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Funzioni e loro grafici
7.1 Come costruire nuove funzioni a partire da funzioni già note Una funzione f è una legge che a ogni elemento x di un certo insieme D (dominio) fa corrispondere un elemento y di un certo insieme C (codominio). Si dice che y è l’immagine di x tramite f e simbolicamente si scrive y = f(x). In questo contesto, x e y hanno il ruolo di “pronomi”, in quanto stanno a denotare generici elementi di D e di C. La lettera f rappresenta invece il “nome proprio” della funzione che si intende considerare. Si noti che, in base alla definizione data, a ogni elemento del dominio resta sempre associato tramite f un ben determinato elemento del codominio. Non è invece escluso che a due o più elementi distinti del dominio possa essere associato uno stesso elemento del codominio. Le funzioni per le quali sussiste l’ulteriore proprietà che a elementi distinti del dominio restano sempre associati elementi distinti del codominio si dicono funzioni iniettive. Non è detto neppure che ogni elemento del codominio provenga tramite f da qualche elemento del dominio. Le funzioni per le quali sussiste l’ulteriore proprietà che ogni elemento del codominio è l’immagine di almeno un elemento del dominio si dicono funzioni surgettive. Le funzioni che sono simultaneamente iniettive e surgettive si dicono funzioni bigettive. Come sinonimi del termine “dominio” si usano anche locuzioni del tipo insieme di definizione, insieme di esistenza, o simili. Come sinonimo del termine “codominio” si usa anche la locuzione insieme dei valori. Se a ciascun allievo di una scuola si associa la classe che egli frequenta, si ottiene una funzione il cui dominio è costituito dall’insieme degli allievi della scuola e il cui codominio è costituito dall’insieme delle classi della scuola. Infatti a ogni allievo corrisponde una classe, univocamente determinata. Si tratta di una funzione surgettiva ma non iniettiva.
Esempio 7.1
Se a ciascun abitante di una certa provincia si associano i numeri di targa delle automobili di sua proprietà, sarebbe sbagliato affermare che si ottiene una funzione il cui dominio è costituito dall’insieme degli abitanti della provincia e il cui codominio è costituito dall’insieme dei numeri di targa. Infatti esistono abitanti che non sono possessori di automobili: a tali abitanti la presunta “funzione” non farebbe corrispondere alcun elemento del codominio. Anche qualora ci si limitasse a considerare i soli abitanti che sono possessori di automobili, non si otterrebbe ugualmente una funzione, in quanto esistono abitanti che sono possessori di due o più automobili: a tali abitanti la presunta “funzione” farebbe corrispondere, non uno, bensì due o più elementi del codominio.
Esempio 7.2