3.2 Serie geometrica

Nell’introduzione abbiamo visto che la serie

��=0

1 2�� = 1 +1 2+1 4+1 8+ 1 16+ ⋯ converge e la sua somma vale 2 (si veda la (3.1)). Si tratta di un caso particolare della serie geometrica, che vedremo nel prossimo paragrafo.

In generale è piuttosto complicato trovare formule esplicite per il valore di ���� che permettano di calcolarne il limite. In alcuni casi eccezionali si possono determinare esplicitamente le somme parziali di una serie e di conseguenza, utilizzando i limiti, la sua somma. Nei prossimi due paragrafi ne vedremo due tipi importanti.

Esempio 3.3

Sia �� ∈ ℝ. Si dice serie geometrica di ragione�� la serie

∞ ∑ ��=0 ���� = 1 + �� + ��2+ ⋯

La serie geometrica di ragione �� è: (��) convergente e

∞ ∑ ��=0 1

1 − �� se −1 < �� < 1; (����) divergente a +∞ se �� ≥ 1; (������) irregolare se �� ≤ −1. (3.6)

Definizione 3.4 Serie geometrica

Teorema 3.5 Carattere della serie geometrica

Dimostrazione. Basta passare al limite per �� → +∞ nella (1.87):

�� ∑ ��=0 1 − ����+1

1 − �� se �� ≠ 1 (ovviamente ���� = �� + 1 se �� = 1).

Si noti che dal Teorema 3.5 (��) segue anche la seguente formula:

��=��0 ������0 1 − �� se −1 < �� < 1 per ogni �� ∈ ℝ, ��0 ∈ ℕ . (3.7)

Infatti, per ogni �� ≥ ��0 si ha (si veda anche la (1.88))

��=��0 ������ = ������0 (1 + �� + ⋯ + ����0−��0)= ������0

��−��0 ∑ ��=0 ���� → ������0

1 1 − �� per �� → +∞. Esercizio 3.2.1 Dire quanto valgono le somme delle seguenti serie:

a)

��=2 5 2�� ; b)

��=1 11�� 10��+2 ; c)

��=0 8�� ��2�� ; d)

∞ ∑ ��=5 (−1)��3��

4�� .