Epsilon 1 - Capitolo 3

3.5

Condizione necessaria per la convergenza

139

limite per 𝑛 → +∞ nella (3.15) si ottiene la relazione: ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 = ( ∑ 𝑎𝑘 ) − 𝑠𝑛0 = 𝑠 − 𝑠𝑛0 𝑘=𝑛0 +1

per ogni 𝑛 > 𝑛0 .

(3.16)

𝑘=0

(𝑖𝑖𝑖) Per la (3.16), ciascuna coda può essere interpretata come il resto, o l’errore che si commette approssimando la somma 𝑠 con la somma parziale 𝑠𝑛0 . In effetti in una serie convergente l’errore va a zero per 𝑛0 → +∞: il valore 𝑛0 nella (3.16) è arbitrario e passando al limite per 𝑛0 → +∞ risulta ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente ⇒ 𝑘=0

∑ 𝑎𝑘 → 0

per 𝑛0 → +∞ .

(3.17)

𝑘=𝑛0 +1

Esempio 3.13

Sfruttando l’osservazione precedente possiamo, per esempio, calcolare ∞

∞

∞

𝑘 𝑘 ∑ (1) = ∑ (1) − 1 − 1 = 1, 2 2 2 2 𝑘=2 𝑘=0

∞

1 1 = ∑ − 1 = 1.

2 2 𝑘(𝑘 + 1) 𝑘(𝑘 + 1) 𝑘=2 𝑘=1 ∑

3.5 Condizione necessaria per la convergenza Il problema centrale nella teoria delle serie è che raramente si può determinare una formula “esplicita” per la somma parziale 𝑠𝑛 che consenta il calcolo del suo limite. Quindi, in generale non è possibile applicare direttamente la teoria presentata nel capitolo precedente per studiare la successione {𝑠𝑛 }. Occorre perciò sviluppare criteri di convergenza ed eventuali metodi di approssimazione della somma.

Cominciamo con una condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Sia {𝑎𝑘 } una successione reale. Allora ∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente

⇒

𝑘=0

lim 𝑎𝑘 = 0 .

𝑘→+∞

(3.18)

Teorema 3.14 Condizione necessaria per la convergenza

Dimostrazione. Per definizione di serie convergente, la successione delle somme parziali converge a un numero reale 𝑠, cioè 𝑠𝑛 → 𝑠 ∈ ℝ per 𝑛 → +∞. Per la (3.5), si ha 𝑎𝑛 = 𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1 , quindi lim 𝑎𝑛 = lim (𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1 ) = 𝑠 − 𝑠 = 0.

𝑛→+∞

𝑛→+∞

La doppia implicazione nella (3.18) è falsa: ∞

lim 𝑎𝑘 = 0

𝑘→+∞

⇏

∑ 𝑎𝑘 è convergente. 𝑘=0

Osservazione 3.15 La condizione necessaria non è sufficiente