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Serie numeriche
Supponiamo di muoverci lungo un percorso rettilineo, compiendo una successione di spostamenti nella stessa direzione, ciascuno pari alla metร del precedente. Supponendo che il primo spostamento sia pari a ๐ 0 = 1 km, le posizioni raggiunte dopo i vari spostamenti saranno ๐ 0 = 1,
๐ 1 = 1 +
1 2
= 32 ,
๐ 2 =
3 2
+
1 4
= 47 ,
๐ 3 =
7 4
+
1 8
=
15 , 8
โฆ .
Usando la formula (1.87) per la somma della progressione geometrica, si ottiene ๐+1
๐ 1 โ ( 21 ) ๐ ๐ = 1 + 1 + 1 + 1 + โฏ + 1๐ = โ 1๐ = 2 4 8 2 2 1 โ 21 ๐=0
โ2
per ๐ โ +โ.
(3.1)
Perciรฒ la posizione raggiunta dopo infiniti spostamenti sarebbe 2 km (Fig. 3.1). ร quindi naturale scrivere una somma infinita, ovvero una serie numerica: โ
โ 1๐ = 2 . 2 ๐=0 1 1 1 1 1 2 4 8 16 ๎ ๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎ ๎ ๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎๎ ๎ ๎๎๎๎๎๎ ๎ ๎๎๎๎๎๎ ๎ ๎๎ ๎ ๎๎ ๎ ๎ ๎ ๎ ๎ ๎ ๎ ๎ 0
3 2
1
7 4
15 31 2 8 16
Figura 3.1 I valori delle somme in (3.1) si avvicinano sempre piรน a 2.
1 E se invece compissimo spostamenti pari a 1, 31 , 91 , 27 , โฆ km, cioรจ pari ognuno a un terzo del precedente? In tal caso ๐+1
๐ 1 โ ( 31 ) ๐ ๐ = โ 1๐ = 3 1 โ 31 ๐=0
โ 3 2
โ
per ๐ โ +โ,
ovvero
โ 1๐ = 3 . 2 3 ๐=0
(3.2)
Un altro esempio familiare รจ quello degli sviluppi decimali periodici. Quando scriviamo il numero decimale 0,3 = 0,33333 โฆ , in effetti sommiamo infiniti termini: โ
0,3 = 3 + 3 + 3 + โฏ = โ 3๐ . 10 100 1000 10 ๐=1 Anche in questo caso lโidea รจ quella di sommare i primi ๐ termini, costruendo una successione {๐ ๐ } di somme parziali, per poi far tendere ๐ a +โ. Nel Paragrafo 3.7 vedremo che questo procedimento conduce alla ben nota formula secondo la quale 0,3 = 31 . Quindi le serie numeriche si incontrano naturalmente proprio alla base del concetto di numero. In questo capitolo daremo una base generale e rigorosa per tali concetti.
Guida Il capitolo รจ differibile finchรฉ non si trattano le serie di Taylor. Le serie numeriche sono riprese con esempi ed esercizi dedicati nel Capitolo 6.