Epsilon 1 - Capitolo 3

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Serie numeriche

Supponiamo di muoverci lungo un percorso rettilineo, compiendo una successione di spostamenti nella stessa direzione, ciascuno pari alla metร  del precedente. Supponendo che il primo spostamento sia pari a ๐‘ 0 = 1 km, le posizioni raggiunte dopo i vari spostamenti saranno ๐‘ 0 = 1,

๐‘ 1 = 1 +

1 2

= 32 ,

๐‘ 2 =

3 2

+

1 4

= 47 ,

๐‘ 3 =

7 4

+

1 8

=

15 , 8

โ€ฆ .

Usando la formula (1.87) per la somma della progressione geometrica, si ottiene ๐‘›+1

๐‘› 1 โˆ’ ( 21 ) ๐‘ ๐‘› = 1 + 1 + 1 + 1 + โ‹ฏ + 1๐‘› = โˆ‘ 1๐‘˜ = 2 4 8 2 2 1 โˆ’ 21 ๐‘˜=0

โ†’2

per ๐‘› โ†’ +โˆž.

(3.1)

Perciรฒ la posizione raggiunta dopo infiniti spostamenti sarebbe 2 km (Fig. 3.1). รˆ quindi naturale scrivere una somma infinita, ovvero una serie numerica: โˆž

โˆ‘ 1๐‘˜ = 2 . 2 ๐‘˜=0 1 1 1 1 1 2 4 8 16 ๎…๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎…“๎…’๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎…‘ ๎…๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎…“๎…’๎Š๎Š๎Š๎Š๎Š๎…‘ ๎…๎Š๎…“๎…’๎Š๎…‘๎…๎…“๎…’๎…‘ ๎…๎…“๎…’๎…‘ 0

3 2

1

7 4

15 31 2 8 16

Figura 3.1 I valori delle somme in (3.1) si avvicinano sempre piรน a 2.

1 E se invece compissimo spostamenti pari a 1, 31 , 91 , 27 , โ€ฆ km, cioรจ pari ognuno a un terzo del precedente? In tal caso ๐‘›+1

๐‘› 1 โˆ’ ( 31 ) ๐‘ ๐‘› = โˆ‘ 1๐‘˜ = 3 1 โˆ’ 31 ๐‘˜=0

โ†’ 3 2

โˆž

per ๐‘› โ†’ +โˆž,

ovvero

โˆ‘ 1๐‘˜ = 3 . 2 3 ๐‘˜=0

(3.2)

Un altro esempio familiare รจ quello degli sviluppi decimali periodici. Quando scriviamo il numero decimale 0,3 = 0,33333 โ€ฆ , in effetti sommiamo infiniti termini: โˆž

0,3 = 3 + 3 + 3 + โ‹ฏ = โˆ‘ 3๐‘˜ . 10 100 1000 10 ๐‘˜=1 Anche in questo caso lโ€™idea รจ quella di sommare i primi ๐‘› termini, costruendo una successione {๐‘ ๐‘› } di somme parziali, per poi far tendere ๐‘› a +โˆž. Nel Paragrafo 3.7 vedremo che questo procedimento conduce alla ben nota formula secondo la quale 0,3 = 31 . Quindi le serie numeriche si incontrano naturalmente proprio alla base del concetto di numero. In questo capitolo daremo una base generale e rigorosa per tali concetti.

Guida Il capitolo รจ differibile finchรฉ non si trattano le serie di Taylor. Le serie numeriche sono riprese con esempi ed esercizi dedicati nel Capitolo 6.


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