Epsilon 1 - Capitolo 3

3

Serie numeriche

Supponiamo di muoverci lungo un percorso rettilineo, compiendo una successione di spostamenti nella stessa direzione, ciascuno pari alla metà del precedente. Supponendo che il primo spostamento sia pari a 𝑠0 = 1 km, le posizioni raggiunte dopo i vari spostamenti saranno 𝑠0 = 1,

𝑠1 = 1 +

1 2

= 32 ,

𝑠2 =

3 2

+

1 4

= 47 ,

𝑠3 =

7 4

+

1 8

=

15 , 8

… .

Usando la formula (1.87) per la somma della progressione geometrica, si ottiene 𝑛+1

𝑛 1 − ( 21 ) 𝑠𝑛 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1𝑛 = ∑ 1𝑘 = 2 4 8 2 2 1 − 21 𝑘=0

→2

per 𝑛 → +∞.

(3.1)

Perciò la posizione raggiunta dopo infiniti spostamenti sarebbe 2 km (Fig. 3.1). È quindi naturale scrivere una somma infinita, ovvero una serie numerica: ∞

∑ 1𝑘 = 2 .

2 𝑘=0 1 1 1 1 1 2 4 8 16     0

3 2

1

7 4

15 31 2 8 16

Figura 3.1 I valori delle somme in (3.1) si avvicinano sempre più a 2.

1 E se invece compissimo spostamenti pari a 1, 31 , 91 , 27 , … km, cioè pari ognuno a un terzo del precedente? In tal caso 𝑛+1

𝑛 1 − ( 31 ) 𝑠𝑛 = ∑ 1𝑘 = 3 1 − 31 𝑘=0

→ 3 2

∞

per 𝑛 → +∞,

ovvero

∑ 1𝑘 = 3 .

2 3 𝑘=0

(3.2)

Un altro esempio familiare è quello degli sviluppi decimali periodici. Quando scriviamo il numero decimale 0,3 = 0,33333 … , in effetti sommiamo infiniti termini: ∞

0,3 = 3 + 3 + 3 + ⋯ = ∑ 3𝑘 .

10 100 1000 10 𝑘=1 Anche in questo caso l’idea è quella di sommare i primi 𝑛 termini, costruendo una successione {𝑠𝑛 } di somme parziali, per poi far tendere 𝑛 a +∞. Nel Paragrafo 3.7 vedremo che questo procedimento conduce alla ben nota formula secondo la quale 0,3 = 31 . Quindi le serie numeriche si incontrano naturalmente proprio alla base del concetto di numero. In questo capitolo daremo una base generale e rigorosa per tali concetti.

Guida Il capitolo è differibile finché non si trattano le serie di Taylor. Le serie numeriche sono riprese con esempi ed esercizi dedicati nel Capitolo 6.

134

Capitolo 3

Serie numeriche

3.1 Definizione Una serie numerica è la somma formale degli elementi di una successione numerica {𝑎𝑘 }. Per indicare una serie si usano le notazioni ∞

𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯

∑ 𝑎𝑘

oppure

(3.3)

𝑘=0

e gli 𝑎𝑘 prendono il nome di termini della serie. Per dare rigore matematico alla somma formale, procediamo come segue: a partire dalla successione {𝑎𝑘 }, costruiamo un’altra successione sommando i primi termini di {𝑎𝑘 }, fino all’indice 𝑛. I numeri 𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ,

𝑛∈ℕ

(3.4)

𝑘=0

sono detti somme parziali o somme ridotte 𝑛-esime della serie (3.3). Si noti che la successione {𝑠𝑛 } può essere definita in modo ricorsivo come {

𝑠0 = 𝑎 0 𝑠𝑛 = 𝑠𝑛−1 + 𝑎𝑛

(3.5)

per 𝑛 ≥ 1 .

Il carattere della serie è determinato dall’andamento della successione {𝑠𝑛 }.

Definizione 3.1 Carattere e somma di una serie

∞

Sia {𝑎𝑘 } una successione a valori in ℝ. La serie ∑ 𝑎𝑘 si dice convergente se è conver𝑘=0

gente la successione {𝑠𝑛 } delle somme parziali definita nella (3.4). In tal caso il limite 𝑠 ∈ ℝ di {𝑠𝑛 } si dice somma della serie, 𝑛

𝑠 ∶= lim 𝑠𝑛 = lim ∑ 𝑎𝑘 ; 𝑛→+∞

𝑛→+∞

∞

notazione: 𝑠 = ∑ 𝑎𝑘 .

𝑘=0

𝑘=0

∞

La serie ∑ 𝑎𝑘 è divergente o irregolare se lo è la successione {𝑠𝑛 }, ovvero: 𝑘=0 ∞

diverge a +∞ se lim 𝑠𝑛 = +∞ , 𝑛→+∞

diverge a −∞ se lim 𝑠𝑛 = −∞ , 𝑛→+∞

notazione: ∑ 𝑎𝑘 = +∞; 𝑘=0 ∞

notazione: ∑ 𝑎𝑘 = −∞; 𝑘=0

è irregolare se lim 𝑠𝑛 non esiste. 𝑛→+∞

Il carattere della serie indica la proprietà di essere convergente, divergente a ±∞ o irregolare.

Osservazione 3.2

∞

(𝑖)

Si usa ∑ 𝑎𝑘 per indicare sia la serie stessa, cioè la somma formale, sia il valore 𝑘=0

numerico della somma della serie nel caso in cui questa converga. (𝑖𝑖)

La Definizione 3.1 è identica se sostituiamo l’indice iniziale 0 con un qualunque intero 𝑛0 ≠ 0. In questo capitolo considereremo di solito serie in cui l’indice iniziale della somma è 0 oppure 1. Tutti gli enunciati del capitolo saranno dati con 𝑛0 = 0, ma possono essere modificati in modo che l’indice iniziale sia diverso.

3.2

Serie geometrica

135

Esempio 3.3

Nell’introduzione abbiamo visto che la serie ∞

∑ 1𝑘 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 2 4 8 16 2 𝑘=0 converge e la sua somma vale 2 (si veda la (3.1)). Si tratta di un caso particolare della serie geometrica, che vedremo nel prossimo paragrafo.

In generale è piuttosto complicato trovare formule esplicite per il valore di 𝑠𝑛 che permettano di calcolarne il limite. In alcuni casi eccezionali si possono determinare esplicitamente le somme parziali di una serie e di conseguenza, utilizzando i limiti, la sua somma. Nei prossimi due paragrafi ne vedremo due tipi importanti.

3.2 Serie geometrica ∞

Definizione 3.4 Serie geometrica

Sia 𝑟 ∈ ℝ. Si dice serie geometrica di ragione 𝑟 la serie ∑ 𝑟𝑘 = 1 + 𝑟 + 𝑟2 + ⋯ 𝑘=0

Teorema 3.5 Carattere della serie geometrica

La serie geometrica di ragione 𝑟 è: ∞

convergente e ∑ 𝑟𝑘 =

(𝑖)

𝑘=0

(𝑖𝑖)

1 se −1 < 𝑟 < 1; 1−𝑟

(3.6)

divergente a +∞ se 𝑟 ≥ 1;

(𝑖𝑖𝑖) irregolare se 𝑟 ≤ −1.

Dimostrazione. Basta passare al limite per 𝑛 → +∞ nella (1.87): 𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 𝑟𝑘 = 𝑘=0

1 − 𝑟𝑛+1 1−𝑟

se 𝑟 ≠ 1

(ovviamente 𝑠𝑛 = 𝑛 + 1 se 𝑟 = 1).

Si noti che dal Teorema 3.5 (𝑖) segue anche la seguente formula: ∞

∑ 𝑎𝑟𝑘 = 𝑘=𝑘0

𝑎𝑟𝑘0 1−𝑟

se −1 < 𝑟 < 1

per ogni 𝑎 ∈ ℝ, 𝑘0 ∈ ℕ .

(3.7)

Infatti, per ogni 𝑛 ≥ 𝑘0 si ha (si veda anche la (1.88)) 𝑛−𝑘0

𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑟𝑘 = 𝑎𝑟𝑘0 (1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑟𝑛0−𝑘0 ) = 𝑎𝑟𝑘0 ∑ 𝑟𝑘 → 𝑎𝑟𝑘0 𝑘=0

𝑘=𝑘0

1 1−𝑟

per 𝑛 → +∞.

Esercizio 3.2.1 Dire quanto valgono le somme delle seguenti serie: ∞

a) ∑ 5𝑛 ; 𝑘=2 2

∞

11𝑛 ; 𝑛+2 𝑘=1 10

b) ∑

∞

𝑛 c) ∑ 82𝑛 ; 𝑘=0 𝜋

∞

𝑛

d) ∑ (−1)𝑛 3𝑛 .

4 𝑘=5

136

Capitolo 3

Serie numeriche

Esercizio 3.2.2 a) Una palla viene lasciata cadere verticalmente da un’altezza di 10 metri e rimbalza sul pavimento.

A ogni rimbalzo perde energia e risale fino a 2/3 dell’altezza precedente. Supponendo che continui a rimbalzare infinite volte, calcolare la distanza percorsa complessivamente dalla palla. b) Trovare l’area della regione colorata della Fig. 3.2, se il cerchio più grande ha raggio 1.

Figura 3.2

3.3 Serie telescopiche Cominciamo con un esempio.

Esempio 3.6 Serie di Mengoli

Mostriamo che la seguente serie di Mengoli è convergente e la sua somma vale 1: ∞

∑ 𝑘=1

1 = 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = 1.

2 6 12 20 𝑘(𝑘 + 1)

(3.8)

1 = 1 − 1 . Questo semplifica enorme𝑘 𝑘+1 𝑘(𝑘 + 1) mente il calcolo della somma parziale 𝑛-esima in quanto i termini successivi si semplificano l’uno con l’altro e restano solo i due termini estremi: Per dimostrarlo, osserviamo che

𝑛

𝑠𝑛 = ∑ ( 1 − 1 ) 𝑘 𝑘+1 𝑘=1 1 − 1 ) = 1 − 1 → 1. = (1 − 1C ) + ( 1C − 1C ) + ( 1C − 1C ) + ⋯ + (A𝑛 A 𝑛+1 𝑛+1 2C 2C 3C 3C 4C La precedente tecnica si può generalizzare.

Definizione 3.7 Serie telescopiche

Si dice serie telescopica una serie della forma ∞

∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) ,

dove {𝑏𝑘 } è una successione reale.

(3.9)

𝑘=0

Per una serie telescopica si calcola esplicitamente 𝑠𝑛 per ogni 𝑛. Infatti i termini si cancellano come nell’Esempio 3.6, e si ha: 𝑛

𝑠𝑛 = ∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 𝑏0 − 𝑏𝑛+1 . 𝑘=0

Ne segue che il carattere della serie dipende solo da quello della successione {𝑏𝑛+1 }, ovvero da quello della successione {𝑏𝑛 }. Pertanto vale il seguente risultato.

Proposizione 3.8 Carattere e somma di una serie telescopica

La serie telescopica (3.9) converge, diverge o è irregolare a seconda che la successione {𝑏𝑘 } rispettivamente converga, diverga o sia irregolare. Se esiste lim 𝑏𝑘 , allora 𝑘→+∞

∞

∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 𝑏0 − lim 𝑏𝑘 . 𝑘=0

𝑘→+∞

3.3

(𝑖)

137

Esempio 3.9

Si ha ∞

∞

∑ log 𝑘=1 ∞

(𝑖𝑖)

Serie telescopiche

Si ha ∑ 𝑘=0

𝑘 = ∑ ( log 𝑘 − log(𝑘 + 1)) = log 1 − lim log 𝑘 = −∞ . ⏟ 𝑘→+∞ 𝑘 + 1 𝑘=1 =0

1 = 1 . Vediamo se esistono costanti 𝑎 e 𝑏 tali che 2 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) 1 = 𝑎 − 𝑏 2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)

∀ 𝑘 ∈ ℕ.

(3.10)

Poiché si ha 𝑎 − 𝑏 = 𝑎(2𝑘 + 3) − 𝑏(2𝑘 + 1) = 2𝑘(𝑎 − 𝑏) + 3𝑎 − 𝑏 , 2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) l’identità (3.10) è verificata scegliendo 𝑎 − 𝑏 = 0 e 3𝑎 − 𝑏 = 1, ovvero 𝑎 = 𝑏 = 21 .

Pertanto la serie è telescopica e si può applicare la Proposizione 3.8: ∞

∞

1 = ∑ 1( 1 − 1 ) (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) 𝑘=0 2 2𝑘 + 1 2𝑘 + 3 𝑘=0 ∑

∞

= 1 ∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1 ) = 1 , 2 𝑘=0 2 dove 𝑏𝑘 =

1 2𝑘+1

(infatti 𝑏𝑘+1 =

1 2(𝑘+1)+1

=

1 ).

2𝑘+3

Esercizio 3.3.1 Calcolare la somma (se esiste) delle seguenti serie telescopiche (o che si possono scrivere come tali): ∞

a) ∑ (log (3 + 1 ) − log (3 + 1 )) ; 𝑘 𝑘+1 𝑘=2 ∞

∞ 𝑘=1

𝑘=1 ∞

b) ∑ ( 𝑘 + 1 − 𝑘 ) ; 𝑘+1 𝑘=1 𝑘 + 2 c) ∑

∞

d) ∑ (𝑘𝛼 − (𝑘 + 1)𝛼 ) , al variare di 𝛼 ∈ ℝ;

e) ∑ 𝑘=1

2𝑘 + 1 . 𝑘2 (𝑘 + 1)2

1 ; (3𝑘 + 2)(3𝑘 + 5)

Esercizio 3.3.2 Trovare una formula per determinare il carattere e la somma di una serie del tipo: ∞

∞

a) ∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+2 ) ;

b) ∑ (𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+𝑚 ), con 𝑚 intero naturale fissato.

𝑘=1

𝑘=1

Esercizio 3.3.3 Utilizzando i risultati dell’esercizio precedente, calcolare il carattere ed eventualmente la somma delle seguenti serie: ∞

1 ; 𝑘(𝑘 + 2) 𝑘=1

a) ∑

∞

∞

b) ∑

c) ∑

1 ; 𝑘(𝑘 + 4) 𝑘=1

𝑘=5

𝑘2

1 ; −4

∞

d) ∑ log1/2 𝑘=1

𝑘 . 𝑘+3

138

Capitolo 3

Serie numeriche

3.4 Proprietà elementari Le seguenti proprietà seguono immediatamente dall’algebra dei limiti.

Proposizione 3.10 Linearità

(𝑖)

Per ogni 𝜆1 , 𝜆2 ∈ ℝ, si ha: ∞

∞

∞

∑ 𝑎𝑘 e ∑ 𝑏𝑘 convergenti ⇒ ∑ (𝜆1 𝑎𝑘 + 𝜆2 𝑏𝑘 ) convergente 𝑘=0

𝑘=0

(3.11)

𝑘=0

e in tal caso le somme delle serie verificano la relazione ∞

∞

∞

∑ (𝜆1 𝑎𝑘 + 𝜆2 𝑏𝑘 ) = 𝜆1 ∑ 𝑎𝑘 + 𝜆2 ∑ 𝑏𝑘 . 𝑘=0

(𝑖𝑖)

𝑘=0

(3.12)

𝑘=0

Inoltre, se 𝜆 ∈ ℝ, ∞

∞

∞

∑ 𝑎𝑘 = +∞ ⇒ ∑ (−𝑎𝑘 ) = −∞ e ∑ 𝜆 𝑎𝑘 = { 𝑘=0

𝑘=0

∞

𝑘=0

∞

(3.13)

∞

∑ 𝑎𝑘 = +∞ e ∑ 𝑏𝑘 = 𝑠 ≠ −∞ 𝑘=0

+∞ se 𝜆 > 0 −∞ se 𝜆 < 0,

𝑘=0

∑ (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) = +∞ .

⇒

(3.14)

𝑘=0

La definizione di prodotto di due serie è più delicata (Paragrafo 3.11.4).

Esempio 3.11

Sfruttando la linearità, possiamo determinare il carattere delle seguenti serie: ∞

(𝑖)

∞

1 ∑ ( 7𝑘 − ); (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 3 𝑘=0

𝑘 ∑ 5 −𝑘3 .

2 𝑘=0

(𝑖𝑖)

La (𝑖) si può riscrivere come differenza di due serie convergenti, quindi converge: la 7 somma vale 1−1/3 − 1 = 19 (lo studente spieghi perché). La (𝑖𝑖) si può scrivere come 2 5 differenza di una serie convergente (a 1−1/2 = 10) e di una divergente a +∞ (poiché 3 > 2), quindi è divergente a −∞.

Osservazione 3.12 Invarianza del carattere della serie, coda ed errore

(𝑖)

Se si modifica un numero finito di termini di una serie, il valore della somma può cambiare, ma il carattere della serie resta immutato. Per esempio, se si modifica il valore di un termine, 𝑎𝑛0 , per 𝑛 ≥ 𝑛0 le somme ridotte, originale e modificata, differiscono solo per tale termine: quindi entrambe convergono, divergono o sono irregolari. Questo implica che tutti i risultati sul carattere delle serie che enunceremo nei prossimi paragrafi valgono anche se le ipotesi sui coefficienti sono verificate “definitivamente”, cioè da un certo indice in poi.

(𝑖𝑖)

Data una serie ∑ 𝑎𝑘 e un intero 𝑛0 ∈ ℕ, la serie

∞

∞

𝑘=0

coda della serie. Le rispettive somme parziali, 𝑛

𝑠′𝑛 =

𝑎𝑘 si dice 𝑘=𝑛0 +1 𝑠𝑛 e 𝑠′𝑛 , verificano

anche una

𝑛

∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 − 𝑠𝑛0 = 𝑠𝑛 − 𝑠𝑛0 𝑘=𝑛0 +1

∑

per ogni 𝑛 > 𝑛0 ,

(3.15)

𝑘=0

cioè 𝑠𝑛 e 𝑠′𝑛 differiscono per una costante. Pertanto ogni coda di una serie ha lo stesso carattere della serie di partenza. Se la serie converge, allora passando al

3.5

Condizione necessaria per la convergenza

139

limite per 𝑛 → +∞ nella (3.15) si ottiene la relazione: ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 = ( ∑ 𝑎𝑘 ) − 𝑠𝑛0 = 𝑠 − 𝑠𝑛0 𝑘=𝑛0 +1

per ogni 𝑛 > 𝑛0 .

(3.16)

𝑘=0

(𝑖𝑖𝑖) Per la (3.16), ciascuna coda può essere interpretata come il resto, o l’errore che si commette approssimando la somma 𝑠 con la somma parziale 𝑠𝑛0 . In effetti in una serie convergente l’errore va a zero per 𝑛0 → +∞: il valore 𝑛0 nella (3.16) è arbitrario e passando al limite per 𝑛0 → +∞ risulta ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente ⇒ 𝑘=0

∑ 𝑎𝑘 → 0

per 𝑛0 → +∞ .

(3.17)

𝑘=𝑛0 +1

Esempio 3.13

Sfruttando l’osservazione precedente possiamo, per esempio, calcolare ∞

∞

∞

𝑘 𝑘 ∑ (1) = ∑ (1) − 1 − 1 = 1, 2 2 2 2 𝑘=2 𝑘=0

∞

1 1 = ∑ − 1 = 1.

2 2 𝑘(𝑘 + 1) 𝑘(𝑘 + 1) 𝑘=2 𝑘=1 ∑

3.5 Condizione necessaria per la convergenza Il problema centrale nella teoria delle serie è che raramente si può determinare una formula “esplicita” per la somma parziale 𝑠𝑛 che consenta il calcolo del suo limite. Quindi, in generale non è possibile applicare direttamente la teoria presentata nel capitolo precedente per studiare la successione {𝑠𝑛 }. Occorre perciò sviluppare criteri di convergenza ed eventuali metodi di approssimazione della somma.

Cominciamo con una condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Sia {𝑎𝑘 } una successione reale. Allora ∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente

⇒

𝑘=0

lim 𝑎𝑘 = 0 .

𝑘→+∞

(3.18)

Teorema 3.14 Condizione necessaria per la convergenza

Dimostrazione. Per definizione di serie convergente, la successione delle somme parziali converge a un numero reale 𝑠, cioè 𝑠𝑛 → 𝑠 ∈ ℝ per 𝑛 → +∞. Per la (3.5), si ha 𝑎𝑛 = 𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1 , quindi lim 𝑎𝑛 = lim (𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1 ) = 𝑠 − 𝑠 = 0.

𝑛→+∞

𝑛→+∞

La doppia implicazione nella (3.18) è falsa: ∞

lim 𝑎𝑘 = 0

𝑘→+∞

⇏

∑ 𝑎𝑘 è convergente. 𝑘=0

Osservazione 3.15 La condizione necessaria non è sufficiente

140

Capitolo 3

Serie numeriche

Per esempio,

1 √𝑘

∞

1 𝑘=1 √𝑘

→ 0 per 𝑘 → +∞, ma ∑

= +∞. Infatti

𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 1 = 1 + 1 + ⋯ + 1 ≥ 𝑛 ⋅ 1 = √𝑛 → +∞ per 𝑛 → +∞. √𝑛 √𝑛 2⎵⏟⎵⎵⎵⎵⎵⏟ 𝑘=1 √𝑘 ⏟⎵⎵√ ⎵⎵ 𝑛 addendi, ciascuno ≥1/√𝑛

Quindi la condizione lim 𝑎𝑘 = 0 è necessaria ma non sufficiente per la convergenza 𝑘→+∞

di una serie.

Osservazione 3.16 Utilizzo della condizione necessaria

Il Teorema 3.14 viene usato di solito per dimostrare che una serie non è convergente.

Se infatti si prova che lim 𝑎𝑘 ≠ 0 , allora possiamo dire che la serie non converge. 𝑘→+∞

∞

2 2 Per esempio, ∑ 𝑘 2− 3𝑘 non converge, perché lim 𝑘 2− 3𝑘 = 1 ≠ 0 .

4 4𝑘 + 2 4𝑘 +2 𝑘→+∞ 𝑘=0

∞

Esercizio 3.5.1 Ragionando come nell’Osservazione 3.15, provare che ∑ 𝑘−𝛼 diverge a +∞ per ogni 𝛼 < 1. 𝑘=1

3.6 Serie a termini non negativi ∞

∑ 𝑎𝑘 si dice serie a termini non negativi (rispettivamente positivi) se 𝑎𝑘 ≥ 0 (risp. 𝑘=0

𝑎𝑘 > 0) per ogni 𝑘 ∈ ℕ. Più in generale, si parla di serie a termini definitivamente non negativi (risp. definitivamente positivi) se 𝑎𝑘 ≥ 0 (risp. 𝑎𝑘 > 0) definitivamente per 𝑘 → +∞. Osserviamo che, se la serie è a termini (definitivamente) non negativi, allora la successione delle somme parziali è (definitivamente) crescente: 𝑠𝑛+1 = 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑠𝑛

(definitivamente per 𝑛 → +∞).

Quindi, per il Teorema 2.99 e l’Osservazione 2.100, vale il seguente risultato.

Teorema 3.17 Carattere delle serie a termini non negativi

Una serie a termini non negativi può solo convergere, oppure divergere a +∞. Più ∞

𝑛

precisamente, data ∑ 𝑎𝑘 con somme parziali 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 , si ha 𝑘=0

𝑘=0

∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente

⇔

{𝑠𝑛 } è limitata superiormente;

⇔

{𝑠𝑛 } è illimitata superiormente.

𝑘=0 ∞

∑ 𝑎𝑘 è divergente a +∞ 𝑘=0

In ogni caso la somma della serie verifica ∞

∑ 𝑎𝑘 = sup 𝑠𝑛 . 𝑘=0

(3.19)

𝑛∈ℕ

Se la serie è solo a termini definitivamente non negativi, tutti i risultati sono ancora veri, eccetto la (3.19).

3.6

Serie a termini non negativi

Esempio 3.18 Serie armonica

La serie armonica ∞

∑ 1 =1+ 1 + 1 +⋯ 2 3 𝑘

141

è divergente a +∞ .

𝑘=1

Per il teorema precedente, basta dimostrare che le somme parziali sono illimitate superiormente. Cominciamo a osservare che 𝑠1 = 1 , 𝑠4 =

𝑠2 =

1 𝑠⏟2 + ⏟ +⎵⏟ ( 31⎵⏟ 4) 3 =2 ≥1+1=1 4

4

≥

3 2

+

1 2

3 2

,

1 1 𝑠8 = 𝑠⏟4 + ⏟⎵ +⎵⎵⏟⎵ +⎵⏟ ≥ + 71⎵⎵ ( 15 ⎵ 6 8)

= 2,

≥2

2

5 2

,

≥ 81 + 81 + 81 + 81 = 12

ed è facile a questo punto provare per induzione che 𝑠2𝑛 ≥ 1 + 𝑛 → +∞ per 𝑛 → +∞ .

2 Ciò dimostra che {𝑠𝑛 } è illimitata, ovvero la serie diverge. Questo tipo di ragionamento verrà ripreso nel Paragrafo 3.11.1, quando vedremo il criterio di condensazione.

Grazie all’Osservazione 3.10, quanto abbiamo detto e diremo in questo paragrafo può essere applicato, con “il segno scambiato”, anche a una serie a termini definitivamen-

Osservazione 3.19

∞

te non positivi, ovvero a una serie ∑ 𝑎𝑘 con 𝑎𝑘 ≤ 0 definitivamente per 𝑘 → +∞. 𝑘=0 ∞

∞

Per esempio, ∑ (− 3 ) = − 3 ( ∑ 1 ) = −∞ .

2 𝑘=1 𝑘 2𝑘 𝑘=1 Per una serie a termini non negativi, si tratta quindi di capire se i termini tendono a zero abbastanza velocemente da far convergere la serie. Nel seguito del paragrafo illustreremo alcuni criteri che permettono di stabilire il carattere di serie a termini (definitivamente) non negativi.

3.6.1 Criteri del confronto Siano {𝑎𝑘 } e {𝑏𝑘 } due successioni reali tali che 0 ≤ 𝑎𝑘 ≤ 𝑏𝑘

definitivamente per 𝑘 → +∞ .

(3.20)

Allora ∞

∞

∑ 𝑏𝑘 è convergente

⇒

𝑘=0

𝑘=0

(3.21)

𝑘=0 ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 = +∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente

⇒

∑ 𝑏𝑘 = +∞.

(3.22)

𝑘=0 ∞

∞

Se inoltre 0 ≤ 𝑎𝑘 ≤ 𝑏𝑘 per ogni 𝑘 ∈ ℕ, allora ∑ 𝑎𝑘 ≤ ∑ 𝑏𝑘 . 𝑘=0

𝑘=0

Dimostrazione. Per l’Osservazione 3.12, basta considerare il caso in cui 0 ≤ 𝑎𝑘 ≤ 𝑏𝑘 per ogni 𝑘 ∈ ℕ. Dette 𝑠𝑛 e 𝑡𝑛 le somme parziali 𝑛-esime rispettivamente delle 𝑎𝑘 e delle 𝑏𝑘 , si ha ovviamente 𝑠𝑛 ≤ 𝑡𝑛 . Quindi per il Teorema 3.17 si ha: ∞

∑ 𝑏𝑘 è convergente ⇒ le 𝑡𝑛 sono limitate superiormente 𝑘=0

∞

⇒

⇒ le 𝑠𝑛 sono limitate superiormente ⇒ ∑ 𝑎𝑘 è convergente . 𝑘=0

Teorema 3.20 Criterio del confronto per serie a termini non negativi

142

Capitolo 3

Serie numeriche

Poiché le serie possono solo convergere o divergere, la (3.22) segue dalla (3.21) (ragionando per assurdo). Infine, dal teorema del confronto per successioni si ottiene lim 𝑠𝑛 ≤ lim 𝑡𝑛 , che coincide con l’ultima affermazione del teorema.

𝑛→+∞

Esempio 3.21

𝑛→+∞

∞

𝑘 Consideriamo la serie ∑ 𝑏 con 𝑏 > 0. Si tratta di una serie a termini positivi. La 𝑘 𝑘=1 condizione necessaria (3.16), 𝑏𝑘 /𝑘 → 0, è verificata se e solo se 0 < 𝑏 ≤ 1, dunque la serie è divergente a +∞ se 𝑏 > 1. Se 𝑏 = 1 ritroviamo la serie armonica (Esempio 3.18), che è divergente a +∞. Nel caso 0 < 𝑏 < 1 è naturale utilizzare quale serie di confronto quella geometrica di ragione 𝑏, che converge quando 0 < 𝑏 < 1: si ha

𝑏𝑘 ≤ 𝑏𝑘 per 𝑘 ≥ 1 . 𝑘 In conclusione, per il Teorema 3.20 la serie è convergente se e solo se 0 < 𝑏 < 1.

Per svolgere i confronti è particolarmente utile la prossima (famiglia di) serie.

Esempio 3.22 Serie armonica generalizzata

∞

La serie armonica generalizzata ∑ 1𝛼 ha il seguente carattere: 𝑘=1 𝑘 ∞

diverge a +∞ ∑ 1𝛼 { 𝑘 converge 𝑘=1

per ogni 𝛼 ≤ 1 per ogni 𝛼 > 1.

(3.23)

Si tratta ovviamente di una serie a termini positivi. Se 𝛼 ≤ 0, la divergenza segue immediatamente dal fatto che la condizione necessaria (3.18) non è verificata. Se 0 < 𝛼 ≤ 1, la divergenza segue dal confronto con la serie armonica: infatti 𝑘−𝛼 = 𝑘−1 𝑘1−𝛼 ≥ 𝑘−1 per 𝑘 ≥ 1. Se 𝛼 = 2, la convergenza segue dal confronto con la serie di Mengoli (3.8): infatti si ha definitivamente 1/𝑘2 ≤ 2/(𝑘(𝑘 + 1)). Inoltre, poiché 1/𝑘𝛼 ≤ 1/𝑘2 per ogni 𝑘 ≥ 1 e 𝛼 > 2, per confronto si ottiene la (3.23) per ogni 𝛼 ≥ 2.

Resta da considerare il caso in cui 1 < 𝛼 < 2, per la cui verifica si può utilizzare sia il criterio della condensazione che il criterio integrale: si rimanda perciò il lettore al Paragrafo 3.11.1 o al Capitolo 7. Anticipiamo anche che con questi due strumenti si dedurrà il comportamento delle seguenti serie: ∞

diverge a +∞ 1 { 𝛽 converge 𝑘=1 𝑘 log 𝑘 ∑

per ogni 𝛽 ≤ 1 per ogni 𝛽 > 1

(3.24)

(si vedano l’Esempio 3.66 e l’Esempio 7.105). Tale risultato precisa e generalizza la (3.23) nel caso “critico” 𝛼 = 1.

Esempio 3.23

∞

Consideriamo la serie a termini definitivamente positivi ∑ 2𝑘2 − 5 . Per 𝑘 → +∞, 𝑘=0 𝑘 + 1 2𝑘 − 5 = 2 (1 + 𝑜(1)) > 1 > 0 𝑘 𝑘 𝑘2 + 1

definitivamente per 𝑘 → +∞

(poiché 2(1 + 𝑜(1)) > 1 definitivamente). Per la divergenza della seria armonica e il teorema del confronto, la serie in esame diverge a +∞.

3.6

Serie a termini non negativi

143

Il ragionamento usato nell’esempio precedente può essere facilmente generalizzato e conduce alla seguente riformulazione del criterio del confronto.

Siano 𝑎𝑘 > 0 e 𝑏𝑘 > 0 definitivamente per 𝑘 → +∞, e sia lim

𝑘→+∞

∞

(𝑖)

∞

Teorema 3.24 Criterio del confronto asintotico

Se 0 < ℓ < +∞ (cioè 𝑎𝑘 ∼ ℓ𝑏𝑘 ), allora ∑ 𝑎𝑘 e ∑ 𝑏𝑘 hanno lo stesso 𝑘=0

carattere. ∞

(𝑖𝑖)

𝑎𝑘 = ℓ ∈ [0, +∞]. 𝑏𝑘

Se ℓ = 0, allora

𝑘=0 ∞

∑ 𝑏 è convergente ⎧ ⎪ 𝑘=0 𝑘

⇒

⎨ ∞ ⎪ ∑ 𝑎𝑘 = +∞ ⎩ 𝑘=0

⇒

∑ 𝑎𝑘 è convergente 𝑘=0 ∞

∑ 𝑏𝑘 = +∞. 𝑘=0

(𝑖𝑖𝑖) Se ℓ = +∞, allora vale la (𝑖𝑖) scambiando i ruoli di 𝑎𝑘 e 𝑏𝑘 .

Dimostrazione. (𝑖)

Se ℓ ∈ ℝ+ , per il teorema di permanenza del segno (Teorema 2.40) si ha ℓ < 𝑎𝑘 < 2 ℓ, 2 𝑏𝑘

ovvero ℓ 𝑏𝑘 < 𝑎𝑘 < 2 ℓ 𝑏𝑘 , 2

definitivamente per 𝑘 → +∞ .

Quindi per il Teorema 3.20 le due serie devono avere lo stesso carattere. (𝑖𝑖)

Se ℓ = 0, si ha 𝑎𝑘 /𝑏𝑘 → 0, quindi (di nuovo per il Teorema 2.40) deve essere definitivamente 𝑎𝑘 < 𝑏𝑘 . La tesi segue ancora dal Teorema 3.20.

(𝑖𝑖𝑖) Se ℓ = +∞, si ha 𝑏𝑘 /𝑎𝑘 → 0 e ci si riconduce al caso (𝑖𝑖) scambiando 𝑎𝑘 e 𝑏𝑘 .

∞

(𝑖)

Riprendiamo in esame la serie ∑ 2𝑘2 − 5 dell’Esempio 3.23. Si ha 𝑘=0 𝑘 + 1 2𝑘 − 5 ∼ 2 𝑘 𝑘2 + 1

per 𝑘 → +∞, ∞

quindi la serie ha lo stesso carattere della serie ∑ 2 , che diverge a +∞. 𝑘=1 𝑘 ∞

(𝑖𝑖)

𝑘𝛼 + 𝑘8−𝛼 . La serie è 6 − 2 sin 𝑘 3𝑘 𝑘=1

Per ogni 𝛼 ∈ ℝ si vuole determinare il carattere di ∑ a termini positivi. Per 𝑘 → +∞, si ha

6

3𝑘 − 2 sin 𝑘 ∼ 3𝑘

6

𝛼

e 𝑘 +𝑘

8−𝛼

𝑘𝛼 ∼ { 2𝑘4 𝑘8−𝛼

se 𝛼 > 4 se 𝛼 = 4 se 𝛼 < 4.

Quindi 1 ⎧ 3𝑘6−𝛼 ⎪ 2 𝑘𝛼 + 𝑘8−𝛼 ∼ 3𝑘6 − 2 sin 𝑘 ⎨ 3𝑘2 ⎪ 1 ⎩ 3𝑘𝛼−2

se 𝛼 > 4 se 𝛼 = 4 se 𝛼 < 4

per 𝑘 → +∞.

Esempio 3.25

144

Capitolo 3

Serie numeriche

Nelle espressioni a destra compaiono i termini di serie armoniche generalizzate: per la (3.23) e per il criterio del confronto asintotico, la serie in esame è convergente se 3 < 𝛼 < 5 e divergente a +∞ altrimenti. (𝑖𝑖𝑖) Studiamo la serie

∞

∑ 𝑎𝑘

con 𝑎𝑘 =

𝑘=0

log(3 + 𝑘) . 𝑘+5

Si confronta 𝑎𝑘 con 𝑏𝑘 = 1/𝑘: poiché 𝑎𝑘 /𝑏𝑘 → +∞ , segue dal Teorema 3.24 (𝑖𝑖𝑖) che la serie diverge a +∞. Si poteva giungere alla stessa conclusione utilizzando la (3.24) e la parte (𝑖) del Teorema 3.24: lo studente controlli. ∞

log(3 + 𝑘) log(3 + 𝑘) log 𝑘 . Anzitutto osserviamo che ∼ 2 : 2+5 2+5 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘=0

(𝑖𝑣) Consideriamo ∑

log(3 + 𝑘) = log 𝑘 + log (1 + 3/𝑘) = log 𝑘 + 𝑜(1) ∼ log 𝑘,

𝑘2 + 5 ∼ 𝑘 2

per 𝑘 → +∞. Pertanto, per il Teorema 3.24 (𝑖) è equivalente studiare ∞

∑ 𝑎𝑘 , 𝑘=0

𝑎𝑘 =

log 𝑘 . 𝑘2

Siccome il logaritmo diverge “molto lentamente”, dal punto di vista della convergenza la serie è solo poco “peggiore” di ∑ 1/𝑘2 : quindi, ricordando la (3.23), dovrebbe convergere. Tuttavia, il confronto con 𝑏𝑘 = 1/𝑘2 non conduce ad alcun risultato: 𝑎𝑘 ≻ 𝑏𝑘 con 𝑏𝑘 convergente non implica che 𝑎𝑘 converga.

Possiamo invece fare il confronto con 𝑏𝑘 = 𝑘−3/2 , la cui serie converge: si ha lim

𝑘→+∞

log 𝑘 𝑎𝑘 = lim = 0, 𝑏𝑘 𝑘→+∞ 𝑘1/2

quindi, per il Teorema 3.24 (𝑖𝑖), ∑ 𝑎𝑘 e quella di partenza convergono.

Osservazione 3.26

Lo studente potrebbe chiedersi come “intuire” il carattere delle serie prima di impostare la dimostrazione rigorosa. In altre parole, come si fa a formulare un’ipotesi di lavoro iniziale a proposito del carattere di una serie? In alcuni casi si tratta effettivamente di una questione complessa. Nei casi più semplici, trattati in questo capitolo, serve innanzitutto sviluppare un minimo di esperienza (facendo esercizi), ma l’idea generale è di cercare di valutare la velocità di convergenza a zero dei termini rispetto ad alcune serie elementari quali la serie geometrica o la serie armonica 1 generalizzata. In effetti, nell’Esempio 3.25 (𝑖𝑖𝑖) saltano all’occhio la presenza di 𝑘+5 , che fa pensare alla serie armonica divergente, e il numeratore log(3 + 𝑘), che rende il termine ancora più grande. Questo porta in modo naturale all’ipotesi di lavoro che la serie diverga a +∞. Nell’Esempio 3.25 (𝑖𝑣) invece la situazione è leggermente più complessa, perché la presenza di 𝑘21+1 fa pensare a una serie convergente, ma ora il numeratore log(3 + 𝑘) “peggiora” la situazione e diventa un ostacolo per la convergenza. A questo punto ci si deve ricordare che per 𝑘 → +∞ il logaritmo tende a infinito più lentamente di qualsiasi potenza positiva di 𝑘. Possiamo allora sfruttare il margine nell’esponente 2 di 𝑘2 (rispetto alla soglia 1) e confrontare con la serie armonica generalizzata di esponente 3/2, visto che 1 < 32 < 2: in tal modo, come si vede nella dimostrazione, si “neutralizza” il fattore logaritmo. E qui entra in gioco il minimo di esperienza.

3.6

Serie a termini non negativi

145

3.6.2 Criterio del rapporto, criterio della radice Presentiamo due criteri molto utili nel caso di serie i cui termini contengono funzioni esponenziali o fattoriali. Il primo è legato al criterio del rapporto per successioni (Proposizione 2.115).

Teorema 3.27 Criterio del rapporto per serie

Sia {𝑎𝑘 } una successione a termini definitivamente positivi. ∞

Se lim

𝑘→+∞

𝑎𝑘+1 𝑎𝑘 = ℓ , allora

(𝑖) ⎧ ⎪

ℓ ∈ (1, +∞]

⎨ ⎪ (𝑖𝑖) ⎩

ℓ ∈ [0, 1)

⇒ ∑ 𝑎𝑘 = +∞ 𝑘=0 ∞

(3.25)

⇒ ∑ 𝑎𝑘 converge. 𝑘=0

Dimostrazione. (𝑖)

Se ℓ ∈ (1, +∞], per il criterio del rapporto per successioni (Proposizione 2.115) 𝑎𝑘 → +∞, quindi è violata la condizione necessaria per la convergenza.

Essendo una serie a termini definitivamente positivi, la serie diverge a +∞.

(𝑖𝑖)

Come nella dimostrazione del criterio del rapporto per successioni (Proposizione 2.115), si dimostra che si ha definitivamente 0 < 𝑎𝑘 < 𝑐𝑟𝑘 , per opportune costanti positive 𝑐 > 0 e 𝑟 ∈ (0, 1). Si può quindi applicare il confronto con la serie geometrica di ragione 𝑟, che converge.

∞

∞

Applichiamo il criterio del rapporto a ∑ 1 e ∑ 𝑘!𝑘 . Per la prima serie, risulta 𝑘=0 𝑘! 𝑘=1 𝑘 1 (𝑘+1)!

1 𝑘!

=

𝑘! = 1 →0 𝑘+1 (𝑘 + 1)!

Esempio 3.28

per 𝑘 → +∞,

mentre per la seconda si ha (𝑘+1)! (𝑘+1)𝑘+1 𝑘! 𝑘𝑘

=

𝑘 −𝑘 (𝑘 + 1)! 𝑘𝑘 = ( 𝑘 ) = (1 + 1 ) → 1𝑒 < 1 𝑘+1 𝑘!⎵⏟ (𝑘 + 1) 𝑘+1 𝑘 ⏟⎵⏟

per 𝑘 → +∞ ,

=𝑘+1

quindi, per il Teorema 3.27, le due serie sono convergenti.

• Il criterio del rapporto non dice nulla nel caso in cui 𝑎𝑘+1 /𝑎𝑘 tenda a 1. Come già visto nell’Osservazione 2.116, purtroppo ciò avviene in tutte le serie i cui termini si comportano asintoticamente come potenze (positive o negative) di 𝑘 (in particolare, nella serie armonica generalizzata). In pratica, il criterio del rapporto funziona solo con serie i cui termini tendono a zero oppure a +∞ con velocità almeno esponenziale. Questo ne limita consistentemente l’applicabilità.

• Per quanto riguarda il caso (𝑖) del Teorema 3.27, per concludere che la serie diverge 𝑎 ≥ 1 definitivamente per 𝑘 → +∞. Infatti a +∞ è sufficiente che si abbia 𝑎𝑘+1 𝑘 ciò significa che la successione {𝑎𝑘 } è definitivamente crescente, e una successione definitivamente positiva e crescente non può essere infinitesima: quindi la serie non può convergere. Pertanto, in parziale contraddizione con il punto precedente, possiamo dire che

Osservazione 3.29 Limitazioni ed estensioni del criterio del rapporto

146

Capitolo 3

Serie numeriche

∞

𝑎𝑘+1 = 1+ 𝑘→+∞ 𝑎𝑘

⇒

lim

∑ 𝑎𝑘 = +∞ .

(3.26)

𝑘=0

• Anche per quanto riguarda il caso (𝑖𝑖) del Teorema 3.27, in realtà non c’è bisogno che esista il limite (3.25). Se si guarda la dimostrazione, tutto quel che serve è che esista un 𝑟 ∈ (0, 1) tale che 𝑎𝑘+1 definitivamente per 𝑘 → +∞ . 𝑎𝑘 ≤ 𝑟 Per esempio, si consideri la serie 1 + 𝑎𝑘 = {

2−

3𝑘 2

− 3𝑘−1 2

2

1 2

+

se 𝑘 è pari

1 8

+

1 16

1 64

+

1 128

𝑎𝑘+1 𝑎𝑘 = {

e

se 𝑘 è dispari

+

1 4 1 2

∞

+ ⋯ = ∑𝑘=0 𝑎𝑘 , dove se 𝑘 è dispari se 𝑘 è pari.

In ogni caso il rapporto è non superiore a 21 . Pertanto possiamo concludere che la serie converge anche se il limite (3.25) non esiste.

Teorema 3.30 Criterio della radice

Sia {𝑎𝑘 } una successione a termini definitivamente non negativi. ∞ 𝑘 𝑎𝑘 = ℓ , allora Se lim √

𝑘→+∞

(𝑖) ⎧ ⎪

ℓ ∈ (1, +∞]

⎨ ⎪ (𝑖𝑖) ⎩

ℓ ∈ [0, 1)

⇒ ∑ 𝑎𝑘 = +∞ 𝑘=0 ∞

(3.27)

⇒ ∑ 𝑎𝑘 converge. 𝑘=0

Dimostrazione.

Esempio 3.31

(𝑖)

𝑘 Se ℓ > 1, per il teorema di permanenza del segno si ha √ 𝑎𝑘 ≥ 1 definitivamente, cioè 𝑎𝑘 ≥ 1, quindi è violata la condizione necessaria per la convergenza.

(𝑖𝑖)

𝑘 𝑎𝑘 < 𝑟, cioè 𝑎𝑘 < 𝑟𝑘 , Se ℓ ∈ [0, 1) si prende 𝑟 ∈ (ℓ, 1). Allora definitivamente √ e la convergenza segue dal confronto con la serie geometrica di ragione 𝑟.

∞

∞

3 e ∑ 𝑘𝑘 , due serie a 5 𝑘=0 𝑘=1 termini positivi. Per il Teorema 3.30 (𝑖), la prima serie è divergente:

Applichiamo il criterio della radice a ∑ (4𝑘 log (1 +

𝑘 1 )) 3𝑘

𝑘 1 𝑘 log (1 + 1 ) → 4 > 1, √(4𝑘 log (1 + 3𝑘 )) = 4𝑘 ⏟⎵ 3 ⎵⎵⏟⎵⎵3𝑘 ⎵⏟

∼1/(3𝑘)

dove abbiamo usato il fatto che log(1 + 𝑎𝑘 ) ∼ 𝑎𝑘 per ogni successione 𝑎𝑘 → 0 (si veda la (2.58)). La seconda serie è invece convergente, per il Teorema 3.30 (𝑖𝑖): 𝑘

𝑘3 = √𝑘3 → 1 < 1 .

5 5 √ 5𝑘 𝑘

Quest’ultimo esempio poteva essere risolto anche con il criterio del rapporto oppure mediante il confronto asintotico con la serie ∑ 𝑘−2 o con la serie geometrica di ragione, per esempio, 1/2: lo studente controlli.

3.6

Serie a termini non negativi

147

Osservazione 3.32 Limitazioni ed estensioni del criterio della radice

• Esattamente come il criterio del rapporto, in generale il criterio della radice non fornisce informazioni se il limite vale 1. Tuttavia nella dimostrazione del caso (𝑖) si 𝑘 è utilizzato solo che √ 𝑎𝑘 ≥ 1 definitivamente. In particolare, possiamo concludere ∞

𝑘 che √ 𝑎𝑘 → 1+ per 𝑘 → +∞ implica ∑ 𝑎𝑘 = +∞.

𝑘=0

• Per quanto riguarda la parte (𝑖𝑖) dell’enunciato del criterio della radice (Teorema 3.30), in realtà non è necessario che esista il limite (3.27). È sufficiente che esista ∞

−𝑘

𝑘 𝑟 ∈ (0, 1) tale che √ 𝑎𝑘 ≤ 𝑟 definitivamente. Per esempio, la serie ∑ (3 + sin 𝑘)

𝑘=0

converge anche se non esiste il limite (3.27): 𝑘

−𝑘

√(3 + sin 𝑘)

=

1 ≤ 1 2 3 + sin 𝑘

per ogni 𝑘 ∈ ℕ .

Osservazione 3.33 Relazioni tra criteri

• I criteri della radice e del rapporto sono legati tra loro. In particolare si può dimostrare che se i limiti (3.25) e (3.27) esistono entrambi, allora essi sono uguali. Quindi, per esempio, se il limite (3.25) vale 1, e quindi il criterio del rapporto non fornisce nessuna risposta, è inutile ritentare con il criterio della radice, perché fornirà lo stesso risultato.

• I criteri del rapporto e della radice possono essere usati insieme ai criteri del confronto per semplificare i calcoli. Per esempio, per studiare la serie a termini ∞ 𝑘 log 𝑘 + 3𝑘2 𝑒𝑘 definitivamente positivi ∑ , si può dapprima osservare che 4𝑘+2 − 𝑘3 𝑘=1 2 𝑘 𝑘 log 𝑘 + 3𝑘2 𝑒𝑘 𝑒 = 3 𝑘2 𝑒𝑘 , ∼ 3𝑘𝑘+2 𝑘+2 3 16 4𝑘 4 −𝑘 4

poi studiare la serie di termini 𝑘2 (𝑒/4)𝑘 con il criterio della radice per concludere che questa serie, quindi anche quella di partenza, convergono.

Esercizio 3.6.1 Studiare la convergenza delle seguenti serie: f)

2 ∑ 5𝑘3 − 1 (√𝑘 + 2 − √𝑘) ; 𝑘 +1 𝑘=1

∞

∞

b) ∑

g) ∑

1 ; 2 4/3 + 1 𝑘=0 𝑘 + 𝑘 ∞

√4𝑘2 + 3

3

e) ∑ (log(2 + 𝑘 ) − log(𝑘 − 𝑘));

∑

𝑘! ; (2𝑘)!

∞

(3𝑘)! ; 3 𝑘(𝑘!) 𝑘=1 ∞

i)

1 ; 2 𝑘=1 𝑘 log(1 + 𝑘 )

j)

∑ (3𝑘2 log 2𝑘2 + 2 ) ; 2𝑘 + 1 𝑘=1

2

√𝑘

n) ∑ ( 𝑘 + 1 ) 𝑘=0 2𝑘 + 1

∑ ∞

∞

l)

𝑘2 4𝑘 ; + 5𝑘

2𝑘

m) ∑

∞

+∞

𝑘=0

𝑘=0

𝑘 h) ∑ 𝑒 ; 𝑘=0 𝑘!

d) ∑ 1 log (1 − 41 ); 𝑘=2 𝑘 √𝑘

k) ∑ ∞

;

∞

1 ; 2 𝑘=0 √𝑘 + 3𝑘 + 7

𝑘=2

log(𝑘 + 1) − log 𝑘

𝑘=1

c) ∑

3

∞

∞

∞

𝑘 a) ∑ ((1 + 5 ) − 1) ; 𝑘 𝑘=1

𝑘

∞

o) ∑ 𝑘=0 ∞

(2𝑘)!

2𝑘√𝑘

;

𝑘! − (2𝑘)! . 𝑘𝑘 𝑘=1

p) ∑

;

148

Capitolo 3

Serie numeriche

Esercizio 3.6.2 Dire per quali valori del parametro 𝑥 ∈ ℝ le seguenti serie sono convergenti: ∞

∞

√𝑘

∞

g) ∑ ∞

4𝑘2

−3𝑘 2𝑘 h) ∑ 𝑒 𝑘𝑥 ; (𝑘!) 𝑘=1

e) ∑ 𝑘3 |9 − 𝑥2 | 𝑘+7 ;

𝑥𝑘 b) ∑ 𝑘𝑒 ; 𝑘+1 𝑘=1

𝑘=1 ∞

∞

√1 + 𝑘 c) ∑ ; 1 + 𝑘 + 𝑥2 𝑘2 𝑘=0 ∞

√𝑘4 + 𝑘 + 1 − 𝑘2 . (log 𝑘)2𝑥+3 𝑘=2

d) ∑

∞

j)

∞

(𝑥 + 3)2𝑘 ; 𝑘2 + 11 𝑘=0

𝑥+1 a) ∑ 1 𝑘 1 ; 𝑘=1 𝑘 +

f) ∑ 𝑘=1

𝑘+ 1

∑ (log(1 + 𝑥2 ) − log 𝑥2 )

𝑘

∞

𝑘+1 3

√𝑘𝑥 + 𝑘 + 1

;

i)

1

∑ 𝑘=1 𝑘𝑥

+(

|𝑥| 8𝑘 2 )

;

∞

(2𝑘 − 1)! 𝑘 |𝑥| (suggerimento: nel caso critico, 𝑘2𝑘+1 𝑘=1 usare la formula di Stirling).

k) ∑

, 𝑥 ≠ 0;

𝑘=1

∞

Esercizio 3.6.3 Studiare, al variare dei parametri 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, la convergenza di ∑ 𝑘=2

alle formule (3.23) e (3.24) quando necessario).

1 (fare riferimento 𝑘𝛼 (log 𝑘)𝛽

3.7 Applicazioni agli sviluppi decimali In questo paragrafo applichiamo la teoria delle serie, in particolare il concetto di serie geometrica, agli sviluppi decimali infiniti. Cominciamo dagli sviluppi decimali periodici che, come sappiamo, corrispondono a numeri razionali.

Esempio 3.34 Sviluppi decimali periodici

Lo sviluppo decimale 0,3 = 0,33333 … è una notazione abbreviata della serie ∞

1

3 + 3 + 3 + ⋯ = ∑ 3 = 3 ⋅ 10 = 1 , 1 10 100 1000 3 10𝑘 1 − 10 𝑘=1 dove abbiamo usato la formula (3.7) per il calcolo della somma della serie. Con calcoli appena più complicati si ottiene la frazione generatrice di 3,81425: ∞

3,81425 = 3814 + 255 + 257 + 259 + ⋯ = 3814 + ∑ 25 1000 10 1000 𝑘=2 102𝑘+1 10 10 ∞

(3.7) = 3814 + 25 ∑ 1 𝑘 = 3814 + 25 = 377611 .

1000 10 𝑘=2 100 1000 99000 99000

Ragionando come nei precedenti esempi, è possibile dimostrare la ben nota regola per determinare la frazione generatrice di uno sviluppo decimale periodico.

Proposizione 3.35 Frazione generatrice di uno sviluppo periodico

Per costruire la frazione generatrice di un numero decimale periodico si scrive: • al numeratore, il numero dato senza la virgola e senza il segno di periodo, meno (sottrazione) tutto ciò che sta prima del periodo; • al denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo (cioè le cifre dopo la virgola che precedono il periodo).

3.8

Serie a termini di segno variabile

149

Nell’esempio precedente 3,81425 = 381425 − 3814 = 377611 .

99000 99000

Esempio 3.36

Perché abbiamo escluso dall’insieme dei numeri reali gli allineamenti decimali non propri, ovvero quelli che terminano con 9 periodico? Per rispondere, proviamo a calcolare 0,9 = 0,99999 … :

Osservazione 3.37 Gli sviluppi con 9 periodico

∞

9

0,9 = ∑ 9𝑘 = 10 1 = 1 .

10 1 − 10 𝑘=1 Un calcolo simile mostra che 0,249 = 41 = 0,25. La risposta alla precedente domanda è dunque: gli sviluppi decimali non propri sono stati esclusi dalla definizione di ℝ in modo da avere un’unica rappresentazione decimale per ciascun numero reale, e tra le due possibili si è scelto la più semplice (che si può anche considerare come uno sviluppo che termina con 0 periodico). In altre parole, tutti gli sviluppi decimali finiti potrebbero essere scritti con uno sviluppo decimale che termina con 9 periodico ma, per convenzione, si sceglie di non farlo. Sottolineiamo che 0,9 non è un numero “appena più piccolo di 1”: è esattamente 1.

Occupiamoci ora degli sviluppi infiniti non periodici che, come sappiamo, corrispondono ai numeri irrazionali (non affanniamoci a trovare una frazione generatrice, quindi). Per i numeri positivi si tratta degli sviluppi della forma ∞

𝑛,𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛼4 𝛼5 … = 𝑛 +

𝛼 𝛼 𝛼1 𝛼 + + 22 + + 33 + ⋯ = 𝑛 + ∑ 𝑘𝑘 , 10 10 10 10 𝑘=1

(3.28)

dove 𝑛 ∈ ℕ, mentre 𝛼𝑘 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} per ogni 𝑘 = 1, 2, … . Dal confronto ∞ con ∑ 9𝑘 , che, come abbiamo visto (Osservazione 3.37), converge a 1, si ottiene quanto 𝑘=1 10 segue. ∞

𝛼𝑘 converge e la sua somma è non 𝑘 10 𝑘=1

Sia 𝛼𝑘 ∈ {0, 1, … , 9} ∀ 𝑘 ≥ 1. Allora la serie ∑ superiore a 1.

Proposizione 3.38

3.8 Serie a termini di segno variabile Nel paragrafo precedente abbiamo stabilito vari criteri per la convergenza di serie a termini non negativi, che permettono ovviamente di trattare anche quelli a termini non positivi (la caratteristica importante è che i termini siano di segno costante, almeno definitivamente). Qui ci si occupa invece del caso generale, in cui la situazione è più complicata.

3.8.1 Convergenza assoluta Il concetto di convergenza assoluta permette talvolta (ma, come vedremo, non sempre!) di ricondursi allo studio di una serie a termini non negativi. ∞

∞

Una serie ∑ 𝑎𝑘 si dice assolutamente convergente se converge ∑ |𝑎𝑘 |, la serie 𝑘=0

dei valori assoluti.

𝑘=0

Definizione 3.39 Serie assolutamente convergente

150

Osservazione 3.40

Capitolo 3

Serie numeriche

Per serie a termini definitivamente non negativi o non positivi, la convergenza assoluta è indistinguibile dalla convergenza usuale (che chiameremo convergenza semplice): in altre parole, una serie a termini di segno definitivamente costante converge assolutamente se e solo se converge semplicemente. Quindi la convergenza assoluta è un concetto nuovo solo per serie i cui termini cambiano di segno infinite volte.

Per le serie, la convergenza assoluta implica la convergenza semplice.

Teorema 3.41 Criterio di convergenza assoluta

∞

Se ∑ 𝑎𝑘 è assolutamente convergente, allora è anche convergente. Inoltre vale la 𝑘=0

seguente disuguaglianza triangolare per serie assolutamente convergenti: ∞ |∞ | | ∑ 𝑎𝑘 | ≤ ∑ |𝑎𝑘 | . |𝑘=0 | 𝑘=0

(3.29)

∞

Dimostrazione. Consideriamo la serie a termini non negativi ∑ (|𝑎𝑘 | − 𝑎𝑘 ) . Que𝑘=0

sta serie converge per il teorema del confronto e l’ipotesi di convergenza assoluta, in quanto 0 ≤ |𝑎𝑘 | − 𝑎𝑘 ≤ 2|𝑎𝑘 |. Siccome 𝑎𝑘 = |𝑎𝑘 | − (|𝑎𝑘 | − 𝑎𝑘 ), la convergen∞

za di ∑ 𝑎𝑘 segue dalla linearità delle serie (Osservazione 3.10). Resta da dimostrare 𝑘=0

la disuguaglianza triangolare. Partiamo da quella per un numero finito di termini (formula (1.91)): 𝑛 | 𝑛 | | ∑ 𝑎𝑘 | ≤ ∑ |𝑎𝑘 | . |𝑘=0 | 𝑘=0 Entrambe le serie convergono: passando al limite per 𝑛 → +∞ si ottiene la (3.29).

Esempio 3.42

Per 𝛼 > 0, studiamo la convergenza assoluta della serie ∞

(−1)𝑘+1 = 1 − 1𝛼 + 1𝛼 − 1𝛼 + 1𝛼 − 1𝛼 + ⋯ 5 2 3 4 6 𝑘𝛼 𝑘=1 ∑

(3.30)

La convergenza assoluta di questa serie equivale alla convergenza semplice della serie ∞

∑ 1𝛼 = 1 + 1𝛼 + 1𝛼 + 1𝛼 + 1𝛼 + 1𝛼 + ⋯ 5 2 3 4 6 𝑘 𝑘=1 che, per la (3.23), è convergente se e solo se 𝛼 > 1. Quindi la serie (3.30) è assolutamente convergente se e solo se 𝛼 > 1. Per il Teorema 3.41, essa è anche semplicemente convergente se 𝛼 > 1. Si noti che non abbiamo ottenuto alcuna informazione sulla convergenza semplice se 0 < 𝛼 ≤ 1 (si veda l’osservazione successiva).

Osservazione 3.43 La convergenza semplice non implica quella assoluta

La convergenza assoluta di una serie implica quella semplice, ma non vale il viceversa: la convergenza semplice non implica quella assoluta. Infatti, vedremo nell’Esempio 3.49 che la serie (3.30) converge semplicemente, ma non assolutamente, per 0 < 𝛼 ≤ 1. In particolare, vedremo che la serie armonica a segni alterni ∞

(−1)𝑘+1 =1− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯ 2 3 4 5 6 𝑘 𝑘=1 ∑

converge semplicemente ma non assolutamente.

3.8

Serie a termini di segno variabile

Passare allo studio della convergenza assoluta ha il grosso vantaggio di permettere di utilizzare tutti i criteri di convergenza validi per le serie a termini di segno costante (confronto, radice, rapporto, che non si possono applicare direttamente alle serie a segni variabili). Questo, naturalmente, nella speranza che la serie sotto esame converga assolutamente (se non converge assolutamente, non possiamo concludere nulla perché potrebbe ancora convergere semplicemente...). ∞

(𝑖)

2 + 2 cos 𝑘. Tale serie non è definiVogliamo studiare la convergenza di ∑ 3𝑘 4 2 𝑘=1 𝑘 + 5𝑘 tivamente a termini di segno costante, in quanto il segno di cos 𝑘 varia irregolarmente. Vediamo se converge assolutamente; in caso affermativo dal Teorema 3.41 seguirebbe anche la convergenza semplice. Risulta

|| 3𝑘2 + 2 | 3𝑘2 + 2 3 | 𝑘4 + 5𝑘2 cos 𝑘|| ≤ 𝑘4 + 5𝑘2 ∼ 𝑘2

151

Osservazione 3.44

Esempio 3.45

per 𝑘 → +∞.

Pertanto, per i criteri di confronto e confronto asintotico la serie converge assolutamente, quindi anche semplicemente. ∞

(𝑖𝑖)

2 sin 𝑘 ⋅ 𝑘 . Anche in 𝑘=1 √𝑘 + sin 𝑘 √𝑘! questo caso studiamo la convergenza assoluta. Osserviamo che

Esaminiamo la convergenza di ∑ 𝑎𝑘 dove 𝑎𝑘 =

| sin 𝑘 | 1 |≤ | ≤1 | | | √𝑘 + sin 𝑘 | √𝑘 − 1 e che quindi

2 |𝑎𝑘 | ≤ 𝑘 =∶ 𝑏𝑘 √𝑘!

per ogni 𝑘 ≥ 4

per 𝑘 ≥ 4. ∞

Usiamo il criterio del rapporto per analizzare la convergenza di ∑ 𝑏𝑘 . Si ha 2 𝑏𝑘+1 (𝑘 + 1)2 √𝑘!

1 + 𝑜(1) = = 𝑘 + 2𝑘 + 1 = →0 𝑏𝑘 2 √ √𝑘 + 1 𝑘2 √(𝑘 + 1)! 𝑘 𝑘+1

𝑘=4

per 𝑘 → +∞,

∞

Per il criterio del rapporto, Teorema 3.27, ∑ 𝑏𝑘 è convergente e per il criterio 𝑘=4 ∞

∞

del confronto lo è anche ∑ |𝑎𝑘 |. Perciò ∑ 𝑎𝑘 converge assolutamente. 𝑘=1

𝑘=1

3.8.2 Criteri del rapporto e della radice per serie di segno qualsiasi I criteri del rapporto e della radice possono applicarsi anche a serie a termini di segno qualunque purché si abbia cura di applicarli ai valori assoluti.

Sia {𝑎𝑘 } una successione a termini definitivamente non nulli, tale che |𝑎𝑘+1 | =ℓ 𝑘→+∞ |𝑎𝑘 | lim

oppure

𝑘

lim √|𝑎𝑘 | = ℓ .

𝑘→+∞

∞

Allora

(𝑖) ⎧ ⎪

ℓ ∈ (1, +∞]

⎨ ⎪ (𝑖𝑖) ⎩

ℓ ∈ [0, 1)

⇒ ∑ 𝑎𝑘 non converge 𝑘=0 ∞

⇒ ∑ 𝑎𝑘 converge (assolutamente). 𝑘=0

(3.31)

Teorema 3.46 Criteri del rapporto/radice per serie a termini qualsiasi

152

Capitolo 3

Serie numeriche

Dimostrazione. |𝑎

|

(𝑖)

Se |𝑎𝑘+1| → ℓ > 1, per il criterio del rapporto per successioni (Proposizio𝑘 ne 2.115) |𝑎𝑘 | tende a +∞, quindi è violata la condizione necessaria per la con𝑘 𝑘 vergenza. Se invece √|𝑎𝑘 | → ℓ > 1, si ha definitivamente √|𝑎𝑘 | ≥ 1 e, quindi, |𝑎𝑘 | ≥ 1, violando nuovamente la condizione necessaria per la convergenza.

(𝑖𝑖)

Basta applicare il Teorema 3.27 (rispettivamente Teorema 3.30) alla serie ∞

∑ |𝑎𝑘 |.

𝑘=0

Esempio 3.47

∞

∞

𝑘=1

𝑘=1

𝑘

−2𝑘 Studiamo la convergenza della serie ∑ 𝑎𝑘 = ∑ ( 1+𝐴𝑘 ) al variare di 𝐴 > 0.

Applichiamo il criterio della radice : 𝑘

√|𝑎𝑘 | =

2𝑘 → 2 𝐴 1 + 𝐴𝑘

per 𝑘 → +∞.

Per il Teorema 3.46, la serie converge assolutamente e semplicemente se 𝐴 > 2 e non converge semplicemente se 0 < 𝐴 < 2. Nel caso critico, 𝐴 = 2, non è verificata la condizione necessaria per la convergenza: per il Corollario 2.110 si ha |𝑎𝑘 | = 𝑒

𝑘 log(

2𝑘 ) 2𝑘+1

=𝑒

𝑘 log(1−

1 ) 2𝑘+1

=𝑒

−

𝑘 (1+𝑜(1)) 2𝑘+1

→ 1 ≠0 √𝑒

per 𝑘 → +∞.

3.8.3 Serie a termini di segno alterno; criterio di Leibniz Ci occupiamo ora di una classe di serie con una struttura particolare, ovvero le serie a termini di segno alterno: ∞

∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 ,

∞

oppure

𝑘=0

∑ (−1)𝑘+1 𝑎𝑘 ,

con 𝑎𝑘 > 0 definitivamente per 𝑘 → +∞ .

𝑘=0

Per questo tipo di serie vale un criterio piuttosto semplice da applicare.

Teorema 3.48 Criterio di Leibniz

Sia {𝑎𝑘 } una successione tale che { ∞

(𝑖) 𝑎𝑘 → 0 per 𝑘 → +∞; (𝑖𝑖) {𝑎𝑘 } è decrescente.

Allora la serie

∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 = 𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + ⋯ è convergente. 𝑘=0

𝑛

Inoltre, dette 𝑠𝑛 = ∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 le somme parziali e 𝑠 la somma della serie, si ha 𝑘=0 (Fig. 3.3): • 𝑠2𝑛 ≥ 𝑠 per ogni 𝑛 ∈ ℕ, ossia le somme parziali 𝑠2𝑛 di indice pari sono delle approssimazioni per eccesso di 𝑠; • 𝑠2𝑛+1 ≤ 𝑠 per ogni 𝑛 ∈ ℕ, ossia le somme parziali 𝑠2𝑛+1 di indice dispari sono delle approssimazioni per difetto di 𝑠; • per ogni 𝑛, l’errore che si commette approssimando 𝑠 con 𝑠𝑛 è, in valore assoluto, maggiorato dal modulo del primo termine omesso. In formule: |𝑠 − 𝑠𝑛 | ≤ 𝑎𝑛+1

per ogni 𝑛 ∈ ℕ.

(3.32)

3.8

Serie a termini di segno variabile

y s0 s2

s4

s6

s

s7

s5

s3

s8

s1

1 Figura 3.3

2

3

4

5

6

7

8

x

Convergenza delle somme parziali 𝑠𝑛 nelle ipotesi del criterio di Leibniz.

Dimostrazione. Osserviamo che le due ipotesi su 𝑎𝑘 implicano che 𝑎𝑘 ≥ 0 per ogni 𝑘 ∈ ℕ. Procediamo per passi.

(1) La sottosuccessione {𝑠2𝑛 } è decrescente; la sottosuccessione {𝑠2𝑛+1 } è crescente. Infatti, sfruttando l’ipotesi (𝑖𝑖), si ha 𝑠2𝑛+2 = 𝑠2𝑛 + (−𝑎 2𝑛+1 + 𝑎2𝑛+2 ) ≤ 𝑠2𝑛 . ⏟⎵⎵⎵⎵⏟⎵⎵⎵⎵⏟ ≤0

Analogamente per {𝑠2𝑛+1 }.

(2) La sottosuccessione {𝑠2𝑛 } è limitata inferiormente; la sottosuccessione {𝑠2𝑛+1 } è limitata superiormente. Infatti, poiché 𝑎2𝑛 ≥ 0, si ha 𝑠2𝑛 = 𝑠2𝑛−1 + 𝑎⏟ 2𝑛 ≥ 𝑠2𝑛−1 . ≥0

Perciò, per il passo 1, 𝑠1 ≤ 𝑠2𝑛−1 ≤ 𝑠2𝑛 ≤ 𝑠0 per ogni 𝑛. Abbiamo quindi dimostrato che la situazione è quella illustrata dalla Fig. 3.3, cioè: 𝑠1 ≤ 𝑠3 ≤ 𝑠5 ≤ 𝑠7 ≤ … ≤ 𝑠6 ≤ 𝑠4 ≤ 𝑠2 ≤ 𝑠0 .

(3) La sottosuccessione {𝑠2𝑛 } converge a un limite che chiameremo 𝑠″ ; la sottosuccessione {𝑠2𝑛+1 } converge a un limite che chiameremo 𝑠′ . Queste affermazioni seguono immediatamente dai due punti precedenti e dalle proprietà delle successioni limitate e monotòne (Osservazione 2.100).

(4) Si ha 𝑠′ = 𝑠″ . In questo punto si sfrutta l’ipotesi (𝑖). Infatti 𝑠″ − 𝑠′ = lim (𝑠2𝑛 − 𝑠2𝑛−1 ) = lim 𝑎2𝑛 = 0 . 𝑛→+∞

𝑛→+∞

(5) La serie converge. Infatti sia la sottosuccessione {𝑠2𝑛 } sia la sottosuccessione {𝑠2𝑛+1 } convergono allo stesso limite 𝑠 ∶= 𝑠′ = 𝑠″ . Pertanto (si veda la Proposizione 2.133) tutta la successione {𝑠𝑛 } converge a 𝑠.

(6) Vale la stima (3.32). Conviene provarla separatamente per gli indici pari e per gli indici dispari. Si ha: 0 ≤ 𝑠2𝑛 − 𝑠 ≤ 𝑠2𝑛 − 𝑠2𝑛+1 = 𝑎2𝑛+1 , che è la (3.32) per gli indici pari. Analogamente per gli indici dispari.

153

154

Capitolo 3

Serie numeriche

∞

Esempio 3.49 Serie armonica generalizzata a segni alterni

(−1)𝑘 , converge per ogni 𝛼 𝑘=1 𝑘 −𝛼 𝛼 > 0, perché la successione 𝑘 è decrescente e infinitesima. Osserviamo che la serie converge assolutamente solo per 𝛼 > 1 (Esempio 3.42).

Osservazione 3.50 Le ipotesi del criterio di Leibniz

Discutiamo brevemente le ipotesi del criterio di Leibniz.

La serie armonica generalizzata a segni alterni, ∑

• La (𝑖) è semplicemente la condizione necessaria (3.18).

• Segue dalle ipotesi del criterio che 𝑎𝑘 ≥ 0. Ciò garantisce che la serie sia effettivamente a segno alterno.

• La condizione di monotonia (definitiva per 𝑘 → +∞) della successione {𝑎𝑘 } è cruciale. Per esempio, consideriamo la serie √ ⎧ 𝑘−1 (−1)𝑘 ⎪ 𝑘 1 = 𝑎𝑘 = + 𝑘 ⎨ √𝑘 + 1 √𝑘 ⎪ ⎩ 𝑘

∞ 𝑘

∑ (−1) 𝑎𝑘 , 𝑘=1

se 𝑘 è dispari, (3.33) se 𝑘 è pari.

La successione {𝑎𝑘 } è a termini non negativi e tende a zero, tuttavia la serie (3.33) diverge a +∞. Infatti essa si può scomporre come somma di due serie: ∞

∞

∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 = ∑ 𝑘=1

𝑘=1

(−1)𝑘

∞

+∑ 1. 𝑘 √𝑘 𝑘=1

La prima converge per il criterio di Leibniz, mentre la seconda è la serie armonica e diverge a +∞. Si può quindi applicare la (3.14) per concludere che la serie (3.33) diverge a +∞.

Osservazione 3.51 Estensioni del criterio di Leibniz

(𝑖)

Ovviamente il criterio di Leibniz vale anche se le ipotesi di segno e di decrescenza sono verificate solo definitivamente. In tal caso la stima (3.32) vale a partire dall’indice in cui sono verificate le ipotesi.

(𝑖𝑖)

Un risultato analogo al Teorema 3.48 vale per la serie ∞

∞

∑ (−1)𝑘+1 𝑎𝑘 = −𝑎0 + 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ = − ∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 . 𝑘=0

Esempio 3.52

𝑘=0

∞

Consideriamo la serie ∑ (−1)𝑘 (√𝑘 + 1 − √𝑘). Si osservi che 𝑘=0

𝑎𝑘 = √𝑘 + 1 − √𝑘 > 0

∀ 𝑘 ∈ ℕ,

𝑎𝑘 =

1 →0 √𝑘 + 1 + √𝑘

per 𝑘 → +∞

e {𝑎𝑘 } è decrescente. Per il criterio di Leibniz la serie è convergente. Si noti che la serie ∞

∞

non converge assolutamente: infatti ∑ |(−1)𝑘 𝑎𝑘 | = ∑ 𝑎𝑘 = +∞, come segue dal 𝑘=0

𝑘=0

confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente 1/2.

3.8

Serie a termini di segno variabile

∞

Studiamo la convergenza di ∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 , dove 𝑎𝑘 = 𝑘2 − 4 . La serie è definitiva𝑘 +1 𝑘=0 mente a termini di segno alterno: 𝑎𝑘 ≥ 0 se 𝑘 ≥ 4. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta: 𝑎𝑘 → 0 per 𝑘 → +∞. Per poter applicare il criterio di Leibniz occorre quindi stabilire se {𝑎𝑘 } è definitivamente decrescente per 𝑘 → +∞.

Si ha 𝑎𝑘+1 ≤ 𝑎𝑘 ⇔

155

Esempio 3.53

(𝑘 + 1) − 4 𝑘−4 ≤ 2 ⇔ 𝑘3 − 3𝑘2 + 𝑘 − 3 ≤ 𝑘3 − 2𝑘2 − 6𝑘 − 8 𝑘 +1 (𝑘 + 1)2 + 1

⇔ 𝑘2 − 7𝑘 − 5 ≥ 0

𝑘>0

⇔

𝑘≥

7 + √69 𝑘 ∈ ℕ ⇔ 𝑘 ≥ 8.

2

Possiamo allora concludere che la serie considerata è convergente.

Nell’ultimo esempio lo studio della decrescenza di {𝑎𝑘 } ha richiesto un po’ di calcoli.

Potremmo essere tentati di fare il seguente ragionamento: “la successione 𝑎𝑘 = 𝑘𝑘−4 2 +1 è asintoticamente equivalente a 1/𝑘, che è decrescente; quindi anche 𝑎𝑘 è decrescente”.

Questo ragionamento è sbagliato! Passare da una successione a una successione asintoticamente equivalente non conserva la monotonia, e può portare a risultati errati per quanto riguarda l’applicazione del criterio di Leibniz e la convergenza della serie.

Si considerino, per esempio, le due successioni (−1)𝑘 , 𝑎𝑘 = 1 + 𝑘 √𝑘

𝑏𝑘 = 1 , √𝑘

Osservazione 3.54 Verificare la monotonia senza cambiare successione!

𝑘 = 1, 2, …

Entrambe sono infinitesime e non negative. Inoltre 𝑎𝑘 ∼ 𝑏𝑘 per 𝑘 → +∞ (verifi∞

∞

carlo!). Tuttavia, mentre ∑ (−1)𝑘 𝑏𝑘 converge (per il criterio di Leibniz), ∑ (−1)𝑘 𝑎𝑘 𝑘=1

diverge a +∞, come abbiamo visto nell’Osservazione 3.50.

𝑘=1

Un modo alternativo di verificare la monotonia di una successione è quello di considerare una funzione associata, cioè una funzione che verifica 𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘) per ogni 𝑘: per esempio, se 𝑎𝑘 = 𝑘2 − 4 , 𝑘 +1

Osservazione 3.55

allora 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 è una funzione associata. 𝑥 +1

Se proviamo che 𝑓(𝑥) è decrescente in una semiretta [𝑥0 , +∞), allora anche la successione {𝑎𝑘 } sarà definitivamente decrescente. Per provare che 𝑓 è decrescente si possono usare i metodi del calcolo differenziale (Capitolo 6).

Nel prossimo esempio si affronta il problema di come stimare l’errore che si commette approssimando la somma di una serie convergente con una sua somma parziale.

Vogliamo stimare la somma della serie ∞

(−1)𝑘 =1−1+ 1 − 1 + 1 − 1 +⋯ 2 6 24 120 𝑘! 𝑘=0 ∑

con un errore inferiore a 10−3 . È immediato constatare che la successione 𝑎𝑘 = 1/𝑘! verifica le ipotesi del criterio di Leibniz, quindi la serie converge. Vale inoltre la stima (3.32): |𝑠 − 𝑠𝑛 | ≤ 𝑎𝑛+1 , dove 𝑠 e 𝑠𝑛 sono rispettivamente la somma e la somma parziale

Stima dell’errore

Esempio 3.56 Stima della somma di una serie a segno alterno

Capitolo 3

156

Serie numeriche

𝑛-esima della serie. Affinché l’errore sia inferiore a 10−3 , basterà richiedere che 𝑎𝑛+1 =

1 < 1 , 1000 (𝑛 + 1)!

che è vera già per 𝑛 = 6. Quindi l’approssimazione cercata vale 𝑠6 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 53 .

2 6 24 120 720 144 Poichè 𝑠6 è un’approssimazione per eccesso, si ha 𝑠7 = 𝑠6 − 𝑎7 < 𝑠 < 𝑠6

103 < 𝑠 < 53 144 280

⇔

⇔

0,36786 … < 𝑠 < 0,36805 …

Proveremo nel Paragrafo 6.20 che la somma 𝑠 di questa serie vale 1/𝑒. Passando ai reciproci si ottiene 144 < 𝑒 = 1 < 280 𝑠 53 103

⇔

2,71698 … < 𝑒 < 2,71844 … ,

una stima piuttosto precisa della costante 𝑒 (si confronti con la stima ottenuta nell’Osservazione 2.106).

Esercizio 3.8.1 Dire se le seguenti serie numeriche sono convergenti semplicemente e/o assolutamente: ∞

a) ∑ 𝑘=1

∞

log (1 + 1 ) ; 4 𝑘 √𝑘

𝛼 g) ∑ (−1)𝑘 ( 1 − 22 ) , 𝑘 𝑘 𝑘=3

1 + sin 𝑘1

𝛼 h) ∑ (−1)𝑘 ( 12 − 23 ) , 𝑘 𝑘 𝑘=3

(−1)𝑘

∞

b) ∑ (−1)𝑘

4

√𝑘

𝑘=1

𝛼 ∈ ℝ;

∞

;

𝛼 ∈ ℝ;

∞

∞

3𝑘

log(𝑒 + 2) sin ( 𝑘 ) ; 5/2 + 𝑘 log 𝑘 + 1 𝑘+2 𝑘=1 𝑘 2

c) ∑

i)

∑ (−1)𝑘 log (𝛼 + 2 ) , 𝑘 𝑘=1

j)

log 𝑘 tg(𝑘) ⋅𝑘 ; | tg(𝑘)| + 𝑘 𝑘=1 √𝑘!

𝛼 ≥ 0;

∞

+∞

d) ∑ 𝑘=1

sin ( 𝜋2

+ 𝑘𝜋)

√𝑘

;

∞

k) ∑ (−1)𝑘

∞ 𝑘

e) ∑ (−1) (√𝑘 + 1 − √𝑘 + 2) ;

𝑘=1

𝑘=0 ∞

f)

∑

𝑘 ; 𝑘2 − 100 cos 𝑘

∞

3

𝛼

∑ (−1)𝑘 (√8𝑘3 + 3𝑘 − 2𝑘) ,

l) 𝛼 ∈ ℝ;

∑ (−1)𝑘 𝑘 2− 5 sin 𝑘 . 𝑘 + log 𝑘 𝑘=1

𝑘=1

Esercizio 3.8.2 Dire per quali 𝑥 ∈ ℝ le seguenti serie sono convergenti semplicemente e/o assolutamente: ∞

𝑘 ; 𝑘 𝑘=1 (𝑥 + 1)

a) ∑ ∞

1 ; 𝑘(𝑥 + 1)𝑘 𝑘=1

b) ∑

∞

∞

1 ; 2 𝑘 𝑘=1 𝑘 (𝑥 + 1) ∞

d) ∑ 𝑘=1

(𝑥 − 4)4 (2 sin 𝑥)𝑘 √𝑘

2

e) ∑ (−1)𝑘 𝑘𝑥−𝑥 .

c) ∑

𝑘=1

;

3.9

Serie di potenze

157

Esercizio 3.8.3 Dare una valutazione della somma delle serie indicate a meno di un errore inferiore in valore assoluto a 10−2 . Specificare se il valore trovato è un’approssimazione per eccesso o per difetto. ∞

∞

(−1)𝑘 ; 4 𝑘=1 𝑘

a) ∑ (−1)𝑘 𝑘𝑘 ; 10 𝑘=1

c) ∑

∞

(−1)𝑘+3 ; 𝑘𝑘 𝑘=3

∞

(−1)𝑘 .

4 𝑘=1 𝑘 − 50𝑘

e) ∑

∞

(−1)𝑘 ; 4 𝑘=4 𝑘

b) ∑

d) ∑

3.9 Serie di potenze Definiamo ora un tipo di serie che ha grandi applicazioni. In particolare, le serie di potenze assumeranno un ruolo importante nel Capitolo 6, quando parleremo di serie di Taylor e di approssimazione di funzioni con polinomi.

Definizione 3.57 Serie di potenze

Si dice serie di potenze con centro 𝑥0 una serie del tipo ∞

∑ 𝑎𝑘 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ + 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + ⋯ ,

(3.34)

𝑘=0

dove {𝑎𝑘 } è una successione reale, 𝑥0 ∈ ℝ è fissato e 𝑥 è un parametro reale.

Nella (3.34) abbiamo posto (𝑥0 − 𝑥0 )0 = 00 = 1. Adotteremo questa convenzione in modo sistematico nell’ambito delle serie di potenze. Le serie di potenze convergono sempre per 𝑥 = 𝑥0 (con somma 𝑎0 ), in quanto tutti i termini sono nulli per 𝑘 ≥ 1. ∞

(𝑥 − 3)𝑘 , è una serie di potenze centrata in 𝑥0 = 3. 𝑘+1 𝑘=0 Vediamo per quali 𝑥 converge, usando il criterio del rapporto (Teorema 3.46): La serie ∑ 𝑏𝑘 , dove 𝑏𝑘 =

Esempio 3.58

|𝑏 | 𝑘 |𝑥 − 3| = |𝑥 − 3| . lim | 𝑘+1 | = lim 𝑏𝑘 | 𝑘→+∞ 𝑘 + 1

𝑘→+∞ |

Pertanto, se |𝑥 − 3| > 1, la serie non converge. Se invece |𝑥 − 3| < 1, la serie converge assolutamente e quindi semplicemente. Il criterio non dice nulla se |𝑥 − 3| = 1, cioè se 𝑥 = 2 o 𝑥 = 4. Vediamo questi casi separatamente: ∞

se 𝑥 = 4

⇒

𝑘=0 ∞

se 𝑥 = 2

⇒

∞

∑ 𝑏𝑘 = ∑ 𝑘=0 ∞

1 = +∞ (serie armonica); 𝑘+1

(−1)𝑘 converge per il criterio di Leibniz. 𝑘=0 𝑘 + 1

∑ 𝑏𝑘 = ∑ 𝑘=0

In definitiva abbiamo provato che la serie converge se e solo se 2 ≤ 𝑥 < 4.

La situazione esaminata nell’Esempio 3.58 è tipica di tutte le serie di potenze: esse convergono per tutti gli 𝑥 appartenenti a un intervallo centrato in 𝑥0 .

Esiste 𝑟 ∈ [0, +∞], detto raggio di convergenza, tale che: (𝑖)

la serie di potenze (3.34) converge assolutamente (e quindi semplicemente) per ogni 𝑥 verificante |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑟;

Teorema 3.59 Raggio di convergenza

158

Capitolo 3

(𝑖𝑖)

Serie numeriche

la serie (3.34) non converge per ogni 𝑥 tale che |𝑥 − 𝑥0 | > 𝑟.

Inoltre

𝑎 (a) 𝑟 = lim || 𝑎 𝑘 || 𝑘+1 𝑘→+∞

oppure

(b) 𝑟 = lim

𝑘→+∞

1 𝑘 √|𝑎𝑘 |

(3.35)

se tali limiti esistono.

Dimostrazione. Nella prima parte si dimostra che se esiste il limite nella (3.35) (a), allora il suo valore 𝑟 è il raggio di convergenza della serie di potenze (nel caso della (3.35) (b) la dimostrazione è simile e la omettiamo). In particolare questo implica che se esiste uno dei limiti nella (3.35), allora esiste il raggio di convergenza. Nella seconda parte, che il docente può scegliere di omettere, si dimostra che il raggio di esistenza esiste sempre, anche se non esistono i limiti nella (3.35).

Prima parte. Vogliamo applicare il criterio del rapporto (Teorema 3.46) alla serie.

Posto 𝑏𝑘 = 𝑎𝑘 (𝑥 − 𝑥0 )𝑘 , si ha |𝑎𝑘+1 | |𝑥 − 𝑥0 |𝑘+1 𝑎 |𝑏 | lim | 𝑘+1 | = lim = |𝑥 − 𝑥0 | lim || 𝑎𝑘+1 || . 𝑘 𝑘→+∞ | 𝑏𝑘 | 𝑘→+∞ 𝑘→+∞ |𝑎𝑘 | |𝑥 − 𝑥0 |𝑘

(3.36)

• Se il limite (3.35) (a) è finito e non nullo, allora il limite (3.36) vale |𝑥−𝑥0 |/𝑟. Pertanto se |𝑥 − 𝑥0 | < 𝑟 la serie converge assolutamente, mentre se |𝑥 − 𝑥0 | > 𝑟 la serie non converge.

• Se il limite (3.35) (a) vale +∞, allora il limite (3.36) vale sempre 0, qualunque sia 𝑥 ∈ ℝ. Pertanto la serie converge assolutamente per ogni 𝑥.

• Se il limite (3.35) (a) vale 0, allora il limite (3.36) vale +∞, per ogni 𝑥 ≠ 𝑥0 . Pertanto la serie converge solo per 𝑥 = 𝑥0 .

Seconda parte. Dobbiamo dimostrare che esiste 𝑟 ∈ [0, +∞] tale che valgono le proprietà (𝑖) e (𝑖𝑖) senza usare i limiti nella (3.35). A meno di una traslazione, è sufficiente considerare il caso 𝑥0 = 0. Siano ∞

𝐸 ∶= {𝑥 ∈ ℝ ∶ la serie ∑ 𝑎𝑘 𝑥𝑘 converge}

e

𝑟 = sup {|𝑥| ∶ 𝑥 ∈ 𝐸} .

𝑘=0

L’insieme 𝐸 non è vuoto perché 0 ∈ 𝐸, quindi 𝑟 è ben definito. La (𝑖𝑖) è vera per definizione di 𝑟: 𝐸 ⊆ [−𝑟, 𝑟]. Resta da dimostrare la (𝑖), ovvero che (−𝑟, 𝑟) ⊂ 𝐸 e la serie converge assolutamente per ogni 𝑥 ∈ (−𝑟, 𝑟).

Sia quindi 𝑥 ∈ (−𝑟, 𝑟). Per definizione di sup, esiste 𝑧 ∈ 𝐸 tale che |𝑥| < |𝑧| < 𝑟.

Siccome la serie di potenze converge in 𝑧, i termini 𝑎𝑘 𝑧𝑘 sono infinitesimi, quindi limitati, cioè esiste 𝐶 tale che |𝑎𝑘 𝑧𝑘 | ≤ 𝐶 per ogni 𝑘 ∈ ℕ. Perciò si ha |𝑎𝑘 𝑥𝑘 | = |𝑎𝑘 𝑧𝑘 | ⋅

|𝑥|𝑘 𝑥𝑘 ≤ 𝐶 || || 𝑘 𝑧 |𝑧|

per ogni 𝑘 ∈ ℕ.

Per confronto con la serie geometrica di ragione |𝑥/𝑧| < 1, la serie converge assolutamente (e quindi semplicemente) in 𝑥 e il teorema è dimostrato.

Esempio 3.60

∞

Applichiamo il Teorema 3.59 a ∑ 𝑎𝑘 (𝑥 + 2)𝑘 , dove 𝑎𝑘 = 𝑘=0 𝑘

2𝑘

𝑘2 . Si ha: + 3𝑘

1 = lim 𝑘 2𝑘 + 3𝑘 = lim 2 √1 + 3𝑘2−𝑘 = 2 , 𝑘 𝑘 𝑘2 𝑘→+∞ √𝑎 𝑘→+∞ √ 𝑘→+∞ √𝑘2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 in quanto √𝑘2 → 1 (formula (2.53)) e √1 + 3𝑘2−𝑘 = √1 + 𝑜(1) → 1. La serie converge (assolutamente) per |𝑥 + 2| < 2, cioè per −4 < 𝑥 < 0, mentre non converge per 𝑟 = lim

3.9

Serie di potenze

159

|𝑥 + 2| > 2. Controlliamo che cosa succede nei due estremi 𝑥 = 0 e 𝑥 = 4.

2 2𝑘 Per 𝑥 = 0 il termine della serie vale 𝑎𝑘 2𝑘 = 2𝑘𝑘+3𝑘 ∼ 𝑘2 → +∞, quindi non è infinitesimo. Perciò la serie diverge a +∞. Per 𝑥 = −4 il termine della serie 𝑘2 (−2)𝑘

vale 𝑎𝑘 (−2)𝑘 = 2𝑘+3𝑘 , che in valore assoluto diverge: la serie non converge. In conclusione, la serie converge se e solo se 𝑥 ∈ (−4, 0). ∞

Esempio 3.61

𝑘 Consideriamo la serie di potenze ∑ 𝑥 . In questo caso, posto 𝑎𝑘 = 1 , si ha: 𝑘! 𝑘=0 𝑘!

𝑎 (𝑘 + 1)! = lim (𝑘 + 1) = +∞ . lim 𝑎 𝑘 = lim 𝑘+1 𝑘! 𝑘→+∞ 𝑘→+∞

𝑘→+∞

Per la (3.35), il raggio di convergenza della serie vale +∞, e la serie converge (assolutamente) per ogni 𝑥 ∈ ℝ. Nel Paragrafo 6.20 scopriremo che ∞

𝑘 ∑ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑘! 𝑘=0

per ogni 𝑥 ∈ ℝ.

∞

(𝑘 − 1)𝑘 1 , dove 𝑥 ≠ 0. La sostituzione 𝑥−2 = 𝑦 la 𝑒𝑘 𝑘4 𝑥2𝑘 𝑘=1 trasforma in una serie di potenze: Esaminiamo ora la serie ∑

∞

(𝑘 − 1)𝑘 𝑘 𝑦 𝑒𝑘 𝑘4 𝑘=1 ∑

Esempio 3.62

𝑘

⇒

𝑒𝑘 𝑘4 = lim 𝑒√𝑘4 = 0 . 𝑘→+∞ √ (𝑘 − 1)𝑘 𝑘→+∞ 𝑘 − 1

𝑟 = lim

𝑘

(3.37)

Pertanto la serie (3.37) converge solo per 𝑦 = 0. Tenuto conto che 𝑥−2 non può assumere il valore 0, la serie di partenza non converge per alcun valore di 𝑥.

(𝑖)

Il raggio di convergenza esiste anche quando i limiti nella (3.35) non esistono, ma normalmente è più complicato determinarlo. Tuttavia, come già visto nell’Osservazione 3.32, quando i due limiti esistono essi hanno lo stesso valore.

(𝑖𝑖)

Quando il raggio è finito e non nullo, negli estremi dell’intervallo di convergenza può succedere di tutto: la serie può convergere in entrambi gli estremi oppure solo in uno di essi oppure in nessuno dei due.

Osservazione 3.63

Esercizio 3.9.1 Dire per quali valori reali di 𝑥 convergono le seguenti serie: ∞

a) ∑ 𝑘=0

(𝑥 + 1)𝑘 ; + 3𝑘 + 1

𝑘2

∞

d) ∑ 𝑘=1

𝑘 + 5 (𝑥2 − 4)𝑘 ; 3 2 𝑘 𝑘=1 𝑘 (𝑘 − 3 )

e) ∑

𝑘=0 ∞ 𝑘=0

𝑘 (cos 𝑥)𝑘 ; +3

∞

g) ∑ 𝑘√𝑘+2 (𝑥2 − 1)𝑘+2 ; 𝑘=1

∞

∞

b) ∑ (1 − 𝑥2 )2𝑘 ;

c) ∑

𝑘2

(sin(𝑥2 ))𝑘 √1 + 𝑘

∞

log(3 + 𝑘) (𝑥 − 4)𝑘 ; 𝑘2 + 5 𝑘=0

h) ∑

∞

;

f)

2 𝑘 ∑ 3𝑘 ( log(𝑥 − 1)) ; 𝑘=1 √𝑘!

∞

i)

3 1 . ∑ log ( 𝑘 + 2 ) 2𝑘+3 (𝑥 − 2) 3 𝑘=1 𝑘 + √𝑘

Capitolo 3

160

Serie numeriche

3.10 Esercizi di ricapitolazione In questo paragrafo raccogliamo alcuni esercizi sulle serie (per i quali non è chiaro a priori quali dei metodi descritti si possano applicare). Altri esercizi saranno presentati nel Paragrafo 6.18, dopo aver presentato i limiti di funzione e il calcolo differenziale.

Esercizio 3.10.1 Calcolare la somma delle seguenti serie: ∞

∞

(𝑘2 − 𝑘)3−𝑘 − 5 . 𝑘(𝑘 − 1) 𝑘=3

1 ; 𝑘=1 (5𝑘 − 2)(5𝑘 + 3)

a) ∑

b) ∑

Esercizio 3.10.2 Studiare il carattere e la convergenza assoluta delle seguenti serie: ∞

∞

𝑘=1 ∞

b) ∑ (−1)𝑘+3 𝑘=1 ∞

∞

2𝑘 d) ∑ 𝑒 𝑘! ; 𝑘=1 √𝑘𝑘

a) ∑ 3− log 𝑘 ;

𝑘2

7𝑘 + 30 ; + 8𝑘 + 50

f)

2

𝑘 ∑ 𝑒−𝑘 (1 + 3 ) ; 𝑘 𝑘=1 ∞

∞

𝑘 ; 𝑘 𝑘 𝑘=1 3 + (2 sin 𝑘)

g) ∑ (−1)𝑘

e) ∑

𝑘=1 ∞

2

cos 𝑘 ; c) ∑ (−1)𝑘 𝑘 − 𝑘3 + 2 𝑘=1

h) ∑ 𝑘=1

(𝑘 + 3)! ; (𝑘!)2 − 5𝑘

1 + sin(𝑘𝜋/2) . 𝑘

Esercizio 3.10.3 Al variare del parametro reale 𝛼, studiare il carattere delle seguenti serie (se non specificato diversamente, si suppone 𝛼 ∈ ℝ): ∞

2

a) ∑ log 5 +2 𝛼𝑘 , 𝛼 ≥ 0; 3𝑘 + 2 𝑘=0 𝑘 + log2 𝑘 ; 2 𝛼𝑘 𝑘=1 𝑘 + 3 ∞

∞

∞

(√𝑘2 + 4 − 𝑘)𝛼 ; d) ∑ 𝑘+1 𝑘=0 ∞

g) ∑ 𝑘=1 ∞

3

(√𝑘2 + 2𝑘 + 4 − 𝑘2/3 )𝛼 ; e) ∑ 𝑘+1 𝑘=0

b) ∑ ∞

(√𝑘2 + 2𝑘 + 4 − 𝑘)𝛼 ; 𝑘+1 𝑘=0

c) ∑

h) ∑ 𝑘=1

𝑘𝛼 2𝑘

𝑘2 + ( 𝛼3 )

,

𝛼 ≥ 0;

∞

∞

f)

1 , 𝛼 ≥ 0; 𝑘𝛼 + 𝛼2𝑘

1 ; 𝑘=1 √𝑘 + 𝑘𝛼 + 5𝑘 ∑

i)

∑ log (1 + 𝑘𝛼 + 22 ) ; 𝑘 𝑘=1

j)

∑ (

∞ 𝑘=0

𝛼

log(3 + 𝑘) ) . 𝑘2 + 5

Esercizio 3.10.4 Dire per quali valori dei parametri reali 𝛼, 𝑥 le seguenti serie sono semplicemente e/o assolutamente convergenti (se non specificato diversamente, si suppone 𝛼 ∈ ℝ e 𝑥 ∈ ℝ): ∞

∞

(−1)𝑘 , 𝛼 𝑘=1 𝑘 + 𝑘

a) ∑

e) ∑ (−1)𝑘 (log 3 − log(3 + 𝑘𝛼 ));

𝛼 > 0;

𝑘=1

∞

𝑘+2 b) ∑ ( 𝑘 + 5 ) (𝛼 − 1)𝑘 ; 𝑘=1 3𝑘 − 1 ∞

2

c) ∑ (−1)𝑘 log 5 +2 𝛼𝑘 , 𝛼 ≥ 0; 3𝑘 + 2 𝑘=0 +∞

2

d) ∑ log 5 +2 𝛼𝑘 (𝑥 − 5)𝑘 , 𝛼 ≥ 0; 3𝑘 + 2 𝑘=0

∞

f)

𝑘+log 𝑘 (𝑥 − 1)𝑘 ; ∑ 𝑒2 𝑘=1 𝑘 + 5 ∞

g) ∑ 𝑘=1

(−1)𝑘 √𝑘 + 5 + log𝛼 𝑘

, 𝛼 > 0.

3.11 Approfondimenti

161

3.11 Approfondimenti∗ 3.11.1 Criterio della condensazione

Guida

Nell’Esempio 3.22 abbiamo affermato, ma non dimostrato, la convergenza della serie armo∞ nica generalizzata, ∑ 1𝛼 , nel caso in cui 1 < 𝛼 < 2. Per farlo, consideriamo più in 𝑘=1 𝑘 generale una successione {𝑎𝑘 } decrescente e a termini non negativi: 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 0.

Il criterio della condensazione è opzionale se non si intende dimostrare la convergenza delle serie armoniche generalizzate (Esempio 3.22) oppure se si intende dimostrarla con il criterio integrale (Paragrafo 7.17). Il resto del paragrafo è opzionale.

𝑛

Si noti che le somme parziali associate, 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 , verificano le seguenti disuguaglianze: 𝑘=1

𝑠1 = 𝑎1 , 𝑠3 = 𝑎1 + (𝑎2 + 𝑎3 ) ≤ 𝑎1 + 2𝑎2 , 𝑠7 = 𝑠3 + (𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7 ) ≤ 𝑎1 + 2𝑎2 + 4𝑎4 , 𝑠15 = 𝑠7 + (𝑎8 + 𝑎9 + 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + 𝑎13 + 𝑎14 + 𝑎15 ) ≤ 𝑎1 + 2𝑎2 + 4𝑎4 + 8𝑎8 , ⋮ ⋮ 𝑠2𝑛−1 ≤ 𝑎1 + 2𝑎2 + 4𝑎4 + 8𝑎8 + ⋯ + 2𝑛−1 𝑎2𝑛−1 .

Questo suggerisce di costruire come serie di confronto quella che ha come somme parziali 𝑛

𝑆𝑛 ∶= 𝑎1 + 2𝑎2 + 4𝑎4 + 8𝑎8 + ⋯ + 2𝑛 𝑎2𝑛 = ∑ 2𝑘 𝑎2𝑘

per 𝑛 ∈ ℕ.

𝑘=0

Per costruzione, 𝑠2𝑛−1 ≤ 𝑆𝑛−1

per 𝑛 ≥ 1,

(3.38)

∞

perciò, se la serie ∑ 2𝑘 𝑎2𝑘 è convergente, la sottosuccessione {𝑠2𝑛−1 } è limitata. Per la 𝑘=0

monotonia di {𝑠𝑛 } tutta la successione {𝑠𝑛 } risulta limitata, quindi, per il Teorema 3.17, ∞

∑ 𝑎𝑘 è convergente. Analogamente, valgono le disuguaglianze 𝑘=1

𝑆0 = 𝑎1 ≤ 2𝑎1 = 2𝑠1 , 𝑆1 = 𝑆0 + 2𝑎2 ≤ 2𝑠1 + 2𝑎2 = 2𝑠2 , 𝑆2 = 𝑆1 + 4𝑎4 ≤ 2𝑠2 + 2𝑎3 + 2𝑎4 = 2𝑠4 , (poiché 𝑎4 ≤ 𝑎3 ) 𝑆3 = 𝑆2 + 8𝑎8 ≤ 2𝑠4 + 2(𝑎5 + 𝑎6 + 𝑎7 + 𝑎8 ) = 2𝑠8 , (poiché 𝑎8 ≤ ⋯ ≤ 𝑎5 ) ⋮ ⋮ 𝑆𝑛 ≤ 2𝑠2𝑛 , ∞

∞

quindi (per confronto) la convergenza di ∑ 𝑎𝑘 implica quella di ∑ 2𝑘 𝑎2𝑘 . Abbiamo così 𝑘=1

𝑘=0

provato il seguente risultato (ovviamente le ipotesi su 𝑎𝑘 servono solo definitivamente).

Sia {𝑎𝑘 } una successione definitivamente decrescente a termini non negativi. Allora ∞

∞

le due serie ∑ 𝑎𝑘 e ∑ 2𝑘 𝑎2𝑘 hanno lo stesso carattere. 𝑘=1

𝑘=0

A prima vista il criterio della condensazione potrebbe sembrare piuttosto artificiale, ma i seguenti due esempi mettono in evidenza la sua efficacia.

Teorema 3.64 Criterio di condensazione

162

Esempio 3.65 Serie armonica generalizzata

Capitolo 3

Serie numeriche

∞

Riprendiamo in esame la serie ∑ 𝑘−𝛼 (𝛼 > 0). Se 𝑎𝑘 = 𝑘−𝛼 , si trova 𝑘=1 ∞

∞

∞

∑ 2𝑘 𝑎2𝑘 = ∑ 2𝑘 2−𝑘𝛼 = ∑ (21−𝛼 )𝑘 𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

1−𝛼

cioè la serie geometrica di ragione 2 . Sappiamo (Teorema 3.5) che quest’ultima converge se e solo se 21−𝛼 < 1, cioè 1 − 𝛼 < 0. Ritroviamo perciò la (3.23), e stavolta la conclusione include il caso 1 < 𝛼 < 2.

Esempio 3.66

Applicando il criterio della condensazione, possiamo studiare il carattere della serie ∞

1 𝛽 𝑘 log 𝑘 𝑘=2 ∑

(𝛽 > 0) .

Il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata non aiuta, in quanto 1 1 ≥ ≥ 1𝛼 𝑘 𝑘 𝑘 log𝛽 𝑘

definitivamente per 𝑘 → +∞ , qualunque sia 𝛼 > 1.

Ci troviamo quindi in un caso “di soglia”. Applicando il criterio di condensazione otteniamo la serie ∞

∞

∞

2𝑘 = 1𝛽 ∑ 1𝛽 , 𝛽 𝑘 𝑘 log 2 𝑘=2 𝑘 𝑘=2 2 log (2 )

∑ 2𝑘 𝑎2𝑘 = ∑ 𝑘=2

che per la (3.23) converge se e solo se 𝛽 > 1. Ciò dimostra la (3.24) (Esempio 3.22).

3.11.2 Criterio di Cauchy per le serie Il criterio di Cauchy per le successioni (Paragrafo 2.13) si estende facilmente alle serie.

Teorema 3.67 Criterio di Cauchy per le serie

∞

La serie ∑ 𝑎𝑘 è convergente se e solo se per ogni 𝜀 > 0 esiste 𝑁 ∈ ℕ tale che 𝑘=0

| 𝑛+𝑝 | | ∑ 𝑎𝑘 | = |𝑎𝑛+1 + ⋯ + 𝑎𝑛+𝑝 | < 𝜀 |𝑘=𝑛+1 |

∀ 𝑛 ≥ 𝑁, ∀ 𝑝 ≥ 1.

(3.39)

Dimostrazione. Per il Teorema 2.140 la successione {𝑠𝑛 } delle somme parziali è convergente se e solo se è di Cauchy, cioè se per ogni 𝜀 > 0 esiste 𝑁 ∈ ℕ tale che |𝑠𝑚 − 𝑠𝑛 | < 𝜀

per ogni 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 .

(3.40)

Ora, possiamo sempre supporre 𝑚 > 𝑛 e scrivere 𝑚 = 𝑛 + 𝑝, con 𝑝 ≥ 1. Quindi la tesi segue dalla (3.40), visto che 𝑚

𝑛+𝑝

𝑠𝑚 − 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑎𝑘 , 𝑘=𝑛+1

𝑘=𝑛+1

con 𝑝 = 𝑚 − 𝑛 ≥ 1 generico .

3.11 Approfondimenti

163

3.11.3 Riordinamenti A causa del numero infinito di termini di una serie, occorre porre particolare attenzione se si effettuano operazioni sulle serie, che risultano banali nel caso di somme finite. È il caso, per esempio, del riordinamento, che può essere pensato come una generalizzazione della proprietà commutativa della somma, ossia di formule del tipo 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 𝑎3 + 𝑎5 + 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎1 . ∞

∞

La serie ∑ 𝑏𝑘 si dice un riordinamento di ∑ 𝑎𝑘 se esiste una funzione biiettiva 𝑘=0

Definizione 3.68

𝑘=0

𝑗 ∶ ℕ → ℕ tale che 𝑏𝑘 = 𝑎𝑗(𝑘) .

∞

∞

Si noti che, poiché 𝑗 è suriettiva, il riordinamento ∑ 𝑏𝑘 contiene tutti i termini di ∑ 𝑎𝑘 ; 𝑘=0

𝑘=0

inoltre, poiché 𝑗 è iniettiva, il riordinamento contiene ogni termine 𝑎𝑘 non più di una ∞

∞

volta. Ovviamente, poiché 𝑗 è biiettiva, si ha che se ∑ 𝑏𝑘 è un riordinamento di ∑ 𝑎𝑘 ∞

𝑘=0

∞

𝑘=0

allora anche ∑ 𝑎𝑘 è un riordinamento di ∑ 𝑏𝑘 . 𝑘=0

𝑘=0

∞

Al contrario delle somme finite, non è vero che se ∑ 𝑎𝑘 converge alla somma 𝑠 allora 𝑘=0

ogni suo riordinamento converge alla stessa somma 𝑠. Facciamo un esempio. ∞

(−1)𝑘−1 è convergente. È facile dimostrare che 𝑘 𝑘=1 la sua somma 𝑠, è minore di 5/6 (vedremo nel Paragrafo 6.20 che la sua somma vale log 2): ∞ (−1)𝑘−1 𝑠= ∑ = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − ⋯ < 5.

2 ⎵⎵⏟ 3 ⏟⎵⏟⎵⏟ 4 5 ⏟⎵⏟⎵⏟ 6 7 6 ⏟⎵⎵⏟ 𝑘 𝑘=1

Per il criterio di Leibniz, la serie ∑

<0

5/6

Esempio 3.69

<0

Consideriamo il seguente riordinamento: 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + ⋯, 3 2 5 7 4 9 11 6 13 15 8 ottenuto prendendo due termini positivi della serie originale e poi un termine negativo, poi ancora due termini positivi e uno negativo, e così via. Questo riordinamento invece, se converge, ha somma 𝑠′ > 5/6. Infatti 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + ⋯ > 5.

5 ⎵⏟⎵ 7 ⎵⏟ 15 ⎵⎵⏟ 3 ⎵⎵⏟ 2 ⏟⎵ 13 ⎵⎵⏟⎵ 4 ⏟⎵⎵⏟⎵⎵⏟ 9 11 6 ⏟⎵ 6 8 ⏟⎵⎵⏟ = 65

> 81 + 81 − 41 =0

1 1 > 12 + 12 − 61 =0

1 1 > 16 + 16 − 81 =0

Il prossimo risultato ci dice che la “patologia” osservata nell’esempio precedente non è presente per le serie assolutamente convergenti. ∞

∞

∞

Sia ∑ 𝑎𝑘 assolutamente convergente e ∑ 𝑏𝑘 un suo riordinamento. Allora ∑ 𝑏𝑘 𝑘=0

∞

∞

𝑘=0

converge assolutamente e ∑ 𝑎𝑘 = ∑ 𝑏𝑘 . 𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

Teorema 3.70 Riordinamenti di serie assolutamente convergenti

164

Capitolo 3

Serie numeriche

∞

∞

∞

Dal Teorema 3.70 segue in particolare che ∑ |𝑎𝑘 | = ∑ |𝑏𝑘 |, perché ∑ |𝑏𝑘 | è un riordi𝑘=0

∞

𝑘=0

𝑘=0

namento di ∑ |𝑎𝑘 |. In particolare, dall’Osservazione 3.40 deriva quanto segue. 𝑘=0

Corollario 3.71 Riordinamenti di serie a segno costante

Le serie a termini di segno definitivamente costante possono essere riordinate a piacimento senza cambiare la somma.

Dimostrazione del Teorema 3.70. Sia 𝑗 ∶ ℕ → ℕ la funzione biiettiva tale che 𝑏𝑘 = 𝑎𝑗(𝑘) per 𝑘 ∈ ℕ. Preso 𝑁 ∈ ℕ, esiste 𝑀𝑁 ≥ 𝑁 tale che i primi 𝑀𝑁 + 1 termini ∞

delle serie ∑ 𝑎𝑗(𝑘) contengono gli 𝑁 +1 termini 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑁 . Preso 𝑛 ≥ 𝑀𝑁 , anche le 𝑘=0

𝑛

𝑛

somme parziali 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑘 e 𝑡𝑛 = ∑ 𝑎𝑗(𝑘) hanno i termini 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑁 in comune, 𝑘=0

𝑘=0

che quindi si cancellano facendo la differenza: ∞

|𝑠𝑛 − 𝑡𝑛 | ≤ 2 ∑ |𝑎𝑘 | per ogni 𝑛 ≥ 𝑀𝑁 . 𝑘=𝑁+1 ∞

∞

Essendo ∑ 𝑎𝑘 assolutamente convergente, 𝑘=0

converge a 𝑠 = lim 𝑠𝑛 per 𝑛 → +∞.

∑ |𝑎𝑘 | → 0 per 𝑁 → +∞, quindi 𝑡𝑛 𝑘=𝑁+1

𝑛→+∞

Il seguente teorema è notevole e implica che il riordinamento di una serie convergente semplicemente ma non assolutamente “può avere qualsiasi somma”. Ciò implica che l’ipotesi di convergenza assoluta nel Teorema 3.70 non è solo sufficiente, ma anche necessaria per l’invarianza della somma rispetto ai riordinamenti.

Teorema 3.72 Teorema di Riemann

∞

Se ∑ 𝑎𝑘 converge semplicemente ma non assolutamente, allora: 𝑘=0 ∞

(𝑖)

∞

∞

per ogni 𝑠 ∈ ℝ∗ esiste un riordinamento ∑ 𝑏𝑘 di ∑ 𝑎𝑘 tale che ∑ 𝑏𝑘 = 𝑠; 𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

∞

(𝑖𝑖)

esiste un riordinamento di ∑ 𝑎𝑘 che è irregolare. 𝑘=0

3.11.4 Prodotto di Cauchy di due serie Date le due serie di potenze ∞

∞

∑ 𝑎𝑘 𝑥𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯ ,

∑ 𝑏𝑘 𝑥𝑘 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + 𝑏3 𝑥3 + ⋯ ,

𝑘=0

𝑘=0

possiamo pensare di moltiplicarle tra loro come se fossero dei polinomi, senza preoccuparci per il momento della correttezza di tale operazione. Otteniamo (𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 + 𝑎3 𝑥3 + ⋯)(𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + 𝑏3 𝑥3 + ⋯) = 𝑎0 𝑏0 + (𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0 )𝑥 + (𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0 )𝑥2 + (𝑎0 𝑏3 + 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑎3 𝑏0 )𝑥3 + ⋯ ∞

= ∑ 𝑐𝑘 𝑥𝑘 , 𝑘=0

𝑘

dove 𝑐𝑘 = ∑ 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗 𝑗=0

per ogni 𝑘 ∈ ℕ .

(3.41)

3.11 Approfondimenti

165

Per 𝑥 = 1, la (3.41) diventa ∞

∞

∞

𝑘

( ∑ 𝑎𝑘 ) ( ∑ 𝑏𝑘 ) = ∑ 𝑐𝑘 , 𝑘=0

dove 𝑐𝑘 = ∑ 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗

𝑘=0

𝑘=0

per ogni 𝑘 ∈ ℕ .

𝑗=0

Tale relazione (che, lo ricordiamo, è ottenuta attraverso un calcolo non rigoroso) suggerisce la seguente definizione di prodotto di due serie. ∞

∞

Si dice serie prodotto o prodotto di Cauchy delle serie ∑ 𝑎𝑘 e ∑ 𝑏𝑘 la serie 𝑘=0 ∞

𝑘=0

Definizione 3.73 Prodotto di serie

𝑘

∑ 𝑐𝑘 ,

dove

𝑘=0

𝑐𝑘 = ∑ 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗

per ogni 𝑘 ∈ ℕ.

(3.42)

𝑗=0

Vale il seguente risultato, che giustifica i calcoli fatti all’inizio di questo paragrafo. ∞

∞

Se ∑ 𝑎𝑘 e ∑ 𝑏𝑘 sono due serie convergenti e se almeno una delle due è assoluta𝑘=0

𝑘=0

mente convergente, allora la serie prodotto è convergente e la sua somma è uguale al prodotto delle somme delle due serie: ∞

𝑘

∞

∞

∑ ( ∑ 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗 ) = ( ∑ 𝑎𝑘 ) ( ∑ 𝑏𝑘 ) . 𝑘=0

𝑗=0

𝑘=0

𝑘=0

Come già visto per i riordinamenti delle serie, anche in questo caso la convergenza assoluta gioca un ruolo importante. Infatti è possibile trovare esempi di due serie convergenti semplicemente ma non assolutamente per le quali la serie prodotto non converge al prodotto delle somme delle due serie.

Teorema 3.74