3.5 Condizione necessaria per la convergenza

limite per �� → +∞ nella (3.15) si ottiene la relazione:

∞ ∑ ��=��0+1 ��=0

����)− ����0 = �� − ����0 per ogni �� > ��0. (3.16) (������) Per la (3.16), ciascuna coda può essere interpretata come il resto, o l’errore che si commette approssimando la somma��con la somma parziale����0 . In effettiin una serie convergente l’errore va a zero per ��0 → +∞: il valore ��0 nella (3.16) è arbitrario e passando al limite per ��0 → +∞ risulta

∞ ∑ ��=0 ���� è convergente ⇒

∞ ∑ ��=��0+1 ���� → 0 per ��0 → +∞. (3.17)

Sfruttando l’osservazione precedente possiamo, per esempio, calcolare

∞ ∑ ��=2 (1 2)�� = ��=0 (1 2)�� − 1 −1 2 1 2 ,

��=2 1 ��(�� + 1)

∞ ∑ ��=1 1 ��(�� + 1) 1 2 1 2.

Esempio 3.13

Il problema centrale nella teoria delle serie è che raramente si può determinare una formula “esplicita” per la somma parziale ���� che consenta il calcolo del suo limite. Quindi, in generale non è possibile applicare direttamente la teoria presentata nel capitolo precedente per studiare la successione {����}. Occorre perciò sviluppare criteri di convergenza ed eventuali metodi di approssimazione della somma.

Cominciamo con una condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Sia {����} una successione reale. Allora

∞ ∑ ��=0 ���� è convergente ⇒ lim ���� = 0 . (3.18)

Teorema 3.14 Condizione necessaria per la convergenza

Dimostrazione. Per definizione di serie convergente, la successione delle somme parziali converge a un numero reale ��, cioè ���� → �� ∈ ℝ per �� → +∞. Per la (3.5), si ha ���� = ����− ����−1, quindi

lim ��→+∞ ���� = lim (����− ����−1) = �� − �� = 0.

La doppia implicazione nella (3.18) è falsa:

lim ��→+∞ ���� = 0 ⇏

∞ ∑ ��=0 ���� è convergente.

Osservazione 3.15 La condizione necessaria non è sufficiente