Epsilon 1 - Capitolo 3

3.2

Serie geometrica

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Esempio 3.3

Nell’introduzione abbiamo visto che la serie ∞

∑ 1𝑘 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 2 4 8 16 2 𝑘=0 converge e la sua somma vale 2 (si veda la (3.1)). Si tratta di un caso particolare della serie geometrica, che vedremo nel prossimo paragrafo.

In generale è piuttosto complicato trovare formule esplicite per il valore di 𝑠𝑛 che permettano di calcolarne il limite. In alcuni casi eccezionali si possono determinare esplicitamente le somme parziali di una serie e di conseguenza, utilizzando i limiti, la sua somma. Nei prossimi due paragrafi ne vedremo due tipi importanti.

3.2 Serie geometrica ∞

Definizione 3.4 Serie geometrica

Sia 𝑟 ∈ ℝ. Si dice serie geometrica di ragione 𝑟 la serie ∑ 𝑟𝑘 = 1 + 𝑟 + 𝑟2 + ⋯ 𝑘=0

Teorema 3.5 Carattere della serie geometrica

La serie geometrica di ragione 𝑟 è: ∞

convergente e ∑ 𝑟𝑘 =

(𝑖)

𝑘=0

(𝑖𝑖)

1 se −1 < 𝑟 < 1; 1−𝑟

(3.6)

divergente a +∞ se 𝑟 ≥ 1;

(𝑖𝑖𝑖) irregolare se 𝑟 ≤ −1.

Dimostrazione. Basta passare al limite per 𝑛 → +∞ nella (1.87): 𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 𝑟𝑘 = 𝑘=0

1 − 𝑟𝑛+1 1−𝑟

se 𝑟 ≠ 1

(ovviamente 𝑠𝑛 = 𝑛 + 1 se 𝑟 = 1).

Si noti che dal Teorema 3.5 (𝑖) segue anche la seguente formula: ∞

∑ 𝑎𝑟𝑘 = 𝑘=𝑘0

𝑎𝑟𝑘0 1−𝑟

se −1 < 𝑟 < 1

per ogni 𝑎 ∈ ℝ, 𝑘0 ∈ ℕ .

(3.7)

Infatti, per ogni 𝑛 ≥ 𝑘0 si ha (si veda anche la (1.88)) 𝑛−𝑘0

𝑛

𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑟𝑘 = 𝑎𝑟𝑘0 (1 + 𝑟 + ⋯ + 𝑟𝑛0−𝑘0 ) = 𝑎𝑟𝑘0 ∑ 𝑟𝑘 → 𝑎𝑟𝑘0 𝑘=0

𝑘=𝑘0

1 1−𝑟

per 𝑛 → +∞.

Esercizio 3.2.1 Dire quanto valgono le somme delle seguenti serie: ∞

a) ∑ 5𝑛 ; 𝑘=2 2

∞

11𝑛 ; 𝑛+2 𝑘=1 10

b) ∑

∞

𝑛 c) ∑ 82𝑛 ; 𝑘=0 𝜋

∞

𝑛

d) ∑ (−1)𝑛 3𝑛 .

4 𝑘=5