i per 5 c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Activitat 9 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 16 i 32
b) 180 i 45
Activitat 10 El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la feina. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí que sabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquets de 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de 500 anissos. Quants anissos tindrem per repartir?
PÀG.94
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE
31
Completa els productes següents. a) 0 = 5 x .... e) 10 = 5 x .... b) .... = 5 x 3 f) 25 = .... x 5 c) 5 = .... x 1 g) 55 = 5 x .... d) 30 = 5 x .... h) 40 = .... x .... a) 0 = 5 x 0 e) 10 = 5 x 2 b) 15 = 5 x 3 f) 25 = 5 x 5 c) 5 = 5 x 1 g) 55 = 5 x 11 d) 30 = 5 x 6 h) 40 = 5 x 8. Tanmateix, hi ha més solucions. Activitat 2 Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los? 7, 14, 21, 28, 35. Hem calculat els cinc primers múltiples de 7. Per calcular-los es multiplica el nombre 7 pels cinc primers nombres naturals.
UNITAT 1
7x1=7 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 7 x 4 = 28 7 x 5 = 35
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què? La resposta és que sí, perquè de fet 6 és un múltiple de 3, 6 = 3 x 2. Si calculem qualsevol múltiple de 6: 6x1=6 6 x 2 = 12 6 x 3 = 18 6 x 4 = 24 ... .... obtenim el següent: 3x2x1=6 3 x 2 x 2 = 12 3 x 2 x 3 = 18 3 x 2 x 4 = 24 ... .... 3x2=6 3 x 4 = 12 3 x 6 = 18 3 x 8 = 24 ... .... En efecte 6, 12, 18, 24 ..., també són múltiples de 3. PÀG.95
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 3
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Nota: En cas d’haver començat multiplicant per zero els múltiples serien: 0, 7, 14, 21, 28.
32
Activitat 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma. ................................
+ ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
Què observes? Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfectes. Fes el mateix amb el nombre 6. Els divisors de 28 més petits que ell mateix són: 1, 2, 4, 7 i 14. 1
................................
2 4 7 14 28 + ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
S’observa que la suma dels divisors de 28 més petits que ell mateix dóna el propi nombre. 28 és, doncs, un nombre perfecte. Els divisors de 6 més petits que ell mateix són:
UNITAT 1
1, 2 i 3. 1 + 2 + 3 = 6. El nombre 6 és també un nombre perfecte.
Activitat 5 Digues com podríem saber, amb l’ajut de la calculadora, si un nombre és múltiple d’un altre. 2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Determina si 440 i 896 són múltiples de 8. Per saber si un nombre és múltiple d’un altre amb l’ajut de la calculadora, només cal dividir el nombre més gran pel més petit i comprovar que la divisió sigui exacta, és a dir, en el resultat que ens doni la calculadora no ha de sortir cap xifra decimal. Per saber si 440 i 896 són múltiples de 8 amb l’ajut de la calculadora farem els càlculs 440 : 8 i 896 : 8. El primer resultat és exacte: 55. El segon també: 112. Per tant, tots dos nombres, 440 i 896, són múltiples de 8.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 6 Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què? 1 no pot ser múltiple de qualsevol nombre perquè donat un nombre qualsevol, la manera d’obtenir-ne un múltiple és multiplicant aquest nombre per qualsevol natural. Aquest producte mai ens donarà 1 llevat que multipliquem el nombre 1 per ell mateix. Per tant, com a molt podrem dir que 1 és múltiple d’1. En canvi, 1 sí que és divisor de qualsevol nombre ja que si dividim qualsevol nombre per 1, la divisió sempre serà exacta.
PÀG.96
Per resoldre l’activitat utilitzarem les propietats dels múltiples i dels divisors. 21 és divisible per 3 (21 : 3 = 7). 54 és divisible per 3 (54 : 3 = 18). Aleshores la suma, 21 + 54, és divisible per 3. 33 és divisible per 3 (33 : 3 = 11). 12 és divisible per 3 (12 : 3 = 4 ). Aleshores la resta, 33 — 12, és divisible per 3. 9 és divisible per 3 (9 : 3 = 3 ). 6 és divisible per 3 (6 : 3 = 2). Aleshores la suma, 9 + 6, és divisible per 3. 105 és divisible per 3 (105 : 3 = 35). 72 és divisible per 3 (72 : 3 = 24). Aleshores la resta, 105 — 72 és divisible per 3.
Activitat 8 Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7. Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i els del segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup? Divisors de 4 = {1, 2, 4}
UNITAT 1
Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de: a) 21 + 54 b) 33 — 12 c) 9 + 6 d) 105 — 72
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
33
Activitat 7
Divisors de 6 = {1, 2, 3, 6} Divisors de 9 = {1, 3, 9}
Divisors de 3 = {1, 3} Divisors de 5 = {1, 5} Divisors de 7 = {1, 7} Els nombres del segon grup, a diferència dels del primer grup, només tenen dos divisors que són els trivials: la unitat i ells mateixos. Els nombres del segon grup s’anomenen primers.
Activitat 9 Construeix un garbell d’Eratòstenes que contingui els nombres primers més petits que 100. Fet a la unitat didàctica.
Activitat 10 Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què? Sí, només n’hi ha un i és el nombre 2. Tots els altres parells, en ser múltiples de 2, tindran com a divisor el nombre 2, a més d’ells mateixos i de la unitat. Això ja fa un mínim de tres divisors.
PÀG.97
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Divisors de 2 = {1, 2}
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
34
Activitat 11
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Descompon en factors primers els nombres 48 i 225. 48 24 12 6 3 1
2 2 2 2 3
225 75 25 5 1
48 = 24 x 3
225 = 32 x 52
Activitat 12 Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers i reescriu-les en forma de potències. Exemple: 24 = 2 x .... x .... x .... 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 45 = 3 x 5 x .... = .... x .... 312 = 2 x 39 x .... = .... x .... 125 = 5 x 5 x .... = .... 48 = 2 x .... x .... x .... x 3 = .... x ....
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
45 = 3 x 5 x 3 = 32 x 5 156 = 2 x 39 x 2 = 22 x 39 125 = 5 x 5 x 5 = 53 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
3 3 5 5
Activitat 13 Troba tots els divisors del nombre 56. Descomponem 56 factorialment. 56 28 14 7 1
2 2 2 7
56 = 23 x 7
56 és divisible per
56 és divisible per
1 2 22 23 1 7
PÀG.98
35
Escrivim tots els productes: 1 = x 1 x 7 =
7
x
1 =
2
x
7 = 14
x
1 =
x
7 = 28
x
1 =
x
7 = 56
8
23
Divisors de 56 = { 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}
Activitat 14 Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següents són múltiples de 3. 576
831
119
13
216
5 + 7 + 6 = 18. 18 és múltiple de 3. Aleshores 576 és divisible per 3. 8 + 3 + 1 = 12. 12 és múltiple de 3. Aleshores 831 és divisible per 3. 1 + 1 + 9 = 11. 11 no és múltiple de 3. Aleshores 119 no és divisible per 3. 1 + 3 = 4. 4 no és múltiple de 3. Aleshores 13 no és divisible per 3. 2 + 1 + 6 = 9. 9 és múltiple de 3. Aleshores 216 és divisible per 3.
Activitat 15 Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguin divisibles per 11. 21b2
b3
1819b
21b2. b = 1 ja que (1+2) – (2+1) = 3 – 3 = 0 que és múltiple d’11. Resultat: 2112 b3. b = 3 ja que 3 – 3 = 0 que és múltiple d’11. Resultat: 33 1819b. b = 4 ja que (8+9) – (1+1+4) = 17 – 6 = 11 que és múltiple d’11. Resultat: 18194
PÀG.99
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
4
22
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
1
36
Activitat 16
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 28 i 77 28 14 7 1
b) 54 i 105 2 2 7
77 11 1
28 = 22 x 7
7 11
77 = 7 x 11
mcd (28,77) = 7 mcm (28,77) = 22 x 7 x 11 = 308 b) 54 27 9 3 1
2 3 3 3
105 35 7 1
54 = 2 x 33
3 5 7
105 = 3 x 5 x 7
mcd (54,105) = 3 mcm (54, 105) = 2 x 33 x 5 x 7 = 1890
Activitat 17
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2. Exemples de parelles: 4i6 14 i 18 34 i 22 10 i 12 etc.
Activitat 18 Escriu una parella de nombres primers i calcula’n el mcd i el mcm. Què observes? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers? Per exemple: 7 és primer i 13 també és primer. mcd (7,13) = 1 mcm (7,13) = 7 x 13 = 91 Observació: el mcd és 1 i el mcm és el producte de tos dos nombres. Això passarà sempre amb qualsevol parella de nombres primers pel fet de no tenir divisors comuns.
PÀG.100
37
Activitat 19
b) mcd (13, 21)
c) mcd (15, 14)
Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquests nombres són primers entre ells ells. a) mcd (3, 17) = 1. 3 i 17 són nombres primers entre ells. b) mcd (13, 21) = 1. 13 i 21 són nombres primers entre ells. c) mcd (15, 14) = 1. 15 i 14 són nombres primers entre ells. Activitat 20 Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 de residu. Es calcula el mcm de 3, 15 i 18. A aquest resultat se li suma 2. D’aquesta manera s’aconsegueix que la divisió entre 3, 15 i 18 no sigui exacta i que a més doni 2 de residu. mcm (3, 15, 18) = 32 x 5 x 2 = 90 90 + 2 = 92 Activitat 21 Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran ho fa cada 3. Cada quants dies coincidirem?
UNITAT 1
a) mcd (3, 17)
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Calcula:
És clar que anirem coincidint cada múltiple de 2 i de 3 setmanes a la vegada. Només cal calcular el múltiple comú més petit de 2 i de 3.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Coincidirem amb el nostre germà cada 6 setmanes o, el que és el mateix, cada 42 dies.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
mcm (2,3) = 6
PÀG.101
Activitat 22 En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients. Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138 pots d’anxoves de l’Escala. Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quants productes de cada hi haurà en una cistella? Tots aquests productes s’han de repartir entre un nombre determinat de cistelles. Per tant, el nombre de cistelles haurà de ser un divisor comú a 92, 230 i 138. Calculem, doncs, el mcd. mcd (92, 230, 138) = ? 92 46 23 1
2 2 23 1
92 = 22 x 23
230 115 23 1
2 5 23
230 = 2 x 5 x 23
138 69 23
2 3 23
138 = 2 x 3 x 23
mcd (92, 230, 138) = 2 x 23 = 46 Podrem muntar sense que sobri cap producte 46 cistelles i en cada cistella hi haurà: 2 ampolles de cava ( 92 : 46 = 2 ) 5 capses de neules ( 230 : 46 = 5 ) 3 pots d’anxoves de l’Escala ( 138 : 46 = 3 ).
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
38
PÀG.102
Activitat 1 Troba un múltiple i un divisor de cadascun d’aquests nombres. a) 3
b) 11
c) 20
d) 36
e) 52
Nombre
Múltiple
Divisor
3
6
3
11
22
11
20
40
5
36
72
4
52
104
2
Activitat 2
UNITAT 1
Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa 100?
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 39
17 x 1 = 17 17 x 2 = 34 17 x 3 = 51 17 x 4 = 68 17 x 5 = 85 17 x 6 = 102 17 x 7 = 119
Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit. 4, 6, 8, 12, 14, 28 Els nombres divisors de 28 són 4, 14 i 28. Comprovem que en efecte les divisions són exactes: 28 : 4 = 7 28 : 14 = 2 28 : 28 = 1 Activitat 4 Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de: 20 + 5 35 — 10 10 + 60 1.005 — 70 20 és divisible per 5. 5 és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per 5. 35 és divisible per 5. 10 és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per 5. 10 és divisible per 5. 60 és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per 5. 1.005 és divisible per 5. 70 és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per 5. PÀG.103
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 3
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El múltiple de 17 que fa 10 serà: 17 x 10 = 170. El múltiple de 17 que fa 100 serà: 17 x 100 = 1.700.
40
Activitat 5
UNITAT 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Dels nombres següents, digues quins són primers i per què. 13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23 13, 17, 97, 101, 3, 19 i 23 són nombres primers perquè tots ells tenen com a únics divisors ells mateixos i la unitat.
Activitat 6 Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i 60. 6 3 1
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
8 4 2 1
2 2 2
8 = 23
6=2x3
Activitat 7 Troba tots els divisors del nombre 12. Descomponem el nombre 12 factorialment: 12 6 3 1
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2 3
2 2 3
12 = 22 x 3 12 és divisible per
1 2 22 1
12 és divisible per
3
Escrivim tots els productes: x
1 =
1
x
3 =
3
x
1 =
2
x
3 =
6
x
1 =
4
x
3 = 12
1
2
2
2
Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
PÀG.104
60 30 15 5 1
2 2 3 5
60 = 22 x 3 x 5
41
Activitat 8
a) x = 1, x = 4, x = 7 .... b) x = 0 c) x = 2, x = 5, x = 8 ....
Activitat 9 Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres. a) 16 i 32 a)
16 8 4 2 1
b) 180 i 45 2 2 2 2
32 16 8 4 2 1
16 = 24
2 2 2 2 2 32 = 25
UNITAT 1
a) x2 és divisible per 2 i per 3 b) 52x és divisible per 4 i per 5 c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas.
mcd (16,32) = 24 = 16 mcm (16,32) = 25 = 32 2 2 3 3 5
45 15 5 1
180 = 22 x 32 x 5
3 3 5
45 = 32 x 5
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
mcd (180,45) = 32 x 5 = 45 mcm (180,45) = 22 x 32 x 5 = 180
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
b) 180 90 45 15 5 1
PÀG.105
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
42
Activitat 10 El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la feina. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí que sabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquets de 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de 500 anissos. Quants anissos tenim per repartir? Si podem fer saquets d’anissos de 12, 15 i 14 unitats sense que en sobri cap és perquè el nombre d’anissos serà un múltiple comú de 12, 15 i 14. De múltiples comuns sabem calcular el més petit. Calculem-lo a veure què passa. 12 = 22 x 3 15 = 3 x 5 14 = 2 x 7 mcm (12, 15, 14) = 22 x 3 x 5 x 7 = 420. 420 és un resultat que ens va bé perquè és inferior a 500. Qualsevol altre múltiple comú ja estaria per sobre de 500 ja que pel nombre més petit que podem multiplicar 420 és 2 i el resultat, 840, supera 500.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 1
Tindrem, doncs, 420 anissos per repartir.
PÀG.106
has treballat?
UNITAT 1
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
43
Nombres primers i nombres compostos
Propietats
Descomposició en factors primers
Criteris de divisibilitat
Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Múltiples i divisors
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
DIVISIBILITAT
PÀG.107
UNITAT 1
COM HO PORTO?
44
com ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé Reconèixer i calcular múltiples i divisors d’un nombre.
Distingir nombres compostos i nombres primers. Aplicar criteris de divisibilitat. Descompondre un nombre en factors primers. Resoldre problemes senzills mitjançant el càlcul del mcd i el mcm.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Aplicar les propietats dels múltiples i divisors d’un nombre.
PÀG.108
A mitges
Malament
Unitat 5 ELS RACIONALS
MATEMÀTIQUES I PÀG.109
què treballaràs?
En acabar la unitat has de ser capaç de: · Representar mitjançant les fraccions quantitats o relacions entre quantitats. Representar nombres racionals sobre la recta numè· rica. · Comparar i ordenar fraccions. · Reconèixer i calcular fraccions equivalents. · Operar amb fraccions. · Operar amb nombres decimals. · Aproximar nombres decimals per arrodoniment i per truncament. Conèixer l’existència de nombres que no provenen de · cap fracció.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 2
QUÈ TREBALLARÀS?
46
PÀG.110
47
1. Els nombres racionals. Concepte de fracció
1
2
3
4
5
—5
—5
?
?
?
—1
—4
—4
—2
?
—1
?
—3
—3
?
—1
?
?
—2
—2
—1
?
?
?
—1
—1
?
?
?
?
0
0
0
0
0
0
1
1
?
?
?
?
2
2
1
?
?
?
3
3
?
1
?
?
4
4
2
?
1
?
5
5
?
?
?
1
Mitjançant les fraccions es troba la solució a aquestes divisions que no són exactes. :
1
2
3
4
5
—5
—5
—5/2 —5/3 —5/4
—1
—4
—4
—3
—3
—3/2
—1
—2
—2
—1
—2/3
—2/4 —2/5
—1
—1
—1/2
—1/3
—1/4
—1/5
0
0
0
0
0
0
1
1
1/2
1/3
1/4
1/5
2
2
1
2/3
2/4
2/5
3
3
3/2
1
3/4
3/5
4
4
2
4/3
1
4/5
5
5
5/2
5/3
5/4
1
—2 —4/3
—1 —4/5 —3/4
—3/5
El conjunt dels nombres racionals està format pels nombres enters i per les fraccions i es representa amb la lletra Q. Q= {...., —3/2,...., —1,...., —1/2,...., 0,...., 1/2,...., 1,...., 3/2,....} PÀG.111
UNITAT 2
:
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Els nombres 1/4, 1/2 i 2/10 tenen tots tres la mateixa expressió: a/b a/b. Aquests tipus de nombres s’anomenen fraccions fraccions. La divisió dins del conjunt dels nombres enters només és possible quan la divisió és exacta.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Ingredients (per a 6 persones) 1/4 quilo de sucre 1/2 litre d’aigua 2/10 litres de suc de llimona
ELS RACIONALS
Xarrup de llimona
En el conjunt dels nombres racionals l’operació divisió sempre té solució. El quocient de dos nombres racionals sempre és un altre nombre racional. En aquest sentit, una fracció pot representar simplement la divisió entre dos nombres enters enters. Però una fracció pot representar també una part de la unitat o una part del conjunt total total. Imagina que el dia del teu aniversari et gastes 12€ en un pastís que compartiràs amb els teus amics. Com que sou 6 persones en total, dividiràs el pastís en 6 trossos iguals, naturalment.
UNITAT 2
ELS RACIONALS
48
En canvi, el gràfic següent representa la part de pastís que no es consumirà. Dit d’una altra manera, aquest gràfic representa la fracció 2/6.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El que passa és que dos dels teus amics no en volen, de pastís, per allò del règim. Fixa’t que la fracció 4/6 representa els trossos de pastís que us menjareu, de 6 que n’hi ha en total.
PÀG.112
49
UNITAT 2
ELS RACIONALS
En termes econòmics hauràs malgastat 4€ ja que hauràs de llençar dos trossos de pastís i fixa’t que cada tros té un valor de 2€.
Com que no es consumeixen 2/6 parts de pastís, es malgastaran 2/6 parts de 12 12€. I acabem de veure que 2/6 parts de 12€ són 4€. 2/6 de 12€ = 4€ Una manera ràpida de fer aquests càlculs és: 2/6 de 12 =
2x12 6
=4
10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents. En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters. Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa. 10 16
=
numerador denominador
El numerador i el denominador són nombres enters enters.
· Activitats d’aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5
PÀG.113
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Sovint en les retransmissions dels partits de bàsquet per la televisió s’ofereixen unes dades numèriques en forma de fracció que indiquen els encerts a cistella respecte dels intents d’alguns jugadors. Per exemple: 10 de 16 cistelles de 2 punts vol dir que, del total d’intents que ha fet el jugador, en aquest cas 16, n’ha encertat només 10. És a dir, 16 és el total d’intents i 10 una part d’aquests intents. Aquesta informació es representa de la forma 10/16.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
és a dir, es multiplica el numerador pel total, que en aquest cas és 12, i es divideix pel denominador.
50 2. Comparació i ordenació de fraccions
UNITAT 2
ELS RACIONALS
Compara els encerts d’aquests dos jugadors de bàsquet: El jugador núm. 15 ha fet 7 cistelles de 10 intents. El jugador núm. 7 n’ha fet 3 de 5. Quin dels dos jugadors ha fet més cistelles respecte dels intents? Per poder comparar les fraccions cal ordenar-les. L’ordenació de fraccions no és tan immediata com la de nombres enters. 7/10 és més gran o més petit que 3/5? Per poder ordenar fraccions han de tenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a denominador comú comú.. Un cop s’està en aquesta situació, només cal comparar els numeradors: el numerador més gran correspondrà a la fracció més gran i el numerador més petit correspondrà a la fracció més petita. Per reduir les fraccions a denominador comú se segueixen els passos següents: 1) Es calcula el mínim comú múltiple dels denominadors de les fraccions. Les fraccions que volem comparar són 7/10 i 3/5. Els denominadors de cadascuna de les fraccions són 10 i 5. Per tant, s’ha de calcular el mcm (10,5). Si ho calcules veuràs que el mcm és 10. 10 serà el nou denominador en totes dues fraccions. 2) Es divideix el mcm pel denominador de cada fracció i es multiplica el quocient que s’obté pel numerador. 7 10
=
10:10x7
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
3
10
7
=
10
10:5x3 =
5
6 =
10
10
Per comparar 7/10 i 3/5 només cal comparar els numeradors de les fraccions reduïdes a denominador comú: 7/10 i 6/10. Com que 7 és més gran que 6 aleshores 7/10 és més gran que 6/10. Equivalentment 7/10 és més gran que 3/5. El jugador núm. 15 ha fet més cistelles respecte dels intents que el jugador núm. 7. 6/10
| 0
| 1/10
| 2/10
| | | 3/10 4/10 5/10
7/10
| | · · 6/10 7/10
| 8/10
| 9/10
| 1
Imagina que tens tres gots amb diferents quantitats d’aigua: 1/4 de litre, 2/4 de litre i 3/4 de litre. | 0
·1/4| 2/4·| 3/4 ·|
| 1
Fixa’t que aquestes quantitats no superen la unitat que en aquest cas és 1 litre d’aigua.
PÀG.114
3. Operacions amb fraccions Per sumar les fraccions d’abans, 1/4, 2/4 i 3/4, com que tenen el mateix denominador, només cal sumar els numeradors. 1
+
4
2
+
4
3
1+2+3
=
4
ELS RACIONALS
· Activitats d’aprenentatge 6, 7 i 8
51
UNITAT 2
Observa que per les fraccions que has vist fins ara sembla que aquestes no hagin de superar mai la unitat. Però no sempre és així. Si agafem els tres gots d’abans i els aboquem en una ampolla d'1 litre, aquesta vessarà, ja que si sumem un quart, més dos quarts, més tres quarts, ens donarà sis quarts, i això és més d’un litre d’aigua ja que un litre són quatre quarts de litre. Quan les fraccions tenen el numerador més gran que el denominador, llavors superen la unitat.
6
=
4
4
Segur que algun cop has comprovat que si a mig litre d’aigua n’hi afegeixes un quart, obtens 3/4 de litre d’aigua. Si escrivim això en forma de fraccions es té: 1/2+1/4=3/4 Sabem el resultat, però aquesta vegada com s’han fet els càlculs? Com que les fraccions 1/2 i 1/4 tenen diferent denominador, 2 i 4, el que fem és reduir-les a denominador comú. S’ha de calcular el mcm (2,4). Pots comprovar que dóna 4. 4:2x1
2 1
=
4 =
4
4:4x1
4
2
=
4
1 4
Per tant: 1
+
2
1
=
4
2
+
4
1
=
4
3 4
Si et beus 1/4 de litre de refresc de cola d’una ampolla de litre et queden encara 3/4 de litre de refresc per consumir. Per expressar els càlculs corresponents es pot representar 1 litre de refresc de cola mitjançant la fracció 1/1, ja que si interpretem la fracció com el quocient entre dos nombres el resultat és el nombre sencer 1. 1—
1 4
=
1 1
—
1 4
=
3 4
Com abans, sabem el resultat, però com s’han fet els càlculs?
PÀG.115
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
=
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1
ELS RACIONALS
52
Com en la suma, per restar fraccions de diferent denominador es redueixen a denominador comú. En aquest cas cal calcular el mcm (1,4) que és evident que dóna 4. 1 1
1
=
4
4:1x1
—
4
1
=
4
4
—
4
1
=
4
3 4
El doble de 1/2 litre d’aigua és un litre d’aigua. La meitat de 1/2 litre d’aigua és 1/4 de litre d’aigua. 1
UNITAT 2
—
x 2 = 1 litre
2 1
: 2=
2
1
litre
4
Com es fan aquests càlculs? Per multiplicar fraccions només cal multiplicar els numeradors i multiplicar els denominadors.
a b
x
c d
=
ax c bxd
En l’exemple d’abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que: 1
x
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
2
2
=
1x2
1
=
2x1
2
=1 litre
2
Per dividir dues fraccions se li multiplica a la primera fracció la segona però amb el numerador i el denominador invertits:
a b
:
c d
=
a b
x
d c
En l’exemple d’abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que: 1
:
2
2
=
1
1 2
x
1 2
=
1
litre
4
· Activitats d’aprenentatge 9 i 10
4. Fraccions equivalents Si en una ampolla d’un litre d’aigua buida s’aboca primer 1/4 de litre d’aigua i seguidament un altre 1/4 de litre d’aigua s’obté 1/2 litre d’aigua. Si fem els càlculs corresponents es té que: 1 4
+
1 4
=
2 4 PÀG.116
Aleshores, perquè 2/4 de litre d’aigua i 1/2 litre d’aigua és el mateix?
53
Fixa’t que: 2
1x2
=
4
2x2
Per trobar fraccions equivalents a una altra, només cal multiplicar-li el numerador i el denominador pel mateix nombre. En aquest cas hem multiplicat pel nombre 2. 3
1x3
=
6
2x3
En aquest cas hem multiplicat pel nombre 3. Per tant, 1/2 i 3/6 també són fraccions equivalents. Una manera ràpida d’identificar si una parella de fraccions són equivalents és multiplicant-les en creu. Si s’obté el mateix producte és senyal que són equivalents lents:
a b
=
c d
són equivalents si: a x d = b x c
· Activitats d’aprenentatge 11 i 12 PÀG.117
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total segons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalents equivalents..
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Per comptes de dividir el litre en quatre quarts, el dividim en dues meitats. De fet, un litre també és dos mitjos litres. Observa que la part plena de l’ampolla corresponent a 2/4 de litre coincideix amb una part de les dues que hem fet ara.
UNITAT 2
ELS RACIONALS
Fixa’t en el gràfic que representa l’ampolla plena amb 2/4 de litre d’aigua.
UNITAT 2
ELS RACIONALS
54 5. Els nombres decimals Des de l’arribada de l’euro, els nombres decimals estan presents en la nostra vida. Els preus dels productes són de la forma: 12,23€, 10,50€, 4,05€, etc. A no ser que el preu sigui exacte. En aquest cas 12,00€ són directament 12€. Les monedes de l’euro han de permetre la construcció de qualsevol import amb una exactitud de dos decimals. Les monedes que permeten construir la part decimal dels imports són: 1 cèntim = 0,01 euros 2 cèntims = 0,02 euros 5 cèntims = 0,05 euros 10 cèntims = 0,1 euros 20 cèntims = 0,2 euros 50 cèntims = 0,5 euros El que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent parts parts. Cada una d’aquestes parts s’anomena cèntim. El valor d’aquestes monedes es pot expressar amb fraccions: la unitat, 11€ són 100 cèntims cèntims. Aleshores la moneda d’1 cèntim d’euro es pot expressar com 1 cèntim entre 100 cèntims, la moneda de 2 cèntims es pot expressar com 2 entre 100, etc.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
1 cèntim = 1/100 € 2 cèntims = 2/100 € 5 cèntims = 5/100 € 10 cèntims = 10/100 € 20 cèntims = 20/100 € 50 cèntims = 50/100 € Aquestes fraccions s’anomenen fraccions decimals perquè tenen com a denominador la unitat seguida de zeros. Fixa’t que els nombres decimals estan relacionats amb les fraccions fraccions. Les unitats decimals són: 1/10 = 0,1, què és la dècima 1/100 = 0,01, què és la centèsima i 1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima. Així, el número: 0,386 té 3 dècimes, 8 centèsimes i 6 mil·lèsimes. 0,386 es llegeix tres-centes vuitanta-sis mil·lèsimes.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Recorda que 1€ equival a 166,386 pessetes.
6. Aproximacions de nombres decimals La conversió de pessetes a euros es fa per arrodoniment arrodoniment. Quan es divideix una quantitat de pessetes per 166,386 per saber quants euros són, de vegades surten quantitats amb una cua molt llarga de decimals. Però l’euro només treballa amb dues xifres decimals. Per arrodonir una cua de decimals a les centèsimes, ens fixem en la xifra de les mil·lèsimes. Si és més petita que 5 mantenim la xifra de les centèsimes, i si és igual que 5 o més gran augmentem una unitat la xifra de les centèsimes. PÀG.118
Per exemple: El preu d’una entrada de cinema en pessetes són 700 pts. En euros són 4,21€.
55
Com que la xifra de les mil·lèsimes és un 7, que és més gran que 5, la xifra de les centèsimes, que és 0, augmenta en una unitat i passa a ser un 1. Per tant, 4,2070847... s’arrodoneix a 4,21. Una altra tècnica d’aproximació d’un nombre decimal a les unitats que ens interessi és el truncament truncament. Per exemple, per truncar el nombre 166,386 per les centèsimes s’escriu el nombre fins a les centèsimes i se n’eliminen les xifres de la dreta: 166,38.
UNITAT 2
700 : 166,386 = 4,2070847....
ELS RACIONALS
Si fem els càlculs:
ACTIVITAT Com seria el nombre 166,386 arrodonit a les centèsimes? Solució 166,39
7. Suma i resta de nombres decimals
Dit d’una altra manera: 0,20€ + 0,10€ + 0,10€ + 0,05€ = 0,45€ 0,45€ és una altra manera de donar el preu de la barra de pa. Fixa’t que per pagar la barra de pa s’han de sumar nombres decimals. Si es paga la barra de pa amb una moneda d’1€, el canvi serà de 55 cèntims ja que 1€ equival a 100 cèntims i per tant: 100 cèntims — 45 cèntims = 55 cèntims. Dit d’una altra manera: 1€ — 0,45€ = 0,55€. Fixa’t que per tornar el canvi s’han de restar nombres decimals.
· Activitats d’aprenentatge 13 i 14
PÀG.119
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
20 cèntims + 10 cèntims + 10 cèntims + 5 cèntims = 45 cèntims.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El preu d’una barra de pa és de 45 cèntims. Aquesta quantitat es pot pagar amb una moneda de 20 cèntims, dues monedes de 10 cèntims i finalment una moneda de 5 cèntims. Amb aquestes monedes s’abona l’import exacte.
UNITAT 2
ELS RACIONALS
56 8. El nombre ∏ Si fem la divisió entre el numerador i el denominador d’una fracció, la majoria de les vegades ens donarà un nombre decimal llevat que ens doni directament un nombre enter. En canvi, no tots els nombres decimals es poden posar en forma de fracció. El nombre Π és un d’aquests nombres. L’origen del nombre Π s’ha de buscar en el càlcul de la longitud de la circumferència. Aquest càlcul fou una obsessió per a Arquimedes, màxima figura de la matemàtica grega. Des de feia força temps ja es va veure que la relació entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre donava sempre el mateix nombre. Aquesta relació es pot expressar en forma de fracció. En el numerador apareix la longitud de la circumferència i en el denominador el seu diàmetre: L/d. A aquest valor, se’l va anomenar nombre d’Arquimedes i resultava molt difícil de calcular perquè la divisió no era exacta. Avui dia sabem que el nombre Π no prové de cap fracció i que està format per una cua amb infinits decimals. Gràcies als ordinadors s’han pogut trobar més de mil milions de xifres decimals d’aquest nombre i es continua investigant.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Π = 3,14159265358979...
PÀG.120
Activitat 1
UNITAT 2
Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents:
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 57
Activitat 2
Mitja hora, quina fracció representa respecte d’una hora? I tres quarts d’hora? I 40 minuts?
Activitat 4 Completa els espais en blanc: .......
2
de 10 és 5
de ............ és 8 5
2
3
3 de 10 és 5
de ............ és 9 .......
7 PÀG.121
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 3
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total.
58
Activitat 5
Activitat 6 Dibuixa una recta horitzontal. Marca el —1, el 0 i l’1. Després marca els nombres següents: —1/3 i 3/4.
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Quants diners són 2/3 de 600€?
Activitat 7 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents: a) 1/7, 9/7, 3/7 b) —2/5, 1/5
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
c) 1/2, 2/5, 1/3
Activitat 8 En un concurs de menjadors de calçots un participant s’ha menjat 1/8 part dels calçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n’ha menjat 2/9 parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total es disposava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s’ha menjat cada participant?
Activitat 9 Calcula el doble de les fraccions següents: 1/2, 3/4, 1/12, 5/10.
PÀG.122
59
Activitat 10
1/2
1/3
x
3/4
3/2
3/2
2/3
2/3
1/4
1/4
1/2
1/3
3/4
Activitat 11 Completa la següent sèrie de fraccions equivalents: 30 = 48
...... 144
=
...... 8
15 = ......
Activitat 12 Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents: 39
21
100
15
500
i
13
10
65
12
i
5 6
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
26
i
UNITAT 2
+
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Completa les taules segons l’operació que s’indica:
Un menú de restaurant abans costava 1.000 pessetes. Quin és actualment el preu d’aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10€, quants euros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)
PÀG.123
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 13
60
Activitat 14 0,0056 = 166,386 = 4,012 =
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 2
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals:
PÀG.124
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobre la recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1. 3/4, 3/2, 1/4, 1/2.
Activitat 2 D’1/2, quants quarts se’n treuen?
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
61
UNITAT 2
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 3 Indica quina fracció d’un bitllet de 10€ representa: a) Una moneda d’1€ b) Una moneda de 2€
Del nombre 36 escriu el que val: La meitat Un terç Un quart I una novena part
Activitat 5 Les 3/5 parts d’una garrafa de vi s’emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 parts amb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s’ha emplenat amb aquesta mescla?
PÀG.125
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 4
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
c) Un bitllet de 5€
62
Activitat 6
2 9
i
2x5
7
9x5
2
i
7x3 2x3
Quina propietat observes?
Activitat 7 El preu d’uns texans abans era de 6.000 pessetes. Quin és actualment el seu preu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50€, quin serà el canvi? (S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 2
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Són equivalents les parelles de fraccions següents?
PÀG.126
Activitat 1 Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents: a)
a)
1
b)
4
b)
2 8
c)
c)
4 6
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 63
En efecte la figura inicial representa les 3/6 parts del total del rectangle.
Activitat 3 Mitja hora, quina fracció representa respecte d’una hora? I tres quarts d’hora? I 40 minuts? Mitja hora: 1/2 Tres quarts d’hora: 3/4 40 minuts: 40/60. Recorda que una hora són 60 minuts.
PÀG.127
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Si es completa la figura anterior amb tres quadrats més s’obté un rectangle dividit en sis parts iguals:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total.
UNITAT 2
Activitat 2
64
Activitat 4
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Completa els espais en blanc: 2
1
de 20 és 8
de 10 és 5
2
5
3
3
de 21 és 9
7
de 10 és 15
2
Activitat 5 Quants diners són 2/3 de 600€? 2
de 600 =
2x600
3
1200
=
3
= 400
3
2/3 de 600€ són 400€.
Activitat 6 Dibuixa una recta horitzontal. Marca el –1, el 0 i l’1. Després marca els nombres següents: —1/3 i 3/4.
·—1|
·—1|
| —2/3
| —1/3
·0|
| 1/3
| 2/3
·|1
|
|
·0|
|
|
|
1/4
2/4
3/4
·1|
|
—3/4 —2/4
—1/4
Activitat 7 Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. a) 1/7, 9/7, 3/7 b) –2/5, 1/5 c) 1/2, 2/5, 1/3 a) 1/7 < 3/7 < 9/7 b) –2/5 < 1/5 c) mcm (2,5,3) = 30
1 2
=
15
2
30
5
=
12
1
30
3
10/30 < 12/30 < 15/30 Per tant: 1/3 < 2/5 < 1/2
PÀG.128
=
10 30
En un concurs de menjadors de calçots un participant s’ha menjat 1/8 part dels calçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n’ha menjat 2/9 parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total es disposava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s’ha menjat cada participant? Per comparar 1/8 i 2/9 s’han de reduir les fraccions a denominador comú. mcm (8,9) = 72 1
=
8
9
2
72
9
=
16 72
16/72 és més gran que 9/72. Per tant 2/9 és més gran que 1/8. 1
de 720 =
8
1x720
2
= 90
8
de 720 =
2x720
9
= 160
9
Els participants s’han menjat 90 i 160 calçots respectivament.
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
65
Activitat 8
Calcula el doble de les fraccions següents: 1/2, 3/4, 1/12, 5/10. 2x
1
=
2
2
=1
2x
2
3
=
4
6 4
2x
1 12
=
2
2x
12
5 10
=
10 10
=1
UNITAT 2
Activitat 9
+
1/2
1/3
3/4
x
1/2
1/3
3/4
3/2
2
11/6
9/4
3/2
3/4
3/6
9/8
2/3
7/6
1
17/12
2/3
2/6
2/9
6/12
1/4
3/4
7/12
1
1/4
1/8
1/12
3/16
Activitat 11 Completa la següent sèrie de fraccions equivalents: 30 48
=
90 144
=
5 8
=
15 24
PÀG.129
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Completa les taules segons l’operació que s’indica:
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Activitat 10
66
Activitat 12
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents: 39 26
i
21
100
15
500
i
13
10
65
12
i
5 6
Usarem la propietat a/b = c/d (són equivalents) 39 26
i
21 15
vol dir a x d = b x d
39 x 15 = 585 26 x 21 = 546
39/26 i 21/15 no són fraccions equivalents. 100 500
i
13 100 x 65 = 6.500 65 500 x 13 = 6.500
100/500 i 13/65 són fraccions equivalents. 10 12
i
5
10 x 6 = 60 12 x 5 = 60
6
10/12 i 5/6 són fraccions equivalents.
Activitat 13 Un menú de restaurant abans costava 1.000 pessetes. Quin és actualment el preu d’aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10€, quants euros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (s’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. (Pots utilitzar la calculadora).
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Per saber quants euros són 1.000 pessetes hem de dividir: 1000 : 166,386 = 6,010121 .... Si arrodonim a les centèsimes tenim que 1.000 pts. = 6,01€. 10 – 6,01 = 3,99 Si paguem amb un bitllet de 10€ el canvi serà de 3€ i 99 cèntims.
Activitat 14 Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals: a) 0,0056 = 0,01
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
b) 166,386 = 166,39 c) 4,012 = 4,01
PÀG.130
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobre la recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1. 3/4, 3/2, 1/4, 1/2. mcm (2,4) = 4 Reduïm les fraccions a denominador comú: 3/4 3/2 = 6/4 1/4 1/2 = 2/4 Si ordenem de més petit a més gran fixant-nos en els numeradors tenim que: 1/4 < 2/4 < 3/4 < 6/4 Per tant: 1/4 < 1/2 < 3/4 < 3/2 0 |
1/4 |
1/2 |
3/4 |
1 |
3/2 |
UNITAT 2
Activitat 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 67
Activitat 2 D’1/2, quants quarts se’n treuen?
1 2
1
:
4
=
1 2
x
4 1
=
4
=2
2
1/2 conté dos cops 1/4.
Activitat 3 Indica quina fracció d’un bitllet de 10€ representa: a) Una moneda d’1€ b) Una moneda de 2€ c) Un bitllet de 5€
a) 1/10 b) 2/10 c) 5/10
PÀG.131
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
També es pot resoldre mitjançant una divisió:
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
D’1/2 es treuen dos quarts ja que si d’un litre d’aigua es treuen quatre quarts de litre, de mig litre d’aigua es trauran dos quarts de litre.
68
Activitat 4
UNITAT 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Del nombre 36 escriu el que val: La meitat Un terç Un quart I una novena part La meitat de 36 1
de 36 =
2
Un terç de 36 36
1
= 18
2
3
Un quart de 36 1
de 36 =
36
Una novena part de 36
de 36 =
4
36
1
=9
4
de 36 =
9
36
Les 3/5 parts d’una garrafa de vi s’emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 parts amb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s’ha emplenat amb aquesta mescla? mcm (5,7) = 35 2
+
5
7
=
21 35
+
10
=
35
31 35
S’han emplenat 31/35 parts de la garrafa amb aquesta mescla. Activitat 6 2. ECONOMIA DOMÈSTICA
=4
9
Activitat 5
3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
= 12
3
Són equivalents les parelles de fraccions següents? 2
i
9
2x5
7
9x5
2
7x3
i
2x3
Quina propietat observes? 2
i
9
2x5
2x5
9x5
9x5
=
10 45
? 2/9 = 10/45 2 x 45 = 90 9 x 10 = 90 Per tant 2/9 = 10/45. 7 2
i
7x3
7x3
2x3
2x3
=
21 6
? 7/2 = 21/6 7 x 6 = 42 2 x 21 = 42 Per tant 7/2 = 21/6. PÀG.132
Activitat 7 El preu d’uns texans abans era de 6.000 pessetes. Quin és actualment el seu preu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50€, quin serà el canvi? (S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.) 6.000 : 166,386 = 36,06072... Si arrodonim a les centèsimes 6.000 pessetes. són 36,06€.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 2
50 — 36,06 = 13,94 Si paguem amb un bitllet de 50€ el canvi serà de 13€ i 94 cèntims.
69 SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
La propietat que s’observa és que en multiplicar el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix nombre s’obté una altra fracció que és equivalent a la primera.
PÀG.133
has treballat?
UNITAT 2
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
71
NOMBRES RACIONALS
Comparació i ordenació
Fraccions equivalents
Operacions (+, —, x, :)
Expressió
Operacions (+, —)
PÀG.134
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Expressió i representació
DECIMALS
Aproximació
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
FRACCIONS
UNITAT 2
COM HO PORTO?
72
com ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé Representar mitjançant les fraccions quantitats o relacions entre quantitats.
Comparar i ordenar fraccions. Identificar i calcular fraccions equivalents. Operar amb fraccions. Operar amb decimals. Aproximar decimals per arrodoniment i per truncament.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Representar sobre la recta numèrica nombres racionals.
PÀG.135
A mitges
Malament
Unitat 6 PROPORCIONALITAT
MATEMÀTIQUES I PÀG.136
UNITAT 3
QUÈ TREBALLARÀS?
74
què
treballaràs?
En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Diferenciar entre raó de proporció i proporcionalitat. · Calcular les mides reals a partir de representacions
· · · ·
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
·
a escala. Calcular les mides a escala de distàncies reals per elaborar plànols, mapes, etc. Utilitzar la propietat fonamental de les proporcions. Trobar dades mitjançant la regla de tres. Calcular percentatges. Trobar dades reals en casos concrets a partir dels seus percentatges.
PÀG.137
1. Raó i proporcions
Dry Martini 1 Part de vermut blanc 3 Parts de ginebra 1 Oliva Fixa’t que per preparar el Dry Martini hauríem de barrejar, en una coctelera amb gel, 1 part de vermut blanc i tres de ginebra. Això ho podríem escriure en forma de fracció: Parts de vermut blanc
1 =
Parts de ginebra
3
UNITAT 3
El Dry Martini és un còctel que es prepara barrejant ginebra amb una quantitat variable de vermut blanc i que s’acostuma a adornar amb una oliva o un trosset de pell de llimona. Existeixen, doncs, moltes variants del Dry Martini. Una de les receptes podria ésser aquesta:
PROPORCIONALITAT
75
La relació entre les parts de ginebra i les parts de vermut blanc és el que anomenem raó i és un nombre que ens dóna una idea de la relació entre les parts de vermut i les parts de ginebra. En aquest cas la relació és d’una a tres. Una raó és el quocient de dues quantitats comparables. La raó ens indica el nombre de vegades que el dividend conté el divisor.
Parts de vermut blanc
2 =
Parts de ginebra
6
I si en volguéssim tres? Lògicament, hauríem de posar tres parts de vermut blanc i nou de ginebra. La raó entre les dues quantitats, en aquesta ocasió, seria de: Parts de vermut blanc
3 =
Parts de ginebra
9
Fixa’t que en tots els casos hi ha tres vegades més ginebra que vermut blanc. Això és així ja que 1/3, 2/6 i 3/9 representen la mateixa raó ja que: 1 3
=
2 6
=
3
= 0,33
9
Una proporció és la igualtat entre dues raons. La raó de proporció és en aquest cas 0,33. PÀG.138
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Imagina ara que vols preparar dos Dry Martini, la quantitat de ginebra i de vermut serà, lògicament, el doble. I per tant la raó entre les dues quantitats serà:
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Segur que has estat temptat de dir que la proporció de ginebra i de vermut blanc en un Dry Martini és d’un terç. De fet, en el llenguatge del carrer, quan parlem de raons les anomenem proporcions, però matemàticament una proporció és una altra cosa, com veuràs d’aquí a uns moments.
UNITAT 3
PROPORCIONALITAT
76
ACTIVITAT Quan reveles un rodet de fotografies pots demanar que les còpies te les facin a diferents formats, 7x10, 10x15, 18x24, 20x30, etc. Aquests nombres ens indiquen les mides dels costats de les fotografies. Tenint en compte que la mida del negatiu és de 3,6 cm x 2,4 cm, digues quins formats són proporcionals a la mida del negatiu. Resolució
3,6 cm
La raó de proporció del negatiu és
2,4 cm
= 1,5
Per tant, els formats de fotografies que estan en proporció amb els negatius són aquells que tenen la mateixa raó de proporció: 7x10 =
10x15 =
10 cm 7 cm
15 cm
= 1,43
= 1,5
10 cm
18x24 =
20x30 =
24 cm 18 cm
30 cm
= 1,33
= 1,5
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
20 cm Els formats de fotografies proporcionals als negatius són, per tant, el 10x15 i el 20x30, ja que tots tres tenen la mateixa raó de proporció. Fixa’t en les figures següents:
A primera vista ja es veu que un és més gran que l‘altre, però tenen la mateixa forma? És evident que no, el segon és més quadrat que el primer. És a dir, a més de ser de mides diferents, les seves proporcions són diferents.
PÀG.139
77
ACTIVITAT
2,1 cm
= 0,7
i
3 cm
4,4 cm
= 0,81
5,4 cm
Ja hem vist que les mides dels seus costats no eren proporcionals; per tant, com és lògic, les seves raons de proporció són diferents. Fixa’t ara en aquests dos rectangles:
Torna a ésser evident que el segon és bastant més gran que el primer, però, i la forma? Són diferents o són iguals? És a dir, guarden la mateixa proporció? Aparentment sí, però no ho sabrem del cert si no calculem la raó de proporció de cadascun d’ells i la comparem. Anem a fer-ho.
ACTIVITAT Mesura amb un regle els costats dels rectangles anteriors i calcula la raó de proporció de cadascun d’ells.
UNITAT 3
Si mesures els quadrats veuràs que el primer fa 3 cm x 2,1 cm i el segon 5,4 cm x 4,4 cm. Les seves raons de proporció són:
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Resolució
PROPORCIONALITAT
Mesura amb un regle els costats dels quadrats anteriors i calcula les seves raons de proporció.
Si mesures els rectangles veuràs que el primer fa 2,1 cm x 3 cm i el segon 4,2 cm x 6 cm. Les seves raons de proporció són: 2,1 cm
= 0,7
i
3 cm
4,2 cm
= 0,7
6 cm
Efectivament, els dos rectangles són proporcionals ja que tots dos tenen la mateixa raó de proporció i per tant: 2,1 cm 3 cm
=
4,2 cm
= 0,7
6 cm
· Activitats d’aprenentatge 1, 2 i 3 PÀG.140
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Resolució
UNITAT 3
PROPORCIONALITAT
78 2. Escales: plànols, mapes i maquetes La proporcionalitat ens permet dibuixar figures de diferents mides, però amb la mateixa forma. Això ho utilitzem per dibuixar objectes que són massa grans per representar-los a mida real. Imagina que vas a visitar la Catedral de Girona i li fas una fotografia. Evidentment quan la revelis tindràs una imatge de la Catedral, amb la mateixa forma que la Catedral, però molt més petita. Com hem vist, si conserva la mateixa forma, és perquè totes les mesures tenen la mateixa proporció respecte a la Catedral. Quan fem un dibuix d’una habitació o un plànol d’una ciutat o d’un país, totes les distàncies es redueixen seguint la mateixa raó de proporció. En aquest cas la raó s’anomena escala. L’escala escala d’un plànol o d’un mapa és la relació entre la distància sobre el paper i la distància real
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Escala =
Distància sobre el paper Distància real
Anem a calcular les mides reals d’aquesta habitació. L’escala és 1:100. Això ens diu que una unitat del plànol correspon a 100 unitats de la realitat. Fixa’t que les escales no tenen unitats. Podem utilitzar les que vulguem, sempre que utilitzem les mateixes per al plànol o mapa i per a la distància real. L’escala 1:100 pot significar: · 1 cm sobre el paper correspon a 100 cm en la realitat, és a dir, a 1 m. · 1 dm sobre el paper correspon a 100 dm en la realitat, és a dir, a 10 m. · 1 mm sobre el paper correspon a 100 mm en la realitat, és a dir, a 0,1 m. Si mesurem l’amplada de l’habitació, veiem que sobre el mapa fa 3,5 cm, per tant: Amplada real de l’habitació = 3,5 cm x 100 = 350 cm = 3,5 m
ACTIVITAT 1: Calcula la llargada de l’habitació. Resolució: Si mesurem sobre el plànol, trobem que la llargada de l’habitació és de 4,2 cm. PÀG.141
79
Per tant:
ACTIVITAT 2:
Berga Girona
La Bisbal d’Empordà
Manresa
UNITAT 3
PROPORCIONALITAT
Llargada real de l’habitació = 4,2 cm x 100 = 420 cm = 4,2 m
Lleida
Barcelona
Tarragona
Escala 1: 2.500.000 50
75
km
Calcula la distància real entre Manresa i Barcelona. Resolució L’escala del mapa és 1:2.500.000, és a dir: 1cm
▼
1 cm en el mapa són 2.500.000 cm en la vida real 2.500.000 cm = 25 Km
Per tant, cada centímetre damunt del mapa representa 25 quilòmetres en la vida real. La distància entre Manresa i Barcelona, en el mapa, és d’1,9 cm, i per tant en la vida real és de: 1,9 x 25 Km = 47,5 Km.
· Activitats d’aprenentatge 4 i 5
PÀG.142
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
25
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
0
80 3. La raó de proporció ens permet buscar dades
UNITAT 3
PROPORCIONALITAT
Pensa un moment en el que hem fet fins ara: · Les proporcions ens permeten representar, a escala, objectes i espais que en la realitat són massa grans per poder fer-ne representacions a la mateixa mida. · Les proporcions ens permeten trobar dades que desconeixem a partir d’altres dades. Quedem-nos aquí un moment, ja que això és més important del que sembla. Fixa’t, sabem l’escala del mapa, 1:2.500.000, i sabem la distància entre dues ciutats damunt del paper i volem trobar la distància real entre les dues ciutats. No sabem aquesta distància, però sabem una cosa fonamental: la distància real és proporcional a les altres tres dades. Existeix una propietat anomenada propietat fonamental de les proporcions que ens permet trobar aquesta quarta dada i que és la base de la regla de tres. Tornem al cas de les fotografies. Dèiem que els formats 10x15 i 20x30 eren proporcionals entre ells: 15
=
10
30 20
Fixa’t que això ho podem escriure d’una altra manera: 15 : 10 = 30 : 20 La propietat fonamental de les proporcions diu: En una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans
15 x 20 = 300 Producte dels mitjans: 10 x 30 = 300
ACTIVITAT Busca el valor que falta en les proporcions següents: 2
3
4
5 b)
= x
x
x
3
4
c)
= 9
x d)
= 1
6
10 =
3
5
Resolució 2 · x = 12
x=
12 ▼
a) 2 · x = 3 · 4
▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
a)
▼
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Producte dels extrems:
x=6
2 Fixa’t que per trobar el valor de la x, el nombre que l’està multiplicant passa a l’altre costat de l’igual dividint.
PÀG.143
45
81
▼
x=
x = 15
▼
3 · x = 45
▼
▼
b) 5 · 9 = 3 · x
x = 0,67
6·x=4
▼
▼
c) 6 · x = 4 · 1
x=
4
PROPORCIONALITAT
3
5 · x = 30
x=
30 ▼
▼
d) 5 · x = 3 · 10
▼
6 x=6
5
Hi ha dades que depenen d’altres Hores treballades
€ cobrats
5
60
6
72
7
84
8
96
UNITAT 3
Un treballador cobra per hores segons la taula següent:
Lògicament, aquestes dues magnituds depenen l’una de l’altra. Com més hores treballa més cobra, i a l’inrevés, si cobra més és perquè treballa més. És a dir, quan una de les dues magnituds augmenta, l’altra també ho fa i a l’inrevés. A més, en aquest cas l’augment és proporcional: 72 6
=
84 7
=
96
= 12
8
Quan en augmentar una magnitud una altra també augmenta i, a més, ho fa de forma proporcional, diem que són dues magnituds directament proporcionals proporcionals.
Per trobar la quarta, la regla de tres Imagina que anem a comprar tomàquets. Comprem dos quilos i ens costen 4€. En arribar a casa veiem que no en tenim prou i baixem a comprar-ne més. Quant ens costarà? És evident que això depèn de la quantitat de tomàquets que comprem. Com més tomàquets comprem més haurem de pagar. Fixa’t que aquestes dues magnituds (quantitat de tomàquets i preu total) són directament proporcionals. Decidim comprar-ne 4 quilos. Quant ens constaran? Analitzem la situació: · Tenim dues magnituds que són directament proporcionals · Coneixem tres quantitats, dues de la quantitat de tomàquets i una del preu total Quantitat de tomàquets (kg)
Preu total
2
4€
4
?
PÀG.144
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
5
=
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
60
UNITAT 3
De fet, atès que són magnituds proporcionals podem aplicar la propietat fonamental de les proporcions, la qual cosa ens permet trobar el valor que busquem =
4
4 x
2x = 4 · 4
x=
16 ▼
2
▼
PROPORCIONALITAT
82
x=8
2 Com és evident, si 2 quilos valen 4€, el doble de quilos valdran el doble d’euros: 8€. Aquesta manera de resoldre els problemes és el que anomenem regla de tres i encara ho podem expressar d’una altra manera: Si 2 Kg valen 4€ Aleshores 4 Kg valen x € ACTIVITAT Un grup d’excursionistes caminen a una mitjana de 3 Km cada hora. Volen fer una travessia de 15 Km i volen saber quantes hores hi invertiran. Resolució Els quilòmetres recorreguts i el temps invertit són magnituds directament proporcionals, per la qual cosa podem aplicar la regla de tres.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
O el que és el mateix: 3
=
15
1 x
Si fem les operacions: x=
15 ▼
3x = 15 · 1
▼
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Si a fer 3 Km triguen 1 hora aleshores a fer 15 Km triguen x hores
x=5
3 Els excursionistes trigaran 5 hores.
Raons per entendre les dades: el tant per cent Mira’t la notícia següent apareguda a El Periódico el mes de juny de 2002.
... La troballa que més ha preocupat els autors de l’estudi és l’alt percentatge d’adolescents –un 22% de nois i un 9% de noies– que han conduït intoxicats per alcohol o drogues. Un 40% ha pujat a un cotxe conduït per una persona èbria. «Una de les característiques de l’adolescència és assumir riscos, i aquesta és una forma clara i conscient de fer-ho», afirma la investigadora. Només que obris qualsevol diari, veuràs moltes notícies que ens parlen de percentatges (un 22% de nois, un 9% de noies, un 40% d’adolescents,...). Però, què és exactament un percentatge? Quan diem que un 40% d’adolescents han
PÀG.145
Per trobar el percentatge d’unes dades hem de buscar una fracció proporcional en què el denominador sigui cent.
ACTIVITAT En una classe de 30 persones 9 porten ulleres. Quin és el percentatge? Resolució
PROPORCIONALITAT
L’enquesta a què fa referència la notícia es va realitzar a 6.952 alumnes de Secundària i Batxillerat de Catalunya. D’aquests, 2.781 alumnes van reconèixer haver anat en un cotxe conduït per una persona èbria. Fixa’t que si diguéssim 2.781 de cada 6.952 et seria molt difícil saber si són molts o pocs o fins i tot seria difícil comparar-ho amb d’altres dades. És molt més fàcil fer-se una idea del valor d’aquestes dades si parlem del 40% o fins i tot de 4 de cada deu.
83
UNITAT 3
pujat en un cotxe conduït per una persona sota els efectes de l’alcohol volem dir que de cada 100 adolescents 40 ho han fet.
100
9
30x = 9 · 100
x=
x
900 ▼
=
▼
30
▼
Si de 30 persones duen ulleres 9 Aleshores de 100 persones en duran x x = 30
30
Un 30% dels alumnes de la classe porta ulleres. Ara ja sabem com calcular el tant per cent a partir d’unes dades, però i al revés, sabries fer-ho? Anem a veure-ho.
Un tant per cent és en ell mateix una raó de proporció entre dos nombres (23/100) i recorda que dèiem que si són proporcionals ens calen tres nombres per trobar el quart (tenim 23, 100 i 5.000). No ens ha d’ésser difícil, per tant, trobar la solució.
=
100
x ▼
23
5.000
5.000
23
=x
▼
Resolució x = 1.150
100
El 23% de 5.000 és 1.150. Dèiem que un percentatge és una raó de proporció i, per tant, també es pot expressar en forma decimal. Imagina que sabem que el 20% dels habitants d’un país tenen els ulls blaus i volem saber quanta gent d’una ciutat de 350.000 habitants té els ulls blaus. Evidentment ho podríem fer com a l’exemple anterior, però hi ha una manera més ràpida de fer-ho. Anem pas a pas.
100
=
x ▼
20
350.000
350.000
20 100
PÀG.146
=x
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Calcula el 23% de 5.000.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
ACTIVITAT
Aturem-nos un moment. Fixa’t que per calcular el percentatge d’una quantitat el que fem és multiplicar aquesta quantitat per la raó de proporció que representa el tant per cent: X = 350.000 · 0,20 = 70.000 70.000 persones tenen els ulls blaus.
El tant per mil Tornem a la ciutat d’abans. Imagina que dels 350.000 habitants, 1.500 fan més de dos metres d’alçada. Si volguéssim saber quin percentatge representa això faríem:
100
1.500
1.500 · 100 = 350.000x
150.000 ▼
=
▼
x
350.000
=x
350.000
El 0,43% de la població mesura més de 2,00 metres d’alçada. Una altra forma d’expressar-ho seria respecte de cada 1.000 habitants, enlloc de cada 100. =
1.500
1.500 · 1.000 = 350.000x
1.000 350.000
1.500.000 ▼
x
▼
UNITAT 3
PROPORCIONALITAT
84
=x
350.000
Igualment podríem dir que els habitants que superen els dos metres són el 4,3‰ (és a dir, el 4,3 per mil).
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
· Activitats d’aprenentatge 6, 7 i 8
PÀG.147
Indica si les quantitats següents són proporcionals: a)
3
i
5
9
b)
15
2
i
7
5
c)
9
3 2
i
6 4
Activitat 2 Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de proporció: 2,5 =
3 1,2
=
= 2
2,5
=
=
1,5
3
UNITAT 3
Activitat 1
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 85
Activitat 3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Mesura els rectangles següents i digues si alguns d’ells són proporcionals:
PÀG.148
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
86
Activitat 4 En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l’escala del plànol és d’1:100, quina és l’àrea de l’habitació real? Nota: l’àrea d’una habitació es calcula multiplicant l’amplada per la llargada.
UNITAT 3
Activitat 5 Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d’Empordà. Utilitza el mapa de Catalunya de l’apartat 2.
Activitat 6
Activitat 7 Un treballador d’una empresa de repartiment cobra per paquet entregat. Si dilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45€, dimarts, que en va entregar 12, quant va cobrar?
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quan mesurarà cada costat en el plànol?
PÀG.149
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 3
L’any 1999 van arribar a Catalunya 13.296 immigrants. a) Si d’aquests immigrants 5.168 provenien d’África, quin percentatge representen? b) Si sabem que el 30,61% d’immigrants provenien d’Amèrica, quin és el total d’immigrants americans que van arribar?
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
87
Activitat 8
PÀG.150
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
UNITAT 3
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
88 Activitat 1
Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) Una raó és el quocient entre dues quantitats: .................. b) La relació entre la base i l’alçada d’un rectangle és la proporció del rectangle: .................. c) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d’altura i 6 cm de base i 8 cm d’altura respectivament estan en proporció: .................. d) Una escala és una proporció: .................. e) L’escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km de la realitat: .................. f) L’escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de la realitat: .................. g) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans: .................. h) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d’ésser directament proporcionals: .................. i) El 20% de 200 és 180: .................. j) El 50% de 500 és 25: ..................
Activitat 2
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Digues si les següents quantitats són proporcionals. 2 a)
5 i
4
2 b)
3
4 i
4
8
Activitat 3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents: 2 a)
a =
3
6 b)
4,5
3 =
1
5 c)
b
10 =
c
PÀG.151
d d)
3
10 =
2
5
89
Activitat 4
UNITAT 3
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Calcula el perímetre i l’àrea de l’habitació representada en el mapa.
Activitat 5
Activitat 6
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quina quantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Tres litres de llet valen 2,5€. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig?
PÀG.152
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
90
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE Activitat 1 Indica si les quantitats següents són proporcionals: 3
a)
i
5
15 3
UNITAT 3
9
i
= 0,6
15
Efectivament, són proporcionals. 3
9
=
5
= 0,6
15 2
b)
i
7
5 9 = 0,29
5
i
7
= 0,56
9
No són proporcionals ja que: 2
5
‡
7
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
= 0,6
5
2
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
9
9 3
c)
i
2
6 4
3
= 1,5
6
i
2
= 1,5
4
3/2 i 6/4 són proporcionals ja que: 3 2
=
6 4
Activitat 2 Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de proporció: 2,5 =
3 1,2
=
5 2
=
2,5 1
=
7,5 3
=
1,5 0,6
PÀG.153
91
Activitat 3
El primer i el quart rectangles són proporcionals ja que
3
=
4
UNITAT 3
2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Mesura els rectangles següents i digues si alguns d’ells són proporcionals
6
Activitat 4
La longitud de l’amplada de l’habitació és 400 cm, és a dir, 4 m. 6 cm x 100 = 600 cm = 6 m. La longitud de la llargada de l’habitació és 600 cm, és a dir, 6m. L’àrea de l’habitació és 6 m x 4 m = 24 m2.
Activitat 5 Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d’Empordà. Utilitza el mapa de Catalunya de l’apartat 2. La distància entre Berga i la Bisbal d’Empordà, en el mapa, és de 4 cm, per tant: 4 cm x 2.500.000 = 10.000.000 cm = 100 Km La distància real entre Berga i la Bisbal d’Empordà és, aproximadament, de 100 Km.
PÀG.154
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Amplada 4 cm x 100 = 400 cm = 4 m
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l’escala del plànol és d’1:100, quina és l’àrea de l’habitació real? Nota: l’àrea d’una habitació es calcula multiplicant l’amplada per la llargada.
92
Activitat 6
▼
1
x=
5 x
=
50
5
= 0,1 m = 10 cm
50 50x = 6 · 1
▼
50
50x = 5 · 1
▼
x
=
▼
1
x=
6
6
= 0,12 m = 12 cm
50
L’habitació en la representació del plànol és de 10 cm x 12 cm.
Activitat 7 Un treballador d’una empresa de repartiment cobra per paquets entregats. Si dilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45 €, dimarts, que en va entregar 12, quant va cobrar? Si per 15 paquets cobra 45 per 12 paquets cobra x 45
540
= 12
15 x = 12 · 45
▼
15
▼
UNITAT 3
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quan mesurarà cada costat en el plànol?
x=
x
= 36 €
15
Activitat 8
=
100
5.168 ▼
13.296
13.296x = 5.168 · 100
▼
Si de 13.296 immigrants 5.168 són africans de cada 100 immigrants x seran africans. x=
x
516.800
= 38,87%
13.296
Els immigrants arribats de l’Àfrica representen el 38,87% del total d’immigrants. b) Si sabem que el 30,61% d’immigrants provenien d’Amèrica, quin és el total d’immigrants americans que van arribar?
100 13.296
=
30,61
100x = 30,61 · 13.296
x
▼
Si de cada 100 immigrants 30,61 són americans de 13.296 immigrants x seran americans. ▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
L’any 1999 van arribar a Catalunya 13.296 immigrants. a) Si d’aquests immigrants 5.168 provenien d’África, quin percentatge representen?
x=
406.991 100
En total van arribar 4.070 immigrants d’Amèrica.
PÀG.155
= 4.070
Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses: a) Una raó és el quocient entre dues quantitats. VERTADERA b) La relació entre la base i l’alçada d’un rectangle és la proporció del rectangle. FALSA c) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d’altura i 6 cm de base i 8 cm d’altura respectivament estan en proporció. VERTADERA c) Una escala és una proporció. FALSA d) L’escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km de la realitat. FALSA e) L’escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de la realitat. FALSA f) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. VERTADERA g) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d’ésser directament proporcionals. VERTADERA h) El 20% de 200 és 180. FALSA i) El 50% de 500 és 25. VERTADERA
UNITAT 3
Activitat 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 93
Activitat 2 Digues si les següents quantitats són proporcionals.
a)
5
2
i 4
a) 3
5 = 0,5
i
= 1,67
4
3
2
4
No són proporcionals. 2 b)
4 i
4
b) 8
= 0,5 4
Efectivament, són proporcionals. 4 = 4
= 0,5 8
= 0,5 8
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2
i
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
2
PÀG.156
94
Activitat 3
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 3
a =
3
1
c
▼ ▼
15 c) 10c = 5 · 3
c=
= 1,5 10
10 =
= 0,5 6
3
d 2
b=
10 =
d)
3 b) 6b = 3 · 1
b
5
=3 3
3 =
c)
a=
4,5
6 b)
9 a) 2 · 4,5 = 3a
▼
2 a)
20 d) 5d = 10 · 2
▼
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents:
5
d=
=4 5
Activitat 4 Calcula el perímetre i l’àrea de l’habitació representada en el mapa.
1:100
L’habitació en el plànol mesura 4 cm x 5 cm. Per tant, les mesures reals són: 4 cm x 100 = 400 cm = 4m 5 cm x 100 = 500 cm = 5m Càlcul del perímetre: 4 + 4 + 5 + 5 = 18 m Càlcul de l’àrea: 4 · 5 = 20 m2
PÀG.157
95
Activitat 5 16 ampolles de litre i mig són: 16·1,5 = 24 litres. 3
2,5
24 · 2,5
24
x=
▼
= x
= 20 €
3
Activitat 6 Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quina quantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata.
3
=
53 ▼
100
100x = 53 · 3
x
▼
Si en 100 Kg de xocolata hi ha 53 Kg de cacau en 3 Kg de xocolata hi ha x Kg de cacau x=
159
= 1,59
100
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Tres litres de llet valen 2,5€. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 3
En tres quilograms de xocolata hi haurà 1,59 Kg de cacau.
PÀG.158
has treballat?
UNITAT 3
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
97
PROPORCIONALITAT
Escales
Propietat fonamental de les proporcions
Regla de tres
Tant per cent i tant per mil
PÀG.159
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Proporcions
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Raó de proporció
UNITAT 3
COM HO PORTO?
98
com
ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé
Diferenciar entre raó de proporció i proporcionalitat.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Calcular les mides reals a partir de representacions a escala. Calcular les mides a escala de distàncies reals per elaborar plànols, mapes, etc. Utilitzar la propietat fonamental de les proporcions. Trobar dades mitjançant la regla de tres. Calcular percentatges. Trobar dades reals en casos concrets a partir dels seus percentatges.
PÀG.160
A mitges
Malament
Unitat 7 EL MERCAT
MATEMÀTIQUES I PÀG.161
què
treballaràs?
En acabar la unitat has de ser capaç de: · Diferenciar béns i serveis. · Reconèixer la llei de l’oferta i la demanda. · Reconèixer les magnituds proporcionals presents en l’economia. · Calcular el tant per cent en comissions. · Calcular el tant per cent en recàrrecs. · Utilitzar el tant per cent per fer descomptes. · Aplicar els percentatges dels impostos.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 4
QUÈ TREBALLARÀS?
100
PÀG.162
La compra, tot i ésser un acte que cada dia realitzem diverses vegades, és una acció molt més important del que ens pensem. Cada vegada que comprem un producte no estem cobrint únicament una necessitat. El senzill fet de comprar un objecte, per petit que sigui, fa que indirectament estem decidint l’estil de vida i el tipus de societat on volem viure. Imaginem que ha arribat l’hora de dinar: podem triar entre menjar un entrepà en una multinacional de menjars ràpids o bé decidir-nos per un restaurant tradicional de menús casolans. D’alguna manera, quan triem quin tipus de producte volem i en quin tipus d’establiment l’hem de comprar és com si votéssim a favor d’aquella opció.
UNITAT 4
Comprar, vendre o intercanviar no és exclusiu de la nostra societat, ni tan sols del nostre temps. Des de les primeres civilitzacions l’home ha tingut la necessitat d’adquirir aquells productes que necessitava i que no podia produir. Així, la gent intercanviava els productes que li sobraven per aquells que necessitava. Posteriorment aparegué el diner i la compravenda es va simplificar. Actualment la utilització de les targetes de crèdit ha introduït en el mercat una forma diferent d’intercanvi.
EL MERCAT
101
1. Oferta i demanda
Les necessitats que es poden cobrir mitjançant la compra poden ser de béns o de serveis.
D’altra banda, per què l’or i els diamants són tan cars i l’aigua i la sorra, posem per cas, són tan barats? Qui fixa el preu dels productes? Els empresaris? L’estat? Els compradors? En una societat com la nostra els preus dels productes, tant siguin béns com serveis, vénen fixats per la llei de l’oferta i la demanda. L’oferta oferta és la quantitat d’un producte que els fabricants poden produir i per tant vendre. La demanda és la quantitat de producte que els consumidors volen comprar. Així, segons la llei de l’oferta i la demanda, si la demanda d’un producte és més gran que l’oferta, el producte puja de preu, però si l’oferta és més gran que la demanda el producte baixa de preu. demanda ↑ + oferta ↓ = preu ↑ demanda ↓ + oferta ↑ = preu ↓ Tots sabem que quan hi ha un acte esportiu important, al voltant dels estadis es produeix la revenda d’entrades. Els revenedors compren moltes entrades a les taquilles al preu estipulat i d’aquesta manera provoquen que aquestes s’esgotin, és a dir, que disminueixi l’oferta. Qui vulgui una entrada no tindrà més remei que comprar-la a un revenedor. Com que l’oferta és escassa els revenedors pugen els preus. PÀG.163
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Tots el béns i serveis tenen el seu preu; alguns els paguem directament de la nostra butxaca però n’hi ha d’altres que paguem mitjançant els impostos.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Els béns són tots aquells objectes físics que podem comprar; per exemple, un tros de carn, una peça de roba, un llapis, un cotxe, un llibre. En canvi, els serveis no són objectes que ens puguem endur a casa, són un conjunt d’activitats de les quals podem gaudir. Per exemple una visita al metge, l’escola, una hora de pàrking, un viatge, el dret a banyar-se en un piscina, poder veure una pel·lícula, etc.
Quan l’acte esportiu no és important, la demanda d’entrades baixa i a les taquilles hi ha suficient oferta de tal forma que les entrades no s’exhaureixen.
Un altre factor que afecta de manera molt important la compra de productes és la publicitat. La publicitat emet una informació que prové del fabricant interessat a vendre el seu producte. No es tracta d’una informació objectiva i molt sovint el seu objecte és crear en el públic la necessitat de comprar allò que és anunciat.
2. Percentatges aplicats a l’economia Comissions i recàrrecs Comissions
En el cas dels revenedors d’entrades, la seva comissió serien els diners que guanyen en la venda de cada entrada. Les comissions són els guanys que es cobren per cada producte que es ven.
Normalment els representants de productes o d’empreses acostumen a tenir una comissió, és a dir, guanyen un % sobre els articles que venen. Així, si un viatjant té una comissió del 25% vol dir que per cada 100€ de venda guanya 25 25€. (El 25% = = 0,25 ) 100
Si un dia fa vendes per valor de 540€ el 25% serà: 540 x 0,25 = 135€.
Haurà guanyat 135€.
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
540 x 25 % 135€ ▼
·
Activitat d’aprenentatge 1
Recàrrec o augment
Les empreses i les botigues, quan posen un article a la venda, li augmenten el preu de cost per obtenir els beneficis. Aquest augment el calculen aplicant el %.
Per exemple, una botiga de calefaccions vol obtenir un benefici del 80% en la venda d’un radiador que ha comprat a la fàbrica per 18,50€.
El preu de venda serà: el preu de cost + % de benefici = 18,5€ + 80% de 18,50€. 80 Un recàrrec del 80% = = 0,8 100
Per tant, el 80% de 18,50€ és: 18,50 x 0,8 = 14,80€ són els guanys.
El preu de venta del radiador serà: 18,50 + 14,80 = 33,30€.
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
18,50 x 80 % + 33,30€ ▼
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT
102
PÀG.164
Activitat d’aprenentatge 2
Els productes van augmentant successivament de preu des que són fabricats fins que arriben a mans del consumidor. A mesura que un producte passa del fabricant al distribuïdor i d’aquest a la botiga, se li apliquen successivament uns percentatges de benefici.
Així, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320€ pot ser venut a un majorista un 40% més car. El majorista el ven a la botiga amb un 65% de recàrrec i el botiguer el posa a la venda aplicant-li el 70% sobre el preu que ha pagat.
El preu de venda de la fàbrica serà: Preu de cost + 40% del preu de cost.
El preu de venda del majorista serà: Preu de fàbrica + 65% del preu de fàbrica.
El preu de venda de la botiga: Preu de majorista + 70% del preu del majorista.
El preu de venda de la fàbrica serà:
El 40% de 320€ = 320 x 0,4 = 128€
320 + 128 = 448€
El preu de venda del majorista serà:
El 65% de 448 = 448 x 0,65 = 291,20€
448 + 291,20 = 739,20€
El preu de venda de la botiga serà:
El 70% de 739,20€ és: 739,20 x 0,70 = 517,44€
739,20 + 517,44 = 1.256,64€
Per tant, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320€ pot acabar valent 1.256,64€ (sense tenir en compte els impostos) a causa dels percentatges que li han anat aplicant.
Nota: El preu final no es pot calcular sumant els successius percentatges d’augment. Activitat
Comprova que el preu final del producte anterior no és el resultat d’aplicar el percentatges successius. Solució
Per fer la prova se sumen els %.
40% + 65% + 70% = 175 %
S’aplica el percentatge de 175% al preu inicial de 320€. 175 175 % = = 1,75 100
320 x 1,75 = 560€
El preu final seria 320 + 560 = 880€, que no correspon als 1.256,64€ del resultat anterior.
PÀG.165
103 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT
·
Descomptes, rebaixes i liquidacions
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 2. ECONOMIA DOMÈSTICA UNITAT 4 EL MERCAT
Els productes a la venda estan subjectes a descomptes, rebaixes i liquidacions.
Descomptes Un descompte és la quantitat deduïda de l’import d’un producte.
Et vols comprar uns pantalons esportius que valen 95€ i decideixes anar a la botiga del teu amic que saps que et farà un descompte del 10%.
Ja saps que un 10% vol dir que de cada 100€ que has de pagar et trauran 10€ i només pagaràs 90€.
Per calcular el preu dels pantalons hem de fer: 95€ - 10% de 95. 10 Un descompte del 10% = = 0,1 100
El 10% de 95€ és: 95 x 0,1 = 9,50€ que t’has estalviat.
Els pantalons et costaran: 95 — 9,50 = 85,50€
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
95 x 10 % — 85,50€ ▼
104
Rebaixes Les rebaixes són descomptes generalitzats en els preus dels productes. Les rebaixes només es poden oferir durant uns determinats períodes de l’any, els quals estan establerts per l’administració competent.
Les temporades de rebaixes són una de les èpoques de més vendes. Els botiguers volen eliminar els estocs que els han quedat i per això han de baixar els preus. És a dir, s’han de rebaixar aquelles peces en què l’oferta ha estat més gran que la demanda, per donar-los sortida, però hem d’anar amb compte que no ens rebaixin alhora la qualitat.
Els comerciants utilitzen diferents tècniques per tal de cridar l’atenció dels clients. En època de rebaixes els productes tenen els típics descomptes d’aquestes èpoques, un 10 %, un 25% i fins i tot un 50% en alguns articles. Però hi ha altres tècniques per cridar l’atenció d’un possible client, pensem en anuncis de 3x2. Pagues dos parells de sabates i te’n duus tres.
A les rebaixes, en una sabateria fan un descompte del 30 % en unes sabates que valen 105€.
Les mateixes sabates estan en una altra botiga que fan el 3x2. Com puc saber què em surt més a compte?
Calculem el preu de les sabates a la primera botiga.
Per calcular el preu de les sabates hem de fer: 105€ — 30% de 105€. 30 Un descompte del 30% = = 0,3 100
El 30% de 105€ és: 105 x 0,3 = 31,50€ que ens estalviem.
Les sabates costaran: 105 — 31,50 = PÀG.166 73,50€.
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
Calculem el preu d’un parell de sabates a la botiga de 3x2. Comprem 2 parell a 105€ cada u. Per tant paguem: 105 x 2 = 210€. Si ens emportem 3 parells de sabates, cada parell ens costarà: 210:3 = 70€. En aquest cas són més barates les sabates a la botiga de 3x2.
Liquidacions Les liquidacions són vendes de caràcter extraordinari i amb gran rebaixa de preus que fan els establiments comercials per cessació, reforma o trasllat.
EL MERCAT
73,50€
UNITAT 4
▼
105 x 30 % —
105
A les liquidacions que fa una botiga de mobles per canvi d’exposició comprem una taula per 480€. Tenim curiositat per saber quant costava abans de fernos el 40% de descompte. Un descompte del 40% vol dir que de cada 100 ens han tret 40, per tant, hem pagat el 60%. És a dir, el 60% correspon als 480€. 60 correspon a 480€ 100 correspon a x Això escrit en forma de proporcionalitat: =
x 48.000 x= 60
= 800 €
El preu inicial era de 800€.
· Activitats d’aprenentatges 3, 4 i 5
Impostos Com ja hem dit, la principal manera de cobrir les nostres necessitats és comprant i per tant pagant-les, però els pagaments poden ser directes o indirectes. Tots aquells serveis que són gratuïts: l’assistència mèdica, les escoles, la policia, la neteja dels carrers, la construcció de carreteres i tantes altres coses, els paguem mitjançant els impostos. Els impostos són tributs o retencions econòmiques que rep el govern cada vegada que es fan actes de naturalesa econòmica com poden ser negocis, compres, etc.
PÀG.167
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
100
480
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
60
106
Els impostos més coneguts són: que grava els guanys obtinguts per cadascú de nosaltres en un període determinat; qui més guanya més paga.
UNITAT 4
EL MERCAT
· L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques) és un percentatge
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
IVA, és un valor que s’afegeix · L’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVA cada vegada que es compra un producte. Hi ha tres tipus de d’IVA que s’apliquen segons el producte. El tipus normal d’IVA és del 16%, que s’aplica a la majoria de productes, però també hi ha tipus d’IVA reduïts com el de l’alimentació, que és d’un 7%, i d’altres que tenen un 4% d’IVA
· Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8 i 9. PÀG.168
107
Interessos
dipòsit a termini donen uns beneficis aplicant uns percentatges.
· Quan fan préstecs i hipoteques cobren unes quantitats superiors als diners prestats. Per fer els càlculs es fan servir unes fórmules que tenen en compte diversos factors, entre ells el % i el temps que dura el dipòsit de diners o el préstec. Hi ha altres operacions, com el canvi de divises, en les quals els bancs obtenen beneficis aplicant un percentatge. Si vols fer un viatge a l’estranger, com per exemple als EUA, i necessites 850$ per fer-lo, pots anar al banc o a la caixa a fer el canvi de moneda.
UNITAT 4
· Quan reben diners dels clients i els col·loquen en un compte corrent o en un
EL MERCAT
Els bancs i les caixes d’estalvi utilitzen el % en les seves operacions:
Fas els càlculs per saber quants euros necessites canviar. Suposem que en aquell moment 1€ val 0,944$. 0,944 $ és 1 € 850 $ seran x € 0,944
1
=
850
x 850
x= 0,944
= 900,42 €
Hem de saber 4,5€ a quin % correspon. 4,5 900,42 x=
=
x 100 450
= 0,5
900,42 T’han aplicat un 0,5% de comissió.
3. Economia domèstica Els drets dels consumidors El consumidor té dret a conèixer amb tota claredat les condicions de compra. Davant de qualsevol dubte o greuge, el comprador es pot dirigir a les associacions de defensa del consumidor per demanar informació. La reclamació és la queixa que hom presenta per una injustícia soferta en el procés de compravenda, per tal d’exigir-ne la reparació. PÀG.169
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
En el banc et demanen 904,92€ en lloc dels 900,42€ que tu havies previst. Això vol dir que el banc et cobra una comissió de 904,92 — 900,42 = 4,5€.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Necessites canviar 900,42€.
La gran majoria de compres a la nostra societat es realitzen mitjançant diners. ingressos i de despeses que hem d’equilibrar. Cal, per tant, Tenim una sèrie d’ingressos fer un pressupost personal o familiar a fi d’evitar que en un moment determinat ens quedem sense diners. El pressupost ha de tenir en compte tant les entrades de diners, els ingressos, com les sortides de diners, les despeses. Els ingressos poden ser molt variats, però en general es basen en els salaris, és a dir, en els nostres sous, i en les pagues i rendes. Els ingressos ens permetran fer front a les despeses.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 4
EL MERCAT
108 Pressupost: ingressos i despeses
PÀG.170
Activitat 1 A un representant d’una fàbrica d’embotits li donen el 3,5% de les vendes que fa. En una xarcuteria ven per valor de 1.500€. Quant cobrarà de comissió?
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 109
A una botiga venen un televisor al comptat per 750€. Però si es compra a terminis carreguen un 12%. Quin és el preu del televisor si es compra a terminis?
UNITAT 4
Activitat 2
Activitat 4 Completa la taula següent. Article
Jersei
Preu ((€))
50
Samarreta
12
Sabates
80
Mitjons
3
PÀG.171
20% descompte
Preu final
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
El lloguer d’un pis era de 420€, però davant de la manca de pisos de lloguer en el mercat, el preu ha anat pujant: el primer any un 15% i el segon any un 20% més. Quin és el preu del lloguer de cada any?
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Activitat 3
110
Activitat 5
UNITAT 4
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Ens fan un descompte del 18% en la compra d’un televisor i paguem 730€. Quin era el preu inicial del televisor?
Activitat 6 Vols posar una persiana nova a casa teva i tens dos pressupostos: En el primer, de «Persianes González», el preu de la persiana és de 195€, però et fan un 20% i després t’augmenten el 16% d’IVA. En el segon, d’«Iturbe-persianes», el preu també és de 195€, però primer t’apliquen el 16% d’IVA i després et fan un descompte del 20%. Quin és el pressupost millor?
Activitat 7
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Si el teu sou brut és de 1.500€ i cobres 1.230€, quin és el % d’IRPF que t’han descomptat?
Activitat 8 Fixa’t en la nòmina de l’apartat 2 i digues què passaria en els casos següents: a) Quant ens retindran d’IRPF si ens pugen la remuneració total un 25%. b) Ens pugen la retenció de l’IRPF a un 15%.
Activitat 9
PÀG.172
111
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 4
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Fixa’t en la factura de l’apartat 2. Què hauria hagut de pagar si hagués comprat un llibre i dos pantalons?
PÀG.173
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ Activitat 1 Un venedor de cotxes té una comissió del 5,5%. Si cada cotxe val 1.270€ i ha venut 3 cotxes, quants diners ha guanyat de comissió?
Activitat 2 Et vols comprar una enciclopèdia que val 720€. Si et fan un 12% de descompte, quant pagaràs per l’enciclopèdia?
UNITAT 4
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
112
Activitat 3
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Activitat 4
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Un botiguer compra una remesa de 200 camises per 2.400€. Per posar el preu carrega un 50% i després aplica el 16% d’IVA. Quin serà el preu que marcarà l’etiqueta?
Activitat 5
Pagues 180€ de multa per haver anat amb excés de velocitat. T’has estalviat el 20% per haver-la pagat en el termini que t’havien indicat. Quin era el preu original de la multa?
Quin és el percentatge que ha augmentat el preu de l’entrada d’un espectacle si l’any passat costava 15€ i enguany 17€?
PÀG.174
A un representant d’una fàbrica d’embotits li donen el 3,5% de les vendes que fa. En una xarcuteria ven per valor de 1.500€. Quant cobrarà de comissió? Una comissió del 3,5% =
3,5 100
= 0,035
El 3,5% de 1.500 = 1.500 x 0,035 = 52,50€. La comissió és de 52,50€.
Activitat 2 A una botiga venen un televisor al comptat per 750€. Però si es compra a terminis carreguen un 12%. Quin és el preu del televisor si es compra a terminis? El 12% de 750€ = 750 x 0,12 = 90€. El preu a terminis és: 750 + 90 = 840€.
Activitat 3 El lloguer d’un pis era de 420€, però davant de la manca de pisos de lloguer en el mercat, el preu ha anat pujant: el primer any un 15% i el segon any un 20% més. Quin és el preu del lloguer de cada any?
UNITAT 4
Activitat 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 113
El primer any augmenta un 15%: 420 x 0,15 = 63€. 2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El preu del lloguer del primer any és: 420€ + 63 = 483€. El segon any augmenta un 20% sobre el preu del primer any: 483 x 0,20 = 96,60€. El preu del lloguer del segon any és: 483€ + 96,60 = 579,60€.
Activitat 4 Completa la taula següent. Preu ((€))
Jersei
50
10
40
12
2,40
9,60
Sabates
80
16
64
Mitjons
3
0,60
2,40
Samarreta
Descompte del 20% =
20 100
= 0,2
PÀG.175
20% descompte
Preu final
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Article
114
Jersei 50 x 0,2 = 10€
UNITAT 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
50 — 10 = 40€ Samarreta 12 x 0,2 = 2,40€ 12 — 2,40 = 9,60€ Sabates 80 x 0,2 = 16€ 80 — 16 = 64€ Mitjons 3 x 0,2 = 0,60€ 3 — 0,6 = 2,40€
Activitat 5 Ens fan un descompte del 18% en la compra d’un televisor i paguem 730€. Quin era el preu inicial del televisor? Si ens hem estalviat el 18% vol dir que hem pagat el 82%. Hem pagat 82€ de cada 100€ Hem pagat 730€ del preu inicial x 82
=
730
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
100
x x=
73.000
= 890,24
82 El preu del televisor era de 890,24€.
Activitat 6 Vols posar una persiana nova a casa teva i tens dos pressupostos: En el primer, de «Persianes González», el preu de la persiana és de 195€, però et fan un 20% i després t’augmenten el 16% d’IVA. En el segon, d’«Iturbe-persianes», el preu també és de 195€ però primer t’apliquen el 16% d’IVA i després et fan un descompte del 20%. Quin és el pressupost millor? Primer pressupost: El 20% de 195€ és = 195 x 0,20 =39€. 195 — 39 = 156€ val després del descompte. Augmenten el 16% d’IVA = 156 x 0,16 = 24,96€ d’impost. 156 + 24,96 = 180,96€ és el preu final.
PÀG.176
115
Segon pressupost: 195 + 31,20 = 226,20€ val després de l’augment. Apliquen el descompte del 20% sobre 226,20€. 226,20 x 0,20 = 45,24€ El preu final serà 226,20 — 45,24 = 180,96€ que és el mateix preu del pressupost anterior.
Activitat 7 Si el teu sou brut és de 1.500€ i cobres 1.230€, quin és el % d’IRPF que t’han descomptat? T’han retingut 1.500 — 1.230 = 270€. Si de 1.500€ et descompten 270€, el que et descompten de cada 100€ serà l’IRPF expressat en percentatge. =
1.500 x=
x 100 27.000
UNITAT 4
270
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Augmenten el 16% d’IVA = 195 x 0,16 =31,20€.
= 18
1.500 L’IRPF és del 18%.
Fixa’t que l’IRPF es calcula a partir de la remuneració total (que és la suma del salari base i de la paga de beneficis). El 6% de 705,24€ són: 705,24 x 0,06 = 42,31€ a) Si la remuneració total puja un 25% tenim: El 25% de 705,24€ són: 705,24 x 0,25 = 176,31€ La remuneració final serà 705,24 + 176,31 = 881,55€. La retenció de l’IRPF serà: El 6% de 881,55 són: 881,55 x 0,06 = 52,89€ b) Si ens pugen la retenció al 15%: El 15% de 705,24 són: 705,24 x 0,15 = 105,79€ La retenció per l’IRPF serà de 105,79€. Per tant, cobrarem: 705,24 — 38,25 — 12,61 — 0,81 — 105,79 = 547,78€
Activitat 9 PÀG.177
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Fixa’t en la nòmina de l’apartat 2 i digues què passaria en els casos següents: a) Quant ens retindran d’IRPF si ens pugen la remuneració total un 25%. b) Ens pugen la retenció de l’IRPF a un 15%.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Activitat 8
Fixa’t en la factura de l’apartat 2. Què hauria hagut de pagar si hagués comprat un llibre i dos pantalons? Un llibre val 6,10 i l’IVA és del 4%. El 4% de 6,10€ són: 6,10 x 0,04 = 0,24€ El preu total del llibre, IVA inclòs, és de 6,10 + 0,24 = 6,34€ Uns pantalons valen 30€; per tant, dos en valdran 60€. L’IVA és del 16%. El 16% de 60€ són: 60 x 0,16 = 9,60€ Els pantalons ens costaran, per tant: 60 + 9,60 = 69,60€ El total de la factura hauria estat de 6,34 + 69,60 = 75,94€
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’APRENENTATGE
116
PÀG.178
Un venedor de cotxes té una comissió del 5,5%. Si cada cotxe val 1.270€ i ha venut 3 cotxes, quants diners ha guanyat de comissió? 1.270 x 3 = 3.810€ ha fet de venda. El 5,5% de 3.810€ serà: 3.810 x 0,055 = 209,55€ de comissió.
Activitat 2 Et vols comprar una enciclopèdia que val 720€. Si et fan un 12% de descompte, quant pagaràs per l’enciclopèdia? El 12% de 720 és = 0,12 x 720 = 86,40€ de descompte. Pagaràs per l’enciclopèdia: 720 - 86,40 = 633,60€.
Activitat 3 Un botiguer compra una remesa de 200 camises per 2.400€. Per posar el preu carrega un 50% i després aplica el 16% d’IVA. Quin serà el preu que marcarà l’etiqueta?
UNITAT 4
Activitat 1
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 117
El preu de compra d’una camisa és: 2.400 : 200 = 12€. El 50% de 12€ = 12 x 0,50 = 6€. Al preu de 12 + 6 = 18€ el botiguer li aplica l’IVA.
Activitat 4 Pagues 180€ de multa per haver anat amb excés de velocitat. T’has estalviat el 20% per haver-la pagat en el termini que t’havien indicat. Quin era el preu original de la multa? Si t’has estalviat el 20% vol dir que has pagat el 80%. Has pagat 80€ de cada 100€. Has pagat 180 de x 80
=
180
100 x 18.000
x= 80
= 225 €
El preu de la multa era de 225€.
PÀG.179
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
El preu que marcarà l’etiqueta serà: 18 + 2,88 = 20,88€.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
18 x 0,16 = 2,88€
118
Activitat 5
L’increment del preu ha sigut de 17 – 15 = 2€ De 15€ han augmentat 2. De 100 augmentarà x 15
=
100 x=
2 x 200
= 13,33 %
15 L’augment ha sigut del 13,33%.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
UNITAT 4
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Quin és el percentatge que ha augmentat el preu de l’entrada d’un espectacle si l’any passat costava 15€ i enguany 17€?
PÀG.180
has treballat?
UNITAT 4
què
QUÈ HAS TREBALLAT?
119
EL MERCAT
Descomptes
Recàrrecs
Rebaixes
Impostos
Economia domèstica
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Comissions
Percentatges aplicats a l’economia
Interessos
Liquidacions
Drets del consumidor
PÀG.181
Pressupost
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Oferta i demanda
UNITAT 4
COM HO PORTO?
120
com
ho porto?
Omple la graella següent posant una creu on correspongui. En acabar la unitat, sóc capaç de... Bé
Diferenciar béns i serveis. Reconèixer la llei de l’oferta i la demanda.
Calcular el tant per cent en recàrrec. Utilitzar el tant per cent per fer descomptes. Aplicar els percentatges dels impostos.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Calcular el tant per cent en comissions.
PÀG.182
A mitges
Malament
21
25
29
31
Sabries dir quins d’aquests nombres són primers? Per què?
Activitat 2 Una empresa catalana de productes lactis distribueix els seus iogurts o bé empaquetats amb lots de 8 unitats o bé amb lots d’una dotzena d’unitats. En el magatzem hi ha gairebé 5.000 iogurts per empaquetar. Quants iogurts hi ha exactament si a l’hora de fer els lots no n’ha sobrat cap? Quants lots s’han pogut fer de cada?
Activitat 3 Escriu les fraccions que corresponen a: a) Una moneda de 2€ respecte d’un bitllet de 5€. b) Un centímetre respecte d’un metre. c) Un decilitre respecte d’un litre. d) El cap de setmana respecte de la setmana sencera. e) La setmana laboral respecte de la setmana sencera. f) L’estació de la primavera respecte de tot l’any. Ordena de més petita a més gran les fraccions que has obtingut.
PÀG.183
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Troba tots els divisors dels nombres:
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Activitat 1
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL 121
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
122
Activitat 4 A l’escola, per poder marxar de viatge de fi de curs, veníem samarretes a 1.500 pessetes. Actualment quin serà el seu preu en euros? Per resoldre el problema pots utilitzar la calculadora. S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes.
Activitat 5 Indica les mides reals de les dues habitacions.
Activitat 6 Per omplir una botella d’aigua de litre i mig amb una mànega triguem 20 segons. Quantes hores trigaríem a omplir un dipòsit de 5.400 litres?
PÀG.184
Segons un estudi, el 66% dels ingressos familiars es destinen a pagar deutes, la majoria de les quals són d’habitatge. Atesa aquesta dada, si una família dedica 800€ a pagar deutes, quants euros són els seus ingressos?
Activitat 8 A l’etiqueta d’un aliment trobem la nota següent: Aquest producte conté: ·
55% d’hidrats de carboni
·
35% de grasses
·
10% de proteïnes
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Si mengem 150 g d’aquest aliment, quants grams prendrem d’hidrats de carboni, quants de grasses i quants de proteïnes?
PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
123
Activitat 7
PÀG.185
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
124
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL Activitat 1 Troba tots els divisors dels nombres: 21
25
29
31
Sabries dir quins d’aquests nombres són primers? Per què? Descomponem 21, 25, 29 i 31 factorialment. 21
3
25
5
29
7
7
5
5
1
1
29
31
31
1
1 25 = 52
21 = 3 x 7
29 = 29 x 1
31 = 31 x 1
1 21 és divisible per
1 21 és divisible per
3
7
Escrivim els diferents productes: x
1 =1
x
7 =7
1
x
1 =3
x
7 = 21
3
Divisors de 21 = {1, 3, 7, 21} 1 2. ECONOMIA DOMÈSTICA
25 és divisible per
5 52
Divisors de 25 = {1, 5, 25} 1 29 és divisible per 29 Divisors de 29 = {1, 29}
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
1 31 és divisible per 31 Divisors de 31 = {1, 31} 29 i 31 són nombres primers perquè tenen com a únics divisors els trivials, és a dir, ells mateixos i la unitat.
PÀG.186
8
2
12
2
4
2
6
2
2
2
3
3
1
1 3
mcm (8, 12) = 2 x 3 = 8 x 3 = 24 24 és múltiple tant de 8 com de 12, però el nombre que busquem s’ha d’acostar al més possible a 5.000. 24 x 100 = 2.400 24 x 200 = 4.800. Aquest nombre és proper a 5.000. Però encara ens hi podem acostar més. Només cal anar sumant 24 ja que els nombres que s’obtindran continuaran sent múltiples de 8 i 12 a la vegada. 4.800 + 24 = 4.824 4.824 + 24= 4.848 4.848 + 24= 4.872 4.872 + 24 = 4.896 4.896 és el nombre més proper a 5.000 que és múltiple de 8 i de 12 a la vegada. Si li sumem 24 unitats més ja sobrepassem 5.000. Per tant, en el magatzem hi ha un total de 4.896 iogurts. Activitat 3 Escriu les fraccions que corresponen a: a) Una moneda de 2€ respecte d’un bitllet de 5€. b) Un centímetre respecte d’un metre. c) Un decilitre respecte d’un litre. d) El cap de setmana respecte de la setmana sencera. e) La setmana laboral respecte de la setmana sencera. f) L’estació de la primavera respecte de tot l’any. a) 2/5 b) 1/100 c) 1/10 d) 2/7 e) 5/7 f) 1/4 Ordena de més petita a més gran les fraccions que has obtingut. 1/100 < 1/10 < 1/4 < 2/7 < 2/5 < 5/7
PÀG.187
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
El nombre de iogurts que hi ha en el magatzem ha de ser múltiple de 8 i de 12 ja que els lots que es fan són de 8 i 12 unitats i no en sobra cap. De múltiple comú a 8 i 12, en sabem calcular un i és el mcm (8, 12).
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Una empresa catalana de productes lactis distribueix els seus iogurts o bé empaquetats amb lots de 8 unitats o bé amb lots d’una dotzena d’unitats. En el magatzem hi ha gairebé 5.000 iogurts per empaquetar. Quants iogurts hi ha exactament si a l’hora de fer els lots no n’ha sobrat cap? Quants lots s’han pogut fer de cada?
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
125
Activitat 2
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
126
Activitat 4 A l’escola, per poder marxar de viatge de fi de curs, veníem samarretes a 1.500 pessetes. Actualment quin serà el seu preu en euros? Per resoldre el problema pots utilitzar la calculadora. S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. 1.500 : 166,386 = 9,0151815..... Si arrodonim a les centèsimes 1.500 ptes són 9,02€.
Activitat 5 Indica les mides reals de les dues habitacions.
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Les mides reals de les habitacions són 6 m x 9 m i 4 m x 9 m.
Activitat 6 Per omplir una botella d’aigua de litre i mig amb una mànega triguem 20 segons. Quantes hores trigaríem a omplir una dipòsit de 5.400 litres?
1,5 5.400
=
20
1,5 x = 20 · 5.400
▼
Si omplim 1,5 litres en 20 segons Omplirem 5.400 litres en x segons ▼
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
3 cm x 200 = 600 cm = 6 m 4,5 cm x 200 cm = 900 cm = 9 m 2 cm x 200 = 400 cm = 4 m
x=
x
108.000
= 72.000 segons
1,5
Trigarem 72.000 segons, però quantes hores són això: 72.000 segons ·
1 minut 60 segons
·
1 hora 60 minuts
PÀG.188
= 20 hores
Segons l’estudi el 66% dels ingressos és per deutes, en aquest cas 800€. 66 correspon a 800€ 100 correspon a x Escrit en forma de proporcionalitat: 66
=
100
800 x 80.000
x=
= 1.212,12 €
66 Els ingressos són 1.1212,12€.
Activitat 8 A l’etiqueta d’un aliment trobem la nota següent: Aquest producte conté: ·
55% d’hidrats de carboni
·
35% de grasses
·
10% de proteïnes
Si mengem 150 g d’aquest aliment, quants grams prendrem d’hidrats de carboni, quants de grasses i quants de proteïnes? El 55% de 150 g = 0,55 x 150 = 82,5 g. Els hidrats de carboni són 82,5 g. El 35% de 150 g = 0,35 x 150 = 52,5 g. Les grasses són 52,5 g. El 10% de 150 g = 0,10 x 150 = 15 g.
2. ECONOMIA DOMÈSTICA
Segons un estudi, el 66% dels ingressos familiars es destinen a pagar deutes, la majoria de les quals són d’habitatge. Atesa aquesta dada, si una família dedica 800€ a pagar deutes, quants euros són els seus ingressos?
SOLUCIONS ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
127
Activitat 7
Matemàtiques, Ciència i Tecnologia
Les proteïnes són 15 g.
PÀG.189
Unitat 8 POTÈNCIES I ARRELS.
MATEMÀTIQUES I PÀG.190
PÀG.191
PÀG.192
PÀG.193
PÀG.194
PÀG.195
PÀG.196
PÀG.197
PÀG.198
PÀG.199
PÀG.200